Рубрика: Разное

Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн

Вы искали вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить систему уравнений онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн,вычислить систему уравнений онлайн,гаусс калькулятор,гаусс онлайн,гаусса матрица онлайн,гаусса метод решения систем линейных уравнений онлайн,гаусса онлайн,гаусса онлайн калькулятор,гаусса онлайн решение,гаусса решение онлайн,гауссом решение онлайн,жордана гаусса калькулятор,исследовать на совместность систему онлайн,исследовать систему и если она совместна найти решение онлайн,исследовать систему на совместность онлайн калькулятор,исследовать совместность и найти общее решение системы онлайн,исследовать совместность системы и найти общее решение онлайн,как решить матрицу методом гаусса онлайн,как решить матрицу онлайн методом гаусса,калькулятор гаусс,калькулятор гаусса,калькулятор гаусса жордана,калькулятор гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор гаусса онлайн,калькулятор гаусса с подробным решением,калькулятор для матриц метод гаусса,калькулятор для метода гаусса,калькулятор для решения линейных уравнений,калькулятор для решения уравнений линейных,калькулятор для систем уравнений,калькулятор для системы уравнений онлайн,калькулятор жордана гаусса,калькулятор линейного уравнения,калькулятор линейное уравнение,калькулятор линейные уравнения,калькулятор линейных уравнений,калькулятор линейных уравнений онлайн,калькулятор матриц гаусс,калькулятор матриц гаусса,калькулятор матриц гаусса онлайн,калькулятор матриц метод гаусса,калькулятор матриц метод гаусса онлайн,калькулятор матриц метод гаусса с решением,калькулятор матриц методом гаусса,калькулятор матриц методом гаусса онлайн,калькулятор матриц методом гаусса онлайн калькулятор,калькулятор матриц методом гаусса с решением онлайн,калькулятор матриц методом жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор матриц онлайн гаусса,калькулятор матриц онлайн метод гаусса,калькулятор матриц онлайн методом гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением метод гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением методом гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением методом гаусса онлайн,калькулятор матриц по методу гаусса,калькулятор матриц решение методом гаусса,калькулятор матриц с решением метод гаусса,калькулятор матрица метод гаусса,калькулятор матрицы гаусса,калькулятор матрицы метод гаусса,калькулятор матрицы методом гаусса,калькулятор матрицы методом гаусса онлайн,калькулятор матрицы онлайн метод гаусса,калькулятор матрицы онлайн методом гаусса,калькулятор матрицы онлайн с решением метод гаусса,калькулятор матричный метод гаусса,калькулятор метод гаусса,калькулятор метод гаусса жордана,калькулятор метод гаусса онлайн с решением,калькулятор метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн,калькулятор метод гаусса с подробным решением,калькулятор метод гаусса с решением,калькулятор метод жордана гаусса,калькулятор метода гаусса,калькулятор методом гаусса,калькулятор методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн для системы уравнений,калькулятор онлайн линейное уравнение,калькулятор онлайн линейные уравнения,калькулятор онлайн линейных уравнений,калькулятор онлайн матриц гаусса,калькулятор онлайн матриц методом гаусса,калькулятор онлайн матриц методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн матриц методом гаусса онлайн калькулятор,калькулятор онлайн матрицы методом гаусса,калькулятор онлайн метод гаусса без дробей,калькулятор онлайн метод гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор онлайн решение линейных уравнений,калькулятор онлайн решение матриц методом гаусса,калькулятор онлайн решение методом гаусса,калькулятор онлайн решение методом гаусса онлайн с подробным решением,калькулятор онлайн решение систем,калькулятор онлайн решение системы,калькулятор онлайн решение системы методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн решение системы уравнений,калькулятор онлайн решить систему методом гаусса,калькулятор онлайн систем уравнений,калькулятор онлайн системы линейных уравнений,калькулятор онлайн системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн системы уравнений,калькулятор онлайн системы уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн слау,калькулятор по методу гаусса,калькулятор решение линейных уравнений онлайн,калькулятор решение матриц методом гаусса,калькулятор решение методом гаусса,калькулятор решение методом гаусса онлайн,калькулятор решение систем линейных уравнений,калькулятор решение систем линейных уравнений методом гаусса,калькулятор решение систем методом гаусса,калькулятор решение систем методом гаусса онлайн,калькулятор решение систем уравнений методом гаусса,калькулятор решение систем уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор решение системы методом гаусса,калькулятор решение системы уравнений,калькулятор решение системы уравнений методом гаусса,калькулятор решение слау методом гаусса,калькулятор решение уравнений методом гаусса,калькулятор решение уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор решения линейных уравнений,калькулятор решения систем линейных уравнений,калькулятор решения уравнений линейных,калькулятор решить систему методом гаусса,калькулятор систем линейных уравнений,калькулятор систем линейных уравнений методом гаусса,калькулятор систем линейных уравнений онлайн,калькулятор систем онлайн,калькулятор систем уравнений онлайн,калькулятор систем уравнений с решением онлайн,калькулятор система линейных уравнений,калькулятор система уравнений,калькулятор системы линейных уравнений,калькулятор системы линейных уравнений онлайн,калькулятор системы уравнений,калькулятор системы уравнений онлайн,калькулятор системы уравнений онлайн с решением,калькулятор системы уравнений с решением онлайн,калькулятор системы уравнения,калькулятор слау,калькулятор слау методом гаусса,калькулятор слау онлайн,калькулятор слу,калькулятор уравнение линейное,линейное уравнение калькулятор,линейное уравнение калькулятор онлайн,линейное уравнение онлайн,линейное уравнение онлайн калькулятор,линейное уравнение онлайн решение,линейное уравнение решение онлайн,линейное уравнение решить онлайн,линейные уравнения калькулятор,линейные уравнения калькулятор онлайн,линейные уравнения онлайн калькулятор,линейные уравнения онлайн решать,линейные уравнения онлайн решение,линейные уравнения онлайн решить,линейные уравнения решать онлайн,линейные уравнения решение онлайн,матрица гаусса онлайн,матрица калькулятор метод гаусса,матрица калькулятор онлайн метод гаусса,матрица метод гаусса калькулятор,матрица метод гаусса онлайн,матрица метод гаусса онлайн калькулятор,матрица методом гаусса онлайн,матрица онлайн гаусса,матрица онлайн калькулятор метод гаусса,матрица онлайн метод гаусса,матрица онлайн методом гаусса,матрица онлайн решение методом гаусса,матрица расширенная онлайн,матрица решение методом гаусса онлайн,матрица решение онлайн методом гаусса,матрицы гаусса калькулятор,матрицы калькулятор гаусса,матрицы калькулятор метод гаусса,матрицы метод гаусса калькулятор,матрицы метод гаусса онлайн,матрицы метод гаусса онлайн калькулятор,матрицы метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,матрицы методом гаусса калькулятор,матрицы методом гаусса калькулятор онлайн,матрицы методом гаусса онлайн,матрицы методом гаусса онлайн калькулятор,матрицы онлайн калькулятор метод гаусса,матрицы онлайн калькулятор методом гаусса,матрицы онлайн калькулятор с решением метод гаусса,матрицы онлайн метод гаусса,матрицы онлайн методом гаусса,матрицы решение гаусса онлайн,матричный калькулятор гаусса,матричный калькулятор метод гаусса,матричный калькулятор метод гаусса онлайн,матричный калькулятор методом гаусса,матричный калькулятор онлайн метод гаусса,матричный онлайн калькулятор метод гаусса,метод гаусса для матриц онлайн,метод гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,метод гаусса жордана калькулятор,метод гаусса жордана онлайн,метод гаусса жордана онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса калькулятор,метод гаусса калькулятор матрицы,метод гаусса калькулятор онлайн,метод гаусса калькулятор онлайн с решением,метод гаусса калькулятор с решением,метод гаусса матриц онлайн калькулятор,метод гаусса матрица онлайн,метод гаусса матрица онлайн калькулятор,метод гаусса матрицы калькулятор,метод гаусса матрицы онлайн,метод гаусса матрицы онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса матричный калькулятор,метод гаусса онлайн,метод гаусса онлайн калькулятор,метод гаусса онлайн калькулятор без дробей,метод гаусса онлайн калькулятор матриц,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением и с проверкой,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением матрицы,метод гаусса онлайн калькулятор с решением,метод гаусса онлайн матрица,метод гаусса онлайн матрицы,метод гаусса онлайн матричный метод,метод гаусса онлайн решение,метод гаусса онлайн решение матриц,метод гаусса онлайн решения,метод гаусса онлайн решить,метод гаусса онлайн с подробным решением,метод гаусса онлайн слау,метод гаусса примеры с решением онлайн,метод гаусса решение матриц онлайн,метод гаусса решение матриц онлайн калькулятор,метод гаусса решение онлайн,метод гаусса решение систем линейных уравнений онлайн,метод гаусса решения онлайн,метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн,метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн калькулятор,метод гаусса решить онлайн,метод гаусса с подробным решением калькулятор,метод гаусса с подробным решением онлайн,метод гаусса слау онлайн,метод жордана гаусса калькулятор,метод жордана гаусса онлайн,метод жордана гаусса онлайн калькулятор,метод жордана гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,метод решение гаусса онлайн,метод решения гаусса онлайн,метод решения систем линейных уравнений метод гаусса онлайн,методом гаусса жордана онлайн,методом гаусса калькулятор,методом гаусса матрицы онлайн,методом гаусса найти общее решение системы линейных уравнений онлайн,методом гаусса онлайн калькулятор,методом гаусса решить систему калькулятор,методом гаусса решить систему линейных уравнений онлайн,методом жордана гаусса онлайн,найти матрицу методом гаусса онлайн,найти матрицу онлайн методом гаусса,найти общее решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,найти общее решение системы линейных уравнений онлайн,найти общее решение системы линейных уравнений онлайн методом гаусса,найти определитель методом гаусса онлайн,найти определитель онлайн методом гаусса,найти решение системы линейных уравнений онлайн,онлайн гаусс,онлайн гаусса,онлайн калькулятор гаусса,онлайн калькулятор гаусса жордана гаусса онлайн,онлайн калькулятор жордан гаусс,онлайн калькулятор исследовать систему на совместность,онлайн калькулятор исследовать систему на совместность онлайн,онлайн калькулятор линейное уравнение,онлайн калькулятор линейных систем уравнений,онлайн калькулятор линейных уравнений,онлайн калькулятор линейных уравнений метод гаусса онлайн,онлайн калькулятор матриц гаусса,онлайн калькулятор матриц метод гаусса,онлайн калькулятор матриц метод гаусса с решением,онлайн калькулятор матриц методом гаусса,онлайн калькулятор матриц с решением метод гаусса,онлайн калькулятор матрица методом гаусса,онлайн калькулятор матрицы метод гаусса,онлайн калькулятор матрицы методом гаусса,онлайн калькулятор матрицы методом гаусса онлайн с решением,онлайн калькулятор матрицы с решением метод гаусса,онлайн калькулятор матричный метод гаусса,онлайн калькулятор метод гаусса,онлайн калькулятор метод гаусса без дробей,онлайн калькулятор метод гаусса матрицы,онлайн калькулятор метод гаусса с решением,онлайн калькулятор методом гаусса,онлайн калькулятор методом гаусса жордана гаусса онлайн,онлайн калькулятор методом гаусса решить систему,онлайн калькулятор методом гаусса решить систему уравнений,онлайн калькулятор решение линейных уравнений,онлайн калькулятор решение линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение матриц методом гаусса,онлайн калькулятор решение матрицы методом гаусса,онлайн калькулятор решение методом гаусса,онлайн калькулятор решение методом гаусса онлайн с подробным решением,онлайн калькулятор решение систем,онлайн калькулятор решение систем линейных уравнений,онлайн калькулятор решение систем линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение систем методом гаусса,онлайн калькулятор решение систем уравнений,онлайн калькулятор решение систем уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение системы,онлайн калькулятор решение системы линейных уравнений,онлайн калькулятор решение системы линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение системы методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор решение системы уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение слау,онлайн калькулятор решение слау методом гаусса,онлайн калькулятор решение уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор решения уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решите систему уравнений,онлайн калькулятор решить матрицу методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решить уравнение методом гаусса,онлайн калькулятор систем,онлайн калькулятор систем линейных уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор систем уравнений,онлайн калькулятор система линейных алгебраических уравнений,онлайн калькулятор система линейных уравнений,онлайн калькулятор система линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор система уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор системы линейных уравнений,онлайн калькулятор системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор системы уравнений,онлайн калькулятор системы уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор слау,онлайн калькулятор слау методом гаусса,онлайн калькулятор уравнение методом гаусса онлайн,онлайн линейное уравнение,онлайн линейные уравнения,онлайн матрица гаусса,онлайн матрица метод гаусса,онлайн матрица методом гаусса,онлайн матрицы метод гаусса,онлайн матрицы методом гаусса,онлайн матричный калькулятор метод гаусса,онлайн методом гаусса,онлайн решение гаусса,онлайн решение гауссом,онлайн решение задач методом гаусса,онлайн решение канонических уравнений,онлайн решение линейное уравнение,онлайн решение линейных уравнений,онлайн решение линейных уравнений методом гаусса,онлайн решение матриц гаусса,онлайн решение матриц метод гаусса,онлайн решение матриц методом гаусса,онлайн решение матриц методом гаусса жордана,онлайн решение матриц методом гаусса с решением,онлайн решение матриц по гауссу,онлайн решение матриц по методу гаусса,онлайн решение матрицы гаусса,онлайн решение матрицы метод гаусса,онлайн решение матрицы методом гаусса онлайн с решением,онлайн решение матричных уравнений методом гаусса,онлайн решение метод гаусса,онлайн решение методом гаусса,онлайн решение методом гаусса жордана,онлайн решение методом гаусса жордана гаусса,онлайн решение методом гаусса жордана онлайн,онлайн решение методом гаусса с подробным решением,онлайн решение методом жордана гаусса,онлайн решение систем,онлайн решение систем линейных алгебраических уравнений,онлайн решение систем линейных уравнений,онлайн решение систем методом гаусса,онлайн решение систем методом гаусса онлайн калькулятор,онлайн решение систем уравнений,онлайн решение систем уравнений методом гаусса,онлайн решение система линейных уравнений,онлайн решение систему уравнений,онлайн решение системы,онлайн решение системы линейных уравнений,онлайн решение системы линейных уравнений методом гаусса,онлайн решение системы методом гаусса,онлайн решение системы методом гаусса онлайн с,онлайн решение системы уравнений методом гаусса,онлайн решение системы уравнений методом гаусса онлайн с решением,онлайн решение системы уравнений с тремя неизвестными,онлайн решение системы уравнения,онлайн решение слау методом жордана гаусса,онлайн решение уравнений гаусса,онлайн решение уравнений методом гаусса,онлайн решение уравнений методом жордана гаусса онлайн,онлайн решение уравнений с тремя неизвестными,онлайн решение уравнения методом гаусса,онлайн решения матриц методом гаусса,онлайн решения метод гаусса,онлайн решения методом гаусса онлайн,онлайн решения систем уравнений,онлайн решить систему линейных уравнений методом гаусса,онлайн решить уравнение методом гаусса онлайн,онлайн система,онлайн система гаусса,онлайн система уравнений методом гаусса,онлайн система уравнений методом гаусса онлайн,онлайн система уравнений решение,онлайн системы,онлайн уравнение гаусса,посчитать матрицу методом гаусса онлайн,посчитать матрицу онлайн методом гаусса,проверить на совместимость матрицу онлайн,проверить на совместность систему онлайн,проверить систему на совместность онлайн,проверить совместимость системы уравнений онлайн,проверить совместность системы уравнений онлайн,проверка на совместность матрицы онлайн,расширенная матрица онлайн,решатель систем уравнений онлайн,решать онлайн линейные уравнения,решать онлайн систему уравнений,решение гаусса онлайн,решение гауссом онлайн,решение задач методом гаусса онлайн,решение канонических уравнений онлайн,решение линейное уравнение онлайн,решение линейные уравнения онлайн,решение линейных алгебраических уравнений онлайн,решение линейных систем уравнений калькулятор,решение линейных систем уравнений калькулятор онлайн,решение линейных уравнений калькулятор онлайн,решение линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение линейных уравнений онлайн,решение линейных уравнений онлайн калькулятор,решение линейных уравнений онлайн калькулятор с решением,решение линейных уравнений онлайн методом гаусса,решение матриц гаусса онлайн,решение матриц гауссом онлайн,решение матриц метод гаусса онлайн,решение матриц метод гаусса онлайн калькулятор,решение матриц методом гаусса жордана онлайн,решение матриц методом гаусса калькулятор,решение матриц методом гаусса онлайн,решение матриц методом гаусса онлайн калькулятор,решение матриц методом гаусса онлайн с подробным решением,решение матриц методом гаусса онлайн с решением,решение матриц методом гаусса онлайн с решением подробно,решение матриц методом жордана гаусса онлайн,решение матриц онлайн гаусса,решение матриц онлайн гауссом,решение матриц онлайн калькулятор метод гаусса,решение матриц онлайн калькулятор методом гаусса,решение матриц онлайн метод гаусса,решение матриц онлайн метод гаусса онлайн,решение матриц онлайн методом гаусса,решение матриц онлайн методом гаусса онлайн,решение матриц онлайн методом гаусса онлайн с,решение матриц онлайн методом гаусса с подробным решением,решение матриц онлайн методом гаусса с решением,решение матриц онлайн методом жордана гаусса,решение матриц онлайн по методу гаусса,решение матриц онлайн с подробным решением методом гаусса,решение матриц онлайн с решением методом гаусса,решение матриц по гауссу онлайн,решение матриц по методу гаусса онлайн,решение матрица методом гаусса онлайн,решение матрицы гаусса онлайн,решение матрицы методом гаусса онлайн,решение матрицы методом гаусса онлайн калькулятор,решение матрицы методом гаусса онлайн решение,решение матрицы методом гаусса онлайн с подробным решением,решение матрицы методом гаусса онлайн с решением,решение матрицы методом гаусса онлайн с решением калькулятор,решение матрицы онлайн гаусса,решение матрицы онлайн методом гаусса,решение матрицы онлайн методом гаусса онлайн,решение матрицы онлайн методом гаусса с подробным решением,решение матрицы онлайн методом гаусса с решением,решение матричных уравнений методом гаусса онлайн,решение матричных уравнений онлайн методом гаусса,решение метод гаусса онлайн,решение методом гаусса жордана онлайн,решение методом гаусса калькулятор,решение методом гаусса калькулятор онлайн,решение методом гаусса матрицы онлайн калькулятор,решение методом гаусса онлайн,решение методом гаусса онлайн калькулятор,решение методом гаусса онлайн с подробным решением,решение методом гаусса онлайн с решением,решение методом жордана гаусса онлайн,решение онлайн гаусса,решение онлайн гауссом,решение онлайн линейные уравнения,решение онлайн линейных уравнений методом гаусса,решение онлайн метод гаусса,решение онлайн методом гаусса,решение онлайн методом гаусса с подробным решением,решение онлайн методом жордана гаусса,решение онлайн систем методом гаусса онлайн калькулятор,решение онлайн система линейных уравнений,решение онлайн система уравнений,решение онлайн системы линейных уравнений методом гаусса,решение онлайн системы методом гаусса онлайн с,решение онлайн уравнений с 3 неизвестными,решение по методу гаусса онлайн,решение расширенной матрицы онлайн,решение систем калькулятор онлайн,решение систем линейных алгебраических уравнений онлайн,решение систем линейных уравнений калькулятор,решение систем линейных уравнений калькулятор онлайн,решение систем линейных уравнений метод гаусса онлайн,решение систем линейных уравнений методом гаусса калькулятор,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение систем линейных уравнений онлайн,решение систем линейных уравнений онлайн калькулятор,решение систем линейных уравнений онлайн метод гаусса,решение систем линейных уравнений онлайн с решением,решение систем методом гаусса калькулятор,решение систем методом гаусса калькулятор онлайн,решение систем методом гаусса онлайн,решение систем методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем онлайн калькулятор,решение систем онлайн методом гаусса,решение систем онлайн с решением,решение систем уравнений калькулятор онлайн,решение систем уравнений методом гаусса калькулятор,решение систем уравнений методом гаусса онлайн,решение систем уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением,решение систем уравнений онлайн,решение систем уравнений онлайн калькулятор,решение систем уравнений онлайн метод гаусса онлайн,решение систем уравнений онлайн методом гаусса,решение систем уравнений онлайн с подробным решением,решение систем уравнений онлайн с подробным решением методом гаусса,решение систем уравнения онлайн,решение система линейных уравнений онлайн,решение система уравнений онлайн,решение системных уравнений методом гаусса онлайн,решение системных уравнений онлайн методом гаусса,решение систему уравнений онлайн,решение системы линейных уравнений калькулятор онлайн,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение системы линейных уравнений онлайн,решение системы линейных уравнений онлайн калькулятор,решение системы линейных уравнений онлайн методом гаусса,решение системы методом гаусса калькулятор,решение системы методом гаусса онлайн,решение системы методом гаусса онлайн с решением,решение системы онлайн,решение системы онлайн калькулятор,решение системы онлайн методом гаусса,решение системы онлайн методом гаусса онлайн с,решение системы уравнений методом гаусса калькулятор,решение системы уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решение системы уравнений методом гаусса онлайн,решение системы уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение системы уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение системы уравнений онлайн,решение системы уравнений онлайн калькулятор,решение системы уравнений онлайн методом гаусса,решение системы уравнений онлайн методом гаусса онлайн,решение системы уравнений онлайн с решением,решение системы уравнений с тремя неизвестными онлайн,решение системы уравнения онлайн,решение слау калькулятор онлайн,решение слау методом гаусса жордана онлайн,решение слау методом гаусса калькулятор,решение слау методом гаусса онлайн,решение слау методом гаусса онлайн калькулятор,решение слау методом жордана гаусса онлайн,решение слау онлайн,решение слау онлайн калькулятор,решение слау онлайн методом гаусса,решение слау онлайн методом гаусса онлайн,решение слау онлайн методом жордана гаусса,решение слу метод гаусса онлайн,решение слу онлайн,решение слу онлайн метод гаусса,решение уравнений гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса жордана гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса жордана онлайн,решение уравнений методом гаусса калькулятор,решение уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решение уравнений методом гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение уравнений методом гаусса решение онлайн калькулятор,решение уравнений методом жордана гаусса онлайн,решение уравнений онлайн гаусса,решение уравнений онлайн методом гаусса,решение уравнений онлайн методом гаусса калькулятор онлайн,решение уравнений онлайн с 3 неизвестными,решение уравнений с 3 неизвестными онлайн,решение уравнения методом гаусса онлайн,решение уравнения онлайн методом гаусса,решения линейных уравнений калькулятор,решения матриц методом гаусса онлайн,решения матриц онлайн методом гаусса,решения онлайн методом гаусса онлайн,решения систем уравнений методом гаусса калькулятор,решите линейное уравнение онлайн,решите систему уравнений методом гаусса онлайн,решите систему уравнений онлайн с решением,решить линейное уравнение методом гаусса онлайн,решить линейное уравнение онлайн,решить линейное уравнение онлайн методом гаусса,решить матрицу методом гаусса онлайн,решить матрицу методом гаусса онлайн калькулятор,решить матрицу методом гаусса онлайн с подробным решением,решить матрицу методом гаусса онлайн с решением,решить матрицу онлайн калькулятор методом гаусса,решить матрицу онлайн методом гаусса,решить матрицу онлайн методом гаусса онлайн,решить матрицу онлайн методом гаусса онлайн с,решить матрицу онлайн методом гаусса с решением,решить метод гаусса онлайн,решить методом гаусса онлайн,решить методом гаусса онлайн с подробным решением,решить методом гаусса систему линейных алгебраических уравнений онлайн,решить методом гаусса систему линейных уравнений онлайн,решить методом гаусса слау онлайн,решить неоднородную систему линейных уравнений методом гаусса,решить неоднородную систему линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить онлайн алгебраическое уравнение,решить онлайн линейные уравнения,решить онлайн матрицу методом гаусса,решить онлайн метод гаусса,решить онлайн методом гаусса,решить онлайн систему линейных уравнений методом гаусса,решить онлайн систему уравнение,решить онлайн систему уравнений с решением,решить онлайн системы уравнений,решить онлайн уравнение методом гаусса,решить систему линейных алгебраических уравнений методом гаусса онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решить систему линейных уравнений онлайн,решить систему линейных уравнений онлайн методом гаусса,решить систему методом гаусса жордана онлайн,решить систему методом гаусса калькулятор,решить систему методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему методом гаусса онлайн,решить систему методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему методом гаусса онлайн с подробным решением,решить систему методом жордана гаусса онлайн,решить систему уравнение онлайн с решением,решить систему уравнений калькулятор онлайн,решить систему уравнений калькулятор онлайн с решением,решить систему уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему уравнений методом гаусса онлайн,решить систему уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением,решить систему уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением онлайн,решить систему уравнений онлайн калькулятор с решением,решить систему уравнений онлайн методом гаусса,решить систему уравнений онлайн методом гаусса онлайн,решить систему уравнений онлайн с комплексными числами,решить систему уравнений онлайн с подробным решением,решить систему уравнений онлайн с решением,решить систему уравнений с комплексными числами онлайн,решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн,решить систему уравнения онлайн,решить системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить системы уравнений онлайн,решить слау,решить слау методом гаусса онлайн,решить слау методом гаусса онлайн с решением,решить слау онлайн,решить слау онлайн методом гаусса,решить уравнение методом гаусса онлайн,решить уравнение методом гаусса онлайн калькулятор,решить уравнение онлайн методом гаусса,решить уравнение онлайн методом гаусса онлайн,решить уравнение с тремя неизвестными онлайн,систем линейных уравнений методом гаусса калькулятор,систем линейных уравнений онлайн калькулятор,система гаусса онлайн,система линейных алгебраических уравнений онлайн калькулятор,система линейных уравнений калькулятор,система линейных уравнений калькулятор онлайн,система линейных уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,система линейных уравнений методом гаусса онлайн,система линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,система линейных уравнений онлайн,система линейных уравнений онлайн калькулятор,система линейных уравнений онлайн методом гаусса,система линейных уравнений онлайн решение,система линейных уравнений решение онлайн,система методом гаусса онлайн,система уравнений гаусса онлайн,система уравнений калькулятор,система уравнений методом гаусса онлайн,система уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,система уравнений онлайн гаусса,система уравнений онлайн калькулятор,система уравнений онлайн калькулятор с подробным решением,система уравнений онлайн методом гаусса,система уравнений онлайн методом гаусса онлайн,система уравнений онлайн решение,системы линейных алгебраических уравнений онлайн,системы линейных уравнений калькулятор онлайн,системы линейных уравнений онлайн,системы линейных уравнений онлайн калькулятор,системы онлайн калькулятор,системы уравнений калькулятор,системы уравнений калькулятор онлайн,системы уравнений методом гаусса калькулятор,системы уравнений онлайн,системы уравнений онлайн калькулятор,слау калькулятор,слау калькулятор онлайн,слау метод гаусса онлайн,слау методом гаусса жордана гаусса онлайн,слау методом гаусса калькулятор,слау методом гаусса онлайн,слау методом гаусса онлайн калькулятор,слау онлайн,слау онлайн калькулятор,слау онлайн метод гаусса,слу калькулятор,слу калькулятор онлайн,слу онлайн калькулятор,слу онлайн решение,слу решить,совместность матрицы онлайн,уравнение гаусса онлайн,уравнение методом гаусса онлайн,уравнение с тремя неизвестными онлайн,уравнения онлайн методом гаусса онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, гаусс калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса онлайн

