Рубрика: Школьная жизнь

Как построить диаграмму по таблице в Excel: пошаговая инструкция

Любую информацию легче воспринимать, если она представлена наглядно. Это особенно актуально, когда мы имеем дело с числовыми данными. Их необходимо сопоставить, сравнить. Оптимальный вариант представления – диаграммы. Будем работать в программе Excel.

Так же мы научимся создавать динамические диаграммы и графики, которые автоматически обновляют свои показатели в зависимости от изменения данных. По ссылке в конце статьи можно скачать шаблон-образец в качестве примера.

Как построить диаграмму по таблице в Excel?

1. Создаем таблицу с данными.
2. Выделяем область значений A1:B5, которые необходимо презентовать в виде диаграммы. На вкладке «Вставка» выбираем тип диаграммы.
3. Нажимаем «Гистограмма» (для примера, может быть и другой тип). Выбираем из предложенных вариантов гистограмм.
4. После выбора определенного вида гистограммы автоматически получаем результат.
5. Такой вариант нас не совсем устраивает – внесем изменения. Дважды щелкаем по названию гистограммы – вводим «Итоговые суммы».
6. Сделаем подпись для вертикальной оси. Вкладка «Макет» — «Подписи» — «Названия осей». Выбираем вертикальную ось и вид названия для нее.
7. Вводим «Сумма».
8. Конкретизируем суммы, подписав столбики показателей. На вкладке «Макет» выбираем «Подписи данных» и место их размещения.
9. Уберем легенду (запись справа). Для нашего примера она не нужна, т.к. мало данных. Выделяем ее и жмем клавишу DELETE.
10. Изменим цвет и стиль.

Выберем другой стиль диаграммы (вкладка «Конструктор» — «Стили диаграмм»).

Как добавить данные в диаграмму в Excel?

1. Добавляем в таблицу новые значения — План.
2. Выделяем диапазон новых данных вместе с названием. Копируем его в буфер обмена (одновременное нажатие Ctrl+C). Выделяем существующую диаграмму и вставляем скопированный фрагмент (одновременное нажатие Ctrl+V).
3. Так как не совсем понятно происхождение цифр в нашей гистограмме, оформим легенду. Вкладка «Макет» — «Легенда» — «Добавить легенду справа» (внизу, слева и т.д.). Получаем:

Есть более сложный путь добавления новых данных в существующую диаграмму – с помощью меню «Выбор источника данных» (открывается правой кнопкой мыши – «Выбрать данные»).

Когда нажмете «Добавить» (элементы легенды), откроется строка для выбора диапазона данных.

Как поменять местами оси в диаграмме Excel?

1. Щелкаем по диаграмме правой кнопкой мыши – «Выбрать данные».
2. В открывшемся меню нажимаем кнопку «Строка/столбец».
3. Значения для рядов и категорий поменяются местами автоматически.

Как закрепить элементы управления на диаграмме Excel?

Если очень часто приходится добавлять в гистограмму новые данные, каждый раз менять диапазон неудобно. Оптимальный вариант – сделать динамическую диаграмму, которая будет обновляться автоматически. А чтобы закрепить элементы управления, область данных преобразуем в «умную таблицу».

1. Выделяем диапазон значений A1:C5 и на «Главной» нажимаем «Форматировать как таблицу».
2. В открывшемся меню выбираем любой стиль. Программа предлагает выбрать диапазон для таблицы – соглашаемся с его вариантом. Получаем следующий вид значений для диаграммы:
3. Как только мы начнем вводить новую информацию в таблицу, будет меняться и диаграмма. Она стала динамической:

Мы рассмотрели, как создать «умную таблицу» на основе имеющихся данных. Если перед нами чистый лист, то значения сразу заносим в таблицу: «Вставка» — «Таблица».

Как сделать диаграмму в процентах в Excel?

Представлять информацию в процентах лучше всего с помощью круговых диаграмм.

Исходные данные для примера:

1. Выделяем данные A1:B8. «Вставка» — «Круговая» — «Объемная круговая».
2. Вкладка «Конструктор» — «Макеты диаграммы». Среди предлагаемых вариантов есть стили с процентами.
3. Выбираем подходящий.
4. Очень плохо просматриваются сектора с маленькими процентами. Чтобы их выделить, создадим вторичную диаграмму. Выделяем диаграмму. На вкладке «Конструктор» — «Изменить тип диаграммы». Выбираем круговую с вторичной.
5. Автоматически созданный вариант не решает нашу задачу. Щелкаем правой кнопкой мыши по любому сектору. Должны появиться точки-границы. Меню «Формат ряда данных».
6. Задаем следующие параметры ряда:
7. Получаем нужный вариант:

Диаграмма Ганта в Excel

Диаграмма Ганта – это способ представления информации в виде столбиков для иллюстрации многоэтапного мероприятия. Красивый и несложный прием.

1. У нас есть таблица (учебная) со сроками сдачи отчетов.
2. Для диаграммы вставляем столбец, где будет указано количество дней. Заполняем его с помощью формул Excel.
3. Выделяем диапазон, где будет находиться диаграмма Ганта. То есть ячейки будут залиты определенным цветом между датами начала и конца установленных сроков.
4. Открываем меню «Условное форматирование» (на «Главной»). Выбираем задачу «Создать правило» — «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек».
5. Вводим формулу вида: =И(E$2>=$B3;E$2

Когда вам нужно построит презентабельный отчет финансовой активности предприятия, лучше использовать средства графического представления информации.

Графическое представление информации намного эффективней и быстрей усваивается человеческим зрительным восприятием информации, чем текст и цифры. Легче проводить аналитики, лучше видно ситуацию, как в целом, так и в отдельных деталях.

Простенькая диаграмма Ганта готова. Скачать шаблон с примером в качестве образца.

Готовые примеры графиков и диаграмм в Excel скачать:

В программе Excel специально разрабатывались диаграммы и графики для реализации визуализации данных.

exceltable.com

Бесплатный онлайн построитель графиков Chart Creator

Если Вы собираетесь участвовать в конференции, научном докладе либо просто составляете какой-либо отчет, то без использования графиков, диаграмм и иных форм графического представления данных никак не обойтись. Можно написать сотни слов о тех или иных показателях и никто толком ничего не поймет )) А можно просто показать один единственный график, и все сразу становится на свои места!

Я хочу рассказать Вам об одном сервисе, при помощи которого Вы сможете построить график онлайн, даже не имея на компьютере ни одного редактора. Достаточно только браузера и выхода в Интернет!

Chart Creator – построитель графиков онлайн. Идеальное решение для тех, кто хочет сделать диаграмму либо график быстро и удобно!

Интерфейс построителя графиков и принцип работы в нем настолько просты, что разберется абсолютно любой )). В поле «Data Name» вводите название и в поле «Data» в левую колонку вводите показатели, а в правую – их численные значения. Нажимайте кнопку «Draw» и график построен! ))

В закладке «Настройка» онлайн построителя графиков можно изменять параметры шрифтов:

• сделать жирным либо курсивом
• изменить размер, цвет, семейство

Также в этой закладке можно настроить ряд параметров представления графика:

• подписи осей
• сетки
• планки погрешностей
• формат чисел
• масштаб и т.п.

Как видите, настроек онлайн сервиса вполне хватает для того, чтобы построить график не только на скорую руку )).

Что же делать дальше с построенным онлайн графиком либо диаграммой?

• Вы можете сделать скриншот экрана и вставить его в документ.
• Можно распечатать график, нажав кнопку «Print».
• Вы можете отослать ссылку на Ваше творение по почте либо скайпу (к примеру, своему шефу). В верхнем правом углу в небольшом окошке Вы найдете нужную ссылку.
• Можно быстро поделиться ссылкой в своем твиттере, нажав ссылку «Tweet» в том же верхнем углу экрана.

Друзья, как видите, построитель графиков онлайн Chart Creator неплохо справляется с возложенными на него функциями. Конечно, некоторым его функционала будет явно недостаточно, но как средство быстро построить график, когда нужного софта попросту нет под рукой, а время (или шеф) поджимает, по-моему данный вариант можно вполне рассматривать )).

webtous.ru

Подборка 12 скриптов для построения красивых графиков и диаграмм.

Фев
26
2013

Добрый день мой дорогой читатель сегодня я хочу предложить тебе замечательную подборку плагинов и примеров для построения различных типов диаграмм и графиков. Думаю каждый найдет для себя что то интересное.

1. jqPlot — Универсальный и расширяемый JQuery Plugin для построения графиков

Демо Скачать

jqPlot — JQuery Плагин для построения графиков на Javascript.
jqPlot производит красивые линии, бары и круговые диаграммы с большим количеством функций:
Многочисленные стили диаграмм.
Данные на оси с настраиваемым форматированием.
До 9 осей Y.
Поворот текста оси.
Автоматическое вычисление линии тренда.
Всплывающие подсказки.
Простота  использования.

http://www.jqplot.com/

2. Библиотека визуализации Dygraphs

Демо Скачать

Dygraphs является библиотекой с открытым исходным кодом, которая строит  интерактивные, масштабируемые графики временных рядов. Она предназначена для отображения плотных массивов данных и позволяет пользователям исследовать и интерпретировать их.

Особенности:
Отображение временных рядов без использования внешних серверов или флэш-анимации
Работает в Internet Explorer (с помощью excanvas)
Малый размер (69kb)
Отображает значения при наведении курсора мыши
Интерактивное  масштабирование
Регулируемый период усреднения
Совместимость с API визуализацией Google
http://dygraphs.com/

3. Highcharts — Интерактивные графики JavaScript для вашего сайта

Демо Скачать

Highcharts является библиотекой для постройки графиков , написанная на чистом JavaScript, предлагая интерактивные диаграммы для вашего веб-сайта или веб-приложения. Highcharts в настоящее время поддерживает линии, сплайны, области, areaspline, колонки, бар, пирог, разброс, угловые датчики, arearange, areasplinerange, columnrange и полярные типы диаграмм.

http://www.highcharts.com/

4. JQuery с эффектом прокрутки колесика мыши

Демо Скачать

Не использует  PNG или JPG спрайты.
Обрабатывает события сенсора, колесика мыши, и клавиатуры.
http://anthonyterrien.com/knob/

5. Стильный индикаторы на CSS3

Демо Скачать

Стильные,  анимированные  индикаторы с использованием CSS3.
http://www.red-team-design.com

6. Highcharts с JQuery

Демо Скачать

Highcharts это совместимая  с JQuery и Mootools, библеотека для построения графиков. Она совместима со всеми стандартными веб-браузерами, для построения графа использует  JSON данные. Поддерживает  несколько типов графа  линии, сплайны , область, areaspline, колонки, бар, pie и точечную диаграмму.
 Highcharts.com

7. Анимированный граф на HTML5 и JQuery

Демо Скачать

Прекрасная, интерактивная круговая диаграмма с использованием новейших технологий HTML5. Не использует  Flash.

8. Экспериментальный граф на CSS3

Демо Скачать

Этот метод является примером постройки экспериментальных графиках на CSS3, без JavaScript и изображений. Использование CSS3 селекторов поистине впечатляет: трансформации, градиенты и переходы в использовании. К сожалению не поддерживается в  IE.

9. Еще одна диаграмма на JQuery и HTML5

Демо Скачать

Visualize плагин анализирует ключевые элементы содержания в структурированной HTML таблице, и использует HTML5, что превратить их в диаграмму или график. Например, в таблице данных строки могут служить графиком баров, линий или клинев. Visualize также автоматически проверяет максимальное и минимальное значения в таблице и использует их для расчета оси х значения для линии и гистограммы. Наконец, плагин включает в себя два различных стиля CSS — светлый и  темный  которые могут быть использованы как есть, или могут служить в качестве отправной точки для настройки диаграмм и графиков.
http://filamentgroup.com

10. Красивые бары на CSS

Демо Скачать

Прекрасный пример построения аккуратных графиков-баров.

11. Линейный График с помощью CSS

Демо Скачать

12. JQuery с Google Charts

Демо Скачать

GvChart это плагин jQuery, который использует Google Charts для создания интерактивной визуализации с использованием данных из HTML таблицы. Простой в использовании и позволяющий создавать пять типов диаграмм.

Источник урока: http://www.adatum.ru
Автор: Сергоманов Дмитрий

adatum.ru

Построить график онлайн вместе с Chart Creator

Представление информации в виде различных графиков и диаграмм позволяет гораздо более наглядно отобразить данные, чем в виде сухих колонок цифр. Практически все офисные пакеты содержат богатый инструментарий для их построения, однако если «настоящего» приложения нет под рукой, но необходимо построить график онлайн, то всегда можно воспользоваться бесплатным веб-сервисом Chart Creator.

Chart Creator позволяет легко создавать профессионально выглядящие графики и диаграммы без всякого дополнительного программного обеспечения. По умолчанию сервис предлагает построить круговую диаграмму. Просто введите ее название и заполните столбцы значениями, нажмите кнопку Draw и рисунок готов. Вот, например, построенная за две минуты статистика браузеров читателей Лайфхакера за последнюю неделю:

Если вы хотите изменить вид графика, то щелкните кнопку Editor и выберите из списка представление графика в виде простой линии, столбцов, точек и так далее. На вкладке Настройка можно настроить вид диаграммы более детально. После того как все готово, нажмите кнопку Print для отображения вашего графика в полном размере.

Chart Creator может вам пригодиться для наглядного представления различных статистических данных в том случае, если у вас нет доступа или времени для использования специализированных программ. Он позволяет создавать отличные диаграммы в пару кликов мышкой буквально за несколько минут.

Chart Creator

lifehacker.ru

Инженерный калькулятор онлайн, возведение в степень

Чтобы произвести сложные математические расчеты с использованием тригонометрических функций используйте инженерный калькулятор. Все команды вводятся с помощью клавиатуры или мыши. Для расчета котангенса, тангенса, косинуса и синуса угла теперь можно воспользоваться данным видом калькулятора. Кроме того, с его помощью можно исчислять логарифм числа, а также возводить число в степень.

Основные команды инженерного калькулятора: деление, умножение, ввод цифр, вычитание, сложение, сброс, равенство. Данные команды можно вводить с помощью клавиатуры или используя мышку.

Внимание! Данная версия калькулятора находится в тестовом режиме и может содержать ошибки при выполнении расчетов с использованием тригонометрических функций.

Инструкция для работы с калькулятором

Основные функции кнопок

[ 0 ], [ 1 ],… [ 8 ], [ 9 ] — цифровые клавиши;
[ 00 ] — клавиша для одновременного ввода двух нулей;
[ → ] — удаление последнего введенного Вами знака на экране;
[ +/- ] – смена знака числового выражения на экране на противоположный;
[ X^Y ] — возведение числа X в степень Y;
[ + ] — сложение, [ — ] — вычитание, [ х ] — умножение, [ ÷ ] — деление;
[ √ ] — вычисление квадратного корня;
[ % ] — определение процентов;
[ M+ ] — сохранение в памяти калькулятора числа со знаком [ + ];
[ M- ] — сохранение в памяти калькулятора числа со знаком [ — ];
[ MR ] — отображение содержимого памяти на дисплей;
[ MC ] — очистка содержимого памяти;
[ AC ] — сброс калькулятора включая память;
[ C ] — сброс калькулятора, без сброса памяти.

Для работы с тригонометрическими функциями используются функции кнопок

[ cos ] — косинус угла, [ ctg ] — котангенс угла, [ sin ] — синус угла, [ tg ] — тангенс угла;
[ atg ] — арктангенс угла, [ asin ] — арксинус угла, [ actg ] — арккотангенс угла, [ acos ] — арккосинус угла;
[ e ] — математическая костанта, число Эйлера;
[ π ] — математическая константа, отношение длины окружности к диаметру этой окружности;
[ √ ] — вычисление квадратного корня;
[ Xʸ ] — возведение числа X в степень Y.

Примеры вычислений на инженерном калькуляторе

Возвести число 2 в степень 3: 2 [ X^Y ]3. Результат — 8.
Вычисление квадратного корня числа 625: 625 [ √ ]. Результат — 25.
Вычисление процента от числа:    1000 [ х ] 20 [ % ]. Результат — 200.
Прибавление процента к числу:   800 [ + ] 25 [ % ]. Результат — 1000.
Вычитание процента из числа:   800 [ — ] 25 [ % ]. Результат — 600.

Ввод команд на калькулятор с клавиатуры ПК

Работа с калькулятором довольно проста и не вызовет сложностей ни у кого. Для ввода цифр используются клавиши компьютерной клавиатуры с цифрами или цифровые клавиши справа на дополнительной панели.

Чтобы стереть неправильно введенный символ используйте клавишу [Backspace].

Чтобы получить результат сложения или вычитания, жмите клавишу равно – используйте для этого [Enter].

Чтобы использовать знак «плюс», жмите на клавиатуре клавишу [ + ]. Она расположена на дополнительной клавиатуре справа вверху.

Чтобы использовать знак «минус», жмите на клавиатуре клавишу [ — ]. Она расположена сверху или на дополнительной клавиатуре.
Для умножения или деления используйте знаки [ * ] и [ / ] соответственно, которые расположены на боковой клавиатуре.

Чтобы обнулить все расчеты или начать подсчет сначала, нажмите [Del], [Esc] на верхней клавиатуре или же используйте кнопку [End] на боковой клавиатуре.

calculator365.ru

Как посчитать арктангенс | Сделай все сам

При необходимости перемножить либо поделить несколько чисел вопроса, каким инструментом воспользоваться, не появляется. А вот чем посчитать кое-что больше трудное (скажем, значение обратной тригонометрической функции) – вопрос с несколько менее явственным результатом. Как на практике посчитать значение арктангенса ?

Инструкция

1. Есть несколько методов вычислить значение арктангенса . Один из них знаменит нам со школы – воспользоваться таблицами Брадиса. Изредка, в полевых условиях, данный вариант может быть исключительным.

2. Иной метод – применять типовой калькулятор ОС Windows. Для этого вначале переключите его в расширенный режим – в меню, в разделе «Вид» выберите пункт «Инженерный» и тогда функциональных кнопок в калькуляторе гораздо прибавится.

3. Позже этого введите значение, арктангенс от которого вам надобно вычислить – это дозволено делать и с клавиатуры, и щелкая надобные клавиши на калькуляторе мышью, и примитивно скопировав и вставив необходимое значение (CTRL + C и CTRL + V). После этого выберите тип единиц измерения, в которых вам необходимо получить результат (в радианах, градусах либо радах) – это делается выбором одного из 3 значений переключателя под полем ввода вычисляемого значения. Потом поставьте отметку в ячейке с надписью “Inv” – она инвертирует тригонометрические операции. Сейчас, нажав кнопку с надписью “tg”, вы получите значение функции, обратной тангенсу, то есть надобное вам значение арктангенса .

4. И, финально же, в век интернета в сети не может не существовать источника, предлагающего решить и эту задачу в режиме онлайн. Онлайн-калькуляторы имеют комфортный интерфейс и больше продвинутые по сопоставлению со стандартным калькулятором Windows вероятности – скажем, дозволено вычислить не только значение одной функции, но и выражения из нескольких функций.

Видео по теме

jprosto.ru

Калькулятор (как пользоваться калькулятором) iPhone руководство (Айфон)

Использование калькулятора

Цифры и функции программы «Калькулятор» используются так же, как и в обычном калькуляторе. При нажатии кнопки добавления, вычитания, умножения или деления вокруг кнопки отображается белая окружность, напоминающая о том, какая операция будет выполнена. Поверните iPhone, чтобы перейти к расширенному научному калькулятору.

Стандартные функции памяти

• С; Нажмите для очистки отображаемого числа.

• МС: Нажмите для очистки памяти.

• /14+; Нажмите для добавления отображаемого числа к числу, хранящемуся в памяти. Если в памяти не хранится число, нажатие этой кнопки вызовет запоминание отображаемого числа в памяти.

• М-: Нажмите для вычитания отображаемого числа из числа, хранящегося в памяти.

• MR: Нажмите для замены отображаемого числа на число, хранящееся в памяти. Если вокруг этой кнопки отображается белая окружность, в памяти хранится какое-либо число.

При переключении между обычным и научным калькулятором сохраненное число остается в памяти.

Клавиши научного калькулятора

Поверните iPhone в горизонтальную ориентацию для отображения научного калькулятора.

allotehno.ru

Онлайн вычисление обратных тригонометрических функций

Калькулятор онлайн расчитывает обратные тригонометрические функции дугу (число) по заданному значению ее тригонометрической функции: арксинус (arcsin) возвращает угол по значению его синуса; арккосинус (arccos) возвращает угол по значению его косинуса; арктангенс (arctg) возвращает угол по значению его тангенса.

В разделе I. Для справки приведены графики обратных тригонометрических функций.

Помощь на развитие проекта CAE-CUBE.ru

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту CAE-CUBE.ru всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Для справки:

Арксинус числа a, обозначается arcsin(a) — значение угла x в интервале [−π/2, π/2], при котором sin(x) = a.

Обратная функция y = arcsin (x) определена при x ∈ [−1, 1], область значений арксинуса равна y ∈ [−π/2, π/2].

График функции арксинуса

Арккосинус числа a, обозначается arccos(a) — значение угла x в интервале [0, π], при котором cos(x) = a.

Обратная функция y = arccos (x) определена при x ∈ [−1, 1], область значений арккосинуса равна y ∈ [0, π].

График функции арккосинуса

Арктангенс числа a, обозначается arctan(a) — значение угла x в интервале [−π/2, π/2], при котором tan(x) = a.

Обратная функция y = arctan (x) определена при x ∈ R, область ее значений равна y ∈ [−π/2, π/2].

График функции арктангенса

II. Примечание:

1. Если обратная тригонометрическая функция не определена в указанной точке, то ее значение не появится в результирующей таблице. Функции arcsin и arccos определены только на отрезке [-1,1].
2. Округление результатов расчета выполняется до указанного количества знаков после запятой (по умолачанию — округление до сотых).
3. Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.

cae-cube.ru

Как на инженерном калькуляторе посчитать арккотангенс?

<a rel=»nofollow» href=»https://vk-cc.com/SSNp6HC» target=»_blank»>https://vk-cc.com/SSNp6HC</a>

<a rel=»nofollow» href=»https://vk-cc.com/SSNp6HC» target=»_blank»>https://vk-cc.com/SSNp6HC</a>

попробуй так 1/(sin/cos). Или раздели синус на косинус, потом один раздели на это произведение.

На виртуальном в интернете <a rel=»nofollow» href=»http://calculat.ru/» target=»_blank»>http://calculat.ru/</a> Математические калькуляторы <a rel=»nofollow» href=»http://calculat.ru/arktangens» target=»_blank»>http://calculat.ru/arktangens</a> arcctg(x) = arctg(1/x)

Похоже, нет кнопки арккотангенса. Инструкция на кальк <a rel=»nofollow» href=»https://casio-calcs.ru/manuals/fx_82_220_sx_ru.pdf» target=»_blank»>https://casio-calcs.ru/manuals/fx_82_220_sx_ru.pdf</a>

Есть специализированные онлайн калькуляторы. С их помощью это сделать можно гораздо быстрее и проще. Например — <a rel=»nofollow» href=»http://www.center-pss.ru/math/arcctg.htm» target=»_blank»>http://www.center-pss.ru/math/arcctg.htm</a>

touch.otvet.mail.ru

Особые степени. Нулевая степень

Доказательство свойств нулевой степени

Для доказательства этого свойства нужно будет воспользоваться свойством умножения степеней.

Рассмотрим степень с основанием a и показателем степени n:

Умножим эту степень на a⁰:

По свойству произведения степеней:

Итак, мы имеем:

Это равенство может быть верным только, когда в левой части aⁿ умножается на 1, т.е.

Для нуля в нулевой степени данные рассуждения не подходят.

Рассмотрим:

Пусть, основание a=0 и степень m=0:

Так как:

То равенство:

можно переписать в виде, для любого n, независимо от того m было равно нулю или какому-либо другому значению:

Исходя этого, 0⁰ может принимать любые значения, поэтому это выражение считают не имеющим смысла, и иногда в заданиях приравнивают к нулю.

mathvox.ru

Отрицательная и нулевая степень числа

Продолжаем рассматривать свойства степеней, возьмем к примеру, 16:8=2. Поскольку 16=2⁴, а 8=2³, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 2⁴:2³=2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 2⁴:2³=2¹. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 2¹ – это одно и то же, следовательно, 2¹=2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде:

любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения

То есть 5¹=5, 27¹=27 и так далее.

Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8:8? Конечно, единице. Но 8=2³, следовательно 2³:2³=1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 2³:2³=2⁰. Значит ли это, что 2⁰=1? Так оно и есть.

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 2¹=2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 2⁰ означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 2⁰ равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Они руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 2⁰=1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 2⁰=1 верно.

Если мы будем не 2³ делить на 2³, а 6³ будем делить на 6³, то опять получим, что 6⁰=1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат:

любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1

Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ $\frac{64}{128}$, или $\frac{1}{2}$. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2⁶: 2⁷. Ответ 2^-1, или, $\frac{1}{2}$, или, в экспоненциальной форме, ($\frac{1}{2}$)¹.

Аналогично 32 : 128 = ($\frac{1}{4}$). В экспоненциальной форме получим: 2⁵: 2⁷. Ответ 2 ^-2, или $\frac{1}{4}$, или, в экспоненциальной форме, ($\frac{1}{2}$)².

Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что:

отрицательная степень числа становится положительной при переходе к обратному числу

Другими словами, 4 ^-7= ($\frac{1}{4}$)⁷, а 10^-3= ($\frac{1}{10}$)³. Это правило справедливо для любых чисел, например 6^-4 = ($\frac{1}{6}$)⁴. Если вы все же сомневаетесь в этом, читайте следующую статью.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Возведение в нулевую степень – ноль на разных языках

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевой показатель

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a⁰ не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a⁰ = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a^-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰ + 0 × 10^-1 + 9 × 10^-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 10¹ + b × 10⁰ + c × 10^-1 + d × 10^-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

Дробный показатель

Если k не есть число кратное n, то выражение: не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

steptosleep.ru

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

Часто пользователям необходимо возвести число в степень. Как правильно сделать это с помощью «Экселя»?

В этой статье мы попробуем разобраться с популярными вопросами пользователей и дать инструкцию по правильному использованию системы. MS Office Excel позволяет выполнять ряд математических функций: от самых простых до сложнейших. Это универсальное программное обеспечение рассчитано на все случаи жизни.

Как возвести в степень в Excel?

Перед поиском необходимой функции обратите внимание на математические законы:

1. Число «1» в любой степени будет оставаться «1».
2. Число «0» в любой степени будет оставаться «0».
3. Любое число, возведенное в нулевую степень, равняется единице.
4. Любое значение «А» в степени «1» будет равняться «А».

Примеры в Excel:

Вариант №1. Используем символ «^»

Стандартный и самый простой вариант – использовать значок «^», который получается при нажатии Shift+6 при английской раскладке клавиатуры.

ВАЖНО!

1. Чтобы число было возведено в нужную нам степень, необходимо в ячейке поставить знак «=» перед указанием цифры, которую вы хотите возвести.
2. Степень указывается после знака «^».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.

Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

1. Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
2. Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
3. Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
4. Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

1. Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
2. Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
ⁿ√a = b; bⁿ = a.

«А корень n-ой степени из числа а будет равен возведению к степени этого же числа а на 1/n», то есть:
ⁿ√a = a^1/n.

Из этого следует чтобы вычислить математическую формулу корня в n-ой степени например:

⁵√32 = 2

В Excel следует записывать через такую формулу: =32^(1/5), то есть: =a^(1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

1. Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
2. В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
3. В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
4. Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный». И жмем ОК.
5. В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

exceltable.com

Что такое возведение в степень? – boeffblog.ru

В этой статье мы познакомимся с возведением числа в степень. Давайте разберемся, что же такое степень? Квадрат числа, куб числа, четвертая степень числа… Что за ерунда??? На самом деле, все как обычно просто. Дело в том, что многие вещи в нашей жизни придумываются из-за человеческой лени. Например пульт от телевизора. Какому-то человеку было лень вставать каждый раз с дивана, чтобы переключить канал (да-да раньше так и было, многие наверное не застали этот момент, когда люди не занимались всякой ерундой типа “крутить спинер” или “майнить криптовалюту”). И вот этот человек чесал затылок и придумал “хочу щелкать каналы прямо с дивана”. Так появился пульт дистанционного управления.

Причем здесь возведение в степень? А при том, дело опять же в лени, зачем писать 2•2, если можно записать 2² (черт, плохой пример, в обоих случаях по две цифры получилось). Ок, продолжим. 2•2•2 или 2³. Что проще записать? Не убедил? 2•2•2•2•2•2•2•2•2 или 2⁹. Мне кажется, Вы начинаете понимать. А представьте, что будет подряд тридцать или сто двоек. Проще записать 2³⁰ или 2¹⁰⁰. Ну Вы поняли. Вот собственно и все возведение в степень. Берем число которое снизу (2) и перемножаем само на себя (на ту же 2) столько раз, сколько написано сверху (30 или 100).

Например, 10³ = 10•10•10 = 1000. С десяткой вообще просто, дописываете столько нулей, сколько написано вверху (кстати, это число называется показатель степени).

Вы скажете, я все понял! Но, но, но… А как быть если показатель степени равен 0 или -2??

Об этом дальше.

Нулевая степень

Любое число в нулевой степени равно 1. Просто нужно запомнить такой момент (2⁰ = 1, 50⁰ = 1, 23456789⁰ = 1, (-12354252)⁰ = 1). Запомнили.

Отрицательная степень

Еще бывает и такое: 2^-1. Что это значит? Запомните, при возведении в отрицательную степень число переворачивается. То есть: 2^-1 = (так как двойку нужно перемножить 1 раз, получается просто 2) . Если было бы:  , то дробь бы перевернулась: .

Для понимания всего этого, я обычно пишу такую последовательность:

2⁴ = 2•2•2•2 = 16

2³ = 2•2•2 = 8

2² = 2•2 = 4

2¹ = 2

2⁰ = 1

2^–1 =

2^-2 =

2^-3 =

2^-4 =

 

А для дробей:

 

1

2

4

8

16

 

И напоследок, -2² и (-2)² это разные вещи!

-2² означает, что мы сначала выполняем возведение в степень числа 2, а потом подставляем знак минус. -2² = -(2•2) = -4.

(-2)² означает, что мы сначала возводим в степень число  -2.. (-2)² = (-2)•(-2) = +4. Так как “минус на минус дает плюс”.

 

Всего доброго!

boeffblog.ru

Как степень возвести в степень: примеры — Topkin

Содержание

1. Что такое степень
2. Как возвести степень в степень

Как степень возвести в степень? С такой математической задачкой приходится сталкиваться школьникам в 5 классе. Задание не особо трудное, если понимать, что такое степень вообще. В этом материале мы попробуем разобрать это понятие поподробней, и тогда любая задача будет решаться вами за минуту.

Что такое степень

Степенью числа называют количество умножений числа на самого себя. К примеру, вторая степень от пяти – это 5² = 5*5, третья от того же числа – 5³=5*5*5 и так далее. Теперь следует разобраться, что есть основание, а что показатель, ведь эти понятия довольно часто встречаются в примерах. Возьмем все тот же выражение 5². Число 5 является основанием степени, а 2 – показателем. Есть несколько основных правил, касающихся этого математического задания:

• Степень числа, показателем которой является единица, равна основанию. Те есть х¹ = х (пример с числами: 5¹ = 5).
• Любая степень, показателем которой является ноль (нулевая степень) равняется единице. Это правило выглядит так: х⁰ = 1 (пример: 5⁰ = 1).
• Ноль в любой степени равен самому себе, то есть 0^х = 0.
• Единица, возведенная в любую степень равна основанию (пример: 1^х = 1).

Как возвести степень в степень

Теперь, когда вы знаете основные правила можно перейти и к более сложным примерам. Для того чтобы возвести число в степени в еще одну степень, вам необходимо перемножить их между собой, и только потом возводить число в получившееся произведение. Как это выглядит? Давайте разберем такой пример (5²)³ = (5)^2*3= 5⁶. Как видите, все довольно просто и напоминает умножение в скобках.

Немного сложней возвести в степень отрицательное число. Результат может получиться как со знаком «плюс» так и «минус». Это зависит от того, в какую степень вы возводите: четную или нечетную. Принцип такой же, как при обычном умножении отрицательных чисел. При этом положительное число получается при возведении в четную степень. А отрицательное, соответственно, в нечетную. Разберем примеры:

• (–5)²= (–5)*(–5)= 25;
• (–5)³= (–5)*(–5)*(–5)= –125.

Намного сложней возвести число в отрицательную степень. В этом случае вам необходимо разделить единицу на основание степени с положительным значением. Намного легче понять, как это сделать из следующего фото:

Остается только разобрать, как возвести в степень множители. К примеру, вам необходимо решить такое математическое выражение (a*b)². Задача эта не так сложна как кажется. Чтобы решить этот пример, перемножьте выражение в скобках на себя (a*b) (a*b)= a²b². Таким же образом следует поступать и с любыми другими степенями и многочленами. Давайте решим пример посложней:

• (5ab²)³= (5)³*a³*(b²)³= 125a³b⁶

Теперь задачки по возведению в степень не станут для вас «высшей математикой» и вы с легкостью решите любой подобный пример.

topkin.ru

Помогите!!! Как возвести степень в степень???

кажется степень умножается на степень, или плюсуется…)) ) Давно дело было)

Степени умножаются.

число в какой-то степени и вся эта хрень еще в степени — это надо степени перемножить и число возвести в получившуюся степень.. . ох, ни хрена себе.. . понимаете меня? это точно, я учитель математики)

надо перемножить показатели степеней, а потом основание возвести в ту степень, которая получится при перемножении показателей. Например, если число надо сначала возвести в квадрат, а потом то, что получится — возвести в куб, то перемножаем показатели — то есть 2 на 3, и возводим число сразу в 6-ю степень. Иначе говоря, если число надо возвести сначала в степень m, а потом результат возвести в степень n, то это то же самое, что возвести число сразу в степень mn

При возведении степени в степень показатели степеней перемнжаются. Вот!

(A^B)^C=A^(B*C), вот и всё.

touch.otvet.mail.ru

Памятка № 3, 4 по математике «Раскрытие скобок», «Положительные и отрицательные числа»

www.metod-kopilka.ru

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак умножения??

умножить каждое число в скобках на число перед ними

Как юы поздороваться и с тем и с тем т. е. умножить

A+(B+C)=A+B+C (и кстати =(A+B)+C для A,B,C є R, читайте понятие ассоциативности суммирования) A-(B+C)=A-B-C A-(B-C)=A-B+C ну и т. д. до бесконечности (но основная суть — при минусе перед скобкой инвертируем все ЗНАКИ (умножение/деление — операция, никак не знак. Это важно) слагаемых внутри скобок)

нужно умножить число перед скобками на все числа в скобках

10х-0.5(5х-0.5(6х-0.5(8х-16)))=6х Помогите. Сижу уже 2 часа, и ничего не понимаю…

распределительное свойство) 0)))0)

нужно число, которое умножается на скобку умножить на каждое число в скобке.

агась я испеку вам блинчики

как раскрыть скобки в этом случае? 5(5х+7)

touch.otvet.mail.ru

Уравнения раскрыть скобки умножаем. Как репетитор по математике дает тему «умножение многочленов. Порядок раскрытия скобок

П родолжаю цикл методических статей на тему преподавания. Пришло время рассмотреть особенности индивидуальной работы репетитора по математике с учащимися 7-х классов . С великим удовольствием поделюсь своими соображениями о формах подачи одной из важнейших тем курса алгебры в 7 классе — «раскрытие скобок». Дабы не пытаться объять необъятное, остановимся на ее начальной ступени и разберем методику работы репетитора с умножением многочлена на многочлен. Как репетитор по математике действует в сложных ситуациях, когда слабый ученик не воспринимает классическую форму объяснения? Какие задания нужно готовить для сильного семиклассника? Рассмотрим эти и другие вопросы.

Казалось бы, ну что здесь сложного? «Скобки — это проще простого», — скажет любой отличник. «Есть распределительный закон и свойства степеней для работы с одночленами, общий алгоритм для любого количества слагаемых. Умножай каждое на каждое и приводи подобные». Однако, не все так просто в работе с отстающими. Вопреки стараниям репетитора по математике, учащиеся умудряются допускать ошибки самого разного калибра даже в простейших преобразованиях. Характер ошибок поражает своей разноплановостью: от мелких пропусков букв и знаков, до серьезных тупиковых «стоп-ошибок».

Что мешает школьнику правильно выполнить преобразования? Почему возможно непонимание?

Индивидуальных проблем существует огромное множество и одним из главных препятствий на пути усвоения и закрепления материала является затруднения в своевременном и быстром переключении внимания, сложность в обработке большого объема информации. Возможно, кому-то покажется странным, что я говорю о большом объеме, но слабому ученику 7 класса может не хватить ресурсов памяти и внимания даже для четырех слагаемых. Мешают коэффициенты, переменные, степени (показатели). Ученик путает очередность операций, забывает какие одночлены уже перемножены, а какие остались не тронутыми, не может вспомнить как их умножают и т. д.

Числовой подход репетитора по математике

Конечно же, нужно начинать с объяснений логики построения самого алгоритма. Как это сделать? Нужно поставить задачу: как изменить порядок действий в выражении , чтобы не поменялся результат? Я довольно часто привожу примеры, объясняющие работу тех или иных правил, на конкретных числах. А уже затем заменяю их буквами. Техника использования числового подхода будет описана ниже.

Проблемы мотивации .
В начале урока репетитору по математике трудно собрать ученика, если он не понимает актуальности изучаемого. В рамках программы за 6 — 7 класс сложно найти примеры использования правила умножения многочленов. Я бы сделал упор на необходимость учиться менять порядок действий в выражениях То, что это помогает решать задачи, ученик должен знать по опыту сложения подобных слагаемых. Ему же приходилось их складывать в при решении уравнений. Например, в 2х+5х+13=34 он использует, что 2х+5х=7х. Репетитор по математике просто должен акцентировать на этом внимание школьника.

Учителя математики часто называют прием раскрытия скобок правилом «фонтанчика» .

