Рубрика: Разное

Используя квадратичную формулу, корни вычисляются как

Нетрудно увидеть из формы квадратичной формулы, что если квадратный многочлен имеет комплексные корни, то они всегда будут комплексно-сопряженной парой !

Вот еще один пример. Рассмотрим многочлен

Его корни даны

Дискриминант.

называется дискриминантом .

Рассмотрим дискриминант квадратичного многочлена .

• Если дискриминант положительный, многочлен имеет 2 различных действительных корня.
• Если дискриминант отрицательный, многочлен имеет 2 комплексных корня, которые образуют комплексно-сопряженную пару.
• Если дискриминант равен нулю, многочлен имеет один действительный корень кратности 2.

Основная теорема алгебры, дубль два.

Мы уже знаем, что любой многочлен можно разложить по действительным числам в произведение линейных множителей и неприводимых квадратичных многочленов. Но теперь мы также заметили, что каждый квадратный многочлен можно разложить на 2 линейных множителя, если мы допускаем комплексные числа. Следовательно, комплексная версия Основной теоремы алгебры выглядит следующим образом:

Мы можем сказать это также на корневом языке:

Над комплексными числами каждый многочлен степени n (с действительными коэффициентами) имеет n корней, считая по их кратности.

Использование комплексных чисел делает операторы более простыми и «красивыми»!

Упражнение 1.

Ответ.

Упражнение 2.

Ответ.

Упражнение 3.

Ответ.

Упражнение 4.

Ответ.

Упражнение 5.

Ответ.

Упражнение 6.

(b) Приведите пример многочлена степени 4 без каких-либо x -пересечений.

Ответ.

Упражнение 7.

Ответ.

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Многочлены с комплексными корнями

Основная теорема алгебры уверяет нас, что любой многочлен с настоящий номер коэффициенты можно полностью разложить по полю комплексные числа .

В случае квадратичные многочлены , корни комплексные, когда дискриминант отрицательный.

Пример 1:

Фактор полностью, используя комплексные числа.

Икс 3 + 10 Икс 2 + 169 Икс

Во-первых, Икс .

Икс 3 + 10 Икс 2 + 169Икс «=» Икс ( Икс 2 + 10 Икс + 169 )

Теперь используйте квадратичная формула для выражения в скобках, чтобы найти значения Икс для которого Икс 2 + 10 Икс + 169 «=» 0 .

Здесь а «=» 1 , б «=» 10 и с «=» 169 .

Икс «=» − б ± б 2 − 4 а с 2 а

Икс «=» − 10 ± 10 2 − 4 ( 1 ) ( 169 ) 2 ( 1 ) «=» − 10 ± 100 − 676 2 «=» − 10 ± − 576 2

Запишите квадратный корень, используя мнимые числа.

Икс «=» − 10 ± 24 я 2 «=» − 5 ± 12 я

Теперь мы знаем, что значения Икс для которого выражение

Икс 2 + 10 Икс + 169

равно 0 являются Икс «=» − 5 + 12 я и Икс «=» − 5 − 12 я .

Таким образом, исходный многочлен можно представить как

Икс 3 + 10 Икс 2 + 169Икс «=» Икс ( Икс − [ − 5 + 12 я ] ) ( Икс − [ − 5 − 12 я ] )

Вы можете убедиться в этом, используя ФОЛЬГА .

Иногда вы можете разложить многочлен на множители, используя комплексные числа, не используя квадратную формулу. Например, разница квадратов правило:

Икс 2 − а 2 «=» ( Икс + а ) ( Икс − а )

Это также может быть использовано с комплексными числами, когда а 2 отрицательно, следующим образом:

Икс 2 + 25 «=» ( Икс + 5 я ) ( Икс − 5 я )

Пример 2:

Фактор полностью, используя комплексные числа.

9 Икс 2 у + 64 у

Во-первых, исключить у .

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 6. Ранг матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей. 9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. 3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 2. Поле частных. 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы § 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. 9. Автоморфизмы группы. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. 5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9. Модули над кольцом главных идеалов. 10. Некоторые следствия. 11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2. Действия над тензорами § 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основные свойства модуля действительного числа

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Основные свойства модуля действительного числа

Ниже представлены основные свойства модуля действительного числа (т.е. положительного, отрицательного и нуля).

• Свойство 1
• Свойство 2
• Свойство 3
• Свойство 4
• Свойство 5
• Свойство 6
• Свойство 7
• Свойство 8

Свойство 1

Модуль числа представляет собой расстояние, которое не может быть отрицательным. Следовательно, и модуль не может быть меньше нуля.

|a| ≥ 0

Свойство 2

Модуль положительного числа равняется этому же числу.

|a| = a, при a > 0

Свойство 3

Модуль отрицательного числа равняется этому же числу, но с противоположным знаком.

|-a| = a, при a < 0

Свойство 4

Модуль числа ноль равняется нулю.

|a| = 0, при a = 0

Свойство 5

Модули противоположных чисел равны между собой.

|-a| = |a| = a

Свойство 6

Модуль числа a – это квадратный корень из a².

