Рубрика: Разное

Длина окружности как находится

Статьи › Находится

Формула для вычисления длины окружности через радиус: C = 2πr, где C — длина окружности, r — радиус окружности. То есть длина окружности равна удвоенному произведению радиуса на пи (π примерно равно 3,14).

1. Как найти длину окружности пример
2. Как узнать длину окружности по диаметру
3. Как найти константу круга
4. Чему равна длина окружности диаметр которой равен 8 см
5. Как найти длину окружности 6 класс
6. Сколько будет окружность Если диаметр 10 см
7. Чему равна длина окружности если ее диаметр равен 50 см
8. Чему равна длина окружности с диаметром 3 см
9. Как найти длину окружности диаметр которой равен 20 см
10. Как найти длину дуги окружности
11. Как найти длину окружности если её радиус равен 36 см
12. Как найти длину окружности радиус которой равен 12 см
13. Чему равна длина окружности диаметр которой равен 6 см
14. Как вычислить длину окружности радиус которой равен 6 см
15. Как найти длину диаметра
16. Как найти длину окружности если радиус равен 3 5 см
17. Как найти длину окружности если её радиус равен 4 5 см

Как найти длину окружности пример

Для вычисления длины окружности необходимо число Пи умножить на два и умножить на длину его радиуса (2πR). Для данной задачи это будет выглядеть следующим образом: 2π · 3√2 = 6√2π дм. Ответ: Длина окружности равна 2π.

Как узнать длину окружности по диаметру

Просто умножьте диаметр на число пи.
1. Как найти длину окружности через диаметр:

Как найти константу круга

S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Чему равна длина окружности диаметр которой равен 8 см

R = D ÷ 2, где R — радиус окружности, D — диаметр. R = 8 ÷ 2 = 4 см.

Как найти длину окружности 6 класс

Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 — иррациональное число.

Сколько будет окружность Если диаметр 10 см

Ответы1. a) Если известен диаметр, то длину окружности можно вычислить по формуле: Р = пи * d, где d — диаметр окружности, пи = 3,14. 1) Если d = 10 см, то длина окружности P = 3,14 * 10 = 31,4 (см).

Чему равна длина окружности если ее диаметр равен 50 см

L = 2 * 3,14 * 50 = 314 см.

Чему равна длина окружности с диаметром 3 см

Ответы1. Формула длины окружности: С = 2 * п * R, где С — длина окружности, R — радиус окружности. Подставляем данные в формулу: С = 2 * 3,14 * 3 = 6 * 3,14 = 18,84 см. Округлим результат до десятых, так как в сотых стоит цифра 4, то округляем в меньшую сторону: 18,8|4 = 18,8 см.

Как найти длину окружности диаметр которой равен 20 см

R = D ÷ 2, где R — радиус окружности, D — диаметр. R = 20 ÷ 2 = 10 см. 2) Вычислим длину окружности, ее еще называют периметром круга.

Как найти длину дуги окружности

Длина дуги в n градусов находится по формуле p=πrn/180, где p — длина дуги, r -радиус окружности, n — величина угла соответствующей дуги. р=πrn/180=(π*3*120)/180=2π (см.)

Как найти длину окружности если её радиус равен 36 см

Длина окружности находтся по формуле L = 2 * пи * r. Где число пи = 3,14 (округленное до сотых), r — радиус окружности. Тогда вместо радуса подставим данные значения и найдем длину каждой окружности. Если r = 36 сантиметров, то L = 2 * пи * 36 = 2 * 3,14 * 36 = 6,28 * 36 = 226,08 сантиметров.

Как найти длину окружности радиус которой равен 12 см

1. Длина окружности радиусом 12 cм. равна: 2 * 3,1 * 12 = 74,4 сантиметра.

Чему равна длина окружности диаметр которой равен 6 см

Ответы1. диаметр окружности. Тогда получим: r = 6 / 2 = 3 см.

Как вычислить длину окружности радиус которой равен 6 см

1) Формула длины окружности: c = 2πr, где r — радиус. 2) Длина окружности, радиус которой равен 6 см: 2 * 3,14 * 6 = 37,7 см. Ответ: длина окружности, радиус которой равен 6 см, равна 37,7 см.

Как найти длину диаметра

1. Если известен радиус: если вам известен радиус окружности, то, для того чтобы узнать диаметр, нужно его удвоить, то есть удваиваем радиус. 2. Если вам известна длина окружности, то, для того чтобы вычислить диаметр, следует разделить ее на π(пи).

Как найти длину окружности если радиус равен 3 5 см

Формула: L=2×пи(3,14)×R. L (или D, везде по разному) — это длина окружности, R — это радиус. L(D) =2×пи(3,14)×R= 2 ×пи(3,14) × 3,5 =21,98 сантиметров.

Как найти длину окружности если её радиус равен 4 5 см

Вычислим длину окружности, зная, что её радиус равен 4,5 см: P = 2 * 3,14 * 4,5 = 28,26 см. Ответ: длина заданной окружности равна 28,26 см.

• Как вычислить длину окружности радиус которой равен 6 см
• Как найти длину диаметра
• Как найти длину дуги окружности
• Как найти длину окружности 6 класс
• Как найти длину окружности диаметр которой равен 20 см
• Как найти длину окружности если её радиус равен 36 см
• Как найти длину окружности если её радиус равен 4 5 см
• Как найти длину окружности если радиус равен 3 5 см
• Как найти длину окружности пример
• Как найти длину окружности радиус которой равен 12 см
• Как найти константу круга
• Как узнать длину окружности по диаметру
• Сколько будет окружность Если диаметр 10 см
• Чему равна длина окружности диаметр которой равен 6 см
• Чему равна длина окружности диаметр которой равен 8 см
• Чему равна длина окружности если ее диаметр равен 50 см
• Чему равна длина окружности с диаметром 3 см

как рассчитать, формула вычисления, примеры

Вычисление длины окружности

При решении задач и в повседневной жизни можно встретить множество предметов круглой формы, в связи с чем возникает необходимость в их измерении. К примеру, для расчета объема материала, необходимого для производства круглого стакана определенного размера, потребуется построить и найти длину его окружности.

Определение

Окружность представляет собой замкнутую плоскую кривую, состоящую из всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки.

Рассматриваемая в рамках этого определения точка является центром окружности. Если соединить центр с любой точкой, принадлежащей окружности, то получится радиус. Радиусом также называют длину данного отрезка.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Радиус окружности является прямым отрезком, который выходит из центра окружности и проведен до ее границы.

Таким образом, радиус окружности соединяет ее центр с точкой, расположенной на этой окружности. Для обозначения радиуса используют r.

Определение

Диаметр окружности – является прямым отрезком, который соединяет две точки, расположенные на границе окружности, и проходит через центр этой окружности.

Данный параметр обозначают D или d.

Как рассчитать через диаметр или радиус

Длина окружности также является периметром этой окружности. Для расчета длины или периметра круга необходимо знать диаметр или радиус.

Формулы для вычисления длины окружности:

\(L = \pi DL=\pi D\)

\(L = 2 \pi rL=2\pi r\)

где L – является длиной окружности;

D – определяется, как диаметр окружности;

r – представляет собой радиус окружности;

\(\pi\) – это число Пи, равное примерно 3,14.

Исходя из представленных формул для расчета длины окружности, можно вывести соотношение радиуса и диаметра окружности:

\(D = 2rD=2r\)

Основные формулы с пояснением

Обладая информацией о радиусе и диаметре окружности, достаточно просто рассчитать ее длину. Однако не во всех задачах присутствуют эти данные. Есть ряд примеров, в которых определить длину окружности необходимо с помощью параметров другой геометрической фигуры.

Вычисление длины окружности через площадь круга

В том случае, когда известна площадь круга, можно рассчитать длину окружности по формуле:

\(L=\sqrt{S4\pi }\)

где \(\pi\) — является числом пи, значение которого равно 3,14;

S — определяет площадь круга

Расчет длины окружности через диагональ вписанного прямоугольника

В задачах можно встретить примеры вписанного в окружность прямоугольника.

В этом случае длина окружности рассчитывается по формуле:

\(L=\pi * d\)

где \( \pi\) — является числом пи, значение которого равно 3,14;

d — является диагональю рассматриваемого прямоугольника.

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

В том случае, когда окружность вписана в квадрат с прямыми углами, сторона которого известна, можно определить длину этой окружности.

\(L=\pi * a\)

где \(\pi \) — является числом пи, значение которого равно 3,14;

a — определяет длину стороны квадрата

Расчет длины окружности с помощью сторон и площади вписанного треугольника

Предположим, что в окружность вписан треугольник. Если имеется информация о всех его трех сторонах, а также площади, то можно рассчитать длину окружности, оперируя следующей формулой:

\(L=\pi *\frac{abc}{2S}\)

где \(\pi\) — математическая константа со значением 3,14;

a — является первой стороной треугольника;

b — является второй стороной треугольника;

с – является третьей стороной треугольника;

S – определяется, как площадь рассматриваемого треугольника.

Способ нахождения длины окружности при известной площади и полупериметру описанного треугольника

Представим, что в какой-то треугольник вписана окружность. Известно значение площади треугольники и его полупериметр. Необходимо рассчитать длину окружности. Следует заметить, что периметром треугольника называют сумму всех его сторон, а полупериметр составляет половину этой суммы. Таким образом, для нахождения полупериметра нужно определить периметр треугольника и разделить его на два.