Для решения любой системы линейных уравнений метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных является наиболее универсальным и достаточно простым при небольшом количестве переменных. Этот метод универсален, его применяют, когда система уравнений имеет:

• единственное решение;
• бесконечное множество решений;
• вовсе не имеет решений.

Суть метода состоит в переходе от заданной системы линейных уравнений к более простой с помощью таких эквивалентных преобразований в системе, как:

• перемена двух уравнений местами;
• умножение обеих частей уравнения на любое действительное число, не равное 0;
• прибавление к одному уравнению соответствующих частей другого, умноженных на произвольное число.

С помощью преобразований последовательно исключаем одну переменную за другой пока в одной из строк не будет определена переменная x_i.

Метод Гаусса позволяет решать СЛАУ при небольшом числе вычислительных операций.

Алгоритм решения:

• записываем систему в виде расширенной матрицы;
• прямой ход — приводим матрицу к ступенчатому виду;
• обратный ход — приводим матрицу к специальному ступенчатому виду.

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными переменными:

Определитель основной матрицы не равен 0.

Исключим из всех уравнений системы переменную х₁, начиная со 2-го, для чего:

• ко 2-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а₂₁/а₁₁;
• к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а₃₁/а₁₁, и т.д.;
• к n-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а_n1/а₁₁.

В результате преобразований система приняла вид:

Далее таким же путем исключаем неизвестную переменную х₂ из всех уравнений, начиная с 3-го.

Для этого к 3-му уравнению прибавляем 2-е, умноженное на — а₃₂/а₂₂ и т.д. К n-му уравнению прибавим 2-е, умноженное на — а_n2/а₂₂.

Таким же способом исключаем неизвестную х₃ из всех уравнений системы, начиная с 4-го.

Прямой ход продолжается, пока в последнем уравнении не останется единственная неизвестная. Система будет иметь вид:

а_nn^(n-1) х_n = b_n^(n-1)

После окончания прямого хода метода Гаусса — последовательного исключения неизвестных, вычисляем неизвестную в последнем уравнении:

• из последнего уравнения системы находим х_n по формуле:
• из предпоследнего уравнения находим х^n-1 и т.д.
• из первого уравнения находим х₁.

Последовательное нахождение неизвестных, начиная с последнего уравнения к первому, называется обратным ходом.

Заметим, если в матрице есть хоть одна нулевая строка, у которой правая часть (свободный член) не равна 0, система несовместима, решения отсутствуют.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
2. Приводим матрицу к “треугольному” виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
   переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aⁱ_i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a¹₁ отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K_j=a^j_i/aⁱ_i;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a^j_kнов.=a^j_k-K_j*aⁱ_k;
   После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaⁱ_i, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(C^k_n)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

• если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
• если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
• если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

Метод гаусса онлайн. Решение систем линейных уравнений методом жордана-гаусса

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана–Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк ;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля ;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число ;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца) .

Пример 2.11. Решить методом Жордана–Гаусса системы линейных уравнений:

а ) Х 1 + Х 2 + 2Х 3 = -1

2Х 1 — Х 2 + 2Х 3 = -4

4Х 1 + Х 2 + 4Х 3 = -2

Решение: Составим расширенную матрицу:

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу

откуда Х 1 = 1, Х 2 = 2, Х 3 = -2.

Закончив решение, на этапе обучения необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б ) Х 1 – Х 2 + Х 3 – Х 4 = 4

Х 1 + Х 2 + 2Х 3 +3Х 4 = 8

2Х 1 +4Х 2 + 5Х 3 +10Х 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х 1 – 3Х 2 – 5Х 4 = 0

2Х 2 + Х 3 + 4Х 4 = 4

Последние две строки матрицы A (2) являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e 1 , e 2 ,…, e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0, 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми , когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы , т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема 2.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A (2) равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема 2.4 (Кронекера–Капели). Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r n , r переменных x 1 , x 2 ,…, x r называются базисными , если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор ) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются свободными .

Определение. Решение системы, в котором все n – r свободных переменных равны нулю, называется базисным .

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m ) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т.е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х 1 = 3Х 2 +5Х 4

Х 3 = 4 – 2Х 2 – 4Х 4

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х 2 = 0, Х 4 = 0, тогда Х 1 =0, Х 3 = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0, 4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х 3 и Х 4 . Выразим неизвестные Х 1 и Х 2 через неизвестные Х 3 и Х 4:

Х 1 = 6 – 3/2Х 2 – Х 4

Х 2 = 2 – 1/2Х 3 – 2Х 4 .

Тогда базисное решение имеет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 2.12. Решить систему:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = –1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса . Если метод Гаусса осуществляется в два этапа (прямой ход и обратный) то метод Гаусса-Жордана позволяет решить систему в один этап. Подробности и непосредственная схема применения метода Гаусса-Жордана описаны в примерах.

Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde{A}$ — расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть .

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

$$ \left\{ \begin{aligned} & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Упрощая полученную систему, имеем:

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Полное решение без пояснений выглядит так:

Хоть этот способ выбора разрешающих элементов вполне допустим, но предпочтительнее выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы системы. Мы рассмотрим этот способ ниже.

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы.

Так как этот способ решения полностью аналогичен предыдущему (за исключением выбора разрешающих элементов), то подробные пояснения пропустим. Принцип выбора разрешающих элементов прост: в первом столбце выбираем элемент первой строки, во втором столбце берём элемент второй строки, в третьем столбце — элемент третьей строки и так далее.

Первый шаг

В первом столбце выбираем элемент первой строки, т.е. в качестве разрешающего имеем элемент 4. Понимаю, что выбор числа 2 кажется более предпочтительным, так как это число всё-таки меньше, нежели 4. Для того, чтобы число 2 в первом столбце переместилось на первое место, поменяем местами первую и вторую строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) $$

Итак, разрешающий элемент представлен числом 2. Точно так же, как и ранее, разделим первую строку на 2, а затем обнулим элементы первого столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} I:2 \\\phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг

На втором шаге требуется обнулить элементы второго столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки, т.е. 1. Разрешающий элемент уже равен единице, поэтому никаких строк менять местами не будем. Кстати сказать, если бы мы захотели поменять местами строки, то первую строку трогать не стали бы, так как она уже была использована на первом шаге. А вот вторую и третью строки запросто можно менять местами. Однако, повторюсь, в данной ситуации менять местами строки не нужно, ибо разрешающий элемент уже оптимален — он равен единице.

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-5\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг окончен. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге требуется обнулить элементы третьего столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки, т.е. 37/2. Разделим элементы третьей строки на 37/2 (чтобы разрешающий элемент стал равен 1), а затем обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ III:\frac{37}{2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right). $$

Ответ получен: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Полное решение без пояснений выглядит так:

Все остальные примеры на этой странице будут решены именно вторым способом: в качестве разрешающих будем выбирать диагональные элементы матрицы системы.

Ответ : $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Запишем расширенную матрицу данной системы : $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)$.

В качестве разрешающих элементов станем выбирать диагональные элементы матрицы системы: на первом шаге возьмём элемент первой строки, на втором шаге элемент второй строки и так далее.

