Разное — Страница 185 — Таловская средняя школа

Как построить график функции онлайн с модулем: Построение графиков с модулем онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

alexxlab / 28.06.202301.05.2023 / Разное

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

2. Актуализация опорных знаний

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Определение квадратичной функции
Алгоритм построения квадратичной функции
Как, зная график функции y=f(x) построить графики следующих
функций:
y=f(-x)
y=-f(x)
y=f(x+m)
y=f(x)+n
y=f(x+m)+n
y=kf(x)
y=|f(x)|
y=f(|x|)

3.

Устно Дан график функции y = x2 – 4x + 3. Составьте формулу функции, график которой:1) симметричен данному относительно оси:
а) x;
б) y;
2) получается из данного параллельным переносом на
1а) y = –x2 + 4x – 3;
1б) y = x2 + 4x + 3
2
y = x2 – 6x + 6;
(1; 2)
3) получается из данного растяжением в 2 раза от оси
а) x;
б) y
4) получается из данного сжатием в 2 раза к оси
а) x;
б) y
3а) y = 0,25×2 – 2x + 3;
3б) y = 2×2 – 8x + 6;
4а) y = 4×2 – 8x + 3
4б) y = 0,5×2 – 2x + 1,5;
Найдите соответствия:
у х2 5
у 0,3х
2
у ( х 3)
2
у х 2 5
2

5. Построить график функции y=|-2×2 +8x -6|

1. Построим график функции y= -2×2 +8x -6
Ветви параболы направлены вниз
Вершина в точке:
b
8
2,
2a
4
y0 8 16 6 2
xo
Ось симметрии: х=2
Нули функции
Х1 =1, Х2 =3
х
0
1
2
3
4
у
-6
-0
2
0
-6
2. отразим части параболы,
расположенные в нижней части
полуплоскости, симметрично
относительно оси абсцисс.

Применение преобразований при построении графика функции
Y
2
Построим график функции y =| — 2 x +6 x -2 |
1.Сначала построим график функции
y = — 2 x 2+8 x -6
Преобразуем трехчлен:
2 x 8 x 6 2 x 4 x 3
2
2
2 x 2 2 x 2 4 4 3
2 x 2 1 2 x 2 2
2
2
6
2
1
0
-1
-2
y 2 x 2 2
2
-3
-4
-5
-6
2. отразим части параболы, расположенные в
нижней части полуплоскости, симметрично
относительно оси абсцисс.
1
x

7. Аналитическое построение

Построить график функции y=|x|x
По определению модуля: y = x2 ,x>0
— x2 ,x<0
x>0
y
0
x<0
x

8. Построим график функции y=|x2-5x|+x-3 с помощью узловых точек

x2-5x=0, x(x-5)=0, x=0 илиx=5
|
||
x=0или x=5 разбивают числовую
прямую на три промежутка
0
5
I. x=-1;
(-1)2 -5(-1)>0
y=x2-5x+x-3 =x2-4x-3
Строим параболу и выделяем ту часть,
которая находится на промежутке ;0
II.

x=1;
12 -5*1<0,
y=-x2+5x+x-3 =-x2 +6x-3
Строим параболу и выделяем ту часть,
которая находится на промежутке 0;5
III. x=6;
62 -5*6>0
y=x2-4x-3 Эту параболу уже строили, поэтому
выделим ту часть,
которая находится на промежутке 5;
Выделенные части являются графиком
функции
|||
x

9. Постройте графики функций:

Вариант 1
а) y=|x2 -4|
б) y=|2x-x2 |
Вариант 2
а)y=|x2 -1|
б) y=|x2 +2x-1|
Вариант 3
Вариант 4
а) y=|(x-3)2 -1| б) а) y=|-(x+2)2 +3|
y=x2 -|x-1|
б) y=|2+4|x|-x2|

10. Проверь себя !

Вариант 1
Вариант 2
а) y=|x2 -4|
а) y=|x2 -1|
б) y=|x2 +2x-1|
б) y=|2x-x2 |
Вариант3
Вариант 4
а) y=|(x-3)2 -1|
а) y=|-(x+2)2 +3|
б) y=x2 -|x-1|
б) y=|2+4|x|-x2|

11. Основные преобразования графиков:

параллельные переносы;
симметрии относительно осей координат;
растяжения (сжатия) от (к) осей (осям) координат;
преобразования, связанные с модулями.

12. Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с.

1. Определить направление ветвей параболы.
2. Найти координаты вершины параболы
(т; п).
3. Провести ось симметрии.
4. Определить точки пересечения графика
функции с осью Ох, т.е. найти нули
функции.
5. Составить таблицу значений функции
с учетом оси симметрии параболы.

13. Перенос вдоль оси ординат

График функции y= f (x) + b при b >0
можно получить параллельным переносом вдоль
оси ординат графика функции y= f (x) на b
единиц вверх.
y= x2 +2
Y
2
1
y=x2
0 1
График функции y=f(x)-b при b>0 можно
получить параллельным переносом вдоль оси
ординат графика функции y=f(x) на b единиц
вниз
x
Y
1
0 1
-2
y=x2
x
y= x2 -2

14. Перенос вдоль оси ординат

График функции y= f(x)+b при b >0
можно получить так :
1. построить график функции y= f (x)
2.перенести ось абсцисс на b единиц
вверх
Y
2
На b
вверх
0
0
1
x
1
x
Y
График функции y=f(x)-b при b>0
можно получить так:
1.

построить график функции y=f(x)
2 перенести ось абсцисс на единиц вниз
1
Вниз
На b
0
-2
0
x
1
x

15. Перенос вдоль оси абсцисс

График функции y= f (x + c) можно получить
параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика
функции y= f (x) на |c| единиц влево при c >0 .
Y
y=x2
1
-2
0
1
x
y=(x+2)2
График функции y=f(x+c) можно получить
параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика
функции y=f(x) на |c| единиц вправо при c<0
y=x2
Y
y=(x-2)2
1
0
1
2
x

16. Перенос вдоль оси абсцисс

График функции y= f (x + c) при c >0
можно получить так :
1. построить график функции y= f (x)
2.перенести ось ординат на |b| единиц
вправо
y
1
0
График функции y=f(x+c) при c<0
можно получить так:
1. Построить график функции y=f(x)
2. Перенести ось ординат на |c| единиц
влево
y
y
1
1
y
1
1 0
x
0
0 1
x

17.

Сжатие ( растяжение ) графика вдоль оси ординатГрафик функции y= b f (x)
при b>1 можно получить
растяжением графика функции
y= f (x) вдоль оси ординат
y=2×2
Y
1
y=x2
0 1
График функции y=bf(x) при
0<b<1 можно получить сжатием
графика функции y=f(x) вдоль
оси ординат
x
y=0,5×2
Y
1
0 1
y=x2
x

18. Симметрия относительно оси абсцисс

Чтобы построить график фунуции y= -f(x):
1. Строим график функции y=f(x)
2. Отражаем его симметрично относительно оси
абсцисс.
y=x2
0 1
x
y=-x2

19. график функции y = f(|x|), y = |f(x)|

график функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x)
следующим преобразованием:
1)
точки графика, имеющие неотрицательные абсциссы – неподвижны;
2) точки графика, имеющие отрицательные абсциссы заменяются на
точки, полученные из неподвижных отражением относительно оси y.
график функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x)
следующим преобразованием:
1)
точки графика, имеющие неотрицательные ординаты – неподвижны;
2) точки графика, имеющие отрицательные ординаты, отражаются
относительно оси x.

20. Функция, содержащая операцию « взятие модуля»

y
Чтобы построить график функции y= |f( x) |:
1. Строим график функции y= f(x),
2.Часть графика, расположенную в верхней
полуплоскости сохраняем.
3. Часть графика, расположенную в нижней
полуплоскости. отображаем симметрично
относительно оси абсцисс в верхнюю
полуплоскость.
0
x

English Русский Правила

Основные правила преобразования графиков функций 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

Наверняка многие из вас могут быстро и правильно построить графики некоторых функций, не прибегая к вычислениям значений точек. Всем известно, что график функции – это прямая, а график функции – это парабола. Но как построить, например, график функции , не вычисляя значения точек? Для этого существуют правила преобразования графиков функций.

Преобразование симметрии относительно оси

Предположим, что у нас есть функция (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одним и тем же значениям аргумента соответствуют противоположные значения функций. Графически это означает, что графики расположены симметрично относительно оси абсцисс. То есть заданная парабола () зеркально отобразится относительно оси (см. Рис. 1).

Рис. 1. Графики функций и

Таким образом, если у нас есть произвольный график , то для построения графика необходимо график симметрично отразить относительно оси (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси .

Рис. 2. Преобразование симметрии относительно оси

Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. График получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси .

На рисунке 3 показаны примеры симметрии относительно оси .

Рис. 3. Симметрия относительно оси Ox

Параллельный перенос вдоль оси Oy

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика больше на 3 единицы. Графически это означает, что график функции находится на 3 единицы выше, чем график функции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Графики функций и

График получается из графика функции параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на единиц вверх, если , и на единиц вниз, если (см. Рис. 5, 6).

Рис. 5. Параллельный перенос вдоль оси (при )

Рис. 6. Параллельный перенос вдоль оси (при )

Растяжение от оси Ox и сжатие к оси Ox

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика больше в 2 раза. Графически это означает, что график функции сужается по сравнению с графиком функции (см. Рис. 7).

Рис. 7. Графики функций и

Если необходимо построить график функций , то из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика меньше в 2 раза, чем у . Графически это означает, что график функции расширяется по сравнению с графиком функции (см. Рис. 8).

Рис. 8. Графики функций и

Чтобы построить график функции , где и , нужно ординаты точек заданного графика умножить на . Такое преобразование называется растяжением от оси с коэффициентом , если , и сжатием к оси, если (см. Рис. 9, 10).

Рис. 9. Растяжение от оси

Рис. 10. Сжатие к оси

Параллельный перенос вдоль оси Ox

Предположим, что у нас есть функция , необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одинаковым значениям функции соответствуют значения аргумента, отличающиеся на 2 единицы. Это означает, что график данной функции переместился на 2 единицы относительно оси ординат влево (см. Рис. 11), так как для получения одинаковых значений функций приходится брать значения аргумента на 2 меньше:

, при

при

Следовательно, если необходимо было построить график функции , то сдвиг на 3 единицы относительно оси ординат был бы вправо (по сравнению с графиком функции ) (см. Рис. 11).

Рис. 11. Графики функций , и

График получается из графика функции параллельным переносом последнего на единиц влево, если , и на единиц вправо, если (см. Рис. 12, 13).

Рис. 12. Параллельный перенос влево при

Рис. 13. Параллельный перенос вправо при

Обратите внимание на то, что по этому принципу из графика не построить график , ведь мы добавили 1 не ко всем вхождениям в это выражение. А вот график построить можно, сдвинув исходный график на 1 влево (см. Рис. 14).

Рис. 14. Графики функции и

Растяжение от оси Oy и сжатие к оси Oy

График функции , где и , получается из графика функции сжатием с коэффициентом к оси (если указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом ) (см. Рис. 15, 16).

Рис. 15. Сжатие к оси

Рис. 16. Растяжение от оси

Подобное преобразование мы уже рассматривали в случае построения графика функции .

Преобразование симметрии относительно оси Oy

Ранее мы рассматривали преобразование симметрии относительно оси Ox, то есть функция умножалась на (-1). Рассмотрим случай, когда на (-1) умножается только аргумент.

В этом случае график симметрично отображается относительно оси ординат, так как значения функций будут одинаковы при противоположных значениях аргумента:

для функции :

при

для функции :

при

График получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси (см. Рис. 17).

Рис. 17. Преобразование симметрии относительно оси Oy

Построение графиков и

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, те точки, в которых значения функции положительны или равны 0, остаются на месте, а все точки, в которых значения отрицательны, – отражаются относительно оси (см. Рис. 18).

Рис. 18. Графики функций и (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, лежащую выше оси , оставить без изменения, а нижнюю отразить наверх относительно оси .

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, все точки с положительными или равными нулю абсциссами остаются без изменения, а все точки с отрицательными – заменяются точками с противоположными абсциссами (см. Рис. 19).

Рис. 19. Графики функций и (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, соответствующую значениям , оставить без изменений и отразить ее относительно оси для значений .

Задача 1

Построить график функции .

Решение

Построим график заданной функции последовательно (см. Рис. 20):

1. Строим график .

2. График получается из графика параллельным переносом последнего на 2 единицы вправо.

3. График получается из графика функции параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на 3 единицы вверх.

Рис. 20. Иллюстрация к задаче

Мы могли бы сделать операции в обратном порядке, то есть сначала поднять график на 3 единицы вверх, а потом получившийся график сдвинуть вправо на 2 единицы (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче

Обратите внимание, что не все графики функций можно строить в произвольном порядке. Например, для построения графика сначала нужно построить график , затем график (растяжение от оси ), а далее – график (параллельный перенос вдоль оси ординат) (см. Рис. 22). Если же сделать в другой последовательности, то есть построить , то далее на 2 придется умножить всё выражение.

– ПРАВИЛЬНО

– НЕПРАВИЛЬНО

Рис. 22. Иллюстрация к задаче

Пример

Построить график .

Решение

1. Строим график (гипербола) (см. Рис. 23).

2. Строим график (из аргумента вычитается 2, следовательно, сдвигаем график на 2 единицы вправо) (см. Рис. 23).

3. Строим график (домножение функции на (-1), следовательно, отражаем график относительно оси ) (см. Рис. 24).

4. Строим график (добавление 2 к функции, следовательно, сдвигаем график на 2 единицы вверх) (см. Рис. 24).

5. Строим график (модуль функции, следовательно, отражаем нижнюю часть графика относительно оси , а верхнюю оставляем без изменений) (см. Рис. 25).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче

Рис. 24. Иллюстрация к задаче

Рис. 25. Иллюстрация к задаче (искомый график)

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.

5. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт учебного центра «Резольвента» (Источник)

2. Интернет-сайт «Инфоурок» (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Упражнения 64, 66, 68 (б, г), 69 (в, ж), 70 (и) (стр. 65-69) Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. (Источник).

2. Даны графики функций: а) ; б) ; в)

Какое уравнение будет иметь функция, график которой образуется из данных графиков функций: 1. при параллельном переносе вверх на 3 единицы; 2. при растяжении в 3 раза; 3. при параллельном переносе вправо на 3 единицы?

3. Постройте график функции .

Как построить график экспоненциальной функции — Объяснение!

Пошаговые примерыБольше примеров

Purplemath

Построение графика экспоненциальной функции похоже на построение графика, который вы делали ранее. Однако по природе экспоненциальных функций их точки, как правило, либо очень близки к одному фиксированному значению, либо слишком велики, чтобы их можно было удобно изобразить на графике.

На самом деле будет всего несколько точек, которые «разумно» использовать для рисования вашего изображения.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Чтобы выбрать разумные точки, вам потребуется хорошее понимание общего поведения экспоненты, чтобы вы могли заполнить пробелы.

Какое основное свойство экспонент?

Помните, что основное свойство экспонент состоит в том, что они изменяются в заданной пропорции в течение заданного интервала. Например, медицинский изотоп, который распадается наполовину по сравнению с предыдущим количеством каждые двадцать минут, и бактериальная культура, которая удваивается каждый день, демонстрируют экспоненциальное поведение, потому что за заданный промежуток времени (двадцать минут и один день соответственно) количество изменилась в постоянной пропорции (в полтора и два раза соответственно).

(Примечание: многие [«самые»?] экспоненты будут иметь беспорядочное время удвоения/уменьшения пополам, поэтому часто полезнее работать с точки зрения утроения, учетверения и т. д. времени, или данное упражнение может полностью игнорировать проблему , Если основание экспоненты не равно 2 [или ½], то не ожидайте, что время удвоения/уменьшения пополам будет подчеркнуто — или же не ожидайте, что время удвоения/уменьшения пополам будет хорошим аккуратным целым числом.)

Эта черта — наличие фиксированного времени деления пополам или удвоения — является основной для экспоненциальных функций. Но это может сделать график немного рискованным.

Такое поведение можно увидеть в любой базовой экспоненциальной функции, поэтому мы будем использовать y = 2 ^x как представление всего класса функций:

В левой части x -ось, график отображается на оси x . Но ось x представляет y = 0. Сможете ли вы когда-нибудь превратить 2 в 0, возведя его в степень? Конечно, нет. И положительная 2 не может превратиться в отрицательное число, если возвести его в степень.

Итак, линия, несмотря на свой внешний вид, никогда не опускается ниже оси x в отрицательные значения y ; график y = 2 ^x всегда фактически выше оси x , даже если только на исчезающе малую величину.

Так почему он выглядит так, как будто он прямо на оси? Помните, что делают отрицательные экспоненты: они говорят вам перевернуть основание на другую сторону дробной черты. Итак, если, скажем, x = -4, приведенная выше экспоненциальная функция даст нам 2 ⁻⁴ , что равно 2 ⁴ = 16, а затем перевернуто снизу, чтобы получить 1/16, что довольно мало.

По характеру экспонент каждый раз, когда мы возвращаемся назад (то есть всякий раз, когда мы двигаемся дальше влево) на 1 по оси x , линия только наполовину меньше высоты над осью x , чем она. было для предыдущего значения x . То есть, в то время как y = 1/16 для x = −4, линия будет только вдвое короче, при y = 1/32, для x = -5.

Таким образом, хотя линия на самом деле никогда не касается и не пересекает ось x , она чертовски близка! Вот почему, говоря практически, левая часть основной экспоненты имеет тенденцию быть направленной вдоль оси. Если вы увеличите график достаточно близко, вы в конечном итоге сможете увидеть, что график действительно выше оси x , но достаточно близко, чтобы не иметь никакого значения, по крайней мере, в том, что касается графика.

