Рубрика: Школьная жизнь

Решить уравнение Эйлера онлайн калькулятор

Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук, а также физики, астрономии и других. Эйлер — автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, и математической физике. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Решение уравнений Эйлера является весьма нетривиальной задачей и требует определенных знаний. Уравнения данного рода имеют средний уровень сложности и изучаются в старших классах школы.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с помощью обратной матрицы онлайн»

Уравнение Эйлера имеет следующий вид:

\[x^ny^{(n)}+p_{n-1}x^{n-1}y^{n-1}+ \cdots +p_1xy ‘+p_0y=0 \]

\[P_2, P_2, \cdots ,P_{n-1}\] — постоянные числа.

Благодаря замене \[x = e^t\] данное уравнение преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами:

\[y(x)=y(e^t)=v(t).\]

Получаем:

\[y ‘(x)= v ‘(t)dt/dx=v ‘(t) \cdot e^-t ; xy'(x) =v'(t) \]

\[y»(x)=v»(t)e^{-2t}-v ‘(t)e^-t ; x^2y» (x) =v» (t)-v'(t) \]

Подставив эти значения, мы получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции \[v(t).\]

Допустим, дано такое уравнение Эйлера:

\[x^2y»+3y ‘+y=0\]

Решение данного уравнения будем искать в виде \[y =x^k,\] поэтому:

\[y ‘=kx^{k-1}, y ‘=k(k-1)x^{k-2}\]

Вставив эти значения производных получим:

\[x^2k(k-1)x^k-2+3kx \cdot x^{k-1}+x^kx^k[k(k-1)+3k+1]=0\]

Соответственно, если \[x \ne 0 k(k-1)+3k+3=0.\] Поскольку \[k = -1\] второй кратности, то\[ y = \frac{1}{x}\] является решением уравнения Эйлера. Другое решение \[y =\frac {(ln x)}{x}\]. В этом можно убедиться, поскольку \[\frac {1}{x}\] и \[ \frac {(ln x)}{x}\] линейно независимые, то:

\[y=\frac {C_1}{x} +\frac {C_2lnx}{x}\]

Это и есть общее решение данного вида уравнения Эйлера.

Где можно решить уравнение Эйлера онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

КРУГИ ЭЙЛЕРА | Matemat.me

Этот урок посвящен одному очень необычному и красивому способу решения задач.
В 18 веке один из величайших математиков — Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, которые и получили название: «круги Эйлера». Подробнее кто такой Эйлер, и чем он знаменит вы можете узнать из видеоролика который размещен ниже.

 В конце урока вам нужно будет ответить на вопросы по биографии Эйлера: Кто такой Эйлер и что он сделал для России?

Вы узнали кто такой Леонард Эйлер, чем он знаменит и сколько он сделал для науки.
 Леонард Эйлер «Письма к немецкой принцессе» — скачайте  книгу. Посмотрите  содержание писем. Обратите внимание на стиль изложения.Есть ли среди писем такие,  темы, которых вам показались интересными, и вы бы захотели расширить свои знания о устройстве нашего мира? 

Задачи на круги Эйлера это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.

Ниже представлен видеоролик с разбором нескольких задач, посвященных кругам Эйлера.

Посмотрев видео, пройдите тестирование по подобным задачам.

для прохождения тестирования введите свое имя. Тест будет открыт. Возможно, чтобы увидеть вопросы теста, вам придется немного прокрутить информацию вниз.

БОНУС: Я хочу показать вам прекрасное датское видео, которое является хорошей иллюстрацией к теме «Круги Эйлера».
В нем показывается, как у людей из разных слоев общества, с разными интересами, из разных социальных и политических кругов, вдруг находится много общего друг с другом. И, казалось бы, совсем разные группы людей, могут удивительным образом объединяться и пересекаться.
 

Приведите один-два примера объединения совершенно разных, казалось бы, групп людей.

Перейдем к задачам посложнее. Ниже представлены  задачи, в которых речь идет уже о пересечениях и объединениях трех множеств.

три круга нов

Пройдите тестирование по подобным задачам.
для прохождения тестирования введите свое имя. Тест будет открыт. Возможно, чтобы увидеть вопросы теста, вам придется  прокрутить информацию вниз.

Сегодня мы познакомились с новым для вас способом решения задач с помощью кругов Эйлера. Узнали некоторые факты его биографии. И увидели, где в жизни встречаются ситуации, связанные с кругами Эйлера.

Домашнее задание:

I) Дайте ответы на вопросы либо с помощью Googl формы, либо просто вышлите ответы по почте [email protected].

1.Посмотрите видеоролик «Биография Эйлера» и дайте ответ на вопрос :» Кто такой Леонард Эйлер». 

2. Что он сделал для России?

3. Скачайте, или пролистайте книгу Эйлера  «Письма к немецкой принцессе»  Посмотрите  содержание писем. Есть ли среди писем такие,  темы, которых вам показались интересными? И вы бы захотели расширить свои знания о устройстве нашего мира. Напишите название одной-двух тем.

4. Посмотрите видеоролик датского телевидения. Приведите один-два примера объединения совершенно разных, казалось бы, групп людей.

Критерии оценивания домашнего задания.

Домашняя работа состоит из двух уровней. Свой уровень выбирайте сами. При желании, можете выполнить задания из обоих уровней.

1 уровень —  Ответить на вопросы и пройти тест по теме «Круги Эйлера. 2 множества.»
2 уровень —  Самому составить и решить задачу на пересечение трех кругов. Выслать электронный вариант оформленной и решенной задачи (в форме презентации, в формате word или каком то другом — выбирайте сами ) мне на почту: [email protected]

Урок закончен! 🙂 

Здесь представлена коллекция задач, составленная учащимися Гуманитарного Лицея г Ижевска в 2016-2017 году как итог нашего занятия по кругам Эйлера. Нажмите на выделенный текст для того, чтобы посмотреть коллекцию.

matemat.me

Круги Эйлера в информатике

Сегодня разберём задачу на круги Эйлера в информатике.

Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, сыгравший огромную роль в развитии этих наук.

Рассмотрим метод Эйлера на примере:

Задача: В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных страниц некоторого сегмента сети интернет.

Какое количество страниц (в тыс.) будет найдено по запросу Информатика & ОГЭ ?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменился за время выполнения запросов.

Решение: Рассмотрим первый запрос: (Информатика & ОГЭ) | (Информатика & ЕГЭ). Нарисуем первую и вторую часть запроса отдельно в виде кругов Эйлера.

Чтобы применить операцию «И», необходимо закрасить только ту область, которая является общей для двух множеств, к которым применяется эта логическая операция. Чтобы применить операцию «ИЛИ» к двум или нескольким множествам, необходимо объединить эти области. У нас на рисунке изображено (Информатика & ОГЭ) и (Информатика & ЕГЭ) жёлтым цветом. Теперь необходимо применить к этим областям операцию «ИЛИ», т.е. объеднить эти области.

Второй запрос Информатика & ЕГЭ у нас уже нарисован на первой картинке справа. Теперь изобразим третий запрос Информатика & ОГЭ & ЕГЭ. Пересечение всех трёх окружностей.

Нас спрашивают, какое количество страниц (в тыс.) будет найдено по запросу Информатика & ОГЭ. Из рисунков видно, пересечение Информатика & ОГЭ состоит из двух частей: (Информатика & ОГЭ) | (Информатика & ЕГЭ) — (Информатика & ЕГЭ) и (Информатика & ОГЭ & ЕГЭ).

Тогда ответ будет (1100 — 600) + 50 = 550.

На этом всё. Не пропустите новые статьи!

Шифр Виженера на C#

code-enjoy.ru

«Построение множеств с помощью кругов Эйлера»

Задание. Ученик по заданному логическому выражению построил круги Эйлера, до ошибся и неверно закрасил области.

а) Выполните правильно закрашивание кругов на схеме справа.

б) По начальному рисунку напишите логическое выражение.

Построение кругов Эйлера

1 вариант

№1. Заданы три множества А, В, С. Известно, что есть элементы, входящие в множества А, В, С одновременно. Построить круги Эйлера для множеств:

1. С & В | А

2. (А | С) & В

3. А | С | В

№2. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

№3. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

Построение кругов Эйлера

2 вариант

№1. Заданы три множества А, В, С. Известно, что есть элементы, входящие в множества А, В, С одновременно. Построить круги Эйлера для множеств:

1. А & С | В

2. (А | В) & С

3. А & В & С

№2. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

№3. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

Построение кругов Эйлера

3 вариант

№1. Заданы три множества А, В, С. Известно, что есть элементы, входящие в множества А, В, С одновременно. Построить круги Эйлера для множеств:

1. А | С | В

2. А & В & С

3. В & (А | С)

№2. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

№3. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

Построение кругов Эйлера

4 вариант

№1. Заданы три множества А, В, С. Известно, что есть элементы, входящие в множества А, В, С одновременно. Постройте круги Эйлера для множеств:

1. А & С & В

2. А | В & С

3. С & (А | В)

№2. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

№3. Постройте круги Эйлера для множеств из таблицы.

multiurok.ru

Сайт учителя математики Комаровой Натальи Алексеевны

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. 

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. 
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Рассмотрим этот метод на примере решения задачи:

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом: 

Ответ: человек смотрели только «Стиляги».

Эйлер  Леонард (1707-1783),  г.Базель,Германия.

Математик, механик, физик. Адъюнкт по физиологии, профессор физики, профессор высшей математики.

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые «Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о своем методе. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 — 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 — 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 — 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.

Джон Венн  (1834 — 1923), английский логик.

Работал в области логики классов, где создал особый графический аппарат (так называемые диаграммы Венна), нашедший применение в логико-математической теории «формальных нейронных сетей». В. принадлежит обоснование обратных операций в логическом исчислении Дж. Буля. Основной областью интереса Джона была логика, и он опубликовал три работы по этой теме. Это были «Логика случая», в которой вводится интерпретация частоты или частотная теория вероятностей в 1866; «Символьная логика», с которой были введены диаграммы Венна в 1881; «Принципы эмпирической логики»  в 1889, в которой приводятся обоснования обратных операций в булевой логике.

На данной странице можно найти примеры задач:

komarovana.ucoz.ru

Вычитание смешанных дробей. | tutomath

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах. Вычитание обыкновенных дробей с разными и одинаковыми знаменателями вы можете посмотреть нажав на ссылку.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

Следующий пример:

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание.

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

tutomath.ru

Сложение и вычитание смешанных чисел. Видеоурок. Математика 6 Класс

Тема урока: «Сложение и вычитание смешанных чисел».

Но дело в том, что это не новые числа. Смешанное число  – это два и еще . Просто сумма двух чисел.

Мы умеем уже складывать целые числа, дробные числа. А сложение смешанных чисел – это то же самое, это сложение целых чисел и сложение обыкновенных дробей. Надо использовать те знания, которые у нас уже есть.

Остается рассмотреть, почему они так пишутся и так называются, и убедиться на примерах, что никаких новых знаний нам не нужно, никаких новых правил учить не понадобится.

Сложить два смешанных числа: , .

Напишем у каждого знак «+».

Теперь мы лучше видим все 4 слагаемых. Сложим теперь так, как нам удобнее.

Целые числа 7 и 2 сложить легко.

Обыкновенные дроби мы тоже умеем складывать. Приведем их к общему знаменателю.

Ответ: .

Поставим знаки «+»:

Сложим отдельно целые числа и отдельно обыкновенные дроби.

Дробь  уже можно записать как смешанную, убрав знак плюс, но обыкновенную дробь можно записать и проще. Выделим целую часть.

К целой части добавляется еще единица.

Ответ: 
.

Поставим знаки «+»:

Можно сложить отдельно целые числа и дроби, но у дроби  можно выделить целую часть, станет проще.

Ответ: .

А как вычитать? Все опять просто.

Как можно иначе записать смешанную дробь с минусом впереди?

Минус относится ко всей дроби. Можно поставить скобки и минус перед ними или раскрыть скобки. Минус будет у каждого слагаемого.

Здесь полезный навык – это уметь отнять от единицы или другого целого числа правильную дробь.

1) 

2) 

3) 

Сложение двух отрицательных смешанных дробей не представляет проблемы.

Пример 6

Ответ: .

Необязательно расписывать все подробно.

Если вы чувствуете себя уверенно, то многое можно делать в уме.

Самостоятельно выполните несколько заданий, а потом проверьте.

Проверяем.

Смешанные числа

Дроби нужны для записи нецелых количеств: треть пути, четверть часа, половина яблока. Это все примеры, когда количество меньше одного. Но нецелое количество может быть и больше одного: полтора литра молока; два с половиной часа; три с половиной километра. Как удобнее всего записывать эти количества?

Если мы делим 7 яблок на троих, то это можно сделать двумя способами:

1) Каждое яблоко делим на три части и раздаем эти части всем участникам. Каждый такой кусочек – это  яблока.

В итоге каждый получит 7 таких кусочков: .

2) Проще каждому раздать по два яблока. А оставшиеся разделить на три части и раздать. Все-таки легче резать одно яблоко, чем семь.

В итоге каждый получит по два целых и еще по одной трети: .

Это разные записи одного и того же количества.

Такие количества, целое плюс дробное, встречаются часто.

Чтобы упростить запись, договорились, что можно не писать знак «+»:

.

В последней записи смешались целое и дробное число. Поэтому такую запись назвали смешанным числом или смешанной дробью.

И неправильная дробь, и смешанная обозначают одно и то же количество.

Какая удобнее? Это зависит от ситуации.

По смешанной легче представить количество.

По левой записи мы понимаем только, что это число больше единицы. А вот по правой – что число почти равно трем, чуть-чуть больше трех, на .

Складывать и вычитать дроби удобнее в виде смешанного числа, а умножать и делить – в виде обыкновенной дроби.

Десятичные дроби очень близки к смешанным числам – это почти одно и то же. Просто разная запись, но смысл один. Сначала записывается целая часть, потом дробная.

Если у десятичной дроби целая часть равна нулю, то она легко записывается обыкновенной правильной дробью, просто ноль целых в смешанной дроби не пишем.

Итак, между целой и дробной частями смешанной дроби пропущен знак «+». Если это помнить, то не нужно никаких дополнительных правил.

Чтобы превратить смешанную дробь в обыкновенную, нужно сложить целое число и дробь.

Чтобы сложить целое число с дробью, представим 4 как дробь со знаменателем единица, приведем ее к знаменателю 7, домножив числитель и знаменатель на 7.

Или, в другую сторону, вынесем целую часть из неправильной дроби.

Нам давно знаком этот способ. Деление столбиком с остатком – это и есть вынесение целой части.

Вернемся к 7 яблокам, которые мы делим на троих.

Разделим столбиком 7 на 3 с остатком.

Ответ: 2 и 1 в остатке. То есть по два целых яблока уже досталось всем, и одно осталось. Его нужно делить на три части.

Конечно, в таком простом случаем мы обойдемся без деления столбиком.

Число 7 больше трех и не делится на три. Его можно разбить на две части – часть, которая делится на 3 – 6, и остаток, который меньше трех, – 1. 6 яблок делится на 3, это два, и еще одно делим на три. Это .

В более сложных случаях все-таки нужно воспользоваться делением в столбик.

Чтобы вынести целую часть, разделим числитель на знаменатель в столбик.

Получили 27 и 5 в остатке. То есть, мы разбили число 221 на две части: первая, которая делится на 8 и дает в результате 27 (саму эту часть мы не видели, но нетрудно догадаться по остатку, что она равна 216) и остаток, меньший 8, – это 5:

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989. 

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011. 

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет-сайт «Гипермаркет знаний» (Источник)

3. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 376.

2. 

3. 

interneturok.ru

Сложение и вычитание смешанных чисел (Вольфсон Г.И.). Видеоурок. Математика 5 Класс

На данном уроке вы узнаете правила сложения и вычитания смешанных чисел, научитесь решать различные задачи по теме «Сложение и вычитание смешанных чисел». Сложение и вычитание смешанных чисел основано на свойстве этих чисел. При сложении можно использовать переместительное и сочетательное свойство, а при вычитании чисел можно использовать свойства вычитания числа из суммы и вычитания суммы из числа.

Для начала давайте вспомним, что такое смешанные числа. Смешанное число – число, записанное в таком виде, что у него есть целая часть и дробная часть. Например, . Здесь 3 – целая часть,  – дробная.

Предположим, нам дали такую задачу. Вася пробежал первый из двух кругов дистанции за 1 минуту 40 секунд, а второй круг – за 1 минуту 20 секунд. За какое время Вася пробежал всю дистанцию и насколько быстрее он пробежал второй круг, чем первый?

Решение

Несложно видеть, что мы можем сложить минуты с минутами, секунды – с секундами. Получится 2 мин + 60 секунд, т. е. 3 мин. Но, с другой стороны, 40 секунд – это  минуты, а 20 секунд – . И тогда, по аналогии, чтобы сложить эти смешанные числа, мы можем не переводить их в неправильные дроби, а сразу сложить целые минуты друг с другом, и отдельно – дробные. Это дает 2 минуты и , то есть еще одну целую минуту. Итого 3 минуты.

Можно было все это проделать и так. Заметим, что смешанное число есть сумма своих целой и дробной частей. А дальше воспользуемся переместительным свойством:

А что с вычитанием? То же самое. Из чисто практических соображений первый круг по минутам одинаков со вторым, а по секундам – на 20 дольше (или на треть минуты). Можно и так:

Думаю, вы уже поняли алгоритм? Из целого вычитаем (к целому прибавляем) целое, из дробного – дробное. Рассмотрим еще несколько примеров.

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы сложить два смешанных числа, необходимо:

• сложить их целые части;
• сложить их дробные части;
• если нужно, перевести сумму дробных частей в смешанное число;
• сложить полученные числа.

Перейдем к вычитанию. Рассмотрим несколько примеров, после чего сформулируем общий алгоритм.

Найти ошибки в примерах на сложение

Рассмотрим внимательно первый пример: смешанное число  заменили дробью , а число  – , но данные дроби не равны. Если мы решим переводить дроби в неправильные, то получим следующее:

Теперь перейдем ко второму примеру, в нем действия выполняются согласно рассмотренному нами алгоритму. Как видим, все действия выполнены правильно, однако принято записывать смешанные числа так, чтобы их дробная часть являлась правильной дробью. Поэтому представим дробь  в виде смешанного числа, а потом уже выполним сложение.

Если пойти по плану, то надо из  вычесть . Этого мы сделать не можем. Тогда поступим так, как мы делаем при вычитании натуральных чисел: займем у старшего разряда. Только роль старшего разряда здесь будет играть целая часть. Ведь единица – это , так что можно вместо  записать . А дальше – по плану:

А что делать, если пришлось вычитать из натурального числа смешанное? То же самое:

.

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы вычесть одно смешанное число из другого, вы должны:

• сравнить дробные части уменьшаемого и вычитаемого;
• если дробная часть уменьшаемого больше, то вычесть из целой части целую часть, из дробной части дробную часть, а результаты сложить;
• если же больше дробная часть вычитаемого, то одну единицу от целой части уменьшаемого мы переводим в дробь, чтобы дробь стала неправильной, а затем вычитаем из целой части целую, а из дробной – дробную, и результаты складываем.

Найти ошибки в примерах на вычитание

Рассмотрим первый пример. Согласно алгоритму, мы должны сначала 12 представить в виде смешанного числа, а затем уже выполнять вычитание:

Рассмотрим второй пример. Здесь ошибка при вычитании дробных частей: нам необходимо из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого, а не наоборот. Чтобы это выполнить, нам придется занять 1 единицу и представить ее в виде дроби.

На этом уроке мы познакомились со смешанными числами, научились складывать их и вычитать, сформулировали алгоритмы для сложения и вычитания. Узнали, что для сложения и вычитания смешанных чисел вовсе не обязательно переводить их в неправильные дроби, а достаточно просто сложить либо вычесть целые части и сложить либо вычесть дробные части, после чего записать окончательный ответ.

В каждом из случаев у нас была одна тонкость. Для сложения мы понимали, что иногда получается сумма дробных частей в виде неправильной дроби, поэтому при необходимости полученную неправильную дробь нужно приводить к правильной, то есть выделять целую часть. А при вычитании появлялась такая тонкость, что не всегда из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого, поэтому нам необходимо было «занимать» единицу у целой части и переводить ее в дробную, чтобы получить неправильную дробь, из которой уже можно было вычесть дробную часть.

Список литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г.14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. – М: Мнемозина, 2013.
3. Ерина Т.М. Математика 5 кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина 2013. – М: Мнемозина, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)
2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
3. Интернет-сайт schools.keldysh.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Если вы потратите  своей зарплаты в первую неделю месяца и 20 % от нее в каждую из последующих 3-х недель, то какая часть зарплаты останется неистраченной к концу месяца?
2. Старый компьютер вычисляет задачу за  часа, новый компьютер выполняет ту же работу на  часа быстрее. За сколько минут новый компьютер вычисляет задачу?
3. От провода длиной 14 метров отрезали кусок, длина которого –  метра, а затем еще один кусок длиной  метра. Какая длина проволоки осталась?

interneturok.ru

Вычитание смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.

Вычислим разность и :

Вычитание смешанных чисел можно записывать в более краткой форме, без промежуточных вычислений:

Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то в результате целая или дробная части соответственно будут равны нулю:

Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:

Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание:

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого:

Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, у натурального числа нужно взять одну единицу и представить её в виде дроби:

Чтобы вычесть натуральное число из смешанного числа, нужно натуральное число вычесть из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:

При вычитании обыкновенной дроби из смешанного числа, дробь вычитается из дробной части смешанного числа. Если дробь больше, чем дробная часть смешанного числа, то из целой части нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого можно выполнить вычитание:

Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить вычитание, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:

Калькулятор вычитания смешанных чисел

Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание смешанных чисел. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить. Данный калькулятор позволяет также выполнять вычитание: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.

naobumium.info

Сложение и вычитание смешанных дробей

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сложить их целые части, а дробные части привести к наименьшему общему знаменателю и тоже сложить. Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

24 = 2*2*2*3;

16 = 2*2*2*2.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*2*3*2=48.

23/24

15/16

23/24

15/16

46/48

45/48

46+45/48

91/48

43/48

Пример 3. Вычислить сумму

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сложить их целые части, а дробные части привести к наименьшему общему знаменателю и тоже сложить. Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

5/12

19/20

5/12

19/20

25/60

57/60

25+57/60

82/60

22/60

11/30

Вычитание смешанных дробей

Пример 1. Вычислить разность

Чтобы найти разность этих дробей, нужно дробные части привести к наименьшему общему знаменателю 16 и выполнить отдельно вычитание целых частей и отдельно дробных:

7/8

3/16

7/8

3/16

14/16

3/16

14-3/16

11/16

Пример 2. Вычислить разность

Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

9 = 3*3;

6 = 2*3.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 3*3*2=18.

4/9

5/6

4/9

5/6

8/18

15/18

26/18

15/18

11/18

Пример 3. Вычислить разность

Найдем наименьший общий знаменатель для дробных частей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

1/12

19/20

1/12

19/20

5/60

57/60

65/60

57/60

8/60

2/15

Пример 4. Вычислить разность

2/3

3/3

2/3

3/3

2/3

1/3

ru.intemodino.com

Вычитание смешанных дробей | Математика

Как выполнить вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями? Запишем правило и рассмотрим примеры.

Правило.

Чтобы вычесть смешанные дроби, надо отдельно вычесть их целые части, отдельно — дробные.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, сначала надо занять единицу у целой части, представить ее в виде дроби, у которой числитель равен знаменателю, и прибавить эту дробь к дробной части уменьшаемого.

С помощью букв правило вычитания смешанных дробей можно записать так:

Если m<n, то

Примеры.

Выполнить вычитание смешанных дробей:

Решение:

Обычно пишут короче:

www.for6cl.uznateshe.ru

теория и практика на примерах

Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.

Что это такое?

Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а  – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

1. Сложение минут – 1+3=4.
2. Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
3. Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Правила сложения

Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:

1. Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
2. Теперь сложить целые части.
3. Далее сложить дробные.
4. Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
5. Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.
6. К целой части прибавляют дробную.

Для пояснения следует привести несколько примеров:

Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.

Правила вычитания

Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:

1. Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
2. В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
3. Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
4. Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.
5. Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.

Для пояснения следует привести следующие примеры:

Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.

В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.

nach-shkola.ru

Конвертировать Секунд в Миллисекунд (s → ms)

convertlive.com

Конвертировать Секунд в Часы

convertlive.com

Конвертировать Часы в Минут

convertlive.com

3000 секунд это сколько в минутах? Помогите а то запутался чего то

на 60 делить не умеешь?

3000 делим на 60, получаем минуты

На сколько же надо быть тупым, просто тупорылым дегенератом, чтобы не посчитать ТАКОЕ

Мда.. . Разделить на 60 без калькулятора сможете? 50 минут.

Парниша уже сожалеет, что спросил)

Я в шоке 3000:60=50

На сколько надо быть тупым чтобы не понять скока будет 3000:60=50

привет Друг будет 50 минут Не бери в голову школьников которые пишут негативные комментария они просто не могут правильно Высказать свое мнение к примеру тут много взрослых и они могут читать что школьники пишут или к примеру 1 класс которые не знают как прибавить как вычитать !!!

touch.otvet.mail.ru

Сколько минут в 300 секундах?

и какие минуты!!!!

Трудный вопрос, но я знаю сайт, где можно скачать ответ.

5 минут, 1/12 часа, 1/288 суток

300 раздели на 60

22 Июня 2011 — 17:34 25 Июня 2011 — 17:34 12 Июля 2011 — 17:08

5 минут просто нужно: 300:60

touch.otvet.mail.ru

Приведение подобных слагаемых

В алгебраическом многочлене сумму подобных слагаемых можно заменить одним слагаемым. Для этого их коэффициенты нужно сложить и оставить общую буквенную часть. Такое тождественное преобразование называется приведением подобных слагаемых. Общая буквенная часть — это буквы (переменные) с одними и темы же степенями. Например, в многочлене слагаемые и являются подобными слагаемыми. Они имеют одну и ту же буквенную часть, так как степени при a, b и c равны.

Во многих задачах подобные слагаемые «разбросаны» по всему выражению. Первых шаг к приведению подобных слагаемых — расставить их рядом друг с другом.

Если в алгебраическом выражении приведены подобные слагаемые, то такое выражение называется многочленом стандартного вида.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при a = −3.

Решение. В данном выражении подобные слагаемые по второй степени a уже находятся рядом друг с другом, а подобные слагаемые по четвертой степени — врозь. Окончательно группируем слагаемые по степеням:

.

По четвертой степени присутствуют два слагаемых, по второй степени — тоже два. Складываем коэффициенты подобных слагаемых и получаем:

.

Находим значение многочлена при a = −3:

Пример 2. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при a = −3.

Решение. Группируем слагаемые по степеням a:

.

По третьей степени видим два слагаемых, по второй степени — тоже два. Приводим подобные слагаемые и получаем:

.

Находим значение многочлена при a = −3:

Пример 3. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при a = −3, x = −1.

Решение. В этом примере требуется уже, чтобы совпадали переменные и при a, и при x. Группируем их так:

.

Приводим подобные слагаемые и получаем:

.

Находим значение многочлена при a = −3 и x = −1:

Пример 4. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при a = −3, x = 1.

Решение. Задача аналогична предыдущей. Группируем слагаемые по степеням a и x:

.

Приводим подобные слагаемые и получаем:

.

Находим значение многочлена при a = −3 и x = 1:

Пример 5. Привести подобные слагаемые в многочлене

.

Решение. Группируем слагаемые по степеням a и b:

.

Приводим подобные слагаемые и получаем:

.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при x = −1.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в многочлене

и найти значение при a = −3.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

калькулятор привести подобные слагаемые

Вы искали калькулятор привести подобные слагаемые? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и онлайн приведение подобных слагаемых, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор привести подобные слагаемые».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор привести подобные слагаемые,онлайн приведение подобных слагаемых,приведение подобных слагаемых онлайн,привести подобные слагаемые онлайн,упростить выражение 7 класс алгебра онлайн калькулятор,упростить выражение алгебра 7 класс онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор привести подобные слагаемые. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, приведение подобных слагаемых онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор привести подобные слагаемые Онлайн?

Решить задачу калькулятор привести подобные слагаемые вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых

В буквенных выражениях числа могут быть обозначены буквами. Поэтому для всех буквенных выражений верны следующие равенства, выражающие свойства сложения и свойства умножения:

С помощью этих свойств можно упрощать буквенные выражения. Например:

5a + 12a — 7a = (5 + 12 — 7)a = 10a

Слагаемые 5a, 12a и -7a отличаются только числовыми множителями, такие слагаемые называются подобными.

Подобные слагаемые – это слагаемые, отличающиеся только числовыми множителями и имеющие одинаковую буквенную часть. Пользуясь свойствами сложения и умножения, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражение:

10x — 9x = (10 — 9)x = 1 · x = x

Такое упрощение выражения называется приведением подобных слагаемых. В простых примерах промежуточные вычисления можно опустить:

10x — 9x = x

Приведение подобных слагаемых – это упрощение выражения, содержащего подобные слагаемые, путём их сложения.

Пример 1. Приведите подобные слагаемые:

4x — 3y + y — 2x

Решение: сначала надо найти в выражении подобные слагаемые:

теперь можно их сгруппировать, вынести общий множитель за скобки и привести подобные слагаемые:

4x — 3y + y — 2x = (4x — 2x) + (-3y + y) = (4 — 2)x + (-3 + 1)y = 2x — 2y

Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

4(a — 3b) — (a — 2b)

Решение:

4(a — 3b) — (a — 2b) = 4a — 12b — a + 2b = 3a — 10b

naobumium.info

6 класс. Математика. Приведение подобных слагаемых — Приведение подобных слагаемых

Комментарии преподавателя

Пусть дано вы­ра­же­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем числа и букв. Число в таком вы­ра­же­нии на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том. На­при­мер:

в вы­ра­же­нии  ко­эф­фи­ци­ен­том яв­ля­ет­ся число 2;

в вы­ра­же­нии  – число 1;

в вы­ра­же­нии  – это число -1;

в вы­ра­же­нии  ко­эф­фи­ци­ен­том яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ние чисел 2 и 3, то есть число 6.

У Пети было 3 кон­фе­ты и 5 аб­ри­ко­сов. Мама по­да­ри­ла Пете ещё 2 кон­фе­ты и 4 аб­ри­ко­са (см. Рис. 1). Сколь­ко всего кон­фет и аб­ри­ко­сов стало у Пети?

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

За­пи­шем усло­вие за­да­чи в таком виде:

1) Было 3 кон­фе­ты и 5 аб­ри­ко­сов:

2) Мама по­да­ри­ла 2 кон­фе­ты и 4 аб­ри­ко­са:

3) То есть всего у Пети:

4) Скла­ды­ва­ем кон­фе­ты с кон­фе­та­ми, аб­ри­ко­сы с аб­ри­ко­са­ми:

Сле­до­ва­тель­но, всего стало 5 кон­фет и 9 аб­ри­ко­сов.

Ответ: 5 кон­фет и 9 аб­ри­ко­сов.

В за­да­че 1 в чет­вёр­том дей­ствии мы за­ни­ма­лись при­ве­де­ни­ем по­доб­ных сла­га­е­мых.

Сла­га­е­мые, име­ю­щие оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть, на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми сла­га­е­мы­ми. По­доб­ные сла­га­е­мые могут от­ли­чать­ся толь­ко сво­и­ми чис­ло­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми.

Чтобы сло­жить (при­ве­сти) по­доб­ные сла­га­е­мые, надо сло­жить их ко­эф­фи­ци­ен­ты и ре­зуль­тат умно­жить на общую бук­вен­ную часть.

При­ве­де­ни­ем по­доб­ных сла­га­е­мых мы упро­ща­ем вы­ра­же­ние.

1)

 яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми сла­га­е­мы­ми, так как у них оди­на­ко­вая бук­вен­ная часть. Сле­до­ва­тель­но, для их при­ве­де­ния необ­хо­ди­мо сло­жить все их ко­эф­фи­ци­ен­ты – это 5, 3 и -1 и умно­жить на общую бук­вен­ную часть – это&n

www.kursoteka.ru

Одночлены, многочлены стандартного вида. Приведение подобных

§7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении.

Фундаментальную роль в математике играет понятие функции (отображения), которое является частным случаем функционального отношения.

Определение 1. Бинарное отношение f между элементами множеств А и В (то есть ) называетсяфункциональным отношением, если изи

Из определения 1 следует, что бинарное отношение является функциональным, когда каждому значению первой координаты пары из f соответствует единственная вторая координата, которая обозначается через y=f(x). И говорят в этом случае, что y является функцией от x.

Определение 2. называется областью определения функционального отношения.

Определение 3. Функциональное отношение f между элементами множеств А и В называется функцией или отображением А в В, если и обозначается

Множество А называется областью определения функции, множество В -областью значения функции.

Если y=f(x), то y называется образом при отображении f точки x, а x называется прообразом при отображении f точки y.

Пусть , тогданазываетсяобразом множества (подмножества) М при отображении f. В частности, образ множества А при отображенииf.

Пусть тогдапрообраз множества С при отображенииf. В частности,

Примеры: следующие отношения являются отображениями:

Следующие отображения не являются отображениями:

§8.Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций.

Определение 1. Пусть f и g – функции, причем g: A→B, f: B→C. Композицией (суперпозицией, произведением) функций f и g называется отображение A в C, значением которого для произвольного служитf(g(x)).

Обозначение: или , то есть (fg)(x)=f(g(x)).

Определение 2. Отображение иназывается равными тогда и только тогда, когдаf(x)=g(x)

Пример: Пусть и– функции, определяемые следующим образом:

; g(x)=1–x. Тогда

;

Из примера видно, что .

Теорема 1: Пусть ,и– отображения. Тогда и — отображенияA в D , причем (1), то есть произведения отображений ассоциативно

Доказательство. имеем:

Следовательно, равенство (1) справедливо. Что и требовалось доказать.

§9. Тождественное отображение множества на себя. Обратимое отображение. Сюръекция, инъекция, биекция. Доказательство инъективности f и сюрьективности g, удовлетворяющих условию . Теорема об обратимом отображении.

Определение 1: Отображение называетсяпреобразованием множества A.

Определение 2: Преобразование множестваX называется тождественным или единичным преобразованием, если , то есть преобразованиекаждую точку изX переводит в себя.

Определение 3: Пустьи. Если(1) , тоg называется левым обратным отображением для f. Если (2), тоg называется правым обратным отображением для f. Если выполняются равенства (1) и (2) одновременно, то g называется обратным отображением для f.

Если для f существует обратное отображение g, то f называется обратимым отображением .Обозначение: .

Лемма1. Пусть f – отображение X в Y. Тогда и .

Доказательство. имеем:

.

Аналогично доказывается второе равенство.

Лемма 2. Если обратное отображение для f существует, то оно единственное.

Доказательство: Пусть и пустьи– обратные отображения дляf (здесь и). Тогда дляg и выполняются равенства:

и (5)

Тогда, по лемме 1, имеем: то есть .

Определение 4. Отображение называетсясюръективным отображением или сюръекцией, если Imf = B. То есть сюръекция – это отображение “на” B,

Определение 5. Отображение , называетсяинъективным отображением (инъекцией) или взаимно однозначным отображением A в B, если из, то есть различные точки изA отображаются при f в различные точки из B.

Определение 6. Отображение называетсябиективным отображением (биекцией) или взаимно однозначным соответствием, если f сюръективно и инъективно.

Лемма 3: Если ии(1) , тоf – инъекция и g – сюръекция .

Доказательство: Покажем, что f – инъекция.

Пусть Предположим, что(*). Тогда,, то естьи, значит,f– инъективно.

Покажем, что g – сюръекция. имеем:

, то есть существуети значит,g — сюръекция.

Теорема 1. Отображение обратимо тогда и только тогда, когдаf – биекция.

Доказательство. 1)Необходимость.

Пусть f – обратимо, тогда для f существует обратная функция g: (1) и(2). Из (1) по лемме 3 следует, чтоf – инъекция. Из (2) по лемме 3 следует, что f – сюръекция.

2)Достаточность.

Пусть f – биекция. Покажем, что f является обратимым отображением. Так как f – биекция, то – f инъекция (то есть различным точкам х₁, х₂Х соответствуют различные точки изY) и f – сюръекция ( то есть f(Х)=Y ).

Определим новое биективное отображение g по правилу Покажем, что g – функциональное отношение, то есть , g ставит в соответствие единственную точку из X. Пусть и, где. Допустим, что, тогда из инъективностиf , нои. Получили противоречие следовательно,х₁=х₂.

Итак, g – функциональное отношение.

Покажем, что функциональное отношение g является отображением. Действительно, так как f – сюръекция, то а, значит,

Итак, g — отображение.

Теперь необходимо показать, что Действительно,

и

Следовательно, g — обратная функция для f , то есть f – обратима. Что и требовалось доказать.

СОДЕРЖАНИЕ

Надежда Владимировна Силенок

МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Методические рекомендации по курсу «Алгебра»

Подписано в печать ___________ 2008 г. Формат 6084 1/16

Печать офсетная. Бумага офсетная.

Усл. п. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №______

РИО Брянского государственного университета

Имени академика И. Г. Петровского

studfiles.net

1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z — совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных — множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию<r

2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)

3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки М(х,у) к точке М₀(х₀,у_о), если для любого числа Е>0 найдётся такое число r>0, что для любой точки М(х,у), для которых верно условие ММ₀<r также верно условие

Записывают:

Пусть точка М₀(х₀,у₀) принадлежит области определения функции f(x,y). Тогда функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если , причём точка М(х,у) стремится к точке М₀(х₀,у₀) произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие не выполняется, то эта точка разрыва функции f(x,y). Это может быть в случаях:

1. Функция z=f(x,y) не определена в точке М₀(х₀,у_о)

2. Не существует предел в точке М₀(х₀,у_о),

3. Этот предел существует, но не равно f(х₀,у_о)

4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:, где А₁, А₂, …, А_m– некоторые не зависящие от ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_m числа, а α₁, α₂, …, α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х₁=∆х₂=…∆х_m=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен: =

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:: =

Полный дифференциал функции z=f(x,y) — главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у).

dz=(x,y)dx+(x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.

Точка max М₀ – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), верно неравенство f(x₀,y₀)≥f(x,y)

Точка min М₀ – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), верно неравенство f(x₀,y₀)≤f(x,y)

Необходимое условие: если функция f(x,y) в точке (х₀,у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны 0

f´_y(x₀,y₀)=0, f´_x(x₀,y₀)=0,

либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х₀, у₀) будут называть критической точкой.

Достаточное условие: пусть в окрестности критической точки (х₀,у₀) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Рассмотрим выражение:

1. Если ∆(х₀,у₀)>0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x,y) имеет экстремум,

Если (x₀, y₀)<0 – max, если (x₀, y₀)>0 – min.

2. Если ∆(х₀,у₀)<0, то в точке (х₀,у₀) функция f(x,y) не имеет экстремума.

3. Если ∆=0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

studfiles.net

Функция ооф и озф 9 класс

educontest.net

§8. Числовая функция. Область определения и область значений функции

Рассмотрим числовые функции, т.е. функции, область определения и область значения которых – числовые множества.

Определение. Пусть X и Y – некоторые числовые множества (X  R, Y  R). Числовой функцией называется такое соответствие между элементами множеств X и Y , при котором каждому числу х из множества X соответствует не более одного числа у из множества Y.

Функции принято обозначать буквами: f,q,h, и др. В общем случае, элемент y  Y, соответствующий элементу x  A, называется значением функции f и записывается так: y = f(x).

Сложилась традиция переменную x называть аргументом функции.

Например, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {5, 6, 8, 9, 10, 11, 12}. Соответствие f: « х меньше y на 4». Каждому x Î X соответствует не более одного yÎ Y (y =4 + x): 1 ® 5; 2 ® 6; 4 ® 8, 5 ® 9; 6 ® 10, поэтому это соответствие функция.

Из множества X выделим подмножество тех элементов х, для которых есть соответствующий элемент во множестве У . Это множество называют областью (или множеством) определения функции. Его обозначают D(f). В нашем примере D(f) = {1, 2, 4, 5, 6}. Множество всех элементов y  Y, которые являются значениями функции f, называются множеством (областью) значений функции (E(f)).

В нашем примере E(f) = {5, 6, 8, 9, 10}.

С учетом этого можно дать другое определение функции.

Определение. Пусть X и Y – некоторые числовые множества (X Í R, Y Í R). Числовой функцией, определенной на X и принимающей значения из Y, называется такое соответствие f, при котором каждому числу x Î X соответствует единственное число y Î Y.

Например, A = {a  a  N  1  a  8}, B = {3, 5}, соответствие  : «а делится на b ».

В

Так как каждому a  A соответствует не более одного b  B , то это соответствие – функция.

Так как числовая функция – частный случай соответствия, то все способы задания соответствия являются и способами задания функции.

Вспомним их:

1) задание числовой функции путём перечисления всех пар элементов, которые находятся в данном соответствии. Если область определения функции – конечное множество, число элементов которого не очень велико, то такую функцию можно задать путем перечисления всех пар соответственных элементов.

Отношение q, заданное перечислением пар, является функцией, если оно не содержит двух разных пар с одинаковыми первыми элементами.

б) задание числовой функции графом.

Соответствие j в примере 2 задано графом.

Соответствие, заданное графом, является функцией, если граф не содержит двух разных стрелок с общим началом.

в) графический способ задания числовой функции.

Если функция задана перечислением пар, то в декартовой системе координат каждую пару можно изобразить точкой. Множество построенных точек и называют графиком функции. Построим график функции q.

График соответствия, которое является функцией, не содержит двух разных точек с одинаковой абсциссой.

г) задание числовой функции указанием характеристического свойства.

Примерами являются примеры 1, 2.

Частный случай: задание числовой функции формулой.

Если область определения функции, заданной формулой, явно не указана и нет каких-либо дополнительных ограничений, то считают, что функция определена на множестве всех тех значений аргумента, при которых все указанные в формуле операции выполнимы.

Например, характеристическое свойство в примере 1 можно записать в виде уравнения с двумя переменными:

у = 4 + х, т.е. в виде формулы.

От одного способа задания функции можно переходить к другому.

studfiles.net

График показательной функции, область определения и область значений функции — Алгебра 11 класс — Osvita.name

1. Функция y=3x−1 образована от показательной функции y=3x (показательной функцией называется функция, которая записана в виде y=ax, где (a>0, a≠1). Чтобы построить график этой функции, необходимо составить следующую таблицу с произвольно выбранными значениями аргумента  x:

2. Чтобы вычислить соответствующие значения функции, необходимо подставить соответствующие значения аргумента x в формулу функции y=3x:

a) y=3−2=132=19

б) y=3−1=131=13

в) y=30=1

г) y=31=3

д) y=32=9

3. Вычисленные значения функции записываем в таблицу:

4. Используя таблицу, строим график функции y=3x:

5. Функцию y=3x−1 можно записать в виде y=f(x)+a, где a≠0.

* Если a>0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy на  a единиц вверх.

* Если a<0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy

osvita.name

Арабские цифры от 1 до 10

Цифры и буквы являются народным достоянием и имеют большую историю во всех народах мира. Самые распространенные на сегодняшний день числовые знаки — это арабские и римские. И те, и другие используют для создания списков в русском языке, для счета предметов и для математических вычислений. Из этой статьи вы узнаете все об арабских цифрах в диапазоне от 1 до 10.

Содержание статьи:

История появления арабских цифр

Арабские числовые знаки были выдуманы и записаны в Индии, произошло это около 5 века. В это время был определен отсчет чисел при перечислении. Отправной точкой был ноль (оригинальное название шунья). Это число позволило сформировать нынешний порядок чисел при счете. Популяризацией арабских цифр занимался индийский ученый того времени Абу Аль-Хорезми, который создал несколько книг на эту тему. От одной из них произошло сегодняшнее название школьного предмета — алгебра. Предоставленный ученым способ записи числовых значений использовал десятичную систему.

Археологи находили разные работы древних математиков и археологов, которые использовали арабские цифры для своих работ. Эти работы были созданы предположительно в 8-9 веке. Сегодня большинство арабских стран используют отличительную от привычной всем записи чисел в европейских и других регионах. Более того, на Востоке принято писать порядок чисел с права налево.

Существует множество мнений, что в формировании цифр арабского происхождения, которыми пользуемся сегодня мы — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, были использованы не только арабские цифры древней Индии. Посмотрев на таблицу арабских цифр в диапазоне от 1 до 10 старого и нового представления, можно найти множество сходств. Например, 1, 2, 3, 4 в начальном представлении — это те же знаки, только повернутые на 90 градусов.

Читайте также: Рандомайзер чисел онлайн.

Откуда взялись современные числовые знаки от 1 до 10

Зарождение арабских цифр относят к древней южной Индии. Во многих древних странах, когда еще не было письма, использовались для счета палочки. Одна палочка обозначала 1, две — 2 и так далее. Такой способ записи навеян зарубками. Именно отсюда и происходят числа в римском представлении (для цифр 1, 2, 3). Индийские цифры позаимствовали некоторые элементы буквы из разных стран того времени.

В цифрах встречаются признаки букв арамейского, греческого и финикийского алфавитов. Предположительно числовые знаки начали зарождаться во 2 веке до нашей эры, в то время, когда существовало Индо-греческое царство.

В отличие от счета в русском языке — один (1), два (2), три (3), арабские цифры имеют свое название:

• 1 (один) — 1 Уахид;
• 2 (два) — 2 Итнан;
• 3 (три) — 3 Талата;
• 4 (четыре) — 4 Арба-а;
• 5 (пять) — 5 Хамиза;
• 6 (шесть) — 6 Ситта;
• 7 (семь) — 7 Саба-а;
• 8 (восемь) — 8 Таманиа;
• 9 (девять) — 9 Тизза;
• 10 (десять) — 10 Ашара.

  Таблица

Особенности арабской цифры 0 (ноль)

Ноль понимается как отсутствие числового значения или разряда. Ноль — очень полезная цифра хотя бы тем, что позволяет производить вычисления в столбик. Ни в одной другой числовой системе нет возможности это сделать. Чтобы убедиться в этом, попробуйте сделать расчет в столбик, используя римские цифры. Ноль придумали тоже индийцы и названа была эта цифра «сунья». На индийском значит — «пустой». В древних арабских странах этот знак еще называли cifra.

Российский математик и педагог Магницкий называет ноль также — цифра или ничто. Часто её название использовали для первой страницы книг. Есть и другие источники, в которых можно найти старое название 0 — цифра. Чаще всего оно встречается в рукописях русских и европейских ученых 17-18 века.

Это может быть полезным: Лучшие генераторы случайных чисел для конкурса.

Использование нуля в расчетах

Детей в школе учат начинать отсчет с единицы. Но большинство программистов используют вычисления, где отсчет всегда начинается с нуля. Такая запись всех 10 чисел удобна тем, что для их представления используется только 1 символ. А экономия в программировании является неотъемлемой его частью. Если мы начнем отсчет с нуля, записывать цифру 10 нам не нужно. Её место занимает девятка.

Ноль обладает другими интересными свойствами при взаимодействии с числами. Так, если вы попытаетесь прибавить к нулю или отнять ноль от какого-нибудь числа — оно не изменится. Когда производится умножение на это число — вы получите 0 во всех случаях. При возведении каждого числа в ноль, получится единица. А также на ноль (0) нельзя разделить другое целое или дробное число.

Существует Закон Бенфорда. Если не вдаваться в подробности с рассмотрением формул и таблиц, он гласит, что в реальной жизни цифры от 1 до 4 встретить гораздо вероятнее, чем цифры от 5 до 9. Сюда можно отнести номера домов улиц, различную статистику и тому подобное. Есть у этого закона и практическое применение. Используя его, можно проверять бухгалтерские отчетности, результаты голосований, подсчет расходов.

В некоторых американских штатах несоответствие каких-либо расчетов по Закону Бенфорда является уликой, имеющей вес в судебном процессе. Все расчеты по этому закону производятся в десятичной системе. Таким образом, арабские цифры в диапазоне от 1 до 10 являются самыми распространенными во всем мире.

it-doc.info

Арабские цифры — как их легко запомнить?

Выучите арабские цифры — на первый взгляд кажется, что это трудно, на самом же деле это очень легко. Знание их будет для вас полезно не только в Иране, Афганистане, Пакистане, но и еще в десятках трех стран. 

Начнем с того, что 1 и 9 точно такие же, как наши — ١ и ٩. Не очевидно на первый взгляд, но 2, 3 и 7 — тоже точно такие же, но они повернуты на 90 градусов по часовой. Точнее сказать, это наши повернуты — арабские цифры писали на счетах боком по причине узости костяшек, вот они и попали к нам боком. Поверните арабскую ٢ против часовой на четверть оборота, и вы сразу увидите в ней нашу двойку с длинным хвостом. То же и с тройкой &Fmdash; ٣ — и семеркой — ٧. 

То есть, вы уже знаете половину цифр, совершенно ничего не запомнив. Теперь вам надо когда-нибудь увидеть монету в пять динаров или лир и удивиться, что на ней стоит только ноль, типа ноль динаров. Потому что кругляшок нуля — ٥ — это, на самом деле, пятерка. От поразительности открытия запоминается навсегда. Сразу же хочется узнать, а как же тогда пишется ноль? А он просто точка — ٠.

 Теперь посмотрим на пару ٧ и ٨. Запомнить, что эти два знака и есть 7 и 8 — легко, потому что только они так красиво в паре. Чтобы их не путать, есть мнемоническая поговорка на английском, “seven is open to heaven”. Типа, “семерка открыта в небо”. На русском такой нет, но вы можете опрокидывать эти уголки набок в правильном направлении, и если семерка не распознается, то это восьмерка.

Все, теперь только трудности и начинаются, а вы уже знаете восемь цифр из десяти. Остались 4 и 6 — ٤ и ٦ — и загвоздка тут в том, что первая выглядит как зеркальная тройка, а вторая — как семерка или даже четверка. Их вам придется заучить. Про 4 лучше запомнить, что мы либо сразу распознаем цифру, либо поворачиваем ее, но нет никаких зеркальных отражений. Про 6 можно заметить, что если ее повернуть, то она, в общем-то, на 6 и похожа, только кругляшок не совсем дорисован.

На самом деле, если взять нашу четверку как ее пишут от руки, то есть с незамкнутым верхом, и повернуть, то будет почти похоже на арабскую. Так что тот же самый принцип и к этим двум цифрам применим. Вообще же говоря, наши 5 и 6 произошли не от арабских цифр, а от римских V и VI. Восьмерка же — от латинского octo, в котором для сокращения писали только первую и последнюю букву.

Короче, методика распознавания простая. ١ и ٩ узнаются сразу как наши. ٧ и ٨ легко запоминаются как именно 7 и 8, из-за своей необычности. Что именно вы видите, проверяется мнемонической поговоркой. ٠ и ٥ сидят в голове твердо из-за удивления купюрами и монетами номиналом в “ноль”. Если же вы все еще не можете распознать цифру, то кидайте ее набок и сразу узнавайте ٢ и ٣. Если же и это не помогает, то теперь вы знаете, что это 4 или 6, и только про них приходится немного думать и вспоминать.

Часто в арабских странах номера автомобилей пишут двумя способами сразу, по-нашему тоже, так что это — лучшая тренировка, идти по тротуару и смотреть на номера припаркованных машин, стараясь их разобрать и сразу проверяя правильность.

В некоторых странах написание четверки и шестерки, а также до какой-то степени пятерки, отличается — здесь приводятся оба варианта.

И последнее: хотя арабские слова пишутся наоборот, справа налево, в числах цифры идут по-нашему, то есть ١٩ — это 19, а не 91.

Источник: «Время Востока».

www.ar-ru.ru

Почему мы используем только арабские и римские цифры?

Потому как более удобно их использование, особенно арабские, плюс арабские распространены по всему миру, потому куда проще несколькими простыми к написанию цифрами. обозначить сложные или большие числа. Даже римскими цифрами при написании длиных чисел необходимо определённое пространство, большее чем для арабских. Римские цифры используются в основном только выходцами из европы, так как в своё время их использование представлялось более удобным и простым для запоминания. До римских цифр, да и паралельно, в Европе, особенно пока не сформировалась деситичная система, использовались буквы европейских алфавитов для обозначения цифр, например греческие буквы или буквы славянской письменности, а также и использовались просто обычные палочки или другие символы. К примеры те же сщёты — это тоже отголосок цифровой системы, образованой ещё до появления письменности, также как и узелки и другие числовые субекты. Другие системы существуют, но менее распространёные, соответсвенно менее удобные для использования в больших локациях. Например китайская система цифр, используется в Китае, Японии и некоторых других зтранах Азии, при чём используется в двух вариациях, упрощёные и более сложные для обозначения прописных сумм в финансовой документации . Также например существует общераспространёная жестовая система цифр, думаю все могут показывать цифры, используя пальцы, очень универсальная система обозначения цифр для людей разных локаций. Правда, в некоторых странах жестикуляция цифр пальцами может и отличаться. Взять к примеру Китай, кулак обозначает 10, указательный палец загнут крюком — 9,большой и указательный пальцы пистолетом — 8, три персты сомкнуты (как для перекрещения) — 7, оттопыреные большой палец и мезинец — 6. Также достойны внимания и новообразованые системы цифр, например 16-тиричная система цифр, в отличии от 10-тиричной системы, на ряду с арабскими цифрами использует и латинские буквы. Вообщем цифровых систем много, все не перечислишь, но на данном этапае развития человеческой цивилизации самой распространёной и удобной является арабская система цифр. п. с. Всё что пришло в голову изложил, хотя по китайским системам могу и подробней.

вообще-то арабы заимствовали эти цифры у индийцев. просто в европу эти цифры попали именно от арабов и получили названи арабские. до этого использовались исчисления без «0». сейчас они неактуальны. конечно. еще исчисление есть в информатике… но там ток два символа. «0» и «1» 🙂

а ДРУГИЕ БУДУТ НИКОМУ НЕ ПОНЯТНЫ!

существовала система счисления майа, там для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки) . во многих языках цифры пишутся по своему. <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Арабские_цифры» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Арабские_цифры</a>

русские не успели придумать.

touch.otvet.mail.ru

Арабские цифры — русские цифры.

Однажды мне на глаза попалась статья известного новохронолога Фоменко «К вопросу о «Новгородских датировках А. А. Зализняка и В. Л. Янина», в которой описывался старый способ написания цифр 2 и 7. И хоть эта статья кое в чём противоречила другим выводам и идеям того же Фоменко, изложенные в его, совместно с Носовским, книге «Тайна русской истории», но информация, содержащаяся в ней, дала мне толчок для новой проверки истории создания «арабских цифр». Дело в том, что в пятой главе вышеуказанной книги Фоменко и Носовский выдвигают свою версию происхождения современных цифр из «славяно-греческих цифр-букв», которая мне не понравилась, и в которой я себе позволил усомниться. В результате проведённой работы мне удалось выдвинуть новую идею по истории создания современных «арабских» цифр, которую и предлагаю вашему вниманию.

Часть 1. Теория.

Общеизвестна теория, описывающая возможный способ создания арабских цифр. Согласно ей каждая цифра содержит в своём написании соответствующее количество углов: цифра один содержит в своём написании один угол, цифра два содержит два угла и т.д. до девятки, которая содержит соответственно девять углов.

Некоторые исследователи полагают, что именно такое соответствие углов (на рисунке выше) легло в основу написания современных цифр.

Однако, эта теория вызывает несколько вопросов. Почему двойка в данном исполнении больше похожа на семёрку, а семёрка на двойку?

Также у единицы изначально не было углов. Она изображалась как одна вертикальная черта. Это можно увидеть на картине Дюрера в магическом квадрате:

Ещё остаётся совершенно непонятным, почему эти цифры были названы арабскими. Нам известны настоящие арабские цифры, они показаны на рисунке в верхнем ряду:

Как мы видим, арабская вязь совершенно не соответствует форме написания современных цифр. То же можно сказать и про индийские, и про китайские, и про любые другие, якобы древние, цифры.

Я не буду утруждать читателей анализом всех теорий и фантазий о происхождении современных цифр и сразу перейду к делу. Моя теория заключается в том, что современные цифры были созданы

во-первых: из букв только русского алфавита,

во-вторых: из первой буквы русского названия каждой цифры (кроме единицы, тут случай особый).

Такой путь создания цифр объясняется тем, что из-за высокой цены пергамента некоторые писари сокращали текст до первой буквы каждого слова. Это общеизвестно. Но, чтобы не перепутать обычные слова с числами, пришлось как-то видоизменять те буквы, которые обозначали числа.

Часть 2. Преобразование буква — цифра.

ОДИН. Что такое «одИн»? Если изменить ударение, то получится «Один» — древнегерманский языческий бог. Самый главный из всех богов. Бог №1.

Также, если возьмём слово «единица», то убрав первую букву, получим «Денница» — одно из имён Дьявола. Но это, конечно, случайное совпадение.

Как бы то ни было, мы можем предположить, что единица изначально имела мистический, религиозный смысл. Поэтому её начертание старались сохранять. К тому же мы не должны забывать, что «римские цифры» появились раньше, чем современные «арабские». Следовательно, можно предположить, что современная цифра «1» произошла от «римской» цифры «I»:

Приведём несколько высказываний Блаватской из её «Тайной доктрины» в отношении скрытого смысла символа единицы:

«Здесь, как и во всех истинных философских системах, мы находим, что даже «Яйцо» или круг, или Ноль, Беспредельная Бесконечность, называется «То», и лишь Брама, первая Единица, именуется «Богом» мужского пола, то есть, оплодотворяющим Началом.»

«Все есть Огонь – Ignis в своем ультимативном составе или 1, корень которого в наших представлениях есть 0 (ноль), Все-Сущее в Природе и ее Разум.»

«На высшем плане число не есть число, но Нуль – Круг. На плане внизу оно становится единицей – которая есть число нечётное. Каждая буква древних алфавитов имела свой философский смысл и raison d’être. Число один (1) среди Посвящённых Александрии означало прямое тело, живого человека в стоячем положении, ибо он единственное животное, имеющее эту привилегию. И путем прибавления к «1» головы, оно было преображено в «Р» (латинское П), символ отцовства, творящей Мощи: тогда как «R» означало «человека в движении», следующего своим путем.»

ДВА. В своей статье Фоменко в качестве доказательства приводит фото фрагментов старых текстов:

Также он очень аргументировано и достаточно убедительно утверждает, что «в русском почерке конца XVIII века цифра «2» и буква «Д» писались одинаково. Вероятно потому, что «д» — это первая буква слова «два». Полное тождество буквы «д» и цифры «2» в почерке того времени очевидно, например, из надписи на другом рисунке XVIII века, который мы приводим…»

Предположим, что это действительно было так — букву Д и цифру 2 иногда или часто заменяли или путали. Заменять могли ради красоты почерка. Ведь, согласитесь, цифра «2» на приведённых фото выглядит очень эффектно. Но из этих рассуждений совершенно не ясно, что из чего произошло. Что первично и что вторично? Лично мне представляется более вероятным, что цифры произошли из букв, а не наоборот.

или

Если это так, тогда рассмотрим другие цифры.

ТРИ. Первую букву этого слова можно превратить в цифру, если положить её на бок. При этом не будем забывать про старое изображение этой буквы.

ЧЕТЫРЕ. Первая буква этого слова настолько сильно совпадает с цифрой «Ч», что нашим предкам пришлось создать вариант написания этой цифры в виде «4». Однако это сделано только в печатных изданиях. А от руки мы продолжаем писать четвёрку в виде буквы «Ч».

ПЯТЬ. Первую букву этого слова можно преобразовать в цифру «5» разными способами. Например, если взять две буквы «П» и соединить их валетом, то мы получим вполне современное изображение пятёрки:

хотя мне представляется более вероятным другой вариант её создания:

ШЕСТЬ. Опять смотрим на первую букву и делаем из неё цифру «6», положив букву «Ш» на бок. Нужно заметить, что это только один из вариантов.

СЕМЬ. Современная цифра «7» совершенно не похожа на первую букву — «С». Но, если мы посмотрим на рисунок, то станет понятно, что эта цифра раньше писалась иначе.

Давайте и мы опустим традиционную перемычку в самый низ.

Наша семёрка превратилась в букву Z.

Теперь, чтобы хоть немного оживить описание, приведу пример из художественного фильма «Азазель». Повествование этого фильма разделено на главы. Третья глава названа «Зутулый штудент».

«Штудент» — потому что штудирует. А вот почему «зутулый», а не сутулый? Попробую предположить: раньше так говорили. Возможно, что так говорили не везде; возможно, что это был локальный говор. Но со временем звонкая «З» была заменена на глухую «С». Было «земь», стало «семь». Произношение изменилось, а цифра осталась прежней. Вот почему цифру «7» делали из буквы «Z». Это старое обозначение современной буквы «З».

Теперь нужно отметить, что процесс преобразования буквенных знаков в цифровые проходил не сразу. Вероятно, что у него даже не было единого плана. Поэтому, можно утверждать, что этот процесс до сих пор не закончен. Например, цифру «7» уже многие начинают писать без средней горизонтальной черты.

ВОСЕМЬ. Здесь совсем просто: первая буква этого слова — «В» — абсолютно похожа на цифру «8».

ДЕВЯТЬ. Здесь первая буква «Д». Но ведь эта буква уже была использована при создании двойки. К сожалению, это так. Но как же наши предки выкрутились? А вот как – из одной буквы «Д» были созданы две разные цифры «2» и «9».

или

Часть 3. Реконструкция событий.

Давным-давно наши предки решили основательно упорядочить свою жизнь. С этой целью они придумали календарь. По причине того, что периоды Луны были более короткими, а значит, легче заметными, чем солнечные. Поэтому, первым был создан лунный календарь, в котором 27 дней каждого месяца были разделёны на три периода (три недели) по 9 дней. В русских сказках эта информация сохранилась в виде слов: «у отца было три сына» (у месяца три периода), «тридевятое царство», «за тридевять земель». Да и умерших поминали на девятый день. Это очень удобно – не надо считать дни. Если в пятницу умер, то ровно через неделю, в следующую пятницу, поминают.

Действительно, славянская неделя состояла из девяти дней:

Последний – девятый – день был выходным, когда ничего не делали. Потому он и назван «неделя». Здесь всё понятно. Но почему первый день недели назван не первиком или, к примеру, первейником? Ответ напрашивается сам собой: потому, что один или единица – это фаллический символ бога, его имя. А имя бога нельзя произносить в быту (в суе). Оно было тайным. Пришлось скрыть истинное название, и первый день назвали понедельником – тот, который после недели, после выходного дня.

Как мы видим, числа в те времена уже были или только начинали создаваться, но цифр ещё не было. Предполагается также, что письменность уже существовала. Естественно, что со временем встал вопрос обозначения чисел при письме.

Как бы то ни было, но именно эти девять дней, точнее – девять цифр, им соответствующих – легли в основу первой, древней системы счисления. Со временем, после изобретения ноля, эта система стала десятичной. И десять пальцев на руках не имеют к этой системе никакого отношения. Это просто совпадение.

Telecar.

24 июня 2014 г.

nostradamu.narod.ru

Числа на арабском языке. «Арабские» цифры или Почему арабы пишут буквы справа налево, а цифры

Всем людям с раннего детства знакомы цифры, с помощью которых ведется счет предметов. Их всего десять: от 0 до 9. Потому и система исчисления называется десятичной. С помощью них можно записать совершенно любое число.

Тысячелетиями люди применяли свои пальцы для обозначения чисел. Сегодня десятичная система используется повсюду: для измерения времени, при продаже и покупке чего-либо, при различных расчетах. Каждый человек имеет собственные числа, например, в паспорте, на кредитной карте.

По вехам истории

Люди настолько привыкли к цифрам, что даже не задумываются об их важности в жизни. Наверное, многие слышали, что цифры, которые используются, называются арабскими. Некоторым это объяснили в школе, а кто-то узнал случайно. Так почему цифры называются арабскими? Какова их история?

А она является очень запутанной. Нет достоверно точных фактов об их происхождении. Известно точно, что благодарить стоит древних астрономов. Из-за них и их расчетов люди сегодня имеют числа. Астрономы из Индии где-то между II и VI веками познакомились со знаниями греческих коллег. Оттуда была взята шестидесятиричная и круглый нуль. Затем греческая была объединена с китайской десятичной системой. Индусы стали обозначать цифры одним знаком, и их способ быстро разлетелся по всей территории Европы.

Почему цифры называются арабскими?

С восьмого по тринадцатый век восточная цивилизация активно развивалась. Особенно это было заметно в сфере науки. Огромное внимание было уделено математике, астрономии. То есть в почете была точность. По всему Ближнему Востоку главным центром науки и культуры считался город Багдад. А все потому, что он находился географически очень выгодно. Арабы не постеснялись воспользоваться этим и активно перенимали много полезного от Азии и Европы. Багдад часто собирал видных ученых с этих континентов, которые передавали друг другу опыт и знания, рассказывали о своих открытиях. При этом индусы и китайцы пользовались своими системами исчисления, которые состояли всего из десяти символов.

Изобрели совсем не арабы. Они просто высоко оценили преимущества их, по сравнению с римской и греческой системами, которые считались самыми совершенными в мире на тот момент. Но ведь гораздо удобнее отображать бесконечно большие числа лишь десятью знаками. Главным достоинством арабских цифр является не удобство написания, а сама система, так как она является позиционной. То есть положение цифры влияет на значение числа. Так люди определяют единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Неудивительно, что и европейцы взяли это на вооружение и переняли арабские цифры. Это какие же мудрые ученые были на Востоке! Сегодня это кажется очень удивительным.

Написание

Как выглядят арабские цифры? Раньше они были составлены из обрывистых линий, где число углов сопоставлялось с величиной знака. Скорее всего, арабские математики высказали мысль о том, что можно связать количество углов с числовым значением цифры. Если посмотреть на старинное написание, то видно, какую величину имеют арабские цифры. Это какие же способности были у ученых в такое древнее время?

Итак, ноль не имеет углов в написании. Единица включает в себя лишь один острый угол. Двойка содержит пару острых углов. Тройка имеет три угла. Ее правильное арабское написание получается при вычерчивании почтового индекса на конвертах. Четверка включает в себя четыре угла, последний из которых создает хвостик. У пятерки пять прямых углов, а у шестерки, соответственно, шесть. При правильном старом написании семерка состоит из семи углов. Восьмерка — из восьми. А девятка, нетрудно догадаться, из девяти. Вот почему цифры называются арабскими: ими было придумано оригинальное начертание.

Гипотезы

Сегодня нет однозначного мнения насчет формирования написания арабских цифр. Ни один ученый не знает, почему определенные цифры выглядят именно таким образом, а не как-то по-другому. Чем руководствовались древние ученые, придавая цифрам формы? Одной из самых правдоподобных гипотез является та самая, с количеством углов.

Конечно, с течением времени все углы у цифр сглаживались, они постепенно приобрели привычный для современного человека облик. И уже огромное число лет арабские цифры по всему миру используются для обозначения чисел. Удивительно, что всего десятью символами можно передать невообразимо большие значения.

Итоги

Еще одним ответом на вопрос о том, почему цифры называются арабскими, является тот факт, что само слово «цифра» также имеет арабское происхождение. Математики перевели слово индусов «сунья» на родной язык и получилось «сифр», что уже похоже на произносимое в наши дни.

Это все, что известно о том, почему цифры называются арабскими. Возможно, современные ученые еще сделают какие-либо открытия на этот счет и прольют свет на их возникновение. А пока люди довольствуются только этой информацией.

Название «арабские цифры» – результат исторической ошибки. Придумали эти знаки для записи числе отнюдь не арабы. Ошибка была исправлена лишь в XVIII веке стараниями Г.Я.Кера – русского ученого-востоковеда. Именно он впервые высказал мысль, что цифры, традиционно именуемые арабскими, родились в Индии.

Индия – родина цифр

Точно сказать, когда именно в Индии появились цифры, невозможно, но с VI века они уже встречаются в документах.
Происхождение начертания цифр имеет два объяснения.
Возможно, цифры происходят от букв алфавита девангари, используемого в Индии. С этих букв начинались соответствующие числительные на санскрите.

Согласно другой версии, изначально числовые знаки состояли из отрезков, соединяющихся под прямым углом. Это отдаленно напоминало очертания тех цифр, которыми сейчас пишут индекс на почтовых конвертах. Отрезки образовывали углы, и их количество у каждого знака соответствовало числу, которое он обозначал. У единицы угол был один, у четверки – четыре и т.д., а нуль вообще углов не имел.

О нуле следует сказать особо. Это понятие – под названием «шунья» – тоже ввели индийские математики. Благодаря введению нуля родилась позиционная запись чисел. То был истинный прорыв в математике !

Как индийские цифры стали арабскими

О том, что цифры были не изобретены арабами, а заимствованы, говорит хотя бы тот факт, что буквы они пишут справа налево, а цифры – слева направо.

С индийскими цифрами арабский мир познакомил средневековый ученый Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (783-850). Один из его научных трудов так и называется – «Книга об индийском счете». В этом трактате аль-Хорезми описал и цифры, и десятичную позиционную систему.

Постепенно цифры утратили первоначальную угловатость, приспосабливаясь к арабскому письму, приобрели округлую форму.

Арабские цифры в Европе

Средневековая Европа пользовалась римскими цифрами. Насколько это было неудобно, говорит, например, письмо итальянского математика , адресованное отцу его ученика. Учитель советует отцу отправить сына в Болонский университет: может, там парня научат умножению и делению , сам учитель за такое сложное дело не берется.

Между тем, контакты с арабским миром у европейцев были, а значит – была возможность позаимствовать научные достижения. Большую роль сыграл в этом Герберт Орильякский (946-1003). Этот ученый и религиозный деятель изучал математические достижения математиков Кордовского Халифата, расположенного на территории современной Испании, что и позволило ему познакомить Европу с арабскими цифрами.

Нельзя сказать, что европейцы сразу приняли арабские цифры с восторгом. В университетах ими пользовались, а вот в повседневной практике – остерегались. Опасение было связано с легкостью подделок: единицу очень просто исправить на семерку, еще проще приписать лишнюю цифру – с римскими цифрами подобные махинации невозможны. Во Флоренции в 1299 году арабские цифры даже запретили.

Но постепенно достоинства арабских цифр становились очевидными для всех. К XV веку Европа практически полностью перешла на арабские цифры и пользуется ими до сих пор.

Однажды мне на глаза попалась статья известного новохронолога Фоменко «К вопросу о «Новгородских датировках А. А. Зализняка и В. Л. Янина », в которой описывался старый способ написания цифр 2 и 7. И хоть эта статья кое в чём противоречила другим выводам и идеям того же Фоменко, изложенные в его, совместно с Носовским, книге «Тайна русской истории «, но информация, содержащаяся в ней, дала мне толчок для новой проверки истории создания «арабских цифр». Дело в том, что в пятой главе выш

geekpad.ru

Арабские цифры — как их легко запомнить?

Выучите арабские цифры — на первый взгляд кажется, что это трудно, на самом же деле это очень легко. Знание их будет для вас полезно не только в Иране, Афганистане, Пакистане, но и еще в десятках трех стран. 

Начнем с того, что 1 и 9 точно такие же, как наши — ١ и ٩. Не очевидно на первый взгляд, но 2, 3 и 7 — тоже точно такие же, но они повернуты на 90 градусов по часовой. Точнее сказать, это наши повернуты — арабские цифры писали на счетах боком по причине узости костяшек, вот они и попали к нам боком. Поверните арабскую ٢ против часовой на четверть оборота, и вы сразу увидите в ней нашу двойку с длинным хвостом. То же и с тройкой &Fmdash; ٣ — и семеркой — ٧. 

То есть, вы уже знаете половину цифр, совершенно ничего не запомнив. Теперь вам надо когда-нибудь увидеть монету в пять динаров или лир и удивиться, что на ней стоит только ноль, типа ноль динаров. Потому что кругляшок нуля — ٥ — это, на самом деле, пятерка. От поразительности открытия запоминается навсегда. Сразу же хочется узнать, а как же тогда пишется ноль? А он просто точка — ٠.

 Теперь посмотрим на пару ٧ и ٨. Запомнить, что эти два знака и есть 7 и 8 — легко, потому что только они так красиво в паре. Чтобы их не путать, есть мнемоническая поговорка на английском, “seven is open to heaven”. Типа, “семерка открыта в небо”. На русском такой нет, но вы можете опрокидывать эти уголки набок в правильном направлении, и если семерка не распознается, то это восьмерка.

Все, теперь только трудности и начинаются, а вы уже знаете восемь цифр из десяти. Остались 4 и 6 — ٤ и ٦ — и загвоздка тут в том, что первая выглядит как зеркальная тройка, а вторая — как семерка или даже четверка. Их вам придется заучить. Про 4 лучше запомнить, что мы либо сразу распознаем цифру, либо поворачиваем ее, но нет никаких зеркальных отражений. Про 6 можно заметить, что если ее повернуть, то она, в общем-то, на 6 и похожа, только кругляшок не совсем дорисован.

На самом деле, если взять нашу четверку как ее пишут от руки, то есть с незамкнутым верхом, и повернуть, то будет почти похоже на арабскую. Так что тот же самый принцип и к этим двум цифрам применим. Вообще же говоря, наши 5 и 6 произошли не от арабских цифр, а от римских V и VI. Восьмерка же — от латинского octo, в котором для сокращения писали только первую и последнюю букву.

Короче, методика распознавания простая. ١ и ٩ узнаются сразу как наши. ٧ и ٨ легко запоминаются как именно 7 и 8, из-за своей необычности. Что именно вы видите, проверяется мнемонической поговоркой. ٠ и ٥ сидят в голове твердо из-за удивления купюрами и монетами номиналом в “ноль”. Если же вы все еще не можете распознать цифру, то кидайте ее набок и сразу узнавайте ٢ и ٣. Если же и это не помогает, то теперь вы знаете, что это 4 или 6, и только про них приходится немного думать и вспоминать.

Часто в арабских странах номера автомобилей пишут двумя способами сразу, по-нашему тоже, так что это — лучшая тренировка, идти по тротуару и смотреть на номера припаркованных машин, стараясь их разобрать и сразу проверяя правильность.

В некоторых странах написание четверки и шестерки, а также до какой-то степени пятерки, отличается — здесь приводятся оба варианта.

И последнее: хотя арабские слова пишутся наоборот, справа налево, в числах цифры идут по-нашему, то есть ١٩ — это 19, а не 91.

Источник: «Время Востока».

www.ar-ru.ru

История чисел | Любопытные подробности обо всем на свете!

История возникновения чисел очень глубокая и давняя. Сама жизнь привела людей к тому, что стало просто необходимо использовать символы для написания чисел.

Представьте, ведь давным-давно во времена, когда у людей не было цифр и они не умели считать как мы сейчас, у них все-равно возникало огромное количество поводов для счета. Правда, в те времена им не нужно было применять огромные числа. И самый простой вариант счета подсказала природа. Люди использовали пальцы рук, а при больших числах и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде.  Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Достаточно неудобно было, а вдруг никого рядом не окажется когда срочно нужно посчитать большое количество чего-нибудь?

История чисел

Потом кто-то придумал делать глиняные кружочки для подсчета. Например, повел пастух с утра большое стадо на пастбище. Подсчитал всех животных с помощью кружков — сколько кружков, столько животных. Вечером привел их домой, опять смотрит, чтобы каждому животному соответствовал один кружок. Ну и подобных вариантов существовало множество, то есть пользовались подручными средствами.

Первое доказательство использования древними людьми счета — это волчья кость, на которой 30 тысяч лет назад сделали зарубки. Притом они набиты не как-нибудь, а сгруппированы по пять.

Древность.

В Древности у разных народов существовали свои способы счета. Например, майа использовали только три обозначения: точку, линию и эллипс и записывали ими любые цифры.

В Древнем Египте около 5000-4000 лет до н.э. использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом, а сто тысяч — лягушкой (в дельте Нила было очень много лягушек, вот у людей и возникла такая ассоциация: сто тысяч — очень много, как лягушек в Ниле).

А вот наши предки-славяне использовали самую сложную запись чисел. Они их записывали буквами, над которыми ставили специальный значок «титло», чтобы отличить, где написали буквы, а где цифры, и значков у них было аж 27.

А, например, папуасские племена имели только две цифры, один и два, и называли их «урапун» и «окоза» соответственно. А дальнейшие числа называли просто используя эти два. Например три у них — «окоза-урапун», а четыре — «окоза-окоза». Видимо, считать им особо нечего, поэтому больших чисел у них нет. А все, что больше шести-семи они называют «много». А сколько там «много» уже неизвестно!

Клинопись.

Клинописное письмо

Но человечество развивалось, хозяйство увеличивалось, усложнялись и подсчеты. Появилась потребность в записи чисел. Ведь на память невозможно упомнить, сколько в стаде голов скота, сколько мешков пшеницы у тебя лежит, а сколько потратили, сколько посадили и какой собрали урожай. И вот примерно в V веке до нашей эры появились первые цифры.

Говорят, что первые числа изобрели шумеры, народ, живший на территории Южного Междуречья Тигра и Евфрата, современного Ирака примерно в IV-III тысячелетии до н.э. Шумеры, кстати, очень интересный народ. Огромное количество изобретений, известных сейчас, были впервые использованы ими. Например, постельное белье, обожженный кирпич, колесо.

 Шумеры изобрели и так называемое клинописное письмо или клинопись. На глиняных табличках рисовались различные символы в виде клиньев. Цивилизация шумеров была очень развита для тех времен. В их города жили торговцы, ремесленники. Для счета применялись сначала глиняные фишки различной формы. Со временем на них стали делать пометки, которые обозначали количество и вид того, что считали. Например, две козы. Но два мешка писали совершенно по-другому. То есть они описывали количество конкретных объектов и не выделяли отдельно цифру.

После шумеров на этих землях обосновались вавилоняне. Они переняли систему счисления шумеров. Египтяне тоже пользовались похожей системой счета.

Но все-таки подобный способ записи чисел не идеален и с развитием человечества развивалась и запись чисел.

Римские цифры.

Римские цифры

Римские цифры появились 500 лет до н.э. Римская система счисления была очень распространена в Европе и считалась на то время, пока не придумали арабские цифры,  идеальной.

I— 1

V-5

X-10

L-50

C-100

D-500

M-1000

С небольшими числами она вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. Еще один недостаток: невозможно письменно делать вычисления. Их можно сделать только в уме, что, естественно, может породить большое количество ошибок.

Сейчас римские цифры тоже применяют, например, в записи века, порядкового номера монарха и т.п.

Арабские цифры.

Арабские цифры

В V веке в Индии появилась система записи, которую мы знаем как арабские цифры и активно используем сейчас. Это был набор из 9 цифр от 1 до 9. Каждая цифра записывалась так, чтобы ей соответствовало количество углов. Например, в цифре 1 — один угол, в цифре 2 — два угла, в цифре 3 — три. И так до 9. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место.

Запись цифры по числу углов

Далее произошло интересное: арабы переняли индийскую систему счисления и начали вовсю применять ее. В те времена мусульманский мир был очень развит, он имел очень тесные связи и с азиатской и европейской культурой и брал от них все самое совершенное и передовое на то время.

Математик Мухаммед Аль-Хорезми в IX веке составил руководство об индийской нумерации. Оно в XII веке попало в Европу и эта система счисления получило очень широкое распространение. Интересно, но именно из-за того, что к нам эти цифры пришли от арабов, мы их называем арабскими, а не индийскими.

Кстати, и само слово «цифра» — арабского происхождения. Арабы перевели индийское «сунья» и получилось «цифр».

Арабская система счисления называется позиционной. Это значит, что значение числа зависит от положения его в записи. То есть в числе 18 цифра 8 обозначает 8 единиц, а в числе 87 та же восьмерка обозначает 8 десятков. Позиционные системы наиболее совершенны. Но они произошли от непозиционных систем (которые, в принципе, существуют и сейчас) в результате развития человечества, его знаний и потребностей.

Интересно то, что современные арабские цифры сильно отличаются от тех, которые используем мы:

Современные арабские цифры

Вот такая история чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют и понимают во всем мире.

Вам также может быть интересно:

История денег (с мультфильмом, который я специально для этой статьи нарисовала).

История матрешки.

lubopitnie.ru

Лекция 4. Матрицы и определители

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 13. , ,,.

В общем случае матрица может содержать строк истолбцов

.

Числа называютсяэлементами матрицы, где — указывает номер строки,— указывает номер столбца.

Элементы образуютглавную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называетсяматрицей – го порядка.

Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда, для всех,.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 14. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 15. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 16. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 17. ,.

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 18. ,.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 19. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то, причем

, для всех .

Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 21. Пусть , тогда. Матрицаназываетсяпротивоположной к матрице.

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицыВ этом случае справедливо соотношение, причем элементы матрицыравны,,. Другими словами строки матрицыумножаются на столбцы матрицы

Пример 22. Пусть ,. Тогда

,

.

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие, то матрицыиназываютсяперестановочными друг с другом.

Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

1. под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;

2. первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).

2. Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.

3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Пример 24. Если , то. Так.

Если , то.

Так .

Если , то

. Так

.

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.

Свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица

Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается

Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из негостроки истолбца. Например

, .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число. Например

, .

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.

22

studfiles.net

Определитель матрицы | umath.ru

Рассмотрим набор натуральных чисел от до : . Перестановкой этих чисел называется их запись в некотором порядке без повторений. Например, последовательность является перестановкой множества .

Обозначим перестановки этих чисел как . Из комбинаторики известно, что число всех таких различных перестановок равно .

Определение. Говорят, что числа и перестановки образуют инверсию (или беспорядок), если при верно неравенство . Число всех инверсий в перестановке обозначим .

Например, , так как перед числом стоит число , а перед числом стоят числа , большие единицы.

Пусть дана квадратная матрица

Определение. Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы размера называется число

где сумма берётся по всевозможным перестановкам номеров столбцов матрицы .

Определитель матрицы принято обозначать следующим образом:

Свойства определителей

1. Определитель единичной матрицы равен единице:

      

2. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:

      

3. При перестановке двух столбцов или строк матрицы знак её определителя меняется на противоположный.
4. Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца (строки), равен нулю.
5. При вычислении определителя матрицы из столбца (строки) можно выносить общий множитель.

      

6. При добавлении к некоторому столбцу (строке) матрицы линейной комбинации остальных столбцов определитель матрицы не изменяется.

   Линейной комбинацией столбцов называется сумма этих столбцов, умноженных на некоторые коэффициенты.

7. Определитель обратной матрицы (в случае, если она существует) равен

      

8. Определитель произведения матриц размера равен произведению их определителей:

      

umath.ru

Определитель матрицы

Определителем квадратной матрицы называется число, которое обозначается какилии вычисляется при помощи следующих трех правил.

Правило 1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечание: Определитель одноэлементной матрицы равен самому элементу.

Правило 2. Общий множитель элементов любой строки или столбца матрицы можно вынести за знак определителя.

Замечание: Определитель матрицы, у которой строка или столбец состоит только из нулей, равен .

Правило 3. Определитель матрицы не изменится, если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить другую строку (столбец) этой матрицы.

Свойства определителя матрицы.

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

5. Если все элементы строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме, — такие же, как в заданном определителе, астрока в одном из слагаемых состоит из элементов, в другом — из элементов.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Миноры и алгебраические дополнения

Обозначим через матрицу, которая остается при вычеркивании из матрицыстроки истолбца. Тогданазывается минором элемента. Величинаназывается алгебраическим дополнением элемента.

Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.

Теорема. Определитель каждой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. при разложении по элементам строки

Для вычисления значений определителей матриц второго порядка пользуются формулой:

Для вычисления значений определителей матриц третьего порядка можно воспользоваться формулой разложения определителя по первой строке:

Пример 7. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель

, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 8. Вычислить определитель , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу . Если в этой матрице выделить произвольнострок истолбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицупорядка. Определитель этой матрицы называетсяминором k-го порядка матрицы . Очевидно, что матрицаобладает минорами любого порядка отдо наименьшего из чисели. Некоторые среди них будут равны нулю. Среди всех отличных от нуля миноров матрицынайдется, по крайней мере, один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы равен, то это означает, что в матрицеимеется отличный от нуля минор порядка, но всякий минор порядка, большего чем, равен нулю. Ранг матрицыобозначается через. Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор порядка матрицы, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь минорыпорядка, окаймляющие минор, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1. перестановка двух любых строк (или столбцов),

2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы и эквивалентны, то это записывается так: .

Каноническойматрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 11. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение. Начинаем с миноров порядка, (т.е. с элементов матрицы). Выберем, например, минор (элемент), расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор, отличный от нуля. Переходим теперь к минорампорядка, окаймляющим. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

, .

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы равен двум.

Пример 12. Найти ранг матрицы

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на и:

;

из третьей строки вычтем вторую, при этом получим матрицу

,

которая эквивалентна матрице , так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицыравен, а следовательно, и.

Матрицу легко привести к канонической.

Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются.

Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

studfiles.net

Определитель матрицы и его свойства

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

.

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

.

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

.

В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых , входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Пример:

Основные свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом

,

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

Пример: .

При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.

Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

.

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .

Пример. Требуется вычислить обратную матрицу

.

Матрица будет иметь вид

.

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

.

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

Разделим все элементы матрицы на . В результате получаем обратную матрицу

.

Если теперь умножить полученную обратную матрицу на матрицу , то в результате получим единичную матрицу.

infopedia.su

Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится

1. След матрицы

Определение. Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.

Обозначение: .

Свойства следа:

1. .

2. .

3. .

Задача. Доказать, что матричное уравнение , где — квадратная матрица , — единичная матрица, решений не имеет.

Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части — .

2. Вычисление некоторых определителей

2.1. Циклический определитель (циркулянт)

В строках циклически передвигаются .

Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:

Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:

2.2. Определитель Вандермонда

Вычтем последовательно из -го, -го, , второго столбца предыдущий, домноженный на :

разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:

Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:

Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу

2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз

А теперь рассмотрим циркулянт общего вида

Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по ( — корень степени из ) и воспользуемся равенством . Получим

откуда

поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.

2.4. Ганкелев определитель

Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:

Элементы —  образующие ганкелевой матрицы.

Теорема. Если при , то

Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:

На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:

2.5. Определитель Коши

Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:

и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:

разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:

2.6. Определитель матрицы Гильберта

Если при , то определитель матрицы Гильберта

равен

Он получается из определителя Коши, если положить , .

2.7. Ленточный определитель

Определитель Якоби:

после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить по последней строке, то получим:

Теорема. Значение равно сумме главного члена и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей на .

Частный случай определителя Якоби — континуант:

Его величина совпадает с континуантой.

Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):

В этом случае уравнение получим

Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители и :

Упражнение. Вычислить определитель

Задачи.

1. Пусть матрица , , и — минор элемента . Пусть — матрица, составленная из элементов , и . Докажите, что .

2. Пусть

Для каких уравнение имеет кратные корни по ?

3. Пусть — матрица с элементами . Найдите .

4. Пусть — единичная матрица ,

Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при .

5. Пусть — матрица, диагональные элементы ее все равны и , если четно и , если нечетно. Найдите

6. Вычислите

7. Найдите определитель -го порядка

8. Пусть и — вещественные не равные матрицы , такие, что и . можно ли выбрать матрицы и так, чтобы матрица была обратима?

9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных матриц с операцией матричного умножения. Сумма следов всех элементов равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов — нулевая матрица.

10. Пусть и — матрицы с целыми элементами. Пусть матрицы и имеют обратные с целыми элементами. Докажите, что и матрица тоже имеет обратную с целыми элементами.

11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.

12. Пусть

Существует ли матрица такая, что ?

13. Даны две матрицы и размерами и соответственно, причем известно, что

Найдите .

14. Пусть — матрица: при и . Докажите, что число ненулевых элементов в разложении равно .

Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/

hijos.ru

Деление дробей | Математика

Деление дробей — тема, которая включает в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся деления обыкновенных дробей, смешанных чисел и натуральных чисел.

1. Деление обыкновенных дробей.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

(то есть первую дробь нужно переписать без изменений и умножить её на «перевёрнутую» вторую дробь).

При умножении дробей проще сокращать множители, чем результат.

Если в результате получается неправильная дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры деления обыкновенных дробей:

2. Деление обыкновенной дроби на натуральное число.

Применив правило деления обыкновенных дробей

приходим к выводу:

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

Примеры деления обыкновенной дроби на число:

Заметим, что если числитель дроби делится на число без остатка, при делении можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить тем же:

Стоит ли запоминать ещё одно правило или использовать одно правило для всех случаев — решать вам.

3. Деление натурального числа на дробь.

Применив правило деления обыкновенных дробей

приходим к выводу:

чтобы разделить натуральное число на дробь, надо в числитель записать произведения этого числа и знаменателя, а в знаменатель записать числитель.

Можно запомнить это правило и применять его в дальнейшем. А можно делить число на дробь, применяя для всех случаев деления дробей одно правило. Выбирайте, что для вас удобнее.

Примеры деления натурального числа на дробь:

Здесь можно сделать ещё один вывод:

4. Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить смешанные числа (смешанные дроби), надо превратить их в неправильные дроби и разделить по правилу деления обыкновенных дробей:

(эту формулу запоминать не надо. Достаточно знать, как  переводить смешанные дроби в неправильные и делить обыкновенные дроби).

Примеры деления смешанных дробей:

Примеры деления смешанного числа и обыкновенной дроби:

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся деления десятичных дробей.

www.for6cl.uznateshe.ru

Деление дробей

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить две дроби нужно выполнить следующие шаги:

• 1 Перевернуть вторую дробь(поменять числитель и знаменатель местами) и умножить полученные дроби . Следующие шаги, 2—4, в точности повторяют процесс умножения дробей.
• 2 Перемножить числители дробей между собой 5 × 4 = 20.
• 3 Перемножить знаменатели дробей между собой 8 × 3 = 24.
• 4 Сократим полученную дробь , в результате получим .

Деление обыкновенных дробей можно записать в виде:

При деление дробей не имеет значения, имеют ли они одинаковый знаменатель или разный.

Пример Выполните деление дробей

.

Чтобы проверить результат деления дробей, можно воспользоваться калькулятором дробей.

Пример Разделить дроби .

.

Деление дроби на число

Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить знаменатель на числитель, а числитель оставить без изменения, затем сократить дробь.

Пример Разделим дробь на число

.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

calcs.su

Умножение дробей, деление дробей

Умножение обыкновенных дробей

Определение 1

Умножение дробей рассматривается как действие нахождения дроби от дроби.

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

Таблица значений локальной функции Лапласа

Как посчитать логарифм на калькуляторе

Логариифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую нужно построить основание a, дабы получить число b. Как водится, современные калькуляторы дозволяют посчитать логарифмы по основанию 10 и е, то есть десятичный (log) и настоящий (ln) логарифмы соответственно.

Вам понадобится

• Калькулятор, базовые умения по математике.

Инструкция

1. Проверьте, может ли калькулятор считать логарифмы . Как водится это могут делать больше продвинутые версии либо инженерные калькуляторы. Дюже легко узнать может ли калькулятор считать логарифмы . Если может, то у него есть кнопки с надписью ln и log.

2. Позже того как вы удостоверитесь, что калькулятор разрешает считать логарифмы , включите его и введите число, логарифм которого хотите посчитать. Возможен, нужно обнаружить десятичный логарифм от числа 324. Наберите на калькуляторе 324.

3. После этого нажмите на кнопку “log”, если хотите обнаружить десятичный логарифм либо на кнопку “ln” – если естественный. Позже этого калькулятор произведет расчет и на экране высветится результат. В примере с числом 324, если посчитать десятичный логарифм, получится результат 2.5104, а если естественный, то 5.7807.

Степень числа разбирают в школе на уроках алгебры. В жизни такая операция выполняется редко. Скажем, при расчете площади квадрата либо объёма куба применяются степени, так как длина, ширина, а для куба и высота – равные величины. В остальном возведение в степень почаще каждого носит прикладной производственный нрав.

Вам понадобится

• Бумага, ручка, инженерный калькулятор, таблицы степеней, программные продукты (скажем, табличный редактор Excel).

Инструкция

1. Посчитать степень числа на математическом языке обозначает построить всякое число в какую-либо степень. Представим, нужно число Х построить в степень n.Для этого число Х умножается само на себя n раз.

2. Пускай Х = 125, а степень числа, т. е. n = 3. Это обозначает, что число 125 необходимо умножить само на себя 3 раза.125^3 = 125*125*125 = 1 953 125Ещё пример.3^4 = 3*3*3*3 = 81

3. При работе с негативным числом надобно быть опрятным со знаками. Следует помнить, что четная степень (n) даст знак плюс, нечетная – знак минус.Скажем(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

4. Нулевая степень (n = 0) от всякого числа неизменно будет равна единице.15^0 = 1(-6)^0 = 1(1/3)^0 = 1Если n = 1, число умножать само на себя не нужно.Будет7^1 = 7329^1 = 329

5. Операция, обратная возведению числа в степень, именуется извлечение корня.Если 5^2 = 25, то квадратный корень из 25 будет равен 5.Если 5^3 = 125, то корень третей степени равен 5.Если 8^4= 4 096, то корень четвертой степени из 4 096 будет равен 8.

6. Если n = 2, тогда степень называют квадратом, если n = 3, степень называют кубом. Вычисление квадрата и куба из чисел первого десятка изготавливать довольно легко. Но с увеличением числа, возводимого в степень, и с увеличением самой степени, вычисления становятся трудоемкими. Для таких вычислении были разработаны особые таблицы. Также существуют особые инженерные и online калькуляторы, программные продукты. В качестве простейшего программного продукта для операций со степенями дозволено применять табличный редактор Excel.

Существует три вида инженерных калькуляторов: с обратной польской, арифметической и формульной записью. Бывают и такие калькуляторы, которые поддерживают переключения способов ввода выражений. Применение всякого из них имеет свои особенности.

Инструкция

1. Определите, какой способ ввода поддерживает ваш калькулятор. Если на нем отсутствует клавиша со знаком равенства, но есть клавиша со стрелкой, направленной вверх, перед вами – машинка с обратной польской записью. Присутствие клавиши со знаком равенства говорит о том, что в приборе применяется арифметический способ ввода. Наконец, если индикатор калькулятора, помимо сегментных знакомест, имеет еще и матричные, то агрегат рассчитан на формульную запись. В последнем случае, взамен знака равенства на соответствующей клавише может быть нанесено слово “EXE” либо “Enter”.

2. Дабы произвести расчет на калькуляторе с обратной польской записью, нужно сначала определить очередность выполнения действий. Делается это по общепризнанным математическим правилам.Действия с двумя операндами исполняйте дальнейшим образом. Введите 1-й операнд. Нажмите кнопку со стрелкой вверх, дабы перенести его на один регистр стека вверх. Введите 2-й операнд, и лишь позже этого нажмите на клавишу математического действия. На индикаторе отобразится итог вычисления.Для выполнения действия с одним операндом легко введите его, а после этого нажмите на соответствующую этому действию кнопку.

3. На калькуляторе с арифметической записью действия с двумя операндами исполняйте так же, как на обыкновенном калькуляторе. Действия же с одним операндом исполняйте так же, как на машинке с обратной польской записью.Если на клавиатуре присутствуют клавиши со скобками, надобность в определении очередности вычислений отсутствует. Следует, впрочем, не допускать превышения яруса вложенности скобок, указанного в инструкции. При отсутствии инструкции определить данный ярус дозволено опытным путем, нажав клавишу с открывающей скобкой несколько раз и подметив, позже которого по счету нажатия появилось сообщение об ошибке.

4. В калькулятор с формульной записью выражение вводят так же, как оно записывается на бумаге. Если поле ввода однострочное, формулы, содержащие дроби, преобразовывают в «одноэтажные» с поддержкой скобок и знака деления. При необходимости, введенное выражение дозволено скорректировать, пользуясь клавишами с горизонтальными стрелками, а также кнопками “Insert”, “Backspace” и “Delete” (на различных калькуляторах их наименования могут различаться). После этого нажимают клавишу “EXE” либо “Enter” и получают итог. Если данный итог требуется разместить в следующую формулу, пользуются клавишей “ANS”.

5. Во многих калькуляторах некоторые из клавиш способны исполнять больше одной функции. Примитивное нажатие клавиши соответствует выполнению той операции, наименование которой указано прямо на ней. Другие операции обозначены рядом с кнопкой тем либо другим цветом. Дабы принудить калькулятор исполнить такую функцию, следует вначале нажать регистровую клавишу, имеющую тот же цвет (она может именоваться “F”, “2ndF”, “S”), а после этого – кнопку, рядом с которой указана надобная вам операция.

Видео по теме

Из всеобщего ряда логарифмов два выделены особенно – это логарифм по основанию 10 (десятичный) и по основанию, равному числу “e” – константе, которую называют «числом Эйлера». Эта константа является числом иррациональным, то есть не имеет точного значения, а представляет собой безмерную дробь. Логарифм с таким основанием именуется естественным и имеет гораздо большее использование в интегральном и дифференциальном исчислении, чем десятичный логарифм.

Инструкция

1. Используйте онлайн-калькуляторы как особенно стремительный метод вычисления естественных логарифмов при наличии доступа в интернет. Таких сервисов довольно много в сети, но искать их через поисковые системы нет необходимости – некоторые из поисковиков и сами имеют вычислители с надобной функцией. Скажем, дозволено воспользоваться калькуляторами поисковых систем Google либо Nigma. Перейдя на основную страницу всякий из этих систем, введите в поле для поискового запроса запись необходимого вам математического действия. Скажем, для вычисления естественного логарифма числа 0,489 введите «ln 0.489». В качестве разделителя целой и дробной частей класснее применять точку, правда Nigma осознает верно и число с разделителем-запятой.

2. Задействуйте программный калькулятор, встроенный в операционную систему Windows, если доступ в интернет отсутствует. Открыть его дозволено через основное меню на кнопке «Пуск» (раздел «Все программы», подраздел «Типовые», сегмент «Служебные», пункт «Калькулятор») либо с подмогой диалога запуска программ, тот, что вызывается сочетанием клавиш WIN + R. В диалоге нужно ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK».

3. Переключите запущенный калькулятор в больше продвинутый режим. Если вы используете операционную систему Windows XP либо больше раннюю версию, то необходимый режим будет именоваться «инженерный», а в больше поздних версиях (Windows 7 и Windows Vista) – «ученый». Пункт с таким наименованием в всякий версии ОС размещен в раздел «Вид» меню калькулятора.

4. Используйте клавиатуру либо кнопки интерфейса на экране для ввода числа, естественный логарифм которого необходимо вычислить. После этого щелкните кнопку с меткой ln и программа посчитает и покажет итог вычисления.

На практике почаще каждого используются десятичные логарифмы, которые принято называть стандартными. Для их нахождения составлены особые таблицы, применяя которые дозволено обнаружить значение логарифма всякого позитивного числа с той либо другой точностью, заблаговременно приведя его к стандартному виду. Для решения большинства задач абсолютно довольны четырехзначные таблицы Брадиса с точностью до 0,0001, которые содержатся мантиссы десятичных логарифмов. Отзыв дозволено легко обнаружить по одному виду числа. Обращение с таблицами крайне примитивное.

Вам понадобится

• – формула перехода от одного основания логарифма к иному;
• – четырехзначные математические таблицы Брадиса.

Инструкция

1. Приведите логарифм к стандартному виду, если его основание не равно 10. Используйте формулу перехода от одного основания к иному.

2. Обнаружьте колляцию логарифма. Если число огромнее либо равно единице, то сосчитайте число цифр в целой части данного числа. Отнимите из этого числа единицу и получите значение колляции. Скажем, у логарифма числа 56,3 колляция равна 1. Если число является десятичной дробью, меньшей 1, то сосчитайте в ней число нулей до первой цифры, чудесной от нуля. Сделайте негативным подученное значение колляции. Скажем, у логарифма числа 0,0002 колляция равна -4.

3. Определите число для нахождения мантиссы как целое. Проигнорируйте в данном числе запятую, если она есть и отбросьте все нули, стоящие в конце числа. Расположение запятой в десятичном числе и последние нули никаким образом не влияют на величину мантиссы. Запишите образовавшееся целое число. Скажем, у логарифма числа 56,3 оно равно 563. В зависимости от того, сколько цифр содержится в этом числе, зависит алгорифм работы с четырехзначными таблицами. Существует три типа алгорифмов.

4. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения является трехзначным. Обнаружьте в четырехзначных математических таблицах Брадиса таблицу XIII «Мантиссы десятичных логарифмов». Перейдите на строчку, содержащую в первом столбце «N» эти две первые цифры числа, по которому ищется мантисса. Скажем, если имеем число 563, то ищите строчку, где в первом столбе стоит 56. После этого продвигайтесь по этой строчке вправо до ее пересечения со столбцом, номер которого совпадает с третьей цифрой начального числа. В нашем примере это столбец с номером 3. На пересечении обнаруженной строки и столбца находится значение мантиссы. Мантисса, обнаруженная по числу 563 равна 0,7505.

5. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения состоит из 2-х либо одной цифры. Припишите мысленно к этому числу такое число нулей, дабы оно стало трехзначным. Если число равно 56, то получается 560. Обнаружьте мантиссу по полученному трехзначному числу. Для этого исполните действия из шага 4. Мантисса по числу 560 равна 0,7482.

6. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения является четырехзначным. Обнаружьте мантиссу для числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа. Для этого исполните действия из шага 4. После этого передвигайтесь по горизонтальной строке от обнаруженной мантиссы в правую часть таблицы, расположенную за вертикальной толстой чертой и содержащей поправки на четвертую цифру. Обнаружьте в области поправок столбец с номером, совпадающим с четвертой цифрой числа. Прибавьте поправку, находящуюся на пересечении строки и столбца, к мантиссе, обнаруженной по трехзначному числу. Скажем, если число для нахождения мантиссы равно 5634, то мантисса по 563 равна 0,7505. Поправка по цифре 4 равна 3. Окончательный итог равен 0,7508.

7. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее содержит больше четырех цифр. Округлите число до четырех знаков так, дабы все цифры, начиная с пятой, были нулями. Отбросьте последние нули и обнаружьте мантиссу по четырехзначному числу. Для этого исполните действия из шага 7.

8. Обнаружьте логарифм числа как сумму колляции и мантиссы. В рассматриваемом примере логарифм числа 56,3 равен 1,7505.
Видео по теме

Логарифмом числа x по основанию a именуется такое число y, что a^y = x. От того что логарифмы облегчают дюже многие фактические вычисления, значимо уметь ими пользоваться.

Инструкция

1. Логарифм числа x по основанию a будем обозначать loga(x). Скажем, log2(8) — логарифм числа 8 по основанию 2. Он равен 3, так как 2^3 = 8.

2. Логарифм определен только для позитивных чисел. Негативные числа и нуль не имеют логарифмов вне зависимости от основания. При этом сам логарифм может быть любым числом.

3. Основанием логарифма может служить всякое правильное число, помимо единицы. Впрочем на практике почаще каждого применяются два основания. Логарифмы по основанию 10 именуются десятичными и обозначаются lg(x). Десятичные логарифмы почаще каждого встречаются в фактических вычислениях.

4. Второе знаменитое основание для логарифмов — иррациональное трансцендентное число e = 2,71828… Логарифм по основанию e именуется естественным и обозначается ln(x). Функции e^x и ln(x) владеют специальными свойствами, значимыми для дифференциального и интегрального исчисления, следственно настоящие логарифмы почаще применяются в математическом обзоре.

5. Логарифм произведения 2-х чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Скажем, log2(256) = log2(32) + log2(8) = 8.Логарифм частного 2-х чисел равен разности их логарифмов: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).

6. Дабы обнаружить логарифм числа, возведенного в степень, надобно логарифм самого числа умножить на показатель степени: loga(x^n) = n*loga(x). При этом показатель степени может быть любым числом — правильным, негативным, нулем, целым либо дробным.От того что x^0 = 1 для всякого x, то loga(1) = 0 для всякого a.

7. Логарифм заменяет умножение сложением, возведение в степень умножением, а извлечение корня делением. Следственно в неимение вычислительной техники логарифмические таблицы невидимо упрощают расчеты.Дабы обнаружить логарифм числа, не входящего в таблицу, его необходимо представить в виде произведения 2-х либо больше чисел, логарифмы которых есть в таблице, и обнаружить окончательный итог, сложив эти логарифмы.

8. Довольно легкой метод вычислить естественный логарифм — воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд:ln(1 + x) = x – (x^2)/2 + (x^3)/3 – (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n).Данный ряд дает значения ln(1 + x) для -1 < x ?1. Иными словами, так дозволено вычислить естественные логарифмы чисел от 0 (но не включая 0) до 2. Естественные логарифмы чисел за пределами этого ряда дозволено обнаружить путем суммирования обнаруженных, пользуясь тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. В частности ln(2x) = ln(x) + ln (2).

9. Для утилитарных вычислений изредка бывает комфортно перейти от естественных логарифмов к десятичным. Всякий переход от одного основания логарифмов к иному совершается по формуле:logb(x) = loga(x)/loga(b).Таким образом, log10(x) = ln(x)/ln(10).

Знаменитый французский математик и звездочет XVIII-XIX столетий Пьер-Симон Лаплас утверждал, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономам», ускорив процесс вычислений. И подлинно, взамен того, дабы умножать многозначные числа, довольно обнаружить по таблицам их логарифмы и сложить их.

Инструкция

1. Логарифм – один из элементов элементарной алгебры. Слово «логарифм» происходит от греческого «число, отношение» и обозначает степень, в которую нужно построить число, стоящее в основании, дабы получить итоговое число. Скажем, запись «2 в 3 степени равно 8» дозволено представить как log_2 8 = 3. Существуют вещественные и комплексные логарифмы.

2. Логарифм вещественного числа имеет место только при позитивном основании, не равном 1, и для итогового числа огромнее нуля. Особенно используемыми основаниями логарифмов являются число е (экспонента), 10 и 2. При этом логарифмы называют, соответственно, естественными, десятичными и двоичными и записывают как ln, lg и lb.

3. Основное логарифмическое тождество a^log_a b = b. Простейшие правила логарифмов вещественных чисел: log_a a=1 и log_a 1=0. Основные формулы приведения: логарифм произведения – log_a (b*c) = log_a |b| + log_a |c|;логарифм частного – log_a (b/c) = log_a |b| – log_a |c|, где b и c – правильные.

4. Логарифмической функцией именуется логарифм переменного числа. Область значений такой функции – бесконечность, ограничения – основание правильное и не равно 1, причем функция повышается при основании огромнее 1 и убывает при основании от 0 до 1.

5. Логарифмическую функцию комплексного числа называют многозначной, так как для всякого комплексного числа существует логарифм. Это следует из определения комплексного числа, которое состоит из вещественной части и мнимой. И если для вещественной части логарифм определяется однозначно, то для мнимой неизменно имеется безмерное уйма решений. Для комплексных чисел применяются, в основном, естественные логарифмы, так как такие логарифмические функции связаны с числом е (экспонентой) и используются в тригонометрии.

6. Логарифмы находят использование не только в математике, но и в иных областях науки, скажем: физике, химии, астрономии, сейсмологии, истории и даже теории музыки (звуков).

7. 8-значные таблицы логарифмической функции наравне с тригонометрическими впервой опубликовал шотландский математик Джон Непер в 1614 году. В России особенно знамениты таблицы Брадиса, изданные впервой в 1921 году. В реальное же время для подсчета логарифмических и других функций применяются калькуляторы, следственно применение печатных таблиц ушло в прошлое.

Видео по теме

Полезный совет
Число е – экспонента, ее значение равно 2,7182818281828…. Существует вестимая мнемоническая фраза для запоминания: «Экспоненту помнить метод есть легкой: два и семь десятых, двукратно Лев Толстой», где «Лев Толстой» = «1828» (год рождения писателя).

Десятичным логарифмом называют функцию для вычисления неведомого показателя степени, в тот, что возводится число десять. Почаще мы имеем дело с этой функцией, как с комбинированный частью физических либо математических формул, но изредка доводится изготавливать и фактические вычисления. Если у вас есть вероятность пользоваться компьютером, то, разумеется, никаких сложностей с нахождением значения десятичного логарифма появиться не должно.

Инструкция

1. Воспользуйтесь, скажем, вычислительными вероятностями поисковой системы Google – при наличии доступа в интернет это, вероятно, самый стремительный из допустимых методов вычисления десятичных логарифмов. Процедура применения поисковика максимально примитивна – перейдите на его основную страницу, наберите lg и через пробел введите число, десятичный логарифм которого вас волнует. Google произведет расчет и отобразит на странице итог. Если взамен обозначения lg вы наберете «десятичный логарифм», то и такое указание математического действия будет верно осознано поисковой системой.

2. Используйте устанавливаемое совместно с операционной системой приложение, имитирующее калькулятор, если доступа в интернет нет. В ОС Windows ее дозволено вызвать с подмогой диалога запуска программ – нажмите сочетание клавиш win + r, наберите calc (имя файла этой программы без растяжения) и щелкните по кнопке OK. В основном меню ОС тоже есть ссылка на запуск этого приложения – ищите ее в сегменты «Типовые» подраздела «Служебные» из раздела «Все программы». Ссылка эта так и названа – «Калькулятор».

3. Нажмите сочетание клавиш alt + 2, дабы переключить приложение в «инженерный» режим. В больше ранних версиях Windows он назван «научным» – такую строку дозволено обнаружить в разделе «Вид» меню этой программы.

4. Введите число, десятичный логарифм которого вас волнует. Делать это дозволено как с клавиатуры, так и щелкая мышкой по соответствующим кнопкам в интерфейсе калькулятора на экране монитора. Обратите внимание, что тут для обозначения функции вычисления десятичного логарифма использована надпись log, а не привычное нам lg. Кликните по кнопке с символами log – калькулятор рассчитает и отобразит итог.

Видео по теме

Термин «логарифм » случился от 2-х греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое – «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую нужно построить непрерывное значение (основание), дабы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом “e”, то логарифм называют «естественным».

Вам понадобится

• Доступ в интернет, Microsoft Office Excel либо калькулятор.

Инструкция

1. Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете онлайн-калькуляторами – это, вероятно, самый стремительный и примитивный метод вычисления естественного логарифм а. Поиском соответствующего обслуживания вам заниматься не придется, потому что многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, абсолютно пригодные для работы с логарифм ами. Скажем, перейдите на основную страницу самого огромного сетевого поисковика – Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций тут не понадобится, примитивно наберите в поле ввода запроса необходимое математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию “e” введите ln 457 – этого будет абсолютно довольно, дабы Google отобразил положительный результат с точностью до восьми знаков позже запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

2. Используйте соответствующую встроенную функцию, если надобность вычисления значения естественного логарифм а появляется при работе с данными в знаменитом табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция тут вызывается с применением общепризнанного обозначения такого логарифм а в верхнем регистре – LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен итог вычисления, и введите знак равенства – так в этом табличном редакторе обязаны начинаться записи в ячейках, содержащих формулы. После этого наберите наименование функции (LN) и в скобках укажите числовое значение, логарифм которого требуется вычислить – скажем, =LN(457). Позже того, как вы нажмете Enter, в этой ячейке таблицы отобразится итог вычисления естественного логарифм а.

3. Откройте программу-калькулятор, которая устанавливается совместно с операционной системой, если оба приведенных выше метода вам не подходят. Обнаружить соответствующую ссылку в ОС Windows 7 дозволено, если раскрыть основное меню щелчком по кнопке «Пуск», а после этого ввести «каль» в поле «Обнаружить программы и файлы». Ссылка с наименованием «Калькулятор» будет первой строкой в итоге поиска. В иных версиях ОС ее нужно искать в подразделе «Типовые» раздела «Все программы» основного меню. Переключите калькулятор в больше функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. После этого введите значение, настоящий логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит итог.

Видео по теме

Десятичный логарифм – это частный случай операции вычисления показателя степени, в которую нужно построить основание (в данном случае – десятку), дабы получить начальное число. Из всеобщего ряда оснований чести быть выделенными в независимую операцию сегодня считаются каждого два числа. Помимо десятки это математическая константа, называемая «числом e», которая является основанием естественного логарифм а. Вычисление логарифм ов, включая десятичные, на современном ярусе становления компьютерной техники и средств коммуникаций трудности не представляет.

Вам понадобится

• ОС Windows, Microsoft Office Excel, доступ в интернет.

Инструкция

1. Рассчитайте десятичный логарифм во встроенном в операционную систему Windows калькуляторе. Дабы его запустить, кликните по кнопке «Пуск», наберите две буквы – «ка» – и нажмите клавишу Enter. Такой последовательностью действий вы принудите систему обнаружить приложения и файлы, начинающиеся с этих 2-х букв, и активировать первую строку списка итогов поиска – «Калькулятор».

2. Переключите приложение в «инженерный» вариант его интерфейса – нажмите комбинацию клавиш Alt + 2. Введите число, десятичный логарифм от которого требуется рассчитать, и кликните по четвертой слева кнопке в нижнем ряду интерфейса приложения – она помечена надписью log. На этом операция будет закончена, а итог отобразится в окошке калькулятора.

3. Дозволено рассчитать десятичный логарифм и с применением программы, которая почаще каждого используется для математических расчетов дома и в офисе – табличного редактора Microsoft Office Excel. Запустите приложение и перейдите на вкладку «Формулы» в меню редактора. В группе команд «Библиотека функций» раскройте выпадающий список «Математическое», щелкнув по средней пиктограмме в правой колонке кнопок этой группы. Из перечисленных функций выберите LOG10, и на экране появится форма с исключительным полем – «Число». Введите в него величину, из которой нужно извлечь десятичный логарифм , и нажмите кнопку OK. Итог отобразится в первой ячейке открытого листа электронной таблицы.

4. Дозволено обойтись вообще без вычислительных программ, а обратиться к поисковой системе Google. Данный поисковик имеет личный встроенный калькулятор, от вас понадобится лишь верно сформулировать запрос. Скажем, дабы вычислить десятичный логарифм числа 9,81 введите в поле поискового запроса log 9,81, нажмите кнопку отправки запроса и Google отобразит итог с точностью до девяти знаков позже запятой: log(9,81) = 0,991669007.

Видео по теме

Видео по теме

Обратите внимание!
Логарифм от числа, равного либо поменьше нуля, не существует и калькулятор в этом случае выдаст вам ошибку.

Полезный совет
Легко в уме дозволено посчитать логарифм единицы, он неизменно равен 0, а также логарифмы, которые являются степенью основания. Они легко будут равны этой степени.

jprosto.ru

Расчет логарифмов

Простой математический калькулятор для вычисления логарифмов чисел с указанным основанием. Данный калькулятор способен посчитать как десятичный логарифм, так и натуральный.

Теперь вы можете без всяких формул быстро зайти на наш сайт и посчитать то или иное число, узнать его логарифм.

Также на нашем сайте вы можете посчитать и обратный логарифм числа, антилогарифм, просто нужно зайти на данную страницу:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Как считать логарифм с калькулятором

Вычисление логарифмов в обучающем процессе зачастую заканчивается записью легкой формы логарифмического выражения. Впрочем на практике изредка нужно вычислить точное значение логарифма числа по заданному основанию. Причем точность логарифма изредка требуется достаточно высокая. Множество высчитываемых логарифмов являются иррациональными числами. Ранее числовое значение логарифма определялось по особым логарифмическим таблицам. Сегодня обнаружить логарифм числа дозволено с подмогой калькулятора, проведя ряд несложных действий.

Вам понадобится

• Инженерный калькулятор

Инструкция

1. В калькуляторе, как водится, присутствует функция вычисления естественного логарифма, то есть логарифма всякого числа по основанию е. Но исходя из свойств логарифма и правил проведения операций над ними, дозволено вычислить логарифм на калькуляторе по любому иному основанию. Для этого необходимо применить формулу перехода от основания е к необходимому вам новому основанию.

2. С учетом формулы перехода, исполните вычисление логарифма числа b по основанию а на калькуляторе, запоминая полученные промежуточные итоги в память устройства. Для этого вначале вычислите естественный логарифм числа а, которое является основанием вашего начального логарифма. Нажмите на калькуляторе клавишу [MC] для обнуления памяти калькулятора. После этого наберите число основания а и нажмите на функцию естественного логарифма [ln].

3. Сбережете полученное значение логарифма в память с подмогой кнопки [M+]. Дальше очистите окно итогов для дальнейших вычислений клавишей [C].

4. Вычислите настоящий логарифм числа b, заданного в вашем начальном логарифме. Для этого наберите на калькуляторе последовательность: вначале число b, потом [ln]. Получите логарифм заданного числа, но по основанию е.

5. Вычислите логарифм по заданному основанию а. Для этого надобно поделить, полученное последним, значение логарифма b на имеющееся в памяти промежуточное значение логарифма а. Нажмите ступенчато кнопки: [/] и [MR]. На экране высветиться первое вычисленное число. Произведите деление, нажав клавишу [=]. Калькулятор выдаст вам на экран значение, которое является логарифмом заданного числа a по основанию b.

Существует три вида инженерных калькуляторов: с обратной польской, арифметической и формульной записью. Бывают и такие калькуляторы, которые поддерживают переключения способов ввода выражений. Применение всего из них имеет свои особенности.

Инструкция

1. Определите, какой способ ввода поддерживает ваш калькулятор. Если на нем отсутствует клавиша со знаком равенства, но есть клавиша со стрелкой, направленной вверх, перед вами – машинка с обратной польской записью. Присутствие клавиши со знаком равенства говорит о том, что в приборе применяется арифметический способ ввода. Наконец, если индикатор калькулятора, помимо сегментных знакомест, имеет еще и матричные, то агрегат рассчитан на формульную запись. В последнем случае, взамен знака равенства на соответствующей клавише может быть нанесено слово “EXE” либо “Enter”.

2. Дабы произвести расчет на калькуляторе с обратной польской записью, нужно сначала определить очередность выполнения действий. Делается это по общепризнанным математическим правилам.Действия с двумя операндами исполняйте дальнейшим образом. Введите 1-й операнд. Нажмите кнопку со стрелкой вверх, дабы перенести его на один регистр стека вверх. Введите 2-й операнд, и лишь позже этого нажмите на клавишу математического действия. На индикаторе отобразится итог вычисления.Для выполнения действия с одним операндом легко введите его, а после этого нажмите на соответствующую этому действию кнопку.

3. На калькуляторе с арифметической записью действия с двумя операндами исполняйте так же, как на обыкновенном калькуляторе. Действия же с одним операндом исполняйте так же, как на машинке с обратной польской записью.Если на клавиатуре присутствуют клавиши со скобками, надобность в определении очередности вычислений отсутствует. Следует, впрочем, не допускать превышения яруса вложенности скобок, указанного в инструкции. При отсутствии инструкции определить данный ярус дозволено опытным путем, нажав клавишу с открывающей скобкой несколько раз и подметив, позже которого по счету нажатия появилось сообщение об ошибке.

4. В калькулятор с формульной записью выражение вводят так же, как оно записывается на бумаге. Если поле ввода однострочное, формулы, содержащие дроби, преобразовывают в «одноэтажные» с подмогой скобок и знака деления. При необходимости, введенное выражение дозволено скорректировать, пользуясь клавишами с горизонтальными стрелками, а также кнопками “Insert”, “Backspace” и “Delete” (на различных калькуляторах их наименования могут различаться). После этого нажимают клавишу “EXE” либо “Enter” и получают итог. Если данный итог требуется разместить в следующую формулу, пользуются клавишей “ANS”.

5. Во многих калькуляторах некоторые из клавиш способны исполнять больше одной функции. Примитивное нажатие клавиши соответствует выполнению той операции, наименование которой указано прямо на ней. Другие операции обозначены рядом с кнопкой тем либо другим цветом. Дабы принудить калькулятор исполнить такую функцию, следует вначале нажать регистровую клавишу, имеющую тот же цвет (она может именоваться “F”, “2ndF”, “S”), а после этого – кнопку, рядом с которой указана надобная вам операция.

Видео по теме

Логарифмы применяются при решении тех уравнений в математике и прикладных науках, в которых неведомые величины присутствуют как показатели степени. Логарифм с основанием, равным константе “e” («число Эйлера», 2,718281828459045235360…), именуется «естественным» и записывается почаще каждого как ln(x). Он показывает степень, в которую следует построить константу e, дабы получить число, указанное в качестве довода естественного логарифма (x).

Инструкция

1. Используйте калькулятор для вычисления естественного логарифма. Это может быть, скажем, калькулятор из базового комплекта программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана достаточно велико в основное меню ОС – раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», после этого откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Типовые», а после этого в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Дозволено взамен мыши и перемещений по меню применять клавиатуру и диалог запуска программ – нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.

2. Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, дозволяющий осуществлять вычисления логарифмов. По умолчанию он открывается в «обыкновенном» виде, а вам необходим «инженерный» либо «ученый» (в зависимости от версии применяемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

3. Введите довод, естественный логарифм которого необходимо вычислить. Это дозволено сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

4. Кликните кнопку с надписью ln – программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет итог.

5. Воспользуйтесь каким-нибудь из онлайн-калькуляторов в качестве альтернативного варианта вычисления значения естественного логарифма. Скажем, тем, тот, что расположен по адресу http://calc.org.ua. Его интерфейс предельно примитивен – есть исключительное поле ввода, куда вам нужно впечатать значение числа, логарифм от которого нужно вычислить. Среди кнопок обнаружьте и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ожидания результата, следственно итог вычисления вы получите фактически мигом. Исключительная специфика, которую следует рассматривать – разделителем между дробной и целой частью вводимого числа тут неукоснительно должна быть точка, а не запятая.

На практике почаще каждого используются десятичные логарифмы, которые принято называть стандартными. Для их нахождения составлены особые таблицы, применяя которые дозволено обнаружить значение логарифма всякого правильного числа с той либо другой точностью, заранее приведя его к стандартному виду. Для решения большинства задач абсолютно довольны четырехзначные таблицы Брадиса с точностью до 0,0001, которые содержатся мантиссы десятичных логарифмов. Отзыв дозволено легко обнаружить по одному виду числа. Обращение с таблицами крайне примитивное.

Вам понадобится

• – формула перехода от одного основания логарифма к иному;
• – четырехзначные математические таблицы Брадиса.

Инструкция

1. Приведите логарифм к стандартному виду, если его основание не равно 10. Используйте формулу перехода от одного основания к иному.

2. Обнаружьте отзыв логарифма. Если число огромнее либо равно единице, то сосчитайте число цифр в целой части данного числа. Отнимите из этого числа единицу и получите значение колляции. Скажем, у логарифма числа 56,3 колляция равна 1. Если число является десятичной дробью, меньшей 1, то сосчитайте в ней число нулей до первой цифры, чудесной от нуля. Сделайте негативным подученное значение колляции. Скажем, у логарифма числа 0,0002 колляция равна -4.

3. Определите число для нахождения мантиссы как целое. Проигнорируйте в данном числе запятую, если она есть и отбросьте все нули, стоящие в конце числа. Расположение запятой в десятичном числе и последние нули никаким образом не влияют на величину мантиссы. Запишите образовавшееся целое число. Скажем, у логарифма числа 56,3 оно равно 563. В зависимости от того, сколько цифр содержится в этом числе, зависит алгорифм работы с четырехзначными таблицами. Существует три типа алгорифмов.

4. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения является трехзначным. Обнаружьте в четырехзначных математических таблицах Брадиса таблицу XIII «Мантиссы десятичных логарифмов». Перейдите на строчку, содержащую в первом столбце «N» эти две первые цифры числа, по которому ищется мантисса. Скажем, если имеем число 563, то ищите строчку, где в первом столбе стоит 56. После этого продвигайтесь по этой строчке вправо до ее пересечения со столбцом, номер которого совпадает с третьей цифрой начального числа. В нашем примере это столбец с номером 3. На пересечении обнаруженной строки и столбца находится значение мантиссы. Мантисса, обнаруженная по числу 563 равна 0,7505.

5. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения состоит из 2-х либо одной цифры. Припишите мысленно к этому числу такое число нулей, дабы оно стало трехзначным. Если число равно 56, то получается 560. Обнаружьте мантиссу по полученному трехзначному числу. Для этого исполните действия из шага 4. Мантисса по числу 560 равна 0,7482.

6. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее нахождения является четырехзначным. Обнаружьте мантиссу для числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа. Для этого исполните действия из шага 4. После этого передвигайтесь по горизонтальной строке от обнаруженной мантиссы в правую часть таблицы, расположенную за вертикальной толстой чертой и содержащей поправки на четвертую цифру. Обнаружьте в области поправок столбец с номером, совпадающим с четвертой цифрой числа. Прибавьте поправку, находящуюся на пересечении строки и столбца, к мантиссе, обнаруженной по трехзначному числу. Скажем, если число для нахождения мантиссы равно 5634, то мантисса по 563 равна 0,7505. Поправка по цифре 4 равна 3. Окончательный итог равен 0,7508.

7. Обнаружьте мантиссу логарифма, исполнив следующие действия, если число для ее содержит больше четырех цифр. Округлите число до четырех знаков так, дабы все цифры, начиная с пятой, были нулями. Отбросьте последние нули и обнаружьте мантиссу по четырехзначному числу. Для этого исполните действия из шага 7.

8. Обнаружьте логарифм числа как сумму колляции и мантиссы. В рассматриваемом примере логарифм числа 56,3 равен 1,7505.

Видео по теме

Логарифмом числа x по основанию a именуется такое число y, что a^y = x. От того что логарифмы облегчают дюже многие фактические вычисления, значимо уметь ими пользоваться.

Инструкция

1. Логарифм числа x по основанию a будем обозначать loga(x). Скажем, log2(8) — логарифм числа 8 по основанию 2. Он равен 3, так как 2^3 = 8.

2. Логарифм определен только для позитивных чисел. Негативные числа и нуль не имеют логарифмов вне зависимости от основания. При этом сам логарифм может быть любым числом.

3. Основанием логарифма может служить всякое позитивное число, помимо единицы. Впрочем на практике почаще каждого применяются два основания. Логарифмы по основанию 10 именуются десятичными и обозначаются lg(x). Десятичные логарифмы почаще каждого встречаются в утилитарных вычислениях.

4. Второе знаменитое основание для логарифмов — иррациональное трансцендентное число e = 2,71828… Логарифм по основанию e именуется естественным и обозначается ln(x). Функции e^x и ln(x) владеют специальными свойствами, значимыми для дифференциального и интегрального исчисления, следственно настоящие логарифмы почаще применяются в математическом обзоре.

5. Логарифм произведения 2-х чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Скажем, log2(256) = log2(32) + log2(8) = 8.Логарифм частного 2-х чисел равен разности их логарифмов: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).

6. Дабы обнаружить логарифм числа, возведенного в степень, надобно логарифм самого числа умножить на показатель степени: loga(x^n) = n*loga(x). При этом показатель степени может быть любым числом — позитивным, негативным, нулем, целым либо дробным.От того что x^0 = 1 для всякого x, то loga(1) = 0 для всякого a.

7. Логарифм заменяет умножение сложением, возведение в степень умножением, а извлечение корня делением. Следственно в неимение вычислительной техники логарифмические таблицы приметно упрощают расчеты.Дабы обнаружить логарифм числа, не входящего в таблицу, его необходимо представить в виде произведения 2-х либо больше чисел, логарифмы которых есть в таблице, и обнаружить окончательный итог, сложив эти логарифмы.

8. Довольно легкой метод вычислить настоящий логарифм — воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд:ln(1 + x) = x – (x^2)/2 + (x^3)/3 – (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n).Данный ряд дает значения ln(1 + x) для -1 < x ?1. Иными словами, так дозволено вычислить естественные логарифмы чисел от 0 (но не включая 0) до 2. Настоящие логарифмы чисел за пределами этого ряда дозволено обнаружить путем суммирования обнаруженных, пользуясь тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. В частности ln(2x) = ln(x) + ln (2).

9. Для фактических вычислений изредка бывает комфортно перейти от естественных логарифмов к десятичным. Всякий переход от одного основания логарифмов к иному совершается по формуле:logb(x) = loga(x)/loga(b).Таким образом, log10(x) = ln(x)/ln(10).

Знаменитый французский математик и звездочет XVIII-XIX столетий Пьер-Симон Лаплас утверждал, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономам», ускорив процесс вычислений. И подлинно, взамен того, дабы умножать многозначные числа, довольно обнаружить по таблицам их логарифмы и сложить их.

Инструкция

1. Логарифм – один из элементов элементарной алгебры. Слово «логарифм» происходит от греческого «число, отношение» и обозначает степень, в которую нужно построить число, стоящее в основании, дабы получить итоговое число. Скажем, запись «2 в 3 степени равно 8» дозволено представить как log_2 8 = 3. Существуют вещественные и комплексные логарифмы.

2. Логарифм вещественного числа имеет место только при правильном основании, не равном 1, и для итогового числа огромнее нуля. Особенно используемыми основаниями логарифмов являются число е (экспонента), 10 и 2. При этом логарифмы называют, соответственно, естественными, десятичными и двоичными и записывают как ln, lg и lb.

3. Основное логарифмическое тождество a^log_a b = b. Простейшие правила логарифмов вещественных чисел: log_a a=1 и log_a 1=0. Основные формулы приведения: логарифм произведения – log_a (b*c) = log_a |b| + log_a |c|;логарифм частного – log_a (b/c) = log_a |b| – log_a |c|, где b и c – позитивные.

4. Логарифмической функцией именуется логарифм переменного числа. Область значений такой функции – бесконечность, ограничения – основание правильное и не равно 1, причем функция нарастает при основании огромнее 1 и убывает при основании от 0 до 1.

5. Логарифмическую функцию комплексного числа называют многозначной, так как для всякого комплексного числа существует логарифм. Это следует из определения комплексного числа, которое состоит из вещественной части и мнимой. И если для вещественной части логарифм определяется однозначно, то для мнимой неизменно имеется безмерное уйма решений. Для комплексных чисел применяются, в основном, настоящие логарифмы, так как такие логарифмические функции связаны с числом е (экспонентой) и используются в тригонометрии.

6. Логарифмы находят использование не только в математике, но и в иных областях науки, скажем: физике, химии, астрономии, сейсмологии, истории и даже теории музыки (звуков).

7. 8-значные таблицы логарифмической функции наравне с тригонометрическими впервой опубликовал шотландский математик Джон Непер в 1614 году. В России особенно вестимы таблицы Брадиса, изданные впервой в 1921 году. В реальное же время для подсчета логарифмических и других функций применяются калькуляторы, следственно применение печатных таблиц ушло в прошлое.

Видео по теме

Полезный совет
Число е – экспонента, ее значение равно 2,7182818281828…. Существует вестимая мнемоническая фраза для запоминания: «Экспоненту помнить метод есть легкой: два и семь десятых, двукратно Лев Толстой», где «Лев Толстой» = «1828» (год рождения писателя).

Термин «логарифм » случился от 2-х греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое – «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую нужно построить непрерывное значение (основание), дабы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом “e”, то логарифм называют «естественным».

Вам понадобится

• Доступ в интернет, Microsoft Office Excel либо калькулятор.

Инструкция

1. Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете онлайн-калькуляторами – это, вероятно, самый стремительный и примитивный метод вычисления естественного логарифм а. Поиском соответствующего обслуживания вам заниматься не придется, потому что многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, абсолютно пригодные для работы с логарифм ами. Скажем, перейдите на основную страницу самого огромного сетевого поисковика – Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций тут не понадобится, примитивно наберите в поле ввода запроса необходимое математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию “e” введите ln 457 – этого будет абсолютно довольно, дабы Google отобразил верный результат с точностью до восьми знаков позже запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

2. Используйте соответствующую встроенную функцию, если надобность вычисления значения естественного логарифм а появляется при работе с данными в знаменитом табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция тут вызывается с применением общепризнанного обозначения такого логарифм а в верхнем регистре – LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен итог вычисления, и введите знак равенства – так в этом табличном редакторе обязаны начинаться записи в ячейках, содержащих формулы. После этого наберите наименование функции (LN) и в скобках укажите числовое значение, логарифм которого требуется вычислить – скажем, =LN(457). Позже того, как вы нажмете Enter, в этой ячейке таблицы отобразится итог вычисления естественного логарифм а.

3. Откройте программу-калькулятор, которая устанавливается совместно с операционной системой, если оба приведенных выше метода вам не подходят. Обнаружить соответствующую ссылку в ОС Windows 7 дозволено, если раскрыть основное меню щелчком по кнопке «Пуск», а после этого ввести «каль» в поле «Обнаружить программы и файлы». Ссылка с наименованием «Калькулятор» будет первой строкой в итоге поиска. В иных версиях ОС ее нужно искать в подразделе «Типовые» раздела «Все программы» основного меню. Переключите калькулятор в больше функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. После этого введите значение, настоящий логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит итог.

Видео по теме

jprosto.ru