Рубрика: Школьная жизнь

Производная cos(2)^(3)^x

$$\cos^{3^{x}}{\left (2 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим
   u = 3^{x}
   .

2. \frac{d}{d u} \cos^{u}{\left (2 \right )} = \left(\log{\left (- \cos{\left (2 \right )} \right )} + i \pi\right) \cos^{u}{\left (2 \right )}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x} 3^{x}
   :

   1. \frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left (3 \right )}

   В результате последовательности правил:

   3^{x} \left(\log{\left (- \cos{\left (2 \right )} \right )} + i \pi\right) \log{\left (3 \right )} \cos^{3^{x}}{\left (2 \right )}

Ответ:

3^{x} \left(\log{\left (- \cos{\left (2 \right )} \right )} + i \pi\right) \log{\left (3 \right )} \cos^{3^{x}}{\left (2 \right )}

Первая производная

/ x
x 3 /
3 *(cos(2)) *(pi*I + log(-cos(2)))*log(3)

$$3^{x} \left(\log{\left (- \cos{\left (2 \right )} \right )} + i \pi\right) \log{\left (3 \right )} \cos^{3^{x}}{\left (2 \right )}$$

Вторая производная

/ x
x 3 / 2 / x
3 *(cos(2)) *log (3)*1 + 3 *(pi*I + log(-cos(2)))/*(pi*I + log(-cos(2)))

Третья производная

/ x
x 3 / 3 / 2*x 2 x
3 *(cos(2)) *log (3)*(pi*I + log(-cos(2)))*1 + 3 *(pi*I + log(-cos(2))) + 3*3 *(pi*I + log(-cos(2)))/

uchimatchast.ru

Производная cos(2*x^3)^(2)

$$\cos^{2}{\left (2 x^{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим
   u = \cos{\left (2 x^{3} \right )}
   .

2. В силу правила, применим:
   u^{2}
   получим
   2 u

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x} \cos{\left (2 x^{3} \right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x^{3}
      .

   2. Производная косинус есть минус синус:

      \frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = — \sin{\left (u \right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(2 x^{3}\right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x^{3}
            получим
            3 x^{2}

         Таким образом, в результате:
         6 x^{2}

      В результате последовательности правил:

      — 6 x^{2} \sin{\left (2 x^{3} \right )}

   В результате последовательности правил:

   — 12 x^{2} \sin{\left (2 x^{3} \right )} \cos{\left (2 x^{3} \right )}

4. Теперь упростим:

   — 6 x^{2} \sin{\left (4 x^{3} \right )}

Ответ:

— 6 x^{2} \sin{\left (4 x^{3} \right )}

Первая производная

2 / 3 / 3
-12*x *cos2*x /*sin2*x /

$$- 12 x^{2} \sin{\left (2 x^{3} \right )} \cos{\left (2 x^{3} \right )}$$

Вторая производная

/ / 3 / 3 3 2/ 3 3 2/ 3\
24*x* — cos2*x /*sin2*x / — 3*x *cos 2*x / + 3*x *sin 2*x //

Третья производная

/ / 3 / 3 3 2/ 3 3 2/ 3 6 / 3 / 3\
24* — cos2*x /*sin2*x / — 18*x *cos 2*x / + 18*x *sin 2*x / + 72*x *cos2*x /*sin2*x //

uchimatchast.ru

Найти производную y’ = f'(x) = cos(2*x^3-3*x+1) (косинус от (2 умножить на х в кубе минус 3 умножить на х плюс 1))

Решение

$$\cos{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )}$$

[LaTeX]

1. Заменим .

2. Производная косинус есть минус синус:

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. дифференцируем почленно:

      1. дифференцируем почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: получим

               Таким образом, в результате:

            Таким образом, в результате:

         В результате:

      2. Производная постоянной равна нулю.

      В результате:

   В результате последовательности правил:

4. Теперь упростим:

Ответ:

[LaTeX]

 /        2\    /   3          \
-\-3 + 6*x /*sin\2*x  - 3*x + 1/

$$- \left(6 x^{2} — 3\right) \sin{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )}$$

[LaTeX]

   /             2                                              \
   |  /        2\     /             3\          /             3\|
-3*\3*\-1 + 2*x / *cos\1 - 3*x + 2*x / + 4*x*sin\1 - 3*x + 2*x //

$$- 3 \left(4 x \sin{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )} + 3 \left(2 x^{2} — 1\right)^{2} \cos{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )}\right)$$

[LaTeX]

  /                                       3                                                           \
  |       /             3\     /        2\     /             3\        /        2\    /             3\|
3*\- 4*sin\1 - 3*x + 2*x / + 9*\-1 + 2*x / *sin\1 - 3*x + 2*x / - 36*x*\-1 + 2*x /*cos\1 - 3*x + 2*x //

$$3 \left(- 36 x \left(2 x^{2} — 1\right) \cos{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )} + 9 \left(2 x^{2} — 1\right)^{3} \sin{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )} — 4 \sin{\left (2 x^{3} — 3 x + 1 \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Производная 1/((cos(x))^2)

Подробное решение

1. Заменим
   u = \cos^{2}{\left (x \right )}
   .

2. В силу правила, применим:
   \frac{1}{u}
   получим
   — \frac{1}{u^{2}}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x} \cos^{2}{\left (x \right )}
   :

   1. Заменим
      u = \cos{\left (x \right )}
      .

   2. В силу правила, применим:
      u^{2}
      получим
      2 u

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}
      :

      1. Производная косинус есть минус синус:

         \frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = — \sin{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      — 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

   В результате последовательности правил:

   \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}

Ответ:

\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}

Первая производная

2*sin(x)
—————
2
cos(x)*cos (x)

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/ 2
| 3*sin (x)|
2*|1 + ———|
| 2 |
cos (x) /
——————
2
cos (x)

$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

/ 2
| 3*sin (x)|
8*|2 + ———|*sin(x)
| 2 |
cos (x) /
————————
3
cos (x)

Упростить

uchimatchast.ru

Производная (cos(6*x))^3

$$\cos^{3}{\left (6 x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим
   u = \cos{\left (6 x \right )}
   .

2. В силу правила, применим:
   u^{3}
   получим
   3 u^{2}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x} \cos{\left (6 x \right )}
   :

   1. Заменим
      u = 6 x
      .

   2. Производная косинус есть минус синус:

      \frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = — \sin{\left (u \right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(6 x\right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         6

      В результате последовательности правил:

      — 6 \sin{\left (6 x \right )}

   В результате последовательности правил:

   — 18 \sin{\left (6 x \right )} \cos^{2}{\left (6 x \right )}

Ответ:

— 18 \sin{\left (6 x \right )} \cos^{2}{\left (6 x \right )}

Первая производная

$$- 18 \sin{\left (6 x \right )} \cos^{2}{\left (6 x \right )}$$

Вторая производная

/ 2 2
108* — cos (6*x) + 2*sin (6*x)/*cos(6*x)

$$108 \left(2 \sin^{2}{\left (6 x \right )} — \cos^{2}{\left (6 x \right )}\right) \cos{\left (6 x \right )}$$

/ 2 2
648* — 2*sin (6*x) + 7*cos (6*x)/*sin(6*x)

$$648 \left(- 2 \sin^{2}{\left (6 x \right )} + 7 \cos^{2}{\left (6 x \right )}\right) \sin{\left (6 x \right )}$$

uchimatchast.ru

Производная sin(2*x)/cos(2*x)

$$\frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   \frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

   f{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x \right )}
   и
   g{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x
      .

   2. Производная синуса есть косинус:

      \frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(2 x\right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         2

      В результате последовательности правил:

      2 \cos{\left (2 x \right )}

   Чтобы найти
   \frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x
      .

   2. Производная косинус есть минус синус:

      \frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = — \sin{\left (u \right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(2 x\right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         2

      В результате последовательности правил:

      — 2 \sin{\left (2 x \right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   \frac{1}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right)

2. Теперь упростим:

   \frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}

Ответ:

\frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}

Первая производная

2
2*sin (2*x)
2 + ————
2
cos (2*x)

$$\frac{2 \sin^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} + 2$$

Вторая производная

/ 2
| sin (2*x)|
8*|1 + ———|*sin(2*x)
| 2 |
cos (2*x)/
—————————
cos(2*x)

$$\frac{8 \sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

/ 4 2
| 3*sin (2*x) 4*sin (2*x)|
16*|1 + ———— + ————|
| 4 2 |
cos (2*x) cos (2*x) /

uchimatchast.ru

Производная (5*sin(3*x))/(6*cos(5*x))

$$\frac{5 \sin{\left (3 x \right )}}{6 \cos{\left (5 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   \frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

   f{\left (x \right )} = 5 \sin{\left (3 x \right )}
   и
   g{\left (x \right )} = 6 \cos{\left (5 x \right )}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
   :

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = 3 x
         .

      2. Производная синуса есть косинус:

         \frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         \frac{d}{d x}\left(3 x\right)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            3

         В результате последовательности правил:

         3 \cos{\left (3 x \right )}

      Таким образом, в результате:
      15 \cos{\left (3 x \right )}

   Чтобы найти
   \frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
   :

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = 5 x
         .

      2. Производная косинус есть минус синус:

         \frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = — \sin{\left (u \right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         \frac{d}{d x}\left(5 x\right)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            5

         В результате последовательности правил:

         — 5 \sin{\left (5 x \right )}

      Таким образом, в результате:
      — 30 \sin{\left (5 x \right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   \frac{1}{36 \cos^{2}{\left (5 x \right )}} \left(150 \sin{\left (3 x \right )} \sin{\left (5 x \right )} + 90 \cos{\left (3 x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right)

2. Теперь упростим:

   \frac{1}{6 \cos^{2}{\left (5 x \right )}} \left(20 \cos{\left (2 x \right )} — 5 \cos{\left (8 x \right )}\right)

Ответ:

\frac{1}{6 \cos^{2}{\left (5 x \right )}} \left(20 \cos{\left (2 x \right )} — 5 \cos{\left (8 x \right )}\right)

Первая производная

1 25*sin(3*x)*sin(5*x)
15*———-*cos(3*x) + ———————
6*cos(5*x) 2
6*cos (5*x)

$$\frac{25 \sin{\left (3 x \right )} \sin{\left (5 x \right )}}{6 \cos^{2}{\left (5 x \right )}} + 15 \cos{\left (3 x \right )} \frac{1}{6 \cos{\left (5 x \right )}}$$

Вторая производная

/ 2
|8*sin(3*x) 5*cos(3*x)*sin(5*x) 25*sin (5*x)*sin(3*x)|
5*|———- + ——————- + ———————|
| 3 cos(5*x) 2 |
3*cos (5*x) /
————————————————————
cos(5*x)

Третья производная

/ 2 3
| 75*sin (5*x)*cos(3*x) 125*sin (5*x)*sin(3*x) 245*sin(3*x)*sin(5*x)|
5*|33*cos(3*x) + ——————— + ———————- + ———————|
| 2 3 3*cos(5*x) |
cos (5*x) cos (5*x) /
—————————————————————————————-
cos(5*x)

uchimatchast.ru

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Задача 1. Дан треугольник АВС: А(2,1), В(-1,3), С(-4,1). Найти:

уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

Решение. Сделаем чертеж.