Если вы используете ТАБЛИЦУ или другую подобную функцию своего графического калькулятора для поиска точек на графике, вы должны знать, что ваш калькулятор вернет y — значение 0 для сильно отрицательных значений x . Ваш калькулятор может содержать только определенное количество знаков после запятой, и в конце концов он просто сдается и говорит: «Эй, ноль уже достаточно близко»:

Но вы не должны забывать, что это всего лишь признак ограничений технологии. Как я часто говорю своим ученикам: «Ученик умный, калькулятор глупый». Вы должны помнить, что независимо от того, что говорит калькулятор, график все равно находится выше оси x ; значения и по-прежнему положительны, хотя и очень, очень, очень малы.

Давайте снова посмотрим на график y = 2 ^x :

Вы можете видеть, что в правой части оси x график взлетает до небес. Это опять-таки из-за удвоения экспоненты. Как только функции начинают заметно расти, они продолжают удваиваться, поэтому очень быстро становятся очень большими.

Обычно вы не будете наносить много точек в левой части графика, потому что y -значения настолько близки к нулю, что точки графика становятся неотличимыми от оси x . Вы будете рисовать ту сторону графика, которая движется поверх оси.

И, как правило, вы не будете строить много точек в правой части графика, потому что значения и становятся слишком большими. Вот почему я подробно рассказал об общей форме и поведении экспоненты: вам понадобятся эти знания, чтобы помочь вам в построении графика, поэтому убедитесь, что вы достаточно хорошо его понимаете.

Что нужно знать при построении экспоненты:

Переменная функции будет в степени.
Число, на котором стоит сила, называется базовым.
Экспоненциальные функции имеют время удвоения (или деления пополам).
Графики обычно выглядят довольно горизонтально для одной половины.
Для второй половины графики обычно растут безумно быстро.
С недоверием относитесь к тому, что говорит вам ваш калькулятор.
Рисуйте аккуратно и аккуратно.

URL: https://www.purplemath.com/modules/graphexp.htm

Page 2Page 3Page 4

Изучение функций и их графиков учащимися с помощью Desmos – Technology Tools for Higher Education, The Practical Handbook Series

Ана Дафф

Desmos Graphing Calculator — это открытый онлайн-инструмент с широкими числовыми и визуальными универсальными возможностями. Он позволяет пользователю отображать и маркировать точки на декартовой плоскости, демонстрировать решения уравнений и неравенств, графически отображать функции и создавать регрессионные модели из наборов данных, среди прочих возможностей. Он имеет мощный встроенный инструмент калькулятора и инструмент ползунка, который позволяет пользователю создавать динамические визуальные эффекты, иллюстрирующие изменения или привлекающие внимание к определенным компонентам.

Преимущества обучения с помощью Desmos

Открытый и бесплатный ресурс, не требующий регистрации или подписки
Позволяет статическую и динамическую графическую демонстрацию и количественный анализ 2-мерных моделей
Демонстрации и мероприятия могут быть предварительно созданы
Требует от пользователей легко приобретаемых технологических навыков
Позволяет легко обмениваться демонстрациями с другими пользователями

Ресурсы

Ноутбук или мобильное устройство (Android или iOS)
Интернет-браузер или приложение Desmos Graphing Calculator

Шаг 1. Создайте учетную запись на Desmos.com (необязательно)

Перейдите на сайт Desmos.com и перейдите по ссылке, чтобы начать построение графиков. У вас есть возможность создать учетную запись и войти в систему, что позволит вам сохранять, называть и искать свою работу. Последующие шаги реализации будут основываться на предположении, что вы вошли в свою учетную запись, чтобы воспользоваться этими функциями. Тем не менее, графическая функциональность Desmos не ограничивается владельцами учетных записей, и в этом случае можно сохранить доступ к своей работе, создав ссылку для общего доступа и сохранив ее на потом.

Шаг 2. Откройте графический калькулятор Desmos и создайте график

Нажмите «График без названия» и введите название графика (доступно только для зарегистрированных пользователей). Введите краткое описание действия: поместите курсор в строку 1, нажмите +
(Добавить элемент), затем примечание « » и добавьте описание в строку 1.

Шаг 3. Укажите функцию, компоненты функции или данные, которые должны быть смоделированы функцией

Desmos позволяет пользователю явно указывать функцию(и) и моделировать данные с помощью функции, используя регрессию. Если задание используется как часть оценивания, попросите учащихся импортировать случайно сгенерированные данные (например, из документа Excel), чтобы получить вариативность в результирующих функциях.

Шаг 4. Создайте набор инструкций

Пусть результаты обучения определяют ваш набор инструкций. Обратите внимание, что задачи могут включать статическое и динамическое исследование модели, включая визуализацию изменений с помощью ползунка. Для лучшего прогресса задания можно организовать по папкам и руководствоваться примечаниями инструктора, встроенными в график Desmos. Оба могут быть добавлены, нажав на
+ (Добавить элемент), затем папку или заметку.

Шаг 4.

Предложите учащимся ознакомиться с учебными пособиями по графическим инструментам Desmos

В разделе «Справка» представлен большой банк интерактивных обучающих ресурсов для новых и опытных пользователей Desmos. Учащиеся могут научиться создавать ползунки и таблицы, определять ограничения домена и диапазона и выполнять регрессию, следуя простым интерактивным турам, предоставляемым Desmos. Библиотека видеоуроков обширна и легкодоступна для поиска, а руководство пользователя Desmos содержит основное руководство по инструментам Desmos.

Шаг 5. Предоставьте учащимся график(ы)

Нажмите на инструмент «Поделиться своим графиком» в левом верхнем углу. Созданная ссылка направит учащихся к диаграмме и позволит каждому учащемуся просматривать и изменять ее отдельно от других пользователей и не затрагивать созданную вами диаграмму. Обратите внимание, что вы также можете использовать этот инструмент для сохранения изображения графика (за некоторыми исключениями) и встраивания его в другие платформы.

Шаг 6. Включите калькулятор Desmos Graph Calculator в оценки

Включайте результаты исследования и извлеченные уроки учащимися в оценки с помощью инструмента «Поделиться своим графиком», с помощью которого учащиеся делятся ссылками или изображениями своей работы непосредственно или как часть отдельного документа для отправки. Обратите внимание, что ссылка будет включать диаграмму в том виде, в каком она была на момент создания ссылки.

Избегайте путаницы, сводя к минимуму двусмысленность. Разработайте инструкции, соответствующие результатам обучения. Разбейте активность на компоненты и организуйте их по папкам. Направляйте учащихся к конкретным ресурсам по мере необходимости, выполняя задания по темам, которые могут нуждаться в пояснении. Воспользуйтесь обширной библиотекой видеороликов с практическими рекомендациями от Desmos и ее пользователей (доступных через любую поисковую систему с «Desmos + тема по выбору») в качестве ресурса для учащихся по конкретным задачам.
Помните о времени и требуемых навыках. Проверьте, сколько времени у вас уйдет на выполнение задания, а затем умножьте время на три. На протяжении всего теста размышляйте о своих знаниях учащихся, о диапазоне их навыков, связанных с технологиями и содержанием, и соответствующим образом корректируйте задание.
Поощряйте решение проблем и устранение неполадок с помощью одноранговой поддержки — Покажите учащимся, как делиться работой с помощью инструмента «Поделитесь своим графиком», чтобы обращаться за помощью к другим во время занятия. Наблюдение за работой учащегося поможет определить, где учащийся допустил ошибку или наткнулся на камень преткновения.

Цифровые ресурсы

Руководство пользователя Desmos

Примеры изучения функций через Desmos в действии:

Демонстрация односторонних пределов
Пример метода Ньютона
Демонстрация функций и производных
Данные моделирования с использованием примера функций

Экичи, Селил, и Плайли, Крис. «Моделирование динамики населения на основе запросов с помощью логистических дифференциальных и разностных уравнений». ПРИМУС 29.6 (2019): 553–570. Веб.

Годин, Шон. «В чем проблема? Ищем лжецов». Бюллетень — Математическая ассоциация Онтарио 56.4 (2018): 11–13. Веб.

Хойлс, Селия. «Преобразование математических практик учащихся и учителей с помощью цифровых технологий». Исследования в области математического образования. 20.3 1–20. Веб.

Набб, Кейт, и Муравска, Жаклин. «Мотивация исчисления с помощью одного вопроса». ПРИМУС 29.10 (2019): 1140–1153. Веб.

Шахриари, Рази и др. «Влияние использования технологий на понимание студентами исчисления и алгебры в колледже». Издательство диссертаций ProQuest, 2019 г.. Веб.

Ана Дафф — научный сотрудник факультета бизнеса и информационных технологий Технического университета Онтарио, где она преподает математику на первом курсе. Ее исследовательский опыт связан с математикой, в которой она имеет докторскую степень.

Разложить на множители икс в квадрате минус икс минус один: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Разложить на множители x^2-64 (х в квадрате минус 64)

alexxlab / 28.06.202325.04.2023 / Разное

Алгебра Разложение квадратного трёхчлена на множители

Материалы к уроку

Конспект урока

Пусть требуется разложить на множители квадратный трехчлен два икс квадрат минус десять икс плюс восемь.

Сначала вынесем за скобки старший коэффициент два. Для того чтобы разложить на множители квадратный трехчлен икс квадрат минус пять икс плюс четыре, представим минус пять икс в виде разности одночленов минус икс и минус четыре икс и применим способ группировки… Получим произведение двух множителей, первый из которых равен разности между икс и четыре, а второй разности между икс и один.

Значит, два икс квадрат минус десять икс плюс восемь равно удвоенному произведению полученных множителей. При икс равном четырем и икс равном одному произведение, а следовательно и трехчлен, обращаются в нуль. Значит, числа четыре и один являются его корнями.

Итак, мы представили квадратный трехчлен в виде произведения числа два, то есть старшего коэффициента, и двух линейных множителей. Первый из них представляет собой разность между переменной икс и первым корнем трехчлена, второй – разность между переменной икс и вторым корнем трехчлена.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни. При этом считают, что если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет два равных корня.

Теорема. Если икс первое и икс второе – корни квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, то а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно произведению старшего коэффициента и двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем трехчлена, а второй разности между икс и вторым корнем трехчлена.

Вынесем за скобки в многочлене а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ множитель а. Так как корни квадратного трехчлена являются корнями соответствующего ему квадратного уравнения, то по теореме Виета сумма корней равна минус бэ деленному на а, произведение корней равно цэ деленному на а. Подставим эти значения в наше выражение… и получим произведение двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем, второй – разности между икс и вторым корнем.

Итак, получили, что квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равен произведению старшего коэффициента и двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем, второй – разности между икс и вторым корнем…

Существует правило: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.2

Докажем это.

Пусть квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ка икс плюс эм… и.. пэ икс плюс ку, где ка, эм, пэ и ку – некоторые числа, причем ка и пэ не равны нулю. Данное произведение обращается в нуль при икс равном минус эм, деленное на ка и икс равном минус ку деленное на пэ. При этих значениях.. икс обращается в нуль и трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, то есть числа минус эм деленное на ка и ку деленное на пэ, являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.

Пример первый. Разложить на множители квадратный трехчлен три икс квадрат плюс пять икс минус два.

Решив уравнение три икс квадрат плюс пять икс минус два равно нулю, найдем корни трехчлена. Первый корень будет равен одной третьей, второй корень равен минус двум.

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители получим утроенное произведение разности между икс и первым корнем.. и.. суммы икс и второго корня.

Полученный результат можно записать иначе, если умножить число три на двучлен икс минус одна третья.

Пример второй. Разложим на множители квадратный трехчлен минус пять икс квадрат плюс двадцать икс минус двадцать.

Приравняем данный трехчлен к нулю и решим полученное уравнение. Оба его корня равны двум. Значит, трехчлен можно представить в виде произведения числа минус пять и двух равных линейных множителей икс минус два. Это выражение мы можем записать как произведение числа минус пять и квадрата разности чисел икс и два.

Пример третий. Сократим дробь, числитель которой равен сумме чисел два икс и один, а знаменатель равен квадратному трехчлену два икс квадрат минус семь икс минус четыре.

Разложим знаменатель на множители. Его корни равны минус одна вторая и четыре. Поэтому знаменатель можно представить в виде произведения линейных множителей, первый из которых равен два икс плюс один, второй – икс минус четыре.

Значит, если в дроби знаменатель записать в виде множителей и сократить эту дробь, то получится дробь, числитель которой равен одному, а знаменатель — разности чисел икс и четыре.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитораОставить заявку на подбор

Mathway | Популярные задачи

1	Множитель	x^2-4
2	Множитель	4x^2+20x+16
3	График	y=-x^2
4	Вычислить	2+2
5	Множитель	x^2-25
6	Множитель	x^2+5x+6
7	Множитель	x^2-9
8	Множитель	x^3-8
9	Вычислить	квадратный корень из 12
10	Вычислить	квадратный корень из 20
11	Вычислить	квадратный корень из 50
12	Множитель	x^2-16
13	Вычислить	квадратный корень из 75
14	Множитель	x^2-1
15	Множитель	x^3+8
16	Вычислить	-2^2
17	Вычислить	квадратный корень из (-3)^4
18	Вычислить	квадратный корень из 45
19	Вычислить	квадратный корень из 32
20	Вычислить	квадратный корень из 18
21	Множитель	x^4-16
22	Вычислить	квадратный корень из 48
23	Вычислить	квадратный корень из 72
24	Вычислить	квадратный корень из (-2)^4
25	Множитель	x^3-27
26	Вычислить	-3^2
27	Множитель	x^4-1
28	Множитель	x^2+x-6
29	Множитель	x^3+27
30	Множитель	x^2-5x+6
31	Вычислить	квадратный корень из 24
32	Множитель	x^2-36
33	Множитель	x^2-4x+4
34	Вычислить	-4^2
35	Множитель	x^2-x-6
36	Множитель	x^4-81
37	Множитель	x^3-64
38	Вычислить	4^3
39	Множитель	x^3-1
40	График	y=x^2
41	Вычислить	2^3
42	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -18)/60
43	Множитель	x^2-6x+9
44	Множитель	x^2-64
45	График	y=2x
46	Множитель	x^3+64
47	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -12)/40
48	Множитель	x^2-8x+16
49	Вычислить	3^4
50	Вычислить	-5^2
51	Множитель	x^2-49
52	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -75)/40
53	Множитель	x^2+6x+9
54	Множитель	4x^2-25
55	Вычислить	квадратный корень из 28
56	Множитель	x^2-81
57	Вычислить	2^5
58	Вычислить	-8^2
59	Вычислить	2^4
60	Множитель	4x^2-9
61	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -50)/60
62	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -20)/24
63	Множитель	x^2+4x+4
64	Множитель	x^2-10x+25
65	Вычислить	квадратный корень из -16
66	Множитель	x^2-2x+1
67	Вычислить	-7^2
68	График	f(x)=2^x
69	Вычислить	2^-2
70	Вычислить	квадратный корень из 27
71	Вычислить	квадратный корень из 80
72	Множитель	x^3+125
73	Вычислить	-9^2
74	Множитель	2x^2-5x-3
75	Вычислить	квадратный корень из 40
76	Множитель	x^2+2x+1
77	Множитель	x^2+8x+16
78	График	y=3x
79	Множитель	x^2+10x+25
80	Вычислить	3^3
81	Вычислить	5^-2
82	График	f(x)=x^2
83	Вычислить	квадратный корень из 54
84	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -45)/24
85	Множитель	x^2+x-2
86	Вычислить	(-3)^3
87	Множитель	x^2-12x+36
88	Множитель	x^2+4
89	Вычислить	квадратный корень из (-8)^2
90	Множитель	x^2+7x+12
91	Вычислить	квадратный корень из -25
92	Множитель	x^2-x-20
93	Вычислить	5^3
94	Множитель	x^2+8x+15
95	Множитель	x^2+7x+10
96	Множитель	2x^2+5x-3
97	Вычислить квадратный корень	квадратный корень из 116
98	Множитель	x^2-x-12
99	Множитель	x^2-x-2
100	Вычислить	2^2

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92-х-1$?

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 4 месяца назад

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 12 тысяч раз

$\begingroup$

Я знаю, что вы не можете иметь все целые числа, но как вы все равно это учитываете?

Wolfram|Alpha дает мне $-\frac{1}{4} (1+\sqrt{5}-2 x) (-1+\sqrt{5}+2 x)$.

Корень 4 степени из x 4 3x: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 28.06.202328.04.2023 / Разное

10 класс квадратные уравнения: «Решение уравнений» (10 класс, повторение)

alexxlab / 28.06.202305.04.2023 / Разное

Кейс «Квадратные уравнения с параметром» для учащихся 10 класса

Кейс «Квадратные уравнения в гостях у параметра»

учителя математики МАОУ «Гимназия №87»

Ленинского района города Саратова

Заико Ильи Валерьевича

с 4 февраля по 27 марта 2020 года

Кейс «Квадратные уравнения в гостях у параметра»

Уравнения для меня важнее потому, что

политика – для настоящего,

а уравнения – для вечности.

Альберт Эйнштейн

Что такое параметр?

В повседневной жизни мы очень часто сталкиваемся с понятием параметра: параметры загрузки Windows 10, параметры бытовых приборов, параметры автомобиля. Рассмотрение параметров — это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Так, приобретая компьютер, мы обращаем внимание на следующие его параметры: производительность, габариты, состав комплектующих, цену и многое другое. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях. Вспомним сказку: В чистом поле стоит столб, а на столбу написаны слова: «Кто поедет от столба сего прямо, тот будет голоден и холоден; кто поедет в правую сторону, тот будет здрав и жив, а конь его будет мертв; а кто поедет в левую сторону, тот сам будет убит, а конь его жив и здрав останется!» Иван-царевич прочел эту надпись и поехал в правую сторону, держа на уме: хоть конь его и убит будет, зато сам жив останется и со временем сможет достать себе другого коня. (“Иван-царевич и серый волк” Русская народная сказка). Здесь от выбора зависит жизнь Ивана-царевича.

Но это в сказке, а что же собой представляет параметр в математике? Какую роль он играет при решении уравнений? Какими методами решаются уравнения с параметрами?

Что такое параметр в математике?

