Автор: alexxlab

Х в квадрате минус х минус 4: [«вероятн», «случайн», «ожидан»]}}, conf__fuck_ad_block_enabled = false, ad_block_is_fucked = false, conf__is_incognito = false, conf__is_purchased = false

alexxlab / / Разное
{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -84 продукта.

1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5

Вычислите сумму для каждой пары.

a=-12 b=7

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

\left(x-12\right)\left(x+7\right)

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

x=12 x=-7

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и x+7=0.

a+b=-5 ab=1\left(-84\right)=-84

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-84. {2}+2 x-3}

2″. 

Пошаговое решение:

Шаг 1 :

Попытка разложения среднего члена

 1.1     Разложение на множители  x 2 -x-4 

9000 4 Первый член,  x 2  , его коэффициент равен  1.
Средний член равен -x, его коэффициент равен -1.
Последний член, «константа», равен -4 

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу   1 • -4 = -4 

Шаг 2. Найдите два множителя -4 , сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1 .

      -4    +    1    =    — 3
      -2    +    2    =    0 900 33
      -1   +    4    =    3


: Никакие два таких фактора не могут быть найдены !!
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители

Уравнение в конце шага 1 :
 x  2  - x - 4 = 0

Шаг  2  :

Парабола, поиск вершины :

 2. 1      Найдите вершину    y = x 2 -x-4

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

 Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна 0,5000  

. Подставляя в формулу параболы 0,5000 вместо x, мы можем вычислить координату y:
  y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 4,0
или   y = -4,250

Парабола, Графическая вершина и точки пересечения X:

Корневой график для:  y = x 2 -x-4
Ось симметрии (пунктирная)  {x}={ 0,50} 
Вершина в  {x,y} = { 0,50,- 4.25} 
x -intercepts (oors):
root 1 at {x, y} = {-1,56, 0,00}
корень 2 при {x, y} = {2,56, 0,00}

Решающее квадратное уравнение путем завершения квадрата

2.2     Решение   x 2 -x-4 = 0 путем заполнения квадрата.

 Прибавьте 4 к обеим частям уравнения:
   x 2 -x = 4

Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  x , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4 

Добавьте  1/4 к обеим частям уравнения:
  В правой части имеем :
   4  + 1/4    или, (4/1)+(1/4) 
  Общий знаменатель двух дробей равен 4   Сложение  (16/4)+(1/4) дает 17/4
  Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы наконец получим :
   x 2 -x+(1/4) = 17/4

Добавление 1/4 завершило левую часть в правильный квадрат:
   x 2 -x+(1/4)  =
   (x-(1/2)) • (x-(1/2))  =
  (x-(1/2)) 2
Вещи, равные одно и то же равно друг другу. С
   x 2 -x+(1/4) = 17/4 и
   x 2 -x+(1/4) = (x-(1/2)) 2
тогда по закону транзитивность,
   (x-(1/2)) 2 = 17/4

Мы будем называть это уравнение уравнением #2.2.1  

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
   (x-(1/2)) 2   равен
   (x-(1/2)) 2/2  =
  (x-(1/2)) 1  =
   x-(1/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #2.2.1  получаем:
   x-(1/2) = √ 17/4

Добавьте 1/2  к обеим частям, чтобы получить:
   x = 1/2 + √ 17/4

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 05

Обратите внимание, что √ 17/4 можно записать как
  √ 17 / √ 4   что равно √ 17 / 2

Решение квадратного уравнения с помощью квадратной формулы

 2. 3     Решение    x 2 -x-4 = 0 с помощью квадратной формулы .

 Согласно квадратичной формуле,  x  , решение для   Ax 2 +Bx+C = 0  , где A, B  и C – числа, часто называемые коэффициентами, определяется следующим образом:
                                     
            — B  ±  √ B 2 -4AC
  x =   ————————
                     2A

  В нашем случае  A   =     1
                      B   =    -1
                      C   =   -4

Соответственно ,  B 2   —  4AC   =
                     1 — (-16) =
                     17

Применение формулы квадрата :

               1 ± √ 17
   x  =    —————
                    2

  √ 17   , округленное до 4 десятичных цифр, равно 4,1231
 Итак, теперь мы смотрим на:
           x  =  ( 1 ±  4,123 ) / 2

Два действительных решения:

 x =(1+√17)/2= 2,562

или:

 x =(1-√17)/2=-1,562

Было найдено два решения:

  1.  х =(1-√17)/2=-1,562
  2.  x =(1+√17)/2= 2,562

Какова упрощенная форма x минус 4 больше x в квадрате минус x минус 12 • x минус 4 больше х в квадрате минус 8х плюс 16?

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь в выполнении домашних заданийПланы уроков

Искать на этом сайте

Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Задайте вопрос Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Укажите эту страницу следующим образом:

«Какова упрощенная форма х минус 4 на х в квадрате минус х минус 12 • х минус 4 на х в квадрате минус 8х плюс 16?» 92)`

= `(1/(x — 3))*(1/(x — 4))`

=> `1/((x — 3)(x — 4))`

Упрощенная форма данного выражения: `1/((x — 3)(x — 4))`

См.

eNotes Ad-Free

Начните с 48-часовой бесплатной пробной версией , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Просмотреть все

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г.

Онлайн калькулятор дробных выражений: Калькулятор рациональных выражений

alexxlab / / Разное

Калькулятор Сумм — Mathcracker.Com

Инструкции: Используйте этот калькулятор сумм для вычисления любого действительного выражения с суммами, которое вы предоставите, показывая все шаги. Пожалуйста, введите дробное вычисление, которое вы хотите выполнить, в поле формы ниже.

Подробнее о калькуляторе сумм

Этот калькулятор позволит вам вычислять и упрощать выражения, включающие суммы наиболее распространенных объектов алгебры, таких как числа, дроби, радикалы и общие функции, показывая все шаги. Вам необходимо ввести правильное выражение, включающее сумму/прибавление. Например, это может быть что-то простое, как «3/4 + 1/3», или что-то более сложное, как «sqrt(1/3+1/4)+(1/8+1/6)».

После того как вы ввели правильное числовое выражение, просто нажмите «Рассчитать», и наш калькулятор покажет вам все шаги.

Выполнение сумм основных терминов алгебры может показаться простым, и это довольно просто, просто это становится трудоемким и чреватым ошибками, когда вам нужно работать над длинным и запутанным термином.

Как добавить выражения?

Складывать простые выражения вместе очень просто, и в вашем распоряжении два мощных инструмента: правила ассоциативность и коммутативность .

Говоря простым языком, ассоциативность означает, что при сложении терминов можно смело убирать скобки, и результат не изменится. Также коммутативность означает, что вы можете изменить порядок суммы, и результат не изменится.

Каковы шаги для добавления выражения?

