Автор: alexxlab

Записать число z в алгебраической. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая. Алгебраическая форма комплексного числа

Записать число z в алгебраической. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или .

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой :

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует )

1.2 Вычитание , аналогично, производится по следующему правилу:

2. Умножение.

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

,

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Оказывается, что

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы :

Последнюю формулу называют Формулой Муавра . Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа :

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Изложение материала.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент .

II. Изложение материала .

Мотивация.

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = — 1 .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 — b 1 b 2) + (a 1 b 2 — a 2 b 1) i .

Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .

Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .

Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i) .

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i .

3) Умножение.

Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .

Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .

4) Деление.

Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда

.

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = — i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.

П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

И выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r

Комплексные числа — Математика — Уроки

Комплексные числа.

Тема: Мнимая единица, множество комплексных чисел, алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической формуле. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Определение: Мнимой единицей называется число j, квадрат которого равен «-1»

Пример:

Определение: Объединение множества действительных чисел с мнимой единицей называется множеством комплексных чисел и обозначается «С».

Определение: Выражение вида: a+bj, где а и b – действительные числа, j – мнимая единица, называется алгебраической формой комплексного числа.

а – действительная часть комплексного числа.

b – мнимая часть комплексного числа.

Если а=0, то bj – чисто мнимое комплексное число.

Задача:

Ответ: Корнями уравнения являются два сопряженных комплексных числа.

z=a+bj ему сопряженное , а противоположное -z = —a—bj

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.

Комплексные числа в смысле «», «

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается точкой М(a,b) на координатной плоскости и наоборот: каждая точка координатной плоскости

изображает какое либо комплексное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается радиусом вектора ОМ с координатными (а;b).

Определение: длина радиуса вектора изображающего комплексное число z=a+bj, называется модулем комплексного числа и обозначается «r»,

Определение: Аргументом комплексного числа называется величина угла, образованного радиус – вектором, изображающим комплексное число с положительным направлением действительной оси.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два комплексных числа: и

1. сложение:

2. вычитание:

3. умножение:

Произведением двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, является комплексное число в алгебраической форме, которое получается по правилу умножения двучлена на двучлен:

4. деление:

Частным двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, является комплексное число в алгебраической форме, которое получается после умножения числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное знаменателю.

Задача:

Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и наоборот. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Рассмотрим прямоугольный ОАМ

Определение: Выражение вида , где r— модуль, φ – аргумент комплексного числа, j – мнимая единица, называется тригонометрической формой комплексного числа.

; — формулы перехода

от тригонометрической к алгебраической форме.

Пример: 2,6(

Переход из тригонометрической формы к алгебраической производится с помощью калькулятора. r(cosφ+sinφj)=a+bj

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме комплексного числа: ; ;

Пример:

Переход от алгебраической формы комплексного числа

к тригонометрической осуществляется с помощью калькулятора. a+bj=r(cosφ+sinφj)

Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме.

Сложение и вычитание выполняется только в алгебраической форме.

1) Умножение:

Пример:

2) Деление:

Пример:

3) Возведение комплексных чисел в n степень(формула Муавра) n – натуральное:

Пример:

4) Извлечение корня n-й степени.

Корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n-значений, которые получаются при к=0,1…(n-1)

, где k=0,1…(n-1)

Пример:

Тема: Показательная форма комплексного числа. Переход от показательной формы комплексного числа. Действия над комплексными числами показательной формы.

Формула Эйлера:

Определение: Выражение вида , где r-модуль, φ-аргумент, j-мнимая единица, называется показательной формой комплексного числа.

Т.к. комплексное число в показательной форме задается модулем r и аргументом φ, то формулой перехода от алгебраической формы к показательной и наоборот, такие же, как от тригонометрической к показательной и наоборот.

Пример:

Пусть даны комплексные числа: ;

1. умножение:

2. деление:

3. возведение в натуральную степень: z=(

4. извлечение корня n-й степени: к=0,1,…,(n -1)

Справочник по всем алгебраическим уравнениям комплексных чисел

При выполнении математических вычислений действительные числа — это числа, которые обычно используются в качестве основы для нашей работы.

Однако мнимые числа используются только для математических расчетов при работе с комплексными числами.

В большинстве случаев это не так.

Число называется комплексным, если оно может быть записано в виде a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица измерения, и число должно также удовлетворять уравнению i2 = 1, чтобы считать комплексным числом.

Простым примером комплексного числа может быть сумма 5 и 6i, где 5 — действительное число, а 6i — мнимое число.

Из-за этого сумма действительного числа и мнимого числа называется комплексным числом.

В следующей таблице подробно описаны четыре различных типа алгебраических операций, которые можно выполнять над комплексными числами.

Следующие четыре операции можно выполнять над комплексными числами:

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

Сложение комплексного числа

Чтобы сложить два комплексных числа, просто сложите действительную и мнимую составляющие, соответствующие каждому целому числу.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание с использованием комплексных чисел

Чтобы вычесть два комплексных числа, нужно просто вычесть действительную и мнимую составляющие которые соответствуют каждому из чисел.

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Вычисление произведения двух комплексных чисел

Умножение двух двучленов эквивалентно умножению двух комплексных числа.

Предположим, нам нужно выполнить операцию умножения a + bi на c + di.

Мы будем умножать их почленно.

(a + bi) ∗ (c + di) = (a + bi) ∗ c + (a + bi) ∗ di

= (a ∗ c + (b ∗ c)i)+((a ∗ d )i + b ∗ d ∗ −1)

= (a ∗ c − b ∗ d + i(b ∗ c + a ∗ d))

Дискриминант

В математике дискриминант полинома – это величина, которая зависит от коэффициентов и влияет на различные особенности корней.

Другими словами, дискриминант многочлена является математически важным корнем.

Наиболее распространенным определением для него является полиномиальная функция, где переменными служат коэффициенты исходного полинома.

Дискриминант широко используется в процессе факторизации полиномов, теории чисел и алгебраической геометрии.

Обычно обозначается тильдой ∆.

Если рассматриваемый многочлен имеет двойной корень, и только тогда этот дискриминант будет равен нулю.

В случае вещественных коэффициентов положительно, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицательно, если он имеет два различных комплексно-сопряженных корня.

Если многочлен имеет два разных действительных корня, он имеет положительное значение.

Аналогичным образом, для кубического многочлена существует дискриминант, равный 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень.

Это единственное обстоятельство, при котором дискриминант может быть равен нулю.

В случае куба с действительными коэффициентами дискриминант считается положительным, если рассматриваемый многочлен имеет три отдельных действительных корня,

и отрицательным, если рассматриваемый многочлен имеет только один действительный корень, но два уникальных комплексно-сопряженных корня.

Алгебраические уравнения

Выражение, в котором два других выражения равны друг другу, называется алгебраическим уравнением.

Алгебраическое уравнение может быть описано как математическое выражение.

Переменная, некоторые коэффициенты и некоторые константы составляют типичные компоненты алгебраического уравнения.

Уравнения или знак равенства — это символ, который при буквальном переводе означает равенство.

Приравнивание одной величины к другой является фундаментальной концепцией, лежащей в основе всех математических уравнений.

Уравнение в форме является примером алгебраического уравнения.

P = 0

В этом случае P будет многочленом.

Например, алгебраическое уравнение будет выглядеть так: x + 8 = 0, где x + 8 — многочлен.

В связи с этим мы также называем его полиномиальным уравнением.

Уравнение в алгебре всегда записывается как сбалансированное уравнение, и оно должно иметь переменные, коэффициенты и константы.

Различные виды уравнений в алгебре

В алгебре существует множество различных типов уравнений. Ниже приводится подборка алгебраических уравнений:

Полиномиальные уравнения

Все полиномиальные уравнения, как и линейные уравнения, принадлежат к более широкой категории алгебраических уравнений.

Напомним, что полиномиальное уравнение — это уравнение, в структуру которого входят переменные, показатели степени и коэффициенты.

Уравнения в линейной форме: ax + b = c (a не равно 0)

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение представляет собой полиномиальное уравнение с одной переменной, имеющее вид 

f(x) = ax ²  + bx + c и имеет степень 2 в переменной.

Квадратные уравнения: ax ²  + bx + c = 0 (a не равно 0)

Кубические уравнения

Кубические многочлены — это просто другое название многочленов степени 3.

Каждый из кубических многочленов можно записать как уравнение в алгебре.

Кубические многочлены

ax ³  + bx ²  + cx + d = 0

Уравнения рациональных многочленов вида P(x)/Q(x)=0

Тригонометрические уравнения

Каждое из тригонометрических уравнений рассматривается как отдельная алгебраическая функция.

В уравнении, включающем тригонометрию, выражение включает тригонометрические операции, выполняемые над переменной.

Заключение

Итак, в заключение Комплексные числа — это числа, состоящие из двух частей: действительного числа и мнимого числа. Действительное число и мнимое число составляют комплексное число. Комплексные числа служат фундаментальными строительными блоками для более сложных математических областей, таких как алгебра. Они имеют широкий спектр потенциальных применений в реальной жизни, особенно в области электроники и электромагнетизма.

Видео-вопрос: Преобразование комплексных чисел из алгебраической формы в полярную

Стенограмма видео

Выразите корень числа три 𝑖 в тригонометрической форме.

Нам дано комплексное число в прямоугольной или алгебраической форме. В общем, можно сказать, что комплексное число в прямоугольной форме равно 𝑎 плюс 𝑏𝑖. 𝑎 реальная часть. А 𝑏 — мнимая составляющая нашего комплексного числа.

Мы хотим записать это число в тригонометрической форме. Это 𝑟 cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃, где 𝑟 — модуль нашего комплексного числа, а 𝜃 — его аргумент. И есть несколько формул преобразования, которые мы можем использовать, чтобы сэкономить время. Но давайте посмотрим на диаграмму Аргана, чтобы понять, откуда они взялись.

На этой диаграмме Аргана горизонтальная ось представляет действительную составляющую. А вертикальная ось представляет собой мнимую составляющую нашего комплексного числа. Мы видим, что корень три 𝑖 будет лежать где-то на этой вертикальной оси, тогда как общее комплексное число в нашей алгебраической форме с положительными значениями 𝑎 и 𝑏 будет лежать где-то в этом первом квадранте.

Мы можем добавить прямоугольный треугольник. И мы также можем добавить высоту по вертикали 𝑏 и ширину по горизонтали 𝑎 единиц. Модуль — это гипотенуза этого треугольника. Иногда его называют величиной комплексного числа. И мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти уравнение для 𝑟. Его можно найти, найдя квадратный корень из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате.

Далее рассмотрим аргумент. Он измеряется против часовой стрелки от горизонтальной оси, как показано на рисунке. Мы можем обозначить треугольник относительно этого включенного угла. Обозначив противоположную соседнюю и гипотенузу относительно прилежащего угла, мы видим, что можем составить уравнение для 𝜃, используя коэффициент тангенса.

Tan 𝜃 равен противоположному больше соседнего. В данном случае это 𝑏 больше 𝑎. И мы можем решить это уравнение для 𝜃, найдя обратный тангенс или 𝑟 арктангенс обеих сторон. Таким образом, 𝜃 равно арктангенсу 𝑏 над 𝑎. И теперь у нас есть две формулы преобразования, которые мы можем использовать для выражения комплексного числа в прямоугольной форме в тригонометрической форме.

𝑎 — константа. В данном случае это ноль. А 𝑏 — это коэффициент 𝑖. Это корень три. Таким образом, модуль нашего комплексного числа равен квадратному корню из нуля плюс корень из трех в квадрате, что равно просто корню из трех. А 𝜃 мы можем вычислить, рассмотрев положение на диаграмме Аргана. Но воспользуемся формулой. Это арктан корня три больше нуля.

И, конечно же, корень три, разделенный на ноль, не определен. И мы знаем, что функция тангенса не определена в точке, где 𝜃 равно 𝜋 на два. Теперь это имеет большой смысл, поскольку мы сказали, что 𝜃 измеряется в направлении против часовой стрелки от горизонтальной оси. В качестве альтернативы мы могли бы измерить его в градусах.

Тригонометрия — Mind Map

Остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетам, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Свойства подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Признаки равенства треугольников

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).
4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Разносторонний

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Равнобедренный

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Равносторонний

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников:

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Материал для подготовки к ОГЭ

1. Укажите номера верных утверждений.

1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

2.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3)Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

3.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

4.Укажите номера верных утверждений.

1)Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3)Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

5.Укажите номера верных утверждений.

1)Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3)Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

6.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

2)Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

3)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

7.Укажите номера верных утверждений.

1)Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3)Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

8.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2)Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3)Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

9.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

·         2)Диагонали прямоугольника равны.

• 3)У любой трапеции боковые стороны равны.

10.Укажите номера верных утверждений.

• 1)Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• 2)Вертикальные углы равны.
• 3)Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

11.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.

3)Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

12.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2)Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

3)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

13.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

·         2)Диагонали прямоугольника равны.

·         3)У любой трапеции основания параллельны.

14.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

2)Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

3)У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.

15.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

·         2)Ромб не является параллелограммом.

• 3)Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

16.Укажите номера верных утверждений.

1)Существует ромб, который не является квадратом.

2)Если две стороны треугольника равны, то равны и противолежащие им углы.

3)Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

17.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

·         2)Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

·         3)Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

18.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

3)Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.

19.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.

·         2)Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

3)Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

20.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

·         2В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3)Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

21.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

·         2)Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

·         3)Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

22.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.

2)В любой треугольник можно вписать окружность.

3)Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

23.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

·         2)Сумма смежных углов равна 180°.

·         3)Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

24.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

3)Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.

 25.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.

·         2)Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.

·         3)Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

26.Укажите номера верных утверждений.

1)Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

2)Смежные углы равны.

3)Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его высотой.

27.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

·         2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

·         3)У равностороннего треугольника три оси симметрии.

28.Укажите номера верных утверждений.

1)Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

29.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Против большей стороны треугольника лежит меньший угол.

·         2)Любой квадрат можно вписать в окружность.

·         3)Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

30.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.

2)Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3)Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

31.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

·         2)Квадрат является прямоугольником.

·         3)Сумма углов любого треугольника равна 180°.

32.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.

2)В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3)Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

33. Укажите номера верных утверждений.

·         1)Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

·         2)Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

·         3)В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

34.Укажите номера верных утверждений.

1)Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины угла, противолежащего основанию, делит этот угол пополам.

2)Не существует прямоугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3)В плоскости для точки, лежащей вне круга, расстояние до центра круга больше его радиуса.

35.Укажите номера верных утверждений.

1)Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)Сумма смежных углов равна 180°.

3)Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

36.Укажите номера верных утверждений.

·         1)Любой квадрат является ромбом.

·         2)Против равных сторон треугольника лежат равные углы.

·         3)Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

37.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2)Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3)Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Укажите номера верных утверждений.

1)Существует прямоугольник, который не является параллелограммом.

2)Треугольник с углами 40°,  70°, 70° — равнобедренный.

3)Если из точки M проведены две касательные к окружности и А и В — точки касания, то отрезки MA и MB равны.