Параметр (от греческого – отмеривающий) в математике – величина, числовые значения которой позволяют выделить определённый элемент из множества элементов того же рода. (Большой энциклопедический словарь)

Так, например, в декартовых прямоугольных координатах уравнением определяется множество всех окружностей радиуса 1 на плоскости xOy; полагая, например, ,

выделяют из этого множества вполне определённую окружность единичного радиуса с центром в точке , — и, следовательно, являются параметрами окружности в рассматриваемом множестве элементов того же рода.

История возникновения уравнений с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другим индийским ученым, Брахмагупта в VII веке было изложено общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: . В уравнении коэффициенты, кроме параметра a, могут быть и отрицательными. В теоретической части книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» Аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений с параметрами. Автор выделяет 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е.

2) «Квадраты равны числу», т. е. .

3) «Корни равны числу», т. е. .

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. .

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. .

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. .

Формулы решения квадратных уравнений по Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

1) Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида:

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причем .

2) Решение квадратного уравнения по формулам.

3) Теорема обратная теореме Виета. Если числа таковы, что их произведение равно , а сумма равна , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

4) Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Абсциссы, обозначим их , общих точек параболы и оси Ox являются нулями квадратичной функции.

5) Поскольку корнем квадратного уравнения можно считать значение переменной x, при котором соответствующий квадратный трёхчлен принимает значение равное нулю, то каждый корень такого уравнения является нулём квадратичной функции и наоборот. Поэтому, количество корней квадратного уравнения равно количеству нулей соответствующей квадратичной функции, а значит и количеству общих точек параболы и оси абсцисс.

Таблица количества общих точек параболы и оси абсцисс в зависимости от дискриминанта D соответствующего квадратного уравнения .

Таблица 1^*.

* здесь — абсциссы общих точек параболы и оси Ox, — абсцисса вершины параболы.

6) Теорема 1 (о равносильной замене неравенства). Неравенство равносильно совокупности систем и

7) Теорема 2 (о равносильной замене неравенства). Неравенство равносильно совокупности систем и

Исследовать расположение корней квадратного уравнения относительно точки в зависимости от значений его параметров-коэффициентов, решая подходящие для этого задания.

Задание 1. Найдём все значения параметра a, при которых только один корень квадратного уравнения больше 2.

Решение. Перепишем уравнение следующим, привычным для нас, образом

Так как свободный член этого уравнения можно представить в виде произведения , то есть , а второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, можно представить в виде суммы , то есть , то, по теореме обратной теореме Виета, числа 3 и являются корнями заданного уравнения. Поскольку, согласно условию задачи, только один корень должен быть больше 2, и таким корнем уже является число 3, то второй корень должен, либо совпадать с первым, то есть , либо не превосходить число 2, то есть , поэтому искомыми значениями параметра a являются решения совокупности

Решим эту совокупность, имеем

Таким образом, интересующие нас значения параметра a образуют множество .

Ответ. .

Задание 2 (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра m, при которых один из корней уравнения находится между числами 0 и 2, а второй – между числами 3 и 5.

Решение.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Ответ. __________________________________________________________________

Указание: если не удалось подобрать корни с опорой на теорему обратную теореме Виета, решите это уравнение по формулам, то есть найдите его дискриминант и корни.

Задание 3. При каких значениях параметра a число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Решение. В двух предыдущих заданиях поиск корней квадратного уравнения был связан либо с привлечением теоремы обратной теореме Виета, либо с нахождением дискриминанта. Поэтому поступим аналогичным образом и в этом задании, то есть найдём действительные корни заданного уравнения, если они существуют, например, по формулам.

Имеем, .

И далее,

Так как условие: «число 2 находится между корнями квадратного уравнения» прямо указывает на существование двух различных корней, то дискриминант должен быть положительным. Кроме того, в силу очевидного соотношения , должны выполняться неравенства: . А стало быть, искомыми значениями параметра a являются решения системы неравенств:

Вы никогда не сумеете решить возникшую проблему, если сохраните то же мышление и тот же подход, который привёл вас к этой проблеме.

Альберт Эйнштейн

Совершенно очевидно, что решение этой системы связано с немалыми техническими трудностями. Поэтому для настоящей задачи выбранный приём не оправдан. Однако способом преодоления возникшей трудности может стать изменение подхода к толкованию условия нашей задачи.

И такой подход основан на простой геометрической интерпретации. Графиком левой части заданного уравнения, то есть графиком квадратного трёхчлена , является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку, согласно условию задачи, число 2 находится между корнями заданного квадратного уравнения, то парабола должна пересекать ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от точки этой оси с координатой 2 (смотри рисунок 1). А значит, рисунок 1 – перевод условия данной задачи на графический язык.

Составим аналитическую запись приведённого рисунка, то есть найдём описывающие его соотношения (уравнения, неравенства). Для этого, рассматривая всевозможные параболы (с ветвями, направленными вверх), пересекающие ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от точки 2 (постройте на рисунке 1 ещё такие параболы), будем сравнивать с нулём значение квадратичной функции при x=2. В результате мы заметим, что в каждом таком случае , поэтому требование будет как необходимым, так и достаточным для того, чтобы число 2 находилось между корнями заданного уравнения. А значит, искомыми значениями параметра a являются решения неравенства , то есть неравенства . Решите это неравенство самостоятельно

Итак, интересующие нас значения параметра a образуют множество .

Ответ. .

Задание 4 (для самостоятельного решения). При каких значениях параметра a корни уравнения расположены по разные стороны от числа (-1)?

Решение.

_______________________________

_________________________________

С понятийной точки зрения будет чрезвычайно полезным обобщить рассмотренные выше задачи, то есть найти условия, при которых число p лежит между нулями квадратичной функции . И снова обратимся к геометрической трактовке. Поскольку из условия задания следует, что дискриминант D больше нуля, то в зависимости от знака старшего коэффициента достаточно рассмотреть два случая: a>0 и a<0 (смотри рисунок 2).

Каждый из этих случаев полностью описывается следующими условиями: для рисунка 2(а) имеем, а для рисунка 2(б) — Заметим, что здесь нет необходимости требовать ещё выполнение условия D>0, это условие является лишним (избыточным), потому как неравенства системы гарантируют существование двух различных нулей квадратичной функции .

Поскольку совокупность этих двух систем, согласно теореме 2, равносильна неравенству , то справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Для того, чтобы число p находилось между нулями квадратичной функции (корнями квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнения неравенства .

Далее, попытаемся построить критерий, обеспечивающий положение заданного числа p вне корневого промежутка.

Для начала, заполняя пропуски, найдём условия, при которых нули квадратичной функции будут меньше числа p. И для этого снова обратимся к геометрическому толкованию поставленной задачи.

Графиком квадратичной функции является _____________, ветви которой направлены вверх, если ________ или вниз, если _______. Парабола может имеет с осью Ox либо одну общую точку и в этом случае дискриминант D, соответствующего квадратного трёхчлена, равен ____________, либо две общие точки и тогда дискриминант D будет _________________. Для удобства абсциссы общих точек параболы и оси Ox обозначим через ().

Теперь в декартовой прямоугольной системе координат xOy построим две параболы с ветвями направленными вверх: первую — имеющую с осью абсцисс одну общую точку, вторую – две общие точки, расположенные левее уже отмеченной на оси Ox точки с координатой p.

Из рисунка 3 видно, что:

1) старший коэффициент a ________;

2) дискриминанта D ______________; 3) и кроме того, согласно рисунку, значение квадратичной функции в точке x=p, в сравнении с нулём, будет __________________________, то есть .

Подумайте, достаточно ли этих условий, чтобы общие точки параболы и оси Ox располагались левее точки с абсциссой p? Для этого попытайтесь построить параболу, имеющую с осью Ox общие точки расположенные, наоборот, правее точки с абсциссой p, для которой выполнялось бы каждое из трёх условий 1) – 3).

Очевидно, что примером такой параболы может стать парабола, проходящая через точки оси Ox с абсциссами 5 и 10, поскольку для неё выполняются все вышеперечисленные условия 1) — 3). Однако, в этом случае, нули квадратичной функции будут больше числа p. А значит, выполнимость всех условий 1) – 3) не гарантирует расположение нулей квадратичной функции слева от точки p.

Окончательно зафиксировать точку p в нужном положении позволяет неравенство , где , то есть x₀ – абсцисса вершины параболы . А значит, следующая система полностью описывает рисунок 3.

Задание 5 (для самостоятельного решения). Рассуждая аналогичным образом, найдите условия, при которых нули квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом будут меньше числа p.

Решение.

_______________________________

_________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом слева от точки p.

Как и ранее, согласно теореме 1 о равносильной замене неравенства, совокупность полученных систем и равносильна системе

Это и есть необходимое и достаточное условие того, что число p больше нулей квадратичной функций. Сформулируем его в таком виде.

Утверждение 2. Для того чтобы число p было больше нулей квадратичной функции (корней квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:

Задание 6 (для самостоятельного решения). Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что число p меньше нулей квадратичной функции .

Решение.

________________________________

_________________________________

_________________________________

Итак, результатом решения задания 6 является построенное необходимое и достаточное условие того, что число p меньше нулей квадратичной функции, которое можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 3. Для того чтобы число p было меньше нулей квадратичной функции (корней квадратного уравнения ), необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:

Задание 7 (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра a, при которых все корни уравнения больше .

Задание 8 (для самостоятельного решения). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых: 1) только один корень уравнения удовлетворяет неравенству ; 2) все корни уравнения удовлетворяет неравенству .

Выберите одно из двух заданий и решите его.

________________________________

_________________________________

_________________________________

________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Ответ. Искомые значения параметра a образуют множество__________________

В двух трёх предложениях опишите, чем Вы занимались на занятии, что Вам запомнилось? Какие результаты были Вами получены? Какой из этих результатов был в большей степени получен Вами самостоятельно?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Заполните таблицу вариантов расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующих им условий.

Таблица.

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой	Необходимое и достаточное условие

В заключении, с целью систематизации приобретённых знаний, будет чрезвычайно полезным исправить ошибки в первой блок-схеме – осмыслить их – запомнить – оформить свою мысль – применить знания на практике, заполнив вторую блок-схему.

О квадратных уравнениях в правильном порядке / Хабр

Как вам преподавали квадратные уравнения в школе? Это был 7-8 класс, примерно. Вероятнее всего, вам рассказали что есть формулы корней через дискриминант, что направление ветвей зависит от старшего коэффициента. Через пару занятий дали теорему Виета. Счастливчикам еще рассказали про метод переброски. И на этом решили отпустить.

Вы довольны такой базой? Вам не рассказали ни геометрический смысл, ни как это получить.

Спустя некоторое время обдумывания сей несправедливости, я решил написать эту статью и тем самым закрыть гештальт о фрагментарности знаний.

Вы не найдете здесь ничего нового по факту, но, возможно, это даст посмотреть на такое простое понятие с другой стороны.

Начнем с конца

Когда я перечислял темы, касающиеся квадратных уравнений, я делал это примерно в том же порядке, в котором изучают их в школе. Но такой порядок не оправдан с точки зрения обучения, и вот почему:

Дискриминант дается просто как данность (за редким исключением, когда показывают вывод этих формул через приведение к полному квадрату)
Мощнейшая по своей сути теорема Виета дается в конце и только как эвристический способ решения

Гораздо проще начать с теоремы Виета.

Рассмотрим квадратный трехчлен

В силу основной теоремы алгебры (примем её как данность, так как её действительно тяжело доказать), мы знаем, что у этого уравнения должно быть два корня. Допустим, что это некоторые числа . Тогда можно переписать изначальное уравнение как выражение его корней:

Оба эти уравнения эквиваленты, так как они оба зануляются в (первое по определению , второе по построению).

Раскрывая скобки, мы получим следующее:

Откуда приравняв соответствующие коэффициенты с имеющимися, получим знаменитую систему:

Мы только что доказали теорему Виета на случай квадратного трехчлена. Это потрясающий результат: мы начинаем получать некоторую информацию о корнях, которые, как мы предположили, существуют. И этот результат мы будем использовать далее.

Геометрия параболы

Вершина

Здесь можно было бы рассказать весь первый курс алгебры университета: о фокусах, директрисах, о конических сечениях, первой и второй производной…

Но раз мы ограничились школьной программой (7-8 класс, если быть точным), то и рассуждения у нас будут простые.

Самая, на мой субъективный взгляд, интересная точка параболы – это её вершина. Она уникальным образом задает положение параболе и дает понимание о том, как устроены корни.

Но формулу для нее мы не знаем, до первых понятий о производной нам еще 3 года в среднем. Будем выкручиваться.

Парабола – симметричная фигура. До того момента, как мы сдвинули ее относительно оси , ось служит для нее осью симметрии. Когда же мы начинаем ее сдвигать, становится видно, что она продолжает быть симметричной, но уже относительно оси, проходящей через вершину.

Парабола, вершина и ось симметрии

Тогда от вершины в обе стороны до корней равные расстояния, а это значит, что вершина параболы лежит ровно между корнями. Тогда координата вершины это среднее между ее корнями

Пока что мы не знаем наши корни. Но благодаря теореме Виета мы знаем, чему равна сумма корней!

Потрясающий результат, который нам пригодится далее.

Ещё немного про корни

Мы знаем, что корни, графически, это те точки, в которых кривая пересекает ось . Очень полезное знание, учитывая, что смотря на параболу, исключительно визуально, мы понимаем что у нас может быть 3 случая:

Корней нет, при этом
1. Либо значение в вершине больше нуля и старший коэффициент больше нуля
2. Либо значение в вершине меньше нуля и старший коэффициент меньше нуля
Корень один, но кратности 2 (не забываем основную теорему алгебры), и значение в вершине равно нулю
Корня два

Второй случай тривиален, до третьего мы еще дойдем. Интересно математически взглянуть на первый. Найдем значение квадратного трехчлена в вершине:

И теперь все же рассмотрим первый случай: парабола висит над осью ветвями вверх.

Первый случай

Домножим первое неравенство на . Учитывая, что , знак неравенства сменится на противоположный:

Это условие, при котором корней нет.

Рассмотрим вкратце противоположный случай: парабола висит под осью ветвями вниз.

Второй случай

Какая-то магия. Получается, что это условие инвариантно относительно положения параболы. Но тем оно лучше.

На данном этапе прошу заметить, что это только условие отсутствия действительных корней. Да, это похоже на дискриминант, но давайте представим, что вы этого не знаете.

Понятие дискриминанта

Мы уже многое поняли о корнях: в какой они связи с коэффициентами, когда они не существуют, каким образом они лежат относительно вершины. Все это безумно полезно, но это все до сих пор не способ найти значения алгебраически.

Давайте будем отталкиваться от того, что мы уже знаем: от вершины. Если бы мы каким-то образом знали расстояние между корнями, то могли бы однозначно найти и сами корни.

Таки что мешает нам это сделать? Но как настоящие математики, давайте находить квадрат расстояния между корнями. Не теряя общности, будем считать, что – больший корень. Тогда

Пока что выглядит не очень, но на что-то это очень сильно похоже. Не видите? Давайте выделим полный квадрат, но по сумме, а не по разности: добавим , но чтобы все осталось в точности так же, это же и вычтем.

Все еще не видите? Воспользуемся снова теоремой Виета:

Мы получили квадрат расстояния между корнями с учетом растяжения коэффициентом .

Так мы теперь можем найти корни! Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны:

Или, немного преобразовав

Квадрат расстояния между корнями квадратного трехчлена и есть дискриминант.

В общем случае, дискриминант — более сложное понятие, связанное с кратными корнями. Но для квадратного уравнения в 7 классе этого достаточно.

Теперь, если рассуждать о дискриминанте как о расстоянии, становится логично и понятно, почему если он равен нулю, то корень всего один; а если отрицательный, то действительных корней вообще нет.

Заключение

Заметьте, что единственное, что мы предположили, что корня два и они существуют. Единственное, что приняли на веру, это основную теорему алгебры. До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.

Как по мне, это именно то, как должны преподавать эту тему в школе.

4.3 Решение квадратных уравнений | Уравнения и неравенства

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором показатель степени переменной не превышает $\text{2}$. Следующее примеры квадратных уравнений:

Квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений тем, что линейное уравнение имеет только одно решение, а квадратное уравнение имеет не более двух решений. Однако существуют особые ситуации, когда квадратное уравнение имеет либо одно решение, либо не имеет решений. 9{2} + bx + c = 0\) иметь вид $\left(rx + s\right)\left(ux + v\right) = 0$.

Два решения: $\left(rx + s\right) = 0$ или $\left(ux + v\right) = 0$, поэтому $x= -\dfrac{s}{r}$ или $x = -\dfrac{v}{u}$ соответственно.

Проверьте ответ, подставив его обратно в исходное уравнение. 9{2} + Ьх + с = 0\)

Факторизовать

\[\влево(х + 1\вправо)\влево(3x — 1\вправо) = 0\]

Решите для обоих факторов

У нас есть

\начать{выравнивать*} х + 1 & = 0 \\ \поэтому х & = -1 \конец{выравнивание*}

ИЛИ

\начать{выравнивать*} 3х — 1 & = 0 \ \следовательно, x & = \frac{1}{3} \конец{выравнивание*} 9{2} & = 0 \конец{выравнивание*}

Квадратное уравнение является полным квадратом

Это пример особой ситуации, когда существует только одно решение квадратного уравнения. уравнения, потому что оба фактора одинаковы.

