2х-3(х+4) < х+12
2х-3х-12<x+12
-x-12<x+12
-12-12<2x
x>-12
Оцените пожалуйста ответ
12. 02.13
Михаил Александров
Читать ответы
Андрей Андреевич
Читать ответы
Eleonora Gabrielyan
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
Полный бак бензина расходуется первым двигателем за 8ч,а вторым двигателем за 6ч. Какая часть бензина останется в баке после работы первого двигателя в течении 3 ч и второго двигателя в течение 2ч.
Решено
Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 8 и 22. Найдите ВС,если радиус окружности,описанной около треугольника АВС,равен 16.
Решено
математика 4 класс
Решено
Укажите число ,в котором 64единицы…
Задайте с помощью знаков модуля множество точек координатной оси:
Пользуйтесь нашим приложением
Решение неравенств
Иногда нам нужно решить такие неравенства:
Символ
Слова
Пример
>
больше
х + 3 > 2
<
меньше
7x < 28
≥
больше или равно
5 ≥ х — 1
≤
меньше или равно
2 года + 1 ≤ 7
Решение
Наша цель состоит в том, чтобы иметь x (или любую другую переменную) самостоятельно слева от знака неравенства:
Что-то вроде:
х < 5
или:
г ≥ 11
Мы называем это «решенным».
Пример: x + 2 > 12
Вычесть 2 с обеих сторон:
x + 2 − 2 > 12 − 2
Упростить:
x > 10
Решено!
Как решать
Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …
… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .
Направление: Куда «указывает» стрелка
Некоторые вещи могут изменить направление !
<становится>
> становится <
≤ становится ≥
≥ становится ≤
Безопасные вещи для
Эти вещи не влияют на направление неравенства:
Добавляют (или подпроизведения) номер с обеих сторон
Умножить (или разделить) обе части на положительное число
Упростить сторону
Пример: 3x
< 7+3
Мы можем упростить 7+3, не затрагивая неравенство:
3x < 10
Но эти вещи меняют направление неравенства («<" становится ">» например):
Умножить ( или разделить) обе стороны на отрицательное число
Замена левой и правой сторон
Пример: 2y+7
< 12
Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :
12 > 2y+7
Вот подробности:
Добавление или вычитание значения (так же, как во Введении в алгебру), например:
Пример: x + 3
< 7
Если вычесть 3 с обеих сторон, мы получим:
x + 3 − 3 < 7 − 3
х < 4
И это наше решение: x < 4
Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.
Что мы сделали?
Мы пошли от этого:
Сюда:
х+3 < 7
х < 4
И это хорошо работает для прибавляя и вычитая , потому что если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство
Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли. Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекса все равно будет больше монет, чем у Билли.
Что, если я решу задачу, но «x» окажется справа?
Неважно, просто поменяйте местами, но перевернет знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!
Пример: 12
< x + 5
Если вычесть 5 из обеих частей, мы получим:
12 − 5 < x + 5 − 5
7 < x
900 решение!
Но нормально ставить «х» слева…
… так что перевернём стороны (и знак неравенства!):
x > 7
Видите, как знак неравенства по-прежнему «указывает» на меньшее значение (7) ?
Вот наше решение: x > 7
Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.
Умножение или деление на значение
Еще одна вещь, которую мы делаем, это умножение или деление обеих частей на значение (так же, как в Алгебре — Умножение).
Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).
Положительные значения
Все в порядке, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :
Пример: 3y
< 15
Если мы разделим обе части на 3, мы получим:
3y 3 /0 < 15 /3
y < 5
И это наше решение: y < 5
Отрицательные значения
99
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число мы должны обратить неравенство.
Почему?
Ну, вы только посмотрите на числовой ряд!
Например, от 3 до 7 это увеличение , , а от -3 до -7 это уменьшение.
−7 < −3
7 > 3
Видите, как меняется знак неравенства (с < на >)?
Рассмотрим пример:
Пример: −2y
< −8
Разделим обе части на −2 … и обратим неравенство !
−2y < −8
−2y /−2 > −8 /−2
y > 4
Обратите внимание, что Я перевернул неравенство в той же строке Я разделил на отрицательное число.)
Итак, просто запомните:
При умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство
Умножение или деление на переменные
Вот еще один (хитрый!) пример:
Пример: bx
< 3b
Кажется, просто разделить обе части на b , что дает нам:
x < 3
. .. но подождите … если b равно отрицательному , нам нужно обратить неравенство следующим образом:
x > 3
Но мы не знаем, является ли b положительным или отрицательным, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !
Чтобы помочь вам понять, представьте себе замену b на 1 или −1 в примере bx < 3b :
, если b равно 1 , тогда ответ равен x 1 0 6 9 0 0 0 0 3
, но если b равно −1 , то мы решаем −x < −3 , и ответ равен x > 3
.
Ответ может быть x < 3 или x > 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .
Так:
Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если только вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).
Большой пример
Пример:
x−3 2 < −5
Во-первых, давайте удалим «/2», умножив обе части на 2.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенство не изменится.
x−3 2 ×2 < −5 ×2
x−3 < −10
Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам: < −10 + 3
x < −7
И это наше решение: x < −7
Сразу два неравенства!
Как мы можем решить что-то с двумя неравенствами сразу?
Пример:
−2 < 6−2x 3 < 4
Сначала удалим «/3», умножив каждую часть на 3.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не выполняются. t change:
−6 < 6−2x < 12
Теперь из каждой части вычтем 6:
−12 < −2x < 6
Теперь разделим каждую часть на 2 (положительное число, так что снова неравенства не меняются):
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т. е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой. {2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число K > 0
, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K
для любого x \in X
.
Пример ограниченной функции: y=\sin x
ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1
.
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x
будет соответствовать большее значение функции y=f(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1}) > y(x_{2})
.
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x
будет соответствовать меньшее значение функции y(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
).
а)
Если при x > 0
четная функция возрастает, то убывает она при x
б)
Когда при x > 0
четная функция убывает, то возрастает она при x
в)
Когда при x > 0
нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г)
Когда нечетная функция будет убывать при x > 0
, то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0})
. y_{min}
— обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0}
будет точкой минимума;
x_{0}
— будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}
.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
Ищется производная f»(x)
;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку
;
Находятся значения функции f(x)
в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Исследование
функции.
1) D(y)
– Область опрделения: множество всех
тех значений переменной х. при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл.
Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции:
четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются
функции,
графики которых обладают
симметрией
относительно
изменения знака аргумента.
Нечётная
функция —
функция, меняющая значение на
противоположное при изменении знака
независимой переменной
(симметричная относительно
центра координат).
Чётная
функция —
функция, не изменяющая своего значения
при изменении знака независимой
переменной (симметричная относительно
оси ординат).
Ни
чётная ни нечётная функция (функция
общего вида) —
функция, не обладающая симметрией. В
эту категорию относят функции, не
подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции,
не принадлежащие ни одной из категорий
выше, называются ни
чётными ни нечётными (или
функциями общего вида).
Нечётные
функции
Нечётная степень где —
произвольное целое
число.
Чётные
функции
Чётная
степень где —
произвольное целое
число.
Периоди́ческая
фу́нкция ― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (пери́ода функции)
на всей области определения.
3)
Нули
(корни) функции — точки, где она
обращается в ноль.
Нахождение
точки пересечения графика с осью Oy . Для
этого нужно вычислить значение f (0).
Найти также точки пересечения графика
с осью Ox ,
для чего найти корни уравнения f (x )
= 0 (или
убедиться в отсутствии корней).
Точки, в
которых график пересекает
ось ,
называют нулями
функции .
Чтобы найти нули функции нужно решить
уравнение ,
то есть найти те
значения «икс» ,
при которых функция обращается в ноль.
4)
Промежутки
постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки,
где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого функция
положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ
оси абсцисс.
НИЖЕ
оси .
5)
Непрерывность (точки разрыва, характер
разрыва, ассимптоты).
Непрерывная
функция —
функция без «скачков», то есть такая, у
которой малые изменения аргумента приводят
к малым изменениям значения функции.
Устранимые
точки разрыва
Если
предел функции существует ,
но функция не определена в этой точке,
либо предел не совпадает со значением
функции в данной точке:
,
то
точка называется точкой
устранимого разрыва функции (в комплексном
анализе -устранимая
особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить ,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной или доопределением
функции по непрерывности ,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого разрыва.
Точки
разрыва первого и второго рода
Если
функция имеет разрыв в данной точке (то
есть предел функции в данной точке
отсутствует или не совпадает со значением
функции в данной точке), то для числовых
функций возникает два возможных варианта,
связанных с существованием у числовых
функций односторонних
пределов :
если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода;
если
хотя бы один из односторонних пределов
не существует или не является конечной
величиной, то такую точку называют точкой
разрыва второго рода .
Аси́мпто́та — прямая ,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этой прямой стремится
к нулю при удалении точки вдоль ветви
вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота — прямая предела .
Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например:
Горизонтальная
Горизонтальная
асимптота — прямая вида при
условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная
асимптота — прямая вида при
условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен ),
то наклонной асимптоты при (или )
не существует.
если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение
промежутков монотонности. Найти
интервалы монотонности функции f (x )(то
есть интервалы возрастания и убывания).
Это делается с помощью исследования
знака производной f (x ).
Для этого находят производную f (x ) и
решают неравенство f (x )0.
На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f (x )возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0,
функция f (x )убывает.
Нахождение
локального экстремума. Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
— локальные минимумы. Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках.
Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти
производную функции: f (x ).
2. Найти
точки, в которых производная равна
нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,…
3. Определить
принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку
[a ; b ]:
пусть x 1a ;b ,
а x 2a ;b .
Преобразование графиков.
Словесное описание функции.
Графический способ.
Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.
Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.
Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?
Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.
Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.
Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.
Попытаемся ответить на вопрос: «А существуют ли другие способы задания функции?»
Такой способ есть.
Функцию можно вполне однозначно задать словами.
Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.
Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.
Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.
Способ словесного описания — достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.
Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является четной. Проверим это.
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.
Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является нечетной. Проверим это.
Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.
Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.
Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?
Чётность функции. Определение чётной функции. Является ли чётной функция. Свойства функции.mp4
12+
7 месяцев назад
Математика от Баканчиковой300 подписчиков
Алгебра 7-11 класс. Что такое чётная функция? Как доказать чётность функции? Сегодня, продолжая говорить о свойствах функции, мы ответим на эти вопросы. Если Вы не видели наши предыдущие уроки по теме «Свойства функции», то обязательно посмотрите их, тогда это урок будет Вам очень понятен. А чтобы урок был Вам понятен, сначала мы напомним Вам, что такое функция, и как найти область определения функций, заданных целым и дробным выражениями. Затем объясним Вам определение двенадцатого свойства функции — чётности функции, которое дано в учебнике А.Г.Мордковича. Особо остановимся на том, как понимать y(-x) = y(x). Затем предложим Вашему вниманию определение чётной функции Любовь Николаевны, которое позволит Вам понять это свойство и легко решать упражнения на эту тему. На примере четырёх упражнений мы покажем Вам, как доказать, что функция является или не является чётной. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео.
00:00 Начало видео.
00:30 Вспомним, что такое функция.
01:58 Перепишем определение чётной функции.
03:27 Как понимать y(-x) = y(x)?
05:07 Определение чётной функции Любовь Николаевны.
05:55 Пример чётной функции.
06:55 Упражнение 1.
10:11 Упражнение 2.
12:52 Упражнение 3.
15:06 Упражнение 4.
Если Вы впервые на нашем канале и у Вас остались вопросы или Вы хотите освежить в памяти некоторые термины и определения, рекомендуем Вам посмотреть следующие видео:
Что такое определение. Отличие определения от рассказа. https://rutube.ru/video/f187c6071dfe512aaa2204e3229097e1/
Что такое компоненты. Рассказ о Пете и Диме или зачем нужны компоненты. https://rutube.ru/video/2a05adba43e67d1ea1b5cab6d8e6d18a/
Функция. Определение. Пример, на котором функцию понимают ВСЕ. https://rutube.ru/video/e39b203540be6b34b1c6728b8a73a8c4/
Компоненты функции: аргумент, значение функции, область определения функции, область значений функции https://rutube. ru/video/b244f058080abfb736bb53076b8ad8cc/
Способы задания функции. Примеры. https://rutube.ru/video/be19beb2a973ffbad226194f7e36e0f8/
Координатная плоскость. Компоненты координатной плоскости. https://rutube.ru/video/37a4ebf9c234063e743767e8a50b45c0/
Графический способ задания функции. График функции. Определение. https://rutube.ru/video/f80ef74eb301c96a0159afedd02e6383/
Область определения функции. Как найти, если функция задана графиком, таблицей, рисунком, символом. https://rutube.ru/video/e3fda1d9390c06e95e6481060c7f7745/
Область определения функций, заданных формулой, целым выражением. Виды выражений в формулах функций. Область допустимых значений выражений. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/ad4dcae792272214637e31be0091ec7e/
Область определения функции, заданной формулой, дробным выражением. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/25a7399e239a12b0bd82b5e3f516ce8a/
Область определения функции, заданной формулой корня четной степени. Алгебра 7-11 класс. https://rutube. ru/video/9ab883e3b9a1bf78e16f47d5722ee0a2/
Свойства функции. Нули функции. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/6e56bd59444a9af812beeed15d1d2993/
#СвойстваФункции #ЧётныеФункции #ЧётностьФункции #ЯвляетсяЛиЧётной #четнаялифункция #являетсяфункциячетнойилинечетной #определениечетнойфункции #выяснитьявляетсяфункциячетнойилинечетной #являетсяличетнойилинечетнойфункция #ничетнаянинечетнаяфункция #чётнаяфункция #найдитечетнуюфункцию #какаяфункцияявляетсячетной #областьопределениячетнойфункции #четнаяфункциясимметрична #четныефункциипримеры #докажитечтофункцияявляетсячетной #МатематикаОтБаканчиковой
чётность функции, четная ли функция, является функция четной или нечетной, определение четной функции, выяснить является функция четной или нечетной, является ли четной или нечетной функция , ни четная ни нечетная функция , чётная функция, найдите четную функцию, какая функция является четной, область определения четной функции, четная функция симметрична, четные функции примеры, докажите что функция является четной
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Я подготовил восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процедуру или шаги, как определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной из них. Математика, связанная с вычислением, проста, если вы внимательны на каждом этапе своего решения.
Чтобы проникнуть в «сердце» этой темы, изучите иллюстрацию ниже.
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Давайте поговорим о каждом случае.
СЛУЧАЙ 1: Четная функция
Дана некоторая «начальная» функция f\left( x \right):
и снова получить исходную или «начальную» функцию, это означает, что f\left( x \right) является четной функцией .
СЛУЧАЙ 2. Нечетная функция
Дана некоторая «начальная» функция f\left( x \right):
\right) и получить отрицательную или противоположную «начальной» функции, это означает, что f\left( x \right) является нечетная функция .
СЛУЧАЙ 3: ни четная, ни нечетная функция x \right) и мы не получаем ни случая 1, ни случая 2, из которого следует, что f\left( x \right) не является ни четным, ни нечетным . Другими словами, оно не подпадает под классификацию четных или нечетных.
Примеры алгебраического определения, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них 92} — 3, подставьте значение \color{red}-x и затем упростите. Что я могу получить? Давайте решим это алгебраически.
Так как f\left( { {\color{red}- x}} \right) = f\left( x \right), это означает, что f\left( x \right) является четной функцией !
График четной функции симметричен относительно оси y или относительно вертикальной линии x = 0. Обратите внимание, что график функции разрезается равномерно по оси y, и каждая половина является точным зеркалом другой. Другой способ описать это состоит в том, что каждая половина функции является отражением по оси Y. 93} + 2x, а затем упростите.
Как определить нечетную функцию
Важные советы:
Если вы когда-нибудь придете к другой функции после вычисления \color{red}–x в данном f\left( x \right), немедленно попробуйте вынесите из него -1 и посмотрите, появится ли исходная функция. Если это так, то у нас есть нечетная функция .
Эффект вынесения на множитель -1 приводит к переключению знаков членов в скобках. Это ключевой шаг для определения нечетной функции.
Теперь, поскольку f\left( { {\color{red}- x}} \right) = — f\left( x \right), это означает, что исходная функция f\left( x \right) равна нечетная функция !
График нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат или в точке \left( {0,0} \right). Это означает, что мы разрезаем его график по оси y, а затем отражаем его четную половину сначала по оси x, а затем по оси y.
См. анимированную иллюстрацию.
90}}, который имеет четную степень нуля.
Эта характеристика функции, содержащей только четные степени, может привести к четной функции. Однако мы должны показать это алгебраически. Итак, вот оно.
Вычисляя \color{red}-x в f\left( x \right), мы получаем следующий расчет. 3} + 6x
В отличие от примера 3, где у функции четные степени, в этом примере нечетные степени: 7, 5, 3 и 1. Надеюсь, вы уже видите закономерность. Скорее всего, это странная функция, но мы проверим.
Подставляя \color{red}-x в данное f\left( x \right) и упрощая, мы получаем:
После вынесения на множитель -1 многочлен в скобках равен начальной функции. Это показывает, что это нечетная функция !
Пример 5 : Определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:
На этот раз я покажу вам пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной. Вы готовы?
Сначала проверьте, четно ли оно. Имеем ли мы случай f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = f\left( x \right)?
Определенно не является четной функцией , поскольку f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right).
Во-вторых, проверьте, является ли оно нечетным, показав f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = — f\left( x \right).
Даже после вынесения −1 я все еще не получаю исходную функцию.
Это не нечетная функция , так как f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne — f\left( x \right).
Вывод: Поскольку мы достигли случая, когда f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right) и f\left( {\color{red} { — x}} \right) \ne — f\left( x \right), эта функция ни четная, ни нечетная !
Пример 6 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция g\left( x \right) является нечетной функцией !
Пример 7 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция h\left( x \right) не равна и не !
Пример 8 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция k\left( x \right) равна даже функция !
Как определить, является ли функция четной или нечетной? [Решено]
Функция определяется как изменение выходного значения по отношению к входному, где выходная переменная зависит от входной переменной.
Ответ: Для четной функции f(-x) = f(x) для всех x, для нечетной функции f(-x) = -f(x) для всех x. Если f(x) ≠ f(-x) и -f(x) ≠ f(-x) для некоторых значений x, то f не является ни четным, ни нечетным.
Давайте разберемся с решением.
Объяснение:
(а) Давайте разберемся с четными функциями.
Если заданная функция симметрична относительно оси Y, она называется четной функцией.
Функция четная, если f(x) = f(−x) для всех значений x
Для четной функции f(x), если мы подставим −x вместо x, тогда значение f( −x) равно значению f(x).
Таким образом, формула для проверки четности функции выглядит следующим образом:
f(x) = f(−x)
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять четные функции.
Пример: f(x) = x 2
f(-x) = (-x) 2 = x 2
Таким образом, мы видим, что f(x) = f(-x)
Следовательно, заданная функция f(x) = x 2 является четной функцией.
Проверим графически.
Мы видим, что график y = x 2 симметричен относительно оси y и, следовательно, является четной функцией.
(b) Рассмотрим нечетные функции:
Функция, в которой одна сторона оси X инвертирована по знаку по отношению к другой стороне или графически симметрична относительно начала координат, называется нечетной функцией.
Функция является нечетной, если f(-x) = — f(x) для всех значений x
Для нечетной функции f(x), если мы подставим −x вместо x, тогда значение f (−x) равно значению — f(x).
Таким образом, формула для проверки нечетности функции имеет следующий вид:
f(-x) = — f(x)
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять нечетные функции.
Пример: f(x) = x 3
f(-x) = (-x) 3 = — x 3
Кроме того, — f(x) = — x 3
Таким образом, f(x) = x 3 является нечетной функцией, поскольку f(-x) = — f(x).
Проверим графически.
График выглядит симметричным относительно начала координат, поэтому это нечетная функция.
(c) Давайте разберемся с функцией, которая не является ни четной, ни нечетной
Функция f(x), в которой f(x) ≠ f(−x) и −f(x) ≠ f(−x) для любого значение x не является ни четной, ни нечетной функцией.
Графически эти функции не симметричны ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это.
Пример: f(x) = 2x 5 + 3x 2 + 1
f(-x) = — 2x 5 + 3x 2 + 1 900 03
— f(x) = — 2x 5 — 3x 2 — 1
Таким образом, мы видим, что f(x) ≠ f(−x) и −f(x) ≠ f(−x) для заданной функции. Следовательно, это ни четная, ни нечетная функция.
Посмотрим на график этой функции.
Мы видим, что график не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Y. Таким образом, это не четная и не нечетная функция.
1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)
Лаптева Т.П. 1
1МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение.
Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.
Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.
Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.
Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.
Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.
2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.
4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.
Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.
Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.
Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.
Основная часть
История возникновения квадрата числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].
В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:
«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
П рошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,… Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.
Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и
применял знак а2[5].
Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
У чись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:
Способности;
Алгоритмы;
Тренировка;
Опыт.
Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.
Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Возведение в квадрат числа, близкого к 50.
а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.
Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.
б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
2) 282 = 3 · 100 + 222 = 300 + 484 = 784.