38.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

·         1)Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

·         2)Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

·         3)Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

39.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

2)Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

3)Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Quia — Геометрия Глава 4

33. геометрические фигуры, которые имеют одинаковые размеры и форму, и все пары соответствующих углов и соответствующих сторон равны A B Треугольник Фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Равносторонний треугольник Имеет три равные стороны Равнобедренный треугольник Треугольник, у которого хотя бы две равные стороны. Разносторонний треугольник Не имеет конгруэнтных сторон Acute Triangle Has three acute angles Equiangular Triangle Has three congruent angles Obtuse Triangle Has one obtuse angle Right Triangle A triangle with one right angle Внутренние углы Сторона, противоположная прямому углу прямоугольного треугольника Внешние углы Когда стороны треугольника вытянуты, углы, примыкающие к внутренним углам, являются внешними углами Соответствующие углы Когда две фигуры равны, углы, находящиеся в соответствующих положениях, равны. Соответствующие стороны Когда две цифры являются конгруэнтными, стороны, которые находятся в соответствующих положениях, являются конгруэнтными Следствие , которое может быть легко доказано с помощью Theorem Ноги Стороны правого треугольника или конгруэнтные стороны Asockeles Triangle Гипотеновая мера внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Внешний угол Теорема Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренних углов. Следствие теоремы о суммах треугольников Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга. Когда две геометрические фигуры равны, существует соответствие Теорема о третьих углах Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то третьи углы также равны. Постулат о конгруэнтности сторон (SSS) Если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем сторонам второго треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. Постулат о конгруэнтности стороны-угла-стороны (SAS) Если две стороны и угол между ними одного треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. Постулат о конгруэнтности многоугольников Два многоугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует соответствие между их сторонами и углами, такое что: Каждая пара соответствующих углов конгруэнтна; Каждая пара соответствующих сторон конгруэнтна Постулат о конгруэнтности угла-стороны-угла (ASA) Если два угла и прилежащая к ним сторона в одном треугольнике равны двум углам и прилежащей стороне в другом треугольнике, то эти два треугольника равны Угол Постулат о конгруэнтности углов и сторон (AAS) Если два угла и невключенная сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим углам и невключенной стороне другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны. Теорема о конгруэнтности гипотенузы- катета (HL) Если гипотенуза и катет прямоугольного треугольника конгруэнтны гипотенузе и катету другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. CPCTC Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны Теорема о равнобедренном треугольнике Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и углы, противолежащие этим сторонам конгруэнтны. Обратная теорема о равнобедренном треугольнике Если два угла треугольника равны, то стороны, противолежащие этим углам, равны. Ноги из Isockeles Triangle Две конгруэнтные стороны Угол вершины Угол противоположный основание . равнобедренного треугольника Следствие Дополнительная теорема, которую можно легко вывести из исходной теоремы Мера каждого равностороннего треугольника ___________ 60 градусов Биссектриса угла при вершинах равнобедренного треугольника _____________. Биссектриса основания Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на ____________. два равных треугольника Противоположные стороны параллелограмма _____________. конгруэнтны Противоположные углы параллелограмма _____________. конгруэнтны Смежные углы параллелограмма _____________. дополнительный Диагонали параллелограмма ___________________. делят друг друга пополам Ромб — это _____________. параллелограмм Прямоугольник — это _____________. параллелограмм Диагонали ромба _____________. перпендикуляр Диагонали прямоугольника _____________. конгруэнтны Диагонали воздушного змея _____________. перпендикулярно Квадрат — это _____________ и _____________. прямоугольник; ромб Диагонали квадрата равны _____________ и равны _____________ друг другу конгурентны; серединный перпендикуляр Если две пары противоположных сторон четырехугольника равны, то этот четырехугольник является _____________. параллелограмм Если одна пара противоположных сторон четырехугольника _________ и ______, то этот четырехугольник является параллелограммом параллельным; конгруэнтны Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то этот четырехугольник _____________. параллелограмм Если один угол параллелограмма прямой, то параллелограмм _____________. прямоугольник Теорема строителя Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. ромб Если диагонали параллелограмма делят углы параллелограмма пополам, то параллелограмм является _____________. ромб Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм _____________. ромб Теорема о средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и имеет меру, равную половине меры этой стороны Теорема о неравенстве треугольника длины любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны на

Теоремы сравнения треугольников | SAS, ASA & SSS Postulates

Written by

Malcolm McKinsey

January 11, 2023

Fact-checked by

Paul Mazzola

Triangle congruence theorems (SSS, SAS, & ASA Postulates)

Triangles can быть похожими или конгруэнтными. У подобных треугольников углы равны, но стороны разной длины. Конгруэнтные треугольники будут иметь полностью совпадающие углы и стороны. Их внутренние углы и стороны будут равны. Проверка конгруэнтности треугольников включает три постулата, сокращенно 9.0382 SAS , ASA и SSS .

Определение конгруэнтности

Два треугольника  конгруэнтны  , если их соответствующие стороны равны по длине и их соответствующие внутренние углы равны по размеру.

Мы используем символ ≅ для обозначения соответствия.

Соответствие сторон и углов означает, что сторона одного треугольника и сторона другого треугольника в одном и том же положении совпадают. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы провести тщательное сравнение и найти соответствующие части.

Как определить конгруэнтность треугольников?

Вы можете разрезать свой учебник ножницами, чтобы проверить два треугольника. Это не очень полезно и портит ваш учебник. Если вы работаете с онлайн-учебником, вы не сможете сделать даже , что .

Геометры предпочитают более элегантные способы доказательства конгруэнтности. Сравнивая один треугольник с другим на соответствие, они используют три постулата.

Определение постулата

постулат  является математически представленным утверждением, которое считается истинным. Все три утверждения о конгруэнтности треугольников обычно рассматриваются в мире математики как постулаты, но некоторые авторитеты определяют их как теоремы  (доказуемых).

Не волнуйтесь, если некоторые тексты называют их постулатами, а некоторые математики называют их теоремами. Более важными, чем эти два слова, являются концепции конгруэнтности.

Теоремы сравнения треугольников

Проверка конгруэнтности треугольников включает три постулата. Давайте рассмотрим три постулата, сокращенно обозначаемые ASA , SAS и SSS.

1. Angle Side Angle (ASA)

2. Side Angle Side (SAS)

3. Side Side Side (SSS)

ASA theorem (Angle -боковой угол)

Постулат угла стороны и угла (ASA)  говорит, что треугольники конгруэнтны, если любые два угла и их сторона равны в треугольниках. Прилежащая сторона — это сторона между двумя углами.

В приведенном ниже скетче у нас есть △CAT и △BUG . Обратите внимание, что Ϫc на △ CAT согласуется с ϩ на △ Bug и ϩ на △ Cat — это конгресс 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333н.

См. прилагаемую сторону между ∠C и ∠A на △CAT ? Его длина равна стороне между ∠B и ∠U на △BUG .

У двух треугольников два угла конгруэнтны (равны), а сторона, заключенная между этими углами, конгруэнтна. Это заставляет оставшийся угол нашего △CAT быть:

Это потому, что внутренние углы треугольников складываются в 180° . Вы можете построить только один треугольник (или его отражение) с заданными сторонами и углами.

Вы можете подумать, что мы подстроили это, потому что заставили вас смотреть под определенным углом. Постулат гласит, что вы можете выбрать 90 402 любых 90 403 двух углов и их включенных сторон. Так что вперед; посмотрите на ∠C и ∠T или ∠A и ∠T на △CAT .

Сравните их с соответствующими углами на △BUG . Вы увидите, что все углы и все стороны равны в двух треугольниках, независимо от того, какие из них вы выберете для сравнения.

Теорема SAS (Сторона-Угол-Сторона)

Применяя постулат Сторона Угол Сторона (SAS) , вы также можете быть уверены, что ваши два треугольника конгруэнтны. Здесь вместо выбора двух углов мы выбираем сторону и соответствующую ей сторону двух треугольников.

Постулат SAS  говорит, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и их угол конгруэнтны.

Выберите любую сторону △JOB  ниже. Обратите внимание, что мы не заставляем вас выбирать определенную сторону, потому что мы знаем, что это работает независимо от того, с чего вы начинаете. Перейдите к следующей стороне (в любом направлении, в котором вы хотите двигаться), которая охватит прилежащий угол.

или два треугольника, чтобы быть конгруэнтными, эти три части — сторона, прилежащий угол и смежная сторона — должны быть конгруэнтны тем же трем частям — соответствующей стороне, углу и стороне — на другом треугольнике ,  △ЯК .

Теорема SSS (Сторона-Сторона-Сторона)

Возможно, самый простой из трех постулатов,  Сторона Сторона Сторона Постулат (SSS)  утверждает, что треугольники конгруэнтны, если три стороны одного треугольника конгруэнтны соответствующим сторонам другого треугольника. .

Это единственный постулат, который не имеет отношения к углам. Вы можете воспроизвести постулат SSS , используя два прямых объекта — сырые спагетти или пластиковые мешалки отлично подойдут.

Отрежьте один кусочек, чтобы он был не таким длинным, каким был изначально. Разрежьте другую длину на две отчетливо неравные части. Теперь у вас есть три стороны треугольника. Сложите их вместе. У вас есть один треугольник. Теперь перетасуйте стороны и попробуйте соединить их другим способом, чтобы получился другой треугольник.

Угадай что? Вы не можете этого сделать. Вы можете собрать свой треугольник только одним способом, независимо от того, что вы делаете. Вы можете думать, что вы умны и переключаете две стороны, но тогда все, что у вас есть, — это отражение (зеркальное отражение) оригинала.

Итак, как только вы поймете, что три длины могут составить только один треугольник, вы увидите, что два треугольника, три стороны которых соответствуют друг другу, идентичны или конгруэнтны.

Проверка совпадения полигонов

Вы можете проверять многоугольники, такие как параллелограммы, квадраты и прямоугольники, используя эти постулаты.

Введение диагонали в любую из этих фигур создает два треугольника. Используя любой постулат, вы обнаружите, что два образовавшихся треугольника всегда конгруэнтны.

Предположим, у вас есть параллелограмм  SWAN  и вы добавляете диагональ SA . Теперь у вас есть два треугольника: △SAN и △SWA . Они конгруэнтны?

Вы уже знаете, что линия SA , используемая в обоих треугольниках, конгруэнтна сама себе. А как насчет ∠SAN ? Он конгруэнтен ∠WSA , потому что они являются альтернативными внутренними углами параллельных отрезков SW и NA (из-за теоремы о альтернативных внутренних углах).

Вы также знаете, что отрезки SW и NA конгруэнтны, потому что они были частью параллелограмма (противоположные стороны параллельны и конгруэнтны).

Число 84

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

1307674367999 28 и 42 802 441 39750 29 и 161961 10000 8179537263154 444444444444 19 1997 25 358 3157834937 5099 833333 758 и 28 15 и 25 1777 и 456 7149617 и 150 3628800 49000064257 25814 87178291201

Восемьдесят четыре

Описание числа 84

Рациональное число 84 является составным. 12 — сумма цифр данного числа. У числа 84 12 делителя: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. 224 — сумма делителей. 0.011904761904761904 является обратным числом к 84.
Факторизация числа 84: 2 * 2 * 3 * 7.

Другие представления числа: двоичная система счисления: 1010100, троичная система счисления: 10010, восьмеричная система счисления: 124, шестнадцатеричная система счисления: 54. Число байт 84 это 84 байта .

Число 84 в виде кода азбуки Морзе: —.. ….-

Число 84 не является числом Фибоначчи.

Косинус числа 84: -0.6800, синус числа 84: 0.7332, тангенс числа 84: -1.0782. Натуральный логарифм равен 4.4308. Число имеет десятичный логарифм: 1.9243. 9.1652 — квадратный корень из числа 84, 4.3795 — кубический корень. Число 84 в квадрате это 7056. 0.

1 минута 24 секунды — столько в числе 84 секунд. Нумерологическое значение числа 84 – цифра 3.

• ← 83
• 85 →

Наименьшее общее кратное 42 и 98

Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

Какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 42 и 98?

Ответ: НОК чисел 42 и 98 это 294

(двести девяносто четыре)

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 42 и 98 используя НОД этих чисел

Первый способ нахождения НОК для чисел 42 и 98 — через нахождение наибольшего общего делителя (НОД) этих чисел. Формула:

НОК = (Число1 × Число2) ÷ НОД

НОД чисел 42 и 98 равняется 14, следовательно

НОК = (42 × 98) ÷ 14

НОК = 4116 ÷ 14

НОК = 294

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 42 и 98 используя перечисление кратных

Второй способ нахождения НОК для чисел 42 и 98 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

Кратные числа 42: 42, 84, 126, 168, 210, 252, 294, 336, 378

Кратные числа 98: 98, 196, 294, 392, 490

Следовательно, НОК для 42 и 98 равняется 294

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 42 и 98 используя разложение чисел на простые множители

Еще один способ нахождения НОК чисел 42 and 98 — это нахождение всех простых множителей для обоих чисел и перемножение самых больших экспоненциальных форм

Все простые множители числа 42: 2, 3, 7 (экспоненциальная форма: 2¹, 3¹, 7¹)

Все простые множители числа 98: 2, 7, 7 (экспоненциальная форма: 2¹, 7²)

2¹ × 3¹ × 7² = 294

Поделитесь текущим расчетом

Печать

https://calculat. io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/42—98

<a href=»https://calculat.io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/42—98″>Наименьшее общее кратное 42 и 98 — Calculatio</a>

О калькуляторе «Наименьшее общее кратное»

Данный калькулятор поможет найти Наименьшее общее кратное двух чисел. Например, он может помочь узнать какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 42 и 98? Выберите первое число (например ’42’) и второе число (например ’98’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.

Наименьшее общее кратное (НОК) для двух чисел - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа без остатка

Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

Таблица Наименьших общих кратных

Accueil

L’ONU exprime sa vive reconnaissance au Pésident Paul BIYA

Le Chef de l’Etat, S. E. Paul BIYA, reçu en Audience, le mercredi 29 mars 2023 au… Lire la suite…

Sommet ordinaire de la CEMAC à Yaoundé: общий успех

Réunis au Palais de l’Unité, le vendredi 17 марта 2023 года, dans le cadre de la 15ème… Lire la suite…

Сотрудничество Камерун-Экваториальная Гвинея. Подписание соглашения об эксплуатации нефти и газа

En marge de la 15ème session de la Conférence des Chefs d’Etat et de Gouvernement… Lire la suite…

15-я сессия ordinaire de la CEMAC — Discours de clôture de S.E.M. Пол БИЯ

Господа шеф-повара d’Etat de la CEMAC, Chers Frères, превосходства, Mesdames, M… Lire la suite…

15-я сессия Ordinaire de la CEMAC — Disours d’ouverture de S.E.M. Пол БИЯ

Лир ля сюит…

Последние новости

Sommet ordinaire de la CEMAC à Yaoundé: succès total

Réunis au Palais de l’Unité, le vendredi 17 марта 2023 года, dans le cadre de la 15 ^ème session de. ..

Кооперация Камерун-Экваториальная Гвинея. Подпись о согласии на эксплуатацию нефти и газа

En marge de la 15 ^ème session de la Conférence des Chefs d’Etat et de Gouvernement de la CEMAC…

15e session ordinaire de la CEMAC — Disours de clôture de S.E.M. Paul BIYA

• Messieurs les Chefs d’Etat de la CEMAC, Chers Frères,
• Excel…

15e session ordinaire de la CEMAC — Disours d’ouverture de S.E.M. Пол БИЯ

Rencontre au sommet Paul BIYA-Mahamat Idriss Deby Itno

A la veille de la tenue de la 15 ^ème session de la conférence des Chefs d’Etat et de Gouvernem…

15-я сессия Ordinaire de la Conférence des Chefs d’Etat de la Communauté Economique et Monétaire de l’Afrique Centrale (CEMAC)

14e édition de la Journée de la CEMAC. Disours du Président Paul BIYA

• Превосходительства, господа шеф-повара d’Etat de la CEMAC,
• Люди д. ..

Joyeux Anniversaire Monsieur le Président !

Послание шеф-повара государства по случаю 57-го праздника молодежи

• 1
• 2
• 3

• Информация для консультантов
• Социальные сети

• Биография президента Поля БИЯ

• Les Collaborateurs du Chef de l’Etat

• Декрет № 2011/412 от 9 декабря 2011 г. о реорганизации Президента Республики

• Презентация дю Камерун

• Роль конституционного президента

• Parcours de S.E. Пол БИЯ

Гранд Проектс

Сельское хозяйство и возвышенности

Энергия

Транспорт

Вода и электричество

Социальный

• 1
• 2

Публикации

Рекламные публикации

Bonne fête à toutes les femmes!

Lire la suite. ..

Юбилей Джойе!

Lire la suite…

Le CERAC en fête autour de sa Présidente fundatrice

Lire la suite…

Nouvel an 2023. Vœux et fleurs pour Mme Chantal BIYA

Lire la suite…

Chantal BIYA: погружение в афро-американскую историю

Lire la suite…

• 15-я сессия ordinaire de la CEMAC — Discours de clôture de S.E.M. Пол БИЯ

• Видеогалереи
• Фотогалереи
• Аудио галереи
• Документы

• Écrire au Président

WCIO Описание травмы Коды Характер травмы

%PDF-1.4 % 1 0 объект /Producer(Adobe PDF Library 20.

корень из 2/3-5х=1/13 — вопрос №1847558 — Учеба и наука

17. 02.16

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его . .. 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.

шмель и оса полетели с…

у мальчика тетрадей в клетку на 15 больше чем в линейку сколько всего у него тетрадей если тетрадей в клетку в 4 раза больше чем в линейку

Стоимость автомобиля с гаражом составляет…

Прямоугольник разрезали на 8 равных…

Пользуйтесь нашим приложением

Найдите значение выражения 5 корень из 13 * 2 корень из 3 * корень из 39 — Знания.site

Последние вопросы

• Информатика

  1 минута назад

  Помогите с информатикой срочно! блок схемы, паскаль

• Физика

  1 минута назад

  Физика 8 класс. Пожалуйста помогите!! Электромагнитные колебания и волны

• Информатика

  1 минута назад

  СРОЧНО ПОМОГИТЕ ЛЮДИ ДОБРЫЕ

• Українська мова

  1 минута назад

  Я рахую, що до інтерв’ю треба готуватися дуже старательно. Правий журналіст, який задає самі важливі питання. До слідуючого запитання можна переходити, почувши відповідь на попереднє. Велике спасибі телебаченню за гарні взірці інтерв’ю. Упевнений, що подавляючі оцінки нашої праці будуть положительні.

• Химия

  1 минута назад

  який об’єм водню виділиться при взаємодії 65грам магнію з хлоридною кислотою (н. у)

• Право

  1 минута назад

  . Что понимается под термином «несовершеннолетний обвиняемый»?

• Литература

  7 минут назад

  оиииоомролалаалалелпопл​

• Биология

  7 минут назад

  Поживні речовини у хвощів запасаются в:СтеблахКореневищахБульбоякахЛистках​

• Право

  7 минут назад

  1. Чем отличается судебное разбирательство по делам частного обвинения от разбирательства дел публичного обвинения?