\начать{выравнивать*} х — 1 & = 0 \\ \поэтому х & = 1 \конец{выравнивание*}

Проверьте ответ, подставив обратно в исходное уравнение 9{2} — 6x — 8 & = 0 \\ (3x + 2)(3x — 4) & = 0 \\ 3х+2&=0\ х & = -\фракция{2}{3} \\ \текст{или} & \\ 3х — 4 & = 0 \ х & = \ гидроразрыва {4} {3} \\ \поэтому x = -\frac{2}{3} & \text{ или } x = \frac{4}{3} \end{выравнивание*}

9{2} — 9 & = 0 \\ (2у — 3)(2у + 3) & = 0 \\ 2у — 3&=0\ у & = \ гидроразрыва {3} {2} \\ \текст{или} & \\ 2у+3&=0\ y & = -\frac{3}{2} \\ \поэтому y = \frac{3}{2} & \text{ или } y = -\frac{3}{2} \end{выравнивание*}

\(4x^{2} + 16x — 9{2} + 16x — 9 & = 0 \\ (2х — 1)(2х + 9) & = 0 \\ 2х — 1 & = 0 \ х & = \ гидроразрыва {1} {2} \\ \текст{или} & \\ 2х+9&=0\ y & = -\frac{9}{2} \\ \следовательно, x = \frac{1}{2} & \text{ или } x = -\frac{9}{2} \end{выравнивание*}

9{2} + 58x — 48 & = 0 \\ (5х — 6)(3х — 8) & = 0 \\ 5х — 6 & = 0 \ х & = \ гидроразрыва {6} {5} \\ \текст{или} & \\ 3х — 8 & = 0 \ х & = \ гидроразрыва {8} {3} \\ \следовательно, x = \frac{6}{5} & \text{ или } x = \frac{8}{3} \end{выравнивание*}

9{2} + 5x — 6 & = 0 \\ (7x + 6)(2x — 1) & = 0 \\ 7х+6&=0\ х & = -\ гидроразрыва {6} {7} \\ \текст{или} & \\ 2х — 1 & = 0 \ х & = \ гидроразрыва {1} {2} \\ \поэтому x = -\frac{6}{7} & \text{ или } x = \frac{1}{2} \end{выравнивание*}

92 -17 лет + 4 &= 0\\ (4у-1)(у-4)&= 0\\ \поэтому y = \frac{1}{4} &\text{ или } y = 4 \конец{выравнивание*}

$\dfrac{1}{2}(b — 1) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{b} + 4\right)$

Примечание $b \neq 0$

\начать{выравнивать*} \frac{1}{2}(b — 1) &= \frac{1}{3}\left(\frac{2}{b} + 4\right) \\ 3(b — 1) &= 2\влево(\frac{2}{b} + 4\вправо) \\ 3b — 3 &= \frac{4}{b} + 8 \\ 3b^2 — 3b &= 4 + 8b \\ 3b^2 — 11b — 4 &= 0 \\ (3b + 1)(b — 4) &= \\ \поэтому b = -\frac{1}{3}b &\text{ или } b = 4 \конец{выравнивание*} 92 — 9) &= 0 \\ (б-2)(б+2)(б-3)(б+3) &= 0 \\ \поэтому b = \pm 2 &\text{ или } b = \pm 3 \end{align*}

$\dfrac{a + 1}{3a — 4} + \dfrac{9}{2a + 5} + \dfrac{2a + 3}{2a + 5} = 0$

\begin{выравнивание*} \frac{a + 1}{3a — 4} + \frac{9}{2a + 5} + \frac{2a + 3}{2a + 5} & = 0 \\ \frac{(a + 1)(2a + 5) + 9(3a — 4) + (2a + 3)(3a — 4)}{(3a — 4)(2a + 5)} & = 0 \\ 2а^{2} + 7а + 5 + 27а — 36 + 6а^{2} + а — 12 & = 0 \\ 8а^{2} + 35а — 43 & = 0 \\ (8а + 43)(а — 1) & = 0 \\ 8а+43&=0\ а & = -\frac{43}{8} \\ \текст{или} & \\ а — 1 & = 0 \\ а & = 1 \\ \поэтому a = -\frac{43}{8} & \text{ или } a = 1 \end{выравнивание*} 92 — 2x — 3}{x+1} &= 0 \\ \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} &= 0 \\ \поэтому х &= 3 \конец{выравнивание*}

$x + 2 = \dfrac{6x -12}{x- 2}$

Примечание $x \neq 2$

\начать{выравнивать*} х + 2 &= \frac{6x-12}{x- 2} \\ (х+2)(х-2) &= 6х — 12 \\ х^2 — 4 &= 6х — 12\\ х^2 — 6х + 8 & = 0 \\ (х — 2)(х — 4) & = 0 \\ \поэтому х &= 4 \конец{выравнивание*} 9{2} — 6а&=0\ 3а(3а — 2) & = 0 \\ 3а & = 0 \\ а & = 0 \\ \текст{или} & \\ 3а — 2&=0\ а & = \ гидроразрыва {2} {3} \\ \следовательно, a = 0 & \text{ или } a = \frac{2}{3} \конец{выравнивание*}

Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратные уравнения Пример 4.

Решения NCERT Математика класса 10 Глава 4 Квадратные уравнения — Вот все решения NCERT по математике класса 10 Глава 4 Квадратные уравнения. Это решение содержит вопросы, ответы, изображения, пошаговое объяснение полной главы 4 под названием «Квадратные уравнения в классе 10». 4 Квадратные уравнения. После того, как вы изучили урок, вы должны искать ответы на его вопросы из учебника. Здесь вы можете получить полные решения NCERT для математики класса 10, глава 4, квадратные уравнения в одном месте.

Класс 10 Квадратные уравнения по математике Пример 4.1
प्रश्नावली 4.1 का हल हिंदी में
Квадратные уравнения по математике, класс 10, пр. 4.2
प्रश्नावली 4.2 का हल हिंदी में
Квадратные уравнения по математике, класс 10, пр. 4.3
प्रश्नावली 4.3 का हल हिंदी में
Квадратные уравнения по математике, класс 10, пр. 4.4
प्रश्नावली 4.4 का हल हिंदी में
Дополнительные вопросы по квадратным уравнениям 10 класса

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратные уравнения Ex 4. 1 являются частью решений NCERT для математики класса 10. Здесь мы дали решения NCERT для математики класса 10, глава 4, квадратные уравнения, пример 4.1.

Доска	CBSE
Учебник	НЦЕРТ
Класс	Класс 10
Субъект	Математика
Глава	Глава 4
Название раздела	Квадратные уравнения
Упражнение	Пример 4.1
Количество решенных вопросов	2
Категория	Решения NCERT

Упр. 4.1 Класс 10 Математика Вопрос 1.
Проверьте, являются ли следующие уравнения квадратными: ) (3-x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(в) (2х – 1) (х – 3) = (х + 5) (х – 1)
(vi) x ² + 3x + 1 = (x – 2) ²
(vii) (x + 2) ³ = 2x(x ² – 1)
(viii) x ³ -4x ² -x + 1 = (x-2) ³
Решение:

Решения NCERT Класс 10 Математика Глава 4 Квадратные уравнения — Видео

Решения NCERT Класса 1 Математика глава 4 Квадратные уравнения здесь.

Упражнение 4.1 Класс 10 Математика Вопрос 2.
Представьте следующие ситуации в виде квадратных уравнений:
(i) Площадь прямоугольного участка составляет 528 м ² . Длина участка (в метрах) более чем в два раза превышает его ширину. Нам нужно найти длину и ширину участка.
(ii) Произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 306. Нам нужно найти целые числа.
(iii) Мать Рохана старше его на 26 лет. Произведение их возраста (в годах) через 3 года будет равно 360. Мы хотели бы найти нынешний возраст Рохана.
(iv) Поезд проехал расстояние 480 км с постоянной скоростью. Если бы скорость была на 8 км/ч меньше, то на преодоление того же расстояния ушло бы на 3 часа больше. Нам нужно найти скорость поезда.
Решение:

Неправильный результат NCVT 2019

Решения NCERT, класс 10, математика, глава 4, квадратные уравнения

, класс 10, математика, глава 4, решения квадратных уравнений приведены ниже в формате PDF. Вы можете просмотреть их в Интернете или загрузить PDF-файл для дальнейшего использования.

или сохраните изображения решений и распечатайте их, чтобы они всегда были под рукой при подготовке к экзамену. Нажмите здесь, чтобы загрузить решения NCERT для класса 10 по математике, глава 4, квадратные уравнения.

NCERT Solutions для класса 10 Математика Глава 4 Квадратичные уравнения (Hindi Medium) EX 4,1

Класс 10 Математические квадратичные уравнения. переменная x представляет собой уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, а a ≠ 0.

Любое уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — это многочлен степени 2, является квадратным уравнением.

Нуль(и)/корень(и) квадратного уравнения

Вещественное число α называется корнем квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0, если aα ² + bα + c = 0,
Можно сказать, что x = α является решением квадратного уравнения или что α удовлетворяет квадратному уравнению.
Нули квадратного полинома ax ² + bx + c = 0 и корни уравнения ax ² + bx + c = 0 совпадают. Квадратное уравнение имеет не более двух корней/нулей.

Связь между нулями и коэффициентом квадратного уравнения

Если α и β — нули квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа и a ≠ 0, то

Методы решения квадратных уравнений

Ниже приведены методы, используемые для решения квадратных уравнений:

(i) Факторизация
(ii) Заполнение квадрата
(iii) Квадратная формула

Методы факторизации

В этом

62 методом находим корни квадратного уравнения (ax

² + bx + c = 0) путем разложения LHS на два линейных множителя и приравнивания каждого множителя к нулю, например,
6x ² – x – 2 = 0
⇒ 6x ² + 3x – 4x – 2 = 0 …(i)
⇒ 3x (2x + 1) – 2(2x + 1) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
⇒ 3x – 2 = 0 или 2x + 1 = 0

Необходимое условие : Произведение 1-го и последнего членов уравнения.

(i) должно быть равно произведению 2-го и 3-го членов того же уравнения.

Метод завершения квадрата

Это метод преобразования L.H.S. квадратного уравнения, не являющегося полным квадратом, в сумму или разность полного квадрата и константы путем сложения и вычитания подходящих постоянных членов. например,
(1) x ² + 4x – 5 = 0
⇒ x ² + 2(2)(x) -5 = 0
⇒ x ² + 2(2)(x) + (2) ² – (2) ² – 5 = 0
⇒ (х + 2) ² – 4 – 5 = 0
⇒ (х + 2) ² – 9 = 0
⇒ х + 2 ± 3
⇒ x = -5, 1
(2) 3x ² – 5x + 2 = 0

Квадратная формула

Рассмотрим квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0.
Если b ² – 4ac ≥ 0, то корни приведенного выше уравнения имеют вид:

Природа корней

Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0
(a ≠ 0), значение (b ² – 4ac) называется дискриминантом уравнения и обозначается как D.

9 х в квадрате: решить уравнение: 9-x(в квадрате)<0 - Школьные Знания.com

alexxlab / 28.06.202309.05.2023 / Разное

Первообразная 1 x: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 28.06.202326.04.2023 / Разное

Вычисление первообразной функции — что это такое?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Какие ассоциации вызывает у вас понятие «первообразная»? Пожалуй, таким званием можно наградить супергероиню из популярного сериала: эта характеристика внушает трепет и уважение. Только представьте: «Первообразная, Королева дифференциалов из Дома Интегрированных, Властительница Констант и Производных». 👑

Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

сложение обратно вычитанию,
умножение — делению,
возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.

Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.

Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Функция f (x)	Производная f’ (х)
С (т. е. константа, любое число)	0
х	1
xⁿ	nx^n-1
√x	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos²(х)
ctg x	-1/sin²x
e^x	e^x
a^x	a^x * ln a
ln x	1/x
log_ax	1/(x * ln a)

Правила дифференцирования

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

d — это дифференциал,
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;
его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.

Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

«Высокий» логарифм:
«Длинный» логарифм:

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции

Записываем неопределённый интеграл:
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
Выносим константы за знак интеграла:
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

Задание 2

Вычисли неопределенный интеграл

Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры.

Как упростить векторы: Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 11 класс.

alexxlab / 28.06.202312.04.2023 / Разное

Как волшебным образом убрать ненужные опорные точки?

Руководство пользователя Illustrator
Основы работы с Illustrator
1. Введение в Illustrator
  1. Новые возможности в приложении Illustrator
  2. Часто задаваемые вопросы
  3. Системные требования Illustrator
  4. Illustrator для Apple Silicon
2. Рабочая среда
  1. Основные сведения о рабочей среде
  2. Ускоренное обучение благодаря панели «Обзор» в Illustrator
  3. Создание документов
  4. Панель инструментов
  5. Комбинации клавиш по умолчанию
  6. Настройка комбинаций клавиш
  7. Общие сведения о монтажных областях
  8. Управление монтажными областями
  9. Настройка рабочей среды
  10. Панель свойств
  11. Установка параметров
  12. Рабочая среда «Сенсорное управление»
  13. Поддержка Microsoft Surface Dial в Illustrator
  14. Отмена изменений и управление историей дизайна
  15. Повернуть вид
  16. Линейки, сетки и направляющие
  17. Специальные возможности в Illustrator
  18. Безопасный режим
  19. Просмотр графических объектов
  20. Работа в Illustrator с использованием Touch Bar
  21. Файлы и шаблоны
3. Инструменты в Illustrator
  1. Краткий обзор инструментов
  2. Выбор инструментов
    1. Выделение
    2. Частичное выделение
    3. Групповое выделение
    4. Волшебная палочка
    5. Лассо
    6. Монтажная область
  3. Инструменты для навигации
    1. Рука
    2. Повернуть вид
    3. Масштаб
  4. Инструменты рисования
    1. Градиент
    2. Сетка
    3. Создание фигур
  5. Текстовые инструменты
    1. Текст
    2. Текст по контуру
    3. Текст по вертикали
  6. Инструменты рисования
    1. Перо
    2. Добавить опорную точку
    3. Удалить опорные точки
    4. Опорная точка
    5. Кривизна
    6. Отрезок линии
    7. Прямоугольник
    8. Прямоугольник со скругленными углами
    9. Эллипс
    10. Многоугольник
    11. Звезда
    12. Кисть
    13. Кисть-клякса
    14. Карандаш
    15. Формирователь
    16. Фрагмент
  7. Инструменты модификации
    1. Поворот
    2. Отражение
    3. Масштаб
    4. Искривление
    5. Ширина
    6. Свободное трансформирование
    7. Пипетка
    8. Смешать
    9. Ластик
    10. Ножницы
4. Быстрые действия
  1. Ретротекст
  2. Светящийся неоновый текст
  3. Старомодный текст
  4. Перекрашивание
  5. Преобразование эскиза в векторный формат
Illustrator на iPad
1. Представляем Illustrator на iPad
  1. Обзор по Illustrator на iPad.
  2. Ответы на часто задаваемые вопросы по Illustrator на iPad
  3. Системные требования | Illustrator на iPad
  4. Что можно и нельзя делать в Illustrator на iPad
2. Рабочая среда
  1. Рабочая среда Illustrator на iPad
  2. Сенсорные ярлыки и жесты
  3. Комбинации клавиш для Illustrator на iPad
  4. Управление настройками приложения
3. Документы
  1. Работа с документами в Illustrator на iPad
  2. Импорт документов Photoshop и Fresco
4. Выбор и упорядочение объектов
  1. Создание повторяющихся объектов
  2. Объекты с переходами
5. Рисование
  1. Создание и изменение контуров
  2. Рисование и редактирование фигур
6. Текст
  1. Работа с текстом и шрифтами
  2. Создание текстовых надписей по контуру
  3. Добавление собственных шрифтов
7. Работа с изображениями
  1. Векторизация растровых изображений
8. Цвет
  1. Применение цветов и градиентов
Облачные документы
1. Основы работы
  1. Работа с облачными документами Illustrator
  2. Общий доступ к облачным документам Illustrator и совместная работа над ними
  3. Публикация документов для проверки
  4. Обновление облачного хранилища для Adobe Illustrator
  5. Облачные документы в Illustrator | Часто задаваемые вопросы
2. Устранение неполадок
  1. Устранение неполадок с созданием или сохранением облачных документов в Illustrator
  2. Устранение неполадок с облачными документами в Illustrator
Добавление и редактирование содержимого
1. Рисование
  1. Основы рисования
  2. Редактирование контуров
  3. Рисование графического объекта с точностью на уровне пикселов
  4. Рисование с помощью инструментов «Перо», «Кривизна» и «Карандаш»
  5. Рисование простых линий и фигур
  6. Трассировка изображения
  7. Упрощение контура
  8. Определение сеток перспективы
  9. Инструменты для работы с символами и наборы символов
  10. Корректировка сегментов контура
  11. Создание цветка в пять простых шагов
  12. Рисование перспективы
  13. Символы
  14. Рисование контуров, выровненных по пикселам, при создании проектов для Интернета
2. 3D-объекты и материалы
  1. Подробнее о 3D-эффектах в Illustrator
  2. Создание трехмерной графики
  3. Проецирование рисунка на трехмерные объекты
  4. Создание трехмерного текста
  5. Создание трехмерных объектов
3. Цвет
  1. О цвете
  2. Выбор цветов
  3. Использование и создание цветовых образцов
  4. Коррекция цвета
  5. Панель «Темы Adobe Color»
  6. Цветовые группы (гармонии)
  7. Панель «Темы Color»
  8. Перекрашивание графического объекта
4. Раскрашивание
  1. О раскрашивании
  2. Раскрашивание с помощью заливок и обводок
  3. Группы с быстрой заливкой
  4. Градиенты
  5. Кисти
  6. Прозрачность и режимы наложения
  7. Применение обводок к объектам
  8. Создание и редактирование узоров
  9. Сетки
  10. Узоры
5. Выбор и упорядочение объектов
  1. Выделение объектов
  2. Слои
  3. Группировка и разбор объектов
  4. Перемещение, выравнивание и распределение объектов
  5. Размещение объектов
  6. Блокировка, скрытие и удаление объектов
  7. Копирование и дублирование объектов
  8. Поворот и отражение объектов
  9. Переплетение объектов
6. Перерисовка объектов
  1. Кадрирование изображений
  2. Трансформирование объектов
  3. Объединение объектов
  4. Вырезание, разделение и обрезка объектов
  5. Марионеточная деформация
  6. Масштабирование, наклон и искажение объектов
  7. Объекты с переходами
  8. Перерисовка с помощью оболочек
  9. Перерисовка объектов с эффектами
  10. Создание фигур с помощью инструментов «Мастер фигур» и «Создание фигур»
  11. Работа с динамическими углами
  12. Улучшенные процессы перерисовки с поддержкой сенсорного ввода
  13. Редактирование обтравочных масок
  14. Динамические фигуры
  15. Создание фигур с помощью инструмента «Создание фигур»
  16. Глобальное изменение
7. Текст
  1. Дополнение текстовых и рабочих объектов типами объектов
  2. Создание маркированного и нумерованного списков
  3. Управление текстовой областью
  4. Шрифты и оформление
  5. Форматирование текста
  6. Импорт и экспорт текста
  7. Форматирование абзацев
  8. Специальные символы
  9. Создание текста по контуру
  10. Стили символов и абзацев
  11. Табуляция
  12. Поиск отсутствующих шрифтов (технологический процесс Typekit)
  13. Шрифт для арабского языка и иврита
  14. Шрифты | Часто задаваемые вопросы и советы по устранению проблем
  15. Создание эффекта 3D-текста
  16. Творческий подход к оформлению
  17. Масштабирование и поворот текста
  18. Интерлиньяж и межбуквенные интервалы
  19. Расстановка переносов и переходы на новую строку
  20. Проверка орфографии и языковые словари
  21. Форматирование азиатских символов
  22. Компоновщики для азиатской письменности
  23. Создание текстовых проектов с переходами между объектами
  24. Создание текстового плаката с помощью трассировки изображения
8. Создание специальных эффектов
  1. Работа с эффектами
  2. Стили графики
  3. Атрибуты оформления
  4. Создание эскизов и мозаики
  5. Тени, свечения и растушевка
  6. Обзор эффектов
9. Веб-графика
  1. Лучшие методы создания веб-графики
  2. Диаграммы
  3. SVG
  4. Фрагменты и карты изображений
Импорт, экспорт и сохранение
1. Импорт
  1. Помещение нескольких файлов в документ
  2. Управление связанными и встроенными файлами
  3. Сведения о связях
  4. Извлечение изображений
  5. Импорт графического объекта из Photoshop
  6. Импорт растровых изображений
  7. Импорт файлов Adobe PDF
  8. Импорт файлов EPS, DCS и AutoCAD
2. Библиотеки Creative Cloud Libraries в Illustrator
  1. Библиотеки Creative Cloud Libraries в Illustrator
3. Диалоговое окно «Сохранить»
  1. Сохранение иллюстраций
4. Экспорт
  1. Использование графического объекта Illustrator в Photoshop
  2. Экспорт иллюстрации
  3. Сбор ресурсов и их массовый экспорт
  4. Упаковка файлов
  5. Создание файлов Adobe PDF
  6. Извлечение CSS | Illustrator CC
  7. Параметры Adobe PDF
  8. Палитра «Информация о документе»
Печать
1. Подготовка к печати
  1. Настройка документов для печати
  2. Изменение размера и ориентации страницы
  3. Задание меток обреза для обрезки и выравнивания
  4. Начало работы с большим холстом
2. Печать
  1. Наложение
  2. Печать с управлением цветами
  3. Печать PostScript
  4. Стили печати
  5. Метки и выпуск за обрез
  6. Печать и сохранение прозрачных графических объектов
  7. Треппинг
  8. Печать цветоделенных форм
  9. Печать градиентов, сеток и наложения цветов
  10. Наложение белого
Автоматизация задач
1. Объединение данных с помощью панели «Переменные»
2. Автоматизация с использованием сценариев
3. Автоматизация с использованием операций
Устранение неполадок
1. Проблемы с аварийным завершением работы
2. Восстановление файлов после сбоя
3. Проблемы с файлами
4. Поддерживаемые форматы файлов
5. Проблемы с драйвером ГП
6. Проблемы устройств Wacom
7. Проблемы с файлами DLL
8. Проблемы с памятью
9. Проблемы с файлом настроек
10. Проблемы со шрифтами
11. Проблемы с принтером
12. Как поделиться отчетом о сбое с Adobe
13. Повышение производительности Illustrator

