Автор: alexxlab

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

1 2 cos x 2 график

Вы искали 1 2 cos x 2 график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2 x 4 график, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 2 cos x 2 график».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2 cos x 2 график,1 2 x 4 график,1 2 x график,1 2 график,1 2 х график,1 2x график,1 3 x график,1 ln x график,1 x 2 график,1 x 2 график функции,1 x 3 график,1 x 3 график функции,1 x 4 график,1 x в квадрате график,1 x график,1 x график функции,1 y график,1 график,1 корень из х график,1 постройте график функции y,1 х 1 4 построить график функции,1 х 2 график,1 х 3 график,1 х в квадрате график,1 х график,1 х график функции,1 х2 график,2 1 x построить график,2 arctg x график,2 ln x график,2 x 3 график,2 x график,2 x график функции,2 график,2 х 1 график,2x 1 2 график,2x 1 график,2x 2 1 график,2x 2 график,2x 2 график функции,2x 3 график,2x x 2 график,2x x 2 график функции,2x y 2 график,2x y 4 график,2x график,2x график функции,2×2 график,2х график,3 sin x график,3 x график,3 х график,3 х график функции,3d график онлайн,3d графики онлайн,3x 2 график,3x y 2 график,3x график,3д график онлайн,4 2 построить график,4 x 2 график,4 x 2 график функции,4 x график,4 x2 график,4 в степени х график,4 х 2 график,4 х в квадрате график,4 х график,4x x 2 график,4x x 2 график функции,5 x график,6 x график,8 x график,a x график,arctg 2 x график,arctg 2x график,cos x 1 график,cos x 2 график,cos2x 1 график,e x график,e y график,e график,f y 2 x 2,graph online,lgx график,ln x 1 график,online graph,sin 1 x график,sin 2 x график,sin 3 x график,sin x 1 2 график,sin x 1 график,sin x 2 график,sin x 3 график,sin2x график,sinx x график,sqrt x график,tg 2 x график,x 0 y 0 график,x 0 y 0 график функции,x 0 график,x 1 2 график,x 1 2 график построить,x 1 3 график,x 1 x 2x график,x 1 в квадрате график,x 1 график,x 1 график функции,x 2 1 график,x 2 2x 3 график,x 2 2x график,x 2 2x график функции,x 2 3 график,x 2 3x 2 график,x 2 3x 2 график функции,x 2 4 график,x 2 5 график,x 2 a 2 график,x 2 y 1 график,x 2 y 2 0 график,x 2 y 2 1 график,x 2 y 2 2x график,x 2 y 2 4 график,x 2 y 2 5 график,x 2 y 2 a 2 график,x 2 y 2 график,x 2 y 3 график,x 2 график,x 2 график функции,x 2x 2 график,x 3 1 график,x 3 2 график,x 3 2 график функции,x 3 x 1 график функции,x 3 график,x 4 x 1 график функции,x 4 график,x 4 график функции,x 4 функция,x 5 график,x 5 график функции,x 6 график,x 6 график функции,x a 2 y 2 a 2 график,x a график,x arctg x график,x e график,x e график функции,x log x график,x ot y,x sinx график,x sqrt y график,x y 0 график,x y 1 построить график,x y 2 график,x y 3 график,x y 4 график,x y 5 график,x y 6 график,x y ru,x y график,x y построить,x y построить график,x в 2 степени график,x в 4 степени график,x в квадрате график,x в степени 2 график,x в степени 3 график,x в степени 4 график,x график,x график функции,x от y,x у 2 график,x2 4 график,x3 1 график,x3 график,x3 график функции,x4 график,xy график,y 0 5x 2 график,y 0 x 0 график функции,y 0 x график,y 0 x график функции y,y 0 график,y 0 график функции,y 1 2 cos 2 x график,y 1 2 x график,y 1 2 график,y 1 2 график функции,y 1 2x 2 график функции,y 1 2x график функции,y 1 2×2 график функции,y 1 3 x 2 график,y 1 3 x 2 график функции,y 1 3x 2 график,y 1 4 x,y 1 4 x график,y 1 4x,y 1 4x 2 график,y 1 4x график,y 1 5 x график,y 1 5 x график функции,y 1 5x график,y 1 9x,y 1 9x график,y 1 x 1 построить график,y 1 x 2 5,y 1 x 2 график,y 1 x 2 график функции,y 1 x 3 график,y 1 x 4,y 1 x график,y 1 x график функции,y 1 x построить график,y 1 график,y 1 график функции,y 1 х 2,y 10 x график,y 2 1 график,y 2 2x график,y 2 3 в степени x,y 2 3x построить график,y 2 4x график,y 2 5x график функции,y 2 x 1 график функции,y 2 x 3 график,y 2 x 3 график функции,y 2 x график,y 2 x график функции,y 2 в степени x 3,y 2 график,y 2 график функции,y 2 х график,y 2 х график функции,y 2 ч y ч 2,y 2sin3x график,y 2x 1 график функции,y 2x 2 x 1,y 2x 3 x 1,y 2x 3 график функции,y 2x 3 построить график функции,y 2x x,y 2x x 2 график,y 2x график,y 2x график функции,y 2x построить график,y 2×2 2,y 2×2 график функции,y 3 2x график,y 3 sin x график,y 3 x 2 график,y 3 x 2 график функции,y 3 x график,y 3 x график функции,y 3 в степени x 2,y 3 график,y 3sin2x график,y 3x 1 график,y 3x 1 график функции,y 3x 2 график,y 3x 2 график функции,y 3x 2 построить график функции,y 3x 6 график,y 3x x 2,y 4 1 x,y 4 x,y 4 x 1,y 4 x 1 2,y 4 x 1 2 график,y 4 x 2 график,y 4 x 2 график функции,y 4 x график,y 4 x график функции,y 4 x построить график,y 4 x построить график функции,y 4 x2 график,y 4 в степени x,y 4 в степени x график функции,y 4 в степени x график функции y,y 4 график,y 4x,y 4x 1,y 4x 1 2,y 4x 2 график,y 4x 2 график функции,y 4x x 2 график,y 4x график,y 4x график функции,y 5 2x график функции,y 5 x,y 5 x 2 построить график,y 5 x график,y 5 x график функции,y 5 x построить график функции,y 5x график функции,y 6 x график,y 7 x,y 7 x график,y 9 x график,y 9 x график функции,y 9 x график функции y,y a x график,y cos x 1 график,y cos x 2 график,y cos3x 2 график,y e график,y sin3x график,y sinx в квадрате график,y sqrt x график,y sqrt x график функции y,y x 0,y x 0 5,y x 1 2 график,y x 1 2 график функции,y x 1 4,y x 1 в квадрате график функции,y x 1 график функции,y x 1 построить график,y x 10 график,y x 10 построить график функции,y x 2 3 график,y x 2 4 построить график,y x 2 4x 5 построить график данной функции по графику определить,y x 2 x 3 график,y x 2 график,y x 2 график функции,y x 2 построить график,y x 2 построить график функции,y x 2 постройте график,y x 3 2 график,y x 3 4,y x 3 4 график,y x 3 4x,y x 3 5,y x 3 x 0,y x 3 x построить график,y x 3 график построить,y x 3 график функции как построить,y x 3 построить график,y x 4,y x 4 1,y x 4 2 график функции,y x 4 3,y x 4 x,y x 4 x построить график,y x 4 график,y x 4 график функции,y x 4 построить график функции,y x 5,y x 5 0,y x 5 x,y x 5 график,y x 5 график функции,y x 5 построить график функции,y x 6,y x 6 1,y x 6 график,y x 6 построить график,y x 6 постройте график,y x 7,y x 7 график,y x 7 график функции,y x 8 график,y x 9,y x 9 график функции,y x a график,y x r,y x ru,y x sgn x,y x x2,y x y 2 0 график функции,y x в 3 степени график,y x в 6 степени график,y x в квадрате построить график,y x в степени 2,y x в степени 2 3,y x график,y x график функции,y x график функций,y x как построить график,y x как построить график функции,y x построить график,y x постройте график,y x решение,y x2 2 график функции,y x2 3 график функции,y x2 3x график,y x2 график,y x2 график функции,y x2 построить график функции,y x4,y x4 y 1,y x4 график функции,y x5,y x5 график функции,y x6,y x6 график,y x6 график функции,y от x,y х 2 график,y х 2 график функции,y х 2 х 3,y х 4 график,yotx графики онлайн,z x y график,генератор графиков,генератор графиков функций,гипербола онлайн,граф решишь,график,график 1,график 1 2 x,график 1 2 х,график 1 2x,график 1 2x 2,график 1 3 x,график 1 sin x,график 1 x,график 1 x 2,график 1 x 3,график 1 x в квадрате,график 1 корень из х,график 1 х,график 1 х 2,график 1 х 3,график 1 х в квадрате,график 1 х2,график 2 tg x,график 2 x,график 2 x 3,график 2 в степени x,график 2 синус х,график 2 х,график 2cos2x,график 2x,график 2x 1,график 2x 2,график 2x 2 1,график 2x 3,график 2x x 2,график 2×2,график 2х,график 3 2 x,график 3 2x,график 3 x,график 3 x 1,график 3 x 2,график 3 х,график 3x,график 3x 2,график 4 x,график 4 x 2,график 4 в степени х,график 4 х,график 4 х 2,график 4 х в квадрате,график 4x x 2,график 4x y 2,график 5 x,график 6 x,график a x,график arctg 1 x,график arctg 2x,график arctg x 2,график cos 2 x,график e x,график e y,график lgx,график ln 1 x,график sin 1 x,график sin 2 x,график sin x построить график,график sin3x,график sinx x,график sqrt x,график tg 2 x,график x,график x 0,график x 1 2,график x 1 3,график x 2,график x 2 1,график x 2 2x,график x 2 3,график x 2 4,график x 2 y 2 0,график x 3,график x 3 1,график x 3 2,график x 4,график x 4 2,график x 5,график x 6,график x a,график x e,график x e y,график x sqrt y,график x y,график x y 0,график x y 2,график x y 8,график x y a,график x y z,график x в 2 степени,график x в степени 2,график x в степени 3,график x2 4,график x3,график x3 1,график x4,график xy,график y,график y 0,график y 1,график y 1 2,график y 1 2 x,график y 1 2x,график y 1 2×2,график y 1 3 x 2 x,график y 1 3x 2,график y 1 4 x,график y 1 5 x,график y 1 x,график y 1 x 2,график y 1 x 4,график y 10 x,график y 2,график y 2 1,график y 2 2x,график y 2 2x 1,график y 2 3x,график y 2 5 x,график y 2 cos x,график y 2 x 1,график y 2 x 3,график y 2 корень x,график y 2 х,график y 2cos x,график y 2x,график y 2x x 2,график y 2x x2,график y 3 2x,график y 3 x,график y 3 x 2,график y 3 в степени x 2,график y 3 корень x,график y 3sin2x,график y 3x,график y 3x 2,график y 4,график y 4 x,график y 4 x 2,график y 4 x 3,график y 4 x2,график y 4x,график y 4x 1,график y 4x 2,график y 4x x 2,график y 5 2x,график y 5 x,график y 7 x,график y 8 x,график y 9 x,график y e,график y sqrt x,график y tg 2 x,график y tg 2x,график y x,график y x 0,график y x 1 x 5,график y x 1 в квадрате,график y x 10,график y x 2,график y x 2 3,график y x 3 2,график y x 4,график y x 4 и y x 4,график y x 5,график y x 5 2,график y x 6,график y x 7,график y x 8,график y x a,график y x в 3 степени,график y x в 7 степени,график y x в квадрате 1,график y x2,график y х 2,график z x y,график в полярной системе координат онлайн,график в полярных координатах онлайн,график в пространстве онлайн,график в трехмерном пространстве онлайн,график гиперболы онлайн построить,график е,график зависимости онлайн построить,график икс в степени икс,график калькулятор,график квадратичной функции онлайн,график квадратичной функции построить онлайн,график комплексной функции онлайн,график координат,график корень из х 1,график косинус 3х,график кусочной функции онлайн,график логарифма онлайн,график логарифмической функции онлайн,график математика,график нарисовать,график начертить,график неявной функции онлайн,график окружности онлайн,график окружности онлайн построить,график онлайн,график онлайн 3d,график онлайн в полярной системе координат,график онлайн в полярных координатах,график онлайн в пространстве,график онлайн в трехмерном пространстве,график онлайн квадратичной функции,график онлайн неявной функции,график онлайн по точкам,график онлайн по уравнению,график онлайн по формуле,график онлайн по функции,график онлайн построение,график онлайн построить,график онлайн построить x y z,график онлайн построить по точкам,график онлайн построить по уравнению,график онлайн построить с модулем,график онлайн с модулем,график онлайн трехмерный,график онлайн функция,график онлайн чертить,график параболы онлайн,график параметрической функции онлайн,график по точкам онлайн,график по уравнению онлайн,график по формуле онлайн,график по функции,график по функции онлайн,график построение,график построение онлайн,график решить,график с корнем онлайн с,график с модулем онлайн,график с модулем онлайн построить,график сайт,график синус х 2,график системы уравнений