Рубрика: Разное

Как в программе Excel ввести формулу мышкой

Формула суммирования – это, самая простая арифметическая операция. Но любая задача усложняется, если нужно быстро выполнить большой объем работы.

На конкретных примерах рассмотрим, как и какую формулу ввести в Excel при суммировании, используя различные методы ввода.

В ячейки A1, A1 и A3 введите соответственно числа 1, 2 и 3. В A4 просуммируйте их.

Как вводить формулы вручную?

Сначала рассмотрим ручной способ ввода:

В ячейку A4 введите следующую формулу: =A1+A2+A3 и нажмите клавишу «Ввод» (Enter).

Как видно на рисунке ячейка отображает значение суммы. А саму формулу можно увидеть в строке формул. Для детального анализа ссылок на ячейки можно переключиться в специальный режим просмотра листов комбинацией клавиш CTRL+`. Повторное нажатие данной комбинации переключает в обычный режим работы.

Обратите внимание, адреса ячеек подсвечены разными цветами.

Такими же самыми цветами выделяются рамки ячеек, на которые ссылается адрес. Это упрощает визуальный анализ в процессе работы.

Внимание. Вычислительная функция формул является динамической. Например, если мы изменим значение ячейки A1 на 3, то сумма автоматически изменится на 8.

Примечание. В настройках Excel можно отключить автоматический пересчет значений. В ручном режиме значения пересчитываются после нажатия клавиши F9. Но чаще всего работать в этом режиме нет необходимости.



Как вводить формулы с помощью мышки?

Рассмотрим теперь, как правильно вводить формулу в Excel. Ввод ссылок можно выполнять значительно быстрее используя мышь:

1. Перейдите в ячейку A4 и введите символ «=». Таким образом, вы указываете, что следующим значением является формула или функция.
2. Щелкните по ячейке A1 и введите знак «+».
3. Сделайте щелчок по ячейке A2 и снова нажмите клавишу «+».
4. Последний щелчок по A3 и нажмите Enter, чтобы ввести формулу и получить результат вычисления при суммировании значений.

Как вводить формулы с помощью клавиатуры?

Вводить адреса ячеек в формулы можно и с помощью клавиш управления курсором клавиатуры (стрелками).

1. Так как любая формула начинается из знака равенства, в A4 введите «=».
2. Нажмите 3 раза клавишу на клавиатуре «стрелка вверх» и курсор сместится на ячейку A1. А ее адрес будет автоматически введен в A4. После чего жмем «+».
3. Соответственно 2 раза нажимаем «стрелку вверх» и получаем ссылку на A2. Затем жнем «+».
4. Теперь нажимаем только один раз клавишу «стрелка вверх», а затем Enter для ввода данных ячейку.

Управление ссылками в формулах стрелками клавиатуры немного напоминает предыдущий способ.

Аналогичным образом можно вводит ссылки на целые диапазоны. Просто после знака «=» нужно выделить требуемый диапазон ячеек. О том, как их выделять с помощью мышки или «стрелок» клавиатуры вы уже знаете из предыдущих уроков.

все уроки

#1. Решаем задачи в Excel

В рубрике «Решаем задачи в Excel» будут рассматриваться конкретные примеры и их реализация с помощью программы Эксель.

При этом будут подробно разбираться стандартные функциии Excel и их применение. Например, сейчас мы рассмотрим функции: МАКС, ПОИСКПОЗ, ИНДЕКС, СЦЕПИТЬ.

Давайте решим вот такую задачку, которую предложили в комментариях:

То есть у нас есть два столбца с данными — в первом находится список имен сотрудников, а во втором указан их возраст.

Требуется определить сотрудника с максимальным возрастом и вывести его имя в отдельной строке, например, в виде: Егор-55.

Давайте разберем решение задачи и заодно рассмотрим функции Экселя, которые могут быть нам полезны.

Сразу хочу отметить, что у любой задачи может быть несколько решений и сейчас я предложу решение, которое первым пришло мне на ум.

Итак, во-первых, нам нужно определить максимальный возраст. Сделать это можно с помощью функции МАКС, которая возвращает максимальное значение из списка аргументов. В данном случае списком аргументов у нас будет являться диапазон значений из столбца «Возраст».

Но нам нужно вывести не только возраст, но и имя сотрудника. Имя сотрудника и его возраст находятся в одной строке, поэтому нам нужно определить номер этой строки.

Поможет нам в этом функция ПОИСКПОЗ, которая возвращает относительную позицию ячейки в массиве данных, соответствующую определенному критерию.

Наш критерий — это наибольший возраст сотрудника, поэтому формула будет выглядеть так:

Указываем искомое значение, то есть нашу ячейку с рассчитанным максимальным возрастом, затем указываем диапазон, в котором это значение нужно найти, и в заключение указываем тип сопоставления.

Всего может быть три типа сопоставления: -1, 0 и 1.

При 1 функция найдет наибольшее значение, которое меньше или равно значению аргумента, при -1 найдет наименьшее значение, которое больше или равно значению аргумента. Мы же укажем 0, так как в этом случае функция ПОИСКПОЗ выведет первое значение найденное в диапазоне, которое равно искомому значению, что нам и нужно сделать.

В итоге получим цифру 5 — это порядковый номер строки в выбранном нами диапазоне:

Итак, осталось лишь вывести имя сотрудника, которому соответствует максимальный возраст. Для этого воспользуемся функцией ИНДЕКС, которая возвращает значение ячейки, заданного номером строки и номером столбца.

Укажем весь диапазон ячеек столбца с именами, а в качестве номера строки укажем полученное нами ранее число. В итоге получаем имя.

Осталось вывести результат в нужном виде, например, в таком — Егор-55

Для этого воспользуемся функцией СЦЕПИТЬ, которая позволяет соединить текстовые значения из нескольких ячеек в одну. Просто перечислим адреса ячеек через точку с запятой. Так как нам нужно разделить имя и возраст тире, то вставим его в функцию в виде текста, то есть в кавычках.

Готово! Остается лишь объединить все проделанные нами расчеты в одну формулу. Для этого поэтапно будем копировать и вставлять ранее нами созданные формулы, чтобы получить одну итоговую. То есть мы заменяем ссылки на ячейки с формулами самими формулами и делаем это последовательно.

Теперь можем удалить промежуточные расчеты.

Задача решена.

• 2022-06-02T20:34:45+00:00

  ну так тебе же надо конкретного человека выбрать из всей таблицы а если таблица отсортирована специально по определённому индексу и по столбцу возраста не вариант смотреть?

• 2

  2022-05-06T16:01:35+00:00

  Это же нужно ТАКОГО понапридумывать! Не проще ли просто отсортировать по убыванию?

Изучение Excel онлайн | Об упражнениях Excel

Добро пожаловать в упражнения Excel! Этот сайт стремится стать самым интересным, простым и эффективным способом изучения Excel в Интернете. Мы стремимся к этому, обучая навыкам работы с Excel, таким как функции и ярлыки, с помощью веселых и простых упражнений. Вероятно, вы находитесь на этой странице, потому что хотите узнать, как повысить эффективность и результативность работы в Excel, поэтому поздравляем вас с первым шагом! Ниже вы найдете ответы на часто задаваемые вопросы об этом сайте и об онлайн-обучении Excel, так что продолжайте читать, чтобы узнать больше!

Об авторе

Прежде всего, немного обо мне. Меня зовут Джейк Шимота. В настоящее время я являюсь кандидатом MBA в NYU Stern School of Business, но до этого несколько лет работал в сфере консалтинга и финансов. Работая в этих отраслях, я узнал не только о важности хороших навыков работы с Excel, но и о том, как сложно развить эти навыки без практической практики. Как и многие другие, я часами смотрел видео в Excel, но часто отключался или отвлекался на что-то другое, поэтому у меня оставалось очень мало этой информации, и мне приходилось смотреть видео снова и снова. Я заметил, что единственный способ разорвать этот цикл — напечатать функции и потренироваться использовать сочетания клавиш на реальной клавиатуре, чтобы зафиксировать их в памяти.

Я решил помочь другим изучить Excel, создав этот сайт. Вам нужно вводить формулы, практиковать сочетания клавиш и отвечать на вопросы, чтобы вы были вовлечены и развивали свои навыки на каждом этапе пути. Я убедился, что при использовании этого сайта невозможно отключиться! Я сделал этот сайт, потому что это сайт, который я хотел бы иметь, когда изучал Excel — в некотором смысле, я сделал сайт для себя!

Зачем вам изучать Excel

Excel — очень мощная и сложная программа. Совершенно нормально чувствовать себя подавленным, когда вы впервые начинаете использовать Excel! Просто напомните себе, что использование Excel — это навык, и, как и любой другой навык, его можно освоить на практике с течением времени. Хитрость заключается в том, чтобы начать медленно, изучая основы и продвигаясь к более сложным практическим упражнениям.

Любой, кто работает с Excel, от новичка до эксперта, может извлечь пользу из дополнительной практики. Изучение новых навыков работы с Excel может помочь вам стать более продуктивным и эффективным в своей работе, что позволит вам выполнять больше работы. Помимо повышения качества работы, более совершенные навыки работы с электронными таблицами могут открыть новые двери, такие как продвижение по службе, бонусы и новые предложения о работе.

