Рубрика: Разное

Длина окружности

Длина окружности или сфера равна радиусу в 6,2832 раза.

$\text»Окружность» = 6,2832 ⋅ R$

$C = 2 ⋅ π ⋅ R$

$\text»Диаметр» = 3,1416 ⋅ \text»Диаметр»$ 92 ⋅ π/ 4$

Площадь цилиндра

Это число будет в квадратных дюймах или квадратных миллиметрах, в зависимости от используемой системы измерения.

Площадь цилиндра равна 6,2832 ( 2 × π), умноженному на радиус цилиндра, умноженному на сумму радиуса и высоты.

$\text»Площадь» = 2 ⋅ 3,1416 ⋅ R ⋅ ( R + H )$

$\text»Площадь» = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ ( R + H )$

Это число будет в квадрате дюймы или квадратные миллиметры, в зависимости от используемой системы измерения.

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

Сериал Уравнение с неизвестными все сезоны 1,2 все серии по порядку подряд список

Двое совершенно не похожих людей неожиданно становятся напарниками, вынужденными вместе заниматься расследованием запутанного дела. Игорь Болдин действует всегда не по плану. Он принимает решения стремительно и не тратит время на лишние раздумья.

Следователю поручают новое дело. В школе убит преподаватель. Во время опроса свидетелей мужчина сталкивается с коллегой покойного. Кира оказывается крайне сообразительной девушкой, которая может помочь в расследовании. Только вот даже находиться рядом с Марадоной для нее большое испытание. Представляем вам сериал Уравнение с неизвестными все сезоны все серии по порядку подряд — полный список.

Оглавление

• 1 Уравнение с неизвестными. Химия убийства (2020)
• 2 Уравнение с неизвестными. Сегодня ты умрёшь (2020)

Уравнение с неизвестными. Химия убийства (2020)

Режиссер: Вячеслав Лавров
Актеры: Иван Стебунов, Мария Антонова, Алёна Яковлева, Андрей Леонов, Ксения Худоба, Дмитрий Гудочкин, Александр Кульков, Андрей Пынзару, Сергей Щедрин, Руслан Щедрин, Евгения Каверау, Екатерина Сахарова, Аделина Коблова, Никита Тарасов, Николай Сахаров, Лана Йохим, Сергей Неудачин, Евгений Еськов

Серий: 2

Молодая преподавательница никогда не подумала бы, что ей предстоит принимать участие в расследованиях, сотрудничая с настоящей легендой убойного отдела. В школе, где работает Кира, загадочным образом умирает учитель химии. Многие подозревают, что мужчина был жестоко убит.

Успенская прекрасно знала коллегу и могла помочь следователю. Им оказывается харизматичный и обаятельный Игорь Болдин, больше известный по прозвищу Марадона.

Он является полной противоположностью интеллигентной девушке, но вместе с ней его шансы отыскать преступника увеличиваются. К большому удивлению напарники продвигаются в деле и находят виновника произошедшего.

Смотреть 1 сезон

Уравнение с неизвестными. Сегодня ты умрёшь (2020)

Режиссер: Вячеслав Лавров
Актеры: Иван Стебунов, Мария Антонова, Алёна Яковлева, Андрей Леонов, Ксения Худоба, Дмитрий Гудочкин, Аделина Коблова, Ева Авеева, Владимир Роганов, Анастасия Драголюб, Елена Кульчицкая, Алёна Спивак, Николай Сахаров, Григорий Анашкин, Людмила Халилуллина, Артём Орлов

Серий: 2

Жизнь Киры Успенской кардинально меняется, когда в ней появляется сотрудник полиции. В прошлом вместе с Игорем ей удалось раскрыть запутанное преступление. Учительница даже находит общий язык со своим временным напарником.

Она становится его хорошей приятельницей, которая часто бывает у Болдина дома и занимается математикой с его дочерями. Преступники никогда не сидят без дела.

Уже несколько недель Марадона пытается раскрыть тайну загадочного письма, оставленного крупному бизнесмену. За помощью он снова обращается к Успенской.

Смотреть 2 сезон

1. Что такое алгебра?: Нахождение неизвестных…

Глава 1. Что такое алгебра?: Нахождение неизвестных…

Вы когда-нибудь хотели знать больше, чем знать? В этом вся суть алгебры: делать неизвестные известными. К тому времени, когда вы через эту первую главу вы уже будете иметь представление о том, что X — это много больше, чем отметка, где зарыто сокровище. Вы разберетесь с уравнений , сохраняя обе части уравнения сбалансированный , и почему решение неизвестных на самом деле не такая уж большая задача иметь дело. Чего же ты ждешь? Иди и начни!

Все началось с большой игровой распродажи

Джо некоторое время наблюдал за битвами игровой системы теперь и, наконец, определилась с тем, кого она хочет. Ее любимая система в продаже на этой неделе, и она готова купить. Но может ли она себе это позволить? Это где ей нужна небольшая помощь от вас.

Что на самом деле делает система расходы?

Когда покупаешь вещи, особенно дорогие электронные вещи — есть много вещей, которые добавляют в цену, помимо только номер на рекламном проспекте: налог с продаж, расширенная гарантия, доставка и управление и т. д. Так сколько же на самом деле будет стоить система KillerX?

Система облагается налогом…

Базовая цена системы составляет 199 долларов США. После этого нам нужно подумайте о налогах, которые составляют 5%. Давайте подсчитаем, сколько у Джо будет платить налоги:

… и расширенная гарантия тоже.

Джо собирается потратить 199 долларов на игровой автомат, и она хочет приобретите план расширенной гарантии за дополнительные 20 долларов. Давайте положим что и в цене. Какую цену придется заплатить Джо?

Вычисление суммы было не просто сложением! Это было решение для неизвестного — и это алгебра. В данном случае неизвестно, сколько всего было будет стоить.

Алгебра — это решение неизвестные

Алгебра заключается в том, чтобы найти недостающее число . информацию , которую вы ищете, используя информацию у тебя уже есть. Неизвестным может быть стоимость автокредита, количество газировки, которое вам нужно, или как высоко вы можете бросить воздушный шар с водой. Если вы этого не знаете, это неизвестный .

Все остальное, чему вы научитесь по алгебре, — это просто способы покачивайте вещи, чтобы помочь вам найти часть недостающей информации. Существуют правила о том, когда вы можете умножать вещи или когда вы можете сталкиваться что-то с одной стороны знака равенства на другую, но в конце день, все они просто уловки, чтобы помочь вам найти недостающую часть информацию, которую вы ищете.

У Джо есть еще неизвестные

Итак, Джо знает, сколько потребуется, чтобы купить потрясающую игру системы, включая расширенную гарантию. Но у нее до сих пор нет игры… или другой контроллер… или гарнитура.

Джо начала с 315,27 долларов на банковском счете. Теперь, когда она заплатила для консоли, сколько Джо может потратить на аксессуары? Начнем с запишем это прописью:

Мы знаем, сколько стоит консоль ($228,95), и мы знаем, сколько У Джо есть на ее счету (315,27 долларов США). Теперь просто заполните пробелы, и мы сможем вычислить бюджет аксессуаров Джо:

Решение любого неизвестного — это алгебра.

X обозначает неизвестное место

x просто удобная замена неизвестного блока, который мы использовали ранее. x легче написать, и это то, что вы искать, когда вы решаете уравнение. Неизвестное в любой заданной ситуацию называют переменной. В реальном мире проблемы возникают каждый день; Идет перевод их в математические уравнения позволяет решить их.

Уравнения математические предложения

Уравнения, подобные тому, которое вы использовали ранее, чтобы выяснить, как сколько Джо могла бы потратить на аксессуары, это просто математические предложения. Они математический способ сказать что-либо. Итак, когда мы говорили о Джо баланс счета, мы фактически использовали уравнение:

Наше уравнение означает « Баланс счета минус сколько мы тратим на консоль столько, сколько у нас осталось аксессуары. » Значит, значит, счет баланс должен равняться стоимости консоли плюс деньги за аксессуары . Если мы запишем это предложение в виде уравнения, оно выглядит так:

Уравнения можно переставить как предложения.

Оба предложения означают одно и то же; они просто сформулированы иначе. На следующих нескольких страницах вы узнаете, как изменить математические предложения и убедитесь, что вы не меняете никаких значений.

Теперь РЕШИТЕ ​​для неизвестно

Джо пытается решить, стоит ли ей покупать ЖИВАЯ подписка. У нее 10 игр, и в 7 из них нет онлайна. играть. Сколько у нее есть, что можно играть онлайн? Это делает смысл для нее покупать подписку?

Что нас действительно волнует здесь, так это то, что такое x — неизвестное количество игр. мы не действительно заботятся о семи играх в левой части уравнения. В на самом деле, мы можем избавиться от этой семерки, если мы убедимся, что делаем то же самое для обеих сторон уравнения.

Знак равенства означает, что обе стороны одинаковы. Итак, если мы отнимите 7 от одной стороны, мы должны сделать то же самое с другой стороны уравнения:.

Итак, что у нас осталось:

Для этого не нужны картинки алгебра.

Вам нужен способ использования операций, которые вы уже знаете (сложение, вычитание, умножение и деление) для решения уравнения.

Сложная часть? Вы должны сохранить равенство. Равенство означает одинаковый. Когда ты что-то делаешь с одной стороны уравнения, вы должны сделать то же самое с другой сторону уравнения.

Вот еще один способ взглянуть на онлайн-проблему Джо без картинки:

себя, вы изолируете переменная. Это самая важная часть решения уравнение. Изоляция переменной означает, что вы получили переменную себя в левой части уравнения, а все остальное складывается справа. Если вы можете изолировать переменную, значит, вы решили задачу. уравнение — ответ просто выскакивает, например, х = 3 .

Знание того, что вашей целью является выделение переменной, означает, что вы знать, какие числа отойти от левой стороны. Поскольку вы пытаетесь чтобы получить только x , это означает, что вы двигай семерку, а не 10!

Итак, когда какую операцию вы используете?

Противоположностью сложения является вычитание. Итак, если некоторые число добавляется к одной стороне уравнения, и вы хотите переместить это число на другую сторону, вы можете вычесть это число из обоих стороны. Математический термин, описывающий противоположные операции, называется обратными операциями.

Основными математическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление. Обратная операция – это операция, которая отменяет операцию (как сложение отменяет вычитание). Обратный операции позволяют сдвигать число или переменную с одной стороны уравнение к другому, «отменив» это число на одной стороне уравнение.

Когда вы хотите решить уравнение:

1. Посмотрите на уравнение и решите какие числа двигать.

   Используя уравнение Джо, мы должны были избавиться от 7. Это потому что мы пытаемся изолировать переменную x.

2. Выясните, какую операцию использовать.

   Вам нужно использовать обратную операцию для числа, чтобы удалить это. Для вычитаемого числа прибавьте. Для разделенного числа умножить, и так далее.

3. Сохранить равенство.

   Что бы вы ни решили сделать с одной частью уравнения, вы должен сделать с другим. Это сохраняет уравнение прежним.

Сила мозга

Существуют и другие обратные операции. Ты можешь думать о другие рабочие пары, которые работают?

Кто бы ни думал, что использовать x для обозначения типичного неизвестного, по-видимому, было хорошей идеей. не возражал против путаницы, которую это могло вызвать со знаком умножения, Икс. Тем не менее, многие другие люди сделали это.

Они отказались от использования x для умножение и придумал несколько более удобных для чтения вариантов:

И сдачу на дивизию тоже…

Знак дивизии, который вы привыкли видеть, тоже выбросили. Вместо этого вы увидите такие вещи:

Джо готова к аксессуарам!

Джо выяснила, что на ее счету осталось 86,32 доллара на аксессуары. Она решила, что хочет получить больше игр и не волноваться про гарнитуру только пока.

Джо быстро сделала алгебру, чтобы выяснить, сколько игр она может купить:

Проверка Проверка вашего work.

По мере изучения алгебры вы обнаружите, что задачи усложняются, и ошибиться довольно легко. Джо не правильно поделила, вот и достала! Проверка вашей работы не просто просматривая то, что вы сделали. Это также означает использование определенного техника под названием замена .

Замена использует ваше решение в оригинале уравнение

Замена означает замену чего-то другим. А замещающий учитель вместо обычного учителя, верно? К проверьте свою работу, вы подставляете найденный ответ на переменная в исходном уравнении.

Замена — это процесс, который можно использовать не только для проверки вашей работе, но и для других вещей тоже. Когда мы доберемся до более сложных уравнения и уравнения с более чем одной переменной, вы захотите использовать замену как часть процесса решения.

Обучение уравнениям

Давайте объединим все ваши сумасшедшие навыки решения уравнений, чтобы решить реальную задачу с помощью алгебры:

У Джо потрясающая установка!

После поездки, чтобы продать 4 игры и купить гарнитуру, Джо вошла в ЖИВИТЕ и купили этот новый уровень, и она готова к игре!

Джо собирается часами заниматься своим новым игру, но когда она закончит, будет легко понять, в какую игру она может позволить себе следующий!

Math Toolbox

Решение одновременных уравнений с несколькими неизвестными

01 февраля 2018 г.

Это третья статья в нашей серии кратких статей, в которых обсуждаются важные темы, касающиеся техников-электронщиков и электромехаников, а также студентов-технарей, готовящихся к работе в современных условиях. В этой серии мы обсудим некоторые повседневные навыки и темы для практикующих техников, а также некоторые области, которые наши студенты-технари определили как «трудные для понимания» при выполнении общего анализа цепей. Темы обсуждения будут включать в себя методы сокращения схемы, переходные характеристики, а также области сложности при работе с линейными теоремами сети постоянного тока.

Как решать одновременные уравнения с несколькими неизвестными

Многие технические специалисты сталкиваются с трудностями при решении уравнений узлов или контуров, содержащих несколько неизвестных величин. В этой третьей части серии «Техники-практики» мы рассмотрим способы решения таких уравнений для получения контурных токов или узловых напряжений при выполнении линейного анализа сети постоянного тока. Двумя методами технического уровня для решения одновременных уравнений с несколькими неизвестными, используемыми при работе с двумя или тремя уравнениями, являются «подстановка» и «исключение». Чтобы решить для заданного числа неизвестных, мы требуем, чтобы такое же количество уравнений было предоставлено. Например, нам потребуется два уравнения для решения двух неизвестных величин. Нам потребовались бы три уравнения для решения трех неизвестных величин и так далее.

Решите для x и y, учитывая эти два уравнения, содержащие две неизвестные величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Мы хотим выделить член y в одном уравнении. Под этим мы подразумеваем, что нам нужно уравнение, которое выражает значение одного y через x.