онлайн,график степенной функции онлайн,график строить,график строить онлайн,график тригонометрической функции онлайн,график у 1,график у 1 2 х,график у 1 2х,график у 1 2х2,график у 1 x,график у 1 корень из х,график у 1 х,график у 1 х 2,график у 2,график у 2 x,график у 3 x,график у 3 х,график у 3х,график у 4 х,график у x,график у x 2,график у х,график у х 1,график у х 1 х 3,график у х 2 5,график у х 4,график у х 5,график у х 7,график у х 8,график у х в степени 2,график у х2 1,график уравнения y 2 x 2,график уравнения онлайн,график функции,график функции 1 2 x,график функции 1 2 х,график функции 1 cos x 1,график функции 1 x,график функции 1 x 2,график функции 1 x 3,график функции 1 x 4,график функции 1 x в квадрате,график функции 1 корень из х,график функции 1 х,график функции 1 х 2,график функции 1 х 3,график функции 1 х в квадрате,график функции 2 1 х,график функции 2 3 x,график функции 2 x,график функции 2 x 1,график функции 2 x 3,график функции 2 y 1 x,график функции 2 х 1,график функции 2x,график функции 2x 2 x,график функции 3 1 х,график функции 3 x,график функции 3 x 1,график функции 3 x 2,график функции 3 х,график функции 4 x,график функции 4 x 2,график функции 4 в степени х,график функции 4 х,график функции 4 х 2,график функции 5 x,график функции sin 1 x,график функции x,график функции x 1,график функции x 1 2,график функции x 1 3,график функции x 1 в квадрате,график функции x 2,график функции x 2 1,график функции x 2 3,график функции x 2 4x,график функции x 2 y 2,график функции x 2 y 2 4,график функции x 2 y 2 9,график функции x 2 y 2 9 график,график функции x 2x 2,график функции x 3,график функции x 3 1,график функции x 3 2,график функции x 3 sin y,график функции x 3 x 1 x,график функции x 3 x 2 1,график функции x 4,график функции x 4 2,график функции x 5,график функции x 6,график функции x e,график функции x y,график функции x y 0 x,график функции x y 1,график функции x y 5,график функции x y a,график функции x3,график функции y 0,график функции y 0 x 0,график функции y 1,график функции y 1 2,график функции y 1 2x,график функции y 1 3 x 2,график функции y 1 3x в квадрате,график функции y 1 4x в квадрате,график функции y 1 x 4,график функции y 1 x в квадрате,график функции y 2,график функции y 2 1,график функции y 2 3x,график функции y 2 x,график функции y 2 x 1,график функции y 2 x 3,график функции y 2 x2,график функции y 2x,график функции y 2x 2,график функции y 2x 3,график функции y 2×2,график функции y 2×2 1,график функции y 3,график функции y 3 2x,график функции y 3 x,график функции y 3 x 2,график функции y 3x 2,график функции y 4 x,график функции y 4 x 2,график функции y 4 в x степени,график функции y 4x 2,график функции y 5,график функции y 5 2x,график функции y 5 x,график функции y 5 x 2,график функции y 5x,график функции y 5x 2,график функции y 5x 4,график функции y 6 2x,график функции y lg x,график функции y tg 2x,график функции y x,график функции y x 1,график функции y x 1 2,график функции y x 1 4,график функции y x 1 x 2,график функции y x 1 в квадрате,график функции y x 10,график функции y x 2 3,график функции y x 2 3 x 2x,график функции y x 2 5,график функции y x 2 x 0,график функции y x 3 2,график функции y x 3 4,график функции y x 3 как построить,график функции y x 4,график функции y x 4 2,график функции y x 4 3,график функции y x 5,график функции y x 6,график функции y x 7,график функции y x 9,график функции y x sqrt x 2,график функции y x в квадрате 1,график функции y x как построить,график функции y x2,график функции y x2 1,график функции y x2 3,график функции y x4,график функции y x5,график функции y x6,график функции y х,график функции в полярных координатах онлайн,график функции двух переменных онлайн,график функции двух переменных онлайн построить,график функции как выглядит,график функции калькулятор,график функции калькулятор онлайн,график функции нарисовать,график функции одна вторая икс в квадрате,график функции онлайн,график функции онлайн x y z,график функции онлайн двух переменных,график функции онлайн калькулятор,график функции онлайн неявной,график функции онлайн по точкам,график функции онлайн построение,график функции онлайн построить,график функции онлайн построить по точкам,график функции онлайн построить с корнем,график функции онлайн построить с модулем,график функции онлайн построить с решением,график функции онлайн с модулем,график функции онлайн с решением,график функции параметрической онлайн,график функции по,график функции по точкам онлайн,график функции по точкам онлайн построить,график функции построение,график функции построение онлайн,график функции решение,график функции решить онлайн,график функции с модулем онлайн,график функции с решением онлайн,график функции синус 2х,график функции строить онлайн,график функции у,график функции у 1 2 х,график функции у 1 2х,график функции у 1 х 2,график функции у 1 х в квадрате,график функции у 2,график функции у 2 x,график функции у 3,график функции у 3 x,график функции у 4х в квадрате,график функции у x,график функции у x 1,график функции у x 2,график функции х,график функции х 1,график функции х 1 2,график функции х 2 1,график функции х 2 y,график функции х 3 2,график функции х 4,график функции х 4 2,график функции х 4 х 2,график функции х y,график функции х y 2,график функции х в 4 степени,график функции х в квадрате минус х,график функции х в квадрате х,график функции х делить на х,график функции х у,график функций,график функций онлайн,график функция онлайн,график х,график х 0,график х 1,график х 1 2,график х 1 в квадрате,график х 2,график х 2 1,график х 2 3,график х 2 y 2,график х 3,график х 3 1,график х 3 2,график х 4,график х y 2,график х в квадрате,график х в квадрате 1,график х в квадрате 4,график х в степени 2,график х в степени 4,график х е х,график х и у,график х у,график х у 4,график х у z,график х2 1,график х3,график чертить онлайн,график экспоненты в степени минус х,графика онлайн,графика точками,графики,графики x 2 y 2,графики y 2 x,графики в полярной системе координат онлайн,графики в полярных координатах онлайн,графики онлайн,графики онлайн 3d,графики онлайн в полярной системе координат,графики онлайн в полярных координатах,графики онлайн по точкам,графики онлайн полярная система координат,графики онлайн построение,графики онлайн построение по точкам,графики онлайн построение по уравнению,графики онлайн трехмерные,графики по точкам онлайн,графики по точкам онлайн построение,графики построение,графики построение онлайн,графики построить,графики построить онлайн,графики рисовать онлайн,графики строить,графики строить онлайн,графики уравнений онлайн,графики функции онлайн,графики функций x 2 y 2,графики функций калькулятор,графики функций онлайн,графики функций онлайн калькулятор,графики функций онлайн построение,графики функций онлайн с модулем,графики функций онлайн с решением,графики функций построение,графики функций построение онлайн,графики функций построить,графики функций с модулем онлайн,графики функций строить онлайн,графики чертить,графический калькулятор онлайн,графический онлайн калькулятор,графическое решение уравнений онлайн,графік,графік функції y 2 x,графік функції y x 2,графік функції онлайн,графіки,графіки онлайн,графопостроитель онлайн,дослідити функцію та побудувати її графік онлайн,е график,е х график,изобразите график функции,изобразить график функции онлайн,изоклины онлайн построение,икс в степени икс график,инженерная графика онлайн построение,используя график функции y f x постройте график функции,используя график функции построить график функции,исследовать график функции онлайн,исследовать график функции онлайн с решением,исследовать и построить график функции онлайн,исследовать функцию и построить график онлайн решение калькулятор,как выглядит график,как выглядит график x 2 y 2,как выглядит график функции,как начертить график функции,как построить x y,как построить y x,как построить график x y,как построить график x y 2,как построить график y 2 x,как построить график y x,как построить график y x 2,как построить график функции x 2 y,как построить график функции x y,как построить график функции x y 2,как построить график функции x y 3,как построить график функции y,как построить график функции y x,как построить график функции y x 2,как построить график функции по уравнению,калькулятор график,калькулятор график функции,калькулятор графика функции,калькулятор графики функций,калькулятор графиков,калькулятор графиков онлайн,калькулятор графиков функций,калькулятор графиков функций онлайн,калькулятор графиков функций онлайн с решением,калькулятор графический онлайн,калькулятор для построения графиков функций,калькулятор онлайн график функции,калькулятор онлайн графиков,калькулятор онлайн построить график функции,калькулятор построения графиков функций,калькулятор построения графиков функций онлайн,калькулятор построить график функции,калькулятор функции график,калькулятор функции онлайн,калькулятор функций,калькулятор функций графики,калькулятор функций графики онлайн,калькулятор функций онлайн,квадратичная функция онлайн,конструктор графиков,конструктор графиков онлайн,конструктор онлайн функций,конструктор функций онлайн,координатная плоскость онлайн,координатная плоскость онлайн рисовать,координатная прямая онлайн,косинус 3х график,косинус х 2 график,лучший построитель графиков,лучший построитель графиков онлайн,математика график,математикам ру построение графика,найти график функции,нарисовать график,нарисовать график онлайн,нарисовать график онлайн вручную,нарисовать график онлайн по точкам,нарисовать график по точкам онлайн,нарисовать график функции,нарисовать график функции онлайн,нарисовать онлайн функцию,нарисовать функцию онлайн,начертите график,начертить график,начертить график онлайн,начертить график онлайн по точкам,начертить график по точкам онлайн,начертить график функции онлайн,неравенства график онлайн,окружность построить онлайн,онлайн 3d график,онлайн гипербола,онлайн график,онлайн график в полярной системе координат,онлайн график квадратичной функции,онлайн график логарифма,онлайн график логарифмической функции,онлайн график по таблице,онлайн график по точкам,онлайн график по уравнению,онлайн график по формуле,онлайн график построение,онлайн график с модулем,онлайн график функции,онлайн график функции z x y,онлайн график функции с модулем,онлайн графика,онлайн графики,онлайн графики в полярных координатах,онлайн графики в пространстве,онлайн графики по точкам,онлайн графики с модулем,онлайн графики уравнений,онлайн графики функции,онлайн графики функций построить,онлайн графіки,онлайн калькулятор график функции,онлайн калькулятор графики функций,онлайн калькулятор графиков,онлайн калькулятор графиков функций,онлайн калькулятор графиков функций с решением,онлайн калькулятор для функций,онлайн калькулятор построения графиков функций,онлайн калькулятор построить график функции,онлайн калькулятор функции,онлайн калькулятор функций,онлайн квадратичная функция,онлайн конструктор графиков,онлайн конструктор функций,онлайн координатная плоскость,онлайн координатная прямая,онлайн описать функцию,онлайн парабола,онлайн побудова графіків,онлайн побудова графіків