Автор: alexxlab

Отзывы о товаре

Сертификаты

Обзоры

Цены и наличие товара во всех магазинах и складах обновляются 1 раз в час. При достаточном количестве товара в нужном вам магазине вы можете купить его без предзаказа.

Цена в магазинах — розничная цена товара в торговых залах магазинов без предварительного заказа.

Срок перемещения товара с удаленного склада на склад интернет-магазина.

Представленные данные о запчастях на этой странице несут исключительно информационный характер.

642546f8dbe7bdf46fd71f2a590620bf

Добавление в корзину

Код для заказа:

Доступно для заказа:

Кратность для заказа:

Отменить

Товар успешно добавлен в корзину

!

В вашей корзине на сумму

Закрыть

Calculus II — Параметрические уравнения и кривые

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Параметрические уравнения и кривые

До этого момента (как в исчислении I, так и в исчислении II) мы рассматривали почти исключительно функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) ) \) и почти все формулы, которые мы разработали, требуют, чтобы функции были в одной из этих двух форм.2}} & \ hspace {0,15 дюйма} & \ left ({{\ mbox {left side}}} \ right) \ end {align *} \]

К сожалению, мы обычно работаем над всем кругом или просто не можем сказать, что будем работать только над его частью. Даже если мы можем сузить круг вопросов до одной из этих частей, работать с функцией все равно будет довольно неприятно.

Есть также очень много кривых, которые мы даже не можем записать в виде единого уравнения, используя только \ (x \) и \ (y \).Итак, чтобы справиться с некоторыми из этих проблем, мы вводим параметрических уравнений . Вместо определения \ (y \) в терминах \ (x \) (\ (y = f \ left (x \ right) \)) или \ (x \) в терминах \ (y \) (\ (x = h \ left (y \ right) \)) мы определяем как \ (x \), так и \ (y \) в терминах третьей переменной, называемой параметром, следующим образом:

Эта третья переменная обычно обозначается \ (t \) (как мы это делали здесь), но, конечно, не обязательно.Иногда мы ограничиваем значения \ (t \), которые мы будем использовать, а в других случаях — нет. Это часто будет зависеть от проблемы и от того, что мы пытаемся сделать.

Каждое значение \ (t \) определяет точку \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right ) \), которую мы можем построить. Набор точек, который мы получаем, позволяя \ (t \) быть всеми возможными значениями, является графиком параметрических уравнений и называется параметрической кривой .

Чтобы визуализировать, что такое параметрическая кривая, представьте, что у нас есть большой резервуар с водой, который находится в постоянном движении, и мы бросаем в резервуар шарик для пинг-понга. Точка \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right) \) будет представлять местоположение мяч для пинг-понга в резервуаре в момент времени \ (t \), и параметрическая кривая будет отражать все положения шара для пинг-понга. Обратите внимание, что это не всегда правильная аналогия, но она полезна на начальном этапе, чтобы помочь визуализировать, что такое параметрическая кривая.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

На данный момент наш единственный вариант для построения параметрической кривой — это выбрать значения \ (t \), вставить их в параметрические уравнения и затем построить точки. Итак, давайте добавим несколько \ (t \) ‘s.

Первый вопрос, который следует задать на этом этапе: как мы узнали, что использовать значения \ (t \), которые мы использовали, особенно третий вариант? К сожалению, на данный момент нет реального ответа на этот вопрос.Мы просто выбираем \ (t \), пока не будем достаточно уверены, что получили хорошее представление о том, как выглядит кривая. Именно эта проблема с выбором «хороших» значений \ (t \) делает этот метод построения параметрических кривых одним из худших вариантов. Иногда у нас нет выбора, но если у нас есть выбор, мы должны его избегать.

В следующих примерах мы обсудим альтернативный метод построения графиков, который поможет объяснить, как были выбраны эти значения \ (t \).

У нас есть еще одна идея, которую нужно обсудить, прежде чем мы нарисуем кривую.Параметрические кривые имеют направление движения . Направление движения задается увеличением \ (t \). Итак, при построении параметрических кривых мы также включаем стрелки, показывающие направление движения. Мы часто будем указывать значение \ (t \), которое дало определенные точки на графике, а также чтобы прояснить значение \ (t \), которое дало эту конкретную точку.

Вот эскиз этой параметрической кривой.

Итак, похоже, у нас есть парабола, которая открывается вправо.

Прежде чем мы закончим этот пример, есть несколько важный и тонкий момент, который мы должны обсудить в первую очередь. Обратите внимание, что мы включили часть эскиза справа от точек, соответствующих \ (t = — 2 \) и \ (t = 1 \), чтобы указать, что там есть части эскиза. Если бы мы просто остановили набросок в этих точках, мы указываем, что не было части кривой справа от этих точек, и она явно будет. Мы просто не вычисляли ни одну из этих точек.

Это может показаться неважным, но, как мы увидим в следующем примере, это более важно, чем мы думаем.

Прежде чем приступить к более простому способу построения наброска этого графика, давайте сначала рассмотрим вопрос об ограничениях для параметра. В предыдущем примере у нас не было ограничений на параметр. Без ограничений для параметра график будет продолжаться в обоих направлениях, как показано на скетче выше.

Однако у нас часто бывают ограничения на параметр, и это влияет на эскиз параметрических уравнений.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \ hspace {0,5 дюйма} — 1 \ le t \ le 1 \] Показать решение

Обратите внимание, что единственная разница здесь — наличие ограничений на \ (t \). Все эти ограничения говорят нам, что мы не можем брать какое-либо значение \ (t \) за пределы этого диапазона. Следовательно, параметрическая кривая будет только частью приведенной выше кривой. Вот параметрическая кривая для этого примера.

Обратите внимание, что с этим скетчем мы начали и остановили скетч прямо на точках, исходящих из конечных точек диапазона \ (t \) ‘s.Сравните это с эскизом в предыдущем примере, где у нас была часть эскиза справа от «начальной» и «конечной» точек, которые мы вычислили.

В этом случае кривая начинается в \ (t = — 1 \) и заканчивается в \ (t = 1 \), тогда как в предыдущем примере кривая действительно не начиналась в самых правых точках, которые мы вычислили. В наших набросках мы должны четко понимать, начинается ли / заканчивается ли кривая прямо в точке, или эта точка была просто первой / последней, которую мы вычислили.

Пришло время взглянуть на более простой метод построения эскиза этой параметрической кривой. Этот метод использует тот факт, что во многих, но не во всех случаях мы можем фактически исключить параметр из параметрических уравнений и получить функцию, включающую только \ (x \) и \ (y \). Иногда мы будем называть это алгебраическим уравнением , чтобы отличить его от исходных параметрических уравнений. При использовании этого метода возникнут две небольшие проблемы, но их будет легко решить.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

Один из самых простых способов удалить параметр — просто решить одно из уравнений для параметра (в данном случае \ (t \)) и подставить его в другое уравнение. 2} + y + \ frac {3} {4} \]

Конечно, из наших знаний алгебры мы можем видеть, что это парабола, которая открывается вправо и будет иметь вершину в точке \ (\ left ({- \ frac {1} {4}, — 2} \ right) \) .

Мы не будем заморачиваться с наброском для этого, поскольку мы уже набросали его однажды, и смысл здесь был больше в том, чтобы в любом случае исключить параметр.

Прежде чем мы закончим этот пример, давайте быстро рассмотрим одну проблему.

В первом примере мы просто, казалось бы, случайным образом выбрали значения \ (t \) для использования в нашей таблице, особенно третье значение. На самом деле не было очевидной причины для выбора \ (t = — \ frac {1} {2} \).Однако, вероятно, это наиболее важный выбор \ (t \), поскольку именно он дает вершину.

Реальность такова, что при написании этого материала мы сначала решили эту задачу, а затем вернулись и решили первую задачу. Построение точек — это, как правило, способ, которым большинство людей сначала учатся строить графики, и он действительно иллюстрирует некоторые важные концепции, такие как направление, поэтому имело смысл сначала сделать это в примечаниях. Однако на практике этот пример часто выполняется первым.2} + t} \\ {- 2 = 2t — 1} \ end {array} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ begin {array} {ll} {t = — \ frac {1 } {2} \, \, \, \ left ({{\ mbox {двойной корень}}} \ right)} \\ {t = — \ frac {1} {2}} \ end {array} \]

Итак, как мы видим, значение \ (t \), которое даст обе эти координаты, равно \ (t = — \ frac {1} {2} \). Обратите внимание, что параметрическое уравнение \ (x \) дало двойной корень, а этого часто не происходит. Часто из этого уравнения мы получали два разных корня. На самом деле нет ничего необычного в том, чтобы получить несколько значений \ (t \) из каждого уравнения.

Однако мы можем сказать, что будут значения \ (t \), которые встречаются в обоих наборах решений, и это \ (t \), которые мы хотим для этой точки. В конце концов мы увидим пример, где это происходит, в следующем разделе.

Теперь из этой работы мы видим, что если мы используем \ (t = — \ frac {1} {2} \), мы получим вершину, и поэтому мы включили это значение \ (t \) в таблицу в примере 1. Как только мы получили это значение \ (t \), мы выбрали два целых значения \ (t \) с каждой стороны, чтобы завершить таблицу.

Как мы увидим в последующих примерах в этом разделе, определение значений \ (t \), которые дадут конкретные баллы, — это то, что нам нужно будет делать на довольно регулярной основе. Однако, как показал этот пример, это довольно просто. Все, что нам нужно, это решить (обычно) довольно простое уравнение, которое к этому моменту не должно быть слишком сложным.

Создание эскиза параметрической кривой после исключения параметра кажется довольно простым.Все, что нам нужно сделать, это изобразить уравнение, которое мы нашли, исключив параметр. Однако, как уже отмечалось, у этого метода есть две небольшие проблемы. Первый — это направление движения. Уравнение, включающее только \ (x \) и \ (y \), НЕ даст направление движения параметрической кривой. Однако, как правило, эту проблему легко решить. Давайте быстро посмотрим на производные параметрических уравнений из последнего примера. Их,

Теперь все, что нам нужно сделать, это вспомнить наши знания по Исчислению I.Очевидно, что производная \ (y \) по \ (t \) всегда положительна. Вспоминая, что одна из интерпретаций первой производной — это скорость изменения, мы теперь знаем, что по мере увеличения \ (t \) \ (y \) также должно увеличиваться. Следовательно, мы должны двигаться вверх по кривой снизу вверх по мере увеличения \ (t \), поскольку это единственное направление, которое всегда будет давать увеличение \ (y \) при увеличении \ (t \).

Обратите внимание, что производная \ (x \) не так полезна для этого анализа, поскольку она будет как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, \ (x \) будет как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от значения \ (t \).Это не очень помогает с направлением, поскольку следование кривой в любом направлении будет показывать как увеличение, так и уменьшение \ (x \).

В некоторых случаях только одно из уравнений, например, в этом примере, задает направление, в то время как в других случаях можно использовать любое из них. Также возможно, что в некоторых случаях для определения направления потребуются обе производные. Это всегда будет зависеть от индивидуального набора параметрических уравнений.

Вторая проблема с удалением параметра лучше всего проиллюстрирована на примере, поскольку мы столкнемся с этой проблемой в остальных примерах.

Прежде чем мы приступим к устранению параметра для этой проблемы, давайте сначала обратимся к еще раз, почему просто выбирать \ (t \) и наносить точки на график не очень хорошая идея.

Учитывая диапазон значений \ (t \) в формулировке задачи, давайте воспользуемся следующим набором \ (t \) ’.

Теперь нам нужно задать вопрос: достаточно ли у нас точек, чтобы точно нарисовать график этого набора параметрических уравнений? Ниже приведены некоторые эскизы некоторых возможных графиков параметрического уравнения, основанного только на этих пяти точках.

Учитывая природу синуса / косинуса, вы могли бы исключить ромб и квадрат, но нельзя отрицать, что это графики, проходящие через заданные точки. Последний график тоже немного глуп, но он показывает график, проходящий через заданные точки.

Опять же, учитывая природу синуса / косинуса, вы, вероятно, можете догадаться, что правильный график — это эллипс.Однако на данный момент это все, что нужно сделать. Догадка. На самом деле ничто не говорит однозначно о том, что параметрическая кривая представляет собой эллипс только из этих пяти точек. В этом опасность построения параметрических кривых на основе нескольких точек. Если мы не знаем заранее, какой график будет, мы на самом деле просто делаем предположение.

Итак, в общем, нам следует избегать нанесения точек на эскиз параметрических кривых. {- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right) \ hspace {0.{- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right)} \ right) \]

Вы видите проблему с этим? Это определенно легко сделать, но у нас больше шансов правильно построить график исходных параметрических уравнений путем нанесения точек, чем при построении этого графика!

Есть много способов исключить параметр из параметрических уравнений, и решение для \ (t \) обычно не лучший способ сделать это. Хотя часто это легко сделать, в большинстве случаев мы получаем уравнение, с которым практически невозможно справиться.2}}} {4} \]

Итак, теперь мы знаем, что у нас будет эллипс.

А теперь продолжим пример. Мы определили, что параметрические уравнения описывают эллипс, но мы не можем просто набросать эллипс и покончить с ним.

Во-первых, то, что алгебраическое уравнение было эллипсом, на самом деле не означает, что параметрическая кривая представляет собой полный эллипс. Всегда возможно, что параметрическая кривая является только частью эллипса.Чтобы определить, какую часть эллипса будет покрывать параметрическая кривая, давайте вернемся к параметрическим уравнениям и посмотрим, что они говорят нам о любых ограничениях на \ (x \) и \ (y \). Основываясь на наших знаниях синуса и косинуса, мы имеем следующее:

Итак, начав с синуса / косинуса и «построив» уравнение для \ (x \) и \ (y \) с помощью основных алгебраических манипуляций, мы получим, что параметрические уравнения накладывают указанные выше ограничения на \ (x \) и \ (у \). В этом случае это также полные ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые мы получаем, построив график полного эллипса.

Это вторая потенциальная проблема, о которой говорилось выше.Параметрическая кривая не всегда может прослеживать полный график алгебраической кривой. Мы всегда должны находить ограничения на \ (x \) и \ (y \), налагаемые на нас параметрической кривой, чтобы определить, какая часть алгебраической кривой на самом деле нарисована параметрическими уравнениями.

Таким образом, в этом случае мы теперь знаем, что получаем полный эллипс из параметрических уравнений. Прежде чем мы продолжим рассмотрение остальной части примера, будьте осторожны, чтобы не всегда просто предполагать, что мы получим полный график алгебраического уравнения.Определенно бывают случаи, когда мы не можем получить полный график, и нам нужно будет провести аналогичный анализ, чтобы определить, какую часть графика мы на самом деле получаем. Позже мы увидим пример этого.

Также обратите внимание, что любые ограничения на \ (t \), указанные в постановке задачи, также могут повлиять на то, какую часть графика алгебраического уравнения мы получим. Однако в этом случае, основываясь на таблице значений, которые мы вычислили в начале задачи, мы можем видеть, что действительно получаем полный эллипс в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \).Однако это не всегда так, поэтому обратите внимание на любые ограничения на \ (t \), которые могут существовать!

Далее нам нужно определить направление движения параметрической кривой. Вспомните, что все параметрические кривые имеют направление движения, а уравнение эллипса просто ничего не говорит нам о направлении движения.

Чтобы получить направление движения, заманчиво просто использовать таблицу значений, которую мы вычислили выше, чтобы получить направление движения.В этом случае мы могли бы предположить (и да, это все — предположение), что кривая идет против часовой стрелки. Мы были бы правы. В этом случае мы были бы правы! Проблема в том, что таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления движения, как мы увидим в следующем примере.

Следовательно, лучше не использовать таблицу значений для определения направления движения. Чтобы правильно определить направление движения, мы будем использовать тот же метод определения направления, который мы обсуждали после примера 3.Другими словами, мы возьмем производную параметрических уравнений и воспользуемся нашими знаниями Исчисления I и триггера для определения направления движения.

Производные параметрических уравнений равны,

Теперь, в точке \ (t = 0 \), мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте посмотрим, что произойдет, если мы начнем увеличивать \ (t \).Увеличим \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \). В этом диапазоне значений \ (t \) мы знаем, что синус всегда положителен, и поэтому из производной уравнения \ (x \) мы можем видеть, что \ (x \) должно уменьшаться в этом диапазоне значений \ (t \) ‘s.

Это, однако, не помогает нам определить направление параметрической кривой. Начиная с \ (\ left ({5,0} \ right) \) независимо от того, движемся ли мы по часовой стрелке или против часовой стрелки, \ (x \) должен будет уменьшаться, поэтому мы действительно ничего не узнали из \ (x \) производная.

С другой стороны, нам поможет производная от параметрического уравнения \ (y \). Опять же, когда мы увеличиваем \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \), мы знаем, что косинус будет положительным, и поэтому \ (y \) должен быть увеличивается в этом диапазоне. Однако это может произойти только в том случае, если мы движемся против часовой стрелки. Если бы мы двигались по часовой стрелке от точки \ (\ left ({5,0} \ right) \), мы могли бы видеть, что \ (y \) пришлось бы уменьшаться!

Следовательно, в первом квадранте мы должны двигаться против часовой стрелки.Перейдем ко второму квадранту.

Итак, теперь мы находимся в точке \ (\ left ({0,2} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {\ pi} {2} \) до \ (т = \ пи \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус будет отрицательным, а синус — положительным. Следовательно, из производных параметрических уравнений мы можем видеть, что \ (x \) все еще уменьшается, и \ (y \) теперь также будет уменьшаться.

В этом квадранте производная \ (y \) ничего не говорит нам, поскольку \ (y \) просто должен уменьшаться, чтобы перейти от \ (\ left ({0,2} \ right) \).Однако для уменьшения \ (x \), как мы знаем, в этом квадранте, направление все еще должно двигаться против часовой стрелки.

Сейчас мы находимся в \ (\ left ({- 5,0} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ pi \) до \ (t = \ frac {{3 \ пи}} {2} \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус отрицателен (и, следовательно, \ (y \) будет уменьшаться), а синус также отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Поэтому продолжим движение против часовой стрелки.

Для квадранта 4 ^-го мы начнем с \ (\ left ({0, — 2} \ right) \) и увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {{3 \ pi}} { 2} \) в \ (t = 2 \ pi \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус положительный (и, следовательно, \ (y \) будет увеличиваться), а синус отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Итак, как и в предыдущих трех квадрантах, мы продолжаем двигаться против часовой стрелки.

На этом этапе мы охватили диапазон \ (t \), указанный в постановке задачи, и в течение всего диапазона движение происходило против часовой стрелки.

Теперь мы можем полностью набросать параметрическую кривую, вот и эскиз.

Хорошо, это был действительно длинный пример. Большинство проблем такого типа не такие продолжительные. Нам просто нужно было многое обсудить в этом, чтобы мы могли выделить пару важных идей. Остальные примеры в этом разделе не займет много времени.

Теперь давайте взглянем на другой пример, который проиллюстрирует важную идею о параметрических уравнениях.

Обратите внимание, что единственное различие между этими параметрическими уравнениями и уравнениями в примере 4 состоит в том, что мы заменили \ (t \) на 3 \ (t \). Здесь мы можем удалить параметр таким же образом, как и в предыдущем примере.2}}} {4} \]

Итак, мы получили тот же эллипс, что и в предыдущем примере. Также обратите внимание, что мы можем провести такой же анализ параметрических уравнений, чтобы определить, что у нас точно такие же ограничения на \ (x \) и \ (y \). А именно

Начинает казаться, что изменение \ (t \) на 3 \ (t \) в тригонометрических уравнениях никоим образом не изменит параметрическую кривую.Однако это неверно. Кривая действительно меняется небольшим, но важным образом, который мы вскоре обсудим.

Прежде чем обсуждать то небольшое изменение, которое 3 \ (t \) вносит в кривую, давайте обсудим направление движения этой кривой. Несмотря на то, что мы сказали в последнем примере, что выбор значений \ (t \) и подключение к уравнениям для поиска точек для построения графика — плохая идея, давайте сделаем это любым способом.

Учитывая диапазон значений \ (t \) из условия задачи, следующий набор выглядит как хороший выбор для использования \ (t \).

Итак, единственное изменение в этой таблице значений / точек из последнего примера — это все ненулевые значения \ (y \) изменили знак.При быстром взгляде на значения в этой таблице может показаться, что кривая в этом случае движется по часовой стрелке. Но так ли это? Напомним, мы говорили, что эти таблицы значений могут вводить в заблуждение, когда используются для определения направления, и поэтому мы их не используем.

Посмотрим, верно ли наше первое впечатление. Мы можем проверить наше первое впечатление, выполнив производную работу, чтобы получить правильное направление. Давайте работать с параметрическим уравнением \ (y \), так как \ (x \) будет иметь ту же проблему, что и в предыдущем примере.Производная параметрического уравнения \ (y \) равна,

Теперь, если мы начнем с \ (t = 0 \), как в предыдущем примере, и начнем увеличивать \ (t \). При \ (t = 0 \) производная явно положительна, и поэтому увеличение \ (t \) (по крайней мере, вначале) заставит \ (y \) также увеличиться. Единственный способ сделать это — если кривая изначально идет против часовой стрелки.

Теперь мы могли бы продолжить рассмотрение того, что происходит при дальнейшем увеличении \ (t \), но когда мы имеем дело с параметрической кривой, которая представляет собой полный эллипс (как эта), а аргумент триггерных функций имеет вид nt для любой константы \ (n \) направление не изменится, поэтому, как только мы знаем начальное направление, мы знаем, что оно всегда будет двигаться в этом направлении. Обратите внимание, что это верно только для параметрических уравнений в той форме, которая у нас есть. В последующих примерах мы увидим, что для различных типов параметрических уравнений это может быть неверно.

Хорошо, из этого анализа мы видим, что кривая должна быть начерчена против часовой стрелки. Это прямо противоречит нашему предположению из таблиц значений выше, и поэтому мы можем видеть, что в этом случае таблица, вероятно, привела бы нас в неверном направлении. Итак, еще раз, таблицы, как правило, не очень надежны для получения практически любой реальной информации о параметрической кривой, кроме нескольких точек, которые должны быть на кривой. В остальном таблицы редко бывают полезными и, как правило, не рассматриваются в дальнейших примерах.

Итак, почему наша таблица дала неверное представление о направлении? Хорошо напомним, что мы упоминали ранее, что 3 \ (t \) приведет к небольшому, но важному изменению кривой по сравнению с просто \ (t \)? Давайте посмотрим, что это за изменение, так как оно также ответит, что «пошло не так» с нашей таблицей значений.

Начнем с \ (t = 0 \). В \ (t = 0 \) мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте спросим себя, какие значения \ (t \) возвращают нас в эту точку.В Примере 3 мы видели, как определять значения \ (t \), которые ставят нас в определенные точки, и здесь будет работать тот же процесс с небольшими изменениями.

Вместо того, чтобы смотреть на уравнения \ (x \) и \ (y \), как мы это делали в этом примере, давайте просто посмотрим на уравнение \ (x \). Причина этого в том, что мы отметим, что на эллипсе есть две точки, координата которых будет равна нулю \ (y \): \ (\ left ({5,0} \ right) \) и \ (\ слева ({- 5,0} \ right) \). Если мы установим координату \ (y \) равной нулю, мы найдем все \ (t \), которые находятся в обеих этих точках, когда нам нужны только значения \ (t \), которые находятся в \ ( \ left ({5,0} \ right) \).{- 1}} \ left (1 \ right) = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, \ to \ hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \ , t = \ frac {2} {3} \ pi n \, \, \, \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {align *} \]

Не забывайте, что при решении тригонометрического уравнения нам нужно добавить «\ (+ 2 \ pi n \)», где \ (n \) представляет количество полных оборотов против часовой стрелки (положительное значение \ ( n \)) и по часовой стрелке (отрицательное \ (n \)), которое мы поворачиваем от первого решения, чтобы получить все возможные решения уравнения.

Теперь давайте подставим несколько значений \ (n \), начиная с \ (n = 0 \). В этом случае нам не нужно отрицательное \ (n \), поскольку все они приведут к отрицательному \ (t \), а те выходят за пределы диапазона \ (t \), который мы были указаны в формулировке задачи. Тогда первые несколько значений \ (t \) равны

На этом мы можем остановиться, так как все дальнейшие значения \ (t \) будут выходить за пределы диапазона \ (t \), указанного в этой задаче.