Первый шаг

Нам нужно обнулить соответствующие элементы первого столбца. В качестве разрешающего элемента возьмём элемент первой строки, т.е. 3. Соответственно первую строку придётся разделить на 3, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. А затем обнулить все элементы первого столбца, кроме разрешающего:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} I:3\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right). $$

Второй шаг

Переходим к обнулению соответствующих элементов второго столбца. В качестве разрешающего элемента мы уславливались взять элемент второй строки, но сделать этого мы не в силах, так как нужный элемент равен нулю. Вывод: будем менять местами строки. Первую строку трогать нельзя, так как она уже использовалась на первом шаге. Выбор небогат: или меняем местами вторую и третью строки, или же меняем местами четвёртую и вторую. Так как в четвёртой строке наличествует (-1), то пусть в «обмене» поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) $$

Вот теперь всё в норме: разрешающий элемент равен (-1). Бывает, кстати, что смена мест строк невозможна, но это обговорим в следующем примере №3. А пока что делим вторую строку на (-1), а затем обнуляем элементы второго столбца. Обратите внимание, что во втором столбце элемент, расположенный в четвёртой строке, уже равен нулю, поэтому четвёртую строку трогать не будем.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\II:(-1) \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} I-1/3\cdot II\\ \phantom{0} \\III-2\cdot II\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right). $$

Третий шаг

Приступаем к обработке третьего столбца. В качестве разрешающего элемента мы условились брать диагональные элементы матрицы системы. Для третьего шага это означает выбор элемента, расположенного в третьей строке. Однако если мы просто возьмём элемент 7 в качестве разрешающего, то всю третью строку придётся делить на 7. Мне кажется, что разделить на (-2) попроще. Поэтому поменяем местами третью и четвёртую строки, и тогда разрешающим элементом станет (-2):

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) $$

Разрешающий элемент — (-2). Делим третью строку на (-2) и обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\III:(-2)\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} I-2/3\cdot III\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV-7\cdot III\end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right). $$

Четвёртый шаг

Переходим к обнулению четвёртого столбца. Разрешающий элемент расположен в четвёртой строке и равен числу $-\frac{39}{2}$.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV:\left(-\frac{39}{2}\right) \end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \begin{array} {l} I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

Ответ : $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.$ методом Гаусса-Жордана. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Подобные примеры разбираются в теме «Общее и базисное решения СЛАУ» . Во второй части упомянутой темы данный пример решён с помощью метод Гаусса . Мы же решим его с помощью метода Гаусса-Жордана. Пошагово разбивать решение не станем, так как это уже было сделано в предыдущих примерах.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I\\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:5 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \\ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right). $$

Полагаю, что одно из сделанных преобразований всё-таки требует пояснения: $IV:3$. Все элементы четвёртой строки нацело делились на три, поэтому сугубо из соображений упрощения мы разделили все элементы этой строки на три. Третья строка в преобразованной матрице стала нулевой. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) $$

Нам пора переходить к третьему шагу, на котором должны быть обнулены элементы третьего столбца. Однако диагональный элемент (третья строка) равен нулю. И смена мест строк ничего не даст. Первую и вторую строки мы уже использовали, поэтому их трогать мы не можем. А четвёртую и пятую строки трогать нет смысла, ибо проблема равенства нулю разрешающего элемента никуда не денется.

В этой ситуации проблема решается крайне незамысловато. Мы не можем обработать третий столбец? Хорошо, перейдём к четвёртому. Может, в четвёртом столбце элемент третьей строки будет не равен нулю. Однако четвёртый столбец «болеет» той же проблемой, что и третий. Элемент третьей строки в четвёртом столбце равен нулю. И смена мест строк опять-таки ничего не даст. Четвёртый столбец тоже не можем обработать? Ладно, перейдём к пятому. А вот в пятом столбце элемент третьей строки очень даже не равен нулю. Он равен единице, что довольно-таки хорошо. Итак, разрешающий элемент в пятом столбце равен 1. Разрешающий элемент выбран, поэтому осуществим дальшейшие преобразования метода Гаусса-Жордана:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom{0}\\ IV+III\\ V+2\cdot III \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text{Удаляем нулевые строки}\right|\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны $r=3$, т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных $n=5$, поэтому нужно выбрать $n-r=2$ свободных переменных. Так как $r

На «ступеньках» стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные $x_1$, $x_2$, $x_5$. Свободными переменными, соответственно, будут $x_3$, $x_4$. Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). $$

Из последней матрицы получим общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$. Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. $$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$, базисное решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$.

4. Метод Жордана — Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n — ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

… «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Пример из видеоурока в рукописном виде:

Пример 2.

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ, где РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 — 8×5 — 10.75×6
x2 = -12 — 10×5 — 11×6
x3 = -7.25 — 6×5 — 5.25×6
x4 = -2.25 — x5 — 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

Решебник Систем Уравнений Онлайн – Telegraph

>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

Решебник Систем Уравнений Онлайн

Решение систем уравнений . Онлайн калькулятор для решения любых уравнений , неравенств, интегралов . Помощь школьникам, студентам в решении : Решение систем уравнений, можно заказать дипломную работу . 

Решение систем уравнений онлайн . Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными  Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений . 

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными .  С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения . 

Теперь решить систему уравнений с двумя неизвестными стало проще простого с сервисом Math34 .biz . В отличие от других калькуляторов, наш предоставляет пошаговые решения в удобном для учеников виде . 

Онлайн калькулятор для вычисления систем уравнений . Калькулятор решает системы : линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений . Если система имеет общие методы решения, то калькулятор выдает полное . . 

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных . . 

Системы уравнений по-шагам . Результат . Примеры систем уравнений . Метод Гаусса .  Чтобы увидеть подробное решение — помогите рассказать об этом сайте . 

Решение систем линейных уравнений . Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема . . 

Решить систему линейных уравнений можно различными способами, нимер используя метод  Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями . 

Система линейных алгебраических уравнений . Как решать линейные уравнения . Каждое уравнение в системе является линейным  Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных . . 

Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса — OnLine Калкулятор . Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями, вам . . 

Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков . 23 аль 2019, Пятница . 2 826 .  Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков онлайн с помощью калькулятора на сайте . Используйте для проверки ваших навыков решения . 

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса online .  Онлайн -калькулятор предназначен для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, а также методом Гаусса-Жордано (чем они отличаются) . 

Первое уравнение . X . + y . = Второе уравнение . X . + y . = Система линейных уравнений . Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде записывается как: A_11 x_1+a_12 x_2=b_1 . A_21 x_1+a_22 x_2=b_2 .
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса . Дается подробное решение . Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений . 

Решение систем уравнений . Онлайн калькулятор для решения любых уравнений , неравенств, интегралов . Помощь школьникам, студентам в решении : Решение систем уравнений, можно заказать дипломную работу . 

Решение систем уравнений онлайн . Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными  Точки пересечения прямой с эллипсом M1(x1,y1) и M2(x2,y2) являются решениями исходной системы уравнений . 

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными .  С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения . 

Теперь решить систему уравнений с двумя неизвестными стало проще простого с сервисом Math34 .biz . В отличие от других калькуляторов, наш предоставляет пошаговые решения в удобном для учеников виде . 

Онлайн калькулятор для вычисления систем уравнений . Калькулятор решает системы : линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений . Если система имеет общие методы решения, то калькулятор выдает полное . . 

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных . . 

Системы уравнений по-шагам . Результат . Примеры систем уравнений . Метод Гаусса .  Чтобы увидеть подробное решение — помогите рассказать об этом сайте . 

Решение систем линейных уравнений . Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема . . 

Решить систему линейных уравнений можно различными способами, нимер используя метод  Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями . 

Система линейных алгебраических уравнений . Как решать линейные уравнения . Каждое уравнение в системе является линейным  Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных . . 

Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса — OnLine Калкулятор . Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями, вам . . 

Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков . 23 аль 2019, Пятница . 2 826 .  Решение систем уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядков онлайн с помощью калькулятора на сайте . Используйте для проверки ваших навыков решения . 

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса online .  Онлайн -калькулятор предназначен для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, а также методом Гаусса-Жордано (чем они отличаются) . 

Первое уравнение . X . + y . = Второе уравнение . X . + y . = Система линейных уравнений . Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде записывается как: A_11 x_1+a_12 x_2=b_1 . A_21 x_1+a_22 x_2=b_2 .
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса . Дается подробное решение . Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений . 

ГДЗ По Математике 6 2014
ГДЗ По Английскому Языку Афанасьева Ответы
ГДЗ 9 Клас Мова
ГДЗ 5 Класс География Ответы Баринова
Решебник Английский 6 Класс Учебник Вирджиния Эванс
ГДЗ По Физике 7 Класс Синий
Решебник По Английскому Языку Кауфман 7 Класс
ГДЗ По Математике 4 Учебник 1
Решебник По Математике 4 Класс Аргинская Ивановская
ГДЗ По Математике 3 Класс Петерсон Рабочая
ГДЗ По Английскому Языку 9 Класс Вербицкая
ГДЗ Рабочая Тетрадь 4 Класс Ответы
ГДЗ 7 Класс По Алгебре Номер 1
ГДЗ Спотлайт Рабочая
ГДЗ Быстрова 8 Класс 1 Часть
ГДЗ По Алгебре 7 Класс Мордкович 5
Решебник По Физике 9 Лукашик
ГДЗ По Математике 6 Класс 53
Решебник Математика 6 Класс Виленкин Хохлов
ГДЗ По Английскому Языку Учебник Четвертый Класс
ГДЗ По Английскому 6 Класс Старый
Решебник Муравин 8 Класс
ГДЗ По Физике 9 Перышкин 2020
ГДЗ По Алгебре 10 Класс Мордкович Углубленка
М М Моро Решебник
ГДЗ По Математике 6 Виленкин 2 Часть
ГДЗ Horizonte 5 Класс Тетрадь
Бим Садомова 8 Класс ГДЗ
ГДЗ По Математике 8 Класс Дидактический Материал
ГДЗ Математика 6 Класс Е А Бунимович
ГДЗ П Алгебре 8 Класс Никольский
ГДЗ По Математике 11 Класс Жижченко
Решебник По Математике 4 Нефедова
ГДЗ Русский Язык 3 21 Век
Решебник Литературное Чтение 2 Класс Часть 1
ГДЗ Естествознание 6 Класс Тетрадь
Решебник По Русскому Языку 5 Класс Беларусь
ГДЗ Русский 2 Рамзаева
Решебник По Русскому Третий Класс
ГДЗ По Математике 6 Мерзляк Дидактика
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Номер 174
ГДЗ По Английскому 8 Класса Биболетова Учебник
ГДЗ Англ 5 Класс Кузовлев Учебник
ГДЗ По Биологии Рабочая Тетрадь Тихонова
ГДЗ По Алгебра 9 Учебник Колягин
Математик 4 Класс Решебник
ГДЗ По Литературе 3 Тетрадь
ГДЗ 3 Класс Автор Петерсон
ГДЗ Английский В Фокусе 6 Класс
ГДЗ Активити Бук 6 Класс

Решебник Мерзляк 10

Решебник По Русскому 10 Класс Гусарова

ГДЗ Бойкина Литературное Чтение Тетрадь

Контрольные Решебник Алгебра

История 7 Класс Данилова Учебник ГДЗ

Онлайн калькулятор: Метод исключения Гаусса

Система линейных уравнений:

может быть решена методом исключения Гаусса с помощью калькулятора.

В методе исключения Гаусса система линейных уравнений представлена ​​как расширенная матрица, то есть матрица, содержащая коэффициенты уравнения и постоянные члены с размерами [n: n + 1]:

Исключение по Гауссу

Матрица системы линейных уравнений

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Исключение по Гауссу

Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса, гениального немецкого математика 19 века. Сам Гаусс не изобрел этот метод. Метод сокращения строк был известен древним китайским математикам; он был описан в «Девяти главах математического искусства», китайской книге по математике, изданной во II веке.

Ликвидация вперед

Первым шагом исключения Гаусса является получение матрицы строковой формы. Левая нижняя часть этой матрицы содержит только нули, и все нулевые строки находятся ниже ненулевых строк:

Матрица приведена к этой форме с помощью элементарных операций со строками: поменять местами две строки, умножить строку на константу, добавить к одной строке скалярное кратное другой.
Наш калькулятор получает форму эшелона путем последовательного вычитания верхних строк, умножения на нижние строки, умножения на, где i — ведущая строка коэффициентов (ведущая строка).
Важно, чтобы старший коэффициент отличался от нуля. Если он становится равным нулю, строка заменяется более низкой строкой с ненулевым коэффициентом в той же позиции.

Обратная замена

На этом этапе операции с элементарными строками продолжаются до тех пор, пока не будет найдено решение. Наконец, он преобразует матрицу в сокращенный ряд строк:
,

Я занимаюсь математикой · Программа для одновременного решения линейных уравнений

См. Также: матрица, исключение Гаусса-Жордана, геометрическое линейное преобразование

Калькулятор ниже решит одновременные линейные уравнения с двумя, тремя и до 10 переменными, если система уравнений имеет единственное решение.
Для систем уравнений с множеством решений используйте метод исключения Гаусса-Жордана.

Прокрутите вниз, чтобы прочитать о различных методах решения одновременных линейных уравнений.

Программа для решения одновременных линейных уравнений

Выберите размер системы.

загрузка. . .

Расчет. . .

Методы решения одновременных линейных уравнений

Существует как минимум пять методов решения одновременных линейных уравнений.

Например, давайте попробуем найти решение для следующего набора одновременных линейных уравнений с 3 переменными

Метод исключения

Как следует из названия, этот метод пытается исключить переменные, пока не останется только 1 переменная.

Во-первых, посмотрите на уравнения и попытайтесь найти 2 уравнения с одинаковым коэффициентом (плюс или минус) для одинаковых переменных. Например, см. Уравнения (1) и (3).Коэффициент для y равен 1 и -1 соответственно. Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить y, и мы получим уравнение (4).

Обратите внимание, что уравнение (4) состоит из переменных x и z. Теперь нам нужно другое уравнение, которое имеет те же переменные, что и уравнение (4). Чтобы получить это, мы исключим y из уравнений (1) и (2). В уравнениях (1) и (2) коэффициенты при y равны 1 и 3 соответственно.Чтобы исключить y, мы умножаем уравнение (1) на 3, а затем вычитаем уравнение (2) из ​​уравнения (1).

Теперь мы можем исключить z с помощью уравнений (4) и (5).

Из уравнения ( 6) получаем x = 2.Теперь мы можем подставить это значение x в уравнение (4), чтобы получить значение z.

Наконец, мы можем подставить значения x и z в уравнение (1), чтобы получить y.

Следовательно, решение системы линейных уравнений имеет вид х = 2, у = 3, г = 4.

Метод замещения

Во-первых, давайте перегруппируем уравнение (1) так, чтобы только 1 переменная находилась в левой части.

Теперь давайте подставим этот x в уравнение (2).

Аналогичным образом подставим x в уравнение (3).

Теперь давайте перегруппируем уравнение (5) так, чтобы только 1 переменная находилась в левой части.

Затем подставляем это значение z в уравнение (4).

Теперь, когда мы нашли y, мы можем подставьте это в уравнение (5), чтобы найти z.

Наконец, мы можем подставить значение y и z в уравнение (1), чтобы получить значение x.

Графический метод

Решение системы линейных уравнений с использованием графического метода выполняется путем рисования линий или плоскостей, которые представляют каждое уравнение.Решение — это координаты пересечения линий или плоскостей.

Для простоты рассмотрим систему линейных уравнений с двумя переменными.

Постройте линии этих двух уравнений.

Как показано на графике, две прямые пересекаются в точке (0,3). Это решение системы линейных уравнений, т.е. x = 0, у = 3.

Для системы линейных уравнений с тремя переменными решением является точка пересечения трех плоскостей, представляющих каждое уравнение.

Метод обратной матрицы

Система линейных уравнений, определяемая уравнениями (1), (2) и (3), может быть выражена в матричной форме следующим образом.

Множеством решений является матрица B. Чтобы выделить только B на одной стороне уравнения, мы умножаем обе части уравнения на матрицу, обратную матрице A

Теперь, чтобы найти B, нам нужно найти A − 1. Пожалуйста, проверьте страницу матрицы, чтобы узнать, как найти обратную матрицу.

Следовательно, множество решений х = 2, у = 3, г = 4.

Исключение Гаусса / Исключение Гаусса-Джордана

Система линейных уравнений, определяемая уравнениями (1), (2) и (3), может быть выражена в форме расширенной матрицы следующим образом.

Выполняя серию операций со строками (исключение Гаусса), мы можем привести указанную выше матрицу к ее эшелонированной форме по строкам.

Затем мы можем выполнить обратную подстановку, чтобы получить значения всех неизвестных / переменных, или мы можем выполнять дальнейшие операции со строками, пока матрица приведена в виде приведенного ряда строк (с использованием метода исключения Гаусса-Жордана).

Выполняя исключение Гаусса-Жордана, мы получаем решение системы уравнений в последнем столбце: x = 2, у = 3, г = 4.

Чтобы просмотреть пошаговые операции со строками, см. Страницу исключения Гаусса-Джордана.

Запутались, есть вопросы? У нас есть ответы.С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в этой области.

Джимми Си

См. Также: матрица, исключение Гаусса-Жордана, геометрическое линейное преобразование

Добро пожаловать в калькулятор системы уравнений , где мы узнаем, как решить систему линейных уравнений . Наш удобный калькулятор быстро найдет решение любой проблемы, которую вы ему дадите, и, если существует бесконечное количество решений, даже подскажет, как они выглядят ! Решатель системы уравнений использует так называемый метод исключения Гаусса , но это не единственный метод, поэтому ниже мы представляем пять различных ответов на вопрос «Как решить систему уравнений?»

Давайте не будем терять ни секунды и займемся этим, не так ли?

Что такое система линейных уравнений?

Запомните все эти загадки в Facebook или Instagram. , знаете, те, где три яблока равны 30, яблоко и два банана равны 18, а банан минус кокос равен двум, и вам нужно было вычислить сколько стоят яблоко, банан и кокос? Это то, что математики называют системой линейных уравнений .« Но как? Математики не используют яблоки и бананы, не так ли? » Ну, им тоже нравится держать доктора подальше и время от времени кусать яблоко, но вы правы, они не рассчитать в яблоках . Однако нет никакой разницы, если вы правы: « Три яблока равны 30 » или 3x = 30 .

Появившееся выше значение x — это то, что мы называем переменной . Он обозначает число или элемент, значение которого мы не знаем, но о котором мы знаем или .В нашем случае мы знаем, что три яблока равно 30 , но яблоко — это просто переменная, например x , поскольку мы не знаем ее значения. По сути, «, что является решением системы уравнений … » — это то же самое, что « дать мне значение яблока (или x ) , которое удовлетворяет …» Честно говоря , мы знаем, что большинство ученых хотели бы использовать бананы вместо x , но они просто не уверены в своих навыках рисования .