функцій,онлайн построение,онлайн построение гиперболы,онлайн построение график функции,онлайн построение графика,онлайн построение графика в полярной системе координат,онлайн построение графика в полярных координатах,онлайн построение графика квадратичной функции,онлайн построение графика функции,онлайн построение графиков,онлайн построение графиков 3d,онлайн построение графиков в полярных координатах,онлайн построение графиков в трехмерной системе координат,онлайн построение графиков зависимости,онлайн построение графиков неравенств,онлайн построение графиков онлайн в полярной системе координат онлайн,онлайн построение графиков по точкам,онлайн построение графиков по уравнению,онлайн построение графиков по физике,онлайн построение графиков с двумя переменными,онлайн построение графиков с корнем,онлайн построение графиков с корнями,онлайн построение графиков с модулем,онлайн построение графиков сложных функций,онлайн построение графиков тригонометрических функций,онлайн построение графиков уравнений,онлайн построение графиков функции,онлайн построение графиков функций,онлайн построение графиков функций x y z,онлайн построение графиков функций по уравнению,онлайн построение графиков функций с модулем,онлайн построение графиков функций с решением,онлайн построение графов,онлайн построение квадратичной функции,онлайн построение кривых,онлайн построение логарифмических графиков,онлайн построение нескольких графиков в одной системе координат,онлайн построение окружности,онлайн построение параболы,онлайн построение синусоиды,онлайн построение тригонометрических графиков,онлайн построение тригонометрических функций,онлайн построение фигур,онлайн построение функций,онлайн построения графиков,онлайн построитель,онлайн построитель графиков,онлайн построитель графиков функций,онлайн построитель функций,онлайн построить график квадратичной функции,онлайн построить графики функций,онлайн постройка графика,онлайн постройка графиков,онлайн постройка графиков функций,онлайн программа для построения графиков,онлайн программа построения графиков,онлайн решение графика функции,онлайн решение графиков,онлайн решение графиков функций,онлайн решение графических уравнений,онлайн решение квадратичной функции,онлайн решение параболы,онлайн решение функций,онлайн решение функция,онлайн решить график функции,онлайн рисование графиков,онлайн система координат,онлайн составить график функции,онлайн составление графика,онлайн составление графиков,онлайн строим график,онлайн строим графики,онлайн строитель графиков,онлайн строитель графиков функций,онлайн строитель функций,онлайн строительство графиков,онлайн строить график функции,онлайн строить графики функций,онлайн трехмерная система координат,онлайн функции,онлайн функция,онлайн функция график,онлайн функция решение,онлайн чертить график,онлайн черчение графиков,описать график функции онлайн,описать функцию онлайн,определить функцию по графику онлайн,парабола онлайн,парабола онлайн построение,парабола построение онлайн,параболы онлайн построение,по графику определить функцию онлайн,по математике графики,по формуле построить график,побудова графіків,побудова графіків онлайн,побудова графіків функцій,побудова графіків функцій онлайн,побудувати графік,побудувати графік онлайн,побудувати графік функції,побудувати графік функції онлайн,побудувати графік функції онлайн розв язок,побудуйте графік функції,полярная система координат графики онлайн,построение 3д графиков онлайн,построение в полярных координатах онлайн,построение график,построение график онлайн,построение график функции,построение график функции онлайн,построение графика,построение графика в полярной системе координат онлайн,построение графика в полярных координатах онлайн,построение графика квадратичной функции онлайн,построение графика онлайн,построение графика онлайн в полярных координатах,построение графика онлайн по точкам,построение графика онлайн по функции,построение графика по точкам,построение графика по точкам онлайн,построение графика по функции онлайн,построение графика функции,построение графика функции онлайн,построение графика функции онлайн с решением,построение графики,построение графики функций,построение графиков,построение графиков xyz онлайн,построение графиков в полярной системе координат онлайн,построение графиков в полярной системе координат онлайн с решением,построение графиков в полярных координатах онлайн,построение графиков в пространстве онлайн,построение графиков в трехмерной системе координат онлайн,построение графиков в трехмерном пространстве онлайн,построение графиков зависимости онлайн,построение графиков на миллиметровке онлайн,построение графиков неравенств онлайн,построение графиков онлайн,построение графиков онлайн 3д,построение графиков онлайн xyz,построение графиков онлайн в полярной системе координат,построение графиков онлайн в полярных координатах,построение графиков онлайн в пространстве,построение графиков онлайн в трехмерной системе координат,построение графиков онлайн на миллиметровке,построение графиков онлайн неравенств,построение графиков онлайн по таблице,построение графиков онлайн по точкам,построение графиков онлайн по точкам на миллиметровке,построение графиков онлайн по уравнению,построение графиков онлайн по физике,построение графиков онлайн с двумя переменными,построение графиков онлайн с корнем,построение графиков онлайн с корнями,построение графиков онлайн с модулем,построение графиков онлайн с параметром,построение графиков онлайн с решением,построение графиков онлайн трехмерных,построение графиков по таблице онлайн,построение графиков по точкам,построение графиков по точкам онлайн,построение графиков по уравнению онлайн,построение графиков по физике онлайн,построение графиков полярных онлайн,построение графиков с двумя переменными онлайн,построение графиков с корнем онлайн,построение графиков с корнями онлайн,построение графиков с модулем онлайн,построение графиков с параметром онлайн,построение графиков сложных функций онлайн,построение графиков тригонометрических онлайн,построение графиков тригонометрических функций онлайн,построение графиков уравнений онлайн,построение графиков функции,построение графиков функции онлайн,построение графиков функции онлайн с решением,построение графиков функции с решением онлайн,построение графиков функций,построение графиков функций онлайн,построение графиков функций онлайн x y z,построение графиков функций онлайн по уравнению,построение графиков функций онлайн с модулем,построение графиков функций онлайн с подробным решением,построение графиков функций онлайн с решением,построение графиков функций по уравнению онлайн,построение графиков функций с модулем онлайн,построение графиков функций с решением онлайн,построение графов онлайн,построение квадратичной функции онлайн,построение кривых онлайн,построение логарифмических графиков онлайн,построение нескольких графиков в одной системе координат онлайн,построение нескольких графиков онлайн,построение обратной функции онлайн,построение окружности онлайн,построение онлайн,построение онлайн кривых,построение параболы онлайн,построение параболы онлайн по квадратному уравнению,построение параболы по квадратному уравнению онлайн,построение параметрических графиков онлайн с решением,построение полярных графиков онлайн,построение пространственных графиков онлайн,построение синусоиды онлайн,построение сложных графиков онлайн,построение сложных графиков функций онлайн,построение точек онлайн по координатам,построение точек по координатам онлайн,построение трехмерных графиков онлайн,построение тригонометрических графиков онлайн,построение тригонометрических функций онлайн,построение уравнений онлайн,построение функции,построение функции онлайн,построение функций,построение функций онлайн,построения графиков онлайн,построитель графиков,построитель графиков онлайн,построитель графиков функций,построитель графиков функций онлайн,построитель онлайн,построитель функций,построитель функций онлайн,построить y x 2 x 1,построить гиперболу онлайн,построить гиперболу онлайн по уравнению,построить гиперболу по уравнению онлайн,построить график,построить график 1 x 2,построить график 3d,построить график x 3 x 2,построить график x f y,построить график x sin x,построить график x y,построить график x y 1,построить график x y z онлайн,построить график x y в квадрате,построить график y,построить график y 1 x,построить график y 2 2x,построить график y 2 x,построить график y 2 x 3,построить график y 2x,построить график y 3 2 x,построить график y 4 x,построить график y cos2x,построить график y x,построить график y x 1,построить график y x 2,построить график y x 3,построить график y x 4,построить график y x 4 2,построить график y x 5,построить график y x 6,построить график в полярной системе координат онлайн,построить график в полярных координатах онлайн,построить график в трехмерном пространстве онлайн,построить график зависимости онлайн,построить график зависимости онлайн по точкам,построить график зависимости по точкам онлайн,построить график квадратичной функции онлайн,построить график квадратичной функции онлайн с решением,построить график логарифмической функции онлайн,построить график неявной функции онлайн,построить график обратной функции онлайн,построить график окружности онлайн,построить график онлайн,построить график онлайн x y z,построить график онлайн в полярной системе координат,построить график онлайн в трехмерном пространстве,построить график онлайн неявной функции,построить график онлайн окружности,построить график онлайн по данным таблицы,построить график онлайн по координатам,построить график онлайн по таблице,построить график онлайн по таблице онлайн,построить график онлайн по точкам,построить график онлайн по точкам x y,построить график онлайн по точкам на миллиметровке,построить график онлайн по точкам онлайн,построить график онлайн по уравнению,построить график онлайн по уравнению онлайн,построить график онлайн по функции,построить график онлайн с модулем,построить график параметрической функции онлайн,построить график по данным таблицы онлайн,построить график по координатам онлайн,построить график по таблице онлайн,построить график по точкам,построить график по точкам онлайн,построить график по уравнению онлайн,построить график по уравнению функции,построить график по функции онлайн,построить график с корнем онлайн с,построить график с модулем онлайн,построить график системы уравнений онлайн,построить график тригонометрической функции онлайн,построить график тригонометрической функции онлайн с решением,построить график у 2 х,построить график у 4 х,построить график у x 2 3 x 2,построить график у х 1 2,построить график у х 2,построить график у х 3,построить график у х 4,построить график уравнения,построить график уравнения онлайн,построить график уравнения онлайн с решением,построить график функции,построить график функции 1 x 1,построить график функции 1 x 2,построить график функции 1 y 2x,построить график функции 1 у 3 х,построить график функции 2 5 x 2,построить график функции 2 5x 2,построить график функции x 1 2,построить график функции x 2 1,построить график функции x 3 2x 2 x 