Автор: alexxlab

Таблица сложения 1 2. Табличное сложение и вычитание натуральных чисел

Таблицы сложения и вычитания используются для обучения детей счету или для проверки их навыков в сложении и вычитании. Для двух этих задач используются разные таблицы. Оба варианта таблиц можно скачать распечатать на этой страницу

Таблица сложения до 20 распечатать и скачать

Таблица сложения используется для обучения детей. Вертикальный крайний левый столбец и горизонтальная верхняя строка представляют собой слагаемые. Для того что бы сложить два числа, нужно найти их в вертикальном столбце и в горизонтальной строке. Пересечение образует сумму этих двух слагаемых. Например, как показано на рисунке ниже, 6 + 5 = 11.

Вы можете распечатать таблицу сложения до 20 в формате Word или PDF. Если вам нужна таблица сложения до 10, её можно легко сделать, удалив ненужные ячейки в формате Word. Если вам нужна таблица сложения больше, чем до 20, то вы можете скачать таблицу сложения в формате Excel и добавить нужные столбцы и строки копированием.

Таблица вычитания до 20 распечатать и скачать

В качестве таблицы вычитания используется та же таблица сложения, которую можно распечатать выше. Предположим нам нужно решить пример 14 — 8 = 6. Используя, таблицу вычитания, находим в поле таблицы диагональ с уменьшаемым 14. На рисунке ниже эта диагональ выделена светло-зеленым цветом. Выбираем на этой диагонали число 14, которое находится напротив вычитаемого 8. Получившееся в верхнем ряду число 6 и есть ответ.

Как вы можете увидеть, для сложения и вычитания используется одна и та же таблица сложения и вычитания, распечатать или скачать которую вы можете по ссылкам выше в разных форматах.

Таблица вычитания без ответов распечатать и скачать

На данном уроке вы научитесь складывать и вычитать однозначные числа с переходом через разряд. Решая интересные задания, вы изучите алгоритм сложения и вычитания чисел с переходом через десяток и познакомитесь с таблицей сложения однозначных чисел до 20. У вас будет возможность попрактиковать изученный ранее материал на интересных примерах.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Сложение и вычитание однозначных чисел с переходом через разряд. Таблица сложения до 20

С помощью графической модели можно объяснить сложение однозначных чисел с переходом через десяток.

Каким способом можно сложить 9 и 7? (рис. 1)

Рис. 1

На графической модели видно, что первое слагаемое 9 надо дополнить до 10. Для этого разобьем второе слагаемое на две части, одна из которых равна числу 1, так как

9 + 1 = 10, значит 7 = 1 + 6. (рис. 2)

Рис. 2

Выполним сложение по частям:

9 + 7 = (9 + 1) + 6 = 10 + 6 = 16

Ответ: 9 + 7 = 16.

Можно сложить эти числа по-другому. (рис. 3)

Рис. 3

Второе слагаемое 7 можно дополнить до 10. Для этого первое слагаемое разобьем на две части, одна из которых равна числу 3. Следовательно, 9 = 3 + 6.

Рис. 4

Выполним сложение по частям:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16

Первое слагаемое — 9, ему недостаёт до 10 одной единицы, поэтому второе слагаемое разбиваем на части. 5 — это 1 и 4. Добавляем к 9 сначала одну единицу, а потом оставшиеся четыре единицы.

9 + 5 = 9 + (1 + 4) = 14

Первое слагаемое — 6, ему недостаёт до 10 четырёх единиц, поэтому второе слагаемое разбиваем на части: 4 и 2. Добавляем к 6 сначала 4 и получаем десять единиц, а потом оставшиеся две единицы.

6 + 6 = 6 + (4 + 2) = 12

Первое слагаемое — 4, ему недостаёт до 10 шести, поэтому второе слагаемое 8 разбиваем на части: 6 и 2. Добавляем к 4 сначала шесть единиц и получаем десять единиц, а потом оставшиеся две единицы.

4 + 8 = 4 + (6 + 2) = 12

В уменьшаемом 15 — пять единиц, поэтому вычитаемое 7 разбиваем на части: 5 и 2. Вычитаем из 15 сначала пять единиц, получится 10. Потом из десяти вычитаем оставшиеся две единицы.

15 — 7 = 15 — (5 + 2) = 8

В уменьшаемом 16 — шесть единиц, поэтому вычитаемое 9 разбиваем на части: 6 и 3. Вычитаем сначала из 16 шесть единиц, получится 10. А потом из 10 вычитаем оставшиеся три единицы.

16 — 9 = 16 — (6 + 3) = 7

В уменьшаемом 12 — две единицы, поэтому вычитаемое 4 разбиваем на части: 2 и 2. Из 12 вычитаем 2, получится 10. И от 10 отнимаем 2.

12 — 4 = 12 — (2 + 2) = 8

Ответ: 12 — 4 = 8.

Использовать прием сложения и вычитания по частям с переходом через десяток не всегда удобно, поэтому необходимо выучить таблицу сложения однозначных чисел до 20 наизусть.

На рисунке изображена таблица, с помощью которой вам будет легче выучить случаи сложения однозначных чисел до 20. (рис. 7)

Рис. 7

В каждом столбике первое слагаемое — одинаковое, а второе — увеличивается на один, значит сумма тоже будет увеличиваться на один. Найдём значение данных сумм.

9 + 2 = 11, следовательно: 9 + 3 = 12, рассуждая так, заполняем всю таблицу. (рис. 8)

Рис. 8

В каждой строке записаны суммы с одинаковыми ответами. Выберите способ, как вам легче будет запомнить ответы: по столбикам или по строкам. Если вы хорошо выучите таблицу сложения однозначных чисел до 20, то вам будет нетрудно выполнять и вычитание однозначных чисел в пределах 20.

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. — М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. — М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. — М7: Русское слово, 2012.

1. Социальная сеть работников образования ().
2. 5klass.net ().
3. Самоучка ().

Домашнее задание

1. Вспомните как правильно складывать и вычитать однозначные числа с переходом через разряд.

2. Помогите лягушке решить примеры.

3. Решите примеры и раскрасьте рисунок.

На данном уроке вы научитесь складывать и вычитать однозначные числа с переходом через разряд. Решая интересные задания, вы изучите алгоритм сложения и вычитания чисел с переходом через десяток и познакомитесь с таблицей сложения однозначных чисел до 20. У вас будет возможность попрактиковать изученный ранее материал на интересных примерах.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Сложение и вычитание однозначных чисел с переходом через разряд. Таблица сложения до 20

С помощью графической модели можно объяснить сложение однозначных чисел с переходом через десяток.

Каким способом можно сложить 9 и 7? (рис. 1)

Рис. 1

На графической модели видно, что первое слагаемое 9 надо дополнить до 10. Для этого разобьем второе слагаемое на две части, одна из которых равна числу 1, так как

9 + 1 = 10, значит 7 = 1 + 6. (рис. 2)

Рис. 2

Выполним сложение по частям:

9 + 7 = (9 + 1) + 6 = 10 + 6 = 16

Ответ: 9 + 7 = 16.

Можно сложить эти числа по-другому. (рис. 3)

Рис. 3

Второе слагаемое 7 можно дополнить до 10. Для этого первое слагаемое разобьем на две части, одна из которых равна числу 3. Следовательно, 9 = 3 + 6.

Рис. 4

Выполним сложение по частям:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16

Первое слагаемое — 9, ему недостаёт до 10 одной единицы, поэтому второе слагаемое разбиваем на части. 5 — это 1 и 4. Добавляем к 9 сначала одну единицу, а потом оставшиеся четыре единицы.