                             Y                                                              

                                   D                                                       

                       B                                                                   

                                   3                                                        

                                        E                                                  

C                                1                A                                      

    -4                -1   0                   2                  X                    

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

.

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

.

2. Найдем длину высоты АD. Используем формулу расстояния от точки до прямой:

.

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

.

3. Составим уравнение высоты АD. Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k_BC=2/3. Из условия перпендикулярности k_AD=-1/k_BC=-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

 Точка Е (1/2,2).

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении  от прямой ВС к прямой АВ. k_BC=2/3, k_AB=-2/3.

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB:  2x+3y=7,

BC:  2x-3y=-11,

AC:  y=1.

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2x+3y=-2+6=4<7,

2x-3y=-2-6=-8>-11,

y=2>1.

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. .  Так, как = 1,25, то  = 1,25, но , тогда  = 1,5625или .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b.

Решая эту систему, находим = 16 и  = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы  и центр окружности .

Решение. Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: ;

уравнение окружности: .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты   С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

.

Получим , или .

lms2.sseu.ru

Пример 1. Аналитическая геометрия на плоскости

А(1;7), В(-3;-1), С(11;-3)

Решение

1)      Уравнение прямой АВ:

4(y-7)=8(x-1)

8x-4y+20=0

2x-y+5=0– общее уравнение прямой АВ

2) СНАВ =>

2x-y+5=0=>  и

Уравнение высоты CH:

y+3= (x-11)

2у+6= -х+11

x+2y-5=0 – общее уравнение высоты CH.

Найдем длину высоты CH как расстояние от точки С до прямой АВ, общее уравнение которой Ax+By+C=0,  А=2, В=-1, С=5

CH=

CH=

1)      Найдем координаты точки М как середины отрезка ВС:

,

М()

Уравнение медианы АМ

3(y-7)= -9(x-1)

9x+3y-30=0

3х+y-10=0-  общее уравнение медианы АМ

2)      Найдем точку пересечения N медианы АМ и высоты CH:

N(3;1)

5) Так как прямая параллельна АВ, то её угловой коэффициент равен . Найдем её уравнение по формуле:

y+3=2 (x-11)

2x-y-25=0 – общее уравнение прямой, параллельной прямой АВ и проходящей через точку С.

3)      Косинус внутреннего угла при вершине А:

(-3-1;-1-7)=(-4;-8)

(11-1;-3-7)=(10;-10)

Косинус внешнего угла при вершине С:

(-10,10)

(-3-11;-1+3)=(-14;2)

Ответ:

1) 2x-y+5=0

2) x+2y-5=0,  CH=

3) 3х+y-10=0

4) 2x-y-25=0

5) ,

primer.by

Математика 1 (6)

8

Даны вершины треугольника. Найти:

1. длину стороны ВС;

2. уравнение высоты ВС;

3. уравнение высоты, проведённой из вершины А;

4. длину высоты, проведённой из вершины А;

5. угол В.

Сделать чертёж.

Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

РЕШЕНИЕ

1. Длину стороны ВС находим по формуле . По условию имеем В(4;-2), С(7;2).

2. Найдём уравнение стороны ВС. Найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона ВС. Используем уравнение прямой, проходящей через две точки , полагая

3. Найдём уравнение высоты, проведённой из вершины А. При составлении уравнения прямой, на которой лежит высота треугольника, воспользуемся формулой и условием перпендикулярности двух прямых:

Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим уравнение стороны ВС относительно у:

Следовательно, высота, проведённая из точки А, имеет угловой коэффициент

Тогда, уравнение высоты, опущенной из вершины А(-8;3) на сторону ВС:

4. Найдём длину высоты, проведённой из вершины А. Она равна расстоянию от точки А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением . По формулевычисляем расстояние от точки А до прямой ВС, полагая

5. Найдём угол В. Угол В равен углу между прямыми ВС и АВ и может быть найден с помощью формулы . Угловой коэффициент прямо ВС известен и равен. Найдём угловой коэффициент прямой АВ по формуле:

Тогда получаем,

И угол равен

Выполним чертёж. В прямоугольной декартовой системе координат хОу строим исходные точки и получаем треугольник АВС. Затем из вершины А опустим перпендикуляр на сторону ВС, получим АК.

18

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1. координаты вектора и длину ребра;

2. угол между рёбрами и;

3. площадь грани ;

4. объём пирамиды;

5. уравнение плоскости ;

6. уравнение прямой ;

7. угол между ребром и гранью;

8. уравнение высоты, опущенной из вершины на грань;

Сделать чертёж.

Дано: А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1), А₄(2;3;7).

РЕШЕНИЕ

1. Вектор равен

Длину ребра можно найти как расстояние между двумя точкамии, оно равно

Получаем

2. Угол между рёбрами инайдём как угол между векторамии.

Вектор

Таким образом, имеем два вектора и, угол между ними найдём по формуле:

Скалярное произведение двух векторов в числителе дроби находили как сумму произведений одноимённых координат (проекций).

3. Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах. И площадь треугольникаможно вычислить через векторное произведение

Координаты вектора или

Векторное произведение вычислим через определитель 3-го порядка, разложив его по элементам первой строки:

Модуль векторного произведения

4. Объём треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄ можно рассматривать как одну шестую часть объёма параллелепипеда, построенного на векторах,икак на рёбрах:

Смешанное произведение трёх векторов равно

5. Уравнение плоскости имеет вид

или для нашей задачи

Разложим определитель по элементам первой строки:

6. Уравнения прямой найдём в канонической форме, для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точкии:

,

7. Углом ψ между ребром и граньюбудет острый угол между прямойи её проекцией на плоскость. Для нахождения угла ψ воспользуемся формулой

Канонические уравнения прямой получим как:

Отсюда l=5;m=1;n=-5, гдеl,m,n– координаты направляющего вектора прямой:

;

Уравнение плоскости было получено в пункте 5:

Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты нормального вектора плоскости :

Тогда получаем

8. Уравнения высоты, опущенной из вершины на грань.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку , имеют вид, гдеl,m,n– координаты направляющего вектора прямой.

Так как высота перпендикулярна плоскости , то из условия перпендикулярности прямой и плоскостикоординаты направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости можно заменить координатами нормального вектора плоскостиl=A=5;m=B=7;n=C=-4.

Окончательно получим

Выполним чертёж пирамиды как пересечения плоскостей её граней:

Грань А₁А₂А₄:

Грань А₁А₂А₃:

Грань А₁А₃А₄:

Грань А₂А₃А₄:

28

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности

РЕШЕНИЕ

В системе координат хОу строим ось ординат х=0 и окружность

Пусть точка М(х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляры на ось ординат и на окружность.

Тогда расстояние от произвольной точки М(х; у) до оси ординат – абсцисса точки М(х; у), а расстояние от точки М(х; у) до окружности. Приравнивая эти расстояния и снимая знак модуля, получаем

Получили уравнение параболы, строим верхнюю часть окружности и параболы, так как чертёж симметричный:

studfiles.net

как найти уравнение высоты треугольника,зная координаты всех его вершин?:)

1. Рассмотрим треугольник ABC 2. Рассмотрим вектор BC(Xc-Xb;Yc-Ya) 3. На векторе возьмем точку D так, что вектор AD(Xd-Xa;Yd-Ya) будет перпендикулярен вектору BC(Xc-Xb;Yc-Ya) 4. Свойство: их скалярное произведение равно нулю =&gt; (Xc-Xb)*(Xd-Xa)+(Yc-Ya)*(Yc-Ya)=0 Здесь неизвестные только Xd и Yd. Решив данное уравнение получишь иравнение высоты, опущенной на BC. Аналогично и для других сторон треугольника. При 3-х координатной системе добавится только Zd. Удачи!

найти длины сторон и углы, дальше через синусы косинусы

взять две точки, найти уравнение прямой, затем изменить коэфицент на обратный и с противоположным знаком. т. е. если было k, то будет -1/k, и подставить координаты 3ей точки

touch.otvet.mail.ru

Уравнение — высота — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Уравнение — высота

Cтраница 1

Уравнение высоты BD составим по точке и угловому коэффициенту АС.  [1]

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и вычислить ее длину.  [2]

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и вычислит.  [3]

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В.  [4]

Составить уравнение высоты, опущенной:: першины А на сторону ВС.  [5]

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.  [6]

Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.  [7]

Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из точки В на сторону АС, необходимо знать угловой коэффициент этой высоты.  [8]

Рассчитанные по этому уравнению высоты газожидкостного слоя на тарелках моделей-спутников приемлемо совпадают с экспериментальными значениями только при низких плотностях орошения и скоростях газа. При плотности орошения выше 40000 кг / ( м2 — ч) и скорости газа больше 1 5 м / с расчетные значения высоты газожидкостного слоя в 2 — 3 раза выше экспериментальных.  [9]

В треугольнике ABC даны уравнения высоты AN: 4 — 50 — 3 0, высоты BN: х 4 — 0 — 1 0 и стороны АВ: 4 30 — 1 т О, Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.  [10]

Требуется: 1) составить уравнения высот; 2) убедиться в том, что все высоты пересекаются в одной точке.  [11]

В настоящей работе делается попытка вывода уравнения высоты, эквивалентной единице переноса, при ректификации в спиральном вращающемся канале при следующих условиях его работы: с отбором дистиллята, турбулентном течении пара при ректификации смесей углеводородных газов.  [12]

Кинетические свойства веществ определяются с помощью уравнения высоты, эквивалентной теоретической тарелке.  [13]

Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.  [14]

В, равный -: -, написать уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Экономика предприятия Тесты с ответами Тема 5-6