Многие рабочие места также все больше зависят от данных и технологий, поэтому, даже если вы сейчас редко пользуетесь Excel, есть большая вероятность, что вы будете использовать его в будущем. Хотя Excel сам по себе является навыком, он также помогает развивать ваши количественные и логические навыки, чтобы помочь вам преуспеть в позиции, ориентированной на данные (и в мире). Навыки, которые вы приобретете при изучении Excel, помогут вам добиться успеха в любой сфере финансов, данных, технологий или STEM.

Независимо от того, где вы находитесь в своем путешествии по Excel, всегда есть чему поучиться, и хорошая новость заключается в том, что в Интернете больше учебных ресурсов, чем когда-либо прежде!

Способы изучения Excel в Интернете

Хотя это здорово, что онлайн-ресурсов больше, чем когда-либо прежде, множество вариантов может оказаться ошеломляющим. Оглянитесь вокруг; у вас под рукой нет недостатка в видеороликах, учебных пособиях, курсах, статьях и электронных книгах. Существуют десятки тысяч, если не миллионы способов изучения Excel онлайн! Вам может быть интересно, какой метод лучше, и ответ таков, что это зависит от! Разные люди учатся по-разному, и то, что хорошо работает у вас, может не работать у других. В то время как живое личное обучение может работать лучше всего для некоторых людей, другие предпочитают самостоятельное индивидуальное обучение. Хитрость заключается в том, чтобы найти способ обучения, который работает для вас и, что более важно, достаточно интересен, чтобы вы возвращались к нему для постоянной практики. Наиболее важным фактором вашего успеха в изучении Excel является постоянная практика, поэтому вам необходимо найти метод обучения, который будет достаточно увлекательным, чтобы у вас была мотивация возвращаться и учиться день за днем. Вот тут-то и пригодится этот сайт.

Чем отличается этот сайт

Как я уже упоминал ранее, я также прошел процесс изучения Excel онлайн. Я перепробовал все разные видео, статьи и курсы, но обнаружил, что для того, чтобы оставаться вовлеченным, мне нужно было запачкать руки и по-настоящему выполнять работу. Например, я обнаружил, что не запомню сочетание клавиш, пока не нажму его на клавиатуре несколько раз. Я не смог найти никаких ресурсов в Интернете, которые позволили бы мне постоянно практиковаться, оставаясь при этом вовлеченным, поэтому я создал этот сайт.

Этот сайт является ресурсом Хотел бы я иметь , когда впервые начал изучать Excel онлайн. Я разработал его для таких людей, как я, которые хотят оставаться вовлеченными, практиковать навыки в режиме реального времени и шаг за шагом осваивать навыки, начиная с основ и переходя к более сложным навыкам. Этот сайт заставляет вас писать формулы, нажимать сочетания клавиш и интерпретировать различные функции на каждом этапе пути, чтобы вы оставались вовлеченными и не могли отключиться! Я также старался сделать это весело, чтобы у вас была мотивация постоянно практиковаться.

Кто должен использовать этот сайт?

Как бы банально это не звучало, но этот сайт для всех. Новички в Excel обнаружат, что сайт начинается с основ и постепенно вводит более сложные концепции. Те, у кого больше опыта, скорее всего, научатся новым приемам, которых раньше не знали. Как я упоминал ранее, с Excel всегда можно узнать больше.

Этот сайт используют самые разные люди. У нас есть несколько студентов колледжа, пытающихся сделать свою курсовую работу более эффективно. У нас также есть люди, которые работают на этом сайте более 10 лет, потому что они пытаются изучить Excel онлайн, чтобы найти новую работу. Люди с самым разным опытом и уровнями навыков учатся и развлекаются с помощью упражнений Excel.

Возможно, вы недавно получили новую работу и пытаетесь не отставать от своих коллег, или, может быть, вы пытаетесь получить новую должность и вам нужно освежить навыки работы с электронными таблицами. Может быть, вы просто хотите научиться выполнять свою работу быстрее, чтобы проводить больше времени с друзьями и семьей. Какими бы ни были ваши рассуждения или уровень навыков, вы обязательно улучшите свои навыки здесь.

Кстати, я реальный человек и буду рад услышать любые ваши вопросы, опасения или предложения. Я всегда стараюсь улучшить сайт и хочу услышать ваши отзывы. Вы всегда можете связаться со мной по адресу [email protected], и я читаю каждое письмо.

Упражнения Excel — Функции Excel

1,2,5)Корень.

Первичное строение:

В зоне растяжения дифференцируются эиблема, первичная кора и цилиндр.

Эпиблема снаружи покрывает молодые корневые окончания, в зоне поглощения образует корневые волоски.

Первичная кора – из периферийного отдела верхушечной меристемы. Образована паренхимными клетками и имеет систему межклетников. Наружные клетки первичной коры, лежащие под эпиблемой, называются экзодермой (может опробковевать). Далее основная масса – мезодерма. Самый внутренний слой – эндодерма (барьер), сначала клетки живые потом появляются утолщения – пояски Каспари, перекрывают движение растворов. У двудольных и голосемянных на этом все заканчивается, а у однодольных откладывается на их внутренней поверхности суберин и далее клетка одревесневает. Также у однодольных есть среди этих клеток живые, только несущие пояски Каспари клетки – пропускные.

Осевой цилиндр – начинается с формирования перицикла – наружного слоя, длительно сохраняющего меристематическую активность. Это корнеродный слой, так как в нем закладываются боковые корни + зачатки придаточных корневых почек. У двудольных участвует во вторичном утолщении. Под ним прокамбий, дающий начало первичной ксилеме и флоэме. Они образуют радиальный проводящий пучок, ксилема растет быстрее, поэтому занимает центральное положение, имеет очертания звезды, а между ее лучами флоэма. У двудольных звезда ксилемы ди, три, тетра и пентархная. У однодольных она многолучевая или полиархная.

Сердцевина нетепична, но иногда заметна в виде механической ткани или тонкостенных клеток.

Вторичное строение:

У однодольных и папоротников первичная структура сохраняется в течении всей жизни (!). У голосемянных и двудольных формируется вторичная структура, при которой радиальное расположение проводящих тканей заменяется коллатеральным. Принимает в образовании камбий, появившийся из паренхимных клеток внутренних тяжей флоэмы, между лучами первичной ксилемы. К центру камбий откладывает клетки вторичной ксилемы, а к периферии клетки вторичной флоэмы. Клетки камбия образуют радиальные лучи паренхимы, между тяжами вторичной проводящей ткани, обеспечивают физиологическую связь центральной части корня с первичной корой. Позднее закладываются вторичные лучи, связывающие вторичную ксилему и флоэму. Первичная кора нередко разрывается вследствие утолщения проводящих элементов. Перицикл делится, образует широкую зону паренхимных клеток, во внешней части их закладывается феллоген, который откладывает наружу пробку, а внутрь феллодерму, которая вместе с паренхимой называется вторичная кора. У древесных форм, вторичная ксилема флоэма (луб, его в корнях больше, чем в стебле), камбий сливаются в сплошные кольца. У много, двулетних растений питательные вещества часто откладываются в корнях, в паренхиме вторичной ксилемы или паренхиме корковой части, изредка в паренхиме, добавочно образованной камбием.

Метаморфозы: микориза, воздушные корни (у орхидей, покрыты веламеном), клубеньки, втягивающие или контрактильные корни (у луковичных и корневищных), укорачиваясь у основания втягивают луковицу при засухе на нужную глубину; пневматофоры – у растений на почвах бедных кислородом (мангровые заросли), у некоторых корни подпорки, запасающие корни (корнеплод моркови, редьки), корнеклубень (георгин).

Вычислить: а) 0,5 корень из 16 + 8 корень из 0,04 б) (4 корня из 5)2 степень делить дробью на 20 + 1 дробь 5 ( корень из 15)2 степень, в) (Корень из 21 + корень из 33) (Корень из 33

Последние вопросы

• Русский язык

  1 минута назад

  Текст русский язык 6 класс

• Математика

  2 минуты назад

  Запиши «соседей» каждого числа 300 599 910 700 789 800 429 560

• Українська література

  2 минуты назад

  Помогите пожалуйста!!!

• Английский язык

  2 минуты назад

  Заполните пропуски предлогами, где необходимо 1. . The receptionist checks … and checks … guests and deals … all problems. 2. It’s difficult to find a good room … the seaside … summer. 3. Unfortunately, it depends … the weather. 4. … my mind, if you are … holiday it’s better to travel … foot or … car…. least you will enjoy nature. 5. My husband works … shifts. When he is … business I like to chat … the phone ** … the evening. 6. We have a baby-sitter … request. 7. When you speak with people try to call them … name.

• Математика

  2 минуты назад

  Допоможіть будласка буду вдячний

• Українська література

  2 минуты назад

  Образ Іванки, з твору «Гаманець» О.Сайко.

• Физика

  2 минуты назад

  Дифракційна решітка має 500 штрихів на 1 мм. Визначте довжину хвилі монохроматичного світла, що падає на цю решітку, якщо максимум першого порядку видно під кутом 20°.