  • Шаг 1: Определите выражение, которое вы хотите упростить, и выделите часть, которая состоит только из сумм и может быть изолирована
  • Шаг 2: Используя правило ассоциативности, вы можете убрать скобки везде, где речь идет только о суммах
  • Шаг 3: Выполните сложение член за членом, при этом вы можете менять порядок следования операндов, если это необходимо
  • Шаг 4: Приведенные выше правила применимы и к выражениям, состоящим только из умножений, но не обязательно, если вы их смешиваете

Эти правила не работают с вычитаниями или делениями. То есть, когда у вас есть вычитания, вы не можете просто убрать скобки, потому что результат действительно может измениться. Действительно, например, если у вас есть \(1-(3-1)\), которое правильно упрощается как \(1-(3-1) = 1 — 2 = -1 \), что не то же самое, что получается при простом удалении скобок: \(1-3-1\), которое упрощается до -3, поэтому результат меняется.

Как добавить выражения?

Идея заключается в том, чтобы сгруппировать термины, которые похожи: среди терминов, которые вы складываете, вы можете сгруппировать числа, дроби, а затем оперировать ими.

Идея заключается в том, чтобы оперировать терминами, с которыми легко работать вместе, например, числами и дробями. Затем, если у вас есть более сложные, составные выражения, вы работаете изнутри наружу, но сначала смотрите на простые операции.

Основное внимание нужно уделить скобкам, заметив, что их нельзя просто убрать при смешении операций. Ассоциативное свойство работает только тогда, когда нет смешения различных операций.

Почему полезно добавлять выражения?

Сложение простых выражений — это одна из самых простых операций, которую можно выполнить, и она является краеугольным камнем любой математической операции, точка.

Невозможно переоценить важность правильного сложения дробей и правильного упрощение выражений путем группировки и использования правильного порядка операций.

Пример: вычисление суммы выражений

Вычислите следующее: \(\frac{1}{3} + \left(\frac{6}{4} — \frac{5}{6}\right)\)

Отвечать: Нам нужно вычислить и упростить следующее выражение: \(\displaystyle \frac{1}{3}+\left(\frac{6}{4}-\frac{5}{6}\right)\).

Получается следующий расчет:

\( \displaystyle \frac{1}{3}+\left(\frac{6}{4}-\frac{5}{6}\right)\)

Simplifying \(\displaystyle \frac{ 6}{ 4} = \frac{ 2 \cdot 3}{ 2 \cdot 2} = \frac{ \cancel{ 2} \cdot 3}{ \cancel{ 2} \cdot 2} = \frac{ 3}{ 2}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{6}\right)\)

Amplifying in order to get the common denominator 6

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{3}-\frac{5}{6}\)

Finding a common denominator: 6

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{3\cdot 3-5}{6}\)

Expanding each term: \(3 \times 3-5 = 9-5\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{9-5}{6}\)

Operating the terms in the numerator

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{4}{6}\)

We can factor out 2 for both the numerator and denominator.

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}\)

Now we cancel 2 out from the numerator and denominator.

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)

Finding a common denominator: 3

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1+2}{3}\)

Adding up the terms in the numerator

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{3}{3}\)

Now we cancel 3 out from the numerator and denominator

\( = \,\,\)

\(\displaystyle 1\)

Пример: вычисление суммы выражения

Вычислите следующее: \(2 + \frac{5}{4} — \frac{7}{6}\)

Отвечать: Нам нужно вычислить и упростить следующее выражение: \(\displaystyle 2+\frac{5}{4}-\frac{7}{6}\).

Получается следующий расчет:

\( \displaystyle 2+\frac{5}{4}-\frac{7}{6}\)

Amplifying in order to get the common denominator 12

\( = \,\,\)

\(\displaystyle 2\cdot\frac{12}{12}+\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{3}-\frac{7}{6}\cdot\frac{2}{2}\)

We use the common denominator: 12

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2\cdot 12+5\cdot 3-7\cdot 2}{12}\)

Expanding each term: \(2 \times 12+5 \times 3-7 \times 2 = 24+15-14\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{24+15-14}{12}\)

Adding up the terms in the numerator

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{25}{12}\)

чем завершается расчет.

Пример: еще одно вычисление сложения

Рассчитайте \( \left(\frac{4}{3} \times \frac{6}{5} \right)+ \frac{1}{5} \).

Отвечать: Нам нужно вычислить и упростить следующее выражение: \(\displaystyle \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{6}{5}\right)+\frac{1}{5}\).

Получается следующий расчет:

\( \displaystyle \frac{4}{3}\cdot\frac{6}{5}+\frac{1}{5}\)

We multiply all the numerators and all the denominators together as in \(\displaystyle\frac{ 4}{ 3} \times \frac{ 6}{ 5}= \frac{ 4 \times 6}{ 3 \times 5} \)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{4\cdot 6}{3\cdot 5}+\frac{1}{5}\)

Factoring the term \(\displaystyle 3\) in the numerator and denominator in \(\displaystyle \frac{ 4 \times 6}{ 3 \times 5}\), which can be further reduced

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{4\cdot 2}{5}+\frac{1}{5}\)

After simplifying the common factors from the top and bottom

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{8}{5}+\frac{1}{5}\)

We use the common denominator: 5

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{8+1}{5}\)

Adding each term

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{5}\)

чем завершается расчет.

Другие полезные калькуляторы по алгебре

Сложение — это наиболее фундаментальная операция, которую вы можете выполнить. Вы также можете использовать Калькулятор дробей специально для выполнения сложения дробей.

Кроме того, при работе с дробями есть особый случай, связанный с терминами типа «1 1/2», для которых вы можете использовать калькулятор смешанных дробей

§ Наименьшее общее кратное онлайн.

Калькулятор нок

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

  • Геометрия: начальная школа
  • Действия в столбик
  • Деление с остатком
  • Законы арифметики
  • Периметр
  • Порядок действий
  • Разряды и классы. Разрядные слагаемые
  • Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

  • Взаимно обратные числа и дроби
  • Десятичные дроби
  • Натуральные числа
  • Нахождение НОД и НОК
  • Обыкновенные дроби
  • Округление чисел
  • Перевод обыкновенной дроби в десятичную
  • Площадь
  • Проценты
  • Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
  • Среднее арифметическое
  • Упрощение выражений
  • Уравнения 5 класс
  • Числовые и буквенные выражения

Математика 6 класс

  • Масштаб
  • Модуль числа
  • Окружность. Площадь круга
  • Отношение чисел
  • Отрицательные и положительные числа
  • Периодическая дробь
  • Признаки делимости
  • Пропорции
  • Рациональные числа
  • Система координат
  • Целые числа

Алгебра 7 класс

  • Алгебраические дроби
  • Как применять формулы сокращённого умножения
  • Многочлены
  • Одночлены
  • Системы уравнений
  • Степени
  • Уравнения
  • Формулы сокращённого умножения
  • Функция в математике

Геометрия 7 класс

  • Точка, прямая и отрезок
  • Что такое аксиома и теорема

Алгебра 8 класс

  • Квадратичная функция. Парабола
  • Квадратные неравенства
  • Квадратные уравнения
  • Квадратный корень
  • Неравенства
  • Системы неравенств
  • Стандартный вид числа
  • Теорема Виета

Алгебра 9 класс

  • Возрастание и убывание функции
  • Нули функции
  • Область определения функции
  • Отрицательная степень
  • Среднее
    геометрическое
  • Чётные и нечётные функции

Алгебра 10 класс

  • Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

  • Факториал

Легче отказаться от великих целей, чем от мелких привычек. Александр Кумор

на главную

Введите тему

Поддержать сайт

←Вернуться в «Калькуляторы онлайн»

Введите числа через пробел:

Калькулятор расчёта наименьшего общего кратного онлайн (НОК) поможет вам в нахождении общего знаменателя при сложении и вычитании обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Инструкции к калькулятору

  • Введите через запятую или пробел натуральные числа в текстовое поле внизу. (Например: 2, 4, 7)
  • Нажмите кнопку «Найти НОК» и ожидайте результата под заголовком «Решение».
  • Убедитесь, что среди введённых чисел нет нулей.

Важно!

Данный калькулятор поиска онлайн НОК может служить лишь для проверки ваших вычислений. Научиться находить НОК самостоятельно можно в теме нахождение наименьшего общего кратного.


Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

Калькулятор рациональных выражений

Онлайн-калькулятор рациональных выражений факторизует заданную функцию и выполняет различные математические операции, чтобы привести ее к максимально упрощенному виду. Вы можете выполнять более одного арифметического действия одновременно для данной задачи, если это применимо.

Этот контент организован с использованием надлежащей органической информации, которая очень важна для оптимизации данного рационального выражения. Посмотри на это!

Что такое рациональное выражение?

В словаре алгебраических выражений:

«Дробь, содержащая числитель и/или знаменатель в виде алгебраических многочленов, называется рациональным выражением»

Нет ничего сложного в понимании, так как это общая форма дроби состоит из простых или сложных рациональных функций. Лучшее использование бесплатного онлайн-калькулятора рациональных функций поможет вам решить такие задачи одним взглядом.

Например: 92} + 7x + 50}}{1} $$

Это кажется немного странным, но его можно рассматривать как рациональное выражение. Вот почему вы можете рассматривать полином как стандартную рациональную функцию. Вы можете уменьшить сложный многочлен, используя бесплатный онлайн-калькулятор рациональных чисел. Что вам нужно сделать, так это предположить 1 в таких случаях наверняка.

Операции над рациональными выражениями:

Здесь у нас есть ряд алгебраических операций, которые необходимо выполнить над рациональными выражениями.

К ним относятся:

Дополнение:

С помощью бесплатного калькулятора рациональных функций можно сложить два или более рациональных выражения. Но когда дело доходит до ручных вычислений, вам нужно выяснить общие факторы и отменить их, чтобы получить сокращенную форму.

Здесь нужно сделать следующее:

  • Запишите все отдельные термины в виде суммы.
  • Возьмите общий знаменатель для всех выражений, подвергнув их наименьшему общему кратному (НОК).
  • Теперь сложите все члены в числителе, чтобы знаменатель остался прежним.
  • Если вы найдете похожие термины с противоположными знаками, сократите их и перепишите все остальные термины в нужной последовательности.
  • Вы получаете упрощенную форму.

Вычитание:

Вычитание двух или более рациональных многочленов прямо противоположно сложению, как это определено для чисел. Калькулятор свободного вычитания рациональных выражений может помочь вам выполнить вычитание двух или более рациональных функций. Кроме того, вы должны следовать этим правилам, чтобы вычитать рациональные функции.

  • Запишите все отдельные термины в виде вычитания.
  • Приведите к общему знаменателю все выражения с помощью НОК.
  • Вычесть все члены в числителе.
  • Отменить все те, которые имеют противоположные знаки с теми же переменными, и добавить остальные с тем же знаком и переменными степенями.
  • Укажите, что знаменатель остается неизменным.
  • Так получается упрощенная форма.

Умножение:

Вы можете умножать рациональные многочлены точно так же, как и числа. Но не забывайте следовать приведенным ниже рекомендациям:

  • Запишите все выражения, в которых есть знак умножения.
  • Произвести произведение всех значений в числителе и знаменателе отдельно.
  • Теперь умножьте каждый коэффициент в значениях, следующих за основным распределительным свойством
  • Сложите все термины с одинаковыми знаками и переменными и вычтите те, которые имеют противоположные знаки.
  • Перепишите выражение в порядке убывания переменной мощности.
  • Получено упрощенное рациональное выражение.

Деление:

Подобно отношениям сложения и вычитания, умножение и деление двух или более рациональных выражений также одинаковы. Когда вы сталкиваетесь со сложными терминами, вы можете воспользоваться нашим бесплатным онлайн-калькулятором рациональных выражений с делением, чтобы мгновенно сократить их. Вы обязательно получите пошаговые расчеты, чтобы избежать каких-либо неудобств. Но на практике необходимо обратить внимание на следующие моменты.

  • Напишите все термины со знаком деления между ними.
  • Заменить числитель и знаменатель всех членов, кроме первого, и заменить знак деления на знак умножения.
  • Для остальных вычислений следуйте тем же правилам, что и для умножения рациональных многочленов.

Как упростить рациональные выражения?

Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор упрощающих рациональных функций, чтобы сократить сложные члены, входящие в выражения, до сокращенного. Но когда это нужно упростить вручную, мы определили все правила и положения для этого выше. Например, давайте решим несколько примеров, соответствующих каждой из вышеперечисленных операций. 9{2}} $$

Наиболее упрощенная форма данной функции.

Здесь наш бесплатный калькулятор упрощенных рациональных выражений быстро определяет приведенную форму любого рационального многочлена.

Как работает калькулятор Rational Expression?

Вы можете использовать множество методов для упрощения рационального выражения, но лучший из них — бесплатный калькулятор рациональных чисел. Независимо от того, насколько сложна данная функция, наш калькулятор оптимизирует ее до самой общей формы. Позвольте нам помочь вам, как это сделать!

Ввод:

Сначала выберите одну из следующих опций из списка меню:

(1) Сокращенные члены рационального выражения
(2) Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных выражений
(3) Упростить любые выражения

Если выбрать вариант 1:

  • Введите функцию числителя
  • Введите функцию знаменателя
  • Нажмите «Рассчитать»

Если вы выберете вариант 2:

  • Сначала выберите, нужно ли вам применять операции к двум или трем выражениям
  • После этого запишите выражения числителя и знаменателя для каждой рациональной функции в поле ввода
  • Нажмите кнопку расчета.

Если вы выбрали вариант 3:

  • Запишите функцию ввода в строке меню
  • Нажмите кнопку «Рассчитать»

Вывод:

Калькулятор свободных рациональных выражений выполняет следующие операции в соответствии с входными данными, выбранными для рациональных выражений.

Для варианта 1:

  • Поэтапно сокращает рациональное выражение для общего ответа

Для варианта 2:

  • Складывает, вычитает, умножает и делит две или три функции соответственно.

Для опции 3:

  • Упрощает все рациональное выражение и приводит к наиболее оптимальной форме заданного рационального выражения.

 

Часто задаваемые вопросы:

Как узнать, является ли рациональное выражение правильным или неправильным?

Правильное рациональное выражение:

«Рациональное выражение, в котором числитель имеет наивысшую степень переменной вместо переменной в знаменателе»

Неправильное рациональное выражение:

«Рациональная функция, у которой степень числителя меньше степени переменной в знаменателе, называется неправильной».