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

Тема 5

В кругообороте оборотных средств не предусмотрена стадия …

реализации

снабжения

производства

+складская

В состав оборотных средств предприятия входят …

только производственные запасы

незавершенное производство, готовая продукция на складе

+оборотные фонды и фонды обращения

запасы материалов, запасных частей, топлива, готовой продукции на складе

В состав оборотных производственных фондов предприятия входят материально-вещественные элементы:

готовая продукция, денежные средства в кассе, на расчетном счету предприятия

прибыль предприятия, задолженность поставщикам

+производственные запасы сырья, материалов, полуфабрикатов, покупных изделий, запасных частей, топлива, незавершенное производство, расходы будущих периодов

станки, агрегаты

В состав оборотных средств предприятия НЕ входят (ит):

расходы будущих периодов

производственные запасы

+производственный и хозяйственный инвентарь

готовая продукция на складах предприятия

Длительность финансового цикла сокращает увеличение длительности …

операционного цикла

технологического цикла

+оборота кредиторской задолженности

оборота дебиторской задолженности

Задолженность покупателей за отгруженную продукцию перед предприятием относится к…

+дебиторской задолженности

внеоборотным активам

кредиторской задолженности

собственному капиталу

Запас материальных ценностей, который создается на период разрыва между сроком грузооборота и документооборота (на время нахождения материалов в пути после оплаты расчетных документов), представляет собой …

сезонный запас

+транспортный запас

текущий запас

К ненормируемым оборотным средствам относят…

готовую продукцию

незавершенное производство

+дебиторская задолженность

производственные запасы

Коэффициент загрузки средств в обороте характеризует отношение средних остатков оборотных средств к объему __________ продукции.

+реализованной

товарной

чистой

произведенной

Кругооборот оборотных средств завершается…

продукцией на складе предприятия

приемкой готовой продукции отк

отгрузкой продукции потребителю

+зачислением выручки на счет предприятия

Запас материалов, который создается для гарантии непрерывного производства в случаях нарушения условий и сроков поставок материалов поставщиками, транспортом или отгрузки некомплектных партий, называется …

транспортным

текущим

+страховым

Материалоемкость изготавливаемой продукции – это показатель…

+экономический

технологичности

назначения

эргономичности

надежности

На величину операционного цикла НЕ оказывает влияние периода оборота…

+кредиторской задолженности

запасов готовой продукции

запасов сырья и материалов

запасов незавершенного производства

Нормативный производственный запас предприятия, создаваемый на случай сбоя в поставках, называется __________ запасом.

транспортным

текущим

+страховым

технологическим

Период времени от запуска оборотных средств в производство до реализации готовой продукции и получения выручки, называется…

процессом оборота оборотных средств

коэффициент оборачиваемости

+длительность оборота оборотных средств

кругооборотом оборотных средств

Произведение однодневного выпуска готовой продукции по производственной себестоимости на норму запаса готовой продукции представляет собой…

норматив по производственным запасам

норму незавершенного производства

+норматив по готовой продукции

Под структурой оборотных средств понимается …

сегментация оборотных средств

натуральный состав оборотных средств

+соотношение их отдельных элементов во всей совокупности оборотных средств

стоимостное выражение элементов оборотных средств

Уменьшение длительности производственного цикла единицы продукции приводит к непосредственному снижению запасов…

материалов и комплектующих изделий

запчастей для ремонта оборудования

+незавершённого производства

готовой продукции на складе

Тема 6

В зависимости от роли продукции производимой в процессе производства персонал предприятия подразделяется на …

персонал основный деятельности и непромышленных подразделений

рабочих и служащих

списочный и явочный

+рабочих основных и вспомогательных цехов

Затраты труда основных производственных рабочих включает расчет _______ трудоемкости.

управленческой

полной

производственной

+технологической

Вознаграждение за труд в зависимости от квалификации работника, сложности, количества, качества и условий выполняемой работы, а также выплаты компенсационного и стимулирующего характера называется:

минимальная заработная плата

тарифная оплата труда

+заработная плата

прожиточный минимум

Если численность работающих не изменилась, а объём товарной продукции вырос на 10%, то выработка на одного работающего…

уменьшилась на 15%

увеличилась на 15%

+увеличилась на 10%

не изменилась

уменьшилась на 10%

В зависимости от отраслевой принадлежности персонал предприятия подразделяется на…

руководителей и специалистов

основных и вспомогательных рабочих

+персонал основной деятельности и непромышленных подразделений

рабочих и служащих

К фонду дополнительной заработной платы НЕ относится…

оплата отпусков

доплата за вредность

+доплата по районному коэффициенту

оплата учебных отпусков

Количество продукции (объем работ), которое должно выпускаться в единицу времени — это…

норматив труда

+норма выработки

норма времени

норма обслуживания

Количество товаров и услуг, которые можно приобрести за номинальную заработную плату определяет ___________ заработную плату работника.

индексированную

фактическую

+реальную

прогрессивную

Количество человеко-часов, затраченных на выпуск единицы продукции, называется …

+трудоемкостью

выработкой

комплексной выработкой

производительностью труда

На предприятиях, производящих разнородную продукцию используется ____________ метод измерения производительности труда.

коллективный

фактический

+стоимостной

натуральный

Показатель, отражающий объем реализованной продукции, приходящейся на одного среднесписочного работника промышленно-производственного персонала, называется…

фондовооруженностью

+выработкой

трудозатратами

трудоемкостью

Показатель, характеризующий эффективность использования трудовых ресурсов на предприятии, называется:

рентабельность ресурсов

фондорентабельность

+производительность труда

фондовооруженность труда

Объем заработной платы вспомогательных рабочих при косвенно-сдельной системе оплаты труда зависит от объема выпуска продукции в _________ производстве.

обслуживающем

+основном

вспомогательном

инструментальном

Оплата труда руководителей, специалистов и служащих осуществляется в соответствии с…

повременной системой оплаты труда

бестарифной системой оплаты труда

повременно-премиальной системой оплаты труда

+установленным им по штатному расписанию должностным окладом и действующей системой премирования

При сдельной системе оплаты труда заработная плата определяется…

сдельной расценкой и тарифной ставкой

тарифной ставкой, отработанным работниками временем

+сдельной расценкой и объемом выполненных работ

сдельной расценкой и отработанным работниками временем

Работники предприятия, осуществляющие подготовку и оформление документов, учет и контроль, хозяйственное обслуживание и делопроизводство относятся к категории…

руководителей низового звена

рабочих

руководителей

+служащих

Сумма материально- денежных ценностей, полученная работником за определенный период времени за выполненную работу в соответствии с качеством и количеством затраченного им труда, называется…

реальной заработной платой

сдельной расценкой

тарифной ставкой

+номинальной заработной платой

Разделение работников на основных и вспомогательных предполагает группа промышленно-производственного персонала:

инженерно-технических работников

работников снабженческо-сбытовых служб

+рабочих

работников финансово-расчетных служб

Сдельная заработная плата НЕ зависит от …

разряда рабочего

объема выполненных работ

сдельной расценки

+объема отработанного времени

Стимулирование заинтересованности в повышении квалификации труда создается при помощи:

+тарифной системы

сдельной системы оплаты труда

косвенной сдельной системы оплаты труда

нормирования труда

Структуру общего фонда оплаты труда составляет (ют):

оплата за работу и доплаты

повременная и сдельная заработная плата

+основная и дополнительная заработная плата

тарифный фонд и компенсации

test-for-you.ru

Тест. Оборотные средства предприятия — Info Stadiya

Формулы школьного курса физики для подготовки к экзамену

www.metod-kopilka.ru

Термодинамика — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Теплоемкость вещества

К оглавлению…

Если в результате теплообмена телу передается некоторое количество теплоты, то внутренняя энергия тела и его температура изменяются. Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c. Тогда количество теплоты (энергии) необходимое для изменения температуры некоторого тела массой m можно рассчитать по формуле:

При этом в этой формуле абсолютно не важно в каких единицах подставлена температура, так как нам важно не ее абсолютное значение, а изменение. Единица измерения удельной теплоемкости вещества: Дж/(кг∙К).

• Если t₂ > t₁, то Q > 0 – тело нагревается (получает тепло).
• Если t₂ < t₁, то Q < 0 – тело охлаждается (отдает тепло).

Произведение массы тела на удельную теплоемкость вещества, из которого оно изготовлено называется теплоемкостью тела (т.е. просто теплоемкостью без слова «удельная»):

Если в условии задачи сказано про теплоемкость тела, то количество теплоты, отданное или полученное этим телом, можно рассчитать по формуле:

Итак, запомните:

• Удельная теплоемкость обозначается маленькой буквой с, и является характеристикой вещества.
• (Просто) Теплоемкость обозначается большой буквой С, и является характеристикой данного тела.

Напомним, что количество теплоты Q отданное каким–либо источником (нагревателем) рассчитывается по формуле: Q = Pt, где: P – мощность источника, t – время, в течение которого источник отдавал тепло. При решении задач не путайте время работа источника и температуру.

Фазовые превращения

К оглавлению…

Фазой вещества называется однородная система, например, твердое тело, физические свойства которой во всех точках одинаковые. Между различными фазами вещества при обычных условиях существует четко выраженная граница (поверхность) раздела. При изменении внешних условий (температуры, давления, электрических и магнитных полей) вещество может переходить из одной фазы в другую. Такие процессы называются фазовыми превращениями (переходами).

Процесс фазового перехода из жидкого состояния в газообразное (парообразование) или из твердого в жидкое (плавление) может происходить только при сообщении веществу некоторого количества теплоты. Обратные фазовые переходы (конденсация и кристаллизация, или отвердевание) сопровождаются выделением такого же количества теплоты.

Количество теплоты, поступающее в систему или выделяющееся из нее, изменяет ее внутреннюю энергию. Это означает, что внутренняя энергия пара при 100°С больше, чем жидкости при той же температуре. Указанные фазовые переходы идут при постоянных температурах, которые называются соответственно температурой кипения и температурой плавления. Количество теплоты, необходимое для превращения жидкости в пар или выделяемое паром при конденсации, называется теплотой парообразования:

где: r – удельная теплота парообразования. Единица измерения [r] = 1 Дж/кг. Физический смысл удельной теплоты парообразования: она равна количеству теплоты, необходимому для превращения в пар 1 кг жидкости, находящейся при температуре кипения. Превращение жидкости в пар не требует доведение жидкости до кипения. Вода может превратиться в пар и при комнатной температуре. Такой процесс называется испарением.

