Рубрика: Разное

Несвойственные интегралы 1-го и 2-го рода

Несвойственный интеграл I рода

Если функция f(x) интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке [a;b], тогда несвойственный интеграл находят через предельный переход за формулой

и говорят, что несвойственный интеграл совпадающий, если существует такая конечная граница.
В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается.

Несвойственный интеграл ІІ рода

Если функция f(x) неограничена в околе точки B и интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке , тогда несвойственный интеграл ІІ рода вычисляют по формуле

и говорят, что интеграл совпадающий, если существует его конечная граница. В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается. Точка B называется особенной.

І. Вычислить интегралы

Начнем рассмотрение готовых ответов к несвойственным интегралам от простых к сложным заданиям.

Пример 2.147 (2334) Найти несвойственный интеграл
Имеем несвойственный интеграл І роду. Изменяем бесконечность на фиксированную точку из промежутка, вычисляем интеграл и после подстановки пределов интегрирования находим границу при следовании верхнего предела к бесконечности

Пример 2.148 ( 2335) Найти интеграл
Подинтегральная функция (логарифм) неопределенна в нуле, который отвечает нижней границе интегрирования. В соответствии с вышеприведенными формулами, имеем несвойственный интеграл второго рода. Для его нахождения переходим к границе в нуле, также выполняем интегрирование частями

Сам по себе интеграл не сложен в плане вычислений.
Замечание: в дальнейшем границу писать НЕ будем, а при вычисление несвойственных интегралов понимаем, что ищем значения границы в особенных точках (или в плюс минус бесконечности ) !!!

Пример 2.149 (2336) Вычислить интеграл
Разбиваем интеграл на 2 и находим несвойственные интегралы І рода

Пример 2. 150 (2337 ) Найти интеграл
Выполняем манипуляции идентичные, как и в предыдущем задании и приходим к несвойственным интегралам второго рода

Пример 2.151 ( 2338) Найти интеграл
Верхняя граница направляется к бесконечности, следовательно имеем несвойственный интеграл первого рода. Для нахождения предельного значения находим неопределенный интеграл и при подстановке пределов выносим переменную за скобки в числителе и знаменателе логарифма. В результате вклад бесконечно малых величин (1/x) направляется к нулю при переменной направляющейся к бесконечности. Таким образом находим главное значение интеграла

Пример 2.152 (2339) Найти интеграл

Решение: Вычислим последний интеграл методом Остроградського — метод не из простых, однако эффективный в подобных примерах:

возьмем производную от каждой части равенства (производная от интеграла равная подинтегральной функции)

Возведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства

В результате получим систему из 4 линейных уравнений из которой находим 4 константы

Таким образом можем записать неопределенный интеграл в виде

Дальше подставляем пределы и находим границе дроби и арктангенса при переменной направляющейся к плюс минус бесконечности.

В конечной формуле можно еще избавиться от иррациональности в знаменателе, но это уже проделайте самостоятельно.

Пример 2.153 ( 2340)Найти интеграл

Вычислим последний интеграл методом неопределенных коэффициентов:

Записываем подинтегральные функции и, возведя их под общий знаменатель, 

а дальше приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства.
В результате решим систему трех уравнений и определим сталые

Подставим их в расписание и найдем неопределенный интеграл

после возведения под табличные формулы интегрирования получим логарифмы, которые группируем и арктангенс. 

В бесконечности выносим из числителя и знаменателя дроби под логарифмом слагаемое с самым старшим показателем переменной и сокращаем на него. Тогда получим логарифм единицы.
В нуле с точностью до наоборот, сталые оставляем — остальные слагаемые с переменными не дают вклада.
С арктангенсом ситуация более определена и его значение на пределе подставляем в формулу

Пример 2. 154 ( 2341)Вычислить интеграл
Покажем, как можно найти интеграл такого вида двумя способами.

І способ: расписание методом неопределенных коэффициентов:

Чему равен арктангенс в нуле, единице и бесконечности Вы должны знать на память при решении подобных заданий.
Здесь применили метод неопределенных коэффициентов (A=C=0; B=D=1/2) :

ІІ способ — через замену переменных:

Пределы интегрирования при замене переменных здесь стали другими (в нуле минус бесконечность).

Пример 2.155 (2342) Найти интеграл
Особенной точкой здесь является нуль, поскольку корень в знаменателе становится равным нулю, а подинтегральная функция направляется к бесконечности. Но это происходит на таком малом участке интегрирования, что вклад мизерен и в целом интеграл совпадающий.
Для его вычисления переходим под интегралом к новым переменным, находим новые пределы интегрирования и находим арктангенсы на краях

Вычисления не сложны, поскольку свели интегрирование под простой табличный интеграл.

Пример 2.156 (2343) Найти интеграл
В бесконечности подинтегральная функция направляется к нулю, поэтому делаем вывод, что имеем несвойственный интеграл І рода. Для его нахождения кое-как превращаем функцию и выполняем замену переменных

В результате сводим интеграл к логарифму, который упрощаем используя свойства логарифмов.

Пример 2.157 ( 2344) Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Выполняем интегрирование частями

Второе слагаемое раскладываем методом неопределенных коэффициентов

В результате приходим к случаю когда имеем несвойственный интеграл І и ІІ рода одновременно, поэтому предел будет иметь вид

Здесь учтены следующие предельные переходы

Интеграл равен нулю.

Пример 2.158 (2345) Вычислить интеграл
В бесконечности подинтеграьная функция направляется к нулю — имеем І несвойственный интеграл.
Обозначив арктансенс через новую переменную определяем пределы интегрирования, дальше упрощаем функцию и интегрированием частями находим значение в крайних точках.

Пример 2.159 (2346) Найти интеграл
Неопределенный интеграл І рода решаем дважды применив интегрирование частями

В результате приходим к записи интеграла через самого себя, то есть рекуррентной формуле 

Перегруппировываем известные и неизвестные по разные стороны знака равенства

и выражаем

отсюда искомый интеграл

Метод не новый, и когда Вы имеете произведение экспоненты на синусы и косинусы без него не обойтись.

Пример 2.160 ( 2347) Найти интеграл
На бесконечности подынтегральное выражение дает бесконечно малую осциллирующую около нуля функцию.
Чтобы обойти такую неопределенность используем методику предыдущего примера. Дважды применив интегрирование частями

приходим к рекуррентной формуле

Из нее найти интеграл достаточно просто:
интегралы переносим в одну сторону, сталые в другую.

А дальше выполняем деления одной постоянной справа на множитель при интеграле

Отсюда и имеем искомый интеграл

Запомните методику последних двух заданий, на модулях и экзаменах на этом поплатилась значительная часть студентов.
Не будьте в их числе!

Пример 2.161 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Находим его и делаем вывод

что интеграл разбегается, поскольку преде не является конечным.

Пример 2.162 Найти интеграл
Экспоненту интегрировать не трудно, при отрицательном показателе она в бесконечности направляется к нулю

Пример 2.163 Вычислить интеграл
Интеграл по виду не сложный, однако при подстановке пределов многие из Вас пишут логарифм минус логарифм = бесконечность минус бесконечность, а дальше что границы не существует, а интеграл расходится.
А он совпадающий причем к нулю

В этом также легко убедиться проанализировав подинтегральную функцию, ее знаменатель положительный для положительных и отрицательных значений переменной, числитель непарная функция, следовательно интеграл справа от оси абсцисс нивелирует интеграл слева.

Пример 2.164 Найти интеграл
В знаменателе дроби выделяем полный квадрат и сводим интеграл под формулу арктангенса.

При следовании переменной к бесконечности арктангенс направляется к Pi/2, при минус бесконечности к — Pi/2.
В сумме получаем Int=Pi.

Пример 2.165 Найти интеграл

Имеем интеграл І рода. Покажем, что он расходится. Знаменатель на рассматриваемом промежутке удовлетворяет условие ln(x)<x-1, поэтому имеем следующее неравенство между функциями
,
Однако второй интеграл расходится

Поскольку функция принимает большие значения , то заданный интеграл также расходится!

Пример 2.166 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Его находим расписанием подинтегральной функции через простые множители, как это реализовать расписано дальше

Данный интеграл нашли методом неопределенных коэффициентов:

записываем функцию в виде расписания простых дробей

Дальше их возводим к общему знаменателю

приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x в обеих частях равенства и находим сталіе A=1, B=-1; C=1 .
Их и подставляем в интеграл

Пример 2.167 Найти интеграл
Чтобы не раскладывать на простые дроби через неопределенные коэффициенты прибавим и отнимем в числителе единицу. Это позволит получить в числителе такой же множитель как и знаменатель и разложить дробь на два интегралы.
Дальнейшее их вычисление и определение пределов приведено в формуле
.

Пример 2.168 Найти интеграл
При переменной направляющейся к бесконечности функция, которая интегрируется направляется к нулю. Имеем несвойственный интеграл первого рода. Чтобы найти его значение выносим переменную из под корня знаменателя, переходим к новой переменной интегрирование (при этом изменяются пределы). В результате получим арксинус, который и вычисляем
.

Пример 2.169 Найти интеграл
Здесь необходимо, чтобы параметр превращался в нуль. Для других его значений несвойственный интеграл первого рода находим методом замены переменных. В результате приходим к логарифму, который расписываем к самому простому виду

Пример 2.170 Найти интеграл
Здесь в нуле надо найти предел, для этого вычисляем несвойственный интеграл, и подставляем пределы интегрирования.

Интеграл равен 0,5.

Пример 2.171 Найти интеграл
В нуле имеем особенность, которую при интегрировании необходимо обойти. Сначала превращаем функцию, чтобы перейти к новой переменной. Дальше применяем интегрирование частями, если множителем имеем экспоненту то это быстро приводит к конечному результату или рекуррентной формуле. Дальше подставляем пределы и анализируем, какие слагаемые сбегаются и к какой границе (значении).

Пример 2.172 Найти интеграл
В бесконечности синус осциллирует, если умножить на переменную то получим осциллирующую функцию с растущей амплитудой. Выполняем интегрирование частями и переходим к границе.

Поскольку последней границы не существует, то интеграл расходится.

Пример 2.173 Вычислить интеграл
Поскольку мы знаем к чему сводить подобные интегралы, то выполняем превращение функции в начале. Вы же можете обозначить корень из аргумента за новую переменную и в результате превращений прийти к тому же конечного интегралу. Самостоятельно проинтегрирував  частями, Вы получите, что интеграл равен единице

Пример 2.174 Найти интеграл

В подобных примерах нужно дважды применять интегрирование частями.

В результате придем к рекуррентной формуле

откуда и определяем интеграл

Данный интеграл — это классика интегрирования, если бы экспонента и синус имели множители при аргументах, то вычисления были не такие простые как в рассмотреном примере.

Пример 2.175 Найти интеграл
Здесь с первого взгляда может показаться, что интеграл не принадлежит к несвойственным. Однако, разложив знаменатель на одночлены, видим, что во внутренней точке имеет особенность, а именно разрыв второго рода.
При нахождении несвойственного интегралу второго рода при переходе к границам два логарифма упрощаем, по правилу разница логарифмов равна логарифму части. Таким образом лишь одно из слагаемых дает вклад

На графике функции эта особенность имеет вид

Пример 2.176 Найти интеграл
В единице корень в знаменателе превращается в нуль и функция там имеет вертикальную асимптоту. Чтобы ее обойти прибавим и отнимем в числителе единицы и распишем интеграл на два. Их вычисление уже не содержит никаких особенностей

График функции, не доходя до 1 справа имеет вид

Пример 2.177 Найти интеграл
Неопределенность в заданный интеграл вносит то что логарифм вблизи нуля направляется к минус бесконечности. Интегрируя частями, придем к особенности в нуле, Вы ее можете свести к следствию второй важной границы, мы же записываем конечное значение.

Для наглядности графики подинтегральной функции на указанном промежутке имеет вид

Как можно убедиться здесь все гладко и красиво.

Пример 2.178 Найти интеграл
При приближении к нулю за счет квадрата знаменателя функция растет к бесконечности. Но и при этом промежуток на котором это происходит направляется к нулю. Поэтому несвойственный интеграл существует и с помощью приведенной замены переменных находится без проблем

Найденный интеграл не что другое как площадь фигуры между функцией и осью ординат. За исключением особенности в нуле графики функции имеет вид верхней линии, а значение интеграла — заштрихованной на рисунке поверхности.

Пример 2.179 Найти интеграл
В единице логарифм направляется к минус бесконечности, чтобы учесть это выполняем замену переменных под интегралом

В результате предел равен бесконечности, поэтому заданный интеграл разбегается.
График подинтегральной функции в околі особенной точки имеет вид

Пример 2.180 Найти интеграл
При приближении к единице логарифм направляется к нулю, а функция к плюс бесконечности.
Чтобы вычислить несвойственный интеграл ІІ рода выполняем замену переменных и переходим к корневой функции в знаменателе, которая после интегрирования не имеет особенности

Значение интеграла равно площади заштрихованной фигуры.

Пример 2.181 Найти интеграл
Здесь свой вклад вносит точка x=0, поскольку в ней функция из двух сторон направляется к плюс бесконечности.
Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде показателей переменной.
Дальше разделяем интеграл на два и находим значение в пределе.

Получили совпадающий интеграл. Вид функции приведен на рисунку

Пример 2.182 Найти интеграл
Здесь идентичная ситуация, в нуле имеем особенность. По схеме предыдущего задания находим два неопределенных интеграла

Пример 2.183 Найти интеграл
Здесь в нуле имеем особенность, но поскольку знаменатель в нуле непарный то график общей функции имеет в нуле разрыв второго рода. Такие функции интегрируемые и по схеме выше находим предел в нуле.

Около нуля график функции имеет вид

Пример 2.184 (2348) Найти интеграл

Вычислим нулевое приближение с устранимой особенностью в бесконечности

Дальше интегрированием частями находим значение для номера n

Получили рекуррентную формулу: I_n=n*I_{n — 1}, отсюда интеграл равен

На этом ознакомление с основными приемами нахождения несвойственных интегралов подходит к концу.
Больше готовых ответов на интегрирование функций ищите на страницах сайта.
Если нужна помощь, также обращайтесь!

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения. Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль. В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form). При детальном и глубоком изучении формулировок, используемых в интерфейсах COMSOL, вы обнаружите, что множество граничных условий реализованы через интегралы. В качестве наиболее характерных примеров можно привести условия Total heat flux (Общий тепловой поток) или Floating potential (Плавающий потенциал). Вычисление интегралов также играет ключевую роль в процессе постобработки результатов, поскольку COMSOL рассчитывает большое количество вспомогательных величин через интегралы, например энергию электрического поля, скорость потока или общий тепловой поток. Разумеется, пользователи вольны использовать интегрирование в COMSOL в своих целях, и в этой статье мы объясним вам, как это делать максимально эффективно. {t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге. В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона. Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов. 2. Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Стационарное решение, нажмите на изображение для увеличения.

Нестационарное решение (для момента времени 100 секунд), нажмите на изображение для увеличения.

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301. 65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Окно настроек оператора интегрирования.

Расчет результата интегрирования через оператор.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области. Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1. 2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию. Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0). Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0^{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной. 1T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной. Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования. Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x<=dest(x)), которое является именно тем входным выражением, которое требуется для intop2. Объединив все вместе, мы можем вычислить неопределенный интеграл, воспользовавшись выражением intop2(T*(x<=dest(x))). Результат данной операции можно проиллюстрировать следующим графиком:

Как построить график неопределенного интеграла с помощью оператора интегрирования, оператора dest и логического выражения.

В пакете COMSOL дополнительно доступны еще два оператора вычисления интеграла, а именно общая проекция (general projection) и линейная проекция (linear projection). Эти операторы можно использовать для получения множества контурных интегралов в любом направлении в области. Другими словами, вычисление интеграла производится только вдоль одного измерения. В результате мы получаем функцию размерности на единицу меньше, чем размерность области. Для двухмерного примера результатом будет одномерная функция, которая может быть рассчитана на любой границе. Более подробная информация об использовании данных операторов будет представлена в одной из следующих публикаций в нашем компоративном блоге.

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Наиболее гибким способом вычисления пространственных интегралов является техника с добавлением дополнительного PDE-интерфейса. Давайте вспомним пример выше с неопределенным интегралом и предположим, что мы хотим вычислить неопределенный интеграл не только для y=0. Данная задача может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения в частных производных

\frac{\partial u}{\partial x}=T(x,y)

с граничным условием типа Дирихле u=0 на левой границе. Расчет такого уравнения проще всего реализовать в физическом (математическом) интерфейсе Coefficient Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных, коэффициентная форма записи), который потребует следующих настроек:

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного PDE-интерфейса.

Зависимая переменная u представляет собой неопределенный интеграл по x и доступна в процессе расчета модели и в постобработке. Помимо гибкости, дополнительным преимуществом данного подхода является точность, так как интеграл рассчитывается не вспомогательными инструментами на основе уже определенного распределения переменной, а непосредственно в процессе расчета с учетом алгоритмов оценки погрешностей и т. {100}T(x,y,t)\ \mathrm{d} t

На поверхностном графике ниже представлен результирующий интеграл, являющийся функцией пространственных переменных (x,y):

Использование оператора timeavg – оператора вычисления интеграла по времени.

Схожие операторы существуют для вычисления интегралов на сферических зонах, а именно ballint, circint, diskint и sphint.

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

В случае если временные интегралы нужно использовать непосредственно в модели в процессе расчета, вам будет необходимо задать их как дополнительные зависимые переменные. Аналогично представленному выше примеру с интерфейсом Coefficient Form PDE, это можно сделать, добавив ODE-интерфейс из раздела Mathematics. Предположим, например, что на каждом временном шаге требуется вычислять интеграл от величины общего теплового потока на промежутке от старта до текущего момента, который показывает накопленную энергию. Переменная для общего теплового потока рассчитывается в COMSOL автоматически и называется ht.tfluxMag. Интеграл может быть вычислен как дополнительная зависимая переменная с помощью узла Distributed ODE (Распределенное обыкновенное дифференциальное уравнение) интерфейса Domain ODEs and DAEs. Правой частью (источниковым членом) для доменного ОДЕ должна выступать подынтегральная функция, что и показано на иллюстрации ниже.

Использование дополнительного ODE-интерфейса для вычисления интеграла по времени.

В чем польза подобной техники? Полученный интеграл можно повторно использовать в других физических интерфейсах, поля в которых могут зависеть от накопленной в системе энергии. Более того, полученный резултат будет мгноменно доступен для всех видов постобработки, что удобнее и быстрее, чем использование встроенных операторов. Рекомендуем ознакомится с моделью Carbon Deposition in Hetereogeneous Catalysis (Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе), в которой ОДЕ в области используется для вычисления пористости катализатора при наличии химических реакций в виде нестационарной полевой переменной.

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

До сих пор мы демонстрировали, каким образом вычислять интеграл от искомых переменных в процессе расчета или при постобработке. Но не касались случая взятия интегралов от аналитических функций или выражений. Для этой операции в среде COMSOL доступен встроенный оператор integrate(expression, integration variable, lower bound, upper bound).

Выражение может представлять собой любую одномерную функцию, например sin(x). При этом допускается включение дополнительных переменных, например sin(x*y). Второй параметр определяет, по какой переменной вычисляется интеграл. Например, integrate(sin(x*y),y,0,1) выдает функцию переменной x, потому что интегрирование выполняется только по переменной y. Обратите внимание, что данный оператор также может использоваться для работы с аналитическими функциями, заданными в узле Definitions (Определения) текущего компонента.

Добавление аналитической функции.

Вычисление интеграла от аналитической функции.

Материалы для дальнейшего изучения

• Модели, в которых использованы некоторые из рассмотренных операций (по состоянию на 29 января 2014 года)
  • Оператор интегрирования: Акустические характеристики глушителя
  • Глобальное уравнение для вычисления интеграла по времени: Управление процессами с помощью ПИД-регулятора
  • Глобальное уравнение для решения обрабной задачи (для обеспечения ограничений): Использование глобальных уравнений для обеспечения ограничений
  • Доменное ОДЕ для вычисления интеграла по времени: Уменьшение емкости литий-ионной аккумуляторной батареи (Capacity Fade of a Li-Ion Battery) и Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе (Carbon Deposition in Heterogeneous Catalysis)
• Дополнительная информация в базе знаний (Knowledge Base): Вычисление интегралов по времени и пространству

Как находить интегральные выражения

Все ресурсы исчисления 1

10 Диагностические тесты 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 18 19 Следующая →

Исчисление 1 Помощь » Функции » Уравнения » Написание уравнений » Интегральные выражения » Как найти интегральные выражения

Какова площадь под кривой для ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

По нормальным правилам экспоненты  , поэтому мы устанавливаем определенный интеграл

,

, который интегрируется с:

Сообщить об ошибке

Интегральная формула Гаусса утверждает, что

 .

Чему равен интеграл от

?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Интегрируя по частям с

,  

, ,

получаем:

Сообщить об ошибке

Определить, учитывая, что

Определить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

В этой задаче требуется вычислить неопределенный интеграл от заданной функции f’(x). Интегрируя каждый член функции по x, мы просто делим каждый коэффициент на (n+1), где n — значение показателя степени x для этого конкретного члена, а затем добавляем 1 к значению показателя степени каждого члена. Икс. Это дает нам:

Правильный ответ должен включать константу C, так как исходная функция могла иметь константу, которая не отражена в уравнении для ее производной.

Сообщить об ошибке

Каково значение следующего определенного интеграла?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Начнем с интегрирования функции в скобках по x, а затем вычтем оценку нижнего предела из оценки верхнего предела:

Сообщить об ошибке. Правильный ответ:

Пояснение:

Эта задача призвана продемонстрировать одно из возможных приложений исчисления в области физики. Уравнение для работы, данное в физике, выглядит следующим образом:

Используя это уравнение, мы просто устанавливаем определенный интеграл с нашими границами, заданными интересующим нас интервалом в задаче: Чтобы толкнуть коробку с x=2 метра на x=5 метров, требуется 39,8 джоуля.

Сообщить об ошибке

Вычислить определенный интеграл в интервале .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны знать, что

В этом случае у нас есть:

Наш первый шаг — интегрировать:

наши значения 

Сообщить об ошибке

Запишите выражение площади под следующей кривой от  до .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Просто используйте интегральное выражение с заданными значениями x в качестве границ.

Не забудьте добавить dx!

Сообщить об ошибке

Вычислить определенный интеграл в интервале  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны помнить, что: 

В этом случае у нас есть: 

Наш первый шаг состоит в интеграции: в наших значениях  

Сообщить об ошибке

Вычислить определенный интеграл в интервале  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны помнить, что:

В этом случае у нас есть:

Наш первый шаг — интегрировать:

Затем мы приходим к нашему решению, подключая значения

Сообщить об ошибке

Вычислить неопределенный интеграл.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нас просят интегрировать функцию.

Для этого нам нужно запомнить правило степени интегралов,

Используя это правило, мы можем вычислить следующий интеграл:

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 5 6 3 7 4 8 9 … 18 19 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы исчисления 1

10 диагностических тестов 438 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Интегральное исчисление в Python

В этом посте показано, как выполнить интегральное исчисление непрерывных и ограниченных реальных функций реальных переменных в Python. за счет использования общих библиотек Python, часто используемых в научных приложениях. Интегральные методы расчета здесь в основном численные, поскольку этот сайт посвящен вычислениям, однако также показаны некоторые аналитические методы.
Пост организован по примерам : каждый абзац содержит пример интеграла для вычисления и соответствующий фрагмент кода Python, который вычисляет его с помощью соответствующей библиотеки.

Для всех различных фрагментов кода, описанных в этом посте, требуется Python версии 3 и библиотека NumPy, в то время как по отдельности они требуют дополнительной библиотеки (и ее зависимостей, если таковые имеются) между SciPy и SymPy.

