Как найти площадь сечения шара 🚩 Площадь сечения шара формула 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Пусть дан шар с радиусом R, который на некотором расстоянии b от центра пересекает плоскость. Расстояние b меньше или равно радиусу шара. Требуется найти площадь S получающегося при этом сечения.
Инструкция
Очевидно, что если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.
Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.
Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с центром окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что каждая точка окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из катетов — перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом — радиус окружности сечения.
Из трех сторон этого треугольника заданы два — радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза и катет. По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 — b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение радиуса в формулу площади круга, легко прийти к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 — b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная формула полностью согласуется с уже найденными результатами.
Видео по теме
Источники:
сечение шара плоскостью
Перед решением задачи нахождения радиуса сферы необходимо ввести определение объектов – сфера и шар.Из курса стереометрии известно, что сферой называется поверхность, которая состоит из точек пространства, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а расстояние, на которое точки сферы отдалены от её центра, – радиусом сферы и обозначается буквой R. Тело, ограниченное поверхностью сферы называется шаром. Способ определения радиуса сферы зависит от имеющихся исходных данных.
Инструкция
Пусть дана сфера и известна площадь её поверхности. Тогда, используя формулу для вычисления площади поверхности сферы, можно вычислить её радиус: R = v(4•П/S), где S — площадь поверхности сферы, П = 3,14.
Если известен объём шара, который ограничивает сфера, то радиус можно найти по формуле объёма: R = (3•V/4•П)^1/3, где V — объём шара, П = 3,14.
Полезный совет
В случаях, когда сфера вписана или описана около правильного многогранника, можно воспользоваться следующими формулами.
Для сферы, вписанной в правильный тетраэдр R = √6/12•a, где a — длина ребра тетраэдра, Для сферы, описанной около правильного тетраэдра R = √6/4•a, где a — длина ребра тетраэдра, Для сферы, вписанной в куб R = 1/2•a, где a — длина ребра куба, Для сферы, описанной около куба R = √3/2•a, где a — длина ребра куба.
Все планеты солнечной системы имеют форму шара. Кроме того, шарообразную или близкую к таковой форму имеют и многие объекты, созданные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и любое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Однако это не единственное важное свойство шара. Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и способ нахождения ее площади.
Инструкция
Если взять полукруг или круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром называется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара, и ее сечением является окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара, так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара называется отрезок, проложенный от его центра до любой внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет большинство планет и небесных тел. В разных точках шара имеются одинаковые по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения — круги разной площади. Шар и сфера — взаимозаменяемые тела, в отличие от конуса, несмотря на то, что конус также является телом вращения. Сферические поверхности всегда в своем сечении образуют окружность, независимо от того, как именно она вращается — по горизонтали или по вертикали. Коническая же поверхность получается лишь при вращении треугольника вдоль его оси, перпендикулярной основанию. Поэтому конус, в отличие от шара, и не считается взаимозаменяемым телом вращения.
Самый большой из возможных кругов получается при сечении шара плоскостью, проходящей через центр О. Все круги, которые проходят через центр О, пересекаются между собой в одном диаметре. Радиус всегда равен половине диаметра. Через две точки A и B, располагающиеся в любом месте поверхности шара, может проходить бесконечное количество кругов или окружностей. Именно по этой причине через полюса Земли может быть проведено неограниченное количество меридианов.
При нахождении площади шара рассматривается, прежде всего, площадь сферической поверхности.Площадь шара, а точнее, сферы, образующей его поверхность, может быть рассчитана на основании площади круга с тем же радиусом R. Поскольку площадь круга есть произведение полуокружности на радиус, его можно рассчитать следующим образом:S = ?R^2Так как через центр шара проходят четыре основных больших круга, то, соответственно площадь шара (сферы) равна:S = 4 ?R^2
Данная формула может быть полезна в том случае, если известен либо диаметр, либо радиус шара или сферы. Однако, эти параметры приведены в качестве условий не во всех геометрических задачах. Существуют и такие задачи, в которых шар вписан в цилиндр. В этом случае, следует воспользоваться теоремой Архимеда, суть которой заключается в том, что площадь поверхности шара в полтора раза меньше полной поверхности цилиндра:S = 2/3 S цил., где S цил. -площадь полной поверхности цилиндра.
Видео по теме
Сферой называют поверхность шара. По-другому ее можно определить как трехмерную геометрическую фигуру, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром сферы. Чтобы выяснить размеры этой фигуры достаточно знать лишь один параметр — например, радиус, диаметр, площадь или объем. Их значения связаны между собой постоянными соотношениями, которые позволяют вывести простую формулу вычисления каждого из них.
Инструкция
Если известна длина диаметра сферы (d), то для нахождения площади ее поверхности (S) возводите этот параметр в квадрат и умножайте на число Пи (π): S=π∗d². Например, если длина диаметра составляет два метра, то площадь сферы составит 3,14∗2²=12,56 квадратных метров.
Если известна длина радиуса (r), то площадь поверхности сферы (S) будет составлять учетверенное произведение возведенного в квадрат радиуса на число Пи (π): S=4∗π∗r². Например, при длине радиуса сферы в три метра его площадь составит 4∗3,14∗3²=113,04 квадратных метров.
Если известен объем (V) пространства, ограниченного сферой, то сначала можно найти ее диаметр (d), а затем воспользоваться формулой, приведенной в первом шаге. Так как объем равен одной шестой части от произведения числа Пи на возведенную в куб длину диаметра сферы (V=π∗d³/6), то диаметр можно определить, как кубический корень из шести объемов, разделенных на число Пи: d=³√(6∗V/π). Подставив это значение в формулу из первого шага, получим: S=π∗(³√ (6∗V/π))². Например, при объеме ограниченного сферой пространства равном 500 кубометров вычисление ее площади будет выглядеть так: 3,14∗(³√(6∗500/3,14))² = 3,14∗(³√955,41)² = 3,14∗9,85² = 3,14∗97,02 = 304,64 квадратных метра.
Производить все эти расчеты в уме довольно затруднительно, поэтому придется воспользоваться каким либо из калькуляторов. Например, это может быть вычислитель, встроенный в поисковые системы Google или Nigma. Google отличается в лучшую сторону тем, что умеет самостоятельно определять порядок операций, а Nigma потребует от вас тщательно расставить все скобки. Для вычисления площади сферы по данным, например, из второго шага поисковый запрос, который надо ввести в Google, будет выглядеть так: «4*пи*3^2». А для наиболее сложного случая с вычислением кубического корня и возведением в квадрат из третьего шага запрос будет таким: «пи*(6*500/пи)^(2/3)».
Масса тела — физическая величина, которая характеризует степень его инертности. Масса физического тела зависит от объема пространства, которое оно занимает, и плотности материала, из которого оно состоит. Объем тела правильной формы (например, шара) рассчитать не сложно, а если известен и материал, из которого он состоит, то найти массу можно очень просто.
Инструкция
Определите объем шара. Для этого достаточно знать один из его параметров — радиус, диаметр, площадь поверхности и т.д. Например, зная диаметр шара (d), его объем (V) можно определить, как одну шестую часть от произведения возведенного в куб диаметра на число Пи: V=π∗d³/6. Через радиус шара (r) объем выражается как одна треть от увеличенного в четыре раза произведения числа Пи на радиус, возведенный в куб: V=4∗π∗r³/3. Рассчитайте массу шара (m), умножив его объем на известную плотность вещества (p): m=p∗V. Если материал шара не однороден, то следует брать среднюю плотность. Подставив в эту формулу определения объема шара через его известные параметры, можно получить при известном диаметре шара формулу m=p∗π∗d³/6, а при известном радиусе m=p∗4∗π∗r³/3.
Используйте для расчетов, например, стандартный программный калькулятор, входящий в состав базового программного обеспечения операционной системы Windows любой из активно использующихся сегодня версий. Самый простой способ запустить его — нажать сочетание клавиш win + r, чтобы открыть стандартный диалог запуска программ, затем набрать команду calc и щелкнуть по кнопке «OK». В меню калькулятора раскройте раздел «Вид» и выберите строку «Инженерный» или «Научный» (в зависимости от используемой версии ОС) — интерфейс этого режима имеет кнопку для ввода значения числа Пи одним щелчком мыши. Операции умножения и деления в этом калькуляторы не должны вызвать вопросов, а для возведения в степень при вычислении массы шара будет достаточно кнопок с символами x^2 и x^3.
Источники:
объём шара через диаметр
Шар — это простейшая объемная геометрическая фигура, для указания размеров которой достаточно всего одного параметра. Границы этой фигуры принято называть сферой. Объем пространства, ограничиваемого сферой, можно вычислить как с помощью соответствующих тригонометрических формул, так и подручными средствами.
Инструкция
Используйте классическую формулу объема (V) сферы, если из условий известен ее радиус (r) — возведите радиус в третью степень, умножьте на число Пи, а результат увеличьте еще на треть. Записать эту формулу можно так: V=4*π*r³/3.
Если есть возможность измерить диаметр (d) сферы, то поделите его пополам и используйте как радиус в формуле из предыдущего шага. Или найдите одну шестую часть от возведенного в куб диаметра, умноженного на число Пи: V=π*d³/6.
Если известен объем (v) цилиндра, в который вписана сфера, то для нахождения ее объема определите, чему равны две трети от известного объема цилиндра: V=⅔*v. Если известна средняя плотность (p) материала, из которого состоит сфера, и ее масса (m), то этого тоже достаточно для определения объема — разделите второе на первое: V=m/p. Воспользуйтесь какими-либо мерными емкостями в качестве подручных средств для измерения объема сосуда сферической формы. Например, наполните его водой, измеряя с помощью мерной емкости количество заливаемой жидкости. Полученное значение в литрах переведите в кубические метры — эта единица принята в международной системе СИ для измерения объема. В качестве коэффициента перевода из литров в кубометры используйте число 1000, так как один литр приравнен к одному кубическому дециметру, а их в каждый кубический метр вмещается ровно тысяча штук.
Используйте принцип измерения, противоположный описанному в предыдущем шаге, если тело в форме сферы нельзя наполнить жидкостью, но можно погрузить в нее. Заполните мерный сосуд водой, отметьте уровень, погрузите измеряемое сферическое тело в жидкость и по разнице уровней определите количество вытесненной воды. Затем переведите полученный результат из литров в кубометры так же, как это описано в предыдущем шаге.
Видео по теме
Источники:
объем полусферы
Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая множеством максимально удаленных от центра точек, называется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предназначен параметр, который называется объемом шара.
Инструкция
Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это можно, например, определив объем вытесненной им воды. Этот способ применим в том случае, когда есть возможность поместить шар в какую-либо соразмерную ему емкость — мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара отметьте уровень воды, сделайте это повторно после полного его погружения, а затем найдите разность между отметками. Обычно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах — миллилитрах, декалитрах и т.д. Если полученное значение надо перевести в кубические метры и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру или одной тысячной доле кубометра.
Если известен материал, из которого изготовлен шар, и плотность этого материала можно узнать, например, из справочника, то определить объем можно взвесив этот предмет. Просто разделите результат взвешивания на справочную плотность вещества изготовления: V=m/p.
Если радиус шара известен из условий задачи или его можно измерить, то для вычисления объема можно использовать соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный результат разделите на тройку: V=4*π*r³/3. Например, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40³/3 = 267946,67см³ ≈ 0,268м³.
Измерить диаметр чаще бывает проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости делить его пополам для использования с формулой из предыдущего шага — лучше упростить саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а результат разделите на шестерку: V=π*d³/6. Например, шар диаметром в 50см должен иметь объем в 3,14*50³/6 = 65416,67см³ ≈ 0,654м³.
Когда говорят о площади поверхности шара, то вполне понятно о чем идет речь, даже несмотря на то, что простого и однозначного определения этого понятия нет в школьных учебниках. Но с непосредственным вычислением этого параметра проблем нет — здесь вступают в действие формулы.
Инструкция
Используйте самую простую из формул вычисления площади поверхности шара (S), если известен его диаметр (D) или радиус (R). При этом придется использовать число Пи — математическую константу, показывающую неизменное отношение длины окружности к диаметру круга. Эта константа имеет бесконечное число знаков после десятичной запятой, поэтому вам придется определиться с необходимой точностью вычислений и округлить ее. Сделав это, умножьте число Пи на возведенный в квадрат диаметр шара — полученный результат и будет площадью сферы: S=π*D². Если известен не диаметр, а радиус, то в формулу надо добавить коэффициент, увеличивающий ее в четыре раза: S=4*π*R². Если в условиях задачи сфера задана своими координатами в трехмерной декартовой системе, то начните расчет площади поверхности с нахождения ее радиуса. Для этого вам понадобятся координаты двух точек — являющейся центром шара (X₀,Y₀,Z₀) и любой из максимально удаленных от центра, то есть лежащих на поверхности сферы (X,Y,Z). Радиус сферы (R) будет равен квадратному корню из суммы квадратов попарных разностей координат по каждой из осей: R=√((X-X₀)²+(Y-Y₀)²+(Z-Z₀)²). Затем подставьте полученное значение в формулу из предыдущего шага. В общем виде она теперь будет выглядеть так: S = 4*π*(√((X-X₀)²+(Y-Y₀)²+(Z-Z₀)²))² = 4*π*((X-X₀)²+(Y-Y₀)²+(Z-Z₀)²).
Если вам требуется, не вдаваясь в подробности вычислений, просто получить результат, то воспользуйтесь каким-либо из онлайн-калькуляторов. Например, тем, что размещен на странице http://board74.ru/articles/geometry/sphere.html. Перейдите на эту страницу и введите радиус шара в поле левее кнопки Calculate. Затем кликните кнопку и увидите результат расчета строкой ниже, рядом с формулой, использованной при вычислении. Здесь площадь поверхности сферы названа ее «боковой» поверхностью.
Видео по теме
Шаром называют множество всех точек в пространстве, простирающемся от точки-центра на расстоянии определенного радиуса R. Радиус в свою очередь – это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности.
Вам понадобится
— формула поверхности площади шара;
— формула объема шара;
— навыки арифметического счета.
Инструкция
В повседневной жизни зачастую возникает необходимость вычислить площадь шаровой поверхности или его части, чтобы рассчитать, например, расход материала. Вычислив объем шара, вы можете через удельный вес рассчитать массу вещества, составляющего содержимое сферы. Для того чтобы найти площадь и объем шара, достаточно знать его радиус или диаметр. По формулам, которые сегодняшние школьники выводят в 11 классе общеобразовательной школы, вы легко можете рассчитать эти параметры.
Например, диаметр футбольного мяча, согласно всем требованиям ФИФА, должен быть в пределах 21,8—22,2 см. Усредните для простоты счета до 22 см. Следовательно, радиус (R) будет равен (22:2) – 11 см. Ведь интересно узнать, какова площадь поверхности футбольного мяча?
Возьмите формулу площади поверхности шара: Sшара = 4ттR2Подставьте в приведенную формулу значение радиуса футбольного мяча – 11 см.S = 4 x 3.14 x 11х11 .
После проведения несложных математических действий вы получаете результат: 1519.76. Таким образом, площадь поверхности футбольного мяча составляет 1 519.76 квадратных сантиметров.
Теперь рассчитайте объем мяча. Берите формулу расчета объема шара: V = 4/3ттR3Подставляйте опять же значение радиуса футбольного мяча – 11 см.V = 4/3 x 3.14 x 11 х 11 х 11.
После подсчетов, например, на калькуляторе вы получаете: 5576.89.Оказывается, объем воздуха в футбольном мяче составляет 5 576.89 кубических сантиметров.
Видео по теме
Обратите внимание
Интересно: объем шара с диаметром, превышающим в три раза диаметр другого шара, больше суммарного объема трех таких шаров в 9 раз.
Полезный совет
Чтобы развить у детей пристрастие к математическим вычислениям, предлагайте в качестве примеров для расчета окружающие предметы: мяч, арбуз, клубок бабушкиной пряжи. Это наглядно и потому интересно.
www.kakprosto.ru
Площадь сферы
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о сфере). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом на форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».
Задача
В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.
Решение.
Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr2
Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник — равносторонний (сумма углов треугольника — 180 градусов, значит остальные углы ( 180-60 ) / 2 = 60 , то есть все углы равны ).
Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть
R = √3/3 l
Таким образом площадь сферы
S = 4π(√3/3 l)2
S = 4/3πl2
Ответ: площадь сферы равна 4/3πl2.
Задача
Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?
Решение.
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π
Откуда площадь основания равна
S = πR2 S = π (23/π) 2
S = 529 / π
Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr2
Соответственно площадь полусферы
S = 4πr2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π
Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π
Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г
Задача
Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?
Поверхні двох куль відносяться як m:n. Як відносяться їх об’єми?
Решение. Рiшення.
Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул
Воспользуемся формулой нахождения поверхности шара и запишем ее для первого шара, предположив, что его радиус равен R1
Площадь поверхности второго шара запишем с помощью точно такой же формулы, предположив, что его радиус равен R2
Найдем соотношение их площадей, разделив первое выражение на второе. Сократим полученную дробь. Нетрудно заметить, что соотношение площадей двух шаров равно соотношению квадратов их радиусов. По условию задачи это соотношение равно m/n
Из полученного равенства найдем соотношение радиусов шаров путем извлечения квадратного корня. Полученное равенство запомним
Воспользуемся формулой нахождения объема шара и запишем ее для первого шара с радиусом R1
Объем второго шара запишем с помощью той же самой формулы, подставив в нее радиус R2
Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул
Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, передбачивши, що його радіус рівний R1
Площу поверхні другої кулі запишемо за допомогою точний такої ж формули, передбачивши, що його радіус рівний R2
Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираження на друге. Скоротимо отриманий дріб. Неважко відмітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. По умові завдання це співвідношення рівне m/n
З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом витягання квадратного кореня. Отриману рівність запам’ятаємо
Скористаємося формулою знаходження об’єму кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R1
Об’єм другої кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R2
8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга
9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный — это число в степени 1/2, преобразуем выражение
10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен.
8. Розділимо об’єми першої і другої кулі один на одного
9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об’єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний — це число в мірі 1/2, перетворимо вираження
10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана.
Сфера (Шар) |
Описание курса | Полусфера
profmeter.com.ua
Шар и его части. Объем, площадь поверхности. |
Рассмотрим понятие таких геометрических тел как шар и его части:
шаровой сегмент;
шаровой сектор;
шаровой слой.
Также представим формулы для вычисленияобъемов и площадей поверхностей шара и его частей.
Об элементах шара и понятии “сфера” будет опубликовано в отдельной статье.
Шар.
Определение.
Шаром называется геометрическое тело, состоящее из точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
Sпов. = 4*π*R2 = π*D2, где R – радиус шара, D – диаметр шара.
В школьной программе объем шара представлен одной формулой:
V = 4/3* π*R3 , где R – радиус шара.
Учитывая, что диаметр шара вдвое больше радиуса шара, имеем формулу объема шара такую:
V = 1/6 * π* D3, где D – диаметр шара.
Но объем шара может быть задан и другими соотношениями . Опишем их ниже.
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара:
V = 1/3 R*S, где R – радиус шара.
А вот теорема Архимеда:
Объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара – в 1,5 раза меньше полной поверхности того же цилиндра.
V = 2/3 * Vц., где Vц – объем цилиндра.
Sпов. = 2/3 * Sпов. ц. , где Sпов. ц. – полная поверхность цилиндра.
Части шара.
Шаровой сегмент.
Определение.
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от нее плоскостью.
Кривая поверхность шарового сегмента равна произведению его высоты на длину окружности большого круга шара:
Sсегм. = 2πR* h, где R – радиус шара, h – высота сегмента.
Еще формула площади поверхности сегмента:
Sсегм. = π*(r2 + h2), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V = π* h2 *(R – 1/3*h) = 1/6*π*h(h2 + 3r2), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.
Шаровой сектор.
Определение.
Шаровой сектор – часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара.
Согласно определению формула площади поверхности шарового сектора выглядит так:
Sшар. сектор = Sбок.конус. + Sшар. сегм.
Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезанная сектором часть шаровой поверхности (S), а высота равна радиусу шара (R):
V = 1/3*R*S = 2/3*π*R2*h, где h – высота шарового сегмента, принадлежащая шаровому сектору.
Шаровой слой.
Определение.
Часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями, называется шаровым слоем, а кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (или зоной).
Sшар. слоя = h*2πR , где R – радиус шара, h – высота шарового слоя.
Объем шарового слоя:
V = 1/6 * π* h3 + 1/2 * π*(r12 + r22)*h, где r1, r2 – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.
Любую дробь, для того, чтобы преобразовать в десятичную, нужно верхушку делить на низ. В данном случае у нас на верху 3, а снизу 4. Значит три делим на четыре, получаем 0,75
0,75 — в школе не проходили?
Привести знаменатель к 10 или 100 или 1000 итд.
0,75(на калькуляторе разделите 3 на 4)
3/4…
умножь числитель и знаменатель на 25
итого 0.75
будет:
3/4 = 3*25 / 4*25 = 75 / 100 = 0,75
3/4 = 3*25 / 4*25 = 75 / 100 = 0,75
touch.otvet.mail.ru
Алгебра. одну третью нужно перевести в десятичную дробь
1:3=0,33333… -получится бесконечная десятичная дробь. или это 0,(3) — ноль целых три десятых в периоде (бесконечно повторяется типа=)
один раздели на три, проще это сделать на калькуляторе 🙂
нужно одну треть поделить на 12 это и будет ответом и будет десятичной дробью а ещо подели на 12 салага
1 разделить на 3 равно 0,333333
1/3=0,33333333333333333333 или 0,(3)
touch.otvet.mail.ru
сколько будет в десятичной дроби 1 целая 1/3? сколько будет в десятичной дроби 1 целая 1/3?
будет 1,3(3) тройки бесконечны
будет 1,3(3) тройки бесконечны=))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))00000))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))(((((((((((((0))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
1,3 (примерно) т. к. до конца не делится
в конечную десятичную дробь можно перевести только те несократимые дроби. в разложении на простые множители знаменателя которых только 2 и 5 или какое сочетание 2 и 5.
все остальные в конечную не переводятся. 1\3 записывается. как 0.(33). что посвященному человку скажет то.
что так ярко изобразил один из отвечавших бесконечное повторение 3.
1\7=0.(142857)
1\9=0.(1)
это для примера…. периодических дес. дробей.
как перевести широту и долготу в минуты секунды и градусы
Всё очень просто: 1 градус делится на 60 долей, которые называют «минутами» . А каждая минута в свою очередь содержит 60 «секунд» . Как видим, здесь полная аналогия с теми минутами и секундами, которые для нас всегда были больше связаны с измерением времени, чем углов и координат. Таким удобным единообразием размерности мы обязаны жителям Вавилона, от которых в наследство современной цивилизации достались все эти часы, минуты и секунды. Вавилоняне использовали шестидесятеричную систему исчисления.
Конечно, кроме минут и секунд есть и меньшие доли градуса. К сожалению, здесь древняя простота заканчивается и начинается современная бюрократия. Логично было бы и секунды делить на 60 долей или хотя бы на привычные миллисекунды, микросекунды и т. д. Но и в системе СИ, и в родных ГОСТах делать этого не рекомендуется, поэтому доли градуса, меньшие угловой секунды, следует пересчитывать в радианах. К счастью, измерение столь малых углов может понадобиться только людям достаточно подготовленным. А нам с вами могут встретиться более простые задачи.
Итак, чтобы величину угла, указанную в формате (градусы минуты секунды) перевести в десятичные доли градуса, следует к количеству целых градусов прибавить количество минут, разделённое на 60 и кол-во секунд, разделённое на 3600. Например, географические координаты одного замечательного места в г. Краснодаре — 45° 2′ 32″ северной широты и 38° 58′ 50″ восточной долготы. Если пересчитать это в обычные градусы, то получится 45° + 2/60 + 32/3600 = 45.0421° северной широты и 38 + 58/60 + 50/3600 = 38.9806 восточной долготы.
Это несложно проделать в калькуляторе, но можно воспользоваться и интернет-ресурсами. В интернете вам предложат лёгким движением мышки перевести секунды в градусы, радианы, обороты, да хоть в мили, если такое желание возникнет! Вот несколько ссылок на он-лайн конверторы угловых координат:
<a rel=»nofollow» href=»http://convertr.ru/angle/» target=»_blank»>http://convertr.ru/angle/</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://www.unitconversion.org/unit_converter/angle.html» target=»_blank»>http://www.unitconversion.org/unit_converter/angle.html</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://www.1728.com/angles.htm» target=»_blank»>http://www.1728.com/angles.htm</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://www.fcc.gov/mb/audio/bickel/DDDMMSS-decimal.html» target=»_blank»>http://www.fcc.gov/mb/audio/bickel/DDDMMSS-decimal.html</a>
<a rel=»nofollow» href=»/» title=»40536924:##:scol/ccangle.htm» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://convert-to.com/120/angle-units.html» target=»_blank»>http://convert-to.com/120/angle-units.html</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://www.engineeringtoolbox.com/angle-converter-d_1095.html» target=»_blank»>http://www.engineeringtoolbox.com/angle-converter-d_1095.html</a>
Для этого следует всего лишь умножить число 0,331195 (т. е. десятичные доли градуса) на 60: 0,331195 • 60 = 19,8717 это и есть минуты и десятичные доли минуты. А целое число градусов, разумеется, остаётся прежним. Таким образом получается: 56,331195 = 56° 19,8717′ Чтобы получить секунды из географических координат 56,331195 с. ш.: полученные доли минут (указанные выше) переводим в секунды путём умножения на 60: 0,8717′ • 60 = 52,302″ это и есть секунды и десятичные доли секунд. А целое число градусов остаётся прежним. Итого получается: 56° 19,8717′ 52,302″ Теперь попробуем округлить минуты и секунды до целых: Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100 Итого: 19,8717′ ≈ 20′ 52,302 ≈ 52″ Северная широта равна: 56° 20′ 52″ Расклад восточной долготы точно такой же как и с. ш. поэтому восточная долгота равна: 46° 33′ 45″ Обратный перевод также прост. Следует наши секунды и минуты а также десятичные доли секунд и минут разделить на 60 — это и будут наши десятичные доли градуса. 52,302/60 = 0,8717 ≈ 19,8717 / 60 = 0,331195, целое число градусов и в этом случае сохраняется.