Поскольку теперь у нас есть выражение для значения y через x, мы заменим член y в уравнении 2 этим новым выражением, которое мы получили выше. Это оставит нам только одну неизвестную величину, x, для решения уравнения 2 вместо двух неизвестных, которые у нас были раньше.

Имея значение x, мы можем использовать его в уравнении 1 или уравнении 2, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 1)

3(4) + 2 = 2 года
12 + 2 = 2 года
14 = 2 года
y = 14 / 2
y = 7

Этот подход также может использовать для решения двух неизвестных в тех же двух уравнениях.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

На этот раз наша цель – найти коэффициент для умножения одного из уравнений, на который мы сможем суммировать два уравнения и исключить одно из неизвестных. Если мы умножим обе части уравнения 1 на коэффициент -2, а затем просуммируем два уравнения, у нас останется выражение, содержащее только одно неизвестное. Мы выбрали -2 в качестве коэффициента для умножения уравнения 1, так что правая часть уравнения 1 при добавлении к правой части уравнения 2 приведет к исключению члена y из результирующего уравнения.

Теперь мы суммируем это новое выражение для уравнения 1 с нашим исходным уравнением 2. Добавление -4y из правой части нашего нового выражения для уравнения 1 к 4y в правой части уравнения 2 приведет к 0y, что эффективно исключает член y из результирующего уравнения.

Уравнение 1 -6x – 4 = — 4y (уравнение 1 изменено с коэффициентом -2) 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Чтобы просуммировать эти уравнения, добавьте члены из левой части каждого уравнения вместе, и сложите члены из правой части уравнений вместе следующим образом…..

(-6x – 4) + (8x – 4) = (-4y) + (4y) 
2x – 8 = 0 
2x = 8
x = 8/2
x = 4

Теперь мы будем использовать значение 4 для x в любом из двух исходных уравнений, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 2)

8 (4) — 4 = 4y
32 — 4 = 4y
28 = 4y
y = 28/4
y = 7

В этом последнем примере мы исключили термин Y из уравнений, потому что он был легко узнаваемый способ сведения уравнения к одному неизвестному. Вместо этого мы могли бы исключить переменную x, оставив уравнение с y в качестве единственной неизвестной величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Чтобы убрать члены x из приведенных выше уравнений, необходимо применить коэффициент к обоим уравнениям, чтобы создать ситуацию мы желаем. Если мы умножим Eq.1 на 8 и Eq.2 на -3, члены x станут 24x и -24x соответственно. Они компенсируют друг друга при суммировании двух уравнений.

Уравнение 1 8(3x + 2) = 8(2y)
Уравнение 1 24x + 16 = 16y
Уравнение 2 -3(8x – 4) = -3(4y)
Уравнение 2 -24x + 12 = -12y

Теперь мы суммируем наши два новых уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной. Если мы напишем уравнения одно поверх другого, мы можем просто просуммировать по вертикали, чтобы получить наше уравнение с одной переменной.

Теперь мы будем использовать это известное значение y в одном из исходных уравнений, чтобы найти значение x.

Инструкции: Воспользуйтесь нашим пошаговым калькулятором суммы двух матриц, предоставив две ваши матрицы одинакового размера.

При необходимости измените размер матриц, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицы (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью «TAB»)

\(B\) = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}

Матрицы являются чрезвычайно полезными математическими объектами, которые служат многим различным целям. Действительно, с матрицами можно решать системы линейных уравнений , и вообще, вы можете представлять линейные функции.

Матрицы, как и числа, могут оперировать друг с другом. То есть вы можете их складывать, вычитать и умножать при условии соблюдения определенных основных условий размерности.

И даже при условии, что вы оценить, что матрица обратима , вы можете делить на матрицу, как обычное число.

Как суммировать матрицы?

Матрицы могут быть добавлены при условии, что матрицы имеют одинаковый размер. Итак, если вы хотите добавить две матрицы, вы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Убедитесь, что матрицы, которые вы хотите добавить, имеют одинаковый размер. Для этого вам нужно оценить количество столбцов и строк для обеих матриц и убедиться, что эти числа совпадают.

Это первая и вторая матрицы имеют одинаковое количество строк, а первая и вторая матрицы имеют одинаковое количество столбцов.

Обратите внимание, что вы можете добавлять матрицы, которые не возведены в квадрат, если две матрицы имеют одинаковые размеры.

Шаг 2: Как только вы узнаете, что две добавляемые вами матрицы имеют одинаковый размер, вам нужно добавить каждый соответствующий компонент из каждой из матриц.

То есть, чтобы получить запись в первой строке, первом столбце матрицы суммы, вы возьмете запись в первой строке, первом столбце первой матрицы и добавите к ней запись в первой строке, сначала столбец второй матрицы.

И вы делаете то же самое для всех компонентов. Итак, вы добавляете компонент за компонентом.

Можете ли вы добавить матрицу 3×3 и 3×4?

Строго говоря, нельзя, потому что матрицы 3х3 и 3х4 не имеют одинаковых размеров. Теперь некоторые умные математики утверждают, что вы можете «расширить» «меньшую» матрицу 3×3, чтобы «превратить» ее в матрицу 3×4. Ну, там много слов.

Таким образом, определенно имеет смысл попытаться добавить матрицу 3×3 и 3×4, но для большинства целей мы скажем, что нет, вы не можете их добавить.

И то же самое будет применяться, когда вы пытаетесь добавить матрицы разных размеров. Ответ НЕТ, вы не можете их добавить, но вы определенно можете попытаться придать смысл такой операции.

Вы умеете вычитать матрицы?

Да! Если у вас есть матрицы одинакового размера, вы можете их вычесть. Так же, как вы делаете с дополнением, чтобы вычесть две матрицы вы вычитаете компонент за компонентом.

Вы можете не только складывать или вычитать матрицы, но и умножить матрицы A и B при условии, что количество столбцов A совпадает с количеством строк B.

Калькулятор суммы матриц Матричные операции Калькулятор матриц Добавлен калькулятор двух матриц

Шестнадцатеричный калькулятор онлайн

1. Главная
2. /
3. Информатика
4. /
5. Шестнадцатеричный калькулятор онлайн

Если вам необходимо произвести математические операции в шестнадцатеричной системе счисления воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

+−×÷ANDORXOR =

Просто введите шестнадцатеричные числа, выберите операцию и получите результат.

Калькулятор может производить следующие действия:

• сложение +
• вычитание −
• умножение ×
• деление ÷
• логическое И (AND)
• логическое ИЛИ (OR)
• исключающее ИЛИ (XOR)

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Сложение двух шестнадцатеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

Пример

Для примера сложим F4240 и 7A120:

F4240₁₆ + 7A120₁₆ = 16E360₁₆

(1 000 000₁₀ + 500 000₁₀ = 1 500 000₁₀)

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Правила вычитания шестнадцатеричных чисел обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 16E360 число F4240:

16E360₁₆ − F4240₁₆ = 7A120₁₆

(1 500 000₁₀ − 1 000 000₁₀ = 500 000₁₀)

Умножение чисел в шестнадцатеричной системе счисления

Умножение шестнадцатеричных чисел производится по следующим правилам:

Пример

Для примера перемножим числа 1F4 и 2D:

1F4₁₆ × 2D₁₆ = 57E4₁₆

(500₁₀ × 45₁₀ = 22500₁₀)

Деление шестнадцатеричных чисел

Деление шестнадцатеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Пример

Для примера разделим число 7D0 на 2:

7D0₁₆ ÷ 2₁₆ = 3E8₁₆

(2000₁₀ ÷ 2₁₀ = 1000₁₀)

См.

Калькулятор суммы матриц — MathCracker.com

Решатели Алгебра

Инструкции: Воспользуйтесь нашим пошаговым калькулятором суммы двух матриц, предоставив две ваши матрицы одинакового размера.

При необходимости измените размер матриц, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицы (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью «TAB»)

\(B\) = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}

Матрицы являются чрезвычайно полезными математическими объектами, которые служат многим различным целям. Действительно, с матрицами можно решать системы линейные уравнения и вообще можно представлять линейные функции.

Матрицы, как и числа, могут оперировать друг с другом. То есть их можно складывать, вычитать и умножать, при условии соблюдения некоторых основных условий размерности.

И даже, при условии, что вы оцените, что матрица обратима, вы можете разделить матрицей, очень похожей на обычное число.

Как суммировать матрицы?

Матрицы могут быть добавлены при условии, что матрицы имеют одинаковый размер. Итак, если вы хотите добавить две матрицы, вы должны следовать эти шаги:

Шаг 1: Убедитесь, что матрицы, которые вы хотите добавить, имеют одинаковый размер. Для этого необходимо оценить количество столбцов и строк для обеих матриц и убедитесь, что эти числа совпадают.

Это первая и вторая матрицы имеют одинаковое количество строк и первая и вторая матрицы имеют одинаковые номера столбцов.

Обратите внимание, что вы можете добавлять неквадратные матрицы, если две матрицы имеют одинаковые размеры.

Шаг 2: Как только вы узнаете, что две добавляемые матрицы имеют одинаковый размер, вам нужно добавить каждую соответствующую компоненты от каждой из матриц.

Это для того, чтобы получить запись в первой строке, первом столбце матрицы сумм, вы возьмете запись в первой строке, первом столбце первой матрицы, и вы добавляете к нему запись в первой строке, первом столбце вторая матрица.

И вы делаете то же самое для всех компонентов. Итак, вы добавляете компонент за компонентом.

Можно ли добавить матрицу 3х3 и 3х4?

Строго говоря, нельзя, потому что матрицы 3х3 и 3х4 не имеют одинаковых размеров. Некоторые умные математики утверждают, что вы можете «расширить» «меньшую» матрицу 3×3, чтобы «заставить» ее превратить в матрицу 3×4. Ну, там много слов.

Итак, вы определенно можете понять к попытке добавить матрицу 3×3 и 3×4, но для большинства целей мы скажем, что нет, вы не можете их добавить.

То же самое будет применяться, когда вы пытаетесь добавить матрицы разных размеров. Ответ НЕТ, вы не можете их добавить, но определенно вы можете попытаться найти смысл в такой операции.

Можно ли вычитать матрицы?

Да! Если у вас есть матрицы одинакового размера, вы можете их вычесть. Так же, как вы делаете с дополнением, чтобы вычесть две матрицы, вы вычитаете компонент за компонентом.

Вы можете не только складывать или вычитать матрицы, но и умножать матрицы A и B при условии, что количество столбцов A совпадает с количеством строк B.

Калькулятор суммы матриц Матричные операции Калькулятор матриц Добавлен калькулятор двух матриц

Калькулятор сложения матриц — 2 3 Сумма

Поиск инструмента

Добавление матрицы

Инструмент для вычисления сложения матриц в компьютерной алгебре. Сумма N матриц обычно получается путем суммирования элементов каждой матрицы.

Результаты

Добавление матрицы — dCode

Метки: Матрица

Поделиться

dCode и другие

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Добавление 2 матриц

Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, ​​попробуйте обновить эту страницу)

Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, ​​попробуйте обновить эту страницу)

Сложение 3-х матриц

Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, ​​попробуйте обновить эту страницу)

См. также: Калькулятор матриц — прямая сумма матриц

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое сложение матриц? (Определение)

Отмечено добавление 2-х матриц $M_1+M_2$ с $M_1=[a_{ij}]$ ($m$ строк и $n$ столбцов, при этом $m=n$ для квадратной матрицы) и $M_2=[b_{ij}]$ (одинакового размера: $m$ строк и $n$ столбцов).

Сумма этих двух матриц $ M_1 + M_2 = [c_{ij}] $ является матрицей одинакового размера, т.е. $ m $ строк и $ n $ столбцов, где: $$ \forall i, j \quad c_{ij} = a_{ij}+b_{ij} $$

Важное правило: сложение матриц (матрица A плюс матрица B) можно выполнить только с 2 матрицами одинаковой формы/размера/размера (2×2, 2×3, 3×2, 3×3 и т. д.).

Как сложить 2 матрицы?

Добавление матрицы выполняется поэлементно

Пример: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 8\9& 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+7 & 2+8 \\ 3+9 & 4+10 \\ 5+11 & 6+12 \end{bmatrix} = \ begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 12 & 14 \\ 16 & 18 \end{bmatrix} $$

Для всех матриц A и B одинакового размера A+B = B+A.

Как сложить 2 матрицы в Excel?

Сложение матриц в Excel может быть достигнуто путем добавления элементов с одинаковыми координатами в каждую матрицу.

Как сложить 2 матрицы разного размера?

Операция сложения (или суммирования) для матриц может быть выполнена только с матрицами одинакового размера (возможны все размеры, при условии, что они абсолютно одинаковы: 3×4, 4×3, 4×4, 5×5 и т. д.). Тем не менее, существует прямая операция суммирования, которую можно использовать с матрицами разного размера.

Как добавить скаляр к матрице?

Операция прибавления скалярного числа к матрице $[A]+b$ не определена, но иногда подразумевает операцию $[A]+[I]b$ с $I$ единичной матрицей размера, совместимого с A.

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код Matrix Addition. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Дополнение к матрице», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Дополнение к матрице». функции (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, скрипт, или доступ к API для «Matrix Addition» не является общедоступным, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложении для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Задание 11 ЕГЭ математика профильный уровень — это текстовые задачи. В данном разделе рассмотрены типовые задачи на простые и сложные проценты, всего 5 задач. Сначала даны условия 5 задач различной сложности. Решение последних 2 задач раздела не требует сложных вычислений. Это прототипы задач, которые могут быть на экзамене. Их рекомендуется попытаться решить самостоятельно. Затем к каждой из этих 5 задач дано подробное решение.

Этот документ можно скачать по ссылке

Курс подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Идёт набор!

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c  политикой конфиденциальности.

Какую профессию можно получить, сдав обществознание и английский

25.10.2022

Из чего складывается проходной балл

30.06.2022

Что значит первичный балл в ЕГЭ

14. 06.2022

Самые высокооплачиваемые профессии, связанные с биологией

14.06.2022

Распределение баллов ЕГЭ по русскому языку

14.04.2022

Куда можно поступить после 9 класса с обществознанием и информатикой

28.03.2022

Смотреть все

Всё нужное в твоём телефоне

Скачай приложение и узнавай самую актуальную информацию

ПОДБЕРИ КУРС ЕГЭ И ОГЭ

Ответь на пять вопросов и узнай, где будешь учиться!

Образование для карьеры

К каким профессиям вы более склонны?