3) 462 = 2100 + 16 = 2116.
4) 392 = 1400 + 121 = 1521.
Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.
в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.
Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.
Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.
Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.
Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.
Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.
Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.
Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.
Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:
Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.
Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:
М ожно оформить решение и так: 732 = 5609 7 · 8 = 56; 3 · 3 = 9 ⇒ 5609
— 28 70 · 2 · 2 = 280; это 28
5329 десятков, поэтому второе
число можно подписать
под первым, сдвинув его влево на одну цифру.
Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 14, 23, 32, 41, 5, 61, 72, 83, 94 от цифры 5.
Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.
Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.
Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.
Заключение.
Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:
к сокращению времени на вычисления;
к защите от массы вычислительных ошибок;
к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.
Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.
Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[5]!
Литература
Умножай с умом. Учебно-методическое пособие для учащихся общеобразовательных учреждений /Лаптева Т. П. – М.: Перо, 2017.
Степень числа: понятие, примеры, квадрат и куб числа
Содержание
1548 1681
На этом уроке мы изучим, что такое «степень числа», как правильно записать число в степени, как решать задачи с числами в степени, а также что такое квадрат и куб числа. {4}$$[[input-1]]»,»widgets»:{«input-1»:{«type»:»input»,»answer»:»27″}},»hints»:[«Сначала посчитай действия в скобках.»,»Затем вычисли степени чисел.»,»Дальше выполни действия второй ступени.»,»Потом посчитай действия первой ступени и запиши ответ.»]}]}
Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени
Содержание
При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать первые, вторые и уравнения третьей степени.
Возможные варианты решений
Во-первых, нам нужно понять, каковы возможные решения для решения уравнений, вот они:
Мы определяем как множество возможных решений уравнения.
1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. е. нет значения переменной, которое могло бы сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:
Мы упрощаем уравнение, умножая через круглые скобки, мы получаем
и вычитая обе части, мы получаем 6 = 10, что неверно, и поэтому мы делаем вывод, что у этого уравнения нет решения. то есть пусто или .
2- Уникальное решение: уравнения могут иметь единственное решение, которое их подтверждает, а это означает, что существует одно и только одно значение переменной, которое делает уравнение верным. Вот несколько примеров:
Пример 1:
вычитая 5 с обеих сторон, мы получаем
и деля на 3 с обеих сторон, мы получаем
Вот это решение, которое мы ищем, и оно единственное. является единственным значением для того, чтобы уравнение было верным, .
Пример 2:
Вычитая из обеих частей, чтобы исключить правую часть уравнения, мы получаем
и, добавляя 14 к обеим частям, мы получаем, разделив на 4, мы получаем, мы получить одно и только одно значение для i.e.
3- Множественные решения: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для проверки уравнения, вот пример этого:
мы можем сделать умножение скобок и получить
Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух скобок должна равняться 0, и для этого у нас есть два случая:
Либо вычитая 5, мы получаем, либо деля на 2, мы получаем ,
или и, добавив 3 для обеих сторон, мы получим .
Итак, у этого уравнения есть два возможных решения.
4- Бесконечные решения: уравнение с бесконечными решениями всегда проверяется независимо от значения , давайте рассмотрим следующий пример:
упрощая обе части, мы получаем
и затем
вычитая с обеих сторон получаем .
Путем упрощения уравнения мы получили, что оно всегда истинно, оно не зависит от значения , поэтому независимо от значения уравнения всегда истинно, и, поскольку имеет бесконечные возможные значения, у нас есть бесконечные решения для этого уравнение.
Теперь, увидев различные варианты числа возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.
Решение уравнений первой степени
Определение
Мы называем уравнением первой степени любое уравнение, записанное следующим образом: степень не находится в этой форме, но после упрощения она всегда заканчивается формой выше.
Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная начинается со степени 1, и это самая высокая степень переменной в уравнении, что означает .
Алгебраический метод
Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упростим его, если оно не упрощается, чтобы получить вид, а затем все, что нам нужно, это перевести b в другую сторону и разделить на a, т.е.
и вот оно решение уравнения
Пример:
Упростим уравнение
тогда получим форму
и решение будет т.е.
Геометрический метод
Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение прямой линии, что означает, что левая часть является уравнением прямой, а правая часть — уравнением прямой.
Тогда мы можем провести обе линии в ортометрической плоскости, и мы нарисуем линию и линию, эквивалентную оси x (поскольку ось x — это линия с )
(т. е. ) означает точку, в которой пересекаются две линии, поэтому, рисуя линию и беря точку пересечения с осью x, мы получаем наше решение, и оно совпадает с алгебраическим методом.
Пример:
Давайте решим уравнение
Мы нарисуем линию с помощью уравнения
Мы выберем 2 значения и получим соответствующее значение, а затем нарисуем две точки на плоскости и нарисуем новую линию проходящей через две точки, а координата точки пересечения прямой и оси абсцисс является решением уравнения.
Решение уравнений второй степени
Определение
Уравнением второй степени мы называем каждое уравнение стандартной формы с , действительные числа и отличные от нуля. Оно называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т.е. ).
Разложение на умножение двух уравнений первой степени
Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в виде умножения двух уравнений первой степени и решить путем нахождения решения для двух уравнений первой степени.
Как разложить уравнение второй степени на множители?
Если мы рассмотрим уравнение второй степени, подобное следующему:
Итак, чтобы перейти от правосторонней формы к левосторонней факторизованной форме, нам нужно выяснить значения и знать значение и из правосторонней формы . Давайте попробуем пример:
Нам нужно разделить на 2, чтобы удалить множитель и получить форму
, поэтому мы получаем:
Теперь с этой формой мы знаем, что и .
Итак, нам нужно найти два числа и что их сумма равна 10 и их произведение равно 21.
У нас и 21 можно записать как произведение как или , а так как должно быть равно 10 у нас , значит значения и те, которые делают и .
После этого все, что нам нужно сделать, это записать уравнение в виде .
итак, получаем:
Теперь решение прямое, так как произведение двух первой степени равно нулю, то мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен к нулю, что означает либо или , мы решаем каждый член первой степени левой части, мы получаем:
и поэтому мы имеем два решения уравнения второй степени , .
Мы можем проверить, задав значение или следующим образом:
Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта
Дискриминантом уравнения мы называем выражение , обычно оно обозначается буквой , т. е.
В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение — если оно есть — решений, и возможные случаи следующие:
1- Если дискриминант строго положителен (), то уравнение имеет два различных решения, и решения:
.
Пример:
Определим решения уравнения:
Вычислим:
поэтому имеем
Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие: 90 003
2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, а это означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, то есть одно повторяющееся (или удвоенное) решение. Решение дается следующим образом:
Пример:
Определим решения уравнения:
вычислив получим:
Приходим к выводу, что уравнение имеет одно решение, и решение: ; .
Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторным решением, состоит в том, что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же полинома первой степени и, следовательно, одного и того же решения для двух полиномов первой степени.
Если взять предыдущий пример, то имеем:
3-Если дискриминант строго отрицательный (), то уравнение не имеет решений.
Пример:
Решим уравнение
вычислив, что получим: не брать квадратный корень из дельты, так как он отрицательный).
Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств
В этом методе мы используем алгебраическое тождество
,
, где переменная и действительное число.
Чтобы решить уравнение, мы делаем следующие шаги:
1- Делим обе части на , получаем: .
2- Вычитаем с каждой стороны, получаем: .
3- Добавляем значение (т.е. квадрат одной половины ) к обеим сторонам и получаем:
.
4- Теперь у нас левая часть записывается как Расширение алгебраического тождества, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:
.
5- Извлекаем корень из обеих частей и решаем полученное уравнение.
Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:
Сначала делим на 3, получаем: .
Во-вторых, вычитаем по 4 с обеих сторон, получаем: .
В-третьих, прибавляем к обеим сторонам, получаем: .
Упрощаем правую часть:
,
,
.
Далее, запишем левую часть как алгебраическое тождество, получим: .
В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем: .
В-шестых, вычитаем с обеих сторон, получаем: .
Итак, у нас есть два решения уравнения второй степени, решения:
.
Решая геометрически
мы можем построить график функции и найти какие значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.
Построив график функции , мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x. Есть три случая:
Во-первых, график пересекается с осью x в двух точках, что означает, что уравнения имеют два различных решения (соответствует случаю, когда ).
Во-вторых, график пересекается с осью x только в одной точке, а это означает, что уравнение имеет одно двойное решение (соответствует случаю, когда ).
В-третьих, график не пересекается с осью x, то есть уравнение не имеет решений (соответствует случаю, когда ).
На следующем рисунке показаны три возможных случая:
Решение уравнений третьей степени
Определение
Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением каждое уравнение в упрощенном виде имеет следующую стандартную форму:
где , и — действительные числа, отличные от 0.
Это уравнение называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 3 (т.е. ).
Решение уравнения третьей степени
По числу возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение. Алгебраически причина в том, что член с наибольшей степенью , т. е. зарастает остальными членами и стремится к бесконечности в обе стороны в зависимости от знака, а это означает, что при очень малых отрицательных значениях для () стремятся к , а при очень больших положительных значения для () стремятся (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента при члене ), то есть при переходе от одной бесконечности к другой она хотя бы один раз проходила нулем. Возможны три случая: одно, два или три решения.
Чтобы решить уравнение третьей степени, было бы полезно, если бы мы знали одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет по крайней мере одно решение), мы продолжаем разлагать уравнение третьей степени на множители в виде произведения полинома первой степени (используя известное нам решение) на полином второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы узнаем их значение, а затем решаем уравнение второй степени, и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.
Для лучшего понимания давайте попробуем решить это уравнение:
зная, что это решение.
Так как это решение, то левая часть уравнения третьей степени может быть представлена как произведение полинома первой степени на полином второй степени, что означает, что мы можем записать уравнение в виде:
Теперь нам нужно найти значения и , для этого воспользуемся первой развернутой формой полинома третьей степени, т.е.
расширяя левую часть, мы получаем:
Так как обе стороны теперь в стандартной форме, чтобы выяснить значения , и . Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:
Во-первых, коэффициенты члена равны, т.е.
Во-вторых, коэффициенты при члене равны, т.е.
В-третьих, коэффициенты при члене равны, т.е.
В-четвертых, константы (коэффициенты члена , означающего действительное число без ) равны, т. е.
Теперь определяем значения и :
Итак, имеем
также
имеем , заменив a на 1 находим
Следовательно, имеем значения , , .
, поэтому факторизованная форма теперь выглядит следующим образом:
Теперь осталось решить уравнение второй степени
, используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения
Следовательно, уравнение третьей степени имеет три различных решения, и уравнение может быть записано в факторизованной форме
.
Как мы упоминали ранее, есть три возможных случая количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений используется полином второй степени, и оно выглядит следующим образом:
Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени мы имеем всего два решения, то, с которого начали, и то, что из многочлена второй степени.
Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то всего у нас есть три решения: то, с которого мы начали, и два решения из многочлена второй степени.
Обратите внимание, что в случае, если константа в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет форму
мы знаем, что это решение, поскольку каждый член имеет
, поэтому нам не нужно проходить весь процесс для определения коэффициентов второй степени, мы просто берем в качестве множителя и получаем нашу факторизованную форму следующим образом.
с , а уже известны и определять их нет необходимости, поэтому приступим непосредственно к решению уравнения второй степени.
Пример:
решим уравнение
так как постоянной нет то возьмем множитель
Мы знаем, что это решение, поэтому мы приступаем к решению уравнения второй степени
, используя один из показанных методов, прежде чем получим два решения или .
Мы заключаем, что уравнение имеет три решения, и факторизованная форма .
решая геометрически
Геометрически, причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, состоит в том, что график проходит от к или наоборот (от к ), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.
Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции и найти ее значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.
Решение уравнения эквивалентно определению значения для точки пересечения графика и оси x. Возможны три случая:
График пересекается только в одной точке с осью x, поэтому уравнение имеет только одно решение.
График имеет две точки пересечения с осью абсцисс, поэтому уравнение имеет два различных решения (одно из них дублируется).
График пересекается с осью x в трех точках, поэтому уравнение имеет три различных решения.
На следующем рисунке показаны различные возможные случаи.
Заключение
В заключение знание этих методов решения может сделать процесс решения уравнений первой, второй и третьей степени простым, легким и простым с четкими шагами.
Вы хотите получить больше удовольствия! Проверьте график ниже и посмотрите, как графики меняются в зависимости от значений коэффициентов. Отметьте тип уравнения, которое вы хотите отобразить (одно или несколько), затем проведите пальцем, чтобы изменить значения , и и посмотрите, как динамически меняются графики. Наслаждаться!
Как найти степень многочлена
Все ресурсы по алгебре 1
10 Диагностические тесты
557 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 Следующая →
Алгебра 1 Помощь »
Переменные »
Полиномы »
Полиномиальные операции »
Как найти степень многочлена
Укажите степень многочлена.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Степень отдельного члена многочлена является показателем степени его переменной; показатели членов этого полинома равны, по порядку, 5, 4, 2 и 7.
Степень полинома является наивысшей степенью любого из членов; в данном случае это 7.
Сообщить об ошибке
Какова степень многочлена?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти степень многочлена, вам сначала нужно идентифицировать каждый член [например, термин], поэтому, чтобы найти степень каждого члена, вы добавляете показатели степени.
EX: — Степень 3
Высшая степень
Сообщить об ошибке
Какова степень полинома?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти степень многочлена, сложите показатели каждого члена и выберите наибольшую сумму.
12x 2 y 3 : 2 + 3 = 5
6xy 4 z: 1 + 4 + 1 = 6
2xz: 1 + 1 = 2
Таким образом, степень равна 6.
Сообщить об ошибке
Какова степень полинома?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Степень — это наивысшее значение показателя степени переменных в полиноме.
Здесь наибольший показатель степени равен x 5 , поэтому степень равна 5.
1
2x
5
Ни один из выше
-1
Правильный ответ:
-1
Объяснение:
Данное выражение можно переписать как:
Отмена (2x — 5):
Сообщить об ошибке
Найти степень многочлена:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Члены полинома могут иметь переменные, возведенные только в положительные целые степени. Не допускаются квадратные корни, дробные степени и переменные в знаменателе.
Правильный ответ:
Сообщить об ошибке
Какова степень следующего многочлена?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Степень полинома — это самая высокая степень полинома.
Наивысшая степень данного терма:
Следовательно, степень многочлена равна .
Сообщить об ошибке
Какова степень следующего многочлена?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Степень многочлена с одной переменной (в нашем случае ), просто найдите наибольший показатель степени этой переменной в выражении. Термин показывает возведение в седьмую степень, и ни один другой в этом выражении не возводится во что-либо большее, чем семь. Следовательно, степень этого выражения равна .
Сообщить об ошибке
Какова степень следующего многочлена?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Многочлен имеет более одной переменной. Степень полинома — это наибольшая сумма показателей ВСЕХ переменных в термине.
Первый член .
Степень этого члена
Второй член .
Степень этого термина .
Степень полинома – наибольшее из этих двух значений или .
Сообщить об ошибке
Какова степень следующего многочлена?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти степень многочлена, просто найдите самый высокий показатель степени в выражении.
Вы искали вычитание градусов и минут онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и геодезический калькулятор онлайн с градусами минутами и секундами, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычитание градусов и минут онлайн».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычитание градусов и минут онлайн,геодезический калькулятор онлайн с градусами минутами и секундами,градусный калькулятор,градусы калькулятор,инженерный калькулятор онлайн с градусами и минутами,инженерный калькулятор онлайн с градусами и минутами онлайн,инженерный калькулятор онлайн с градусами минутами и секундами,инженерный калькулятор с градусами и минутами онлайн,инженерный калькулятор с градусами минутами и секундами онлайн,инженерный калькулятор с градусами онлайн,как вычесть из градусов градусы с минутами,как вычитать градусы и минуты,как на калькуляторе считать градусы и минуты,как разделить градусы на градусы,как решать задачи с градусами и минутами,как складывать градусы и минуты,как складывать минуты и градусы,как считать градусы и минуты,как считать градусы и минуты на калькуляторе,как считать минуты и градусы,калькулятор градусный,калькулятор градусов,калькулятор градусов и минут,калькулятор градусов и минут онлайн,калькулятор градусов минут секунд онлайн прибавление и вычитание,калькулятор градусов онлайн,калькулятор градусы,калькулятор онлайн градусов,калькулятор онлайн инженерный с градусами минутами и секундами,калькулятор онлайн с градусами и минутами и секундами,калькулятор онлайн с градусами и минутами и секундами онлайн,калькулятор онлайн углов,калькулятор с градусами,калькулятор с градусами и минутами,калькулятор с градусами и минутами и секундами,калькулятор с градусами минутами и секундами онлайн,калькулятор с минутами и градусами,калькулятор с минутами и секундами,калькулятор углов,калькулятор углов онлайн,онлайн калькулятор градусов,онлайн калькулятор градусов и минут,онлайн калькулятор инженерный с градусами,онлайн калькулятор с градусами,онлайн калькулятор с градусами минутами и секундами,онлайн калькулятор углов,сложение градусов и минут онлайн,сложение онлайн градусов и минут,сложение углов. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычитание градусов и минут онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, градусный калькулятор).
Решить задачу вычитание градусов и минут онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Как сделать градусы минуты секунды на калькуляторе? – Обзоры Вики
Что такое градусы минуты секунды? Градусы, минуты, секунды (DMS)
Степени для DMS делятся на 60 минут, а затем каждая минута делится на 60 секунд. Это похоже на часы на наших часах и восходит к вавилонянам, которые работали с системой счисления с основанием 60! Каждый градус содержит 60 минут. Каждая минута содержит 60 секунд.
Дополнительно Как перевести калькулятор в градусный режим? Чтобы перевести большинство моделей научных калькуляторов в режим градусов, все, что вам нужно сделать, это нажать «Mode», а затем посмотреть на цифры на экране рядом с пунктами меню. Найдите число рядом с «Градусом» или «Градусами» и нажмите его, чтобы изменить режим вашего калькулятора.
Как складывать и вычитать градусы, минуты и секунды?
Обычно часы, минуты и секунды сокращаются как ч, мин и с. Минуты также можно записать как m, если нет риска спутать их со счетчиком. Для времени вы можете использовать: в качестве разделителя, например, «Встреть меня в 12:50» или «Мировой рекорд для полного марафона — 2:01:39».
Также Как вы рисуете градусы, минуты, секунды? Десятичные градусы = Градусы + (Минуты / 60) + (Секунды / 3600)
Сначала преобразуйте минуты и секунды в их эквиваленты в градусах и сложите результаты. 25 ‘/ 60 = 0.4167 ° 30 ″ / 3600 = 0083 °…
Затем добавьте это число к количеству градусов. 39 ° + 0.425 ° = 39.425 °
Шаг первый: отдельно вычтите вторые часы, минуты и секунды из первых.
Шаг второй: если секунды — отрицательное число, добавьте 60 секунд и вычтите 1 минуту.
Шаг третий: если минуты — отрицательное число, то прибавьте 60 минут и вычтите 1 час.
Как вы делаете секунды на TI 84 Plus CE? Ввод углов в измерение DMS
Введите количество градусов и нажмите [2nd][APPS][1], чтобы вставить символ градуса.
Введите количество минут и нажмите [2nd][APPS][2], чтобы вставить символ минут.
Введите количество секунд и нажмите [ALPHA][+], чтобы вставить символ секунд.
Как вы делаете градусы минуты и секунды на TI-83 Plus?
Что такое секунды на карте?
Каждый градус делится на 60 минут. Каждая минута состоит из 60 секунд. Другими словами, дуга-секунда представляет собой расстояние широты или долготы, пройденное на поверхности земли во время путешествия одна секунда (1/3600 градуса).
Как написать секунды? Вы можете использовать следующие сокращения для секунд: сек. s.
Как вы находите местоположение с градусами, минутами и секундами?
Используйте координаты для поиска
Откройте Google Earth. В поле поиска на левой панели введите координаты в одном из следующих форматов: десятичные градусы: например, 37. 7 °, -122.2 ° градусов, минуты, секунды: например, 37 ° 25’19.07 ″ с.ш., 122 ° 05 ‘ 06.24 ″ з.
Калькулятор
градусов, минут, секунд, секунд (DMS)
Автор: Julia Żuławinska
Отзыв от Bogna Szyk и Jack Bowater
Последнее обновление: 03 января 2023 г.
Содержание:
Как перевести градусы, минуты, секунды в десятичные секунды? — формула преобразования градусов
Десятичные градусы в DMS — пошаговое преобразование
Этот калькулятор градусов минут секунд может помочь вам преобразовать градусы минуты секунды в десятичные градусы . В тексте ниже мы даем вам DMS в десятичных градусах по формуле . Мы также объясним, как преобразовать десятичные градусы в DMS с пошаговым руководством и примером. Обязательно ознакомьтесь с другими нашими калькуляторами, такими как конвертер lat long в utm!
Когда что-то занимает 1 час 30 минут, вы обычно говорите, что это заняло у вас полтора часа. Но если что-то занимает 1 час и 23 минуты, вы бы не сказали, что это заняло у вас 1,38 часа. То же самое и со степенями. Вы можете использовать десятичные градусы, но иногда удобнее использовать градусы с минутами и секундами. Отличить их можно по символам после цифры:
символ градуса ° ;
символ минут ' ; и
символ секунды " .