Количество теплоты, необходимое для плавления тела или выделяемое при кристаллизации (отвердевании), называется теплотой плавления:

где: λ – удельная теплота плавления. Единица измерения [λ] = 1 Дж/кг. Физический смысл удельной теплоты плавления: теплота, необходимая для плавления 1 кг вещества, находящегося при температуре плавления. Удельные теплоты парообразования и плавления называются также скрытыми теплотами, поскольку при фазовых переходах температура системы не меняется, несмотря на то, что теплота к ней подводится.

Обратите внимание: что во время фазовых переходов температура системы не изменяется. А также на то, что сами фазовые переходы начинаются только после достижения необходимой температуры.

Наиболее распространенным источником энергии для нужд человека является топливо – вещество, при сгорании которого выделяется некоторое количество теплоты. Количество теплоты, выделяемое при сгорании топлива массой m, называется теплотой сгорания топлива:

где: q – удельная теплота сгорания (теплотворная способность, калорийность) топлива. Единица измерения [q] = 1 Дж/кг. Физический смысл удельной теплоты сгорания топлива: величина, показывающая, какое количество теплоты выделяется при полном сгорании 1 кг топлива.

Уравнение теплового баланса

К оглавлению…

В соответствии с законом сохранения энергии для замкнутой системы тел, в которой не происходит никаких превращений энергии, кроме теплообмена, количество теплоты, отдаваемое более нагретыми телами, равно количеству теплоты, получаемому более холодными. Теплообмен прекращается в состоянии термодинамического равновесия, т.е. когда температура всех тел системы становится одинаковой. Сформулируем уравнение теплового баланса: в замкнутой системе тел алгебраическая сумма количеств теплоты, отданных и полученных всеми телами, участвующими в теплообмене, равна нулю:

При использовании такой формы записи уравнения теплового баланса, чтобы не сделать ошибку, запомните: когда Вы будете считать теплоту при нагревании или охлаждении тела, нужно из большей температуры вычитать меньшую, чтобы теплота всегда была положительной. Если все теплоты записывать с учетом знака, где «+» соответствует получению энергии телом, а «–» выделению, то уравнение теплового баланса можно записать в виде:

При использовании такой формы записи, нужно всегда от конечной температуры отнимать начальную. При таком подходе знак их разности сам «покажет» отдаёт тело теплоту или получает.

Запомните, что тело поглощает теплоту если происходит:

• Нагревание,
• Плавление,
• Парообразование.

Тело отдает теплоту если происходит:

• Охлаждение,
• Кристаллизация,
• Конденсация,
• Сгорание топлива.

Именно в этой теме, имеет смысл не решать задачи в общем виде, а сразу подставлять числа.

Взаимные превращения механической и внутренней энергии

При неупругих ударах механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел, то есть тела могут нагреваться и плавится. В общем случае изменение механической энергии равно выделяющемуся количеству теплоты.

Работа идеального газа

К оглавлению…

Термодинамика – это наука о тепловых явлениях. В противоположность молекулярно–кинетической теории, которая делает выводы на основе представлений о молекулярном строении вещества, термодинамика исходит из наиболее общих закономерностей тепловых процессов и свойств макроскопических систем. Выводы термодинамики опираются на совокупность опытных фактов и не зависят от наших знаний о внутреннем устройстве вещества, хотя в целом ряде случаев термодинамика использует молекулярно–кинетические модели для иллюстрации своих выводов.

Термодинамика рассматривает изолированные системы тел, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что в таких системах прекратились все наблюдаемые макроскопические процессы. Важным свойством термодинамически равновесной системы является выравнивание температуры всех ее частей.

Если термодинамическая система была подвержена внешнему воздействию, то в конечном итоге она перейдет в другое равновесное состояние. Такой переход называется термодинамическим процессом. Если процесс протекает достаточно медленно (в пределе бесконечно медленно), то система в каждый момент времени оказывается близкой к равновесному состоянию. Процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний, называются квазистатическими (или квазистационарными, еще одно название таких процессов — равновесные).

В изобарном процессе работу идеального газа можно рассчитывать по формулам:

Подчеркнем еще раз: работу газа по расширению можно считать по этим формулам только если давление постоянно. Согласно данной формуле, при расширении газ совершает положительную работу, а при сжатии – отрицательную (т.е. газ сопротивляется сжатию и над ним нужно совершать работу чтобы оно состоялось).

Если давление нельзя считать постоянным, то работу газа находят, как площадь фигуры под графиком в координатах (p, V). Очевидно, что в изохорном процессе работа газа равна нулю.

Ввиду того, что работа газа численно равна площади под графиком, становится понятно, что величина работы зависит от того, какой именно процесс происходил, ведь у каждого процесса свой график, а под ним своя площадь. Таким образом, работа зависит не только и не столько от начального и конечного состояний газа, сколько от процесса, с помощью которого конечное состояние было достигнуто.

Внутренняя энергия

К оглавлению…

Одним из важнейших понятий термодинамики является внутренняя энергия тела. Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри самих тел. С точки зрения молекулярно–кинетической теории внутренняя энергия вещества складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. В частности, внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа рассчитывается по формулам:

Таким образом, внутренняя энергия U тела однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние тела. Она не зависит от того, каким путем было реализовано данное состояние. Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния. Это значит, что изменение внутренней энергии не зависит от того, как система была переведена из одного состояния в другое (а зависит лишь от характеристик первоначального и конечного состояний) и всегда, в любых процессах для одноатомного идеального газа определяется выражением:

Обратите внимание: эта формула верна только для одноатомного газа, зато она применима ко всем процессам (а не только к изобарному, как формула для работы). Как видно из формулы, если температура не изменялась, то внутренняя энергия остаётся постоянной.

Первый закон термодинамики

К оглавлению…

Если система обменивается теплом с окружающими телами и совершает работу (положительную или отрицательную), то изменяется состояние системы, то есть изменяются ее макроскопические параметры (температура, давление, объем). Так как внутренняя энергия U однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние системы, то отсюда следует, что процессы теплообмена и совершения работы сопровождаются изменением ΔU внутренней энергии системы.

Первый закон (начало) термодинамики является обобщением закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы. Он формулируется следующим образом: Изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и работой A, совершенной системой над внешними телами. Однако, соотношение, выражающее первый закон термодинамики, чаще записывают в немного другой форме:

Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами (такая формулировка более удобна и понятна, в таком виде совсем очевидно, что это просто закон сохранения энергии).

Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о невозможности создания машины, способной совершать полезную работу без потребления энергии извне и без каких–либо изменений внутри самой машины. Такая гипотетическая машина получила название вечного двигателя (perpetuum mobile) первого рода. Многочисленные попытки создать такую машину неизменно заканчивались провалом. Любая машина может совершать положительную работу A над внешними телами только за счет получения некоторого количества теплоты Q от окружающих тел или уменьшения ΔU своей внутренней энергии.

Адиабатным (адиабатическим) называют процесс, в ходе которого система не обменивается теплотой с окружающей средой. При адиабатном процессе Q = 0. Поэтому: ΔU + A = 0, то есть: A = – ΔU. Газ совершает работу за счет уменьшения собственной внутренней энергии.

Первое начало термодинамики и изопроцессы

К оглавлению…

Для различных изопроцессов можно выписать формулы по которым могут быть рассчитаны полученная теплотаQ, изменение внутренней энергии ΔU и работа газа A. Изохорный процесс (V = const):

Изобарный процесс (p = const):

Изотермический процесс (T = const):

Адиабатный процесс (Q = 0):

Если в задаче явно не сказано, что газ одноатомный (или не назван один из инертных газов, например, гелий), то применять формулы из этого раздела нельзя.

Циклы. Тепловые машины

К оглавлению…

Тепловым двигателем называется устройство, способное превращать полученное количество теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества (пары бензина, воздух, водяной пар). Рабочее тело получает (или отдает) тепловую энергию в процессе теплообмена с телами, имеющими большой запас внутренней энергии. Эти тела называются тепловыми резервуарами.

Реально существующие тепловые двигатели (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания и т.д.) работают циклически. Процесс теплопередачи и преобразования полученного количества теплоты в работу периодически повторяется. Для этого рабочее тело должно совершать круговой процесс или термодинамический цикл, при котором периодически восстанавливается исходное состояние.

Общее свойство всех круговых процессов состоит в том, что их невозможно провести, приводя рабочее тело в тепловой контакт только с одним тепловым резервуаром. Их нужно, по крайней мере, два. Тепловой резервуар с более высокой температурой называют нагревателем, а с более низкой – холодильником. Совершая круговой процесс, рабочее тело получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q₁ > 0 и отдает холодильнику количество теплоты Q₂ < 0.

КПД тепловой машины может быть рассчитан по формуле:

где: Q₁ – количество теплоты полученное рабочим телом за один цикл от нагревателя, Q₂ – количество теплоты переданное рабочим телом за один цикл холодильнику. Работа совершенная тепловой машиной за один цикл:

Коэффициент полезного действия указывает, какая часть тепловой энергии, полученной рабочим телом от «горячего» теплового резервуара, превратилась в полезную работу. Остальная часть (1 – η) была «бесполезно» передана холодильнику. Коэффициент полезного действия тепловой машины всегда меньше единицы (η < 1).

Наибольший КПД при заданных температурах нагревателя T₁ и холодильника T₂, достигается если тепловая машина работает по циклу Карно. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. КПД цикла Карно равен:

Второе начало (второй закон) термодинамики

К оглавлению…

Первый закон термодинамики не устанавливает направление протекания тепловых процессов. Однако, как показывает опыт, многие тепловые процессы могут протекать только в одном направлении. Такие процессы называются необратимыми. Например, при тепловом контакте двух тел с разными температурами тепловой поток всегда направлен от более теплого тела к более холодному. Никогда не наблюдается самопроизвольный процесс передачи тепла от тела с низкой температурой к телу с более высокой температурой. Следовательно, процесс теплообмена при конечной разности температур является необратимым.

Обратимыми процессами называют процессы перехода системы из одного равновесного состояния в другое, которые можно провести в обратном направлении через ту же последовательность промежуточных равновесных состояний. При этом сама система и окружающие тела возвращаются к исходному состоянию.