Этот образ хорошо запоминается и его обязательно нужно использовать. Но как это правило доказывается? Напомним классическую форму, использующую очевидные тождественные преобразования:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Репетитору по математике трудно что-либо здесь комментировать. Буквы говорят сами за себя. Да и не нужны сильному ученику 7 класса подробные объяснения. Однако, что делать со слабым, который в упор не видит в этой «буквенной мешанине» какого-либо содержания?

Основной проблемой, мешающей восприятию классического математического обоснования «фонтанчика», является непривычная форма записи первого множителя. Ни в 5 классе, ни 6 классе школьнику не приходилось перетаскивать первую скобку к каждому слагаемому второй. Дети имели дело только с числами (коэффициентами), расположенными, чаще всего, слева от скобок, например:

К окончанию 6 класса у школьника формируется визуальный образ объекта – определенное сочетание знаков (действий), связанных со скобками. И любое отклонение от привычного вида в сторону чего-то нового может дезориентировать семиклассника. Именно визуальный образ пары «число+скобка» репетитор по математике берет в оборот при объяснениях.

Можно предложить следующее объяснение. Репетитор рассуждает: «Если бы перед скобкой стояло какое-нибудь число, например 5, то смогли бы мы изменить порядок действий в этом выражении? Конечно. Тогда сделаем это . Подумай, изменится ли его результат, если вместо числа 5 мы вписать сумму 2+3, заключенную в скобки? Любой ученик скажет репетитору: «Какая разница, как писать: 5 или 2+3». Прекрасно. Получится запись . Репетитор по математике берет небольшую паузу, чтобы ученик зрительно запомнил картинку-образ объекта. Затем обращает его внимание на то, что скобка, как и число, «распределилась» или «прыгнула» к каждому слагаемому. Что это означает? Это означает, что данную операцию можно выполнять не только с числом, но и со скобкой. Получились две пары множителей и . С ними большая часть учеников легко справляется самостоятельно и выписывает репетитору результат . Важно сопоставить получившиеся пары с содержанием скобок 2+3 и 6+4 и станет понятно как они открываются.

Если необходимо, то после примера с числами репетитор по математике проводит буквенное доказательство. Оно оказывается легкой прогулкой по тем же самым частям предыдущего алгоритма.

Формирование навыка раскрытия скобок

Формирование навыка умножения скобок — один из важнейших этапов работы репетитора по математике с темой. И даже более важный чем этап объяснения логики правила «фонтанчика». Почему? Обоснования преобразований забудутся уже на следующий день, а навык, если он вовремя сформирован и закреплен, останется. Ученики выполняют операцию механически, как будто извлекают из памяти таблицу умножения. Этого и нужно добиваться. Почему? Если каждый раз при раскрытии скобок школьник будет вспоминать о том, почему раскрывается так, а не иначе, он забудет о задаче, которую решает. Именно поэтому оставшееся время урока репетитор по математике бросает на то, чтобы трансформировать понимание в механическое запоминание. Эта стратегия часто используется и в других темах.

Как репетитору сформировать у школьника навык раскрытия скобок? Для этого ученик 7 класса должен выполнить ряд упражнений в достаточном для закрепления количестве. При этом возникает другая проблема. Слабый семиклассник не справляется с возросшим количеством преобразований. Пусть даже мелких. И ошибки сыплются одна за другой. Что должен предпринять репетитор по математике? Во-первых, нужно рекомендовать подрисовывать стрелки от каждого слагаемого к каждому. Если ученик очень слабый и не способен быстро переключаться с одного вида работы на другой, теряет концентрацию при выполнении несложных команд преподавателя, то репетитор по математике сам рисует эти стрелки. Причем не все сразу. Сначала репетитор соединяет первое слагаемое левой скобки с каждым слагаемым правой скобки и просит выполнить соответствующее умножение. Только после этого стрелки направляются от второго слагаемого в ту же правую скобку. Иными словами репетитор разделяет процесс на два этапа. Лучше выдерживать небольшую временную паузу (5-7 секунд) между первой и в

1kingvape.ru

Ответы@Mail.Ru: люди научите. раскрывать скобки

ну это математика как я поняла. например 4+(7-2)+6 -(1+4) -2(3+4)+2(1+1) т. е. если перед скобками стоит +, то знаки остаются прежними при их раскрытии (раскрывать скобки значит убирать их) вот, получается так 4+7-2+6 -(1+4) -2(3+4)+2(1+1) если перед скобками знак _, то знаки меняются например -(2+1) то получится -2-1, т. е 2 было с + стало с — то же самое с единицой все вместе вот так 4+7-2+6 -1-4 -2(3+4)+2(1+1) если перед скобками стоит знак умножить на какое -либо число, то опять же нужно смотреть на знак и уже перемножать число за скобками на каждое из чиселл в скобках например 2(4+1) перд скобками знак + следовательно 2*4+2*1=8+2 мы раскрыли скобки с — тоже самое только вот так -2(4+1) -8-2 или еще пример -3(2-1)=-6 + 3 т. к. в скобках 3 с минусом и еденица с минусом то — на — дает + все вместе вот так 4+7-2+6 -1-4 -6 -8+2+2 И РЕШАЕШЬ ТЕПРЬ КАК ОБЫЧНО если вот так (2+1)(3-2) то будет так сначала 2 перемножаешь, а потом 1 на то что в скобках, между результатами знак + т. е. получится так 2(3-2) + 1(3-2) ну еденица не пишется 2(3-2) + (3-2) и дальше так как в примере выше 2*3 -2*2 + 3-2 6-4+1 3

A+(B+C)=A+B+C (и главное =(A+B)+C для A,B,C є R, читайте понятие ассоциативности суммирования) A-(B+C)=A-B-C A-(B-C)=A-B+C ну и т. д. до бесконечности (но основная суть — при минусе перед скобкой инвертируем все ЗНАКИ (умножение/деление — операция, никак не знак. Это важно) слагаемых внутри скобок)

Левой рукой на Shift а правой на девятку. не отпуская Shift

очень просто нужно (!!!только если перед скобкой знак минус) при раскрытии скобок менять знак! например вот: 7-(6-7+3+8)=7-6+7-3-8 а если так: 7+(6-7+3+8)=7+6-7+3+8 Вот и всё)

Когда хочешь раскрыть скобки, знак меняй на противоположный (плюс на минус и наоборот) вот и вся наука.

запросто… берём ластик и стираем скобки…)) ) шутка. вот примерчик бы. на чем обьяснить то.. . а лучшеб лично. тут писать долго.

Раскрытие скобок Выражение а+(в+с) можно записать без скобок а+в+с. Это уперацию называют РАСКРЫТИЕМ СКОБОК. Пример 1.Раскроем скобки в выражении а+(-в+с) =а+((-в) +с) =а+(-в) +с=а-в+с ЕСЛИ ПЕРЕД СКОБКАМИ СТОИТ ЗНАК +,ТО МОЖНО ОПУСТИТЬ СКОБКИ И ЭТОТ ЗНАК +,СОХРАНИВ ЗНАКИ СЛАГАЕМЫХ, СОСТОЯЩИХ В СКОБКАХ. ЕСЛИ ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ В СКОБКАХ ЗАПИСАНО БЕЗ ЗНАКА, ТО ЕГО НАДО ЗАПИСАТЬ СО ЗНАКОМ + Пример 2. -2,87+(2,87-7,639)=-2,87+2,87-7,639=0-7,639=-7,639 ЧТОБЫ РАСКРЫТЬ СКОБКИ, ПЕРЕД КОТОРЫМИ СТОИТ ЗНАК -,НАДО ЗАМЕНИТЬ ЭТОТ ЗНАК НА +,ПОМЕНЯВ ЗНАКИ ВСЕХ СЛАГАЕМЫХ В СКОБКАХ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ, А ПОТОМ РАСКРЫТЬ СКОБКИ.

a+(b+c)=a+b+c Если стоит знак плюс то мы не меняем знаки слагаемых. Если у слагаемого нет знака то мы ставим плюс (если перед ним стоит знак). a-(-b+c)=a-b-c Если стоит отрицательный знак то знаки слагаемых меняются на противоположный зависит от знака если плюс то минус если минус то плюс.

ну это математика как я поняла. например 4+(7-2)+6 -(1+4) -2(3+4)+2(1+1) т. е. если перед скобками стоит +, то знаки остаются прежними при их раскрытии (раскрывать скобки значит убирать их) вот, получается так 4+7-2+6 -(1+4) -2(3+4)+2(1+1) если перед скобками знак _, то знаки меняются например -(2+1) то получится -2-1, т. е 2 было с + стало с — то же самое с единицой все вместе вот так 4+7-2+6 -1-4 -2(3+4)+2(1+1) если перед скобками стоит знак умножить на какое -либо число, то опять же нужно смотреть на знак и уже перемножать число за скобками на каждое из чиселл в скобках например 2(4+1) перд скобками знак + следовательно 2*4+2*1=8+2 мы раскрыли скобки с — тоже самое только вот так -2(4+1) -8-2 или еще пример -3(2-1)=-6 + 3 т. к. в скобках 3 с минусом и еденица с минусом то — на — дает + все вместе вот так 4+7-2+6 -1-4 -6 -8+2+2 И РЕШАЕШЬ ТЕПРЬ КАК ОБЫЧНО если вот так (2+1)(3-2) то будет так сначала 2 перемножаешь, а потом 1 на то что в скобках, между результатами знак + т. е. получится так 2(3-2) + 1(3-2) ну еденица не пишется 2(3-2) + (3-2) и дальше так как в примере выше 2*3 -2*2 + 3-2 6-4+1 3

ЕСЛИ ПЕРЕД СКОБКАМИ СТОИТ ЗНАК +,ТО МОЖНО ОПУСТИТЬ СКОБКИ И ЭТОТ ЗНАК +,СОХРАНИВ ЗНАКИ СЛАГАЕМЫХ, СОСТОЯЩИХ В СКОБКАХ. ЕСЛИ ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ В СКОБКАХ ЗАПИСАНО БЕЗ ЗНАКА, ТО ЕГО НАДО ЗАПИСАТЬ СО ЗНАКОМ + ЧТОБЫ РАСКРЫТЬ СКОБКИ, ПЕРЕД КОТОРЫМИ СТОИТ ЗНАК -,НАДО ЗАМЕНИТЬ ЭТОТ ЗНАК НА +,ПОМЕНЯВ ЗНАКИ ВСЕХ СЛАГАЕМЫХ В СКОБКАХ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ, А ПОТОМ РАСКРЫТЬ СКОБКИ.

а что со знаком будет если скобка в квадрате?

если скобка в квадрате то каждое число в скобке будет в квадрате

я ниче непонял (((((((

touch.otvet.mail.ru

Играть в шахматы

chess-samara.ru

Играть в шахматы с компьютером

Здравствуйте дорогой гость! С вами Жорик и вы находитесь на моем сайте Шахматы с Жориком.

На этой странице я расскажу вам о А до Я как и где играть в шахматы с компьютером онлайн, еще и бесплатно и без регистрации.

При чем играть в шахматы онлайн с компьютером разного уровня сложности. Мне например не очень интересно играть в шахматы с компьютером, сила которого настолько велика, что я проигрываю на 10-15 ходу. А вам?

Лучше уж играть, начиная с самого слабого уровня и постепенно повышать силу. Согласны? Особенно это подойдет детям. Ребенок как правило играет очень слабо. Зевает фигуры, не знает комбинаций, ловушек и т.д.

Ну давайте уже к делу. Расскажу вам какие варианты игры в шахматы у вас есть. На самом деле их тьма тьмущая. Сколько уже программ, движков, скриптов и флешей сделано, вы не представляете, но сейчас я вам расскажу о лучших.

При чем вам не нужно устанавливать кучу программ, тем более не проверенных, с возможностью схватить вирус.

Играть в шахматы с компьютером AsisChess

Играть в шахматы на моем блоге

Играть с компьютером на Самара Чесс

Рекомендации при игре с компьютером

Играть в шахматы с компьютером AsisChess

Поиграть с ним вы можете прямо на этой странице:

К сожалению, корректная работа приложения на мобильном телефоне не поддерживается. Перейдите за ПК.

Но лучше вам зайти вот сюда по этой ссылке и играть с ним здесь. там и комментарии можете оставлять к статье. давайте пообщаемся?

Нажмите — NEW GAME и создайте новую игру, но предварительно поставьте уровень сложности: EASY, MEDIUM или HARD.

EASY – легкий компьютер
MEDIUM – средней сложности
HARD – сильный компьютер

THINK NOW! — подсказка хода. То есть если не знаете, как сходить, то нажмите эту кнопку и программа сделает ход за вас.

FLIP VIEW — перевернуть доску. Но переворот не меняет ваши роли, просто черные фигуры будут внизу, а фигуры компьютера снизу.

Это простой компьютерный скрипт. Сиди играй и ни кому не мешай как называется. Но есть другой вариант и я считаю его лучшим из всего того, что сейчас есть на рынке.

Играть в шахматы с компьютером StockFish

Если уж вы реально хотите поиграть с хорошим компьютером в шахматы онлайн + на весь экран, чтобы было удобно, плюс ко всему, в конце партии можно было провести компьютерный анализ на ошибки, то играйте с компьютером StockFish на сайте lichess.org

Это наверное лучшее, что я видел сейчас в интернете. Просто зайдите на сайт, пройдите регистрацию за 1 минуту (там даже e-mail не надо подтверждать) и играйте.

Нажмите на кнопку – «Сыграть с компьютером», выберите уровень сложности от 1 до 8. Я лично пока встрял на 6-м уровне. Дальше пока не могу. А вы?

Каждый день на этом сайте играют с компьютером и с живыми игроками (соперниками) онлайн более 25000 человек, каждую минуту ведется более 6000-10000 партий одновременно.

Играть в шахматы на моем блоге

Пока такой возможности нет. Сайт молодой и только набирает аудиторию.

Как только мы его наполним информацией, соберем хотя бы 5000-10000 читателей и подписчиков, то создадим свой собственный шахматный скрипт-программу, где вы сможете играть в шахматы не только с компьютером, но и с живыми соперниками, которые будут как и вы в реальном времени находиться на сайте.

Не забудьте подписаться на обновления сайта, чтобы не пропустить выход нашей программы.

В ней будет так же система рейтингов, то есть у каждого игрока будет свой собственный рейтинг и личный кабинет. В личном кабинете у него будет вся история его партий, возможность анализировать партии и т.д. Будем устраивать шахматные турниры с классными призами и подарками.

В общем будет здорово. Кроме того, в ближайшем будущем мы хотим организовать свои собственные оффлайн соревнования по шахматам под брендом «Шахматы с Жориком». Ну а что? Соберемся где-нибудь, в каком-то городе, человек 100-200. Снимем большой зал и устроим чемпионат. Все будет, вот увидите…

Играть с компьютером на Самара Чесс

Поиграть с компьютером вы можете на этой странице.

Выбирайте так же уровень сложности:

Балбес
Новичок
Любитель
Бывалый
Опытный
Эксперт

Рекомендации при игре с компьютером

Старайтесь всегда играть какую-то одну партию, ну к примеру – ферзевый гамбит, если вы играете за белых и сицилианскую защиту, когда играете за черных.

Отрабатывайте все варианты того или иного дебюта. Если вы всегда будете играть по-разному, то вашем мозгу образуется каша. Вы не будете помнить ни каких комбинаций, ни каких жертв в той или иной позиции, ни каких ходов и т.д.

Опытные гроссмейстеры всегда перед соревнованиями, турнирами и прочими мероприятиями, готовят какие-то заготовки дебютов.

Дальше. Не увлекайтесь игрой с компьютером, потому что как правило, компьютер ходит правильно. Если вы поставили сильный уровень. Если вы всегда будете проигрывать, у вас будет падать мотивация это раз, а во-вторых вы не будете видеть плохих ходов, потому что их не будет, как например с живыми игроками.

Вы должны видеть ошибки противника и уметь направить их против них же.

Удачи вам в шахматной игре…

chessmatenok.ru

Шахматы с компьютером, Играть в шахматы с компьютером онлайн бесплатно

Игра в шахматы с компьютером безусловно только улучшает стиль игры. Отметим, сильные компьютеры появились лишь в начале двухтысячных, но тогда еще элитные международные гроссмейстера уровня 2700 по рейтингу Фиде, могли противостоять искусственному разуму. Сейчас же, ни один шахматист даже чемпион мира не обыграет компьютер экстра класса. Это связано с тем, что в машины вложено десятки терабайт шахматных партий, эндшпильные таблицы Налимова, дебютные деревья и т.д., человеку конечно же не осилить столь огромный объем информации.

У нас на сайте можно играть в шахматы онлайн с компьютером. Все игры бесплатны и не требуют регистрации. Как известно данная игра развивает мышление и память, многие называют её «гимнастика ума». Люди, которые некоторое время играли в шахматы онлайн, могут подтвердить, что у них действительно улучшилась память, они научились абстрактно мыслить, быстро принимать решение, планомерно думать – важное качество предпринимателей, и другое.

Отметим, единственный вид спорта, в котором можно проводить соревнования по Интернету, являются шахматы онлайн. К сожалению, с возможным читерством, (многие игроки могут использовать помощь компьютеров) официальные турниры не проводятся, но зато набить виртуальный рейтинг, и занять место в ТОП лучших блицеров в сети возможно.

Если вы уже знакомы с правилами игры и хотите развиваться в этой мудрейшей игре, нужно сражаться с более сильным соперником, а для этого идеальное решение — это играть в шахматы с компьютером бесплатно. Ну и не забывайте периодически решать тактику и этюду.

32 объемные шахматные фигуры готовы к бою, вашим соперником будет компьютер уровня сильного мастера, победить его будет не просто. Игра в шахматы сопровождается звуком.

Начать

Три уровня сложности и простой интерфейс программы, вот главные преимущества компьютера Шредер, который кстати входит в десятку лучших шахматных движков..

Поехали

До сих пор компьютер «рыбка» является популярной шахматной программой, хоть и уже 5 лет она официально дисквалифицирована из рейтинга шахматных движков, сыграть.

Играть

Флеш шахматы пришли к нам еще с двухтысячных, хоть и прошло много времени они по-прежнему актуальны, ведь играют в силу сильного кандидата в мастера спорта.

Я готов

Американский прототип шахмат, позволяющий играть в шахматы с компьютером и с живыми людьми со всего мира. Есть возможность автоматического подбора игрока подходящему по силе вашей игры.

Обыграть

Простые шахматы для начинающих, рекомендую детям. Максимальная сила игры сильный третьеразрядник, что соответствует уровню новичка. Отмечу фигуры изображены как воины. Играть в шахматы с компьютером для новичков.

Сыграть

chesscomputer.ru

Играть в шахматы онлайн с компьютером бесплатно и без регистрации

THINK NOW! – Программа сделает ход сама, даже если очередь ходить Ваша.
FLIP VIEW – Перевернуть доску
EASY – Сложность
NEW GAME – Новая игра

Шахматы – отличная интеллектуальная игра, но она имеет один существенный недостаток – необходимость привлечения соперника. Среди друзей, родственников и знакомых не всегда удается найти достойного противника, хорошо знающего правила и имеющего навыки. В результате желание поиграть может превратиться в нереализованную возможность. Не стоит отчаиваться! Сайт levico.ru предоставляет отличную возможность – играть в шахматы онлайн с компьютером. Условно вашим соперником может стать Магнус Карлсен, Вишванатан Ананд и Гарри Каспаров. Нужно лишь выбрать уровень сложности игры, чтобы компьютер правильно рассчитывал свои силы.

Как играть?

AsisChess v. 1.2 – простая и удобная браузерная игра, с управлением которой легко разобраться. И даже отсутствие русского языка не останавливает игроков. Не требуется регистрация или установка дополнительных приложений. Играть можно бесплатно – никаких обязательств перед разработчиком или интернет-ресурсом.

Внимание! Вполне возможно, что игра не отобразится в браузере. В этом случае нужно установить либо обновить флеш-плеер. Сделать это можно, посетив сайт разработчика – http://get.adobe.com/flashplayer. Достаточно скачать и инсталлировать дистрибутив. Размер программы небольшой, поэтому установка не займет много времени и не требует значительных ресурсов от компьютера.

Отдельно нужно отметить уровень игры. Существует три варианта:

·       EASY – легкий способ;

·       MEDIUM – сложность средней степени;

·       HARD – сильный соперник.

Таким образом, у вас есть прекрасная возможность сразиться с разным уровнем искусственного интеллекта. Поэтому сыграть в AsisChess v. 1.2 могут как новички, так и опытные профессионалы.

Для начала нужно выбрать уровень. Фигуры перемещаются очень просто. Необходимо нажать на выбранную и удерживать кнопкой мыши, перетянуть на нужную клетку, отпустить. Ходить можно только с учетом положения на доске и возможностей конкретной фигуры – все в рамках установленных правил.

Будьте внимательны! При перезагрузке браузера или сбое интернет-доступа игра может обновиться.

Поэтому после начала партии стоит сосредоточиться на ней и не отвлекаться. Как говорится, пока вы играете, пусть весь мир подождет. Для этого перед вами открываются все шахматные возможности. Вы можете опробовать новые ходы, интересно провести время за компьютерной игрой, развивая интеллект.

Теперь у вас есть постоянный партнер, который всегда согласен сыграть с вами столько партий, сколько вам захочется – в любое время дня и ночи! Играйте в AsisChess v. 1.2 и выигрывайте!

Немного о сервисе

Сайт levico.ru – не просто интернет-ресурс, где можно играть в шахматы онлайн с компьютером, это также:

·       регулярно обновляемый рейтинг шахматистов;
·       самые актуальные новости гроссмейстерских турниров;
·       достоверная информация о шахматных «движках»;
·       интересные задачи в социальных сетях;
·       контактные данные шахматных школ, работающих в России.

Будьте в курсе всех событий, играйте и наслаждайтесь каждый ходом удивительного мира шахмат вместе с levico.ru!

Читайте также:

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

5.3 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функцияf(x)является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится неполным).

Приведем здесь несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

1. Произведение четной функции на четную функцию есть функция четная.

2. Произведение нечетной функции на нечетную функцию есть функция четная.

3. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная.

4. Если f(x)— четная функция, то.

5. Если f(x)— нечетная функция, то

Используя указанные свойства, вычислим коэффициенты Фурье и построим ряды Фурье для четной и нечетной функций.

Если функция f(x)четная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для четной функции: .

Если функция f(x)нечетная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для нечетной функции: .

Такие неполные тригонометрические ряды часто называют рядами по косинусам или рядами по синусам, а разложения функций разложение по синусам или разложение по косинусам.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию периода 2π, заданную на интервале формулой.

Функция нечетная. Следовательно . Находим коэффициенты:

,

т.е. . Ряд Фурье содержит только синусы:

При этом

5.4 Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом отличным от 2π.

Пусть функция f(x), определенная на отрезке, имеет период 2l и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку , данную функциюf(x)преобразуем в функцию, которая определена на отрезкеи имеет периодТ=2π.

Действительно, если t=-π, тоx=-l, еслиt=π, тоx=lи приимеем;

, т.е. .

Разложение функции в ряд Фурье на отрезкеимеет вид

,

где

Возвращаясь к исходной переменной хи учитывая , что,, получим

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции f(x)с периодомТ=2l.

Правила разложения четных и нечетных функций и здесь остаются в силе. Если функция f(x)на отрезкечетная, то ее ряд Фурье имеет вид, где; если функцияf(x)– нечетная, то

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением.

Решение. Разложение в ряд Фурье необходимо выполнить только на интервале изменения аргумента , поэтому функцию можно представить периодической с периодом равным 2 (см. рис 34).

Рис. 34 График функции в заданном интервале изменения аргументас периодическим продолжением на оси

Заданная функция является четной, определенной в интервале (l=1), поэтому коэффициенты ряда Фурье равны

В итоге получаем искомый ряд Фурье

.

5.5 Представление непериодической функции рядом Фурье

Пусть f(x)— непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то, очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье.

Однако непериодическая функция f(x)может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке, на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезкаи построить функциюf₁(x) периодатакую, чтоf₁(x)=f(x) при.

Разлагаем функцию f₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка(кроме точек разрыва) совпадает с заданной функциейf(x). Вне этого промежутка сумма ряда иf(x)являются совершенно различными функциями.

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить (доопределить) по какому-либо закону функцию на интервал, а затем продолжить ее на всю числовую прямую периодически с периодом2l. Продолжить функцию из интервалана интервалможно произвольным образом.

Чаще всего продолжают четным или нечетным образом. Если функция продолжается четным образом (т.е. чтобы при былоf(x)= f(-x)), то ряд Фурье содержит только косинусы и свободный член. Если же функция продолжается нечетным образом, то ряд Фурье содержит только синусы.

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x), заданной на отрезке , имеют одну и ту же сумму. Еслих₀-точка разрыва функции f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу: .

Замечание. Все выше сказанное справедливо для функции f(x), заданной на отрезке . Такую функцию можно разложить как в ряд косинусов, так и вряд синусов.

Пример. Разложить в ряд косинусов функцию,.

Решение. Продолжим функцию f(x)на отрезокчетным образом.

Разлагаем в ряд функцию с периодомТ=2π.

Функция f₁(x)удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому

Таким образом ,

где .

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие процессы называются периодическими? Привести пример периодических процессов.

2. Простейший периодический процесс. Функция простейшего периодического процесса.

3. Тригонометрический ряд Фурье.

4. Теорема Дирихле.

5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

6. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

7. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке .

Литература: [5] стр. 328-343, [6] стр. 478-489, [7] стр. 400-410.

Примеры : [2] стр. 106-112, [3] стр. 190-235.

studfiles.net

6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье

Что нужно для того, чтобы ряд Фурье сходился, и сумма полученного ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Определение 3. Функция называется кусочно–монотонной на отрезке, если этот отрезок можно разбить конечным числом точекна интервалытак, что на каждом из этих интервалов функция монотонна.

Вдальнейшем будем рассматривать кусочно–монотонные функции, имеющие разрывы только первого рода. Такие условия принято называтьусловиями Дирихле. у

О а b x

Теорема Дирихле. Пусть функция с периодомудовлет-воряет условиям Дирихле в промежутке. Тогда её ряд Фурье сходится в каждой точкеи сумма этого ряда

равна:

1. во всех точках непрерывности;

2. во всех точках разрыва;

3. на концах промежутка.

Замечание 2. Поэтому для разрывных функций иногда ряд Фурье пишут в виде .

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

при с периодом.у

х

Вычислим коэффициенты Фурье:

.

Ряд Фурье для данной функции имеет вид

.

6.3. Ряд Фурье для функций с периодом T = 2 l

Пусть функция , заданная на, является периодической с периодомT = 2 l. Введём новую переменную . Тогда

будет функцией с периодом и её можно разложить в ряд Фурье на, т.е.

а, возвращаясь к переменной x и учитывая, что , получим

(8)

Тогда ряд Фурье для этого случая принимает вид

. (9)

Пример 2. Периодическую функцию с периодомразложить в ряд Фурье.

По формулам (8) вычислим коэффициенты:

.

При этом, если ,

а если ,

и тогда

.

Лекция № 50

6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

6.4.1. Рассмотрим случай разложения в ряд Фурье четной функции. Воспользуемся свойством интеграла в симметричных пределах от четных и нечетных функций. Тогда для четной функции получим

и ряд Фурье принимает вид

.

6.4.2. Рассмотрим случай разложения в ряд Фурье нечетной функции. Аналогично получаем

и ряд Фурье принимает вид

.

Пример 1. Периодическую функцию с периодомT = 2 l, заданную на промежутке , разложить в ряд Фурье.

Так как функция четная, то ряд Фурье имеет вид

где

Тогда окончательно ряд Фурье этой функции примет вид

.

Из выражения для этого ряда, если положить , можно получить интересную формулу для приближенного вычисления числа:

.

6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье

Часто возникает задача о разложении в ряд Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле на , только в ряд по косинусам или только по синусам. В таких случаях поступают следующим образом:

6.5.1. Если требуется разложить в ряд Фурье по косинусам, то доопределяют так чтобы прии периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае говорят, что функция продолжена “четным“ образом и для неё

.

6.5.2. Если требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то доопределяют так чтобы прии периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае говорят, что функция продолжена “нечетным“ образом и для неё

.

Теперь рассмотрим общий случай.

6.5.3. Пусть функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле на , требуется разложить в ряд Фурье. Для этого функцию периодически с периодомпродолжают на всё числовую ось, а затем коэффициенты Фурье вычисляют по формулам:

y

Пример 2. Функцию ,

заданную на промежутке ,

разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье

с учетом, что :

; O 1 3 x

;

Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид

studfiles.net

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f₁(x) c периодом 2Т b-a, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

y

f(x)

— 2T a b +2T + 4T x

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f₁(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2, то функция продолжается на интервал (b, a + 2) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда — непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом

Ряды Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке

[-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

studfiles.net

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f₁(x) c периодом 2Т b-a, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

y

f(x)

— 2T a b +2T + 4T x

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f₁(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2, то функция продолжается на интервал (b, a + 2) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда — непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом

Ряды Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке

[-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

studfiles.net

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a_o+ a₁cosx+a₂cos2x+a₃cos3x+…+b₁sinx+b₂sin2x+b₃sin3x+…,

где a_o, a₁,a₂,…,b₁,b₂,.. — действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a_o+c₁sin(x+α₁)+c₂sin(2x+α₂)+…+c_nsin(nx+α_n)

Где a_o — константа, с ₁=(a₁²+b₁²)^1/2 , с _n=(a_n²+b_n²)^1/2— амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен a_n=arctg a_n/b_n.

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α₂) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х² и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a_o и a_n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье, 

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Оценка статьи:

e4-cem.ru

Разложение в ряд Фурье функции продолженной произвольным способом — КиберПедия

Достроим функцию на участке [-π;0).

Тогда получим

Функция непериодическая, кусочно-гладкая, задана на интервале [-π;π]. Функция имеет на промежутке [-π;π] конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках разрыва функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине f(x₀), где x₀ – точка разрыва.

Производная так же непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода.

Вывод: функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Так как отсутствует симметрия относительно оси OY, а также центральная симметрия, то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье:

Построим первые три гармоники и одну бесконечно большую гармонику для найденного ряда.

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-я гармоника

Сумма 100 гармоник

Построим амплитудный и фазовый спектры функции по формулам:

Амплитудный спектр для данной функции:

Рассчитаем фазовый спектр для данной функции:

Вычислим среднеквадратическую ошибку между исходной функцией f(t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания f(t).

Среднеквадратическую ошибку вычисляем по формуле:

Разложение в ряд Фурье функции продолженной четным способом

Достроим функцию на участке (-π;0):

Функция непериодическая, задана на интервале (- , имеет конечное число точек разрыва первого рода. Производная непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода.

Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

Так как функция симметрична относительно оси ОУ, четная, то:

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-я гармоника

Сумма 100 гармоник

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, в точках разрыва к величине , где х₀-точка разрыва.

Построим амплитудный спектр:

Вычислим среднеквадратическую ошибку:

Разложение в ряд Фурье функции продолженной нечетным способом

Достроим функцию на участке (-π;0):

Функция непериодическая, задана на интервале (- , имеет конечное число точек разрыва первого рода. Производная непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода.

Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

Сумма ряда в точках разрыва функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где x₀ – точка разрыва.

Так как присутствует симметрия относительно начала координат, то рассматриваемая функция нечетная.

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-я гармоника

Сумма 100 гармоник

Амплитудный спектр:

Вычислим среднеквадратическую ошибку:

Вывод

Таким образом, разложение в ряд Фурье упрощает вычисление значения функции, а в некоторых случаях, это единственный способ решения.

Исходя из выполненной нами курсовой работы, видно, что при увеличении количества сумм гармоник, ряд Фурье все больше, и больше приближается к исходной функции, а в точках разрыва первого рода значение функции численно равно среднему арифметическому между левым и правым пределом.

Погрешности вычислений в каждом из способов разложения функции в ряд Фурье указывают на то, что наиболее точный график получается при разложении по косинусам, так как 0.0363972441, 0.0914397582, 0.0286996531.

Список литературы

1. Власова Е.А. Ряды. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 612 с.

2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.:АСТ: Астрель, 2005. – 654 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2. М.: Наука, 1985. – 560 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.

5. http://www.mathprofi.ru/

6. http://ru.wikipedia.org

7. http://www.math34.ru/definition-of-fourier-series.html

cyberpedia.su

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Пусть задана последовательность (a_n) действительных чисел

a₁, a₂, a₃, …,a_n, … . (1.1)

Сопоставим этой последовательности чисел последовательность (S_n) конечных сумм вида:

S₁=a₁,

S₂=a₁+a₂,

S₃=a₁+a₂+a₃, …,

S_n=a₁+a₂+…+a_n,…

Однако на практике часто приходят к задачам суммирования бесконечной последовательности чисел (1.1). В этом случае вместо слов последовательность (a_n) и последовательность (S_n) употребляют слово ряд. Для обозначения ряда используют символы:

a₁+a₂+…+a_n+…

или

(1.2)

Число называют n-й частичной суммой ряда , а число a_n– n-м (общим) членом этого ряда.

Так как каждому ряду соответствует последовательность (S_n) его частичных сумм, и, наоборот, каждой последовательности (S_n) соответствует ряд , где a₁=S₁, a₂=S₂-S₁,…, a_n=S_n-S_n-1,…, то каждое свойство последовательностей можно переформулировать в некоторое свойство рядов заменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.

Таким образом, фразы «последовательность (a_n)», «последовательность (S_n)», «совокупность последовательностей (a_n) и (S_n) », «ряд » суть математические синонимы.

При определении ряда естественно возникают вопросы:

1. Что такое «сумма» бесконечной последовательности чисел?

2. Если сумма существует, то каковы ее свойства?

Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Отрезок [1,0] разобьем пополам (на два равных отрезка).

Правую половину отрезка, то есть отрезок [1/2, 1], снова разделим пополам, затем разобьем пополам отрезок [3/4, 1] и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка [0, 1] на бесконечное множество отрезков: [0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 7/8], [7/8, 5/16],… Естественно считать, что «сумма» длин всех отрезков, на которые разбит отрезок [0, 1], равна длине отрезка, т.е. единице. Иными словами,

(1.3)

Это рассуждение было известно еще грекам, и философ Зенон (ок. 490 г. до н.э.), известный своими «парадоксами», оспаривал его законность. Один из парадоксов утверждал, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен пробежать сначала половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции и т. д.; таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.

Если бы мы попытались вычислить сумму (1.3), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось.

И все-таки равенство (1.3) в некотором смысле верно. В чем же заключается точный его смысл?

Определим понятие суммы ряда. Прежде обратимся к примеру 1. Последовательности сопоставим последовательность частичных сумм (S_n), где

Ясно, что является длиной отрезка.

Определение. Если последовательность (S_n) частичных сумм ряда сходится, то ее предел называют суммой ряда, а сам ряд (1. 2) называют сходящимся или суммируемым. В этом случае пишут:

Если , или предел последовательности не существует, то ряд называют расходящимся.

Если , то говорят, что ряд расходится к + , и пишут Аналогично в случае считаем, что

Пример 2. Рассмотрим ряд

Для этого ряда Данный ряд расходится к + .

Пример 3. Рассмотрим ряд Поскольку для этого ряда то последовательность не имеет предела при . Следовательно, ряд расходится. Заметим, что этот ряд не расходится ни к ни к

Пример 4. Рассмотрим последовательность

.

Ей соответствует ряд , где Так как последовательность сходится при и расходится при то и ряд сходится при и расходится при

Не существует каких-либо общих методов нахождения сумм сходящихся рядов. Эту задачу удается решить только в отдельных частных случаях.

Пример 5. Исследуем сходимость и найдем его сумму.

Так как то последовательность частичных сумм имеет . Итак, заданный ряд сходится и его сумма

Замечание. Для представления общего члена ряда в виде суммы простейших дробей полезно использовать метод неопределенных коэффициентов.

Пример 6. Исследуем на сходимость ряд

Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части, приходим к тождеству: 1≡A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1).

Последовательно полагая n=0, -1, -2, находим:

Таким образом,

Отсюда:

Ясно, что

следовательно, данный ряд сходится и его сумма

Пример 7. Исследуем на сходимость ряд

Преобразуем формулуn-го члена ряда, представив его в виде суммы простейших дробей: Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда и найдем ее предел:

Следовательно, ряд сходится и его сумма

Пример 8. Выясним, сходится или расходится ряд

Частичные суммы ряда равны:

Имеем т.к. аргумент логарифма, а значит и сам логарифм при стремятся к бесконечности. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Пример 9. Пусть m–фиксированное натуральное число. Исследуем на сходимость ряд называемый рядом обратных факториалов.

Преобразуем общий член ряда по формуле

Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда:

Так как то

Пример 10.Пусть члены ряда представимы в виде:

и пусть существует конечный предел:

Тогда исходный ряд сходится и его сумма равна т.е.

= (1. 4)

Действительно,

т.е.

Так как то отсюда получаем и поэтому справедлива формула (1. 4).

Применим данное свойство для ряда с общим членом:

Представим его в виде:

Обозначим Тогда причем По формуле (1. 4) находим:

Пример 11. Найдем сумму ряда

Так как то

Отсюда:

Рассмотрим так называемые эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости многих рядов.

Пример 12. Исследуем сходимость гармонического[1]ряда:

Его частичная сумма Пусть Тогда

Таким образом, Последовательность не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд расходится.

Приведем еще одно доказательство того, что гармонический ряд расходится. Действительно, если бы он сходился, то, обозначив его сумму через S, мы бы имели:

(1.5)

Но т.е. что противоречит (1.5).

Заметим, что гармонический ряд расходится очень «медленно». Л.Эйлер, например, вычислил, что

(Леонард Эйлер (1707– 1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинской академий.)

Пример 13. Ряд называется обобщенным гармоническим. При — это гармонический ряд, и его расходимость доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при

Здесь и при любом . Следовательно, и поэтому при данный ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится при Ниже будет доказано, что при этот ряд сходится.

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд где q-действительное число:

Преобразуем частичную сумму этого ряда следующим образом:

Отсюда Следовательно, ряд сходится и его

сумма равна

В частности, если то

1. 2. Число e как сумма ряда

Нам известно, что В этом пункте мы изучим ряд, с помощью которого можно указать достаточно хороший способ вычисления числа e.

По формуле бинома Ньютона:

Полагая и имеем

С другой стороны, при любом фиксированном k и любом из того же разложения имеем:

При левая часть последнего неравенства стремится к , а правая – к числу e, поэтому для любого Но тогда из двойного неравенства по известной теореме о пределе промежуточной последовательности получаем, что По определению суммы ряда теперь можно записать:

Оценим разность

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа e числом не превосходила, например, достаточно, чтобы имело место неравенство . Этому условию удовлетворяет уже

В заключение покажем, что число e иррационально.

Предположим, что где Тогда при любом число целое и положительное. Следовательно, при любом

С другой стороны, Противоречие!

В 1873 году Ш. Эрмит (Шарль Эрмит (1822-1901) – французский математик, член Парижской Академии наук) установил, что число e трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического многочлена с целыми коэффициентами.

infopedia.su

Сходящийся ряд Википедия

Числовой ряд — одно из центральных понятий математического анализа. Ряд записывается как бесконечная сумма^[1]:

a1+a2+a3+…+an+…{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots }; краткая запись: ∑n=1∞an{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

Здесь a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить такому ряду числовое значение, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

S1=a1{\displaystyle S_{1}=a_{1}}

S2=a1+a2{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}

S3=a1+a2+a3{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Sn=a1+a2+a3+⋯+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Если последовательность частичных сумм имеет предел S{\displaystyle S} (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S.{\displaystyle S.} При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится^[1].

Ряды широко применяются в математике и других науках для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций и т. п.

ru-wiki.ru

I. Числовые ряды

Ряды

§1. Основные понятия

1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды

Пусть — числовая последовательность. Образуем из нее бесконечную сумму

, (1)

которая называется числовым рядом. Числа (члены последовательности) называютсячленами ряда (1), a — общим членом ряда (1).

Суммы

S₁=a₁;- первая частичная сумма ряда (1)

S₂=a₁+a₂;

S₃=a₁+a₂+a₃;

……………..

S_n=a₁+a₂+…+a_n — n-я частичная сумма

называют частичными суммами ряда (1).

Так как число слагаемых в ряде (1) бесконечно, то можно составить последовательность частичных сумм.

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть:

При этом число S называют суммой ряда (1) и пишут .

В противном случае ряд (1) называетсярасходящимся. Для расходящегося ряда понятие суммы не определено.

Задача установления сходимости или расходимости ряда – одна из главных задач теории рядов.

Рассмотрим примеры исследования рядов на сходимость с помощью определения.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

Δ Представим n-й член ряда в виде суммы простейших дробей

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим



Значит,

.

Тогда n-я частичная сумма примет вид

.

Следовательно, .

Значит, согласно определению ряд сходится. Сумма ряда

Δ

Пример 2. Доказать, что ряд расходится.

Δ

Значит, ряд расходящийся. Δ

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.

Δ Данный ряд называется геометрическим. (, – фиксированные числа). Геометрический ряд является суммой членов геометрической прогрессии. Как известно,

.

Рассмотрим 4 случая

1) ТогдаСледовательно,.

Значит, при рядсходится и его сумма.

2) . Тогдаи, значит,. Следовательно, ряд прирасходится.

3) q=1. Тогда данный ряд имеет вид

,

. Значит, ряд при расходится.

4) q=-1. Ряд примет вид

;

Значит,

{S_n}: a;0;a;0;… .

Значит, и в этом случае ряд расходится.

Итак, геометрический ряд (сходится при,

расходится при . Δ

2. Остаток сходящегося ряда

Рассмотрим ряд (1):

(1)

Отбросим в этом ряде n членов подряд, начиная с первого. Получим ряд

(2)

Ряд (2) называется n-м остатком ряда (1).

Если -й остаток (2) ряда (1) сходится, то его сумму обозначают.

Теорема 1. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков (2). При этом если,,, то

. (3)

Из теоремы 1 следует, что отбрасывание или добавление любого конечного числа первых членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.

Теорема 2. Если ряд (1) сходится, то его остаток имеет предел, равный 0:.

Доказательство.

Пусть ряд (1) сходится. Тогда, согласно теореме 1, сходится его остаток (2) и имеет место равенство (3): .

Отсюда .

Переходя к , получим:.

Из равенства следует, что абсолютная погрешность, допускаемая при замене суммыS сходящегося ряда (1) его частичной суммой , равна. Т. о., для оценки этой погрешности достаточно оценить

3. Свойства сходящихся рядов

Определение. Суммой рядов (A) и (B) называется ряд (A+B).

Произведением ряда на числоназывается ряд(A).

Теорема 3. Если ряды исходятся, то сходится и их сумма, причем.

Доказательство.

Так как ряды исходятся, то

, .

Тогда .

следовательно, ряд сходится и.

Теорема 4. Если ряд , сходится,, то рядсходится и

.

Доказательство.

Так как ряд сходится, то .

тогда .

То есть ряд сходится, и.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд . В случае сходимости найти сумму ряда.

Δ По теореме 3 и теореме 4

.

Ряды в правой части – геометрические, сходятся. Следовательно данный ряд сходится. Найдем его сумму.

, .

тогда . Δ

Замечание. Сумма двух расходящихся рядов не обязательно является расходящимся рядом. Например, ряды расходятся, а— сходится.

studfiles.net

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. — КиберПедия

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство .

5. Если ряд сходится, то .

Отсюда следует

Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится

Исследование ряда на сходимость.

Признак Даламбера.

Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится .

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Примеры

Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

Ряд

расходится при всех , так как

Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

и

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

38. Признак Коши.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.

cyberpedia.su

Числовой ряд — ПриМат

Пусть дана последовательность , где

Символ вида (*) называется числовым рядом и обозначается, при этом называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел , где это n-ая частичная сумма ряда, .

При этом, число называется суммой ряда, и пишут .

Если же предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

Таким образом, при ряд сходится, а при — расходится.

Если ряд сходится, то необходимо .

Доказательство.

Если ряд сходится, то , следовательно .

Рассмотрим , где , — общий член ряда, . Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Необходимое условие не выполняется: . Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Лимит времени: 0

Информация

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Суммирование расходящихся рядов методами Абеля, Бореля, Чезаро и Дирихле

Какова сумма всех натуральных чисел? Интуиция подсказывает, что ответ — бесконечность. В математическом анализе сумма натуральных чисел является простым примером расходящегося ряда. Тем не менее, математики и физики сочли полезным придать дробные, отрицательные и даже нулевые значения суммам таких рядов. Цель моей статьи — желание отодвинуть завесу тайны, окружающую результаты суммирования расходящихся рядов. В частности, я буду использовать функцию Sum (функция поиска частичных сумм, рядов и т. п. в Mathematica), а так же другие функции в Wolfram Language для того, чтобы объяснить в каком смысле стоит рассматривать следующие утверждения:

Важность обозначений формул буквами A, B, C, и D вскоре станет вам понятна.

Начнем с того, что напомним понятие сходящегося ряда, используя следующую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Общий член ряда, начиная с n = 0, определяется по формуле:

In[1]:=

Теперь зададим сумму членов ряда от i = 0 до некоторого конечного значения i = n.

In[2]:=

Эта конечная сумма называется частичной суммой ряда.

График значений таких частичных сумм показывает, что их значения приближаются к числу 2 с ростом n:

In[3]:=

Out[3]=

Применяя функцию Limit (поиск предела последовательности или функции в точке) найдем предел значения частичных сумм этого ряда при стремлении n к бесконечности, что подтвердит наши наблюдения.

In[4]:=

Out[4]=

Функция Sum даёт такой же результат, когда мы производим суммирование членов ряда в пределах от 0 до бесконечности.

In[5]:=

Out[5]=

Мы говорим, что данный ряд (сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии) сходится и что его сумма равна 2.

Вообще, бесконечный ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к некоторому значению при неограниченном увеличении номера частичной суммы. В этом случае, предельное значение частичных сумм называется суммой ряда.

Бесконечный ряд который не сходится называется расходящимся. По определению, сумма расходящегося ряда не может быть найдена с помощью рассмотренного выше метода частичных сумм. Тем не менее, математики разработали различные способы присваивания конечных числовых значений суммам этих рядов. Такая сумма называется регуляризованной суммой расходящегося ряда. Процесс вычисления регуляризованных сумм называется регуляризацией.

Теперь мы рассмотрим пример A из вступления.

“A” обозначает Абеля, знаменитого норвежского математика, который предложил одну из техник регуляризации расходящихся рядов. В ходе своей короткой жизни, он умер всего в 26 лет, Абель достиг впечатляющих результатов в решении одних из самых трудных математических задач. В частности, он показал, что решение алгебраического уравнения пятой степени не может быть найдено в радикалах, поставив тем самым точку в проблеме, которая оставалась нерешенной на протяжении 250 лет до него.

Для того чтобы применить метод Абеля, заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[6]:=

Это можно легко проверить, найдя несколько первых значений a[n].

In[7]:=

Out[7]=

Как можно увидеть на графике ниже, частичные суммы ряда принимают значения, равные 1 или 0 в зависимости от того, четное n или нечетное.

In[8]:=

Out[8]=

Естественно, что функция Sum выдает сообщение, о том что ряд расходится.

In[9]:=

Out[9]=

Регуляризация Абеля может быть применена к этому ряду в два шага. Сначала мы строим соответствующий степенной ряд.

In[10]:=

Out[10]=

Затем мы берем предел этой суммы при x стремящемся к 1, заметим при этом, что соответствующий ряд сходится для значений x меньших, но не равных 1.

In[11]:=

Out[11]=

Эти два шага можно объединить, сформировав, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Абелю.

In[12]:=

Out[12]=

Мы можем получить тот же ответ используя опцию Regularization для функции Sum следующим образом.

In[13]:=

Out[13]=

Значение 1/2 представляется разумным, так как оно является средней величиной из двух значений, 1 и 0, принимаемых частичной суммой данного ряда. Кроме того, используемый в данном методе предельный переход интуитивно понятен, т. к. при x = 1 степенной ряд совпадает с нашим расходящимся рядом. Однако, Абель был сильно обеспокоен отсутствием строгости, которое было присуще математическому анализу того времени, и выражал свою обеспокоенность об этом:

«Расходящиеся ряды — изобретение дьявола, и это стыдно на них ссылаться при каких бы то ни было доказательствах. С их помощью, можно сделать любой вывод, какой ему будет угоден, и именно поэтому эти ряды производят столько ошибок и столько парадоксов.» (Н. Х. Абель в письме к своему бывшему учителю Берндту Хольмбою, Январь 1826)

Обратимся теперь к примеру B, в котором утверждается, что:

“B” обозначает Бореля, французского математика, который работал в таких областях как теория меры и теория вероятностей. В частности, Борель связан с так называемой “теоремой о бесконечных обезьянах”, которая утверждает, что если абстрактная обезьяна будет случайным образом ударять по клавиатуре пишущей машинки на протяжении бесконечного количества времени, то вероятность того, что она напечатает некоторый конкретный текст, например, полное собрание сочинений Уильяма Шекспира, отлична от нуля.

Для того чтобы применить метод Бореля заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[14]:=

Регуляризация Бореля может быть применена к быстро расходящимся рядам в два шага. На первом шаге мы вычисляем экспоненциальную производящую функцию для последовательности членов данного ряда. Стоящий в знаменателе факториал обеспечивает сходимость данного ряд при всех значениях параметра t.

In[15]:=

Out[15]=

Затем мы производим преобразование Лапласа нашей экспоненциальной производящей функции и ищем его значение в точке s=1.

In[16]:=

Out[16]=

Out[17]=

Эти шаги можно объединить, в итоге мы получим, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Борелю.

In[18]:=

Out[18]=

Также мы можем использовать специализированные функции Wolfram Language для поиска экспоненциальной производящей функции и преобразования Лапласа:

In[19]:=

Out[19]=

При этом, ответ можно получить непосредственно с помощью Sum следующим образом.

In[20]:=

Out[20]=

Определение суммы по Борелю разумно, т. к. оно даёт тот же самый результат, что и обычный метод частичных сумм, если его применить к сходящемуся ряду. В этом случае можно поменять местами суммирование и интегрирование, и затем определить Гамма-функцию, при этом мы получим, что соответствующий интеграл будет равен 1 и останется просто, по сути, исходная сумма ряда:

In[21]:=

Out[21]=

Однако в случае с расходящимися рядами поменять местами знаки суммы и интеграла нельзя, что приводит к интересным результатам, которые даёт данный метод регуляризации.