Итак, о чем это нам говорит? В Примере 4, когда аргументом было просто \ (t \), эллипс был начерчен ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \). Однако, когда мы меняем аргумент на 3 \ (t \) (и помня, что кривая всегда будет трассироваться против часовой стрелки для этой задачи), мы проходим через «начальную» точку \ (\ left ( {5,0} \ right) \) в два раза больше, чем в предыдущем примере.

Фактически, эта кривая прослеживается три разных раза. Первая трассировка завершается в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ frac {{2 \ pi}} {3} \). Вторая трассировка завершается в диапазоне \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \ le t \ le \ frac {{4 \ pi}} {3} \), а третья и последняя трассировка завершается в диапазон \ (\ frac {{4 \ pi}} {3} \ le t \ le 2 \ pi \). Другими словами, изменение аргумента с \ (t \) на 3 \ (t \) увеличивает скорость трассировки, и кривая теперь будет трассироваться три раза в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \ )!

Вот почему таблица производит неправильное впечатление.Скорость трассировки увеличилась, что привело к неправильному впечатлению от точек в таблице. Таблица, кажется, предполагает, что между каждой парой значений \ (t \) четверть эллипса прослеживается по часовой стрелке, тогда как на самом деле она выводит три четверти эллипса против часовой стрелки.

Вот последний набросок кривой и обратите внимание, что он не сильно отличается от предыдущего наброска. Единственные различия — это значения \ (t \) и различные точки, которые мы включили.Мы включили еще несколько значений \ (t \) в различных точках, чтобы проиллюстрировать, где находится кривая для различных значений \ (t \), но в целом они действительно не нужны.

Итак, в последних двух примерах мы видели два набора параметрических уравнений, которые каким-то образом давали один и тот же график. Тем не менее, поскольку они вычерчивали график разное количество раз, нам действительно нужно думать о них как о разных параметрических кривых, по крайней мере, в некотором роде.Это может показаться различием, о котором нам не нужно беспокоиться, но, как мы увидим в следующих разделах, это может быть очень важным различием. В некоторых из последующих разделов нам понадобится кривая, которая будет начерчена ровно один раз.

Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, давайте кратко рассмотрим, что происходит при изменении \ (t \) на nt в такого рода параметрических уравнениях. Когда мы имеем дело с параметрическими уравнениями, включающими только синусы и косинусы, и оба они имеют один и тот же аргумент, если мы изменим аргумент с \ (t \) на nt , мы просто изменим скорость, с которой выполняется трассировка кривой.2}}} {4} \]

В данном случае алгебраическое уравнение представляет собой параболу, которая открывается влево.

Однако нам нужно быть очень и очень осторожными при построении эскиза этой параметрической кривой. Мы НЕ получим всю параболу. Набросок параболы алгебраической формы будет существовать для всех возможных значений \ (y \). Однако параметрические уравнения определили как \ (x \), так и \ (y \) в терминах синуса и косинуса, и мы знаем, что их диапазоны ограничены, и поэтому мы не получим все возможные значения \ (x \ ) и \ (y \) здесь.2} t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & 0 \ le x \ le 1 \\ — 1 \ le \ cos t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le 2 \ cos t \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, из этого ясно, что мы получим только часть параболы, которая определяется алгебраическим уравнением. Ниже приведен краткий набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Чтобы закончить набросок параметрической кривой, нам также необходимо направление движения кривой. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, давайте перейдем вперед и определим диапазон значений \ (t \) для одной трассы. Для этого нам нужно знать \ (t \), которые помещают нас в каждую конечную точку, и мы можем следовать той же процедуре, которую мы использовали в предыдущем примере. Единственная разница в том, что на этот раз давайте будем использовать параметрическое уравнение \ (y \) вместо \ (x \), потому что координаты \ (y \) двух конечных точек кривой различны, тогда как координаты \ (x \) одинаковы.{- 1}} \ left ({- 1} \ right) = \ pi + 2 \ pi n, \ hspace {0.25in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {выровнять*}\]

Итак, мы видим, что мы будем в нижней точке на,

Итак, если мы начнем, скажем, с \ (t = 0 \), мы находимся в верхней точке и увеличиваем \ (t \), мы должны двигаться по кривой вниз, пока не достигнем \ (t = \ pi \) в этот момент мы сейчас находимся в нижней точке.Это означает, что мы проведем кривую ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \).

Однако это не единственный диапазон, по которому можно проследить кривую. Обратите внимание, что если мы будем увеличивать \ (t \) от \ (t = \ pi \), теперь нам придется вернуться вверх по кривой, пока мы не достигнем \ (t = 2 \ pi \), и теперь мы вернемся наверх. точка. Увеличение \ (t \) снова, пока мы не достигнем \ (t = 3 \ pi \), вернет нас вниз по кривой, пока мы снова не достигнем нижней точки, и т. Д. .Из этого анализа мы можем получить еще два диапазона \ (t \) для одной трассы,

Как вы, вероятно, видите, существует бесконечное количество диапазонов \ (t \), которые мы могли бы использовать для одного следа кривой. Любой из них был бы приемлемым ответом на эту проблему.

Обратите внимание, что в процессе определения диапазона \ (t \) для одной трассы нам также удалось определить направление движения для этой кривой.В диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \) мы должны были пройти вниз по кривой, чтобы добраться от верхней точки в \ (t = 0 \) до нижней точки в \ (t = \ pi \) . Однако в точке \ (t = 2 \ pi \) мы снова находимся в верхней точке кривой, и чтобы попасть туда, мы должны двигаться по пути. Мы не можем просто перепрыгнуть на верхнюю точку или выбрать другой путь, чтобы добраться туда. Все путешествие необходимо совершать по намеченному пути. Это означает, что нам пришлось вернуться вверх по пути. Дальнейшее увеличение \ (t \) возвращает нас обратно по пути, затем снова вверх по пути и т. Д. .

Другими словами, этот путь нарисован в обоих направлениях, потому что мы не налагаем никаких ограничений на \ (t \) ’, и поэтому мы должны предположить, что мы используем все возможные значения \ (t \). Если бы мы наложили ограничения на то, какие \ (t \) использовать, мы действительно могли бы двигаться только в одном направлении. Однако это будет результатом только диапазона \ (t \), который мы используем, а не самих параметрических уравнений.

Обратите внимание, что нам действительно не нужно было проделывать вышеописанную работу, чтобы определить, идет ли кривая в обоих направлениях.в таком случае. Оба параметрических уравнения \ (x \) и \ (y \) включают синус или косинус, и мы знаем, что обе эти функции колеблются. Это, в свою очередь, означает, что как \ (x \), так и \ (y \) также будут колебаться. Единственный способ сделать это на данной кривой — это провести кривую в обоих направлениях.

Будьте осторожны с приведенными выше рассуждениями о том, что колебательный характер синуса / косинуса заставляет кривую прослеживаться в обоих направлениях. Его можно использовать только в этом примере, потому что «начальная» и «конечная» точки кривых находятся в разных местах.Единственный способ добраться от одной из «конечных» точек кривой до другой — вернуться назад по кривой в противоположном направлении.

Сравните это с эллипсом в примере 4. В этом случае синус / косинус также присутствовал в параметрических уравнениях. Однако кривая прослеживалась только в одном направлении, а не в обоих направлениях. В Примере 4 мы строили график полного эллипса, и поэтому независимо от того, где мы начинаем рисовать график, мы в конечном итоге вернемся к «начальной» точке, даже не отслеживая никакую часть графика.В примере 4, когда мы обрисовываем полный эллипс, оба \ (x \) и \ (y \) фактически колеблются между своими двумя «конечными точками», но сама кривая не проходит в обоих направлениях, чтобы это произошло.

В принципе, мы можем использовать колебательный характер синуса / косинуса только для определения того, что кривая идет в обоих направлениях, если кривая начинается и заканчивается в разных точках. Если начальная / конечная точка совпадает, тогда нам обычно нужно пройти через аргумент полной производной, чтобы определить фактическое направление движения.

Итак, чтобы закончить эту проблему, ниже приведен эскиз параметрической кривой. Обратите внимание, что мы поместили стрелки направления в обоих направлениях, чтобы четко указать, что он будет прослеживаться в обоих направлениях. Мы также добавили несколько значений \ (t \), чтобы помочь проиллюстрировать направление движения.

К этому моменту мы видели примеры, которые могли бы проследить весь график, который мы получили, исключив параметр, если бы мы взяли достаточно большой диапазон \ (t \) ‘s.Однако в предыдущем примере мы увидели, что это не всегда так. Более чем возможно иметь набор параметрических уравнений, которые будут непрерывно отслеживать только часть кривой. Обычно мы можем определить, произойдет ли это, ища ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые накладываются на нас параметрическим уравнением.

Мы часто будем использовать параметрические уравнения для описания пути объекта или частицы. Давайте посмотрим на это на примере.2} \ left ({2t} \ right) \]

Полностью опишите путь этой частицы. Для этого нарисуйте путь, определив пределы для \ (x \) и \ (y \) и указав диапазон значений \ (t \), для которых путь будет прослеживаться ровно один раз (при условии, что он трассирует более один раз конечно).

Удаление параметра на этот раз будет немного другим. На этот раз у нас есть только косинусы, и мы воспользуемся этим в наших интересах. Мы можем решить уравнение \ (x \) для косинуса и подставить его в уравнение для \ (y \).2} \ left ({2t} \ right) \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & 1 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, мы снова обрисовываем только часть кривой. Вот быстрый набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Теперь, как мы обсуждали в предыдущем примере, поскольку параметрические уравнения \ (x \) и \ (y \) включают косинус, мы знаем, что и \ (x \), и \ (y \) должны колебаться, и поскольку «начало »И« конечные »точки кривой не совпадают, единственный способ колебания \ (x \) и \ (y \) — это движение кривой в обоих направлениях.

Чтобы решить проблему, все, что нам нужно сделать, это определить диапазон \ (t \) для одной трассы. Поскольку «конечные» точки на кривой имеют одинаковое значение \ (y \) и разные значения \ (x \), мы можем использовать параметрическое уравнение \ (x \) для определения этих значений. Вот эта работа.

Итак, мы будем в правой конечной точке в \ (t = \ ldots, — 2 \ pi, — \ pi, 0, \ pi, 2 \ pi, \ ldots \), а мы будем на левом конце укажите на \ (t = \ ldots, — \ frac {3} {2} \ pi, — \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {3} { 2} \ пи, \ ldots \).Итак, в этом случае существует бесконечное количество диапазонов значений \ (t \) для одной трассы. Вот несколько из них.

Вот окончательный набросок траектории частицы с несколькими значениями \ (t \) на нем.

Здесь следует сделать небольшое предупреждение.Из-за заложенных в них идей мы сконцентрировались на параметрических кривых, которые повторяли части кривой более одного раза. Однако не зацикливайтесь на мысли, что это всегда будет происходить. Многие, если не большинство параметрических кривых могут быть построены только один раз. Первый, который мы рассмотрели, является хорошим примером этого. Эта параметрическая кривая никогда не повторится ни на одной своей части.

Перед тем, как двигаться дальше, в этом разделе необходимо обсудить еще одну тему. До сих пор мы начали с параметрических уравнений и устранили параметр для определения параметрической кривой.2}}} = 1 \]

набор параметрических уравнений для него будет,

Этот набор параметрических уравнений проведет по эллипсу, начиная с точки \ (\ left ({a, 0} \ right) \), и будет вести трассировку против часовой стрелки и будет трассировать ровно один раз в диапазоне \ ( 0 \ le t \ le 2 \ pi \). Это довольно важный набор параметрических уравнений, поскольку он постоянно используется в некоторых предметах, связанных с эллипсами и / или кругами.

Каждую кривую можно параметризовать более чем одним способом. Любой из следующих параметров также параметризует тот же эллипс.

Наличие символа \ (\ omega \) изменит скорость вращения эллипса, как мы видели в примере 5.Также обратите внимание, что последние два очерчивают эллипсы с направлением движения по часовой стрелке (вы можете проверить это). Также обратите внимание, что все они не начинаются в одном и том же месте (если мы думаем о \ (t = 0 \) как о начальной точке).

Конечно, существует множество других параметризаций эллипса, но вы поняли идею. Важно помнить, что каждая параметризация будет отслеживать кривую один раз с потенциально другим диапазоном \ (t \) ‘s. Каждая параметризация может вращаться с разными направлениями движения и может начинаться в разных точках.

Вы можете обнаружить, что вам нужна параметризация эллипса, который начинается в определенном месте и имеет определенное направление движения, и теперь вы знаете, что с некоторой работой вы можете написать набор параметрических уравнений, которые дадут вам поведение, которое ты после.

Теперь давайте запишем пару других важных параметризаций, и все комментарии о направлении движения, начальной точке и диапазоне \ (t \) для одной трассы (если применимо) по-прежнему верны.

Во-первых, поскольку круг — это не что иное, как частный случай эллипса, мы можем использовать параметризацию эллипса, чтобы получить параметрические уравнения для окружности с центром в начале радиуса \ (r \). Один из возможных способов параметризации круга:

Наконец, даже если может показаться, что для этого нет никаких причин, мы также можем параметризовать функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) \).В этих случаях мы параметризуем их следующим образом:

На данный момент может показаться не очень полезным выполнять параметризацию такой функции, но есть много случаев, когда на самом деле будет проще или даже может потребоваться работать с параметризацией вместо самой функции .К сожалению, почти все эти случаи встречаются в курсе Calculus III.

17.2: Неоднородные линейные уравнения — Математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\ nonumber \]

Соответствующее однородное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

называется дополнительным уравнением . Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение: частное решение

Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением этого уравнения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \]

Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

Проба

Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме.Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x). \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Итак, \ (y (x) \) — решение.

Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y » + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\) Тогда

\ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

, поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

\ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

Отсюда видим, что

\ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

Решение

Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

\ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

\ [y ′ (x) = — c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

и

\ [y ″ (x) = — c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

Затем

\ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и задача сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Итак, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

\ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0.{−3x} + x− \ frac {4} {3}. \ nonumber \]

В примере \ (\ PageIndex {2} \) обратите внимание, что даже несмотря на то, что \ (r (x) \) не включает постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение. Если бы мы предположили решение вида \ (y_p = Ax \) (без постоянного члена), мы не смогли бы найти решение. (Проверьте это!) Если функция \ (r (x) \) является полиномом, наша догадка для конкретного решения должна быть полиномом той же степени, и она должна включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в \ (r (x) \).{2t} + \ sin t + \ cos t \]

В предыдущей контрольной точке \ (r (x) \) включал как синус, так и косинус. Однако даже если \ (r (x) \) включает только синусоидальный член или только косинусный член, в предположении должны присутствовать оба члена.αx sin βx,” in the second column.»> Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов \ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \) \ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная) \ (топор + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте подобные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = — 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

\ [y_p ′ (x) = — 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

\ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

\ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} — 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

Изменение параметров

Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход, который называется методом изменения параметров .

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

\ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

где \ (p \) и \ (q \) — константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

\ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

\ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

\ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей.

: ПРАВИЛО КРЕМЕРА

Система уравнений

\ [\ begin {align *} a_1z_1 + b_1z_2 = r_1 \\ [4pt] a_2z_1 + b_2z_2 = r_2 \ end {align *} \]

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов не равен нулю. 2 \\ r_1 (x) = 0 \\ r_2 (х) = 2х.2} \), \ (z_2 = \ frac {2x + 2} {11x} \)

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение \ [c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x). \]
2. Используйте правило Крамера или другой подходящий метод, чтобы найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \), удовлетворяющие \ [\ begin {align} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u ′ Y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x). \ end {align} \]
3. Интегрируйте \ (u ′ \) и \ (v ′ \), чтобы найти \ (u (x) \) и \ (v (x) \).т \ лн | т | \ tag {step 5} \]

4. Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0 \) с соответствующим общим решением \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \). Итак, \ (y_1 (x) = \ cos x \) и \ (y_2 (x) = \ sin x \) (шаг 1). Затем мы хотим найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \) такие, что

   \ [\ begin {align *} u ′ \ cos x + v ′ \ sin x = 0 \\ −u ′ \ sin x + v ′ \ cos x = 3 \ sin _2 x \ end {align *}. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т \ лн | т | \)

   Imagine X2T — Tower — Динамики PSB

   Описание

   Быстрый и артикулированный расширенный бас
   В динамиках Imagine X2T Tower используются два низкочастотных динамика 6½ ”(165 мм), каждый со своей отдельной акустической камерой, настроенной с фронтальным портом для достижения невероятного контроля и пространственного, динамического качества звука. Разделение и индивидуальное расположение камер устраняет стоячие волны внутри высокого и тонкого корпуса динамика X2T.Стратегическое размещение низкочастотных динамиков в нескольких положениях приводит к низкому искажению низких частот, что действительно демонстрирует их возможности.

   Самый точный звук. Период.
   Imagine X2T также использует отдельный среднечастотный драйвер в собственном настроенном корпусе для оптимизации воспроизведения голосов и воссоздания максимально точного звука. Это в сочетании с твитером с титановым куполом создает гораздо более аутентичные и точные басы, средние частоты, передающие мощь и авторитет, и высокие частоты, которые оживают с захватывающим дух реализмом.Стремление PSB к инновациям привело к созданию доступной колонки в корпусе Tower, которая может улучшить любой кинематографический опыт.

   Добавьте азарта и изюминки в вашу систему.
   Imagine X2T является самой большой колонкой в ​​линейке колонок Imagine X, но изящный, минималистичный дизайн черного корпуса позволяет ей хорошо вписаться в интерьер дома и в вашу систему. Желтые конусы двух низкочастотных динамиков 6½ ”(165 мм) подчеркивают его переднюю перегородку и придают немного изящества. Их также легко скрыть с помощью прилагаемых решеток.Imagine X2T — долгожданное дополнение к любому пространству по исключительной цене.

   • Входная мощность 200 Вт
   • Твитер с титановым куполом, феррожидкостью и структурой неодимового магнита
   • 6½ ”(165 мм) НЧ-динамики с коническим диффузором из полипропилена, армированного глиной / керамикой
   • 3-полосная герметичная камера среднего диапазона с двойным фазоинвертором
   • Два набора позолоченных пятисторонних клеммных зажимов, могут быть двухпроводными или двухканальными
   • Виниловое покрытие черный ясень

   1.2 Расчет параметрических кривых — том 3

   Обучение

   • 1.2.1 Определение производных и уравнений касательных для параметрических кривых.
   • 1.2.2 Найдите площадь под параметрической кривой.
   • 1.2.3 Используйте уравнение для длины дуги параметрической кривой.
   • 1.2.4 Примените формулу площади поверхности к объему, созданному параметрической кривой.

   Теперь, когда мы ввели концепцию параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этой концепцией в контексте исчисления.Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, можно ли вычислить наклон касательной к кривой? Как насчет длины дуги кривой? Или площадь под кривой?

   Другой сценарий. Предположим, мы хотим изобразить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покидает руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой (x (t), y (t)), (x (t), y (t)), тогда мы сможем использовать математические вычисления для определения скорости движения мяча. мяч в любой момент времени.Кроме того, мы должны иметь возможность вычислить, как далеко прошел этот шар, в зависимости от времени.

   Производные параметрических уравнений

   Мы начинаем с вопроса, как вычислить наклон прямой, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.

   График этой кривой представлен на Рисунке 1.16. Это отрезок, начинающийся в (−1, −10) (- 1, −10) и заканчивающийся в (9,5).(9,5).

   Рисунок 1.16 График отрезка прямой, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

   Мы можем исключить параметр, сначала решив уравнение x (t) = 2t + 3x (t) = 2t + 3 для t :

   x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32. x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32.

   Подставляя это в y (t), y (t), получаем

   y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92−4y = 3×2−172.y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92− 4у = 3х2−172.

   Наклон этой прямой равен dydx = 32.dydx = 32. Затем мы вычисляем x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t).y ′ (t). Это дает x ′ (t) = 2x ′ (t) = 2 и y ′ (t) = 3. y ′ (t) = 3. Обратите внимание, что dydx = dy / dtdx / dt = 32.dydx = dy / dtdx / dt = 32. Это не совпадение, как указано в следующей теореме.

   Теорема 1.1

   Производная параметрических уравнений

   Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями x = x (t) x = x (t) и y = y (t) .y = y (t). Предположим, что существуют x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t) y ′ (t), и предположим, что x ′ (t) ≠ 0.x ′ (t) ≠ 0. Тогда производная dydxdydx равна

   dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).

   (1,1)

   Доказательство

   Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр t можно исключить, получив дифференцируемую функцию y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)). Y (t) = F (x (t)). Дифференцируя обе части этого уравнения с помощью правила цепочки, получаем

   y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t), y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t),

   т.

   F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t). F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t).

   Но F ′ (x (t)) = dydx, F ′ (x (t)) = dydx, что доказывает теорему.

   □

   Уравнение 1.1 можно использовать для вычисления производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критической точкой дифференцируемой функции y = f (x) y = f (x) является любая точка x = x0x = x0 такая, что либо f ′ (x0) = 0f ′ (x0) = 0, либо f ′ (x0 ) f ′ (x0) не существует. Уравнение 1.1 дает формулу для наклона касательной к кривой, заданной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией y = f (x) y = f (x) или нет.

   Пример 1.4

   Нахождение производной параметрической кривой

   Рассчитайте производную dydxdydx для каждой из следующих параметрически определенных плоских кривых и найдите любые критические точки на соответствующих графиках.

   1. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4
   2. x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t≤5x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t ≤5
   3. x (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2πx (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2π

   Решение

   1. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.
      Эта производная не определена при t = 0. t = 0. Вычисление x (0) x (0) и y (0) y (0) дает x (0) = (0) 2−3 = −3x (0) = (0) 2−3 = −3 и y (0 ) = 2 (0) −1 = −1, y (0) = 2 (0) −1 = −1, что соответствует точке (−3, −1) (- 3, −1) на графике. График этой кривой представляет собой параболу, раскрывающуюся вправо, а точка (−3, −1) (- 3, −1) является ее вершиной, как показано.
      

      Рис. 1.17. График параболы, описываемый параметрическими уравнениями в части а.

   2. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.
      Эта производная равна нулю при t = ± 1. t = ± 1. Когда t = −1t = −1, мы имеем
      x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6, x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,
      что соответствует точке (−1,6) (- 1,6) на графике. При t = 1t = 1 имеем
      x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2, x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2,
      что соответствует точке (3,2) (3,2) на графике.Точка (3,2) (3,2) является относительным минимумом, а точка (−1,6) (- 1,6) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.
      

      Рис. 1.18 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части b.

   3. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.
      Эта производная равна нулю, когда cost = 0cost = 0, и не определена, когда sint = 0. sint = 0. Это дает t = 0, π2, π, 3π2 и 2πt = 0, π2, π, 3π2 и 2π в качестве критических точек для t. Подставляя каждое из них в x (t) x (t) и y (t), y (t), получаем
      

      тт	х (т) х (т)	г (т) г (т)
      0	5	0
      π2π2	0	5
      ππ	−5	0
      3π23π2	0	−5
      2π2π	5	0

      
      Эти точки соответствуют сторонам, верху и низу круга, который представлен параметрическими уравнениями (рисунок 1.19). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.
      

      Рис. 1.19 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.

   КПП 1.4

   Вычислить производную dy / dxdy / dx для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Пример 1.5

   Поиск касательной

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4whent = 2. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤ 4whent = 2.

   Решение

   Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения 1.1, что означает вычисление x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):

   x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.

   Затем подставьте их в уравнение:

   dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.

   Когда t = 2, t = 2, dydx = 12, dydx = 12, значит, это наклон касательной. Вычисление x (2) x (2) и y (2) y (2) дает

   x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3, x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3,

   , что соответствует точке (1,3) (1,3) на графике (рисунок 1.20). Теперь используйте форму точки наклона уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной:

   y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x − 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x− 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. Рис. 1.20. Касательная к параболе, описываемой данными параметрическими уравнениями при t = 2.т = 2.

   КПП 1.5

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤10whent = 5. x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤ 10whent = 5.

   Производные инструменты второго порядка

   Наша следующая цель — увидеть, как взять вторую производную функции, определенной параметрически. Вторая производная функции y = f (x) y = f (x) определяется как производная от первой производной; то есть

   d2ydx2 = ddx [dydx] .d2ydx2 = ddx [dydx].

   Поскольку dydx = dy / dtdx / dt, dydx = dy / dtdx / dt, мы можем заменить yy в обеих частях этого уравнения на dydx.dydx. Это дает нам

   d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt. d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt.

   (1,2)

   Если мы знаем dy / dxdy / dx как функцию от t, , то эту формулу легко применить.

   Пример 1.6

   Поиск второй производной

   Вычислите вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.