• Геометрия

  2 минуты назад

  Обчисліть об’єм правильної трикутної призми зі стороною основи 3 см і бічним ребром 5 см

• Математика

  2 минуты назад

  Скільки недодатних цілих чисел між -10 і 3? Враховувати -10 та 3.

• Математика

  2 минуты назад

  4 a) Какие выражения решал Арман, если он записал их по действиям? 1) 3 467 589 — 1 000 879 2) 9 087 761-9 087 751 3) 2 466 710:10 6) 1) 346-908 2) 314 168:8 3) 39 271+8 809 347СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА КТО НИБУДЬ ПОМОГИТЕ ! даю 100 балов​

• Химия

  2 минуты назад

  обчисліть обєм чадного газу CO масою 52 г

• География

  7 минут назад

  Помогите по географии пожалуйста!!

• История

  7 минут назад

  Напишите сообщение на тему:,,Материальная культура поселений Среднего Подонцовья в 17-18 веках”

• Алгебра

  7 минут назад

  Помогите пожалуйста с контрольной по математике буду очень благодарен!

• Алгебра

  7 минут назад

  допоможіть будь ласка!​

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

14. Сочетания с повторениями

Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.

Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(12.1)

Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.

Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:

В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).

В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.

Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А

. Поэтому.

Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

.

Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Упражнения

12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?

Ответ: .

12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: .

12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

Ответ: .

Элементарная алгебра

С. Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г. В основу этой книги положен курс лекций по элементарной алгебре, читавшийся мною на протяжении ряда лет в Черкасском государственном педагогическом институте. Первая глава книги — вступительная. В ней сжато изложены сведения о некоторых математических понятиях, с которыми читателю придется встретиться в последующих главах. В главах II—X изложен учебный материал по элементарной алгебре, предусмотренный программой специального курса элементарной математики для студентов-математиков педагогических институтов. Книга рассчитана на студентов-математиков педагогических институтов. Она может быть также пособием для учителей математики средней школы. Оглавление Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ § 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней § 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ § 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения. § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА

Калькулятор перестановок и комбинаций

Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур. Перестановки — это определенный выбор элементов в наборе, где важен порядок расположения элементов, тогда как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок технически должен называться замком перестановки по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации любого порядка этих трех чисел будет достаточно. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но приведенный выше калькулятор рассматривает только случай без замены, также называемый без повторения. Это означает, что для приведенного выше примера с кодовым замком этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например, 3-3-3.

Перестановки

Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, где расположение фиксированного числа элементов r , берутся из заданного набора n . По существу, это можно обозначить как r-перестановок n или частичных перестановок , обозначаемых как _n P _r , ⁿ P _r 9000 7 , P _(н,р) , или P(n,r) среди прочих. В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы перечисления элементов в наборе в определенном порядке, но количество вариантов выбора уменьшается каждый раз при выборе элемента, а не в таком случае, как «комбинированный» замок. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и после выбора они должны быть удалены из набора. Буквы A от до K будет представлять 11 различных членов команды:

A B C D E F G H I J K  11 участников; A выбран капитаном

B C D E F G H I J K   10 членов; B выбран в качестве вратаря

Как видно, первый выбор был для A капитаном из 11 первоначальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарем, A был снят со сета перед вторым выбором вратаря B можно изготовить. Общие возможности, если бы была указана позиция каждого отдельного члена команды, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае важны только выбор капитана команды и вратаря, релевантными являются только первые два выбора, 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для расчета перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать так:

Или в данном случае специально:

Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытных ниже приведено уравнение:

Комбинации связаны с перестановками в том, что они по существу являются перестановками, в которых удалены все избыточности (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен. Комбинации, как и перестановки, обозначаются по-разному, в том числе _n C _r , ⁿ C _r , C _(n,r) , или 900 06 C(n,r) или чаще всего просто

. Как и в случае с перестановками, предоставленный калькулятор рассматривает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой обсуждаться не будет. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек. В отличие от случая, приведенного в примере с перестановкой, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором нападающие выбраны не имеет значения, так как они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как буквы 9От 0006 A до K , не имеет значения, будут ли A и затем B или B и затем A выбраны страйкерами в этих соответствующих порядках, важно лишь то, что они выбраны. Возможное количество договоренностей для всех n человек равно n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточности из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок) путем деления избыточности, которая в данном случае равна 2!. Опять же, это потому, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки нужно сократить на количество способов, которыми можно выбрать игроков, A , затем B или B , затем A , 2 или 2!. Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как и для перестановки, деленное на количество избыточностей, и обычно известное как биномиальный коэффициент:

Или в данном случае специально:

Логично, что вариантов для комбинации меньше, чем для перестановки, поскольку избыточность убирается. Опять же для любопытных, уравнение для комбинаций с заменой приведено ниже:

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов набора. С/без повторения, с/без порядка.

Расчет:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​  n=10 k=4 C4​(10)=(410​)=4!(10−4)!10 !​=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210

Количество комбинаций: 210

Вариантов

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, образованная из множества n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (поэтому расположены).

Количество вариаций легко подсчитать с помощью комбинаторного правила произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5, и мы должны сделать вариации третьего класса, их V ₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk​(n)=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=(n−k) !н!​

н! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначение с факториалом только более ясное и эквивалентное. Для вычислений вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом вариации n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.

P(n)=n(n−1)(n−2)…1=n!

Типичный пример: у нас есть 4 книги, сколькими способами мы можем расположить их на полке рядом?

Вариации с повторением

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, состоящая из множества n элементов, причем элементы могут повторяться и зависят от их порядка. Типичным примером является образование чисел из чисел 2,3,4,5 и нахождение их количества. Рассчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:

Vk′​(n)=n⋅n⋅n⋅n…n=nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка представляет собой упорядоченную группу k-элементов из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.

Pk1​k2​k3​…km​′​(n)=k1​!k2​!k3​!…km​!n!​

Типичный пример — выяснить, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу k-элементов, образованную из множества n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов группы не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами. Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​

Типичный пример комбинации: у нас 15 учеников, и мы должны выбрать троих. Сколько их будет?

Комбинации с повтором

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их счет:

Ck′​(n)=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​

Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству мест расположения n − 1 разделителей на n-1 + k местах. Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 шоколадок. Предлагают всего 3 вида. Сколько вариантов у нас есть? к = 6, п = 3.

Основы комбинаторики в текстовых задачах

• Расчет CN
  Расчет: (486 выбрать 159) — (486 выбрать 327)
• Раздача 5016
  У вас есть тест с восемью вопросами, где вы можете выбрать один из 3 ответов на каждый вопрос, и один ответ всегда правильный. Вероятность того, что мы ответим правильно на 5 или 6 вопросов при случайном заполнении (то есть мы все угадаем ответы), равна ……. Th
• Тройка 69274
  Учитель хочет создать одну команду из трех человек из четырех девочек и четырех мальчиков, в которой будет одна девочка и два мальчика. Сколько различных вариантов есть для создания команды?
• Карты
  Предположим, что в шляпах три карты. Один красный с обеих сторон, один из которых с обеих сторон черный, а третий с одной стороны красный, а второй черный. Наугад вытаскиваем шляпу на одной карточке и видим, что одна ее сторона красная. Какова вероятность того, что
• Вариантов
  Найдите количество элементов, если количество вариантов четвертого класса без повторения в 42 раза больше, чем количество вариантов третьего класса без повторения.
• Футболки 73074
  У Душана в шкафу 8 футболок и три пары шорт. Сколько способов он может одеться в школу?
• Вероятность 80560
  У меня есть 3 источника, вероятность отказа которых равна 0,1. Вычислите вероятность того, что: а) ни у одного не будет неисправности б) 1 поломка в) по крайней мере 1 неисправность г) все они будут неисправны
• Металлы
  На чемпионате мира по хоккею сыграют восемь команд, и определить, сколькими способами они могут выиграть золотые, серебряные и бронзовые медали.
• Опции 3572
  Бросаем три кости. Запишите все варианты застолья.
• Пароль dalibor
  Камила хочет изменить пароль daliborZ путем а) ​​обмена двумя согласными между собой, б) замены одной малой гласной на такую ​​же большую гласную в) внесения этих двух изменений. Сколько возможностей у вас есть для выбора?
• Сиропы
  В магазине продаются три вида сиропов — яблочный, малиновый и апельсиновый. Сколькими способами можно купить четыре бутылки сиропа?
• Номерные знаки автомобилей
  Сколько различных номерных знаков может быть в стране, если они состоят из 3 букв, за которыми следуют 3 цифры?
• Палаты
  Комитет по принятию решений состоит из трех человек.