3,построить график функции x f y,построить график функции x y,построить график функции x y 4,построить график функции y,построить график функции y 1 2 x 2,построить график функции y 1 2x 2,построить график функции y 1 2×2,построить график функции y 1 x,построить график функции y 1 x 3,построить график функции y 2 3 x,построить график функции y 2 3x,построить график функции y 2 5x,построить график функции y 2 x 3,построить график функции y 2 x 5,построить график функции y 2x 3,построить график функции y 2x 4 x 2 1 решение,построить график функции y 3 2x,построить график функции y 3 x 2,построить график функции y 3x в квадрате,построить график функции y 4 x,построить график функции y 4 x 1,построить график функции y 5 2x,построить график функции y 5 x 2,построить график функции y 5x 2,построить график функции y 8 x,построить график функции y cos x 1,построить график функции y x,построить график функции y x 1,построить график функции y x 1 2,построить график функции y x 1 2 3,построить график функции y x 1 4,построить график функции y x 1 x 2,построить график функции y x 1 x 3,построить график функции y x 10,построить график функции y x 2,построить график функции y x 2 3,построить график функции y x 3,построить график функции y x 3 2,построить график функции y x 4 2,построить график функции y x 4 x,построить график функции y x 5,построить график функции y x 7,построить график функции y x 8,построить график функции y x cos x,построить график функции y x sin x,построить график функции в полярной системе координат онлайн,построить график функции в трехмерном пространстве онлайн,построить график функции двух переменных онлайн,построить график функции калькулятор,построить график функции онлайн,построить график функции онлайн в полярной системе координат,построить график функции онлайн в трехмерном пространстве,построить график функции онлайн калькулятор,построить график функции онлайн по точкам,построить график функции онлайн по уравнению,построить график функции онлайн по уравнению онлайн,построить график функции онлайн по уравнению с решением,построить график функции онлайн с корнем,построить график функции онлайн с модулем,построить график функции онлайн с подробным решением,построить график функции онлайн с подробным решением 9 класс,построить график функции онлайн с решением,построить график функции онлайн с решением 10 класс,построить график функции онлайн с таблицей точек,построить график функции по модулю онлайн,построить график функции по точкам онлайн,построить график функции по уравнению,построить график функции по уравнению онлайн,построить график функции с корнем онлайн,построить график функции с модулем онлайн,построить график функции с модулем онлайн с подробным решением,построить график функции у,построить график функции у 1 х,построить график функции у 1 х 2,построить график функции у 2 х,построить график функции у х,построить график функции у х в квадрате,построить график функции х в квадрате,построить график функции х у,построить график функции х у 4,построить график функции х у 5,построить график функций,построить график функций онлайн с решением,построить график функций с решением онлайн,построить график х у 2,построить графики,построить графики онлайн,построить графики онлайн по точкам,построить графики по точкам онлайн,построить графики функций,построить графики функций в одной системе координат,построить графики функций онлайн,построить графики функций онлайн с решением,построить и исследовать график функции онлайн,построить и прочитать график функции,построить интегральную кривую онлайн,построить интегральные кривые онлайн,построить калибровочный график онлайн,построить кривую заданную уравнением в полярной системе координат онлайн,построить кривую онлайн,построить кривые по заданным уравнениям онлайн с решением,построить линии уровня функции онлайн,построить несколько графиков на одном онлайн,построить область ограниченную линиями онлайн,построить окружность онлайн,построить онлайн график в полярных координатах,построить онлайн график логарифмической функции,построить онлайн график с модулем,построить онлайн график функции по точкам,построить онлайн график функций,построить онлайн фигуру,построить параболу онлайн,построить параболу онлайн по уравнению,построить параболу по уравнению онлайн,построить по точкам график зависимости онлайн,построить прямую онлайн,построить прямую онлайн по уравнению,построить прямую по уравнению онлайн,построить тригонометрический график онлайн,построить функции онлайн,построить функцию,построить функцию онлайн,построить функцию онлайн с решением,построить функция онлайн,построить эллипс онлайн,построить эскиз графика функции онлайн,построй график функции,постройка графика,постройка графика онлайн,постройка графика онлайн по точкам,постройка графика по точкам онлайн,постройка графика функции,постройка графика функции онлайн,постройка графиков,постройка графиков онлайн,постройка графиков функций онлайн,постройте график,постройте график x y,постройте график y 2 x,постройте график y x,постройте график y x 2,постройте график y x 6,постройте график онлайн,постройте график уравнений,постройте график уравнения 2×2 y 4x 3,постройте график функции,постройте график функции x 3,постройте график функции x y 2 y 0 x,постройте график функции y,постройте график функции y 1 2,постройте график функции y 1 3 x 2,постройте график функции y 1 3x 2,постройте график функции y 1 4x,постройте график функции y 1 6x,постройте график функции y 1 x,постройте график функции y 2,постройте график функции y 2 3 x,постройте график функции y 2 корень 3 степени из x,постройте график функции y 2x,постройте график функции y 3 4 x 1,постройте график функции y 3 х 1,постройте график функции y x,постройте график функции y x 1,постройте график функции y x 1 2,постройте график функции y x 1 x 3 x 4,постройте график функции y x 10,постройте график функции y x 2 x 3 x 1,постройте график функции y x 3,постройте график функции y x 3 2,постройте график функции y x 5,постройте график функции y х 2,постройте график функции игрек равен,постройте график функции игрек равно,постройте график функции онлайн,постройте график функции онлайн с решением,постройте график функции у,постройте график функции у 1 4х2,постройте график функции у 1 x,постройте график функции х у,постройте график функций,постройте график функций y,постройте графики,постройте графики функций,преобразование графиков функций онлайн,преобразование функции онлайн,программа для построения графиков онлайн,программа для построения графиков функций онлайн,программа онлайн для построения графиков,программа онлайн построения графиков,программа построения графиков онлайн,программа построения графиков функций онлайн,прямая у х,прямоугольная система координат онлайн,решение y 1 x,решение график функции,решение графика функции онлайн,решение графиков,решение графиков онлайн,решение графиков функций,решение графиков функций онлайн,решение графиков функций онлайн с решением,решение графических уравнений онлайн,решение квадратичной функции онлайн,решение онлайн графика функции,решение онлайн графиков функций,решение онлайн квадратичной функции,решение онлайн функции,решение параболы онлайн,решение функции онлайн,решение функции онлайн с решением и графиком,решение функций онлайн,решение функций онлайн с решением,решение функций онлайн с решением и графиком,решение функция онлайн,решите графически уравнение онлайн,решите уравнение графически онлайн,решить график,решить график функции онлайн,решить график функции онлайн с решением,решить графически уравнение онлайн,решить графически уравнение онлайн с решением,решить онлайн график функции,решить онлайн функцию,решить уравнение графически онлайн,решить функцию онлайн,решить функцию онлайн с решением и построить график онлайн,рисование графиков онлайн,рисовать графики онлайн,рисовать онлайн графики,сайт для построения графиков,сайт для построения графиков функций,сайт построения графиков функции,свойства функции онлайн,сделать график онлайн,сделать график онлайн по данным,сделать график онлайн по точкам,сделать график по точкам онлайн,синусоида график онлайн,система координат онлайн,создание графиков онлайн,составить график функции онлайн,составить онлайн график функции,составление графика онлайн,составление графиков онлайн,составление онлайн графика,составление онлайн графиков,строение графика функции онлайн,строим график,строим графики онлайн,строим онлайн график,строитель графиков,строитель графиков онлайн,строитель графиков функций онлайн,строитель функций онлайн,строительство графиков онлайн,строить график,строить график онлайн,строить график функции онлайн,строить графики,строить графики онлайн,строить графики функций онлайн,трехмерная система координат онлайн,трехмерная система координат онлайн построение,трехмерная система координат онлайн построение по точкам,трехмерные графики онлайн,трехмерный график онлайн,тригонометрические графики онлайн,у 1 2х график,у 1 2х график функции,у 1 2х2 график,у 1 3х2 график,у 1 x график функции,у 1 график,у 1 график функции,у 1 корень из х график,у 1 х 2 график,у 1 х 2 график функции,у 1 х 3 график,у 1 х в квадрате график функции,у 1 х график,у 1 х2 график функции,у 2 x 2 график,у 2 x 2 график функции,у 2 x график,у 2 график,у 2 график функции,у 2 х 1 график,у 2 х построить график,у 2х 1 построить график,у 3 x график,у 3 x график функции,у 3 в степени х график,у 3 график,у 3 график функции,у 3 х 2 график,у 3 х график,у 3 х построить график функции,у 3х график,у 4 х 2 график функции,у 4 х построить график,у 5 х 2 график,у 5 х график,у x 2 график,у x график,у x график функции,у график функции,у х 1 2,у х 1 2 график,у х 1 график,у х 2 1 график,у х 2 построить график,у х 4,у х 4 2 график,у х 4 3,у х 4 график,у х 5 график функции,у х 6 график,у х в 2 степени график,у х в степени 2 график,у х график,у х построить график функции,у х2 1 график,функции график построение,функции калькулятор,функции онлайн,функции онлайн калькулятор,функции онлайн построить,функции онлайн с решением,функции решение онлайн,функция 1 3x 2,функция 1 x график,функция 2 x,функция 3 x,функция 4 x,функция x 1 график,функция x 2 график,функция x 4,функция x 5,функция y 1 2x в квадрате,функция y 5 x,функция y x 4,функция y x 5,функция график онлайн,функция квадратичная онлайн,функция онлайн,функция онлайн график,функция онлайн построить,функция онлайн решение,функция по точкам онлайн,функция построить онлайн,функция решение онлайн,х 0 график,х 1 в квадрате график,х 1 в квадрате график функции,х 1 график,х 1 х 2 построить график,х 2 1 график,х 2 4 график,х 2 4 график функции,х 2 y 2 1 график,х 2 y 4,х 2 график,х 3 1 график,х 3 график,х 4 график,х 4 график функции,х 4 функция,х y 2 график,х y график,х y график функции,х в квадрате 1 график,х в квадрате 4 график,х в степени 2 график,х график,х и у график,х у z график,х у график,х2 1 график,чертить график онлайн,чертить графики,черчение графиков онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2 cos x 2 график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 2 x график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2 cos x 2 график Онлайн?