Формат DMS наиболее распространен в географической системе координат. Перейдите к конвертеру координат, чтобы узнать больше об этой теме.
А пока давайте узнаем, как это делает наш калькулятор DMS!
Как перевести градусы минуты секунды в десятичные градусы? — формула преобразователя градусов
Сколько минут в градусе? Как и в случае с часами, один градус равен шестидесяти минутам . А в одной минуте шестьдесят секунд, значит, в одном градусе три тысячи шестьсот секунд .
1° = 60'
1 фут = 60 дюймов
1° = 3600"
Чтобы преобразовать DMS в десятичные градусы, все, что вам нужно сделать, это использовать эту формулу:
Откуда берется эта формула преобразования DMS в десятичные градусы? Как вы теперь знаете, в 1 градусе 60 минут. Это означает, что 1 минута равна 1 / 60 градусов, а 1 секунда равна 1 / 3600 градусов.
Давайте рассмотрим пример: Преобразование 67°48’23» в десятичные градусы.
Этот угол равен 67 градусам, 48 минутам и 25 секундам, поэтому вставьте эти значения в правильные места:
Просто, не так ли? наш калькулятор градусов, минут, секунд сделает это за вас! И, если вам нужен более точный ответ, конвертер дроби в десятичную может быть вашим спасением!
Теперь давайте посмотрим, как преобразовать десятичные градусы в DMS. DMS — пошаговое преобразование
Преобразование десятичных градусов в градусы с минутами и секундами немного сложнее. Давайте сделаем это пошагово:
Сначала возьмем целую часть числа — это градусы.
Затем возьмите то, что осталось, и умножьте на шестьдесят. Опять же, отнимите от этого целое число — это минуты.
Наконец, умножьте остаток снова на шестьдесят. Результат — количество секунд.
Чтобы было легче понять, рассмотрим пример. Что такое 47,392° в DMS?
Целое число от 47,392° равно 47, поэтому градусов = 47° .
Десятичная часть: 0,392 умножить на 60 равно 23,52 . Снова возьмем целое число — минут = 23' .
Возьмите десятичную часть шага 2, 0,52 , и умножьте ее на 60 . Вы получите количество секунд = 31,2" .
Градус в десятичной дроби — 47,392° — равен 47°23’31,2″.
Почему мы умножаем на шестьдесят? равно 60 минутам.Умножая часть градуса на шестьдесят, вы получаете 23 минуты и 0,52 минуты.Одна минута равна 60 секундам.Таким образом, когда вы умножаете часть минуты на шестьдесят, вы находите количество секунд.
Не хотите считать вручную? Используйте наш калькулятор градусов минут секунд! И не забудьте проверить наши другие калькуляторы, такие как этот преобразователь масштаба.
Julia Żuławińska
Ознакомьтесь с 3 похожими конвертерами измерений Земли 🌐
Конвертер координатШирота в UTMScale convert
Минуты и градусы — Таблица преобразования
Преобразование минут в градусы.
Рекламные ссылки
В одном градусе 60 минут
1 градус = 60 минут
— а минуты можно преобразовать в градусы, как показано ниже.
Калькулятор минут в градусы
минуты
Перевод градусов в часы : Минуты : Секунды Градусы
1
0,0167
2
0,0333
3
0,05
4
0,0667
5
3 0,01835
6
0,1
7
0,1167
8
0,1333
96
9
0,15
10
0,1667
11
19 6
0,1833 9018 195 12
0,2
13
0,2167
14
0,2333
90 15 91956 900 191
16
0,2667
17
0,2833
18
9190 916 0,3
19
0,3167
20
0,3333
21
1 969 900 0195 22
0,3667
23
0,3833
24
0,4
7
960 969
26
0,4333
27
0,45
27
29
0,4833
30
0,5
31
0,5196 9019 191
32
0,5333
33
0,55
34
0,5667
9019 3 5
2 195 0,5833
36
0,6
37
0,6167
2
38 0,6333
39
0,65
40
0,6667
359
461 41
42
0,7
43
0,7167
44
0,73336
0,75
46
0,7667
47
0,7833
2 4
0,8
49
0,8167
50
0,8333
9019 5
2 195 0,85
52
0,8667
53
0,8833
54
909196
0,9 9019 95 55
0,9167
56
0,9333
57
0,95 90996 1 58
0,9667
59
0,9833
60
1
9 радиан
Рекламные ссылки
Связанные темы
Связанные документы
Engineering ToolBox — Расширение SketchUp — 3D-моделирование в режиме онлайн!
Добавляйте стандартные и настраиваемые параметрические компоненты, такие как балки с полками, пиломатериалы, трубопроводы, лестницы и т. д., в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox — расширения SketchUp, которое можно использовать с потрясающими, интересными и бесплатными приложениями SketchUp Make и SketchUp Pro. .Добавьте расширение Engineering ToolBox в свой SketchUp из хранилища расширений SketchUp Pro Sketchup!
Перевести
О Engineering ToolBox!
Мы не собираем информацию от наших пользователей. В нашем архиве сохраняются только электронные письма и ответы. Файлы cookie используются только в браузере для улучшения взаимодействия с пользователем.
Некоторые из наших калькуляторов и приложений позволяют сохранять данные приложений на локальном компьютере. Эти приложения будут — из-за ограничений браузера — отправлять данные между вашим браузером и нашим сервером. Мы не сохраняем эти данные.
Google использует файлы cookie для показа нашей рекламы и обработки статистики посетителей. Пожалуйста, прочитайте Конфиденциальность и условия Google для получения дополнительной информации о том, как вы можете контролировать показ рекламы и собираемую информацию.
Оборудование: книга, часы, спички,
презентация, распечатки с текстом заданий.
Ход занятия
I. Введение.
Для записи мы используем десять цифр. Запишите
их на доске и назовите.
Эти цифры называются арабскими, потому, что о
них европейские народы узнали от арабов. А
придуманы они были (еще в 6 веке) в Индии. Имеются и
другие нумерации. С одной из них мы сегодня
познакомимся. Это римская нумерация.
Ответы: а) XXI I I; б)XC; в)XLVII ; г) XXXIV; д) LVI; е) DCCLXIV;
ж) MMCLXIV.
IV. Обзорная экскурсия по Цифрограду.
Чтобы понять, что изучать римские числа
интересно и увлекательно, я предлагаю совершить
экскурсию по Цифрограду. В этом городе живут не
люди, в нем живут цифры. Схема нашей экскурсии
будет такой: Пункт I —> Пункт V —> Пункт
X —> Пункт L —> Пункт C —> Пункт D
—> Пункт M.
— Посчитайте, сколько остановок мы сделаем во
время экскурсии.
— Что скрывается за названием пунктов?
Пункт I. Историческая площадь. (Приложение 1.
Слайд 5).
1. Обратите внимание на памятник первому
русскому императору Петру I — знаменитый Медный
всадник. Скульптор Фальконе сделал на его
гранитном постаменте надпись
PETRO PRIMO CATHARINA SECUND
MDCCLXXXII
(Первые две строчки можно перевести в случае
затруднения: “Петру Первому — Екатерина
Вторая”).
— Расшифруйте надпись, сделанную римскими
цифрами. Что она может обозначать?
Ответ: 1782 (год открытия монумента).
2. Недалеко от памятника стоят два дома, на
фасаде которых обозначена дата их постройки:
а) MDCCCCV; б) MDCCCLXXXXIX.
— В каком году построен каждый дом?
— Упростите запись года, учитывая, что в римской
записи чисел четыре одинаковые цифры подряд
обычно не пишут. Ответ: а) 1905 г.; б)1899 г.
Пункт V. Прогуляемся по аллее Виртуозов
устного счета.
Пункт X. Продолжим экскурсию по набережной
реки Гипотезы и познакомимся с Х-версиями
возникновения римских цифр.
Первая версия. Цифра V — это раскрытая ладонь с
плотно прижатыми пальцами, а цифра X- две
раскрытые ладони.
Вторая версия. Римские цифры — это заглавные
латинские буквы: “и”, “вэ”, “икс”, “эль”,
“цэ”, “дэ”, “эм”.
Пункт L. Отдохнем у стены Любознательных,
разгадывая загадки-шутки.
1. Из двух спичек сделайте 10, не прибавляя ни
одной спички и не ломая их. Ответ: X.
2. Из трех спичек сделайте 4. не ломая их. Ответ: IV.
Пункт C. Посетим математическую школу Смекалистых,
где проверим свои силы в решении задач со
спичками.
3. Из спичек сложили неверные равенства.
Переложите в каждом равенстве по одной спичке
так, чтобы равенства стали верными.
Неравенства
Ответы
VI +I=V
V+I=VI или IV+I=V
IX- I= X
XI-I=X или X-I=IX
X +III= XI
X+II=XII или IX+II =XI
X II+IX= II
XII-IX=III
X =VII-III
X-VII=III
V -VI= X
V +V= X
VI-IV= IX
VI+IV=X
IV- V= I
VI-V =I
IV- I+V= II
IV =I+V-II
X +X= I
X-IX= I
Пункт D. У храма Думающего Мудреца
поработаем с неравенствами.
4. Переложив одну палочку, превратите неверное
неравенство в верное.
Неверные неравенства
Верные неравенства
V I+IV > X
VI +VI > X
XIV +V > X I X
X V + VI > X I X
Пункт M. На холме Математиков подведем итоги
экскурсии.
Ответы на вопросы:
— Сколько цифр в римской нумерации?
— Является ли эта нумерация позиционной?
— Какие правила существуют для записи чисел в
римской нумерации?
Самооценка.
Конвертер римских чисел. Разбор задач из списка «для начинающих»… | by Viktor Karpov
3 min read
·
Feb 9, 2020
Symbol Value I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 For example, two is written as II in Roman numeral, just two one’s…
leetcode. com
Римские числа представлены с помощью семи «цифр»: I, V, X, L, C, D и M.
Символ Значение I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
Например, чтобы записать число 2 нужно поставить рядом две единицы — II , 12 это десять и два — XII , а 27 это двадцать, пять и два — XXVII . Запись ведётся слева направо от большего разряда к меньшему.
Однако, есть особенность. Например, четыре — это неIIII , а IV. Вместо того чтобы складывать четыре единицы можно отнять одну от пяти и получить более короткую запись. Аналогично записывается девять как IX.
Всего есть 6 случаев когда применяется вычитание:
I пишется перед V (5) и X (10) — это 4 и 9 соответственно
X пишется перед L (50) и C (100) — это 40 и 90 соответственно
C пишется перед D (500) и M (1000) — это 400 и 900 соответственно
Итак, дана римская запись числа — нужно вернуть обыкновенную, десятичную. j i Указанная пара IX попадает в список «исключительных». Кроме обычного добавления текущего числа мы так же вычтем два предыдущих, что скомпенсирует накопленную ранее ошибку.Result: 59
Осталось реализовать функцию isExceptionalPair. Это можно сделать по-разному, например:
В JavaScript строки неизменяемые. Как следствие, x + y — создание новой строки при каждом вызове, что может отрицательно сказаться на производительности. В данном случае, это вряд ли существенно, а читаемость кода лучше.
PS. Читатели подсказывают улучшенную версию алгоритма. Откуда берутся эти «исключения с вычитаниями»? По всей видимости, идея в том, чтобы получить более короткую запись: вместо IIII (4 символа) получить IV (2 символа).
let res = 0;for (let i = 0; i < s.length - 1; i++) { const curr = sym2num[s[i]]; const next = sym2num[s[i + 1]]; if (curr < next) { res -= curr; } else { res += curr; } }
Конвертер
римских цифр | Мои технические биты.
Символы римских цифр
Система счисления, которой придерживались древние римляне. Обычные римские цифры в основном представляют собой комбинацию латинских алфавитов I, V, X, L, C, D и M. Эта обычная система может генерировать римские цифры до 4999. Чтобы расширить римскую систему за этот предел, было введено несколько других систем. Одним из системных является Vinculum . В этой системе традиционный римский цифровой символ представлен чертой (I, V, X, L, C, D и M), чтобы умножить его на тысячу (1000). Это можно расширить, добавив двойные надчеркивания (I, V, X, L, C, D и M), чтобы умножить его на миллион (1 000 000).
Поскольку надчеркивания и двойные надчеркивания (M, M) трудно использовать в пользовательском интерфейсе компьютера, в последние годы используется альтернативный символ с использованием одинарных и двойных скобок (M) и ((M)).
Ниже приведена таблица обычных и расширенных римских цифр, а также недавние альтернативные символы, использующие скобки вместо зачеркнутых линий.
Символ
Значение
Альтернативный символ
я
1
В
5
Х
10
Л
50
С
100
Д
500
М
1000
я
1000
(Я)
В
5000
(В)
Х
10 000
(Х)
Л
50 000
(л)
С
100 000
(К)
Д
500 000
(Д)
М
1 000 000
(М)
я
1 000 000
((Я))
В
5,0000,00
((В))
Х
10 000 000
((Х))
Л
50 000 000
((Л))
С
100 000 000
((С))
Д
500 000 000
((Д))
М
1 000 000 000
((М))
Правила использования римских цифр
При использовании римских цифр необходимо соблюдать несколько правил. Изначально в обычной системе римляне использовали только до 3,999. Итак, правила основывались на числительных до 3999. Позже, когда было добавлено больше символов для расширения числа, было добавлено еще несколько правил для размещения новых символов.
Правило повторения
Символы I, X, C, M, I, I, X, C, M, I, X, C, M могут повторяться последовательно не более трех раз. Например, 8 представляется как VIII.
Символы V, L, D, V, L, D, V, L, D не должны повторяться. их можно использовать в номере только один раз.
Правило добавления
Если символ с меньшим значением находится справа от символа с таким же значением или с большим значением, символы должны быть добавлены.
Например, если число представлено как XV, то следует добавить значения X и V, т. е. XV = 10 + 5 = 15
Правило вычитания
Когда символ с меньшим значением находится слева от символа с большим значением, символы должны быть вычтены.
Правило вычитания применяется только тогда, когда число не может быть сгенерировано с помощью правила сложения.
Например, если число представлено как IX, то значение I следует вычесть из X, т.е. IX = 10 — 1 = 9.
Когда символ меньшего значения помещается между двумя символами большего значения, он должен вычитаться из символа справа.
Не следует добавлять к символу слева.
Например, если число представлено как LIX, то тогда значение I следует вычесть из X, т.е. LIX = L + (X — I) = 50 + (10 — 1) = 59.
Большие числа
Для представления чисел свыше 3 999 к основным условным символам можно добавить одинарную или двойную черту, чтобы умножить число на 1 000 или 1 000 000 соответственно.
Например:
х = 10 х 1000 = 10 000 (десять тысяч).
Х = 10 х 1 000 000 = 10 000 000 (десять миллионов).
Конвертер десятичных чисел в римские — Расчет десятичных чисел — Онлайн
Самый простой в мире конвертер десятичных чисел в римские цифры для веб-разработчиков и программистов. Просто вставьте арабскую цифру в форму ниже, нажмите кнопку Конвертировать, и вы получите римскую цифру. Нажмите кнопку, получите цифру. Никакой рекламы, ерунды или мусора.
Объявление : Мы только что запустили TECHURLS — простой и интересный агрегатор технических новостей. Проверьте это!
(отменить)
Хотите преобразовать римские цифры в десятичные?
Воспользуйтесь конвертером римских чисел в десятичные!
Ищете дополнительные инструменты веб-разработчика? Попробуйте эти!