Возникли проблемы при редактировании сложного изображения с множеством опорных точек? Используйте функцию упрощения контура в Illustrator, чтобы устранить проблемы, связанные с редактированием сложных контуров.

Функция Упрощение контура в Illustrator помогает убирать ненужные опорные точки и создавать упрощенный оптимальный контур для сложного графического объекта, не внося существенных изменений в исходную форму контура.

Упрощение контура предоставляет следующие преимущества:

простое и точное редактирование контуров;
уменьшенный размер файлов;
ускоренные отображение и печать файлов.

В каких случаях необходимо упрощать контур?

Для удаления дефектов на трассированном контуре во время трассировки изображения.
Для редактирования фрагмента сложного изображения и создания острых или сглаженных контуров в выбранной области изображения.
Для сокращения количества опорных точек при расширении фигуры с помощью инструмента изменения ширины в Illustrator.
Для редактирования изображения, созданного с помощью мобильных приложений для рисования или эскизов, а затем импортированного в Illustrator.

A. Исходное изображение B. Изображение после трассировки или импорта (максимальное количество опорных точек) C. Изображение после упрощения контуров (оптимизированные опорные точки)

Автоматическое упрощение контура

Выберите объект или определенный участок контура.
Выберите пункты Объект > Контур > Упростить.

Ненужные опорные точки автоматически удаляются, и рассчитывается упрощенный контур.

A. Ползунок для уменьшения количества опорных точек B. Автоматическое упрощение опорных точек C. Дополнительные параметры

Упрощение контура вручную

Чтобы еще больше упростить и уточнить контур, используйте ползунок для уменьшения количества опорных точек. По умолчанию на ползунке задано значение для автоматически упрощенного контура. Положение и значение ползунка определяет, насколько точно упрощенный путь соответствует кривым исходного контура.

Минимальное количество опорных точек (). Если значение ползунка близко к минимальному количеству или равно ему, опорных точек будет меньше, однако кривая измененного контура будет несколько отклоняться от исходного контура.
Максимальное количество опорных точек (). Если значение ползунка близко к максимальному количеству или равно ему, измененная кривая контура содержит больше точек и больше похожа на исходную кривую.

Расширенное управление упрощением

Нажмите кнопку Дополнительные параметры (), чтобы открыть диалоговое окно «Упрощение» с дополнительными параметрами.

Используйте ползунок Предел угла точки кривой, чтобы регулировать сглаженность углов контура. Переместите ползунок влево, чтобы сгладить контур, или вправо, чтобы сделать углы более острыми.

Совет. Если хотите быстро сгладить углы при меньшем количестве опорных точек, используйте ползунок Предел угла точки кривой синхронно с ползунком Упрощение кривой.

При изменении опорных точек или значения предела угла точки кривой Illustrator автоматически рассчитывает и отображает количество исходных и новых опорных точек.

Показать контур исходной кривой: установите этот флажок, чтобы исходный контур отображался под упрощенным для предварительного просмотра различий между этими двумя контурами.
Предварительный просмотр: просмотр вносимых изменений в реальном времени.

Установите флажок Преобразовать в прямые линии, чтобы провести прямые линии между исходными опорными точками объекта.

Если вы хотите, чтобы в следующий раз напрямую открылось расширенное диалоговое окно с текущими настройками, установите флажок Сохранить последние настройки и открыть это диалоговое окно.

Угловые точки остаются без изменений, когда пороговое значение больше, чем автоматически рассчитанное пороговое значение, используемое по умолчанию (90°).

Пример: упрощение и редактирование контура с дополнительными параметрами

В этом примере мы постараемся достичь следующих результатов с помощью функции упрощения контура:

Уменьшение количества опорных точек в выбранной области.
Создание острых углов в выбранной области.
Преобразование контура в прямые линии в выбранной области.

Вот как мы достигли желаемого результата

Создание сглаженных контуров с помощью инструмента «Сглаживание»

Сократив количество опорных точек, вы можете использовать инструмент «Сглаживание» для удаления ненужных точек и сглаживания контура.

Создание сглаженных кривых

Чтобы сгладить кривую, сохранив противоположные кривые без изменений, сделайте следующее:

Выберите инструмент «Опорная точка».
Нажмите клавишу Option или Alt и щелкните любой маркер, чтобы связать противоположные маркеры и сгладить участок.

Управление уровнем сглаживания

Чтобы изменить степень сглаживания, дважды щелкните инструмент «Сглаживание» и задайте следующие параметры.

Точность

Определяет, на какое расстояние можно переместить курсор или перо прежде, чем Illustrator добавит к контуру следующую опорную точку. Например, значение 2,5 для параметра «Отклонение» означает, что перемещения инструмента на расстояние менее 2,5 пикселя не регистрируются. Параметр «Отклонение» может принимать значения от 0,5 до 20 пикселей. Чем выше значение, тем более гладким и менее сложным будет контур.

Сглаживание

Определяет степень сглаживания, применяемую программой Illustrator при использовании этого инструмента. Плавность можно задавать в пределах от 0 до 100%. Чем больше значение, тем сильнее сглаживается контур.

Связывание противоположных маркеров при помощи инструмента «Опорная точка»

A. Угловые точки с непарными маркерами B. Противоположные маркеры связываются, что приводит к сглаживанию кривой

Что дальше

После упрощения контура можно выполнить следующие задачи:

Есть вопросы или предложения?

Если у вас есть вопросы или идеи, которыми вы хотели бы поделиться, присоединяйтесь к беседе в сообществе Adobe Illustrator. Мы будем рады узнать ваше мнение.

Свой AR. Основы векторной алгебры / Хабр

В настоящий момент появилось достаточно большое количество библиотек дополненной реальности с богатым функционалом (ARCore, ARKit, Vuforia). Тем не менее я решил начать свой открытый проект, попутно описывая как это работает изнутри. Если повезет, то позже получится добавить какой-то особый интересный функционал, которого нет в других библиотеках. В качестве целевых платформ пока возьмем Windows и Android. Библиотека пишется на C++, и сторонние библиотеки будут задействованы по минимуму, т.е. преимущественно не будет использовано ничего готового. Фокус в статьях будет направлен на алгоритмы и математику, которые постараюсь описать максимально доступно и подробно. В этой статье пойдет речь про основы векторной алгебры.

Дополненная реальность — это совмещение виртуального мира и реального. Для этого, нам нужно представить окружающее реальное пространство в виде математической модели, понимая закономерности которой, мы сможем получить данные для совмещения. Начнем с основ векторной алгебры.

Вектора — это частный случай матриц, состоящие либо из одного столбца, либо из одной строки. Когда мы говорим о векторе, обычно имеется вектор-столбец . Но записывать вектор как столбец неудобно, поэтому будем его транспонировать — .

Длина вектора

Первое, что мы рассмотрим — получение длины вектора — , где — значение длины, — наш вектор. Для примера возьмем двумерный вектор:

, где и — компоненты вектора, значения проекций вектора на оси двумерных координат. И мы видим прямоугольный треугольник, где и — это длины катетов, а — длина его гипотенузы. По теореме Пифагора получается, что . Значит . Вид формулы сохраняется и для векторов большей размерности, например — .

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов — это сумма произведение их компонентов: . Но так как мы знаем, что вектора — это матрицы, то тогда удобнее записать это в таком виде: . Это же произведение можно записать в другой форме: , где — угол между векторами и (для двумерного случая эта формула доказывается через теорему косинусов). По этой формуле можно заключить, что скалярное произведение — это мера сонаправленности векторов. Ведь, если , то , и — это просто произведение длин векторов. Так как — не может быть больше 1, то это максимальное значение, которые мы можем получить, изменяя только угол . Минимальное значение будет равно -1, и получается при , т.е. когда вектора смотрят в противоположные направления. Также заметим, что при , а значит какие бы длины не имели вектора и , все равно . Можно в таком случае сказать, что вектора не имеют общего направления, и называются ортогональными.
Также при помощи скалярного произведения, мы можем записать формулу длины вектора красивее: , .

Проекция вектора на другой вектор

Возьмем два вектора: и .
Проекцию вектора на другой вектор можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось — это вектор, а в алгебраическом – число.

Вектора — это направления, поэтому их начало лежит в начале координат. Обозначим ключевые точки: — начало координат, — конечная точка вектора , — конечная точка вектора .

В геометрическом смысле мы ищем такой , чтобы конечная точка вектора (обозначим ее как — ) была ближайшей точкой к точке , лежащей на прямой .

Иначе говоря, мы хотим найти составляющую в , т.е. такое значение , чтобы и

Расстояние между точками и будет минимальным, если . Получаем прямоугольный треугольник — . Обозначим . Мы знаем, что по определению косинуса через соотношение сторон прямоугольного треугольника
( — гипотенуза, — прилежащий катет).
Также возьмем скалярное произведение . Отсюда следует, что . А значит .

Тут вспоминаем, что — это искомый вектор , а — , и получаем . Умножаем обе части на и получаем — . Теперь мы знаем длину . Вектор отличается от вектора длинной, но не направлением, а значит через соотношение длин можно получить: . И мы можем вывести финальные формулы:
и

Нормализованный вектор

Хороший способ упростить работу над векторами — использовать вектора единичной длины. Возьмем вектор и получим сонаправленный вектор единичной длины. Для этого вектор разделим на его длину: . Эта операция называется нормализацией, а вектор — нормализованным.
Зная нормализованный вектор и длину исходного вектора, можно получить исходный вектор: .

Зная нормализованный вектор и исходный вектор, можно получить его длину: .

Хорошим преимуществом нормализованных векторов является то, что сильно упрощается формула проекции (т.к. длина равна 1, то она сокращается). Проекция вектора на единичной длины:

Матрица поворота двумерного пространства

Предположим у нас есть некая фигура:

Чтобы ее нарисовать, заданы координаты ее вершин, от которых строятся линии. Координаты заданы в виде набора векторов следующим образом . Наша координатная сетка задана двумя осями — единичными ортогональными (перпендикулярными) векторами. В двумерном пространстве можно получить два перпендикулярных вектора к другому вектору такой же длины следующим образом: — левый и правый перпендикуляры. Берем вектор, задающим ось — и ось — левый к нему перпендикуляр — .
Выведем новый вектор, получаемый из наших базисный векторов:

Сюрприз — он совпадает с нашим исходным вектором.

Теперь попробуем как-то изменить нашу фигуру — повернем ее на угол . Для этого повернем векторы и , задающих оси координат. Поворот вектора задается косинусом и синусом угла — . А чтобы получить вектор оси , возьмем перпендикуляр к : . Выполнив эту трансформацию, получаем новую фигуру:

Вектора и являются ортонормированным базисом, потому как вектора ортогональны между собой (а значит базис ортогонален), и вектора имеют единичную длину, т.е. нормированы.

Теперь мы говорим о нескольких системах координат — базовой системы координат (назовем ее мировой), и локальной для нашего объекта (которую мы поворачивали). Удобно объединить наш набор векторов в матрицу —
Тогда .

В итоге — .

Матрица , составляющая ортонормированный базис и описывающая поворот, называется матрицей поворота.

Также матрица поворота имеет ряд полезных свойств, которые следует иметь ввиду:

При , где — единичная матрица, матрица соответствует нулевому повороту (угол ), и в таком случае локальные оси совпадают с мировыми. Как рассматривали выше, матрица никак не меняет исходный вектор.
— определитель матрицы равен 1, если у нас, как обычно бывает, правая тройка векторов. , если тройка векторов левая.
.
.
.
, поворот не меняет длины вектора.
зная и , можем получить исходный вектор — . Т.е. умножая вектор на матрицу поворота мы выполняем преобразование координат вектора из локальной системы координат объекта в мировую, но также мы можем поступать и наоборот — преобразовывать мировые координаты в локальную систему координат объекта, умножая на обратную матрицу поворота.

Теперь попробуем повернуть наш объект два раза, первый раз на угол , второй раз на угол . Матрицу, полученную из угла , обозначим как , из угла — . Распишем наше итоговое преобразование:
.

Обозначим , тогда . И из двух операций мы получили одну. Так как поворот — это линейное преобразование (описали ее при помощи одной матрицы), множество преобразований можно описать одной матрицей, что сильно упрощает над ними работу.

Масштабирование в двумерном пространстве

Масштабировать объект достаточно просто, нужно только умножить координаты точек на коэффициент масштаба: . Если мы хотим масштабировать объект на разную величину по разным осям, то формула принимает вид: . Для удобства переведем операцию в матричный вид: .

Теперь предположим, что нам нужно повернуть и масштабировать наш объект. Нужно отметить, что если сначала масштабировать, а затем повернуть, то результат будет отличаться, от того результата, где мы сначала повернули, а затем масштабировали:

Сначала поворот, а затем масштабирование по осям:

Сначала масштабирование по осям, а затем поворот:

Как мы видим порядок операций играет большое значение, и его нужно обязательно учитывать.
Также здесь мы также можем объединять матрицы преобразования в одну:

Хотя в данном случае, если , то . Тем не менее, с порядком преобразований нужно быть очень аккуратным. Их нельзя просто так менять местами.

Векторное произведение векторов

Перейдем в трехмерное пространство и рассмотрим определенное на нем векторное произведение.
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве — вектор, ортогональный к обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Для примера возьмем два трехмерных вектора — , . И в результате векторного произведения получим

Визуализируем данную операцию:

Здесь наши вектора , и . Вектора начинаются с начала координат, обозначенной точкой . Конечная точка вектора — точка . Конечная точка — точка . Параллелограмм из определения формируются точками , , , . Координаты точки находим как — . В итоге имеем следующие соотношения:

, где — площадь,
,
.

Два вектора образуют плоскость, а векторное произведение позволяет получить перпендикуляр к этой плоскости. Получившиеся вектора образуют образуют правую тройку векторов. Если берем обратный вектор, то получаем второй перпендикуляр к плоскости, и тройка векторов будет уже левой.

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель. Пусть , и мы раскладываем определить по строке как сумму определителей миноров исходной матрицы :

Некоторые удобные свойства данного произведения:

Если два вектора ортогональны и нормализованы, то вектор также будет иметь единичную длину. Параллелограмм, который образуется двумя исходными векторами, станет квадратом с длинной сторон равной единице. Т.е. площадь равна единице, отсюда длина выходного вектора — единица.

Матрица поворота трехмерного пространства.