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Навигация по странице:

• Минор матрицы
• Алгебраическое дополнение матрицы
• Свойства алгебраического дополнения матрицы

Определение.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n — 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

A = 571-410203

Решение:

Определение.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов «произвольной» строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана «произвольная» строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

A₁₁ = 571-410203

Решение:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1}·M₁₁ = (-1)²·1003 = 1·3 — 0·0 = 3 — 0 = 3

A₁₂ = (-1)^{1 + 2}·M₁₂ = (-1)³·-4023 = -(-4·3 — 0·2) = -(-12 -0) = 12

A₁₃ = (-1)^{1 + 3}·M₁₃ = (-1)⁴·-4120 = -4·0 — 1·2 = 0 — 2 = -2

A₂₁ = (-1)^{2 + 1}·M₂₁ = (-1)³·7103 = -(7·3 — 1·0) = -(21 — 0) = -21

A₂₂ = (-1)^{2 + 2}·M₂₂ = (-1)⁴·5123 = 5·3 — 1·2 = 15 — 2 = 13

A₂₃ = (-1)^{2 + 3}·M₂₃ = (-1)⁵·5720 = -(5·0 — 7·2) = -(0 — 14) = 14

A₃₁ = (-1)^{3 + 1}·M₃₁ = (-1)⁴·7110 = 7·0 — 1·1 = 0 — 1 = -1

A₃₂ = (-1)^{3 + 2}·M₃₂ = (-1)⁵·51-40 = -(5·0 — 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A₃₃ = (-1)^{3 + 3}·M₃₃ = (-1)⁶·57-41 = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Алгебраические дополнения онлайн

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_i^j определителя D называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.
Алгебраическое дополнение элемента a_i^j обозначается через A_i^j. Следовательно, A_i^j = (-1)^i+jM_i^j.

• Ввод данных
• Видеоинструкция

Размерность матрицы 2345678910

Пример №1. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a₂¹ (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент a₂¹, получим . Тогда A₂¹ = (-1)¹⁺²M₂¹ = -14.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.
D=ai01·Ai01+ai02·Ai02+ ... + ai0n·Ai0n  (*)
где i₀ – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i₀.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают (n-1) нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример №2. Покажем нахождение алгебраических дополнений на примере определения обратной матрицы:

Решение находим с помощью калькулятора. Найдем главный определитель.
∆ = 0.73 ∙(0.72  ∙0.92 -(-0.17 ∙(-0.15  )))-(-0.19  ∙(-0.07  ∙0. 92 -(-0.17 ∙(-0.12  ))))+(-0.12 ∙(-0.07  ∙(-0.15 )-0.72  ∙(-0.12  ))) = 0.437197
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

∆_1,1 = (0.72  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.17 ))) = 0.6369

∆_1,2 = -(-0.07  ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.17 ))) = 0.0848

∆_1,3 = (-0.07  ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙0.72  )) = 0.0969

∆_2,1 = -(-0.19  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.12 ))) = 0.1928

∆_2,2 = (0.73 ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.12 ))) = 0.6572

∆_2,3 = -(0.73 ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙(-0.19  ))) = 0.1323

∆_3,1 = (-0.19  ∙(-0.17 )-0.72  ∙(-0.12 )) = 0.1187

∆_3,2 = -(0.73 ∙(-0.17 )-(-0.07  ∙(-0.12 ))) = 0.1325

∆_3,3 = (0.73 ∙0.72  -(-0.07  ∙(-0.19  ))) = 0.5123
Обратная матрица

Пример №3. Алгебраическое дополнение также используется при определении количества остовных деревьев в графе.

Что такое миноры и кофакторы? Как они работают?

Примеры

Purplemath

Найти определитель матрицы 2×2 очень просто: вы просто выполняете перекрестное умножение и вычитаете: матриц 3×3, хотя и немного сложнее, но все же довольно просто: вы добавляете повторы первого и второго столбцов в конец определителя, умножаете по всем диагоналям, а также складываете и вычитаете в соответствии с правилом:

Но для детерминантов 4×4 и больших вам придется вернуться к меньшим детерминантам 2×2 и 3×3, используя так называемые «младшие» и «кофакторы».

Что такое минор определителя матрицы?

Минор определителя – это определитель, образованный удалением одной строки и одного столбца из исходного определителя. А поскольку в исходном определителе много строк и столбцов, из него можно составить множество миноров.

Как обозначаются или именуются отдельные несовершеннолетние?

Второстепенные элементы помечаются в соответствии со строкой и столбцом, которые были удалены из исходного определителя. Таким образом, если вы должны были перейти, скажем, к элементу a _2,4 из определителя некоторой матрицы A и вычеркнуть строку и столбец, которые проходят через этот элемент (то есть, если вы удалите второй строку и четвертый столбец от определителя), новый (и меньший) определитель называется младшим M _2,4 .

Ниже приведен пример этого:

определитель А :

вычеркнуть все записи, находящиеся в одной строке или столбце с записью а _2,4 :

меньший 0003

Один раз вы нашли минор M _{i, j} , пришло время найти кофактор.

Что такое кофактор определителя матрицы?

Кофактор соответствует минору для определенного элемента определителя матрицы. Чтобы найти кофактор определенной записи в этом определителе, выполните следующие действия:

1. Возьмите значения i и j из нижнего индекса минора, M _i,j , и сложите их.
2. Возьмите значение i  +  j и возложите его как степень на -1; другими словами, оцените (−1) ^{i + j} .
3. Умножить минор M _{i , j} на результат шага 2.

Результат (−1) ^i+j M _{i , j} является кофактором, C _j .

Но ты еще не закончил. Да, есть еще.

Как найти определитель с помощью миноров и кофакторов?

Чтобы найти определитель матрицы A с помощью миноров и кофакторов, вы должны выбрать строку или столбец матрицы, найти все кофакторы для этой строки или столбца, умножить каждый кофактор на соответствующий элемент матрицы, а затем добавьте все значения, которые вы получили.

Хорошо, да; это, вероятно, не имело особого смысла. Это можно сказать по-другому:

• У вас есть матрица A . Вам нужно найти его определитель.
• Он слишком велик, чтобы его можно было найти более простыми методами, поэтому вам придется найти его, «расширив строку или столбец».
• Первым шагом в этом «расширении» будет выбор строки или столбца. Допустим, вы выбираете третий ряд.
• Для каждой записи в третьей строке вы найдете кофактор этой записи и умножите запись на ее кофактор. То есть для элемента a _3,1 матрицы A вы найдете сомножитель C _3,1 , а затем умножите сомножитель на a _{3 ,1} запись: ( a _3,1 )( C _3,1 ). Для записи a _3,2 вы найдете кофактор C _3,2 и умножить: ( a _3,2 )( A _3,2 ). И так далее.
• Затем вы сложите все эти продукты: ( a _3,1 )( C _3,1 ) + ( a _3,2 )( 3,2 C
• ) + ( а _3,3 )( С _3,3 ) + . …

Полученная сумма есть значение определителя матрицы А .

(Вышеупомянутая запутанная путаница является причиной того, что никто не делает детерминанты вручную, если этого можно избежать: есть только , поэтому требуется много подверженной ошибкам бессмысленной рутинной работы.)

Неважно, какую строку или столбец вы используете. для вашего расширения; вы получите то же значение независимо. Но эта гибкость может быть полезной, потому что она позволяет вам стремиться к нулям.

• Найдите определитель следующей матрицы, разложив (а) по первой строке и (б) по третьему столбцу. (c) Сравните результаты каждого расширения.
  

(a) Чтобы расширить первую строку, мне нужно найти миноры, а затем кофакторы элементов первой строки; то есть мне нужно найти миноры для матричных элементов a _1,1 , a _1,2 , a _1,3 и a 2,009 _{а затем умножьте их на -1 или +1, чтобы получить кофакторы.}

Итак, определитель этой матрицы, найденный путем разложения по первой строке, равен:

(а) дет( А ) = а _1,1 С _1,1 + а _1,2 + и _1,3 С _1,3 + а _1,4 С _1,4

 () += 3 0                 )(3) + 1(0) = −6

(b) Чтобы разложить по третьему столбцу, мне нужно найти миноры, а затем кофакторы элементов третьего столбца: a _1,3 , a _2,3 , a _3,3 и a _4,3 .

Секундочку… a _2,3 — запись исходной матрицы равна нулю. Это означает, что я получу ноль для этого термина, когда я буду расширять столбец вниз, независимо от того, каким окажется значение минора M _2,3 . Так что мне на самом деле все равно, что такое кофактор C _2,3 ; Я могу просто поставить 0 для этой записи, потому что:

a _2,3 C _2,3 = (0)( C _2,3 ) = 0

На самом деле, я могу игнорировать *каждый* из последних трех членов в расширении вниз по третьему столбцу, потому что все записи третьего столбца (кроме первой записи, которую я уже сделал) будут равны нулю.

Таким образом, единственное вычисление, которое меня волнует, это то, которое я уже сделал:

(b) det( A ) = a _1,3 C _1,3

                 = (−2)(3) = −6

В части (c) этого упражнения я должен сравнить два значения определителя.

(c) Сравнение: Каждое расширение дает одно и то же значение.

Смысл этого упражнения в том, чтобы показать, что не имеет значения, по какой строке или по какому столбцу вы выполняете развертывание; полученное значение (при условии отсутствия арифметических ошибок) всегда будет одинаковым. Это означает, что вы можете выбрать строку или столбец, которые считаете самыми простыми, и это не повлияет на ваш окончательный ответ.