Мы благодарим профессора Фаусту Д’Акунцо из Preparazione 2.0 за теоретическую поддержку, оказанную в области интегрального исчисления с несколькими переменными.

Чтобы получить код, см. параграф «Полная загрузка кода» внизу этого поста.

Интеграция через SciPy

Интеграл функции одной переменной (с конечными экстремумами)

В интегральном исчислении определенный интеграл — это оператор, который для вещественнозначной функции вещественнозначной переменной и интервала $[a,b]$ (подмножества области определения) сопоставляет функции площадь, стягиваемую ее графиком в интервале $[a,b]$. -x от x=1 до x=5′) подынтегральная функция = лямбда x: 2 * x * np.exp(-x) а = 1. б = 5. результат = spi.romberg (интегральное выражение, a, b) print(‘Результат ‘, результат) 9-x от х=1 до х=5 Результат 1.3

Вычисление интеграла с трапецией

Функция трапеции представляет собой метод интегрирования функций с фиксированной выборкой, поэтому код сначала равномерно распределяет интервал интегрирования и для всех дискретных значений $x$ он вычисляет соответствующие значения $y$ а затем передает два набора дискретных значений $x$ и $y$ методу интегрирования. 9-x от х=1 до х=5 Результат 1.3

6624352673
 

Вычисление интеграла с помощью

Функция cumulative_trapezoid также является методом интегрирования функций с фиксированной выборкой, а так сказанное про трапецию применимо.
Ниже приведен пример кода Python, который вычисляет интеграл, используя из 9-x от х=1 до х=5 Результат 1.3

6624352677
 

Вычисление интеграла с помощью

Функция simpson также является методом интегрирования функций с фиксированной выборкой, а так сказанное про трапецию применимо.
Ниже приведен пример кода Python, который вычисляет интеграл, используя симпсон функция 9-x от x=1 до x—>+inf Результат 1.4715177646857691 с ошибкой 3.7568301883294814e-10 Вот ссылка на код на GitHub.

Расчет длины дуги плоской кривой

Как известно, интегралы от функции одной переменной можно использовать и для вычисления длины дуги плоской кривой. Если кривая представлена ​​в виде $y=f(x)$ и является непрерывной и выводимой формула для расчета длины дуги кривой между $x=a$ и $x=b$ выглядит следующим образом: $$ \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{\,dy}{\,dx}\right)^2} \,dx $$ 92} \, дх $$ аналитическое решение которого $\около 2. 3(t) от t=0 до t=2pi’) x = лямбда t : anp.cos(t) ** 3 y = лямбда t : anp.sin(t) ** 3 dx_dt = аг.град(х) dy_dt = ag.grad(y) подынтегральное выражение = лямбда t : anp.sqrt (dx_dt (t) ** 2 + dy_dt (t) ** 2) а = 0. б = 2 * отн.пи результат, ошибка = spi.quad (интегральное выражение, a, b) print(‘Результат ‘, результат, ‘с ошибкой’, ошибка) 93(t) от t=0 до t=2pi Результат 6.0 с ошибкой 6.616929226765933e-14 Вот ссылка на код на GitHub.

Двойной интеграл функции двух переменных

В интегральном исчислении определенный двойной интеграл — это оператор, который для заданной вещественной функции двух вещественных переменных и множества, включенного в область определения, связывает с функцией объем твердого тела (называемого цилиндроидом) между поверхностью, описываемой функцией, и плоскостью, содержащей данный набор. 9{-x y} \,dx dy $$ аналитическое решение которого $\около 1.0273$ проверяется онлайн через Wolfram Alpha. 2 от z=1 до z=2, y=z+1 до y=z+2 и от x=y+x до x=2(y+z)’) подынтегральная функция = лямбда x, y, z : x + y * z ** 2 bounds_z = лямбда: [1., 2.] bounds_y = лямбда z : [z+1, z+2] bounds_x = лямбда z, y : [y+z, 2 * (y+z)] ya=лямбда z: z + 1 yb=лямбда z: z + 2 ха = лямбда z, y : y + z xb=лямбда z, y : 2 * (y + z) результат, ошибка = spi.nquad (интегральное выражение, [bounds_x, bounds_y, bounds_z]) print(‘Результат ‘, результат, ‘с ошибкой’, ошибка) 92 от z=1 до z=2, y=z+1 до y=z+2 и от x=y+x до x=2(y+z) Результат 65.71944444444445 с ошибкой 1.659412309590769e-12 Вот ссылка на код на GitHub.

Интеграция через SymPy

Интеграл функции одной переменной (с конечными экстремумами)

В интегральном исчислении определенный интеграл — это оператор, который для вещественнозначной функции вещественнозначной переменной и интервала $[a,b]$ (подмножества области определения) сопоставляет функции площадь, стягиваемую ее графиком в интервале $[a,b]$. -x от x=1 до x=5′) х = sp.Symbol(‘x’) f = 2 * x * sp.exp(-x) примитив = sp.integrate(f, x) print(‘Примитив есть’, примитив) примитив_лямбда = sp.lambdify(x, примитив) а = 1. б = 5. интеграл = примитивная_лямбда(б) — примитивная_лямбда(а) print(‘Результат равен’, целое число) 9-x от х=1 до х=5 Примитив (-2*x — 2)*exp(-x) Результат 1.3

Вот ссылка на код на GitHub.

Двойной интеграл функции двух переменных

В интегральном исчислении определенный двойной интеграл — это оператор, который для заданной вещественной функции двух вещественных переменных и множества, включенного в область определения, связывает с функцией объем твердого тела (называемого цилиндроидом) между поверхностью, описываемой функцией, и плоскостью, содержащей данный набор.

Word в TXT | Zamzar

Конвертировать DOC в TXT — онлайн и бесплатно

Шаг 1. Выберите файлы для конвертации.

Перетащите сюда файлы
Максимальный размер файла 50МБ (хотите больше?) Как мои файлы защищены?

Шаг 2. Преобразуйте файлы в

Convert To

Или выберите новый формат

Шаг 3 — Начать преобразование

И согласиться с нашими Условиями

Эл. адрес?

You are attempting to upload a file that exceeds our 50MB free limit.

You will need to create a paid Zamzar account to be able to download your converted file. Would you like to continue to upload your file for conversion?

* Links must be prefixed with http or https, e. g. http://48ers.com/magnacarta.pdf

Ваши файлы. Ваши данные. Вы в контроле.

• Бесплатные преобразованные файлы надежно хранятся не более 24 часов.
• Файлы платных пользователей хранятся до тех пор, пока они не решат их удалить.
• Все пользователи могут удалять файлы раньше, чем истечет срок их действия.

Вы в хорошей компании:

DOC (Document)

Расширение файла	.doc
Категория	Document File
Описание	DOC (аббревиатура от «документ») является расширением файла текстовых документов; оно связано в основном с Microsoft и их программой Microsoft Word. Исторически сложилось так, что оно было использовано для документации в текстовом формате, в частности в программах или на компьютерной технике, в широком диапазоне операционных систем. Почти все использовали формат файла DOC каждый раз, при написании письма, при работе или вообще при написании чего-либо на компьютере вы бы использовали формат файла DOC. В 1990-х годах Microsoft выбрала расширение DOC для обработки своих файлов программы Microsoft Word. По мере развития и роста технологий ПК, первоначальное использование расширения стало менее важным и в значительной степени исчезло из мира ПК.
Действия	DOC Converter View other document file formats
Технические детали	Ранние версии формата файлов DOC содержали в основном форматированный текст, однако развитие формата позволило файлам DOC включить в себя широкий спектр встроенных объектов, таких как диаграммы и таблицы из других приложений, а также медиа-файлов, таких как видео, изображения, звуки и диаграммы. DOC файлы могут также содержать информацию о слиянии, что позволяет шаблону обработки слов быть использованным в сочетании с таблицей или базой данных.
Ассоциированные программы	Microsoft Word Apple Pages AppleWorks StarOffice AbiWord KWord
Разработано	Microsoft
Тип MIME	application/msword
Полезные ссылки	Более подробная информация о файлах DOC Бесплатные альтернативы Microsoft для открытия файлов DOC Microsoft Office спецификации формата в бинарном файле

TXT (Document)

Расширение файла	. txt
Категория	Document File
Описание	Файл с расширением .txt — это один из самых популярных типов файлов. Файл, как правило, состоит из обычного текста и содержит форматирования. Практически любое приложение, которое может обрабатывать текст, может открыть txt-файл. В результате этот формат остается популярным, благодаря поддержке на всех платформах и операционных системах. Этот тип файла один из старейших типов файлов, появившихся с созданием первых компьютеров.
Действия	TXT Converter View other document file formats
Технические детали	Файл .txt, как правило, использует базовый набор, который содержит буквы, цифры и символы. Типичным примером этого может быть набор символов ASCII. Главная альтернатива ASCII — Unicode. Unicode является соперничающим форматом для текстовых файлов. Простой текстовый файл должен содержать только несколько непечатных символов, таких как новые строки, табуляция и перевод страницы
Ассоциированные программы	Notepad WordPad TextEdit
Разработано	Various
Тип MIME	text/plain application/txt browser/internal text/anytext widetext/plain widetext/paragraph
Полезные ссылки	Больше информации о текстовых файлах Сравнение простого и форматированного текста

Преобразование файлов DOC

Используя Zamzar можно конвертировать файлы DOC во множество других форматов

• doc в azw3 (Amazon KF8 eBook File)
• doc в bmp (Windows bitmap)
• doc в docx (Microsoft Word 2007 Document)
• doc в epub (Open eBook File)
• doc в fb2 (FictionBook 2. 0 File)
• doc в gif (Compuserve graphics interchange)
• doc в html (Hypertext Markup Language)
• doc в html4 (Hypertext Markup Language)
• doc в html5 (Hypertext Markup Language)
• doc в jpg (JPEG compliant image)
• doc в lit (Microsoft eBook File)
• doc в lrf (Sony Portable Reader File)
• doc в mobi (Mobipocket eBook)
• doc в mp3 (Compressed audio file)
• doc в odt (OpenDocument text)
• doc в oeb (Open eBook File)
• doc в pages (Apple iWork Pages Document)
• doc в pages09 (Apple iWork ’09 Pages Document)
• doc в pcx (Paintbrush Bitmap Image)
• doc в pdf (Portable Document Format)
• doc в pml (eBook File)
• doc в png (Portable Network Graphic)
• doc в ps (PostScript)
• doc в rb (RocketEdition eBook File)
• doc в tcr (Psion eBook File)
• doc в tiff (Tagged image file format)
• doc в thumbnail (Thumbnail image)
• doc в txt (Text Document)

DOC to TXT — Convert file now

Available Translations: English | Français | Español | Italiano | Pyccĸий | Deutsch

Конвертировать DOC В ТЕКСТ Бесплатно

DOC в текст

Разработано на базе программных решений от aspose. com а также aspose.cloud

Выберите DOC файлы или перетащите DOC файлы мышью

Google Drive Dropbox

Использовать пароль

Этот пароль будет применяться ко всем документам

Использовать распознавание текста Использовать распознавание текста

АнглийскийАрабскийИспанскийИтальянскийКитайский упрощенныйНемецкийПерсидскийПольскийПортугальскийРусскийФранцузский

Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности.

Сохранить как

TXTDOCXDOCDOTDOCMDOTXDOTMRTFODTOTT

КОНВЕРТИРОВАТЬ

Ваши файлы были успешно сконвертированы

СКАЧАТЬ

Загрузить в Google Загрузить в Dropbox

Конвертация других документов Отправить на электронную почту
Отправьте нам свой отзыв

Хотите сообщить об этой ошибке на форуме Aspose, чтобы мы могли изучить и решить проблему? Когда ошибка будет исправлена, вы получите уведомление на email. Форма отчета

Google Sheets
Mail Merge Облачный API

Конвертировать DOC в текст онлайн

Используйте конвертер DOC в текст для экспорта файлов DOC в текст формат онлайн. Наш конвертер файлов проанализирует содержимое исходного DOC файла до мельчайших деталей и воссоздаст содержимое в целевом текст формате.

Вы можете использовать конвертер из DOC в текст совершенно бесплатно, в любое время и с любого устройства.

Онлайн Конвертер DOC в текст

Конвертация DOC файлов в текст формат — одна из самых распространенных операций. Нам часто нужны обе функции, предоставляемые форматами DOC и текст. DOC и текст в определённых случаях дополняют друг друга.

Конвертировать файл DOC в текст онлайн

Чтобы конвертировать DOC в текст формат, просто перетащите DOC файл в область загрузки данных, укажите параметры преобразования, нажмите кнопку ‘Конвертировать’ и получите выходной текст файл за считанные секунды.

Бесплатный онлайн конвертер DOC в текст основан на продуктах компании Aspose, которые широко используются во всем мире для программной обработки DOC и текст с высокой скоростью и профессиональным качеством результата.

Как преобразовать DOC в текст

1. Загрузите DOC файлы, чтобы преобразовать их в текст формат онлайн.
2. Укажите параметры преобразования DOC в текст.
3. Нажмите кнопку, чтобы конвертировать DOC в текст онлайн.
4. Загрузите результат в текст формате для просмотра.
5. Вы можете отправить ссылку для скачивания по электронной почте, если хотите получить результаты позже.

Вопросы-Ответы

Как конвертировать DOC в текст бесплатно?

Просто используйте наш DOC в текст Converter. Вы получите выходные файлы текст одним кликом мыши.

Сколько DOC файлов я могу конвертировать в текст формат за раз?

Вы можете конвертировать до 10 DOC файлов за раз.

Каков максимально допустимый размер DOC файла?

Размер каждого DOC файла не должен превышать 10 МБ.

Какие есть способы получить результат в текст формате?

После завершения преобразования DOC в текст вы получите ссылку для скачивания. Вы можете скачать результат сразу или отправить ссылку на скачивание текст на свой e-mail позже.

Как долго мои файлы будут храниться на ваших серверах?

Все пользовательские файлы хранятся на серверах Aspose в течение 24 часов. По истечении этого времени они автоматически удаляются.

Можете ли вы гарантировать сохранность моих файлов? Все безопасно?

Aspose уделяет первостепенное внимание безопасности и защите пользовательских данных. Будьте уверены, что ваши файлы хранятся на надежных серверах и защищены от любого несанкционированного доступа.

Почему конвертация DOC в текст занимает немного больше времени, чем я ожидал?

Конвертация больших DOC файлов в текст формат может занять некоторое время, поскольку эта операция включает перекодирование и повторное сжатие данных.

Word в TXT — конвертируйте DOC в TXT бесплатно онлайн

Конвертируйте DOC в TXT онлайн и бесплатно

Шаг 1. Выберите файлы для конвертации

Перетаскивание файлов
Макс. размер файла 50MB (хотите больше?) Как мои файлы защищены?

Шаг 2. Конвертируйте ваши файлы в

Конвертируйте в

Или выберите другой формат

Шаг 3. Начните конвертировать

(и примите наши Условия)

Электронная почта, когда закончите?

Вы пытаетесь загрузить файл, размер которого превышает наш свободный лимит в 50 МБ.

Вам нужно будет создать платную учетную запись Zamzar, чтобы иметь возможность скачать преобразованный файл. Хотите продолжить загрузку файла для конвертации?

* Ссылки должны иметь префикс http или https , например. http://48ers.com/magnacarta.pdf

Частные лица и компании доверяют Zamzar с 2006 года. Мы обеспечиваем безопасность ваших файлов и данных и предлагаем выбор и контроль над удалением файлов.

• Свободно конвертированные файлы надежно хранятся не более 24 часов
• Файлы платных пользователей хранятся до тех пор, пока они не решат их удалить
• Все пользователи могут удалять файлы до истечения срока их действия

Попробовала и сразу влюбилась! Это было так легко использовать! После пары преобразований я купил ребятам чашку кофе. Еще пара и решил, что это слишком хорошо, чтобы злоупотреблять! Я присоеденился! Моя жизнь намного проще!

Тилли

У меня был огромный проблемный файл для преобразования, который не мог пройти обычный процесс автоматического преобразования. Команда Zamzar быстро отреагировала на мою просьбу о помощи и предприняла дополнительные шаги, необходимые для того, чтобы сделать это вручную.

ПДинСФ

Использовал его более года для преобразования моих банковских выписок в файлы csv. Отличное быстрое приложение, значительно увеличило мою производительность. Также замечательная поддержка — всегда быстро помогали!

Агата Вежбицкая

Я использовал этот продукт в течение многих лет. И обслуживание клиентов отличное. Только что возникла проблема, когда мне предъявили обвинение, и я не согласился с обвинением, и они позаботились об этом, хотя в этом не было необходимости.

JH

Очень полезный и профессиональный сайт. Сервис прост в использовании, а администраторы услужливы и вежливы.

Дэвид Шелтон

Я впервые им пользуюсь. У меня были некоторые сложности. Я не очень хорош в этом. Но я написал в компанию, и мне очень помогли. Я доволен обслуживанием клиентов и приложением.

Ана Суарес

Я использую Zamar всякий раз, когда мне нужно преобразовать аудио- и видеофайлы из нескольких отправителей в единый формат файла для редактирования аудио и видео. Я могу сделать несколько больших файлов за короткий промежуток времени.

Кристофер Би

Отлично подходит, когда вам нужно много конверсий за короткое время. Вы имеете прямой доступ и даже можете оформить подписку всего на месяц.

Сабина Калис

Я чувствую, что Замзар — активный член команды, особенно в проектах, над которыми я работаю, где я являюсь рабочей лошадкой, и это экономит так много времени и нервов. Я избалован Zamzar, потому что они установили очень высокую планку для преобразования файлов и обслуживания клиентов.

Дебора Герман

Фантастический сервис! Компьютер моей мамы умер, и у нее есть более 1000 файлов Word Perfect, которые она по какой-то причине хочет сохранить. Поскольку Word Perfect практически мертв, я решил конвертировать все ее файлы. Преобразователь Замзара был идеальным.

Арон Бойетт

Нам доверяют сотрудники этих брендов

Сотрудники некоторых из самых известных мировых брендов полагаются на Zamzar для безопасного и эффективного преобразования своих файлов, гарантируя, что у них есть форматы, необходимые для работы. Сотрудники этих организаций, от глобальных корпораций и медиа-компаний до уважаемых учебных заведений и газетных изданий, доверяют Zamzar предоставление точных и надежных услуг по конвертации, в которых они нуждаются.

Ваши файлы в надежных руках

От вашего личного рабочего стола до ваших бизнес-файлов, мы обеспечим вас

Мы предлагаем ряд инструментов, которые помогут вам конвертировать ваши файлы наиболее удобным для вас способом. Помимо нашей онлайн-службы преобразования файлов, мы также предлагаем настольное приложение для преобразования файлов прямо с вашего рабочего стола и API для автоматического преобразования файлов для разработчиков. Какой инструмент вы используете, зависит от вас!

Хотите конвертировать файлы прямо с рабочего стола?

Получить приложение

Полностью интегрирован в ваш рабочий стол

Преобразование более 150 различных форматов файлов

Конвертируйте документы, видео, аудио файлы в один клик

Нужна функциональность преобразования в вашем приложении?

Изучите API

Один простой API для преобразования файлов

100 форматов на ваш выбор

Документы, видео, аудио, изображения и многое другое. ..

Почему выбирают Замзар?

С Zamzar конвертация файлов проста, надежна и удобна, поэтому вы можете быстро конвертировать документы, изображения, видео и многое другое в нужные вам форматы. Благодаря более быстрой загрузке преобразованных файлов и дружелюбной и полезной поддержке, когда вам это нужно, у вас будет все необходимое для работы с вашими файлами.

Несколько форматов файлов

Мы поддерживаем более 1100 различных типов преобразования и постоянно добавляем новые!

Любое устройство

Мы знаем, что вам может понадобиться конвертировать файлы в пути, поэтому наш инструмент конвертации работает как на телефоне, так и на планшете.

Доступен круглосуточно и без выходных

Вы можете не только преобразовать файл в любое время, но и обратиться в нашу специализированную службу поддержки, которая работает круглый год.

Новые типы преобразования

Примеры некоторых новых типов преобразования, которые мы недавно добавили, включают преобразование отсканированного PDF в TXT и преобразование GIF в MP4!

Инструменты, соответствующие вашим потребностям в преобразовании и сжатии файлов

В Zamzar вы найдете все необходимые инструменты для преобразования и сжатия в одном месте. С поддержкой более 1100 типов преобразования файлов, независимо от того, нужно ли вам конвертировать видео, аудио, документы или изображения, вы легко найдете то, что вам нужно, и вскоре ваши файлы будут в форматах и ​​размерах, которые вам подходят.

Формат документа DOC DOC-конвертер

DOC и DOCX являются наиболее распространенными форматами файлов для обработки текстов. DOC в основном использовался Microsoft для своей программы Word до 2003 года. С 2007 года Word использует DOCX в качестве стандарта, хотя вы по-прежнему можете открывать файлы DOC и сохранять их в более старом формате. DOC и DOCX используются для форматированных текстовых документов, таких как отчеты, письма или резюме. Они могут включать изображения, диаграммы и графики, а также обычный или форматированный текст, а также могут содержать редактируемый шаблон.

Word является частью Microsoft Office, который доступен в виде платного программного приложения или доступен в Интернете по подписке Microsoft 365. Microsoft Office был разработан для операционной системы Windows, но вы также можете установить приложения Office в других операционных системах, таких как macOS от Apple и ChromeOS от Google. Базовая бесплатная программа «Word для Интернета» также доступна в Интернете для владельцев учетных записей Microsoft. Файлы DOC легко передавать и распечатывать, и их можно открыть в большинстве программ обработки текстов, включая LibreOffice, Apple Pages и Google Docs, а также в Microsoft Word.

Связанные инструменты

• Конвертеры документов
• DOC-конвертер
• Сжать файлы DOC

Формат документа TXT TXT-конвертер

Файл TXT также называется обычным текстовым файлом и широко используется. Файлы TXT содержат только текст и, в отличие от других типов файлов документов, таких как DOC, не содержат изображений или другого мультимедиа.

Частично их привлекательность заключается в том, что их можно открыть практически на любом устройстве и в любой ОС. У Microsoft и Apple есть встроенные приложения для текстового редактора, называемые Notepad и TextEdit соответственно, которые часто используются для создания файлов TXT. Они широко используются не только обычным уличным пользователем, который может решить вести протоколы совещаний, заметки и т. п., но и более технически подкованными ИТ-специалистами, которые могут использовать их при написании кода.

Файлы TXT не имеют тех же функций, что и файлы DOC, поскольку вы не можете выбрать шрифт, выделить слово жирным шрифтом или добавить такие элементы, как таблицы, поэтому, если пользователю нужны эти типы функций, он часто использует текстовый процессор. как Word, чтобы сделать это вместо использования обычного текстового файла.

Связанные инструменты

• Конвертеры документов
• TXT-конвертер

Как преобразовать DOC в файл TXT?

1. 1. Выберите файл DOC, который вы хотите преобразовать.
2. 2. Выберите TXT в качестве формата, в который вы хотите преобразовать файл DOC.
3. 3. Нажмите «Преобразовать», чтобы преобразовать файл DOC.

Преобразование из DOC

Используя Zamzar, можно конвертировать файлы DOC во множество других форматов:

DOC в AZW3 DOC в BMP DOC в DOCX DOC в EPUB DOC в FB2 DOC в GIF DOC в HTML DOC в HTML4 DOC в HTML5 DOC в JPG DOC в LIT DOC в LRF DOC в MOBI DOC в MP3 DOC в ODT DOC в OEB DOC на СТРАНИЦЫ DOC на СТРАНИЦЫ09DOC в PCX DOC в PDF DOC в PML DOC в PNG DOC в PS DOC в РБ DOC в TCR DOC в TIFF DOC в THUMBNAIL DOC в TXT

Преобразовать в DOC

Используя Zamzar, можно конвертировать в файлы DOC множество других форматов:

BMP в DOC CSV в DOC DOCX в DOC EML в DOC GIF в DOC JPG в DOC MDI в DOC MSG в DOC ODG в DOC ODS в DOC ODT в DOC СТРАНИЦ в DOC PAGES. ZIP в DOC PDF в DOC PNG в DOC PPS в DOC PPSX в DOC PPT в DOC PPTX в DOC PSD в DOC PUB в DOC RTF в DOC TIFF в DOC WKS в DOC WPD в DOC WPS в DOC

Часто задаваемые вопросы

Если у вас есть какие-либо вопросы о преобразовании или сжатии файлов с помощью Zamzar, мы будем рады помочь! Ниже мы ответили на несколько часто задаваемых вопросов, чтобы вы могли начать работу, а дополнительную информацию о преобразовании и сжатии файлов с помощью Zamzar вы можете найти в нашем Справочном центре.

Если у вас есть доступ к Microsoft Word, вы можете открыть файл DOC, а затем использовать функцию «Сохранить как», чтобы сохранить его как файл . txt. Однако, если у вас нет Microsoft Office или нужно преобразовать много файлов, вам может быть проще использовать инструмент преобразования, такой как Zamzar. Просто загрузите файлы DOC на сайт Zamzar, конвертируйте их и загрузите файлы TXT.
Вы также можете скопировать текст и вставить его в приложение для заметок, такое как Блокнот, перед сохранением документа в формате TXT. TXT — это обычный текстовый формат, поэтому при конвертации вы потеряете большую часть форматирования документа.

Если вы можете открыть документ в Word, вы можете сохранить его как файл TXT, выбрав «Сохранить как» в меню «Файл», а затем выбрав «Обычный текст (*.txt)» в раскрывающемся списке. Если у вас нет Microsoft Office, все равно легко преобразовать документ Word в TXT с помощью инструмента преобразования, такого как Zamzar. Просто загрузите документ Word, выберите его для преобразования в формат TXT, а затем загрузите текстовый файл.

Вы можете создать новый файл . TXT, открыв приложение для заметок, такое как Блокнот Microsoft, и сохранив новый документ в виде файла .txt. Вы можете печатать прямо в приложении или использовать скопированный и вставленный текст. Вы также можете открывать электронные письма или документы Word и сохранять их в виде файлов .txt. Если у вас есть целый документ, который вы хотите преобразовать, и у вас нет Microsoft Office, также легко преобразовать весь документ Word в TXT с помощью веб-сайтов преобразования файлов, таких как Zamzar. Просто загрузите документ Word, нажмите, чтобы преобразовать, а затем загрузите новый файл TXT.

Существует несколько способов преобразования Word в текст, включая бесплатный онлайн-инструмент преобразования на веб-сайте Zamzar. Вы можете конвертировать сразу несколько файлов без доступа к Microsoft Word — просто загрузите файлы DOC в трехэтапный инструмент, выберите, чтобы преобразовать их в TXT, а затем загрузите новые документы. Если у вас есть только один документ для преобразования, вы также можете сохранить его как файл *. txt, открыв его в Word и используя параметр «Сохранить как» в меню «Файл».

DOC и TXT — это форматы текстовых файлов, но они разные. DOC — это исходный формат Microsoft Word, и документы могут включать форматирование, шрифты, текстовые рисунки, диаграммы и изображения. Файлы TXT предназначены только для обычного текста, но их можно открывать в других программах, не требуя доступа к Microsoft Office. Файлы DOC легко преобразовать в TXT, сохранив файлы как .txt в Word или используя онлайн-инструмент преобразования, такой как Zamzar. Вы можете конвертировать несколько файлов в режиме реального времени с помощью веб-сайта Zamzar — просто загрузите свои файлы DOC, нажмите, чтобы преобразовать их в TXT, а затем загрузите преобразованные файлы.

Преобразовать СЛОВО в текст | Онлайн и бесплатно

Преобразование документов WORD в текстовые документы

Работает на aspose.com и aspose.cloud

Перетащите или загрузите свои файлы*

Выбрать файл

Выбрать с Google Диска Выбрать из Drop поле

Введите URL-адрес

*Загружая файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности0003

Ваши файлы успешно обработаны

СКАЧАТЬ 

Отправить результат по адресу:

ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ  

ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лучший бесплатный онлайн конвертер слов в текст

Чтобы преобразовать один тип файла в другой, вы можете использовать функцию этого приложения бесплатно. Без регистрации и капчи. Здесь вы можете конвертировать документы онлайн и сохранять их в нужном вам формате на свой компьютер или любое другое устройство.

Word to Text Converter — это многоцелевой инструмент для преобразования практически всех популярных форматов файлов. Вы можете сделать это онлайн за считанные секунды бесплатно.

Вы можете использовать наш онлайн-инструмент бесплатно и без загрузки программного обеспечения. Просто используйте свой браузер.

Несмотря на то, что инструмент бесплатный, никто не ограничивает вас в количестве и размере. Это существенно отличает Word to Text Converter от конкурентов.

Забудьте о вредоносных программах, вирусах и дисковом пространстве. С нашим приложением вы загружаете только отредактированный файл и ничего больше.

Быстро и просто

Преобразователь Word в текст — это онлайн-сервис для преобразования файлов из одного типа в другой. Мы поддерживаем множество популярных форматов для работы, все возможные форматы изображений, форматы мультимедийных файлов и т. д. Наш инструмент преобразования Word в текст прост в использовании: выберите нужный тип файла, затем определите выходной формат вашего документа, загрузите файл и нажмите ‘Загрузить’.

Безопасность гарантирована

Мы гарантируем безопасность и конфиденциальность. Мы не получаем права на ваш файл и ручной проверки не будет. Мы заботимся о вашей конфиденциальности и ваших файлах. В связи с этим мы также не будем передавать ваши данные другим сторонам. Крайне важно, чтобы у вас была возможность немедленно удалить загруженные вами файлы с нашего сервера. Если вы забудете это сделать, они будут автоматически удалены с нашего сервера через 24 часа. Мы полностью защищаем вашу информацию.

Универсальное преобразование

Вы можете конвертировать файлы Word в текст из любой ОС или устройства с подключением к Интернету. Наш сервис работает на любой ОС, включая Windows, Mac и Linux.

Самые популярные варианты конвертации

Мы поддерживаем самые распространенные варианты конвертации для работы и учебы. Используйте наше бесплатное приложение, чтобы уменьшить нагрузку при работе как с документами, так и с файлами изображений.

Книги о том, как преобразовать Word в текст

• Объединение Word в Word

Как преобразовать Word в текст

• 1

  Откройте бесплатный веб-сайт Word и выберите приложение Convert.

• 2

  Щелкните внутри области перетаскивания файлов, чтобы загрузить или перетащить файлы.

• 3

  Вы можете загрузить максимум 10 файлов для операции.

• 4

  Нажмите кнопку Преобразовать. Файлы будут загружены и преобразованы.

• 5

  Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации.

• 6

  Вы также можете отправить ссылку на файл на свой адрес электронной почты.

• 7

  Обратите внимание, что файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать по истечении этого периода времени.

Часто задаваемые вопросы

• 1

  ❓ Как преобразовать WORD в TXT?

  Во-первых, вам нужно добавить файл для преобразования: перетащите или щелкните внутри белой области. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование завершено, вы можете загрузить свой результат.

• 2

  ⏱️ Сколько времени нужно, чтобы преобразовать WORD в TXT?

  Это приложение работает быстро. Вы можете получить результат в течение нескольких секунд.

• 3

  🛡️ Безопасно ли конвертировать WORD в TXT с помощью бесплатного конвертера?

  Конечно! Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать по истечении этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим документам. Приложение абсолютно безопасно.

• 4

  💻 Могу ли я конвертировать WORD в TXT на Linux, Mac OS или Android?

  Да, вы можете использовать бесплатное приложение Converter в любой операционной системе с веб-браузером. Наше приложение работает онлайн и не требует установки какого-либо программного обеспечения.

Примеры ответов на негативные отзывы клиентов — Seciva на vc.ru

230 870 просмотров

Введение

Цель данной статьи заключается в информировании организаций и владельцев бизнеса. Данные, из приведенных ниже примеров взяты из открытого доступа в сети интернет.

Первые страницы поисковиков — это лицо компании. 94% процентов людей формируют свое впечатление о компании, основываясь на информации из первых 10 позиций результата поиска. Рекомендуем отвечать на все отзывы от имени организации и не оставлять клиентов без ответа, необходимо показывать свою поддержку и обратную связь.

Мы собрали информацию о влиянии негативных отзывов из специализированных источников и СМИ. Если вы сомневаетесь в использовании доказательств в маркетинговой или репутационной стратегии, статья поможет развеять сомнения.

Пользователи не только изучают отзывы и комментарии, но и принимают решения о покупке!

• 95% потребителей изучают комментарии в Интернете перед покупкой;
• 92% потребителей делают выводы из отзывов о качестве товара и магазина, который его продает;
• 73% клиентов не делают покупки, пока не изучат комментарии и отзывы.

Как ответить на негативный отзыв клиента?

Добрый день! Спасибо за отзыв. Нам очень важно разобраться в произошедшем, но по описанной ситуации мы не смогли идентифицировать Ваш заказ в нашей системе.Уточните номер заказа и контактную информацию для связи с Вами.Обязательно разберемся с этим вопросом. От лица всей компании приносим извинения за причиненные неудобства.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 2

Добрый день! От лица все компании приносим извинения за причиненные неудобства. Так быть, конечно, не должно. Хотелось бы разобраться в данной ситуации, решить и исключить дальнейшее ее повторение.Уточните номер заказа для связи с Вами.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 3

Добрый день! Спасибо за отзыв. Нам очень важно разобраться в произошедшем, но по описанной ситуации мы не смогли идентифицировать Ваш заказ в нашей системе. Уточните номер заказа и контактную информацию для связи с Вами.Обязательно разберемся с этим вопросом. От лица всей компании приносим извинения за причиненные неудобства.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 4

Добрый день, Уважаемый покупатель, приносим искренние извинения за эту ужасную ошибку. К сотруднику применено дисциплинарное взыскание. Больше подобного случая не повторится. С каждым днем мы стараемся быть для покупателя только лучше, а потому благодарим Вас за ваши замечания и наблюдательность. Надеемся, что вновь завоюем Ваше доверие, а потому ждем за покупками в нашем интернет-магазине.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 5

Добрый день! Спасибо за оставленный Вами отзыв. Так быть, конечно, не должно. Приносим извинения если получение вашего заказа задерживается по нашей вине,если бы вы уточнили номер заказая бы мог посмотреть более подробно в чем может заключаться причина задержки. С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 6

Добрый день! От лица все компании приносим извинения за причиненные неудобства. Благодарим Вас за отзыв. Хотелось бы разобраться в данной ситуации, решить и исключить дальнейшее ее повторение.Уточните номер заказа и контактную информацию для связи с Вами.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 7

Добрый день! От лица все компании приносим извинения за причиненные неудобства. Благодарим Вас за отзыв. Хотелось бы разобраться в данной ситуации, решить и исключить дальнейшее ее повторение. Обращались ли вы в отдел рекламации для обмена дивана или возврата денег?Уточните пожалуйста контактную информацию для связи с Вами.Обязательно разберемся и постараемся найти варианты для дальнейшего сотрудничества.С уважением,

Отдел по работе с обращениями.

Ответ на негативный отзыв, пример 8

Здравствуйте, Алёна!Спасибо вам огромное за отзыв. Нам очень жаль, что произошла столь неприятная ситуация. Понимаем ваше огорчение произошедшим и полностью согласны, что описанное вами поведение сотрудников недопустимо. Обязательно проведем работу с коллективом и приложим все силы, чтобы впредь подобного не повторилось. Примите, пожалуйста, наши извинения. Спасибо, что помогаете нам становиться лучше. Желаем вам крепкого здоровья!

С уважением, Медицинский центр

Ответ на негативный отзыв, пример 9

Добрый день, Наталья. Спасибо за отзыв. Мы искренне огорчены и удивлены тем, что данная ситуация имела место.Екатерина Владимировна является профессионалом высокого уровня и индивидуально подходит к проблеме каждого пациента. Для постановки диагноза и формирования плана лечения может понадобиться проведение дополнительных исследований.Уточните пожалуйста, дату вашего обращения в медицинский центр, чтобы мы смогли проверить всю информацию, оценили действия специалиста и приняли соответствующие меры. Приносим свои извинения за доставленные неудобства!

С уважением, Медицинский центр

Ответ на негативный отзыв, пример 10

Добрый вечер, Елизавета! Спасибо за отзыв. От лица всего коллектива приносим Вам свои искренние извинения за доставленные неудобства. Мы очень огорчены и удивлены описанной ситуацией. Пожалуйста, сообщите нам Ваши ФИО или обратитесь по телефону, указанному на данной странице, чтобы мы могли проверить информацию, разобраться в происшедшем и принять соответствующие меры. Заранее благодарим Вас за помощь. С уважением и пожеланиями крепкого здоровья, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 11

Добрый вечер, Вадим. Спасибо за отзыв. Искренне огорчены и удивлены сложившейся ситуацией. Уточните пожалуйста, когда именно Вы обращались в клинику, чтобы мы смогли проверить всю информацию. Приносим свои извинения за доставленные неудобства! С пожеланиями крепкого здоровья, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 12

Здравствуйте, Полина! Спасибо большое за оставленный отзыв. Нам искренне жаль, что произошла столь неприятная ситуация и Вам пришлось длительное время провести в очереди, ожидая прием доктора. Приносим извинения за доставленные неудобства. Обязательно разберемся в причинах отсутствия записи и приложим все силы, чтобы впредь подобного не повторилось. Вы можете связаться с нами по указанному на странице телефону или указать контактную информацию для обратной связи. Постараемся исправить сложившееся у Вас негативное впечатление о центре. Будьте здоровы! С уважением, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 13

Добрый вечер, Ольга! Спасибо за отзыв. Мы не только искренне сожалеем, но и крайне удивлены тем, что описанная ситуация имела место. Прием в нашем медицинском центре ведут опытные специалисты, которые обладают высоким уровнем профессионализма и навыками работы не только со взрослыми, но и с маленькими пациентами, находя к каждому индивидуальный подход и окружая вниманием и заботой. Пожалуйста, сообщите нам Ваши ФИО и дату обращения в медицинский центр, чтобы мы могли провести проверку, оценить действия сотрудников и принять соответствующие меры. Заранее благодарим Вас за помощь. С уважением и пожеланиями крепкого здоровья Вам и Вашим близким, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 14

Здравствуйте, Нелли! Благодарим за оставленный отзыв. Приятно узнать, что к качеству диагностики и к работе доктора у Вас нет нареканий. Примите, пожалуйста, извинения за возникшее недопонимание по оплате услуг. Пожалуйста, свяжитесь с нами по указанному на странице телефону, если ситуация не была решена. Постараемся помочь! С уважением, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 15

Здравствуйте, уважемая Мария. Большое Вам спасибо за отзыв, Вы помогаете нам стать лучше! Примите наши искренние извинения, если доставили Вам негативные эмоции. Ваш комментарий станет для нас отличным стимулом для работы по повышению уровня сервиса. Обязательно учтем Ваши замечания и постараемся в дальнейшем оправдывать ваши самые высокие ожидания. Вы всегда можете рассчитывать на наш опыт и профессионализм! С наилучшими пожеланиями, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 16

Здравствуйте, уважаемая Ульяна! Благодарим за Ваш отзыв. Мы доверяем мнению наших пациентов и внимательно следим за обратной связью. Очень расстроены Вашим комментарием. Приносим свои извинения за доставленные негативные эмоции. Пожалуйста, позвоните нам по указанному на сайте номеру телефона для уточнения деталей. Мы обязательно с Вашей помощью во всем внимательно разберемся и примем соответствующие меры. Надеемся, Вы дадите нам шанс исправить впечатление о медицинском центре. С уважением, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 17

Добрый вечер, Ольга! Спасибо за обратную связь. Мы искренне огорчены и удивлены Вашим комментарием. Пожалуйста, предоставьте нам свои ФИО и заключение стороннего специалиста, чтобы мы могли провести детальную проверку и оценить действия доктора. Приносим свои извинения, если доставили Вам негативные эмоции. С уважением и пожеланиями крепкого здоровья, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 18

Здравствуйте, Ирина! Спасибо за обратную связь. Очень огорчены вашим комментарием. Приносим свои извинения за доставленные негативные эмоции. Пожалуйста, позвоните по указанному на сайте номеру телефона для уточнения деталей. Мы обязательно во всем внимательно разберемся и дадим оценку действиям врача. Надеемся, что Вы дадите нам шанс исправить впечатление о центре. С уважением, администрация медицинского центра

Ответ на негативный отзыв, пример 19

Добрый вечер, Екатерина! Спасибо Вам за отклик. Мы сожалеем о случившемся. На основании Вашего отзыва будет проведена внутренняя проверка, по результатам которой приняты соответствующие меры. С уважением, администрация медицинского центра

Выводы

• В статье приведены самые распространенные ответы на негативные отзывы
• Для ответа на отзыв от имени официального представителя организации необходимо получить доступ к отметке

Отзывы неотъемлемая часть любого бизнеса, рейтинги организаций на прямую влияют на принятие решения о покупке товара или услуги. По этому следует активно мотивировать ваших клиентов для написания отзывов о вашей организации. У каждой организации есть своя репутация в интернете, сформированная мнением клиентами.

P.s. Ссылка на бесплатный аудит репутации в интернете и наши рекомендации.

25 примеров ответов на положительные отзывы на английском и русском языках [АйТи бубен]

Большинство компаний знают, что нужно отвечать на негативные отзывы и помогать клиенту решать его проблемы. А вот как ответить на положительный отзыв, и стоит ли это делать вообще? Разбираемся вместе!

Конечно, да — отвечать на положительные отзывы нужно.

Но шаблонные ответы компании на искреннюю благодарность могут быть восприняты клиентом как отписка. Он, видите ли, распинался, перечисляя достоинства вашей организации, а в ответ получил три-четыре пустых слова. Некоторых это расстраивает.

Но что, в таком случае, они хотят получить?

Материалы для изучения английского языка

СФОРМИРУЙТЕ привычку учить английский язык: Промокоды, акции и подарки, чтобы Ваше обучение было не только интересным, но и выгодным.

Благодарность и заботу.

Запомните: вы уже нравитесь человеку, оставившему позитивный отзыв, и он не нуждается в дополнительной порции агрессивного маркетинга на свою голову. Не пытайтесь завалить его брошюрными фразами про то, как вы проработали 100 лет на рынке и собираетесь с божьей помощью проработать еще столько же, опираясь на сотрудников-профессионалов, инновационные подходы и высокотехнологичное оборудование.

Чувствуете, как пресно все это звучит? Такие формулировки использует большинство ваших конкурентов. Если вы хотите выделиться на их фоне — просто общайтесь НОРМАЛЬНО. Вот примеры:

1. Поблагодарите клиента. Чуть-чуть оригинальности не повредит. Например: “Михаил, мы только что увидели ваш отзыв и раскраснелись от удовольствия! Спасибо, что нашли время оставить отзыв. Нам очень приятно, что вы выбрали наш ресторан!”

2. Персонализируйте свои ответы. Шаблонные сообщения пишутся для галочки, а индивидуальные показывают, что вам не наплевать на клиента. Например: “Надеемся, что вашей спутнице понравилось второе блюдо — шеф-повар был в ударе”. Если вы не помните клиента, оставившего отзыв, и не знаете, что он заказывал и с кем приходил, не проблема — просто не используйте второй пункт, а сразу переходите к третьему.

3. В конце вы можете ненавязчиво что-то предложить. Например: “Приходите к нам в следующие выходные с друзьями смотреть футбольную трансляцию — придумаем для вас специальную скидку!”

Такая схема эффективна в любой сфере бизнеса. Например, если вы представляете стоматологию, то хороший ответ на позитивный отзыв может выглядеть так: “Анна, спасибо, что пришли именно к нам. Не забудьте ограничить прием горячей пищи, чтобы восстановление после удаления зуба мудрости прошло максимально быстро. Ждем вас на повторный осмотр через неделю!”

Практикуйте индивидуальный подход. Именно персонализированное общение укрепляет любовь клиентов к конкретной компании.

Пользователи не только изучают отзывы и комментарии, но и принимают решения о покупке!

• 95% потребителей изучают комментарии в Интернете перед покупкой;

• 92% потребителей делают выводы из отзывов о качестве товара и магазина, который его продает;

• 73% клиентов не делают покупки, пока не изучат комментарии и отзывы.

Благодарность за хороший отзыв на английском языке

Читайте также: Деловая переписка на английском языке.

• Мы признательны вам за ваши отзывы и комментарии. — We appreciate your feedback and comments.

• Спасибо за ваши отзывы, Артур. — Thanks for your feedback, Arthur.

• Ваши отзывы помогут его дальнейшему развитию. — All feedback helps in improving the service.

• Ваши отзывы помогут нам сделать товар для Вас качественнее, а сервис лучше! — Your opinion will help us to make service better and goods more qualitative for YOU!

• Thanks for your feedback, Evyatar. Your feedback helps in improving the service.

Благодарность за хороший отзыв на русском языке

Источник: vc.ru

• Наталья, добрый день. Спасибо вам за оставленный отзыв о работе гостиницы и сервисов. Ждём вас в гости снова! С уважением, администрация Mirax

• Арчи, добрый день. Признательны за то, что нашли время, чтобы оценить нас и написать отзыв. Ждём новой встречи!

• Приветствуем вас, Анна. Примите нашу искреннюю благодарность за замечательный отзыв, нам очень ценно ваше мнение. Мы очень ценим, что у нас есть такие отзывчивые клиенты, как вы. Мы постараемся и впредь оправдывать ваши ожидания и предоставлять услуги только самого высокого уровня! Ждём новой встречи! Всегда Ваши, администрация салона красоты.

• Добрый день, Ольга. Примите нашу искреннюю благодарность за такие добрые и теплые слова в наш адрес. Мы вам очень и очень признательны! Непременно передадим ваш отзыв коллективу. Надеемся увидеть вас вновь! Обещаем порадовать услугами самого высокого качества. С уважением, Салон красоты

• Маргарита, добрый день. Признательны за то, что нашли время, чтобы оценить нас и написать отзыв. Огромная радость для всего коллектива, что вы остались довольны тем, как прошел ваш визит в салон красоты и высоко оценили наш сервис. Обещаем и дальше способствовать вашему преображению. Ждём новой встречи!

• Maria, здравствуйте! Большое спасибо за то, что вы остановили выбор на нашем заведении. Очень приятно, что вы полностью удовлетворены качеством предоставляемых услуг и высоко оценили уровень обслуживания. Вы всегда можете рассчитывать на наш опыт и профессионализм. Обращайтесь, всегда ждём вас! С уважением, студия

• Валерия, добрый день. Спасибо вам за отзыв. Радостно, что в студии депиляции вы нашли своего мастера. Будем счастливы видеть вас снова! С уважением, администрация студии депиляции

• Здравствуйте, Ольга. Большое спасибо за замечательный отзыв и внимание к нашей работе. Мы очень ценим, что у нас есть такие отзывчивые клиенты, как вы. Непременно передадим ваши добрые слова нашему коллективу! Ждём вас в гости снова! С наилучшими пожеланиями, администрация студии депиляции.

• Здравствуйте. Примите нашу искреннюю благодарность за замечательный отзыв, мы тронуты вашим вниманием. Мы счастливы, что у нас есть такие отзывчивые клиенты, как вы. Мы работаем по самым высоким стандартам качества и предлагаем своим гостям лучшие услуги из арсенала современной индустрии красоты! Мы всегда рады встрече с вами! С наилучшими пожеланиями, администрация студии.