ТехническимГуманитарнымТворческимМедицинским

Какой у вас уровень образования?

Без образованияШкола 9-11 классКолледжБакалавриатМагистратураАспирантура

Какой формат обучения вам подходит?

ОчноЗаочноОнлайнПо выходным дням

Вас интересуют бюджетные места?

ДаНет

И последний вопрос. Вы из Москвы?

ДаНет

Мы подобрали вам программу обучения

Заполните форму, чтобы узнать больше о программе и наших предложениях

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от  Университета «Синергия» и соглашаюсь c политикой конфиденциальности

Уважаемый посетитель!

Если у вас есть вопрос, предложение или жалоба, пожалуйста, заполните короткую форму и изложите суть обращения в текстовом поле ниже. Мы обязательно с ним ознакомимся и в  30-дневный срок ответим на указанный вами адрес электронной почты

Статус Абитуриент Студент Родитель Соискатель Сотрудник Другое

Филиал Абакан Актобе Алагир Алматы Алушта Анапа Ангарск Архангельск Армавир Асбест Астана Астрахань Атырау Баку Балхаш Барановичи Барнаул Белая Калитва Белгород Бельцы Берлин Бишкек Благовещенск Бобров Бобруйск Борисов Боровичи Бронницы Брянск Бузулук Чехов Челябинск Череповец Черкесск Дамаск Дербент Димитровград Дмитров Долгопрудный Домодедово Дубай Дубна Душанбе Екатеринбург Электросталь Елец Элиста Ереван Евпатория Гана Гомель Гродно Грозный Хабаровск Ханты-Мансийск Хива Худжанд Иркутск Истра Иваново Ижевск Калининград Карабулак Караганда Каракол Кашира Казань Кемерово Киев Кинешма Киров Кизляр Королев Кострома Красноармейск Краснодар Красногорск Красноярск Краснознаменск Курган Курск Кызыл Липецк Лобня Магадан Махачкала Майкоп Минеральные Воды Минск Могилев Москва Моздок Мозырь Мурманск Набережные Челны Нальчик Наро-Фоминск Нижневартовск Нижний Новгород Нижний Тагил Ногинск Норильск Новокузнецк Новосибирск Новоуральск Ноябрьск Обнинск Одинцово Омск Орехово-Зуево Орел Оренбург Ош Озёры Павлодар Пенза Пермь Петропавловск Подольск Полоцк Псков Пушкино Пятигорск Радужный Ростов-на-Дону Рязань Рыбинск Ржев Сальск Самара Самарканд Санкт-Петербург Саратов Сергиев Посад Серпухов Севастополь Северодвинск Щербинка Шымкент Симферополь Слоним Смоленск Солигорск Солнечногорск Ставрополь Сургут Светлогорск Сыктывкар Сызрань Тамбов Ташкент Тбилиси Терек Тихорецк Тобольск Тольятти Томск Троицк Тула Тверь Тюмень Уфа Ухта Улан-Удэ Ульяновск Ургенч Усть-Каменогорск Вёшенская Видное Владимир Владивосток Волгодонск Волгоград Волжск Воркута Воронеж Якутск Ярославль Юдино Жлобин Жуковский Златоуст Зубова Поляна Звенигород

Тип обращения Вопрос Предложение Благодарность Жалоба

Тема обращения Поступление Трудоустройство Обучение Оплата Кадровый резерв Внеучебная деятельность Работа автоматических сервисов университета Другое

* Все поля обязательны для заполнения

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c  политикой конфиденциальности

7 Игры и занятия для обучения Простые интересы в увлекательной игровой форме

Если ваш текущий урок математики посвящен понятиям, связанным с интересами, то изучение простых интересов может иметь далеко идущие последствия. Хотя для обучения не может быть коротких путей, использование нескольких забавных методов, таких как игры и занятия, и плавное их сочетание с важными, но сложными концепциями может сделать обучение радостным.

Говоря о простых процентах, это сумма, начисляемая равномерно на первоначальную основную сумму в течение всего периода кредита. Однако, когда учащимся объясняют одно и то же в веселой и увлекательной форме, они не только быстро учатся, но и развивают умение узнавать больше о предмете или понятии.

Более того, простые проценты можно использовать во многих сферах нашей повседневной жизни. Кроме того, этому можно обучать новыми и увлекательными способами, о которых мы поговорим в нашей статье.

В то время как простой интерес — это понятие, которое объясняется в средней школе, это понятие становится жизненным навыком во взрослой жизни. Следовательно, давайте рассмотрим некоторые примеры, чтобы понять, где простые проценты используются в практической жизни.

Когда вы вносите деньги на свой сберегательный счет в государственном или частном банке, банк начисляет определенный процент в соответствии со своими нормами и текущими ставками. Здесь следует отметить, что процентная ставка всегда остается на усмотрение кредитора. Знание простых процентов полезно, так как вы можете проверить правильную сумму процентов, предоставляемых банками. Точно так же вы можете рассчитать свою прибыль, рассчитав проценты на определенную фиксированную сумму.

Люди выбирают автокредиты, чтобы купить себе комплект новых колес. Когда вы занимаете деньги в банке, вы должны выплатить основную сумму, фактическую сумму, которую вы заняли, и проценты, которые являются стоимостью заимствования денег. Это делается за счет фиксированных ежемесячных платежей в течение срока кредита.

Жилищные кредиты работают аналогично автокредитам, но единственное отличие состоит в основной сумме, которая более значительна, чем автокредиты. Внутренние кредиты, когда вы начинаете делать платежи, более высокий процент ваших фиксированных ежемесячных платежей будет идти на проценты. Это связано с тем, что основной остаток больше в начале кредита; следовательно, таков интерес.

Это инструмент денежного рынка, выпускаемый банками и другими финансовыми учреждениями вместо депонированных денег. Основной целью депозитного сертификата является предоставление банкам денежного ресурса на основе рыночных условий. Когда банки получают более высокие проценты, они могут принести пользу клиентам, предлагая гарантированную основную сумму с процентами. Такие депозиты имеют более высокие процентные ставки, в основном выше, чем сберегательные счета.

Допустим, эти дети в ближайшем будущем зарегистрируют свой первый сберегательный счет или возьмут автокредит к 18 годам, тогда понимание простых процентов будет так же необходимо, как дыхание. Более того, когда учащиеся учатся рассчитывать простые проценты, это делает их мудрыми в денежном отношении и помогает им принимать обоснованные финансовые решения. Поэтому давайте рассмотрим некоторые виды деятельности, которые помогут учащимся узнать о простых интересах.

В этом упражнении учащимся будет предложена профессия из 6 различных вариантов: почтальон, пожарный, строитель, фермер, повар и инженер.

• Кроме того, они будут получать валовой годовой доход.
• Этот валовой доход теперь должен использоваться студентами для определения своих платежных квитанций и чистой заработной платы и выписки чека.
  На доске будут указаны цены на 4 разных типа домов и автомобилей, от простых до роскошных. Затем они рассчитают свои ежемесячные расходы на покупку автомобиля и дома.
• После этого они рассчитывают, будут ли они выплачивать проценты и баланс на 15 или 30 лет.
• Им будет предоставлена ​​информация о 4 различных банках и их процентных ставках. Здесь следует отметить, что учащиеся должны указать проценты и суммы кредита каждого банка на листе бумаги, чтобы подсчитать и представить учителю.

Таким образом, учащиеся получат общее представление о расчете процентных ссуд по различным ставкам и периодам. Более того, это также информировало бы их об управлении активами и подходящих инвестициях.

Это задание позволяет учащимся находить простые интересы, используя забавные раскраски и творческие методы. Студенты должны будут сделать маленькие треугольники разных цветов, а затем собрать их в гигантский треугольник в соответствии с предоставленными деталями. Эти треугольники будут изображать разные вещи — основную сумму, проценты и время в соответствии с деталями.

Кроме того, когда сумма кредита устанавливается путем расчета процентной ставки, каждый год также может быть выделен разными цветами. Таким образом, для проведения этого мероприятия 

● Учитель делит класс на команды по 2-3 человека.

● Учащимся выдаются ручки или мелки разных цветов.

● На белой бумаге они нарисуют большой треугольник и необходимое количество маленьких треугольников. Эти меньшие треугольники будут отображать процентную часть, основную сумму и то, сколько денег будет выплачиваться каждый месяц.

● Затем они поместят все маленькие треугольники в большой треугольник, чтобы посмотреть, как их вычисления впишутся в гигантский треугольник.

Позже учитель может попросить их посчитать общую сумму большого треугольника.

Как показано на изображении, красный треугольник обозначает основную сумму, черный — проценты, а остальные два — первый взнос и каждый ежемесячный взнос соответственно. Сумма всех форм образует большой синий треугольник, который является общей суммой, которую студент должен.

Таким образом, благодаря этой деятельности учащийся может выучить много томов о простых интересах. Поскольку каждый треугольник изображает денежную сумму, учащиеся с помощью творчества и цветов могут усвоить много знаний о процентах и ​​расчетах.

Для раскрашивания учителя должны предоставить учащимся различные варианты в разных формах. Это задание требует, чтобы учащиеся раскрасили правильную фигуру, указывающую на ответ на вопрос.

• В этом упражнении учителя будут упоминать учащимся словесные задачи или записывать их на доске.
• Учащимся дается 2–3 минуты, чтобы изучить задачу и раскрасить правильную фигуру с ответом.
• Должно быть 4 фигуры, и учащиеся должны будут выбрать правильный ответ и раскрасить его.

В этом упражнении искусство сочетается с математикой. Это новая увлекательная техника для изучения основных понятий. Раскрашивание делает все веселым, облегчая понимание сложных математических аспектов.

Простой интерес — это простая концепция, если обучать ее с помощью веселых занятий и игр. Доступ к онлайн-играм возможен, и учащиеся могут играть в них в учебное время или дома. Попробуйте эти удивительные онлайн-игры, чтобы научиться простым интересам в визуально привлекательной форме.

Викторина посвящена быстрому и точному расчету простых процентов. Всего учащимся будет предложено 9 вопросов. За каждый правильный ответ им будет начислено 10 баллов, а после того, как они попытаются ответить на все вопросы, они получат окончательный балл.

● Нажмите старт на главной странице викторины.

● Рассчитайте простые проценты и введите ответ в поле.

● Нажмите «Отправить» и перейдите к другим вопросам.

 Поскольку в викторине нет таймера, учащиеся могут не торопиться, чтобы понять вопрос и ответить на него. Это улучшит их концептуальные знания и повысит скорость вычислений.

Ссылка на игру

 Эта игра также работает как викторина. Хотя с той лишь разницей, что студентам будет предоставлено четыре варианта, и они должны выбрать правильный.

● Нажмите старт на главной странице викторины.

● Рассчитайте простые проценты и выберите правильный вариант из четырех.

● Перейдите к следующему вопросу и попробуйте ответить на все 10 вопросов.

За каждый неверный ответ учащимся будет предоставлена ​​ссылка на видео на YouTube с правильным объяснением вопросов. Они могут прояснить свои концепции и соответственно попытаться ответить на другие вопросы.

Ссылка на игру

Вдохновением для создания этой анимированной игры послужила популярная настольная игра «Морской бой». Анимация довольно привлекательна и держит игроков в напряжении.

● Перед началом игры игроки должны выбрать уровень сложности.

● Они также могут перемещать свой линкор, крейсер, фрегат и подводную лодку. 

● На каждый ход игроку будет даваться вопрос, и он должен вычислить, чтобы найти правильный вариант.

● Если игрок выберет правильный вариант, он попадет в один из кораблей противника.

● Если игрок выберет неверный вариант, один из его кораблей будет поражен.

● Проиграет тот, кто первым потеряет все корабли.

Эта игра объединяет стратегию и математические расчеты. Это улучшит обучение и отточит навыки мышления и быстрого счета.

Ссылка на игру

Это интересная игра для учащихся, позволяющая узнать о простых процентах и ​​рассчитать их для каждой задачи.

●Чтобы играть в игру, нажмите кнопку воспроизведения в левой части экрана,

●Игра выдает каждый вопрос на основе простого интереса, при этом учащиеся должны выбрать правильный вариант.

● Ответ на каждый вопрос представлен в денежной форме, что делает его реалистичным.

● После выбора ответа учащиеся могут отправить или сбросить свои ответы.

● За каждый правильный ответ вы получите балл, а балл будет отображаться вверху.

Игра способствует обучению простым интересам, предлагая реалистичные задачи и тем самым визуально привлекательные сценарии. Это также развивает их способности критического мышления для решения вопроса.

Ссылка на игру

Поскольку в реальном мире используется простой интерес, эти игры и задания служат увлекательным инструментом, помогающим учащимся лучше понять концепцию. Некоторые виды деятельности также могут быть разработаны и изменены учителями или родителями, чтобы сделать обучение более интересным.

Несмотря на то, что существуют различные методики обучения важности простого интереса, веселая учебная среда оказывается одним из эффективных способов передачи практических знаний. Попробуйте эти занятия и игры с детьми и учащимися, чтобы они поняли, как работает настоящая математика в контексте простого интереса.

Карточки с простыми заданиями | Ресурсы для обучения

Science Spot

4.175 209 отзывов

Я работаю учителем естественных наук в городском школьном округе уже 7 лет. За это время у меня была возможность испытать преподавание в классах на всех уровнях производительности, включая полное включение и продвинутые классы. Я преподавал естествознание в средней школе (7-й и 8-й классы) и в старшей школе (9-й класс).наука с 1-го по 12-й класс), включая анатомию, астрономию, биологию, химию, науку об окружающей среде и физическую науку. У меня есть PA Professional Certi

Последнее обновление

22 февраля 2018 г.

Поделиться

Простые проценты: эти карточки с заданиями — отличный способ для учащихся развлечься, пока они тренируются в вычислении простых процентов. Есть 26 задач и включает лист ответов для студентов, а также ключ ответа.

Поищите другие мои карточки с математическими задачами:
♦ Возраст 6-9:
Дополнение
массивы
Уравнения балансировки
монеты
Оценка сумми
Определение времени

♦ Возраст 9-11 лет:
Уравнения баланса
Вместимость
Сравнение десятичных дробей
Десятичные дроби
Прошедшее время
Расширенная форма
Экспоненты
Семейства фактов
Факторы и кратные
Дроби
Дроби на числовой прямой
Больше меньше
Наибольшие общие делители
Наименьшее общее кратное
Длинное деление
Среднее, медиана, мода и диапазон
Метрическое измерение
Смешанные числа

4 Множества 4
4 Образцы
Порядок операций
Проценты
Разрядное значение
Простые и составные числа
Факторизация простых чисел
Вероятность
Свойства мульт.