9 + 5 = 9 + (1 + 4) = 14

Первое слагаемое — 6, ему недостаёт до 10 четырёх единиц, поэтому второе слагаемое разбиваем на части: 4 и 2. Добавляем к 6 сначала 4 и получаем десять единиц, а потом оставшиеся две единицы.

6 + 6 = 6 + (4 + 2) = 12

Первое слагаемое — 4, ему недостаёт до 10 шести, поэтому второе слагаемое 8 разбиваем на части: 6 и 2. Добавляем к 4 сначала шесть единиц и получаем десять единиц, а потом оставшиеся две единицы.

4 + 8 = 4 + (6 + 2) = 12

В уменьшаемом 15 — пять единиц, поэтому вычитаемое 7 разбиваем на части: 5 и 2. Вычитаем из 15 сначала пять единиц, получится 10. Потом из десяти вычитаем оставшиеся две единицы.

15 — 7 = 15 — (5 + 2) = 8

В уменьшаемом 16 — шесть единиц, поэтому вычитаемое 9 разбиваем на части: 6 и 3. Вычитаем сначала из 16 шесть единиц, получится 10. А потом из 10 вычитаем оставшиеся три единицы.

16 — 9 = 16 — (6 + 3) = 7

В уменьшаемом 12 — две единицы, поэтому вычитаемое 4 разбиваем на части: 2 и 2. Из 12 вычитаем 2, получится 10. И от 10 отнимаем 2.

12 — 4 = 12 — (2 + 2) = 8

Ответ: 12 — 4 = 8.

Использовать прием сложения и вычитания по частям с переходом через десяток не всегда удобно, поэтому необходимо выучить таблицу сложения однозначных чисел до 20 наизусть.

На рисунке изображена таблица, с помощью которой вам будет легче выучить случаи сложения однозначных чисел до 20. (рис. 7)

Рис. 7

В каждом столбике первое слагаемое — одинаковое, а второе — увеличивается на один, значит сумма тоже будет увеличиваться на один. Найдём значение данных сумм.

9 + 2 = 11, следовательно: 9 + 3 = 12, рассуждая так, заполняем всю таблицу. (рис. 8)

Рис. 8

В каждой строке записаны суммы с одинаковыми ответами. Выберите способ, как вам легче будет запомнить ответы: по столбикам или по строкам. Если вы хорошо выучите таблицу сложения однозначных чисел до 20, то вам будет нетрудно выполнять и вычитание однозначных чисел в пределах 20.

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. — М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. — М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. — М7: Русское слово, 2012.

1. Социальная сеть работников образования ().
2. 5klass.net ().
3. Самоучка ().

Домашнее задание

1. Вспомните как правильно складывать и вычитать однозначные числа с переходом через разряд.

2. Помогите лягушке решить примеры.

3. Решите примеры и раскрасьте рисунок.

Таблица сложения и вычитания натуральных чисел приведена для сложения чисел первого десятка и вычитания чисел от 1 до 18. Таблицей удобно пользоваться при сложении или вычитании по разрядам для натуральных многозначных чисел, устный счет построен на сложении по разрядам, т. е. на сложении по этой таблице.

Работа с таблицей предполагает такой результат: таблицу вы запомните, выучите наизусть в процессе вычислений, что значительно сократит время нахождения результата при сложении и вычитании натуральных чисел.

Правила пользования таблицей

Крайний левый столбец и верхняя строка — числа первого десятка — слагаемые при сложении и разность при вычитании. Чтобы сложить два числа, нужно первое слагаемое взять в крайнем левом столбце, а второе — в верхней строке. На пересечении столбца и строки в поле таблицы считывается результат сложения — сумма.

Чтобы вычесть одно число из другого, в поле таблицы нужно найти уменьшаемое и, двигаясь по этому числу по диагонали поля, выбрать строку, в которой в левом крайнем столбце помещено число вычитаемого. По месту строки и числу уменьшаемого расположен столбец, в верхней строке которого считывается разность (результат вычитания).

Примеры пользования таблицей

Сложение . 3 + 5 = 8
Первое слагаемое (3) взято в левом столбце, второе слагаемое (5) взято в верхней строке. На пересечении столбца и строки — сумма (8).

Вычитание . 8 — 3 = 5.
Уменьшаемое (8) выбираем в ноле таблицы и, двигаясь по диагонали поля с цифрой 8, останавливаемся на строке вычитаемого (3). На пересечении строки с числом 3 и столбца с числом 8 считываем разность (5) в верхней строке.

Таблицы сложения и вычитания используются для обучения детей счету или для проверки их навыков в сложении и вычитании. Для двух этих задач используются разные таблицы. Оба варианта таблиц можно скачать распечатать на этой страницу

Таблица сложения до 20 распечатать и скачать

Таблица сложения используется для обучения детей. Вертикальный крайний левый столбец и горизонтальная верхняя строка представляют собой слагаемые. Для того что бы сложить два числа, нужно найти их в вертикальном столбце и в горизонтальной строке. Пересечение образует сумму этих двух слагаемых. Например, как показано на рисунке ниже, 6 + 5 = 11.

Вы можете распечатать таблицу сложения до 20 в формате Word или PDF. Если вам нужна таблица сложения до 10, её можно легко сделать, удалив ненужные ячейки в формате Word. Если вам нужна таблица сложения больше, чем до 20, то вы можете скачать таблицу сложения в формате Excel и добавить нужные столбцы и строки копированием.

Таблица вычитания до 20 распечатать и скачать

В качестве таблицы вычитания используется та же таблица сложения, которую можно распечатать выше. Предположим нам нужно решить пример 14 — 8 = 6. Используя, таблицу вычитания, находим в поле таблицы диагональ с уменьшаемым 14. На рисунке ниже эта диагональ выделена светло-зеленым цветом. Выбираем на этой диагонали число 14, которое находится напротив вычитаемого 8. Получившееся в верхнем ряду число 6 и есть ответ.

Как вы можете увидеть, для сложения и вычитания используется одна и та же таблица сложения и вычитания, распечатать или скачать которую вы можете по ссылкам выше в разных форматах.

Таблица вычитания без ответов распечатать и скачать

На основе макета таблицы вычитания с ответами в формате Excel при необходимости можно сделать и другие таблицы вычитания, например больших значений, до 20, до 30 и т. д.

Таблица сложения для первоклассников. Как научить ребенка считать? Советуют педагоги

Таблицы сложения и вычитания используются для обучения детей счету или для проверки их навыков в сложении и вычитании. Для двух этих задач используются разные таблицы. Оба варианта таблиц можно скачать распечатать на этой страницу

Таблица сложения до 20 распечатать и скачать

Таблица сложения используется для обучения детей. Вертикальный крайний левый столбец и горизонтальная верхняя строка представляют собой слагаемые. Для того что бы сложить два числа, нужно найти их в вертикальном столбце и в горизонтальной строке. Пересечение образует сумму этих двух слагаемых. Например, как показано на рисунке ниже, 6 + 5 = 11.

Вы можете распечатать таблицу сложения до 20 в формате Word или PDF. Если вам нужна таблица сложения до 10, её можно легко сделать, удалив ненужные ячейки в формате Word. Если вам нужна таблица сложения больше, чем до 20, то вы можете скачать таблицу сложения в формате Excel и добавить нужные столбцы и строки копированием.

Таблица вычитания до 20 распечатать и скачать

В качестве таблицы вычитания используется та же таблица сложения, которую можно распечатать выше. Предположим нам нужно решить пример 14 — 8 = 6. Используя, таблицу вычитания, находим в поле таблицы диагональ с уменьшаемым 14. На рисунке ниже эта диагональ выделена светло-зеленым цветом. Выбираем на этой диагонали число 14, которое находится напротив вычитаемого 8. Получившееся в верхнем ряду число 6 и есть ответ.

Как вы можете увидеть, для сложения и вычитания используется одна и та же таблица сложения и вычитания, распечатать или скачать которую вы можете по ссылкам выше в разных форматах.

Таблица вычитания без ответов распечатать и скачать

На основе макета таблицы вычитания с ответами в формате Excel при необходимости можно сделать и другие таблицы вычитания, например больших значений, до 20, до 30 и т.д.

Самые первые примеры, с которыми знакомится ребенок еще до школы — это сложение и вычитание. Не так уж сложно посчитать животных на картинке и, зачеркнув лишних, посчитать оставшихся. Или перекладывать счетные палочки, а потом считать их. Но для ребенка несколько труднее оперировать с голыми цифрами. Именно поэтому нужна практика и еще раз практика. Не бросайте заниматься с ребенком и летом, поскольку за лето школьная программа из маленькой головки просто выветривается и долго приходится наверстывать потерянные знания.

Если ваш ребенок первоклашка или только идет в первый класс — начните с повторения состава числа по домикам. А теперь можно браться и за примеры. Фактически сложение и вычитание в пределах десяти — это и есть первое практическое применение ребенком знания состава числа.

Кликайте по картинкам и открывайте тренажер в максимальном увеличении, далее можно скачать изображение себе на компьютер и распечатать в хорошем качестве.

Есть возможность разрезать А4 пополам и получить 2 листа с заданиями, если хотите уменьшить нагрузку на ребенка, или давать решать по столбику в день, если решили позаниматься летом.

Решаем столбик, отмечаем успехи: тучка — не очень хорошо решили, смайлик — хорошо, солнышко — замечательно!

Сложение и вычитание в пределах 10

А теперь вразброс!

И с пропусками (окошками):

Примеры на сложение и вычитание в пределах 20

К моменту, когда ребенок приступит к изучению этой темы математики, он должен очень хорошо, на зубок знать состав чисел первого десятка. Если ребенок состав чисел не освоил, ему сложно придется в дальнейших вычислениях. Поэтому постоянно возвращайтесь к теме состава чисел в пределах 10, пока первоклассник не освоит его до автоматизма. Также первоклассник должен знать, что значит десятичный (разрядный) состав чисел. На уроках математики учитель рассказывает, что 10 — это, по-другому, 1 десяток, поэтому число 12 состоит из 1 десятка и 2 единиц. При сложении единицы складываются с единицами. Именно на знании десятичного состава чисел основываются приемы сложения и вычитания в пределах 20 без перехода через десяток .

Примеры для печати без перехода через десяток вперемешку:

Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через десяток основаны на приемах добавления до 10 или убавления до 10 соответственно, то есть на теме «состав числа 10», поэтому ответственно подойдите к изучению с ребенком этой темы.

Примеры с переходом через десяток (половина листа сложение, половина вычитание, лист также можно распечатать в формате А4 и разрезать пополам на 2 задания):

Учим таблицу сложения и вычитания в пределах 10

Одной из важных задач курса математики за 1 класс является прочное усвоение детьми таблицы сложения и вычитания в пределах десяти. При изучении состава чисел важным моментом является опора на наглядность и игровую деятельность. Работа над изучением таблицы сложения и вычитания должна проводиться систематически, формы работы должны быть разнообразны. Только при таких условиях можно избежать скуки и монотонности, гарантировано прочное запоминание детьми состава чисел.

Конечно, это бумажные тренажёры по составу чисел.

Но больше всего детям нравятся интерактивные или онлайн игры! Игра является одним из важных средств в усвоении знаний, развитии и воспитании детей. Она может быть применена в рамках разных методов обучения. Очень важный момент в игре – преодоление препятствий, достижение целей, самостоятельный поиск. Все эти элементы игры развивают умственные способности школьника. Именно с помощью различных компьютерных игр и тренажёров, заданий для интерактивного стола современный учитель может разнообразить виды работы, направленные на усвоение детьми таблицы сложения и вычитания. Они помогут ученикам не только довести до автоматизма навык устного счёта, но и дадут возможность закрепить правила работы в группе.

Состав числа 5

Состав числа 6

Состав числа 7

Состав числа 8

Состав числа 9

Состав числа 10

Далее представлены онлайн игр, направленные на закрепление и автоматизацию состава числа — это математические тренажеры, которые включают примеры и уравнения, помогут довести знание состава числа до автоматизма.

Однако, не забывайте и о других способах заучивания состава числа, так как долгое время находиться перед экраном компьютера ребенку вредно.

Первый этап. Не используем запись числа

Первостепенная задача — научить считать до 10, н е используя соответствующие цифры. На первый план выходят действия с предметами. Например, была одна ложка, положили еще одну — стало две ложки. Потом можно увеличивать количество ложек, говоря название числа.

Помогут в решении этой задачи практические задания. Например, чаще спрашивать у ребенка о количестве чего-нибудь: сколько тарелок, сколько тапочек, сколько птиц на той ветке. Считать можно что угодно, даже ступеньки лестницы.

Второй этап. Знакомство с самими цифрами.

В первом классе сначала изучается цифра 1, 2, 0, а потом уже 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Обусловлено положение нуля тем, что ученику на первых порах сложно понять, почему пустота обозначается цифрой. И тогда, когда уже практикуются действия с цифрами, становится понятно, зачем нужен нуль. Например, было пять яблок на столе, пять съели. Осталось — ничего, то есть ноль.

Еще вариант: Показываются эти рисунки, и спрашивает учитель у детей: «Что изменилось?». Они отметят: «Ничего».

На втором образце показано, что если в одном квадрате три точки убрать совсем, то будет пустой квадрат и точек вообще не останется.

Главное правило, которые должны понять дети при счете до десяти: каждая цифра меньше последующей на один и больше прошлой цифры на один.

Приемы обучения счету до десяти:

• Игра в паровозик . Распространенная тренировка заучивания цифр, проводимая в первом классе. Выходит перед классом один ученик, он говорит, что он — вагон первый. После этого выходит еще один, и говорит: один и еще один будет два. И так продолжается до десяти. Потом операция делается в обратном порядке. Вагоны «распадаются» по одному. Цель этого упражнения — запоминание порядка чисел в прямом и обратном порядке.
• Показ на линейке . Это устаревший метод, основанный на механическом запоминании и наглядном доказательстве порядка чисел.
• Счет на пальцах . Традиционный и самый легкий для детей. Можно использовать на первой поре, пока ребенок не будет порядок цифр. Потом надо отучать от пальцев, рассказывая «секреты» превращений цифр.

• Использование смешных стихов и мультиков о числах . Интересно будет посмотреть мультик «Как козленок учился считать» или проговаривать считалки.

Стихотворения-запоминалки для изучения счета

Ягодный счет

По опушке шла лисичка:
— Раз, в корзинке земляничка,
Два — как небо голубика,
Три — румяная брусника,
А четыре — вот морошка,
Пять — смородины немножко,
Шесть — как бусинка калина,
Семь — как солнышко рябина,
Восемь — в лапке ежевика,
Девять — синяя черника,
Десять — сочная малина.
Вот и полная корзина!

Раз — рука, два — рука —
Лепим мы снеговика!
Три — четыре, три — четыре,
Нарисуем рот пошире!
Пять — найдем морковь для носа,
Угольки найдем для глаз.
Шесть — наденем шляпу косо.
Пусть смеется он у нас.
Семь и восемь, семь и восемь,
Мы сплясать его попросим.
Девять — десять — снеговик
Через голову — кувырк!
Ну и цирк!

Пошли пальчики гулять,
А вторые догонять,
Третьи пальчики бегом,
А четвертые пешком,
Пятый пальчик поскакал,
И в конце пути упал.

• Игра «Назови соседей числа» . Например, нужно назвать соседей числа 4.
• Упражнение «Цифры заблудились» . Нужно разложить по порядку беспорядочно разложенные картинки с цифрами. Есть другая интерпретация этого упражнения: Баба-Яга перепутала все цифры. Помоги расставить их правильно.

• Под забором было видно 10 лапок цыплят. Вопрос: сколько всего цыплят? — Счет двойками: 2, 4, 6, 8, 10 — пять цыплят.
• Сколько сапог надо подарить троим гусятам? Аналогично предыдущей задачке.
• Считать пятерками удобнее всего, наблюдая за часами.

Как выучить таблицу сложения и вычитания в пределах десяти?

После того как ребенок знает порядок числительных, полезно применять задания на состав числа. Можно, конечно, зазубрить состав числа 5, например, но лучше использовать игровые действия с предметами с параллельной установкой на запоминание.

Например:

В одной тарелке было 4 апельсина, а в другой — 2. Сколько всего апельсинов? (Задача на нахождение суммы)

Всего 6 яблок, а друзей — трое. Разделите каждому поровну, одинаково.

Сочетать с простыми задачами можно и маленькие схемы, которые легко применять на уроке и дома.

На переместительный закон сложения не сложно привести такой пример: одна тарелка с двумя яблоками лежит на столе, а другая тарелка с четырьмя яблоками — лежит рядышком, если поменять их местами, то все равно общее количество яблок останется неизменным.

Как научить ребенка складывать и вычитать с переходом через десяток?

В приведенном ниже примере, чтобы сложить числа 8 и 5, второе слагаемое раскладывается так, чтобы дополнить первое слагаемое до десяти, а потом остаток прибавляется к десяти.

Что касается вычитания, то тут раскладывается уменьшаемое по разрядному составу. На примере 15 минус 8 мы видим, что число 15 раскладывается до своих разрядных единиц. В итоге всегда получается 10 и разрядные единички — 5. Теперь: вычитаемое надо разложить на слагаемые. Первым слагаемым будут разрядные единицы от 15-ти, а второе слагаемое подбирается (дети знают состав числа 8). Теперь остается от 10-ти отнять второе слагаемое от восьмерки. И ответ готов. Немного потренировавшись, можно будет легко решать подобные примеры в уме.

Просмотр дополнительных рабочих листов для печати | Education.com

Ссылки для быстрого добавления:

Двузначное сложение, Упражнения на сложение, Факты сложения, Сложение с переносом, Сложение с перегруппировкой, Сложение словесных задач, Сложение числовой строки

Рабочие тетради для печатиНаучные проектыПесня Видео

1 188 отфильтрованных результатов

1 188 отфильтрованных результатов

Добавление 

Сортировать поПопулярностьПоследниеЗаголовокРелевантность

• 

• Результаты фильтрации

  9002 2
• очистить все фильтры

• По классам

  • Дошкольное учреждение
  • Детский сад
  • 1-й класс
  • 2-й класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс

• По предмету

  •  Изобразительное искусство
  •  Иностранный язык

  •  Математика

    • 9 0013  Смысл числа

    •  Дополнение

      •  Стратегии сложения
      •  Факты сложения
      •  Многозначное сложение
      • Сложение и недостающие сложения
    •  Вычитание
    •  Умножение
    •  Деление
    •  Смешанные операции
    •  Дроби
    •  Десятичные числа
    •  Проценты, отношения и коэффициенты
    •  Алгебра
    •  Геометрия
    •  Измерение
    •  Время
    •  Расчет денег
    •  Данные и графики
    •  Математические задачи
    • Математические задачи
  •  Чтение и письмо
  •  Наука
  •  Социально-эмоциональное
  • 90 013  Обществознание
  •  Типирование

• По темам

  •  Раскраски
  •  Праздники
  •  Офлайн-игры
  •  Поп-культура и события
  •  Сезонный
  • Ресурсы для учителей

• По стандарту

  •  Common Core

Поиск дополнительных рабочих листов для печати

9 0002 Есть причина, по которой математический поезд делает первую остановку на сложении: это фундаментальный арифметический навык, который должен быть доведен до совершенства, прежде чем локомотив продолжит путь к таким направлениям, как умножение, дроби, геометрия и алгебра. Вот почему родители должны получить доступ к нашим рабочим листам для сложения, которые обеспечивают повторную практику, необходимую детям, когда они начинают гонку к математическому мастерству. Мы предлагаем множество методов, которые помогут детям овладеть этим важным навыком, от рабочих листов для сложения однозначных чисел до карточек и задач со словами.

Дом, милый дом: дополнительные способы практиковать сложение у вас под крышей

Помимо нашей обширной базы рабочих листов на сложение, есть множество предметов домашнего обихода, которые родители могут использовать, чтобы добавить немного дополнительной практики в распорядок дня своих детей (и в то же время чтобы было весело). Рассмотрим эти идеи:

• Чтобы получить новый поворот в традиционной карточной игре «Война», удалите все карты с цифрами 10 и лицевой стороной и разделите оставшиеся карты на две равные стопки. После того, как вы перевернете карточку, предложите ребенку мысленно сложить два числа. Если она получает правильный ответ в течение определенного периода времени (скажем, 10 секунд), она оставляет карточки себе. Если нет, вы добираетесь до сохранения карт.
• В следующий раз, когда семейные носки достанутся из сушилки, разложите их стопками по цвету. Попросите ребенка сначала оценить, сколько носков в каждой стопке, а затем сложить эти числа. Затем пусть посчитает носки в каждой стопке и сложит эти числа. Наконец, спросите его, может ли он вычесть меньшее число из большего и даст вам правильный ответ.
• Наконец, на вашей кухне полно предметов, которые можно быстро превратить в задачи на сложение: от фруктов, хлопьев и чипсов до макарон, яиц и ломтиков хлеба.

20 печатных листов для сложения и вычитания

Etsy больше не поддерживает старые версии вашего веб-браузера, чтобы обеспечить безопасность пользовательских данных. Пожалуйста, обновите до последней версии.

Воспользуйтесь всеми преимуществами нашего сайта, включив JavaScript.

Нажмите, чтобы увеличить

Цена: €1,69

Погрузка

С учетом НДС

90 продаж |

5 из 5 звезд

Вы можете сделать предложение только при покупке одного товара

Внесен в список 8 мая 2023 г.

35 избранных

Сообщить об этом элементе в Etsy

Выберите причину… С моим заказом возникла проблемаОн использует мою интеллектуальную собственность без разрешенияЯ не думаю, что это соответствует политике EtsyВыберите причину…

Первое, что вы должны сделать, это связаться с продавцом напрямую.

Если вы уже сделали это, ваш товар не прибыл или не соответствует описанию, вы можете сообщить об этом Etsy, открыв кейс.

Сообщить о проблеме с заказом

Мы очень серьезно относимся к вопросам интеллектуальной собственности, но многие из этих проблем могут быть решены непосредственно заинтересованными сторонами. Мы рекомендуем связаться с продавцом напрямую, чтобы уважительно поделиться своими проблемами.

Если вы хотите подать заявление о нарушении авторских прав, вам необходимо выполнить процедуру, описанную в нашей Политике в отношении авторских прав и интеллектуальной собственности.

Посмотрите, как мы определяем ручную работу, винтаж и расходные материалы

Посмотреть список запрещенных предметов и материалов

Ознакомьтесь с нашей политикой в ​​отношении контента для взрослых

Товар на продажу…

не ручная работа

не винтаж (20+ лет)

не ремесленные принадлежности

запрещены или используют запрещенные материалы

неправильно помечен как содержимое для взрослых

Пожалуйста, выберите причину

Расскажите нам больше о том, как этот элемент нарушает наши правила. Расскажите нам больше о том, как этот элемент нарушает наши правила.

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дробно-рациональные неравенства: примеры

Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств

Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).

Дробно-рациональное выражение можно представить в виде частного двух многочленов $(P_n (x))/(Q_m (x))$, каждый из которых также можно раскладывать на линейные множители, знак которых будет влиять на общий знак частного.

Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. 2-x = x(x-1)$.

Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)

Ось симметрии:$ x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$

Вершина: $f(x_0 ) = f \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}- \frac{1}{2} =- \frac{1}{4}$

В этой же системе координат строим уровни:

y = -3, y = -1, y = 0, y = 2

и отмечаем области:

$y \le -3,-1 \lt y \le 0, y \gt 2$

Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:

$x \lt -1 \cup 0 \le x \le 1 \cup x \gt 2 $

Ответ: $x \in (-\infty;-1) \cup [0;1] \cup (2;+\infty)$

ORCCA Линейные уравнения и неравенства с дробями

В этом разделе мы научимся решать линейные уравнения и неравенства с дробями.

Подраздел 3.3.1 Введение

До сих пор на последнем шаге решения для переменной мы разделили каждую часть уравнения на константу, например:

\begin{align*} 2x\ампер=10\\ \divideunder{2x}{2} \amp= \divideunder{10}{2}\\ х\ампер=5 \end{align*}

Если у нас есть коэффициент, который является дробью, мы мог бы действовать точно так же:

\begin{align*} \frac{1}{2}x\amp=10\\ \divideunder{\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}} \amp= \divideunder{10}{\frac{1}{2}}\\ х\amp=10\cdot \frac{2}{1}=20 \конец{выравнивание*}

Что, если бы наше уравнение или неравенство были более сложными, например, \(\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\text{?}\) Мы пришлось бы сначала выполнить много арифметических операций с дробями, чтобы затем разделить каждую сторону на коэффициент \(x\text{. }\). Альтернативный подход состоит в том, чтобы вместо этого умножить с каждой стороны уравнения на выбранную константу, исключающую знаменатель. В уравнении \(\frac{1}{2}x=10\text{,}\) мы могли бы просто умножить каждую часть уравнения на \(2\text{,}\), что исключило бы знаменатель \ (2\текст{:}\)

\начать{выровнять*} \frac{1}{2}x\amp=10\\ \multiplyleft{2}\left(\frac{1}{2}x\right)\amp=\multiplyleft{2}10\\ х\ампер=20 \конец{выравнивание*}

Для более сложных уравнений мы умножим каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель (НОД) всех дробей, содержащихся в уравнении.

Подраздел 3.3.2 Исключение знаменателей

Пример 3.3.1.

Дешон посадил у себя во дворе деревце высотой \(4\) фута. Дерево будет расти на \(\frac{2}{3}\) фута каждый год. Через сколько лет его дерево вырастет \(10\) футов в высоту?

Поскольку дерево растет на \(\frac{2}{3}\) фута каждый год, мы можем использовать таблицу, чтобы написать формулу, моделирующую рост дерева:

Прошло лет	Высота дерева (футы)
\(0\)	\(4\)
\(1\)	\(4+\фракция{2}{3}\)
\(2\)	\(4+\frac{2}{3}\cdot2\)
\(\вдоц\)	\(\вдоц\)
\(у\)	\(4+\фракция{2}{3}у\)

Исходя из этого, мы определили, что через \(y\) лет с момента посадки дерева высота дерева будет \(4+\frac{2}{3}y\) футов.

Чтобы найти, когда дерево Дешона будет \(10\) футов в высоту, мы напишем и решим это уравнение:

\begin{выравнивание*} 4+\frac{2}{3}y\amp=10\\ \multiplyleft{3}\left(4+\frac{2}{3}y\right)\amp=\multiplyleft{3}10\\ 3\cdot4+3\cdot\frac{2}{3}y\amp=30\\ 12+2г\ампер=30\\ 2г\ампер=18\\ у\ампер=9 \end{align*}

Теперь проверим решение \(9\) в уравнении \(4+\frac{2}{3}y=10\text{:}\)

\begin{align *} 4+\frac{2}{3}y\amp=10\\ 4+\frac{2}{3}(\substitute{9})\amp\stackrel{?}{=}10\\ 4+6\amp\stackrel{\checkmark}{=}10 \конец{выравнивание*}

Таким образом, дереву Дешона потребуется \(9\) лет, чтобы достичь \(10\) футов в высоту.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3.3.2.

Найдите \(x\) в \(\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\text{.}\)

Объяснение

Чтобы решить это уравнение, нам сначала нужно определить LCD всех дробей в уравнении. С левой стороны у нас есть \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{2}{3}\text{. }\) С правой стороны у нас есть \(\frac{1}{ 6}\text{.}\) ЖК-дисплей \(3, 4\text{,}\) и \(6\) равен \(12\text{,}\), поэтому мы умножим каждую часть уравнения на \(12\), чтобы исключить все знаменателей:

\begin{align*} \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\amp=\frac{1}{6}\\ \multiplyleft{12}\left(\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\right)\amp=\multiplyleft{12}\frac{1}{6}\\ 12\cdot\left(\frac{1}{4}x\right)+12\cdot\left(\frac{2}{3}\right)\amp=12\cdot\frac{1}{6} \\ 3x+8\усилитель=2\\ 3x\ампер=-6\\ \divideunder{3x}{3}\amp=\divideunder{-6}{3}\\ х\ампер=-2 \end{align*}

Проверка решения \(-2\text{:}\)

\begin{align*} \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\amp=\frac{1}{6}\\ \frac{1}{4}(\substitute{-2})+\frac{2}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ -\frac{2}{4}+\frac{2}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ -\frac{6}{12}+\frac{8}{12}\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\\ \frac{2}{12}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{1}{6} \end{выравнивание*}

Следовательно, решение равно \(-2\), а набор решений равен \(\{-2\}\text{. }\)

Пример 3.3.3.

Найдите \(z\) в \(-\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\ текст{.}\)

Объяснение

Первое, что нам нужно сделать, это определить LCD всех знаменателей в этом уравнении. Поскольку знаменатели равны \(2\) и \(5\text{,}\), ЖК-дисплей равен \(10\text{.}\). Итак, в качестве нашего первого шага мы умножим каждую часть уравнения на \( 10\), чтобы исключить все знаменатели:

\begin{выравнивание*} -\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\amp=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\\ \multiplyleft{10}\left(-\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\right)\amp=\multiplyleft{10}\left(-\frac{1}{2} z+\frac{4}{5}\right)\\ 10\left(-\frac{2}{5}z\right)-10\left(\frac{3}{2}\right)\amp=10\left(-\frac{1}{2}z \вправо)+10\влево(\фракция{4}{5}\вправо)\\ -4z-15\amp=-5z+8\\ z-15\ампер=8\\ г\ампер=23 \end{align*}

Проверка решения \(23\text{:}\)

\begin{align*} -\frac{2}{5}z-\frac{3}{2}\amp=-\frac{1}{2}z+\frac{4}{5}\\ -\frac{2}{5}(\substitute{23})-\frac{3}{2}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{1}{2}(\substitute{23} )+\фракция{4}{5}\\ -\frac{46}{5}-\frac{3}{2}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{23}{2}+\frac{4}{5}\\ -\frac{46}{5}\cdot\frac{2}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{5}\amp\stackrel{?}{=}-\ frac{23}{2}\cdot\frac{5}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{2}\\ -\ гидроразрыв{92}{10}-\frac{15}{10}\amp\stackrel{?}{=}-\frac{115}{10}+\frac{8}{10}\\ -\frac{107}{10}\amp\stackrel{\checkmark}{=}-\frac{107}{10} \end{align*}

Таким образом, решение равно \(23\), поэтому множество решений равно \(\{23\}\text{. }\)

Пример 3.3.4.

Найдите \(a\) в уравнении \(\frac{2}{3}(a+1)+5=\frac{1}{3}\text{.}\)

Объяснение

\begin{align*} \frac{2}{3}(a+1)+5\amp=\frac{1}{3}\\ \multiplyleft{3}\left(\frac{2}{3}(a+1)+5\right)\amp=\multiplyleft{3}\frac{1}{3}\\ 3\cdot\frac{2}{3}(a+1)+3\cdot5\amp=1\\ 2(а+1)+15\амп=1\\ 2а+2+15\амп=1\\ 2а+17\амп=1\\ 2а\ампер=-16\\ а\ампер=-8 \end{выравнивание*}

Проверяем решение \(-8\) в уравнении \(\frac{2}{3}(a+1)+5=\frac{1}{3}\text{,}\) мы находим, что :

\begin{выравнивание*} \frac{2}{3}(a+1)+5\amp=\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}(\substitute{-8}+1)+5\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}(-7)+5\amp\stackrel{?}{=}\frac{1}{3}\\ -\frac{14}{3}+\frac{15}{3}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{1}{3} \end{align*}

Следовательно, решение равно \(-8\), а набор решений равен \(\{-8\}\text{.}\)

Пример 3.3.5.

Найдите \(b\) в уравнении \(\frac{2b+1}{3}=\frac{2}{5}\text{.}\)

Объяснение

\begin{align*} \frac{2b+1}{3}\amp=\frac{2}{5}\\ \multiplyleft{15}\frac{2b+1}{3}\amp=\multiplyleft{15}\frac{2}{5}\\ 5(2b+1)\amp=6\\ 10b+5\amp=6\\ 10б\ампер=1\\ b\amp=\frac{1}{10} \end{align*}

Проверка решения \(\frac{1}{10}\text{:}\)

\begin{align*} \frac{2b+1}{3}\amp=\frac{2}{5}\\ \frac{2\left(\substitute{\frac{1}{10}}\right)+1}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{2}{5}\\ \frac{\frac{1}{5}+1}{3}\amp\stackrel{?}{=}\frac{2}{5}\\ \ frac {\ frac {1} {5} + \ frac {5} {5} {3} \ amp \ stackrel {?} {=} \ frac {2} {5} \\ \ frac {\ frac {6} {5} {3} \ amp \ stackrel {?} {=} \ frac {2} {5} \\ \frac{6}{5}\cdot \frac{1}{3}\amp\stackrel{\checkmark}{=}\frac{2}{5} \end{выравнивание*}

Решение: \(\frac{1}{10}\), а набор решений: \(\left\{\frac{1}{10}\right\}\text{. }\)

Пример 3.3.7.

В научной лаборатории в 9:00 утра в контейнере было \(21\) унций воды. Вода испарялась со скоростью \(3\) унций каждые \(5\) минут. Когда останется \(8\) унций воды?

Объяснение

Поскольку контейнер теряет \(3\) унций воды каждые \(5\) минут, он теряет \(\frac{3}{5}\) унций каждую минуту. Через \(м\) минут с 9:00 утра контейнер потеряет \(\frac{3}{5}m\) унций воды. Поскольку вначале в контейнере было \(21\) унций воды, количество воды в контейнере можно смоделировать как \(21-\frac{3}{5}м\) (в унциях).

Чтобы определить, когда останется \(8\) унций воды, запишем и решим это уравнение:

\begin{align*} 21-\frac{3}{5}m\amp=8\\ \multiplyleft{5}\left(21-\frac{3}{5}x\right)\amp=\multiplyleft{5}8\\ 5\cdot21-5\cdot\frac{3}{5}x\amp=40\\ 105-3м\ампер=40\\ 105–3 м\вычитание вправо{105}\amp=40\вычитание вправо{105}\\ -3м\ампер=-65\\ \divideunder{-3m}{-3}\amp=\divideunder{-65}{-3}\\ m\amp=\frac{65}{3} \end{выравнивание*}

Проверка решения \(\frac{65}{3}\text{:}\)

\begin{align*} 21-\frac{3}{5}m\amp=8\\ 21-\frac{3}{5}\left(\substitute{\frac{65}{3}}\right)\amp\stackrel{?}{=}8\\ 21-13\amp\stackrel{\checkmark}{=}8 \end{align*}

Следовательно, решение равно \(\frac{65}{3}\text{. }\) В качестве смешанного числа это \(21\frac{2}{3}\text {.}\) В контексте это означает, что \(21\) минут и \(40\) секунд после 9:00 в 9:21:40 в контейнере будет \(8\) унций воды. левый.

КПП 3.3.8.

Подраздел 3.3.3 Решение неравенств с дробями

Мы также можем решать линейные неравенства с дробями, умножая каждую часть неравенства на НЛД всех дробей в неравенстве.

Помните, что с линейными неравенствами все работает точно так же, как и с решением линейных уравнений, за исключением того, что знак неравенства меняет направление всякий раз, когда мы умножаем каждую часть неравенства на отрицательное число.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как решить линейное неравенство, сначала очистив дроби.

Пример 3.3.9.

Найдите \(x\) в неравенстве \(\frac{3}{4}x-2\gt\frac{4}{5}x\text{.}\) Запишите набор решений в обоих множествах- нотация построителя и нотация интервала.

Объяснение

\begin{align*} \frac{3}{4}x-2\amp\gt\frac{4}{5}x\\ \multiplyleft{20}\left(\frac{3}{4}x-2\right)\amp\gt\multiplyleft{20}\frac{4}{5}x\\ 20\cdot\frac{3}{4}x-20\cdot2\amp\gt16x\\ 15x-40\ампер\gt16x\\ 15x-40\subtractright{15x}\amp\gt16x\subtractright{15x}\\ -40\ампер\гт х\\ х\усилитель\лт-40 \end{выравнивание*}

Набор решений в нотации построителя наборов имеет вид \(\{x\mid x\lt-40\}\text{. }\) Обратите внимание, что это эквивалентно записи \(\{x\mid-40\gt x \}\text{,}\), но это легче понять, если мы сначала напишем \(x\) в неравенстве.

Набор решений в интервальной нотации: \((-\infty,-40)\text{.}\)

Пример 3.3.10.

Найдите \(y\) в неравенстве \(\frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\le\frac{2}{3}\text{.}\) Запишите набор решений как в нотации построителя наборов, так и в нотации интервала.

Объяснение

\begin{align*} \frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\amp\le\frac{2}{3}\\ \multiplyleft{21}\left(\frac{4}{7}-\frac{4}{3}y\right)\amp\le\multiplyleft{21}\left(\frac{2}{3}\ верно)\\ 21\влево(\frac{4}{7}\вправо)-21\влево(\frac{4}{3}y\вправо)\amp\le21\влево(\frac{2}{3}\вправо) \\ 12-28лет\ампер\ле14\\ -28г\ампер\ле2\\ \divideunder{-28y}{-28}\amp\ge\divideunder{2}{-28}\\ y\amp\ge-\frac{1}{14} \end{align*}

Обратите внимание, что когда мы разделили каждую часть неравенства на \(-28\text{,}\), символ неравенства изменил направление.

Набор решений в нотации построителя наборов: \(\left\{y\mid y\ge-\frac{1}{14}\right\}\text{.}\)

Набор решений в интервале обозначение \(\left[-\frac{1}{14},\infty\right)\text{.}\)

Пример 3.3.11.

В определенном классе оценка учащегося рассчитывается по среднему баллу за 3 теста. Эйдан набрал \(78\%\) и \(54\%\) в первых двух тестах. Если он хочет получить хотя бы оценку C \((70\%)\text{,}\), какой самый низкий балл ему нужно получить на третьем экзамене?

Объяснение

Предположим, Эйдан наберет \(x\%\) на третьем тесте. Чтобы его средний балл за тест был больше или равен \(70\%\text{,}\), запишем и решим это неравенство:

\begin{align*} \frac{78+54+x}{3}\amp\ge70\\ \frac{132+x}{3}\amp\ge70\\ \multiplyleft{3}\frac{132+x}{3}\amp\ge\multiplyleft{3}70\\ 132+х\усилитель\ge210\\ х\amp\ge78 \end{align*}

Чтобы получить хотя бы оценку C, Эйдан должен набрать не менее \(78\%\) в третьем тесте.

Упражнения 3.

3.4 Упражнения

Обзор и прогрев

1.

Умножить: \(\displaystyle{8\cdot \frac{2}{3} }\)

2.

Умножить: \(\displaystyle{3\cdot \frac{3}{8} }\)

3.

Умножить: \(\displaystyle{4\cdot\left( -{\frac{5}{2}} \right)}\)

4.

Умножить: \(\displaystyle{28\cdot\left( -{\frac{6}{7}} \right)}\)

5.

Выполните следующие умножения.

1. \(14 \cdot \frac{5}{7}\)

2. \(21 \cdot \frac{5}{7}\)

3. \(28 \cdot \frac{5}{7}\)

6.

Выполните следующие умножения.

1. \(27 \cdot \frac{5}{9}\)

2. \(36 \cdot \frac{5}{9}\)

3. \(45 \cdot \frac{5}{9}\)

Решение линейных уравнений с дробями

7.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{q}{7}+120}={3q}}\)

8.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{y}{4}+57}={5y}}\)

9.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{t}{10}+8}={13}}\)

10.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{a}{7}+5}={7}}\)

11.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {3-\frac{c}{7}} = {1} }\)

12.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {9-\frac{A}{2}} = {3} }\)

13.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-42} = {6-\frac{8C}{5}} }\)

14.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {-22} = {2-\frac{4m}{9}} }\)

15.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{5p} = {\frac{3p}{10}+282}}\)

16.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{5q} = {\frac{7q}{6}+115}}\)

17.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{64} = {{\frac{10}{3}}y+2y}}\)

18.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{195} = {{\frac{4}{7}}r+5r}}\)

19.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{74-{\frac{7}{6}}a} = {5a}}\)

20.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{65-{\frac{5}{2}}c} = {4c}}\)

21.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {5A} = {{\frac{4}{9}}}A+8} }\)

22.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{3C} = {{\frac{2}{3}}C+4}}\)

23.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{7}{2}}-9m}={8}}\)

24.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{3}{8}}-7p}={8}}\)

25.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{5}{4}}-{\frac{1}{4}}q}={3}}\)

26.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{9}{2}}-{\frac{1}{2}}y}={1}}\)

27.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{4r}{7}-8}={-{\frac{40}{7}}}}\)

28.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{6a}{5}-6}={-{\frac{6}{5}}}}\)

29.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{2}{9}}+{\frac{8}{9}}c}={7c}}\)

30.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{6}{7}}+{\frac{10}{7}}A}={7A}}\)

31.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {3C} {7} — {\ frac {32} {7}}} = {- {\ frac {5} {7}} C}} \)

32.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {5m} {11} — {\ frac {21} {11}}} = {- {\ frac {2} {11}} m}} \)

33.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {6p} {7} + {\ frac {7} {2}}} = {p}} \)

34.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {2q} {3} + {\ frac {5} {8}}} = {q}} \)

35.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {4y} {7} -111} = {- {\ frac {3} {4}} y}} \)

36.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{2r}{5}-19}={-{\frac{3}{2}}r}}\)

37.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {-{\frac{5}{8}}a+39}={\frac{3a}{16}}}\)

38.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-{\frac{7}{10}}b+51}={\frac{3b}{20}}}\)

39.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{5A}{6}-8A}={{\frac{5}{12}}}}\)

40.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{7C}{2}-8C}={{\frac{3}{4}}}}\)

41.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{7m}{6}+{\frac{8}{9}}}={{\frac{3}{4}}m}}\)

42.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {7p} {4} + {\ frac {4} {7}}} = {{\ frac {3} {8}} p}} \)

43.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{3}{2}}q}={{\frac{4}{7}}+\frac{5q}{3}}}\)

44.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{5}{6}}y}={{\frac{5}{7}}+\frac{3y}{5}}}\)

45.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{7}{6}}}={\frac{r}{24}}}\)

46.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{3}{2}}}={\frac{a}{8}}}\)

47.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-\frac{b}{14}}={{\frac{8}{7}}}}\)

48.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-\frac{A}{30}}={{\frac{2}{5}}}}\)

49.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-\frac{C}{10}}={-{\frac{5}{2}}}}\)

50.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-\frac{m}{24}}={-{\frac{9}{8}}}}\)

51.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-{\frac{3}{4}}}={\frac{7p}{5}}}\)

52.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ {-{\frac{7}{10}}}={\frac{5q}{9}}}\)

53.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{3}{8}}}={\frac{y+6}{24}}}\)

54.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{7}{4}}}={\frac{r+3}{12}}}\)

55.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ \frac{9}{10} = \frac{a-4}{9} }\)

56.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{ \frac{5}{6} = \frac{b-4}{7} }\)

57.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {A-8} {2}} = {\ frac {A + 5} {4}}} \)

58.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {B-2} {6}} = {\ frac {B + 2} {8}}} \)

59.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {m + 7} {4} — \ frac {m-9{8}}={{\frac{9}{4}}} }\)

60.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{p+1}{2}-\frac{p-6}{4}}={{\frac{3}{4}}}}\)

61.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {q} {7} -2} = {\ frac {q} {9}}} \)

62.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {y} {5} -1} = {\ frac {y} {10}}} \)

63.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{r}{2}-3}={\frac{r}{5}+6}}\)

64.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {a} {6} -2} = {\ frac {a} {9} +1}} \)

65.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{{\frac{5}{2}}b+{\frac{7}{4}}}={{\frac{1}{2}}b+{\frac{5}{2} }}} }\)

66.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{1A+3}={5A+{\frac{3}{2}}}}\)

67.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {\ frac {7B+6} {4} — \ frac {4-B} {8}} = {{\ frac {1} {9}}}} }\)

68.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{\frac{5m+6}{2}-\frac{1-m}{4}}={{\frac{1}{5}}}}\)

69.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{11}={\frac{p}{3}+\frac{p}{8}}}\)

70.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{27}={\frac{q}{7}+\frac{q}{2}}}\)

71.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {{\ frac {5} {9}}y — {\ frac {6} {7}}} = {- {\ frac {7} {2}} y + {\ frac {1} {2}}} }\)

72.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-{\frac{1}{2}}r-1}={-r-{\frac{7}{5}}}}\)

73.

Решите уравнение.

\(\ displaystyle { {-{\ frac {7} {8}} a — {\ frac {10} {9}}} = {{\ frac {7} {2}} a — {\ frac {5 {2}}} }\)

74.

Решите уравнение.

\(\displaystyle{{-{\frac{5}{9}}b+{\frac{5}{7}}}={{\frac{5}{3}}b-1}}\)

75.

Решите уравнение.

1. \(\displaystyle{ {-\frac{A}{2}+8}={4} }\)

2. \(\displaystyle{{\frac{-q}{2}+8}={4}}\)

3. \(\displaystyle{{\frac{t}{-2}+8}={4}}\)

4. \(\displaystyle \displaystyle{ {\frac{-c}{-2}+8}={4}}\)

76.

Решите уравнение.

1. \(\displaystyle{{-\frac{B}{2}+2}={-4}}\)

2. \(\displaystyle{{\frac{-C}{2}+2}={-4}}\)

3. \(\displaystyle{{\frac{r}{-2}+2}={-4}}\)

4. \(\displaystyle \displaystyle{ {\frac{-x}{-2}+2}={-4}}\)

Приложения

77.

Линдси бежит по прямой. У нее была фора в \(10\) метрах от стартовой линии, и она пробегала \(2\) метра каждые \(7\) секунд. Через сколько секунд Линдсей окажется в \(18\) метрах от линии старта?

Линдси будет в \(18\) метрах от линии старта секунд с момента начала бега.

78.

Эмбер бежит по прямой. Она стартовала в месте \(30\) метров от линии старта и бежала к линии старта со скоростью \(2\) метров каждые \(3\) секунды. Через сколько секунд Эмбер окажется в \(26\) метрах от линии старта?

Эмбер будет в \(26\) метрах от стартовой линии секунд с тех пор, как начала бежать.

79.

В копилке Джозефа было всего \({\$10.00}\), и он решил начать откладывать больше. Он сохраняет \({\$5.00}\) каждые \(8\) дней. Через сколько дней у него будет \({\$25.00}\) в копилке?

Джозеф будет откладывать \({\$25.00}\) в свою копилку спустя несколько дней.

80.

Росс накопил в своей копилке \({\$50.00}\) и решил начать их тратить. Он тратит \({\$3.00}\) каждые \(4\) дней. Через сколько дней у него останется \({\$44.00}\) в копилке?

Через несколько дней в копилке Росса останется \({\$44.00}\).

Решение неравенств с дробями

Для каждой задачи, приведенной ниже, решите неравенство и, в дополнение к написанию построителя наборов и обозначений интервалов для каждого набора решений, нарисуйте график каждого набора решений на числовой прямой.

81.

\({\frac{x}{3}+84}\geq{5x}\)

;

82.

\({\frac{x}{4}+28}\geq{2x}\)

;

83.

\({{\frac{3}{4}}-5y} \lt{3}\)

;

84.

\({{\frac{5}{4}}-2y} \lt{6}\)

;

85.

\({-{\frac{3}{4}}t} > {{\frac{4}{5}}t-93}\)

;

86.

\({-{\frac{5}{6}}t} > {{\frac{2}{7}}t-47}\)

;

87.

\(\)

;

88.

\(\)

;

89.

\({-\frac{z}{4}} \lt {-\frac{3}{2}}\)

;

90.

\({-\frac{z}{8}} \lt {-\frac{9}{2}}\)

;

91.

\({\ frac {x} {7}-12} \leq {\ frac {x} {3}} \)

;

92.

\({\ frac {x} {7}-4} \leq {\ frac {x} {5}} \)

;

93.

\({\frac{y-8}{6}} \geq {\frac{y+8}{4}}\)

;

94.

\({\frac{y-4}{6}} \geq {\frac{y+3}{4}}\)

;

95.

\({{\frac{17}{12}}} \lt {\frac{x+1}{6}-\frac{x-7}{12}}\)

;

96.

\({{\frac{17}{12}}} \lt {\frac{x+7}{6}-\frac{x-1}{12}}\)

;

Приложения

97.

Ваша оценка в классе определяется средним баллом по трем тестам. Вы набрали \(75\) и \(86\) в первых двух тестах. Чтобы заработать не менее \(80\) за этот курс, сколько вам нужно набрать на третьем тесте? Пусть \(x\) будет баллом, который вы заработаете на третьем тесте.

1. Напишите неравенство, представляющее эту ситуацию.

2. Решите это неравенство. Каков минимум, который вы должны заработать на третьем тесте, чтобы получить \(80\) за курс?

3. Вы не можете набрать больше \(100\) в третьем тесте. Используйте обозначение интервала для представления диапазона баллов, которые вы можете заработать на третьем тесте, чтобы заработать не менее \(80\) за этот курс.

98.

Ваша оценка в классе определяется средним баллом по трем тестам. Вы набрали \(70\) и \(90\) на первых двух тестах. Чтобы заработать не менее \(83\) за этот курс, сколько вам нужно набрать на третьем тесте? Пусть \(x\) будет баллом, который вы заработаете на третьем тесте.

1. Напишите неравенство, представляющее эту ситуацию.

2. Решите это неравенство. Каков минимум, который вы должны заработать на третьем тесте, чтобы получить \(83\) за курс?

3. Вы не можете набрать больше \(100\) в третьем тесте. Используйте обозначение интервала для представления диапазона баллов, которые вы можете заработать на третьем тесте, чтобы заработать не менее \(83\) за этот курс.

2.4 Линейные уравнения дробного порядка – Алгебра среднего уровня

Перейти к содержимому

Глава 2: Линейные уравнения

При работе с дробями, встроенными в линейные уравнения, часто проще всего удалить дробь на самом первом шаге. Обычно это означает нахождение LCD дроби, а затем умножение каждого члена во всем уравнении на LCD.

Найдите [латекс]x[/латекс] в уравнении [латекс]\dfrac{3}{4}x — \dfrac{7}{2} = \dfrac{5}{6}.[/latex]

Для этого уравнения LCD равно 12, поэтому каждый член этого уравнения будет умножен на 12.

[латекс]\dfrac{3}{4}x(12) — \dfrac{7}{2}( 12) = \dfrac{5}{6}(12)[/latex]

Сокращение знаменателя дает:

[latex]3x(3) — 7(6) = 5(2)[/latex]

Результат умножения:

[латекс]\begin{array}{rrrrr} 9x&-&42&=&10 \\ &+&42&&+42 \\ \hline &&\dfrac{9x}{9}&=&\dfrac{52 {9} \\ \\ &&x&=&\dfrac{52}{9} \end{массив}[/латекс]

Найдите [латекс]x[/латекс] в уравнении [латекс]\dfrac{3\left(\dfrac{5}{9}x+\dfrac{4}{27}\right)}{2}=3 .[/latex]

Сначала удалите внешний знаменатель 2, умножив обе части на 2:

[латекс]\left(2\right)\dfrac{3\left(\dfrac{5}{9}x+\ dfrac{4}{27}\right)}{2}=3(2)[/latex]

[latex]3\left(\dfrac{5}{9}x+\dfrac{4}{27}\ right)=6[/latex]

Теперь разделите обе части на 3, что даст:

[latex]\dfrac{5}{9}x + \dfrac{4}{27} = 2[/latex]

Чтобы удалить 9 и 27, умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, 27:

[латекс]\dfrac{5}{9}x\left(27\right) + \dfrac{4}{27}\left (27\right) = 2(27)[/latex]

Это оставляет:

[latex]\begin{array}{rrrrl} 5x(3)&+&4&=&54 \\ &-&4&&-4 \\ \hline &&15x&=&50 \\ \\ &&x&=&\dfrac{50}{15}\text{ или }\dfrac{10}{3} \end{массив}[/latex]

В вопросах с 1 по 18 решите каждое линейное уравнение.

2