Формула расчета длины окружности:

\(L=2\pi *\frac{S}{p}\)

где \(\pi\) — математическая константа со значением 3,14;

S — является площадью треугольника;

p — представляет собой полупериметр треугольника.

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Когда в окружность вписан правильный многоугольник, в первую очередь стоит сосчитать количество его сторон. Также требуется знать длину стороны этой геометрической фигуры. Стороны правильного многоугольника одинаковы, как у квадрата. В этом случае формула для расчета длины окружности имеет вид:

\(L=\pi *\frac{a}{\sin \frac({180}{N})}\)

где \(\pi\) — математическая константа со значением 3,14;

a — это сторона многоугольника;

N — определяет количество сторон многоугольника.

Примеры решения задач

Задача 1

Необходимо рассчитать, какова длина окружности, если ее диаметр составляет 5 см.

Решение

При известном диаметре окружности можно рассчитать ее длину с помощью формулы:

\(L = \pi D\)

Подставив известные из условия задачи значения, получим:

\(L = \pi D = 3,14 * 5 = 15,7\) (см)

Ответ: длина окружности равна 15,7 см.

Задача 2

Требуется определить длину окружности, описанной вокруг правильного треугольника, сторона которого составляет \(a=4\sqrt{3}\) дм.

Решение

Радиус окружности составляет:

\(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

При подстановке переменных формула будет изменена:

\(R=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

При известном радиусе окружности можно рассчитать длину рассматриваемой окружности, используя соответствующую формулу:

\(L = 2 \pi r=2 \pi *4=2*3,14*4=25,12\) (дм)

Ответ: длина окружности составляет 25,12 дм.

Задача 3

Дана окружность, радиус которой равен 2 см. Требуется рассчитать длину окружности.

Решение

\(L = \pi d\)

d=2 *r= 4

L = 3.14 * 4 = 12,56 (см)

Ответ: длина окружности равна 12,56 см.

Задача 4

Имеется окружность с радиусом 3 см. Необходимо определить длину данной окружности.

Решение

\(L = \pi d\)

L = 3.14 * 3 = 9,42 (см)

Ответ: длина окружности составляет 9,42 см.

Диаметр, радиус и окружность — SAT II Math I

Все ресурсы SAT II Math I

6 Диагностические тесты 113 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

SAT II Math I Help » Геометрия » 2-мерная геометрия » Диаметр, радиус и длина окружности

Возможные ответы:

452 кв. фута

20 единиц

16 единиц

17 шт.

16,75 шт.

Правильный ответ:

17 шт.

Пояснение:

Во-первых, вам нужно будет работать в обратном направлении от окружности, чтобы найти радиус круглого ограждения.

Теперь, когда мы знаем, что такое радиус, мы можем вычислить площадь поверхности пола вольера.

Наконец, нам нужно найти количество единиц песка, необходимое для покрытия пола вольера.

Сообщить об ошибке. 005

Диаметр = 6 футов

Окружность = 18,84 фута

Площадь = 28,27 фута ²

Диаметр = 6 футов

Окружность = 37,68 фута

Площадь = 28,27 фута ² 0 = 04 фута 90904 Диаметр Окружность = 37,68 футов

Площадь = 28 футов ²

Диаметр = 6 футов

Окружность = 19 футов

Площадь = 30 футов ²

Правильный ответ:

Диаметр = 6 футов

4 Окружность = 5 футов

80018

Площадь = 28,27 футов ²

Объяснение:

Чтобы найти диаметр, вы должны знать, что радиус равен половине диаметра (или диаметр в 2 раза больше радиуса).

 

9000

Чтобы найти площадь поверхности, нужно возвести радиус (3 фута) в квадрат и умножить на число Пи.

Площадь поверхности 28,27 футов ² .

 

Диаметр 6 футов, длина окружности 18,84 фута, площадь поверхности 28,27 фута ² .

Сообщить об ошибке

Круг имеет диаметр 10см. Что такое окружность?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Длина окружности определяется уравнением:

Радиус равен половине диаметра, в данном случае половина 10 см равна 5 см

Подставьте 5 см вместо r ответ

Сообщить об ошибке

Если диаметр круга , какова его площадь?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Шаг 1: Вспомните формулу площади круга. ..

.

Шаг 2. По диаметру найдите радиус.

Шаг 3: Теперь, когда мы знаем радиус, подставьте его в формулу площади..

Упрощение:

Сообщить об ошибке

Определите длину окружности площадью  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Напишите формулу площади круга.

Подставить площадь.

Квадратный корень с обеих сторон для определения радиуса.

Напишите формулу длины окружности.

Замените радиус.

Ответ:  

Сообщить об ошибке

Найдите диаметр круга, если длина окружности .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Напишите формулу длины окружности.

Подставьте длину окружности в уравнение.

Разделите на пи с обеих сторон, чтобы получить диаметр.

Ответ:  

Сообщить об ошибке

Найдите площадь круга, если длина окружности равна .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Напишите формулу длины окружности.

Подставить окружность.

Разделите на  , чтобы изолировать .

Радиус:  

Напишите формулу площади круга.

Замените радиус.

Ответ:  

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы SAT II Math I

6 диагностических тестов 113 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Калькулятор окружности | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

Используйте наш Калькулятор окружности, чтобы определить длину окружности.

При расчете длины окружности вы бегаете по кругу? Наш калькулятор окружности — это простой способ найти длину окружности любого круглого объекта. Просто введите радиус круга и нажмите «рассчитать». Вы можете нажать кнопку «сброс», если вам нужно очистить калькулятор окружности, чтобы найти ответ для другого круга.

Попробуйте наш калькулятор окружности

прямо сейчас!

---

А если вы не знаете, что такое радиус или как его найти, ниже мы познакомим вас с некоторыми основами нахождения длины окружности.

Что такое длина окружности?

Окружность круга — это измерение вокруг края круга. Это можно сравнить с нахождением периметра фигуры (хотя слово периметр зарезервировано специально для многоугольников). Если бы вы вырезали круг и разложили контур, длина созданной им линии была бы его окружностью. Окружность может быть измерена в любых единицах или системах, в которых традиционно измеряется длина, — имперских (дюймы, футы и т. д.) или метрических (сантиметры, метры и т. д.). В какой бы единице измерения ни измерялся радиус, такой же единицей считается и длина окружности.

Уравнение, используемое для нахождения длины окружности, имеет вид C = 2Πr, где C обозначает длину окружности, R обозначает радиус, а Π обозначает Pi, математическую константу, эквивалентную примерно 3,14 (подробнее см. ниже).

Вы также можете рассчитать длину окружности, используя диаметр, с помощью уравнения C = Π * d. Если у вас есть только диаметр круга и вы все равно хотите использовать этот калькулятор, вы можете найти радиус, разделив диаметр пополам.

Мы предлагаем решить некоторые задачи самостоятельно и проверить свой ответ с помощью калькулятора, так как он предлагает решение для каждой задачи, но не показывает работу, которая с ней связана.

Части круга

• Окружность: Расстояние по кругу. Его также можно понимать как периметр круга.
• Радиус : Расстояние от центра круга до его края. Независимо от того, в каком направлении вы измеряете, радиус будет одинаковым из любой точки на краю круга.
• Диаметр:  Прямая линия, пересекающая окружность и пересекающаяся через центральную точку. Это измерение всегда равно вдвое больше радиуса (2r).

Значение

Пи

Пи ( Π) – это бесконечное число, что означает, что оно продолжается вечно и не имеет конца. Его значение составляет около 3,1415926535897… Пи также является константой, что означает, что оно всегда равно одному и тому же значению.

Греческая буква p (произносится как «пирог») используется для описания этого числа. Это отношение между длиной окружности любого круга и его диаметром, и это верно для всех кругов. Это означает, что длина окружности любого круга примерно в 3,14 раза больше его диаметра.

Пример уравнения окружности

Какова длина окружности, радиус которой равен 24 дюймам?

Длина окружности = 2×Π×r

C = 2 × 3,14 × 24

C = 150,79 дюйма более точный ответ.

Таблица умножения на 3 — умножение числа 3 на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Сколько будет трижды три? Девять. А откуда мы это знаем? Из таблицы умножения на 3. О ней и пойдет речь в этой статье.

Что такое таблица умножения на 3? Это список произведений двух множителей, один из которых постоянен и равен 3, а второй изменяется с 1 до 10. Результат такого произведения надо запомнить.

Содержание

Описание

Итак, перечислим все произведения и запишем их в виде списка:

3·1=3

3·2=6

3·3=9

3·4=12

3·5=15

3·6=18

3·7=21

3·8=24

3·9=27

3·10=30

Что означает эта таблица? Это повторяющееся сложение:

3·1=3

3·2=3+3=6

3·3=3+3+3=9

3·4=3+3+3+3=12

3·5=3+3+3+3+3=15

3·6=3+3+3+3+3+3=18

3·7=3+3+3+3+3+3+3=21

3·8=3+3+3+3+3+3+3+3=24

3·9=3+3+3+3+3+3+3+3+3=27

3·10=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=30

Когда вы будете учить таблицу умножения, то просто учите ее по частям — сначала три примера, потом повторите их так, что почувствуете что хорошо запомнили. Затем возьмите еще три примера, выучите только их, повторите. Теперь повторите уже шесть примеров. Затем добавьте оставшиеся четыре и повторите все шаги по запоминанию. Многократное повторение позволит вам легко и быстро все выучить. Для этого вы также можете использовать тренажеры.