Необратимыми являются процессы превращения механической работы во внутреннюю энергию тела из–за наличия трения, процессы диффузии в газах и жидкостях, процессы перемешивания газа при наличии начальной разности давлений и т.д. Все реальные процессы необратимы, но они могут сколь угодно близко приближаться к обратимым процессам. Обратимые процессы являются идеализацией реальных процессов.

Первый закон термодинамики не может отличить обратимые процессы от необратимых. Он просто требует от термодинамического процесса определенного энергетического баланса и ничего не говорит о том, возможен такой процесс или нет. Направление самопроизвольно протекающих процессов устанавливает второй закон термодинамики. Он может быть сформулирован в виде запрета на определенные виды термодинамических процессов.

Английский физик У.Кельвин дал в 1851 году следующую формулировку второго закона: В циклически действующей тепловой машине невозможен процесс, единственным результатом которого было бы преобразование в механическую работу всего количества теплоты, полученного от единственного теплового резервуара.

Гипотетическую тепловую машину, в которой мог бы происходить такой процесс, называют «вечным двигателем второго рода». Как уже должно было стать понятно, второе начало термодинамики запрещает существование такого двигателя.

Немецкий физик Р.Клаузиус дал другую формулировку второго закона термодинамики: Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача энергии путем теплообмена от тела с низкой температурой к телу с более высокой температурой. Следует отметить, что обе формулировки второго закона термодинамики эквивалентны.

Сложные задачи по термодинамике

К оглавлению…

При решении различных нестандартных задач по термодинамике необходимо учитывать следующие замечания:

• Для нахождения работы идеального газа надо построить график процесса в координатах p(V) и найти площадь фигуры под графиком. Если дан график процесса в координатах p(T) или V(T), то его сначала перестраивают в координаты p(V). Если же в условии задаётся математическая зависимость между параметрами газа, то сначала находят зависимость между давлением и объёмом, а затем строят график p(V).
• Для нахождения работы смеси газов используют закон Дальтона.
• При объединении теплоизолированных сосудов не должна изменяться внутренняя энергия всей системы, т.е. на сколько джоулей увеличится внутренняя энергия газа в одном сосуде, на столько уменьшится в другом.
• Вообще говоря, давление и температуру газа можно измерять только в состоянии термодинамического равновесия, когда давление и температура во всех точках сосуда одинаковы. Но бывают ситуации, когда давление одинаково во всех точках, а температура нет. Это может быть следствием разной концентрации молекул в разных частях сосуда (проанализируйте формулу: p = nkT).
• Иногда приходится в задачах по термодинамике использовать знания из механики.

Расчет КПД циклов по графику

К оглавлению…

Задачи данной темы по праву считаются одними из самых сложных задач в термодинамике. Итак, для решения Вам придется, во-первых, перевести график процесса в p(V) – координаты. Во-вторых, надо рассчитать работу газа за цикл. Полезная работа равна площади фигуры внутри графика циклического процесса в координатах p(V). В-третьих, необходимо разобраться, где газ получает, а где отдает теплоту. Для этого вспомните первое начало термодинамики. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры, а работа – от объема. Поэтому, газ получает теплоту, если:

• Увеличиваются и его температура, и объем;
• Увеличивается объем, а температура постоянна;
• Увеличивается температура, а объем постоянен.

Газ отдает теплоту, если:

• Уменьшаются и его температура, и объем;
• Уменьшается объем, а температура постоянна;
• Уменьшается температура, а объем постоянен.

Если один из параметров увеличивается, а другой уменьшается, для того, чтобы понять, отдает газ теплоту или получает ее, необходимо «в лоб» по первому началу термодинамики рассчитать теплоту и посмотреть на ее знак. Положительная теплота – газ ее получает. Отрицательная – отдает.

Первый тип задач. В p(V) – координатах график цикла представляет собой фигуру с легко вычисляемой площадью, и газ получает теплоту в изохорных и изобарных процессах. Применяйте формулу:

Обратите внимание, что в знаменателе стоит только теплота, полученная газом за один цикл, то есть теплота только в тех процессах, в которых газ получал ее.

Второй тип задач. В p(V) – координатах график цикла представляет собой фигуру с легко вычисляемой площадью, и газ отдает теплоту в изохорных и изобарных процессах. Применяйте формулу:

Обратите внимание, что в знаменателе стоит только теплота, отданная газом за один цикл, то есть теплота только в тех процессах, в которых газ отдавал ее.

Третий тип задач. Газ получает теплоту не в удобных для расчета изохорных или изобарных процессах, в цикле есть изотермы или адиабаты, или вообще «никакие» процессы. Применяйте формулу:

Свойства паров. Влажность

К оглавлению…

Любое вещество при определенных условиях может находиться в различных агрегатных состояниях – твердом, жидком и газообразном. Переход из одного состояния в другое называется фазовым переходом. Испарение и конденсация являются примерами фазовых переходов.

Испарением называется фазовый переход из жидкого состояния в газообразное. С точки зрения молекулярно–кинетической теории, испарение – это процесс, при котором с поверхности жидкости вылетают наиболее быстрые молекулы, кинетическая энергия которых превышает энергию их связи с остальными молекулами жидкости. Это приводит к уменьшению средней кинетической энергии оставшихся молекул, то есть к охлаждению жидкости (если нет подвода энергии от окружающих тел).

Конденсация – это процесс, обратный процессу испарения. При конденсации молекулы пара возвращаются в жидкость.

В закрытом сосуде жидкость и ее пар могут находиться в состоянии динамического равновесия, т.е. число молекул, вылетающих из жидкости, равно числу молекул, возвращающихся в жидкость из пара, это значит, что скорости процессов испарения и конденсации одинаковы. Такую систему называют двухфазной. Пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным.

Насыщенный пар имеет максимальные: давление, концентрацию, плотность при данной температуре. Они зависят только от температуры насыщенного пара, но не от его объема.

Это означает, что если бы мы сосуд закрыли не крышкой, а поршнем, и после того, как пар стал насыщенным, стали бы его сжимать, то давление, плотность и концентрация пара не изменились бы. Если быть более точным, то давление, плотность и концентрация на небольшое время увеличились бы, и пар стал бы перенасыщенным. Но сразу же часть пара превратилась бы в воду, и параметры пара стали бы прежними. Если поднять поршень, то пар перестанет быть насыщенным. Однако за счёт испарения через некоторое время снова станет насыщенным. Здесь следует учесть, что если воды на дне сосуда нет или её немного, то это испарение может оказаться недостаточным, чтобы пар снова стал насыщенным.

• Фраза: «В закрытом сосуде с водой…» – означает, что над водой насыщенный пар.
• Выпадение росы означает, что пар становится насыщенным.

Абсолютной влажностью ρ называют количество водяного пара, содержащегося в 1 м³ воздуха (т.е. просто плотность водяных паров; из уравнения Клапейрона-Менделеева выражается отношение массы к объему и получается следующая формула):

где: р – парциальное давление водяного пара, М – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура. Единица измерения абсолютной влажности в СИ [ρ] = 1 кг/м³, хотя обычно используют 1 г/м³.

Относительной влажностью φ называется отношение абсолютной влажности ρ к тому количеству водяного пара ρ₀, которое необходимо для насыщения 1 м³ воздуха при данной температуре:

Относительную влажность можно также определить как отношение давления водяного пара р к давлению насыщенного пара р₀ при данной температуре:

Испарение может происходить не только с поверхности, но и в объеме жидкости. В жидкости всегда имеются мельчайшие пузырьки газа. Если давление насыщенного пара жидкости равно внешнему давлению (то есть давлению газа в пузырьках) или превышает его, жидкость будет испаряться внутрь пузырьков. Пузырьки, наполненные паром, расширяются и всплывают на поверхность. Этот процесс называется кипением. Таким образом, кипение жидкости начинается при такой температуре, при которой давление ее насыщенных паров становится равным внешнему давлению.

В частности, при нормальном атмосферном давлении вода кипит при температуре 100°С. Это значит, что при такой температуре давление насыщенных паров воды равно 1 атм. Важно знать, что температура кипения жидкости зависит от давления. В герметически закрытом сосуде жидкость кипеть не может, т.к. при каждом значении температуры устанавливается равновесие между жидкостью и ее насыщенным паром.

Поверхностное натяжение

К оглавлению…

Молекулы вещества в жидком состоянии расположены почти вплотную друг к другу. В отличие от твердых кристаллических тел, в которых молекулы образуют упорядоченные структуры во всем объеме кристалла и могут совершать тепловые колебания около фиксированных центров, молекулы жидкости обладают большей свободой. Каждая молекула жидкости, также как и в твердом теле, «зажата» со всех сторон соседними молекулами и совершает тепловые колебания около некоторого положения равновесия. Однако, время от времени любая молекула может скачком переместиться в соседнее вакантное место. Такие перескоки в жидкостях происходят довольно часто; поэтому молекулы не привязаны к определенным центрам, как в кристаллах, и могут перемещаться по всему объему жидкости. Этим объясняется текучесть жидкостей.

Вследствие плотной упаковки молекул сжимаемость жидкостей, то есть изменение объема при изменении давления, очень мала; она в десятки и сотни тысяч раз меньше, чем в газах.

Наиболее интересной особенностью жидкостей является наличие свободной поверхности. Жидкость, в отличие от газов, не заполняет весь объем сосуда, в который она налита. Между жидкостью и газом (или паром) образуется граница раздела, которая находится в особых условиях по сравнению с остальной массой жидкости. Молекулы в пограничном слое жидкости, в отличие от молекул в ее глубине, окружены другими молекулами той же жидкости не со всех сторон. Силы межмолекулярного взаимодействия, действующие на одну из молекул внутри жидкости со стороны соседних молекул, в среднем взаимно скомпенсированы. Любая молекула в пограничном слое притягивается молекулами, находящимися внутри жидкости (силами, действующими на данную молекулу жидкости со стороны молекул газа (или пара) можно пренебречь). В результате появляется некоторая равнодействующая сила, направленная вглубь жидкости. Если молекула переместится с поверхности внутрь жидкости, силы межмолекулярного взаимодействия совершат положительную работу. Наоборот, чтобы вытащить некоторое количество молекул из глубины жидкости на поверхность (то есть увеличить площадь поверхности жидкости), надо затратить положительную работу внешних сил ΔA_внеш, пропорциональную изменению ΔS площади поверхности.

Следовательно, молекулы поверхностного слоя жидкости обладают избыточной по сравнению с молекулами внутри жидкости потенциальной энергией. Потенциальная энергия E_p поверхности жидкости пропорциональна ее площади:

Коэффициент σ называется коэффициентом поверхностного натяжения (σ > 0). Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения равен работе, необходимой для увеличения площади поверхности жидкости на единицу при постоянной температуре. В СИ коэффициент поверхностного натяжения измеряется в джоулях на метр квадратный (Дж/м²) или в ньютонах на метр (1 Н/м = 1 Дж/м²).

Из механики известно, что равновесным состояниям системы соответствует минимальное значение ее потенциальной энергии (любое тело всегда стремится скатиться с горы, а не забраться на нее). Отсюда следует, что свободная поверхность жидкости стремится сократить свою площадь. По этой причине свободная капля жидкости принимает шарообразную форму. Жидкость ведет себя так, как будто по касательной к ее поверхности действуют силы, сокращающие (стягивающие) эту поверхность. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Наличие сил поверхностного натяжения делает поверхность жидкости похожей на упругую растянутую пленку. Сила поверхностного натяжения, действующая на участок границы жидкости длиной L вычисляется по формуле:

Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения σ может быть определен как модуль силы поверхностного натяжения, действующей на единицу длины линии, ограничивающей поверхность.

Капиллярными явлениями называют подъем или опускание жидкости в трубках малого диаметра – капиллярах. Смачивающие жидкости поднимаются по капиллярам, несмачивающие – опускаются. При этом высота столба жидкости в капилляре:

При полном смачивании θ = 0°, cos θ = 1. В этом случае высота столба жидкости в капилляре станет равной:

При полном несмачивании θ = 180°, cos θ = –1 и, следовательно, h < 0. Уровень несмачивающей жидкости в капилляре опускается ниже уровня жидкости в сосуде, в которую опущен капилляр.

educon.by

Обозначения физических величин, система СИ — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Обозначения физических величин и другие сведения о системе СИ приводятся здесь в качестве справочного материала, так как они требуются при решении многих задач по физике. И хотя на большинстве экзаменов, в том числе и на ЦТ или ЕГЭ, все физические величины указываются вместе со своими единицами измерения, тем не менее очень важно всегда точно знать и хорошо уметь переводить любые единицы измерения любых физических величин в систему СИ, так как в большинстве задач корректно рассчитать ответ можно только выполняя расчеты именно в системе СИ.

Изучать обозначения физических величин и систему СИ онлайн:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

educon.by

каль — это… Что такое каль?

dic.academic.ru

КАЛЬ — это… Что такое КАЛЬ?

dic.academic.ru

Что значит каль — Значения слов

Примеры употребления слова каль в литературе.

В своем кабинете, обставленном просто, как и подобает слугам Императора, Изабелла Каль составляла еженедельный отчет.

Артур принимал душ достаточно долго, чтобы Изабелла Каль получила все желаемые эмоции.

Я заместитель Командующего планетарного филиала Службы Имперской Безопасности Изабелла Каль, — выпалила она появившемуся на экране мужчине.

Он — объект нашей операции, — о мальчишке Каль пока решила не говорить.

Изабелла Каль пережила достаточно, чтобы не бояться обвинений в трусости.

В другое время Каль почувствовала бы счастье — раскрытый заговор чужих сулил и славу, и новую ступень в карьере.

Выявив шпионскую сеть и устранившись от дележа наград, Каль невольно сработала на свою популярность.

Маленький, сухонький, он казался пародией на того бравого офицера, которого Каль помнила с детства — из выпусков Си-Эн-Би, с обложек журналов и патриотических плакатиков на стенах домов.

Десантники могли верить в оплаченный аТан и предвкушать лихую драку, но Каль уже решила их судьбу.

До тридцати двух тысяч кораблей, — капитан эсминца смотрел на Каль с экрана.

Вот мы и снова встретились, — сказала Каль почти ласково, садясь на корточки рядом с Артуром.

На лице Каль мелькнуло странное выражение, сменившееся улыбкой: — Тебе же не двенадцать, дружок.

Придется доказать тебе, что я живая, — голос Каль не обещал ничего хорошего.

Заместитель командующего Каль, полагаю, что у Кея Овальда есть тяжелое вооружение.

Мохаммади увидела Каль, ей не понадобилась усиленная сенсорика, чтобы понять, как та разъярена.

Источник: библиотека Максима Мошкова

xn--b1algemdcsb.xn--p1ai

КАЛЬ — это… Что такое КАЛЬ?

dic.academic.ru

каль — это… Что такое каль?

gallicismes.academic.ru

Каль В. — это… Что такое Каль В.?

dic.academic.ru

КАЛЬ — это… Что такое КАЛЬ?

riemann_music_dictionary.academic.ru

Как решать алгебраические выражения Как? Так!

Содержимое:

2 части:

Алгебраическое выражение — это ряд чисел и переменных, объединенных математическими операциями (сложением, вычитанием, умножением и т.д.). Так как алгебраическое выражение ни к чему не приравнивается, решение выражения сводится к его упрощению. Полноценное решение возможно для алгебраических уравнений, которые являются алгебраическими выражениями, приравненными к числу или к другому выражению.

Шаги

Часть 1 Основы

1. 1 Определения алгебраического выражения и алгебраического уравнения и разница между ними. Алгебраическое выражение — это ряд чисел и переменных, объединенных математическими операциями (сложением, вычитанием, умножением и т.д.). Оно ни к чему не приравнивается и его решение сводится к его упрощению. Алгебраическое уравнение является алгебраическим выражением, приравненным к числу или к другому выражению, и для него возможно полноценное решение. Вот несколько примеров:
   • Алгебраическое выражение: 4x + 2
   • Алгебраическое уравнение: 4x + 2 = 100
2. 2 Научитесь приводить подобные члены. Это значит сложить или вычесть члены одного порядка. То есть члены с переменной x² могут быть сложены вместе или вычтены друг из друга, члены с переменной x³ могут быть сложены вместе или вычтены друг из друга, и свободные члены (члены без переменной) могут быть сложены вместе или вычтены друг из друга. Например:
   • 3x² + 5 + 4x³ — x² + 2x³ + 9 =
   • 3x² — x² + 4x³ + 2x³ + 5 + 9 =
   • 2x² + 6x³ + 14
3. 3 Научитесь выносить множитель за скобки. Если вам дано алгебраическое уравнение, то есть существуют выражения с обеих сторон от знака равенства, вы можете упростить уравнение, вынеся множитель за скобки. Рассмотрите коэффициенты всех членов уравнения (коэффициент – это число, стоящее перед переменной или вообще не содержащее переменную) и найдите такое число, на которое делятся все коэффициенты. Вы можете вынести это число за скобки и, таким образом, упростить уравнение. Вот как это делается:
   • 3x + 15 = 9x + 30
     • Здесь каждый коэффициент делится на 3. Вынесите это число за скобки, разделив каждый член на 3. Затем разделите обе части уравнения на 3, чтобы сократить вынесенные за скобки 3.
   • 3(x + 5) = 3(3х + 10)
   • х + 5 = 3x + 10
4. 4 Запомните порядок выполнения математических операций: скобки, степень, умножение, деление, сложение, вычитание. Вот пример того, как соблюдать порядок операций:
   • (3 + 5)² x 10 + 4
   • Сначала выполните операцию в скобках:
   • = (8)² x 10 + 4
   • Затем возведите в степень:
   • = 64 х 10 + 4
   • Далее умножьте:
   • = 640 + 4
   • И, наконец, сложите:
   • = 644
5. 5 Научитесь обосабливать переменную. При решении алгебраического уравнения вы должны обособить переменную (наиболее часто обозначаемую как «х») на одной стороне уравнения. Вы можете обособить переменную через деление, умножение, сложение, вычитание, извлечение корня или другие операции. После того, как вы обособили «х», вы решили уравнение. Вот как это делается:
   • 5x + 15 = 65
   • 5(x + 3) = 65
   • х + 3 = 13
   • х = 13 – 3
   • х = 10

Часть 2 Решение алгебраических уравнений

1. 1 Решите линейное алгебраическое уравнение. Линейные алгебраические уравнения включают свободные члены и переменные первой степени. Для решения таких уравнений используйте операции умножения, деления, сложения и вычитания, чтобы обособить переменную «х». Вот как это делается:
   • 4x + 16 = 25 — 3x
   • 4x = 25 -16 — 3x
   • 4x + 3x = 25 -16
   • 7x = 9
   • 7x/7 = 9/7 =
   • х = 9/7
2. 2 Решите алгебраическое уравнение с переменной второго порядка. В таком уравнении необходимо обособить переменную, а затем извлечь квадратный корень одновременно из переменной и из выражения на другой стороне уравнения. Вот как это делается:
   • 2x² + 12 = 44
     • Во-первых, перенесите 12 на другую сторону уравнения.
   • 2x² = 44 -12
   • 2x² = 32
     • Теперь разделите обе части уравнения на 2.
   • 2x²/2 = 32/2
   • x² = 16
     • Извлеките квадратный корень из выражений, находящихся с обеих сторон уравнения.
   • √x² = √16
   • x1 = 4; х2 = -4
3. 3 Решите алгебраическое уравнение с дробями. Для этого воспользуйтесь умножением крест-накрест, приведите подобные члены, а затем обособьте переменную. Вот как это делается:
   • (х + 3)/6 = 2/3
     • Во-первых, воспользуйтесь умножением крест-накрест, чтобы избавиться от дробей. То есть вы должны умножить числители на знаменатели.
   • (х + 3 ) х 3 = 2 х 6 =
   • 3x + 9 = 12
     • Теперь приведите подобные члены. Приведите свободные члены 9 и 12, перенеся 9 на другую сторону уравнения.
   • 3x = 12 — 9
   • 3x = 3
     • Обособьте переменную «х», разделив обе стороны уравнения на 3.
   • 3x/3 = 3/3
   • х = 3
4. 4 Решите алгебраическое уравнение с корнем. Для этого возведите выражения, находящиеся с обеих сторон уравнения, в квадрат. Вот как это делается:
   • √(2x +9) — 5 = 0
     • Во-первых, перенесите члены, стоящие вне корня, на другую сторону уравнения:
   • √(2x +9) = 5
   • Затем возведите в квадрат выражения, находящиеся с обеих сторон уравнения (чтобы избавиться от корня):
   • (√(2x+9))² = 5²
   • 2x + 9 = 25
     • Теперь приведите подобные члены и обособьте переменную.
   • 2x = 25 — 9
   • 2x = 16
   • x = 8
5. 5 Решите алгебраическое уравнение, содержащее абсолютные величины. Абсолютная величина числа – это его неотрицательное значение. Например, абсолютное значение -3 (обозначается как |3|) равно 3. Для решения таких уравнений обособьте абсолютное значение и найдите два значения «х» — одно значение при положительном значении выражения, заключенном в вертикальные скобки, а другое значение при отрицательном значении выражения, заключенном в вертикальные скобки. Вот как это сделать:
   • Сначала обособьте абсолютную величину, а затем опустите вертикальные скобки. Сейчас вы найдете «х» при положительном значении выражения, заключенном в вертикальные скобки:
   • |4x +2| = 8 + 6
   • |4x +2| = 14
   • 4x + 2 = 14
   • 4x = 12
   • x = 3
     • Теперь вы найдете «х» при отрицательном значении выражения, заключенном в вертикальные скобки. Для этого измените знак выражения, стоящего справа от знака равенства, на отрицательный:
   • |4x +2| = 14
   • 4x + 2 = -14
   • 4x = -14 -2
   • 4x = -16
   • 4x/4 = -16/4
   • x = -4
     • Запишите оба ответа: х1 = 3, х2 = -4

Советы

• Для проверки ответа откройте сайт wolfram-alpha.com.
• Для проверки ответа подставьте найденное значение в исходное уравнение. Если равенство соблюдено, то уравнение решено правильно.