Требование , основанное на равенстве, или , основанное на неравенстве, позволяет выполнять фильтрацию по ключам и значениям меток. Соответствующие объекты должны удовлетворять всем указанным ограничениям меток, хотя они могут также иметь дополнительные метки. Допускаются три вида операторов = , == , != . Первые два представляют равенство (и являются синонимами), а последний представляет неравенство . Например:

 среда = производство
уровень != внешний интерфейс
 

Первый выбирает все ресурсы с ключом равным environment и значением равным production . Последний выбирает все ресурсы с ключом равным tier и значением отличным от frontend , и все ресурсы без меток с 9Ключ уровня 0020 . Можно фильтровать ресурсы в производстве исключая внешний интерфейс с использованием оператора запятой: environment=production,tier!=frontend

Один из сценариев использования требования к метке на основе равенства должен указывать поды Критерии выбора узлов. Например, пример пода ниже выбирает узлы с метка « ускоритель=nvidia-tesla-p100 «.

 APIВерсия: v1
вид: стручок
метаданные:
  имя: cuda-тест
спецификация:
  контейнеры:
    - имя: cuda-тест
      изображение: "registry.k8s.io/cuda-vector-add:v0.1"
      Ресурсы:
        пределы:
          nvidia.com/gpu: 1
  селектор узлов:
    ускоритель: nvidia-tesla-p100
 

 среда в (производство, качество)
уровень notin (интерфейс, бэкэнд)
раздел
!раздел
 

Точно так же разделитель-запятая действует как оператор И . Итак, фильтрация ресурсов с разделом ключ (независимо от значения) и со средой отличается чем qa , может быть достигнуто с использованием раздела , среды notin (qa) . Селектор меток на основе набора является общей формой равенства, поскольку environment=production эквивалентно environment в (production) ; аналогично для != и , а не .

Требования , основанные на множестве, можно смешивать с требованиями , основанными на равенстве. Например: раздел в (customerA, customerB),environment!=qa .

API

Фильтрация LIST и WATCH

Операции LIST и WATCH могут указывать селекторы меток для фильтрации наборов объектов возвращается с использованием параметра запроса. Оба требования разрешены (представлены здесь так, как они будут отображаться в строке запроса URL):

• на основе равенства требования: ?labelSelector=environment%3Dproduction,tier%3Dfrontend
• на основе множества требования: ?labelSelector=environment%2Ctier%9%28production2%2 конец %29

Оба стиля селектора меток можно использовать для отображения или просмотра ресурсов через клиент REST. Например, нацеливаясь на apiserver с kubectl и используя на основе равенства , можно написать:

 kubectl get pods -l environment=production,tier=frontend
 

или с использованием на основе набора требований :

 kubectl get pods -l 'среда в (производстве), уровень в (внешнем интерфейсе)'
 

Как уже упоминалось, на основе набора требования более выразительны. Например, они могут реализовать оператор ИЛИ для значений:

 kubectl get pods -l 'среда в (производство, качество)'
 

или ограничение отрицательного совпадения через notin 9Оператор 0004:

 kubectl get pods -l 'среда, среда не в (внешнем интерфейсе)'
 

Установить ссылки в объектах API

Некоторые объекты Kubernetes, например, службы и контроллеров репликации , также используйте селекторы меток для указания наборов других ресурсов, таких как стручки.

Служба и контроллер репликации

Набор модулей, на которые нацелена служба , определяется с помощью селектора меток. Точно так же популяция стручков, которые контроллер репликации должен управление также определяется с помощью селектора меток.

Селекторы меток для обоих объектов определены в файлах json или yaml с использованием карт, и поддерживаются только селектора требований на основе равенства:

 "селектор": {
    «компонент»: «редис»,
}
 

или

 селектор:
  компонент: редис
 

Этот селектор (соответственно в формате json или yaml ) эквивалентен 9Компонент 0020=redis или компонент в (redis) .

Ресурсы, поддерживающие требования на основе набора

Более новые ресурсы, такие как Job , Развертывание , набор реплик и Набор Демонов , также поддерживает требования , основанные на наборе .

 селектор:
  метки соответствия:
    компонент: редис
  matchExpressions:
    - {ключ: уровень, оператор: In, значения: [кеш]}
    - {ключ: среда, оператор: NotIn, значения: [dev]}
 

matchLabels — это карта из {ключ, значение} пары. Один {ключ, значение} в Карта matchLabels эквивалентна элементу matchExpressions , чей ключ поле является «ключевым», оператор — «В», а массив значений содержит только «значение». matchExpressions — это список требований к селектору модулей. Допустимые операторы включают In, NotIn, Exists и DoesNotExist. Набор значений должен быть непустым в случае В и Не В. Все требования, начиная с matchLabels и matchExpressions объединяются по И вместе — все они должны быть удовлетворены, чтобы соответствовать.

Выбор наборов узлов

Одним из вариантов использования выбора над метками является ограничение набора узлов, на которые модуль может планировать. См. документацию на выбор узла для получения дополнительной информации.

Что дальше

• Узнайте, как добавить метку к узлу
• Найдите известные метки, аннотации и пометки
• См. Рекомендуемые метки
• Обеспечьте соблюдение стандартов безопасности Pod с помощью меток пространства имен
• Эффективно используйте метки для управления развертываниями.
• Прочтите блог о написании контроллера для меток модулей

Последнее изменение: 19 февраля 2023 г., 16:30 по тихоокеанскому времени: аккуратные страницы концепций в метках и аннотациях (3ca95d6c88)

Добавление или удаление меток данных на диаграмме

Чтобы быстро определить ряд данных на диаграмме, вы можете добавить метки данных к точкам данных диаграммы. По умолчанию метки данных связаны со значениями на листе и автоматически обновляются при внесении изменений в эти значения.

Метки данных упрощают понимание диаграммы, поскольку они отображают сведения о ряде данных или отдельных точках данных. Например, на круговой диаграмме ниже без меток данных было бы трудно сказать, что кофе составил 38% от общего объема продаж. В зависимости от того, что вы хотите выделить на диаграмме, вы можете добавить метки к одной серии, ко всем сериям (всей диаграмме) или к одной точке данных.

Примечание. Следующие процедуры применимы к Office 2013 и более поздним версиям. Ищете шаги для Office 2010?

Добавить метки данных на диаграмму

1. Щелкните ряд данных или диаграмму. Чтобы пометить одну точку данных, после щелчка по ряду щелкните эту точку данных.

2. В правом верхнем углу рядом с диаграммой нажмите Добавить элемент диаграммы > Метки данных .

3. Чтобы изменить местоположение, щелкните стрелку и выберите один из вариантов.

4. Если вы хотите, чтобы метка данных отображалась внутри текстового пузыря, щелкните Выноска данных .

Чтобы метки данных было легче читать, их можно переместить внутрь точек данных или даже за пределы диаграммы. Чтобы переместить метку данных, перетащите ее в нужное место.

Если вы решите, что метки делают вашу диаграмму слишком загроможденной, вы можете удалить некоторые или все из них, щелкнув метки данных и нажав Удалить.

Совет:  Если текст внутри меток данных слишком трудно прочитать, измените размер меток данных, нажав на них, а затем перетащив их до нужного размера.

Изменение внешнего вида меток данных

1. Щелкните правой кнопкой мыши ряд данных или метку данных, чтобы отобразить дополнительные данные, а затем щелкните Формат меток данных .

2. Щелкните Параметры метки и в разделе Ярлык содержит выберите нужные параметры.

Использовать значения ячеек в качестве меток данных

Вы можете использовать значения ячеек в качестве меток данных для диаграммы.

org/ItemList»>

1. Щелкните правой кнопкой мыши ряд данных или метку данных, чтобы отобразить дополнительные данные, а затем щелкните Формат меток данных .

2. Щелкните Параметры метки и в разделе Метка содержит установите флажок Значения из ячеек .

3. Когда появится диалоговое окно Диапазон меток данных , вернитесь к электронной таблице и выберите диапазон, для которого вы хотите, чтобы значения ячеек отображались как метки данных. Когда вы это сделаете, выбранный диапазон появится в диалоговом окне Data Label Range . Затем нажмите OK .

   Значения ячеек теперь будут отображаться в виде меток данных на диаграмме.

Изменение текста, отображаемого в метках данных

1. Щелкните метку данных с текстом, который необходимо изменить, а затем щелкните ее еще раз, чтобы выбрать только эту метку данных.

2. Выберите существующий текст и введите текст замены.

3. Щелкните в любом месте за пределами метки данных.

Совет: Если вы хотите добавить комментарий к диаграмме или иметь только одну метку данных, вы можете использовать текстовое поле.

Удалить метки данных с диаграммы

1. Щелкните диаграмму, из которой вы хотите удалить метки данных.

   Отображает Инструменты диаграммы , добавляя вкладки Дизайн и Формат .

2. Выполните одно из следующих действий:

   • org/ListItem»>

     На вкладке Design в Макетах диаграмм , щелкните Добавить элемент диаграммы , выберите Метки данных , а затем щелкните Нет .

   • Щелкните метку данных один раз, чтобы выбрать все метки данных в ряду данных, или два раза, чтобы выбрать только одну метку данных, которую вы хотите удалить, а затем нажмите клавишу DELETE.

   • Щелкните правой кнопкой мыши метку данных и выберите Удалить .

     Примечание. При этом удаляются все метки данных из серии данных.

3. org/ListItem»>

   Вы также можете удалить метки данных сразу после их добавления, нажав Отменить на Панели быстрого доступа или нажав CTRL+Z.

Добавление или удаление меток данных на диаграмме в Office 2010

1. На графике выполните одно из следующих действий:

   • Чтобы добавить метку данных ко всем точкам данных всех рядов данных, щелкните область диаграммы.

   • org/ListItem»>

     Чтобы добавить метку данных ко всем точкам данных ряда данных, щелкните один раз, чтобы выбрать ряд данных, который вы хотите пометить.

   • Чтобы добавить метку данных к одной точке данных в ряду данных, щелкните ряд данных, содержащий точку данных, которую вы хотите пометить, а затем снова щелкните точку данных.

     Отображает Инструменты диаграммы , добавляя вкладки Дизайн , Макет и Формат .

2. На вкладке Макет в группе Этикетки щелкните Метки данных , а затем выберите нужный вариант отображения.

   В зависимости от используемого типа диаграммы будут доступны различные параметры меток данных.

1. На графике выполните одно из следующих действий:

   • Чтобы отобразить дополнительные записи меток для всех точек данных ряда, щелкните метку данных один раз, чтобы выбрать все метки данных ряда данных.

   • Чтобы отобразить дополнительные записи метки для одной точки данных, щелкните метку данных в точке данных, которую вы хотите изменить, а затем снова щелкните метку данных.

     Отображает Инструменты диаграммы , добавляя вкладки Дизайн , Макет и Формат .

2. На вкладке Формат в группе Текущий выбор щелкните Формат выбора .

   Можно также щелкнуть правой кнопкой мыши выбранную метку или метки на диаграмме, а затем щелкнуть Форматировать метку данных или Форматировать метки данных .

3. Щелкните Параметры метки , если он не выбран, а затем в разделе Метка содержит установите флажок для записей метки, которые вы хотите добавить.

   Доступные параметры метки зависят от типа диаграммы. Например, в круговой диаграмме метки данных могут содержать проценты и линии выноски.

4. Чтобы изменить разделитель между записями меток данных, выберите нужный разделитель или введите пользовательский разделитель в поле Разделитель .

5. Чтобы настроить положение метки для лучшего представления дополнительного текста, выберите нужный параметр в разделе 9.0433 Позиция метки .

Если вы ввели текст пользовательской метки, но хотите снова отобразить записи метки данных, связанные со значениями рабочего листа, вы можете нажать Сбросить текст метки .

1. На диаграмме щелкните метку данных в точке данных, которую вы хотите изменить, а затем щелкните метку данных еще раз, чтобы выбрать только эту метку.

2. Щелкните внутри поля метки данных, чтобы перейти в режим редактирования.

3. Выполните одно из следующих действий:

   • Чтобы ввести новый текст, перетащите его, чтобы выбрать текст, который вы хотите изменить, а затем введите нужный текст.

   • Чтобы связать метку данных с текстом или значениями на листе, перетащите мышью, чтобы выбрать текст, который вы хотите изменить, а затем выполните следующие действия:

     1. На рабочем листе щелкните строку формул и введите знак равенства (=).

     2. Выберите ячейку рабочего листа, содержащую данные или текст, которые вы хотите отобразить на диаграмме.

        Вы также можете ввести ссылку на ячейку рабочего листа в строке формул. Включите знак равенства, имя листа, за которым следует восклицательный знак; например, =Лист1!F2

     3. Нажмите ВВОД.

        Совет:  Вы можете использовать любой метод для ввода процентов — вручную, если вы знаете, что это такое, или путем ссылки на проценты на листе. Проценты не рассчитываются на диаграмме, но вы можете рассчитать проценты на рабочем листе, используя уравнение количество / итог = процент . Например, если вы вычислите 10/100 = 0,1 , а затем отформатируете 0.1 в процентах, число будет правильно отображаться как 10% . Дополнительные сведения о вычислении процентов см. в разделе Вычисление процентов.

Размер поля метки данных подстраивается под размер текста. Вы не можете изменить размер окна метки данных, и текст может стать обрезанным, если он не соответствует максимальному размеру. Чтобы вместить больше текста, вы можете вместо этого использовать текстовое поле. Дополнительные сведения см. в разделе Добавление текстового поля на диаграмму.

Положение одной метки данных можно изменить, перетащив ее. Вы также можете размещать метки данных в стандартном положении относительно их маркеров данных. В зависимости от типа диаграммы вы можете выбрать один из множества вариантов позиционирования.

1. На графике выполните одно из следующих действий:

   • Чтобы переместить все метки данных для всего ряда данных, щелкните метку данных один раз, чтобы выбрать ряд данных.

   • Чтобы изменить положение определенной метки данных, дважды щелкните эту метку данных, чтобы выбрать ее.

     Отображает Инструменты диаграммы , добавляя вкладки Дизайн , Макет и Формат .

2. На вкладке Макет в группе Этикетки щелкните Метки данных , а затем выберите нужный вариант.

   Для получения дополнительных параметров метки данных щелкните Дополнительные параметры метки данных , щелкните Параметры метки , если он не выбран, а затем выберите нужные параметры.

1. Щелкните диаграмму, из которой вы хотите удалить метки данных.

   Отображает Инструменты диаграммы , добавляя вкладки Дизайн , Макет и Формат .

2. Выполните одно из следующих действий:

   • На вкладке Макет в группе Этикетки щелкните Метки данных , а затем щелкните Нет .

   • org/ListItem»>

     Щелкните метку данных один раз, чтобы выбрать все метки данных в ряду данных, или два раза, чтобы выбрать только одну метку данных, которую вы хотите удалить, а затем нажмите клавишу DELETE.

   • Щелкните правой кнопкой мыши метку данных и выберите Удалить .

     Примечание. При этом удаляются все метки данных из серии данных.

3. Вы также можете удалить метки данных сразу после их добавления, нажав Отменить на панели быстрого доступа или нажав CTRL+Z.

Метки данных упрощают понимание диаграммы, поскольку они отображают сведения о ряде данных или отдельных точках данных. Например, на круговой диаграмме ниже без меток данных было бы трудно сказать, что кофе составил 38% от общего объема продаж. В зависимости от того, что вы хотите выделить на диаграмме, вы можете добавить метки к одной серии, ко всем сериям (всей диаграмме) или к одной точке данных.

Добавить метки данных

Вы можете добавить метки данных, чтобы показать значения точек данных из листа Excel на диаграмме.

1. Этот шаг относится только к Word для Mac: в меню Вид щелкните Макет печати .

2. Щелкните диаграмму, а затем щелкните значок 9.0433 Дизайн диаграммы вкладка.

3. Щелкните Добавить элемент диаграммы и выберите Метки данных , а затем выберите расположение для параметра метки данных.

   Примечание. Параметры будут различаться в зависимости от типа диаграммы.

4. Если вы хотите, чтобы метка данных отображалась внутри текстового пузыря, нажмите Выноска данных .

   Чтобы метки данных было легче читать, их можно переместить внутрь точек данных или даже за пределы диаграммы. Чтобы переместить метку данных, перетащите ее в нужное место.

   Примечание.  Если текст внутри меток данных слишком трудно прочитать, измените размер меток данных, щелкнув их, а затем перетащив до нужного размера.

Щелкните Дополнительные параметры меток данных , чтобы изменить внешний вид меток данных.

Измените внешний вид меток данных

1. Щелкните правой кнопкой мыши любую метку данных и выберите Формат меток данных .

2. Нажмите Параметры этикетки и ниже Этикетка содержит , выберите нужные параметры.

Изменение текста, отображаемого в метках данных

org/ItemList»>

1. Щелкните метку данных с текстом, который необходимо изменить, а затем щелкните ее еще раз, чтобы выбрать только эту метку данных.

2. Выберите существующий текст и введите замещающий текст.

3. Щелкните в любом месте за пределами метки данных.

Совет: Если вы хотите добавить комментарий к диаграмме или иметь только одну метку данных, вы можете использовать текстовое поле.

Удалить метки данных

Если вы решите, что метки делают вашу диаграмму слишком загроможденной, вы можете удалить некоторые или все из них, щелкнув метки данных и нажав Удалить .

Примечание. При этом удаляются все метки данных из серии данных.

Использовать значения ячеек в качестве меток данных

Вы можете использовать значения ячеек в качестве меток данных для диаграммы.

1. Щелкните правой кнопкой мыши ряд данных или метку данных, чтобы отобразить дополнительные данные, а затем щелкните Формат меток данных .

2. Щелкните Параметры метки и в разделе Метка содержит установите флажок Значения из ячеек .



Самаров К.Л.

Учебное пособие для студентов по математике

СОДЕРЖАНИЕ

1. Схемы предоставления ссуд
   • Простейшие сведения о процентах
   • Предоставление ссуд на срок в 1 год на основе годовых процентных и учетных ставок
   • Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки
   • Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе учетной ставки
   • Способы определения срока возврата ссуд в годах для ссуд, выданных на срок, исчисляемый в днях
   • Ссуды, обеспеченные залогом (ломбардные кредиты)
   • Сравнение денежных сумм, выплаченных в различные моменты времени
   • Предоставление ссуд по схеме непрерывных процентов на основе процентной ставки
   • Консолидация ссуд
   • Простейшие сведения о конверсии валют
2. Схемы погашения ссуд
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами (потребительские кредиты)
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами, на которые начисляются процентные деньги
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд платежами, содержащими одинаковые выплаты долга, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по арифметической прогрессии в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по геометрической прогрессии, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи аннуитетов, последний из которых может отличаться от остальных в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Выбор оптимального варианта погашения кредита
   • Постоянные финансовые ренты
3. Схемы покупки долгов
   • Учет и переучет векселей
   • Форфейтинговый кредит
4. Доходность финансовых операций
   • Аналогия финансовых операций по схемами предоставления ссуд
   • Мгновенная доходность финансовых операций
5. Примеры и задачи для самостоятельного решения
6. Библиографический список

Скачать пособие «Финансовая математика» (формат pdf,  1062 кб)

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть разделы нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты» и «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наше учебное пособие «Задачи на проценты».

Наверх

6.2: Сложные проценты — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

37876

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза

Цели обучения

В этом разделе вы научитесь:

1. Находить будущую стоимость паушальной суммы.
2. Найдите текущую стоимость паушальной суммы.
3. Найдите эффективную процентную ставку.

Сложные проценты

В предыдущем разделе мы рассмотрели задачи, связанные с простыми процентами. Простые проценты обычно начисляются, когда период кредитования короткий и часто меньше года. Когда деньги ссужаются или берутся взаймы на более длительный период времени, если проценты выплачиваются (или начисляются) не только на основную сумму, но и на прошлые проценты, тогда мы говорим, что проценты равны 9.0046 составной.

Предположим, мы вносим 200 долларов на счет, который выплачивает 8% годовых. В конце года у нас будет 200 долларов + 200 долларов (0,08) = 200 долларов (1 + 0,08) = 216 долларов.

Теперь предположим, что мы положили эту сумму, 216 долларов, на тот же счет. Еще через год у нас будет 216 долларов + 216 долларов (0,08) = 216 долларов (1 + 0,08) = 233,28 долларов.

Таким образом, первоначальный депозит в размере 200 долларов за два года увеличился до 233,28 долларов. Кроме того, обратите внимание, что если бы это были простые проценты, эта сумма составила бы всего 232 доллара. Причина, по которой сумма немного выше, заключается в том, что проценты (16 долларов), которые мы заработали за первый год, были возвращены на счет. 2=\$ 233. 28 \nonumber \] 9{5}=\$ 293,87 \номер\]

Суммируем следующим образом:

долларов США

Первоначальная сумма	200 долларов	= 200 долларов
Сумма по истечении одного года	200 долларов (1 + 0,08)	= 216
Сумма через два года	200 долларов (1 + 0,08) 2	= 233,28 доллара США
Сумма через три года	200 долларов (1 + 0,08) 3	= 251,94 доллара США
Сумма через пять лет	200 долларов (1 + 0,08) 5	= 293,87 доллара США
Сумма после t лет	200 долларов (1 + 0,08) т

ПЕРИОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ

Банки часто начисляют проценты более одного раза в год. {t}\), когда \(n = 1\). 9{t}
\end{aligned} \nonumber \]

Мы используем логарифмы для нахождения значения \(t\), поскольку переменная \(t\) находится в показателе степени.

\[t=\log _{1.04}(1.5) \nonumber \]

Используя формулу замены основания, мы можем найти \(t\):

\[t=\frac{\ln (1.5 )}{\ln (1.04)}=10,33 \text { years } \nonumber \]

Требуется 10,33 года, чтобы 4000 долларов накопились до 6000 долларов при условии инвестирования под 4% годовых с начислением сложных процентов

Пример \(\PageIndex{4 }\) 9{1 / 24}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]

Вычисление левой части уравнения дает

\[\begin{array}{l}
1,0197765=1 +\frac{\mathrm{r}}{4} \\
0,0197765=\frac{\mathrm{r}}{4} \\
\mathrm{r}=4(0,0197765)=0,0791
\end{array } \nonumber \]

Процентная ставка 7,91% необходима для того, чтобы 5000 долларов, вложенных сейчас, накопились до 8000 долларов через 6 лет, с ежеквартальным начислением процентов.

Эффективная процентная ставка

Банки должны указывать свою процентную ставку в виде «эффективная доходность» » или «эффективная процентная ставка» , для целей сравнения. Эффективная ставка также называется годовой процентной доходностью (APY) или годовой процентной ставкой (APR).

Эффективная ставка представляет собой процентную ставку, начисляемую ежегодно, которая будет эквивалентна установленной ставке и периодам начисления процентов. В следующем примере показано, как рассчитать эффективную ставку.

Чтобы проверить несколько инвестиций, чтобы определить, какая из них имеет лучшую ставку, мы находим и сравниваем эффективную ставку для каждой инвестиции.

В примере \(\PageIndex{5}\) показано, как рассчитать эффективную ставку.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Если банк А ежемесячно выплачивает 7,2% годовых, какова эффективная процентная ставка?
Если банк B выплачивает 7,25% годовых с начислением сложных процентов, какова эффективная процентная ставка? Какой банк платит больше процентов?

Решение

Банк A: Предположим, мы вложим 1 доллар в этот банк и оставим его на год, мы получим

\[\begin{array}{l} 9{2}-1=0,0738 \номер\]

Эффективная процентная ставка составляет 7,38% .

Банк А платит несколько более высокие проценты с эффективной ставкой 7,44% по сравнению с Банком Б с эффективной ставкой 7,38%.

Непрерывное начисление сложных процентов

Проценты могут начисляться ежегодно, раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и ежедневно. Используя те же методы расчета, мы могли бы вычислять каждый час, каждую минуту и ​​даже каждую секунду. По мере того как период начисления процентов становится все короче и короче, мы движемся к концепции непрерывного начисления процентов.

Но что мы имеем в виду, когда говорим, что проценты начисляются непрерывно, и как мы вычисляем такие суммы? Когда проценты начисляются «бесконечно много раз», мы говорим, что проценты равны , непрерывно начисляемым . Наша следующая цель — вывести формулу для моделирования непрерывного начисления процентов.

Предположим, мы положили 1 доллар на счет со 100% процентной ставкой. Если проценты начисляются один раз в год, общая сумма через год будет \(\$ 1(1+1)=\$ 2\). {n}\) 9{0,07}-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=1,0725-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=0,0725 \text {или} 7,25 \%
\end{array} \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{8}\)

Если сумма инвестируется под 7% непрерывного начисления сложных процентов, сколько времени потребуется, чтобы удвоиться?

Мы предлагаем два решения.

Решение 1 использует логарифмы для вычисления точного ответа, поэтому оно предпочтительнее. Мы уже использовали этот метод в примере \(\PageIndex{3}\) для определения времени, необходимого для накопления инвестиций до указанной будущей стоимости. 9{.07 t}=2 \nonumber \]

Используя натуральный логарифм:

\[\begin{array}{l}
.07 \mathrm{t}=\ln (2) \\
\mathrm{t }=\ln (2) / .07=9,9 \: \mathrm{years}
\end{array} \nonumber \]

Деньги удваиваются за 9,9 лет, если их инвестировать под 7% годовых.

Решение 2: Оценка ответа с использованием закона 70: ​​

Закон 70 — полезный инструмент для оценки времени, необходимого для удвоения стоимости инвестиций. Это приближение, оно не является точным и исходит из нашего предыдущего решения. Мы подсчитали, что

\[\mathrm{t}=\ln (2) / \mathrm{r} \text{ где } \mathrm{r} \text{ было 0,07 в этом решении.} \nonumber \]

Оценка \( \ln(2) = 0,693\), дает \(t = 0,693/\mathrm{r}\). Умножение числителя и знаменателя на 100 дает \(t = 69,3/(100\mathrm{r})\)

Если мы оценим 69,3 на 70 и укажем процентную ставку в процентах вместо десятичной дроби, мы получим закон 70 :

Закон 70-х: Количество лет, необходимое для удвоения денег ≈ 70 ÷ процентная ставка

• Обратите внимание, что это приблизительная оценка.
• Процентная ставка указывается в процентах (не десятичных) в Законе 70-ти.

Использование Закона 70 дает нам \(t\) ≈ 70/7=10, что близко, но не точно к значению 9,9 лет, рассчитанному в Решении 1.

Приблизительное время удвоения в годах как функция процента Оценить

Годовая процентная ставка	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
Количество лет для удвоения денег	70	35	23	18	14	12	10	9	8	7

Схема в таблице аппроксимирует Закон 70.

При наличии технологий для выполнения вычислений с использованием логарифмов мы будем использовать Закон 70 только для быстрой оценки времени удвоения. Использование закона 70 в качестве оценки работает только для времени удвоения, но не для других множителей, поэтому он не заменяет знания о том, как находить точные решения.

Тем не менее, Закон 70 может быть полезен для быстрой мысленной оценки многих проблем «времени удвоения», что может быть полезно в приложениях со сложными процентами, а также в других приложениях, связанных с экспоненциальным ростом.

Пример \(\PageIndex{9}\)

1. При пиковых темпах роста в 1960-х годах население мира удваивалось за 35 лет. В то время примерно какой был темп роста?
2. По состоянию на 2015 год ежегодный прирост населения мира составлял примерно 1,14%. Основываясь на этой скорости, найдите приблизительное время удвоения.

Раствор

а. По закону 70 г.

время удвоения = \(35 \приблизительно 70 \дел r\)

\(r \приблизительно 2\), выраженное в процентах

Таким образом, население мира росло примерно на 2% в 1960-х годах.

b.. Согласно закону 70,

время удвоения \(t \примерно 70 \дел r = 70 \дел 1,14 \приблизительно 61\) лет

Если бы население мира продолжало расти в годовом исчислении при темпах роста 1,14 % потребуется примерно 61 год, чтобы население удвоилось. 9{\mathbf{r}}-1 \номер\]

Закон 70 гласит, что

Количество лет для удвоения денег примерно равно 70 ÷ процентная ставка

---

Эта страница под названием 6.2: Compound Interest распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Рупиндер Сехон и Роберта Блум

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. сложные проценты
   2. непрерывное компаундирование
   3. источник@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html

Сложные проценты | Математика для гуманитарных наук Базовый курс

Результаты обучения

• Расчет сложных процентов по сценарию с процентами
• Расчет начального баланса с учетом процентного сценария
• Нахождение времени в задаче на сложные проценты

Начисление сложных процентов

С простыми процентами мы предполагали, что мы присвоили проценты, когда мы их получили. На стандартном банковском счете любые проценты, которые мы зарабатываем, автоматически добавляются к нашему балансу, и мы получаем проценты на эти проценты в последующие годы. Это реинвестирование процентов называется рецептура .