Независимо от типа рационального выражения используйте бесплатный онлайн-калькулятор рациональных функций, чтобы упростить его за доли секунд.

Что понимается под степенью многочлена?

Наивысшая степень переменной, входящей в полином, называется степенью полинома.

9{2} + 10 $$

Как мы видим, для отдельных членов в приведенном выше многочлене степени равны 9, 5, 4 и 2 соответственно. А вот высшая степень это 9 . Поэтому его будем считать степенью всего многочлена. Кроме того, онлайн-калькулятор рациональных выражений поможет вам правильно упростить эту полиномиальную функцию.

Что означает моном?

Алгебраическое предложение, содержащее только один термин, называется мономом.

Например:

5z, 4x, 65y и т. д.

Вывод:

Упрощение рациональных выражений позволяет уменьшить сложность ваших задач. Математики, специалисты по данным, инженеры и физики широко используют рациональные выражения, используя бесплатный онлайн-калькулятор рациональных функций для выполнения быстрых вычислений.

Ссылки:

Из источника википедии: Алгебраическая дробь, Рациональные дроби, Иррациональные дроби, Терминология.

Из истоков академии хана: Сокращение рациональных выражений, Конечное поведение, Разрывы рациональных функций.

Из источника люмен обучения: область рациональной функции, асимптоты, упрощение рационального выражения, частичные дроби.

Рациональные выражения Пошаговое решение математических задач

Добро пожаловать в Quickmath Solvers!

  • Решить
  • Упростить
  • Фактор
  • Расширить
  • График
  • ГКФ
  • ЛКМ

Новый Пример

Справка Учебник

Решите уравнение, неравенство или систему.

Пример: 2x-1=y,2y+3=x

Чтобы увидеть учебник, прокрутите вниз

  • Математические статьи
  • Упрощение выражений

Выражение, представляющее собой частное двух алгебраических выражений (со знаменателем, отличным от 0), называется дробным выражением. Наиболее распространенными дробными выражениями являются те, которые являются частными двух многочленов; они называются рациональными выражениями. Поскольку дробные выражения включают частные, важно отслеживать значения переменной, которые удовлетворяют требованию, чтобы ни один знаменатель не был равен 0. Например, x != -2 в рациональном выражении:

, потому что замена x на -2 делает знаменатель равным 0. Аналогично, в

 

x!=-2 и x!= ​​-4

 

Ограничения на переменная находится путем определения значения, при которых знаменатель равен нулю. Во втором приведенном выше примере для нахождения значений x, при которых (x + 2)(x + 4) = 0, необходимо использовать свойство, согласно которому ab = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 или b = 0, следующим образом.

(х+2)(х+4)=0

x+2=0 или x+4=0

x=-2 или x=-4

Точно так же, как дробь 6/8 записывается как 3/4, рациональные выражения также могут быть написано в самых низких терминах. Это делается по основному принципу.

Пример 1

Запишите каждое выражение в наименьших терминах.

Разложите числитель и знаменатель на множители, чтобы получить

По фундаментальному принципу

В исходном выражении p не может быть 0 или -4, потому что

Таким образом, этот результат действителен только для значений p, отличных от 0 и -4. Отныне мы всегда будем допускать такие ограничения при редукции рациональных выражений.

Теперь давайте посмотрим, как наш пошаговый решатель дробей решает эту задачу:

Решить похожую задачуВведите свою задачу

 

Пример 2

Факторы 2 — k и k — 2 имеют противоположные знаки. По этой причине умножьте числитель и знаменатель на -1 следующим образом.

Модуль вектора равен онлайн: Модуль вектора онлайн, подробное решение

alexxlab / / Разное

Длина вектора калькулятор


Укажите размерность пространства 23
Укажите форму представления вектора
Координаты точек начала и конца вектораКоординаты вектора

Задайте координаты вектора ā
ā = { ; }

Как найти модуль вектора

Модулем вектора |AB| называется число, равное расстоянию между начальной и конечной точками вектора.

Для того чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны координаты его начальной и конечной точек необходимо воспользоваться одной из формул:

|AB| = √(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2 — для вычисления длины вектора плоскости

|AB| = √(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2 + (Bz — Az)2 — для вычисления длины вектора пространства

Для того чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны его координаты необходимо воспользоваться одной из формул:

|a| = √ax2 + ay2 — для вычисления длины вектора плоскости

|a| = √ax2 + ay2 + az2 — для вычисления длины вектора пространства

Пример 1. Найдем длину вектора плоскости с координатами начальной и конечной точек A(x;y) и точки B(x;y), где A(1;9) и B(4;7).
Тогда согласно формуле:

Bx = 4;
Ax = 1;
By = 7;
Ay = 9;

Вектор AB

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора |AB|:

|AB| = √(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2 =
√(4 — 1)2 + (7 — 9)2 =
√32 + (-2)2 =
√9 + 4 =
√13 = 3.60555127546399

Пример 2. Найдем длину вектора пространства с координатами начальной и конечной точек A(x;y;z) и точки B(x;y;z), где A(5;2;9) и B(3;6;7).
Тогда согласно формуле

Bx = 3;
Ax = 5;
By = 6;
Ay = 2;
Bz = 7;
Az = 9;

Подставим значения в формулу и найдем длину вектора |AB|

|AB| = √(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2 + (Bz — Az)2 =
√(3 — 5)2 + (6 — 2)2 + (7 — 9)2 =
√(-2)2 + 42 + (-2)2 =
√4 + 16 + 4 =
√24 = 2 √6 = 4.89897948556636

Пример 3. Найдем длину вектора a плоскости с координатами a(x; y), где a(3; 8).
Тогда согласно формуле:

ax = 3;
ay = 8;

Вектор a

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора |a|

|a| = √ax2 + ay2 =
√32 + 82 =
√9 + 64 =
√73 = 8.54400374531753

Пример 4. Найдем длину вектора a пространства с координатами a(x;y;z), где a(4;2;7).
Тогда согласно формуле:

ax = 4;
ay = 2;
ay = 7;

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора |a|

|a| = √ax2 + ay2 + az2 =
√42 + 22 + 72 =
√16 + 4 + 49 =
√69 = 8.30662386291807

Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор упрощения выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор уравнений
Калькулятор суммы
Калькулятор пределов функций
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Калькулятор делителей числа
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей

вектор длина

Вы искали вектор длина? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление длины вектора, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор длина».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вектор длина,вычисление длины вектора,вычисление длины вектора по его координатам,вычисление длины вектора по его координатам доказательство,вычислить длину вектора,длина вектор,длина вектора,длина вектора c,длина вектора в пространстве,длина вектора как найти,длина вектора как обозначается,длина вектора модуль вектора,длина вектора определение,длина вектора по двум точкам,длина вектора по его координатам,длина вектора по координатам,длина вектора по координатам начала и конца,длина вектора по координатам точек,длина вектора по координатам формула,длина вектора равна,длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат,длина вектора формула,длина вектора формула по координатам,длина вектора через координаты,длина вектора это,длина векторов,длина векторов по координатам,длина через координаты вектора,длину вектора,длины векторов,длины векторов как найти,как в прямоугольнике найти длины векторов,как вычислить длину вектора,как вычислить длину вектора по координатам,как зная координаты вектора найти его длину,как зная координаты найти длину вектора,как найти длина вектора,как найти длину вектора,как найти длину вектора ав,как найти длину вектора если известны его координаты,как найти длину вектора если известны координаты вектора,как найти длину вектора зная его координаты,как найти длину вектора зная его координаты начала и конца,как найти длину вектора зная координаты,как найти длину вектора зная координаты его начала и конца,как найти длину вектора и координаты,как найти длину вектора по двум точкам,как найти длину вектора по его координатам,как найти длину вектора по координатам,как найти длину вектора по координатам двух точек,как найти длину вектора по координатам начала и конца,как найти длину вектора формула,как найти длину вектора через координаты,как найти длину векторов,как найти длину и координаты вектора,как найти длины векторов,как найти длины векторов по координатам,как найти квадрат длины вектора,как найти координаты вектора если известна длина вектора,как найти координаты вектора зная длину,как найти координаты вектора зная его длину,как найти координаты вектора зная его длину и координаты начала,как найти координаты вектора и длину,как найти координаты вектора через длину,как найти координаты и длину вектора,как находить длину вектора,как обозначается длина вектора,как определить длину вектора,как определить длину вектора по координатам,как узнать длину вектора,как узнать длину вектора по координатам,квадрат длины вектора формула,координаты вектора длина вектора,модуль вектора длина вектора,модуль вектора определение,найдите длину и координаты вектора,найдите длины векторов,найти длину вектора,найти длину вектора по координатам,найти длину вектора по координатам точек,найти длину и координаты вектора,найти длину по координатам точек вектора,найти длины векторов,найти координаты вектора и длину,найти координаты и длину вектора,нахождение длины вектора,нахождение длины вектора по его координатам,определение вектора длина вектора,определение вектора длины,определение вектора длины вектора,определение длина вектора,определение длины вектора,определение модуль вектора,по координатам точек найти длину вектора,формула вычисления длины вектора,формула вычисления длины вектора по его координатам,формула длина вектора,формула длины вектора,формула длины вектора по его координатам,формула для вычисления длины вектора по его координатам,формула для нахождения длины вектора,формула как найти длину вектора,формула квадрат длины вектора,формула модуля вектора,формула нахождения длины,формула нахождения длины вектора,формула нахождения длины вектора по его координатам,чему равна длина вектора,что такое длина вектора. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор длина. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление длины вектора по его координатам).

Решить задачу вектор длина вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Вектор: Модуль вектора и арифметические операции Экзаменационные уроки

Подтема:       Модуль вектора 9001 3

Продолжительность:       80 минут

Обучение Цели: К концу урока учащиеся должны уметь выполнять простые операции с векторами.

Справочные материалы:   Новый проект по математике 2 М. Р. Тутту Адегуна

Предыдущие знания : Учащиеся могут выполнять арифметические операции с векторами

Учебные материалы : Математический набор .

ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА

Величина вектора a, иногда называемая модулем вектора, представлена ​​|a|.

Нулевой вектор: Нулевой вектор — это вектор с нулевой величиной.

Единичный вектор:  Единичный вектор — это вектор, представленный a, и он таков, что a = |a| a

Отрицательный вектор:     Отрицательный вектор a записывается как – a

Равенство векторов:   Два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Пример:        Если p = 2i –  3j; q = 3i + 5j и r = i + j; Найдите значения

  1. 2p + q + 3r
  2. 3p – 2q

Решение

  1. 2p = 2(2i – 3j ) = 4i – 6j

3r = 3( i + j ) = 3i + 3j

Следовательно; 2p + q + 3r = (4i – 6j) + (3i + 5j) + (3i + 3j)

                                               = 10i + 2j

  • 3p = 3(3i – 3j) = 9i – 9j

2q = 2(3i + 5j) = 6i + 10j

Следовательно, 3p – 2q = (9и – 9й) – (6и + 10j) = 3i – 19j

Оценка: Новый проект по математике 2, М. Р. Тутту Адегун и др. Страница 262, Упражнение 14, № 5

Заключение: Учитель резюмирует тему, отмечает записи учащихся, делает исправления и позволяет учащимся копировать.

Назначение: Новый проект по дополнительной математике 2, М. Р. Тутту Адегун и др. Страница 262, упражнение 14, № 6

Модуль вектора 19 i + 5 i -6k равен -a √322 b √420 c √421

Если вы видите это сообщение, это означает, что JavaScript отключен на вашем браузер , пожалуйста, включите JS , чтобы это приложение работало.

Получение изображения
Пожалуйста, подождите. ..

Предыдущий вопросСледующий вопрос

Вопрос :

Ответ :

Связанный ответ

Если векторы положения A, B равны i + 2j — 3k, 3i — 2j + 5k соответственно, то вектор положения C в AB произведен так, что 2 AC = 3 AB is

Другие связанные вопросы и ответы

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПРОСМОТРЫ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1.5k АКЦИИ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ 90 013

3,0 тыс. лайков

3,0 тыс. просмотров

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. лайков

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ 9 0013

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. АКЦИЙ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ

3,0 тыс. НРАВИТСЯ

3,0 тыс. ПРОСМОТРОВ

1,5 тыс. ПОДЕЛИТЬСЯ 90 013

3,0 тыс. лайков

3,0 тыс. просмотров

1,5 тыс.

Если ab 2 то угол между векторами a и b: Угол между векторами онлайн

alexxlab / / Разное

Нахождение угла между векторами: понятие, правила

Заголовок статьи дает много информации о материале, который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Однако, чтобы решать математические и физические задачи, такого представления недостаточно. Данные понятия следует определить более строго, точно следуя всем правилам математической науки.

Воспользуемся графической иллюстрацией. Это нам поможет рассмотрение вопроса сделать более наглядным. Для отличия от скалярных величин, будем обозначать векторы жирным шрифтом.

Пусть имеются два ненулевых вектора a и b. На плоскости они или в трёхмерном пространстве сейчас не особо важно. Пусть наши векторы OA = a и OB = b имеют общее начало в некоторой точке O.

Определение 1

Под углом между векторами a и b понимается угол между двумя лучами OA и OB. Обозначим его как (a, b), т. е. курсивом и жирным одновременно.

Ясно, что угол между нашими векторами может принимать значения от нуля градусов до 180 градусов. Часто в математике углы обозначают не в градусах, а в радианах. Угол в 90 градусов равен π/2 радиан. Угол в 180 градусов, как не трудно предположить равняется π радиан.

Угол между a и b равен нулю градусам, когда они являются сонаправленными, и 180 градусам или π радиан, когда противоположно направлены.

Определение 2

Векторы a и b перпендикулярны, если угол между ними составляет π/2 радиан.

В случае, когда один из векторов нулевой, угол между ними считается неопределённым.

О нахождение угла между векторами

Нахождение угла между векторами или (что по сути тоже самое) нахождение косинуса угла между векторами можно осуществить с помощью скалярного произведения векторов или воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника на указанных векторах.