Таким образом:
56° 20′ 52″ = 56° 19,8717′ 52,302″ = 56.331195° с. ш. Расклад восточной долготы выполняется по такому же принципу как это сделано с северной широтой. Цифра 60 это: 1° = 60 минут = 3600 секунд
touch.otvet.mail.ru
Как градусы перевести в минуты, секунды и радианы?
Образование 25 мая 2018
Любые тела, форма которых является круглой, например сфера или окружность, нуждаются в специальных единицах измерения, отличающихся от таковых для линейных объектов. Этими единицами измерения стали градусы и радианы. При этом часто возникает вопрос о том, как градусы перевести в минуты, секунды и в радиальную систему измерения.
Единицы измерения: градусы
Приблизительно за тысячу лет до нашей эры древние вавилоняне применяли систему измерения небесных тел, по которой вся небесная сфера разделялась на 360 равных частей, что записывалось как 360 °. Одну трехсот шестидесятую часть они называли градусом.
Поскольку система исчисления древних вавилонян являлась шестидесятеричной, они разделяли каждый градус на 60 равных частей, и одна такая часть получила название минуты и обозначалась 1′. В свою очередь каждая минута делилась еще на 60 частей, 1/60 минуты называлась секундой и обозначалась 1».
Наша система исчисления, в отличие от системы древних вавилонян, является десятеричной, однако в области измерения круглых и сферических форм по-прежнему используются градусы, минуты и секунды в их первоначальном понимании. Например, прямым углом является угол в 90°, один градус содержит 60 минут, а одна минута — 60 секунд. Эту информацию рекомендуется запомнить, поскольку она помогает понять, как градусы перевести в минуты.
Единицы измерения: радианы
Наряду с градусами часто используются другие единицы измерения — радианы (от лат. radii — радиус). Радиан является более подходящей единицей измерения круглых тел, поскольку он непосредственно связан с их геометрией. Так, один радиан представляет собой угол, который опирается на длину дуги окружности, равную ее радиусу. Поскольку длина окружности вычисляется по формуле L = 2piR, где pi — число пи, равное 3,14, то полная окружность составляет 2pi радиан.
Измерение углов в радианах очень удобно в тригонометрии, где вычисления и преобразования тригонометрических функций выполняются именно в этой системе исчисления. Например, sin(pi/2) = 1.
Как градусы перевести в минуты, секунды и радианы
Как сделать все правильно? Чтобы выполнить процедуру перевода градусов в минуты и секунды, нужно вспомнить, что в минутах он равен 60, а в секундах 60 x 60 = 3600 или 1° = 60′ и 1′ = 60».
Приведем пример: есть угол a = 12°. Как градусы перевести в минуты для него? Для этого составим пропорцию, из которой получим: a = 60′ x 12º/1º = 720′. Теперь рассмотрим более сложный случай: есть угол a = 32º 45′ 23». Для перевода этого угла в минуты необходимо прибегнуть к сложению в минутах каждого его разряда. В итоге получаем: a = 32 x 60 + 45 + 23/60 = 1965,383′. В секундах этот угол будет равен: a = 32 x 60 x 60 + 45 x 60 + 23 = 117923».
Чтобы перевести угол a из примера выше в радианы, нужно вспомнить, что 360° = 2pi. Теперь нужно указанный угол привести к градусам, получаем: a = 32 + 45/60 + 23/3600 = 32,75639°. Полученный в градусах угол через пропорцию переводим в радианы: a = 2pi x 32.75639°/360° = 0,5717 радиан.
Описание: Учебное пособие содержит множество ситуационных задач, отражающих хозяйственно-финансовую деятельность предприятий и организаций с учетом требований нормативных документов. Решение этих задач позволяет освоить процесс последовательного выполнения всех процедур работы бухгалтера: заполнение первичных документов, составление бухгалтерских проводок, ведение учетных регистров. Образцы необходимых форм первичных документов и учетных регистров помещены в учебном пособии — это очень удобно для студентов, так как ускоряет процесс решения задач и повышает качество обучения.
Практикум подготовлен в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) третьего поколения по специальности «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» и содержит задания для проведения практических занятий при изучении бухгалтерского учета. Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей всех экономических специальностей колледжей, лицеев, высших учебных заведений и слушателей курсов дополнительного профессионального образования по изучению бухгалтерского учета.
3.5.3. Инвентаризация и переоценка основных средств
Сквозная задача
Приложение
Литература
Размер архива 7,12 МВ
www.vse-ychebniki.ru
Практикум по бухучету
ПРАКТИКУМ ПО МОДУЛЮ «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ».
Задание 1.
Зачетная работа выполнятся в соответствии с программой курса.
Целью работы является расширение, углубление и закрепление теоретических знаний, полученных на лекциях, практических занятиях.
Отчетные разработки (журнал хозяйственных операций, оборотно-сальдоваяведомость, бухгалтерский баланс) составляются по установленным законодательствам формам. Слушатель выполняет работу самостоятельно, в конце работы данаоборотно-сальдоваяведомость и баланс, которые должны получиться в ходе решения.
Практикум (самостоятельная работа) должна быть выполнена непосредственно самим слушателем (без плагиата), результаты самостоятельной работы должны быть письменно оформлены и сданы в соответствующие сроки (согласно индивидуальному графику) в учебную часть.
Содержание задания.
На основании исходных данных:
1.составить журнал регистрации хозяйственных операций за январь 2013 года, выполнить необходимые расчеты к операциям.
2.по данным остаткам по счетам на 1 января 2013 года открыть счета бухгалтерского учета и отразить на них хозяйственные операции и подсчитать сальдо конечное.
3.составить оборотно-сальдовуюведомость по открытым счетам.
4.составить баланс предприятия на конец месяца.
Некоторые сведения о предприятии ООО «Феникс». (Выдержки из учетной политики на 2013г):
1.В ООО «Феникс» утвержден рабочий план счетов, разработанный на базе Плана счетов бухучета, утвержденного приказом Минфина.
2.Предприятие выполняет работы и услуги производственного характера. Имеет одно производственное подразделение. Вспомогательное производство отсутствует.
3.Стоимость амортизируемых основных средств погашается путем начисления амортизации линейным способом.
4.Учет всех затрат ведется с подразделением на прямые и косвенные. Прямые затраты в учете отражаются на счете 20 «Основное производство». Косвенные затраты предварительно учитываются на счете 26 «Общехозяйственные расходы», в конце месяца списываются на счет 20.
5.Расходы на продажу списываются в конце месяца полностью.
6.Учет реализации ведется по методу отгрузки продукции и передачи услуг покупателям.
1
У С Л О В И Е.
ОСТАТКИ ПО СЧЕТАМ СИНТЕТИЧЕСКОГО УЧЕТА НА 1 ЯНВАРЯ 2013 г.
Оказаны услуги транспортной организацией ООО «Мир»
по доставке фрезерного станка на склад:
—стоимостьуслуг по договору
1200
—НДС18% сверху
?
6.
Акт приема-передачи(ф.ОС-1)
Станок фрезерный введен в эксплуатацию.
?
7.
ВРС. Выписка из расчетного счета.
Перечислено в погашение задолженности:
—ООО «РЭД»
?
—ООО «Мир»
?
8.
ВРС. Денежный чек N324128.
С расчетного счета в кассу поступили деньги:
—нахозяйственные расходы
1200
—накомандировочные расходы
30000
9.
РКО. Расходные кассовые ордера.
Из кассы выдано в подотчет:
—секретарюФедоровой Е.Н. на хозрасходы
1200
—инженеруПронину В.А. на командировочные расходы.
30000
10.
РПВ. Расчетно-платежнаяведомость.
Начислена зарплата персоналу:
—рабочимосновного производства
560000
—АУП.Административно-управленческомуперсоналу.
280350
3
ОБОРОТНО – САЛЬДОВАЯ ВЕДОМОСТЬ
За январь 2013 года
N сч.
Наименование
Сальдо на
начало
Обороты за
Период
Сальдо на
Конец
ДЕБЕТ
КРЕДИТ
ДЕБЕТ
КРЕДИТ
ДЕБЕТ
КРЕДИТ
01
Осн.средства
650286
?
?
?
?
?
02
Аморт.ОС
150831
?
?
?
?
И так
далее
ИТОГО:
БУХГАЛТЕРСКИЙ БАЛАНС
АКТИВ
ПАССИВ
N п,п
N счета
Наименование
Сумма
Nп.п
N счета
Наименование
Сумма
1.
01
Основные средства
?
1.
80
Уставный капитал
?
И
так
далее
БАЛАНС
БАЛАНС
6
studfiles.net
Решебник по бухгалтерскому учету с решениями богаченко
Синтетический и аналитический учет расчетов с поставщиками 1632.8. Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции 1742.8.1. Группировка затрат на производство по элементам и статьям расходов 1742.8.2. Распределение расхода материалов по видам изготавливаемой продукции и заработной платы 1762.8.3. Учет и распределение затрат вспомогательных производств 1832.8.4. Учет и распределение общепроизводственных расходов 1872.8.5. Учет и распределение общехозяйственных расходов 1942.8.6. Учет расходов будущих периодов и резервов предстоящих расходов 1992.8.7. Учет потерь производства 2022.8.8. Учет выпуска продукции и определение ее себестоимости 2062.8.9. Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции при различных методах 2112.8.10. Расчет себестоимости незавершенного производства 2222.9. Учет готовой продукции и ее продажи 2312.9.1.
Решебник по бухгалтерскому учету с решениями богаченко
Раздел I Документирование хозяйственных операций и ведение бухгалтерского учета имущества организации Глава 1. Организация бухгалтерского учета на предприятии
Организация работы аппарата бухгалтерии
Права и обязанности главного бухгалтера
Учетная политика организаций
Основные требования к бухгалтерскому учету и его задачи
Глава 2. Учет денежных средств и расчетных операций
Учет кассовых операций
Документальное оформление и учет операций на расчетных счетах
Синтетический учет операций на расчетном счёте
Бухгалтерский учет расчетных отношений
Учет расчетов с подотчетными лицами
Учет операций на валютном счете
Глава 3.
/ ответы к практикуму по бухгалтерскому учету
Учет труда и заработной платы
Задачи учета труда и заработной платы
Классификация и учет личного состава
Учет использования рабочего времени
Формы и системы оплаты труда
Начисление заработка при повременной оплате труда
Документальное оформление учета выработки и начисление сдельной оплаты труда
Доплаты и надбавки
Документальное оформление и расчет заработной платы за неотработанное время и пособий по временной нетрудоспособности
Удержания из заработной платы
Порядок оформления расчетов с рабочими и служащими и выплаты им заработной платы
Синтетический учет труда и заработной платы и расчетов с персоналом по оплате труда
Глава 11.
Задачи по бухучету с ответами
ДОЛГОСРОЧНЫЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВА Заемные средства 1410 Отложенные налоговые обязательства 1420 Оценочные обязательства 1430 Прочие долгосрочные обязательства 1450 Итого по разделу IV 1400 V. КРАТКОСРОЧНЫЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВА Заемные средства 1510 150 Кредиторская задолженность 1520 1737 Доходы будущих периодов 1530 Оценочные обязательства 1540 Прочие краткосрочные обязательства 1550 Итого по разделу V 1500 1887 БАЛАНС 1700 3070 Руководитель Главный (подпись) (расшифровка подписи) бухгалтер (подпись) (расшифровка подписи) « » 20 г.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
# 20.02.2016770.05 Кб141Основы управления интеллектуальной собственностью2.doc
# 20.02.20161.2 Mб2Особенности б.у. (Экзамен).pdf
# 20.02.20162.87 Mб25ОТ Самара.doc
# 20.02.2016275.97 Кб4от Яцковской Т.С.
Скачать решебники
Автор: В.М. Богаченко, Н.А. Кириллова Название: Бухгалтерский учет: практикум Тип: учебное пособие Издательство: Феникс Год издания: 2015 Страниц: 398 Формат: PDF Размер файла: 7,32 МВ Размер архива: 7,12 МВ Описание: Учебное пособие содержит множество ситуационных задач, отражающих хозяйственно-финансовую деятельность предприятий и организаций с учетом требований нормативных документов. Решение этих задач позволяет освоить процесс последовательного выполнения всех процедур работы бухгалтера: заполнение первичных документов, составление бухгалтерских проводок, ведение учетных регистров. Образцы необходимых форм первичных документов и учетных регистров помещены в учебном пособии — это очень удобно для студентов, так как ускоряет процесс решения задач и повышает качество обучения.
Богаченко в.м. «бухгалтерский учет: практикум»
Важно
Группировка затрат на производство по элементам и статьям расходов 2.8.2. Распределение расхода материалов по видам изготавливаемой продукции и заработной платы 2.8.3.Учет и распределение затрат вспомогательных производств 2.8.4.
Учет и распределение общепроизводственных расходов 2.8.5. Учет и распределение общехозяйственных расходов 2.8.6.
Учет расходов будущих периодов и резервов предстоящих расходов 2.8.7. Учет потерь производства 2.8.8. Учет выпуска продукции и определение ее себестоимости 2.8.9.
Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции при различных методах 2.8.10. Расчет себестоимости незавершенного производства 2.9.
Учет готовой продукции и ее продажи 2.9.1. Документальное оформление поступления и отгрузки готовой продукции 2.9.2. Учет готовой продукции, ее отгрузки и реализации 2.9.3.
Учет расходов на продажу 2.9.4.
Бухгалтерский учет (богаченко в.м.)
Начисление повременной заработной платы 2863.1.3. Начисление доплат к заработной плате и прочих видов оплат 2903.1.4. Начисление заработной платы за неотработанное время 2943.1.5.
Инфо
Удержания из заработной платы 3013.1.6. Синтетический учет заработной платы 3063.1.7. Составление расчетно-платежной документации по заработной плате 3123.1.8.
Начисление заработной платы и удержания из нее 3153.3. Учет собственных средств организации 3233.3.1. Учет уставного капитала 3233.3.2. Внимание
Учет добавочного капитала 3273.3.2. Учет резервного капитала 3303.2 Учет кредитов и займов 3373.2.1. Учет краткосрочных и долгосрочных кредитов банка 3373.2.2.
Учет краткосрочных и долгосрочных займов 3403.4. Учет финансовых результатов 3493.4.1. Формирование финансовых результатов 3493.4.2. Отражение финансовых результатов на счетах 3513.4.3.
Учет нераспределенной прибыли 3543.4.4.
Учебники по бухгалтерскому учету
Учет финансовых результатов от прочих видов деятельности 3583.4.5. Создание резерва по сомнительным долгам 3633.5. Выполнение работ по инвентаризации имущества 3703.5.1. Инвентаризация кассовых операций 3703.5.2. Инвентаризации материально-производственных запасов 3733.5.3. Инвентаризация и переоценка основных средств 378Сквозная задача 383Приложение 390Литература 396 О том, как читать книги в форматах pdf, djvu — см. раздел «Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др.» . Загрузка… Астрономия Биология География Естествознание Иностр. языки. Информатика Искусствоведение История Культурология Литература Математика Менеджмент ОБЖ Обществознание Психология Религиоведение Русский язык Физика Философия Химия Экология Экономика: Школьникам Студентам Книги — экономика Книги — финансы Книги — налоги Рефераты Юриспруденция Школа — и др. Студентам — и др. Бухгалтерский учет является обязательной дисциплиной при подготовке специалистов по бухгалтерскому учету и аудиту, финансам и кредиту, налогам и налогообложению, менеджменту Учебник составлен в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО), утвержденным приказом Министерства образования РФ 282 от 06.04.2010, для подготовки специалистов по бухгалтерскому учету. Он адаптирован к учебному плану и профессиональным модулям специальности « Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)». Книга содержит три раздела: Раздел I «Документирование хозяйственных операций и ведение бухгалтерского учета имущества организации (профессиональный модуль 01)».
law-uradres.ru
Практикум по бухгалтерскому учету — Сапожникова Н.Г.
Описание: Становление цивилизованных рыночных отношений обусловливает необходимость новых методологических и организационных подходов к ведению бухгалтерского учета и составлению финансовой отчетности. Для эффективного управления капиталом, активами, обязательствами, доходами и расходами организации необходима полная, достоверная и оперативная учетная информация о результатах финансово-хозяйственной деятельности организации. Внесение в существующую систему бухгалтерского учета каких-либо изменений требует серьезного предварительного изучения и последующего применения принятых нормативных документов.
Книга «Практикум по бухгалтерскому учету» базируется на основных положениях Федерального закона от 29 ноября 1996 г. № 129-ФЗ «О бухгалтерском учете», Концепции развития бухгалтерского учета и отчетности в Российской Федерации на среднесрочную перспективу, нормативных и методических документах по бухгалтерскому учету. При подготовке учебного пособия авторы стремились рассмотреть организацию бухгалтерского учета различных учетных объектов, аспекты учетной политики, принципы формирования бухгалтерской отчетности. Учебное пособие «Практикум по бухгалтерскому учету» предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям и направлениям, и включает в себя ситуационные задания по ведению бухгалтерского учета в организациях различных организационно-правовых форм и форм собственности. Учебный материал расположен по темам бухгалтерского учета, каждая из которых содержит целевую установку, вопросы и задачи для практических занятий и самостоятельной работы, исходные данные и методические указания для решения. В каждой теме также представлены контрольные тесты для проверки знаний. Все числовые примеры учебного пособия являются условными.
Содержание учебного пособия «Практикум по бухгалтерскому учету»
ОСНОВЫ И ПРИНЦИПЫ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА
УЧЕТ ДОЛГОСРОЧНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
УЧЕТ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
УЧЕТ НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ
УЧЕТ ФИНАНСОВЫХ ВЛОЖЕНИЙ
УЧЕТ МАТЕРИАЛЬНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАПАСОВ
УЧЕТ ТРУДА И ЕГО ОПЛАТЫ
УЧЕТ ИЗДЕРЖЕК ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
УЧЕТ ГОТОВОЙ ПРОДУКЦИИ, РАБОТ, УСЛУГ И ИХ ПРОДАЖИ
УЧЕТ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ И РАСЧЕТОВ
УЧЕТ КАПИТАЛА, ФОНДОВ И РЕЗЕРВОВ
УЧЕТ ЗАЙМОВ И КРЕДИТОВ
УЧЕТ ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ
БУХГАЛТЕРСКАЯ ОТЧЕТНОСТЬ
скачать учебное пособие: Практикум по бухгалтерскому учету — Сапожникова Н.Г.
История экономических учений — Покидченко М.Г. — Учебное пособие< Предыдущая
Следующая >Внешнеторговое дело — Кретов И.И. — Учебное пособие
institutiones.com
Практикум По истории бухгалтерского учета
Министерство
образования и науки
Читинский институт
(филиал) ГОУ ВПО
«Байкальский
государственный университет экономики
и права»
Логинова
Н.А.
Печатается по
решению редакционно-издательского
совета
Байкальского
государственного университета экономики
и права
Рецензенты: к.э.н.,
доцент кафедры бухгалтерский учет и
аудит Тарасова Л.Н.
Практикум
составлен в соответствии с требованиями
по специальности «Бухгалтерский учёт,
анализ и аудит» доцентом кафедры
бухгалтерский учет и аудит Логиновой
Н.А.
История
бухгалтерского учета: Практикум — Чита:
Издательство БГУЭП, 2011.- 24с.
Практикум
предназначен для студентов экономических
вузов, обучающихся по специальности
080109
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит».
Считается,
что практика – это все, а теория
придумывается
теми, кому нечего делать.
Но если что-то
делать, надо четко знать:
что
делать, как делать и зачем делать,
т.е.
должен быть инструмент.
Этим инструментом
является методология.
Введение
История
бухгалтерского учета — это поиск
разумных ответов. Иногда он шел
успешно, порой приводил к разочарованию,
люди впадали в заблуждения, однако,
осознав это, начинали поиск заново.
История учета — это не путь от победы к
победе, а летопись его взлетов и падений.
История любой науки представляет
интерес, она ставит вопросы, а человек
пытается найти ответы на них. На
протяжении многих веков история ставила
и продолжает ставить различные
вопросы перед бухгалтерским учетом.
Многие из них остались без ответа.
Однако жизнь такова, что человек должен
дать тот или иной ответ, даже если он
заранее знает, что ответ не совсем
правилен. В самом деле, очень долго
люди, занятые хозяйственной деятельностью,
в поисках ответа довольствовались
методом проб и ошибок. Они могли
угадывать, но не могли знать, наверное.
По прошествии многих столетий, когда
хозяйственная жизнь резко изменилась,
стала несравненно сложнее, тогда такие
приемы перестали себя оправдывать,
потребовалась наука.
Бухгалтерский
учет как комплекс научных категорий,
как счетоведение позволяет выявить и
оценить суть практической деятельности
любой бухгалтерии в любой точке земного
шара. Эти категории в своих первоистоках
имели началом хозяйственную деятельность,
проходившую в латифундиях, в лавках
купцов и в конторах менял. По мере
экономического развития они
трансформировались, принимая различные
формы, связанные с особенностями
деятельности деловых людей, инженеров,
администраторов. Дух эпохи также
оказывал огромное, иногда всепоглощающее
влияние на содержание и структуру
учета. Но во все времена при описании
фактов хозяйственной жизни было нечто
общее, что со временем стало не только
возможным, но и необходимым выявить и
описать. Знания, полученные в
результате изучения истории бухгалтерского
учета, помогут студентам логически
выстроить этапы развития учетных
систем, проследить совершенствование
методологии на каждом из них. Современная
методология учета, его научные теории
и международные стандарты являются
закономерным продолжением в русле
исторической преемственности.
Курс
ориентируется на творческое восприятие
бухгалтерского учета как постоянно
развивающейся системы информационного
обеспечения управления.
studfiles.net
Книга «Лабораторный практикум по бухгалтерскому учету»
Добавить
Читаю
Хочу прочитать
Прочитал
И. В. Заславская
Оцените книгу
Скачать книгу
94 скачивания
Читать онлайн
О книге «Лабораторный практикум по бухгалтерскому учету»
Данное учебное пособие предназначено для обучения студентов экономических специальностей ВУЗов по профилю «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» (бухгалтер по отраслям и видам деятельности (например, бухгалтер по учету наличных средств в кассе предприятия, бухгалтер по расчету и начислению заработной платы и т.д.), помощник аудитора, внутренний контролер и др.), а также по направлению подготовки 61 б – «Экономика», квалификация «Бакалавр» и направлению подготовки 080100.68 «Экономика», квалификация (степень) «магистр». Также оно может использоваться слушателями курсов профессиональной подготовки и повышения квалификации, преподавателями бухгалтерского учета и практическими работниками. Целью пособия является освоение студентами навыков практической работы бухгалтера, использование нормативных документов, изучение взаимосвязей между различными хозяйственными операциями, выработка умения ориентироваться в бухгалтерских регистрах и составлять по ним бухгалтерскую отчетность. В данном пособии содержится сквозная задача, в которой представлены наиболее часто встречающиеся участки бухгалтерского учета.
На нашем сайте вы можете скачать книгу «Лабораторный практикум по бухгалтерскому учету» И. В. Заславская бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.
Алгоритм решения записать в тетради: при решении задач с помощью уравнений :
1. Обозначить некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составить уравнение с объяснением или в форме таблицы;
2. Решить это уравнение;
3. Объяснить полученный результат в соответствии со смыслом задачи и ответить на вопрос задачи.
4. Запишите ответ.
Разобрать решение задач 1, 2 пункта учебника.
4. Решение задач. Стр. 31 №154 На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участкам малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
О чем говорится в задаче?
Назовите ключевые слова задачи
Что выразим через х?
Составим таблицу:
Было
Стало
1
х
Х+ 22
2
5х
5х-22
По условию задачи кустов стало поровну. Составим и решим уравнение:
5х-22=х+22,
4х=44,
х=11-кустов на первом участке.
5х=11*5=55- кустов на втором участке.
Ответ: 11 кустов, 55 кустов.
Стр.31, № 159. На доске записано некоторое число. Один ученик увеличил это число а 23, а другой уменьшил на 1. Результат первого оказался в 7 раз больше, чем результат второго. Какое число записано на доске?
О чем говорится в задаче?
Что знаем про число? Как его изменил первый ученик, как другой?
Что выразим через х?
Пусть записано число х, первый увеличил на 23, т.е. (х+23), второй уменьшил на 1, т.е. (х-1). Учитывая, что результат первого стал в 7 раз больше, составим уравнение:
7(х-1)=х+23,
7х-х=23+7,
6х=30,
х=5.
Ответ: число 5 записано на доске.
Стр.31, № 160. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?
О чем говорится в первом предложении, во втором предложении? Что меньше? Что выразим через х?
Пусть в корзине было х кг, в ящике 2х кг. Стало в корзине (х+2)кг, в ящике (2х-0,5) кг составим и решим уравнение:
Х+2=2х-0,5,
Х=1,5(кг)-было в корзине.
Ответ: 1,5 кг.
Стр.31, №161. Один арбуз на 2 кг легче, че другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
1-х кг
2- (х+2)кг
3- 5х кг. Учитывая, что (х+5х) в 3 раза тяжелее, чем (х+2), составим и решим уравнение:
(х+2)*3=х+5х,
3х+6=6х,
3х=6,
х=2(кг)-масса первого арбуза.
Х+2=4(кг)- масса второго арбуза.
5х=10(кг)-масса третьего арбуза.
Ответ: 2кг, 4кг, 10кг.
Стр.30, №143 самостоятельно.
5 Итог урока. Повторить алгоритм решения задач с помощью уравнения.
6. Домашнее задание: № 147, 153, 162.
2урок.
Тип урока: закрепление изученного
Цель: — закрепить знания и умения решения задач с помощью уравнений, развивать логическое мышление, аккуратность, самостоятельность, умение оценивать себя.
План урока.
1. Проверить домашнее задание :№147 – краткое решение 1 ученик на доске записывает.
1-х
2-2х
3-3(2х)
4-4(3(2х))
Всего 132 рупий. Составим уравнение:
Х+2х+6х+24х=132,
33х=132,
х=4.-1 жертвователь.
2х=8- 2 жертвователь,
6х=24-3 жертвователь,
24х=96- 4 жертвователь.
Ответ: 4 рупии, 8 рупий, 24 рупии, 96 рупий.
2.Устный счет. Составьте уравнение по условию задачи:
-В одной бригаде на 5 рабочих больше, чем во второй. Сколько рабочих в каждой бригаде, если всего 77 рабочих?
-Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины, а его периметр равен 138 см. Найти размеры прямоугольника.
— решите уравнение: а) 5-2х=0, б) х-8=-4х-9.
3. Решение задач.стр.30 №149
10%=о.1
Пусть прибыль в в первом квартале хр., во втором х+0,1хр. Учитывая, что вся прибыль составила 126000 р., составим и решим уравнение:
х+х+0,1х=126000,
21х=126000,
Х=60000(р.)- в первом квартале.
Ответ: 60000 р.
Стр.31, № 155, задача на движение по реке.
1 способТаблица. Пусть собственная скорость х км/ч, скорость течения 2км/ч, тогда:
Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км
По течению
х+2
9
9(х+2)
Против течения
х-2
11
11(х-2)
Учитывая, что путь один и тот же, составим и решим уравнение:
9(х+2)=11(х-2),
9х+18=11х-22,
-2х=-40,
Х=20 (км/ч)- собственная скорость теплохода.
2 способ. Пусть собственная скорость х км/ч, скорость течения 2 км/ч, тогда скорость по течению (х+2) км/ч, против течения (х-2) км/ч.За 9 ч по течению путь 9(х+2) км, против течения за 11 ч 11(х-2) км. Так как путь один и тот же , составим и решим уравнение:
Стр.31,3 156. Самостоятельно, 1 ученик на доске решает, потом проверка
Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км
1 машина
х+10
2
2(х+10)
2 машина
х-10
3
3(х-10)
По условию расстояние одинаково. Составим и решим уравнение:
2(х+10)=3(х-10),
2х+20=3х-30,
-х=-50,
х=50 км/ч.
х+10=60 км/ч-скорость одной машины,
х-10=40 км/ч- скорость второй машины.
Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч.
Стр. 49, № 247. На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?
Пусть кроликов х, кур (1000-х). У каждого кролика 4 ноги, у всех 4х ног, у курицы 2 ноги, у всех 2(1000-х) ног. Всего 3150 ног. Составим и решим уравнение:
4х+2(1000-х)=3150,
4х-2х+2000=3150,
2х=1150,
Х=1150:2,
Х=575- кроликов.
1000-х=425 –кур
Ответ: 575 кроликов и 425 кур.
4. Итог урока: повторить способы решения задач, алгоритм решения. Объявить оценки за урок.
5. Домашнее задание: № 151, 157, 248.
kopilkaurokov.ru
Задачник по теме «Линейные уравнения» для 7 класса.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ.
1) Найди корень уравнения
а) −0,2e−15=−7
б) 1,7−6−9,56k=−3+1,7−9,66k
2) Экскурсанты за день прошли 19,6 км. С утра они шли 5 часов, а после обеда еще 3 часа. Сколько километров экскурсанты прошли утром, если после обеда их скорость снизилась на 2 км/ч. С какой скоростью шли экскурсанты утром?
3) Катер по течению за 4 ч. проплыл такое же расстояние, которое проплывает за 5 ч. против течения. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Вычисли скорость катера в стоячей воде. Сколько километров всего проплыл катер?
4) Расстояние между двумя пристанями равно 132,6 км. Из них одновременно навстречу друг другу вышли две лодки, скорости которых в стоячей воде равны. Через 1,7 ч лодки встретились. Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Скорость лодки в стоячей воде равна км/ч.
Сколько километров до места встречи пройдет лодка, плывущая по течению? км.
Сколько километров до места встречи пройдет лодка, плывущая против течения? км.
5) Из двух городов A и B, расстояние между которыми равно 50 км, одновременно выехали две автомашины. Скорость первой машины равна 91 км/ч, а скорость второй машины 41 км/ч. На каком расстоянии от города B обе машины встретятся и через какое время?
6) Одновременно от двух пристаней навстречу друг другу отошли две моторные лодки с одинаковыми скоростями. Через 3 ч они встретились. Лодка, которая плыла по течению, прошла на 21 км больше, чем другая лодка. Вычисли скорость течения реки.
7) Реши уравнение: =
8) На трёх полках находится 95 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей — на 15 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?
Тренировка по теме Линейные уравнения с одной переменной
1) Реши уравнение 5(x+11)=0
2) Корнем уравнения x =19 является
3) Значение выражения равно нулю, если a=
4) Найди корень уравнения y−26,9=0,9
1. Домашняя работа по теме Линейные уравнения с одной переменной
1) Найди корни данного уравнения y−8=−15+ .
2) Реши линейное уравнение −0,5e−14=−18
3) Реши уравнение 6,8+6+3,6k=9+6,8−6,4k
4) При каком значении переменной x значение выражения −2x−3 равно 6?
2. Проверочная по теме Линейные уравнения с одной переменной
1) Вычисли корень уравнения b⋅(−5)=45.
2) Найди корни уравнения: 2⋅(x+1,5)=4⋅(x−1,5)
3) Новая копировальная машина за 1 мин копирует на 14 листов больше, чем старая машина. За 10 мин работы на ней сделали на 50 копий больше, чем на старой машине за 15 мин. Сколько листов копирует новая машина за 1 мин?
4) Составь текст задачи по данной математической модели и реши её:
4⋅(x+2)+5⋅(x−2)=106
infourok.ru
Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»
Библиографическое описание:
Парканова С. И., Ревтова С. Н., Котлярова Т. М. Линейные уравнения // Школьная педагогика. 2016. №2. С. 19-22. URL https://moluch.ru/th/2/archive/27/615/ (дата обращения: 21.06.2019).
Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.
Н. И. Лобачевский
Введение.
Математика — предмет, без которого не могут быть изучены, ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире. Применение математических исчислений, в том числе линейных уравнений, являются составной частью в новых научных исследованиях и вносят большой вклад в развитие современной науки и технического прогресса в целом.
Актуальность: Уравнения в математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
Цель:
Изучить свойства линейных уравнений;
Отрабатывать навыки решения линейных уравнений.
Исторический экскурс.
Кто придумал уравнения?
Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант
“Он уйму всяких разрешил проблем.
И засухи предсказывал и ливни.
Поистине его познанья дивны”
Большой вклад внес среднеазиатский ученый Мухаммед аль Хорезми (IX век). –среднеазиатский математик, астроном, историк, географ — один из крупнейших ученых средневековья.
Его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете», привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математики в частности. Внес вклад в преобразование линейных уравнений.
Жаутыков Орымбек Ахметбекович (1911–1989г)
Ученый — математик. Внес значительный вклад в развитие математических наук. Академик Национальной Академии наук Республики Казахстан. Доктор физико-математических наук, профессор. Автор первого национального учебника по высшей математике. Основные научные труды посвящены математическим уравнениям, теоретической и прикладной механике.
Линейные уравнения содной переменной
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенной буквой, называется — уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, — правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.
Уравнение вида: ax+b=0
Называется линейным уравнением с одной переменной
(где х-переменная, а и b некоторые числа).
Х-переменная входит в уравнение обязательно в первой степени!
Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.
Уравнение может иметь один корень: 3x+5=0
Несколько корней: y(y-2)(5+2y) = 0 Бесконечно много корней: 7(x+1) = 7x+7 Уравнение может не иметь корней: x+3=x
Решить линейное уравнение— это значит найти все его корни или установить, что их нет. При решении уравнений могут быть использованы свойства уравнения:
Корни уравнения не изменяются, если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный.
Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
При решении уравнений используют свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число
(не равное нулю), то получится равносильное уравнение.
Алгоритм решения линейного уравнения
Раскрыть скобки в обеих частях уравнения;
Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащую в другую;
Привести подобные члены в каждой части;
Разделить обе части на коэффициент при переменной.
Рассмотрим решение уравнения:
(13х-15)-(9+6х)=-3х
Раскроем скобки:
13х-15–9-6х=-3х.
Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные — в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:
13х-6х+3х=15+9.
Приведём подобные слагаемые.
10х=24.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
х=2,4
Ответ: 2,4
Так же вашему вниманию представлены следующие решения уравнений:
8у -3(2y-3) = 7y — 2(5y + 8)
8у — 6у + 9 = 7у — 10у -16
8y — 6y — 7y + 10y = -16–9
5y= -25
y= -25: 5
у= — 5
(0,5х + 1,2)-(3,6–4,5х)=(4,8–0,3х)+(10,5х + 0,6)
0,5х + 1,2–3,6 + 4,5х = 4,8–0,3х + 10,5х + 0,6
0,5х + 4,5х + 0,3х — 10,5х = 4,8 + 0,6–1,2 + 3,6
—5,2х = 7,8
х= -1,5 Ответ: -1,5
5(3х+1,2) + х = 6,8,
15х + 6 + х = 6,8,
15х + х = 6,8–6,
16х = 0,8,
х = 0,8: 16,
х = 0,05, Ответ: 0,05
5,6–7у = — 4(2у — 0,9) + 2, 4,
5,6–7у = — 8у + 3, 6 + 2,4,
8у — 7у = 3,6 + 2.4–5,6,
у = 0,4, Ответ: 0,4
—3(у + 2,5) = 6,9–4,2у,
— 3у — 7,5 = 6,9–4,2у,
4,2у — 3у = 6,9 + 7,5,
1,2у = 14,4,
у = 14,4: 1,2,
у = 12, Ответ: 12
3 (х + 6) + 4 = 8 — (5х + 2)
3х + 18 + 4 = 8–5х — 2
3х + 5х = — 18–4 + 8–2
8х = — 16
х = — 16: 8
х = — 2
Ответ: -2
Задачи на составление линейных уравнений содной переменной.
Решение задач с помощью уравнений состоит из нескольких этапов:
неизвестную величину, значение которой мы хотим определить, обозначаем буквой, например x;
используя эту букву и имеющиеся в задаче данные, составляем математическую модель, где два разных выражения равны друг другу;
записывая эти выражения через знак равно, мы получаем уравнение,решение которого поможет найти ответ к задаче;
если необходимо, выполняем дополнительные действия для нахождения ответа к задаче.
Задача: В холодильнике в общей сложности 19 куриных и перепелиных яиц. После приготовления яичницы из 2 куриных и 5 перепелиных яиц, перепелиных стало в два раза больше, чем куриных. Сколько куриных яиц было в холодильнике изначально?
Составляем модель уравнения:
Нам надо решить, какую величину мы обозначим переменной x.
Рассмотрим вариант, где x — кур. яйца изначально;
Составляем математическую модель и уравнение.
x — кур. яйца изначально;
x — 2 — кур. яйца после;
2(x — 2) — пер. яйца после;
2(x — 2) + 5 — пер. яйца изначально;
Составляем модель уравнения:
Рассмотрим выражения, которые мы можем уравнять, сумму яиц до приготовления яичницы.
x + 2(x — 2) + 5 — сумма яиц изначально
19 — сумма яиц изначально
x + 2(x — 2) + 5 = 19 уравнение, решение которого находит ответ к задаче.
Решение:
х + 2х — 4 + 5 = 19
3х = 18
х = 18: 3
x = 6
Ответ: изначально в холодильнике было 6 куриных яиц.
Задача: По шоссе едут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машина увеличит скорость на 10км в час, а вторая уменьшит на 10км в час, то первая за 2 часа пройдет столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью едут автомашины?
Составление таблицы
Пусть х — первоначальная скорость машин, тогда (х + 10) — скорость первой машины, а (х — 10) — скорость второй машины.
Расстояние для первой машины 2(х + 10)
Расстояние для второй машины 3(х — 10)
Величины
Первичная скорость
Скорость по условию
Время
Расстояние
1 машина
х
+ 10
2
2 (х + 10)
2 машина
х
— 10
2
3 (х — 10)
Составление уравнения
Так как по условию задачи первая машина прошла за 2 часа столько же, сколько вторая за 3 часа, составим уравнение:
2(х + 10) = 3(х — 10)
Решение:
2(х + 10) = 3(х — 10)
2х + 20 = 3х — 30
2х — 3х = — 20–30
—х = — 50 Х = 50
Скорость первой машины 50+10=60км ч
Скорость второй машины 50–10=40км ч
Ответ: 1 машина — 60км ч
2 машина — 40км ч
Задача: Были куплены яблоки и груши на сумму 4200 тенге. Килограмм яблок стоит 300 тенге, а груш — 1200тенге. Сколько килограммов яблок было куплено?
Составление таблицы
Мы знаем, что 1 кг груш стоит 1200тг. Пусть х — количество купленных яблок, тогда количество купленных груш (х + 1).
Получаем, что 300х — сумма, уплаченная за яблоки, тогда 1200(х + 1) — сумма уплаченная за груши.
Величины
Цена, тг
Кол-во, кг
Стоимость, тг
Яблоки
300
х
300х
Груши
1 200
(х + 1)
1200(х + 1)
На 1 кг
Всего: 4200
Решение:
Теперь можно составить и решить уравнение:
300х + 1200(х + 1) = 4200
300х + 1200х + 1200 =4200
1500х = 3000
х = 3000: 1500
х = 2 Ответ: было куплено 2 килограмма яблок.
Выводы:
Итак, мы рассмотрели, что представляют собой линейные уравнения, их свойства и способы решения, заглянули в историю.
Научились решать линейные уравнения и задачи. Надеемся, что данный проект поможет учащимся в изучении темы «Линейные уравнения».
Литература:
Т. А. Алдамуратова, Т. С. Байшоланов «Математика 6 класс» Алмата «Атамура» 2011.
В. А. Гусев, А. Г. Мордкович..«Справочные материалы» Математика М. «Просвещение», 1988
К. П. Сикорский. «Факультативный курс» М. «Просвещение», 1969.
Основные термины(генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.
moluch.ru
Конспект урока по алгебре в 7 классе ««Решение задач с помощью систем линейных уравнений»
Аннотация: Урок объяснения нового материала. На уроке рассматриваются три разных способа решения одной задачи. Тем самым школьники приучаются анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения. Первый опыт применения уравнений для решения текстовых задач у учащихся уже имеется. Различные способы решения систем линейных уравнений уже изучены. И одна из целей урока — показать использование системы уравнений как математической модели реальной ситуации. Использование на уроке технических средств позволяет сделать урок ярким, насыщенным, полным и дает возможность мгновенно осуществить проверку решаемых на уроке заданий. Это очень важно, так как экономится время, а учащиеся, работающие самостоятельно, получают возможность проверить себя и вернуться назад, чтобы устранить свои ошибки. Тем самым осуществляется самоконтроль, внутренняя обратная связь — важнейший фактор самоуправления процесса обучения.
Тема: «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»
Цели
Показать использование системы линейных уравнений как математической модели реальной ситуации
Применение знаний по теме «Системы линейных уравнений» для решения текстовых задач.
Учить анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения.
Ход урока
Устная работа:
Решите задачу, составив числовое выражение:
Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько денег заплатили?
Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он преодолел?
Решите задачу, составив буквенное выражение:
Купили 10 тетрадей по Х р и 3 ручки по У р. Сколько заплатили за всю покупку?
Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и 2ч шел пешком со скоростью 4км/ч
Перейдите от словесной модели к математической:
Числа В и С равны
Число А на 18 больше числа В
Число Х в 6 раз меньше числа У
Разность Р и Н на 17 больше их частного
Создайте реальную ситуацию по модели:
a=2b
a+7=b
a-b=3
3a=b
I Этап. Объяснение нового материала.
Задача На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике размещается по 4 человека, в каждой палатке — по 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков на турбазе, если на ней отдыхает всего 70 человек?
Решим задачу арифметически.
25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2
70-50=20(чел) не расселили
20:2=10(домиков), т.к. подселяют еще по 2
25-10=15(палаток)
Ответ: 10 домиков, 15 палаток.
Решим эту задачу с помощью уравнения.
(Вспомним этапы математического моделирования)
II этап. Составление математической модели.
Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т. к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то 4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на турбазе 70 чел, составим уравнение:
2Х+4(25-Х)=70
III этап. Работа с моделью.
2Х+100-4Х=70
-2Х= — 30
Х=15
IV. этап. Ответ на вопрос задачи: 15 палаток и 10 домиков.
Самый трудный этап в решении задач — составление математической модели. Ученик всегда затрудняется, что удобнее обозначить за Х. Всегда возникает желание обозначить за Х то, о чем спрашивается в задаче. Но в данной задаче два вопроса. Две искомые величины. Можно ли решить эту задачу, введя два неизвестных? Попробуем.
Пусть Х — палаток, а У — домиков. Т. к их всего 25, то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел — в домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с двумя незвестными.
Как же их решить? Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить ее.
Х+У=25
2Х+4У=70
Вспоминаем способы решения систем линейных уравнений.
Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков, 15 палаток.
Делаем вывод: Система линейных уравнений тоже может быть использована как математическая модель реальной ситуации. Чтобы решить задачу с помощью системы надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними. Способ решения системы надо выбирать тот, который представляется более уместным, или тот, который больше нравиться. Этапы математического моделирования те же, что и при решении задач с помощью уравнения.
Закрепление изученного материала.
Решите с помощью системы уравнений:
1. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть — трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?
2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?
Подведение итогов урока.
Домашнее задание: параграф 14 , №14.7, 14.14.
infourok.ru
Решение задач с помощью системы линейных уравнений — урок 3 — АЛГЕБРА — Уроки для 7 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков
Урок № 80
Тема. Решение задач с помощью системы линейных уравнений
Цель: отработать навыки применения схемы решения текстовых задач на составление системы линейных уравнений с двумя переменными к решению задач на движение; совершенствовать умение решать системы линейных уравнений с двумя переменными аналитическими способами.
Тип урока: применение знаний, умений и навыков.
Ход урока
I. Организационный момент (традиционно)
II. Проверка домашнего задания
@ Для оживления процесса предлагаем учащимся самостоятельно решить задачу за содержанием, аналогичным к одной из домашних задач.
Самостоятельная работа
Решите задачу, составив систему уравнений.
Вдвоем шкафах стояли книги. Если с первой шкафы переставить во вторую 10 книг, то в обоих шкафах книг станет поровну. Если из второго шкафа переставить в первую 44 книги, то в ней останется в 4 раза меньше книг, чем в первой. Сколько книг было в каждом шкафу?
(По окончании решения учащиеся по желанию сдают работы, оцениваем лучшие, все остальные осуществляют самопроверку по образцу.)
Во время выполнения самостоятельной работы можно предложить более слабым учащимся подготовить записи на доске и после проведения и проверки самостоятельной работы презентовать свое выполненное домашнее задание.
III. Формулировка цели и задач урока
Напоминаем учащимся о существовании и необходимости рассмотрения еще одного вида задач — на движение. Поэтому основная учебная цель урока: научиться составлять системы линейных уравнений, отражающих процесс движения (прямолинейного, равномерного), описанный в текстовых задачах.
V. Актуализация опорных знаний Выполнение устных упражнений
1) стороны прямоугольника х и у, а периметр 26 см;
2) в одном шкафу х книг, во второй у книг; если переложить из первого шкафа во вторую 20 книг, то в первой будет в 2 раза больше, чем стало во второй; тетрадь стоит х грн., ручка в грн.; за две ручки заплатили на 2 грн. больше, чем за три тетради.
VI. Усвоение умений. Решение задач
@ На уроке мы решаем наиболее распространенный вид текстовых задач — задачи на движение (прямолинейное, равномерное). Схема решения этих задач такая же, как и в других видах текстовых задач. Единственное, что их отличает,— это наличие определенных соотношений между величинами, характеризующими это движение (S; v; t; v по теч; v против теч; v собственная и v течения), которые нужно знать и уметь использовать для выражения одних через другие согласно условия задачи. Именно из этих соотношений и желательно начать разговор о решения задач на движение:
S = vt; ; ; v по теч = v собственная + vтечения; v против теч = v собственная – v течения.
Еще на один момент хотелось бы обратить внимание перед составлением системы уравнений удобно записать краткое условие задачи в виде таблицы и дальнейшую работу с составления системы уравнений проводить как работу с таблицей.
v
t
S
И вид движения
II вид движения
Выполнение письменных упражнений
1. Первый автомобиль преодолевает путь между двумя городами за 2 ч, а второй — за 2,5 часа. Найдите скорость каждого автомобиля, если за 1,5 часа. первый из них проезжает на 30 км больше, чем второй.
2. Из пункта А В пункт В, расстояние между которыми 41 км, вышел турист. Через 1 час. навстречу ему из пункта В вышел другой турист. Через два часа после выхода второго туриста расстояние между ними было 18 км, а еще через 2 часа. они встретились. Найдите скорость туристов.
3. Теплоход проходит за 2 часа. по течению реки и за 3 часа. против течения 222 км. За 3 час. по течению он проходит на 60 км больше, чем за 2 часа. против течения. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки.
4. (На повторение). Сумма двух чисел равна 24. Зайдите эти числа, если 35 % одного из них равна 85 % другого.
VII. Итог урока
Обобщаем и систематизируем представление о: 1) содержание задач на составление систем уравнений с двумя переменными 2) общую схему решения таких задач составлением системы уравнений.
VIII. Домашнее задание
№ 1. Выпишите основные понятия темы. Повторите содержание этих понятий.
№ 2. Решите задачи, используя схему решения задач составлением системы уравнений. Для решения сложных систем подберите наиболее рациональный способ:
1) Два туриста отправились одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4’год. С какой скоростью двигался каждый турист, если известно, что первый до встречи преодолел на 2 км больше второго?
2) За 3 часа. по течению и 4 часа. против течения теплоход преодолевает 380 км. За 1 час. по течению и 30 мин. против течения теплоход преодолевает 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
что такое периметр и как его найти у прямоугольника
сумма длин всех сторон Р=2а+2в
это сумма всех сторон! P=a+b+c+d !
Периметр сумма всех сторон (причем у любой фигуры)
прибавь все стороны и получишь ответ
Сложи длины всех сторон, делов-то.. . Это сумма всех сторон фигуры
периметр — это сумма углов фигуры, его можно найти по формуле
P=a+b+c+d, где а, b,c, d — стороны прямоугольника
Периметр можно найти несколькими способами:
1) Р=а+б+а+б (сложить все стороны)
2)Р=2(а+б)
3)Р=2а+2б
в принципе все эти способы-одно и тоже. Просто по-разному записаны
2 класс 3 четверть день 16 урок 3 до звонка 23 минуты
сумма всех сторон
Периметр (др. -греч. περίμετρον — окружность, др. -греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости) . Имеет ту же размерность величин, что и длина. Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длины и ширины. P=(длина+ширина) *2 или P=длина+длина+ширина+ширина или P=2* на длину + 2*на ширину
touch.otvet.mail.ru
Ответы@Mail.Ru: как найти периметр прямоугольника
Сложите длины всех сторон
линию из угла в угол проведите.
Расскажите, при каких обстоятельствах он потерялся.
Сложить длины двух смежных сторон и умножить на два.
Пишется так: периметр=2*(а+б) ,
где а и б — стороны прямоугольника.
Как правило, для нахождения периметра любой фигуры, число сторон которых составляет три и больше, нужно вычислить сумму длин всех её сторон. Если поднапряжетесь, то, возможно, Вам удастся впервые в мире решить задачу квадратуры круга. Но это вообще-то по старинке было, а сейчас данный метод может быть неправильным — хрен его знает, чему там сейчас в школе учат, и учат ли вообще…
Разделить количество окон в доме на количество этажей, полученный результат умножить на плотность соленой воды.
Чтобы найти периметр прямоугольника нужно сложить сумму всех его сторон. Формула периметра P- a+b (*2)
Чтобы найти периметр прямоугольника надо сложить все стороны.
Чтобы найти периметр прямоугольника надо сложить все стороны.
вот формула: a*2+b*1
(звездочка это умножить)
Нужно сложить все
периметр-это сумма длин всех сторон.
Формула P=(a+b)*2
P=(2+4)*2=12 djn вот это периметр
touch.otvet.mail.ru
Как находить периметр прямоугольника
Напомним, что периметром называется сумма всех сторон плоской геометрической фигуры. Проблема как находить периметр прямоугольника не вызывает затруднений даже у младших школьников, которые начали изучать элементарную геометрию. Так как его стороны попарно равны то периметр прямоугольника нужно находить, как удвоенную сумму длины и ширины.
Математически это правило можно записать как Р=2(a+b), где Р – периметр, a,b– стороны прямоугольника. Все очень просто. Еще в древности была сформулирована так называемая задача Дидоны – какова максимальная площадь геометрической фигуры при данном периметре? Кстати, это была первая задача в мире на экстремум. Легенда гласит, что царица Дидона, основатель Карфагена при покупке земли для города заплатила за столько, сколько можно окружить бычьей шкурой. Затем она разрезала шкуру на тонкие полоски, связала их между собой и окружила этой веревкой территорию, на которой впоследствии был возведен город Карфаген. Решение этой задачи для прямоугольника привел еще Эвклид – при данном периметре наибольшей площадью будет обладать квадрат.
Решение этой задачи можно вывести из неравенства Коши или, что еще проще, через производную.