« Но что, черт возьми, означает linear ? » Мы говорим, что уравнение является линейным, если его переменные (будь то x или кокосы) находятся в первой степени. Это означает, например, что они не возведены в квадрат x² , как в квадратных уравнениях, или знаменатель дроби, или квадратный корень. Однако их можно умножить на любое число, как мы имели 3 в нашем уравнении 3x = 30 . Это относится к всем переменным в уравнении .Например, уравнение -2x + 14y - 0,3z = 0 является линейным, а 10x - 7y + z² = 1 — нет.

Наконец, если у нас есть несколько уравнений, которые нужно решить вместе, мы называем их системой уравнений . Обозначим это, нарисовав фигурную скобку (или повернутый набор усов, как вам больше нравится) слева от них. Это означает, что нас интересует только решение всех уравнений в системе . Если мы найдем значения, которые работают для первого уравнения, но не для второго, мы не будем называть это решением.

Как решить систему уравнений?

Существует множество различных способов решения системы линейных уравнений. Кратко опишем несколько наиболее распространенных методов.

1. Замена

Первый метод, которому обучают студентов, и самый универсальный метод , работает путем выбора одного из уравнений, выбора одной из переменных в нем и превращения этой переменной в предмет этого уравнения .Затем мы используем это преобразованное уравнение и подставляем его каждый раз, когда эта переменная появляется в других уравнениях. Таким образом, в других уравнениях теперь на одну переменную меньше , что упрощает их решение.

Например, если у нас есть уравнение 2x + 3y = 6 и мы хотим получить из него x , то мы начинаем с , избавляясь от всего, что не содержит x с левой стороны . Для этого мы должны вычесть 3y с обеих сторон (потому что это выражение находится слева).Это означает, что левая сторона будет 2x + 3y - 3y , что просто 2x , а правая сторона будет 6 - 3y . Другими словами, мы преобразовали наше уравнение в 2x = 6 - 3y .

Поскольку мы хотим получить x , а не 2x , нам все равно нужно избавиться от 2 . Для этого мы делим обе стороны на 2. Таким образом, слева мы получаем (2x) / 2 , что составляет всего x , а справа мы имеем (6 - 3y) / 2 , что составляет 3 - 1.5лет . В итоге мы получили x = 3 - 1,5y , и мы можем использовать эту новую формулу для замены 3 - 1,5y in на каждые x в других уравнениях.

2. Исключение переменных

Решение систем уравнений методом исключения означает, что мы пытаемся уменьшить количество переменных в некоторых уравнениях, чтобы облегчить их решение . Для этого мы начнем с преобразования двух уравнений так, чтобы они выглядели одинаково.Чтобы быть точным, мы хотим сделать коэффициент (число рядом с переменной) одной из переменных уравнения противоположным коэффициенту той же переменной в другом уравнении . Затем мы складываем два уравнения, чтобы получить новое, в котором нет этой переменной, поэтому его легче вычислить.

Например, если у нас есть система уравнений,

2x + 3y = 6 и

4х - у = 3 ,

, то мы можем попытаться сделать коэффициент x в первом уравнении противоположным коэффициенту во втором уравнении.В нашем случае это означает, что мы хотим преобразовать 2 в противоположность 4 , то есть -4 . Для этого нам нужно умножить обе части первого уравнения на -2 , так как 2 * (-2) = -4 . Это изменяет первое уравнение на

2x * (-2) + 3y * (-2) = 6 * (-2) ,

, что равно

-4x - 6y = -12 .

Теперь мы можем добавить это уравнение ко второму ( 4x - y = 3 ), добавив левую часть к левой и правую к правой.Это дает

4x - y + (-4x - 6y) = 3 + (-12) ,

, что равно

-7y = -9 .

Мы получили новое уравнение только с одной переменной, что означает, что мы можем легко решить y . Затем мы можем подставить это число в любое из исходных уравнений, чтобы получить x .

3. Метод исключения Гаусса

Это метод, используемый нашим калькулятором системы уравнений. Названный в честь немецкого математика Иоганна Гаусса, он представляет собой алгоритмическое расширение метода исключения, представленного выше. В случае всего двух уравнений это одно и то же. Однако решение систем уравнений путем регулярного исключения становится все сложнее и сложнее с появлением все большего количества уравнений и переменных. Вот где приходит на помощь метод исключения Гаусса.

Допустим, у нас есть четыре уравнения с четырьмя переменными . Чтобы найти решение нашей системы, мы хотим попытаться получить значения наших переменных одно за другим, последовательно удаляя все остальные.Для этого мы, , берем первое уравнение и первую из переменных . Мы используем его коэффициент, чтобы исключить все вхождения этой конкретной переменной в трех других уравнениях , точно так же, как мы это делали при обычном исключении. Таким образом, у нас остается первое уравнение, такое же, как и было, и три уравнения, теперь каждое с только тремя переменными .

Теперь посмотрим на первое уравнение, отметим его «большой палец вверх» и оставим его как есть до самого конца .Мы повторяем процесс для остальных трех уравнений. Другими словами, мы берем вторую переменную и ее коэффициент из второго уравнения , чтобы исключить все вхождения этой переменной в последних двух уравнениях. Это оставляет нам первое уравнение с четырьмя переменными, второе — с тремя, а последние две — с — только с двумя переменными .

Затем мы объявляем второе уравнение красивым и красивым и оставляем его в покое. Мы переходим к двум оставшимся уравнениям и берем третью переменную и ее коэффициент в третьем уравнении, чтобы исключить эту переменную из четвертого равенства.

В итоге мы получаем систему из четырех уравнений, в которой первая имеет четыре переменных, вторая — три, третья — две, а последняя — только одну . Это означает, что мы можем легко получить значение четвертой переменной из четвертого уравнения (поскольку в нем нет других переменных). Затем мы подставляем это значение в третье уравнение и получаем значение третьей переменной (поскольку теперь у нее нет других переменных) и так далее.

4. Графическое представление

Пожалуй, наименее используемый метод, но тем не менее метод.Он берет каждое из уравнений в нашей системе, и переводит их в функцию . Точки на графике такой функции соответствуют координатам, которые удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, если мы хотим решить систему линейных уравнений, то достаточно найти все точки пересечения линии на графике , то есть координаты, удовлетворяющие всем уравнениям.

Однако это может быть непросто. Если у нас есть только два уравнения и две переменные, то функции представляют собой линии на двумерной плоскости.Следовательно, нам просто нужно найти точку, где эти две линии пересекают .

Для трех переменных функции теперь находятся в трехмерном пространстве, и больше не линии, а плоскости . Это означает, что нам нужно будет нарисовать три плоскости (что само по себе сложно), а затем также найти, где эти плоскости пересекаются. И, если вы думаете, что это сложно, попробуйте представить с четырьмя переменными и четырьмя измерениями . Если это произойдет естественным образом, свяжитесь с нами, и мы направим вас к ближайшему объекту, удостоенному Нобелевской премии, или к неврологу для тщательной проверки состояния головы.

5. Правило Крамера

Достаточно простой и очень простой способ решить систему линейных уравнений. Однако для этого требуется хорошее понимание матриц и их детерминантов . В качестве поощрения отметим, что он не нуждается ни в какой замене, ни в играх с уравнениями, это просто старая добрая основная арифметика . Например, для системы трех уравнений с тремя переменными мы подставляем коэффициенты из этих уравнений, чтобы сформировать четыре матрицы размером три на три и вычислить их детерминанты.Мы заканчиваем делением соответствующих значений, которые мы только что получили, чтобы получить окончательное решение.

Пример: Использование решателя системы уравнений

Давайте посмотрим на одну из этих загадок с картинками и попробуем решить ее с помощью нашего калькулятора системы уравнений .

Первое, что нам нужно сделать, это записать все вкусные сладости в виде буквенных переменных. Мы знаем, что выражение, которое мы получим, будет далеко не сладким глазом , но математики не имеют большого вкуса .Ладно, приступим к работе и оставим каламбуры на десерт .

В нашей загадке три символа — пончик, печенье и конфета. Мы не знаем значения ни одного из них, поэтому нам понадобятся три переменные — по одной для каждого изображения. Обычно используются такие буквы, как x , y и z , но вы можете свободно использовать другие буквы. Обозначим пончик x , печенье y , и конфету z .Это позволяет нам написать загадку выше в виде:

х + х + х = у

y + y - z = 25

z + z - x = 16 .

Итак, каково решение системы уравнений? Теперь держите лошадей. Прежде всего, мы попытаемся упростить каждое из трех выражений , прежде чем мы даже подумаем о том, как решить эту систему уравнений. Обратите внимание, что наш решатель системы уравнений не использует формулы в том виде, в котором мы сейчас имеем .В частности, у него нет никаких переменных справа от знака = , как в первом выражении. Итак, нам действительно нужно сначала поработать.

Мы берем каждое из уравнений и перемещаем все переменные в левую часть . Затем мы складываем вместе все слагаемые с той же переменной ( x , y или z ) в этом уравнении. Наконец, мы записываем полученные слагаемые в алфавитном порядке в терминах переменных.Это означает, что мы сначала записываем выражение с x , затем выражение с y , а затем с z .

В нашем случае это означает, что сначала нужно переместить на в первом уравнении справа налево. Для этого вычтем y из обеих частей равенства. Это дает

х + х + х - у = у - у ,

, что равно

х + х + х - у = 0 .

Теперь вся система выглядит так:

х + х + х - у = 0

y + y - z = 25

г + г - х = 16

Теперь мы складываем все слагаемые, содержащие одну и ту же переменную .Это означает, что в первом уравнении мы складываем три x , во втором мы складываем два y , а в третьем мы складываем два z . Получаем

3х - у = 0

2y - z = 25

2z - x = 16 .

Помните, что когда мы пишем 3x , , мы имеем в виду 3 * x , или «три копии x » . Теперь мы записываем переменные в алфавитном порядке .Первые два уравнения уже имеют желаемую форму, но в последнем нам нужно переместить выражение с x перед выражением с z . Это дает

3х - у = 0

2y - z = 25

-x + 2z = 16

Обратите внимание, что, на первый взгляд, это не похоже на выражение, которое есть в калькуляторе системы уравнений . Однако это так. Например, в первом уравнении нет z .Но помните, что «no z ‘s» означает «ноль копий z ». Следовательно, мы можем записать пропущенные переменные с коэффициентами 0. Таким образом, мы получаем

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-x + 0y + 2z = 16

Теперь это больше похоже на — это просто форма решателя системы уравнений! Чтобы быть уверенным, помните, что когда у нас нет числа перед переменной, тогда принято говорить, что число равно 1.Например, -y в первом уравнении фактически равно -1y .

Наконец, нам нужно определить, какие данные нам нужно взять из системы, которую мы получили, и куда поместить их в калькуляторе системы уравнений . Что ж, давайте посмотрим на первое равенство, которое у нас есть, и на верхнее равенство решателя и сравним их:

3х - у + 0z = 0

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

Соответствие выглядит так, как выглядит: a₁ — это число рядом с x в уравнении, b₁ — это число рядом с y , c₁ — число рядом с z и d₁ — это номер справа.В нашем случае это означает, что мы должны положить a₁ = 3 , b₁ = -1 , c₁ = 0 и d₁ = 0 . Повторим это со вторым и третьим уравнениями: a₂ = 0 , b₂ = 2 , c₂ = -1 , d₂ = 25 , a₃ = -1 , b₃ = 0 , c₃ = 2 , d₃ = 16 . Как только мы дадим все эти числа, решатель системы уравнений даст нам решение . В следующем разделе мы опишем , как он это делает, шаг за шагом .

Пример: решение систем уравнений методом исключения Гаусса

Работа с печеньем и пончиками — это развлечение и игра, но давайте теперь попробуем сжечь некоторые из этих сладких калорий, описав , как решить систему уравнений , которую мы получили в предыдущем разделе:

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-x + 0y + 2z = 16

Мы хотим, чтобы оставил первое уравнение равным , поскольку оно имеет ненулевой коэффициент рядом с переменной x .Однако мы будем использовать этот коэффициент для , чтобы избавиться от x в других уравнениях . Обратите внимание, что нам не нужно беспокоиться о втором, потому что его коэффициент x равен нулю. Чтобы справиться с третьим, мы удалим из него -x , сначала преобразовав его в противоположность 3x из первого уравнения. Фактически, достаточно умножить обе части третьего уравнения на 3 .

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-3x + 0y + 6z = 48

Теперь у нас есть противоположные числа рядом с x в первом и последнем равенстве, мы складываем два выражения вместе

(3x - y + 0z) + (-3x + 0y + 6z) = 0 + 48 ,

, что равно

0x -y + 6z = 48 .

Теперь мы можем заменить третье уравнение тем, которое мы только что получили , чтобы получить

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x - y + 6z = 48

В результате мы получили то, что в двух последних выражениях нет x , и всегда легче решить систему линейных уравнений с двумя переменными вместо трех.

Следующим шагом в методе исключения Гаусса является повторение того же процесса для последних двух уравнений .По сути, мы будем использовать ненулевой коэффициент y во втором равенстве, чтобы избавиться от y из последнего. Как мы уже делали выше, мы начинаем с преобразования -y в противоположность 2y , то есть в -2y . Для этого достаточно обе части последнего уравнения умножить на 2.

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x - 2y + 12z = 96

Теперь мы можем сложить два последних уравнения , чтобы получить

(0x + 2y - z) + (0x - 2y + 12z) = 25 + 96 ,

, что равно

0x + 0y + 11z = 121 .

Пора заменить третье уравнение

3х - у + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x + 0y + 11z = 121 .

Это конечная форма системы уравнений, которую мы получаем из метода исключения Гаусса . Теперь решить систему линейных уравнений стало намного проще. Как же так? Что ж, начнем с последнего равенства. В нем есть только одна переменная с ненулевым коэффициентом, а именно z .Мы можем забыть о нулевых членах, что дает нам

11z = 121 ,

, а это значит, что у нас должно получиться z = 11 . Теперь, когда мы знаем, какова первая часть решения системы уравнений, мы можем использовать это знание, чтобы заменить это число на z в двух других уравнениях :

3х - у + 0 = 0

0x + 2y - 11 = 25 ,

, что равно

3х - у = 0

0x + 2y = 36 .

Теперь у нас есть второе уравнение только с одной переменной с ненулевым коэффициентом. Если забыть о нулевых членах, получим

2y = 36 ,

и, следовательно, должно получиться y = 18 . Опять же, мы заменяем это число на y в первом уравнении :

3x - 18 = 0 ,

, что дает

3x = 18 ,

, а это означает, что x = 6 .В целом, нам удалось решить систему линейных уравнений, и нашли решение, равное

х = 6

г = 18

г = 11

Если мы теперь посмотрим на нашу загадку с картинками, все это решение системы уравнений методом исключения приведет нас к ответу, что пончик равен 6 , печенье равно 18 , и конфета равна 11 .

Кусок торта, не так ли?

Обращение матрицы с использованием исключения Гаусса-Джордана

М.Борн

В этом разделе мы увидим, как работает метод исключения Гаусса-Жордана, на примерах.

Вы можете повторно загружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел. Вы также можете выбрать матрицу другого размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна дополнительная информация, вернитесь к введению в матрицы).

Выберите размер матрицы, который вас интересует, и нажмите кнопку.

Матрица A:

Пример, сгенерированный случайным образом, показан ниже.

Телефонные пользователи

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример (3 × 3)

Найти обратную матрицу A методом исключения Гаусса-Жордана.

Наша процедура

Запишем матрицу A слева и матрицу идентичности I справа, разделенную пунктирной линией, как показано ниже.Результат называется расширенной матрицей .

Мы включили номера строк, чтобы было понятнее.

Затем мы выполняем несколько операций со строками над двумя матрицами, и наша цель — получить единичную матрицу на левом , например:

(Технически мы сокращаем матрицу A до сокращенной формы эшелона строк , также называемой канонической формой строки ).

Результирующая матрица справа будет обратной матрицей для A .

Наша процедура операций со строками выглядит следующим образом:

1. Получим «1» в верхнем левом углу, разделив первую строку
2. Тогда мы получим «0» в оставшейся части первого столбца
3. Затем нам нужно получить «1» во второй строке, втором столбце
4. Затем мы делаем все остальные записи во втором столбце «0».

Продолжаем так до тех пор, пока слева не останется единичная матрица.

Давайте теперь продолжим и найдем обратное.