Решить задачу 1 2 cos x 2 график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Функция обратной синусоиды

Поскольку y = sin -1 x является обратной функцией y = sin x, функция y = sin -1 x тогда и только тогда, когда sin y = x . Но, поскольку y = sin x не взаимно однозначно, его область должна быть ограничена, чтобы y = sin -1 x был функцией. Чтобы получить график y = sin -1 x, начните с графика y = sin x.
Ограничить область определения функции однозначным region — обычно используется (выделено красным справа) для sin -1 x. Это оставляет диапазон ограниченной функции неизменным как [-1, 1].
Отразите этот график поперек линии y = x, чтобы получить график y = sin -1 x (y = arcsin x), черная кривая справа. Обратите внимание, что y = sin -1 x имеет домен [-1, 1] и диапазон. Он строго увеличивается на всей своей территории.
Итак, когда вы попросите калькулятор построить график y = sin -1 x, вы получите график, показанный справа. (Окно просмотра составляет [-2, 2] x [-2, 2].)

Вычисление y = sin

Пример 1: Вычислить sin

Большинство людей знакомы (и более комфортно) с тригонометрическими функциями, чем с их обратными.Следовательно, первый шаг в оценке этого выражения — сказать, что если y = sin ^-1 (1/2), то sin y = 1/2. Эта простая тригонометрическая функция имеет бесконечное количество решений:

Пять из этих решений обозначены вертикальными линиями на графике y = sin x ниже.

Итак, значение sin ^-1 (1/2) определяется приведенными выше выражениями? Нет! Жизненно важно помнить, что функция обратной синусоиды является однозначной и однозначной функцией.Только одно из бесконечного числа решений, приведенных выше, является желаемым результатом. Который из? Помните, что диапазон sin ^-1 x равен, что показано синим цветом на рисунке выше. Это действительно важно знать область и диапазон обратных тригонометрических функций! (Почему этот синий интервал отмечен на оси x, если он представляет диапазон sin ^-1 x? Потому что диапазон обратной функции равен области главной функции.) Единственное решение y = sin x, которое попадает в требуемый диапазон, — это (сплошная красная линия на рисунке выше). Следовательно,

Пример 2: Что такое

Справа показана единичная круговая диаграмма. Обратите внимание, что кандидатами на решение являются:

Однако только одно из этих значений находится в диапазоне sin ^-1 x (), поэтому:

Производная y = sin ^-1 x: (Щелкните здесь, чтобы получить вывод. )

Графики y = sin ^-1 x и его производной показаны справа. Область y ‘равна (-1,1). Поскольку y = sin ^-1 x всегда увеличивается, y ‘> 0 для всех x в своей области.

Интегралы, включающие функцию обратной синусоиды

Так как,. Это означает, что функция арксинуса возникает при обсуждении интегралов (и площадей) «относительно нормально выглядящих» алгебраических функций.Например:

Это заштрихованная область, показанная на снимке экрана TI-89 справа. (Окно [-0,5, 1,1] x [0, 3].)

3. Графики y = asin (bx + c) и y = acos (bx + c)

М. Борна

В этом разделе мы встречаем следующие 2 типа графиков:

y = a sin ( bx + c )

и

y = a cos ( bx + c )

И b , и c на этих графиках влияют на фазовый сдвиг (или смещение ), определяемый как:

`текст (Фазовый сдвиг) = (- c) / b`

Сдвиг фазы — это величина смещения кривой в горизонтальном направлении от нормального положения. Смещение будет к влево, , если фазовый сдвиг отрицательный, и к вправо, , если фазовый сдвиг положительный.

В этой формуле нет ничего волшебного. Мы просто решаем выражение в скобках для нуля; `bx + c = 0`.

Пример 1

Нарисуйте кривую

y = грех (2 x + 1)

Ответ

Давайте сначала посмотрим на график `y = sin 2x` (без« + 1 »), чтобы понять, что означает фазовый сдвиг.

Амплитуда равна 1, а период равен `(2π) / 2 = π.`

Я нарисовал чуть больше 2-х циклов, начиная с `x = 0`.

Теперь рассмотрим фазовый сдвиг. Используя приведенную выше формулу, нам нужно будет сместить нашу кривую на:

Фазовый сдвиг `= -c / b = -1 / 2 = -0,5`

Это означает, что нам нужно сместить кривую влево (поскольку фазовый сдвиг отрицательный) на «0,5». Вот ответ (выделен зеленым). Я сохранил исходное значение y = sin 2 x (выделено серым пунктиром), чтобы вы могли видеть, что происходит.

Обратите внимание, что кривая проходит через:

• (-0,5, 0) по оси x (потому что мы смещали кривую влево на 0,5) и
• sin 1 = 0,84 по оси y . Это число получается заменой x = 0 на y = sin (2 x + 1); (в радианах, конечно).

Пример 2

Эскиз

`y = 12cos (2x-pi / 8)`

Ответ

В этом примере

амплитуда `a = 12` и

`b = 2`, поэтому период =` (2π) / b = (2π) / 2 = π`, и

`c = -pi / 8`

, поэтому сдвиг фазы равен

`-c / b = — (- pi» / «8) / 2 = pi / 16`

Это означает, что нам нужно переместить график косинусов в справа от его нормального положения (так как смещение положительный в этом примере) на `pi / 16`.

Без фазового сдвига косинусоидальная кривая будет иметь вид y = 12 cos 2 x , а ее график будет следующим:

Теперь сдвинем вправо на π /16 ≈ 0,1963:

Вы можете увидеть исходную кривую косинуса (выделена серым пунктиром), и мы сместили ее на `pi / 16` вправо, чтобы получить требуемый график` y = 12 cos (2x — π / 8) `зеленым цветом.

Фазовый сдвиг Интерактивный

В следующем интерактиве используйте ползунок, чтобы изменить значение c , которое смещает кривую.Соблюдайте Значения « c » и «смещение» и как они меняются, когда вы переместите кривую влево и вправо.

Вы видите пример `y = sin (pi t)`. Это имеет период , определяемый как `(2 pi) / b = (2π) / π = 2`.

Вы также можете увидеть корпус с косинусом , выбрав его вверху.

График: `y = sin (pi t — 0)`

Смещение = `(-c) / b = 0 / pi = 0`

Авторские права © www. intmath.com

Фазовый угол или фазовый сдвиг?

Фазовый угол не всегда определяется так же, как фаза Сдвиг .

Угол фазы для синусоиды y = a sin ( bx + c ) обычно принимается равным c , а сдвиг фазы обычно задается как `- c / b`, как мы видели выше.

Напоминание: В последнем разделе мы увидели, как выразить синусоидальные кривые в терминах частоты.

Пример: Инженеры-электронщики разделяют термины «фазовый угол» и «фазовый сдвиг» и используют сочетание радианов и градусов.У нас может быть ток, выраженный следующим образом:

I = 50 sin (2 π (100) t + 30 °)

Это означает, что амплитуда равна 50 A, частота 100 Гц и фазовый угол 30 °.

См. Приложение фазового угла на Применение в цепях переменного тока в главе о комплексных числах.

Также см. Обсуждение этого вопроса в разделе «Фазовый сдвиг или фазовый угол?». в математическом блоге.

Для простоты мы будем в основном использовать термин сдвиг фазы в этой главе.

Аплет графика амплитуды, периода и фазового сдвига

Следующий интерактив поможет вам изучить три ключевых понятия при построении тригонометрических графиков — амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Используйте ползунки под графиком для изменения каждой из амплитуды , периода и сдвига фазы графика.

Ось «x» имеет целочисленный масштаб (конечно, в радианах), а кратные «пи» обозначены красной линией.

Вы также можете изменить функцию на косинус. Надеюсь, вы увидите, что концепции работают одинаково как для синусоидальных, так и для косинусоидальных кривых.