P=2(x+y) – периметр прямоугольника
S=xy– max– площадь прямоугольника, делаем простейшие преобразования и получаем:
P/2y–y^2=0 возьмем первую производную этого выражения
p/2-2y=0 отсюда
y=P/4 – прав Эвклид максимальной площади прямоугольник достигает, когда его сторона равна четверти периметра, то есть — это квадрат. Теперь мы знаем, как находить периметр прямоугольника, и все, что с этим связано с древнейших времен.
deburtres 09/05/2012 — 19:04
Автор deburtres это рекомендует потому, что: очень познавательно, особенно про Дидону.
www.uso.ru
Как отыскать площадь и периметр прямоугольника?
Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) именуется квадратом.
Характеристики прямоугольника
противолежащие стороны равны и параллельны друг дружке;
диагонали равны и в точке скрещения делятся напополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (4) сторон;
прямогугольниками 1-го размера есть возможность целиком замостить плоскость;
прямоугольник есть возможность 2-мя методами поделить на два равных меж собой прямоугольника;
прямоугольник есть возможность поделить на два равных меж собой прямогульных треугольника;
вокруг прямоугольника есть возможность обрисовать окружность, поперечник которой равен диагонали прямоугольника;
в прямогульник (не считая квадрата) нельзя вписать окружность так, чтоб она касалась всех его сторон.
Параллельность сторон, одинаковость углов и возможность замощения плоскости делают прямоугольник самой комфортной геометрической фигурой при разбиении площади на участки будь то на местности, в помещении либо снутри технического устройства. Участок есть возможность считать прямоугольным, в том случае его отличия от безупречного прямоугольника не превосходят допустимой в расчетах погрешности. Тогда для периметр и площадь участка есть возможность определять по формулам расчета периметра и площади прямоугольника.
ПериметрP прямоугольника равен двойной сумме сторон, прилежащих к одному углу
P = 2(a + b).
Длина диагоналиd прямоугольника рассчитывается по аксиоме Пифагора:
Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу (произведению длины на ширину):
S = a·b.
Также есть возможность выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол меж ними:
S = d2·sin(α/2)·cos(α/2).
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали:
R = √(a2 + b2)/2.
В прямоугольник (в том случае он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтоб она касалась всех его сторон. Наибольший радиус окружности, которая может поместиться снутри прямоугольника, равен половине его наименьшей стороны.
Источники:
Прямоугольник — Википедия
Четырехугольники — на веб-сайте Омского института
Глядеть также:
Как отыскать площадь и периметр квадрата?
Как отыскать площадь прямоугольного треугольника?
У каких многоугольников все диагонали равны меж собой?
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — цифры, используемые в тексте изданий главным образом для обозначения некоторых порядковых числительных: номеров конференций, съездов, обозначений веков (XX в.), императоров и королей (Александр III, Людовик XIV), кварталов (I квартал). Употребляются без наращения падежного окончания.
Таблица перевода Р. ц. в арабские
Издательский словарь-справочник. — М.: ОЛМА-Пресс.
Мильчин А.Э..
2003.
Ризография
Рисованные изооригиналы
Смотреть что такое «Римские цифры» в других словарях:
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — РИМСКИЕ ЦИФРЫ, знаки для обозначения чисел: I V X L C D M 1 5 10 50 1005001000 При записи числа значение большей цифры складывается со значением последующей меньшей или равной ей, а из значения большей цифры вычитается значение предыдущей меньшей … Современная энциклопедия
Римские цифры — РИМСКИЕ ЦИФРЫ, знаки для обозначения чисел: I X C M 5 50 500 … Иллюстрированный энциклопедический словарь
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — см. Цифры … Большой Энциклопедический словарь
Римские цифры — цифры, используемые в тексте изданий главным образом для обозначения некоторых порядковых числительных: номеров конференций, съездов (XXIV съезд КПСС), веков (XXI в.), императоров и королей (Петр I, Генрих IV), интервалов времени (II квартал) … Реклама и полиграфия
римские цифры — (Roman numerals) Римская система нумерации с помощью букв была распространена в Европе на протяжении двух тысяч лет. Только в позднем средневековье ее сменила более удобная для вычислений десятичная система цифр [знаки, обозначающие числа, 1… … Шрифтовая терминология
Римские цифры — Часы куранты Спасской башни Системы счисления … Википедия
римские цифры — см. Цифры. * * * РИМСКИЕ ЦИФРЫ РИМСКИЕ ЦИФРЫ, см. Цифры (см. ЦИФРЫ) … Энциклопедический словарь
Римские цифры — цифры древних римлян. Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, Х =10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При… … Большая советская энциклопедия
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — цифры древних римлян. Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I=I, Х=10, С=100, М=1000 и их половин V=5, L=50, D=500. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом если большая цифра … Математическая энциклопедия
Римские цифры — цифры древ. римлян. Система Р. ц. основана на употребл. особых знаков для десятич. разрядов I = 1, Х = 10, С = 100, М 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Натурал. числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если… … Древний мир. Энциклопедический словарь
publishing_dictionary.academic.ru
Римские цифры — это… Что такое Римские цифры?
Римские цифры
цифры древ. римлян. Система Р. ц. основана на употребл. особых знаков для десятич. разрядов I = 1, Х = 10, С = 100, М — 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Натурал. числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило примен. только во избежание четырехкрат. повторения одной и той же цифры. Напр., I, X, С ставятся соотв. перед Х, С, М для обозначения 9, 90 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Напр., VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 — 1 = 4 (вместо IIII), ХIХ = 10 +(10 —
Древний мир. Энциклопедический словарь в 2-х томах. — М.: Центрполиграф.
В. Д. Гладкий.
1998.
Римские провинции
Римское право
Смотреть что такое «Римские цифры» в других словарях:
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — РИМСКИЕ ЦИФРЫ, знаки для обозначения чисел: I V X L C D M 1 5 10 50 1005001000 При записи числа значение большей цифры складывается со значением последующей меньшей или равной ей, а из значения большей цифры вычитается значение предыдущей меньшей … Современная энциклопедия
Римские цифры — РИМСКИЕ ЦИФРЫ, знаки для обозначения чисел: I X C M 5 50 500 … Иллюстрированный энциклопедический словарь
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — см. Цифры … Большой Энциклопедический словарь
Римские цифры — цифры, используемые в тексте изданий главным образом для обозначения некоторых порядковых числительных: номеров конференций, съездов, обозначений веков (XX в.), императоров и королей (Александр III, Людовик XIV), кварталов (I квартал).… … Издательский словарь-справочник
Римские цифры — цифры, используемые в тексте изданий главным образом для обозначения некоторых порядковых числительных: номеров конференций, съездов (XXIV съезд КПСС), веков (XXI в.), императоров и королей (Петр I, Генрих IV), интервалов времени (II квартал) … Реклама и полиграфия
римские цифры — (Roman numerals) Римская система нумерации с помощью букв была распространена в Европе на протяжении двух тысяч лет. Только в позднем средневековье ее сменила более удобная для вычислений десятичная система цифр [знаки, обозначающие числа, 1… … Шрифтовая терминология
Римские цифры — Часы куранты Спасской башни Системы счисления … Википедия
римские цифры — см. Цифры. * * * РИМСКИЕ ЦИФРЫ РИМСКИЕ ЦИФРЫ, см. Цифры (см. ЦИФРЫ) … Энциклопедический словарь
Римские цифры — цифры древних римлян. Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, Х =10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При… … Большая советская энциклопедия
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — цифры древних римлян. Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I=I, Х=10, С=100, М=1000 и их половин V=5, L=50, D=500. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом если большая цифра … Математическая энциклопедия
drevniy_mir.academic.ru
Римские цифры
Римские цифры
Игры • Другие онлайн-сервисы • Главная страница
Уникальная римская система счисления, основанная на всемирно известных римских цифрах, имеет к римлянам такое же отношение, как и арабские цифры к арабам. Римляне лишь закрепили за собой изобретение этрусков, а затем откинулись за ними в то же самое небытие. Тем не менее до настоящего времени, в XXI веке, римские цифры имеют употребление в числовой записи: их можно встретить на циферблатах часов, в обозначении номера века, нумерации разделов книг, в составе имён царей и пап и т.п. Однако не рекомендуется совершать арифметические операции с ними во избежание скорого упаривания мозга. Римляне вообще считали камешками, а не в уме, а записывали только результат. В самом примитивном варианте римский счёт таков: семь цифр, взятых из латинских букв, которые, в свою очередь, были взяты из греческих, которые, в свою очередь, были взяты из финикийских, имеют числовые значения в четырёх десятичных разрядах:
Цифры в числе записываются в порядке убывания слева-направо от M до I. Значение числа определяется суммой цифр, в него входящих. Однако при такой системе полуразрядные цифры VLD используются не более одного раза, а полноразрядные IXCM повторяются не более четырёх раз кряду, что ограничивает запись максимально возможным числом 4999 (MMMMDCCCCLXXXXVIIII). Для превышения этого порога использовались в разное время разные системы записи, но единой и универсальной не существует и по сей день. Данный сервис реализует наиболее вменяемые из них. Например, в дремучей древности задействовалось пять дополнительных цифр за вычетом M (если какой-либо из этих символов не отражается — вините Уникод в целом, шрифтовиков-филонщиков и свой браузер в частности; для решения проблемы можно, например, скачать и установить шрифт Universalia — единственный поддерживающий все символы Уникода):
D
ↀ
ↁ
ↂ
ↇ
ↈ
IƆ
CIƆ
IƆƆ
CCIƆƆ
IƆƆƆ
CCCIƆƆƆ
500
1000
5000
10000
50000
100000
Нетрудно обнаружить, что вторая и третья строки — это одни и те же цифры в разном в начертании: закрытом и открытом. Второе явилось порождением лени печатников, которые не заморачивались отливать оригинальные литеры и просто набирали кучу перевёрнутых C. Тут очень наглядно можно делением пополам из ↀ получить D, а каждый дорисованный радиус увеличит цифру вдесятеро. Такая запись позволяет записывать числа уже до 499999. Дальнейшее расширение диапазона возможно либо членением числа на порядки при помощи разделителя (например точки), либо надчёркиванием: X.X.X.X = X̅̅̅X̅̅X̅X = 10010010010. Но даже и тут проступает суровая корявость системы: коварная цифра М своей значимостью заползает на следующий порядок, отжирая у него младший разряд на позициях цифр I̅, I̅I̅, I̅I̅I̅, I̅I̅I̅I̅ и первой его цифрой делая сразу V̅. А с правилом вычитания (см. ниже) после 3999 = MMMCMXCIX идёт 4000 = I̅V̅. Сервис позволяет ограничить свободу M или даже совсем её запретить: в первом случае за ней сохранится возможность представлять 900 в виде CM и далее, а следующий порядок в обоих случаях после 999 начнётся с I̅. Но это не самое страшное. Иногда в качестве ещё одной цифры использовалась стигма Ϛ — редкая греческая буква, похожая на серп (точнее сочетание С и Т), с числовым значением 6 в ионийской и новогреческой системе счисления — и в римской под тем же значением в полдюжины вместо VI. Используйте стигму, если хотите кого-нибудь озадачить. Средневековые монахи также внесли свой вклад в развитие римской системы, добавив в неё правило вычитания. Именно такой мы и знаем её сегодня: если меньшая цифра записана слева от большей, тогда её вычитают из большей, а не складывают. Но это правило ограничено лишь шестью общепризнанными случаями:
Одна полноразрядная цифра вычитается из цифры следующего по старшинству разряда. При этом в ряду равных она записывается последней: XXIX = 29. Это правило не разрешает писать 999 как IM (лишь в длинном виде CMXCIX). Для этой цели сервис предлагает использовать правило полного вычитания, по которому можно не только любое количество цифр вычитать из любой последующей, но и даже рассчитать произвольную последовательность римских цифр. Оно также даёт возможность записать отрицательные числа или ноль. Однако записи в системах членения и надчёркивания отличаются принципиально: ↇↇↀCXIↈ = DDIIM.CXIM = D̅D̅MCXIM̅ = LLIC.CIƆCXICCCIƆƆƆ = L̅L̅CIƆCXIC̅ = −1111. При вычитании C из IƆ последнее вынужденно заменяется на D, дабы отличаться от СIƆ, имеющего иное числовое значение: CCCIƆƆ = 9900; CCCDƆ = 4700. К сожалению, надчёркивания могут не вполне адекватно отражаться в браузерах.
Четыре антикризисных кейса для эйчаров и управленцев
Наталья Сторожева
В непростые времена одни компании разваливаются, а другие становятся даже прочнее: ощущение, что кризис у них мягче, руководство крепче и даже сотрудники им почему-то достались получше… В чём секрет? Четыре кейса об антикризисном HRM.
Автор о себе
Наталья Сторожева, генеральный директор центра развития бизнеса и карьеры «Перспектива».
Более 8 лет занимаюсь управленческим и кадровым консалтингом, обучением, развитием и подбором персонала.
Преподаю в Русской школе управления: курсы по управленческому консалтингу, подбору и развитию персонала, продажам и маркетингу.
Моя страничка в Facebook.
В кризис у руководителей появилось слишком много вопросов, ответить на которые непросто. К чему готовиться? Как перестраивать работу? В каком направлении двигаться? Какую стратегию выбрать?
Руководитель компании в кризис — как капитан корабля в шторм: только от его действий зависит судьба сотрудников и самой компании. Впрочем, нет. Не только от него. Ещё от сотрудников: от слаженности их действий, сплочённости и их боевого духа. Но обо всём этом тоже нужно позаботиться руководителю. Как это сделать? Рассмотрим тонкости антикризисного HRM на живых примерах из российской бизнес-практики.
Кейс первый. Мы вместе?
Компания: производственная.
Проблема: снижается объём заказов, нет возможности платить сотрудникам прежнюю зарплату.
Решение: руководитель собрал весь коллектив и прямо рассказал о сложностях. Тут же он предложил два решения:
Уволить часть сотрудников, а оставшимся сохранить прежнюю заработную плату.
Сохранить весь коллектив, но всем поровну уменьшить зарплату.
Собрание было в пятницу, поэтому руководитель попросил коллег подумать над вариантами и самим к понедельнику выбрать решение.
Результат: сотрудники предпочли сохранить весь коллектив и временно работать за более низкую зарплату.
Кейс второй. Паника на корабле
Компания: дистрибьюторская.
Проблема: обвальное падение продаж.
Действия: руководитель отдела продаж ходил подавленный; общаясь с коллегами в курилке или за чашкой кофе, постоянно размышлял вслух — «сколько ещё продержится эта контора».
Для многих менеджеров это стало сигналом: они начали искать новую работу и покидать компанию. Пессимистическое настроение руководителя отдела продаж стало широко известно; дело зашло так далеко, что даже постоянные клиенты начали звонить директору и спрашивать: правда ли, что компания скоро закроется.
Наконец директор компании понял, что в ситуацию нужно срочно вмешаться, но было уже поздно: отдел продаж к этому времени уже фактически развалился, и пришлось набирать новую команду.
Кейс третий. «Я садовником родился…»
Компания: рекламное агентство.
Проблема: возник дефицит в заказах, пришлось приостановить даже уже работающие проекты с промо-акциями и event-мероприятиями.
Решение: сотрудников, которые вели готовых клиентов и выполняли заказы, руководитель компании решил переквалифицировать в менеджеров по активным продажам. О чём и сообщил сотрудникам.
Их мнения разделились: часть сотрудников клиентского отдела не согласились поменять спокойную работу в стенах офиса на работу более нервную и разъездную; они стали уходить из агентства. Другие посчитали, что лучше сменить функциональность, чем искать новую работу. Эти сотрудники прошли базовое обучение технике продаж и стали осваивать новые обязанности.
После этого основной состав отдела продаж почувствовал конкуренцию со стороны новичков и тоже активизировался.
Таким образом, команда была переформатирована под новые задачи, сотрудники мобилизовались, а компания получила шансы справиться с временными проблемами и дальше развиваться на рекламном рынке.
Кейс четвёртый. Коллективный мозговой штурм
Компания: юридическая консалтинговая, специализация — консультирование и сопровождение иностранных компаний.
Проблема: компания стала терять своих клиентов — они начали уходить с российского рынка в связи с изменением экономической конъюнктуры.
Решение: руководство компании решило вместе с сотрудниками подумать, что делать дальше, какую стратегию выбрать. Устроили общее собрание. В итоге:
Было решено полностью поменять концепцию бизнеса: компания начала работать со средними российскими компаниями из производственного и сельскохозяйственного секторов.
Сотрудники высказались за оптимизацию расходов: офис переехал из центра Москвы за пределы ТТК, сократилась и площадь офиса: в нём теперь работали только генеральный директор и бухгалтер, а остальные сотрудники перешли в режим хоум-офис и приезжали только на совещания и переговоры.
Работники отказались от всех привилегий и дополнительных компенсаций.
Команду сплотил сам факт, что эти решения были приняты коллективом, а не навязывались руководством. Сотрудники почувствовали, что у них и у компании общие интересы: если они спасут её, то спасут и самих себя — им не нужно будет искать новую работу. Это позволило им подняться над трудностями и объединиться, чтобы вместе решить непростую задачу.
* * *
Итак, четыре кейса. В одном из них ситуация вышла из-под контроля и закончилась развалом работы, в остальных трёх руководству удалось удержать штурвал, корабль остался наплаву. Вот что объединяет эти случаи:
Руководители этих компаний были готовы к диалогу с сотрудниками: они честно рассказывали о проблемах и предлагали варианты решения.
Решения обсуждались публично, а не принимались кулуарно.
В ответ на такую позицию руководства сотрудники взяли на себя часть ответственности за бизнес, приложили усилия для спасения компании — и себя вместе с ней.
В целом руководству удалось сплотить сотрудников, получить работоспособную команду с осознанной мотивацией и высоким боевым духом.
Читайте нас в Фейсбуке и ВКонтакте. Самая быстрая HR-рассылка
условия копирования
www.hr-journal.ru
Мотивация без денег: методы антикризисного управления
«Нематериальная мотивация» – волшебные слова, особенно в кризис. Для руководителя компании — это способ повысить производительность, не увеличивая затраты на ФОТ, для HR-менеджера – необходимость придумать развлечения для коллектива вместо долгожданного повышения зарплаты, для сотрудника – нелепый абонемент в фитнес-клуб на другом конце города в качестве компенсации за командировку в выходные. Наталья Сторожева, генеральный директор Центра развития бизнеса и карьеры «Перспектива», рассматривает несколько кейсов необычных приёмов нематериальной мотивации.
Большинство работающих людей на вопрос, что такое нематериальная мотивация, ответит: «Это что-то вместо денег». Это справедливо, но только отчасти. Это инструмент более тонкий и более эффективный, чем классическая материальная мотивация. Чем выше уровень образования и квалификации сотрудников, тем более важными становятся аргументы, относящиеся к нематериальной мотивации: стиль руководства в компании, личность руководителя и система его ценностей, репутация компании, сфера деятельности. Например, высококвалифицированный юрист скорее предпочтет солидную компанию со среднерыночным уровнем зарплаты, нежели пойдет работать в фирму «Рога и Копыта». Мотив, связанный с деловой репутацией, оказывается более важным, чем деньги. Далеко не каждый маркетолог примет предложение от компании, производящей табачную или алкогольную продукцию, и объяснит свой отказ морально-этическими мотивами.
Бывают ситуации, когда финансовая мотивация бессильна в решении управленческих задач. Если бухгалтер невнимателен и допускает много ошибок в обработке документов, то прибавка к заработной плате никак не повлияет на качество его работы. Или другой пример: если сотрудница проводит выходные с семьей, навещает престарелых родителей и считает это важной частью своей жизни, то изменение графика ее работы и необходимость работать по выходным приведет к увольнению. Дополнительная оплата не компенсирует устоявшихся привычек и ценностей.
Нематериальная мотивация воздействует на три основных уровня: потребности человека, страхи и пороки. При этом апелляция к страхам может служить благородным целям. А «игра» на благородных устремлениях человека ведётся ради весьма приземленных задач.
Вот несколько примеров из реальной практики российских компаний.
Кейс 1. Страх позора
Небольшая региональная розничная сеть мини-маркетов эконом-класса. Одна из постоянных проблем, с которой боролся управляющий — это воровство продуктов питания среди персонала. Он испробовал множество способов: выговоры, штрафы, угрозы увольнений. Ни один из методов не давал стабильно хорошего результата: после показательных устрашительных мер ситуация временно улучшалась, но через несколько недель все возвращалось «на круги своя». Обстановка в коллективе была напряженной и нервной.
И тогда он предпринял следующее: объявил всем сотрудникам сети, а это были в основном женщины от 28 до 45 лет, что в случае выявления факта кражи будет писать служебные письма директорам школ, в которых учатся дети проворовавшихся сотрудников. А также пообещал лично посетить каждую школу, чтобы провести соответствующую «разъяснительную работу» с учителями, и побывать на родительских собраниях, чтобы довести информацию до родителей одноклассников. Это произвело эффект разорвавшейся бомбы. Впечатленные такой перспективой, сотрудницы магазинов изменили свое поведение. А управляющий пошел дальше, и предоставил сотрудницам возможность приобретать определенное количество продуктов для семьи с существенной скидкой. Ситуация в коллективе стабилизировалась, также улучшилась трудовая дисциплина и качество межличностных коммуникаций.
В данной ситуации управляющий использовал, как точку воздействия, страх позора. Результат же, которого он добился, можно считать позитивным и в экономическом, и в моральном плане.
Кейс 2. Амбициозность
В московской консалтинговой компании для работы над проектами директор привлекал на работу молодых умных и амбициозных специалистов из разных сфер: продаж, маркетинга, права, финансов. При найме вел с каждым индивидуальные конфиденциальные беседы. Краткое содержание разговора с новым сотрудником было примерно следующим: «Ты классный специалист, ты мне нравишься, я вижу в тебе большой потенциал. Думаю, что ты вполне можешь быть в этой компании не только руководителем проекта, но и управляющим партнером. Но сначала я хочу посмотреть тебя в деле, покажи себя, потрудись так, как если бы ты работал на себя. Конечно, проекты у нас сложные, но я буду тебе помогать, учить тебя, направлять. Поэтому зарплата будет пока небольшая, считай, что это инвестиция в твое образование и развитие. Давай, покажи класс, ты же мой будущий партнер!»
И новички, воодушевленные такими перспективами, активно и с энтузиазмом брались за дело, работали по 10-14 часов, летали в командировки, «жили» в самолетах. Примерно через год, успешно осуществив 3-5 проектов, сотрудник заводил разговор об обещанном партнерстве. Но директор сначала тактично уходил от разговора, потом тянул с ответом, а через какое-то время специалист и сам понимал, что ему ничего не светит. И что совсем не случайно больше 1,5 лет в этой компании никто не работает, новички приходят окрыленные и «горят» на работе, а те, кто работает больше года, выглядят устало, ведут себя раздражительно и нервно и мрачно шутят по поводу «перспектив».
Этот кейс – классический пример того, как руководитель применяет нематериальную мотивацию, использует «позитивные» потребности людей: стремление к развитию, профессиональному росту, амбициозность. Но при этом совершенно осознанно обманывает их, не планируя ни повышать зарплату, ни делать в будущем партнерами по бизнесу. Так благие возвышенные устремления становятся плодородной почвой для недобросовестной кадровой политики.
При этом методология нематериальной мотивации, как и любая другая методология, нейтральна по отношению к этике и морали, благородным или низменным целям. Как показывает практика, инструмент — это всегда лишь инструмент: одной и той же лопатой можно сажать дерево и рыть могилу. Одним и тем же оружием можно защищать свою семью, а можно грабить банк. Оружие при этом лишь инструмент достижения цели, и результат зависит от личности того, кто этим инструментом пользуется. Безусловно, лидеры, наделенные властью, всегда имеют выбор, на какую часть человеческой личности воздействовать и какой метод будет результативнее для пользы дела. Вот один из типичных примеров.
Кейс 3. Страх наказания
Российская FMCG компания, отдел рекламы из 6 человек. Руководитель никак не может наладить работу подразделения: сотрудники срывают сроки запуска рекламных акций, промо-компании проходят неорганизованно, рекламные материалы изготовлены некачественно и их постоянно не хватает. В отделе страдает дисциплина, нет распределения обязанностей, то есть все делают всё, помогая друг другу. Сотрудники других подразделений постоянно жалуются на работу рекламщиков. При этом руководитель старается изо всех сил: много времени отдает работе, постоянно задерживается, работает в выходные, пытаясь личным примером воодушевить сотрудников. Организует корпоративные мероприятия в отделе, стараясь сплотить коллектив, проводит индивидуальные беседы с коллегами о том, что нужно «держать марку», «не подводить команду», «беречь честь мундира», отправляет своих подчиненных на семинары и тренинги. Но принципиально это ситуации не меняет, все благие намерения тонут в общей лени, безразличии и неорганизованности. Руководитель отдела рекламы пытается убедить вышестоящее руководство в том, что «скоро всё наладится, надо только зажечь людей идеей».
Заканчивается всё печально: идейного руководителя – увольняют, а на его место ставят сухого прагматика. В отделе тут же начались изменения: четкое планирование по задачам и датам, персональная ответственность за каждый пункт, распределение функционала в соответствии с должностными обязанностями, опоздание – объяснительная записка, срыв проведения рекламной акции – депремирование. Картина полностью изменилась через два месяца: отдел сократился в количестве, но существенно улучшилось качество его работы. Жалобы на отдел со стороны других подразделений прекратились через три-четыре месяца. Новый руководитель отдела объяснил свои действия следующим образом: «Эти люди разленились, потеряли всякий страх и стыд, им нужен был «холодный душ», чтобы отрезвить их и вернуть с небес на землю».
Очевидно, что «возвышенные» методы, такие как воодушевление, личностноеразвитие, дружественность, командность и профессиональное обучение в данной ситуации не эффективны. Чтобы изменить свое отношение к работе, сотрудники должны увидеть, что есть прямая связь между их профессиональной деятельностью и реакцией окружающих, между поступками и последствиями. Воздействие на более «низкие» аспекты личности, такие, как страх осуждения, наказания, методы эмоционального давления, публичная оценка и общественное осуждение, как методы нематериальной мотивации оказались в данной конкретной ситуации более действенными. Строгость, требовательность, принципиальность в поведении руководителя позволили структурировать работу отдела и вернули людям самоуважение.