Свойство 7

Модуль произведения равняется произведению модулей чисел.

|ab| = |a| ⋅ |b|

Свойство 8

Модуль частного равняется делению одного модуля на другой.

|a : b| = |a| : |b|

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Любое комплексное число можно записать в виде суммы комплексных чисел по модулю 1?

Задавать вопрос

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 334 раза

$\begingroup$

Я нашел эту задачу в учебнике, решения не предложил. Мне любопытно, потому что это кажется очень интересным результатом. Полное утверждение:

Пусть $M \subseteq \mathbb{C}$, набор со следующими свойствами:
1. если $x\in{\mathbb{C}}$ с $|x|=1$, тогда $x \in{M}$
2. если $x=a_1+a_2$ и $a_1,a_2 \in{M}$, то $x \in{M}$

Покажите, что $M=\mathbb {С} $.

Приветствуются любые предложения, заранее спасибо 🙂

• комплексные числа

$\endgroup$

$\begingroup$

Думай геометрически. Начните с любой точки комплексной плоскости и нарисуйте окружность единичного радиуса с центром в вашей точке. Выберите точку на окружности ближе к началу координат и используйте ее в качестве центра другой единичной окружности. Повторяйте этот процесс, пока не получите цепочку единичных окружностей, последняя из которых пересекает единичную окружность с центром в начале координат.

Теперь соедините центры этих окружностей от начала координат до вашей точки. Вуаля. Ваше комплексное число выставляется как сумма комплексных чисел по модулю единицы.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Геометрически равно тому, что между любыми двумя точками на плоскости можно провести цепочку из окружностей единичного радиуса, центр каждой из которых находится на окружности предыдущей. В конце концов они должны пересечься. Плоскость становится диаграммой Аргана.

Предположим, вы начинаете с точки $a+bi$. Можно нарисовать окружность, чтобы найти новую точку $a-1 + bi$, и постоянно уменьшать действительную и мнимую составляющие до значения, меньшего единицы. Тогда имеется точка $A+Bi$, лежащая в единичной окружности. Окружность, проведенная вокруг этой точки, пересечет единичную окружность в точке $c+di$. Окружность, проведенная в точке $c+di$, пройдет через точку $A+Bi$, и по цепочке можно будет вернуться к точке $a+bi$.

$\endgroup$

Как найти модуль комплексного числа

Как найти модуль комплексного числа?

Пусть z = a + ib — комплексное число.

Модуль или абсолютное значение z, обозначаемое | г | определяется как

Модуль свойств комплексных чисел

Свойство 1 :

Модули суммы двух комплексных чисел всегда меньше или равны сумме их модулей.

Приведенное выше неравенство может быть немедленно распространено по индукции на любое конечное число комплексных чисел, т. е. для любых n комплексных чисел z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _n

Свойство 2 :

Модуль разности двух комплексных чисел всегда больше или равен разности их модулей.

Свойство 3 :

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.

Свойство 4 :

Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их модулей.

Давайте рассмотрим несколько примеров, основанных на приведенной выше концепции.

Пример 1:

Найдите модуль следующего комплексного числа

− 2 + 4i

Решение:

Пусть z =  -2 + 4i

|z| =  √(-2 + 4i)

|z| =  √(-2) ² + 4 ² 

  =  √4 + 16

  =  √20

Разложив число внутри корня, получим

  =  2√5

Пример 2:

Найдите модуль следующего комплексного числа

2 − 3i

Решение: 900 03

Пусть z  =  2 − 3i

|з| =  √(2 — 3i)

|z| =  √2 ²  + (-3) ² 

  =  √4 + 9

  =  √13

Пример 3 : 900 03

Найдите модуль следующего комплексного числа

− 3 − 2i

Решение:

Пусть z =  − 3 − 2i

|z| =  √(− 3 − 2i)

|z| =  √(-3) ²  + (-2) ² 

  =  √9 + 4

  =  √13

Пример 4 :

Найдите модуль следующего комплексного числа

4 + 3i

Решение:

Пусть z = 4 + 3i

|z| =  √(4 + 3i)

|z| =  √4 ²  + 3 ² 

  =  √16 + 9

  =  √25

Разложив число внутри корня, получим

=  √5

Давайте рассмотрим следующий пример «Как найти модуль комплексного числа».

Пример 5:

Найдите модуль или абсолютное значение

[(1 + 3i) (1 — 2i)] / (3 + 4i)

Решение:

  =  |(1 + 3i)| |(1 — 2i)| / |3 + 4i|

  =  √(1 ²  + 3 ² ) √(1 ²  + (-2) ² )  / √3 ²  + 4 ²

  = ( √(1 + 9 )   √(1 + 4))  / √(9+ 16)

  = ( √10   √5)  / √25

  =  √50 / √25  =  5√2/5  = √2   90 003

Похожие темы

• Свойства комплексных чисел
• Добавить и вычесть комплексные числа
• Как найти модуль и аргумент комплексного числа
  

После того, как мы ознакомились с вышеизложенным, мы надеемся, что учащиеся поняли «Как найти модуль комплексного числа».