   Решение

   Из примера 1.4 мы знаем, что dydx = 22t = 1t.dydx = 22t = 1t. Используя уравнение 1.2, получаем

   d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.

   КПП 1.6

   Вычислить вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Интегралы, содержащие параметрические уравнения

   Теперь, когда мы увидели, как вычислить производную плоской кривой, возникает следующий вопрос: как найти площадь под кривой, заданной параметрически? Напомним циклоиду, определяемую уравнениями x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost. Предположим, мы хотим найти площадь заштрихованной области на следующем графике.

   Рисунок 1.21 График циклоиды с выделенной аркой над [0,2π] [0,2π].

   Вывести формулу площади под кривой, определяемой функциями

   x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b,

   мы предполагаем, что x (t) x (t) дифференцируема, и начинаем с равного разбиения интервала a≤t≤b.а≤t≤b. Предположим, что t0 = a

   Рисунок 1.22 Аппроксимация площади под параметрически заданной кривой.

   Мы используем прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Высота типичного прямоугольника в этой параметризации равна y (x (t – i)) y (x (t – i)) для некоторого значения t – it – i в подынтервале i , а ширину можно вычислить как x (ti) −x (ti − 1) .x (ti) −x (ti − 1). Таким образом, площадь прямоугольника и равна

   . Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).

   Тогда сумма Римана для площади равна

   An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)). An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x ( ti − 1)).

   Умножение и деление каждой площади на ti − ti − 1ti − ti − 1 дает

   An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i )) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.

   Если принять предел, когда nn стремится к бесконечности, получаем

   A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt. A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt.

   Это приводит к следующей теореме.

   Теорема 1.2

   Площадь под параметрической кривой

   Рассмотрим несамопересекающуюся плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t≤b

   и предположим, что x (t) x (t) дифференцируема. Площадь под этой кривой равна

   . A = aby (t) x ′ (t) dt. A = aby (t) x ′ (t) dt.

   (1,3)

   Пример 1.7

   Определение площади под параметрической кривой

   Найдите площадь под кривой циклоиды, определяемой уравнениями

   x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.

   Решение

   Используя уравнение 1.3, имеем

   A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1-2cost + cos2t) dt = ∫02π (1-2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1−2cost + cos2t) dt = ∫02π (1−2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.

   КПП 1.7

   Найдите площадь под кривой гипоциклоиды, определяемой уравнениями

   x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.

   Длина дуги параметрической кривой

   В дополнение к нахождению площади под параметрической кривой нам иногда необходимо найти длину дуги параметрической кривой. В случае линейного сегмента длина дуги равна расстоянию между конечными точками. Если частица перемещается из точки A в точку B по кривой, то расстояние, которое проходит частица, является длиной дуги. Чтобы разработать формулу для длины дуги, мы начнем с аппроксимации отрезками линии, как показано на следующем графике.

   Рисунок 1.23 Аппроксимация кривой отрезками прямых.

   Для плоской кривой, определяемой функциями x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, мы начните с разделения интервала [a, b] [a, b] на n равных подинтервалов: t0 = a d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.

   Затем сложите их. Пусть s обозначает точную длину дуги, а snsn обозначает аппроксимацию n отрезков линии:

   s≈∑k = 1nsk = ∑k = 1n (x (tk) −x (tk − 1)) 2+ (y (tk) −y (tk − 1)) 2. k) Δty (tk) −y (tk − 1) = y ′ (t ˜k) (tk − tk − 1) = y ′ (t˜k) Δt.k и t˜kt˜k содержатся в одном и том же постоянно сокращающемся интервале шириной Δt, Δt, поэтому они должны сходиться к одному и тому же значению.

   Мы можем резюмировать этот метод в следующей теореме.

   Теорема 1.3

   Длина дуги параметрической кривой

   Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями

   x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2

   и предположим, что x (t) x (t) и y (t) y (t) — дифференцируемые функции от t. Тогда длина дуги этой кривой равна

   . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.

   (1,5)

   На этом этапе боковой вывод приводит к предыдущей формуле для длины дуги. В частности, предположим, что параметр можно исключить, что приведет к функции y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)) y (t) = F (x (t)) и цепное правило дает y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). Подставляя это в уравнение 1.5, получаем

   s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.

   Здесь мы предположили, что x ′ (t)> 0, x ′ (t)> 0, что является разумным предположением. Цепное правило дает dx = x ′ (t) dt, dx = x ′ (t) dt, и, полагая a = x (t1) a = x (t1) и b = x (t2) b = x (t2), мы получить формулу

   s = ab1 + (dydx) 2dx, s = ∫ab1 + (dydx) 2dx,

   , который представляет собой формулу для длины дуги, полученную во введении к приложениям интеграции.

   Пример 1.8

   Определение длины дуги параметрической кривой

   Найдите длину дуги полукруга, определяемую уравнениями

   x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.

   Решение

   Значения от t = 0t = 0 до t = πt = π очерчены красной кривой на рисунке 1.23. Чтобы определить его длину, используйте уравнение 1.5:

   . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π. s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π.

   Обратите внимание, что формула для длины дуги полукруга равна πrπr, а радиус этой окружности равен 3.Это отличный пример использования исчисления для вывода известной формулы геометрической величины.

   Рис. 1.24. Длина дуги полукруга равна его радиусу, умноженному на π.π.

   КПП 1.8

   Найдите длину дуги кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.

   Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела, о том, что бейсбольный мяч выходит из руки питчера. Игнорируя эффект сопротивления воздуха (если это не криволинейный шар!), Мяч движется по параболической траектории.Предполагая, что рука питчера находится в начале координат, а мяч движется слева направо в направлении положительной оси x , параметрические уравнения для этой кривой можно записать как

   x (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2tx (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2t

   , где t — время. Сначала мы вычисляем расстояние, которое проходит мяч, как функцию времени. Это расстояние представлено длиной дуги. Мы можем немного изменить формулу длины дуги. Сначала перепишите функции x (t) x (t) и y (t) y (t), используя v в качестве независимой переменной, чтобы исключить путаницу с параметром t :

   . х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.

   Затем запишем формулу длины дуги следующим образом:

   s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv.s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2дв.

   Переменная v действует как фиктивная переменная, которая исчезает после интегрирования, оставляя длину дуги как функцию времени t. Чтобы интегрировать это выражение, мы можем использовать формулу из Приложения A,

   A2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C. a2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C.

   Положим a = 140a = 140 и u = −32v + 2.u = −32v + 2. Это дает du = −32dv, du = −32dv, поэтому dv = −132du.dv = −132du. Следовательно,

   ∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (−32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (- 32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C

   и

   s (t) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) .s (t ) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604).

   Эта функция представляет расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Для расчета скорости возьмем производную этой функции по т. Хотя это может показаться сложной задачей, можно получить ответ непосредственно из Фундаментальной теоремы исчисления:

   ddx∫axf (u) du = f (x). ddx∫axf (u) du = f (x).

   Следовательно,

   s ′ (t) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.s ′ (T) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.

   Через одну треть секунды после того, как мяч покидает руку питчера, расстояние, которое он проходит, равно

   . s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) +1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69feet.s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) + 1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69 футов.

   Это значение составляет чуть более трех четвертей пути к исходной тарелке. Скорость мяча

   s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140,34 фут / с.s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140.34 фута / с.

   Эта скорость соответствует примерно 95 милям в час — фастбол высшей лиги.

   Площадь поверхности, созданная параметрической кривой

   Вспомните задачу о нахождении площади поверхности объема вращения. В разделах Длина кривой и Площадь поверхности мы вывели формулу для определения площади поверхности объема, созданного функцией y = f (x) y = f (x) от x = ax = a до x = b, x = b, вращается вокруг оси x :

   S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx. S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx.

   Теперь рассмотрим объем вращения, создаваемый вращением параметрически определенной кривой x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t ≤b вокруг оси x , как показано на следующем рисунке.

   Рис. 1.25 Поверхность вращения, образованная параметрически заданной кривой.

   Аналогичная формула для параметрически определенной кривой:

   S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dtS = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt

   (1,6)

   при условии, что y (t) y (t) не отрицательно на [a, b]. [A, b].

   Пример 1.9

   В поисках площади

   Найдите площадь поверхности сферы радиусом r с центром в начале координат.

   Решение

   Начнем с кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.

   Это создает верхний полукруг радиусом r с центром в начале координат, как показано на следующем графике.

   Рис. 1.26. Полукруг, образованный параметрическими уравнениями.

   Когда эта кривая вращается вокруг оси x , она образует сферу радиусом r . Чтобы вычислить площадь поверхности сферы, мы используем уравнение 1.6:

   S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.

   Фактически, это формула для определения площади поверхности сферы.

   КПП 1.9

   Найдите площадь поверхности, образованную плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1

   вращается вокруг оси x .

   Раздел 1.2. Упражнения

   В следующих упражнениях каждый набор параметрических уравнений представляет собой линию.Не исключая параметр, найдите наклон каждой линии.

   62.

   x = 3 + t, y = 1 − tx = 3 + t, y = 1 − t

   64.

   x = 4−3t, y = −2 + 6tx = 4−3t, y = −2 + 6t

   65.

   x = −5t + 7, y = 3t − 1x = −5t + 7, y = 3t − 1

   Для следующих упражнений определите наклон касательной, затем найдите уравнение касательной при заданном значении параметра.

   66.

   x = 3sint, y = 3cost, t = π4x = 3sint, y = 3cost, t = π4

   67.

   x = стоимость, y = 8sint, t = π2x = стоимость, y = 8sint, t = π2

   68.

   x = 2t, y = t3, t = −1x = 2t, y = t3, t = −1

   69.

   x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1

   Для следующих упражнений найдите все точки кривой с заданным наклоном.

   71.

   x = 4cost, y = 4sint, x = 4cost, y = 4sint, slope = 0,5

   72.

   x = 2cost, y = 8sint, slope = −1x = 2cost, y = 8sint, slope = −1

   73.

   x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1

   74.

   x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0

   Для следующих упражнений запишите уравнение касательной в декартовых координатах для данного параметра t .

   75.

   x = et, y = 1 − lnt2, t = 1x = et, y = 1 − lnt2, t = 1

   76.

   x = tlnt, y = sin2t, t = π4x = tlnt, y = sin2t, t = π4

   77.

   x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1) x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1)

   78.

   Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует горизонтальная касательная.

   79.

   Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует вертикальная касательная.

   80.

   Найдите все точки на кривой x = 4sin (t), y = 4cos (t) x = 4sin (t), y = 4cos (t), которые имеют наклон 0,50,5

   81.

   Найдите dydxdydx для x = sin (t), y = cos (t). X = sin (t), y = cos (t).

   82.

   Найдите уравнение касательной к x = sin (t), y = cos (t) x = sin (t), y = cos (t) при t = π4.t = π4.

   83.

   Для кривой x = 4t, y = 3t − 2, x = 4t, y = 3t − 2 найдите наклон и вогнутость кривой при t = 3.t = 3.

   84.

   Для параметрической кривой, уравнение которой имеет вид x = 4cosθ, y = 4sinθ, x = 4cosθ, y = 4sinθ, найдите наклон и вогнутость кривой при θ = π4.θ = π4.

   85.

   Найдите наклон и вогнутость кривой, уравнение которой: x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθx = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ при θ = π6.θ = π6.

   86.

   Найдите все точки на кривой x = t + 4, y = t3−3tx = t + 4, y = t3−3t, в которых есть вертикальные и горизонтальные касательные.

   87.

   Найдите все точки на кривой x = secθ, y = tanθx = secθ, y = tanθ, в которых существуют горизонтальные и вертикальные касательные.

   Для следующих упражнений найдите d2y / dx2.d2y / dx2.

   88.

   x = t4−1, y = t − t2x = t4−1, y = t − t2

   89.

   x = sin (πt), y = cos (πt) x = sin (πt), y = cos (πt)

   90.

   x = e − t, y = te2tx = e − t, y = te2t

   Для следующих упражнений найдите точки на кривой, в которых касательная линия является горизонтальной или вертикальной.

   91.

   x = t (t2−3), y = 3 (t2−3) x = t (t2−3), y = 3 (t2−3)

   92.

   x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3

   Для следующих упражнений найдите dy / dxdy / dx в значении параметра.

   93.

   x = стоимость, y = синт, t = 3π4x = стоимость, y = синт, t = 3π4

   94.

   x = t, y = 2t + 4, t = 9x = t, y = 2t + 4, t = 9

   95.

   x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14

   Для следующих упражнений найдите d2y / dx2d2y / dx2 в заданной точке, не удаляя параметр.

   96.

   x = 12t2, y = 13t3, t = 2x = 12t2, y = 13t3, t = 2

   97.

   x = t, y = 2t + 4, t = 1x = t, y = 2t + 4, t = 1

   98.

   Найдите t интервалов, на которых кривая x = 3t2, y = t3 − tx = 3t2, y = t3 − t вогнута вверх и вниз.

   99.

   Определите вогнутость кривой x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.

   100.

   Нарисуйте и найдите площадь под одной аркой циклоиды x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ) .x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ).

   101.

   Найдите площадь, ограниченную кривой x = cost, y = et, 0≤t≤π2x = cost, y = et, 0≤t≤π2 и линиями y = 1y = 1 и x = 0.x = 0.

   102.

   Найдите площадь, заключенную в эллипс x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.

   103.

   Найдите площадь области, ограниченной x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, для 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.

   Для следующих упражнений найдите площадь областей, ограниченных параметрическими кривыми и указанными значениями параметра.

   104.

   x = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤πx = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤π

   105.

   [T] x = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t <2πx = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t < 2π

   106.

   [T] x = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2πx = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2π («песочные часы»)

   107.

   [T] x = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2πx = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2π («слеза»)

   Для следующих упражнений найдите длину дуги кривой на указанном интервале параметра.

   108.

   x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2

   109.

   x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1

   110.

   x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2

   111.

   х = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1x = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1

   112.

   x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2 (выразите ответ в виде десятичной дроби с округлением до трех знаков)

   113.

   x = acos3θ, y = asin3θx = acos3θ, y = asin3θ на интервале [0,2π) [0,2π) (гипоциклоида)

   114.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost) .x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost).

   115.

   Найдите расстояние, пройденное частицей с положением (x, y) (x, y), поскольку t изменяется в заданном временном интервале: x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.

   116.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.

   117.

   Покажите, что общая длина эллипса x = 4sinθ, y = 3cosθx = 4sinθ, y = 3cosθ равна L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, где e = cae = ca и с = a2 − b2.c = a2 − b2.

   118.

   Найдите длину кривой x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.

   Для следующих упражнений найдите площадь поверхности, полученную вращением данной кривой вокруг оси x .

   119.

   x = t3, y = t2,0≤t≤1x = t3, y = t2,0≤t≤1

   120.

   x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2

   121.

   [T] Используйте CAS, чтобы найти площадь поверхности, созданную вращением x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t≤2x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t ≤2 относительно оси x .(Ответ с точностью до трех знаков после запятой.)

   122.

   Найдите площадь поверхности, полученную вращением x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5 вокруг оси y .

   123.

   Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t, 0≤t≤4x = t2, y = 2t, 0≤t≤4 относительно оси x .

   124.

   Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t2,0≤t≤1x = t2, y = 2t2,0≤t≤1 относительно оси y .

   Уравнение в частных производных — обзор

   7.6 Формализм специальной системы многокомпонентных дифференциальных уравнений

   Аналогично случаю DTSS мы формулируем спецификацию системы многокомпонентных дифференциальных уравнений multiDESS с немодульной связью. Напомним, что основной формализм DESS не определяет функцию следующего состояния напрямую, а только через функции скорости изменения для отдельных переменных непрерывного состояния. В многокомпонентном случае отдельные компоненты определяют скорость изменения своих собственных переменных состояния на основе значений состояния их факторов влияния.Давайте сначала определим общий формализм, а затем обсудим подход к моделированию, рассматривая уравнения в частных производных — особый тип модели, показывающий большое сходство с клеточными автоматами в дискретной временной области.

   Спецификация системы многокомпонентных дифференциальных уравнений — это структура

   multiDESS = 〈X, D, {Md}〉

   , где X — это набор входных данных, вещественное векторное пространство Rm и D — это индексный набор. Для каждого d∈D компонент Md определяется как

   Md = 〈Qd, Yd, Id, fd, λd〉

   , где Qd — это набор состояний d , вещественное векторное пространство Rn, Yd — набор выходов d , вещественное векторное пространство Rp, Id⊆D — набор факторов влияния d , fd: × i∈IdQi × X → Qd — функция скорости изменения для переменных состояния d , λd: × i∈IdQe × X → Yd — функция локального выхода d .Набор влияний Ed d снова определяется как набор {d}. Мы требуем, чтобы каждый fd удовлетворял условию Липшица:

   || fd (q, x) −fd (q ′, x) || ⩽kd || q − q ′ ||

   В multiDESS производная функция каждого компонента определяет скорость изменения его локальных переменных состояния. Формально multiDESS = 〈XN, D, {Md}〉 определяет DESS = 〈X, Y, Q, f, λ〉 на уровне системы ввода-вывода следующим образом: Q = × d∈DQd, Y = × d∈DYd, f (q, x) определяется как

   f (q, x). d = fd ((…, qi, …), x),

   и λ (q) определяется на

   λ (q).d = λd ((…, qi, …)),

   с i∈Id.

   Теперь мы должны показать, что полученная производная функция удовлетворяет условию Липшица:

   || f (q, x) −f (q ′, x) || ⩽k || q − q ′ ||

   Это будет следовать из того факта, что каждая из ее координатных функций удовлетворяет такому условию посредством ограничения, наложенного на эти функции, указанного ранее. Мы продемонстрируем, как это работает, используя только две координаты:

   || f (q1, q2, x) −f (q1 ′, q2 ′, x) || = || (f1 (q1, q2, x) −f1 ( q1 ′, q2 ′, x), f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x)) || ⩽ || f1 (q1, q2, x) −f1 (q1 ′, q2 ′ , x) || + || f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x) || ⩽k1 || (q − q ′ || + k2 || (q − q ′ | | ⩽ (k1 + k2) || q − q ′ ||

   7.6.1 Пространственная DESS: модели дифференциальных уравнений в частных производных

   Модели дифференциальных уравнений в частных производных возникают из расширения дифференциального уравнения, в котором пространственные координаты, помимо времени, вводятся как независимые переменные. Таким образом, система, заданная уравнением в частных производных, показывает изменения как во времени, так и в пространстве.

   Системы дифференциальных уравнений в частных производных требуют отдельной науки, и целая дисциплина занимается решением таких систем дифференциальных уравнений.Мы лишь кратко рассмотрим их здесь, чтобы поместить их в нашу структуру формализмов имитационного моделирования.

   Для нашего изложения рассмотрим простой пример общего уравнения, консервативного по потоку, от одной переменной u. Уравнение

   ∂u∂t = −v∂u∂x

   выражает, что изменение переменной u во времени равно отрицательной скорости — v , умноженной на изменение переменной u. в пространственном измерении x .Результатом этого уравнения является волна, которая распространяется со скоростью v вдоль размера x .

   Подход к решению таких задач, который является представителем так называемого гиперболического уравнения в частных производных , приводит к дискретизации пространственных и временных измерений. Сначала введем дискретизацию пространства. Весь интервал наблюдения [x0, xl] длиной l разделен на k равных отрезков шириной Δx = l / k каждый.Затем мы получаем k точек сетки, для которых мы составляем уравнения, чтобы выразить изменения во времени. В так называемом подходе Forward Time Centtered Space (FCTS) это делается для каждой точки сетки j путем замены пространственной производной ∂uj∂x от u в точке j на разность соседних деление состояний на длину пространственного интервала

   uj − 1 − uj + 12Δx

   (обратите внимание на сходство с методом интегрирования Эйлера), дающее уравнение для производной по времени переменной u в точке j

   ∂ uj∂t = −vuj − 1 − uj + 12Δx

   для каждой точки сетки j .Очевидно, у нас есть multiDESS с k компонентов и набором факторов влияния Ij = {j − 1, j + 1} для каждого компонента j , а также производными функциями, как указано выше.

   Обычно при решении уравнений в частных производных модель строится путем дискретизации также измерения времени. Когда мы применяем тот же метод разности для дискретизации измерения времени, а именно деление временного интервала на интервалы равной длины Δ t , мы можем заменить производную по времени на в пространственной точке j и временной точке n + 1. на разницу значений в момент времени n + 1 минус значение в момент времени n , деленное на Δt (интегрирование Эйлера)

   ujn + 1 − ujnΔt

   Таким образом, мы наконец получаем уравнение для состояния в точке сетки j для времени n + 1:

   ujn + 1 = uj − 1n − vujn − 1 − ujn + 12ΔxΔt.

   Чего мы наконец достигли? Начиная с уравнения в частных производных с производными по времени и пространственному измерению, мы дискретизируем пространство и время. С помощью дискретизации пространства мы получили непрерывную многокомпонентную модель в клеточной форме с равными производными функциями для ячеек. С дискретизацией пространства мы наконец получили клеточный автомат с окрестностью {j − 1, j + 1}, временным шагом Δt и равной следующей функции состояния для ячейки j , как указано выше.

   Принцип суперпозиции — x-engineer.org

   Линейные функции — это простейшие алгебраические функции. У них есть важное свойство: сумма двух линейных функций также является линейной функцией . Кроме того, линейные уравнения — это алгебраические уравнения, которые проще всего решить. Использование матриц и определителей для решения системы уравнений применимо только к линейным уравнениям.

   Система, определяемая функцией f (x) , является линейной, если верно следующее соотношение:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1) & = y_1 \\
   f (x_2) & = y_2 \\
   f (x_1 + x_2) & = y_1 + y_2
   \ end {split} \]

   Это свойство называется принципом суперпозиции , который может быть определен как: если система (функция) реагирует на ввод x ₁ с выходом y ₁ и он отвечает на вход x ₂ с выходом y ₂ , он будет отвечать на сумму входов x ₁ + x ₂ с суммой выходов y ₁ + y ₂ .Другими словами, для всех линейных систем чистый ответ, вызванный двумя или более стимулами, представляет собой сумму ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально.

   Если входы изменяются во времени, принцип суперпозиции можно записать как:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1 (t)) & = y_1 (t) \\
   f (x_2 (t)) & = y_2 (t) \\
   f (x_1 (t) + x_2 (t)) & = y_1 (t) + y_2 (t)
   \ end {split} \]

   Основываясь на определении суперпозиции, мы может утверждать, что:

   • любая система (функция), которая соблюдает принцип суперпозиции, является линейной системой (функцией)
   • принцип суперпозиции применяется ко всем линейным системам (функциям)

   Система (функция) определяется как линейный, если он удовлетворяет следующим свойствам:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1 + x_2) & = f (x_1) + f (x_2) \ quad & \ text {Аддитивность} \\
   f (c \ cdot x_1) & = c \ cdot f (x_1) \ quad & \ text {Однородность}
   \ end {split} \]

   , где c — скаляр (константа).

   Свойства аддитивности и однородности вместе составляют принцип суперпозиции .

   Более общее определение принципа суперпозиции может быть записано как: отклик y (t) линейной системы на несколько входов x ₁ (t), x ₂ (t), … X _n (t) , которые действуют одновременно на систему, равны сумме откликов каждого отдельного входа, когда все начальные условия системы равны нулю.{n} {y_ {i} (t)} \]

   Принцип суперпозиции может использоваться для решения задач в математике, системах управления, электронике и физике. В приведенных ниже примерах мы рассмотрим каждую область и решим проблемы, используя принцип суперпозиции.

   Пример 1. Линейные функции

   Линейная система описывается функцией:

   \ [y (t) = 5 \ cdot x_ {1} (t) + x_ {2} (t) \]

   , где входы x ₁ (t) и x ₂ (t) определяются как:

   \ [\ begin {split}
   x_ {1} (t) & = t \\
   x_ {2} ( t) & = t ^ 2
   \ end {split} \]

   Найдите выражение функции y (t) от t , используя принцип суперпозиции. 2} \ sin (x) & = — \ sin (x)
   \ end {split} \]

   Если мы заменим производные второго порядка решений и решений y ₁ (x) и y ₂ (x) в исходном дифференциальном уравнении (1), мы получим:

   \ [\ begin {split}
   \ cos (x) — \ cos (x) & = 0 \\
   \ sin (x) — \ sin (x) & = 0
   \ end {split} \]

   , что доказывает, что y ₁ (x) и y ₂ (x) являются решениями для дифференциала уравнение.

   Шаг 3 . Согласно принципу суперпозиции, общее решение дифференциального уравнения можно записать как:

   \ [y (x) = c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) \ tag {2} \]

   , где c ₁ и c ₂ — скаляры (константы).

   Докажем, что y (x) на самом деле является общим решением дифференциального уравнения. Мы знаем, что постоянный множитель может быть взят из производной, а производная суммы двух функций равна сумме их производных.2} \ sin (x) = — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) \ tag {3} \]

   Замена (2) и (3) в исходном дифференциальном уравнении (1) дает:

   \ [\ begin {split}
   — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) + c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) & = 0 \\
   0 & = 0
   \ end { split} \]

   , что доказывает, что (2) является общим решением дифференциального уравнения (1).

   Пример 3. Системы управления

   Система управления является линейной, если к ней применим принцип суперпозиции . Следовательно, для линейных систем ответ на несколько входов можно рассчитать, рассматривая один вход за раз и добавляя результаты.2 + 1.2 \ cdot s +1}
   \ end {split} \]

   Две передаточные функции образуют систему, которая стимулируется двумя входами u ₁ (t) и u ₂ (t ) . Предположим, что u ₁ (t) — это входной шаг , а u ₂ (t) — входной сигнал линейного изменения .

   Изображение: Система с двумя входными сигналами

   Цель упражнения — продемонстрировать принцип наложения. Выход y (t) будет рассчитан как сумма между y ₁ (t) и y ₂ (t) , где:

   • y ₁ (t) — это выход системы, когда u ₁ (t) — это ступенчатый вход, а u ₂ (t) = 0
   • y ₂ (t) — выход системы когда u ₁ (t) = 0 и u ₂ (t) — это вход рампы

   Чтобы смоделировать нашу систему, мы собираемся использовать модель блок-схемы Xcos.

   Изображение: Передаточные функции — блок-схема Xcos

   В разделе A) блок-схемы Xcos система моделируется как с входными, так и с шаговыми сигналами и сигналами линейного изменения. Выход y (t) затем наносится на график Scope 1 вместе с входными сигналами u ₁ (t) и u ₂ (t) . В разделе B) схемы вход u ₂ (t) установлен на ноль, и в систему подается только ступенчатый вход.В разделе C) схемы вход u ₁ (t) установлен на ноль, и в систему подается только вход рампы. Выходные данные y ₁ (t) и y ₂ (2) затем наносятся на график отдельно и суммируются в Scope 2 .

   Изображение: участок 1

   Изображение: график 2

   Как и ожидалось, сумма отдельных выходов y ₁ (t) и y ₂ (2) дает то же значение y (t) , смоделированное с обоими активными входами.Это показывает, что принцип суперпозиции справедлив для линейных непрерывных систем.

   Пример 4. Электрические схемы

   Рассмотрим электрическую схему ниже. Найдите значения электрических токов, протекающих через резисторы.

   Изображение: Электрическая схема

   где:

   \ [\ begin {split}
   E_1 & = 28 \ text {V} \\
   E_2 & = 7 \ text {V} \\
   R_1 & = 4 \ text { } \ Omega \\
   R_2 & = 2 \ text {} \ Omega \\
   R_3 & = 1 \ text {} \ Omega
   \ end {split} \]

   Для решения схемы мы будем использовать принцип : суперпозиция .Используемая стратегия состоит в том, чтобы исключить все источники напряжения, кроме одного, в цепи за один раз и с помощью последовательного / параллельного анализа (KVL и KCL) определить электрический ток в модифицированной цепи для каждого источника напряжения отдельно. Затем, как только электрические токи были определены, для каждого источника напряжения, работающего отдельно, все значения «накладываются» друг на друга (складываются алгебраически), чтобы найти фактические токи со всеми активными источниками напряжения.

   Шаг 1 .Оставьте только один источник напряжения ( E ₁ ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

   Изображение: Электрическая цепь — с источником напряжения E ₁

   В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

   \ [I_1 = I_2 + I_3 \ tag {4} \]
   \ [E_1 = I_1 \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {5} \]
   \ [0 = I_2 \ cdot R_2 — I_3 \ cdot R_3 \ tag {6} \]

   У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

   Замена (4) в (5) дает:

   \ [(I_2 + I_3) \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 = E_1 \ tag {7} \]

   Из (6) мы можем извлечь выражение I ₃ :

   \ [I_3 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_3} \ tag {8} \]

   Замена (8) в (7) дает:

   \ [I_2 \ cdot (R_1 + R_2 ) + I_2 \ cdot \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3} = E_1 \ tag {9} \]

   Из (9) мы можем записать выражение I ₂ только функцию сопротивлений и входного напряжения :

   \ [I_2 = \ frac {E_1} {R_1 + R_2 + \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3}} \ tag {10} \]

   Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (10), дает значение электрического тока I ₂ :

   \ [I_2 = 2 \ text {A} \ tag {11} \]

   Замена (11) в (8) дает значение I ₃ :

   \ [I_3 = 4 \ text {A} \ tag {12} \]

   Замена (11) и (12) в (4) дает значение I ₁ :

   \ [I_1 = 6 \ text {A} \ tag {13} \]

   Шаг 2 .Оставьте только один источник напряжения ( E ₂ ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

   Изображение: Электрическая схема — с источником напряжения E ₂

   В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

   \ [I_3 = I_1 + I_2 \ tag {14} \]
   \ [E_2 = I_3 \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {15} \]
   \ [0 = I_1 \ cdot R_1 — I_2 \ cdot R_2 \ tag {16} \]

   У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

   Замена (14) в (15) дает:

   \ [(I_1 + I_2) \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 = E_2 \ tag {17} \]

   Из (16) мы можем извлечь выражение для I ₁ :

   \ [I_1 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_1} \ tag {18} \]

   Замена (18) в (17) дает:

   \ [I_2 \ cdot \ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + I_2 \ cdot (R_3 + R_2) = E_2 \ tag {19} \]

   Из (19) мы можем записать выражение I ₂ только функцию сопротивлений и входного напряжения :

   \ [I_2 = \ frac {E_2} {\ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + R_3 + R_2} \ tag {20} \]

   Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (20), дает значение электрического тока I ₂ :

   \ [I_2 = 2 \ text {A} \]

   Замена (21) в (18) дает значение I ₁ :

   \ [I_1 = 1 \ text {A} \]

   Замена (21) и (22) в (14) дает значение I ₃ :

   \ [I_3 = 3 \ text {A} \]

   Шаг 3 .Сложите значения электрических токов из Шага 1 и Шага 2, обращая внимание на знак.

   \ [\ begin {split}
   I_1 & = 6-1 & = 5 \ text {A} \\
   I_2 & = 2 + 2 & = 4 \ text {A} \\
   I_3 & = 4 — 3 & = 1 \ text {A}
   \ end {split} \]

   Чтобы убедиться, что наши вычисления верны, мы собираемся смоделировать ту же схему в среде Xcos и запустить моделирование с обоими активными источниками напряжения. Электрические токи в моделировании Xcos должны соответствовать нашему ручному расчету.

   Изображение: Электрическая схема — блок-схема Xcos

   Как и ожидалось, у нас есть точно такие же результаты для электрического тока, протекающего через резисторы, что подтверждает принцип суперпозиции в качестве метода расчета. Это упражнение доказывает, что в линейной электрической цепи (сети) напряжение или ток в любом элементе, возникающие от нескольких источников, действующих вместе, является суммой напряжений или токов, возникающих от каждого источника, действующего в одиночку.

   Пример 5.Электростатические силы

   Предположим, что у нас есть три электрических заряда Q ₁ , Q ₂ и Q ₃ , расположенных друг от друга, как на изображении ниже, часть A). Q ₁ и Q ₃ имеют положительный заряд, а Q ₂ имеют отрицательный заряд. Если предположить, что электрические заряды не взаимодействуют ни с чем другим вокруг них, и предположить, что гравитационные взаимодействия незначительны, каковы величина и направление суммарной электростатической силы, действующей на электрический заряд Q ₁ ?

   Электрические заряды — взаимодействие сил

   Для численного расчета мы рассмотрим следующие параметры:

   \ [\ begin {split}
   Q_1 & = 1.{-12} \ text {диэлектрическая проницаемость вакуума} \\
   \ varepsilon_r & = 1.00058986 \ text {(относительная диэлектрическая проницаемость воздуха, в STP)}
   \ end {split} \]

   В части B) изображения выше, мы нарисовали силы, действующие на Q ₁ . Действуя на Q ₁ (положительный заряд), существует сила притяжения F ₂₁ от Q ₂ (отрицательный заряд) и сила отталкивания F ₃₁ от Q ₃ (положительный заряд).Применяя принцип суперпозиции , во-первых, мы можем вычислить величину каждой силы в отдельности, а во-вторых, величину и направление результирующей силы как векторную сумму отдельных сил.

   Шаг 1 . Рассчитайте расстояние между зарядом Q ₁ и Q ₃ .

   Мы видим, что заряды отображаются в прямоугольном треугольнике с катетами длиной L . Чтобы рассчитать расстояние между Q ₁ и Q ₃ , нам нужно применить теорему Пифагора .2} \]

   где:

   F [N] — кулоновская сила
   Q ₁ , Q ₂ [C] — электрические заряды
   L [м] — расстояние между электрическими зарядами
   k [F / m] — называется постоянной Кулона, или постоянной электрической силы, или электростатической постоянной. 2} = -4 .{-22} \ text {N}
   \ end {split} \]

   Зная величину и направление F ₃₁ и F ₂₁ , мы можем определить величину и направление равнодействующей силы Факс ₁ .

   Изображение: Электрический заряд — силы

   Шаг 3 . Вычислите компоненты оси x и оси y для F ₃₁ и F ₂₁ .

   \ [\ begin {split}
   F_ {21x} & = F_ {21} & = -4.{\ circ}
   \ end {split} \]

   Заключение : Результирующая сила была определена путем расчета действия каждой силы на заряд Q ₁ и суммирования результатов. Этот метод является примером применения принципа наложения .

   Изображение: Анимация, объясняющая принцип наложения электростатических сил

   Пример 6. Изменение длины металлического стержня

   Рассчитайте общее изменение длины в мм стального стержня при нескольких линейных нагрузках (см. Изображение ниже).

   Изображение: Металлический стержень с множественными линейными нагрузками

   Чтобы стержень находился в равновесии, необходимо выполнение следующего соотношения:

   \ [F_ {1} = F_ {2} + F_ {3} + F_ {4} \]

   Значения силы и длины следующие:

   \ [\ begin {split}
   F_ {1} & = 2000 & \ text {N} \\
   F_ {2} & = 500 & \ text {N} \\
   F_ {3} & = 500 & \ text {N} \\
   F_ {4} & = 1000 & \ text {N} \\
   L_ {1} & = 0.5 & \ text {m} \\
   L_ {2} & = 0,25 & \ text {m} \\
   L_ {3} & = 0.{2}}
   \ end {split} \]

   Для решения этой проблемы нам нужно использовать закон Гука , который гласит, что жесткость при растяжении (растягивающее напряжение) однородного стержня σ линейно пропорциональна его относительной протяженности деформации) ε на модуль упругости E :

   \ [\ sigma = \ epsilon \ cdot E \ tag {21} \]

   Относительное удлинение (деформация) ε составляет:

   \ [\ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {22} \]

   , где ΔL — это изменение длины стержня из-за приложенной силы, а L — длина стержня без нагрузки.

   Растягивающее напряжение σ — это соотношение между прилагаемой силой F и площадью поперечного сечения A :

   \ [\ sigma = \ frac {F} {A} \ tag {23} \]

   Замена (22) и (23) в (21) дает:

   \ [\ frac {F} {A} = E \ cdot \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {24} \]

   Из ( 24) мы можем извлечь выражение изменения длины стержня:

   \ [\ Delta L = \ frac {F \ cdot L} {A \ cdot E} \ tag {25} \]

   Принцип суперпозиции , примененный к этой проблеме, утверждает, что общее изменение длины стержня равно сумме изменений длины увеличенных участков стержня с индивидуальным приложением силы (см. Изображение ниже).{11}} = 0,000005 \ text {m} = 0,005 \ text {mm} \]

   Шаг 4 . Вычислите полное изменение длины

   Из (26) мы получим:

   \ [\ Delta L = 0.00125 + 0.001875 + 0.005 = 0.008125 \ text {mm} \]

   . Эта задача демонстрирует, что принцип суперпозиции может быть используется для решения сложных проблем с множественными нагрузками и / или реакциями, действующими на элемент. Суперпозиция помогает нам решить эти проблемы, ломая член столько раз, сколько необходимо для каждой силы, действующей на него.После того, как все напряжения или отклонения для интересующей точки найдены, их можно сложить вместе, чтобы получить окончательный ответ.

   3.4 Деривативы как скорость изменения — Объем расчетов 1

   Цели обучения

   • Определите новое значение количества из старого значения и суммы изменения.
   • Рассчитайте среднюю скорость изменения и объясните, чем она отличается от мгновенной скорости изменения.
   • Применение скорости изменения смещения, скорости и ускорения объекта, движущегося по прямой линии.
   • Предскажите численность населения в будущем, исходя из текущей стоимости и темпов прироста населения.
   • Используйте производные инструменты для расчета предельных затрат и доходов в деловой ситуации.

   В этом разделе мы рассмотрим некоторые применения производной, сосредоточив внимание на интерпретации производной как скорости изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и маргинальные функции в экономике.

   Помимо анализа скорости, скорости, ускорения и положения, мы можем использовать производные для анализа различных типов популяций, в том числе таких разнообразных, как колонии бактерий и города. Мы можем использовать текущую популяцию вместе со скоростью роста, чтобы оценить размер популяции в будущем. Скорость роста населения — это скорость изменения населения и, следовательно, может быть представлена ​​производной от размера населения.

   Определение

   Если — количество сущностей, присутствующих в популяции, то темпы прироста населения определяются равными.

   Оценка населения

   Население города увеличивается в три раза каждые 5 лет. Если его нынешнее население составляет 10 000 человек, какое будет его примерное население через 2 года?

   Известно, что в настоящее время в колонии комаров проживает 3000 человек; это, . Если, оцените численность популяции за 3 дня, где измеряется в днях.

   В дополнение к анализу движения вдоль линии и роста населения, производные инструменты полезны для анализа изменений в стоимости, доходе и прибыли.Концепция маржинальной функции распространена в сфере бизнеса и экономики и подразумевает использование производных финансовых инструментов. Предельные затраты являются производной функции затрат. Маржинальный доход является производным от функции дохода. Маржинальная прибыль i является производной функции прибыли, которая основана на функции затрат и функции дохода.

   Мы можем приблизительно оценить

   , выбрав соответствующее значение для.Поскольку представляет объекты, разумным и малым значением для является 1. Таким образом, подставляя, мы получаем приближение. Следовательно, данное значение можно рассматривать как изменение стоимости, связанное с производством одного дополнительного элемента. Аналогичным образом приближается доход, полученный от продажи одного дополнительного предмета, и приближается прибыль, полученная от производства и продажи одного дополнительного предмета.

   Применение предельного дохода

   Предположим, что прибыль, полученная от продажи обедов из жареной рыбы, равна.Используйте функцию маржинальной прибыли, чтобы оценить прибыль от продажи 101-го обеда из жареной рыбы.

   Ключевые понятия

   • Используя, можно оценить данные и.
   • Скорость изменения положения — это скорость, а скорость изменения скорости — это ускорение. Скорость — это абсолютное значение или величина скорости.
   • Темпы прироста населения и текущее население могут быть использованы для прогнозирования размера будущей популяции.
   • Функции предельных затрат, предельного дохода и предельной прибыли можно использовать для прогнозирования, соответственно, затрат на производство еще одного изделия, дохода, полученного от продажи еще одного изделия, и прибыли, полученной от производства и продажи еще одного изделия.

   Для следующих упражнений данные функции представляют положение частицы, движущейся вдоль горизонтальной линии.

   1. Найдите функции скорости и ускорения.
   2. Определите временные интервалы, когда объект замедляется или ускоряется.

   1.

   2.

   Решение

   а.
   г. Ускоряться: ; Притормаживает:

   3.

   5. Мяч бросается вниз со скоростью 8 футов / с с вершины здания высотой 64 фута. Через несколько секунд его высота над землей будет равна.

   1. Определите, сколько времени требуется мячу, чтобы коснуться земли.
   2. Определите скорость мяча, когда он ударяется о землю.

   [показать-ответ q = ”875579 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
   [скрытый-ответ a =” 875579 ″] a. 5 футов / с b. 9 фут / с

   7. Положение колибри, летящего по прямой линии в секундах, указывается в метрах.

   1. Определите скорость птицы в сек.
   2. Определите ускорение птицы в сек.
   3. Определите ускорение птицы, когда скорость равна 0.

   9. Функция позиции определяет положение грузового поезда в милях, где восток является положительным направлением и измеряется в часах.

   1. Определите направление, в котором движется поезд.
   2. Определите направление, в котором движется поезд, когда.
   3. Определите временные интервалы, когда поезд замедляется или набирает скорость.

   10. На следующем графике показано положение объекта, движущегося по прямой линии.

   1. Используйте график функции положения, чтобы определить временные интервалы, когда скорость положительная, отрицательная или нулевая.
   2. Нарисуйте график функции скорости.
   3. Используйте график функции скорости, чтобы определить временные интервалы, когда ускорение является положительным, отрицательным или нулевым.
   4. Определите временные интервалы, когда объект ускоряется или замедляется.

   11. Функция затрат в долларах компании, производящей кухонные комбайны, определяется выражением, где — количество произведенных кухонных комбайнов.

   1. Найдите функцию предельных затрат.
   2. Найдите предельные затраты на производство 12 кухонных комбайнов.
   3. Найдите фактическую стоимость производства тринадцатого кухонного комбайна.

   Решение

   а.
   г.
   г. 6 долларов за товар, 0 долларов за товар

   13. [T] Прибыль получается, когда выручка превышает затраты. Предположим, что функция прибыли производителя скейтбордов имеет вид, где — количество проданных скейтбордов.

   1. Найдите точную прибыль от продажи тридцатого скейтборда.
   2. Найдите функцию предельной прибыли и используйте ее для оценки прибыли от продажи тридцатого скейтборда.

   Решение

   а.
   г.
   г. Популяция бактерий увеличивается с 0 до 10 часов; впоследствии популяция бактерий уменьшается.
   г. . Скорость роста бактерий уменьшается в течение первых 10 часов. После этого популяция бактерий уменьшается с уменьшающейся скоростью.

   17. Центростремительная сила объекта массы определяется выражением, где — скорость вращения, а — расстояние от центра вращения.

   1. Найдите скорость изменения центростремительной силы по отношению к расстоянию от центра вращения.
   2. Найдите скорость изменения центростремительной силы объекта массой 1000 кг, скоростью 13,89 м / с и расстоянием от центра вращения 200 метров.

   Следующие вопросы касаются населения (в миллионах) Лондона по десятилетиям XIX века, которые перечислены в следующей таблице.

   Население Лондона
   Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London.

   Годы с 1800	Население (млн)
   1	0.8795
   11	1.040
   21	1,264
   31	1,516
   41	1.661
   51	2.000
   61	2,634
   71	3,272
   81	3,911
   91	4,422

   18.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите наиболее подходящую линейную функцию для измерения численности населения.
   2. Найдите производную уравнения в (a) и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.

   Решение

   а.
   г. . Население увеличивается.
   г. . Скорость роста населения постоянна.

   19.[Т]

   1. Используя калькулятор или компьютерную программу, найдите наиболее подходящую квадратичную кривую по данным.
   2. Найдите производную уравнения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.

   Для следующих упражнений рассмотрим космонавта на большой планете в другой галактике. Чтобы узнать больше о составе этой планеты, космонавт бросает электронный датчик в глубокую траншею.Датчик каждую секунду передает свое вертикальное положение по отношению к положению космонавта. Сводка данных датчика падения отображается в следующей таблице.

   Время после сброса (с)	Позиция (м)
   0	0
   1	-1
   2	-2
   3	−5
   4	−7
   5	−14

   20.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите квадратичную кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
   2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.

   Решение

   а.
   г. . Это скорость датчика.
   г. . Это ускорение датчика; это постоянное ускорение вниз.

   21.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите кубическую кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
   2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   4. Используя результат (c), объясните, почему кубическая функция не является хорошим выбором для этой задачи.

   Следующие задачи относятся к уравнениям Холлинга типа I, II и III.Эти уравнения описывают экологическое событие роста популяции хищников с учетом количества добычи, доступной для потребления.

   Решение

   а.

   
   г. . Когда количество добычи увеличивается, рост хищника увеличивается.
   г. . Когда количество добычи чрезвычайно мало, скорость роста хищников увеличивается, но когда количество добычи превышает определенный порог, скорость роста хищников начинает уменьшаться.
   г. На более низком уровне добычи жертве легче избежать обнаружения хищником, поэтому поедается меньше особей добычи, что приводит к меньшему росту хищников.

   25. [T] Популяции зайца-снегоступа (в тысячах) и рыси (в сотнях), собранные за 7 лет с 1937 по 1943 год, показаны в следующей таблице. Заяц-снегоступы — основная добыча рыси.

   Популяции зайцев-снегоступов и рысей
   Источник: http: // www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

   Численность зайца-снегоступа (тыс.)	Поголовье рыси (сотни)
   20	10
   55	15
   65	55
   95	60

   1. Постройте график точек данных и определите, какая функция типа Холлинга лучше всего соответствует данным.
   2. Используя значения параметров и, определите значения этих параметров, исследуя график данных.Напомним, что это измерение того, какая ценность жертвы дает половинную максимальную ценность хищника.
   3. Постройте результирующие функции Холлинга I, II и III поверх данных. Был результат из части а. верный?
   .

Склонение других чисел

сто сорок сто тридцать девять сто сорок пять сто сорок четыре сто сорок три сто сорок девять сто сорок восемь сто сорок шесть сто сорок семь сто пятьдесят

Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.

Начинается с цифры

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

https://ria.ru/20220204/palestintsy-1771166962.html

Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу — РИА Новости, 04.02.2022

Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц. РИА Новости, 04.02.2022

2022-02-04T21:11

2022-02-04T21:11

2022-02-04T21:11

в мире

армия обороны израиля

израиль

наблус (провинция)

западный берег реки иордан

палестина

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdnn21.img.ria.ru/images/101826/44/1018264470_0:52:2000:1177_1920x0_80_0_0_6f7ceefc7961d697dd51e42ba6b6d002.jpg

ГАЗА/ТЕЛЬ-АВИВ, 4 фев — РИА Новости. Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц.»Семьдесят девять палестинцев получили ранения в столкновениях с израильскими военнослужащими в районах Бурин, Бейта и Бейт-Даджан возле г. Наблус на Западном берегу», — говорится в заявлении для прессы.Красный полумесяц отмечает, что два человека получили огнестрельные ранения, 9 были ранены резиновыми пулями, 68 надышались слезоточивым газом.Волнения в районе деревни Бурин вспыхнули в ходе акции по посадке активистами левых организаций и поселенцами деревьев в этом районе, сообщают израильские СМИ. Факт столкновения между палестинцами и израильскими левыми активистами с одной стороны и поселенцами, а также израильскими силовиками с другой РИА Новости подтвердили в армии Израиля.»На месте происшествия работают силы безопасности для поддержания порядка и предотвращения насилия. В ходе противостояния поступило сообщение об активисте, прибывшем на акцию протеста и напавшем на солдата ЦАХАЛ», — сообщила пресс-служба армии.Активист был задержан израильской полицией, сообщают военные.В районе Наблуса (Шхем), особенно на горе Сбейх в районе деревни Бейта еженедельно происходят столкновения между палестинцами и израильскими поселенцами и военнослужащими.

https://ria.ru/20220119/palestina-1768623631.html

https://ria.ru/20211218/oon-1764367128.html

израиль

наблус (провинция)

западный берег реки иордан

палестина

РИА Новости

1

5

4.7

96

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og. xn--p1ai/awards/

2022

РИА Новости

1

5

4.7

96

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

1

5

4.7

96

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

1920

1080

true

1920

1440

true

https://cdnn21.img.ria.ru/images/101826/44/1018264470_301:0:1974:1255_1920x0_80_0_0_c0208a2f60a6e7a2fe858c2d92f12015.jpg

1920

1920

true

РИА Новости

1

5

4.7

96

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

1

5

4. 7

96

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

в мире, армия обороны израиля, израиль, наблус (провинция), западный берег реки иордан, палестина

В мире, Армия обороны Израиля, Израиль, Наблус (провинция), Западный берег реки Иордан, Палестина

ГАЗА/ТЕЛЬ-АВИВ, 4 фев — РИА Новости. Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц.

