Автор: alexxlab

4. Логические выражения и таблицы истинности

13

4.1.Логические выражения

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание

«(2·2=5 или 2·2=4) и (2·2≠5 или 2·2≠4)».

Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А = «2•2=5»—ложно (0), В = «2•2=4»—истинно (1).

Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: «(А или В) и (Ā или В)».

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

F = (A v В) & (Ā v В).

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.

14

4.2.Таблицы истинности

Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:

1) необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:

количество строк = 2n.

В нашем случае логическая функция имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;

2)необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций — пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;

3)необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;

4)необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

15

Таблица 8 – Таблица истинности логической функции

4.3.Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов-

падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

Докажем, что логические выражения равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения (табли-

ца 9).

Таблица 9 – Таблица истинности логического выражения

Теперь построим таблицу истинности логического выражения (таблица 10).

Таблица 10 – Таблица истинности логического выражения

Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

=.

16

5. Построение таблиц истинности для сложных выражений

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Пример 1 1. Составим таблицу истинности для формулы, которая содержит две пере-

менные X и Y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу 11:

Таблица 11 – Таблица истинности для формулы с переменными Х и У

Пример 2

Cоставить таблицу истинности сложного логического выражения: D = неA & (B+C).

А, В, С – три простых высказывания, поэтому:

количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элемента А, В, С) количество столбцов (таблица 12):

1)А,

2)В,

Урок по теме: Логические выражения и таблицы истинности | План-конспект урока по информатике и икт (9 класс) по теме:

Урок по информатике: Логические выражения и таблицы истинности

Цели: построение таблиц истинности логических выражений.

Задачи:

1. Научить составлять логические выражения из высказываний;
2. Ввести понятие “таблица истинности логического выражения”;
3. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
4. Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности;
5. Ввести понятие равносильности логических выражений;
6. Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности;
7. Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Ожидаемые результаты обучения:

Учащиеся должны знать:

• таблицы истинности логических операций;

• этапы составления таблиц истинности логических выражений;
• понятие равносильные логические выражения.

Учащиеся должны уметь:

• строить  и заполнять таблицу истинности логического выражения;
• находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности;
• доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности.

Ход урока

I. Оргмомент.

Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности.

II. Проверка домашнего задания.

III. Изложение нового материала.

1. Построение таблиц истинности.

Мы уже несколько уроков используем понятие “таблица истинности”, определим же его.

Опр.1 Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий:

1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности: количество строк равно 2n, где n — количество логических переменных.
2. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
3. Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
4. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Пример. Построить таблицу истинности для составного высказывания:

1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.

2). Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций.

 В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

2. Равносильные логические выражения.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “.

Пример. Докажем, что логические выражения  и  равносильны.

Построим сначала таблицу истинности логического выражения:

1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.

2). Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — трем, то есть количество столбцов таблицы истинности равно пяти.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Сначала необходимо выполнить логическое отрицание А, а затем логическое отрицание В. Последним действием выполним логическое сложение.

Теперь построим таблицу истинности логического выражения:

1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.

2). Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — двум, то есть количество столбцов таблицы истинности равно четырем.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем логическое отрицание.

Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими:

=

IV. Закрепление изученного материала.

1. Построить таблицу истинности для формулы: .

1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 3переменные: А, В и С.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 23=8.

2). Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно трем, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно восьми.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Последовательность операций: инверсия, операции в скобках, операция за скобкой.

2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений:  и .

Построим сначала таблицу истинности логического выражения: .

1). Определим количество строк в таблице: 22=4.

2). Определяем количество столбцов: 2+1=3.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов.

Построим таблицу истинности логического выражения: .

1). Определим количество строк в таблице: 22=4.

2). Определяем количество столбцов: 2+2=4.

3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов.

Вывод: данные логические выражения не равносильны.

V. Итог урока.

Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников.

VI. Домашнее задание.

1. Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения  и  равносильны.

Построить таблицу истинности для формулы:

Примечания к таблице истинности и логическим утверждениям

Таблица истинности логической функции содержит списки всех возможных значений, которые функция может получить для данного входа. Таблица истинности состоит из множества строк и столбцов, причем верхняя строка указывает логические переменные и их комбинации, а нижняя строка показывает конечную функцию с возрастающей сложностью. Таблица истинности логической системы представляет выходные данные системы для данного входа в виде строк и столбцов. Чтобы назвать столбцы таблицы истинности, используются входы и выходы со строками, представляющими все потенциальные входы и выходы схемы.

Логическое утверждение — это утверждение, которое возвращает либо истину, либо ложь, т. е. 0 или 1. Если оно возвращает истину, оно позволяет нам получить известный набор фактов или получить из них новый факт. Пример: Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.

Здесь он вернет либо истину, либо ложь в зависимости от оператора. Это декларативный тип оператора, который возвращает true или false.

Примеры предложений, которые являются (или содержат) истинными утверждениями:

• «Том Круз — мужчина».
• «У треугольника три стороны».
• «Милан — столица Италии».

Примеры ложных предложений:

• «Все кулеры сделаны из чистого золота».
• «Два плюс два равно девять».

Примеры предложений, которые не являются (или не составляют) утверждениями: Эмоции, чувства, вопросы и т. д. не могут быть включены в логические утверждения.

• «Кто ты?»
• «Беги!»
• «Королева Англии мудра».
• «Пегас существует».

В логической функции есть три основные операции НЕ, ИЛИ и И: 

• НЕ: Это также называется инверсией или отрицанием. Обозначается -. Это означает прямо противоположное или отрицательное значение.
• ИЛИ: Это также называется дизъюнкцией или сложением. Обозначается +. Это похоже на простое добавление значений. Функция возвращает истину, если хотя бы одно из ее значений истинно.
•  И: Это также называется соединением или умножением. Он обозначается *. Это похоже на износ умножения для функции, возвращающей истину, оба значения должны быть истинными.

Унарные логические операторы содержат только один логический оператор. Это может быть либо Логическая Истина, либо Логическая Ложь.

Таблица истинности для логической истины: для каждого логического входа возвращается истинное значение.

Truth Table for Logical false: For each logical input, it returns a false Значение

Вход	Выход
T	F
F 9003
9192 F
1912 F 9003
91111003
191219 9003
	. 0074	F

Таблица истинности для комплимента: возвращает значение, прямо противоположное логическому входу.

В двоичных операциях есть два логических входа. Над этими операторами выполняются операции И, ИЛИ и НЕ.

Таблица истинности для операции ИЛИ: Возвращает истину, если любой из входных данных верен, и ложь, если оба входа ложны.

Tall Table For For For For For Empormance: It True On True On True Tons Thes This This This This This This This This This This This This This False Thes This False Tons On True Tons Thes Thes Thes This.

Значения функций могут быть 0 или 1. Где логический 0 означает ложь, а логическая 1 означает истину. Таким образом, применяются следующие правила:

Если A = 0, то -A = 1

Если A = 1, то -A = 0

A+B = 0, если A = 0 и B = 0

A+B = 1, за исключением случаев, когда A = 0 и B = 0

A*B = 1 если A = 1 и B = 1

A*B = 0, за исключением случаев, когда A = 1 и B = 1

Пример: показать процесс оценки значений логическая функция -(A+B) * -(A*B).

Определяется путем разбиения на более мелкие составные функции и вычисления их значений для достижения последнего шага. Это последовательный процесс. Необходимо выполнить следующие шаги:-

1.  Две логические переменные, A и B, перечислены вверху первых двух столбцов. Все возможные комбинации значений для A и B перечислены в этих столбцах путем подсчета двоичными числами: 00, 01, 10, 11.
2. В третьем столбце значение (A+B) вычисляется с помощью операции ИЛИ. .
3. В четвертом столбце минус (дополнение) третьего столбца берется, чтобы найти значения, связанные с функцией -(A+B)
4. В пятом столбце мы вычисляем значения (A*B) с помощью AND операция.
5. Мы находим отрицательное значение (A*B), чтобы вычислить значение -(A*B)
6. В седьмом столбце мы находим И значений в четвертом столбце и шестом столбце, чтобы получить значение -(A+B )*-(A*B)

Таким же образом мы вычисляем таблицу истинности и значения для всех функций. Ниже приведена таблица выражения для -(A+B) * -(A*B).

Крайний правый (седьмой) столбец содержит последнюю функцию, которая должна быть оценена. Другие значения в других столбцах (3-й-6-й) определяются путем определения сложения и умножения, а затем отрицания значений.

Для все более сложных логических функций компьютеры используются для построения таблиц истинности. Некоторые функции имеют большое количество входных переменных и состоят из нескольких составляющих функций; может получиться таблица с сотнями строк и столбцов.

Мы можем использовать таблицы истинности, чтобы определить, правильна ли структура логического аргумента. Они широко используются в логике запросов к базе данных, а также в их оптимизации. Кроме того, для приложений, связанных с общей логикой, таких как экспертные системы. Любой анализ, вероятно, должен реализовать их в той или иной форме. Кроме того, они используются в структурах базовых решений (IF, Case/Switch, IIF и т. д.). Вы можете построить любое количество логических слоев, и было бы полезно их использовать. Они там на фоне системы.

Использование булевых теорем является альтернативой таблице истинности. Этот процесс используется для определения простейшей схемы, которая будет выполнять необходимую логическую функцию. Это уменьшает количество операций, необходимых для выполнения данной задачи, и, следовательно, повышает эффективность системы.

Создание таблиц истинности — обучающиеся машины

Короткий на сегодня: в этом посте мы узнаем, как легко создавать таблицы истинности с помощью R, и внесем наш код в растущий репозиторий Код Розетты . Я надеюсь, что вы узнаете несколько трюков по пути, так что читайте дальше!

Мы рассмотрели фрагменты кода, которые я добавлял в Rosetta Code в этом блоге ранее (см. Категорию: Rosetta Code). На этот раз мы хотим решить следующую задачу:

Таблица истинности
Таблица истинности представляет собой отображение входных и выходных данных булевой функции, организованной в виде таблицы, где каждая строка содержит одну комбинацию входных значений и соответствующее значение функции.

Задача

1. Введите логическую функцию от пользователя в виде строки, затем вычислите и распечатайте форматированную таблицу истинности для данной функции.
   (Можно предположить, что ввод пользователя правильный).
2. Распечатать и показать вывод для логических функций с двумя и тремя входными переменными, но ни одна программа не должна ограничиваться таким количеством переменных в функции.
3. Разрешены выражения как с обратной шлифовкой, так и с инфиксной нотацией.