Напомним, что скалярное произведение a и b есть результат умножения их длин на косинус угла между векторами. Формулой это записывается так:

(a, b) = a*b*cos (a, b)

Исходим из того что ни один из векторов a и b не равен нулю. В этом случае косинус можно найти просто, разделив скалярное произведение на длины векторов.

cos (a, b) = (a, b)/(a*b)

Это есть формула нахождения косинуса угла между векторами. Провести нахождение угла между двумя векторами после этого труда не составляет.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Примеры задач на нахождение угла между векторами

Пример. 1 . Пусть у нас имеются векторы a и b. Пусть по длине один из них равен 4, а другой 8. Скалярное произведения наших векторов равно (-12). Подставляя указанные значения в формулу для косинуса, можно легко провести его вычисление

cos (a, b) = -12/(4*8) = — ½  

Чтобы найти сам угол, нужно вычислить арккосинус полученного нами значения.

(a,b) = arcos (-1/2) = 3π/4

Ответ: Запишем его виде cos (a, b) = — ½, (a,b) = 3π/4.

Часто векторы задаются не так, как в примере выше, а с помощью координат в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого требуется формула нахождения угла между векторами в координатной форме.

Напомним, что длина вектора определяется, как сумма квадратов его координат, а скалярное произведение векторов представляет собой сумму произведения их соответствующих координат.

a = (ax, ay), b = (bx, by)

\[ \cos (a, b)=\frac{\left(a_{x} * b_{x}+a_{y}^{*} b_{v}\right)}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \]

Нахождение угла между векторами в трёхмерном пространстве происходит аналогичным образом, только мы имеем вектора с координатами не «x, y», а с координатами «x, y, z». {2}}} \]

Пример. 2. Пусть у нас имеется прямоугольная декартова система координат и в ней векторы

a = (3, 0, -4) и b = (1, 3, 4)

Мы должны провести нахождение угла между этими векторами по координатам. 

Сделаем расчёт сначала по формуле для координат векторов, затем с помощью скалярного произведения векторов. В принципе обе формулы полностью равноценны между собой. Здесь мы намеренно расписываем всё максимально подробно.

Выясним, чему будет равно скалярное произведения наших векторов в их координатной записи. Перемножаем их x-координаты, y-координаты и z-координаты, после чего суммируем полученные значения.

3*1 + 0*3 + -4*4 = -13

Вычисляем корень квадратный из суммы 3*3 + 0*0 + (-4)*(-4) = 9 + 16 = 25. Он равняется 5.

Вычисляем корень квадратный из суммы 1*1 + 3*3 + (4)*(4) = 1 + 9 + 16 = 26. Он равен 5,09.

Перемножаем полученные значения, 5 * 5,09. В итоге с допустимой погрешностью получится 25.

Далее нам нужно -13 поделить на 25. Результат вычисления равен -0,52. После округления до первого знака после запятой будем иметь -0,5.

Arccos (-1/2) равен 120 градусам.

Теперь попытаемся получить тот же результат с помощью вычисления угла по скалярному произведению векторов.

Сначала вычисляем длину каждого из векторов.

  • 3*3 + 0*0 + (-4)*(-4) = 9 + 16 = 25.
  • 1*1 + 3*3 + (4)*(4) = 1 + 9 + 16 = 26.

Далее находим корни из этих чисел.

В нашем случае, несмотря на то что координаты каждого из векторов абсолютно разные, длина их получилась примерно одинаковой: 5 и 5,09. Последнее число, как мы делали выше, лучше округлить.

Далее вычисляем скалярное произведение

3*1 + 0*3 + -4*4 = -13

Как и ранее, делим -13 на 25. С допустимой погрешностью получаем значение (-1/2). Опять вычисляем арккосинус из этого числа. Он будет 120 градусов.

Ответ: Угол между векторами a = (3, 0, -4) и b = (1, 3, 4) равен 120 градусам.

Не редко встречаются задачи, в которых в прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трёх точек и нужно выяснить, чему равняется какой-нибудь угол. Для этого определяют угол между векторами, концами которых являются координаты этих точек.

Пример 3. На плоскости дана прямоугольная система координат, а на ней заданы точки A(2,-1), B(3,2), С (7,-2). Требуется найти косинус угла, разделяющего векторы AB и BC.

Находим координаты векторов.

  • Для AС  x = x2-x1= 7-2 =5, y = y2-y1 = -2 – (-1) = -1, т. е. получаем вектор AС (5, -1).
  • Для ВС x = 7-3 =4, y = -2 – (-2) = -4, т. е. получаем вектор BC (4, -4).

Теперь, воспользовавшись соответствующей формулой, определим угол между векторами на плоскости.

cos (a, b) = (a, b)/(a*b)

Сначала вычисляем скалярное произведение AB и BC.

Затем корни из 5*5 + (-1)*(-1) и из 4*4 + (-4)*(-4).

Делим одно на другое.

Косинус в этом примере будет равен 0,832 (если более точно, то 3 делённое на 13 в корне).

Ответ: Искомый косинус угла равен 0,832.

Помимо сказанного, угол между векторами можно также определить по теореме косинусов. Отложите от точки 0 векторы OA = a и OB = b. Будет треугольник OAB. По теореме косинусов будет справедливо следующее равенство

AB2 = OA2+ OB2 – 2*OA*OB* cos (AOB)

Это равносильно

(b –a)2 = a + b – 2*a*b*cos (a,b)

Отсюда легко вывести формулу косинуса угла.

Нужно сначала перенести 2*a*b*cos (a,b) в левую сторону, затем (b –a)2 в правую и всё поделить на 2. В результате будем иметь

cos(a,b) = (a + b)/ 2*a*b

Чтобы использовать полученные формулы, нам нужно знать длины векторов, но это не проблема, т. к. по координатам они определяются очень легко.

Несмотря на то что указанный способ известен почти всем, чаще всего используется формула

cos(a,b) = (a,b)/a*b

Попробуйте и то, и другое. С теми формулами и способами, которыми вам будет удобнее, с теми и работайте. Для полного освоения темы в начале советуем натренироваться в решении задач всеми указанными в статье методами. Только после этого решайте, что для вас предпочтительнее и лучше идёт.

Калькулятор вычисления угла между векторами

Формула угла между векторами

Угол между двумя векторами

Рассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве.

Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча.

Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.

Угол между лучами l1 и l2 обозначается \(\widehat{l_1; l_2}\). По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается \(\widehat{a; b}\)

Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а ⊥ b.

Отметим, что если а\(\upuparrows\)b, то \(\widehat{a; b}\) = 0°, а если а\(\uparrow\downarrow\)b, то \(\widehat{a; b}\) =180°.

Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица измерения длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1.

Тогда векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) называются единичными векторами прямой l (рис.22).

Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным.

Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23).

Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 2}} = -\frac{4}{9} $$

math — Угол между двумя векторами в R

Если вы хотите вычислить угол между несколькими переменными, вы можете использовать следующую функцию, которая является расширением решения, предоставленного @Graeme Walsh.