«Семьдесят девять палестинцев получили ранения в столкновениях с израильскими военнослужащими в районах Бурин, Бейта и Бейт-Даджан возле г. Наблус на Западном берегу», — говорится в заявлении для прессы.

Красный полумесяц отмечает, что два человека получили огнестрельные ранения, 9 были ранены резиновыми пулями, 68 надышались слезоточивым газом.

Волнения в районе деревни Бурин вспыхнули в ходе акции по посадке активистами левых организаций и поселенцами деревьев в этом районе, сообщают израильские СМИ. Факт столкновения между палестинцами и израильскими левыми активистами с одной стороны и поселенцами, а также израильскими силовиками с другой РИА Новости подтвердили в армии Израиля.

«На месте происшествия работают силы безопасности для поддержания порядка и предотвращения насилия. В ходе противостояния поступило сообщение об активисте, прибывшем на акцию протеста и напавшем на солдата ЦАХАЛ», — сообщила пресс-служба армии.

Активист был задержан израильской полицией, сообщают военные.

В районе Наблуса (Шхем), особенно на горе Сбейх в районе деревни Бейта еженедельно происходят столкновения между палестинцами и израильскими поселенцами и военнослужащими.

Читайте также:

• Палестина поддержала призыв России собрать «ближневосточный квартет»
• В ООН призвали прекратить насилие на Западном берегу Иордана

479438 — денежная сумма прописью / 479400

479400 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста

479400 прописью на английском: in words 479400 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred

479400 прописью на испанском: en palabras 479400 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos

479400 прописью на немецком: in Worten 479400 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundert

479400 прописью на французском: par écrit 479400 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cents

479400 прописью на португальском: em palavras 479400 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos

479400 прописью на итальянском: in lettere 479400 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocento

479400 прописью на украинском: прописом 479400 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста

Сумма 479400 прописью

479401 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста один

479401 прописью на английском: in words 479401 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred one

479401 прописью на испанском: en palabras 479401 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos uno

479401 прописью на немецком: in Worten 479401 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteins

479401 прописью на французском: par écrit 479401 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-un

479401 прописью на португальском: em palavras 479401 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e um

479401 прописью на итальянском: in lettere 479401 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentouno

479401 прописью на украинском: прописом 479401 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста один

Сумма 479401 прописью

479402 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста два

479402 прописью на английском: in words 479402 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred two

479402 прописью на испанском: en palabras 479402 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dos

479402 прописью на немецком: in Worten 479402 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwei

479402 прописью на французском: par écrit 479402 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-deux

479402 прописью на португальском: em palavras 479402 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dois

479402 прописью на итальянском: in lettere 479402 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodue

479402 прописью на украинском: прописом 479402 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста два

Сумма 479402 прописью

479403 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста три

479403 прописью на английском: in words 479403 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred three

479403 прописью на испанском: en palabras 479403 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos tres

479403 прописью на немецком: in Worten 479403 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdrei

479403 прописью на французском: par écrit 479403 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trois

479403 прописью на португальском: em palavras 479403 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e três

479403 прописью на итальянском: in lettere 479403 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotre

479403 прописью на украинском: прописом 479403 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста три

Сумма 479403 прописью

479404 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста четыре

479404 прописью на английском: in words 479404 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred four

479404 прописью на испанском: en palabras 479404 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuatro

479404 прописью на немецком: in Worten 479404 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvier

479404 прописью на французском: par écrit 479404 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quatre

479404 прописью на португальском: em palavras 479404 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quatro

479404 прописью на итальянском: in lettere 479404 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquattro

479404 прописью на украинском: прописом 479404 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста чотири

Сумма 479404 прописью

479405 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста пять

479405 прописью на английском: in words 479405 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred five

479405 прописью на испанском: en palabras 479405 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cinco

479405 прописью на немецком: in Worten 479405 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünf

479405 прописью на французском: par écrit 479405 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-cinq

479405 прописью на португальском: em palavras 479405 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e cinco

479405 прописью на итальянском: in lettere 479405 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentocinque

479405 прописью на украинском: прописом 479405 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста п’ять

Сумма 479405 прописью

479406 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста шесть

479406 прописью на английском: in words 479406 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred six

479406 прописью на испанском: en palabras 479406 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos seis

479406 прописью на немецком: in Worten 479406 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechs

479406 прописью на французском: par écrit 479406 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-six

479406 прописью на португальском: em palavras 479406 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e seis

479406 прописью на итальянском: in lettere 479406 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosei

479406 прописью на украинском: прописом 479406 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста шість

Сумма 479406 прописью

479407 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста семь

479407 прописью на английском: in words 479407 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred seven

479407 прописью на испанском: en palabras 479407 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos siete

479407 прописью на немецком: in Worten 479407 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsieben

479407 прописью на французском: par écrit 479407 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-sept

479407 прописью на португальском: em palavras 479407 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e sete

479407 прописью на итальянском: in lettere 479407 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosette

479407 прописью на украинском: прописом 479407 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сім

Сумма 479407 прописью

479408 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста восемь

479408 прописью на английском: in words 479408 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eight

479408 прописью на испанском: en palabras 479408 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos ocho

479408 прописью на немецком: in Worten 479408 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertacht

479408 прописью на французском: par écrit 479408 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-huit

479408 прописью на португальском: em palavras 479408 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e oito

479408 прописью на итальянском: in lettere 479408 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotto

479408 прописью на украинском: прописом 479408 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста вісім

Сумма 479408 прописью

479409 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста девять

479409 прописью на английском: in words 479409 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred nine

479409 прописью на испанском: en palabras 479409 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos nueve

479409 прописью на немецком: in Worten 479409 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneun

479409 прописью на французском: par écrit 479409 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-neuf

479409 прописью на португальском: em palavras 479409 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e nove

479409 прописью на итальянском: in lettere 479409 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentonove

479409 прописью на украинском: прописом 479409 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дев’ять

Сумма 479409 прописью

479410 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста десять

479410 прописью на английском: in words 479410 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred ten

479410 прописью на испанском: en palabras 479410 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diez

479410 прописью на немецком: in Worten 479410 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzehn

479410 прописью на французском: par écrit 479410 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix

479410 прописью на португальском: em palavras 479410 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dez

479410 прописью на итальянском: in lettere 479410 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodieci

479410 прописью на украинском: прописом 479410 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста десять

Сумма 479410 прописью

479411 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста одиннадцать

479411 прописью на английском: in words 479411 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eleven

479411 прописью на испанском: en palabras 479411 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos once

479411 прописью на немецком: in Worten 479411 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertelf

479411 прописью на французском: par écrit 479411 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-onze

479411 прописью на португальском: em palavras 479411 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e onze

479411 прописью на итальянском: in lettere 479411 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoundici

479411 прописью на украинском: прописом 479411 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста одинадцять

Сумма 479411 прописью

479412 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двенадцать

479412 прописью на английском: in words 479412 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twelve

479412 прописью на испанском: en palabras 479412 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos doce

479412 прописью на немецком: in Worten 479412 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwölf

479412 прописью на французском: par écrit 479412 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-douze

479412 прописью на португальском: em palavras 479412 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e doze

479412 прописью на итальянском: in lettere 479412 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentododici

479412 прописью на украинском: прописом 479412 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дванадцять

Сумма 479412 прописью

479413 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тринадцать

479413 прописью на английском: in words 479413 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirteen

479413 прописью на испанском: en palabras 479413 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos trece

479413 прописью на немецком: in Worten 479413 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreizehn

479413 прописью на французском: par écrit 479413 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-treize

479413 прописью на португальском: em palavras 479413 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e treze

479413 прописью на итальянском: in lettere 479413 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotredici

479413 прописью на украинском: прописом 479413 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тринадцять

Сумма 479413 прописью

479414 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста четырнадцать

479414 прописью на английском: in words 479414 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred fourteen

479414 прописью на испанском: en palabras 479414 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos catorce

479414 прописью на немецком: in Worten 479414 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierzehn

479414 прописью на французском: par écrit 479414 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quatorze

479414 прописью на португальском: em palavras 479414 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quartorze

479414 прописью на итальянском: in lettere 479414 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquattordici

479414 прописью на украинском: прописом 479414 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста чотирнадцять

Сумма 479414 прописью

479415 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста пятнадцать

479415 прописью на английском: in words 479415 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred fifteen

479415 прописью на испанском: en palabras 479415 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos quince

479415 прописью на немецком: in Worten 479415 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfzehn

479415 прописью на французском: par écrit 479415 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quinze

479415 прописью на португальском: em palavras 479415 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quinze

479415 прописью на итальянском: in lettere 479415 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquindici

479415 прописью на украинском: прописом 479415 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста п’ятнадцять

Сумма 479415 прописью

479416 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста шестнадцать

479416 прописью на английском: in words 479416 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred sixteen

479416 прописью на испанском: en palabras 479416 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dieciséis

479416 прописью на немецком: in Worten 479416 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechzehn

479416 прописью на французском: par écrit 479416 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-seize

479416 прописью на португальском: em palavras 479416 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezesseis

479416 прописью на итальянском: in lettere 479416 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosedici

479416 прописью на украинском: прописом 479416 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста шістнадцять

Сумма 479416 прописью

479417 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста семнадцать

479417 прописью на английском: in words 479417 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred seventeen

479417 прописью на испанском: en palabras 479417 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diecisiete

479417 прописью на немецком: in Worten 479417 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebzehn

479417 прописью на французском: par écrit 479417 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-sept

479417 прописью на португальском: em palavras 479417 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezessete

479417 прописью на итальянском: in lettere 479417 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciassette

479417 прописью на украинском: прописом 479417 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сімнадцять

Сумма 479417 прописью

479418 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста восемнадцать

479418 прописью на английском: in words 479418 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eighteen

479418 прописью на испанском: en palabras 479418 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dieciocho

479418 прописью на немецком: in Worten 479418 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtzehn

479418 прописью на французском: par écrit 479418 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-huit

479418 прописью на португальском: em palavras 479418 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezoito

479418 прописью на итальянском: in lettere 479418 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciotto

479418 прописью на украинском: прописом 479418 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста вісімнадцять

Сумма 479418 прописью

479419 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста девятнадцать

479419 прописью на английском: in words 479419 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred nineteen

479419 прописью на испанском: en palabras 479419 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diecinueve

479419 прописью на немецком: in Worten 479419 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunzehn

479419 прописью на французском: par écrit 479419 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-neuf

479419 прописью на португальском: em palavras 479419 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezenove

479419 прописью на итальянском: in lettere 479419 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciannove

479419 прописью на украинском: прописом 479419 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дев’ятнадцять

Сумма 479419 прописью

479420 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать

479420 прописью на английском: in words 479420 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty

479420 прописью на испанском: en palabras 479420 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinte

479420 прописью на немецком: in Worten 479420 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwanzig

479420 прописью на французском: par écrit 479420 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt

479420 прописью на португальском: em palavras 479420 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte

479420 прописью на итальянском: in lettere 479420 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventi

479420 прописью на украинском: прописом 479420 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять

Сумма 479420 прописью

479421 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать один

479421 прописью на английском: in words 479421 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-one

479421 прописью на испанском: en palabras 479421 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiuno

479421 прописью на немецком: in Worten 479421 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinundzwanzig

479421 прописью на французском: par écrit 479421 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt et un

479421 прописью на португальском: em palavras 479421 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e um

479421 прописью на итальянском: in lettere 479421 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventuno

479421 прописью на украинском: прописом 479421 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять один

Сумма 479421 прописью

479422 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать два

479422 прописью на английском: in words 479422 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-two

479422 прописью на испанском: en palabras 479422 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintidós

479422 прописью на немецком: in Worten 479422 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiundzwanzig

479422 прописью на французском: par écrit 479422 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-deux

479422 прописью на португальском: em palavras 479422 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e dois

479422 прописью на итальянском: in lettere 479422 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventidue

479422 прописью на украинском: прописом 479422 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять два

Сумма 479422 прописью

479423 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать три

479423 прописью на английском: in words 479423 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-three

479423 прописью на испанском: en palabras 479423 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintitrés

479423 прописью на немецком: in Worten 479423 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiundzwanzig

479423 прописью на французском: par écrit 479423 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-trois

479423 прописью на португальском: em palavras 479423 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e três

479423 прописью на итальянском: in lettere 479423 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventitré

479423 прописью на украинском: прописом 479423 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять три

Сумма 479423 прописью

479424 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать четыре

479424 прописью на английском: in words 479424 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-four

479424 прописью на испанском: en palabras 479424 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinticuatro

479424 прописью на немецком: in Worten 479424 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierundzwanzig

479424 прописью на французском: par écrit 479424 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-quatre

479424 прописью на португальском: em palavras 479424 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e quatro

479424 прописью на итальянском: in lettere 479424 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventiquattro

479424 прописью на украинском: прописом 479424 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять чотири

Сумма 479424 прописью

479425 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать пять

479425 прописью на английском: in words 479425 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-five

479425 прописью на испанском: en palabras 479425 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinticinco

479425 прописью на немецком: in Worten 479425 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfundzwanzig

479425 прописью на французском: par écrit 479425 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-cinq

479425 прописью на португальском: em palavras 479425 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e cinco

479425 прописью на итальянском: in lettere 479425 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventicinque

479425 прописью на украинском: прописом 479425 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять п’ять

Сумма 479425 прописью

479426 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать шесть

479426 прописью на английском: in words 479426 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-six

479426 прописью на испанском: en palabras 479426 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiséis

479426 прописью на немецком: in Worten 479426 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsundzwanzig

479426 прописью на французском: par écrit 479426 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-six

479426 прописью на португальском: em palavras 479426 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e seis

479426 прописью на итальянском: in lettere 479426 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventisei

479426 прописью на украинском: прописом 479426 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять шість

Сумма 479426 прописью

479427 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать семь

479427 прописью на английском: in words 479427 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-seven

479427 прописью на испанском: en palabras 479427 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintisiete

479427 прописью на немецком: in Worten 479427 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenundzwanzig

479427 прописью на французском: par écrit 479427 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-sept

479427 прописью на португальском: em palavras 479427 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e sete

479427 прописью на итальянском: in lettere 479427 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventisette

479427 прописью на украинском: прописом 479427 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять сім

Сумма 479427 прописью

479428 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать восемь

479428 прописью на английском: in words 479428 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-eight

479428 прописью на испанском: en palabras 479428 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiocho

479428 прописью на немецком: in Worten 479428 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtundzwanzig

479428 прописью на французском: par écrit 479428 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-huit

479428 прописью на португальском: em palavras 479428 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e oito

479428 прописью на итальянском: in lettere 479428 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventotto

479428 прописью на украинском: прописом 479428 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять вісім

Сумма 479428 прописью

479429 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать девять

479429 прописью на английском: in words 479429 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-nine

479429 прописью на испанском: en palabras 479429 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintinueve

479429 прописью на немецком: in Worten 479429 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunundzwanzig

479429 прописью на французском: par écrit 479429 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-neuf

479429 прописью на португальском: em palavras 479429 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e nove

479429 прописью на итальянском: in lettere 479429 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventinove

479429 прописью на украинском: прописом 479429 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять дев’ять

Сумма 479429 прописью

479430 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать

479430 прописью на английском: in words 479430 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty

479430 прописью на испанском: en palabras 479430 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta

479430 прописью на немецком: in Worten 479430 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreißig

479430 прописью на французском: par écrit 479430 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente

479430 прописью на португальском: em palavras 479430 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta

479430 прописью на итальянском: in lettere 479430 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrenta

479430 прописью на украинском: прописом 479430 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять

Сумма 479430 прописью

479431 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать один

479431 прописью на английском: in words 479431 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-one

479431 прописью на испанском: en palabras 479431 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y uno

479431 прописью на немецком: in Worten 479431 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinunddreißig

479431 прописью на французском: par écrit 479431 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente et un

479431 прописью на португальском: em palavras 479431 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e um

479431 прописью на итальянском: in lettere 479431 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentuno

479431 прописью на украинском: прописом 479431 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять один

Сумма 479431 прописью

479432 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать два

479432 прописью на английском: in words 479432 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-two

479432 прописью на испанском: en palabras 479432 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y dos

479432 прописью на немецком: in Worten 479432 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiunddreißig

479432 прописью на французском: par écrit 479432 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-deux

479432 прописью на португальском: em palavras 479432 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e dois

479432 прописью на итальянском: in lettere 479432 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentadue

479432 прописью на украинском: прописом 479432 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять два

Сумма 479432 прописью

479433 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать три

479433 прописью на английском: in words 479433 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-three

479433 прописью на испанском: en palabras 479433 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y tres

479433 прописью на немецком: in Worten 479433 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiunddreißig

479433 прописью на французском: par écrit 479433 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-trois

479433 прописью на португальском: em palavras 479433 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e três

479433 прописью на итальянском: in lettere 479433 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentatré

479433 прописью на украинском: прописом 479433 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять три

Сумма 479433 прописью

479434 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать четыре

479434 прописью на английском: in words 479434 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-four

479434 прописью на испанском: en palabras 479434 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y cuatro

479434 прописью на немецком: in Worten 479434 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierunddreißig

479434 прописью на французском: par écrit 479434 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-quatre

479434 прописью на португальском: em palavras 479434 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e quatro

479434 прописью на итальянском: in lettere 479434 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentaquattro

479434 прописью на украинском: прописом 479434 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять чотири

Сумма 479434 прописью

479435 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать пять

479435 прописью на английском: in words 479435 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-five

479435 прописью на испанском: en palabras 479435 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y cinco

479435 прописью на немецком: in Worten 479435 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfunddreißig

479435 прописью на французском: par écrit 479435 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-cinq

479435 прописью на португальском: em palavras 479435 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e cinco

479435 прописью на итальянском: in lettere 479435 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentacinque

479435 прописью на украинском: прописом 479435 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять п’ять

Сумма 479435 прописью

479436 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать шесть

479436 прописью на английском: in words 479436 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-six

479436 прописью на испанском: en palabras 479436 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y seis

479436 прописью на немецком: in Worten 479436 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsunddreißig

479436 прописью на французском: par écrit 479436 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-six

479436 прописью на португальском: em palavras 479436 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e seis

479436 прописью на итальянском: in lettere 479436 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentasei

479436 прописью на украинском: прописом 479436 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять шість

Сумма 479436 прописью

479437 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать семь

479437 прописью на английском: in words 479437 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-seven

479437 прописью на испанском: en palabras 479437 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y siete

479437 прописью на немецком: in Worten 479437 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenunddreißig

479437 прописью на французском: par écrit 479437 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-sept

479437 прописью на португальском: em palavras 479437 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e sete

479437 прописью на итальянском: in lettere 479437 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentasette

479437 прописью на украинском: прописом 479437 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять сім

Сумма 479437 прописью

479438 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать восемь

479438 прописью на английском: in words 479438 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-eight

479438 прописью на испанском: en palabras 479438 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y ocho

479438 прописью на немецком: in Worten 479438 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtunddreißig

479438 прописью на французском: par écrit 479438 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-huit

479438 прописью на португальском: em palavras 479438 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e oito

479438 прописью на итальянском: in lettere 479438 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentotto

479438 прописью на украинском: прописом 479438 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять вісім

479439 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать девять

479439 прописью на английском: in words 479439 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-nine

479439 прописью на испанском: en palabras 479439 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y nueve

479439 прописью на немецком: in Worten 479439 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneununddreißig

479439 прописью на французском: par écrit 479439 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-neuf

479439 прописью на португальском: em palavras 479439 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e nove

479439 прописью на итальянском: in lettere 479439 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentanove

479439 прописью на украинском: прописом 479439 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять дев’ять

Сумма 479439 прописью

479440 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок

479440 прописью на английском: in words 479440 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty

479440 прописью на испанском: en palabras 479440 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta

479440 прописью на немецком: in Worten 479440 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierzig

479440 прописью на французском: par écrit 479440 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante

479440 прописью на португальском: em palavras 479440 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta

479440 прописью на итальянском: in lettere 479440 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquaranta

479440 прописью на украинском: прописом 479440 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок

Сумма 479440 прописью

479441 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок один

479441 прописью на английском: in words 479441 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-one

479441 прописью на испанском: en palabras 479441 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y uno

479441 прописью на немецком: in Worten 479441 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinundvierzig

479441 прописью на французском: par écrit 479441 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante et un

479441 прописью на португальском: em palavras 479441 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e um

479441 прописью на итальянском: in lettere 479441 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantuno

479441 прописью на украинском: прописом 479441 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок один

Сумма 479441 прописью

479442 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок два

479442 прописью на английском: in words 479442 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-two

479442 прописью на испанском: en palabras 479442 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y dos

479442 прописью на немецком: in Worten 479442 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiundvierzig

479442 прописью на французском: par écrit 479442 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-deux

479442 прописью на португальском: em palavras 479442 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e dois

479442 прописью на итальянском: in lettere 479442 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantadue

479442 прописью на украинском: прописом 479442 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок два

Сумма 479442 прописью

479443 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок три

479443 прописью на английском: in words 479443 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-three

479443 прописью на испанском: en palabras 479443 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y tres

479443 прописью на немецком: in Worten 479443 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiundvierzig

479443 прописью на французском: par écrit 479443 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-trois

479443 прописью на португальском: em palavras 479443 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e três

479443 прописью на итальянском: in lettere 479443 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantatré

479443 прописью на украинском: прописом 479443 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок три

Сумма 479443 прописью

479444 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок четыре

479444 прописью на английском: in words 479444 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-four

479444 прописью на испанском: en palabras 479444 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y cuatro

479444 прописью на немецком: in Worten 479444 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierundvierzig

479444 прописью на французском: par écrit 479444 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-quatre

479444 прописью на португальском: em palavras 479444 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e quatro

479444 прописью на итальянском: in lettere 479444 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantaquattro

479444 прописью на украинском: прописом 479444 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок чотири

Сумма 479444 прописью

479445 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок пять

479445 прописью на английском: in words 479445 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-five

479445 прописью на испанском: en palabras 479445 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y cinco

479445 прописью на немецком: in Worten 479445 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfundvierzig

479445 прописью на французском: par écrit 479445 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-cinq

479445 прописью на португальском: em palavras 479445 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e cinco

479445 прописью на итальянском: in lettere 479445 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantacinque

479445 прописью на украинском: прописом 479445 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок п’ять

Сумма 479445 прописью

479446 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок шесть

479446 прописью на английском: in words 479446 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-six

479446 прописью на испанском: en palabras 479446 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y seis

479446 прописью на немецком: in Worten 479446 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsundvierzig

479446 прописью на французском: par écrit 479446 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-six

479446 прописью на португальском: em palavras 479446 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e seis

479446 прописью на итальянском: in lettere 479446 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantasei

479446 прописью на украинском: прописом 479446 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок шість

Сумма 479446 прописью

479447 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок семь

479447 прописью на английском: in words 479447 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-seven

479447 прописью на испанском: en palabras 479447 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y siete

479447 прописью на немецком: in Worten 479447 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenundvierzig

479447 прописью на французском: par écrit 479447 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-sept

479447 прописью на португальском: em palavras 479447 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e sete

479447 прописью на итальянском: in lettere 479447 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantasette

479447 прописью на украинском: прописом 479447 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок сім

Сумма 479447 прописью

479448 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок восемь

479448 прописью на английском: in words 479448 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-eight

479448 прописью на испанском: en palabras 479448 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y ocho

479448 прописью на немецком: in Worten 479448 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtundvierzig

479448 прописью на французском: par écrit 479448 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-huit

479448 прописью на португальском: em palavras 479448 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e oito

479448 прописью на итальянском: in lettere 479448 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantotto

479448 прописью на украинском: прописом 479448 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок вісім

Сумма 479448 прописью

479449 прописью:

Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок девять

479449 прописью на английском: in words 479449 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-nine

479449 прописью на испанском: en palabras 479449 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y nueve

479449 прописью на немецком: in Worten 479449 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunundvierzig

479449 прописью на французском: par écrit 479449 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-neuf

479449 прописью на португальском: em palavras 479449 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e nove

479449 прописью на итальянском: in lettere 479449 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantanove

479449 прописью на украинском: прописом 479449 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок дев’ять

Сумма 479449 прописью

семьдесят девять — английский перевод

Кодирование и бумага Letter (семьдесят-девять)

Новая отделка ресурса.

Каталог статьи

• 1 Coding:
• 2 Paper:

1. Узел Репозитарий Рисунок Линг: Как загрузить повторяемые науки данных проекта.

the turing way

2. Covid-19 образца обработки данных (язык R) нового коронавируса.

Coronavirus sample processing

3. Временный и пространственное моделирование диких экстремальных явлений.

wildfire extremes

4. Sqlite3 ЯИЧКО плагин.

egg sqlite3

5. Мы разрабатываем предпродажную подготовку модель для понимания естественного языка (НЛ) и (NLG) задач Generate.

unilm

6.latex компиляции конфигурации среды: Код Visual Studio Конфигурация Введение.

vscode latex

7. Google мозг автомат обучения.

automl

8. Следующее поколение не имеет расчета не сервер.

cloudstate

9.Manim является анимационный движок, который объясняет математике видео. Он используется для программного создания точной анимации, так же, как видно на видео 3Blue1Brown в.

manim

10. Официально представлены «Объединенная 3D слежение и прогнозирование с Graph нейронной сетью и разнообразием Sampling» реализацией pytorch.

GNNTrkForecast

11. CVPR встреча 2020 Papers «Поворот-и-визуализация: неконтролируемое фотореалистичное вращение лица из salesle вида изображений» коды.

Rotate and Render

Данные примеры 12. Швейцария COVID19.

covid19 cases switzerland

13.R Язык Хлеб PHYLOREGION, Биологическая География и исследование космического пространства Защита R пакеты.

phyloregion

14. .

bilibili user

15. Rest API обратной инженерии, используемой в приложении IOS для Nintendo коммутатора.

NintendoSwitchRESTAPI

16. «ReviewDog» легко интегрируется с любым инструментом ЛИНТЕР, обеспечивая способ автоматически публиковать комментарий к коду хостинга службы (такие, как Github).

reviewdog

17.r Язык Хлеб SpotifyR, пакет Spotify Network API.

spotifyr

18. Это концептуальное доказательство использования WASM для выполнения сложных пространственных операций (точек в многоугольной агрегации) в браузере. На моем ноутбуке, я могу синтезировать 13 миллионов точек в примерно 38 000 полигонов в 21 секунд (результаты могут меняться, или медленно или медленно, в зависимости от оборудования, которое вы используете).

wasm geo agg

19 .: Биологическая система управления разнесением для бионических существ.

SysIMiBio

таможенная библиотека 20. Открыть для Google Earth Engine.

open manifest

21. Анализ временных рядов данных из Университета Джона Хопкинса.

covid 19

Сеул 22. Южной Кореи анализирует другой код COVID-19.

covid19seoul

23. Использование блендер, чтобы сделать географический дизайн.

geodesign with blender

24.2020-02-26 мерзавец совместного обучения.

2020 02 26 git collaboration

рамки коррекции излучения 25. Рабочей для мониторинга окружающей среды.

force

26.Browserfs файл-браузер система, аналоговый узел файловой системы JS прикладной программный интерфейс и поддерживает хранения и извлечения файлов из различных движков.

BrowserFS

27.R Language Pack RMDTemplates, установить дополнительные шаблоны для RSTUDIO.

rmd templates

28.Git Command Простой интерфейс конечного пользователя.

lazygit

29. Изучение управляемых данными частичного суб-уравнение дискретизацию.

data driven discretization 1d

Визуализация данных книги 30. Клауса Вильке в.

dviz.supp

31.GRPC является современным, открытым исходным кодом, высокопроизводительный удаленный вызов процедур (RPC) рамки, которые могут работать в любом месте.

grpc

32. «Мгновенный обмен: Как получить ваши учебные материалы в Интернете через R Markdown онлайн.

sharing short notice

33. Майами Инсар программное обеспечение серия Time.

MintPy

34. lovefield является реляционной базой данных для веб-приложений. Запись и работа в JavaScript. Обеспечить быстрый, безопасный и простой в API, использование подобных SQL.

lovefield

35.R Язык Хлеб WAFLLE, квадратная круговая диаграмма (также названные печенье WAFF) может быть использована для связи неотъемлемой части классификации.

waffle

36. — API собраны отделки.

bilibili API collect

37. Учебные материалы: Как сделать резюме исследований.

intro research compendia

38.R Язык Хлеб RGEDI, НАСА Глобальная экосистема Dynamics Research (GEDI) Визуализация и обработка данных.

rGEDI

39.Godot, мульти-платформенный 2D и 3D движки.

godot

40. Простой в использовании блог-платформа, расширенная поддержка Jupyter ноутбука.

fastpages

41. Практикум ЦСТИК 2020 учебные материалы в Бангладеш.

ctcn 2020 ee

42. Документ обследование, обзорная статья, эксперимент и внедрение неопределенности прогноза оценки базового метода в глубокой модели обучения.

deep learning uncertainty

43.R Language Pack GTFS2GPS, конвертировать GTFS данных в записи, аналогичные GPS.

gtfs2gps

44. Элементы для «ОБЕЗЛЕСЕНИЯ переливов от сертификации масло Пальмовое Самодостаточность» анализа статей.

rspo leakage

1.Atakrig: такой г Упаковка для Многофакторного района к зоне и зона-точка Кригинг Предсказанию / Atakrig: Стойка для нескольких зон для зоны и региона к прогнозированию Plikile

Метод статистического интерполяции был использован в различных областях, таких как науки об окружающей среде, экологии и hydroxation. В качестве региональной пространственной доступности данных, межобластные и межобластные интерполяции имеют огромный потенциал применения. В этом исследовании, был разработан алгоритм deconvolutionary вариант функция, основанная на Goovaerts (2008) в среде R, и область с открытым исходным кодом была разработана в области Kerkin программного пакета atakrig. В Atakrig, функция балльной шкале вариант и функции кросс-вариации могут быть автоматически отменено из пространственной области образца. Она обеспечивает общие рамки для региона к региону и от региона к точке региона и общего метод Кри Gold. Два приложения показывают, что пакет программ эффектов в прогнозировании речного стока и дистанционное зондирование оптической глубины удаление интерполяции данных. Пакет может быть развернут на различных операционных системах и компьютерных аппаратных платформ. Лицом к точке алгоритма интерполяции Krigin является очень важным направлением исследований статистики и пространственной статистики, которая обеспечивает реализацию R пакет, очень хороший способ для изучения.

2.439-Year Simulate DAILY Разряд Dataset (1861-2299) для верховий реки Янцзы, Китай / река Янцзы 439 Имитационного день трафик Набора данных (1861-2299)

Выход из четырех глобальных климатических моделей (GFDL-ESM2M, Hadgem2-ES, IPSL-CM5A-LR и Miroc5) используется для привода четыре гидрологические модели (HBV, почвы и оценки воды) инструменты Спецназ;. Почва и вода Всесторонняя модель, SWIM; Variable Проницаемость, VIC) для имитации ежедневных выбросов в гидрологической станции реки Янцзы Tanhe в реке Янцзы на реке Янцзы. Поскольку гидрологическая модель отличается в различных климатических условиях, модель сначала откалиброван в период с 1979 по 1990 гг. Модель была проверена в относительно влажный период с 1967 по 1978 год и относительный период засухи в 1991 году до 2002 года. Автоматической процесс калибровки несколько целей для одной переменной технологии поиска применяется для поиска наилучшего набора параметров для каждой модели в четырех гидрологических моделях. Целевые функции процесса параметризации включают ежедневные выбросы Нэша-Sudlif эффективности (NSE) и взвешенную минимальные квадратурную функцию (ВНК) экстремальных явлений выбросов, выраженные в высокой проходимости (Q10) и низком расход (Q90). Кроме того, количество имитируемыхов испаряются сравниваются с просветом evapoatum данных верхнего течения реки Янцзы. Для того чтобы оценить эффективность гидрологической модели, NSE, повышение эффективности Клинг-Gupta (KGE), отношение стандартного отклонения среднего квадрата ошибки и данные измерения (RSR) и коэффициент корреляции Пирсона (R). Четыре гидрологические модели достигают удовлетворительные результаты моделирования в процессе калибровки и поверки. В этом исследовании не было японских выбросов под вверх по течению реки Янцзы, и ни один не был изменения климата с 1861 до 2299, и в RCP2.6, RCP4 истории. В период 1861-2005 и между 2006 и 2299.5, RCP6.0 и RCP8.5 программы. Долгосрочные наборы данных о выбросах могут быть использованы в международном управлении окружающей среды и водных ресурсов, например, через кросс-секторальная модель влияния сравнения comparisal проект (ISIMIP) рамка, предоставляя ключи, объясняет , как люди возникают вызваны в поток большой степени возможна водой и тенденции потока воды в будущем. Долгосрочный масштаб метеорологических данных гидрологического моделирования, очень хороший набор данных.

Seventy-Nine (2013) — IMDb

• Cast & crew
• User reviews

IMDbPro

• 20132013
• RR
• 1h 22m

IMDb RATING

3. 0/10

194

YOUR Рейтинг

Популярность

143 083

51 249

Игровые трейлер1: 00

1 Видео

21 ФОТОГРАФИЯ

ActionHorrrrirmystery

В поброшенной запусках, Докторы с секретными экспериментами на UNSUSUSICTINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGING. Эксперименты под кодовым названием «Лаймс» предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов мозгового… Читать всеВ заброшенной лечебнице врачи проводят секретные эксперименты над ничего не подозревающими пациентами. Эксперименты под кодовым названием «Лаймс» предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов «промывания мозгов» и манипулирования сознанием. В заброшенном приюте врачи проводят секретные эксперименты над ничего не подозревающими пациентами. Эксперименты под кодовым названием Limes предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов промывания мозгов и манипулирования сознанием.

IMDb RATING

3.0/10

194

YOUR RATING

POPULARITY

143,083

51,249

• Director
  • Filip Maciejewicz
• Writer
  • Filip Maciejewicz
• Stars
  • Adrian Voo
  • Бо Леннарт Роберт Линтон
  • Афина Баумайстер

• Режиссер
  • Филип Мациевич
• Writer
  • Filip Maciejewicz
• Stars
  • Adrian Voo
  • Bo Lennart Robert Linton
  • Athena Baumeister

• 8User reviews
• 3Critic reviews

Видео1

Трейлер 1:00

Семьдесят девять

Фото21

Лучшие актеры

Адриан Воо

• Isamu Tan

Bo Lennart Robert Linton

• Ash Paine
• (as Bo Linton)

Athena Baumeister

• Hailey Dagger

Velta Moore

• Jael Regardie

Jonathan Rosenthal

• Даниэль Регарди

Кристин Спрингетт

• Дхарма Кроули

Катинка ван Путтен

• Лилли Борг

Patrick Edward Wynne

• Ethan Gabriel

Caroline Attwood

• Sally Sanders

Omar Hansen

• Antero Leary

Michael Whitton

• Thomas

David Neff

• Dr. Adam May

Рассел Бэрри

• Курьер

Мэрилин Бернс

• Ученый
• (как Мэрилин Редферн)

Will Leon

• Scientist

Jeff Moore

• Scientist

Lorren Holliday

• Scientist

Josie Peng

• Scientist
• (as Josephine Peng)

• Director
  • Filip Maciejewicz
• Сценарист
  • Филип Мацеевич
• Весь актерский состав и съемочная группа
• Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

Подробнее, как это

Охотники за сокровищами

Карантин Л. А.

Сюжетная линия

Я начал играть в нее на iflix, прошло 15 минут, и актерская игра НАСТОЛЬКО плохая, я уверен, что все остальное будет отстойным, так что я не собираюсь больше тратить свое время.

Дело не в том, что актеры неизвестны или их игра действительно плоха, я дал шанс некоторым из этих фильмов, например, Кубу, и это было неплохо. но этот — исключение, я вижу, когда фильм отстой за милю. и пятнадцать минут в этом, я просто знаю это. тот факт, что только один пользователь просмотрел этот фильм и поставил ему оценку 7.1, заставляет меня подозревать, что это ненастоящий обзор.

фильм относится к категории ужасов… меня это не напугало, начальные сцены показывают немного действия и крови, но по ходу фильма он становится все более и более скучным и раздражающим, что мне пришлось вернуться на IMDb и написать мои 10 строк текста только для того, чтобы я мог дать ему эту оценку.

Полезно • 14

5

• Кэрол-Абелла
• 24 марта 2016 г.

Подробная информация

• Дата выпуска
  • июня 8, Соединенные Штаты)
• Страна происхождения
  • Соединенные Штаты
• Официальные сайты
  • Официальный Facebook
  • Официальный сайт
• Язы Лос-Анджелес, Калифорния, США

Technical specs

• Runtime

  1 hour 22 minutes

• Color
• Sound mix
  • Stereo
• Aspect ratio
  • 1. 78 : 1 / (high definition)

Related news

Внести вклад в эту страницу

Предложить редактирование или добавить отсутствующий контент

Top Gap

Под каким названием Seventy-Nine (2013) был официально выпущен в Канаде на английском языке?

Ответ

Еще для изучения

Недавно просмотренные

У вас нет недавно просмотренных страниц

девять — определение слова семьдесят девять в The Free Dictionary

Семьдесят девять — определение слова семьдесят девять в The Free Dictionary

https://www.thefreedictionary.com/seventy-nine

: Тезаурус, Википедия.

ТезаурусАнонимыРодственные словаСинонимы Легенда:

Перейти к новому тезаурусу

Основано на WordNet 3. 0, коллекции клипартов Farlex. © 2003-2012 Принстонский университет, Farlex Inc.

Упоминается в ?

• 79
• восьмидесятые
• восьмидесятые
• восьмидесятые
• ilxxx
• семидесятилетний

Ссылки в классической литературе ?

Теперь воздух состоит главным образом из двадцати одной части кислорода и семидесяти девяти частей азота.

Посмотреть в контексте

При всех этих уступках только двести семьдесят девять человек будут хранителями безопасности, интересов и счастья восьми миллионов, то есть будет только один представитель для защиты прав и объясните положение ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ ТЫСЯЧ ШЕСТЬСОТ СЕМЬДЕСЯТ членов в собрании, подверженном всей силе исполнительного влияния и распространяющем свою власть на каждый предмет законодательства в стране, дела которой в высшей степени разнообразны и сложны.

Посмотреть в контексте

Знаменитая мисс Джуэл из Бостона стоила всего семьдесят девять. войны, но, пожалуй, самые большие потери приходятся на детский возраст, когда огромное количество маленьких марсиан становится жертвами больших белых обезьян Марса. парню семьдесят девять и заслуживаешь чего-то для себя»

Посмотреть в контексте

Конечно, мое предложение звучит не очень великолепно, но оно было велико для меня, ибо при его словах волна алчности захлестнула мое сердце, и я почти почувствовал, как будто семьдесят девять верблюдов, которые были слева были ничто в сравнении.

Посмотреть в контексте

По мере того, как они пьянели, они становились шумными, они ссорились в своих чашках; юноша заплатил старику Баранову его же монетой, оценив его солидно; в награду за что, когда он был трезв, он был взят в обход четырех пикетов и получил семьдесят девять ударов плетью, рассчитанных с русской пунктуальностью наказания.

Посмотреть в контексте

Вдобавок к ним — а все они были на палубе, болтая и бормоча странными, почти эльфийскими, фальцетными голосами — двое белых, капитан Ван Хорн и его датский помощник Боркман, всего семьдесят девять душ.

Посмотреть в контексте

Если не восемьдесят ниже, то потому что семьдесят девять. за жемчугом так быстро, что Ким едва успевал следить за его пальцами.0009

Посмотреть в контексте

Триста семьдесят девять человек получили тяжелые ранения в результате применения индийской армией, военизированными формированиями и полицией пуль, гранат и снарядов со слезоточивым газом против мирных демонстрантов и скорбящих к данным.

Индийские солдаты-мученики 39 Кашмирцы в октябре

Семьдесят девять процентов считают, что их работодатель должен поощрять работников к пенсионному плану.

Улучшение пенсионного обеспечения

Браузер словарей ?

• ▲
• seventeenthly
• seventeen-year locust
• seventh
• Seventh Avenue
• seventh chord
• seventh cranial nerve
• Seventh Crusade
• Seventh day
• seventh grade
• seventh heaven
• Seventh-Day
• Адвентисты седьмого дня
• Адвентисты седьмого дня
• Баптисты седьмого дня
• Седьмого дня Dunkers
• Седьмого иннинга
• Семь тридцать
• Седьмого
• Семидесятые
• Seventieth
• Sexenty
• Seventy-Eight
932
• Seventy-Eight
932
• Seventieth
• 70004
• Seventieth
• 70004
• .
• семьдесят девять
• семьдесят один
• семьдесят семь
• семьдесят шесть
• семьдесят три
• семьдесят два
• семилетка
• семилетнее яблоко
• seven-year itch
• Seven-year vine
• sever
• severability
• severable
• severable contract
• several
• severalfold
• severalise
• Severality
• severalize
• severally
• several-seeded
• несколькоти
• выходное пособие
• выходное соглашение
• выходное пособие
• НДПИ
• ▼

Полный браузер ?

Сайт: Следовать:

Делиться:

Открыть / Закрыть

Синонимов и антонимов к слову семьдесят девять

1. семьдесят девять

имя прилагательное.

Антонимы

порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

Синонимы

илххх кардинал

Избранные игры

2. семьдесят пятый

имя прилагательное.

Антонимы

кардинал Икс xcvi

Синонимы

75-й

3.

имя прилагательное. Из а химический сложный имея а звенеть с девять члены.

Антонимы

бесчленный

Синонимы

член

4.

имя прилагательное. Существование Семь более чем семьдесят.

Антонимы

порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

Синонимы

77 lxxvii

5.

имя прилагательное. (ˈsɛvənti) Существование 10 более чем шестьдесят.

Антонимы

порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

Синонимы

лхх 70

6.

существительное. (ˈsɛvənti) кардинал количество что является в товар из 10 а также Семь.

Антонимы

135-й энный 7-й 15-й

Синонимы

большое целое число LXX

7. девять

имя прилагательное. (наɪн) Обозначая а количество состоящий из один более чем восемь а также один меньше чем 10.

Антонимы

порядковый номер интегрировать различать добавлять

Синонимы

икс 9

Этимология

девять (английский)

девять (среднеанглийский (1100-1500))

нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

8. девять

существительное. (наɪн) кардинал количество что является в сумма из восемь а также один.

Антонимы

остаться квадриллионный 60-й 135-й энный 7-й 15-й

Синонимы

эннеада IX девятка цифра Нина из Каролины

Этимология

девять (английский)

девять (среднеанглийский (1100-1500))

нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

9. девять

существительное. (наɪн) Один из четыре играть карты в а палуба с девять пипсы на в лицо.

Антонимы

умножить разделять вычесть

Синонимы

место

Этимология

девять (английский)

девять (среднеанглийский (1100-1500))

нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

10. девять

существительное. (наɪн) А команда из профессиональный бейсбол игроки кто играть в а также путешествовать вместе.

Антонимы

большинство меньшинство земля распространять неважный чистый

Синонимы

бейсбольная лига бейсбольный клуб клуб мяч клуб

Этимология

девять (английский)

девять (среднеанглийский (1100-1500))

нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

Популярные запросы 🔥

хороший поддерживать кто то в первый раз важный камера доминирующий Выражение лица протестант перспектива взволнованный извращенец зона комфорта бабочка помощь деловые отношения существенный придурок цитрусовые все знают работа в процессе Rockstar первостепенный самосовершенствование качество жизни понять рок яблоко Работа Мероприятия представлять отражать независимая переменная конденсация фокус трава водное пространство качественный путешествовать генератор уникальный содержание опыт метод обучения подсолнух

Seventy Nine Stickers for Sale

Теги:

79, семьдесят девять, номер, номер семьдесят девять, команда 79, отряд 79, игрок 79, команда семьдесят девять, отряды семьдесят девять, семья семьдесят девять, семьдесят девять лет, 79 лет, с днем ​​рождения 79, семьдесят девять с днем ​​рождения

79 Номер семьдесят девять Наклейка

By Under-TheTable

От €2,20

Теги:

79, счастливое число, 79squad, 79player, семьдесят девять команда, 79 лет, счастливые семьдесят девять, спорт 79, спорт семьдесят девять, 79 день рождения, семьдесят девять, номер семьдесят девять

Семьдесят девять — мое счастливое число Наклейка

By Urosek

From €2. 20

Теги:

номер, номера, спорт, спортивная команда, команда, Командами, виды спорта, День рождения, Дни рождения, год, Годы, год рождения, Цифры, Geburtsjahr, соревноваться, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбольный, футболист, Футболисты, футболисты, футболист, Футбольная игра, Футбольная игра, американский футбол, номер 79, номер семьдесят девять, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый

Номер семьдесят девять Наклейка

By sweetsixty

От €1,58

Метки:

семьдесят девять, номер семьдесят девять, номер семьдесят девять, 79 волнистый шрифт, 79 swirl шрифт, семьдесят девять вихревых шрифтов, счастливое число, любимый номер, 79, любимый номер, номер 79, номер 79, 79 цифр, 79 хороший шрифт, 79 красивых шрифтов, 79 букв, семьдесят девять цифр, цифра семьдесят девять, семьдесят девять красивых, 79 красиво, номер, Номер красивый шрифт, Число красивых букв, Число красивых цифр, Номер красивый шрифт, Число красивых цифр, Уникальный номер 79, специальный номер 79, числовой, цифра, день рождения, 79-й день рождения, 79-й, семьдесят девятый, семьдесят девятый, трендовые

79 Наклейка с красивым шрифтом

Автор: трендовые

От €1,76

Метки:

99, номер 79, номер 79 семьдесят девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, великобритания, великобритания, англия, 2020, спорт, игра, игрок, флаг, страна, раунд, европа

Флаг Великобритании с номером 79 — семьдесят девять стикер

Все Рубашки21

От €1,44

Метки:

79, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер, канада, канадец, америка, север, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, красный, белый, лист

Номер 79 на фоне канадского флага Наклейка

By AllShirts21

From €1. 44

Теги:

79, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер, мото, мотоцикл, 2020, gp, гран-при, спорт, играть, игрок, чемпион, чемпионат, 2, 3

Номер 79 и мото — семьдесят девять Наклейка

By AllShirts21

От €1,44

Теги:

79, счастливое число 79, семьдесят девять, число 79, 79 лет, день рождения, число, мое счастливое число, спорт, День рождения 79, спортивный номер, 79-й, счастливое число, номер семьдесят девять, семьдесят девять лет, дата дня рождения, семьдесят девять лет, праздновать семьдесят девять лет, 79-летие празднования, 79 место, счастливое число семьдесят девять, 79 мне повезло номер, семьдесят девять — мое счастливое число, Памятный, Числа, футбол, Футбольный номер, Баскетбольный номер, Мемориал, семьдесят девятый, виды спорта, баскетбол, Игрок 79, номер бейсбола, мяч, хобби, страсть, 79 счастливое число, 79 лет, 79 лет, футбол 79, бейсбол, футбол

Наклейка Seventy Nine

79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, 79, мяч, летучие мыши, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, игрок, для игрока в крикет, крикет, играть в крикет, спорт, любовь, как

Крикет номер 79 — семьдесят девять Наклейка с летучими мышами и мячом

By AllShirts21

от € 1,44

Теги:

79, семьдесят девять

79 Наклейка

от Supaavn

от € 1,44

Tags:

Carter Hart, Carter

. 303304 SE:

.

От 1,38 €

Теги:

номер, 79, баскетбол 79, футбол 79, хоккей 79, бейсбол 79, счастливое число 79, день рождения 79, вечеринка 79, спорт 79, 79, мой номер, родился 79, смешной 79 , семьдесят девять, число семьдесят девять

79 Наклейка Sports Number Seventy Nine

By HelloFromAja

От 2,20 €

Теги:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, gritty philly, philadelphia, flyers, philady, philaders, philady , новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, летчики с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер

ya fuckin nerd // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

By devoidofcolor

From €1. 57

Метки:

день рождения, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый, 0039, смешной, черный, белый, прозрачный 9030 Наклейка на 79-й день рождения

By KashCapital

От €1,32

Метки:

в 1941, мальчики 79, 79 лет, дамы 79, смешные семьдесят девять, смешная вечеринка по случаю дня рождения, номер 79, сообщение о 79-м дне рождения, 79-й британский смешной, 79-й год, 79-й год потрясающий, вечеринка семьдесят девять, праздновать семьдесят девять, 79-я леди

79th Funny and Happy Birthday Семьдесят девять стикеров Немецкий, 2021, спорт, играть, Игрок, флаг, страна, круглый, север, желтый, красный, черный, алеманья

Номер 79 на фоне флага Германии Наклейка

By AllShirts21

От €1,44

Теги:

79, 7, 9, цифры, семьдесят девять, семь, девять, числа, день рождения, юбилей

79 Наклейка

By ART22

От €1,32

Метки:

софтбол, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, 79, мяч, летучие мыши, № 79, № семьдесят девять, номер, канада, 2020, сша, Америка, бейсбол, игрок в софтбол, ребенок в софтбол, мама в софтбол, папа в софтбол, для игрока в софтбол, софтбол, играть в софтбол

Софтбол номер 79 — семьдесят девять с битами и мячом Наклейка

By AllShirts21

От 1,44 €

Теги:

79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер , великобритания, европа, великобритания, англия, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, красный, белый, синий, стартует

Номер 79 на фоне флага Великобритании Наклейка

By AllShirts21

From €1,44

Теги:

мода 60, 60, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония

60-е 70-е Роза Любовь Наклейка

By AnisettedelSOL

От €1,76

79, диск, палочки, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, канада, 2019, 2020, сша, америка, хоккей, диск-хоккей, выстрел, хоккеист, ребенок-хоккеист, мама-хоккеист, папа-хоккеист, для хоккеиста, хоккей, лед, клюшка

Хоккей номер 79 — семьдесят девять с клюшками и диском Наклейка

By AllShirts21

От €1,44

Теги:

79, значок, номер, семьдесят девять, фон, бизнес, маркетинг, семьдесят, рынок, белый, новый, знак, шаблон, баннер, специальный, магазин, распродажа, семьдесят девять процентов, предложение, скидка, продвижение, день рождения, процент, черный, процент, 79-й, годовщина, специальное предложение, квадрат, символ, изолированный, реклама, праздник, год, ежедневно, повестка дня, день семьдесят девятый, дата, время, организатор , счастливый, сезон, неделя, напоминание

СЕМЬДЕСЯТ ДЕВЯТЬ Наклейка

By PEAKS apparel

От 1,32 €

Теги:

номер, один, девять, семьдесят, восемь, семь, vectshirt

Номер один девять семьдесят восемь Наклейка

By Vectshirt-shop 9

€ Теги:

бейсбол, мяч номер 79, 79, мяч, номер 79, бейсбол 79, бейсболист, фанат бейсбола, бейсбол, номер бейсбола, номера, спортивный бейсбол, номер бейсбольного спорта, 79 спорт, номер 79 спорт, семьдесят девять бейсбол , черный 79, номер семьдесят девять, номер 79, спорт 79, спорт 79, № 79, № 79, семьдесят девять

Бейсбольный мяч № 79, семьдесят девять Наклейка

By TheCultStuff

From €2,20

Метки:

79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, сша, америка, соединенные штаты америки, 2021, спорт, играть, игрок, флаг, страна, круглый, север, красный, белый, звезды , нас, старты, синий

Номер 79 на фоне флага США Наклейка

By AllShirts21

От €1,44

Метки:

79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, аргентина, америка, юг, латина, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, круглый, север, солнце, синий, белый, испанский, латиноамериканец, латиноамериканец, латиноамериканец, аргентинская республика

Номер 79 на фоне флага Аргентины Наклейка

Теги:

искусственное золото, искусственное золото, номер, семьдесят девять лет, 79лет, 79-й день рождения, семьдесят девятый день рождения, с днем ​​​​рождения, с 79-м днем ​​​​рождения, с семьдесят девятым днем ​​​​рождения, 79-й, семьдесят девятый, 79, семьдесят девять, день рождения 79, день рождения семьдесят девять, номер внешнего вида имитации золота, имитация золота, текст сценария, элегантный день рождения, черный фон, поздравление с днем ​​​​рождения, сообщение о дне рождения, подтверждение дня рождения, изысканный, причудливый, тема дня рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения, причудливое поздравление с днем ​​​​рождения, роскошный, роскошное поздравление с днем ​​​​рождения, простой, черный фон, черный, день рождения

Элегантный номер с эффектом искусственного золота, «С 79-летием!» (Черный фон) Наклейка

By aponx

From €1. 16

Теги:

79, мороженое, семьдесят девять, число, 3d, шоколад, шрифт для мороженого, мороженое 3d, 79 день рождения, число 79, цифры, буквы, 3d буквы, 3d цифры, лето, каникулы, 79 девушка, 79 мальчик, с днем ​​рождения, веселый день рождения, вечеринка, отпуск, лето 79, семьдесят девять смешных, семьдесят девять вечеринок, 3d еда, 3d алфавит

79 Мороженое Семьдесят Девять номер 3d шоколадная наклейка

от Hellofromaja

от € 2,20

Теги:

год, день рождения, ретро, ​​1970 -е, девятнадцать, семьдесят, девять, 1979

девятнадцать, семьдесят девять — отличный наклейку

на Dougierules,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

8.168.

Теги:

софтбол, мяч номер 79, семьдесят девять, 79, мяч, номер 79, софтбол 79, игрок в софтбол, фанат софтбола, софтбол, номер софтбола, номера, спортивный софтбол, номер спорта софтбол, 79 спорт, номер 79 спорт , семьдесят девять софтбол, черный 79, номер семьдесят девять, номер 79, спорт 79, спорт 79, номер 79, софтбол

Мяч для софтбола номер 79, семьдесят девять год козы, год, годы, год козы, год козы, мой год, год моего рождения, год рождения, день рождения, рождение, рожденный, рожденный, рожденный в году, коза, козлы, животное, животные, рог , рога, девятнадцать семьдесят девять, девятнадцать, семьдесят девять, семьдесят, один девять семь, один, девять, семь, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп, числа, типография

1979 Год Козы Наклейка

По lordmafia

От 2,20 €

Теги:

79th, число 79, семьдесят девять, число семьдесят девятое, математика, спорт, день рождения, даты рождения, числовая последовательность, год рождения, годы , цифры

Наклейка с номером 79

Автор: HappinessWorld

От 2,64 €

Теги:

original, social, DistortionPlaying, Live, начиная с девятнадцати, семидесяти, девяти

The Original Social Distortion Наклейка

By alexiacece

От €3,30

Теги:

семьдесят девять, спорт, номер, трико, номера, колледж, спортивный, номер 79

79 джерси джерси номер 79 Джерси Спортивная наклейка

From €2,10

Теги:

искусственное золото, раскраска из искусственного золота, номер из искусственного золота, номер внешнего вида из искусственного золота, семьдесят девять лет, 79 лет, 79-й день рождения, семьдесят девятый день рождения, с днем ​​​​рождения, счастливый 79день рождения, счастливый семьдесят девятый день рождения, элегантный 79-й день рождения, утонченный семьдесят девятый день рождения, роскошный семьдесят девятый день рождения, 79-й, семьдесят девятый, 79, семьдесят девять, день рождения 79, день рождения семьдесят девять, имитация золотого внешнего вида, имитация золота, имитация золотой окраски шаблон, текст сценария, элегантный день рождения, зеленый фон, поздравление с днем ​​​​рождения, сообщение о дне рождения, подтверждение дня рождения, изощренный, необычный, тема дня рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения, необычное поздравление с днем ​​​​рождения, роскошный, роскошное поздравление с днем ​​​​рождения, просто, зеленый фон, зеленый, день рождения , элегантное поздравление с днем ​​рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения

Элегантный номер с эффектом искусственного золота, «С 79-летием!» (Зеленый фон) Наклейка

Автор: aponx

От 1,16 €

Теги:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, песчаный, вратарь, n hl, rookie , хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия летчики, листовка, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, я чертов ботаник, трэвис конекни, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадец, оскар, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

съешь бутон // travis konecny ​​// philadelphia flyers флаер, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, флаер песчаный, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаер, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак действительно убил этого парня, Трэвис Конечны, ТК, 19 лет, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехере, им 200

я на 200% // нолан патрик // филадельфия флайерс Наклейка

армейский камуфляж, номер солдат, армия 79, солдат 79, камуфляж, номер камуфляжа, трендовый солдат, счастливый солдат, счастливое число, номер 79, день рождения солдата, день рождения армии, вечеринка солдат, 79 день рождения, камуфляж 79, камуфляж, номер семьдесят девять, семьдесят девятая армия, солдат семьдесят девять, солдатский папа, 79отряд, команда 79, отряд страйкбола, пейнтбол, годовщина солдат, армейская команда, день рождения ветерана, номер ветерана, ветеран 79, армейская мода, подразделение 79

Армейский камуфляж номер семьдесят девять Ветеран Счастливый номер 79 Наклейка

Автор Urosek

От €2. 20

Теги:

79, патриот, день рождения, вечеринка, вечеринка 79, девочки 79, мальчики 79, с днем ​​рождения 79, праздновать, праздновать, колледж, университет, спорт, болельщики, игрок, тренер, 79 день рождения, джерс старый , сша, номер, семьдесят девять, америка, номер семьдесят девять, номер 79

79 Патриот США Номер семьдесят девять Америка Наклейка

От el-patron

От 2,20 €

Метки:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philadelphia, philly, flyers флаер, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, флаер песчаный, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, ты гребаный ботаник, трэвис конечный , tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадец, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

karma // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

Автор: devoidofcolor

От 1,57 €

Теги:

79-й день рождения женщины, 79-й, день рождения, лет, семьдесят девять, семьдесят девятый, бабушка, милая, бабушка, милая, бабушка мама и сказочная, леди, женщина, женщины, счастливая, королева, великолепная, поворотная

Женщины 79 лет и сказочные 79-й день рождения графический стикер

By Grabitees

From €2. 76

Теги:

79-й день рождения женщины, 79й, день рождения, годы, семьдесят девять, семьдесят девятый, милый, бабушка, бабушка, мама и сказочный, леди, женщина, женщины, счастливый, королева, великолепный, поворотный

Женщины 79 лет и сказочные 79-й день рождения дизайн стикер

От Grabitees

От €2.76

Теги:

число, 79, зеленый оранжевый, счастливое число, день рождения, вечеринка, празднование 79, лет, спортивный номер, номера, баскетбол 79, футбол 79, белый, зеленый, майами, колледж майами, 79, семьдесят девять, спорт, дети, бейсбол 79, семьдесят девять

Джерси 79 Номер. Номер семьдесят девять Straight From Miami Sticker

By Urosek

От €2,20

Теги:

мужу 79 лет, ему, лет, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый, день рождения, счастливый, от жены, муж, мужчины, вечеринка, поворот, король, идеи, пара, мужчина, празднование

Моему мужу 79 лет, и он все еще горячий 79-й день рождения Подарок для него graphic Sticker

By Grabitees

От €2,76

Теги:

жена 79-й день рождения, для нее, для него, лет, 79-й, семьдесят девять, семьдесят девятый, день рождения, счастливый, от мужа, жены, женщины, вечеринка, поворот, жена, королева, пара, смешной

Моя жена 79 And Still Hot 79th Birthday Gift For Her design Наклейка

От Grabitees

От 2,76 €

Теги:

79классика, семьдесят девять, семь, девять, черный, белый, винтаж, ретро, ​​классика, коллекционер, цифры, модный , 79c20210

, творческий, Размножаться, procreateart, Дизайн футболки, Изготовление гравюр, Магазин наклеек, Графика, Художественная печать, Скриншот, redbubbleshop, Fashionsketch

Наклейка Seventy Nine Classic

By 79Classic

От €1,32

Теги:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelittyphia flyers нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, пэтти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак фактически убил этого парня, трэвис конечны, tk, 19, девятнадцать , нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбихер, отличный сейв картера харта

Большое спасение от Картера Харта // Филадельфия Флайерз Наклейка

Автор: devoidofcolor

От 1,60 €

Теги:

мизинец, 79, номер, семьдесят девять, девочки, девочки 79, розовый, розовый спорт, бейсбол 79, баскетбол 79, футбол 79, волейбол, детский мизинец, детский номер, счастливое число, день рождения, мой номер, мой 79, семьдесят девять, 79 роза, роза, золото, девушки из колледжа, колледж 79

Пинки 79, номер семьдесят девять Девочки Наклейка из джерси

0009

From €2,32

Теги:

79, семьдесят девять, 79 лет, день рождения, для, чисел, баскетбол, 79 лет, лучший, футбол, спортивный номер

79 Номер Баскетбол Семьдесят девять Футбольная наклейка

By Kiwwwi

От 2,42 €

Теги:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, иглз, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, пэтти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак на самом деле убил этого парня, трэвис конечный, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер

я видел, как призрак действительно убил этого парня // нолан патрик // филадельфия летчики Наклейка

мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинальный, милый, сила, женщина, девушка, молодой, красота, собака, кот, сын, собака, кот сын

60-е 70-е светло-голубой стикер любви

By AnisettedelSOL

От €1,76

Теги:

мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинал, мило, сила, женщина, девушка, молодая, красота, собака, кот, сын собака, кот сын

60-е 70-е Love Sticker

By AnisettedelSOL

От €1. 76

Теги:

номер, темно-синий, серый, красный, 79, баскетбол 79, футбол 79, хоккей 79, бейсбол 79, Массачусетс 79, счастливое число 79, день рождения 79, вечеринка 79, виды спорта 79, 79, мой номер, американский футбол, родился 79, игрок 79, вечеринка массачусетс, смешной 79, семьдесят девять, номер семьдесят девять, массачусетс, спортивная вечеринка

79 темно-серый Наклейка Red Sports Number Seventy Nine

By HelloFromAja

От 2,20 €

Теги:

мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинал , милый, сила, женщина, девушка, молодая, красота, собака, кот, сын собака, кот сын

60s 70s blue Love Sticker

By AnisettedelSOL

От €1,76

Метки:

веха 79 лет, 79 лет, день рождения, юбилей, шутка, 79, юмор, веха, достижение, 79 лет, папа, папа, папа мужчина, праздник, день рождения, семьдесят девять, идея

Milestone 79th Birthday — Gag Bday Joke Идея подарка: 78+1 Наклейка

By trendo

From €1. 76

Теги:

винтаж, 1942, день рождения, 80-летие, день рождения для женщин, возраст, семьдесят девять лет, 19 лет рождения42, 80 лет

Подарки на 80 лет Женщинам 80 лет Невероятно с 1942 Наклейка

Автор CreativeGift

От 2,32 €

Метки:

семьдесят девять свадьба, свадьба, 79-я свадьба, семидесятая годовщина свадьбы, 79-я годовщина свадьбы годовщина, 79 годовщина свадьбы, пара, пара, пара, совпадение, соответствие, соответствие, пара, набор, романтик, мама, жена, папа, муж, годовщина, женат, молодожены, брак, 79 лет, семьдесят девять лет, 79

From €1.49

Tags:

день рождения, 20207, девять, семьдесят карантин, изоляция, рождение, день, торт, свечи, вечеринка, covid, корона, блестки

Семьдесят девять в карантине Наклейка

By Teesgeek

От €1,32

Теги:

78-е, семьдесят восемь, прикол, с днем ​​рождения , 78 лет, прикольные 78, поздравления с днем ​​рождения, пожелания 78, 19 рожденных42, 1942 смешной, 1942 день рождения, сделано в 1942 году, мальчики 78, 78 лет, 78 лет круто, вечеринка семьдесят восемь, праздновать семьдесят восемь, 78 леди, дамы 78, смешно семьдесят восемь, веселая вечеринка по случаю дня рождения, номер 78, сообщение на 78 день рождения , 78th uk funny, 78th years old

78th Funny and Happy Birthday Seventy nine Sticker

By elhefe

From €2. 32

Теги:

номер семьдесят девять, 79 лет, 79 золото черный семьдесят пять, волна текстовый эффект , американский, абстрактный, 70-е, нобия, нумерология, числовой, 79волны линии число, абстрактный дизайн, счастливые числа, день рождения 79, специальный номер 79

Номер 79 Maglietta Эффект золотой волны Наклейка

By Nobiya

From €2.10

Tags:

мне не 79 мне 18 с 61 года опыт, мне не 79, мне не 79, я не, день рождения, 79, 79 день рождения, 79 день рождения, 79 возраст, семьдесят девять лет, семьдесят девять лет, офигенно с тех пор, папа, мама, день рождения папы, день рождения мамы, старый, винтажное ретро, ​​огорченный, смешной день рождения, смешной день рождения, годы, многолетний опыт, мне 18

Мне не 79, мне 18, стаж 61 год. Наклейка

By Graphicnology ★★★★★

От 2,76 €

Теги:

смешно 78-й день рождения, мне исполнилось 78, 78, семьдесят восемь, исполнилось семьдесят восемь вечеринка по случаю дня рождения, семьдесят восьмой день рождения, с днем ​​​​рождения, исполнилось 78 лет, тридцать девять лет, круто, старение, чувство молодости, мне дважды исполнилось 39, день рождения 78, день рождения

Мне дважды исполнилось 78 Наклейка

By StarWheels

От 1,44 €

Метки:

79, семьдесят девять, 79 лет, 79 лет, день рождения, вечеринка, повод, с днем ​​​​рождения, вечеринка по случаю дня рождения, день рождения, торжество, вечеринка, день рождения

79 & Fabulous Sticker

By BirthdayBash

От 1,32 €

Теги:

смешно 78 лет, мне исполнилось 78, 78 лет, семьдесят восемь, день рождения, семьдесят восьмой день рождения, с днем ​​​​рождения, исполнилось 78, тридцать девять лет, круто, старение, чувствую себя молодым, мне дважды исполнилось 39, 78 день рождения, день рождения

Мне исполнилось 39 Дважды Наклейка на 78-й День Рождения , День рождения, Дни рождения, год, Годы, год рождения, Цифры, Geburtsjahr, соревноваться, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбольный, футболист, футболисты, футболисты, футболист, Футбольная игра, американский футбол, типография, Графический дизайн, гонки, мотоцикл, мятежник, бунт, череп, гоночный номер, совершенство, стандарты

Номер 79 Наклейка

By t-shirtella

От 1,32 €

Теги:

номер, цифры, количество, семьдесят девять, семьдесят девять, 79, день рождения, юбилей, уникальный, год, годы, игрок, форма, уровень , возраст, год рождения, счастливое число

Число семьдесят девять (79) Наклейка

флаг, американский сувенир, поездка в сша, семьдесят девять лет, прикол 79, ретро 79, американская команда, команда 79, отряд 79, сильный американец, американский номер, счастливое число, 79 лет, 79, тренд 79, семьдесят девять, лучший номер, американский флаг, счастливчик, американские цвета, 79 день рождения

79 Американское счастливое число семьдесят девять Наклейка с флагом США

By Urosek

От 2,20 €

Теги:

1976, год дракона, 1976 год дракона, год, годы, год рождения, рождение, день рождения, родился, родился в, год рождения, дракон, драконы, летающий дракон, летающие драконы, мифический, мифическое животное, мифические животные, тысяча девятьсот семьдесят шесть, девятнадцать, семьдесят, один девять семь шесть, один, девять, семь, шесть, числа, мои числа, мои год, типография, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп

1976 Год Дракона Наклейка

От lordmafia

От 2,20 €

Теги:

79, число 79, число, числа, 79 лет, 79 лет, счастливый, день рождения, родился в, эст. , с 1979 г. , радужный номер, ретро, ​​ретро номер, ретро 79, семьдесят девять, футбольный номер, баскетбольный номер, семьдесят девять номер, спортивный номер, счастливое число 79, дедушка 79 лет, бабушка 79 лет, мама 79 лет, футбол 79, футбол 79, день рождения 79, счастливчик 79

79 номер Наклейка

By HanakiArt

От €2.54

Метки:

1977 год змеи, 1977, год, год, год змеи, год змеи, змея, родился, год рождения, год рождения, рождение, годы, день рождения, родился в, год рождения, тысяча девятьсот семьдесят семь, девятнадцать, семьдесят семь, семьдесят, семь, один, девять, животное, животные, змеи, китайский, китайский зодиак, зодиак, китайский гороскоп, гороскоп, мой год, типография

Наклейка «1977 год змеи»

Автор: lordmafia

От 2,20 €

Теги:

номер 79 белый, семьдесят девять, номер семьдесят девять, 79, номер 79, цифры, спорт, спортивная команда, команда, команды, спорт, день рождения, дни рождения, год, 79 лет, год рождения, цифры, geburtsjahr, конкурировать, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбол, футболист, футболисты, футболисты, футболист, футбольная игра, американский футбол, типография, графический дизайн, гонки, мотоцикл, бунтарь, бунт, череп, гоночный номер, 5050

Номер 79 Белая наклейка

By t-shirtella

От 1,32 €

Теги:

1978 год лошади, 1978 год лошади, 1978, год лошади, год лошади, лошадь, лошади, животное, животные, год рождения , родился, родился, год рождения, мой год рождения, мой год, рождение, день рождения, девятнадцать семьдесят восемь, девятнадцать, семьдесят, восемь, один девять семь восемь, один, девять, семь, числа, типографика, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп

1978 Год Лошади Наклейка

От lordmafia

От 2,20 €

Теги:

семьдесят девять, число, числа, числа, день рождения, мужчины и женщины, мальчик, девочка, мама и папа, унисекс для взрослых, топы и

семьдесят девять классический дизайн, числа на день рождения Наклейка

By beautyshop10

От €1,27

Теги:

1979 винтажная этикетка, 1979, 79, 70-е, 1970-е, винтаж, год рождения, день рождения, празднование дня рождения, день рождения, ностальгия, ретро, лп изображения

1979 Vintage Label Sticker

By LP-Images

От €1,60

Теги:

1979, великий год, винтаж, 1979, 40, 40 лет, 40 лет, 40 лет, для 40 лет , over the hill

1979 Vintage 40 Year Old Sticker

By Tricart

From €1,32

Теги:

геометрические, графические, цифры, классика, колледж, футбол, бейсбол, баскетбол, 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят , восемьдесят, девяносто, алфавит, письмо, шрифт, персонаж, тип, шрифт, писать, шаблон, символ, лицо

семьдесят семь Наклейка

Автор: designeventy

От 1,41 €

Теги:

самые продаваемые, недавние, трендовые, 1939, 79, семьдесят девять, 39, 30-е, тридцатые, семьдесят девятое, день рождения, день рождения, ретро, ​​винтаж , старая школа, рожденный, год постройки, январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь мама, мама, папа, папа, мама идея, рождество, сделано в

Винтаж Наклейка на день рождения РЕТРО 1939

от Mmastert

От €3,30

Теги:

самые продаваемые, недавние, трендовые, 1939, 79, семьдесят девять, 39, 30-е годы, тридцатые годы, семьдесят девятое, день рождения, день рождения, ретро, ​​винтаж, старая школа, родился, год постройки, январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь мама, мама, папа, папа, мама идея, рождество, сделано в

Винтаж РЕТРО 1939 Наклейка на день рождения

By Mmastert

От 3,30 €

Теги:

Мне не 79мне 79 с 79-летним стажем, мне не 79, мне не 79 я не, день рождения, 79, 79, 79 день рождения, 79 день рождения, 79 лет, семьдесят девять лет, семьдесят девять лет, круто с тех пор, папа, мама , день рождения папы, день рождения мамы, старый, винтажное ретро, ​​забавный день рождения, забавный день рождения, годы, годы опыта, мне 18

Мне не 79, мне 18 со стажем 61 год.