• Доброго вам дня, Мария! Большое спасибо вам за чудесный отзыв. Радостно, что в студии депиляции вы нашли своего мастера. Будем счастливы видеть вас снова в стенах нашего бьюти-заведения! С уважением, администрация студии

• Здравствуйте, Татьяна. Благодарим за отличный отзыв, мы очень признательны. Для нас очень ценно то, что вы остались полностью довольны визитом к нам и поставили столь высокую оценку нашей работе. Постараемся и в дальнейшем радовать вас лучшими предложениями из арсенала современной индустрии красоты и здоровья! Приходите, ждём вас в гости снова! Всего вам наилучшего! С уважением, администрация студии

• Елена, добрый день! Благодарим за отличный отзыв и позитивную оценку нашей работы. Нам очень приятно, что у нас есть такие отзывчивые и благодарные клиенты, как вы. Непременно передадим ваши добрые слова нашему коллективу. Обязательно приходите снова, будем рады видеть вас! С уважением и наилучшими пожеланиями, администрация студии

• Наталья, добрый день. Спасибо вам за оставленный отзыв о работе специалиста и студии депиляции в целом. Елена Ивановна всегда очень ответственно подходит к своей работе и на совесть её выполняет. Мы обязательно передадим ваши слова благодарности. Ждём вас в гости снова! С уважением, администрация Студии

• Добрый день, Анна. Спасибо за отличный отзыв. Мы очень ценим, что вы столь высоко оценили уровень нашего сервиса! Приходите, ждём вас в гости снова!

• Ирина, добрый день! Благодарим вас за оставленный отзыв, мы тронуты вашим вниманием. Очень приятно, что остались довольны визитом в студию. Будем искренне рады новой встрече!

• Оксана, здравствуйте! Спасибо вам большое за тёплые слова о нашей работе. Мы рады, что у нас есть такие отзывчивые и благодарные клиенты, как вы. Это отличный стимул для дальнейшего совершенствования и профессионального роста. Ждём вас в гости снова!

• Приветствуем вас! Признательны за то, что вы уделили время и поделились с читателями своими впечатлениями. Нам очень приятно, что вы поставили нам высокую оценку. Заходите к нам снова, мы всегда рады встрече с вами! Желаем вам побольше радостных событий и всего самого наилучшего. С уважением, студия

• Здравствуйте, Юлия! Большое спасибо за позитивный отзыв и доверие компетентности специалиста. Мы передадим слова благодарности Ольге Николаевне. Оставайтесь всегда молодой и красивой, а мы Вам обязательно в этом поможем. С уважением, администрация студии

Материалы для изучения английского языка

СФОРМИРУЙТЕ привычку учить английский язык: Промокоды, акции и подарки, чтобы Ваше обучение было не только интересным, но и выгодным.

Выводы и рекомендации

В статье приведены самые распространенные ответы на положительные отзывы. Отзывы неотъемлемая часть любого бизнеса, рейтинги организаций на прямую влияют на принятие решения о покупке товара или услуги. По этому следует активно мотивировать ваших клиентов для написания отзывов о вашей организации. По ссылке приведены ответы на негативные отзывы от клиента.

Как пройти собеседование по методу STAR [9+ примеров]

Поведенческие вопросы на собеседовании сложны.

Казалось бы, все идет хорошо, пока интервьюер не задает вопрос «Можете ли вы рассказать мне о времени, когда вы…»  .

Блин, что теперь?

Вы пытаетесь придумать связный ответ, но сразу ничего не можете придумать.

Итак, вы выпаливаете что-то неловкое (о чем тут же жалеете) и молитесь, чтобы интервьюер просто пропустил это.

…Но так не должно было быть. ЕСТЬ способ дать хороший ответ на каждый вопрос собеседования о поведении:

Метод STAR.

В этом руководстве мы научим вас, что именно это такое и как его использовать, чтобы успешно пройти собеседование при приеме на работу!

Конвертер церковнославянских, греческих, еврейских и римских чисел

5 ступеней веры

Церковнославянские цифрыГреческие цифрыЕврейские цифрыРимские цифры

Арабское число

×

Число на кириллице

Знак перед тысячами ВЫКЛ.

Цифры в церковнославянских (а также в греческих, еврейских и латинских) книгах обозначаются буквами. Церковнославянская буква-цифра имеет над собой титло простое и после себя точку. В двузначных и многозначных числах титло ставится на второй букве от конца.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Единицы	а҃.	в҃.	г҃.	д҃.	є҃.	ѕ҃.	з҃.	и҃.	ѳ҃.
Десятки	і҃.	к҃.	л҃.	м҃.	н҃.	ѯ҃.	ѻ҃.	п҃.	ч҃.
Сотни	р҃.	с҃.	т҃.	у҃.	ф҃.	х҃.	ѱ҃.	ѿ҃.	ц҃.

Тысячи записываются теми же буквами, как и единицы, десятки и сотни, но с добавлением перед буквой символа ҂. Числа составляются также как и в современной арабской нотации: сначала пишутся тысячи, затем сотни, затем десятки и единицы, за исключением чисел оканчивающихся на 11…19, где последние два знака переставляются согласно славянскому прочтению (например, один-на-дцать, то есть сперва «один», а потом «дцать» = 10).

г҃. — 3 д҃і. — 14 тм҃є. — 345 ҂иѿп҃и. — 8888 ҂р҂к҂гун҃ѕ. — 123456

Если в многозначной цифре число сотен, десятков или единиц нулевое, то на их место ни какой знак вроде нуля не подставляется, а число становится короче.

҂вѳ҃і. — 2019 ҂в҃к. — 2020 ҂в҃. — 2000

Большие числа (десятки и сотни тысяч, миллионы и миллиарды) в разных источниках могут  выражаться не через знак ҂, а специальным образом обведенной буквой, использовавшейся для обозначения единиц. Впрочем, для больших чисел эти обозначения были довольно нестабильны.

10 000 — ҂і҃, (тма)

100 000 — ҂р҃,  (легео́н, несве́дь)

1 000 000 — ҂҂а,   (лео́др)

10 000 000 —  (вран)

100 000 000 —  (коло́да)

1000 000 000 —  (тма тем)

Церковнославянская система чисел является абсолютной калькой греческой системы счисления.

Греческая (ионийская, новогреческая) система счисления — алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита и некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).

γʹ — 3 ιδʹ — 14 τμεʹ — 345 ͵ηωπηʹ — 8888 ͵ρ͵κ͵γυνϛʹ — 123456

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Алфавитные обозначения чисел были заимствованы евреями у древних греков. Еврейские числа записываются справа налево; перед последней (левой) буквой ставится двойная кавычка — гершаим (״). Если буква всего одна, то после неё ставится одиночная кавычка — гереш (׳). Для обозначения 1–9 тысяч используются первые девять букв, после которых ставится апостроф. Исключения составляют числа оканчивающиеся на 15 и 16, которые представляются как 9+6 и 9+7 соответственно (ибо «Не поминай Имени Божия всуе»).

ג׳ — 3 י״ד — 14 שמ״ה — 345 ח’תתפ״ח — 8888

В отличие от первых трех — в римской системе счисления для представления любого числа используются только 7 букв латинского алфавита I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000). В последующем к ним были добавлены ещё 4 символа (от 5 000 до 100 000). Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются, если же меньшая – перед большей, то меньшая вычитается из большей.

III — 3 XIV — 14 CCCXLV — 345 ↁMMMDCCCLXXXVIII — 8888 ↈↂↂMMMCDLVI — 123456

• Пожертвовать
• 42 тыс. 4

Размер шрифта: A- 15 A+

Тёмная тема:

Цвета

Цвет фона:

Цвет текста:

Цвет ссылок:

Цвет акцентов

Цвет полей

Фон подложек

Заголовки: Прямой (Lucida)С засечками (Times)GeorgiaМоноширинныйСжатыйРукописныйIBM Plex SerifVollkornOranienbaum

Текст: Прямой (Arial)С засечками (Times)GeorgiaМоноширинныйСжатыйРукописныйIBM Plex SerifVollkornOranienbaum

Выравнивание:

Боковая панель:

Сбросить настройки

Латинские цифры скопировать.

Как в Ворде поставить римские цифры. Ручной и автоматический способы

Римские цифры – одни из древнейших систем начертания чисел в мире. Их изобрели и использовали древние римляне в своей системе исчисления. Система римских цифр значительно отличается от арабской, как внешним видом, там и восприятием натуральных чисел. Но разобраться в них вовсе не сложно, тем более, что данная система активно используется и в сегодняшнем мире.

Часто написание текста требует использования римских цифр, но как быть, ведь их нет в стандартной раскладке клавиатуры компьютера. Сделать это чрезвычайно просто. Но, прежде чем задаваться вопросом, как ввести римские цифры на клавиатуре, стоит разобраться с их системой и тогда читать и тем более писать их станет гораздо проще. Всего римских цифр или чисел 7, это единица – I, пятерка – V, десятка – X, пятьдесят – L, сто – C, пятьсот – D и тысяча – M. Все существующие числа записываются с их помощью. При написании и чтении используется принцип сложения и вычитания. Если на первом месте стоит большая, то меньшая складывается с ней, если первой идет цифра с меньшим значением, то она вычитается их последующей.

Теперь, понимая принципы чтения можно начинать искать римские цифры на клавиатуре. Но найти их невозможно, так как их попросту нет. Для записи цифр и чисел используют буквы латинского алфавита. Или, проще говоря, английскую раскладку. Так, цифрам 1, 5 и 10 соответствуют буквы I, V и X, а числа 50, 100, 500 и 1000 отображаются знакомыми буквами L, C, D и M соответственно. Точнее разобраться поможет наглядный пример, число 497 пишется CDXCVII. Чтобы его прочитать необходимо подключить принципы сложения и вычитания. Первые две римские цифры – C и D, соответственно 100 и 500, так как первое число меньше второго, то его нужно вычесть, получается 400 – начало искомого числа. Далее следуют буквы XC – 10 и 50, здесь также применяется принцип вычитания и получается 90. Последние три знака VII означают последнюю цифру. На первом месте расположено большее число, значит, цифры нужно сложить, получив 7. На последнем этапе все полученные значения складывают 400+90+7 и получают искомое – число 497.

Написание и запоминание римских цифр кажется непростой задачей, но это только на первый мимолетный взгляд. Благодаря тому, что они соответствуют латинским буквам, запомнить их поможет сам алфавит. Навсегда отпечатать в памяти порядок цифр поможет мнемоника – техника облегчения заучивания, именно она доказывает, что выучить арабские цифры гораздо проще, чем древние языки. Для запоминания достаточно выучить фразу: мы дарим сочные лимоны, хватит всем их. Если поменять первые буквы слов на аналогичные символы латинского алфавита получится следующая последовательность: M, D, C, L, X, V, I. Это и есть те самые арабские цифры, расположенные от большей к меньшей. А милая доброжелательная фраза позволит всегда держать их в уме в правильной последовательности.

В некоторых типах документов возникает необходимость проставить нумерацию римскими цифрами. Особенно актуально и часто нумеруется таким способом века. Чтобы данная проблема не возникала в дальнейшем, я в данной статье расскажу два способа как поставить римские цифры в ворде.

Самый простой способ можно часто использовать для указания года, века или тысячелетия. Эти значения цифр представляют собой небольшие значения и их можно легко напечатать используя латинские буквы в заглавном исполнении (1) — I, (5) — V, (10) — X, (50) — L, (100) — C, (500) — D, (1000) — M. Использую ниже таблицу соответствия арабских цифр римским можно легко понять как формировать число вплоть до нескольких тысяч.

Соответствие римских цифр арабским

Арабские	Римские	Арабские	Римские	Арабские	Римские	Арабские	Римские
1	I	26	XXVI	51	LI	76	LXXVI
2	II	27	XXVII	52	LII	77	LXXVII
3	III	28	XXVIII	53	LIII	78	LXXVIII
4	IV	29	XXIX	54	LIV	79	LXXIX
5	V	30	XXX	55	LV	80	LXXX
6	VI	31	XXXI	56	LVI	81	LXXXI
7	VII	32	XXXII	57	LVII	82	LXXXII
8	VIII	33	XXXIII	58	LVIII	83	LXXXIII
9	IX	34	XXXIV	59	LIX	84	LXXXIV
10	X	35	XXXV	60	LX	85	LXXXV
11	XI	36	XXXVI	61	LXI	86	LXXXVI
12	XII	37	XXXVII	62	LXII	87	LXXXVII
13	XIII	38	XXXVIII	63	LXIII	88	LXXXVIII
14	XIV	39	XXXIX	64	LXIV	89	LXXXIX
15	XV	40	XL	65	LXV	90	XC
16	XVI	41	XLI	66	LXVI	91	XCI
17	XVII	42	XLII	67	LXVII	92	XCII
18	XVIII	43	XLIII	68	LXVIII	93	XCIII
19	XIX	44	XLIV	69	LXIX	94	XCIV
20	XX	45	XLV	70	LXX	95	XCV
21	XXI	46	XLVI	71	LXXI	96	XCVI
22	XXII	47	XLVII	72	LXXII	97	XCVII
23	XXIII	48	XLVIII	73	LXXIII	98	XCVIII
24	XXIV	49	XLIX	74	LXXIV	99	XCIX
25	XXV	50	L	75	LXXV	100	C

Чтобы поставить в Word большие значения чисел в римском исполнении и если их необходимо к тому же напечатать много, можно очень легко запутаться и сделать ошибку. Для таких целей в программе Word предусмотрен блок для ввода формул, который называется «Поле». В поле можно написать формулу преобразования арабского числа в римское и программа автоматически напечатает нужный нам результат.

Чтобы преобразовать число в римское, поставьте курсор в месте, где необходимо напечатать римское число и нажмите сочетание клавиш Ctrl+F9. В месте курсора появиться специальный символ вставки поля в виде фигурных скобок. Внутри скобок введите следующую формулу (вместо числа 1234567 введите свое число для преобразования ) и нажмите Ок:

1234567\* Roman

Эта формула преобразует число 1234567 в римское. Чтобы отобразить не формулу, а значение результата преобразования, необходимо нажать F9 или же нажать правой кнопкой мыши на формуле и в контексте выбрать «Коды/значения полей».

Вместо формулы у вас должно появиться число в формате римских цифр. Для числа 1234567 у меня выдало следующее.

Как набрать римские цифры на клавиатуре? Вопрос, которым, наверное, задавался каждый. Многие не знают, как и с помощью чего это делается.

Развернутый ответ на этот вопрос предоставлен ниже.

Такие цифры перестали широко использовать очень давно, а именно со времен Средневековья. Тогда арабы изобрели более простую систему исчисления, которая прижилась в народе и используется по сей день.

Но даже в наше время римские цифры находят себе место, в основном их используют в некоторых нумерованных списках, для обозначения глав в книгах, они красиво смотрятся на циферблатах часов.

В истории ими обозначают века или номера правителей (например, Александр I, Елизавета II). Школьниками и студентами такие цифры часто используются при написании различных работ (рефераты, курсовые, и другие).

В связи с этим иногда возникает потребность их использования в электронных документах. Как ввести римские цифры на клавиатуре? Здесь возникают проблемы, так как таких цифр на ней нет. Вся сложность их использования заключается в том, что большие числа нужно считать и сопоставлять с римскими знаками.

Для ответа на вопрос о том, как набрать римские цифры на клавиатуре, нужно понять, как они соотносятся с арабскими цифрами.

Обозначения римских цифр следующие:

• 1 — I;
• 2 — II;
• 3 — III;
• 5 — V;
• 10 — X;
• 50 — L;
• 500 — D;
• 100 — C;
• 1000 — M.

Остальные значения получаются сложением и вычитанием имеющихся. К тому же сложение и вычитание в таком случае выполняется по специальным правилам. Если меньшее число стоит впереди большего, то оно вычитается, если меньшее стоит после большего то они складываются.

Для примера, если мы хотим написать число 4 на римский манер, то у нас должно получиться IV, то есть 5-1=4, а 6 будет выглядеть VI, так как 5+1=6. Числа 9 и 11 выглядят как IX и XI. И так далее.

Если нужно преобразовать большое число или вы не уверены в том, что сможете самостоятельно сделать это правильно, то вам поможет наличие ноутбука или другого устройства с выходом в интернет и наличие доступа в сеть. В интернете вы найдете множество онлайн-калькуляторов, которые правильно переведут вам любое, большое число в его римский аналог.

Способы написания римских цифр

Существует несколько путей выхода из проблемы по написанию цифр, а именно:

• стандартный метод;
• коды ASCII;
• Microsoft Word.

Начнем со стандартного метода. Заключается он в том, что нужно переключить раскладку клавиатуры на английский язык (или как еще говорят: «на латиницу»). Если вводиться большое число, то лучше включить «Caps Lock» для удобства, чтобы не пришлось постоянно держать кнопку «Shift». Такой метод применим в любом редакторе или при вводе значения на телефоне или другом девайсе.

Скажем о том о том, что если вам нужно ввести большое число, а вы не знаете как его перевести или не уверены в правильности своего результата, можно воспользоваться интернетом.

Следующий способ заключается в использовании кодов ASCII. Если из названия вам кажется, что это будет сложно, то не стоит переживать, все делается просто и в несколько нажатий. Для этого нам понадобится дополнительная числовая клавиатура (справа компьютерной клавиатуры).

Чтобы ее включить, нужно нажать на кнопку «Num Lock». После зажмите клавишу «Alt» и наберите цифры с клавиатуры, соответствующие нужной вам букве латинского алфавита (все коды и их значения изображены на фото №1).

Также с помощью ASCII можно вставить множество специфических знаков и символов. Такой метод намного удобнее (если к нему привыкнуть) чем первый, так как не нужно постоянно менять раскладку клавиатуры и набирать нужную комбинацию.

И наконец, Microsoft Word. Как понятно из названия, нам понадобиться наличие установленного «Ворда» на компьютере. Ставим курсор на то место, где нужно вести цифру, и нажимаем комбинацию клавиш «Ctrl» и «F9», после чего появятся серая область, внутри которой будут фигурные скобки «{}». В скобках нужно написать {=111\*ROMAN}, где 111 — нужное вам число.

Это формула, которая автоматически преобразует арабские числа в римские. Огромный плюс этого способа очевиден: не нужно самому переводить значения, так как это делается автоматически самой программой, и можно быть уверенным в правильности перевода.

Мы разобрались, как вводить римские цифры в электронном тексте и как их переводить из арабских.

Каким методом лучше и удобнее пользоваться — выбирать вам, главное, точно быть уверенным в правильности написанного.

Часто у начинающих юзеров индивидуальных компов появляется вопрос о том, как набрать римские числа на клавиатуре. Данная система счисления довольно нередко употребляется для маркировки списков, к примеру. В рамках предлагаемого вашему вниманию материала будут описаны разные методы решения данной задачки. На основании их сопоставления будет избран тот, которым проще всего воспользоваться на практике.

Стандартное решение

Более обычный ответ на вопрос о том, как набрать римские числа на клавиатуре – это внедрение британской раскладки клавиатуры. Она по дефлоту включена в каждой версии операционной системы «Виндовс», так что с процессом ввода заморочек не должно появиться. Единственное, что необходимо знать в таком случае – это набор цифр, которые в данной системе счисления употребляются. Сюда входят:

• «1» – это цифра «I» (кандидатура – британская буковка «И»).
• «5» – это число «V» (в том же самом алфавите это «В»).
• «10» — это «Х» (можно поставить русскую «Х» либо английскую «Икс»).
• «50» — обозначается как «L» (в латинской раскладке каждой клавиатуры она находится).
• «100» — это «С» (в данном случае все аналогично «10»).
• «500» — обозначается как «D».
• «1000» — в латинском счислении «М».

Сочитая эти числа, можно получить хоть какое число. При всем этом необходимо отметить один принципиальный аспект. Если перед огромным числом находится наименьшее, то оно вычитается из него. К примеру, IV – будет 4 в арабском исчислении. А вот если все напротив, после большего находится наименьшее, то все суммируется. Как пример, можно привести 6 – VI. Зная эти правила, осознать, как набрать римские числа на клавиатуре, не составляет особенного труда. Только вот не всегда все это можно держать в голове. В таких случаях идеальнее всего сделать шпаргалку и при наборе таких чисел воспользоваться ею.

ASCII-коды

Другим методом ввести римские числа на клавиатуре ноутбука либо стационарного компьютера является внедрение так именуемых ASCII-кодов. Другими словами те же самые английские буковкы можно набрать композицией кнопок ALT и поочередным набором композиции арабских чисел на расширенной клавиатуре (не забываем о том, что ключ Num Lock должен быть во включенном состоянии). Вероятные композиции кодов указаны в таблице 1. Внедрение данного метода существенно все усложняет, потому проще использовать на практике тот, который был приведен ранее.

Таблица 1.

ASCII – коды набора римских чисел.

	Арабская цифра	Римская цифра	ASCII – код

«Ворд»

Более просто латинские числа на клавиатуре набрать в «Ворде» либо любом другом офисном приложении. Для этого в данной группе приложений предусмотрена особая функция. Порядок набора в этом случае последующий:

• Жмем комбинацию кнопок Ctrl и F9.
• Дальше запустится особая функция пересчета и появятся скобки {}. В их необходимо набрать последующее =нужное_арабское_число*ROMAN.
• Потом жмем многофункциональную кнопку F9.
• После чего наше арабское число преобразуется в римское.

Приведенный метод вправду проще ранее обрисованных. Но у него есть один значимый недочет – работает он исключительно в офисных приложениях, и если необходимо в фотошопе набрать какое-то римское число, то им уже нереально пользоваться. В последнем случае можно необходимое число набрать тут. Потом выделить при помощи манипулятора, скопировать и потом воткнуть в другое приложение.

Резюме

В рамках данного материала были предложены разные методы того, как набрать римские числа на клавиатуре. Сравнив их, можно сделать вывод, что проще всего использовать британский алфавит, в каком все есть нужные числа. Такое решение работает во всех без исключения приложениях. Единственный его недочет – это необходимость знать числа данной системы счисления. Но этот вопрос можно решить. Если нередко приходится воспользоваться римскими числами, то вы и так запомните их. Ну а в последнем случае можно сделать черновик, который существенно упростит данную задачку.

Привет, уважаемые читатели. Сегодня мы снова вернемся к теме работы с Word. И сегодняшняя тема будет о том, как в Ворде поставить римские цифры. Они могут понадобиться нам в нумерации пунктов в документе, либо при написании текста, чтобы написать какой-либо век. Римские цифры в Ворде могут сделать ваш документ более читабельным.

Напомню, что последний раз я рассказывал о том, каким образом осуществляется . Если вы не знаете, как, то обязательно прочтите.

Первый метод, где могут понадобиться римские цифры – это создание нумерованного списка. К примеру, при создании документа с несколькими пунктами. Давайте посмотрим, как это делается.

Для начала можно выделить написать нужные пункты, если надо. Затем на вкладке «Главная» в разделе «Абзац» выбираем «Библиотека нумерации» и указываем, что нам нужно сделать это римскими цифрами. Смотрите на примере.

Пишем по-английским

Это один из самых простых способов, если нужно вставить римское число. Мы его сами можем напечатать. А для этого нужно переключиться на английский язык. Обычно это сочетания клавиш ALT + SHIFT, редко CTRL + SHIFT.

Теперь давайте вспомним написание римских цифр:

• 1, 2, 3 – I, II, III (буква I, русская Ш)
• 4, 5, 6, 7, 8 – IV, V, V,I VII, VII (буква V, русская М)
• 9, 10, 11 – IX, X, XII (буква X, русская Ч)
• 50, 100, 500, 1000 – L (д), C (c), D (в), M (ь)

То есть метод очень простой –держим клавишу Shift и набираем нужное нам число (точнее латинские буквы).

Пусть Word сам напишет

Третий способ довольно хитрый, но в тоже время, очень удобный. А удобство его заключается в том, что нам не нужно будет самим думать о том, как правильно набрать число в римском варианте. Для этого мы воспользуемся специальной формулой в Word.

Давайте по шагам рассмотрим этот метод:

1. Ставим курсор в нужное нам место.
2. Нажимаем сочетание клавиш CTRL + F9.
3. В появившихся фигурных скобках ставим равно: { = }
4. Далее пишем число, которое нам нужно преобразовать. Я напишу нынешний год: { =2016 }
5. Ставим косую черту \
6. Ставим звездочку * и по-английски пишем ROMAN. Если мы наберем маленькими roman, то и римские буквы будут маленькими. Вот мой пример: { =2016\*ROMAN }
7. Чтобы применилась формула нужно нажать на клавишу F9

Если вы все сделали правильно, то у вас появиться соответствующие знаки. Смотрите, что получилось у меня.

Вставляем символы

Ну и последний метод. Насколько он удобен, судите сами.

Откройте вкладку «Вставка», найдите раздел «Символы» и соответствующий пункт «Символ», а в нем нажмите на кнопку «Другие символы». Теперь в открывшемся окне нужно найти необходимый вам символ и нажмите на кнопку «Вставить». И так далее, пока не вставите все нужные вам символы.

Вот мы и рассмотрели 4 способа написания римских цифр в Word. Какой вам показался самым удобным – расскажите в комментариях. Всем пока.

наборов символов: базовая латиница (ASCII)

наборов символов: базовая латиница (ASCII)

Библиотека Конгресса >> Особенно для библиотекарей и архивистов >> Стандарты

MARC 21 HOME >> Технические характеристики >> Характер Наборы >> Часть 5

---

Спецификации MARC 21 для структуры записи, наборов символов и носителей Exchange

Декабрь 2007 г.

Первый столбец в этой таблице содержит код MARC-8 (в шестнадцатеричном формате) для символ из графического набора G0, второй столбец содержит код MARC-8 (в шестнадцатеричном формате) для символа, исходящего из G1 графического набора, третий столбец содержит 16-битный код UCS/Unicode (в hex), четвертый столбец содержит код UTF-8 (в шестнадцатеричном формате) для UCS. символы, пятый столбец содержит представление символа (где это возможно), шестой столбец содержит имя символа MARC, за которым следует по имени UCS. Если имя MARC такое же или очень похожее на Имя UCS, указывается только имя UCS. Для некоторых таблиц альтернативные кодировки в Unicode и UTF-8. Когда это происходит, альтернативный Unicode и альтернативные столбцы UTF-8 следуют за именем персонажа.

---

Не все символы отображаются во всех браузерах. Мы попытались разрешить семейства шрифтов, отображающие каждый набор символов, но на вашем компьютере должен быть установлен один из этих шрифтов. См. сайт W3C для обсуждения шрифтов: http://www.w3.org/TR/REC-CSS2/fonts.html#generic-font-families.

MARC-8 как C0	MARC-8	UCS	UTF-8	CHAR	ИМЯ
1Б		001Б	1B		ESCAPE (Маловероятно в UCS/Unicode)
1D		001D	1D		ОГРАНИЧИТЕЛЬ ЗАПИСИ / РАЗДЕЛИТЕЛЬ ГРУПП
1E		001E	1E		ПОЛЕВОЙ ТЕРМИНАТОР / РАЗДЕЛИТЕЛЬ ЗАПИСИ
1F		001F	1F		РАЗДЕЛИТЕЛЬ ПОДПОЛЕЙ / РАЗДЕЛИТЕЛЬ ЕДИНИЦ
как G0	как G1
20	A0	0020	20		ПРОБЕЛ, ПУСТО / ПРОБЕЛ
21	A1	0021	21	!	ВОСКЛИЦАТЕЛЬНЫЙ ЗНАК
22	A2	0022	22	»	КАвычки
23	A3	0023	23	#	ЗНАК
24	A4	0024	24	$	ЗНАК ДОЛЛАРА
25	A5	0025	25	%	ЗНАК ПРОЦЕНТА
26	A6	0026	26	и	АМПЕРСАНД
27	A7	0027	27	‘	АПОСТРОФ
28	A8	0028	28	(	РАСКРЫВАЮЩАЯ СКОБКА / ЛЕВАЯ СКОБКА
29	A9	0029	29	)	ЗАКРЫВАЮЩАЯ СКОБКА / ЗАКРЫВАЮЩАЯ СКОБКА
2А	АА	002А	2А	*	ЗВЕЗДОЧКА
2B	AB	002B	2B	+	ЗНАК ПЛЮС
2К	AC	002К	2К	,	ЗАПЯТАЯ
2D	AD	002D	2D	—	ДЕФИС-МИНУС
2Е	АЕ	002Е	2Е	.	ПЕРИОД, ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПЯТАЯ / ПОЛНАЯ СТОП
2F	AF	002F	2F	/	SLASH / SOLIDUS
30	B0	0030	30	0	ЦИФРА НОЛЬ
31	B1	0031	31	1	ЦИФРА ЕДИНИЦА
32	B2	0032	32	2	ДВА ЦИФРЫ
33	B3	0033	33	3	ТРИ ЦИФРЫ
34	B4	0034	34	4	ЧЕТВЕРТАЯ ЦИФРА
35	B5	0035	35	5	ПЯТАЯ ЦИФРА
36	B6	0036	36	6	ЦИФРА ШЕСТЬ
37	B7	0037	37	7	СЕДЬМАЯ ЦИФРА
38	В8	0038	38	8	ВОСЬМЕРКА
39	B9	0039	39	9	ДЕВЯТКА
3A	BA	003A	3A	:	ТОЛСТАЯ КИШКА
3B	BB	003B	3B	;	ТОЧКА С ЗАПЯТОЙ
3С	БК	003С	3С	<	ЗНАК МЕНЬШЕ
3D	BD	003D	3D	=	ЗНАК РАВНО
3E	BE	003E	3E	>	ЗНАК БОЛЬШЕ
3F	BF	003F	3F	?	ВОПРОСИТЕЛЬНЫЙ ЗНАК
40	C0	0040	40	@	КОММЕРЧЕСКИЙ ПО ТЕЛЕФОН
41	C1	0041	41	A	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА A
42	C2	0042	42	B	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА B
43	C3	0043	43	C	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА C
44	С4	0044	44	D	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА D
45	C5	0045	45	E	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА E
46	C6	0046	46	F	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА F
47	C7	0047	47	G	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА G
48	C8	0048	48	H	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА H
49	C9	0049	49	I	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА I
4A	CA	004A	4A	J	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА J
4B	CB	004B	4B	K	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА K
4C	CC	004C	4C	L	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА L
4D	CD	004D	4D	M	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА M
4E	CE	004E	4E	N	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА N
4F	CF	004F	4F	O	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА O
50	D0	0050	50	P	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА P
51	D1	0051	51	Q	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА Q
52	D2	0052	52	R	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА R
53	D3	0053	53	S	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА S
54	D4	0054	54	T	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА T
55	D5	0055	55	U	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА U
56	D6	0056	56	V	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА V
57	D7	0057	57	W	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА W
58	D8	0058	58	X	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА X
59	D9	0059	59	Y	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА Y
5A	DA	005A	5A	Z	ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА Z
5B	DB	005B	5B	[	КВАДРАТНЫЙ КРОНШТЕЙН / ЛЕВЫЙ КВАДРАТ КРОНШТЕЙН 9	РАСПОРКА CIRCUMFLEX / CIRCUMFLEX ACCENT
5F	DF	005F	5F	_	ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ПРОМЕЖУТОК ПОДБОРКА / LOW LINE
60	E0	0060	60	`	ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ АКЦЕНТ
61	E1	0061	61	a	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА A
62	Е2	0062	62	b	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА B
63	E3	0063	63	c	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА C
64	E4	0064	64	d	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА D
65	E5	0065	65	e	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА E
66	E6	0066	66	f	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА F
67	E7	0067	67	g	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА G
68	E8	0068	68	h	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА H
69	E9	0069	69	i	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА I
6A	EA	006A	6A	j	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА J
6B	EB	006B	6B	k	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА K
6C	EC	006C	6C	l	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА L
6D	ED	006D	6D	m	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА M
6E	EE	006E	6E	n	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА N
6F	EF	006F	6F	o	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА O
70	F0	0070	70	p	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА P
71	F1	0071	71	q	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА Q
72	F2	0072	72	r	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА R
73	F3	0073	73	s	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА S
74	F4	0074	74	t	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА T
75	F5	0075	75	u	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА U
76	F6	0076	76	v	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА V
77	F7	0077	77	w	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА W
78	F8	0078	78	x	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА X
79	F9	0079	79	y	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА Y
7A	FA	007A	7A	z	СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА Z
7B	FB	007B	7B	{	ОТКРЫВАЮЩАЯСЯ КРОНШТЕЙН КРОНШТЕЙН
7C	FC	007C	7C	|	ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУНА (ЗАПОЛНЕНИЕ) / ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЛИНИЯ
7D	FD	007D	7D	}	ЗАКРЫВАЮЩАЯ ФИГУРНАЯ СКОБКА / ПРАВАЯ ФИГУРНАЯ КРОНШТЕЙН
7E	FE	007E	7E	~	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТИЛЬДА / ТИЛЬДА

Перейти к началу документа

---

5″ noshade=»noshade»/>

MARC 21 HOME >> Технические характеристики >> Символ Наборы >> Часть 5

Библиотека Конгресса> > Особенно для библиотекарей и архивистов >> Стандарты (2007-12)

Свяжитесь с нами

Базовая латиница UTF-8

Чтобы добавить эти символы на HTML-страницу, вы можете использовать десятичное число, шестнадцатеричное число или ссылка на объект HTML, например.   Тип входа Пример HTML-записи Результат Десятичный © © Шестигранник © © Объект HTML © ©   Внешний вид символов может различаться в зависимости от шрифта или браузера. использовал.   Чтобы создать символы в программах Windows, удерживайте клавишу ALT и введите 0 (ноль), а затем десятичный код символа. Затем отпустите клавишу ALT. например ALT+0+198 сгенерирует символ Æ.   Кроме того, вы можете просто выделить символ на этом экране, скопировать его в буфер обмена и вставьте в другой документ.   Примечания:  Первые 32 символа плюс цифра 127 являются контрольными кодами и по существу неиспользуемые, за исключением пробела, табуляции, перевода строки и возврата каретки.   90 034 90 033 900 35 + Ариал Ариал Юникод MS Символ пользовательского интерфейса Segoe декабрь Шестигранник Субъект Описание 32 0020 ПРОБЕЛ ! ! ! 33 0021 ВОСКЛИЦАТЕЛЬНЫЙ ЗНАК » » » 3 4 0022 « КАвычки # # # 35 0023 ЦИФРОВОЙ ЗНАК $ $ $ 36 0024 ЗНАК ДОЛЛАРА % % % 37 0025 ЗНАК ПРОЦЕНТА & 9 0036 и и 38 0026 & АМПЕРСАНД 39 0027 АПОСТРОФ ( ( ( 40 0028 ЛЕВАЯ ЧАСТЬ) ENTHESIS ) ) ) 41 0029 ПРАВАЯ СКОБКА * * * 42 002A ЗВЕЗДОЧКА + + 43 002B ЗНАК ПЛЮС , , , 44 002C COM MA — — — 45 002D ДЕФИС-МИНУС . Решение точка ком: Скачать Brainly (Znanija.com, Знания) 5.137.0 для Android alexxlab / 06.07.202326.04.2023 / Разное онлайн сервис для распознавания, обхода и автоматического решения капч Процесс решения обычной капчи заключается в следующем: мы забираем изображение капчи со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения текстовой капчи заключается в следующем: мы забираем текстовый вопрос капчи со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения заключается в следующем: мы забираем изображение капчи со страницы ее размещения и инструкцию, по каким картинкам необходимо кликать и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде набора координат точек на изображении, по которым необходимо кликнуть для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения Rotate Captcha заключается в следующем: мы забираем изображение капчи со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде значения угла поворота изображения, на который необходимо повернуть изображение для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения reCAPTCHA V2 заключается в следующем: мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey и адреса страницы размещения капчи и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения reCAPTCHA V2 Callback не отличается от аналогичного процесса решения reCAPTCHA V2: мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey и адреса страницы размещения капчи и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи. Иногда вы не найдете кнопки, отправляющей форму. Вместо нее может использоваться callback-функция. Эта функция выполняется, когда капча распознана. Обычно callback-функция определена в параметре data-callback или как параметр callback у функции grecaptcha.render API демонстрацияКак решить Процесс решения невидимой капчи reCAPTCHA V2 Invisible аналогичен распознаванию reCAPTCHA V2 и заключается в следующем: мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey и адреса страницы размещения капчи и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения reCAPTCHA V3 следующий: мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey, параметра action и адреса страницы размещения капчи и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник с соответствующим рейтингом «человечности”, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи. Во многом новый вид капчи похож на reCAPTCHA V2, т.е. основной принцип остался тем же — пользователь получает от API ruCaptcha токен, который отправляется в POST-запросе к сайту, а сайт верифицирует токен через API reCAPTCHA API демонстрацияКак решить Процесс решения reCAPTCHA Enterprise заключается в следующем: определяем тип reCAPTCHA, он может быть V2 или V3, после чего мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey и адреса страницы размещения капчи и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи Как решить Процесс решения KeyCaptcha заключается в следующем: мы забираем набор необходимых параметров со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде набора уже других параметров, который необходимо передать в соответствующие поля для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения GeeTest Captcha заключается в следующем: мы забираем набор необходимых параметров со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде набора уже других параметров, который необходимо передать в соответствующие поля для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения заключается в следующем: мы забираем параметры капчи, необходимые для ее решения в виде параметра data-sitekey и адреса страницы размещения капчи ruCaptcha и передаем их в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи API демонстрацияКак решить Процесс решения FunCaptcha Arkose Labs заключается в следующем: мы забираем набор необходимых параметров со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде набора уже других параметров, который необходимо передать в соответствующие поля для решения капчи Как решить Процесс решения Capy Puzzle Captcha заключается в следующем: мы забираем набор необходимых параметров со страницы ее размещения и передаем в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде набора уже других параметров, который необходимо передать в соответствующие поля для решения капчи Как решить Процесс обхода Lemin заключается в следующем: пользователь передает параметры капчи, необходимые для ее решения в сервис ruCaptcha, где решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи. API демонстрацияКак решить Процесс решения капчи Cloudflare Turnsitle заключается в следующем: пользователь передает параметры капчи, необходимые для ее решения: «data-sitekey» и адрес страницы размещения капчи в сервис ruCaptcha, где ее решает работник, после чего нам возвращается ответ в виде токена, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи. API демонстрацияКак решить Процесс обхода аудио капчи полностью автоматизирован: в сервис распознавания нужно передать аудиофайл, который обрабатывается нейронной сетью, обученной распознаванию голоса. Результат распознавания возвращается в виде текста. Полученный текст можно использовать для обхода аудио капчи или перевода аудио в текст. Как решить Процесс решения капчи от Яндекс заключается в следующих действиях: выгружаем изображение капчи со страницы размещения и передаем в сервис ruCaptcha, далее работник решает капчу, после чего мы передаем ответ, который требуется ввести в поле для решения капчи. Как решить Процесс решения капчи VK следующий: мы импортируем изображение капчи со страницы размещения и отправляем в ruCaptcha, после чего капчу решает работник, и нам возвращается ответ, который необходимо ввести в соответствующее поле для решения капчи. Как решить Облачные решения для кафе, ресторанов и общепита Баранкин Галина Наша кулинарная лавка «Баранкин» довольно популярное место в городе Воронеж. У нас широкий ассортимент блюд и кондитерских изделий. Набирая всё большую популярность, мы стали задумываться о сайте доставки нашей продукции на дом или в офис. Довольно быстро нашли подходящий для нас вариант — Restik. Кафе «Бутер» Алиса Фарез и Ольга Минина Restik очень помог запустить нашу первую точку. Во-первых, это соотношение цена/качество: мы как стартап на первых этапах стараемся экономить. На втором, или даже на равном месте — уровень поддержки. Ребята помогли разобраться полностью с нуля до запуска, благодаря чему все прошло гладко и заработало с первых же дней. Спасибо Рестику за их приложение и сервис, мы дружим и надеемся дружить дальше! Бар в Большом Городе Лендруш Для меня очень важны были в продукте его стабильность, лёгкость в использовании, цена и обратная связь. К моему удивлению за такую цену предложила команда из Restik то, что не предлагают премиальные бренды. Использую этот продукт больше года, за это время многое было улучшено. Мои предложения были услышаны и частично воплощены. Спасибо, что ваш продукт облегчат мою работу. Разбуди Бориса Команда кофейни На этапе открытия перед нами стояла задача найти программу, которая была бы интуитивно-понятной и простой в использовании — без дополнительных временных и денежных затрат на обучение, а также недорогой в обслуживании. И мы нашли Restik! Простая лаконичная программа с набором всех необходимых нам функций, и ничего больше! Команда всегда на связи и готова ответить на любой вопрос. Ещё есть база знаний, которая упрощает знакомство с программой. La Bottega Siciliana Команда ресторана Мы очень рады, что в нашем ресторане появился Restik. Это система, которая решила много наших проблем: удобная система учета, своевременное и чёткое оповещение о поступившем заказе, прозрачность и простота заполнения информации на сайте. Все эти плюсы — не только удобство работы персонала, но и репутация заведения, так как заказы должны поступать в ресторан вовремя. Restik работает без сбоев, что позволяет нам держать сервис на высоком уровне. ПЛОВ №1 Екатерина Это невероятно удобная программа, которая отлично выполняет функции от приема заказа до расчета гостя. Хочу отметить, что Restik не стоит на месте: за 2 года совместной работы он развивается и мы вместе с ним. Ребята из поддержки на связи всегда. Они не успокоятся, если не решат вопрос! Holla Coffee Людмила Подключились к Restik и создали сайт доставки, а потом узнали, что у ребят есть удобная система учёта. На тот момент мы использовали другую известную программу — в ней было очень сложно работать и невозоможно разобраться, поэтому остро стоял вопрос перехода. ⠀ ⠀ Теперь работаем с Restik и по доставке, и по учёту — нам все нравится, все просто и понятно. Шаурма су-вид Александр Resik — это замечательный пример понимания бизнеса. Вкупе с демократичной стоимостью и крутой командой проффесионалов. По моему мнению, это продукт, за которым будущее на рынке. Вишнёвый Сад Анастасия За одну минуту пребывания на сайте стало понятно только одно — просто, доступно и надо! Так началось наше знакомство. ⠀ ⠀ Буквально за 1 день мы автоматизировали кухню. Пользуемся уже не один месяц и рады. Особая благодарность отзывчивой тех. поддержке. Ребята — вы молодцы! Salades Максим Все необходимые функции + удобный интерфейс + невысокая стоимость = идеальный вариант для небольших проектов вроде нашего. Также хочу сказать отдельное спасибо ребятам за оперативную обратную связь: на любой вопрос ответ приходит в течение нескольких минут. Так держать! Осторожно слон Команда ресторана До того, как узнали о Restik, мы активно думали о запуске сайта доставки и рассматривали разные варианты, искали верстальщика, интересовались у нашего IT-специалиста как привязать систему оплаты к сайту, но везде и всюду слышали, что это очень сложно и дорого. И как мы обрадовались, когда узнали, что всё это уже реализовано в системе Restik и нужно просто загрузить туда своё меню. GALAXY Coffee & Tea Владлен Осадчев Уже больше двух лет, как я перешёл на Restik. Все понятно, удобно, надежно и главное по доступной цене! Если и возникали сложности за время работы с сервисом, то решились эти вопросы очень быстро. P.S. Уже многим своим знакомым посоветовал этот сервис. По-моему одно из лучших решений на рынке. А для маленьких заведений вообще лучшее решение! Gayane’s Команда ресторана Хотим выразить благодарность команде Restik за профессионализм, за удобную систему и платформу, за возможность доставлять гостям наши блюда и знакомить их с армянской кухней. ⠀ Уже на протяжении нескольких месяцев количество доставляемых нами заказов растёт благодаря Restik. Maklalu BAR Екатерина Мы начали работу с Restik буквально через 15 минут после регистрации – все просто и понятно. Не пришлось обучать персонал и мучиться с настройками: заполнили меню и уже пробиваем первый чек. Очень уж подкупает, что можно использовать свои картинки. В целом, ты весь интерфейс можешь подстроить под себя и это очень удобно. Red Room Дмитрий Теперь я могу отслеживать столы online, редактировать или добавлять товар со своего смартфона из любого места, где есть интернет, а сотрудники перестали путаться и выдохнули. Интерфейс очень простой, а с такой поддержкой, которую оказывает команда Restik стало все ещё проще! DEPARTAMENT Даниил Система избавила нас от рутинной работы, например: ручной учёт поступившего товара, ручная инвентаризация, ручное ведение открытых столов и т.д. Постоянно поддерживаю связь с поддержкой проекта с помощью мессенджера, отвечают быстро и самое главное дают конструктивные ответы на все задаваемые вопросы. Restik решил все наши проблемы в учёте. Городские Пекарни Илья Когда мы задумались о запуске доставки — точно решили, что не хотим отдавать эту задачу на аутсорсинг привычным агрегаторам. Мы искали сервис, с помощью которого наши клиенты получат удобный способ для заказа, а мы удобный и понятный способ для учёта, приёма и дальнейшего администрирования. ⠀ Без сомнений, мы выбрали сайт доставки от Restik. XVOЯ Илья Интерфейс очень прост и понятен — думаю это самое важное во время вечерней запары. Пользуюсь с января, всем доволен. Радует работа команды поддержки — в других продуктах никогда не получал прямые действия, а тут тебя спрашивают, что нужно сделать и делают! Баранкин Галина Работа с этой программой удивила своей простотой и легкостью, благодаря чему персонал быстро обучился. Очень удобно менять ассортимент и цены на блюда, можно настроить свою систему скидок и бонусов для гостей. Ребята из поддержки всегда на связи, предоставляют полную консультацию и помощь. Впечатления о работе с Restik только положительные Red Room Дмитрий Даже если wifi перегружен, приложение сохраняет действия и синхронизирует при появлении сети, так что ничего не пропадает. Мечта для владельца заведения. 1 кг сока Анатолий В нашем проекте должно было совмещаться всё: тех. карты; продажа полезных продуктов и напитков в виде смузи; сока, который делается из приобретаемых у нас клиентом фруктов и овощей. Все решили с помощью Restik. ⠀ Скажу так — если ищите универсальную систему с легким использованием и интеграцией почти во все сферы общепита или торговли, рекомендую на все 100%. Ребята, спасибо за отличный продукт. Ultracooks Валентин На всех прошлых работах не было никакой автоматизации. Заказы приносили на бумажках, а своих сайтов доставок не было. Но за 8 лет я набрался опыта и понял, что в моем личном заведении точно будет самая удобная автоматизация. Выбирал очень долго. ⠀ ⠀ Все же настолько удобного, красивого, функционального и бюджетного варианта на рынке нет. А может я просто плохо искал, но не жалею о своем выборе. Woof² Вероника Для нас была важна система лояльности, так как для посетителей важны скидки. Хотели сделать акцию «6-ой кофе в подарок», но ребята из Restik убедили меня в том, что бонусная система лояльности намного лучше. ⠀ ⠀ На все вопросы ответ молниеносный. Спасибо команде поддержки. Думаю мы с вами надолго. Шаурма су-вид Александр Спасибо команде Restik за их продукт. Это квинтэссенция простоты, необходимых функций и внимания к деталям. Начав пользоваться Restik я был в востогре. Это то, что я искал, только открывая заведение. Все процессы прозрачны и просматриваются как на ладони. Тех поддержка все разжевала, помогла все настроить. SEA FOOD Команда ресторана Приложение очень удобное. Супер-понятный интерфейс. Пользоваться и следить за статистикой очень удобно и просто. Техподдержка тоже на высшем уровне! DEPARTAMENT Даниил Самое интересное, что за небольшую доплату к месячному обслуживанию, можно добавить несколько дополнительных терминалов для официантов, т.е. официант с помощью своего телефона, находясь далеко от кассы, может открывать чеки и отправлять заказы дистанционно — это очень удобно. Ultracooks Валентин Конечно, не хватает некоторых вещей, но в целом, это все равно остается самой удобной и классной программой, с которой я работал. Даже официанты с опытом мне периодически об этом говорят. ⠀ ⠀ Отдельно хотелось бы подчеркнуть дизайн — приятно, что наконец ПО, которое предназначено для персонала такое же красивое, как и то, что делают для клиентов. Спасаемся от ограничений Никита Сергеевич У меня заведение на 30 посадочных мест. После появления ограничений, понял, что без доставки можно не выжить. Нашёл сайт доставки от Restik, у них всё просто и удобно. Ребята за два дня помогли настроить и расшириться в онлайн продажи. Недавно узнал о еще одном продукте у ребят, автоматизации — веду складской учет, много приятных фич. Спасибо вам и успехов! Maklalu BAR Екатерина К поддержке вообще вопросов ноль. Если что-то идет не так, или что-то нужно уточнить, то ребята быстро отреагируют – ставлю 10/10. Бонусом к этим плюсам стала надежность – на моей памяти сбоев не было. Думаю, даже если и будут, то их быстро устранят. FAST FOOD Ирина Это наше второе заведение, где мы используем Restik. Установила все самостоятельно, все очень понятно и просто! Мы очень довольны. Отдельное спасибо команде поддержки, в любое время помогали решить все вопросы. Очень рады что вас нашли, вы спасли наш бизнес! Gayane’s Команда ресторана Команда очень чуткая, всегда на связи и всегда помогает в решении любого вопроса. Надеемся на долгосрочное сотрудничество и желаем успехов! Бар в Большом Городе Лендруш Когда всё же решился открыть своё кафе, я столкнулся с тем, что на рынке не было подходящего продукта для автоматизации и учёта. Смотрел на известные бренды, но разочаровывался. Поиски лучшего продукта казались безнадежными, пока не наткнулся случайным образом на мне неизвестный продукт Restik. Осторожно слон Команда ресторана Очень классно, что команда всегда на связи и прислушивается к пожеланиям и мыслям пользователей. Спасибо, что вы есть, и продолжайте пожалуйста обновляться. Городские Пекарни Илья Без сомнений, мы выбрали сайт доставки от Restik. Причин было несколько: быстрый запуск (регистрация и настройка сайта фактически занимают не более 15 минут), двухнедельный пробный период (в день окончания пробного периода мы уже получали первые заказы), удобный и лаконичный интерфейс (ничего лишнего, лаконичная витрина — это супер), поддержка (на вопросы, которые возникали, ребята из поддержки давали ответы оперативно), за период работы с Restik, у нас не было сбоев в работе. Баранкин Галина Наша кулинарная лавка «Баранкин» довольно популярное место в городе Воронеж. У нас широкий ассортимент блюд и кондитерских изделий. Набирая всё большую популярность, мы стали задумываться о сайте доставки нашей продукции на дом или в офис. Довольно быстро нашли подходящий для нас вариант — Restik. Кафе «Бутер» Алиса Фарез и Ольга Минина Restik очень помог запустить нашу первую точку. Во-первых, это соотношение цена/качество: мы как стартап на первых этапах стараемся экономить. На втором, или даже на равном месте — уровень поддержки. Ребята помогли разобраться полностью с нуля до запуска, благодаря чему все прошло гладко и заработало с первых же дней. Спасибо Рестику за их приложение и сервис, мы дружим и надеемся дружить дальше! Бар в Большом Городе Лендруш Для меня очень важны были в продукте его стабильность, лёгкость в использовании, цена и обратная связь. К моему удивлению за такую цену предложила команда из Restik то, что не предлагают премиальные бренды. Использую этот продукт больше года, за это время многое было улучшено. Мои предложения были услышаны и частично воплощены. Спасибо, что ваш продукт облегчат мою работу. Разбуди Бориса Команда кофейни На этапе открытия перед нами стояла задача найти программу, которая была бы интуитивно-понятной и простой в использовании — без дополнительных временных и денежных затрат на обучение, а также недорогой в обслуживании. И мы нашли Restik! Простая лаконичная программа с набором всех необходимых нам функций, и ничего больше! Команда всегда на связи и готова ответить на любой вопрос. Ещё есть база знаний, которая упрощает знакомство с программой. La Bottega Siciliana Команда ресторана Мы очень рады, что в нашем ресторане появился Restik. Это система, которая решила много наших проблем: удобная система учета, своевременное и чёткое оповещение о поступившем заказе, прозрачность и простота заполнения информации на сайте. Все эти плюсы — не только удобство работы персонала, но и репутация заведения, так как заказы должны поступать в ресторан вовремя. Restik работает без сбоев, что позволяет нам держать сервис на высоком уровне. ПЛОВ №1 Екатерина Это невероятно удобная программа, которая отлично выполняет функции от приема заказа до расчета гостя. Хочу отметить, что Restik не стоит на месте: за 2 года совместной работы он развивается и мы вместе с ним. Ребята из поддержки на связи всегда. Они не успокоятся, если не решат вопрос! Решение ERP для здравоохранения | Больничная ERP-система управления В связи с быстрым развитием технологий наша отрасль здравоохранения также требует усовершенствования ее настройки. Необходимо принять меры для обеспечения превосходного ухода за пациентами. Больничная информация и система управления картами пациентов должны быть усовершенствованы. Здравоохранение должно оставаться в приоритете развития страны. Программное решение Healthcare ERP SolutionDot представляет вам великолепное решение ERP для здравоохранения, которое представляет собой комплексное решение всех вопросов, связанных со здравоохранением. Мы предлагаем вам инновационные идеи для обеспечения наилучшего медицинского обслуживания ваших пациентов в вашей клинике или в больнице. Наша ERP-система управления больницей специально разработана для удовлетворения бизнес-процессов повседневных задач отрасли здравоохранения. Программное обеспечение Solution Dots ERP состоит из средств управления больницей, таких как прием пациентов, записи пациентов и врачей, управление оплатой и т. д. Что предлагает SolutionDot в программном обеспечении ERP для здравоохранения? Программное обеспечение SolutionDot Healthcare ERP предоставляет вам следующие возможности для поддержания хорошо организованной среды здравоохранения. Улучшение видимости и прозрачности: Повышение видимости и прозрачности всей системы управления и процессов ведения документации в больнице Оптимизация точной отчетности: Надлежащая помощь в оптимизации системы отчетности с помощью эффективной и точной записи сохраняющая функция. Улучшенное обслуживание клиентов: Расширенное обслуживание клиентов с помощью расширенных функций обслуживания клиентов. Улучшенный контроль качества: Обеспечивает полный контроль качества услуг, предоставляемых больницей. Улучшенное управление Видимость: Все записи больницы видны одним щелчком мыши. Управляйте данными своих пациентов, записями врачей и лекарствами. Все записи могут быть легко доступны любому отделу. Неограниченная поддержка пользователей: Это позволяет неограниченную поддержку пользователей 24/7 или любую помощь, необходимую клиенту. Единая система управления базой данных: Позволяет хранить все данные организации в одной базе данных, что повышает эффективность, снижает затраты, упрощает инфраструктуру и оказывается полезным при составлении нескольких отчетов. Улучшенное управление временем: Простое управление временем и доступ к необходимым данным или информации одним щелчком мыши. Простой доступ к средствам системы: Разрешить расширенный доступ к средствам системы управления только авторизованным пользователям и защитить их от неавторизованных пользователей. Дальнейшее разделение модуля Healthcare ERP Software Наша система управления больницей дополнительно разделена на модули для предоставления улучшенных услуг. Система управления пациентами Система управления врачом Система управления наркотиками Система управления административными правами Система онлайн-записи на прием Система счетов Система медицинских услуг Система отчетов об услугах врачей Лабораторная испытательная система Решение Управление ассоциацией с полным спектром услуг Управление ассоциацией с полным спектром услуг Управление ассоциацией с полным спектром услуг Мы здесь, чтобы позаботиться о каждой детали для вас и вашей организации. Мы верим в предоставление исключительного обслуживания клиентов, операционного превосходства и инновационной поддержки, чтобы максимизировать потенциал вашей организации. Мы лидеры мнений в своей отрасли, и мы усердно работаем для вас и ваших участников. Услуги по стратегическому планированию Полный комплекс услуг по управлению ассоциациями Полный спектр услуг по управлению ассоциациями Мы здесь, чтобы провести вашу организацию через процесс целенаправленного планирования. Где ваша организация хочет быть в ближайшие три-пять лет, и что мы собираемся сделать в течение следующих 12-18 месяцев, чтобы привести вас к этому? Мы будем работать с вашими членами, заинтересованными сторонами и руководством, чтобы убедиться, что у вас есть достижимый план для обеспечения успеха вашей организации. Аутсорсинговые услуги по управлению Полный комплекс услуг по управлению ассоциациями Консультационные услуги по решениям Мы здесь, чтобы поддержать вас и помочь вашей организации процветать. Возможно, вам просто потребуется передать часть управления вашей организацией на аутсорсинг, и вам могут не понадобиться полные услуги по управлению. Без проблем! Позвоните нам, и мы посмотрим, как мы можем помочь. Консультационные услуги по решениям Полный комплекс услуг по управлению ассоциациями Консультационные услуги по решению Мы здесь как эксперты, чтобы консультировать и помогать вам и вашей организации. Натуральные и целые и рациональные числа действительные числа: Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные alexxlab / 06.07.202312.04.2023 / Разное Числовые системы. Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа Акции Книги Художественная литература Художественная литература Детективы Поэзия Фантастика Подарочные и эксклюзивные издания Прикладная литература. Досуг Дом, быт Домашние животные, аквариум, пчеловодство Рукоделие Садоводство Спорт Кулинария Специализированная литература Военная техника и оружие, униформа, награды Эзотерика Философия Искусство, культура, кино и эстрада Архитектура Музыка История Краеведение Мать и дитя Медицина специальная Медицина и здоровье Наука и техника Автомобильная тематика Компьютер Психология Экономическая литература Юридическая литература Детская литература Детская школьная Детская дошкольная Раскраски Энциклопедии школьные, дошкольные Учебная и методическая литература. Словари Учебная школьная литература Универсальные энциклопедии (справочники) Методика (школьная) Методика (дошкольная) Иностранные языки (словари, разговорники, самоучители, курсы) Иностранные языки (школьные учебники) Литература на иностранных языках Иностранные языки (худож. ) Комиксы Показать все книги Подарки и сувениры Игры и игрушки Товары для творчества Календари Канцтовары Карты и путеводители Наука и техника Автор Молдаванский Д. И. Год издания 2019 Издательство URSS В настоящей работе приводится аксиоматическое построение систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Показано, как из предлагаемой системы аксиом выводятся утверждения, соответствующие интуитивным представлениям читателя о свойствах данной числовой системы. В частности, доказаны основные свойства отношения делимости целых чисел. В предположении непротиворечивости аксиоматики натуральных чисел доказывается непротиворечивость всех остальных систем аксиом, а именно: показано, как, располагая моделью для натуральных чисел, построить последовательно модели для целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. В каждом случае установлена также единственность модели. При формулировке аксиом и доказательстве всех утверждений используются язык и методы современной алгебры; подробному изложению необходимых сведений из алгебры и теории множеств посвящен первый, вводный, параграф пособия. книга предназначена для преподавателей и студентов математических факультетов университетов. Показать описание Новости Double, Float — не вещественные числа / Хабр Во многих источниках тип double и float, числа с плавающей запятой/точкой зачем-то называют вещественными. Такое чувство что кто-то когда-то совершил ошибку или не внимательно написал эту глупость и все как один начали её повторять, совершенно не задумываясь о чём они говорят. Ладно это были бы просто троечники студенты и любители, так эту ошибку говорят и те, кто обучают специалистов. И эта проблема терминологии не одного ЯП, их правда много (Java, C++, C#, Python, JS и т.д.) везде, где бы я не искал, всегда находятся статьи, ответы, лекции, где дробные числа называют вещественными! Вот ОЧЕНЬ МАЛЕНЬКАЯ выборка: https://javarush.ru/quests/lectures/questsyntaxpro.level04.lecture06 — JavaRush https://docs-python.ru/tutorial/osnovnye-vstroennye-tipy-python/tip-dannyh-float-veschestvennye-chisla/ — Docs Python3 http://cppstudio.com/post/310/ — CppStudio https://ejudge.ru/study/3sem/sem07.pdf — Ejudge https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_типов_Си — даже всеми любимая Wikipedia! Ещё раз повторюсь это очень маленькая выборка, можете набрать в гугл поиске, по ключевым словам, и удостовериться что их полно. Начнём с простого, что такое вещественное число коим называют double и float. Будет немного формул, но не пугайтесь, прочитайте пожалуйста до конца, они очень простые, к каждой я даю интуитивное объяснение. Вещественное число Определение можете прочитать в Википедии или дочитать до конца мою статью, где я простым языком скажу или вы сами поймёте, но нужно проследить за мыслью, которую я хочу донести до вас. Я напишу формулой из теории множеств: R = Q ∪ I Где, R — множество вещественных чисел; Q — множество рациональных чисел; I — множество иррациональных чисел. Так же Q ⊂ R и I ⊂ R. Расшифровка тем, кто не очень с теорией множеств. Вещественные числа эта числа которые включают в себя Рациональные и Иррациональные числа (R = Q ∪ I), т.к. Вещественные числа включают их в себя, то Рациональные числа и Иррациональные числа являются подмножеством множества Вещественных (Q ⊂ R и I ⊂ R), причём строго, то есть Q != R и I != R, это очевидная мысль, но её требуется подчеркнуть. Теперь к самому интересному, какие числа называются Рациональными и Иррациональными (представляю себя преподавателем начальных курсов технических вузов). Рациональные Начнём с Рациональных, возьмём определение из википедии. Рациональное число (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Так же стоит отметить, что Рациональные включают в себя Целые и Натуральные числа (-1, 0, 1, 2 …) их можно выразить в виде дроби, 1 = 1/1, 2 = 2/1, -1 = -1/1, 0 = 0/1 и т.д. Почему это важно? Потому что Иррациональные числа не включают в себя Целые и Натуральные числа, это отдельный класс чисел. Иррациональные Берём определение из Википедии. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби m/n, где m,n — целые числа, n != 0. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Так же приведу примеры иррациональных чисел, чтобы стало понятно: π (число пи), e (число Эйлера), √2. Вы начали что-то подозревать? Если нет я помогу вам. Первое предложение определения — это то, о чём я вам говорил, то, что Иррациональные числа — это отдельный класс чисел и он не включает в себя Целые и Натуральные. Но самое важное здесь это второе предложение «Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.». Что это значит? Заметили, что в примерах я дал вам буквенное обозначение? Это не просто так, это представление иррационального числа, ВАЖНО — сама запись π это не само иррациональное число, это всего лишь его представление, и оно является чем угодно, но не иррациональным числом. Само Иррациональное число оно бесконечно. Понимаете? То есть его невозможно записать по определению. Никакой памяти в компьютере не хватит чтобы его записать. Это невозможно! И мало того что в большинстве (я не проверял прям на всех, но очень сомневаюсь, что хотя бы в одном это есть) языков в которых используется термин Вещественный тип нельзя чисто синтаксически сделать запись по типу: «double a = π», попросту будет ошибка компиляции, так ещё если и возможно с помощью латинских букв подключая библиотеки, то в конечном-то итоге эта переменная будет ссылаться на конечное представление, а то есть рациональное этого иррационального числа! Всё с чем мы можем работать это ТОЛЬКО РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, представления иррациональных чисел они ТОЖЕ рациональные и ТОЛЬКО рациональные. Они большие, они могут быть ооооочень большими, но они всё равно рациональные! R = Q ∪ I, если мы исключаем I из-за невозможности работы с ними в прямом смысле без представлений получается R’ = R\I, R’ = Q, а Q у нас рациональные числа. Так почему же так много людей и весьма неглупых всё ещё допускают эту простую ошибку? Эту ошибку можно было описать в пару предложений, но я хотел донести до вас последовательно как к этому прийти, используя общепринятую терминологию. Спасибо. P.S. Это моя оригинальная статья AfterWing, не является переводом, доработкой другой какой-либо статьи на русском/английском и др. языках. 21. Реальные числа — логика и доказательство 3.18.4 документация 21.1. Системы счисления Мы уже познакомились с некоторыми фундаментальными системами счисления: натуральными числами \(\mathbb{N}\), целыми числами \(\mathbb{Z}\) и рациональными числами \( \mathbb{Q}\). В некотором смысле каждый последующий элемент списка был призван исправить недостатки предыдущей системы. Мы можем вычесть любое целое число из любого другого целого числа и получить другое целое число, и мы можем разделить любое рациональное число на ненулевое рациональное число и получить рациональное число. Целые числа удовлетворяют всем следующим свойствам: Сложение ассоциативно и коммутативно. Существует аддитивная единица \(0\), и каждый элемент \(x\) имеет аддитивный обратный \(-x\). Умножение ассоциативно и коммутативно. Существует мультипликативная идентичность \(1\). Умножение опережает сложение: для любых \(x\), \(y\) и \(z\) имеем \(x (y + z) = x y + x z\). Заказ \(\leq\) является полным заказом. Для любых элементов \(x\), \(y\) и \(z\), если \(x \leq y\), то \(x + z \leq y + z\). Для любых элементов \(x\) и \(y\), если \(0 \leq x\) и \(0 \leq y\), то \(0 \leq x y\). Первые пять предложений говорят, что с \(\times\), \(+\), \(0\) и \(1\) целые числа образуют коммутативное кольцо , а последние три говорят, что вместе с \(\leq\) структура представляет собой заказал кольцо . У натуральных чисел нет аддитивных инверсий, поэтому они удовлетворяют несколько более слабому набору аксиом, которые делают их упорядоченным полукольцом . С другой стороны, рациональные числа также образуют упорядоченное кольцо, удовлетворяющее следующему дополнительному свойству: Это делает их экземпляром упорядоченного поля . Стоит знать, что когда у нас есть натуральные числа, можно построить целые и рациональные числа, используя уже знакомые вам теоретико-множественные конструкции. Например, мы можем взять целое число как пару \((i, n)\) натуральных чисел, где \(i\) равно 0 или 1, с тем намерением, что \((0, n)\) представляет положительное целое число \(n\), а \((1, n)\) представляет отрицательное целое число \(-(n+1)\). (Мы используем \(-(n+1)\) вместо \(-n\), чтобы избежать двух представлений \(0\).) С этим определением целые числа просто \(\{0, 1\ } \times \mathbb{N}\). Затем мы можем перейти к определению операций сложения и умножения, обратной аддитивной функции и отношения порядка и доказать, что они обладают нужными свойствами. Побочным эффектом этой конструкции является то, что сами натуральные числа не являются целыми; например, мы должны различать натуральное число \(2\) и целое число \(2\). Так обстоит дело в Лин. В обычной математике принято думать о натуральных числах как о подмножестве целых чисел. Однако, как только мы создадим целые числа, мы можем отбросить старую версию натуральных чисел и впоследствии идентифицировать натуральные числа как неотрицательные целые числа. Мы можем сделать то же самое для рациональных чисел, определив их как множество пар \((a, b)\) в \(\mathbb{Z} \times \mathbb{N}\), где либо \( a = 0\) и \(b = 1\), или \(b > 0\) и \(a\) и \(b\) не имеют общего делителя (кроме \(1\) и \(- 1\)). Идея состоит в том, что \((a, b)\) представляет \(a/b\). При таком определении рациональные числа на самом деле являются подмножеством \(\mathbb{Z} \times \mathbb{N}\), и мы можем соответствующим образом определить все операции. В следующем разделе мы определим более сложный подход, который будет масштабироваться до определения действительных чисел. А в следующей главе мы покажем, как построить натуральные числа из аксиом теории множеств. Это показывает, что мы можем построить все системы счисления снизу вверх. Но сначала давайте остановимся на мгновение, чтобы подумать, зачем нужны реальные числа. 2 = 2 \). Но кажется интуитивно ясным, что должно быть что-то номер со следующим свойством: \(\sqrt{2}\) — длина диагонали квадрата со стороной \(1\). Точно так же \(\pi\), площадь круга с радиусом 1, отсутствует в рациональных числах. Именно такие дефекты и предназначены для устранения реальных чисел. Возможно, вы привыкли думать о действительных числах как о (потенциально) бесконечных десятичных дробях: например, \(\sqrt{2} = 1,41421356\ldots\) и \(\pi = 3,14159265\ldots\). Главная цель этой главы — сделать «…» точным. Идея состоит в том, что мы можем взять бесконечное десятичное число для представления последовательности рациональных приближений. Например, мы можем аппроксимировать квадратный корень из 2 последовательностью \(1, 1,4, 1,41, 1,414, \ldots\). Мы хотели бы определить \(\sqrt{2}\) как «предел» этой последовательности, но мы видели, что последовательность не имеет предела в рациональных числах. Поэтому мы должны создавать новые объекты, реальные числа, чтобы служить этой цели. Фактически, мы определим действительные числа более или менее, чтобы были такими последовательностями рациональных приближений. Но нам придется иметь дело с тем фактом, что, например, существует множества способов аппроксимации квадратного корня из двух. Например, мы можем с тем же успехом приближаться к нему сверху, \(2, 1,5, 1,42, \ldots\), или колеблясь сверху и снизу. В следующем разделе мы покажем, как «склеить» все эти последовательности вместе и рассматривать их как единый объект. 21.2. Факторные конструкции Пусть \(A\) — любое множество, и пусть \(\equiv\) — любое отношение эквивалентности на \(A\). Напомним из раздела 13.3, что мы можем сопоставить каждому элементу \(a\) множества \(A\) класс эквивалентности \([a]\), где \(b \in [a]\) означает \(b \equiv а\). Это присваивание имеет то свойство, что для любых \(a\) и \(b\), \(a \equiv b\) тогда и только тогда, когда \([a] = [b]\). Для любого множества \(A\) и отношения эквивалентности \(\equiv\) определим \(A / \mathord{\equiv}\) как множество \(\{ [ a ] ​​\mid a \in A \}\) из класса эквивалентности класса \(A\) по модулю \(\equiv\). Этот набор называется «\(A\) по модулю \(\mathord{\equiv}\)» или частным от \(A\) на \(\equiv\). Вы можете думать об этом как о наборе \(A\), в котором эквивалентные элементы «склеены», чтобы создать более грубый набор. Например, если мы рассмотрим целые числа \(\mathbb{Z}\), где \(\equiv\) обозначает эквивалентность по модулю 5 (как в разделе 19.4), тогда \(\mathbb{Z} / \mathord{\ эквив}\) просто \(\{ [0], [1], [2], [3], [4] \}\). Мы можем определить сложение на \(\mathbb{Z} / \mathord{\equiv}\) как \([a] + [b] = [a + b]\). Чтобы это определение имело смысл, важно знать, что правая часть не зависит от того, какие представители \([a]\) и \([b]\) мы выбираем. Другими словами, нам нужно знать, что всякий раз, когда \([a] = [a’]\) и \([b] = [b’]\), то \([a + b] = [a’ + b ‘]\). Это, в свою очередь, равносильно тому, что если \(a \equiv a’\) и \(b \equiv b’\), то \(a + b \equiv a’ + b’\). Другими словами, мы требуем, чтобы операция сложения соблюдает отношение эквивалентности, и мы видели в разделе 19. 4, что это действительно так. Эта общая стратегия перевода функции, определенной на множестве, в функцию, определенную на частном множестве, дается следующей теоремой. Теорема. Пусть \(A\) и \(B\) — произвольные множества, \(\equiv\) — любое отношение эквивалентности, определенное на \(A\), и пусть \(f : A \to B\). Предположим, что \(f\) соблюдает отношение эквивалентности, то есть для каждого \(a\) и \(a’\) в \(A\), если \(a \equiv a’\), то \ (f(a) = f(a’)\). Тогда существует единственная функция \(\bar f : A / \mathord{\equiv} \to B\), определяемая равенством \(\bar f ([a]) = f(a)\) для каждого \(a \) в\). Доказательство. Мы определили значение \(\bar f\) в классе эквивалентности \(x\), написав \(x = [a]\) и установив \(\bar f(x) = f(a) \). Другими словами, мы говорим, что \(\bar f(x) = y\) тогда и только тогда, когда существует \(a\) такое, что \(x = [a]\), и \(f(a) = у\). Что сомнительно в этом определении, так это то, что оно априори может зависеть от того, как мы выражаем \(х\) в этой форме; другими словами, нам нужно показать, что существует уникальных \(y\), удовлетворяющих этому описанию. В частности, нам нужно знать, что если \(x = [a] = [a’]\), то \(f(a) = f(a’)\). Но поскольку \([a] = [a’]\) эквивалентно \(a \equiv a’\), это означает, что \(f\) соблюдает отношение эквивалентности, что мы и предполагали. Математики часто «определяют» \(\bar f\) уравнением \(\bar f ([a])= f(a)\), а затем выражают приведенное выше доказательство как доказательство того, что «\(\ бар f\) хорошо определен». Это смущает. На самом деле они имеют в виду то, что говорит теорема, а именно, что существует уникальная функция, удовлетворяющая этому описанию. Чтобы построить целые числа, начните с \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\). Думайте о паре натуральных чисел \((m, n)\) как о представлении \(m — n\), где вычитание происходит в целых числах (которые мы еще не построили!). Например, как \((2, 5)\), так и \((6, 9)\) представляют целое число \(-3\). Интуитивно пары \((m, n)\) и \((m’, n’)\) будут представлять одно и то же целое число, когда \(m — n = m’ — n’\), но мы не можем сказать, что это тем не менее, потому что мы еще не определили подходящее понятие вычитания. Но уравнение эквивалентно \(m + n’ = m’ + n\), и это имеет смысл с добавлением натуральных чисел. Определение. Определить отношение \(\equiv\) на \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) посредством \((m, n) \equiv (m’, n’)\) тогда и только тогда, когда \(т + п’ = т’ + п\). Предложение. \(\equiv\) является отношением эквивалентности. Доказательство. Для рефлексивности ясно, что \((m, n) \equiv (m, n)\), так как \(m + n = m + n\). Для симметрии предположим \((m, n) \equiv (m’, n’)\). Это означает \(m + n’ = m’ + n\). Но из симметрии равенства следует \((m’, n’) \equiv (m, n)\), что и требовалось. Для транзитивности предположим \((m, n) \equiv (m’, n’)\) и \((m’, n’) = (m», n»)\). Тогда имеем \(m + n’ = m’ + n\) и \(m’ + n» = n’ + m»\). Складывая эти уравнения, получаем \[m + n’ + m’ + n» = m’ + n + n’ + m».\] Вычитая \(m’ + n’\) с обеих сторон, получаем \( m + n» = n + m»\), что эквивалентно \((m, n) = (m», n»)\), что и требовалось. Теперь мы можем определить целые числа как \(\mathbb{N} \times \mathbb{N} / \mathord{\equiv}\). Как определить сложение? Если \([(m, n)]\) представляет \(m — n\), а \([(u, v)]\) представляет \(u — v\), то \([(m, n )] + [(u, v)]\) должно представлять \((m + u) — (n + v)\). Таким образом, имеет смысл определить \([(m, n)] + [(u, v)]\) как \([(m + u) — (n + v)]\). Чтобы это работало, нам нужно знать, что операция, которая переводит \((m, n)\) и \((u, v)\) в \((m + u, n + v)\), соблюдает эквивалентность связь. Предложение. Если \((m, n) \equiv (m’, n’)\) и \((u, v) \equiv (u’, v’)\), то \((m + u, n + v) \экв (т’ + и’, п’ + v’)\). Доказательство. Первая эквивалентность означает \(m + n’ = m’ + n\), а вторая означает \(u + v’ = u’ + v\). Складывая два уравнения, мы получаем \((m + u) + (n’ + v’) \equiv (m’ + u’) + (n + v)\), что в точности равносильно выражению \(( m + u, n + v) \equiv (m’ + u’, n’ + v’)\). Каждое натуральное число \(n\) может быть представлено целым числом \([(n, 0)]\), и, в частности, \(0\) представлено как \([(0, 0) ]\). Более того, если \([(m, n)]\) — любое целое число, мы можем определить его отрицание как \([(n, m)]\), поскольку \([(m, n)] + [( n, m)] = [(m + n, n + m)] = [(0, 0)]\), так как \((m + n, n + m) \equiv (0, 0)\). Короче говоря, мы «изобрели» отрицательные числа! 9{>0}\) обозначает строго положительные целые числа. Идея, конечно, в том, что \((a, b)\) представляет \((a / b)\). Имея это в виду, имеет смысл определить \((a, b) \equiv (c, d)\), если \(a d = b c\). Мы могли бы также определить здесь сложение, умножение и порядок. Детали утомительны, однако, и не очень освещают. Поэтому мы обратимся вместо этого к построению действительных чисел. 21.3. Построение действительных чисел Проблема, с которой мы сталкиваемся, заключается в том, что последовательность рациональных чисел \(1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, \ldots\) приближается к значению, которое .0043 было бы квадратным корнем из 2, но нет никакого рационального числа, которое могло бы играть эту роль. Следующее определение фиксирует понятие о том, что эта последовательность чисел «кажется приближающейся к значению», не ссылаясь на значение, к которому она приближается. Определение. Последовательность рациональных чисел \((q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) равна Коши , если для каждого рационального числа \(\varepsilon > 0\) существует некоторое натуральное число \(N \in \mathbb{N}\) такое, что для всех \(i, j \geq N\) мы имеем \(|q_i — q_j| < \varepsilon\). Грубо говоря, последовательность Коши — это последовательность, в которой элементы становятся произвольно близкими не только к своим последователям, но и ко всем последующим элементам. В математике обычно используется \(\varepsilon\) для представления количества, которое предназначено для обозначения чего-то малого; фразу «для каждого \(\varepsilon > 0\)» следует читать как «независимо от того, насколько мал \(\varepsilon\)». Таким образом, последовательность называется Коши, если для любого \(\varepsilon > 0\), сколь бы малым он ни был, существует некоторая точка \(N\), за которой элементы остаются на расстоянии \(\varepsilon\) одного другой. Последовательности Коши можно использовать для описания этих пробелов в рациональных числах, но, как отмечалось выше, для описания одного и того же пробела можно использовать множество последовательностей Коши. На данном этапе несколько неверно говорить, что они «приближаются к одной и той же точке», поскольку нет никакой рациональной точки, к которой они приближаются; более точное утверждение состоит в том, что последовательности в конечном итоге становятся сколь угодно близкими. Определение. Две последовательности Коши \(p = (p_i)_{i \in \mathbb{N}}\) и \(q = (q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) равны эквивалентно , если для каждого рационального числа \(\varepsilon > 0\) существует некоторое натуральное число \(N \in \mathbb{N}\) такое, что для всех \(i \geq N\) мы имеем, что \(|p_i — q_i| < \varepsilon\). Мы будем писать \(p \equiv q\), чтобы показать, что \(p\) эквивалентно \(q\). Предложение. \(\equiv\) — отношение эквивалентности последовательностей Коши. Доказательство. Рефлексивность и симметрия просты, поэтому докажем транзитивность. Предположим, \((p_i) \equiv (q_i)\) и \((q_i) \equiv (r_i)\). Мы хотим показать, что последовательность \((p_i)\) эквивалентна \((r_i)\). Итак, при любом \(\varepsilon > 0\) выберите \(N_0\) достаточно большим, чтобы для каждого \(i \ge N_0\) \(|p_i — q_i| < \varepsilon / 2\). Выберите другое число, \(N_1\), чтобы для каждого \(i \geq N_1\) \(|q_i - r_i| < \varepsilon / 2\). Пусть \(N = \max(N_0, N_1)\). Тогда для каждого \(i \geq N\) имеем \[|p_i — r_i | = |(p_i — q_i) + (q_i — r_i)| \leq |p_i — q_i| + |q_i — r_i| < \varepsilon / 2 + \varepsilon / 2 = \varepsilon,\] по мере необходимости. Обратите внимание, что доказательство использует неравенство треугольника , которое утверждает для любых рациональных чисел \(a\) и \(b\), \(|a + b| \leq |a| + |b|\) . Если мы определим \(|a|\) как максимум \(a\) и \(-a\), то неравенство треугольника действительно выполняется для любого упорядоченного кольца: Теорема. Пусть \(a\) и \(b\) — элементы любого упорядоченного кольца. Тогда \(|a + b| \leq |a| + |b|\). Доказательство. По определению модуля достаточно показать, что \(a + b \leq |a| + |b|\) и \(-(a + b) \leq |a| + |b|\). Первое утверждение следует из того, что \(a \leq |a|\) и \(b \leq |b|\). Аналогично для второго утверждения имеем \(-a \leq |a|\) и \(-b \leq |b|\), так что \(-(a + b) = -a + — b \leq | а|+|б|\). В приведенной выше теореме, если мы допустим \(a = x — y\) и \(b = y — z\), мы получим \(|x — z| \leq |x — y| + |y — з|\). Тот факт, что \(|x — y|\) представляет собой расстояние между \(x\) и \(y\) на числовой прямой, объясняет название: для любых трех «точек» \(x\), \(y \) и \(z\), расстояние от \(x\) до \(z\) не может быть больше, чем расстояние от \(x\) до \(y\) плюс расстояние от \ (у\) в \(г\). Пусть теперь \(A\) будет множеством последовательностей Коши рациональных чисел, и определим действительные числа, \(\mathbb{R}\), как \(A / \mathord{\equiv}\). Другими словами, действительные числа — это множество последовательности рациональных чисел Коши по модулю отношения эквивалентности, которое мы только что определили. Одного набора \(\mathbb{R}\) недостаточно: мы также хотели бы знать, как складывать, вычитать, умножать и делить действительные числа. Как и в случае с целыми числами, нам нужно определить операции над базовым набором, а затем показать, что они соблюдают отношение эквивалентности. Например, мы расскажем, как сложить последовательности Коши рациональных чисел, а затем покажем, что если \(p_1 \equiv p_2\) и \(q_1 \equiv q_2\), то \(p_1 + q_1 \equiv p_2 + q_2\) . Затем мы можем поднять это определение до \(\mathbb{R}\), определив \([p] + [q]\) как \([p + q]\). К счастью, в последовательностях Коши легко определить сложение, вычитание и умножение. Если \(p = (p_i)_{i \in \mathbb{N}}\) и \(q = (q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) — последовательности Коши, пусть \(p + q = (p_i + q_i)_{i \in \mathbb{N}}\), и аналогично для вычитания и умножения. Сложнее показать, что эти последовательности сами являются Коши, и показать, что операции обладают соответствующими алгебраическими свойствами. Мы просим вас доказать некоторые из этих свойств в упражнениях. Каждое рациональное число \(q\) можно отождествить с постоянной последовательностью Коши \(q, q, q, \ldots\), поэтому действительные числа включают все рациональные числа. Следующий шаг состоит в том, чтобы абстрагироваться от деталей конкретной конструкции, которую мы выбрали, чтобы впредь мы могли работать с действительными числами абстрактно и больше не думать о них как о заданных классами эквивалентности последовательностей рациональных чисел Коши. 21.4. Полнота действительных чисел Мы построили действительные числа, чтобы заполнить пробелы в рациональных числах. Откуда мы знаем, что у нас есть все? Возможно, нам нужно построить еще больше чисел, используя последовательности Коши действительных чисел? Следующая теорема говорит нам, что, напротив, нет необходимости расширять действительные числа таким образом. Определение. Пусть \(r\) — действительное число. Последовательность \((r_i)_{i \in \mathbb{N}}\) действительных чисел сходится к \(r\), если для каждого \(\varepsilon > 0\) существует \( N\) такие, что для любого \(i \geq N\) \(|r_i — r| < \varepsilon\). Определение. Последовательность \((r_i)_{i \in \mathbb{N}}\) сходится , если она сходится к некоторому \(r\). Теорема. Любая последовательность Коши действительных чисел сходится. Утверждение теоремы часто выражается в том, что действительные числа полны . Грубо говоря, это говорит о том, что везде, где вы ищете реальное число, вы обязательно его найдете. Здесь аналогичный принцип. Определение. Элемент \(u \in \mathbb{R}\) называется верхней границей подмножества \(S \subseteq \mathbb{R}\), если все в \(S\) меньше или равно \(и\). \(S\) называется ограниченным , если существует верхняя граница для \(S\). Элемент \(u\) называется 92 < 2\}\), то рациональное число 2 является верхней границей для \(S\), но \(S\) не имеет наименьшей верхней границы в \(\mathbb{Q}\). Фундаментальная теорема состоит в том, что действительные числа точно характеризуются тем свойством, что они представляют собой полное упорядоченное поле, так что каждое действительное число \(r\) меньше или равно некоторому натуральному числу \(N\). Любые две модели, отвечающие этим требованиям, должны вести себя совершенно одинаково, по крайней мере, в отношении констант \(0\) и \(1\), операций \(+\) и \(*\) и отношения \(\leq\) обеспокоены. Этот факт чрезвычайно важен, потому что он позволяет нам не думать о построении последовательности Коши в обычной математике. Как только мы показали, что наша конструкция удовлетворяет этим требованиям, мы можем считать \(\mathbb{R}\) уникальным полным полностью упорядоченным полем и игнорировать любые детали реализации. Мы также вольны реализовать \(\mathbb{R}\) любым способом, который мы выберем, и до тех пор, пока он соответствует этому интерфейсу, и пока они не ссылаются на базовые представления, любые теоремы, которые мы доказываем о действительных числах будет одинаково хорошо выполняться для всех конструкций. 21.5. Альтернативная конструкция Многие источники используют альтернативную конструкцию реалов, считая их вместо сокращениями Дедекинда . Разрез Дедекинда — это упорядоченная пара \((A, B)\) множеств рациональных чисел со следующими свойствами: Каждое рациональное число \(q\) принадлежит либо \(A\), либо \(B \). Каждый \(a \in A\) меньше любого \(b \in B\). В \(A\) нет наибольшего элемента. \(A\) и \(B\) не пусты. Первые два свойства показывают, почему мы называем эту пару «разрезом». Множество \(A\) содержит все рациональные числа слева от некоторой отметки на числовой прямой и \(B\) все точки справа. Третье свойство сообщает нам кое-что о том, что происходит именно на этой отметке. Но есть две возможности: либо \(B\) имеет наименьший элемент, либо его нет. Представьте себе ситуацию, когда \(A\) не имеет наибольшего элемента, а \(B\) не имеет наименьшего элемента, может быть сложно, но рассмотрим пример \(A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}\) и \(B = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 > 2\}\). 2 = 2\), но есть рациональные числа с любой стороны, которые произвольно близки; таким образом, ни \(A\), ни \(B\) не содержат конечной точки. Мы можем определить \(\mathbb{R}\) как множество разрезов Дедекинда. Разрез Дедекинда \((A, B)\) соответствует рациональному числу \(q\), если \(q\) является наименьшим элементом \(B\), и иррациональному числу, если \(B\) не имеет наименьшего элемента. Определить сложение на \(\mathbb{R}\) просто: \[(A_1, B_1) + (A_2, B_2) = ( \{a_1 + a_2 \mid a_1 \in A_1, a_2 \in A_2 \}, \{b_1 + b_2 \mid b_1 \in B_1, b_2 \in B_2 \}).\] Некоторые авторы предпочитают эту конструкцию конструкции последовательности Коши, поскольку она позволяет избежать взятия частного множества и, таким образом, удаляет сложность демонстрации того, что арифметические операции соблюдают эквивалентность. Другие предпочитают последовательности Коши, поскольку они обеспечивают более четкое представление о приближении: если действительное число \(r\) задано последовательностью Коши \((q_i)_{i \in \mathbb{N}}\), то произвольно близкое рациональное приближение \(r\) дается \(q_N\) для достаточно большого \(N\). Однако для большинства математиков в большинстве случаев разница несущественна. Обе конструкции создают полные линейные упорядоченные поля, и в определенном смысле они создают одно и то же полное линейное упорядоченное поле. Строго говоря, множество вещественных чисел Коши не равно множеству вещественных чисел Дедекинда, поскольку одно состоит из классов эквивалентности рациональных последовательностей Коши, а другое состоит из пар множеств рациональных чисел. Но между двумя множествами существует биекция, которая сохраняет свойства поля. То есть существует биекция \(f\) из веществ Коши в числа Дедекинда такая, что 9{-1}\) \(f(x) \leq f(y) \iff x \leq y\) Мы говорим, что эти две конструкции изоморфны и что функция \(f\) является изоморфизмом . Поскольку мы часто заботимся о действительных числах только в связи с их статусом полного упорядоченного поля, а две конструкции неразличимы как упорядоченные поля, не имеет значения, какая конструкция используется. 21.6. Упражнения Покажите, что сложение целых чисел, как определено в разделе 21.2, является коммутативным и ассоциативным. Покажите из построения целых чисел в разделе 21.2, что \(a + 0 = a\) для каждого целого числа \(a\). Определить вычитание целых чисел с помощью \(a — b = a + (-b)\) и показать, что \(a — b + b = a\) для каждой пары целых чисел \(a\) и \( б\). Определите умножение для целых чисел, сначала определив его в базовом представлении, а затем показав, что операция соблюдает отношение эквивалентности. Покажите, что каждая последовательность Коши ограничена: то есть, если \((q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) является Коши, то существует некоторое рациональное \(M\) такое, что \(|q_i |\leq M\) для всех \(i\). Подсказка: попробуйте указать \(\varepsilon = 1\). Пусть \(p = (p_i)_{i \in \mathbb{N}}\) и \(q = (q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) — последовательности Коши. Определите \(p + q = (p_i + q_i)_{i \in \mathbb{N}}\) и \(p q = (p_i q_i)_{i \in \mathbb{N}}\). Покажите, что \(p + q\) является Коши. То есть для произвольного \(\varepsilon > 0\) покажите, что существует \(N\) такое, что для всех \(i, j \geq N\), \(|(p_i + q_i) — (p_j + q_j)|<\varepsilon\). Покажите, что \(p q\) является Коши. В дополнение к неравенству треугольника вам будет полезно предыдущее упражнение. Эти две части показывают, что сложение последовательностей Коши соблюдает эквивалентность. Покажите, что если \(p, p’, q\) — последовательности Коши и \(p \equiv p’\), то \(p + q \equiv p’ + q\). Используя первую часть этой задачи, покажите, что если \(p, p’, q, q’\) являются последовательностями Коши, \(p \equiv p’\) и \(q \equiv q’\) , то \(p + q \equiv p’ + q’\). Вы можете использовать тот факт, что сложение действительных чисел коммутативно. Покажите, что если \((A_1, B_1)\) и \((A_2, B_2)\) являются разрезами Дедекинда, то \((A_1, B_1) + (A_2, B_2)\) также являются разрезами Дедекинда. Различные типы чисел — что такое простое число, рациональное число и целое число Числа всегда были важной частью человеческой жизни, поскольку числа полезны для них во многих отношениях, например, для подсчета, измерения или маркировки объектов. И со временем люди открыли множество таких чисел, которые не только очень полезны для них, но и выглядят очень завораживающе. Но эти разные типы чисел немного сложно запомнить, поэтому я решил написать эту статью. Итак, начнем. Натуральные числа Все числа больше 0 и начинаются с 1 называются Натуральными числами, например 1, 2, 3, 4…. до бесконечности. Натуральные числа имеют положительную природу. Набор натуральных чисел обозначается N . Например: N = {1, 2, 3, 4, 5} Целые числа Целые числа начинаются с 0 и доходят до бесконечности, что делает их надмножеством натуральных чисел. Также, как следует из названия, «целое» означает «полное», поэтому числа, которые являются полными или не дробными, десятичными или отрицательными, называются целыми числами. Набор целых чисел обозначается W . N = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Множество целых чисел и натуральных чисел также включает следующие типы чисел: Простые и составные числа Простые числа: Простое число — это натуральное число, которое делится только само на себя и на 1. Например, 2, 3, 5, 7, 11. Здесь 4, 6, 9 не являются простыми числами, потому что 4 и 6 делятся на 2, а 6 и 9 делятся на 3. Составные числа: С другой стороны, составное число — это натуральное число, которое делится на любое другое число, кроме 1. Другими словами, все натуральные числа, кроме простых, являются составными числами. Целые числа Целые числа представляют собой набор целых чисел плюс они включают в себя противоположные натуральные числа отрицательные числа, например …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… Набор целых чисел обозначаются Z Рациональные числа Все те числа, которые могут быть представлены в виде дроби, т. е. в форме p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0, называются рациональными числами. Например 2/3, 8/11, -5/7. Набор рациональных чисел представлен Q . Все натуральные числа, целые числа и целые числа являются рациональными числами. Обратите внимание, что десятичное расширение всех рациональных чисел заканчивается или не заканчивается повторяющимся . Иррациональное число Числа, которые не могут быть представлены дробью или формой p/q, называются иррациональными числами. Их десятичное расширение равно без завершения и без повторения . Например 1.10100110001111…., Пи и √2. Вещественные числа Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется Вещественными числами. Каждое действительное число может быть представлено на числовой прямой. Другими словами, каждая точка на числовой прямой соответствует действительному числу и наоборот. Вот почему они называются действительными числами. Он включает в себя все числа, описанные выше. Параметрическая функция: Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1 alexxlab / 06.07.202321.04.2023 / Разное Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1    Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы. Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11. n при n целом и положительном § 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23. x, sin x, cos x Упражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента § 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных § 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов § 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6. Интегрирование по частям § 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Формула Чебышева § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII 21.2. Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений где t — вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производную у’х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’х=y’t•t’x. С учетом равенства (21.2) получаем Полученная формула позволяет находить производную у’х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х. << Пример 21.2 Пусть   Найти у’х. Решение: Имеем   x’t=3t2,   y’t=2t.   Следовательно,   у’х=2t/t2,   т. е.  В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно,    Тогда    Отсюда  т. е. 22. Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. << Пример 22.1 Найти производную функции  Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем: Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования. Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция у=uv, где u=u(x) и ν=ν(х) — заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции: Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u=const, и производной степенной функции, при условии ν=const. §23. Производные высших порядков Додати до моєї бази знань   Математика 23. Производные высших порядков 23.1. Производные высших порядков явно заданной функции Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у» Итак, у»=(у’)’. Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» (или ƒ'»(х)). Итак, у'»=(y»)’ Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка: y(n)=(y(n-1))¢ . Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка). << Пример 23.1 Найти производную 13-го порядка функции у=sinx. Решение: 23.2. Механический смысл производной второго порядка Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ t равна скорости точки в данный момент времени: S’t=V. Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S»=α. Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V. Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α: Но V=S’t. Поэтому α=(S’t)’, т. е. α=S’t‘ Численность, математика и статистика — Набор академических навыков Параметрические функции ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Построение графиков 2. 1 Определение 3 Декартово уравнение 3.1 Определение 3.2 Рабочие примеры 4 Нахождение градиента 4.1 Определение 4.2 Рабочий пример 5 Рабочая тетрадь 6 См. также 7 Внешние ресурсы Определение Параметрическое уравнение — это уравнение, в котором координаты кривой $x$ и $y$ записываются как функции другой переменной, называемой параметром; обычно это обозначается буквой $t$ или $\theta$. 92$. Решение Составьте таблицу и для каждого значения $t$ вычислите соответствующие значения $x$ и $y$. т -3 -2 -1 0 1 2 3 х -3 -2 -1 0 1 2 3 г 9 4 1 0 1 4 9 Теперь у нас есть таблица координат $x$ и $y$, которую можно легко изобразить на графике. Декартово уравнение Определение 92$ и $y=2t$ в декартовой форме. Решение Изменить первое уравнение, чтобы сделать $t$ предметом \[t = \sqrt{x}.\] Подставить это во второе уравнение, чтобы исключить параметр $t$ \[y = 2\sqrt{x}.\] Таким образом, декартова форма этих параметрических уравнений равна \[y = 2\sqrt{x}.\] Рабочий пример Выразите параметрические уравнения $x = 3 \sin\theta$ и $y=4\cos\theta$ в декартовой форме. 92}{9} = 1\] Нахождение градиента Определение Чтобы найти градиент , мы используем цепное правило. Мы дифференцируем оба наших уравнения и используем правило: frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\] В качестве альтернативы параметрические уравнения можно сначала преобразовать в декартовы уравнения, а затем продифференцировать как обычно. Рабочий пример Найдите градиент кривой, заданной параметрическими уравнениями $x=t^2$ и $y=2t$. 92\; \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2t\] Наконец, подставьте их в приведенную выше формулу цепного правила. Не забудьте перевернуть $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, так как нам нужно $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ в формула. \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 \times \frac{1}{2t}\] \[\frac{\mathrm{d}y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {2} {2t} \] \[\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {1} {t} \] Рабочая тетрадь Это рабочая тетрадь по графикам функций и параметрической форме, разработанная HELM. Это рабочая тетрадь по параметрическим кривым, разработанная HELM. См. также Параметрическое дифференцирование Внешние ресурсы Рабочая тетрадь по параметрическому дифференцированию в math center. Параметрическое уравнение | Определение и факты Развлечения и поп-культура География и путешествия Здоровье и медицина Образ жизни и социальные вопросы Литература Философия и религия Политика, право и правительство Наука Спорт и отдых Технология Изобразительное искусство Всемирная история В этот день в истории Викторины Подкасты Словарь Биографии Резюме Популярные вопросы Инфографика Демистификация Списки #WTFact Товарищи Галереи изображений Прожектор Форум Один хороший факт Развлечения и поп-культура География и путешествия Здоровье и медицина Образ жизни и социальные вопросы Литература Философия и религия Политика, право и правительство Наука Спорт и отдых Технология Изобразительное искусство Всемирная история Britannica объясняет В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. Britannica Classics Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. Demystified Videos В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы. #WTFact Видео В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. На этот раз в истории В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. Студенческий портал Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. Портал COVID-19 Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. 100 Women Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. Матрица примеры: Примеры решения матриц с ответами alexxlab / 06.07.202317.04.2023 / Разное Примеры решения матриц с ответами Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ. О чем статья Алгоритм решения матриц Теорема Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами. Есть два отличия между матрицами: Комплексные матрицы.  Это когда хотя бы одно число равно  комплексному. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа. С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация. Сложение и вычитание Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга. Пример 1 Задание Даны две матрицы, найдите их  сумму.         Решение Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.     Пример 2 Задание Даны две матрицы, найдите их разность.     Решение             Пример 3 Задание Найдите C=2A +3B, если :         Решение         Нужна помощь в написании работы? Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно. Заказать работу Умножение В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее. Пример Задание Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.         Решение     =                     Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы. Возведение матрицы в степень Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно  знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!     Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.     Пример Задание Найдите     матрицы.     Решение В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.             После по формуле подставляем числовые значения.     Расчёт определителя В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы. А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях. Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные. Пример 1 Дано     Решение Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A Возведём А в A^{2}         Далее используем свойство степеней             Ответ     Пример 2 Задание Найдите определитель матрицы А.     Решение             Обратная матрица Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами. Пример Задание Найти обратную матрицу А.     Решение Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.     Переводим всё в единичную матрицу.                                 Ответ         Обратная матрица Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений. Пример 1 Задание В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:     , где     -транспортированные матрицы;|А| – определитель. Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы  2*2. Найти обратную матрицу     Решение Для начала находим определитель матрицы.     Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.     Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.     Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:     ← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть. Как итог, у нас остаётся число 4         Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений. Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.       ← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.     , вот что у нас получилось. И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.     , вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения         В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный. Пример 2 Задание Найдите матрицу А.     Решение Начинаем с определения матрицы.         Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:                                     Не забываем записать союзную матрицу:     И уже из неё находим обратную матрицу:         Получаем ответ     Средняя оценка 1. 9 / 5. Количество оценок: 61 Поставьте вашу оценку Сожалеем, что вы поставили низкую оценку! Позвольте нам стать лучше! Расскажите, как нам стать лучше? 78422 Закажите помощь с работой Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке Полезно Примеры решения матриц: виды матриц, формулы Определение Матрица — это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими знаками. Есть два вида матриц: Комплексные матрицы.  Одно из чисел равно комплексному. Действительные матрицы. Матрица в которой содержаться действительные числа. С матрицей выполняют самые простейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформацию. Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы схожи меж собой, чтобы в самом конце вышло выражение схожей размерности. Сложение и вычитание производятся подобно друг другу. Эти числа, являются элементами матрицы.  Матрицу можно записать в следующем виде: \[A=\left(a_{\mathrm{ij}}\right)=\left\|a_{i j}\right\|\] Квадратная матрица — это число строк, которое равно числу столбцов (m=n), при этом число n – это порядок матрицы. Пример квадратной матрицы 3-го порядка:  \[A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\] Главная диагональ квадратной матрицы – это диагональ, которая состоит из a21,a22, a23, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов  идущая из правого верхнего угла этой матрицы в левый нижний угол. В квадратной матрице, у которой все элементы, стоящие выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называют треугольной, пример: \[\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right)\] Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие на верхней и нижней грани, равны нулю, является диагональной: \[a_{i} \neq 0, a_{i j}=0\] Для того чтобы получить квадратную диагональную матрицу с единичными элементами, нужно использовать букву E. {T}=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}\right)\] Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность, и все их соответствующие элементы совпадают. Определитель матриц второго и третьего порядка Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число, равное: \[ A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right) \quad \Delta=|A|=\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \] Суммой А + В двух матриц А=(аij) и В= (bij) одинакового размера m*n, называется матрица C=(cij), элементы которой cij=aij+ bij, для всех i=1,2,…,m и j=1,2…,n. Задача \[ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 8 & -3 & 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 4 \\ 12 & -4 & 2 \end{array}\right) \] Согласно правилу сложения матриц A+O=A, где A — произвольная матрица, а O — нулевая матрица того же размера, что и A. Вычитание матриц Разность двух матриц одинакового размера определяется с помощью операции умножения матрицы B на число —1 и последующего сложения матриц A и (—1) B т. е. \[A-B=A+(-1) B\] Некоторые свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. В частности, из определений операций умножения матрицы на число и сложения матриц следует, что \[A+B=B+A\] Вышеуказанная формула показывает свойство коммуникативности при сложении матриц. Доказательство. Так как операция сложения определена только для матриц одинакового размера, причем сумма матриц является матрицей того же размера, что и слагаемые матрицы, то очевидно, что размер матрицы \[A+B=F\] равен размеру матрицы \[B+A=G\] Докажем, что и все элементы матрицы F равны соответствующим элементам матрицы G. {k} a_{i s} b_{s j}\] \[i=1,2, \ldots, m \text { и } j=1,2, \ldots, n .\] Обратим внимание на размеры матрицы C, число строк матрицы-произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (см. Рис. 1). Пример. Вычислить произведение матриц AB, если \[ A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & -5 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \] Решение матриц: Определим размер матрицы — произведения:  \[\underset{2 \times 3}{A} \underset{3 \times 3}{B}=\underset{2 \times 3}{C} .\] Далее, вычислим элементы матрицы — произведения: \[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1+6+3 & 2-6+0 & 4+2+6 \\ 5+12-5 & 10-12+0 & 20+4-10 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{lll} 10 & -4 & 12 \\ 12 & -2 & 14 \end{array}\right) \] Нет времени решать самому? Наши эксперты помогут! Контрольная | от 300 ₽ | Реферат | от 500 ₽ | Курсовая | от 1 000 ₽ | Обратная матрица Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения обратной матрицы: Для вычисления матрицы приведем ее к верхнетреугольному виду, используя преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы. По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы. Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений. Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле: Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия: Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке. 2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках. При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица: 3 этап: находят алгебраические дополнения 4 этап: определяют транспонированную матрицу Матрицы Матрица представляет собой массив чисел: Матрица (у нее 2 строки и 3 столбца) Мы говорим об одной матрице или нескольких матрицах . Есть много вещей, которые мы можем с ними сделать… Добавление Чтобы сложить две матрицы: сложите числа в совпадающих позициях: Вот расчеты: 3+4=7 8+0=8 4+1=5 6−9=−3 Две матрицы должны быть одинакового размера, т. е. строки должны совпадать по размеру, а столбцы должны совпадать по размеру. Пример: матрица с 3 строки и 5 столбцов может быть добавлена ​​к другой матрице 3 строки и 5 столбцов . Но его нельзя было добавить в матрицу с 3 строки и 4 столбца (столбцы не совпадают по размеру) Отрицательное Отрицательное значение матрицы также простое: Вот расчеты: −(2)=−2 −(−4)=+4 −(7)=−7 −(10)=−10 Вычитание Чтобы вычесть две матрицы: вычтите числа в совпадающих позициях: Вот расчеты: 3−4=−1 8−0=8 4−1=3 6−(−9)=15 Примечание: вычитание фактически определяется как сложение отрицательной матрицы: A + (−B) Умножение на константу Мы можем умножить матрицу на константу (значение 2 в этом случае) : Вот расчеты: 2×4=8 2×0=0 2×1=2 2×−9=−18 Мы называем константу скаляром , поэтому официально это называется «скалярным умножением». Умножение на другую матрицу В число умножить две матрицы вместе немного сложнее… прочитайте Умножение матриц, чтобы узнать, как это сделать. Деление А деление? Ну, мы не на самом деле делим матрицы, мы делаем это так: A/B = A × (1/B) = A × B -1 , где B -1 означает «обратное» значение B. Таким образом, мы не делим, вместо этого мы умножить на обратное . И есть специальные способы найти инверсию, узнайте больше в инверсии матрицы. Транспонирование Чтобы «транспонировать» матрицу, поменяйте местами строки и столбцы. Мы ставим букву «Т» в верхнем правом углу, что означает транспонирование: Обозначение Матрица обычно обозначается заглавной буквой (например, A или B) Каждая запись (или «элемент») обозначается строчной буквой с «нижним индексом» из строк, столбцов : Строки и столбцы Итак, где строка, а где столбец? Ряды идут влево-вправо Столбцы идут вверх-вниз Чтобы помнить, что строки идут перед столбцами, используйте слово «дуга» : а р,с Пример: В =   Вот несколько примеров записей: b 1,1 = 6 (запись в строке 1, столбец 1 равна 6) b 1,3 = 24 (запись в строке 1 , столбец 3 равен 24) b 2,3 = 8 (запись в строке 2, столбце 3 равна 8)     Свойства с примерами и специальными матрицами, которые образуют множественное число 7 2 Матрицы символизирует прямоугольный массив или таблицу, в которой числа/элементы организованы в строки и столбцы. Матрицы могут содержать любое количество столбцов и строк. Прямоугольный массив из m × n чисел (действительных или комплексных) в кадре из m горизонтальных линий (обозначается как 9).0256 строк ) и n вертикальных линий (названных столбцами ), называется матрицей, имеющей порядка m на n, и записывается как матрица m × n, как показано ниже. \(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&……&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&……&a_{2n}\\ .& .&.&.\\ .&.&.&.\\a_{m1}&a_{m2}&……&a_{mn}\end{matrix}\right] \) \(\text{Здесь числа }a_{11},a_{12\ },\dots..\ \text{etc известны как элементы матрицы A} \) Пример матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}_{3\times3} \) Приведенная выше матрица B имеет порядок 3 × 3. Следовательно, всего в матрице 9 элементов. Здесь горизонтальный массив идентифицируется как строки, а вертикальный массив распознается как столбцы. Матрицы доступны во всех размерах, но их форма обычно остается неизменной. Размер матрицы называется ее размерностью, которая представляет собой общее количество строк и столбцов в назначенной матрице. Над матрицами могут выполняться различные операции, такие как сложение матриц, вычитание матриц, скалярное умножение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц и т. д. Существуют различные типы матриц в зависимости от количества компонентов и организации элементов в матрицах. В линейной алгебре существует множество типов матриц. Все типы матриц различаются по компонентам, порядку и определенному набору условий. Различные типы матриц: матрица-строка, матрица-столбец, одноэлементная матрица, прямоугольная матрица, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, диагональная матрица и т. д. Существуют также некоторые специальные матрицы. Какие бывают типы матриц? В линейной алгебре существуют различные типы матриц. Все типы матриц различаются по компонентам, порядку и определенному набору условий. Различные типы матриц с примерами приведены ниже: 1. Матрица-строка: Любая матрица, имеющая одну строку и n столбцов, называется матрицей-строкой. т.е. \(A=\left[a_{11}\dots..a_{1n}\right]_{1\times n} \) Пример матрицы строк: \(P=\begin{bmatrix }\ 1&-3&17\end{bmatrix} \) 2. Матрица-столбец: Любая матрица, имеющая m строк и один столбец, называется матрицей-столбцом. т.е. \(A=\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{bmatrix}_{m\times1}\) Пример матрицы столбца: \(Q=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}\) 3. Нулевая матрица или нулевая матрица: Любая матрица, в которой все компоненты равны нулю, называется нулевой матрицей. Она также распознается как нулевая матрица и обозначается O. нулевая матрица порядка 3 x 3. 4. Одноэлементная матрица: Любая матрица называется одноэлементной, если матрица имеет только один элемент. т. е. \(A=\left[a_{ij}\right]_{ m\times n}\) является одноэлементной матрицей, если m = n = 1. Пример одноэлементной матрицы: \(\left [4\right],\left[7\right],\left[b\right]\) являются примерами одноэлементной матрицы. 5. Квадратная матрица: Любая матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов, скажем «A», называется квадратной матрицей порядка n. т. е. \(A=\left[a_{ij}\right]_{ m\times n}\) объявляется квадратной матрицей порядка n, если m = n. Пример квадратной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\6&5&9\end{bmatrix}\) 6. Прямоугольная матрица:  Матрица идентифицируется как прямоугольная, если количество строк не совпадает с количеством столбцов. Пример прямоугольной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&3&6&-1\\3&4&5&5\\6&5&9&-1\end{bmatrix}\) Здесь мы видим, что есть четыре столбца и три строки в эта матрица, поэтому B является прямоугольной матрицей. 7. Горизонтальная матрица:  Матрица порядка m x n называется горизонтальной матрицей, если n > m. То есть, если количество столбцов больше, чем количество строк в горизонтальной матрице. \(B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}\) 8. Вертикальная матрица:  Матрица порядка m x n называется вертикальной, если m > n. То есть, если количество строк больше, чем количество столбцов в вертикальной матрице. \(B=\begin{bmatrix}1&1\\2&5\\3&6\\2&4\end{bmatrix}\) 9. Диагональная матрица:  Любая квадратная матрица, в которой все компоненты равны нулю, за исключением компонентов в главная диагональ называется диагональной матрицей. т. е. \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\) является диагональной матрицей, если \(a_{ij}=0\) для i не равно j. Пример диагональной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ \ 0\\0&\ 1&\ \ 0\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\ ) \(P=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&5&0&0\\0&\ 0&2&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}\) Здесь мы можем понять, что кроме диагональных элементов все остальные элементы равны до нуля. Следовательно, вышеупомянутый тип матрицы в математике является диагональной матрицей. 10. Прямоугольные диагональные матрицы: Прямоугольная диагональная матрица — это тип матрицы, которая также имеет одну ведущую диагональ с числами, а остальные записи — нули. Ведущая диагональ выбирается из самого большого квадрата в неквадратной матрице. \(\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&7&0&0\end{bmatrix}\) 11. Скалярная матрица: Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны, называется скалярной матрицей. Пример скалярной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ 0\\0&\ 2&\ 0\\0&\ 0&\ 2\end{bmatrix}_{3\times3}\) \(B=\begin{bmatrix}-5&\ 0&\ 0\\0&\ -5&\ 0\\0&\ 0&-5\end{bmatrix}_{3\times3}\) 12. Единичная матрица или единичная матрица: Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны 1, называется единичной матрицей. Она также признается единичной матрицей. Единичная матрица порядка n обозначается I или \(I_{n}\). Примеры матрицы идентичности: \(I_2=\begin{bmatrix}1&\ \ 0\\0&\ \ 1\end{bmatrix}\) \(B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\ \0&0&1\end{bmatrix}_{3\times3}\) Узнать об определителях и сложении и вычитании алгебраических выражений Специальные типы матриц Существуют специальные типы матриц, которые применяются в передовых математических вычислениях и компьютерных технологиях: 1. Вырожденные и невырожденные матрицы: Любая квадратная матрица, определитель которой равен нулю называется сингулярной матрицей, а любая матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной матрицей. Пример сингулярной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}1&\ 1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\left|B\right|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1\конец{vmatrix}=1\влево(1-1\вправо)-1\влево(1-1\вправо)+1\влево(1-1\вправо)\влево|B\вправо|=0+0 +0=0\) Пример невырожденной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&\ 1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\left|B\right|=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1 \\1&1&1\end{vmatrix}=2\влево(2-1\вправо)-1\влево(1-1\вправо)+1\влево(1-2\вправо)\влево|B\вправо|=2 -0-1=1\) Любая квадратная матрица называется треугольной матрицей , если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю. Существует 2 типа треугольных матриц, как показано ниже: 2. Верхнетреугольная матрица: Любая квадратная матрица, где указано \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\), называется верхнетреугольной матрицей, если \(a_{ij}= 0\) ∀ i > j. Пример верхней треугольной матрицы: \(B=\begin{bmatrix}2&\ 3&\ \ 4\\0&\ 1&\ \ 5\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3} \) 3. Нижняя треугольная матрица: Любая квадратная матрица, например \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\), называется нижней треугольной матрицей, если \(a_{ ij}=0\) ∀ i < j. 9{’} (транспонировать A) \)тогда A называется кососимметричной матрицей. Пример кососимметричной матрицы: \(Q=\begin{bmatrix}\ 0&\ \ 3\\-3&\ \ 0\end{bmatrix}\) Характеристики симметричных и кососимметричных матриц Для кососимметричной матрицы A все ее диагональные элементы равны нулю. то есть \(a_{ii\left(i=j\right)}=0\) ∀ i и j. Нулевая матрица / Нулевая матрица является как симметричной, так и кососимметричной матрицей. A+B и AB также являются симметричными матрицами. 9{\ тета} \). \(Q=\begin{bmatrix}0&\ -2+i\\2-i&\ \ \ \ \ 0\end{bmatrix}\) Подробнее о матрице преобразования Типы матриц в табличной форме The types of matrices with examples are given in the tabular form below: Type of Matrices Matrix Representation Details Matrix Example Row Matrix \( A=\left[a_{ij}\right]_{1\times n}\) \(P=\begin{bmatrix}\ 1&-3&17\end{bmatrix}\) Матрица столбцов \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times1} \) \(Q=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}\) Нулевая или нулевая матрица \(A=\left[a_{ij}\right ]_{m\times n}\text{где }a_{ij}=0\) \(B=\begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix}_{3\times3}\) Одноэлементная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{где }m=n=1\) \(\left[4\right],\left[7\right],\left[b\right]\) Горизонтальная матрица \(A=\left[a_{ij}\right ]_{m\times n}\text{ где }n\gt m\) \(B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}\) Вертикальная матрица \ (A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{, где }m>n\) \(B=\begin{bmatrix}1&1\\2&5\\3&6\\ 2&4\end{bmatrix}\) Квадратная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{где }m=n\) \(B=\begin{bmatrix}2&3&6\\3&4&5\\ 6&5&9\end{bmatrix}\) Диагональная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{где} a_{ij}=0\text { for } i\ne j\) \(P=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&5&0&0\\0&\ 0&2&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}\) Скалярная матрица \(A =\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ где }a_{ij}=\begin{Bmatrix}0&i\ne j\\k&i=j\end{Bmatrix}\) Здесь k — константа. \(B=\begin{bmatrix}-5&\ 0&\ 0\\0&\ -5&\ 0\\0&\ 0&-5\end{bmatrix}_{3\times3}\) Идентичность или единичная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{, где }a_{ij}=\begin{Bmatrix}0&i\ne j\\1&i= j\end{Bmatrix}\) \(B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}_{3\times3}\) Равная матрица \(A =\left[a_{ij}\right]_{m\times n}\text{ и }B=\left[b_{ij}\right]_{r\times s}\text{ где}a_{ij }=b_{ij},\ m=r,\text{ и } n=s\) \(A=\begin{bmatrix}2&-5\\2&\ 4\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}2&-5\\2&\ 4\end{bmatrix}\) Здесь A и B — равные матрицы. Верхняя треугольная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ for }a_{ij}=0\ ∀\ i>j\) \(B=\begin{bmatrix}2&\ 3&\ \ 4\\0&\ 1&\ \ 5\\0&\ 0&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\) Нижний Треугольная матрица \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times n}\text{ for }a_{ij}=0\ ∀\ i \(B=\begin{bmatrix}2&\ 0&\ \ 0\\3&\ 1&\ \ 0\\4&\ 5&-2\end{bmatrix}_{3\times3}\) Единственное число Матрица \(\left|A\right|=0\) \(B=\begin{bmatrix}1&\ 1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\) Несингулярный Матрица \(\left|A\right|\ne 0\) \(B=\begin{bmatrix}2&\ 1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\) Симметричные матрицы 9{m} = O\), где O — нулевая матрица порядка n. – Узнайте об определителе матрицы 4 x 4 Важные моменты по типам матриц Для матричных произведений матрицы должны быть совместимы. Это утверждает, что две матрицы A и B совместимы, если количество столбцов в A= количеству строк в B. Если мы умножаем матрицу на скалярное значение, то это распознается как скалярное умножение. Чтобы матрица была симметричной, она должна быть квадратной, т. е. иметь одинаковое количество строк и столбцов. Если m=n, матрица считается квадратной. Если m \ne n, матрица считается прямоугольной. Здесь m обозначает количество строк, а n обозначает количество столбцов. Диагональная матрица, в которой все главные диагональные компоненты равны 1, называется единичной матрицей. Она также распознается как единичная матрица, тогда как единичная матрица порядка n обозначается \(I\) или \(I_n\). Единичная матрица, нулевая матрица или нулевая матрица, а также скалярная матрица являются примерами диагональной матрицы, поскольку во всех них неглавным диагональным элементам присваивается нуль. Мы надеемся, что приведенная выше статья о типах матриц поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам. Часто задаваемые вопросы о типах матриц В.1 Каковы различные типы матриц? Ответ 1 Существуют следующие типы матриц: матрица-строка, матрица-столбец, одноэлементная матрица, прямоугольная матрица, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, диагональная матрица и т. д. Q.2 Can вы добавляете матрицы с разными размерностями? Ответ 2 Для выполнения сложения или вычитания матриц они должны иметь одинаковый размер или размерность. Если сложение или разность двух матриц, имеющих разные размеры или размерности, не определены. « Предыдущая 1 … 132 133 134 135 136 … 2 800 Следующая »