URL: https://www.purplemath.com/modules/minors.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске кофакторов. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу. ) Затем нажмите кнопку и выберите «Найти матрицу кофакторов», которая показывает *все* кофакторы, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Возможно, сначала вам придется нажать «Дополнительно…», чтобы увидеть параметр матрицы кофакторов. Матрица кофакторов показывает кофакторы для каждой записи в исходной матрице.)

Пожалуйста, примите файлы cookie «предпочтения», чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

Page 2

Как найти миноры матрицы nxn?

Найти минор матрицы \(n \times n\) легко, и шаги почти такие же, как поиск определителя. Это первый шаг, чтобы найти матрицу кофакторов. Мы начнем в этой статье с общей формы нахождения минора, как найти минор матрицы \(2\times 2\), \(3\times 3\) и \(4\times 4\) , где каждый раздел заканчивается примером.

Каковы миноры матрицы

Пусть \(A\) будет \(n \times n\) матрицей. В частности:

Минор \(M_{i,j}\) матрицы \(A\) является определителем \(n-1 \times n-1\) подматрица \(A\), где удаляются \(i\)-я строка и \(j\)-й столбец. В математической записи мы получим

Нахождение всех миноров матрицы \(A\) и объединение их в новую матрицу называется матрицей миноров , которую мы будем обозначать как \(M\):

В конце концов, это почти то же самое, что вычисление определителя. Разница лишь в том, что нам нужно удалить одну строку и один столбец. Мы сделаем несколько примеров в следующих разделах для большей ясности.

Как найти миноры матрицы 2×2?

Мы начнем с поиска миноров матрицы \(2\times 2\). Итак, пусть \(A\) будет матрицей \(2\times 2\). В частности:

Для каждого минора \(M_{1,1}\), \(M_{1,2}\), \(M_{2,1}\) и \ (M_{2,2}\), нам нужно найти его определитель подматрицы \(1\times 1\) матрицы \(A\). Но матрица \(1\times 1\) — это один элемент. Следовательно, мы можем переписать миноры как:

\begin{equation*} M_{1,1} = a_{2,2}, \quad M_{1,2} = a_{2,1}, \quad M_{2,1} = a_{1 ,2}, \quad \text{and} \quad M_{2,2} = a_{1,1} \end{equation*} и это приводит к следующей матрице миноров \(M\)

Пример.

Как найти миноры матрицы 3×3?

Теперь нам нужно произвести дополнительные вычисления, так как у нас есть 9 определителей. А именно, пусть \(A\) будет матрицей

Тогда матрица миноров \(A\) равна

\[ M = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} M_{1,1} & M_{1, 2} & M_{1,3} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & M_{2,3} \\ M_{3,1} & M_{3,2} & M_{3 ,3} \end{массив} \end{bmatrix} \] \[ \quad = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3 }\\ a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1 ,3}\\ a_{2,2}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{2, 1}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{vmatrix} \end{массив} \end{bmatrix} \]

Пример.

Как найти миноры матрицы 4×4?

В предыдущих разделах мы видели, что найти минор — это довольно простое и прямолинейное вычисление. Чтобы решить матрицу \(4\times 4\), нам нужно вычислить 16 определителей подматриц \(3\times 3\). Это очень много вычислений! Обычно это делают компьютеры, но здесь мы дадим несколько вычислений, как найти миноры матрицы \(4 \times 4\).

\[ A = \begin{bmatrix}\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & 1 & 9 \\ 4 & 1 & 3 & 7 \end{array}\end{bmatrix} \] Приведем пример для вычисления миноров \(M_{1,1}\) и \(M_{4,2}\). \[ M_{1,1} = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 4\\ -3 & 1 & 9\\ 1 & 3 & 7 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 9\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 1 и 9\end{vmatrix} \] \[= 5 \cdot (-20) + 3 \cdot 37 + 1 \cdot 59 = 70\] \[ M_{4,2} = \begin{vmatrix} 3 & 6 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} – 2 \cdot \ begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 7 & 4 \\ \end{vmatrix} \] \[= 3\ cdot 59 – 2 \cdot 52 + 1 \cdot 14 = 83 \]

Заключение

Нахождение миноров матрицы может быть сделано легко и быстро для матриц \(2 \times 2\) и \(3 \times 3 \), но большее значение увеличит сложность вычислений.

Решение уравнений с неизвестным в 4 степени. Степенные или показательные уравнения

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Решение Декарта — Эйлера

Сделав подстановку , получим уравнение в следующем виде (он называется «неполным»):

y 4 + p y 2 + q y + r = 0 .

Корни y 1 , y 2 , y 3 , y 4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

,

причём z 1 , z 2 и z 3 — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Основная статья : Метод Феррари

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x + E = 0,

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

если β = 0 , решив u 4 + αu 2 + γ = 0 и, сделав подстановку , найдём корни: . , (любой знак квадратного корня подойдёт) , (три комплексных корня, один из которых подойдёт) Два ± s должны иметь одинаковый знак, ± t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ± s ,± t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

См. также

• Легко решаемые типы уравнений 4 степени: Биквадратное уравнение , возвратное уравнение четвёртой степени

Литература

• Корн Г., Корн Т. (1974) Справочник по математике.

Ссылки

• Решение Феррари (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Уравнение четвертой степени» в других словарях:

уравнение четвертой степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN quartic equation … Справочник технического переводчика

График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… … Википедия

Уравнение вида: anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если an − k = ak, при k = 0, 1, …, n. Содержание 1 Уравнение четвёртой степени … Википедия

В котором неизвестный член в четвертой степени. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ от лат. bis, дважды, и quadratum, квадрат. Уравнение, в котором наибольшая степень… … Словарь иностранных слов русского языка

Вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И. А. Ефрона

Совокупность прикладных знаний, позволяющих авиационным инженерам на занятий в области аэродинамики, проблем прочности, двигателестроения и динамики полета летательных аппаратов (т.е. теории) создать новый летательный аппарат или улучшить… … Энциклопедия Кольера

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

История технологий По периодам и регионам: Неолитическая революция Древние технологии Египта Наука и технологии древней Индии Наука и технологии древнего Китая Технологии Древней Греции Технологии Древнего Рима Технологии исламского мира… … Википедия

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера

Теорема Абеля Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах. 4+b=0$

Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.

Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари.

При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой.

Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда Достаточность. Пусть Тогда

Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде:

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и достаточно выполнения условия

Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду

Пусть — один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место

при некоторых k и I. Исходное уравнение примет вид

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения.

Сделаем еще одно замечание. Пусть — корни первого сомножителя, и — корни второго. Тогда Сложив эти равенства, получим, что

Таким образом, мы получили выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Пример. Решить уравнение . Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часть:

Теперь положим . После образований получим уравнение

Легко видеть, что одним из корней этого уравнения является число . Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим:

Приравнивая сомножители нулю, получим

Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторые классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в. Руффини и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок.




2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)

Многочлен 2x 2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

Тогда

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

где (6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

И способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) – Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.

I тип: уравнение вида

(6. 6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

Откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

Откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Рис. 6.12

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

или

Заменим Получим

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X ¹ 2.

Решением является совокупность

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

< Предыдущая		Следующая >

7.1.5: Использование уравнений для решения неизвестных углов

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Идентификатор страницы

  38723

• Иллюстративная математика
• OpenUp Resources

Урок

Давайте вычислим недостающие углы с помощью уравнений.

Упражнение \(\PageIndex{1}\): этого достаточно?

Тайлер считает, что у этого рисунка достаточно информации, чтобы вычислить значения \(a\) и \(b\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Вы согласны? Объясните свои рассуждения.

Упражнение \(\PageIndex{2}\): как это выглядит?

Елена и Диего написали уравнения для представления этих диаграмм. Для каждой диаграммы решите, с каким уравнением вы согласны, и решите его. Вы можете предположить, что углы, которые выглядят как прямые углы, действительно являются прямыми углами.

1. Елена: \(x=35\)

Диего: \(x+35=180\)

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

2. Елена: \(35+w+41= 180\)

Диего: \(w+35=180\)

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

3. Елена: \(w+35=90\)

Диего: \(2w+35 =90\)

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

4. Елена: \(2w+35=90\)

Диего: \(w+35=90\)

Рисунок \(\PageIndex{5 }\)

5. Елена: \(w+148=180\)

Диего: \(x+90=148\)

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Упражнение \(\PageIndex{3} \): вычислить меру

Найдите неизвестные величины углов. Покажите свое мышление. Организуйте его так, чтобы за ним могли следить другие.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)Рисунок \(\PageIndex{8}\)

Линии \(l\) и \(m\) перпендикулярны.

Рисунок \(\PageIndex{9}\)Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Готовы ли вы к большему?

Диаграмма состоит из трех квадратов. Нарисованы три дополнительных отрезка, соединяющих углы квадратов. Мы хотим найти точное значение \(a+b+c\).

Рисунок \(\PageIndex{11}\)
1. С помощью транспортира измерьте три угла. Используйте свои измерения, чтобы сделать предположение о значении \(a+b+c\).
2. Найдите точное значение \(a+b+c\), рассуждая о диаграмме.

Резюме

Чтобы найти неизвестную угловую меру, иногда бывает полезно написать и решить уравнение, которое представляет ситуацию. Например, предположим, что мы хотим узнать значение \(x\) на этой диаграмме.

Рисунок \(\PageIndex{12}\)

Используя наши знания о вертикальных углах, мы можем написать уравнение \(3x+90=144\), чтобы представить эту ситуацию. Тогда мы можем решить уравнение.

\(\begin{align} 3x+90&=144 \\ 3x+90-90&=144-90 \\ 3x&=54 \\ 3x\cdot\frac{1}{3}&=54\cdot\frac {1}{3} \\ x&=18\end{aligned}\)

Записи глоссария

Определение: Смежные углы

Смежные углы имеют общую сторону и вершину.

На этой диаграмме угол \(ABC\) примыкает к углу \(DBC\).

Рисунок \(\PageIndex{13}\)

Определение: Дополнительный

Сумма дополнительных углов равна 9{\circ}\) являются дополнительными.

Рисунок \(\PageIndex{14}\)Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Определение: Прямой угол

Прямой угол составляет половину прямого угла. Он измеряет 90 градусов.

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Определение: прямой угол

Прямой угол — это угол, образующий прямую линию. Он измеряет 180 градусов.

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Определение: Дополнительный

Дополнительные углы имеют размеры, которые в сумме составляют 180 градусов. 9{\circ}\). Найдите значение \(х\).

Рисунок \(\PageIndex{21}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Линия \(l\) перпендикулярна линии \(m\). Найдите значение \(x\) и \(w\).

Рисунок \(\PageIndex{22}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Если бы вы знали, что два угла дополняют друг друга, и вам была задана мера одного из этих углов, смогли бы вы найти мера другого угла? Объясните свои рассуждения.

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Для каждого неравенства решите, представлено ли решение как \(x<4,5\) или \(x>4,5\).

1. \(-24>-6(х-0,5)\)
2. \(-8x+6>-30\)
3. \(-2(х+3,2)<-15,4\)

(Из Раздела 6.3.3)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Бегун пробежал \(\frac{2}{3}\) 5-километровый забег за 21 минуту. Всю гонку они бежали с постоянной скоростью.

1. Сколько времени ушло на весь забег?
2. Сколько минут нужно, чтобы пробежать 1 километр?

(из раздела 4.1.2)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Джада, Елена и Лин прошли на прошлой неделе в общей сложности 37 миль. Джада прошла на 4 мили больше, чем Елена, а Лин прошла на 2 мили больше, чем Джада. На диаграмме представлена ​​следующая ситуация:

Рисунок \(\PageIndex{23}\)

Найдите количество миль, которое каждый из них прошел. Объясните или покажите свои рассуждения.

(Из модуля 6.2.6)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Выберите все выражения, эквивалентные \(-36x+54y-90\).

1. \(-9(4x-6y-10)\)
2. \(-18(2x-3y+5)\)
3. \(-6(6x+9y-15)\)
4. \(18(-2x+3y-5)\)
5. \(-2(18x-27y+45)\)
6. \(2(-18x+54y-90)\)

(из модуля 6.4.2)

---

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип артикула

   Раздел или Страница

   Автор

   Иллюстративная математика

   Лицензия

   СС BY

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Решение квадратных уравнений 2-й степени

Уравнения второй степени — это квадратные уравнения, где наивысшая степень в уравнении равна 2, и будет два решения для 2-х ^-й -й степени уравнений. Стандартной формой уравнения второй степени является ax ² +bx+c, которое представляет собой трехчлен, поскольку уравнение состоит из трех членов. Но каждое уравнение второй степени не обязательно должно быть трехчленным, потому что оно может даже состоять из двух членов, причем наибольшая степень в нем равна двум. Пример:- x ² +2x-1, 2x ² -4, 3x ² +x+3

Для решения уравнений второй степени можно использовать квадратную формулу для уравнения ax ² +bx+c=0

Где

b ² -4ac дискриминант

, если дискриминант положительный, это указывает есть два действительных решения

если ноль, то только одно решение

если отрицательное мы получим комплексные решения

Примеры вопросов

Вопрос 1: Решите уравнение x ² +3x-4=0?

Решение:

Данное уравнение:

x ² +3x-4=0

Сравните данное уравнение с ax ² +bx+c=0 и обратите внимание а, б, в значения

a=1, b=3, c=-4

Чтобы решить уравнение второй степени, используется квадратичная формула, а перед этим найдите значение дискриминанта, чтобы найти, сколько решений возможно для уравнения.

√(b ² -4ac)=√(3 ² -(4×1×(-4)))

=√(9-(-16))

=√(9+16)

=√25

=5>0

Итак, два возможных действительных решения

 =(-3+5)/(2×1)

 =2/ 2

x=1

=(-3-5)/(2×1)

=-8/2

x=-4

Вкл. решая уравнение, возможные решения равны x =1,-4

Вопрос 2: Решить уравнение x ² -3x-10=0?

Решение:

Данное уравнение:

x ² -3x-10=0

Сравните данное уравнение с ax ² +bx+c=0 и обратите внимание на значения a, b, c

a=1, b= -3, c=-10

Чтобы решить уравнение второй степени, используется квадратичная формула, а перед этим найдите значение дискриминанта, чтобы найти, сколько решений возможно для уравнения.

=√(9+40)

=√49

=7>0

Итак, два возможных действительных решения

=(-(-3)+7)/(2×1)

=10/2

x=5

=(-(-3)-7)/(2×1)

=(3-7)/2

=-4/2

x=-2

При решении уравнения возможные решения: x=5,-2

Вопрос 3: Решить уравнение второй степени 2x ² -6=0

Решение:

Учитывая 2x ² -6=0

2x ² =6

x ² =6/2

x ² =3

x=±√3

Уравнения второй степени также можно решить, следуя формуле факторизации трехчлена. Поскольку уравнение второй степени может иметь три члена.

Триномиальные бывают двух типов. Это

1. Трехчлен Perfect Square
2. Несовершенный квадрат Trinomial

Трехчлен Perfect Square Trinomial , если он имеет форму ² +2ab+b ² или a ² -2ab+b ² , тогда их можно записать в виде-

a ² +2ab+b ² =(a+ б) ²

a ² -2ab+b ² =(a-b) ²

топор ² + бх+с. Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти факторы.

Этапы решения

Шаг 1: Найдите a, b, c и вычислите a × c

Шаг 2: Найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b.

Шаг 3: Разделите средний член на сумму двух чисел, полученных на предыдущем шаге.

Шаг 4: Решите уравнение.

Примеры вопросов

Вопрос 1. Решите уравнение x ² +6x+9=0

Решение:

Данное уравнение

x ² +6x+9=0

Это можно записать в виде- x ² +2(3)(x)+3 ² =0

Уравнение выше в форма a ² +2ab+b ² 

Таким образом, a=x, b=3

Из формулы- a ² +2ab+b ² =(a+b) ²

(x+3) ² =0

(x+3)(x+3)=0

Итак, x=-3,-3

Здесь мы получили только одно решение.

Это можно проверить, вычислив дискриминант, который обсуждался выше.

√(b ² -4ac)=√(6 ² -4(1)(9))

=√(36-36)

=0 указывает, что будет только одно решение уравнения .

Итак, x=-3 является решением уравнения x ² +6x+9=0

Вопрос 2: Решите уравнение x ² -10x+21=0?

Решение:

Указано x ² -10x+21 = 0

.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Таблица синусов — Мир в таблицах

Главная » Математика

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 2. 8к. Опубликовано

Таблица синусов – это записанные в таблицу посчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу синусов вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение синуса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Содержание

Таблица синусов в радианах

α	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π
sin α	0	12	√22	√32	1	0	-1	0

Таблица синусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°

Угол х (в градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Угол х (в радианах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π
sin x	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0

Таблица синусов углов от 0° до 180°

sin(0°) = 0 sin(1°) = 0. 017452 sin(2°) = 0.034899 sin(3°) = 0.052336 sin(4°) = 0.069756 sin(5°) = 0.087156 sin(6°) = 0.104528 sin(7°) = 0.121869 sin(8°) = 0.139173 sin(9°) = 0.156434 sin(10°) = 0.173648 sin(11°) = 0.190809 sin(12°) = 0.207912 sin(13°) = 0.224951 sin(14°) = 0.241922 sin(15°) = 0.258819 sin(16°) = 0.275637 sin(17°) = 0.292372 sin(18°) = 0.309017 sin(19°) = 0.325568 sin(20°) = 0.34202 sin(21°) = 0.358368 sin(22°) = 0.374607 sin(23°) = 0.390731 sin(24°) = 0.406737 sin(25°) = 0.422618 sin(26°) = 0.438371 sin(27°) = 0.45399 sin(28°) = 0.469472 sin(29°) = 0.48481 sin(30°) = 0.5 sin(31°) = 0.515038 sin(32°) = 0.529919 sin(33°) = 0.544639 sin(34°) = 0.559193 sin(35°) = 0.573576 sin(36°) = 0.587785 sin(37°) = 0.601815 sin(38°) = 0.615661 sin(39°) = 0.62932 sin(40°) = 0.642788 sin(41°) = 0.656059 sin(42°) = 0.669131 sin(43°) = 0.681998 sin(44°) = 0. 694658 sin(45°) = 0.707107