Прислал: Калинина Инна . 2017-11-11 19:08:17

kak-otvet.imysite.ru

Что такое выражение и значение выражения в математике?

2+9-1-это выражение 10(ответ) значение

сам пример — это выражение, а его ответ, это -значение выражения

любой пример на + или — это выражение, а значение выражения это ответ в этом примере.

Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков действий и скобок. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения. Выражение, составленное с помощью чисел, переменных и их степеней и знаков действий называется выражением с переменными. Если в выражении с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

ответ и будет значением

Выражение это когда вы решаете задачу и пишете так 500+800-10 тоесть в примере несколько цыфр

как решить этот пример 418 560/ в скобкох 34*25-196закрываются скобки *708 — 500 347/ 983 +8 989

Выражение: а=99 что значит???

2+2*2-это выражение 6 это значение

А неравенство это выражение???

Выражение это ответ.

выражение это пример а значение это ответ на пример

a + (b*c), последнее действие сложение (x : y) — 5, последнее действие вычитание (a + b)* (c:d) последнее действие умножение (m + b + n) : (k — b -t) последнее действие деление

АААААААААААААААААААААААААААААААА

Пример, который надо решить и ответ будет значением

touch.otvet.mail.ru

Математический решатель / haritonenko.okis.ru

Краткий список обозначений и операторов WolframAlpha
для решения задач онлайн

Примеры решения задач онлайн с помощью WolframAlpha

1. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример1. Чтобы решить уравнениеx²+ 3x— 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример2. Чтобы решить уравнение log₃2x = 2, нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример3. Чтобы решить уравнение 25^x-1= 0.2, нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример4. Чтобы решить уравнение sin x= 0.5, нужно ввести solve sin(x)=0.5

2. Решение систем уравнений.
Пример. Чтобы решить систему уравнений

          x+y= 5,
          x—y= 1,

нужно ввестиsolve x+y=5  &&  x-y=1
Знаки   &&  в данном случае обозначает логическое «И».

3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример. Чтобы решить неравенствоx²+ 3x— 4 < 0, нужно ввести solve x^2+3x-4

4. Решение систем рациональных неравенств.
Пример.Чтобы решить систему неравенств

         x²+ 3x— 4 < 0,
         2x²—x+ 8 > 0,

нужно ввести solve x^2+3x-4 &&  2х^2- x + 8 > 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».

5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример. Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d)²(a-c) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c).

6. Разложение выражения на множители.
Пример. Чтобы разложить на множители выражение x²+ 3x— 4, нужно ввести factor x^2 + 3x — 4.

7. Вычисление суммыnпервых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример. Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой a_n = n³+n, нужно ввестиsum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, у которой первый членa₁ = 3, разность d = 5, то можно, как вариант, ввести a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый членb₁ = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7

8. Нахождение производной.
Пример. Чтобы найти производную функции f(x) =x²+ 3x— 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x — 4

9. Нахождение неопределенного интеграла.
Пример. Чтобы найти первообразную функцииf(x) =x²+ 3x— 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4

10. Вычислениеопределенного интеграла.
Пример. Чтобы вычислить интеграл функцииf(x) =x²+ 3x— 4 на отрезке [5, 7],
нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4, x=5..7

11. Вычислениепределов.
Пример. Чтобы убедиться, что

введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x, стремящемся к бесконечности, следует вводитьx -> inf.

12. Исследование функции и построение графика.
Пример. Чтобы исследовать функцию x³— 3x²и построить ее график, просто введите x^3-3x^2. Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Пример. Чтобы найти минимальное значение функции x³— 3x²на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести minimize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}
Чтобы найти максимальное значение функцииx³— 3x²на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести maximize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}

Дополнительные разъяснения по работе с решателем здесь

§ 5. Непрерывность функций

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx. Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна.

Функция элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при, как требует условие.

То же справедливо для функции , и приона непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка . Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке ;

б) если да, то совпадает ли со значениями пределов слева и справа.

По условию, если , то. Поэтому.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точкефункция непрерывна. Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку .

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число или. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь жеиотвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения иравноправны, то же касается обозначенийи(и справедливо для любой точки, а не только для). Дальше для краткости применяются обозначения вида;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию .

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке . Проверим:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа равны, но в самой точке функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что– точкаустранимого разрыва.

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки функцию, значение которой приравно –5, или просто указать, что, чтобы вся функциястала непрерывной.

Ответ: точка – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

а) ;

б) .

Пределы слева и справа различны: . Независимо от того, определена ли функция при(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка–точка неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо иобычно пишутисоответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и ,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке ;

б) на графике 1-й функции точка «закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка , где обрывается график, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция ?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций ,инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точкеили (и) в точке, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и ,

причём точка не представляет интереса для функции, а точка– для функции.

1-й шаг. Проверяем точку и функцию(индекс не пишем):

а) ;

б) .

Пределы совпадают. По условию, (если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точкефункция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку и функцию:

а) ;

б) .

Поскольку , точка– точка разрыва 1-го рода, и значение(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции .

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку :

а) , поскольку слева отфункция постоянна и равна 0;

б) (– чётная функция).

Пределы совпадают, но при функция по условию не определена, и получается, что– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку :

а) ;

б) – значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ: – точка устранимого разрыва,– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция ?

Функция определена при, поэтому условиепревращается в условие.

С другой стороны, функция определена при, т.е. при. Значит, условиепревращается в условие.

Получается, что должно выполняться условие , и область определения всей функции – отрезок.

Сами по себе функции иэлементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при.

Остаётся проверить, что происходит в точке :

а) ;

б) .

Поскольку , смотрим, определена ли функция в точке. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если» в определении функции для краткости пропущено):

1) а) б)в)г)

2) а) б)в)г)

3) а) б)в)г)

4) а) б)в)г)

Пример 7. Пусть . Тогда на участкестроим горизонтальную прямую, а на участкестроим горизонтальную прямую. При этом точка с координатами«выколота», а точка«закрашена». В точкеполучается разрыв 1-го рода («скачок»), и.

НФ2. Исследуйте на непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

Пример 8. Пусть . На участкестроим прямую, для чего находими. Соединяем точкииотрезком. Сами точки не включаем, поскольку приифункция по условию не определена.

На участке иобводим осьOX (на ней ), однако точкии«выколоты». В точкеполучаем устранимый разрыв, а в точке– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а) б)в)

2 а) б)в)

3) а) б)в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

studfiles.net

Непрерывность функций

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»

студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения

образования (НИСПО)

Горки, 2013

Непрерывность функций одной переменной

1. Односторонние пределы

Пусть функция определена на множестве . Введём понятие односторонних пределов функции при. Будем рассматривать такие значениях, что . Это означает, что, оставаясь всё время слева от. Если при этом существует предел функции при то он называетсялевым пределом этой функции в точке ( или при) и обозначается

.

Пусть теперь , оставаясь всё время справа от, т.е. оставаясь больше. Если при этом существует предел функции , то он называется правым пределом этой функции в точке и обозначается

.

Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке:

.

Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

2. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена на некотором множестве D. Пусть независимая переменная х переходит от одного своего (начального) значения к другому (конечному) значению. Разность конечного и начального значений называется приращением величины х и обозначается . Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае величинах при переходе от кх увеличивается, а во втором случае — уменьшается.

Если независимая переменная х получает некоторое приращение , то функция получает приращение . Так как, то.

Приращением функции в точке называется разность, где– приращение независимой переменной.

Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.

1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точкиит.е.при. Это означает, что функция непрерывна в токе, если она определена в окрестности этой точки и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции приравен значению функции в этой точке:.

3. Функция называется непрерывной в точке , если существуют левый и правый пределы этой функции прии если эти пределы равны между собой и равны значению функции в этой точке:

.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Геометрически непрерывность функции в замкнутом интервале означает, что график функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и , то каким бы ни было числоС, заключённое между числами А и В, найдётся точка , что.

Из этого утверждения следует, что если функция непрерывна на [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c, в которой функция обращается в нуль.

Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функция.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

в точке .

Решение. Значение функции при есть. Вычислим односторонние пределы функции в точке:

,

.

Так как односторонние пределы при равны между собой и равны значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке.

3. Непрерывность элементарных функций

Рассмотрим функцию . Эта постоянная функция непрерывна в любой точке, так как.

Функция также непрерывна в каждой точке , так как. Так как, то на основании приведённого утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциямибудет непрерывной. Непрерывными будут такжен функции.

Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.

Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

4. Непрерывность сложной и обратной функций

Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке. Это означает, что если сложная функция составлена из непрерывных функций, то она также будет непрерывной, т.е.непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная. Это определение распространяется на конечное число непрерывных функций.

Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

.

Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.

Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда обратная ей функция определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [A, B], где .

4. Точки разрыва и их классификация

Как уже известно, что если функция определена на множестве D и в точке выполняется условие, то функция непрерывна в этой точке. Если же это условие непрерывности не выполняется, то в точкех₀ функция имеет разрыв.

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, т.е. . При этом величина

называется скачком функции в точке .