График: `y = a sin (bx + c) =` `sin (x)`

Период = `(2pi) / b = 6,28 / 1 = 6,28`

Смещение = `(-c) / b = 0/1 = 0`

Авторские права © www.intmath.com

Упражнения

Нарисуйте следующий график.

1. `y = sin (2x + π / 6)`

Ответ

`а = 1;`

`» период «= (2π) / 2 = π`

`» смещение «= -c / b = — (π / 6) / 2 = -π / 12`

Итак, нам нужно переместить синусоидальный график на влево на (потому что у нас есть отрицательное число) его нормального положения на `pi / 12`.

`-pi / 12`

График `y = sin (2x + pi / 6)` для `0 ≤ x ≤ pi`

Кривая `y = sin (2x)` показана серым пунктиром, а ответ, сдвинутый на `pi / 12` влево, показан темно-зеленым.

2. `y = 3 sin (x + π / 4)`

Ответ

`a = 3`;

`» период «= 2π`;

`» смещение «= -c / b = — (π / 4) / 1 = -π / 4`

`-pi / 4`

График `y = 3sin (x + pi / 4)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Кривая `y = 3sin (x)` показана серым пунктиром, а ответ, смещенный на `pi / 4` влево, показан темно-зеленым.

3. `y = 2 cos (x — π / 8)`

Ответ

`a = 2`;

`» период «= 2π`;

`» смещение «= -c / b = — (- π / 8) / 1 = π / 8`

Это означает, что нам нужно переместить y = 2 cos x в точку справа через `π / 8.`

`pi / 8`

График `y = 2 cos (x-pi / 8)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Кривая `y = 2cos (x)` показана серым пунктиром, а ответ после сдвига на `pi / 8` вправо — темно-зеленым.

4. `y = -cos (2x — π)`

Ответ

Давайте рассмотрим это по очереди.

Начнем с простого рисования графика y = cos \ 2x.

`a = 1`; `» период «= (2π) / 2 = π.`

Теперь давайте сместим кривую (сейчас мы рассматриваем «минус π» часть вопроса.

`» смещение «= -c / b = — (- π) / 2 = π / 2`

Таким образом, мы должны сдвинуть каждую точку кривой вправо (поскольку сдвиг фазы — положительное число) на «пи / 2».Это дает нам y = cos (2 x — π ), синяя пунктирная кривая.

Теперь нам нужно рассмотреть минус перед выражением y = −cos (2 x — π ). Минус просто даст нам зеркальное отображение по оси x , поскольку каждое положительное значение становится отрицательным, а каждое отрицательное значение становится положительным. Другими словами, минус переворачивает все с ног на голову.

Ответ для графика y = −cos (2 x — π ) — это зеленая кривая:

Но подождите, это то, с чего мы начали! Выглядит так же, как `y = cos \ 2x`.

Этот пример показывает интересную вещь о фазовом сдвиге и периодических функциях. Если вы сдвинете достаточно далеко, вы можете легко получить эквивалентные синусоидальные или косинусные выражения.

Вы лучше поймете, почему это работает, в разделе «Суммы и разности углов», с которым мы познакомимся позже.

Обратные тригонометрические функции | Precalculus II

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной.{−1} (б) = а [/ латекс].

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рисунке 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [latex] \ left [\ frac {- \ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi } {2} \ right] [/ latex] и график функции косинуса, ограниченной [0, π].

Рис. 2. (a) Синусоидальная функция в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right] [ /латекс]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Рисунок 3. Функция касания в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную обратимую функцию. Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он простирается от одной вертикальной асимптоты к следующей вместо того, чтобы быть разделенным на две части асимптотой.{−1} x [/ latex] имеет домен всех действительных чисел и диапазон [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/латекс]. Чтобы найти область , и диапазон , обратных тригонометрических функций, переключите область и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Рисунок 4. Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5.{−1} (0,96593) \ приблизительно \ frac {5 \ pi} {12} [/ латекс]

Попробуйте 1

Учитывая [латекс] \ cos (0,5) \ приблизительно 0,8776 [/ латекс], напишите соотношение, включающее обратный косинус.

Решение

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать. Для большинства значений в их областях мы должны оценивать обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или других численных методов.\ circ) [/ latex], и их отражения в другие квадранты.

Как: при наличии «особого» входного значения вычислить обратную тригонометрическую функцию.

1. Найдите угол x , для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
2. Если x не входит в заданный диапазон обратного преобразования, найдите другой угол y , который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x , в зависимости от того, который соответствует заданному обратному. функция.{−1} (\ frac {1} {2}) [/ латекс]

Решение

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Чтобы оценить обратные тригонометрические функции , которые не используют специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип технологии. Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN-1, ARCSIN или ASIN.

В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.{\ circ} \ hfill & \ text {Оценить.} \ end {array} [/ latex]

Попробовать 4

Решите треугольник на рисунке 9 относительно угла θ.

Рисунок 9

Решение

Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями

Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. {- 1} (\ cos \ theta) = \ frac {\ pi} {2} — \ theta \ text {if} 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \\ [/ latex].{−1} (\ cos (\ frac {13 \ pi} {6})) \\ [/ latex]

1. путем прямой оценки.
2. способом, описанным ранее.

Решение

1. Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции.

   [латекс] \ begin {array} \ cos \ left (\ frac {13 \ pi} {6} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} +2 \ pi \ right) \ \ \ hfill = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \\ \ hfill = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {array} \\ [/ latex]

   Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как делали раньше.{−1} (\ frac {4} {5}) \\ [/ latex] находится в квадранте I, [latex] \ sin {\ theta} \\ [/ latex] должно быть положительным, поэтому решением будет [latex ] \ frac {3} {5} \\ [/ latex]. См. Рисунок 11.

   Рис. 11. Прямой треугольник, иллюстрирующий, что если [latex] \ cos \ theta = \ frac {4} {5} [/ latex], то [latex] \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \ \ [/ латекс]

   Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], поэтому мы знаем, что синус этого угла должен быть положительным; поэтому [латекс] \ sin \ left (\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ right) = \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \\ [ /латекс].{−1} \ left (\ frac {7} {4} \ right) \ right) \\ [/ latex].

   Решение

   Хотя мы могли бы использовать ту же технику, что и в Примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику. Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что [latex] \ tan \ theta = \ frac {7} {4} \\ [/ latex]. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.

   Рис. 12. Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами

   Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.{−1} \ left (4x \ right) \ right) \\ [/ latex] для [латекса] — \ frac {1} {4} \ leq x \ leq \ frac {1} {4} \\ [/ латекс].

   Решение

   Ключевые концепции

   • Обратная функция — это функция, которая «отменяет» другую функцию. Область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, а диапазон обратной функции — это область определения исходной функции.
   • Поскольку тригонометрические функции не взаимно однозначны в своих естественных областях, обратные тригонометрические функции определены для ограниченных областей.{−1} \ left (\ sin x \ right) = \ frac {\ pi} {2} −x [/ latex] если [латекс] — \ frac {\ pi} {2} \ leq x \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ латекс].
   • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией нарисуйте контрольный треугольник, чтобы помочь определить соотношение сторон, представляющее выходные данные тригонометрической функции.
   • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией вы можете использовать тригонометрические тождества, чтобы помочь в определении соотношения сторон.{−1} (2) [/ латекс]. Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.

     5. Почему область синусоидальной функции [latex] \ sin x [/ latex] должна быть ограничена [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac { \ pi} {2} \ right] [/ latex] для существования функции обратного синуса?

     6. Обсудите, почему это утверждение неверно: [latex] \ arccos (\ cos x) = x [/ latex] для всех x .

     7. Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: [latex] \ arccos (−x) = \ pi− \ arccos x [/ latex].{−1} х [/ латекс]? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.

     53. Предположим, что к зданию прислонена 13-футовая лестница, достигающая дна окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

     54. Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?

     55. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.

     56. Без использования калькулятора приблизительно определите значение [латекс] \ арктан (10,000) [/ латекс]. Объясните, почему ваш ответ разумен.

     57. Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.

     58. Линия [latex] y = \ frac {3} {5} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y .Каков угол между линией и положительной осью x ?

     59. Линия [latex] y = — \ frac {3} {7} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y . Какова мера угла, который образует линия с отрицательной осью x ?

     60. Какой процентный уклон должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)

     61. 20-футовая лестница прислоняется к стене здания так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

     62. Предположим, 15-футовая лестница прислонена к стене дома так, что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.Как далеко от дома находится подножие лестницы?

     Тригонометрия: синусоида

     Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

     Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

     Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

     Синусоидальный график: Тригонометрическая функция sinx является периодической функцией.
     Функция синуса имеет максимальное значение как +1 и минимальное значение как -1.

     Поскольку sin (-x) = -sinx, sinx — нечетная функция.
     Значение функции sin x повторяется через каждые 2π единиц «x». Следовательно, эта функция периодическая с периодом 2π Функция, график которой представляет собой форму синусоиды, называется синусоидальной функцией, а такие графики называются синусоидальным графиком.

     Некоторые определения, используемые в синусоиде:
     Амплитуда: Это половина расстояния между максимальным и минимальным значениями.
     Термин «а» в общей форме синусоидальной функции представляет амплитуду этой функции.
     Амплитуда является постоянной для синусоидальных функций.
     Период: Это наименьшее время, необходимое функции для выполнения одного полного цикла.
     Из общего вида синусоидальной функции период T может быть записан как `T = 2π / b
     Теперь вернемся к простейшей синусоидальной функции.
     y = a sin bx
     , где a = амплитуда.
     Period = 2π / b
     Sin (0) = 0, поэтому синусоидальный график всегда начинается с нуля.
     
     По мере увеличения b период уменьшается.

     Фазовый сдвиг синусоидальной функции
     y = a sin (bx + c) + d
     Оба b и c влияют на фазовый сдвиг или движение графика
     

     Если c —— ——> Положительный ————> сдвиг вправо Если c ————> Отрицательный ———- -> сдвиг влево. Если d ————> Положительно ————> график сдвинут вверх на d единиц. Если d ————> Отрицательно ————> график сдвинут вниз на d единиц.

