Автор: alexxlab

Решаем задание 14 (B15) профильного уровня ЕГЭ по математике. Урок №17. Найдите наибольшее значение функции y=3tgx-3x+5

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Оценить	5+5
4	Оценить	7*7
5	Найти простую факторизацию	24
6	Преобразование в смешанный номер	52/6
7	Преобразование в смешанный номер	93/8
8	Преобразование в смешанный номер	34/5
9	График	у=х+1
10	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найдите площадь поверхности	сфера (3)	
12	Оценить	54-6÷2+6
13	График	г=-2x
14	Оценить	8*8
15	Преобразование в десятичное число	5/9
16	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	у=2
18	Преобразование в смешанный номер	7/8
19	Оценить	9*9
20	Решите для C	С=5/9*(Ф-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	у=х+4
23	График	г=-3
24	График	х+у=3
25	График	х=5
26	Оценить	6*6
27	Оценить	2*2
28	Оценить	4*4
29	Оценить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Оценить	1/3+13/12
31	Оценка	5*5
32	Решить для d	2д=5в(о)-вр
33	Преобразование в смешанный номер	3/7
34	График	г=-2
35	Найдите склон	у=6
36	Преобразование в проценты	9
37	График	у=2х+2
38
41	Преобразование в смешанный номер	1/6
42	Преобразование в десятичное число	9%
43	Найти n	12н-24=14н+28
44	Оценить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразование в упрощенную дробь	43%
47	График	х=1
48	График	у=6
49	График	г=-7
50	График	у=4х+2
51	Найдите склон	у=7
52	График	у=3х+4
53	График	у=х+5
54	График
58	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Найти простую факторизацию	14
61	Преобразование в смешанный номер	7/10
62	Решите для	(-5а)/2=75
63	Упростить	х
64	Оценить	6*4
65	Оценить	6+6
66	Оценить	-3-5
67	Оценить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найди обратное	1/3
71	Преобразование в смешанный номер	20. Задачи по теме теорема синусов и косинусов 9 класс: Решение задач по теме «Теоремы синусов и косинусов» | Методическая разработка по геометрии (9 класс): alexxlab / 22.06.202304.04.2023 / Разное Решение задач по теме «Теоремы синусов и косинусов» | Методическая разработка по геометрии (9 класс): Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. с² = а²+b²- 2аb cos ɣ cos ɣ=—————— 25.09.20 Классная работа 2.10.20. Классная работа Задача №2 Задан треугольник ABC, где AC=12, BC=10 и ∠ACB=60 ∘  ∠ACB=60∘   Найдите значение AB2  Решение: По теореме косинусов мы имеем  AB² =AC²+BC² −2.AC∙BC∙cos∠ACB  Подставляя вместо AC, BC и угла их значения, мы получаем: AB² =12² +10²−2∙12∙10∙cos(60◦), или AB² =144+100−2∙120 ∙   Выполнив арифметические операции на правой стороне уравнения, получим AB² =124. 18.09. Классная работа. Записать задачи в тетрадь: Решение задач по теме «Теорема косинусов» Задача №1 В треугольнике ABC, AC=3, BC=5, AB=6. Найдите cos(∠ACB)  Решение: По теореме косинусов для треугольника ABC, мы имеем AB²=AC² +BC²−2AC∙BC∙cos(∠ACB).Переставив члены уравнения, мы получим 2AC∙BC∙cos(∠ACB)=AC² +BC² −AB²  Делим обе стороны на 2AC∙BC, получаем cos(∠ACB)=(AC² +BC² −AB²):2AC∙BC =3 2 +5 2 −6 2 2.3.5 =9+25−3630 =−230 =−115   cos⁡(∠ACB)= =(3²+5²−6²):(2∙3∙5)=(9+25−36):30=−2:30=−1/15 Задача №3 Задан треугольник ABC ,AC=17, BC=14 и ∠ACB=60°  Найдите значение AB2  Решение: По теореме косинусов мы имеем AB² =AC²+BC²−2.AC∙BC∙cos∠ACB  Подставляя вместо AC, BC и угла их значения, мы получаем: AB² =17² +14² −2∙17∙14.cos(60◦) или AB² =289+196−2∙238∙  После выполнения соответствующих арифметических операций, получаем AB² =247  .Задача №3 Домашняя работа Решение задач по теме «Теорема косинусов» Задача №1 В треугольнике ABC, AC=3, BC=5, AB=6. Найдите cos (∠ACB)  Задача №2 Задан треугольник ABC, где AC=12, BC=10 и ∠ACB=60 ∘    Найдите значение AB2  Задача №3 Задан треугольник ABC с AC=17, BC=14 и ∠ACB=60 ∘    Найдите значение AB2  Задача №4 Задан треугольник ABC в котором AC=22, BC=21 и ∠ACB=60 ∘   Найдите значение AB2  9.10. Домашняя работа. Записать задачи в тетрадь 9.10.20 Самостоятельная работа. (распечатать и сделать) 9.10. Записать в тетрадь 25.09. Классная работа. Решение задач по теме: «Теорема синусов» Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов устанавливает зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Задание 1. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в . Решение. Пусть искомая сторона — см. Тогда по теореме синусов имеем:   (см)           Ответ.     (см) Пример  Задание 2. В треугольнике   , , . Найти . Решение. Согласно теореме о сумме углов треугольника Сторону найдем по теореме синусов: Ответ.  Задача №3. В треугольнике АВС ∠А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите SАВС. Дано: ∆ АВС, ∠А=30°, АВ=8, АС=6. Найти: SАВС. Решение: Ответ: .  Классная работа. Решение задач по теме: «Площадь треугольника» 2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 40 и 20, а угол между ними равен 300. В данном случае: Ответ: 200 3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Боковая сторона треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника В данном случае: Ответ: 6,25 16.10.20. Классная работа. Решение задач по теме: «Площадь треугольника» формула и примеры решения задач Содержание: Формулировка теоремы синусов Расширенная теорема синусов Примеры решения задач Историческая справка Формулировка теоремы синусов Теорема Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. {\circ}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \frac{A C}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow A C=\frac{4 \sqrt{18}}{\sqrt{2}}=4 \cdot \sqrt{9}=12$$ Ответ. $A C=12$ Историческая справка Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге «Трактат о полном четырёхстороннике» персидского математика, механика и астронома Насира ад-Дина Ат-Туси (1201 — 1274), которая была написана в 13 веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в 10 веке. В труде западноарабского математика, астронома и законоведа Ал-Джайяни (989 — 1050) 11 века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере. Ручная тригонометрия — Урок — TeachEngineering Quick Look Уровень: 11 (9-12) Необходимое время: 15 минут Зависимость от урока: Нет предметных областей: Геометрия, измерение Доля: TE Информационный бюллетень Краткое содержание Учащиеся изучают концепцию подобных прямоугольных треугольников и то, как они применяются к тригонометрическим отношениям. Используйте этот урок, чтобы напомнить, что такое коэффициенты срабатывания и как они работают. В дополнение к тригонометрии учащиеся изучают приложение клинометра на устройстве Android® или iOS® и то, как его можно использовать для проверки математики, лежащей в основе тригонометрии. Это готовит учащегося к соответствующей деятельности, во время которой каждая группа проверяет клинометр, чтобы лучше понять тригонометрию. Инженерное подключение Некоторые объекты и расстояния в нашем мире очень трудно — даже невозможно — измерить напрямую вручную или с помощью инструментов. Инженеры, которые проектируют различные типы конструкций, невероятно больших или очень маленьких, или машины, которые могут перемещаться на большие расстояния глубоко под водой или далеко в космос, должны иметь точное представление о длинах и размерах, даже если их невозможно измерить. Часто в таких случаях инженеры используют тригонометрию и другие математические соотношения, чтобы найти очень точное приближение к длинам и размерам. При проектировании больших конструкций инженеры должны обеспечить баланс сил, действующих на конструкцию, чтобы они оставались неподвижными. Инженеры используют тригонометрию для учета вертикальных и горизонтальных составляющих различных сил, действующих на конструкции, таким образом определяя, сможет ли конструкция устоять без разрушения еще до того, как она будет построена. Эти стратегии, основанные на математических знаниях, позволяют инженерам разрабатывать решения проблем, которые иначе были бы неразрешимы. Цели обучения После этого урока учащиеся должны уметь: Опишите, как инженеры могут использовать клинометр. Используйте клинометр для измерения углов. Образовательные стандарты Каждый урок или занятие TeachEngineering соотносится с одной или несколькими науками K-12, технологические, инженерные или математические (STEM) образовательные стандарты. Все более 100 000 стандартов K-12 STEM, включенных в TeachEngineering , собираются, поддерживаются и упаковываются сетью Achievement Standards Network (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org). В ASN стандарты структурированы иерархически: сначала по источнику; напр. по штатам; внутри источника по типу; напр. , естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классу, и т. д. . Общие базовые государственные стандарты — математика Поймите, что по подобию отношения сторон в прямоугольных треугольниках являются свойствами углов в треугольнике, что приводит к определениям тригонометрических отношений для острых углов. (Оценки 9 — 12) Подробнее Посмотреть согласованную учебную программу Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв! Используйте тригонометрические соотношения и теорему Пифагора для решения прямоугольных треугольников в прикладных задачах. (Оценки 9 — 12) Подробнее Посмотреть согласованную учебную программу Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв! Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии — Технология Используйте компьютеры и калькуляторы для доступа, извлечения, организации, обработки, хранения, интерпретации и оценки данных и информации для общения. (Оценки 9 — 12) Подробнее Посмотреть согласованную учебную программу Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв! Используйте различные подходы к информированию о процессах и процедурах использования, обслуживания и оценки технологических продуктов и систем. (Оценки 9 — 12) Подробнее Посмотреть согласованную учебную программу Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв! ГОСТ Предложите выравнивание, не указанное выше Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента? Подписаться Подпишитесь на нашу рассылку новостей, чтобы получать внутреннюю информацию обо всем, что связано с TeachEngineering, например, о новых функциях сайта, обновлениях учебных программ, выпусках видео и многом другом! PS: Мы никому не передаем личную информацию и электронные письма. Рабочие листы и вложения Викторина после урока (docx) Викторина после урока (pdf) Ключ для ответов на викторину после урока (docx) Ключ к ответу на викторину после урока (pdf) Посетите [www.teachengineering.org/lessons/view/uno_handheld_lesson01], чтобы распечатать или загрузить. Больше учебных программ, подобных этому Урок средней школы Навигация по номерам Учащиеся узнают, что математика важна в навигации и технике. Они используют теорему Пифагора для решения реальных проблем. Навигация по номерам Урок средней школы Повесть о трениях Учащиеся старших классов узнают, как инженеры математически проектируют дорожки для американских горок, используя подход, согласно которому криволинейная дорожка может быть аппроксимирована последовательностью множества коротких уклонов. Они применяют основное исчисление и теорему о работе-энергии для неконсервативных сил для количественной оценки трения вдоль кривой… Сказка о трениях Урок средней школы Занятия математикой: анализ сил в ферменном мосту Изучите основы анализа сил, которые инженеры выполняют в соединениях ферм для расчета прочности ферменного моста, известного как «метод соединений». Найдите растяжения и сжатия для решения систем линейных уравнений, где размер зависит от количества элементов и узлов в ферме… Занимаемся математикой: анализ сил в ферменном мосту Деятельность средней школы У вас есть треугольники! Учащиеся узнают о тригонометрии, геометрии и измерениях, участвуя в практическом взаимодействии с технологией LEGO® MINDSTORMS®. Сначала они рассматривают основные геометрические и тригонометрические понятия. Затем они оценивают высоту различных объектов с помощью простой тригонометрии. Студенты… У вас есть треугольники! Предварительные знания Учащиеся должны пройти курс геометрии в средней школе и понимать конгруэнтность и подобие геометрических фигур. Студенты также должны иметь начальные знания тригонометрии. Учитель должен уметь работать с приложением клинометр для iOS или Android. Большинство клинометров говорят сами за себя с небольшим опытом. Если вы используете клинометр с открытым кодом (предложенный в списке материалов), лучше всего держать мобильное устройство вертикально с 0°, отображаемым в верхней части клинометра, а затем поворачивать мобильное устройство влево или вправо так, чтобы верхняя или нижняя часть устройство выравнивается по наклонной стороне измеряемого угла. Другая сторона угла должна быть выровнена по горизонтали. Градус, отображаемый на клинометре, является градусной мерой угла. Дополнительная информация представлена ​​в разделе «Основные сведения и концепции для учителей». Введение/Мотивация Тригонометрия — это раздел математики, изучающий взаимосвязь между длинами сторон и углов треугольника. Инженеры обычно используют тригонометрические концепции для расчета углов. Инженеры-строители и инженеры-механики используют тригонометрию для расчета крутящего момента и сил на таких объектах, как мосты или строительные балки. Примером может служить расчет статических сил на объект, который не движется, например мост. Причина, по которой мост статичен (не движется), заключается в том, что силы, действующие на него, уравновешиваются (уравновешивают друг друга). Инженеры используют тригонометрию для разложения сил на горизонтальные и вертикальные компоненты, которые можно анализировать. Понимание сил, действующих на объекты, является важной частью статики, важной области инженерии. Изучение статики и связанные с ней расчеты используются инженерами, чтобы гарантировать, что здания и мосты не рухнут из-за действующих на них сил. Для начала я хочу, чтобы все нарисовали два прямоугольных треугольника с конгруэнтными соответствующими углами (см. рис. 1), из чего следует, что треугольники подобны . Подобие — это геометрическое понятие, означающее, что все соответствующие углы равны конгруэнтны и отношения соответствующих сторон равны. С точки зрения непрофессионала, подобные фигуры являются большими или меньшими ( в масштабе ) копиями друг друга. От геометрической концепции сходства вы перейдете к тригонометрии. Рис. 1. Подобные прямоугольные треугольники. Copyright Copyright © 2014 Scott Burns, College of Information Science & Technology, University of Nebraska-Omaha Рассмотрите эти вопросы, связанные с вашими нарисованными фигурами: Запомните три тригонометрических соотношения. (Покажите учащимся рис. 2 при рассмотрении тригонометрических соотношений, используя стороны a, b и c и острый угол θ для моделирования отношений.) Синус противоположен гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Это означает, что sin(θ) = y/r. Косинус примыкает к гипотенузе. Это означает, что cos(θ) = x/r. Касательная противоположна смежной в прямоугольном треугольнике. Это означает, что tan(θ) = y/x. Почему это работает? Подумайте о подобных треугольниках. Помните, что углы равны, а соответствующие стороны находятся в равных отношениях. Затем извлеките устройство Android или iOS и запустите приложение клинометра (см. рис. 3). Поэкспериментируйте с приложением, чтобы увидеть, что оно делает. Как можно использовать это приложение для изучения триггерных коэффициентов? (Много возможных ответов, но цель состоит в том, чтобы дать учащимся понять, что они могут измерить угол и стороны прямоугольного треугольника и проверить правильность тригонометрических соотношений). Обратитесь к соответствующему упражнению «Тригонометрия через мобильное устройство», чтобы узнать, как интегрировать мобильные устройства с этим уроком. Рис. 3. Снимок экрана приложения клинометра. Copyright Copyright © 2014 Scott Burns, College of Information Science & Technology, University of Nebraska-Omaha (Чтобы подвести итог введению и заставить учащихся задуматься о возможных применениях тригонометрии и клинометров и о том, как каждый из них может быть применен к инженерному делу, проведите мозговой штурм в классе, ответив на следующие вопросы.) В каких профессиях могут использоваться тригонометрия и клинометры? Где инженеры могут использовать тригонометрию? Для каких типов проектов инженеры могут использовать клинометры? (После обсуждения попросите пары учащихся воспользоваться Интернетом, чтобы подтвердить свои мысли и/или найти другие возможные ответы. возможные инженерные применения тригонометрии и использование клинометра. ) Предыстория урока и концепции для учителей Подобные треугольники являются основой тригонометрии прямоугольного треугольника. Поскольку прямые углы конгруэнтны, любые прямоугольные треугольники, у которых есть еще один конгруэнтный соответствующий угол, будут подобны в соответствии с геометрическим постулатом сходства углов. Если треугольники подобны, отношения соответствующих сторон будут равны. Тригонометрия использует это свойство подобных треугольников, вычисляя отношения двух сторон в треугольнике. Например, синус – это отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Это означает, что любой прямоугольный треугольник с острым углом 30° будет иметь отношение противоположной стороны к гипотенузе 1:2. Клинометр — это устройство, которое можно использовать для измерения углов. Приложение на мобильном устройстве позволяет использовать мобильное устройство для измерения углов. Используя приложение в виде простого кода с 0° в верхней части клинометра (как показано на рисунке 3), вы можете использовать верхнюю или нижнюю часть мобильного устройства для измерения угла. Поместив устройство на наклонную поверхность и используя приложение клинометра, можно определить угол наклонной поверхности. Клинометры можно использовать для измерения углов между объектами или наклона неподвижного объекта, что позволяет косвенно измерять расстояние с помощью тригонометрии. Устройство Android или iOS должно быть почти вертикально, чтобы использовать функцию измерения угла клинометра, когда оно находится в режиме, соответствующем рисунку 3. Когда приложение клинометра соответствует рисунку 3, с 0° в верхней части клинометра, поверните поворачивайте устройство Android или iOS влево или вправо, пока верхняя или нижняя часть устройства не совпадет с наклонной стороной угла. Другая сторона угла должна быть выровнена по горизонтали. Затем градусную меру угла можно считать с клинометра. На рис. 4 показано выравнивание клинометра при измерении угла. Рис. 4. Измерение угла с помощью приложения клинометра. авторское право Copyright © 2014 Скотт Бернс и Брайан Сандалл, Колледж информационных наук и технологий, Университет Небраски, Омаха, и Карли Самсон, Программа ITL, Инженерный колледж, Колорадский университет в Боулдере Инженерам-строителям часто приходится измерять очень большие объекты, такие как небоскребы и мосты. Нецелесообразно, а часто и невозможно измерять эти объекты рулеткой. Когда прямые измерения невозможны, вместо них используются технологии и математика. Тригонометрия прямоугольного треугольника использует одну известную сторону треугольника в сочетании с известным углом для вычисления других сторон треугольника (которые могут быть, например, высотой или длиной здания). Инженеры используют такие устройства, как клинометры, для измерения угла, необходимого для выполнения тригонометрических вычислений. Различные определения основных тригонометрических функций Распознаваемые термины: Триггерные функции — это отношения катетов и гипотенузы прямоугольных треугольников, используемые в теореме Пифагора. Основные триггерные функции связаны с эталонным углом (данным углом или его эквивалентом). Концептуально: Если мы посмотрим на прямоугольную систему координат и поместим угол (θ) так, чтобы его вершина расположена в начале координат, а смежный катет угла лежит на абсциссе, основные тригонометрические функции этого угла определяются как: Синус – отношение длины катета, противоположного опорному углу, к длине гипотенузы. Косинус – отношение длины катета, примыкающего к опорному углу, к длине гипотенузы. Тангенс – отношение длины стороны, противоположной опорному углу, к длине стороны, примыкающей к опорному углу. В математических терминах: Основные триггерные функции для угла θ, расположенного, как указано выше, определены следующим образом: sin θ = г/г потому что θ = x/r тангенс θ = у/х (Помните из теоремы Пифагора, что x 2 + y 2 = r 2 ). Рис. 5. Прямоугольный треугольник в окружности на координатной плоскости. Copyright Copyright © 2014 Карли Самсон, Программа ITL, Инженерный колледж, Колорадский университет в Боулдере В процессе работы: На рис. 5 показан прямоугольный треугольник, расположенный на координатной плоскости, одна из вершин которого находится в начале координат на плоскости и в центре окружности. Одна сторона треугольника находится в направлении х, начинается в начале координат и имеет длину х. Другая сторона треугольника находится в направлении y и простирается от точки (x, 0) до (x, y). Гипотенуза имеет длину r и простирается от (0,0) до (x,y). Поскольку тригональные функции угла определяются как указанные выше отношения, и эти отношения не меняются в зависимости от положения точки (x, y) на гипотенузе, синус, косинус и тангенс связаны с углом θ и а не точка (x, y), выбранная для расчета отношений. Связанные виды деятельности Тригонометрия с помощью мобильного устройства. Учащиеся исследуют отношения между углами и длинами сторон в прямоугольных треугольниках с помощью материалов, найденных в классе, и электронного устройства. Используя всю или часть измерительной линейки или дюбеля и учебники или другие материалы, учащиеся строят прямоугольные треугольники и измеряют углы с помощью приложения клинометра на устройстве Android (телефон или планшет) или iOS (iPhone® или iPad®). Затем им предлагается составить треугольник с заданной длиной стороны и одним углом. Электронное устройство используется для измерения точности их построения. Словарь/Определения клинометр: прибор для измерения углов наклона, возвышения или депрессии объекта по отношению к силе тяжести. косинус: отношение длины катета, примыкающего к опорному углу, к длине гипотенузы. синус: Отношение длины катета, противоположного опорному углу, к длине гипотенузы. Тангенс : Отношение длины стороны, противоположной опорному углу, к длине стороны, прилегающей к опорному углу. тригонометрия: изучение отношений между углами и сторонами прямоугольных треугольников. Оценка Оценка перед уроком Обсуждение в классе: Задайте классу следующие вопросы, чтобы проверить их знания тригонометрии: Что вы знаете о тригонометрии? ( Пример ответа: Это предмет изучения математики, в котором содержится информация об отношениях сторон прямоугольных треугольников. ) Какие инструменты доступны для измерения угла наклонной поверхности? ( Возможные ответы: Транспортир, уровень, транзит, клинометр .) Как можно измерить высоту дерева или флагштока? ( Пример ответа: Измерьте тень очень высокого объекта и измерьте угол от кончика тени до вершины объекта. Затем используйте тангенс триггерной функции, чтобы найти противоположную сторону треугольника [высота объекта ].) Оценка после внедрения Наблюдения : Во время урока учащиеся бродят по комнате, задавая вопросы и/или наблюдая за работой учащихся; задайте себе следующие (или похожие) вопросы: Могут ли учащиеся объяснить, что такое коэффициенты триггера? Могут ли учащиеся продемонстрировать, что они знают, как подобные треугольники связаны с тригонометрией? Понимают ли учащиеся, как можно использовать клинометр для решения задач по тригонометрии? Оценка итогов урока Тест: Проведите тест после урока, чтобы оценить понимание учащимися тригонометрии, клинометров и того, как инженеры используют тригонометрию и клинометры в реальных проектах. Авторские права © 2014 Регенты Университета Колорадо; оригинал © 2013 Университет Небраски Авторы Скотт Бернс Программа поддержки Программа IMPART RET, Колледж информационных наук и технологий, Университет Небраски, Омаха Благодарности Содержание этой учебной программы цифровой библиотеки было разработано в рамках сайта RET в области инженерии и компьютерных наук по внедрению прикладных исследований мобильной платформы в программу обучения (IMPART) Университета Небраски в Омахе в рамках гранта Национального научного фонда RET номер CNS 1201136 , Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вы не должны исходить из того, что оно одобрено федеральным правительством. Последнее изменение: 13 июня 2019 г. Урок 9 | Прямоугольные треугольники и тригонометрия | 10 класс Математика Цель Описать и вычислить касательные в прямоугольных треугольниках. Опишите, как изменяется значение тангенса по мере приближения меры угла к 0°, 45° и 90°. Общие базовые стандарты Основные стандарты Основные стандарты, рассмотренные в этом уроке А628Д5К3-5Б97-4Е03-Б1ЭК-5АД5К66Д8950 G.SRT.C.6 — Поймите, что по подобию отношения сторон в прямоугольных треугольниках являются свойствами углов в треугольнике, что приводит к определениям тригонометрических отношений для острых углов. G.SRT.C.7 — Объясните и используйте соотношение между синусом и косинусом дополнительных углов. Основополагающие стандарты Основополагающие стандарты, рассмотренные в этом уроке А628Д5К3-5Б97-4Е03-Б1ЭК-5АД5К66Д8950 G. CO.C.10 Критерии успеха Основные понятия, которые учащиеся должны продемонстрировать или понять для достижения цели урока . Определить тангенс любого заданного угла в прямоугольном треугольнике как отношение длины противоположной стороны к этому углу прилежащей стороны (TOH). Объясните, что тангенс любого заданного угла равен между всеми треугольниками с одинаковыми мерами угла, исходя из критерия сходства между углами. Вычислить тангенс любой градусной меры в треугольнике с помощью научного или графического калькулятора. Определите и запомните тангенс для обычных угловых мер 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Объясните, почему тангенс любого угла в 90° не определен. Определите соотношение между синусом, косинусом и тангенсом и запишите определение тангенса через синус и косинус. Советы учителям Рекомендации для учителей по проведению этого урока A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950 Стандарты Common Core не требуют запоминания тангенса для стандартных мер углов. Однако, если учащиеся запомнят эти значения, им будет легче получить доступ к некоторым материалам по алгебре 2 и исчислению AP. Fishtank Plus Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся. Проблемы с якорем Задачи, разработанные для изучения ключевых моментов урока, и наводящие вопросы, помогающие ученикам понять A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950 Проблема 1 Ниже представлен набор подобных прямоугольных треугольников. Найдите отношение длин сторон в каждом треугольнике, описывающих сторону, противоположную отмеченному углу, к стороне, прилегающей к отмеченному углу. Наводящие вопросы Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной проблемы. Проблема 2 Чему равен тангенс 0°, 45°, 60° и 90°? Объясните, почему тангенс угла 90° не определен. Наводящие вопросы Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной задачи. Проблема 3 Для прямоугольного треугольника всегда, иногда или никогда верно следующее утверждение? $${\mathrm{tan}\theta=\frac{\mathrm{sin}\theta}{\mathrm{cos}\theta}}$$ Наводящие вопросы Создайте бесплатную учетную запись или войдите в нее получить доступ к наводящим вопросам для этой якорной проблемы. Каталожные номера EngageNY Mathematics Geometry > Модуль 2 > Тема E > Урок 30 — Пример 2 Геометрия > Модуль 2 > Тема E > Урок 30 общей основной учебной программы штата Нью-Йорк по математике от EngageNY и Great Minds. © 2015 Великие умы. Лицензировано EngageNY Департамента образования штата Нью-Йорк в соответствии с лицензией США CC BY-NC-SA 3.0. По состоянию на 2 декабря 2016 г., 17:15. Изменено Fishtank Learning, Inc. Целевая задача Задание, которое представляет собой пик мышления урока — мастерство покажет, была ли достигнута цель A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950 \sqrt5}{5}}$$, найдите $${\mathrm{cos}\theta}$$ и $${\mathrm{tan}\theta}$$. Каталожные номера EngageNY Mathematics Geometry > Модуль 2 > Тема E > Урок 30 — Набор задач, вопрос №4 Геометрия > Модуль 2 > Тема E > Урок 30 общей основной учебной программы штата Нью-Йорк по математике от EngageNY и Great Minds. © 2015 Великие умы. Лицензировано EngageNY Департамента образования штата Нью-Йорк в соответствии с лицензией США CC BY-NC-SA 3.0. По состоянию на 2 декабря 2016 г., 17:15. Дополнительная практика Следующие ресурсы включают задачи и задания, связанные с целью урока, которые можно использовать для дополнительной практики или для создания собственного набора задач. Включите задачи, в которых учащимся нужно вычислить касательную нестандартных прямоугольных треугольников, а затем проверить, что касательная одинакова для любых подобных треугольников. Формула тригонометрии: 73 формулы тригонометрии alexxlab / 22.06.202318.04.2023 / Разное 73 формулы тригонометрии На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними. Содержание: Основные тригонометрические тождества Формулы двойного угла Формулы тройного угла Формулы понижения степени Вторая степень Третья степень Четвертая степень Пятая степень Формулы половинного угла Формулы понижения степени половинного угла Формулы сложения аргументов Формулы вычитания аргументов Формулы суммы Формулы разности Формулы произведения Формулы произведения в степени Все формулы на одном листе Все формулы тригонометрии Основные тригонометрические тождества \tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha} \ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha} \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha} \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1 Формулы двойного угла (аргумента) \sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha \sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha} \cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha \cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha} \tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha} \ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2} Формулы тройного угла (аргумента) \sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha \cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha \tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha} \ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1} Формулы понижения степени тригонометрических функций Вторая степень \sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2} \cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2} \tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)} \ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)} (\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha) (\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha) Третья степень \sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4} \cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4} \tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)} \ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)} Четвёртая степень \sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8} \cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8} Пятая степень \sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16} \cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16} Формулы половинного угла (аргумента) \sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}} \cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}} \tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} Формулы понижения степени половинного угла (аргумента) \sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2} \cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2} \tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} Формулы сложения аргументов \sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta \tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta} \ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta} Формулы вычитания аргументов \sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta \cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta \tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta} \ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \beta — \ctg \alpha} Формулы суммы тригонометрических функций \sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big) Формулы разности тригонометрических функций \sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big) \cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta} \sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big) Формулы произведения тригонометрических функций \sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2} \sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2} \cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2} \tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta} \ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta} \tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)} Формулы произведения тригонометрических функций в степени \sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8} \sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32} \sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128} \sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512} Все формулы тригонометрии на одном листе На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе. Формулы тригонометрии и простейшие уравнения На этой странице вы узнаете Как лошадь может помочь в тригонометрии? Какие знаки принимают функции в разных четвертях? Что за 6 секретов преобразования тригонометрических выражений помогут нам? Любые формулы достаточно коварны. Но есть верный способ их одолеть — найти самое сложное и сделать простым. Как добраться до финиша с минимальными потерями? Давайте узнаем в статье. Формулы тригонометрии Основное тригонометрическое тождество  sin2x + cos2x = 1 Чтобы доказать данное тождество, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и углом α \(sin\: \alpha = \frac{b}{c}\) \(cos\: \alpha = \frac{c}{b}\) Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника a2 + b2 = c2 | : c2 \(\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = 1\) Существует еще несколько основных формул: tg α * ctg α = 1 \(1 + tg^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha}\) \(1 + ctg^{2} \alpha = \frac{1}{sin^{2} \alpha}\) А что делать, если угол в тригонометрической функции отложен от вертикальной или горизонтальной оси, например, \(cos (x + \frac{\pi}{2})\) или sin(x + π)? Для всех таких записей существуют специальные формулы, их называют формулами приведения. Но запомнить их все достаточно сложно. Поэтому рассмотрим правило, которое поможет вам упростить решение и избавиться от известного слагаемого в угле тригонометрической функции. Как лошадь может помочь в тригонометрии? Правило лошади Формулировка: Если откладывать угол от вертикальной оси, лошадь говорит “да” и кивает, водя головой по вертикальной оси. Тогда значение изначальной функции меняется на кофункцию — функцию противоположную данной. Например, для синуса косинус является кофункцией.  А если откладывать угол от горизонтальной оси, лошадь говорит “нет” и мотает головой, водя по горизонтальной оси, тогда функция не меняется. Применив правило лошади, нужно обязательно определить знак новой функции от х. Её знак совпадает со знаком изначальной функции. Нумерация четвертей на окружности идет по часовой стрелке. Какие знаки принимают функции в разных четвертях? Теперь давайте рассмотрим на примере применение данного правила: \(tg(x + \frac{3 \pi}{2})\) Применим правило лошади и узнаем, меняется ли функция на противоположную. \(\frac{3 \pi}{2}\) находится на горизонтальной оси, значит лошадь кивает, и функция tg меняется на кофункцию ctg. Разберемся со знаком.  Так как tg в 4-ой четверти отрицательный, значит перед ctg ставим минус и получим  \(tg(x + \frac{3 \pi}{2}) = -ctg\:x\) Что за 6 секретов преобразования тригонометрических выражений помогут нам? Также существуют и другие тригонометрические формулы: 1) Формулы отрицательных углов: 2) Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла:   3) Формулы сложения и вычитания углов: 4) Формулы понижения степени: 5) Формулы суммы и разности синусов и косинусов: 6) Произведение синусов и косинусов: Решение простейших тригонометрических уравнений Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Чтобы решить такое тригонометрическое уравнение, нужно воспользоваться тригонометрической окружностью, найти значение тригонометрической функции на оси этой функции и записать значения точек с периодом, так как данные функции периодические. Для этого, возможно, потребуется прочитать статью «Тригонометрическая окружность и графики функций». Рассмотрим решение таких уравнений на примерах. Пример 1: \(cos\:x = -\frac{1}{2}\) Найдём на тригонометрической окружности точки, для которых значение косинуса равно \(-\frac{1}{2}\) На окружности есть две таких точки. При этом вторую точку можно отложить на отрицательном направлении, тогда решения можно записать следующим образом: \(x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in Z\) Важно: обязательно нужно прописывать период, так как точки на данных местах, находящиеся на всех витках спирали, будут иметь такое значение косинуса. Пример 2: \(sin\:x = \frac{1}{2}\) Проведем перпендикулярную к оси синусов линию через значение \(\frac{1}{2}\). Запишем эти две точки в виде совокупности. Пример 3: tg x = 1  Найдем нужное значение на оси тангенсов. Проведем линию и заметим, что в ответ должны идти две диаметрально противоположные точки. Следовательно, можно записать начальную точку, но с периодом в половину окружности, то есть  πk, где  k ∈ Z \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z\) Пример 4: \(ctg\:x = \sqrt{3}\) Найдем \(\sqrt{3}\) на оси котангенсов и проведём прямую, найденные точки будут диаметрально противоположными. Поэтому запишем первую точку с периодом в половину окружности. \(x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z\) Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений: 1) Найти значение тригонометрической функции на оси этой функции на тригонометрической окружности. 2) Отметить точки. 3) Записать точки. Фактчек sin2x + cos2x = 1 — основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения применяются, если угол в тригонометрической функции отложен от вертикальной или горизонтальной оси. Функция меняется на кофункцию в формулах приведения, если угол отложен от вертикальной оси. Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Проверь себя Задание 1. Чему равно sin(x + π)? sin x -sin x 1 cos x Задание 2. Чему равно \(ctg(x + \frac{\pi}{2})\)? tg x ctg x — ctg x — tg x Задание 3. Чему равно tg(-2x — π)? 2x 0 -tg(2x) tg(2x) Задание 4. Решите уравнение \(sin(x + \frac{3 \pi}{2}) = 1\) x = π + 2πk, k ∈ Z x = π + πk, k ∈ Z x = 2πk, k ∈ Z x = -π + 2πk, k ∈ Z Задание 5. Решите уравнение cos (2x) = 1 x = -π + πk, k ∈ Z  x = 2πk, k ∈ Z x = πk, k ∈ Z x = -π + 2πk, k ∈ Z Ответы: 1. — 2; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 1; 5. — 3 Тригонометрические формулы и тождества — полный список Последнее обновление Teachoo 30 марта 2023 г. В формулах тригонометрии мы узнаем Основные формулы sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах Пифагорейские тождества Знак греха, потому что, загар в разных квадрантах радианы Отрицательные углы (четно-нечетные тождества) Значение sin, cos, tan повторяется после 2π Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности) Тождества суммы и разности углов Формулы двойного угла Формулы тройного угла Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности) Sum Identities (сумма идентификаторов продукта) Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов) Закон синуса Закон косинуса Что такое обратные тригонометрические функции? Область и диапазон функций обратной тригонометрии Обратные тригонометрические формулы Подстановки обратной тригонометрии Основные формулы sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах Пифагорейские тождества Чтобы узнать знак греха, потому что, загар в разных квадрантах, мы помним А дд → С угар → Т о → С кофе Представление в виде таблицы Квадрант я Квадрант II Квадрант III Квадрант IV грех + + – – потому что + – – – загар + – + – радианы Радианная мера = π/180 × градусная мера Также, 1 градус = 60 минут то есть 1° = 60’ 1 минута = 60 секунд то есть 1’ = 60’’ Отрицательные углы (четно-нечетные тождества) грех (–х) = – грех х соз (–х) = соз х тангенс (–x) = – тангенс х сек (–x) = сек х cosec (–x) = – cosec x детская кроватка (–x) = – детская кроватка x Значение sin, cos, tan повторяется после 2π грех (2π + х) = грех х потому что (2π + х) = потому что х загар (2π + х) = загар х Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности) sin (π/2 – x) = cos x потому что (π / 2 — х) = грех х грех (π/2 + х) = потому что х cos (π/2 + x) = – sin x sin (3π/2 – x)  = – cos x cos (3π/2 – x)  = – sin x sin (3π/2 + x) = – cos x потому что (3π/2 + х) = грех х грех (π — х) = грех х cos (π – x) = – cos x грех (π + х) = – грех х cos (π + x) = – cos x грех (2π – х) = – грех х потому что (2π — х) = потому что х грех (2π + х) = грех х потому что (2π + х) = потому что х Тождества суммы и разности углов Формулы двойного угла Формулы тройного угла Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности) Sum Identities (сумма идентификаторов продукта) Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов) Продукт для суммирования тождеств 2 cos⁡x  cos⁡y = cos⁡ (x + y) + cos⁡(x — y) -2 sin⁡x sin⁡y = cos⁡ (x + y) — cos⁡(x — y) 2 sin⁡x  cos⁡y = sin⁡ (x + y) + sin⁡(x — y) 2 cos⁡x  sin⁡y = sin⁡ (x + y) — sin⁡(x — y) Закон синуса Здесь A, B, C — вершины Δ ABC a — сторона, противоположная A, т. е. BC b — сторона, противоположная B, т.е. AC c — сторона, противоположная C, т.е. AB Закон косинуса Так же, как закон синуса, у нас есть закон косинуса Что такое обратные тригонометрические функции Если грех θ = х Затем положить грех на правую сторону θ = грех -1 Икс грех -1 х = θ Таким образом, обратным греху является угол. Точно так же обратная ко всем функциям тригонометрии угол. Примечание : Здесь угол измеряется в радианах, а не в градусах. Итак, у нас есть грех -1 Икс потому что -1 Икс загар -1 Икс cosec -1 Икс сек -1 Икс загар -1 Икс Область определения и область значений обратных тригонометрических функций Домен Диапазон грех -1 [–1, 1] [-π/2,π/2] потому что -1 [–1, 1] [0,π] загар -1 р (-π/2,π/2) cosec -1 р – (–1, 1) [π/2,π/2] — {0} сек -1 р – (–1, 1) [0,π]-{π/2} детская кроватка -1 р (0, π) Формулы обратной тригонометрии Некоторые формулы обратной тригонометрии: грех –1 (–x) = – грех -1 Икс потому что –1 (–x) = π – грех -1 Икс загар –1 (–x) = – загар -1 Икс cosec –1 (–x) = – cosec -1 Икс сек –1 (–x) = – сек -1 Икс детская кроватка –1 (–x) = π – детская кроватка -1 Икс Замена обратной тригонометрии Сводка тригонометрических формул Сводка тригонометрических формул Эти формулы связывают длины и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Тождества не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но справедливы для всех углов. Формулы для дуг и секторов окружностей Вы можете легко найти длину дуги и площадь сектора для угла θ в окружности радиусом r . Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180. Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах. Формулы для прямоугольных треугольников Наиболее важными формулами тригонометрии являются формулы прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — это отношение противоположная сторона соседней стороне. Эти три формулы вместе известны мнемоникой SohCahToa. Кроме того, есть очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть дают в сумме 90°, можно решить любой прямоугольный треугольник: Зная две стороны из трех, можно найти третью сторону и оба острых угла. Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны. Формулы для косоугольных треугольников Эти формулы работают для любого треугольника, острого, тупоугольного или прямоугольного. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначены прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначены строчными буквами а , б и с . Есть две важные формулы для косых треугольников. Они называются законом косинусов и законом синусов. Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. Он говорит, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2  +  b 2 , сумма квадратов двух других сторон минус 2. ab  cos&nbsp C , удвоенное произведение их на косинус противоположного угла. Когда угол C прямой, он становится формулой Пифагора. Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне одинаково для всех трех углов. С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник: Зная два угла и сторону, можно найти третий угол и две другие стороны. Если известны две стороны и угол между ними, то можно найти третью сторону и оба других угла. Если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них, то для угла, противолежащего другой, есть два варианта (один острый и один тупой), и для обоих вариантов можно определить оставшийся угол и оставшуюся сторону. Ни нечетная и ни четная функция: Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс. alexxlab / 22.06.202303.05.2023 / Разное Чётные и нечётные функции | это… Что такое Чётные и нечётные функции? Толкование Чётные и нечётные функции f(x) = x — пример нечётной функции. f(x) = x2 — пример чётной функции. f(x) = x3, нечётная f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного. Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного. Или по-другому Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат. Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Примеры 3. 1 Нечётные функции 3.2 Чётные функции 4 Вариации и обобщения Определения Функция называется нечётной, если справедливо равенство Функция f называется чётной, если справедливо равенство Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида. Свойства График нечётной функции симметричен относительно начала координат O. График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy. Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций: f(x) = g(x) + h(x), где Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной. Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна. Произведение или дробь двух нечётных функций чётно. Произведение или дробь двух чётных функций чётно. Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно. Композиция двух нечётных функция нечётна. Композиция двух чётных функций чётна. Композиция чётной функции с нечётной чётна. Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот). Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна. Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна. То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка. Производная чётного порядка сохраняет чётность. Примеры Нечётные функции Нечётная степень где  — произвольное целое число. Синус . Тангенс . Чётные функции Чётная степень где  — произвольное целое число. Косинус . Вариации и обобщения Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами. Wikimedia Foundation. 2010. Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу Чётные числа Чётный граф (теория графов) Полезное Как определить четность нечетность функции. Нечётные и чётные функции Функция называется четной (нечетной), если для любогои выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции 1) ; 2) ; 3) . Решение . 1) Функция определена при . Найдем . Т.е. . Значит, данная функция является четной. 2) Функция определена при Т.е. . Таким образом, данная функция нечетная. 3) функция определена для , т.е. для , . Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Назовем ее функцией общего вида. 3. Исследование функции на монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными. Если функция дифференцируема на интервале и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций 1) ; 3) . Решение . 1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную . Производная равна нулю, если и . Область определения – числовая ось, разбивается точками , на интервалы. Определим знак производной в каждом интервале. В интервале производная отрицательна, функция на этом интервале убывает. В интервале производная положительна, следовательно, функция на этом интервале возрастает. 2) Данная функция определена, если или . Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале. Таким образом, область определения функции Найдем производную , , если , т.е. , но . Определим знак производной в интервалах . В интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале . В интервале производная положительна, функция возрастает на интервале . 4. Исследование функции на экстремум. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство . Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Если функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует (необходимое условие существования экстремума). Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими. 5. Достаточные условия существования экстремума. Правило 1 . Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с «+» на «–», то в точкефункция имеет максимум; если с «–» на «+», то минимум; если не меняет знак, то экстремума нет. Правило 2 . Пусть в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля. Если , то– точка максимума, если , то– точка минимума функции. Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) Функция определена и непрерывна на интервале . Найдем производную и решим уравнение , т.е. .Отсюда – критические точки. Определим знак производной в интервалах , . При переходе через точки и производная меняет знак с «–» на «+», поэтому по правилу 1 – точки минимума. При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», поэтому – точка максимума. , . 2) Функция определена и непрерывна в интервале . Найдем производную . Решив уравнение , найдем и – критические точки. Если знаменатель , т.е. , то производная не существует. Итак, – третья критическая точка. Определим знак производной в интервалах. Следовательно, функция имеет минимум в точке , максимум в точках и . 3) Функция определена и непрерывна, если , т.е. при . Найдем производную . Найдем критические точки: Окрестности точек не принадлежат области определения, поэтому они не являются т. экстремума. Итак, исследуем критические точки и . 4) Функция определена и непрерывна на интервале . Используем правило 2. Найдем производную . Найдем критические точки: Найдем вторую производную и определим ее знак в точках В точках функция имеет минимум. {2}+1} . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} : Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная. Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат. {2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени. Четная функция. Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x . x выполняется равенство f (–x ) = f (x ). Знак x не влияет на знак y . График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1). Примеры четной функции: y = cos x y = x 2 y = –x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 2 + x Пояснение: Возьмем функцию y = x 2 или y = –x 2 . При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y . График симметричен относительно оси координат. Это четная функция. Нечетная функция. Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x . Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f (–x ) = –f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2). Примеры нечетной функции: y = sin x y = x 3 y = –x 3 Пояснение: Возьмем функцию y = –x 3 . Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y . Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f (–x ) = –f (x ). График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция. Свойства четной и нечетной функций: ПРИМЕЧАНИЕ: Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна. Периодические функции. Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями . То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами. Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе. Определение 1. Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х). Определение 2. Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х). Доказать, что у = х 4 — четная функция. Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной. Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными. Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция. Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной. Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными. Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная. Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х). Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой. Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность. В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как } Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной — Криста Кинг Математика Что такое четные и нечетные функции? Когда мы говорим о «четном, нечетном или ни одном», мы говорим о симметрии функции. Легче всего визуально увидеть четное, нечетное или ни то, ни другое, глядя на график. Иногда сложно или невозможно построить график функции, поэтому есть и алгебраический способ проверки. Привет! Я Криста. Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее. Четные функции Симметрично относительно оси ???y??? При подключении ???-x??? в функцию, она упростится, чтобы быть такой же, как исходная функция. Это означает, что не имеет значения, подключаете ли вы ???x??? или ???-x???, ваш вывод будет таким же. Итак, ???f(-x)=f(x)??? Ниже приведены четные и симметричные относительно оси ???y??? графики.  Нечетные функции Симметрично относительно происхождения При подключении ???-x??? в функцию, это упростит получение отрицательной исходной функции или исходной функции, умноженной на ???-1???. Это означает, что при подключении ???-x??? в функцию, вы получите тот же вывод, что и при подключении ???x???, за исключением того, что он будет отрицательным (или будет иметь противоположный знак, чем исходный вывод). Так ???f(-x)=-f(x)??? Ниже приведены нечетные и симметричные относительно начала координат графики. Обязательно визуально сравните квадранты, расположенные по диагонали друг от друга (квадранты 1 и 3 и квадранты 2 и 4). Ни четная, ни нечетная Несимметричная относительно оси ???y??? и несимметричная относительно начала координат Функция не имеет симметрии. Вполне возможно, что график может быть симметричен относительно оси ???x???, но тогда он не пройдет тест вертикальной линии и, следовательно, не будет функцией. Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них Пройти курс Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂 Узнать больше Является ли полиномиальная функция четной, нечетной или ни одной? Пример 94??? Поскольку ???f(-x)=f(x)???, функция четная. Мы видим, что график симметричен оси ???y???. Получить доступ к полному курсу Алгебра 1 Начать Изучение математикиКриста Кинг 29 января 2021 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 1, алгебра i, функции, четные, нечетные, ни один, даже нечетный или ни один, симметричные функции, симметричные относительно y- ось, симметричная относительно начала координат, замена -x, замена -x 9{3}\\f(x)=x3 или f(x)=1xf\left(x\right)=\frac{1}{x}\\f(x)=x1​ были отразив по по обеим осям , результатом будет исходный график. Рис. 12. (a) Кубическая функция набора инструментов (b) Горизонтальное отражение кубической функции набора инструментов (c) Горизонтальные и вертикальные отражения воспроизводят исходную кубическую функцию. Мы говорим, что эти графы симметричны относительно начала координат. Функция с графиком, симметричным относительно начала координат, называется 9{x}\\f(x)=2x не является ни четным, ни нечетным. Кроме того, единственная функция, которая одновременно является четной и нечетной, — это постоянная функция f(x)=0f\left(x\right)=0\\f(x)=0 . A Общее примечание: четные и нечетные функции Функция называется четной, если для каждого входа )=f\left(-x\right)\\f(x)=f(−x) График четной функции симметричен относительно y-y\text{-}\\y- ось. Функция называется нечетной, если для каждого входа xx\\x f(x)=−f(−x)f\left(x\right)=-f\left(-x\right) )\\f(x)=−f(−x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Как: Имея формулу функции, определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них. Определить, удовлетворяет ли функция f(x)=f(−x)f\left(x\right)=f\left(-x\right)\\f(x)=f(−x) . 8 разделить на 72: Деление в столбик 72/8 (72 делить на 8) с остатком для 3 класса — на однозначное, двузначное число, для 4 класса alexxlab / 22.06.202324.03.2023 / Разное 2

«Правило 72» в инвестировании. Простая формула удвоения капитала

Инструмент, основанный на принципе сложного процента, поможет узнать, сколько времени потребуется на то, чтобы инвестиция выросла в два раза. Вы удивитесь, но на самом деле — не так много, как кажется

Фото: Shutterstock

Каждый мечтает удвоить или даже утроить свой капитал. Для этого люди приходят на фондовый рынок  , покупают акции, облигации  и другие активы. Но прежде надо поставить цель и посчитать, через сколько она будет достигнута. Для этого и было выработано «правило 72», которое позволяет приблизительно рассчитать, через сколько лет удвоится капитал при заданной ставке.

Перед тем как мы перейдем к сути правила, разберемся, что такое сложный процент. Сложный процент — это начисление процентов и на основную сумму, и на проценты за предыдущий период. Предположим, вы положили на вклад ₽100 тыс. под 10%. За первый год вы получите ₽10 тыс. На второй год проценты будут начисляться уже на ₽110 тыс. — доход получится уже ₽11 тыс., на третий — ₽12,1 тыс. (121 000*10%) и так далее. Итого за три года доход получится ₽33,1 тыс. В случае с простыми процентами доход будет равен лишь ₽30 тыс.

www.adv.rbc.ru

Рассмотрим другой пример, где вы вложили ₽100 тыс. в акцию со стабильной полугодовой дивидендной доходностью 10%. Если вы будете реинвестировать полученные дивиденды  , то почувствуете магию сложного процента. Уже через три с половиной года вы почти удвоите свой капитал, а через десять лет увеличите его в 6,7 раза. Для сравнения — без реинвестирования капитал за десять лет лишь утроится. В этом и заключается сила сложного процента.

На рынке дивидендов межсезонье. Но в России есть пара звездных акций

Нижнекамскнефтехим , Казаньоргсинтез , ТМК , Сбербанк , Газпром , Прогнозы

Этот математический принцип позволяет быстро посчитать приблизительное количество лет, которое потребуется для удвоения капитала при инвестировании под фиксированную ставку сложных процентов. Для этого нужно найти отношение 72 к процентной ставке. К примеру, вы удвоите свой капитал за четыре года, если вложите средства под 18% годовых (72 / 18 = 4).

Обратите внимание, что делить нужно именно на 18, а не на 0,18.

Первое упоминание о «правиле 72» приписывают Луке Пачоли, известному итальянскому математику. Он описал эту закономерность в своей книге 1494 года «Сумма арифметики, геометрии, пропорции и пропорциональности», не указав, как именно было выведено число 72.

На самом деле такое соотношение, которое показывает необходимое количество лет для удвоения капитала при фиксированной ставке, можно легко вывести из формулы сложных процентов. Однако если рассчитывать, то получится не 72, а 69,3. Но математики стали использовать 72, так как оно близко по значению к 69,3, а главное — имеет больше делителей (2, 3, 4, 6, 12 и так далее), что дает простоту в расчетах.

Это правило хорошо работает с процентными ставками в диапазоне от 6% до 10%. Однако при увеличении ставки погрешность увеличивается. Экономисты советуют прибавлять единицу к 72 при каждом отклонении на три процентных пункта от 8% (середина идеального диапазона «правила 72»). К примеру, если рассчитываете правило для 11%, то в числитель следует ставить 73, если 14%, то 74, и по аналогии.

Также это правило работает, если вы хотите посчитать, под сколько процентов надо инвестировать средства, чтобы удвоить капитал через n лет. Например, если вы хотите удвоить капитал через шесть лет, то вам нужно проинвестировать деньги под 12% годовых (72 / 6 = 12). Формула остается прежней, но теперь в знаменателе будет количество лет.

Помимо «правила 72», есть еще и «правило 115» — оно предназначено для определения приблизительного количества лет для того, чтобы утроить свой капитал. Если же высчитывать количество лет для увеличения вложенной суммы в четыре раза, то используется «правило 144». Суть одна и та же, но в числителе необходимо брать 115 или 144 соответственно. Важное примечание: все правила работают исключительно при начислении сложных процентов.

Следует помнить, что все расчеты приблизительны и для точности все же необходимо воспользоваться формулой. Но описанное правило позволит легко прикинуть нужное количество лет.

Естественно, что на фондовом рынке нет никаких гарантий доходности, тем более стабильной (кроме облигаций). Но если использовать среднюю доходность какого-либо индекса за определенный период, то можно оценить будущую выгоду.

Например, среднегодовая доходность с 1993 года ETF  -фонда SPDR S&P 500 Trust ( тикер  SPY), который наиболее точно повторяет динамику индекса S&P 500, составляет 10,48%. Тогда мы можем посчитать, за сколько лет удвоится наш капитал при инвестировании в этот ETF-фонд. При делении 72 на 10,48 получим, что нам понадобится около семи лет для удвоения капитала при инвестировании в S&P 500.

«Всегда покупайте S&P 500». Главный совет от топ-инвесторов США

S&P500 , Apple , Microsoft , Акции , Инвестиции , Прогнозы

Анализ событий, «распаковка» компаний, портфели топ-фондов — в нашем YouTube-канале

Биржевой фонд, вкладывающий средства участников в акции по определенному принципу: например, в индекс, отрасль или регион. Помимо акций в состав фонда могут входить и другие инструменты: бонды, товары и пр. Краткое обозначение акций компании, валюты или товара на бирже. Чаще всего состоит из букв, использованных в названии компании. Реже — из цифр (на азиатских биржах). В тикерах облигаций указаны базовые характеристики ценной бумаги — обычно цифрами. Тикеры валют состоят из трех букв. Первые две обозначают страну, а третья — первая буква в названии валюты (например, RUR — это российский рубль, а USD — доллар США). Долговая ценная бумага, владелец которой имеет право получить от выпустившего облигацию лица, ее номинальную стоимость в оговоренный срок. Помимо этого облигация предполагает право владельца получать процент от ее номинальной стоимости либо иные имущественные права. Облигации являются эквивалентом займа и по своему принципу схожи с процессом кредитования. Выпускать облигации могут как государства, так и частные компании. Дивиденды — это часть прибыли или свободного денежного потока (FCF), которую компания выплачивает акционерам. Сумма выплат зависит от дивидендной политики. Там же прописана их периодичность — раз в год, каждое полугодие или квартал. Есть компании, которые не платят дивиденды, а направляют прибыль на развитие бизнеса или просто не имеют возможности из-за слабых результатов. Акции дивидендных компаний чаще всего интересны инвесторам, которые хотят добиться финансовой независимости или обеспечить себе достойный уровень жизни на пенсии. При помощи дивидендов они создают себе источник пассивного дохода. Подробнее Фондовый рынок — это место, где происходит торговля акциями, облигациями, валютами и прочими активами. Понятие рынка затрагивает не только функцию передачи ценных бумаг, но и другие операции с ними, такие, как выпуск и налогообложение. Кроме того, он позволяет устанавливать справедливое ценообразование. Подробнее

Сколько 72 разделить на 8 с использованием длинного деления?

Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете разделить 72 на 8, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем.

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление 72 на 8 с использованием деления в длинную сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления:

• Первое число, 72, называется делимым.
• Второе число 8 называется делителем.

Здесь мы разберем каждый шаг процесса длинного деления на 72, разделенного на 8, и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.

72 разделить на 8 пошаговое руководство

Шаг 1

Первый шаг — поставить задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:

Шаг 2

Мы можем выяснить, что делитель (8) входит в первую цифру делимого (7), 0 раз. Теперь мы это знаем, мы можем положить 0 вверху:

Шаг 3

Если мы умножим делитель на результат на предыдущем шаге (8 x 0 = 0), мы теперь можем добавить этот ответ под делимым:

Шаг 4

Далее из второй цифры делимого (7 — 0 = 7) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже:

Step 5

Переместите вторую цифру дивиденда (2) вниз, как так:

Шаг

, Divisor (8). Дозушное (8). Дозушное (8). Дозушное (8). Дозушное (8). Дозушное (8). Дозушное (8). Дозушное. we can put 9 on top:

Шаг 7

Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (8 x 9 = 72), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым: 9 8 7 2 — 0 7 2 7 2

Шаг 8

Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (72 — 72 = 0) и запишем этот ответ ниже:

Если вы дочитали до этого урока, молодец! Больше не осталось цифр, чтобы двигаться вниз от делимого, а это значит, что мы решили задачу деления в длинную сторону.

Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Итак, для 72, разделенных на 8, окончательное решение:

9

Остаток 0

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы ни использовали это. Мы очень ценим вашу поддержку!

• Сколько 72 разделить на 8 с помощью Длинный дивизион?

• «Сколько 72 разделить на 8 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 24 марта 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-72-divided-by-8-using-long-division/.

• «Сколько 72 разделить на 8 с использованием длинного деления?». VisualFractions. com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-72-divided-by-8-using-long-division/. По состоянию на 24 марта 2023 г.

• Сколько 72 разделить на 8 с использованием длинного деления?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-72-divided-by-8-using-long-division/.

Дополнительные расчеты для вас

Теперь вы изучили метод деления 72 на 8, вот несколько других способов, которыми вы можете выполнить расчет:

• С помощью калькулятора, если вы набрали 72 разделить на 8 , вы получите 9.
• Вы также можете представить 72/8 в виде смешанной дроби: 9 0/8
• Если вы посмотрите на смешанную дробь 9 0/8, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (0), знаменатель — это наш первоначальный делитель (8), а целое число — это наш окончательный ответ (9).

Калькулятор деления на длинное деление

Введите еще одну задачу на деление на длинное деление

Следующая задача на деление на длинное деление

Хотите еще больше деления на длинное деление, но не хотите вводить два числа в калькулятор выше? Не беспокойся. Вот следующая задача, которую вам нужно решить:

Сколько будет 72, разделенное на 9 в длинное деление?

Случайные задачи на длинное деление

Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи на длинное деление, а? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого деления удовольствия:

Чему равно 480, разделенное на 695 с использованием длинного деления?

Чему равно 335, разделенное на 474 в длинное деление?

Чему равно 591, разделенное на 612 с использованием длинного деления?

Чему равно 382, ​​разделенное на 579 с использованием длинного деления?

Чему равно 466, разделенное на 761 с использованием длинного деления?

Сколько 17 разделить на 71 в длинное деление?

Чему равно 74, разделенное на 828 в длинное деление?

Чему равно 584, разделенное на 683 в длинное деление?

Чему равно 26, разделенное на 761 в длинном делении?

Чему равно 324, разделенное на 801 с использованием длинного деления?

Чему равно 258, разделенное на 808 в длинное деление?

Чему равно 162, разделенное на 566 в длинном делении?

Чему равно 409, разделенное на 568 с использованием длинного деления?

Чему равно 692, разделенное на 836 в длинное деление?

Чему равно 773, разделенное на 902 в длинное деление?

Чему равно 423, разделенное на 819 с использованием длинного деления?

Чему равно 686, разделенное на 701 с использованием длинного деления?

Чему равно 373, разделенное на 376 в длинное деление?

Чему равно 239, разделенное на 465 в длинное деление?

Чему равно 680, разделенное на 808 с использованием длинного деления?

Чему равно 251, разделенное на 492 в длинное деление?

Чему равно 620, разделенное на 893 в длинное деление?

Чему равно 395, разделенное на 940 с использованием длинного деления?

Чему равно 980, разделенное на 982 в длинное деление?

Чему равно 514, разделенное на 655 с использованием длинного деления?

Чему равно 524, разделенное на 574 в длинное деление?

Сколько будет 715 разделить на 935 с использованием длинного деления?

Чему равно 538, разделенное на 868 в длинное деление?

Чему равно 937, разделенное на 952 в длинное деление?

Чему равно 624, разделенное на 907 с использованием длинного деления?

Чему равно 693, разделенное на 952 в длинное деление?

Сколько 791 разделить на 795 в длинное деление?

Чему равно 754, разделенное на 896 с использованием длинного деления?

Чему равно 928, разделенное на 999 в длинное деление?

Чему равно 747, разделенное на 864 в длинное деление?

Чему равно 239, разделенное на 940 с использованием длинного деления?

Сколько 882 разделить на 996 в длинное деление?

Чему равно 50, разделенное на 286 с использованием длинного деления?

Чему равно 707, разделенное на 816 с использованием длинного деления?

Чему равно 694, разделенное на 840 с использованием длинного деления?

Сколько 153 разделить на 221 в длинное деление?

Чему равно 723, разделенное на 903 с использованием длинного деления?

Чему равно 15, разделенное на 802 с использованием длинного деления?

Сколько будет 68 разделить на 921 с использованием длинного деления?

Чему равно 490, разделенное на 876 в длинное деление?

Чему равно 676, разделенное на 950 в длинное деление?

Чему равно 461, разделенное на 737 с использованием длинного деления?

Чему равно 502, разделенное на 766 с использованием длинного деления?

Чему равно 947, разделенное на 963 в длинное деление?

Чему равно 105, разделенное на 483 с использованием длинного деления?

Чему равно 861, разделенное на 897 в длинное деление?

Чему равно 285, разделенное на 674 в длинное деление?

Чему равно 884, разделенное на 965 с помощью деления в большую сторону?

Чему равно 947, разделенное на 999 в длинное деление?

Сколько 113 разделить на 225 в длинное деление?

Чему равно 421, разделенное на 587 в длинное деление?

Сколько 841 разделить на 888 в длинное деление?

Чему равно 955, разделенное на 971 с использованием длинного деления?

Чему равно 239, разделенное на 843 в длинное деление?

Чему равно 905, разделенное на 920 с использованием длинного деления?

Чему равно 35, разделенное на 310 с использованием длинного деления?

Чему равно 844, разделенное на 854 в длинное деление?

Чему равно 698, разделенное на 741 с использованием длинного деления?

Чему равно 603, разделенное на 704 с использованием длинного деления?

Чему равно 417, разделенное на 811 с ​​использованием длинного деления?

Чему равно 953, разделенное на 966 в длинное деление?

Чему равно 518, разделенное на 682 в длинное деление?

Чему равно 781, разделенное на 849 с использованием длинного деления?

Чему равно 153, разделенное на 894 в длинное деление?

Сколько будет 164 разделить на 399 с использованием длинного деления?

Чему равно 789, разделенное на 872 в длинное деление?

Чему равно 776, разделенное на 939 в длинное деление?

Чему равно 866, разделенное на 869 в длинное деление?

Чему равно 899, разделенное на 976 в длинное деление?

Чему равно 315, разделенное на 853 с использованием длинного деления?

Чему равно 971, разделенное на 979 в длинное деление?

Чему равно 520, разделенное на 883 с использованием длинного деления?

Сколько будет 39 разделить на 216 с помощью деления в длинное число?

Чему равно 177, разделенное на 735 с использованием длинного деления?

Чему равно 317, разделенное на 341 в длинное деление?

Чему равно 234, разделенное на 895 в длинное деление?

Чему равно 398, разделенное на 776 в длинное деление?

Чему равно 362, разделенное на 409 с использованием длинного деления?

Чему равно 680, разделенное на 734 с использованием длинного деления?

Чему равно 714, разделенное на 793 в длинное деление?

Сколько 14 разделить на 804 в длинное деление?

Чему равно 427, разделенное на 820 с использованием длинного деления?

Чему равно 516, разделенное на 968 в длинное деление?

Чему равно 441, разделенное на 667 в длинное деление?

Чему равно 582, разделенное на 982 в длинное деление?

Чему равно 983, разделенное на 995 в длинное деление?

Чему равно 749, разделенное на 878 в длинное деление?

Чему равно 674, разделенное на 977 в длинное деление?

Чему равно 885, разделенное на 982 в длинное деление?

Чему равно 541, разделенное на 758 с использованием длинного деления?

Что такое 947 разделить на 976 с помощью длинного деления?

Чему равно 465, разделенное на 586 в длинное деление?

Чему равно 169, разделенное на 669 в длинное деление?

Чему равно 843, разделенное на 985 в длинное деление?

Чему равно 468, разделенное на 713 с использованием длинного деления?

Чему равно 687, разделенное на 873 в длинное деление?

Сколько 72 разделить на 8 в длинное деление?

Опубликовано: 8 марта 2022 г. | Последнее обновление: 26 сентября 2022 г. Наоми

Процесс деления в большую сторону прост, но вам нужно правильно понимать шаги, чтобы решать математические задачи. Здесь мы возьмем простой пример деления 72 на 8 в длинное деление. Давайте проверим процесс для того же.

Основные принципы деления в длинное число

Вот некоторые моменты, которые необходимо учитывать при начале процесса деления в длинное число. В этом случае длинное деление включает в себя некоторые определения, которые вам нужно понять сейчас.

1) Что такое числитель : числитель — это число или значения, находящиеся над чертой деления. В данном случае это число 72, которое также является дивидендом, значением, которое вы разделите сегодня.

2) Что такое делитель : делитель — это цифра, на которую делится делимое. В данном случае это 8.

3) Определение частного: частное — это значение, которое мы получаем в конце суммы после завершения процесса деления в длинное число.

4) Определите остаток: остаток — это значение, которое остается после завершения всего процесса деления.

Чему равно 72, деленному на 8: Частное равно 9, а остаток равен 0

Вычисления для деления 72 на 8 с использованием деления в длинное число

Теперь мы начнем процесс деления в длинное число, где 72 — делимое. а 8 это делитель.

Шаг 1

Вам нужно поставить делитель 8 слева от делимого 72.

Шаг 2

Здесь нужно посмотреть, делится ли первая цифра 7 на 8 или нет. Вы можете заметить, что 7, будучи меньше, не делится на 8, и, следовательно, теперь вам нужно рассмотреть целое число 72. Воспользуйтесь таблицей умножения 8. Здесь вы найдете, что 8×1=8…..8×9= 72.

Таким образом, мы увидим, что 8 встречается 9 раз в 72, или мы можем сказать, что 72 делится на 8 девять раз.

Шаг 3

Теперь вам нужно вычесть, чтобы увидеть остаток. Здесь вы увидите, что 72-72 равно 0 и, следовательно, остаток от этого деления равен нулю.

Следовательно, окончательный ответ на заданный вами вопрос о делении 72 на 8 в длинное равен

ЧАСТНОЕ = 9

ОСТАТОК = 0

Таким образом, вы научились понимать процесс деления 72 на 8 в длинное.

Читайте также: Что такое 1/2 в виде десятичной дроби?

Дополнительные расчеты для вас?

1) Вы также можете использовать калькулятор, чтобы просто получить ответ на свой вопрос, где 72 нужно разделить на 8. Вам нужно ввести 72 ÷8, и ответ будет показан на экране как 9.

2) Деление 72 на 8 также может быть выражено в виде смешанной дроби, где частное 9 становится большим целым числом, а остаток — меньшим числителем, а знаменатель остается таким же, как делитель, равный 0 и 8 соответственно.

3) Следовательно, формат будет 9 0/8. Следовательно, числитель равен 0, вся дробь становится 0, и остается только целое число в качестве ответа, равного 9.

Вычислить производную. — примеры, решения

Пример 1:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

y = ln(1-x²)

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти первую производную заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти производную y’_x  функции:
y =sin³ (2x-1) ln(x ³-3x) +7

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

(1 – 2x)y³+y= 1

Решение от преподавателя:

F =

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 10:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти производную y’_x  функции:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = = 


Производную этого выражения находим по формуле: (xⁿ)’ = n*x^n-1 
(2x²)’ = 2*2x^2-1(x)’ = 4x 
(x)’ = 1 
Ответ: 

Пример 14:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти производную y’_x параметрически заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = 


Ответ: 

Пример 18:

Найти производные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти  производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить производную , параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти  производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти производную  функции:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти производную  параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить производную и вторую производную:

Решение от преподавателя:

 =  =  = 

y’’=12/x³

Пример 34:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Вычислить f'(2), если .

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = 

Пример 38:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

 =  +  +  = 2*x +  +  = 

Пример 39:

Вычислить y'(x), если

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = =

Пример 42:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 43:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 47:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 48:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 52:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 53:

Найти производную y'(x) функции:

Решение от преподавателя:

Пример 54:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 55:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 56:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 57:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 58:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 59:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 60:

Найти производную сложной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 61:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 62:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 63:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 64:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 65:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 66:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 67:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 68:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 69:

Для заданных функции найти  первую производную y′

Решение от преподавателя:

Пример 70:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 71:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 72:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 73:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 74:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 75:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

Отдельно находим производные x_t‘ и y_t‘


Следовательно:

или
 

Пример 76:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 77:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 78:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 79:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Прологарифмируем обе части:

Тогда:

Находя производную, получаем:

Поскольку:


(x*sin(x))’ = (x)’sin(x)+x(sin(x))’ = sin(x)+x*cos(x)
(sin(x))’ = cos(x)
Ответ:

Пример 80:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 81:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 82:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 83:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 84:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 85:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 86:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 87:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 88:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 89:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 90:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 91:

Найти производную функции.

Решение от преподавателя:

Пример 92:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 93:

Найти производную указанной функций, используя правила дифференцирования:

Решение от преподавателя:

Пример 94:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 95:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 96:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 97:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 98:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 99:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 100:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 101:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 102:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 103:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 104:

Найти производную указанной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 105:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 106:

Найти производную неявно заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 107:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 108:

Найти производную функции, используя логарифмическую производную:

Решение от преподавателя:

Пример 109:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 110:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 111:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 112:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 113:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 114:

Найти значение производной функции в точке .

Решение от преподавателя:

Пример 115:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 116:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 117:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 118:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 119:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 120:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 121:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 122:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 123:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 124:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

1 Вычислить производные данных функций.

Лабораторная работа №13

Вычисление производных

Необходимые понятия и теоремы: формулы для производных основных функций; правила дифференцирования, связанные с арифметическими действиями над функциями; производная сложной функции; дифферен­циал; производная обратной функции; производная функции, заданной па­раметрически; производная функции, заданной неявно.

Литература: [1] с. 232 – 243, [2] с. 146 – 157.

2 Пользуясь правилами дифференцирования, вычислить производные данных функций.

3 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычис­лить производную функции .

4 Найти производную функции .

Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.

Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}

Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость — это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}

Пример 1′

Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?

Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. 2) 0, 2+\sin 0)\\ &= (0,2) \конец{выравнивание*} Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть Линейное приближение к $\vc{f}$ есть \начать{выравнивать*} L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z) \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \верно] + \левый[ \begin{массив}{ccc} 0 и 0 и 4\\ 0 и 1 и 1 \конец{массив} \верно] \левый[ \начать{массив}{с} х-1\у-2\\г \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \верно] + \левый[ \начать{массив}{с} 4з\у-2+з \конец{массив} \верно] \\ &=(4г, у+г) \конец{выравнивание*}

Пример 4

Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.

Решение : Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно \начать{выравнивать*} L(1.1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1. 9+0.1)\\ & = (0,4, 2,0) \конец{выравнивание*}

Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.

Калькулятор производной — Калькулятор дифференцирования

Введите функцию и переменную, чтобы найти производную с помощью калькулятора производной.

Калькулятор производных

Калькулятор производных используется для нахождения производной заданной функции по независимой переменной. Этот калькулятор может выполнять явное дифференцирование одним щелчком мыши. Этот калькулятор дифференциации покажет решение с шагами за пару секунд.

Производная – Определение

Пусть f(x)  будет функцией, область определения которой содержит открытый интервал в некоторой точке x ₀ .  Функция f(x)  называется дифференцируемой при х)  в x ₀  дано by:

Другими словами, производная измеряет чувствительность к изменению значения функции по отношению к изменению ее аргумента. Обратная функция производной известна как первообразная.

Как рассчитать производную?

Чтобы дифференцировать функцию, вы можете использовать приведенный выше калькулятор d/dx. Давайте вычислим производную от 1/x , чтобы понять основную идею вывода.

Как 1/x = x ^-1

Мы будем использовать правило произведения (см. приведенные ниже правила).

d/dx ( x ^-1 ) = -1(x ^-2 ) = — 1/x ²

Пример:

Найдите производную от (x+7) ² .

Решение:

Шаг 1: Примените символ производного.

d/dx [(x + 7) ² ]

Шаг 2: Примените степенное правило.

= 2(x + 7) d/dx [x + 7]

= 2(x + 7) [d/dx (x) + d/dx (7)]

= 2(x + 7) [1 + 0]

= 2(x + 7) 

Некоторым функциям для завершения процесса дифференцирования требуется вторая производная. В этом случае вы можете использовать наш калькулятор второй производной. 9{a-1}$$ Правило сумм $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\ frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]+\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ Правило разности $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f \left(x\right)\right]-\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ Правило произведения $$\frac{d} {dx}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left (x\right)\right]+f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ 9xln\left(a\right),a>0$$
$$\frac{d}{dx}\left[ln\left(x\right)\right]=\frac{1}{x},x >0$$
$$\frac{d}{dx}\left[\log _x\left(x\right)\right]=\frac{1}{xln\left(a\right)},x> 0$$

Как найти производные по правилам?

Используйте наш производный калькулятор с шагами, чтобы дифференцировать функции в соответствии с приведенными выше правилами дифференцирования.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn

Аннотация: В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения

Ключевые слова: решение системы линейных уравнений, моноид, Законы дистрибутивности, алгебра квадратных матриц

Алгебра матриц

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn

Через M_m,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, M_n(K)=M_n,n(K) — совокупность всех квадратных -матриц). Как для пространства строк Kⁿ=M_1,n(K) и для пространства столбцов , так и для M_m,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( c_ij=a_ij+b_ij для каждого места (i,j) ) и умножения матрицы на число D=cA ( d_ij=ca_ij для каждого места (i,j) ). Как и для совокупности строк Kⁿ=M_1,n(K), так и для M_m,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в M_m,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A ).

Произведение матриц

Если

то мы определили их произведение

полагая

(т. е. элемент матрицы AB, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца получается «умножением» i -й строки (длины m ) матрицы A на j -й столбец (длины m ) матрицы B ). Таким образом, условие возможности перемножить две прямоугольные матрицы A и B заключается в том, что длина строк левого множителя A совпадает с длиной столбцов правого множителя B .

Примеры вычисления произведения AB

intuit.ru/2010/edi»>Пример 8.2.1.

Пример 8.2.2.

Пример 8.2.3.

Пример 8.2.4. Пусть

(единичная матрица размера ), , тогда E_rA=A, AE_m=A. В частности, если E=E_n, , то EA=A=AE.

Матричные единицы Eij

Обозначим через E_ij матрицу, в которой на пересечении i -й строки и j -го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в M_n(K) имеем

(или , где

символ Кронекера).

Важные следствия умножения матричных единиц

Следствие 8.3.1. Так как в M_n(K) при

то:

ru/2010/edi»>а) умножение матриц некоммутативно;

б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).

Задача 8.3.2. Найти в M_n(K) все делители нуля. Точнее, доказать, что для следующие условия равносильны:

1. AX=0 для некоторой матрицы ;
2. YA=0 для некоторой матрицы ;
3. |A|=0.

Матрицы элементарных преобразований

Следствие 8.3.3. Пусть , , и

(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте (i,j) вне диагонали стоит c ). Ясно, что .

а) Если , и , то матрица получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A’_i=A_i+cA_j.

б) Если , и , то матрица получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: .

Следствие 8.3.4. Пусть и t_ij — матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой i -й и j -й строк (или, что то же самое, перестановкой i -го и j -го столбцов). Ясно, что |t_ij|=-1.

а) Если и , то матрица A’=t_ijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A’_i=A_j, A’_j=A_i.

б) Если и , то матрица A’=At_ij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа: , .

Следствие 8.3.5. Пусть ,

диагональная матрица с элементами на диагонали. Ясно, что .

а) Если и , то

матрица, получаемая из матрицы A умножением строк A₁,…,A_m соответственно на «числа» .

б) Если и , то

матрица, получаемая из матрицы A умножением столбцов соответственно на «числа» .

В частности, умножение слева матрицы A на матрицу , , равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A’_i=cA_i (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа ).

Замечание 8.3.6. Ясно, что и для E=E_n, , т. е. \eemph{скалярная} матрица перестановочна с любой другой матрицей из M_n(K).

Задача 8. 3.7. Пусть K — поле, , ,

Тогда в том и только в том случае, когда , .

Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений

возможна матричная запись AX=B, где A=(a_ij) — (m,n) -матрица коэффициентов,

столбец неизвестных,

столбец свободных членов.

Таким образом, строка (k₁,…,k_n) является решением системы линейных уравнений, если столбец

является решением матричного уравнения

Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц

Это соображение развивает идею алгоритма А. А. Карацубы (1962 г.) быстрого умножения многочленов. Дальнейший прогресс в теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан, в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.

18. Элементарные матрицы

Определение 8. Элементарными матрицам называются такие матрицы, которые получаются с помощью одного элементарного преобразования из единичной матрицы.

Таким образом элементарные матрицы получаются из единичной матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: 1) перестановка двух строк (I-й и j-й) местами; 2) умножение какой-нибудь строки (I-й) на число С≠0; 3) прибавление к какой-нибудь строке (I-й) другой строки (J-й), умноженной на число С. Они имеют соответственно следующий вид (первой указана единичная матрица, из которой получены следующие за ней элементарные матрицы, в каждой матрице выделены I-я и j-я строки и I-й и j-й столбцы):

,,,.

Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.

1. Определители элементарных матриц не равны нулю и

.

2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:

.

3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.

Свойство 1 следует из свойств определителя, свойство 2 доказывается с помощью непосредственного вычисления обратных матриц по алгоритму из теоремы 5, свойство 3 проверяется с помощью умножения матрицы А Слева на элементарные матрицы.

Теорема 8. Для любой невырожденной матрицы А существует такая последовательность элементарных матриц Е1, Е2,…, Еk , Что

. (12)

Доказательство. По теореме 2 парарафа 1 существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу А порядка N в матрицу С ступенчатого вида. Так как элементарные преобразования не обращают определитель матрицы в нуль, то никогда не получится матрица с нулевой строкой, и строки матрицы не будут выбрасываться. Поэтому матрица С квадратная матрица ступенчатого вида порядка N. Элементарным преобразованиям соответствуют элементарные матрицы Е1, Е2,…, Еu . Пусть J1 переводит матрицу А в А1, J2 переводит А1 в А2 , и т. д. JU переводит Аu-1 в Аu=B. Тогда

,(13),

Где В ступенчатая (треугольная) матрица вида:

Умножим строки этой матрицы соответственно на числа

И матрица В преобразуется к виду:

Приведем матрицу С к единичной матрице. Для этого умножим прибавим к 1-й, к 2-й, и т. д. к (N-1)-й строкам матрицы N-ю строку, умноженную соответственно на числа получим все нули в последнем столбце матрицы С кроме элемента N-й стоки (все остальные элементы матрицы С не меняются). Аналогично продолжая элементарные преобразования получим из матрицы С единичную матрицу.

Следовательно, существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу В порядка N к единичной матрице Е. Элементарным преобразованиям соответствуют элементарные матрицы Еu+1 , ЕU+2,…, Еk . Пусть JU+1 переводит матрицу B в B1, JU+2 переводит B1 в B2 , и т. д. JK переводит Bk-u в E. Тогда

.

Подставляя в это равенство формулу (13) находим, что

.

Теорема доказана.

Умножая обе части равенства (12) последовательно на находим, что и получаем следующее следствие.

Следствие 1. Любую невырожденную квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде произведения элементарных матриц порядка n.

Из равенства (12) в силу теоремы 6 находим, что

.

Отсюда видно, что если мы к матрице Е применим ту же самую цепочку элементарных преобразований строк, с помощью которой из матрицы А мы получили единичную матрицу, то из матрицы Е мы получим обратную матрицу А-1. Отметим, что эти преобразования можно выполнять одновременно, а для этого достаточно справа к матрице А приписать единичную матрицу того же порядка.

Исходя из этого мы приходим к следующему способу вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Приписываем к матрице А срава единичную матрицу Е того же порядка, разделив их вертикальной чертой. Затем матрицу А с помощью элементарных преобразований строк приводится к единичной матрице Е (если в преобразованной матрице появится нулевая строка, то detA=0 и обратная матрица А-1 не существует). Тогда на месте приписанной матрицы Е получается матрица А-1.

Пример 4. Вычислить обратную матрицу для матрицы

.

Припишем справа к матрице А единичную матрицу и приведем матрицу А элементарными преобразованиями к единичной матрице.

.

Таким образом

.

Нуль-пространство матрицы

Наборы решений однородных линейных систем являются важным источником векторных пространств. Пусть A будет m на n матрицей, и рассмотрим однородную систему

Поскольку A равно m на n , набор всех векторов x , удовлетворяющих этому уравнению, образует подмножество R ⁿ . (Это подмножество непусто, так как явно содержит нулевой вектор: x = 0 Всегда удовлетворяет A x = 0 .) Этот подгрупп фактически образует подпространство R ^N , названный Nullspace из Matrix A и Denotedded из Matrix A и Denotedded из Matrix A и Denoteddpace из Matrix A и Denotedpace из Matrix A . Н(А) . Чтобы доказать, что N(A) является подпространством R ⁿ , необходимо установить замыкание как при сложении, так и при скалярном умножении. Если х ₁ и x ₂ находятся в N (A) , затем, по определению, A x ₁ = 0 и A x ₂ = 0 20202019. Сложение этих уравнений дает

, который проверяет закрытие при добавлении. Далее, если x находится в N(A) , то A x = 0 , поэтому, если k является любым скаляром,

проверка закрытия при скалярном умножении. Таким образом, множество решений однородной линейной системы образует векторное пространство. Обратите внимание, что если система не однородно, то множество решений не является векторным пространством, так как множество не будет содержать нулевой вектор.

Пример 1 : Плоскость P в Примере 7, заданная как 2 x + y − 3 z = 0, была показана как подпространство R ³ . Другое доказательство того, что это определяет подпространство R ³ , следует из наблюдения, что 2 x + y − 3 z = 0 эквивалентно однородной системе

, где A — матрица 1 x 3 [2 1 −3]. P является пустым пространством A .

Пример 2 : Набор решений однородной системы

образует подпространство R ⁿ для некоторых n . Укажите значение n и явно определите это подпространство.

Так как матрица коэффициентов 2 на 4, x должен быть 4-векторным. Таким образом, n = 4: нулевое пространство этой матрицы является подпространством R ⁴ . Чтобы определить это подпространство, уравнение решается путем сокращения первой строки данной матрицы:

Следовательно, система эквивалентна

то есть

Если вы сделаете x ₃ и x ₄ свободными переменными, второе уравнение, приведенное непосредственно выше, дает

Подстановка этого результата в другое уравнение дает x ₁ :

Следовательно, множество решений данной однородной системы можно записать в виде

, которое является подпространством R ⁴ . Это нулевое пространство матрицы

Пример 3 : Найти нулевое пространство матрицы

По определению, нулевое пространство A состоит из всех векторов x таких, что A x = 0 . Выполните следующие элементарные операции над строками A ,

, чтобы сделать вывод, что A x = 0 эквивалентно более простой системе

Вторая строка подразумевает, что x ₂ = 0, а обратная подстановка этого числа в первую строку означает, что x ₁ = 0 также. Поскольку единственное решение A x = 0 равно x = 0 , нулевое пространство A состоит только из нулевого вектора. Это подпространство { 0 } называется тривиальным подпространством (из R ² ).

Пример 4 : Найти нулевое пространство матрицы

Чтобы решить B x = 0 , начните с сокращения строк B :

Таким образом, система B x = 0 эквивалентна более простой системе

.

 

Поскольку нижняя строка этой матрицы коэффициентов содержит только нули, x ₂ можно взять в качестве свободной переменной. Затем первая строка дает любой вектор формы

удовлетворяет B x = 0 . Совокупность всех таких векторов представляет собой нулевое пространство B , подпространство Р ² :

Матрицы

Матрицы

Слово «матрица» относится к прямоугольному массиву элементов. Матрицы полезны в процедурах преобразования таких наборов элементов. Например, один тип процедуры будет представлять преобразование из одного набора координатных осей в другой. Другой — решение линейных систем уравнений. Общая запись для матриц использует полужирную букву для обозначения матрицы и идентифицирует ее элементы с точки зрения строк и столбцов массива. Элементы обычно указываются нижними индексами a rc с первым индексом строки. Сокращенное обозначение матриц . Матрицы одинакового размера можно складывать, вычитать или умножать на константу так же, как и обычные числа, применяя операцию к каждому элементу. Эти операции следуют правилам комбинации, аналогичным обычным числам. Учитывая, что матрица представляет собой прямоугольный массив, мы можем говорить о матрице m x n (читай m x n матрице) как о матрице, которая имеет m строк и n столбцов. Используя сокращенную запись для матриц, введенную выше, мы можем описать некоторые свойства матриц. Транспонирование A T матрицы m x n A [a jk ] представляет собой матрицу n x m, которая имеет первую строку матрицы A в качестве первого столбца , вторую строку матрицы A. второй столбец и так далее. Симметричные матрицы и кососимметричные матрицы — это квадратные матрицы, транспонирование которых равно матрице или минус матрица соответственно: Умножение матриц требует определенной процедуры и определено для двух матриц, только если количество строк второй матрицы равно количеству столбцов первой, как будет показано ниже. Умножение матриц

Индекс Артикул Kreysig Ch 6

Гиперфизика****Гиперматематика*****Линейная алгебра R Неф

Вернуться

9037

Применение матриц часто связано с умножением двух матриц, что требует правил комбинирования элементов матриц. Используя одиночные жирные заглавные буквы для обозначения матриц, умножение можно записать: Используя стандартную практику использования строчных букв для элементов матриц с двумя нижними индексами в порядке строки и столбца , этот процесс умножения матриц для матриц 3×3 может быть изображен как: Умножение матриц включает в себя нахождение элементов c ij матрицы произведения путем применения специального правила, которое включает умножение элементов i -й строки матрицы A на элементы j -й -й столбец матрицы B. Это достаточно запутанно, чтобы помочь визуально изобразить процесс следующим образом: Операции, выполняемые при вычислении произведения двух матриц, аналогичны операциям, выполняемым при формировании скалярного произведения двух векторов. Было бы полезно думать о процессе как о формировании элемента c jk путем скалярного произведения строки j матрицы A и столбца k матрицы B. Учитывая природу матричного произведения, оно определяется только в том случае, если число строк в матрице B совпадает с числом столбцов матрицы A. При формировании матричного произведения AB матрица произведения будет иметь то же число строк, как A, и такое же количество столбцов, как B, как показано ниже. Заштрихованные области напоминают, что j-я строка матрицы A и k-й столбец матрицы B объединяются для получения значения коэффициента c jk в матрице произведения C.	Index Kreysig Ch 6
HyperPhysics****HyperMath*****Linear Algebra R Nave 5
Вернуться

Для сложения и умножения на константу матрицы следуют правилам комбинирования, аналогичным правилам алгебры. Заметные различия проявляются в умножении матриц. Калькулятор арифметической прогрессии: Онлайн калькулятор: Арифметическая прогрессия alexxlab / 22.06.202327.04.2023 / Разное Арифметическая прогрессия калькулятор Вычислить: Член арифметической прогрессии с номером nСумма членов арифметической прогрессии (если известные только два любых члена прогрессии)Сумма первых n членов арифметической прогрессииСумма членов арифметической прогрессии от n-ого до m-огоШаг (разность) арифметической прогрессииПостроить арифметическую прогрессию Известный член арифметической прогрессии am = Номер m известного члена прогрессии m = Номер n члена арифметической прогрессии (который необходимо найти) n = Шаг (разность) арифметической прогрессии d = Отобразить члены арифметической прогрессии без нумерациис нумерациейв строкув столбик с по Идет расчет … Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член в которой начиная со второго равен сумме предыдущего члена и числа d. Число d – называется шагом или разностью прогрессии. Приведем примеры, построим арифметическую прогрессию с шагом d = 2, первый член которой a1 будет равен 3, тогда прогрессия будет построена следующим образом: 3, 3+2, (3+2)+2, (3+2+2)+2, (3+2+2+2)+2… либо 3, 3+2, 5+2, 7+2, 9+2… либо 3, 3+2, 3+(2·2), 3+(2·3), 3+(2·4)… и так далее, прогрессия имеет вид: 3, 5, 7, 9, 11… Приведем еще один пример, построим арифметическую прогрессию с шагом d = −2, первый член которой a1 равен 5, тогда прогрессия будет построена следующим образом: 5, 5−2, (5−2)−2, (5−2−2)−2, (5−2−2−2)−2… либо 5, 5−2, 3−2, 1−2, −1−2… либо 5, 5−2, 5+(2·(−2)), 5+(3·(−2)), 5+(4·(−2))… и так далее, прогрессия имеет вид: 5, 3, 1, −1, −3… Любой член an арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле: an − член арифметической прогрессии, который необходимо найти n − номер n члена арифметической прогрессии (который необходимо найти) am − известный член арифметической прогрессии m − номер m известного члена прогрессии d − шаг (разность) арифметической прогрессии Если известен первый член прогрессии, то формула примет вид: an − член арифметической прогрессии, который необходимо найти a1 − первый член арифметической прогрессии d − шаг (разность) арифметической прогрессии Возьмём для примера, заданную выше прогрессию 5, 3, 1, -1, -3… и найдем ее 4-й член. В данной прогрессии d = -2. В качестве am − мы можем использовать любой известный член прогрессии, возьмем a2 = 3, тогда a4 = an = am − (m − n) · d = 3 − (2 − 4) · (−2) = −1 Решим еще один пример. Дана арифметическая прогрессия (an): , , 1 , … Разность прогрессии d = ½. Найти a10. В данном случае можно воспользоваться второй формулой, так как известен первый член прогрессии: a10 = a 1 + (n − 1) · d = 0 + (10 − 1) · 1/2 = = 4.5 Шаг (разность) арифметической прогрессии an − известный член арифметической прогрессии член с номером n am − следующий известный член арифметической прогрессии член с номером m n − номер n члена арифметической прогрессии m − номер m члена арифметической прогрессии Приведем пример. Дана прогрессия (an): −3, −1, 1, 3… найти ее разность. Членами an и am могут быть любые известные члены прогрессии, тогда в качестве an, возьмём 1-й член в качестве am второй. an = -3 am = -1 тогда: d = am − an m − n = −1 − (−3) 2 − 1 = 2 Сумма членов арифметической прогрессии Сумма первых n членов арифметической прогрессииa1 − первый член арифметической прогрессии an − член арифметической прогрессии n − номер n члена арифметической прогрессии (количество суммируемых членов) Приведем пример. Дана прогрессия (an): −3, −1, 1, 3… Найти сумму первых десяти членов. Чтобы воспользоваться формулой, приведенной выше, необходимо сначала вычислить значение разности прогрессии, затем значение 10-го члена прогрессии, и затем уже находить сумму. Значение разности d уже было найдено в примере выше, продублируем его: d = am − an m − n = -1 − (-3) 2 − 1 = 2 Теперь найдем значение 10-го члена прогрессии: a10 = a1 + (n − 1) · d = −3 + (10 − 1) · 2 = 15 a10 = 15 Найдем сумму первых 10-ти членов: S10 = -3 + 15 2 · 10 = 60 Сумма членов арифметической прогрессии от n-ого до m-огоan − член арифметической прогрессии член с номером n am − член арифметической прогрессии член с номером m n − номер n члена арифметической прогрессии m − номер m члена арифметической прогрессии Решим пример на нахождение суммы арифметической прогрессии, когда известно только два ее члена. Даны члены прогрессии a3 = 4 и a16 = -7. Найти сумму первых 20-ти членов прогрессии. Вычислим шаг (разность) арифметической прогрессии: d = am − an m − n = -7 − 4 16 − 4 = = −0.916666666666667 Найдем значение 1 члена арифметической прогрессии (первого члена суммы): an – член арифметической прогрессии с номером n, который необходимо найти. am – известный член прогрессии с номером m. n = 1 am = -7, m = 16 a1 = a m − (m − n) · d = −7 − (16 − 1) · (-11/12) = = 6.75 Найдем значение 20 члена арифметической прогрессии (последнего члена суммы): an – член арифметической прогрессии с номером n, который необходимо найти. am – известный член прогрессии с номером m. n = 20 am = -7, m = 16 a20 = a m − (m − n) · d = −7 − (16 − 20) · (-11/12) = = −10. 6666666666667 Найдем сумму членов арифметической прогрессии с 1 по 20: an = a1 = 27/4 am = a20 = -32/3 S1,20 = an + am 2 · (m − n + 1) = 27/4 + (-32/3) 2 · (20 − 1 + 1) = = −39.1666666666667 Общая разница арифметической прогрессии Калькулятор ✖N-й член AP — это член, соответствующий индексу или позиции числа n от начала в данной арифметической прогрессии.ⓘ N-й срок AP [Tn] +10% -10% ✖Первый член AP — это значение, соответствующее первому члену арифметической прогрессии.ⓘ Первый срок АП [a] +10% -10% ✖Номер индекса n-го члена AP — это значение n для n-го члена или положение n-го члена в арифметической прогрессии.ⓘ Номер индекса n-го срока действия ПД [n] +10% -10% ✖Общая разность АР — это разница произвольного члена с предшествующим ему членом арифметической прогрессии. ⓘ Общая разница арифметической прогрессии [d] ⎘ копия 👎 Формула сбросить 👍 Общая разница арифметической прогрессии Решение ШАГ 0: Сводка предварительного расчета ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок N-й срок AP: 20 —> Конверсия не требуется Первый срок АП: 3 —> Конверсия не требуется Номер индекса n-го срока действия ПД: 9 —> Конверсия не требуется ШАГ 2: Оцените формулу ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода 2. 125 —> Конверсия не требуется < 3 Общая разница арифметической прогрессии Калькуляторы Общая разница арифметической прогрессии формула Общая разница AP = (N-й срок AP-Первый срок АП)/(Номер индекса n-го срока действия ПД-1) d = (Tn-a)/(n-1) Что такое арифметическая прогрессия? Арифметическая прогрессия или просто AP — это последовательность чисел, в которой последующие члены получаются путем добавления постоянного числа к первому члену. Это фиксированное число называется общей разностью арифметической прогрессии. Например, последовательность 2, 5, 8, 11, 14,… является арифметической прогрессией с первым членом, равным 2, и общей разностью, равной 3. AP является сходящейся последовательностью тогда и только тогда, когда общая разность равна 0, иначе AP всегда расходится. Share Copied! Калькулятор арифметической последовательности | Формула Авторы: Богна Шик и Анна Щепанек, доктор философии Рецензию сделали Стивен Вудинг и Джек Боуотер Последнее обновление: 29 декабря 2022 г. Содержание: Что такое арифметическая последовательность? Определение и наименование арифметической последовательности Примеры арифметической последовательности Формула арифметической последовательности Различие между последовательностью и рядом Арифметический ряд до бесконечности Арифметические и геометрические последовательности Арифметико-геометрическая последовательность Калькулятор арифметической последовательности: пример использования 0031 анализ последовательности числа, которые создаются путем добавления постоянного значения каждый раз . Вы можете использовать его, чтобы найти любое свойство последовательности — первое слагаемое, общую разность, nᵗʰ слагаемое или сумму первых n слагаемых. Вы можете сразу приступить к его использованию или прочитать дальше, чтобы узнать, как он работает. В этой статье мы объясняем определение арифметической последовательности, поясняем уравнение последовательности, которое использует калькулятор, и даем вам формулу для нахождения арифметического ряда (сумма арифметической прогрессии). Мы также предоставляем обзор различий между арифметическими и геометрическими последовательностями и простой для понимания пример применения нашего инструмента. Что такое арифметическая прогрессия? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала нужно узнать, что такое термин последовательность означает. По определению, последовательность в математике — это набор объектов, таких как числа или буквы, которые идут в определенном порядке. Эти объекты называются элементами или элементами последовательности. Довольно часто один и тот же объект появляется несколько раз в одной последовательности. Арифметическая последовательность также является набором объектов, точнее, чисел. Каждое последовательное число создается путем добавления постоянного числа (называемого общей разностью 9).0032 ) к предыдущему. Такая последовательность может быть конечной, когда в ней есть определенное количество членов (например, 20), или бесконечной, если мы не указываем количество членов. Каждая арифметическая последовательность однозначно определяется двумя коэффициентами: общей разностью и первым членом . Если вы знаете эти два значения, вы можете записать всю последовательность. Определение арифметической последовательности и наименование Как только вы начнете углубляться в тему что такое арифметическая последовательность , вполне вероятно, что вы столкнетесь с некоторой путаницей. Это происходит из-за различных соглашений об именах, которые используются. Два наиболее распространенных термина, с которыми вы можете столкнуться, это арифметическая последовательность и ряд . Первую также часто называют арифметической прогрессией , а вторую также называют частичной суммой . Основное различие между последовательностью и последовательностью состоит в том, что по определению арифметическая последовательность — это просто набор чисел, каждый раз складывающий общую разность. Арифметический ряд, с другой стороны, представляет собой сумму n членов последовательности. Например, вы можете обозначить сумму первых 12 членов как S 12 = a 1 + a 2 + … + a 12 . Примеры арифметической последовательности Некоторые примеры арифметической последовательности включают: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, … 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, … 50, 50.1, 50.2, 50.3, 50.4, 50.5, … Сможете ли вы найти общее отличие каждой из этих последовательностей? Подсказка: попробуйте вычесть термин из следующего термина. Основываясь на этих примерах арифметических последовательностей, вы можете заметить, что общая разность не обязательно должна быть натуральным числом — это может быть дробь. На самом деле, это даже не должно быть положительным! Если общая разность арифметической последовательности положительна, мы называем ее возрастающей последовательностью . Естественно, если разность отрицательна, последовательность будет уменьшающейся на . Что происходит в случае нулевой разницы? Ну, вы получите монотонная последовательность , где каждый член равен предыдущему. Теперь давайте внимательно посмотрим на эту последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Можете ли вы определить, в чем состоит общее различие в этом случае? ? На самом деле, у вас не должно быть возможности. Это не пример арифметической последовательности, а частный случай, называемый последовательностью Фибоначчи. Каждый термин находится путем сложения двух предшествующих ему терминов. Интересно, не так ли? Так что, если вы хотите узнать больше, воспользуйтесь калькулятором Фибоначчи. Это стоит вашего времени. Отличным применением последовательности Фибоначчи является построение спирали. Если вы нарисуете квадраты со сторонами, длина которых равна последовательным членам этой последовательности, вы получите идеальную спираль. Идеальная спираль — прямо как эта! (Источник: Викимедиа.) Математикам всегда нравилась последовательность Фибоначчи! Если вы хотите обнаружить последовательность, которая пугала их почти столетие, воспользуйтесь нашим калькулятором гипотез Коллатца. Формула арифметической последовательности Предположим, вы хотите найти 30ᵗʰ член любой из последовательностей, упомянутых выше (кроме последовательности Фибоначчи, конечно). Записывать первые 30 терминов было бы утомительно и отнимало много времени. Однако вы, наверное, заметили, что вам не нужно записывать их все! Достаточно, если вы добавите 29 общих отличий к первому члену. Обобщим это утверждение, чтобы сформулировать уравнение арифметической последовательности. Это формула для любого nᵗʰ члена последовательности. a = a₁ + (n-1)d где: a — nᵗʰ член последовательности; d — Отличие общее; и a₁ — Первый член последовательности. Эта формула арифметической последовательности применяется в случае всех общих разностей, положительных, отрицательных или равных нулю. Естественно, что в случае нулевой разности все слагаемые равны друг другу, что делает ненужными какие-либо вычисления. Разница между последовательностью и последовательностью Наш калькулятор арифметической последовательности также может найти сумму последовательности (называемой арифметической последовательностью ) для вас. Поверьте, вы можете сделать это сами — это не так сложно! Посмотрите на первый пример арифметической последовательности: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Мы могли бы просуммировать все члены вручную, но это не обязательно. Попробуем суммировать термины более организованным образом. Мы сложим первое и последнее слагаемые вместе, затем второе и предпоследнее, третье и третье с последним и т. д. Вы быстро заметите, что: 3 + 21 = 24 5 + 19 = 24 7 + 17 = 24 Сумма каждой пары постоянна и равна 24 . Это означает, что нам не нужно складывать все числа. Все, что вам нужно сделать, это сложить первый и последний член последовательности и умножить эту сумму на количество пар (т. е. на n/2). Математически это записывается как: S = n/2 × (a₁ + a) Подставляя уравнение арифметической последовательности вместо члена nᵗʰ: S = n/2 × [a₁ + a₁ + (n-1)d] После упрощения: S = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] 9000 2 Это формула позволит вам найти сумму арифметической прогрессии. Арифметический ряд до бесконечности При поиске суммы арифметической последовательности вы, вероятно, заметили, что вам нужно выбрать значение n , чтобы вычислить частичную сумму. Что, если вы хотите просуммировать всех членов последовательности? Интуитивно понятно, что сумма бесконечного числа слагаемых будет равна бесконечности независимо от того, является ли общая разность положительной, отрицательной или даже равной нулю. Однако это относится не ко всем типам последовательностей. Если вы выберете другую, например геометрическую последовательность, сумма до бесконечности может оказаться конечным членом . Арифметические и геометрические последовательности Очевидно, что наш калькулятор арифметических последовательностей не может анализировать никакие другие типы последовательностей. Например, последовательность 2, 4, 8, 16, 32, … не имеет общего различия. Это потому, что это другой вид последовательности — геометрическая прогрессия. В чем основное отличие арифметической последовательности от геометрической? В то время как арифметическая последовательность использует общую разность для построения каждого последующего члена, геометрическая последовательность использует обыкновенное отношение . Это означает, что мы умножаем каждый термин на определенное число каждый раз, когда хотим создать новый термин. Одним из интересных примеров геометрической последовательности является так называемая цифровая вселенная . Вы, наверное, слышали, что объем цифровой информации удваивается каждые два года. Это означает, что вы можете записать числа, представляющие количество данных в геометрической последовательности, с общим отношением, равным двум. Арифметико-геометрическая последовательность Вы также можете анализировать специальный тип последовательности, называемый арифметико-геометрической последовательностью . Он создается путем умножения членов двух прогрессий — арифметической и геометрической. Например, рассмотрим следующие две прогрессии: Арифметическая последовательность: 1, 2, 3, 4, 5, … Геометрическая последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, … Чтобы получить n-й член арифметико-геометрического ряда, нужно умножить n-й член арифметической прогрессии на n-й член геометрической прогрессии. В этом случае результат будет выглядеть так: Первый член: 1 × 1 = 1 Второй член: 2 × 2 = 4 Третий член: 3 × 4 = 12 Четвертый член: 4 × 8 = 32 Пятый член: 5 × 16 = 80 Такая последовательность определяется четырьмя параметрами : начальным значением арифметической прогрессии a , общей разностью d , начальным значением геометрической прогрессии b , а обыкновенное отношение r . Калькулятор арифметической прогрессии: пример использования Разберем простой пример, который можно решить с помощью формулы арифметической прогрессии . Мы внимательно рассмотрим пример свободного падения. Камень свободно падает в глубокую шахту. За первую секунду он опускается на четыре метра. Каждую следующую секунду расстояние, на которое он падает, увеличивается на 9,8 метра. Какое расстояние прошел камень между пятой и девятой секундами? Пройденное расстояние следует арифметической прогрессии с начальным значением a = 4 м и общей разностью d = 9,8 м . Сначала мы найдем общее расстояние, пройденное за первые девять секунд свободного падения, вычислив частичную сумму S₉ ( n = 9 ): S₉ = n/2 × [2a₁ + ( n-1)d] = 9/2 × [2 × 4 + (9–1) × 9,8] = 388,8 м За первые девять секунд камень проходит в общей сложности 388,8 м. Однако нас интересует только расстояние, пройденное с пятой по девятую секунду. Как рассчитать это значение? Это легко — все, что нам нужно сделать, это вычесть расстояние, пройденное за первые четыре секунды, S₄, из частичной суммы S₉. S₄ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 × [2 × 4 + (4-1) × 9,8] = 74,8 м S₄ равно 74,8 м. Теперь мы можем найти результат простым вычитанием: расстояние = S₉ — S₄ = 388,8 — 74,8 = 314 м Существует альтернативный метод решения этого примера. Вы можете использовать формулу арифметической последовательности , чтобы вычислить расстояние, пройденное за пятую, шестую, седьмую, восьмую и девятую секунды, и сложить эти значения вместе. Попробуйте сделать это сами — скоро вы поймете, что результат точно такой же! Часто задаваемые вопросы Как найти n-й член арифметической прогрессии? Чтобы найти nᵗʰ член арифметической прогрессии, aₙ : Умножьте на обыкновенную разность d на (n-1) . Добавить этого продукта к первому члену a₁ . Результатом является термин nᵗʰ. Хорошая работа! В качестве альтернативы можно использовать формулу: aₙ = a₁ + (n-1) × d . Как найти общую разность в арифметической прогрессии? Вычтите любые два соседних члена , чтобы получить общую разность последовательности. Можно взять любые последующие, например, a₂-a₁ , a₇-a₆ или a₁₀₀-a₉₉ . Если вы не получили одинаковый результат для всех различий, ваша последовательность не является арифметической. Какая общая разница в следующей арифметической последовательности: -12, -1, 10, 21? Общая разница 11 . Вы можете оценить его, вычитая любую последовательную пару членов, например, a₂ — a₁ = -1 — (-12) = 11 или a₄ — a₃ = 21 — 10 = 11 В чем разница между арифметикой и геометрическая последовательность? разность между любыми соседними элементами постоянна для любой арифметической последовательности , в то время как отношение любой последовательной пары термов одинаково для любой геометрической последовательности . Чтобы получить следующий член арифметической прогрессии, нужно добавить общее отличие к предыдущему . Чтобы получить следующий член геометрической последовательности, нужно умножить предыдущий член на знаменатель . Как определить, является ли последовательность арифметической? Разница между любой последовательной парой чисел должна быть одинаковой. Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической, найдите различия между каждой соседней парой терминов. Если какое-либо из значений отличается, ваша последовательность не является арифметической. Богна Шик и Анна Щепанек, доктор философии Этот калькулятор использует следующую формулу для нахождения n-го члена последовательности: Введите любые два значения: Общая разность, d Как ввести больше членов? Выберите расширенный режим ниже, если вам даны термины с индексами больше 5 и вы хотите, чтобы мы определили по ним последовательность. Как найти больше терминов? Здесь можно распечатать любую часть последовательности (или найти отдельные термины) Хотите записать? Сумма любого количества начальных членов Найдите сумму a₁ + . .. + aₚ для p = Для произвольного первого индекса выберите расширенный режим ниже. Ознакомьтесь с 7 калькуляторами похожих последовательностей 🔗 Гипотеза КоллатцаФибоначчиГеометрическая последовательность… Еще 4 Калькулятор арифметической последовательности — Калькулятор N-го члена Введите значения в поля ввода ниже, чтобы вычислить n-й член и сумму арифметического прогресса ион с помощью арифметической последовательности /серийный калькулятор. Формула а n = а 1 + (n — 1)d Тип метода: Базовый калькулятор Решение для a 1 и d Решение для n Введите общее количество терминов (n th термин): Введите первый член (a 1 ): Введите общую разность (d): Я хочу вычислить: N-й член Сумма последовательности РЕКЛАМА РЕКЛАМА Вычислить геометрическую последовательность Содержание: Калькулятор N-го члена Что такое арифметическая прогрессия? Формула арифметической прогрессии Нахождение n-го члена арифметической прогрессии и ее суммы Дайте нам отзыв ✎ ✉ Nth Term Calculator Калькулятор арифметической последовательности — это онлайн-инструмент, который вычисляет: Арифметическую последовательность Значение N-го члена Сумма арифметической прогрессии Что такое арифметическая прогрессия? Арифметическая последовательность может быть определена как » Арифметическая последовательность – это последовательность, в которой каждый член увеличивается путем прибавления или вычитания некоторого постоянного значения, известного как общая разность (d) . » Арифметическая последовательность широко известна как арифметический ряд и арифметическая прогрессия. Формула арифметической последовательности Формула для нахождения n-го члена: n th член = a + (n — 1)d найдите сумму арифметической прогрессии: S = n/2 × [2a ₁ + (n — 1)d] Где: a  относится к nᵗʰ члену последовательности, d  относится к общей разнице, а a₁  относится к первому члену последовательности. Специальной формулы для нахождения арифметической прогрессии не существует. В следующем разделе мы объясним метод вычисления арифметической последовательности с использованием общей разности и первого члена. Нахождение n-го члена, арифметической последовательности и ее суммы Для вычисления n-го члена, арифметической последовательности и ее суммы вы можете просто использовать калькулятор арифметических рядов выше. Пример: Найдите n-й член и сумму арифметической последовательности для 15  количество членов, если первый член равен 5 900 76 а разница 4. Решение: Шаг 1: Определите значения. n = 15 a = 5 d = 4 Шаг 2: Используйте формулу арифметической последовательности и поместите значения. Для нахождения n-го члена n й член = a + (n — 1)d = 5 + (15 — 1) × 4 = 61 n th срок = 61 Для нахождения суммы арифметической прогрессии S = n/2 × [2a₁ + (n — 1)d] S = 15/2 × [2(5) + ( 15 — 1) × 4] S = 495 Для нахождения арифметической последовательности Добавьте общую разность в первый член, чтобы получить арифметическую последовательность. Калькулятор с косинусами и синусами онлайн: Инженерный калькулятор онлайн, Научный калькулятор alexxlab / 22.06.202323.04.2023 / Разное Инженерный калькулятор онлайн KALKPRO.RU — самый точный калькулятор корней, степеней, синусов, косинусов, логарифмов! Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные. Только корректные расчеты по всем правилам математики! В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки. Всё для вашего удобства: быстрые вычисления и загрузка, верные расчеты по всем правилам, полный функционал, понятный интерфейс, адаптация под любой размер устройства бесплатно не надо ничего устанавливать, никакой всплывающей назойливой рекламы, подробная инструкция с примерами Содержание справки: 1.  Комплекс операций инженерного калькулятора 2. Инструкция по функциям инженерного калькулятора 3. Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах Как возвести в степень Как найти корень кубический Как найти корень на калькуляторе Как возвести в квадрат 4. Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе Десятичный логарифм онлайн Как пользоваться памятью на калькуляторе Комплекс операций инженерного калькулятора Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень. Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только. Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус. Ввод цифр производится в двух вариантах: с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами Инструкция по функциям инженерного калькулятора Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. x] – Возведение числа Эйлера в степень [Frac] – отсекает целую часть, оставляет дробную [sinh-1] – обратный гиперболический синус [sin-1] – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin [deg] – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее [cosh-1] — обратный гиперболический косинус [cos-1] – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos [2*Pi] – рассчитывает число Пи, помноженное на два [tanh-1] – обрат. гиперболический тангенс [tan-1] – арктангенс или обратный тангенс, arctg Как пользоваться MR MC M+ M- MS Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах Как возвести в степень Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности: 12 [xy] 3 [=] 12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=] Ответ: 1728 Как найти корень кубический Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке: 729 [3√x] [=] 729, [3√x] «кубический корень из икс», равенства [=] Как найти корень на калькуляторе Задача: Найти квадратный корень 36. y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно». Например: 45 [xy] 6 [=] Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625 Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами. 1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан. Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку: где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах. В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите: 90 [sin] [=] Ответ: единица Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °: 60 [cos] [=] Решение: 0,5 Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh. Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус. Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе [Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды». Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли: 35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666 Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453 Десятичный логарифм онлайн Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1: 1 [log] [=] Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так: 100 [log] [=] Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100. Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln]. Как пользоваться памятью на калькуляторе Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC. Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS. MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти. Пример. Внесем сто сорок пять в память программы: 145 [MR] После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто: [MR] На экране отобразится снова 145. Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60. Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.    Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям! Инженерный калькулятор онлайн KALKPRO.RU — самый точный калькулятор корней, степеней, синусов, косинусов, логарифмов! Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные. Только корректные расчеты по всем правилам математики! В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки. Всё для вашего удобства: быстрые вычисления и загрузка, верные расчеты по всем правилам, полный функционал, понятный интерфейс, адаптация под любой размер устройства бесплатно не надо ничего устанавливать, никакой всплывающей назойливой рекламы, подробная инструкция с примерами Содержание справки: 1. Комплекс операций инженерного калькулятора 2. Инструкция по функциям инженерного калькулятора 3. Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах Как возвести в степень Как найти корень кубический Как найти корень на калькуляторе Как возвести в квадрат 4. Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе Десятичный логарифм онлайн Как пользоваться памятью на калькуляторе Комплекс операций инженерного калькулятора Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень. Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только. Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус. Ввод цифр производится в двух вариантах: с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами Инструкция по функциям инженерного калькулятора Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. x] – Возведение числа Эйлера в степень [Frac] – отсекает целую часть, оставляет дробную [sinh-1] – обратный гиперболический синус [sin-1] – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin [deg] – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее [cosh-1] — обратный гиперболический косинус [cos-1] – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos [2*Pi] – рассчитывает число Пи, помноженное на два [tanh-1] – обрат. гиперболический тангенс [tan-1] – арктангенс или обратный тангенс, arctg Как пользоваться MR MC M+ M- MS Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах Как возвести в степень Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности: 12 [xy] 3 [=] 12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=] Ответ: 1728 Как найти корень кубический Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке: 729 [3√x] [=] 729, [3√x] «кубический корень из икс», равенства [=] Как найти корень на калькуляторе Задача: Найти квадратный корень 36. y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно». Например: 45 [xy] 6 [=] Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625 Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами. 1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан. Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку: где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах. В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите: 90 [sin] [=] Ответ: единица Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °: 60 [cos] [=] Решение: 0,5 Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh. Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус. Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе [Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды». Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли: 35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666 Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453 Десятичный логарифм онлайн Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1: 1 [log] [=] Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так: 100 [log] [=] Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100. Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln]. Как пользоваться памятью на калькуляторе Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC. Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS. MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти. Пример. Внесем сто сорок пять в память программы: 145 [MR] После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто: [MR] На экране отобразится снова 145. Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60. Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.    Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям! Калькулятор тригонометрии Калькулятор тригонометрии Главная›Калькуляторы›Математические калькуляторы›Калькулятор тригонометрии Калькулятор прямоугольного треугольника Введите значение стороны и секунды и нажмите кнопку Вычислить : Сторона Сторона б Боковой c Угол А Угол В Калькулятор тригонометрических функций Калькулятор тригинометрических выражений Выражение с sin(угол, град|рад)/cos(угол, град|рад)/tan(угол, град|рад)/asin()/acos()/atan(): Выражение Результат Тригонометрические функции. загар A = напротив / рядом = a / b   csc A = гипотенуза / противоположность = c / a сек A = гипотенуза0035 c / b детская кроватка A = рядом / напротив = b / a     9 00088 9 1 Тригонометрические функции Калькулятор синуса Калькулятор косинуса Калькулятор тангенса Калькулятор арксинуса Калькулятор Arccos Калькулятор арктангенса Преобразование градусов в радианы Радианы в градусы Градусы в градусы, минуты, секунды Градусы,минуты,секунды в градусы Напишите, как улучшить эту страницу МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ Онлайн математический калькулятор Добавление калькулятора дробей Дополнительный калькулятор Антилогарифмический калькулятор Калькулятор Arccos Калькулятор арксинуса Калькулятор арктангенса Базовый калькулятор Калькулятор комплексных чисел Калькулятор свертки Калькулятор косинуса Калькулятор деления дробей Калькулятор деления Калькулятор экспоненциального роста Калькулятор экспонент Калькулятор факториала Калькулятор дробей Калькулятор GCF Калькулятор LCM Калькулятор Ln Калькулятор журнала Калькулятор умножения Калькулятор умножения дробей Калькулятор процентов Калькулятор процентного изменения Калькулятор процентной ошибки Калькулятор процентного увеличения Калькулятор теоремы Пифагора Решатель квадратных уравнений Калькулятор соотношения Калькулятор корня Калькулятор экспоненциального представления Простой математический калькулятор Упрощение дробей Калькулятор синуса Калькулятор квадратного корня Калькулятор стандартного отклонения Калькулятор вычитания дробей Калькулятор вычитания Калькулятор тангенса Тригонометрический калькулятор Калькулятор средневзвешенного значения Калькулятор дисперсии RAPID TABLES Ссылка на нас Рекомендовать сайт Отправить отзыв О Экспресс-выражение в терминах синуса и косинуса Калькулятор и решатель Получите подробные решения ваших математических задач с помощью наших Выразить через синус и косинус пошаговый калькулятор . Разложить функцию в ряд тейлора по степеням x примеры: Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций на практике alexxlab / 22.06.202311.04.2023 / Разное k$ Строит графики: Самой функции Частичные суммы ряда Тейлора Подробнее про Ряд Тейлора. Указанные выше примеры содержат также: модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x| квадратные корни sqrt(x), кубические корни cbrt(x) тригонометрические функции: синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) показательные функции и экспоненты exp(x) обратные тригонометрические функции: арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x) натуральные логарифмы ln(x), десятичные логарифмы log(x) гиперболические функции: гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) обратные гиперболические функции: гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) другие тригонометрические и гиперболические функции: секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x) функции округления: в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) знак числа: sign(x) для теории вероятности: функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x) Факториал от x: x! или factorial(x) Гамма-функция gamma(x) Функция Ламберта LambertW(x) Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x) Правила ввода Можно делать следующие операции 2*x — умножение 3/x — деление x^2 — возведение в квадрат x^3 — возведение в куб x^5 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7. 5, не 7,5 Постоянные pi — число Пи e — основание натурального логарифма i — комплексное число oo — символ бесконечности Чтобы увидеть подробное решение, помогите рассказать об этом сайте: Реализация ряда Тейлора на Python / Хабр Ряд Тейлора для функции представляет собой бесконечную сумму членов, которая использует информацию о производных этой функции для создания полинома, аппроксимирующего эту функцию. Более точные аппроксимации можно вывести, взяв производные более высокого порядка и используя полиномы более высокой степени. В интернете уже есть много статей (и видео на YouTube) о рядах Тейлора, которые помогут вам сформировать хорошее понимание процесса построения бесконечного ряда с упоминанием того, как члены более высоких порядков дают вам более близкие аппроксимации базовой функции (при условии, что ряд сходится). (n)(x) — для определения коэффициентов полинома. Следовательно, ряд Тейлора может быть определен для f(x), только если она бесконечно дифференцируема. Члены ряда определяются выражением Где а является центром ряда Тейлора (прим. ред.: этот термин используется англоязычным сообществом, а русскоязычное в основном оперирует окрестностью точки а). Если центр ряда равен 0, т. е. a=0, то ряд называют рядом Маклорена. Чтобы программно сформировать ряд Тейлора для функции, все, что от нас требуется, это вычислить коэффициенты для достаточного количества членов. Опять же напомню, что чем больше членов ряда Тейлора мы будем использовать, тем точнее будет аппроксимация. К счастью, в пакете Python scipy уже есть встроенная функция для вычисления производной функции в заданной точке. Именно ее мы и будем использовать для определения коэффициентов искомого полинома. from scipy.misc import derivative import math class TaylorSeries(): def __init__(self, function, order, center=0): self. center = center self.f = function self.order = order self.d_pts = order*2 self.coefficients = [] # количество точек (order) для scipy.misc.derivative if self.d_pts % 2 == 0: # must be odd and greater than derivative order self.d_pts += 1 self.__find_coefficients() def __find_coefficients(self): for i in range(0, self.order+1): self.coefficients.append(round(derivative(self.f, self.center, n=i, order=self.d_pts)/math.factorial(i), 5)) Приведенная выше логика начинается с определения класса для хранения информации о ряде Тейлора. Конструктор принимает указатель на функцию (function) для которой мы формируем ряд Тейлора, порядок (order) ряда Тейлора (то есть количество членов) и центр (center) ряда, который по умолчанию соответствует ряду Маклорена (т.е. равен нулю). Некоторые переменные, которые используются в функции scipy.misc.derivative, вычисляются на лету из уже предоставленных нами данных. {}».format(self.center, i) if i > 0 else «») + » + » eqn_string = eqn_string[:-3] if eqn_string.endswith(» + «) else eqn_string print(eqn_string) def print_coefficients(self): print(self.coefficients) def get_coefficients(self): «»» Возвращает коэффициенты ряда Тейлора «»» return self.coefficients Первая функция, print_equation(…), выводит ряд Тейлора как уравнение с центром в центре ряда. print_coefficients(…) просто выведет список с коэффициентами, а get_coefficients(…) вернет его. Приведенный ниже код используется для нахождения коэффициентов ряда Тейлора, представляющего функцию f(x): from TaylorSeries import TaylorSeries def f(x): return 2 + x**3 + x**7 + x**2 if __name__ == '__main__': terms = 15 center = 0 precision = 3 ts = TaylorSeries(f, terms, center) ts.print_coefficients() ts.print_equation() Выполнение этой логики сформирует список размером в 15 элементов, который содержит коэффициенты ряда Тейлора, а также выведет полиномиальное уравнение. x и т. д., также дают правильные результаты в этой реализации. Далее, в приведенных ниже применениях, мы будем использовать именно эти функции. Применения ряда Тейлора Поскольку с полиномами обычно легче работать, чем с большинством функций, аппроксимация с помощью ряда Тейлора может помочь определить приблизительные значения для различных операций, связанных с этими функциями. Бесполезное Дифференцирование Ряд Тейлора функции можно использовать для аппроксимации ее производной в конкретной точке. Члены ряда Тейлора можно дифференцировать по отдельности, тогда они примут форму которая представляет собой просто производную степенной функции, умноженного на коэффициент ряда Тейлора. Обратите внимание, что в коде это отбросит члены, не представленные в ряде Тейлора, поскольку их коэффициенты будут равны 0. В нашей Python-логике эти вычисления будут выполняются с помощью функции, приведенной ниже: def approximate_derivative(self, x): """ Приблизительно вычисляет производную функции f(x) по ее ряду Тейлора. (n-1) return value В этой функции аппроксимация производной функции находится путем перебора коэффициентов, вычисления значений производной, как описано выше, и их суммирования. Подстановка значений в эту функцию обеспечивает точную аппроксимацию производной базовой функции. Ниже приведены результаты для cos(x): x f(x) Approx. f'(x) 0 1.0 0.0 pi/6 0.866 -0.5 pi/4 0.707 -0.707 pi/3 0.5 -0.866 pi/2 0. 0 -1.0 pi -1 -0.042 Выше приведены значения аппроксимированной функции cos(x) и ее производной (обратите внимание, что фактическая производная равна -sin(x)) в точках 0, 𝝿/6, 𝝿/4, 𝝿/3, 𝝿/2 и 𝝿. Глядя на значения в нескольких этих точках, мы видим, что в целом получили хорошую аппроксимацию производной cos(x). Например, в точке 𝝿/4 значение функции равно 0,707 = sqrt(2)/2, как и его производная -0,707, что является правильным значением. К сожалению, это практически бесполезно, так как ряду Тейлора требует информация о производной функции, чтобы определить свои коэффициенты. Зачем нам нужна аппроксимация f'(x), которой требуется сама f'(x) общего вида (а значит, фактическое значение) для получения этой аппроксимации. Кроме того, существует множество различных численных методов, которые могут аппроксимировать производные без аналитического нахождения производной функции (например, методы конечных разностей), которые больше подходят для этой задачи. Полезные Аппроксимация значений Одной из широко используемых целей ряда Тейлора является аппроксимация значений базовой функции. Для того, чтобы получить приблизительное значение функции, в члены ряда Тейлора подставляется x, а затем они складываются вместе. В Python-логике это выглядит следующим образом: def approximate_value(self, x): """ Аппроксимирует значение f(x) с помощью полинома Тейлора.         x = точка аппроксимации f(x) """ fx = 0 for i in range(len(self.coefficients)): fx += self.coefficients[i] * ((x - self.center)**i) # coefficient * nth term return fx Определенный интеграл Ряд Тейлора можно использовать для аппроксимации интеграла базовой функции, поскольку члены ряда Тейлора можно интегрировать по отдельности, как мы делали это при дифференцировании. При аппроксимации интеграла члены ряда примут вид Здесь мы опять сталкиваемся со степенной функцией, но на этот раз интегрируем ее и умножаем на соответствующий коэффициент ряда Тейлора. Однако численно мы можем рассчитать только определенный интеграл функции, так как в противном случае отсутствие значения для константы интегрирования может привести к неправильным результатам. Рассмотрим ряд Тейлора для f(x) = sin(x) с центром в 0: интегрирование этого полинома член за членом дает следующий полином Теперь предположим, что это корректная аппроксимация интеграла sin(x) (для которой мы знаем фактический интеграл -cos(x)) и попытаемся вычислить эту функцию в 0. Значение от этого равно 0. В этом случае это можно скорректировать, установив константу интегрирования C = -1. Но нам нужно определить эту константу для каждого значения в области определения функции только для того, чтобы “исправить” интегралы, что делает бесконечное интегрирование бесполезным. С другой стороны, определенные интегралы можно легко вычислить, интегрируя ряд Тейлора почленно и подставляя пределы интегрирования, как показано в Python-коде ниже. x*sin(x). В целях сокращения длины этой статьи эти результаты будут опущены. Для тех, кто сомневается, полный код будет приведен ниже. Меняйте def f(x) и проверяйте результаты самостоятельно. Лимиты Вместо того, чтобы показывать, как численно аппроксимировать лимиты и реализовывать это в Python, я просто приведу пример лимита, который может быть трудно определить аналитически, но его легко найти в форме ряда Тейлора. Рассмотрим такой лимит: Этот лимит можно легко определить, применяя правило Лопиталя, так как он имеет форму 0/0, но давайте предположим на минуту, что мы этого не знаем (или что мы ничего не знаем о правиле Лопиталя). Как нам тогда определить этот предел? Оказывается, в этом нам может помочь ряд Тейлора, заменяющий sin(x) в пределе аппроксимацией. В этом примере будет использоваться ряд Тейлора с тремя членами: Поскольку лимит x²/120 стремится к 0, результат равен -1/6, как и ожидалось, при оценке по правилу Лопиталя. Заключение Выше была представлена ​​идея ряда Тейлора, который представляет собой математический инструмент, используемый для аппроксимации любой непрерывно дифференцируемой функции полиномом, используя только информацию о производной этой функции. Была предоставлена ​​реализация на Python и обсуждены применения ряда Тейлора. Полный код с некоторыми примерами использования приведен ниже, и я советую всем, кто заинтересован в работе с этим инструментом, скопировать и потестировать этот код самим, чтобы лучше понять ряд Тейлора. Листинг кода usage.py from TaylorSeries import TaylorSeries import math def f(x): return math.cos(x) #(math.e**x)*math.sin(x)*math.cos(x) if __name__ == '__main__': pts = [0, math.pi/6, math.pi/4, math.pi/3, math.pi/2, math.pi] # pts = [-5, -4, -3, -2, -1, -0.1, 0, 0.1, 1, 2, 3, 4, 5] terms = 15 center = 0 precision = 3 ts = TaylorSeries(f, terms, center) ts.print_coefficients() ts.print_equation() print("x\tf(x)\tApprox. f(x)\tIntegral f(x)\tDerivative f(x)") for x in pts: print("{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}".format(x, f(x), ts.approximate_value(x), ts.approximate_integral(0, x), ts.approximate_derivative(x))) TaylorSeries. {}».format(self.center, i) if i > 0 else «») + » + » eqn_string = eqn_string[:-3] if eqn_string.endswith(» + «) else eqn_string print(eqn_string) def print_coefficients(self): print(self.coefficients) def approximate_value(self, x): «»» Аппроксимирует значение f(x) с помощью полинома Тейлора. x = точка аппроксимации f(x) «»» fx = 0 for i in range(len(self.coefficients)): fx += self.coefficients[i] * ((x — self.center)**i) # coefficient * nth term return fx def approximate_derivative(self, x): «»» Приблизительно вычисляет производную функции f(x) по ее ряду Тейлора. Бесполезно, так как нам нужна производная самой функции, чтобы построить ряд Тейлора. «»» value = 0 for i in range(1, len(self.coefficients)): # skip the first value (constant) as the derivative is 0 value += self.coefficients[i] * i * ((x — self.center)**(i-1)) # differentiate each term: x^n => n*x^(n-1) return value def approximate_integral(self, x0, x1): «»» Вычисляет определенный интеграл функции, используя разложение в ряд Тейлора. (n+1) return value def get_coefficients(self): «»» Возвращает коэффициенты ряда Тейлора «»» return self.coefficients Один из способов сделать вывод из статистического исследования — проверка гипотез. Это помогает нам проверить значения параметров популяции, которые угадываются на основе предварительно собранной информации. Многие области анализа данных включают в себя некоторое количество статистических испытаний, и почти всегда там используется проверка гипотез. Завтра в 16:00 в OTUS состоится открытый урок, на котором мы познакомимся с базовыми понятиями статистики и теории вероятностей, поймём, чем задачи этих областей отличаются друг от друга, концептуально рассмотрим методы проверки гипотез, и как они применяется в науке о данных на простых практических примерах. Регистрация для всех желающих — по ссылке. Модуль 24 — силовая серия Модуль 24 — силовая серия Введение | Урок 1 | Урок 2 | Урок 3 | Самооценочный тест    Урок 24. 3: Тейлор, серия   В уроке 24.2 вы нашли ряды Маклорена, которые аппроксимируют функции вблизи x = 0. В этом уроке вы узнаете, как найти ряд, который аппроксимирует функцию вблизи x = a, где a — любое действительное число. Серия Тейлора Для функции f , имеющей все производные более высокого порядка, ряд , где называется рядом Тейлора для f с центром в . Ряд Тейлора — это степенной ряд, который аппроксимирует функцию f около x = a . Частичная сумма называется полиномом Тейлора n-го порядка для f с центром в a . Каждый ряд Маклорена, в том числе изученный в уроке 24.2, представляет собой ряд Тейлора с центром в нуле. Полином Тейлора e x С центром в 1 Полином Тейлора второго порядка с центром в 1 для функции f ( x ) = e x можно найти с помощью процедуры, аналогичной процедуре, описанной в уроке 24. 2. Коэффициент при сроке (х — 1) к в полиноме Тейлора задается выражением . Эта формула очень похожа на формулу для нахождения коэффициента x k в полиноме Маклорена, где производная оценивается в 0. В этом полиноме Тейлора производная оценивается в 1, центре ряда . Коэффициенты полинома Тейлора второго порядка с центром в 1 для e x равны е (1) = е е (1) = е Таким образом, полином Тейлора второго порядка для e x с центром в 1 равен , и около x = 1, e x P 2 ( x ). Ряд Тейлора для e x с центром в 1 аналогичен ряду Маклорена для e x из урока 24.2. Однако члены ряда Тейлора имеют степени ( x — 1), а не степени x , а коэффициенты содержат значения производных, оцененные при x = 1, а не оцененные при x = 0. . График функции и полинома показывает, что полином является хорошим приближением около х = 1. График y = e x и в окне [-2, 3, 1] x [-3, 10, 1]. Многочлен Маклорена второго порядка, который вы нашли в уроке 24.2, , касается f ( x ) = e x при x = 0 и имеет ту же вогнутость, что и f ( x ) = e x в этой точке. Полином , с центром в точке x = 1, касается f ( x ) = e x при x = 1 и имеет ту же вогнутость, что и x ( ) e x в этой точке. 24.3.1 Найдите полином Тейлора второго порядка с центром в 1 для функции f ( х ) = ln х . Начертите этот многочлен вместе с f ( x ) = ln x . Щелкните здесь, чтобы получить ответ. Другая серия Тейлора Ряд Тейлора для одной функции можно использовать для нахождения ряда Тейлора для связанной функции. Полином Тейлора третьего порядка с центром в 1 для f ( x ) = ln x . Производная от f ( x ) = ln x равна . Производная p ( x ) дает полином Тейлора второго порядка для с центром в 1. 24.3.2 Найдите полином Тейлора второго порядка для с центром в 1 с использованием производной p ( x ) и изобразите его с помощью . Щелкните здесь, чтобы получить ответ. Серия Тейлора для cos x 2 Другие модификации ряда Тейлора дают другие ряды Тейлора. Например, замена каждого x на x 2 в ряду Тейлора на f ( x ) = cos( x ) дает ряд Тейлора для г ( x ) = f ( x 2 ) = cos( x 2 ). График и Y 2 = cos( x 2 ) в окне [-2,2,1] x [-2,2,1]. < Назад | Далее > ©Авторское право 2007 Все права защищены. | Товарные знаки | политика конфиденциальности | Политика ссылок Ряд Тейлора для $\sqrt{x}$? — Математический стек Exchange спросил 8 лет, 2 месяца назад Изменено 5 месяцев назад Просмотрено 154 тыс. раз $\begingroup$ Я пытаюсь вычислить ряд Тейлора для $\sqrt{x}$. К сожалению, все веб-страницы и книги содержат примеры для $\sqrt{x+1}$. Есть ли какая-то особая причина, по которой никто не показывает ряды Тейлора ровно для $\sqrt{x}$? расширение Тейлора $\endgroup$ 2 $\begingroup$ Краткий ответ: Ряд Тейлора $\sqrt x$ при $x_0 = 0$ не существует, потому что $\sqrt x$ не дифференцируемо в $0$. Для любого $x_0 > 0$ можно вычислить ряд Тейлора $\sqrt x$ в точке $x_0$ используя ряд Тейлора $\sqrt{1 + u}$ при $u_0 = 0$. Длинный ответ: 92 + \ldots \quad . $$ Поэтому: Запрашивать «ряд Тейлора для $f$» имеет смысл только в том случае, если вы укажете точка $x_0$. (Часто эта точка неявно принимается как $x_0 = 0$, в в этом случае его также называют рядом Маклорена $f$.) Ряд Тейлора для $f$ в точке $x_0$ определяется, только если $f$ бесконечно дифференцируема в $x_0$. (Но серии Тейлора нужно не сходится ни при каком $x \ne x_0$, и даже если он сходится в окрестности $x_0$ предел может отличаться от заданной функции $f$.) 9{(n)}(x_0)}/{n!}$ для всех $n$, т.е. степенной ряд именно ряд Тейлора. Теперь применим это к вашему вопросу: Вы запрашиваете ряд Тейлора для $f(x) = \sqrt{x}$. Если вы имели в виду ряд Тейлора при $x_0 = 0$: это не , определенный , потому что $\sqrt {x}$ не дифференцируем при $x_0 = 0$. По той же причине существует нет степенного ряда, сходящегося к $f$ в окрестности $0$. Но $f(x) = \sqrt{x}$ можно разложить в ряд Тейлора при любом $x_0 > 0$. Общая формула приведена в Ответ Мхенни Бенгорбал. Причина, по которой часто приводится только ряд Тейлора для $\sqrt{1 + x}$ в книгах заключается в том, что для функции извлечения квадратного корня общий случай может быть легко сводится к частному случаю: $$ \ sqrt {\ mathstrut x} = \ sqrt {\ mathstrut x_0 + x — x_0} = \ sqrt {\ mathstrut x_0} \ sqrt {1 + \ frac {\ mathstrut x-x_0} {x_0}} $$ и теперь вы можете использовать ряд Тейлора $\sqrt{1+u}$ при $u_0 = 0$. 92}2+\точки $$ $f(0)=0$, но $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$ взрывается при $x=0$. Поскольку $\sqrt{x}$ не имеет первой производной в $0$, у него нет там ряда Тейлора. $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Примечание. Строго говоря, ниже доказывается, что $\sqrt{x}$ не может иметь асимптотического разложения вида $a_0 + a_1 x + o(x)$ при $x \to 0$. 92 + \dots.$$ Очевидно, что $a_0$ должно быть равно $0$, но $\sqrt{x}$ намного больше при $x \to 0$, чем любое разложение, начинающееся с $a_1 x$. Например, у нас было бы $$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x} = a_1 + a_2 x + \dots \rightarrow a_1,$$ при $x \to 0$, но $\frac{1}{\sqrt{x}}$ не имеет конечного предела при $x \to 0$. С другой стороны, легко получить разложение Тейлора для $\sqrt{x}$ при $a > 0$ из разложения для $\sqrt{1 + x}$ при $0$. Установив $h = x — a$, вы получите $$\sqrt{x} = \sqrt{a + h} = \sqrt{a}\sqrt{1 + h/a},$$ а затем вы расширяете $\sqrt{1 + h/a}$ по степеням $h/a$. 92+\точки $$ и если вы хотите, чтобы теорема тождества выполнялась, это невозможно, потому что $a_0=0$ означало бы, что коэффициент $x$ равен нулю $\endgroup$ 0 $\begingroup$ Ну, я знаю, что это старый пост с ответом, но ссылаясь на вопрос, что все веб-страницы и книги не показывают примеры для $\sqrt{x}$, в книге, Исчисление Томаса, двенадцатое издание, в упражнениях раздела 10. 8, задача 9вопрос: найти многочлен Тейлора порядка 0,1,2 и 3, порожденный $f$ в $a$, и упражнения следующие И книга также дает ответы, это следующие Я разместил изображения книги, чтобы показать, что есть по крайней мере одна книга с проработанным упражнением. Интернет — очень полезное место, но в хороших книгах по математическому анализу можно найти множество упражнений и примеров, разработанных экспертами. 9+\bigcup\{0\};\,f(x)=\sqrt{x}$ не имеет производной в $x=0$, поэтому нет разложения Тейлора в районе $x=0$. Однако стоит отметить, что сигулярность в точке $x=0$ отличается от сингулярности $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\{0\};\,g (x)=\frac{1}{x}$, что лишает нас разложения Тейлора для $g$ при $x=0$. Этот проще для понимания и называется полюс . Но ваша сингулярность называется Точкой Ветвления , и именно здесь существенным образом соединяются две «ветви» многозначной функции. Напомним, что обе функции $f_\pm(x)=\pm\sqrt{x}$ являются частично обратными к $x\mapsto x^2$. « Предыдущая 1 … 226 227 228 229 230 … 3 226 Следующая »