Решение

Начнем с:

Новая строка [1]

Разделите строку [1] на 10 (чтобы получить «1» в нужной позиции):

Это дает нам:

Новый ряд [2]

Ряд [2] — 9 × Ряд [1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

9 — 9 × 1 = 0
8 — 9 × 1.3 = -3,7
14 — 9 × 1,2 = 3,2
0 — 9 × 0,1 = -0,9
1 — 9 × 0 = 1
0 — 9 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [2]:

Новый ряд [3]

Ряд [3] — 15 × Ряд [1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

15-15 × 1 = 0
11-15 × 1,3 = -8,5
16-15 × 1,2 = -2
0-15 × 0,1 = -1,5
0-15 × 0 = 0
1-15 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

Новый ряд [2]

Разделите строку [2] на -3.7 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):

Это дает нам:

Новая строка [1]

Ряд [1] — 1,3 × Ряд [2] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

1 — 1,3 × 0 = 1
1,3 — 1,3 × 1 = 0
1,2 — 1,3 × -0,8649 = 2,3243
0,1 — 1,3 × 0,2432 = -0,2162
0 — 1,3 × -0,2703 = 0,3514
0 — 1,3 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [1]:

Новый ряд [3]

Ряд [3] — -8.5 × Ряд [2] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

0 — -8,5 × 0 = 0
-8,5 — -8,5 × 1 = 0
-2 — -8,5 × -0,8649 = -9,3514
-1,5 — -8,5 × 0,2432 = 0,5676
0 — -8,5 × -0,2703 = -2,2973
1 — -8,5 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

Новый ряд [3]

Разделите строку [3] на -9,3514 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):

Это дает нам:

Новая строка [1]

Ряд [1] — 2.3243 × Ряд [3] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

1 — 2,3243 × 0 = 1
0 — 2,3243 × 0 = 0
2,3243 — 2,3243 × 1 = 0
-0,2162 — 2,3243 × -0,0607 = -0,0751
0,3514 — 2,3243 × 0,2457 = -0,2197
0 — 2,3243 × — 0,1069 = 0,2486

Это дает нам новую строку [1]:

Новый ряд [2]

Ряд [2] — -0,8649 × Ряд [3] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

0 — -0,8649 × 0 = 0
1 — -0,8649 × 0 = 1
-0.8649 — -0,8649 × 1 = 0
0,2432 — -0,8649 × -0,0607 = 0,1908
-0,2703 — -0,8649 × 0,2457 = -0,0578
0 — -0,8649 × -0,1069 = -0,0925

Это дает нам новую строку [2]:

Мы достигли нашей цели по созданию матрицы идентичности слева. Таким образом, мы можем заключить, что инверсия матрицы A является правой частью расширенной матрицы:

Примечания

1. В приведенном выше объяснении показаны все шаги. Человек обычно может пойти несколькими путями. Кроме того, иногда в правильной позиции уже есть «1» или «0», и в этих случаях нам не нужно ничего делать для этого шага.
2. Всегда записывайте, что вы делаете на каждом этапе — очень легко заблудиться!
3. Я показал результаты с точностью до 4 знаков после запятой, но с максимальной точностью использовалась повсюду.Имейте в виду, что небольшие ошибки округления будут накапливаться во всей задаче. Всегда используйте полную точность калькулятора! (Полностью используйте память вашего калькулятора.)
4. Очень иногда возникают странные результаты из-за внутреннего представления чисел компьютером. То есть он может хранить «1» как 0,999999999872.

Смотрите еще?

Вы можете вернуться к началу страницы и выбрать другой пример.

Алгебра — расширенные матрицы

Решите каждую из следующих систем уравнений.

Давайте сначала запишем расширенную матрицу для этой системы.

Как и в предыдущих примерах, мы помечаем красным цветом числа, которые мы хотим изменить на данном шаге.Первый шаг здесь — получить 1 в верхнем левом углу, и, опять же, у нас есть много способов сделать это. В этом случае мы заметим, что если мы поменяем местами первую и вторую строки, мы сможем получить 1 в этом месте с относительно небольшой работой.

Следующий шаг — получить два числа под этой единицей равными нулю.Также обратите внимание, что это почти всегда требует выполнения операции третьей строки. Кроме того, мы можем сделать и то, и другое за один шаг следующим образом.

Далее мы хотим превратить 7 в 1.Мы можем сделать это, разделив вторую строку на 7.

Итак, здесь фигурирует дробь.Такое случается время от времени, так что не стоит сильно волноваться по этому поводу. Следующий шаг — заменить 3 под этой новой единицей на 0. Обратите внимание, что мы пока не будем беспокоиться о -2 над ней. Иногда так же легко превратить это в 0 на том же этапе. Однако в этом случае это, вероятно, так же легко сделать позже, как мы увидим.

Итак, используя операцию третьей строки, мы получаем

Далее нам нужно преобразовать число в правом нижнем углу в 1.Мы можем сделать это с помощью операции второй строки.

Теперь нам нужны нули над этой новой единицей.Итак, использование операции третьей строки дважды, как показано ниже, сделает то, что нам нужно.

Обратите внимание, что в этом случае последний столбец не изменился на этом этапе.Это произошло только потому, что последняя запись в этом столбце была нулевой. В общем, этого не произойдет.

Последний шаг — преобразовать -2 над 1 во втором столбце в ноль. Это легко сделать с помощью операции третьего ряда.

Итак, у нас есть расширенная матрица в окончательном виде и решение будет

Это можно проверить, подставив их во все три уравнения и убедившись, что все они удовлетворяются.

Опять же, первый шаг — записать расширенную матрицу.

На этот раз мы не можем получить 1 в верхнем левом углу, просто поменяв строки местами.Мы могли бы поменять местами первую и последнюю строку, но это также потребовало бы другой операции, чтобы превратить -1 в 1. Хотя это несложно, это две операции. Обратите внимание, что мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы получить 1 в этом месте следующим образом.

Теперь мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы превратить два красных числа в нули.

Следующий шаг — получить 1 на месте, занимаемом красной 4.Мы могли бы сделать это, разделив всю строку на 4, но это добавило бы пару несколько неприятных дробей. Итак, вместо этого мы собираемся поменять местами вторую и третью строки. Причина этого станет очевидной достаточно скоро.

Теперь, если мы разделим вторую строку на -2, мы получим 1 в том месте, которое нам нужно.

Прежде чем перейти к следующему шагу, давайте заметим здесь пару вещей.Во-первых, нам удалось избежать дробей, что всегда хорошо, а во-вторых, эта строка готова. В конечном итоге нам понадобился бы ноль в этом третьем месте, и мы получили его бесплатно. Более того, это не изменится ни в одной из последующих операций. Это происходит не всегда, но если это произойдет, наша жизнь станет легче.

Теперь давайте воспользуемся операцией третьей строки, чтобы заменить красную 4 на ноль.

Теперь мы можем разделить третью строку на 7, чтобы получить число в правом нижнем углу в единицу.

Затем мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы заменить -3 на ноль.

Последний шаг — затем снова превратить -1 в 0, используя операцию третьей строки.

Тогда решение этой системы:

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса

Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса

После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.

Что такое гауссовское исключение

Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы. Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят.Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения. Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой.На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):

1. Перестановка двух рядов
2. Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
3. Добавление строки к другой строке

Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.

Как выполнить исключение по Гауссу

На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать для решения системы линейных уравнений, это все о матрице, которую вы имеете в руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:

Пример 1

Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения строк: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:

• Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения

Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z равно: z = -2.Мы используем это знание, чтобы подставить его во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:

В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.

Разница между исключением по Гауссу и по Гауссу Иордану

Разница между гауссовым исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме уменьшенного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).

История исключения Гаусса и его названия весьма интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому уроку, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.

На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут относиться к исключению Гаусса и исключению Гаусса Джордана как к методам создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы уменьшенной эшелонированной формы, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объяснили это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно также рассматривать как поворотное исключение Гаусса).

Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать, что, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.

Примеры исключения Гаусса

В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше попрактиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.

Пример 2

Пример 3

Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.

• Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив в это уравнение значение z = 0 \, в результате получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:

• Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений

Пример 4

Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные из второй и первой строк (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:

Пример 5

• Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
• Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

• Что автоматически говорит нам y = 8 .Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:

  Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений

Пример 6

Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке, чтобы дополнить ваши исследования: Исключение Гаусса — статья, которая содержит дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на всем протяжении этого курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!

Решение систем с исключением Гаусса — алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
• Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
• Выполнение операций со строками в матрице.
• Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика.Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные. В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

имеет матрицу коэффициентов

и представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идут в первый столбец, — -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце.Очень важно, чтобы каждое уравнение было написано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

1. Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
2. Запишите коэффициенты членов y в виде чисел во втором столбце.
3. Если имеется z -термина, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
4. Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными.Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

Выполнение операций со строками в матрице

Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение строковых операций над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме.Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

1. В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим номером 1.
2. Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
3. Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
4. Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

1. Поменять местами ряды. (Обозначение 🙂
2. Умножьте строку на константу. (Обозначение 🙂
3. Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание:

Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными. С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, так что строку 1 можно использовать для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения многоуровневой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу с номером 1 в качестве записи по главной диагонали и иметь все нули внизу.

Первый шаг стратегии Гаусса включает получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

1. Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса для решения данной системы уравнений.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелон.

Запишите систему уравнений в виде строк.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Решите систему, используя матрицы.

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
2. Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 фунтов стерлингов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 фунтов стерлингов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 фунтов стерлингов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 фунтов стерлингов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше суммы, инвестированной под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5%, пусть будет сумма, вложенная под 8%, пусть будет сумма, вложенная под 9%. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

В третьей строке указано usthus

Вторая строка говорит нам, что подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам о подстановке и получаем

Ответ: 3000 евро вложены под 5%, 1000 евро вложены под 8% и 6000 евро инвестированы под 9%.

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 фунтов стерлингов для расширения своих запасов. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 фунтов стерлингов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.

? 150 000 при 7%, 750 000 фунтов стерлингов при 8%, 600 000 фунтов стерлингов при 10%

Ключевые понятия

• Расширенная матрица — это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений.См. (Рисунок).
• Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​как исходная система уравнений. См. (Рисунок).
• Операции со строками включают в себя умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и замену строк местами.
• Мы можем использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
• Операции со строками выполняются над матрицами для получения формы «строка-эшелон». См. (Рисунок).
• Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в форме расширенной матрицы.Выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк. Обратно-заменитель, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
• Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту расширенную матрицу.

Да. Для каждой строки коэффициенты переменных записываются поперек соответствующей строки и помещается вертикальная черта; затем константы помещаются справа от вертикальной полосы.

Можно ли записать любую матрицу в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.

Есть только один правильный метод использования операций со строками в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно выполнить для расширенной матрицы

Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций над матрицей.Есть два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Разделить строку 1 на 9.

Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

Расширения

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 фунтов стерлингов.Шоколадные кексы стоят 2,25 евро, а кексы из красного бархата — 1,75 евро. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

860 красный бархат, 1340 шоколад

Вы вложили 10 000 евро в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой — с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283,50 фунтов стерлингов, какая сумма была на каждом счете по истечении года?

Вы вложили 2300 евро на счет 1 и 2700 евро на счет 2.Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 евро, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

4% на счет 1, 6% на счет 2

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 фунтов стерлингов. Производитель обошелся в 180 фунтов стерлингов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 фунтов стерлингов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя.Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 фунтов стерлингов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 фунтов стерлингов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать за пылесосы?

Три самых популярных вкуса мороженого — это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ванильный, шоколадный и клубничный вкусы?

В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге увеличились вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы — на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.

Банан — 3%, тыква — 7%, а каменистая дорога — 2%

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки — 4 г, миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

100 миндальных орехов, 200 кешью, 600 фисташек

Глоссарий

расширенная матрица

матрица коэффициентов, примыкающая к постоянному столбцу, разделенному вертикальной линией в скобках матрицы

матрица коэффициентов

матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений

Исключение по Гауссу

с использованием элементарных операций со строками для получения матрицы в форме строка-эшелон

главная диагональ

записей из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы

рядная форма

после выполнения строковых операций матричная форма, содержащая единицы по главной диагонали и нули в каждом пробеле ниже диагонали

эквивалент строки

две матрицы и эквивалентны строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками

строковые операции

: добавление одной строки к другой, умножение строки на константу, перестановка строк и т.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Урок 40. тригонометрическая форма комплексного числа — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №40. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие модуля комплексного числа;

2) понятие тригонометрической формы комплексного числа;

3) перевод комплексного числа в тригонометрическую форму.

Глоссарий по теме

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н. Е. и др., Учебник комплект под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017. 

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Комплексные числа имеют три формы, две из них мы уже изучили — алгебраическую и геометрическую.

Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме.

Например: при работе трансформатора идет нагрев обмоток — активное сопротивление R, катушка выделяет электромагнитные волны — реактивное сопротивление. Сняли замеры трансформатора

2 + 7 i ,

где 2 Ом — активное сопротивление,

7 Ом — реактивное сопротивление

Тригонометрическая форма комплексного числа r(cos φ+sin φ).

На любом трансформаторе стоит маркировка cos φ=. Это энергетический показатель ГОС стандартов. Он показывает эффективность работы, КПД, cos φ- активный показатель мощности, тока, напряжения. sin φ- реактивный показатель.

Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+bi  можно записать в тригонометрической форме: z=|z|∙(cosφ+isinφ), где |z| – это модуль комплексного числа, а φ – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число z=a+bi  . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что a>0, b>0 :

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: φ или arg z.

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Пример Представим в тригонометрической форме число z= -2+4i. Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a<0, b>0, то   – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Представить в тригонометрической форме число z= -1+2i.

Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a<0, b>0, то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Значит, верный ответ 1

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите куб суммы z= (3+4i)³=_____________

Решение:

Возведем данное выражение в третью степень

Упрощаем полученное выражение, учитывая, что i²=-1

Ответ:

1.

Глава 1. Арифметика

1.4.

1.4.3.

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Пример 1

Записать число в тригонометрической форме.

Показать решение

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем:

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂, …, φ_n – аргументы чисел z₁, z₂, …, z_n, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Пример 2

Вычислить если

Показать решение

Число z называется корнем степени  из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r₀(cos φ₀ + i sin φ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

Пример 3

Найти

Показать решение

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия. А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Как записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической форме

• Альфашкола
• Статьи
• Как записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической форме

Комплесное число имеет три формы записи: алгебраическую, показательную и тригонометрическую. Проиллюстрируем на примере методы записи комплексного числа в алгебраической и тригонометрической форме и их использование для решения уравнений. 2}}\) и j=\(arctg {b \over a}\)

Для тог чтобы записать \({z}={{-2{\sqrt2}}\over1+i}\) в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т. е. на 1- i.

.

 \(z=-{\sqrt2}+{\sqrt2}i\)- алгебраическая форма.

\(z=2{(cos{3π\over4}}+i sin{{3π\over4}})\)- тригонометрическая форма.

Применяя формулу для извлечения корня из комплексного числа:

Автор: Дмитрий Айстраханов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Лариса Александровна Новакова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Амурский педагогический колледж, ООО «Издательство «Учитель»

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Люблю математику за то, что она воспитывает человека, приучая его к точности , учит логично мыслить, и в какой-то степени она способна привести ум в порядок. В своей работе использую не только традиционные формы и методы преподавания математики, но и новые современные технологии. Моя цель прежде всего, усилить мотивацию ребенка к познанию окружающего мира, продемонстрировать ему, что занятия математикой – это не получение отвлеченных от жизни знаний, а необходимая подготовка к жизни, поиск полезной информации и навыки ее применения в реальной жизни. Учитель пения, музыки.

Виктория Анатольевна Луковская

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Таганрогский педагогический институт им. А.П. Чехова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-11 классов. Математика дисциплинирует и воспитывает ум, это основа для всех наук. Очень люблю работать с детьми! Уроки проходят в комфортной обстановке, к каждому ученику подхожу индивидуально, объясняю доступно и понятно. На занятиях применяю игровые приемы, схемы, графики и презентации, для того, чтобы учащимся было интересно.

Елизавета Бимбетовна Тулемисова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Астраханский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Сердечно всех приветствую! Меня зовут Елизавета Бимбетовна, учитель высшей категории, Почетный работник воспитания и образования РФ, 2020 г. . Имею большой опыт обучения иностранным языкам (немецкий и английский), последние 18 лет работала учителем в лингвистической гимназии. Есть богатый опыт работы с учебными пособиями иностранных издательств Hueber, Oxford, Cambridge, подготовки учеников к международным экзаменам. Владею коммуникативной методикой обучения и ориентируюсь на личность ученика, его пожелания, цели, уровень владения иностранным языком. Готовлю к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР, результаты от 65 до 100 баллов. Выпускники успешно обучаются в ведущих вузах страны, а также за рубежом. Буду рада сотрудничеству! До встречи!

Похожие статьи

• Теорема Виета
• Одночлены
• Многоугольники
• Как легко разделить на 0,2
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Равнобедренный треугольник (вариант 2)
• Полезные упражнения для тех, кто долго сидит за учебниками: зарядка для глаз
• Школьная газета: для кого, про что и зачем?
• Комплексы из-за внешности: учимся любить себя на примере звезд

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Тригонометрическая форма комплексных чисел. Комплексные числа в тригонометрической форме Тригонометрическая форма комплексного числа свойства

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть комплексному числу а + bi соответствует вектор OA > с координатами (а, b ) (см. рис. 332).

Обозначим длину этого вектора через r , а угол, который он образует с осью х , через φ . По определению синуса и косинуса:

a / r = cos φ , b / r = sin φ .

Поэтому а = r cos φ , b = r sin φ . Но в таком случае комплексное число а + bi можно записать в виде:

а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).

Как известно, квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому r 2 = a 2 + b 2 , откуда r = √a 2 + b 2

Итак, любое комплексное число а + bi можно представить в виде :

а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)

где r = √a 2 + b 2 , а угол φ определяется из условия:

Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической .

Число r в формуле (1) называется модулем , а угол φ — аргументом , комплексного числа а + bi .

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.

Модуль любого комплексного числа определен однозначно.

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π . Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ

0 (cos φ + i sin φ ) = 0.

Поэтому аргумент нуля не определен.

Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z . Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример. 1 . 1 + i .

Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следовательно, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , откуда φ = π / 4 + 2n π .

Таким образом,

1 + i = √ 2 ,

где п — любое целое число. Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2π . В данном случае таким значением является π / 4 . Поэтому

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)

Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число √ 3 — i . Имеем:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = — 1 / 2

Поэтому с точностью до угла, кратного 2π , φ = 11 / 6 π ; следовательно,

√ 3 — i = 2(cos 11 / 6 π + i sin 11 / 6 π ).

Пример 3 Записать в тригонометрической форме комплексное число i .

Комплексному числу i соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π / 2 . Поэтому

i = cos π / 2 + i sin π / 2 .

Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число 3.

Комплексному числу 3 соответствует вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).

Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен 0. Поэтому

3 = 3 (cos 0 + i sin 0),

Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.

Комплексному, числу -5 соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π . Поэтому

5 = 5(cos π + i sin π ).

Упражнения

2047. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i — 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 — 6i ; 6) — 4; 9) 3i — 4.

2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлетворяют условиям:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r φ π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 r φ

3) r 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 r

10) 0 φ π / 2 .

2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и — r ?

2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы φ и — φ ?

Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° — i sin 20°).

2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° — i sin 15°).

3.1. Полярные координаты

На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .

Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .

Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.

Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.

На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .

Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:

3. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:

Запись комплексного числа — тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .

Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что

.

При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что

Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. 1) считаем модуль: ;

2) ищем φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .

Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:

Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;

1) ;

2) ; φ – в 4 четверти:

3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы , методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:

Где – этомодуль комплексного числа , а –аргумент комплексного числа .

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря,модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любых значений «а» и «бэ».

Примечание : модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа , как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна ), аргумент – угол

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Используя , легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и

аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле:

Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Проверка:

4) И четвёртый интересный случай. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов , то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить,

что и– это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен…» . Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. C модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число. При этом возможны три варианта (их полезно переписать):

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле.

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить . Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Представляем в комплексной форме числа и, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то

–вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:– числов тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 1), то(минус 60 градусов).

Таким образом:

–число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем .

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций , при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол(или 300 градусов):– числов исходной алгебраической форме.

Числа ипредставьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:

Где – это модуль комплексного числа, а– аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:,. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:.

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Число – так:

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ). называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi .

Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 — b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z 2 ≠ 0),

т. е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

Легко показать, что

Примеры .

1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R .

(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i .

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;

если z Î R и z 0,то arg z = p + 2pk ;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p .

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û — уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Таким образом: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2. Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i ; — 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).

Рисунок 3

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).

Рисунок 4

Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; — 1; 1; — 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку .

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = — 2 50 .

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о , то ;

Формы записи комплексного числа: тригонометрическая, показательная

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Алгебра Формы записи комплексного числа: тригонометрическая, показательная

В данной публикации рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа с интерпретацией на коордлинатной плоскости, формулами расчета аргумента и примером для лучшего понимания изложенного материала. Также представлена базовая информация по показательной форме данного типа числа.

• Тригонометрическая форма комплексного числа
• Показательная форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Любое комплексное число (за искл. нуля) вида z = a + bi можно записать в тригонометрической форме следующим образом:

z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ)

Чтобы было понятнее, покажем комплексное число на координатной плоскости. При этом, в качестве примера будем исходить из того, что a и b больше нуля.

Модуль комплексного числа |z| – это расстояние от начала координат до соответствующей точки на комплексной плоскости, другими словами, это длина зеленого вектора на чертеже выше.

Исходя из теоремы Пифагора модуль вычисляется так:

Аргумент комплексного числа (φ) – угол между положительной полуосью действительной оси (RE) и вектором, который проведен из начала координат. Аргумент не существует для z = 0, может обозначаться как arg z.

Формула для расчета аргумента зависит от того, какие значения принимают a и b.

Пример: представим в тригонометрической форме комплексное число z = 3i.

Решение:
a = 0, b = 3, следовательно:

Т.к. a = 0, значит вектор совпадает с осью ординат (направлен вверх), следовательно φ = 90°.

Таким образом, тригонометрическая форма числа z = 3i выглядит так:
z = 3 ⋅ (cos 90° + i ⋅ sin 90°)

Показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (за искл. нуля) вида z = a + bi можно записать в показательной форме:

z = |z| ⋅ e ^iφ, где:

• |z| – модуль комплексного числа;
• φ – его аргумент.

Примечание: показательная форма используется намного реже, чем тригонометрическая, поэтому базовой информации выше в большинстве случаев должно быть достаточно.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Тригонометрическая форма – определение, пример и объяснение

Мы можем записать комплексные числа в терминах $r$ и $\theta$. Эта форма называется тригонометрической формой и является важной формой комплексных чисел, потому что намного легче найти корни и степени комплексных чисел, когда они находятся в их тригонометрических формах.

Тригонометрическая форма комплексных чисел содержит расстояние координаты комплексного числа от начала координат и угол, образованный действительной осью, а также отрезок, соединяющий комплексное число и начало координат.

Мы часто используем тригонометрическую форму комплексных чисел, чтобы проиллюстрировать их как величины с расстоянием и направлением. Когда мы хотим найти степени и корни комплексных чисел, их также легче найти, когда комплексные числа представлены в тригонометрической форме.

В этой статье мы узнаем следующее:

• Два важных компонента комплексных чисел в тригонометрической или полярной форме.
• Преобразование комплексных чисел из стандартной формы в тригонометрическую форму.
• Нахождение частного и произведения двух комплексных чисел в тригонометрических формах.

Давайте продолжим и углубимся в определение комплексных чисел в тригонометрических формах.

Что такое тригонометрическая форма?

Тригонометрическая форма комплексных чисел также называется полярной формой комплексных чисел. Поэтому обязательно проверьте свои знания о полярных формах.

Тригонометрическая форма комплексного числа содержит модуль $r$ и аргумент $\theta$, представляющий комплексное число. Общая тригонометрическая форма комплексных чисел: $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Из графика видно, как были получены тригонометрические или полярные формы комплексных чисел. Поскольку $a = r \cos\theta$ и $b = r \sin\theta$, $a + bi = r(\cos \theta + i\sin \theta)$.

Отсюда $r$ представляет модуль, а $\theta$ показывает угол (или аргумент), образованный $r$ и действительной осью.

Эти два компонента являются важными при представлении комплексных чисел в тригонометрической форме.

Как записать комплексные числа в тригонометрической форме? 9{\circ})$ в полярной или тригонометрической форме.

Мы можем использовать аналогичный процесс при записи других комплексных чисел в их соответствующих тригонометрических формах, поэтому обязательно попробуйте приведенный выше пример самостоятельно?

Как умножать и делить комплексные числа в тригонометрической форме?

Мы также можем умножать и делить комплексные числа в тригонометрической форме. Допустим, у нас есть два комплексных числа, $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$, мы можем найти их произведение по формуле : 92$ как $-1$.

$ \begin{align} [r_1(\cos \theta_ 1 + i\sin \theta_1)][r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) ] &= (r_1r_2)[(\cos \ theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)] \\&= (r_1r_2)[(\cos \theta_1\cos \theta_2) + (\cos \theta_1i\sin\theta_2) + (i\sin\theta_1\cos \theta_2)+ (i\sin \theta_1 i \sin \theta_2)]\\&= (r_1r_2)[(\cos \theta_1\cos \theta_2) + (\cos \theta_1i \sin\theta_2) + (i\sin\theta_1\cos \theta_2)+ (i^2\sin \theta_1  \sin \theta_2)]\\&= (r_1r_2)[(\cos \theta_1\cos \theta_2) + (\cos \theta_1i\sin\theta_2) + (i\sin\theta_1\cos \theta_2)+ -\sin \theta_1  \sin \theta_2] \\&=(r_1r_2)[(\cos \theta_1\cos \ theta_2-\sin \theta_1  \sin \theta_2) + i(\cos \theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos \theta_2) ]\\&=(r_1r_2)[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i(\cos \theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos \theta_2) \\&=(r_1r_2)[(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1  \sin \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2) ] \end{выровнено}$

Мы можем применить аналогичный процесс, чтобы вывести формулу для отношения $z_1$ и $z_2$. Но мы оставим это для вас, чтобы вы могли попробовать сами. ( Подсказка : используйте метод ФОЛЬГИ и разностные свойства синуса и косинуса).

На данный момент имеем $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)]$.

Это означает, что нам не нужно преобразовывать комплексное число в тригонометрической форме в стандартную форму, чтобы найти их произведение или частное. 9{-1} \dfrac{b}{a}\phantom{x}\end{aligned}$

Мы также научились умножать и делить два комплексных числа в тригонометрической форме. Для двух комплексных чисел $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\theta_2+ i\sin\theta_2)$ произведение и частное будут такими, как показано ниже:

• $z_1 z_2 = r_1r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$
• $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)]$

Давайте воспользуемся этими свойствами для решения некоторых примеров, показанных ниже. 2}$. Между тем аргумент или $\theta$ можно определить, взяв тангенс, обратный $\dfrac{b}{a}$. 9{\circ})\end{align}$

5.2: Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Тед Сандстром и Стивен Шликер
• Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @ Государственный университет Гранд-Вэлли

Основные вопросы

Следующие вопросы предназначены для того, чтобы направлять наше изучение материала в этом разделе. Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и быть в состоянии написать точные, связные ответы на эти вопросы.

• Что такое полярная (тригонометрическая) форма комплексного числа?
• Как умножить два комплексных числа в полярной форме? 909:20
• Как разделить одно комплексное число в полярной форме на ненулевое комплексное число в полярной форме?

Начало занятия

Если \(z = a + bi\) комплексное число, то мы можем нанести \(z\) на плоскость, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\). В этой ситуации пусть \(r\) будет величиной \(z\) (то есть расстоянием от \(z\) до начала координат), а \(\theta\) — углом \(z\). ) делает с положительной действительной осью, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\).

Используйте тригонометрию прямоугольного треугольника, чтобы записать \(a\) и \(b\) через \(r\) и \(\theta\).

Объясните, почему мы можем записать \(z\) как

\[z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)). \]

Когда мы пишем \(z\) в форме, заданной уравнением \(\PageIndex{1}\):, мы говорим, что \(z\) записывается в тригонометрической форме (или полярной форме).

Угол \(\theta\) называется аргументом аргумента комплексного числа \(z\), а действительное число \(r\) равно 9{2}}\]

\[a = r\cos(\theta)\]

\[b = r\sin(\theta)\]

Умножение комплексных чисел сложнее, чем сложение комплексных чисел. Чтобы лучше понять произведение комплексных чисел, мы сначала исследуем тригонометрическую (или полярную) форму комплексного числа. Эта тригонометрическая форма связывает алгебру с тригонометрией и будет полезна для быстрого и простого нахождения степеней и корней комплексных чисел.

Примечание

Слово полярный здесь исходит из того, что этот процесс можно рассматривать как происходящий с полярными координатами.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): тригонометрическая форма комплексного числа.

Чтобы найти \(\theta\), мы должны рассмотреть случаи.

• Если \(z = 0 = 0 + 0i\), то \(r = 0\) и \(\theta\) могут иметь любое действительное значение.
• Если \(z \neq 0\) и \(a \neq 0\), то \(\tan(\theta) = \dfrac{b}{a}\).
• Если \(z \neq 0\) и \(a = 0\) (поэтому \(b \neq 0\)), то 9{2}} = \sqrt{2}\), а аргумент \(z\) равен \(\arctan(\dfrac{-1}{1}) = -\dfrac{\pi}{4}\) .

  Итак, \[z = \sqrt{2}(\cos(-\dfrac{\pi}{4}) + \sin(-\dfrac{\pi}{4})) = \sqrt{2}(\ cos(\dfrac{\pi}{4}) — \sin(\dfrac{\pi}{4})\]

  2. Напомним, что \(\cos(\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(\dfrac{\pi}{6} ) = \dfrac{1}{2}\). Итак, \[3(\cos(\dfrac{\pi}{6} + i\sin(\dfrac{\pi}{6})) = 3(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ dfrac{1}{2}i) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}i\]

  9{i\theta} = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]

  Произведения комплексных чисел в полярной форме

  Существует важная формула произведения комплексных чисел, которую дает полярная форма. Проиллюстрируем на примере.

  Пример \(\PageIndex{1}\): произведения комплексных чисел в полярной форме

  Пусть \(w = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \) и \(z = \sqrt{3} + i\). Используя наше определение произведения комплексных чисел, мы видим, что

  \[wz = (\sqrt{3} + i)(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i) = -\sqrt{3} + i.\] 9{2}} = 2\) и аргумент \(z\) удовлетворяет \(\tan(\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

  Поскольку \(z\) находится в первом квадранте, мы знаем, что \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) и полярная форма \(z\) равна \[z = 2[ \cos(\dfrac{\pi}{6}) + i\sin(\dfrac{\pi}{6})]\]

  Мы также можем найти полярную форму комплексного произведения \(wz\). Здесь мы имеем \(|wz| = 2\), а аргумент \(zw\) удовлетворяет условию \(\tan(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Поскольку \(wz\) находится в квадранте II, мы видим, что \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) и полярная форма \(wz\) равна \[wz = 2[\cos (\dfrac{5\pi}{6}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{6})].\]

  Когда мы сравниваем полярные формы \(w, z\) и \(wz\), мы можем заметить, что \(|wz| = |w||z|\) и что аргумент \(zw\ ) равно \(\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}\) или сумме аргументов \(w\) и \(z\). Это оказывается правдой в целом.

  Как мы покажем, результат примера \(\PageIndex{1}\) не случаен. В общем, у нас есть следующий важный результат о произведении двух комплексных чисел.

  Умножение комплексных чисел в полярной форме

  Пусть \(w = r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\) и \(z = s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\) быть комплексными числами в полярной форме. Тогда полярная форма комплексного произведения \(wz\) определяется как

  \[wz = rs(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))\]

  Это утверждает, что для умножения двух комплексных чисел в полярной форме мы умножаем их нормы и складываем их аргументы.

  Чтобы понять, почему этот результат в целом верен, пусть \(w = r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\) и \(z = s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\) — комплексные числа в полярной форме. Мы будем использовать тождества косинуса и синуса суммы углов, чтобы найти \(wz\):

  \[w = [r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))][s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))] = rs([\cos (\alpha)\cos(\beta) — \sin(\alpha)\sin(\beta)]) + i[\cos(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\beta)\sin( \alpha)]\]

  Теперь воспользуемся тождествами косинуса и суммы и увидим, что

  \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) — \sin(\ альфа)\sin(\beta)\) и \(\sin(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\beta)\sin(\alpha)\) .

  Используя уравнение (1) и эти тождества, мы видим, что

  \[w = rs([\cos(\alpha)\cos(\beta) — \sin(\alpha)\sin(\beta)]) + i[\cos(\alpha)\sin(\beta) ) + \cos(\beta)\sin(\alpha)] = rs(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))\]

  Иллюстрация этого дается в Рисунок \(\PageIndex{2}\). Формула умножения комплексных чисел в полярной форме говорит нам, что для умножения двух комплексных чисел мы складываем их аргументы и умножаем их нормы.

  Рисунок \(\PageIndex{2}\): Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел.

  Упражнение \(\PageIndex{2}\)

  Пусть \(w = 3[\cos(\dfrac{5\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{3} )]\) и \(z = 2[\cos(-\dfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\dfrac{\pi}{4})]\).

  1. Что такое \(|wz|\)?
  2. Каков аргумент \(wz\)?
  3. В каком квадранте находится \(wz\)? Объяснять.
  4. Определите полярную форму wz.
  5. Нарисуйте рисунок \(w\), \(z\) и \(wz\), иллюстрирующий действие сложного произведения.

  Ответить

  1. Поскольку \(|w| = 3\) и \(|z| = 2\), мы видим, что

  \[|wz| = |ш||г| = (3)(2) = 6\]

  2. Аргумент \(w\) равен \(\dfrac{5\pi}{3}\), а аргумент \(z\) равен \(-\dfrac{\pi}{4}\) , мы видим, что аргумент \(wz\) равен \[\dfrac{5\pi}{3} — \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{20\pi — 3\pi}{12} = \dfrac{17\pi}{12}\]

  3. Конечная сторона угла \(\dfrac{17\pi}{12} = \pi + \dfrac{5\pi}{12}\) радиан находится в третьем квадранте.

  4. Мы знаем величину и аргумент \(wz\), поэтому полярная форма \(wz\) равна

  .

  \[wz = 6[\cos(\dfrac{17\pi}{12}) + \sin(\dfrac{17\pi}{12})]\]

  5. Ниже приведено изображение \(w, z\) и \(wz\), иллюстрирующее действие сложного произведения.

  Частные комплексных чисел в полярной форме

  Мы видели, что мы умножаем комплексные числа в полярной форме, умножая их нормы и складывая их аргументы. Существует аналогичный метод деления одного комплексного числа в полярной форме на другое комплексное число в полярной форме.

  Деление комплексных чисел в полярной форме

  Пусть \(w = r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\) и \(z = s(\cos(\beta) + i \sin(\beta))\) — комплексные числа в полярной форме с \(z \neq 0\). Тогда полярная форма комплексного частного \(\dfrac{w}{z}\) определяется выражением \[\dfrac{w}{z} = \dfrac{r}{s}(\cos(\alpha — \ beta) + i\sin(\alpha — \beta)).\]

  Итак, чтобы разделить комплексные числа в полярной форме, мы делим норму комплексного числа в числителе на норму комплексного числа в знаменателе и вычесть аргумент комплексного числа в знаменателе из аргумента комплексного числа в числителе.

  Доказательство этого аналогично доказательству умножения комплексных чисел и включено в качестве дополнения к этому разделу.

  Упражнение \(\PageIndex{3}\)

  Пусть \(w = 3[\cos(\dfrac{5\pi}{3}) + i\sin(\dfrac{5\pi}{3} )]\) и \(z = 2[\cos(-\dfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\dfrac{\pi}{4})]\).

  1. Что такое \(|\dfrac{w}{z}|\)?
  2. Каков аргумент \(|\dfrac{w}{z}|\)?
  3. В каком квадранте находится \(|\dfrac{w}{z}|\)? Объяснять.
  4. Определите полярную форму \(|\dfrac{w}{z}|\).
  5. Нарисуйте рисунок \(w\), \(z\) и \(|\dfrac{w}{z}|\), иллюстрирующий действие сложного произведения.

  Ответить

  1. Поскольку \(|w| = 3\) и \(|z| = 2\), мы видим, что

  \[|\dfrac{w}{z}| = \dfrac{|w|}{|z|} = \dfrac{3}{2}\]

  2. Аргумент \(w\) равен \(\dfrac{5\pi}{3}\), а аргумент \(z\) равен \(-\dfrac{\pi}{4}\) , мы видим, что аргумент \(\dfrac{w}{z}\) равен

  \[\dfrac{5\pi}{3} — (-\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{20\pi + 3\pi}{12} = \dfrac{23\pi}{ 12}\]

  3. Конечная сторона угла \(\dfrac{23\pi}{12} = 2\pi — \dfrac{\pi}{12}\) радиан находится в четвертом квадранте.

  4. Мы знаем величину и аргумент \(wz\), поэтому полярная форма \(wz\) имеет вид \[\dfrac{w}{z} = \dfrac{3}{2}[\cos( \dfrac{23\pi}{12}) + \sin(\dfrac{23\pi}{12})]\]

  5. Ниже приведено изображение \(w, z\) и \(wz\), иллюстрирующее действие сложного произведения.

  Доказательство правила деления комплексных чисел в полярной форме

  Пусть \(w = r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\) и \(z = s(\cos(\ beta) + i\sin(\beta))\) — комплексные числа в полярной форме с \(z \neq 0\). Итак,

  \[\dfrac{w}{z} = \dfrac{r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))}{s(\cos(\beta) + i\sin(\ бета)} = \dfrac{r}{s}\left [\dfrac{\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)}{\cos(\beta) + i\sin(\beta)} \ right ]\]

  Мы будем работать с дробью \(\dfrac{\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)}{\cos(\beta) + i\sin(\beta)}\) и следуйте обычной практике умножения числителя и знаменателя на \(\cos(\beta) — i\sin(\beta)\). Итак, 9{2}(\бета) = 1\)

Используя эти тождества с последним уравнением для \(\dfrac{w}{z}\), мы видим, что

\[\dfrac{w}{z} = \dfrac{r}{s}[\dfrac {\cos(\alpha — \beta) + i\sin(\alpha- \beta)}{1}].\]

Резюме

В этом разделе мы изучили следующие важные понятия и идеи:

Если \(z = a + bi\) комплексное число, то мы можем нанести \(z\) на плоскость. Если \(r\) является величиной \(z\) (то есть расстоянием от \(z\) до начала координат) и \(\theta\) угол \(z\) образует с положительным действительным ось, затем 9{2}}, \cos(\theta) = \dfrac{a}{r}\]

и \[\sin(\theta) = \dfrac{b}{r}\]

Угол \( \тета\) называется аргументом комплексного числа \(z\), а действительное число \(r\) является модулем или нормой \(z\).

Если \(w = r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\) и \(z = s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\) являются комплексными числами в полярной форме, то полярная форма комплексного произведения \(wz\) определяется как

\[wz = rs(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta ))\] и \(z \neq 0\), полярная форма комплексного частного \(\dfrac{w}{z}\) равна

\[\dfrac{w}{z} = \dfrac{r}{s}(\cos(\alpha — \beta) + i\sin(\alpha — \beta)),\]

Это состояние что для умножения двух комплексных чисел в полярной форме мы умножаем их нормы и складываем их аргументы, а для деления двух комплексных чисел мы делим их нормы и вычитаем их аргументы.

---

Эта страница под названием 5.2: Тригонометрическая форма комплексного числа распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0, автором, ремиксом и/или куратором являются Тед Сандстром и Стивен Шликер (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Тед Сандстром и Стивен Шликер

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу Оглавление

   нет

2. Теги

   1. модуль (комплексное число)
   2. норма (комплексный номер)
   3. источник@https://scholarworks. gvsu.edu/books/12

Полярная форма комплексного числа

Горячая математика

Полярная форма комплексное число это еще один способ представления комплексного числа. Форма г знак равно а + б я называется прямоугольной формой координат комплексного числа.

Горизонтальная ось — это реальная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось. Находим вещественные и комплексные компоненты в терминах р а также θ куда р длина вектора и θ это угол, составленный с действительной осью.

Из Теорема Пифагора :

р 2 знак равно а 2 + б 2

С помощью основных тригонометрические отношения :

потому что θ знак равно а р а также грех θ знак равно б р .

Умножая каждую сторону на р :

р потому что θ знак равно а а также р грех θ знак равно б

Прямоугольная форма комплексного числа определяется выражением

г знак равно а + б я .

Подставьте значения а а также б .

г знак равно а + б я знак равно р потому что θ + ( р грех θ ) я знак равно р ( потому что θ + я грех θ )

В случае комплексного числа р представляет абсолютная величина или модуль и угол θ называется аргументом комплексного числа.

Это можно резюмировать следующим образом:

Полярная форма комплексного числа г знак равно а + б я является г знак равно р ( потому что θ + я грех θ ) , куда р знак равно | г | знак равно а 2 + б 2 , а знак равно р потому что θ а также б знак равно р грех θ , а также θ знак равно загар − 1 ( б а ) за а > 0 а также θ знак равно загар − 1 ( б а ) + π или же θ знак равно загар − 1 ( б а ) + 180 ° за а < 0 .

Пример:

Выразите комплексное число в полярной форме.

5 + 2 я

Полярная форма комплексного числа г знак равно а + б я является г знак равно р ( потому что θ + я грех θ ) .

Итак, сначала найдите абсолютное значение р .

р знак равно | г | знак равно а 2 + б 2 знак равно 5 2 + 2 2 знак равно 25 + 4 знак равно 29 ≈ 5,39

Теперь найдите аргумент θ .

С а > 0 , воспользуйтесь формулой θ знак равно загар − 1 ( б а ) .

θ знак равно загар − 1 ( 2 5 ) ≈ 0,38

Обратите внимание, что здесь θ измеряется в радианах.

Поэтому полярная форма 5 + 2 я около 5,39 ( потому что ( 0,38 ) + я грех ( 0,38 ) ) .

Грунтовка комплексного номера

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Большинство людей знакомы с комплексными числами в форме \(z = a + bi\), однако есть несколько альтернативных форм, которые иногда бывают полезны. В этом разделе мы рассмотрим оба из них, а также пару интересных фактов, которые вытекают из них.

Геометрическая интерпретация

Прежде чем перейти к альтернативным формам, мы должны сначала очень кратко рассмотреть естественную геометрическую интерпретацию комплексных чисел, так как это приведет нас к нашей первой альтернативной форме.

Рассмотрим комплексное число \(z = a + bi\). Мы можем думать об этом комплексном числе либо как о точке \(\left( {a,b} \right)\) в стандартной декартовой системе координат, либо как о векторе, который начинается в начале координат и заканчивается в точке \(\left ( {яркий)\). Пример этого показан на рисунке ниже. 92}} \) — это не что иное, как длина вектора, который мы используем для представления комплексного числа \(z = a + bi\). Эта интерпретация также говорит нам, что неравенство \(\left| {{z_1}} \right| < \left| {{z_2}} \right|\) означает, что \({z_1}\) ближе к началу координат ( в комплексной плоскости), чем \({z_2}\).

Полярная форма

Теперь рассмотрим первую альтернативную форму комплексного числа. Если мы представим ненулевое комплексное число \(z = a + bi\) как точку \(\left( {a,b} \right)\) в \(xy\)-плоскости, мы также знаем, что мы можем представить эту точку полярными координатами \(\left({r,\theta} \right)\), где \(r\) — расстояние точки от начала координат, а \(\theta \) — угол в радианах от положительной оси \(x\) до луча, соединяющего начало координат с точкой.

При работе с комплексными числами мы предполагаем, что \(r\) положительно и что \(\theta \) может быть любым из возможных (как положительных, так и отрицательных) углов, оканчивающихся на луче. Обратите внимание, что это означает, что существует буквально бесконечное количество вариантов для \(\theta \).

Мы исключили \(z = 0\), так как \(\theta \) не определено для точки (0,0). Поэтому мы будем рассматривать только полярную форму ненулевых комплексных чисел.

У нас есть следующие формулы преобразования для преобразования полярных координат \(\left( {r,\theta} \right)\) в соответствующие декартовы координаты точки, \(\left( {a,b} \Правильно)\).

\ [a = r \ cos \ theta \ hspace {0,75 дюйма} b = r \ sin \ theta \]

Если мы подставим их в \(z = a + bi\) и разложим на множители \(r\), мы получим полярную форму комплексного числа,

\begin{equation}z = r\left( {\cos\theta + i\sin\theta} \right) \label{eq:eq1}\end{equation}

Обратите внимание, что у нас также есть следующая формула из полярных координат, связывающая \(r\) с \(a\) и \(b\). 92}} \]

, но правая часть это не что иное, как определение модуля, и мы видим, что

\begin{уравнение}r = \left| z \right|\label{eq:eq2} \end{уравнение}

Итак, иногда полярная форма записывается как

\begin{уравнение}z = \left| z \ right | \ left ( {\ cos \ theta + i \ sin \ theta } \ right) \ label {eq: eq3} \ end {equation}

Угол \(\theta \) называется аргумент из \(z\) и обозначается как,

\[\тета = \аргумент z\]

Аргументом \(z\) может быть любое из бесконечных возможных значений \(\theta \), каждое из которых может быть найдено путем решения

\begin{уравнение}\tan \theta = \frac{b}{a}\label{eq:eq4}\end{equation}

и убедитесь, что \(\theta \) находится в правильном квадранте.

Также обратите внимание, что любые два значения аргумента будут отличаться друг от друга на целое число, кратное \(2\pi \). Это имеет смысл, если учесть следующее.

Для заданного комплексного числа \(z\) выберите любое из возможных значений аргумента, скажем, \(\theta \). Если вы теперь увеличите значение \(\theta\), что на самом деле просто увеличивает угол, который точка образует с положительной осью \(x\), вы вращаете точку вокруг начала координат против часовой стрелки. . Поскольку для совершения одного полного оборота требуется \(2\pi \) радиан, вы вернетесь в исходную точку, когда достигнете \(\theta + 2\pi \) и, таким образом, получите новое значение аргумента. См. рисунок ниже.

Если вы продолжите увеличивать угол, вы снова вернетесь в исходную точку, когда достигнете \(\theta + 4\pi \), что снова является новым значением аргумента. Продолжая в том же духе, мы можем видеть, что каждый раз, когда мы достигаем нового значения аргумента, мы просто будем добавлять кратные \(2\pi \) к исходному значению аргумента.

Аналогичным образом, если вы начнете с \(\theta \) и уменьшите угол, вы будете вращать точку вокруг начала координат по часовой стрелке и вернетесь в исходную начальную точку, когда достигнете \(\theta — 2\pi \). Продолжая в том же духе, мы снова можем видеть, что каждое новое значение аргумента будет найдено путем вычитания кратного \(2\pi \) из исходного значения аргумента.

Итак, мы можем видеть, что если \({\theta _1}\) и \({\theta _2}\) являются двумя значениями \(\arg z\), то для некоторого целого числа \(k\) мы будем у,

\begin{equation}{\theta _1} — {\theta _2} = 2\pi k\label{eq:eq5}\end{equation}

Обратите внимание, что мы также показали здесь, что \(z = r\left ({\cos \theta + i\sin \theta} \right)\) является параметрическим представлением для окружности радиуса \(r\) с центром в начале координат и что он будет описывать полный круг против часовой стрелки по мере увеличения угла от \(\theta\) до \(\theta + 2\pi \).

главное значение аргумента (иногда называемое основным аргументом ) является уникальным значением аргумента, которое находится в диапазоне \( — \pi < \arg z \le \pi \) и обозначается \({\mathop{\rm Arg}\nolimits} z\). Обратите внимание, что неравенства на обоих концах диапазона говорят о том, что отрицательное действительное число будет иметь главное значение аргумента \({\mathop{\rm Arg}\nolimits} z = \pi \).

Вспоминая отмеченное выше, что любые два значения аргумента будут отличаться друг от друга на кратное \(2\pi \), мы приходим к следующему факту.

\begin{equation}\arg z = {\mathop{\rm Arg}\nolimits} z + 2\pi n \hspace{0,25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \label{eq :eq:6}\end{уравнение}

Нам, вероятно, следует сделать пару быстрых числовых примеров, прежде чем мы перейдем к рассмотрению второй альтернативной формы комплексного числа.

Пример 1 Запишите полярную форму каждого из следующих комплексных чисел.

1. \(z = — 1 + i\,\sqrt 3 \) 909:20
2. \(г = — 9 \)
3. \(г = 12\,я\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(z = — 1 + i\,\sqrt 3 \) Показать решение

Сначала получим \(r\). \[г = \влево| г \ справа | = \sqrt {1 + 3} = 2\]

Теперь давайте найдем аргумент \(z\). Это может быть любой угол, удовлетворяющий условию \(\eqref{eq:eq4}\), но обычно проще всего найти главное значение, поэтому мы найдем его. Главным значением аргумента будет значение \(\theta \), которое находится в диапазоне \( — \pi < \theta \le \pi \), удовлетворяет, 9{ - 1}}\влево( { - \sqrt 3 } \вправо)\]

и находится во втором квадранте, так как это расположение комплексного числа в комплексной плоскости.

Если вы используете калькулятор для нахождения значения этого арктангенса, убедитесь, что вы понимаете, что ваш калькулятор будет возвращать значения только в диапазоне \( — \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\ pi }{2}\), поэтому вы можете получить неверное значение. Напомним, что если ваш калькулятор возвращает значение \({\theta _1}\), то вторым значением, которое также будет удовлетворять уравнению, будет \({\theta _2} = {\theta _1} + \pi \). Так что, если вы используете калькулятор, будьте осторожны. Вам нужно будет вычислить оба и определить, какой из них попадает в правильный квадрант, чтобы соответствовать комплексному числу, которое у нас есть. потому что только один из них будет в правильном квадранте.

В нашем случае два значения:

\[{\ ​​theta _1} = — \ frac {\ pi} {3} \ hspace {0,25 дюйма} {\ theta _2} = — \ frac {\ pi} {3} + \ pi = \ frac {{2 \ пи }}{3}\]

Первый находится в четвертом квадранте, а второй — во втором квадранте, как и тот, который нам нужен. Следовательно, главное значение аргумента равно

. \[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \,z = \frac{{2\pi}}{3}\]

и тогда все возможные значения аргумента равны

\[\arg z = \frac{{2\pi}}{3} + 2\pi n \hspace{0,25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Теперь давайте сделаем то, о чем нас изначально просили. Вот полярная форма \(z = — 1 + i\,\sqrt 3 \).

\[z знак равно 2 \ влево ( {\ соз \ влево ( {\ гидроразрыва {{2 \ пи}} {3}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {{2 \ пи}}} {3 }} \верно-верно)\]

Теперь, для полноты картины, мы должны признать, что для этого комплексного числа есть много более равноправных полярных форм. Чтобы получить любую из других форм, нам просто нужно вычислить другое значение аргумента, выбрав \(n\). Вот несколько других возможных полярных форм.

\begin{align*}z & = 2\left( {\cos\left({\frac{{8\pi}}{3}} \right) + i\sin\left({\frac{{8\ pi }}{3}} \right)} \right) & \hspace{0.25in} & n = 1\\ z & знак равно 2 \ влево ( {\ cos \ влево ( { — \ гидроразрыва {{16 \ пи}} {3}} \ вправо) + я \ грех \ влево ( { — \ гидроразрыва {{16 \ пи}} { 3}} \right)} \right) & \hspace{0.25in} & n = — 3\end{align*}

b \(z = — 9 \) Показать решение

В этом случае мы уже отметили, что главное значение отрицательного действительного числа равно \(\pi \), поэтому нам не нужно его вычислять. Для полноты здесь приведены все возможные значения аргумента любого отрицательного числа.

\[\arg z = \pi + 2\pi n = \pi \left( {1 + 2n} \right) \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Теперь, \(r\) есть,

\[г = \влево| г \ справа | = \sqrt {81 + 0} = 9\]

Полярная форма (с использованием главного значения):

\[z = 9\left( {\cos\left(\pi\right) + i\sin\left(\pi\right)} \right)\]

Обратите внимание, что если бы у нас было положительное действительное число, то главное значение было бы \({\mathop{\rm Arg}\nolimits}\, z = 0\)

c \(z = 12\,i\) Показать решение

Еще один частный случай, очень похожий на действительные числа. Если бы мы использовали \(\eqref{eq:eq4}\) для поиска аргумента, то столкнулись бы с проблемами, поскольку действительная часть равна нулю, а это дало бы деление на ноль. Однако все, что нам нужно сделать, чтобы получить аргумент, — это подумать о том, где находится это комплексное число в комплексной плоскости. В комплексной плоскости чисто мнимые числа лежат либо на положительной оси \(у\), либо на отрицательной оси \(у\) в зависимости от знака мнимой части.

В нашем случае мнимая часть положительна, поэтому это комплексное число будет лежать на положительной оси \(y\). Следовательно, главное значение и общий аргумент для этого комплексного числа:

. \[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} z = \frac{\pi }{2} \hspace{0,5in} \arg z = \frac{\pi }{2} + 2\pi n = \ пи \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {2} + 2n} \ справа) \ hspace {0,25 дюйма} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

Кроме того, в этом случае \(r\) = 12 и поэтому полярная форма (опять же с использованием главного значения) будет, 9{i\,\left( {\theta + 2\pi n} \right)}} \hspace{0,25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

где \(\theta \) — любое значение аргумента, хотя чаще всего это главное значение аргумента. 2} \ theta} = r \] 9{i\,\left( {{\theta _{\,1}}\, — \,\,{\theta _{\,2}}} \right)}}\label{eq:eq11}\end {выровнять}

Полярные формы для обоих из них:

\begin{align}{z_1}{z_2} & = {r_1}\,{r_2}\left( {\cos \left({{\theta _{\,1}} + {\theta _{\,2 }}} \right) + i\sin \left( {{\theta _{\,1}} + {\theta _{\,2}}} \right)} \right)\label{eq:eq12} \\ & \номер \\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} & = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left( {\cos \left({{\theta _{\ ,1}}\, — \,\,{\theta _{\,2}}} \right) + i\sin \left( {{\theta _{\,1}}\, — \,\, {\theta _{\,2}}} \right)} \right)\label{eq:eq13}\end{align}

Мы также можем использовать \(\eqref{eq:eq10}\) и \(\eqref{eq:eq11}\), чтобы получить интересные факты об аргументах произведения и частного комплексного числа. Поскольку \({\theta _1}\) — любое значение \(\arg {z_1}\), а \({\theta _2}\) — любое значение \(\arg {z_2}\), мы можем видеть, что ,

\begin{align}\arg \left( {{z_1}\,{z_2}} \right) & = \arg {z_1} + \arg {z_2}\label{eq:eq14} \\ & \номер \\ \arg \left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) & = \arg {z_1} — \arg {z_2}\label{eq:eq15} \end{align }

Обратите внимание, что \(\eqref{eq:eq14}\) и \(\eqref{eq:eq15}\) могут работать или не работать, если вы используете главное значение аргумента, \({\rm{Arg } }\,г\). Например, рассмотрим \({z_1} = i\) и \({z_2} = — 1\). В этом случае мы имеем \({z_1}{z_2} = — i\) и главное значение аргумента для каждого равно

\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( i \right) = \frac{\pi }{2} \hspace{0.5in} {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( {- 1} \right) = \pi \hspace{0,5in} {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( {-i} \right) = -\frac{\pi}{2}\]

Тем не менее,

\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( i \right) + {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left({ — 1} \right) = \frac{{3\pi }}{2} \ne — \frac{\pi }{2}\]

и поэтому \(\eqref{eq:eq14}\) не выполняется, если мы используем главное значение аргумента. Обратите внимание, однако, если мы используем,

\[\ arg \left( i \right) = \ frac{\pi }{2} \hspace{0.5in}\arg \left( { — 1} \right) = \pi \]

затем

\[\arg \left( i \right) + \arg \left( { — 1} \right) = \frac{{3\pi}}{2}\]

действителен, поскольку \(\frac{{3\pi }}{2}\) является возможным аргументом для –\(i\), просто это не главное значение аргумента. {i\,{\theta _{\,2}}}}\). Также предположим, что мы знаем, что \({z_1} = {z_2}\). В данном случае имеем 9{я\,{\тета _{\,2}}}}\]

Тогда мы будем иметь \({z_1} = {z_2}\) тогда и только тогда, когда

\begin{equation}{r_1} = {r_2} \hspace{0,25 дюйма} {\rm{и}} \hspace{0,25 дюйма} {\theta _2} = {\theta _1} + 2\pi k\,\ ,\,{\mbox{для некоторого целого числа}}k{\rm{}}\left( {т. е. \,\,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots} \right)\label{eq :eq16}\end{уравнение}

Обратите внимание, что фраза «если и только если» — это причудливая математическая фраза, которая означает, что если \({z_1} = {z_2}\) верно, то верно и \(\eqref{eq:eq16}\), и аналогично , если \(\eqref{eq:eq16}\) истинно, то мы будем иметь \({z_1} = {z_2}\).

Это может показаться глупым фактом, но мы собираемся использовать его в следующем разделе, чтобы помочь нам найти степени и корни комплексных чисел.

6. Выражение в форме R sin(θ + α)

М. Борна

В электронике часто встречаются выражения включая сумму синусов и косинусов. это удобнее писать такие выражения, используя один термин.

Наша проблема:

Express a sin θ ± b cos θ в форме

R sin( θ ± α),

, где a , b , R и α – положительных констант.

Решение:

Сначала возьмем случай «плюс» ( θ + α), чтобы упростить задачу.

Пусть

a sin θ + b cos θ ≡ R sin ( θ + α)

(Символ «≡» означает: «тождественно равно»)

Используя приведенную выше формулу составного угла (Синус суммы углов),

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B,

мы можем разложить R sin ( θ + α) следующим образом:

R sin ( θ + α)

≡ R (sin θ cos α + cos θ sin α)

≡ R sin θ cos α + R cos θ sin α

Так

a sin θ + b cos θ ≡ R cos α sin θ + R sin α 10910 cos

Приравнивая коэффициенты sin θ и cos θ в этом тождестве, у нас есть:

Для sin θ :

a = R cos α . ………(1)
(зеленый выше)

Для cos θ :

b = R sin α ……..(2)
(выделено красным выше)

Уравнение (2) ÷ Уравнение (1):

`b/a=(R sin alpha)/(R cos alpha)=tan alpha`

Так

`альфа=арктан\ б/а`

(α — положительный острый угол и a и b являются положительными .)

Теперь мы возводим в квадрат каждое уравнение. (1) и уравнение (2) и добавьте их, чтобы найти выражение для R .

[Ур. (1)] ² + [уравнение. (2)] ² :

а ² + б ²

= R ² cos ² α + R ² sin ² α

= R ² (cos ² α + sin ² α)

= Р ²

(поскольку cos ² A + sin ² A = 1) 9092)`

, то мы выразили a sin θ + b cos θ в требуемой форме:

a sin θ + b cos θ = R sin( θ + α )

Вы заметите, что это очень похоже на преобразование прямоугольной формы в полярную форму в полярную форму комплекса Числа. Мы можем получить α и R г. с использованием калькулятор, похожий на то, как мы это делали с комплексными числами раздел.

Минус Дело

Аналогично, для случая минус мы приравниваем a sin θ − b cos θ с разложением R sin ( θ минус ) следующим образом (обратите внимание на знаки α минус ). ):

a sin θ − b cos θ ≡ R cos α sin θ 92)`

Наше уравнение для отрицательного случая:

a sin θ − b cos θ = R sin( θ − α)

Уравнения типа

a sin θ ± b cos θ = c

Чтобы решить уравнение в форме

и sin θ ± b cos θ = c ,

выразить LHS в форма R sin( θ ± α) и затем решить

R sin( θ ± α) = c .

Упражнения — Синусоидальная форма

1. (a) Выразите 4 sin θ + 3 cos θ в виде R sin( θ + α).

(б) Используя свой ответ из части (а), решить уравнение 9@`:

4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin( θ + 36,87°) (выделено красным)

Часть (b)

Из части (b)

4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin( θ + 36,87°)

Итак,

5 sin( θ + 36,87°) = 2

sin( θ + 36,87°) = 0,4

Синус положителен в квадрантах I и II.

Решение sin 9@`

Верны ли эти ответы?

Из графика видно, что в области 0° ≤ θ < 360° единственные два угла, которые дают значение 2, это 119,6° и 346,7°. Так что наш ответ правильный.

2. Решить уравнение

`sin theta-sqrt2 cos theta=0,8`, для 0° ≤ θ < 360°.

Ответить

Сначала представим LHS в виде R sin( 9@`. Так что наш ответ правильный.

3. Ток i (в амперах) в момент времени t в конкретной цепи дается

i = 12 sin t + 5 cos t .

Найдите максимальный ток и время его первого появления.

Ответить

Обратите внимание, что обычно мы принимаем t ≥ 0. Для такого примера мы должны использовать радиан для угла.

У нас есть:

9092)=13` и «альфа=арктан(5/12)=0,39479».

Итак, `12\ sin t+5\ cos t=` `13\ sin(t+0,39479)`

Итак, мы видим, что амплитуда равна 13 А, и это максимум ценность.

Чтобы найти первый раз, нужно решить

`13\ sin(t+0,39479)=13`

То есть

`sin(t+0,39479)=1`

Теперь sin θ = 1 впервые когда `тета=пи/2`. Значит надо решить:

`т+0,39479=пи/2`

`t=пи/2-0,39479=1,176`

Таким образом, максимальное значение 13 А впервые произойдет в момент времени t = 1,176 с.

Из графика видно, что это верно:

`i=12\ sin t+5\ cos t`

4. Решите 7 sin 3 θ − 6 cos 3 θ = 3,8     для 0° ≤ θ < 360°.

Ответить

Сначала представим LHS в виде R sin(3 9@`.

5. Сила тока и ампер в определенной цепи после t  секунд предоставлено

`i=2\ sin(t-pi/3)-cos(t+pi/2)`

Найдите максимальный ток и самое раннее время его имеет место.

(Примечание: t > 0)

Ответить

Нам нужно получить это в более простой форме. В этом один, обратите внимание, что углы в скобках не совпадают с !

Сначала мы должны упростить их, чтобы углы в скобках были такой же. 92)=2,646`

`alpha=arctan(1.732/2)=` `0.714\ текст(радианы`

Так

`2\ sin t − 1,732\ cos t =` ` 2,646\ грех (т — 0,714)`

Таким образом, максимальное значение этого параметра равно `2,646\ «A»`.

Чтобы найти, когда это происходит, нам нужно решить:

`2,646\ sin(t − 0,714) = 2,646`

т. е. `sin(t − 0,714) = 1`

`t — 0,714 = π/2`

`t = 2,29`

Итак, `t = 2,29\ «с»` — это время, когда сначала достигается максимум.

Форма косинуса

Мы также можем выразить нашу сумму синуса и косинуса, используя косинус вместо синуса . В некоторых ситуациях это может быть удобнее.

Полученные выражения аналогичны тем, которые мы получили для синусоидального случая, но обратите внимание на различия по ходу дела.

Для a , b и R положительное и острое α, наше эквивалентное выражение задается следующим образом:

a sin θ + b cos θ ≡ R cos ( θ − α)

На этот раз способ получения α отличается от предыдущего.

Расширение R cos ( θ − α) с использованием нашего результата для расширения cos(A − B) дает нам:

R cos ( θ — α) = R cos θ cos α + R sin θ sin α

Перестановка и приравнивание коэффициентов дает нам

a sin θ + b cos θ ≡ R cos α cos θ + R 909 1966 sin α sin

Итак:

а = R sin α . …. (1)

б = R cos α ….. (2)

Деление (1) на (2) дает нам: 92)`

Итак, сумма синуса и косинуса объединена в один косинус:

a sin θ + b cos θ ≡ R cos( θ − α)

Еще раз, a , b , R и α положительны константы, а α острая.


Косинус минус Дело

Если у нас есть a sin θ − b , потому что θ , и нам нужно выразить это в терминах одной функции косинуса, формула, которую мы должны использовать:

a sin θ − b cos θ ≡ − R cos ( θ + α)

Еще раз, a , b и R положительны.

`α` означает остроту и дается:

`альфа=арктан\ а/б`

R дает:

92`

Упражнения на косинус

1. Выразить 7 sin θ + 12 cos θ в виде R cos ( θ − α), где 0 ≤ α < π/2.

Ответить

Находим α с помощью

`альфа=арктан\ а/б`

α должно быть в радианах для этого примера, так как нам говорят «0 ≤ α < π/2».

Так как `a = 7` и `b = 12`, мы имеем:

`α = арктангенс (7/12) = 0,528` 92)=13,892`

Следовательно, мы можем написать:

7 sin θ + 12 cos θ = 13,892 cos ( θ − 0,528)

Чтобы проверить наш ответ, мы рисуем графики как y = 7 sin θ + 12 cos θ , так и y = 13,892 cos ( θ − 0,528). Мы видим, что они абсолютно одинаковы. (показан только один).

Мы видим, что наш график косинуса имеет амплитуду «13,892» и сдвинут вправо на «0,528» радиан, что согласуется с полученным выражением: 13,892 cos ( θ − 0,528)

2. Выразить 2,348 sin θ − 1,251 cos θ в виде −R cos ( θ ), где 2,348 sin θ + α

Ответить

Мы находим α, используя

`a=текст(arctan)a/b`

Опять же, в этом примере `α` должен быть в радианах.

Так как `a = 2,348` и `b = 1,251`, мы имеем:

`α = арктангенс (2,348/1,251) = 1,081 `

Находим 92) = 2,660`

Таким образом, мы можем написать:

2,340 sin θ − 1,251 cos θ = -2,660 cos ( θ + 1,081)

Проверяя с помощью графика, мы получаем следующее для каждой стороны нашего ответа:

Мы видим, что наша кривая отрицательного косинуса имеет амплитуду 2,660 и смещена влево на 1,081 радиан, что согласуется с выражение -2,660 cos ( θ + 1,081).

Резюме

Вот сводка выражений и условий, которые мы нашли в этом разделе.

Плотность эфира | Русская Физика

   Плотность эфира в Видимом пространстве Вселенной в среднем избыточная. Это означает, что в спокойном состоянии все эфирные шарики частично сдавлены, то есть эфирная среда напряжена; только в таком состоянии эта среда способна нести так называемые электромагнитные волны, и только такая среда может удержать атомы от распада. Избыточная плотность Эфирного Облака является причиной его рас-ширения; известно, что оно разбегается со скоростью 50 …  100 километров в секунду на каждый мегапарсек (один парсек в 206 266 раз больше расстояния до Солнца).

   Усреднённость избыточной плотности следует понимать в том смысле, что она не везде одинаковая: где-то — выше, где-то — ниже, а где-то она полностью отсутствует. Астрономам известны так называемые чёрные дыры, сквозь которые свет не проникает; не трудно предположить, что в них плотность эфира разреженная; а если это так, то и атомы там существовать не могут: не имея сдавливающего окружения, они распадутся.

   О неодинаковой избыточной плотности эфира в Видимом пространстве говорит также разброс скоростей его разбегания и уже упоминавшиеся постоянные видоизменения форм галактик и метагалактик. В относительно мелком плане изменение плотности эфира может возникать в результате локальных завихрений эфира: в центрах таких завихрений плотность будет ниже, чем на перифериях. Примером может служить та же Солнечная система: отчётливо закрученный вокруг Солнца эфир более плотный на большом  удалении и менее плотный в ближайших окрестностях светила. Можно высказать даже предположение, что чёрные дыры являются центрами подобных завихрений, но уже на поздних стадиях их развития.

   Постоянные видоизменения внутри нашего Эфирного Облака могут расцениваться как события, а события предполагают наличие времени, а у времени есть начало. Началом начал Видимого и Атомарного мира было само возникновение избыточной плотности эфира. Сейчас трудно утверждать, в результате чего она возникла, но предполагать мы можем.

   Предположим идеальный случай: в пустоте Вселенной плавали два эфирных облака, и в один прекрасный момент они столкнулись; энергия их столкновения ушла на рождение мириад атомов и на повышение плотности эфира во вновь образованном облаке. Такое предположение хорошо тем, что упрощает весь процесс и наши рассуждения о нём. Произойти это событие могло, по мнению учёных, 15 миллиардов лет тому назад.

   Как ни заманчив этот вариант, но в него верится с трудом: смущает его идеальность. Тот прекрасный момент столкновения, учитывая размеры возникшего облака и скорость столкновения, пусть даже равную скорости света, должен был длиться так долго, что не хватило бы на это всех тех 15 миллиардов лет. Да и возникшее облако было бы каким-то однобоким: со стороны столкновения плотность эфира и плотность возникших атомов должна была бы быть выше; однако в действительности этого не наблюдается: звёзды распределены в Видимом пространстве более-менее равномерно.

   Откажемся от идеального случая и усложним его до столкновений большого количества облаков (может быть даже очень большого количества), но произошедших приблизительно в одно и то же время. Облака могли сойтись с разных сторон в направлении к некоторому центру и за относительно короткий срок сжаться в одно облако. В результате возникло бы шаровидное образование с явно выраженной сферической структурой. Но и этого в Видимом пространстве нет. К тому же, одновременность столкновения большого количества облаков кажется нереальной, если не принимать всерьёз возможность отрицательного взрыва или взрыва в отрицательном пространстве  —  но такую теорию пусть рассматривают другие.

   Остановимся на том, что столкновения нашего Эфирного Облака с ему подобными идут постоянно и происходят они, разумеется, на его окраинах; в результате оно получает постоянную подпитку. Толчки от столкновений не столь значительны, чтобы вызывать сжатие эфира на больших пространствах; а локальные сжатия на окраинах Видимого пространства зарегистрировать современными средствами практически невозможно; поэтому пока нет подтверждений подобных явлений. Трудность обнаружения местных столкновений усугубляется ещё и тем, что после них в тех местах сначала образуются только атомы, потом из них постепенно собираются планеты; но и то, и другое астрономы увидеть не могут. Звёзды же возникают значительно позже, когда рост плотности эфира прекращается и начинается её уменьшение: именно тогда атомы планет могут ускоренно распадаться. Свидетелем окраинных столкновений может быть только рассеянный свет, не имеющий точечных источников, и такой свет до нас доходит.

   Переменная плотность эфира характерна не только для субпро-странств, но и в масштабах, куда как меньших, вплоть до пределов одного атома; в последнем случае она выражена наиболее ярко: уплотнённой оболочке  атома противостоит разреженная сердцевина, и этот перепад плотностей удерживает атом от распада. Чем выше плотность окружающего эфира, тем атомы более устойчивы; при этом их абсолютные размеры уменьшаются. Снижение плотности вызывает разбухание атомов и, как следствие, увеличение объёма абсолютной пустоты в них; а пустота определяет гравитационную массу тела.  Отсюда  — вывод:  при снижении плотности окружающего эфира гравитация тел величивается.

   Если взять Солнечную систему, где плотность эфира нестабильна и зависит от удалённости от самого светила и других планет, то масса гравитации  любого тела будет меньше на дальних рубежах и больше при приближении к центрам завихрений. Проще говоря, на космической станции любое тело имеет меньший объём и меньшую  массу  гра-витации, чем на поверхности Земли. Изменение плотности эфира влияет также на изменение скорости света и на его прямолинейность.

   Говоря о плотности эфира, мы всегда имели в виду избыточную плотность, но в принципе она может быть нормальной, когда эфирные шарики соприкасаясь не давят друг на друга, или даже пониженной — в случае разреженного расположения элементарных эфирных частиц.

Диэтиловый эфир (этиловый эфир) — свойства. T: -20/+200°C. Температуры кипения, плавления, критическая, молярная масса, плотность, вязкость, теплоемкость, теплота парообразования, теплопроводность, число Прандтля, коэффициент объемного расширения.

ICSC 1150 — н-БУТИЛОВЫЙ ЭФИР

    Смотрите также:
       Токсикологические сокращения