Помимо материалов, приведенных в этом разделе «Как найти модуль комплексного числа», если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Выбрать конвертер:

Начать сначала

Больше действий:

Выбрать другой файл

Как конвертировать PDF в Word

1. org/HowToStep»> Выберите на своем компьютере PDF-файл, который нужно конвертировать.
2. Наш конвертер PDF в Word начнет извлечение текста, изображений и отсканированных страниц (OCR) из PDF.
3. За несколько секунд создается идеально отформатированный документ Word, готовый к загрузке. Затем конвертер PDF в Word удаляет все копии файла с сервера, сохраняя безопасность ваших данных.

Лучший конвертер PDF в Word

Наш конвертер PDF – лучшее средство для конвертации файлов PDF в документ Word, лист Excel, PowerPoint или даже PNG и JPG.

Доступ к 20 инструментам для конвертирования PDF

С помощью набора других удобных инструментов для объединения, разделения, сжатия, вращения и удаления страниц наш конвертер избавит вас от обычных ограничений PDF-файлов.

Шифрование файлов в целях безопасности

Наш PDF-конвертер защищает ваши файлы путем 256-битного шифрования SSL, а отправленные вами данные не передаются другим лицам и остаются доступны только вам.

Быстрое конвертирование с автоматическим удалением

Когда вы отправляете PDF для преобразования в Word, ваши файлы преобразуются немедленно и удаляются сразу же после его окончания без сохранения резервных копий.

Используйте на любом компьютере, где угодно

Наш PDF-конвертер работает с компьютерами Mac, Windows и Linux. Поэтому можно использовать его на любом компьютере, где бы вы ни находились.

Конвертируйте PDF в Word бесплатно, используя пробную версию

Попробуйте бесплатную пробную версию конвертера PDF в Word либо оформите одномесячную, годовую или бессрочную подписку, чтобы получить полный доступ ко всем нашим инструментам, включая неограниченный размер файлов и возможность конвертировать несколько документов одновременно.

Работайте более продуктивно

Подписка

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Пожалуйста, подождите или подпишитесь, чтобы конвертировать следующий файл.

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Пожалуйста, зарегистрируйтесь

Для использования всех возможностей PDF-конвертера вам необходима версия PRO.

Подписка

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Продолжайте пользоваться бесплатными

Преобразование JPG в Word: онлайн и бесплатно

JPG в Word

Выберите файлы

или перетащите файл сюда

Как преобразовать JPG в формат Docx?

Независимо от причин, по которым вы конвертируете JPG в Docx, программа A1Office Image to Docx Converter поможет легко преобразовать файл JPEG в Docx! Лучшая часть нашего инструмента — вам не нужно тратить время и усилия на то, чтобы разобраться во всем этом самостоятельно! Конвертер A1Office jpeg в docx — это простой и безопасный инструмент, который обеспечивает бесплатное и мгновенное преобразование изображений в Docx с сохранением качества.

Онлайн-конвертер JPG в Docx предоставляет вам лучший способ преобразовать любое количество изображений в формат Word за несколько секунд. Все преобразованные файлы Word хранятся в облаке. Мы обеспечиваем 100% конфиденциальность и безопасность ваших данных. Вам не нужно скачивать и устанавливать какое-либо программное обеспечение. Все преобразования JPEG в Docx выполняются в облаке и не используют ресурсы вашего компьютера. Наш сервер мгновенно удаляет все загруженные файлы изображений и конвертирует текстовые файлы после завершения преобразования. Конвертер A1Office JPG в Docx предлагает пользователям свободу использования инструмента преобразования из любого места, на любом ПК или даже с мобильного устройства. Он совместим со всеми последними операционными системами и современными браузерами, такими как Google Chrome, Firefox, Opera и Safari.

Чтобы преобразовать JPG в Docx, вам необходимо выполнить шаги, описанные ниже:

Ниже приведены шаги для преобразования

Особенности конвертера JPEG в Docx:

Ниже приведены функции A1Office Conversion Tool

Часто задаваемые вопросы

Бесплатный онлайн-инструмент A1Office для преобразования JPG в Docx доступен на нашей веб-странице во всех последних операционных системах и современных браузерах. Мгновенно изменить файл изображения на документ Word:

1. Посетите домашнюю страницу A1Office и выберите конвертер изображений в Docx
2. Загрузите или перетащите файл JPG/JPEG в конвертер
3. Файл JPG будет загружен и преобразован в документ Word за несколько секунд

Так же, как и любой другого онлайн-инструмента преобразования, преобразование Word в JPG — довольно простая задача. Перейдите к онлайн-инструменту конвертации Word в JPG с домашней страницы A1Office. Выполните шаги, указанные ниже:

1. Откройте Word to JPG Converter
2. Загрузите или перетащите файл Docx в панель инструментов
3. Подождите, пока инструмент преобразует Word в JPG
4. Сохраните и загрузите файл JPG на свой компьютер

Ну, мы постарались сделать задачу преобразования простой и легкой для пользователи. При разработке этого онлайн-инструмента для преобразования JPG в Docx мы позаботились о том, чтобы наши пользователи не утруждали себя загрузкой и установкой программного обеспечения на свои устройства, а просто получали к нему доступ в Интернете со своих компьютеров или устройств Android. Однако, если вы хотите просмотреть некоторые полезные и продуктивные приложения, мы хотели бы, чтобы вы установили и изучили наше мобильное приложение из магазина Google Play, чтобы получить доступ к аналогичным инструментам, программам для чтения и конвертации.

Вы можете связаться с нашей командой поддержки.

Бесплатный онлайн OCR — Конвертация JPEG, PNG, GIF, BMP, TIFF, PDF, DjVu в текст

Возможности

Бесплатный онлайн OCR сервис предлагает неограниченную загрузку файлов и не требует регистрации. Ваши данные хранятся у нас в безопасности, и все ваши файлы будут удалены с сервера после использования для дополнительной конфиденциальности. Наш сервис основан на движке Tesseract OCR и поддерживает 122 языка и шрифты распознавания, что делает его идеальным для многоязычного распознавания. Он также способен распознавать математические уравнения и анализировать макеты страниц для улучшения распознавания текста. Вы можете выбрать определенную область на странице для OCR и повернуть страницы по часовой стрелке или против часовой стрелки в течение 9 секунд. 0°, шаг 180°. После обработки OCR у вас есть несколько вариантов отображения и обработки полученного текста, включая загрузку в виде файла, редактирование в Google Docs, перевод с помощью Google Translate или Bing Translator, публикацию в Интернете, копирование в буфер обмена и многое другое. Наш сервис способен обрабатывать даже плохо отсканированные и сфотографированные страницы и изображения с низким разрешением.

Форматы входных файлов

Бесплатная онлайн-служба OCR способна обрабатывать широкий спектр форматов входных файлов, включая популярные форматы изображений, такие как JPEG, JFIF, PNG, GIF, BMP, PBM, PGM, PPM и PCX. Мы также можем работать со сжатыми файлами, такими как сжатие Unix, bzip2, bzip и gzip. Для многостраничных документов мы поддерживаем форматы TIFF, PDF и DjVu. Кроме того, наш сервис может обрабатывать файлы DOCX и ODT с изображениями и несколькими изображениями в ZIP-архиве, что делает его универсальным инструментом для всех ваших потребностей в распознавании текста.

Форматы выходных файлов

Языки распознавания

. Спасибо!

Советы для связанных онлайн-калькуляторов

У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

Для решения этой задачи по математике вам необходимо знать следующие знания:

• алгебра
• уравнение
• система уравнений
• арифметика
• квадрат (вторая степень, квадратичный)
• планиметрия
• парабола

Класс решения задачи:

• средняя школа

Мы рекомендуем вам посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: видео1

• Парабола
  Найдите уравнение параболы, содержащей точки A[10; -5], Б[18; -7], С[20; 0]. (используйте y = ax²+bx+c)
• Предположим, 10
  Предположим, что 4+7i является решением 5z2+Az+B=0, где A, B∈R. Найдите A и B.
• Координата X 81737
  В треугольнике ABC определите координаты точки B, если известно, что точки A и B лежат на прямой 3x-y-5=0, точки A и C лежат на прямой 2x +3y+4=0, точка C лежит на оси координат x, угол при вершине C прямой.
• Найдите 5
  Найдите уравнение окружности с центром в точке (1,20), которая касается прямой 8x+5y-19=0
• Пересечения 62784
  Дана квадратичная функция: y = -x² + 2x + 3 a) определить точки пересечения с осью x, y и пиком V b) нарисовать график и описать c) для которого применяется x f (x) = 3
• В строке
  В строке p: x = 4 + t , y = 3 + 2t, t есть R, найти точку C, которая находится на одинаковом расстоянии от точек A [1,2] и B [-1,0].
• Определить 80662
  Дана функция y = x² — 4x + 3. Определить все действительные числа z такие, что g(x) = g(-2).
• Вычислить 8
  Вычислить координаты точки B, осесимметричной с точкой A[-1, -3] вдоль прямой линии p : x + y — 2 = 0.
• Декартова система координат
  1. В декартовой системе координат, функций f и g мы знаем, что: Функция (f) определяется как f (x) = 2x², функция (g) определяется как g (x) = x + 3, точка (O) является началом координат опорной, а точка (C) является точкой пересечения графа
• Касательные эллипса
  Найдите модуль угла, под которым эллипс x² + 5 y² = 5 виден из точки P[5, 1].
• Неравенства: 4229
  Найдите количество всех целых чисел x, удовлетворяющих следующим двум неравенствам: | х + 2 | = 3
• Найдите
  Найдите образ A’ точки A [1,2] в осевой симметрии с осью p: x = -1 + 3t, ​​y = -2 + t (t = вещественное число)
• Общие уравнения прямой
  Во всех примерах запишите ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ прямой, которая задана каким-либо образом. А) линия задана параметрически: х = — 4 + 2р, у = 2 — 3р Б) форма наклона дает линию: у = 3х — 1 В) линия задана двумя точками: А [3; -3], Б [-5; 2] D) линия
• Квадратное уравнение
  Найдите корни квадратного уравнения: 3x²-4x + (-4) = 0.
• Окружность — AG
  Найдите координаты окружности и ее диаметр, если ее уравнение: x² + y² — 6x- 4y=36
• Форма наклона
  Найдите уравнение прямой с точкой X(8, 1) и наклоном -2,8.

Как построить график y=-1/3x+1 ?

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь по выполнению домашних заданийПланы уроков

Искать на этом сайте

Начать бесплатную пробную версию

Укажите эту страницу следующим образом:

«Как построить график y=-1/3x+1?» eNotes Editorial , 1 февраля 2013 г. , https://www.enotes.com/homework-help/how-do-show-y-1-3x-1-graph-382716. По состоянию на 21 апреля 2023 г.

Ответы экспертов

`y=-1/3x +1` является линейным уравнением. Следовательно, его график представляет собой прямую.

Кроме того, данное уравнение представлено в виде точки пересечения наклона y=mx+b, где m — наклон, а b — точка пересечения с осью y.

Итак, наклон линии равен «-1/3», а ее точка пересечения по оси Y равна (0,1).

Чтобы построить график, начните с точки (0,1). Затем используйте наклон для определения других точек.

Поскольку наклон отрицательный, одна из точек находится на 1 единицу вниз и на 3 единицы вправо от точки пересечения оси Y. Это точка (3, 0). Отсюда снова переместитесь на 1 единицу вниз и на 3 единицы вправо. Тогда другой точкой будет (6, -1).

Кроме того, точки выше точки пересечения с осью y можно определить, переместив их на 1 единицу вверх и на 3 единицы влево. Итак, одна из точек равна (-3, 2). Повторяя шаги, другая точка (-6, 3).

Теперь, когда известны некоторые точки y=-1/3x+1, соедините их. И продлите линию на обоих концах.

Следовательно, график `y=-1/3x+1`:

См. eNotes без рекламы

Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые ответили наши эксперты.

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответа учителя

Математика

Последний ответ опубликован 02 сентября 2012 г. в 3:00:53.

Как ограничения (пределы исчисления) используются или применяются в повседневной жизни? Или применительно к проблемам реального мира? Мне нужно пару примеров! Спасибо!

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 23 мая 2012 г.

Вопрос

Обновлено:26/04/2023

АНГЛИЙСКИЙ SAT-ПАСПОРТ К РАСШИРЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ-Множественный выбор

РЕКЛАМА

Text Solution

Правильный ответ B

Расшифровка

которая из следующего равно Y в степени 3 на 2 для всех значений Y, для которых определено выражение, варианты: кубический корень над y квадратный корень над y кубический корень над Y в степени половины и кубический корень слова Y OK поэтому выражение, данное в вопросе, состоит в том, почему часть 3 на 2 Y в степени 3 на 2, и нас спросили, какое из этих четырех выражений совпадает с этим выражением, поэтому мы можем диета этот поворот Y в степени 3 на 2 равно почему на часть 3 на половину 9

означает квадратный корень из этого члена, поэтому мы пришли к решению Y в степени 3 на 2 равно корню из куба y, и мы можем видеть, что вариант to является правильным вариантом

Ответ

Пошаговое решение экспертами, чтобы помочь вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Похожие видео

x3/4.Y2/3 ?

152618557

Выражение 7y−3y+2 эквивалентно какому из следующих?

167969623

Что из следующего равно b−12 для всех значений b, для которых определено выражение?

167970209

Что из следующего равно a23 для всех значений a ?

181168288

Выражение x(x3y2)−4 эквивалентно какому из следующих выражений

185018229

Для всех a > 0 какое из следующих выражений равно a−2?

195773195

Текст Решение

Определите, какие из следующих алгебраических выражений являются полиномами, а какие нет. Кроме того, определите степени тех выражений, которые являются полиномами:
y−3−y−1+2

213711727

ЕСЛИ y=3x, какое из следующих выражений эквивалентно 9x−3x+2 для всех положительных целых значений х?

217887476

Если x+y=7 и x2+y2=25, то какое из следующих чисел равно значению x3+y3? 92 А площадь, ограниченная линией y = mx, равна 9/2.

Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:

\(S=\frac12a\times b\times\sin\alpha\)

где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.

Через радиус описанной окружности и три стороны

Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:

\(S=\frac{a\times b\times c}{4\times R}\)

где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности и три стороны

В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:

\(S=r\times\frac{a+b+c}2\)

где r — радиус вписанной окружности, \(\frac{a+b+c}2\) — полупериметр фигуры.

Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:

\(S=r\times p\)

где p — полупериметр треугольника. \circ-(\alpha+\beta)\)

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

\(S=\frac{a\times b}2\)

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Начнем с поиска катета:

\(\cos\left(\alpha\right)=\frac ac\)

\(a=c\times\cos\left(\alpha\right)\)

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α —  угол между ними. 2\times\tan\left(\alpha\right)\)

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

\(S=r\times(r+c)\)

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

\(S=с_1\times с_2\)

где \(с_1\) и \(с_2\) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

\(S=(p-a)\times(p-b)\)

где \(p=\frac{a+b+c}2\) — полупериметр фигуры. 2\).

Площадь треугольника — все формулы

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Содержание

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

Площадь треугольника Определения и примеры

Площадь треугольника Определения и примеры

Введение

Определения треугольников и примеры важны для математики. В этом сообщении блога мы рассмотрим три различных определения треугольника площади и примеры. Таким образом вы сможете лучше понять, как работают эти концепции и как они могут помочь вашим математическим навыкам.

Какова площадь треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Формула: A = 1/2 × b × h .

Определение треугольника

Треугольник — это трехсторонняя фигура с двумя углами, равными 90 градусам. Угол при вершине — это угол между основанием и вершиной треугольника, а два других угла называются боковыми углами. Прямоугольный треугольник имеет прямой угол при вершине и сумму углов, равных 180 градусам. В случае треугольника с острым углом, например, 90 градусов, один из его углов умножается на 3, чтобы найти его меру.

Площадь треугольника

Треугольник — это трехсторонняя геометрическая фигура с двумя равными сторонами и третьей стороной, которая короче двух других. Треугольник имеет шесть точек пересечения, которые называются вершинами. Три вершины одинакового размера образуют основание треугольника. Точка в середине основания называется вершиной треугольника.

Три вершины на одной стороне треугольника называются внутренними углами. Угол, противолежащий любому внутреннему углу с одной стороны, называется внешним углом. Внешний угол с одной стороны также считается внутренним углом, если он имеет общую вершину с другим внешним углом с той же стороны. 93

Если треугольник прямоугольный, то значение «base_a» равно 0, а все остальные значения равны 1. Если треугольник не прямоугольный, то «base_a» может быть любым действительным числом, а «height_a» всегда будет положительный.

Площадь треугольника с двумя сторонами и прилежащим углом (SAS)

Формула: Площадь = (a x b x sin c)/2 , где a, b — две стороны, а c — угол между ними.

Другим определением является сумма длин трех сторон, также известная как мера длины или линейная мера. Другой способ подумать об этом — представить, что каждая сторона отрезается посередине между двумя концами, и подсчитывается, сколько дюймов (или сантиметров) получаются разрезы. Это также называется базовой длиной или иногда просто базой.

Третье определение называется радиусом описанной окружности, и это как раз то, что вы ожидаете — радиус вокруг одного из углов треугольника. Наконец, есть особый тип треугольника, называемый равносторонним треугольником, у которого все углы равны 90 градусам. Все эти определения важны при работе с Треугольниками в задачах и расчетах, поэтому к ним стоит привыкнуть!

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна сумме трех сторон. Основание всегда самая длинная сторона, а высота самая короткая.

Площадь треугольника можно найти, умножив длину основания на высоту. Например, если у вас есть треугольник с основанием 10 дюймов и высотой 12 дюймов, то его площадь составит 120 квадратных дюймов.

Типы треугольников

Существует много типов треугольников, некоторые из них более распространены, чем другие. Вот некоторые из них:

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а третья сторона имеет ту же длину, что и две другие.

Треугольник в правой вертикальной плоскости

В геометрии треугольник в правой вертикальной плоскости — это треугольник, вершины которого центрированы на верхнем, нижнем и левом краях листа. Прямоугольный треугольник в этом контексте имеет один угол, равный 90 градусам.

Заключение

В этой статье мы обсудили три наиболее распространенных типа треугольников и их определения. Прочитав это, вы должны лучше понять, что такое треугольник и как его идентифицировать в различных ситуациях. Надеюсь, вам понравится узнавать об этих важных формах!

Результат

Определение

Определяющие неравенства

Свойства пластин

Механические свойства

Свойства расстояния 900 05

Альтернативная форма

Альтернативные формы при условии, что a, b и c положительны

Площадь треугольника: формула Герона, решенные примеры

• Автор Асит Баранкар
• Последнее изменение 25-01-2023

Площадь треугольника: В двумерной плоскости площадь треугольника — это область, заключенная в нем. Треугольник, как мы все знаем, представляет собой замкнутую форму с тремя сторонами и тремя вершинами. В результате площадь треугольника равна общему пространству, занимаемому тремя сторонами треугольника. Половина произведения основания треугольника на высоту — это обычная формула вычисления его площади.

Область, занимаемая внутри границы плоского объекта или фигуры, определяется как «площадь» в целом. Измерение производится в квадратных единицах, при этом квадратные метры являются обычной единицей измерения (м2). Существуют предопределенные формулы для вычисления площади квадратов, прямоугольников, кругов, треугольников и других фигур. В этом посте мы изучим формулы площади треугольников для нескольких видов треугольников, а также рассмотрим некоторые примеры задач.

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Его также можно определить фигурой, ограниченной или заключенной в трехлинейные отрезки. Ясно, что треугольник будет иметь три стороны и три вершины.

Узнайте о треугольниках здесь

Классификация треугольников

Треугольники классифицируются двумя основными способами:
а) классификация на основе длины сторон треугольника
б) классификация на основе внутренних углов треугольника.

Классификация треугольников по длине сторон

В зависимости от длины сторон треугольники делятся на три типа: разносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и равносторонний треугольник.

Если все три стороны треугольника различны по длине или если ни одна из сторон треугольника не равна, то такой треугольник называется разносторонним. Треугольник, приведенный ниже, является разносторонним треугольником. В этом треугольнике все три угла имеют разную величину.

Если любые две из трех сторон треугольника равны, то такой треугольник называется равнобедренным.

В приведенном выше треугольнике указаны две равные стороны. Это равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике два угла, противолежащие двум равным сторонам, равны по величине.

Если все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, то такой треугольник называется равносторонним. 9{\rm{o}}}\) называется тупоугольным треугольником.)

Термины, относящиеся к площади треугольника

Высота треугольника

Перпендикуляр, проведенный из любой вершины в сторону, противоположную вершине, называется высотой треугольника из этой вершины.

На приведенном выше рисунке перпендикуляр \(AD\) проведен из вершины \(A\) на сторону \(BC.\). Итак, \(AD\) называется высотой треугольника.

На приведенном выше рисунке перпендикуляры \(AD,\,BE\) и \(CF\) проведены из вершин \(A,\,B\) и \(C\) на противоположных сторонах \(BC ,\,CA\) и \(AB,\) соответственно. В этом случае \(AD\) считается высотой треугольника из вершины \(A\) относительно основания \(BC.\). Аналогично, \(BE\) и \(CF\) считаются высотами треугольника из вершины \(B\) и \(C\) относительно оснований \(CA\) и \(AB,\) соответственно. Три высоты треугольника всегда совпадают. Общая точка называется ортоцентром треугольника.

Иногда перпендикуляр, проведенный из вершины, не достигает противоположной стороны. Он лежит на расширенной противоположной стороне.
На приведенном выше рисунке перпендикуляр \(AD\) проведен к продолжению \(BC.\). В этом случае \(AD\) считается высотой треугольника \(ABC\) относительно основания \(BC .\)

Медиана треугольника

Медиана определяется как отрезок, соединяющий вершину треугольника и среднюю точку противоположной стороны треугольника.

На приведенном выше рисунке, если \(D\) является серединой \(BC,\), то \(AD\) называется медианой, проведенной из вершины \(A\) на противоположной стороне \(BC .\)

В любом треугольнике из каждой вершины на противоположных сторонах можно провести три медианы, как показано на рисунке выше. В любом треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести треугольника.

Какова площадь треугольника?

Площадь треугольника — это область или пространство, ограниченное тремя сторонами треугольника.

Существует несколько формул, используемых для расчета площади треугольника. Они обсуждаются ниже:

Площадь треугольника при заданных основании и высоте

Площадь треугольника \({\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2} }}{\rm{ \times base \times height}}\)

Приведенная выше формула используется, когда известны или даны длина любой стороны и соответствующая высота.
Для приведенного выше рисунка площадь треугольника \(= \frac{1}{2} \times {\rm{основание \times height}} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times b \times h\)

Площадь прямоугольного треугольника

Приведенная выше формула используется непосредственно для прямоугольных треугольников.

Следовательно, формула, используемая для вычисления площади треугольника, выглядит следующим образом: \(\frac{1}{2} \times {\rm{основание \times height}} = \frac{1}{2} \times b \ раз h\), где \(b\) — основание, а \(h\) — высота.

Типы треугольников, для которых используется эта формула

Помимо прямоугольных треугольников, эта формула может использоваться для расчета площади любого типа треугольника, если длина основания и высота заданы или могут быть получены из заданных Информация о треугольнике.

Площадь треугольника с 3 сторонами: формула Герона

Эта формула используется для вычисления площади треугольника, если известны или даны длины всех трех сторон.

Согласно этой формуле площадь треугольника определяется выражением
\({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} \), где , \(a,\,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c}}{2}.\)

Площадь равностороннего треугольника

Формулу Герона можно использовать для получения специальной формулы, применимой для расчета площади равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике все три стороны равны по длине. Итак, в этом случае \(a = b = c.\)
Итак, \(s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{a + a + a}}{2 } = \frac{{3\,a}}{2}\)

Итак, \({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c )}   = \ sqrt {\ frac {{3a}} {2} \ times \ left ( {\ frac {{3a}} {2} — a} \ right) \ times \ left ( {\ frac {{3a}) {2} – a} \right) \times \left( {\frac {{3a}}{2} – a} \right)} \) 92}}}{4}} \)

Площадь треугольника при заданных координатах его вершин

Площадь треугольника можно вычислить, если известны координаты трех вершин треугольника на декартовой плоскости.

В треугольнике \(ABC\), показанном выше, \(A\left( {{x_1},\,{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2},\,{y_2} } \right)\) и \(C\left( {{x_3},\,{y_3}} \right)\) — координаты вершин треугольника.

Площадь этого треугольника можно рассчитать по формуле
\( {{площадь}} = \frac{1}{2}\left| { {x_1}\left({{y_2} – {y_3}} \right) + {x_2}\left({{y_3} – {y_1}} \right) + {x_3}\left({{y_1} – {y_2}} \right)} \right|\)

Связь между площадями двух треугольников, лежащих на одном основании и между одинаковыми параллелями

Существует интересная связь между площадями двух разных треугольников, если они лежат на одном основании и находятся между двумя одинаковыми параллельными прямыми. Можно доказать, что площади двух треугольников с одинаковым основанием, лежащих между двумя одинаковыми параллельными прямыми, равны.

Здесь прямая \(BC\) параллельна прямой \(DQ.\) Отсюда ясно, что \(\Delta ABC\) и \(\Delta PBC\) имеют одно и то же основание \(BC\) и они лежат между одними и теми же параллельными прямыми \(BC\) и \(DQ. \)
Итак, площади \(\Delta ABC\) и \(\Delta PBC\) равны. Следовательно, \({\mathop{\rm area}\nolimits} \Delta ABC = {\rm{area}}\Delta PBC.\)

Связь между площадью треугольника и площадью параллелограмма, лежащего на одном и том же треугольнике. Основание и между одинаковыми параллелями

Интересная связь также существует между площадью треугольника и площадью параллелограмма, если они лежат на одном основании и между одними и теми же двумя параллельными прямыми. Можно доказать, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, если они имеют одно основание и лежат между одними и теми же двумя параллельными прямыми.

Здесь прямая \(AB\) параллельна прямой \(QD\) Отсюда, очевидно, \(\Delta ABC\) и параллелограмм \(ABDC\) и \(ABPQ\) имеют одно и то же основание \(AB\) и лежат между одними и теми же параллельными прямыми \(AB\) и \(QD\)

Значит, площадь \(\Delta ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\) а также параллелограмм \(ABPQ\). 2}.\)

Q.2. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого равны \({\rm{3\,см}}\).\({\rm{4\,см}}\) и \({\rm{ 5\,см}}\)
Ответ: Здесь даны длины трех сторон. Итак, воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника. Здесь \(a = 3\;{\rm{см}},b = 4\;{\rm{см}}\) и \(c = 5\,{\rm{см}}\) согласно по этой формуле площадь треугольника определяется выражением \({\rm{area}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} ,\), где \(a ,\,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c }}{2}.\) Итак, \(s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = \frac{{12} }{2} = 6\;{\rm{см}}\)Следовательно, площадь данного треугольника\( = \sqrt {s\left( {s – a} \right)\left( {\left( {s – b} \right)\left( {s – c} \right)} \right)} = \sqrt {6\left( {6 – 3} \right)\left( {6 – 4} \right )\left( {6 – 5} \right)} \)\(= \sqrt {6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt {36} = 6\;{\rm{c}}{ {\ гт {м}} ^ 2} \) 92}]\)

Резюме

В двумерной плоскости площадь треугольника определяется как общее пространство, занимаемое тремя его сторонами. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, поэтому A = 1/2bh — основная формула. Эта формула работает для любого треугольника, будь то разносторонний треугольник, равнобедренный треугольник или равносторонний треугольник. Важно помнить, что основание и высота треугольника перпендикулярны друг другу.

Эта статья поможет всесторонне узнать о том, как вычислить площадь различных видов треугольников в зависимости от того, какая информация доступна о треугольнике. Зная это, можно рассчитать площадь любой земли треугольной формы или любого другого предмета треугольной формы.

Это также помогает в вычислении площади любой земли правильной или неправильной многоугольной формы или любого другого объекта путем деления многоугольника на треугольники по диагоналям, а затем получения площади каждого треугольника и сложения их.

Часто задаваемые вопросы о площади треугольника

Q.1. Сколько высот может быть у треугольника?
Ответ: Треугольник может иметь \(3\) (три) высоты.

Q.2 . Как найти площадь треугольника, если не дана высота, но даны длины трех сторон?
Ответ: Если высота не дана, но даны длины трех сторон, то можно использовать формулу Герона.
Согласно этой формуле площадь треугольника определяется выражением
\({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} ,\)
где \(a,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c}}{2}.\)

Q.3 . Какая формула обычно используется для нахождения площади прямоугольного треугольника, если известны длина и высота?
Ответ: Если длина основания и высота известны, то можно использовать формулу \({\rm{area = }}\frac{{\rm{1}}}{{ \rm{2}}}{\rm{ \times base \times height}}{\rm{.}}\)

Q.4. Для расчета площади треугольника по формуле \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ \times base \times height}}\) 9{\rm{2}}}\)

Q.