Суммирование по Борелю представляет собой универсальный метод суммирования расходящихся рядов, который применяется, скажем, в квантовой теории поля. О применении суммирования по Борелю существует огромная коллекция литературы.

Пример C утверждает что:

“C” обозначает Чезаро (на англ. языке его фамилия пишется как Cesaro), итальянского математика, который внес значительный вклад в дифференциальную геометрию, теорию чисел и математическую физику. Чезаро был очень продуктивным математиком и написал около 80 работ в период с 1884 по 1886 г., до того, как получил степень PhD в 1887!

Для начала заметим, что общий член ряда, начиная с n = 0, имеет вид:

In[22]:=

График показывает сильную осцилляцию частичных сумм данного ряда.

In[23]:=

Out[23]=

Метод Чезаро использует последовательность средних арифметических значений частичных сумм ряда для того, чтобы подавить осцилляции, что демонстрирует следующий график.

In[24]:=

Out[24]=

Формально говоря, суммирование по Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических значений частичных сумм ряда. Вычисляя данный предел для ряда из примера C, мы получим ожидаемый нами результат -1/2 (см. график выше).

In[25]:=

Out[25]=

Сумма по Чезаро может быть получена непосредственно, если мы в функции Sum используем данный тип регуляризации, указав соответствующее значение опции Regularization.

In[26]:=

Out[26]=

Метод суммирования по Чезаро играет важную роль в теории рядов Фурье, в которых ряды на основе тригонометрических функций используются для представления периодических функций. Ряд Фурье для непрерывной функции может и не сходится, но соответствующая сумма по Чезаро (или чезаровское среднее, как её обычно называют) всегда будет сходиться к функции. Этот красивый результат называется теоремой Фейера.

Наш последний пример утверждает, что сумма натурального ряда равна -1/12.

“D” означает Дирихле, немецкого математика, который совершил огромный вклад в теорию чисел и ряд других областей математики. О широте вкладов Дирихле можно судить, просто введя в Mathematica 10 следующий код.

In[27]:=

Out[27]//TableForm=

Регуляризация по Дирихле получила свое название от понятия “ряд Дирихле”, который определяется следующим образом:

Специальным случаем данного ряда является дзета-функция Римана, которую можно определить так:

In[28]:=

In[29]:=

Out[29]=

Функция SumConvergence говорит нам, что этот ряд сходится в том случае, если действительная часть параметра s будет больше 1.

In[30]:=

Out[30]=

Однако, сама по себе дзета-функция Римана может быть определена и для других значений параметра s с помощью процесса аналитического продолжения, известного из теории функций комплексного переменного. Например, при s = -1, мы получим:

In[31]:=

Out[31]=

Но при s = -1, ряд, задающий дзета-функцию Римана и есть натуральный ряд. Отсюда мы и получаем, что:

In[32]:=

Out[32]=

Еще один способ осознания этого результата заключается в том, чтобы ввести бесконечно малый параметр ε в выражение члена нашего расходящегося ряда, а затем найти разложение полученной функции в ряд Маклорена с помощью функции Series, как показано ниже.

In[33]:=

Out[33]=

Первое слагаемое в разложении выше стремится к бесконечности при приближении параметра ε к нулю, в то же время третий член и все следующие члены стремятся к нулю. Если отбросить все члены, зависящие от ε, то оставшееся число -1/12 как раз и будет суммой по Дирихле натурального ряда. Таким образом, сумма по Дирихле получается путем отбрасывания бесконечно малых и бесконечно больших членов разложения ряда, построенного описанным нами способом. Это находится в противоречии с тем, что принято отбрасывать лишь бесконечно малые величины в обычном математическом анализе, поэтому результат суммирования расходящихся рядов по Дирихле не столь интуитивно понятен.

Аналогично можно получить безумно странное значение 0 для расходящейся суммы квадратов натуральных чисел.

In[34]:=

Out[34]=

В этом случае в соответствующем разложении отсутствуют члены, не зависящие от параметра ε, в результате мы получаем 0.

In[35]:=

Out[35]=

Регуляризация Дирихле тесно связана с процессом дзета регуляризации, который используется в современной теоретической физике. В своей знаменитой работе, выдающийся британский физик Стивен Хокинг применил данный метод к задаче вычисления Фейнмановых интегралов в искривленном пространстве-времени. Статья Хокинга описывает процесс дзета-регуляризации очень системно и она приобрела большую популярность после публикации.

Наши знания о расходящихся рядах основаны на глубочайших теориях, разработанных одними из лучших мыслителей последних нескольких столетий. Тем не менее, я соглашусь со многими читателям, которые как и я, чувствуют некоторое непонимание, когда они видят их в современных физических теориях. Великий Абель, вероятно, был прав, когда назвал данные ряды “изобретением дьявола”. Не исключено, что какой-то будущий Эйнштейн, обладающий умом, свободным от всяческих устоев и авторитетов, отбросит преобладающие научные убеждения и переформулирует фундаментальную физику так, что в ней не не будет места для расходящихся рядов. Но даже если такая теория станет реальностью, расходящиеся ряды все равно будут давать нам богатый источник математических идей, освещая дорогу к более глубокому пониманию нашей Вселенной.

habr.com

Расходящийся ряд Википедия

Числовой ряд — одно из центральных понятий математического анализа. Ряд записывается как бесконечная сумма^[1]:

a1+a2+a3+…+an+…{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots }; краткая запись: ∑n=1∞an{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

Здесь a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить такому ряду числовое значение, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

S1=a1{\displaystyle S_{1}=a_{1}}

S2=a1+a2{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}

S3=a1+a2+a3{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Sn=a1+a2+a3+⋯+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}

⋯{\displaystyle \cdots }

Если последовательность частичных сумм имеет предел S{\displaystyle S} (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S.{\displaystyle S.} При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится^[1].

Ряды широко применяются в математике и других науках для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций и т. п.

ru-wiki.ru

МЕДИАНА (функция МЕДИАНА) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции МЕДИАНА в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает медиану заданных чисел. Медиана — это число, которое является серединой множества чисел.

Синтаксис

МЕДИАНА(число1;[число2];…)

Аргументы функции МЕДИАНА описаны ниже.

• Число1, число2,…    Аргумент «число1» является обязательным, последующие числа необязательные. От 1 до 255 чисел, для которых требуется определить медиану.

Замечания

• Если в множество содержит четное количество чисел, функция МЕДИАНА вычисляет среднее для двух чисел, находящихся в середине множества. См. вторую формулу в примере.

• Аргументы должны быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.

• Функция учитывает логические значения и текстовые представления чисел, которые указаны непосредственно в списке аргументов.

• Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения пропускаются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

• Аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, не преобразуемыми в числа, приводят в возникновению ошибок.

Примечание: Функция МЕДИАНА измеряет центральную тенденцию, которая является центром множества чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения центральной тенденции:

• Среднее значение    — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.

• Медиана    — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.

• Мода    — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.

При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. При смещенном распределении множества чисел значения могут быть разными.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

support.office.com

Мода и медиана в статистике

Мода и медиана в статистике

В статистике модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.

Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.

Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:

где: — нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным;

Медиана — это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:

где: — нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала;

Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.

Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Примеры расчета моды и медианы мы уже рассматривали здесь.

www.goodstudents.ru

Что такое медиана?

Добрый вечер! Я поняла, что вы не понимаете,что такое медиана. Давайте разбираться вместе. Чаще всего, когда просят найти медиану, то добавляют: медиану треугольника.
Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой стороны, на которую она проведена. То есть, медиана всегда делит сторону на два равных отрезка.
В треугольнике могут быть проведены три разные медианы, которые будут обозначаться так: , в зависимости от того, на какую сторону будут проведены.
В геометрии существуют свойства медиан, среди которых различают такие:

1. Медиана делит треугольник на два треугольника, чьи площади будут равны (равновеликие)
2. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении , считая от вершин треугольника.
3. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

Для нахождения медианы используется такая формула (она выражается через стороны треугольника): 

Теперь высчитаем, чему же равна медиана нашего треугольника: 

Ответ:  см

ru.solverbook.com

Медиана (статистика) в математической статистике

Медиана (статистика), в математической статистике — число, характеризующее выборку (например, набор чисел). Если все элементы выборки различны, то медиана — это такое число выборки, что ровно половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше него. В более общем случае медиану можно найти, упорядочив элементы выборки по возрастанию или убыванию и взяв средний элемент. Например, выборка {11, 9, 3, 5, 5} после упорядочивания превращается в {3, 5, 5, 9, 11} и её медианой является число 5. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора {1, 3, 5, 7} принимают равной 4).

Другими словами, медианой в статистике называется значение, которое делит ряд пополам таким образом, что по обе стороны от нее (вниз или вверх) расположено одинаковое число единиц данной совокупности. Из-за этого свойства данный показатель имеет еще несколько названий: 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты ранжированного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.

Функция МЕДИАНА измеряет центральную тенденцию, которая является центром множества чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения центральной тенденции:

• Среднее значение — среднее арифметическое, которое вычисляется сложением множества чисел с последующим делением полученной суммы на их количество.
  Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.
• Медиана — число, которое является серединой множества чисел: половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел — меньшие.
  Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.
• Мода — число, наиболее часто встречающееся в данном множестве чисел. 
  Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.

www.persev.ru

Как находить нули функции 🚩 как найти нули функции примеры 🚩 Математика

11 марта 2011

Автор КакПросто!

Математическое понятие функции показывает наглядно то, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обычно называют значение аргумента, при котором функция обращается в ноль.

Статьи по теме:

Инструкция

Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение аргумента и будет нулем функции. То есть при значении аргумента 5, функция f(x) обращается в ноль.

Обратите внимание

При нахождение корней уравнения, могут появиться лишние корни. Проверить это легко: достаточно подставить полученное значение аргумента в функцию и убедиться обращается ли функция в ноль.

Полезный совет

Иногда функция не выражается в явном виде через свой аргумент, тогда просто необходимо знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

Источники:

• как найти ноль

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Нули функции | Алгебра

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна  нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой  y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Решение:

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

x²-7x+12=0.

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

3)Найти нули функции

Решение:

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).

Решаем уравнение

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Ответ: x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

Например,

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде  самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

www.algebraclass.ru

Как находить нули функции | Сделай все сам

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

Инструкция

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

• Знания в области алгебры и математического обзора.

Инструкция

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Инструкция

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида ?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

jprosto.ru

Как определить нули функции 🚩 как найти ооф функции 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Функция представляет собой установленную зависимость переменной у от переменной x. Причем каждому значению х, называемого аргументом, соответствует единственное значение у — функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются аргументы х, называются нулями функции. Поиск возможных нулей – одна из задач по исследованию заданной функции. При этом учитываются все возможные значения независимой переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Статьи по теме:

Инструкция

Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, например f(x) = 2х²+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и найдите его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с помощью нахождения дискриминанта.
2х²+5х+2 = 0;
D = b²-4ac = 5²-4*2*2 = 9;
х1 = (-b+√D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;
х2 = (-b-√D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.
Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих аргументам исходной функции f(x).

Все найденные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Найдите ООФ, для этого проверьте исходное выражение на присутствие корней четной степени вида √f (х), на наличие дробей в функции с аргументом в знаменателе, на присутствие логарифмических или тригонометрических выражений.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Ответы@Mail.Ru: Будьте добры объяснить как в алгебре (тема

D (f)-те значения, которые может принимать аргумент E (f)-те значения, которые может принимать функция R- искать не надо, это множество действительных чисел

Д (ф) значение функции по х (т. е. от чего до чего) Е (ф) значения функции по у ( т. е. от чего до чего)

D(f) находят исходя из вида самой функции. Например многочлены имеют область определения R (множество всех действительных чисел). Область определения функции — это множество всех тех значений аргумента (x), при которых функция определена ( или имеет смысл, или принимает действительные значения). Например, для функции у = (7 — х) /(5 — х) область определения — все действительные числа, кроме х = 5. Потому что при х равном 5, знаменатель дроби равен нулю, а на ноль делить нельзя. Ещё говорят, что у этой функции в точке х = 5 разрыв. E(f) — это множество всех значений, которые принимает функция при всех Х из области определения (т. е. при всех Х из D(f)) Найти область значений функции иногда сложнее, чем её D(f). В некоторых случаях она очевидна, как например у многочленов — R (все действительные числа). Или у обратной пропорциональности y=a/x, (где а-некоторое число), область значений — все действительные числа, кроме нуля. В большинстве же других случаев её приходится отыскивать разными аналитическими методами.

touch.otvet.mail.ru

Что такое нули функции и как их определить

Что такое нули функции? Ответит довольно прост — это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции — это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

0=х+3;

х=-3.

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

у=х²-9.

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

0=х²-9;

-9=х² .

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х³ , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль — в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

1. Записать функцию.
2. Подставить у или f(x)=0.
3. Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х²-16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х₁=4і, х₂=-4і.

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, — это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти «потерянные» сомножители.

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

fb.ru