Точка называетсяточкой устранимого разрыва функции , если односторонние пределы функции в этой точке равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, т.е. В этом случае для устранения разрыва в точкенужно положить

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции если хотя бы один из односторонних пределов илив этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции в точке:

,

.

Так как в точке односторонние пределы равны между собой, а функция в этой точке не определена, то точкаявляется точкой устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв в этой точке, необходимо доопределить функцию, положив.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция определена и непрерывна на всём множестве действительных чисел, кроме . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции при:

,

.

Так как данная функция в точке имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точкеравен.

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

2. Что называется левосторонним (левым) пределом функции?

3. Что называется правосторонним (правым) пределом функции?

4. Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?

5. Какая точка называется точкой разрыва функции?

6. Какая точка называется точкой разрыва первого рода?

7. Какая точка называется точкой разрыва второго рода?

8. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

Задания для самостоятельной работы

Исследовать функции на непрерывность:

1. ; 2) ; 3);

в точке .

10

studfiles.net

Исследование функции на непрерывность — Мегаобучалка

Пусть функция определена на интервале , содержащем точку , за исключением, быть может, самой точки .

Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва бывают двух типов.

Точка называется точкой разрыва I-го рода, если функция не определена в ней, но существуют конечные односторонние пределы . При этом, если , то точка – точка устранимого разрыва. Если односторонние пределы не равны между собой, то есть , то – точка разрыва I-го рода типа «конечного скачка». Число называется скачком функции в точке .

Точка называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Схема исследования функции на непрерывность:

1) Найти область определения функции, точки разрыва.

2) Определить тип точек разрыва.

3) Определить характер разрыва в точках разрыва I-го рода.

4) Найти вертикальные асимптоты , если –точка разрыва II-го рода.

5) Найти, если есть, горизонтальные асимптоты графика функции где .

6) Построить эскиз графика функции хотя бы в окрестности точек разрыва, если затруднительно построить его в целом.

Пример12. Исследовать на непрерывность функции

а) ; б) и построить эскизы их графиков.

Решение.

а) Так как

то

Функция определена на всей числовой оси. Подозрительной на разрыв точкой является точка . Найдем односторонние пределы функции в этой точке: , следовательно, функция непрерывна как при , так и при всех других значениях . Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва II-го рода. Горизонтальных асимптот нет тоже, поскольку . График функции изображен на рис.1.

Рис.1.

б) 1. Область определения функции D: , – точка разрыва, так как не определена.

2. Найдем пределы слева и справа, чтобы определить тип точки разрыва:

Итак, , значит, – точка разрыва II -го рода.

3. – скачок функции.

4. – вертикальная асимптота графика функции, так как .

5. , следовательно, – горизонтальная асимптота.

Эскиз графика функции имеет вид:

 

 

Рис.2.

 

Вопросы к теории:

1. Действительные числа. Свойства действительных чисел.

2. Функция. Примеры функций.

3. Понятие предела функции в точке. Геометрический смысл предела функции.

4. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

5. Теорема о переходе к пределу в неравенствах

6. Теорема о пределе промежуточной функции.

7. Теорема об арифметических операциях над пределами.

8. Понятие сложной функции. Теорема о замене переменной для пределов функции.

9. Предел функции в бесконечности. Неопределенности.

10. Понятие числовой последовательности и ее предела.

11. Теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.

12. Теорема Больцано — Вейерштрасса.

13. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций.

14. Непрерывность основных элементарных функций. Гиперболические функции, их графики.

15. Теорема о непрерывности сложной функции.

16. Обратная функция, теорема о существовании непрерывной обратной функции.

17. Первый замечательный предел.

18. Бесконечно малые функции и их основные свойства.

19. Второй замечательный предел.

20. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

21. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

22. Сравнение бесконечно малых функций.

23. Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

24. Таблица эквивалентностей.

25. Теорема об эквивалентных бесконечно малых, применяемая при вычислении пределов.

26. Классификация разрывов функции. Схема исследования функций на непрерывность.

 

Упражнения:

1. Доказать эквивалентность неравенств: .

2. Доказать, что для любых и имеют место неравенства: .

3. Доказать, что если , то .

4. Доказать, что отбрасывание или замена конечного числа членов последовательности не влияют на сходимость последовательности, причем в случае сходящейся последовательности не влияют на величину предела.

5. Пусть , а не существует, . Что можно сказать о в каждом из этих случаев?

6. Пусть имеет предел в точке , а функция не имеет предела в этой точке. Будут ли существовать пределы: , . Рассмотреть пример

7. При каких значениях функция будет не ограничена при ?

8. Функцию , имеющую предел при , представить в виде суммы постоянной величины и некоторой функции, бесконечно малой при .

9. Доказать, что если – непрерывная функция, то функция также непрерывная. Верно ли обратное утверждение?

10. Исследовать непрерывность функции Дирихле.

 

 

megaobuchalka.ru

1.2. Непрерывность и точки разрыва функции

Функция называетсянепрерывной в точке если:

1) определена в точкеи её окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Функция, непрерывна в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называетсяточкой разрыва функции.

Точка называется точкой разрывапервого рода, если функция имеет в этой точке конечный правый и левый предел, т.е.

Если хотя бы одна из этих пределов не существует или равен бесконечности, то точка называют точкой разрывавторого рода.

Пример. Исследовать функцию

на непрерывность, построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на интервалет.к. на этих интервалах она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках

Для точки имеем

,

,

.

т.к. и оба они конечны, то функцияf(x) в точке имеет разрыв первого рода.

Для точки имеем

,

,

т.е. и в точкефункция непрерывна.

Пример. Найдите точку разрыва функции .

Решение. Единственной точкой разрыва данной функции является точка т.к. функция в этой точке не определена. Найдем односторонние пределы в окрестности точки:

, т.к.

,

, т.к.

.

Т.к. то в точкеимеем разрыв первого рода.

Вычислим , т.к.,

т.е. горизонтальная асимптота графика данной функции.

Задание 5.

Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

№ зад. № вар.	1	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

1.3. Асимптоты графика функции

Прямая L называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямойL при удаление точки М в бесконечность стремится к нулю.

Если существует числа при которой, т.е. функция имеет бесконечный разрыв, то прямыеназываютсявертикальными асимптотами кривой .

Если существуют пределы

то прямая являетсянаклонной асимптотой кривой (приk=0 — горизонтальной).

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция терпит разрыв в точке . Находим левый и правый пределы в этой точке

,

.

Таким образом — вертикальная асимптота графика функции.

Находим

, поэтому у=4 — горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция терпит разрыв в точке . Находим

,

.

Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Находим горизонтальные асимптоты.

,

,

следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции.

Задание 6.

Найти асимптоты графика функции

№ зад. № вар.	1	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

studfiles.net

4. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация

4.1. Основные теоретические сведения

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х₀ и если

то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция у=f(x) непрерывна в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х₀ существует и равен значению функции при х=х₀, то есть

Определение. Пусть х → х₀, оставаясь все время слева от х₀. Если при этом условии f(x) стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f(x) в точке х₀, то есть

Аналогично определяется и правый предел

Определение. Функция непрерывна в точке х₀ если:

• функция определена в точке х₀;

• существуют левый и правый пределы функции f(x) при х → х₀;

• все три числа (х₀), f(x₀ –0), f(x₀ +0) совпадают, то есть

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же

интервале и обе непрерывны в точке х₀, то в той же точке будут непрерывны и функции

Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Определение. Если в какой-либо точке х₀ функция не является непрерывной, то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Определение. Если в точке х₀ существует конечный lim f(x) = А

(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точки устранимого разрыва представлено на рис. 1.

Рис. 1

Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х₀, в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х₀

Рис.2

Определение. Если хотя бы один из пределов f(x₀ – 0) или f(x₀ + 0) не существует или бесконечен, то точка х₀ называется точкой разрыва, второго рода.

Графические представления разрывов функций второго рода в точке х₀ приведены на рис. 3 (а, б, в).

Приведенные выше определения непрерывности функции f(x) в точке х₀

представлены на рис. 4, где отмечено, что основной посылкой при определении непрерывности функции (необходимым условием) в точке х₀ является то, что f(x) определена в точке и ее окрестности.

Рис.3

Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,

изобразить в окрестности точек разрыва функцию

Решение.

Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. В точке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при

х → 1, имеем

Конечный предел функции при х→ 1 существует, а функция в точке

х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция

будет непрерывной.

Рис. 4

Поведение функции в окрестности точки х = 1 изображено на рис. 4.

Замечание. Данная функция

неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией

во всех точках кроме х =1

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва

Решение.

Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–, 0), (0,+) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции:

Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен

Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.

Рис. 5

Пример Исследовать функцию f(x) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х, = –2 и х₂ = 2, причем

не существует.

Вычисляем односторонние пределы в точке х, = –2.

Итак, в точке х = –2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х₂ =2. Имеем

В точке х₂ =2 функция также терпит разрыв второго рода.

Поведение функции в окрестности точек х_х= –2 и х₂ = 2 изображено на рис. 6.

Рис. 6

Пример.

Исследовать функцию f(x) = e^x+i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция неопределена прих = –3, поэтому функция непрерывна при всехкромех = –3. Определим характер разрыва функции. Имеем

то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв

второго рода.

Поведение функции f(x) = e^x+3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7

Рис. 7

4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности

2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва

studfiles.net

Равномерная непрерывность — ПриМат

Пусть функция определена на . Тогда называется равномерно непрерывной, если такие, что , , выполняется неравенство .

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

1. Показать, что равномерная функция на не является равномерно непрерывной.
   , что , что .
   , .
   Это значит, что может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное , мы можем приближать к так близко, что , однако . Следовательно, функция является непрерывной, но не равномерно непрерывной на .

2. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на отрезке .

   .

   .

   Зафиксируем произвольное и положим .

   Тогда , .

   Следовательно, функция на равномерно непрерывна.

3. Доказать, что функция равномерно непрерывна на .

   По теореме Лагранжа и

   Если для выбрать любое , , то при выполняется , иначе говоря, является равномерно непрерывной на .

[свернуть]

• Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 13 изд-е, Москва, изд-во ЧеРо, 1997г., стр.92
• Г.М.Вартанян «Математический анализ», Одесса, 2009г., стр.30
• Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа», том 1, Москва, «Высшая школа», 1981г., стр.228

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Решение неравенств методом интервалов

Разделы: Математика, Внеклассная работа

Цели: