Автор: alexxlab

Период синуса, косинуса, тангенса и котангенса + область определений — вопрос №1858527 — Учеба и наука

26. 02.16 Лучший ответ по мнению автора

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его . 2 — 2x — 3. Найдите: а)наименьшее значение функции; б) значения x, при которых значение функции равно 5; в) значение…

шмель и оса полетели с…

Решено

Из пункта А в пункт В,расположенный ниже по течению реки,отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер.Дойдя до В,катер сразу же…

Решено

два самолёта вылетели с аэродрома…

Пользуйтесь нашим приложением

Период функции y sin x. Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Видеоурок «Периодичность функций у = sin х, у = cos х» раскрывает понятие периодичности функции, рассматривает описание примеров решения задач, в которых используется понятие периодичности функции. Данный видеоурок является наглядным пособием для объяснения темы ученикам. Также данное пособие может стать самостоятельной частью урока, освобождая учителя для проведения индивидуальной работы с учениками.

Наглядность в представлении данной темы очень важна. Чтобы представить поведение функции, построение графика, ее необходимо визуализировать. Произвести построения с помощью классной доски и мела не всегда удается так, чтобы они были понятны всем ученикам. В видеоуроке есть возможность при построении выделять части рисунка цветом, производить преобразования с помощью анимации. Таким образом, построения становятся более понятными большинству учеников. Также возможности видеоурока способствуют лучшему запоминанию материала.

Демонстрация начинается с представления темы урока, а также напоминания ученикам материала, изученного на прошлых уроках. В частности, подытоживается перечень свойств, которые были выявлены в функциях у = sin х, а также у = cos х. Среди свойств рассматриваемых функций отмечены область определения, область значений, четность (нечетность), другие особенности — ограниченность, монотонность, непрерывность, точки наименьшего (наибольшего) значения. Ученикам сообщается, что на данном уроке изучается еще одно свойство функции — периодичность.

Представлено определение периодичной функции y=f(x), где xϵX, в которой выполняется условие f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) для некоторого Т≠0. Иначе число Т называют периодом функции.

Для рассматриваемых функций синуса и косинуса выполнение условия проверяется, применяя формулы приведения. Очевидно, что вид тождества sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) соответствует виду выражения определяющего условие периодичности функции. Такое же равенство можно отметить для косинуса cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Значит, данные тригонометрические функции являются периодическими.

Далее отмечается, как свойство периодичности помогает строить графики периодичных функций. Рассматривается функция у = sin х. На экране строится координатная плоскость, на которой отмечены абсциссы от -6π до 8π с шагом π. На плоскости строится часть графика синуса, представленный одной волной на отрезке . На рисунке демонстрируется, как график функции формируется на всей области определения сдвигом построенного фрагмента, и получая длинную синусоиду.

Строится график функции у = cos х, используя свойство ее периодичности. Для этого на рисунке строится координатная плоскость, на которой изображается фрагмент графика. Отмечается, что обычно такой фрагмент строится на отрезке [-π/2;3π/2]. Аналогично графику функции синуса, построение графика косинуса выполняется сдвигом фрагмента. В результате построения образуется длинная синусоида.

Построение графика периодичной функции имеет особенности, которые можно использовать. Поэтому они даются в обобщенном виде. Отмечается, что для построения графика такой функции сначала строят ветвь графика на некотором промежутке длиной Т. затем необходимо сдвинуть построенную ветвь вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т.д. при этом указывается еще на одну особенность периода — для любого целого k≠0 число kТ также является периодом функции. Однако Т называется основным периодом, так как он наименьших из всех. Для тригонометрических функций синуса и косинуса основным периодом является 2π. Однако также являются периодами 4π, 6π и т. д.

Далее предлагается рассмотреть нахождение основного периода функции у = cos 5х. Решение начинается с предположением, что Т — период функции. Значит, необходимо выполнение условия f(x-Т)= f(x)= f(x+Т). В данном тождестве f(x)= cos 5х, а f(x+Т)=cos 5(x+Т)= cos (5x+5Т). При этом cos (5x+5Т)= cos 5х, следовательно 5Т=2πn. Теперь можно найти Т=2π/5. Задача решена.

Во второй задаче необходимо найти основной период функции y=sin(2x/7). Предполагается, что основной период функции Т. для данной функции f(x)= sin(2x/7), а через период f(x+Т)=sin(2x/7)(х+Т)= sin(2x/7+(2/7)Т). после приведения получаем (2/7)Т=2πn. Однако нам необходимо найти основной период, поэтому берем наименьшее значение (2/7)Т=2π, из которого находим Т=7π. Задача решена.

В конце демонстрации результаты примеров обобщаются, сформировав правило для определения основного периода функции. Отмечается, что для функций у=sinkxи y=coskx основными периодами являются 2π/k.

Видеоурок «Периодичность функций у = sin х, у = cos х» может применяться на традиционном уроке математики для повышения эффективности урока. Также данный материал рекомендуется использовать учителю, осуществляющему дистанционное обучение для повышения наглядности объяснения. Видео может быть рекомендовано отстающему ученику для углубления понимания темы.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

«Периодичность функций у = cos x, y =sin x».

Для построения графиков функций y =sin x и у = cos x были использованы свойства функций:

1 область определения,

2 область значения,

3 четность или нечетность,

4 монотонность,

5 ограниченность,

6 непрерывность,

7 наибольшее и наименьшее значение.

Сегодня мы изучим еще одно свойство: периодичность функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию у = f (x), где х ϵ Х(игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс), называют периодической, если существует отличное от нуля число Т такое, что для любого х из множества Х выполняется двойное равенство: f (x — Т)= f (x) = f (x + Т)(эф от икс минус тэ равно эф от икс и равно эф от икс плюс тэ). Число Т, которое удовлетворяет такому двойному равенству, называют периодом функции

А так как синус и косинус определены на всей числовой прямой и для любого х выполняются равенства sin(x — 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (синус от икс минус два пи равен синусу икс и равен синусу от икс плюс два пи) и

cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (косинус от икс минус два пи равен косинусу икс и равен косинусу от икс плюс два пи), то синус и косинус — это периодические функции с периодом 2π.

Периодичность позволяет быстро построить график функции. Ведь для того, что бы построить график функции y = sin x , достаточно построить одну волну (чаще всего на отрезке (от нуля до двух пи), а затем с помощью сдвига построенной части графика вдоль оси абсцисс вправо и влево на 2π, затем на 4π и так далее получить синусоиду.

(показать сдвиг вправо и влево на 2π, 4π)

Аналогично для графика функции

у = cos x, только строим одну волну чаще всего на отрезке [; ] (от минус пи на два до трех пи на два).

Обобщим выше сказанное и сделаем вывод: для построения графика периодической функции с периодом Т сначала нужно построить ветвь(или волну, или часть) графика на любом промежутке длины Т(чаще всего это промежуток с концами в точках 0 и Т или же — и (минус тэ на два и тэ на два), а затем сдвинуть эту ветвь вдоль оси х(икс) вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.

Очевидно, что если функция периодическая с периодом Т, то при любом целом k0(ка не равном нулю) число вида kT(ка тэ) тоже период этой функции. Обычно стараются выделить наименьший положительный период, который называют основным периодом.

В качестве периода функций у = cos x, y = sin x можно было бы взять — 4π, 4π,- 6π, 6π и т.д.(минус четыре пи, четыре пи, минус шесть пи, шесть пи и так далее). Но число 2π является основным периодом и той, и другой функции.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Найти основной период функции у = сos5x (игрек равно косинус пяти икс).

Решение. Пусть Т — основной период функции у = сos5x. Положим

f (x) = сos5x, тогда f (x + Т)= сos5(x + Т)= сos (5x + 5Т) (эф от икс плюс тэ равно косинусу пяти, умноженного на сумму икса и тэ равно косинусу от суммы пяти икс и пяти тэ).

сos (5x + 5Т)= сos5x. Отсюда 5Т= 2πn (пять тэ равно два пи эн), но по условию нужно найти основной период, значит, 5Т= 2π. Получаем Т=

(период данной функции равен два пи, деленное на пять).

Ответ: Т=.

ПРИМЕР 2. Найти основной период функции у = sin (игрек равно синус частного двух икс на семь).

Решение. Пусть Т — основной период функции у = sin . Положим

f (x) = sin , тогда f (x + Т)= sin (x + Т) = sin (x + Т) (эф от икс плюс тэ равно синусу произведения двух седьмых и суммы икса и тэ равно синусу от суммы двух седьмых икс и двух седьмых тэ).

Чтобы число Т было периодом функции, должно выполнятся тождество

sin (x + Т) = sin . Отсюда Т= 2πn (две седьмые тэ равно два пи эн), но по условию нужно найти основной период, значит, Т= 2π. Получаем Т=7

(период данной функции равен семи пи).

Ответ: Т=7.

Обобщая результаты, полученные в примерах, можно сделать вывод: основной период функций y =sin kx или у = cos kx (игрек равно синус ка икс или игрек равно косинус ка икс) равен (два пи, деленное на ка).

С центром в точке A .
α — угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус — нечетная. Функция косинус — четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Инструкция

Чтобы найти период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. 2х, то стандартный период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите , функции tg, ctg в любой степени периодичны П.

Если вам дано уравнение, содержащее или частное двух тригонометрических функций, сначала найдите период для каждой из них отдельно. Затем найдите минимальное число, которое умещало бы в себе целое количество обоих . Например, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое можно уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, искомый период – 2П.

Если вы затрудняетесь действовать предложенным образом или сомневаетесь в ответе, попытайтесь действовать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он больше нуля. Подставьте в уравнение вместо х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром или числом. В результате вы найдете значение тригонометрической функции и сможете подобрать минимальный период. Например, в результате упрощения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, 2П, это и будет задачи.

Источники:

• период sin

Периодической функцией называется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции называется число, при добавление которого к аргументу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам анализа.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью больше 2 — апериодическими.

Полезный совет

Периодом функции, состоящей из двух периодический функций, является Наименьшее общее кратное периодов этих функций.

Тригонометрические уравнения — это уравнения, которые содержат в себе функции неизвестного аргумента (для примера: 5sinx-3cosx =7). Чтобы научиться решать их — нужно знать некоторые для этого методы.

Инструкция

Разложение уравнения на множители. Сначала переносим все члены влево и раскладываем на множители.

Важно помнить, что о четности и нечетности функции имеет прямую с областью определения функции. Если, например, четная либо нечетная функция не при х=5, то она не существует и при х=-5, чего нельзя сказать про функцию общего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.

Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает от А до В, то те же значения она будет и при xДля нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x

«Тригонометрическими» когда-то стали называть функции, которые определяются зависимостью острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. К таким функциям относят в первую очередь синус и косинус, во вторую — обратные этим функциям секанс и косеканс, производные от них тангенс и котангенс, а также обратные функции арксинус, арккосинус и др. Правильнее говорить не о «решении» таких функций, а об их «вычислении», то есть о нахождении численного значения.

Инструкция

Если аргумент тригонометрической неизвестен, то вычислить ее значение можно косвенным способом исходя из определений этих функций. Для этого требуется знать длины сторон треугольника, тригонометрическую для одного из углов которого требуется вычислить. Например, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы. Из этого вытекает, что для угла достаточно знать длины этих двух сторон. Аналогичное гласит, что синусом острого угла является отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Тангенс острого угла можно вычислить, разделив длину противолежащего ему катета на длину прилежащего, а требует деления длины прилежащего катета к длине противолежащего. Для вычисления секанса острого угла надо найти отношение длины гипотенузы к длине прилежащего к нужному углу катета, а косеканс определяется отношением длины гипотенузы к длине противолежащего катета.

Если же аргумент тригонометрической функции известен, то знать длины сторон треугольника не требуется — можно воспользоваться таблицами значений или калькуляторами тригонометрических функций. Такой есть среди стандартных программ операционной системы Windows. Для его запуска можно нажать сочетание клавиш Win + R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». В интерфейсе программы следует раскрыть раздел «Вид» и пункт «Инженерный» или «Научный». После этого можно вводить аргумент тригонометрической функции. Для вычисления функций синус, косинус и достаточно после ввода значения щелкнуть по соответствующей кнопке интерфейса (sin, cos, tg), а для нахождения обратных им арксинуса, арккосинуса и следует предварительно поставить отметку в чекбоксе Inv.

Есть и альтернативные способы. Один из них — перейти на сайт поисковой системы Nigma или Google и ввести в качестве поискового запроса нужную функцию и ее аргумент (например, sin 0. 47). Эти поисковики имеют встроенные калькуляторы, поэтому после отправки такого запроса вы получите значение введенной вами тригонометрической функции.

Видео по теме

Тригонометрические функции вначале возникли как инструменты абстрактных математических вычислений зависимостей величин острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. Сейчас они очень широко применяются как в научных, так и в технических областях человеческой деятельности. Для практических вычислений тригонометрических функций от заданных аргументов можно использовать разные инструменты — ниже описано несколько наиболее доступных из них.

Инструкция

Воспользуйтесь, например, устанавливаемой по умолчанию вместе с операционной системой программой-калькулятором. Она открывается выбором пункта «Калькулятор» в папке «Служебные» из подраздела «Стандартные», помещенного в раздел «Все программы». Этот раздел можно , открыв щелчком по кнопке «Пуск» главное меню операционной . Если вы используете версию Windows 7, то имеете возможность просто ввести «Калькулятор» в поле «Найти программы и файлы» главного меню, а затем щелкнуть по соответствующей ссылке в результатах поиска.