Кодировщик URL
Декодер URL
Анализатор URL
Кодировщик HTML
Декодер HTML
Кодировщик Base64
Декодер Base64
HTML Prettifier
HTML Minifier
JSON Prettifier
JSON Minifier
JSON Escaper
JSON Unescaper
JSON Validator
JS Prettifier
JS Minifier
JS Validator
CSS Prettify
CSS Minifier
XML Prettifier
XML Minifier
Преобразователь XML в JSON
Преобразователь JSON в XML
Преобразователь XML в CSV
Преобразователь CSV в XML
Преобразователь XML в YAML
Преобразователь YAML в XML
Преобразователь YAML в TSV
Преобразователь TSV в YAML
Преобразователь XML в TSV
Преобразователь TSV в XML
Преобразователь XML в текст
Преобразователь JSON в CSV
Преобразователь CSV в JSON
Преобразователь JSON в YAML
9 0004 Преобразователь YAML в JSON
Преобразователь JSON в TSV
Преобразователь TSV в JSON
Преобразователь JSON в текст
Преобразователь CSV в YAML
Преобразователь YAML в CSV
Преобразователь TSV в CSV
Преобразователь CSV в TSV
Конвертер CSV в текстовые столбцы
Преобразователь текстовых столбцов в CSV
Преобразователь TSV в текстовые столбцы
Преобразователь текстовых столбцов в TSV
Преобразователь CSV
Преобразователь столбцов CSV в строки
CSV Преобразователь строк в столбцы
Преобразователь столбцов CSV
Экспортер столбцов CSV
Средство замены столбцов CSV
Средство добавления столбцов CSV
Средство добавления столбцов CSV
Средство вставки столбцов CSV
Средство удаления столбцов CSV
Устройство смены разделителей CSV
Преобразователь TSV
Преобразователь столбцов в строки TSV
Преобразователь строк в столбцы TSV
Преобразователь столбцов TSV
Экспортер столбцов TSV
Замена столбцов TSV r
Устройство для добавления колонок TSV
Устройство для добавления колонок TSV
Устройство для вставки колонок TSV
Средство удаления столбцов TSV
Средство смены разделителей TSV
Средство экспорта столбцов с разделителями
Средство удаления столбцов с разделителями
Средство замены столбцов с разделителями
Text Transposer
Преобразователь текстовых столбцов в строки
Преобразователь текстовых строк в столбцы
Преобразователь текстовых столбцов
Преобразователь разделителя текстовых столбцов
Преобразователь HTML в Markdown
Mark до HTML Converter
HTML to Jade Converter
Jade to Преобразователь HTML
Преобразователь BBCode в HTML
Преобразователь BBCode в Jade
Преобразователь BBCode в текст
Преобразователь HTML в текст
HTML Stripper
Преобразователь текста в HTML
Преобразователь времени UNIX во время UTC
Преобразователь времени UTC во время UNIX
Преобразователь IP в двоичный код
Преобразователь двоичного кода в IP
Преобразователь IP в десятичный формат
Преобразователь Octal в IP
IP
Преобразователь десятичного числа в IP
Преобразователь IP в шестнадцатеричный
Преобразователь шестнадцатеричного в IP
Сортировщик IP-адресов
Генератор паролей MySQL
Генератор паролей MariaDB
Генератор паролей Postgres
Генератор паролей Bcrypt
Средство проверки паролей Bcrypt
Генератор паролей Scrypt
Средство проверки паролей Scrypt
Кодировщик/декодер ROT13
ROT 47 Кодировщик/декодер
Кодировщик Punycode
Декодер Punycode
Кодировщик Base32
Декодер Base32
Кодировщик Base58
Декодер Base58
Кодировщик Ascii85
Декодер Ascii85
Кодировщик UTF8
Декодер UTF8
Кодировщик UTF16
Декодер UTF16
Кодировщик Uuen
Кодировщик Uude
Кодировщик кода Морзе
Код Морзе Декодер
XOR Encryptor
XOR Decryptor
AES Encryptor
AES Decryptor
RC4 Encryptor
RC4 Decryptor
DES Encryptor
DES Decryptor
Triple DES Encryptor
Triple DES Decryptor
Rabbit Encryptor
Rabbit Decryptor
NTLM Hash Calculator
MD2 Hash Calculator
MD4 Hash Calculator
MD5 Hash Calculator
MD6 Hash Calculator
Калькулятор хешрейта RipeMD128
Калькулятор хешрейта RipeMD160
Калькулятор хешрейта RipeMD256
Калькулятор хешрейта RipeMD320
Калькулятор хэша SHA1
Калькулятор хэша SHA2
Калькулятор хэша SHA224
Калькулятор хэша SHA256
Калькулятор хэша SHA384
Калькулятор хэша SHA512
Калькулятор хэша SHA3
Калькулятор хэша CRC16
Калькулятор хэша CRC32
Калькулятор хэша Adler32
Whirlpool Hash Калькулятор
Калькулятор всех хэшей
Конвертер секунд в H:M:S
H:M
Конвертер секунд в удобочитаемое время
Конвертер двоичного кода в восьмеричный
Конвертер двоичного кода в десятичный
Конвертер двоичного кода в шестнадцатеричный
Конвертер двоичного кода в двоичный
Преобразователь восьмеричного в десятичный
Преобразователь восьмеричного в шестнадцатеричный
Преобразователь десятичного в двоичный
Преобразователь десятичного в восьмеричный
Преобразователь десятичного в шестнадцатеричный
Преобразователь шестнадцатеричного в двоичный 9000 7
Преобразователь шестнадцатеричных чисел в восьмеричные
Преобразователь шестнадцатеричных чисел в десятичные
Конвертер десятичных чисел в двоично-десятичные
Конвертер двоично-десятичных чисел
Конвертер восьмеричных чисел в двоично-десятичные
Конвертер двоично-десятичных чисел в восьмеричные
Конвертер шестнадцатеричных чисел в двоично-десятичные
Конвертер двоично-десятичных чисел
Двоичный преобразователь в серый
Серый в двоичный преобразователь
Восьмеричный преобразователь в серый
Серый в восьмеричный преобразователь
Десятичный преобразователь в серый
Серый в десятичный преобразователь
He Xadecimal to Grey Converter
Gray to Grey Converter
Калькулятор двоичной суммы
Калькулятор двоичного произведения
Калькулятор двоичного побитового И
Калькулятор двоичного побитового И-НЕ
Калькулятор двоичного побитового ИЛИ
Двоичный побитовый калькулятор НЕ-ИЛИ
Двоичный побитовый калькулятор XOR
Двоичный побитовый калькулятор XNOR
Двоичный побитовый калькулятор НЕ
Двоичный инвертор битов
Двоичный инвертор битов 90 007
Двоичный ротатор чисел
Двоичный битовый ротатор влево
Двоичный Вращатель битов вправо
Преобразователь числа
Преобразователь римских чисел в десятичные
Преобразователь десятичных чисел в римские
Преобразователь чисел в слова
Преобразователь слов в числа
Округление чисел вверх
Округление чисел вниз
Преобразование UTF8 в Hex
Преобразование Hex в UTF8
Преобразование текста в коды ASCII
9000 4 Преобразователь ASCII в текст
Преобразователь текста в двоичный код
Двоичный Преобразователь текста в текст
Преобразователь текста в восьмеричный
Преобразователь восьмеричного в текст
Преобразователь текста в десятичный
Преобразователь десятичного в текст
Преобразователь текста в шестнадцатеричный
Преобразователь шестнадцатеричного формата в текст
Преобразователь текста в нижний регистр
Преобразователь текста в верхний регистр
Преобразователь текста в случайный регистр
Преобразователь текста в заголовки
Преобразование слов в тексте с заглавной буквы
Текст Преобразователь регистра
Усечение строк текста
Обрезка текста Строки
Преобразователь пробелов в символы табуляции
Преобразователь символов табуляции в пробелы
Преобразователь пробелов в новые строки
Преобразователь новых строк в пробелы
Средство удаления акцента
Удаление лишних пробелов
Удаление всех пробелов
Удаление знаков препинания
Добавление разделителя тысяч
Удаление обратной косой черты
Добавление обратной косой черты
Преобразователь текста
Повторитель текста
Заменитель текста
Реверс текста
Поворот текста
Вращатель текстовых символов влево
Вращатель текстовых символов вправо
Калькулятор длины текста
Алфавитный сортировщик текста
Числовой сортировщик текста
Сортировщик текста по длине
Текст из генератора регулярных выражений
Текст по центру
Текст с выравниванием по правому краю
Текст с левой стороны
Текст с правой стороны
Выравнивание текста по ширине
Средство форматирования текстовых столбцов
Regex Match Extractor
Regex Match Replacer
Email Extractor
URL Extractor
Number Extractor
List Merger
List Zipper
List Intersection
Разница в списке
Средство форматирования Printf
Text Grep
Text Head
Text Tail
Извлечение диапазона строк
Word Sorter
Word Wrap
Разделитель слов
Добавить номера строк
Добавить префиксы строк
Добавить Суффиксы строк
Добавление префикса и суффикса
Поиск самой длинной текстовой строки
Поиск самой короткой текстовой строки
Удаление повторяющихся строк
Удаление пустых строк
Рандомизатор строк текста
Рандомизатор букв
Соединение строк текста
Разделитель строк
Реверсивное преобразование строк текста
Фильтр строк текста
Счетчик количества букв в тексте 9000 7
Количество слов в счетчике текста
Количество строк в Счетчик текста
Счетчик количества абзацев в тексте
Калькулятор частоты букв
Калькулятор частоты слов
Калькулятор частоты фраз
Текстовая статистика
Средство выбора случайных элементов
Генератор случайных JSON
Генератор случайных XML
Генератор случайных YAML
Генератор случайных CSV
Генератор случайных TSV
Генератор случайных паролей
Генератор случайных строк
Генератор случайных чисел
Генератор случайных дробей
Генератор случайных интервалов
Генератор случайных чисел
Генератор случайных чисел
Генератор случайных шестнадцатеричных чисел
Генератор случайных байтов
Генератор случайных IP-адресов
Генератор случайных MAC-адресов
Генератор случайных UUID
Генератор случайных GUID
Генератор случайных дат
900 04 Генератор случайного времени
Генератор простых чисел
Генератор чисел Фибоначчи
Генератор числа Пи
E Генератор цифр
Преобразователь десятичных чисел в научные
Преобразователь научных чисел в десятичные
Преобразователь JPG в PNG
Конвертер PNG в JPG
Конвертер GIF в PNG
Конвертер GIF в JPG
Конвертер BMP в PNG
Конвертер BMP в JPG
Конвертер изображения в Base64 Преобразователь Base64
Преобразователь JSON в Base64
Преобразователь XML в Base64
Преобразователь Hex в RGB
Преобразователь RGB в Hex
Преобразователь CMYK в RGB
Преобразователь RGB в CMYK
Преобразователь CMYK в Hex
Конвертер Hex в CMYK
Кодировщик IDN
Декодер IDN
Конвертер миль в километры
Конвертер километров в мили
Конвертер градусов Цельсия в Фаренгейты
900 04 Конвертер градусов по Фаренгейту в градусы Цельсия
Конвертер градусов в градусы
Конвертер градусов в радианы
Конвертер фунтов в килограммы
Конвертер килограммов в фунты
Мой IP-адрес
Все инструменты
Совет: вы можете использовать аргумент запроса ?input=text для передачи текста в инструменты.
Калькулятор «Разложение чисел на простые множители»
Какие простые множители у числа 120?
Ответ: Простые множители числа 120: 2, 2, 2, 3, 5
или
23 × 3 × 5
Объяснение разложения числа 120 на простые множители
Разложение 120 на простые множители (факторизация) — это представление числа 120 как произведения простых чисел. Другими словами, необходимо выяснить, какие простые числа нужно перемножить, чтобы получилось число 120.
Так как число 120 является составным (не простым) мы можем разложить его на простые множители.
Для того, чтобы получить список простых множителей числа 120, необходимо итеративно делить число 120 на минимально возможное простое число пока в результате не получится 1 (единица).
Ниже полное описание шагов факторизации числа 120:
Минимальное простое число на которое можно разделить 120 без остатка — это 2. Следовательно, первый этап расчета будет выглядеть следующим образом:
120 ÷ 2 = 60
Теперь необходимо повторять аналогичные действия, пока в результате не останется 1:
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
В итоге мы получили список всех простых множителей числа 120. Это: 2, 2, 2, 3, 5
Можно упростить выражение и записать как: 23 × 3 × 5
Дерево простых множителей числа 120
Мы также можем визуализировать разложение числа 120 на простые множители в виде дерева факторизации:
<a href=»https://calculat.io/ru/number/prime-factors-of/120″>Простые множители числа 120 — Calculatio</a>
О калькуляторе «Разложение чисел на простые множители»
Данный калькулятор поможет разложить заданное число на простые множители. Например, он может помочь узнать какие простые множители у числа 120? Выберите начальное число (например ‘120’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.
Простые множители - это положительные целые числа, имеющие только два делителя - 1 и само себя.
Калькулятор «Разложение чисел на простые множители»
Таблица разложения чисел на простые множители
Число
Простые множители
105
3, 5, 7
106
2, 53
107
107
108
22 × 33
109
109
110
2, 5, 11
111
3, 37
112
24 × 7
113
113
114
2, 3, 19
115
5, 23
116
22 × 29
117
32 × 13
118
2, 59
119
7, 17
120
23 × 3 × 5
121
112
122
2, 61
123
3, 41
124
22 × 31
125
53
126
2 × 32 × 7
127
127
128
27
129
3, 43
130
2, 5, 13
131
131
132
22 × 3 × 11
133
7, 19
134
2, 67
Коэффициенты 120 | Простая факторизация числа 120, Факторное дерево числа 120
Факторы числа 120 — это те числа, которые полностью делят 120, не оставляя остатка. Есть 16 множителей из 120, среди которых 120 — самый большой множитель, а 2, 3 и 5 — его простые множители. Простую факторизацию числа 120 можно выполнить, умножив все его простые множители так, чтобы произведение было равно 120. Давайте узнаем обо всех множителях числа 120, простой факторизации числа 120 и дереве факторов числа 120 в этой статье.
1.
Какие множители у числа 120?
2.
Как найти делители числа 120?
3.
Прост-факторизация числа 120
4.
Факторное дерево из 120
5.
Коэффициенты 120 в парах
6.
Часто задаваемые вопросы о факторах 120
Какие множители у числа 120?
Факторы числа 120 могут быть перечислены как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Согласно определению факторов, Делители 120 — это те числа, которые делят 120 без остатка. Другими словами, если два числа умножить и произведение равно 120, то числа являются делителями 120. Это означает, что 120 полностью делится на все эти числа. Помимо этого, 120 также имеет отрицательные факторы, которые могут быть перечислены как -1, -2, -3, -4, -5, -6, -8, -10, -12, -15, -20, -24. , -30, -40, -60 и -120.. Для отрицательных множителей нам нужно умножить отрицательный множитель на отрицательный множитель, например, (-40) × (-3) = 120,
Как найти делители числа 120?
Факторизация числа означает запись числа как произведения его множителей. Метод умножения является наиболее часто используемым методом для нахождения делителей числа. Найдем множители числа 120 с помощью умножения.
Факторы 120 с помощью умножения
Давайте найдем множители 120 с помощью метода умножения, выполнив следующие шаги.
Шаг 1: Чтобы найти множители 120 с помощью умножения, нам нужно проверить, какие пары чисел умножаются, чтобы получить 120, поэтому нам нужно разделить 120 на натуральные числа, начиная с 1 и продолжая до 9. Нам нужно записать те числа, которые делят 120 полностью.
Шаг 2: Числа, которые полностью делят 120, называются его делителями. Мы записываем это конкретное число вместе с его парой и составляем список, как показано на рисунке выше. Как мы проверяем и перечисляем все числа до 9, вместе с ним мы автоматически получаем другой парный множитель. Например, начиная с 1, мы пишем 1 × 120 = 120, а 2 × 60 = 120 и так далее. Здесь (1, 120) образует первую пару, (2, 60) образует вторую пару, и список продолжается, как показано. Итак, когда мы пишем 1 как множитель 120, мы получаем другой множитель как 120; и поскольку мы пишем 2 как множитель 120, мы получаем 60 как другой множитель. Таким образом, мы получаем все факторы.
Шаг 3 : После того, как список отмечен, мы получаем все множители 120, начиная с 1 вверх, вниз, а затем снова поднимаемся вверх до 120. Это дает нам полный список всех множителей 120 в виде показано на рисунке, приведенном выше.
Следовательно, множители 120 могут быть перечислены как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Теперь давайте узнаем о простая факторизация числа 120.
Прост-факторизация числа 120
Факторизация простых чисел — это способ представления числа в виде произведения его простых множителей. Простые делители числа — это те делители, которые являются простыми числами. Разложение числа 60 на простые множители можно выполнить, выполнив следующие шаги. Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, чтобы понять простую факторизацию числа 120.
Шаг 1: Первым шагом является деление числа 120 на его наименьший простой делитель. Мы знаем, что простой делитель — это простое число, являющееся делителем данного числа. Итак, с помощью правил делимости находим наименьший делитель заданного числа. Здесь мы получаем 2. Следовательно, 2 — наименьший простой делитель числа 120. Итак, 120 ÷ 2 = 60
Шаг 2: Нам нужно неоднократно делить частное на 2, пока мы не получим число, которое больше не делится на 2. Итак, мы снова делим 60 на 2, что равно 60 ÷ 2 = 30. Мы снова делим 30 на и получить 30 ÷ 2 = 15
Шаг 3: Теперь 15 не делится полностью на 2, поэтому мы переходим к следующему простому множителю 120, который равен 3. Итак, мы разделим 15 на 3, то есть 15 ÷ 3 = 5
Шаг 5: Поскольку 5 — простое число, оно будет разделено на 5, и мы получим 1 как частное.
Шаг 6: Нам не нужно продолжать, так как мы получили 1 как наше частное.
Шаг 7: Таким образом, простая факторизация числа 120 выражается как 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5; где 2, 3 и 5 — простые числа и простые множители числа 120.
Следовательно, простые делители числа 120 равны 2, 3 и 5, а простая факторизация числа 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Факторное дерево из 120
Мы также можем найти простые множители числа 120 с помощью дерева множителей. Факторное дерево 120 может быть построено путем факторизации 120 до тех пор, пока мы не достигнем его простых множителей. Эти факторы разделены и записаны в виде ветвей дерева. Окончательные множители обведены кружком и считаются простыми множителями числа 120. Давайте найдем простые множители числа 120, используя следующие шаги и дерево факторов, приведенное ниже.
Шаг 1: Разделите 120 на два множителя. Возьмем 2 и 60.
Шаг 2: Изучите эти множители, чтобы определить, являются ли они простыми или нет.
Шаг 3: Поскольку 2 — простое число, мы обводим его кружком как один из простых множителей 120. Мы переходим к 60, составному числу, и далее разбиваем его на другие множители. Другими словами, мы повторяем процесс разложения составных чисел на множители и разбиения их на ветви, пока не достигнем простого числа.
Шаг 4: После факторизации 60 мы получаем 2 и 30. Итак, мы обводим 2, потому что это простое число, и мы делим 30 на 2 и 15. Затем мы обводим 2 и делим 15 на 3 и 5. В На этом этапе у нас остались простые числа 2, 3 и 5. Мы обводим их кружком, поскольку знаем, что их нельзя разложить на множители. Это конец дерева факторов.
Примечание: Следует отметить, что могут быть разные деревья множителей числа 120. Например, мы можем начать с разбиения 120 на 3 и 40. Поскольку 3 уже является простым числом, мы обводим его кружком, а затем разделяем 40 на 2 и 20. Снова мы получаем 2 в качестве простого числа, поэтому мы обводим его и делим 20 на 2 и 10. Затем мы обводим 2 и делим 10 на 2 и 5. Наконец, мы можем наблюдать те же самые простые множители, то есть 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Коэффициенты 120 в парах
Множители числа 120 можно записывать парами. Это означает, что произведение парных множителей 120 всегда равно 120. Пары множителей 120 можно записать так, как показано в таблице, приведенной ниже:
Коэффициенты
Коэффициенты положительной пары
1 × 120 = 120
1, 120
2 × 60 = 120
2, 60
3 × 40 = 120
3, 40
4 × 30 = 120
4, 30
5 × 24 = 120
5, 24
6 × 20 = 120
6, 20
8 × 15 = 120
8, 15
10 × 12 = 120
10, 12
Возможны и отрицательные парные множители, потому что произведение двух отрицательных чисел также дает положительное число. Давайте посмотрим на отрицательные парные множители числа 120.
Факторы
Коэффициенты отрицательной пары
-1 × -120 = 120
-1, -120
-2 × -60 = 120
-2, -60
-3 × -40 = 120
-3, -40
-4 × -30 = 120
-4, -30
-5 × -24 = 120
-5, -24
-6 × -20 = 120
-6, -20
-8 × -15 = 120
-8, -15
-10 × -12 = 120
-10, -12
Следующие пункты объясняют некоторые особенности парных множителей числа 120.
Парные множители числа 120 — это целые числа в парах, которые перемножаются, чтобы получить исходное число, т. е. 120.
Пара факторов может быть либо положительные или отрицательные, но они не могут быть дробями или десятичными числами.
Существует трюк, позволяющий вычислить общее количество делителей числа. Например, 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5. Мы получаем простые факторизации 120 как 2 3 × 3 × 5. Просто добавьте один (1) к степени 3, 1 и 1 по отдельности и умножьте их суммы. (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16. Это означает, что 120 имеет всего 16 множителей.
Что нужно запомнить
Вспомним список множителей, отрицательных множителей и простых множителей числа 120. 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120
Простыми делителями числа 120 являются 2, 3, 5. Простые делители числа — это те делители, которые являются простыми числами. В этом случае, если мы разложим 120 на простые множители, мы получим 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5, где 2, 3 и 5 — простые числа и простые делители числа 120.
Каков наибольший общий делитель чисел 120 и 80?
Коэффициенты числа 120 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, а числа 80 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80. Общие делители 120 и 80 равны 1, 2, 4, 8, 10, 20 и 40. Следовательно, наибольший общий делитель (GCF) 120 и 80 равно 40.
Чему равна сумма множителей числа 120?
Сумма всех множителей 120 может быть рассчитана путем сложения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, что равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360.
Среди делителей 120 числа, кратные 5, составляют 5, 10, 15, 20, 30, 40, 60 и 120. Это означает, что эти 8 кратных 5 входят в число множителей 120.
Найдите количество множителей числа 120.
120 имеет 16 множителей, которые могут быть перечислены как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Есть трюк, чтобы вычислить общее количество делителей числа. Например, мы знаем простые факторизации числа 120 как 2 3 × 3 × 5. Нам просто нужно добавить единицу (1) к показателям степени 3, 1 и 1 по отдельности и умножить их суммы. Это приводит к (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16. Это означает, что 120 имеет всего 16 множителей.
Коэффициенты числа 120 — Факторизация простых чисел и пары множителей
Давайте узнаем, что означает факторизация простых чисел. Факторизация простых чисел — это процесс определения простых чисел, которые при умножении вместе могут образовать исходное число. Первичная факторизация полезна для программистов, которые хотят создать уникальный код из чисел, которые не слишком велики для того, чтобы компьютеры могли их быстро хранить или обрабатывать. Вы можете не всегда понимать основные математические принципы, когда используете их в реальной жизни, точно так же, как вы, вероятно, не замечаете алфавит каждый раз, когда читаете. Факторинг — это фундаментальная математическая концепция, которая обращает умножение вспять, определяя целые числа, которые умножаются, образуя большее число. Эта концепция имеет очевидную применимость в реальном мире.
Факторизация числа 120 на простые множители
Факторы числа 120 — это все числа, которые при умножении дают число 120 в виде пары по два. В математических расчетах обычно используется множество различных множителей, например, множители чисел 56, 90 и т. д. Простые множители числа 120 дают вам простые числа. Для нахождения делителей числа 120 нужно использовать метод умножения. Метод умножения дает вам простую факторизацию 120, и, следовательно, вы получите все множители числа. В этой статье мы подробно узнаем о том, что такое множители числа 120, что такое простая факторизация числа 120 и простая факторизация числа 120 с использованием факторного дерева.
Пары множителей числа 120
Пары множителей 120 относятся ко всем различным комбинациям двух множителей числа 120, которые вы перемножаете вместе, чтобы получить ответ как 120. Это двухэтапный процесс для создания всех пар множителей числа 120. 120. Сначала вам нужно перечислить все множители числа 120. Затем вам нужно соединить все различные комбинации этих множителей, и это даст вам все пары множителей числа 120.
Все делители числа 120 включают 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120.
Все различные комбинации пар из этих множителей числа 120 называются парами множителей числа 120. Ниже приведен список всех пар множителей числа 120. Как видите, все пары множителей числа 120 равны числу 120, если их перемножить.
1 x 120 = 120
2 x 60 = 120
3 x 40 = 120
4 x 30 = 120
5 x 24 = 120
6 х 20 = 120
8 x 15 = 120
10 x 12 = 120
12 x 10 = 120
15 x 8 = 120
20 x 6 = 120
24 x 5 = 120
30 x 4 = 120
40 x 3 = 120
60 x 2 = 120
120 x 1 = 120
79
. отрицательные числа, так как минус раз минус приводит к плюсу. Следовательно, вы можете преобразовать все пары положительных факторов, просто поставив знак минус перед каждым фактором, и вы получите все пары отрицательных факторов, равные 120.
-1 × -120 = 120
-2 × -60 = 120
-3 × -40 = 120
-4 × -30 = 1207
-4 × -30
-4 × -30
-4 ×. × -24 = 120
-6 × -20 = 120
-8 × -15 = 120
-10 × -12 = 120
-12 × -10 = 120
-15 × -8 = 120
-20 × -6 = 120
-24 × -5 = 120
-30 × -4 = 120
-40 × -3 = 120
-60 × -2 = 120
-120 × -1 = 120
-120 × -1 = 120
-120 × -1 = 120
-120. of 120
Давайте теперь узнаем о простой факторизации числа 120 с использованием факторного дерева.
120 — составное число. Следовательно, его простая факторизация выглядит следующим образом:
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
Первый шаг — это деление числа 120 на наименьший простой делитель, равный 2, и продолжение деления чисел на 2, пока не получится дробь. .
. десятичное число.
Теперь перейдите к следующему простому числу, равному 3, и продолжайте делить, пока не получите долю от 1. Таким образом, вы получите:
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 3 = 1,66 , который не может быть множителем
Поэтому, когда вы переходите к следующему простому числу, которое есть, и продолжаете процесс деления, вы получаете:
5 ÷ 5 = 1
Вы получили 1 в конце процесса деления и не можете продолжать дальше.