• Русский язык

  12 минут назад

  Прочитайте предложения. Найдите вводные слова и вводныепредложения, обозначьте их. Спишите, расставляя знаки препинания.1) Эта фраза пожалуй была сказана между прочим хотя её содержаниенапомнило мне между прочим одну двусмысле..ую шутку.2) У Татьяны Андреевны к сож..лению замёрзли ресницы и (по)этомуей к..залось что от звезды падают на дорогу ломкие полосысвета. (К.Г.Паустовский)3) Письмо должно быть срочно доставле..о адресату потому чтокажется мы и так опаздываем с доставкой.4) А впрочем судьба наша кажет..ся одинакова и родились мы(по)вид..мому под еди..ым созвездием. (А. Пушкин)5) Почти (на)против его подвала прост..рался огромный пустырьгородской земли словом те..итория была внушительной. 6) После (не)состоявш..йся встречи с дядей к сожалениюпр..мешивалось ещё и чувство разоч..рования и это к сожалению мешалососредоточит..ся на серьёзных размышлениях.7) Книги брош..ры газеты словом все виды журнальной продукции во-первых валялись на полу во-вторых были (по)вид..мому в таком состоянииуже давно о чём свидетельствовал (в)час. .ности слой пыли на них но этооднако не помешало нашему ра..ледованию.8) Потом (в)прочем он говорил что наверное (не)стоило горячит..ся(не)много поостыть и действовать уже (на)верняка (по)тому(что) по егомнению ситуация (до)конца (не)была проясне..а и у пр..сутствующих всё(же)ост..вались наверное вопросы.9) Увы он счастия не ищ..т и не от счастия бежит. (М.Ю. Лермонтов)10) Вронский к ужасу своему почувствовал что сделал скверноенепростительное движение. (Л.Н. Толстой)ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ СРОЧНО ​

• Українська мова

  12 минут назад

  Згрупуйте спільнокореневі слова і запишіть. Яке явище відбувасться в поланих словах? — газ, газета, газівник, газетяр, газетка, газосховище, газетний; — хороший, хор, хорошенький, хорист, хоровод, хоровий; — вода, водити, водіння, підводнии, водичка, переводити, воджу.будь ласочка

• География

  12 минут назад

  Розгляньте задачу з поясненням розв’язку. Оберіть правильну відповідь. На яку висоту піднявся літак, якщо за бортом температура повітря становить –30оС, в той час, як біля поверхні землі +24оС? Розв’язок: 1) +24oC-(-30oC )= 54 oC 2) 54oC : 6оС = Виберіть одну відповідь: 7 км 9 км 10 км 8 км

• География

  12 минут назад

  доповіді про заповідники та національні парки України.Написати про один.​

• Українська мова

  12 минут назад

  За допомогою суфіксів -к-, -иц-. -ин-, -ес- від іменників чоловічого роду утворіть іменники на означення осто жіночо статі фемінтиви): Агент. автор. архітектор, кравець, філолог, диякон, депутат. виконавець. директор. доцент. етнограф, кравець, математик, шмець, педагог, президент продавець. полтик, служоовець, творець. філолог. фотограф.будь ласочка

• Українська мова

  12 минут назад

  виправте речення Я рахую, що до інтерв’ю треба готуватися дуже старательно. Правий журналіст, який задає самі важливі питання. До слідуючого запитання можна переходити, почувши відповідь на попереднє. Велике спасибі телебаченню за гарні взірці інтерв’ю. Упевнений, що подавляючі оцінки нашої праці будуть положительні.

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Квадратный корень из 13 пошаговое решение

Вот ответ на такие вопросы, как: Квадратный корень из 13 пошаговое решение | √13 или чему равен квадратный корень из 13?

Используйте приведенный ниже калькулятор квадратного корня, чтобы найти квадратный корень любого мнимого или действительного числа. См. также на этой веб-странице таблицу квадратного корня от 1 до 100, а также вавилонский метод или метод Героя.

Вавилонский метод, также известный как метод Героя.

Что такое квадратный корень?

Определение квадратного корня

Квадратный корень из числа «а» — это число x, такое что x ² = a, другими словами, число x, квадрат которого равен a. Например, 3 — это квадратный корень из 9, потому что 3 ² = 3•3 = 9., -3 является квадратным корнем из 9, потому что (-3) ² = (-3)•(-3) = 9.

Таблица квадратных корней 1-100

Квадратные корни от 1 до 100, округленные до ближайшей тысячной.

нет	нет 2	√
1	1	1.000
2	4	1,414
3		1,732
4	1,732
40006 9000 4
40006 9000 4	1. 7320006	2.000
5	25	2.236
6	36	2.449
7	49	2.646
8	64	2.828
9	81	3.000
10	100	3,162
11	121	3,317
12	3,317
12	0006	144	3.464
13	169	3.606
14	196	3.742
15	225	3.873
16	256	4.000
17	289	4.123
18	324	4.243
1	361	4.359	1	361	4.359	0007
20	400	4. 472
21	441	4.583
22	484	4.690
23	529	4.796
24	576	4.899
25	625	5.000

нет	нет 2	√
26	676	5.099
27	729	5.196
28	784	5.292
29	841	5.385
30	900	5.477
31	961	5,568
32	1,024	5,657
33	1,089
33	999
33	999
5. 745
34	1,156	5.831
35	1,225	5.916
36	1,296	6.000
37	1,369	6.083
38	1,444	6.164
39	1 521	6,245
40	1 6006	6.325
41	1,681	6.403
42	1,764	6.481
43	1,849	6.557
44	1,936	6.633
45	2,025	6.708
46	2 116	6.782
47	2 209	6,856
48	2 30 4966
48	2 30	6.928
49	2 401	7. 000
50	2 500	7.071

нет	нет 2	√
51	2,601	7.141
52	2,704	7.211
53	2,809	7.280
54	2,916	7.348
55	3,025	7.416
56	3,136	7.483
57	3,249	7.550
58	3,364	7.616
59	3 481	7.681
60	3 600	7,746
61	3 721	7.810		3 721	7.810		0007
62	3,844	7.874
63	3,969	7. 937
64	4,096	8.000
65	4,225	8.062
66	4,356	8.124
67	4 489	8.185
68	4,624	8.246
69 0009	8.246
		8.246
		8.246
		0004 4,761	8.307
70	4,900	8.367
71	5,041	8.426
72	5,184	8.485
73	5,329	8.544
74	5 476	8.602
75	5 625	8.660

№	п 2	√
76	5,776	8. 718
77	5,929	8.775
78	6,084	8.832
79	6,241	8.888
80	6,400	8,944
81	6,561	9,000
82	90,724	9.055
83	6,889	9.110
84	7,056	9.165
85	7,225	9.220
86	7,396	9.274
87	7 569	9.327
88	7 744	9.381
89	7 921	9.434		7 921	9.434		7,921	9.434		7 921	9.434		0003	90	8,100	9.487
91	8,281	9. 539
92	8,464	9.592
93	8,649	9.644
94	8,836	9.695
95	9,025	9,747
9666	9 0009		9,798
9000		9,798
9000 9000 40004 9.798,409	9.849
98	9,604	9.899
99	9,801	9.950
100	10,000	10.000

Квадратный корень из 13 — Z ТАБЛИЦА ОЦЕНОК

Если вам интересно, что такое квадратный корень из 13, то это иррациональное число, которое нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Квадратный корень числа (в данном случае 13) — это значение, которое при умножении само на себя равно исходному числу (13). Математически квадратный корень из 13 может быть выражен как в радикальной, так и в экспоненциальной форме: 9(0.5)
 
Символ √ обычно называют подкоренным знаком или основанием. Число, для которого мы находим квадратный корень, называется подкоренным, и это число расположено под знаком корня (основанием).

Если вы хотите вычислить квадратный корень из числа, включая значение квадратного корня из 13, вы можете использовать калькулятор квадратного корня.

Введите число:

В следующих разделах мы объясним, как вычислить квадратный корень из 13. Мы ответим на часто задаваемые вопросы, такие как «Является ли квадратный корень из 13 рациональным или иррациональным число?» и «является ли число 13 идеальным квадратом?» Одним из центральных пунктов нашего обсуждения будет квадратный корень из 13.
 
Ниже вы найдете всю необходимую информацию о вычислениях квадратного корня из 13.

Квадратный корень из 13 можно определить как числовое значение, которое при умножении само на себя дает произведение 13. Это указывает на то, что квадратный корень из 13 не может быть выражен как рациональное число и вместо этого классифицируется как иррациональное число.
 