Введите угла, для которого надо рассчитать тригонометрическую функцию, а потом кликните по соответствующей этой кнопке — sin, cos или tan. Если вас интересуют обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус или ), то сначала кликните кнопку с надписью Inv — она меняет присвоенные управляющим кнопкам функции на противоположные.

В более ранних версиях ОС (например, Windows XP) для доступа к тригонометрическим функциям надо раскрыть в меню калькулятора раздел «Вид» и выбрать строку «Инженерный». Кроме того, вместо кнопки Inv в интерфейсе старых версий программы присутствует чекбокс с же надписью.

Можно и без калькулятора, если у вас есть доступ в интернет. В сети много сервисов, которые предлагают по-разному организованные вычислители тригонометрических функций. Один их наиболее удобных встроен в поисковую систему Nigma. Перейдя на ее главную страницу, просто введите в поле поискового запроса интересующее вас значение — например, «арктангенс 30 ». После нажатия кнопки «Найти!» поисковик рассчитает и покажет результат вычисления — 0,482347907101025.

Видео по теме

Тригонометрия – раздел математики для изучения , выражающих различные зависимости сторон прямоугольного треугольника от величин острых углов при гипотенузе. Такие функции получили называние тригонометрических, а для упрощения работы с ними были выведены тригонометрические тождества .

Понятие тождества в означает равенство, которое выполняется при любых значениях аргументов входящих в него функций. Тригонометрические тождества – это равенства тригонометрических функций, доказанные и принятые для облегчения работы с тригонометрическими формулами.Тригонометрическая функция – это элементарная функция зависимости одного из катетов прямоугольного треугольника от величины острого угла при гипотенузе. Чаще всего используются шесть основных тригонометрических функций: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Эти функции называются прямыми, существуют также

Задание 1: Изучение синусоидальных кривых

с использованием разных значений a, b, и с.

 

В приведенном выше уравнении

• а это амплитуда синусоиды
• б есть период синусоиды
• с есть фаза сдвиг синусоиды

Амплитуда синусоиды равна ее высоте.

Период синусоиды равен длине одного цикла кривой. Естественный период синуса кривая 2π. Итак, коэффициент b =1 эквивалентен периоду 2π. Чтобы получить период синусоиды для любого коэффициента b , просто разделите 2π на коэффициент b , чтобы получить новый период кривой.

Коэффициент b и период синусоиды имеют обратную зависимость, так как б получает меньше, длина одного цикла кривой становится больше. Точно так же, как вы увеличиваете b , период уменьшится.

Фазовый сдвиг синусоидальной кривой, насколько кривая смещается от нуля. Если фазовый сдвиг равен нулю, кривая начинается в начале координат, но может двигаться влево или вправо в зависимости от фазового сдвига. Отрицательный фазовый сдвиг указывает движение вправо, а положительный фазовый сдвиг указывает на движение влево.

Давайте посмотрим на график y = sin x.

Глядя на график, помните, что числовое значение π составляет приблизительно 3,1416, поэтому 2π составляет приблизительно 6,2832.

На графике выше

• Амплитуда a равна 1. Это означает, что высота графика будет равна 1, а вершина первого «горб» 1.

• Период b имеет коэффициент 1, поэтому период равен (2π)/1 или просто 2π.

• Фазовый сдвиг c составляет ноль, поэтому кривая начинается в начале координат.

Давайте рассмотрим синусоиду с разными амплитуды.

Мы уже видели случай, когда амплитуда равна 1; это на графике выше. Как насчет других амплитуды?

у = 2 sin x

Чем отличается приведенный выше график? Это имеет коэффициент а = -1. Что это значит? Мы видим, что самая высокая точка кривой по-прежнему равна 1, но первый выступ равен -1 вместо 1. По сути, мы перевернули график.

Теперь давайте посмотрим на несколько различных синусоидальных графиков. вместе.

Давайте рассмотрим синусоиду с разными периоды.

Мы уже видели случай, когда коэффициент b равен 1; это на графике выше. Как насчет другие периоды?

Помните, б коэффициент и период кривой находятся в обратной зависимости.

Коэффициент b на приведенном выше графике равен 2, поэтому период синусоиды изменился в 1/2 раза, в результате чего новый период π, или около 3,14.

Для приведенного выше графика коэффициент b = 1/2, так что период синусоиды будет в два раза больше, чем обычно, или 4π.

у = грех (3x)

Теперь давайте рассмотрим несколько различных синусоидальных графики вместе, с разными периодами.

Рассмотрим синусоиду с фазой сдвиг.

Обычно синусоида не имеет фазы сдвига, поэтому переменная c равна 0. Это означает, что синусоида начинается с источник, как показано на первом графике в верхней части этой страницы.

Что делать, если с не равно нулю?

у = грех (х + п)  

На приведенном выше графике y = sin (x + π) , график был сдвинут на единицу π слева.

 

На самом деле положительный фазовый сдвиг c фактически указывает на сдвиг влево. давайте посмотрим на некоторые другие примеры:

Что делать, если переменная c отрицательный?

у = грех (х — 1)

Кривая сместилась на 1 единицу вправо.

у = грех (х — №/2)

Давайте вместе посмотрим на несколько фазовых сдвигов:

Примечание:   Фазовый сдвиг π будет выглядеть точно так же, как фазовый сдвиг -π.

у = грех (х + π)

у = грех (х — π)

Вернуться на мою домашнюю страницу.

В приведенных выше упражнениях мы изучили, что происходит с синусоидой, когда мы варьируем коэффициенты a, b и c индивидуально. Что делать, если вы изменили более одного за раз?

у = 2 sin (2x)

а = 2    б=2 с=0

Амплитуда равна 2, а период равен 2π/2, или π. Фазового сдвига нет.

у = 2 sin (2x -1)

а = 2    б = 2 с = -1

Амплитуда равна 2, а период равен 2π/2, или π. Вся кривая сдвинута на одну единицу вправо.

у = 3 sin (2x + 2)

а = 3    б = 2 с = 2

Амплитуда равна 3, как и следовало ожидать. период графика равен 2π/2, или π. Мы ожидали, что фазовый сдвиг будет на две единицы влево, но мы видим, что Это не относится к делу. Почему? Поскольку фазовый сдвиг связан с Период. Период графика равен 1/2 его первоначального размера, а поэтому фазовый сдвиг также будет равен 1/2 коэффициента c или 1. Это показано на графике выше.

у = 0,5 sin (0,5x -3)

а = 0,5    б = 0,5 с = -3

Амплитуда 0,5, что мы ясно видим в график. Коэффициент b равен 0,5, поэтому период синусоиды вдвое больше. как обычно, или 4π (примерно 12,57). Так как период кривой в два раза больше, чем обычно фазовый сдвиг будет в два раза больше коэффициента с, или на 6 единиц к верно.

Вернуться на мою домашнюю страницу.

Хотите решить несколько практических задач? Кликните сюда.

Найти период функции синуса или косинуса

Все ресурсы для предварительного исчисления

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Precalculus Помощь » Графики и обратные тригонометрические функции » График функций синуса и косинуса » Найдите период функции синуса или косинуса

Дано, каков период действия функции?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Формула для периода функции синуса/косинуса .

В стандартной форме:

Так как , формула принимает вид .

Упрощенный, период .

Сообщить об ошибке

Каков период этого графика?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Одна волна графика проходит точно от 0 до до повторения. Это означает, что период .

Сообщить об ошибке

Пожалуйста, выберите лучший ответ из следующих вариантов.

Найдите период следующей функции в радианах:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если вы посмотрите на график, то увидите, что период (длина одной волны) равен . Без графика вы можете разделить на частоту, которая в данном случае равна 1.

Сообщить об ошибке

Пожалуйста, выберите лучший ответ из следующих вариантов.

Найдите период следующей функции.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Период определяется как длина одной волны функции. В этом случае одна полная волна составляет 180 градусов или радиан. Вы можете понять это, не глядя на график, разделив на частоту, которая в данном случае равна 2.

Сообщить об ошибке

Каков период этого синусоидального графика?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

На графике есть 3 волны между 0 и , что означает, что длина каждой из волн делится на 3, или .

Сообщить об ошибке

Напишите уравнение косинуса с минимумом в  и максимумом в .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Уравнение для этого графика будет иметь вид, где A — амплитуда, f — частота, h — сдвиг по горизонтали, а k — сдвиг по вертикали.

Чтобы написать это уравнение, полезно начертить график:

Нарисовав максимум и минимум, мы можем видеть, что график находится в центре и имеет амплитуду 2.

Расстояние между максимумом а минимум составляет половину длины волны. Вот . Это означает, что полная длина волны равна , поэтому частота равна 1.

Минимум находится в середине графика, поэтому, чтобы выяснить, где он начинается, вычтите из координаты x минимума:

Уравнение этого графика:

.

Сообщить об ошибке

Задайте период и частоту для уравнения.

Возможные ответы:

Период: , Частота:

Период: , Частота:

Период: , Частота:

Период: , Частота:

Период: , Частота: 

Правильный ответ:

Период: , Частота:

Объяснение:

Наше уравнение имеет вид  

, где A – амплитуда, f – частота, h – сдвиг по горизонтали, а k – сдвиг по вертикали.

Мы можем посмотреть на уравнение и увидеть, что частота , равна .

Период , поэтому в данном случае .

Сообщить об ошибке

Каков период графика?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Уравнение для этой функции имеет вид  

, где A – амплитуда, f – частота, h – сдвиг по горизонтали, а k – сдвиг по вертикали.

Глядя на уравнение, мы видим, что частота , равна .

Период , поэтому в данном случае .

Сообщить об ошибке

Какую функцию может выполнять следующий график?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Какой может быть функция для следующего графика?

Для начала поймите, что мы имеем дело с периодической функцией, поэтому синус и косинус — лучший выбор.

Далее обратите внимание, что диапазон функции и что функция проходит через точку .

Из этой информации мы можем найти амплитуду:

Таким образом, наша функция должна иметь выход впереди.

Кроме того, из точки мы можем сделать вывод, что функция имеет вертикальный сдвиг положительной двойки.

Единственным оставшимся препятствием является то, является ли функция синусоидальной или косинусоидальной.

Сколько времени № 86 ГДЗ Математика 6 класс Никольский С.М. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Новости

Школа

Школа

Новости

Вузы

За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его уче-
ник —4 детали.
а) Сколько деталей сделает ученик токаря за то же время, за
которое токарь сделает 27 деталей?
б) Сколько времени потратит ученик токаря на задание, кото-
рое токарь выполняет за 1 ч?

ответы

Решение:

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

похожие вопросы 5

Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите
расстояние между изображениями этих городов на карте, (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм
и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный
масштаб (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

Можно ли составить пропорцию из отношений:
а) 6:3 и 24: 12;    б) 1 :5 и 17:85;
в) 2:5 и 10:4;      г) 20:8 и 35: 14? (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

 
Кто-то уже ранее выпонял?  Составьте словосочетания
  (Подробнее…)

ГДЗРусский язык7 классЛьвова С.И.

Приветствую, как ответить на вопросы к заданию?
Прочитайте.
Первая вахта (Подробнее…)

ГДЗРусский языкКанакина В.П.Горецкий В.Г.4 класс

6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 22

Отношения, пропорции, проценты

82. а) Грузовик со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?
б) Бригада из 4 человек может выполнить задание за 10 дней. За сколько дней выполнит такое же задание другая бригада из 5 человек, если все 9 человек работают одинаково хорошо?

а) ↓ 60 км/ч — 8 ч ↑
    ↓ 80 км/ч — х ч ↑
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
⁸⁰/₆₀ = ⁸/_х
х = ^60•8/₈₀ = 60 : 10 = 6 (ч)
О т в е т: 6 ч потребуется легковому автомобилю на преодоление пути.

б) ↓ 4 человека — 10 дней ↑
    ↓  5 человек — х дней    ↑
Количество человек обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
⁵/₄ = ¹⁰/_х
х = ^4•10/₅ = 4 • 2 = 8 (дней)
О т в е т: 8 дней потребуется бригаде из 5 человек.

83. Один килограмм металлолома заменяет 2 ¹/₂ кг богатой железом руды. Сколько руды заменяют 4 т металлолома?

4 т = 4000 кг
↓ 1 кг металлолома — 2 ¹/₂ кг руды ↓
↓    4 т металлолома — х кг руды     ↓
Масса металлолома прямо пропорционально массе руды, тогда:
¹/₄₀₀₀ = 2 ¹/₂: х
х = (4000 • 2 ¹/₂) : 1 = 4000 • ⁵/₂ = ^4000•5/₂ = 2000 • 5 = 10000 (кг) = 10 (т )
О т в е т: 10 т руды.

84. а) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал этот же мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
б) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

а) ↓60 км/ч — 40 с ↑
    ↓ х км/ч — 30 с  ↑
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
^х/₆₀ = ⁴⁰/₃₀
х = ^60•40/₃₀ = 2 • 40 = 80 (км/ч)
О т в е т: 80 км/ч скорость на обратном пути.

б) ↑ 60 км/ч — 1 мин ↓
    ↑ 50 км/ч — х мин ↓
Скорость движения обратно пропорциональна времени в пути, тогда:
⁶⁰/₅₀ = ^х/₁
х = ^60•1/₅₀ = ⁶/₅ = 1 ¹/₅ (мин. )
¹/₅ мин = ¹/₅ • 60 с = ⁶⁰/₅ с = 12 с
О т в е т: 1 ¹/₅ мин или 1 мин 12 с.

85. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

↑ 60 зубьев — 50 оборотов ↓
↑  40 зубьев — х оборотов  ↓
Количество зубьев обратно пропорционально количеству оборотов, тогда:
⁶⁰/₄₀ = ^х/₅₀
х = ^60•50/₄₀ = ^3•50/₂ = ^3•25/₁ = 75 (оборотов)
О т в е т: 75 оборотов.

86. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его ученик — 4 детали.
а) Сколько деталей сделает ученик токаря за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей?
б) Сколько времени потратит ученик токаря на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

а) ↓   6 деталей токарь — 4 детали ученик  ↓
    ↓ 27 деталей токарь — х деталей ученик ↓
Количество деталей токаря прямо пропорционально количеству деталей ученика, тогда:
⁶/₂₇ = ⁴/_х
х = ^27•4/₆ = ^9•4/₂ = ^9•2/₁ = 18 (деталей)
О т в е т: 18 деталей сделает ученик.

б) Если исходить из условия, что за 1 час токарь делает 6 деталей (хотя нигде в условии этого не сказано), то:
↑ 6 деталей — 1 ч токарь ↓
↑ 4 деталей — х ч ученик ↓
Количество деталей изготовляемых учеником за одно время с токарем обратно пропорционально времени выполнения учеником задания токаря, тогда:
⁶/₄ = ^x/₁
x = ^6•1/₄ = ³/₂ = 1 ¹/₂ ч
¹/₂ ч = ¹/₂ • 60 мин = ⁶⁰/₂ мин = 30 мин
Более правильно сравнить работу токаря и ученика за одинаковое время: 6 деталей : 4 детали = ⁶/₄ = ³/₂ раза — медленнее работает ученик, чем токарь. Следовательно, ученик на выполнение задания потратит в ³/₂ раза больше времени, чем токарь: 1 ч • ³/₂ = ³/₂ ч = 1 ¹/₂ ч = 1 ч 30 мин.
О т в е т: 1 ¹/₂ ч или 1 ч 30 мин потратит ученик на то же самое задание, которое токарь делает за 1 час.

87. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.
а) Сколько километров проехал велосипедист за то же время, за которое пешеход прошел 10 км?
б) Сколько времени потратил велосипедист на тот путь, который пешеход прошел за 2 ч?

а) ↓ 6 км пешеход — 18 км велосипедист ↓
    ↓ 10 км пешеход — x км велосипедист ↓
Расстояние, пройденное пешеходом, прямо пропорционально расстоянию, преодоленному велосипедистом, тогда:
⁶/₁₀ = ¹⁸/_x
x = ^10•18/₆ = 10 • 3 = 30 (км)
О т в е т: 30 км проедет велосипедист.

б) Если исходить из условия, что за 2 часа пешеход прошёл 6 км (хотя нигде в условии этого не сказано), то:
↑       6 км пешеход — 2 ч пешеход           ↓
↑ 18 км велосипедист — x ч велосипедист ↓
Расстояние обратно пропорционально времени в пути, тогда:
⁶/₁₈ = ^x/₂
x = ^6•2/₁₈ = ¹²/₁₈ = ²/₃ (ч)
²/₃ ч = ²/₃ • 60 мин = ^2•60/₃ мин = 2 • 20 мин = 40 мин
Более правильно сравнить расстояние, которое преодолевают пешеход и велосипедист за одинаковое время: 18 км : 6 км = ¹⁸/₆ = 3 раза — медленнее передвигается пешеход, чем велосипедист. Следовательно, велосипедист на путь, пройденный пешеходом, потратит в 3 раза меньше времени, чем пешеход: 2 ч : 3 = ²/₃ ч = 40 мин.
О т в е т: ²/₃ ч или 40 мин потратит велосипедист.

88. Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают ту же работу 9 человек, работающих так же успешно, как и первые?

↓ 6 человек — 18 дней ↑
↓  9 человек — х дней  ↑
Количество человек обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
⁶/₉ = ^х/₁₈
х = ^6•18/₉ = 6 • 2 = 12 (дней)
О т в е т: 9 человек выполнят работу за 12 дней.

89. а) Шесть маляров выполняют работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 3 дня?
б) Двое рабочих могли выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 4 дня?

а) ↓ 6 маляров — 5 дней ↑
    ↓  х маляров — 3 дня  ↑
Количество маляров обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
1) ⁶/_х = ³/₅
х = ^6•5/₃ = 2 • 5 = 10 (маляров) — выполнят работу за 10 дней
2) 10 — 6 = 4 (маляра)
О т в е т: необходимо пригласить 4 маляра.

б) ↓ 2 рабочих — 10 дней ↑
    ↓  х рабочих — 4 дня    ↑
Количество рабочих обратно пропорционально количеству рабочих дней, тогда:
1) ²/_х = ⁴/₁₀
х = ^2•10/₄ = ¹⁰/₂ = 5 (рабочих) — выполнят работу за 4 дня
2) 5 — 2 = 3 (рабочих)
О т в е т: необходимо пригласить 3 рабочих.

Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 6 класс

The Nickel Boys: Цитаты по темам

Движение за гражданские права

На следующее утро после принятия решения взошло солнце, и все выглядело так же. Элвуд спросил свою бабушку, когда негры начнут останавливаться в «Ричмонде», и она ответила, что одно дело говорить кому-то делать то, что правильно, и совсем другое — чтобы он это делал. . . Однако рано или поздно дверь распахнется, и откроется коричневое лицо. . . Он был в этом уверен.

В главе 2, вскоре после решения Верховного суда по Браун против Совета по образованию , в котором Верховный суд постановил, что школам не разрешается разделять белых и черных учащихся, Элвуд начинает искать признаки перемен. Он надеется однажды увидеть чернокожего человека, обедающего в отеле «Ричмонд», где работает его бабушка Харриет (но ей не разрешают остаться). События Движения за гражданские права являются движущей силой оптимизма Элвуда, и его надежда на лучшее будущее основана на реальных событиях того времени. Его бабушка более реалистична, и она напоминает Элвуду, что все не изменится сразу и может даже не сильно измениться со временем. Представление о том, что люди не поступают правильно только потому, что вы им об этом говорите, является важной идеей, поскольку Элвуд сталкивается с жестоким, расистским и незаконным обращением во время своего пребывания в Академии Никеля.

Он не маршировал в Театре Флориды в защиту своих прав или прав черной расы, частью которой он был; он шел за права всех, даже тех, кто кричал на него. Моя борьба — это ваша борьба, ваше бремя — это мое бремя.

В главе 3 Элвуд исследует идею о том, что люди, которые хотят, чтобы Флоридский театр оставался изолированным, не просто предвзяты, но и плохо информированы. Из-за этого, объясняет Элвуд, он марширует за всех. Кроме того, Элвуд решил, что он должен простить людей, которые пытаются перекричать его и угнетать. Эти точки зрения способствуют единству и чему Элвуд научился у Мартина Лютера Кинга-младшего и его участия в Движении за гражданские права. Здесь, встречая мистера Хилла и студентов, с которыми он идет, Элвуд также находит дух товарищества и связь с движением. Мистер Хилл и другие студенты — одни из немногих людей, которых он встречал, которые не только выступают против несправедливости, но и активно выступают, пытаясь остановить ее. То, что он узнал от них, наряду со словами Мартина Лютера Кинга-младшего, — это то, что Элвуд черпает силу из более поздней истории.

Кинг описал агапе как божественную любовь, действующую в сердце человека. Бескорыстная любовь, пламенная любовь, высшее, что только может быть. Он призывал свою негритянскую аудиторию культивировать эту чистую любовь к своим угнетателям, чтобы она могла привести их на другую сторону борьбы.

В главе 14 Элвуд вспоминает, как читал речь Мартина Лютера Кинга-младшего из Корнеллского колледжа в газете The Chicago Defender . В своей речи Мартин Лютер Кинг-младший призывает чернокожих отражать любовь в ответ на людей, которые решили причинить им вред, отражать любовь в ответ на их угнетателей. Элвуд изо всех сил старается отразить любовь к своим угнетателям в Никеле. Но даже Элвуд должен признать, что это почти невозможно. Элвуд использует эти слова, а также реальность своей ситуации в качестве мотивации, чтобы начать записывать «все», имея в виду всю коррупцию, которая происходит во время общественных работ и в Никеле в целом. Поступая так, он сталкивается со своими угнетателями лицом к лицу и считает, что когда люди смотрят на правду, они должны служить справедливости.

Преобладание расизма и несправедливости

Ее отец умер в тюрьме после того, как белая женщина в центре города обвинила его в том, что он не уходил с ее дороги на тротуаре. Наглый контакт , как его определил Джим Кроу. Вот как это было в старые времена.

В главе 7 Харриет вспоминает, как она прощалась с любимыми. Большинство ее близких были вынуждены «[оставить] ее» из-за законов Джима Кроу и расизма. Ее отца обвинили в том, что он не «уходил с дороги» женщине, и посадили в тюрьму из-за законов о сегрегации. Он покончил жизнь самоубийством в своей тюремной камере. Муж Харриет был убит, пытаясь защитить чернокожего работника ресторана, на которого напали трое белых мужчин. Харриет убита горем, когда Элвуда обвиняют в преступлении, которого он не совершал, и отправляют в Никелевую академию, поскольку это всего лишь еще одна из длинной череды трагических несправедливостей, лишивших ее семьи.

– Это сзади, – сказал Тернер. «Говорят, время от времени они берут сюда черного мальчика и приковывают его к этим… Потом они берут хлыст и рвут его на куски».
Элвуд сжал два кулака и спохватился. ‘Белых парней нет?’
‘Белый дом, они это интегрировали. Это место отдельное. Вывозят назад… и все…»

В главе 9 Элвуд узнает, что чернокожие студенты подвергаются более жестоким наказаниям и несправедливости в Академии Никеля из-за своей расы. В то время как белые мальчики подвергаются ужасным избиениям в Белом доме / на фабрике мороженого, их никогда не забирают «назад». Тернер объясняет Элвуду, что когда Спенсер или кто-то из горничных забирает вас «назад», вы не возвращаетесь. Они объясняют исчезновение чернокожих студентов тем, что те сбежали, и, как говорит Тернер, «вот и все». Только чернокожих студентов вывозят «на задний двор». Элвуд спрашивает Тернера, что происходит, когда их семьи проверяют пропавших учеников, и Тернер отмечает, что многие другие ученики не имеют такой поддержки семьи, как он. «Вне дома» символизирует неравную систему правосудия, с которой чернокожие сталкивались на протяжении всей американской истории, вплоть до сегодняшнего дня.

Более огорчительным, чем мысль о том, что газете все равно, что происходит в Никеле, было то, что они получили так много подобных писем, так много обращений, что они не могли ответить на них все. Страна была большой, и ее аппетит к предрассудкам и грабежам безграничен, как они могли справиться с массой несправедливостей, больших и малых. […] Это было одно место, но если было одно, то были сотни, сотни никелей и Белых домов, разбросанных по земле, как фабрики боли.

В своем стремлении запечатлеть ужасы Никелевой академии Элвуд рассказывает в главе 14, что на его письма Защитнику Чикаго не ответили и не напечатали в редакционной секции. Он приводит другие примеры расизма, происходящего в то же время; например, бетонный бассейн в Балтиморе заполняется вместо того, чтобы позволить чернокожим плавать там. Отсутствие интереса к происходящему в «Никеле» — это напоминание о том, что ужасные акты расизма и сегрегации происходят по всей стране, и что для общества в целом проще игнорировать это, чем остановить.

Надежда против реализма

Я застрял здесь, но я сделаю все возможное, сказал себе Элвуд, и буду краток. Дома все знали его как ровного, надежного — Никель скоро поймет и это в нем. После ужина он спрашивал Десмонда, сколько баллов ему нужно, чтобы выйти из Grub, и сколько времени ушло у большинства людей на продвижение и выпуск. Тогда он сделает это в два раза быстрее. Это было его сопротивление.

Здесь, в главе 5, Элвуд объясняет свою жизненную философию. Для него надежда — это акт сопротивления. С надеждой и упорным трудом Элвуд верит, что сможет быстро продвинуться и закончить учебу. На данный момент Элвуд новичок в Академии Никеля и еще не понял, что жизнь в Никеле несправедлива. Надежда — это тема деятельности Мартина Лютера Кинга-младшего и других нынешних активистов. Автор противопоставляет обнадеживающую сторону активизма, которой подражал Элвуд, реалистической стороне, которой подражал Тернер. Надежда и стремление продолжать работать ради лучшего будущего — вот что двигало Элвудом на протяжении всей его жизни. Здесь Элвуд продолжает пытаться следовать этой траектории после того, как сначала оплакивал полное опустошение и несправедливость, которые привели его к Никелю.

– Все не так, как в старые времена, – сказал Элвуд. «Мы можем постоять за себя».
[…]
Тернер сказал: «[…] Ключ к успеху здесь такой же, как и к выживанию снаружи — нужно видеть, как действуют люди, а затем как обойти их, как полосу препятствий. Если хочешь уйти отсюда».

В главе 7 Элвуд и Тернер обсуждают свои взгляды на то, как ладить в Никеле и в реальном мире. Тернер разделяет его мнение о том, что лучше держать себя в руках и следовать правилам. Элвуд заявляет, что лучше всего противостоять несправедливости. Тернер постоянно напоминает Элвуду, что нельзя полагаться на то, что люди будут делать то, что правильно или справедливо. Люди могут говорить, что заботятся о вас, но если они постоянно показывают вам обратное, вы должны этому верить.