·
определить
в каком порядке следует перечислять эти свойства при чтении графика функции.
Материал
урока
Определение.
Функцию
y=f(x)
называют возрастающей на множестве XD(f),
если для любых точек х1 и х2 множества Х
таких, что х1 < x2,
выполняется неравенство f(x1)
<
f(x2).
Другими
словами, функция возрастает, если большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Определение.
Функцию
y=f(x)
называют убывающей на множестве XD(f),
если для любых точек х1 и х2 множества Х
таких, что х1<x2,
выполняется неравенство f(x1)
> f(x2).
Другими
словами, функция убывает, если большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Определение.
Термины
«возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим
названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или
убывание называют исследованием функции на монотонность.
Если
функция возрастает (или убывает) на своей области определения, то
говорят, что функция возрастающая (убывающая).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Пример.
Определение.
Функцию
y=f(x)
называют ограниченной снизу на множестве XD(f),
если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа,
то есть если существует число m
такое, что для любого значения хϵХ
выполняется неравенство f(x)
> m.
Определение.
Функцию
y=f(x)
называют ограниченной сверху на множестве XD(f),
если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа,
то есть если существует число M такое, что для любого значения хϵХ
выполняется неравенство f(x)
< М.
Определение.
Если
множество Х не указано, то подразумевается, что речь идёт об ограниченности
функции сверху или снизу на всей области её определения.
Если
функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то её называют
ограниченной.
Рассмотрим
пример.
Пример.
Определение.
Число
m называют наименьшимзначениемфункции f(x)
на множестве XD(f),
если:
1) существует
точка х0ϵХ
такая, что f(x0)=m;
2) для
любого значения хϵХ
выполняется неравенство f(x)
≥ f(x0).
Наименьшее
значение функции обозначают символом yнаим.
Определение.
Число
М называют наибольшим значением функции f(x)
на множестве XD(f),
если:
1) существует
точка х0ϵХ
такая, что f(x0)=М;
2) для
любого значения хϵХ
выполняется неравенство f(x)
≤ f(x0).
Наибольшее
значение функции обозначают символом yнаиб.
Если
множество Х не указано, то подразумевается, что речь идёт об поиске
наименьшего или наибольшего значения функции на всей области её определения.
Сформулируем
несколько утверждений:
1)
Если у функции существует yнаим,
то она ограничена снизу.
2)
Если у функции существует yнаиб,
то она ограничена сверху.
3)
Если функция не ограничена снизу, то у неё не существует унаим.
4)
Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует унаиб.
Определение.
Функция
выпукла вниз на промежутке XD(f),
если, соединив любые две точки её графика с абсциссами из Х отрезком, мы
обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведённого
отрезка.
Определение.
Функция выпукла вверх на промежутке
XD(f),
если, соединив любые две точки её графика с абсциссами из Х отрезком, мы
обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведённого
отрезка.
Определение.
Если график функции f(x)
на промежутке Х не имеет точек разрыва (то есть представляет собой
сплошную линию), то это значит, что функция f(x)непрерывна
на промежутке Х.
Замечание.
Обсуждая последние два свойства, мы будем
пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления. Доказательство
этих свойств будет рассмотрено нами позже.
Определение.
Функцию f(x),
xϵX
называют чётной, если для любого значения х из множества Х
выполняется равенство: f(-x)
= f(x)
Функцию f(x),
xϵX
называют нечётной, если для любого значения х из множества Х
выполняется равенство: f(-x)
= —f(x)
В определениях идёт речь о значениях
функции в точках -х и х. Тем самым предполагается, что функция
определена и в точке х и в точке -х. Это значит, что точки х
и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое
множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным
множеством.
Например: отрезок [-5, 5] ̶
симметричное множество, а отрезок [-4, 5] ̶ не симметричное множество (в
него входит число 5, но не входит противоположное ему -5).
Если функция у=f(x),
хϵХ
чётная или нечётная, то ее область определения Х – симметричное
множество.
Если же Х – несимметричное
множество, то функция у=f(x),
хϵХ
не может быть ни чётной ни нечётной.
Теперь давайте рассмотрим общий
алгоритм исследования функции на чётность.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Пример.
Пример.
Вспомним геометрический
смысл свойства чётности и свойства нечётности функции.
Прочитать функцию – это значит перечислить
свойства функции. Для это надо:
1.
Найти область определения функции D(f).
2.
Найти область значения функции E(f).
3. Исследовать функцию на монотонность.
4. Исследовать функцию на ограниченность.
5.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции, если это возможно.
6. Исследовать функцию на чётность.
Исследование функции
Исследование функции
🏠
|Education
|
Mathematics
|
6 класс
7 класс
8 класс
9 класс
10 класс
11 класс
ЕГЭ
ГИА
1.1 Решение квадратных неравенств
Графическое решение неравенств
Графическое решение квадратного уравнения
1. 2 Решение неравенств методом интервалов
Решение различных задач с помощью метода интервалов
1.3 Вещественные числа
Числовые неравенства
Средние n чисел
Сравнение различных средних n чисел
Представление рациональных чисел в виде периодической десятичной дроби
Сравнение чисел
1.4 Модуль
Два модуля
Три модуля 2.1 Функция: основые понятия
Построение графиков от функций, в которых присутствует модуль
2.3 Исследование функций. Образы и прообразы
2.4 Композиции («сложные» функции)
2.5 Понятие обратной функции и её график
2.6 Отображения и их виды
3.1 Множества, заданные уравнения и неравенствами
4.1 Тригонометрия
4.2 Определение тригонометрических функций и их основные свойства
Основные свойства функций y = cos(x), y = sin(x)
4. 3 Основные формулы тригонометрии
Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов
4.4 Формулы приведения
4.5 Графики тригонометрических функций, свойства тригонометрических функций
4.6 Преобразование выражения a·sin(α) + b·cos(α) путём введения вспомогательного аргумента
4.7 Формулы преобразования произведений в суммы и наоборот
Тригонометрический «круг»
4.8 Формулы универсальной подстановки. 5.9 Решение простейших уравнений и неравенств
Составить уравнения множества точек равноудаленных от точки F (7;3) и прямой x — 2y = 11
🔝
Ограниченность и теорема об экстремальном значении
Теорема об экстремальных значениях по сути является расширением теоремы об ограниченности , которая утверждает, что непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале, ограничена на этом интервале. Теорема была впервые доказана в 1830-х годах чешским математиком Бернаром Больцано (1781-1848). Но что именно говорит эта теорема? Хорошо, помните, что если функция непрерывна , в нем нет пробелов и разрывов. Другими словами, вы можете нарисовать график функции от руки, не отрывая карандаша от бумаги. Помните также, что закрытый интервал — это интервал между двумя точками на оси x , который включает конечных точек. Замкнутый интервал между точками a и b на оси x , например, будет включать точки a и b и будет обозначаться как [ a , б ]. Пока все хорошо, но что мы подразумеваем под , ограниченным ?
Функция называется ограниченной , если существуют как верхний, так и нижний пределы значений, которые она может принимать. Другими словами, функция имеет как максимальное, так и минимальное значение, которого она может достичь. На самом деле, это немного сложнее, чем это. Чтобы понять почему, нам нужно изучить концепцию верхней и нижней границ . Верхняя граница может быть любым числом, равным или превышающим максимальное значение, которое может принимать функция. Точно так же нижняя граница может быть любым числом, которое меньше или равно наименьшему значению, которое может принимать функция. Если значения, возвращаемые некоторой непрерывной функцией, могут варьироваться, например, от один до два , то числа один , ноль и минус один являются нижними границами функции, а числа два , три и пять все верхние границы функции.
Однако здесь нас особенно интересует идея функции, имеющей наименьшую верхнюю границу и наибольшую нижнюю границу . наименьшая верхняя граница функции — это верхняя граница, которая либо равна , либо меньше каждой верхней границы функции. Следовательно, по определению это также будет максимальное значение , которое может получить функция. Точно так же наибольшая нижняя граница функции — это нижняя граница, которая либо равна , либо больше каждой нижней границы функции. Таким образом, это число будет минимальным значением , которое может получить функция. Мы можем выразить это немного более формально в терминах самой функции. Предположим, у нас есть функция ƒ( x ), которая непрерывна для всех x на отрезке [9].0003 A , B ], где A ≤ x ≤ B , затем ƒ ( x ) ограничено [ A , B ] по верхней границе Y UB., что ƒ( x ) никогда не превышает, и по нижнему пределу значения y фунтов что ƒ( x ) никогда не меньше, чем для всех x на [ a ,
4 ,
4 , ].
Теорема об экстремальном значении расширяет теорему ограниченности. В то время как теорема об ограниченности утверждает, что непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале , должна быть ограничена на этом интервале, теорема об экстремальном значении идет дальше и утверждает, что функция должна достигать как своего максимального , так и минимального значения, каждый хотя бы раз. Иными словами, функция должна хотя бы один раз достичь значения, равного наименьшей верхней границе, и она также должна хотя бы один раз достичь значения, равного наибольшей нижней границе. Говоря несколько более формально, должно существовать хотя бы одно значение x = c , где c находится на [ a , b ], так что ƒ( c ) = y 0 6 ub. Также должно существовать по крайней мере одно значение x = d , где d находится на [ a , b ], такое, что ƒ( d ) = 0 lb 6 909 y 9000 Рассмотрим следующую иллюстрацию.
График функции ƒ( x ) = 3 x 3 — 10 x 2 определено на замкнутом интервале [-1, 3]
Здесь мы видим график полиномиальной функции ƒ( x ) = 3 x 3 — 10 x 2 , определенной на отрезке [-1, 3]. Функция достигает абсолютного максимального значения при x = c и абсолютного минимального значения при x = d . Значение, возвращаемое функцией ƒ( c ) будет наименьшей верхней границей функции, а значение, возвращаемое функцией ƒ( d ), будет наибольшей нижней границей функции. Заметим, что если бы функция была ограничена конечным интервалом, она простиралась бы до бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Если бы это было так, то, очевидно, не было бы ни верхних, ни нижних границ, ни абсолютных экстремумов.
Теорема об экстремальном значении по существу гарантирует, что для непрерывной функции, заданной на замкнутом интервале, функция всегда будет достигать некоторого абсолютного максимального значения по крайней мере один раз, а также будет достигать некоторого абсолютного минимального значения по крайней мере один раз. Однако, как и некоторые другие рассмотренные нами теоремы, она не говорит нам ничего более конкретного, например, где именно появятся эти экстремумы или каковы будут их фактические значения. Давайте подумаем, как найти абсолютные экстремумы для функции ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1 на замкнутом интервале [-3, 3]. Вот график функции:
График функции ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1, определенный на отрезке [-3, 3]
Мы знаем, что функция непрерывна, поскольку это полиномиальная функция, и поэтому она будет «хорошо себя вести». Поскольку он определен на замкнутом интервале, он соответствует критериям теоремы об экстремальных значениях и будет иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. Мы также знаем, что все экстремумы должны происходить в критических точках. Таким образом, каждый экстремум функции должен приходиться либо на стационарная точка (то есть поворотная точка ) или в одной из конечных точек интервала. Глядя на приведенную выше иллюстрацию, мы уже можем видеть, что экстремумы будут возникать в конечных точках интервала, но помимо этого график не дает нам большого представления о том, какими будут их значения.
Стандартная процедура нахождения абсолютных максимумов и минимумов в этой ситуации состоит в оценке функции для всех критических точек функции. Затем нам просто нужно определить, какая критическая точка имеет наибольшее значение (и, следовательно, является абсолютным максимумом), а какая критическая точка имеет наименьшее значение (и, таким образом, является абсолютным минимумом). Хотя мы видим, что две стационарные точки функции в данном случае не будут абсолютными экстремумами (хотя они и будет конечно будет локальные экстремумы ), продемонстрируем процедуру полностью. Чтобы найти стационарные критические точки функции (то есть точки поворота), мы должны сначала найти производную от ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1, применяя соответствующие правила дифференцирования:
ƒ′( x ) = 9 x 2 — 5
Теперь решим ƒ′( x ) = 0, чтобы найти его корни:
9 x 2 — 5 = 0
9 x 2 = 5
x 2 = 5 / 9 = 0,556
x = ± √(0,556) = ± 0,745
Теперь мы оценим ƒ( x ) для каждой из критических точек функции (включая ее конечные точки):
Функция ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1, определенная на отрезке [-3, 3], таким образом, имеет абсолютный минимум при x = -3 из минус шестьдесят. -пять (-65) и абсолютный максимум при x = 3 из шестьдесят семь (67). Вот еще раз график функции, на этот раз с осью y , уменьшенной по отношению к оси х , чтобы мы могли видеть, где кривая пересекает границы интервала. Хотя мы не можем сказать, просто взглянув на график, какие именно y координаты точек абсолютного максимума и минимума, график действительно соответствует рассчитанным нами значениям.
График функции ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1, масштабированный для отображения абсолютных экстремумов
Подробная процедура нахождения абсолютных экстремумов непрерывной функции ƒ( x ), заданной на отрезке [9].0003 a , b ] выглядит следующим образом:
Получите производную ƒ′( x ) от ƒ( x ).
Решите ƒ′( x ) = 0, чтобы найти критические точки ƒ( x ), которые попадают в интервал [ a , b ]. Помните, что критические точки, выходящие за пределы интервала, нас не интересуют.
Оценить функцию в критических точках, где ƒ′( x ) = 0 (или там, где производная не существует, например, в углах или стыках).
Оцените функцию в конечных точках интервала.
Определите максимальное и минимальное значения функции для интервала. Это будут абсолютный максимум и абсолютный минимум значения соответственно для функции.
Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз мы найдем максимальное и минимальное значения функции ƒ( x ) = x 4 — 3 x 3 — 1 определено на замкнутом интервале [-2, 2]. Эта функция также является полиномиальной функцией, поэтому мы знаем, что она будет непрерывной на интервале.
Сначала получаем производную:
ƒ′( x ) = 4 x 3 — 9 x 2
Затем мы решаем ƒ′( x ) = 0:
4 x 3 — 9 x 2 = 0
x 2 (4 x — 9) = 0
x = 0 или x = 9 / 4 = 2,25
Обратите внимание, что поскольку x = 2,25 лежит за пределами интервала [-2, 2], эта конкретная критическая точка нас не интересует. Однако мы будем оценивать ƒ( x ) для другой определенной критической точки ( x = 0) и для двух конечных точек интервала:
Таким образом, наши максимальное и минимальное значения составляют тридцать девять (39) и минус девять (-9) соответственно. Для полноты картины приведен график функции ƒ( x ) = x 4 — 3 x 3 — 1. График производной ƒ( 90=03 х x 3 — 9 x 2 показано пунктирной линией. Вы можете ясно видеть, что единственная критическая точка, попадающая в интервал [-2, 2], приходится на x = 0.
Графики функции ƒ ( x ) = x 4 -3 x 3 -1 и его производная ƒ ′ ( x ) = 4 x 3 -9 x) = 4 x 3 — x) 2
Учебник по алгебре для колледжа 39
Урок 39. Нули полиномиальных функций, часть II: Верхние и нижние оценки, теорема о промежуточном значении, основная теорема алгебры и теорема о линейной факторизации
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа
Цели обучения
После завершения этого руководства вы сможете:
Определить, является ли заданное число верхней или нижней границей корней
многочлен
функция.
Используйте теорему о промежуточном значении для аппроксимации действительных нулей
многочлен
функции.
Знайте, что если недействительное комплексное число является корнем многочлена
функция
что его сопряженное также является корнем.
Знать, что такое основная теорема алгебры.
Используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти полином n-й степени
функция
учитывая его нули.
Введение
В этом уроке мы рассмотрим несколько аспектов
иметь дело с
нули полиномиальных функций. Если вам нужен обзор о том, как
находить
нулями, теоремой о рациональном нуле или правилом знаков Декарта, чувствовать
бесплатно
идти к Урок 38. Нули
Полиномиальный
Функции, часть I. На этой странице мы погружаемся немного глубже
в
понятие нулей. Одна вещь, которую мы рассмотрим, это найти
в
верхняя и нижняя оценки корней полиномиальной функции. Этот
может
помогите нам сузить возможности рациональных нулей. Другой
Концепция на этой странице — Теорема о промежуточном значении. Это может
помочь сузить возможности реальных нулей, особенно тех, которые
земли между целыми значениями. Мы также будем работать с ненастоящими
сложный
числа. Знаете ли вы, что если недействительное комплексное число равно нулю
полиномиальной функции, что ее сопряженная тоже? Мы
воля
Проследите это, используя Фундаментальную теорему алгебры и
Линейный
Теорема о факторизации для нахождения полиномиальных функций с заданными нулями.
Ух ты,
похоже, у нас есть наша работа вырезали для нас. Я думаю, тебе лучше
начать.
Учебник
Верхняя и нижняя граница
Теорема
Верхняя граница Если вы делите полиномиальную функцию f ( x )
по ( х — с ),
где c > 0, используя синтетическое деление, и это дает все положительные числа,
тогда c является верхней границей действительных корней уравнения f ( x )
= 0,
Обратите внимание, что для c должны произойти две вещи. быть верхней границей. Один c > 0
или положительный.
Во-вторых, все коэффициенты частного, а также
остаток
являются положительными.
Нижняя граница Если вы делите полиномиальную функцию f ( x )
по ( x — c ),
где c < 0, с использованием синтетического деления, что приводит к чередованию знаков,
тогда c является нижней границей действительных корней уравнения f ( x )
= 0. Обратите внимание, что нули могут быть как положительными, так и
отрицательный.
Обратите внимание, что для c должны произойти две вещи.
быть нижней границей. Один c < 0
или
отрицательный. Во-вторых, последовательные коэффициенты
частное
а остальные имеют чередующиеся знаки.
Пример
1 : Показать, что все действительные корни уравнения
лежат между — 4 и 4.
Другими словами, нам нужно показать, что — 4 меньше
связаны и 4
верхняя граница действительных корней данного уравнения.
Проверка
Нижняя граница: Давайте применим синтетическое деление с — 4 и посмотрим, получим ли мы чередующиеся знаки:
Обратите внимание, как c = -4 < 0 И последующие знаки в нижнем ряду нашего синтетического деления чередуются .
Вы знаете, что это значит?
— 4 является нижней границей действительных корней этого
уравнение.
Проверка
Верхняя граница: Давайте применим синтетическое деление на 4 и посмотрим, получим ли мы все положительные значения:
Обратите внимание, что c = 4 > 0 И все
знаков в нижнем ряду нашего синтетического деления
положительный.
Вы знаете, что это значит?
4 является верхней границей действительных корней этого
уравнение.
Так как — 4 является нижней границей, а 4 является верхней границей для
настоящие корни
уравнения, то это означает все действительные корни уравнения лежат
между — 4 и 4.
Промежуточное значение
Теорема
Если f ( x ) является
полиномиальная функция и f ( a )
и f ( b ) имеют разные знаки, то есть хотя бы
один
значение, с , между a и b так, что f ( c )
= 0,
Другими словами, если у вас есть полиномиальная функция и
одно входное значение
делает функцию положительной, а другую отрицательной, то
имеет
быть хотя бы одним значением между ними, которое вызывает полином
функция
быть 0.
Это работает, потому что 0 отделяет положительные от
негативы.
Таким образом, чтобы перейти от положительного к отрицательному или наоборот, вам придется
ударять
точка между ними проходит через 0.
Пример
2 : Покажите, что реальный нуль находится между 2 и 3. Используйте промежуточное значение.
теорема
найти приближение этого нуля с точностью до десятых.
При поиске функциональных значений вы можете либо использовать
синтетическое подразделение
или напрямую подключите номер к функции. Поскольку мы будем только
интересно узнать функциональное значение в этой задаче, я
идущий
чтобы напрямую подключить мое значение x к
функция. Если бы мне нужно было больше, например, знаки частного, например
выше,
тогда я бы использовал синтетическое деление.
Находка f (2):
Находка f (3):
Поскольку между f 2) меняется знак
= -2 и f (3) = 5, то по промежуточному Значение Теорема , существует по крайней мере одно значение между 2 и 3, которое
является нулем этой полиномиальной функции.
Проверка функциональных значений с интервалом в одну десятую
для смены знака:
Finding f (2.1):
Finding f (2.2):
Finding f (2.3):
Finding f (2. 4):
Находка f (2.5):
Эй, у нас смена вывески!!!!!
Теперь нам нужно найти ноль с точностью до десятых.
Так это происходит
быть х = 2,4 или х = 2,5. Мы не можем обязательно руководствоваться функциональной ценностью.
ближе
до нуля.
Нам нужно копнуть немного глубже и пройти мимо
интервалы сотых:
Находка f (2.41):
Находка f (2.42):
Находка f (2.43):
Находка f (2.44):
Находка f (2.45 ): 9
Ух ты!!!! Наконец мы подошли к смене знака между
последовательный
сотые. Это означает, что мы немного сузили его
лучше.
Между 2,44 и 2,45 есть ноль.
905:28 Поскольку он приземлится чуть ниже 2,45, ближайший
десятый бы
быть 2,4.
Работа здесь не тяжелая, просто утомительная.
Основная теорема
Алгебра
Каждое уравнение полиномиальной функции f ( x )
= 0 степени один или выше имеет хотя бы один комплексный корень.
Имейте в виду, что комплексные числа включают действительные
числа. Настоящий
числа — это комплексные числа, мнимая часть которых равна 0.
Сопряженные корни
В уравнениях полиномиальных функций недействительные комплексные корни
всегда происходят
в сопряженных парах.
Другими словами, если комплексное число с мнимой
часть является корнем
уравнения полиномиальной функции, то его сопряженное также является корнем
та самая функция.
Помните, что сопряжение a + bi равно a — bi .
Итак, если 2 + 3 i — известный корень
многочлен
уравнение функции, то 2 — 3 я также.
Если вам нужен обзор комплексных чисел, смело обращайтесь
до Учебник
12: Комплексные числа.
Линейная факторизация
Теорема
Если
где n > 1
и
, затем
, где
комплексные числа (возможно реальный и не обязательно
отдельно)
Другими словами, полиномиальная функция степени n ,
где n > 0, можно разложить на множители
в n (не обязательно различных) линейных множителей по комплексному числу
поле.
Имейте в виду, что некоторые факторы могут проявляться более чем один раз.
время. Для
каждый раз, когда появляется линейный коэффициент, он считается линейным.
фактор.
Например, если ,
линейный фактор ( x + 2) имеет
множественность
3, что означает, что фактор встречается три раза. Так технически
есть 4 линейных множителя, один ( x — 3)
и
три ( x + 2). Это соответствует
степень
полиномиальной функции.
Пример
3 : Используйте данный корень, чтобы найти все корни
многочлен
уравнение ;
1 + я .
Поскольку комплексное число 1 + i является корнем,
значит сопряжено 1 — и тоже корень. Это поможет нам разбить функцию, чтобы найти
любые другие корни.
Это делается так же, как если бы вам дали
настоящий ноль.
Если вам нужен обзор по нахождению корней многочлена
уравнение f ( x )
=0 при получении рута смело переходите к туториалу
37: Синтетическое деление и теоремы об остатках и множителях.
Использование синтетического деления для нахождения частного
получить:
Фу!!! Посмотрите на все эти комплексные числа
в частном.
Не бойтесь, когда мы подставляем наше сопряжение, используя это частное, те
сложный
числа исчезнут, и у нас останется хорошее частное с
настоящий
числовые коэффициенты.
Проверить это:
Теперь мы кое-что получили. Отсюда мы можем
переписать оригинал
проблема с использованием корней, которые у нас есть выше, и частного, которое мы
закончился
с этим последним синтетическим подразделением.
*Первые два множителя равны x минус комплексные нули *3-й множитель — это частное
найдено непосредственно
выше
*Данный комплексный ноль
*Сопряженный ноль
*Установка 3-го коэффициента = 0
Итак, корни полиномиального уравнения равны 1 + i ,
1 — и и -3/5.
Пример
4 : Фактор
а) как произведение факторов, неприводимых на рациональные
числа,
б) как произведение множителей, неприводимых над действительными числами,
и
в) в полностью факторизованной форме, включающей комплексные недействительные числа.
Фактор как произведение факторов, которые
неприводимый над рациональным
номера:
*Множитель трехчлена
Так как 11 не является идеальным квадратом, это то, что мы
может фактор это
используя только рациональные числа.
Фактор как произведение несократимых факторов
над реальными числами:
*Учитывайте разницу
квадратов
Знаете ли вы, что сумму квадратов можно разложить на множители?
над комплексом
недействительные числа как ?
Полностью факторизованная форма, включающая сложные недействительные
номера:
Обратите внимание, как после того, как мы пересчитали комплексные числа
что мы закончили
с четырьмя линейными множителями и что наш полином был четвертой степени.
Создание многочлена
Функция, когда дается
Нули
Теперь мы собираемся все изменить. В следующий
два примера,
нам будут заданы нули и степень полиномиальной функции, и мы
нужно выяснить, что это за многочлен.
Шаг 1: Используйте данный
нулями и теоремой о линейной факторизации, чтобы выписать все
факторы
полиномиальной функции.
Имейте в виду, что если вам дали ненастоящую
комплексный ноль, что его
сопряженное тоже ноль.
Также имейте в виду, что степень говорит вам, как
много линейных факторов
над комплексными числами (возможно, действительными и не обязательно различными)
что
у вас будет.
Факторы записываются следующим образом: если c — ноль, чем ( x — c )
является фактором полиномиальной функции.
Шаг 2. Умножьте все
коэффициенты, найденные на шаге 1.
Пример
5 : найти n -й степени
многочлен
функция где n = 3; 2 + 3 и и 4 — нули; ф (3) = -20.
Шаг 1: Используйте данный
нулями и теоремой о линейной факторизации, чтобы записать
вне
все факторы полиномиальной функции.
Поскольку наша степень равна 3, значит, есть три
линейные коэффициенты над
комплексные числа (возможно, действительные и не обязательно различные).
Обратите внимание, что нам даны только два нуля. Мы должны
придумать
третий. Есть ли у вас какие-либо идеи?
Ах да, если недействительное комплексное число равно нулю, то его
сопряжение
тоже ноль. Так как 2 + 3 i есть
нуль,
значит 2 — 3 i тоже ноль.
Используя теорему о линейной факторизации мы
получить:
Шаг 2: Умножить все
факторов, найденных на шаге 1.
*Расст. — через комп. номера
*Умножить комп. коэффициенты *Упростить ( i в квадрате
= -1) *Умножить оставшиеся множители
Эта проблема дала другое условие, f (3)
= -20.
Это поможет нам найти в этой задаче.
* ф (3)
= -20
*Решите для a sub n
Собираем все вместе, получаем:
Практические задачи
Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
виды проблем. Математика работает так же, как и все
в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.
Чтобы получить максимальную отдачу от этого, вы должны решить проблему на
свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения
для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.
Практика
Задача 1а: Показать, что все действительные корни
данное уравнение
лежат между -3 и 4.
1а. (ответ/обсуждение
к 1а)
Практика
Задача 2а: Показать, что данный многочлен имеет
реальный ноль между
заданные целые числа. Используйте теорему о промежуточном значении, чтобы найти
приближение этого нуля с точностью до десятых.
2а. ;
между -1 и -2. (ответ/обсуждение
к 2а)
Практика
Задача 3а: Используйте заданный корень, чтобы найти все
корни
заданное полиномиальное уравнение.
3а. ;
2 i (ответ/обсуждение
к 3а)
Практика
Задача 4а: Фактор данного многочлена
функция а) как
произведение множителей, неприводимых над рациональными числами, б) как
в
произведение множителей, неприводимых над действительными числами, и c) в
полностью
факторизованная форма, включающая комплексные недействительные числа.
4а. (ответ/обсуждение
к 4а)
Практика
Задача 5а: Найдите n 9Полином 0576-й степени
функция с
данные условия
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$
Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Примеры:
3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. $
Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:
$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два
$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394. 2.$
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.
Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть строку и столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .
Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .
Пример 3. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .
Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.
, (*)
Где – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером .
Вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).
Пример 4.Вычислить определитель
Решение.
Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему 1. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному
Применим теорему 1 ко второй строке, т. е. разложим определитель по элементам второй строки. Получим определитель 4-го порядка.
Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой – элементы первой, умноженные на .
Получим .
Разлагая его по элементам второго столбца, получим
.
Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:
.
Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.
Квадратная матрица вида называется диагональной, а квадратные матрицы и называются матрицами треугольного вида.
Пример 5.Вычислить определитель
Решение.
Будем получать нули под главной диагональю.
1-й этап. Берем первую строку и с ее помощью получим нули в первом столбце. Первую строку умножим на и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой. Получим
2-й этап. Работаем со второй строкой и получаем нули во втором столбце. Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей; вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой:
3-й этап. Из четвертой строки вынесем и переставим третью и четвертую строки:
И последний этап.
Третью строку умножим на и прибавим к четвертой:
.
Разлагаем определитель по элементам первого столбца
.
Снова разлагаем определитель D по элементам первого столбца:
.
Действительно, определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.
Для самостоятельного решения.
1. Вычислить определители
А) . Ответ: .
Б) . Ответ 10.
Указание: Чтобы уменьшить числа, вычтите какую-нибудь строку из остальных. Эту операцию можно проделать несколько раз. Цель: сделать на каком-нибудь месте единицу.
2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду.
. Ответ: 52.
< Предыдущая
Следующая >
Определитель матрицы — 2×2, 3×3, 4×4…
Каталин Дэвид
Определение
Определитель квадратной матрицы A — это целое число, полученное с помощью ряда методов с использованием элементов матрицы.
Обозначение
Пусть
$ А =
\begin{pmatrix}
1 и 4 и 2 \\
5 и 3 и 7 \\
6 и 2 и 1
\end{pmatrix}$
$дет(А) =
\влево|А\вправо| «=»
\begin{vmatrix}
1 и 4 и 2 \\
5 и 3 и 7 \\
6 и 2 и 1
\end{vmatrix}$
Свойства определителя
Если в матрице есть строка или столбец со всеми элементами, равными 0 , то определитель равен 0 .
Пример 12 $\begin{vmatrix}
1 и 4 и 2\\
0 и 0 и 0\\
3 и 9 и 5
\end{vmatrix}= 0$
или
$\begin{vmatrix}
1 и 4 и 0\\
4 и 2 и 0\\
3 и 9 и 0
\end{vmatrix}=0$
Если матрица имеет две равные строки или два равных столбца , то его определитель равен 0 .
Пример 13 $\begin{vmatrix}
1 и 4 и 2\\
1 и 4 и 2\\
3 и 9 и 5
\end{vmatrix}= 0$
или
$\begin{vmatrix}
1 и 4 и 1\\
4 и 2 и 4\\
3 и 9 и 3
\end{vmatrix}=0$
Если матрица имеет две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца , то ее определитель равен 0 .
Пример 14 $\begin{vmatrix}
1 и 4 и 2\\
2 и 8 и 4\\
3 и 9& 5
\end{vmatrix}= 0$ (первые две строки пропорциональны) или $\begin{vmatrix}
8 и 4 и 7\\
4 и 2 и 3\\
18 и 9 и 8
\end{vmatrix}=0$ (первые два столбца пропорциональны)
Если строка или столбец есть сумма или разность других строк, соответственно столбцов , то определитель равен 0 .
Пример 15 $\begin{vmatrix}
1 и 4 и 2\\
7 и 2 и 3\\
8 и 6 и 5
\end{vmatrix}= 0$ $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или
$
\begin{vmatrix}
9 и 12 и 3\\
1 и 8 и 7\\
5 и 7 и 2
\end{vmatrix}=0$ $C_{1}+C_{3}=C_{2}$
В определителе мы можем отдельно выносить целые числа из строк и столбцов.
Пример 16 В определителе $\begin{vmatrix}
3 и 9 и 12\\
5 и 1 и 8 \\
7 и 4 и 2
\end{vmatrix}$,
мы умножаем 3 из строки 1 $(R_{1})$ и получаем: $3 \cdot
\begin{vmatrix}
1 и 3 и 4\\
5 и 1 и 8\\
7 и 4 и 2
\end{vmatrix}$, то мы выносим 2 из столбца 3 $(C_{3})$: $6\cdot
\begin{vmatrix}
1 и 3 и 2\\
5 и 1 и 4\\
7 и 4 и 1
\end{vmatrix}$
В определителе мы можем прибавлять или вычитать строки или столбцы к другим строкам, соответственно столбцам, и значение определителя остается прежним.
Пример 17 $\begin{vmatrix}
1 и 5\\
3 и 8
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{R_{1}+R_{2}}
\begin{vmatrix}
4 и 13\\
3 и 8
\end{vmatrix}$ Пример 18 $\begin{vmatrix}
1 и 5\\
3 и 8
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{C_{1}+C_{2}}
\begin{vmatrix}
6 и 5\\
11 и 8
\end{vmatrix}$
В определителе мы можем складывать или вычитать несколько строк или столбцов.
Пример 19 $\begin{vmatrix}
1 и 5\\
3 и 8
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}}
\begin{vmatrix}
11 и 34\\
3 и 8
\end{vmatrix}$
Пример 20 $\begin{vmatrix}
1 и 5\\
3 и 8
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{5C_{1}-C_{2}}
\begin{vmatrix}
0 и 5\\
7 и 8
\end{vmatrix}$
Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования.
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.
Минор матрицы
Определитель, полученный путем удаления некоторых строк и столбцов в квадратной матрице, называется минором этой матрицы.
Пример 21 $A=\begin{pmatrix}
1 и 4 и 2 \\
5 и 3 и 7 \\
6 и 2 и 1
\end{pmatrix}$
Один из миноров матрицы A равен
$\begin{vmatrix}
1 и 4\\
5 и 3
\end{vmatrix}$ (получено удалением строки 3 и столбца 3 из матрицы A)
Другой несовершеннолетний
$\begin{vmatrix}
1 и 2 \\
6 и 1
\end{vmatrix}$ (получено удалением строки 2 и столбца 2 из матрицы A)
Пример 22 $B=\begin{pmatrix}
2 и 5 и 1 и 3\\
4 и 1 и 7 и 9\\
6 и 8 и 3 и 2\\
7 и 8 и 1 и 4
\end{pматрица}
$
Один из миноров матрицы B равен
$ \begin{vmatrix}
1 и 7 и 9\\
8 и 3 и 2\\
8 и 1 и 4
\end{vmatrix}$ (получено удалением строки 1 и столбца 1 из матрицы B)
Еще один несовершеннолетний
$\begin{vmatrix}
1 и 7 \\
8 и 3
\end{vmatrix}$ (получено удалением строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)
Позволять
$A= \begin{pmatrix}
а_{1,1} и а_{1,2} и а_{1,3} и . & . & a_{1,n}\\
а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\
а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\
. & . & . & . & .& .\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна}
\end{pmatrix}$
Мы можем связать минор $\Delta_{i,j}$ (полученный удалением строки i и столбца j) с любым элементом $a_{i,j}$ матрицы A.
Пример 23 $ A = \begin{pmatrix}
4 и 7\\
2 и 9
\end{pmatrix}$
Нам нужно определить минор, связанный с 2. Так как этот элемент находится в строке 2, столбце 1, то 2 равно $a_{2,1}$.
Мы должны исключить строку 2 и столбец 1 из матрицы A, в результате чего получается
Минор числа 2 равен $\Delta_{2,1} = 7$.
Пример 24 $B=\begin{pmatrix}
1 и 4 и 2 \\
5 и 3 и 7 \\
6 и 2 и 1
\end{pmatrix}$
Нам нужно определить минор, связанный с 7. Так как этот элемент находится в строке 2, столбце 3, то 7 равен $a_{2,3}$.
Мы должны исключить строку 2 и столбец 3 из матрицы B, в результате чего получится
Минор числа 7 равен $\Delta_{2,3}=
\begin{vmatrix}
1 и 4\\
6 и 2
\end{vmatrix}$
Пример 25 $C=\begin{pmatrix}
2 и 5 и 1 и 3\\
4 и 1 и 7 и 9\\
6 и 8 и 3 и 2\\
7 и 8 и 1 и 4
\end{pmatrix}$
Нам нужно определить минор, связанный с 5. Поскольку этот элемент находится в строке 1 столбца 2, то 5 равно $a_{1,2}$.
Мы должны исключить строку 1 и столбец 2 из матрицы C, в результате чего получится
Минор числа 5 равен $\Delta_{1,2}=
\begin{vmatrix}
4 и 7 и 9\\
6 и 3 и 2\\
7 и 1 и 4\\
\end{vmatrix}$
9{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ соответствует элементу $ a_{2.5}$
Приказ определителя
Порядок определителя равен количеству его строк и столбцов.
Пример 26 $\begin{vmatrix}
1 и 4\\
6 и 2\\
\end{vmatrix}$ (у него 2 строки и 2 столбца, поэтому его порядок равен 2)
Пример 27 $\begin{vmatrix}
4 и 7 и 9\\
6 и 3 и 2\\
7 и 1 и 4\\
\end{vmatrix}$ (у него 3 строки и 3 столбца, поэтому его порядок равен 3)
Вычисление определителя матрицы
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца и их сомножителей.
$\слева| А\право| «=»
\begin{vmatrix}
а_{1,1} и а_{1,2} и а_{1,3} и . & . & a_{1,n}\\
а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\
а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\
. & . & . & . & .& .\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна}\\
\end{vmatrix}$
9{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}$
Однако $ \Delta_{1,1}= a_{2,2} $ и $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$
Мы умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (главная диагональ и нижние) и суммируем результаты: $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\ cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2 ,3}}$
Существуют определители, элементами которых являются буквы. Их легче вычислить, используя свойства определителей. Например, мы вычисляем определитель матрицы, в которой есть одни и те же элементы в любой строке или столбце, но переупорядоченные.
$\begin{vmatrix}
а и б и в \\
такси\\
б и в и а
\end{vmatrix}$
$
\xlongequal{C_{1}+C_{2}+C_{3}}
\begin{vmatrix}
а + б + с и б и с\\
с + а + б & а & б \\
б + в + а и в и а
\end{vmatrix} = (а + б + с)
\cdot
\begin{vmatrix}
1 и б и в\\
1 и а и б\\
1 и с и а
\end{vmatrix}$
9{2}
\end{vmatrix}= $
$\begin{vmatrix}
а-в и б-в \\
(а-с) (а+с) и (б-с)(б+с)
\end{vmatrix}=$
$(а-в)(б-в)\begin{vmatrix}
1 и 1\\
а+с и б+с
\end{vmatrix}=$
Для вычисления определителей 4×4 используем общую формулу.
Перед применением формулы с использованием свойств определителей:
проверяем, выполняется ли какое-либо из условий для того, чтобы значение определителя было равно 0.
Мы проверяем, можем ли мы выделить любую строку или столбец.
Проверяем, является ли определитель матрицей Вандермонда и имеет ли он те же элементы, но переупорядоченные, в любой строке или столбце.
В любом из этих случаев воспользуемся соответствующими методами вычисления определителей 3×3. Мы модифицируем строку или столбец, чтобы заполнить его 0, за исключением одного элемента. Определитель будет равен произведению этого элемента и его кофактора. В этом случае кофактор представляет собой детерминант 3×3, который рассчитывается по специальной формуле.
Пример 33 $\begin{vmatrix}
1 и 3 и 9 и 2\\
5 и 8 и 4 и 3\\
0 и 0 и 0 и 0\\
2 и 3 и 1 и 8
\end{vmatrix}$
Заметим, что все элементы в строке 3 равны 0, поэтому определитель равен 0.
Пример 34 $\begin{vmatrix}
1 и 3 и 1 и 2\\
5 и 8 и 5 и 3\\
0 и 4 и 0 и 0\\
2 и 3 и 2 и 8
\end{vmatrix}$ Заметим, что $C_{1}$ и $C_{3}$ равны, поэтому определитель равен 0.
Пример 35 $\begin{vmatrix}
1 и 3 и 9 и 2\\
5 и 8 и 4 и 3\\
10 и 16 и 18 и 4\\
2 и 3 и 1 и 8
\end{vmatrix}$ Заметим, что строки 2 и 3 пропорциональны, поэтому определитель равен 0.
Пример 36 $\begin{vmatrix}
\цвет{красный}{4} & 3 & 2 & 2\\
0 и 1 и -3 и 3\\
0 и -1 и 3 и 3\\
0 и 3 и 1 и 1
\end{vmatrix}$
Поскольку в столбце 1 есть только один элемент, отличный от 0, мы применяем общую формулу, используя этот столбец. Кофакторы, соответствующие элементам, равным 0, не нужно вычислять, потому что произведение их и этих элементов будет равно 0.
Пример 37 $\begin{vmatrix}
4 и 3 и 2 и 2\\
0 и 1 и 0 и -2\\
1 и -1 и 3 и 3\\
2 и 3 и 1 и 1
\end{vmatrix}$
Чтобы изменить строки так, чтобы в них было больше нулей, мы оперируем столбцами и наоборот. Мы выбираем строку или столбец, содержащие элемент 1, потому что мы можем получить любое число путем умножения.
Мы замечаем, что в строке 2 уже есть два элемента, равных 0. Мы делаем только один другой 0, чтобы вычислить только сомножитель 1.
$\begin{vmatrix}
4 и 3 и 2 и 2\\
0 и 1 и 0 и -2\\
1 и -1 и 3 и 3\\
2 и 3 и 1 и 1
\end{vmatrix}
\xlongequal{C_{4}+2C_{2}}$
$\begin{vmatrix}
4 и 3 и 2 и 8\\
0 & \цвет{красный}{1} & 0 & 0\\
1 и -1 и 3 и 1\\
2 и 3 и 1 и 7
\end{vmatrix}=$
$=$ 9{2+2}\cdot
\begin{vmatrix}
4 и 2 и 8\\
1 и 3 и 1\\
2 и 1 и 7
\end{vmatrix}=$ $=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) = $
84$ + 8 + 4- 48-4-14=30$
Пример 38 $\begin{vmatrix}
1 и -2 и 3 и 2\\
2 и 3 и 1 и -1\\
3 и 3 и 3 и 3\\
-1 и 4 и 2 и 1\\
\end{vmatrix}$
Мы можем разложить 3 из строки 3: $3\cdot
\begin{vmatrix}
1 и -2 и 3 и 2\\
2 и 3 и 1 и -1\\
1 и 1 и 1 и 1\\
-1 и 4 и 2 и 1\\
\end{vmatrix}$
9{3+4}\cdot$ $=(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
-1 и -4 и 1\\
3 и 4 и 2 \\
-2 и 3 и 1\\
\end{vmatrix}$ $=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4 \cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47 $
Пример 39 $\begin{vmatrix}
2 и 5 и 1 и 4\\
4 и 1 и 6 и 3\\
5 и 3 и 7 и 2\\
1 и 0 и 2 и 4
\end{vmatrix}$
В этом примере мы можем использовать последнюю строку (которая содержит 1) и можем сделать нули в первом столбце. 9{4+1}\cdot
\begin{vmatrix}
5 и -3 и -4\\
1 и -2 и -13\\
3 и -3 и -18
\end{vmatrix}=$
$(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
5 и -3 и -4\\
1 и -2 и -13\\
3 и -3 и -18
\end{vmatrix}$
Мы умножаем -1 из столбца 2 и -1 из столбца 3. $ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
5 и 3 и 4\\
1 и 2 и 13\\
3 и 3 и 18
\end{vmatrix}=$
$(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
5 и 3 и 4\\
1 и 2 и 13\\
3 и 3 и 18
\end{vmatrix}=$
$-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 — (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3 \cdot 1)]=$
$-(180+12+117-24-195-54)=36$
Пример 40 $\begin{vmatrix}
4 и 7 и 2 и 3\\
1 и 3 и 1 и 2\\
2 и 5 и 3 и 4\\
1 и 4 и 2 и 3
\end{vmatrix}$
В столбце 3 стоит 1, поэтому мы обнулим строку 2.
$\begin{vmatrix}
4 и 7 и 2 и 3\\
1 и 3 и 1 и 2\\
2 и 5 и 3 и 4\\
1 и 4 и 2 и 3
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{C_{1}-C_{3}, C_{2}-3C_{3},C_{4}-2C_{3}}
\begin{vmatrix}
2 и 1 и 2 и -1\\
0 и 0 и \цвет{красный}{1} и 0 \\
-1 и -4 и 3 и -2\\
-1 и -2 и 2 и -1
\end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{2+5}\cdot
\begin{vmatrix}
2 и 1 и -1\\
-1 и -4 и -2\\
-1 и -2 и -1
\end{vmatrix}$
Мы умножаем -1 из строки 2 и -1 из строки 3. $ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
2 и 1 и -1\\
1 и 4 и 2\\
1 и 2 и 1
\end{vmatrix}=$
$(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
2 и 1 и -1\\
1 и 4 и 2\\
1 и 2 и 1
\end{vmatrix}=$
$-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 — ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$
$-(8-2+2+4-8-1)=-3$
Пример 41 $\begin{vmatrix}
2 и 1 и 3 и 4\\
1 и 3 и 4 и 2\\
3 и 4 и 2 и 1\\
4 и 2 и 1 и 3\\
\end{vmatrix}$
Мы замечаем, что в любой строке или столбце есть одни и те же элементы, но в другом порядке. В этом случае мы складываем все строки или все столбцы.
$\begin{vmatrix}
2 и 1 и 3 и 4\\
1 и 3 и 4 и 2\\
3 и 4 и 2 и 1\\
4 и 2 и 1 и 3
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}}
\begin{vmatrix}
10 и 10 и 10 и 10\\
1 и 3 и 4 и 2\\
3 и 4 и 2 и 1\\
4 и 2 и 1 и 3
\end{vmatrix} =$ $10\cdot
\begin{vmatrix}
1 и 1 и 1 и 1\\
1 и 3 и 4 и 2\\
3 и 4 и 2 и 1\\
4 и 2 и 1 и 3
\end{vmatrix}$
$\xlongequal{C_{1} — C_{4},C_{2}-C_{4},C_{3}-C_{4}}10\cdot
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & \цвет{красный}{1}\\
-1 и 1 и 2 и 2\\
2 и 3 и 1 и 1\\
1 и -1 и -2 и 3
\end{vmatrix}=$
9{1+4}$
$ = (-10)\cdot \begin{vmatrix}
-1 и 1 и 2\\
2 и 3 и 1\\
1 и -1 и -2
\end{vmatrix}=$
$(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$
$-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$
$= -10\cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$
Матрицы
Умножение матриц
Ранг матриц
Обратные матрицы
Матричные уравнения
Системы уравнений
Матричные калькуляторы
Матрицы и определители — задачи с решениями
Вычисление определителей матрицы 4-го порядка?
JavaScript отключен. Для лучшего опыта, пожалуйста, включите JavaScript в вашем браузере, прежде чем продолжить.
Состояние
Закрыто для дальнейших ответов.
#1
Добавить закладку
#1
Мой алгоритм вычисления определителей матриц не работает должным образом, поэтому я обращаюсь к Ars за помощью по математике.
Итак… Я пытаюсь найти определитель матрицы 4×4: Просмотреть изображение: http://www.steelskies. com/images/det.jpg
Правильно ли я думаю, что определитель этой матрицы равен…< BR> Это значение, обведенное кружком, умножается на определитель этого патча 3×3: Просмотреть изображение: http://www.steelskies.com/images/det1 .jpg -PLUS- это значение, обведенное кружком, умноженное на определитель этого патча 3×3: Просмотреть изображение: http://www.steelskies .com/images/det2.jpg -PLUS- это значение, обведенное кружком, умноженное на определитель этого патча 3×3: Просмотреть изображение: http ://www.steelskies.com/images/det3.jpg -PLUS- это значение, обведенное кружком, умноженное на определитель этого патча 3×3:< BR>Просмотреть изображение: http://www.steelskies.com/images/det4.jpg
Хммм. … судя по этой странице, то, что я делаю, должно работать. Это привело бы к выводу, что Matlab (который я использую для перепроверки своих ответов) неправильно вычисляет мои определители. Это звучит немного маловероятно….
#4
Добавить закладку
#4
Рекурсия.
#5
Добавить закладку
#5
Я использую рекурсию. Но он не работает с матрицами 4-го порядка.
А-а-а… Я заметил небольшую заминку. При работе с матрицами 3-го порядка большинство людей меняют местами знаковый бит при сложении компонентов. . Просмотреть изображение: http://www.steelskies.com/images/det3rd.jpg Общий метод — верхний правый.
Я посмотрел на это и решил, что это далеко не так. проще использовать нижний метод. Если представить, что матрица зацикливается вокруг самой себя, то вынесенная из нее составляющая 2×2 представляет собой непрерывный квадрат. Это также избавляет от необходимости постоянно менять бит знака — все компоненты просто складываются вместе.
Кто-нибудь может подтвердить, что этот метод не работает при удалении компонентов 3×3? Могу ли я что-нибудь сделать, чтобы это заработало?
[Это сообщение было отредактировано Catfish 5 августа 2002 г. в 12:57.]
#6
Добавить закладку
#6
Это не плюс на всем протяжении Не думаю. Это должно быть плюс, минус, плюс, я считаю.
#7
Добавить закладку
#7
quote:Первоначально опубликовано RhoSinePhi: Я не думаю, что это плюс на всем протяжении. Думаю, должно быть плюс, минус, плюс.
Бах обман. Мне больше нравился мой обтекатель. Жаль, что он не работает на 3×3.
#9
Добавить закладку
#9
MDETERM
Возвращает определитель матрицы массива. (i+j).
БЕСПЛАТНЫЙ СОВЕТ: при ручной работе… pick строка или столбец с наибольшим количеством нулевых записей (не только первая строка).
СЛЕДСТВИЕ. Ненулевая строка/столбец дает det(A)=0.
И я во время моего трехнедельного перерыва в школе… и, если подумать прошлой ночью, я засыпаю под книгу по теории чисел.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Кофактор расширение.. не разложение.
#11
Добавить закладку
#11
ТИ-89
9(i+j), хотя его следствие звучит неправильно. .. Разве это не должно быть «ВСЕ нулевая строка или столбец => |A| = 0»? (где, очевидно, |A| = det(A))
Мой учебник по линейной алгебре заперт в хранилище примерно в двух часах пути, но я бы посоветовал вам проверить детерминанты — из MathWorld
-Эван
№13
Добавить закладку
№13
Математик говорит: Туборг прав!
№14
Добавить закладку
№14
Да… ты прав. Это должен быть нулевой ряд. Я должен быть нулевым рядом. Я осёл.
№15
Добавить закладку
№15
Хех, не будь так строг к себе.
-Эван
№16
Добавить закладку
№16
quote:Исходное сообщение RatStomper: Эх, не будь так строг к себе.
-Эван
Да, должен. Если бы кто-то в НАСА допустил подобную ошибку, он мог бы врезаться в Марс или что-то в этом роде. Посмотреть изображение: /infopop/emoticons/icon_biggrin.gif
# 17
Добавить закладку
# 17
За исключением того, что он не работает на НАСА.
# 18
Добавить закладку
# 18
Вот для чего нужны симуляция/тестирование/резервирование/экспертная оценка. ..
-Эван
# 19
Добавить закладку
# 19
{шепотом} Эмм, это была шутка, отсюда и ухмылка {/шепотом}
Окислительно-восстановительные и ионные реакции, уравнения реакций
Ионные уравнения реакций — это уравнения, в которых участвуют ионы. Когда вещество помещают в среду растворителя, происходит процесс распада вещества на ионы, т.е диссоциация. Ионы, имеющие заряд положительный (+) называются катионами, если заряд отрицательный (-), то какой ион называется анионом.
Рассмотрим в качестве растворителя воду, как наиболее изучаемую среду в рамках школьной программы. В водных растворах все электролиты, в той или иной степени ионизированы, поэтому и реакции протекают между ионами. При помещении кристаллов поваренной соли NaCl в воду мы наблюдаем растворение (физический процесс), далее происходит диссоциация соли, распад молекулы NaCl на ионы Na+ и Cl—. Реакция диссоциации записывается так: NaCl = Na+ + Cl—.
Чтобы узнать подвергается ли вещество диссоциации, нужно обратиться к таблице растворимости кислот, солей и оснований в воде. В таблице названия столбцов — это катионы, название строк — анионы, при пересечении ячеек находим окошко с буквой, в ней и скрыт ответ. Вещество нерастворимо, то есть не подвергается диссоциации — Н, вещество растворимо (диссоциирует на ионы) — Р, буква М обозначает, что вещество мало растворимо в воде, значит, если оно образуется в ходе реакции, т.е. находится в продуктах реакции в уравнении, то мы его считаем нерастворимым (осадком), на ионы не распадается, а если находится в исходных веществах, то диссоциации подвергается, смело записываем в виде ионов, что касается знака вопроса в таблице растворимости или прочерка, то это означает, что это вещество не может получиться в продукте реакции, значит реакция не ионного обмена, а окислительно-востановительная и идет с изменением степеней окисления. Если в исходных веществах и продуктах реакции все вещества растворимые, то такая реакция ионного обмена является обратимой.
Обычно уравнения реакций мы записываем в молекулярном виде, опуская тот факт, что в реакции участвуют ионы. Для более подробного описания реакций существует запись в ионном виде (полное ионное уравнение и краткое ионное уравнение).
Нужна помощь репетитора по химии для подготовки к ЕГЭ? Загляните в каталог TutorOnline!
Составление уравнений реакций, протекающих в растворах электролитов
1. Запишем реакцию в молекулярном виде: сначала левую часть уравнения реакции (исходные вещества через математический знак сложения), затем после знака равно правую часть (продукты реакции через знак «+», используя знания о химических свойствах реагирующих веществ).
NaCl + Pb(NO3)2 = PbCl2↓ + NaNO
2. Находим признак, протекаемой реакции. Если в результате реакции образуется газ, осадок, малодиссоциируемое вещество, вода, то такая реакция идет. Для нахождения осадка пользуемся таблицей растворимости, вещество нерастворимо — значит осадок.
В нашем случае, образуется осадок PbCl2↓, значит реакция идет.
3. Расставляем коэффициенты в уравнении реакции, используя правило, сначала уравниваем металлы, затем любые неметаллы, затем водород и проверяем всю реакцию по кислороду.
2NaCl + Pb(NO3)2 = PbCl2↓ + 2NaNO3
4. Запишем полное ионное уравнение реакции, учитывая стехиометрические коэффициенты: подвергнем диссоциации вещества, которые растворимы в воде. Вещества нерастворимые, газы, осадки, вода, оксиды диссоциации не подвергаются.
2Na+ + 2Cl— + Pb2+ + 2NO3— = PbCl2↓ + 2Na+ +2NO3—
Помним, что заряд иона пишется сначала цифра затем знак, а не наоборот как степень окисления.
5. Составим краткое ионное уравнение (в сокращенной ионной форме): сократим одинаковые ионы в левой и правой части.
6. Запишем краткое ионное уравнение (сначала катион, затем анион)
Pb2+ + 2Cl— = PbCl2↓
Окислительно-восстановительные реакции в растворах
Существует множество химических реакций, в которых происходит перенос электронов от одного вещества к другому, такие реакции называются окислительно-восстановительными, где атомы одного вещества принимают электроны, а другого отдают.
Окислительно-восстановительные реакции (ОВР) — это реакции, в которых происходит изменение степени окисления одного или нескольких атомов элементов.
Восстановитель — это вещество, которое отдает электроны, подвергается процессу окисления. Окислитель — это вещество, которое принимает электроны и подвергается процессу восстановления. Окислителем и восстановителем могут быть только исходные вещества. Частицы с промежуточной степенью окисления, в зависимости от условий могут проявлять как окислительные так и восстановительные свойства.
Составление окислительно-восстановительных реакций методом электронного баланса
3. Подчеркиваем атомы, которые меняли свою степень окисления:
4. Описываем изменения степеней окисления: помним, что перед подсчетом электронов нужно уравнять атомы в левой и правой части.
5. Отчеркиваем и переписываем значения электронов:
6. Отчеркиваем, находим общий множитель между этими цифрами:
7. Отчеркиваем, делим общий множитель на каждое из чисел:
8. Мы нашли базовые коэффициенты в уравнении реакции, ставим их перед наиболее простыми веществами в уравнении реакции:
9. Запишем названия процессов: магний электроны отдает, значит он подвергается процессу окисления, водород — принимает, процесс восстановление.
10. Расставляем коэффициенты, уравнивая атомы в левой и правой частях. В нашем случае, перед каждым веществом коэффициент 1.
11. Запишем, какое исходное вещество является окислителем, а какое восстановителем:
12. В итоге полная запись ОВР выглядит таким образом:
Метод электронно-ионного баланса
Метод электронно-ионного баланса или метод полуреакций имеет отличие в том, что составляют два уравнения, используя молекулы или ионы, в состав которых входят окислитель, восстановитель и продукты реакции.
Пример, взаимодействие магния с концентрированной серной кислотой, где — окислитель за счет
Химические уравнения тест (8 класс) по химии онлайн
Последний раз тест пройден более 24 часов назад.
Для учителя
Вопрос 1 из 10
Реакция, уравнение которой H
2SO4 + CuS = CuSO4 + H2S является реакцией
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 2 из 10
Какое уравнение соответствует реакции замещения?
MgO + CO2 = MgCO3
2NaI + Cl2=2NaCl + I2
NaCl + AgNO3=NaNO3 + AgCl
СaСO3 = CO2 + CaO
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 3 из 10
Реакция, уравнение которой P
2O5 + 3H2O = 2H3PO4 является реакцией
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 4 из 10
Какое уравнение соответствует реакции обмена?
Na2CO3+ CO2 +H2O = 2NaHCO3
FeCl3+ 3NaOH = 3NaCl + Fe(OH)3
MgСO3 = CO2 + MgO
2Na + 2H2O = 2NaOH + H2
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 5 из 10
Реакция, уравнение которой 2H
2S + O2=2S + 2H2O является реакцией
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 6 из 10
В соответствии с каким законом составляются уравнения химических реакций?
Закон постоянства состава вещества
Закон сохранения массы вещества
Периодический закон
Закон динамики
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 7 из 10
Взаимодействие серной кислоты и гидроксида алюминия: 3H
2SO4 + 2Al(OH)3 = Al2(SO4)3+ 6H2O относится к реакции
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 8 из 10
Реакция, уравнение которой 2KClO
3 = 2KCl + 3O2 является реакцией
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 9 из 10
Химическим уравнением называют:
Условную запись химической реакции
Условную запись состава вещества
Запись условия химической задачи
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 10 из 10
Реакция, уравнение которой 2HCl + Zn = ZnCl
2 + H2 является реакцией
замещения
разложения
обмена
соединения
Подсказка
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Тесты «Химические уравнения» (8 класс) предназначены для подготовки учеников средней школы к занятиям по теме. Вопросы проверяют умение решать химические уравнения различной сложности, применяя знания о взаимодействии химических веществ. Представленные задания могут использовать ученики старших классов для повторения материала и подготовки к ЕГЭ по предмету. Решать задания можно онлайн. К тесту прилагаются правильные ответы, что позволяет сразу запоминать то, что «упущено».
Тест по химии «Уравнения реакций» – один из эффективных способов качественной подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а также к текущим урокам.
Рейтинг теста
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 4970.
А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.
Калькулятор чистого ионного уравнения — все шаги + примеры
Главная > Химические калькуляторы > Калькулятор чистого ионного уравнения
Калькулятор чистого ионного уравнения — это онлайн-инструмент, позволяющий «составить уравнение, отображающее только те молекулы или ионы, которые активно участвуют в реакции или те, которые претерпевают изменение». Калькулятор чистого ионного уравнения — отличный инструмент, чтобы увидеть активную молекулу в реакции.
Суммарное ионное уравнение представляет только те ионы, которые фактически участвуют в химической реакции, исключая ионы-наблюдатели.
[Ионы-спектаторы — это ионы, которые не участвуют в химической реакции, а остаются неизменными как со стороны реагента, так и со стороны продукта полного ионного уравнения.] 20 важных уравнений, выберите любое из них, щелкнув раскрывающийся список, после выбора инструмент калькулятора чистого ионного уравнения покажет все шаги, связанные с вычислением чистого ионного уравнения для данного уравнения.
Калькулятор чистого ионного уравнения 6 Как рассчитать результирующее ионное уравнение?
Вы можете выполнить следующие простые шаги при расчете чистого ионного уравнения.
Напишите полное ионное уравнение из уравнения химической реакции.
Определите ионы-спектаторы из полного ионного уравнения.
Уберите ионы-наблюдатели с обеих сторон уравнения.
Получите результирующее ионное уравнение.
Давайте разберемся с процессом написания суммарных ионных уравнений на примерах.
Шаг 1 : Напишите полное ионное уравнение из уравнения химической реакции.
Например, химическая реакция происходит между сульфатом меди (II) и хлоридом натрия в водной форме.
Химическая формула сульфата меди (II) — CuSO 4 , а химическая формула хлорида натрия — NaCl.
Химическая реакция между CuSO 4 и NaCl может быть представлена сбалансированным химическим уравнением, показанным ниже.
Со стороны реагента CuSO 4 диссоциирует на ионы Cu 2+ и SO 4 2- в водном растворе. Аналогично 2 NaCl диссоциирует в водном растворе на 2 иона Na + и 2 Cl – .
Со стороны продукта Na 2 SO 4 диссоциирует на 2 Na + и SO 4 2- , в то время как CuCl 2 представляет собой осадок (он находится в твердой форме), поэтому он не будет диссоциировать на соответствующие ионы и останется таким, какой он есть.
Таким образом, приведенное выше химическое уравнение можно записать как полное ионное уравнение , как показано ниже.
Шаг 2 : Определите ионы-спектаторы из полного ионного уравнения.
В уравнении выше видно, что 2 Na 9Ионы 0077 + и ион SO 4 2- остаются неизменными как со стороны реагента, так и со стороны продукта.
Так как эти ионы не участвуют в химической реакции, они помечены как ионы-спектаторы.
Шаг 3 : Уберите ионы-наблюдатели с обеих сторон уравнения
Убедитесь, что результирующее ионное уравнение является сбалансированным уравнением.
Этап 4 : Получите результирующее ионное уравнение
Итак, сбалансированное результирующее ионное уравнение для этой реакции: расчет чистых ионных уравнений. Пример 1 кислота (НСl). Сбалансированное химическое уравнение реакции приведено ниже.
NaOH диссоциирует на ионы Na + и OH – , а HCl диссоциирует на H + и Cl – на стороне реагента. В то время как со стороны продукта, NaCl также растворим в воде, поэтому он распадается на ионы Na + и Cl – в присутствии H 2 O. Таким образом, полное ионное уравнение для этой реакции:
Это суммарное ионное уравнение показывает, что между водородом (H + ) и только ионы гидроксида (OH – ).
Пример 2
Реакция нейтрализации происходит между гидроксидом магния Mg(OH) 2 и серной кислотой (H 2 SO 9 0065 4 ). Сбалансированное химическое уравнение реакции приведено ниже.
Mg(OH) 2 диссоциирует на ионы Mg 2+ и 2 OH – при этом H 2 SO 4 диссоциирует на 2 H + и SO 4 2- на стороне реагента. В то время как со стороны продукта MgSO 4 образует водорастворимое ионное соединение, поэтому оно диссоциирует на ионы Mg 2+ и SO 4 2- в водных условиях. Таким образом, полное ионное уравнение этой реакции имеет вид:
0065 3 ) 2 реагирует с йодидом калия (KI) с образованием нитрата калия и ярко-желтого осадка йодида свинца (PbI 2 ).
Pb(NO 3 ) 2 диссоциирует на ионы Pb 2+ и 2 NO 3 – , а 2 KI диссоциирует на ионы Pb 2 иона K + и 2 I – на сторона реагента. 2 KNO 3 диссоциирует на 2 K + и 2 NO 3 – ионы, в то время как PbI 2 остается нетронутым со стороны продукта, так как представляет собой осадок. Таким образом, полное ионное уравнение этой реакции:
gNO 3 ) с получением белого хлорида серебра ( AgCl ) выпадает в осадок, а нитрат натрия (NaNO 3 ) образуется в качестве побочного продукта.
NaCl диссоциирует на ионы Na + и Cl – , а AgNO 3 диссоциирует на Ag + и NO 3 – 90 078 ионов на стороне реагента. NaNO 3 диссоциирует на ионы Na + и NO 3 – , в то время как AgCl остается неповрежденным на стороне продукта. Итак, полное ионное уравнение этой реакции:Ион 0077 – записывается в результирующем ионном уравнении. Это связано с тем, что по соглашению положительно заряженный катион записывается перед отрицательно заряженным ионом на стороне реагента при написании сводных ионных уравнений. Однако это правило не является обязательным.
Вы также должны иметь в виду, что в дополнение к одинаковым молям элемента как со стороны реагента, так и со стороны продукта, положительные и отрицательные заряды также должны быть сбалансированы, в чем вы можете убедиться из любого из результирующих ионных уравнений, которые мы обсуждали в Эта статья.
Теперь давайте посмотрим на другой пример.
Пример 5
Хлорид меди (II) (CuCl 2 ) реагирует с фосфатом натрия (Na 3 PO 90 065 4 ) с образованием синего твердого осадка, известного как медь (II). фосфат и хлорид натрия.
3 CuCl 2 диссоциирует на 3 Cu 2+ и 6 Cl – ионы 2 Na 3 PO 4 диссоциирует на 6 ионов Na + и 2 PO 4 3- на стороне реагента. 6 NaCl диссоциирует на ионы 6 Na + и 6 Cl – , в то время как Cu 3 (PO 4 ) 2 остается неизменным со стороны продукта. Таким образом, полное ионное уравнение для этой реакции:
Положительные и отрицательные заряды в обеих частях ионного уравнения уравновешены.
Вы можете заметить, что положительные и отрицательные заряды также уравновешены в этом чистом ионном уравнении, то есть +6 и -6 соответственно в обеих частях уравнения.
Пример 6
Нитрат свинца Pb(NO 3 ) 2 реагирует с бромидом лития (LiBr). В результате образуются нитрат лития (LiNO 3 ) и бромид свинца (PbBr 2 ), как показано в химическом уравнении, приведенном ниже.
Теперь в приведенном выше уравнении символы физического состояния всех реагентов и продуктов не указаны. В такой ситуации необходимо определить, какие из реагентов и продуктов растворимы в воде, а какие нет.
Применяя правила растворимости, мы определим, что бромид свинца появляется в виде белого твердого вещества при t. t.p. Он имеет очень низкую растворимость в воде, то есть 0,455 г на 100 г H 2 O . Следовательно, в описанной выше химической реакции образуется осадок PbBr 2 . Все остальные соединения растворимы в воде, поэтому они представляют собой водные растворы.
Pb(NO 3 ) 2 диссоциирует на Pb 2+ и 2 NO 3 – ионы, а 2 LiBr диссоциирует на 2 Li + и ионы 2 Br – со стороны реагента. 2 LiNO 3 диссоциирует на ионы 2 Li + и 2 NO 3 – , в то время как PbBr 2 остается недиссоциированным на стороне продукта. Таким образом, полное ионное уравнение этой реакции:
нитрат Ca(NO 3 ) 2 производит водный раствор нитрата натрия (NaNO 3 ) и йодида кальция (CaI 2 ).
Теперь в этой реакции не образуются осадки. Таким образом, все ионные соединения будут диссоциировать на свои ионы как на стороне реагента, так и на стороне продукта.
2 NaI диссоциирует на 2 Na + и 2 I – , а Ca(NO 3 ) 2 диссоциирует на Ca 2+ и 2 NO 3 – ионов на стороне реагента. Со стороны продукта 2 NaNO 3 диссоциирует на ионы 2 Na + и 2 NO 3 – , в то время как CaI 2 распадается на ионы Ca 2+ и 2 I 90. 077 – ионов.
Все ионы здесь оказываются ионами-спектаторами, поэтому все ионы компенсируются. Значит, такой реакции нет. Так что никакого чистого ионного уравнения.
Часто задаваемые вопросы
Что представляет собой результирующее ионное уравнение?
Суммарное ионное уравнение представляет только те ионы, которые фактически участвуют в химической реакции, исключая ионы-наблюдатели.
Что такое калькулятор чистого ионного уравнения?
Калькулятор чистого ионного уравнения представляет собой онлайн-инструмент, который показывает «химическое уравнение», «полное ионное уравнение», «Отмену ионов-спектаторов» и «Чистое ионное уравнение».
В чем разница между сбалансированным и чистым ионным уравнением?
Сбалансированное уравнение показывает все подробности о видах, которые находятся в системе. Он дает фактическое количество молекул каждого реагента и продукта.
В то время как итоговое ионное уравнение показывает только вещества, участвующие в реакции, оно не показывает ионы зрителя.
Вы можете легко сбалансировать химическое уравнение, используя этот инструмент, указанный ниже –
02.13
Какая часть бензина останется в баке после работы первого двигателя в течении 3 ч и второго двигателя в течение 2ч.
.. но подождите … если b равно отрицательному , нам нужно обратить неравенство следующим образом:
{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода;
Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках.
е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
На примере четырёх упражнений мы покажем Вам, как доказать, что функция является или не является чётной. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео.
00:00 Начало видео.
00:30 Вспомним, что такое функция.
01:58 Перепишем определение чётной функции.
03:27 Как понимать y(-x) = y(x)?
05:07 Определение чётной функции Любовь Николаевны.
05:55 Пример чётной функции.
06:55 Упражнение 1.
10:11 Упражнение 2.
12:52 Упражнение 3.
15:06 Упражнение 4.
Если Вы впервые на нашем канале и у Вас остались вопросы или Вы хотите освежить в памяти некоторые термины и определения, рекомендуем Вам посмотреть следующие видео:
Что такое определение. Отличие определения от рассказа. https://rutube.ru/video/f187c6071dfe512aaa2204e3229097e1/
Что такое компоненты. Рассказ о Пете и Диме или зачем нужны компоненты. https://rutube.ru/video/2a05adba43e67d1ea1b5cab6d8e6d18a/
Функция. Определение. Пример, на котором функцию понимают ВСЕ. https://rutube.ru/video/e39b203540be6b34b1c6728b8a73a8c4/
Компоненты функции: аргумент, значение функции, область определения функции, область значений функции https://rutube.
ru/video/b244f058080abfb736bb53076b8ad8cc/
Способы задания функции. Примеры. https://rutube.ru/video/be19beb2a973ffbad226194f7e36e0f8/
Координатная плоскость. Компоненты координатной плоскости. https://rutube.ru/video/37a4ebf9c234063e743767e8a50b45c0/
Графический способ задания функции. График функции. Определение. https://rutube.ru/video/f80ef74eb301c96a0159afedd02e6383/
Область определения функции. Как найти, если функция задана графиком, таблицей, рисунком, символом. https://rutube.ru/video/e3fda1d9390c06e95e6481060c7f7745/
Область определения функций, заданных формулой, целым выражением. Виды выражений в формулах функций. Область допустимых значений выражений. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/ad4dcae792272214637e31be0091ec7e/
Область определения функции, заданной формулой, дробным выражением. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/25a7399e239a12b0bd82b5e3f516ce8a/
Область определения функции, заданной формулой корня четной степени. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.
ru/video/9ab883e3b9a1bf78e16f47d5722ee0a2/
Свойства функции. Нули функции. Алгебра 7-11 класс. https://rutube.ru/video/6e56bd59444a9af812beeed15d1d2993/
#СвойстваФункции #ЧётныеФункции #ЧётностьФункции #ЯвляетсяЛиЧётной #четнаялифункция #являетсяфункциячетнойилинечетной #определениечетнойфункции #выяснитьявляетсяфункциячетнойилинечетной #являетсяличетнойилинечетнойфункция #ничетнаянинечетнаяфункция #чётнаяфункция #найдитечетнуюфункцию #какаяфункцияявляетсячетной #областьопределениячетнойфункции #четнаяфункциясимметрична #четныефункциипримеры #докажитечтофункцияявляетсячетной #МатематикаОтБаканчиковой
чётность функции, четная ли функция, является функция четной или нечетной, определение четной функции, выяснить является функция четной или нечетной, является ли четной или нечетной функция , ни четная ни нечетная функция , чётная функция, найдите четную функцию, какая функция является четной, область определения четной функции, четная функция симметрична, четные функции примеры, докажите что функция является четной
Математика, связанная с вычислением, проста, если вы внимательны на каждом этапе своего решения.
Другими словами, оно не подпадает под классификацию четных или нечетных.
Если это так, то у нас есть нечетная функция .
3} + 6x
…среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
Тогда получаем:
Например, 732.
К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 14, 23, 32, 41, 5, 61, 72, 83, 94 от цифры 5.
Вам решать.
П. – М.: Перо, 2017.
{4}$$[[input-1]]»,»widgets»:{«input-1»:{«type»:»input»,»answer»:»27″}},»hints»:[«Сначала посчитай действия в скобках.»,»Затем вычисли степени чисел.»,»Дальше выполни действия второй ступени.»,»Потом посчитай действия первой ступени и запиши ответ.»]}]}
то есть пусто или .
Давайте попробуем пример:
е.
е. зарастает остальными членами и стремится к бесконечности в обе стороны в зависимости от знака, а это означает, что при очень малых отрицательных значениях для () стремятся к , а при очень больших положительных значения для () стремятся (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента при члене ), то есть при переходе от одной бесконечности к другой она хотя бы один раз проходила нулем. Возможны три случая: одно, два или три решения.
е.
Не допускаются квадратные корни, дробные степени и переменные в знаменателе.
Термин показывает возведение в седьмую степень, и ни один другой в этом выражении не возводится во что-либо большее, чем семь. Следовательно, степень этого выражения равна .
com/embed/WiVxZ5roips» frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen» data-original-w=»720″ data-original-h=»520″> 
com/embed/eJ0dPIlRzgI» frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen» data-original-w=»720″ data-original-h=»520″> 
25 ‘/ 60 = 0.4167 ° 30 ″ / 3600 = 0083 °…
com/embed/UjnEiVTkj2Y» frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen» data-original-w=»720″ data-original-h=»520″> 
7 °, -122.2 ° градусов, минуты, секунды: например, 37 ° 25’19.07 ″ с.ш., 122 ° 05 ‘ 06.24 ″ з.
Но если что-то занимает 1 час и 23 минуты, вы бы не сказали, что это заняло у вас 1,38 часа. То же самое и со степенями. Вы можете использовать десятичные градусы, но иногда удобнее использовать градусы с минутами и секундами. Отличить их можно по символам после цифры:
DMS — пошаговое преобразование
д., в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox — расширения SketchUp, которое можно использовать с потрясающими, интересными и бесплатными приложениями SketchUp Make и SketchUp Pro. .Добавьте расширение Engineering ToolBox в свой SketchUp из хранилища расширений SketchUp Pro Sketchup!
Обратите внимание на памятник первому
русскому императору Петру I — знаменитый Медный
всадник. Скульптор Фальконе сделал на его
гранитном постаменте надпись
У храма Думающего Мудреца
поработаем с неравенствами.
com
Изначально в обычной системе римляне использовали только до 3,999. Итак, правила основывались на числительных до 3999. Позже, когда было добавлено больше символов для расширения числа, было добавлено еще несколько правил для размещения новых символов.
Например, он может помочь узнать какие простые множители у числа 120? Выберите начальное число (например ‘120’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.
Есть 16 множителей из 120, среди которых 120 — самый большой множитель, а 2, 3 и 5 — его простые множители. Простую факторизацию числа 120 можно выполнить, умножив все его простые множители так, чтобы произведение было равно 120. Давайте узнаем обо всех множителях числа 120, простой факторизации числа 120 и дереве факторов числа 120 в этой статье.
Согласно определению факторов, Делители 120 — это те числа, которые делят 120 без остатка. Другими словами, если два числа умножить и произведение равно 120, то числа являются делителями 120. Это означает, что 120 полностью делится на все эти числа. Помимо этого, 120 также имеет отрицательные факторы, которые могут быть перечислены как -1, -2, -3, -4, -5, -6, -8, -10, -12, -15, -20, -24. , -30, -40, -60 и -120.. Для отрицательных множителей нам нужно умножить отрицательный множитель на отрицательный множитель, например, (-40) × (-3) = 120,
Нам нужно записать те числа, которые делят 120 полностью.
Итак, мы снова делим 60 на 2, что равно 60 ÷ 2 = 30. Мы снова делим 30 на и получить 30 ÷ 2 = 15
Эти факторы разделены и записаны в виде ветвей дерева. Окончательные множители обведены кружком и считаются простыми множителями числа 120. Давайте найдем простые множители числа 120, используя следующие шаги и дерево факторов, приведенное ниже.
Мы обводим их кружком, поскольку знаем, что их нельзя разложить на множители. Это конец дерева факторов.
Давайте посмотрим на отрицательные парные множители числа 120.
Общие делители 120 и 160 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 и 40.
Первичная факторизация полезна для программистов, которые хотят создать уникальный код из чисел, которые не слишком велики для того, чтобы компьютеры могли их быстро хранить или обрабатывать. Вы можете не всегда понимать основные математические принципы, когда используете их в реальной жизни, точно так же, как вы, вероятно, не замечаете алфавит каждый раз, когда читаете. Факторинг — это фундаментальная математическая концепция, которая обращает умножение вспять, определяя целые числа, которые умножаются, образуя большее число. Эта концепция имеет очевидную применимость в реальном мире.
Метод умножения дает вам простую факторизацию 120, и, следовательно, вы получите все множители числа. В этой статье мы подробно узнаем о том, что такое множители числа 120, что такое простая факторизация числа 120 и простая факторизация числа 120 с использованием факторного дерева.
Как видите, все пары множителей числа 120 равны числу 120, если их перемножить.
отрицательные числа, так как минус раз минус приводит к плюсу. Следовательно, вы можете преобразовать все пары положительных факторов, просто поставив знак минус перед каждым фактором, и вы получите все пары отрицательных факторов, равные 120.
of 120
Это значит, что точки х
и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое
множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным
множеством.
2 Решение неравенств методом интервалов
3 Основные формулы тригонометрии
(1/3)
Пока все хорошо, но что мы подразумеваем под , ограниченным ?
, что ƒ( x ) никогда не превышает, и по нижнему пределу значения y фунтов что ƒ( x ) никогда не меньше, чем для всех x на [ a ,
Также должно существовать по крайней мере одно значение x = d , где d находится на [ a , b ], такое, что ƒ( d ) = 0 lb 6 909 y 9000 Рассмотрим следующую иллюстрацию.
Если бы это было так, то, очевидно, не было бы ни верхних, ни нижних границ, ни абсолютных экстремумов.
Поскольку он определен на замкнутом интервале, он соответствует критериям теоремы об экстремальных значениях и будет иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. Мы также знаем, что все экстремумы должны происходить в критических точках. Таким образом, каждый экстремум функции должен приходиться либо на стационарная точка (то есть поворотная точка ) или в одной из конечных точек интервала. Глядя на приведенную выше иллюстрацию, мы уже можем видеть, что экстремумы будут возникать в конечных точках интервала, но помимо этого график не дает нам большого представления о том, какими будут их значения.
Хотя мы видим, что две стационарные точки функции в данном случае не будут абсолютными экстремумами (хотя они и будет конечно будет локальные экстремумы ), продемонстрируем процедуру полностью. Чтобы найти стационарные критические точки функции (то есть точки поворота), мы должны сначала найти производную от ƒ( x ) = 3 x 3 — 5 x + 1, применяя соответствующие правила дифференцирования:
-пять (-65) и абсолютный максимум при x = 3 из шестьдесят семь (67). Вот еще раз график функции, на этот раз с осью y , уменьшенной по отношению к оси х , чтобы мы могли видеть, где кривая пересекает границы интервала. Хотя мы не можем сказать, просто взглянув на график, какие именно y координаты точек абсолютного максимума и минимума, график действительно соответствует рассчитанным нами значениям.
Помните, что критические точки, выходящие за пределы интервала, нас не интересуют.
Однако мы будем оценивать ƒ( x ) для другой определенной критической точки ( x = 0) и для двух конечных точек интервала:
Этот
может
помогите нам сузить возможности рациональных нулей. Другой
Концепция на этой странице — Теорема о промежуточном значении. Это может
помочь сузить возможности реальных нулей, особенно тех, которые
земли между целыми значениями. Мы также будем работать с ненастоящими
сложный
числа. Знаете ли вы, что если недействительное комплексное число равно нулю
полиномиальной функции, что ее сопряженная тоже? Мы
воля
Проследите это, используя Фундаментальную теорему алгебры и
Линейный
Теорема о факторизации для нахождения полиномиальных функций с заданными нулями.
Ух ты,
похоже, у нас есть наша работа вырезали для нас. Я думаю, тебе лучше
начать.
быть верхней границей. Один c > 0
или положительный.
Во-вторых, все коэффициенты частного, а также
остаток
являются положительными.
Если бы мне нужно было больше, например, знаки частного, например
выше,
тогда я бы использовал синтетическое деление.
4): 
Это означает, что мы немного сузили его
лучше.
Между 2,44 и 2,45 есть ноль.
Это поможет нам разбить функцию, чтобы найти
любые другие корни.
Отсюда мы можем
переписать оригинал
проблема с использованием корней, которые у нас есть выше, и частного, которое мы
закончился
с этим последним синтетическим подразделением.
На самом деле практики много не бывает.
;
между -1 и -2. 
T=\det A.$
$
{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$
2.$
Вычислить определитель
& . & a_{1,n}\\
а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\
а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\
. & . & . & . & .& .\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна}
\end{pmatrix}$
Поскольку этот элемент находится в строке 1 столбца 2, то 5 равно $a_{1,2}$.
& . & a_{1,n}\\
а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\
а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\
. & . & . & . & .& .\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна}\\
\end{vmatrix}$
9{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}$
1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\ cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3, 1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$
$\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3 ,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$
Их легче вычислить, используя свойства определителей. Например, мы вычисляем определитель матрицы, в которой есть одни и те же элементы в любой строке или столбце, но переупорядоченные.
Мы выбираем строку или столбец, содержащие элемент 1, потому что мы можем получить любое число путем умножения.
9{4+1}\cdot
\begin{vmatrix}
5 и -3 и -4\\
1 и -2 и -13\\
3 и -3 и -18
\end{vmatrix}=$
$(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
5 и -3 и -4\\
1 и -2 и -13\\
3 и -3 и -18
\end{vmatrix}$
Для лучшего опыта, пожалуйста, включите JavaScript в вашем браузере, прежде чем продолжить.
com/images/det.jpg 
… судя по этой странице, то, что я делаю, должно работать. Это привело бы к выводу, что Matlab (который я использую для перепроверки своих ответов) неправильно вычисляет мои определители. Это звучит немного маловероятно….
(i+j).
.. Разве это не должно быть «ВСЕ нулевая строка или столбец => |A| = 0»? (где, очевидно, |A| = det(A))
..
Для более подробного описания реакций существует запись в ионном виде (полное ионное уравнение и краткое ионное уравнение).
Калькулятор чистого ионного уравнения — отличный инструмент, чтобы увидеть активную молекулу в реакции. 
Сбалансированное химическое уравнение реакции приведено ниже. 
2 KNO 3 диссоциирует на 2 K + и 2 NO 3 – ионы, в то время как PbI 2 остается нетронутым со стороны продукта, так как представляет собой осадок. Таким образом, полное ионное уравнение этой реакции:
Однако это правило не является обязательным.
Таким образом, полное ионное уравнение для этой реакции:
t.p. Он имеет очень низкую растворимость в воде, то есть 0,455 г на 100 г H 2 O . Следовательно, в описанной выше химической реакции образуется осадок PbBr 2 . Все остальные соединения растворимы в воде, поэтому они представляют собой водные растворы.
Таким образом, все ионные соединения будут диссоциировать на свои ионы как на стороне реагента, так и на стороне продукта.