     
     Фазовый сдвиг = — c / b
     Период = 2π / b
     Фазовый сдвиг — это величина, на которую кривая смещается в горизонтальном направлении от своего нормального положения.
     Фазовый сдвиг, отрицательный ————> Левое смещение
     Фазовое смещение, положительное ————> Правое смещение
     Чтобы найти фазовый сдвиг, просто сделайте
     bx + c = 0 и решаем.
     Пример:
     y = 2 sin (2x +1)
     Здесь амплитуда = a = 2
     2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2, поэтому фазовый сдвиг = -1/2.
     Период = 2π / b
     Период = 2π / b = 2π / 2 = π

     
     

     ---

     Синусоидальный график

     Графический словарь

     Домашняя страница

     Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

     Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

     Графики: синус и косинус

     Чтобы увидеть, как изображены функции синуса и косинуса, воспользуйтесь калькулятором, компьютером или набором тригонометрических таблиц, чтобы определить значения функций синуса и косинуса для ряда различных градусы (или радианы) меры (см. Таблицу 1).

     Затем постройте эти значения и получите основные графики функции синуса и косинуса (рисунок 1).

     Рисунок 1
     Один период а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

     Синус-функция и косинус-функция имеют периоды 2π; поэтому образцы, показанные на рисунке, непрерывно повторяются слева и справа (рисунок 2).

     Несколько периодов функции синуса а) и функции косинуса б).

     К функциям синуса и косинуса можно добавить несколько дополнительных членов и множителей, которые изменяют их форму.

     Дополнительный член A в функции y = A + sin x учитывает вертикальный сдвиг в графике синусоидальных функций. Это также верно для функции косинуса (рисунок 3).

     Рисунок 3
     Примеры нескольких вертикальных сдвигов синусоидальной функции.

     Дополнительный коэффициент B в функции y = B sin x допускает изменение амплитуды синусоидальной функции. Амплитуда, | B | — максимальное отклонение от оси x , то есть половина разницы между максимальным и минимальным значениями графика. Это также верно для функции косинуса (рисунок 4).

     Рисунок 4
     Примеры нескольких амплитуд синусоидальной функции.

     Объединение этих цифр дает функции y = A + B sin x , а также y = A + B cos x . Эти две функции имеют минимальные и максимальные значения , как определено следующими формулами. Максимальное значение функции — M = A + | B |. Это максимальное значение возникает всякий раз, когда sin x = 1 или cos x = 1. Минимальное значение функции составляет m = A — | B |.Этот минимум возникает всякий раз, когда sin x = -1 или cos x = -1.

     Пример 1: Постройте график функции y = 1 + 2 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

     Максимальное значение — 1 + 2 = 3. Минимальное значение — 1 −2 = -1 (Рисунок 5).

     
     

     Рисунок 5
     Чертеж для примера 1.

     Пример 2: Постройте график функции y = 4 + 3 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

     Максимальное значение 4 + 3 = 7. Минимальное значение 4 — 3 = 1 (Рисунок 6).

     Рисунок 6
     Рисунок для примера 2.

     Дополнительный коэффициент C в функции y = sin Cx допускает изменение периода (длительность цикла) синусоидальной функции.(Это также верно для функции косинуса.) Период функции y = sin Cx равен 2π / | C |. Таким образом, функция y = sin 5 x имеет период 2π / 5. На рисунке 7 показаны дополнительные примеры.

     Рисунок 7
     Примеры нескольких частот а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

     Дополнительный член D в функции y = sin ( x + D ) учитывает сдвиг фазы (перемещение графика влево или вправо) на графике синусоидальных функций.(Это также верно для функции косинуса.) Сдвиг фазы равен | D |. Это положительное число. Не имеет значения, будет ли сдвиг влево (если D положительный) или вправо (если D отрицательный). Функция синуса нечетная, а функция косинуса четная. Функция косинуса выглядит точно так же, как функция синуса, за исключением того, что она сдвинута на π / 2 единицы влево (рисунок 8). Другими словами,

     Рисунок 8
     Примеры нескольких фазовых сдвигов синусоидальной функции.

     Пример 3: Каковы амплитуда, период, фазовый сдвиг, максимальное и минимальное значения

     y = 3 + 2 sin (3 x ‐2)

     y = 4 cos2π x

     
     

     Пример 4: Нарисуйте график y = cosπ x .

     Поскольку cos x имеет период 2π, cos π x имеет период 2 (рисунок 9).

     Рисунок 9
     Чертеж для примера 4.

     Пример 5: Нарисуйте график y = 3 cos (2x + π / 2).

     Поскольку cos x имеет период 2π, cos 2x имеет период π (рисунок 10).

     Рисунок 10
     Рисунок для примера 5.

     График функции y = — f ( x ) находится путем отражения графика функции y = f ( x ) относительно оси x . Таким образом, рисунок может также представлять график y = −3 sin 2 x . В частности,

     Важно понимать отношения между функциями синуса и косинуса и то, как сдвиги фазы могут изменять их графики.

     
     
     

     Тригонометрия: тригонометрические функции

     Амплитуда: Максимальное значение ординаты (y) на графике называется его « амплитудой ».

     Период: «Период» тригонометрической функции — это наименьшее положительное число, которое при добавлении к исходной круговой мере угла дает такое же значение функции.

     На рисунке показан график y = sin x для одного полного периода.

     Общие графики синусоидальной функции:

     Для синусоидальной функции вида: y = a sin bx

     Амплитуда = | а |

     Период = `(2 \ pi) / b`

     ---

     Пример 1

     Найти амплитуду и период функции y = `2 sin (x / 3)`

     Решение: Для данной функции y = 2 sin `(x / 3)` = 2 sin `(1 / 3x)`

     Амплитуда = | а | = 2

     Период = `(2 \ pi) / b` =` (2 \ pi) / ((1) / 3) `= 6` \ pi`

     ---

     График y = cos x (x измеряется в радианах)

     
     

     Из графика функции косинуса, показанного выше,

     Для y = cos x:

     Амплитуда = 1

     Период = 2` \ pi`

     Домен: -` \ infty`

     Диапазон: -1 `\ leq` y` \ leq` +1

     На рисунке справа показан график y = cos x для одного полного периода.

     ---

     График y = cos x (x измеряется в градусах)

     
     

     Общие графики функции косинуса:

     
     

     Для функции косинуса вида:

     y = a cos bx

     Амплитуда = | а |

     Период = `(2 \ pi) / b`

     ---

     Пример 2:

     Найти амплитуду и период функции y = `(1) / 2` cos 3x

     Решение: Для данной функции y = `(1) / 2` cos 3x

     Амплитуда = | а | = `(1) / 2`

     Период = `(2 \ pi) / b` =` (2pi) / 3`

     ---

     График y = tan x (x измеряется в радианах)

     
     

     График y = tan x = (sin x) / cos x был показан выше.Из определения функции видно, что значение касательной функции не определено для всех значений x, для которых `cos x = 0` (деление на ноль не определено). Следовательно, область определения касательной функции исключает нечетное целое число, кратное `(\ pi) / 2`. Вертикальные асимптоты можно наблюдать на всех этих значениях x.

     Примечание:

     Как видно из графика, касательная функция имеет период пи (`\ pi`).Это загар (`\ pi` +` \ theta`) = `tan (\ theta)`

     Из графика, приведенного выше,

     Для y = tan x:

     Амплитуда = нет; нет максимального значения для функции касательной.

     Period = `\ pi` (функция касания завершает один цикл от` (- \ pi) / 2 до (\ pi) / 2) `

     Домен: -` \ infty`

     Диапазон: -` \ infty`

     На рисунке справа показан график y = tan x для одного полного периода.

     ---

     График y = tan x (x измеряется в градусах)

     
     

     ---

     Общие графики касательной функции:

     
     

     Для касательной функции вида:

     y = загар bx

     Период = `\ pi / b`

     ---

     Пример 3:

     График y = `(1) / 2` tan 3x

     Решение: Для данной функции y = `(1) / 2` tan 3x

     Период = `\ pi / 3`

     Пунктирными линиями показаны вертикальные асимптоты, которые встречаются в

     x = `\ pi / 6 \ pm (n \ pi) / 3`, где n — целое число.

     ---

     График y = cosec x (x измеряется в радианах)

     
     

     График y = cosec x = `(1) / sin x` был показан выше. Из определения функции видно, что значение cosec функция не определена для всех значений x, для которых sin x = 0 (деление на ноль не определено).Следовательно, область определения функции cosec исключает целые числа, кратные `\ pi`. Вертикальные асимптоты существуют для всех этих значений x.

     Из графика, приведенного выше,

     Для y = cosec x:

     Амплитуда = нет; нет максимального значения для функции cosec.

     Период = `2 \ pi`

     Домен: -` \ infty`

     Диапазон: y `\ le` -1 или y` \ ge` 1

     На рисунке справа показан график y = cosec x для одного полного периода.

     ---

     График y = cosec x (x измеряется в градусах)

     
     

     ---

     Общие графики функции Cosec:

     
     

     Для функции cosec вида:

     y = cosec bx

     Период = `(2 \ pi) / b`

     ---

     Пример 4

     График y = cosec 2x

     Решение: Для данной функции y = cosec 2x

     Период = `(2 \ pi) / 2` =` \ pi`

     Пунктирными линиями показаны вертикальные асимптоты, которые

     встречаются при x = `(n \ pi) / 2`, где n — целое число.

     ---

     График y = sec x (x измеряется в радианах)

     
     

     График y = sec x = `(1) / cos x` показан выше красным цветом. Из определения функции видно, что значение y = sec x не определен для всех значений x, для которых cos x = 0 (деление на ноль не определено).Следовательно, область определения sec⁡x исключает нечетный интеграл кратные `(\ pi) / 2`. Вертикальные асимптоты существуют для всех этих значений x.

     Из графика, приведенного выше,

     Для y = sec x:

     Амплитуда = нет; нет максимального значения для функции sec.

     Период = 2` \ pi`

     Домен: -` \ infty`

     Диапазон: y `\ le` -1 или y` \ ge` 1

     На рисунке справа показан график y = sec x для одного полного периода.

     ---

     График y = sec x (x измеряется в градусах)

     
     

     ---

     Общие графики сек Функция:

     
     

     Для секущей функции вида:

     y = сек bx

     Период = `(2 \ pi) / b`

     ---

     Пример 5:

     График y = sec 3x

     Решение: Для данной функции y = sec 3x

     Период = `(2 \ pi) / 3`

     Пунктирными линиями показаны вертикальные асимптоты, которые встречаются в

     x = `\ pi / 6 \ pm (n \ pi) / 3`, где n — целое число.

     ---

     График y = cot x (x измеряется в радианах)

     
     

     График y = cot x = `(cos x) / sin x` был показан выше. Из определения функции мы видим, что значение (y = cot x) функция не определена для всех значений x, для которых `sin x = 0` (деление на ноль не определено).Следовательно, область касательной функция исключает целые числа, кратные `\ pi`. Вертикальные асимптоты можно наблюдать на всех этих значениях x.

     Примечание:

     Функция Cot имеет период `пи` (` \ pi`). Это cot (`\ pi` +` \ theta`) = cot (`\ theta`), что также видно из графика.

     Для y = детская кроватка x:

     Амплитуда = нет; не существует максимального значения для функции детской кроватки.

     Period = `\ pi` (функция касания завершает один цикл от` (- \ pi) / 2 до (\ pi) / 2) `

     Домен: -` \ infty`

     Диапазон: -` \ infty`

     На рисунке справа показан график y = cot x для одного полного периода.

     ---

     График y = детская кроватка x (x измеряется в градусах)

     
     

     ---

     Общие графики функции котангенса:

     
     

     Для функции котангенса вида:

     y = детская кроватка bx

     Период = `\ pi / b`

     ---

     Пример 6:

     График y = детская кроватка `(x) / 2`

     Решение: Для данной функции y = cot` (x) / 2`

     Период = `(\ pi) / ((1) / 2)` = `2 \ pi`

     Математическая сцена — Функции 2 — Урок 6

     Математическая сцена — Функции 2 — Урок 6 — Обратные функции

     2009 Rasmus ehf и Джанн Сак

     Урок 6

     .

     Обратный функции

     ---

     ср уже видели некоторые функции, противоположные друг другу.В функции f (x) = x ² и g (x) = √x являются обратные друг другу, если мы ограничим значения x до
     неотрицательные числа. Эти функции компенсируют друг друга в том смысле, что если мы применим сначала одну функцию, а затем другую к числу, то это как если бы ничего не произошло, номер такой же, как был изначально. смотреть на следующий пример:

     f (x) = x ² и g (x) =

     f (2) = 2 ² = 4 и g (4) = √4 = 2

     f (g (a)) = = a

     g (f (a)) = = а

     Это не так независимо от того, какую из двух функций f (x) или g (x) мы применяем первой, результат та же.Диапазон одной функции становится областью другой.

     Функция имеет инверсию, только если она взаимно однозначна и далее. В этом случае мы ограничиваем наши значения x неотрицательными числами так, чтобы функция f (x) = x ² удовлетворяет это условие. Другими словами, функция имеет инверсию, если она увеличивается или уменьшается на это домен. Функция g (x) = √x возрастает и может только возьмите неотрицательные числа, что снова означает, что f (x) = x ² ограничено неотрицательными числами.

     Мы можем найти уравнение обратной функции алгебраически, решив уравнение функции для x. Посмотрите на следующий пример:

     Пример 1

     Найдите обратное значение для следующих функций:

     а) f (x) = 2x + 4

     у = 2х + 4 поставьте y вместо f (x)

     2x = 4 года

     x = 2 + y Мы разделили на 2

     Это уравнение, в котором x является функцией y.Имя переменной не имеет значение, поэтому мы можем поменять местами x и y. Если мы назовем эту функцию g, мы получим уравнение обратной функции f (x).

     г (х) = у = х 2 .

     Мы можем проверить наш результат, введя число.

     f (1) = 21 + 4 = 6 и g (6) = 6 2 = 3 2 = 1

     Если мы используем общее значение a, получаем

     f (a) = 2a + 4 и g (2a + 4) = (2a + 4) 2 = а + 2 2 = а

     б) f (x) = sin 2x, D _f = [/ 4, / 4 , f (x) возрастает на этом интервале и следовательно, имеет обратную функцию.

     у = грех 2x

     2x = sin ¹ y

     х = грех ¹ у

     Обратная функция: g (x) = sin ¹ x.

     В большинстве книг инверсия функции записывается с использованием индекса ¹ так что f (x) имеет обратную функцию f ¹ (x).Это не означает 1 / f, это просто обозначение обратной функции.

     В приведенном выше примере f ¹ (х) = грех ¹ х.

     Проверять.

     f (/ 12) = грех 2/12 =

     f ¹ () = sin ¹ = / 6 = / 12

     в) f (x) = e ^2x

     y = e ^2x

     ln y = ln e ^2x = 2x

     x = ln y

     Обратный функция f (x), следовательно, f ¹ (x) = ln x.

     г) f (x) = x ² 1, Д _ф = _{рэнд +}

     г = х ² 1

     х ² = у + 1

     Обратная функция:

     д)

     Выбираем D f = R + и кубы обе части уравнения Тогда извлеките квадратный корень

     Обратная функция:

     Если функция f (x) либо всегда увеличивается, либо всегда убывая, он имеет обратную функцию f 1 (x). Диапазон f (x) становится областью f . 1 (х). Находим уравнение обратного уравнения: решение уравнения y = f (x) относительно x.

     Пример 2

     Как нам нужно ограничить область определения функции f (x) = sin x, чтобы она имеет обратную функцию? Мы знаем, что непрерывная функция, которая всегда увеличение (или уменьшение) имеет обратное.

     Итак, смотрим на производная функции f (x) = sin x, f (x) = cos x.

     Используя единичный круг, мы можем видеть, что cos x положителен из / 2 к / 2 и отрицательный на остальной части круга.

     Посмотрите на график е (х) = грех х.

     Мы видим, что график растет на / 2 <х < / 2 поэтому f (x) = sin x имеет обратное значение, если мы ограничиваем область этим интервалом.
     Мы могли бы выбрать другой интервал, например / 2 <х <3/2 где функция убывает, но обычно интервал / 2 <х < / 2 выбран.

     Пример 3

     Найдите интервал, на котором функция f (x) = x ² 4x + 3 возрастает, ограничьте область этим интервалом, а затем найдите формулу для обратная функция. Наконец, нарисуйте график как f (x), так и f ¹ (x) в той же системе координат.

     Начнем с поиска вершины параболы, дифференцируя и находя, где производная равна нулю. ( Касательная к f (x) в вершине горизонтальна, поэтому производная равна ноль)

     f (x) = x ² 4x + 3

     f (x) = 2x 4 = 0

     2x = 4

     х = 2

     Вершина — это то место, где x = 2, и после этого функция возрастает.Поэтому мы выберите домен

     D f =

     .

     Чтобы найти уравнение обратное нам нужно решить уравнение у = х ² 4x + 3 для x.

     у = х 2 4х + 3 у 3 = х 2 4х y 3 + 4 знак равно х 2 4х + 4 у + 1 = (х 2) 2

     Завершите квадрат, добавив половину коэффициента при x (2) в квадрате (4) к обеим сторонам уравнения и используя правило а 2 2ab + б 2 = (а б) 2 . ср выберите +, поскольку x находится на интервале Вставить x вместо y

     Теперь рисуем график, предварительно составив таблицу значений.

     Расчет f (2) сообщает нам что f (x) = y принимает значения от 1 вверх (функция возрастает). Поэтому нам нужно начать с нахождения f ¹ (1).

     Два графики показаны ниже.

     Отметим, что два графика являются зеркальным отображением друг друга на линии y = x. (в линия, разделяющая угол между осями x и y пополам). Мы также можем видеть это из таблица значений. Каждая точка на f (x) является зеркальным отображением точки на
     f ¹ (х). Например, (2, 1) находится на f (x) и (1, 2) находится на f ¹ (x). (3, 0) находится на f (x) и (0, 3) на f ¹ (x).В общем случае, если (a, b) находится на одном графе, то (b, a) находится на графике обратной функции.

     График функции и ее обратная функция всегда являются зеркалом изображение друг друга в строке y = x.

     Пример 4

     Посмотрите на функцию f (x) = e ^x и ее обратную функция g (x) = ln x.

     Функция f (x) = e ^x может принимать любое значение x, поэтому его домен все действительные числа R.
     Ценности, которые f (x) = e ^x дубль всегда положительна, поэтому его диапазон равен интервал .
     Функция g (x) = ln x может принимать только положительные значения x, поэтому это домен.
     С другой стороны, функция g (x) = ln x дает все значения действительных чисел, поэтому она диапазон составляет

     р.

     Диапазон функции то же самое, что и домен его инверсии, а домен функции — это диапазон его обратного.

     Графики двух функций показаны ниже. Обратите внимание, что они являются зеркальными отображениями друг друга на линии y = x.

     Пример 5

     Найдите интервал, на котором функция повышается. Выбирая этот интервал в качестве области, находим уравнение его обратной функции затем нарисуйте оба графика в одной системе координат.

     Дифференцируйте, используя цепное правило, чтобы найти, где функция увеличивается, а где уменьшается,

     Знаменатель всегда положительный, поэтому его x в числителе говорит нам, где функция увеличение или уменьшение.

     Функция возрастает для неотрицательных значений x, поэтому мы выбираем область

     D f =

     Затем мы решаем для x, чтобы найти обратное.

     у = 1 + (х ² + 1)

     у 1 = (х ² + 1)

     (y 1) ² = x ² + 1

     х ² = (у 1) ² 1

     = y ² 2y + 1 1

     = y ² 2y

     (выбирая положительный значение для x)

     Обратная функция:

     Графики f (x), f ¹ (x) и линия y = x выглядят так.

     Пример 6

     Найти обратную функцию и нарисуйте графики в одной системе координат.

     График имеет вертикальную асимптота x = 1 и горизонтальная асимптота y = 2. Область не содержит x = 1.

     Мы дифференцируем, чтобы найти наклон графика.

     Знаменатель всегда положительный, а числитель всегда отрицательный, что означает что наклон графика всегда отрицательный.Таким образом, функция убывает на все это домен.

     Мы находим обратную функцию, решая относительно x.

     Обратное

     Сначала избавься от дроби затем переместите все члены с x в левую руку сторона уравнения. Теперь x можно разложить на множители. Мы видим, что y не может быть 2.

     Эта функция имеет вертикальную асимптота в x = 2 и горизонтальная асимптота по y = 1.Это полная противоположность f (x), который имеет вертикальную асимптоту по x = 1 и горизонтальную асимптоту по y = 2.