Рубрика: Школьная жизнь

Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами.

Множества изображают Диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Если элемент А принадлежит множеству А, то пишут A Î A; если элемент А не принадлежит множеству А, то пишут A Ï A.

Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов X, для которых выполняется свойство P(X), то пишут

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется Подмножеством множества B (или говорят, что A Включено в B), пишут A Ì B (или B É A) (рис. 1.3). Два множества A, B называются Равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A Ì B и B Ì A. Множество, которое не имеет элементов, называется Пустым И обозначается символом Æ.

К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность, дополнение.

Пересечением множеств A, B называется множество A Ç B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (рис. 1.4).

Объединением множеств A, B называется множество A È B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из множеств A, B) (рис. 1.5).

Разностью множеств A\B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.6).

Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества U называется множество , которое определяется равенством (рис. 1.7).

A Ì B A Ç B A È B

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5

А\В

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Для произвольных множеств A, B, C справедливы свойства:

1) Коммутативность объединения;

2) коммутативность пересечения;

3) Ассоциативность объединения;

4) Ассоциативность пересечения;

5) , дистрибутивность;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Пусть – количество элементов множеств А и В соответственно, тогда справедлива формула

(1.8)

Рассматривают следующие числовые множества:

1) Множество натуральных чисел;

2) Множество целых чисел;

3) Q – Множество рациональных чисел: это множество всех обыкновенных дробей, т. е. чисел вида где

Множество Q определяется также, как множество всех бесконечных десятичных периодических дробей;

4) I – Множество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей;

5) R – Множество действительных чисел: .

Верны соотношения:

, , .

Произведение первых N натуральных чисел называется Факториалом, для него введен специальный символ:

.

По определению принимают 0! = 1.

Для всякого определены следующие понятия:

Целая часть (антье) числа X, определяется как целое число такое, что

;

Дробная часть (мантисса), определяется равенством

;

– Знак числа (сигнум), определяется следующим образом:

Если некоторые действительные числа, то Сумму Этих величин обозначают с использованием Знака суммы:

,

Где K – Индекс суммирования.

Свойства суммы:

1) – сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования;

2)

3)

4) – свойство сдвига индекса суммирования.

Пример 1. Доказать равенство

(1.9)

Доказательство. Пусть Согласно определению разности, получаем и Поскольку выполняются оба эти условия, то это возможно только в случае Получаем, что и т. е. Этим мы доказали, что

(1.10)

Допустим, что Тогда и но это означает, что

Два условия и которые имеют место, означают, что т. е.

(1.11)

Равенство (1.9) доказано, поскольку установлена справедливость включений (1.10) и (1.11).

Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике – 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета?

Решение. Пусть A – множество всех студентов курса; B – множество студентов, которые сдали зачет по математике, C – по физике (рис. 1.8).

Согласно условию задачи, , , , и надо найти .

Рис. 1.8

Находим, сколько человек сдали хотя бы один зачет:

Используем далее формулу (1.8), из которой выражаем

Получаем

Пример 3. Сократить дробь

Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что

Поэтому

Пример 4. Вычислить сумму

Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7:

Вычисляя, приходим к ответу

matica.org.ua

Отношения между множествами и операции над ними

Выше мы встретились с тем, что одно множество может являться частью другого. В самом общем случае все множества являются частью универсума — множества, включающего в себя все мыслимые множества (в рамках конкретной задачи).

Такое отношение называется включением множества A в множество B:
A ⊆ B, если каждый элемент множества A является также элементом множества B.
В этом случае множество B включает в себя множество А.

Говорят, что множество А строго включено в множество B, если А включено в B и не равно ему:
A ⊂ B
В этом случае множество B строго включает в себя множество А; А является собственным множеством множества В.

Собственное множество — множество, которое является частью другого и не равно ему. В обоих случаях принято называть множество А подмножеством множества В; в свою очередь, множество В будет надмножеством множества А.

Два множества A и B будут равны, если каждый элемент A будет также являться элементом B, и каждый элемент множества B будет также являться элементом A
A = B
В таком случае можно сказать, что каждое из них будет подмножеством (надмножеством) другого.

Говорят, что множества не пересекаются, если у них нет общих элементов.

Множества A и B находятся в общем положении, если существует элемент (хотя бы один), принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам.

Операции над множествами

Если имеется два множества или более, то с ними можно выполнить ряд операций. К таким операциям относятся:
— пересечение,
— объединение,
— дополнение,
— разность,
— симметрическая разность.
Все перечисленные операции, кроме дополнения, являются бинарными, т. е. выполняющимися с двумя множествами. Дополнение — унарная операция (выполняемая с одним множеством), которая, однако, может быть осуществлена лишь с учётом всех других множеств, предоставленных по условию задачи: дополнение всегда осуществляется до конкретного множества.
При этом пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные.

Пересечение множеств

Пересечение множеств (обозначается X ∩ Y) — множество, включающее в себя элементы, которые одновременно входят в состав каждого из исходных множеств.

Персечение показано оранжевым цветом.

Операция пересечения коммутативна и ассоциативна:
1. X ∩ Y = Y ∩ X;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

Очевидно, что мощность пересечения не превосходит наименьшую мощность пересекающихся множеств:
|X ∩ Y| ≤ min (|X|,|Y|)

Пример

Задача. Даны множества A, B и C, которые представлены следующими элементами: A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {4, 5, 6}. Какими элементами образованы все возможные пересечения этих множеств?

Объединение множеств (обозначается X ∪ Y) — множество, включающее в себя все элементы, входящие в состав хотя бы одного из исходных множеств.

 Объединение показано оранжевым цветом.

Объединением множеств является множество, включающее в себя каждое из объединяемых множеств

Дополнение

Дополнение множества (обозначается ∁Y или Ẏ) — другое множество, включающее в себя все элементы, не входящие в состав исходного.

Дополнение множества Y ⊆ X показано оранжевым цветом.

Несмотря на то, что операция дополнения является унарной, наличие другого множества учитывается.
Понятно, что исходное множество Y должно являться частью другого (X), на котором можно выбирать не принадлежащие Y элементы. Если множества Y и X совпадают, то дополнением Y является пустое множество.

Из математической записи дополнения напрямую не следует, до какого именно множества дополняется указанное. Cчитается, что дополнение всегда выполняется до универсума.

Разность множеств

Разность множеств (обозначается X \ Y) — подмножество множества X, включающее в себя элементы X, не относящиеся к множеству Y.