На протяжении всей истории мы видим, что точки зрения Элвуда и Тернера расходятся. Их конфликт символизирует сегодняшнюю активность перед лицом осознания того, что Соединенные Штаты существуют из-за рабства, геноцида и продолжающейся маргинализации чернокожих мужчин и женщин и других цветных людей посредством сегрегации и массовых тюремных заключений. Конфликт предлагает читателю подумать о том, как общество примиряется с этой несправедливостью и как ее можно использовать в качестве мотивации для дальнейшего движения вперед к более справедливому будущему.

Шоры, которые Элвуд носил во время ходьбы. Закон — это одно: вы можете маршировать, размахивать знаками и менять закон, если убедите достаточное количество белых людей. В Тампе Тернер увидел, как ребята из колледжа в красивых рубашках и галстуках сидят в Woolworths. Он должен был работать, но они протестовали. Так и случилось — открыли прилавок. В любом случае у Тернера не было денег, чтобы поесть там. Вы можете изменить закон, но вы не можете изменить людей и то, как они относятся друг к другу. Никель был чертовски расистским — половина людей, которые работали здесь, вероятно, одевались по выходным, как члены Клана, — но, с точки зрения Тернера, порочность была глубже, чем цвет кожи.

В главе 9 Тернер рассказывает о своих проблемах с образом мышления Элвуда. Как он объясняет в этой цитате, вы можете изменить законы, но вы не можете изменить людей. Он также думает, что это хорошо, что студенты колледжа могут проводить свое время, протестуя и работая над изменением законов, но говорит, что у него никогда не было времени делать что-либо подобное, потому что он был слишком занят работой, подчеркивая борьбу, с которой он сталкивается как чернокожий и представитель рабочего класса. Он согласен с ними и считает, что каждый должен иметь право есть за обеденной стойкой в ​​Woolworths, но это не имеет большого значения для кого-то вроде него, у которого нет ни времени, ни денег, чтобы поесть там, несмотря ни на что. В целом, законы не изменили чувства некоторых людей, и если человек расист и злой, никакие законы не могут изменить его сердце.

The Nickel Boys Главы 7 и 8. Резюме и анализ

Главы 7 и 8

Резюме: Глава 7

Бабушка Элвуда Харриет вспоминает несправедливое обращение, которое привело к смерти ее мужа и отца (деда и прадеда Элвуда) . Она размышляет о своей дочери Эвелин, которая была небрежной матерью Элвуда, и муже Эвелин Перси, который ожесточился после расистского обращения, с которым он столкнулся, когда вернулся с военной службы во время Второй мировой войны. Супруги сбежали ночью, оставив сына. Однако самое болезненное прощание, с которым пришлось столкнуться Харриет, было, когда Элвуда отвезли в Никель. Когда она идет навестить его, ей говорят, что он болен. Элвуд на самом деле лечится в больнице Никеля от побоев в Белом доме. Он лежит на животе, пока раны на его спине и ногах заживают в течение следующих двух недель.

Тернер ест мыльный порошок, чтобы симулировать болезнь, чтобы попасть в лазарет и посетить Элвуд на несколько дней. Они слушают радио и шутят друг с другом, а Тернер делится своими идеями о том, как устроен мир. Тернер говорит Элвуду, что он должен понять, что люди злые и расистские, и что ему следует стараться избегать конфликтов. Элвуд, однако, считает, что реформы происходят через Движение за гражданские права, и что люди изменятся и будут действовать справедливо, когда они столкнутся с несправедливостью. Вылечившись, Элвуд видит шрамы на своих ногах и ему становится стыдно. Он не рассказывает бабушке об избиении, когда она приходит в гости.

Краткое содержание: Глава 8

Элвуд возвращается к обычной жизни в Никеле, где он понимает, что нет смысла или причины для наказания или системы заслуг, и нет никакого способа узнать, работает ли он на пути к досрочному освобождению. По рекомендации Тернера Элвуд устраивается на «Общественное служение» к молодому белому человеку по имени Харпер. Харпер и два мальчика проводят утро в городе Элеонора, принося еду, лекарства и другие предметы, предназначенные для черных мальчиков в Никеле, и раздавая их местным бизнесменам. Бизнесмены дают Харперу конверты с деньгами, которые он передает суперинтенданту Спенсеру, который затем передает их своему боссу, директору Харди. Покончив с доставкой, Харпер подвозит Элвуда и Тернера к дому миссис Дэвис, жены начальника пожарной охраны, которая входит в совет директоров Nickel. Харпер идет к своей девушке, пока Элвуд и Тернер красят беседку Дэвисов.

Тернер рассказывает Элвуду, почему его во второй раз отправили в Никель. Тернер работал в боулинге, устанавливая кегли после того, как клиенты сбили их. Чтобы получить чаевые, он шутил и корчил рожи, выполняя свою работу. Однажды ночью чернокожий, работавший в закусочной, сказал Тернеру, что поведение дурака показывает, что у него нет самоуважения. После этого Тернер был груб с клиентами, пока белый мальчик не погнался за ним по дорожке для боулинга. Через неделю Тернер бросил шлакоблок в окно машины белого мальчика. Его арестовали и отправили в Никель. У Элвуда есть блокнот, и каждый вечер он записывает имена и места, которые они посетили, и то, что они доставили.

Анализ: главы 7 и 8

Самосохранение стало важнее для бабушки Элвуда, Харриет, чем сопротивление несправедливости, поскольку она сталкивалась со многими случаями несправедливого обращения на протяжении всей своей жизни. Она потеряла многих близких из-за ужасающего расизма и не решается добавить к этому числу. Харриет привыкла к тому, что ее лишают контроля над ситуациями, с которыми она сталкивается, и это усиливается, когда Академия Никеля не позволяет ей видеться с Элвудом, когда она приезжает. Харриет также лишена правды, когда сотрудники Nickel говорят ей, что Элвуд болен, вместо того, чтобы признаться ей, что он выздоравливает после побоев. Когда Тернер симулирует болезнь, чтобы посетить Элвуд, это демонстрирует важность дружбы в Академии Никеля и то, как человеческая связь играет важную роль в качестве средства выживания. Дружба Элвуда с Тернером помогает отвлечь Элвуда от его боли и позволяет ему поверить, что он сможет пройти через эту и другие сложные ситуации. Эта вера будет становиться все более важной по мере развития романа. Когда Элвуд знакомится с Тернером, он узнает, что Тернер — индивидуалист и считает, что люди должны следить за собой. Как и Харриет, Тернер считает, что отстаивание интересов других приводит к неприятностям. Когда Элвуд решает скрыть шрамы от побоев от бабушки, это указывает на то, что ему стыдно и, кроме того, он решил не останавливаться на насилии, как было показано о его персонаже в прологе. В этом смысле Никелевой академии уже удалось контролировать Элвуда, заставляя его молчать.

Когда Элвуд возвращается к обычной жизни в Никеле, он замечает все больше и больше случаев несправедливости и в то же время осознает ущербность системы баллов Никеля. Как бы он ни работал, он не продвигается вперед. Когда он устраивается на работу «Общественная работа», Элвуд видит, что «Общественная работа» — это эвфемизм для взяток и услуг. Хотя Элвуд чувствует некоторую свободу, отправляясь в город с Харпер для доставки припасов, сомнительный с этической точки зрения характер поставок омрачает его волнение.

Системи рівнянь. Метод підстановки та додавання

Сьогодні розберемо готові приклади на системи рівнянь (СР), які Ви мали би вміти розв’язувати при проходженні ЗНО тестів для вступу у ВУЗи. Всього таких прикладів понад 40, всіх помістити в одну статтю не вийде, тому далі розберемо прості завдвння. Складніші системи рівнянь з логарифмами, показниковими функціями та модулями будуть розписані в наступних публікаціях.

Приклад 20.1 Розв’язати систему рівнянь {x+3y=14;2y-x=6}
і знайти добуток компонентів розв’язку.

Обчислення: Розв’яжемо систему рівнянь методом додавання:
поміняємо порядок доданків другого р-ня, а далі

додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(x-x)+(3y+2y)=14+6,
5y=20,
y=20:5=4
У перше рівняння системи підставимо значення y=4 і знайдемо «ікс» x:
x+3•4=14,
x+12=14,
x=14-12=2.
Отже, (2;4) — розв’язок системи рівнянь.
Тоді 2•4=8 — добуток компонентів розв’язку.
Відповідь: 8 – В.

Складні системи рівнянь часто вирішують числовим або графічним методом. Для прикладу, система рівнянь {x+3y=14;2y-x=6} задає дві прямі на декартовій площині, щоб їх побудувати виразимо з системи «ігрик» як функцію від «ікс» {y=14/3-x/3, y=x/2+3} та побудуємо графіки прямих в Мейпл
Точка перетину прямих за фізичним змістом і є шуканим розв’язком розглянутої системи рівнянь.

Приклад 20.2 Дано систему 2 рівнянь {x+y=3; 2x-3y=-4}. Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівняння виразити змінну y через x, і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість y?

Обчислення: Розв’яжемо систему 

методом підстановки:

підставимо перше рівняння у друге, отримаємо
2x-3•(3-x)=-4,
2x-9+3x=-4,
звідси
5x-9=-4.
Це і є відповідь до ЗНО тесту, додатково можемо знайти
x=1 і y=2 – розв’язок системи рівнянь.
Відповідь: 5x-9=-4 – Д.

Приклад 20.3 Знайти суму компонентів x₀+y₀+z₀ розв’язку системи трьох лінійних рівнянь
{x+y=-2, y+z=-11, x+z=1}

Обчислення: Обчислимо систему 3 рівнянь методом підстановки:

підставимо перше і третє рівняння у друге кінцевої системи, отримаємо

Звідси, (5;-7;-4) розв’язок заданої системи рівнянь.
Тоді x₀+y₀+z₀=5+(-7)+(-4)=-6.
Відповідь: -6 – А.

Приклад 20.4 Розв’язати систему рівнянь
{3x+4y=-20, 5x+2y=-10}

Обчислення: Обчислимомо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо друге рівняння системи на -2:

додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(3x-10x)+(4y-4y)=-20+20,
-7x=0,
x=0.
У перше рівняння системи підставимо значення x=0 і знайдемо y:
3•0+4y=-20,
4y=-20,
y=-20:4=-5.
Точка (0;-5) — розв’язок СР.
Відповідь: (0;-5) – Б.

Приклад 20.5 Знайти середнє арифметичне для значень чисел x та y, які є розв’язками системи рівнянь {3x+2y=7; -x+3y=16}.

Обчислення: Розв’яжемо систему рівнянь

методом додавання, для цього помножимо друге рівняння  на 3:

додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(3x-3x)+(2y+9y)=7+48,
11y=55,
y=55:11=5.
У перше рівняння системи підставимо значення y=5 і знайдемо x:
3x+10=7,
3x=-3,
x=-1.
В підсумку, (-1;5) — розв’язок заданої системи рівнянь.
Тоді (x+y)/2=(-1+5)/2=2 – середнє арифметичне для значень чисел x та y.
Відповідь: 2 – Б.

Від систем лінійних рівнянь переходимо до тих, що містять обернені функції, корені, квадратичні та показникові функції.

Приклад 20.6 Знайти компонент x0 розв’язку (x0;y0) системи рівнянь

Обчислення: Оскільки невідомі містяться в знаменниках дробів, то виписуємо обмеження на область допустимих значень (ОДЗ): {x≠0;y≠0}.
Розв’яжемо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо перше рівняння на 3 і додамо почленно до другого рівняння:

(1/3;-1/2) — розв’язок СР, в умові потрібно знайти x0.
Відповідь: 1/3 – Б.

Приклад 20.7 Скільки розв’язків має система рівнянь
?

Обчислення: Розпишемо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо перше рівняння на 2 і додамо почленно до другого рівняння:

Число під квадратом може приймати як додатне так і від’ємне значення, пам’ятайте про це, тому комбінації правильних розв’язків наступні

Всього чотири розв’язки (1;2), (-1;2), (1;-2) і (-1;-2) — заданої СР. (x-y)=0,25} і вказати компонент x₀ її розв’язку (x₀;y₀).

Обчислення: Зведемо систему показникових рівнянь до однієї основи в р-нях

При однакових основах прирівнюємо степені та переходимо до обчислення системи 2 лінійних рівнянь методом додавання.

(1;2) — розв’язок СР, звідси x₀=1 – перший компонент розв’язку.
Відповідь: 1 – В.

Приклад 20.21 Скільки розв’язків має система рівнянь {xy=6; yz=8; zx=12}
?

Обчислення: Задано систему трьох рівнянь з трьома невідомими, для її розкриття виразимо «ікс» та «зет» з перших двох рівнянь, та підставимо в третє.

Підстановкою «ігриків» знаходимо (3;2;4) і (-3;-2;-4) — два розв’язки системи рівнянь.
Відповідь: два – Б.

Приклад 20.26 Установити відповідність між системами рівнянь (1–4) та рівняннями (А–Д), які утворюються з цих систем при їх розв’язуванні способом підстановки.

Системи рівнянь із ЗНО підготовки розв’яжемо методом підстановки. Детальні пояснення самостійно проаналізуйте з таблиці

Приклад 20.27 Установити відповідність між системами рівнянь (1–4) та першими компонентами x₀ розв’язків (x₀;y₀) цих систем (А–Д).
Дане завдання містить системи обернених, степеневих, кореневих та логарифмічних функцій. Для розв’язування систем рівнянь використовуємо властивості вказаних функцій.

Приклад 20.40 Розв’язати систему рівнянь

У відповідь записати найбільшу суму x0+y0+z0, де (x0;y0;z0) — розв’язок системи.
Обчислення: Маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими, з перших двох рівнянь виражаємо x, z та підставляємо у третє

Отримаємо два розв’язки СР
(2;0,5;4) і (-2;-0,5;-4).
Обчислимо найбільше значення x0+y0+z0:
x₀+y₀+z₀=2+0,5+4=6,5.
Відповідь: 6,5.

Решта із 44 готових прикладів на системи рівнянь чекає вашої уваги в наступних уроках. Пояснення, що ми підготували, дозволять Вам вивчити самостійно усі можливі технічні прийоми, що потрібні для розв’язування найважчих систем рівнянь.

Що таке система рівнянь? | House of Math

Енциклопедія>Алгебра>Рівняння та нерівності>Рівняння>Системи рівнянь>Що таке система рівнянь?

Система рiвнянь — це, просто кажучи, множина рiвнянь. Дотепер ми працювали з одним рiвнянням з однiєю змiнною (одним невiдомим). Тепер навчимося розв’язувати два рiвняння з двома змiнними (двома невiдомими).

Загалом системи рiвнянь можуть мати скiльки завгодно невiдомих, але для того, щоб отримати однозначну вiдповiдь, нам потрiбно мати стiльки рiвнянь, скiльки маємо невiдомих. У математицi iснує цiла галузь — лiнiйна алгебра, яка вивчає системи рiвнянь.

То навiщо потрiбнi системи рiвнянь? Вiдповiдь проста: часто кiлька об’єктiв залежать один вiд одного, i тодi потрiбен iнструмент, який це враховуватиме. Прикладом може бути одночасне придбання дитячих i дорослих квиткiв. Ми знаємо загальну вартiсть квиткiв i скiльки квиткiв придбали, але скiльки фактично коштують два рiзних типи квиткiв?

Ти познайомишся з трьома методами розв’язування систем рiвнянь: розв’язування за допомогою графiка, метод пiдстановки i метод виключення. Усi цi методи мають однакову мету: розв’язати два рiвняння з двома змiнними. Насправдi не має значення, який метод використовувати для розв’язування задач, проте очiкується, що ти знатимеш усi три. Найпростiший метод — це розв’язування за допомогою графiка, тому з нього й почнемо. Але перш нiж знайомитися з рiзними методами, потрiбно з’ясувати декiлька питань.

Правило

Важливi аспекти двох рiвнянь iз двома змiнними

1.

Розв’язки лiнiйних систем рiвнянь складаються з двох значень: значення x i значення y.

2.

Цi два значення — це перша та друга координати перетину двох графiкiв, побудованих за двома рiвняннями.

3.

Заданi рiвняння можна переписати у виглядi функцiй, якi можна зобразити у формi графiкiв у системi координат.

4.

Хоч який метод застосовується — метод пiдстановки чи метод виключення — у розв’язку буде два значення. Цi два значення завжди розглядаються як координати перетину двох графiкiв.

если единичный вектор а образует равные тупые углы с базисными ортами i j k, то сумма координат вектора а равна — вопрос №2600358

27. 09.17

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Составьте таблицу «Международные отношения в 1920-1930-е гг. 2-2x-3 Найдите: а) наименьшее значение функции; б) значения х, при которых значение функции равно 5; в) значения х, при которых функция принимает положительные

В треугольнике ABC известно, что AC=6, BC=8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружность. На пишите пожалуйста решение

Набор шрифтов эскиза радуги — строчные буквы i j k вектор ai eps

• Роскошный логотип для буквы k eps
• Золотые буквы шрифта eps
• org/ImageObject»> Роскошная буква k логотип eps
• Набор шрифтов эскиз радуги — буквы I J K L вектор ai eps
• Роскошная буква j логотип eps
• Буква k логотип с золотой короной eps
• Джинсовый алфавит I J K L eps
• роскошный логотип линии на букву K eps
• шрифт буквы алфавита в стиле полосы eps
• I j k l, металлические буквы со взрывами eps
• org/ImageObject»> Заглавные буквы мелом шрифта eps
• Шестиугольный логотип буквы K eps ai
• Набор векторных шрифтов отрывной бумаги eps
• Шоколадные буквы шрифты вектор eps
• Роскошный логотип с буквой k eps
• Строчные буквы ABC вектор eps
• Буква k логотип ai eps
• Векторная иллюстрация ретро шрифта, прописных и строчных букв, цифр и символов белым мелом eps
• org/ImageObject»> Логотип клетчатой ​​буквы K eps ai
• Рождественское печенье буквы алфавита шрифт вектор eps
• глюк ошибка шрифт вектор алфавит буквы eps
• Файл эскиза «Набор 1800 иконок» sketch
• Файл эскиза набора значков эскиза
• Набор векторных шрифтов отрывной бумаги eps
• Набор шрифтов эскиза — строчные буквы i j k l вектор ai eps
• Рукописный шрифт. Кисть шрифта. Прописные буквы, цифры, знаки препинания eps
• буква K темный логотип концепции стиля eps
• Рукописный шрифт. Кисть шрифта. Прописные буквы, цифры, знаки препинания eps
• абстрактные творческие точки логотип буква I eps
• Набор векторных шрифтов отрывной бумаги eps
• Набор векторных шрифтов в стиле металла eps
• Линия шрифтов семейный дизайн и буквы и цифры вектор ai eps
• Набор шрифтов в стиле комиксов eps
• org/ImageObject»> Современная буква k концепция логотипа eps
• Градиент радуги круг цветовая палитра набор векторных ai eps
• абстрактные творческие точки логотип буква J eps
• классический цветочный дизайн монограммы для буквы K логотип eps
• Набор шрифтов в стиле комиксов eps
• Набор шрифтов в стиле комиксов 10 eps
• Набор векторных шрифтов ледяной воды cdr svg
• Набор для шитья I Love eps
• org/ImageObject»> Декоративный логотип с буквой k eps
• Набор векторных шрифтов отрывной бумаги eps
• Набор векторных букв стиля печатной платы ai eps
• Файл эскиза «Неоновые буквы и цифры» sketch
• Рукописный шрифт. Кисть шрифта. Прописные буквы, цифры, знаки препинания eps
• Файл эскиза с номерами и буквами светодиодных плат sketch
• Файл эскиза набора этих значков sketch
• Рукописный шрифт. Кисть шрифта. Прописные буквы, цифры, знаки препинания eps
• Набор векторных шрифтов отрывной бумаги eps

Счет, математика и статистика — Набор академических навыков

Обозначение i,j (Механика)

Главное меню ContentsToggle 1 Векторное обозначение 2 Обозначение $i,j$ 3 Рабочий пример: представление векторов 4 Рабочий пример: задачи с векторами

Векторная нотация

Индексная нотация для векторного исчисления включает базисные векторы $\underline{e}_x$ и $\underline{e}_y$ для двух измерений.

Однако в следующих примерах в механике мы будем использовать нотацию $i,j$.

Обозначение $i,j$

Вектор может быть описан с использованием обозначения $\mathbf{i, j}$.

Единичный вектор — это вектор длины 1, в декартовых координатах орты вдоль оси обозначаются $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ соответственно.

Любой двумерный вектор можно записать в виде $a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$.

Рабочий пример: Представление векторов

Нарисуйте диаграмму

Нарисуйте диаграмму для представления вектора $5\mathbf{i} — 2\mathbf{j}$.

Решение

Возьмем 5 единиц в направлении единичного вектора $\mathbf{i}$ и 2 единицы в направлении единичного вектора $-\mathbf{j}$.

Пример работы: задачи с векторами

задачи

Учитывая, что $\mathbf{x} = 8\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ и $\mathbf{y} = 12\mathbf{i} — 3\mathbf{j}$, найти $\mathbf{x}+\mathbf{y}$, $\mathbf{y}-\mathbf{x}$, $3\mathbf{x}+\frac{1} {2}\mathbf{y}$, величина $\mathbf{x}$ и угол между $\mathbf{y}$ и положительной осью $x$.

Решение

Мы можем добавить векторы, рассматривая члены $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ по отдельности. \begin{align} \mathbf{x} + \mathbf{y} & = \left(8\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\right) + \left(12\mathbf{i} — 3\ mathbf{j}\right), \\ & =\left(8 \mathbf{i} + 12 \mathbf{i}\right) + \left(4 \mathbf{j} — 3\mathbf{j}\right ),\\ & = 20\mathbf{i} + \mathbf{j}. 2}, \\ & = \sqrt{80}, \\ & = 4\sqrt{5}, \ \ & = 8,9{\circ} \text{ (3 s.f.).} \end{align}

Векторы

Содержимое

• Ввод векторов в MATLAB
• Комментарии к стилю
• Арифметика векторов
• Выполнить t продукт
• Перекрестный продукт

Ввод векторов в MATLAB

Вектор в трех пробелах представлен в MATLAB как массив 1 x 3 (массив с одной строкой и тремя столбцами). Итак, для ввода векторов a = -3 i — 4 j — k , b = 6 i + 2 j + 3 k и u = x i + y j + z 9006 7 k вы вводите

 a = [-3, - 4, -1]
 

а =

    -3 -4 -1

 

 б = [6, 2, 3]
 

б =

     6 2 3

 

и

 символы x y z
и = [х, у, г]
 

ты =
 
[х, у, г]
 
 

Команда syms необходима, чтобы сообщить MATLAB, что x,y,z являются символьными. Если вы забудете это сделать, вы получите сообщение об ошибке, говорящее о том, что у вас есть неопределенная функция или переменная.

Комментарии к стилю

Когда вы публикуете свой M-файл, MATLAB выводит список всех команд в ячейке вместе, а затем весь вывод. Вы создаете новую ячейку, начиная строку с %%. Чаще используйте их.

Строка, начинающаяся с %, указывает на комментарий. Чтобы комментарии выглядели красиво в опубликованном файле, поставьте перед ними %%. В противном случае они выводятся в виде строк, начинающихся с %, как показано ниже: 92

Векторная арифметика

Вы можете складывать и вычитать их, а также умножать на скаляры.

 а + б
 

ответ =

     3 -2 2

 

 5*а
 

ответ =

   -15 -20 -5

 

Скалярное произведение

Вы можете вычислить скалярное произведение двух векторов с помощью команды точка .

 точка(а,б)
 

ответ =

   -29

 

 точка(а,у)
 

ответ =
 
- 3*х - 4*у - з
 
 

 точка(и,а)
 

ответ =
 
- 3*conj(x) - 4*conj(y) - conj(z)
 
 

Это не то же самое, что точка (a, u).

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, если они существуют.

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 теорему Виета можно сформулировать совсем просто: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x₁ + x₂ = — p,
x₁ * x₂ = q.

Доказательство этой теоремы следует непосредственно из формул для корней квадратного уравнения.

Справедлива и обратная теорема. Если числа x₁, x₂ таковы, что

x₁ + x₂ = — p,
x₁ * x₂ = q,

то эти числа – корни квадратного уравнения x² + px + q = 0.

С помощью этой теоремы можно легко решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими формулами для его корней. Кроме того, очень часто одним из корней уравнения является число x₁ = 1 или x₁ = -1, что легко проверяется простой подстановкой. Тогда второй корень можно быстро найти из равенства x₁* x₂ =

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Решение.
По теореме, обратной теореме Виета

x₁ + x₂ = — 5,
x₁ * x₂ = 6.

Число 6 = 2*3 = 1*6, следовательно, легко подобрать решение этой системы x₁ = -2, x₂ = -3.

Ответ: -2, -3.

Пример 2. Решить уравнение x² — 12x + 11 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = 1 — является корнем квадратного уравнения. Но x₁* x₂ = 11, значит, второй корень равен 11.

Ответ: 1, 11.

Пример 3. Решить уравнение 2013x² — 2012x — 1 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = 1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ =

1/2013

1/2013

Ответ: 1,

1/2013

Пример 4. Решить уравнение 5699x² + 5691x — 8 = 0.

Решение.
Очевидно, x₁ = -1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ =

8/5699

8/5699

Ответ: -1,

8/5699

уравнения Виета

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения 

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по  модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то  больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

, где $a,  b,  c \in \mathbb{R}$ равны  и $a\neq 0$.

Если $a = 0$, наше уравнение сводится к $bx + c = 0$, что является линейным уравнением. Подробнее о решении линейных уравнений вы можете узнать в уроках Уравнения в один шаг, Уравнения в два шага и Уравнения в несколько шагов.

Число $a$ в этом уравнении называется старшим коэффициентом , число $b$ — линейным коэффициентом , а $c$ — константой .

Каждый $x$ (вещественный или комплексный), который удовлетворяет этому уравнению, называется 92 = – \frac {c}{a}.$$

Это уравнение всегда имеет два разных решения. Решения могут быть действительными или комплексными числами, в зависимости от знака чисел $a$ и $c$.
Если $- \frac {c}{a}>0$, то квадратное уравнение имеет два действительных решения:
$$x_1 = \sqrt{\left(-\frac{c}{a}\right)}  \text { и }  x_2 =-\sqrt{\left(-\frac{c}{a}\right)}.$$
Если $-\frac{c}{a} < 0$, то решения представляют собой комплексные числа
$$x_1 = я \sqrt{\left|-\frac{c}{a}\right|}  \text{ и }  x_2 = — i \sqrt{\left|-\frac{c}{a}\ справа|}. $$ 92 – 4ac.$$

Тогда решения квадратного уравнения, записанные с использованием дискриминанта, будут:

$$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. $$

Если $\D > 0$, то квадратное уравнение имеет два различных действительных решения, если $\D < 0$, то квадратное уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения, а если $\D = 0$ квадратное уравнение имеет одно действительное решение кратности два.

Формулы Виета

Французский математик Франсуа Виет также изучал квадратное уравнение и пришел к важной связи между квадратным уравнением и системой двух уравнений с двумя неизвестными. Эти неизвестные являются решениями наблюдаемого квадратного уравнения. 92 + bx + 8 = 0$, какое другое решение и что такое $b$?

Решение :

По формулам Виета находим, что:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{1}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{8} {1}.$$

Поскольку у нас уже есть одно решение, это можно записать как:

$$ 2 + x_2 = -b$$

$$2x_2 = 8. $$

Из второго уравнения находим что $\x_2 = 4$, что приводит нас к $\b = -6$.

Пример: 92 + Dx + Ey + F = 0,$$

Как найти длину окружности: формула через радиус, диаметр

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Нахождение длины окружности: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать длину/периметр окружности (круга) и разберем примеры решения задач.

• Формула вычисления длины/периметра
• Примеры задач

Формула вычисления длины/периметра

1. Через радиус 

Периметр круга или длина окружности (C) равняется удвоенному произведению ее радиуса на число π:

C = 2 * π * r

Радиус (r) – это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

2. Через диаметр

Периметр/длина окружности считается как произведение ее диаметра на число π:

C = π * d

Диаметр (d) равен двум радиусам (d=2r). Это отрезок, соединяющий две противоположные точки на окружности.

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Примеры задач

Задание 1
Найдите длину окружности, если ее радиус равен 12 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, в которой участвует значение радиуса: C = 2 * 3,14 * 12 см = 75,36 см.

Задание 2
Найдите периметр круга, если ее диаметр составляет 15 см.

Решение:
Применим формулу, в которой используется диаметр: C = 3,14 * 15 см = 47,1 см.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Расчет длины окружности по диаметру.

Формула периметра круга (длины окружности)

1) Периметр круга равен произведению радиуса на два пи (3.1415).

P — Периметр круга (длина окружности)

π — число пи (3.1415)

r — радиус круга (окружности)

Формулы трапеции

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — непараллельны (боковые стороны трапеции). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Формула площади трапеции:

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади трапеции выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).

S — площадь трапеции

a — длина 1-ого основания

b — длина 2-ого основания

h — длина высоты трапеции

См. также: Программа для расчета площади трапеции.

Формула периметра трапеции:

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

1) Периметр трапеции равен сумме 4-х её сторон (a, b, c, d).

P — периметр трапеции

a, c — длины оснований трапеции

b, d — длины боковых сторон трапеции

Формулы квадрата

Квадрат — правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны между собой, или как ромб, у которого все углы прямые. У квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины.

Формулы площади квадрата:

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади квадрата выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).

2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).

S — площадь квадрата

a — длина стороны квадрата

d — длина диагонали квадрата

См. также: Программа для расчета площади квадрата.

Формулы периметра квадрата:

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

1) Периметр квадрата равен сумме 4-х длин его сторон или произведению длины любой его стороны на четыре (так как у квадрат длины всех сторон равны).

2) Периметр квадрата равен произведению длины его диагонали на два корня из двух.

P — периметр квадрата

a — длина стороны квадрата

d — длина диагонали квадрата

Формулы прямоугольника

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длинами его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a = b) называется квадратом.

Окружность встречается в повседневной жизни не реже, чем прямоугольник. А у многих людей задача о том, как рассчитать длину окружности, вызывает затруднение. И все потому, что у нее нет углов. При их наличии все стало бы намного проще.

Что такое окружность и где она встречается?

Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.

В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.

В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.

Обозначения величин и формулы

Теперь легко ответить на вопрос о том, как рассчитать длину окружности по радиусу, для этого потребуется такая формула:

Поскольку радиус и диаметр связаны друг с другом, то есть и другая формула для расчетов. Так как радиус в два раза меньше, то выражение немного видоизменится. И формула того, как рассчитать длину окружности, зная диаметр, будет следующей:

l = &pi- * d.

Как быть, если нужно вычислить периметр круга?

Просто вспомнить, что круг включает в себя все точки внутри окружности. А значит, его периметр совпадает с ее длиной. И после того, как рассчитать длину окружности, поставить знак равенства с периметром круга.

Кстати, и обозначения у них такие же. Это касается радиуса и диаметра, а периметром является латинская буква P.

Примеры заданий

Задача первая

Условие. Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.

Решение. Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение &pi-. 3,14 * 10 = 31,4 (см).

Ответ: l = 31,4 см.

Задача вторая

Условие. Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.

Решение. В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и &pi-. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.

Ответ: r = 200 мм.

Задача третья

Условие. Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.

Решение. Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение &pi-, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.

Ответ: d = 18 см.

Задача четвертая

Условие. Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.

Решение. Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.

Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2- 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.

Для второго ответа нужно перемножить 2, &pi- и 5. Произведение даст число: 31,4 см.

Ответ: l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.

Задача пятая

Условие. Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?

Решение. Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение &pi- и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.

Ответ: Белка пробегает 6,28 м.

Периметром плоской геометрической фигуры называется суммарная длина всех составляющих ее сторон. У круга такая сторона всего одна, и ее протяженность обычно называют длиной окружности, а не периметром. В зависимости от известных параметров круга вычислять эту величину можно разными способами.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как определить периметр круга» Как найти периметр круга Как вычислить периметр окружности Как вычислить радиус круга

Инструкция

Для измерения периметра круга на местности используйте специальное устройство — курвиметр. Чтобы узнать с его помощью длину окружности, агрегат нужно просто прокатить по ней колесом. Такие же приборы, но гораздо меньших размеров, используются и для определения длины любых кривых линий, включая окружности, на чертежах и картах. Если нужно вычислить длину окружности (L) по известному диаметру (d), умножьте его на число Пи (3,1415926535897932384626433832795…), округлив количество знаков до нужной степени точности: L=d*?. Так как диаметр равен удвоенному радиусу (r), если известна эта величина, добавьте в формулу соответствующий множитель: L=2*r*?. Зная площадь круга (S), тоже можно вычислить длину окружности (L). Соотношение и этих двух величин выражается через число Пи, поэтому удвойте квадратный корень из произведения площади на эту математическую константу: L = 2*v(S*?). Если известна площадь (s) не всего круга, а лишь сектора с заданным центральным углом (?), то при вычислении длины окружности (L) исходите из формулы предыдущего шага. Если угол выражен в градусах, площадь сектора будет составлять?/360 от общей площади круга, которую можно выразить формулой s*360/?. Подставьте ее в приведенное выше равенство: L = 2*v((s*360/?)*?) = 2*v(s*360*?/?). Однако чаще для измерения центрального угла используют не градусы, а радианы. В этом случае площадь сектора будет составлять?/(2*?) от общей площади круга, а формула вычисления длины окружности приобретет такой вид: L = 2*v((s*2*?/?)*?) = 2*v(s*2*??/?) = 2*?*v(2*s/?). Аналогичные пропорции применяйте и при вычислении длины окружности (L) по известным длине дуги (l) и соответствующему ей центральному углу (?) — в этом случае формулы будут проще. При центральном угле, выраженном в градусах, используйте такое тождество: L = l*360/?, а если он дан в радианах, формула должна быть такой: L = l*2*?/?. Как просто

Другие новости по теме:

Древними геометрами на основе многократных математических действий с кругом, окружностью и диаметром было выведено универсальное число Пи. Пи – это отношение длины окружности к ее радиусу с числовым значением приблизительно 3.14. Вам понадобится знания и умения математического счета Спонсор

Длиной окружности называют протяженность границы круга — простейшей плоской геометрической фигуры. По определению каждая точка этой границы находится на одинаковом расстоянии от центра, поэтому при заданной длине окружности эту границу можно найти только одним единственным способом. Из этого

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет всего по одной общей точке с каждой из сторон треугольника, то окружность называется вписанной в треугольник. Существует всего одно значение радиуса круга, при котором его можно

Вычисление площади круга и его частей относится к задачам по геометрии 9-го класса. Умение их решать вам может потребоваться не только для того, чтобы помочь вашему ребенку с геометрией, но и для выполнения технических задач на работе или в быту. Применяя формулу вычисления площади круга, можно,

Длину линии, ограничивающей внутреннее пространство плоской геометрической фигуры, обычно называют периметром. Однако применительно к кругу этот параметр фигуры не менее часто обозначают понятием «длина окружности». Свойства круга, связанные с длиной окружности, известны очень давно, а способы

Для решения поставленной задачи прежде всего необходимо ввести понятие числа П (Пи). Число П – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к диаметру этой окружности. П – это бесконечная непериодическая десятичная дробь, её значение постоянно для любых окружностей и

Вычислить площадь окружности невозможно, ведь это линия, понятие площади для нее не определено. Зато можно вычислить площадь круга, ограниченного этой окружностью. Для решения задачи надо знать радиус. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить площадь окружности» Как найти площадь

Знаете ли вы, что человек за всю свою жизнь забывает около 40% информации, которую он воспринимал. Из этого следует, что все запомнить, и тем более все знать очень тяжело, а порой даже нереально. К примеру, после того, как ученик закончил школу, а потом институт, допустим, по гуманитарной специальности, а не по технической (строительный или инженерный факультет), можно с большой вероятностью утверждать, что он уже давно забыл элементарную математику.

Вот вы помните, как найти высоту трапеции, как найти производную функции или же правильно построить график? Наверняка, нет. Редко кто сможет осилить такую задачу без дополнительной помощи. Возьмем, например, студента, который плохо изучал геометрию в школе, и просто забыл, как найти периметр круга. Эта статья пригодится тем, кто желает возобновить в памяти школьную программу математики. Зачастую такая необходимость возникает у родителей, к которым дети-школьники обращаются за помощью по домашнему заданию по геометрии, а также ученикам, которые сейчас изучают материал.

Необходимо:

— круг, периметр которого нужно найти;
— школьный циркуль и линейка;
— листок бумаги и карандаш;
— калькулятор.

Инструкция:

• Найти периметр круга – это аналогичное задание вычислению длины окружности. Для начала потребуется измерять его радиус . Для этого нужно воспользоваться циркулем. Одну его ножку ставим в центр круга, а вторую на любую точку окружности. Поскольку окружность представляет собой совокупность всех равно-отдаленных точек от центра, то куда именно станет вторая ножка циркуля — роли не играет, поскольку везде будет одинаковое расстояние.
• Если же под рукой нет циркуля, то можно узнать диаметр круга при помощи линейки. Для этого измеряем длину, положив линейку так, чтобы она проходила через центр круга. Расстояние, которое мы получим, будет диаметром . Он равен двум радиусам, поэтому формула, приведенная немного дальше, остается актуальной.
• Если центр круга не обозначен, то линейкой измеряем самое большое расстояние от одной точки окружности к другой. При таком способе расчета, полученный периметр круга будет числом неточным, так как диаметр мы могли определить не совсем точно. Полученное расстояние измеряем на линейке, приложив к ней циркуль. Результат записываем на листе бумаги. Это и есть радиус нашей окружности.
• Чтобы узнать периметр круга, нужно воспользоваться формулой . Она очень проста: радиус нашей окружности умножается на два, после чего умножается на число Пи , которое является постоянным и равняется значению 3,14 . Рассчитали его еще древние математики, а последующие поколения успешно применяют в вычислениях уже не одну тысячу лет, поэтому в его правильности можно не сомневаться. После того, как мы проведем расчеты, получим число, которое и является искомым.
• Для окружностей больших размеров алгоритм и инструкция по измерению остается прежней, вот только линейка и циркуль заменяются строительной рулеткой, и специальными программами для расчетов.

Периметр круга — веб-формулы

Периметр — это расстояние вокруг замкнутой фигуры, обычно измеряемое в миллиметрах (мм), сантиметрах (см), метрах (м) и километрах (км). Эти единицы связаны следующим образом:

 

10 мм = 1 см

100 см = 1 м

1000 м = 1 км

 

Слово «периметр» также иногда используется вместо окружности.

 

Если мы знаем радиус

Зная радиус окружности, длину окружности или периметр можно рассчитать по формуле bwloe:

 

Периметр (P) = 2 · π · R

где:
R  радиус окружности
π  пи, примерно 3,142

 

Если мы знаем диаметр

Если нам известен диаметр круга, длину окружности можно найти по формуле

Периметр (P) = π · D

где:
D  диаметр круга
π  пи, примерно 3,142

 

Если мы знаем площадь

Если мы знаем площадь круга, длину окружности можно найти по формуле:

Периметр (P) = √ ( 4 · π · A )

 

где:
A  – площадь круга
π  – число Пи, приблизительно 3,142.

 

 

Пример 1:

Круглая клумба радиусом 9 м. Найдите периметр/длину клумбы.

Решение :

Р = 2 · π · R

Р = 2 · 3,1416 · 9

Р = 56,5487 см

 

Итак, периметр/окружность клумбы составляет 56,5487 м.

 

 

Пример 2: Найдите периметр данного круга, диаметр которого равен 4,4 см.

 

Решение :

Учитывая, что:

Диаметр круга (D) = 4,4 см.

Мы знаем формулу для нахождения периметра круга, если известен диаметр, а именно π· D.

Подставьте диаметр 4,4 и значение Пи на 3,14 в приведенной выше формуле.

 

Периметр = (3,14)(4,4) = 13,82

 

Следовательно, периметр данной окружности равен 13,82 см.

 

 

Пример 3: Если радиус равен 11,7 см. Найдите периметр (длину окружности) круга.

Решение :

 

Учитывая, что:

Радиус (r) = 11,7 см

Периметр (длина окружности) круга P = 2 π r

Подставим значение r в формулу, получим:

Р = 2 х 3,14 х 11,7

Р = 79,56 см

 

Таким образом, периметр круга равен 79,56 см.

 

 

Пример 4: Найдите периметр и площадь круга, если радиус круга равен 8 см.

Решение : Мы задали радиус, который равен 8 см. Итак, воспользовавшись формулой периметра круга, имеем:

Р = 2πr

Р = 2×3,14×8

Р = 50,24 см

 

А для площади круга:-

A = π r ²

A = 3,14×(8) ²

A = 209,96 см 2

8

6 003

 

 

Пример 5: Колесо воловьей повозки имеет радиус 6 м. Какое расстояние проедет тележка, если колесо сделает один оборот?

Решение :

Если колесо повернется один раз, тележка переместится на расстояние, равное периметру колеса.

 

Шаг 1:

Р = 2πr

P = 2× 3,14× 6 = 37,68 м

 

Таким образом, повозка с волами проходит 37,68 м за один оборот колеса.

 

Онлайн-калькулятор периметра

Площадь круга Формула и примеры

Площадь круга

Круги можно увидеть от микро до макрообъектов вокруг нас. Например, наша Земля представляет собой плоский круг; луна — гигантский круг; ваша собака может играть с круглым мячом и многое другое. Окружность — это двумерная фигура, геометрическое место которой равноудалено от центра окружности.

Граница круга называется его периметром или окружностью, а площадь, ограниченная его границами, называется площадью. Знаете ли вы о частях круга? И как область связана с ними? Как рассчитать площадь круга формула ?

Различные части круга

Середина любого круга является его центром. Линия, проведенная от одного конца круга, касающегося периферии, к другому краю через центр круга, называется диаметром круга. Половина этого диаметра называется радиусом. Что мы говорим, если диаметр не проходит через центр?

Тогда диаметр больше не будет диаметром. Вместо этого он будет называться аккордом. Хорда – это линия, проведенная от одной периферии к другой периферии круга, не пересекая центр. Отсюда можно сделать вывод, что более протяженная хорда, присутствующая в окружности, будет диаметром окружности.

Окружность может иметь бесконечное количество хорд, диаметров и радиусов. Вы когда-нибудь ели кусок пиццы? Что вы заметили? Этот кусочек является частью круглой пиццы, разделенной по центру. Следовательно, часть круга проходит через центр, образуя с центром определенный угол, известный как сектор. Как площадь круга связана с этими частями круга? Какая формула площади круга?

Формула площади круга

Формула площади круга равна 𝜋r ² , где r — радиус окружности. Значение 𝜋, произносится как пи, равно 22/7 или 3,14. Пи — это отношение длины окружности к диаметру круга. Это одна из широко используемых математических констант. Площадь круга измеряется в квадратных единицах. Какими бы ни были единицы радиуса, диаметра или длины окружности, то же самое будет и для площади круга, но в квадратах. Обозначается единицами².

Формула площади круга	𝜋r 2
Значение 𝜋	22/7 или 3,14

511

Круглый стол будет иметь площадь, круглая пластина будет иметь площадь , шар будет иметь площадь, и, подобно этому, многие другие объекты будут иметь круглую площадь. Площадь определяет пространство, необходимое для удержания объекта в определенном месте. Итак, если нам нужно поместить круглый диск в шкаф, нам нужно найти площадь, т. е. сколько места потребуется. После площади круг имеет объем? Поскольку круг — двумерная фигура, он не имеет объема. А как насчет площади его поверхности?

Площадь поверхности круга: двухмерная версия круга

Поскольку площадь поверхности является свойством трехмерной фигуры, двумерный круг не имеет площади поверхности, подобной площади сферы. Однако найти площадь сферы, которую нужно куда-то поместить, можно найти по площади поверхности. И эта площадь поверхности такая же, как площадь круга. Следовательно, площадь поверхности любого круга будет равна площади круга, т. е. 𝜋r ² .

Формула площади круга через диаметр

Диаметр равен удвоенному радиусу, т. е. мы можем записать диаметр = 2 x радиус. Следовательно, радиус будет d/2. Из площади круга 𝜋r ² , переведя значение r через d, получим
A = 𝜋 (d/2) ² = 𝜋/4 d ² .

Площадь круга по диаметру.

Формула площади круга в терминах окружности

Окружность определения окружности — это граница окружности, обозначаемая 2𝜋r, где r — радиус окружности. Следовательно, C = 2𝜋r. Вынимая отсюда значение r и подставляя формулу площади круга, получаем

А = 𝜋 (С/2 𝜋 ) ² 9 7 = С 2 9025 22 𝜋 .

Это формула площади круга в пересчете на длину окружности.

Формула площади круга в терминах сектора 

Зная формулу площади круга при заданных радиусе, диаметре и длине окружности, пришло время найти площадь круга при заданном секторе. Сектор — это часть круга, иногда называемая клином. Когда два радиуса проведены от центра круга к краю круга, область, ограниченная этими двумя радиусами и окружностью, называется сектором. Прямо как кусок пиццы? Да, кусок пиццы является примером сектора, если кусок разрезается по центру круга, а не по окружности.

Как измерить центральный угол, образуемый окружностью? Ну, используйте транспортир. Поместите транспортир между двумя радиусами и измерьте центральный угол. Во многих вопросах угол дается в самом вопросе. Таким образом, никто не должен беспокоиться об измерении угла.

Площадь сектора, когда заданы угол и радиус сектора, обозначается как
A _сектор = 𝜃/360° 𝜋r² , где 𝜃 будет в градусах.
Сектор = ½ r² 𝜃 , где 𝜃 в радианах.
Отношение между радианами и градусами определяется как радиан = градус x 𝜋/180

После нахождения площади сектора ее можно использовать для нахождения площади круга.
Площадь круга = Площадь сектора x 360 / Центральный угол, здесь центральный угол в градусах.
Мы узнали обо всех способах нахождения площади круга, но откуда берется универсальная формула?

Вывод формулы площади круга

Почему формула для нахождения площади круга 𝜋r²? Чтобы вывести формулу площади круга, разделите круг на различные треугольники так, чтобы эти треугольники можно было соединить в виде прямоугольника, как показано на рисунке. Чем больше количество секций, тем четче будет форма прямоугольника.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Из приведенной схемы длина прямоугольника равна половине длины окружности, которую обозначают 𝜋r. Ширина прямоугольника — это радиус.

Следовательно, площадь прямоугольника равна длине x ширине = 𝜋r x r = 𝜋r², что является площадью по формуле круга.

Решенные примеры площади круга

Пример 1. Какова площадь круга, если радиус равен 60 м?

Решение: Согласно формуле площади круга,
A = 𝜋 r², где r — радиус
Подставляя значения в формулу, получаем, A = 𝜋 60². = 11304 м².

Пример 2: Найдите площадь круга, наибольшая хорда которого равна 32 см.

Решение: Мы знаем, что наибольшая хорда в окружности — это ее диаметр. Следовательно, используя формулу площади круга,
A = 𝜋/4 d², где d — диаметр круга.
Подставляя значения в формулу, получаем, A = 𝜋/4 32²= 803,84 см².

Пример 3. Найдите площадь круга, площадь сектора которого равна 6𝜋 единиц, а угол, образуемый в центре, равен 45 градусам.

Решение: Из формулы площади сектора мы знаем, что
A _{окружность} = A _сектор (360/C), где C — центральный угол в градусах.
Следовательно, площадь круга будет равна
A = 6𝜋 (360/45) = 48𝜋 = 150,72 единицы.

Пример 4: Найдите чистую площадь данного круга.

Решение: На данном рисунке видны два круга. Больший имеет диаметр 11 см, а меньший имеет диаметр 3,5 см.

Задачи с векторами

Бизнес с Oriflame — рост и РАЗВИТИЕ!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2013-11-10

    Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы уже рассмотрели несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.

Также загляните в справочник на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите эту статью. Кратко повторим:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:

27725. Вектор АВ с началом в точке A(2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B.

Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: из соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:

Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:

Следовательно можем найти координаты точки В:

х₂ – 2 = 6         у₂ – 4 = 2

х₂  = 8             у₂  = 6

Таким образом, ордината точки В равна 6.

Ответ: 6

27726. Вектор АВ с началом в точке A(3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B. 

Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:

Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:

Можем найти координаты точки В:

х₂ – 3 = 9         у₂ – 6 = 3

х₂  = 12             у₂  = 9

Таким образом, сумма координат точки В равна 21.

Ответ: 21

27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A, также сумму её координат. 

Нам известны  координаты вектора и координаты его конца, значит:

Можем найти координаты точки А:

5 – х₁  = 3        3 – у₁  = 1

х₁  = 2             у₁  = 2

Таким образом, абсцисса точки А равна двум,  ордината тоже равна двум, а сумма координат равна  2+2 = 4.

Ответ: 4

27731 Найдите квадрат длинны вектора a+b.

В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:

Или в другой форме:

Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов. 

Рассмотрим вектор:

Рассмотрим вектор:

*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.

Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:

(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)

Таким образом, длина  вектора являющегося суммой векторов a и b равна:

Следовательно квадрат длины будет равен 200.

*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:

Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.

Ответ: 200

27733. Найдите квадрат длины вектора a – b.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.

Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):

Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью: 

(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)

Таким образом, длина  вектора, который является разностью векторов

Следовательно квадрат её длины будет равен 40.

*Можно сразу записывать и вычислять:

Ответ: 40

27723. Найдите сумму координат вектора АВ.

Посмотреть решение

27724.Вектор АВ с началом А(2;4) имеет координаты (6;2) Найдите абсциссу точки В.

Посмотреть решение

27730. Найдите сумму координат вектора а + b.

Посмотреть решение

27732. Найдите сумму координат вектора а–b.

Посмотреть решение

27736. Найдите сумму координат вектора а + b

Посмотреть решение

27739. Найдите квадрат длины вектора а–b.

Посмотреть решение

Вы убедились, что задачи с векторами на ЕГЭ это одни из самых простых заданий. Есть, конечно, задания со скалярным произведением векторов, но о они сложности не представляют, нужно лишь знать формулу скалярного произведения. Такие задачи мы также рассмотрим, не пропустите!

На этом всё. Если что-то непонятно, пишите. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Уроки сделаны… Мама охрипла… Сын оглох … Соседи выучили всё наизусть, собака пересказала!!!. .

P.S: Делитесь  этой статьёй в сетях.

Категория: Векторы | ЕГЭ-№1

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Применение векторов в решении задач

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Применение
векторов в решении
задач
Цели урока:
1.Повторить понятие
“вектор”, действия над
векторами;
2.Рассмотреть применение
векторов в задачах разного
вида.
Понятие вектора
в физике
в математике
Изучаем векторные величины
( F, v , S )
Изучаем векторы ( a ,b , c )
Чаще есть точка приложения ( на теле
)
Вектор можно отложить от любой точки
плоскости
Правила сложения векторов
Чаще применяем правило
параллелограмма
Правило треугольника и правило
параллелограмма
Длину вектора называем длиной
Длину вектора называем модулем

4. Главное отличие – точка приложения!

Понятия вектора в
физике отличается
от понятия вектора
в математике –
точкой приложения.

5. Разминка Задачи на движение : векторные величины направлены вдоль одной прямой

1
Определите скорость катера относительно
берега.
vпо теч. =6м/с
vсоб =5м/c
vтеч =1м/с
2
Определите скорость катера
относительно берега.
vпр. теч. =4м/с
vсоб =5м/c
vтеч =1м/с

8. Задачи на движение : векторные величины лежат в одной плоскости

3
4
5
6
далее
3
v
Fп
На рисунке показаны силы,
действующие на самолет, и
направление вектора скорости
в некоторый момент времени.
F – сила тяги,
FC
F
Fc– сила лобового
сопротивления,
Fт – сила тяжести,
FT
В каком направлении движется
самолет, если
FT = Fп
F = FC
Fп – подъемная сила.
4
Fп
v
F
На рисунке показаны силы,
действующие на самолет, и
направление вектора
скорости в некоторый момент
времени.
FC
R
F – сила тяги,
Fc– сила лобового
сопротивления,
Fт – сила тяжести,
FT
В каком направлении движется
самолет, если
FT = Fп
F > FC
Fп – подъемная сила.
5
v
На рисунке показаны силы,
действующие на самолет, и
направление вектора скорости
в некоторый момент времени.
Fп
F
FC
R
FT
В каком направлении движется
самолет, если
FT > Fп
F = FC
F – сила тяги,
Fc– сила лобового
сопротивления,
Fт – сила тяжести,
Fп – подъемная сила.
6
v
Fп
На рисунке показаны силы,
действующие на самолет, и
направление вектора скорости
в некоторый момент времени.
R
F – сила тяги,
FC
F
FT
В каком направлении движется
самолет, если
FT < Fп
F = FC
Fc– сила лобового
сопротивления,
Fт – сила тяжести,
Fп – подъемная сила.
Fп
7
555 Н
5Н
162 Н
F
150 Н
12 Н
FC
FT
550 Н
На самолет действует в
вертикальном направлении
сила тяжести 550 Н и
подъемная сила 555 Н, а в
горизонтальном
направлении – сила тяги
162 Н и сила сопротивления
воздуха 150 Н. Найти
модуль и направление
равнодействующей.
Катер, переправляясь через реку,
движется перпендикулярно течению реки
со скоростью 4 м/с в системе отсчета,
связанной с водой. На сколько метров
будет снесен катер течением, если
ширина реки 800 м, а скорость течения 1
м/с?
1 м/с
8
800 м
А
4 м/с В
С
D
?
200 м
E
9
А
4
м/c
С
3
м/c
5
м/c
Груз опускается на парашюте
с высоты 120 м с постоянной
вертикальной скоростью 4
м/с. Ветер, дующий
горизонтально, относит его в
сторону со скоростью 3 м/с.
Какой путь пролетает груз?
В
120 м
150 м
E

16. Применение векторов в литературных произведениях

17. Вектор в сказке!