Следовательно,
 
ОТВЕТ: Квадратный корень из 13 = √13

Число считается полным квадратом, если оно является результатом возведения в квадрат целого числа (также известного как целое число). Целые числа состоят из 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 и 9. Возведение в квадрат включает в себя умножение числа само на себя, например, 81 — это совершенный квадрат, потому что это произведение 9², что эквивалентно 9, умноженному на 9. Следует отметить, что 9 — это целое число (целое число). Однако такие числа, как -5, 7,025 или 5 ½, не считаются целыми числами.
 
В нашем примере квадратный корень из 13 является иррациональным числом, а это означает, что 13 не является полным квадратом.
 
ОТВЕТ: 13 не является полным квадратом.

Если число не может быть выражено как отношение двух целых чисел, оно считается иррациональным числом. Другими словами, число иррационально, если оно не может быть представлено в виде дроби.
 
В нашем случае квадратный корень из 13 — иррациональное число, а значит, его нельзя выразить как отношение двух целых чисел.
 
ОТВЕТ: Квадратный корень из 13 можно отнести к иррациональным числам.

​ Главный квадратный корень из 13 приблизительно равен +3,60555 , что записывается как √13. Важно отметить, что символ √ используется для обозначения главного (положительного) квадратного корня числа.
 
Чтобы найти приблизительное значение главного квадратного корня из 13, мы можем использовать различные методы, такие как деление в длинную сторону, факторизацию или оценку. Одним из распространенных методов является использование калькулятора или компьютерной программы для вычисления квадратного корня.
 
Например, если мы воспользуемся калькулятором или компьютерной программой для вычисления квадратного корня из 13, мы получим примерно 3,60555127546. Это значение является приблизительным, поскольку десятичное представление квадратного корня из 13 продолжается бесконечно без повторения.
 
В общем, вычисление квадратных корней из неполных квадратов (чисел, не являющихся идеальными квадратами) может быть сложной задачей и требует использования специализированных алгоритмов, таких как вавилонский метод, метод Ньютона-Рафсона или двоичный метод. алгоритм поиска.

Перевод градусов в радианы и обратно: понятие, взаимосвязь, примеры

Оглавление

Время чтения:  6 минут

1 391

Основное понятие градуса и радиана и их взаимосвязь

В математике, такое определение, как угол принято измерять градусами и радианами.

Эти два измерения угла имеют взаимосвязь и необходимо четко понимать в чем она заключается.

В данном материале, мы постараемся разобраться и вывести

основную формулу для вычисления градусов в значение радиан, и соответственно в обратном порядке.

Определение

Радиан — это угол, который образуется окружной дугой, ее длина, следовательно, равняется радиусу данной окружности.

Радианная мера — угловое значение,где  за единицу берется угол в 1 радиан. А именно, вышеупомянутая мера любого угла — это соотношение принятого угла к радиану. Из этого следует, что величина полного значения угла равняется  \[2 \cdot \pi\] радиан.

 Определяем длину окружности, по стандартной формуле:

\[ l=2 \cdot \pi \cdot r \]

Чтобы определить полный угол в радианах проводим следующие действие: \[\frac{l}{r}=\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{r}=2 \cdot \pi\] , соответственно в градусах значение будет равно 360. {\circ}}{2 \cdot \pi} \cdot 3600 \approx 206280\].

\[ 1 \text { радиан }=\left(\frac{180}{\pi}\right) \text { градусов. } \]

\[ 1 \text { градус }=\left(\frac{\pi}{180}\right) \text { рад. } \]

Рассмотрим на конкретном примере:

\[1 \text { радиан }=\left(\frac{180}{\pi}\right)=\left(\frac{180}{3,14}\right)=57,324\] следовательно в 1 радиане 57 градусов.

\[1 \text { градус }=\left(\frac{\pi}{180}\right) \text { радиан }=\left(\frac{3,14}{180}\right)=0,017\] радиан (сокращенно рад.).

\[\text { х радиан }=\left(\frac{\chi \cdot 180}{\pi}\right)\], дословно будет звучать как: 180 * умножить на числовое значение угла и раздели.

Соответствие градусов и радиан принято, для удобства решения сводить в таблицу.

Пример, приведен в таблице 1.

Таблица 1. Соотношение значений.

Как мы видим  изученная тема не очень сложная. {\circ}=\left(\frac{\pi}{180}\right) \cdot 60 \text { радиан }=1 \text { рад } \]

Ответ: 1 рад.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

радиан в градусы — преобразование, формула, примеры

радианы в градусы — это форма преобразования, используемая для преобразования измерения углов в геометрии. Для измерения угла существуют две разные измерительные системы. Двумя единицами измерения угла являются радианы и градусы. Единица радианы используется в основном в концепции тригонометрии. Меру углов можно преобразовать из радианов в градусы с помощью формулы. Чтобы понять эту формулу и преобразование радианов в градусы, мы поймем значение каждой единицы угла. В этой статье мы также увидим таблицу преобразования радианов в градусы.

Радиан в градус Преобразование

Существуют две разные единицы измерения угла: радианы и градусы. Следовательно, для нас важно уметь переводить угловые единицы, то есть радианы в градусы и градусы в радианы. Когда мы берем радиус круга и вращаем его, мы начинаем строить угол, который можно измерить в радианах или градусах. Давайте посмотрим, что означает каждая единица угла и как измерить угол.

Радианы

Когда мы полностью поворачиваем радиус вокруг окружности, он завершает один оборот. Угол, образуемый радиусом в центре круга после одного полного оборота, равен 2π радиан. Угол в радианах, образуемый радиусом в центре окружности, представляет собой отношение длины дуги к длине радиуса. Когда длина дуги становится равной длине радиуса, угол, образуемый в центре, становится равным 1 радиану. Обозначим единицу радиан как рад. радиан — единица измерения углов в системе СИ.

Градусы

Углы измеряются в градусах. Один оборот делится на 360 равных частей и каждая часть называется градусом. Угол, образовавшийся в центре окружности после одного полного оборота радиуса, равен 360°. Символ градусов обозначается как «°». Градусы не являются единицей СИ для измерения углов, но это общепринятая единица измерения. Следовательно, при решении задач предпочтительно переводить единицу измерения угла из радианов в градусы, чтобы лучше понять ее. Инструментом для измерения угла в градусах является транспортир.

Сравнивая меры угла для полного оборота, мы наблюдаем,

• 360 градусов = 2π радиан
• 180 градусов = π радиан

Радиан в Градус Формула

Формула преобразования радианов в градусы используется для преобразования радианов в градусы. Чтобы преобразовать радианы в градусы, нам нужно умножить радианы на 180°/π радиан. Когда мы измеряем углы, мы используем два типа единиц измерения: градусы и радианы, 1 градус записывается как 1°. А 1 радиан записывается как 1 (или) 1c т.е. если после меры угла нет единицы, значит она в радианах. Один оборот по окружности делится на 360 равных частей и каждая часть называется градусом. Один полный оборот против часовой стрелки в радианах составляет 2π, а в градусах — 360°. Таким образом, градусная мера и радианная мера связаны. Формула для преобразования угла в радианах в градусы:

Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах

Формула перевода радиан в градусы

Один полный оборот вокруг окружности дает 2π радиан, что эквивалентно 360°. Следовательно, у нас есть 2π радиан = 360°. Теперь, чтобы вывести формулу перевода радианов в градусы, упростим это уравнение.

2π радиан = 360°

π радиан = 360°/2

π радиан = 180°

1 радиан = 180°/π

Следовательно, угол в градусах получается путем умножения угла в 180 радиан / π. то есть

Угол в радианах × 180°/π = угол в градусах

Таким образом, была получена формула преобразования радианов в градусы.

Таким образом, чтобы преобразовать радианы в градусы, используйте эту формулу = мера в радианах × (180°/π). Конечная единица измерения будет (°). 1 рад равен 57,296°.

Как преобразовать радианы в градусы?

Радианы и градусы — это две единицы измерения углов. 2π радиан эквивалентны 360°, полученным после одного полного оборота окружности. Преобразование радианов в градусы можно выполнить по формуле «Угол в радианах × 180°/π = угол в градусах». Любой угол, указанный в радианах, можно преобразовать в градусы, используя следующие шаги:

• Запишите величину угла, указанную в радианах.
• Мы знаем, что 1 радиан = 180°/π. Итак, чтобы преобразовать угол, указанный в радианах, в градусы, мы умножаем его на 180°/π.
  Угол в градусах = угол в радианах × 180°/π
• Упростите значения и выразите ответ в градусах (°).

Давайте разберемся с этим на примере.

Рассмотрим угол π / 6 радиан. Теперь нам нужно преобразовать радианы в градусы для этого угла, используя формулу преобразования.