 углов <- функция(матрица){
  ## Вычисление векторного произведения матрицы
  cross.product <- t(matrix)%*%matrix
  ## нижний и верхний треугольник векторного произведения — это скалярные произведения векторов
  dot.products<- cross.product[lower.tri(cross.product)]
  ## Рассчитать нормы L2
  temp <- подавлять предупреждения (diag (sqrt (cross.product)))
  temp <- temp%*%t(temp)
  L2.norms <- temp[lower.tri(temp)]
  ## Значения арккосинуса для каждой пары переменных
  low.t <- acos(dot.products/L2.norms)
  ## Создать пустую матрицу для представления результатов
  result.matrix <- matrix(NA,ncol = dim(matrix)[2],nrow=dim(matrix)[2])
  ## Заполните матрицу значениями арккосинуса и присвойте диагональным значениям ноль «0»
  result. matrix[нижний.tri(result.matrix)] <- нижний.t
  diag(результат.матрица) <- 0
  результирующая.матрица[верхняя.три(результат.матрица)] <- t(результат.матрица)[верхняя.три(т(результат.матрица))]
  ## Получить результирующую матрицу
  возврат (результат.матрица)
}

Кроме того, если вы отцентрировали входные переменные по центру и получили косинусные значения приведенной выше матрицы результатов, вы получите точную матрицу корреляции переменных.

Вот приложение функции.

 набор семян(123)
п <- 100
м <- 5
# Генерируем набор случайных величин
mt <- матрица (rnorm (n * m), nrow = n, ncol = m)
# Среднецентрированная матрица
mt.c <- шкала (mt, шкала = F)
# Углы косинуса
cosine.angles <- углы (матрица = mt)
> косинус.углы
         [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 0,000000 1,6308191,686037 1,618119 1,751859
[2,] 1,630819 0,000000 1,554695 1,523353 1,712214
[3,] 1,686037 1,554695 0,000000 1,619723 1,581786
[4,] 1,618119 1,523353 1,619723 0,000000 1,593681
[5,] 1,751859 1,712214 1,581786 1,593681 0,000000
# Углы косинуса центрированных данных
centered. cosine.angles <- angles(matrix = mt.c)
> центр.косинус.углы
         [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 0,000000 1,620349 1,700334 1,614890 1,764721
[2,] 1,620349 0,000000 1,540213 1,526950 1,701793
[3,] 1,700334 1,540213 0,000000 1,615677 1,595647
[4,] 1,614890 1,526950 1,615677 0,000000 1,5

[5,] 1,764721 1,701793 1,595647 1,5
 0,000000
# Это даст вам матрицу корреляции
потому что (углы (матрица = mt.c))
            [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 1,00000000 -0,04953215 -0,12917601 -0,04407900 -0,19271110
[2,] -0,04953215 1,00000000 0,03057903 0,04383271 -0,13062219
[3,] -0,12917601 0,03057903 1,00000000 -0,04486571 -0,02484838
[4,] -0,04407900 0,04383271 -0,04486571 1,00000000 -0,01925986
[5,] -0,19271110 -0,13062219 -0,02484838 -0,01925986 1,00000000
# Исходная корреляционная матрица
кор (мт)
            [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 1,00000000 -0,04953215 -0,12917601 -0,04407900 -0,19271110
[2,] -0,04953215 1,00000000 0,03057903 0,04383271 -0,13062219
[3,] -0,12917601 0,03057903 1,00000000 -0,04486571 -0,02484838
[4,] -0,04407900 0,04383271 -0,04486571 1,00000000 -0,01925986
[5,] -0,19271110 -0,13062219 -0,02484838 -0,01925986 1,00000000
# Проверяем, равны ли они
all. equal (cos (углы (матрица = mt.c)), cor (mt))
[1] ИСТИНА

Если вектор \[a + b{\text{ }} = \] \[c\] и \[a + b{\text{ }} = {\text{ }}c\]. Чему равен угол между $a$ и $b$ ?(A) \[90\] (B) \[45\](C) \[0\](D) \[60\]

Ответ

Проверено

269,7 тыс.+ просмотров

Подсказка: Составьте уравнение, используя заданные отношения между векторами, упростив их. Используйте формулу скалярного произведения двух векторов. Найдите косинус угла из скалярного произведения, а затем найдите угол между двумя векторами.

Используемая формула:
$\overrightarrow a \overrightarrow b = ab\cos \theta $
Где угол между двумя векторами $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ равен $\theta $ .

Полный пошаговый ответ:
Результирующий вектор двух векторов $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ равен $\overrightarrow c $ т.е. $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c $… ……$(1)$
Модуль двух векторов $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ равен $a$ и $b$ .

Математические решения: Сборник задач по математике

alexxlab / / Разное

Образовательная программа «Математические и компьютерные методы решения задач естествознания» интегрированной подготовки бакалавра по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (ОС МГУ 3+)

Перейти к основному содержанию

Вы здесь

Главная

  • Протоколы заседания Ученого Совета МГУ об утверждении программы
  • Общая характеристика образовательной программы
  • Учебный план
  • Календарный график
  • Аннотации к рабочим программам дисциплин
    • 1 и 2 курс
    • Кафедра Математической физики (3 и 4 курс)
    • Кафедра Вычислительных технологий и моделирования (3 и 4 курс)
    • Кафедра Вычислительных методов (3 и 4 курс)
    • Кафедра Автоматизации научных исследований (3 и 4 курс)
    • Кафедры Общей математики и Функционального анализа и его применений (3 и 4 курс)
  • Индивидуальные учебные планы
  • Программы практик
  • Методические материалы
  • Иные компоненты
  • Расписания учебных занятий
  • Расписания промежуточных аттестаций
  • Расписание государственной итоговой аттестации (итоговой аттестации)
  • Документы и материалы о результатах научно-исследовательской работы
  • Договоры об организации и проведении практик
  • Договоры о сетевой форме реализации образовательной программы
  • Сведения о научно-педагогических работниках
  • Численность обучающихся
  • Правовые документы
  • Результаты независимой оценки качества подготовки обучающихся
  • Документ об утверждении стоимости обучения по образовательной программе
  • Результаты переводов, восстановления и отчисления по образовательной программе
  • Информация о трудоустройстве выпускников
  • Направления и результаты научной (научно-исследовательской) деятельности
  • Документы и материалы по организации и проведению оценки обучающимися содержания, организации и качества образовательного процесса
  • Оценочные материалы
  • Тексты выпускных квалификационных работ
  • Протоколы заседаний государственной экзаменационной комиссии
  • Отзывы руководителей выпускных квалификационных работ
  • Рецензии на выпускные квалификационные работы по программам специалитета и магистратуры
  • Отчетность обучающихся по практикам, оценочный материал и результаты аттестации по практикам
  • Индивидуальные планы работы научно-педагогических работников
  • Распорядительные акты
  • Сведения о наличии приспособленных для использования инвалидами и лицами с ограниченными возможностями здоровья учебных кабинетов, общежития или интерната, информационных систем и информационно-телекоммуникационных сетей и пр.
  • Документы, подтверждающие наличие в организации, осуществляющей образовательную деятельность, материально-технической базы, соответствующей требованиям образовательных стандартов
  • Договоры о создании организацией, реализующей образовательные программы высшего образования, в научных организациях и иных организациях, осуществляющих научную деятельность, кафедр, осуществляющих образовательную деятельность
  • Договоры о создании образовательной организацией высшего образования кафедр и иных структурных подразделений, обеспечивающих практическую подготовку обучающихся
  • Документы, подтверждающие общественную аккредитацию организации, осуществляющей образовательную деятельность, в российских, иностранных и международных организациях и профессионально-общественную аккредитацию образовательных программ

Math.ru

Данный раздел посвящен кирпичикам математики — задачам. Разной сложности, для разных возрастов. Именно решая задачи человек может подружиться с математикой. И именно решая задачи можно ощутить всю радость общения с математикой.
Надеемся, что этот раздел будет интересен как школьникам так и учителям, подбирающим задачи для урока или кружка.