Довольно часто в бизнес-практике успешных руководителей встречаются комплексные мотивационные модели, сочетающие в себе и материальную и нематериальную составляющую. Оказывая воздействие сразу на несколько «точек», руководитель получает гарантированный результат. Лучше всего это видно на примере организации работы в сбытовых подразделениях.
Кейс 4. Потребность в признании и жажда первенства
Российская компания, сектор В2В, в отделе продаж около двадцати человек. Материальная мотивация построена следующим образом: все сотрудники получают небольшой фиксированный оклад, составляющий примерно четверть от суммы ожидаемого среднемесячного дохода, основная часть их дохода – это бонус за выполнение плана продаж. В зависимости от уровня выполнения (80%, 90%, 100%) или перевыполнения плана, бонус рассчитывался с разным коэффициентом. Эта материальная часть мотивации обращена к рациональному в личностях сотрудников. А нематериальная мотивация призвана была играть на других «струнах» их души. Лучший сотрудник отдела продаж получал переходящий знак отличия «Герой продаж» и привилегию парковать свою машину на VIP-парковке, рядом с машинами директоров компании. А худший продавец попадал в черный список. За глаза его называли «последним героем». По итогам работы трех месяцев лучших продавцов награждали ценными призами, а худшего – увольняли, даже если это «худший» делал 80% плана. Так как по этой методике худший был всегда, то над отделом постоянно летал страх увольнения. Это постоянно держало людей в напряжении. Новичкам в этом отделе продаж всегда было сложно, так как никто из «старослужащих» не хотел делиться с ними опытом и знаниями, видя в новичках потенциальную угрозу и конкуренцию.
Рассмотрим используемую в этой компании методологию нематериальной мотивации подробнее.
Символические подарки и награды – классический метод, используемый руководителями для поощрения персонала, опирается на потребность человека в признании, позитивной оценке со стороны окружающих. Если борьба за символическую награду подогревается внутренней конкуренцией и соревновательностью, то включается еще и жажда первенства, превосходства. Особенно это действенно в мужских коллективах, так как мужчины более конкурентны.
Привилегии — часто применяемое обращение к потребности человека в статусе, желании казаться значимым и успешным. При этом виды привилегий могут быть разными: два дня отгула без объяснения причин, право уходить в отпуск в самый пик сезона или приходить по пятницам в офис на час позже, сидеть за обедом за столом руководства, большой рабочий кабинет, офисное кресло «как у босса» и множество других приятных пустячков, которые не стоят компании денег, но создают у сотрудников ощущение особого статуса и значимости.
Публичное признание строится на потребности в широком общественном одобрении и профессиональном признании. Это может быть портрет на доске почета, статья в корпоративном интранете, пост в социальных сетях, интервью в СМИ, присвоение звания, титула, квалификации. Важную роль играют в этом случае разнообразные звания, квалификационные категории, сертификаты и дипломы, так как явно говорят о профессиональном и публичном признании.
Увольнение слабого игрока – это пример воздействия на целый «букет» разнообразных человеческих страхов: глубинные «видовые» страхи отвержения и изгнания, страх общественного отрицания и негативной оценки, страх оказаться неудачником, отстающим, слабым. И только в последнюю очередь – страх потерять работу и зарплату.
Кейс 5. Проекция личности
В нематериальной мотивации есть еще один интересный аспект. Это проекция личности руководителя, его системы ценностей, жизненных установок и системы приоритетов на концепцию нематериальной мотивации и технологий управления людьми. В одних и тех же обстоятельствах разные люди применяют разные управленческие методы, исходя, в первую очередь, из своего понимания окружающей реальности и своего места в ней.
На одном из семинаров руководителям была предложена простая реальная ситуация. Количество вариантов решений было равно количеству людей в группе.
Представьте, что вы руководитель небольшой компании из 10-12 человек. Вы стараетесь обеспечить своим сотрудникам достойные условия труда: хороший офис, удобная мебель, современные компьютеры. И, конечно же, вкусный кофе для создания позитивной атмосферы, особенно с утра. Неожиданно вы узнаете, что одна из ваших подчиненных систематически отсыпает кофейные зерна в пакетик и каждый вечер уносит домой. Ваши действия?
Ответ 1: «Вызвать на беседу, строго один-на-один, сделать замечание».
Ответ 2: «Публично пошутить по поводу того, что кофе слишком быстро кончается».
Ответ 3: «В конце рабочего дня попросить всех показать содержимое сумок.»
Ответ 4: «Ни с кем ничего не обсуждать. Воровство – неизбежное зло. Надо покупать самый дешевый кофе, чтобы было не жалко».
Ответ 5: «Не обсуждать, просто лимитировать количество кофе на месяц. Сотрудники сами все урегулируют между собой».
Ответ 6: «Не делать замечаний сотруднице. Но на ближайший праздник подарить ей пачку хорошего кофе».
Ответ 7: «Написать юмористическое объявление на кофеварке в стиле «Домой не брать!» Не факт, что поможет, но сделает человека смешным в глазах окружающих».
Ответ 8: «Если ворует один, то игнорировать ситуацию. Если воруют все, то либо убрать кофеварку и поставить банку растворимого, либо купить самый дешевый».
Ответ 9: «Уволить с позором. Не из-за стоимости кофе, а из-за моральных качеств, чтобы не портила атмосферу».
Как видно из ответов, палитра решений в этой маленькой и немного смешной жизненной ситуации довольно разнообразна. Если взять кейс более сложный, содержащий глубокий личностный конфликт или борьбу интересов, и предложить для решения нескольким руководителям, то вариативность будет еще выше. Одни будут смотреть на предложенную ситуацию с точки зрения морали и нравственности, другие скорее будут оценивать бизнес-риски, третьи постараются все измерить деньгами. Кто-то будет проявлять снисходительность, а кто-то строгость. Любое решение можно считать одновременно и субъективным, и правильным. Ведь бизнес не относится к точным наукам и в нем не может существовать единственно правильного ответа.
Кейс 6. Чудеса лояльности
Российская производственная компания, штат около 50 человек, на рынке с 1998 года. Директор, опираясь на свою веру в «доброе и вечное» заботился о сотрудниках, поддерживал доброжелательную и мягкую атмосферу в коллективе, никогда сильно не наказывал за опоздания и мелкие проколы по работе, хвалил и премировал за достижения. Костяк компании – это люди, долго и сплоченно работающие вместе много лет, от чего в коллективе сложилась атмосфера доверия и уважения.
Когда в период кризиса компания теряет ключевых клиентов и оказывается «на мели», полгода сидит без заказов и без денег, сотрудники проявляют чудеса лояльности: месяцами работают без зарплаты, перебиваясь случайными подработками. Коллектив продолжает работать, менеджеры ищут заказы, инженеры и рабочие поддерживают своего руководителя. В итоге компания выигрывает крупный проект, позволяющий вернуться к нормальной работе. Пережив кризис, сохранив коллектив, компания возрождается, не потеряв ни одного из ключевых сотрудников.
Рассказывая эту историю, директор признавался: «Я не знаю, почему они продолжали работать. У меня совсем не было денег, я почти ничего им не платил. Я только знал, что надо продолжать бороться за заказы». А сотрудники говорили о своем руководителе так: «Мы с ним по десять-пятнадцать лет проработали. Всякое бывало, надо просто работать, и всё. Не хлебом единым… Вот прорвались же!»
Обучение сотрудника как приём нематериальной мотивации
Безусловно, гораздо приятнее видеть, как лидеры используют «светлую сторону силы» и, обращаясь к лучшим человеческим потребностям и стремлениям, связанным с развитием, совершенствованием, личностным и профессиональным ростом, не только эксплуатируют их в интересах бизнеса, но еще и искренне поддерживают своих сотрудников в этом движении. Нематериальная мотивация в области обучения и профессионального роста, построенная на честном партнерстве между работодателем и сотрудником, как правило, дает очень позитивные результаты. Этот внутренний договор может быть и вполне официальным, и заключенным на словах, и негласным. Важно, чтобы каждая сторона честно выполняла свои обязанности и уважала права другого: «Мы инвестируем в твое обучение, а ты применяешь все полученные знания на практике на благо компании».
Возможно, в период экономического кризиса нематериальная мотивация, опирающаяся на потребность в обучении и профессиональном развитии, становится одной из самых эффективных. Обучение, особенно коллективное, корпоративное, повышает не только уровень профессиональной компетенции, но и «заряжает» команду на успех, на активную деятельность. Для компании это — возможность повысить мотивацию персонала без дополнительных бюджетных затрат, ведь в сфере обучения есть масса бюджетных методик.
Можно организовать передачу опыта от экспертов молодым сотрудникам в формате мастер-классов, интервью, коуч-сессий, вебинаров. Или сделать ставку на внутреннюю конкуренцию и устроить «битвы титанов» в формате стратегических сессий, деловых игр, профессиональных турниров. Для более спокойных и консервативных коллективов подойдут тематические СМИ-обзоры, дайджесты деловой литературы, обмены ссылками, статьями, книгами, пресс-клубы. В креативных и энергичных коллективах хорошо воспринимаются творческие конкурсы, тематические игры, импровизации и неожиданные задания-вызовы.
Для работодателя обучение сотрудников, если оно хорошо организовано, это сильное мотивирующее воздействие, так как достижения «за партой» легко проецируются на профессиональную деятельность и активизируют творческий потенциал сотрудников. Опытный руководитель с помощью обучения может превратить однообразную операционную рутину в яркую проектную работу, раскрасить серые офисные будни в яркие краски соревновательности, деловой конкуренции и сделать ставку на азарт личных достижений. А для сотрудников обучение – это всегда возможность повысить уровень своей компетентности, а значит, и рыночной стоимости.
Выстраивая нематериальную мотивацию в команде, лучше опираться на свою внутреннюю человеческую позицию, на собственную убежденность, что «хорошо» и что «плохо». Исходя из своего представления о таких понятиях, как «надо», «хочу» и «должен» руководитель, как тренер, всегда прав. Работая над решением бизнес-задач, человек всё равно строит свою маленькую вселенную, работающую по собственным внутренним законам.
Безусловно, система нематериальной мотивации должна согласовываться с личностным, интеллектуальным, духовным уровнем людей, для которых она разрабатывается. Неуместно говорить о карьерном росте и профессиональных амбициях, если перед вами триста уборщиц. В этом случае для эффективной работы нужен хороший график, расписание и четкая система контроля. Но если ваши подчиненные — финансовые аналитики, лучше сделать ставку на профессиональное уважение, конкуренцию по уровню экспертности и консультационный стиль управления.
Разрабатывая и внедряя нематериальную мотивацию, исходите из конкретной бизнес-задачи обстоятельств вашей отрасли и компании, импровизируйте и постоянно пробуйте новое. Пусть это будет вашей собственной мотивацией!
При использовании материалов сайта rjob.ru указание автора и активная ссылка на сайт обязательны!
rjob.ru
Кейс: 9 принципов антикризисных коммуникаций
Атака компьютерного вируса Petya, обрушившаяся на инфраструктуру «Инвитро» в конце июня, стала серьезным вызовом для компании. Кибератака затронула все лабораторные комплексы, из-за чего медицинские офисы были вынуждены временно приостанавливать работу. Готовность к подобным форс-мажорам и четкое понимание того, как должны разворачиваться антикризисные коммуникации – главные факторы, позволившие придать последствиям кибератаки управляемость с точки зрения репутации компании.
Основные принципы антикризисных коммуникаций сформулировал директор по корпоративным коммуникациям ИНВИТРО Антон Буланов.
1. Главный принцип антикризисной политики – она обязательно должна быть
Кризисы всегда происходят неожиданно, и сказать, что мы были абсолютно готовы к кибератаке, было бы преувеличением. Однако в компании должно быть понимание, как действовать в таких случаях. Кризисные ситуации неизбежны – они могут иметь разную природу и масштаб, но реакция на них с точки зрения коммуникационной деятельности должна быть примерно одинаковой.
В ИНВИТРО определен список потенциальных кризисных ситуаций, а система риск-менеджмента компании включает антикризисный PR. Для того чтобы всегда быть готовым к любым поворотам событий, департамент маркетинга и коммуникаций регулярно проводит «штабные учения», и каждый его «солдат» знает свой маневр.
2. Реакция на кризис должна быть мгновенной
Во время кризиса самый главный фактор – время, долго принимать решения в такой ситуации нельзя. Если в первые же минуты после ЧП, когда информацию уже подхватили СМИ, не появится официальный комментарий компании, это грозит необратимыми последствиями. Промедление может нанести жестокий удар по репутации.
Поэтому во время вирусной атаки компания начала действовать мгновенно: в 14:15 начались первые сбои, около половины четвертого была собрана предварительная информация, которая позволила адекватно оценить масштабы бедствия, а уже в 16:30 появилась публичная реакция компании на происходящее – в социальных сетях, в разделе «Пресс-центр» на сайте, в пресс-релизах для СМИ.
3. Задать дискурс обсуждения, чтобы контролировать информационный поток
Первоочередная задача в кризис – сформировать свой дискурс обсуждения, вокруг которого и будет выстраиваться дальнейшее информационное сопровождение ситуации. Если не отреагировать вовремя, то через пару часов можно уже вообще ничего не говорить: информационный поток выйдет из-под контроля. Тишина со стороны компании в таких ситуациях порождает слухи и часто рассматривается аудиторией как признание вины, профессиональной несостоятельности и «социальной безответственности». При этом, конечно, не надо врать – необходимо следить за тем, чтобы факты, которые транслирует компания, были достоверными.
Работа в режиме 24/7
Важно немедленно включить круглосуточный режим информационной открытости компании для СМИ и клиентов. На сайте ИНВИТРО полтора года назад создан раздел «Пресс-центр» – в момент кризиса он призван выступать в роли единого окна, куда можно обратиться с любыми вопросами. Важно, чтобы на сайте был указан мобильный телефон конкретного человека, отвечающего на звонки на заданную тему.
«Принцип открытой информационной повестки всегда выигрывает – ИНВИТРО было единственной российской компанией, открыто рассказавшей о ситуации с Petya, и поэтому интерес к нам был особенно сильным. За острую фазу кризиса (28 июня-5 июля) пресс-служба дала более 400 комментариев по телефону, а информацию о кибератаке получили СМИ во всех федеральных округах, 49 регионах и 11 странах».
Максимум активности в соцсетях
Во время кибератаки мы сразу решили, что информационным центром станут страницы компании в социальных сетях. Реакция ИНВИТРО на вопросы пользователей была молниеносной: средняя скорость ответа в социальных сетях составляла около полутора минут, и каждый мог получить ответ на свой вопрос в режиме онлайн. В социальных сетях же появлялись и новости от имени основателя компании Александра Юрьевича Островского (об этом ниже). Благодаря такой оперативности сообщения, которые мы публиковали в соцсетях, были процитированы в 125 материалах в федеральных СМИ.
Выстраивание коммуникаций по принципам сторителлинга
Кризис должен освещаться как история: этот прием носит название сторителлинг. Если в компании однажды что-то случилось и дальше ничего не происходит – к ней теряют интерес. Секрет продленного впечатления заключается в построении сюжета, в череде сообщений о ходе событий. Использование принципа сторителлинга в ситуации с кибератакой создало настолько динамичную картину, что информационные поводы возникали в течение недели один за другим. Я насчитал четыре всплеска, четыре коммуникативных волны, вызвавшие большой интерес со стороны СМИ. Это для антикризисных коммуникаций большая редкость.
Персонификация комментариев
Важно понимать, что для СМИ и массовой публики официальное пресс-лицо компании – это, за очень редким исключением, обезличенный персонаж. Для нас стратегическим решением в переломный момент кризиса, когда компания прекратила принимать биоматериал, было давать новости от имени основателя ИНВИТРО Александра Юрьевича Островского. Более того, эти новости начали не просто публиковаться от первого лица – они появлялись в его личном аккаунте в Facebook, чтобы было ясно, что это действительно персональное мнение основателя компании, а не некий текст, написанный за него. (Вспомните поведение PR сотрудницы Вим-авиа, это плохой пример, прим.авт).
Комментарии Александра Юрьевича не только позволили избежать натиска мощнейшего эмоционального негатива со стороны СМИ и клиентов, но и помогли получить поддержку интернет-аудитории: пожелания «держаться», «победить» сыпались от пользователей соцсетей одно за другим. Добавлю, что 60% публикаций в тот раз сопровождались ссылками на официальных представителей компании – это очень хороший показатель.
Решение основных коммуникационных задач
Кризис – время, когда к компании приковано внимание. Мы осознанно использовали его для решения коммуникационных задач и сокращения коммуникационных разрывов: транслировали сообщение о ценностях ИНВИТРО, которые вне этих чрезвычайных событий не для всех были очевидными, формировали у аудитории восприятие ИНВИТРО как большой федеральной системообразующей компании в сфере здравоохранения, инновационной и технологичной, система жизнеобеспечения которой строится на IT.
Кризис на время – репутация навсегда
Компания в кризис находится будто под микроскопом, и ей могут припомнить все, что было не так. Поэтому клиентоориентированность, этика взаимоотношений с клиентом, социальная ответственность в трудные периоды не просто не отменяются, но и выходят на первый план. Во время приостановки приема биоматериала медицинские офисы ИНВИТРО не закрывались – сотрудники работали с обращениями, жалобами и претензиями, каждый из них был проинструктирован по возможностям и порядку возврата денежных средств и компенсаций. Были включены все возможные канали информирования корпоративных клиентов, франчайзи, партнеров, врачебного сообщества. После кризиса мы запустили коммуникационную кампанию «Спасибо, что вы с нами», включающую специальные предложения для клиентов.
Итоги антикризисной коммуникационной кампании: 710 публикаций в СМИ, В 73% сообщений у ИНВИТРО – главная роль, Цитирование встречается в 61% сообщений, Более 52,6 млн контактов, На 30% выросло количество обращений ведущих СМИ за комментариями.
www.sostav.ru
4 кейса. Настрой команды как фактор победы над кризисом
В период политической нестабильности экономика похожа бушующее море, волны кризиса следуют одна за другой. Даже самые отчаянные оптимисты не спешат делать прогнозы.
Бизнес замер в напряженном ожидании перемен: «К чему готовиться? Как перестраивать работу?Куда двигаться?»
Руководителей компаний можно сравнить с капитанами кораблей, попавших в очередную бурю. В такие моменты им очень непросто: финансовые паруса порваны, мачты продаж трещат, и вот-вот сломаются, берегов стабильности не видно, повсюду утесы непредсказуемых рисков и мели кассовых разрывов, спасительного маяка не видно в тумане неопределенности. Как руководителю удержать штурвал, и куда вести корабль компании? Как выдержать и пережить этот экономический шторм? Однозначного ответа, безусловно, нет, и каждый руководитель, как капитан, выбирает свою стратегию действий. Но опытные мореходы, пережившие не одну бурю, по опыту знают, что боевой дух команды – это важный фактор выживания. Мобилизованная, сплоченная команда, способная быстро и эффективно действовать – это мощный ресурс для руководителя.
В качестве примера – несколько реальных кейсов из реальной бизнес-практики российских компаний 2014-2016 г.
Кейс 1. «Будем бороться вместе» Российская производственная компания, штат около 50 человек. Столкнувшись с проблемой снижения заказов, и не имея возможности выплачивать зарплату сотрудникам в прежнем объеме, руководитель собрал весь коллектив, и предпочел честно и прямо поговорить с коллективом о сложившейся ситуации. Директор предложил два варианта решения. Первый: уволить часть сотрудников, но оставшимся сохранить заработную плату почти без изменений. Второй: сохранить весь коллектив, но равномерно уменьшить заработную плату для всех сотрудников. Собрание проводилось в пятницу, к понедельнику директор попросил каждого определиться с решением. В понедельник директор ехал на работу с большим напряжением. К его удивлению, коллектив в полном составе, от главного бухгалтера до разнорабочих уже ждал его в цеху. Общим решением было продолжать работать в полном составе и пойти на временное, на период снижения уровня заказов, снижение заработной платы. Каждый сотрудник в индивидуальной беседе озвучил директору сумму возможного снижения, и она часто была больше той, на которую рассчитывал руководитель. Это позволило сэкономить ФОТ и сохранить коллектив в полном составе. А руководитель, почувствовав поддержку своих сотрудников и свою ответственность перед ними, с утроенными усилиями взялся за поиск новых заказов. Кейс 2 «Паника на корабле» Российская дистрибуторская компания, штат около 170 человек. В связи с резким изменением курса рубля столкнулась с «обвальным» падением продаж. В течение нескольких месяцев компания не могла заключить ни одного нового договора, и денежные поступления шли только от ранее подписанных контрактов. Руководитель отдела продаж был растерян и подавлен. Ходил по офису молчаливый и угрюмый, отменил все регулярные совещания и планерки, считая их «ненужными и бессмысленными». Общаясь с коллегами в неформальной обстановке: курилке, за чашкой кофе, во время ланча постоянно заводил разговоры о том «сколько еще продержится эта контора». Менеджеры по продажам и другие специалисты восприняли это, как сигнал к действию. Многие стали искать работу, и откровенно ходили на собеседования в рабочее время. В результате, люди «побежали» из компании, хотя ни задержек, ни сокращений заработной платы фактически не было. Негативноя воздействие этого пессимистического настроя зашло так далеко, что постоянные клиенты стали звонить генеральному директору компании с вопросом: «Правда, что вы скоро закрываетесь?» После это генеральный директор понял, что нужно срочно корректировать ситуацию в отделе продаж. Но подразделение уже разваливалось и рассыпалось на глазах, спасти его было практически невозможно, и генеральный директор принял решение формировать коммерческую команду «с нуля». Кейс 3 «Перегруппировка сил» Российское рекламное агентство, штат около 30 человек. В период кризиса многие компании стали, в первую очередь, сокращать именно рекламные бюджеты. Агентство лишилось значительной доли заказов, были приостановлены даже уже работающие проекты по проведению промо-акций и event-мероприятий. Агентство было на грань выживания. Руководитель разработал следующий план спасения компании: поскольку заказов практически нет, то сотрудники, занимающиеся ведением клиентов и исполнением заказов, должны быть переквалифицированы в менеджеров по продажам. Все имеющиеся ресурсы, и человеческие, и финансовые, должны быть брошены на поиск клиентов и привлечение новых заказов. Но изменение функционала потребует от сотрудников значительного напряжения, переобучения, адаптации к новой деятельности, и может вызвать несогласие. Руководитель изложил свое видение команде. Мнения сотрудников разделились: часть из специалистов клиентского отдела, была не согласна с таким решением. Некоторые не были готовы поменять спокойную офисную работу на нервную и разъездную, и предпочли уволиться из агентства. Другая часть сотрудников решила, что лучше поменять должность и функционал внутри одной компании, чем выти на кадровый рынок в поисках работы. Эти сотрудники прошли базовое обучение по техникам продаж, и приступили к своим новым обязанностям. Директор агентства все время поддерживал их: выезжал вмести с ними на встречи, помогал в проведении переговоров. При этом основной состав отдела продаж почувствовал определенную конкуренцию со стороны новичков, и тоже активизировался. Таким образом, команда была переформатирована под новые задачи, мобилизована и получила дополнительный импульс к борьбе за свое будущее на рекламном рынке. Кейс 4 «Ресурсная оптимизация» Российская юридическая консалтинговая компания, специализирующаяся консультировании и сопровождении иностранных компаний, работающих в России. Штат сотрудников около 50 человек. Компания всегда уделяла большое внимание своему имиджу: офис располагался в центре Москвы, кабинеты и переговорные были просторными, рабочие места комфортными. Консультанты пользовались множеством привилегий: перелеты бизнес-классом, ланчи в ресторанах, корпоративные мероприятиях в лучших отелях. Но с изменением рыночной конъюнктуры многие иностранные компании полностью закрыли или приостановили свою деятельность в России. По сути, юридическая консалтинговая компания не просто лишилась заказов, но почти полностью потеряла свой рынок, и должна была искать новое поле для применения своих знаний и высокой экспертности. Однако такая глобальная перестройка деятельности требовала времени, и ресурсов. Руководство компании приняло решение провести с коллективом стратегическую сессию для выработки нового плана работы компании в текущей экономической ситуации. Консультанты, финансисты, профессиональные управленцы много часов провели в переговорной. Они горячо спорила, предлагали разные идеи, обсуждали риски разных вариантов. В итоге коллектив консультантов принял решение полностью поменять концепцию бизнеса и начать работать со средними российскими компаниями производственного и сельскохозяйственного сектора. Также коллектив принял решение с целью экономии ресурсов оптимизировать расходы. Офис компании переехал из центра Москвы за пределы ТТК, площадь офиса сократилась до 50-60 метров, в нем постоянные рабочие места были организованы только для генерального директора и бухгалтеров. Все консультанты перешли в режим хоум-офис, и приезжали в офис только для совещаний и переговоров. От всех привилегии и компенсации сотрудники отказались. Сам факт того, что это решение не было навязано команде со стороны руководства, а вырабатывалось «коллективным разумом», объединил и сплотил команду. Люди почувствовали, что судьба компании в их руках, и если спасут компанию, то спасут и себя: они не окажутся на улице, им не придется искать работу. Командный дух позволил им подняться на личными трудностями и объединиться для решения глобальной задачи.
Автор публикации
Генеральный директор Центра развития бизнеса и карьеры «Перспектива», преподаватель Русской Школы Управления, бизнес-консультант
Как вывести из кризиса машиностроительный холдинг? Решения бизнес-кейса
Совместный проект Executive.ru и Национального института сертифицированных консультантов по управлению
Холдинг «Машинстрой» (название условное) производит тракторы, бульдозеры, технику для коммунального хозяйства и оборонно-промышленного комплекса. Среди заказчиков – предприятия из России и небольших развивающихся стран. Конкуренция в том рыночном сегменте, где работает компания, не очень высока. Казалось бы, после девальвации рубля у нее появился шанс увеличить выпуск продукции. Но произошло все с точностью до наоборот. Подорожали импортные комплектующие, использующиеся при сборке машин. Компании не хватило оборотных средств для выполнения текущих заказов. Получить новые кредиты не удалось. Цепочка проблем привела к сокращению производства и персонала.
Консультант по управлению Денис Олейников описал этот кейс и предложил участникам Executive.ru поразмышлять над двумя вопросами:
Какие вы видите решения по выводу из кризиса холдинга «Машинстрой»?
Как должны быть вписаны эти решения в общую стратегию развития холдинга?
Свое идеи предложили 13 участников Сообщества, среди которых Анна Грошева, Сергей Батенин, Роман Сюров, Юрий Данекин, Николай Кучин, Андрей Бобров, Елена Панченко, Алексей Ковалев, Елена Черепнева, Андрей Немыкин, Михаил Ободовский, Сергей Охременко. По оценке Дениса Олейникова, большинство из этих решений хорошо проработаны, почти в каждом из них есть интересные предложения по выходу «Машинстроя» из кризиса. А лучшей работой автор бизнес-кейса признал решение Анастасии Бабич. «Несмотря на то, что оно не такое подробное, как у ряда других участников конкурса, в нем содержатся наиболее актуальные и эффективные в данный момент предложения, – обосновал свой выбор Денис Олейников. – Анастасия более глубоко вскрыла корневую проблему ситуации, проблему в управлении. Ее предложения отличаются оригинальностью и вместе с тем четкой последовательностью в действиях».
Победитель конкурса получит в качестве приза две книги по бизнесу: Джон Маэда,«Редизайн лидерства» и Сьюзен Фаулер,«Почему они не работают?»
Решение Анастасии Бабич
Анализ исходных данных позволяет сделать вывод о том, что кризис в машиностроительном холдинге в первую очередь имеет внутренний характер (управленческий), и, уже во вторую очередь – внешний (отраслевой).
Несмотря на уменьшение емкости рынка, компания не смогла справиться с текущими контрактами. Отрицательная динамика финансовых показателей холдинга стала следствием некомпетентности менеджерского звена управляющей компании (УК): отсутствие своевременной корректировки стратегического плана в ответ на изменяющиеся условия рынка, отсутствие упреждающих мер по обеспечению устойчивости финансовых показателей, децентрализация власти УК. Все это привело предприятие к кредиторской задолженности, падению оборота и рентабельности, задержке заработной платы, а также к тому, что каждый из заводов пытается взять рычаги управления в свои руки и самостоятельно искать выходы из кризисной ситуации.
Для вывода из кризиса холдинга «Машинстрой» предлагается принять общие меры по снижению затрат и стимулированию покупательского спроса. Эти меры включают в себя комплекс мероприятий, которые можно условно разделить на несколько этапов и направлений: управление, стратегия, ресурсы, расходы, конкурентоспособность, имидж. А также разделить по временным критериям: краткосрочная, среднесрочная и долгосрочная перспектива.
Поскольку в данный момент компания не может обеспечивать обслуживание кредитов, то в качестве маркеров временных критериев предлагается взять состояние финансовых показателей. А за точку отсчета принять их вывод до уровня обеспечения всех долговых обязательств в краткосрочной перспективе, достижения положительной устойчивости и нормализации в среднесрочной и наращивание положительной динамики в долгосрочной перспективе.
Преобразования в «Машинстрое» следует начать с менеджерского состава УК:
Провести общее собрание, разъяснить сложившуюся ситуацию в компании.
Привести причинно-следственные связи нынешней ситуации с ошибками управления каждого звена.
Описать общее видение дальнейшего будущего компании, мобилизовать и объединить усилия для решения возникших проблем.
Создать общие установки по выходу холдинга из кризиса.
Если после проведенного собрания останутся менеджеры, не разделяющие новый курс компании, или нежелающие прилагать усилия для решения возникшей ситуации, необходимо принять меры по их устранению от рычагов управления компании / увольнение.
После наведения порядка в высшем звене управления, можно приступать к созданию антикризисной команды (АКК), в состав которой, помимо менеджерского состава, должны войти директора заводов, а также активные и неравнодушные специалисты с различных уровней управления.
При создании АКК следует уделить особое внимание разъяснению нынешней ситуации, сложностей и проблем, которые предстоит решить команде, значимости каждого сотрудника, мобилизации и необходимости изменений и реформ, которые помогут выйти из кризиса.
После формирования АКК должна принять новую стратегию развития компании, разделить обязанности по ключевым направлениям и приступить к созданию и реализации нового плана.
Блок Financial
Предлагается принять меры по увеличению оборотных средств – привлечению дополнительных финансовых потоков.
В первую очередь, необходимо произвести рефинансирование существующих долговых обязательств. Перекредитоваться можно как в текущем банке, так и в других, на более выгодных условиях.
Следующим этапом станет привлечение дополнительных финансовых средств путем выпуска облигаций или эмиссии акций. Каждый случай должен рассчитываться отдельно и учитывать все возможные риски.
Также в качестве дополнительного финансового источника можно изучить возможность использования государственных программ поддержки. Поскольку производственная линейка холдинга достаточно широкая, например, возможно участие в получении государственных субсидий на производство промышленной продукции в целях импортозамещения (см. программа поддержки транспортного машиностроения).
Блок Cost Control
Параллельно с решениями о привлечении финансовых средств необходимо изучить возможность оптимизации расходов. Выделить оправданные и неоправданные затраты, избавиться от последних. Сокращение затрат можно произвести за счет анализа складских запасов, логистических цепочек, замены поставщиков, сокращения неэффективных подразделений.
Хотелось бы выделить особое значение инженерно-конструкторского ядра компании и, по возможности, сохранить этот потенциал. Поскольку инновационные инженерные решения, отвечающие требованию времени, являются важным конкурентным преимуществом и двигателем развития компании.
Блок Customer Service
Необходимо повысить клиенториентированность компании для сохранения текущих и для более эффективного привлечения новых клиентов. В качестве таких мер должен быть составлен новый курс, направленный на улучшение продажных условий, стимулирование спроса и гибкости в обслуживании клиентов.
Создание особых условий приобретения продукции. Например, при полной предоплате за поставляемую продукцию можно сделать дополнительные скидки.
Предоставление беспроцентной рассрочки платежей. Для организаций, которые осуществляют закупки за счет государственных программ, возможно привлечение банков-партнеров. Например, по программе развития сельскохозяйственного сектора в качестве партнера можно привлечь «Сельхозбанк».
Предоставление техники влизинг. Это также возможно осуществить совместно с банками-партнерами, что повысит уровень надежности и привлекательности в глазах клиента.
Увеличение гарантийного срока продукции. Это позволит улучшить обслуживание.
Создание сервисных центров, ориентированных на быстрое и гибкое решение проблем, возникающих в процессе эксплуатации купленной продукции.
Оперативная продажа и поставка запасных частей и комплектующих производимой продукции.
Улучшение обратной связи с клиентами.
Блок Marketing
В качестве ключевого маркетингового направления предлагается сосредоточить усилия в области взаимодействия с органами государственной власти и проведения совместных программ.
Введение политических санкций и падение рубля дали развитие новому экономическому курсу страны, направленному на импортозамещение. Использование этого рычага может позволить «Машинстрою» разработать совместно с органами федерального и местного управления (по местам локации основных производств) мероприятия по государственным закупкам техники отечественного производителя с широким освещением в СМИ. Например, закупка в «Машинстрое» коммунальной техники мэром города N может стать хорошей пиар-акцией: городу – новая техника, правительство города выполняет курс страны на импортозамещение и стимулирует отечественных производителей.
Также необходимо разработать план по участию в различных тематических выставках. Поскольку продуктовая линейка и производственные возможности холдинга достаточно высоки, можно принимать участие в разных отраслевых направлениях.
Проведение «Дня открытых дверей» на производствах позволит повысить доверие среди клиентов, а также даст дополнительный повод для освещения в СМИ.
И, конечно, самым важным этапом, без которого невозможно достижение запланированных результатов – мониторинг реализации принятых управленческих решений. Кроме определения ответственных лиц по каждому направлению, определения сроков выполнения задач, важно задать индикаторы кризисного развития на каждом участке и их соответствия общему стратегическому плану. До стабилизации финансовых показателей необходимо проводить анализ результатов еженедельно. И, самое главное, при выявлении отклонений от намеченного плана, необходимо осуществлять оперативное внесение поправок в процесс, направленных на повышение эффективности антикризисных решений.
С предложениями остальных 12 участников конкурса вы можете ознакомиться здесь
www.e-xecutive.ru
Ноздрева Р.Б. Антикризисное управление — Учебнометодический комплекс и сборник кейсов Д. э н. проф. Ноздрева Р. Б. Москва 2009 г. 2 Содержание
1 Московский Государственный институт (университет) международных отношений МИД России Инновационная образовательная программа АНТИКРИЗИСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ Учебно-методический комплекс и сборник кейсов Д.э.н. проф. Ноздрева Р.Б. Москва 2009 г.
2 С О Д Е Р Ж А Н И Е Раздел 1. Программа курса……………………………………………..6 1. Организационно-методический раздел…………………………..6 2. Содержание курса………………………………………………………..15 3. Учебно-методическое обеспечение курса……………………….30 Раздел 2. Кейсы………………………………………………………………40 Кейс Покупка активов Daewoo Motors……………………………………….40 Кейс Продаем бизнес……………………………………………………………………42 Кейс Качество мебели и продажи……………………………………………….45 Кейс Перед лицом кризиса………………………………………………………….50 Кейс Реструктуризация компании КЗСО…………………………………..63 Кейс Петербургские тайны………………………………………………………..66 Кейс Антикризисное управление в компании US AIRWAYS………………………………………………72 Кейс Кризис Levi Strauss & Co……………………………………………………….75 Кейс Кризис пленочных фотоаппаратов…………………………………..78 Кейс Составляем антикризисный план (Материал для деловой игры ).………………………………………81
3 РАЗДЕЛ 1. ПРОГРАММА КУРСА Раздел 1. Организационно-методический 1.1 Место курса в образовательной программе факультетов МБДА , МЭО, а также ИВЭС и МИЭП. Курс«Антикризисное управление»предполагает предварительное изучение студентами (магистрантами) как минимум таких дисциплин, как менеджмент (основы менеджмента, общий менеджмент), маркетинг (основы маркетинга), финансовый менеджмент, стратегический менеджмент, управление персоналом. 1.2. Цель курса. Целью курса «Антикризисное управление» является формирование у слушателей знаний и привитие им навыков сканирования ситуации внешней и внутренней среды с целью выявления и профилактики возможности наступления кризисных явлений, а также с целью управления фирмой в условиях кризисакризисной ситуации осуществления превентивных меры профилактики и оздоровления фирмы и выведения ее из трудных финансовых, рыночных и организационных условий, компетентного проведения процедуры банкротства, включая реорганизационные (наблюдение, оздоровление, внешнее управление) и ликвидационные (конкурсное производство), осуществления оценки стоимости компании, понимания особенностей организации продаж (проведения аукционов) обанкротившейся фирмы и механизма возврата и распределения ее долгов. Данный курс является весьма актуальным, учитывая усиление турбулентности внешней предпринимательской среды и неопределенности ее развития в локальном и глобальном масштабе, а также сложности государственного макрорегулирования и внутрифирменного управления на микроуровне, что, главным образом, и служит основными причинами банкротства фирм как в нашей стране, так и за рубежом. Курс «Антикризисное управление» предполагает знание слушателями основ менеджмента, финансового и стратегического управления, маркетинга, управления персоналом и др., и развитие на их базе технологии антикризисного управления на уровне фирмы. Слушатели в его рамках получают возможность анализировать причины и особенности проявления кризисных симптомов в деятельности фирмы, оценивать состояние ее финансового положения, овладевать навыками сканирования финансовых и других показателей, выявления и оценки рисков и обеспечения безопасности работы фирмы, знакомиться с технологией планирования сценарного типа в ситуации неопределенности и принятия стратегических решений в условиях турбулентности рыночной среды. Они усваивают в сравнении с зарубежными основные положения законодательства о банкротстве РФ и процедуру арбитражного процесса,
4 узнают основные требования к подготовке антикризисных управляющих, определяют типичные источники финансирования в целях финансового оздоровления фирмы, учатся составлять оперативные и стратегические антикризисные планы, разрабатывать представительные стратегии менеджмента в отношении несостоятельных предприятий, а именно стратегии консолидации и стратегии трансформации, и осуществлять поиск наиболее оптимальных антикризисных мер в соответствии с условиями внешней и внутренней предпринимательской среды, а также контролировать и оценивать их эффективность. Слушатели отличают особенности антикризисного управления по основным функциям менеджмента, включая планирование, организацию, координацию, учет, контроль, мотивацию, а также по конкретным функциям – управление финансами, производством, качеством, сбытом, кадрами и т.д. В преподавании дисциплины «Антикризисное управление» большое значение придается практическим занятиям типа кейс-стади, предполагающим разбор реальных ситуаций из отечественного и зарубежного опыта профилактики и преодоления кризисных ситуаций в управлении фирмой, выведения предприятия из кризиса, проведения процедуры банкротства, решения процессуальных вопросов арбитражного разбирательства и т.д. и в частности, составления максимально приближенных к реальным антикризисных планов. При изучении данного курса для слушателей предусмотрено также решение практических задач, выполнение самостоятельных заданий, подготовка докладов, написание эссе, работа в Интернет, проведение компьютерных тренингов и тест-контроля. Итоговый контроль знаний слушателей предполагается в форме письменного экзамена. 1.3. Основные принципы построения курса. В курсе «Антикризисное управление » обучающиеся получают знания в области теории антикризисного управления и новейших технологий профилактики кризисных явлений и выведения компании из кризиса, в частности в области сканирования рыночных процессов, изучении предпринимательской среды и конъюнктуры мировых товарных рынков, конкурентоспособности компании, анализа ее финансовых показателей, маркетинговых стратегий, связей с общественностью и прессой, психологического климата в коллективе и т.д. Программа курса включает в себя пять основных разделов, а именно: • Раздел 1. Методологические основы «антикризисного управления». • Раздел 2. Организационно — правовое обеспечение антикризисного управления. • Раздел 3. Основные стратегии и функции антикризисного управления. • Раздел 4. Процедура банкротства. • Раздел 5. Опыт антикризисного управления в зарубежных компаниях.
5 Теоретическая часть курса излагается в лекциях, преследующих цель дать представление об основных направлениях антикризисного управления, Лекционный курс является базой для последующего получения обучающимися практических навыков по технологии антикризисного управления, которые приобретаются на семинарских и практических занятиях, проводимых в активных формах: деловые игры, ситуационные семинары “кейс-стади”, практические задания, конференции круглого стола, тренинги, решение эконометрических задач, в том числе выполняемые на ЭВМ. Важное значение придается тестированию (проводимому на компьютерах), что дает возможность обучающимся не только проверить свои знания, но и получить возможность дополнительной тренировки и более прочного усвоения полученных знаний.Большое значение имеет проведение деловой игры, в рамках которой магистранты получают практические навыки проведения реального SWOT- анализа и составления краткосрочного и стратегического антикризисного плана. Проведение практических занятий и компьютерные тесты представляют собой оригинальную и эффективную форму практического усвоения материала, позволяющую развить у студентов антикризисное управленческое мышление, необходимое менеджеру в современных условиях турбелнтности предпринимательской среды. Активные формы семинаров открывают большие возможности для проверки усвоения теоретического и практического материала и укрепления полченных навыков. В процессе обучения вырабатывается представление о том, как должна строится работа на фирме по профилактике кризисных явлений, антикризисному планированию, формированию мер по выведению компании из кризиса в условиях крайне динамичного и склонного к неопределенности современного рынка.
6 1.4 Образовательные результаты (знания и компетенции) ЗНАНИЕ И ПОНИМАНИЕ Знание и понимание: законодательства РФ о несостоятельности и банкротстве компаний и кредитных организаций; знакомство с особенностями антикризисного законодательства зарубежных стран; методов анализа, прогнозирования и профилактики кризисных ситуаций, методов борьбы с кризисом и ликвидации его последствий; понимание процессов циклического развития различных социально-экономических систем; закономерностей развития кризисов; закономерностей реагирования на кризисные явления разных институтов и систем. Лекции, презентации, семинары, дискуссии, круглые столы, практические занятия, компьютерные тренинги, работа в Интернет, работа в командах, кейс-стади, компьютерные тесты, Форма проверки знаний – устные презентации, разбор кейсов, письменные задания, компьютерные тренинги и тесты, письменный экзамен (разбор кейса) КОМПЕТЕНЦИИ Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа внешней предпринимательской среды и финансово-экономического состояния компании, выявление признаков банкротства; разработка оперативных и стратегических планов выхода компании из кризиса; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Образовательные методики(формы проведения занятий): практические занятия по определению состояния компании на основании анализа финансовых коэффициентов и расчета модели Альтмана; практические занятия по анализу мер антикризисного управления Форма проверки развития (степени овладения) компетенции – проверка решения задач, коллективное обсуждение предлагаемых стратегий
7 Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений внутри фирмы; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам. Образовательные методики (формы проведения занятий) – практические (семинарские) занятия по изучению системы мер антикризисного управления развличных компаний и и построению системы антикризисных мер консолидации и трансформации; компьютерный тренинг и тест-контроль по российскому законодательству о банкротстве Форма проверки развития (степени овладения) компетенции — компьютерный тренинг и тест-контроль по российскому законодательству о банкротстве; работа в командах с последующей защитой результатов в форме презентации Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисных планов и антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. Образовательные методики(формы проведения занятий) – деловая игра, презентации, стимуляция (имитация) пресс-конференции для СМИ Форма проверки развития (степени овладения) компетенции – отчет по деловой игре, презентации, стимуляции (имитации)
8 1.5. Критерии оценки знаний и компетенций. Итоговая оценка по курсу складывается из следующих оценок по разным видам работы студента: Вид работы Знания и компетенции, проверяемые в процессе выполнения данного вида работы Доля вида работы в итоговой оценке Контрольная №1 (решение кейса) Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа состояния предприятия, выявление признаков банкротства; разработка стратегий выхода из кризиса компании в зависимости от складывающейся на ней ситуации; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений как внутри фирмы, так и вне ее ; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. 10%
9 Контрольная №2 (решение кейса) Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа состояния предприятия, выявление признаков банкротства; разработка стратегий выхода из кризиса компании в зависимости от складывающейся на ней ситуации; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений внутри фирмы; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. 15%
10 Деловая игра Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа состояния компании, выявление признаков банкротства; разработка стратегий и плана (консолидации и трансформации) по выходу компании из кризиса в зависимости от складывающейся ситуации; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений внутри фирмы; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. 25%
11 Компьютерный тренинг и тест-контроль Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа состояния предприятия, выявление признаков банкротства; разработка стратегий выхода из кризиса компании в зависимости от складывающейся на ней ситуации; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений внутри фирмы; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. 10% Ответ на экзамене Аналитические компетенции: проведение комплексного анализа состояния предприятия, выявление признаков банкротства; разработка стратегий выхода из кризиса компании в зависимости от складывающейся на ней ситуации; сравнение методик и стратегий выхода из кризиса в разных компаниях – как отечественных, так и зарубежных. Системные компетенции: слушатели учатся воспринимать кризис как систему сложных взаимоотношений внутри фирмы; системно изучают законодательство о банкротстве и учатся применять процедуры банкротства к различным предприятиям как к единым социально-экономическим системам Коммуникационные компетенции: умение работать в команде по выработке антикризисной стратегии поведения фирмы; умение выстраивать стратегию работы антикризисного менеджера с коллективом; умение выстраивать работу антикризисного менеджера с контактной аудиторией. 40%
12 Итог 100% Раздел 2. Содержание курса 2.1. Организационно-методические данные курса. Вид работы Трудоемкость (в акад. часах) Общая трудоемкость 168 Аудиторная работа 72 Лекции 28 Практические занятия/семинары 38 Деловая игра 6 Самостоятельная работа 96 Курсовые работы (при наличии) 16 Рефераты (по результатам деловой игры) 18 Самоподготовка : Подготовка к семинарским и практическим занятиям Самостоятельное изучение лекционного материала и материала учебников и пособий, а также правовых документов Подготовка к текущему контролю и тестированию Подготовка докладов (презентаций) по антикризисному управлению Выполнение письменных работ по составлению антикризисных программ и разработке антикризисных мер и стратегий в конкретных кризисных ситуациях российских и зарубежных фирм 62 Виды текущего контроля (перечислить) • Решение кейсов • Тест-тренинг • тест-контроль на компьютере, • презентация результатов (отчетов) деловой игры по командам Вид итогового контроля Устный экзамен
13 2. 2. Тематический план курса Наименование разделов и тем Модульная (дистанционная) форма обучения Количество часов (в акад. часах и/или кредитах) Лекции Практические занятия Самостоятел ьная, работа Всего часов по теме Введение в курс «Антикризисное управление». Природа, сущность и виды кризисов. Причины их возникновения и формы проявления . Кейс » Челябинский тракторный завод» – причины кризиса ( письменно, работа по командам) 2 2 2 2 4 4 Роль внешней среды в развитии кризисных явлений во внутрифирменном управлении.Технологии ее сканирования 2 2 Банкротство российских компаний в постперестроечный и современный период: причины и меры выведения. Практический анализ банкротства зарубежных компаний. Аналитическая работа- «эссе» (готовится в письменной форме магистрантами дома): Опыт зарубежных стран в антикризисном управлении. Банкротство Энрон, Телеком, Свисэар и др. ( Тема — единая для всех , дается преподавателем). Устная презентация исследования. 2 4 6 2 10
14 Антикризисное регулирование на макроуровне: понятие, цели и методы. Государственное регулирование процесса ликвидации несостоятельных предприятий в РФ. Основные государственные органы государственного антикризисного регулирования. Сравнительный анализ на базе кейсов общегосударственных планов антикризисной направленности. Кейсы: «Правительственная программа стабилизации экономики и финансов» (Кириенко), Бюджетный кризис,Финансовый кризис в РФ (август 1998г). «Десятилетняя программа развития России»( Грефа), «Программа развития России на 2003- 2005 гг» (Касьянова) –(работа в Интернет дома) На занятии – устная презентация работы. Магистранты работают индивидуально. 2 4 4 2 8 Алгоритм антикризисного управления: профилактика, санация и банкротство. Профилактические меры по предотвращению кризиса в деятельности фирмы. Управленческие меры по выведению фирмы из кризиса. Банкротство: понятие и определение. Основные виды банкротства. 2 2 Анализ законодательства РФ о несостоятельности (банкротстве.) Правовая основа банкротства. Закон о банкротстве 2002 г.Арбитраж. Особенности правовых норм о банкротстве банков ( работа в Интернет) 4 4 8
15 Процедуры банкротства: Реорганизационные процедуры: внешнее наблюдение, внешнее управление и досудебная и судебная санация. Ликвидационные процедуры: конкурсное производство и конкурсная масса. (работа в Интернет) 2 4 6 Практический анализ банкротства российских компаний. Аналитическая работа- «эссе» (готовится в письменной форме магистрантами дома): Опыт российских компаний в антикризисном управлении ( Тема — единая для всех, дается преподавателем). Устная презентация исследования. 2 4 6 Методологии оценки предприятия при банкротстве. Затратный, доходный и рыночный подходы к оценке бизнеса. Технологии подсчета стоимости компании, основные коэффициенты. Показатель «гуд-вилл». Решение задач по оценке стоимости предприятия. 2 4 2 4 4 Консолидация как основная стратегия антикризисного управления: краткосрочные подходы к преодолению кризиса в деятельности фирмы. Антикризисная финансовая политика. 2 2 4 Сканирование финансовых показателей. Мониторинг и контролинг как основные методы предупреждения кризисных явлений. Финансовый анализ состояния банкротства. Решение практических задач. Расчет коэффициента Альтмана — «Z»-счет. 4 2 4
16 Трансформация как основная стратегия антикризисного управления: долгосрочные подходы к преодолению кризиса в деятельности фирмы и рольмаркетинга. Сценарное и антикризисное (чрезвычайное) планирование . 2 2 4 Меры предотвращения и преодоления кризисов на микроуровне. Разработка антрикризисных стратегий. Стратегии слияний и раздела. Управление бизнес-знаниями. Матрица Хэмела — Прахалада. Девистиционная политика. 2 2 4 Структура и технология составления стратегических антикризисных программ (планов) фирмы. Основные разделы антикризисного плана фирмы и их содержание. 2 2 4 Тренинг – контроль «Процедуры банкротства и оценка бизнеса» ( на ЭВМ). 2 4 6 Конференция круглого стола «Антикризисное управление» ( маркетинговая политика, инвестиционная политика, управление персоналом и антикризисный менеджмент ) 2 4 6 Деловая игра «Антикризисная программа» Этап 1. (Шоколадная фабрика)» (работа в командах) Анализ причин и проявлений кризиса. Составление плана консолидации фирмы. Презентация его в письменном виде. 2 2 4 Деловая игра «Антикризисная программа» Этап 2. (Шоколадная фабрика)» )» (работа в командах) Составление стратегического антикризисного плана – плана трансформации компании. Презентация его в письменном виде. 2 2 4
17 Деловая игра «Антикризисная программа» Этап 3. (Шоколадная фабрика)» )» (работа в командах) Устная презентация оперативного и стратегического антикризисного плана. 2 4 6 Оптимизация организационной структуры фирмы как мера по выходу фирмы из кризиса. 2 2 Риск-менеджмент. Управление коммерческими, финансовыми и другими рисками. Управление сопротивлением. Метод аккордеона 2 2 Реструктуризация и управленческий реинжиниринг в антикризисном управлении. Аналитическая работа- «эссе» (готовится в письменной форме магистрантами дома, тема — единая для всех, дается преподавателем). Устная презентация исследования. 2 2 4 Страхование и самострахование компании. Обеспечение безопасности фирмы. (коммерческой, информационной, физической и др.) Аналитическая работа- «эссе» (готовится в письменной форме магистрантами дома, тема — разная для всех, дается преподавателем). Устная презентация исследования. 2 4 6 Обзорный материал по всему курсу. Тест-контроль (на ЭВМ ) Разбор результатов теста. Обзор материала по курсу. Устно. 2 2 4 6 2 Особенности антикризисного управления в кредитных организациях. 2 2 Особенности антикризисного управления в зарубежных странах (конференция круглого стола) 2 4 6
18 ИТОГО: 28 44 62 134 * Формы обучения: дневная, вечерняя или дистанционная 2.3. Содержание курса. Раздел 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ «АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ»
topuch.ru
Антикризисный PR | Статьи | SF MEDIA
Быть в курсе рисков – первый важный шаг к успешному кризис-менеджменту. Второй шаг – непрерывная открытая коммуникация (качественная репортажная съемка или создание видеороликов с обращением первых лиц компании) и постоянное присутствие в Интернете. В то же время, выявление возможных кризисов уже на ранней стадии невозможно без мониторинга средств массовой информации – как электронных, так и традиционных.
Антикризисный штаб и стратегия
PR-кризис – не время для импровизации. Необходима ясная коммуникационная стратегия, четкий план. Необходимость наличия плана проиллюстрируем примером из истории. Июльской ночью 1870 года, когда спящему сподвижнику Бисмарка, будущему генерал-фельдмаршалу Мольтке сообщили о том, что Франция напала на Пруссию, его реакция была следующей: «План в третьем ящике комода». После этого он перевернулся на другой бок и крепко заснул. В какой бы сфере вы ни работали, заранее предсказать кризис вам не удастся. Но поскольку вы всегда можете спрогнозировать, откуда может прийти угроза вашей репутации, целесообразной является заблаговременная разработка алгоритмов реагирования на кризисную ситуацию. Если упрощать, то вариантов ваших действий в кризисе всего три:
Игнорировать (в случае, если критика в ваш адрес звучит со страниц отраслевых или региональных СМИ с небольшой аудиторией, и вступление в полемику с ними привлечет больше внимания к ситуации в целом).
Реагировать открыто, следуя т.н. «правилам Тайленола» (об этом кейсе речь пойдет ниже).
Менять повестку дня, если при существующем раскладе достойных контаргументов у вас недостаточно.
Каким бы путем вы ни пошли, очевидно, что уровень подготовки к кризису зависит не менее чем от 4 составляющих:
Наготове у вас всегда должны быть материалы, которые будут иллюстрировать тот факт, что ваша компания дееспособна, компетентна и ответственна. Как и ее руководители. Эта информация прилагается ко всем пресс-релизам в разделе «справочно».
Заранее нужно определить перечень спикеров от компании, кому будет разрешено немедленно комментировать кризисную ситуацию. Золотое правило антикризисного PR – один спикер от всей организации. Таким образом решается проблема противоречий в заявлениях, исходящих от вас в критический момент.
Целесообразно сделать заготовки для устных и письменных заявлений (т.н. «рыба», к которой будут добавляться конкретные факты, в зависимости от ситуации. Главное назначение такого документа – наличие хорошо воспринимаемого в плане структуры документа). Другой не слишком распространенный, но эффективный шаг, – создание, например, раздела FAQ для сайта на случай кризисной ситуации. Все эти меры позволят в критический момент не терять драгоценное время на подготовку и согласование документов с множеством вовлеченных лиц, а действовать по уже согласованному плану.
Определить каналы коммуникации, с помощью которых вы наиболее эффективно сможете «вбросить» информацию. Важно, чтобы ваши клиенты, общественность, инвесторы и поставщики узнали о вашей позиции из ваших уст. Эффективно может сработать и создание видеороликов, в которых вы сможете обстоятельно изложить вашу реакцию на обвинения и привести визуальные доказательства в поддержку вашей правды. Также эффективнее десятков пресс-релизов и опровержений в СМИ может сработать репортажная съемка, которая подтвердит вашу правоту. Или проиллюстрирует тот факт, что последствия происшествия, вызвавшего шквал критики в ваш адрес, в реальности не настолько значительны, как об этом информируют медиа. Но об этом чуть ниже.
Заранее определенные задачи в антикризисной команде, заблаговременно сформулированные правила поведения при различных сценариях – основа для слаженного функционирования всех ваших подразделений. Должно быть четко определено, кто принадлежит к антикризисному штабу, и какие задачи кто решает в случае PR-кризиса:
Руководство компании определяет главу антикризисного штаба.
Юрист помогает сформировать линию поведения при, например, уголовном обвинении и готовит иски против лиц, выдвигающих в ваш адрес заведомо ложные обвинения.
Когда дело касается СМИ, для публичных заявлений и пресс-релизов необходимо привлечь опытного PR-эксперта. Момент, когда необходимо создание видеороликов с ответом на критику или с обращением первых лиц компании, также должен определять эксперт в PR.
Кейс 1
Выше мы упомянули о т.н. «правилах Тайленола». Остановимся тут на них более подробно. В октябре 1982 года 7 человек смертельно отравились препаратом Тайленол, самым распространенным на тот момент болеутоляющим в США. Дело в том, что неизвестный на каком-то этапе производственного цикла подсыпал в лекарство цианистый калий. В ходе разрешения данного кризиса сформировалось несколько принципов реагирования на подобные ситуации. Эти принципы актуальны и по сей день:
Руководитель компании должен быть максимально доступен для СМИ.
Принесите извинения (даже если не виноваты – поскольку публика ждет от вас не оправданий, а участия и небезразличия, за которыми должны последовать активные действия).
Отзовите продукт.
В 1982 году Тайленол (препарат компании «Johnson & Johnson») занимал 37 процентов рынка. Сразу после отравлений цианидом, его доля на рынке была снижена до семи процентов. После того, как была установлена связь между Тайленолом и случаями смерти, было организовано широкое информирование общественности об опасности потребления лекарства. Однако репутацию компании удалось спасти именно благодаря решительным действиям руководства, справившегося с дилеммой между сохранением репутации компании и выгодной от использования самого прибыльного ее продукта, приносившего ежегодно около $1 млрд (15% совокупной прибыли компании). Было принято решение отозвать 31 млн упаковок на сумму более $100 млн.
После появления подобных публикаций руководитель одного крупного рекламного агентства авторитетно заявлял: «Не пройдет и года, и само название Тайленол навсегда пропадет из нашего словаря».
Благодаря целому ряду выверенных шагов (бесплатная замена уже выпущенного препарата на него же, но в таблетках, открытость для СМИ (ответ более чем на 2500 вопросов журналистов), изменение упаковки – появление предохранительной полоски из фольги, оптовые скидки, купоны) препарат уже к концу того же года вернул себе четверть рынка, а еще через год – вернулся на докризисный уровень продаж.
Как действовать, если кризиса уже не избежать
Кто не реагирует и ничего не говорит, отдает информационное поле без боя, потому что в таком случае повестку определяют исключительно медиа. Цель кризис-менеджмента состоит в том, чтобы, по крайней мере, вернуть вам инициативу. Диалог – свидетельство вашей открытости и воли к серьезному решению проблемы. Поэтому целесообразно выступать честно, открыто и как можно более объективно. Ни в коем случае не лгите и по возможности признавайте ошибки сами (после консультации с юристом). В современном информационном обществе бессмысленно пытаться замалчивать что-то неприятное для вас – информация все равно дойдет до общественности. Пусть лучше в вашей редакции.
Кроме очевидных решений, используемых в таких ситуациях, мы также можем предложить вам такой нетривиальный ход, как создание видеороликов, в которых у вас будет возможность дать ваше видение ситуации, по пунктам ответить на обвинения. Причем формулировки в таком случае подбираются такие, на которые удобно отвечать. В ситуации, когда козырей у вас не так много, можно попробовать скорректировать волну негатива путем перевода обсуждения проблемы в другую плоскость. Если видеоролик будет достаточно оригинальным или смешным, распространение его может получить вирусный эффект. А вы получите в худшем случае отвлечение от проблемы, в лучшем – симпатию зрителей. Более подробно о вирусном контенте читайте тут.
Репортажная съемка с места событий подействует убедительнее пресс-релизов и текстовых опровержений. Рассмотрим интересный пример использования такой видеосъемки в борьбе с PR-кризисом.
Кейс 2
В 1993 году на американском ТВ появилась информация, что в банке с диетическим напитком Pepsi был обнаружен шприц. Этим сообщением заинтересовалось Управление по контролю за продуктами и лекарствами (FDA), и потенциально резонансную тему подхватили телеканалы по всей стране. Когда сообщения об аналогичных случаях поступили из 24 штатов, репутация компании оказалась под угрозой.
У компании был заранее разработанный антикризисный план: исполнительный директор компании выступал в новостных программах на самых влиятельных каналах с заявлением о том, что предъявляемые претензии не имеют под собой оснований: на предприятиях компании попадание шприца в банку исключено. Компания по факсу рассылала ежедневные обновления в 600 офисов и распределительных центров по всей стране, с целью успокоить представителей розницы и подтвердить, что продукты компании не опасны. Была организована работа бесплатного номера, на который могли позвонить потребители для получения разъяснений.
В подтверждение официальной позиции была предъявлена качественная репортажная съемка с заводов компании, в том числе и из Сиэтла, откуда пришло первое сообщение. Зрители могли увидеть всю производственную цепочку и убедиться в ее безопасности. Надуманность предъявляемых претензий доказывалась тем, что у такого количества идентичных и одновременных претензий из разных регионов просто не может быть основы.
Большим подспорьем для компании был тот факт, что в Авроре, штат Колорадо, камера наблюдения у прилавка супермаркета поймала женщину-покупателя в момент вставки шприца в банку Diet Pepsi. Изображение было размыто – адвокат женщины позже поставил под сомнение, что именно его подзащитная была запечатлена на видеозаписи. Однако Pepsi разослала этот видеоролик в адрес телевизионных компаний по всей стране и в дальнейшем активно его использовала в качестве мощного контраргумента при взаимодействии с обеспокоенной общественностью. Количество ложных сообщений сократилось, когда FDA объявила о первом аресте по обвинению в подаче ложной информации: подобное преступление каралось пятью годами тюремного заключения и штрафом в размере $ 250 000.
В результате антикризисный штаб Pepsi сумел справиться со «шприцевой паникой» всего за неделю. Клиенты вновь стали доверять продукции компании, и в том же году продажи компании достигли максимального уровня за пять лет.
Итак, профессиональное управление кризисной ситуацией не в состоянии полностью стереть кризис из памяти, но оно может защитить репутацию компании.
Вместо заключения
Будьте готовы всегда: PR-кризис может случиться с кем угодно.
Отвечайте на запросы средств массовой информации быстро и настолько всесторонне, насколько возможно. Убедительнее текстов пресс-релизов работает качественная репортажная съемка. Как говорит массовый телезритель, лучше семь раз увидеть, чем один раз подумать.
Регулярно обновляйте ваш сайт и страницы вашей компании в соцсетях.
Поддерживайте связь с журналистами, пишущими о вашей отрасли, и представителями общественности. Не прерывайте коммуникацию: как писал польский сатирик Станислав Ежи Лец, «в опасные времена не уходите в себя. Там вас легче всего найти».
Последуйте нашему совету и попробуйте поискать решение ваших проблем в другой плоскости: не только тушить пожар, но и начать строить на уже выжженной земле. Если попробовать, как говорится, обойтись без пышного букета цветистых метафор, то эта выражением этой идеи из другой плоскости может стать создание видеороликов, в которых вы либо обозначите свою позицию (если у вас есть убедительные аргументы), либо отвлечете внимание от ситуации (если вам нечего возразить критикам).
Наблюдайте и постоянно отслеживайте, что о вас пишут в СМИ и в интернете.
Искренне желаем вам, чтобы PR-кризисы вас не затрагивали. Но если все же кризис на подходе — обращайтесь, в беде не оставим.
Кроме очевидных решений, используемых в таких ситуациях, мы также можем предложить вам такой нетривиальный ход, как создание видеороликов, в которых у вас будет возможность дать ваше видение ситуации, по пунктам ответить на обвинения. Причем формулировки в таком случае подбираются такие, на которые удобно отвечать. В ситуации, когда козырей у вас не так много, можно попробовать скорректировать волну негатива путем перевода обсуждения проблемы в другую плоскость. Если видеоролик будет достаточно оригинальным или смешным, распространение его может получить вирусный эффект. А вы получите в худшем случае отвлечение от проблемы, в лучшем – симпатию зрителей. Более подробно о вирусном контенте читайте тут.
Самостоятельная работа по алгебре «Упрощение алгебраических выражений» 9 класс по материалам открытого банка заданий. 8 вариантов с ответами
Вариант 1 1. Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число. 2. Найдите значение выражения при
3. Упростите выражение , найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число. 4. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
5. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Вариант 2
1. Найдите значение выражения при
2. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите полученное число.
3. Представьте в виде дроби выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
4. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите найденное значение.
5. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Вариант 3
1. Найдите значение выражения при
2. Найдите значение выражения: при
3. Найдите значение выражения при
4. Упростите выражение и найдите его значение при В ответе запишите найденное значение.
5. Найдите если
Вариант 4
1. Упростите выражение и найдите его значение при В ответ запишите полученное число.
2. Найдите значения выражения: при
3. Найдите значение выражения при
4. Упростите выражение и найдите его значение при В ответе запишите найденное значение.
5. Найдите значение выражения если
Вариант 5
1. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите найденное значение.
2. Найдите значение выражения при
3. Найдите значение выражения при
4. Найдите значение выражения при
5. Сократите дробь
Вариант 6
1. Упростите выражение
и найдите его значение при
2. Сократите дробь:
3. Найдите значение выражения при
4. Найдите значение выражения при
5. Найдите значение выражения при
Вариант 7
1.Упростите выражениеи найдите его значение при В ответ запишите полученное число.
2. Сократите дробь:
3. Найдите значение выражения при
4. Найдите значение выражения при
5. Упростите выражение и найдите его значение при и В ответе запишите найденное значение.
Вариант 8
1. Найдите значение выражения при
2. Сократите дробь
3. Найдите значение выражения при a = 7,7.
4. Упростите выражение и найдите его значение при
5. Найдите значение выражения при
Ответы:
Задание
вариант
1
2
3
4
5
I
0
16
1,5
0,25
-1
П
27
16
-5
1,5
0,4
Ш
-230,4
-2
-10,5
4
IV
5
-2
4
12
V
15
0.8
5.6
84
VI
3
0.5
0.25
0.75
VП
15
31
-2,5
1,5
VIII
452
2,25
0,66
1,7
1
Задание 21
Задание 21
infourok.ru
❶ Как решить алгебру по учебнику 9 класса 🚩 Образование 🚩 Другое
Автор КакПросто!
Многие школьники и их родители сталкиваются с проблемой, как решить алгебру по учебнику 9 класса. Не советуем пользоваться готовыми решебниками, так как они создают иллюзию возможности хорошо учиться, без знаний они не помогут ребёнку на контрольной или ЕГЭ. Тем не менее, даже не зная всех формул и алгоритмов решения задач, можно попытаться решить примеры и задачи алгебры, следуя нашим советам.
Статьи по теме:
Вам понадобится
— учебник алгебры за 9 класс;
— формулы;
— листок бумаги;
— ручка.
Инструкция
Внимательно прочитайте тему перед задачами, в параграфе, скорее всего, указаны формулы, которые будут основными при решении. Изучите готовые примеры решений подобных задач, указанные после темы.
Прочитайте задание, которое требуется решить, выпишите отдельно все данные задачи, а также то, что требуется найти.
Найдите область допустимых значений, учитывая, что на ноль делить нельзя, а также то, что выражение под корнем должно всегда быть больше нуля. Запишите область допустимых значений рядом с условиями задачи.
Приступайте к решению задачи. Для решения систем линейных неравенств или уравнений выразите одну из неизвестных через другую. Подставьте получившееся выражение во второе неравенство (уравнение) и, сокращая члены, складывая или вычитая численные значения, найдите значения одной из переменных. Затем, подставив ее в первое выражение, найдите вторую переменную. Для того чтобы найти область определения или область значений функции, нарисуйте график функции. Начертите оси ох и оу, подставляйте разные значения х в функцию и находите значение у. Затем эти точки с полученными координатами (х;у) нанесите на рисунок, соедините. Посмотрите, все значения х на этом графике – это область определения функции, а все значения у – это область значения.
Чтобы решить задачи по тригонометрии с sin, cos, tg, ctg, выучите или запишите на листок все формулы, касающиеся этих функций. Для решения задачи подставляйте формулы в уравнение (неравенство), и пытайтесь его упростить. Выбирайте такие формулы, чтобы в уравнении остались одинаковые значения переменной, например, только sin. Если не получилось, подставьте другую формулу — рано или поздно в уравнении останется одна неизвестная, найти которую будет уже несложно.
Проверьте получившиеся значения на соответствие области допустимых значений, которую вы определили в самом начале. Подставьте полученные значения в уравнения или неравенства и проверьте правильность ответов.
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос? Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
9 класс Упростить выражение
Департамент образования, культуры и молодежной политики Белгородской области Белгородский региональный институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников
Олимпиадные задания школьников по математике в 2008-2009 учебном году
9 класс
Упростить выражение
Решение
=
=====.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .
Решение
Каждый игрок сыграл 9 партий, значит, . Кроме того, число всех побед равно числу всех поражений, т.е. . Получим:
=
Доказать равенство
.
Решение.
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Решение:
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:
, значит, , . Аналогично,
, ,
.
Так как треугольники и имеют общий угол, то их площади относятся, как произведение сторон, т.е. , отсюда . Аналогично,
, отсюда ,
, отсюда . Тогда получим, . Площадь треугольника найдем по формуле Герона . Значит, .
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра , при котором оно достигается.
Решение:
5. . Квадратное уравнение имеет корни, если :
, т.е.. По теореме Виета : , . Поэтому, . Вершина этой параболы не входит в область допустимых значений , значит наименьшее значение функции равняется наименьшему из значений функции на концах промежутков: , . Значит, наименьшее значение суммы равно 1,5 при .
10 класс
Решите неравенство:
Ответ: .
2.Найдите все значения a, при которых сумма квадратов действительных корней уравнения будет наименьшей.
Решение.
Имеем . Т.к. корни действительны, то , т.е. .
С учетом этого (см. график) сумма квадратов действительных корней уравнения будет наименьшей при .
Ответ. .
Несколько дуг окружности покрашены в красный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности. Докажите, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.
Решение.
Покрасим в зеленый цвет дуги симметричные красным относительно центра окружности. Поскольку сумма длин зеленых дуг равна сумме длин красных дуг, то общая длина окрашенных дуг меньше длины окружности. Значит найдется неокрашенная точка (и симметричная ей точка будет неокрашенной). Диаметр, проходящий через эти точки и будет искомым.
В параллелограмме, одна сторона которого в два раза больше другой, проведены биссектрисы углов. Найти отношение площадей параллелограмма и четырехугольника, полученного пересечением этих биссектрис.
Решение.
Пусть . Так как , то . Аналогично показываете, что и остальные углы четырехугольника — прямые, т.е. — прямоугольник. Из : , из : , тогда .
Аналогично . Тогда
и
Ответ: 4.
и — простые числа. Найти .
Решение.
При имеем делится на 3 (т.к. среди чисел p-1, p, p+1 одно делится на 3 , но p — простое, и поэтому на 3 делится либо p-1, либо p+1).
При — простое. Следовательно, .
Ответ. .
11 класс
1. Касательная к графику пересекает координатные оси Ox и Oy в точках A и B так, что . Найдите длину отрезка AB.
Решение.
Из условия следует, что уравнение касательной имеет вид или , поэтому в точках касания , т.е. . Уравнение касательных в точках и : и . Следовательно , откуда .
Ответ: .
Числа и выписаны одно за другим в десятичной записи. Сколько всего цифр выписано?
Решение.
Пусть — m-значное число, и — n— значное число. Это означает, что и . Перемножив эти неравенства, получим . От сюда следует, что искомое число цифр .
Ответ: 2009.
Ученик написал на доске алгебраическое уравнение, все три корня которого – положительные числа. Однако по своей невнимательности он пропустил один член, так что на доске было лишь написано . Какое уравнение должно было быть записано на доске и каковы его корни?
Решение:
Пусть — корни многочлена, тогда Перемножив двучлены в правой части и прировняв коэффициенты при одинаковых степенях получим:
(1)
(2)
Поскольку положительные числа, то к ним можно применить неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда . Из равенств (1) и (2) . Это означает, что и значит, уравнение можно записать так: или .
Ответ. ;
Замечание: Равенства (1) и (2) ученики могут выписать сославшись на теорему Виета. Если в работе указано уравнение, удовлетворяющее условию задачи, но не обосновано отсутствие других таких уравнений, то работу рекомендуется оценивать не более чем в 2 балла.
Из двенадцати шнурков, длина каждого из которых 10 см, сделали сетку в форме куба. В эту сетку положили резиновый шар и раздули его до максимальных размеров, ограниченных размерами сетки. Вычислите радиус шара.
Решение.
Узлы сетки, обтягивающей шар, являются одновременно вершинами куба, вписанного в этот шар. Поскольку ребро куба видно из центра куба под углом , то центральный угол, опирающийся на дугу образованную одним шнурком сетки, равен . Обозначив радиус шара , получим . Значит .
Ответ. см.
В шахматном турнире каждый участник сыграл по одной партии со всеми остальными участниками, причём ничьих не было. При каком количестве участников может случиться так, что все шахматисты наберут одинаковое количество очков?
Решение.
Обозначим — количество участников турнира. Каждый из них сыграл партию, всего на турнире было сыграно партий. Для того чтобы все участники набрали количество очков, необходимо чтобы число было целыми, т.е. число было нечётным. Докажем теперь, что если — нечётное число, то участники могут набрать очков поровну. Доказательство проведем методом математической индукции по количеству участников. Для утверждение верно: один шахматист не сыграв ни одной партии набрал 0 очков. Предположим, что утверждение верно для . Пусть в турнире теперь принимают участие шахматист. Допустим, что все шахматисты без A и B во встречах между собой набрали поровну очков, а именно по очков (это возможно по предположению индукции).
Пусть из них выигрывают у B и проигрывают A, а оставшиеся выигрывают у А и проигрывают B (и тогда у этих шахматистов будет по очков). Наконец, пусть A выигрывает у B (и тогда у A и B тоже по очков). В соответствии с принципом математической индукции утверждение справедливо для всех нечётных натуральных чисел.
Ответ: при любом нечётном числе участников.
Замечание. Если в работе установлена только необходимость нечётности числа участников, то такую работу рекомендуется оценивать не более в чем 2 балла.
§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
1. Под элементарными преобразованиями
системы линейных уравнений понимаются
следующие операции:
умножение
какого-либо уравнения системы на число,
отличное от нуля;
прибавление
к одному уравнению другого уравнения;
перемена
местами уравнений в системе.
Комбинируя
элементарные преобразования первого
и второго типов, мы можем к любому
уравнению прибавить другое уравнение,
умноженное на произвольное число.
Производя
элементарные преобразования в системе,
мы получаем новую систему. Очевидно,
что каждому элементарному преобразованию
системы соответствуют аналогичные
преобразования над строками расширенной
матрицы этой системы, и наоборот, каждому
элементарному преобразованию строк
расширенной матрицы соответствует
некоторое элементарное преобразование
в системе. Таким образом, элементарные
преобразования в системе сводятся к
соответствующим преобразованиям над
строками ее расширенной матрицы.
Две
системы линейных уравнений от одних и
тех же неизвестных называются равносильными,
если каждое решение одной из них является
решением другой, и наоборот (или если
обе системы несовместны).
Заметим,
что число уравнений в равносильных
системах может быть различным.
ТЕОРЕМА.При элементарных
преобразованиях система линейных
уравнений переходит в равносильную
систему.
Сущность метода
Гаусса заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к такому виду,
чтобы матрица системы оказалась
треугольной. Для упрощения изложения
мы будем иметь дело не с самой системой,
а с расширенной матрицей этой системы
(производя при этом элементарные
преобразования только над строками
матрицы).
Рассмотрим
алгоритм применения метода Гаусса на
простых Типовой примерах.
Типовые
примеры
Решить систему
уравнений
1.
►Будем
решать методом Гаусса. Выпишем расширенную
матрицу системы и преобразуем её, вычитая
первую строку, умноженную на 2, 3 и 1
соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
.
Далее вторую
строку, умноженную на 2 и 3, вычтем
соответственно из третей и четвёртой
строк:
Последняя матрица
эквивалентна следующей ступенчатой
системе:
Полученная
упрощённая система представляет собой
систему из двух уравнений для четырёх
неизвестных. Следовательно, два из
неизвестных можно выбрать за главные,
а два — за свободные,
через которые будут выражены главные.
Число свободных неизвестных определяется
по формуле ,
где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с
рангом расширенной матрицы в силу
совместности системы).
В качестве главных неизвестных можно
выбрать любую пару, если определитель,
составленный из коэффициентов, стоящих
перед ними, отличен от нуля (базисный
минор). В данной задаче в качестве главных
неизвестных можно выбрать .
Действительно, определитель, составленный
из их коэффициентов, отличен от нуля:
.
Теперь
из второго уравнения выразим через.
Затем подставим его в первое уравнение
и найдёмчерез.
В итоге получим
Переменные принимают произвольные значения. Положив,
общее решение системы можно записать
в виде
.◄
2.
►Преобразуем
расширенную матрицу системы:
~ .
Отсюда
следует, что ,,
т.е. исходная система несовместна.
Заметим, что, применяя метод Гаусса
(т.е. исключая неизвестные), мы одновременно
проводим исследование системы на
совместность (т.е. отыскиваем ранги
матрицы системы и расширенной матрицы).◄
3.
►Исследуем
систему на совместность:
~ .
Отсюда
следует, что
– система совместна.
Итак,
полученная система, равносильная
исходной, содержит одно уравнение с
двумя неизвестными. Решение этой системы
может быть найдено только в том случае,
если мы придадим произвольное
действительное значение одному из
неизвестных. Тогда другое неизвестное
можно выразить через первое.
Положим ;
тогда.
В итоге получаемобщее
решение системы:
,
где – произвольная постоянная.
Придавая
постоянной различные действительные значения,
получаем бесконечное множество решений
исходной системы.
При желании можно
произвести проверку:
.◄
4.
►Во всех трех
системах воспользуемся методом Гаусса.
Степень
свободы системы равна двум, значит,
решение системы выразится через два
параметра. Положив
и решив систему из трех уравнений с
неизвестныминайдем
где произвольные числа.
◄
5.
►
в
результате преобразований появилась
строка
следовательно, система несовместна.
◄
6.
►
Ранг
трапецеидальной матрицы равен 2, значит,
степень свободы равна
Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим
Таким образом,
решением системы является
где
произвольные
числа (параметры).
◄
studfiles.net
Метод Гаусса (исключения неизвестных) — Мегаобучалка
Раздел 3. Численные методы решения уравнений
Виды математических моделей (уравнений) в теории электрических цепей
1. —системы линейных алгебраических уравнений –
линейные цепи постоянного и синусоидального переменного (комплексный метод) тока.
2. — системы нелинейных алгебраических или
трансцендентных уравнений – нелинейные цепи постоянного или синусоидального тока.
3. . –системы нелинейных дифференциальных
уравнений первого порядка в обыкновенных производных – переходные процессы в нелинейных цепях.
Здесь F и ψ – вектор-функции, т.е. эквивалентно записи:
f1(X,b1) = 0
f2(X,b2) = 0
…………
fn(X,bn) = 0
а —записи:
ψ1(dX/dt,X,b1,t) = 0
ψ2(dX/dt,X,b2,t) = 0
…………………..
ψn(dX/dt,X,bn,t) = 0
Рассмотрим наиболее эффективные методы решения этих уравнений.
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)
Метод Гаусса (исключения неизвестных)
Методы решения ЛАУ имеют важное значение, так как они применяются (итерационно) для решения более сложных уравнений.
Пусть система ЛАУ задана в виде:
,
,
где — квадратная матрица n – го порядка с ненулевыми диагональными элементами ; — вектор неизвестных; — вектор правых частей.
Алгоритм метода Гаусса состоит из прямогои обратного хода. Во время прямого хода осуществляется последовательное исключение неизвестных. Система приобретает вид:
Пересчет коэффициентов производится по формуле:
, где i, j = k+1, …n при исключение k-го неизвестного.
При этом столбец правых частей удобно рассматривать как n + 1 столбец матрицы коэффициентов , т.е. j = k+1, …n+1.
Обратный ход заключается в определении неизвестных, начиная с последнего уравнения где осталась одна неизвестная xn. Полученное значение xn подставляется в предыдущее уравнение и определяется xn-1 и т.д.
Для произвольного xk получается следующая формула:
где k = n, n -1,…1.
Трудоемкость метода Гаусса оценивается количеством выполняемых арифметических операций:
.
Кубическая зависимость от размерности задачи существенно ограничивает сложность анализируемых цепей. Однако если часть коэффициентов aik в матрице равна нулю, т.е. она является разреженной, то появляется возможность сокращения трудоемкости.
Основная идея метода разреженных матриц состоит в учете при вычислениях и хранении только ненулевых элементов матрицы . Степень разреженности матрицы характеризуется коэффициентом заполнения:
;
где nннэ –число ненулевых элементов.
Существуют матрицы коэффициентов специального вида: ленточные, когда ненулевые элементы располагаются вдоль главной диагонали; и блочно-диагональные, когда вдоль главной диагонали располагаются ненулевые блоки. Еще встречаются блочно-диагональные с окаймлением.
Пример ленточной матрицы Пример блочно-диагональной матрицы
Пример блочно-диагональной матрицы с окаймлением
Для них разработаны специальные эффективные методы решения. Для диагональной – метод прогонки. Блочная распадается на отдельные группы уравнений по блокам, которые решаются методом Гаусса. Для блочно-диагональных с окаймлением существуют диакоптические методы решения.
Диакоптика – подход к исследованию сложных систем, заключающейся в расчленение системы на части и её анализе по частям при учете всех связей между выделенными частями.
megaobuchalka.ru
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное – просто!Кстати, портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.
Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Про миноры и алгебраические дополнения можно на время забыть! Необходимо уметь складывать и умножать!Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах.
Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и мы постараемся в доступной форме рассказать об алгоритме метода.
Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любойсистемы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случаеприведет нас к ответу! На данном уроке мы вновь рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№ 2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Заметим, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.
Вернемся к простейшей системе
и решим ее методом Гаусса.
На первом этапе запишем так называемую расширенную матрицу системы:
.
По какому принципу записаны коэффициенты, думаем, всем видно.
Примечание:Расширенная матрица системы получается из исходной с помощью «операции наращивания строк / столбцов». В данном случае матрицу нарастили за счёт столбца свободных членов исходной системы уравнений.
Примечание:Кроме перечисленных ранее 6-и алгебраических операций с матрицами и «операции наращивания» существует ещё «операция отбрасывания строк/столбцов». С помощью «операции отбрасывания строк/столбцов» составляют, например, подматрицы, определители которых являются минорами элементов матрицы.
Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто линия отчёркивания для удобства оформления.
Определение:Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных переменных системы линейных уравнений.
Определение:Расширенная матрица системы – это матрица системы, которую нарастили справа на столбец свободных членов.
В данном примере . – это матрица системы, а — это расширенная матрица системы. Любую из них можно для краткости называть просто матрицей.
После того, как записана расширенная матрица системы, с ней необходимо выполнить некоторые новые алгебраические действия, которые с лёгкой руки Гаусса называются также элементарными преобразованиями матрицы. Преобразования называют элементарными, потому что показано (будем считать это определением), что
Определение: После каждого элементарного преобразования расширенной матрицы получается совершенно другая матрица, но решения для этой новой системы линейных уравнений остаются теми же, что и для исходной матрицы.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:
2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.
Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:
.
3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не будем, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.
4) Строку матрицы можно умножить (разделить)на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.
5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.
Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала распишем преобразование очень подробно.
Умножаем первую строку на (-2): , далее ко второй строке прибавляем первую строку, оставляя первую без изменений: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на (–2): .
Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.
На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:
Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:
«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »
«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0.
Записываю результат во вторую строку: »
«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: (-1∙(-2) = 2). Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку:
»
«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: (-5∙(-2) = 10). Ко второй строке прибавляю первую: (–7 + 10 = 3). Записываю результат во вторую строку:
»
Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.
Повторим: «Элементарные преобразования не изменяют решение системы»
ВНИМАНИЕ!:рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицамичто-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!
Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.
Что просит Гаусс? Он говорит: «Запишите расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведите ее к ступенчатому виду».
В данном случае для этого
(1) Ко второй строке прибавьте первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.
(2) Разделите вторую строку на 3. Почему? Чтобы вторая строка давала сразу значение второй переменной.
Цель элементарных преобразований–привести матрицу к ступенчатому виду:
.
В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.
В результате элементарных преобразований получена система уравнений, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, которая приняла вид:
Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.
В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: . Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:
Ответ:
Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример 1
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы:
Сейчас мы сразу нарисуем результат, к которому мы придём в ходе решения:
.
Повторимся, что наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?
Сначала смотрим на левое верхнее число:
.
Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и (–1), а иногда и другие числа, но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:
Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.
Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:
Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18).
И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, т. е. ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:
Результат записываем во вторую строку:
Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3.
Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:
Результат записываем в третью строку:
.
На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:
Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО:
.
А мысленный ход самих расчётов мы уже рассмотрели выше.
Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:
В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:
На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:
Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:
Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на (–2) и проведите сложение. Последнее выполненное действие – причёска результата, для этого делим третью строку на 3.
В результате элементарных преобразований получена система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений:
Теперь в действие вступает «обратный ход» метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.
В третьем уравнении у нас уже готовый результат:
Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:
И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:
Ответ:
Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!
Пример 3
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами.
Поступим так:
(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–1). То есть, мысленно умножили вторую строку на (–1) и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху (–1), что нас вполне устроит. Кто хочет получить (+1), может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на (–1), сменив у неё знак. Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:
.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
(3) Первую строку умножили на (–1). В принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 3.
Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:
Ответ: .
Пример 4
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения.
infopedia.su
§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
1. Под элементарными преобразованиями
системы линейных уравнений понимаются
следующие операции:
умножение
какого-либо уравнения системы на число,
отличное от нуля;
прибавление
к одному уравнению другого уравнения;
перемена
местами уравнений в системе.
Комбинируя
элементарные преобразования первого
и второго типов, мы можем к любому
уравнению прибавить другое уравнение,
умноженное на произвольное число.
Производя
элементарные преобразования в системе,
мы получаем новую систему. Очевидно,
что каждому элементарному преобразованию
системы соответствуют аналогичные
преобразования над строками расширенной
матрицы этой системы, и наоборот, каждому
элементарному преобразованию строк
расширенной матрицы соответствует
некоторое элементарное преобразование
в системе. Таким образом, элементарные
преобразования в системе сводятся к
соответствующим преобразованиям над
строками ее расширенной матрицы.
Две
системы линейных уравнений от одних и
тех же неизвестных называются равносильными,
если каждое решение одной из них является
решением другой, и наоборот (или если
обе системы несовместны).
Заметим,
что число уравнений в равносильных
системах может быть различным.
ТЕОРЕМА.При элементарных
преобразованиях система линейных
уравнений переходит в равносильную
систему.
Сущность метода
Гаусса заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к такому виду,
чтобы матрица системы оказалась
треугольной. Для упрощения изложения
мы будем иметь дело не с самой системой,
а с расширенной матрицей этой системы
(производя при этом элементарные
преобразования только над строками
матрицы).
Рассмотрим
алгоритм применения метода Гаусса на
простых Типовой примерах.
Типовые
примеры.Решить
систему уравнений
1)
►Будем
решать методом Гаусса. Выпишем расширенную
матрицу системы и преобразуем её, вычитая
первую строку, умноженную на 2, 3 и 1
соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
.
Далее
вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем
соответственно из третей и четвёртой
строк:
Последняя
матрица эквивалентна следующей
ступенчатой системе:
Полученная
упрощённая система представляет собой
систему из двух уравнений для четырёх
неизвестных. Следовательно, два из
неизвестных можно выбрать за главные,
а два — за свободные,
через которые будут выражены главные.
Число свободных неизвестных определяется
по формуле ,
где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с
рангом расширенной матрицы в силу
совместности системы).
В качестве главных неизвестных можно
выбрать любую пару, если определитель,
составленный из коэффициентов, стоящих
перед ними, отличен от нуля (базисный
минор). В данной задаче в качестве главных
неизвестных можно выбрать .
Действительно, определитель, составленный
из их коэффициентов, отличен от нуля:
.
Теперь
из второго уравнения выразим через.
Затем подставим его в первое уравнение
и найдёмчерез.
В итоге получим
Переменные принимают произвольные значения. Положив,
общее решение системы можно записать
в виде
.◄
2)
►Преобразуем
расширенную матрицу системы:
~ .
Отсюда
следует, что ,,
т.е. исходная система несовместна.
Заметим, что, применяя метод Гаусса
(т.е. исключая неизвестные), мы одновременно
проводим исследование системы на
совместность (т.е. отыскиваем ранги
матрицы системы и расширенной матрицы).◄
3)
►Исследуем
систему на совместность:
~ .
Отсюда
следует, что
– система совместна.
Итак,
полученная система, равносильная
исходной, содержит одно уравнение с
двумя неизвестными. Решение этой системы
может быть найдено только в том случае,
если мы придадим произвольное
действительное значение одному из
неизвестных. Тогда другое неизвестное
можно выразить через первое.
Положим ;
тогда.
В итоге получаемобщее
решение системы:
,
где – произвольная постоянная.
Придавая
постоянной различные действительные значения,
получаем бесконечное множество решений
исходной системы.
При желании можно
произвести проверку:
.◄
4)
►Во
всех трех системах воспользуемся методом
Гаусса.
Степень
свободы системы равна двум, значит,
решение системы выразится через два
параметра. Положив
и решив систему из трех уравнений с
неизвестныминайдем
где произвольные числа.
◄
5)
►
в
результате преобразований появилась
строка
следовательно, система несовместна.
◄
6)
►
Ранг
трапецеидальной матрицы равен 2, значит,
степень свободы равна
Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим
Таким
образом, решением системы является
где
произвольные
числа (параметры).
◄
studfiles.net
Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)
Поиск Лекций
С помощью коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица
,
над строками которой можно произвести следующие элементарные преобразования. Разрешается изменить порядок строк; прибавлять к элементам произвольной строки элементы другой строки, умноженное на любое отличное от нуля число. При этом нужно стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду, когда все элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Из полученной расширенной матрицы решение находится непосредственно:
.
т.е. и т.д.
@ Задача 2. Решить систему уравнений: .
Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду:
Þ Þ .
После этого нетрудно найти решения:
– 14x3 = – 14: x3 = 1; – 3x2 – 2x3 = – 2; x2 = 0;
x1 + 2x2 + 3x3 = 2; x1 = –1.
§2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая
m уравнений и n неизвестных
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
.
Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Ответ на совместность системы дает теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.
Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение.
Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.
@ Задача 3. Найти решение системы
.
Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:
.
Обозначив x3 = с, получим решение (2 – с, 1, с).
§2.3. Система линейных однородных уравнений
Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b1= b2= ¼ = bn = 0 называется системой линейных однородных уравнений.
Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при D = 0.
@ Задача 3. Найти решение системы .
Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему
, т.е. находим x1 и x2 через x3 = с. После подстановки x3 = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x1 = 2x3 = 2с; x2 = – x3 = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид (2c, – c, c).
Тесты по теме №2
1. Решить систему уравнений:
R
£
£
2. Решить систему уравнений:
R
£
£
3. Решить систему:
R y = любое число, x = 5 + 2y.
£ y = любое число, x = 3 — 2y.
£ y = любое число, x = 1 + 3y.
4. Решить систему уравнений:
R
£
£
5. Решить систему:
£ x = 12 , у = 14, z = 2.
R x = -22 , у = 14, z = 2.
£ x = 11 , у = 12, z = 5.
£ x = 16 , у = 10, z = 4.
6. Решить систему уравнений:
R 4; 2; 1.
£ 1; 6; 0.
£ -3; 2; -1.
7. Решить систему двух уравнений:
£ x=-1; y = 1.
£ x=2; y = 4.
R x=3; y = -1.
8. Решить систему уравнений:
£ 1; 1; 3.
£ 4; -2; 0.
R 3; 1; 2.
9. Решить систему уравнений:
R 1; -2; 3.
£ 2; 3; 4.
£ -1; -2; 3.
10. Решить систему:
R -1; 3; 1.
£ 2; 1; -1.
£ 3; 0; 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.
Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.
Литература
1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ , 2008.
3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.
4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.
5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.
Рекомендуемые страницы:
Поиск по сайту
poisk-ru.ru
Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.
Идея метода основана на исключении
переменных до тех пор, пока не останется
только одна переменная в левой части
одного уравнения. Затем это уравнение
решается относительно этой единственной
переменной, и полученное значение
подставляется в предыдущее уравнение
для получения остающихся переменных.
Очевидно что предложенный алгоритм
работает, если аii≠0.
(6)
(7)
Второе уравнение системы (7) получено
умножением первого уравнения этой
системы на коэффициент −a21/a11 и сложением со вторым уравнением
системы (6). Третье уравнение — путем
умножения первого уравнения этой системы
на коэффициент−a31/a11 и сложением с третьим уравнением
системы (6).
(8)
Третье уравнение системы (8) получено
умножением второго уравнения системы
(7) на коэффициент −a32/a22 и сложением с третьим уравнением
системы (6).
Описанные этапы приводят к уравнению
вида:
Ux=Mb,
где U— верхняя
треугольная матрица. Диагональные
элементы матрицы называются ведущими.
K-ый ведущий элемент является коэффициентом
при к-ой переменной в к-ом уравнении на
к-ом шаге исключения.
Интуитивно можно утверждать, что к-ый
элемент не должен быть слишком малым,
иначе при делении будут получаться
очень большие числа с большими абсолютными
погрешностями. В результате этого
решение может сильно исказиться.
Для того чтобы этого избежать применяются:
Масштабирование коэффициентов.
Подход заключается в «отбрасывании»
порядков при коэффициентах уравнений.
Метод Гаусса с выбором ведущего
элемента. Отличие его от выше
описанной схемы состоит в том что на
к-ом шаге в качестве ведущего элемента
берется наибольший по абсолютной
величине элемент в неприведенной части
к-ого столбца. Строка, содержащая этот
элемент переставляется с к-ой строкой.
Так же переставляются элементы правой
части.
Гауссово исключение с выбором ведущих
элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти
определяетсячислом обусловленности.
Дополнительная информация приведена
в Приложении 2.
Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)
Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов
решения систем линейных и нелинейных
уравнений могут быть рассмотрены как
специальные случаи итерационного
алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим
идею на примере уравнения с одним
неизвестным
ƒ(х)=0.
(9)
Алгоритм неподвижной точки требует
специальной формы записи
x=F(x) (10)
Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к
тождеству. Преобразуем уравнение (10) к
виду
Y=xY= F(x). (11)
Тогда геометрическая интерпретация
алгоритма будет выглядеть следующим
образом (см. рис. 3)
Предполагаем, что мы начинаем итерационную
процедуру выбрав х=х0,
в результате получаемх1.
Если|x*-x1|<|x*-x0|,то выбор начального приближениях1 лучше, чем х0.В качестве начального приближения
выбираемх1 и так
далее пока
|xк+1—xк|<ε.(12)
В общем случае метод описывается
рекурсивной формулой
xк+1=F(xк) (13)
Критерий, гарантирующий сходимость,
определяется следующим образом (принцип
сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного
пространстваRnвRn,
т.е. константаL<1,
такая что
|| F(y)-F(x)||<||y—x||
, х,у Є Rn , (14)
то F(y) имеет единственную неподвижную
точку.
Последовательные итерации приводят к
этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может
быть достаточно медленной.
Методы неподвижной точки требуют, чтобы
исходные уравнения …
записывались в стандартной форме,
где
,
(15)
где — матричная неособенная функция от.
Ясно, что может быть случайной функцией. Различные
выборыведут к различным характеристикам
сходимости. Большинство итерационных
методов решения систем нелинейных
уравнений является специальными случаями
уравнения (15).
Например,
,
где—
матрица Якоби.
Подставляя в формулу (15), получим
.
(16)
То есть приходим к методу Ньютона —
Рафсона.
Метод Ньютона применяется на практике
в большинстве случаев, поэтому остановимся
на нем подробнее.
Известно, что всякую функцию в окрестности
решения можно разложить в ряд Тейлора
(17)
При этом в окрестности решения можно
ограничиться разложением с точностью
до первого порядка малости. В методе
Ньютона можно ввести преобразование,
которое позволит сохранить невязку,
если она мала, и уменьшить её, если она
велика. Для метода Ньютона оправдывается
теорема, если
,
=0
и вторая производная
непрерывна, то существует открытый
интервал ,
содержащийв решении, такой что, если,
то для метода Ньютонасходится к решению,
т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость
к решению при хорошем приближении.
Погрешность решения
.
(18)
Нетрудно видеть, что
.
(19)
Если необходимо определить погрешность
решения и сходимость, то нужно учесть
второй порядок.
Об итерационном процессе, для которого
ошибка удовлетворяет соотношению
.
(20)
говорят, что он имеет сходимость порядка
p, то есть метод Ньютона
имеет квадратичную сходимость. Например,
наk—ой итерации
погрешность решения:
,,,.
То есть, достаточно шести итераций для
того, чтобы погрешность стала очень
маленькой.
Трудность применения метода Ньютона
заключается в выборе начального
приближения, которое находилось бы
внутри интервала .
Есливзят вне интервала (разложение в ряд
Тейлора в окрестности решения ), то нуль
не будет найден. Вследствие этого методу
Ньютона часто предшествует какой-либо
глобально сходящийся алгоритм (например,
метод деления отрезка пополам). То есть
метод Ньютона является завершающей
процедурой более медленных, но надежных
начальных алгоритмов.
Локальная методическая погрешность
.
Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к
методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу
последовательной верхней релаксации.
Перечисленные методы относятся к
релаксационным.
studfiles.net
Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.
Идея метода основана на исключении
переменных до тех пор, пока не останется
только одна переменная в левой части
одного уравнения. Затем это уравнение
решается относительно этой единственной
переменной, и полученное значение
подставляется в предыдущее уравнение
для получения остающихся переменных.
Очевидно что предложенный алгоритм
работает, если аii≠0.
(6)
(7)
Второе уравнение системы (7) получено
умножением первого уравнения этой
системы на коэффициент −a21/a11 и сложением со вторым уравнением
системы (6). Третье уравнение — путем
умножения первого уравнения этой системы
на коэффициент−a31/a11 и сложением с третьим уравнением
системы (6).
(8)
Третье уравнение системы (8) получено
умножением второго уравнения системы
(7) на коэффициент −a32/a22 и сложением с третьим уравнением
системы (6).
Описанные этапы приводят к уравнению
вида:
Ux=Mb,
где U— верхняя
треугольная матрица. Диагональные
элементы матрицы называются ведущими.
K-ый ведущий элемент является коэффициентом
при к-ой переменной в к-ом уравнении на
к-ом шаге исключения.
Интуитивно можно утверждать, что к-ый
элемент не должен быть слишком малым,
иначе при делении будут получаться
очень большие числа с большими абсолютными
погрешностями. В результате этого
решение может сильно исказиться.
Для того чтобы этого избежать применяются:
Масштабирование коэффициентов.
Подход заключается в «отбрасывании»
порядков при коэффициентах уравнений.
Метод Гаусса с выбором ведущего
элемента. Отличие его от выше
описанной схемы состоит в том что на
к-ом шаге в качестве ведущего элемента
берется наибольший по абсолютной
величине элемент в неприведенной части
к-ого столбца. Строка, содержащая этот
элемент переставляется с к-ой строкой.
Так же переставляются элементы правой
части.
Гауссово исключение с выбором ведущих
элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти
определяетсячислом обусловленности.
Дополнительная информация приведена
в Приложении 2.
Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)
Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов
решения систем линейных и нелинейных
уравнений могут быть рассмотрены как
специальные случаи итерационного
алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим
идею на примере уравнения с одним
неизвестным
ƒ(х)=0.
(9)
Алгоритм неподвижной точки требует
специальной формы записи
x=F(x) (10)
Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к
тождеству. Преобразуем уравнение (10) к
виду
Y=xY= F(x). (11)
Тогда геометрическая интерпретация
алгоритма будет выглядеть следующим
образом (см. рис. 3)
Предполагаем, что мы начинаем итерационную
процедуру выбрав х=х0,
в результате получаемх1.
Если|x*-x1|<|x*-x0|,то выбор начального приближениях1 лучше, чем х0.В качестве начального приближения
выбираемх1 и так
далее пока
|xк+1—xк|<ε.(12)
В общем случае метод описывается
рекурсивной формулой
xк+1=F(xк) (13)
Критерий, гарантирующий сходимость,
определяется следующим образом (принцип
сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного
пространстваRnвRn,
т.е. константаL<1,
такая что
|| F(y)-F(x)||<||y—x||
, х,у Є Rn , (14)
то F(y) имеет единственную неподвижную
точку.
Последовательные итерации приводят к
этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может
быть достаточно медленной.
Методы неподвижной точки требуют, чтобы
исходные уравнения …
записывались в стандартной форме,
где
,
(15)
где — матричная неособенная функция от.
Ясно, что может быть случайной функцией. Различные
выборыведут к различным характеристикам
сходимости. Большинство итерационных
методов решения систем нелинейных
уравнений является специальными случаями
уравнения (15).
Например,
,
где—
матрица Якоби.
Подставляя в формулу (15), получим
.
(16)
То есть приходим к методу Ньютона —
Рафсона.
Метод Ньютона применяется на практике
в большинстве случаев, поэтому остановимся
на нем подробнее.
Известно, что всякую функцию в окрестности
решения можно разложить в ряд Тейлора
(17)
При этом в окрестности решения можно
ограничиться разложением с точностью
до первого порядка малости. В методе
Ньютона можно ввести преобразование,
которое позволит сохранить невязку,
если она мала, и уменьшить её, если она
велика. Для метода Ньютона оправдывается
теорема, если
,
=0
и вторая производная
непрерывна, то существует открытый
интервал ,
содержащийв решении, такой что, если,
то для метода Ньютонасходится к решению,
т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость
к решению при хорошем приближении.
Погрешность решения
.
(18)
Нетрудно видеть, что
.
(19)
Если необходимо определить погрешность
решения и сходимость, то нужно учесть
второй порядок.
Об итерационном процессе, для которого
ошибка удовлетворяет соотношению
.
(20)
говорят, что он имеет сходимость порядка
p, то есть метод Ньютона
имеет квадратичную сходимость. Например,
наk—ой итерации
погрешность решения:
,,,.
То есть, достаточно шести итераций для
того, чтобы погрешность стала очень
маленькой.
Трудность применения метода Ньютона
заключается в выборе начального
приближения, которое находилось бы
внутри интервала .
Есливзят вне интервала (разложение в ряд
Тейлора в окрестности решения ), то нуль
не будет найден. Вследствие этого методу
Ньютона часто предшествует какой-либо
глобально сходящийся алгоритм (например,
метод деления отрезка пополам). То есть
метод Ньютона является завершающей
процедурой более медленных, но надежных
начальных алгоритмов.
Локальная методическая погрешность
.
Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к
методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу
последовательной верхней релаксации.
Перечисленные методы относятся к
релаксационным.