С тем, как формировать матрицу в двумерном пространстве мы разобрались. В трехмерном она формируется уже не двумя, а тремя ортогональными векторами — . По свойствам, описанным выше, можно вывести следующие отношения между этими векторам:

Вычислить вектора этих осей сложнее, чем в матрице поворота двумерного пространства. Для примера получения этих векторов рассмотрим алгоритм, который в трехмерных движках называется lookAt. Для этого нам понадобятся вектор направления взгляда — и опорный вектор для оси — . Сам алгоритм:

Обычно направление камеры совпадает с осью . Поэтому нормализуем и получаем ось — .
Получаем вектор оси — . В итоге у нас есть два нормализованных ортогональных вектора и , описывающих оси и , при этом ось сонаправлена с входным вектором , а ось перпендикулярна к входному опорному вектору .
Получаем вектор оси из полученных и — .
В итоге

В трехмерных редакторах и движках в интерфейсах часто используются углы Эйлера для задания поворота. Углы Эйлера более интуитивно понятны — это три числа, обозначающие три последовательных поворота вокруг трех основных осей . Однако, работать с ними не очень то просто. Если попробовать выразить итоговый вектор напрямую через эти повороты, то получим довольно объемную формулу, состоящую из синусов и косинусов наших углов. Есть еще пара проблем с этими углами. Первая проблема — это то, что сами по себе углы не задают однозначного поворота, так как результат зависит от того, в какой последовательности происходили повороты — или или как-то еще. Углы Эйлера — это последовательность поворотов, а как мы помним, смена порядка трансформаций меняет итоговый результат. Вторая проблема — это gimbal lock.

Внутри же трехмерные движки чаще всего используют кватернионы, которых мы касаться не будем.

Существуют разные способы задания поворота в трехмерном пространстве, и каждый имеет свои плюсы и минусы:

Матрица поворота. С ней просто работать (т.к. это просто матрицы). Но есть логическая избыточность данных — все элементы матрицы связаны определенными условиями, так как количество элементов больше степеней свободы (12 элементов против трех степеней). Т.е. мы не можем взять матрицу и наполнить ее случайными числами, так при несоблюдении условий матрица просто не будет являться матрицей поворота.
Углы Эйлера. Они интуитивно понятны, но работать с ними сложно.
Вектор оси вращения и угол порота вокруг нее. Любой возможный поворот можно описать таким образом. Поворота вектора вокруг заданной оси рассмотрим ниже.
Вектор поворота Родрига. Это трехмерный вектор, где нормализованный вектор представляет собой ось вращения, а длина вектора угол поворота. Этот способ задания поворота похож на предыдущий способ, но количество элементов здесь равно числу степеней свободы, и элементы не связаны между собой жесткими ограничениями. И мы можем взять трехмерный вектор с абсолютно случайными числами, и любой полученный вектор будет задавать какое-то возможное вращение.

Поворот вектора вокруг заданной оси

Теперь рассмотрим операцию, позволяющую реализовать поворот вектора вокруг оси.

Возьмем вектор — описывающий ось, вокруг которой нужно повернуть вектор на угол . Результирующий вектор обозначим как . Иллюстрируем процесс:

Вектор мы можем разложить сумму векторов: вектора, параллельный к вектору — , и вектора, перпендикулярному к вектору к вектору — .
.
Вектор — это проекция вектора на вектор . Т.к. — нормализованный вектор, то:

Та часть , которая принадлежит оси вращения () не измениться во время вращения. Повернуть нам нужно только в плоскости перпендикулярной к на угол , Обозначим этот вектор как . Тогда наш искомый вектор — .
Вектор можем найти следующим образом:

Для того, чтобы повернуть , выведем оси и в плоскости, в которой будем выполнять поворот. Это должны быть два ортогональных нормализованных вектора, ортогональных к . Один ортогональный вектор у нас уже есть — , нормализуем его и обозначим как ось — .

Теперь получим вектор оси . Это должен быть вектор, ортогональный к и (т.е. и к ). Получить его можно через векторное произведение: . Значит . По свойству векторного произведения будет равно площади параллелограмма, образуемого двумя исходными векторами ( и ). Так как вектора ортогональны, то у нас будет не параллелограмм, а прямоугольник, а значит . . Значит .
Поворот двумерного вектора на угол можно получить через синус и косинус — . Т.к. в координатах полученной плоскости сонаправлен с осью , то он будет равен . Этот вектор после поворота — . Отсюда можем вывести:

Теперь мы можем получить наш искомый вектор:

Мы разобрались с тем, как поворачивать вектор вокруг заданной оси на заданный угол, значит теперь мы умеем использовать поворот, заданный таким образом.

Получить вектор оси вращения и угол из вектора Родрига не составляет большого труда, а значит мы теперь умеем работать и с ним тоже.

Напоминаю, что матрица поворота представляет собой три базисных вектора , а углы Эйлера — три последовательных поворота вокруг осей , , . Значит мы можем взять единичную матрицу, как нулевой поворот , а затем последовательно поворачивать базисные вектора вокруг нужных нам осей. В результате получим матрицу поворота соответствующую углам Эйлера. Например:

Также можно отдельно вывести матрицы вращения по каждой из осей , , (, , соответственно) и получить итоговую матрицу последовательным их умножением:

Таким же образом можно перевести вектор поворота Родрига в матрицу поворота: также поворачиваем оси матрицы поворота, полученные от единичной матрицы.

Итак, с вращением объекта разобрались. Переходим к остальным трансформациям.

Масштабирование в трехмерном пространстве

Все тоже самое что и двумерном пространстве, только матрица масштабирования принимает вид:

Перемещение объекта

До этого момента точка начала локальных координат не смещалась в мировом пространстве. Так как точка начала координат нашего объекта — это его центр, то центр объект никуда не смещался. Реализовать это смещение просто: , где — вектор, задающий смещение.

Теперь мы умеем масштабировать объект по осям, поворачивать его и перемещать.
Объединим все одной формулой: :

Чтобы упростить формулу, мы можем, как уже делали ранее, объединить матрицы . В итоге наше преобразование описывает матрица и вектор . Объединение вектора с матрицей еще более бы упростило формулу, однако сделать в данном случае не получится, потому как сложение здесь — это не линейная операция. Тем не менее сделать это возможно, и рассмотрим этот момент уже в следующей статье.

Для какого-то покажется, что статья описывает очевидные вещи, кому-то может показаться наоборот немного запутанной. Тем не менее это базовый фундамент, на котором будет строиться все остальное. Векторная алгебра — является фундаментом для многих областей, так что статья может вам оказаться полезной не только в дополненной реальности. Следующая статья будет уже более узконаправленной.

Как упростить векторное выражение?

Вот способ сделать все, о чем вы просили, автоматически, независимо от версии Mathematica . Подход основан на специальном символе для идентификации, когда мы имеем дело с вектором: вместо использования таких вещей, как x , y и т. д. для векторов, теперь принято соглашение, что векторы записываются как vec[x] , vec[y] и т. д.

Вы также можете определить оболочку OverVector[x] для этой цели, потому что он отображается как $\vec{x}$. Но для этого поста я хочу, чтобы он был простым, и стрелки не будут легко отображаться в исходном коде ниже.

 ClearAll[scalarProduct, vec];
SetAttributes[scalarProduct, {Беспорядковый}]
vec /: Dot[vec[x_], vec[y_]] := scalarProduct[vec[x], vec[y]]
vec /: Cross[vec[x_], HoldPattern[Plus[y__]]] :=
 Map[Cross[vec[x], #] &, Plus[y]]
vec /: Cross[HoldPattern[Plus[y__]], vec[x_]] :=
 Map[Cross[#, vec[x]] &, Plus[y]]
scalarProduct /: MakeBoxes[scalarProduct[x_, y_], _] :=
 RowBox[{ToBoxes[x], ".", ToBoxes[y]}]
век[х].век[у]
(* ==> vec[x].vec[y] *)
vec[x].vec[y] == vec[y].vec[x]
(* ==> Верно *)
Крест[vec[x], vec[a] + vec[b]]
(* ==> vec[x]\[Cross]vec[a] + vec[x]\[Cross]vec[b] *)
Крест[vec[a] + vec[b], vec[x]]
(* ==> vec[a]\[Cross]vec[x] + vec[b]\[Cross]vec[x] *)

Для произведения Dot я определил поведение vec таким образом, что оно оценивается как новая функция scalarProduct , единственным алгебраическим свойством которой является то, что это Беспорядок , как вы и ожидали для скалярного произведения векторов. Конечно, это верно только для евклидовых скалярных произведений, поэтому здесь это предположение неявно. Для получения дополнительной информации о том, как работает это определение, см. TagSetDelayed .

Кроме того, скалярное произведение получает настраиваемый формат отображения, определяя, что он должен снова отображаться, как если бы он был точечным произведением, когда он появляется в функции низкоуровневого форматирования MakeBoxes .

Для распределительного свойства перекрестного произведения я придаю vec дополнительное свойство, заключающееся в том, что когда оно появляется в Cross вместе с выражением head Plus , сумма расширяется. Здесь определения TagSetDelayed выполняются для обоих заказов и содержат HoldPattern для предотвращения слишком ранней оценки Plus в определении.

Теперь вы можете вернуться с еще многими пожеланиями: например, как насчет мультипликативных скаляров в скалярном или перекрестном произведении, и как насчет матриц. Тем не менее, это широкое поле, которое открывает банку червей, поэтому я бы сказал, просто реализуйте минимум функций, которые вы можете использовать символически, а затем приступайте к конкретной рабочей основе, чтобы вместо этого вы могли писать векторы как списки.

Другим подходом может быть определение нового символа для пользовательского скалярного произведения. Это сделано в этом вопросе.

Использование OverVector

Как упоминалось выше, вы можете заменить vec на Overvector везде в приведенном выше исходном коде, чтобы получить результат с лучшим форматированием. Предполагая, что вы сделали это (я не буду повторять определения с этим изменением), вот несколько примеров:

Чтобы ввести эти векторные выражения, обратитесь к вспомогательной палитре Basic Math. Перекрестное произведение может быть введено как Esc крест Esc .

Еще одна вещь, которую вы просили, это использовать антисимметрию векторного произведения в упрощениях. На самом деле это уже сделано, если вы вызываете FullSimplify :

symbolic — возможно ли упростить выражение в векторной форме, которое включает в себя перекрестное произведение и скалярное произведение?

Мне часто приходится упрощать выражения, включающие перекрестное произведение и скалярное произведение, например:

 f = Dot[Cross[Cross[p1 - p, e1], Cross[p2 - p, e2]], Cross[p3 - p , е3]]

, где все символы в RHS являются трехмерными векторами, но нежелательно ссылаться на их компоненты, потому что из результатов довольно сложно найти полезную информацию. Это упрощение очень часто требуется в таких областях, как кинематика и динамика, и я полагаю, что многие люди сталкивались с этой проблемой, но мой поиск не дал очень релевантных результатов.

Есть ли способ справиться с таким упрощением? Я думаю, что возможное решение, которое может сработать, заключается в том, что мы можем определить некоторые настраиваемые операторы или функции для представления перекрестного произведения и скалярного произведения, а затем определить набор правил для этих операторов (или для Simplify commend), чтобы отразить возможные упрощения, такие как расширение смешанного произведения и т. д. Но я новичок в Mathematica, и не знаю, как это сделать, и не знаю, является ли это лучшим способом, или.

Кто-нибудь может помочь? Будем очень признательны за любой ответ! Спасибо!

Follow Up 1

Благодаря маршу я нашел команду $Assumptions = {p1 [Element] Vectors[3, Reals]} , которая преобразует проблему в тензорную задачу. Я попробовал эту команду для всех векторов, и 9Функция 0005 f действительно показывает правильное выражение, но после этого Expand , Simplification , Collect не работают, только TensorExpand и TensorReduce работают для этих тензоров. Выражение кажется каким-то сложным, так как Упростить сейчас не получится. Пока я не нашел способа справиться с этим.

Тем не менее, я думаю, что может помочь способ определения настраиваемых операторов (или функций) или правил (в Simplify ), которые могут определять такие операции, как смешанное произведение или двойное перекрестное произведение.

Корень 441: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 28.06.202321.04.2023 / Разное

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:

Случайное число

Четность:	Число 441 является нечетным.
Сумма цифр:	9
Произведение цифр:	16
Количество цифр:	3
Все делители числа	1 3 7 9 21 49 63 147 441
Количество делителей	9
Сумма делителей	741
Простое число	Составное число
Квадратный корень	21
Кубический корень	7,61166261102024
Квадрат	194481
Куб	85766121
Обратное число	0,00226757369614512
Предыдущее число: 440	Следующее число: 442

Натуральное число 441 является трехзначным. Оно записывается 3 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 441, равна 9, а их произведение равно 16. Число 441 является нечетным. Всего число 441 имеет 9 делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441, . Сумма делителей равна 741. Куб числа 441 равен 194481, а квадрат составляет 85766121. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 21. Кубический корень равен 7,61166261102024. Число, которое является обратным к числу 441, выглядит как 0,00226757369614512.

Квадратный корень из 441 — Как найти квадратный корень из 441?

LearnPracticeDownload

Число 441 — нечетное составное число. Квадратный корень из 441 — это число (целое число), которое при умножении само на себя дает 441, оно одновременно положительное и отрицательное. В этом мини-уроке мы найдем квадратный корень из 441 методом разложения на простые множители и деления в длину, узнаем несколько интересных фактов и решим несколько задач.

Квадратный корень из 441: 21
Квадрат 441: 194 481

1.	Чему равен квадратный корень из 441?
2.	Является ли квадратный корень из 441 рациональным или иррациональным?
3.	Как найти квадратный корень из 441?
4.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 441

Что такое квадратный корень из 441?

Квадратный корень из числа — это число (целое число), произведение которого само по себе дает исходное число.
441 = а × а = 21 × 21
Тогда а = √441 = √(21 × 21)
21 × 21 = 441 или -21 × -21 = 441
Квадратный корень из 441 равен +21 или -21.
Это показывает, что 441 — правильный квадрат.

Является ли квадратный корень из 441 рациональным или иррациональным?

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде отношения двух целых чисел, то есть p/q, где q ≠ 0.
21 и -21 можно записать как 21/1 и -21/1
Итак, квадратный корень из 441 — рациональное число.

Как найти квадратный корень из 441?

Квадрат числа 441 можно вычислить, используя метод разложения на простые множители, метод длинного деления или метод повторного вычитания.

Извлечение квадратного корня из 441 методом простой факторизации

Чтобы найти квадратный корень из 441 с помощью простой факторизации, можно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Определить простую факторизацию числа 441.
441 = 3 × 3 × 7 × 7
441 = 3 ² × 7 ²

Шаг 2. Сгруппируйте простые делители числа 441 попарно.
441 = 3 ² × 7 ²

Шаг 3. Выберите один множитель из каждой пары, и квадратный корень из 441 можно записать как:
√441 = √(3 ² × 7 ² )
√441 = √(3 × 7) ²
√441 = ((3 × 7) ² ) ^1/2 = ±(3 × 7)
√441 = ±21

Квадратный корень из 441 путем деления в длину

Выполните шаги, показанные ниже, чтобы найти квадратный корень из 441 путем деления в длину.

Шаг 1. Напишите 441, как показано на рисунке. Соедините числа с правого конца (1), поместив полосу поверх них. В случае 441, 41 будет парой под одним баром и 4 под вторым баром.

Шаг 2. Найдите число, которое при умножении само на себя дает число, меньшее или равное 4.

Шаг 3. Перетащите следующую пару цифр. Вот он 41.
Умножьте частное 2 на 2 (или прибавьте само к себе) и запишите его как разряд десятков нового делителя.

Шаг 4. Подберите число для разряда единиц делителя таким образом, чтобы при умножении на новый делитель получилось 41 или меньшее число, ближайшее к 41.
Здесь число равно 1, так как 41 × 1 = 41.

Итак, мы получаем значение квадратного корня из √441 = 21 методом деления в большую сторону.

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров.

Квадратный корень из 44
Квадратный корень из 14
Квадратный корень из 288
Квадратный корень из 144
Квадратный корень из 400

Важные примечания:

В квадратном корне из четного числа из n цифр будет n/2 цифр.
В квадратном корне из нечетного числа с n цифрами будет (n+2)/2 цифр.
Число 441 — правильный квадрат.

Пример 1: Питер хочет найти квадратный корень обратного числа 441, что равно 144. Вы можете помочь Питеру?
Решение:
Разложение числа 144 на простые множители: 2 ⁴ × 3 ²
Следовательно, квадратный корень из 144 равен 2 × 2 × 3 = 12
. Следовательно, квадратный корень из 144 равен 12, что также является обратным квадратному корню из 441 (21).

Пример 2: Найти квадратный корень из 441 методом повторного вычитания?

Решение:

Старший №	Вычитание	Старший №	Вычитание
1.	441 — 1 = 440	12.	320 — 23 = 297
2.	440 — 3 = 437	13.	297 — 25 = 272
3.	437 — 5 = 432	14.	272 — 27 = 245
4.	432 — 7 = 425	15.	245 — 29 = 216
5.	425 — 9 = 416	16.	216 — 31 = 185
6.	416 — 11 = 405	17.	185 — 33 = 152
7.	405 — 13 = 392	18.	152 — 35 = 117
8.	392 — 15 = 377	19.	117 — 37 = 80
9.	377 — 17 = 360	20.	80 — 39 = 41
10.	360 — 19= 341	21.	41 — 41 = 0
11.	341 — 21 = 320

Итак, начиная с 441, мы вычли 21 раз, чтобы получить 0.
Таким образом, квадратный корень из 441 равен 21.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратных корнях из 441

Является ли квадратный корень из 441 рациональным числом?

Да, квадратный корень из 441 — рациональное число.
Квадратные корни числа 441 равны 21 и -21, то есть являются рациональными числами.

Какова простая факторизация числа 441?

Разложение числа 441 на простые множители: 3 ² × 7 ²

Какими различными способами можно найти квадратный корень из 441?

Квадратный корень из 441 можно найти следующими методами:

Метод деления в длину
Простая факторизация
Метод повторного вычитания

Чему равен квадратный корень из -441?