Ядром таблицы истинности является перестановка всех утверждений TRUE и FALSE для всех переменных (= букв), которые мы извлекаем из булевой функции x . К счастью, несколько сообщений назад мы создали такую ​​функцию перестановки (см. Изучение R: перестановки и комбинации с базой R), так что мы можем адаптировать ее соответствующим образом: expand.grid(rep(list(c(FALSE, TRUE)), длина(вары))) .

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . Энциклопедический словарь юного математика

В ряде задач математики и ее приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если sin α = 1/2, то угол α может быть равен и 30° и 150°, или в радианной мере π/6 и 5π/6, и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида 360°·k, или соответственно 2πk, где k — любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции y = sin x на всей числовой прямой (см. рис. 1): если на оси Oy отложить отрезок длины 1/2 и провести прямую, параллельную оси Ox, то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus — «дуга»).

Рис. 1

Основным четырем тригонометрическим функциям sin x, cos x, tg x и ctg x соответствуют четыре аркфункции arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции arcsin x и arctg x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

arccos x = π/2 — arcsin x, arcctg x = π/2 — arctg x.

Равенство y = arcsin x по определению означает такой угол y, выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от — π/2 до π/2, синус которого равен x, т.е. sin y = x. Функция arcsin x является функцией, обратной функции sin x, рассматриваемой на отрезке [-π/2, +π/2], где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от -1 до +1. Очевидно, что аргумент у функции arcsin x может принимать значения лишь из отрезка [-1,+1]. Итак, функция y = arcsin x определена на отрезке [-1,+1], является монотонно возрастающей, и ее значения заполняют отрезок [-π/2, +π/2]. График функции показан на рис. 2.

Рис. 2

При условии -1≤a≤1 все решения уравнения sin x = a представим в виде x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n = 0,±1,±2,…. Например, если

sin x = (√2)/2, то x = (-1)ⁿπ/4 + πn, n = 0,±1,±2,….

Соотношение y = arctg x определено при всех значениях x и по определению означает, что угол y, выраженный в радианной мере, заключен в пределах

-π/2 < y < π/2

и тангенс этого угла равен x, т. е. tg y = x. Функция arctg x определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции tg x, которая рассматривается лишь на интервале

-π/2 < x < π/2.

Функция y = arctg x монотонно возрастающая, ее график дан на рис. 3.

Рис. 3

Все решения уравнения tg x = a могут быть записаны в виде x = arctg a + πn, n = 0,±1,±2,….

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция arctg x. Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента x=1 получил знаменитое представление числа π бесконечным рядом

π = 4(1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + …).

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции и их свойства

Содержание

• Функция y = arcsin x и ее свойства
• Функция y = arccos x и ее свойства
• Функция y = arctg x и ее свойства
• Функция y = arcctg x и ее свойства

y=x

Функция y=arcsin x и ее график

у

π / 2

y=arcsin x

y=sin x

х

-1

1

π

0

— π / 2

Функция y=arcsin x и ее свойства

• D(y) = [- 1 ; 1 ] .
• E(y) = [- π /2 ; π /2 ] .
• arcsin (-x) = — arcsin x – функция нечетная.
• Функция возрастает на [- 1 ; 1 ] .
• Функция непрерывна.

Функция y=arcsin x

Определение

Если |а| ‌‌≤ 1 , то arcsin а – это такое число из отрезка [- π /2 ; π /2 ] , синус которого равен а .

Если |а| ‌‌≤ 1 , то

arcsin а = t 

sin (arcsin a) = a

sin t = а ,

— π /2 ≤ t ≤ π /2 ;

y=x

Функция y=arccos x и ее график

у

π

y=arccos x

π /2

y= со s x

π

0

х

-1

1

Функция y=arccos x и ее свойства

• D(y) = [- 1 ; 1 ] .
• E(y) = [ 0 ; π ] .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, arccos (-a) = π – arccos a
• Функция убывает на [- 1 ; 1 ] .
• Функция непрерывна.

Функция y=arccos x

Определение

Если |а| ‌‌≤ 1 , то arccos а – это такое число из отрезка [ 0 ; π ] , косинус которого равен а .

Если |а| ‌‌≤ 1 , то

arccos а = t 

cos (arccos a) = a

cos t = а ,

0 ≤ t ≤ π ;

y=x

Функция y=arctg x и ее график

у

π / 2

y=arctg x

π /4

х

-1

1

π

0

— π /4

— π / 2

y=tg x

Функция y=arctg x и ее свойства

• D(y) = (-  ; +  ) .
• E(y) = (- π /2 ; π /2 ) .
• arctg (-x) = — arctg x – функция нечетная.
• Функция возрастает на (-  ; +  ) .
• Функция непрерывна.

Функция y=arctg x

Определение

arctg а – это такое число из интервала

( — π /2 ; π /2 ) , тангенс которого равен а .

arctg а = t 

tg (arctg a) = a

tg t = а ,

— π /2 π /2 ;

y=x

Функция y=arcctg x и ее график

у

π

y= с tg x

y=arc с tg x

π / 2

— π / 2

π

х

— π

0

π / 2

Функция y=arcctg x и ее свойства

• D(y) = (-  ; +  ) .
• E(y) = ( 0 ; π ) .

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, arcctg (-a) = π – arcctg a

4. Функция убывает на (-  ; +  ) .

5. Функция непрерывна.

Функция y=arcctgx

Определение

ar с ctg а – это такое число из интервала

( 0 ; π ) , котангенс которого равен а .

arc с tg а = t 

с tg (arc с tg a) = a

с tg t = а ,

0 π ;

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Обратные функции их областей и диапазонов; их графики HL Paper 1

На следующей диаграмме показан график y = arctan( \(2x+1+\frac{\pi}{4} \)) для \(x \in \mathbb{R}\) с асимптотами at \(y=-\frac{\pi}{4}\) и \(y=\frac{3\pi}{4}\)

(a) Опишите последовательность преобразований, преобразующую граф от y = arctan x к графику y = arctan( \(2x+1+\frac{\pi}{4} \)) для \(x \in \mathbb{R}\) [3]

( б) Показать, что arctan arctan p+ arctan q= arctan \(\frac{p+q}{1-pq}\), где p , q > 0 и pq < 1 [4] 9+\)

Ответ:

(a) Заменив $x$ в $y=\arctan x$ на $x+1$, мы получим $y=\arctan \left(x+ 1\right)$, что представляет собой перемещение на $-1$ единиц параллельно оси $x$.
Далее, заменив $x$ в $y=\arctan \left(x+1\right)$ на $2x$, мы получим $y=\arctan \left(2x+1\right)$, т.е. участок, параллельный оси $x$, с масштабным коэффициентом $\frac{1}{2}$.
Наконец, заменив $y$ в $y=\arctan\left(2x+1\right)$ на $y-\frac{\pi}{4}$, получим $y-\frac{\pi {4}=\arctan \left(2x+1\right)$, т. е. $y=\arctan \left(2x+1\right)+\frac{\pi}{4}$, что является переводом из $\frac{\pi}{4}$ единиц, параллельных оси $y$.

(b) Взяв касательную с обеих сторон в $\arctan p+\arctan q=\arctan\left(\frac{p+q}{1-pq}\right)$, получим $\tan\left(\arctan p+\arctan q\right)=\frac{p+q}{1-pq}$
$$\begin{eqnarray}
\text{LHS} &=& \tan\left(\arctan p+\arctan q\ справа) \nonumber \\
&=& \frac{p+q}{1-pq} \nonumber \\
&=& \text{RHS}.
\end{eqnarray}$$
(c) Заметим, что $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$. Тогда, используя (b), мы имеем
$$\begin{eqnarray}
\text{RHS} &=& \arctan \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{\pi {4} \номер \\ 9+$.

На приведенном ниже рисунке показана граница поперечного сечения водного канала.

Уравнение, представляющее эту границу, имеет вид \(y = 16\sec \left( {\frac{{\pi x}}{{36}}} \right) — 32\), где x и y измеряются в см.

Верх канала находится на уровне земли и имеет ширину 24 см. Максимальная глубина канала 16 см.

Найдите ширину поверхности воды в канале, если глубина воды равна 10 см.

Дайте ответ в виде \(a\arccos b\) где \(a,{\text{ }}b \in \mathbb{R}\) .

Маркировочная схема

Глубина воды 10 см соответствует \(16\сек \влево( {\frac{{\pi x}}{{36}}} \вправо) – 32 = – 6\) (A1)

Преобразование для получения уравнения вида \(\sec \left( {\frac {{\pi x}}{{36}}} \right) = k\) или эквивалентного

т. е. делает тригнометрическую функцию предметом уравнения. M1

\(\cos \left( {\frac{{\pi x}}{{36}}} \right) = \frac{8}{{13}}\)     (A1 )

\(\frac{{\pi x}}{{36}} = \pm \arccos \frac{8}{{13}}\)     M1

\(x = \ pm \frac{{36}}{\pi }\arccos \frac{8}{{13}}\)     A1

Примечание: Не наказывать за пропуск ±.

Ширина водной поверхности \(\frac{{72}}{\pi }\arccos \frac{8}{{13}}{\text{ (см)}}\)     R1     N1

Примечание: Кандидат, который начинает с 10 вместо -6, может получить две отметки M1 и отметку R1 .

[6 баллов]

(a)     Покажите, что \(\arctan \left( {\frac{1}{2}} \right) + \arctan \left( {\frac{1}{3}} \right) = \ гидроразрыва {\ пи} {4} \) .

(b)     Отсюда или иначе найдите значение \(\arctan (2) + \arctan (3)\) .

Маркировочная схема

(a)     МЕТОД 1

пусть \(x = \arctan \frac{1}{2} \Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}\) и \(y = \ arctan \ frac {1} {3} \ Rightarrow \ tan y = \ frac {1} {3} \)

\(\ tan (x + y) = \ frac {{\ tan x + \tan y}}{{1 – \tan x\tan y}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 – \frac{1 {2} \times \frac{1}{3}}} = 1\)     M1

Итак, \(x + y = \arctan 1 = \frac{\pi} {4}\)     A1AG

МЕТОД 2 {\text,

поэтому, \(\ arctan \ frac {1} {2} + \ arctan \ frac {1} {3} = \ arctan \ left ( {\ frac {{\ frac {1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 – \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}}} \right) = \frac{\ пи {4}\)     A1AG

МЕТОД 3

соответствующий эскиз

Правильная аргументация, ведущая к \ (\ frac {\ pi} {4} \) R1AG

(b) Метод 1

\ (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2). ) = \ frac {\ pi {2} — \ arctan \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) + \ frac {\ pi {2} — \ arctan \ left ( {\ frac { 1}{3}} \справа)\)     (M1)

\( = \pi – \left( {\arctan \left({\frac{1}{2}} \right) + \arctan \left({\frac{1}{3}} \right )} \right)\)     (A1)

Примечание: Может подразумеваться только один из двух предыдущих знаков.

\( = \pi – \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4}\)     A1     N1

901 МЕТОД 2

902 пусть \(x = \arctan 2 \Rightarrow \tan x = 2\) и \(y = \arctan 3 \Rightarrow \tan y = 3\)

\(\tan (x + y) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 — \tan x\tan y}} = \frac{{2 + 3}}{{1 – 2 \times 3}} = – 1\)     (M1)

как \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\,\,\ ,\,\,\left( {{\text{accept}}0

и \(\frac{\pi}{4} < y < \ frac {\ pi} {2} \, \, \, \, \, \ left ( {{\ text {accept}} 0 < y < \ frac {\ pi} {2}} \ right) \ )

\(\ frac{\pi }{2} < x + y < \pi \,\,\,\,\,{\text{(принять}}0 < x + y <\pi )\) (R1)

Примечание: Может подразумеваться только один из двух предыдущих знаков.

Итак, \(x + y = \frac{{3\pi}}{4}\)     A1     N1

{}} y > 0 \) , \(\ arctan x + \ arctan y = \ arctan \ left ( {\ frac {{x + y}} {{1 — xy}}} \ right) + \ pi {\ text{ if }}xy > 1\)     (M1)

поэтому \(\ arctan 2 + \ arctan 3 = \ arctan \left( {\ frac {{2 + 3}} {{1 — 2 \times 3}}} \right) + \pi \)     (A1)

Примечание: Может подразумеваться только один из двух предыдущих знаков.

\( = \frac{{3\pi }}{4}\)     A1     N1

METHOD 4

an appropriate sketch     M1

e.g.    

правильные рассуждения, ведущие к \(\frac{{3\pi }}{4}\)     R1A1

[5 баллов] 92}x\)

\(r = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\sin x}} = 2\cos x\)     A1

Примечание:     Принять \(\frac{{\sin 2x}}{{\sin x}}\).

[1 балл]

(b)     ЛИБО

\(\left| r \right| < 1 \Стрелка вправо \left| {2\cos x} \right| < 90\)     4   M1

ИЛИ

\( – 1 < r < 1 \Стрелка вправо – 1 < 2\cos x < 1\)     M1

ЗАТЕМ

\(0 < \cos x < \frac{1}{2}{\text{ for }} – \frac{\pi }{2} < x < \frac {\pi} {2}\)

\( — \ frac{\pi }{2} < x <  - \ frac{\pi }{3}{\text{или }}\frac{\pi }{ 3} < x < \frac{\pi} {2}\)     A1A1

[3 балла]

(c)     \({S_\infty} = \frac {{\sin x}}{{1 – 2\cos x}}\)     M1

\({S_\infty} = \frac{{\sin\left({\arccos\left( {\frac{1 }{4}} \right)} \right)}}{{1 – 2\cos \left( {\arccos \left({\frac{1}{4}} \right)} \right)}}\ )

\( = \frac{{\frac{{\frac{{\sqrt {15}}}{4}}}{{\frac{1}{2}}}\)     A1A1

Примечание: Награда A1 за правильный числитель и A1 за правильный знаменатель.

\ (= \ frac {{\ sqrt {15}}} {2} \) AG

[3 Marks]

Рассмотрим следующие функции:

     \(h(x) = \arctan (x),{\text{}}x \in\mathbb{R}\)

     \(g(x) = \frac{1}{x}\) , \(x\in \mathbb{R}\), \({\text{}}x \ne 0\)

Нарисуйте график \(y = h(x)\).[2]

а.

Найдите выражение для составной функции \(h \circ g(x)\) и укажите ее область определения.[2]

б.

Учитывая, что \(f(x) = h(x) + h \circ g(x)\),

(i)     найти \(f'(x)\) в упрощенной форме;

(ii)     покажите, что \(f(x) = \frac{\pi }{2}\) для \(x > 0\).[7]

г.

Найджел утверждает, что \(f\) — нечетная функция, а Том утверждает, что \(f\) — четная функция.

(i)     Укажите, кто прав, и обоснуйте свой ответ.

(ii)     Следовательно, найдите значение \(f(x)\) для \(x < 0\). [3]

д.

Markscheme

    A1A1

Note:     A1 for correct shape, A1 for asymptotic behaviour at \(y =  \pm \frac{\pi {2}\). 92}}} \)

\ (= 0 \) A1

(II) Метод 1

F — это констант R1. )

\(f(1) = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}\)     M1A1

\( = \frac{\pi }{2} \)     AG

МЕТОД 2

из диаграммы

\(\theta  = \arctan \frac{1}{x}\)     A1

\(\alpha  = \arctan x\)     A1

\(\theta  + \alpha  = \frac{\pi }{2}\)     R1

следовательно \(f(x) = \frac{\pi }{2}\)     AG

МЕТОД 3

\(\tan \left( {f(x)} \right) = \ tan \left( {\arctan (x) + \arctan \left({\frac{1}{x}} \right)} \right)\)     M1

\( = \ frac{{x + \frac{1}{x}}}{{1 – x\left( {\frac{1}{x}} \right)}}\)     A1

знаменатель = 0, поэтому \(f(x) = \frac{\pi} {2}{\text{ (для }}x > 0)\)     R1

[7 баллов]

в.

(i)     Найджел прав. A1

МЕТОД 1

\(\arctan (x)\) нечетная функция и \(\frac{1}{x}\) нечетная функция

композиция двух нечетных функций — нечетная функция, а сумма двух нечетных функций — нечетная функция     R1

МЕТОД 2

\(f( – x) = \arctan ( – x) + \arctan \left( { – \frac{1}{x}} \right) =  – \ arctan (x) – \ arctan \left( {\frac {1}{x}} \right) =  – f(x)\)

, поэтому f является нечетной функцией. R1

(ii)     \(f(x) =  – \frac{\pi }{2}\)     A1

[3 marks]

d.

Как объяснить двоичную систему счисления детям

Как компьютер считает

Когда в древности люди только изобретали счёт, они, как сейчас маленькие дети, считали на пальцах. Пальцев на руках – десять, поэтому и система счисления у нас – десятичная. Однако наша система счёта компьютеру не слишком-то понятна: ему ближе двоичная. У компьютера нет десяти пальцев, но, с другой стороны, и двух тоже нет. Откуда тогда взялась двоичная система, что это за ноль и единица, которыми думает компьютер? И как из них получаются обычные, понятные цифры?

Для того чтобы в общих чертах понять, как думает компьютер, начнём с самого начала. Компьютер, по сути, – это много всякой электроники, собранной вместе в правильном порядке. А электроника (до того, как к ней добавили программу) понимает только одно: включена она или выключена, есть сигнал или нет сигнала.

Обычно «есть сигнал» обозначают единицей, а «нет сигнала» – нулём: отсюда и выражение, что «компьютер говорит на языке нулей и единиц».

Этот язык нулей и единиц называют ещё двоичной системой счисления – потому что в ней всего две цифры. Наша привычная система счисления – десятичная, в ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но есть и множество других – восьмеричная, пятеричная, одиннадцатиричная и какая угодно ещё.

У нас с вами нет цифры «десять», правда? Число 10 состоит из двух цифр – 1 и 0.

Точно так же в пятеричной системе счисления не будет цифры «5», только 0, 1, 2, 3 и 4.

Посчитаем в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 и так далее. Можно сказать, что как система счисления называется, такой цифры в ней и нет. В нашей десятичной нет цифры «10», в пятеричной нет цифры «5» (и всех, которые после неё), в восьмеричной – «8» и так далее.

А в шестнадцатиричной «16», например, есть! Поэтому нам шестнадцатиричную систему понять ещё сложнее. Давайте посчитаем в шестнадцатиричной:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C и так далее.

Двоичная система счисления, впрочем, тоже выглядит странновато для непривычного взгляда:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001…

Вот примерно такими числами и думает компьютер где-то внутри себя. Но человеку такими числами думать совершенно неудобно, поэтому мы преобразуем числа из двоичной в более удобную систему счисления.

В компьютерных программах часто используют восьмеричную и шестнадцатиричную системы: компьютеру легко их понять (потому что 8=2*2*2, 16=2*2*2*2, а с двоичной системой компьютер знаком изначально), а для людей это удобно, потому что поближе к привычной десятичной.

Как переводить числа из одной системы счисления в другую

Чтобы понять принцип, будем, как мы с вами любим, разбираться на конфетах.

И на конфетах мы с вами будем переводить число 33 в восьмеричную систему счисления. Мы решим, что единицы – это сами конфеты, а десятки – это коробки, в каждой из которых лежит по десять конфет. Вот и получится, что 33 – это 3 коробки по 10 конфет и ещё 3 конфеты где-то сбоку.

Но мы переводим наше конфетное богатство в восьмеричную систему счисления, а это значит, что нам надо вытряхнуть все конфеты из коробочек по 10, сложить в коробочки по 8 и посмотреть, что из этого выйдет.

Из 33 получится 4 полных восьмеричных коробочки и 1 конфета останется сама по себе, так как 33/8=4 (ост. 1). То есть 33=8*4+1 – так в восьмеричной системе счисления получается число 41.

33 в десятичной – это 41 в восьмеричной. Это одно и то же число, просто разложенное по разным коробочкам, переведённое в разное основание. Количество конфет не поменялось, мы просто считали их по-разному!

Двоичная система, как мы уже выяснили, более странная и непривычная для человеческого взгляда. Давайте попробуем перевести 33 в двоичную – получится аж 16 коробочек по 2! И что же делать? Писать 16 как-то странно, помня о том, что в двоичной системе есть только ноль и единица, а шестёрки, которая нам нужна для шестнадцати, совершенно точно нет!

Посмотрим на нашу десятичную систему. В ней мы считаем десятки – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – а когда у нас набирается десять десятков, мы достаём большую коробку – 100.

У нас 100 – это 10*10, 1000 – 10*10*10, 10 000 – 10*10*10*10 и так далее. Для других систем счисления это работает точно так же! В восьмеричной системе 100=8*8, 1000=8*8*8; в двоичной 100=2*2, а 1000=2*2*2; а в шестнадцатиричной (есть и такая, помните?) 100=16*16, 1000=16*16*16.