18. Почему дед не смог вытянуть репку, а мышь смогла? Разве она самая сильная?

10
Почему дед не смог вытянуть репку, а мышь
смогла?
Разве она самая сильная?

19. Вектор в басне!

English     Русский Правила

Как решать задачи кинематики: руководство по векторам

Эта статья является третьей главой в серии о том, как понимать задачи кинематики и подходить к ним. В первой главе рассматривались положение, скорость и ускорение. Во второй главе рассматривалось решение кинематики в одном измерении. Теперь мы собираемся сделать небольшой экскурс в векторную область, чтобы быть готовыми подойти к кинематике в двух (и даже трех) измерениях.

Что такое вектор?

Есть много способов думать о векторах, но основное определение — это величина (число) и направление. Так что «четыре метра на восток» — это просто вектор в словесной форме. Вы также можете думать о векторе как о стрелке; он указывает определенное расстояние в определенном направлении.

Все это векторы, причем красивые векторы.

Добавление векторов

Добавление векторов работает не так, как добавление чисел. Мы не можем просто суммировать величины (это распространенная ошибка), потому что это не учитывает направление. В конце концов, если вы пройдете 8 метров на восток, а затем 5 метров на запад, вы не окажетесь в 13 метрах от того места, откуда начали; вам будет всего 3 года (мы видели вариант этой идеи в главе 1, посвященной перемещению)

При сложении векторов вместо суммирования величин мы наклеиваем один на конец другого и смотрим, где они окажутся.

Итак, если я хочу добавить этот вектор к этому вектору

, я могу соединить их вместе, чтобы получить:

Мы называем красный вектор «результирующим». потому что это вектор, который получается от сложения двух векторов вместе

Компоненты вектора

Чтобы прояснить векторы, мы часто записываем их как сумму их «компонентов». Каждый компонент сообщает, как далеко заходят векторы в определенном направлении. Обычно согласованный набор направлений составляет x̂,   ŷ , ẑ . В книгах по физике эти направления иногда называют х , х , k̂ , потому что они глупы (на самом деле это делается для упрощения векторных полей, когда дело доходит до продвинутого уровня).

Почему это работает? Добавление вектора! Поскольку векторы складываются, мы можем думать о каждом векторе как о сумме 2 (в 2D) или 3 (в 3D) векторов, которые движутся только в направлениях x, y или z.

Запись компонентов означает единичный вектор, который представляет собой просто вектор, указывающий в определенном направлении (например, x̂   точек в направлении x) и имеющий длину, равную единице. Умножая этот единичный вектор на число, вы создаете более длинный вектор в том же направлении.

Нахождение компонентов вектора

Допустим, вы получили вектор с определенной величиной и углом от горизонтали (также известный как ось x) и хотите найти компоненты векторов. Это очень распространено в кинематике и за ее пределами, но как вы это делаете? Ответ тот же, что и у любой успешной фолк-рок группы: правильное использование треугольников.

Помните, мы разделили наш вектор на компоненты? Вы могли заметить, что компоненты и исходный вектор образуют прямоугольный треугольник. Это связано с тем, что оси x и y по определению всегда расположены под углом 90° друг к другу. Вы также можете помнить из геометрии, что если у нас есть угол и гипотенуза прямоугольного треугольника, то мы можем найти другие стороны (называемые катетами) с помощью SOH-CAH-TOA.

Краткий обзор SOH-CAH-TOA

Вы можете найти более подробные обзоры в Интернете, но основная идея SOH-CAH-TOA заключается в том, что синус угла равен стороне, противоположной углу деленная на гипотенузу (таким образом, S=O/H или SOH). Точно так же косинус равен прилежащей стороне относительно гипотенузы (C=A/H), а тангенс равен противолежащей стороне прилежащей стороны (T=O/A). Используя это, легко доказать, что вертикальный катет, направление y, нашего составного треугольника будет гипотенузой*sin(угол). Или, поскольку гипотенуза — это исходный вектор, векторная величина*sin(угол). Точно так же направление x будет просто векторной величиной * cos (угол).

Пример: Нахождение компонентов вектора

У меня есть вектор величиной 5 метров, который направлен вверх и вправо под углом 37 градусов к оси x. Я хочу знать форму компонента. Давайте проработаем это.

Шаги:

1. Нарисуйте вектор.
   
2. Добавьте треугольные ножки.
   
3. Math

   Y-направление = величина * sin(угол) = 5 метров * sin (37) = 3 метра

   x-направление = величина * cos(угол) = 5 метров * cos (37) = 4 метра

4. Подставьте решения к определению вектора

   Вектор = 3x̂ + 4 х

   Тада, просто как π!

Определение величины и направления с помощью компонентов

Иногда вам могут быть заданы компоненты вектора, и вы хотите найти общую величину и угловое направление этого вектора. И снова на помощь приходят треугольники.

Величину вектора легко вычислить по теореме Пифагора. Из теоремы Пифагора a ² +b ² =c ² , поэтому, когда мы применим это к векторам: — компонент) ² .

Чтобы найти угловое направление вектора, мы можем использовать арктангенс. Поскольку тангенс равен стороне, противоположной прилежащей стороне (T=O/A):

tan(угол вектора)=(y-компонента)/(x-компонента)

Затем используйте функцию invtan на вашем калькуляторе, чтобы найти обратную сторону этого тангенса, которая дает вам угол.

Добавление векторов с компонентами

Самое лучшее в векторных компонентах то, что они упрощают добавление векторов. Пока мы сохраняем компоненты x, y и z разными, мы можем просто добавлять компоненты. Таким образом, если V ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и V ₂ = (x ₂ , y _{2 901 80 , з 2 ), то вектор их суммы равен V 1 +V 2 =(x 1 +x 2 , y 1 +y 2 , я 1 + я 2 ). Когда у вас есть этот новый вектор, вы можете использовать предыдущий раздел, чтобы найти величину и угловое направление.}

Заключение

Теперь мы знаем, что такое вектор, как разделить его на компоненты, как сложить эти компоненты и как рекомбинировать его по величине и углу. В нашем следующем блоге мы обсудим, как использовать эти векторы для кинематики в двух измерениях.

Нахождение компонентов вектора

Как упоминалось ранее в этом уроке, любой вектор, направленный под углом к ​​горизонтали (или вертикали), можно рассматривать как состоящий из двух частей (или компонент). То есть любой вектор, направленный в двух измерениях, можно рассматривать как имеющий две компоненты. Например, если цепь тянет вверх под углом ошейник собаки, то возникает сила натяжения, направленная в двух измерениях. Эта сила натяжения имеет две составляющие: направленную вверх и направленную вправо составляющую. В качестве другого примера рассмотрим самолет, который перемещается на северо-запад из международного аэропорта О’Хара (в Чикаго) в пункт назначения в Канаде. Вектор смещения плоскости находится в двух измерениях (северо-запад). Таким образом, этот вектор смещения имеет две составляющие: северную и западную.

В этом разделе мы изучаем два основных метода определения величин компонент вектора, направленного в двух измерениях. Процесс определения величины вектора известен как разрешение вектора . Мы рассмотрим два метода векторного разрешения:

• метод параллелограмма
• тригонометрический метод

 

Параллелограммный метод векторного разрешения

Метод параллелограмма векторного разрешения включает использование точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы для определения компонентов вектора. Кратко говоря, этот метод включает в себя рисование вектора в масштабе в указанном направлении, рисование параллелограмма вокруг вектора таким образом, чтобы вектор был диагональю параллелограмма, и определение величины компонентов (сторон параллелограмма) с использованием масштаба. . Если кто-то хочет определить компоненты, направленные вдоль традиционных осей координат x и y, то параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами, вытянутыми по вертикали и горизонтали. Пошаговая процедура использования метода параллелограмма векторного разрешения:

1. Выберите масштаб и точно нарисуйте вектор для масштабирования в указанном направлении.
2. Нарисуйте параллелограмм вокруг вектора: начиная с конца вектора, нарисуйте вертикальные и горизонтальные линии; затем нарисуйте горизонтальные и вертикальные линии в начале вектора; нарисованные линии встретятся, образуя прямоугольник (частный случай параллелограмма).
3. Нарисуйте компоненты вектора. Компонентами являются сторон параллелограмма. Хвост компонентов начинается в хвосте вектора и тянется по осям до ближайшего угла параллелограмма. Обязательно поместите стрелки на эти компоненты, чтобы указать их направление (вверх, вниз, влево, вправо).
4. Осмысленно пометьте компоненты векторов символами, чтобы указать, какой компонент представляет какую сторону. Компонент сил, направленный на север, может быть обозначен F _север . Компонент скорости, направленный вправо, можно обозначить как v _x ; и т.д.
5. Измерьте длину сторон параллелограмма и с помощью шкалы определите величину компонентов в реальных единицах. Обозначьте величину на схеме.

Пошаговая процедура, описанная выше, проиллюстрирована на диаграмме ниже, чтобы показать, как вектор скорости с величиной 50 м/с и направлением 60 градусов выше горизонтали может быть разделен на две составляющие. На диаграмме показано, что вектор сначала рисуется в масштабе в указанном направлении; вокруг вектора начерчен параллелограмм; компоненты обозначены на схеме; и результат измерения длины компонентов вектора и преобразования в м/с с использованием шкалы. (ПРИМЕЧАНИЕ: поскольку разные компьютерные мониторы имеют разное разрешение, реальная длина вектора на вашем мониторе может быть меньше 5 см.)

 

 

Тригонометрический метод разрешения вектора

Тригонометрический метод разрешения вектора включает использование тригонометрических функций для определения компонентов вектора. Ранее в уроке 1 было описано использование тригонометрических функций для определения направления вектора. Теперь в этой части урока 1 тригонометрические функции будут использоваться для определения компонентов одного вектора. Вспомните из предыдущего обсуждения, что тригонометрические функции связывают отношение длин сторон прямоугольного треугольника с мерой острого угла внутри прямоугольного треугольника. Таким образом, тригонометрические функции можно использовать для определения длины сторон прямоугольного треугольника, если известна мера угла и длина одной стороны.

Метод использования тригонометрических функций для определения компонентов вектора следующий:

1. Построить грубый набросок (масштаб не требуется) вектора в указанном направлении. Обозначьте его величину и угол, который он образует с горизонтом.
2. Нарисуйте прямоугольник вокруг вектора так, чтобы вектор был диагональю прямоугольника. Начиная с хвоста вектора, нарисуйте вертикальные и горизонтальные линии. Затем нарисуйте горизонтальные и вертикальные линии в начале вектора. Нарисованные линии встретятся, образуя прямоугольник.
3. Нарисуйте компоненты вектора. Компонентами являются сторон прямоугольника. Хвост каждой компоненты начинается в хвосте вектора и тянется по осям до ближайшего угла прямоугольника. Обязательно поместите стрелки на эти компоненты, чтобы указать их направление (вверх, вниз, влево, вправо).
4. Осмысленно пометьте компоненты векторов символами, чтобы указать, какой компонент представляет какую сторону. Составляющая силы, направленная на север, может быть обозначена как F 9.0179 север . Направленная вправо составляющая скорости силы может быть обозначена как v _x ; и т.д.
5. Чтобы определить длину стороны, противоположной указанному углу, используйте функцию синуса. Замените модуль вектора на длину гипотенузы. С помощью алгебры решите уравнение для длины стороны, противоположной указанному углу.
6. Повторите предыдущий шаг, используя функцию косинуса, чтобы определить длину стороны, примыкающей к указанному углу.

Описанный выше метод показан ниже для определения компонентов силы, действующей на Фидо. Поскольку сила натяжения в 60 ньютонов действует на Фидо вверх и вправо под углом 40 градусов, компоненты этой силы можно определить с помощью тригонометрических функций.

 

 

 

Таким образом, вектор, направленный в двух измерениях, имеет две компоненты, то есть влияние в двух отдельных направлениях. Величину влияния в заданном направлении можно определить с помощью методов векторного разрешения. Здесь описаны два метода векторного разрешения — графический метод (метод параллелограмма) и тригонометрический метод.

Больше практики

Используйте виджет Компоненты вектора ниже, чтобы разложить вектор на его компоненты. Просто введите величину и направление вектора. Затем нажмите кнопку Submit , чтобы просмотреть горизонтальные и вертикальные компоненты.