Квадратный корень из отрицательных чисел является мнимым.
Он представлен как √-441 = 21i.

Как квадратный корень из 441 представляется в экспоненциальной форме?

Квадратный корень из 441 представлен как (441) ^1/2 в экспоненциальной форме.

Рабочие листы по математике и наглядный учебный план

Квадратный корень из 441 (√441)

В этой статье мы собираемся вычислить квадратный корень из 441, узнать, что такое квадратный корень, и ответить на некоторые часто задаваемые вопросы. . Мы также рассмотрим различные методы вычисления квадратного корня из 441 (как с компьютером/калькулятором, так и без него).

Квадратный корень из 441 Определение

В математической форме мы можем представить квадратный корень из 441, используя знак радикала, например: √441. Это обычно называют квадратным корнем из 441 в радикальной форме.

Хотите быстро узнать или освежить память о том, как вычислять квадратный корень, посмотрите это быстрое и информативное видео прямо сейчас!

Так что же такое квадратный корень? В этом случае квадратный корень из 441 — это количество (которое мы будем называть q), которое при умножении само на себя будет равно 441.

√441 = q × q = q ²

Является ли 441 идеальным квадратом?

В математике мы называем 441 полным квадратом, если квадратный корень из 441 является целым числом.

В этом случае, как мы увидим в приведенных ниже вычислениях, мы видим, что 441 — это правильный квадрат.

Чтобы узнать больше о идеальных квадратах, вы можете прочитать о них и просмотреть список из 1000 из них в нашем разделе Что такое идеальный квадрат? статья.

Является ли квадратный корень из 441 рациональным или иррациональным?

Обычный вопрос состоит в том, является ли квадратный корень из 441 рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.

Быстрый способ проверить это — посмотреть, является ли число 441 правильным квадратом. Если да, то это рациональное число. Если это не идеальный квадрат, то это иррациональное число.

Мы уже знаем, является ли 441 полным квадратом, поэтому мы также можем видеть, что √441 является рациональным числом.

Можно ли упростить квадратный корень из 441?

Так как 441 является полным квадратом, его можно упростить, потому что результат всегда будет равен целому числу. Давайте упростим квадратный корень из 441:

√441 = 21.

Как вычислить квадратный корень из 441 с помощью калькулятора

Если у вас есть калькулятор, то самый простой способ вычислить квадратный корень из 441 — использовать это калькулятор. На большинстве калькуляторов это можно сделать, набрав 441 и нажав клавишу √x. Вы должны получить следующий результат:

√441 = 21

Как вычислить квадратный корень из 441 с помощью компьютера

На компьютере вы также можете вычислить квадратный корень из 441 с помощью Excel, Numbers или Google Sheets и функции SQRT, например:

SQRT(441) = 21

Чему равен квадратный корень из 441, записанный с показателем степени?

Все вычисления квадратного корня можно преобразовать в число (называемое основанием) с дробным показателем степени. Давайте посмотрим, как это сделать с квадратным корнем из 441:

√b = b ^½

√441 = 441 ^½

Как найти квадратный корень из 441 с помощью длинного деления

Наконец, мы можем использовать метод длинного деления для вычисления квадратного корня из 441. Это очень полезен для задач на длинное деление, и именно так математики вычисляли квадратный корень из числа до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.

Шаг 1

Задайте 441 в парах из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:

Шаг 2

Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньше или равный 4, равен 4, а квадратный корень из 4 равен 2. Поэтому поставьте 2 сверху и 4 снизу вот так:

2
4	41
4

Шаг 3

Вычислите 4 минус 4 и запишите разницу ниже. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.

2
4	41
4
	41

Шаг 4

Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 2 × 2 = 4. Затем используйте 4 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:

4? × ? ≤ 41

Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Путем проб и ошибок мы нашли, что наибольшее число, которое может быть пустым, равно 1,9.0003

Теперь введите 1 сверху:

2	1
4	41
4
	41

Вот и все! Ответ показан вверху зеленым цветом. Квадратный корень из 441 с точностью до одной цифры после запятой равен 21. Обратите внимание, что последние два шага фактически повторяют два предыдущих.

Синус 89: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 28.06.202317.04.2023 / Разное

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Таблица синусов.

Таблица синусов Таблица косинусов Таблица тангенсов Таблица котангенсов Таблица Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

Скачать таблицу синусов

Таблица синусов — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу синусов вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение синуса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.

Калькулятор — синус угла



sin(°) = 0

Калькулятор — арксинус угла



arcsin() = 90°

Таблица синусов в радианах

α	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π
sin α	0	12	√22	√32	1	0	-1	0

Таблица синусов углов от 0° до 180°

sin(0°) = 0
sin(1°) = 0.017452
sin(2°) = 0.034899
sin(3°) = 0.052336
sin(4°) = 0.069756
sin(5°) = 0.087156
sin(6°) = 0.104528
sin(7°) = 0.

121869
sin(8°) = 0.139173
sin(9°) = 0.156434
sin(10°) = 0.173648
sin(11°) = 0.190809
sin(12°) = 0.207912
sin(13°) = 0.224951
sin(14°) = 0.241922
sin(15°) = 0.258819
sin(16°) = 0.275637
sin(17°) = 0.292372
sin(18°) = 0.309017
sin(19°) = 0.325568
sin(20°) = 0.34202
sin(21°) = 0.358368
sin(22°) = 0.374607
sin(23°) = 0.390731
sin(24°) = 0.406737
sin(25°) = 0.422618
sin(26°) = 0.438371
sin(27°) = 0.45399
sin(28°) = 0.469472
sin(29°) = 0.48481
sin(30°) = 0.5
sin(31°) = 0.515038
sin(32°) = 0.529919
sin(33°) = 0.544639
sin(34°) = 0.559193
sin(35°) = 0.573576
sin(36°) = 0.587785
sin(37°) = 0.601815
sin(38°) = 0.615661
sin(39°) = 0.62932
sin(40°) = 0.642788
sin(41°) = 0.656059
sin(42°) = 0.669131
sin(43°) = 0.681998
sin(44°) = 0.694658
sin(45°) = 0.707107

sin(46°) = 0.71934
sin(47°) = 0.731354
sin(48°) = 0.743145
sin(49°) = 0.

75471
sin(50°) = 0.766044
sin(51°) = 0.777146
sin(52°) = 0.788011
sin(53°) = 0.798636
sin(54°) = 0.809017
sin(55°) = 0.819152
sin(56°) = 0.829038
sin(57°) = 0.838671
sin(58°) = 0.848048
sin(59°) = 0.857167
sin(60°) = 0.866025
sin(61°) = 0.87462
sin(62°) = 0.882948
sin(63°) = 0.891007
sin(64°) = 0.898794
sin(65°) = 0.906308
sin(66°) = 0.913545
sin(67°) = 0.920505
sin(68°) = 0.927184
sin(69°) = 0.93358
sin(70°) = 0.939693
sin(71°) = 0.945519
sin(72°) = 0.951057
sin(73°) = 0.956305
sin(74°) = 0.961262
sin(75°) = 0.965926
sin(76°) = 0.970296
sin(77°) = 0.97437
sin(78°) = 0.978148
sin(79°) = 0.981627
sin(80°) = 0.984808
sin(81°) = 0.987688
sin(82°) = 0.990268
sin(83°) = 0.992546
sin(84°) = 0.994522
sin(85°) = 0.996195
sin(86°) = 0.997564
sin(87°) = 0.99863
sin(88°) = 0.999391
sin(89°) = 0.999848
sin(90°) = 1

sin(91°) = 0.

999848
sin(92°) = 0.999391
sin(93°) = 0.99863
sin(94°) = 0.997564
sin(95°) = 0.996195
sin(96°) = 0.994522
sin(97°) = 0.992546
sin(98°) = 0.990268
sin(99°) = 0.987688
sin(100°) = 0.984808
sin(101°) = 0.981627
sin(102°) = 0.978148
sin(103°) = 0.97437
sin(104°) = 0.970296
sin(105°) = 0.965926
sin(106°) = 0.961262
sin(107°) = 0.956305
sin(108°) = 0.951057
sin(109°) = 0.945519
sin(110°) = 0.939693
sin(111°) = 0.93358
sin(112°) = 0.927184
sin(113°) = 0.920505
sin(114°) = 0.913545
sin(115°) = 0.906308
sin(116°) = 0.898794
sin(117°) = 0.891007
sin(118°) = 0.882948
sin(119°) = 0.87462
sin(120°) = 0.866025
sin(121°) = 0.857167
sin(122°) = 0.848048
sin(123°) = 0.838671
sin(124°) = 0.829038
sin(125°) = 0.819152
sin(126°) = 0.809017
sin(127°) = 0.798636
sin(128°) = 0.788011
sin(129°) = 0.777146
sin(130°) = 0.766044
sin(131°) = 0.75471
sin(132°) = 0.

743145
sin(133°) = 0.731354
sin(134°) = 0.71934
sin(135°) = 0.707107

sin(136°) = 0.694658
sin(137°) = 0.681998
sin(138°) = 0.669131
sin(139°) = 0.656059
sin(140°) = 0.642788
sin(141°) = 0.62932
sin(142°) = 0.615661
sin(143°) = 0.601815
sin(144°) = 0.587785
sin(145°) = 0.573576
sin(146°) = 0.559193
sin(147°) = 0.544639
sin(148°) = 0.529919
sin(149°) = 0.515038
sin(150°) = 0.5
sin(151°) = 0.48481
sin(152°) = 0.469472
sin(153°) = 0.45399
sin(154°) = 0.438371
sin(155°) = 0.422618
sin(156°) = 0.406737
sin(157°) = 0.390731
sin(158°) = 0.374607
sin(159°) = 0.358368
sin(160°) = 0.34202
sin(161°) = 0.325568
sin(162°) = 0.309017
sin(163°) = 0.292372
sin(164°) = 0.275637
sin(165°) = 0.258819
sin(166°) = 0.241922
sin(167°) = 0.224951
sin(168°) = 0.207912
sin(169°) = 0.190809
sin(170°) = 0.173648
sin(171°) = 0.156434
sin(172°) = 0.139173
sin(173°) = 0.

121869
sin(174°) = 0.104528
sin(175°) = 0.087156
sin(176°) = 0.069756
sin(177°) = 0.052336
sin(178°) = 0.034899
sin(179°) = 0.017452
sin(180°) = 0

Таблица синусов углов от 181° до 360°

sin(181°) = -0.017452
sin(182°) = -0.034899
sin(183°) = -0.052336
sin(184°) = -0.069756
sin(185°) = -0.087156
sin(186°) = -0.104528
sin(187°) = -0.121869
sin(188°) = -0.139173
sin(189°) = -0.156434
sin(190°) = -0.173648
sin(191°) = -0.190809
sin(192°) = -0.207912
sin(193°) = -0.224951
sin(194°) = -0.241922
sin(195°) = -0.258819
sin(196°) = -0.275637
sin(197°) = -0.292372
sin(198°) = -0.309017
sin(199°) = -0.325568
sin(200°) = -0.34202
sin(201°) = -0.358368
sin(202°) = -0.374607
sin(203°) = -0.390731
sin(204°) = -0.406737
sin(205°) = -0.422618
sin(206°) = -0.438371
sin(207°) = -0.45399
sin(208°) = -0.

469472
sin(209°) = -0.48481
sin(210°) = -0.5
sin(211°) = -0.515038
sin(212°) = -0.529919
sin(213°) = -0.544639
sin(214°) = -0.559193
sin(215°) = -0.573576
sin(216°) = -0.587785
sin(217°) = -0.601815
sin(218°) = -0.615661
sin(219°) = -0.62932
sin(220°) = -0.642788
sin(221°) = -0.656059
sin(222°) = -0.669131
sin(223°) = -0.681998
sin(224°) = -0.694658
sin(225°) = -0.707107

sin(226°) = -0.71934
sin(227°) = -0.731354
sin(228°) = -0.743145
sin(229°) = -0.75471
sin(230°) = -0.766044
sin(231°) = -0.777146
sin(232°) = -0.788011
sin(233°) = -0.798636
sin(234°) = -0.809017
sin(235°) = -0.819152
sin(236°) = -0.829038
sin(237°) = -0.838671
sin(238°) = -0.848048
sin(239°) = -0.857167
sin(240°) = -0.866025
sin(241°) = -0.87462
sin(242°) = -0.882948
sin(243°) = -0.891007
sin(244°) = -0.898794
sin(245°) = -0.906308
sin(246°) = -0.913545
sin(247°) = -0.

920505
sin(248°) = -0.927184
sin(249°) = -0.93358
sin(250°) = -0.939693
sin(251°) = -0.945519
sin(252°) = -0.951057
sin(253°) = -0.956305
sin(254°) = -0.961262
sin(255°) = -0.965926
sin(256°) = -0.970296
sin(257°) = -0.97437
sin(258°) = -0.978148
sin(259°) = -0.981627
sin(260°) = -0.984808
sin(261°) = -0.987688
sin(262°) = -0.990268
sin(263°) = -0.992546
sin(264°) = -0.994522
sin(265°) = -0.996195
sin(266°) = -0.997564
sin(267°) = -0.99863
sin(268°) = -0.999391
sin(269°) = -0.999848
sin(270°) = -1

sin(271°) = -0.999848
sin(272°) = -0.999391
sin(273°) = -0.99863
sin(274°) = -0.997564
sin(275°) = -0.996195
sin(276°) = -0.994522
sin(277°) = -0.992546
sin(278°) = -0.990268
sin(279°) = -0.987688
sin(280°) = -0.984808
sin(281°) = -0.981627
sin(282°) = -0.978148
sin(283°) = -0.97437
sin(284°) = -0.970296
sin(285°) = -0.965926
sin(286°) = -0.

961262
sin(287°) = -0.956305
sin(288°) = -0.951057
sin(289°) = -0.945519
sin(290°) = -0.939693
sin(291°) = -0.93358
sin(292°) = -0.927184
sin(293°) = -0.920505
sin(294°) = -0.913545
sin(295°) = -0.906308
sin(296°) = -0.898794
sin(297°) = -0.891007
sin(298°) = -0.882948
sin(299°) = -0.87462
sin(300°) = -0.866025
sin(301°) = -0.857167
sin(302°) = -0.848048
sin(303°) = -0.838671
sin(304°) = -0.829038
sin(305°) = -0.819152
sin(306°) = -0.809017
sin(307°) = -0.798636
sin(308°) = -0.788011
sin(309°) = -0.777146
sin(310°) = -0.766044
sin(311°) = -0.75471
sin(312°) = -0.743145
sin(313°) = -0.731354
sin(314°) = -0.71934
sin(315°) = -0.707107

sin(316°) = -0.694658
sin(317°) = -0.681998
sin(318°) = -0.669131
sin(319°) = -0.656059
sin(320°) = -0.642788
sin(321°) = -0.62932
sin(322°) = -0.615661
sin(323°) = -0.601815
sin(324°) = -0.587785
sin(325°) = -0.

573576
sin(326°) = -0.559193
sin(327°) = -0.544639
sin(328°) = -0.529919
sin(329°) = -0.515038
sin(330°) = -0.5
sin(331°) = -0.48481
sin(332°) = -0.469472
sin(333°) = -0.45399
sin(334°) = -0.438371
sin(335°) = -0.422618
sin(336°) = -0.406737
sin(337°) = -0.390731
sin(338°) = -0.374607
sin(339°) = -0.358368
sin(340°) = -0.34202
sin(341°) = -0.325568
sin(342°) = -0.309017
sin(343°) = -0.292372
sin(344°) = -0.275637
sin(345°) = -0.258819
sin(346°) = -0.241922
sin(347°) = -0.224951
sin(348°) = -0.207912
sin(349°) = -0.190809
sin(350°) = -0.173648
sin(351°) = -0.156434
sin(352°) = -0.139173
sin(353°) = -0.121869
sin(354°) = -0.104528
sin(355°) = -0.087156
sin(356°) = -0.069756
sin(357°) = -0.052336
sin(358°) = -0.034899
sin(359°) = -0.017452
sin(360°) = 0

Таблицы значений тригонометрических функций Таблица Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы Таблица синусов Таблица косинусов Таблица тангенсов Таблица котангенсов Сводная таблица тригонометрических функций

Тригонометрические формулы

Все таблицы и формулы

Sin 89 градусов — Найдите значение Sin 89 градусов

LearnPracticeDownload

Значение sin 89 градусов равно 0,9998476. . . . Sin 89 градусов в радианах записывается как sin (89° × π/180°), т. е. sin (1,553343…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения sin 89 градусов на примерах.

Sin 89°: 0,9998476. . .
Sin (-89 градусов): -0,9998476. . .
Грех 89° в радианах: sin (1,5533430 . . . .)

Каково значение греха 89 градусов?

Значение sin 89 градусов в десятичной системе равно 0,999847695. . .. Sin 89 градусов также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (89 градусов) в радианах (1,55334 . . .).

Используя преобразование градусов в радианы, мы знаем, что θ в радианах = θ в градусах × (pi/180°)
⇒ 89 градусов = 89° × (π/180°) рад = 1,5533. . .
∴ sin 89° = sin(1,5533) = 0,9998476. . .

Объяснение:

Для sin 89 градусов угол 89° лежит между 0° и 90° (первый квадрант). Поскольку функция синуса положительна в первом квадранте, значение sin 89° = 0,9998476. . .
Поскольку функция синуса является периодической функцией, мы можем представить sin 89° как sin 89 градусов = sin(89° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ sin 89° = sin 449° = sin 809° и так далее.
Примечание: Поскольку синус является нечетной функцией, значение sin(-89°) = -sin(89°).