От 2,76 €

Теги:

винтаж 1979, 1979, 70-е, семидесятые, 1979, год рождения, день рождения, родился в семидесятых, празднование дня рождения, праздновать, день рождения, ностальгический, ретро, ​​lp изображения, световые изображения

Vintage 1979 Sticker

By LP-Images

From €1.60

Теги:

1979, 79, семьдесят девять, возраст, день рождения, винтаж, ретро, ​​классика, год рождения, дедушка, папы, день отца, старый, гоночный номер, автомобили, немецкий флаг, германия, автоспорт, велосипед

Vintage Classic Retro German 79 Car Racing Number Sticker

, футбол, бейсбол, баскетбол, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ничего, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто, алфавит, письмо, шрифт, персонаж , тип, шрифт, написать, узор, символ, лицо

девять Наклейка

Автор: designeventy

От €1,41

Теги:

ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский арт, ярославский, jaroslaw jasnikowski art work, работы автора Искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

Одна тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка с изображением

By Wonderdesigne

От 2,42 €

Теги:

1979, 79, семьдесят девять, день рождения, день рождения, синий, родился, кремовый, папа, для нее, для него , мама, старый, pavnud, красный, семидесятые, тренд, винтаж, год, желтый, bd, ретро, ​​мужчина, женщина

Винтаж 1979 Наклейка

By Pavnud

От €1,54

Теги:

ярослав, ярослав ясниковский , искусство ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, работа ярослава ясниковского, 1976 искусство, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

Одна тысяча девятьсот семьдесят шесть стикеров

мило, тату, детский сад, нумерология, год, дата, день рождения, рождение легенд, ограниченное издание, эпическое с тех пор, классное, винтажное, числовое, дни, 79, семьдесят девять

79 Наклейка

By Teyzshopp

От € 3,86

Теги:

ярослав, ярослав ясниковский, искусство ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство ф, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведение искусства

одна тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка Artwork

By Wonderdesigne

От 2,42 €

Теги:

69, золотой, номер, семьдесят, вечеринка 69, день рождения, празднование, празднование, спорт, родился, школа, золото, числа, счастливое число, лучший номер, юбилей, 1969, сделано в, родился 69, 69 девушки, команда 69, игрок 69, с днем ​​рождения 69, золото 69

69 Золотое число шестьдесят девять Наклейка

, jaroslaw jasnikowski, jaroslaw jasnikowski art, произведение искусства ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

одна тысяча девятьсот семьдесят шесть стикер

0009

From €2. 42

Теги:

ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский искусство, ярослав ясниковский произведение искусства, произведение ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведение искусства

9000 Наклейка Nine Hundred Seventy-Six Artwork

By Wonderdesigne

От 2,42 €

Теги:

с днем ​​рождения, праздновать 79, элегантный, золотой номер 79, 79 лет, винтаж, 79, семьдесят девять, день рождения бабушки, ретро , идеальный день рождения, число 79, вечеринка, 79th

Золотой номер 79 Семьдесят девять Наклейка

By Kiwwwi

От €2,42

Теги:

ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский искусство, ярослав7 работа, ярослав ясниковский, art19 jasnikosski art, jaroslaw7 jasnikosski art, jaroslaw7 jasnikosski art 1976 произведение искусства, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

Тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка с изображением

Автор Wonderdesigne

От €2,42

Теги:

около, 1979, тысяча девятьсот семьдесят девять, девятнадцать семидесятых, в возрасте, пожилой, хиппи, хиппи, мир, любовь, бабушка и дедушка, бабушка и дедушка, прадедушка, бабушка, дедушка, прабабушка, прадедушка, гиги, gg, золотой век, mop_tees

Около 1979 г. Seventies Nineteen Seventy-Nine Sticker

By MOP-tees

От 1,36 €

Теги:

79 лет, забавная идея, день рождения бабушки и дедушки, сделано в 1942 году, 1942 года рождения, 79 лет, день рождения, для мужчин, для женщин , семьдесят девять лет со дня рождения, 79

79th Birthday Funny Gift Idea Sticker

By danaJG

От €1,31

Метки:

79, семьдесят девять, семидесятые, 70-е, винтаж, ретро, ​​классика, дедушка, папы, день отца, старые, гонки номер, гоночный, автомобили, быстрый, скорость, гоночный автомобиль, гоночный номер, дверь, капот, Daytona, авто, деревенский

Vintage Classic Retro 79 Racing Number Sticker

By KevBrettArt

От €2,54

Метки:

carter Харт, Картер, Харт, 79, семьдесят девять, хартси, Филадельфия, Филадельфия, листовки, Филадельфия Флайерз, песчаный, вратарь, новичок, НХЛ, хоккей, национальная хоккейная лига, Флаеры с песком, Нолан Патрик, Орлы, Картер Харт Филадельфия Флайерз, листовка, Клод Жиру, Пэтти, стадион серия, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, клен leafes, canada, canadian, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

be a flyer // philadelphia flyers Наклейка

By devoidofcolor

From €1. 57

Tags:

спорт, номер, 79, семьдесят девять, команда, футбол, баскетбол, бейсбол, хоккей, кливленд, цинциннати, денвер, колледж, университет, счастливое число, день рождения 79, вечеринка 79, празднование 79, оранжевый, 79, игрок 79, тренер

Спортивный номер 79 Джерси семьдесят девять Оранжевая наклейка

79, семьдесят девять, винтаж, ретро, ​​семидесятые, 70-е, классика, дедушка, папы, день отца, старый, гоночный номер, гонки, автомобили, быстро, скорость, гоночный автомобиль, номер гонки, дверь, капот, Daytona, авто, деревенский, Circle

Vintage Classic Circle Retro 79 Car Racing Number Sticker

By KevBrettArt

От 2,54 €

Теги:

в огне, пламя, автоспорт, гонки, автомобиль, скорость, f1, винтаж, ретро, ​​цифры, год рождения , ралли, спорт, мотокросс, 1979, 79, семьдесят девять, слишком жарко, класс, дайтона, авто, деревенский, bmx, bmxing, байк 9Наклейка On Fire Racing Number 79 , 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто , алфавит, буква, шрифт, персонаж, тип, шрифт, запись, шаблон, символ, лицо

девяносто девять Наклейка

By designeventy

От €1,41

Теги:

79, семьдесят девять, семидесятые, 70-е, винтаж, ретро, ​​классика, дедушка, папы, день отца, старые, гоночный номер, гонки, автомобили, быстрые, скорость, гонки автомобиль, гоночный номер, дверь, капот, автоспорт, ралли, дайтона, авто, деревенский

Vintage Classic Retro 79 Racing Number New Sticker

By KevBrettArt

From €2. 54

спорт, 79, баскетбол 79, футбол 79, бейсбол 79, колледж, университет, счастливое число, тренер, игрок 79, команда, день рождения, вечеринка 79, тренд 79, фиолетовый номер, фиолетовый 79

Seventy-Nine Purple Jersey Number Sports 79 Наклейка

By HelloFromAja

От € 2.20

Теги:

79, семь девять, семьдесят девять, день рождения 79, вечеринка 79, число 79, футбольный номер, число, самое большое число, день рождения, счастливое число, дети, лучший, лучший номер, кирпичи, кирпичи дети, 79 сын, 79 детей, 79 ребенок, 79 дочь, детский номер, детский номер 79, кирпичи 79, забавные 79

Детский кубик счастливый номер семь-девять семьдесят девять 79 Наклейка

By TwoLittleStore

От €2,42

Теги:

им больше, чем, 79, лет, 79 лет, день рождения, юбилей , возраст, празднование, праздник, повышение уровня, конфетти, вечеринка, сувениры, сувениры, торт, свечи, окропляет, искриться, счастливый, семьдесят, девять, девятый, я, больше, чем

Мне больше, чем 79 Наклейка

От odfromcg

От 1,66 €

Теги:

carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, gritty, вратарь, новобранец, nhl, хоккей, национальная хоккейная лига, flyers gritty, nolan patrick, eagles, carter hart philadelphia флаеры, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбихер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадский, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

лети или умри // philadelphia flyers Наклейка

By devoidofcolor

From €1. 57

Теги:

79, золотой, номер, семьдесят девять, 79 вечеринка, день рождения, празднование, празднование, спорт, рождение, школа, золото , числа, счастливое число, лучший номер, юбилей, 1979, сделано в, 79 рожденных, 79 девочек, команда 79, игрок 79

79 Золотое число семьдесят девять Наклейка

:

Картер Харт, Картер, Харт, 79, семьдесят девять, хартси, Филадельфия, Филадельфия, листовки, Филадельфия Флайерз, песчаный, вратарь, новичок, НХЛ, хоккей, национальная хоккейная лига, Флаеры с песком, Нолан Патрик, Орлы, Картер Харт Филадельфия Флайерз, листовка, Клод Жиру, Пэтти, стадион серия, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, клен leafes, canada, canadian, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

ya nerd // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

Автор: devoidofcolor

От €1,57

Метки:

79, семьдесят девять, винтаж, ретро, ​​семидесятые, 70-е, классика, дедушка, папы, день отца старый, гоночный номер, гонки, автомобили, быстро, скорость, гоночный автомобиль, номер гонки, спорт, 1979, Daytona, авто, деревенский, bmx, bmxing, велосипед

Classic Retro 79 Vintage Car Racing Number Наклейка в штучной упаковке

Автор KevBrettArt

От 2,54 €

Seventy-Nine

Количество игроков: 6
Тип домино: Double 6
Тип игры: Trump & Trick Game
Набор домино: Два набора двойных домино-6.
Две команды по 3 игрока в каждой.

Цель игры: Стать первой командой, набравшей 250 очков.
В начале игры тяните жребий, чтобы определить, кто из игроков тасует карты первым. Перетасуйте плитки.

Количество выпавших костяшек домино: Каждый игрок вытягивает по 9 костяшек. В результате на кладбище остается 2 плитки.
Человек слева от тасующего имеет право делать ставки первым.
Минимальная ставка 50.
Есть 9 трюков, и каждый трюк приносит одно очко.
Всего в каждой раздаче нужно выиграть 79 очков: 70 (35 очков в сете дабл-6 x 2 сета) + 9 (9 взяток по 1 очку) = 79.
Ваша ставка – это прогноз того, сколько из 79 очков вы выиграете в этой раздаче. Ваша ставка должна быть основана почти полностью на вашей собственной руке. Однако, если вы выиграете ставку, любые очки, выигранные вашим партнером в этой раздаче, также будут учитываться в вашей ставке.
Если вы держите в руке как минимум 3 плитки одной масти, это считается потенциальной рукой для торгов. Эта масть будет вашим козырем, если вы выиграете торги. Если у вас есть 1 или 2 дубля в дополнение к 3 костям одной масти, это считается сильной рукой.
Слово «трамп» происходит от слова «триумф». Домино козырной масти автоматически «побеждает» другие сыгранные домино. После того, как были объявлены козыри для руки, все 14 домино этой масти имеют более высокий ранг, чем все 42 других домино. Независимо от того, кто его играет, самый высокий сыгранный козырь выигрывает любую взятку. Козырное домино принадлежит только козырной масти, а не другой масти, представленной на его лицевой стороне. Другое число на козырном домино служит только для ранжирования козырей между собой.
Например: если четверки — козыри, 4-4 — самое сильное домино в руке; 4-6 побеждают 4-5; 4-5 побеждают 4-3; и так далее, 4-0 — самый низкий козырь. 4-0 для этой руки побьют любую плитку, кроме 4-й масти.
Двойное является старшим домино каждой масти, за которым следуют по порядку 6, 5, 4, 3, 2, 1 и пробел.
Домино, у которого сумма концов равна пяти или кратна пяти, является «счетным» домино. Есть четыре счетные кости по 10 очков каждая: 5-5 и 6-4. Имеется шесть счетных костей по 5 очков каждая: 5- 0, 4-1 и 3-2.Все плитки со счетом 5 дают в сумме 70 очков.Счет приносит дополнительные очки команде, выигравшей его во взятке.
Торги продолжаются по часовой стрелке вокруг стола, при этом у тасующего всегда есть последний вариант сделать ставку. У каждого игрока есть только одна возможность сделать ставку. Минимальная ставка — 50. Игрок должен пройти, если он не может сделать ставку не менее 50 или поднять предыдущую ставку. Если все 6 игроков спасуют, все плитки возвращаются в колоду, а затем перетасовываются игроком слева от последнего игрока, который перетасовывал.
Игрок, делающий самую высокую ставку, является первым игроком и игроком, объявившим, какая масть является козырной для этой руки. (Игрок никогда не показывает козырную масть, пока не выиграет ставку и не будет готов разыграть первую кость. )
Первый игрок кладет плитку из своей руки. Игра продолжается слева от него. Следующие пять розыгрышей, сделанных другими игроками за столом, должны «последовать их примеру». Это означает, что эти пять игроков должны разыграть кость той же масти, что и самый высокий конец первой кости, сыгранной в этой взятке, если только первый игрок не сыграет кость, по крайней мере, с одним концом той же масти, которая была объявлена ​​«козырной». » для этой руки. В этом случае следующие пять розыгрышей должны быть плиткой с окончанием от козырной масти.
Например, если бы 6-4 были сыграны первыми, другие игроки должны были бы последовать их примеру с 6 из своей руки. Но если какой-либо конец первой сыгранной плитки имеет козырную масть, то козырь имеет приоритет над другим числом, и все должны следовать его примеру с козырем.
Если у игрока в руке более одной играбельной плитки, он может сыграть любую из них. Если игрок не может последовать его примеру, потому что у него нет этой масти в руке, он может сыграть любую кость из своей руки, даже козырную.
Игрок, сыгравший старшую плитку ведущей масти или старшего козыря, выигрывает взятку. Победитель каждой взятки разыгрывает первую плитку для следующей взятки, после чего он может сыграть любую плитку в своей руке.
Когда все шесть игроков сыграли по одной плитке, эти шесть плиток в совокупности представляют собой трюк. В каждой руке по девять трюков. Каждый трюк оценивается в одно очко.
Один игрок от каждой команды должен собрать все взятки для этой команды, независимо от того, кто из игроков выиграл взятку. После того, как каждая взятка была выиграна, плитки должны быть перемещены в одну сторону или угол стола, 6 плиток рядом и лицевой стороной вверх. Это упрощает подсчет очков.
После того, как все 9 взяток сыграны, каждая команда должна подсчитать количество взяток (1 очко за взятку) и общее количество очков за количество собранных доминошек (5 и кратное 5) соответственно.
Если команда торгов делает или превышает свою ставку, то эта команда получает кредит за все очки, которые они выиграли во время этой руки. В этом случае противники также получают кредит за любые очки, которые они выиграли во время раздачи.
Например: если команда делает ставку 50, а затем получает 55 очков, то она успешно достигла своей ставки и получает 55 очков. Противники получают кредит за свои 9точки.
Если команде не удается выполнить свою ставку, то эта команда ничего не получает, а противоположная команда получает кредит за первоначальную ставку, которую они выиграли, x плюс фактические очки, которые они выиграли во время раздачи.
Например: если ваша команда выиграет ставку в начале игры со ставкой 57, но наберет только 55 очков в раздаче, ваша команда наберет 0 очков, а противники наберут 66 очков (их 9 очков плюс ваша ставка 57 баллов).
После каждой раздачи игрок, который тасует плитки, поворачивается влево (по часовой стрелке). Игра продолжается таким же образом.
Побеждает команда, первой набравшая 250 очков. Если обе команды набирают 250 очков в одной и той же раздаче, команда, сделавшая ставку в этой последней раздаче, становится победителем игры, независимо от счета.

Вариант: Можно использовать упрощенную систему подсчета очков с одной «оценкой» или очком, присуждаемым за победу в раздаче. Первая команда, набравшая 9 очков, побеждает в матче.

ВАРИАЦИЯ ТОРГА:
Нель-О
Цель заявки Nel-O — не принимать никаких уловок. Рука участника торгов Nel-O содержит кости настолько низко, что он считает, что его противники не смогут заставить его взять взятку. Если Nel-O является выигрышной ставкой, игроки должны следовать масти плитки, которая идет на каждой взятке, и козырей нет. . Когда игрок делает ставку Nel-O, его партнер должен перевернуть плитки в своей руке лицевой стороной вниз на столе до конца руки, в то время как игрок, делающий ставку, разыгрывает руку с противоположной командой. Участник торгов ведет с первой плиткой. Противники следуют примеру большего числа этой плитки. Игрок, выигравший взятку, лидирует. В оставшейся части руки цель противников состоит в том, чтобы разыгрывать более низкие плитки, чем игрок, сделавший ставку. Участник торгов считается установленным, если он возьмет одну взятку.
Некоторые игроки Nel-O рассматривают дубли как отдельную масть, и каждый игрок следует масти с дублем, если идет дубль. Однако большинство не играет по этому правилу.

 

Перепечатано с разрешения Sterling Publishing Co., Inc., NY, NY из GREAT BOOK OF DOMINO GAMES Дженнифер Келли, © 1999 Дженнифер Келли. (Книга Sterling доступна как PUREMCO’S GREAT BOOK OF DOMINO GAMES)

Potomack Auctions

Камиль Писсарро


Французский, 1830-1903
Porteuse De Fagots
Акварель на бумаге: 8 5/8 X 5 7/8 дюйма.

Продано: $38 100

Виллем де Лупер


Американец, 1932–2009 гг.
Без названия
Смешанная техника на бумаге: 29 x 40 1/2 дюйма

Продано: 5 398 долларов США

Джон Фредерик Кенсетт


Американец, 1816–1872 гг.
Вид на гору Кирсардж, штат Нью-Гэмпшир
Масло, бумага, наложенная на холст: 12 x 14 1/4 дюйма

 

Продано: 12 700 долларов США

Andre Brasilier


French, 1929-
Chevaux Dans Un Figuier
Холст, масло: 18 1/4 x 25 1/2 дюйма

Продано: $25 400

Гюнтер Герцо
Мексиканец, 1915-2000
Пресагио – Предчувствие, 19 лет53
Холст, масло: 39 ½ x 32 дюйма

Продано: 169 000 долларов США

Пабло Пикассо
Испанец, 1881-1973 гг.
Жаклин о Шевале
Неглазурованная фаянсовая посуда: диам. 16,5 дюйма

Продано: $28 575

Энди Уорхол


Американец, 1928–1987 гг.
Банка супа Кэмпбелл на сумке, 1966 г.
Шелкография на бумажной сумке для покупок, 23 1/2 x 17 дюймов

Продано: 25 400 долларов США

Бриджит Райли


Великобритания, 1931–
Прошедшее время, 1982 г.
Цветная трафаретная печать: 47 1/2 x 31 1/2 дюйма

Продано: $19 050

Леон Берковиц


Американец, 1911-1987
Полуденное сияние
Холст, масло: 23 x 27 дюймов

Продано: 12 700 долларов США

Гленна Гудакр


Американец, 1939-2020
Бронзовый трехчетвертный рельеф «Сын Сакагавеи»

Продано: $ 25 400

Элеонора Дэвис
Американка, 1983-
Рут Бадер Гинзбург
Жикле, репродукция

Продано: $69 850

Предстоящие сентябрьские/октябрьские аукционы

Плотина Ву Цао

Аукцион произведений искусства 20-го и 21-го веков — 27 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Рой Лихтенштейн

Аукцион произведений искусства 20-го и 21-го веков — 27 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Джеймс Лесен Уэллс

Аукцион произведений искусства ХХ и ХХI веков — 27 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Уильям Лерой Меткалф

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Английский Давенпорт: собрание сенатора и миссис Джон Уорнер

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Фламандский пасторальный гобелен

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Эддисон Томас Миллар

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Лорд Рональд Гауэр Бронза

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Ковер Биджар, Западная Персия, около 1880 г.



Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Викторианский посеребренный гарнитур Elkington

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Пьер Огюст Ренуар Пейзаж ок. 1900 г.; на рассмотрении Исследовательского комитета

Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

Каталог скоро появится

Памятники Паскаля Косте Modernes de la Perse Mesures

Книги и рукописи – октябрьский аукцион

Прием посылок

Последние аукционы

Кэтрин Фриман

20th & 21st C & Classic Fine Art

27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

Щелкните для перехода в каталог

Джордж Беллоуз

20th & 21st C & Classic Fine Art

27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

Щелкните для перехода в каталог

Терри Роджерс

20th & 21st C & Classic Fine Art

27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

Щелкните для перехода в каталог

Дональд Султан

20-е и 21-е C и классическое изобразительное искусство

27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

Щелкните для перехода в каталог

Элеонора Дэвис

Искусство 20-го и 21-го веков Рут Бадер Гинзбург (лоты RBG 1-17) и другие частные коллекции

27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

Каталог

Бабби Свободы

Рут Бейдер Гинзбург: Chambers & Home (все участки RBG)

28 АПРЕЛЯ 2022 Г. | 10:00

Каталог

Гюнтер Герцо

Искусство 20-го и 21-го веков Рут Бадер Гинзбург (лоты RBG 1-17) и другие частные коллекции

27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

Каталог

Дейл Чихули

Современное декоративно-прикладное искусство, мебель и искусство

27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 13:00

Подробнее

Серьги с колумбийскими изумрудами и бриллиантами

Ювелирные изделия и мода

28 АПРЕЛЯ 2022 Г. | 13:00

Каталог

Йоос де Момпер Младший

Классическое искусство, антиквариат и мебель: римляне до 19 летвек

29 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

Каталог

Американская консоль из палисандра, коллекция Энди Уорхола, 1988 г.



Американская мебель, декоративно-прикладное искусство и живопись

3 мая 2022 г. | 10:00

Каталог

Чайно-кофейный сервиз с серебряной хохлатой Георга III

Американское, английское и европейское серебро

3 мая 2022 г. | 13:00

Каталог

Стэнли Кассельман

20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Андре Брасилье

20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Варнетт П.

Ханивуд

20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Муркрофт Квинс Выбор

20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Камиль Писсарро

Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Джон Фредерик Кенсетт

Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Генри Харрис Браун

Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Джордж Морланд

Классическое искусство и антиквариат Нажмите, чтобы перейти в каталог

29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

Заметные продажи: отправить сейчас

Гюнтер Герцо (мексиканец, 1915–2000) Пресажио, 1953 г.



Продано: $130 000

Салли Мишель Эйвери (американка, 1902–2003) «Сидящая женщина», 1965 г.

Продано: $42 500

Портрет Рут Бейдер Гинзбург из ее покоев работы Элеоноры Дэвид

Продано: $55 000

Форд Крулл (американец, 1952-) Чиму, 1989 г.

Продано: $14 000

Альфонсо Янко Оссорио (американец / филиппинец, 1916–1990) Закрытый сад № 7

Продано 140 000 долл. США

Важный Киавак Ашуна, OC, RCA

Продано $110 000

Оноре Домье (француз, 1808-1879) Les Buveurs

Продано $125 000

Важная французская Belle Époque Ormolu Mounted Kingwood Marquetry and Parquetry Vitrine

Продано $375 000

Альберт Йорк (американец, 19 лет)28-2009) Розовые розы

Продано $95 000

Пол Ревир (американец, 1735-1818) Кровавая резня

Продано $160 000

Tiffany & Co.

Примеры построения графиков функции и решения уравнений

Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что $\sqrt[n]{x}$, если n нечетное существует и при $х $f(-x)=\sqrt[n]{(-x)}=-\sqrt[n]{x}=-f(x)$,где $n=3,5,7,9…$.
Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность относительно начала координат, давайте построим график функции $y=\sqrt[n]{x}$ для $n=3,5,7,9…$.
Отразим график функции, которой мы получили вначале, относительно начала координат. Заметим, что ось ординат является касательной к графику нашей функции в точке $х=0$.

Пример.
Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$:
$f(x)=\begin{cases}\sqrt[5]{x}, x≤1\\ \frac{1}{x}, x>1\end{cases}$.
Решение. Последовательно построим два графика функции на разных координатных плоскостях, после полученные графики объединим в один. Построим график функции $y=\sqrt[5]{x}$, $x≤1$.
Таблица значений: График функции $y=\frac{1}{x}$ нам хорошо известен, это гипербола, давайте построим график при $x>1$.
Объединим оба графика:
Ребята, давайте опишем свойства, которыми обладает наша функция:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.Ни четная, ни нечетная.
3. Убывает на $[1; +∞)$ и возрастает на $(-∞;1]$.
4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=( -∞;1]$.
8. Функция дифференцируема всюду, кроме точек $х=0$ и $х=1$.
9. $\lim_{x \rightarrow +∞} f(x)=0$.

Пример. Найти область определения функций:

а) $y=\sqrt[6]{2x-10}$.2}$.

3 способа расчета полинома в Excel. | Тренды

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax²+bx+c (полином второй степени) и y=ax³+bx²+cx+d (полином третей степени) и т.д.  Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax²+bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

У Полинома третьей степени y=ax³+bx²+cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

Два экстремума

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x⁶ — 234,94x⁵ + 4973,6x⁴ — 35930x³ — 7576,8x² + 645515x + 5E+06. Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

 y = 3,71x⁶ — 234,94x⁵ + 4 973,59x⁴ — 35 929,91x³ — 7 576,79x² + 645 514,77x + 4 693 169,35

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x⁶ — 234,94x⁵ + 4 973,59x⁴ — 35 929,91x³ — 7 576,79x² + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

 Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

• «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
• «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
• в константу ставим «1»,
• в статистику «0»

Получаем следующего вида формулу:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24];R[-5]C:R[-5]C[24];1;0),

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов  — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

• Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel.
• 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

Калькулятор онлайн — Построение графика квадратичной функции (с подробным решением)

Если вам нужно просто построить график любой функции, то для этого у нас есть отдельная программа.2+q $$

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.