Таблица Пифагора

Распространенный вид таблицы умножения — список. Но есть, действительно, таблица — со строками и столбцами. Она называется таблица Пифагора.

И выглядит так:

Произведение находится на пересечении строки и столбца таблицы. В строке указывается первый множитель, в столбце — второй множитель.

Попробуйте сами заполнить строки и столбцы, на пересечении строки и столбцов должны стоять произведения чисел:

Попробуй свои знания таблицы умножения на 3 на нашем тренажере. 

 

Интересные факты

Интересные факты о таблице умножения на 3:

Сумма любых двух чисел из таблицы умножения на 3 всегда кратна 3. Действительно, сумма 3 и 6 равна 9, что кратно 3.

Можно использовать для решения задач с дробями. Например, чтобы найти 3/6, мы можем сократить числитель и знаменатель на 3 и получим ½=0,5. Следовательно, 3/6 = 0,5.

Если сложить цифры каждого из чисел в результате умножения, то получатся числа 3, 6, 9, 3, 6, 9,3, 6,9. Эта закономерность продолжается для всей таблицы умножения на 3:

3·1=3

3·2=6

3·3=9

3·4=12 (1+2=3)

3·5=15 (1+5=6)

3·6=18 (1+8=9)

3·7=21 (2+1=3)

3·8=24 (2+4=6)

3·9=27 (2+7=9)

3·10=30 (3+0=3)

Это свойство известно как «признак делимости» на 3. Это может быть полезно для быстрого определения, является ли число кратным 3, без необходимости выполнять фактическое умножение.

Умножение на 3 можно применить к умножению на 6.

Действительно, умножим шесть на шесть.

Мы можем записать 6·4=3·2·4=3·8=24

То есть результат в умножении на 3 надо просто умножить на 2, чтобы получить результат умножения на 6

3·8=24

6·8=2·24=48

Деление

Так как деление — это обратная операция умножению, то 3 разделить на 3 будет 1. Составить таблицу деления на 3 :

3:3=1

6:3=2

9:3=3

12:3=4

15:3=5

18:3=6

21:3=7

24:3=8

27:3=9

30:3=10

Примеры применения

Решим несколько задач.

Задача 1. На первой грядке посадили 3 куста сирени, а на второй в пять раз больше, потому что она было подлиннее. Сколько кустов сирени посадили на второй грядке?

Решение:

Если в задаче стоит вопрос с предлогом «в», значит, речь идет об умножении или о делении. «В …раз больше» — умножаем, «в … раз меньше» — делим.

У нас «в пять раз больше», значит, число кустов сирени на первой грядке умножаем на 5:

3·5=15

Ответ: 15

Задача 2. У Наташи было 15 бантиков, а у Маши в 3 раза меньше. Сколько бантиков было у Маши?

Решение: У Маши по условию задачи было «в 3 раза меньше, чем у Наташи». Значит, мы должны количество бантиков Наташи разделить на 3:

15:3=5 бантиков было у Маши.

Ответ: 5 бантиков .

Задача 3

Если у вас есть 3 яблока и вы хотите разделить их поровну на 3-х ваших друзей, сколько яблок получит каждый из друзей?

Решение:

Каждый из друзей получит 3:3= 1 яблоко.

Ответ: 1 яблоко.

Задача 4

Если у вас есть 6 уток и вы хотите разделить их на группы по 3 утки в каждой, сколько групп у вас будет?

Решение:

У вас будет 6:3=2 группы.

Ответ: 2 группы.

Задача 5

Если у вас есть 9 шариков и вы хотите разделить их поровну между 3 людьми, сколько шариков достанется каждому?

Решение:

Каждый человек получит 9 : 3 = 3 шарика.

Ответ: 3 шарика.

Задача 6

Ответьте на вопросы.

• 3 раза по 4 это какое число? Решение: 3 раза по 4 будет 12.
• 3 раза по 7 это какое число? Решение: 3 раза по 7 будет 21.
• 3 раза по 9 это какое число? Решение: 3 раза по 9 будет 27.

Задача 7

Рабочий в Индии зарабатывает по 3 рупии в час, сколько денег он заработает за 8 часов работы?

Решение: рабочий заработает 3 8=24 рупии.

Ответ: 24 рупии.

Задача 8

Найдите результат 12 умножить на 12 (для второклассников).

Решение: 12=3·4, а второй множитель представим в виде 12=10+2

Получается, 12·12= 3·4 (10+2)= 3·4·10+3·4·2=3·4·10+3·4·2=12·10+12·2=120+12+12=132+12=144.

Мы знаем, что чтобы умножить на 10 — это просто приписать ноль в конце числа.

Здесь мы использовали свойство: a·b=a (c+d), если b=c+d.

Ответ: 144.

Если вы поняли тему и готовы уже приступить к запоминанию, то используйте наши тренажеры. Начинать лучше с того тренажера, в котором второй множитель располагается по возрастанию.

Где применяется

Учить таблицу необходимо, она есть везде. Вот часть разделов математики, где ее знание просто необходимо:

• Арифметика
• Алгебра
• Геометрия
• Тригонометрия
• Статистика
• Вероятность
• Дискретная математика
• Комбинаторика
• Теория чисел
• Теория графов
• Теория игр
• Математическое моделирование
• Дифференциальные уравнения
• Линейная алгебра
• Функциональный анализ
• Векторное исчисление
• Комплексный анализ
• Тензорный анализ
• Математическая логика и теория множеств.

Арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, комбинаторику, вероятность проходят в школе, а остальные разделы в ВУЗе. Таблица умножения — это фундаментальное знание в математике. На нем будет строиться ваша успеваемость в алгебре, геометрии, тригонометрии и других разделах математики.

Онлайн тренажеры таблицы умножения на 3

Онлайн тренажер по возрастанию 

Онлайн тренажер по убыванию

Онлайн тренажер в разброс

Онлайн тренажер — вписать ответ в окошки.

Таблица умножения

Таблица умножения

Всё о таблице умножения и способах её запоминания.

Содержание

Этот сайт посвящён таблице умножения, способам её понять и выучить, мнемотехникам для запоминания и всему, что с ней связано:

• Тренажёры и приложения
• Как выучить
• Распечатать
• Игры и развлечения
• Множители
• Виды
• История и факты
• Фото
• Видео
• Стихи и песни

В этом разделе мы собрали тренажёры, проверочные тесты и задания, которые можно проходить онлайн, чтобы тренировать навыки умножения.

• Онлайн-тренажёр
• Кому подходят тренажеры?
• Как правильно повторять?
• Что еще важно знать?
• Как учить таблицу умножения?
• Техники и лайфхаки для запоминания и проверки таблицы умножения
• Проверка знания таблицы умножения
• Задания на таблицу умножения
• Приложения
• Интерактивная таблица умножения
• Проверочные тесты

Для быстрого и лёгкого запоминания таблицы Пифагора существуют способы, приёмы и мнемотехники, которые вы сможете найти в специальном разделе на сайте.

• Как выучить легко и быстро
• Законы умножения
• Свойства умножения
• Что такое умножение
• Презентация таблицы умножения
• Таблица умножения на пальцах
• Зачем учить таблицу умножения?
• Книга Узоровой О.В. «Таблица умножения за 3 дня»
• Таблица умножения в игровой форме
• Мнемотехники
• Способы выучить таблицу умножения

Часть родителей и педагогов предпочитают обучать детей таблице умножения с помощью печатных материалов: таблиц, карточек, мнемокарточек, самодельных игр. Это особенно актуально, если ребенок проводит слишком много времени в гаджетах.

• Карточки по таблице умножения
• Таблица умножения
• Примеры из таблицы умножения без ответов
• Таблица умножения без ответов вразброс
• Таблица умножения А4
• Таблица умножения на 12
• Сделай таблицу умножения
• Игра на пальцы

Учить таблицу умножения можно и в игровой форме с помощью стихов, песен, раскрасок. Когда процесс обучения идёт играючи, удовольствие получает и ребёнок, и родитель или педагог.

• Настольные игры
• Приложения для Android и iOS
• Компьютерные игры
• Дополнительные инструменты
• Игра «Monkey Multiplier»
• Игры для запоминания таблицы умножения
• Раскраска таблицы умножения

Чтобы запомнить таблицу Пифагора, удобно делить задачу на части, другими словами, учить умножения на конкретные множители по отдельности. Мы собрали материалы и тренажёры для каждого множителя на отдельной странице.

• Умножение на 0
• Умножение на 1
• Умножение на 2
• Умножение на 3
• Умножение на 4
• Умножение на 5
• Умножение на 6
• Умножение на 7
• Умножение на 8
• Умножение на 9
• Умножение на 10
• Умножение на 11
• Умножение на 12
• Умножение до 20, 30 и 100

Существует множество видов таблиц умножения. Мы подробно разбираем каждый по отдельности в данном разделе.

• Китайская таблица умножения
• Таблица умножения и деления
• Древняя таблица умножения на фрагментах бамбуковых полосок
• Таблица на костях Напьера
• Таблица Пифагора
• Древнерусское умножение
• Таблица сокращенного умножения
• Умножение на пальцах
• Пирамида умножения
• Арийское умножение
• Ведический квадрат
• Китайское умножение с линиями
• Японское умножение с кругами
• Умножение степеней
• Умножение дробей
• Сокращённое умножение
• Умножение в столбик

Самые старые из известных таблиц умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. С тех пор таблицы умножения менялись, совершенствовались, переосмысливались. В этом разделе вы найдете много интересных фактов из истории таблиц умножения.

• История таблицы умножения
• Кто придумал таблицу умножения
• Интересные факты
• День таблицы умножения — 2 октября
• Таблица Пифагора и таблица умножения
• В каком классе учат таблицу умножения?

Мы предлагаем вам небольшую подборку стихов о таблице умножения от разных авторов, а также полезные советы в использовании этого метода для родителей и педагогов:

• Стихи и песни о таблице умножения
• Таблица умножения в стихах — Андрей Усачев
• Таблица умножения — Марина Казарина
• Таблица умножения — Тим Собакин
• Двойка за урок – беда — Владимир Трофимов
• Умножения таблицу — Юлия Прокопьева
• Музыкальные таблицы умножения

В этом разделе мы собираем различные фотографии таблиц умножения, мемы, гифки, ведь это тоже часть современной культуры изучения пифагоровой таблицы.

• Древние версии таблицы умножения на камнях
• Таблица умножения на папирусе в Древнем Китае
• Таблица на костях Непера
• Таблица Пифагора
• Древнерусская таблица умножения
• Машина Паскаля
• Арифмометры, помогающие умножать
• Таблица умножения на задней стороне тетради
• Как выглядела таблица умножения в СССР
• Как умножают в Китае
• Футболки с таблицей умножения
• Настольные игры для запоминания таблицы умножения
• Компьютерные игры
• Игры и приложения для смартфонов
• Кубики с таблицей умножения
• Распечатки для изучения таблиц умножения
• «Лягушка» игра на пальцы
• Круги для умножения
• Шпаргалки с таблицей умножения
• Мемы с таблицей умножения

Изучать таблицу умножения, а также узнавать педагогические методики, помогающие с ней работать, можно и видеоформате. Для этого на сайте есть подборки видео роликов, посвященных данной теме.

• Таблица умножения. Круто!
• Устный счет. Как легко и быстро умножать в уме числа до 100 и до 1000
• 10 глупых вопросов математику
• Можно ли доверять математике?
• Лайфхак как быстро выучить таблицу умножения
• Самые важные идеи математики
• Как объяснить деление в столбик? Деление чисел уголком
• Как стать лучше в математике
• Как выучить таблицу умножения за 3 дня
• Зачем нужна математика?
• Музыкальные таблицы умножения

Что такое таблицы умножения? Определение, таблицы умножения, пример

Введение

Таблица умножения — это список кратных числу. Можно получить таблицу умножения любого числа, добавляя одно и то же число на каждом следующем шаге. Например, если мы хотим разработать таблицу времени для 2, мы начинаем с 2, а затем прибавляем 2 на каждом шаге. Ответ, полученный на каждом шаге, кратен 2 и известен как факт умножения.

Вот как будет выглядеть таблица умножения на 2.

Таблица умножения 2:

Другой способ получить таблицу умножения любого числа — просто умножить это число. Например, 2 х 1 = 2, 2 х 2 = 4, 2 х 3 = 6 и так далее.

Родственные игры

Примеры таблиц умножения

Помимо 2, таблицы умножения на 5 и 10 полезны для детей. Эти числа могут помочь детям запомнить и другие таблицы умножения.

Таблица умножения на 50005

2 партии по 5 = 5 + 5 = 10 

3 партии по 5 = 5 + 5 + 5 = 15 

4 партии по 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 и так далее… 

Раз Таблица 10 

Таким же образом таблица умножения 10 требует прибавления 10 к каждому лоту.

1 партия по 10 = 10

2 партии по 10 = 10 + 10 = 20

3 партии по 10 = 20 + 10 = 30

4 партии по 10 = 30 + 10 = 40 и так далее 9005…

Взгляните на схему.

Связанные рабочие листы

Чем полезны таблицы умножения?

Запоминание таблицы умножения имеет множество преимуществ. Некоторые из них обсуждаются ниже: 

• Учащийся, хорошо разбирающийся в таблицах умножения, может решать математические задачи на умножение быстрее, чем те, кто их не знает.
• Понимание математических понятий становится более простым для учащихся, когда они хорошо разбираются в таблицах умножения.
• Таблица умножения помогает учащимся не только умножать, но и складывать.
• Кроме того, это повышает уверенность студентов.
• Запоминание таблицы умножения также улучшает память детей.
• Таблицы умножения также необходимы для выполнения быстрых повседневных вычислений в математических задачах в классе.

Интересные факты

• Первые таблицы умножения были использованы 4000 лет назад вавилонянами.
• Раньше они использовали глиняные таблички для решения своих математических задач.
• С развитием цивилизации им понадобился более простой и легкий способ решения повседневных математических задач, таких как таблицы умножения.

Советы, как легко выучить таблицы умножения 

Дети часто считают, что заучивание таблиц им не легко. Тем не менее, изучение таблицы умножения может быть простым и увлекательным с использованием соответствующих методов. Вот как: 

• Сначала начните изучать простую таблицу умножения, а более сложные оставьте на потом. Например, некоторые простые таблицы умножения — это 2, 5, 9 и 10. Как только они освоят эту технику, они смогут перейти к сложным таблицам, таким как 3, 4, 7 и 8. 
• Запоминание упрощается с картинками. Таблица умножения может помочь детям учиться лучше и быстрее.
• Быстрая проверка таблицы каждый день также может помочь запомнить их.
• Есть несколько приемов, которым стоит научиться за несколькими столами. Использование таких уловок может облегчить процесс.

Например:

Таблица умножения на 1:

Принятие того, кто вы есть, — это как раз то, о чем эта таблица умножения. Какое бы число вы ни умножали на 1, результатом будет само число.

Таблица умножения 2

Число 2 — это то, что мы называем «Двойное или ничего». Любое число, которое вы умножаете на 2, удваивается или просто добавляется само к себе.

Таблица умножения на 3

Вот самый простой способ попрактиковаться в таблице умножения на 3. Если вы хотите умножить число на 3, сначала умножьте его на 2, а затем прибавьте к нему такое же число.

Таблица умножения 4

Время для удвоения удвоения. Из этого нет простого выхода. Если вы хотите умножить число на 4, удвойте его один раз, а затем удвойте то, что получится!

Таблица умножения на 5

Любое число, на которое вы хотите умножить 5, прикрепите к его концу 0, а затем половину его.

Таблица умножения на 6

Эта таблица работает как просто таблица 3. Если вы хотите найти произведение числа на 6, вернитесь к своим 5, умножьте это число на 5, а затем добавьте то же число.

Таблица умножения на 7

Самый простой трюк — не забывать добавлять группу из 7 столько раз, сколько раз мы умножаем число 7.

Таблица умножения на 8

Самый простой способ выучить таблицу умножения на 8 — добавить группы «8» для всех кратных, как в вашей таблице умножения на 7.

Таблица умножения на 9

Простой способ чтобы запомнить эту таблицу умножения, нужно использовать факты 10.

Чтобы умножить число на 9, добавьте ноль в конце числа, а затем вычтите то же число.

Еще одна хитрость заключается в том, что все продукты можно считать состоящими из двух столбцов. Первый столбец имеет числа от 0 до 9в порядке возрастания, а второй столбец имеет числа от 9 до 0 в порядке убывания.

Таблица умножения на 10

Это самый простой вариант. Просто добавьте ноль в конце любого числа, которое вы умножаете на 10, и вы получите ответ.

Решенные примеры

Сознательно или бессознательно таблицы умножения имеют множество повседневных применений. Рассмотрим примеры, приведенные ниже: 

Пример 1:

Узнайте, что мы можем написать вместо вопросительного знака?

 7×3=?

7 умножить на 3 означает 3 лота по 7 или 7 лотов по 3.

Или мы можем посчитать иначе,

день. Сколько литров молока он купил за 5 дней?

В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с вопросами, упомянутыми выше. Чтобы ответить на них в один миг, важно знать концепцию таблицы умножения.

Следовательно, если Сэм покупает 2 литра молока за один день, его дневное потребление составляет 2 x 1 = 2 литра.

Расчет его потребления за 5 дней составит 2 x 5 = 10 литров.

Следовательно, ответ 10 литров.

Пример 03:

Парул учится по 4 часа в день. Сколько часов она учится в неделю?

Есть 7 дней в неделю. Итак, нужно найти часы занятий Парула за 7 дней.

Обычные часы Парул, посвященные учебе, составляют 4 x 1 = 4 часа.

Количество часов, которые Парул посвящает учебе в неделю, составляет 4 х 7 = 28 часов.

Поэтому Парул учится 28 часов в неделю.

Практические задачи

1

8 раз 7 = _____ ?

56

65

45

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: 56
8 x 7 = 56

2

часов

Сюзан работает каждый день 5.

Сколько часов она работает за 3 дня?

12 часов

15 часов

14 часов

10 часов

Правильный ответ: 15 часов
Количество рабочих часов Сюзан в один день = 5 x 1 = 5 часов
Количество рабочих часов Сюзан за 3 дня = 5 х 3 = 15 часов

3

Сколько будет 4 умножить на 6?

34

24

18

14

Правильный ответ: 24
4 x 6 = 24.

4

Сэм съедает 3 шоколадки за час. Сколько шоколадок он съел за 7 часов?

22

21

45

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: 21
3 x 7 = 21 шоколадка лучший контент для классов К-8. Начните учиться прямо сейчас!

Часто задаваемые вопросы

Таблица умножения и таблица умножения одинаковы?

Да, таблицы умножения также известны как таблицы умножения.

Как лучше всего выучить таблицу умножения на 9?

Растопырить перед собой все 10 пальцев. Опустите левый мизинец вниз. Теперь у вас 9 пальцев, что означает 9 х 1 = 09. Теперь, чтобы найти 9 х 2, опустите левый безымянный палец. У вас остался 1 палец, пробел и 8 пальцев, то есть 1 и 8. Это 9.x 2 = 18. Этот трюк работает для всей таблицы.

Какие таблицы умножения необходимо знать детям?

Дети до 5-го класса должны знать таблицу умножения до 12. Таблицы умножения на 2, 5 и 10 являются основными таблицами умножения, которые просты и необходимы для запоминания других таблиц умножения.

Какая самая сложная таблица умножения?

Из таблицы умножения от 1 до 10 Расписание 7 обычно считается самым трудным для изучения детьми.

Математическая таблица из 4-х — Выучить таблицу умножения для детей

• Почему вашему ребенку нужно выучить эту таблицу
• Что такое таблица умножения на 4 в математике?
• Таблица умножения на 4 для детей
• Таблица 4 умножения для детей
• Советы по изучению и запоминанию таблицы умножения 4 для детей
• Простые вопросы для детей: пересмотрите таблицу из 4
• Словесные задачи по таблице умножения на 4 для детей
• Часто задаваемые вопросы

Если учащиеся помнят свои таблицы умножения, они могут легко решать математические задачи, выполняя домашнюю работу или готовясь к тестам. В результате после изучения 2 и 3 таблиц становится важным знание таблицы умножения на 4. Эта статья содержит 4 таблицы умножения на английском языке от 1 до 20 (4 умножения на 20), которые учащиеся могут выучить и использовать для решения задач во время практики. Студенты поймут таблицу умножения 4 с последовательной практикой. Кроме того, заучивание таблиц наизусть позволяет вашему ребенку быстро выполнять умножение, что имеет решающее значение для дальнейших сложных расчетов по математике.

Почему вашему ребенку необходимо выучить эту таблицу

1. Когда учащийся запоминает таблицу умножения, ему легче решать математические задачи.
2. Понимание таблицы четырех поможет вашему ребенку легче отслеживать четные числа.
3. В реальной жизни таблица умножения на 4 часто используется во многих повседневных действиях и вычислениях.

Что такое таблица умножения на 4 в математике?

В математике таблица умножения на четыре — это таблица умножения на 4, которую можно выразить с помощью различных математических операций, включая сложение и умножение. Взгляните на четыре таблицы ниже, чтобы лучше понять, как это может быть выражено в различных операциях.

4 х 1 = 4	4
4 х 2 = 8	4+4=8
4 х 3 = 12	4+4+4=12
4 х 4 = 16	4+4+4+4=16
4 х 5 = 20	4+4+4+4+4=20
4 х 6 = 24	4+4+4+4+4+4=24
4 х 7 = 28	4+4+4+4+4+4+4=28
4 х 8 = 32	4+4+4+4+4+4+4+4=32
4 х 9 = 36	4+4+4+4+4+4+4+4+4=36
4 х 10 = 40	4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40
4 х 11 = 44	4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=44
4 х 12 = 48	4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48

Таблица умножения 4 для детей

По мере развития ребенка ему необходимо выучить таблицу от 4 до 20. Вот таблица от 4 до 20, чтобы помочь вашему ребенку выучить ее с легкостью.

4 х 1 = 4	4 х 11 = 44
4 х 2 = 8	4 х 12 = 48
4 х 3 = 12	4 х 13 = 52
4 х 4 = 16	4 х 14 = 56
4 х 5 = 20	4 х 15 = 60
4 х 6 = 24	4 х 16 = 64
4 х 7 = 28	4 х 17 = 68
4 х 8 = 32	4 х 18 = 72
4 х 9 = 36	4 х 19 = 76
4 х 10 = 40	4 х 20 = 80

Таблица умножения на 4 для детей

Таблицу умножения на четыре легко выучить, а самый быстрый способ выучить таблицу умножения на четыре — запомнить ее. Чтобы помочь вашему ребенку запомнить четыре таблицы умножения, используйте приведенные ниже схемы таблицы умножения на 4. Вы можете сделать его наглядным, разместив в таком месте, где ребенок может легко его увидеть, помогая ему пересматривать таблицу.

Таблица умножения на 4 До 10

Визуальное представление любого понятия является хорошим способом обучения. Упомянутая выше таблица четырех умножений до 10.

Таблица умножения на 4 до 20

Поскольку вашему ребенку удобно пользоваться таблицей умножения на 4 до 10, вы можете познакомить его с таблицей умножения на 4 до 20. Найдите график для этого выше.

Советы по изучению и запоминанию таблицы умножения на 4 для детей

Некоторым детям может быть сложно запомнить таблицу умножения на четыре, и им может потребоваться помощь в ее изучении. Вот несколько трюков с таблицей умножения на 4, стратегии, методы и математические игры для обучения, которые предоставят вашим детям простой способ выучить таблицу умножения на 4. Это поможет родителям в обучении таблицы умножения на 4 своих детей в веселый способ.

• Использование реальных предметов для обучения: После изучения таблиц умножения на 2 и 3 дети понимают основные понятия умножения к тому времени, когда они изучают таблицу умножения на 4. Они понимают, что при умножении одного числа на другое результат умножается на множитель. Это упрощает запоминание таблицы четырех. Если у вашего ребенка все еще есть проблемы, продемонстрируйте ему, как умножать на четыре с реальными предметами. Например, соберите и положите перед ребенком три маленькие кучки шариков, по 4 шарика в каждой. Теперь попросите ребенка сосчитать количество шариков в каждой кучке. Теперь объясните им, что у них три раза по 4 шарика. Это означает, что у них есть 4 + 4 + 4 шарика, что равно 12 шарикам.
• Показать связь между таблицами 2 и 4: Изучать таблицу умножения на 2 проще для детей. Вы можете показать связь между таблицами 2 и 4, выполнив простое упражнение. Во-первых, попросите ребенка сделать три столбца на бумаге и назвать их столбцами 1, 2 и 3. На втором этапе попросите их написать 2 раза таблицу в столбце 1. На третьем этапе попросите их еще больше умножить полученное произведение на 2. Каким бы ни был ответ, обратите внимание, что в столбце 3. У вас будет таблица умножения на 4. Ниже приведен пример того же самого.

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
2 х 1= 2	2 х 2= 4	4 х 1= 4
2 х 2= 4	4 х 2= 8	4 х 2= 8
2 х 3= 6	6 х 2= 12	4 х 3= 12
2 х 4= 8	8 х 2= 16	4 х 4 = 16
2 х 5= 10	10 х 2=20	4 х 5= 20
2 х 6= 12	12 х 2= 24	4 х 6 = 24 и т. д.

• Для совершенствования таблицы четырех требуется практика: Единственный способ для вашего ребенка выучить таблицу умножения четырех — это практика. Напишите на бумаге таблицу четырехкратного умножения и попросите ребенка прочитать ее вслух. Поощряйте ребенка регулярно заполнять рабочие листы, чтобы помочь им вспомнить, что они узнали. Вознаграждайте их за заполнение тренировочного листа и правильный ответ на вопрос. Проверьте их математические способности, проверяя их время от времени.

Простые вопросы для детей: повторение таблицы из 4-х

Повторение очень важно для детей, чтобы запомнить то, что они изучают. Вот несколько простых вопросов, которые вы можете задать своим детям, чтобы повторить таблицу 4.

• Что такое 4 x 4?

Ответ: 16

• Перечислите все двузначные числа, кратные 4, под номером 25

Ответ: 12, 16, 20, 24

• Заполните пропуски

a) _ x 4 = 32,

Ответ: равно 8

b) 4 x _ = 56

Ответ: равно 14

90 90 90 90

18, 2, 13, 24, 56, 27, 20, 37, 32, 48

Ответ: равно 24, 56, 20, 32 и 48

• Сколько будет 8 раз?

Ответ: 32

Словесные задачи по таблице умножения на 4 для детей

В предыдущем разделе мы видели несколько простых вопросов на повторение. Теперь давайте рассмотрим некоторые сложные словесные задачи, которые помогут вашим детям углубить понимание таблицы четырех.

1. Сколько всего печенья, если есть 10 упаковок печенья, по 4 печенья в каждой?

Решение: Используя многократное сложение, мы получаем 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=40.

Тогда 10 умножить на 4, т. е. 10 × 4 = 40.

Следовательно, имеется 40 бисквитов.

2. В коробке четыре груши. Сколько груш будет в 5 ящиках?

Решение: Используя многократное сложение, мы получим 4+4+4+4+4 = 20

Тогда 5 умножить на 4, т. е. 4 × 5 = 20

Следовательно, груш 20.

3. Найдите значение ‘x’ с помощью таблицы умножения на 4, если x умножить на 4 = 36. значение x равно 9.

Часто задаваемые вопросы

Вот некоторые часто задаваемые вопросы о таблице 4s.

1. Как получить таблицу 4?

Как объяснялось выше, таблица 4 получается путем многократного добавления числа 4 к предыдущему ответу, например:

4 x 1 = 4
4 x 2 = прибавление 2 два раза = (4+4)= 8
4 x 3 = прибавление 2 три раза = (4+4+4) = 12
4 x 4 = прибавление 2 четыре раза = (4+4+4+4) = 16
4 x 5 = прибавление 2 пять раз = (4+4+4+4+4) = 20 и так далее.

Дайте определение параллелограмма и выполнить рисунок. Свойство диагоналей параллелограмма

1. Определение параллелограмма.

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;

ЕF || МN и ЕМ || FN.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

2. Свойства параллелограмма.

Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.

Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.

Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.

Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.

Следствия:

1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.

Аналогично и ∠С = ∠В.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.

Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Пусть BC и AD — диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.

Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.

В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;

∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;

∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ — их секущая.

Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .

В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.

Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Савинская средняя общеобразовательная школа

Исследовательская работа

Параллелограмм и его новые свойства

Выполнила: ученица 8Б класса

МБОУ Савинская СОШ

Кузнецова Светлана,14 лет

Руководитель: учитель математики

Тульчевская Н. А.

п. Савино

Ивановская область, Россия

2016г.

I . Введение __________________________________________________стр 3

II . Из истории параллелограмма ___________________________________стр 4

III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________стр 4

IV . Доказательство свойств _____________________________________ стр 5

V . Решение задач с использованием дополнительных свойств __________стр 8

VI . Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________стр 11

VII . Заключение _________________________________________________стр 12

VIII . Литература _________________________________________________стр 13

Введение

«Среди равных умов

при одинаковости прочих условий

превосходит тот, кто знает геометрию»

(Блез Паскаль).

Во время изучения темы «Параллелограмм» на уроках геометрии мы рассмотрели два свойства параллелограмма и три признака, но когда мы начали решать задачи, то оказалось, что этого недостаточно.

У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, и как они помогут при решении задач.

И я решила изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.

Предмет исследования : параллелограмм

Объект исследования : свойства параллелограмма
Цель работы:

формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;

применение этих свойств для решения задач.

Задачи:

Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;

Изучить дополнительные свойства параллелограмма и доказать их;

Показать применение этих свойств для решения задач;

Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:

Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;

Изучение теоретического материала;

Выделение круга задач, которые можно решать с использованием дополнительных свойств параллелограмма;

Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Продолжительность исследования : 3 месяца: январь-март 2016г

1. Из истории параллелограмма

В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные линии» (от греческих слов Parallelos — параллельный и gramme — линия), этот термин был введен Евклидом. В своей книге «Начала» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам. О точке пересечения параллелограмма Евклид не упоминает. Только к концу средних веков была разработана полная теория параллелограммов И лишь в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.

III Дополнительные свойства параллелограмма

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

Противоположные углы и стороны равны

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.

Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.

IV Доказательство свойств параллелограмма

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0

Дано :

ABCD – параллелограмм

Доказать:

A +
B =

Доказательство:

А и
B –внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВС АD и секущей АВ, значит,
A +
B =

2

Дано: АBCD — параллелограмм,

АК -биссектриса
А.

Доказать: АВК – равнобедренный

Доказательство:

1)
1=
3 (накрест лежащие при ВСAD и секущей AK ),

2)
2=
3 т. к. АК – биссектриса,

значит 1=
2.

3) АВК – равнобедренный т. к. 2 угла треугольника равны

. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

3

Дано: АВСD – параллелограмм,

АК – биссектриса A,

СР — биссектриса C.

Доказать: АК ║ СР

Доказательство:

1) 1=2 т. к. АК-биссектриса

2) 4=5 т.к. СР – биссектриса

3) 3=1 (накрест лежащие углы при

ВС ║ АD и АК-секущей),

4) A =C (по свойству параллелограмма), значит2=3=4=5.

4) Из п. 3 и 4 следует, что 1=4, а эти углы соответственные при прямых АК и СР и секущей ВС,

значит, АК ║ СР (по признаку параллельности прямых)

. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

Дано: АВСD — параллелограмм,

АК-биссектриса A,

DР-биссектриса D

Доказать: DР АК.

Доказательство:

1) 1=2, т.к. АК — биссектриса

Пусть, 1=2=x, тогда А=2x,

2) 3=4, т.к. D Р – биссектриса

Пусть, 3=4= у, тогда D =2y

3) A +D =180 0 , т.к. сумма соседних углов параллелограмма равна 180

2) Рассмотрим A ОD

1+3=90 0 , тогда

5. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник

Дано: АВСD — параллелограмм, АК-биссектриса A,

DР-биссектриса D,

CM -биссектриса C ,

BF -биссектриса B .

Доказать : KRNS -прямоугольник

Доказательство:

Исходя из предыдущего свойства 8=7=6=5=90 0 ,

значит KRNS -прямоугольник.

Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.

Дано: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.

ВК АС, DPAC

Доказать: BК=DР

Доказательство: 1)DCР=КAB, как внутренние накрест лежащие при АВ ║ СD и секущей АС.

2) AКB=CDР (по стороне и двум прилежащим к ней углам АВ=СD CD Р=AB К).

А в равных треугольниках соответственные стороны равны, значит DР=BК.

Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

Дано: ABCD-параллелограмм.

Доказать: ВКDР – параллелограмм.

Доказательство:

1) BР=КD (AD=BC, точки К и Р

делят эти стороны пополам)

2) ВР ║ КD (лежат на АD BC)

Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -параллелограмм.

Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Дано: ABCD – параллелограмм. BD и AC — диагонали.

Доказать: АС 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Доказательство: 1)АСК: AC ²=
+

2)B Р D : BD 2 = B Р 2 + Р D 2 (по теореме Пифагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+ A К²+ B Р²+Р D ²

4) СК = ВР = Н (высота)

5) АС 2 +В D 2 = H 2 + A К 2 + H 2 +Р D 2

6) Пусть D К= A Р=х , тогда C К D : H 2 = CD 2 – х 2 по теореме Пифагора)

7) АС²+В D ² = С D 2 — х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +Р D 2 ,

АС²+В D ²=2С D 2 -2х 2 + A К 2 +Р D 2

8) A К =AD+ х , Р D=AD- х ,

АС²+В D ² =2 CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС ²+ В D²=2 С D²-2 х ² +AD 2 +2AD х + х 2 +AD 2 -2AD х + х 2 ,
АС ²+ В D²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Решение задач с использованием этих свойств

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5 . Найдите его большую сторону.

Дано: ABCD – параллелограмм,

АК – биссектриса
А,

D К – биссектриса
D , АВ=5

Найти : ВС

ешение

Решение

Т.к. АК — биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.

Т.к. D К – биссектриса
D , то DCK — равнобедренный

DC =C К= 5

Тогда, ВС=ВК+СК=5+5 = 10

Ответ: 10

2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

1 случай

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Найти: Р параллелограмма

Решение

ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т. к. АК – биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.

АВ=ВК= 14 см

Тогда Р=2 (14+21) =70 (см)

случай

Дано: ABCD – параллелограмм,

D К – биссектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Найти : Р параллелограмма

Решение

ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – биссектриса
D , то DCK — равнобедренный

DC =C К= 7

Тогда, Р= 2 (21+7) = 56 (см)

Ответ: 70см или 56 см

3.Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма

Дано: ABCD – параллелограмм, АК – биссектриса
А,

D К – биссектриса
D , АВ=3 см, ВС=10 см

Найти : ВМ, МN , NC

Решение

Т.к. АМ — биссектриса
А, то АВМ – равнобедренный.

Т.к. DN – биссектриса
D , то DCN — равнобедренный

DC =CN = 3

Тогда, МN = 10 – (BM +NC ) = 10 – (3+3)=4 см

2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма

Т. к. АN — биссектриса
А, то АВN – равнобедренный.

АВ=В N = 3 D

А раздвижную решетку – отодвигать на необходимое расстояние в дверном проеме

Параллелограммный механизм — четырёхзвенный механизм, звенья которого составляют параллелограмм. Применяется для реализации поступательного движения шарнирными механизмами.

Параллелограмм с неподвижным звеном — одно звено неподвижно, противоположное совершает качательное движение, оставаясь параллельным неподвижному. Два параллелограмма, соединённых друг за другом, дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.

Примеры: стеклоочистители автобусов, погрузчики, штативы, подвесы, автомобильные подвески.

Параллелограмм с неподвижным шарниром — используется свойство параллелограмма сохранять постоянное соотношение расстояний между тремя точками. Пример: чертёжный пантограф — прибор для масштабирования чертежей.

Ромб — все звенья одинаковой длины, приближение (стягивание) пары противоположных шарниров приводит к раздвиганию двух других шарниров. Все звенья работают на сжатие.

Примеры — автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.

Ножничный или X-образный механизм , также известный как Нюрнбергские ножницы — вариант ромба — два звена, соединённые посередине шарниром. Достоинства механизма — компактность и простота, недостаток — наличие двух пар скольжения. Два (и более) таких механизма, соединённые последовательно, образуют в середине ромб(ы). Применяется в подъёмниках, детских игрушках.

VII Заключение

Кто с детских лет занимается математикой,

тот развивает внимание, тренирует свой мозг,

свою волю, воспитывает в себе настойчивость

и упорство в достижении цели

А. Маркушевич

В ходе работы я доказала дополнительные свойства параллелограмма.

Я убедилась, что применяя эти свойства, можно решать задачи быстрее.

Я показала, как применяются эти свойства на примерах решения конкретных задач.

Я узнала много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике геометрии

Я убедилась в том, что знания геометрии очень важны в жизни на примерах применения свойств параллелограмма.

Цель моей исследовательской работы выполнена.

О том, насколько важны математические знания, говорит тот факт, что была учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. Эту премию до сих пор не получил ни один человек.

VIII Литература

1. ПогореловА.В. Геометрия 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2014г

   Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч.математики. – М.: Вита-пресс, 2003

   Ресурсы сети Интернет

   материалы Википедии

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). {\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

Равны ли стороны параллелограмма. Что такое параллелограмм

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD — общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

• параллелограмм — это выпуклый четырехугольник;
• у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
• у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
• диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Параллелограмм — выпуклый четырехугольник

Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником . Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC — противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.

У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны — CD, BC, AD — лежат по одну сторону от AB.

Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.

Противоположные стороны и углы равны

Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны . Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.

Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.

У этих треугольников одна сторона общая — AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.

В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов — ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.

Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Диагонали делятся пополам

Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.

У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.

Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.

Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы. Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам .

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О;

Решение.

1. В треугольнике DОМ

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

3.

4.

Ответ: АВ: НD = 2: 1,

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Понятие параллелограмма

Определение 1

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой (рис. 1).

Рисунок 1.

Параллелограмм имеет два основных свойства. Рассмотрим их без доказательства.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллелограмма и представим их в виде теорем.

Теорема 1

Если две стороны четырехугольника равны между собой, а также параллельны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. В котором $AB||CD$ и $AB=CD$ Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$. Тогда

\[\angle CAB=\angle DCA\]

как накрест лежащие углы.

По $I$ признаку равенства треугольников,

так как $AC$ — их общая сторона, а $AB=CD$ по условию. Значит

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$. }Следовательно, по определению $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 2

Если противоположные стороны четырехугольника равны между собой, то он является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. В котором $AD=BC$ и $AB=CD$. Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Так как $AD=BC$, $AB=CD$, а $AC$ — общая сторона, то по $III$ признаку равенства треугольников,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Рассмотрим прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AD||CB$. Следовательно, по определению $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $AB||CD$. Следовательно, по определению 1, данный четырехугольник является параллелограммом.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если диагонали, проведенные в четырехугольнике, своей точкой пересечения делятся на две равные части, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство.

Пусть нам дан четырехугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как, по условию $BO=OD,\ AO=OC$, а углы $\angle COB=\angle DOA$ как вертикальные, то, по $I$ признаку равенства треугольников,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и их секущую $BD$, по последнему равенству накрест лежащих углов получим, что $BC||AD$. Также $BC=AD$. Следовательно, по теореме $1$, данный четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). {\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

Диагонали параллелограмма: формула, примеры

Что такое диагонали параллелограмма?

Отрезки, соединяющие две несмежные вершины параллелограмма, называются диагоналями параллелограмма.

Четырехугольник с параллельными и равными противоположными сторонами называется параллелограммом. Его противоположные углы также равны.

Параллелограмм имеет две диагонали. Диагонали параллелограмма соединяют противоположные вершины.

Квадрат, прямоугольник, ромб являются примерами параллелограмма.

Родственные игры

Свойства диагоналей параллелограмма

• Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
• Диагонали квадрата делятся пополам под прямым углом.
• Диагонали прямоугольника делят друг друга пополам, но не под прямым углом.
• Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Диагонали формулы параллелограмма

Давайте обсудим две важные формулы.

Нахождение длин диагоналей параллелограмма

На приведенном выше рисунке показан параллелограмм и две его диагонали.

p и q — диагонали.

x и y две смежные стороны параллелограмма.

$\angle \text{A}$ & $\angle\text{B}$ — внутренние углы данного параллелограмма.

Как вычислить длину диагоналей параллелограмма? 9{2})$

Здесь, Здесь p и q — диагонали параллелограмма

x и y — смежные стороны параллелограмма

Если заданы размеры двух смежных сторон и одной диагонали, то приведенная выше формула может можно использовать для нахождения длины другой диагонали параллелограмма.

Интересные факты!

• Диагонали параллелограмма делятся пополам в точке пересечения.
• Длины диагоналей параллелограмма не равны. 9{\circ})}$

  $=  4,95$ ft

  5. Определите длину диагонали параллелограмма со сторонами 5 ft и 8 ft, если длина другой диагонали равна 10 ft.

  Решение:

  Дано: x $= 5$ фут, y $= 8$ фут & p $= 10$ фут

  Как мы знаем, длина двух сторон и одной диагонали даны для нахождения длины другая диагональ. Воспользуемся формулой отношения сторон и диагоналей параллелограмма. 9{2} = 78$ 

  Извлекая квадратный корень,

  $\Rightarrow q = 8,83$ ft

  Практические задачи на диагонали параллелограмма

  1

  Параллелограмм имеет _________ диагоналей.

  

  4

  3

  2

  1

  Правильный ответ: 2
  Из 4 вершин параллелограмма можно провести две диагонали, соединяющие два противоположных угла.

  2

  Какое из следующих утверждений неверно для параллелограмма?

  Противоположные стороны параллельны.

  Противоположные углы равны.

  Имеет четыре вершины.

  Длина диагонали равна.

  Правильный ответ: длина диагонали равна.
  Диагонали параллелограмма не равны. У ромба, квадрата и прямоугольника диагонали равны.

  3

  Что из следующего не является примером параллелограмма?

  Квадрат

  Прямоугольник

  9{2} = 121,5$
  $q=11,02$ ftin

  Часто задаваемые вопросы о диагоналях параллелограмма

  Равны ли диагонали параллелограмма?

  Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, но не равны.

  Какой параллелограмм имеет равные диагонали?

  Прямоугольник имеет равные диагонали, которые делят друг друга пополам и перпендикулярны.

  Диагонали параллелограмма перпендикулярны?

  Нет, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, но не обязательно по 9 долларов.{\circ}$.

  Что такое закон параллелограмма?

  Закон параллелограмма гласит, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей.

  По какой формуле вычисляется количество диагоналей четырехугольника?

  Количество диагоналей любого четырехугольника можно рассчитать по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$, где n — количество сторон данного многоугольника.

  Что из следующего не верно для параллелограмма?A) Противоположные стороны равныB) Противоположные углы равныC) Противоположные углы делятся диагоналями пополамD) Диагонали делятся пополам

  Дата последнего обновления: 27 марта 2023

  •

  Всего просмотров: 165 тыс.

  •

  Просмотров сегодня: 3,41 тыс.

  Ответ

  Подтверждено

  165 тыс. + просмотров

  Подсказка: с парой простых четырехугольников параллелограмма евклидовой геометрии параллельные стороны. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны.

  Полный ответ:
  Нам даны четыре свойства параллелограмма , и нам нужно определить, какое из заданных свойств неверно.
  Рассмотрим первый вариант, который гласит, что у параллелограмма противоположные стороны равны.
  Согласно определению параллелограмма евклидовой геометрией, он образован пересечением пары параллельных прямых, а пара параллельных прямых всегда имеет одинаковое расстояние между собой в любой момент времени. Если параллельные прямые пересекают другую пару параллельных прямых, то образованный четырехугольник всегда будет иметь равные противоположные стороны. Следовательно, утверждение, что противоположные стороны равны, верно.
  Теперь рассмотрим второй вариант, который гласит, что у параллелограмма противоположные углы равны.
  Так как, уже показано, что параллелограмм имеет равные противоположные стороны, и мы также знаем, что для любого четырехугольника, у которых равные противоположные стороны, есть равные противоположные углы. Следовательно, это утверждение верно.
  Рассмотрим третий вариант, который гласит, что у параллелограмма противоположные углы делятся диагоналями пополам.
  Мы знаем, что параллелограммы имеют равные противоположные стороны и равные противоположные углы. Если провести диагонали, соединив противоположные вершины в параллелограмме, то нельзя сказать, что диагонали делят противоположные углы пополам. Диагонали делят друг друга пополам, но не делят углы пополам. Следовательно, это утверждение неверно.
  Теперь рассмотрим четвертый вариант, который гласит, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам.
  Для параллелограмма свойство параллелограмма состоит в том, что диагонали делят друг друга пополам. Значит, данное утверждение верно.
  Таким образом, получаем, что неверно только третье утверждение, следовательно, решение — вариант (С) Противоположные углы делятся диагоналями пополам.

Второй замечательный предел

Примеры решенийПроизводная онлайн Интегралы онлайнПределы онлайн Точки разрыва функцииПравило Лопиталя Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Предел последовательности обозначается буквой e: (1)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=log_ex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1^∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов , , , только второй и третий равны e.

lim x →

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity

Типовые замены в пределах

1. cos(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
2. sin(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
3. cos(x) ≈ [-1;1], x → ∞
4. sin(x) ≈ [-1;1], x → ∞
5. cos2(x) ≈ [0;1], x → ∞
6. sin2(x) ≈ [0;1], x → ∞

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.

.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда
.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.

Пример 7.
. (Здесь ).

Пример 8. .

Пример 9.
.

Пример 10.
.

Пример 11. .

Пример 12.


.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Калькулятор пределов с шагами — онлайн и бесплатно!



Калькулятор пределов с шагами — онлайн и бесплатно!

Рассчитать предел Рассчитать медиану Рассчитать интеграл Рассчитать среднее

Поделиться калькулятором пределов

---

---

Добавить в закладки

Добавьте калькулятор пределов в закладки вашего браузера

---

1. Для Windows или Linux — нажмите Ctrl + D .

2. Для MacOS — нажмите Cmd + D .

3. Для iPhone (Safari) — нажмите и удерживайте , затем нажмите Добавить закладку

4. Для Google Chrome : нажмите 3 точки в правом верхнем углу, затем нажмите знак звездочки

---

Как использовать?

---

Как пользоваться калькулятором лимита

1

Шаг 1

Введите проблему с пределами в поле ввода.

2

Шаг 2

Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.

3

Шаг 3

Во всплывающем окне выберите «Найти предел». Вы также можете воспользоваться поиском.

Что такое предел в математике

Предел — это математический термин, обозначающий определенное предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция. Соответственно различают предел последовательности и предел функции (в точке «на бесконечности»). Также считается, что предел может быть равен «бесконечности».

---

Интуитивно понятно, что один объект склонен к другому, например, птица стремится к гнезду. Отсюда происходит интуитивное представление о желании последовательности или функции чего-либо; в рамках математического анализа это понятие желания находит свое формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.

---

---

Зачем может потребоваться расчет предела

Это тот случай, когда проще объяснить термин простыми человеческими словами. В различных науках (например, в физике) существует множество ситуаций, в которых нужно знать, что произойдет с этим явлением, процессом, эффектом, если: время стремится к бесконечности, частота стремится к определенному значению, значение X (любое другое физическое количество) стремится к нулю, бесконечности, определенному значению и т. д. Вот почему вам нужно уметь считать лимиты.

---

Калькулятор правил Лопиталя

Калькулятор правил Лопиталя с шагами

Калькулятор правил Лопиталя используется для нахождения пределов неопределенных функций. Этот калькулятор берет производные неопределенной функции и устанавливает предельное значение, чтобы получить числовой результат.

Как работает этот калькулятор L’hopital?

Выполните следующие шаги, чтобы найти пределы функции, используя правило Лопиталя.

• Введите функцию.
• Используйте значок клавиатуры для ввода математических клавиш.
• Введите предельное значение и выберите переменную.
• Выберите левостороннее, правостороннее или двустороннее ограничение.
• Нажмите кнопку вычислить .
• Чтобы войти в новую функцию, нажмите кнопку сброса .
• Нажмите кнопку показать еще , чтобы просмотреть результат с пошаговыми инструкциями.

Что такое правило Лопиталя?

В математическом анализе правило Лопиталя — это теорема о пределах, которая помогает нам вычислять неопределенные пределы в форме \(\frac{0}{0}\:or\:\frac{\infty }{\infty } \)

Проще говоря, правило Лопиталя помогает нам найти \(\lim _{x\to a}\left(\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right) }\right)\:\) 

Где \(\lim _{x\to a}\:g\left(x\right)=\lim _{x\to a}\:h\left(x\ right)=0\:or\:\left(\infty \:,-\infty \right)\)

Формула правила Лопиталя

Согласно этому правилу, если существуют производные функций, то две пределы эквивалентны. Общая формула этого правила приведена ниже.

\(\lim _ {х\к а}\влево (\ гидроразрыва{г\влево(х\вправо)}}{ч\влево(х\вправо)}\вправо)=\lim _ {х\к а }\left(\frac{g’\left(x\right)}{h’\left(x\right)}\right)\)

Как использовать правило Лопиталя, чтобы найти пределы?

Ниже приведен пример решения этого правила с помощью нашего калькулятора L’hospital.

Пример 1

Вычислить \(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)\).

Решение

 Шаг 1: Примените предельное значение и поставьте 0 вместо x.

\(\lim _ {x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\frac{sin\left(0\right)}{0} \)

\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\frac{0}{0}\)

Шаг 2: Используйте правило Лопиталя, поскольку данная функция дает вид \(\frac{0}{0}\).

\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim \:_{x\to \:0}\left (\ frac {\ frac {d} {dx} sin \ left (x \ right)} {\ frac {d} {dx} x} \ right) \)

\ (\ lim _ {x \ to 0} \left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim _{x\to 0}\left(\frac{cos\left(x\right)}{1}\ справа)\)

\(\lim _{x\to 0}\left(\frac{sin\left(x\right)}{x}\right)=\lim _{x\to 0}\left (cos\влево(х\вправо)\вправо)\) 92+4}\right)=\frac{9}{\infty }=0\)

Ссылки

Академия Хана. (н.д.). Что такое правило Лопиталя? . Академия Хана.

Примеры правила Лопиталя | Правило Лопиталя. (н.д.).

Калькулятор предела функции

Поиск инструмента

Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:

Просмотр полного списка инструментов dCode

Предел функции

Инструмент для вычисления пределов математических функций. Предел определяется значением функции, когда ее переменная приближается к заданному значению.

Результаты

Ограничение функции — dCode

Тег(и) : Функции

Поделиться

dCode и многое другое решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор пределов

Найдите предел функции:
Переменная
Приближение к значению
Приближение к $ + \infty $ (стремится к положительной бесконечности +∞)
Приближение $ — \infty $ (стремится к отрицательной бесконечности -∞)

Направление

Автоматически Правый предел (от больших значений стремится к X+) Левый предел (от меньших значений стремится к X-)

См. также: Область определения функции — Асимптота функции — Экстремум функции

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать лимит?

Для расчета предела замените переменную значением, к которому она стремится/приближается (близкая окрестность).

Пример: Вычисление предела $ f(x) = 2x $, когда $ x $ стремится к $ 1 $, записано $ \lim_{x \to 1} f(x) $ для вычисления $ 2 \times 1 = 2 $, поэтому $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $.

В некоторых случаях результат не определен (неопределенные пределы, см. ниже) и может свидетельствовать о существовании асимптоты.

Как рассчитать лимиты с 0 и $\infty$ бесконечностью?

Предельные расчеты обычно используют математические формы со значениями 0 или бесконечность (положительные или отрицательные), за исключением неопределенных форм, расчеты следуют правилам:

$$ +\infty + \infty = +\infty $$	$$ -\infty — \infty = -\infty $$
$$ +\infty — \infty = ? $$	$$ -\infty + \infty = ? $$
$$ 0 + \infty = +\infty $$	$$ 0 — \infty = -\infty $$
$$ + \infty + 0 = +\infty $$	$$ — \infty + 0 = -\infty $$
$$ \pm k + \infty = +\infty $$	$$ \pm k — \infty = -\infty $$
$$ + \infty \pm k = +\infty $$	$$ — \infty \pm k = -\infty $$
$$ +\infty \times +\infty = + \infty $$	$$ +\infty \times -\infty = -\infty $$
$$ -\infty \times +\infty = -\infty $$	$$ -\infty \ раз -\infty = +\infty $$
$$ 0 \times +\infty = ? $$	$$ 0 \times -\infty = ? $$
$$ +\infty \times 0 = ? $$	$$ -\infty \times 0 = ? $$
$$ k \times +\infty = +\infty $$	$$ k \times -\infty = -\infty $$
$$ -k \times +\infty = -\ infty $$	$$ -k \times -\infty = +\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$ 9{-\infty} = 0 $$

При $k > 0$ положительная ненулевая вещественная постоянная.

? представляют собой неопределенные формы.

Что такое неопределенные формы?

Неопределенные формы, которые появляются при расчете пределов:

$$ \frac{0}{0} $$	0 разделить на 0
$$ \frac{\pm\infty}{ \pm\infty} $$	бесконечность разделить на бесконечность
$$ 0 \times \pm\infty $$ или $$ \pm\infty \times 0 $$ 9{\pm\infty} $$	1 степень бесконечность

Как вычислить неопределенную форму?

Возможны несколько методов расчета предельных значений.

1 — Факторизация (например, с использованием инструментов выражения факторизации dCode)

2 — Использование Больничного правила (в случаях формы $ 0/0 $ или $ \ infty / \ infty $: если $ f $ и $ g $ есть 2 функции, определенные на отрезке $[a,b[$ и дифференцируемые в $a$ и такие, что $f(a) = g(a) = 0$, то если $g'(a)\ne 0$ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f’ (a)}{g’ (a)} $$

3 — Использовать правило доминирующего члена (в случае сложения полиномов и когда переменная стремится к бесконечности): пределом полинома является предел его члена наибольшей степени.

4 — Расчет асимптот для вывода предельных значений

5 — Преобразование выражения (используя замечательные тождества или извлекая элементы из корней и т. д.)

Как вычислить пределы тригонометрических функций, таких как синус и косинус?

Функции синусов и косинусов, стремящиеся к $ \pm \infty $, не допускают предела, поскольку они являются периодическими (воспроизводят бесконечный образец) и поэтому не стремятся ни к конечному значению, ни к бесконечности. Их лимит неограничен, но иногда отмечается $\pm 1$ (не рекомендуется).

Как показать пошаговые расчеты?

Калькулятор лимита dCode применяет не школьные методы, а побитовый расчет, поэтому этапы расчета сильно отличаются и не отображаются.

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Limit of a Function». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Ограничение функции», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Ограничение функций» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанных на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

b)cos(b)-sin(a-b)sin(b) | Wyzant Спросите эксперта

Тригонометрия

Наташа Х.