Предположим, что мы кладем 1000 долларов на банковский счет с ежемесячной процентной ставкой 3%. Как будут расти наши деньги?

Процентная ставка в размере 3% представляет собой годовую процентную ставку (годовая) – общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение года. Поскольку проценты выплачиваются ежемесячно, каждый месяц мы будем зарабатывать [latex]\frac{3%}{12}[/latex]= 0,25% в месяц.

В первый месяц

• P ₀ = 1000 долларов
• r = 0,0025 (0,25%)
• I = 1000 долл. США (0,0025) = 2,50 долл. США
• A = 1000 долл. США + 2,50 долл. США = 1002,50 долл. США

В первый месяц мы заработаем 2,50 доллара в виде процентов, увеличив баланс нашего счета до 1002,50 доллара.

Во второй месяц

• P ₀ = 1002,50
долл. США
• I = 1002,50 долл. США (0,0025) = 2,51 долл. США (округлено)
• A = 1002,50 долл. США + 2,51 долл. США = 1005,01 долл. США

Обратите внимание, что во второй месяц мы заработали больше процентов, чем в первый месяц. Это связано с тем, что мы заработали проценты не только на первоначальные 1000 долларов США, которые мы внесли, но мы также получили проценты на 2,50 доллара США процентов, которые мы заработали в первый месяц. Это ключевое преимущество составляет  проценты дают нам.

Подсчет еще нескольких месяцев дает следующее:

Месяц	Начальный баланс	Полученные проценты	Конечный баланс
1	1000.00	2,50	1002.50
2	1002.50	2,51	1005.01
3	1005.01	2,51	1007,52
4	1007,52	2,52	1010.04
5	1010.04	2,53	1012,57
6	1012,57	2,53	1015.10
7	1015.10	2,54	1017,64
8	1017,64	2,54	1020.18
9	1020. 18	2,55	1022,73
10	1022,73	2,56	1025,29
11	1025,29	2,56	1027,85
12	1027,85	2,57	1030.42

Мы хотим упростить процесс расчета сложных процентов, поскольку создание таблицы, подобной приведенной выше, требует много времени. К счастью, математика хорошо подсказывает, как срезать путь. Чтобы найти уравнение, представляющее это, если P _м представляет собой сумму денег через м месяцев, тогда мы могли бы написать рекурсивное уравнение: _м = (1+0,0025) P _m-1

Вы можете признать это рекурсивной формой экспоненциального роста.

рекурсивный рост

Вспомните основной процесс рекурсивного роста. Начиная с начального количества, [latex]P_0[/latex], каждое последующее количество, [latex]P_m[/latex], растет пропорционально себе, [latex]P_{m-1}[/latex], с некоторой скоростью. [латекс]г[/латекс]. 9{m+n}[/латекс].

То есть при умножении подобных оснований мы складываем степени.

Пример

Постройте явное уравнение для роста 1000 долларов, размещенных на банковском счете с процентной ставкой 3%, ежемесячно начисляемой на сложные проценты.

Посмотрите это видео, чтобы ознакомиться с концепцией сложных процентов.

Хотя эта формула работает нормально, чаще используется формула, включающая количество лет, а не количество периодов начисления сложных процентов. Если N — количество лет, тогда м = N k . Это изменение дает нам стандартную формулу сложных процентов.

[латекс]m=Nk[/латекс]

Как мы получили [латекс]m = Nk[/латекс]?

Напомним, что [latex]m[/latex] представляет собой количество периодов начисления процентов, в течение которых инвестиция остается на счете, а [latex]k[/latex] представляет количество раз в год, когда ваши проценты начисляются. Если проценты по вашему депозиту начисляются ежемесячно, то [latex]k = 12[/latex]. Если оставить депозит на [latex]1[/latex] год, то [latex]m = 12[/latex]. Но если [latex]k = 12[/latex] и вы оставляете залог на [latex]2[/latex] лет, тогда [latex]m = 2*12 = 24[/latex]. Если посмотреть на это с другой стороны, [латекс]м = N\текст{ лет} * к[/латекс].

[латекс]m = Nk[/латекс].

Пример. Инвестиции в размере 1000 долларов США, приносящие проценты по ставке 4%, начисляемые ежеквартально (4 раза в год), остаются на счете в течение [latex]3[/latex] лет.

У нас есть [латекс]4[/латекс] периода начисления процентов в год, поэтому [латекс]k = 4[/латекс]

Если мы оставим наши деньги на [латекс]1[/латекс] год, количество периоды начисления составляют [латекс]1*4: m=4[/латекс].

Если мы оставим наши деньги на [латекс]3[/латекс] лет, [латекс]m = 3*4[/латекс] или [латекс]12[/латекс]. 9{Nk}[/latex]

• P _N это остаток на счете после N лет.
• P ₀ начальный баланс счета (также называемый начальным депозитом или основной суммой)
• r — годовая процентная ставка в десятичной форме
• k — количество периодов начисления сложных процентов в одном году.
  • Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
  • Если начисление процентов производится ежеквартально, к = 4.
  • Если начисление процентов производится ежемесячно, k = 12.
  • Если начисление процентов производится ежедневно, k = 365.

Самое важное, что нужно помнить об использовании этой формулы, это то, что она предполагает, что мы кладем деньги на счет один раз и оставляем их там, чтобы получать проценты.

В следующем примере мы покажем, как использовать формулу сложных процентов, чтобы найти остаток по депозитному сертификату через 20 лет.

не забудьте преобразовать проценты в десятичную форму

Обычно для выполнения вычислений над числом, выраженным в процентах, вам необходимо преобразовать его в десятичную форму. Ставка [latex]r[/latex] в формулах процентов должна быть преобразована из процентов в десятичную форму перед использованием формулы.

Пример

Депозитный сертификат (CD) — это сберегательный инструмент, который предлагают многие банки. Обычно это дает более высокую процентную ставку, но вы не можете получить доступ к своим инвестициям в течение определенного периода времени. Предположим, вы вкладываете 3000 долларов в депозитный сертификат с ежемесячной процентной ставкой 6%. Сколько будет у вас на счету через 20 лет?

Ниже представлено видео с решением этой проблемы.

Давайте сравним сумму денег, заработанную на сложном проценте, с суммой, которую вы заработаете на простых процентах

Годы	Простые проценты (15 долларов США в месяц)	6% ежемесячно начисляется = 0,5% каждый месяц.
5	$3900	4046,55 $
10	4800 $	5458,19 $
15	$5700	7362,28 $
20	6600 $	9930,61 $
25	7500 $	13394,91 $
30	$8400	18067,73 $
35	$9300	24370,65 $

Как видите, в течение длительного периода времени начисление сложных процентов сильно влияет на баланс счета. Вы можете распознать в этом разницу между линейным ростом и экспоненциальным ростом.

Линейный рост против экспоненциального роста

Напомним, что линейный рост увеличивается с постоянной скоростью. График линейного роста будет описывать прямую линию между любыми двумя точками на графике. График изменяется на ту же аддитивную величину на единицу ввода.

Например, банковский счет, который увеличивается на 5 долларов в год, имеет линейный рост.

Экспоненциальный рост описывает количество, растущее со скоростью, пропорциональной самой себе на каждую единицу ввода. График изменяется кратно своему текущему значению на единицу ввода. График будет описывать быстро возрастающую кривую. 9{x}}\пробел 240[/латекс]. Попробуйте — у вас должно получиться что-то около 3.3102044758.

Пример

Вы знаете, что вам потребуется 40 000 долларов на образование вашего ребенка через 18 лет. Если ваш счет зарабатывает 4% ежеквартально, сколько вам нужно внести сейчас, чтобы достичь своей цели?

Попробуйте

Округление

Важно быть очень осторожным с округлением при вычислениях с показателями степени. В общем, вы хотите сохранить как можно больше десятичных знаков во время вычислений. Обязательно сохранить не менее 3 значащих цифр (числа после любых начальных нулей). Округление 0,00012345 до 0,000123 обычно дает «достаточно близкий» ответ, но всегда лучше оставить больше цифр.

Пример

Чтобы понять, почему недопустимость чрезмерного округления так важна, предположим, что вы инвестируете 1000 долларов США под 5% годовых, начисляемых ежемесячно в течение 30 лет.

Если мы сначала вычислим r/k , то получим 0,05/12 = 0,00416666666667

Вот результат округления до различных значений:

Если вы работаете в банке, вы, конечно, вообще не будете округлять. Для наших целей ответ, который мы получили, округлив до 0,00417, трех значащих цифр, достаточно близок — скидка 5 долларов с 4500 долларов не так уж и плоха. Конечно, сохранение этого четвертого знака после запятой не помешало бы.

Просмотрите следующее для демонстрации этого примера.

Использование калькулятора 9{360}}[/латекс].

Теперь мы можем использовать калькулятор.

Использование калькулятора продолжение

Предыдущие шаги предполагали, что у вас есть калькулятор «одна операция за раз»; более продвинутый калькулятор часто позволяет вам ввести вычисляемое выражение целиком.

Используйте Wolfram|Alpha для изучения элементов периодической таблицы.

Найти количество элементов:

Получить информацию о химическом элементе:

Найти элементы, отвечающие заданным критериям:

Начертить свойство для класса элементов:

Узнайте о положительно и отрицательно заряженных ионах и их свойствах.

Получить информацию об ионе:

Сравнить несколько ионов:

Сравнить ионы данного элемента:

Найти конкретное значение свойства для класса ионов :

Используйте Wolfram|Alpha, чтобы сбалансировать химические уравнения, определить стехиометрию реакции и предсказать продукты.

Сбалансируйте химическое уравнение:

Рассчитайте стехиометрию реакции:

Найти химические реакции с использованием реагентов или продуктов:

Используйте Wolfram|Alpha для изучения химико-информатических свойств с помощью инвариантов графов, таких как индекс J Балабана или индекс Индекс Hosoya для дескрипторов QSAR, таких как количество доноров водорода или самая длинная цепь.

Найдите наибольшую общую подструктуру между двумя молекулами:

Найдите ароматические атомы:

Найдите доноров и акцепторов водородных связей:

Вычислите набор топологических индексов для молекулы:

Исследуйте ядерную химию с помощью Wolfram|Alpha.

Запишите символ нуклида:

Найдите номер нейтрона:

Рассчитать энергию связи:

Исследовать источник элементов:

Поиск химических веществ по названию, химической формуле или другому идентификатору.

Получить информацию о химическом соединении:

Указать соединение по химическому идентификатору:

Сравните различные органические химические вещества:

См. примеры липидов, включая глицерофосфолипиды, жирные кислоты и т. д.:

Вычислите экстенсивные свойства химических веществ, которые зависят от количества присутствующего вещества, и преобразуйте количества в различные единицы.

Введите количества по массе:

Найдите число молей из заданной массы:

Переведите количества в объемы: 930 атомов гелия в литрыБольше примеровХимическая термодинамика

Вычисление термодинамических свойств, таких как энтропия, теплоемкость или давление пара, для самых разных химических веществ.

Найти свойства вещества в данной фазе:

Вычислить свойства при заданной температуре:

Выполнить расчеты по уравнению Аррениуса:

Оценить термодинамические свойства по методу Джобака:

Свяжите химические свойства с лежащей в основе квантово-механической природой атомов и молекул.

Соберите электронную конфигурацию:

Соберите орбитальную диаграмму основного состояния:

Найдите атомный радиус:

Подсчитайте количество валентных электронов:

GO Дальнейшее

Пошаговые растворы для химии

Связанные примеры

Исследуйте свойства различных растворов, которые зависят от растворителя, растворенного вещества и концентрации.

Вычислить свойства химического раствора:

Расчет свойств количества раствора:

Вычисления титрования:

Исследуйте функциональные группы, такие как цианаты, пероксиды, алканы и галогениды.

Получить информацию о функциональной группе:

Получить информацию о защитной группе:

Найдите поведение защитной группы в определенных условиях:

Исследуйте свойства электронных орбиталей и связей, которые они образуют. Найдите связи по составляющим их атомам, по типу связи или по исходному химическому веществу.

Получить сводную информацию о связях для химического вещества:

Вычислить гибридизацию в соединении:

Сравните гибридизацию двух соединений:

Химия в повседневной жизни — WorldOfChemicals

Вы когда-нибудь задумывались, почему химия так важна? Зачем мы изучаем химию? Какова роль химии в жизни?

Мы все сделаны из химических веществ, и все вокруг нас состоит из химических веществ. Все, что мы слышим, видим, обоняем, пробуем на вкус и осязаем, связано с химией и химическими веществами (материей). Слух, зрение, вкус и осязание включают в себя сложную серию химических реакций и взаимодействий в нашем теле. Многие изменения, которые мы наблюдаем в окружающем мире, вызваны химическими реакциями. Химия не ограничивается стаканами и лабораториями. Он окружает нас повсюду, и чем лучше мы знаем химию, тем лучше мы познаем наш мир. Химия присутствует во всех аспектах жизни, и несколько примеров химии в повседневной жизни:0004

Цвет предмета определяется светом, который он отражает. Белый свет солнца содержит все длины волн, но когда он падает на объект, часть его длин волн поглощается, а часть отражается. Синий цвет неба можно объяснить с учетом явления, называемого рэлеевским рассеянием, которое состоит в рассеянии света частицами, намного меньшими, чем его длина волны. Этот эффект особенно силен, когда свет проходит через газы.

Лед менее плотный, чем жидкая вода. Более тяжелая вода вытесняет более легкий лед, поэтому лед остается на поверхности.

Солнцезащитный крем сочетает в себе органические и неорганические химические вещества для фильтрации солнечного света, чтобы меньше его проникало в более глубокие слои кожи. Светоотражающие частицы солнцезащитного крема обычно состоят из оксида цинка или оксида титана.

Скороварка имеет более сложную крышку, которая полностью закрывает кастрюлю. Когда мы нагреваем воду, она закипает, и пар не может выйти, поэтому он остается внутри и начинает нагнетать давление. Под давлением температура приготовления повышается намного выше, чем в обычных условиях, поэтому пища готовится намного быстрее. Это означает роль химии в нашей повседневной жизни.

Роль химии лежит в основе каждого шага в отношениях. Когда мы влюбляемся, наш мозг претерпевает некоторые изменения, а также высвобождаются определенные химические соединения. Любовь управляется этими гормонами: окситоцином, вазопрессином, эндорфинами.

Кофе помогает нам уснуть из-за присутствия в мозге химического вещества, называемого аденозином. Он связывается с определенными рецепторами и замедляет активность нервных клеток, когда поступает сигнал сна.

Многие овощи и фрукты имеют яркую окраску, потому что они содержат особое химическое соединение, называемое каротиноидами. Эти соединения имеют область, называемую хромофором, которая поглощает и испускает свет с определенной длиной волны, создавая цвет, который мы затем воспринимаем.

На языке линейной алгебры это определение означает, что $P(x)$ является линейной комбинацией конечного набора целых степеней переменной $x$. Ключевой здесь является конечность этого набора.

Полиномы обладают рядом важных свойств.

1. Полиномы определены при всех $x \in \mathbb{R}$ и являются бесконечно-дифференцируемыми функциями при всех $x$.

2. Сумма и произведение любого конечного числа полиномов является полиномом.

3. Производная любого порядка от полинома является полиномом.

4. Суперпозиция полиномов является полиномом: если $P(x)$, $Q(t)$ — полиномы переменных $x$ и $t$ соответственно, то $Q(P(x))$ является полиномом переменной $x$.

Аналогичным образом можно определить и полиномы от нескольких переменных. Полиномы от пескольких переменных также обладают описанными выше свойствами. Степень определяется как максимальная суммарная (по всем переменным) степень одночлена. 3$ является полиномом от переменных $x,y$ причем степень этого полинома равна 2+3=5.

8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства

Определение. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ — полиномы переменной $x$. Тогда выражение

\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

называется дробно-рациональной функцией переменной $x$ (или, короче, рациональной функцией).

Опишем свойства дробно-рациональных функций.

1. Они определены при всех $x$, отличных от нулей знаменателя, и являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми функциями.

2. Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.

3. Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.

4. Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если $R(x)$, $S(t)$ — дробно-рациональные функции переменных $x$ и $t$ соответственно, то $S(R(x))$ является дробно-рациональной функцией переменной $x$.

Можно определить и дробно-рациональные функции нескольких переменных. Они также обладают описанными выше свойствами (при уточняющей формулировке).

8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций

Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Напомним, что рациональное число $r=p/q>0$ ($p$ и $q$ — целые положительные числа) называется правильным, если $p \ q$. Неправильное рациональное число можно представить в виде $r=n+s/q$, где $n$ — целое число (называется целой частью $r$, а $s/q$ — правильное рациональное число. Обычно это представление получают делением нацело $p$ на $q$, при этом $n$ — результат этого деления, а $s$ — остаток.

Определение.

Дробно-рациональная функция $R(x)=P(x)/Q(x)$ ($P(x),Q(x)$ — полиномы переменной $x$) называется правильной, если $degP(x)

Теорема. Любую дробно-рациональную функцию $R(x)$ можно представить в виде суммы полинома $T(x)$ и правильной дробно-рациональной функции,

\[ R(x)=T(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}, \]

$degS(x)

На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название «деление уголком». {1-k}}{1-k}+C, k=2,3,4,… \end{array} \right. \]

Теорема. Любая правильная дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробно-рациональных функций.

Пример.

Разложим в сумму простейших дробно-рациональную функцию \[ R(x)=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}. \]

В знаменателе присутствуют $(x-1)$ и $(x+1)$ в первой степени. Соответственно, полагаем

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha }{x-1}+\frac{\beta}{x+1}, \]

где в знаменателе стоят соответственно первые степени $(x-1)$ и $(x+1)$, а параметры $\alpha$, $\beta $ подлежат определению. Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha (x+1)+\beta (x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]

Приравнивая числители, находим:

\[ x+2=\alpha (x+1)+\beta(x-1). 4-1}. \]

8.2 Интегралы от тригонометрических функций

1) Дробно-рациональные функции, числитель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Базовые функции:

1) a (x)=x+1/x;

2) b (x)=x-1/x.

2) Дробно-рациональные функции, знаменатель которой представлен в виде мрогочлена второй степени.

3) Дробно-рациональные функции, числитель и знаменатель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Параграф 5. Взимнообратные функции.

Определение 1. Функция называется обратимой, если равенство

Замечание 1. Если функция чётная или периодическая, или нечётная, но переодическая, то эта функция не является обратимой.

Определение 2. Пусть функция y=f (x) задана на множестве X является обратимой функцией, и Y — множество её значений. Тогда на множестве Y может быть задана функция x=g (y) такая, что каждому значению y, принадлежащему Y, ставится в соответствие вполне определённое значение x из множества X, которое служит корнем уравнения y=f (x).

В этом случае функцию x=g (y) называют обратной функцией к фкнкции y=f (x).

Теорема 1. Всякая строоо монотонная функция обратима.

Следствие 1. Всякая сторого монотонная функция имеет себе обратную.

Замечание 2. Ошибочно считать, что только строго монотонные функции имеют себе обратную.

Теорема 2. Функция обратная к возрастающей является возрастающей функцией.

Теорема 3. Функция обратная к убывающей является убывающей.

Теорема 4. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Параграф 6 . Алгебраическая функция. Иррациональные функции.

Пусть задана целая рациональная функция. Зависимость между x, y обозначим P (x, y).

Определение 1. Уравеение вида P (x, y)=0 назовём алгебраическим. Оно определяет алгебраическую функциональную зависимость между x, y.

Определение 2. Если функция y=f (x) в некотором числовом промежутке удовлетвопяет алгебраическому уравнению, то она нащывается алгебраической функцией.

Алгебраические функции:

1. Целая рациональная функция является алгебраической.

2. Дробно-рациональная функция так же является алгебраической:

Теорема 1. Всякая дробно-рациональная функция является алгебраической.

Определение 3. Всякая алгебраическая функция, которая не является рациональной, называется иррациональной функцией.

3. Иррациональные функции являются алгебраическими.

Базовые иррациональные функции.

Параграф 7. Показательная функция.

Так как каждому значению х соответствует единственное значение у, то f является функцией, которую мы будем называть показательной.

Рассмотрим свойства функции на множестве рационаььных чисел.

1. Для a> 1:

2. Для 0 <a <1

Показательная функция на множестве действительных чисел.

Было показано, что функция показательная определена и имеет значения в каждой точке-рациональное число. Необходимо доопределить функцию и найти её значение в каждой токе-иррациональное число.

Теорема. Если функция f (x), заданная в некоторой окрестности точки c, непрерывна в самой точке c, то значения функции в этой функции могут быт вычисленны, если известны, значения функции в каждой точке последовательности, которая имеет своим пределом точку c.

Чтобы все войства рассмотреть для показателя спенени в виде иррационаьного числа, нужно выполнить предельный переход, изображённый в теореме.

Изобразим график этой функции.

Исследуем функцию на выпуклость на всей области действительных чисел.

Параграф 8. Логарифмическая функция.

Определение 1. Логарифмом положительного числа b по основанию a,где a больше нуля и отлично от единице, называется показатель степени, при возведении в который число a получаем число b.

Основное логарифмическое тождество:

Теорема 1 (о существовании логарифма). Если a больше нуля и не равно единице, то существует единственное действительное число альфа такое, что a в степени альфа равно N, где N — наперёд заданное положительное число.

Доказательство.

Замечание 1. Логарифм нуля или отрицательного действительного числа не определяется, так как в основе понятия логарифма числа лежит значение показательной функции, которое только положительно.

Замечание 2. Логарифм с отрицательным основанием рассматриваться не будет в силу неоднозначности следующей операции:

Замечание 3. Соотношение, которое получается на основе основного логарифмического тождества, является тождеством только для положительных x:

Свойства логарифма:

Определение 2. Логарифмической называют функцию, заданную формулой

Свойства логарифмической функции:

Параграф 10. Тригонометрические функции.

1. Основные тригонометрические функции.

Известно, что каждому числу х соответствует единственная точка на единичной окружности, получаемая поворотом точки (1, 0) на угол х радиан. Для этого угла определены sin x, cos x, тем самым каждому действительному числу х поставлено в соответствии числа sin x, cos x, то есть на множестве всех действительных чисел определены функции y=sin x, y=cos x. Областью определения будет всё множество действительных чисел.

Рассмотрим мнлжество значений.

Областью определения функции y=tg x является множество чисел

2. Чётность и нечётность, периодичность триоонометрических функций.

Каждая из функций sin x, cos x определена на множестве действительных чисел и для любого значния хверно равенство

Определение 1. Функцию f (x) называют периодичесткой, если существует такое число Т, отличное от нуля, что для любого х из области определения этой функции, выполняется равенство

Число Т называется периодом функции.

Следствие. Если х принадлежит области определения функции, то числа х+Тn, х-Тn также принадлежат области определения этой функции, где n принадлежит множеству целых значений.

3. Свойства функции y=cos x.

Функция y=cos x определена на множестве действительных чисел и областью значений является отрезок [-1,1]. Следовательно, график этой функции ограничен и лежит в полосе, между прямыми у=1, у=-1.

Так как эта функции имеет период 2П, то достаточно постоить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2П.

Пострьив график функции на отрезке 0, 2П, мы можем построить график функции при помощи сдвигов на 2Пn, n принадлежит Z.

Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси Оу.

Для того, чтобы построить график на отрезке 0, 2П, достаточно построить его на отрезке 0, П, а затем симметрично отразить егь относительнт оси Ох.

Функция убывает на отрезке 0, П.

При повороте точки с координатами 1, 0 вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до П абсцис точки, то cos x1 уменьшается от 1 до -1, поэтому если

,

то cos x1 > cos x2. Это означает, что функция убывает на отрезке от 0 до П.

4. Функция у=sin x.

Определена на всей числовой прямой, явьяется нечётной и периодической.

График функции можно получить при помощи параллельного переноса вправо на п/2.

График такой функции называется синусоидой.

Основные свойства функции y=sin x:

5. Свойства функции y=tg x.

Определена на всей числовой прямой, кроме х=п/2+2Пn, является нечётной и пертодической с периодом П. Поэтому достаточно построить её график на промежутке 0, п/2, затем отразить его симметрично относительно начала координат, получив график на промежутке -п/2, п/2, используя периодичность, построить на всей области определения.

Основные свойства функции:

6. Обратные тригонометрические функции.

Вспомним некоторые сведения из математического анализа.

Пусть функция y=f (x) задана на промежутке [a, b] и непрерывна на нём, тогда, опираясь на теоремы Больцано и Вейерштрасса, имеем следующие выводы:

1. Теорема Вейерштрасса. Для y=f (x) достигает в каких-то точках отрезка [a, b] своего наименьшего значения A и своего наибольшего значения B, где максимальное значение функции равно B и минимальное равно A, значения аргумента функции в этих точках принадлежат данному отрезку.

2. Теоремс Блльцано. Функция y=f (x) на отрезке [a, b] принимает, и, возможно, неоднократно, некоторое любое значение C, заключённое между значениями A, B. Тогда каково бы не было значение y из данного отрезка [A, B], уравнение y=f (x) имеет по крайней мере один корень x из отрезка [a, b].

Теперь сопоставим с каждым значением y из отрезка [A, B] все те значения x, которые служат корнями уравнения y=f (x), получаем обратную функцию x=g (y).

Рассмотрим функцию sin x, которая задана на промежутке от 0 до 2П, где функция непрерывна, значит достигает своего наибольшего и наименьшего значения в интервале от -1 до 1.

Некоторые значения функция принимает неоднократно.

Найдём корни уравнения y=sin x.

x1=arcsin y, x2=П-arcsin y. Теперь каждому значению у из интервала -1, 1 поставим в соответствие те значения х, которые стали корнями уравнения. Получим обратную тригонометрическую функцию x=arcsin y.

Теорема. Если функция y=f (x) строго монотонная и непрерывна на [a, b], то обратная функция x=g (y) однозначна строго монотонна в том же направлении и непрерывна на промежутке [A, B], где f (a)=A, f (b)=B.

Используя вывод этой теоремы, рассмотрим функцию y=sin x на промежутке о -П/2 до П/2, где она непрерывна и строго возрастает. Тогда существует, и при том только одна, одиночная обратная функция.

Определение 1. Arcsin x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], sin которого равен x.

График функции y=arcsin x получается из графика функции y=sin x. Надо провести прямую y=x и отразить от этой прямой часть синусоиды.

Свойства функции y=arcsin x:

Определение 2. Arccos x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [0, П], cos которого равен x.

Свойства:

Определение 3. Arctan x называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], tan которого равен x.

Свойства:

Определение 4. Arccot x называется такое действительное число y из [0, П], cot которого равен x.

Свойства:

Тригонометрические функции связаны между собой большим количеством формул. Обратные тригонометрические функции чрезвычайно обогащают форменный аппарат тригонометрии, но пользоваться соотношениями , содержащие обратные функции, приходится, на самом деле, не очень часто. Математическая практика указывает , какие формулы заслуживают внимания:

1. х, где а> 0 и отлично от 1, является трансцендентной функцией.

Доказательство:

Требуется показать, что показательная функция не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению.

Допустим обратное.

Теорема 2. Логарифмическая функция с основание больше нуля и отличным от 1 является трансцендертной.

Доказательство:

Предположим, что функция у=log_a (x) является алгебраической функцией. Значит она удовлетворяет алгебраическому уравнению P (x, y)=0 в промежутке (0, +беск), где многочлен отличен от нуля.

Воспользуемся определением логарифма:

Теорема 3. Тригонометрические функции числового аргумента являются трансцендентными функциями.

Доказательство:

Было показано, что основные тригонометрические функции числового аргумента, пеииодические функции. Значит, одно и тоже значение c эти функции принимают в бесконечном ряде различных точек. Предположим, что эти функции алгебраические, то есть каждая из них в некотором промежутке (область определения функции) удовлетворяет некотооому алгебраическому уравнению P (x, y)=0. Степень алгебраического уравнения относительно переменной у определяется степенью вхождения переменной у в запись уравнения — это конкретное целое число.

Тогда уравнение P (x, c)=0 будет иметь бесконечное число решений, но алгебраическое уравнение имеет конечное число решений, равное высшей степени этого уравнения. Мы получили противоречие, которое отвергает наше допущение.

Следовательно, основные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями.

Параграф 12. Алгебра графиков.

1. Сложение и вычитание графиков.

1. Если необходимо построить график суммы двух функций, то нужно построить графики этих функций на одном чертеже, потом при каждом x сложить ординаты двух функций.

2. Если необходимо построить график разности двух функций, то этот случай сводится к построению суммы y=f (x)+(-g (x)). Причём график функции y=-g (x) получается из графика функции y=g (x) путём симметричного отражения отражения относительно оси Ох.

В случае, когда вторая функция постоянна, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту постоянную.

2. Произведение графиков.

В плоскости Оху выполнить построение каждого графика на общей части их областей определения. При умножении графиков при фиксированной абсциссе точки перемножаются ординаты этой точки.

Полезно обращать внимание на характерные точки обоих графиков.

3. Отношение графиков.

В плоскоти координат построить график данных функций. В тех точках, где функция, являющаяся делителем, принимает значения, равные нулю, мы будем иметь вертикальные асимптоты для данного графика.

4. Построение сложных функций.

Построить график внутренней функции. Дальнейшее построение вести по характерным точкам.

Объяснение урока: Область определения и область значений рациональной функции

В этом объяснении мы узнаем, как найти область определения и область значений рациональной функции либо из его графика, либо из его определяющего правила.

Прежде чем мы начнем искать область определения и область значений рациональных функций, давайте напомнить себе, что мы имеем в виду, когда говорим о домене и диапазоне функции.

Если мы подумаем о функции как об отображении, которое переводит вход в выход, домен будет набор входов и диапазон набор выходов. Рассмотрим следующее отображение схема:

Мы видим входы слева и выходы справа. Здесь домен представляет собой набор {1, 2, 3, 4}, а диапазон — это набор {2, 4, 6, 8}. Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=3𝑥+2 с доменом {3, 5, 7, 9}, то мы можем вычислить диапазон по подставляя каждое из значений области определения в функцию: 3(3)+2=11,3(5)+2=17,3(7)+2=23,3(9)+2=29.

Таким образом, диапазон равен набору {11, 17, 23, 29}.

Прежде чем двигаться дальше, напомним, что

• ℕ — это набор натуральных чисел.
• ℤ — набор целых чисел.
• ℚ — множество рациональных чисел.
• ℝ — набор действительных чисел.
• ℂ — набор комплексных чисел.

Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=4𝑥−2 с областью определения 𝑥∈ℝ (что означает, что 𝑥 принадлежит множеству действительных чисел), при размышлении о диапазоне функции может быть полезно рассмотреть ее график.

Здесь мы видим, что график представляет собой прямую линию, и каждое введенное действительное число имеет действительное число. вывод, а поскольку линия бесконечно продолжается в обоих направлениях, вывод любого действительного числа возможный. Следовательно, диапазон — это все действительные числа.

Если мы посмотрим на квадратичную функцию, например, 𝑓(𝑥)=𝑥, область определения которой действительные числа, и если мы посмотрим на график 𝑦=𝑓(𝑥), мы можем использовать это для определения диапазона.

Мы видим, что для любого входа выход положительный, поэтому диапазон Функция — это любое действительное число, большее или равное нулю.

Теперь, учитывая этот обзор, давайте введем понятие рациональных функций. Как правило, мы склонны определить область определения и диапазон функций над действительными числами, и мы будем делать то же самое здесь. Мы по-другому подходим к определению областей и диапазонов рационального функций, так как не всегда легко начертить их графики. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=2𝑥+3.

Обратите внимание, при вводе -3 мы получаем 20.

Любое деление на ноль не определено, поэтому мы имеем, что функция не определена на данный момент. Однако любой ненулевой вход будет иметь соответствующий выход в действительных числах, поэтому мы можем заявить, что домен — это действительные числа, исключая -3, записанные ℝ−{−3}.

Рассматривая природу функции, мы также видим, что любое действительное число может быть выведено. достигается за исключением нуля: по мере того, как 𝑥 становится все больше в величина, выход становится все меньше; однако выход никогда не может достичь нуль. Следовательно, диапазон функции равен ℝ−{0}.

В общем, чтобы вычислить область определения рациональной функции, нам нужно идентифицировать любую точку где функция не определена, то есть любая точка, которая дала бы знаменатель, равный равен нулю. Чтобы найти область значений рациональной функции, нам нужно определить любую точку, которая не может быть достигнуто ни от какого входа; их обычно можно найти, рассматривая пределы функция, поскольку величина входных данных становится очень большой. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Нахождение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в Знаменатель

Найдите область определения и диапазон функции 𝑓(𝑥)=−1𝑥−5.

Ответ

Судя по графику, домен равен ℝ−{5}, а диапазон равен ℝ−{0}. Однако мы должны также проверить это алгебраически.

Мы знаем, что рациональная функция не определена для любых входных данных, которые приводят к нулю знаменатель. Мы можем приравнять знаменатель функции к нулю, чтобы найти неопределенное точка. У нас есть 𝑥−5=0, что дает решение 𝑥=5.

Это подтверждает, что домен ℝ−{5}. К подтвердите диапазон, который нам нужен, чтобы определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход стремится к нулю но никогда не достигнет нуля. Поэтому диапазон действительно ℝ−{0}.

Давайте теперь рассмотрим пример, где нам не дан график и мы должны приблизиться к вопрос алгебраически.

Пример 2. Алгебраическое определение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в знаменатель

Определить домен и диапазон функции 𝑓(𝑥)=1𝑥−2.

Ответ

Помните, что выражение 10 не определена, и отсюда мы можем определить, что рациональная функция не определена ни для какого ввод, который приводит к нулевому знаменателю. Мы можем приравнять знаменатель функции к ноль, чтобы найти неопределенную точку. У нас есть 𝑥−2=0, что дает решение 𝑥=2.

Следовательно, мы можем указать домен как ℝ−{2}. К найти диапазон, нам нужно определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход становится прогрессивно приближается к нулю, но фактически никогда не достигнет нуля. Следовательно, диапазон ℝ−{0}.

Теперь рассмотрим пример нахождения области определения и области значений функции с неизвестным вверху и внизу выражения.

Пример 3. Нахождение области определения и области значений рациональной функции алгебраически с неизвестным в Числитель и знаменатель

Определить функцию действительных чисел как 𝑓(𝑥)=2𝑥+34𝑥+5.

1. Какова область определения функции?
2. Найдите единственное значение, которое 𝑓(𝑥) не может принимать.
3. Каков диапазон функции?

Ответ

Часть 1

Чтобы найти область определения функции, нам нужно установить, существуют ли значения 𝑥 для который 𝑓(𝑥) не определен. Поскольку это рациональная функция, она будет undefined, когда его знаменатель принимает нулевое значение. Поэтому график функции будет иметь асимптоту, когда 4𝑥+5=0. Если мы вычтем из каждой части уравнения по 5, а затем разделим на 4, получим, что асимптота имеет уравнение 𝑥=−54. Следовательно, домен функция представляет собой все действительные числа, кроме −54, обозначенные ℝ−−54.

Часть 2

Чтобы определить значение, которое не может принимать 𝑓(𝑥), нам нужно исследовать предел функции. То есть, что происходит, когда 𝑥 получает большой. Чтобы упростить этот процесс, полезно разделить верхнюю и нижнюю часть используйте 𝑥, чтобы получить 𝑓(𝑥)=2+4+.

Отсюда мы можем видеть, что по мере того, как 𝑥 становится все больше, 3𝑥 и 5𝑥 все ближе и ближе ноль, и, следовательно, функция становится все ближе и ближе к 12, но никогда на самом деле не достичь его.

Часть 3

Из решения части 2 видно, что весь диапазон функции реален числа, кроме 12, обозначаются ℝ−12.

Давайте теперь рассмотрим пару более сложных примеров. Во-первых, вопрос, где рациональная функция представлена ​​как сумма двух функций, и, во-вторых, рациональная функция числитель и доминатор которого нелинейны.

Пример 4. Нахождение области определения суммы рациональных выражений

Определить область определения функции 𝑓(𝑥)=3𝑥−3+1𝑥+4.

Ответ

Напомним, что рациональные функции определены, когда их знаменатели отличны от нуля. Из функции, записанной в таком виде, мы можем видеть, что есть две точки, в которых функция не определено: когда 𝑥−3=0 и когда 𝑥+4=0. Это означает что функция не определена, когда 𝑥=−4 и 𝑥=3. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме −4 и 3, обозначается ℝ−{−4,3}.

В качестве дополнительной информации, если бы мы пытались найти диапазон этого функции, хотя каждое из суммируемых рациональных выражений не может принимать значение ноль, существует вход 𝑥, который отображается в ноль, что равно 𝑥=−94. Следовательно, диапазон этой функции на самом деле целые действительные числа (ℝ).

Пример 5. Нахождение области определения более сложного рационального выражения

Нахождение области определения вещественной функции 𝑓(𝑥)=𝑥−1610𝑥+70𝑥.

Ответ

Помните, что рациональная функция определена только тогда, когда ее знаменатель отличен от нуля. Следовательно, для нахождения области необходимо найти нули уравнения 10𝑥+70𝑥=0. Чтобы решить это, мы можем факторизовать из 𝑥 получить 𝑥10𝑥+70=0.

Отсюда мы можем видеть, что у нас есть ноль, когда 𝑥=0. квадратичный Однако 10𝑥+70 не имеет настоящих корней. Поэтому единственный ноль знаменатель 𝑥=0. Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме 0, обозначается ℝ-{0}.

Ключевые точки

Чтобы найти область определения и область значений рациональных функций, запомните следующие шаги:

• привести к знаменателю нуля.
• Чтобы найти диапазон рациональной функции, нам нужно идентифицировать все значения, которые функция не может принять. Часто бывает полезно взглянуть на пределы функции, чтобы помочь нам в этом процессе.
• Может быть полезно рассмотреть график функции, чтобы помочь в процессе определение области и области действия функции.

Домен и диапазон рациональной функции (3 ключевые идеи) – JDM Educational

Когда мы работаем с рациональными функциями, нам часто нужно найти домен и диапазон. Это помогает нам построить график функции, включая любые горизонтальные и вертикальные асимптоты.

Итак, каковы область определения и область значений рациональной функции? Область определения рациональной функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех, у которых знаменатель равен нулю. Диапазон рациональной функции — это набор возможных выходных значений, который часто находится при анализе графика или нахождении области определения обратной функции.

Конечно, мы должны уметь пользоваться различными методами разложения на множители (включая разность квадратов, совершенные квадратные трехчлены и т. д.), чтобы иметь возможность находить нули знаменателя рациональной функции.

В этой статье мы поговорим о том, как найти область определения и область значений рациональной функции как с помощью алгебры, так и по графикам.

Начнем.

Домен и диапазон рациональной функции

Во-первых, важно определить ключевые термины. Помните, что рациональная функция есть частное двух многочленов.

То есть рациональная функция R(x) имеет вид P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены.

Многочлен представляет собой сумму членов вида a _n x ⁿ , где a _n — коэффициент, а x ⁿ — переменная, возведенная в n-ю степень. For example, the following are polynomials:

Uses Of Trig Functions

Please enable JavaScript

Uses Of Trig Functions

• 5
• 2x + 5
• x ² + 5
• х ² + 3х + 5
• x ³ – 4x ² + 2x – 7
• …и т. д.

Рациональная функция — это просто частное полиномов, подобных приведенным выше. Например, рациональными функциями являются:

• 5 / (х + 1)
• (х — 4) / (х ² — 9)
• — 2 + ^{5) / (x 3 – 4x 2 + 3x – 8)}
• … и т. д.

Теперь, когда мы знаем, что такое рациональная функция, мы можем найти ее область определения и область значений.

Проще говоря:

• Область рациональной функции представляет собой набор входных данных (значений x), которые не приводят к нулевому знаменателю. Например, областью определения f(x) = 1/x являются все действительные числа, кроме x = 0, часто обозначаемые как R – {0}.
• Диапазон рациональной функции представляет собой набор всех возможных выходных значений (y-значений). Например, диапазон g(x) = 1/x ² — все положительные действительные числа, часто обозначаемые как R ⁺ .

Лучший способ проанализировать рациональную функцию — найти область определения путем проверки нулевых знаменателей (чтобы найти область определения), а затем найти возможный набор выходных значений (чтобы найти диапазон).

Графики также могут помочь с обоими этими шагами.

Давайте сначала посмотрим, как найти область определения рациональной функции, а затем мы посмотрим, как найти диапазон.

Как найти область определения рациональной функции

Чтобы найти область определения рациональной функции, нам нужно найти входные данные (значения x), при которых знаменатель равен нулю, и исключить их из области определения.

Итак, допустим, что наша рациональная функция есть f(x) = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены. Вот шаги, чтобы найти домен:

1. Во-первых, возьмите многочлен знаменателя и установите его равным нулю; то есть Q(x) = 0,
2. Затем полностью разложите Q(x), используя необходимые методы факторизации (такие как разность квадратов, разложение на множители, трехчлены с совершенными квадратами и т. д.)
3. Затем, после полного разложения Q(x) на множители, выпишите решения уравнения Q(x) = 0.
4. Наконец, запишите домен как действительные числа, исключая решения на шаге 3.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это работает.

Пример 1. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1 / x.

Вы можете увидеть график функции ниже.

Это график рациональной функции f(x) = 1/x. Это также называется обратной функцией. Он является обратным сам себе и имеет горизонтальную асимптоту при x = 0 и вертикальную асимптоту при y = 0,9.0002 Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Это уже сделано, так как x неприводим.

Наш третий шаг — записать решения для Q(x) = 0. Это дает единственное решение x = 0.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение двух множеств: (-∞, 0)u(0, ∞).]

Пример 2. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x + 2) / (x ² – 9).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x + 2) / (x ² – 9) имеет вертикальные асимптоты при x = -3 и x = 3 с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой многочлен Q(x) = x ² – 9.

Наш первый шаг – приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ² – 9 = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Заметим, что x ² – 9 – это разность квадратов, которая умножается как (x + 3)(x – 3).

Наш третий шаг — выписать решения для Q(x) = 0. Для (x + 3)(x – 3) = 0 два решения равны x = -3 и x = 3.

Наш четвертый шаг состоит в том, чтобы записать домен f(x) как R – {-3, 3} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение трех множеств: (-∞, -3)u(-3, 3)u(3, ∞).

Пример 3. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = -2, x = -1, и x = 0, а также горизонтальную асимптоту при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ³ + 3x ² + 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ³ + 3x ² + 2x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Мы замечаем, что мы можем выделить GCF (наибольший общий множитель) x, а затем перейти от этого:

x(x ² + 3x + 2) = 0   [вычесть GCF x]

x(x+ 1)(x + 2) = 0

Наш третий шаг — выписать решения Q(x) = 0. Для x(x + 1)(x + 2) = 0 , три решения: x = 0, x = -1 и x = -2.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {-2, -1, 0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение четырех множеств: (-∞, -2)u(-2, -1)u(-1, 0)u(0, ∞).

Пример 4. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = — 2, -1, 0 и 1, с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Попробуем разложить по группам, глядя на пары термов: