Рубрика: Разное

Формулы быстрого умножения. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2 — у 2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х — у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3ху 2 — у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 — у 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н. э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Ключевые слова:

квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй величины. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

• Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.величины (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
• Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов . (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
• К уб суммы двух величин равен кубу первой величины плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

  (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

• К уб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов . (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
• Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

  (a — b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 — b 3

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Пример . Докажем формулу a 3 +b 3 = (a + b )(a 2 – ab + b 2).

Имеем: (a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что

(a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 +b 3 , что и доказывает нужную формулу.

Аналогично доказывается, что (a — b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.

Например:

49m 2 – 42mn + 9n 2 = (7m – 3n) 2

Или другой пример, посложнее:

Тут 3x 2 можно представить как ( √ 3x) 2

Полезно еще и знать, как возводить двучлен в степень большую, чем 3. Формула, позволяющая выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г. и получила название бинома Ньютона. Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом k > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 и (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 + b 3

были известны задолго до Ньютона. Если n – положительное целое число, то биномиальный коэффициент при a n-k b k в формуле бинома есть число комбинаций из n по k , обозначаемое C k n . При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля :

в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3.

Формулы сокращенного умножения: методика и задания

Школьники часто клеймят алгебру сложным и непонятным предметом после темы «Формулы сокращенного умножения» (ФСУ). Однако с их помощью можно быстро преобразовать выражения и устно считать. 

В этой статье делимся методикой и упражнениями, которые помогут вашим ученикам понять, запомнить и полюбить ФСУ. Рассмотрим тему на примере формул квадрата суммы и квадрата разности.

Содержание:

• Темы-предшественники ФСУ
• Начало изучения темы ФСУ
• Формулы сокращенного умножения
• Связь с геометрией
• Упражнения
• Варианты формул
• Упражнения
• Устный счет с помощью ФСУ

Темы-предшественники ФСУ

Чтобы школьник понял, откуда взялась тема «Формулы сокращенного умножения», ее нужно подать как следствие умножения многочленов. Убедитесь, что у вашего ученика нет проблем с умножением двучленов.

Поставленная математическая речь — преимущество в изучении ФСУ. Потренируйтесь с учащимся правильно озвучивать выражения.

Начало изучения темы ФСУ

Предложите ребенку выполнить однотипные вычисления (примеры). Так вы сформируете фундамент для понимания новой темы. Попросите ученика раскрыть скобки в примерах и найти закономерность. 

Школьник поймет: вместо того, чтобы каждый раз раскрывать скобки, можно использовать формулы.

Формулы сокращенного умножения

Покажите ученику общие случаи квадрата суммы и квадрата разности. Попросите доказать их через правила умножения двучленов.

Дайте названия формулам и пользуйтесь ими на уроках. Избегайте зачитывания, например, «а плюс b в квадрате», и закрепляйте математическую речь.

Связь с геометрией

Дети приходят в восторг, когда сухие буквы и числа обретают материальное объяснение. Приведите геометрические доказательства формул. Это покажет связь между алгеброй и геометрией и закрепит понимание справедливости ФСУ.

Геометрическое доказательство квадрата суммы

Геометрическое доказательство квадрата разности

Упражнения

Для закрепления формул сокращенного умножения дайте ученику много однотипных примеров. Если школьник не понимает, как работают ФСУ, предложите выполнить вычисления вручную — без формулы. Так на контрольных и экзаменах ребенок не растеряется, если забудет формулы.

Включите в занятия упражнения на обратный переход от многочлена к произведению двучленов.

Варианты формул

Рассмотрите с учеником ситуации, похожие на классические квадрат суммы и квадрат разности.

Не давайте эти формулы на заучивание. Цель — увидеть сходства с классическими формулами и отработать навыки вычислений в нестандартных примерах.

Упражнения

Закрепить понимание формул помогают упражнения на заполнение пропусков.

Устный счет с помощью ФСУ

Вишенка на торте — применение формул для устного счета. Благодаря им можно легко возводить в квадрат двузначные числа.

С помощью ФСУ выводится и правило возведения в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5.

Математическое уравнение, которое пыталось поставить Интернет в тупик

Наука|Математическое уравнение, которое пыталось поставить Интернет в тупик

https://www.nytimes.com/2019/08/02/science/math-equation-pedmas-bemdas -bedmas.html

Реклама

Продолжить чтение основной истории

Иногда BODMAS — это просто PEMDAS под другим именем. И нет, ответ не 100.

Кредит…

Стивен Строгац

2 августа 2019 г.

Математический Твиттер обычно является тихим, хорошо организованным местом, убежищем от обострений Интернета. Но 28 июля кто-то, кто, должно быть, был троллем в свободное от работы время, решил нарушить тишину и сделал это безошибочной провокацией.

Это связано с тем, что учителя старших классов называют «порядком действий». Последний скандал касался этого, казалось бы, простого вопроса:

oomfies решают это pic.twitter.com/0RO5zTJjKk

— ❦ (@pjmdolI) 28 июля 2019 г.

Многие респонденты были уверены, что ответ был 16. Другие слышали Янни, а не Лорел , и настаивал на том, что правильный ответ был 1. Вот тогда и началась болтовня. «Некоторые из вас не справились с математикой, и это видно», — сказал один из них. Другой опубликовал фотографию, на которой видно, что даже два разных электронных калькулятора расходятся во мнениях. Обычно успокаивающий мир математики, где существует правильное и неправильное и где должна преобладать логика, начал казаться тревожно, а возможно, и дразняще изменчивым.

На приведенный выше вопрос есть четкий и определенный ответ, если мы все согласимся играть по одним и тем же правилам, регулирующим «порядок операций». Когда, как в этом случае, мы сталкиваемся с несколькими математическими операциями, которые нужно выполнить — вычислить выражения в скобках, выполнить умножение или деление, сложение или вычитание — порядок, в котором мы их выполняем, может иметь огромное значение.

Столкнувшись с 8 ÷ 2(2+2), все в Твиттере согласились, что 2+2 в скобках следует оценивать в первую очередь. Вот что говорили нам наши учителя: сначала разберитесь со всем, что в скобках. Конечно, 2+2 = 4. Таким образом, вопрос сводится к 8÷2×4.

А вот и загвоздка. Теперь, когда мы столкнулись с делением и умножением, какое из них имеет приоритет? Если мы сначала проведем деление, то получим 4×4 = 16; если мы сначала выполним умножение, то получим 8÷8 = 1.

Как правильно? Стандартное соглашение гласит, что умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Чтобы разорвать завязку, работаем слева направо. Итак, сначала идет деление, а затем умножение. Таким образом, правильный ответ 16.

[ Нравится страница Science Times на Facebook. | Подпишитесь на информационный бюллетень Science Times . ]

В более общем случае обычный порядок операций таков: сначала вычисляются выражения в круглых скобках. Затем вы имеете дело с любыми показателями. Далее следуют умножение и деление, которые, как я уже сказал, имеют равный приоритет, а двусмысленность устраняется за счет работы слева направо. Наконец, идут сложение и вычитание, которые также имеют одинаковый приоритет, с двусмысленностью, снова устраняемой за счет работы слева направо.

---

Подробнее читайте в The Times от Стивена Строгаца о математике

• Элементы математики

• Я, снова я и математика

---

900 02 Чтобы помочь учащимся в США запомнить этот порядок операций, учителя вставьте в них аббревиатуру PEMDAS: скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. Другие учителя используют эквивалентную аббревиатуру БОДМАС: скобки, порядок, деление и умножение, сложение и вычитание. Третьи советуют своим ученикам запомнить песенку: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

[ Эта математическая задача не в первый раз разделяет Интернет. Помните Янни и Лорел? Как насчет цвета этого платья ? ]

Теперь осознайте, что следовать за тётей Салли — это чисто условность. В этом смысле PEMDAS является произвольным. Кроме того, по моему опыту математика, выражения вроде 8÷2×4 выглядят абсурдно надуманными. Ни один профессиональный математик никогда не напишет что-то столь явно двусмысленное. Мы вставляли круглые скобки, чтобы указать наше значение и сигнализировать о том, следует ли сначала выполнить деление или умножение.

В прошлый раз, когда это всплыло в Твиттере, я отреагировал с негодованием: Мне казалось нелепым, что мы тратим так много времени в нашей школьной программе на такую ​​софистику. Но теперь, после того, как некоторые из моих друзей-компьютерщиков просветили меня в Твиттере, я понял, что условности важны и что от них может зависеть жизнь. Мы знаем это всякий раз, когда выезжаем на шоссе. Если все остальные едут по правой стороне дороги (как в США), было бы разумно последовать их примеру. То же самое происходит, если все остальные едут слева, как в Соединенном Королевстве. Неважно, какая конвенция принята, главное, чтобы все ей следовали.

Точно так же важно, чтобы каждый, кто пишет программное обеспечение для компьютеров, электронных таблиц и калькуляторов, знал правила последовательности операций и следовал им. Для остальных из нас тонкости PEMDAS менее важны, чем более важный урок, заключающийся в том, что условности имеют свое место. Это двойная желтая линия по центру дороги — бесконечный знак равенства — и совместное соглашение понимать друг друга, работать вместе и избегать лобовых столкновений. В конечном счете, 8 ÷ 2(2+2) — это не утверждение, а кирпичная кладка; это как написать фразу «Ест побеги и листья» и сделать вывод, что язык капризен. Ну да, при отсутствии знаков препинания так и есть; Вот почему мы изобрели этот материал.

Итак, от имени всех учителей математики, пожалуйста, извините нас за то, что мы утомляем вас в этой скуке. Мои дочери тратили на это неделями каждый учебный год в течение нескольких лет своего обучения, как бы тренируясь, чтобы стать автоматами. Неудивительно, что так много студентов начинают рассматривать математику как бесчеловечный, бессмысленный набор произвольных правил и процедур. Ясно, что если этот последний приступ путаницы в Интернете является каким-либо признаком того, что многие студенты не в состоянии усвоить более глубокий и важный урок. Возможно, пришло время перестать извинять дорогую тетю Салли и вместо этого обнять ее.

А еще лучше научить всех писать однозначные математические выражения, и тогда все это уйдет. Для тех студентов, которым суждено стать разработчиками программного обеспечения, писать код, который может надежно обрабатывать неоднозначные выражения, когда бы они ни возникали, во что бы то ни стало выкопать тетю Салли из ее склепа. Для всех остальных давайте уделять больше времени обучению наших студентов более красивым, интересным и воодушевляющим частям математики. Наш чудесный предмет заслуживает лучшего.

Стивен Строгац — профессор математики в Корнеллском университете и автор книги «Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты Вселенной».

Использование операторов вычисления в формулах Excel

Excel для Microsoft 365 Excel 2021 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Дополнительно. .. Меньше

Операторы определяют тип вычисления, которое необходимо выполнить для элементов формулы. Excel следует общим математическим правилам для расчетов, то есть Круглые скобки , Экспоненты , Умножение и деление и Сложение и вычитание , или аббревиатура PEMDAS (Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли). Использование круглых скобок позволяет изменить порядок вычислений.

Типы операторов. Существует четыре различных типа операторов вычисления: арифметические , сравнение , конкатенация текста и ссылка .

• Арифметические операторы

  Для выполнения основных математических операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление; комбинировать числа; и получить числовые результаты, используйте следующие арифметические операторы.

  93

  Арифметический оператор	Значение	Пример
  + (плюс)	Дополнение	=3+3
  – (знак минус)	Вычитание Отрицание	=3–3 =-3
  * (звездочка)	Умножение	=3*3
  / (косая черта)	Отдел	= 3/3
  % (знак процента)

• org/ListItem»>

  Операторы сравнения

  Вы можете сравнить два значения с помощью следующих операторов. Когда два значения сравниваются с помощью этих операторов, результатом является логическое значение — либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

  Оператор сравнения	Значение	Пример
  = (знак равенства)	равно	=А1=В1
  > (знак больше)	Больше	=А1>В1
  < (знак меньше)	Менее	=А1<В1
  >= (знак больше или равно)	Больше или равно	=А1>=В1
  <= (знак меньше или равен)	Меньше или равно	=А1<=В1
  <> (без знака равенства)	Не равно	=А1<>В1

• org/ListItem»>

  Оператор конкатенации текста

  Используйте амперсанд ( и ), чтобы объединить (объединить) одну или несколько текстовых строк для создания единого фрагмента текста.

  Текстовый оператор	Значение	Пример
  и (амперсанд)	Соединяет или объединяет два значения для создания одного непрерывного текстового значения	=»Север»&»ветер» приводит к «Борей». Где A1 содержит «Фамилия», а B1 содержит «Имя», = A1 &», «& B1 приводит к «Фамилия, Имя».

• Эталонные операторы

  Объедините диапазоны ячеек для вычислений со следующими операторами.

  1 2 Медиана 0 45 42

  Справочный оператор	Значение	Пример
  : (двоеточие)	Оператор диапазона, который создает одну ссылку на все ячейки между двумя ссылками, включая две ссылки. Медианы в равностороннем треугольнике формула: Медиана равностороннего треугольника abc: свойства, примеры задач alexxlab / 07.07.202324.04.2023 / Разное Медиана равностороннего треугольника – формула 4.6 Средняя оценка: 4.6 Всего получено оценок: 137. 4.6 Средняя оценка: 4.6 Всего получено оценок: 137. Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно. Определения Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, а углы по 60 градусов. Равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного, но в равностороннем любую сторону можно считать основанием. Рис. 1. Равносторонний треугольник. Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием. Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно стороны. Медиана также имеет ряд свойств, которые можно использовать в решении задач. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делят эту точку в отношении 2:3, считая от вершины. При этом медианы разбивают треугольник на 6 разновеликих треугольников. Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что в равностороннем треугольнике каждый из 6 этих треугольников будет прямоугольным. Формула медианы равностороннего треугольника Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН. Она же будет являться медианой и высотой. Медиана разобьет треугольник на два прямоугольных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС. Рис. 2\over4}}$$ Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу: $$sin(ACH)={AH\over AC}$$ При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={\sqrt{3}\over 2}$$ Выразим значение медианы АН $$АН=sin(ACH)*AC={\sqrt{3}\over2}*AC={\sqrt{3}\over2}*a$$ Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника. Задача Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы. В равностороннем треугольнике медиана равна $$20\over{\sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника. Для нахождения площади воспользуемся классической формулой. Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника. Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону. Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника. Рис. 3. Рисунок к задаче. $$m={\sqrt{3}\over2}*a$$ $$a={m\over{\sqrt{3}\over2}}=m*{2\over\sqrt{3}}$$ Подставим в формулу значение медианы: $$a={20\over\sqrt{3}}*{2\over\sqrt{3}}={40\over3}$$ Посчитаем площадь: $$S={1\over2}*a*m={1\over2}*{40\over3}*{20 \over\sqrt{3}}={400\over{3\sqrt{3}}}$$ Что мы узнали? Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний. Тест по теме Доска почёта Чтобы попасть сюда — пройдите тест. Александр Рудаков 5/5 Оценка статьи 4.6 Средняя оценка: 4.6 Всего получено оценок: 137. А какая ваша оценка? формула нахождения, свойства, известные следствия Геометрия 12. 11.21 13 мин. Пожалуй, каждый хоть раз сталкивался с геометрическими вычислениями. Одной из самых распространённых фигур является многоугольник. Его особенность заключается в свойствах, благодаря которым можно легко и быстро определить нужные параметры. Часто при расчётах приходится использовать медиану. В равностороннем треугольнике она разбивает фигуру на две равные площади. При этом она и центр тяжести, чем зачастую и пользуются при решении задач. Оглавление: Свойства и виды треугольников Особенности медианы Решение задачи Онлайн-расчёты на калькуляторе Свойства и виды треугольников Многоугольник с тремя углами называют треугольником. Образуется он тремя отрезками, соединяющими 3 точки, располагающиеся на разных прямых. Эти точки называются вершинами, а замкнутые линии — сторонами. Площадь, заключённую сторонами, называют внутренней. Вершины фигуры принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C. Углы же греческими символами α, β, γ. Треугольники принято различать по видам. Они бывают: остроугольными — все углы в фигуре имеют разворот меньше 90 градусов; тупоугольными — один из углов треугольника больше 90 градусов; прямоугольными — 2 стороны фигуры образуют прямой угол. Кроме этого, их разделяют по числу равных сторон на разносторонние, равнобедренные и равносторонние (правильные). В треугольнике можно построить так называемые замечательные прямые. Отрезок, проведённый из середины вершины к противолежащей стороне, является медианой. В любом виде фигуры может быть построено 3 таких прямых. Они будут пересекаться в центре внутренней площади треугольника, а их общая точка являться центром массы. Кроме медианы, может быть отложена высота и биссектриса. Первая это перпендикуляр, опущенный из угла на противоположное основание, а вторая — линия, проходящая из угла и делящая противоположную сторону пополам. Зная высоту или биссектрису, найти медиану равностороннего треугольника очень просто. Всё дело в том, что для него все 3 линии полностью совпадают. Это и есть одно из замечательных свойств равносторонней фигуры,поэтому знание этого параметра позволяет находить много различных размеров многоугольника. В треугольник можно вписать окружность и описать её вокруг него. Радиус вписанной фигуры находится из отношения площади фигуры к полупериметру, а описанной — как произведение сторон, делённое на 4 площади. Внутреннее пространство для равносторонней фигуры можно определить по формуле: S = (a2 √3) / 4. При этом углы любого равностороннего треугольника будут равны 60 градусам. Особенности медианы С латинского «медиана» переводится как «средняя», поэтому так называют отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположного углу отрезка. Точку, в которой она соприкасается с прямой, называют основанием медианы. Существуют свойства, характерные только для рассматриваемой прямой. Так, можно, зная медиану, найти сторону треугольника, его площадь или угол вершины. К свойствам отрезков, делящих сторону пополам в произвольном треугольнике, относят: деление медиан в точке их пересечения в отношении 2:1; разделение фигуры на 2 треугольника с равными площадями, то есть являющимися равновеликими; если построить 3 медианы, то треугольник окажется разделённым на 6 одинаковых фигур; зная значения сторон, длину параметров можно вычислить по следующей формуле: m = √(2b2 + 2c2 — a2) / 2. Для доказательства равенства площадей нужно построить треугольник и провести медиану, например, из вершины B. Точку пересечения с противоположной стороной можно обозначить буквой D. Площадь новых фигур будет равняться: S1 = (AD * BE) / 2 и S2 = (DC * BE) / 2. Так как ограниченная прямая — это медиана, то AD = DC. Отсюда следует, что фигура делится на 2 равные части. Значит, S1 = S2, что и нужно было доказать. Доказательство равенства 6 фигур при построении трёх медиан: пусть одна из полученных фигур будет иметь вершины A, O, F. Если из угла опустить перпендикуляр на линию BF, будет верным равенство: S = (OF * AK) / 2 = (BF * AK) / 6 = S / 3. Беря во внимание свойства, что линия рассекает фигуру на 2 равные части, можно утверждать о справедливости записи: Sabf = Sabc / 2 → Saof = Sabf / 3 = Sabc / 6. Свойство доказано. В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой. Доказать это утверждение просто. Пусть есть многоугольник ABC. Из вершины B опущена высота BD. Полученные 2 фигуры равны: ABD = CDB, значит, их сторона BD — общая и является катетом. Следовательно, AD = CD. Так как гипотенузы треугольников равны, AB = BC. Замечательное свойство доказано. Существуют 2 следствия из свойств: если вокруг прямоугольного треугольника описать круг, его центр совпадёт с серединой гипотенузы; треугольник, где медиана равна половине длины стороны, к которой её построили, будет прямоугольным. Эти свойства и следствия очень важны. Зная их и формулы нахождения площади, решить большинство задач не составит труда. Но при этом часто приходится использовать формулу нахождения длины медианы. Решение задачи Для закрепления теоретического материала преподаватель учащимся предлагает решить ряд задач. Самостоятельное вычисление ответа позволяет не только научиться применять знания на практике, но и разобраться в различных тонкостях. Вот одна из таких задач, рассчитанная на школьников среднего уровня подготовки. Дан равносторонний треугольник ABC. Длина медианы BH, проведённой на основание AC, составляет 9 * √3. Определить, чему равны стороны фигуры. Перед тем как непосредственно перейти к решению, нужно обратить внимание, что все стороны у фигуры будут одинаковые, при этом углы также равны. По сути, равносторонний многоугольник является равнобедренным, поэтому медиана является и высотой, а значит, угол H будет составлять 90 градусов. При этом все остальные углы равны 60 градусам. Решить задачу можно двумя способами: Первый предполагает решение через тригонометрические функции. Так как известен острый угол в прямоугольном треугольнике ABH, используя синус (значение противолежащего катета к гипотенузе) можно записать: sin BAH = BH / AB. Отсюда AB = BH / sin BAH = (9 * √3) / (√3 / 2) = 9 * 2 = 18. В основе второго способа лежит теорема Пифагора. Сторона AB — это гипотенуза. Для удобства её можно обозначить как х. Так как медиана делит сторону пополам, то AH = x / 2. По теореме: AB2 = Ah3 + Bh3. Подставив известные значения в формулу, можно получить выражение: x2 = (x/2)2 + (9 * √3)2 = (x2 / 4) + 81 * 3 = 81 * 4. Отсюда x = √ 81 * √ 4 = 9 * 2 = 18. Это классические методы, с помощью которых можно найти сторону треугольника, если известна медиана. Какой из них выбрать, зависит от предпочтения решающего задачу. Конечно же, первый занимает меньше времени, но требует знаний хотя бы основ тригонометрии. Следует отметить, что формула: m = a √3 / 2 называется выражением медианы через высоту. И находится она как раз по теореме Пифагора. Это позволяет, зная лишь высоту или биссектрису, находить не только величину сторон, но и площадь фигуры, радиусы вписанной и описанной окружностей. При этом эта формула работает и в обратном направлении. Так, сторона будет равна: а = m / (√3 / 2). Онлайн-расчёты на калькуляторе Найти медиану в треугольнике при известных размерах сторон или площади фигуры довольно просто. В школьных задачах обычно подбираются исходные данные так, что при решении не нужно пользоваться калькулятором или делать сложные расчёты. Ответ часто получается в удобной форме в виде десятичных чисел. Но на практике начальные данные, используемые для нахождения медианы, могут представлять коренные, степенные, дробные выражения, поэтому приходится выполнять громоздкие вычисления, которые могут занять много времени. При этом существует риск допустить оплошность, приводящую к неправильному ответу. В интернете существуют математические онлайн-калькуляторы. Это сервисы, предлагающие услуги по автоматическому нахождению ответа в различных заданиях. Чтобы воспользоваться сайтом, пользователю даже не нужно знать формулы. Всё что от него требуется, это просто указать значения сторон в предложенной форме и нажать кнопку «Рассчитать» или «Вычислить». При этом эти сервисы бесплатны и не требуют даже регистрации. Из онлайн-калькуляторов, существующих в русском сегменте интернета, можно отметить следующие: Allcalc. Настоящий комбайн вычислений. Сайт содержит несколько сотен математических калькуляторов и конвертеров. Пользователь также может скачать бесплатное приложение для системы Android. Planetcalc. Отличается удобной навигацией и интуитивно понятным интерфейсом. Работу того или иного калькулятора можно оценить в комментариях. Geleot. Позиционируется не только как онлайн-расчётчик, но и как справочник. Кроме быстрого и правильного расчёта, сайты могут предложить пользователю различный теоретический материал, касающийся вычислений. На их страницах приведены не только формулы, используемые для нахождения ответа, но и их объяснения. При этом расчёт сопровождается комментариями и подробными действиями. Использовать онлайн-калькулятор для вычисления медианы не зазорно, особенно в процессе обучения. Благодаря ему можно не только проверить ответ, но и в случае ошибки быстро её найти и разобраться в причинах появления, поэтому ими часто пользуются не только школьники, но и инженеры, выполняющие сложные геометрические расчёты. [Решено] Найдите длину медианы равностороннего ΔPQR, у которого Найдите длину медианы равностороннего ΔPQR, стороны которого равны 10 см. Этот вопрос ранее задавался в Тест SSC CHSL на основе памяти (13 марта 2023 г. ) (3√3)/2 (5√3) Вариант 4 : (5√3) Бесплатно Январь Месяц Текущие дела (1 января — 15 января) 2,5 миллиона пользователей 30 вопросов 30 баллов 30 минут Дано: ΔPQR — равносторонний треугольник. Длина стороны (a) = 10 см Используемая концепция: В равностороннем треугольнике Высота = медиана Высота равностороннего треугольника = (√3a)/2, где a = сторона  Расчет: Пусть PS будет медианой ΔPQR В равностороннем ΔPQR, Высота (PS) = медиана (PS) Высота равностороннего треугольника = (√2/9 × 0) ⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (√3 × Сторона)/2 ⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (√3 × 10)/2 ⇒ Медиана равностороннего ΔPQR = (5√3) ∴ Длина медианы равностороннего ΔPQR равно (5√3). Важные моменты В равностороннем треугольнике: 1. Все три стороны равны и Все три угла равны, каждый угол треугольника равен 60°. 2. Это правильный многоугольник с тремя сторонами. 3. Перпендикуляр, проведенный из вершины равностороннего треугольника на противоположную сторону, делит противоположную сторону пополам. Также угол вершины, из которой проведен перпендикуляр, делится на два равных угла, т.е. по 30 градусов каждый. 4. Ортоцентр, Инцентр, Окружной центр и центроид находятся в одной точке. 5. В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса угла и высота совпадают. 6. Площадь равностороннего треугольника равна √3a 2 / 4 7. Периметр равностороннего треугольника равен 3a. Скачать решение PDF Поделиться в WhatsApp Последние обновления SSC CHSL Последнее обновление: 9 марта 2023 г. Срок сдачи экзамена SSC ​​CHSL Tier II истек. Экзамен состоится 26 июня 2023 года. Это для цикла 2022 года. Экзамен уровня I для того же был запланирован с 9с марта по 21 марта 2023 года. Комиссия по отбору персонала объявила о наборе примерно 4500 вакансий. Кандидаты могут подать онлайн-заявку на участие в программе SSC CHSL с 6 декабря 2022 года по 4 января 2023 года. SSC также внесла некоторые существенные изменения в шаблон экзамена SSC ​​CHSL . Кандидаты, окончившие высшую среднюю школу (10+2), могут сдавать этот экзамен для найма на различные должности, такие как почтовый помощник, клерки низшего отдела, секретарь суда, помощники по сортировке, операторы ввода данных и т. д. Процесс отбора SSC ​​CHSL состоит из Компьютерный экзамен (уровень I и уровень II). Чтобы улучшить подготовку к экзамену, попрактикуйтесь в ответах на важные вопросы из статей SSC CHSL за предыдущие годы. Кроме того, попробуйте пробный тест SSC CHSL. Калькулятор формул для уравнений равностороннего треугольника Изменить уравнение Выберите, чтобы найти другое неизвестное Разносторонний треугольник: Нет сторон с одинаковой длиной Нет равных углов Уравнения разностороннего треугольника Эти уравнения применимы к любому типу треугольника. Сокращенные уравнений для равностороннего, прямого и равнобедренного треугольников приведены ниже. 1 Основание Периметр Полупериметр Площадь Площадь 42 Высота Биссектриса стороны a Биссектриса угла сторона b Биссектриса стороны c Медиана стороны a Медиана стороны b0142 Медиана стороны c Высота стороны a Высота стороны b 9014 41 Высота стороны c Радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности Закон косинусов длина стороны a 0 0 00141 угол A Равносторонний треугольник: Все три стороны имеют одинаковую длину Все три угла равны 60 градусов Уравнения равностороннего треугольника Полупериметр Площадь Высота Медиана 2 Угол0142 Радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности Прямоугольный треугольник равен 900 909 градусов. 02 Уравнения прямоугольного треугольника Угол 9 угла 509141 Медиана2 c Теорема Пифагора Периметр Полупериметр Площадь Высота a Высота b Высота c Биссектриса угла b Угол Биссектриса c Медиана a Медиана b Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Равнобедренный треугольник: Две стороны имеют одинаковую длину 003 11245 90 Биссектриса сторон a и c Периметр Полупериметр Площадь Высота сторон a и c Высота стороны b Медиана сторон a и c Медиана стороны b Биссектриса угла стороны b Радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности Где 3
  =	Периметр
  s	=	Полупериметр
  a	=	4 сторона 4 a2 901	0140	b	=	Длина стороны b
  c	=	Длина стороны c
  h	=	Высота
  м	=	А	=	Угол A
  B	=	Угол B
  C	=	Угол C 9014
  =	Биссектриса угла
  R	=	Описанная Радиус окружности
  r	=	Радиус вписанной окружности

  ---

  Справочник — Книги: 1) Макс А.

§ 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Английский язык
  • Математика

• 3 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 5 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 6 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 7 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 8 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 9 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 10 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 11 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия

8 КЛАСС

§ 3.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Найти общий знаменатель.  Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей.

Преобразовать левую часть тождества.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Упростить числитель.

Найти общий знаменатель. Подставить значение переменной.

Найти общий знаменатель. Подставить значение переменной.

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ). 

Найти общий знаменатель. Если есть необходимость, то вынести "знак минус" в одном из знаменателей, либо воспользоваться формулами сокращенного умножения (ФСУ).

Составить уравнение (перемножить "крест накрест").

Упростить выражение; должно получиться выражение, возведенное в четную степень (тогда при любом значении переменной будут неотрицательные значения)

Упростить выражение.

Упростить левую часть и сравнить с правой частью тождества.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Пропуски:

умножаетсяскладываетсяостаётся прежнимперемножается

Сложение и вычитание десятичных дробей — как правильно? Правила и примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Цицерон сказал: «Без знания дробей никто не может признаться знающим арифметику». С этим не поспоришь! Продолжим изучать десятичные дроби через правила сложения и вычитания.

Понятие десятичной дроби

Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,8
• 7,42
• 9,932

Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой. 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21,10200000 = 21,102

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д.
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.

Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:

Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:

Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:

Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:

Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.

Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Ответ: 3 − 1,2 = 1,8.

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей Уравнять в дробях количество знаков после запятой. Записать дроби друг под другом так, чтобы одна запятая оказалась под другой запятой. Выполнить сложение (вычитание) и не обращать внимание на запятую. Поставить в ответе запятую под запятой.

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить (вычесть) как обыкновенные числа и снести запятую.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Вычитание столбиком

К следующей статье

Умножение многочлена на многочлен

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Руководство по дробям в 10 простых фактах | Бретт Берри | Математические приемы

Без шуток, просто

Математики любят дроби, а остальной мир их ненавидит . Я не знаю, какие травмирующие события вы пережили в детстве, но мне жаль, что они были такими болезненными.

В ДЕСЯТИ ФАКТАХ я объясню все, что вам нужно знать о дробях, как можно яснее.

Да, один урок, десять основных идей, менее десяти минут чтения.

Готов?

факт первый

Каждая дробь имеет числитель , который равен количеству частей, у нас есть , и знаменатель , равный общему количеству частей в целом.

Как и в случае с тортом, у вас может быть 2 маленьких кусочка или 1 кусок в два раза больше, и это будет столько же. Следовательно, многие дроби эквивалентны, например, 2/5 и 4/10.

4/102/5

факт два

Напишите любое целое число, превышающее 1 , чтобы оно стало дробью, поскольку общее количество частей в любом неделимом целом равно единице.

факт три

Умножение дробей легко , просто умножить прямо.

3 x 7 = 21 и 5 x 8 = 40

Примечание. Смешанные числа необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби, читайте об этом подробнее.

факт четыре

Число 1 называется мультипликативное тождество , потому что мы можем умножить его на любое число, и число останется прежним. Это важно для дробей, потому что часто нам нужно изменить внешний вид дроби без фактического изменения ее значения.

Например, я могу преобразовать 1/3 в эквивалентную дробь 3/9, умножив на 3/3.

Умножение на 1 в виде 3/3 превращает 1/3 в эквивалентную дробь 3/9

Факт пять

При сложении и вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми . В этом есть смысл. Если мы хотим объединить или убрать части, мы должны говорить о частях одинакового размера, иначе это приведет к путанице.

Так что же делать, если ваши дроби не имеют одинаковых размеров?

Умножьте на единицу, чтобы привести знаменатели к общему размеру. По сути, мы делим дроби на части меньшего размера, пока они не станут одинакового размера. Это называется найти общий знаменатель.

По правде говоря, подойдет любой общий знаменатель, но люди предпочитают находить наименьший. В этом случае наименьшее число, в которое входят и 7, и 3 без остатка, равно 21. Итак, умножьте первую дробь на 3/3, а вторую на 7/7.

Умножьте на формы 1, чтобы получить общий знаменатель 21.

Если вы не можете придумать наименьший общий знаменатель, вы всегда можете умножить каждую дробь на противоположный номинал . Иногда, как в данном случае, это оказывается наименьшим общим знаменателем. Если это не так, просто сократите свой ответ в конце.

Когда знаменатели совпадут, вычтите числители, чтобы получить 8/21.

15–7 = 8

Это работает, как и следовало ожидать. Графически начните с 15 штук из 21 всего.

Обратите внимание: у меня 5/7 повторяются 3 раза, это напрямую связано с умножением 5/7 на 3/3 для получения 15/21.

Удалите краску с 7 из 15 синих блоков.

Что оставляет 21 августа, как и ожидалось.

факт шесть

смешанное число представляет собой комбинацию целого числа и дроби.

Пример смешанного числа

Смешанные числа плохо сочетаются с другими дробями. Рекомендуется сначала преобразовать их в неправильные дроби.

Примечание: неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, поэтому ее значение больше единицы.

факт семь

Чтобы преобразовать 2 и 4/5 в неправильную дробь , прибавьте 2 + 4/5.

Шаг 1: Начните с перезаписи 2 как 2/1.

Шаг 2: Умножьте 2/1 на 5/5, чтобы получить эквивалент дроби 10/5 с желаемым общим знаменателем 5.

5/5 = 1, мультипликативное тождество 10/5 + 4/5.

Наш результат — эквивалент неправильной дроби 14/5.

Чтобы преобразовать обратно в смешанное число, выполните деление. Например, 5 входит в число 14 два раза (поскольку 5 x 2 = 10), и остается 4 части.

Равные дроби в неправильной (слева) и смешанной форме (справа)

факт восемь

Предположим, мы хотим определить, что больше: 5/12 или 6/13.

Сначала убедитесь, что они не в форме смешанных чисел!

Шаг первый: Умножьте диагональ и запишите произведение над числителем.

Шаг второй: Умножьте другую диагональ и запишите ее произведение над числителем.

Шаг третий: Сравните продукты. Сторона с большим произведением является большей дробью. Итак, в данном случае 5/12 меньше, чем 6/13.

Примечание: символ больше/меньше всегда открывается в сторону большего значения.

Мы также можем определить, равны ли дроби, используя векторные произведения.

Перекрестное произведение 3/7 и 12/28 равно 84, поэтому 3/7 = 12/28.

факт девять

Самое лучшее в дробях заключается в том, что вы можете найти множество возможностей отменить. Что делает их быстрыми и легкими в управлении.

Допустим, у меня есть дробь 8/10. И 8, и 10 можно переписать с множителем 2.

Поскольку 2/2 = 1, я могу сократить двойки, оставив 4/5 в виде сокращенной дроби.

Вычеркните двойки, так как 2/2 = 1

Используйте эту стратегию, чтобы упростить умножение дробей.

Начните с перезаписи каждого числа в множителях.

Отменить все пары чисел, которые делятся на 1. Например, 5/5 = 1.

У меня есть еще пара пятерок, а также пара троек, которые тоже делятся на 1.

Ой! Я мог бы переписать 6 как 2 x 3 и отменить пару двоек. Ничего страшного, если вы пропустите какой-то фактор, просто продолжайте, пока не получите их все.

Примечание: я переписал 2 как 2 x 1, так что, когда я исключаю двойки, в числителе остается единица.

Если бы умножить 15/25 на 10/18 напрямую, то пришлось бы много арифметических действий, используя отмену I , предварительно уменьшив дроби и упростив умножение.

факт десять

Делить дроби легко на простых примерах, таких как:

В целом две половины, поэтому в 5 целых 10 половинок.

Но с более сложными дробями эта концепция усложняется.

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать два факта:

1. Мы можем умножать на любую форму единицы (т.е. на что угодно над самим собой)
2. Умножая на обратную величину 3/2, которая равна 2/3, приводит к 1 через отмену

Шаг первый: Начните с умножения на обратную величину над собой.

Теперь нам нужно решить две меньшие задачи (синяя и зеленая).

Шаг второй: Отменить все, что делится на 1 в нижней (зеленой) дроби. Это должно всегда давать результат 1.

Теперь нам осталось решить главную проблему.

Шаг третий: Используйте отмену для предварительного уменьшения дроби. Сделав эти сокращения, умножьте, чтобы получить 4/3.

Ярлык

Это механика длинной руки “ флип и умножение. ”

Мы можем пропустить умножение на обратную величину внизу, так как она всегда сокращается до 1. Поэтому все, что вам нужно сделать, это умножить числитель на обратную величину знаменателя.

Почему работает трюк с перекрестным произведением?

Отличный вопрос! Чтобы обобщить, составьте две дроби, используя буквы a, b, c и d, чтобы представить четыре разных числа.

Умножьте обе дроби на b•d (это позволит нам сократить знаменатели).

Теперь сократите b слева и d справа, так как они делятся на 1. У нас больше нет дробей, только произведения d•a и c•b.

Посмотрите на исходные дроби. Это те же произведения, как если бы мы перемножили диагонали. Поэтому проще всего сравнить перекрестный продукт.

❤ ОСТАВАЙТЕСЬ НА СВЯЗИ ❤

Будьте в курсе всех новостей Math Hacks!

Инстаграм | Фейсбук | Twitter

Далее: Головоломка с числами 8, 8, 3, 3

Спасибо за чтение!

Math Hacks уже на YouTube!

Присоединяйтесь ко мне, и мы будем вместе решать математические задачи за раз.

Распространение любви к математике + расширение прав и возможностей. Подпишитесь на новые…

www.youtube.com

Распространенная математическая ошибка, которую я заметил в последнее время

Вы случайно сделали это с домашним заданием вашего ребенка?

medium.com

Комбинации и перестановки

Мы используем термин «комбинация» вольно и обычно неправильно. Мы говорим что-то вроде: «Эй, что у тебя…

medium.com

Понимание логарифмов и корней

Бревна и корни — нет, я не говорю о деревьях. Я говорю о математическом роде. Бьюсь об заклад, вы думаете,

medium.com

Объяснение дробей – руководство для родителей

• Советы по математике
• 6-7 лет
• 8-9 лет

Будучи взрослыми, мы используем дроби каждый день — делим пиццу, определяем время и делим счет — но большинство из нас почти забыли , как мы узнали и поняли их.

В штаб-квартире Komodo мы знаем, как важно иметь возможность помочь нашим детям изучать темы, с которыми они борются (а дроби могут быть трудными ), поэтому мы составили это руководство по дробям, чтобы вы могли поддержать своего ребенка, когда им нужна дополнительная помощь.

Прочитайте наше введение в дроби здесь

Как детей учат дробям

Дети лучше понимают дроби , когда они используются в контексте реальной жизни, например, в отношении длины, времени, денег и веса — так, как мы используем их каждый день, будучи взрослыми. Однако дети лучше усваивают дроби, используя модели, дающие наглядное представление.

Модели площадей

‘ Модели площадей’ используют цветные фигуры для обучения дробям. С их помощью легко увидеть, сколько всего занимает каждая фракция. Типичным упражнением для детей может быть определение того, какая часть каждой фигуры окрашена.

Распространенное у детей заблуждение состоит в том, что чем меньше знаменатель, тем меньше дробь. Например, дети могут подумать, что 1/5 больше 1/3 просто потому, что 5 больше, чем 3. 

С другой стороны, большинство детей понимают, что они получат больший кусок пиццы, если его поделят между собой. три человека, а не пять, поэтому используйте эту аналогию (и дробную стену, которую вы можете распечатать здесь), чтобы помочь им увидеть, как это работает!

Наборы

Использование наборов объектов — еще один способ обучения дробям. В задании, основанном на наборах, детей можно попросить нарисовать кольцо вокруг 1/2 предметов из приведенных ниже наборов.

Ребенок, которому трудно понять дроби, может попытаться ответить на этот вопрос, разрезав каждую фигуру пополам, например: дробь как самостоятельное число. Понять это помогут многочисленные упражнения с использованием сетов!

Прочтите нашу статью о трудностях с дробями, чтобы узнать больше о том, как справляться с подобными проблемами.

Числовые строки

Числовые строки помогают учащимся перейти к восприятию дробей как чисел, находящихся между целыми числами, и понять их как способ говорить о времени и расстоянии. Типичное упражнение может быть таким:

Итак, ваш ребенок должен посчитать, сколько раз каждая числовая строка была разделена, и решить, как далеко по линии проходит дробь.

Наслаждайтесь изучением дробей с помощью визуальных моделей — загляните в наш глоссарий дробей ниже, чтобы узнать, в каких терминах вы не уверены!

Глоссарий дробей

О Komodo —  Komodo — это увлекательный и эффективный способ развить начальные математические навыки. Комодо, предназначенное для детей от 5 до 11 лет для использования дома, использует небольшой и частый подход к изучению математики (15 минут, три-пять раз в неделю), который вписывается в занятую рутину. Komodo помогает пользователям развить беглость и уверенность в математике – не удерживая их на экране долго .

{\log_{0,2}{4}}\)

 

Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)

\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)

 

\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство.
Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть

\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)

 

Поделим обе части на \(-7\)

\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают. x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства

Показательные уравнения и неравенства, и примеры решения, урок и презентация в 11 классе

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Показательные уравнения и показательные неравенства (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия»
Интерактивное пособие для 10–11 классов «Логарифмы»

---

Определение показательных уравнений

Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. {x+2}-1}

экспоненциальных неравенств | Brilliant Math & Science Wiki

Александр Кац, Джефф Пиллинг, Каустуб Миглани, и

способствовал

Содержимое

• Введение
• Экспоненциальные неравенства — одно и то же основание
• Экспоненциальные неравенства — основание меньше 1
• Экспоненциальные неравенства — аналогичное основание
• Экспоненциальные неравенства — другое основание
• Экспоненциальные неравенства — несколько терминов
9x\) равно монотонно возрастающему \(\big(\)возрастающему \(x\) всегда возрастает \(f(x)\big)\) при \(a>1\), а монотонно убывающему \( \big(\) при увеличении \(x\) всегда уменьшается \(f(x)\big)\) при \(0 {9x ?\]

Когда два основания различны и не связаны общим основанием (как в предыдущем разделе), становится необходимым использование логарифмов. К счастью, логарифмы обладают теми же свойствами, что и экспоненты:

.

Если \(a>1\) и \(x>y\), то \(\log_ax>\log_ay\). В противном случае, если \(0

Верно и обратное:

Если \(a>1\) и \(\log_ax>\log_ay\), то \(x>y\). В противном случае, если \(0(8-5x)\log 5,\]

, поэтому \(5x\log 2>8\log 5-5x\log 5.\) Перестановка дает \(5x(\log 2+\log 5)>8\log 5.\) Так как \(\log 2+ \log 5=\log 10=1,\) это эквивалентно \(5x>8\log 5,\), поэтому \(x>\frac{8}{5}\log 5.\) \(_\ квадрат\)

В случае нескольких членов, как правило, стоит присвоить другую переменную экспоненциальному члену, решить полученное неравенство, а затем работать с одночленным неравенством. Например,

9{4x}\). x). \] Каково значение \( a + b? \) 92-x-4=0 \ подразумевает x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}\). Только \(\frac{1-\sqrt{17}}{2} \in [ -2, 1 ] \), так что это единственное решение в этом подслучае.

При объединении случаев получается набор решений

.

\[x<-2,\x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\x=-1,\x=0,\x>1.\ _\square\]

• Экспоненты
• Правила экспонентов
• Логарифмы
• Логарифмические неравенства

Процитировать как: Экспоненциальные неравенства. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/exponential-inequalities/

6.3: Экспоненциальные уравнения и неравенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• 9{x}\right) & = & \ln(129) & \mbox{Возьмем натуральный логарифм обеих сторон. } \\ x \ln(2) & = & \ln(129) & \mbox{степенное правило} \\[4pt] x & = &\dfrac{\ln(129)}{\ln(2)} & \\ \end{массив}\nonumber\]

  «Взять натуральный логарифм» обеих сторон сродни возведению обеих сторон в квадрат: поскольку \(f(x) = \ln(x)\) является функцией , пока две величины равны, их натуральные логарифмы равны равный. ² Также обратите внимание, что мы рассматриваем \(\ln(2)\) как любое другое ненулевое действительное число и делим его на ³ , чтобы изолировать переменную \(x\). Ниже мы суммируем два распространенных способа решения показательных уравнений, мотивированных нашими примерами.

  Этапы решения уравнения с экспоненциальными функциями

  1. Изолировать экспоненциальную функцию.
  2. 1. Если удобно, выразите обе части с помощью общего основания и приравняйте степени.
     2. В противном случае возьмите натуральный логарифм обеих частей уравнения и используйте правило степени. 9{2x}\справа)\). Правило мощности дает \((x+2)\ln(3) = 2x\ln(7)\). Хотя это уравнение кажется очень сложным, имейте в виду, что \(\ln(3)\) и \(\ln(7)\) — это просто константы. Уравнение \((x+2) \ln(3) = 2x \ln(7)\) на самом деле является линейным уравнением, и поэтому мы собираем все члены с \(x\) на одной стороне, а константы с другой. Затем мы делим обе части на коэффициент \(х\), который мы получаем путем факторизации.

        \[\begin{array}{rclr} (x+2) \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ x \ln(3) + 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) — x \ln(3) & \\ 2 \ln(3) & = & x (2 \ln(7) — \ln(3)) & \mbox{Коэффициент.}\\ x & = & \frac{2 \ln(3)}{2\ln(7) — \ln(3)} & \\[4pt] \конец{массив}\номер\] 9{\log_{3}(2)} & \mbox{Изменение базы}\\ 2000 & \stackrel{?}{=} & 1000 \cdot 2 & \mbox{Обратное свойство}\\ 2000 & \stackrel{\ галочка}{=} & 2000 & \\ \end{массив}\номер\]

        Другие решения можно проверить, используя комбинацию логарифмических и обратных свойств. Одни выпадают довольно быстро, а другие более вовлекаются. {\ln\left(\frac{1}{4}\right )}- 4\ln\left(\frac{1}{2}\right) & \\ & = & \frac{1}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) — 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) & \end{array} \номер\] 9{-0.1t} = \frac{1}{3}\), так что \(t = -10\ln\left(\frac{1}{3}\right)\), которое после быстрого применения Правило степени оставляет нам \(t = 10\ln(3)\). Если мы хотим избежать использования калькулятора для выбора тестовых значений, заметим, что, поскольку \(1 < 3\), \(0 = \ln(1) < \ln(3)\), так что \(10\ln( 3) > 0\). Поэтому мы выбираем \(t = 0\) в качестве тестового значения в \([0, 10 \ln(3))\). Поскольку \(3 < 4\), \(10 \ln(3) < 10 \ln(4)\), то последнее является нашим выбором тестового значения для интервала \((10 \ln(3), \infty)\). Наша диаграмма знаков находится ниже, а рядом с ней наш график \(y=T(t)\) из примера 6.1.2 с горизонтальной линией \(y = 100\). 9{x}\) растет относительно любого многочлена?

     6.3.2. Ответы

     1. \(x = \frac{3}{4}\)
     2. \(х = 4\)
     3. \(х=2\)
     4. \(х = -\фракция {1}{4}\)
     5. \(х = -\фракция {7}{3}\)
     6. \(х = -1, \, 0, \, 1\)
     7. \(х = \фракция{16}{15}\)
     8. \(х=-\фракция{2}{11}\)
     9. \(х = \frac{\ln(5)}{2\ln(3)}\)
     10. \(х = -\frac{\ln(2)}{\ln(5)}\)
     11. Нет решения.
     12. \(x = \frac{\ln(29) + \ln(3)}{\ln(3)}\)
     13. \(x = \frac{\ln(3)}{12\ln(1,005)}\)
     14. \(k = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-5730} = \frac{\ln(2)}{5730}\)
     15. \(t=\frac{\ln(2)}{0,1} = 10\ln(2)\)
     16. \(x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)\)
     17. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0,1} =10 \ln(18)\)
     18. \(x=-10\ln\left(\frac{5}{3}\right) = 10\ln\left(\frac{3}{5}\right)\)
     19. \(х=\ln(2)\)
     20. \(t=\frac{1}{3}\ln(2)\)
     21. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{29}\right)}{-0,8} = \frac{5}{4}\ln(29)\)
     22. \(x = \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\ln( 2)-\ln(5)}{\ln(4) — \ln(5)}\)
     23. \(х = \ln(2)\)
     24. \(x = -\frac{1}{8} \ln\left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}\ln(2)\)
     25. \(x = \frac{\ln(3)}{\ln(3) — \ln(2)}\)
     26. \(x = \frac{\ln(3) + 5\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(3) — \ln\left(\frac{1}{) 2}\right)} = \frac{\ln(3)-5\ln(2)}{\ln(3)+\ln(2)}\)
     27. \(x = \frac{4 \ln(3) — 3 \ln(7)}{7 \ln(7) + 2 \ln(3)}\)
     28. \(х=\ln(5)\)
     29. \(х=\ln(3)\)
     30. \(x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\)
     31. \(х=\ln(3)\)
     32. \(х=\лн(3)\), \(\лн(5)\)
     33. \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}\)
     34. \((\ln(53), \infty)\)
     35. \(\left[\frac{\ln(3)}{12\ln(1. 005)}, \infty\right)\)
     36. \((-\infty, -1) \чашка (0, 1)\)
     37. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} \right ] = \left(-\infty, \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4)-\ln(5)} \right]\)
     38. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{377}\right)}{-0,8} \right] = \left(-\infty, \frac{5} {4}\ln\left(\frac{377}{2}\right) \right]\)
     39. \(\left[\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1}, \infty\right) = [10\ln(18), \infty)\)
     40. \(х \приблизительно -0,76666, \, х = 2, \, х = 4\)
     41. \(х \приблизительно 0,01866, \, х \приблизительно 1,7115\)
     42. \(х = 0\)
     43. \((-\infty, 1]\)
     44. \(\приблизительно (-\infty, 2.7095)\)
     9{-1}\) имеют домен \((-\infty, \infty)\) и диапазон \((-\infty, \infty)\).

     ---

     Артикул

     ¹ Можно использовать натуральные бревна или обычные бревна. Мы выбираем натуральные бревна. (Из исчисления вы узнаете, что это самые «математические» логарифмы. )

     ² Это также часть оператора «если» \(\log _{b}(u)=\log _{b}(w)\) тогда и только тогда, когда \(u = w\) в теореме 6.4.

     ³ Не поддавайтесь искушению делить обе части на ln вместо ln(2). Точно так же, как не имеет смысла делить обе части на символ квадратного корня \(‘\sqrt ‘\) при решении \(x \sqrt{2}=5\), нет смысла делить на ‘ln’ .

     ⁴ Это потому, что основание \(\ln (x)\) равно \(e>1\). Если бы основание \(b\) находилось в интервале \(0

     ⁵ Можно, конечно, воспользоваться калькулятором, но разве это будет весело?

     ⁶ В этот момент можно использовать калькулятор. Как обычно, мы действуем без извинений аналитическим методом.

     ⁷ Примечание: \(\ln (2) \приблизительно 0,693\).

     ⁸ Критики могут указать, что, поскольку нам все равно нужно было использовать калькулятор для интерпретации нашего ответа, почему бы не использовать его раньше для упрощения вычислений? Справедливый вопрос, на который мы несправедливо отвечаем: это наша книга

     ---

     Эта страница под названием 6.