sin(46°) = 0.71934 sin(47°) = 0.731354 sin(48°) = 0.743145 sin(49°) = 0.75471 sin(50°) = 0.766044 sin(51°) = 0.777146 sin(52°) = 0.788011 sin(53°) = 0.798636 sin(54°) = 0.809017 sin(55°) = 0.819152 sin(56°) = 0.829038 sin(57°) = 0.838671 sin(58°) = 0.848048 sin(59°) = 0.857167 sin(60°) = 0.866025 sin(61°) = 0.87462 sin(62°) = 0.882948 sin(63°) = 0.891007 sin(64°) = 0.898794 sin(65°) = 0.906308 sin(66°) = 0.913545 sin(67°) = 0.920505 sin(68°) = 0.927184 sin(69°) = 0.93358 sin(70°) = 0.939693 sin(71°) = 0.945519 sin(72°) = 0.951057 sin(73°) = 0.956305 sin(74°) = 0.961262 sin(75°) = 0.965926 sin(76°) = 0.970296 sin(77°) = 0.97437 sin(78°) = 0.978148 sin(79°) = 0.981627 sin(80°) = 0.984808 sin(81°) = 0.987688 sin(82°) = 0.990268 sin(83°) = 0.992546 sin(84°) = 0.994522 sin(85°) = 0.996195 sin(86°) = 0. 997564 sin(87°) = 0.99863 sin(88°) = 0.999391 sin(89°) = 0.999848 sin(90°) = 1

sin(91°) = 0.999848 sin(92°) = 0.999391 sin(93°) = 0.99863 sin(94°) = 0.997564 sin(95°) = 0.996195 sin(96°) = 0.994522 sin(97°) = 0.992546 sin(98°) = 0.990268 sin(99°) = 0.987688 sin(100°) = 0.984808 sin(101°) = 0.981627 sin(102°) = 0.978148 sin(103°) = 0.97437 sin(104°) = 0.970296 sin(105°) = 0.965926 sin(106°) = 0.961262 sin(107°) = 0.956305 sin(108°) = 0.951057 sin(109°) = 0.945519 sin(110°) = 0.939693 sin(111°) = 0.93358 sin(112°) = 0.927184 sin(113°) = 0.920505 sin(114°) = 0.913545 sin(115°) = 0.906308 sin(116°) = 0.898794 sin(117°) = 0.891007 sin(118°) = 0.882948 sin(119°) = 0.87462 sin(120°) = 0.866025 sin(121°) = 0.857167 sin(122°) = 0.848048 sin(123°) = 0.838671 sin(124°) = 0.829038 sin(125°) = 0.819152 sin(126°) = 0.809017 sin(127°) = 0. 798636 sin(128°) = 0.788011 sin(129°) = 0.777146 sin(130°) = 0.766044 sin(131°) = 0.75471 sin(132°) = 0.743145 sin(133°) = 0.731354 sin(134°) = 0.71934 sin(135°) = 0.707107

sin(136°) = 0.694658 sin(137°) = 0.681998 sin(138°) = 0.669131 sin(139°) = 0.656059 sin(140°) = 0.642788 sin(141°) = 0.62932 sin(142°) = 0.615661 sin(143°) = 0.601815 sin(144°) = 0.587785 sin(145°) = 0.573576 sin(146°) = 0.559193 sin(147°) = 0.544639 sin(148°) = 0.529919 sin(149°) = 0.515038 sin(150°) = 0.5 sin(151°) = 0.48481 sin(152°) = 0.469472 sin(153°) = 0.45399 sin(154°) = 0.438371 sin(155°) = 0.422618 sin(156°) = 0.406737 sin(157°) = 0.390731 sin(158°) = 0.374607 sin(159°) = 0.358368 sin(160°) = 0.34202 sin(161°) = 0.325568 sin(162°) = 0.309017 sin(163°) = 0.292372 sin(164°) = 0.275637 sin(165°) = 0.258819 sin(166°) = 0.241922 sin(167°) = 0.224951 sin(168°) = 0. 207912 sin(169°) = 0.190809 sin(170°) = 0.173648 sin(171°) = 0.156434 sin(172°) = 0.139173 sin(173°) = 0.121869 sin(174°) = 0.104528 sin(175°) = 0.087156 sin(176°) = 0.069756 sin(177°) = 0.052336 sin(178°) = 0.034899 sin(179°) = 0.017452 sin(180°) = 0

Таблица синусов углов от 181° до 360°

sin(181°) = -0.017452 sin(182°) = -0.034899 sin(183°) = -0.052336 sin(184°) = -0.069756 sin(185°) = -0.087156 sin(186°) = -0.104528 sin(187°) = -0.121869 sin(188°) = -0.139173 sin(189°) = -0.156434 sin(190°) = -0.173648 sin(191°) = -0.190809 sin(192°) = -0.207912 sin(193°) = -0.224951 sin(194°) = -0.241922 sin(195°) = -0.258819 sin(196°) = -0.275637 sin(197°) = -0.292372 sin(198°) = -0.309017 sin(199°) = -0.325568 sin(200°) = -0.34202 sin(201°) = -0.358368 sin(202°) = -0.374607 sin(203°) = -0.390731 sin(204°) = -0. 406737 sin(205°) = -0.422618 sin(206°) = -0.438371 sin(207°) = -0.45399 sin(208°) = -0.469472 sin(209°) = -0.48481 sin(210°) = -0.5 sin(211°) = -0.515038 sin(212°) = -0.529919 sin(213°) = -0.544639 sin(214°) = -0.559193 sin(215°) = -0.573576 sin(216°) = -0.587785 sin(217°) = -0.601815 sin(218°) = -0.615661 sin(219°) = -0.62932 sin(220°) = -0.642788 sin(221°) = -0.656059 sin(222°) = -0.669131 sin(223°) = -0.681998 sin(224°) = -0.694658 sin(225°) = -0.707107

sin(226°) = -0.71934 sin(227°) = -0.731354 sin(228°) = -0.743145 sin(229°) = -0.75471 sin(230°) = -0.766044 sin(231°) = -0.777146 sin(232°) = -0.788011 sin(233°) = -0.798636 sin(234°) = -0.809017 sin(235°) = -0.819152 sin(236°) = -0.829038 sin(237°) = -0.838671 sin(238°) = -0.848048 sin(239°) = -0.857167 sin(240°) = -0.866025 sin(241°) = -0.87462 sin(242°) = -0.882948 sin(243°) = -0. 891007 sin(244°) = -0.898794 sin(245°) = -0.906308 sin(246°) = -0.913545 sin(247°) = -0.920505 sin(248°) = -0.927184 sin(249°) = -0.93358 sin(250°) = -0.939693 sin(251°) = -0.945519 sin(252°) = -0.951057 sin(253°) = -0.956305 sin(254°) = -0.961262 sin(255°) = -0.965926 sin(256°) = -0.970296 sin(257°) = -0.97437 sin(258°) = -0.978148 sin(259°) = -0.981627 sin(260°) = -0.984808 sin(261°) = -0.987688 sin(262°) = -0.990268 sin(263°) = -0.992546 sin(264°) = -0.994522 sin(265°) = -0.996195 sin(266°) = -0.997564 sin(267°) = -0.99863 sin(268°) = -0.999391 sin(269°) = -0.999848 sin(270°) = -1

sin(271°) = -0.999848 sin(272°) = -0.999391 sin(273°) = -0.99863 sin(274°) = -0.997564 sin(275°) = -0.996195 sin(276°) = -0.994522 sin(277°) = -0.992546 sin(278°) = -0.990268 sin(279°) = -0.987688 sin(280°) = -0.984808 sin(281°) = -0.981627 sin(282°) = -0. 978148 sin(283°) = -0.97437 sin(284°) = -0.970296 sin(285°) = -0.965926 sin(286°) = -0.961262 sin(287°) = -0.956305 sin(288°) = -0.951057 sin(289°) = -0.945519 sin(290°) = -0.939693 sin(291°) = -0.93358 sin(292°) = -0.927184 sin(293°) = -0.920505 sin(294°) = -0.913545 sin(295°) = -0.906308 sin(296°) = -0.898794 sin(297°) = -0.891007 sin(298°) = -0.882948 sin(299°) = -0.87462 sin(300°) = -0.866025 sin(301°) = -0.857167 sin(302°) = -0.848048 sin(303°) = -0.838671 sin(304°) = -0.829038 sin(305°) = -0.819152 sin(306°) = -0.809017 sin(307°) = -0.798636 sin(308°) = -0.788011 sin(309°) = -0.777146 sin(310°) = -0.766044 sin(311°) = -0.75471 sin(312°) = -0.743145 sin(313°) = -0.731354 sin(314°) = -0.71934 sin(315°) = -0.707107

sin(316°) = -0.694658 sin(317°) = -0.681998 sin(318°) = -0.669131 sin(319°) = -0.656059 sin(320°) = -0.642788 sin(321°) = -0. 62932 sin(322°) = -0.615661 sin(323°) = -0.601815 sin(324°) = -0.587785 sin(325°) = -0.573576 sin(326°) = -0.559193 sin(327°) = -0.544639 sin(328°) = -0.529919 sin(329°) = -0.515038 sin(330°) = -0.5 sin(331°) = -0.48481 sin(332°) = -0.469472 sin(333°) = -0.45399 sin(334°) = -0.438371 sin(335°) = -0.422618 sin(336°) = -0.406737 sin(337°) = -0.390731 sin(338°) = -0.374607 sin(339°) = -0.358368 sin(340°) = -0.34202 sin(341°) = -0.325568 sin(342°) = -0.309017 sin(343°) = -0.292372 sin(344°) = -0.275637 sin(345°) = -0.258819 sin(346°) = -0.241922 sin(347°) = -0.224951 sin(348°) = -0.207912 sin(349°) = -0.190809 sin(350°) = -0.173648 sin(351°) = -0.156434 sin(352°) = -0.139173 sin(353°) = -0.121869 sin(354°) = -0.104528 sin(355°) = -0.087156 sin(356°) = -0.069756 sin(357°) = -0.052336 sin(358°) = -0.034899 sin(359°) = -0.017452 sin(360°) = 0