Методы нахождения значения Sin 89 градусов

Функция синуса положительна в 1-м квадранте. Значение sin 89° равно 0,99984. . .. Мы можем найти значение sin 89 градусов по:

Используя тригонометрические функции
Использование единичного круга

Sin 89° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить sin 89 градусов как:

± √(1-cos²(89°))
± тангенс 89°/√(1 + тангенс²(89°))
± 1/√(1 + раскладушка²(89°))
± √(сек²(89°) — 1)/сек 89°
1/косек 89°

Примечание. Поскольку 89° лежит в 1-м квадранте, конечное значение sin 89° будет положительным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления sin 89° как

sin(180° — 89°) = sin 91°
-sin(180° + 89°) = -sin 269°
cos(90° — 89°) = cos 1°
-cos(90° + 89°) = -cos 179°

Sin 89 градусов с помощью единичной окружности

Чтобы найти значение sin 89 градусов с помощью единичной окружности:

Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 89° с положительной осью x.
Грех в 89 градусов равен координате y (0,9998) точки пересечения (0,0175, 0,9998) единичной окружности и r.

Отсюда значение sin 89° = y = 0,9998 (приблизительно)

☛ Также проверьте:

грех 10 градусов
грех 180 градусов
грех 104 градуса
грех 44 градуса
грех 31 градус
грех 260 градусов

Примеры использования Sin 89 градусов

Пример 1: Используя значение sin 89°, найдите: (1-cos²(89°)).
Решение:
Мы знаем, (1-cos²(89°)) = (sin²(89°)) = 0,9997
⇒ (1-cos²(89°)) = 0,9997
Пример 2: Упростить: 2 (sin 89°/sin 449°)
Решение:
Мы знаем sin 89° = sin 449°
⇒ 2 sin 89°/sin 449° = 2(sin 89°/sin 89°)
= 2(1) = 2
Пример 3: Найдите значение 2 × (sin 44,5° cos 44,5°). [Подсказка: используйте sin 89° = 0,9998]
Решение:
Используя формулу sin 2a,
2 sin 44,5° cos 44,5° = sin(2 × 44,5°) = sin 89°
∵ sin 89° = 0,9998
⇒ 2 × (sin 44,5° cos 44,5°) = 0,9998

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы по Sin 89Градусы

Что такое Грех 89 Градусов?

Sin 89 градусов — значение тригонометрической функции синуса для угла, равного 89 градусам. Значение sin 89° равно 0,9998 (приблизительно).

Каково значение Sin 89° в пересчете на Cosec 89°?

Поскольку функция косеканса является обратной величиной функции синуса, мы можем записать sin 89° как 1/cosec(89°). Значение cosec 89° равно 1,00015.

Каково значение греха 89 градусов с точки зрения Тан 89°?

Мы знаем, что, используя тригонометрические тождества, мы можем записать sin 89° как tan 89°/√(1 + tan²(89°)). Здесь значение тангенса 89° равно 57,289961.

Как найти Sin 89° в терминах других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение sin 89° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

± √(1-cos²(89°))
± тангенс 89°/√(1 + тангенс²(89°))
± 1/√(1 + раскладушка²(89°))
± √(сек²(89°) — 1)/сек 89°
1/косек 89°

☛ Также проверьте: тригонометрическую таблицу

Как найти значение Sin 89 градусов?

Значение sin 89 градусов можно рассчитать, построив угол 89° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,0175, 0,9998) на единичной окружности. Значение sin 89° равно координате y (0,9998). ∴ sin 89° = 0,9998.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
визуальные учебные программы

Mathway | Популярные проблемы

902:30 902:30 92 902:30

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктический(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найдите точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)

35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктический(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. Оставить комментарий on Синус 89: Mathway \| Популярные задачи/ 10 в степени 25: Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн alexxlab / 28.06.202329.04.2023 / Разное 2

от клопов, тараканов, клещей, инструкция по применению, описание и принцип действия

Циперметрин — это новое поколение инсектицида. Действующим веществом из класса пиретроидов. Самая распространенная концентрация в составе инсектицидов — Циперметрин 25%. Применяется для профилактических обработок помещений от таких насекомых, как мошки, комары, клещи, тараканы, клопы. Сфера применения: дома, квартиры, производственные площади, офисы. Циперметрин одобрен службой дезинсекции и санитарного контроля. Разрешен для бытовых обработок.

Описание Циперметрина и его характеристик

Циперметрин 25 уничтожает клещей, мошек, комаров, тараканов, клопов, муравьев и других насекомых. Обработки эффективны для борьбы со взрослыми особями и личинками, но не действуют на вредителей в фазе яйца. Циперметрин 25 возможно использовать для борьбы с популяциями насекомых резистентных к ФОСам, Неоникотиноидам, Карбаматам.

Устойчивость циперметрина 25 к УФ-лучам позволяет применять его на открытых участках. Контакт с водой приводит к незначительной потере свойств действующего вещества.

Циперметрин от клещей, мошек, тараканов, комаров не оставляет пятна и разводы на мебели и напольных покрытиях даже после многократного распыления. Обладает специфическим запахом, провоцирует першение и кашель, которые полностью исчезают через 2—4 часа после высыхания и проветривания помещения.

Преимущества циперметрина 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров:

невысокая стоимость;
экономный расход;
быстро воздействует на насекомых;
безопасен для людей и животных;
прост в применении;
не требует усилий для смывания.

После контакта с циперметрином, насекомое погибает через 2—6 часов. Препарат блокирует действия нервной системы, препятствует нормальной передаче импульсов и через несколько часов вредитель умирает от паралича.

Действие циперметрина сохраняется на протяжении двух-шести недель, после чего можно провести повторное распыление.

Циперметрину 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров присвоен 3 класс опасности. При применении необходимо соблюдать технику безопасности — использовать средства индивидуальной защиты. Запрещается контактировать с препаратом несовершеннолетним лицам, а также женщинам в период вынашивания и грудного вскармливания. Если циперметрин спровоцировал аллергическую реакцию, следует немедленно обратиться к врачу.

Меры предосторожности.

Циперметрин 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров нельзя применять в присутствии посторонних лиц, детей, домашних питомцев, в том числе птицы и рыб. Окна во время распыления должны быть открыты. Пищевые продукты и посуда выносится из дома (например, к соседям) или тщательно укрывается. В промышленных цехах убирается или укрывается продукция, которая может впитать в себя раствор циперметрина.

По окончании распыления помещения проветриваются не менее получаса. Детские и пищевые учреждения обрабатываются в санитарные или выходные дни. После дезинсекции, эмульсия циперметрина смывается с поверхностей чистой водой с добавлением мыла и соды.

Нельзя пользоваться обработанными помещениями до осуществления влажной уборки, которую необходимо провести минимум за три часа до использования объекта по назначению. Во время уборки пользуйтесь перчатками.

При работе со средством используются средства индивидуальной защиты (СИЗ): халат или комбинезон с капюшоном, перчатки, герметичные очки, многоразовая маска в виде респиратора универсального с противогазовым патроном марки «А». После работы с циперметрином спецодежда вытряхивается на улице и отстирывается с предварительным двухчасовым обезвреживанием загрязнений в горячем мыльно-содовом растворе.

Во время работы с раствором циперметрина не курите, не принимайте пищу, и не пейте. После процедуры ополосните рот, вымойте руки и лицо с мылом.

Инструкция по применению

Циперметрин 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров следует разводить чистой водой +20…+25 °С, строго соблюдая рекомендуемые инструкцией пропорции. Смесь размешивается до получения однородного раствора. Состав используется в течение 6—8 часов после смешивания. Хранить раствор циперметрина более длительное время нельзя. Оставшееся после обработки средство утилизируется в соответствии с техникой безопасности.

Расход Циперметрина 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров: 2,5—12,5 мл на 1 л. воды. Концентрация подбирается с учетом вида насекомого, численности особей, степени заражения.

Дозировка Циперметрина 25 от клещей, мошек, тараканов, комаров, для приготовления раствора

Раствор распыляют помповым опрыскивателем или пульверизатором. Расход рабочей эмульсии циперметрина составляет 50 мл/1 м2 на невпитывающих поверхностях и 100 мл/1 м2 на впитывающих. Повторную обработку можно проводить минимум через две недели.

Как проводить обработку

Перед дезинсекцией спрячьте еду и личные вещи. Не допускайте на обрабатываемую территорию детей и домашних питомцев, чтобы исключить прямой контакт с препаратом.

Распыляйте циперметрин на поверхности мест обитания мошек, комаров, клещей, тараканов. Уделите особое внимание таким зонам, как плинтусы, пространство за мебелью, за экраном ванной, под стиральной машинкой. После нанесения раствора, закройте все помещения в которых проводилась дезинсекция на 4—6 часов. По истечении указанного времени, проветрите обработанные комнаты и протрите поверхности водой с мылом и содой. Чтобы получить наибольший эффект, помещения можно оставить закрытыми до трех суток. В этом случае процедуру повторяют только через 2—4 недели.

Обработка Циперметрином 25 от тараканов

Для уничтожения тараканов используется 0,1% раствор циперметрина. Распыляйте средство на места обнаружения, локализации и пути перемещения членистоногих. особенно тщательно обработайте труднодоступные места: отверстия, щели в стенах, дверные коробки, пороги, вдоль плинтусов, облицовочные покрытия, вентиляционные отдушины, места стыка труб водопроводных, отопительных, канализационных систем.

Обработка проводится одновременно во всех помещениях, в которых обнаружены тараканы. Если численность насекомых высокая, распылите циперметрин в смежных помещениях, чтобы предотвратить миграцию и последующее заселение их тараканами.

Обработка Циперметрином 25 от комаров и мошки

Взрослые особи мошки и комаров уничтожаются 0,025% раствором циперметрина. Эмульсию наносят на места посадки насекомых, а также обрабатывают внутренние и наружные стены строений, ограждения мусорных баков, где в жару укрываются мошки и комары.

Личинки мошки и комаров обрабатываются 0,01% раствором циперметрина. Места орошения: городские и природные водоемы нерыбохозяйственного значения, подвалы жилых домов, сточные воды, пожарные емкости.

Расход препарата — 100 мл на 1 м2 поверхности воды. Частота обработки циперметрином — не более одного раза в месяц.

Обработка Циперметрином 25 от клещей

До применения циперметрина проводят уборку территории:

скашивается и вывозится с участка трава или убирается сухая прошлогодняя трава;
убираются сухие обрезки стволов и веток деревьев, кустов (при наличии таковых).

Подготовительная работа упрощает распыление, экономит препарат и позволяет провести более эффективную обработку.

Расход рабочей эмульсии циперметрина для уничтожения иксодовых клещей — 50 мл/м2 (0,75 мл/м2 при густой траве). Пастбищных клещей Dermacentor — 1,25 мл/м2.

Обработка от клещей проводится в сухую погоду.

Инсектициды на основе Циперметрина

Titan 25% КЭ 1л

Циперметрин КЭ 25% 1л

Сипаз Супер КЭ 25%

Инсектициды на основе Зета-Циперметрина

Супер Фас ВП 1кг

Таран ВКЭ 10% 1л

Инсектициды на основе Альфа-Циперметрина

АЛЬФАЦИН КЭ 10%

Штиль СК 10% 1л

Сколько будет 10 в 25-й степени?

Итак, вы хотите знать, сколько будет 10 в 25-й степени? В этой статье мы объясним, как именно выполнить математическую операцию под названием «возведение в степень 10 в степени 25». Это может показаться фантастическим, но мы объясним это без жаргона! Давай сделаем это.

Что такое возведение в степень?

Давайте сначала зафиксируем наши термины, а затем посмотрим, как вычислить, сколько будет 10 в 25-й степени.

Когда мы говорим об возведении в степень, все, что мы на самом деле имеем в виду, это то, что мы умножаем число, которое мы называем 9) для обозначения показателя степени. Знак вставки полезен в ситуациях, когда вы не хотите или не нуждаетесь в использовании надстрочного индекса.

Итак, мы упомянули, что возведение в степень означает умножение базового числа само на себя для получения показателя степени число раз. Давайте посмотрим на это более наглядно:

10 в 25-й степени = 10 x … x 10 (25 раз)

Итак, каков ответ?

Теперь, когда мы объяснили теорию, лежащую в основе этого, давайте поработаем над числами и выясним, чему равно 10 в 25-й степени:

10 в степени 25 = 10 ²⁵ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000

Почему мы вообще используем возведение в степень 10 ²⁵? Что ж, нам намного проще писать умножения и выполнять математические операции как с большими, так и с маленькими числами, когда вы работаете с числами с большим количеством конечных нулей или большим количеством десятичных знаков.

Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как и почему мы используем возведение в степень, и дала вам ответ, который вы изначально искали. Теперь, когда вы знаете, что такое 10 в 25-й степени, вы можете продолжить свой веселый путь.

Не стесняйтесь поделиться этой статьей с другом, если вы считаете, что она поможет ему, или перейдите вниз, чтобы найти еще несколько примеров.

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

Сколько будет 10 в 25-й степени?
«Сколько будет 10 в 25-й степени?». VisualFractions.com . По состоянию на 28 апреля 2023 г. http://visualfractions. com/calculator/exponent/what-is-10-to-the-25th-power/.
«Сколько будет 10 в 25-й степени?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-10-to-the-25th-power/. По состоянию на 28 апреля 2023 г.
Сколько будет 10 в 25-й степени?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-10-to-the-25th-power/.

Калькулятор возведения в степень

Хотите найти решение еще одной задачи? Введите число и мощность ниже и нажмите «Рассчитать».

Вычисление возведения в степень

Случайный список примеров возведения в степень

Если вы добрались до этого места, вам должно быть ДЕЙСТВИТЕЛЬНО нравится возведение в степень! Вот несколько случайных вычислений:

Сколько будет 4 в 45-й степени?

Сколько будет 72 в 18-й степени?

Сколько будет 50 в 22-й степени?

Сколько будет 21 в 61-й степени?

Сколько будет 48 в 76-й степени?

Сколько будет 89 в 53-й степени?

Сколько будет 100 в 43-й степени?

Сколько будет 13 в 4-й степени?

Сколько будет 96 в 29-й степени?

Сколько будет 40 в 87-й степени?

Сколько будет 44 в 36-й степени?

Сколько будет 10 в 78-й степени?

Сколько будет 6 в 24-й степени?

Сколько будет 69 в 51-й степени?

Сколько будет 83 в 22-й степени?

Сколько будет 27 в 69-й степени?

Сколько будет 33 в 58-й степени?

Сколько будет 2 в 82-й степени?

Сколько будет 51 в 20-й степени?

Сколько будет 82 в 92-й степени?

Сколько будет 58 в 5-й степени?

Сколько будет 54 в 81-й степени?

Сколько будет 75 в 7-й степени?

Сколько будет 84 в 46-й степени?

Сколько будет 69 в 19-й степени?

Сколько будет 52 в 75-й степени?

Сколько будет 14 в 80-й степени?

Сколько будет 69 в 14-й степени?

Сколько будет 89 в 33-й степени?

Сколько будет 24 в 79-й степени?

Сколько будет 100 в 75-й степени?

Сколько будет 43 в 22-й степени?

Сколько будет 14 в 10-й степени?

Сколько будет 52 в 55-й степени?

Сколько будет 24 в 40-й степени?

Сколько будет 83 в сотой степени?

Сколько будет 38 в 8-й степени?

Сколько будет 92 в 42-й степени?

Сколько будет 26 в 68-й степени?

Сколько будет 17 в 43-й степени?

Сколько будет 47 в 21-й степени?

Сколько будет 78 в 77-й степени?

Сколько будет 9 в 9-й степени?

Сколько будет 98 в 77-й степени?

Сколько будет 43 в 82-й степени?

Сколько будет 73 в 23-й степени?

Сколько будет 51 в 10-й степени?

Сколько будет 31 в 15-й степени?

Сколько будет 97 в 55-й степени?

Сколько будет 13 в 82-й степени?

Сколько будет 72 в 31-й степени?

Сколько будет 80 в 66-й степени?

Сколько будет 60 в 18-й степени?

Сколько будет 25 в 76-й степени?

Сколько будет 38 в 85-й степени?

Сколько будет 43 в 63-й степени?

Сколько будет 60 в 31-й степени?

Сколько будет 62 в 24-й степени?

Сколько будет 20 в 91-й степени?

Сколько будет 2 в 17-й степени?

Сколько будет 17 в 18-й степени?

Сколько будет 24 в 95-й степени?

Сколько будет 54 в 87-й степени?

Сколько будет 7 в 44 степени?

Сколько будет 99 в 72-й степени?

Сколько будет 24 в 48-й степени?

Сколько будет 7 в 28-й степени?

Сколько будет 75 в 45-й степени?

Сколько будет 34 в 85-й степени?

Сколько будет 27 в 53-й степени?

Сколько будет 13 в 23-й степени?

Сколько будет 22 в 67-й степени?

Сколько будет 94 в 6-й степени?

Сколько будет 71 в 65-й степени?

Сколько будет 32 в 32-й степени?

Сколько будет 94 в 49 степени?

Сколько будет 12 в 64-й степени?

Сколько будет 38 в 97-й степени?

Сколько будет 21 в 90-й степени?

Сколько будет 83 в 60-й степени?

Сколько будет 89 в 82-й степени?

Сколько будет 93 в 30-й степени?

Сколько будет 77 в 77-й степени?

Сколько будет 52 в 19-й степени?

Сколько будет 40 в 64-й степени?

Сколько будет 75 в 52-й степени?

Что такое 570193 во 2-й степени?

Сколько будет 39 в 35-й степени?

Сколько будет 73 в 91-й степени?

Сколько будет 2 в 18-й степени?

Сколько будет 98 в 90-й степени?

Сколько будет 53 в 39-й степени?

Сколько будет 84 в 68-й степени?

Сколько будет 79 в 87-й степени?

Сколько будет 34 в 32-й степени?

Сколько будет 94 в 59-й степени?

Сколько будет 84 в 15-й степени?

Сколько будет 20 в 46-й степени?

Сколько будет 3 в 24-й степени?

Сколько будет 10 в 71-й степени?

Сколько будет 16 в 3-й степени?

25 мощность Таблица

Вы ищете больше числовых диаграмм, используйте этот калькулятор

Power Table Generator
Калькулятор мощности

Преобразование экспоненты в число
Установите флажок, чтобы преобразовать экспоненциальный результат в число.

« Предыдущая 1 … 183 184 185 186 187 … 2 804 Следующая »