Рубрика: Школьная жизнь

Формула естественного прироста населения — GeographyWeb.ru

Естественный прирост — формула для расчетов

Итак, разбираем вопрос «Естественный прирост населения», расчетные формулы и что означает размерность в промилле:

• Естественный прирост Еп базируется на разнице между рождаемостью и смертностью населения. Значение Еп может быть отрицательным, когда рождаемость Р людей меньше смертности С населения страны (региона или района) за год (месяц). Например: родилось Р = 2500 человек за определенный период, а умерло С = 2800, в этом случае по формуле естественный прирост населения составит Еп=Р-С=2500-2800= -300. Это значит, что смертность превышает рождаемость людей на 300 человек за выбранный период времени: год, квартал, месяц в стране, регионе или области. Если результат положительный, это означает, что рождается людей больше, чем умирает за указанное время.
• Формула для расчета естественного прироста населения: Еп=Р-С
• Из рисунка определяем, что естественный прирост населения Еп=-440, -3944, -6708, -2535 отрицательный, каждое число означает превышение смертности людей над их рождаемостью в отношении местности (страна, регион, область) за указанный период времени. В этом случает, говорят о естественной убыли населения.
• Еп=440, 3944, 6708, 2535 положительный, это означает, что количество родившихся людей больше чем умерших за конкретный временной период.

Промилле естественный прирост населения

• Промилле — прежде всего, это одна тысячная доля в целом или одна десятая процента (1 / 10 %), с латыни переводится как — на тысячу. Символ обозначающий промилле похож на проценты %, но отличается одним добавлением «нуля» — ‰ . 
• 100% = 1000‰ ;  10%=100‰ ;   1%=10‰ ;   0,1%=1‰.
• В промилле измеряют показатели — коэффициенты естественного прироста населения, показатели рождаемости и смертности. В этом случае необходимо иметь количественный данные о численности N населения страны или региона, области, города. Показатели или коэффициенты естественного прироста рассчитываются по формулам: Кеп=Еп/(N:1000) ‰,   Кр=Р/(N:1000) ‰,   Кс=С/(N:1000) ‰ — размерность «промилле», т.е. расчет показателя естественного прироста по указанным формулам достаточно прост, если вы имеете справочные данные по N.
• Как ввести символ ‰ на компьютере в операционной системе Windows? Удерживаем Alt последовательно набираем 0137 при включённом «Num Lock», т.е., это комбинированное сочетание клавиш Alt-0137.

geographyweb.ru

Естественный прирост населения — Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия — статья

megabook.ru

ОБЩИЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ — это… Что такое ОБЩИЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ?

ОБЩИЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ

OБЩИЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ, разность численностей нас. на начало и конец определ. временного интервала (ΔP_общ = P₁ — P₀). Выражается в абсолютных числах, может быть положит. и отрицат. Для терр. с неизменными границами О. п. н. равен сумме естественного прироста населения и миграционного прироста населения. Для терр. с меняющимися границами О. п. н. включает также прирост нас., обусловленный изменениями границ. Определение ежегодного О. п. н., абсолютного или относительного (см. Коэффициент прироста населения), — наиболее простой способ наблюдения за динамикой численности населения.

Демографический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор Д.И. Валентей. 1985.

• ОБЩЕСТВО
• ОБЪЕДИНЁННЫЕ АРАБСКИЕ ЭМИРАТЫ

Смотреть что такое «ОБЩИЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ» в других словарях:

• ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ — разность между численностью населения на конец и на начало периода. Общий прирост населения включает естественный и миграционный прирост населения …   Словарь терминов по социальной статистике

• ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ — разность между численностью населения на конец и на начало периода. Общий прирост населения включает естественный и миграционный прирост населения …   Социальная статистика. Словарь

• ПОКАЗАТЕЛИ РOСТА НАСЕЛЕНИЯ — ПОКАЗАТЕЛИ РOСТА НАСЕЛЕНИЯ, величины, характеризующие изменение числ. нас. во времени. В зависимости от того, растёт, убывает или остаётся неизменной числ. нас., П. р. н. могут быть положительными, отрицательными или равными 0. Различают… …   Демографический энциклопедический словарь

• Исторические типы воспроизводства населения — стадиальные особенности воспроизводства населения,  закономерно присущие определенной стадии или фазе исторического развития общности людей. Исторические типы воспроизводства населения адекватны исторически определенным экономическим, социальным… …   Экология человека

• Иммиграция населения — Запрос «Иммигрант» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия

• Список стран по уровню смертности населения — Уровень смертности по странам на 1000 чел. (по данным CIA World Factbook на 2009 год) Эта статья включает в себя две версии списка стран по общему коэф …   Википедия

• МИГРАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ — (от лат. migratio переселение), перемещения людей (мигрантов) через границы тех или иных терр. с переменой места жительства навсегда или на более или менее длительное время. Поскольку М. н. складывается из миграционных потоков, понятие миграция… …   Демографический энциклопедический словарь

• Россия. Население: Статистика населения — I А. Статистика населения. Источники сведений о населении Р. До 1897 г. данные о числе жителей в Р. не отличались точностью. Главным способом для исчисления народонаселения служили ревизии, цель которых почти исключительно состояла в счете… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Франция* — (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на востоке… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Франция — I (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

demography.academic.ru

Рассчитайте величину годового естественного прироста населения в промилле, если в стране за год родилось 18 500 человек,

Моя племянница попросила помочь решить задачу. С точными науками у меня было всё хорошо и в школе, и в университете, поэтому я согласилась. В голове закрутились формулы по физике, геометрии, химии… Однако, через минуту передо мной лежал лист с заданием по географии. Такого я не ожидала, но я же уже согласилась помочь.

Расчёт годового естественного прироста населения

Под данным параметром подразумевается разница в количестве рождённых детей и умерших людей, в этом случае, за год. Рассчитывается он, как и показатели рождаемости, смертности, на 1000 человек населения, поэтому выражается в промилле.

Итак, надо высчитать естественный прирост. В учебнике я нашла подходящую формулу: ЕП = ((Р – С)/ЧН) х 1000, где ЕП — величина годового естественного прироста, Р — число родившихся за этот же период, С — количество умерших на протяжении года, ЧН — показатель среднегодовой численности населения. В условии есть все необходимые цифры, чтобы в один приём решить задачу:

• Р = 18 500 чел;
• С = 13 200 чел;
• ЧН = 1 596 000 чел;
• 1000 — множитель для преобразования десятичной дроби в промилле.

Отсюда, ЕП = ((18 500 – 13 200)/1 596 000) х 1000 = 3,32 ‰.

Стоит отметить, что положительное значение указывает, что прирост всё же происходит. В случае отрицательной величины наблюдалась бы убыль населения.

Демографические показатели мира

В наше время 90 % прироста населения приходится на африканские, латиноамериканские и азиатские развивающиеся страны. Европа же отличается уменьшением абсолютной численности.

На планете средний уровень рождаемости ныне составляет 22,6%. В государствах Европы, Австралии и Северной Америке этот показатель весьма скромен — 11,4%. Высоким уровнем рождаемости отличаются развивающиеся страны, где он равен 25,4%.

Мировая смертность населения в конце ХХ в. равна 8,9%. В экономически развитых странах уровень смертность выше, чем в развивающихся. Однако, максимально высокий он в самых бедных странах — Эфиопии, Анголе, Сьерра-Леоне, Мали — 20–30%. Низкий уровень в арабских нефтедобывающих странах.

travelask.ru

Как рассчитать прирост населения | Сделай все сам

Прогнозирование прироста населения – дюже значимый инструмент для долгосрочного планирования экономического и общественного становления социума. Это расчет величины его трудовых источников и объема надобностей.

Инструкция

1. Приход населения является суммой величин 2-х показателей – натурального и миграционного прироста . Это разность между нынешним ярусом демографической обстановки и ярусом больше раннего периода. Временной интервал, за тот, что производится расчет, именуется расчетным и может быть краткосрочным (от месяца до нескольких лет) и долгосрочным (5, 10, 15, 25, 100 лет).

2. Натуральный приход – правильная разница между числом родившихся и усопших (число родившихся огромнее числа усопших). Скажем, в России по данным за август 2009 года родилось 151,7 тысячи человек, скончалось 150,7 тысячи человек, значит натуральный приход населения составил 1000 человек. Считается, что если рождаемость превышает смертность, то воспроизведение населения расширенное. Если эти числа приблизительно равны, то воспроизведение примитивное. Если же смертность превышает рождаемость, то воспроизведение суженное, отслеживается мощный демографический спад.

3. Миграционный (либо механический) приход – правильная разница между числом прибывших в страну людей из других стран и числом выбывших из нее граждан.

4. Для определения всеобщей картины демографических изменений в стране применяются показатели прироста населения . Показатель обычного прироста – это разница между числом родившихся и усопших за определенный период, поделенная на всеобщую количество населения . Показатель миграционного прироста населения – это разница между числом прибывших в страну граждан и числом выбывших, поделенная на всеобщую количество. Соответственно, всеобщий показатель прироста населения является суммой этих показателей.

Оценка демографической обстановки в стране является основой для прогнозирования надобностей и трудовых источников социума и, как следствие, объемов производства для удовлетворения нужд населения. Для полноты обзора нужно определить обычный и миграционный прирост и просуммировать эти величины.

Инструкция

1. Для обзора демографической обстановки в стране применяются безусловные и относительные величины 2-х видов прирост а: механического (миграционного) и натурального. 2-й показатель характеризует разницу между числом родившихся и усопших граждан за определенный период времени.

2. Для того, дабы данные были максимально правильными, используются статистические способы, разрешающие отслеживать малейшие метаморфозы. Эти способы включают в себя контроль рождаемости и смертности, осуществляемый особыми органами. Данные для этого поступают из роддомов и клиник и имеют документальную основу.

3. Если число родившихся за определенный период превышает число усопших, то говорят о расширенном воспроизводстве населения. Если они приблизительно идентичны, это примитивное воспроизведение. Если же разность между ними негативна, то оно суженое, что свидетельствует о демографическом спаде и требует вступления экстренных мер по стимулированию рождаемости.

4. Безусловная оценка обычного прирост а заключается в вычислении арифметической разности между объемом воспроизводства на конец и предисловие периода, тот, что может быть любым календарным интервалом, от месяца до 5 лет (краткосрочный обзор) до десятилетий: от 5 до 100 лет (долгосрочный обзор).

5. Скажем, пускай за месяц число родившихся составило 155 000 человек, а число усопших – 153 000. Тогда налицо обычный прирост в 2 000 обитателей. Это дозволено считать простым воспроизводством, от того что разница невелика по сопоставлению с обеими величинами.

6. Относительная оценка натурального прирост а осуществляется путем вычисления показателей. При этом безусловную величину относят к всеобщему числу обитателей. Таким образом, получается некая величина, которая может быть выражена в процентах. Скажем: на предисловие года население страны составляет 50 млн людей. За год родилось 1 млн человек, а скончалось 850 000 обитателей. Безусловный показатель обычного прирост а в этом случае равен 150 000, а относительный – (150 000/50 000 000)•100% = 0,3 %.

Видео по теме

Для определения интенсивности изменений каких-нибудь показателей за определенный период времени применяется комплект колляций, которые получаются способом сопоставления нескольких ярусов показателей, измеренных на различных отметках временной шкалы. В зависимости от того, каким образом сравниваются измеренные показатели между собой, полученные колляции именуются показателем роста, темпом роста, темпом прихода, безусловным приходом либо безусловным значением 1% прихода.

Инструкция

1. Определите, какие именно показатели и каким образом нужно сопоставлять между собой, дабы получить желанное значение безусловного прихода. Исходите из того, что эта колляция должна показывать безусловную скорость метаморфозы исследуемого показателя и рассчитываться как разность между нынешним ярусом и ярусом, принимаемым за базовый.

2. Вычтите из нынешнего значения исследуемого показателя его значение, измеренное в той точке временной шкалы, которая принимается за базовую. Скажем, возможен, что число рабочих, занятых на производстве на предисловие нынешнего месяца составляет 1549 человек, а на предисловие года, которое считается базисным периодом, оно было равно 1200 работникам. В этом случае безусловный приход за период с начала года по предисловие нынешнего месяца составил 349 единиц, потому что 1549-1200=349.

3. Если требуется не только рассчитать данный показатель за один конечный период, но и определить среднее значение безусловного прихода за несколько периодов, то нужно вычислить это значение для всей временной отметки по отношению к предыдущей, после этого сложить полученные величины и поделить их на число периодов. Скажем, возможен, что необходимо вычислить среднее значение безусловного прихода числа занятого на производстве персонала по месяцам нынешнего года. В этом случае отнимите от значения показателя по состоянию на предисловие февраля, соответствующее значение для начала января, после этого проделайте схожие операции для пар март/февраль, апрель/март и т.д. Завершив с этим, сложите полученные значения и поделите итог на порядковый номер последнего из участвовавших в расчете месяцев нынешнего года.

Обратите внимание!
Приход населения принято измерять в процентах, следственно полученный показатель надобно умножить на 100. Всеобщая количество населения берется на предисловие расчетного периода.

Полезный совет
На основе полученных данных и обзоре темпа роста населения дозволено предсказывать становление обстановки на ближайшие периоды.

jprosto.ru

География (тема население) что такое естественный прирост?))

ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПРИРОСТ НАСЕЛЕНИЯ — разница между числом родившихся и умерших людей за определенный период времени. определенный период времени. Служит наиболее общей характеристикой интенсивности роста населения, измеряется обычно коэффициентом естественного прироста населения на 1000 жителей в год. Может быть как положительным (например, в Лаосе естественный прирост населения сейчас 24,6), так и отрицательным (например, на Украине — −6,2). Отрицательный естественный прирост населения означает, что в стране умирает больше человек, чем рождается. Формула: ЕП=((Р-С) /Н) *1000, где ЕП — естественный прирост, Р — рождаемость, С — смертность, Н — население. Естественный прирост измеряется в промилле.

Это превышение рождаемости над смертностью

это когда детей делают естественным\традиционным\способом… не естественный прирост это когда китайцы в россии делают детей…

Рождаемость (за опред. время) — Смертность (за опред. время) = Естественный Прирост (за опред. время)

превышенную рождаемость вычесть смертность

разница между числом родившихся и умерших людей за определенный период времени.

Аварцы (маг1арулал) у аварок нет таких»папхах»скорее эта осетинка! <a rel=»nofollow» href=»https://thebiggest.ru/lyudi-i-zhivotnye/mnogochislennye-narody-rossii.html» target=»_blank»>https://thebiggest.ru/lyudi-i-zhivotnye/mnogochislennye-narody-rossii.html</a>

touch.otvet.mail.ru

50. Естественный прирост населения. Метод расчета.

В России в последнее десятилетие численность населения ежегодно уменьшалась и к 1996 г. составила около 147 млн. человек. Показатель естественного прироста, (разница между уровнем рождаемости и уровнем смертности) отрицательный (–6 на 1000 жителей). Отмечается постарение населения. Так, доля населения старших возрастных групп в Санкт-Петербурге составляет около 23%. Снижается доля детского населения (до 20%).

Показатель естественного прироста населения = (число родившихся – число умерших / среднегодовая численность населения) х 1000.

Сам естественный прирост населения не всегда отражает демографическую обстановку в обществе, т.к. одни и те же размеры прироста могут быть получены при разных показателях рождаемости и смертности. Поэтому естественный прирост необходимо оценивать только в соотношении с показателями рождаемости и смертности.

К одному из наиболее неблагоприятных демографических явлений относятся наличие отрицательного естественного прироста, свидетельствующего о явном неблагополучии в обществе.

51. Заболеваемость населения. Факторы риска. Система учета.

Заболеваемость является одним из критериев оценки состояния здоровья населения. Материалы о заболеваемости населения в практической деятельности врача необходимы для: оперативного руководства работой учреждений здравоохранения; оценки эффективности проводимых лечебно-оздоровительных мероприятий, в том числе диспансеризации; оценки здоровья населения и выявления факторов риска, способствующих снижению заболеваемости; планирования объема профилактических осмотров; определения контингента для диспансерного наблюдения, госпитализации, санаторно-курорт­ного лечения, трудоустройства определенного контингента больных и т. д.; текущего и перспективного планирования кадров, сети различных служб и подразделений здравоохранения; прогноза заболеваемости.

В статистике заболеваемости существуют следующие показатели.

Заболеваемость — это совокупность вновь возникших заболеваний за календарный год; рассчитывается как отношение числа вновь возникших заболеваний к средней численности населения, умноженное на 1000.

Болезненность — это распространенность зарегистрированных заболеваний, как вновь возникших, так и ранее существовавших, при первичном обращении в календарном году; статистически выражается как отношение числа всех заболеваний населения за год к средней численности населения, умноженное на 1000.

Патологическая пораженность — совокупность болезней и патологических состояний, выявленных врачами путем активных медицинских осмотров населения; статистически выражается как отношение числа заболеваний, имеющихся на данный момент, к средней численности населения, умноженное на 1000. В основном это хронические заболевания, но могут быть учтены и острые заболевания, имеющиеся на данный момент. В практическом здравоохранении этим термином могут быть определены результаты медицинских осмотров населения. Рассчитывают как отношение числа заболеваний, выявленных при медицинском осмотре, к числу осмотренных лиц, умноженное на 1000.

В зависимости от цели исследования используют различные статистические материалы и учетные документы (медицинские карты, экстренные извещения, листки нетрудоспособности, карты выбывших из стационара, врачебные свидетельства о смерти, другие специальные бланки и анкеты). При изучении заболеваемости и смертности населения пользуются “Международной статистической классификацией болезней и проблем, связанных со здоровьем” (10-й пересмотр, 1995 г., ВОЗ), включающей 21 класс заболеваний, которые разделены на блок рубрик, термины и диагностические формулировки.

studfiles.net

45. Понятие логарифма и его свойства

Логарифмом числа B (B > 0) По основанию а (А > 0, А ¹ 1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число А, чтобы получить число B:

(6.1)

Формулу (6.1) называют Основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа B по основанию 10 называется Десятичным логарифмом И обозначается

Логарифм по основанию E (E = 2,71828…) называется Натуральным логарифмом и обозначается

Свойства логарифмов

Пусть Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Тогда и только тогда, когда

12) тогда и только тогда, когда

13) тогда и только тогда, когда

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и – выражения с переменной. Тогда:

3*) где

4*) где

5*) где

6*) где

З а м е ч а н и е 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм

З а м е ч а н и е 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т. е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= |по основному логарифмическому тождеству|

|по свойству 10|

Тогда

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| =

|по свойству 8|

Таким образом:

З а м е ч а н и е 3. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Пример 2. Вычислить

Решение. Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2| =

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3–5:

Тогда получаем:

З а м е ч а н и е 4. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно приведено исходя из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3. Прологарифмировать по основанию 10 выражение

Решение. Замечаем, что сделать это можно, если Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

Решение. Используем свойства логарифмов 3–5 («справа–налево»):

Получаем ответ:

Пример 5. Выразить через и

Решение.

matica.org.ua

ЛОГАРИФМЫ – свойства, формулы, как решать логарифмы

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log_a(x ⋅ y) = log_ax + log_ay

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

log_a(x / y) = log_ax – log_ay

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

log_a(x)^1/n = 1/n ⋅ log_ax

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

• Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
• Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

worksbase.ru

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

то

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

ОДЗ:

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

тогда

Обратная замена:

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

Ответ: 1; 27.

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

Пусть

тогда

Возвращаемся к исходной переменной:

Ответ: 1/4; 8.

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

Замена

Обратная замена

Ответ:

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Показатель степени вынесем за знак логарифма

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

Замена

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

www.logarifmy.ru

теория и примеры решений задач

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно было сделать ряд гипотез (в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H), несовместных и образующих полную группу.

Вероятности гипотез до опыта (называемые также априорными вероятностями) заданы и равны

.

Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате появилось событие A.

Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?

Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие A (или как часто говорят, найти апостериорные вероятности).

Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.

То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение «одного ко всем»:

.

Видим, что знаменатель в этой формуле — ничто иное, как полная вероятность события A, а числители для каждого отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому суммы, находящейся в знаменателе.

Формула Байеса может быть также записана в виде

.

Пример 1. Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй — 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей — три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение. Гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна;

— выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез раны:

.

В результате опыта появилось событие A — из выбранной урны вынут белый шар.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:

;

;

.

Пример 2. Пример с теми же лампочками, что и в примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом заводе, на втором, на третьем.

Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе — полная вероятность собыия A.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна:
.

Вычисляя по формуле Байеса, получаем:

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе
;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе
;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе
.

По формуле Байеса находим:

function-x.ru

Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры

Для случайных событий при вычислении их вероятности используются формулы полной вероятности и Байеса. Они не столь сложны в понимании и вычислении, и приведенный ниже теоретический и практический материал поможет Вам быстро его изучить.

Пусть в условиях эксперимента событие появляется совместно с одним из группы несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу , известны или можно установить априорные вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

где – вероятность гипотезы ; – условная вероятность события при выполнении гипотезы . Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

—————————————

Задача 1. В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором — 2 белых и 8 шоколадных, в третьем — 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое.

Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано — й холодильник, – выбрано белое мороженое

Тогда имеем:

Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны

Используя формулу полной вероятности находим:

Таким образом вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%.

—————————————

Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией , 6 компанией , 8 компанией и два, которые производит . Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.

Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано ноутбук компании, – ноутбук проработает без ремонта.

Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения:

Вероятности, что они будут работать без ремонта равны

Здесь мы просто переводим проценты в вероятность.
Применяем формулу полной вероятности:

Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775.

———————————

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Пусть события образуют полную группу несовместных событий () и пусть событие происходит обязательно с одним из них . Предположим событие произошло, тогда вероятность того, что оно произошла именно с определяется формулой:

Рассмотрим практическую сторону применения формулы Байеса

——————————-

Задача 3. Заданны условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.

Решение. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений

и подставим в формулу Байеса

Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется.

——————————-

Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям , .

Решение. Выпишем предварительно найдены вероятности

и проведем вычисления по формуле Байеса

——————————-

Задача 5. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго — 60%, третьего — 15%. Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй — 4%, третьей — 1%. Найти вероятность того, что:
а) наугад взят телефон окажется с браком;
б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный;
в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно ?

Решение.

а) Введем для ясности обозначения:

– наугад выбранный телефон оказался бракованным;

Предположение: – телефон изготовлен на первой, – второй и –третий фабрике соответственно. Собития попарно несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого предположения определяем делением процентной доли продукции ко всей (100%)

Подобным образом определяем условные вероятности события

Применим формулу полной вероятности для определения возможности выбора бракованного телефона

б) для отыскания вероятности применим формулу Байеса

в) чтобы определить, на каком заводе скорее был изготовлен рабочий телефон необходимо сравнить между собой вероятности предположений:

где событие (вытащили телефон без брака) противоположна . Для противоположных событий используют формулу

По подобной формуле определяем условные вероятности события , если только справедливы предположения

По формуле Байеса находим вероятности

Наибольшую вероятность имеет второе предположение, поэтому телефон скорее всего был изготовлен на втором заводе.

——————————-

Задач на нахождение полной вероятности и применения формулы Байеса в литературе и интернете множество. Стоит ввести в гугле нужный запрос и вам тут же будет предложено множество материалов к выбору. Поэтому освоить данный материал не трудно, стоит лишь внимательно (без паники) разобраться с приведенными примерами и подобными. Все остальные решаются по аналогичной схеме.

yukhym.com

Формула полной вероятности —

На практике часто необходимо определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из событий, образующих полную группу. Следующая теорема, являющаяся следствием теорем сложения и умножения вероятности, приводит к выводу важной формулы для вычисления вероятности подобных событий. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пусть H₁, H₂, … , H_n есть n попарно несовместных событий, образующих полную группу:

1) все события попарно несовместны: H_i ∩ H_j = ; i, j = 1,2, … , n; i j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

Такие события иногда называют гипотезами. Пусть совершается событие А, которое может наступить только при условии наступления одного из событий H_i (i = 1, 2, … , n). Тогда справедлива теорема.

Теорема. Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может насту-пить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий H₁, H₂, … , H_n, образующих полную группу, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из событий H_i (i = 1, 2, … , n) на условную вероятность события А / H_{i, т.е.}

(1.14)

Доказательство. Действительно, по условию событие А может наступить, если наступает одно из несовместных событий H₁, H₂ … H_n,_{т.е. появление события А означает осуществление одного из событий H1 ∙А, H2 ∙ А, … , Hn ∙ А. Последние события также несовместны, т.к. из Hi∙ Hj = ( ij ) следует, что и (А ∙ Hi) ∙ (А ∙ Hj) = ( ij ). Теперь заметим, что}

=.

Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 1.19. Из теоремы сложения следует. Но по теореме умножения справедливо равенст-во при любом i, 1 ≤ i ≤ n. Следовательно, фор-мула полной вероятности (1.14) справедлива. Теорема доказана.

Замечание. Вероятности событий (гипотез) H₁, H₂, … , H_n, которые входят в формулу (1.14) при решении конкретных задач или заданы или же они должны быть вычислены в процессе решения. В последнем случае правильность вычисления р(H_i) (i = 1, 2, … , n) проверяется по соотношению = 1 и расчёт р(H_i) выполняется на первом этапе решения задачи. На втором этапе рассчитывается р(А).

При решении задач на применении формулы полной вероятности удобно придерживаться следующей методики.

Методика применения формулы полной вероятности

а). Ввести в рассмотрение событие (обозначим его А), вероятность которого необходимо определить по условию задачи.

б). Ввести в рассмотрение события (гипотезы) H₁, H₂, … , H_n, которые образуют полную группу.

в). Выписать или вычислить вероятности гипотез р(H₁), р(H₂), … , р(H_n). Контроль правильности вычисления р(H_i) проверяется по условию В большем числе задач вероятности р(H_i) задаются непосредственно в условии задачи. Иногда эти вероятности, а также вероятности p(А/H₁), p(А/H₂), …, p(А/H_n) умножены на 100 (заданы числа в процентах). В этом случае заданные числа надо поделить на 100.

г). Вычислить искомую вероятность р(А) по формуле (1.14).

Пример. Экономист рассчитал, что вероятность роста стоимости акции его компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъёме, и 0,30, если будет финансовый кризис. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании в следующем году поднимутся в цене.

Решение. В начале условие задачи формализуется по вероятности. Пусть А – событие ” акции поднимутся в цене” ( по вопросу задачи). По условию задачи выделяются гипотезы: H₁ – “экономика будет на подъёме”, H₂ – “экономика вступит в полосу кризиса”. H₁, H₂ – образуют полную группу, т.е. H₁ ∙ H₂ = , H₁ + H₂ = . Вероятность p(H₁) = 0,6, следовательно, p(H₂) = 1 – 0,6 = 0,4. Условные вероятности p(А/H₁) = 0,75, p(А/H₂) = 0,3. Используя формулу (1.14), получим:

p(А) = p(H₁) ∙ p(А/H₁) + p(H₂) ∙ p(А/H₂) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

einsteins.ru

Формула полной вероятности и формула Бейеса Байеса и их применение

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Кафедра высшей математики

РЕФЕРАТ

по дисциплине : «Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему:

«Формула полной вероятности и формула Бейеса(Байеса) и их применение»

Выполнил:

Руководитель: профессор Б.П.Зеленцов

Новосибирск, 2010

Содержание

Введение 3

1. Формула полной вероятности 4-5

2. Формула Байеса(Бейеса) 5-6

3. Задачи с решениями 7-11

4. Основные сферы применения формулы Байеса(Бейеса) 11

Заключение 12

Литература 13

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля.
Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых.
Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны:
П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей.
Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Пусть имеется группа событий H ₁ , H ₂ ,…, H_n , обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W =

В этом случае будем говорить, что H ₁ , H ₂ ,…,H_n образуют полную группу событий . Такие события иногда называют гипотезами .

Пусть А – некоторое событие: А ÌW (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P (A ) = P (A /H ₁ )P (H ₁ ) + P (A /H ₂ )P (H ₂ ) + …+P (A /H_n )P (H_n ) =

Доказательство. Очевидно: A =

P (A ) = P (

Если учесть, что по теореме умножения P (

Пример . В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода — 30%, второго — 50%, третьего — 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H ₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H ₂ на втором, H ₃ — на третьем заводе. Очевидно:

P (H ₁ ) = 3/10, P (H ₂ ) = 5/10, P (H ₃ ) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A / H ₁ ) = 5/10; P (A / H ₂ ) = 3/10; P (A / H ₃ ) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

Пусть H ₁ ,H ₂ ,…,H_n — полная группа событий и А Ì W – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

Здесь P (H_k /A ) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (1) можно представить в виде

P = P = P (A /H_k )P (H_k )

Для представления знаменателя формулы (1) можно использовать формулу полной вероятности

P (A )

Теперь из (1) можно получить формулу, называемую формулой Байеса :

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P (H_k ) называют априорной вероятностью гипотезы H_k , а вероятность P (H_k /A ) – апостериорной вероятностью.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Величина P (H ₂ ) = 0,5 в данном случае это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную вероятность этого события.

Выпишем формулу Байеса для этого случая

Из этой формулы получаем: P (H ₂ /A ) = 15/34. Как видно, полученная информация привела к тому, что вероятность интересующего нас события оказывается ниже априорной вероятности.

3. Задачи с решениями.

Задача 1. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% — продукция первого предприятия, 30% — продукция второго предприятия, 50% — продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии — 5% и на третьем — 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Задача 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

mirznanii.com

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры решения задач

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности
,
где B1, B2 ,…, Bn  — полная группа попарно несовместных событий.
Формула Байеса
,
где B1, B2, …, Bn — полная группа событий.

Решение. Производится испытание – извлекается одна деталь.
Событие А – появилась бракованная деталь.
Гипотеза Н1 – деталь фирмы А.
Гипотеза Н2 – деталь фирмы В.
Гипотеза Н3 – деталь фирмы С.
Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность равна:

Решение. Испытание – проверяется пачка накладных.
Событие А – взятая наугад накладная оказалась неверной. 
Гипотеза Н1 – пачка не соответствует стандарту.
Гипотеза Н2 – пачка соответствует стандарту.
Необходимо узнать вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А произошло. Согласно формуле Бейеса имеем:

Решение: Введем обозначения для рассматриваемых событий.
Пусть А — извлечен белый шар. — выбрана первая урна.
— выбрана вторая урна. — выбрана третья урна.
— вероятность извлечения белого шара из первой урны.
— вероятность извлечения белого шара из второй урны.
— вероятность извлечения белого шара из третьей урны.
Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то
.
,   ,   .
Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
.
Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.

www.matem96.ru

Формула полной себестоимости и примеры

Понятие себестоимости и ее виды

Цена на любой товар находится в зависимости от его начальной себестоимости, рассчитываемой по специальной формуле при учете определенных затрат.

Формула полной себестоимости представляет собой сумму всех издержек, в том числе коммерческие затраты.

В соответствии с полным объемом затрат на производство себестоимость может быть:

• Цеховая себестоимость, состоящая из всех типов затрат на каждом этапе производственного цикла;
• Производственная себестоимость, которая определяется суммированием цеховых и общих затрат предприятия;
• Полная себестоимость, учитывающая не только производственные затраты, но и затраты на продажу и транспортировку товара.

Существует множество видов себестоимости в соответствии с особенностями производства и способами реализации продукции.

Формула полной себестоимости

Формула полной себестоимости чаще всего применяется при оценке эффективности деятельности компании. Она включает в себя все затраты на производство товара, а также последующие расходы на его транспортировку и реализацию. В общем виде формула полной себестоимости выглядит следующим образом:

Сполн=ПЗ+РЗ

Здесь Сполн- полная себестоимость продукции,

ПЗ – затраты на производство,

РЗ – затраты на реализацию продукции.

Все остальные виды себестоимости являются частью полной себестоимости, поскольку она включает в себя более полный состав затрат на производство и коммерческие расходы компании.

Производственная себестоимость продукции представляет собой сумму, затраченную на ее производство. Эта сумма включает в себя:

1. природные ресурсы,
2. материалы и сырье,
3. амортизация основных средств,
4. энергию и топливо,
5. оплату труда персонала (в том числе отчисления) и др.

Что показывает полная себестоимость

Себестоимость представляет собой стоимостной показатель, который отражает, какие затраты несет предприятие на изготовление определенного объема продукции или изготовление единицы продукции. Руководство любого предприятия при помощи формулы полной себестоимости может выявить самый затратный вид товара, а также уменьшить издержки производства.

При анализе полной себестоимости можно сделать выводы об убыточности или прибыльности выпускаемой или реализуемой продукции, а также возможности ее производства в перспективе.

Достоинствами поной себестоимости можно назвать:

• полное соответствие действующим нормативным актам налогообложения и финансового учета,
• корректную оценку стоимости запаса готовой продукции.

Недостатками метода расчета по полной себестоимости являются:

• включение затрат, которые не связаны с производством продукции, в результате чего искажается показатель рентабельности;
• невозможно провести анализ, контроль и планирование затрат по причине невнимания к характеру их поведения в зависимости от производственных объемов.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Полная формула — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Полная формула

Cтраница 1

Полная формула будет нужна во второй главе.  [1]

Полные формулы углеводородов получатся после дополнения схем углеродных скелетов необходимым числом атомов водорода.  [2]

Полные формулы углеводородов получаются после дополнения схем углеродных скелетов необходимым числом атомов водорода.  [3]

Полная формула комплексной частицы перечисляет все лиганды внутренней координационной сферы и указывает способ их присоединения.  [4]

Полная формула пересчета видимой плотности в относительную плотность учитывает величину потери веса пикнометром в возцухе.  [5]

Более строгие и полные формулы для модуля упругости будут приведены без вывода.  [6]

Наиболее полные формулы ошибок различных элементов сплошных сетей даны К. Л. Проворовым [13, 14] для ряда триангуляции, выделенного из сети ( рис. III.  [7]

Полную формулу Мюллера мы не приводим, потому что для нас важно лишь выяснить, как изменяется процесс коагуляции в полидисперсных золях. Полная формула сложнее, и ее трудно применять.  [8]

Существуют более полные формулы, приводимые в справочниках, учитывающие конечную толщину металлических пластин.  [10]

Приведение полной формулы ввиду ее громоздкости здесь нецелесообразно. Фактически, мы построили алгоритм нахождения весовых коэффициентов оптимального портфеля, сформировав его последовательными шагами. Последующее использование вычислительной техники превращает интересующую инвестора проблему в разряд технической.  [11]

Вместо полных формул, выведенных выше, на практике пользуются приближенными формулами. В дальнейшем изложении на нескольких частных примерах мы покажем, какая степень приближения достигается при таком способе расчета.  [12]

Определение полной формулы комплексной частицы чаще всего удается, если частица длительное время существует в растворе или в кристаллическом соединении в виде стабильного образования.  [13]

Для получения полной формулы отказов секции следует добавить отказы всех выключателей ( включая секционный или шино-соединительный) в неподвижном состоянии, отказы шинных разъединителей при оперативных переключениях, повреждения изоляции шин. Однако перечисленные дополнительные отказы составляют незначительную часть вышеприведенных повреждений, отраженных в формуле, и с ними практически можно не считаться.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Комплексные числа в тригонометрической форме — Мегаобучалка

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi.

Арифметические операции над комплексными числами z₁= a₁+ b₁i и z₂= a₂+ b₂i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z₁± z₂= (a₁± a₂) + (b₁±b₂)∙i,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z₁∙z₂= (a₁∙a₂— b₁∙b₂) + (a₁∙b₂+ a₂∙b₁)∙i,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i²=1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z₂ ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

.

Легко показать, что

Примеры.

1. Найти сумму комплексных чисел z₁= 2 – i и z₂= –4 + 3i.

z₁+ z₂= ( 2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z₁= 2 – 3i и z₂= –4 + 5i.

₌ ( 2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i – 3i∙5i =7+22i.

3. Найти частное z от деления z₁= 3 – 2на z₂ = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R.

(2x + y ) + ( x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i², i³, i⁴, i⁵, i⁶, i^-1 , i^-2.

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i.

.

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y), если каждой точке с координатами (a, b) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A ( a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А ( и, значит, комплексного числа z) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r, а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z.

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ Rи z > 0,то arg z = 0 +2pk;

если z Î Rи z < 0,то arg z = p + 2pk;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p.

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z₁ = 4 – 3i и z₂ = –2–2i.

_;

.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û — уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z₀ = 2 + i.

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z₀ = i.

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j₁ = .

2) z₂ = –2 – 2i; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Используя формулы можно перейти от алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):

.

Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2p.

4. Записать числа в тригонометрической форме.

1) , 2) , 3) , 4) .

1) , ,

.

(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)

Таким образом: z₁ = .

2) , r₂ = 1, j₂ = , .

3) , r₃ = 1, j₃ = , .

4) , r₄ = 1, j₄ = , .

megaobuchalka.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа — ПриМат

Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол — аргумент числа .

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
, , где — это модуль комплексного числа .
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа , мы получим: , таким образом:
— тригонометрическая форма комплексного числа .

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
— не тригонометрическая форма комплексного числа;
— не тригонометрическая форма комплексного числа;
— не тригонометрическая форма комплексного числа;

Умножение

Деление

=

Возведение в степень (Формула Муавра)

, , :

Доказательство

Проверим для:
:
Математическая индукция.
1.База индукции:
,
2.Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для , . Докажем справедливость формулы для
:

:

Таким образом можно заключить, что формула справедлива для всех целых .

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Лимит времени: 0

Информация

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   Количество баллов: 1

   Какая запись является записью числа в его тригонометрической форме?

ib.mazurok.com

3 Вопрос. Различные формы записи комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Алгебраическая форма комплексного числа

Запись вида называется алгебраической или координатной формой комплексного числа .

При этом действительное число называется действительной частью числа : , а действительное число — его мнимой частью: .

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть задано комплексное число . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть , а ордината — мнимой части .

Абсциссу и ординату комплексного числа можно выразить через модуль и аргумент следующим образом:

В данном случае и удовлетворяют соотношениям:

Тогда

Таким образом, для всякого комплексного числа справедливо равенство

которое называется тригонометрической формой комплексного числа .

То есть, если — модуль комплексного числа , а   его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа называется выражение

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:

или

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения, получаем .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

В результате деления чисел по формуле может получиться аргумент частного, не являющийся главным значением.

Показательная форма комплексного числа Формула Эйлера

Пусть — некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число — действительное, то есть , то

Если число — чисто мнимое, то есть , то

Таким образом, имеем равенство

которое называется формулой Эйлера.

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: . По формуле Эйлера

а тогда

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа на комплексное число выглядит следующим образом:

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа в целую степень нужно представить это число в показательной форме, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в раз:

studfiles.net

1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

С каждым комплексным числом на плоскости связывается точка с координатами. Положение этой точки однозначно определяется расстоянием от начала координати угломмежду положительным направлением вещественной оси и лучем, проведенным из начала координат в эту точку. Если угол отсчитывается в положительном направлении, то ему приписывается знак «+», а в противном случае знак «-». Комплексное число 0=0+0iоднозначно определяется расстоянием (равным 0) от начала координат, а потому ему значение угла не приписывается. Числоназываетсямодулем комплексного числа, а указанный выше уголназываетсяаргументом и обозначается. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного.

Из рисунка видно, что . Так что мы имеем следующий вид тригонометрической формы комплексного числа

.

А число, комплексно сопряженное к z,имеет такую тригонометрическую форму. Теперь, используя формулы для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов, получаем

При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем можно воспользоваться следующей формулой, которая называется формулой Муавра.

.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме очень полезно изобразить соответствующую этому числу точку (это избавит вас от ошибки в определении аргумента числа).  

При решении задач часто используется следующий результат.

где .

Приведем примеры решения некоторых задач.

30. Формула Муавра.

еорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа  имеет место следующее равенство:

             .                     (1)

   Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть  – натуральное число. Так как комплексное число  имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть , где  – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и вполе комплексных чисел, имеем:

.

   Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть . Тогда 

               .

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

             .                (2)

   Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

, ч.т.д.

Пример 1. Запишите комплексные числа  и  в тригонометрической форме и найдите их произведение  и частное .

Решение. 1) Комплексное число  на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому

, .

2) Комплексное число  на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

, .

3) 

.

Ответ: , .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Комплексное число  на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому , 

Применим формулу Муавра:

.

31. Корені п-ого степеня з комплексного числа, корні з одиниці.

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть  и . Корнем n-й степени из комплексногочисла z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степенииз комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                 ,                (3)

где ,  – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

   Доказательство. Обозначим

                                                       (4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что всеэлементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексногочисла z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексногочисла z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра 

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где  и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрическойформе записи следует, что равны их аргументы.

   Но, аргумент числа  может отличаться от числа  на числократное числу  (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что  и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к.  и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней вмножестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число  является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства  и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .

   Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда

 и

. Таким образом,корень  является корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Запишем число  в тригонометрической форме записи: . Тогда

, где

, .

Ответ: , где

,

,

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где ,.

Заметим, что

                    .                        (5)

   Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

   Так как модульу всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от началакоординатна одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими наокружностирадиусас центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, чтоуголмеждутакимидвумясоседнимиточкамиодинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются наокружностиравномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.

                                       рис.1.

При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется кореньпроставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

Пример. Изобразить все корни на комплексной плоскости.

Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса с центром в началекоординати отмечаем на ней точки полярныйуголкоторых равен:

              , ,.

   Соединим построенные точки отрезками прямыхи получаем правильный треугольник.

прямоугольная выноска: » width=»83″>               

                                        рис.2.

п.5. Корни из единицы.

   Пусть – натуральное число. По формуле корней изкомплексногочисла, существует ровно n корней изкомплексногочисла. Для вычисления этих корней запишем единицу втригонометрическойформе:

, т.е. ,.

   Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:

                   ,                               (6)

              ,  .            (7)

В частности,  ,

                          .                                  (8)

Заметим, что верна формула:

                                     .                                          (9)

Действительно, равенство(9) сразу же получается по формуле Муавра:

.

Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так:

                               (10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

   Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество замкнуто относительно умножения. Пусть– два произвольных корня из 1, т.е.. Найдем их произведение:

                                        .

Замечаем, что

           .         (11)

Отсюда следует, что , если. В противном случае,. Обозначим черези. Тогда

             , ч.т.д.

   Таким образом, на множествеопределена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна вполекомплексныхчисел, то она ассоциативна и коммутативна и намножестве. Далее,. Покажем, что любой элемент изимеет обратный элемент также принадлежащий множеству:

                         .

Действительно, по условию . Тогда

, т.е. .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы .

Решение. Обозначим  для простоты

. Тогда, где.

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

Изобразим все корни третьей степенииз 1 на комплексной плоскости. Т.к. ихмодульравен 1, то все они лежат натригонометрической(т.е. единичной) окружности:

                                  рис.3.

   Здесь, ,.

32. Многочлени. Дії над многочленами, теорема про ділення з остачею.

studfiles.net

Представить в тригонометрической форме комплексные числа

Представить в тригонометрической форме комплексные числа сможем, для начала вспомнив, что такое комплексные числа.
Рассмотрим число в виде z=a+bi, которое называется комплексным. Изобразить его можно на комплексной плоскости с помощью точки, абсцисса которой (число а) — это действительная часть данного числа, а ордината (число b) — мнимая часть.
Абсцисса а и ордината b рассматриваемого комплексного числа выражается с помощью модуля и аргумента таким образом:

При тригонометрические функции можно выразить так:

Тогда можно записать:

Таким образом, равенство является \textbf{тригонометрической формой комплексного числа z}.

Рассмотрим пример.

Пример.
Дано число z=-13i. Представим его в тригонометрической форме.

Решение.
Для данного комплексного числа его действительная часть а=0, а мнимая часть b=-13.
Запишем модуль данного числа:

Найдем тригонометрические функции:

Найдем значение : .
Получаем тригонометрическую форму данного комплексного числа:

Ответ. .

ru.solverbook.com

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

 Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.                 (13)

   Доказательство.

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Следствие 1. Пусть k натуральное число и . Пусть далее , где  – произвольные n комплексных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда

.

   Доказательство проводится индукцией по числу сомножителей и предоставляется читателю.

Следствие 2. Пусть n натуральное число и  – произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда

.

   Доказательство сразу же следует из Следствия 1.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть  – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1)  и . Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояние между точками  и  комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел:  ;

3) ;

4) ;

   Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где  и ,

т.е. .

   Таким образом, равенства  и  есть тригонометрическая форма записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

   Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

   Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

   Противоположные числа на комплексной плоскости изображаются точками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда  и точки ,  имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда  и по формуле (12) имеем:

            .                      (14)

   С другой стороны, рассмотрим числа  и  как точки на комплексной плоскости. Тогда точка  имеет декартовые координаты ,  а  и искомое расстояние между ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплексной плоскости точки ,  и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

                                          рис.6.

   Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

   Мы только что доказали, что длина стороны  этого треугольника равна , а длины сторон  и  равны по определению модулям чисел  и : , . Отсюда и получаем, что .

   Заменим в последнем  неравенстве число  на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.

   Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О,  и  лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами  и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.

   Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Не могу удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к области теории чисел.

Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:

                                       .

Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.

   Доказательство. Пусть  и , где .

   Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .

   С этой целью рассмотрим два комплексных числа  и .

   Тогда  и по формуле (12) имеем: .

   С другой стороны, , . Так как , то  или , то отсюда получаем равенство: , где , ч.т.д.

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.

1. Умножений. Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z₁ = r₁(cos₁ + isin₁) z₂ = r₂(cos₂ + isin₂).

z₁z₂ = r₁r₂(cos₁cos₂ – sin₁sin₂) + i(cos₁sin₂ + sin₁cos₂) = = r₁r₂(cos(₁ + ₂) + isin(₁ + ₂)).

Итак, модуль |z₁z₂| = r₁r₂, аргумент arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Пример 1.13. Для z₁ = 2(cos + isin) и z₂ = 3(cos + isin) найти их произведение z₁z₂.

Решение. Применяем формулу для нахождения произведения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. z₁z₂ = 23(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin) – тригонометрическая форма произведения чисел z₁ и z₂ или в алгебраической форме z₁z₂ = 6i.

2. Деление. ===

= =

= ( cos(₁ – ₂) + isin(₁ – ₂))

Итак, модуль || = , аргумент arg() = arg z₁ – arg z₂.

Пример 1.14. Для z₁ = 10(cos45 + isin45) и z₂ = 5(cos60 + isin60) найти их частное от деления .

Решение.

= (cos(45 – 60) + isin(45 – 60)) = 2(cos(–15) + isin(–15)) – тригонометрическая форма частного чисел z₁ и z₂. Заметим, что если данное выражение записать в виде равносильного выражения 2(cos15 – isin15), то это не будет уже тригонометрической формой записи комплексного числа.

3. Возведение в степень.

Если z = r(cos + isin), то zⁿ = rⁿ(cos(n) + isin(n)), где n  Z. Данная формула называется формулой Муавра⁹.

Пример 1.15. Для z = – i, найти z⁴.

Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos + isin). Тогда z⁴ = (– i)⁴ = (2(cos + isin))⁴ = 2⁴(cos + isin) =  = 16(cos + isin) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z⁴. z⁴ = 16(cos + isin) = 16(cos – isin) = 16( – i) =  = –8 – 8i.

4. Извлечение корня n-ой степени.

Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n-й степени.

Если z = r(cos + isin), то

= =

(cos + isin), гдеk = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.16. Найти .

Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16  a = 16, b = 0  r = == 16;т. к. a = 16 > 0, то  =  = =  == 0.Тогда z = 16 = r(cos + isin) = 16(cos0 + isin0).

Применяем формулу для нахождения корня n-ой степени.

= ==(cos + isin) =

= 2(cos + isin) ,где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:

k = 0  ₀ = 2(cos + isin) = 2 (cos0 + isin0) = 2,

k = 1  ₁ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 +i1) = 2i,

k = 2  ₂ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(–1 + i0) = –2,

k = 3  ₃ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 –i)) = –2i.

Замечание. Геометрически все n значений корней n-ой степени из комплексного числа r(cos + isin) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n-угольник.

studfiles.net

Определение длины дуги

Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.

Определение длины дуги

Расчет длины дуги производится по следующей формуле:

r – радиус окружности

α – угол

L – длина дуги

π – 3.14

Нужно определить длину дуги окружности радиусом 10 сантиметров при центральном угле, равном 85°.

Воспользуемся формулой

где L – искомая длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α – центральный угол.

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

simple-math.ru

Хорды — Длины — Таблицы

В третьей части таблицы приводят диаметр делительной окружности и толщину зуба (если отсутствуют данные для контроля) для косозубых колес — осевой шаг (а, или ход винтовой линии 5, или угол наклона зуба Ро на основном цилиндре для шевингуемых или шлифуемых колес, или при наличии в данных для контроля показателя Ьf — диаметр основной окружности и радиус кривизны в начале рабочего участка зуба (можно указать высоту кр рабочего участка зуба) толщину зуба по хорде или длину общей нормали — при отсутствии этих показателей во второй части сведения о сопряженном колесе и другие справочные данные.  [c.35]

Характеристика логарифма 77 Характеристики вероятностные 326 Хорды — Длины — Таблицы 37 Храповые механизмы — см. Механизмы храповые  [c.590]

ТАБЛИЦА VI. ЭЛЕМЕНТЫ КРУГА ДЛИНА ДУГИ, СТРЕЛКА, ДЛИНА ХОРДЫ И ПЛОЩАДЬ СЕГМЕНТА КРУГА ДЛЯ РАДИУСА у — — 1  [c.37]

Во второй части таблицы параметров венца приводят данные для контроля взаимного положения разноименных профилей зубьев по одному из следующих вариантов постоянная хорда зуба и высота до постоянной хорды длина общей нормали W толщина по хорде зуба и высота до хорды торцовый  [c.472]

Для деления окружности на равное число частей пользуются таблицами хорд (табл. 95). Вычислив длину хорды для данного числа делений, откладывают полученную величину на разделяемой окружности.  [c.193]

В таблице против числа делений 12 находим величину хорды, равную 0,5176. Умножив найденную длину хорды на радиус делимой окружности, находим длину хорды, стягивающей Vi2 часть окружности радиусом 100 мм.  [c.84]

По таблице находят, что при 15 делениях, т. е. при центральном угле, равном 24°, длина хорды (5) для окружности радиуса, равного единице, есть 0,4158.  [c.99]

Если при заданном подъеме (отношении стрелы к хорде) длина хорды равна а, то помещенное в таблице значение длины дуги должно быть умножено на а, а площадь сегмента — на а .  [c.35]

Длину измеренной хорды отсчитывают непосредственно по нониусу 4. Определение номинальной толщины зуба и высоты до постоянной хорды производят по заранее составленным таблицам этих величин или расчетом по формулам, помещенным в справочниках для машиностроителей.  [c.134]

Длина хорды, при помощи которой делят окружность на конгруэнтные дуги, зависит от числа делений и величины диаметра d окружности (берется из табл. 4). Например, для деления окружности диаметром 100 мм на девять конгруэнтных дуг в первой графе таблицы находим число делений 9. Во второй графе этому числу соответствует хорда длиной 0,34202 х й — 0,34202 х 100, что составляет приближенно 34,2 мм. При помощи циркуля или циркуля-измерителя этим размером засекают на окружности точки деления.  [c.47]

Библиографические указания. Определению сил, действующих на тонкие тела, которые движутся в потоке жидкости или газа, посвящена обширная литература [4, 5, 12, 14, 15, 24, 27, 28, 31, 39, 43, 52, 67, 74]. Изложение этого вопроса применительно к задачам аэроупругости можно найти в книгах [4, 15, 39, 67]. Приближенные формулы для больших сверхзвуковых скоростей приведены в статьях [27, 31, 74] сопоставление этих формул дано в книге [15]. Области применения различных аэродинамических теорий приведены в табл. 1 [39]. В этой таблице к — приведенная частота по выражению (7) 6 — отношение толщины или амплитуды к хорде крыла 1, — удлинение (отношение длины крыла к хорде).  [c.473]

Приборы для деления окружностей. Применение простейших приборов для деления окружностей на равные части и отыскания длин хорд, соответствующих заданным центральным углам, освобождает разметчиков от вспомогательных графических построений или расчетов с применением таблиц (см. стр. 51).  [c.269]

Приборы для деления окружностей на равные части и определения хорд по центральным углам (фиг. 200) позволяют по заданному радиусу окружности без вычислений или таблиц определять длины хорд (стороны вписанных многоугольников), делящих окружности на любое число частей, а также определять хорды, соответствующие заданным центральным углам.  [c.270]

Нанесение наклонных рисок. Наклонные линии под заданными углами могут быть нанесены тремя способами построением прямоугольного треугольника по его сторонам и углам построением угла наклона прямых по длине хорды, взятой из таблицы (см. стр. 37) при помощи специальных инструментов и приспособлений (см. стр. 303).  [c.316]

Деление окружности на неравные части производят при помощи таблиц [41, в которых длина хорды определяется по углу между соседними лучами.  [c.147]

В случае недоступности вершины полного конуса построение развертки ведут иначе. Вначале по формула. определяют R, г и а, а затем по таблице 14] —длины хорд АБ п ВГ и стрелки hi и /ij. Последовательность построения дуги по размерам хорды и стрелки приведена в п. 53 (см. рис. 84, е).  [c.152]

Таблица 7. Длины дуг I, хорд а и стрелок й сегментов круга в зависимости от центрального угла а при г =

При плоскостной разметке приходится выполнять разнообразные построения делить прямые линии на равные части, проводить перпендикулярные и параллельные линии, строить углы, делить углы и окружности на равные части и т. д. Указанные построения слесарь должен делать быстро и точно. Для деления окружности на равное число частей можно пользоваться таблицей хорд (табл. 7). Вычислив длину хорды для данного числа делений, откладывают полученную величину на разделяемой окружности.  [c.49]

Таблица 9.1 Стрелы круговых кривых в середине хорды длиной 20 м

Хорды — Длина — Таблицы 131  [c.602]

Во второй части таблицы приводят данные для контроля взаимного положения разноименных профилей зубьев по одному из следующих вариантов 1) постоянная хорда зуба и высота до постоянной хорды /г 2) длина общей нормали 3) толщина по хорде зуба у и высота до хорды Тг 4) торцовый размер по роликам (шарикам) М и диаметр ролика (шарика)  [c.288]

Если радиус/ не равен единице, то для определения длины дуги /, длины стрелки /) и длины хорды з нужно табличные значения умножить на R. Таблица 4  [c.23]

Эйлер указывает, что произведение длины полной кривой на ее хорду равно площади круга радиуса, равного горизонтальному прогибу. При взятых четырехзначных таблицах получается (а — отброшена) по формулам (40), (41) и (26) 2 1,8541 2 0,8471 и я=1,4142 что дает разницу на единицу в третьем знаке после запятой.  [c.12]

ТАБЛИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ Кз, и Кь для ПОДСЧЕТА ДЛИН ДУГ /, СТРЕЛОК Л И ДЛИН ХОРД с в ЗАВИСИМОСТИ ОТ УГЛА а°  [c.259]

При фрезеровании зубчатых колес на фрезерном станке качество отфрезерованного зубчатого колеса можно определить не только измерением толщины зуба по постоянной хорде с помощью штангензубомера, но и путем измерения длины общей нормали (рис. 9) (длина общей нормали определяется по формулам или по специально подготовленным таблицам)  [c.187]

Чтобы разде.шть окружность на любое число равных частей, проще всего пользоваться специальными таблицами (например, табл. 12 на стр. 23), в которых указана длина хорды х для окружности радиусом / =1.  [c.154]

Примечание. Делительная толщина по хорде 51 — длина хорды, стягивающей дугу, по которой измеряется толщина зуба по делительной окружности. Делительная высота до хорды зуба ка — крат-чайщее расстояние от вершины зуба до средней точки делительной толщины по хорде. Для определения размеров вг и йо для модулей, отличных от т= . мм, необходимо данны е таблицы умножить на величину модуля. Например, при модуле 3 мм, числе зубьев 30 ка=ЗХ XI,0206 = 3,0618 3,06 мм = ЗХ 1,5700 = 4,71 мм.  [c.191]

При заданных силе тяги, радиусе и концевой скорости несущего винта индуктивная и профильная мощности могут быть минимизированы соответствующим выбором крутки и сужения. На внешней части лопасти, где нагрузки самые большие, оптимальные распределения длин хорд и углов установки можно хорошо аппроксимировать линейными функциями. В самом деле, с лопастями, линейно закрученными на углы от —8 до 12°, получается почти весь тот выигрыш (по сравнению с незакру-ченными лопастями), который дают лопасти с идеальной круткой. Лопасти с линейной круткой просты в производстве, так что значительное улучшение аэродинамических характеристик достигается за счет лишь небольшого увеличения стоимости производства. Сужение также улучшает аэродинамические характеристики, но вследствие высокой стоимости производства оправдывается только для очень больших несущих винтов. В приведеной ниже таблице, составленной по данным Гессоу  [c.79]

Примечание. Нормальной точностью построений следует считать точность до 0,2 мм исходя из этого, за длину дуги для вычерчивания можно принимать ее хорду при условии, что длина дуги не превышает длину ее хорды на 0,2 мм. На основании сказанного составлена таблица по В. А. Осадченко) для спрямления дуг окружностей  [c.62]

Деление на семь п более частей рекомендуется производить построением с исрользованием специальной таблицы. Допустим, окружность диаметром 112,7 мм Фо) (рис. 87) необходимо разделить на п равных частей. Для этого величину Оо умножают на соответствующий коэффициент а, взятый из табл. 5. Это произведение равно длине хорды 5, соответствующей расстоянию между двумя соседними точками данной окружности. Для повышения точности разметки целесообразно расчет длины хорды вести не по  [c.146]

Теплоты образования 2 — 304 Химия 2 — 269—315 Хлорметил — Свойства 2 — 97 Ходовые посадки для древесины 5 — 621 Холод искусственный — Производство — Термодинамика 2 — 97 Холодильные агенты 2 — 97, 98 Холодильные машины 2—103—105 Хомутики металлокерамическне 5 — 261 Хорды — Длины — Таблицы 1—37 Хранение моделей 5 — 23 — опок 5 — 19  [c.491]

Деление окружности на произвольное число равных частей. Разделить окрулсность на любое число равных частей можно, пользуясь таблицей хорд (табл. 4), приведенной ниже, в которой дается длина хорды в зависимости от числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, диаметр которой с1.  [c.36]

В второй части таблицы (данные для контроля) приводятся размеры и от-клонемя для контроля взаимного положения разноименных п(эофилей зубьев по одном з следующих вариантов 1) постоянная хорда зуба с и в ысота до постоянной хомы Ьс й) длина общей нормали 1 3) толщина по хорде зуба и высота до хор ы Ьау 4) торцовый азмер по роликам (шарикам) М и диаметр ролика (шарика) О, и Яс определяется по табл. 5.29.  [c.357]

mash-xxl.info

Как определить радиус по длине дуги и хорды?

Мда, че-то школьную задачку с ходу «не осилил» 🙂 Там есть формула дуги: L = a*R. где а — центральный угол, образующий дугу. Теперь смотрим треугольник, образованный центром, концом дуги и серединой хорды. Прямоугольный, гипотенуза = R. катет I/2, противолежащий угол a/2. Для удобства я взял не угол а, а угол b = a/2 тогд система будет такой: L = 2bR I = 2Rsin(b) После подстановки 2R, выраженного из первого уравнения во второе, получим sin(b) / b = I/L Дальше чего-то затупил, как это уравнение решить. Возможно, надо записать так sin(b) = (I/L) * b Слева — синусоида, справа — прямая, проходящая через начало координат с известным углом наклона. Теперь надо найти точку пересечения. ..Ну, хотя бы графически.. . может поможет :)) PS найдем угол b значит будем знать угол а (в радианах) , значт найдем R = L/a

Это задача Архимеда ( по-моему так и называется ) В этих формулах а — половина хорды ; L- » стрела дуги » т. е. расстояние от края до середины ; H — высота сегмента : R =(a^2+H^2)/2H ; P =2L+2/3 (L -a )/Удачи !!!

У matod всё верно. Зря только он искал школьного способа решения полученного уравнения — его нет, такое решается только численно (графически).

В общем случае решается только приближённо L= pi*R * (a/180град) = R * (a) (в радианах) l^2/4 = (2R-h)h =&gt; l^2 = 4*(2R-h)h 1/2 R^2*sina = 1/2 l(R-h) =&gt; R-h=R^2*sina/l итого 4*(R + (R^2*sina/l) )(R- (R^2*sina/l)) = l^2 (1 + (R*sina/l) )(1- (R*sina/l)) = l^2/(4*R^2) 1- (R*sina/l)^2 = l^2/(4*R^2) 1- (R*sin(L/R)/l)^2 = l^2/(4*R^2) Итого мы получили функцию одной переменной вида 1- (x*sin(L/x)/l)^2 = l^2/(4*x^2) Дальше только с помощью приближённых методов Вот решение этого уравнения <a rel=»nofollow» href=»http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-+(x*sin(4/x)/3)^2+=+3^2/(4*x^2)+» target=»_blank» >математическим пакетом</a> при L=4 l=3 Можно, например, разложить функцию 1- (x*sin(L/x)/l)^2 — l^2/(4*x^2) в ряд<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/691332c04f9e8fb7d7066a0dfd404cbd_i-201.gif» >(пример разложения при L=4 l=3 ), взять ограниченное количество членов, приравнять их к нулю и искать приближённое решение Причём взяв разложение до x^8, можно найти точную относительно разложения формулу в радикалах, но она будет такой гигантской, что страшно даже представить. Вот такой (опять же при 4 и 3)<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/691332c04f9e8fb7d7066a0dfd404cbd_i-202.gif» > для первого корня и вот такой для второго <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/691332c04f9e8fb7d7066a0dfd404cbd_i-203.gif» >

Сам на работе часто сталкиваюсь с подобными расчетами, когда приносят деталь и просят сделать на ЧПУ подобный радиус. формула — R=(a^2+c^2)/2c, где а — половина хорды, с — высота дуги. Точно, как и писал выше Владимир Ерёмин 6 лет назад…

touch.otvet.mail.ru

Решение более сложных задач по комбинаторике. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Из 2 математиков и 10 экономистов надо составить комиссию из 10 человек. Сколько есть способов сделать это при условии, что в комиссии должен участвовать хотя бы 1 математик?

Решение

Рассмотрим два случая:

1. В комиссии будет один математик.

Существует 2 способа выбрать 1 математика из 2. Из 10 экономистов нужно выбрать 9 человек; количество способов выбрать из 10 человек 9 – это . Следовательно, всего способов:

Однако можно посчитать иначе: выбирать не 9 экономистов из 10, а выбрать 1 экономиста из 10, который не попадет в комиссию, то есть:

2. В комиссии будет более одного математика, то есть 2.

Существует 1 способ выбрать 2 математиков из 2. Оставшиеся восемь человек комиссии должны быть экономистами. Количество способов выбрать 10 человек 8 – это . Следовательно, всего способов:

3. Складываем количество способов в первом и во втором случае:

Ответ: 65 способов.

Сколько есть способов составить ожерелье из 5 одинаковых красных бусинок и 2 одинаковых синих бусинок?

Решение

Ожерелье может быть замкнутым и незамкнутым.

1. Если ожерелье замкнутое, то между синими бусинками может находиться или 0, или 1, или 2 красных бусинок (если между синими находятся 3, 4 или 5 красных, то это тоже самое, что и 0, 1, 2, только с другой стороны) (см. Рис. 1). Следовательно, существует три варианта расположения 2 синих и 5 красных бусинок на замкнутом ожерелье.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

2. Если ожерелье незамкнутое (см. Рис. 2), тогда количество вариантов определяется также положением синих бусинок. Количество способов выбрать 2 места из 7 – это .

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ: 1. Если ожерелье замкнутое, то существует три способа составить ожерелье; 2. Если ожерелье незамкнутое, то существует 21 способ составить ожерелье.

План города имеет вид прямоугольника  (см. Рис. 3). Его улицы идут строго параллельно сторонам. На каждом перекрестке водитель имеет право ехать либо вправо, либо вверх. Сколько существует различных маршрутов добраться из нижнего левого угла в правый верхний?

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение

Движение водителя задается последовательностью движений вправо (П) и вверх (В). Например: если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 4, то он 10 раз (10 клеточек) едет вправо (П), а затем 5 раз (5 клеточек) вверх (В):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 5, то он едет 1 раз вверх (В), 1 раз вправо (П), 1 раз В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 6 П:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Таким образом, каждый маршрут водителя задается последовательностью из 15 символов В и П, при этом водитель каждый раз смещается на 10 единиц вправо и на 5 единиц вверх. Следовательно, из 15 символов 5 будут символами В, а 10 будут символами (П). Поэтому для решения задачи необходимо найти количество способов выбрать 5 мест из 15, в которых водитель поедет вверх. Это будет .

Ответ:  маршрутов.

Даны 2 слова: «интегрирование» и «суперкомпьютер». Вася посчитал, сколько получается слов из слова «интегрирование», если вычеркнуть в нем 2 произвольные буквы (получившиеся слова не обязательно осмысленные). Маша сделала то же самое для слова «суперкомпьютер». У кого слов получилось больше?

Решение

В данных словах одинаковое количество букв (по 14), поэтому вычеркнуть две буквы из каждого из них можно одинаковым количеством способов. Заметим, что при вычеркивании двух букв из слова «суперкомпьютер» все полученные слова будут различны, а при вычеркивании букв РИ и ИР из слова «интегрирование» получается одно и то же слово «интегрование». Поэтому, у Маши получится на одно слово больше.

Количество способов выбрать 2 буквы из 14 – это , именно столько слов будет у Маши, а у Васи будет  слов.

Ответ: больше слов получилось у Маши.

Сколько существует способов рассадить за круглый стол 5 юношей и 5 девушек так, чтобы они чередовались?

Решение

На рисунке 6 изображен стол, на котором для удобства пронумерованы места.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Предположим, что на месте номер 1 сидит юноша. Тогда все юноши садятся через 1 от этого места (на нечетные места), а девушки – на четные. Количество способов усадить 5 юношей на 5 кресел (количество перестановок) – это , количество способов усадить 5 девушек на 5 кресел – это также . Значит, всего вариантов усадить юношей и девушек – это . Однако на месте номер 1 может сидеть девушка (на четных – юноши, на нечетных – девушки), тогда окончательный ответ будет в два раза больше, то есть .

Ответ:  способов.

В стране есть 20 городов, которые соединены между собой 172 авиалиниями. Предположим, что между двумя городами есть только одна авиалиния. Докажите, что из любого города можно попасть в любой город, возможно, с пересадками.

Доказательство

Докажем от противного.

Предположим, что есть города  и  такие, что из  нельзя долететь в . Тогда какой бы мы ни взяли город , одновременно существовать авиалинии  и  не могут (если существуют обе, можно долететь из  в  с пересадкой), и так для любого города из оставшихся 17 (см. Рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Следовательно, отсутствует авиалиния  и еще 18 авиалиний, которые связывают другие города либо с городом , либо с городом , то есть всего отсутствует 19 авиалиний.

В стране 20 городов, следовательно, всего теоретически возможно провести  авиалиний.

Тогда если из 190 возможных авиалиний 19 отсутствуют, то присутствует всего:

 авиалиния

Однако это противоречит условию:

Следовательно, исходное предположение неверно, а из любого города можно попасть в любой.

Пример

Задача 7

Дано слово «логарифм». Сколько существует способов поменять местами буквы в этом слове так, чтобы в полученном буквосочетании согласные были упорядочены по алфавиту слева направо?

Решение

Например, нам подойдут следующие буквосочетания: ОАИГЛМРФ или ГОАЛИМРФ, или ГЛМАИРОФ. В каждом буквосочетании согласные идут в определенном порядке по алфавиту (ГЛМРФ), следовательно, общее количество вариантов таких буквосочетаний определяется только 3 гласными. Поэтому достаточно определить 3 места из 8 для гласных, после чего все буквы расставляются однозначно. А это будет  способов.

Ответ: 336 способов.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1.  Интернет-сайт «Математический тандем» (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт «МатБюро» (Источник)

Домашнее задание

1. Глава 20, задания 56, 67, 82 (стр. 382–386) – М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. (Источник).

2. У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого на правую)?

3. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

4. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

interneturok.ru

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

ОГАПОУ «Алексеевский агротехнический техникум»

Методическая разработка урока

по учебной дисциплине: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Тема: «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.»

Разработала: Медведенко Юлия Юрьевна,

преподаватель математики

г. Алексеевка

2017 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предисловие

2. Технологическая карта учебного занятия

3. Структура и методический инструментарий учебного занятия

4. Ход урока

5. Рефлексия

6. Литература

Предисловие

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Исторический экскурс

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, ученому-химику – рассмотреть всевозможные связи между атомами и молекулами, лингвисту – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теорией вероятностей. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2).

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований тоже были проблемы азартных игр. Особенно большую роль здесь сыграла задача о разделе ставки, которую предложил Паскалю его друг шевалье де Мере, страстный игрок. Проблема состояла в следующем: «матч» в орлянку ведется до 6 выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой – 4; как разделить ставку? Было ясно, что раздел в отношении 5:4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил задачу в общем случае, когда одному игроку остается до выигрыша r партий, а втолрому – s партий. Другое решение задачи дал Ферма.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якоба Бернулли, Лейбница и Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.). В последнее время комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач (составление расписаний), для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т.д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и решения других проблем теории информации.

Основа хорошего понимания комбинаторики умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности можно выработать, если быть настойчивым, трудолюбивым и внимательным на уроках, самостоятельно и с интересом заниматься.

Урок по теме «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов» знакомит обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика», основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека.

Задачи с использованием элементов комбинаторики входят в состав экзамена по математике. Поэтому у обучающихся должны формироваться первоначальные представления о комбинаторных задачах.

На уроке будут использованы такие виды деятельности, как практические, самостоятельные работы, решение задач, защита докладов и сообщений. Данный урок поможет обучающимся по-другому посмотреть на окружающий мир. После данного урока они смогут объективно оценивать некоторые вещи, опираясь на математические подсчеты.

Они учатся решать комбинаторные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, что развивает логическое мышление.

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов» является первым уроком в разделе «Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика» рабочей программы.

При подготовке к уроку трем обучающимся было дано опережающее задание, которое требовало самостоятельно изучить и подготовить материал к уроку по следующим вопросам: какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется, какие задачи называются комбинаторными и как можно их решить. Рассмотрение данных вопросов в начале урока позволит вызвать интерес у обучающихся к изучаемой теме, создать рабочую атмосферу.

Предварительно была подготовлена презентация по теме «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов», которая наглядно демонстрирует основные шаги объяснения материала. Так же были подготовлены карточки с заданиями для каждого обучающегося, которые должны заполнятся в течении всего урока.

Технологическая карта учебного занятия

Дата:

Учебная дисциплина: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия».

Тема занятия: Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид занятия: смешанный урок (исследовательская работа, беседа)

Место проведения: кабинет 205.

Продолжительность: 90 минут.

Цели занятия: обеспечить оценку и проверку знаний; создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с понятиями размещений, перестановок и сочетаний, содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования, выбирать правильные утверждения из нескольких данных.

По окончанию занятия обучающийся имеет практический опыт:

Знает:

понятие предмета комбинаторика

понятие факториала

понятие размещений, перестановок и сочетаний

Умеет:

организовывать поиск, сбор и получение информации об истории развития комбинаторики, ее применении при решении задач, находить связь комбинаторики с окружающим миром, решать простейшие комбинаторные задачи.

Владеет:

умением анализировать, сравнивать, аргументировать свои ответы.

Дидактические задачи:

Образовательные: ввести понятие предмета комбинаторики, познакомить с историей развития и применения в жизни; рассмотреть различные виды комбинаторных соединений: размещения, перестановки и сочетания; сформировать у обучающихся первичные умения и навыки решения задач.

Воспитательные: формировать научное мировоззрение у обучающихся, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Развивающие: развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

Методическая цель:

Использовать приемы, активизирующие внимание и память;

Продемонстрировать возможность использования на уроке информационных технологий, организацию фронтальной и индивидуальной работы.

Методы обучения:

Проблемно-поисковый, метод беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Формы организации познавательной деятельности:

Фронтальная, работа в парах, индивидуальная работа.

Средства технологической поддержки учебной работы:

1. компьютер,

2. проектор,

3. презентация по теме «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики», презентация по теме «Комбинаторика в реальной жизни», презентация по теме «Решение комбинаторных задач», «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

4. экран

5. Рабочая программа, календарно- тематический план, план занятия.

Межпредметные связи:

Обеспечиваемые – информатика, химия, экономика

Обеспечивающие – информатика, реальная математика

Структура и методический инструментарий учебного занятия

Подготовительная работа.

За две недели до проведения данного урока студентам дается задание:

Исследовать различные источники, и найти информацию, так или иначе связанную с темой данного урока. (Студентам выдаются темы сообщений, список литературы, возможно, ссылки на Интернет ресурсы.)

Собранная студентами информация изучается учителем, систематизируется. Учитель выясняет, какая тема больше всего интересна каждому студенту, окончательно утверждает темы сообщений и вбираются докладчики.

Темы сообщений:

• «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики»

• «Комбинаторика в реальной жизни»

• «Решение комбинаторных задач»

Примерный перечень вопросов при работе над темой:

• Основные понятия по данной теме;

• Исторические комментарии;

• Связь рассматриваемых объектов с природой и жизнью человека;

• Интегрирование полученных знаний в различные области науки, техники, технологии, в творческие области;

• Упражнения и задачи решения.

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. (2 мин)

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация —

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи»

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)

2. Мотивация к усвоению нового материала. Фронтальная работа с группой. (5 мин)

Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным  рукопожатием.

– В классе нас сколько?

Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?

– Итак, какие  будут ответы?

Допустим нас 25.

Каждый из 25-и  человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.

– Мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.   
Поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае, занят целый раздел математики, и мы познакомимся с ним. Особая примета подобных задач – это  вопрос, который   можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:

Итак тема нашего урока: «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

3. Изучение и первичное усвоение новых знаний.

1. Выступление учащихся с итогами своей работы:

Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность.

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки — соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения — соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания — соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр.

Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль.

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.

В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей.

Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» впервые встречается у Паскаля. Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли. Бернулли использовал и термин «размещение».

Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. Лаплас

Проведём небольшой эксперимент, вы можете представить себя отцом дочерей-двойняшек, которым вы накупили дюжину платьев. А теперь ответьте на вопрос: сколько же существует разных вариантов одеть ваших девочек? Чтобы получить ответ, достаточно провести подсчеты на обычном листке бумаги. Но представьте на минуту, что вы — этот самый человек, который выдает штрих коды на товары. Но производителю товара уже точно не обойтись одной бумагой и карандашом; для этого необходимо владеть специальной техникой, которая обеспечит гарантированное использование всех возможных вариантов, другими словами, нужна лучшая «техника счета».

В царице наук – математике, все эти техники объединяются в одну отрасль науки, которую называют комбинаторикой. Кроме всего прочего, комбинаторика — это прелюдия к расчету вероятностей.

Области применения комбинаторики:

• учебные заведения (составление расписаний)

• сфера общественного питания (составление меню)

• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

• география (раскраска карт)

• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

• агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

• химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

• криптография (разработка методов шифрования)

• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

Решить комбинаторную задачу — это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач.

Задача 1. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в городе. Наряд состоит из двух человек: старшего наряда и дежурного. В расположении майора находится 20 полицейских. На сколько дней подряд майор Зимин составит график?

Решение. Пусть сначала избирается старший наряда. Поскольку каждый полицейский может быть выбран старшим, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда дежурным может стать каждый из оставшихся 19 полицейских. Любой из 20 способов выбора старшего наряда может осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора дежурного. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380 способов формирования наряда. Т.о. на 380 дней майор Зимин может составить график.

Задача 2. В отделении сержанта Сбруева проходят службу 4 новобранца: Белкин, Пенкин, Свечкин и Овечкин. В свободное от нарядов время сержант обучает их, как рассчитаться по порядку. По команде «В одну шеренгу становись!» солдаты выстраиваются справа от Сбруева и по команде «По порядку номеров рассчитайсь!» производят расчет: «первый-второй-третий-четвертый-пятый». После этого сержант перестраивает но­вобранцев по-новому и расчет повторяется. Сколько раз может Сбруев повторить это упражнение, используя только разные способы построения солдат?

Решение. Первого новобранца стоящего в шеренге можно выделить четырьмя способами; второго, очевидно, тремя способами. На третье место будут претендовать только два человека, и, следовательно, есть два способа заполнить третье место. Для четвертого новобранца места уже не остается, и он выступает последним.

Занумеруем новобранцев: 1 – Белкин, 2 – Пенкин, 3 – Свечкин, 4 – Овечкин.

Составим схему.

Каждый способ выбора первого новобранца может быть скомбинирован с шестью случаями выбора остальных, то число способов составляет

4 ∙ 6 = 24.

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать из пяти разных книг какие-либо две и подарить их двум полицейским, в день милиции в городе Брюково?

Решение. Обозначим книги буквами A, B, C, D, E, можно выписать все возможные пары книг, а именно: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Мы видим, что их число равно десяти.

1. Введение новых понятий (30 мин)

В практической деятельности юристам часто приходится иметь дело с различными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала. Во многих случаях практика приводит к комбинаторным задачам.

1. Факториал

Определение. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!

n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

Используя знак факториала, можно, например, записать

Факториалы растут удивительно быстро.

Точные значения факториалов

1. Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.

Пример. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется и нет нуля. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двухчасов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Решение. Число номеров равно числу размещений из 9 элементов по 7, т.е. равно По формуле получаем номеров.

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.

1. Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.)

Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле:

Пример. В штате прокуратуры областного центра имеется 16 следователей. Сколькими способами можно выбрать 2 из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?

Решение. Способов столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно , т.е. всего 120 способов выбора следователей.

1. Перестановки

Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Пример. Замок сейфа открывается, если введена правильная комбинация. Преступник пытается открыть сейф, набирая код наудачу. Он знает, что код состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все числа не повторяются и последней является 5. Сколько попыток ему придется сделать.

Решение. Так как число пять должно стоять на последнем месте, то остальные пять цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, количество кодов из шестизначных чисел, с пятеркой на конце, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. .

4. Закрепление нового материала. (20 мин)

А теперь перейдем к работе в парах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в своем конспекте, проверить и оценить свою работу. Задания на столах в ваших конспектах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой паре).

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

№ задания 1 2 3

№ ответа 3 2 4

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

№ задания 1 2 3

№ ответа 4 1 2

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

№ задания 1 2 3

№ ответа 1 2 4

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

№ задания 1 2 3

№ ответа 2 1 4

Вариант 5

1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

1. 10 2) 20 3) 120 4) 50

1. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

1. 35 2) 30 3) 70 4) 45

1. На соревнованиях по лёгкой атлетике наш техникум представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

1. 120 2) 1560 3) 4800 4) 5040

№ задания 1 2 3

№ ответа 3 1 4

Сейчас каждый из вас выступит в роли учителя. Студент решил задачу. Проверьте, верно, ли решена задача:

Задача. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

Решение. P₄=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

.

5. Подведение итогов занятия (3мин)

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

6. Рефлексия. (3 мин)

Достиг ли ты своих целей? _____________________

Оцени степень усвоения: ________________________

Продолжи одно из предложений:

“Мне понятно…

“Я запомнил…

“Мне на уроке…

“Я думаю…

7. Домашнее задание (1 мин)

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

kopilkaurokov.ru

Комбинаторика

Замечание 1

При решении многих практических задач часто приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, которым свойственны те или иные особенности, размещать элементы в некотором порядке, подсчитывать их количества и т.п. Поскольку в таких задачах речь идёт о комбинациях объектов, их называют комбинаторными.

Основные элементы комбинаторики, используемые при решении комбинаторных задач, таковы:

1. Правила суммы и произведения;
2. Перестановки без повторений;
3. Размещения без повторений;
4. Сочетания без повторений;
5. Перестановки с повторениями;
6. Размещения с повторениями;
7. Сочетания с повторениями.

Правило произведения

Если элемент a множества $A$ можно выбрать $m$ способами и при каждом из этих выборов элемент $b$ множества $B$ можно выбрать $n$ способами, то упорядоченную пару ($a$;$b$) можно выбрать $m$•$n$ способами.

Правило суммы

Если элемент $a$ из множества $A$ можно выбрать $m$ способами, а элемент $b$ из множества $B$ можно выбрать $n$ способами, то число способов, которыми можно осуществить выбор хотя бы одного элемента $a$ или $b$, равно сумме $m$+$n$.

Предполагается, что выборы $a$ и $b$ взаимно исключительны, то есть ни один из способов выбора элемента a не совпадает со способом выбора элемента $b$. При наличии таких совпадений результат выбора будет равен $m$+$n$-$p$,где $p$-количество совпадений.

Замечание 2

Правила суммы и произведения справедливы не только для двух, но и для любого числа объектов.

При выборе элементов по правилу суммы используется соединитель «или»‘ (выбираем элемент из первого конечного множества, или из второго, или из третьего и т.д.).

При образовании пары (тройки, четверки и т.д.) элементов по правилу произведения используется соединитель «и»‘ (из первого множества выбираем первый элемент и к нему присоединяем второй элемент из второго множества — образуется пара, и к паре присоединяем третий элемент из третьего множества — образуется тройка и т.д.).

Количество перестановок без повторений

Рассмотрим свойства сочетаний без повторений в комбинаторике. Разные последовательности, которые можно построить из элементов данного множества, взятых ровно по одному разу, называются перестановками. Эти последовательности отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из двухэлементного множества $M2$={$a$,$b$} можно образовать два упорядоченных двухэлементных множества: {$a$,$b$} или {$b$,$a$}.

Формула числа перестановок в комбинаторике: $Pn$ = $n$!

Комбинаторика: правило размещения без повторений

Подмножество, выбираемое из данного множества предметов, называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные. Для упорядоченной выборки существенен порядок элементов. Иначе говоря, меняя порядок элементов, мы получаем другие выборки. Составим, например, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 трехзначные числа: 123, 431, 524 и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, отличающиеся составом или порядком элементов.

Размещениями из $n$ элементов по $m$ элементов ($m$≤$n$) называют упорядоченные $m$-элементные выборки из данных $n$ элементов.

Формула размещения без повторений в комбинаторике $n$ по $m$ элементов имеет вид: $A_{n}^{m} =\frac{n!}{\left(n-m\right)!} $.

Сочетания без повторений

Сочетаниями из $n$ элементов по $m$ ($m$≤$n$) в комбинаторике называют неупорядоченные $m$-элементные выборки из данных $n$ элементов. Сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а порядок элементов не существенен.

Формула cочетания в комбинаторике выглядит следующим образом: $C_{n}^{m} =\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.

Размещения с повторениями

Разные упорядоченные последовательности длиной $m$, составленные из элементов данного множества, содержащего $n$ элементов, так, что эти элементы в последовательности могут повторяться, называются размещениями с повторениями из $n$ по $m$.

Формула числа размещений с повторениями: $\bar{A}_{n}^{m} =n^{m} $.

Комбинаторика: перестановка с повторением

Рассматриваем мультимножество M, то есть множество, которое может содержать одинаковые элементы.

Пусть заданы предметы $m$-типа. Сколько существует перестановок $n_1$ элементов первого типа, $n_2$ — второго типа и так далее, внутри предмета $m$-типа? Такие перестановки в комбинаторике называют перестановками с повторениями.

Формула числа перестановок с повторениями: $P\left(n_{1} ,n_{2} ,\ldots ,n_{m} \right)=\frac{n!}{n_{1} !\cdot n_{2} !\cdot \ldots \cdot n_{m} !} $, где $n=n_{1} +n_{2} +\ldots +n_{m} $ — общее число элементов множества.

Сочетания с повторениями

Имеем множество из $n$ элементов. Разные неупорядоченные наборы, составленные из $m$ элементов этого множества так, что могут повторяться и порядок их несущественен. Иначе говоря, это число способов, которыми можно разложить $m$ одинаковых предметов по $n$ ящикам.

Формула числа сочетаний с повторениями: $\bar{C}_{n}^{m} =\frac{\left(n+m-1\right)!}{m!\cdot \left(n-1\right)!} $.

Рассмотрим теперь как решать задачи на комбинаторику — ниже приведены различные примеры и задачи с сочетаниями, размещениями и перестановками.

Пример 1

Задание: химик использует семь ингредиентов для приготовления нужного состава. Сколькими способами можно осуществить порядок приготовления?

Решение. Давайте применим элементы комбинаторики и осуществим решение. Как известно, перестановками из $n$ элементов называются комбинации, состоящие из $n$ элементов и отличающиеся порядком расположения элементов.

Количество перестановок вычисляется по формуле $P_{n} =n!$.

Количество различных порядков вливания семи ингредиентов в сосуд — это число перестановок из семи элементов: $P_{7} =7!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7=5040$.

Разберём еще один пример задачи на размещение в комбинаторике с решением.

Пример 2

Задание: На собрании присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать председателя, члена президиума и секретаря?

Решение. Как известно, количество размещений вычисляется по формуле $A_{n}^{m} =\frac{n!}{\left(n-m\right)!} $.

Количество различных способов выбора из двадцати присутствующих на собрании председателя, члена президиума и секретаря — это число размещений из двадцати элементов по три: $A_{20}^{3} =\frac{20!}{\left(20-3\right)!} =\frac{20!}{17!} =18\cdot 19\cdot 20=6840$.

Пример 3

Задание. Директор завода заполняет три вакансии из числа 10 претендентов. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?

Решение. Количество различных способов выбора из десяти выпускников университета троих для заполнения вакансий — это число размещений из десяти элементов по три: $A_{10}^{3} =\frac{10!}{\left(10-3\right)!} =\frac{10!}{7!} =8\cdot 9\cdot 10=720$.

spravochnick.ru

Комбинаторика. Примеры решения задач

Комбинаторика

1. Перестановками из  элементов называют соединения, состоящие из одних и тех же  различных элементов и отличающихся только порядком их расположения: ,
где   Причем по определению .
Пример. Скольким числом способов можно расставить на полке восьмитомник?
Решение. Искомое число перестановок
.

Перестановки с повторениями — видеоурок:

Размещениями  из   элементов по  называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.
.
Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр , причем так, чтобы цифры числа были различны?
Решение. Искомое число чисел .
Сочетаниями  элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом элементов, порядок соединения элементов не важен.

Пример. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить три бесплатные путевки?
Решение. Искомое число способов .
Следует отметить, что число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

www.matem96.ru

Множество значений функции Википедия

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение[ | ]

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

ru-wiki.ru

Понятие функции, ее области определения и множества значений.

Способы задания функции

Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел ( ).

Определение 5. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение y = f(x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f.

В определении речь идет об однозначной функции. Если допускать, что каждому отвечает не одно, а несколько (или даже бесконечное множество) значений y, то функцию называют многозначной. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции.

Множество D называется областью определения функции f и обозначается D(f), а множество – множеством значений функции и обозначается Е(f).

Для записи функции применяются следующие обозначения: y = f(x), , .

Величина х называется независимой переменной или аргументом функции, а величина у – зависимой переменной или функцией.

Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы, или нескольких формул, или уравнений устанавливается алгоритм вычисления значений функции f(x) для каждого из значений .

Под областью определения понимают множество x, при которых данная формула имеет смысл.

Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента и соответствующих им значений функции .

Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f(x) графиком в некоторой системе координат.

Определение 6. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)), где х D(f).

Основные свойства функции

Средствами элементарной математики для функции y = f(x) с областью определения D(f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1. Нули и знак функции.

Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции,т.е. нули функции являются корнями уравнения f(x)=0.

Если f(x)>0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.

Если f(x)<0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.

В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.

2. Четность или нечетность функции.

Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодичность функции.

Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что для выполня­ются условия:

1) ;

2) f(x – Т) = f(x + Т) = f(x).

Число Т называется периодом функции.

Заметим, что если Т является периодом функции f(x), то число nT , где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом.

4. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Х D(f), если для любых значений таких, что < , справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.

5. Ограниченность функции.

Определение 10. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х D(f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)| M.

Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми y=M и y= –M.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f(x) и записывается: .

Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.

Замечание. Функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.

Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f(x):

1. Из уравнения y = f(x) выражаем ;

2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Понятие сложной функции

Пусть y = f(u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D₁, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:

.

Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Множество значений функции Википедия

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y{\displaystyle Y} в обозначении функции f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}^[4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f{\displaystyle f}.

Множество значений f(X){\displaystyle f(X)} называется также образом множества X{\displaystyle X} при отображении f{\displaystyle f}.

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции^[3].

См. также

Примечания

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

wikiredia.ru

Как найти множество значений функции

д.ф.-м.н., профессор кафедры естественнонаучных дисциплин

Чувашского республиканского института образования
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) внес новое веяние в экзаменационные задания по математике. Наряду с задачами традиционного характера, предлагающимися на выпускных экзаменах за курс средней школы и вступительных экзаменах в вузы, задания ЕГЭ неизменно содержат 2-3 задачи на нахождение множества значений функции или сводящиеся к ним задачи. Такие задачи вызывают у учащихся немалые затруднения, и особенно, если требуется оформление решения с обоснованием всех моментов.

В данной статье на конкретных примерах раскрываются методы нахождения множества значений функции. Более подробно с этими методами, теорией и типовыми примерами можно ознакомиться по книге [1].

Приведем свойства непрерывных, монотонных и дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функции.

Если функция непрерывна на отрезке и – ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, то множество значений функции на есть отрезок

Если непрерывная и возрастающая функция на отрезке , то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок . При этом каждое значение функция принимает ровно при одном значении , т.е. уравнение имеет единственный корень на от­резке . Если – непрерывная и убывающая функция на отрезке , то ее множество значений на gif» name=»object17″ align=absmiddle width=50 height=18> есть отрезок .

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема (имеет производную) в интервале то наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке.

К основным методам и приемам нахождения множества значений функции относятся:

• 
  последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
  
• 
  метод оценок;
  
• 
  использование свойств непрерывности и монотонности функции;
  
• 
  использование производной;
  
• 
  графический метод;
  
• 
  метод введения параметра;
  
• 
  метод обратной функции.
  

Пример 1. Найдите область значений функции

.

Решим пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции.

Так как принимает все неотрицательные значения, и только их, то

Обозначим Тогда где Функция определена лишь при поэтому ее множество значений при совпадает с множеством значений функции на промежутке (0; 10], где функция непрерывна и возрастает. При она стремится к , а при принимает значение 1. Следовательно, множество значений на (0; 10] есть луч Тем самым, . Тогда у функции область значений .

Через сложный аргумент z исходная функция выражается формулой где . Эта функция определена при поэтому множество значений функции у при совпадает с ее множеством значений при . На промежутке (0; 2] функция непрерывна и убывает. Так как логарифмирование по основанию 0,1 меняет характер монотонности, то у – непрерывная и возрастающая функция на (0; 2]. При дробь стремится к , значит, функция у стремится к . При она равна Следовательно, множество значений функции у при есть луч . Это и есть

Ответ: .

Пример 2. Найдите область значений функции

Решим пример методом оценок.

Из неравенств

складывая второе и последнее по частям, получим

При и функция принимает значения и Эта функция, как линейная комбинация непрерывных функций и непрерывна на всей числовой оси, поэтому она принимает все значения с (– 7) до 7 включительно, причем только их, так как в силу неравенств другие значения у нее невозможны.

Ответ: .

Наиболее распространенная ошибка при нахождении множества значений функции методом оценок состоит в следующем. На основании полученных оценок, например, неравенств делается ошибочно заключение, что множество значений функции есть отрезок [А; В], в то время, как такое заключение можно сделать лишь тогда, когда функция непрерывна на рассматриваемом промежутке и на нем имеются точки, в которых функция принимает значения А и В (достигает нижней А и верхней В границы оценки). В общем случае оценка лишь означает, что множество значений функции на рассматриваемом промежутке принадлежит отрезку [А; В], и вовсе не означает, что оно совпадает со всем отрезком [А; В]. Например, функция как и функция в примере 2, удовлетворяет неравенствам Однако нет таких значений x, при которых функция принимала бы значения (– 7) и 7, поэтому на основании неравенств можно лишь утверждать о принадлежности множества значений функции отрезку . На самом деле, , что найдем в следующем примере, используя производную.

Пример 3.

Решение. По формуле синуса тройного угла

Обозначим Тогда Так как принимает все значения с (– 1) до 1 включительно, и только их, то область значений функции у совпадает с множеством значений функции на отрезке .

На этом отрезке функция дифференцируема, так как ее производная существует при всех . Из уравнения находим критические точки функции которые принадлежат отрезку . В этих точках и на концах отрезка

Так как то и по свойству дифференцируемой функции наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее значение равно . На отрезке функция , как многочлен, непрерывна (это следует также из дифференцируемости функции), поэтому ее множество значений на этом отрезке есть и область значений .

Ответ: .

Пример 4. Найдите множество значений функции на отрезке .

Решим пример, используя свойство непрерывности и монотонности функции.

На отрезке функция а значит, и функция убывают и непрерывны. Кроме того, так как для всех х. Так как имеет другой характер монотонности, чем t, и то функция непрерывна, возрастает и положительна при . Функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси, в частности, и на отрезке , где она, кроме того, положительна. Следовательно, функция как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций и , также непрерывна и возрастает на отрезке , поэтому искомое множество значений функции есть отрезок

Ответ: .

Задача нахождения области (множества) значений функции тесно связана с вопросом о разрешимости уравнения Действительно, число а является одним из значений функции тогда и только тогда, когда найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что Последнее озна­чает, что уравнение имеет хотя бы один корень х. Следовательно, область значений функции совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Пример 5.

Решение. Найдем множество значений параметра а, для которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

При уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной x, поэтому имеет решение.

При уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант

Так как точка принадлежит заштрихованному отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений будет весь этот отрезок.

Ответ: .

Как продолжение метода введения параметра можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решать относительно х уравнение считая у параметром. Если это уравнение имеет единственное решение то область значений исходной функции совпадает с областью определения обратной функции

Пример 6.

Решение. Найдем обратную функцию из уравнения

.

Теперь найдем область определения :

Так как то

Ответ:

При нахождении множества значений функции во многих случаях помогает схематический график функции.

Пример 7. Из уравнения нашли всевозможные у через х. Найдите множество всех значений, которые может принимать у.

Решим пример графически.

В системе координат Оху построим график уравнения

Решение. По свойствам степеней . Обозначим Тогда Так как и – возрастающая функция на числовой оси, то различным значениям х соответствуют различные положительные значения t, поэтому задача равносильна задаче нахождения таких значений а функции каждое из которых она принимает ровно при одном положительном значении аргумента t.

Приведенные примеры не исчерпывают все многообразие задач, связанных с нахождением множества значений функции. Большое число таких задач, с решениями и без них, имеется в книге [1]. Приведем некоторые из них, рекомендуя читателям самостоятельно решить их.

А1. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2)  3) 

4)  5)  6)  7) .

А2. Найдите наименьшее значение функции

A3. Найдите наибольшее значение функции

Bl. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2) 

3)  4) 

В2. Найдите наименьшее целое значение функции

В3. Найдите наибольшее целое значение функции

В4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

С1. Найдите области (множества) значений функций:

1) ;

2) 

3)

С2. Найдите все целые значения функции

СЗ. Найдите все те значения функции каждое из которых функция принимает только при одном значении х.

С4. Найдите все неотрицательные значения параметра с, при которых уравнение не имеет корней.

Ответы:

А1. 1) [– 5; 5]; 2) [2; 3]; 3)

4) 5) 6) 7)

А2. – 3.

A3. 8.

В1. 1) [1; 3]; 2) [– 2; – 1]; 3) [1/3; 27]; 4)

В2. – 3.

ВЗ. – 5.

В4. 0,4.

С1. 1) [– 5; 2,5]; 2) 3) [– 0,5; 2,5].

С2. 3; 4; 5; 6; 7; 8.

С3.

С4. [0; 16).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 2004. 64 с.

ru.convdocs.org

Множество значений функции — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение[ | ]

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Способы нахождения областей значений функций[ | ]

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология[ | ]

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y{\displaystyle Y} в обозначении функции f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

encyclopaedia.bid

Множество значений функции: нестандартные задачи

( Ромашенко Людмила Сергеевна – учитель математики МОУ « СОШ № 53»)

Не секрет, что множеству значений функции, причём как его нахождению, так и применению, в отличие от области определения, уделяется крайне мало внимания. Между тем, отвечая на вопрос, где определена функция, каково её поведение, совсем не лишним было бы указать, каковы границы её изменения. Даже в схеме построения графика функции нет пункта – множество значений функции. Чаще всего уже построив график без помощи или с помощью инструментария дифференциального исчисления, мы коснёмся вопроса о множестве значений функции, если коснёмся, конечно.

А между тем единый государственный экзамен преподносит ученику немало сюрпризов, где помимо нахождения самого множества значений функции, его подмножеств, наибольшего или наименьшего значения функции и т. д., требуется применить его к решению уравнений либо неравенств. Понятна и растерянность ученика, и его беспомощность, если подобных заданий он не встречал в своих учебниках, в частности, под редакцией Ш. А. Алимова.

Перелистав страницы ряда учебников и дидактических материалов, я нашла их в достаточном количестве, причём довольно интересных, только у Б. Г. Зива и В. А. Гольдича, не только в вариантах 7 и 8, 5 и 6 ( на « 5» ), но и в вариантах 3 и 4 ( на «4») и даже в вариантах 1 и 2.

Приведу ряд примеров, решая которые учащиеся приобретают навыки работы с заданиями подобного рода.

Пример 1. Какие значения может принимать выражение ?

Учитывая, что выражение 4+sin ? не равно нулю для любого ?, находим наибольшее и наименьшее значение данного выражения соответственно при наименьшем и наибольшем значении знаменателя ( при sin ?= -1 и при sin ?= =1): 3 и . В силу непрерывности функции y = ( пока понятие непрерывности только упоминается), имеем множество значений данного выражения есть ( 9 класс)

Пример 2. Найти множество значений выражения 1 — — 2sin² ?.

Преобразуем выражение следующим образом:

1 — -2sin² ? = 1 — — 2sin² ? +1 – 1= 2(1 — sin² ?) — — 1.

Введём замену =z, где 0? z ? 1, получим, f(z)=2z² –z -1. Наименьшее значение этой квадратичной функции на равно -9/8, а наибольшее равно 0. Следовательно, множество значений данного выражения есть .

Пример 3. Найти множество значений выражения 1 + + 2 cos² ?

Имеем 1 + + 2 cos² ? =1 + + 2 cos² ? -2+2 = 2(cos² ? -1) +

+3. Пусть

=z, где 0? z ? 1. Получим f(z)=-2z² +z +3. На наибольшее значение функции равно 25/8, а наименьшее равно 2. Искомое множество значений есть .

Приведённые мною примеры, в ходе решения которых учащиеся учатся видеть старую знакомую квадратичную функцию, помогают им приобретать навыки отыскания множества значений функции.

Рассмотрим ряд задач из раздела А.

Пример 1.Найти множество значений функции y=.

Данная функция будет иметь наибольшее и наименьшее значение в тех же точках, что и функция g(x): g_наим=_{0, gнаиб.= 4, отсюда наибольшее значение данной функции равно 2, а наименьшее значение функции равно 0. И вновь в силу непрерывности данной функции заключаем, что искомое множество значений есть .}

Пример 2.Найти множество значений функции y=16^-1-3x—x

Функция y=16^t-возрастающая, следовательно, её наибольшее значение будет при наибольшем значении функции t(x)=-1-3x-x². Т. к. наибольшее значение функции t(x) равно , то наибольшее значение данной функции равно 16 в степени , т. е. 32. Наименьшего значения она не имеет, поэтому в силу того, что она принимает только положительные значения и в силу её непрерывности, заключаем, что искомое множество значений есть промежуток .

В разделе В заданий на нахождение множества значений, наибольшего либо наименьшего значения функции значительно больше, но проанализировав их решение, я пришла к выводу, что для их решения не нужны особые приёмы. Достаточно понимать, что значит «функция возрастающая (убывающая)» и уметь выполнять различные тождественные преобразования, положим, приводящие функцию f( sin, cos) к g( sin) и т. д.

Предложу ряд задач и их решения.

Пример 1. Найти множество значений функции log_0,01

Т.к. y=log_0,01t убывающая, то наименьшее её значение будет при наибольшем значении аргумента, а следовательно, при наименьшем значении знаменателя, т. е. при x=0, y_наим.=y(0)= -1. Наибольшего значения данная функция не имеет, т. к. не имеет наибольшего значения и выражение 1+lg(100+x²), следовательно, искомое множество значений есть промежуток .

Пример 2. Найти количество целых чисел из множества значений функции

y=16 log_1/16

Приведём функцию к виду:

y=16 log_1/16 =16 log_1/16 (3+cos(x-)), пользуясь формулами приведения и суммы синусов.

Функция y=16 log_1/16t убывающая, следовательно, наибольшее значение данной функции будет при наименьшем значении выражения 3+ cos(x-), равном 2, отсюда, y_наиб.= 16 log_1/16 2= — 4; наименьшее, соответственно, при наибольшем значении выражения 3+ cos(x-), равном 4, отсюда, y_наим.= 16 log_1/164=-8. Следовательно, в силу непрерывности данной функции множество её значений есть промежуток , искомые целые числа : -8,-7,-6,-5,-4.

Пример3. Из множества значений функции f(x)=4arcsinудалили все целые числа, сколько получилось промежутков?

Преобразуем функцию к виду f(x)=4arcsin (cos(2x-)), пользуясь формулами приведения и суммы синусов. Т.к. функция y=arcsin t определена на , а -?cos(2x-)?, следовательно, х-любое число.

Функция y=arcsin t – возрастающая, следовательно, наибольшее значение искомой функции будет достигнуто при наибольшем значении cos(2x-), равном 1, а наименьшее – при наименьшем значении соs( 2х-), равном – 1. Отсюда, у_наиб.=4arcsin(ּ1)= , у_наим. = 4arcsin(ּ(-ּ1))= — . В силу непрерывности исходной функции множество её значений есть промежуток . Выбросив целые числа из полученного множества значений, т. е. числа -3,-2,-1,0,1,2,3, получим восемь промежутков.

Пример 4. Найти наибольшее целое значение функции у= =

Преобразуем функцию к виду у = , пользуясь основным тригонометрическим тождеством. Отсюда, у_наим.= ּ=; у_{наиб. =}ּ=. Множество значений функции в силу её непрерывности есть промежуток , следовательно, наибольшее целое значение данной функции есть число 8.

Пример 5. Найти наименьшее целое значение функции у=1,5

Преобразуем функцию следующим образом: у=1,5=1,5=1,5. Имея у_наим. при cos x=0, а у_наиб.при cos x=1,получим:

У_наим.=1,5 =, у_наиб.=1.5=10,5. Отсюда, множество значений данной функции есть промежуток , а наименьшее целое число из множества значений равно 6.

Рассмотрим задание из раздела С.

Найти множество значений функции у=sin2x, где х принадлежит промежутку .

Решение.

1. Т. к. х? , то 2х?.

2. Т.к. у=arccos x – функция убывающая, а , то arccos > arccos, отсюда 2 arccos >2 arccos, значит, 2 arccos >. Следовательно, 2х находятся во второй четверти, т. к. ?2х.

3. Во второй четверти у=sin t убывает и непрерывна, следовательно, у = sin 2t принимает все значения от удо у(arccos).

4. а). sin2∙= sin =

б) sin(2arccos)= 2 sin(arccos)∙ cos(arccos)=2∙=

Итак, множество значений данной функции есть промежуток .

Несколько примеров на применение множества значений функции к решению уравнений и неравенств. Обычно при решении подобных уравнений и неравенств не помогают алгебраические преобразования либо решение их громоздко.

Пример 1. Решить уравнение cos x=x²+1

Т. к. cos x?1, а x²+1?1 для любого х, то данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда cos x=1 и x²+1=1.

Пример 2. Решить уравнение cos x = x²-2x+2

Т. к. cos x?1, а x²-2x+2=(х-1)²+1?1, то cos x и (х-1)²+1 одновременно должны быть равны 1.

Пример 3. Решить уравнение 8 sin x = x² – 10x+33

Т. к. 8 sin x?8, а x² – 10x+33 = (х-5)²+8?8,то данное уравнение равносильно системе уравнений sin x=1 и (х-5)²=0. Корнем второго уравнения является х=5. Докажем, что sin 5?1:

т. к. sin (=1; то +2=5, отсюда, +4=10, значит, = , чего быть не может, т. к. — число иррациональное, а — число рациональное.

Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Пример 4. х⁴-2х²+2=1-

Пусть f₁(x)=x⁴-2х²+2=(x²-1)²+1? 1, причём f₁(x)=1 при х=±1.

f₂(x)=1- ?1.

Отсюда, равенство f₁(x)= f₂(x) возможно лишь при f₁(x)= f₂(x)=1. Проверкой убеждаемся, что -1 корнем не является.

Пример 5. Решить уравнение cos⁷x + sin⁵ x = 1

Имеем cos⁷x + sin⁵ x = cos²x + sin² x,

сos²x(cos⁵x – 1)= sin² x( 1- sin³ x).

f₁ (x)= сos²x(cos⁵x – 1) ?0, т. к. сos²x?0, а cos⁵x – 1?0 для любого значения х.

f₂ (x) = sin² x( 1- sin³ x) ?0, т. к. sin² х?0, 1- sin³ x?0 для любого значения х.

Отсюда, равенство f₁ (x)=f₂ (x) возможно лишь при f₁ (x)=f₂ (x)=0, т. е. данное уравнение равносильно системе двух уравнений: сos²x(cos⁵x – 1)=0 и

sin² x( 1- sin³ x)=0, которая равносильна совокупности двух систем: первая состоит из уравнений cos x=0 и sin x=1, а вторая – из уравнений cos x=1 и sin x=0.

Пример 6. Решить уравнение cos²( x sinx)= 1+log²₅

_{Пусть f1 (x)= cos²( x sinx) ?1, а f2 (x)=1+log²5? 1, отсюда, данное уравнение равносильно системе двух уравнений: cos²(xsinx) =1 и log²5=0. Решениями второго уравнения являются числа 0 и -1. Первому же уравнению удовлетворяет лишь 0, следовательно, 0 и есть корень исходного уравнения.}

Пример 7. Решить уравнение log( x²+9) — logx = 6x-5-x²

ОУУ: х>0

Пусть f₁ (x) = 6x-5-x². Очевидно, что f₁ (x) ?4, причём f₁ (x)=4 при х=3.

f₂ (x) = log( x²+9) — logx . С помощью производной находим f _{2 min=4 при х=3. Т.к. х=3 является единственной точкой минимума в области определения уравнения, следовательно, f2(х)=4 будет и наименьшим значением функции f2 (x) при х=3, следовательно, f2 (x) ?4 при всех значениях х ?3.}

Равенство f₁ (x)= f₂ (x) будет выполняться лишь при f₁ (x)= f₂ (x)=4, что возможно только при х=3, значит, х=3 является корнем уравнения.

Пример 8. Решить неравенство > x³-9

Разложим подкоренное выражение на множители, получим:

=, тогда> x³-9.

Областью определения функции f₁ (x)= является промежуток , а множеством значений – неотрицательные числа. Множеством же значений функции f₂ (x)= x³-9 на является промежуток , т. е. числа отрицательные. Следовательно, решением данного неравенства и является промежуток .2>

edu.znate.ru

Формулы диагонали параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α, β — углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α,  β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

zdesformula.ru

Как найти длину диагонали параллелограмма

Инструкция

• Постройте параллелограмм, выбрав при необходимости масштаб так, чтобы все известные измерения максимально соответствовали начальным данным. Хорошее понимание условий задачи и построение наглядного графика – залог быстроты решения. Помните, что в этой фигуре стороны попарно параллельны и равны.
• Проведите обе диагонали, соединив противоположные вершины. Эти отрезки обладают несколькими свойствами: они пересекаются в середине своих длин, а любой из них делит фигуру на два симметрично одинаковых треугольника. Длины диагоналей параллелограмма связаны формулой суммы квадратов:d1² + d2² = 2•(а² + b²), где а и b – длина и ширина.
• Очевидно, что знать только длины основных измерений параллелограмма недостаточно для того, чтобы вычислить хотя бы одну диагональ. Рассмотрим задачу, в которой заданы стороны фигуры: а = 5 и b = 9. Также известно, что одна из диагоналей больше другой в 2 раза.
• Составьте два уравнения с двумя неизвестными:d1 = 2•d2d1² + d2² = 2•(а² + b²) = 212.
• Подставьте d1 из первого уравнения во второе:5•d2² = 212 → d2 ≈ 6,5;Найдите длину первой диагонали:d1 = 13.
• Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Диагонали первых двух фигур представляют собой равные отрезки, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:2•d² = 2•(а² + b²) → d = √(а² + b²), где а и b – длина и ширина прямоугольника;2•d² = 2•2•а² → d = √2•а², где а – сторона квадрата.
• Длины диагоналей ромба – не равные величины, однако равны его стороны. Исходя из этого, формулу тоже можно упростить:d1² + d2² = 4•а².
• Эти три формулы можно вывести также из отдельного рассмотрения треугольников, на которые фигуры делятся диагоналями. Они прямоугольные, значит, можно применить теорему Пифагора. Диагонали – это гипотенузы, катеты – стороны четырехугольников.

completerepair.ru

Диагонали и признаки параллелограмма [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Обратная функция. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Пусть задана функция , множество  и множество . Функция из  в :  Каждому элементу из первого множества  соответствует единственный элемент второго множества . С этой функцией связано две основные задачи:

1 задача – прямая. Вычислить значение функции по заданному значению аргумента.

задано, необходимо вычислить .

2 задача – обратная. Найти те значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение . Задаем , далее необходимо решить уравнение , которое может иметь одно решение, второе решение и т. д. …

Пример обратной задачи: требуется найти время  для достижения ракетой заданной высоты, самолетом скорости звука, автомобилем заданной скорости 100 км/ч. Нас будет интересовать такая обратная задача, которая имеет единственное решение.

Пусть  – множество слов. Слово – конечная последовательность букв, смысл здесь не важен.  – множество слов из тех же букв, но записанных в обратном порядке.

Например: .

Итак, задана функция, два множества и соответствие между ними. Обратная задача для этой функции имеет единственное решение. Слову «ток» из множества  соответствует единственное слово «кот» из множества .

Пусть задано множество , состоящее из двух элементов  и множество , состоящее также из двух элементов . Для этих множество возможно четыре функции :

а) 1→3 б)1→4

 2→4 2→3

Нас интересует количество решений в обратной задаче. Рассмотрим первую функцию. Мы видим, что 3 соответствует только один элемент и 4 соответствует только один элемент, аналогично и во второй функции. Таким образом, обратная задача для этих двух функций имеет единственное решение. Запишем еще две функции:

в)1→3 г)1→4

 2→3 2→4

Каждому элементу из первого множества соответствует единственный элемент из второго множества. Обратная задача имеет здесь не единственное решение. 3 соответствует пара элементов 1 и 2, также 4 соответствует пара элементов 1 и 2.

Итак, мы рассмотрели второй пример и выяснили, что обратная задача может иметь единственное решение или нет. Здесь довольно простой случай, так как возможен перебор. Давайте рассмотрим случаи, когда перебор невозможен.

Числовая функция . Область определения функции – множество всеx положительных чисел: . Мы знаем график этой функции. Нарисуем его схематически (рис. 1).

Рис. 1. График функции

Нас интересует обратная задача, то есть сколько решений имеет она при заданном . Перебор здесь невозможен, однако можно просто решить уравнение , если  задан, то . При любом ,  единственный.

. Область определения . Нарисуем схематичный график этой функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции , область определения .

Вот ветвь параболы – график данной функции. Нас интересует обратная задача. Сколько решений она имеет. Здесь также можно решить уравнение.

. При любом допустимом ,  – единственное число.

, область определения – все действительные числа, . График этой функции нам известен – парабола (рис. 3).

Рис. 3. График функции , область определения – все действительные числа

Итак, нам необходимо узнать, сколько решений имеет обратная задача. Если , то легко видеть, что 16 достигается и при -4, и при +4. Таким образом, уравнение  имеет не единственное решение.

Следует отметить, что единственное решение обратная задача имеет для монотонных функций. В примере 3 функция монотонно убывает, каждый  достигается при одном значении . В примере 4 функция монотонно возрастает, то есть каждый y достигается только при одном значении x.

Числовую функцию  называют возрастающей или убывающей на множестве  ∈ , если для любых чисел  , таких, что , имеем , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Чем больше аргумент, тем больше функция, эта функция монотонно возрастает.

Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть , то такую функцию называют убывающей.

Пусть  – монотонная функция. Тогда уравнение  имеет единственное решение  для любого  из множества значений функции.

Предположим, что функция монотонно возрастает на отрезке  принимает значение из отрезка  (рис. 4). Необходимо доказать, что любое значение  эта монотонная функция принимает при единственном значении аргумента .

Рис. 4. График функции

Доказательство

Докажем методом от противного. Предположим, что существует такое значение  из множества значений функции, что уравнение  имеет не единственное решение. Например, два решения . Если это так, тогда значение в точке =

interneturok.ru

Понятие об обратной функции: график функции и теорема

Книга «Статистика. Учебник и практикум для СПО»

Добавить

• Читаю
• Хочу прочитать
• Прочитал

Жанр: Учебная литература

ISBN: 9785991653589

Год издания: 2015

Серия: Профессиональное образование

Издательство: Юрайт

Фрагмент книги

Оцените книгу

Скачать книгу

59 скачиваний

Читать онлайн

О книге «Статистика. Учебник и практикум для СПО»

Учебник подготовлен объединенным авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования и кафедры социально-экономической статистики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) одного из старейших экономических вузов России, отметившего в 2012 году свой 80-летний юбилей. МЭСИ имеет многолетнюю историю и опыт преподавания социально-экономических и статистических дисциплин, подготовки экономистов-аналитиков, владеющих методами сбора, обработки и интерпретации статистических данных, моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов. В учебном издании представлены основы статистической методологии, раскрыта логика статистического исследования, показаны аналитические возможности статистических показателей. Описаны современные методы анализа и интерпретации данных отечественной и зарубежной статистики, результатов проведенных статистических исследований. Теоретический материал учебника сопровождается числовыми примерами на условных и фактических данных. После каждой главы приведены тренировочные задания и тесты, которые помогут проверить качество усвоения пройденного материала.

На нашем сайте вы можете скачать книгу «Статистика. Учебник и практикум для СПО» Виталий Григорьевич Минашкин бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 21.02.2017

avidreaders.ru

Теория вероятностей и математическая статистика 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для СПО

Добавить

• Читаю
• Хочу прочитать
• Прочитал

Жанр: Учебная литература

ISBN: 9785534051766

Год издания: 2017

Серия: Профессиональное образование

Издательство: Юрайт

Фрагмент книги

Оцените книгу

Скачать книгу

23 скачивания

Читать онлайн

О книге «Теория вероятностей и математическая статистика 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для СПО»

Учебник посвящен основным разделам базового курса теории вероятностей и математической статистики. Каждая глава книги начинается с изложения теоретического материала и заканчивается подробным рассмотрением типовых приемов решения задач. Применение излагаемых методов решения задач аналитическим и графическим способами иллюстрируется на ключевых примерах, взятых из области биологии и медицины. В конце учебника приведено большое количество задач медико-биологического содержания, предназначенных для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. В учебнике представлено большое количество рисунков, графиков и гистограмм, способствующих лучшему восприятию прочитанного материала.

Произведение относится к жанру Учебная литература. Оно было опубликовано в 2017 году издательством Юрайт. Книга входит в серию «Профессиональное образование». На нашем сайте можно скачать книгу «Теория вероятностей и математическая статистика 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для СПО» в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt или читать онлайн. Здесь так же можно перед прочтением обратиться к отзывам читателей, уже знакомых с книгой, и узнать их мнение. В интернет-магазине нашего партнера вы можете купить и прочитать книгу в бумажном варианте.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 18.09.2017

avidreaders.ru

Статистика — Васильева Э.К. — Учебник

Автор: Э.К. Васильева, В.С. Лялин

Описание: Учебник подготовлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и включает три раздела: общую теорию статистики, социально-экономическую статистику и статистику предприятий. Профессия экономиста увлекательна и сложна. В какой бы конкретной сфере он ни работал, ему необходимо обладать комплексом таких качеств, как:

• глубокое знание фундаментальных положений экономической теории;
• вкус к поиску нестандартных решений, развитая интуиция аналитика, творческий азарт исследователя, тонкое чувство внутреннего видения единства многообразного и противоречивого окружающего мира и скрытых механизмов поддержания этого единства;
• безупречное владение современными инструментами и технологиями работы с информацией, составляющей первооснову познания закономерностей социально-экономических отношений, что необходимо для эффективного управления общественными процессами на микро-, мезо- и макроуровнях.

Восхождение экономиста к профессиональному мастерству — длительный, постоянно усложняющийся, планомерный процесс обучения и практического тренинга. Основу этого процесса составляет усвоение знаний, содержащихся в широком круге научных дисциплин, изучение которых предусмотрено программами подготовки специалистов высшей квалификации в вузах России.
Учебные дисциплины взаимно дополняют друг друга и, в конечном счете, полученные студентами знания формируют профессиональный потенциал экономиста.
Статистика, научно-методологические основы которой изложены в этом учебнике, является одной из обязательных дисциплин при подготовке экономистов. Именно статистика наряду с бухгалтерским учетом и информатикой закладывает основы теоретических знаний и практических навыков работы с информацией, без которых невозможно ни полноценно участвовать в формировании баз данных и потоков числовой информации, ни быть грамотным пользователем социально-экономической информации.
Статистика — многоотраслевая наука, многообразен и перечень конкретных знаний в сфере статистики, необходимых будущим и уже состоявшимся специалистам разного профиля.
Отечественный рынок учебной литературы по статистическим дисциплинам предлагает многочисленные и многообразные издания. Это позволяет читателю найти ту книгу, которая отвечает именно его запросам. Наш учебник адресован тем, кому важно в одной работе получить информацию по всем наиболее значимым
разделам статистической науки. Материал изложен в доступной форме, математико-статистический аппарат сопровождается примерами расчетов. Значительная часть числовых примеров представлена фактическими данными, что, как надеются авторы, повысит познавательную ценность и облегчит усвоение учебного материала.
Учебник «Статистика» включает три раздела: общая теория статистики; макроэкономическая статистика; статистика предприятия. Каждая глава завершается тестовыми заданиями для самоконтроля уровня усвоения темы. В конце учебника приводятся глоссарий и список рекомендуемой литературы.
Материал изложен в доступной форме, математико-статистический аппарат сопровождается примерами расчетов, основанных, как правило, на фактических данных.
Для студентов, обучающихся по специальностям экономики и управления (080100), аспирантов и преподавателей экономических вузов. Может быть полезен руководителям предприятий и организаций.

---

Содержание учебника
«Статистика»

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

Предмет, метод и задачи статистики

1. Зарождение и развитие статистики в мире и в России
2. Понятие «статистика». Предмет и объект статистической науки
3. Методологические основы статистики

Статистическое наблюдение

1. Статистическое наблюдение и его задачи
2. Формы и виды статистического наблюдения, способы получения данных
3. Программно-методические и организационные вопросы статистического наблюдения

Обобщение и анализ материалов статистического наблюдения

1. Основные направления и инструменты статистического анализа
2. Сущность и виды группировок
3. Статистические таблицы
4. Обобщающие статистические показатели
5. Графические методы представления статистических показателей

Средние величины и показатели вариации

1. Средние величины, их сущность и значение
2. Виды средних величин
3. Вариация признаков
4. Показатели структуры вариационного ряда
5. Показатели размера вариации
6. Показатели формы вариации

Выборочное наблюдение

1. Понятие о выборочном наблюдении
2. Ошибки выборочного наблюдения
3. Основные способы формирования выборочной совокупности
4. Определение необходимой численности выборки

Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

1. Понятие статистической связи
2. Метод параллельных рядов
3. Коэффициент корреляции рангов
4. Коэффициент конкордации
5. Линейный коэффициент корреляции
6. Регрессионный анализ

Ряды динамики

1. Понятие о рядах динамики
2. Показатели рядов динамики
3. Средние показатели динамики за период
4. Методы измерения периодических колебаний

Индексы

1. Понятие и значение индексов
2. Агрегатный индекс — основная форма общего индекса
3. Средние индексы
4. Базисные и цепные индексы
5. Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов
6. Территориальные индексы

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Научно-методологические и организационные основы социально-экономической статистики

1. Цель и задачи государственной статистики
2. Правовые основы государственной статистики
3. Организационно-функциональная структура системы государственной статистики в России
4. Информационные ресурсы и информационные технологии в государственной статистике России
5. Международные стандарты и классификаторы в национальной статистике России
6. Качество статистической информации

Система национальных счетов и статистика национального богатства

1. Понятие и структура системы национальных счетов
2. Основные показатели СНС и методы их расчета
3. Валовой внутренний продукт и методы его расчета
4. Понятие и методы оценки национального богатства

Статистика населения и рынка труда

1. Источники информации
2. Характеристики численности, состава и территориального размещения населения
3. Статистика естественного и механического движения населения
4. Методы математического моделирования в статистике населения
5. Статистика трудового потенциала и рынка труда
6. Статистика уровня и качества жизни населения

Финансовые инструменты социально-экономической статистики

1. Задачи статистики финансово-кредитной системы
2. Статистика государственного бюджета
3. Статистика денежного обращения

СТАТИСТИКА ОРГАНИЗАЦИИ (ПРЕДПРИЯТИЯ)

Статистика как элемент единой системы учета и информационно-аналитической базы управления организацией (предприятием)

1. Задачи статистики организации (предприятия)
2. Взаимосвязь статистического учета с бухгалтерским, финансовым и управленческим учетом в организации (на предприятии)
3. Функции статистики в организации (на предприятии)

Статистика персонала, оплаты труда, производительности труда в организации (на предприятии)

1. Статистика численности и состава работников
2. Показатели движения работников организации (предприятия)
3. Показатели структуры и использования рабочего времени
4. Статистика производительности труда в промышленности
5. Анализ динамики производительности труда
6. Статистика оплаты труда

Статистика основных фондов организации (предприятия)

1. Понятие и состав основных фондов предприятия
2. Виды оценок основных фондов организации (предприятия)
3. Воспроизводство и амортизация основных фондов
4. Система показателей наличия, состава и движения основных фондов
5. Методы анализа состояния и эффективности использования основных фондов

Оборотные средства организации (предприятия)

1. Понятие и виды оборотных средств
2. Характеристики наличия, состава, движения и оборачиваемости оборотных средств
3. Материалоемкость производства и комплексная оценка эффективности использования оборотного капитала организации (предприятия)
4. Определение потребности организации (предприятия) в оборотном капитале и методика его планирования

Методические основы статистики производственной деятельности организации (предприятия)

1. Издержки производства и себестоимость продукции
2. Методическая база учета и измерения объема продукции организации (предприятия)
3. Особенности учета продукции в некоторых отраслях хозяйства
4. Эффективность производственно-хозяйственной деятельности организации (предприятия)

Статистика финансов организации (предприятия)

1. Финансовая система организации (предприятия), структура финансовых ресурсов, финансовые потоки
2. Методы комплексной оценки финансовых результатов деятельности предприятия
3. Система показателей финансового состояния организации (предприятия)
4. Статистические методы оценки финансовых рисков и бизнес-рисков

Тесты

---

скачать учебник: Статистика — Васильева Э.К.

---

institutiones.com

Книга «Статистика. Учебное пособие для СПО»

Добавить

• Читаю
• Хочу прочитать
• Прочитал

Жанр: Учебная литература

ISBN: 9785991693349

Год издания: 2016

Серия: Профессиональное образование

Издательство: Юрайт

Фрагмент книги

Оцените книгу

Скачать книгу

30 скачиваний

Читать онлайн

О книге «Статистика. Учебное пособие для СПО»

Учебное пособие подготовлено преподавателями профильной кафедры статистики, учета и аудита экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ). Проделана огромная работа по унификации и структурированию вошедших в книгу материалов. Издание посвящено описанию базовых методов количественного статистического анализа. Учебное пособие содержит по каждой теме описание ее ключевых моментов, вопросы для обсуждения, примеры с решениями, задачи для самостоятельного решения, тесты. Такая структура делает акцент на повышение уровня самостоятельности в овладении предметом.

На нашем сайте вы можете скачать книгу «Статистика. Учебное пособие для СПО» Екатерина Игоревна Зуга бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 21.02.2017

avidreaders.ru

Статистика. Учебник и практикум для СПО, Минашкин Виталий Григорьевич

Учебник подготовлен объединенным авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования и кафедры социально-экономической статистики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) одного из старейших экономических вузов России, отметившего в 2012 году свой 80-летний юбилей. МЭСИ имеет многолетнюю историю и опыт преподавания социаль

Учебник подготовлен объединенным авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования и кафедры социально-экономической статистики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) одного из старейших экономических вузов России, отметившего в 2012 году свой 80-летний юбилей. МЭСИ имеет многолетнюю историю и опыт преподавания социально-экономических и статистических дисциплин, подготовки экономистов-аналитиков, владеющих методами сбора, обработки и интерпретации статистических данных, моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов. В учебном издании представлены основы статистической методологии, раскрыта логика статистического исследования, показаны аналитические возможности статистических показателей. Описаны современные методы анализа и интерпретации данных отечественной и зарубежной статистики, результатов проведенных статистических исследований. Теоретический материал учебника сопровождается числовыми примерами на условных и фактических данных. После каждой главы приведены тренировочные задания и тесты, которые помогут проверить качество усвоения пройденного материала.

Книга «Статистика. Учебник и практикум для СПО» автора Минашкин Виталий Григорьевич оценена посетителями КнигоГид, и её читательский рейтинг составил 0.00 из 10.
Для бесплатного просмотра предоставляются: аннотация, публикация, отзывы, а также файлы на скачивания.
В нашей онлайн библиотеке произведение Статистика. Учебник и практикум для СПО можно скачать в форматах pdf.

knigogid.ru

Книга «Статистика. Учебник для бакалавров»

Добавить

• Читаю
• Хочу прочитать
• Прочитал

Жанр: Учебная литература

ISBN: 9785991628815

Год издания: 2016

Серия: Бакалавр. Академический курс

Издательство: Юрайт

Фрагмент книги

Оцените книгу

Скачать книгу

356 скачиваний

Читать онлайн

О книге «Статистика. Учебник для бакалавров»

Учебник подготовлен объединенным авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования и кафедры социально-экономической статистики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) одного из старейших экономических вузов России, отмечающего в 2012 году свой 80-летний юбилей. МЭСИ имеет многолетнюю историю и опыт преподавания социально-экономических и статистических дисциплин, подготовки экономистов-аналитиков, владеющих методами сбора, обработки и интерпретации статистических данных, моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов. В учебном издании представлены основы статистической методологии, раскрыта логика статистического исследования, показаны аналитические возможности статистических показателей. Описаны современные методы анализа и интерпретации данных отечественной и зарубежной статистики, результатов проведенных статистических исследований.

На нашем сайте вы можете скачать книгу «Статистика. Учебник для бакалавров» Виталий Григорьевич Минашкин бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 21.02.2017

avidreaders.ru

Статистика. Учебник и практикум для СПО. Виталий Григорьевич Минашкин. 2015. Профессиональное образование. (Учебная литература)

Пожаловаться на книгу

Автор: Виталий Григорьевич Минашкин

Жанр: Учебная литература

Серия: Профессиональное образование, книга #1

Год: 2015

Учебник подготовлен объединенным авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования и кафедры социально-экономической статистики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) одного из старейших экономических вузов России, отметившего в 2012 году свой 80-летний юбилей.

МЭСИ имеет многолетнюю историю и опыт преподавания социально-экономических и статистических дисциплин, подготовки экономистов-аналитиков, владеющих методами сбора, обработки и интерпретации статистических данных, моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов.

В учебном издании представлены основы статистической методологии, раскрыта логика статистического исследования, показаны аналитические возможности статистических показателей. Описаны современные методы анализа и интерпретации данных отечественной и зарубежной статистики, результатов проведенных статистических исследований.

Теоретический материал учебника сопровождается числовыми примерами на условных и фактических данных. После каждой главы приведены тренировочные задания и тесты, которые помогут проверить качество усвоения пройденного материала.

Предлагаем Вам скачать ознакомительный фрагмент произведения «Статистика. Учебник и практикум для СПО» автора Виталий Григорьевич Минашкин в электронном виде в форматах FB2 или TXT. Также есть возможность скачать данную книгу в других форматах, таких как RTF и EPUB (электронные книги). Предлагаем выбирать для скачивания формат FB2 или TXT, которые в настоящее время поддерживаются практически каждым мобильным устроиством (в том числе телефонами / смартфонами / читалками электронных книг под управлением ОС Андроид и IOS (iPhone, iPad)) и настольными ПК. Книга была издана в 2015 году в серии «Профессиональное образование». Полную версию книги можно приобрести в интернет магазине с доставкой в течение нескольких дней или же сразу скачать, если выбрать более дешевую электронную версию. Полную версию произведения можно приобрести в интернет магазине с доставкой в течение нескольких дней или же сразу скачать, если выбрать более дешевую электронную версию.

Сохранить страничку в социалках/поделиться ссылкой: Скачать ознакомительный фрагмент в разных форматах (текст предоставлен ООО «ЛитРес»)
FB2TXTRTFEPUBЧитать книгу «Статистика. Учебник и практикум для СПО» онлайн
Читать онлайнЗакрыть читалкуЛегально скачать полную версию произведения в элетронном виде (а так же заказать печатную книгу) «Статистика. Учебник и практикум для СПО» можно в книжном интернет магазине Литрес
Купить и скачать

bookash.pro