Скачать таблицы синусов (правой кнопкой – сохранить изображение)

Мэтуэй | Популярные задачи

92

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы 92
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. Обозначение прямой угол: Виды углов: острый, прямой, тупой, развёрнутый, выпуклый и полный alexxlab / 28.06.202318.05.2023 / Разное Угол. Обозначение углов / Геометрия / Справочник по математике 5-9 класс Главная Справочники Справочник по математике 5-9 класс Геометрия Угол. Обозначение углов Угол —  геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. На рис. 1 лучи АВ и АС — стороны угла, точка А — вершина угла. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Сам угол на рис. 1 обозначают так: ВАС или САВ (этот угол нельзя обозначить так: АВС или СВА  или ВСА или  АСВ, т.к. точки В и С не являются вершинами данного угла). Этот же угол можно обозначить и короче, по его вершине: А. Если углы имеют общую вершину, то их нельзя обозначить одной буквой. Так на рис. 2 углы имеют общую вершину Е, поэтому мы можем использовать для данных углов только следующие обозначения: МЕК или КЕМ, МЕР или РЕМ, РЕК или КЕР. Говорят, что луч ЕР в данном случае делит угол МЕК (или КЕМ) на два угла: МЕР (или РЕМ) и РЕК (или КЕР). Также иногда углы обозначают цифрами, например, на рис.3 мы имеем 1. Углы, как и отрезки, можно сравнивать между собой. Чтобы сравнить два угла можно наложить один угол на другой. Если при наложении одного угла на другой они совпадут, то эти углы равны. Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла. На рис. 4 углы НОМ и DОМ равны, значит, луч ОМ — биссектриса угла НОD. Прямой угол — угол, который можно построить с помощью угольника (рис. 5). Если начертить два прямых угла с общей вершиной и одной общей стороной, то две другие стороны этих углов составят прямую (рис. 6). Считают, что лучи, составляющие прямую, также образуют угол, который называют развернутым. На рис. 6 АОВ и ВОС — прямые, АОС — развернутый. Развернутый угол равен двум прямым углам, а прямой угол составляет половину развернутого. Острый угол — угол, который меньше прямого угла. На рис. 7 МОN — острый. Тупой угол — угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого. На рис. 8 РЕК — тупой. Советуем посмотреть: Отрезок Ломаная Четырехугольники Единицы измерения площадей. Свойства площадей Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры Квадрат. Периметр и площадь квадрата. Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур. Плоскость Прямая Луч Шкалы и координаты Прямоугольный параллелепипед. Пирамида. Объем прямоугольного параллелепипеда Куб. Площадь поверхности куба Куб. Объем куба Прямой и развернутый угол Чертежный треугольник Измерение углов. Транспортир. Виды углов Треугольник и его виды Окружность, круг, шар Цилиндр, конус Отрезок-xx Геометрия Правило встречается в следующих упражнениях: 5 класс Задание 1614, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1615, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1618, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1638, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1653, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1702, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 1774, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Номер 289, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 302, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник 6 класс Номер 206, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 392, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 687, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 714, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 1217, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 1220, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Номер 1237, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Задание 173, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 247, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник Задание 738, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник 7 класс Номер 759, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник Задание 81, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник 8 класс Номер 422, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник § Углы в геометрии. Как обозначают угол. Виды углов Точка, прямая, луч, отрезок и ломаная Угол. Виды углов Фигуры и их свойства Запомните! Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей и вершины. Вершина угла — это точка, в которой два луча берут начало. Стороны угла — это лучи, которые образуют угол. Например: Вершина угла — точка «O». Стороны угла — «OA» и «OB». Для обозначения угла в тексте используется символ: AOB Способы обозначения углов Одной заглавной латинской буквой, указывающей его вершину. Угол: O Тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла. Угол: AOD Называть угол можно с любого края, но НЕ с вершины. Угол с рисунка выше имеет два названия: AOD иDOA. Запомните! При таком обозначении вершина угла должна всегда находиться в середине названия. Двумя строчными латинскими буквами. Угол: fn Единица измерения углов — градусы. Углы измеряют с помощью специального прибора — транспортира. Для обозначения градусов в тексте используется символ: ° 50 градусов обозначаются так: «50°» Виды углов Вид угла Размер в градусах Пример Прямой Равен 90° Острый Меньше 90° Тупой Больше 90° Развернутый Равен 180° Запомните! Два угла могут иметь одну общую сторону. Обратите внимание на рисунок ниже. Попробуйте сосчитать и назвать все углы на изображении. Если насчитали три угла, то вы правы. Давайте их назовём: AOB BOC AOC Углы AOB и BOC имеют общую сторону OB. Точка, прямая, луч, отрезок и ломаная Угол. Виды углов Фигуры и их свойства Ваши комментарии Важно! Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте». Оставить комментарий: Отправить 2 мая 2020 в 5:47 Люба Капитонова Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 1 В треугольнике  ABC угол А равен 120 градусам. Точка D находится внутри треугольника такт, что угол DBC = 2ABD и DCB = 2ACD. Опредлить меру угла BDC в градусах. 0 СпасибоОтветить 6 мая 2020 в 16:09 Ответ для Люба Капитонова Галина Федотова Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 3 ABD=x, DBC=2x, ACD=y, DCB=2y,  3x+3y+120=180, x+y=20 BDC+2x+2y=180 BDC=180-2(x+y)=180-40=140 0 СпасибоОтветить 2 августа 2019 в 16:08 Артем Хохлов Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 1 Добрый день! Есть 2 фигуры: круг и прямоугольник. Центр окружности всегда расположен в левом нижнем углу прямоугольника. Известны радиус окружности, ширина и высота прямоугольника. Окружность всегда пересекается с прямоугольником в 2х точках (А и Б): в верхней и нижней стороне прямоугольника. Нужна формула для расчета угла между точками А и Б. 0 СпасибоОтветить 18 сентября 2019 в 8:55 Ответ для Артем Хохлов Андрей Фогель Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 1 a < R < b, где a — высота, b — длина прямоугольника. Треугольник AOB будет равнобедренным. Думаю, что для вашей задачи пригодятся следующие формулы: 0 СпасибоОтветить 21 января 2016 в 16:17 Сергей Фадеев Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 6 начертите угод в 270 градусов без ленейки 0 СпасибоОтветить 19 сентября 2016 в 10:42 Ответ для Сергей Фадеев Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12 Сообщений: 197 Угол 270 градусов, это три угла по 90. 180-это половина окружности, дорисовываем ещё 90 градусов и получаем-270. Можно нарисовать окружность, разделить её на 4 части и отметить три из них — это будет 270. Можно начертить угол в 90 градусов -всё что лежит за этим углом- и будет угол в 270. 0 СпасибоОтветить 1 февраля 2017 в 12:01 Ответ для Сергей Фадеев Олег Сергиевский Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 3 Не то, что — 270, любой угол чертится — сразу, без проблем, всего — за два движения! 0 СпасибоОтветить 1 февраля 2017 в 12:02 Ответ для Сергей Фадеев Олег Сергиевский Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 3 0 СпасибоОтветить 1 февраля 2017 в 12:04 Ответ для Сергей Фадеев Олег Сергиевский Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 3 https://www. youtube.com/watch?v=fWU9VL1pThE 0 СпасибоОтветить 21 января 2016 в 16:14 Сергей Фадеев Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 6 начертите угод в 270 градусов без ленейки 0 СпасибоОтветить 19 сентября 2016 в 10:43 Ответ для Сергей Фадеев Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12 Сообщений: 197 Ответил здесь. 0 СпасибоОтветить 16 сентября 2015 в 14:53 Никита Иванов Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 2 Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Какова величина кождого из смежных углов? 0 СпасибоОтветить 16 сентября 2015 в 19:53 Ответ для Никита Иванов Никита Семеренко Профиль Благодарили: 0 Сообщений: 2 45 и 135 0 СпасибоОтветить 5 сентября 2016 в 14:29 Ответ для Никита Иванов Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12 Сообщений: 197 Общая величина углов равна 180. « Предыдущая 1 … 185 186 187 188 189 … 2 804 Следующая »