 Разность множеств показана оранжевым цветом.

Для вычисления мощности разности множеств чаще всего используется следующая формула:

|X \ Y|=|X|-|X ∩ Y|

Симметрическую разность мы рассмотрим позднее.

inf-95.blogspot.com

План-конспект по математике на тему: Конспект. Множества и операции над ними

Множества и операции над ними

1. Основные понятия о множества.

1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

        МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

1. Множество студентов данной учебной группы.
2. Множество планет солнечной системы.
3. Множество букв русского алфавита.
4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

        Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

        Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

        Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A1,B1,…

        Элементы множества обозначаются  строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a1,b1,…

        В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

        N – множество всех натуральных чисел;

        Zc (или Z+ или C+) – множество всех целых неотрицательных чисел;

        Z (или C) – множество всех целых чисел;

        Q – множество всех рациональных чисел;

        R – множество всех действительных чисел;

        R+ — множество всех действительных положительных чисел.

        По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные,  2 – бесконечные, 3 – пустые.

        1. Если  элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

 Пример 1.

        Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

        2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅.

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения  x2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈. В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака  (реже ∉). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается:  “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

        Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

        Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

                 A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

                B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

        Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества  А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х : Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R1-3={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N={z│z

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X                        Y                                B1                                       B2

                    рис. 2.                                                  рис. 3.

2. Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2  находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.        

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.        

3. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

        Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂.

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃.

Определение 1.1 символически записывается так: В⊂А или А⊃В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

 множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø⊂ В⊂А, или иначе: А⊃В⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z},  D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С  и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех  же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D  ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность”  (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

        С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

        рис.5.                                                            рис.6.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

        Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется  универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

        Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

        Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех  элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

 Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А∩В, где символ ∩ — знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Р=А∩В= {x ⎪x∈A и x∈B}={x ⎪ x∈A ∧ x∈B}.                                 (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

        Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

                                                                         (2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

                x∈A∩B  ⇒  x∈A  ∧  x∈B                                (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х  принадлежит как множеству А, так и множеству В.

        Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

                                        (3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

                х∉А∩В  ⇒  х∉А ∨ х∉В.                                                            (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или  множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7÷10 (пересечение заштриховано).

рис. 7                      рис. 8                   рис. 9                рис. 10

2.2 Объединение множеств

        Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

        Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

 А ∪ В, где ∪ — символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

        С= А ∪ В={x⎪ x∈A или x∈B}.                                                        (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

                                                                                        (5)

а также знаком дизъюнкции

        х ∈А ∪ В ⇒  х∈А ∨ х∈В.                                                                         (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

        Если же элемент х  не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

                                                                        (6)

или

                        x ∉A∪B ⇒ x∉A ∧ x∉B.                                (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11                      рис. 12                    рис. 13                  рис. 14

Отметим  некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

        А∪А=А,           А∪∅=А,         А∪U=U.                                                        (7)

Замечание1.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

        Р= А1∩ А2∩…∩ Аn={x ⎪ x∈∀ Ai, i=},

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

        C= A1∪A2∪…∪An={x ⎪ x∈A1 или x∈A2  или …или x∈An}.

Замечание 3.

        Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Определение 1.6

        Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех  и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

        Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ   является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

                C=A  B={x ⎪ x∈A и x∉B}                                                        (8)

Или                

                                                                        (9)

а также                  x∈AB ⇒ x∈A  ∧  x∉B.                                (9а)

Пример 1.

Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10},     то E3=E1E2={2; 4},         E4=E2E1={8;10}.

Пример 2.

Если M1={x1; x2; x3},  M2={y1; y2}, то M3=M1M2={ x1; x2; x3},

M4=M2M1={y1; y2}.

Пример 3.

Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1K2={3; 9}, K4=K2K1=∅.

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15                        рис. 16                     рис. 17                   рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Определение 1.7

        Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают  или .

        Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут        или .

Определение 1.8

        Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех  тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают      или .

 Это определение может быть записано в виде:

 = {x ⎪ x∉A}.                                                        (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

                рис. 19                                        рис. 20

nsportal.ru

1)Множества и операции над ними. Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество.

2)Примеры конечных и бесконечных множеств.Способы задания множества. Подмножества

Под множеством в математике понимают некий набор, совокупность предметов, как например множество учащихся в классе, множество цветов в саду.

Множества бывают конечные и бесконечные .Множества состоящие из конечного числа предметов называються конечными, состоящиеиз бесконечного – бесконечные, не содержащие элементов – пустые.

A,B,C,D-множества

A,b,c,d- элементы множества

Способы задания множества:

• Путем перечисления его элементов (исп. Фигурные скобки)

• С помощью характеристического свойства, которым обладает каждый элемент пренадлежащий данному множеству и не обладает ни один элемент не принадлежащий множеству.

A={ название элемента | указываються свойства}

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А является подмножеством В.

А ⊂В

В ⊃ А- множество В включает в себя А

Любое не пустое подмножество В множества А, не совпадающее с ним, называется собственным подмножеством.

Подмножество А и пустое множество называют не собственными подмножествами.

Не собственные подмножества

{1; 2; 3;4} Ø

Универсальное множество – это самое «большое» множество, включающее в себя все множества рассматриваемые в данной задачи.

Два множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же же элементов.

Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое является подмножеством другого.

А=В <=>(А ⊂В и В ⊃ А)

3)Универсальное множеств

Универса́льное мно́жество— в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Если универсальное множество существует, то оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначаетсяU(от англ.universe, universal set), реже Е.

Круги́ Э́йлера[1]— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между

подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике,логике,менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера—диаграммы Эйлера— Венна, изображающие все 2 в степени n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3диаграмма Эйлера— Венна обычно изображается в виде трёх кругов сцентрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример: Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B: А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C: C = {1, 2, 3, 6).

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так: А ∩B =C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств являетсяпустое множество. Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩Y = Ø.

Объединение двух множеств– это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D =AUB.

Разность двух множеств— это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств А и В обозначается как А/В, но иногда можно встретить обозначение А-В.

Дополнением(дополнением до универсального множества)множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества не содержащихся в А.

Декартовым произведением множеств АиВ называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В.Обозначают АхВ.Таким образом АхВ = {(x;y) xєA, yєB}.

studfiles.net

Тема №1. Множества и операции над ними

ТЕМА №1. Множества и операции над ними.

§1. Основные понятия о множествах.

1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

1. Множество студентов данной учебной группы.

2. Множество планет солнечной системы.

3. Множество букв русского алфавита.

4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A₁,B_1,…

_{Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a1,b1,…}

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z_{c(или Z⁺ или C⁺) – множество всех целых неотрицательных чисел;}

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R⁺ — множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Пример 1.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

2. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком .

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения x² +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака . В данном случае символическая запись будет такой: 5  N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ). Таким образом, здесь имеем: 5,2  N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х : Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R_1-3={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N_<10={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N_<10={z│z<10, z Є N}.

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

Рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} иY={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X Y B₁ B₂

Рис. 2. Рис. 3.

2. Пусть даны множества B₁={1; 2; 3} и B₂={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B₁ и B₂ находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

2. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком .

Соответственно отношение “включает” – знаком .

Определение 1.1 символически записывается так: ВА или АВ. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ВА, или иначе: АВ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D  С  D и D  С, или С = D  С  D  D  С,
где знак  означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак  (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

u

Рис.5. рис.6.

Универсальное множество.

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

refdb.ru

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F(x, y) = 0, где F(x, y), F ^‘ _x(x, y), F ‘ _y(x, y) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x, y) = 0, F ‘ _y(x, y) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

.

Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F ‘ _y(x, y) > 0. Так как производная F ‘ _y(x, y) непрерывна, то можно построить квадрат [х₀ — δ’ , х₀ + δ’ , у₀ — δ’ , у₀ + δ’ ], чтобы для всех его точек было F ‘_y (x, y) > 0, то есть F(x, y) является монотонной по у при фиксированном х. Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x), такой, что F(x, f (x)) º 0.
Зададим приращение Δ х. Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Очевидно, что

Δ F = F(x + Δ x, y + Δ y) − F(x, y) = 0

и в этом случае

, (7)

где

.

Из (7) имеем

.

Так как неявная функция у = f (x) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

.

Что и требовалось доказать.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть частные производные функции z = f (x, y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y) = δ [f ‘ (x) d x] = [f ‘ (x) d x] ‘ δ x = f » (x) d(x) δx .

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d²y, т.е.

d²y = f »(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d²y) от дифференциала d²y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d³y и т.д. Дифференциал δ(d^n-1y) от дифференциала d^n-1f, взятый при δx = dx, называется дифференциалом n — го порядка (или n — м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dⁿy.
Докажем, что для n — го дифференциала функции справедлива формула

dⁿy = y⁽ⁿ⁾·(dx)ⁿ, n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n — 1

dⁿ⁻¹y = y⁽ⁿ⁻¹⁾·(dx)ⁿ⁻¹,

и функция y^(n-1)(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда

Полагая δx = dx, получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n — я производная функции y = f ( x ) в точке x равна отношению n — го дифференциала этой функции в точке x к n — й степени дифференциала аргумента.

Производная по направлению функций нескольких переменных.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М₀ с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Градиент функции. Связь между производной по направлению и градиентом функции.

Градиентом функции u(х₁,х₂,…,х_n) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u :

В нашем случае Таким образом, производная по направлению равна:

, где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l ):

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М₀ .

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .

infopedia.su

Дифференциал неявной функции, теория и примеры

По определению дифференциал функции равен

То есть вначале надо найти производную заданной неявно функции а затем подставить ее в последнее соотношение.

Чтобы найти указанную производную, необходимо продифференцировать обе части уравнения и из полученного равенства выразить производную

Отметим, что при дифференцировании надо не забывать, что не является независимой переменной, а есть функция от поэтому производную от нее надо находить как от сложной функции.

Примеры вычисления дифференциалов неявных функций

ru.solverbook.com

Производная неявно заданной функции. Примеры

Часто на практике встречаются функции в которых независимая переменная и функция связаны между собой зависимостью

из которой нельзя отделить саму функцию. В этом случае функция называется неявной функцией от.

Однако саму производную функции по переменной можно вычислить. Для этого дифференцируют функцию по , при этом учитывают, что сама функция зависит от переменной . Из полученного уравнения группируют слагаемые, содержащиеся при производной и выражают ее.

Для закрепления материала рассмотрим следующие примеры.

Пример 1.

Найти производные функций, заданных неявно (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)

1) (5.219)

2) (5.223)

3) (5.227)

4) (5.236)

Решение.

1) Продифференцируем правую и левую части

Полученное выражение разделим на общий множитель и сгруппируем слагаемые, содержащие производную и перенесем их в одну сторону за знак равенства. В результате получим

Поделив на множитель при производной получим ее значение

Для упрощения, вынесем из числителя и знаменателя общие множители исоответственно. В результате будем иметь

Как видите ничего сложного мы не делали но быстро нашли производную неявно заданной функции. Рассмотрим следующую задачу.

2) Проведем дифференцировки

Выделяем слагаемые, содержащие производную

Разделим на множитель при производной и найдем ее значение

Задача полностью решена.

3) Вычислим производную правой и левой части

Найдем производную частки функций

Первых два множителя равны синусу двойного угла. Поэтому производные можем записать в виде

Умножим правую и левую части на чтобы избавиться знаменателей и сгруппируем слагаемые при производной

Из последней зависимости находим значение искомой производной

В такого рода примерах главное не ошибиться при отыскании производных.

4) Проведем дифференцирования функций

Выделим слагаемые, содержащие и сгруппируем их

Сведем выражения к общему знаменателю

и подставим их на свои места

Отсюда выразим производную

На этом решения примера завершено.

При вычислении производной неявно заданной функции типичными ошибками на практике являются неправильное взятие производной и неразбериха со знаками при группировке подобных слагаемых. Будьте внимательны в таких ситуациях и не допускайте ошибок.

yukhym.com

ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Количество просмотров публикации ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ — 407

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ символически запишем так:

В случае если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).

Из определœения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всœех x Î D.

К примеру, уравнение x² + y² – a² = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x²+(a²–x²) – a² = 0.

При этом, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, ᴛ.ᴇ. в виде y=f(x).

К примеру, функции, заданные уравнениями y²– y – x²=0 или , не выражаются через элементарные функции, ᴛ.ᴇ. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.

Заметим, что каждая явная функция y=f(x) должна быть представлена и как неявная y–f(x) = 0.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, неявная функция — ϶ᴛᴏ определœенный способ задания зависимости между переменными x и y.

Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, ᴛ.ᴇ. не представляя в виде y=f(x).

Чтобы найти производную у‘ неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y‘. Чтобы найти y», нужно уравнение F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y» и т.д.

Примеры. Найти производные функций заданных неявно.

1.

2.

Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию.

referatwork.ru

www.twirpx.com

Калиткин Н.Н. Численные методы [DJVU]

www.twirpx.com

Вержбицкий, Валентин Михайлович — Численные методы : Линейная алгебра и нелинейные уравнения : Учеб. пособие для студентов мат. и инж. специальностей вузов

Поиск по определенным полям

author:иванов

author:иванов title:исследование

Логически операторы

исследование разработка

author:иванов title:разработка

исследование OR разработка

author:иванов OR title:разработка

исследование NOT разработка

author:иванов NOT title:разработка

Тип поиска

$исследование $развития

исследование*

«исследование и разработка«

Поиск по синонимам

#исследование

Группировка

author:(иванов OR петров) title:(исследование OR разработка)

Приблизительный поиск слова

бром~

бром~1

Критерий близости

«исследование разработка«~2

Релевантность выражений

исследование^4 разработка

Поиск в интервале

author:[Иванов TO Петров]

author:{Иванов TO Петров}

search.rsl.ru

Вержбицкий В. М.. Основы численных методов

books.academic.ru

Вержбицкий. Численные методы (математический анализ)

dic.academic.ru

author:иванов

author:иванов title:исследование

Логически операторы

исследование разработка

author:иванов title:разработка

исследование OR разработка

author:иванов OR title:разработка

исследование NOT разработка

author:иванов NOT title:разработка

Тип поиска

$исследование $развития

исследование*

«исследование и разработка«

Поиск по синонимам

#исследование

Группировка

author:(иванов OR петров) title:(исследование OR разработка)

Приблизительный поиск слова

бром~

бром~1

Критерий близости

«исследование разработка«~2

Релевантность выражений

исследование^4 разработка

Поиск в интервале

author:[Иванов TO Петров]

author:{Иванов TO Петров}

search.rsl.ru

Решебник е.с. мироненко высшая математика

pastebin.com

Решебник мироненко высшая математика — PDF

Решебник цубербиллер скачать

Решебник цубербиллер скачать >>> Решебник цубербиллер скачать Решебник цубербиллер скачать Your browser may also contain add-ons that send automated requests to our search engine. Онлайн: 232 человек Вчера

Учитель математики Харитонова Наталья Евгеньевна

Предмет

Алгебра

Класс

7 класс. Учебник для 7 класса. Авторы: Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин, 2015 г.

Тип урока

Урок «открытия» нового знания.

Тема

Работа с формулой при решении задач реальной математики.

Цель

Содержательная: установление межпредметных связей, формирование алгоритма действий.

Деятельностная: формирование умений реализации новых способов действий.

Развивающая: способствовать развитию информационной и коммуникативной культуры, кругозора.

Задачи

Обеспечить осознание учащимися связи математики с физикой, установить общие подходы при выполнении заданий данного типа на уроках математики и физики.

Способствовать развитию умения выражать нужную величину из формулы, находить числовое значение величины.

Развитие речевой и информационной культуры, познавательного интереса; воспитание культуры общения.

Основные термины, понятия

Алгебраическое равенство, свойства верных равенств, формула, неизвестная величина, числовое значение неизвестной величины и алгебраического выражения, физическая величина.

Планируемый результат

Знать свойства верных равенств.

Уметь использовать эти свойства для выражения неизвестной величины из формулы.

Знать о типах экзаменационных задач раздела «Реальная математика» по этой теме.

Организация пространства

Работа в парах.

Индивидуальная.

Групповая.

Ресурсы: Учебник, презентация, карточки, справочные материалы, открытый банк заданий ОГЭ.

Технические средства обучения:

Компьютер

Интерактивная доска

Формирование универсальных учебных действий

Волевая саморегуляция.

2. Актуализация знаний.

Регулятивные Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы. Волевая саморегуляция. Анализ полученной информации, обобщение и, как следствие, вывод.

Коммуникативные Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами.

Личностные Осознание ценности знаний, как важнейшего компонента научной картины мира.

3. Постановка проблемы.

Регулятивные Волевая саморегуляция.

Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы.

Личностные Учебно-познавательный интерес, самоопределение, самосознание. Целеполагание.

Познавательные. Действовать логически, уметь поставить и решить проблему, ориентироваться в потоке учебной информации, осуществлять поиск недостающей информации.

4. «Открытие» учащимися нового знания.

Познавательные Восприятие, осознание, первичное обобщение и систематизация новых знаний. Усвоение способов, путей, средств. Волевая саморегуляция.

Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы.

5. Первичное закрепление.

Познавательные Умение устанавливать причинно-следственные связи. Восприятие, осознание, первичное обобщение и систематизация новых знаний. Усвоение способов, путей, средств.

Коммуникативные Умение слушать и слышать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

Волевая саморегуляция.

6.Самостоятельная работа с проверкой.

Регулятивные Контроль в форме сличения собственного и чужого результата с эталоном, коррекция.

Оценка – оценивание качества и уровня усвоения, коррекция.

Коммуникативные Умение ориентироваться на позицию партнера, осуществление совместного контроля.

Личностные Личная ответственность.

Познавательные Умение составить самостоятельно программу для данной модели задачи, следуя поставленной цели.

7. Подведение итогов, рефлексия.

Познавательные Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

Личностные Умение устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом,

адекватное понимание причин успеха или неуспеха в учебной деятельности, осознанность учения.

Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

8. Информация о домашнем задании.

Регулятивные Волевая саморегуляция. Оценка своих возможностей, выбор посильного уровня задания.

Личностные Адекватное реагирование на преодоление трудностей.

Оценка своих возможностей, выбор посильного уровня задания.

Конспект урока. Работа с формулой при решении задач реальной математики.

Цель: Включение учащихся в продуктивную деятельность.

Приветствие.

Проверка готовности к уроку, фиксация отсутствующих, организация внимания и внутренней готовности.

На партах карточки для устной работы, карточки с заданиями на дом. Памятка «Свойства верных равенств», математические действия и противодействия, схема выражения неизвестного из формулы.

Приветствие.

Проверка готовности к уроку.

Перед уроком проводится проветривание кабинета.

Создание комфортной обстановки, доброжелательный настрой

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

Цель:актуализация мыслительных операций, необходимых для проблемного изложения нового знания.

Проверка домашнего задания.

Коррекция ошибок.

Задания на доске.

Ученики анализируют выполнение домашнего задании , делают выводы.

Выполняют карточку, сверяются с готовыми ответами.

Вид преподавания: аудиовизуальный.

Вид учебной деятельности:

Анализ выполненной работы, индивидуальная самостоятельная работа,

анализ проблемной ситуации.

Создание условий для эмоционального комфорта

Создаёт проблемную ситуацию (задание с затруднением).

Учебник стр.37 №10(1) №9

Пытаются сопоставить ранее полученные знания с новым.

3. Постановка учебной задачи

Цель: фиксация причины затруднения Формулировка цели урока.

Нацеливает учеников на выяснение причин затруднения, мотивирует на получение нового знания.

Почему возникли затруднения?

Какие действия с алгебраическими равенствами такого вида – геометрическими и физическими формулами мы не делали?

Теперь вам будет совсем не трудно сказать, какова тема нашего урока.

(Педагог поддерживает и подбадривает высказывания учеников)

Определите цель урока.

Учебник. Стр.37 №10 (1)

№9

Дети проговаривают, как найти значение алгебраического выражения или значения величины в формуле, выделяют области знания и незнания. Когда нельзя сразу найти неизвестную величину в формуле? Что нужно сделать сначала?

Чем воспользоваться?

Ответ у большинства один.

Формулируют тему и цель урока.

Создание положительного психологического настроя, стимулирование познавательного интереса на получение новых знаний

4. Открытие нового знания (построение  проекта выхода из затруднения)

Цель: устранение возникшего затруднения.

Учитель организует деятельность детей по принятию плана действий. Что же нам надо сделать, чтобы найти в формуле неизвестное? (Учитель при необходимости помогает составить план)

Где можно взять необходимую информацию?

Как будем работать?

На каждой парте вариант самостоятельной и домашней работы из открытого банка ОГЭ.

Учебник, интернет, справочный материал.

Решение задачи №10(1)

№9

Разрабатывают план действий, ставят задачи.

Ребята высказывают свои предположения по возможности решения.

Работа со справочным материалом по поиску информации.

Анализ источников, определение важности и нужности предлагаемой информации, отбор необходимой для данного урока. Составление плана-схемы действий.

вид преподавания: аудиовизуальный.

Вид учебной деятельности:решение проблемной ситуации

Создание условий для эмоционального комфорта

Создание условий для восприятия информации

5. Первичное закрепление

Цель: проговаривание нового знания. 

Организация деятельности по первичному закреплению (групповая), применение на практике полученных новых знаний.

Организует первичный взаимоконтроль.

Интернет (открытый банк заданий ОГЭ)

Три задачи

разного типа на интерактивной доске из открытого банка заданий ОГЭ.

К доске по очереди вызываются три ученика с разными вариантами задач, анализируют и приходят к выводам: как выразить неизвестное из формулы. Комментируют возможные ошибки, помогают, если возникают трудности при ответе.

Анализируют, корректируют ошибки.

Вид преподавания:аудиовизуальный.

Вид учебной деятельности: анализ последовательности действий по набору правил для выражения неизвестной величины из формулы.

Создание условий для работы по анализу и коррекции ошибок, доброжелательный настрой на высказывания ребят друг другу.

6. Самостоятельная работа с взаимопроверкой по образцу (эталону)

Цель: каждый должен для себя сделать вывод о том, что он уже умеет. Самооценка и самоконтроль. Анализ ошибок.

Создание ситуации успеха («Я справился!»)

Давайте посмотрим, насколько полно и правильно вы усвоили то, о чем мы сегодня говорили. Предлагаю выполнить следующее задание. После его выполнения вы проверите… работу соседа.

Эталоны для взаимопро-

верки.

Ученики выполняют задание самостоятельно, проверяют соседа по парте с обязательным выставлением оценки и анализом ошибок.

Двигательная активность: выбор пары

Вид преподавания: самостоятельная работа.

Вид учебной деятельности: индивидуальная самостоятельная работа, работа в парах, анализ работы.

Создание ситуации успеха.

Напоминаем о правильном положении за партой: расстояние от глаз до тетради, расположение учебника, положение тела.

7. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог)

Цель: самооценка учащимися собственной деятельности.

Учитель подводит учащихся к осознанию результатов их деятельности на уроке, выполнении поставленных целей, анализу, рефлексии. Что нового для себя вы открыли на этом уроке, что было полезным? Где и как эти знания могут вам пригодиться в будущем?

Достигли мы поставленной цели? Проанализируйте свою работу на уроке и её результат.

Ученики подводят итоги своей деятельности на уроке, сравнивают поставленную цель с полученным личным результатом.

Дети осуществляют рефлексию.

Двигательная активность — переход на свое рабочее место.

Вид преподавания: наглядный.

Вид учебной деятельности: анализ работы.

Создание и поддержка комфортной психологической обстановки, положительной мотивации на дальнейшую деятельность, веру в собственные силы при подведении итогов и проведении рефлексии

8. Информация о домашнем задании.

Цель: стимулирование внутренней мотивации на познание нового.

Ученикам предлагается индивидуальное дифференцированное д/з.

Проводится инструктаж.

Молодцы! Спасибо за работу!

Карточка, справочный материал.

Обсуждение домашнего задания, прослушивание инструктажа

Вид преподавания: аудиовизуальный.

Создание внутренней мотивации на успех при выполнении ДЗ

Проверка домашнего задания.

1⁰. Найдите значение выражения при a=9, b=12.

2⁰.Упростите выражение и найти его значение при

c=-0,25, b=2,5.

3.Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь n-литровых и двенадцать m-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если n=10, m=5.

4. Решите уравнение ax-3 = b относительно x, если a и b – заданные числа, отличные от нуля.

Справочный материал.

1. Свойства верных равенств.

формулировка

Запись в виде формулы

Пример

1.Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство.

Если a = b и m – любое число, то

a+m = b+m,

a-m = b-m.

7=7,

7+2=7+2,

7-2=7-2.

2.Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же число не равное нулю, то получится верное равенство.

Если a = b и m‡0, то

a∙m = b∙m,

a:m = b:m.

27=27,

27∙3=27∙3,

27:3=27:3.

2. Математические действия и противодействия.

«-» (вычитание)

» ∙»(умножение)

«:»(деление)

3. Схема выражения из формулы.

Основной принцип – «делай наоборот».

1. Выяснить какие действия необходимо выполнить с неизвестной величиной по порядку.

2. Произвести противодействия в обратном порядке с обеими частями алгебраического равенства или формулы.

4.Использование примера помощника.

=c . Выразить a или b. Пример помощник . Ясно, что 8=4∙2 или 4=8:2.

Задачи на первичное закрепление знаний.

Задание 20 . Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.

1 км=100000см

Задание 20  Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде Q = I²Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q = 2187 Дж, I = 9 A, R = 3 Ом.

Задание 20  Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле  где  — масса тела (в килограммах),  — его скорость (в м/с),  — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а  — ускорение свободного падения (в м/с²). Пользуясь этой формулой, найдите  (в метрах), если    а 

Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Задание 20  Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 70 см, n =1400 ? Ответ выразите в километрах.

2.Задание 20  Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

3.Задание 20  Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.

Самостоятельная работа.

2 вариант

1.Задание 20  Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 50 см, n =1200 ? Ответ выразите в километрах.

2.Задание 20  Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта ( °F) пользуются формулой  , где  — градусы Цельсия,  — градусы Фаренгейта. Какая температура (в градусах) по шкале Фаренгейта соответствует 20° по шкале Цельсия? Ответ округлите до десятых.

3.Задание 20 . Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 245 Вт, а сила тока равна 7 А.

Домашняя работа

1.Задание 20 . Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

2.Задание 20 . Длину окружности   можно вычислить по формуле , где  — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 78 м. (Считать ).

3.Задание 20 . Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле  где  — масса тела (в килограммах),  — его скорость (в м/с),  — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а  — ускорение свободного падения (в м/с²). Пользуясь этой формулой, найдите  (в метрах), если    а 

4.Задание 20 . Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

Домашняя работа

1.Задание 20 . Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

2.Задание 20 . Длину окружности   можно вычислить по формуле , где  — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 78 м. (Считать ).

3.Задание 20 . Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле  где  — масса тела (в килограммах),  — его скорость (в м/с),  — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а  — ускорение свободного падения (в м/с²). Пользуясь этой формулой, найдите  (в метрах), если    а 

4.Задание 20 . Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

1⁰. Найдите значение выражения при a=9, b=12.

2⁰.Упростите выражение и найти его значение при

c=-0,25, b=2,5.

3.Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь n-литровых и двенадцать m-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если n=10, m=5.

4• Решите уравнение ax-3 = b относительно x, если a и b – заданные числа, отличные от нуля.

1⁰. Найдите значение выражения при a=9, b=12.

2⁰.Упростите выражение и найти его значение при

c=-0,25, b=2,5.

3.Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь n-литровых и двенадцать m-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если n=10, m=5.

4• Решите уравнение ax-3 = b относительно x, если a и b – заданные числа, отличные от нуля.

1⁰. Найдите значение выражения при a=9, b=12.

2⁰.Упростите выражение и найти его значение при

c=-0,25, b=2,5.

3.Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь n-литровых и двенадцать m-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если n=10, m=5.

4• Решите уравнение ax-3 = b относительно x, если a и b – заданные числа, отличные от нуля.

1⁰. Найдите значение выражения при a=9, b=12.

2⁰.Упростите выражение и найти его значение при

c=-0,25, b=2,5.

3.Для полива овощей на огороде из полной 200-литровой бочки вычерпали восемь n-литровых и двенадцать m-литровых вёдер воды. Сколько воды осталось в бочке, если n=10, m=5.

4• Решите уравнение ax-3 = b относительно x, если a и b – заданные числа, отличные от нуля.

infourok.ru

Справочные таблицы по алгебре 7 класса — К уроку — Математика, алгебра, геометрия

Числовое выражение – запись, состоящая из чисел, соединённых, знаками действий.
1,2 • ( — 3) — 9 ÷ 0,5 — числовое выражение.
Алгебраическое выражение – выражение, состоящее из чисел и букв, соединённых знаками действий.
2 ( m + n ) ; 3a + 2ab – 1 — aлгебраическое выражение.
Числовое значение алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами.
• Найти значение выражения
3a + 2ab -1
Если a=2 , b= 3, тогда 3 • 2 + 2 • 2 • 3 – 1 =17
Если a=-1 , b= 5, тогда 3 •(-1) + 2• (-1)• 5 – 1 = -14.
Алгебраическая сумма – запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « — ».
Правила раскрытия скобок

 Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.
14 + ( 7 — 23 + 21 ) = 14 + 7 – 23 + 21
a +( b – c – d ) = a + b – c – d
 Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный.
14 – (7 — 23 + 21 ) = 14 – 7 + 23 – 21
a — ( b – c – d ) = a — b + c +d
Уравнение с одним неизвестным 7 кл.А.02
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, называется правой частью уравнения.
Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.
Уравнение может иметь бесконечно много корней.
Уравнение может и не иметь корней.
9 х -23 = 5х- 11
9х-5х=23-11
4х=12│÷4
х=3 Ответ.х=3
 Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.
 Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно ито же число, не равное нулю.
Алгоритм решения уравнения:
 Переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть.
 Приводят подобные слагаемые.
 Делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.
Алгоритм решения задач с помощью уравнения:
 Составить уравнение по условию задачи.
 Решить полученное уравнение.
Свойства степеней 7 кл. А.03
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а :
=а•а•а•а•…•а
n раз

а – основание степени, n-показатель степени
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3. При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

)m=
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.
, где b

Одночлены и многочлены 7 кл. А.04

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
abc, (-4)a3ab, 2,5xу – одночлены.
Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.
3,5 abc, -5ху3 — одночленами стандартного вида.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Приведением подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.
Результаты действий с одночленами и многочленами

Действие
Результат

Одночлен

Одночлен
Многочлен

Одночлен
•

Одночлен
Одночлен

Одночлен

Многочлен

Многочлен

Одночлен

•
Многочлен
Многочлен

Многочлен

Многочлен
Многочлен

Многочлен
•

Многочлен
Многочлен
Разложение многочленов на множители 7 кл. А.05

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:
 Найти общий множитель.
 Вынести его за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:
 Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.
 Вынести этот общий множитель за скобки
Формулы сокращённого умножения
• Формула разность квадратов
( a – b )(a + b ) = a2 – b2
• Формула квадрата суммы
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
• Формула квадрата разности
(a — b )2 = a2 — 2ab + b2
• Формула куба суммы
( a + b)3=a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
• Формула куба разности
( a — b)3=a3 — 3 a2 b + 3 a b2 — b3
• Формула суммы кубов
a3 + b3 = ( a + b )(a2 – ab + b2 )
• Формула разности кубов
a3 — b3 = ( a — b )(a2 + ab + b2 )

Алгебраические дроби 7 кл.А.06
Выражение называют алгебраической дробью.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

Для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно:
 Найти общий знаменатель данных дробей.
 Для каждой дроби найти дополнительный множитель .
 Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.
 Записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:
 Найти общий знаменатель дробей.
 Привести дроби к общему знаменателю.
 Сложить или вычесть полученные дроби.
 Упростить результат, если возможно.


Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

Линейная функция и её график 7 кл.А.07
у
ось ОХ – ось абсцисс Прямоуголь-
0 х ось ОУ – ось ординат ная система
1 О – начало координат координат
О1 –единичный отрезок

Линейной функцией называется функция вида у = kx + b, где k и b – заданные числа.
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая.
Для построения графика функции у = kx + b достаточно построить две точки этого графика.
у = 2 х + 3 у = 2 х
х -1 2
у 1 5
х -1 2
у -2 4

у
у = 2 х + 3

у = 2 х

0 х

График функции у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на b единиц вдоль оси ординат.
Графиками функций у = kx и у = kx + b являются параллельные прямые.

Системы двух уравнений 7кл.А.08
с двумя неизвестными
х + у = 10
х – у = 4 — система двух уравнений с двумя неизвестными
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить , что их нет.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, нужно:
 из одного уравнения системы ( всё равно из какой) выразить одно неизвестное через другое, например у через х.
 полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х.
 решить это уравнение, найти значение х.
 подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения, нужно:
 уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
 Складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.
 Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графическим способом, нужно:
 Построить графики каждого из уравнений системы.
 Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых- графиков уравнений системы.
 Прямые пересекаются ,т .е. имеют одну общую точку. Система уравнений имеет единственное решение.
 Прямые параллельны, т.е.не имеют общих точек. Система уравнений не имеет решений.
 Прямые совпадают. Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Алгебра
7 класс

1. Алгебраические выражения.
2. Уравнения с одним неизвестным.
3. Свойства степеней.
4. Одночлены и многочлены.
5. Разложение многочленов на множители.
6. Алгебраические дроби.
7. Линейная функция и её график.
8. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

pedsovet.su

reshit.ru

Тригонометрия в таблицах

Разделы: Математика

Таблицы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества:

Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов:

Представление суммы одноименных тригонометрических функций в виде произведения:

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

Формулы двойных аргументов:

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

Формулы приведения («формулы лошади»): a - острый угол!!!

Вопросы лошадке:

1) функция меняется?

2) какой был знак и какой поставить в ответ?

Решение тригонометрических уравнений:

cos x=1 <=>

cos x=0 <=>

cos x= — 1 <=>

Формулы тройных аргументов:

Кроме того, необходимо знать:

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

18.07.2012

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Таблицы тригонометрических функций

Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Из тригонометрических определений функций $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ можно узнать их значения для углов $0$ и $90$ градусов:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не определяется;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не определяется.

В школьном курсе геометрии при изучении прямоугольных треугольников находят тригонометрические функции углов $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.

Найденные значения тригонометрических функций для указанных углов в градусах и радианах соответственно ($0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) для удобства запоминания и использования заносят в таблицу, которую называют тригонометрической таблицей, таблицей основных значений тригонометрических функций и т.п.

При использовании формул приведения, тригонометрическая таблица может быть расширена до угла $360°$ и соответственно $2\pi$ радиан:

Применяя свойства периодичности тригонометрических функций, каждый угол, который будет отличаться от уже известного на $360°$, можно рассчитать и записать в таблицу. Например, тригонометрическая функция для угла $0°$ будет иметь такое же значение и для угла $0°+360°$, и для угла $0°+2 \cdot 360°$, и для угла $0°+3 \cdot 360°$ и т.д.

С помощью тригонометрической таблицы можно определить значения всех углов единичной окружности.

В школьном курсе геометрии предполагается запоминание основных значений тригонометрических функций, собранных в тригонометрической таблице, для удобства решения тригонометрических задач.

Использование таблицы

В таблице достаточно найти необходимую тригонометрическую функцию и значение угла или радиан, для которых эту функцию нужно вычислить. На пересечении строки с функцией и столбца со значением получим искомое значение тригонометрической функции заданного аргумента.

На рисунке можно увидеть, как найти значение $\cos⁡60°$, которое равно $\frac{1}{2}$.

Аналогично используется расширенная тригонометрическая таблица. Преимуществом ее использования является, как уже упоминалось, вычисление тригонометрической функции практически любого угла. Например, легко можно найти значение $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300°$:

Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций

Возможность расчета тригонометрической функции абсолютно любого значения угла для целого значения градусов и целого значения минут дает использование таблиц Брадиса. Например, найти значение $\cos⁡34°7’$. Таблицы разделены на 2 части: таблицу значений $\sin$ и $\cos$ и таблицу значений $\tan$ и $\cot$.

Таблицы Брадиса дают возможность получить приближенное значение тригонометрических функций с точностью до 4-х знаков после десятичной запятой.

Использование таблиц Брадиса

Используя таблицы Брадиса для синусов, найдем $\sin⁡17°42’$. Для этого в столбце слева таблицы синусов и косинусов находим значение градусов – $17°$, а в верхней строке находим значение минут – $42’$. На их пересечении получаем искомое значение:

$\sin17°42’=0,304$.

Для нахождения значения $\sin17°44’$ нужно воспользоваться поправкой в правой части таблицы. В данном случае к значению $42’$, которое есть в таблице, нужно добавить поправку для $2’$, которая равна $0,0006$. Получим:

$\sin17°44’=0,304+0,0006=0,3046$.

Для нахождения значения $\sin17°47’$ также пользуемся поправкой в правой части таблицы, только в этом случае за основу берем значение $\sin17°48’$ и отнимаем поправку для $1’$:

$\sin17°47’=0,3057-0,0003=0,3054$.

При расчете косинусов выполняем аналогичные действия, но градусы смотрим в правом столбце, а минуты – в нижней колонке таблицы. Например, $\cos20°=0,9397$.

Для значений тангенса до $90°$ и котангенса малого угла поправок нет. Например, найдем $\tan 78°37’$, который по таблице равен $4,967$.

Найдем $\cot 2°13’=25,83$.

spravochnick.ru

Тригонометрические формулы. Таблица углов. Формулы приведения

Факт 1.
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:

Факт 2.
\(\bullet\) Знаки синуса, косинуса:

Так как \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны во \(II\) и \(IV\) четвертях.  

Факт 3.
Формулы приведения.
\(\bullet\) Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).
Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.   \(\bullet\) Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\). \[\cos\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\).
Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
Алгоритм применения формул приведения для тангенса и котангенса полностью аналогичен.  

Пример 1. Найти \(\cos \dfrac{13\pi}{3}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\cos \dfrac{13\pi}{3}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12\)

Пример 2. Найти \(\sin \dfrac{17\pi}{6}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\sin \dfrac{17\pi}{6}=\sin \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac12\)

Пример 3. Найти \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{15\pi}4=\dfrac{16\pi-\pi}4=4\pi-\dfrac{\pi}4\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4=\mathrm{tg}\left(4\pi-\dfrac{\pi}4\right)= -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}4=-1\)

Пример 4. Найти \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{19\pi}3=\dfrac{18\pi+\pi}3=6\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3=\mathrm{ctg}\left(6\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}3\)

shkolkovo.net

Справочные таблицы по Тригонометрии

studfiles.net

Таблицы по тригонометрии, величины углов.

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА

SIN² α+COS² α =1 SIN² α=1- COS² α COS² α = 1- SIN² α

tg α ctg α=1

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

SIN (α+ β)= SIN α C OS β + C OS α SIN β

SIN (α- β)= SIN α C OS β — C OS α SIN β

C OS(α+ β)= C OS α C OS β — SIN α SIN β

C OS(α — β)= C OS α C OS β + SIN α SIN β

————————————————————————————————————

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА

SIN 2α= 2 SIN α C OS α C OS 2α = COS² α — SIN² α =1-2 SIN² α

C OS 2α=2COS² α-1

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ

ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ

2COS² α= 1+ COS 2α 2SIN² α= 1 — COS 2α

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

X

+

—

2—

+

—

+

—

180^о +α

180^{о —}α

360^{о —}α

90^о +α

90^о -α

270^о +α

270^о -α

SIN x

-SIN

SIN

-sin

COS

COS

-COS

-COS

COS x

-COS

-COS

COS

-SIN

SIN

SIN

-SIN

tg x

tg

-tg

-tg

-ctg

ctg

-ctg

ctg

Ctg x

ctg

-ctg

-ctg

-tg

tg

-tg

tg

Значения тригонометрических функций некоторых углов

—

—

—

—

0

-90^о

-60^о

-45^о

-30^о

0^о

30^о

45^о

60^о

90^о

180^о

sin

-1

—

—

—

0

1

0

Tg

—-

—

-1

—

0

1

—-

0

0

0^о

30^о

45^о

60^о

90^о

120^о

135^о

150^о

180^о

270^о

cos

1

0

—

—

—

-1

0

ctg

—-

1

0

—

-1

—

—-

0

Решения тригонометрических уравнений

SIN x=а cos x= a

Х=(-1)^к arcsin a +πk , k Є Z Х=±arccos a+ 2πn , n Є Z

SIN x=0 Х=πk , k Є Z cos x= 0 x= π/2+ πn, n Є Z

SIN x=1 Х=π/2+ 2πk , k Є Z cos x=1 x= 2πn, n Є Z

SIN x=-1 Х= -π/2+ 2πk , k Є Z cos x=-1 Х=π+ 2πn, n Є Z

Tgx=a ctgx=a

X=arctg a +πn, n Є Z X=arcctg a +πn, n Є Z

infourok.ru

progmatem.ru

Программирование и математика с PascalABC.Net

Всем привет! Вы находитесь на сайте «программирование и математика», посвященном в первую очередь программированию на Паскале. При изучении программирования многим часто не хватает практических материалов для закрепления теоретических знаний. Ведь что такое теория без практики? По себе лично знаю, сколько времени уходит на поиски нужного сайта, способного дать качественный подсобный материал для начинающих программистов.

В интернете также очень много теории на тему программирования. Но теория – это одна сторона дела, а практика – совсем другое. Подумайте сами: можно ли стать хорошим водителем, изучая только правила дорожного движения? Или хорошим хирургом, слушая только лекции по медицине? Естественно нет. Программирование как раз относится к той категории деятельности, в которой практика занимает 80%, а то и все 90% от всего потраченного на неё времени и труда.

Научиться программированию «одним махом» нельзя, но писать простейшие программы – можно. На странице Паскаль есть серия материалов, которая Вам поможет написать свои, может быть, первые программы на Паскале. Каждый пункт меню в разделе «Паскаль» − это отдельная тема в Паскале, наиболее напоминающая главу из книги, и их желательно читать подряд (но не обязательно). Ведь давно известен ответ на вопрос: «как съесть слона?». Правильный ответ будет: по частям.

Можно задать себе вопрос: «А почему именно Паскаль?». Ведь приложения в большинстве написаны на C++, а в сайтостроении используется Java и PHP. Да потому, что язык программирования Паскаль достаточно прост по отношению к C++, но значительно сложнее других упомянутых языков, что позволяет выработать у начинающих базовые навыки программирования.

Правда, раздел о C++ будет добавлен, но немного позже. А пока на сайте есть множество примеров, решенных на языке Pascal. По своей сути этот раздел – решебник для задачника Абрамяна, который постоянно пополняется новыми решениями.

Ко многим задачам этого раздела дано несколько решений, − иногда похожих, иногда кардинально отличающихся. При этом развивается разносторонний подход к решению проблемы, а умение найти наилучший способ решения конкретной задачи является хорошим показателем понимания сути программирования.

На многих сайтах, которые мне попадались, есть программы на Паскале, но в небольшом количестве, а иногда написанные с алгоритмическими ошибками. Встречаются, правда, на форумах хорошие примеры, но начинающему программисту порой не то что разобраться бывает сложно, но и понять, о чем вообще идет речь (убедился на себе). Поэтому здесь я буду собирать примеры тех программ, которые решаю сам: задачи простые и не очень, скучные и интересные.

Сайт progmatem.ru предназначен в основном для начинающих, а все примеры написаны в интегрированной среде PascalABC.Net. Среда PascalABC.Net − это в первую очередь Object Pascal и поэтому программы, написанные на ней без использования .Net технологий, можно открывать и в любой версии Delphi (с небольшими изменениями). К тому же эта среда распространяется бесплатно и написана специально для изучения программированию на Паскаль. Удачи!

progmatem.ru

Простые задачи по программированию

pas1.ru

Результат запроса: Паскаль абс задачник

Результат запроса: Задачник делфи

Результат запроса: Задачник делфи Задачки в Делфи. Октябрь 14th, 2013 admin. 1) Дан одномерный массив, вычислите среднее. Делфи (Delphi) Нужна помощь в написании программ на Delphi (Делфи)? Не удается