За 5–10 лет жизни MathRu стало ясно, что многие базы задач «живут своей жизнью», и полезнее (попыток сделать одну общую на всех) копить на них ссылки:

Problems.Ru — ОЧЕНЬ большая коллекция задач из самых разных источников. Рубрикация по возрасту, темам, сложности.
Задачи по геометрии — база Р.К.Гордина, тщательно подобранные задачи, очень подробные рубрикаторы, прекрасные рисунки.

Много хороших задач можно найти в архивах Кировской ЛМШ или у А.В.Шаповалова, а для чуть более («опытных»?) — в архивах Московских выездных школ.

Математические олимпиады и олимпиадные задачи:
(задачи вариантов разных лет, рубрикаторы как правило отсутствуют, есть только указание года и этапа олимпиады)

  • Всероссийская олимпиада — задачи финальных этапов ВсОШ (с 2005), рег. этапов (с 2009), книги
  • Московская математическая олимпиада — условия всех задач (с 1935), решения, вышедшие книги.
  • Петербургская олимпиада — условия всех задач (с 1998).
  • Олимпиада Эйлера — задачи для 8 классов (всех этапов за все года), решения.
  • Математический праздник — задачи для 6-7 классов (с 1997), решения, вышедшие книги.
  • Задачи командных соревнований
    • Уральские турниры юных математиков — задачи для 6-8 классов (всех турниров с 1993).
    • Математические регаты — задачи для 7-11 классов (с 1999), решения, вышедшие книги.
  • коллекция Zaba.Ru — большая подборка задач разных олимпиад (до 2001-2 года)
  • …

 Новости

04.08.2018
Присуждены Филдсовские премии-2018

30. 07.2018
Прошла летняя школа «Современная математика», теперь имени Виталия Арнольда.

04.12.2014
доступны труды А.Н.Крылова и А.Пуанкаре

01.10.2015
«Мат.этюды» выпустили книгу «Математическая составляющая».

Подробнее »

06.03.2013
Новые арифметические ребусы для iГаджетов

все новости »

Математические решения для бизнеса Курс

Чему вы можете научиться.

  • Изучение линейных функций при их применении в бизнес-приложениях и решении систем линейных уравнений
  • Использование математических фактов и формул для анализа, интерпретации и решения приложений в бизнесе
  • Укрепить навыки по алгебре и исчислению
  • Анализ и решение проблем бизнес-приложений
  • Применение функций, в том числе для решения реальных проблем
  • Найти и интерпретировать предельный доход, затраты и прибыль для линейных функций

Об этом курсе:

Этот курс обеспечивает фундаментальную основу для администраторов в государственном и частном секторах экономики, а также основательный обзор математики до получения степени MBA. Темы включают линейную и матричную алгебру (с особым акцентом на анализ спроса/предложения и затрат/доходов) и дифференциальное исчисление. Студентам предлагается привести примеры математических приложений, основанные на их профессиональном опыте. Передается для кредита UC.

Расписание на весну 2023 г.

—

В этом разделе нет установленного времени встреч.

Регистрация закрыта

Подробнее

Преподаватель: Джесси У. Общий

391061

Плата:

795,00 $

Онлайн

Обновление…

Подробнее

Примечания

Требуется доступ в Интернет. Требуемые материалы.

Срок возврата

После 07 апреля 2023 г. возврат средств невозможен

Требования к курсу

Программа курса

Учебник для этого раздела не требуется

—

Понедельник 18:30 — 21:30 по тихоокеанскому времени

Регистрация закрыта

Подробнее

Преподаватель: Бижан Рафаэль

391060

Плата:

795,00 $

Лично

Местонахождение: Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе

Обновление. ..

Подробнее

Примечания

Требуется доступ в Интернет. Требуемые материалы.

Крайний срок возврата средств

После 16 апреля 2023 г. возврат средств невозможен

Требования к курсу

Программа курса еще не опубликована.

Расписание

Лекция

Пн 3 апреля 2023

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция 9000 5

пн, 10 апреля 2023 г.

18:30 по тихоокеанскому времени — 9:30PM PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция

Пн 17 апреля 2023

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117 90 005

Лекция

Пн, 24 апреля 2023 г.

18:30 по тихоокеанскому времени — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция

Пн 1 мая 2023

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117 90 005

Лекция

Пн 8 мая 2023

6: 30 вечера по тихоокеанскому времени – 21:30 по тихоокеанскому времени

UCLAMath Sciences 5117

Лекция

Пн 15 мая 2023

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция 90 005

пн, 22 мая 2023 г.

18:30 по тихоокеанскому времени — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция

Пн, 29 мая 2023 г.

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

90 002 Лекция

Пн 5 июня 2023

18:30 PT — 9 :30PM PT

UCLAMath Sciences 5117

Лекция

Пн 12 июня 2023

18:30 PT — 21:30 PT

UCLAMath Sciences 5117

Лето 2023 Расписание

90 005

—

В этом разделе нет установленного времени встреч.

В наличии

Подробнее

Инструктор: Джесси У. Общий

392339

Плата:

855,00 $

Онлайн

Обновление…

РЕГИСТРАЦИЯ: 26 июня 2023 г.

Подробнее

Примечания

Требуется доступ в Интернет. Требуемые материалы.

Крайний срок возврата средств

После 30 июня 2023 г. возврат средств невозможен

Требования к курсу

(необязательно) Математические приложения для управления, жизни и социальных наук Harshbarger & Reynolds

ISBN 9781337625340

Программа курса

Основы бизнеса

Количественная финансовая аналитика

Готов начать
свое будущее?

Будьте в курсе последних новостей и предложений в области финансов

Имя

Фамилия

Проценты Выберите интересМатематические решения для бизнеса

Электронная почта

Компания (опционально)

Политика конфиденциальности Флажок

Регистрируясь, вы соглашаетесь с Политикой конфиденциальности UCLA Extension.

Главная | Математические решения Фрейзера

Главная | Математические решения Фрейзера

Математические решения Фрейзера

Fraser’s Mathematics Solutions обеспечивает всестороннее обучение в области высококачественного преподавания и изучения математики для администраторов, учителей и родителей в местных и виртуальных математических институтах, а также производит школьные принадлежности для учащихся, которые помогают им освещать уроки математики.