Здесь нам пригодятся степени. Если вы их ещё не проходили в школе, не пугайтесь, степени – это очень просто. Число в степени – это число, сколько-то раз умноженное на само себя. То есть 5³=5*5*5 (пять в третьей степени – это пять, три раза умноженная сама на себя: 5*5*5), или 8⁵=8*8*8*8*8 (восемь в пятой степени – это восемь, пять раз умноженная на саму себя: 8*8*8*8*8).

Если мы вспомним про наши 10 000=10*10*10*10 в десятичной и 1000=8*8*8 в восьмеричной, то можно легко заметить, что сколько нулей, столько раз и умножаем на само себя. Другими словами, количество символов в числе минус один – это степень, в которую надо возвести основание. В числе 1000 у нас четыре символа, значит умножать надо 4–1, то есть 3 раза. Если основание 10, то тысяча – это 10, три раза умноженная сама на себя: 10*10*10. Если основание 8, то тысяча – это 8, три раза умноженная сама на себя: 8*8*8.

Обо всём этом мы заговорили, пытаясь перевести 33 в двоичную систему. Просто так поделить это число на коробочки по 2 оказалось затруднительным. Но если вспомнить про наши сотни-тысячи, можно задуматься: а ведь в двоичной 100=2*2, 1000=2*2*2, 10 000=2*2*2*2 и так далее.

Для перевода из десятичной системы в двоичную удобно помнить степени двойки. Даже можно сказать, что без этой хитрости со степенями мы устанем, умаемся и немножко сойдем с ума. А степени двойки выглядят как-то так:

Теперь, глядя на табличку, мы видим, что 33=2⁵+1, то есть 33=2*2*2*2*2+1. Вспоминаем – сколько раз умножаем, столько будет нулей – то есть наше 2*2*2*2*2 в двоичной системе будет 100000. Не забудем оставшуюся в стороне единичку, и получится, что 33 в десятичной – это 100001 в двоичной. Правильно и красиво это записывают так:

33₁₀=100001₂

Давайте (чтобы совсем хорошо понять) переведём в двоичную систему число 15.

1. В первую очередь – смотрим в табличку.

а) Какое самое близкое к 15 число в ней? Нет, 16 не подходит, оно больше, а нам нужно самое близкое, которое меньше. Получается, что это 8, то есть 2³, то есть 2*2*2.

б) Восемь конфет из 15 разобрали, осталось – 15-8 – семь. Какое ближайшее число из таблички? Нет, восемь снова не подойдет, см. выше. Подойдет четыре, то есть 2², то есть 2*2.

в) Четыре из семи конфет разобрали, осталось – 7-4 – три. Из таблички понимаем, что самое близкое число – 2, то есть 2¹, то есть просто 2.

г) Три минус два – осталась 1 конфета, тут уже табличка не понадобится. В таблички такого рода можно не смотреть, когда ваш остаток меньше основания, а наша единица точно меньше двойки.

2. Собираем всё найденное в табличке вместе: 15=2³ + 2² + 2¹ + 1, оно же: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
3. В двоичной системе 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, помните? И у нас получается 1000+100+10+1, то есть 1111.
4. Итак,

15₁₀=1111₂

Когда просто смотришь на все эти шаги, кажется, что это просто свалка из Кучи Разных Странно Написанных Цифр. И запутаться во всём этом в первый раз – нормально. И во второй, и в третий. Просто попробуйте сделать это ещё и ещё раз – по шагам, как написано выше, и всё получится.

И наоборот это тоже работает! Например, число 11010101₂ – как из него сделать понятное десятичное? Точно так же, при помощи таблички. Пойдем с конца:

1*2⁰+0*2¹+1*2²+0*2³+1*2⁴+0*2⁵+1*2⁶+1*2⁷=

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

То есть,

11010101₂ = 213₁₀

Вот примерно так компьютер понимает привычные нам числа.

Когда смотришь на это в первый раз, кажется, что это, во-первых, совершенно непостижимо, а, во-вторых, вообще не сработает. Поэтому сейчас мы с вами сделаем немножко математической магии, чтобы убедиться, что системы счисления – это такая же реальная вещь, как, например, задача «раздать пятерым детям пятнадцать печенек поровну».

Итак, возьмем пример 15+6 и решим его в разных системах счисления. Понятно, что в нашей, десятичной, получится 21. А что выйдет, например, в восьмеричной?

Переводим 15 в восьмеричную систему счисления. Первый шаг у нас при переводе в другую систему – посмотреть в табличку степеней. 8² – это уже 64, и в 15 оно точно уже никак не влезет, поэтому берем 8¹ – то есть просто 8. 15–8=7, оно меньше нашего основания 8, поэтому с ним мы ничего не делаем.

Итак, получилось, что 15=8¹+7.

В восьмеричной системе логика точно такая же, как, например, в двоичной: 8³ – это 1000, 8² – это 100, 8¹ – это 10. Получилось, что:

15₁₀=17₈

Напомню, наш пример был 15+6. 15 мы перевели в восьмеричную систему, как же перевести 6? Она меньше 8, нашего основания, поэтому ответ – оставить как есть. Наш пример сейчас выглядит так:

15₁₀+6₁₀=17₈+6₈

Теперь мы будем складывать в восьмеричной системе счисления. Как это делается? Так же, как и в десятичной, но надо помнить, что десяток в восьмеричной системе – это восемь, а не десять, и что 8 и 9 в ней не существует.

Когда мы считаем в десятичной системе, по сути, мы делаем так:

15+6=15+5+1=20+1=21

Попробуем проделать тот же фокус в восьмеричной системе:

17₈+6₈=17₈+1₈+5₈=20₈+5₈=25₈

Почему 17+1? Потому что 7+1=8, а 8 – это наш десяток! В восьмеричной системе 7+1=10, а значит, 17+1=20. Если на этом месте ваш мозг начинает бить тревогу и рассказывать, что здесь что-то не так, вернитесь в начало статьи, где мы с вами считали в разных системах счисления.

Теперь наш пример выглядит как

15₁₀+6₁₀=17₈+6₈=25₈

Переведем 25₈ обратно в нашу систему счисления. В десятичной мы бы, увидев число 25, могли сказать, что в нём две десятки и пять единиц. В восьмеричной, как вы, наверное, уже догадались, число 25₈  – это две восьмерки и пять единиц. То есть 25₈=2*8+5=21₁₀.

Итак, наш пример целиком:

15₁₀+6₁₀=17₈+6₈=25₈=21₁₀

Получилось точно такое же 21, какое вышло у нас в самом начале, когда мы посчитали 15+6 привычным нам способом в десятичной системе.

Арифметические правила не меняются от того, что мы выбрали другую систему счисления. Поэтому и компьютер, переводя всё в нули и единицы, которые для нас выглядят непонятно и бессмысленно, не теряет при этом информацию, которую мы ему дали, и может, посчитав в удобной ему форме, выдать результат, переведя его обратно в привычный нам вид.

Кодирование информации в информатике

Мы обсуждили, как компьютер понимает числа. Они получаются из других чисел – двоичных, которые компьютер понимает. А как быть с буквами? Картинками? Играми?

Какие вообще бывают виды кодирования информации в науке обращения с компьютером – информатике?

Тут надо на секунду задуматься, как общаются сами люди. Мы используем слова, из слов делаем предложения, из предложений – текст, рассказ, диалог. Но чтобы сделать слово, мы используем буквы, которых всего-навсего 33 штуки!

Просто представьте: все книги, которые вы когда-либо читали – это лишь разные сочетания одних и тех же 33 букв.

Но мы делаем из букв слова по определённым правилам, а словами обозначаем предметы, свойства, действия, эмоции, фантазии. Буквы – это кубики, из которых мы строим слова. А слова – это код, которым мы обозначаем всё, что встречается в нашей жизни, чтобы потом об этом кому-нибудь рассказать.

Точно так же происходит и с компьютером. При помощи цифр мы объясняем компьютеру, что у него есть монитор, мышка, клавиатура и другие детали, рассказываем, как с ними обращаться и как реагировать, когда что-то делаем мы.

Но сейчас мы с вами поговорим о более конкретных и практических кодах. И начнём с того, как компьютер понимает буквы.

Раз компьютер знает только цифры, значит и буквы он видит через цифры. Это, примерно, как если бы мы букву А записали как 1, Б как 2, В как 3, и так далее.

Примерно такие таблицы (только больше и сложнее) компьютер и использует, чтобы понимать буквы.

Представьте себе: кто-то записал анекдот на компьютер и прислал вам. Вы открываете документ, а там ничего непонятно. Примерно вот так:

 Р§РµР”овек сейчас СѓРІРёРґРёС‚ Дишь то, что ожидает увидеть.

Это компьютер ошибся с кодировкой. Что такое кодирование в информатике? Так обычно называют присвоение каждому символу (букве, знакам препинания и так далее) определённого кода согласно специальной табличке. Кодировка – это способ, которым зашифровывает и расшифровывает буквы компьютер, можно сказать, табличка, которую он выбирает. Табличек у него на такой случай много, и надо знать, по какой расшифровывать, иначе получится белиберда.

Давайте немножко побудем компьютером. У нас с вами будет две таблички: в одной сначала будет идти алфавит, а потом знаки препинания, в другой – наоборот.

Кодировочная Таблица 1:

Кодировочная Таблица 2:

Зашифруем с вами фразу «Пароль – три зелёных свистка». Зашифровывать мы будем по первой таблице, а расшифровывать – по второй.

Первая буква – П. В первой таблице у неё номер 17. Дальше буква А. У неё номер 1. Продолжите сами и проверьте себя, правильно ли у вас получится!

А получилась в итоге вот такая строчка:

17-1-18-16-13-30 38 20-18-10 9-6-13-6-15-29-23 19-3-10-19-20-12-1

Теперь попробуем расшифровать её при помощи второй таблицы.

Во второй таблице цифра 17 у буквы И, цифра 1 у точки и так далее (расшифруйте сами).

У нас получилось:

И.йзех э лйв(жфо к?вклд

Итак, результат, во-первых, непонятный, а, во-вторых, совершенно не похож на ту фразу, которую мы хотели передать. И получилось это из-за того, что таблица для шифровки и таблица для дешифровки не совпали.

Точно так же с фразой и с текстом вроде «Р§РµР”РѕРІРµРє сейчас» – так получается, когда компьютер пытается расшифровать текст не по той таблице, по которой он был зашифрован. Ещё в таких случаях говорят, что «в тексте неправильная кодировка». Сам текст от этого не испортился, просто программе где-нибудь в настройках надо указать, какой кодировкой воспользоваться (обычно это utf8, или UNICODE, или как в этом случае Windows-1251).

Давным-давно, когда компьютеры были большими, а жёсткие диски в них –маленькими, придумали кодировку ASCII (читается как «аскИ»).

Это табличка, где зашифрованы буквы латинского алфавита (мы обычно привыкли о них думать, как об английских буквах), знаки препинания и некоторые служебные символы (например, символ, который обозначает, что надо продолжить с нового абзаца).

Когда в компьютерах придумывают что-то новое, однажды бывает очень важно, чтобы кто-то сказал: «А теперь ВОТ ЭТО мы все делаем одинаково». Например, весь вай-фай в мире работает примерно одинаково, поэтому почти любой телефон может подключиться почти к любой точке вай-фай.

Точно так же произошло и с кодировочной таблицей. Мы с вами раньше уже убедились, что она обязательно должна быть одинаковая у отправителя и получателя, и этой одинаковой таблицей стала ASCII аж в 1963 году.

Сначала всё было замечательно, но потом компьютеры стали становиться меньше и удобнее, ими стали пользоваться разные люди, в том числе не знающие английского. А русский, например, алфавит (который также называют «кириллица») в ASCII не входит. Как быть? Куда бежать? И в 1991 году был придуман UNICODE (читается как «Юникод» или «Уникод» – почти как «Универмаг», но не магазин).

Юникод может закодировать очень большое число символов из разных письменностей: китайские иероглифы, математические символы, буквы греческого алфавита, латиницы и кириллицы.

ASCII стала первой частью Юникода, и специальные договоренности в программах позволяют читать при помощи Юникода текст, который был закодирован в ASCII.

Когда вы сохраняете файл в том же «Блокноте», вы можете выбрать кодировку и при выборе заметить, что их гораздо больше, чем мы разобрали в статье.

В заключение давайте поговорим, где какая кодировка нужна.

Обычно выбором кодировки занимаются люди, работающие с компьютерами профессионально – при написании программ, настройки баз данных и т. п. Мы с вами не будем вникать во все тонкости, и рассмотрим этот вопрос в общих чертах:

– Windows-1251

Как видно из названия, это основная кодировка операционных систем семьи Windows. Когда вы точно знаете, что все компьютеры, которые будут работать с файлами, используют Windows – она отличный выбор. Если же нет, могут возникнуть проблемы с невидимыми символами. Потому что Windows-1251 их считает служебными, а многие другие кодировки решают, что это такие буквы непонятные, и в результате случается неразбериха.

– ASCII

Старая, но надёжная. Подойдёт, если ваш текст на английском, а компьютер, где надо открыть файл – очень, очень старый.

– UNICODE

Это рекомендуемая кодировка для всех систем! Если друг прислал вам файл, а у вас в нём кракозябры, попросите его пересохранить файл с кодировкой unicode, и, скорее всего, проблема будет решена.

– UTF-8

Вариант записи того же Юникода. Он специфический, и обычно используется программами при общении внутри себя самих (например, общение программы со своей базой данных).

Итак, кодированием текста в информатике обычно называют способ компьютера перевести текст в понятный ему вид по одной из общепринятых табличек. Если файл был сохранён в одной кодировке, а открыт в другой – обычно получается белиберда вместо текста.

Все компьютеры знают одни и те же кодировки, чтобы понимать файлы, сделанные другими компьютерами, но кодировки существуют разные – под разные цели. Лучше всего сохранять файлы в кодировке UNICODE –  так больше всего шансов, что у другого человека этот файл откроется.

Как можно увидеть, криптография – это не только наука про тайны и не только детская игра. У этой науки есть множество простых практических точек приложения, и если ребёнок знаком с её концепциями, то многое, что может испугать, сбить с толку и привести в отчаяние, для него будет просто задачей, к которой надо найти правильное решение.

Двоичная система счисления: пресловутые нолики и единички

О чем речь? Можно с уверенностью назвать двоичную систему счисления одной из основных, которые используются в вычислительной технике. А значит, привычные нам компьютер и смартфон применяют 0 и 1 для расчетов.

На что обратить внимание? Стоит отметить, что такая «популярность» – это дань традиции, заложенной праотцом вычислительных машин Блезом Паскалем. И все же, порой, нужно переводить показатели двоичной системы в 10-ю или 16-ю. Как же это сделать?

В статье рассказывается:

1. Общепринятые системы счисления
2. Числа, используемые в двоичной системе счисления
3. Сложение, вычитание и умножение в двоичной системе счисления
4. Как переводить числа в двоичной системе счисления в десятичную
5. Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

6. Пройди тест и узнай, какая сфера тебе подходит:
   айти, дизайн или маркетинг.

   Бесплатно от Geekbrains

Общепринятые системы счисления

Человечество в ходе своего развития со временем стало нуждаться в способах подсчета. Нужно было считать, например, количество добычи или убитых врагов из других племен. И эта нужда у древних людей только возрастала. Поначалу пользовались абстрактными понятиями типа «нисколько», «один», «много». Затем в употребление вошла «пара», означающая два каких-то предмета. Уже одно это нововведение существенно упростило жизнь древнему человеку.

Общепринятые системы счисления

В дальнейшем люди стали считать единицами, используя в качестве таковых пальцы на руках и ногах, зарубки на деревьях, кости зверей, узелки на веревках. Благодаря изобретению таких примитивных счетных машин человечество спустя тысячелетия смогло понять, что в древности люди умели не только считать, но также фиксировать результаты счета.

С течением времени возникла необходимость в символьном обозначении любого количества больше единицы. В итоге древними египтянами были впервые придуманы знаки, обозначающие 1, 5 и 10.

Система чисел, состоящая из определенных знаков (цифр), фактически и является системой счисления. Другими словами, это способ численного выражения с помощью принятых правил и специальных знаков, называемых цифрами.

Любая система счисления принадлежит к одной из двух категорий:

Позиционные СС

Конкретное значение числа определяется не только цифрами, но и их позицией. Сюда относят арабскую систему, где первый разряд справа отведен для единиц, второй разряд справа — для десятков, третий разряд справа — для сотен и т. д. Таким образом, для записи числа 475 необходимо в крайней правой позиции расположить пятерку (пять единиц), после нее — семерку (семь десятков) и затем — четверку (четыре сотни). Позиционными считаются также системы счисления с основаниями (2, 8, 16).

Непозиционные СС

Значение числа определяется только знаком (цифрой). Для обозначения единиц, десятков, сотен и тысяч используются отдельные символы. Наиболее показательным представителем данной группы является римская система счисления. Здесь имеется еще одна отличительная особенность. Для записи очень больших чисел необязательно использовать весь набор знаков — на такие случаи существуют функции сложения и вычитания.

К примеру, число 475 римскими цифрами может выглядеть как CCCCXXXXXXXIIIII либо, в сокращенном виде, как CDLXXV. В последнем варианте используются именно вычитание и прибавление. Значение цифры, стоящей слева от большего числа, отнимается соответственно от этого числа. Если эта цифра стоит справа, то значение прибавляется.

Впервые позиционная система счисления была введена в Вавилоне. Примечательно, что она была шестнадцатеричная. К 19 веку распространение получила двенадцатеричная система.

Прежде чем разбирать, как записывается двоичная система счисления, определимся с терминами. Алфавит любой СС состоит из знаков, обозначающих отдельные цифры. Основанием называют значение, равное количеству знаков для кодирования чисел и представляющее собой целое число от 2 и выше.

Непозиционные СС

Когда рассматривается несколько разных СС, тип каждой из них обычно обозначается подстрочным знаком. По умолчанию, если не указано основание, число является десятичным. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Числа, используемые в двоичной системе счисления

Состав двоичной системы счисления — цифры 0 и 1. Основание равно 2. В крайней правой позиции числа указывается количество единиц, левее — количество двоек, затем количество четверок и т. д.

Таким образом, любое натуральное число кодируется в последовательный ряд из нулей и единиц — это и будет являться двоичной системой счисления. Решение такой задачи покажем на примере ниже.

10112 = 1*23 + 0*2*2+1*21+1*20 =1*8 + 1*2+1=1110

Как известно, двоичная система счисления используется вычислительной техникой для хранения информации, а также для преобразования данных в графические изображения. В свою очередь обработка двоичного кода требует предварительного размещения каждой цифры внутри особой электронной схемы (триггера). Эта схема может пребывать в одном из двух состояний — «ноль» или «единица».

Отдельное число, состоящее из нескольких цифр, сохраняется группой триггеров — регистром. Оперативная память компьютера фактически является совокупностью таких регистров.

Топ-30 самых востребованных и высокооплачиваемых профессий 2023

Поможет разобраться в актуальной ситуации на рынке труда

Подборка 50+ ресурсов об IT-сфере

Только лучшие телеграм-каналы, каналы Youtube, подкасты, форумы и многое другое для того, чтобы узнавать новое про IT

ТОП 50+ сервисов и приложений от Geekbrains

Безопасные и надежные программы для работы в наши дни

pdf 3,7mb

doc 1,7mb

Уже скачали 20099

С точки зрения вычислительной техники любое сохраняемое число представляет собой машинное слово, арифметические и логические операции над которым выполняет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Чтобы компьютеру было проще работать с регистрами, они нумеруются (или наделяются адресами).

Так, для сложения двух чисел используются адреса регистров, где они расположены, а не сами эти числа. Данные записываются в восьмеричной и шестнадцатеричной системах для более быстрого и простого перевода чисел в двоичный формат.

Тем не менее, конечный пользователь видит всю числовую информацию в привычном ему десятичном виде. Почему так происходит? Изначально, нажимая на клавишу, пользователь передает компьютеру соответствующую последовательность электрических сигналов (нулей и единиц). Для каждого символа определен конкретный набор этих импульсов.

Специальные программы (драйверы клавиатуры и экрана) преобразуют эти сигналы в читаемый вид путем обращения к кодовой таблице. Например, стандарт Unicode позволяет закодировать таким образом 65536 символов. Именно так используется двоичная система счисления в информатике — нули и единицы преобразуются программным способом в текст и изображения на экране.

исла, используемые в двоичной системе счисления

Далее приведем очевидные достоинства использования двоичного способа представления информации.

• От технических устройств требуется лишь два устойчивых состояния (например, наличие тока и отсутствие тока и т. д.).
• Вычислительной технике значительно проще выполнять операции с двоичными данными, чем с десятичными.
• Таблицы сложения и умножения в двоичной системе имеют гораздо меньший размер по сравнению с такими же таблицами для десятичной системы.

Недостатки:

• возможное превращение конечных десятичных дробей в бесконечные двоичные;
• большее количество занимаемых разрядов по сравнению с десятичной записью;
• сложность с восприятием записи чисел, поскольку двоичная система счисления — этопредставление только в виде нулей и единиц.

Сложение, вычитание и умножение в двоичной системе счисления

Для того, чтобы складывать числа, пользуются следующей таблицей:

+	0	1
0	0	1
1	1	10 (переход в старший разряд)

Таблица вычитания в двоичной системе счисления выглядит так:

—	0	1
0	0	1
1	(взятие из старшего разряда) 1	0

Точный инструмент «Колесо компетенций»

Для детального самоанализа по выбору IT-профессии

Список грубых ошибок в IT, из-за которых сразу увольняют

Об этом мало кто рассказывает, но это должен знать каждый

Мини-тест из 11 вопросов от нашего личного психолога

Вы сразу поймете, что в данный момент тормозит ваш успех

Регистрируйтесь на бесплатный интенсив, чтобы за 3 часа начать разбираться в IT лучше 90% новичков.

Только до 27 марта

Осталось 17 мест

Умножение выполняется по следующей таблице:

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Как переводить числа в двоичной системе счисления в десятичную

Сперва приведем алфавиты трех используемых систем — двоичной, десятичной и шестнадцатеричной.

Основание	Наименование системы	Алфавит
2	Двоичная	0, 1
10	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Как уже упоминалось, двоичная система счисления имеет основание 2. Чтобы перевести число в десятичный формат, можно воспользоваться такой таблицей степеней данного основания:

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Здесь ряд начинается с единицы, а каждая последующая цифра является результатом умножения предыдущей на двойку. После 1 ставится так называемая двоичная точка.

В качестве примера переведем число 1011011 двоичной системы счисления в 10-ный формат (число 91):

0*2+1=1>>1*2+0=2>>2*2+1=5>>5*2+1=11>>11*2+0=22>>22*2+1=45>> 45*2+1=91.

А конвертация 101111 в десятичную систему даст число 47:

0*2+1=1>>1*2+0=2>>2*2+1=5>>5*2+1=11>> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47

НУЖНА КАРТИНКА

Таким же образом можно переводить и дробные числа. Для примера возьмем 1011010, 101 в двоичной системе счисления. Перевод чисел в десятичную можно осуществлять в таком виде:

1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*2 + 0 *22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3 = 90,625

Иначе говоря, расчет будет следующим:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Полученное значение в десятичной системе также высчитывается по таблице:

64	32	16	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125
1	0	1	1	0	1	0.	.1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0	+0.5	+0	+1.125

Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Здесь необходимо выполнить 2 шага:

1. Перевод числа из двоичной системы в десятичную
2. Преобразование полученного значения в шестнадцатеричный формат

К примеру, имеется число 1011101 в двоичной системе счисления. Запись чисел для выполнения первого шага осуществляется по формуле:

A2 = an-1 ∙ 2n-1 + an-2 ∙ 2n-2 + ∙∙∙ + a0 ∙ 20

Подставляем значения:

10111012=1 ∙ 26 + 0 ∙ 25 + 1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 1 ∙ 64 + 0 ∙ 32 + 1 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 9310

Теперь полученное десятичное число необходимо преобразовать в шестнадцатеричное. Для этого 93 многократно последовательно делим на 16 до тех пор, пока остаток не станет меньше 16.

В процессе деления остатки нужно записывать в обратном порядке. Результатом всех операций будет число 9310=5D16.

НУЖНА КАРТИНКА

Перевод дробных чисел в шестнадцатеричный формат выполняется аналогичным образом — через промежуточный этап перевода в десятичную систему.

Вновь покажем это на примере. Преобразуем двоичное число 10001100.110 сначала в десятичную систему по формуле:

An = an-1 ∙ qn-1 + an-2 ∙ qn-2 + ∙∙∙ + a0 ∙ q0 + a-1 ∙ q-1 + ∙∙∙ + a-m ∙ q-m

Подставляем наши значения:

10001100.1102=1 ∙ 27 + 0 ∙ 26 + 0 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20 + 1 ∙ 2-1 + 1 ∙ 2-2 + 0 ∙ 2-3 = 1 ∙ 128 + 0 ∙ 64 + 0 ∙ 32 + 0 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 0 ∙ 2 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0.5 + 1 ∙ 0.25 + 0 ∙ 0.125 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0 = 140.7510

Следует отметить сильное сходство формул расчетов дробного и целого десятичных чисел. Тем не менее, отличия также имеются.

Вторым этапом переводим число 140,75 в шестнадцатеричный формат. Это делается в два подэтапа:

1. Перевод отдельно целой части числа.
2. Перевод отдельно дробной части числа.

Итак, нам необходимо сначала преобразовать 140 в шестнадцатеричную систему счисления, последовательно деля это число на 16, пока остаток не станет меньше делителя.

После записи остатков в обратном порядке получаем результат: 14010=8C16

Операции с дробной частью отличаются тем, что мы многократно и последовательно умножаем ее, пока она не станет равной нулю (или значению в соответствии с заданной точностью).

В нашем случае это будет выглядеть так: 0.75 * 16 = 12.0 (C).

Поскольку после первого же умножения дробная часть обнулилась, дальнейшие итерации прекращаем. Итоговый результат: 0.12 (0.С) или, иначе, 0.75 ∙ 16 = 12.0 (C)

Остался последний этап — соединение преобразованных целой и дробной частей: 140.7510=8C.C16. Это и будет общим решением всей задачи.

Сперва может показаться, что изложенный здесь материал слишком сложен и запутан для простого обывателя. На самом деле двоичная арифметика предельно логична и понятна. Пользование таблицами сложения и умножения не представляет сложности, если в них разобраться.

Рейтинг: 5

( голосов 1 )

Поделиться статьей

Двоичная система счисления | Определение, пример и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Обзор недели
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Britannica Beyond
  Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы исследуем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Факты и сопутствующий контент

Что такое двоичная система?

Система нумерации представляет собой набор символов и правил, с помощью которых мы можем выразить все действительные числа в этой системе. Например, десятичная система , которую мы используем чаще всего в повседневной жизни, использует число 10 в качестве основы и состоит из 10 различных чисел, с помощью которых вы можете представить все остальные: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Это позиционная система и поэтому значение каждого числа меняется в зависимости от его положения (единицы, десятки, сотни и т.д.).

Двоичная система , которая широко известна, потому что это система счисления, используемая компьютерами и другими электронными устройствами, является системой с основанием 2. Это означает, что он использует только две цифры для представления всех своих чисел, и в случае двоичного кода эти два числа равны 0 и 1. Компьютеры используют двоичную систему, потому что они работают только с 9.0142 два уровня напряжения : ВЫКЛ или без наличия электрического заряда (0) и ВКЛ или с наличием электрического заряда (1).

Существуют и другие системы счисления с различным назначением, такие как восьмеричная система (основание 8) и шестнадцатеричная система (основание 16), которые также используются в компьютерном мире, или шестидесятеричная система (основание 60), которая является еще одной системой нумерации. система, которую мы используем каждый день для измерения времени (один час равен 60 минутам, а каждая минута равна 60 секундам).

Происхождение двоичной системы

Первые описания двоичной системы относятся к 3 веку до н.э. и приписываются древнеиндийскому математику по имени Пингала . Первые представления двоичных чисел встречаются в классических трудах китайского происхождения, в частности, в философском труде « I Ching », который датируется между 1200 и 100 годами н.э. в.

На протяжении последующих столетий мы также можем найти документы других математиков и других мыслителей, которые излагали идеи, связанные с двоичной системой. Например, сэр Фрэнсис Бэкон создал Код Бэкона в начале 17 века, криптографический код, основанный на двоичной системе, в которой для шифрования сообщений использовались буквы A и B, сгруппированные в пятибуквенные комбинации.

Что касается современной двоичной системы, то математическая основа двоичной системы, какой мы ее знаем, была впервые задокументирована в 17 веке немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем . В 1703 году Лейбниц опубликовал статью « Explication de l’Arithmétique Binaire », в которой объяснялось, как числа могут быть представлены с помощью цифр 0 и 1. В то время его исследования не отвечали какой-либо конкретной цели, но с появление первых компьютеров в начале 20-го века, почти 300 лет спустя, можно было понять, как все, что объяснил Лейбниц в своей статье, применялось первыми программистами компьютеров.

Также важно отметить вклад британского математика Джорджа Буля , который в 1854 г. опубликовал статью, в которой подробно описал систему логики, названную Булевой алгеброй, которая началась с теории двоичной системы и была ключ к разработке электронных схем.

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Можно преобразовать число из одной системы счисления в другую, например, из двоичной в десятичную или наоборот. В первом случае необходимо разложить двоичное число на множители (по основанию 2) и в дальнейшем мы можем преобразовать его в эквивалентное число в десятичной системе. Если у нас есть двоичное число 10111101 и мы хотим преобразовать его в десятичное число, мы должны сначала разложить его на множители, используя число 2 и возведя его в степень, соответствующую каждой цифре, в соответствии с положением, которое она занимает в ряду чисел. В качестве показателей степени мы будем использовать 0, 1, 2, 3… пока не достигнем 7, и мы начнем факторизовать в порядке слева направо, начиная с наибольшей степени. Наконец, мы вычислим сложение и найдем эквивалентное десятичное число, которое в данном случае равно 189.:

10111101 = (1·2 ⁷ ) + (0·2 ⁶ ) + (1·2 ⁵ ) + (1·2 ⁴ ) + (1·2 ³ ) + (1·2 ³ ) (1·2 ² ) + (0·2 ¹ ) + (1·2 ⁰ )
10111101 = (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + ( 4) + (0) + (1)
10111101 = 189

Чтобы преобразовать целое число из десятичной системы и найти его эквивалент в двоичной системе, мы должны использовать число, которое мы хотим преобразовать (189), в качестве делимого и число 2 в качестве делителя, так как искомое число имеет основание 2.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

• Нахождение путём разложения на множители
• Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Обобщённый алгоритм Евклида

Дискретная математика для ФРТ

Содержание.

Основы теории целых чисел — 3 лекции,

комбинаторика — 2 лекции,

понятие о графах (дополнительный материал)-1 лекция,

булевы функции — 3 лекции.

И материалы для семинаров.

Примечание: часть материала носит ознакомительный характер! Например, если теории для некоторой задачи не было в лекциях – значит, эта задача не входит в семинары, домашние задания и экзамен, а её условие даётся как дополнительный материал для самых любознательных. Конечно, готов кратко рассказать про решения таких задач, если спросите.

Основы теории целых чисел

1. Деление с остатком

Определение

a, b  Z, b > 0.

Поделить a на b с остатком – значит найти такие числа p и q, что a = bq + r, при этом 0≤r<b.

Примеры:

1. (Показать на доске) 25 = 46 + 1

2. (Решить самостоятельно) -25 = -56 + 5

Докажем единственность деления с остатком.

В самом деле, если

Тогда

Если левая часть не равна 0, то её модуль не меньше b, поскольку умножаем b на ненулевое целое число. С другой стороны, оба остатка меньше b, поэтому модуль разности в правой части меньше b.

Противоречие!

Поэтому левая часть равна 0, и два представления совпали.

Пример.

Найдутся два целых числа, составленных из одних единиц, которые дают одинаковый остаток при делении на 37.

Решение

Возьмём 38 чисел, составленных из одних единиц. Поскольку остатков от деления на 37 всего 37, то хотя бы у двух чисел совпадут остатки.

Задачи.

1. Найти остаток от деления 2²⁰⁰⁰ на 3.

Решение

Раскрыв скобки, получим много слагаемых, кратных 3, и одно слагаемое, равное 1. Поэтому остаток равен 1.

Ответ: 1.

2. а) доказать, что найдутся два числа, составленные из единиц, разность которых кратна 5007.

б) доказать, что найдётся одно число, составленное из единиц и кратное 5007.

Решение.

а) Возьмём 5008 чисел, составленных из одних единиц. Поскольку остатков от деления на 5007 всего 5007, то хотя бы у двух чисел совпадут остатки, следовательно, их разность будет кратна 5007.

б) Рассмотрим эту разность. В начале её некоторое количество единиц, затем одни нули.

Поскольку нули означают умножение на степень числа 10, а это число взаимно просто с 5007, то нули не помогают для делимости на 5007, их можно отбросить.

Поэтому число из единиц делится на 5007.

Делимость

Говорят, что (a делится на b) или b | a (b делит a), если существует q такое, что a = bq.

Свойства делимости

1. a | b и b | c  a | c.

2. a | b и a | c  a | (b  c).

3. a | b и a | c  a | (b  kc), k  Z.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Определение.

d = НОД (a₁, … a_n), если d – наибольшее целое число, на которое делятся все a₁, … a_n.

m = НОК (a₁, … a_n), если m – наименьшее целое число, которое делится на все a₁, … a_n.

Алгоритм Евклида

Пример. НОД (72, 96) = НОД (72, 96 — 72) = НОД (72, 24) = 24.

Идея вычисления наибольшего общего делителя в том, что некоторые числа заменяем их линейными комбинациями таким образом, что числа уменьшаются, а наибольший общий делитель остаётся прежним.

Приведём более строгое описание работы алгоритма.

Теорема

Множество общих делителей не меняется при элементарных преобразованиях набора (a₁, … a_n), то есть при замене a_iчислом a_i— q a_k.

В самом деле, если некоторое число d было общим делителем набора (a₁, … a_n), то все линейные комбинации этих чисел, в том числе a_i— q a_k, делятся на d.

Аналогично, если число d₁ является общим делителем для набора, в котором провели замену, то оно является делителем q a_k, а, следовательно, является делителем a_i. Следовательно, является делителем исходного набора.

Пример

276 = 84  3 + 24

84 = 24  3 + 12

24 = 12  2

НОД (276, 84) = НОД (84, 24) = НОД (12, 24) = НОД (12, 0) = 12

Общая формула алгоритма для двух чисел.

a = bq₁ + r₁

b = r₁q₂ + r₂

r₁ = r₂q₃ + r₃

r₂ = r₃q₄ + r₄

…

В конце концов остаток при делении окажется равен нулю, поскольку остатки уменьшаются с каждым шагом, и все они положительные.

r_k-1 = r_kq_k+1 + r_k+1

r_k = r_k+1q_k+2

Тогда НОД (a, b) = r_k+1 (то есть наибольший общий делитель равен последнему ненулевому остатку).

Алгоритм Евклида относится к так называемым «быстрым» алгоритмам, поскольку на каждом шаге остаток уменьшается по крайней мере в 2 раза, поэтому за сравнительно небольшое количество шагов алгоритм заканчивает работу.

Для трёх чисел вычисление наибольшего общего делителя может быть, например, таким.

НОД (65, 182, 130) = НОД (65, 182, 0) = НОД (65, 52, 0) = НОД (13, 0, 0) = 13.

Упражнения.

1. Найти НОД (111 111, 1111)

Решение:

Таким образом, НОД (111111, 1111) = 11.

2. Найти НОД (98, 147, 112)

Решение.

НОД (98, 147, 112) = НОД (98, 147, 14) = НОД (0, 147, 14) = НОД (0, 7, 14) = НОД (0, 7, 0) = 7

(Линейное представление наибольшего общего делителя).

Если d = НОД (a, b), то существуют такие целые числа x и y, что d = ax + by.

Пример.

1 = 7 x + 11 y

1 = 11  2 – 7  3

Теперь выведем общий метод вычисления линейного представления наибольшего общего делителя набора из произвольного количества чисел.

Определение

Линейным представлением числа d через набор чисел a₁, a₂, … , a_n называется выражение d = x₁a₁ + …. + x_na_n.

Теорема

d = НОД (a₁, … , a_n)   x₁, …. , x_n: d = x₁a₁ + …. + x_na_n.

Лемма

Элементарное преобразование a_i’ = a_i – ka_j не меняет линейную оболочку набора.

(Линейной оболочкой набора (a₁, … , a_n) называют множество всех выражений вида x₁a₁ + …. + x_na_n)

Доказательство леммы

Каждое число из линейной оболочки (a₁’, … , a_n’) входит в линейную оболочку (a₁, … , a_n), и наоборот.

На самом деле, если число представлено в виде t₁a₁’ + … + t_na_n’, то представив число a_i’ в виде a_i – ka_j, выразим все a₁’, … , a_n’ через (a₁, … , a_n) и получим коэффициенты разложения для системы (a₁, … , a_n).

Аналогично находим представление по системе (a₁’, … , a_n’), если известно разложение по системе (a₁, … , a_n).

Доказательство теоремы

Линейная оболочка набора (a₁, … , a_n) совпадает с линейной оболочкой (0, 0, …, d) (это следует из применения алгоритма Евклида).

Примеры.

276 = 84  3 + 24

84 = 24  3 + 12

24 = 12  2

Раскручивая последовательность вычислений в обратную сторону, получим:

24 = 276 – 84  3

12 = 84 – 24  3 = 84 – (276 – 84  3)  3 = 84  10 – 276  3

Итак, 12 = 84  10 – 276  3

Общая формула:

a = bq₁ + r₁

b = r₁q₂ + r₂

r₁ = r₂q₃ + r₃

r₂ = r₃q₄ + r₄

…

r_k-2 = r_k-1q_k + r_k

r_k-1 = r_kq_k+1 + r_k+1

r_k = r_k+1q_k+2

Отсюда получаем:

r_k+1 = r_k-1 –r_kq_k+1

То есть мы выразили r_k+1 = НОД (a, b) через два предыдущих остатка: r_kи r_k-1.

Далее, воспользовавшись тем, что

r_k= r_k-2 – r_k-1q_k,

выразим r_k+1 в виде r_k+1 = r_k-1 –r_kq_k+1 = r_k-1 – (r_k-2 – r_k-1q_k)q_k+1. (1)

В этом случае получим линейное представление r_k+1 = НОД (a, b) через остатки r_k-1 и r_k-2.

Затем выразим r_k-1 через остатки r_k-2 и r_k-3, подставив полученное представление в формулу (1), получим представление НОД (a, b) через остатки r_k-2 и r_k-3. Продолжим процесс до тех пор, пока не получим линейное представление НОД (a, b) через a и b.

ax + by = r

Исходные числа a и b тоже можно представить в виде линейной комбинации a и b:

Запишем это в общем виде

Разделим a на b с остатком.

Подставим вместо a и b их представления

Приведя подобные, получим

или

Повторяя подобное деление необходимое число раз, получим

(при этом коэффициенты для следующего остатка легко находятся через коэффициенты предыдущего остатка).

Пример.

Для контроля вычислений можно проверять для каждого столбца выполнение равенства . Например, 64·4 + 81·(-3) = 13.

Окончательно имеем: 64·19 + 81·(-15) = 1.

Свойства НОД

1. Если любое положительное число, то

.

Доказательство:

Обозначим . Имеем разложение:

.

Умножим это равенство на :

является делителем чисел и и является линейной комбинацией этих чисел. Следовательно, является наибольшим общим делителем этих чисел:

.

2. Если — любой делитель и , то

Согласно предыдущему:

.

Деля это равенство на , имеем:

.

В частности,

3. Если и взаимно просты и делится на , то делится на .

Действительно, так как и взаимно просты, то найдутся целые числа и , такие что

.

Умножим это равенство на и запишем так:

. (1)

Так как делится на , то левая часть равенства делится на . Поэтому и делится на .

4. Если и взаимно просты, то.

В силу равенства (1) всякий общий делитель и делит . Значит, делит . Но и делит . Поэтому .

Свойства НОК.

1.Всякое кратное чисел называется их общим кратным. Наименьшее из общих кратных называется наименьшим общим кратным чисел . Обозначается:.

2. Свойства кратного двух чисел.

Пусть .

Тогда .

Пусть — кратное и .

Тогда . Но кратно и . Поэтому

— целое число.

Но , поэтому .

Получаем формулу:

.

При любом целом будет кратным и .

При получаем наименьшее общее кратное:

.

Следовательно

Доказаны следующие теоремы.

1) Совокупность общих кратных двух чисел совпадает с совокупностью кратных наименьшего общего кратного этих чисел.

2) Это наименьшее кратное равно произведению чисел, поделенному на их наибольший общий делитель.

3. Наименьшее общее кратное трех и более чисел находится по следующему правилу.

.

Если числа и взаимно просты, то и .

И вообще, если — попарно просты, то

[Функция] [Ошибка] Узел функции не работает из-за «неожиданного символа» из несуществующей строки — Вопросы

Опишите проблему/ошибку/вопрос

Я пытаюсь запустить созданную пользовательскую функцию, но получаю странную ошибку «Неожиданный символ», строка 96 (хотя в моей функции всего 19 строк)

Какое сообщение об ошибке (если есть)?

ОШИБКА: Неожиданный символ ‘​’ [Строка 96]

Возникла проблема с выполнением рабочего процесса: «Неожиданный символ ‘​’ [Строка 9SyntaxError: Неожиданный символ ‘​’ в makeNiceSyntaxError (/usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/vm2/lib/transformer.js:41:16) в трансформаторе (/usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/vm2/lib/transformer.js:84:8) в NodeVM.run (/usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/vm2/lib/nodevm.js:413:17) в Object.execute (/usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/n8n-nodes-base/dist/nodes/Function/Function. node.js:96:31) в Workflow.runNode (/usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/n8n-workflow/dist/src/Workflow.js:594:51) в /usr/local/lib/node_modules/n8n/node_modules/n8n-core/dist/src/WorkflowExecute.js:537:64

Пожалуйста, поделитесь рабочим процессом

Пример ввода

 {
"имя_компании": "Тестххх",
"домен_компании": "ххххх",
"логотип_компании": "xxxxxx",
"company_id": "c04870b3-d9e8-4fb7-bffd-98b3686b7f5c",
"company_linkedin_id": "12345678910",
"company_linkedin_url": "xxxxxx",
"company_industry": "Информационные технологии и услуги",
"company_staff_count": 19192,
"company_employee_range": "10001+",
"company_founded_year": 2010,
"company_tools": ".NET,C++,Power BI,службы отчетов SQL Server (SSRS),Microsoft Office 365,Azure,GitHub,PowerShell,Azure Devops,Exchange,Microsoft Dynamics AX,Добро пожаловать в джунгли,Salesforce,Outlook,Atlassian ,DocuSign,Apple Business Manager,Zoom,Dmarc,Flickity,Google Tag Manager,Cdnjs,OWL Carousel,Unpkg,Font Awesome,GSAP,Twitter,Onetrust,JQuery UI,Bootstrap,JQuery,Choices,Microsoft SQL Server,SQL Server Integration Services (SSIS), SQL Server Analysis Services (SSAS), Azure Datalake, Informatica, Tableau, AngularJS, JIRA, Azure Databricks, Microsoft SharePoint, ASP. NET, React JS, JavaScript, TypeScript, Azure Data Factory, Vue.js, Avanade, Go,Microsoft,YouTube,Facebook,Instagram,Dynamics 365,Microsoft Dynamics 365,Microsoft Dynamics,Microsoft Azure,Sitecore,Angular,Kubernetes,React,Gulp,Npm,SCSS,Webpack,Netcore,API REST,Azure Functions,Azure Pipelines, Git, Kafka, NoSQL, React Native, ASP.NET MVC, Azure PaaS, Excel, SAP",
"company_labels": "ИИ, SaaS",
"company_follower_count": 362629,
"адрес_компании": "ххххх",
"фирма_специальности": [
"ИТ-услуги",
«Майкрософт Динамика»,
"Майкрософт",
"Шарпойнт",
"CRM",
"Облачные вычисления",
«Динамика 365»,
«Технологическая инфраструктура»,
"Разработка приложения",
"ЕРП",
«Цифровая трансформация»,
"Безопасность",
"Опыт клиентов",
"Управление цепочками поставок",
«Устойчивость»,
«Инновация»,
"Технологии",
«Майкрософт Азур»,
«Платформа Microsoft Power»,
«Облака Microsoft Industry»,
«Быстрая доставка»,
«Команды Майкрософт»,
"Виндовс 10",
«Аналитика и ИИ»,
"Бизнес-консультирование",
«Современное рабочее место»,
"Управляемые службы",
"Исследовать",
"Консультативный"
],
"company_tagline": "ххххх",
"company_hashtags": [
"хххх",
"хххх"
],
"company_description": "ххххх",
"matched_job_offers_company_count": 1,
"Предложения о работе": [
{
"job_id": "b335522558808c-2148-4b65-b97b-54fffbc34724",
"имя_работы": "хххх",
"job_contract": "Полная работа",
"job_location": "ххххх",
"job_categories": "Бизнес",
"job_level": "Индивидуальный участник",
"job_published_at": "2022-08-01T00:00:00. 000Z",
"job_description": "хххх",
"workflow_keywords": ""
}
],
"people_first_name": "ххххх",
"people_last_name": "ххххх",
"people_full_name": "ххххх",
"people_current_position": "Старший директор по продажам и альянсам",
"people_linkedin_url": "xxxxxx",
"люди_компания_домен": "xxx",
"people_company_name": "xxxx",
"people_buying_signals_id": "c258808c-2148-4b65-b97b-54fffbc34724",
"people_buying_signals_title": "Специалист по развитию продаж",
"источник": "ххх",
"рабочий процесс": "00327f3d-806d-4eed-9c75-e5253df3b252"
}
 

Ожидаемый результат

«crm» = «Salesforce»

Информация о настройке n8n

• **версия n8n: последняя стабильная версия
• База данных, которую вы используете (по умолчанию: SQLite):
• Запуск n8n с процессом выполнения [собственный (по умолчанию), основной]:
• Запуск n8n через [n8n.cloud]:

Спасибо за помощь, я надеюсь, что билет достаточно ясен.

Тест двоичного дерева поиска Prolog — сравнение родительских узлов нежелательных родителей останавливается как можно скорее при сбое

:- use_module(библиотека(clpfd)).
ленивая_цепочка (Zs, R_2): -
   ( var(R_2) -> instanceiation_error(R_2)
   ; clpfd:chain_relation(R_2) -> заморозить(Zs, lazy_chain_aux(Zs,R_2))
   ; в противном случае -> domain_error (chain_relation, R_2)
   ).
lazy_chain_aux([], _).
lazy_chain_aux([Z0|Zs], R_2): -
   заморозить (Zs, lazy_chain_aux_ (Zs, R_2, Z0)).
lazy_chain_aux_([], _, _).
lazy_chain_aux_([Z1|Zs], R_2, Z0): -
   вызов (R_2, Z0, Z1),
   заморозить (Zs, lazy_chain_aux_ (Zs, R_2, Z1)).
 

is_bintreeL(T) :-
   lazy_chain(Zs, #<),
   фраза (in_order (T), Zs). 
 

?- T = узел(  2  , ноль, узел(  1  , ноль, узел(3, ноль, узел(4, ноль, узел(5, ноль, узел)(6, ноль, узел(7, ноль, узел(8, ноль, узел(9, ноль, узел(10, ноль, узел(11, ноль, узел(12, ноль), узел(13, ноль, узел(14, ноль, узел(15, ​​ноль, узел)( 16, ноль, узел(17, ноль, узел(18, ноль, узел(19), ноль, узел(20, ноль, узел(21, ноль, узел(22, ноль, узел(23, ноль), узел(24, ноль, узел(25, ноль, узел(26, ноль), узел(27, ноль) , узел(28, ноль, узел(29, ноль, узел(30, ноль, узел(31, ноль), узел(32, ноль, узел(33, ноль, узел(34, ноль), узел(35, ноль, узел (36, ноль, узел (37, ноль, узел (38, ноль, узел (39), ноль, узел (40, ноль, узел (41, ноль, узел (42), ноль, узел (43, ноль, узел (44) , ноль, узел(45, ноль, узел(46, ноль, узел(47, ноль, узел(48, ноль), узел(49, ноль, узел(50, ноль, узел(51, ноль, узел(52, ноль) , узел(53, ноль, узел(54, ноль, узел(55, ноль, узел(56), ноль, узел(57, ноль, узел(58, ноль, узел(59), ноль, узел(60, ноль, узел(61, ноль, узел(62, ноль, узел(63, ноль), узел(64, ноль, узел(65, ноль, узел(66, ноль, узел(67, ноль) , узел(68, ноль, узел(69, ноль, узел(70, ноль, узел(71), ноль, узел(72, ноль, узел(73, ноль, узел(74, ноль), узел(75, ноль, узел (76, ноль, узел (77, ноль, узел (78, ноль, узел (79), ноль, узел (80, ноль, узел (81, ноль, узел (82), ноль, узел (83, ноль, узел (84) , ноль, узел(85, ноль, узел(86, ноль, узел(87, ноль, узел(88, ноль), узел(89, ноль, узел(90, ноль, узел(91, ноль, узел(92, ноль) , узел (93, ноль, узел (94, ноль, узел (9)5, ноль, узел(96, ноль, узел(97, ноль, узел(98, ноль, узел(99, ноль, узел(100, ноль, ноль))))))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))))))))))))))))),
   time((phrase(in_order(T),Zs),  нетерпеливый  _chain(Zs,#<))). 
%  210  выводов, 0,000 ЦП за 0,000 секунды (98% ЦП, 4100201 губ)
ЛОЖЬ.
?- T = узел(  2  , ноль, узел(  1  , ноль, узел(3, ноль, узел(4, ноль, узел(5, ноль, узел)(6, ноль, узел(7, ноль, узел(8, ноль, узел(9, ноль, узел(10, ноль, узел(11, ноль, узел(12, ноль), узел(13, ноль, узел(14, ноль, узел(15, ​​ноль, узел)( 16, ноль, узел(17, ноль, узел(18, ноль, узел(19), ноль, узел(20, ноль, узел(21, ноль, узел(22, ноль, узел(23, ноль), узел(24, ноль, узел(25, ноль, узел(26, ноль), узел(27, ноль) , узел(28, ноль, узел(29, ноль, узел(30, ноль, узел(31, ноль), узел(32, ноль, узел(33, ноль, узел(34, ноль), узел(35, ноль, узел (36, ноль, узел (37, ноль, узел (38, ноль, узел (39), ноль, узел (40, ноль, узел (41, ноль, узел (42), ноль, узел (43, ноль, узел (44) , ноль, узел(45, ноль, узел(46, ноль, узел(47, ноль, узел(48, ноль), узел(49, ноль, узел(50, ноль, узел(51, ноль, узел(52, ноль) , узел(53, ноль, узел(54, ноль, узел(55, ноль, узел(56), ноль, узел(57, ноль, узел(58, ноль, узел(59), ноль, узел(60, ноль, узел(61, ноль, узел(62, ноль, узел(63, ноль), узел(64, ноль, узел(65, ноль, узел(66, ноль, узел(67, ноль) , узел(68, ноль, узел(69, ноль, узел(70, ноль, узел(71), ноль, узел(72, ноль, узел(73, ноль, узел(74, ноль), узел(75, ноль, узел (76, ноль, узел (77, ноль, узел (78, ноль, узел (79), ноль, узел (80, ноль, узел (81, ноль, узел (82), ноль, узел (83, ноль, узел (84) , ноль, узел(85, ноль, узел(86, ноль, узел(87, ноль, узел(88, ноль), узел(89, ноль, узел(90, ноль, узел(91, ноль, узел(92, ноль) , узел (93, ноль, узел (94, ноль, узел (9)5, ноль, узел(96, ноль, узел(97, ноль, узел(98, ноль, узел(99, ноль, узел(100, ноль, ноль))))))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))))))))))))))))),
   time((  lazy  _chain(Zs,#<),phrase(in_order(T),Zs))).