Рубрика: Школьная жизнь

Тест: Упрощение буквенных выражений — Математика 5 класс

Упрощение буквенных выражений , нахождение значений буквенных выражений

Математика 5 класс | Автор: Ливанова И.Г. | ID: 3764 | Дата: 31.1.2015

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 5 класс

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Предмет

Математика

Класс

5

Учитель

Красникова Наталья Николаевна

Тема урока:

Упрощение выражений

Цель урока:

продолжить работу по формированию умений решать уравнения с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания; продолжить работу над текстовыми задачами, решаемыми с помощью уравнения

Тип урока:

урок комбинированный.

Деятелъностная цель: формирование у учащихся умений упрощать выражения.

Содержательная цель: расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов.

Образовательные (формирование познавательных УУД):

Отработать навыки чтения и записи числовых и буквенных выражений;

Формировать умение решать задачи способом составления уравнения;

Проверить уровень усвоения изученной темы;

Развивающие (формирование регулятивных УУД)

Развитие навыков самостоятельной деятельности обучавшихся;

Формирование математически грамотной речи. Уметь правильно понимать термины. Развитие математической зоркости.

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД)

Воспитывать интерес к изучаемому предмету;

Воспитывать коллективные взаимоотношения, взаимопонимания;

Развивать самостоятельность, самоконтроль, наблюдательность.

Методы: проблемно-поисковый, словесный, наглядный, практический.

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, листы урока, мел, доска.

Планируемый результат

Личностные:

Формирование познавательного интереса обучающихся к изучению нового материала, к способам обобщения и систематизации знаний.

Воспитание культуры личности.

Развивать навыки сотрудничества.

Познавательные:

Закреплять навыки и умения применять правила упрощений выражений при решении задач и применение свойств умножения,

Систематизировать знания, уметь обобщать и углублять знания , выбирать и формулировать познавательную цель, выражать смысл ситуации с помощью различных примеров.

Предметные:

Уметь в процессе реальной ситуации применять понятие упрощение выражений.

Уметь планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации.

Способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе;

Делать выводы на основе обобщения знаний.

Регулятивные:

Самостоятельно формулируют познавательную цель и строят свои действия в соответствии с ней;

Планируют собственную деятельность, определяют средства для её осуществления.

Коммуникативные:

Регулировать собственную деятельность посредством речевых действий;

Уметь слушать и вступать в диалог, воспитывать чувство взаимопомощи;

Уважительное отношение к чужому мнению, культуре учебного труда, требовательное отношение к себе и к своей работе.

Технологии

Технология проблемного обучения, игровые технологии, ИКТ

Форма работы

индивидуальная, фронтальная работа, самостоятельная работа.

Технология проведения

Деятельность учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к дости­жению запланированных результатов

Деятельность учеников

Планируемые результаты

предметные

универсальные учебные действия(УУД)

1

2

3

4

5

6

1. Организационный этап

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Сегодня вы работаете с листом рефлексии и самооценки. Оцените свою готовность к уроку. – А вот хорошо ли вы считаете в уме, и на сколько вы внимательны, это мы сейчас и проверим! Внимание на экран! Обсуждение и проверка ответов.

Включаются в деловой ритм урока.

Уметь выполнять основные математические действия.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности

Личностные: мотивация учения

Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Цели:

— актуализировать требования

к ученику с позиций учебной

деятельности;

— создать условия для формирования у учеников внутренней потребности во включении в учебную деятельность

Систематизировать изученный материал.

Стимулировать активность ученика на восприятие нового учебного материала.

Подвести к формулированию цели урока и самостоятельному поиску нужной информации.

Но сначала решим несколько упражнений и попробуем назвать тему урока.

1.УСТНО пример А

2.Вычислите устно Б и запишите ответ

15a ∙ 4 =

3b ∙ 12 =

18 ∙ 5b =

11a ∙ 7 =

16 ∙ d ∙ 3 =

x ∙ 5 ∙ 4 ∙ 6 =

3. Упростите В , если возможно:

17m + 5m =

6a – a =

9c + 4c – 6c =

5 + 12n – 2n =

24b + 7a – 5a =

y – 8

Г Верно или не верно

Слушают

Учителя.

Вычисляют устно. Делают записи в листе

Самопроверка.

Самооценивание.

Знать правила упрощения буквенных выражений.

Уметь применять свойства умножения в решении упражнений.

Коммуникативные: уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме.

Познавательные: уметь использовать модели для решения задач

Найдите пару для выражения, стоящего в левом столбце.

1)5х+13х-4 2)(5+у)*4 3)4а*3

4)15а-а 5)12у-7у-2

6)4х*6*2 7)9*х*5

А)8а Б)4х

В)45х

Г)48х

Д)18х-4

Е)20+4у

Ж)12а

З)5у-2

И)3у

Вычисляют. Сопоставляют величины. Делают записи в листе

Выполняется контроль знаний

Коммуникативные :

Слушать, понимать речь других

Познавательные УУД:

-уметь проводить сравнение по заданным критериям.

.

II. Актуализация и фиксирование индивидуального за-

Затруднения в пробном действии; выявление места и причины затруднения.

Цели:

— организовать фиксирование

учащимися индивидуального

затруднения;

— выявить место (шаг, операцию) затруднения;

— зафиксировать во внешней

речи причину затруднения

Организует

фиксирование

индивидуального затруднения, выявление места и причины

затруднения в речи,

обобщение актуализированных знаний

Какие свойства умножения применяют при решении этих выражений?

Запишите свойства при помощи букв.

Давайте вспомним и запишем

в буквенной форме распределительное свойство умножения относительно сложения и распределительное свойство умножения относительно вычитания:

{а +b ) с = ас + bс

1. b) с = ac- bc

Назовите тему урока?

Для чего надо уметь упрощать

выражения? Где это пригодится?

Найдите значение выражения:

14у + 380 +у – 380, если у = 20

1 способ (14+1)у+(38-38)=15у

15*20 =300

2 способ 14*20+38+20-38=300

Какой способ более удобный?

Выполните следующие задание удобным способом.

Д)Упростите выражения 1вариант) 3х + 2 + х + 5 =? Х=3

2вариант) 4х – х + 3 + 2 =?х=4

Е) Найдите ошибки при выполнении упрощения буквенного выражения (если они есть)

12в + 4 +13а + в +15 + 12а

1вариант)

12в + 4 +13а + в +15 + 12а = 12в + 25а + 19

2 вариант)

12в + 4 +13а + в +15 + 12а = 38ав + 19

Выполняют

задание

с проговариванием

решения.

Знать распределительное свойство умножения

относительно

сложения и вычитания, сочетательное свойство

свойство умножения.

Уметь упрощать

Выражения.

Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний

( уметь отличать новое от уже известного с помощью учителя, преобразовывать информацию из одной формы

в другую).

Коммуникативные: уметь слушать

и понимать речь других, оформлять

мысли в устной и письменной форме.

Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке, высказывать свое предположение

Организует тематику теста

Молодцы! Ошибки находить вы умеете, но не допускаете ли вы сами ошибок?! Это мы сейчас и проверим. Вам предстоит выполнить тест. Если вы его правильно решите, то узнаете фамилию великого математика. Решая тест, вы должны будете выписать буквы, соответствующие ответам. Приступайте к выполнению задания. ВИЕТ. Эти буквы составили фамилию известного французского математика Франсуа Виета. Он первым начал активно использовать буквы вместо чисел не только в уравнениях, но и в математических выражениях. Имя этого ученого мы еще не раз вспомним в старших класса на уроках алгебры.

Тест. Взаимопроверка, Определяют ответы к заданиям:

1 – В

2 – И

3 – Е

4 — Т

Записывают решение. Самооценка деятельности

Физкультминутка

Организует показ слайдов

— Организация физкультминутки.

Осуществляют пошаговый контроль своих действий, ориентируясь на показ движений

Решите уравнение

13х + 7х = 160

Что нужно сделать перед началом решения?

Упростите левую часть.

Где неизвестное число?

Как найти неизвестный множитель?

Записывают уравнение в листок и находят корень уравнения. Осуществляют пошаговый контроль своих решений.

Выполняют данное задание. Осуществляют самопроверку.

Создание проблемной ситуации.

Задачи: создать проблемную ситуацию; актуализировать опорные знания и умения.

Формулировка задачи через презентацию побуждение к рассуждению и высказыванию своего мнения

Задача №580 стр.88

Прочитайте задачу.

О чем говорится в задаче?

Что сказано про количество стульев?

Что говорится про количество столов? Сколько всего? Обозначай за x то, что требуется найти. Если в вопросе несколько неизвестных, за x обозначай то, которое меньше

Пусть для школы купили x столов. Тогда стульев купили 9x. Всего столов и стульев купили x+9x.

В условии сказано, что всего купили 220 столов и стульев.

Значит, можем составить уравнение:

x+9x=220

10х=220

Х=220:10

Х=22

Что мы нашли?

22 стола купили для школы.

Как найти количество стульев?

Обратите внимание. Что 9*х – количество стульев.

22*9=198 (стульев) купили для школы.

Ответ

Какую тему мы сегодня изучили?

Какие свойства мы применяли при упрощении выражений?

Зачем нужно уметь упрощать выражения?

Сможете вы сами находить и применять эти свойства при решении примеров и уравнений?

Предлагаю самостоятельно решить следующие упражнения.

Учащиеся извлекают необходимую информацию из условия задачи.

Моделируют задачу

Составлять уравнение по условию задачи Уметь решать уравнение.

Учебно-познавательная (переработка, использование информации для решения учебной задачи), коммуникативная (устная, письменная)

Самостоятельное применение полученных знаний.

Задача: закрепление знаний и умений

Подготовила материал

Самостоятельная работа — Каждой группе предлагается задания

1 вариант 2 вариант

Упростите выражение

56х — 34х 64a + 22a

97у + 43у 98b – 75b

7z – 2z + 4 8c + 5c — 5

составьте и решите уравнение

Сумма 2х и 5х равна 156 сумма 18а и 13а равна 31

разность 20у и 3у равна 51 разность 25с и 5с равна 3000

Найдите значение выражения

44х + 25у + 12х — 12у 24а + 36в + 11а — 11в

при х = 1, у = 0 при а = 0, в = 1

По рисунку составьте и решите уравнение

А————В——————-С—————————D

2х 3х 5х

АD= 40 см

Найти АВ Найти ВС

Учащиеся распределяют задания. Выполняют их на листах.

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цел и:

— организовать рефлексию

и самооценку учениками собственной учебной деятельности

Организует

рефлексию,

самооценку

учебной деятельности

— Подведем итог работы на уроке.

— Какую цель мы ставили? Достигли цели? Назовите тему урока.

— Расскажите, чему вы научились.

— Оцените свою деятельность

на уроке.

Домашнее задание: п. 14, с. 85-88, № 574(а, б,), №618 и № 576(а, б)

Отвечают на вопросы.

Рассказывают, что

узнали. Осуществляют само-

оценку

Формулируют собственную позицию и мнение

Самооценка деятельности на уроке

Осознают мотивацию учебной деятельности и накопление опыта в решении задач

Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке, оценивать правильность

выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Личностные: уметь осуществлять

самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности

infourok.ru

Упрощение выражений 5 класс

Цели урока:

• совершенствовать умение учащихся выполнять упрощение выражений, продолжить работу по формированию навыка решений задач и уравнений;

• развитие познавательной активности, мышления; привитие интереса к предмету.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Садитесь! Откройте свои тетради и запишите число и тему нашего урока. А тема нашего урока — «Упрощение выражений».

Сегодня у нас будет необычный урок. Мы с вами совершим путешествие на остров математики.

Мы поплывем на красивом фрегате под названием «Знание». Я думаю, что вы доверите мне командовать кораблем! Моей задачей будет помочь команде (т.е. вам) не сбиваться с курса и благополучно преодолевать на пути все трудности и подводные течения, и с помощью ваших крепких знаний добраться до конечной цели нашего путешествия — до острова Математики. Ваша задача — слаженно работать, с готовностью следовать за мной по нашей карте (слайд 3). Все препятствия представлены в виде чего?.. Ваши знания, приобретенные на уроках наглядной геометрии, также пригодятся вам сегодня. Успех путешествия будет зависеть от ваших знаний, от выполнения домашнего задания.

2. Устная работа.

Итак, в путь! Первый остров на нашем пути – это остров Невыученных уроков. Ребята, у кого возникли проблемы при выполнении домашнего задания?

Чтобы обойти этот остров нужно выполнить следующие задания:

1. Соедините стрелками левую часть, представляющую из себя буквенные выражения, с правой частью, где записаны их названия.

Возьмите первую карточку.

a•b = b•a

распределительное свойство умножения относительно сложения

(a+b)c = ac + bc

переместительное свойство умножения

( a+ b) — c = a + (b — c)

сочетательное свойство сложения

(a — b)c = ac – bc

свойство вычитания числа из суммы

( a + b) — c = (a — c) + b

распределительное свойство умножения относительно вычитания

. Давайте выполним проверку. Если задание выполнено правильно, то ставим + , если неправильно, то — .

2. Возьмите карточку №2. Соедините стрелками левую и правую часть.

5x + 3x – 4 8a

4a∙3 12a

2a – a + 7a 45x

12x – 7x + 2 8x -4

4x∙6∙2 2 + 5x

9∙x∙5 48x

Давайте выполним проверку. Если задание выполнено правильно, то ставим + , если неправильно, то — .

3. Математический диктант.

Продвигаемся дальше. И вот снова преграда. На нашем пути подводный риф. Чтобы обойти этот риф нам нужно выполнить математический диктант.

Запишите в тетради — Математический диктант

А сейчас, прочитайте задание и выполните его в тетради! Итак, внимание!

№1. Записать выражение и упростить его:

Сумма 5x и 12x

№ 2. Записать выражение и упростить его:

Произведение 6c и 4

№3. Записать выражение и упростить его:

Произведение 8 и суммы 3xи 5.

№ 4. Записать уравнение и решить его:

Сумма 3y и 5y равна 8.

№ 5. Записать выражение

Разность 12а и 6а

Положили ручки. Закончили работу. Взяли простые карандаши. Давайте выполним проверку. Если задание выполнено правильно, то ставим + , если неправильно, то — .

Посчитайте количество правильных ответов.

Поднимите руки у кого выполнено правильно «5», «4», «3».

4. Физкультминутка.

Давайте мы немножко отдохнем и проведем физкультминутку.

Дружно встали, потянулись,

Руки на пояс, повернулись.

Вправо, влево, раз, другой,

Повертели головой.

На носочках постояли,

Спинку стрункой подержали.

А теперь, тихонько сели.

Мы еще не все успели!

5. Решение уравнений.

Чтобы продолжить наше путешествие, нам нужно пополнить запас продовольствия. Займемся рыбалкой. У каждого из вас на столе есть задание в виде рыбки. Возьмите его и решите уравнение в тетради. (Работаем по вариантам.)

К доске пойдет ……………..

Вариант 1

2(х+1)+2х=110

……………….

Вариант 2

3(х+6)+2=110

А теперь отложили свои ручки, повернулись и проверили решение.

6. Решение задач.

На пути нашего фрегата встретились пираты, чтобы их победить, необходимо решить задачи.

Решите с помощью уравнения задачу. Работа с упражнениями учебника. Открываем учебник на стр. 88. Решаем задачи № 580, 588. Первые пять человек получат дополнительную оценку за урок.

7. Самостоятельная работа.

Продолжим путь. И вот перед нами остров Знатоков.

У вас на столах лежат листочки с тестами. Возьмите их, подпишите.

Приступайте к выполнению задания. Время истекло. Закончили работу.

Давайте проверим тест.

Задания

Упростите выражение 12с + 28 – 8с +2

А. 14с + 20 Б. 34с В. 4с + 30 Г. 32с + 2

Вычислите 65∙74 — 55∙74

А. 74 Б. 140 В. 740. Г. 10

Найдите значение выражения 4х +5х +х при х=54

А. 54 Б. 5400 В. 540 Г. 486

Решите уравнение 3х + 4х – 3 =18

А. 14; Б. 3; В. 8 Г. 7

Решите задачу: Машина с прицепом перевозит груз весом 312 кг. Груз в машине в 7 раз легче груза в прицепе. Какова масса груза в прицепе?

А. 156. Б. 39. В. 273 Г. Нет правильного ответа.

Время истекло. Закончили работу.

Давайте проверим тест. Если задание выполнено правильно, то ставим + , если неправильно, то — .

Посчитайте количество правильных ответов.

Поднимите руки у кого выполнено правильно «5», «4», «3».

8. Итог урока.

Мы у цели. Наш фрегат приближается к острову Математика. По итогам урока ребята, вы получите оценку, которая сложится из результатов вашего математического диктанта и теста. Сейчас, давайте проверим вашу зрительную память и знание геометрических фигур, которые мы встретили на пути к острову Математика?

Молодцы, давайте проверим.

9. Домашнее задание

Ребята, только благодаря вашим знаниям мы благополучно добрались до конечной цели нашего путешествия. Сейчас мы бросим якорь и получим домашнее задание. Открыли дневники и записали задания № 618, 619, 614(а,б). А староста внесет эти задания в электронный дневник.

Ребята, остров Математики таит в себе немало чудес. Вот одно из этих чудес — это послание мудрого древнегреческого ученого Аристотеля :

«Ум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле». Помните об этом ребята и тогда никакие подводные рифы математики вам не будут страшны.

Встали ровненько. Урок закончен. Не забудьте сдать тетради с тестами.

Тест

Упростите выражение 12с + 28 – 8с +2

А. 14с + 20 Б. 34с В. 4с + 30 Г. 32с + 2

Вычислите 65∙74 — 55∙74

А. 74 Б. 140 В. 740. Г. 10

Найдите значение выражения 4х +5х +х при х=54

А. 54 Б. 5400 В. 540 Г. 486

Решите уравнение 3х + 4х – 3 =18

А. 14; Б. 3; В. 8 Г. 7

Решите задачу: Машина с прицепом перевозит груз весом 312 кг. Груз в машине в 7 раз легче груза в прицепе. Какова масса груза в прицепе?

А. 156. Б. 39. В. 273 Г. Нет правильного ответа.

Тест

Упростите выражение 12с + 28 – 8с +2

А. 14с + 20 Б. 34с В. 4с + 30 Г. 32с + 2

Вычислите 65∙74 — 55∙74

А. 74 Б. 140 В. 740. Г. 10

Найдите значение выражения 4х +5х +х при х=54

А. 54 Б. 5400 В. 540 Г. 486

Решите уравнение 3х + 4х – 3 =18

А. 14; Б. 3; В. 8 Г. 7

Решите задачу: Машина с прицепом перевозит груз весом 312 кг. Груз в машине в 7 раз легче груза в прицепе. Какова масса груза в прицепе?

А. 156. Б. 39. В. 273 Г. Нет правильного ответа.

Математический диктант

№1. Записать выражение и упростить его:

Сумма 5x и 12x

№ 2. Записать выражение и упростить его:

Произведение 6c и 4

№3. Записать выражение и упростить его:

Произведение 8 и суммы 3xи 5.

№ 4. Записать уравнение и решить его:

Сумма 3y и 5y равна 8.

№ 5. Записать выражение

Разность 12а и 6а

Математический диктант

№1. Записать выражение и упростить его:

Сумма 5x и 12x

№ 2. Записать выражение и упростить его:

Произведение 6c и 4

№3. Записать выражение и упростить его:

Произведение 8 и суммы 3xи 5.

№ 4. Записать уравнение и решить его:

Сумма 3y и 5y равна 8.

№ 5. Записать выражение

Разность 12а и 6а

Проверим домашнее задание

1. Соедините стрелками левую часть, представляющую из себя буквенные выражения, с правой частью, где записаны их названия.

a•b = b•a

распределительное свойство умножения относительно сложения

(a+b)c = ac + bc

переместительное свойство умножения

( a+ b) — c = a + (b — c)

сочетательное свойство сложения

(a — b)c = ac – bc

свойство вычитания числа из суммы

( a + b) — c = (a — c) + b

распределительное свойство умножения относительно вычитания

2. Соедините стрелками левую и правую часть.

5x + 3x – 4 8a

4a∙3 12a

2a – a + 7a 45x

12x – 7x + 2 8x -4

4x∙6∙2 2 + 5x

9∙x∙5 48x

Проверим домашнее задание

1. Соедините стрелками левую часть, представляющую из себя буквенные выражения, с правой частью, где записаны их названия.

a•b = b•a

распределительное свойство умножения относительно сложения

(a+b)c = ac + bc

переместительное свойство умножения

( a+ b) — c = a + (b — c)

сочетательное свойство сложения

(a — b)c = ac – bc

свойство вычитания числа из суммы

( a + b) — c = (a — c) + b

распределительное свойство умножения относительно вычитания

2. Соедините стрелками левую и правую часть.

5x + 3x – 4 8a

4a∙3 12a

2a – a + 7a 45x

12x – 7x + 2 8x -4

4x∙6∙2 2 + 5x

9∙x∙5 48x

infourok.ru

Упрощение выражений. 5-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (553,1 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Название представляемой работы: обобщающий урок по теме «Упрощение выражений».

Класс: 5.

Форма учебной работы: классно-урочная.

Цель урока: Организация деятельности учащихся на повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме «Упрощение выражений»

Задачи урока:

Геометрический сайт

О себе:

Куланин Евгений Дмитриевич

родился 29 февраля 1956 г. в г.Риге в семье военнослужащего, поэтому в детстве пришлось пожить еще в Перми, Туле и во Владимире.

Среднюю школу окончил в 1973 г. в г.Рязани. Это была школа №2, известная тем, что в ней учился знаменитый физиолог, первый российский Нобелевский лауреат И.П.Павлов и преподавал другой Нобелевский лауреат А.И.Солженицын. Также в ней учились писатель К.Симонов и несколько академиков. В настоящее время это гимназия №2 им. И.П.Павлова. В 2006 году вышла книга А.И.Степанова «Русские и швейцарцы» (издательство «Научная книга», 624 стр.). А.И. Степанов был много лет послом в Швейцарии и окончил ту же самую с.ш. №2 г. Рязани, что и я, только на 25 лет раньше. Она была открыта в 1723г. как цифирная школа по указу Петра I. (О цифирных школах написано в книге Т.С.Поляковой «Эйлер и математическое образование в России», М.: КомКнига, 2007. ) Так что в 1973г., в котором я выпускался, праздновался 250- летний юбилей школы. Упомяну также о том, что математику у нас преподавала Клавдия Степановна Лаврова (1922-2007), весьма способствовавшая моему вовлечению в эту науку.

После окончания в 1978г. мех-мата МГУ и аспирантуры отделения математики в 1983г. защитил в 1986г. кандидатскую диссертацию. С 1984г. по 2002г. работал в одном и том же институте, который за это время сменил несколько названий: первое было «НИИ школ МП РСФСР», а последнее – «ИОО МО РФ». В 1993г. получил ученое звание старшего научного сотрудника. С 2002г. работаю на кафедре прикладной математики факультета информационных технологий Московского городского психолого-педагогического университета (с 2004г. – в должности профессора).

Являюсь одним из авторов известного сборника «3000 конкурсных задач по математике», учебника по геометрии для 10-11 классов физико-математического направления, получившем в 2009-2011гг. гриф Министерства образования РФ, а также автором многочисленных статей по элементарной геометрии в различных российских и зарубежных изданиях.

Наиболее значительные публикации по геометрии

1. Об одной трудной геометрической задаче. «Квант», №7, 1992, с.46-50. ссылка

2. О прямых Эйлера и окружности девяти точек. Газета «Математика», №43, 2000.

3. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником.Ежегодник «Математическое просвещение», №9, М., 2005. (pdf)

4. О прямых Симсона, кривой Штейнера и кубике Мак-Кэя. Ежегодник «Математическое просвещение», №10, М., 2006. (pdf)

5. Виктор Тебо и его задачи. Ежегодник «Математическое просвещение», №11, М., 2007. (pdf)

6. Окружности шести точек прямоугольного треугольника. «Математическое образование», №2(42), М., 2007. стр. 2 – 11. (pdf)

7. Прямые Эйлера и точки Фейербаха прямоугольного треугольника. «Математическое образование», №4(44), М., 2007, стр. 9-24. (pdf)

8. E.Kulanin, O.Faynshteyn Victor Michel Jean-Marie Thebault, zum 125. Geburtstag am 6. Marz 2007. “Elemente der Mathematik”, №62, Swiss Mathematical Society, Zurich, 2007 (на немецком языке).

9. E.Kulanin, A.Myakishev On Some Conics Related to a Triangle.“Revista de Matematica Din GALATI, Nr.302008/, Galatz, Roumania. pp.10-21 (на английском языке).

10. E.Kulanin, O.Faynshteyn Eigenschaften der Punkte von Feuerbach und Thebault. Wurzel, №2, 2008, Iena, Deutchland. pp. 40-45, (на немецком языке).

11. E.Kulanin, O.Faynshteyn Eigenschaften der Punkte von Feuerbach und Thebault. Wurzel, №3, 2008, Iena, Deutchland. pp. 53-56 , (на немецком языке).

12. E.Kulanin, O.Faynshteyn Nipunktcirklen-en Bemaerkning. «Matematik Magasinet» , № 40, Juni 2008, Frederiksberg, Danmark, pp. 1182-1183 (на датском языке).

13. Средняя линия прямоугольного треугольника и его точки Фейербаха. «Математическое образование», №3(47), М., 2008, стр. 34-38 (pdf)

14. Об одном свойстве точек Фейербаха и Тебо. Материалы открытой школы-семинара учителей математики, МЦНМО, Москва, 2009. (pdf)

15. Куланин Е.Д., Гусев В. А., Мякишев А. Г., Федин С. Н. Геометрия. Профильный уровень: учебник для 10 класса. БИНОМ. Лаборатория знаний. М., 2010г. Получен гриф Министерства образования РФ.

16. E.Kulanin, A.Myakishev Algunas cónicas relacionadas con el triángulo. Revista Escolar de la OIM, Número 42, marzo 2011- junio de 2011. (на испанском языке).

17. Куланин Е.Д., Гусев В. А., Федяев О. И. Геометрия. Профильный уровень: учебник для 11 класса. БИНОМ. Лаборатория знаний. М., 2012г. Получен гриф Министерства образования РФ.

18. Задачи по геометрии, 9 класс. Илекса, М., 2012.

19. Куланин Е.Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. Издание третье

20. Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Прямые Эйлера и точки Фейербаха. Математическое образование, №2, 2012. (pdf)

Большое влияние оказала на меня задача 4328, опубликованная в журнале American Mathematical Monthly в 1949г. [1]. В ней речь идет о прямой Эйлера и окружности девяти точек. Окружность девяти точек иногда называют окружностью Эйлера (1707-1783), в честь великого математика, трехсотлетний юбилей которого отмечался в 2007 году. 4328. Proposed by Victor Thebault, Tennie, Sarthe, France.
Given a triangle ABC whose altitudes are AA’, BB’, CC’. Prove that the Euler lines of the triangles AB’C’, BC’A’, CA’B’ are concurrent on the nine-point circle at a point P which is such that one of the distances PA’, PB’, PC’ equals the sum of the other two.
Естественно, что впервые с этой задачей я познакомился не в оригинале, а в сборнике «Избранные задачи из журнала “American Mathematical Monthly”, М., «Мир», 1977, в котором она была напечатана под номером 261: 261. Прямые Эйлера и окружность девяти точек.
Дан треугольник АВС; АА’,ВВ’, СС’ – его высоты. Доказать, что прямые Эйлера треугольников АВ’С’, А’ВС’, А’В’С пересекаются в такой точке Р окружности девяти точек, для которой один из отрезков РА’, РВ’, РС’ равен сумме двух других отрезков.

Отмечу также, что незаслуженную (или, по крайней мере, неожиданную для меня) популярность получила следующая моя задача: Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основания которых являются диаметрами этой окружности, не пересекающие MN, а стороны АС и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABС, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.
Впервые она была предложена весной 1991года на XII Турнире Городов(ccылка). Затем ее напечатал в 1992г. журнал Квант (задача М1276), в 2001г. ее перепечатал журнал Quantum (Jan./Feb., 2001, Problem M312 , p.11) и, наконец, в 2004г. она попала на страницу 138 книги Mathematical Delights известного канадского математика и популяризатора математики Росса Хонсбергера. На русском языке в серии «Библиотечка Квант» в 1992г. выходила другая интересная книга этого автора – «Математические изюминки».

www.geometry.ru

решебник 5000 конкурсных задач по математике куланин — Блоги

решебник 5000 конкурсных задач по математике куланин; Рейтинг: 8.5/10Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы Сборник конкурсных задач по математике с анализом ошибокНазвание: Сборник конкурсных задач по математике с анализом ошибок (задачи, предложенные на приемных испытаниях в высшие учебные заведения)Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы Сборник конкурсных задач по математике с анализом ошибок Домашняя работа по математике к сборнику под ред. А.Л. Семенова…;Mr.AutismУченик(126), на голосовании2 года назадКиньте ссылку на него там или что то еще как то, ооочень надо;;3000 конкурсных задач по математике, Куланин Е.Д.;5-е изд., испр. — М.: Айрис-пресс, 2003. — 624с.В сборник вошло более 3500 конкурсных задач поматематике, предлагавшихся в ста с лишним вузах России и Белоруссии.Принцип подбора задач и подробная рубрикация делаютзадачник очень удобным для использования школьниками и учителями. Подавляющеебольшинство задач предлагались на вступительных экзаменах в последние 20 лет. Ковсем задачам приведены ответы, ко многим даны указания, а к наиболее трудным итипичным — решения.; решебник на 5000 конкурсных задач по математике куланин / Блог им. addiox3kun / SpeakGood — Блоги;;; Рейтинг: 7.3/10Это пособие содержит полный объем задач, которые присутсвуют в учебниках по данному предмету. Издание будет полезно для каждого школьника, несмотря на количественную оценку уровня интеллекта. Кто-нибудь спишет до конца, а кто то подсмотрит непонятное задание. Существуют и другая группа школьников, кто хотят только проверить домашнюю работу. В любом случае у тебя есть возможность больше не страшиться получить двойку ни за домашнее задание, ни за контрольные работы.;

aeterna.qip.ru

ГДЗ от Путина для 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

• Видеорешения
• Математика
• Английский язык
• Русский язык
• Алгебра
• Геометрия
• Физика
• Химия
• Немецкий язык
• Белорусский язык
• Украинский язык
• Французский язык
• Биология
• История
• Информатика
• ОБЖ
• География
• Природоведение
• Музыка
• Литература
• Обществознание
• Черчение
• Окружающий мир
• Человек и мир
• Астрономия
• Экология
• Технология
• Естествознание
• Испанский язык
• Искусство
• Китайский язык
• Кубановедение

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

Задача.
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение.
Указанные уравнения задают соответствующие поверхности, которыми ограничена фигура, объем которой мы будем находить.
Для вычисления объема поверхности используется формула .
Разберемся сначала, что за тело получится при построении всех поверхностей. Для этого выполним чертеж.
Изобразим сначала параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY. Поскольку проецирование будет проводиться вдоль оси OZ, то в прежде всего нужно разобраться с теми поверхностями, которые являются параллельными данной оси. Обратим внимание, что такие уравнения не содержат букву z. В условии задачи таких уравнений 3:
1. задаёт плоскость YOZ, проходящую через ось OY;
2. задаёт плоскость XOZ, проходящую через ось OX;
3. задаёт плоскость, которая проходит через прямую параллельно оси OZ.
Искомая проекция может представлять собой такой треугольник:

Треугольник будет проекцией в том случае, если его не обрежет какая-нибудь из оставшихся поверхностей.
Проанализируем остальные поверхности.
Выясним, чем тело будет ограничено сверху, снизу и выполним пространственный чертёж.
Вернемся к условию задачи и посмотрим на поверхности, которые остались:
описывает координатную плоскость XOY;
описывает параболический цилиндр, который расположен над плоскостью XOY и проходит через ось ОХ.
Следовательно, проекцией тела действительно будет треугольник.
Обратим внимание, что в условии мы обнаружили избыточность условия, то есть достаточно было меньшее количество уравнений для решения задачи. Например, уравнение плоскости XOZ лишнее, так как поверхность касается оси ОХ и замыкает тело. Но в таком случае проекцию невозможно было бы начертить сразу, а лишь после анализа уравнения поверхности .
Начертим часть параболического цилиндра:

Данный чертеж позволяет определить порядок обхода тела.
Определим порядок обхода проекции. Для этого очень удобно использовать двумерный чертеж. Получаем:

Затем посмотрим на наш трёхмерный чертёж снизу вверх. Сначала мы натыкаемся на плоскость и проходим далее через поверхность . Получаем следующий порядок обхода тела:

Запишем тройной интеграл, от которого перейдём к повторным:

Интегралы будем находить отдельно:
1) Начнем с внутреннего интеграла от переменной z. Согласно формуле Ньютона-Лейбница:

Полученный результат подставим в следующий интеграл от переменной y:

Ответ. куб. ед.

Конечно, решение можно было записать одной строкой, но с пояснениями оно получилось достаточно длинным, но при таком варианте возможность допустить ошибку намного меньше.

ru.solverbook.com

Кратные интегралы, страница 9

Ответ:   1 ед. массы.

Задача 10.15.

Условие: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение:          x² + y² = 8 – уравнение цилиндра.

 — уравнение цилиндра параболического.

Ответ:   16 ед. объёма.

Задача 11.15.

Условие: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение:     ● x² + y² = 6x – уравнение цилиндра.

x² + y² — 6x = 0

x² – 2x·3 + 18 – 18 + y² = 0

(x – 3)² + y² = 18 — уравнение окружности с радиусом .

● z = x² + y² – 36 – уравнение эллиптического параболоида, который обращен вверх.

x² + y² = 36 – уравнение окружности с R = 6.

vunivere.ru

Кратные интегралы, страница 10

Так как область интегрирования круговой сектор, то перейдём к полярным координатам:

, I = r.

● x² + y² = 6x   →   r²cos²φ + r²sin²φ = 6r cosφ

r² = 6r cosφ

r = 6cosφ

● x² + y² = 36   →   r²cos²φ + r²sin²φ = 36

r² = 36

r = 6

Найдём угол φ:

6 = 6 cosφ | : 6

1 =  cosφ | :

φ =

Ответ:   .

Задача 12.15.

Условие: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение:y = 2x² – 1 – уравнение параболического цилиндра.

z = x² – 5y² – 3;  z = x² – 5y² – 6 – уравнения гиперболических параболоидов.

vunivere.ru

Кратные интегралы, страница 11

Ответ:   4 ед. объёма.

Задача 13.15.

Условие: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение:    Определим типы поверхностей:

●  — верхняя полусфера c R=6;

●  — верхняя часть конуса.

Перейдем к сферической системе координат:

.

●    →    r²cos²θ = 36 — r²cos²φ∙sin²θ — r²sin²φ∙sin²θ

r²cos²θ = 36 — r²sin²θ

r²cos²θ + r²sin²θ = 36

r = 6

●    →    r²cos²θ = ( r²cos²φ∙sin²θ + r²sin²φ∙sin²θ)

 r²cos²θ =  r²sin²θ | ∙

 63 cos²θ = sin²θ

  cosθ = sinθ

 θ = arctg .

Ответ:   126 ед. объёма.

Задача 14.15.

Условие: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Репетитор по математике о работе с правилом вычитания отрицательных чисел

Выработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс. От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.

С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах. Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться. В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.

Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?

Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b». Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется. В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?

Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время. Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется. Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:

Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
А) Первое число переписать
Б) Поставить плюс
B) Заменить знак второго числа на противоположный
Г) Сложить полученные числа

Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.

По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)

Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее. В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху. Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.

Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть». Это обязательно! Например, запись следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».

Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.

Как репетитору объяснить переход к сложению?

Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а». Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность». Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».

Дети удивляются словам репетитора и непроизвольно запоминают, что нельзя вычитать числа напрямую. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемыми, и для большей убудительности своих слов сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого записывается тождество a-b=a+(-b)

Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.

Необходимо отдельно остановиться на вычислениях с двумя знаками «минус», расположенными рядом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления. Нужно аккуратно пройти по всем пунктам изложенного алгоритма перехода к сложению. Будет лучше, если в работе с разностью -5- (-3) до каких-либо комментариев репетитор по математике выделит числа -5 и -3 в рамочку или подчеркнет их. Это поможет ученику выделить компоненты действия.

Нацеленность репетитора по математике на запоминание

Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки. Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение. Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).

Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками. Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).

Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков. Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды. Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.

Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например . Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемые Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино.

ankolpakov.ru

Вычитание положительных и отрицательных чисел

ВЫЧИТАНИЕ

Математика, 6 класс

(Н.Я.Виленкин)

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики МОУ «Упшинская основная

общеобразовательная школа» Оршанского района Республики Марий Эл

Смысл вычитания

Задача. Пешеход за 2 часа прошел 9 км. Сколько километров он прошел за первый час, если его путь за второй час равен 4 км?

4 км

? км

9 км

В этой задаче число 9 — сумма двух слагаемых, одно из которых равно 4 , а другое неизвестно.

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

Смысл вычитания

? км

4 км

9 км

Так как 5 + 4 = 9,

то искомое слагаемое равно 5.

Пишут 9 – 4 = 5

9 – 4 = 5

разность

вычитаемое

уменьшаемое

Смысл вычитания

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

– 5 + 14 = 9

9 – 14 = ?

? + 14 = 9

9 – 14 = –5

Подберите неизвестное слагаемое

– 9 – 14 = ?

– 23 + 14 = –9

? + 14 = –9

– 9 – 14 = – 23

Смысл вычитания

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

9 – (–14) = ?

23 + (–14) = 9

? + (–14) = 9

9 – (–14) = 23

Подберите неизвестное слагаемое

– 9 – (–14) = ?

5 + (–14) = –9

? + (–14) = –9

– 9 – (–14) = 5

9 – (–14) = 23

9 – 14 = –5

9 + (–14) = –5

9 + 14 = 23

– 9 – (–14) = 5

– 9 – 14 = – 23

– 9 + (–14) = – 23

– 9 + 14 = 5

Подумайте, как вычитание заменить сложением.

ПРАВИЛО. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

ВЫЧИТАНИЕ

а – b = a + ( –b )

15 – 18 = 15 + ( –18 ) =

15 – ( –18 ) = 15 + 18 =

ВЫЧИТАНИЕ

Замените вычитание сложением и найдите значение выражения:

12 – 20 =

3,4 – 10 =

– 10 – ( –13 ) =

– 1,2 – ( –1,3 ) =

17 – ( –13 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 21 – 13 =

– 5,1 – 4,9 =

ВЫЧИТАНИЕ

5 – 10 = 5 + ( – 10 )

ПРАВИЛО. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму

Назовите каждое слагаемое в сумме:

5 – 10 + 7 –15 –23 =

– n + y – 9 + b – c – 1 =

ВЫЧИСЛИТЕ:

– 10 + 7 – 15 =

12 – 17 – 11 =

12 + 23 – 41 =

– 2 – 33 + 20 =

24 – 75 + 20 =

6 – 2 –5 ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого . «

8 – 6 =

2

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 2 – ( –5 ) =

3

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Сравните уменьшаемое и вычитаемое в примерах.

Когда разность двух чисел положительна?

8 6

– 2 –5

ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого .

10 – 15 =

– 5

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 8 – ( –6 ) =

– 2

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Сравните уменьшаемое и вычитаемое в примерах.

Когда разность двух чисел отрицательна?

10 15

– 8 –6

ПРАВИЛО. Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого .

Подумайте, когда разность двух чисел равна 0. Приведите примеры.

0

–

=

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Определите знак разности, не производя вычислений:

– 12 – ( –13 ) =

3,4 – 10 =

15 – ( –11 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 5,1 – 4,9 =

– 31 – 23 =

Нахождение длины отрезка

-5

-1

-2

-3

-4

3

4

2

1

О

А

В

х

А (–3)

– 3 + х = 4

х = 4 – (–3) = 7

В (4)

АВ — ?

АВ = 7 ед.

ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Нахождение длины отрезка

-5

-1

-2

-3

-4

3

4

2

1

О

А

В

А (–1)

АВ = –1 – (–5) = 4 ед.

В (–5)

АВ — ?

АВ = 4 ед.

ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Вопросы для закрепления:

• Что означает вычитание отрицательных чисел?
• Как вычитание заменить сложением?
• Когда разность двух чисел положительна?
• Когда разность двух чисел отрицательна?
• Когда разность двух чисел равна нулю?
• Как найти длину отрезка на координатной прямой?

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна,

учитель начальных классов МАОУ лицей №21 , г. Иваново

НЕМНОГО ИСТОРИИ

Индийские математики пред-ставляли себе положительные числа как «имущества» , а отрицательные числа как «долги»

Правила сложения и вычитания, излагаемые Брахмагуптой:

• «Сумма двух имуществ есть имущество».
• «Сумма двух долгов есть долг»

• «Сумма имущества и долга равна их разности»

Брахмагупта, индийский математик и астроном.

(598—670)

multiurok.ru

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Действия с отрицательными числами — совсем не сложная для понимания тема. И сложение, и вычитание производятся элементарно и легко подтверждаются проверкой на координатной прямой. Однако рисовать ее для каждого выражения было бы неудобно, кроме того, обилие знаков отвлекает внимание.

Чтобы не путаться, будет проще запомнить несколько простых правил. Приведем их с краткими пояснениями.

Сложение отрицательных чисел

Главное, что нужно запомнить — при сложении чисел со знаком «минус» их сумма также будет отрицательной. Сделать нужно следующее:

• Взять модули обоих отрицательных чисел, или их абсолютные величины. Это очень просто, поскольку для любого числа со знаком «минус» модулем будет само же это число, но со знаком «плюс».
• Сложить модули между собой.
• Поставить «минус» перед числом, получившимся в ответе.

В числовом виде это выражается следующим образом: (-a) + (-c), то берем и складываем |a| и |с|, а затем ставим «минус» в ответе. Иными словами, (-а) + (-с) = — (а + с).

Вычитание отрицательных чисел

Правило вычитания выглядит немного сложнее, чем предыдущее — но все равно остается очень легким. Чтобы выполнить действие по вычитанию, необходимо прибавить к уменьшаемому вычитаемое со знаком, измененным на противоположный. В числовой записи это выглядит так: а – с = а + (-с). Можно записать правило и немного иначе: (-а) – (-с) = -а + с.

Приведем пару образцов.

• Для начала сложим между собой два произвольно взятых отрицательных числа. Например, — 5 + (- 10) = — (5 + 10) = — 15. Правило, приведенное выше, полностью подтверждается.
• Теперь попробуем вычесть – 7 из – 20. Согласно рассмотренному правилу, -20 – (-7) = -20 + 7 = — 13. Решение снова получается верным, правило подтверждается.

Перечисленные правила для сложения и для вычитания одинаковым образом работают для всех отрицательных чисел — вне зависимости от того, идет ли речь о целых, о дробях или о смешанных числах. В последних двух случаях числа нужно просто привести в наиболее удобный для действий с ними вид — а затем применять указанные правила.

Кстати, вычитание из отрицательного числа того же самого отрицательного числа всегда дает нуль в ответе. Здесь нужно помнить о противоположных числах — ведь согласно правилу, выражение вида (-а) – (-а) в итоге приобретет вид – а + а. В таких случаях подробных действий над выражением можно не производить и сразу уверенно ставить в ответе 0.

Похожие статьи

infoogle.ru

Вычитание положительных и отрицательных чисел

Цель:

научить вычитать положительные и отрицательные числа.

Задачи:

1. Образовательные:

а) повторить сложение чисел с помощью координатной прямой; правило сложения отрицательных чисел; правило сложения чисел с разными знаками;

б) изучить правило вычитания положительных и отрицательных чисел;

в) сформировать первичные навыки и умения при вычитании положительных и отрицательных чисел

г) учить осознанно ставить цель изучения темы, определять результат, порядок ее изучения;

2. Развивающие:

а) развивать мотивацию к изучению математики;

б) развивать умение анализировать новый материал и делать выводы;

в) развивать умение использовать правило вычитания на конкретных примерах;

г) развивать умение отвечать на вопросы полным предложением на материале урока.

3. Коррекционные:

а) развивать память на материале урока;

б) развивать логическое мышление на материале урока;

в) развивать умение следить за своим произношением, исправлять ошибки в своей речи и в речи товарищей.

4. Воспитательные:

а) воспитывать интерес к урокам математики;

б) учить осознавать ценность уроков математики.

Ход урока.

I. Организация начала урока.

(2 мин)

— Здравствуйте, ребята!

+ Здравствуйте!

— К нам на урок пришли гости, поприветствуйте их.

II. Основная часть.

1. Сообщение темы.

(7 мин)

Какие числа мы изучаем?

+ Мы изучаем положительные и отрицательные числа.

— Сегодня на уроке мы изучим новое правило.

Но сначала сформулируем тему.

 — Посмотрите на доску. Устный счёт.

Последний пример 7 ‒ (-20)

— На какое математическое действие этот пример?

— Какие числа надо вычесть?

— Сформулируйте тему урока.

+ Тема урока: Вычитание положительных и отрицательных чисел.

— Верно. Откройте тетради. Запишите число, классная работа и тему урока.

Весь материал — в архиве.

videouroki.net

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Начнем с простого примера. Определим, чему равно выражение 2-5. От точки +2 отложим вниз пять делений, два до нуля и три ниже нуля. Остановимся на точке -3. То есть 2-5=-3. А теперь обратите внимание, что 2-5 совсем не равно 5-2. Если в случае сложения чисел их порядок не имеет значения, то в случае вычитания все обстоит по-другому. Порядок чисел имеет значение.

Теперь перейдем в отрицательную область шкалы. Предположим, надо к -2 прибавить +5. (С этого момента мы будем ставить знаки «+» перед положительными числами и заключать в скобки как положительные, так и отрицательные числа, чтобы не путать знаки перед числами со знаками сложения и вычитания.) Теперь нашу задачу можно записать как (-2)+(+5). Чтобы ее решить, от точки -2 вверх поднимемся на пять делений и окажемся на точке +3.

Есть ли в этой задаче какой-то практический смысл? Конечно есть. Предположим, у вас есть долг 2 доллара, а вы заработали 5 долларов. Таким образом, после того, как вы отдадите долг, у вас останется 3 доллара.

Можно также двигаться вниз по отри­цательной области шкалы. Предположим, нужно из -2 вычесть 5, или (-2)-(+5). От точки -2 на шкале отложим вниз пять делений и окажемся в точке -7. Какой практический смысл у этой задачи? Предположим, у вас был долг 2 доллара и вам пришлось занять еще 5. Теперь ваш долг равен 7 долларам.

Мы видим, что с отрицательными чис­лами можно проводить такие же операции сложения и вычитания, как и с положительными.

Правда, мы еще освоили не все операции. К отрицательным числам мы прибавляли только положительные числа и вычитали из отрицательных чисел только положительные. А как действовать, если надо складывать отрицательные числа или из отрицательных чисел вычитать отрицательные?

На практике это похоже на операции с долгами. Предположим, с вас списали долг 5 долларов, это означает то же самое, как если бы вы получили 5 долларов. С другой стороны, если я каким-то образом заставлю вас принять ответственность за чей- то долг в 5 долларов, это то же самое, что забрать у вас эти 5 долларов. То есть вычесть -5 – это то же самое, что прибавить +5. А прибавить -5 – это то же самое, что вычесть +5.

Это позволяет нам избавиться от операции вычитания. Действительно, «5-2» – это то же самое, что (+5)-(+2) или согласно нашему правилу (+5)+(-2). И в том и в другом случае мы получаем один и тот же результат. От точки +5 на шкале нам нужно спуститься вниз на два деления, и мы получим +3. В случае 5-2 это очевидно, ведь вычитание – это движение вниз.

В случае (+5)+(-2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, а это означает движение вверх по шкале, но мы прибавляем отрицательное число, то есть совершаем обратное действие, и эти два фактора, взятые вместе, означают, что нам надо двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении, то есть вниз.

Таким образом, мы опять получаем ответ +3.

Почему, собственно, нужно заменять вычитание сложением? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто двигаться вниз? Причина заключается в том, что в случае сложения порядок слагаемых не имеет значения, в то же время в случае вычитания он очень важен.

Мы уже выяснили раньше, что (+5)-(+2) — это совсем не то же самое, что (+2)-(+5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2)+(+5) и (+5)+(-2) в результате дают +3. Таким образом, переходя на сложение и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой слагаемых.

Аналогично можно действовать при вычитании отрицательного числа. (+5)-(-2) – это то же самое, что (+5)+(+2). И в том и в другом случае мы получаем ответ +7. Мы начинаем с точки +5 и двигаемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы бы действовали, решая выражение (+5)+(+2).

Замену вычитания сложением ученики активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «алгебраическим сложением». На самом деле это не совсем справедливо, поскольку такая операция, очевидно, является арифметической, а совсем не алгебраической.

Данные знание неизменны для всех, так что даже если вы будете получать образование в Австрии через www.salls.ru, хотя обучение за границей ценится выше, но и там вы сможете применить данные правила.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел?(пожалуйста,напишите,очень нужно)

) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак. П р и м е р ы : ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ; ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 . 2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной. П р и м е р ы : ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ; ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 . Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком. П р и м е р ы : ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3; ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13; ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3; ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/volsk-sity/_answers/i-7.jpg» >

) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак. П р и м е р ы : ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ; ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 . 2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной. П р и м е р ы : ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ; ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 . Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком. П р и м е р ы : ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3; ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13; ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3; ( – 8 ) – ( + 5 ) = (

touch.otvet.mail.ru

Урок «Вычитание положительных и отрицательных чисел»

Мотивационный.

1.Беседует с классом. «Всегда ли существует в реальности то, что мы видим ? Вот, например, изображение треугольника Пенроуза: Изготовить его из прямолинейных отрезков невозможно. Но ведь на рисунке он существует. Еще один пример: сумма величин 34599023 т и 1008456т. Увидеть тело такой массы на Земле нереально, но ведь это не исключает возможности сложения указанных величин. По аналогии следует предположить, что всегда существует разность двух чисел, будь они одного или разных знаков» 2.«Пользуясь представлениями о координатной прямой, выполните действия…» 3. «Предлагаю выдвинуть и обосновать гипотезы: а) при двух отрицательных движениях всегда получаем…; б) при двух положительных движениях всегда получаем …; в) если движение в отрицательном направлении больше по модулю движения в положительном направлении, то получаем …; г). если движение в положительном направлении больше по модулю движения в отрицательном направлении, то получаем …. 4. Приведите примеры сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел в реальной жизни.

1.Слушают, отвечают на вопросы, приводят примеры и контрпримеры. 2.Найти значение выражения, пользуясь координатной прямой: Что означает движение, заданное числами 3.Дополняют утверждение (гипотезу). Обосновывают или опровергают ее. Приводят примеры и контрпримеры.

3.Эвристический.

1.Предлагает выбрать выражения, являющиеся суммами: 2.Что мешает указанному выбору ? Как преобразовать выражение так, чтобы оно стало «явной» суммой ? Найдите значения полученных выражений. 3.В каком случае сумма двух чисел находится по правилу: 3.1.Сложить модули слагаемых, а перед полученной суммой поставить общий знак. 3.2.Из большего модуля вычесть меньший модуль. Перед полученной суммой поставить знак числа, имеющего больший модуль. Приведите примеры вычислений по указанным правилам. 4.Объясните смысл формул Найдите в учебнике (п.34, стр.185) словесное описание второй формулы. Приведите примеры вычислений по указанным формулам.

1.Производят выбор выражений, являющихся суммами. 2.Очевидно, что выбору сумм «мешает» знак «-» . Преобразуют выражения в суммы: 3.Выдвигают гипотезы. Приводят примеры и контрпримеры. Обосновывают предположения. 4.Объясняют смысл формул. Работают с текстом учебника (поиск информации). Приводят примеры.

4.Тренировочный.

Предлагает список задач для тренинга. Организует их выполнение. Контролирует процесс решения и правильность выполнения. Привлекает обучающихся к оценке решения и правильности результата.

Выполняют задания из учебника №№ 1096, 1098, 1099. Высказывают оценочные суждения. Осуществляют личностную рефлексию.

5.Диагностический.

Предлагает задания для самостоятельного выполнения. Контролирует соблюдение принципа самостоятельности.

Выполняют задания: (-43) Сдают работы на проверку. Критерии оценивания: «5» 10 верных ответов; «4» 8-9 верных ответов; «3» 6-7 верных ответов.

6.Домашнее задание.

Предлагает выполнить домашнее задание : Обязательная часть: № 1109. Вариативная часть: на интернет-ресурсах https://metaschool.ru, http://www.yaklass.ru выполнить домашнее задание (тест, тренинг) по теме «Сложение и вычитание положительных чисел».

Получают инструкцию по выполнению домашнего задания.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Квантили

Квантили — величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей.

Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Квартили

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные по количеству элементов части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой. Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

1 квартиль

2 квартиль

медиана

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.

1 квартиль 3 квартиль

Расчет квартилей для дискретного ряда:

Пример . Расчет медианы и квартилей.

Фирма по продаже сувениров желает узнать рабочую выработку. В данном списке представлено количество сувениров, сделанных каждым рабочим за какой-то день:

92, 100, 89, 98, 101, 84, 113, 93, 81, 14, 113, 86, 98, 99, 105, 88, 101, 89, 93, 102, 101, 99, 87, 109, 92, 99, 111, 98, 102, 95

В вариационном ряду 30 значений: 14, 81 84, 86, 87, 88, 89, 89, 92, 92, 93, 93, 95, 98, 98, ↓, 98, 99, 99, 99, 100, 101, 101, 101, 102, 102, 105, 109, 111, 113, 113.

Найдём верхнюю и нижнюю квартили. Медиана делит вариационный ряд на 15 значений (условное значение обозначено стрелкой). Верняя квартиль – 8-е значение, нижняя — 23-е значение. Q₁= 89, Q₂= 101 (шт)

Расчет квартилей для дискретного ряда:

1. В дискретном ряду сначала определяют номера (позиции) квартилей:

позиция 1-го квартиля

позиция 3-го квартиля

2. Если номер квартиля – целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, если квартиль находится в 20-й позиции, его значение будет равно значению 20-го наблюдения.

Если номер квартиля – нецелое число, то квартиль попадает между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между этим наблюдением и следующим. Например, если позиция квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

Расчет квартилей для интервального ряда:

Для расчета квартилей для интервального ряда

1. Определяем номер квартиля,

2. Определяем квартильный интервал,

3. Рассчитываем квартиль по формуле:

Где:

— нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль. Интервал определяется по сумме накопленных частот, не превышающей 25 % от суммы всех частот, — нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль. Интервал определяется по сумме накопленных частот, превышающей 75 % от суммы всех частот. — ширина интервала — накопленные частоты интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль — накопленные частоты интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль — частота интервала, содержащего нижний квартиль — частота интервала, содержащего верхний квартиль

Децили

Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Таким образом, различают 9 децилей.

Рассчитываются децили по аналогичным формулам:

1. Определяем номер дециля по формуле:

2. Если номер дециля – целое число, то значение дециля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру дециля. Например, если дециль находится в 20-й позиции, его значение будет равно значению 20-го наблюдения. Если номер дециля – нецелое число, то дециль попадает между двумя наблюдениями. Значением дециля будет сумма значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера дециля, и указанной части (нецелая часть номера дециля) разности между этим наблюдением и следующим. Например, если позиция дециля равна 20,25, дециль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

3. Для интервального ряда:

– значение j-го дециля, — нижняя граница децильного интервала; — ширина децильного интервала; – сумма всех частот, -накопленная частота интервала, предшествующего децильному; — частота децильного интервала.

studfiles.net

Квартили в статистике | univer-nn.ru

Аналогично определению медианы вычисляются значения признака, делящие совокупность на 4 равные по численности части – квартили, которые обозначаются заглавной латинской буквой Q с подписным значком номера квартиля. Для первого и третьего квартилей приводим формулы и расчет:

Первый квартиль

Значение квартиля Q1 находится в интервале 68,98 – 71,70, соответствующего частоте fQ1 = 150:4 = 37,5

Третий квартиль

Значение квартиля находится в интервале 68,98 – 71,70, соответствующего частоте fQ3 = (3*150):4 = 112,5

Примеры работ

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

univer-nn.ru

Квартиль 2019

Что такое «квартиль»

Квартал — это статистический термин, описывающий разделение наблюдений на четыре определенных интервала, основанные на значениях данных и их сравнении со всем набором наблюдений ,

Старайтесь не путать четверть с квартикой.

BREAKING DOWN ‘Quartile’

Чтобы понять квартиль, важно понять медиану как меру центральной тенденции. Медиана в статистике — это среднее значение набора чисел. Это точка, в которой ровно половина данных лежит ниже и выше центрального значения. Итак, учитывая набор из 13 чисел, медиана будет седьмым числом. Шесть чисел, предшествующих этому значению, являются наименьшими числами в данных, а шесть чисел после медианы являются наивысшими числами в приведенном наборе данных. Поскольку медиана не зависит от экстремальных значений или выбросов в распределении, иногда это бывает предпочтительнее среднего.

Чему равна средняя линия трапеции

Добрый вечер!
Спасибо за обращение к нам.
Давайте сначала вспомним, что трапеция — это четырёхугольник у которого параллельны две стороны (основания), а другие — нет (боковые стороны).
А средняя линия — это отрезок, который соединяет середины боковых сторон.
А теперь давайте подумаем, чему равна средняя линия трапеции. Как мне кажется, то это легче всего сделать через площадь трапеции (то есть Ваше предположение верно). Давайте вспомним, какую формулу площади тут следует использовать: 

где m — средняя линия трапеции, а h — её высота.
Давайте попробуем, через данную формулу выразить среднюю линию трапеции: 

Как видим, знать площадь — маловато.
Давайте рассмотрим задачу. Нам дана трапеция ABCD, KB — средняя линия, BM — высот, которая равна 5 см. А площадь равна 100 см . Теперь поймём, чему равна средняя линия трапеции: 

Ответ:  см

ru.solverbook.com

Средняя линия трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её векторным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

стороны, вершины и углы. Виды треугольников

Треугольник – это выпуклый многоугольник с наименьшим числом углов и сторон. Треугольник образуется замкнутой ломаной, состоящей из трёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

В тексте треугольники обозначаются символом Δ и тремя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах – ΔABC:

В треугольнике ABC точки A, B и C – это вершины треугольника, отрезки AB, BC и CA – стороны треугольника. Углы, образованные сторонами треугольника, называются углами треугольника.

Нижнюю сторону треугольника обычно называют основанием. В треугольнике ABC сторона AC – основание.

Виды треугольников

Треугольники различаются между собой, во-первых, по характеру углов, во-вторых, по характеру сторон.

По характеру углов треугольник называется:

• Остроугольным, если все его углы являются острыми.
• Прямоугольным, если один угол прямой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенузой.
• Тупоугольным, если один из его углов тупой.

По характеру сторон треугольник называется:

• Разносторонним, если все его стороны имеют различную длину.
• Равнобедренным, если две его стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
• Равносторонним, если все три его стороны равны между собой. В равносторонних треугольниках все три угла равны.

Равные стороны стороны на чертежах отмечаются одинаковым количеством чёрточек.

naobumium.info

Треугольник — Циклопедия

Приказ Министерства экономического развития Российской Федерации (Минэкономразвития России) от 30 сентября 2011 г. N 531 г. Москва «Об утверждении Требований к определению площади здания, помещения»

Зарегистрирован в Минюсте РФ 7 ноября 2011 г.

Регистрационный N 22231

В соответствии с частью 10 статьи 41 Федерального закона от 24 июля 2007 г. N 221-ФЗ «О государственном кадастре недвижимости» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 31, ст. 4017; 2008, N 30, ст. 3597, 3616; 2009, N 1, ст. 19; N 19, ст. 2283; N 29, ст. 3582; N 52, ст. 6410, 6419; 2011, N 1, ст. 47; N 23, ст. 3269; N 27, ст. 3880; N 30, ст. 4563, 4594) приказываю:

Утвердить Требования к определению площади здания, помещения согласно приложению.

Министр Э. Набиуллина

Требования к определению площади здания, помещения

I. Общие требования к определению площадей

1. Площадь и общая площадь здания, помещения определяются как площадь простейшей геометрической фигуры (прямоугольник, трапеция, прямоугольный треугольник и т. п.) или путем разбивки такого объекта на простейшие геометрические фигуры и суммирования площадей таких фигур.

2. Значение площади и общей площади здания, помещения определяется в квадратных метрах с округлением до 0,1 квадратного метра, а значения измеренных расстояний, применяемые для определения площадей, — метрах с округлением до 0,01 метра.

3. Для помещений в зданиях, возведенных по типовым проектам из сборных конструкций заводского изготовления с типовой планировкой на этажах, допускается производить определение площадей по подвальному, первому и типовому этажу. Для последующих этажей площадь может быть принята по типовому, за исключением помещений, в которых имеются изменения планировки.

II. Определение площади здания, помещения

4. Площадь здания определяется как сумма площадей всех надземных и подземных этажей (включая технический, мансардный, цокольный).

Площадь этажа следует измерять в пределах внутренних поверхностей наружных стен на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола.

Площадь этажа при наклонных наружных стенах измеряется на уровне пола.

В площадь здания включается площадь антресолей, галерей и балконов зрительных и других залов, веранд, наружных застекленных лоджий и галерей.

В площадь здания отдельно включается также площадь открытых неотапливаемых планировочных элементов здания (включая площадь эксплуатируемой кровли, открытых наружных галерей, открытых лоджий и т.п.).

Площадь многосветных помещений, а также пространство между лестничными маршами более ширины марша и проемы в перекрытиях более 36 квадратных метров следует включать в площадь здания в пределах только одного этажа.

5. Площадь помещения определяется как сумма площадей всех частей такого помещения, рассчитанных по их размерам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и перегородок на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола.

III. Определение общей площади жилого помещения, жилого дома

6. Общая площадь жилого помещения, жилого дома состоит из суммы площади всех частей такого помещения, жилого дома, включая площадь помещений вспомогательного использования, предназначенных для удовлетворения гражданами бытовых и иных нужд, связанных с их проживанием в жилом помещении, за исключением балконов, лоджий, веранд и террас.

К площади помещений вспомогательного использования относятся площади кухонь, коридоров, ванн, санузлов, встроенных шкафов, кладовых, а также площадь, занятая внутриквартирной лестницей.

Измерение расстояний, применяемых для определения общей площади жилого помещения, жилого дома, производится по всему периметру стен на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола.

При определении общей площади жилого помещения, жилого дома надлежит:

— площадь ниш высотой 2 метра и более включать в общую площадь помещений, в которых они расположены. Площади арочных проемов включать в общую площадь помещения, начиная с ширины 2 метра;

— площадь пола под маршем внутриквартирной лестницы, при высоте от пола до низа выступающих конструкций марша 1,6 метра и более, включать в общую площадь помещения, в котором расположена лестница;

— площадь, занятую выступающими конструктивными элементами и отопительными печами, а также находящуюся в пределах дверного проема, в общую площадь помещений не включать.

При определении общей площади помещений мансардного этажа учитывается площадь этого помещения с высотой от пола до наклонного потолка:

1,5 метра — при наклоне 30 градусов к горизонту;

1,1 метра — при 45 градусах;

0,5 метра — при 60 градусах и более.

При промежуточных значениях высота определяется по интерполяции.

rg.ru

Общая площадь здания: состав, измерение, расчет

Общую площадь здания необходимо знать для определения:

• стоимости строения;
• объемов и характера перепланировочных или реконструкционных работ;
• размера доли в праве общей долевой собственности и т. д.

В основу определения общей площади зданий положен:

• свод нормативных правил СНиП 31−06−2009, утвержденный приказом № 635/10 Мин-ва рег. развития РФ от 29.12. 2011 г.;
• приказ № 876/пр Минстроя РФ от 3.12.2016 г. об изменениях в правилах.

Здание — это сложное сооружение, в которое, кроме обычных этажей, входят цокольный и подвальный этажи, надстройки, мансарды, лоджии, переходы, лестничные марши, шахты и пр. Все это необходимо также рассчитать. Как рассчитывается общая площадь здания — тема настоящей статьи.

Содержание страницы

Общая площадь здания: что включает, как измерить ее и посчитать

Состав ОПЗ

Общая площадь здания (ОПЗ) определяется как сумма общих площадей:

• каждого этажа, в т. ч.технического, подвального, цокольного, а также надстроек типа мансарды;
• всех помещений, вне зависимости от их высоты:
  • зрительных галерей, веранд, балконов;
  • застекленных балконов, лоджий и галерей наружного типа;
  • переходов в другие здания;
  • антресолей;
• пространственных помещений, маршей, проемов и шахт в пределах одного этажа:
  • многосветных пространств, занимающих по своей высоте несколько этажей;
  • лестничных проемов, ширина которых превышает 1.5 м;
  • проемы в перекрытиях свыше 36 м²;
  • вентиляционные и лифтовые шахты;
• открытых наружных неотапливаемых элементов планировки (используемой части кровли, галерей, террас, лоджий, тамбуров и пр.), которые отдельно включаются в общую площадь.

Все конструктивно глухие (засыпанные) пространства в подвальных помещениях в ОПЗ не включаются.

Измерение площади этажа (ПЭ)

Каждый этаж здания ограждается наружными стенами, которые имеют внутреннюю поверхность с финишной отделкой. Именно от этих поверхностей (а не от голого бетона) следует измерять площадь этажа. Это означает, что точное значение ПЭ можно знать после полного завершения строительных отделочных работ. Измерять S этажа следует на уровне пола. Это правило касается как прямых, так и наклонных наружных стен.

Что такое полезная площадь здания

В полезную площадь здания (ППЗ) входят площади всех помещений, включая внутренние балконы или антресоли (атрибуты залов, вестибюльных помещений или фойе). Не принимаются во внимание при расчете полезной площади коммуникационные, инженерные технические и лифтовые шахты, лестничные клетки, неогражденные лестницы внутри помещения, пандусы.

Расчетная площадь

Расчетная площадь здания (РПЗ) — почти то же самое, что и полезная, но из нее дополнительно вычитается S коридоров, переходов между зданиями, тамбуров.

Внимание: площадь коридоров входит в расчетную площадь в учебных заведениях, медицинских учреждениях, санаториях, домах отдыха, административных зданиях, ведущих прием населения и подобных учреждениях.

Не включается в РПЗ пространство под лестницами, если их высота ниже 1.5 м.

Что нельзя считать общей или полезной площадью

К ОПЗ и ППЗ не относятся площади:

• подполий для вентиляции в зданиях, построенных в зонах вечной мерзлоты;
• технических подполий, при высоте выступающих в нем конструкций менее, чем 1.8 м;
• крылец, наружных лестниц и пандусов;
• наружных балконов;
• подвальных пространств, заполненных землей.

Как определить площадь помещения здания (ППЗ)

Помещение ограничивается как наружными стенами, так и внутренними перегородками, отделяющими его от других помещений. Внутренние поверхности наружных стен и перегородок — вот пределы, между которыми необходимо считать ППЗ. Измерение проводится на уровне пола, но выше плинтусов, то есть данный элемент отделки в расчет не принимается.

Измерение площади мансарды (ПМ)

Мансардный этаж ограничивается наружными стенами и ограждениями, примыкающими к пазухам чердака. S мансарды рассчитывается от внутренних поверхностей этих ограничений. Особенностью мансарды является наклон стен или потолка, иногда значительный. Поэтому для определения ПМ используют понижательный коэффициент (ПК), уменьшающий измеренную площадь на 30%, то есть расчетную площадь следует умножить на 0.7. Но применить ПК можно не во всех случаях, а в зависимости от высоты мансарды и угла наклона ее стен (потолка):

• при угле наклона 30º, высота не должна превышать 1.5 м;
• 45º — 1.1 м;
• 60º и более — до 0.5 м (непонятно, как вообще можно находиться в столь низком помещении).

Что такое строительный объем здания

Здание состоит из наземной и подземной частей, разделенных линией пола.

Строительный объем — это сумма объемов:

• надземной части, включая купола и фонари, но без следующих элементов:
  • выступающих конструкций в виде балконов, портиков, террас;
  • проездов, устроенных прямо под зданием.
• подземной части, за исключением:
  • подземного пространства для зданий на опорах;
  • подполий для проветривания в зданиях северных широт;
  • подпольных технических каналов.

Как определить площадь застройки

Общая площадь здания и площадь застройки — это разные понятия.

Площадь застройки здания определяется как S горизонтального сечения здания на уровне цоколя вместе с выступающими его частями, в том числе и расположенные выше линии сечения.

Учитываются при подсчете:

• ступени, террасы, колонны, подвальные входы, веранды и пр.;
• консольные элементы, выступающие за пределы наружных стен, расположенные на высоте не более 4.5 м;
• проезды.

Выступающие консоли, расположенные выше 4.5 м, не учитываются при определении площади застройки.

Как посчитать количество этажей

Этажность здания и количество этажей — разные вещи, что не вполне отражено в своде правил.

Под этажностью обычно понимают количество надземных этажей в построенном и сданном в эксплуатацию здании.

К надземным этажам относятся:

• обычные этажи;
• технический этаж;
• цокольный (полуподвальный) этаж, если его потолочное перекрытие находится не ниже двух метров от уровня земной поверхности;
• антресоли, площадки и другие поверхности площадью не более 40% от ПЭ.

Не считаются надземными этажами:

• чердаки высотой менее 1.8 м;
• подполье;
• пространство между этажами;
• технические надстройки на крыше (выходы вентиляционных и лифтовых шахт, этажных лестниц и др.).

При проектировании здания и его регистрации используется также термин «кол-во этажей», однако он шире и включает в себя надземные, технические, цокольные, подвальные, мансардные этажи. Все они вносятся в кадастр недвижимости.

• Здание может быть многоуровневым, то есть в разных его частях может быть разное количество этажей (частая причина этому уклон местности).
• Для расчета высоты подъема лифта учитывается только технический этаж (чердаки во внимание не принимаются).

Что такое торговая площадь

В торговую площадь магазина входят:

• S торговых залов;
• помещений для оформления и выдачи заказов;
• кафетерии и детские площадки;
• другие помещения для обслуживания покупателей.

Краткие итоги

• Общая площадь здания слагается не только из S этажей, а и других помещений (лоджий, антресолей, террас и пр.), в том числе и пространственного типа (световых и шахтовых), и наружных элементов планировки.
• При проектировании и эксплуатации здания необходимо отличать общую площадь от полезной и расчетной, а также уметь определить площадь застройки здания.
• Хотя здание и состоит из внутренних помещений (квартир, офисов, торговых залов и пр.) их площади не суммируются для определения S этажа: она определяется в границах внутренних поверхностей наружных стен дома.
• Знать площадь помещения в здании важно, например, для расчета арендной платы.
• Визуальное количество этажей здания может быть меньше, чем в техническом плане в ЕГРН.

Оценка статьи:

Загрузка…

moezhile.ru

ЛЕКЦИЯ_2_текст — Стр 2

Правила подсчета основных объемно-планировочных параметров общественных зданий

Общая площадь общественного здания определяется как сумма площадей всех этажей (включая технические, мансардный, цо­кольный и подвальные).

Площадь этажей зданий следует измерять в пределах внутрен­них поверхностей наружных стен. Площадь антресолей, перехо­дов в другие здания, остекленных веранд, галерей и балконов зрительных и других залов следует включать в общую площадь здания. Площадь многосветных помещений следует включать в общую площадь здания в пределах только одного этажа. При на­клонных наружных стенах площадь этажа измеряется на уровне пола.

Полезная площадь общественного здания определяется как сум­ма площадей всех размещаемых в нем помещений, а также балко­нов и антресолей в залах, фойе и т.п., за исключением лестнич­ных клеток, лифтовых шахт, внутренних открытых лестниц и пан­дусов.

Расчетная площадь общественных зданий определяется как сум­ма площадей всех размещенных в нем помещений, за исключени­ем коридоров, тамбуров, переходов, лестничных клеток, лифто­вых шахт, внутренних открытых лестниц, а также помещений, предназначенных для размещения инженерного оборудования и инженерных сетей.

В нормируемую площадь здания включаются:

— S коридоров, используемых в качестве рекреационных помещений в зданиях учебных заведений, зданиях боль­ниц, санаториев, домов отдыха, кинотеатров, клубов и других учреждений, предназначенных для отдыха или ожидания,

— S радиоузлов, коммуникационных, подсобных поме­щений при эстрадах и сценах, киноаппаратных, ниш шириной не менее 1 м, высотой 1,8 м и более (за исключением ниш инже­нерного назначения), а также встроенных шкафов (за исключе­нием встроенных шкафов инженерного назначения)

В общую, полезную и расчетную площади зданий не включается:

— S подполья для проветривания здания, (строительство на вечномерзлых грунтах),

— S чердака, техни­ческого подполья (технического чердака) при высоте от пола до низа выступающих конструкций менее 1,8 м,

— S лоджий, тамбуров, наружных балконов, портиков, крылец, наружных от­крытых лестниц.

Площадь помещений зданий следует определять по их разме­рам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и пе­регородок на уровне чистого пола (без учета плинтусов). При определении площади мансардного помещения учитывается пло­щадь этого помещения с высотой наклонного потолка не менее 1,6 м.

Строительный объем здания определяется как сумма строи­тельного объема выше отметки +0,00 (наземная часть) и ниже этой отметки (подземная часть). Строительный объем надземной и подземной частей здания определяется в пределах ограничива­ющих поверхностей с включением ограждающих конструкций, световых фонарей, куполов, начиная с отметки чистого пола каждой из частей здания, без учета выступающих архитектурных деталей и конструктивных элементов, подпольных каналов, пор­тиков, террас, балконов, объема проездов и пространства под зданием на опорах (в чистоте), а также проветриваемых подпо­лий под зданиями, проектируемыми для строительства на веч­номерзлых грунтах.

Площадь застройки здания определяется как площадь горизон­тального сечения по внешнему обводу здания на уровне цоколя, включая выступающие части. Площадь под зданием, расположен­ным на столбах, а также проезды под зданием включаются в пло­щадь застройки.

При определении этажности здания в количество этажей вклю­чаются все надземные этажи, в том числе технический, мансард­ный, а также цокольный этаж, если верх его перекрытия нахо­дится выше средней планировочной отметки земли не менее чем на 2 м.

Подполье для проветривания под зданиями, проектируемыми для строительства на вечномерзлых грунтах, в количество надземных этажей не включается.

При различном количестве этажей в разных частях здания, а также при размещении здания на участке с уклоном, когда за счет уклона увеличивается количество этажей, этажность опреде­ляется отдельно для каждой части здания.

Технический этаж, расположенный над верхним этажом, при определенной этажности здания не учитывается.

Торговая площадь магазина определяется как сумма площадей торговых залов, помещений приема и выдачи заказов, зала кафе­терия, площадей для дополнительных услуг покупателей.

studfiles.net

ПЛОЩАДЬ ЗАСТРОЙКИ, ОБЩАЯ ПЛОЩАДЬ И ДРУГИЕ

Трудно найти понимание, когда люди разговаривают на разном языке. Заказчик, строитель и проектировщик иногда по-разному понимают такие термины, как площадь застройки, общая площадь и т.д. Давайте рассмотрим основные определения этих терминов:

Площадь застройки

Площадь застройки — площадь горизонтального сечения здания на уровне цоколя, включая его выступающие части. Крыльцо и пандус также включаются в площадь застройки, а выступающие части крыши — нет. Логика такая: на площади участка выделяются площадь застройки, отмостки, площадок, проездов, дорожек и т.д. Балкон на втором этаже, выступающий за пределы цоколя, не будет включен в площадь застройки, если только он не расположен на несущих столбах. Для владельца земельного участка существенным является «разрешенная площадь застройки», которая обычно не может превышать 30% общей площади участка.

 

Площадь помещения

Площадь помещения определяется после отделки стен и перегородок как площадь на уровне пола без учета плинтусов. Если печь (камин) является частью отопления, она исключается из площади помещения. Площади балконов и террас определяются по внутреннему контуру без учета ограждений. В мансардных помещениях, где высоты стены меньше 1.8 м, делаются поправки.

 

Общая площадь

Общая площадь определяется как сумма площадей помещений, куда включаются также встроенные шкафы, лоджии, веранды, тамбуры, кладовые и другие помещения. По определению это суммарная площадь жилых и подсобных помещений квартиры с учетом лоджий, балконов, веранд, террас, холодных кладовых и встроенных шкафов.

 

Жилая площадь

Жилая площадь это сумма площадей жилых комнат. Какие комнаты относятся к жилым определяется в проекте здания. Считается, что высота жилых помещений должна быть не менее 2.2 м. По смыслу жилая комната «предназначена для постоянного проживания граждан». В ЖП включается площадь гардеробных.

 

Полезная площадь

Полезная площадь в российской архитектурно-строительной практике означает сумму площадей помещений, а также балконов и антресолей в залах, фойе и т.п., за исключением лестничных клеток, лифтовых шахт, внутренних открытых лестниц и пандусов. В зарубежных стандартах полезная площадь это «используемая» площадь.

 

Примечания:

 

1. Для многоквартирных домов площадь застройки определяется СНиП 31-01-2003 «Здания жилые многоквартирные». Эти определения обычно используются и для частных жилых домов. Приложение В:

В.1 Площадь помещений жилых зданий следует определять по их размерам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и перегородок на уровне пола (без учета плинтусов). Площадь, занимаемая печью, в том числе печью с камином, которые входят в отопительную систему здания, а не являются декоративными, в площадь помещений не включаются.

В.2 Площадь открытых помещений (балконов, лоджий, террас) следует определять по их размерам, измеряемым по внутреннему контуру (между стеной здания и ограждением) открытого помещения без учета площади, занятой ограждением.

В.4 Площадь застройки здания определяется как площадь горизонтального сечения по внешнему обводу здания на уровне цоколя, включая выступающие части. Площадь под зданием, расположенным на опорах, а также проезды под ним включаются в площадь застройки.

В.5 При определении этажности здания в число надземных этажей включаются все надземные этажи, в том числе технический этаж, мансардный, а также цокольный этаж, если верх его перекрытия находится выше средней планировочной отметки земли не менее чем на 2 м. Подполье под зданием независимо от его высоты, а также междуэтажное пространство с высотой менее 1,8 м в число надземных этажей не включаются. При различном числе этажей в разных частях здания, а также при размещении здания на участке с уклоном, когда за счет уклона увеличивается число этажей, этажность определяется отдельно для каждой части здания.

 

2. Для садовых товариществ действует свод правил СП 53.13330.2011 (Актуализированная редакция СНиП 30-02-97):

6.11 На садовых, дачных участках площадью 0,06—0,12 га под строения, отмостки, дорожки и площадки с твердым покрытием следует отводить не более 30 % территории.

Приложение В. Термины и определения: общая площадь жилого строения, жилого дома: Сумма площадей его помещений, встроенных шкафов, а также лоджий, балконов, веранд, террас и холодных кладовых, подсчитываемых со следующими понижающими коэффициентами: для лоджий — 0,5, для балконов и террас — 0,3, для веранд и холодных кладовых — 1,0; площадь, занимаемая печью, в площадь помещений не включается. Площадь под маршем внутриквартирной лестницы при высоте от пола до низа выступающих конструкций 1,6 м и более включается в площадь помещений, где расположена лестница;

 

3. Для ИЖС используется местная нормативная база, которая, к сожалению, не всегда доступна — наверное, потому, что просто не существует..

 

4. Правила подсчета площадей приведены также в СНиП 2.08.01-89. Приложение 2:

п.2. Общую площадь квартир следует определять как сумму площадей их помещений, встроенных шкафов, а также лоджий, балконов, веранд, террас и холодных кладовых, подсчитываемых со следующими понижающими коэффициентами: для лоджий — 0,5, для балконов и террас — 0,3, для веранд и холодных кладовых — 1,0. Площадь, занимаемая печью, в площадь помещений не включается. Площадь под маршем внутриквартирной лестницы при высоте от пола до низа выступающих конструкций 1,6 м и более включается в площадь помещений, где расположена лестница.

 

п.5. Площадь жилого здания следует определять как сумму площадей этажей здания, измеренных в пределах внутренних поверхностей наружных стен, а также площадей балконов и лоджий. Площадь лестничных клеток, лифтовых и других шахт включается в площадь этажа с учетом их площадей в уровне данного этажа. Площадь чердаков и хозяйственного подполья в площадь здания не включается.

 

п.6.* Площадь помещений жилых зданий следует определять по их размерам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и перегородок на уровне пола (без учета плинтусов). При определении площади мансардного помещения учитывается площадь этого помещения с высотой наклонного потолка 1,5 м при наклоне 30° к горизонту, 1,1 м — при 45 , 0,5 м — при 60° и более. При промежуточных значениях высота определяется по интерполяции. Площадь помещения с меньшей высотой следует учитывать в общей площади с коэффициентом 0,7, при этом минимальная высота стены должна быть 1,2 м при наклоне потолка 30°, 0,8 м при — 45° — 60° , не ограничивается при наклоне 60° и более.

 

5. Министерство экономического развития РФ 30 сентября 2011 г. утвердило Приказ N 531 «Об утверждении Требований к определению площади здания, помещения», который ссылается на часть 10 статьи 41 Федерального закона от 24 июля 2007 г. N 221-ФЗ «О государственном кадастре недвижимости» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 31, ст. 4017; 2008, N 30, ст. 3597, 3616; 2009, N 1, ст. 19; N 19, ст. 2283; N 29, ст. 3582; N 52, ст. 6410, 6419; 2011, N 1, ст. 47; N 23, ст. 3269; N 27, ст. 3880; N 30, ст. 4563, 4594):
6. 
   Общие требования к определению площадей
7. Площадь и общая площадь здания, помещения определяются как площадь простейшей геометрической фигуры (прямоугольник, трапеция, прямоугольный треугольник и т.п.) или путем разбивки такого объекта на простейшие геометрические фигуры и суммирования площадей таких фигур.
8. Значение площади и общей площади здания, помещения определяется в квадратных метрах с округлением до 0,1 квадратного метра, а значения измеренных расстояний, применяемые для определения площадей, — метрах с округлением до 0,01 метра.
9. Для помещений в зданиях, возведенных по типовым проектам из сборных конструкций заводского изготовления с типовой планировкой на этажах, допускается производить определение площадей по подвальному, первому и типовому этажу. Для последующих этажей площадь может быть принята по типовому, за исключением помещений, в которых имеются изменения планировки.

 

1. Определение площади здания, помещения
2. Площадь здания определяется как сумма площадей всех надземных и подземных этажей (включая технический, мансардный, цокольный). Площадь этажа следует измерять в пределах внутренних поверхностей наружных стен на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола. Площадь этажа при наклонных наружных стенах измеряется на уровне пола. В площадь здания включается площадь антресолей, галерей и балконов зрительных и других залов, веранд, наружных застекленных лоджий и галерей. В площадь здания отдельно включается также площадь открытых неотапливаемых планировочных элементов здания (включая площадь эксплуатируемой кровли, открытых наружных галерей, открытых лоджий и т.п.). Площадь многосветных помещений, а также пространство между лестничными маршами более ширины марша и проемы в перекрытиях более 36 квадратных метров следует включать в площадь здания в пределах только одного этажа.
3. Площадь помещения определяется как сумма площадей всех частей такого помещения, рассчитанных по их размерам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и перегородок на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола.

 

III. Определение общей площади жилого помещения, жилого дома

6. Общая площадь жилого помещения, жилого дома состоит из суммы площади всех частей такого помещения, жилого дома, включая площадь помещений вспомогательного использования, предназначенных для удовлетворения гражданами бытовых и иных нужд, связанных с их проживанием в жилом помещении, за исключением балконов, лоджий, веранд и террас. К площади помещений вспомогательного использования относятся площади кухонь, коридоров, ванн, санузлов, встроенных шкафов, кладовых, а также площадь, занятая внутриквартирной лестницей. Измерение расстояний, применяемых для определения общей площади жилого помещения, жилого дома, производится по всему периметру стен на высоте 1,1 — 1,3 метра от пола. При определении общей площади жилого помещения, жилого дома надлежит:

 

• площадь ниш высотой 2 метра и более включать в общую площадь помещений, в которых они расположены. Площади арочных проемов включать в общую площадь помещения, начиная с ширины 2 метра;
• площадь пола под маршем внутриквартирной лестницы, при высоте от пола до низа выступающих конструкций марша 1,6 метра и более, включать в общую площадь помещения, в котором расположена лестница;
• площадь, занятую выступающими конструктивными элементами и отопительными печами, а также находящуюся в пределах дверного проема, в общую площадь помещений не включать.

При определении общей площади помещений мансардного этажа учитывается площадь этого помещения с высотой от пола до наклонного потолка:1,5 метра — при наклоне 30 градусов к горизонту; 1,1 метра — при 45 градусах; 0,5 метра — при 60 градусах и более. При промежуточных значениях высота определяется по интерполяции.

 

 

6. В словаре ЖКХ написано (видимо, приказ Минстроя РФ от 30.10.95 г. № 17-115):

Жилая комната — конструктивно обособленная неделимая функциональная часть квартиры, площадь которой в соответствии о правилами государственного учета учитывается в составе жилой площади квартиры. Площадь жилой комнаты или жилых комнат квартиры является площадью основного (главного) назначения. К термину «жилая комната» относятся спальни, гостиные, кабинеты, комнаты отдыха, столовые и иные аналогичные места. К этому термину не относятся чуланы, холлы, лестницы, помещения для стирки и ванные комнаты.

xn--80aqdcadzpik.xn--p1ai

как определить и считать площадку участка

При осуществлении строительства и освоении земельного участка необходимо понимать, что представляет собой площадь застройки, а также что входит в неё. При этом может определяться площадь застройки, например, жилого здания, площадь дома или же площадь застройки земельного участка. Существуют также нормативы, которые считаются основой и контролируют определяемую площадь. Согласно этим правилам осуществлять строительство без определения площади многоквартирного или иного дома нельзя.

Понятие и значение

Что такое площадь застройки, которая должна определяться как у жилого дома, так и у земли под строительные работы? Она представляет собой показатели, определяющиеся параллельно горизонтальному цоколю, в которые входит и выступающая часть территории. Этих показателей будет достаточно, чтобы застраивать выделенные территории. При этом необходимо понимать, что просчитать подобную площадь можно с учётом нескольких показателей сразу.

Недостаточно определить размер той территории, которая, в принципе, входит во владение лица. Важно также определять выступающие точки. Не каждая из них, даже если она будет входить в общую площадь, окажется частью застройки. Если у дома есть крыльцо или иные помосты, а также подъездные дорожки, они должны признаваться как входящие в площадь застройки. Считается, что когда дом имеет балконы, которые не закреплены какими-то несущие столбами, то они, напротив, не должны учитываться в процессе расчёта площади. Соответственно, по конструкции строения могут требовать больше территории, чем показатели рассчитанных площадей.

Для регламентации деятельности по расчёту площадей необходимо брать за основу Строительные нормы и правила, которые были приняты в 2003 году и могут применяться как к частным домам, так и к жилым многоквартирным.

Чтобы найти точные показатели по площади необходимо определить, что нужно просчитывать.

Речь идёт о нескольких видах площадей застройки, к которым относят следующие:

Рекомендуем ознакомиться:

1. Общая площадь. Это сумма всех показателей по площади. Сюда должны входить площади комнат, всех внутренних и внешних помещений, выступающих частей и иных элементов, имеющих значение для установления рассматриваемого показателя.
2. Площадь только помещения. Она определяется после отделки внутренних стен, при этом плинтуса учитываться не будут. Если это не многоквартирный дом, а частный, то при наличии печи она не будет входить в данную площадь, но только в том случае, если является частью общей системы отопления.
3. Площадь жилых помещений. Здесь будут учитываться только те комнаты, которые признаются жилыми, иные помещения в здании входить в сумму этих показателей не будут.
4. Полезная или используемая площадь. Она включает в себя всё — от комнат до балконов. Однако некоторые объекты, например, шахты лифтов и пандусы, включены сюда не будут.

Если нанять специалистов, то они за счёт применения специального оборудования смогут установить необходимые показатели. Однако допускается посчитать площадь самостоятельно, если на руках будут нужные для этого средства.

Основные требования и коэффициенты

Чтобы ответить на вопрос, как определить площадь, необходимо обратиться к нормативной базе, принятой на федеральном уровне и регламентирующей точные правила проведения требуемых расчётов. Однако особенности регионов вынуждают их принимать свои правила, которые хоть и не должны идти в серьёзный разрез с теми, что установлены государством, но при этом отличаются от общепринятых показателей. В первую очередь это касается коэффициентов.

Данные показатели представляют собой соотношение площади конкретной определённой территории и той площади, что отводится непосредственно под возводимое в ходе строительных работ здание. Соответственно в каждом отдельном регионе такой коэффициент будет отличаться. Более того, он нередко расходится с нормативами, установленными на федеральном уровне. Например, в Московской области коэффициент может составлять сорок процентов, но согласно СНиП он равен двадцати процентам.

Коэффициент признаётся основной величиной, необходимой для осуществления строительства, так как подразумевает соотношение всех площадей, а значит, обеспечивает максимальное количество вариантов объёмов строений.

Помимо необходимых показателей, которые должны учитываться при определении размера территории застройки, важно обращать внимания на требования, изложенные в СНиП и распространяющиеся на все варианты площадей:

1. При определении площади самого здания и общих показателей необходимо проводить измерения по самым простым фигурам геометрии. Это могут быть прямоугольники или же квадраты. Если объект имеет сложную форму, то его необходимо разбить на подобные простые фигуры, а после суммировать полученные показатели площадей.
2. Все значения, получаемые в результате измерения площади, должны быть зафиксированы в квадратных метрах и обязательно округлены до одной десятой квадратного метра. Когда осуществляется расчёт расстояния, то отражается он в метрах, с округлением до одной сотой метра.
3. Когда строительство основывается на типовых проектах и используются конструкции строений, уже ранее изготовленные также по типовому варианту, то допускается упрощённый расчёт площадей. Нет необходимости рассчитывать площадь каждого этажа, достаточно взять за основу либо подвал, либо первый и типовой этажи, а дальше суммировать всю площадь по одному полученному ранее показателю.

Данные требования не должны быть изменены, а нарушение может повлечь за собой привлечение к ответственности. Более того, несоблюдение порядка расчёта, а также предложенных выше нормативов, может привести к ошибкам в измерениях, а соответственно, неверным данным, которые будут позже вноситься в технические документы объекта.

Принципы расчёта

Рекомендуем ознакомиться:

Первое, что необходимо знать, при определении площади застройки, это какой коэффициент действует и соответствует ли конкретный участок и проект этому показателю. Проще всего в такой ситуации обратиться к архитектурным схемам, так как специалисты, вычисляя необходимые показатели и формируя проект здания, всегда указывают его площадь. Следовательно, достаточно узнать, какова площадь всего участка и установить соответствие принятому коэффициенту.

Определяя точные принципы расчёта площади, нужно разграничивать общую площадь и площадь помещения. Второй вариант определяется просто и представляет собой сумму площадей каждого из этажей. Измеряется он при этом в пределах внутренних стен, которые уже были отделаны. Осуществлять подобные замеры необходимо не по поверхности пола, а на высоте не менее одного метра. Однако если стены имеют наклонный вид, то тогда площадь определяется по полу, так как должны устанавливаться максимальные показатели помещения.

В площадь здания будут входить не только показатели каждого из этажей, но и такие объекты, как неотапливаемые и планировочные элементы зданий, к которым относят лоджии, открытую используемую кровлю и так далее.

Когда речь идёт о первом варианте, то есть об общей площади, то считать необходимо все части здания, а не только этажи.

Определяя площадь нужно уделять внимание порядку, позволяющему рассчитать площадь следующих элементов:

• площадь всех ниш, если они имеют высоту больше двух метров, а также арок шириной не меньше двух метров;
• площадь пола под специальным маршем лестницы, находящейся внутри помещения, а также общая его площадь, при этом марш должен достигать как минимум полутора метров;
• площадь элементов, которые являются выступающими, под печами или иными отопительными сооружениями, а также отведённую под дверные проёмы измерять нет необходимости.

При наличии мансардного этажа его площадь также должна учитываться. Измерения будут происходить от пола до потолка, который имеет наклонную форму. При этом расчёт должен осуществляться на уровне полутора метров, если угол тридцать градусов, одного метра десяти сантиметров, если угол сорок пять градусов, и полуметра, если угол шестьдесят градусов.

Таким образом, площадь застройки — это размер здания, отражённый в квадратных метрах. Она включает в себя множество показателей, от площадей отдельных помещений до общего размера постройки.

Рассчитывать её при этом необходимо опираясь только на нормативы, устанавливаемые в СНиП и региональными органами власти.

zhiloepravo.com

Площадь — это… Что такое Площадь?

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры^[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Свойства

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими^[2].

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

Декартовы координаты

Определённый интеграл как площадь фигуры Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции и лучами вычисляется по формуле:

.

Площадь поверхности

Площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией , даётся двойным интегралом:

То же в координатах:

Здесь .

Единицы измерения площади

Метрические единицы

Русские устаревшие

Мерами земли при налоговых расчетах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли:коробья, веревка, жеребья и др.

Античные

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Планиметрические фигуры

Фигура	Формула	Переменные
Квадрат		— длина стороны квадрата.
Правильный треугольник		— длина стороны треугольника.
Правильный шестиугольник		— длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник		— длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник		— периметр, а  — количество сторон.
Прямоугольный треугольник		и  — катеты треугольника.
Произвольный треугольник		— сторона треугольника,  — высота, проведенная к этой стороне.
		,  — любые две стороны,  — угол между ними.
	(формула Герона)	, ,  — стороны треугольника,  — полупериметр .
		в случае обхода вершин треугольника по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный.
Прямоугольник		и  — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина).
Параллелограмм		и  — длина стороны и опущенной на неё высоты соответственно.
		и  — соседние стороны параллелограмма,  — угол между ними.
Ромб		и  — длины диагоналей ромба.
Эллипс		и  — длины малой и большой полуосей.
Трапеция		та  — параллельные стороны, и  — расстояние между ними (высота трапеции).

Формулы для вычисления площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура	Формула	Переменные
Круг	или	— радиус, а  — диаметр круга.
Сектор круга		— радиус круга,  — центральный угол сектора (в радианах).
Сегмент		— радиус круга,  — центральный угол сегмента (в радианах).
Треугольник, вписанный в окружность		, ,  — стороны треугольника,  — радиус описанной окружности.
Произвольный многоугольник, описанный вокруг окружности		— радиус окружности, вписанной в многоугольник, и  — периметр многоугольника.

Формулы для вычисления площади поверхности тел в пространстве

См. также

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Ссылки

Примечания

dic.academic.ru

Площадь — Википедия

Пло́щадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры^[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Определение понятия площади

Множество измеримо по Жордану, если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана

Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами^[2][1]:

• Положительность, то есть площадь неотрицательна;
• Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;
• Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
• Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.

Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры^[2].

Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану^[1]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими^[3]. Существуют неквадрируемые плоские фигуры^[1]. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки^[4].

Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность^[1].

Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k-мерной поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве^[1].

Видео по теме

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач.

Декартовы координаты

Определённый интеграл как площадь фигуры Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a,b]{\displaystyle [a,b]} и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

S=∫abf(x)dx{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f(x),g(x){\displaystyle f(x),\,g(x)} на интервале [a,b]{\displaystyle [a,b]} находится как разность определённых интегралов от этих функций:

S=∫ab|f(x)−g(x)|dx{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx}

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции r=r(θ){\displaystyle r=r(\theta )} и лучами θ=θ1,θ=θ2,θ1<θ2{\displaystyle \theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}} вычисляется по формуле:

S=12∫θ1θ2r2(θ)dθ{\displaystyle S={1 \over 2}\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}(\theta )\,d\theta }.

Площадь поверхности

Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. В результате, площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией r=r(u,v),{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}, даётся двойным интегралом^[1]:

S=∬A|∂r∂u×∂r∂v|dudv.{\displaystyle S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}

То же в координатах:

S=∬A(D(x,y)D(u,v))2+(D(y,z)D(u,v))2+(D(z,x)D(u,v))2dudv{\displaystyle S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}

Здесь D(y,z)D(u,v)=|yu′yv′zu′zv′|,D(z,x)D(u,v)=|zu′zv′xu′xv′|,D(x,y)D(u,v)=|xu′xv′yu′yv′|{\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y’_{u}&y’_{v}\\z’_{u}&z’_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z’_{u}&z’_{v}\\x’_{u}&x’_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x’_{u}&x’_{v}\\y’_{u}&y’_{v}\end{vmatrix}}}.

Теория площадей

Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых.

Единицы измерения площади

В одном квадратном сантиметре сто квадратных миллиметров

Метрические единицы

Русские устаревшие

Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.

Античные

Другие

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Многоугольники

Фигура	Формула	Переменные
Правильный треугольник	a234{\displaystyle a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}	a{\displaystyle a} — длина стороны треугольника
Прямоугольный треугольник	ab2{\displaystyle {\frac {ab}{2}}}	a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — катеты треугольника
Произвольный треугольник	12ah{\displaystyle {\frac {1}{2}}ah}	a{\displaystyle a} — сторона треугольника, h{\displaystyle h} — высота, проведённая к этой стороне
	12absin⁡α{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\sin \alpha }	a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — любые две стороны, α{\displaystyle \alpha } — угол между ними
	p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} (формула Герона)	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c} — стороны треугольника, p{\displaystyle p} — полупериметр (p=a+b+c2){\displaystyle \left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)}
	12|x0y01x1y11x2y21|{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}}	(x0;y0){\displaystyle (x_{0};y_{0})}, (x1;y1){\displaystyle (x_{1};y_{1})}, (x2;y2){\displaystyle (x_{2};y_{2})} — координаты вершин треугольника (в случае обхода вершин по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный)
Квадрат	a2{\displaystyle a^{2}}	a{\displaystyle a} — длина стороны квадрата
Прямоугольник	ab{\displaystyle ab}	a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина)
Ромб	12cd{\displaystyle {\frac {1}{2}}cd}	c{\displaystyle c} и d{\displaystyle d} — длины диагоналей ромба
Параллелограмм	ah{\displaystyle ah}	a{\displaystyle a} и h{\displaystyle h} — длины стороны и опущенной на неё высоты соответственно
	absin⁡α{\displaystyle ab\sin \alpha }	a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — соседние стороны параллелограмма, α{\displaystyle \alpha } — угол между ними
Трапеция	12(a+b)h{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h}	a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — основания трапеции, h{\displaystyle h} — высота трапеции
Произвольный четырёхугольник	(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcos⁡α{\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos \alpha }}} (формула Брахмагупты)	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c}, d{\displaystyle d} — стороны четырёхугольника, p{\displaystyle p} — его полупериметр, α{\displaystyle \alpha } — полусумма противолежащих углов четырёхугольника
Правильный шестиугольник	a2332{\displaystyle a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}	a{\displaystyle a} — длина стороны шестиугольника
Правильный восьмиугольник	2a2(1+2){\displaystyle 2a^{2}(1+{\sqrt {2}})}	a{\displaystyle a} — длина стороны восьмиугольника
Правильный многоугольник	P2/n4tg⁡(π/n){\displaystyle {\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg} (\pi /n)}}}	P{\displaystyle P} — периметр, n{\displaystyle n} — количество сторон
Произвольный многоугольник (выпуклый и невыпуклый)	12|∑i=1n(xi+1−xi)(yi+1+yi)|{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})\right|} (метод трапеций)	(xi;yi){\displaystyle (x_{i};y_{i})} — координаты вершин многоугольника в порядке их обхода, замыкая последнюю с первой: (xn+1;yn+1)=(x1;y1){\displaystyle (x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})}; при наличии отверстий направление их обхода противоположно обходу внешней границы многоугольника

Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура	Формула	Переменные
Круг	πr2{\displaystyle \pi r^{2}} или πd24{\displaystyle {\frac {\pi d^{2}}{4}}}	r{\displaystyle r} — радиус, d{\displaystyle d} — диаметр круга
Сектор круга	αr22{\displaystyle {\frac {\alpha r^{2}}{2}}}	r{\displaystyle r} — радиус круга, α{\displaystyle \alpha } — центральный угол сектора (в радианах)
Сегмент круга	r22(α−sin⁡α){\displaystyle {\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )}	r{\displaystyle r} — радиус круга, α{\displaystyle \alpha } — центральный угол сегмента (в радианах)
Эллипс	πab{\displaystyle \pi ab}	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} — большая и малая полуоси эллипса
Треугольник, вписанный в окружность	abc4R{\displaystyle {\frac {abc}{4R}}}	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c} — стороны треугольника, R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности
Четырёхугольник, вписанный в окружность	(p−a)(p−b)(p−c)(p−d){\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}} (формула Брахмагупты)	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c}, d{\displaystyle d} — стороны четырёхугольника, p{\displaystyle p} — его полупериметр
Многоугольник, описанный около окружности	12Pr{\displaystyle {\frac {1}{2}}Pr}	r{\displaystyle r} — радиус окружности, вписанной в многоугольник, P{\displaystyle P} — периметр многоугольника
Прямоугольная трапеция, описанная около окружности	ab{\displaystyle ab}	a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} — основания трапеции

Площади поверхностей тел в пространстве

Исторический очерк

Площадь плоских фигур

Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади^[2]. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой. Историк математики А. П. Юшкевич предполагает, что египтяне могли и не знать, что пользуются приближённой формулой. В задаче 50 папируса Ринда содержится формула вычисления площади круга, которая считалась равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга^[5]. Такими же формулами пользовались и в Вавилоне, однако для площади круга приближение было менее точным. Кроме того, вавилоняне могли приближённо посчитать площади правильных пяти-, шести- и семиугольника со стороной равной единице. В шестидесятиричной системе им соответствовали 1,40, 2,37,20 и 3,41, соответственно^[6].

Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту^[7]. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников^[4].

Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками^[1][4], с которого берёт начало теория пределов. Метод заключается в построении последовательности площадей, которые при постепенном нарастании «исчерпывают» требуемую площадь. Метод исчерпывания, получивший своё название только в XVII веке, основан на аксиоме непрерывности Евдокса — Архимеда и приписывается Евдоксу Книдскому, который с его помощью показал, что площади кругов относятся друг к другу как квадраты их диаметров. Метод описан в «Началах» Евклида: аксиома Евдокса сформулирована в книге V, а сам метод исчерпывания и основанные на нём отношения — в книге XII^[7]. Особого совершенства в применении метода достиг Архимед, который с его помощью посчитал площадь сегмента параболы и другие^[8][9]. Труд Архимеда «О спиралях» включает много утверждений, касающихся площадей различных витков спирали и их отношений^[10]. Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма^[11].

Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. Брахмагупта пользовался формулой для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр., которая верна для вписанного в окружность четырёхугольника. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками^[12]. Формула Брахмагупты представляет собой аналог формулы Герона для площади треугольника, которую тот привёл в своей «Метрике»^[13].

Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади^[14]. Настоящий прорыв был сделан Кеплером, которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Кеплер рассматривал площадь как «сумму линий» и, разлиновывая эллипс с шагом в один градус, показал^[15], что ∫0φsin⁡xdx=1−cos⁡φ{\displaystyle \int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi }. Кавальери, обосновывая подобный метод, названный «методом неделимых», сравнивал площади плоских фигур, используя сечение фигур параллельными прямыми^[16]. Применение первообразной для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается принцип Кавальери, по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой из них прямой, параллельной фиксированной, получаются отрезки одинаковой длины. Принцип был известен задолго до формирования интегрального исчисления^[1][4].

Площадь поверхности

Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара^[11]. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой (не подходит для сферы), ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к разным результатам (так называемый сапог Шварца)^[1][17].

Общий приём вычисления площади поверхности на рубеже XIX—XX веков предложил Минковский, который для каждой поверхности строил «окутывающий слой» малой постоянной толщины, тогда площадь поверхности будет приближённо равна объёму этого слоя, делённому на его толщину. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим^[18].

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Площадь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4.
2. ↑ ^{1 2 3} Геометрия, 1966, с. 7—13.
3. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966. — Т. 2. — С. 186—224. — 800 с.
4. ↑ ^{1 2 3 4} Болтянский В. О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977, c.2—9
5. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 30—32.
6. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 47—53.
7. ↑ ^{1 2} История математики, т. I, 1970, с. 111—114.
8. ↑ Исчерпывания метод // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
9. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 101—105.
10. ↑ Boyer & Merzbach, 2010, p. 127—128.
11. ↑ ^{1 2} История математики, т. I, 1970, с. 117—124.
12. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 197—198.
13. ↑ Boyer & Merzbach, 2010, p. 172, 219.
14. ↑ История математики, т. II, 1970, с. 131—135.
15. ↑ История математики, т. II, 1970, с. 166—171.
16. ↑ История математики, т. II, 1970, с. 174—181.
17. ↑ В. Н. Дубровский, В поисках определения площади поверхности. Квант. 1978. № 5. С.31—34.
18. ↑ В. Н. Дубровский, Площадь поверхности по Минковскому. Квант. 1979. № 4. С.33—35.

Литература

wiki2.red

Тема издержки

Задача 1. Фирма несет постоянные издержки в размере 45000 грн. Данные об объемах производства и средних затратах приведены в таблице:

Определите средние постоянные, средние общие и предельныеиздержки, постройте их графики, сделайте анализ их динамики. Определитеоптимальный объем производствафирмы.

Решение

Увеличение масштаба производства до определенного размера сопровождается снижением средних издержек производства, так как действует положительный эффект масштаба. Затем при наращивании объема выпуска сверх определенной массы (4 ед.) средние издержки производства начинают расти, так как вступает в действие закон убывающей отдачи, следовательно, меняется уровень доходности предприятия.

3) Для определения оптимального объема производства фирмы правило: MR = MC = AC

Судя по значениям, показанным на графике, оптимальным объемом выпуска будет 5 единиц.

Задача 2. Функция общих затрат предприятия имеет вид: ТС=30+5Q+Q². Определить выражения для постоянных, переменных, предельных, средних общих, средних постоянных и средних переменных издержек как функции от Q. При каком значении Q средние общие затраты достигают минимума?

Решение

1. При Q = 0 TC = TFC TFC = 30+5*0+0² = 30

2. TVC = TC – TFC TVC = (30+5Q+Q²) – 30 = 5Q+Q²

3. MC = (TC’) = 5+2Q

4. AC=TC/Q = (30+5Q+Q²)/Q=30/Q+5+Q

5. AFC=TFC/Q = 30/Q

6. AVC=TVC/Q = (5Q+Q²)/Q=5+Q

7. средние общие затраты достигают минимума AC-min?

АС=30*Q^-1 + 1

Найдем производную от АС: АС’=-30Q^-2+1

AC’ = 0

-30Q^-2 +1=0

30Q^-2 =1 30/Q² = 1 30=Q²

Q=√30=5,47 ед.

Задача 4. Фермерское хозяйство выращивает картофель. Динамика AVC приведена в таблице. TFC=40ед. Рассчитать TC, TVC, ATC, AFC, AVC, MC. Построить графики. При каком объеме выпуска АТС будут минимальны?

Решение:

1. Расчет требуемых величин проводится по формулам:

• Общие переменные издержки: TVC=AVC·Q

• Общие издержки: TC=TFC+TVC

• Средние общие издержки: ATC=TC/Q

• Средние постоянные издержки: AFC=TFC/Q

• Предельные издержки: MR=TC_n—RC_n-1

Данные расчета занесены в таблицу.

Из полученных результатов видно, что min ATC=60ед. при Q=3 шт.

2. Графическое решение

Из анализа динамики МС и АТС видно, что линия МС пересекает АТС в точке А, т.е. в этой точке МС=АТС, что соответствует min ATC=60 ед. и Q=3т.

Задача 5. В таблице содержатся данные об издержках и доходах конкурентной фирмы:

L— переменный ресурс,

W— цена переменного ресурса.

а) заполните таблицу;

б) при каком объеме выпуска фирма максимизирует прибыль или минимизирует убытки?

в) определите оптимальный выпуск графически, используя:

studfiles.net

Фирма в рыночной экономике — часть 3

Переменные издержки изменяются в зависимости от изменения объема производства. Они включают в себя оплату труда большей части работников фирмы, а также расходы на сырье, электроэнергию и т.п.

Рис. 3.2. Кривые постоянных, переменных и общих издержек

TC = FC + VC

На рисунке 3.2 показаны кривые постоянных (FC ), переменных (VC ) и общих издержек (TC ).

Величина постоянных издержек (FC ) не изменяется при изменении объема производства(Q), поэтому кривая FC — горизонтальная линия.

Величина переменных издержек (VC ) изменяется при изменении объёма производства, поэтому они представлены возрастающей кривой.

Общие издержки равны сумме постоянных и переменных издержек, следовательно, кривая TC параллельна кривой VC , причем расстояние между кривыми TC и VC равно FC .

Как видно на рисунке 3.2, прирост переменных издержек (VC ), обусловленный увеличением объёма производства Q , не является постоянным: действует закон убывающей предельной производительности (убывающей отдачи, убывающего предельного продукта).

3.3. Закон убывающей предельной производительности

Рассмотрим этот закон. Предположим, что в производстве товара используются только два фактора: капитал (К ) и труд (L ), тогда Q = f(K, L ), В краткосрочном периоде капитал — постоянный фактор, а труд — переменный. На рисунке 3.3 «А» изображена кривая общего продукта TP (TP = Q ). По мере того, как в производстве товара при постоянной величине капитала K наращивается применение труда L , величина общего продукта ТР растет, сначала возрастающим, а затем замедляющимся темпом (рисунок 3.3 «А»). Наконец при некотором значении L₁ рост ТР прекращается. Если и дальше будет увеличиваться использование труда, ТР начнет сокращаться. В этом проявляется закон убывающей предельной производительности (убывающего предельного продукта). Для иллюстрации действия этого закона воспользуемся графиком предельного продукта (МР) на рисунке 3.3 «Б».

Предельным продуктом называется прирост общего продукта, полученный от увеличения переменного фактора на 1 единицу.

Рис. 3.3.

Сначала по мере роста L , МР растет, достигая максимального значения при L₀ (это как раз то значение L , при котором начинает замедляться рост ТР на рис. 3.3 А). После этого по мере роста L , МР убывает, пока не достигнет нулевого значения при L₁ (именно при L₁ на рис. 3.3 «А» ТР достигает максимального значения). Сформулируем закон убывающей предельной производительности (убывающего предельного продукта, убывающей отдачи) :

по достижении некоторой величины переменного ресурса (L) дальнейшее его наращивание при неизменной величине другого ресурса (K) приводит к уменьшению предельного продукта (прироста продукта в расчете на каждую последующую единицу ресурса).

На рисунке 3.3 «Б» изображена также кривая среднего продукта АР , который связан как с общим продуктом ТР , так и с предельным продуктом МР , что видно из формулы среднего продукта:

Средний продукт или производительность труда — важный показатель эффективности производства.

Таким образом, именно закон убывающей предельной производительности объясняет форму кривых общих и переменных издержек в краткосрочном периоде.

3.4. Кривые краткосрочных средних и предельных издержек

Понимание природы общих издержек имеет важное практическое значение для фирмы, так как от величины общих издержек зависит общий объем прибыли.

Однако не меньший интерес представляют средние издержки, так как они дают информацию об издержках производства на единицу продукции:

Средние постоянные издержки AFC = FC : Q

Средние переменные издержки AVC = VC : Q

Средние общие издержки ATC = TC : Q = AFC + AVC

Рис.3.4. Кривые издержек

На рисунке 3.4 «А» изображены три кривые средних издержек. Буква “S ” перед обозначением кривых означает, что это кривые краткосрочных средних издержек.

Стратегическое значение для фирмы имеет расчет предельных издержек , которые представляют собой прирост общих издержек TC (или прирост переменных издержек TVC), являющийся результатом производства дополнительной единицы продукции:

Предельные издержки связаны обратной зависимостью с предельным продуктом: если предельный продукт растет, то предельные издержки сокращаются и наоборот. Поэтому кривая предельных издержек сначала круто опускается вниз, достигая минимального значения, что соответствует максимальному значению предельного продукта. Затем кривая предельных издержек идет круто вверх (так как начинает действовать закон убывающего предельного продукта ), пересекая кривые средних переменных и средних общих издержек.

На рисунке 3.4. «Б» показана взаимосвязь трех видов краткосрочных издержек: средних переменных, средних общих и предельных издержек. Кривая предельных издержек MC пересекает кривые AVC и ATC в точках их наименьших значений . Это объясняется тем, что пока предельные издержки MC меньше средних издержек (ATC или AVC ), средние издержки убывают. Если предельные издержки становятся больше средних — средние издержки растут. В точках пересечения предельных и средних издержек последние перестали убывать, но еще не начали возрастать, следовательно, это и есть точки минимальных значений кривых средних издержек (ATC и AVC ).

Кривые средних и предельных издержек могут сдвигаться, если:

а) изменится технология;

б) изменятся цены на ресурсы.

Следует подчеркнуть, что средние постоянные издержки (AFC ) не зависят ни от средних, ни от предельных издержек.

3.5. Издержки производства в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде все издержки являются переменными, так как фирма может изменить все свои ресурсы, включая производственные мощности. Однако, увеличивая производственные мощности, фирма просто переходит на новый фиксированный их объем (уровень). Определенный фиксированный уровень производственных мощностей определяет масштаб производства. Не следует путать масштаб производства и объем производства: масштаб производства может быть выражен соответствующей кривой краткосрочных средних общих издержек, объем производства представлен координатой какой-либо точки на любой из этих кривых.

Чтобы правильно и быстро определить эффективный масштаб производства, используют кривую долгосрочных средних издержек LAC. Эту кривую называют также кривой выбора фирмы : фирма выбирает масштаб производства, который обеспечивает производство с наименьшими средними издержками , то есть обеспечивает оптимальный объем производства (Q_оптим. на рисунке 3.5 можно произвести с наименьшими средними издержками только достигнув эффективного масштаба производства SATC₃ ).

Однако фирма, как правило, достигает эффективного масштаба не сразу при создании, а постепенно, последовательно увеличивая объем (и соответственно и масштаб) производства. Кривая LAC строится как касательная к кривым краткосрочных средних общих издержек (рис.3.6).. На рисунке 3.6 различные масштабы производства представлены кривыми SATC₁ , SATC₂ . SATC₃ , SATC₄ , SATC₅ . Вертикальные пунктирные линии из точек пересечения соответствующей пары краткосрочных кривых средних издержек (SATC₁ и SATC₂ , SATC₂ и SATC₃ ) указывают на следующее: если фирма достигла, например, объема производства Q₁ при масштабе производства SATC₁ и планирует дальнейшее наращивание объема производства, она должна перейти на новый, более высокий масштаб SATC₂ . В противном случае ее средние издержки резко возрастут. С другой стороны, крупномасштабная (крупная) фирма эффективна только при производстве большого объема продукции, иначе ее издержки будут очень высокими.

Рис. 3.5. Долгосрочный период совокупность краткосрочных периодов

Таким образом, рисунок 3.5 иллюстрирует простой вывод: долгосрочный период выступает как совокупность краткосрочных периодов.

3.6. Эффект масштаба

По мере движения вдоль кривой LAC в процессе перехода от одного масштаба производства к другому, более высокому, долгосрочные средние издержки LAC сначала падают, а затем возрастают. Такую U-образную форму кривой LAC нельзя объяснить с помощью закона убывающей отдачи, так как все факторы в долгосрочном периоде являются переменными (а закон действует лишь при наличии хотя бы одного постоянного фактора). Форма кривой LAC обусловлена эффектом масштаба (отдачей от масштаба): там, где кривая падает, говорят о положительном эффекте масштаба (экономии от масштаба) ; там, где кривая растет — об отрицательном эффекте масштаба (потерях от масштаба) .

1

2

3

4

5

комментарии

скачать за 75 руб

после оплаты нажмите на кнопку «Вернуться на сайт» — документ будет скачан автоматически
Скачанный документ будет содержать только материал уже воспроизведенный на сайте.

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта — спам опубликован не будет

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.

mirznanii.com

Типовые задачи с решениями по дисциплине «Микроэкономика», страница 2

2) изменение цены товара А на 1% изменяет величину спроса на товар В на 0,8% в противоположном направлении;

3) так как E_{Dимеет отрицательный знак, то речь идет о взаимозаменяемых товарах.}

№8

Найдите и прокомментируйте коэффициент эластичности спроса по доходу, если уравнение спроса: Q_D = 4+3I; I = 2.

Решение

E_D= Q’(I) • (I / Q_D) = 3 • (2 / 10) = 0,6       Если I = 2, то Q_D = 4 +3•2  = 10.