(π / 6) × (180°/π) = (Угол в градусах)

Угол в градусах = 180°/6 = 30°

Следовательно, π / 6 радиан равно 30°.

Радианы в градусы Таблица преобразования

Теперь сопоставим перевод конкретных углов из радиан в градусы, которые чаще всего используются при решении задач. В приведенной ниже таблице показаны значения радиана для соответствующих мер угла в градусах:

Радианы в Градусы Диаграмма

Мы также можем обратиться к следующей таблице из радианов в градусы, чтобы увидеть измерение любого угла в градусах по отношению к его измерению в радианах. Мы знаем, что для единичного круга длина окружности будет равна 2π, что аналогично вращению на 360º, как показано ниже.

☛Важные замечания по преобразованию радианов в градусы

Вот несколько важных моментов, которые следует учитывать при преобразовании радианов в градусы:

• Углы измеряются с использованием двух основных единиц измерения: градусов и радианов. .
• Один полный оборот против часовой стрелки равен 2π рад в радианах.
• 1° равен 0,017453 радиана, а 1 рад равен 57,2958°.
• Чтобы преобразовать угол из радианов в градусы, мы умножаем его на 180°/π.
• Чтобы преобразовать угол из градусов в радианы, мы умножаем его на π/180°.

☛Похожие темы

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными темами, тесно связанными с преобразованием радианов в градусы.

• Калькулятор радианов в градусы
• Формула для поворота на 180 градусов
• радиан
• Градусов
• Калькулятор радианов в градусы

Радианы в Градусы Примеры

1. Пример 1: Преобразуйте угол π/5 рад в градусы, используя формулу радианов в градусы.

   Решение: Формула для преобразования радианов в градусы:

   Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах

   (π/5) × (180°/π )= Угол в градусах

   Угол в градусах = 180°/5

   Угол в градусах = 36°

   Следовательно, π/5 рад равно 36°, если использовать формулу преобразования радианов в градусы.

   Ответ: π/5 рад = 36°

2. Пример 2: В окружности с центром О точки А и В лежат на окружности. ∠AOB имеет меру π/4 рад. Преобразование меры угла ∠AOB из радианов в градусы.

   Решение: Дано: ∠AOB = π/4 рад

   Нам нужно преобразовать π/4 рад в градусы, используя формулу радианы в градусы.

   Требуется следующая формула: Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах

   π/4 рад × (180°/π ) = (Угол в градусах)

   Угол в градусах = 180°/4

   Угол в градусах = 45°

   Следовательно, мера ∠AOB равна 45° в градусах.

   Ответ: ∠AOB = 45°

3. Пример 3: Мать Эми дала ей (1/5) ^th круглого торта и спросила ее об угле, образуемом ломтиком в центре торта. Можете ли вы помочь Эми определить угол среза в радианах и градусах?

   Решение: Порция торта, полученная Эми = (1/5) ^-й части всего торта. Поскольку форма торта круглая, а угол полного круга = 360°, мы можем заключить, что:

   Угол полного торта = 2π рад

   Угол для (1/5) ^{-го среза} = 2π/5 рад

   Мы знаем,

   Значение этого угла в градусах = угол в радианах × (180°/π)

   = (2π /5) × (180°/π) = 72°

   Таким образом, угол среза Эми в радианах равен 2π/5 рад, а при переводе из радиан в градусы его мера равна 72°.

   Ответ: Срез Эми в радианах равен 2π/5 рад, а в градусах равен 72°.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.

Часто задаваемые вопросы по радианам в градусы

Что означает преобразование радианов в градусы в геометрии?

В геометрии есть две единицы измерения углов: радианы и градусы. Радианы — это единица СИ для измерения углов. Один полный оборот окружности равен 2π радианам, что эквивалентно 360° в градусах. Следовательно, 2π радиан = 360°, что подразумевает 1 радиан = (180°/π) градусов. Поэтому, когда единица измерения углов преобразуется из радианов в градусы с помощью формулы, это называется преобразованием радианов в градусы.

Как преобразовать радианы в градусы?

Преобразование величины угла из радианов в градусы можно выполнить по следующей формуле: Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах. Например, рассмотрим угол π/9 рад. Теперь, используя формулу преобразования радианов в градусы, мы имеем π/9 рад × 180°/π = (угол в градусах).
Угол в градусах = 180°/9 = 20°
Следовательно, используя формулу, π/9 рад равно 20°

Какая формула используется для преобразования радианов в градусы?

Мы знаем, что 2π радиан равно 360° в градусах, то есть 2π радиан = 360°. Упрощая это уравнение, мы можем получить формулу для перевода радианов в градусы.
2π радиан = 360°
1 радиан = 360°/2π
1 радиан = 180°/π
Следовательно, необходимая формула: Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах

В чем разница между радианами и градусами?

Радианы и градусы являются единицами измерения углов. Радиан — это единица СИ, а градус — нет, но это общепринятая единица измерения углов. Радианы измеряют углы по пройденному расстоянию, тогда как градусы измеряют углы по наклону.

Для чего используется калькулятор радианов в градусы?

Калькулятор радианов в градусы — это онлайн-инструмент, который помогает конвертировать радианы в градусы для заданного значения. Это поможет вам преобразовать радианы в градусы за несколько секунд. Чтобы преобразовать угол, указанный в радианах, в градусы, нам просто нужно умножить угол на 180 ° / π.

Что такое радиан в 1 градус?

Один полный оборот окружности равен 2π радианам, что эквивалентно 360°, следовательно, мы имеем уравнение:
2π рад = 360°
1° = 2π/360 рад
1° = π/180 рад
Следовательно, 1 градус равен π/180 радиан.

Какое выражение преобразует pi/4 радианы в градусы?

Используя формулу преобразования радианов в градусы, градусы = радианы × 180 / π
Y° = (180/π) × π/4 90 106 Y°= 45 градусов

Как перевести радианы в градусы, минуты и секунды?

Чтобы преобразовать радианы в градусы, мы разделим на π, а затем умножим на 180. Доли градуса можно преобразовать в минуты, умножив дробь на 60, чтобы получить количество минут. Точно так же любая часть оставшихся минут будет умножена на 60, чтобы получить количество секунд.

Можно ли преобразовать отрицательные значения радиана в градусы, используя формулу радиана в градусы?

Да, мы можем преобразовать отрицательные значения радиана в градусы, используя формулу радиан-градус. Формула градусы = радианы × 180 / π, и ее можно использовать как для положительных, так и для отрицательных значений.

Какое выражение переводит 8π радиан в градусы?

Используя формулу преобразования радианов в градусы, градусы = радианы × 180 / π
Z° = (180/π) × 8π
Z°= 1440 градусов

Как преобразовать 6π в градусы, используя формулу радиан в градусы?

Используя формулу преобразования радианов в градусы, градусы = радианы × 180 / π
X° = (180/π) × 6π 90 106 X°= 180 × 6 90 106 X°= 1080°

Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочий лист по измерению углов

Радианы в градусы — преобразование, формулы, примеры решений и часто задаваемые вопросы

Радианы в градусы — это тип преобразования, используемый в геометрии для преобразования угловых измерений. Существует два альтернативных метода измерения угла. Радианы и градусы — это две единицы измерения углов. Радиан — наиболее часто используемая единица измерения в тригонометрии. Различные типы углов измеряются в радианах, а затем преобразуются в градусы по формуле. Эта формула обсуждается ниже.

Для измерения углов используются два отдельных способа. Прямой угол делится на 90 равных частей, которые в шестидесятеричной системе называются градусами. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами, которые далее делятся на 60 равных частей, называемых секундами. Преобразование градусов в радианы также можно узнать здесь.

• 60” = 1 минута (1’)
• 90° = 1 прямой угол

Радианы

Угол, образуемый радиусом с центром окружности после полного оборота, называется 2π радиан. Угол в радианах, образованный радиусом в центре окружности, представляет собой отношение длины дуги к длине радиуса. Если длина дуги равна длине радиуса, угол, образуемый в центре, называется 1 радианом. Единицей радиана является рад . Радиан — это единица измерения углов в системе СИ.

Градусы

Углы также можно измерять в градусах. Один оборот делит окружность на 360 равных частей, каждая из которых равна градусу. Таким образом, угол, образовавшийся в центре окружности после одного полного оборота, равен 360°. Для обозначения градусов используется символ «°». Градус не является единицей СИ для измерения угла, но это наиболее часто используемая единица измерения угла.

Путем сравнения мер угла для полного оборота

• 360 градусов = 2π радиан
• 180 градусов = π радиан

Как преобразовать градусы в радианы?

Значение 180° равно π радианам. Для преобразования заданного угла из градусов в радианы мы умножаем значение угла в градусах на коэффициент π/180.

Где значение π = 22/7 или 3,14

Шаги, показанные ниже, используются для преобразования угла в градусах в радианы.

Шаг 1: Отметьте значение заданного угла в градусах

Шаг 2: Умножьте полученное на предыдущем шаге значение на π/180

Шаг 3: Решите выражение и объясните ответ

Шаг 4: Полученный результат является мерой угла в радианах

Пример: Преобразование 60 градусов в радианы.

Решение:  

Данный угол равен 60 градусов

Угол в радианах = Угол в градусах x (π/180) 2 Следовательно, 60 градусов равны π/3 в радианах.

Формула радианов в градусы

Формула радианов в градусы преобразует значение угла в радианах в градусы. Чтобы преобразовать угол в радианах в градусы, мы умножаем значение в радианах на 180°/π. Углы используются в двух единицах: градусах и радианах, 1 градус выражается как 1°, тогда как 1 радиан выражается 1 ^c или 1, т. е. ни одна единица измерения также не используется для выражения угла в радианах. Формула преобразования угла в радианах в градусы:

Угол в радианах × 180°/π = Угол в градусах

2π радиан = 360°

π 8 радиан = 1080 02 1 радиан = 180/π градусов = 57,296 градусов

Таблица преобразования радианов в градусы

В приведенной ниже таблице показаны значения угла в радианах и соответствующие им значения в градусах.

Решенные примеры для R Перевод

Сложение и вычитание двух векторов — онлайн калькулятор

В результате сложения двух векторов a и b получается вектор с, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов слагаемых векторов. При вычитании тех же векторов все элементы результирующего вектора с равны попарной разности соответствующих элементов.

Нахождение суммы и разности векторов онлайн позволяет обойтись без самостоятельного проведения расчетов. Нужно просто задать векторы (точками или координатами), выбрать действие (сложение или вычитание) и нажать кнопку «рассчитать». После этого онлайн-калькулятор выдаст результат вместе с подробными промежуточными выкладками

Как сложить и вычесть векторы с помощью онлайн-калькулятора

Чтобы сложить или вычесть векторы при помощи онлайн калькулятора, достаточно лишь задать необходимые векторы. Для этого:

1. Опеделитесь, с какими векторами вы хотите работать. Это могут быть векторы на плоскости или векторы в пространстве.

   В рассматриваемом примере, оставим размерность «2». То есть, мы работаем с векторами на плоскости.

2. Теперь нужно выбрать форму представления векторов: их можно задать координатами либо точками:

   Для наглядности, зададим один вектор точками, а второй – координатами.

3. Теперь в поле «Значение вектора» нужно ввести соответствующие значения. Зададим векторы произвольным образом:
   
4. Осталось нажать «Рассчитать» и получить ответ. Отметим, что складываемые и вычитаемые векторы можно также умножать на число. Для наглядности, умножим первый вектор a на 3 и сложим результат с вектором b:
   
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

• Векторы на плоскости и в пространстве — основные определения
• Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
• Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
• Нахождение координат вектора через координаты точек
• Векторное произведение — определения, свойства, формулы, примеры и решения
• Операции над векторами в прямоугольной системе координат

Ответ:

Решение

Ответ:

• list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>

Похожие калькуляторы:

• Длина вектора. Модуль вектора
• Векторное произведение векторов
• Умножение вектора на число
• Угол между векторами
• Смешанное произведение векторов
• Скалярное произведение векторов
• Определение вектора по двум точкам
• Разложение вектора по базису
• Проверить являются ли вектора базисом
• Ортогональность векторов
• Компланарность векторов
• Коллинеарность векторов
• Проекция вектора на вектор
• Площадь треугольника, построенного на векторах
• Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Как найти сумму и разность векторов без онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример с применением формулы для суммы векторов на плоскости. Пусть нужно сложить два вектора: a(3; 5) и b(4; 3). Произведем вычисления:

c→=a→+b→=(ax+bx;ay+by)a→+b→=(3+4;5+3)=(7;8)

Правильность решения можно проверить с помощью онлайн-калькулятора.

Данный сервис будет полезен школьникам и студентам при самостоятельной подготовке к экзаменам и контрольным по векторной алгебре.

Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Укажите размерность пространства 23

Укажите форму представления первого вектора
Координаты точек начала и конца первого вектораКоординаты первого вектора

Укажите форму представления второго вектора
Координаты точек начала и конца второго вектораКоординаты второго вектора

Задайте координаты первого вектора
a̅ = { ; }

Задайте координаты второго вектора
b̅ = { ; }

+ —

Как сложить или вычесть два вектора

Сложение векторов по правилу треугольника

Чтобы сложить два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:

1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с концом другого.
2. Из начала вектора a в конец вектора b провести вектор c.

Вектор c – есть сумма векторов a и b

a + b = c

Вычитание векторов по правилу треугольника

Чтобы вычесть два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:

1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с началом другого.
2. Из конца вектора b в конец вектора a провести вектор c.

Вектор c – есть разность векторов a и b

a − b = c

---

Как сложить два вектора, координаты которых заданы точками

Найдем сумму векторов плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками:

Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)

Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов AB и CD будет вектор c

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {B_x — A_x  ; B_y — A_y} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {D_x — C_x  ; D_y — C_y} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}
c = AB + CD = {AB_x + CD_x ; AB_y + CD_y} = {-7 + (-3) ; 2 + (-11)} = {-10 ; -9}

c = AB + CD

---

Как вычесть два вектора, координаты которых заданы точками

Пример. Найдем разность векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)

Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов AB и CD будет вектор c.

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {B_x — A_x  ; B_y — A_y; B_z — A_z} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {D_x — C_x  ; D_y — C_y; D_z — C_z} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}

c = AB — CD = {AB_x — CD_x ; AB_y — CD_y ; AB_z — CD_z} = {-8 — 7 ; -1/5 — 6 ; -275/4 — 7} = {-15 ; -31/5 ; -303/4}= {-15 ; -6. 2 ; -75.75}

---

Вычитание векторов в координатном представлении

Найдем разность векторов плоскости.

Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)

Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов a и b будет вектор c

c = a — b = {a_x — b_x ; a_y — b_y} = {5 — (-1) ; 9 — 7} = {6 ; 2}

c = a — b

---

Сложение векторов в координатном представлении

Пример. Найдем сумму векторов пространства.

Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)

Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов a и b будет вектор c

c = a + b = {a_x + b_x ; a_y + b_y ; a_z + b_z} = {5 + 2 ; 1 + 4 ; 7 + 6} = {7 ; 5 ; 13}

Калькулятор вычитания векторов

Онлайн-калькулятор для вычитания одного вектора из другого с указанием компонентов равнодействующей, ее величины и направления. . Пусть u и v — два вектора, заданные в компонентной форме формулой u = 1 , u 2 > и v = 1 , v 2 > Вычитание вектора v из вектора u определяется формулой и — v = < и 1 — в 1 , у 2 — в 2 > Использование калькулятора векторов вычитания Есть два калькулятора, которые можно использовать для вычитания одного вектора из другого в зависимости от того, знаете ли вы компоненты или величину и направление вычитаемых векторов. 1 — Введите компоненты u 1 , u 2 и v 1 , v 2 двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Вычесть два вектора». Выходами являются компоненты вектора u — v, его величина и направление в градусах. 2 — Введите величины (неотрицательные вещественные числа) и направления двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Вычесть два вектора». Выходами являются компоненты вектора u — v, его величина и направление в градусах. Дополнительные ссылки Найдите величину и направление векторов. векторные калькуляторы Сложение векторов и скалярное умножение. сообщите об этом объявлении

Двухмерный векторный калькулятор сложения и вычитания с графиками

Калькулятор сложения векторов вычисляет сложение и вычитание до пяти двумерных векторов. Сложение и вычитание векторов графически нарисован в системе координат x-y. Формат вектора может быть выбран как величина и угол направления или компоненты.

Формулы сложения и вычитания векторов, которые используются в этом калькуляторе, приведены ниже.

Калькулятор сложения и вычитания векторов:

ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Векторный формат:			Компоненты (x,y)Величина/угол
КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА
Вектор
ВЕЛИЧИНЫ И УГЛЫ ВЕКТОРОВ
Вектор
Магнитуда
Угол (°)

РЕЗУЛЬТАТИВНЫЙ ВЕКТОР
		+-		+-		+-		+-

Примечание.

Как правильно умножать отрицательные числа?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

В 6 классе каждый школьник знает отличие между положительным и отрицательным числом и правила умножения. В этой статье объединим эти две темы и попрактикуемся в умножении отрицательных чисел.

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка: