Рубрика: Разное

Sin 2 x интеграл: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное
x dx 3)интеграл x sin x dx 4)и… — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора
14. 04.17
Лучший ответ по мнению автора

Ответ понравился автору вопроса

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

задача для 5 класса. После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на

ответы майл ру помогите решить задачу какое наименьшее количество карандашей надо прибавить к 146 уже имеющимя карандашам, чтобы получившееся

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.

Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площад

Решено

в зоопарке живут крокодилы и страусы. В сумме у них 40 голов и 94 ноги. Сколько там крокодилов и страусов?

Пользуйтесь нашим приложением

Чему равен интеграл sin x dx

Обновлено: 14.09.2022

Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной. \pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$

Решение определённых интегралов

Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7. 3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Вычислите интеграл (подробно и по шагам, пожалуйста) ∫sinx dx вычисляется без проблем, а вот с удвоенным получается не пойми что.

-8

Является ли пара чисел (2; — 1) решением уравнения 2х + 5 = -3? Yonduur narueung​

1) Из города выехал мотоцикл и двигался со скоростью 40 км/ч. Через полчаса вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени … после своего выезда из города автомобиль догонит мо- тоцикл? . 2)Нержавеющая сталь является сплавом железа, хрома и никеля. Лист та- кой стали содержит 15% хрома. 0.5% никеля, а железа — на 2,78 кг бо- лыше, чем хрома. Найдите массу листа. Io nonor ero 060-​

1 задача)В первой цистерне в три раза больше бензина, чем во второй. Когда из первой цистерны взяли 400 л бензина, а со второй 800 л, оказалось, что в … первый , цистерне бензина стало в 8 раз больше, чем во второй: Сколько бензина было в каждой цистерна сначала?​

. Сумма двух чисел равна 52,7, одно из них в 2,4 раза больше другого. Найдите большее из этих чисел. иста​

СРОЧНО 50БАЛООВ3sin²x+4sinxcosx+con²x=0[tex]\pi — arctg \frac [/tex][tex]arctg \frac [/tex][tex] \frac [/tex][tex]arctg \frac [/tex]​1>

В зависимости от параметра a найдите количество решений уравнения x^2-8|x|=a^2-20

Читайте также:

      
  • Как дюпать в игре scum
    •   
  • Лучше может быть только что нибудь светлое будущее например
    •   
  • Кеншин патруль как сделать
    •   
  • Divinity original sin бутылка клубящейся грязи где
    •   
  • Рация эрика 315 как пользоваться
2x

Интеграл от sin 2x и интеграл от sin 2 x имеют разные значения. Чтобы найти интеграл sin 2 x, мы используем формулу cos 2x и метод подстановки, тогда как мы используем только метод подстановки, чтобы найти интеграл sin 2x.

Определим разницу между интегралом sin 2x и интегралом sin 2 x, найдя их значения соответствующими методами, а также решим некоторые задачи, связанные с этими интегралами. 92x

Чему равен интеграл от Sin 2x dx?

Интеграл от sin 2x  обозначается ∫ sin 2x dx, а его значение равно -(cos 2x) / 2 + C , , где «C» — постоянная интегрирования. Для доказательства воспользуемся интегрированием методом подстановки. Для этого предположим, что 2x = u. Тогда 2 dx = du (или) dx = du/2. Подставляя эти значения в интеграл ∫ sin 2x dx,

∫ sin 2x dx = ∫ sin u (du/2)

= (1/2) ∫ sin u du

Мы знаем, что интеграл от sin x равен -cos x + C. Таким образом,

= (1/2) (-cos u) + C

Подставляя u = 2x здесь,

∫ sin 2x dx = -(cos 2x) / 2 + C

Это интеграл формулы sin 2x.

Определенный интеграл от греха 2x

Определенный интеграл — это неопределенный интеграл с некоторыми нижними и верхними границами. По основной теореме математического анализа, чтобы вычислить определенный интеграл, мы подставляем верхнюю и нижнюю границы в значение неопределенного интеграла, а затем вычитаем их в том же порядке. При вычислении определенного интеграла константой интегрирования можно пренебречь. Вычислим здесь некоторые определенные интегралы от интеграла sin 2x dx. 92x Использование формулы двойного угла для cos

Чтобы найти интеграл от sin 2 x, мы используем формулу двойного угла для cos. Одна из формул cos 2x: cos 2x = 1 — 2 sin 2 x. Решая это для sin 2 x, мы получаем sin 2 x = (1 — cos 2x) / 2. Мы используем это, чтобы найти ∫ sin 2 x dx. Тогда мы получаем

∫ sin 2 x dx = ∫ (1 — cos 2x) / 2 dx

= (1/2) ∫ (1 — cos 2x) dx

= (1/2) ∫ 1 dx — (1/2) ∫ cos 2x dx

92x Используя интегрирование по частям

Мы знаем, что можем записать sin 2 x как sin x · sin x. Чтобы найти интеграл произведения, мы можем использовать интегрирование по частям.

∫ sin 2 x dx = ∫ sin x · sin x dx = ∫ u dv

Здесь u = sin x и dv = sin x dx.

Тогда du = cos x dx и v = -cos x.

По формуле интегрирования по частям

∫ sin 2 x dx = (-1/2) (2 sin x cos x) + ∫ cos 2 x dx

По формуле двойного угла sin, 2 sin x cos x = sin 2x и тригонометрическое тождество, cos 2 x = 1 — sin 2 x. Итак,

∫ sin 2 x dx = (-1/2) sin 2x + ∫ (1 — sin 2 x) dx

∫ sin 2 x dx = (-1/2) sin 2x + ∫ 1 dx — ∫ sin 2 x dx

∫ sin 2 x dx + ∫ sin 2 x dx = (-1/2) sin 2x + x + C₁ 9{\pi}\)

= [π/2 — (sin 2π)/4] — [0 — (sin 0)/4]

= π/2 — 0/4

= π/2

Следовательно, интеграл от sin 2 x от 0 до π равен π/2.

Важные примечания, относящиеся к интегралу от Sin 2x и интегралу от Sin 2 x:

  • ∫ sin 2x dx = -(cos 2x)/2 + C
  • ∫ sin 2 x dx = x/2 — (sin 2x)/4 + C

Темы, относящиеся к интегралу Sin 2 x и интегралу Sin 2x: 93x дх?

∫ sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx = ∫ (1 — cos 2 x) sin x dx. Подставим cos x = u. Тогда -sin x dx = du. Тогда приведенный выше интеграл принимает вид ∫ (1 — u 2 ) (- du) = -u + u 3 /3 + C. Подставив сюда u = sin x, ∫ sin 3 x dx = -cos x + cos 3 x/3 + C.

Чему равен интеграл от Sin 3x dx?

Чтобы найти ∫ sin 3x dx, пусть 3x = u. Тогда 3 дх = ду. Отсюда dx = du/3. Тогда приведенный выше интеграл принимает вид ∫ sin u (1/3) du = (1/3) (-cos u) + C = (-1/3) cos (3x) + C. 92x дх?

Нет, значения этих двух интегралов НЕ совпадают. Имеем

  • ∫ sin 2 dx = x/2 — (sin 2x)/4 + C
  • ∫ sin 2x dx = (-cos 2x)/2 + C

Мэтуэй | Популярные проблемы

9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx натуральное бревно х
2 Оцените интеграл 92)
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оцените интеграл 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Интеграл от sin2(x) — метод, результат и все объяснение

В старшей школе интеграция была одной из самых страшных тем в математике.

В этой статье подробно объясняется интеграл от sin 2 (x).

На самом деле темы интеграции и дифференциации идут рука об руку.

Слово «интеграция» означает «интегрировать», то есть «присоединяться».

Дифференцировать означает разбить функцию на бесконечно малые части. Наоборот, интеграция — это как раз обратное. На самом деле требуется соединение этих бесконечно малых частей, чтобы сформировать исходную функцию.

Интеграл от ∫sin 2 (X)

Для интеграла от sin 2 (x) функция интегрирования может быть записана как:

I = 9×0000 2 ∫003sin dx ____(1)

Ясно, что мы не можем решить этот интеграл с помощью какой-либо прямой формулы. Итак, чтобы решить это, мы должны использовать тригонометрическое тождество половинного угла ∫sin 2 (x).

Теперь, как мы все знаем, тригонометрическое тождество половинного угла sin 2 (x) = (1 – cos 2x) / 2.

Таким образом, уравнение____(1) можно переписать как:

I = ∫ (1 – cos 2x) / 2 dx,

Или, I = 1/2 ( ∫ (1 – cos 2x) dx,

Или, I = 1/2 ∫ 1 dx – 1/2 ∫ cos 2x dx,

Следовательно, первая часть интеграла решается очень легко. Но , для второй части интеграла необходимо применить формулу интегрирования

Также необходимо использовать формулу интегрирования:

∫ cos kx dx= (sin kx / k) + c

Далее, используя эта формула, мы имеем, 9или * (sin 2x) + c,

(где «c» — константа).

Таким образом, ясно, что интеграл от sin 2 (x) равен x/2 – 1/4 * (sin 2x) + c.

Интеграл от ∫ sin 2 (x) объяснено dx шагов

Мы должны проинтегрировать ∫ sin 2 x . Далее мы разбили шаги интеграла от sin 2 (x) чтобы вы лучше поняли.

Для sin 2 (x) мы будем использовать формулу двойного угла cos : переставить так, чтобы получилось sin 2 (x) подлежащее:

sin 2 (x) = 1/2(1 – cos(2x))

Теперь вы можете переписать интегрирование:

∫sin 2 (x) dx = ∫ 1 / 2(1 – cos(2x)) dx

Тогда мы используем правило сумм (правило распределения)

∫ f(x) + g(x) dx= ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

Таким образом, мы получаем ∫ (1 / 2) dx − ∫ ( cos 2x/2 ) dx.

Затем используем правило «интегрирования константы»:

∫ a dx = ax + c ; где «с» — константа.

Так как 1/2 является константой, мы можем убрать ее из интегрирования, чтобы упростить вычисление. Следовательно, мы получим x / 2 − ∫ ( cos 2x ) / 2 dx.

Следуя этому, мы можем использовать константное правило:

∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx.

1 / 2 x ∫(1 – cos(2x)) dx = 1/2 x (x – 1/2sin(2x)) + C

На самом деле очень важно, что поскольку это не определенный интеграл, мы должны добавить константу C в конце интегрирования.

Теперь, упростив приведенное выше уравнение, мы получим окончательный ответ:

∫sin 2 (x) dx = 1/2X – 1/4 sin(2x) + C.

Теперь найдем интеграл sin 2 (x) другим методом.

Интеграл от ∫ sin 2 (x) dx по частям

Теперь найдем интеграл от ∫sin 2 (X) dx по частям.

However, we shall use this formula for the same:

∫ 𝑢′( 𝑥) 𝑣( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢( 𝑥) 𝑣( .0003 2 (x) dx как ∫ sin(x) sin(x) dx.

∫ sin(𝑥) sin(𝑥) 𝑑𝑥 = −cos(𝑥) sin(𝑥) − ∫ (−cos(𝑥)) cos(𝑥) 𝑑𝑥

Если мы снова применим интегрирование по частям к самому правому выражению, мы получим,

∫ sin 2 (x) dx = ∫ sin 2 (x) dx, что не очень полезно.

Однако настоящий трюк состоит в том, чтобы переписать ∫cos 2 (x) dx на втором шаге как 1− ∫ sin 2 (x) .

Тогда мы получим ∫ sin 2 (x)dx.

Теперь все, что нам нужно сделать, это передать ∫sin 2 (x) dx из правой части в левую часть уравнения:

2 ∫sin 2 (x) dx = − cos(𝑥) sin(𝑥) + 𝑥 + 𝐶

∫sin 2 (x) dx = 1 / 2 (𝑥 − cos(𝑥) sin(𝑥)) + 𝐶____(2).

Мы знаем, что sin 2x = 2 sin(x) cos(x).

Следовательно, cos(x) sin(x) = (sin 2x) / 2.

Итак, если мы подставим это значение cos(x) sin(x) в уравнение ___(2),

Мы получим :

∫ sin 2 (x) dx = x / 2 – (sin 2x) / 4 + C.

Итак, мы должны писать C/2, а не C, но это все равно просто неопределенная константа, поэтому, как это принято, мы переименовываем C/2 в C, чтобы получить результат в обычном виде.

Интеграл от sin 2 (x) от 0 до pi

Как мы обсуждали чуть позже: есть два типа интегрирования —

определенное и неопределенное .

Теперь мы перейдем к нахождению определенного интеграла от sin 2 (x), когда верхний предел (b) = π и нижний предел (a) = 0 .

Решите интеграл I = ∫sin

2 (x) dx от 0 до π .

Таким образом, это можно записать как:

I = ∫sin 2 (x) dx от 0 до π

Далее, мы можем просто записать это как:

∫sin

2 (x

3) dx от 0 до π = ∫​(1−cos2x) / 2) dx от 0 до π.

Однако это написано, потому что ( ∵ sin 2 (x) = (1−cos 2x) / 2).

= 1 / 2 [∫dx от 0 до π – ∫cos ( 2x ) dx от 0 до π]

= 1/2 ​[ x− (sin 2x) / 2

​= 1/2 [ (π −0) − (sin 2π − sin 0) / 2]

= π / 2,

Таким образом, определенный интеграл от ∫ sin 2 (x) dx в пределах от 0 до π равен π / 2,

.

Интеграл от sin 2 (x) Wolfram:

Wolfram — еще один онлайн-калькулятор, вычисляющий интеграл от функций. Итак, очевидно, вы можете найти интеграл от sin 2 (x) и на нем.

Вольфрамовый калькулятор исключительно хорош. Это потому, что он не только с легкостью отображает результат, но и отображает график. Он даже отображает расширенную форму, альтернативную форму и разложение интеграла в ряд.

Подводя итог, можно сказать, что это может быть очень полезным инструментом для всех студентов, которые хотят углубиться в конкретный интеграл и выяснить его природу в деталях.

Здесь мы также предоставляем вам ссылку для доступа к этому замечательному калькулятору:

Wolfram

Типы интеграции:

Интеграцию можно разделить на два типа:

  1. Определенный интеграл.
  2. Неопределенный интеграл.
  • Первый тип интеграла — это определенный интеграл .

Это в основном интегрирование по фиксированному пределу. Изначально задаются две границы лимита – верхняя граница и нижняя граница.

Число «а», стоящее под знаком интеграла, называется нижний предел интеграла и число «b» вверху знака интеграла называется верхним пределом интеграла. Кроме того, несмотря на то, что a и b были заданы как интервал, нижний предел не обязательно должен быть меньше верхнего предела. В совокупности мы часто будем называть a и b интервалом интегрирования .

Далее приведены правила решения определенных интегралов:0051 неопределенные интегралы .

Неопределенный интеграл, иногда называемый первообразной, от функции f ( x ), обозначаемой как

). Поскольку производная константы равна нулю, неопределенный интеграл не уникален. Однако процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.

Интеграл от sin 2x:

Интеграл от sin 2x можно обозначить как:

∫ sin (2x) dx_____( 3)

Однако это интегрирование решается очень просто. Вы можете использовать метод подстановки интегрирования, чтобы решить эту проблему.

Также значение этого будет  -(cos 2x) / 2 + C, где «C» — постоянная интегрирования.

Теперь, продолжая интегрирование подстановкой,

Теперь предположим, что 2x = u.

Полностью дифференцирующий,

2 dx = du.

Следовательно, dx = du/2.

Теперь мы должны подставить это значение dx в интеграл sin 2x, то есть

уравнение ___(3), мы получим,

∫ sin 2x dx = ∫ sin u (du/2)

= (1/2) ∫ sin u du

Однако мы знаем, что интеграл от sin x равен -cos x + C. Таким образом, последнюю строку можно записать так:

= (1/2) [(- cos и) + С].

Теперь, подставив сюда u = 2x,

∫ sin 2x dx = -(cos 2x) / 2 + C1, где C1 = C / 2.

Итак, это интеграл формулы sin 2x.

Интеграл sin 2 (x) Часто задаваемые вопросы:
1.   С чем интегрируется sin 2 (x)?

Ответ: Интеграл от sin 2 x равен x / 2 – (sin 2x) / 4 + c.

2.   Почему важно записать постоянную интегрирования в неопределенном интеграле от sin 2 (x)?

Ответ: Если F(x) является первообразной функции f(x), то есть F'(x)= f(x),

Тогда G(x) = F(x) + C (где C — любая константа) также является первообразной f(x),

Так как G'(x) = [F(x) + C]’= F'(х) = f(х).

Следовательно, существует семейство функций (отличающихся только константой), являющихся первообразными функции f(x). Итак, чтобы включить все первообразные f(x), константа интегрирования C используется для неопределенных интегралов. Важность C заключается в том, что он позволяет нам выразить общую форму первообразных.

3.   Почему в определенном интеграле от sin 2 (x) запись константы интегрирования не важна?

Ответ: В общем, форма определенного интеграла: верхний предел интегрирования за вычетом той же первообразной, оцененной на нижнем пределе интегрирования. Поскольку константы интегрирования одинаковы для обеих частей этой разности, они игнорируются при вычислении определенного интеграла, поскольку они вычитаются и дают нуль. Двигаясь дальше и помня об этом, выберите постоянную интегрирования равной нулю для всех определенных интегралов. 92 раза? («sin Square x»)

Содержание

Что такое интеграл от Sin²x?  Это похоже на поиск обратной производной. В этом смысле интегрирования являются антипроизводными. Интеграция — это добавление частей, чтобы найти целое. Вся пицца интегрирована, а кусочки — это отдельные функции, которые можно интегрировать. Предположим, что f(x) — любая функция, а f′(x) — ее производная. Интегрирование f′(x) по dx равно

$$∫ f′(x) dx = f(x) + C.$$

Интегралы можно выразить двумя способами. Интегралы от неопределенной функции — это интегралы от функции, когда нет предела интегрированию. Они содержат произвольную константу. Определенные интегралы: интеграл функции с пределами интегрирования. Интервал интегрирования имеет два значения. Нижняя граница одна, а верхняя граница другая. Постоянной интеграции нет.

Интеграл sin²x

Интеграция sin²(x) невозможна, поэтому мы должны преобразовать его в другую форму, что мы можем легко сделать, используя триггерные тождества. Интегрирование квадрата греха будет основано на понятии двойных углов cos.

Интеграл от sin²x

$$sin²(x)$$
$$cos(2x) = 1 – 2sin²(x)$$ [Из тригонометрических тождеств двойного угла cos] $$sin²(x) = (1/2)(1 – cos(2x)$$
Интегрируем с обеих сторон
$$∫sin²(x)dx = ∫(1/2)(1 – cos(2x) dx$$
$$=(1/2) × ∫(1 – cos(2x)) dx$$
$$= 1/2 × (x – 1/2sin(2x)) + C$$
Таким образом, $$∫sin2(x) dx = (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C$$

Следовательно, окончательный интеграл от sin2x равен $$(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C$$

Пошаговое руководство по нахождению интеграла от sin²x

$$∫sin²(x)dx$$
• Использовать тождества Пифагора: $$sin²x=1/2−cos2x/2$$
$$∫(1/2−cos2x/2)dx$$
• Использовать сумму Правило: $$∫f(x)+g(x)dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx. $$
$$∫(1/2)dx−∫(cos2x/2)dx$ $
• Используйте это правило: $$∫adx=ax+C$$
$$x/2−∫(cos2x/2)dx$$
• Используйте правило постоянного коэффициента: $$∫cf(x)dx=c ∫f(x)dx.$$
$$x/2−1/2∫(cos2x)dx$$
Пусть u=2x, du=2dx, тогда , dx= (1/2) du
• Использование u и выше, перепишите $$∫cos2xdx$$.
$$∫(cosu)/2du$$
• Используйте правило постоянного коэффициента: $$∫cf(x)dx=c∫f(x)dx.$$
$$1/2∫cosudu$$
• Используйте тригонометрическое интегрирование: интеграл cosu равен sinu.
$$(sinu)/2$$
• Подставьте u=2x обратно в исходный интеграл.
$$sin2x/2$$
• Интеграл следует переписать после завершения подстановки.
$$x/2−sin2x/4$$
• Добавить константу.
$$x/2−sin2x/4+C$$

Как интегрировать sin2x?

Итак, теперь мы должны проинтегрировать sin 2x

$$∫sin 2x dx = ½ ∫2 × sin(2x) dx (i)$$

Предположим, что u = 2x. Тогда du = 2dx.

Мы знаем, что $$∫sin x = − cos x + C$$

Следовательно, после подстановки уравнение (i) принимает вид

$$∫sin 2x dx = ½ ∫sin(u) du$$

$ $∫sin 2x dx = ½ (– cos u du) + C$$

$$∫sin 2x dx = −½ cos(2x) + C$$

Таким образом, $$∫sin 2xdx = −½ cos ( 2x) + C$$

Чему может быть равен sin 2x?

Формула Sin2x — еще одна формула двойного угла. С помощью этой формулы мы можем найти синус угла, значение которого удвоилось. Мы знаем, что грех — это одно из основных тригонометрических соотношений, определяющих длину стороны, противоположной углу и гипотенузе в прямоугольном треугольнике. С использованием основных тригонометрических формул существует множество формул, связанных с sin 2x. Диапазон функции sin равен [-1, 1], поэтому диапазон sin2x также равен [-1, 1].

Sin 2x — тождество двойного угла для синуса в тригонометрии. Угловые отношения изучаются в тригонометрии путем сравнения углов и сторон прямоугольных треугольников. Есть две простые формулы для sin 2x:

$$sin(2x) = 2 sin x cos x$$ (в терминах sin и cos)

$$sin(2x) = (2tan x)​/(1 + tan2x)$$ (в терминах tan)

Это основные формулы sin 2x. Но мы можем записать эту формулу только в терминах sin x (или) cos x, используя тригонометрическое тождество sin2x + cos2x = 1. Их

$$sin 2x = 2 √(1 – cos2x) cos x$$ (формула sin 2x через cos)

$$sin 2x = 2 sin x √(1 – sin2x)$$ (формула sin 2x в с точки зрения греха)

Почему sin 2pi 0?

Чтобы найти значение sin 2pi, давайте сначала вспомним функцию синуса для различных стандартных углов из тригонометрической таблицы. sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, sin π/4 = √2/2, sin π/3 = √3/2 и sin π/2 = 1. Эта таблица не содержит значения грех 2пи. Здесь будут использованы различные методы, чтобы найти, что sin 2pi равен 0. Также будет приведено несколько примеров, иллюстрирующих, как это работает.

Sin числа 2pi равен 0, т. е. sin 2π = 0. Используя тригонометрическую таблицу, мы можем найти тригонометрические отношения стандартных углов 0, π/6, π/4, π/3 и π/2. Эта таблица не дает нам значения sin 2pi. Тригонометрические отношения нестандартных углов чаще всего находятся с использованием опорных углов и квадранта, в котором лежит угол. 2pi также можно найти таким образом. Можно использовать несколько других методов, чтобы найти значение sin 2pi, в том числе

  • Используя формулу двойного угла
  • Использование опорного угла
  • Использование единичной окружности

Мы докажем, что sin 2π = 0 в каждом из этих методов.

Синус числа 2pi равен 0.

Синус числа 2pi Используя формулу двойного угла

Мы можем найти значение sin числа 2pi, используя формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x. Поскольку мы должны определить значение sin(2π), мы должны заменить x = π в приведенной выше формуле. Это дает нам:

sin 2π = 2 sin π cos π -(1)

Так как угол π также является нестандартным углом, мы находим значения sin π и cos π по формулам суммы и разности. Тогда мы получаем

sin π = sin (π/2 + π/2) = sin π/2 cos π/2 + cos π/2 sin π/2 = (1)(0) + (0)(1) = 0

cos π = cos (π/2 + π/2) = cos π/2 cos π/2 – sin π/2 sin π/2 = (0)(0) – (1)(1) = -1

Подставьте эти значения в (1),

sin 2π = 2 (0) (-1) = 0

Следовательно, sin 2pi = 0.

Sin 2pi Использование опорных углов

Когда мы конвертируем 2π в градусы, мы получаем 360°. 360° лежит в интервале [0°, 360°], поэтому сам его котерминальный угол является опорным углом. Если мы вычтем из него 360 °, мы найдем котерминальный угол. Если мы разделим 360° на 360°, то получим 0°. Следовательно, котерминальный угол 360° равен 0°. Кроме того, 360° означает один полный оборот, поэтому он приходится либо на первый квадрант, либо на четвертый квадрант. Итак, рассмотрим оба случая.

  • Первый квадрант: Мы знаем, что в первом квадранте грех положителен.
    Тогда sin 360° = + sin 0° = 0 (поскольку sin 0° = 0)
  • Четвертый квадрант: Мы знаем, что в четвертом квадранте грех отрицателен.
    Тогда sin 360° = – sin 0° = 0 (поскольку sin 0° = 0)

В обоих случаях sin 360° = sin 2π = 0,

Следовательно, sin 2π = 0,

Синус 2pi Используя единичный круг

Прежде чем найти значение sin 2pi.

  • Единичная окружность — это окружность радиусом с центром в начале координат.
  • Точка на единичной окружности соответствует углу.
  • Угол образован линией, соединяющей начало координат и точку с положительным направлением оси x против часовой стрелки.
  • Если P(x, y) соответствует некоторому углу θ, то x = cos θ и y = sin θ. Другими словами, синус угла представляет собой координату y точки.

Окружность 0° на единичной окружности состоит из 2π, что составляет всего 360° и представляет собой один полный оборот, так что это не что иное, как угол между осью x и ею самой. Точка единичного круга (1, 0) также находится на оси x, поэтому мы знаем, что 0° соответствует той же точке. Таким образом,

sin 2π = sin 0° = координата y (1, 0) = 0.

Следовательно, sin 2π = 0.

Что такое формула cos2x?

Связь между углом и его сторонами объясняется тригонометрическими отношениями угла в прямоугольном треугольнике. Так что же означает cos2x? Помимо формулы косинуса 2х или косинуса 2х, существует также формула двойного угла или формула косинуса 2х. В формуле есть двойной угол, поэтому она называется формулой двойного угла. Он управляется этими тригонометрическими функциями суммы и разности двух чисел (углов) и соответствующими выражениями. Теперь, когда мы понимаем, что такое формула cos 2x, мы можем перейти к изучению тригонометрии и формулы cos2x.

Теперь, если вам интересно, что такое формула cos2x, позвольте мне сказать вам, что у нас есть формула 5 cos x.

  • Тригонометрическая формула $$cos2x = Cos²x – Sin²x$$
  • Тригонометрическая формула $$cos2x = 1 – 2Sin²x$$
  • Тригонометрическая формула $$cos2x = 2Cos²x – 1$$
  • Тригонометрическая формула $$cos2x = (1−tan²x)/(1+tan²x)$$
  • Тригонометрическая формула $$cos2x = (Cos²x−Sin²x)/(Cos²x+Sin²x)$$

17.2: Неоднородные линейные уравнения — Математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2627
    • Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Напишите общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
    • Решите неоднородное дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов.
    • Решить неоднородное дифференциальное уравнение методом вариации параметров.

    В этом разделе мы рассмотрим, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

    Общее решение неоднородного линейного уравнения

    Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

    \[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber \]

    Соответствующее однородное уравнение

    \[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0 \nonumber \]

    называется дополнительным уравнением . Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

    Определение: частное решение

    Решение \(y_p(x)\) дифференциального уравнения, которое не содержит произвольных констант, называется частным решением уравнения.

    ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

    Пусть \(y_p(x)\) любое частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

    \[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x )у=г(х). \nonumber \]

    Также пусть \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Затем общее решение неоднородного уравнения задается выражением

    \[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]

    Доказательство

    Чтобы доказать, что \(y(x)\) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно является решением дифференциального уравнения, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в виде форма. Подставив \(y(x)\) в дифференциальное уравнение, мы получим

    \[\begin{align*}a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y &=a_2(x )(c_1y_1+c_2y_2+y_p)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)′ \\ &\;\;\;\; +a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p) \\[4pt] &=[a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2)′+a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2 )] \\ &\;\;\;\; +a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p \\[4pt] &=0+r(x) ​​\\[4pt] &=r(x). \end{выравнивание*}\]

    Итак, \(y(x)\) является решением.

    Теперь пусть \(z(x)\) будет любым решением \(a_2(x)y»+a_1(x)y’+a_0(x)y=r(x).\) Тогда

    \[\ begin{align*}a_2(x)(z−y_p)″+a_1(x)(z−y_p)′+a_0(x)(z−y_p) &=(a_2(x)z″+a_1 (x)z′+a_0(x)z) \\ &\;\;\;\;−(a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p) \\[4pt] &=r(x)−r(x) \\[4pt] &=0, \end{align*}\]

    , поэтому \(z(x)−y_p(x)\) является решением дополнительной уравнение. Но \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \(c_1\) и \(c_2\), такие что

    \[z(x)−y_p(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber \]

    Отсюда мы видим, что

    \[z(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]

    Пример \(\PageIndex{1}\): проверка общего решения

    Учитывая, что \(y_p(x)=x\) является частным решением дифференциального уравнения \(y″+y= x,\) запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

    Решение

    Дополнительным уравнением является \(y″+y=0,\), которое имеет общее решение \(c_1 \cos x+c_2 \sin x. \) Итак, общее решение неоднородного уравнения

    \[y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+x. \nonumber \]

    Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас есть

    \[y′(x)=−c_1 \sin x+c_2 \cos x+1 \nonumber \]

    и

    \[y″(x)=−c_1 \cos x−c_2 \sin Икс. \nonumber \]

    Затем

    \[\begin{align*} y″(x)+y(x) &=−c_1 \cos x−c_2 \sin x+c_1 \cos x+c_2 \sin x+ x \\[4pt] &=x.\end{align*} \nonumber \]

    Итак, \(y(x)\) является решением \(y″+y=x\). 9{4x}−2\)

    В предыдущем разделе мы научились решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому для неоднородных уравнений вида \(ay″+by′+cy=r(x)\) мы уже знаем, как решать дополнительное уравнение, и задача сводится к нахождению частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим теперь для этого два приема: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

    Неопределенные коэффициенты

    Метод неопределенных коэффициентов включает обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \(r(x)\). Когда мы берем производные полиномов, показательных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, показательные функции, синусы и косинусы. Поэтому, когда \(r(x)\) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же форму. Давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает. 9{−3x}\). Поскольку \(r(x)=3x\), конкретное решение может иметь вид \(y_p(x)=Ax+B\). Если это так, то мы имеем \(y_p′(x)=A\) и \(y_p″(x)=0\). Чтобы \(y_p\) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \(A\) и \(B\), что

    \[\begin{align*} y″+4y′+3y &=3x \\[4pt] 0+4(A)+3(Ax+B) &=3x \\[4pt] 3Ax+(4A+3B) &=3x. \nonumber \end{align*} \nonumber \]

    Приравняв коэффициенты подобных членов, получим

    \[\begin{align*} 3A &=3 \\ 4A+3B &=0. \end{align*} \nonumber \] 9{−3x}+x−\frac{4}{3}. \nonumber \]

    В примере \(\PageIndex{2}\) обратите внимание, что хотя \(r(x)\) не включает постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение . Если бы мы приняли решение в виде \(y_p=Ax\) (без постоянного члена), мы бы не смогли найти решение. (Проверьте это!) Если функция \(r(x)\) является полиномом, наше предположение о конкретном решении должно быть полиномом той же степени, и оно должно включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в \(r(x)\). 9{2t}+ \sin t+ \cos t \)

    В предыдущей контрольной точке \(r(x)\) включала как синус, так и косинус. Однако, даже если \(r(x)\) включает только синус или только косинус, в предположении должны присутствовать оба члена. Метод неопределенных коэффициентов также работает с произведениями многочленов, экспонент, синусов и косинусов. Некоторые ключевые формы \(r(x)\) и соответствующие предположения для \(y_p(x)\) приведены в таблице \(\PageIndex{1}\).

    αx sin βx,” in the second column.»>
    Таблица \(\PageIndex{1}\): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов 9{−2x}\).

    СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
    1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
    2. Основываясь на форме \(r(x)\), сделайте начальное предположение для \(y_p(x)\).
    3. Проверить, является ли какой-либо член предположения для \(y_p(x)\) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \(x). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \(y_p(x)\) не останется членов, которые решают дополнительное уравнение.
    4. Подставьте \(y_p(x)\) в дифференциальное уравнение и приравняйте одинаковые члены, чтобы найти значения неизвестных коэффициентов в \(y_p(x)\).
    5. Сложите общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.
    Пример \(\PageIndex{3}\): Решение неоднородных уравнений

    Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.

    9229{−3x}\)(шаг 1). Основываясь на форме \(r(x)=−6 \cos 3x,\), наше начальное предположение для конкретного решения: \(y_p(x)=A \cos 3x+B \sin 3x\) (шаг 2) . Ни одно из условий в \(y_p(x)\) не решает дополнительное уравнение, так что это правильное предположение (шаг 3).
    Теперь мы хотим найти значения для \(A\) и \(B,\), поэтому подставим \(y_p\) в дифференциальное уравнение. У нас есть

    \[y_p′(x)=−3A \sin 3x+3B \cos 3x \text{ и } y_p″(x)=−9A \cos 3x−9B \sin 3x, \nonumber \]

    поэтому мы хотим найти значения \(A\) и \(B\) такие, что 92+Bt\) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни одно из условий в \(y_p(t)\) не решает дополнительное уравнение, поэтому это верное предположение (снова шаг 3). Теперь нам нужно найти значения для \(A\) и \(B,\), поэтому мы подставляем \(y_p\) в дифференциальное уравнение. У нас есть \(y_p′(t)=2At+B\) и \(y_p″(t)=2A\), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

    \[\begin{align*}y″−3y′ &=−12t \\[4pt] 2A−3(2At+B) &=−12t \\[4pt] −6At+(2A−3B) &=− 12т. \конец{выравнивание*}\]

    Следовательно, 9{2t}−5 \cos 2t+ \sin 2t\)

    Изменение параметров

    Иногда \(r(x)\) не является комбинацией полиномов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и приходится использовать другой подход для нахождения частного решения дифференциального уравнения. Мы используем подход, называемый методом вариации параметров .

    Чтобы немного упростить наши расчеты, мы разделим дифференциальное уравнение на \(a,\), чтобы получить старший коэффициент, равный 1. Тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид

    \[y″+py′+qy=r(x), \nonumber \]

    где \(p\) и \(q\) — константы.

    Если общее решение дополнительного уравнения имеет вид \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\), мы будем искать частное решение вида

    \[y_p(x)=u( х)у_1(х)+v(х)у_2(х). \nonumber \]

    В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения для формирования нашего частного решения. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями \(x\), а не константами. Мы хотим найти функции \(u(x)\) и \(v(x)\) такие, что \(y_p(x)\) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас есть

    \[\begin{align*}y_p &=uy_1+vy_2 \\[4pt] y_p′ &=u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′ \\[4pt] y_p″ &=(u′ y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″. \end{align*}\]

    Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

    \[\begin{align*}y_p″+py_p′+qy_p &=[(u′y_1+v′y_2)′+u ′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″] \\ &\;\;\;\;+p[u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′]+q[uy_1+vy_2] \\[4pt] &=u[y_1″+p_y1′+qy_1]+v[y_2″+py_2′+qy_2] \\ &\;\;\;\; +(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′). \end{выравнивание*}\]

    Обратите внимание, что \(y_1\) и \(y_2\) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

    \[(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′)=r(x). \nonumber \]

    Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \(u′y_1+v′y_2=0\), первые два члена равны нулю, и это сводится к \(u′y_1′+v′ y_2′=r(x)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

    \[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &= 0 \\[4pt] u′y_1′+v′ у_2′ &=г(х). \end{выравнивание*}\]

    Решение этой системы дает нам \(u′\) и \(v′\), которые мы можем интегрировать, чтобы найти \(u\) и \(v\).

    Тогда \(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с помощью определителей.

    ПРАВИЛО: ПРАВИЛО КРАМЕРА

    Система уравнений

    \[\begin{align*} a_1z_1+b_1z_2 &=r_1 \\[4pt] a_2z_1+b_2z_2 &=r_2 \end{align*}\]

    имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов отличен от нуля. В этом случае решение имеет вид

    \[z_1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll| }a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{массив}} \; \; \; \; \; \текст{и} \; \; \; \; \; z_2 = \dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}} . \label{cramer} \]

    Пример \(\PageIndex{4}\): использование правила Крамера 92}\),\( z_2=\frac{2x+2}{11x}\)

    СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: МЕТОД ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ
    1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение \[c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \номер\]
    2. Используйте правило Крамера или другой подходящий метод, чтобы найти функции \(u′(x)\) и \(v′(x)\), удовлетворяющие \[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &=0 \ \[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \конец{выравнивание*}\]
    3. Интегрируйте \(u′\) и \(v′\), чтобы найти \(u(x)\) и \(v(x)\). Тогда \(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) является частным решением уравнения. 3 x \номер\] 9т \лн|т| \)

      Ключевые понятия

      • Чтобы решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, сначала найдите общее решение дополнительного уравнения, а затем найдите частное решение неоднородного уравнения.
      • Пусть \(y_p(x)\) — любое частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения \[a_2(x)y»+a_1(x)y’+a_0(x)y=r(x), \nonumber \] и пусть \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения определяется выражением \[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \номер\]
      • Если \(r(x)\) является комбинацией многочленов, показательных функций, синусов и косинусов, используйте метод неопределенных коэффициентов, чтобы найти конкретное решение. Чтобы использовать этот метод, примите решение в той же форме, что и \(r(x)\), при необходимости умножая на x , пока предполагаемое решение не станет линейно независимым от общего решения дополнительного уравнения. Затем подставьте предполагаемое решение в дифференциальное уравнение, чтобы найти значения для коэффициентов.
      • Когда \(r(x)\) является , а не комбинацией многочленов, экспоненциальных функций или синусов и косинусов, используйте метод вариации параметров, чтобы найти конкретное решение. Этот метод включает использование правила Крамера или другого подходящего метода для поиска функций и \(v′(x)\), удовлетворяющих \[\begin{align*}u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1 ′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\] Тогда \(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) является частным решением дифференциального уравнения.
      Ключевые уравнения
      • Дополнительное уравнение
        \(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0\)
      • Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
        \(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x)\)

      Глоссарий

      дополнительное уравнение
      для неоднородного линейного дифференциального уравнения \(a+2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x),\) ассоциированное однородное уравнение, называемое дополнительным уравнением , это \(a_2(x)y»+a_1(x)y’+a_0(x)y=0\)
      метод неопределенных коэффициентов
      метод, который включает в себя предположение о форме конкретного решения, а затем вычисление коэффициентов в предположении
      метод варьирования параметров
      метод, заключающийся в поиске частных решений в виде \(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\), где \(y_1\) и \(y_2\ ) являются линейно независимыми решениями дополнительных уравнений, а затем решают систему уравнений, чтобы найти \(u(x)\) и \(v(x)\)
      г.
      частный раствор
      решение \(y_p(x)\) дифференциального уравнения, которое не содержит произвольных констант

        Эта страница под названием 17.2: Неоднородные линейные уравнения распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован. к стилю и стандартам платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

        1. Наверх
          • Была ли эта статья полезной?
          1. Тип изделия
            Раздел или страница
            Автор
            ОпенСтакс
            Лицензия
            CC BY-NC-SA
            9Версия лицензии 1954 г.
            4,0
            Программа ООР или издатель
            ОпенСтакс
            Показать страницу Оглавление
            нет
          2. Теги
            1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
            2. автор@Гилберт Странг
            3. дополнительное уравнение
            4. Правило Крамера
            5. метод неопределенных коэффициентов
            6. метод изменения параметров
            7. частный раствор
            8. источник@https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1

          Решения Balbharati для математики и статистики 2 (Искусство и наука) 12-й стандарт HSC Maharashtra State Board, глава 3 — Бессрочная интеграция [Последнее издание] 92x)dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3. 1 | Вопрос 2.06 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int sinx/(1 + sinx)dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 2.07 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int tanx/(sec x + tan x)dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 2.08 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int sqrt(1 + sin 2x) dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 2.09| Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `intsqrt(1 — cos 2x)dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 2.1 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int sin 4x cos 3x dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 3.01 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int x/(x + 2).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 3.02 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int(4x + 3)/(2x + 1).dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3. 1 | Вопрос 3.03 | Страница 102

          Вычислить следующие интегралы: `int(5x + 2)/(3x — 4).dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 3.04 | Страница 102

          Вычислить следующие интегралы: `int(x — 2)/sqrt(x + 5).dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 3.05 | Страница 102

          Вычислите следующие интегралы: `int (2x — 7)/sqrt(4x — 1).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.1 | Вопрос 3.06 | Страница 102 9-11)`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 1.11 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : x 9 .sec 2 (x 10 )

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 1.12 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : e 3logx (x 4 + 1) –1 

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 1.13 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `sqrt(tanx)/(sinx. cosx)` 93 — 1)`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 1.25 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `(1)/(x.logx.log(logx)`.

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (A) | Q 2.01 | Страница 110

          Интегрируем следующие функции относительно x : `(cos3x — cos4x) /(sin3x + sin4x)`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (A) | Q 2.02 | Страница 110

          Интегрируем следующие функции относительно x : `cosx/sin(x — a)`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ 9(2x) — 5)`

          ПРОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 2.1 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : cos 8 xcotx

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 2.11 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : tan 5 x

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (A) | Вопрос 2.12 | Страница 110

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : cos 7 x

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ 92 — 5). dx`

          ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 1.07 |

          Вычислите следующее: `int sqrt((9 + x)/(9 — x)).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 1.08 |

          Вычислите следующее: `int sqrt((2 + x)/(2 — x)).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 1.09 |

          Вычислите следующее: `int sqrt((10 + x)/(10 — x)).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 1.1 | Страница 123 92x).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 1.2 |

          Вычислите следующее: `int sinx/(sin 3x).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.1 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(3 + 2sinx).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.2 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(4 — 5cosx).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2. 3 | Страница 123

          Интегрировать следующие функции с.р.т. x : `int (1)/(2 + cosx — sinx).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.4 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(3 + 2sin x — cosx)dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.5 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(3 — 2cos 2x).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.6 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(2sin 2x — 3)dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.7 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(3 + 2 sin2x + 4cos 2x).dx`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.2 (B) | Вопрос 2.8 | Страница 123

          Интегрируйте следующие функции по отношению к x : `int (1)/(cosx — sinx).dx`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3. (2x).sin3x` 92x)`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.4 | Вопрос 1.18 | Страница 145

          Интегрируйте следующее w.r.t. x : `(1)/(sinx + sin2x)`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Упражнение 3.4 | Вопрос 1.19 | Страница 145

          Интегрируйте следующее w.r.t. x : `(1)/(2sinx + sin2x)`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.4 | Вопрос 1.2 | Страница 145

          Интегрируйте следующее w.r.t. x : `(1)/(sin2x + cosx)`

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Упражнение 3.4 | Вопрос 1.21 | Страница 145 95)*dx` =

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Разное Упражнение 3 | Вопрос 1.03 |

          Выберите правильные варианты из предложенных:

          `int (log (3x))/(xlog (9x))*dx` =

          • log (3x) – log (9x) + c·

          • log (x) – (log 3) · log (log 9x) + c

          • log 9 – (log x) · log (log 3x) + c

          • log (x) + (журнал 3) · журнал (лог 9x) + c

          ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ 92) + c`

          ПРОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

          Разное Упражнение 3 | Вопрос 1. 06 | Страница 148

          Выберите правильные варианты из предложенных:

          `int (x-sinx)/(1 — cosx)*dx` =

          • `x cot (x/2) + c`

          • `- x детская кроватка (x/2) + c`

          • `кроватка (x/2) + c`

          • `x коричневый (x/2) + c`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Разное Упражнение 3 | Вопрос 1.07 | Страница 148 9-x + c`

          ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

          Разное Упражнение 3 | Вопрос 1.12 |

          Выберите правильные варианты из предложенных:

          `int sin (log x)*dx` =

          • `x/(2)[sin (log x) — cos (log x) ] + c`

          • `x/(2)[sin (log x) + cos (log x)] + c`

          • `x/(2)[cos (log x) — sin (log x) x)] + c`

          • `x/(4)[cos (log x) — sin (log x)] + c`

            • 92*dx` =

            • `x/(1 + log x) + c`

            • x(1 + log x) + c

            • `x/(1 + log x) + c`

            • `x/(1 — log x) + c`

            ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

            Разное Упражнение 3 | Вопрос 1. 18 | Страница 150

            Выберите правильные варианты из предложенных:

            `int [sin (log x) + cos (log x)]*dx` =

            • x cos (log x) + c

            • sin (log x) + c

            • cos (log x) + c

            • x sin (log x) + c

            ПРОСМОТР РЕШЕНИЯ

            Разное Упражнение 3 | Вопрос 1.19 | Страница 150

            Выберите правильные варианты из предложенных:

            `int (cos2x — 1)/(cos2x + 1)*dx` =

            • tan x – x + c

              +

              x

              2
              загар x + c

            • x – загар x + c

            • – x – кроватка x + c

              • 92θ)`

              ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

              Разное Упражнение 3 | Вопрос 2.7 | Страница 150

              Проинтегрируйте следующее по соответствующей переменной: cos 3x cos 2x cos x

              ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ

              Разное Упражнение 3 | Вопрос 2.

              Примеры на проценты как решать: Задачи на проценты

              alexxlab / / Разное

              Нахождение процентов от данного числа.Нахождение числа по его процентам.Процентное отношение двух…

              Нахождение процентов от данного числа.

              Задача. В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

              Решение.

              В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг). Такие задачи можно решать способом приведения к единице. Основное значение величины – 700 кг. Её мы можем принять за условную единицу. А условная единица и есть 100 %.

              Кратко условия задачи можно записать так:

              700 кг – 100 %

              Х кг – 20 %.

              Здесь за Х принята искомая масса масла. Узнаем, какая масса сои приходится на 1 %. Поскольку на 100 % приходится 700 кг, то на 1 % будет приходиться масса, в сто раз меньшая, то есть 700 : 100 = 7 (кг). Значит, на 20 % будет приходиться в 20 раз больше: 7 х 20 = 140 (кг). Следовательно, в 700 кг сои содержится 140 кг масла.

              Эту задачу можно решить и иначе. Если в условие этой задачи вместо

              20 % написать равное ему число 0,2, то получим задачу на нахождение дроби от числа. А такие задачи решают умножением. Отсюда получим другой способ решения:

              1) 20 % = 0,2; 2) 700 х 0,2 = 140 (кг).

              Чтобы найти несколько процентов от числа, надо проценты выразить дробью, а затем найти дробь от данного числа.

              Нахождение числа по его процентам.

               

              Задача. Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?

              Решение

              480 кг волокна составляют 24 % от некоторой массы хлопка-сырца, которую примем за Х кг. Будем считать, что Х кг составляют 100 %. Теперь кратко условие задачи можно записать так:

              480 кг — 24 %

              Х кг — 100 %

              Решим эту задачу способом приведения к единице. Узнаем, какая масса волокна приходится на 1 %. Поскольку на 24 % приходится 480 кг, то, очевидно, на 1 % будет приходиться масса в 24 раза меньше, то есть 480 : 24 = = 20 (кг). Далее рассуждаем так: если на 1 % приходится масса в 20 кг, то на 100 % будет приходиться масса, в 100 раз большая, то есть 20 х 100 = 2000 (кг)

              = 2 (т). Следовательно, для получения 480 кг волокна надо взять 2 т хлопка-сырца.

              Эту задачу можно решить и иначе.

              Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число 0,24, то получим задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие задачи решают делением. Отсюда вытекает ещё один способ решения:

              1)                             24 % = 0,24; 2) 480 : 0,24 = 2000 (кг) = 2 (т).

              Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.

              Процентное отношение двух чисел.

              Задача 1. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

              Решение

              Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:

              150/500 = 3/10 = 0,3 = 30 %

              Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).

              Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.

              Задача 2. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?

              Решение

              Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах:

              45 : 36 = 1,25 = 125 %.

              Тест Задачи на проценты (6 класс) по математике

              Сложность: новичок.Последний раз тест пройден 1 час назад.

              Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

              Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

              1. Вопрос 1 из 10

                Выразите 4 % в виде десятичной дроби:

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 75% ответили правильно
                • 75% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Следующий вопросПодсказка 50/50Ответить

              2. Вопрос 2 из 10

                Выразите дробь 0,3 в процентах:

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 74% ответили правильно
                • 74% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              3. Вопрос 3 из 10

                Вычислите 1 % от 19:

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 91% ответили правильно
                • 91% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              4. Вопрос 4 из 10

                В магазин привезли 62 т картофеля. До обеда продали 15 % всего количества. Сколько картофеля осталось еще продать?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 65% ответили правильно
                • 65% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              5. Вопрос 5 из 10

                22 ученика класса, что составляет 55 % всего количества, учатся без троек. Сколько человек в классе?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 75% ответили правильно
                • 75% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              6. Вопрос 6 из 10

                В хоре 15 мальчиков, что составляет 3/5 всего хора. Сколько человек поют в хоре?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 84% ответили правильно
                • 84% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              7. Вопрос 7 из 10

                Найдите весь путь, если 8 % пути составляет 48 км.

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 77% ответили правильно
                • 77% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              8. Вопрос 8 из 10

                Длина маршрута 36 км. Туристы прошли пешком 25 % пути, а оставшуюся часть пути плыли на плотах. Сколько километров туристы проплыли на плотах?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 73% ответили правильно
                • 73% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              9. Вопрос 9 из 10

                На сколько процентов увеличится величина от 70 до 77 ?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 80% ответили правильно
                • 80% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              10. Вопрос 10 из 10

                Приготовили раствор из 45 г соли и 155 г воды. Сколько процентов соли он содержит?

                • Правильный ответ
                • Неправильный ответ
                • Вы и еще 68% ответили правильно
                • 68% ответили правильно на этот вопрос

                В вопросе ошибка?

                Подсказка 50/50Ответить

              Доска почёта

              Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

                

              • Томирис Бушукова

                10/10

              • Инна Федорова

                10/10

              • Matvey Dzen

                9/10

              • Саша Змеёв

                9/10

              • Милана Пундик

                9/10

              • Ярослав Иванченко

                10/10

              • Руслан Исаков

                8/10

              • Анастасия Арих

                10/10

              • Ольга Линевская

                8/10

              • Вет Громов

                9/10

              ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим
              Рейтинг теста

              Средняя оценка: 3.8. Всего получено оценок: 1611.

              А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

              Текстовые задачи. Задачи на проценты с решениями

              Задачи на проценты с решениями

              перейти к содержанию курса текстовых задач

              1. Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор?   Решение
              2. Найти число, если известно, что 25% его равны 45% от 640 000.  Решение
              3. После двух последовательных повышений зарплата возросла в  раза. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было в процентном отношении вдвое больше первого? Решение
              4. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 1326 долларов. Найдите цену факса.  Решение
              5. За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом. Решение
              6. Рабочий день сократился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужны повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла бы на n % процентов? Решение
              7. Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C? Решение
              8. В результате реконструкции цеха число высвободившихся рабочих заключено в пределах от 1,7 до 2,3 % от общего числа рабочих цеха. Найдите минимальное число рабочих, которое могло быть занято в цехе до реконструкции. Решение
              9. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем вещества В составляет 20% суммы объемов веществ А и С. Найдите отношение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В. Решение
              10. Банк начисляет ежегодно р % от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма увеличится в 5 раз? Решение
              11. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на р %, а на следующий год прирост был на 10% больше, чем в предыдущий. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%. Решение
              12. В конце года вкладчику на его сбережения сбербанк начислил проценты, что составило 6 долларов. Добавив 44 доллара, вкладчик оставил деньги еще на год. После истечения года вновь были начислены проценты, и теперь вклад вместе с процентами составил 257 долларов 50 центов. Какая сумма первоначально была положена в сбербанк? Решение
              13. Сухие грибы по массе содержат 12% воды, а свежие — 90%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? Решение
              14. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число? Решение

              Задачи для самостоятельного решения

              1. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке? Ответ: 80 кг и 60 кг
              2. В январе завод выполнил 105% месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план? Ответ: на 7,1 %
              3. Количество студентов в университете, увеличиваясь на одно и то же число процентов ежегодно, возросло за три года с 5000 до 6655 человек. На сколько процентов увеличивалось число студентов ежегодно? Ответ: на 10%

              4. Вкладчик на свои сбережения через год получил 150 р. процентных денег. Добавив 850 р., он оставил деньги еще на один год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 4200 р. Какая сумма была положена первоначально и какие годовые проценты дает банк? Ответ: 3000 р, 5%

              5. Зарплата продавца составляет 3% выручки. Он реализовал товар стоимостью 6000 р. по цене на 5% выше его себестоимости. На сколько повысилась зарплата продавца? Ответ: на 9 р.

              6. Одна сторона прямоугольника в 2,5 раза меньше другой. Как и на сколько процентов изменятся его периметр и площадь, если большую сторону уменьшить на 25%, а меньшую увеличить на 80%? Ответ: +5%, +35%

              7. Два брата купили акции одного достоинства на сумму 3640 долларов. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 долларов. Первый брат продал 75% своих акций, а второй — 80% своих. При этом сумма, полученная от продажи акций вторым братом, превышает сумму от продажи акций первым братом на 140%. На сколько процентов возросла цена акции? Ответ: на 37,5%

              8. В начале года вкладчик положил своих денег в один банк, а остальные — в другой. К концу года сумма на этих вкладах выросла до 1340 р., а к концу следующего года — до 1498 р. Было подсчитано, что если бы с самого начала денег вкладчик положил во второй банк, а остальные — в первый, то по итогам первого года сумма на этих вкладах составила бы 1420 р. Определить величину вклада по истечении двух лет, предполагая, что вкладчик положил все деньги в первый банк. Ответ: 1452 р.

               

              Метки проценты, текстовые задачи. Смотреть запись.

              Сложные задачи на проценты | Шевкин.Ru

              Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Шутливое отражение в ней политических страстей того времени не должно отвлечь учащихся от важного вопроса: что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50 % (на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.

              344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?

              Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.

              345.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

              2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?

              346.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

              347.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?

              Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.

              348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

              349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

              350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

              351.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

              352.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

              353.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

              354.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

              355.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

              356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

              На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).

              Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.

              357.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

              Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.

              358.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

              б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?

              Объясняя решение задачи 358 (а), воспользуемся следующей иллюстрацией.

              Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25 % массы сушеных яблок?

              359.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?

              б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

              360.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

              361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

              362.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?

              363.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
              40 кг свежих?

              364.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?

              365.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

              I способ. Число мальчиков составляют 80 % от числа девочек (100 %). Определим, сколько процентовсоставляют 100 % от 80 % :

              100/80 = 100×100/80 % = 125 %.

              II способ. Число мальчиков (m) составляют 80 % от числа девочек (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.

              III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет 10/8  или 125 %  от числа мальчиков.

              366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150% от вложенной суммы; в течение полугода — 130% годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получитьнаибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

              На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых (через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 =
              = 65 (              %) от вложенной суммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом через год мы получим:

              100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).

              Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.

              367.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

              368.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.

              369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.

              370.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

              371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

              372.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

              373.* Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

              374.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

              375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

              376.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько летвложенная сумма удвоится?

              377.* В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

              Если число мальчиков принять за 100 %, то число девочек от него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет 60×100/160 = 37,5 (%). Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначитьбуквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6x, а число всех участников секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:

              0,6x×100/1,6x = 37,5 (%).

              1. В некотором царстве, в некотором государстве пятиклас­сники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.

              Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.

              Учебное время теперь составляет 5/6×40/45 = 20/27 от прежнего. Потеря составила 1 – 20/27 = 
              =  7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9 %.

              379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?

              б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?

              Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а/1,14 = 5/6 а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах): 

              a: 5/6 a ·100 = 120 (%).

              Торговец планировал получить 120 – 100 = 20 % дохода.

              Конспект урока по математике «Проценты» 6 класс

              Тема: «Проценты»

              учитель: Осипова Светлана Александровна

              Цели урока:

              Обучающие:

              • познакомиться с понятием «процент»;

              • научиться находить процент различных чисел и величин;

              • переводить проценты в десятичную дробь и обратно;

              • научиться решать задачи на проценты.

              Развивающие:

              • развитие умений и навыков сравнения;

              • развитие внимания, математического мышления, находчивости, сообразительности, памяти.

              • выявление закономерностей и обобщение учебного материала;

              • творческих способностей, интереса к математике, кругозора.

              Воспитательные:

              • воспитание уважительного отношения друг к другу, взаимопониманию;

              • воспитание точности, аккуратности;

              • воспитание стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний;

              • воспитание уверенности в себе, самооценке своих знаний в сравнении со знаниями одноклассников.

              Тип урока: комбинированный

              Ход урока

              1. Организационный момент

              Будь внимательней дружок,

              Начинается урок.

              Посмотрите, все ль в порядке?

              Книжки, ручки и тетрадки?

              Все кто правильно сидит?

              И внимательно глядит.

              Будет нынче получать

              Только лишь отметку пять!

              (Слайд 1)

              II. Актуализация знаний и подготовка к восприятию нового материала.

              устный счет.

              Ну-ка, в сторону карандаши!

              Ни бумажек, ни ручек, ни мела!

              Устный счет! Мы творим это дело

              Только силой ума и души!

              1)Выразить (слайд 2)

              25кг = ц

              1,9р = коп

              7,6м = см

              18,9га = а

              2)Вычислить: Правило умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 0,1, 0,01

              82,34:100= 82,34 *0,01 = 24,7:10 =

              3,4*10 = 0,27* 10 = 6 ,7:10 =

              2,653*100 = 0,42*100 = 67,5:100 =

              3)Вычислить: (действия над десятичными дробями) (слайд 3)

              1) 2,8*7 5) 8*0,04

              2) 0,74+0,26 6) 0,7*5

              3) 0,691*100 7) 0,53 =3

              4) 3-0,44 8) 23:10

              3,57

              III. Введение новой темы

              1.Мотивация

              1)Итак, тема урока сегодня называется «Процент». (Ученики открывают тетради, записывают число и тему урока) (слайд 4)

              На уроке вы узнаете: что такое процент, откуда появилось это понятие, научитесь переводить проценты в дроби, и дроби в проценты, научитесь решать задачи на проценты.

              2)А что вы знаете о процентах? Знакомо ли вам это слово? Где слышали, встречали? Учащиеся дают свои ответы на вопрос. Примеры (скидки, банки, кредиты…)

              3)Действительно, в нашей жизни человек очень часто сталкивается с понятием проценты ( и в магазине, и в банке, и в аптеке, и в газета, и в журналах, и по телевизору и в школе.) Кроме того, полученные знания на уроках математики, помогут вам в дальнейшем при решении задач по химии (например: узнать концентрацию соли в морской воде), физике, биологии (жирность молока). А также при сдаче экзамена ЕГЭ (пример задачи на проценты из ЕГЭ). Тему процентов использовали в своих произведения в литературе (Достоевский, Салтыков-Щедрин, Чехов ит.д.)

              2.Что же такое процент? (Слайд 5)

              ½ — половина ¼ — четверть

              1/3 – треть 1/100 — ? (процент)

              (слайд 6)

              Перед вами квадрат. Квадрат разделен на 100 квадратиков. Значит, 1 квадратик составляет 1/100 часть квадрата.

              Определение: сотая часть числа называется процентом.

              Какого числа? Любого, любой величины.

              Запишем в тетрадь

              1% = 1/100 или 1% — 0,01

              1% = 1/100 = 0,01

              Сколько % составляет 15 квадратиков? 15/100=15%. Сколько % составляет 3 квадратика? 3/100=3%

              3.Откуда появилось это слово, и что оно означает? (Слайд 7)

              4.Когда появилось понятие процента (история) (Слайд 10)

              5.В математике мы часто встречаемся с сотой частью числа. Например:

              1 коп- 1/ 100 часть рубля

              1см — 1/100 часть метра

              1кг — 1/100 часть центнера (Слайд 9).

              Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Поэтому для них было придумано специальное название – процент. (от латинского на сто)

              Значит, 1 % это одна сотая доля. (слайд 10)

              1=100%

              ½=50%

              ¼=25%

              ¾=75%

              IV.Упражнения

              1)Зная, что 1%=1/100=0,01 можно любое количество % записать в виде дроби

              — Какой? Обыкновенно или десятичной? (Любой) (слайд 11)

              Примеры: 1%=1:100=0,01

              45%=

              30%=

              2%=

              150%=

              2)Если мы умеем переводить % в дроби, значит, сможем это сделать и наоборот.

              Переводим дроби в % (слайд 12)

              Примеры: 0,05 *100% = 5%

              0,12=

              0,48=

              1,36=

              Вывод (Слайд 13)

              3) А теперь выполните задание самостоятельно (Работа в тетрадях) (Слайд 14)

              — Запишите в виде десятичной дроби:

              6%,45%, 123%, 2,5%, 0,4%

              — Запишите в процентах десятичные дроби:

              0,87; 0,07; 1,45; 0,035; 2,672; 0,907.

              4) А сейчас мы будем учиться решать задачи на нахождение числа от числа.

              (Слайд 15)

              Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов.

              Из них 32% составляют костюмы черного цвета.

              Сколько костюмов черного цвета выпустила фабрика?

              Всего костюмов — 1200

              Черного цвета — 32%

              Ск-ко костюмов черн. цвета-?

              1200=100%

              ?  = 32%

              Решение: 1200:100= 12 костюмов в 1%

              12*32=384 костюма

              Задача 2. Решите самостоятельно. (слайд 16)

              На поле, площадь которого 620 га, работали хлопкоуборочные машины. За сутки они убрали 15% всего поля. Сколько гектаров хлопка убрали за сутки?

              V. Физкультминутка (слайд 17)

              Мы славно потрудились и славно отдохнем.

              Я даю задание и ответы. Если ответ правильный руки – вперед, нет – руки вверх, голову вверх, хлопок

              1)процент- это десятая часть числа нет

              2) 0,5=50% да

              3) ¼= 10% нет

              4) 7%=0,7 нет

              5)1/8=0,125 да

              6)0,34=34% да

              7)1%= 100 нет

              VI. Закрепление.

              Самостоятельная работа ( слайд 18)

              1 вариант

              1. Запишите в виде десятичной дроби: 9%=_____; 99%=_________ 73%=______; 115%=______.

              2. Совхоз государству сдал 4500 кг овощей. 60% сданных овощей капуста. Сколько кг капусты сдал совхоз?

              1)__________________________________.

              2)__________________________________.

              2 вариант

              1. Запишите в виде десятичной дроби: 4%=_____; 58%=______; 88%=_________ 136%=______.

              2. На базу привезли 2500 кг фруктов. Яблоки составляли 80% всех фруктов. Сколько яблок привезли на базу?

              1)__________________________________.

              2)__________________________________.

              VII. Итог урока. (Сайд19)

              О чем вы узнали сегодня на уроке?

              • Что такое процент?

              • Как найти процент от числа?

              • Как найти число по его процентам?

              Рефлексия. На листочке с ответами ученики рисуют смайлик (слайд 20)

              Оценки.

              Домашнее задание: (слайд 21)

              П. 40

              1

              3,5

              69.1

              0,32

              0,23

              0,4

              2.56

              т

              р

              н

              о

              е

              ы

              п

              ц

              Математика 5-6 классы. 31. Процентное отношение двух чисел

              Математика 5-6 классы. 31. Процентное отношение двух чисел

              Подробности
              Категория: Математика 5-6 классы

               Понятие о проценте

              В метрической системе мер, и вообще в десятичной системе счисления, широко используются сотые части.

              Сотая часть называется процентом (от латинского pro cento—на сотню, из сотни, с сотни) и обозначается %. Поэтому пишут 1 % = 0,01.

              Например; 1) 1 % рубля = 0,01 рубля = 1 копейке;

              2) 1 % метра = 0,01 метра = 1 сантиметру.

              Запись «2 %» читается «два процента» или «две сотые». Вместо того чтобы говорить «тридцать девять сотых», говорят «тридцать девять процентов» и пишут «39 %».

               

              Задача 1. Найти 25% от 36.

              Решение.

              I способ.


              1) Найдем 1 % от 36:

              2) Найдем 25 % от 36. Это в 25 раз больше:

              II способ.

              Так как 25%= 0,25, то задача сводится к нахождению 0,25 числа от 36:

              Ответ. 9.

               

              Задача 2. Найти число, 30 % которого равны 7.

              Решение.

              I способ.

              1) Если 30% числа равны 7, то 1 % числа равен 7:30 =

              2) Если 1 %,числа равен , то само число в 100 раз больше: 


              II способ.

              Обозначим неизвестное число через тогда 0,30 • x= 7,

              Ответ:

               

              Решение задач на проценты

              С процентами связаны задачи трех основных типов:

              —    нахождение процентов данного числа;

              —    нахождение числа по его процентам;

              —    нахождение процентного отношения чисел.

              Задачи первых двух типов уже рассмотрены выше. Для их решения достаточно знать, что процент—сотая часть. Задачи третьего типа связаны с выражением в процентах отношения двух чисел.

              Пример. Из 300 учеников IV и V классов школы в различных кружках занимается 138. Сколько процентов учащихся IV и V классов занимается в кружках?

              Решение.

              I способ. Вопрос задачи сводится к определению числа процентов, которое составляет 138 от 300. Примем 300 человек за 100%. Тогда 3 человека составляют 1 %, так как 300:100 = 3.

              Определим, сколько-процентов составляют 138 учеников:

              138:3=46 (%).

              II способ. Отношение 138 к 300 равно

               

              Решение обычно записывают короче:

               

              Ответ. 46 %.

               

              Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100.

              Все три типа задач на проценты можно решать с помощью одного приема как задачи на прямую пропорциональную зависимость.

              Примеры.

              1) Найдем 7 % от 35.

              Решение. Пусть х—искомое число; тогда

               

              Ответ.

              2) Найдем число, 12 % которого равны 3.

              Решение. Пусть х—искомое число; тогда

              Ответ. 25.

              3) Найдем процентное отношение чисел 8 и 35.

              Решение. Пусть х—искомое число процентов; тогда

              Ответ.

              Как посчитать процент в Excel?

              В этом уроке Вы увидите, как при помощи Excel быстро вычислить проценты, познакомитесь с основной формулой расчёта процентов и узнаете несколько хитростей, которые облегчат Вашу работу с процентами. Например, формула расчёта процентного прироста, вычисление процента от общей суммы и кое-что ещё.

              Умение работать с процентами может оказаться полезным в самых разных сферах жизни. Это поможет Вам, прикинуть сумму чаевых в ресторане, рассчитать комиссионные, вычислить доходность какого-либо предприятия и степень лично Вашего интереса в этом предприятии. Скажите честно, Вы обрадуетесь, если Вам дадут промокод на скидку 25% для покупки новой плазмы? Звучит заманчиво, правда?! А сколько на самом деле Вам придётся заплатить, посчитать сможете?

              В этом руководстве мы покажем несколько техник, которые помогут Вам легко считать проценты с помощью Excel, а также познакомим Вас с базовыми формулами, которые используются для работы с процентами. Вы освоите некоторые хитрости и сможете отточить Ваши навыки, разбирая решения практических задач по процентам.

              Базовые знания о процентах

              Термин Процент (per cent) пришёл из Латыни (per centum) и переводился изначально как ИЗ СОТНИ. В школе Вы изучали, что процент – это какая-то часть из 100 долей целого. Процент рассчитывается путём деления, где в числителе дроби находится искомая часть, а в знаменателе – целое, и далее результат умножается на 100.

              Основная формула для расчёта процентов выглядит так:

              (Часть/Целое)*100=Проценты

              Пример: У Вас было 20 яблок, из них 5 Вы раздали своим друзьям. Какую часть своих яблок в процентах Вы отдали? Совершив несложные вычисления, получим ответ:

              (5/20)*100 = 25%

              Именно так Вас научили считать проценты в школе, и Вы пользуетесь этой формулой в повседневной жизни. Вычисление процентов в Microsoft Excel – задача ещё более простая, так как многие математические операции производятся автоматически.

              К сожалению, нет универсальной формулы для расчёта процентов на все случаи жизни. Если задать вопрос: какую формулу для расчёта процентов использовать, чтобы получить желаемый результат, то самым правильным ответом будет: всё зависит от того, какой результат Вы хотите получить.

              Я хочу показать Вам некоторые интересные формулы для работы с данными, представленными в виде процентов. Это, например, формула вычисления процентного прироста, формула для вычисления процента от общей суммы и ещё некоторые формулы, на которые стоит обратить внимание.

              Основная формула расчёта процента в Excel

              Основная формула расчёта процента в Excel выглядит так:

              Часть/Целое = Процент

              Если сравнить эту формулу из Excel с привычной формулой для процентов из курса математики, Вы заметите, что в ней отсутствует умножение на 100. Рассчитывая процент в Excel, Вам не нужно умножать результат деления на 100, так как Excel сделает это автоматически, если для ячейки задан Процентный формат.

              А теперь посмотрим, как расчёт процентов в Excel может помочь в реальной работе с данными. Допустим, в столбец В у Вас записано некоторое количество заказанных изделий (Ordered), а в столбец С внесены данные о количестве доставленных изделий (Delivered). Чтобы вычислить, какая доля заказов уже доставлена, проделаем следующие действия:

              • Запишите формулу =C2/B2 в ячейке D2 и скопируйте её вниз на столько строк, сколько это необходимо, воспользовавшись маркером автозаполнения.
              • Нажмите команду Percent Style (Процентный формат), чтобы отображать результаты деления в формате процентов. Она находится на вкладке Home (Главная) в группе команд Number (Число).
              • При необходимости настройте количество отображаемых знаков справа от запятой.
              • Готово!

              Если для вычисления процентов в Excel Вы будете использовать какую-либо другую формулу, общая последовательность шагов останется та же.

              В нашем примере столбец D содержит значения, которые показывают в процентах, какую долю от общего числа заказов составляют уже доставленные заказы. Все значения округлены до целых чисел.

              Расчёт процента от общей суммы в Excel

              На самом деле, пример, приведённый выше, есть частный случай расчёта процента от общей суммы. Чтобы лучше понять эту тему, давайте рассмотрим ещё несколько задач. Вы увидите, как можно быстро произвести вычисление процента от общей суммы в Excel на примере разных наборов данных.

              Пример 1. Общая сумма посчитана внизу таблицы в конкретной ячейке

              Очень часто в конце большой таблицы с данными есть ячейка с подписью Итог, в которой вычисляется общая сумма. При этом перед нами стоит задача посчитать долю каждой части относительно общей суммы. В таком случае формула расчёта процента будет выглядеть так же, как и в предыдущем примере, с одним отличием – ссылка на ячейку в знаменателе дроби будет абсолютной (со знаками $ перед именем строки и именем столбца).

              Например, если у Вас записаны какие-то значения в столбце B, а их итог в ячейке B10, то формула вычисления процентов будет следующая:

              =B2/$B$10

              Для ячейки B2 используем относительную ссылку, чтобы она изменялась, когда мы скопируем формулу в другие ячейки столбца B. Ссылка на ячейку в знаменателе должна оставаться неизменной при копировании формулы, поэтому мы записали её как $B$10.

              Подсказка: Есть два способа сделать ссылку на ячейку в знаменателе абсолютной: либо ввести знак $ вручную, либо выделить в строке формул нужную ссылку на ячейку и нажать клавишу F4.

              На рисунке ниже показан результат вычисления процента от общей суммы. Для отображения данных выбран Процентный формат с двумя знаками после запятой.

              Пример 2. Части общей суммы находятся в нескольких строках

              Представьте себе таблицу с данными, как в предыдущем примере, но здесь данные о продуктах разбросаны по нескольким строкам таблицы. Требуется посчитать, какую часть от общей суммы составляют заказы какого-то конкретного продукта.

              В этом случае используем функцию SUMIF (СУММЕСЛИ). Эта функция позволяет суммировать только те значения, которые отвечают какому-то определенному критерию, в нашем случае – это заданный продукт. Полученный результат используем для вычисления процента от общей суммы.

              =SUMIF(range,criteria,sum_range)/total
              =СУММЕСЛИ(диапазон;критерий;диапазон_суммирования)/общая сумма

              В нашем примере столбец A содержит названия продуктов (Product) – это диапазон. Столбец B содержит данные о количестве (Ordered) – это диапазон_суммирования. В ячейку E1 вводим наш критерий – название продукта, по которому необходимо рассчитать процент. Общая сумма по всем продуктам посчитана в ячейке B10. Рабочая формула будет выглядеть так:

              =SUMIF(A2:A9,E1,B2:B9)/$B$10
              =СУММЕСЛИ(A2:A9;E1;B2:B9)/$B$10

              Кстати, название продукта можно вписать прямо в формулу:

              =SUMIF(A2:A9,"cherries",B2:B9)/$B$10
              =СУММЕСЛИ(A2:A9;"cherries";B2:B9)/$B$10

              Если необходимо вычислить, какую часть от общей суммы составляют несколько разных продуктов, то можно просуммировать результаты по каждому из них, а затем разделить на общую сумму. Например, так будет выглядеть формула, если мы хотим вычислить результат для cherries и apples:

              =(SUMIF(A2:A9,"cherries",B2:B9)+SUMIF(A2:A9,"apples",B2:B9))/$B$10
              =(СУММЕСЛИ(A2:A9;"cherries";B2:B9)+СУММЕСЛИ(A2:A9;"apples";B2:B9))/$B$10

              Как рассчитать изменение в процентах в Excel

              Одна из самых популярных задач, которую можно выполнить с помощью Excel, это расчёт изменения данных в процентах.

              Формула Excel, вычисляющая изменение в процентах (прирост/уменьшение)

              Чтобы рассчитать процентное изменение между значениями A и B, используйте следующую формулу:

              (B-A)/A = Изменение в процентах

              Используя эту формулу в работе с реальными данными, очень важно правильно определить, какое значение поставить на место A, а какое – на место B.

              Пример: Вчера у Вас было 80 яблок, а сегодня у Вас есть 100 яблок. Это значит, что сегодня у Вас на 20 яблок больше, чем было вчера, то есть Ваш результат – прирост на 25%. Если же вчера яблок было 100, а сегодня 80 – то это уменьшение на 20%.

              Итак, наша формула в Excel будет работать по следующей схеме:

              (Новое значение – Старое значение) / Старое значение = Изменение в процентах

              А теперь давайте посмотрим, как эта формула работает в Excel на практике.

              Пример 1. Расчёт изменения в процентах между двумя столбцами

              Предположим, что в столбце B записаны цены прошлого месяца (Last month), а в столбце C – цены актуальные в этом месяце (This month). В столбец D внесём следующую формулу, чтобы вычислить изменение цены от прошлого месяца к текущему в процентах.

              =(C2-B2)/B2

              Эта формула вычисляет процентное изменение (прирост или уменьшение) цены в этом месяце (столбец C) по сравнению с предыдущим (столбец B).

              После того, как Вы запишите формулу в первую ячейку и скопируете её во все необходимые строки, потянув за маркер автозаполнения, не забудьте установить Процентный формат для ячеек с формулой. В результате у Вас должна получиться таблица, подобная изображённой на рисунке ниже. В нашем примере положительные данные, которые показывают прирост, отображаются стандартным чёрным цветом, а отрицательные значения (уменьшение в процентах) выделены красным цветом. Подробно о том, как настроить такое форматирование, читайте в этой статье.

              Пример 2. Расчёт изменения в процентах между строками

              В случае, когда Ваши данные расположены в одном столбце, который отражает информацию о продажах за неделю или за месяц, изменение в процентах можно рассчитать по такой формуле:

              =(C3-C2)/C2

              Здесь C2 это первое значение, а C3 это следующее по порядку значение.

              Замечание: Обратите внимание, что, при таком расположении данных в таблице, первую строку с данными необходимо пропустить и записывать формулу со второй строки. В нашем примере это будет ячейка D3.

              После того, как Вы запишите формулу и скопируете её во все необходимые строки своей таблицы, у Вас должно получиться что-то похожее на это:

              Если Вам нужно рассчитать для каждой ячейки изменение в процентах по сравнению со значением одной конкретной ячейки, используйте абсолютную ссылку на эту ячейку со знаком $, например, так $C$2.

              Например, вот так будет выглядеть формула для расчёта процентного изменения для каждого месяца в сравнении с показателем Января (January):

              =(C3-$C$2)/$C$2

              Когда Вы будете копировать свою формулу из одной ячейки во все остальные, абсолютная ссылка останется неизменной, в то время как относительная ссылка (C3) будет изменяться на C4, C5, C6 и так далее.

              Расчёт значения и общей суммы по известному проценту

              Как Вы могли убедиться, расчёт процентов в Excel – это просто! Так же просто делается расчёт значения и общей суммы по известному проценту.

              Пример 1. Расчёт значения по известному проценту и общей сумме

              Предположим, Вы покупаете новый компьютер за $950, но к этой цене нужно прибавить ещё НДС в размере 11%. Вопрос – сколько Вам нужно доплатить? Другими словами, 11% от указанной стоимости – это сколько в валюте?

              Нам поможет такая формула:

              Total * Percentage = Amount
              Общая сумма * Проценты = Значение

              Предположим, что Общая сумма (Total) записана в ячейке A2, а Проценты (Percent) – в ячейке B2. В этом случае наша формула будет выглядеть довольно просто =A2*B2 и даст результат $104.50:

              Важно запомнить: Когда Вы вручную вводите числовое значение в ячейку таблицы и после него знак %, Excel понимает это как сотые доли от введённого числа. То есть, если с клавиатуры ввести 11%, то фактически в ячейке будет храниться значение 0,11 – именно это значение Excel будет использовать, совершая вычисления.

              Другими словами, формула =A2*11% эквивалентна формуле =A2*0,11. Т.е. в формулах Вы можете использовать либо десятичные значения, либо значения со знаком процента – как Вам удобнее.

              Пример 2. Расчёт общей суммы по известному проценту и значению

              Предположим, Ваш друг предложил купить его старый компьютер за $400 и сказал, что это на 30% дешевле его полной стоимости. Вы хотите узнать, сколько же стоил этот компьютер изначально?

              Так как 30% – это уменьшение цены, то первым делом отнимем это значение от 100%, чтобы вычислить какую долю от первоначальной цены Вам нужно заплатить:

              100%-30% = 70%

              Теперь нам нужна формула, которая вычислит первоначальную цену, то есть найдёт то число, 70% от которого равны $400. Формула будет выглядеть так:

              Amount/Percentage = Total
              Значение/Процент = Общая сумма

              Для решения нашей задачи мы получим следующую форму:

              =A2/B2 или =A2/0,7 или =A2/70%

              Как увеличить/уменьшить значение на процент

              С наступлением курортного сезона Вы замечаете определённые изменения в Ваших привычных еженедельных статьях расходов. Возможно, Вы захотите ввести некоторые дополнительные корректировки к расчёту своих лимитов на расходы.

              Чтобы увеличить значение на процент, используйте такую формулу:

              =Значение*(1+%)

              Например, формула =A1*(1+20%) берёт значение, содержащееся в ячейке A1, и увеличивает его на 20%.

              Чтобы уменьшить значение на процент, используйте такую формулу:

              =Значение*(1-%)

              Например, формула =A1*(1-20%) берёт значение, содержащееся в ячейке A1, и уменьшает его на 20%.

              В нашем примере, если A2 это Ваши текущие расходы, а B2 это процент, на который Вы хотите увеличить или уменьшить их значение, то в ячейку C2 нужно записать такую формулу:

              Увеличить на процент: =A2*(1+B2)
              Уменьшить на процент: =A2*(1-B2)

              Как увеличить/уменьшить на процент все значения в столбце

              Предположим, что у Вас есть целый столбец, заполненный данными, которые надо увеличить или уменьшить на какой-то процент. При этом Вы не хотите создавать ещё один столбец с формулой и новыми данными, а изменить значения в том же столбце.

              Нам потребуется всего 5 шагов для решения этой задачи:

              1. Внесём данные, которые нужно увеличить или уменьшить, в столбец. В нашем примере это столбец B.
              2. В пустой ячейке запишите одну из формул:

                Чтобы увеличить на процент: =1+20%
                Чтобы уменьшить на процент: =1-20%

              В обеих формулах мы взяли 20% для примера, а Вы можете использовать то значение процентов, которое Вам нужно.

              1. Выберите ячейку с формулой (в нашем примере это C2) и скопируйте её, нажав Ctrl+C.
              2. Выделите диапазон ячеек, в котором надо сделать изменение. Щелкните по нему правой кнопкой мыши и в появившемся контекстном меню выберите пункт Paste Special (Специальная вставка).
              3. В открывшемся диалоговом окне Paste Special (Специальная вставка) в разделе Paste (Вставить) выберите пункт Values (Значения), а в разделе Operation (Операция) пункт Multiply (Умножить). Затем нажмите ОК.

              В результате значения в столбце B увеличатся на 20%.

              Таким способом можно умножать, делить, складывать или вычитать из целого столбца с данными какой-то процент. Просто введите нужный процент в пустую ячейку и проделайте шаги, описанные выше.

              Эти способы помогут Вам в вычислении процентов в Excel. И даже, если проценты никогда не были Вашим любимым разделом математики, владея этими формулами и приёмами, Вы заставите Excel проделать за Вас всю работу.

              На сегодня всё, благодарю за внимание!

              Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

              Формула простого процента и примеры

              Простые проценты — это когда проценты по ссуде или инвестиции рассчитываются только на первоначально вложенную или ссуду сумму. Это отличается от сложных процентов, где проценты начисляются на первоначальную сумму и на любые полученные проценты. Как вы увидите в примерах ниже, простую формулу процентов можно использовать для расчета заработанных процентов, общей суммы и других значений в зависимости от проблемы.

              реклама

              Примеры определения процентов, полученных по простой формуле процентов

              Во многих простых задачах с процентами вы будете находить общий процент, заработанный за установленный период, который представлен как \ (I \). Формула для этого:

              Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как работает эта формула. Помните, что в формуле основная сумма \ (P \) — это начальная сумма инвестиций.

              Пример

              Двухлетняя ссуда в размере 500 долларов предоставляется с простой процентной ставкой 4%.Найдите заработанные проценты.

              Решение

              Всегда находите время, чтобы определить значения, указанные в проблеме. Здесь дано:

              • Время 2 года: \ (t = 2 \)
              • Начальная сумма 500 $: \ (P = 500 \)
              • Ставка 4%. Запишите это в виде десятичной дроби: \ (r = 0,04 \)

              Теперь примените формулу:

              \ (\ begin {align} I & = Prt \\ & = 500 (0,04) (2) \\ & = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {40} \ end {align} \)

              Ответ : Полученные проценты составляют 40 долларов.

              В этом примере время указано в годах, как и в формуле. Но что, если вам дается только несколько месяцев? Давайте рассмотрим другой пример, чтобы увидеть, как это может быть по-другому.

              Пример

              Общая сумма инвестиций составляет 1200 долларов США по простой процентной ставке 6% сроком на 4 месяца. Сколько процентов заработано на этих инвестициях?

              Решение

              Прежде чем мы сможем применить формулу, нам нужно будет записать время в 4 месяца в годах. Поскольку в году 12 месяцев:

              \ (\ begin {align} t & = \ dfrac {4} {12} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ end {align} \)

              С поправкой на годы, теперь мы можем применить формулу с \ (P = 1200 \) и \ (r = 0.06 \).

              \ (\ begin {align} I & = Prt \\ & = 1200 (0,06) \ left (\ dfrac {1} {3} \ right) \\ & = \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя] {24} \ end {align} \)

              Ответ : Полученные проценты составляют 24 доллара.

              Если бы вы не обратились здесь, вы бы нашли проценты за 4 года, что было бы намного выше. Поэтому всегда проверяйте, что время исчисляется годами, прежде чем применять формулу.

              Важно! Время должно быть в годах, чтобы применить формулу простого процента.Если вам даны месяцы, используйте дробь, чтобы представить их годами.

              Другой тип проблем, с которыми вы можете столкнуться при работе с простыми процентами, — это определение общей суммы задолженности или общей стоимости инвестиций через заданный промежуток времени. Это называется будущей стоимостью, и ее можно рассчитать несколькими способами.

              Определение будущей стоимости простых процентов

              Один из способов рассчитать будущую стоимость — просто найти проценты и затем добавить их к основной сумме.Однако более быстрый способ — использовать следующую формулу.

              Вы знаете, как использовать эту формулу, когда вам задают такие вопросы, как «какова общая сумма, которая должна быть возвращена» или «какова стоимость инвестиций» — все, что кажется относящимся к общей сумме после учета процентов.

              Пример

              Бизнес берет простую ссуду под проценты в размере 10 000 долларов по ставке 7,5%. Какую общую сумму выплатит бизнес, если срок кредита составляет 8 лет?

              Решение

              Общая сумма, которую они выплатят, является будущей стоимостью \ (A \).Нам также сообщается, что:

              • \ (t = 8 \)
              • \ (г = 0,075 \)
              • \ (P = 10 \, 000 \)

              Использование простой формулы процента для будущей стоимости:

              \ (\ begin {align} A & = P (1 + rt) \\ & = 10 \, 000 (1 + 0,075 (8)) \\ & = \ bbox [border: 1px сплошной черный; отступ: 2px] { 16 \, 000} \ end {align} \)

              Ответ : Компания выплатит в общей сложности 16 000 долларов.

              Это может показаться высоким, но помните, что в контексте ссуды проценты — это просто плата за заимствование денег.Чем выше процентная ставка и дольше срок, тем дороже ссуда.

              Также обратите внимание, что вы можете рассчитать это, сначала найдя процент, I = Prt = 10000 (0,075 (8)) = 6000 долларов, и добавив его к основной сумме в 10000 долларов. Окончательный ответ одинаков при использовании любого метода.

              объявление

              Продолжить интересующее вас исследование

              Теперь, когда вы изучили простую формулу процента, вы можете изучить более сложную идею сложных процентов.Большинство сберегательных счетов, кредитных карт и ссуд основаны на сложных процентах, а не на простых процентах. Вы можете просмотреть эту идею здесь:

              Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

              Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

              Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

              Связанные

              решенных примеров на простой интерес

              Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

              За электронным обучением будущее уже сегодня.

              Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

              В этом разделе я решил примеры по простому интересу. Ссылаясь на них, вы можете решить свои вопросы.

              Примеры:

              1) Ariel берет ссуду в размере 8000 долларов на покупку подержанного грузовика по ставке 9% простых процентов. Рассчитайте годовые проценты, подлежащие уплате на сумму ссуды.

              Решение:
              Из деталей, приведенных в задаче Принцип = P = 8000 долларов и R = 9% или 0.09 в виде десятичной дроби.

              Поскольку годовой процент должен быть рассчитан, период времени T = 1.

              Подставляя эти значения в простую формулу процентов,

              I = P x T x R

              = 8000 x 1 x 0,09

              = 720,00

              Годовой процент к выплате = 720 долларов США

              ________________________________________________________________
              2) Стив инвестировал 10 000 долларов в сберегательный счет в банке, приносивший 2% простых процентов. Найдите проценты, заработанные, если сумма хранилась в банке 4 года.

              Решение:
              Принцип P = 10000 долларов США Период времени T = 4 года и процентная ставка = 2% = 0,02

              Подставляя эти значения в формулу простой процентной ставки,
              I = PX TXR

              = 10 000 X 4 x 0,02

              = 800 долларов

              Процентные доходы от инвестиций = 800 долларов

              ________________________________________________________________
              3) Райан купил 15000 долларов в банке, чтобы купить автомобиль под 10% простой процент. Если он заплатил 9000 долларов в качестве процентов при погашении ссуды, найдите время, на которое ссуда была предоставлена.

              Решение: Принцип = 15 000 долларов США Процентная ставка R = 10% = 0,10, а выплаченные проценты = I = 9 000 долларов США. И T нужно найти.

              T = I / (PR)

              = 9000 / (15000 x 0,10)

              = 6 лет.

              Кредит предоставлен сроком на 6 лет.

              ________________________________________________________________
              Решенные примеры по простому проценту
              4) Через сколько времени будет простой процент на 3500 долларов по ставке 9% р.a быть таким же, как простая процентная ставка на 4000 долларов под 10,5% годовых в течение 4 лет?

              Решение:
              SI на 4000 долларов США по ставке 10,5% = 10,5 / 100 = 0,105 на 4 года

              SI = (P x R x T) / 100

              = 4000 x 0,105 x 4

              SI = 1,680 долларов США

              Процентная ставка в размере 1 680 долларов США такая же, как и процентная ставка по 3 500 долларов США под 9% годовых в течение предполагаемого периода «t» лет.

              SI x 100
              Время = t = ————
              P x R

              1680 x 100
              Время = t = ————
              3500 x 9

              168,000
              Время = t = ————
              31,500

              Время = t = 5.33 года.

              Простой процент (SI)

              • Определение ставки при задании основного долга и времени
              • Определение времени при задании основного долга и ставки
              • Решенные примеры для простого процента

              Из примеров простых процентов к бизнес-математике Home Page

              Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

              Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

              Введение в проценты

              Процент: сколько выплачивается за использование денег (в процентах или сумме)

              Деньги нельзя брать в долг

              Люди всегда могут найти применение деньгам, так что стоит одолжить деньги .

              Сколько стоит брать деньги в долг?

              В разных местах берут разные суммы в разное время!

              Но обычно так заряжают:

              В процентах (годовых) от привлеченной суммы


              Называется Проценты

              Пример: займ 1000 долларов в банке

              Алекс хочет занять 1000 долларов.В местном банке указано: « 10% годовых ». Таким образом, одолжить 1000 долларов на 1 год будет стоить:

              .

              1000 долларов США × 10% = 100 долларов США

              В этом случае «Процентная ставка» составляет 100 долларов, а «Процентная ставка» — 10% (но люди часто говорят «10% -ная процентная ставка», не говоря «Ставка»).

              Конечно, Алексу придется выплатить первоначальную 1000 долларов через год, поэтому происходит следующее:

              Алекс занимает 1000 долларов, но должен вернуть 1100 долларов

              Это идея Интерес… платить за использование денег.


              Примечание. Этот пример представляет собой простую ссуду на целый год, но банки часто хотят, чтобы ссуда возвращалась ежемесячно, и они также взимают дополнительную комиссию!

              слов

              При заимствовании денег используются специальные слова, как показано здесь:

              Алекс — Заемщик , Банк — Заемщик

              Основная сумма кредита составляет 1000 долларов США

              Процентная ставка составляет 100 долларов США

              Важной частью слова «Проценты» является Inter- , что означает между (мы видим между- в таких словах, как internal и interval ), потому что проценты выплачиваются между началом и концом ссуды. .

              Более одного года …

              Что, если Алекс захочет занять деньги на 2 года?

              Простые проценты

              Если банк взимает «простые проценты», Алекс просто платит еще 10% за дополнительный год.


              Алекс выплачивает проценты в размере (1000 долларов × 10%) x 2 года = 200 долларов

              Так работают простые проценты … платите одинаковую сумму процентов каждый год.

              Пример: Алекс занимает 1000 долларов на 5 лет под 10% простой процент:

              • Процентная ставка = 1000 долларов США × 10% x 5 лет = 500 долларов США
              • Плюс основная сумма в размере 1000 долларов США означает, что Алекс должен заплатить 1500 долларов США через 5 лет

              Пример: Алекс занимает 1000 долларов на 7 лет под простую процентную ставку 6%:

              • Процентная ставка = 1000 долларов × 6% x 7 лет = 420 долларов
              • Плюс основная сумма в 1000 долларов означает, что Алекс должен заплатить 1420 долларов через 7 лет

              Существует формула простых процентов

              I = Prt

              где

              • I = проценты
              • P = сумма займа (так называемая «основная сумма»)
              • r = процентная ставка
              • t = время

              Как это:

              Пример: Ян занял 3000 долларов на 4 года под 5% процентной ставки, сколько это будет процентов?

              I = Prt
              I = 3000 долларов США × 5% × 4 года
              I = 3000 × 0.05 × 4
              I = 600 долларов США

              Но банки почти НИКОГДА не взимают простые проценты, они предпочитают сложный процент:

              Сложные проценты

              Но банк говорит: «Если вы вернете мне все через год, а затем я снова одолжу вам, я одолжу вам 1100 долларов на второй год !» так что я хочу больше интереса:

              И Алекс выплачивает 110 долларов процентов во второй год, а не только 100 долларов.

              Потому что Алекс платит 10% с 1100 долларов, а не только с 1000 долларов

              Это может показаться несправедливым … но представьте, что ВЫ одалживаете деньги Алексу. Через год вы думаете, что «Алекс должен мне сейчас 1100 долларов и все еще использует мои деньги, я должен получить больше процентов!»

              Итак, это нормальный способ расчета процентов. Она называется , составляющая .

              С сложным процентом мы вычисляем проценты за первый период, складываем итоговую сумму, а затем , затем вычисляем проценты за следующий период и так далее…, вот так:

              Это похоже на выплату процентов по процентам: после того, как через год Алекс задолжал 100 долларов по процентам, банк считает это еще одной ссудой и взимает с нее проценты.

              Через несколько лет он может стать действительно большим. Вот что происходит с 5-летней ссудой:

              Год

              Первоначальный кредит

              Проценты

              Кредит до конца

              0 (сейчас)

              1000 долларов.00

              (1000 долларов США × 10% =) 100 долларов США

              1100,00 долл. США

              1

              1100,00 долл. США

              (1100 долларов США × 10% =) 110 долларов США

              $ 1 210,00

              2

              1,210 долл. США.00

              (1210,00 долл. США × 10% =) 121,00 долл. США

              1331,00 $

              3

              1331,00 $

              (1331,00 долл. США × 10% =) 133,10 долл. США

              $ 1 464,10

              4

              1 464 долл. США.10

              (1464,10 долл. США × 10% =) 146,41 долл. США

              $ 1 610,51

              5

              $ 1 610,51

              Итак, через 5 лет Алекс должен вернуть 1610 долларов.51

              А процентная ставка за прошлый год составила 146,41 доллара … Конечно, она быстро росла!

              (сравните это с простой процентной ставкой всего 100 долларов в год)

              Что такое год 0?

              Год 0 — год, который начинается с «Рождения» ссуды и заканчивается незадолго до первого дня рождения.

              Так же, как когда рождается ребенок, его возраст составляет ноль , и ему не исполнится 1 год до первого дня рождения.

              Итак, начало года 1 — это «первый день рождения». А — начало 5-го года — это именно то время, когда срок ссуды составляет 5 лет.

              Вкратце:

              Для расчета сложных процентов рассчитайте проценты за первый период, добавьте их, а затем рассчитайте проценты за следующий период и т. Д.

              (Есть более быстрые методы, см. Сложный процент)

              Зачем брать в долг?

              Хорошо… вы можете захотеть купить то, что вам нравится. Однако возврат денег обойдется вам дороже.

              Но бизнес может использовать эти деньги, чтобы заработать еще больше денег.

              Пример: Куриный бизнес

              Вы занимаете 1000 долларов, чтобы начать бизнес по продаже курятины (чтобы купить цыплят, корм для цыплят и т. Д.).

              Через год вы продаете всех выращенных цыплят за 1200 долларов.

              Вы платите банку 1100 долларов (первоначальная 1000 долларов плюс 10% годовых), и у вас остается 100 долларов прибыли .

              И вы сделали это на чужие деньги!

              Но будьте осторожны! Что, если вы продали цыплят всего за 800 долларов? … банк по-прежнему хочет 1100 долларов, и вы получаете убыток в размере 300 долларов.

              Инвестиции

              Сложный процент может работать на вас !

              Инвестиции — это когда вы кладете деньги туда, где они могут расти , например, в банк или бизнес.

              Если вы вкладываете деньги под хорошую процентную ставку, они могут очень хорошо расти.

              Вот что могут сделать 15% годовых на 1000 долларов:

              Год

              Первоначальный кредит

              Проценты

              Кредит до конца

              0 (сейчас)

              1000,00 долларов США

              (1000 долларов.00 × 15% =) 150,00 $

              $ 1,150,00

              1

              $ 1,150,00

              (1150 долларов США × 15% =) 172,50 долларов США

              $ 1 322,50

              2

              1322 доллара.50

              (1322,50 долл. США × 15% =) 198,38 долл. США

              $ 1 520,88

              3

              $ 1 520,88

              (1520,88 долл. США × 15% =) 228,13 долл. США

              $ 1,749,01

              4

              1749 долларов.01

              (1749,01 долл. США × 15% =) 262,35 долл. США

              $ 2,011,36

              5

              $ 2,011,36

              За 5 лет он увеличился более чем вдвое!

              Инвестиция под 15% вряд ли будет безопасной (см. Введение в инвестирование)… но это показывает нам силу сложного капитала.

              График этой инвестиции выглядит так:

              Может у вас нет 1000 долларов? Вот что может сделать экономия 200 долларов каждый год в течение 10 лет под 10%:

              3,506,23 $ через 10 лет!
              На 10 лет по 200 долларов в год.

              Менее одного года …

              Проценты не всегда взимаются ежегодно. Его можно заряжать раз в полгода (каждые 6 месяцев), ежемесячно и даже ежедневно!

              Но действуют те же правила:

              • Для простых процентов: рассчитайте проценты за один период и умножьте их на количество периодов.
              • Для сложных процентов: рассчитайте проценты за первый период, добавьте их, а затем рассчитайте проценты за следующий период и т. Д.

              Как найти простые проценты

              Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

              Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

              Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

              Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

              Вы должны включить следующее:

              Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

              Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

              Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
              101 S. Hanley Rd, Suite 300
              St. Louis, MO 63105

              Или заполните форму ниже:

              Сложные проценты | Формулы, вывод и решенные примеры

              Сложные проценты — это проценты, накопленные на основную сумму долга и проценты вместе за определенный период времени.Проценты, накопленные по основной сумме долга за период времени, также учитываются по основной сумме долга. Кроме того, начисление процентов за следующий период времени производится по накопленной основной стоимости. Сложные проценты — это новый метод начисления процентов, используемый для всех финансовых и деловых операций по всему миру. Сила начисления сложных процентов можно легко понять, если мы наблюдаем за значениями сложных процентов, накопленных за последовательные периоды времени.

              Сумма денег в 100 долларов, вложенная в течение определенного периода времени по ставке 10%, даст простой процент в размере 10, 10, 10 долларов… за последовательные периоды времени в 1 год, но даст сложные проценты в размере 10, 11, 12,1, 13,31 доллара … Давайте разберемся больше об этом и о расчетах сложных процентов в приведенном ниже содержании.

              Что подразумевается под сложным процентом?

              Сложные проценты — это проценты, выплачиваемые как на основную сумму долга, так и на проценты, начисляемые через определенные промежутки времени. Через регулярные промежутки времени накопленные проценты объединяются с существующей основной суммой, а затем проценты рассчитываются для новой основной суммы.Новая основная сумма равна сумме Первоначальной основной суммы и накопленных к настоящему времени процентов.

              Сложные проценты = проценты по основной сумме + сложные проценты с регулярными интервалами

              Сложный процент рассчитывается через определенные промежутки времени, например, ежегодно (ежегодно), раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и т. Д .; Это похоже на то, что повторное инвестирование процентного дохода от инвестиций заставляет деньги со временем расти быстрее! Это именно то, что сложные проценты делают с деньгами. Банки или любая финансовая организация рассчитывают сумму только на основе сложных процентов.

              Формула сложных процентов

              Сложные проценты рассчитываются после расчета общей суммы за период времени на основе процентной ставки и первоначальной основной суммы. Для начального основного долга P, годовой процентной ставки r, периода времени t в годах, частоты начисления процентов ежегодно n формула расчета суммы выглядит следующим образом.

              Приведенная выше формула представляет общую сумму на конец периода времени и включает в себя начисленные проценты и основную сумму.Кроме того, мы можем рассчитать сложные проценты, вычтя основную сумму из этой суммы. Формула расчета сложных процентов следующая

              В приведенном выше выражении

              • P — основная сумма
              • r — процентная ставка
              • n — частота или нет. раз в год начисляются проценты
              • т — общий срок владения.

              Следует отметить, что приведенная выше формула является общей формулой, когда основная сумма начисляется n раз в год.Если данная основная сумма начисляется ежегодно, сумма по истечении указанного периода времени определяется как:

              A = P (1 + r / 100) t , и C.I. будет: P (1 + r / 100) t — P.

              Выведение формулы сложного процента

              Формула сложных процентов может быть получена из формулы простых процентов. Формула для простого процента представляет собой произведение основной суммы, периода времени и процентной ставки (SI = ptr / 100). Прежде чем приступить к выводу формулы сложного процента, давайте поймем основное различие между простым процентом и вычислением сложного процента.Основная сумма долга остается неизменной в течение определенного периода времени для простых вычислений через Интернет, но для расчета сложных процентов проценты добавляются к основной сумме для расчета сложных процентов.

              Деривация:

              Пусть основная сумма — P, а процентная ставка — r. В конце первого периода начисления сложных процентов простой процент по основной сумме составляет P × r / 100. Следовательно, сумма равна P + P × r / 100 = P (1 + r / 100). Сумма принимается в качестве основной на второй расчетный период.

              В конце второго периода начисления сложных процентов простой процент по основной сумме составляет: P (1 + r / 100) × r / 100, и, следовательно, сумма составляет: P (1 + r / 100) × r / 100 + P (1 + r / 100) × r / 100 = P (1 + r / 100) 2 .

              Продолжая таким же образом для n периодов начисления сложных процентов, сумма в конце n -го периода начисления процентов будет A = P (1 + r / 100) n .

              Из приведенных выше формул и расчетов можно заметить, что сложный процент совпадает с простым процентом для первого интервала.Но с течением времени наблюдается заметная разница в доходности.

              Стоимость простых процентов для каждого года одинакова, так как основная сумма, на которую они рассчитываются, является постоянной. Но сложный процент меняется и увеличивается с годами. Потому что основная сумма, по которой рассчитывается сложный процент, увеличивается. Основная сумма за конкретный год равна сумме первоначальной основной стоимости и накопленных процентов за прошлые годы.

              Например, сумма в размере 10 000 долларов США вносится по ставке 10%.В таблице ниже объясняется разница между расчетом простых процентов и сложных процентов по этой основной сумме:

              Расчет простых процентов (r = 10%) Расчет сложных процентов (r = 10%)

              Для 1 st год:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 1 st год:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 2 nd год:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 2 nd год:

              P = 11000

              Время = 1 год

              Проценты = 1100

              Для 3 rd год:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 3 rd год:

              P = 12100

              Время = 1 год

              Проценты = 1210

              Для 4 -го года:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 4 -го года:

              п = 13310

              Время = 1 год

              Проценты = 1331

              Для 5 -го год:

              P = 10 000

              Время = 1 год

              Проценты = 1000

              Для 5 -го год:

              п = 14641

              Время = 1 год

              Проценты = 1464.1

              Всего простой процент = 5000 Общая сумма процентов = 6105,1
              Общая сумма = 1000 + 5000 = 6000 Общая сумма = 1000 + 6105,1 = 7105,1

              Формула сложных процентов для разных периодов времени

              Сложные проценты для данной основной суммы могут быть рассчитаны для разных периодов времени с использованием разных формул.

              Формула сложных процентов — полугодие

              Проценты в случае сложных процентов варьируются в зависимости от периода начисления.Если период времени для начисления процентов составляет полугодие, проценты рассчитываются каждые шесть месяцев, а сумма начисляется дважды в год.

              Формула для расчета сложных процентов при начислении основной суммы раз в полгода или раз в полгода имеет следующий вид:

              Здесь сложный процент рассчитывается за полугодовой период, и, следовательно, ставка процента r делится на 2, а период времени удваивается. Формула для расчета суммы при начислении основной суммы раз в полгода или раз в полгода имеет следующий вид:

              В приведенном выше выражении

              • A — сумма на конец периода
              • P — начальная основная стоимость, r — годовая процентная ставка
              • t — период времени
              • С.I. — это сложные проценты.

              Формула сложных процентов — ежеквартально

              Если период времени для начисления процентов — ежеквартальный, проценты начисляются за каждые три месяца, а сумма начисляется 4 раза в год. Формула для расчета сложных процентов при ежеквартальном начислении основной суммы имеет следующий вид:

              Здесь сложный процент рассчитывается за квартальный период времени, и, следовательно, ставка процента r делится на 4, и период времени увеличивается в четыре раза.Формула для расчета суммы при ежеквартальном начислении основной суммы имеет следующий вид:

              В приведенном выше выражении

              • A — сумма на конец периода
              • P — начальная основная стоимость, r — годовая процентная ставка
              • t — период времени
              • C.I. это сложные проценты.

              Формула ежемесячных сложных процентов

              Формула ежемесячных сложных процентов также известна как ежемесячные проценты i.е., n = 12. Общая сумма сложных процентов — это окончательная сумма без учета основной суммы. Формула ежемесячных сложных процентов выражается как:
              CI = P (1 + r / 12) 12t — P

              Формула суточных сложных процентов

              Когда количество увеличивается ежедневно, это означает, что количество увеличивается 365 раз в год. т.е. n = 365. Формула суточных сложных процентов выражается как:
              CI = P (1 + r / 365) 365t — P

              Важные примечания

              1. Сложные проценты зависят от суммы, накопленной в конце предыдущего срока пребывания в должности, но не от первоначальной основной суммы.{4 n} \ end {формула}
              2. При расчете сложных процентов процентная ставка и каждый временной период должны иметь одинаковую продолжительность.

              Советы и хитрости

              • Правило 72: Это быстрый способ узнать, сколько времени потребуется, чтобы ваши деньги удвоились. Время удвоения = 72 / процентная ставка
                Используя правило 72, мы можем найти количество лет для удвоения ваших денег, просто разделив 72 на процентную ставку.Например, при комбинированной процентной ставке 8% ваши деньги удвоятся через 72 ÷ 8 = 9
                • .
              • Срок действия процентной ставки определяется множеством различных терминов. Иногда его называют «за год», «за год» или «за год». Все это означает, что вы получите заданную процентную ставку в течение 1 года. Полугодовой — 6 месяцев. А ежеквартально — продолжительностью 3 месяца.

              Часто задаваемые вопросы о сложных процентах

              Как рассчитать сложный процент?

              Формула, используемая для расчета сложных процентов: CI = P (1 + r / 100) n — P.Здесь в этой формуле рассчитывается сумма, а затем из нее вычитается основная сумма, чтобы получить значение сложных процентов.

              В чем разница между простым и сложным процентом?

              Простые проценты — это проценты, выплачиваемые только на основную сумму долга, тогда как сложные проценты — это проценты, выплачиваемые как на основную сумму долга, так и на проценты, начисляемые через регулярные промежутки времени.

              Как рассчитать сумму с использованием сложных процентов?

              Существует прямая формула для расчета сложных процентов.А = P (1 + r / 100) n . Здесь нам нужно определить процентную ставку и временной интервал, за который рассчитывается сложный процент.

              Как рассчитать сумму с использованием формулы сложного процента?

              Существует общая формула сложных процентов для расчета сложных процентов, т. Е.
              CI = Сумма — Основной
              где Amount = P (1 + r / 100) t . Подставляя заданные параметры, такие как P (основная сумма), r (процентная ставка) и t (время), можно легко вычислить.

              Что такое формула ежемесячного сложного процента?

              Формула ежемесячных сложных процентов составляет
              . CI = P (1 + (r / 12)) 12t — P. Где, P — основная сумма, r — процентная ставка в десятичной форме, n = 12 (это означает, что сумма, составляющая 12 раз в год ), t — время.

              Что такое формула ежедневного сложного процента?

              Формула суточных сложных процентов составляет
              . A = P (1 + r / 365) 365 t , где P — основная сумма, r — процентная ставка в десятичной форме, n = 365 (это означает, что сумма начисляется 365 раз в год), а t — время.

              Что такое формула сложных процентов на будущую стоимость?

              Формула сложных процентов будущей стоимости выражается как FV = PV (1 + r / n) n t . Здесь PV = текущая стоимость (начальные инвестиции), r = процентная ставка, n = количество раз, когда сумма увеличивается, и t = время в годах.

              Ежедневное начисление процентов лучше, чем ежемесячное?

              Ежедневно начисляемые проценты имеют 365 циклов начисления сложных процентов в год. Он будет приносить больше денег по сравнению с ежемесячным начислением сложных процентов, у которого всего 12 циклов начисления сложных процентов в год.

              Каковы основные недостатки сложных процентов?

              Если мы также пропустим оплату на день, к концу срока полномочий это может привести к огромным убыткам. Расчет процентов предназначен для следующего цикла и для более высокого значения. Сложные проценты на самом деле предназначены для помощи кредиторам, но не заемщикам.

              Как сложный процент зависит от периода времени?

              Сложный процент зависит от временного интервала начисления процентов. Временной интервал для начисления процентов может быть днем, неделей, месяцем, кварталом, полугодием.Для более короткого периода расчета чистые накопленные сложные проценты выше.

              Насколько сложный процент больше, чем простой процент?

              Сложные проценты могут превышать простые проценты. Величина сложных процентов меняется и увеличивается в течение последовательных периодов времени. Первоначальный основной капитал в размере 100 долларов, вложенный в течение определенного периода времени, даст простые проценты в размере 10 долларов, 10 долларов, 10% … за последовательные периоды времени в 1 год, но даст сложные проценты в размере 10, 11, 12 долларов.1, $ 13.31 ….. Таким образом, сложные проценты больше, чем простые проценты. Только для первого года или для первого цикла расчета значения сложных и простых процентов равны.

              Может ли сложный процент быть больше основного долга?

              Сложный процент может быть больше основного долга. Величина сложных процентов меняется и увеличивается в течение последовательных периодов времени. Первоначальный основной капитал в размере 100 долларов, вложенный в течение определенного периода времени, даст сложные проценты в размере 10, 11, 12 долларов.1, $ 13,31 …. за последовательные периоды времени продолжительностью 1 год каждый. Таким образом, сложный процент увеличивается с течением времени и может превышать первоначальную основную стоимость.

              Как рассчитать сложный процент за полгода?

              Формула расчета сложных процентов за полгода: CI = p (1 + {r / 2} / 100) 2t .- p. Здесь в этой формуле «A» — окончательная сумма, «p» — основная сумма, а «t» — время в годах. В формуле мы видим, что процентная ставка уменьшается вдвое, а время удваивается, чтобы учесть расчет сложных процентов за полгода.

              Какая информация требуется для расчета сложных процентов?

              Для расчета сложных процентов нам необходимо знать основную сумму, процентную ставку и период времени. Также нам необходимо знать временной интервал, за который будет рассчитываться процент.

              Что такое сложные проценты?

              Единицы сложных процентов — это денежная единица, которая совпадает с единицей, используемой для определения основной суммы долга. Если основная сумма выражена в долларах или иенах, сложные проценты также будут в долларах или иенах.

              Простой интерес — определение, формула, примеры, часто задаваемые вопросы

              Простые проценты — это метод расчета суммы процентов, начисленных на сумму по заданной ставке и за определенный период времени. В простых процентах основная сумма всегда одна и та же, в отличие от сложных процентов, где мы добавляем проценты по основной сумме предыдущих лет для расчета процентов на следующий год.

              В этом уроке вы познакомитесь с концепцией заимствования денег и с простым процентом, возникающим при заимствовании.Вы также познакомитесь с такими терминами, как основная сумма, сумма, процентная ставка и период времени. С помощью этих условий вы можете рассчитать простой процент, используя простую формулу процента.

              Что такое простой процент?

              Простые проценты — это быстрый и простой метод расчета процентов на деньги. В методе простых процентов проценты всегда применяются к исходной основной сумме с одинаковой процентной ставкой для каждого временного цикла. Когда мы вкладываем деньги в какой-либо банк, банк предоставляет нам проценты на нашу сумму.Проценты, применяемые банками, бывают разных типов, один из них — простые проценты. Теперь, прежде чем углубляться в концепцию простых процентов, давайте сначала разберемся, в чем смысл ссуды.

              Ссуда ​​- это сумма, которую человек берет в долг в банке или финансовом учреждении для удовлетворения своих потребностей. Примеры ссуд включают жилищные ссуды, автокредиты, ссуды на образование и личные ссуды. Сумма кредита должна быть своевременно возвращена властям с дополнительной суммой, которая обычно представляет собой проценты, которые вы платите по ссуде.

              Формула простого процента

              Простой процент рассчитывается по следующей формуле: S.I. = P × R × T, , где P = основная сумма, R = процентная ставка в% годовых и T = время, обычно рассчитываемое как количество лет. Процентная ставка выражается в процентах r% и должна быть записана как r / 100.

              • Основная сумма: Основная сумма — это сумма, которая первоначально была заимствована у банка или инвестирована. Принципал обозначается P.
              • Ставка: Ставка — это процентная ставка, по которой основная сумма передается кому-либо на определенное время, процентная ставка может составлять 5%, 10% или 13% и т. Д. Процентная ставка обозначается как Р.
              • Время: Время — это время, в течение которого кому-то передается основная сумма. Время обозначено T.
              • Сумма: Когда человек берет ссуду в банке, он / она должен вернуть основную сумму займа плюс сумму процентов, и эта возвращенная сумма называется Суммой.

              Сумма = Основная сумма + Простые проценты

              A = P + S.I.

              А = P + PRT

              А = П (1 + RT)

              Пример простого процента:

              Отец Майкла занял у банка 1000 долларов, а процентная ставка составляла 5%. Какие были бы простые проценты, если бы сумма была взята в долг сроком на 1 год? Точно так же рассчитать простой процент, если сумма заимствована на 2 года, 3 года и 10 лет?

              Решение:

              Основная сумма = 1000 долларов США, процентная ставка = 5% = 5/100.(Добавьте сюда предложение, описывающее данную информацию в вопросе.)

              Простые проценты

              1 год S.I = (1000 × 5 × 1) / 100 = 50
              2 года S.I = (1000 × 5 × 2) / 100 = 100
              3 года S.I = (1000 × 5 × 3) / 100 = 150
              10 лет С.I = (1000 × 5 × 10) / 100 = 500

              Теперь мы также можем подготовить таблицу для вышеуказанного вопроса, добавив сумму, которая будет возвращена по истечении заданного периода времени.

              Простой Проценты Сумма
              1 год S.I = (1000 × 5 × 1) / 100 = 50 А = 1000 + 50 = 1050
              2 года С.I = (1000 × 5 × 2) / 100 = 100 А = 1000 + 100 = 1100
              3 года S.I = (1000 × 5 × 3) / 100 = 150 А = 1000 + 150 = 1150
              10 лет S.I = (1000 × 5 × 10) / 100 = 500 А = 1000 + 500 = 1500

              Какие виды ссуд используют простой процент?

              Большинство банков в наши дни применяют сложные проценты по ссудам, потому что таким образом банки получают больше денег в виде процентов от своих клиентов, но этот метод более сложен и его трудно объяснить клиентам.С другой стороны, расчеты упрощаются, когда банки применяют простые методы начисления процентов. Простые проценты очень полезны, когда клиент хочет получить ссуду на короткий период времени, например, на 1 месяц, 2 месяца или 6 месяцев.

              Когда кто-то берет краткосрочную ссуду с использованием простых процентов, проценты начисляются ежедневно или еженедельно, а не ежегодно. Предположим, вы взяли взаймы 10 000 долларов под простые проценты под 10% годовых, поэтому эти 10% годовых делятся на ставку в день, которая равна 10/365 = 0.027%. Таким образом, вы должны платить 2,73 доллара в день дополнительно на 10 000 долларов.

              Простой процент против сложного процента

              Простые проценты и сложные проценты — это два способа расчета процентов на сумму ссуды. Считается, что сложный процент труднее рассчитать, чем простой процент, из-за некоторых основных различий в обоих. Давайте поймем разницу между простым процентом и сложным процентом с помощью таблицы, приведенной ниже:

              Простой процент Сложные проценты
              Простой процент начисляется на первоначальную основную сумму каждый раз. Сложные проценты начисляются на накопленную сумму основной суммы долга и процентов.
              Рассчитывается по следующей формуле: S.I. = P × R × T Рассчитывается по следующей формуле: C.I. = P × (1 + r) t — P
              Одинаково на каждый год по определенной основной сумме. Он отличается для каждого периода времени, так как рассчитывается на сумму, а не на основную сумму.

              Простой процент: советы и хитрости

              • Для определения периода времени не учитывается день получения денег в долг, но считается день, в который деньги должны быть возвращены.
              • Процентная ставка — это проценты на каждые 100 долларов за фиксированный период времени.
              • В случае сложных процентов проценты всегда больше, чем в случае простых процентов.
              • Формула или методы расчета сложных процентов основаны на простых методах расчета процентов.
              • Процентная ставка всегда указывается в формуле дробной части.

              Аналитический центр:

              • Что, если банк предоставляет вам такие проценты, что ваши деньги удваиваются каждый день, если вы вложили 1 доллар в день 1, через сколько дней вы станете миллиардером?
              • Будете ли вы инвестировать, если банк предоставляет отрицательную процентную ставку?

              Часто задаваемые вопросы о простом проценте

              Какая польза от простого интереса?

              Простые проценты используются в случаях, когда сумма, которая должна быть возвращена, требует короткого периода времени.Таким образом, ежемесячная амортизация, ипотека, расчет сбережений и ссуды на образование используют простые проценты.

              Какие типы простых процентов?

              Простой процент бывает двух типов: обычный простой процент и точный простой процент. В обычных простых процентах год считается из 360 дней при расчете процентов, в то время как при точных простых процентах год считается из 365 (или 366 дней високосного года). Оба метода используют одну и ту же формулу для расчета простых процентов.

              Жилищные ссуды — простой или сложный процент?

              Погашение жилищных кредитов занимает много времени, поэтому проценты, начисляемые кредитором, обычно представляют собой сложные проценты.

              Автокредиты — простой или сложный процент?

              Автокредиты или автокредиты используют простые проценты для расчета процентов. Заемщик соглашается вернуть деньги плюс фиксированный процент от суммы займа. Но в случае, если заемщик не вернет сумму вовремя, компания или кредитор могут начать взимать сложные проценты.

              В чем разница между простым и сложным процентом?

              Простые проценты — это проценты, выплачиваемые только на основную сумму, тогда как сложные проценты — это проценты, выплачиваемые как на основную сумму долга, так и на проценты, начисляемые через регулярные промежутки времени.

              Как рассчитать простой процент?

              Простой процент рассчитывается по следующей формуле: SI = P × R × T, где P = основная сумма, R = процентная ставка и T = период времени. Здесь ставка дана в процентах (r%) записывается как r / 100.И основная сумма — это сумма денег, которая остается неизменной на каждый год в случае простых процентов.

              Как рассчитать простой процент ежемесячно?

              Для расчета простых процентов ежемесячно, мы должны разделить рассчитанные годовые проценты на 12. Таким образом, формула для расчета ежемесячных простых процентов принимает вид (P × R × T) / (100 × 12).

              примеров простого интереса | eMathZone

              Пример 1 :
              Найдите простой процент на рупий.3000 по ставке 7% сроком на один год.

              Решение :
              Пусть основная сумма = 3000, процентная ставка = 7%, $$ n = 1 $$

              Простой процент $$ = \, \, \, \, \ left ({{\ text {Principal}}} \ right) \ left ({{\ text {Rate}}} \ right) \ left (n \ right ) = \, \, \, \, \ left ({3000} \ right) \, \, 7 \% = \, \, \, \, 3000 \ times \, \ frac {7} {{100}} = \, \, \, \, 210 $$

              Пример 2 :
              Найдите простой процент на рупий. 10 000 из расчета 5% на 5 лет.Также найдите общую сумму после этого времени.

              Решение :
              Пусть основная сумма = 10 000 рупий, ставка = 5%, время $$ = n = 5 $$

              Размер простых процентов за 5 лет составляет
              \ [\ begin {gather} Interest \; = \, \, \, \, \ left ({{\ text {Principal}}} \ right) \ left ({{\ text {Interest}}} \ right) \ left ({{\ text {Time}} } \ right) = \, \, \, \, \ left ({10,000} \ right) \ left ({5 \%} \ right) \ left (5 \ right) \\ Интерес \; \; = \, \, \, \, \ left ({10,000} \ right) \ left ({\ frac {5} {{100}}} \ right) \ left (5 \ right) \, \, \, \ , \, = 2,500 \\ \ end {собрано} \]

              Следовательно, сумма через 5 лет $$ {\ text {= Основная}} + {\ text {Проценты}} = 10,000 + 2,500 = 12,500 $$

              Пример 3 :
              Найдите простой процент на рупий.156,00 за $$ 1 \ frac {1} {2} $$ лет по ставке 5% годовых. Также найдите общую сумму.

              Решение :
              Пусть Основное = 15,600, Ставка = 5% $$ = \ frac {5} {{100}} $$ $$ = 0,5 $$, Время = $$ 1 \ frac {1} {2} $$ лет $$ = \ left ({1 + \ frac {1} {2}} \ right) \, \, {\ text {years}} $$ $$ = \ frac {3} {2 } \, {\ text {years}} $$

              Простой процент на 5 лет $$ = \, \, \, \, \ left ({{\ text {Principal}}} \ right) \ left ({{\ text {Interest}}} \ right) \ left ( {{\ text {Time}}} \ right) = \, \, \, \, \ left ({15 600} \ right) \ left ({\ frac {5} {{100}}} \ right) \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) = \, \, \, \, 1,170 $$

              Сумма $$ {\ text {= Основная}} + {\ text {Процент}} = {\ text {}} 15,600 + 1,170 = \, \, \, \, 16 770 $$

              Пример 4 :
              Найдите простой процент на рупий.8000 на 40 дней, под 10% годовых.

              Решение :
              Пусть основная сумма = 8000 рупий, ставка = 10% годовых, время = 40 дней $$ = \ frac {{40 \, {\ text {years}}}} {{365 }} $$ $$ = \ frac {8} {{73}} \, \, {\ text {years}} $$
              Простой процент $$ = \, \, \, \, \ left ({{\ text {Principal}}} \ right) \ left ({{\ text {Rate}}} \ right) \ left (n \ right) = \, \, \, \, \ left ({8,000} \ right) \ left ({\ frac {{10}} {{100}}} \ right) \ left ({\ frac {8} {{73}}} \ right) = \ frac {{6,400}} {{73}}

              $ .

              Вычисление пределов примеры: Предел функции, вычисление пределов.

              alexxlab / / Разное

              Примеры на пределы функций

              Продолжаем изучать правила раскрытия неопределенностей в пределах. Сегодня рассмотрим 5 примеров и проанализируем ход вычислений.

              Пример 6. Вычислить предел последовательности:


              Решение: При подстановке бесконечности получим неопределенность вида бесконечность поделить на бесконечность (∞/∞).
              Раскрыть особенность возможно двумя способами: по правилу Лопиталя или выделением множителей, которые вносят наибольший вклад в числителе и знаменателе дроби.
              По правилу Лопиталя получим

              По второй методике предел последовательности равен

              Значения совпадают, как первая схема так и вторая не тяжелые для применения.
              Однако часто в одних задачах требуют вычислить предел последовательности по правилу Лопиталя.
              В других наоборот – не используя правило Лопиталя найти предел.

               

              Пример 7. Вычислить предел последовательности:

              Решение: Имеем разницу двух корней, которые при подстановке переменной дают особенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞).
              Для устранения особенности умножим и разделим корневую зависимость на сопряженное выражение (сумму корней). В результате придем к разности квадратов в числителе.
              Повторная подстановка дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
              Чтобы избавиться от особенности выделяем доминантные множители в числителе и знаменателе и оцениваем, что в итоге перевешивает (доминирует).

              Получили, что в числителе старший степень чем в знаменателе, поэтому предел стремится к бесконечности. Но важно еще выяснить к плюс бесконечности или к минус бесконечности. Для этого следует проанализировать вклад слагаемых в скобках.

               

              Пример 8. Найти предел функции:

              Решение: При подстановке единицы получаем особенность вида ноль разделить на ноль {0/0}.
              Для ее раскрытия разницу корней в числителе умножим на сумму корней, чтобы избавиться от иррациональности. На ту же сумму корней следует умножить знаменатель, чтобы манипуляциями не изменить значение предела.
              Далее анализируем знаменатель – он содержит полином, который в свою очередь имеет в разложении множитель (x-1) (как особенность).
              Разложим полином на простые множители и заменим ими соответствующую часть дроби.

              Далее упрощаем числитель и знаменатель на общий множитель (x-1), и методом подстановки находим предел функции, что осталась.

               

              Пример 9. Найти предел функции:

              Решение: В заданиях, где переменная стремится к нулю и имеем дробь, содержащий логарифмы или тригонометрические функции следует искать возможность получить первую замечательный предел, следствия второго и первого лимита или сочетание обоих вариантов. Этот пример сочетает все возможное, что может Вас ждать на практике.
              Простая подстановка показывает, что имеем лимит с неопределенностью вида {0/0}. Для устранения неопределенности и возведения сперва логарифма к виду ln(1+y)/y, делим и умножаем на sin(3x). Чтобы этот же синус в числителе свести под некую формулу, разделим и умножим на (3x).∞. А это означает, что имеем дело со вторым замечательным пределом.
              Для устранения особенности в скобках и показателе выделим выражения, содержащие (x-1). После этого делаем замену переменных, t=x-1, при этом новая переменная стремится к нулю. Далее в показателе выделяем множитель, который является обратно пропорциональным к слагаемому в дужках (1/4t), это даст нам экспоненту.

              Все, что останется множителем в показателе даст степень экспоненты в предельном переходе (12).

              Хорошо проанализируйте приведенный пример, он на самом деле не такой тяжелый, если внимательно разобраться.
              В новых публикациях Вы получите ответы на другие вопросы, которые могли у Вас возникнуть в связи с тем, что рассмотрено всего 5 примеров.

              Вычисление пределов функции. Первый и второй замечательные пределы

              Краткая теория

              Число  называется пределом функции  в точке , если для всех значений , достаточно близких к  и отличных от  значения функции  сколь угодно мало отличаются от числа .

              Пишут:

              Правила вычисления пределов

              Пусть существуют пределы

              Тогда:

              1. Предел константы равен самой константе:

              2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

              3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

              4. Постоянный множитель выносится за знак предела:

              5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

              6. Показатель степени можно выносить за знак предела:

              Универсальный метод, устраняющий неопределенности и носит название правила Лопиталя и рассматривается на соседней странице.

               

              Примеры решения задач

              Пример 2

              Если же , то дробь  рекомендуется сократить один или несколько раз на бином

              Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
              вступайте в группу ВК
              сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
              сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

              Например:

              Пример 3

              При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно  при  оба члена отношения полезно предварительно разделить на , где  – наивысшая степень этих многочленов.

              Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,  содержащих иррациональности.

              Например:

              1)

              2)

              Пример 4

              Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

              Например:

              Полагая

              получаем:

               

              Пример 5

              Другим приемом вычисления предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

              Например:

              Пример 6

              Первый замечательный предел

              При вычислении пределов во многих случаях используется формула первого замечательного предела:

              Например:

              Пример 7

              Второй замечательный предел

              Второй замечательный предел:

               

              При вычислении пределов вида

              следует иметь ввиду, что:

              1) если существуют конечные пределы

              то

              2) если

              то вопрос о решении предела

              решается непосредственно

              3) если

              то полагают , где  при , и следовательно

              где  — неперово число

              Например:

              Пример 8

              Предел логарифма

              При вычислении некоторых пределов полезно знать, что если существует и положителен

              то

              Например:

              Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
              вступайте в группу ВК
              сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
              сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

              На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

              Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

              Предел последовательности свойства пределов раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вычисление пределов числовых последовательностей

              Содержание

              Предел числовой последовательности

              ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

              a1 ,  a2 , … an , …

              если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

              | an – a | < ε .

              Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

              a1 ,  a2 , … an , … ,

              записывают с помощью обозначения

              и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

                    То же самое соотношение можно записать следующим образом:

              an → a   при .

              Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

              ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

              a1 ,  a2 , … an , …

              найдется такое число   a ,   что   an → a   при , то эта последовательность ограничена.

              ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

              a1 ,  a2 , … an , …

              стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

              | an| > C .

              Условие того, что числовая последовательность

              a1 ,  a2 , … an , … ,

              стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

              или с помощью обозначения

               при .

              ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

              ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

              ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

              ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

              ПРИМЕР 5 . Последовательность

              – 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

              заданная с помощью формулы общего члена

              an = (– 1)n ,

              предела не имеет.

              Свойства пределов числовых последовательностей

              Рассмотрим две последовательности

              a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b1 ,  b2 , … bn , … .

              Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

                и   ,

              то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

              Если, кроме того, выполнено условие

              то при существует предел дроби

              причем

              Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

              Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

              Рассмотрим геометрическую прогрессию

              b1 ,  b2 , … bn , … ,

              знаменатель которой равен   q .

              Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

              Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

              справедлива формула

              Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

              S = b1 + b2 + … + bn + … ,

              то будет справедлива формула

              В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

              | q | < 1 ,

              поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

              Итак,

              Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

              ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

              Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

              ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

              РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

              ОТВЕТ.

              ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

              ОТВЕТ.

              В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

              ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

              РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

              ОТВЕТ.

              ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

              РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

              Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

              Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n2:

              Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

              ОТВЕТ.

              ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

              РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

              ,

              получаем

              ОТВЕТ.   1 .

              Число e. Второй замечательный предел

              Рассмотрим последовательность

              (1)

              В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

              Таким образом, справедливо равенство

              (2)

              причем расчеты показывают, что число

              e = 2,718281828459045…

              и является иррациональным и трансцендентным числом.

              Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

              y = e x,

              которую называют «экспонента».

              Число   e   также является пределом последовательности

              (3)

              что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

              ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

              вычисление пределов примеры с корнями с решением

              Вы искали вычисление пределов примеры с корнями с решением? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление пределов с корнями примеры с решением, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление пределов примеры с корнями с решением».

              Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление пределов примеры с корнями с решением,вычисление пределов с корнями примеры с решением,как решать пределы с корнями,как решать пределы с корнями в числителе и знаменателе,как с корнем решить предел,корень предел,предел корень,предел корня,предел функции примеры решения с корнями,предел функции с корнями примеры решения,пределы как решать с корнями,пределы примеры решения с корнями,пределы примеры с корнями,пределы с корнем,пределы с корнями,пределы с корнями как решать,пределы с корнями примеры,пределы с корнями примеры решения,примеры пределы с корнями,примеры решение пределов с корнями,примеры решения пределов с корнями,решение пределов примеры с корнями,решение пределов примеры с решением с корнями,решение пределов с корнем,решение пределов с корнями,решение пределов с корнями примеры,решение пределов с корнями примеры с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление пределов примеры с корнями с решением. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать пределы с корнями).

              Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление пределов примеры с корнями с решением Онлайн?

              Решить задачу вычисление пределов примеры с корнями с решением вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

              Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

              Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

              В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

              Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.

              Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

              • Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
              • При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
              • Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

              Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах.2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$

              Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

              Пример №1

              Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

              Решение

              Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

              $$ \begin{aligned} & \lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0;\\ & \lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0. \end{aligned} $$

              В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:

              $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$

              Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:

              $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$

              Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

              $$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$

              Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

              $$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$

              Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла.2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.

              В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

              Глава 9

              Глава 9

              Глава 8. Задачи математического анализа     

                      8.2 Вычисление пределов

                     Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности. 

              Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих соотношению 0<|ха|<δ, справедливо неравенство |f(x)A|<ε. Говорят предел функции f(x)  в точке а и обозначают

                                                                                                

              Для вычисления пределов в MathCAD выполните следующие действия:

              на математической панели выберите кнопку со знаком интеграла, откроется панель Calculus (Исчисление), на которой внизу есть три оператора вычисления пределов. Выберите один из них.

              введите выражение в поле ввода справа от lim.

              в поле ввода под словом lim введите имя переменной, по которой надо вычислить предел, и ее предельное значение.

              выделите уголком или черным цветом все выражение целиком.

              в главном меню MathCAD выберите Symbolics→Evaluate→Symbolically (Символьные  вычисления →Вычислить →Символьно). MathCAD возвращает значение предела, если оно существует. Примеры вычисления пределов приведены на рис. 9.1.

              предварительно выделить все выражение

                  yields  

                    yields   1

                     yields 

                     yields   

              Самостоятельно вычислить пределы функций

                 при х→0       

              х→0 

              Рис. 8.1 Примеры вычисления пределов

              Вычислить предел выражения можно только символьно.

                                                                                                                                      

                

              определение, теоремы, свойства, примеры с решением

              С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей:

              1) бесконечная последовательность рациональных приближений числа

              с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

              1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;… ; (*)

              2) последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа

              с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

              Числовой последовательностью называется функция

              , которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании , , — соответственно первый, второй, n-й,… члены числовой последовательности.

              Обозначают числовые последовательности

              Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы (n-го члена или рекуррентной).

              Например:

              В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).

              Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

              Пусть задано числовую последовательность

              . Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

              Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности

              Очевидно, что при росте числа п члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например:

              ,а

              В данном случае для любого достаточно малого числа

              (эпсилон) можно найти такое число N (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство .

              Например, в рассмотренной выше последовательности для

              таким членом будет , поскольку, а для таким членом будет (проверьте).

              В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

              Число А называют пределом числовой последовательности , если для любого существует номер члена последовательности такой, что для всех выполяется неравенство

              Обозначают:

              . Читают: предел числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, равен А.

              Пример №1

              Вычислите предел последовательности

              .

              Решение:

              Запишем несколько членов заданной последовательности:

              Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число N, что для всех будет выполняться неравенство . Имеем:

              Следовательно, такое число существует. Например, при

              последнее неравенство будет иметь вид , или .

              То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

              Следовательно,

              .

              Докажите самостоятельно и запомните, что

              .

              Если числовая последовательность

              имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

              Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.

              1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
              2. Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то есть

              3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей , то есть:

              4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей , т.е.

              5.Если последовательности

              и — сходящиеся , ., то числовая последовательность тоже сходящаяся и выполняется равенство
              Пример №2

              Найдите предел последовательности

              .

              Решение:

              Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей

              , (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

              Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов

              , используют следующее правило.

              Для того чтобы вычислить предел числовой последователь кости, которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно),каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

              Пример №3

              Вычислите

              .

              Решение:

              Здесь

              , . Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку , , то делим каждый член многочленов на и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.
              Пример №4

              Вычислите:

              a)

              ; б) .

              Решение:

              a)

              б)

              .

              Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

              Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

              Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при , которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно)* каждый из которых имеет предел,равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

              1 )m = k, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях заданных многочленов;

              2) m < k , то предел равен нулю;

              3) m> k, то предел равен бесконечности.

              Пример №5

              Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что

              .

              Решение:

              Нужно доказать, что существует такое

              , что для всех выполняется неравенство . Преобразуем выражение , стоящее в левой части :

              Пусть

              , тогда , а . Для любого можем найти соответствующее , например .

              Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

              Пример №6

              Вычислите: а)

              ; б) .

              Решение:

              а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.

              б) Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Имеем:

              Предел и непрерывность функции

              Часто говорят о значении функции в точке, пределе функции в точке, приращении функции в точке, непрерывности функции в точке. О каких точках идёт речь? О точках оси абсцисс — значениях аргумента.

              Значение функции в точке

              Пусть задано, например, функцию

              . Если х = 1, то соответствующее значение функции равно 3. Говорят, что в точке х = 1 значение функции f(x) равно 3. В точке х = 0 её значение равно 1, в точке х = 10 значение функции f(x) равно 111. Пишут: , f(0) =1 , f(10)=111.

              Предел функции в точке

              Рассмотрим ту же функцию

              . Если значения её аргумента х достаточно близко и с обеих сторон приближаются к 1, то соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к числу 3 (рис. 43). Об этом свидетельствуют данные таблицы (рис. 44), в которой содержатся значения.

              функции

              для 10 значений аргумента, близких к числу 1, и график, изображённый на рисунке 43.

              Другими словами: разность

              может стать и оставаться сколь угодно малой, если разность будет достаточно малой. В этом случае говорят, что предел функции f(x) в точке х = 1 равен 3. Пишут: если х —> 1, то , или .

              Существенная деталь: функция может иметь предел даже в такой точке, в которой она не определена, потому что знаменатель не может равняться нулю. Во всех остальных точках функция

              имеет такие же значения, как и функция f(x), ибо : , если . График функции изображён на (рис) 45.

              Хотя значение функции

              в точке x= 1 не существует, а её предел в этой точке существует и равен 3.

              Определение предела функции можно сформулировать так.

              Число b называется пределом функции f(x)в точке ,если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех значений х из промежутка кроме, возможно, самой точки , справедливо неравенство .

              Пишут так:

              .

              Определение предела функции имеет простое геометрическое толкование: какое бы ни было достаточно малое наперёд за-данное положительное число (

              ), можно указать такое положительное число, что для всех точек х, которые удалены от точки не далее чем на , график функции лежит внутри полосы — шириной , ограниченной прямыми и (рис. 46).

              Предел функции имеет интересные свойства. Например:

              • функция не может иметь двух различных пределов в точке;

              • если с — число, то

              ;

              Несколько свойств сформулируем в виде теоремы.

              Теорема. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет предел в точке

              , то в этой точке существуют пределы функций ,

              справедливы равенства:

              Другими словами можно сказать так.

              Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Предел суммы (разности, произведения) функций равен сумме (разности, произведению) пределов данных функций. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя не равен нулю.

              Эти свойства используют для вычисления пределов функций в заданных точках.

              Пример №7

              При условии, что

              вычислите предел функции f(x), если:

              а)

              б)

              Решение:

              a)

              ;

              б)

              .

              Замечание. Решая такие упражнения, некоторые преобразования можно выполнять устно.

              В предыдущих примерах для нахождения предела достаточно было подставить в данное выражение предельное значение аргумента. Но часто такая подстановка приводит к неопределённости вида

              , , ,, , , . В таких случаях и сначала необходимо преобразовать данное выражение, а уже потом вычислять предел. Нахождение предела таким образом называется раскрытием неопределённостей.
              Пример №8

              Найдите

              .

              Решение:

              Поскольку при

              предел знаменателя равен нулю, то использовать теорему о пределе частного нельзя. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенности вида — .

              Чтобы её раскрыть, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:

              Приращения аргумента и функции

              Пусть дано, например, функцию

              . В точке ее значение . Увеличим значение аргумента на 0,01, то есть, пусть . Соответствующее значение функции . По сравнению с предыдущим значением оно увеличилось на 0,0401. Здесь 0,01 — приращение аргумента, а 0,0401 — соответствующее приращение функции, а именно: приращение функции на промежутке [2; 2,01].

              Приращением аргумента в точке

              называют разность , где х — произвольное число, которое мало отличается от и может быть положительным или отрицательным. Соответствующее приращение функции f(x) — разность .

              Приращение аргумента х обозначают символом

              , а приращение функции , (читают: дельта икс, дельта эф, дельта игрек). Так, в рассматриваемом примере = 0,01, = 0,0401.

              Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки (рис. 47),

              Свойства этих понятий показано на рисунках 47 и 48. Если функция f(x) — возрастающая и

              , то — число положительное, а если f(х) — убывающая функция и , то — число отрицательное.

              Непрерывность функции

              Как связаны между собой приращения аргумента х и функции

              в точке = 2? Если , то = 0,0401; если = 0,001, то = 0,004001 и т. д. Вообще, если , то и , т. е. приращение функции стремится к нулю, когда стремится к нулю приращение аргумента (слева или справа). В таком случае говорят, что функция f(x) непрерывна в точке .

              | Функция f(x) называется непрерывной в точке , если в этой точке достаточно малым приращениям аргумента соответствуют сколь угодно малые приращения функции.

              Иначе:

              Преобразуем последнее равенство:

              Поскольку

              , когда то получим , отсюда

              Функция у =f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке .

              Использование последней формулы существенно упрощает вычисление пределов для непрерывных функций.

              Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. График такой функции — непрерывная кривая (её можно провести, не отрывая карандаш от бумаги).

              На рисунке 49 изображены графики функций, имеющих разрывы в точке х = 1; они не являются непрерывными в этой точке.

              Непрерывными в каждой точке своей области определения есть элементарные функции — рациональные, тригонометрические,

              , а также функции, образованные из них с помощью четырёх арифметических действий. Графики элементарных функций на каждом промежутке из области определения являются неразрывными линиями.

              Теория пределов — большой и интересный раздел курса математического анализа, который изучается в университетах. В школе этот материал изучают обзорно, на основе наглядных представлений и интуиции. Представление о пределах и их свойствах желательно иметь для изучения производной и её применений — мощного аппарата для исследования многих реальных процессов.

              Предлагаем вам ознакомиться с одним из интересных и важных фактов теории пределов. Рассмотрите таблицу, составленную с помощью Excel.

              Как видим, при достаточно малых значениях

              , а .

              В курсе математического анализа строго доказывается, что

              Это равенство называется первым замечательным пределом. Его используют для нахождения пределов функций, связанных с тригонометрическими.

              Пример №9

              Вычислите предел

              .

              Решение:

              Пример №10

              Вычислите:

              а)

              б) в)

              Решение:

              а) В точке x = 3 предел каждой из дробей не существует, поэтому воспользоваться теоремами о пределах мы не можем. Упростим функцию, содержащуюся под знаком предела, выполнив действие вычитания. Имеем:

              б) В тючке х = 1 данная функция не определена, но дробь

              можно сократить: .

              Поскольку для вычисления предела при

              саму точку можно исключить и не рассматривать, то

              в) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряжённые к данным.

              Пример №11

              Найдите приращение функции

              при переходе значения аргумента от 3 до 3,5.

              Решение:

              Способ 1. Имеем

              , a , тогда

              До этой формуле можно вычислить значение

              для любых х и . В частности, в нашем примере х = 3, = 3,5 — 3 = 0,5, поэтому .

              Способ 2.

              ,.
              Пример №12

              Для функции

              найдите:

              а) приращение функции при переходе от некоторой точки х к точке х +

              ;

              б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

              Решение:

              a)

              , .

              б)

              , поскольку , а х — не зависит от .

              Вычисление пределов, производная функции, исследование функций
              Пример №13

              Вычислить предел

              .

              Решение:

              Таблица производных основных элементарных функций

              Правила дифференцирования

              Пример №14

              Вычислить производную функции у(х), заданной в неявной форме

              .

              Решение:

              В случае неявного задания функции F(x,y) = 0 для нахождения ее производной нужно:

              1) вычислить производную по переменной х функции F(x, у(х)),

              2) приравнять эту производную нулю,

              3) решить полученное уравнение относительно у'(х). В нашем случае получаем

              ,

              Отсюда получим, что

              при .
              Пример №15

              Провести исследование функции

              Решение:

              1. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х=1. Она равна нулю в точке х = 0.

              2. Вычислим первую производную данной функции:

              .

              3. Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума функции.

              Приравнивая первую производную функции нулю, находим ее критические точки (с учетом тех точек, где производная не существует):

              , , . Данные точки разбивают область определения функции на четыре промежутка монотонности:, , , . Так как у’ >0 при и у’ < 0 при ,то на промежутках и функция возрастает, а на промежутках (0; 1) и убывает. Точка х = 0 является точкой локального максимума .

              4. Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции. Для этого исследуем знак второй производной:

              Так как у»>0 при

              ; и у»<0 при , то на промежутках и график функции является выпуклым вниз, а на промежутках и (0, 1) график функции является выпуклым вверх. При этом точка области определения функции, при переходе через которую вторая производная меняет знак, задает точку перегиба, .

              Точка х = 1 не задает точку перегиба, поскольку она не входит в область определения функции.

              5. Найдем асимптоты графика.

              Вертикальной асимптотой является прямая х= 1, поскольку

              Найдем наклонные асимптоты графика функции

              .

              Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

              . Для определения ее параметров последовательно вычислим два предела:

              В результате получаем, что наклонной асимптотой является прямая у = х. Исследование функции закончено.

              Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

              Предмет высшая математика

              Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

              Правило Л’Опиталя

              Правило L’Hôpital может помочь нам рассчитать лимит, который в противном случае может оказаться трудным или невозможным.

              L’Hôpital произносится как «лопиталь». Он был французским математиком 1600-х годов.

              Он говорит, что предел , когда мы делим одну функцию на другую, остается таким же после того, как мы берем производную каждой функции (с некоторыми специальными условиями, показанными позже).

              В символах можно написать:

              lim x → c f (x) g (x) = lim x → c f ’(x) g’ (x)

              Предел, когда x приближается к c из «f-of-x over g-of-x» равен
              пределу, когда x приближается к c «f-dash-of-x над g-dash-of-x»

              Все, что мы сделали, это добавили маленькую черту ‘на каждой функции, что означает взятие производной.

              Пример:

              lim x → 2 x 2 + x − 6 x 2 −4

              При x = 2 обычно получаем:

              2 2 + 2−6 2 2 −4 = 0 0

              Что неопределенно, так что мы застряли. Или мы?

              Попробуем L’Hôpital!

              Различия между верхом и низом (см. Производные правила):

              lim x → 2 x 2 + x − 6 x 2 −4 = lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0

              Теперь мы просто подставляем x = 2 , чтобы получить ответ:

              lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0 = 5 4

              Вот график, обратите внимание на «дыру» в точке x = 2:

              Примечание: мы также можем получить этот ответ путем факторинга, см. Оценка пределов .

              Пример:

              lim x → ∞ e x x 2

              Обычно это результат:

              lim x → ∞ e x x 2 = ∞ ∞

              Оба устремляются в бесконечность. Что неопределенно.

              Но давайте различим верх и низ (обратите внимание, что производная от e x равна e x ):

              lim x → ∞ e x x 2 = lim x → ∞ e x 2x

              Хммм, все еще не решено, оба стремятся к бесконечности.Но мы можем использовать его снова:

              lim x → ∞ e x x 2 = lim x → ∞ e x 2x = lim x → ∞ e х 2

              Теперь у нас:

              lim x → ∞ e x 2 = ∞

              Он показал нам, что e x растет намного быстрее, чем x 2 .

              Ящики

              Мы уже видели примеры 0 0 и ∞ ∞ . Вот все неопределенные формы, с которыми может помочь правило Л’Опиталя:

              0 0 ∞ ∞ 0 × ∞ 1 ∞ 0 0 ∞ 0 ∞ − ∞

              Условия

              Дифференцируемая

              Для предела, приближающегося к c, исходные функции должны быть дифференцируемыми по обе стороны от c, но не обязательно в c.

              Точно так же g ’(x) не равно нулю по обе стороны от c.

              Предел должен существовать

              Этот предел должен существовать:

              lim x → c f ’(x) g’ (x)

              Почему? Хороший пример — функции, которые никогда не устанавливают значение.

              Пример:

              lim x → ∞ x + cos (x) x

              Это случай ∞ ∞ . Различаем верх и низ:

              lim x → ∞ 1 − sin (x) 1

              И поскольку он просто качается вверх и вниз, он никогда не приближается к какой-либо ценности.

              Так что нового лимита не существует!

              Итак, Правило L’Hôpital в этом случае неприменимо.

              НО мы можем это сделать:

              lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x )

              По мере того, как x стремится к бесконечности, cos (x) x стремится к промежутку между −1 ∞ и +1 ∞ , и оба стремятся к нулю.

              И у нас осталась только «1», поэтому:

              lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x ) = 1

              Пределы (формальное определение)

              Приближается …

              Иногда мы не можем что-то придумать напрямую … но мы можем видеть, что это должно быть, когда мы приближаемся все ближе и ближе!

              Пример:

              (x 2 — 1) (x — 1)

              Давайте разберемся с x = 1:

              (1 2 — 1) (1 — 1) = (1 — 1) (1 — 1) = 0 0

              Теперь 0/0 — это сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.

              Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем , приближаясь к , это все ближе и ближе:

              Продолжение примера:

              x (x 2 — 1) (x — 1)
              0,5 1,50000
              0.9 1,

              0,99 1,99000
              0,999 1.99900
              0,9999 1.99990
              0,99999 1.99999
              … …

              Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, тогда (x 2 −1) (x − 1) становится , близким к 2

              .

              Мы столкнулись с интересной ситуацией:

              • Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенный )
              • Но мы видим, что будет 2

              Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»

              Предел из (x 2 −1) (x − 1) , когда x приближается к 1, составляет 2

              И записывается символами как:

              lim x → 1 x 2 −1 x − 1 = 2

              Таким образом, это особый способ сказать: «игнорировать то, что происходит, когда мы приближаемся к цели, но по мере того, как мы приближаемся все ближе и ближе, ответ становится все ближе и ближе к 2»

              В виде графика это выглядит так:

              Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1.

              Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1, предел равен 2.

              Более формальный

              Но вместо того, чтобы говорить, что предел равен некоторому значению, потому что выглядел так, как будто он идет к , мы можем иметь более формальное определение.

              Итак, начнем с общей идеи.

              От английского языка к математике

              Сначала скажем по-английски:

              «f (x) приближается к некоторому пределу , поскольку x приближается к некоторому значению»

              Когда мы называем предел «L» и значение, при котором x приближается к «a», мы можем сказать

              «f (x) приближается к L, когда x приближается к»

              Расчет «закрытия»

              А теперь, как можно математически сказать «близко»… можем ли мы вычесть одно значение из другого?

              Пример 1: 4,01 — 4 = 0,01 (выглядит неплохо)
              Пример 2: 3,8 — 4 = -0,2 ( отрицательно, близко?)

              Так что же делать с негативом? Нас не интересует положительное или отрицательное, мы просто хотим знать, как далеко … это абсолютное значение.

              «Как близко» = | a − b |

              Пример 1: | 4.01−4 | = 0,01
              Пример 2: | 3.8−4 | = 0.2

              А когда | a − b | маленький мы знаем, что близки, поэтому пишем:

              «| f (x) −L | мало, когда | x − a | мало»

              И эта анимация показывает, что происходит с функцией

              f (x) = (x 2 −1) (x − 1)

              изображения / limit-lines.js

              f (x) приближается к L = 2, когда x приближается к a = 1,
              , поэтому | f (x) −2 | мала, когда | x − 1 | маленький.

              Дельта и Эпсилон

              Но «small» по-прежнему английский, а не «математический».

              Давайте выберем два значения меньше :

              δ, что | x − a | должно быть меньше
              ε, что | f (x) −L | должно быть меньше

              Примечание: эти две греческие буквы (δ — «дельта» и ε — «эпсилон») — это
              , поэтому часто используется фраза « дельта-эпсилон »

              А у нас:

              | f (x) −L | <ε при | x − a | <δ

              Вот и все! Итак, если вы понимаете, что вы понимаете пределы…

              … но чтобы быть абсолютно точным, нам нужно добавить следующие условия:

              • верно для любого ε> 0
              • δ существует и> 0
              • x равно и не равно a, что означает 0 <| x − a |

              А вот что получаем:

              Для любого ε> 0 существует δ> 0, так что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ

              Это формальное определение. На самом деле это выглядит довольно устрашающе, не правда ли?

              Но по сути он говорит о чем-то простом:

              f (x) приближается к L , когда x приближается к

              Как использовать это в доказательстве

              Чтобы использовать это определение в доказательстве, мы хотим пойти

              из: Кому:
              0 <| x − a | <δ | f (x) −L | <ε

              Обычно это означает поиск формулы для δ (в единицах ε), которая работает.

              Как найти такую ​​формулу?

              Угадай и попробуй!

              Верно, мы можем:

              1. Поэкспериментируйте, пока не найдете формулу, по которой может работать
              2. Протестируйте , чтобы проверить, работает ли эта формула

              Пример: попробуем показать, что

              lim x → 3 2x + 4 = 10

              Используя буквы, о которых мы говорили выше:

              • Значение, к которому приближается x, «a», составляет 3
              • Предел «L» равен 10

              Итак, мы хотим знать, как мы перейдем от:

              0 <| x − 3 | <δ от
              до
              | (2x + 4) −10 | <ε

              Шаг 1. Поэкспериментируйте, пока не найдете формулу, по которой

              может работать

              Начнем с: | (2x + 4) −10 | <ε

              Упрощать: | 2x − 6 | <ε

              Переместите 2 наружу ||: 2 | x − 3 | <ε

              Разделите обе стороны на 2: | x − 3 | <ε / 2

              Итак, теперь мы можем предположить, что δ = ε / 2 может работать

              Шаг 2:

              Протестируйте , чтобы убедиться, что эта формула работает.

              Итак, можем ли мы получить от 0 <| x − 3 | <δ до | (2x + 4) −10 | <ε …?

              Посмотрим …

              Начнем с: 0 <| x − 3 | <δ

              Заменим δ на ε / 2: 0 <| x − 3 | <ε / 2

              Умножьте все на 2: 0 <2 | x − 3 | <ε

              Переместите 2 внутрь ||: 0 <| 2x − 6 | <ε

              Заменить «−6» на «+ 4−10»: 0 <| (2x + 4) −10 | <ε

              Да! Мы можем перейти от 0 <| x − 3 | <δ к | (2x + 4) −10 | <ε , выбрав δ = ε / 2

              СДЕЛАНО!

              Тогда мы увидели, что при заданном ε мы можем найти δ, поэтому верно, что:

              Для любого ε существует такое δ, что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ

              И мы доказали, что

              lim x → 3 2x + 4 = 10

              Заключение

              Это было довольно простое доказательство, но, надеюсь, оно объясняет странное «существует… «формулировка, и это действительно показывает хороший подход к такого рода доказательств.

              Алгебраическое определение пределов

              Алгебраическое определение пределов

              К концу этой лекции вы должны уметь распознавать, какие неопределенные выражения являются детерминированными, а какие — неопределенными, и вы должны уметь использовать эти знания для решения предельных задач, переписывая их алгебраически, пока не получите определенную форму. В частности, вы должны уметь находить пределы на бесконечности и определять, когда ограничения не существуют (а когда они не существуют, чтобы объяснить, почему).Вы также должны уметь правильно использовать обозначение пределов.

              Прежде чем мы начнем эту лекцию, мы хотим напомнить себе об определении алгебры, которое будет важно при алгебраическом вычислении предельных задач:

              Определение: undefined

              Помните, что в алгебре иногда встречаются выражения undefined . Выражение undefined — это выражение, у которого нет одного четкого значения — например, если бы мы могли доказать, что выражение имеет два разных значения, тогда это выражение было бы undefined, потому что мы не позволяем выражениям быть равными двум различным сразу (потому что это привело бы к сумасшедшим противоречиям вроде 2 = 5!).

              Другая причина, по которой выражение может быть неопределенным, заключается в том, что оно не определено по отношению к набору чисел, с которым мы сейчас работаем. Например, если мы работаем только с набором действительных чисел, любое выражение, которое дает нам мнимое или комплексное число в качестве нашего ответа, будет неопределенным в наборе действительных чисел. Мы не всегда очень четко указываем, с каким набором чисел мы работаем, но на протяжении всего этого класса мы будем смотреть только на действительные числа (обратите внимание, что на наших графиках нет возможности изобразить воображаемое или сложное номер).

              Например, вы должны были столкнуться с подобными проблемами на предыдущем уроке алгебры

              .


              1. 2/0 не определено, потому что у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать n . Тогда по определению получилось бы:

                Но это противоречие! Два НЕ равно нулю!
                Фактически, мы замечаем, что НЕТ значения, которое мы могли бы ввести для n в приведенное выше уравнение, которое сделало бы это уравнение истинным, потому что независимо от того, какое значение мы пытаемся использовать для n , утверждение 2 = n · 0 НИКОГДА не будет правдой.Таким образом, мы не можем понять смысл числа, знаменателем которого является ноль, потому что невозможно определить одно значение, равное этому числу.


              2. 0/0 не определено, потому что, как и 2/0, у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать n . Тогда по определению у нас будет:

                Сначала это кажется нормальным, потому что любое значение, которое мы введем для n , сделает уравнение истинным.Однако проблема именно в этом: ЛЮБОЕ значение, которое мы вводим для n , сделает уравнение истинным, поэтому 0/0 можно определить как множество различных НЕРАВНЫХ возможных значений. Другими словами, ему нельзя присвоить только одно значение, не присвоив ему также другие неравные значения. Чтобы понять, почему это так, давайте посмотрим на простое уравнение:

                Но это противоречие! Один НЕ равен двум!
                Итак, мы не можем понять смысл числа, знаменателем которого является ноль, даже если оно также имеет ноль в числителе.


              3. В этом случае не определено для набора действительных чисел всякий раз, когда n отрицательно, потому что в этом случае будет получено мнимое число. Поскольку не может быть равно какому-либо НАСТОЯЩЕМУ числу, когда n отрицательно, оно не определено для набора действительных чисел (но не для набора комплексных чисел, который включает мнимые числа).


              4. Это пример неопределенного выражения, которого вы, возможно, не видели раньше.Однако мы можем быстро увидеть, что оно не определено, потому что его можно переписать как выражение 0/0, которое, как мы уже знаем, не определено:

                Поскольку 0/0 не определено, 0 0 также должно быть неопределенным, поскольку у нас есть только что показано, что эти два выражения эквивалентны.
                (На самом деле, иногда математики решают считать 0 0 равным 1, хотя не совсем ясно, правда ли это — это скорее условность. Чтобы прочитать интересное обсуждение того, как и почему это делается, взгляните на на этой странице!)

              Когда мы вычисляем предельные задачи алгебраически, мы часто получаем в качестве начального ответа что-то неопределенное.Это потому, что «интересные» места для поиска пределов — это места, где функция undefined . Поскольку функция f (x) не определена при x = c , f (c) выдаст неопределенное выражение. Однако нам важно помнить, что при вычислении предела f (x) как x → c нас не интересует поведение f (x) AT c , а скорее поведение f (x) вокруг c .Итак, это подводит нас к мотивирующему вопросу для этой лекции:

              Когда мы получаем неопределенное значение в f (c) , может ли тип неопределенного значения, которое мы получаем, рассказать нам что-то о поведении f (x) AROUND x = c ?

              Мы проведем оставшуюся часть этой лекции, играя с примерами предельных задач, чтобы попытаться ответить на этот вопрос!

              Начнем с того, что вспомним Пример №2 из последней лекции:

              График f (x) представлял собой линию с отверстием на ней при x = -2:

              В этом случае, когда мы заменили f (x) на x -2, на самом деле мы заменили f (x) , который представляет собой линию с отверстием на x = -2, на y = x -2, это точно такая же линия без отверстия.Эти две функции не полностью идентичны, но они идентичны везде, кроме x = -2, и это все, что имеет значение при вычислении предела. Чтобы две функции имели одинаковый предел при x = -2, все, что нам нужно, это чтобы они были идентичны в некотором интервале около x = -2 (но НЕ обязательно при x = -2).

              Итак, подведем итоги шагов, с которыми мы столкнулись при решении этих проблем:

              1. Мы попытались вычислить f (c) напрямую, но обнаружили, что он не определен (в данном случае, потому что он был равен 0/0).

              2. Мы нашли способ заменить f (x) другой функцией, которая аналогична f (x) везде, кроме x = c (в данном случае путем факторизации верхней и нижней части дроби). и исключая общий фактор).

              3. Мы вычислили предел этой новой функции, заменив c на x , и на этот раз мы получили значение, которое не было неопределенным. Поскольку новая функция аналогична f (x) везде, кроме x = c , пределы этих двух функций одинаковы, поэтому мы можем сделать вывод, что предел f (x) является максимальным. такой же.

              Мы увидим, что тот же образец встречается во многих задачах с ограничениями, которые мы будем решать. Одно из основных отличий будет заключаться в том, что иногда тип неопределенного значения, которое мы получаем, будет рассказывать нам что-то о том, каково поведение f (x) в интервале около x = c , а иногда неопределенная форма не дает нам достаточно информации о том, что происходит с f (x) около x = c , и в этом случае нам нужно будет выполнить больше шагов алгебры, как мы делали выше, чтобы переписать f (x) , чтобы подключение c для x даст нам конкретную информацию о поведении f (x) вокруг x = c .

              Давайте рассмотрим несколько примеров.

              Но непосредственно перед тем, как мы погрузимся в примеры, давайте немного поясним некоторые обозначения:

              Обозначение: использование 0 и ∞ при расчете пределов.

              В прошлой лекции мы видели, как можно вычислить f (c) в качестве одного шага к попытке определить, какой предел f (x) есть, когда x приближается к c . В случаях, когда существует f (c) , это просто, потому что тогда предел будет равен f (c) .Однако в большинстве случаев мы вычисляем предел именно потому, что f (c) НЕ существует, и в этих случаях вычисление f (c) всегда будет давать неопределенное выражение. В этих случаях, когда мы вычисляем f (c) , на самом деле мы думаем о том, что такое f (c + ) и f (c — ) .

              Другими словами, нам нужно помнить, что , когда мы пытаемся оценить предел, подставляя c вместо x , мы НЕ вставляем значение c точно , а скорее мы подставляем в значениях, которые произвольно БЛИЗКИ к c , но НЕ РАВНЫ на c.

              Ноль:

              Например, если мы говорим, что как x → c , на самом деле мы имеем в виду, что f (x) — это дробная часть, для которой верхняя и нижняя части сколь угодно близки к нулю по мере приближения x . к c . Однако ни верхняя, ни нижняя часть дроби на самом деле никогда не достигают нуля. Другими словами, как верхняя, так и нижняя часть f (x) сжимаются по величине по мере приближения x к c . Итак, нули в выражении INSERT НЕ являются нулями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень малую величину (т.е. очень близки к нулю) .

              Бесконечность:

              Точно так же, когда мы используем обозначение ∞ при вычислении пределов, мы фактически не имеем в виду бесконечность. Помните, что то, что мы подразумеваем под ± ∞, на самом деле является просто паттерном неограниченного поведения, когда величина чисел неограниченно возрастает.

              Так, например, если я нахожу, что x → -∞, то на самом деле это означает, что f (x) — это выражение, для которого первое и второе слагаемые становятся произвольно большими по величине, как x получает произвольно все более отрицательное значение .Однако ни первый, ни второй член выражения на самом деле никогда не достигают бесконечности , потому что это невозможно. Бесконечность — это недостижимое число. Другими словами, и первый, и второй член в f (x) неограниченно растут по величине, поскольку x становится все более и более отрицательным . Итак, знаки бесконечности в выражении INSERT NOTATIONEX2.GIF HERE НЕ являются бесконечностями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень большие величины (т. Е.е. очень очень далеки от нуля) .

              При вычислении предельных выражений и 0, и ∞ заменяют тип ПОВЕДЕНИЯ ВОКРУГ

              x = c :

              • 0 обозначает некоторое число, произвольно близкое к нулю;

              • + ∞ обозначает произвольно большое число; и

              • -∞ обозначает некоторое отрицательное число, имеющее произвольно большую величину.

              А теперь перейдем к этим примерам!

              Алгебраическое вычисление пределов: примеры

              Пример 1: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение a / 0, где a ≠ 0

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида a / 0, где a ≠ 0 (то есть дробь, где верхнее число является некоторым фиксированным ненулевым значением, но нижнее число — ноль):

              В этом случае f (x) → -∞ как x → -2 справа, потому что f (x) приближается, как x приближается к -2 справа.Другими словами, когда x приближается к -2 справа, числитель f (x) становится очень близким к -2, а величина знаменателя становится все меньше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к -2, на положительные числа с все меньшей величиной, в результате мы получим отрицательные числа со все большей величиной. И если поместить числа в знаменателе с достаточно малой величиной, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим — так что это поведение неограничено.В результате мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться по мере приближения x к -2 справа, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → -2. .

              Пример 2: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c — это конкретное конечное ненулевое число

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.Этот предел окажется конкретным конечным числом, которое в данном случае не равно нулю.

              В этом случае f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Другими словами, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f (x) увеличиваются. все меньше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все меньшей величины на другие числа все меньшей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «мала» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

              Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT х = с . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать для перезаписи f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен — это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)

              Прежде чем перейти к другим примерам, которые помогут нам лучше понять, что может произойти, когда мы получим неопределенную форму 0/0 для f (c) , давайте на минутку отметим, как мы подошли к решению этой проблемы, которое будет тот же базовый подход для ВСЕХ примеров в этой лекции (и для вычисления пределов алгебраически в целом):

              Большая идея: Алгебра — это просто способ поиска структуры.

              Нам часто требуется, чтобы выражения, уравнения или другие математические объекты имели КОНКРЕТНУЮ СТРУКТУРУ, чтобы мы могли применить к ним определенное правило или использовать определенную технику.

              Например, вы можете вспомнить, что в предыдущем классе алгебры, когда вы хотели решить квадратное уравнение, вам нужно, чтобы оно было в форме a x 2 + bx + c = 0, чтобы вы можно разложить на множители выражение в левой части уравнения, а затем установить каждый множитель равным нулю (потому что, если несколько вещей умножаются вместе, чтобы получить ноль, вы можете сделать вывод, что по крайней мере один из этих множителей должен быть равен нулю).Если вы столкнулись с квадратным уравнением, которое не было в этой форме (например, 4 — x 2 = -4x), вам нужно будет выполнить алгебраические операции с уравнением, чтобы вы могли заменить исходное уравнение на эквивалентное уравнение в желаемой форме . В этом случае два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений (те же значения x , которые делают уравнение истинным). Так, например, если я хочу поместить 4 — x 2 = -4x в форму a x 2 + bx + c = 0, я могу переставить члены в уравнении так, чтобы это выглядит так: 1 x 2 + -4x + -4 = 0.Это уравнение имеет точно такие же решения, что и исходное уравнение 4 — x 2 = -4x, но оно записано в желаемой форме (потому что в этой новой форме его легко разложить на множители, а затем решить).

              Сейчас мы заинтересованы в поиске пределов, и единственный способ, которым мы знаем, как найти пределы, — это просто подключить c для x и вычислить f (c) . Но иногда это не работает — иногда просто подключение c для x дает нам что-то, что не определено, например.Поэтому в таких случаях мы хотим спросить себя: «Из-за какой базовой структуры в этом выражении оно оказывается неопределенным, когда я подключаю c к x , и есть ли способ заменить его другим выражение, которое одинаково везде вокруг x = c , но которое не даст неопределенного результата, когда мы вставим c для x ? «.

              Итак, в будущем, когда мы получим неопределенную форму для f (c) , первое, что мы зададим себе, это: «Как мы можем переписать f (x) , чтобы получить что-то эквивалентное (по крайней мере, около x = c ), но который имеет другую структуру , которая поможет нам избежать этой конкретной неопределенной формы?

              Пример 3: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c равен нулю

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.

              Как и в последнем примере, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно для того, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .

              Так же, как и в последнем примере, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в знаменателе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в знаменателе был сокращен — тогда это может позволить нам что-то исключить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из знаменателя в числитель.)

              Пример 4: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к c

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае предела не будет, потому что f (x) будет неограниченно уменьшаться, когда x приближается к 0 слева, и неограниченно увеличиваться, когда x приближается к 0 справа.

              Как и в последних двух примерах, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .

              Как и в последних двух примерах, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен — это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)

              Эта проблема аналогична примеру 1 выше. В этом случае f (x) → -∞ как x → 0 слева, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 слева. Другими словами, когда x приближается к 0 слева, числитель f (x) становится очень близким к 1, а величина знаменателя становится все меньше и делением относительно фиксированного положительного числа (например, 1) на отрицательные числа. со все более меньшей величиной мы получаем в результате отрицательные числа со все большей величиной.И, как в примере 1, это поведение неограничено (потому что, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой захотим). Таким образом, мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться по мере приближения x к 0 слева, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → 0 — . Аналогично, f (x) → ∞ при x → 0 справа, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 справа.

              В чем разница между примерами 1, 2, 3 и 4?

              Давайте вспомним эти четыре примера и резюмируем различия между этими четырьмя в чем-то похожими проблемами. В каждом из этих примеров f (x) было дробью, у которой ноль в знаменателе , когда мы заменили c in на x , но в каждом случае числитель и знаменатель f (x ) имеет разные отношения , поскольку x все ближе и ближе к c :

              1. В примере 1 по мере приближения x к c числитель f (x) приближался к фиксированному числу, а величина знаменателя бесконечно уменьшалась.Это привело к числам, величина которых неограниченно увеличивалась (потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой мы хотим).

              2. В примерах 2, 3 и 4 по мере того, как x приближалось к c , величины числителя и знаменателя f (x) бесконечно уменьшались.Однако:

                1. В примере 2 величина числителя и знаменателя сократилась примерно с «одинаковой» скоростью, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем фиксированное значение, очень близкое к 1/2. (В этом случае мы не можем напрямую увидеть, что они будут «сокращаться примерно с той же скоростью»; мы можем определить это, только сначала переписав функцию с помощью алгебры.)

                2. В примере 3 величина числителя уменьшилась намного быстрее, чем величина знаменателя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые становятся все ближе к нулю.(В этом случае может быть трудно увидеть, что величина числителя сократится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)

                3. В примере 4 величина знаменателя уменьшилась намного быстрее, чем величина числителя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые имеют все большую неограниченную величину. (В этом случае может быть трудно увидеть, что величина знаменателя уменьшится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)

              Так что же здесь больше?

              Четыре примера, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

              • Когда f (c) = a / 0 для некоторого a ≠ 0, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ при x → c , потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе и ближе к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим.

              • Когда f (c) = 0/0, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) как x → c , потому что это не говорит нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем . Мы знаем, что величины как числителя, так и знаменателя бесконечно сокращаются, но мы не знаем, сокращаются ли они примерно с той же скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно постоянным), или если величина одного из них уменьшается «намного быстрее», чем другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).

                В этом случае мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (то же самое, что и f (x) AROUND, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ дайте нам 0/0, когда мы подключим c для x .

              Мы отмечаем, что ОБЕ a / 0 (когда a ≠ 0) и 0/0 не определены , но этот a / 0 сообщает нам кое-что о поведении предела (даже если оно не определено) , в то время как 0/0 не дает нам никакой полезной информации о поведении лимита .

              Итак, всякий раз, когда мы получаем неопределенное значение для f (c) , нам нужно будет остановиться и спросить себя, говорит ли неопределенная форма, которую мы получаем, что-нибудь о предельном поведении f (x) AROUND x = c или нет . Это приводит нас к нескольким определениям, которые мы будем использовать для описания этого различия:

              Определение: неопределенные и определенные формы

              Когда мы ищем lim x → c f (x) и вставляем c in для x , получаем неопределенное выражение для f (c) :

              Это неопределенное выражение — это Определить , если оно дает нам достаточно информации, чтобы определить предельное поведение f (x) ВОКРУГ x = c без дополнительных вычислений.(например, a / 0 для a ≠ 0)

              Это неопределенное выражение — это неопределенное , если существует более одного возможного типа предельного поведения f (x) ВОКРУГ x = c , которое могло бы произвести это конкретное неопределенное выражение. Другими словами, неопределенная форма не дает нам достаточно информации, чтобы определить, каково поведение f (x) Вокруг x = c , и поэтому нам придется провести дальнейшие вычисления, чтобы понять это.(например, 0/0)

              Осторожно! Обратите внимание, что эти определения имеют значение только при вычислении лимита. Если я просто решаю задачу по алгебре и получаю в качестве ответа / 0 или 0/0, моим окончательным ответом на эту проблему будет просто проблема undefined . В этом контексте было бы неправильно говорить что-либо о детерминированных или неопределенных формах, потому что я не рассчитываю предел!

              Теперь давайте вернемся к еще нескольким примерам, которые дают нам другие неопределенные выражения при вычислении f (c) , и давайте посмотрим, сможем ли мы определить, какие неопределенные значения для f (c) являются неопределенными формами, а не определенными!

              Пример 5: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение b / ± ∞

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида b / ± ∞ (т.е.е. дробь, где верхнее число — некоторое фиксированное значение, а нижнее — бесконечность):

              В этом случае f (x) → 0 при x → -∞, потому что f (x) приближается, поскольку величина x неограниченно растет. Другими словами, по мере того, как x неограниченно уменьшается (т.е. становится все более и более отрицательным), числитель f (x) становится очень близким к 3, а величина знаменателя становится все больше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к 3, на отрицательные числа все большей величины, в результате мы получим отрицательные числа все меньшей величины.Таким образом, мы получаем числа, которые все ближе и ближе к нулю. В результате мы можем записать, что f (x) → 0 как x → -∞ .

              Пример 6: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / b

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / b (т.е. дробь, в которой нижнее число является некоторым фиксированным значением, а верхнее — бесконечностью):

              В этом случае f (x) → + ∞ как x → + ∞, потому что f (x) приближается, когда величина x неограниченно растет.Другими словами, по мере неограниченного увеличения x знаменатель f (x) становится очень близким к 0, а величина числителя становится все больше. Если мы разделим положительные числа, которые имеют все большую величину, на положительные числа с все меньшей величиной (то есть близкие к нулю), в результате мы получим положительные числа со все большей величиной. В результате мы можем записать f (x) → + ∞ как x → + ∞ .

              Пример 7: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) , когда x приближается к c , равен нулю

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, которое является тем же самым при x → -∞ мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.

              В этом случае f (x) приближается к ∞ / -∞, а x приближается к -∞. Другими словами, по мере неограниченного роста звездной величины x величины как в числителе, так и в знаменателе f (x) становятся все больше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все большей величины на другие числа все большей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «велика» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

              Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞ (но не обязательно везде ) . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать для перезаписи f (x) без изменения его значения на отрицательные значения x с особенно большой величиной. В этом случае проблема заключается в том, что в есть x и числитель, и знаменатель : это означает, что всякий раз, когда мы вставляем -∞ для x , мы неизбежно получим знак бесконечности в и числитель и знаменатель.Поэтому нам нужно подумать о том, что мы можем сделать, чтобы «переписать» f (x) так, чтобы мы могли избавиться от x либо в числителе, либо в знаменателе. Это изменило бы форму, которую мы получаем при вычислении f (c) из неопределенной формы ± ∞ / ± ∞ в определенную форму, которая является либо b / ± ∞, либо ± ∞ / b, и мы знаем это и это.

              Итак, чтобы сделать это, мы начнем с того, что заметим, что наибольшая степень x в числителе равна x 2 : Итак, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x 2 , мы могли бы «отменить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

              Эту проблему можно решить несколькими способами.Метод, использованный выше, является всего лишь одним примером, но предел также можно найти другим способом, используя аналогичную алгебраическую технику, но на этот раз делением на наибольшую степень x в целом, вместо просто наибольшей степени x в числителе. Обратите внимание, что оба метода работают одинаково хорошо, помогая нам найти предел, давая нам одинаковые ответы в обоих случаях:

              Пример 8: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c является фиксированным ненулевым числом

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последнем примере, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с подобным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы сможем вычислить фактический предел.Этот лимит окажется 2.

              Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к ∞ / ∞, а x приближается к -∞. Как и раньше, по мере неограниченного роста звездной величины x величины в числителе и знаменателе f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.

              Так же, как и в последней задаче, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞, и снова мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x 2 : Итак, как и в последнем примере, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x 2 , мы могли бы «отменить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

              Пример 9: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к c

              В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последних двух примерах, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы обнаружим, что f (x) → -∞ как x → -∞.

              Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к -∞ / ∞, а x приближается к -∞. Как и раньше, по мере неограниченного роста звездной величины x величины в числителе и знаменателе f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.

              Итак, как и в последних двух задачах, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞, и опять же, используя тот же подход, что и в этих задачах, мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x 3 : Итак, как и в последнем примере, если бы мы все разделили в числителе и знаменателе на x 3 , мы могли бы «сократить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к (отрицательной) бесконечности, когда мы подключаем in -∞ для x :

              Какой узор в данном случае больше?

              Пять примеров, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

              • Когда f (c) = b / ± ∞, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → 0 как x → c , потому что деление относительно фиксированного значения числами увеличивающейся величины приводит к числам, которые становятся все ближе к нулю.

              • Когда f (c) = ± ∞ / b, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ как x → c , потому что деление значения на -увеличение величины со значением, которое остается относительно фиксированным, приводит к числам с все большей и большей величиной, и в результате мы можем получить число любой величины, сделав величину числителя достаточно большой.

              • Когда f (c) = ± ∞ / ± ∞, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) как x → c , потому что это не так. расскажите нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем .Мы знаем, что величины числителя и знаменателя неограниченно растут, но мы не знаем, растут ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно фиксированным), или если величина одного из них растет «намного быстрее» другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).

                В этом случае мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (то же самое, что и f (x) AROUND, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ даст нам ± ∞ / ± ∞, когда мы подключим c для x .

              До сих пор мы рассматривали две категории детерминантных и неопределенных форм:

              1. a / 0, где a ≠ 0, является определенной формой, которая стремится к ± ∞, а 0/0 — неопределенной формой.

              2. b / ± ∞ — определенная форма, которая стремится к 0; ± ∞ / b — детерминантная форма, стремящаяся к ± ∞; а ± ∞ / ± ∞ — неопределенная форма.

              Но это не единственные два примера форматов, которые производят определяющие и неопределенные формы.Есть ряд других детерминантных и неопределенных форм, с которыми мы столкнемся, пытаясь решить предельные задачи алгебраически. Вот таблица, которая показывает все определяющие и неопределенные формы:

              Справочная таблица: неопределенные и определенные формы

              Осторожно! Отметим, что , когда в выражении есть символ ± более чем в одном месте, ± не обязательно означает одно и то же в обоих местах! Например, если у нас есть a · ± ∞ → ± ∞, знак ± слева от стрелки и ± справа от стрелки могут иметь разные знаки: если a отрицательно, они будут иметь противоположные знаки, например.

              Итак, каждый раз, когда мы вычисляем f (c) , подключая c для x , когда наша цель действительно найти предел f (x), поскольку x приближается к c, , мы знаем, что если результат находится в списке неопределенных форм выше, нам нужно будет проделать больше работы, прежде чем мы сможем вычислить предел (обычно путем перестановки f (x) с использованием некоторой алгебры). Однако, если выражение, которое мы получаем для f (c) , находится в списке определяющих форм, мы уже знаем, каким будет предел f (x) , поскольку x приближается к c .

              Но мы не хотим просто использовать этот список вслепую! Если мы просто ищем значения в этом списке, не понимая, почему выражения слева являются неопределенными, а выражения справа являются определяющими, мы, вероятно, в какой-то момент совершим ошибку и применим эти идеи неправильно. Более того, нам гораздо легче понять, почему каждая из этих форм является определяющей или неопределенной, чем просто запомнить список, не понимая его. Легко забыть список выражений, которые мы заучили, но гораздо труднее забыть идею, которую мы действительно понимаем.Итак, , я настоятельно рекомендую вам убедиться, что вы понимаете, как объяснить своими словами, почему каждая из этих форм является либо неопределенной, либо определяющей (и если она является определяющей, то каково будет значение лимита).

              Мы уже рассмотрели примеры и обсудили, как мы классифицировали первые две строки таблицы как определяющие или неопределенные, поэтому теперь давайте рассмотрим некоторые другие выражения:

              В чем разница между ∞ — ∞ и ∞ + ∞?

              В третьей строке нашей таблицы мы замечаем, что ∞ — ∞ (или -∞ + ∞) неопределенно, а ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) является определяющим. Почему это так? Давайте подумаем об этом, а затем разработаем несколько предельных примеров.Мы можем видеть, что ∞ + ∞ должно стремиться к ∞, потому что сложение двух значений, каждое из которых неограниченно увеличивается, просто даст нам третье значение, которое также неограниченно увеличивается. (Аналогично -∞ — ∞ даст нам что-то неограниченно убывающее.)

              Однако, если мы подумаем о ∞ — ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым значением:

              • Может случиться так, что величина первого значения увеличивается «намного быстрее», чем второе значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к + ∞.

              • Может случиться так, что величина второго значения увеличивается «должно быстрее», чем первое значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к -∞.

              • Или может случиться так, что величины и первого, и второго значений увеличиваются «примерно с одинаковой» скоростью, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к 0 или какому-либо другому фиксированному значению.

              Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении ∞ — ∞, мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) около x = c.

              Это также легко представить себе графически: мы можем думать о выражении ∞ — ∞ как об описании двух графиков (один график для первого члена и один для второго члена), каждый из которых неограниченно возрастает, а затем ∞ — ∞ обозначает расстояние между двумя графиками при приближении x c. Если первый и второй график представляют собой две параллельные линии с положительным наклоном, каждая линия будет неограниченно расти как x → ∞, но расстояние между двумя линиями останется фиксированным как x → ∞.Однако, если одна из этих линий круче другой, расстояние между двумя линиями увеличится до x → ∞.

              Давайте рассмотрим несколько разработанных примеров для этих различных случаев детерминантной формы ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) и неопределенной формы ∞ — ∞:

              Пример 10: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ∞ + ∞, поэтому f (x) → ∞, когда x приближается к c

              Пример 11: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) → ∞, когда x приближается к c

              Мы замечаем, что в этом случае величина первого члена растет «быстрее», чем величина второго члена.

              Пример 12: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) → -∞, когда x приближается к c

              Мы замечаем, что в этом случае величина второго члена растет «быстрее», чем величина первого члена.

              Пример 13: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) приближается к нулю, поскольку x приближается к c

              Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

              Пример 14: Когда

              f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) приближается к фиксированному конечному ненулевому значению, поскольку x приближается к c

              Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

              Теперь, когда мы исследовали детерминантную форму ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) и неопределенную форму ∞ — ∞, давайте посмотрим на различные случаи детерминантной формы a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞, а неопределенная форма 0 · ± ∞:

              В чем разница между 0 · ± ∞ и двумя случаями

              a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞?

              В четвертой строке нашей таблицы мы замечаем, что 0 · ± ∞ является неопределенным, в то время как a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ являются определяющими — почему это так? Мы видим, что a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ должны стремиться к ± ∞, потому что умножение двух значений вместе, оба из которых имеют неограниченно возрастающие величины, просто даст нам третье значение, величина которого также увеличивается. без ограничений (хотя его знак будет зависеть от знаков двух множителей, умножаемых вместе).

              Однако, если мы подумаем о 0 · ± ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым факторами:

              • Может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «намного быстрее», чем величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к нулю. Например, подумайте о следующей последовательности значений, и посмотрим, что произойдет, если мы умножим каждое из их членов вместе:

                Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

              • Может случиться так, что величина второго фактора увеличивается «должно быстрее», чем величина первого фактора уменьшается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к ± ∞.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

                Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

              • Или может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «примерно с той же скоростью, что и величина второго фактора», и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к некоторому другому фиксированному значению.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

                Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

              Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении 0 · ± ∞, мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) при x → г.

              Мы еще не обсуждали последние три строки таблицы, в которой перечислены неопределенные и определенные формы. У нас есть несколько минут, чтобы обрисовать идеи, лежащие в основе каждой из этих форм, но мы оставим это занятие в качестве дополнительной награды, чтобы вы могли привести конкретные примеры каждой из этих различных форм. Позже в семестре мы столкнемся с некоторыми проблемами пределов, которые дадут эти детерминированные и неопределенные формы, но обычно нам потребуются более сложные инструменты для решения этих проблем с ограничениями, и мы еще не знакомы с этими инструментами.(Тем не менее, используя графики или метод проб и ошибок, вы можете найти примеры проблем с ограничениями, которые включают одну из этих последних трех неопределенных форм.)

              Неопределенные формы 0

              0 , 1 ± ∞ и ∞ 0 в сравнении с определяющими формами 0 ± ∞ , a ± ∞ , ∞ a и ∞ ± ∞

              Давайте начнем с рассмотрения, почему 0 0 является неопределенным, а 0 ± ∞ является определяющим — почему это так? Мы можем видеть, что 0 ± ∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого значения, величина которого постоянно уменьшается сама по себе, во все большее и большее количество раз, просто даст нам третье значение, величина которого также бесконечно уменьшается (т.е. стремится к 0).

              Однако, если мы подумаем о 0 0 , мы увидим, что мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:

              • Может случиться так, что величина основания уменьшается «намного быстрее», чем величина показателя степени, и в этом случае 0 0 будет стремиться к нулю (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на нуле, в то время как экспонента стремится к нулю).

              • Может случиться так, что величина показателя степени уменьшается «намного быстрее», чем величина основания, и в этом случае 0 0 будет стремиться к 1 (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание стремится к нулю, но экспонента остается неизменной на нуле).

              Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше об отношении между показателем степени и основанием в выражении 0 0 , мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) как x → c.

              Небольшое примечание об этом примере для тех из вас, кому интересно: 0 0 на самом деле не является неопределенным, потому что, если вы посмотрите вокруг, вы можете найти некоторые доказательства, которые показывают, что 0 0 = 0. Однако это не ‘ t действительно имеет отношение к нашему изучению исчисления, потому что даже если 0 0 не является неопределенным, когда мы что-то вычисляем точно, когда мы находим предел f (x) , мы не получаем 0 0 точно; вместо этого мы пытаемся определить, каково поведение f (x) , поскольку оно стремится к 0 0 , что является еще одним способом спросить, к какому значению приближается степень, поскольку ее основание и показатель степени стремятся к нулю (и не можем ответить на этот вопрос, если мы не знаем взаимосвязь между скоростью, с которой база стремится к нулю, и скоростью, с которой показатель степени стремится к нулю).

              Неопределенные формы 1
              ± ∞ в сравнении с определяющей формой a ± ∞

              Теперь давайте рассмотрим, почему 1 ± ∞ является неопределенным, а c ± ∞ (для c ≠ 1 и c > 0) является определяющим — почему это так?

              Мы можем видеть, что когда c > 1, c ∞ должно стремиться к ∞, потому что умножение некоторого положительного значения больше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам все большие и большие значения (и мы можно получить любое значение, просто сделав экспоненту настолько большой, насколько нам нужно для этого).Мы можем видеть, что когда 0 < c <1, c ∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого положительного значения меньше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам значения с все меньшими и меньшими величинами. (или значения, которые все ближе и ближе к нулю).

              В связи с этим мы можем видеть, что когда c > 1, c -∞ должно стремиться к 0, потому что c -∞ на самом деле просто 1/ c ∞ , и мы уже известно, что c ∞ → ∞ (когда c > 1) и 1 / ∞ → 0.Точно так же, когда 0 < c <1, c -∞ должно стремиться к ∞, потому что c -∞ на самом деле просто 1/ c ∞ , и мы уже знаем, что c ∞ → 0 (когда 0 < c <1) и 1/0 → ∞ (когда знаменатель положительный, как здесь, потому что он приближается к 0 с положительной стороны).

              Однако, если мы подумаем о 1 ± ∞ , мы увидим, что сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:

              • Может случиться так, что величина основания стремится «намного быстрее» к 1, чем величина экспоненты стремится к бесконечности, и в этом случае 1 ± ∞ будет стремиться к 1.(Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на единице, а показатель степени стремится к плюсу или минусу бесконечности).

              • Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ∞ будет стремиться к ∞.

              • Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ∞ будет стремиться к 0.

              • Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 -∞ будет стремиться к 0 (потому что 1 -∞ на самом деле всего 1/1 ∞ , а когда база меньше 1, 1/1 ∞ → 1 / ∞ → 0).

              • Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 -∞ будет стремиться к ∞ (потому что 1 -∞ на самом деле всего 1/1 ∞ , а когда база меньше единицы, 1/1 ∞ → 1/0 → ∞).(Мы знаем, что 1/0 → ∞ вместо -∞ в этом случае, потому что 1 ∞ приближается к нулю с положительной стороны.)

              Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 1 ± ∞ , мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) как x → c.

              Мы можем использовать аналогичные рассуждения, чтобы лучше понять неопределенные формы ∞
              0 по сравнению с определяющими формами ∞ a и ∞ ± ∞ , которые являются последним набором форм в нашей таблице.

              Чтобы закончить эту лекцию, давайте рассмотрим еще несколько примеров, в некоторых из которых используются методы, которые мы не использовали в предыдущих примерах задач.

              Еще несколько примеров предельных задач, которые могут быть решены алгебраически:

              Пример 15: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0

              Для этого уравнения прямая замена c на f (x) снова даст нам 0/0, которое не определено. Однако, хотя a / 0 не определено для всех значений a, дробь, где верхняя часть остается фиксированной на ненулевом значении и где нижняя часть приближается (но не достигает) к нулю, фактически приближается к положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знаков числителя и знаменателя).Чтобы определить, где f (x) может увеличиваться по сравнению с неограниченным уменьшением (т.е. должен ли бесконечность иметь положительный или отрицательный знак перед собой), мы должны рассматривать каждый односторонний предел отдельно:

              Найдите предел f (x) , когда x приближается к 0:

              Пример 16: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0 с различиями в пределе, когда мы оцениваем его слева и справа

              Эта функция аналогична последней функции; однако мы замечаем, что на этот раз правый и левый пределы различаются по знаку / направлению:

              Пример 17: Использование деления на степень

              x , даже если дробь включает знак корня, для исключения неопределенной формы ± ∞ / ± ∞

              Эта функция аналогична примерам 7, 8 и 9, за исключением того, что здесь необходим модифицированный метод, чтобы переписать уравнение так, чтобы его можно было вычислить путем подстановки.На этот раз, из-за наличия корня в числителе, мы должны разделить на квадратный корень из x 2 , и, поскольку это всегда будет положительным значением, мы должны быть особенно осторожны, чтобы отслеживать знаки:

              Нет причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т. Е. Как x → — ∞) или что он должен быть положительным, поскольку x становится «более положительным». «(я.е. как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:

              Пример 18: Использование подстановки для оценки предела, который нельзя оценить с помощью одного из предыдущих методов

              И, наконец, у нас есть функция, которая имеет колеблющееся поведение около x = c , и поэтому для вычисления предела здесь алгебраически мы разбиваем задачу на два отдельных вопроса о пределе:

              зум

              На этом этапе мы должны быть в состоянии найти все виды ограничений, глядя на график функции или алгебраически манипулируя уравнением для функции!

              И мы также должны быть в состоянии объяснить, почему некоторые неопределенные значения, которые мы получаем при вычислении f (c) , являются определяющими, а другие — неопределенными

              Расчет пределов с помощью алгебры — AP Calculus AB

              Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

              Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

              Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

              Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

              Вы должны включить следующее:

              Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

              Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

              Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
              101 S. Hanley Rd, Suite 300
              St. Louis, MO 63105

              Или заполните форму ниже:

              В поисках предела — Бесплатная справка по математике

              Что такое предел?

              Предел — это определенное значение, к которому приближается функция. Поиск предела обычно означает определение значения y, когда x приближается к определенному числу.Вы бы обычно выражали это как что-то вроде «предел функции f (x) равен 7, когда x приближается к бесконечности. Например, представьте себе такую ​​кривую, когда x приближается к бесконечности, эта кривая приближается к y = 0, в то время как никогда на самом деле добраться туда. Итак, как мы алгебраически найти этот предел? Один из способов найти предел — использовать метод подстановки .

              Например, предел следующего графика равен 0, когда x приближается к бесконечности, что ясно видно, когда график приближается к 0, вот так:

              Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы можем найти предел реальных функций:

              Пример A

              Найдите предел \ (f (x) = 4x \), когда x стремится к 3.2-7x} {x} = \ frac {x (6x-7)} {x} = 6x-7 $$

              Мы отменили множитель x в числителе и знаменателе, оставив нам простой предел:

              $$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) $$

              Теперь мы можем заменить x на 0, чтобы найти предел -7:

              $$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) = -7 $$

              Примечание. x}) $$

              Мысленно зафиксируйте $ x $ как некоторое разумное число, скажем, $ 2 $.b $, $ \ sin {x} $, $ \ log {x} $ и несколько других общих функций по отдельности, вы сможете собрать воедино поведение большинства этих проблем, рассматривая их по частям.

              Ура. Надеюсь, это поможет.

              Wolfram | Примеры альфа: пределы

              Пределы

              Вычислить пределы численно и символически.

              Возьмем предел коэффициента разницы:

              Вычислить предел с участием абстрактных функций:

              Другие примеры

              Односторонние ограничения

              Вычисление односторонних пределов с заданного направления.

              Вычислить односторонние ограничения в точке разрыва:

              Укажите направление подхода:

              Другие примеры

              Предельные представления

              Экспресс-функции в терминах лимитов.

              Найдите предельные представления для функции:

              Другие примеры

              .

              Шахматы фриденс: Играйте в шахматы он, лайн безплатно

              alexxlab / / Разное

              Наушники HUMAN FRIENDS CHESS черный

              30.06.2021 00:00

              Выгодная распродажа!

              Терморегулятор в подарок за покупку нагревательного мата!!!

              Подробнее

               

              КАТАЛОГ ТОВАРОВ

               

               

               

              ТОВАР ДНЯ

              Всего за 3999р.

              Зимние предложения на обогревтаели

              К товару

              Главная Аудиотехника Наушники Наушники HUMAN FRIENDS CHESS черный

              Рейтинг:

              (0 голосов)

              Количество:

              Быстрый заказ

              Артикул: 2700119204

              К сравнению

              Поделиться

              Предыдущий Следующий

              Микрофон Нет
              Конструкция наушников Внутриканальные
              Шумоподавление Нет
              Мин. частота, Гц 20
              Макс. частота, Гц 20000
              Сопротивление, Ом 32
              Защита от влаги Нет
              Управление наушниками Нет
              Чувствительность, дБ 95
              Длина кабеля, см 100

              Назад

              Доставка согласно Прайс-листу

              Система скидок

              Только оригинальная продукция

              Гарантии и возврат

               

              ПОИСК

              ПАРАМЕТРЫ

              Цена (₽):

              от до

              Название:

              Артикул:

              Текст:

              Выберите категорию:

              Все Холодильники Стиральные машины Телевизоры » Кронштейны » Антенны Водонагреватели » Накопительные и проточные электроводонагреватели » газовые колонки Встраиваемая техника » Духовки встраиваемые » Встраиваемые поверхности » Посудомоечные машины » Вытяжки встраиваемые Вытяжки » Фильтры для вытяжек » Купольные вытяжки » Вытяжки плоские Газовые и электрические плиты » газовые плиты » электрические плиты » Настольные плиты » Электрические печи МИНИ Гладильные доски Мелкая бытовая техника » Блендеры » Весы »» Весы кухонные »» Весы напольные » Кофеварки » Кофемолки » Миксеры » Мясорубки » Отпариватели » Мультиварки, пароварки » Микроволновые печи »» кронштейны » хлебопечь » Соковыжималки » Тостеры, вафельницы, сушка для овощей, электрогриль и т. д. » Утюги »» Сушилка для белья » Фритюрницы/ Шашлычницы » Кухонные комбайны » Чайники » Аэрогрили » Термос » Кулер для воды Товары для красоты » Выпрямители » Фены » Бритвы »» Аксессуары для бритв » Машинки для стрижки » Эпиляторы Швейные машины Пылесосы » Аксессуары для пылесосов Сплит-системы Обореватели Камины Вентиляторы Видеотехника » DVD » Ресивер » Кронштейны Автотехника » Автомагнитолы » Колонки автомобильные » Видеорегистраторы » Навигаторы » FM трансмиттеры » Радары » Антенны автомобильные, зарядные устройства, разветвители Смартфоны, Планшеты » Аксессуары для смартфонов » Смартфоны » Планшеты Стационарные телефоны Офисные стулья, кресла Часы Аудиотехника » Колонки » Радиоприемник » Микрофоны » Наушники » Музыкальные центры Ноутбуки » Аксессуары Фильтры для воды, кулеры

              Производитель:

              ВсеAcelineAcerADELAIDAAlpenkokARESAARGARIETE (Ариете)AristonArtelAsanoASELASUSATLANAtlantaAtlantisAURORAAVEXBallu (Баллу)BBKBeko (Беко)BelsisBlacktonBOOUBosch (Бош)BQBraunBRAVOBrother (Бразер)BuroBUZZCANDY (Канди)CENTEKCEZARISCiarkoComfeeCORFINODAEWOO (Дэу)De LuxeDefenderDELLDELTADELTA LUXDEXPDialogDIGMADIOLEXDOGRULARDOMINICAEcoluxECONEdisson (Эдиссон)EFBAELECTROLUXElectronicsdeluxeENDEVERENERGYEplutusERGOLUXErisson (Эриссон)EuroGoldEurostekEzetilF+GalaxyGARANTERMGelberkGemluxGINZZUGoodhelperGorenje (Горенье)GRETAHAMAHANSAHARPERHARTENSHECHELPER (Хелпер)HEPAHiHI-LandHIBERGHome ElementHOMESTARHooverHorizontHotterHouseGoodsHPHTCHuaweiHyundaiIiyamaiL MonteIndesit (Индезит)IRBISITELJanomeJBLJet Air (ДжэтЭйр)KAISERKarcher (Керхер)KELLIKitfortKOMFORTER (Комфортер)KRAFTKROMAX (Кромакс)KronaLAGUNALEBENLedemeLEFFLenovoLEXLGLiraLive-PowerLummeLuxellLWIMACBIMALLONYMARTAMasimaMaxvi (Максви)MAYER&BOCHMBSMDmecoolMERCURYMETALLONIMIDEAMonmezonMoulinex (Мулинекс)Mystery (Мистери)NATIONALNetisNord (Норд)NOVNovexOASISOLTOONKRONOxionOZONE (Озон)PanasonicPERFEOPERILLAPhilipsPIONEERPolarisPOLARLINEPozisPRESTIGIOProlissPYRAMIDARapidRealflameREDBERREGENTRenova (Ренова)Resonans (Резонанс)RITMIXRIXRowentaSAKURASamsungSarayli PiramitSCARLETTSchollSelengaSHARP (Шарп)SHUFTSIMFERSinboSkyLineSmartbuySTARWIND (Старвинд)STARWINGStinolSubtropicSUNWINDSUPRASVENSWEST&GTCLTefalTELEFUNKEN (Телефункен)TERMIKEL (Темикел)THERMEX (Термекс)THOMAS (Томас)Thomson (Томсон)TimberkTOPPERRTRONETROYKAUltramounts (Ультрамунтс)V-HOMEValeraVAXVertexVESTEL (Вестел)VETTAViconteViewsonicVITEKVITESSEVSTWEВBERWILLMARKXiaomiYunoZEIDANZelmerZertekZertenZigmund&ShtainZOLANZombieZOOLАВАНГАРДАксиньяАОС (Эй-Оу-Си)АтлантБердскБиостальБирюсаБюрократВасилисаВекторВеликие рекиВИТЯЗЬВихрьГефестДАНАДаринаДобрыняИСТОККингЛАДАЛысьвенские эмалиМАТРЁНАНИКАПроизводитель 8РМСРостовская мануфактура сантехникиРубинРЭМОСАНАКССаратовСлавдатритонЧудесницаЭликорЯромир

              Новинка:

              Вседанет

              Спецпредложение:

              Вседанет

              Результатов на странице:

              5203550658095

              ОБРАТНЫЙ ЗВОНОК

              Как вас зовут:

              Телефон: *

              Пароль

              Забыли пароль?
              Регистрация

              6 лучших сайтов для бесплатной игры в шахматы онлайн с друзьями

              Древняя и почитаемая игра в шахматы по-прежнему приносит такое же удовольствие, как и 1500 лет назад. Более того, еще никогда не было так легко учиться или находить возможности для игры.

              Всегда были отличные шахматные видеоигры, пока компьютеры были способны моделировать игру. Однако в эпоху Интернета вам даже не нужно ничего скачивать.

              Существует множество отличных веб-сайтов, которые не только позволяют вам играть в шахматы онлайн с друзьями, но и помогают вам научиться играть лучше. Хотя вам, возможно, придется платить за уроки шахмат, все сайты здесь предлагают хоть какое-то обучение игре в шахматы бесплатно.

              1. Chess.com (бесплатно с платными опциями)

              Пожалуй, самый известный сайт, chess.com, заслуживает того, чтобы вырвать, должно быть, очень дорогой URL -адрес у всех других претендентов. Вы можете зарегистрироваться за считанные секунды и сразу же начать играть против компьютера или человека. Бесплатные пользователи получают доступ практически ко всему, что может пожелать обычный игрок, но вам придется мириться с несколькими рекламными объявлениями.

              Здесь есть уроки шахмат и замечательное специально подобранное руководство, которое проведет вас от того, что вы ничего не знаете о шахматах, до знаний, достаточных для того, чтобы доиграть партию до конца. Есть также уровни платного членства Gold , Platinum и Diamond .

              Само собой разумеется, что они не содержат рекламы, но они также добавляют доступ к большему количеству шахматных головоломок и расширенному анализу данных ваших игр. Другими словами, платные уровни Chess.com в основном представляют интерес только для людей, которые очень серьезно относятся к шахматам.

              Примечательные особенности Chess.com включают в себя:

              • Неограниченное количество шахматных партий в разных стилях и вариантах
              • Поддержка вступления в клубы и лиги
              • Разблокируемая система достижений

              2. Red Hot Pawn (бесплатно с дополнительной подпиской)

              Если вы предпочитаете более медленный темп игры, Red Hot Pawn предлагает довольно уникальный опыт. В то время как многие другие шахматные сайты предлагают шахматы по переписке как один из вариантов игры против других, Red Hot Pawn полностью посвящен этому стилю игры.

              Таким образом, сайт позволяет легко управлять, присоединяться и создавать игры по переписке. У него большое, фантастическое сообщество игроков и вполне функциональная шахматная доска, хотя и немного простая.

              Это бесплатный сервис, поддерживаемый рекламой. При оплате подписки они просто удаляются, но других преимуществ мы не видим.

              Известные особенности Red Hot Pawn включают в себя:

              • Веселое имя.
              • Отличный(Excellent) , понятный интерфейс, облегчающий жонглирование несколькими играми.
              • Информативный форум и система поддержки сообщества.

              3. Lichess (бесплатно и с открытым исходным кодом)

              Lichess не имеет рекламы, не требует какой-либо оплаты и предлагает возможность как учиться, так и играть в шахматы. Это звучит как идеальный сервис, но вы должны знать, что сайт также очень прост. В нем не так много эстетики, если вы действительно не сторонник минимализма. Хотя в этом нет ничего плохого, может потребоваться некоторое время, чтобы понять, где что находится.

              Однако с точки зрения содержания придраться не к чему. Помимо возможности играть, вы также можете научиться играть в шахматы, смотреть, как играют другие, и решать шахматные головоломки. Эти головоломки и забавны, и помогают вам стать лучшим игроком, так что это отличная функция.

              Хотя Lichess , возможно, не лучший в чем-то одном, тот факт, что вы можете получить практически полный опыт, не заплатив ни цента, является решающим аргументом в его пользу.

              Известные особенности Lichess включают в себя:

              • Восемь(Eight) вариантов шахмат в дополнение к стандартным шахматам
              • Облачный(Cloud) анализ шахматного движка
              • Полный набор уроков по основам шахмат
              • Никакой рекламы вообще
              • Поддерживается более 80 языков

              4.

              Chess24 (бесплатно или $14,99 в месяц)

              Chess 24 предлагает доступ к шахматным играм, а также к учебным материалам без предоплаты, но в отношении обучения существуют ограничения. Например, только премиум-пользователи имеют доступ к обучающим видео в прямом эфире, а также к потоковому контенту от мастеров шахмат.

              Предлагаются видео различных типов и цен, но на момент написания статьи всего два бесплатных видео. Однако есть много шоу YouTube , которые организованы и перечислены на сайте, и у нас не было проблем с просмотром в качестве бесплатного пользователя.

              Одной из выдающихся особенностей Chess24 является их настоящая онлайн-шахматная доска. Это очень привлекательно и предлагает немного больше визуальных возможностей, чем типичный бесплатный онлайн-шахматный сервис. Нам особенно нравится, как он четко показывает каждый ход стрелкой и одновременно отображает его в шахматной нотации. Встроенные часы также очень удобны и легко читаются.

              Примечательные особенности Chess24 включают в себя:

              • Дружественный курс шахмат для начинающих
              • Большой глоссарий шахматных терминов
              • Привлекательная шахматная доска, простая в использовании

              5. Sparkchess (бесплатно или $14,99 за премиум)

              Sparkchess — один из самых ограниченных вариантов бесплатных шахмат в этом списке. Хотя вы можете играть против компьютера и других противников-людей в сети, вы не сможете пользоваться шахматными образовательными функциями, если не заплатите.

              Однако, если все, что вам нужно, это быстрая онлайн-игра, то у Sparkchess(Sparkchess) есть хорошая веб-версия их шахматного приложения. Вы также можете потренироваться против ИИ с тремя разными противниками ИИ, доступными для бесплатных пользователей. Бесплатные игроки также могут играть онлайн против других противников, но если вы ищете живые локальные матчи для 2 игроков, вам придется вложить деньги.

              Известные особенности Sparkchess включают в себя:

              • 3D шахматная доска
              • Полноэкранное воспроизведение

              6.

              ChessTempo (бесплатно с опцией 3 доллара в месяц)

              ChessTempo дает вам возможность играть в шахматы онлайн бесплатно, но реальная ценность этого сайта заключается в его многочисленных ресурсах для анализа и понимания игры.

              Всякий раз, когда вы играете в рейтинговую партию, ChessTempo подвергает ее мощному анализатору, который предоставляет вам подробную статистику о том, что произошло в игре. Позволяя вам узнать больше о вашем собственном стиле игры.

              ChessTempo действительно только для людей, которые уже знают основы игры в шахматы, но хотят отточить свои навыки, пройдя серьезную подготовку по шахматной тактике.

              Бесплатная версия сервиса уже предлагает хардкорный объем тактической подготовки, и если вы исчерпаете то, что там предлагается, вы будете более чем готовы начать платить за услугу, поскольку в этот момент вы будете есть и дышать шахматами.

              Примечательные особенности ChessTempo включают в себя:

              • Играйте в неограниченное количество онлайн-игр.
              • Анализ шахматного(Chess) движка, если ваши рейтинговые партии.
              • 2 задачи на эндшпиль, которые нужно решить в день.
              • Получите доступ к базе данных записанных игр.
              • Неограниченное обучение тактике с более чем 110 000 задач, которые нужно изучить и решить в реальных играх.

              Шах и мат!

              Существует так много вариантов игры в шахматы онлайн с друзьями, что нет ничего плохого в том, чтобы потратить некоторое время на то, чтобы попробовать их все. Надеемся(Hopefully) , что среди пяти перечисленных здесь вариантов есть хотя бы один, который идеально вам подходит, но если что-то можно сказать наверняка, так это то, что недостатка в людях, желающих играть в шахматы, никогда не будет.

              Related posts

              • 10 Best Sites для просмотра Cartoons Online для Free
              • 16 Best Sites до Find Free Audiobooks Online
              • 8 Best Free Online Virus Scan And Removal Sites
              • 7 Best Online Sources для Free Photoshop Filters
              • 7 лучших бесплатных онлайн-таймеров, которые стоит добавить в закладки
              • 5 Best Remote Computer Repair сайты, чтобы получить Help сейчас
              • 4 лучших сайта для просмотра Anime Online для Free
              • Funimation vs Crunchyroll: что Best для Anime Streaming?
              • 54 лучшие альтернативы Amazon для Online Shopping
              • Как слушать Radio Stations Online для Free
              • 6 лучших мест для потоковой передачи аниме онлайн
              • 6 Best Websites, чтобы проверить New Movie Releases
              • 7 лучших аккредитованных онлайн-курсов для изучения компьютеров
              • 5 лучших бесплатных онлайн-инструментов для создания блок-схем
              • 7 Best Deepfake Apps And Websites
              • 10 лучших онлайн-источников видео без лицензионных отчислений
              • 10 Best Sites для проверки скорости набора текста
              • 7 Ways до View & Monitor Ваш Credit Score Online для Free
              • 10 Best бесплатные сайты Image Hosting в 2022 году
              • 10 образовательных ресурсов для Free PDF Teaching Materials and Aids

              Шахматы с живыми игроками | Играть бесплатно без регистрации

              Вы любите играть в шахматы онлайн и готовы проводить долгое время за этой интеллектуальной игрой? Или вы только начинаете свой путь шахматиста, но вам не хватает опыта. Вы заметили, что играть с компьютером в разы скучнее, чем с реальным человеком. Но у вас нет возможности играть с противником так часто, как бы вам хотелось. Да и как электронная машина заменит живое общение с шахматистом, обмен репликами, непредсказуемый ход мыслей?

              Раньше люди решали такую проблему, посещая шахматный клуб или выходя по выходным в парки, где собираются их единомышленники. Но сегодня другое время. Мы все больше работаем, а на досуг часто остаются вечерние или ночные часы. Да и многим очень полюбился способ игры через компьютерные программы. Как совместить интерфейс ПК, реального партнера по шахматам и возможность сражаться в любое время дня и ночи? Предлагаем вашему вниманию удобный сервис, где вы можете играть в шахматы онлайн с живыми игроками. Вам будет интересно на нашем сайте.

              Играть в шахматы с живыми игроками бесплатно

              Данный портал предоставляет уникальную возможность играть в шахматы с живыми игроками абсолютно бесплатно. В чем же преимущества нашего сервиса? Расскажем о них по пунктам.

              Игра в шахматы с людьми со всего света

              Интернет стирает всякие границы, поэтому сегодня выбрать достойного соперника больше не является проблемой. Универсальный язык одной из самых древних интеллектуальных игр объединяет любителей поединков из любых точек мира. Каждый день день вы сможете против соперников из Австралии, США, Италии, Таиланда и других стран. Это позволит вам познакомиться с другими стилями и школами шахматной игры.

              Можно играть в шахматы без регистрации

              Если вы предпочитаете быстрые решения и не хотите тратить время на заполнение табличек, можете играть в качестве анонимного пользователя. В таком случае ваш рейтинг не будет сохраняться, но вы сможете моментально приступить к сражению. Достаточно просто выбрать из нескольких опций:

              • определить цвет ваших фигур;
              • время, отведенное на партию;
              • вид шахмат (обычные или 960).

              Можно играть в шахматы онлайн бесплатно

              Наш сервис абсолютно бесплатный, независимо от вашего местонахождения, регистрации и других факторов. Каждый желающий может проводить неограниченное время в поединках. Шахматы онлайн доступны абсолютно всем людям, что очень важно, ведь у каждого человека разный уровень доходов. Однако на шахматном поле границы стираются, а победу одерживает самый умный игрок.

              Создан у

              добный и дружественный интерфейс

              Вам не потребуется прилагать много усилий, чтобы разобраться в нашем сервисе. Уже через несколько минут после первого посещения сайта любой пользователь легко сможет создать партию и найти достойного соперника. Если же у вас останутся вопросы, то задайте их сотрудникам нашего сайта, чтобы они смогли вам помочь.

              Живые игроки создают приятную атмосферу

              Уважительное и приятное общение между шахматистами создаст неповторимый уют для каждого игрока. Именно поэтому играть в шахматы онлайн с живыми игроки гораздо увлекательнее. Не стесняйтесь пообщаться с соперником после партии, чтобы узнать его мнение об игре. Также старайтесь держать себя в руках даже после обидных поражений и не выплескивать негатив на противника. Лучше попытайтесь отыграться в следующей партии. Именно так вы докажете свое превосходство, а не глупыми оскорблениями.

              Мы подготовили массу обучающих материалов

              Наверняка вам захочется не только играть в шахматы онлайн, но и повысить свой уровень. Для этого предлагаем воспользоваться нашими обучающими материалами для детей и начинающих. Кроме того, для оттачивания навыков, воспользуйтесь специальным инструментом – решение шахматных задач. Мы внедрили на наш портал разнообразные программы для решения комбинаций. Также советуем обратиться к нашей базе дебютной базе. Четкое знание первых ходов поможет вам гораздо сильнее играть в начальной стадии шахматной партии.

              Шахматы с живыми игроками без регистрации

              Играть в шахматы с живыми игроками бесплатно и без регистрации не дает вам возможности следить за своим рейтингом и наблюдать, как повышается ваше мастерство. Наглядная таблица статистики в личном кабинете даст вам дополнительный стимул к развитию. Вы получаете доступ к информации о других игроках нашего сервиса. После регистрации шахматистам становятся доступны такие данные, как страна, часовой пояс, имя, возраст и другие сведения, которые пожелали сообщить о себе противники. Соперники могут общаться, добавлять пользователей в друзья. А также обмениваться контактами для общения вне портала или в реальности. Нет ничего лучше, чем найти единомышленников, разделяющих ваши увлечения. Шахматы онлайн как раз и являются замечательной формой коммуникации между самыми разными людьми.

              Помимо всего вышеперечисленного, наш сервис дает вам следующие приятные выгоды:

              • Настоящие эмоции. Насколько бы ни был талантлив разработчик, программа выдает только определенные реакции. А игра на нашем портале дает возможность общаться с соперником в ходе партии. Пользователи могут приветствовать друг друга, комментировать ходы и выражать благодарность за проведенный турнир.
              • Рейтинг и уровень. Любителям редко удается сразу обыграть программу, поэтому на начальных этапах приходится выставлять низкий уровень. А это делает поединки не такими захватывающими. Когда вы сражаетесь с живым человеком, то можете видеть по рейтингу настоящий уровень мастерства пользователя.
              • Иной ход сражения. Вы заметили, что программа решает задачи по принципу алгоритмов. А психологический компонент обычно в игре с машиной отсутствует. С реальным противником такой проблемы нет по определению.

              Приступайте к игре в шахматы онлайн прямо сейчас, общайтесь с живыми соперниками и становитесь чемпионами. Шахматы – это игра с многовековой историей, которая позволяет развивать нестандартное мышление. Именно поэтому она является полезной для представителей любых социальных слоев и возрастов, учит дисциплине, принимать необычные решения, создавать логические схемы.

              Как известно, наш мозг обладает уникальной способностью к умственным тренировкам и увеличению «мыслительной мускулатуры». Усовершенствовать комбинационное чутье, познать всю глубину и красоту шахмат можно регулярным решением специальных заданий. Многие почитатели игры называют такие шахматные задачи поэзией. По мнению других практиков, поиск мата в заданное количество ходов является бессмысленным. Более полезным занятием для улучшения игровых навыков они считают решение этюдов, суть которых заключается в выигрыше без ограничений.

              Подобные задания позволят выработать собственную стратегию, научиться просчитывать хода соперника наперед, повысить общую шахматную культуру.

              Постигать азы подобного искусства можно самыми разнообразными способами. Среди них:

              • с большим количеством фигур,
              • используя минимальный набор шахмат,
              • на компьютере,
              • на шахматной доске.

              Каждый вариант имеет свои особенности, преимущества и недостатки.

              Благодаря многолетнему опыту и непосредственной работе с детьми композиторам удалось разработать множество методик постижения шахматной теории. И именно решение задач является наиболее полезным для начинающих игроков. Причем использование компьютерных диаграмм не позволяет достичь высоких показателей эффективности. Человеческому мозгу достаточно трудно, запомнив плоское изображение на мониторе, мысленно перенести его на реальную шахматную доску и использовать полученные знания во время партии. Таким образом, можно максимально эффективно использовать свой потенциал и за короткое время добиться высоких результатов.

              Трехмерные шахматы — Еврейская экспонента

              Загрузка просмотра.

              2 события,

              ARTIST HOUSE Бесплатные уроки танцев — NE Philadelphia

              ARTIST HOUSE Бесплатные уроки танцев — NE Philadelphia

              ARTIST HOUSE Бесплатные уроки танцев — Северо-запад Филадельфии

              ARTIST HOUSE / Asya Zlatina + Dancers, доморощенная танцевальная компания Филадельфии, предлагает еженедельное бесплатное обучение танцам для взрослых в отдаленном северо-восточном районе долины Хандингтон. Заинтересованный студент может прочитать об этом […]

              Бесплатно

              2 события,

              3 события,

              4 события,

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Научитесь играть в маджонг в Охев Шалом округа Бакс; 36 долларов за 4 занятия. Среда 13:00-15:00 31 августа, 7, 14 и 21 сентября Ответьте на вопросы по адресу [email protected]

              $4 – $36

              4 события,

              4 события,

              Парша на всю жизнь

              Повторяющийся

              Парша на всю жизнь

              Присоединяйтесь к раввину Александру Коулману, еврейскому педагогу и психотерапевту, в еженедельном путешествии по разделу Торы на неделю с вечными уроками личностного роста и духовности. Перейдите на https://www.jethics.org/weekly-torah-portion.html, чтобы […]

              3 события,

              3 события,

              3 события,

              5 событий,

              JFC – Встреча женщин и денег

              Повторяющийся

              JFC – Встреча женщин и денег

              Вы женщина и хотите улучшить свои финансовые навыки? Независимо от того, одиноки ли вы, разведены, вдовы или отвечаете за домашние финансы, вы можете быть уверены в своих финансовых […]

              Бесплатно

              4 события,

              8 событий,

              —

              JRA Пищевая упаковка

              JRA Пищевая упаковка

              Волонтеры помогут Еврейскому агентству помощи в подготовке к раздаче. За это время волонтеры заклеят коробки, упакуют туалетные принадлежности и соберут пакеты с едой для всей семьи. Это отличная возможность для команды […]

              —

              Говядина, пиво и животный смех

              Говядина, пиво и животный смех

              Чаверим и Мужской клуб конгрегаций Шааре Шамаим, 9768 Верри-роуд, Филадельфия, Пенсильвания, 19115, совместно проводят предстоящую программу в рамках празднования нашего 60-летия, которое длится год. […]

              30 долларов

              10 событий,

              Парша на всю жизнь

              Повторяющийся

              Парша на всю жизнь

              Присоединяйтесь к раввину Александру Коулману, еврейскому педагогу и психотерапевту, в еженедельном путешествии по разделу Торы на неделю с вечными уроками личностного роста и духовности. Перейдите на https://www.jethics.org/weekly-torah-portion.html, чтобы […]

              —

              JRA Пищевая упаковка

              JRA Пищевая упаковка

              Волонтеры помогут Еврейскому агентству помощи в подготовке к раздаче. За это время волонтеры заклеят коробки, упакуют туалетные принадлежности и соберут пакеты с едой для всей семьи. Это отличная возможность для команды […]

              —

              Джаз Каббалат Шаббат

              Джаз Каббалат Шаббат

              Присоединяйтесь к раввину конгрегации Бет Шолом Дэвиду Гланцбергу-Крайнину, кантору Джейкобу Агару и группе на музыкальной джазовой каббалатной субботней службе. Сообщество может принять участие. Для получения информации звоните по телефону 215-887-1342.

              —

              Открытый дом

              Открытый дом

              Посетите синагогу и познакомьтесь с раввином, директором религиозной школы и учителями. Послушайте историю и спойте песни с раввином Сигалом, примите участие в веселой и интерактивной субботней службе […]

              Бесплатно

              + 1 Еще

              5 событий,

              8 событий,

              —

              JRA Воскресная раздача еды

              JRA Воскресная раздача еды

              JRA Juniors: (9–10 утра) Зарезервированный час для семей с маленькими детьми в возрасте до 12 лет, чтобы упаковать коробки с кошерными продуктами, продуктами и предметами домашнего обихода […]

              —

              Открытый дом

              Открытый дом

              Наслаждайтесь пиццей, мороженым и другими вкусностями; повеселиться на надувной горке; и участвуйте в раскрашивании лица во время посещения храма и встречи с персоналом религиозной школы.

              Бесплатно

              —

              Сбор яблок в Styer Orchard

              Сбор яблок в Styer Orchard

              Соберите свои собственные яблоки для сладкого Нового года: присоединяйтесь к Northeast Jewish Life, чтобы поболтать и насладиться праздничным ремеслом, прежде чем вы, ваша семья и друзья отправитесь собирать яблоки […]

              Бесплатно

              —

              Ежегодная встреча выпускников колледжа Грац

              Ежегодная встреча выпускников колледжа Грац

              Новая дата: Не упустите возможность увидеться со старыми друзьями… Выпускники All Gratz College, Gratz Jewish High School, JCHS и программы поездки в Израиль приглашаются на празднование в Gratz College. Отпразднуйте […]

              $10.00

              7 событий,

              —

              Доставка по маршруту JRA

              Доставка по маршруту JRA

              Модель доставки еды JRA позволяет получателям получать помощь прямо к их двери, облегчая некоторые проблемы, с которыми они могут столкнуться, такие как транспорт, языковые барьеры или доступ. Волонтеры […]

              —

              Книжный клуб

              Книжный клуб

              Книжный клуб конгрегаций Шааре Шамаим, 9768 Верри-роуд, Филадельфия, проведет сентябрьскую сессию Zoom в 19:00. Для получения дополнительной информации или для регистрации на […]

              Бесплатно

              8 событий,

              —

              Доставка по маршруту JRA

              Доставка по маршруту JRA

              Модель доставки еды JRA позволяет получателям получать помощь прямо к их двери, облегчая некоторые проблемы, с которыми они могут столкнуться, такие как транспорт, языковые барьеры или доступ. Волонтеры […]

              —

              СЕНТЯБРЬ ОБЩЕЕ СОБРАНИЕ

              СЕНТЯБРЬ ОБЩЕЕ СОБРАНИЕ

              Сестричество конгрегаций Шааре Шамаим, 9768 Верри Роуд, Филадельфия, проведет нашу сентябрьскую встречу в 19:00. Нашим приглашенным докладчиком будет Кэтрин Миллер-Уилсон, исполнительный директор […]

              Бесплатно

              7 событий,

              —

              Когда благотворительность идет не так

              Когда благотворительность идет не так

              Мошенничество с GoFundMe на 400 тысяч долларов и другие дилеммы цдаки… — Как я могу определить, является ли благотворительная деятельность мошенничеством? — Как мне решить, какой благотворительности пожертвовать, и […]

              15 долларов

              7 событий,

              —

              Откройте книгу… откройте свой разум

              Откройте книгу… откройте свой разум

              Сестринство храма Хар Цион и Департамент непрерывного обучения с гордостью представляют «Открой книгу… Открой свой разум». В 7 часов вечера. автор Рональд Бэлсон представит «Дело […]

              $18

              7 событий,

              Парша на всю жизнь

              Повторяющийся

              Парша на всю жизнь

              Присоединяйтесь к раввину Александру Коулману, еврейскому педагогу и психотерапевту, в еженедельном путешествии по части Торы, посвященной неделе, с вечными уроками личностного роста и духовности. Перейдите на https://www.jethics.org/weekly-torah-portion.html, чтобы […]

              —

              Рок Каббалат Шаббат

              Рок Каббалат Шаббат

              Присоединяйтесь к раввину конгрегации Бет Шолом Дэвиду Гланцбергу-Крайнину, кантору Джейкобу Агару и группе на каббалатной службе рок-музыки. Сообщество может принять участие. Для получения информации звоните по телефону 215-887-1342.

              5 событий,

              —

              Слихот Программа и Служба

              Слихот Программа и Служба

              Поскольку мы продолжаем праздновать наш 60-летний юбилей, Конгрегации Шааре Шамаим, 9768 Верри Роуд, Филадельфия, Пенсильвания, 19152, проводят наш ежегодный вечер Слихот. В 18:30 мы будем […]

              Бесплатно

              9 событий,

              Всплывающий книжный магазин

              Всплывающий книжный магазин

              Книжный магазин Pop-Up и день открытых дверей с 9:00 до 14:30. Вестибюль Keneseth Israel по адресу 8339 Old York Road. HAMEC и библиотека Мейерса рады предложить несколько удивительных […]

              —

              Яблоки и мед в Styer Orchard

              Яблоки и мед в Styer Orchard

              Присоединяйтесь к Kehillah округа Бакс на нашем ежегодном мероприятии Apples & Honey в Styer Orchard, чтобы начать новый год со сладкой ноты. Воскресенье, 18 сентября | 13:00–15:00 […]

              Бесплатно

              4 события,

              6 событий,

              JFCS — Группы поддержки программы накопления

              Повторяющийся

              JFCS — Группы поддержки программы накопления

              Общая Ежемесячная группа поддержки для лиц, ранее прошедших программу группы поддержки накопителей. Когда: третий вторник месяца с 16:00 до 17:00. Где: Zoom (Ссылка предоставляется после регистрации.) […]

              В некоторых группах стоимость участия варьируется по скользящей шкале. Если вы заинтересованы в группе поддержки программы накопительства, пожалуйста, не позволяйте финансовым соображениям удерживать вас от звонка.

              5 событий,

              5 событий,

              5 событий,

              Парша на всю жизнь

              Повторяющийся

              Парша на всю жизнь

              Присоединяйтесь к раввину Александру Коулману, еврейскому педагогу и психотерапевту, в еженедельном путешествии по разделу Торы на неделю с вечными уроками личностного роста и духовности. Перейдите на https://www.jethics.org/weekly-torah-portion.html, чтобы […]

              —

              Созерцательная каббалатная служба

              Созерцательная каббалатная служба

              Присоединяйтесь к раввину конгрегации Бет Шолом Давиду Гланцбергу-Крайнину и кантору Джейкобу Агару на созерцательной каббалатной субботней службе. Сообщество может принять участие. Для получения информации звоните по телефону 215-887-1342.

              3 события,

              4 события,

              4 события,

              —

              Ташлих Прием и обслуживание

              Ташлих Прием и обслуживание

              Поскольку мы продолжаем праздновать наш 60-летний юбилей, Конгрегации Шааре Шамаим, 9768 Верри Роуд, Филадельфия, Пенсильвания, 19152, проводят ежегодный прием и служение Ташлих. В 16:30 […]

              Бесплатно

              4 события,

              4 события,

              5 событий,

              4 события,

              Парша на всю жизнь

              Повторяющийся

              Парша на всю жизнь

              Присоединяйтесь к раввину Александру Коулману, еврейскому педагогу и психотерапевту, в еженедельном путешествии по разделу Торы на неделю с вечными уроками личностного роста и духовности. Перейдите на https://www.jethics.org/weekly-torah-portion.html, чтобы […]

              —

              Музыка мира Каббалат Шаббат

              Музыка мира Каббалат Шаббат

              Присоединяйтесь к раввину конгрегации Бет Шолом Давиду Гланцбергу-Крайнину, кантору Джейкобу Агару и группе на шабатской службе World Music Kabbalat. Сообщество может принять участие. Для получения информации звоните по телефону 215-887-1342.

              2 события,

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Открытый дом

              Уроки маджонга

              Книжный клуб

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Уроки маджонга

              Посмотреть календарь

              High Strung Free Dance (2018)

              • Актеры и съемочная группа
              • Отзывы пользователей
              • Общая информация

              IMDbPro

              Original title: Free Dance

              • 20182018
              • PGPG
              • 1h 43m

              IMDb RATING

              6. 8/10

              2K

              YOUR RATING

              POPULARITY

              12,052

              Play trailer2:04

              2 Видео

              31 Фото

              MusicRomance

              Молодой хореограф выбирает современного танцора и пианиста-новатора для самого ожидаемого нового бродвейского шоу в Нью-Йорке. Молодой хореограф выбирает современного танцора и пианиста-новатора для самого ожидаемого нового бродвейского шоу Нью-Йорка. Молодой хореограф выбирает современного танцора и пианиста-новатора для самого ожидаемого нового бродвейского шоу в Нью-Йорке.

              IMDb RATING

              6.8/10

              2K

              YOUR RATING

              POPULARITY

              12,052

              • Director
                • Michael Damian
              • Writers
                • Janeen Damian(based on characters created by)
                • Michael Damian (на основе персонажей, созданных)
              • Звезды
                • Томас Доэрти
                • Джейн Сеймур
                • Эйс Бхатти
              Лучшие титры
              • Режиссер
                • Michael Damian
              • Writers
                • Janeen Damian(based on characters created by)
                • Michael Damian(based on characters created by)
              • Stars
                • Thomas Doherty
                • Jane Seymour
                • Ace Bhatti
            • См. производство, кассовые сборы и информацию о компании
              • 0932

                Videos2

                Trailer 2:04

                High Strung Free Dance

                Trailer 2:04

                High Strung Free Dance Theatrical Trailer

                Photos31

                Top cast

                Thomas Doherty

                • Zander

                Jane Seymour

                • Оксана

                Эйс Бхатти

                Кика Маркхэм

                Гарри Джарвис

                • Чарли

                Даниэль Нута

                24

                37

                Juliet Doherty

                • Barlow

                Giulia Nahmany

                • Press Agent

                Phillip Chbeeb

                Nataly Santiago

                • Paloma

                Manuel Pacific

                • Kid Diamond

                Nigel Lythgoe

                • Theater Покровитель

                Кристофер Лэндри

                • Гилмор

                Брек Галлини

                • Пейтон

                Йорген Макена

                • Kayla Jordan

                Kerrynton Jones

                Joshua Sinclair-Evans

                Dan Ursu

                • Stage Manager
                • (as Daniel Ursu)
                • Director
                  • Michael Damian
                • Writers
                  • Janeen Damian (на основе персонажей, созданных)
                  • Майкл Дамиан (на основе персонажей, созданных)
                • Весь актерский состав и съемочная группа
                • Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

                Подробнее, как это

                High Strung

                Streetdance 2

                Streetdance 3d

                , приведенный к танцам

                Центральный сцена: Turn It Up

                Падение в Darkness

                The Matchmak : The Movie

                Hollywood Dirt

                Step Up All In

                A Cinderella Christmas

                Storyline

                Знаете ли вы

                • Connections

                  Follows High Strung (2016)

                Отзывы пользователей59

                Обзор

                Избранный обзор

                10/

                10

                Прекрасный фильм

                Между танцами и фортепиано в этом фильме есть что-то для любого возраста. Обычно я не из тех, кто любит «романтические» фильмы, но я чувствовал, что все в этом фильме было тонким, но увлекательным во всех смыслах. Актеры и съемочная группа проделали потрясающую работу над этим фильмом и заслуживают большего признания за красоту в нем.

                полезно•11

                3

                • kimberly_rhoades
                • Feb 6, 2020

                Details

                • Release date
                  • October 11, 2019 (United States)
                • Countries of origin
                  • Romania
                  • United States
                • Language
                  • English
                • Также известен как
                  • Bước Nhảy Cuồng Nhiet
                • Места съемок
                  • Бухарест, Румыния

                  2 Производственные компании0984
                • Castel Film Studio
                • Riviera Films
              • See more company credits at IMDbPro

              Box office

              Technical specs

              • Runtime

                1 hour 43 minutes

              • Color
              • Sound mix
                • Dolby Atmos
              • Соотношение сторон
                • 2,35 : 1

              Новости по теме

              Внесите свой вклад в эту страницу

              Предложите отредактировать или добавить отсутствующее содержимое

              Top Gap

              Под каким названием High Strung Free Dance (2018) был официально выпущен в Индии на английском языке?

              Ответить

              Еще для изучения

              Недавно просмотренные

              У вас нет недавно просмотренных страниц

              IMG_7030

              IMG_7030

              Стажеры городских ученых и Джефф Фоулкс на форуме MLK
              Слайд-презентация показывает различные признаки изменения климата.
              Многие ученые MLK на форуме сидят за столами и обсуждают решения проблемы изменения климата.
              Вызов 1
              Вызов 6
              Вызов 6
              Вызов 6
              Вызов 5
              Вызов 5
              Вызов 5
              Вызов 5
              Вызов 5
              Вызов 5
              Вызов 2
              Вызов 2
              Вызов 2
              Вызов 3
              Вызов 3
              Вызов 3
              Вызов 3
              Вызов 3
              Вызов 4
              ученик разминается перед уроком танцев
              ученик разминается перед уроком танцев
              студент участвует в танцевальной мастерской
              студент участвует в танцевальной мастерской
              студент участвует в танцевальной мастерской
              студент участвует в танцевальной мастерской
              сложная тренировка
              сложная тренировка
              персонал учит ученика правильно поднимать тяжести
              ученик поднимает тяжести
              Увлекательная игра в баскетбол
              Увлекательная игра в баскетбол
              Игра в четыре квадрата
              Игра в четыре квадрата
              Игра в четыре квадрата
              Ученик просит помощи в изготовлении оригами
              черепаха орагими
              Студенты развлекаются, фотографируя своих друзей
              Крупный план оригами, сделанного учеником!
              Усердно работает над совершенствованием своего оригами
              Наслаждаюсь изготовлением оригами
              Работа в команде
              Крупный план сделанных учеников оригами!
              Различные ученые MLK на форуме (Фото: Энтони Оливье)
              предполагаемых спикеров рассказывают о себе и нетворкинге
              Поза городских ученых для камеры (Фото: Энтони Оливье)
              Городские ученые позируют перед камерой (Фото: Энтони Оливье)
              ученики танцуют
              ученики танцуют
              Персонал поет караоке-группу
              Персонал поет караоке-группу
              Персонал поет караоке-группу
              Персонал поет караоке-группу
              Персонал поет караоке-группу
              Персонал поет караоке-группу
              2 танцевальная группа
              играть в игру
              Игра в игру
              Танцевальный номер
              Танцевальная программа
              Танцевальный номер
              Танцевальный номер
              Танцевальный номер
              свободный танец
              свободный танец
              стажер преподают в классе
              Тарелка с цветом
              Назначение
              Назначение

              ← Вернуться к записи

              Этот блог был запущен в 2013 году летними стажерами Трамелом Гриффитом, Джоном Хэнкоком, стипендиатом MLK, и Дженни Лай, стажером Совета частной промышленности, в сотрудничестве с Urban Scholars, Office of Communications и IT Web Services в UMass Boston.

              Перейти к панели инструментов

              Календарь событий | Публичная библиотека Бруклина

              Адамс-стрит, многоцелевой залБиблиотека Арлингтона, зал для программБиблиотека Бэй-Ридж, конференц-залБиблиотека Бедфорда, аудиторияБиблиотека Боро-Парк, детская комнатаБиблиотека Брайтон-Бич, аудиторияБиблиотека Бруклин-Хайтс, читальный кругБиблиотека Брауэр-парка, конференц-зал/аудиториумБиблиотека Браунсвилля, конференц-залБиблиотека Бушвик, аудиторияКанарси Библиотека, Конференц-залCarroll Gardens Library, Story Hour RoomCentral Library, Auditorium Конференц-зал 2Central Library, Info Commons LabClarendon, Конференц-залClinton Hill, Конференц-залConey Island, Конференц-зал 1Cortelyou, Конференц-залCrown Heights, AuditoriumCypress Hills, Program RoomDekalb, Technology RoomDyker Library, AuditoriumEast Flatbush Библиотека, напольная таблица Библиотека Eastern Parkway, конференц-залFlatbush, Карибский литературный и культурный центрFlatlands, Малый конференц-залFort Hamilton, Конференц-залGerritsen Beach, Малый зал для программGravesend, AuditoriumGreenpoint, Eco Lab 1Highlawn, Конференц-залHomecres t, Конференц-залJamaica Bay, Конференц-залKensington AuditoriumKings Bay, Конференц-залKings Highway, Конференц-зал Special ProgramLeonard, AuditoriumMacon, Small AuditoriumMapleton, 2nd Flr Конференц-залMarcy, Конференц-залMcKinley Park, Конференц-залMidwood, Второй этаж Конференц-залMill Basin, Program RoomNew Lots, Computer RoomNew Utrecht , PreSchool Meeting RoomPacific, Детская комнатаPaedergat, Meeting RoomPark Slope, AuditoriumRed Hook, Main FloorRugby, Meeting RoomRyder, Program RoomSaratoga, Meeting RoomSheepshead Bay, Meeting RoomSpring Creek, Meeting RoomStone Avenue, Meeting RoomSunset Park, Shared Meeting RoomUlmer Park, Meeting RoomVirtualWalt Whitman, AuditoriumWashington Irving, AuditoriumWilliamsburgh, AuditoriumWindsor Terrace, Конференц-залAdams Street, Малый конференц-залБиблиотека Bay Ridge, Зал для детских программBedford Library, Конференц-залБиблиотека Borough Park, Конференц-зал в подвалеБиблиотека Brooklyn Heights, Конференц-зал OrangeBushwick Library, Spectrum Learning LabCarroll Ga Библиотека rdens, AuditoriumCentral Library, Balcony Conference RoomCentral Library, Info Commons, Студия звукозаписиClinton Hill, этаж 2Coney Island, Конференц-зал 2Crown Heights, Techies RoomDekalb, AuditoriumEast Flatbush, AuditoriumFlatbush, Exhibition AlcoveFlatlands, Большой конференц-залGerritsen Beach, Большой конференц-залGreenpoint, Eco Lab 2Kings Highway, Конференц-залLeonard, GardenMacon, Большая аудиторияMapleton, Basement AuditoriumMidwood, Basement Meeting RoomNew Lots, AuditoriumNew Utrecht, J Meeting RoomPacific, Basement Meeting RoomPark Slope, GardenRed Hook, Детская комнатаRugby, Малый конференц-залBedford Library, Quiet RoomБиблиотека Brooklyn Heights, Конференц-зал PineappleCentral Library , Brooklyn CollectionCentral Library, Info Commons, Room 2Clinton Hill, Этаж 1Coney Island, Конференц-зал 3Flatbush, Большой конференц-залGreenpoint, Eco Lab 3 (Teens)Kings Highway, Детский конференц-залLeonard, Наверху Adult’sMacon, Dionne Mack-Harvin Heritage CenterNew Lots, Конференц-стол 1Нью-Утрехт, AuditoriumPacific, 2nd Flr Meeting RoomPark Slope, Meeting RoomRed Hook, AuditoriumBrooklyn Heights Library, Многоцелевой залCentral Library, Business & Career CenterCentral Library, Info Commons, Room 3Coney Island, Meeting Room 4Flatbush, Flatbush CommonGreenpoint, Reading GardenLeonard, Upstairs Children’sMacon , КаминНовые участки, Конференц-стол 2Red Hook, Подростковый уголокБиблиотека Brooklyn Heights, Игровая комнатаЦентральная библиотека, Dweck CenterЦентральная библиотека, Info Commons, Комната 4Кони-Айленд, Аудитория второго этажаGreenpoint, Демонстрационный садНовые участки, Малый конференц-залБиблиотека Brooklyn Heights, Конференц-зал CranberryЦентральная библиотека, Информация CommonsCentral Library, Info Commons, Room 5Brooklyn Heights Library, Craft RoomCentral Library Learning CenterCentral Library, Info Commons, Room 6Central Library, Info Commons, Room 7Central Library, Lobby GalleryCentral Library, PlazaCentral Library, Reverend Elsie Smith RoomCentral Library, Second Floor Meeting RoomCentral Library Компьютерная лаборатория на втором этажеЦентральная библиотека, Комната попечителейЦентральная библиотека, Молодежное крыло Библиотека Адамс-стритПриложениеБиблиотека АрлингтонаБиблиотека Бэй-РиджБиблиотека БедфордаБиблиотека БедфордаУчебный центрБклин на проспекте СвободыБиблиотека Боро-ПаркБиблиотека Брайтон-БичБиблиотека Бруклин-ХайтсБиблиотека Брауэр-ПаркБиблиотека БраунсвилляБиблиотека БушвикБиблиотека КанарсиБиблиотека Кэрролл-ГарденсЦентр истории БруклинаЦентральная библиотекаБиблиотека Кларендон-ХайтБиблиотека Клинтон-ХиллБиблиотека Кони-АйлендаБиблиотека КортельюиCrown Library Библиотека Библиотека DeKalb Библиотека Дайкера Библиотека East Flatbush Библиотека Eastern Parkway Библиотека Eastern Parkway Учебный центр Библиотека Flatbush Библиотека Flatbush Учебный центр Flatlands Библиотека Библиотека Fort Hamilton Библиотека Gerritsen Beach Библиотека Gerritsen Beach Библиотека Gravesend Библиотека Greenpoint Библиотека Highlawn Library Библиотека Homecrest Библиотека Jamaica Bay Библиотека Kensington LibraryKidsmobileKings Bay LibraryKings Highway LibraryБиблиотека LeonardБиблиотекаMaconБиблиотекаMapletonБиблиотекаMarcyБиблиотекаMcKinley ParkБиблиотекаMidwoodБиблиотекаNew Lotsill Basin raryУчебный центр New LotsБиблиотека Нью-УтрехтаБиблиотека PacificБиблиотекаPaerdegatБиблиотекаPark SlopeБиблиотекаБиблиотека Red HookБиблиотекарегбиБиблиотекаRyderБиблиотекаSaratogaБиблиотекаSheephead BayБиблиотекаSpring CreekБиблиотекаStone AvenueБиблиотекаSunset ParkБиблиотекаUlmer ParkБиблиотекаWalt WhitmanБиблиотекаWashington IrvingБиблиотекаWilliamsburgБиблиотекаWindsor Terrace Library

              Предыдущие события

              Пятница, 5 августа в 20:00: Первая пятница Вечер свинга

              с The Fabulous Nitelife Boogie!

              БЕСПЛАТНЫЙ УРОК ТАНЦЕВ с ХЕЙЛИ В 19:30

              местная группа опытных профи, активно играющих в эпоху свинга, прыжков, джайва, ритм-энд-блюза и джаза эпохи Blue Note 1940–1960 годов.

              Проверьте их на веб-сайте

              http://www.nitelifeboogie.com

              Медоварня Moon Dog Ежемесячный вечер комедии: 9 июня1900 ly 1 4 th

              Каждый месяц мы приглашаем множество комедийных талантов из Северной Каролины, чтобы устроить шоу для сообщества. Приходите к нам на ночь смеха!

              Ранняя пташка: 10 долларов День: 15 долларов

              Вход: 19:00 Шоу: 20:00

              Пятница, 15 июля, 20:00 ЖИВАЯ МУЗЫКА: The Post Modernaires!

              Присоединяйтесь к нам на ночь живого плавного джаза! С Джеффом Мо, Дэвидом Шором, Джеффом Брауном и Джимом МакКрэем

              Пятница, 15 июля, 19:00 ЖИВАЯ МУЗЫКА: Ура!

              Присоединяйтесь к нам на ночь танцев в стиле свинг с этой группой из семи человек. Разнообразные популярные песни и оригинальные песни, чтобы танцевать с друзьями.

              БЕСПЛАТНЫЙ УРОК ТАНЦЕВ СВИНГА В 6:30!

              Выпуск вечеринки «Волосы собаки» : J 2 июля 2022

              Выпуск нашего нового кофейно-ванильного мёда!

              Ежемесячная ночь комедии Moon Dog: 18 июня 2022 г.

              Каждый месяц мы приглашаем самых разных комедийных талантов из Северной Каролины, чтобы устроить шоу для сообщества. Приходите к нам на ночь смеха!

              Раннее бронирование: 10 долларов День: 15 долларов

              Вход: 19:00 Шоу: 20:00

              Пятница, 17 июня: Живая музыка: Lily and the Hellions: 20:00-22:00

              Наш еженедельный вечер с открытым микрофоном. Ведущие Деб Аронин и Ян Секстон. Музыка, поэзия, устное слово, комедия или любое другое исполнительское искусство. Не стесняйтесь зарегистрироваться и показать свои таланты здесь, на нашем вечере открытого микрофона.

              Суббота, 11 июня: живая музыка:

              Gypsy Jazz с Беном Ласситером 19:00-22:00:

              Приходите насладиться акустическим свинговым джазом с Беном Ласситером и его партнером! Обязательно дайте им чаевые!

              Среда, 8 июня: Живая музыка:

              Майкл Ходждон 19:00-21:00:

              Приходите посмотреть, как Майкл Ходгон играет на нескольких инструментах и ​​перкуссионных инструментах, используя луперы для создания полного звучания группы. Играю рок, кантри, поп, блюз и все, что между ними.

              Суббота, 28 мая 16:00: Выставка Bragalio Chess Showcase

              Один международный мастер по шахматам против 15 человек одновременно! Приходите посмотреть великолепную демонстрацию шахматного мастерства и геймплея, чтобы проверить свой характер против профессионального шахматиста. если вы хотите сыграть против него, дайте нам знать!

              Медоварня Moon Dog Ежемесячный вечер комедии: 14 мая

              Каждый месяц мы приглашаем множество комедийных талантов из Северной Каролины, чтобы устроить шоу для сообщества. Приходите к нам на ночь смеха!

              Early Bird: 10 $ День: 15 $

              Вход: 19:00 Представление: 20:00

              Получите билеты по ссылке ниже

              ЖИВАЯ МУЗЫКА: Sound Traveler: 7 мая

              Акустическая музыка в пути. Приходите насладиться успокаивающей акустической американской народной музыкой в ​​исполнении Боба и Пэтти из Sound Traveler.

              Это событие БЕСПЛАТНО!

              Durham Animal Protection Society Знакомство с собаками: 7 мая

              Durham APS занимается приютом и спасением собак, находя им дом для усыновления. Познакомьтесь с очаровательными собаками, которых можно усыновить, и, надеюсь, вы найдете себе нового лучшего друга. Пожертвования поощряются, чтобы помочь нам спасти наших пушистых друзей!

              Пятница, 6 мая, 18:30: Dungeons and Flagons

              Dungeons & Flagons — это удобная для начинающих «BarPG», которая сочетает в себе простейшие основы настольной ролевой игры с интерактивным решением головоломок и рассказыванием историй, рассчитанным на аудиторию до 100 игроков. Герои соревнуются за «славу» в стиле «выбери себе приключение», наслаждаясь едой и напитками, предлагаемыми вашим заведением. Думайте об этом как о более причудливой, глупой версии барных мелочей, основанной на участии аудитории!

              Суббота, 30 апреля, 19:00: Лунная собака в огне

              Присоединяйтесь к нам на ночь с вращением огня и музыкой. Зак устроит вечер с прялкой огня здесь, в медоварне, во внутреннем дворике. Приходите посмотреть, научиться или потанцевать вместе с нами!

              Суббота, 30 апреля 14:00: Сбор средств для социальных изменений

              Загляните и поддержите социальные изменения! Social Change — это некоммерческая организация, работающая во имя социальной, расовой и экономической справедливости. Организация началась в Чикаго под руководством Тодда Белкора, адвоката по гражданским правам и защитника более десяти лет назад. 50% прибыли пойдет на помощь социальным изменениям, чтобы помочь их делу!

              Пятница, 29 апреля 18:30: Dungeons and Flagons

              Dungeons & Flagons — это удобная для новичков «BarPG», которая сочетает в себе простейшие основы настольных ролевых игр с интерактивным решением головоломок и рассказыванием историй, рассчитанным на аудиторию до 100 игроков. Герои соревнуются за «славу» в стиле «выбери себе приключение», наслаждаясь едой и напитками, предлагаемыми вашим заведением. Думайте об этом как о более причудливой, глупой версии барных мелочей, основанной на участии аудитории!

              Пятница, 22 и 23 апреля: Brewgaloo

              Нас пригласили присоединиться к самому большому событию крафтового алкоголя в Северной Каролине и второму крупнейшему пивному фестивалю в стране!!! Мы накроем стол с медовухой, доступной на разлив по 3 унции.

              Пятница, 2 апреля 2-й 18:30: Dungeons and Flagons

              Dungeons & Flagons — это BarPG для начинающих, которая сочетает в себе простейшие основы настольных ролевых игр с интерактивным решением головоломок и рассказыванием историй, масштабированием для аудитории до 100 игроков. Герои соревнуются за «славу» в стиле «выбери себе приключение», наслаждаясь едой и напитками, предлагаемыми вашим заведением. Думайте об этом как о более причудливой, глупой версии барных мелочей, основанной на участии аудитории!

              Суббота, 16 апреля в 20:00

              Вечер комедии с Мэдди Винер и Кеньоном Адамчиком

              Присоединяйтесь к нам и The Comedy Experience, чтобы провести ночь смеха. С двумя самыми быстрорастущими комиками в стране. Купите билеты по телефону

              Пятница, 15 апреля: Вечер открытого микрофона со значком:

              Наш первый вечер открытого микрофона. Хостинг от Icon. Музыка, поэзия, устное слово, комедия или любое другое исполнительское искусство. Не стесняйтесь зарегистрироваться и показать свои таланты здесь, на нашем вечере открытого микрофона. Мы планируем сделать Open Mic Night еженедельным или двухнедельным мероприятием по воскресеньям в будущем.

              Пятница, 8 апреля: Arts and Craft Beer 2 Electric Boogaloo:

              Шон устраивает еще одно мероприятие по искусству и ремеслам. Принесите свой собственный проект или используйте материалы, которые у нас есть, чтобы создать то, что у вас в голове.

              Суббота, 2 апреля: Moon Dog on Fire:

              Наше первое мероприятие по вращению огня. Приходите посмотреть, как опытные флоу-художники шпионят за огнем, и узнайте несколько трюков с тренировочным реквизитом (доступность ограничена) Magic Fire go spinny spin spin

              Пятница, 1 апреля: Живая музыка от Lily и h4llions.

              Наше первое живое музыкальное мероприятие с другом магазина Ken Ray’s Band. Давай сюда!

              Суббота, 26 марта: вечер драфта Magic the Gathering:

              Присоединяйтесь к нам на другой вечер драфта Kamigawa Neon Dynasty! Вход 15 долларов! Зарегистрируйтесь здесь

              Суббота, 19 марта: Дневная вечеринка в честь Дня Святого Патрика:

              Присоединяйтесь к нам на нашей вечеринке в честь Дня Святого Пэдди с DJ Zach Kemiculz ​​(DJ Saint). Если вы пропустили ночь выпуска медовухи из зеленого зеленого яблока, приходите и выпейте стаканчик! Предложение будет ограничено, поэтому поторопитесь! (У нас может быть второй ди-джей, но это не подтверждено, Dj Jovi (DJ Patrick))

              Среда, 16 марта: Triangle Rock Club Boulder и Game Night:

              Наслаждайтесь скалолазанием с друзьями в Triangle Rock Club Durham, а затем присоединяйтесь к нам, чтобы провести ночь с настольными играми и напитками! Обязательно купите билет в TRC и получите бесплатную аренду настольных игр на ночь.

              Четверг, 17 марта: Вечер викторин, посвященный Дню Святого Патрика:

              Пригласите свою команду викторин на веселую ночь тематических викторин, посвященных Дню Святого Пэдди, и наслаждайтесь выпуском медовухи Green Green Apple!!!!

              Суббота, 5 марта: Выпуск медовухи Moon Dog:

              Присоединяйтесь к нам на выпуск медовухи! Через 2 месяца открытия и производства наша первая партия медовухи будет готова для вас! В эту субботу мы празднуем на медоварне, приходи и возьми медовуху!

              Четверг, 3 марта, 18:30: Вечер викторин с Алексом Джонсоном:

              Присоединяйтесь к нам на веселой ночи викторин. Команды будут состоять из 4-6 человек. Событие БЕСПЛАТНО , чтобы присоединиться.

              Суббота, 26 февраля, 15:00: Magic the Gathering Kamigawa Neon Dynasty Draft.

              Играйте в новый набор MTG с друзьями и соберите свою собственную колоду!

              Пятница, 25 февраля, 18:00 : Празднование Марди Гра!

              Приходите отпраздновать Марди Гра вместе с нами. Наденьте свой лучший наряд и маску для Марди Гра и присоединяйтесь к нам с ди-джеем в 19:00!

              Фотографии Андрея Филатова и фотографии премиум-класса в высоком разрешении

              • CREATIVE
              • EDITORIAL
              • VIDEO
              • Best match
              • Newest
              • Oldest
              • Most popular

              Any dateLast 24 hoursLast 48 hoursLast 72 hoursLast 7 daysLast 30 daysLast 12 monthsCustom date range

              • Royalty- бесплатно
              • С защитой прав
              • РФ и РМ

              Выберите бесплатные коллекции >Выберите редакционные коллекции >

              Встраиваемые изображения

              Просмотрите 166

              andrey filatov доступных стоковых фотографий и изображений или начните новый поиск, чтобы просмотреть другие стоковые фотографии и изображения. Фабиано Каруана, президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов, вице-президент Российской шахматной федерации Андрей Гурьев и Уэсли Со видны… Сергей Карякин, президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов, вице-президент Российской шахматной федерации Андрей Гурьев и Шахрияр Мамедьяров… Левон Аронжан, президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов, президент Армении Серш Саргсян, вице-президент Российской шахматной федерации… Президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов и Baker Botts LLP, председатель тренировочной группы Иван Марисин на чемпионате мира по шахматам 2016 в… Президент , Российская шахматная федерация Андрей Филатов и Baker Botts LLP, председатель тренировочной группы Иван Марисин на чемпионате мира по шахматам 2016 в… Рынок…Президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов посетил чемпионат мира по шахматам 2016 в Fulton Mark et Building 11 ноября 2016 года в Нью-Йорке… Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом Российской шахматной федерации Андреем Филатовым в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 года в. .. Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом Российской шахматной федерации Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 в…Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом Российской шахматной федерации Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 в…Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом Российской шахматной федерации Шахматная федерация Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 в…Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом Российской шахматной федерации Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 в…Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с президентом , Российская шахматная федерация Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 в… Актер Вуди Харрельсон играет в шахматы с Президентом т, Российская шахматная федерация Андрей Филатов в тренировочном зале во время чемпионата мира по шахматам 2016 года в. .. Президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов и гость на церемонии открытия матча чемпионата мира по шахматам 2016 года в отеле «Плаза» на… Президент, Российские шахматы Федерация Андрей Филатов и гость на церемонии открытия матча на первенство мира по шахматам 2016 в отеле «Плаза» на… Гроссмейстер Сергей Карякин с супругой Галией Карякиной и президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов и гость на торжественном открытии матча 2016… Президент, Россия Федерация шахмат Андрей Филатов и гость на торжественном открытии чемпионата мира по шахматам 2016 в отеле «Плаза» 10 ноября… Президент Российской шахматной федерации Андрей Филатов и гость на торжественном открытии чемпионата мира по шахматам 2016 в отеле «Плаза» 10 ноября …Сотрудник петербургского Эрмитажа держит картину Поля Гогена перед презентацией коллекции импрессионистов… Гроссмейстеры Вишванатан Ананд, Петр Свидлер, Левон Аронян, Аниш Гири, Хикару Накамура, Веселин Топалов, Фабиано Каруана, Всемирная шахматная федерация.

              Линейный масштаб 1 10000: Поперечный масштаб 1 10000. Масштаб карты

              alexxlab / / Разное

              Пользованием поперечным масштабом

              ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

              ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

              ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

              ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

              Факультет строительства и архитектуры

              Кафедра «Строительное производство»

              С.М . Чернявский

              РАБОТА С ТОПОГРАФИЧЕСКИМИ ПЛАНШЕТАМИ

              УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

              для специальностей: 270102 ПГС, 270105 ГСХ

              Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного университета УДК 528.48(7)

              Ч-498

              Рецензент: Заслуженный строитель России, доцент, директор ЗАО “Кировагропромпроект”, К.В. Подкопаевский

              Дано описание инструментов и приведены примеры применения их при решении геодезических задач на топографических планшетах.

              Основное назначение пособия – облегчить самостоятельную работу студента.

              Решение задач и ответы на контрольные вопросы, предлагаемые в пособии,

              позволят студенту закрепить и осмыслить теоретический материал, излагаемый в учебниках, и принесет пользу в геодезической практике.

              Учебное пособие подготовлено на кафедре строительного производства и предназначено для студентов специальностей 270102 и 270105.

               

              Редактор Е.Г. Козвонина

               

               

              Компьютерная вёрстка автора

               

              Подписано в печать

               

              Усл. печ. л. 4,25

              Бумага офсетная.

               

              Печать матричная

              Заказ №

              Тираж

              Бесплатно

              Текст напечатан с оригинала — макета, представленного автором. 610000, г. Киров, ул. Московская, 36

              Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ.

              ©С.М. Чернявский 2008

              ©Вятский государственный университет,2008

              3

              ОГЛАВЛЕНИЕ

              I. МАСШТАБЫ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ И ПЛАНОВ, ПОПЕРЕЧНЫЙ

               

              МАСШТАБ…………………………………………………………………………………………………….

              4

              Пользованием поперечным масштабом…………………………………………………………

              7

              Вопросы для проверки …………………………………………………………………………………

              9

              II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛАНИМЕТРОМ ………………………………………

              10

              Условия, необходимые для нормальной работы планиметра…………………………

              12

              Порядок работы с планшетом …………………………………………………………………….

              14

              Ведомость измерения площади озера черного ……………………………………………..

              16

              Вопросы для проверки ……………………………………………………………………………….

              17

              III. НОМЕНКЛАТУРА ЛИСТОВ КАРТ И ПЛАНОВ……………………………………….

              18

              Образование номенклатуры листов карт ……………………………………………………..

              21

              Номенклатура листов топографических планов …………………………………………..

              24

              IV. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТОПОГРАФИЧЕСКОМ ПЛАНШЕТЕ …………………..

              28

              IV.1. Разграфка рамок топографических карт ………………………………………………

              28

              IV.4. Определение высотной отметки точки ………………………………………………..

              31

              IV.5. Построение профиля местности на заданном отрезке …………………………..

              32

              IV.6. Определение крутизны ската………………………………………………………………

              32

              IV.7. Трассирование с заданным уклоном ……………………………………………………

              32

              IV.8. Получение на планшете границ водосборной площади ………………………..

              33

              Вопросы для проверки ……………………………………………………………………………….

              34

              ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………………………………

              36

              4

              I. МАСШТАБЫ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ И ПЛАНОВ,

              ПОПЕРЕЧНЫЙ МАСШТАБ

              ЧИСЛОВОИ МАСШТАБ. План и карта являются уменьшенными

              изображениями на горизонтальной плоскости участков земной поверхности с их

              искуственными и естественными объектами. Степень этого уменьшения

              называют масштабом. Отношение единицы длины взятой в виде отрезка на плане

              или карте к числу таких же ,единицсодержащихся в соответствующем горизонтальном отрезке в натуре называют числовым масштабом данного плана или карты.

              Для топографических планов приняты следующие масштабы:

               

               

              1: 500; 1: 1000; 1: 2000; 1: 5000.

               

               

               

               

               

              Для топографических карт:

               

               

               

               

               

              1: 5000; 1: 10000; 1: 25000; 1: 50000; 1: 100000;-крупномасштабные

               

               

              1:100000; 1: 200000; 1: 500000;1: 1000000 — среднемасштабные.

               

               

              Из всех перечисленных масштабов самым крупным

              является1: 500,

              а

              самым мелким –

              1:

              1000000. Более

              мелкие

              масштабы

              применяются

              для

              географических

              карт.

              По

              признаку

              последовательности

              все

              приведенные

              масштабы называют масштабным рядом.

               

               

               

               

               

              ЛИНЕЙНЫЙ

              МАСШТАБ –

              графическое

              изображение

              числового

              масштаба, приспособленное для перевода длин отрезков с плана в натуру и наоборот. На всех планах и картах приводятся оба масштаба– числовой и

              линейный,

              соответствующие

              один другому. На рис.1 изображены линейные

              масштабы,

              соответствующие

              числовым 1: 10000 и 1: 25000. Интервалы, на

              которые разделяют по длине линейный масштаб, называют его основаниями.

              Основания принимают равными1, 2, 4, или 5 сантиметров в зависимости от числового масштаба планшета. Крайнее левое основание разбивают на более мелкие деления. Это помогает работать с масштабом без наличия линейки, а

              также при измерении отрезков небольших длин.

              5

              350 м

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              100

              0

              100

              200

              300

              400

              а) масштаб 1: 10000 (в 1 см 100 м)

              1462,5 м

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              1000

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              0

              1000

              2000

              3000

              б) масштаб 1: 250000 (в 1 см 250 м)

              Рис. 1

              ТОЧНОСТЬ МАСШТАБА. Так называют длину отрезка в ,натуре соответствующую 0,1 мм на плане(карте). Практикой установлено. что предельное малое расстояние между точками, которое можно рассмотреть невооруженным глазом на плане(карте), равно 0,1 мм. Если возникает вопрос о том, в каком масштабе нужно построить план, чтобы на нем можно было отобразить отрезки в натуре длиной0,5 м, то эти 0,5 м принимают за точность масштаба. Длина 0,5 м в натуре соответствуют 0,1 мм на плане, а значит 1мм на плане должен соответствовать5 м или 5000 мм. Искомый масштаб для построения плана будет 1:5000.

              Значения точности масштаба для карт масштабов 1:10000; 1:25000; 1:50000

              равны соответственно – 1 м; 2,5 м; 5 м; и т. д.

              ПОПЕРЕЧНЫЙ МАСШТАБ. Выдержать точность масштаба при построении плана (карты) и при работе с ними без использования специальных средств практически невозможно. Таким специальным средством является поперечный масштаб. В промышленном исполнении (рис.2) он представляет

              6

              собой металлическую пластину с 11-ю продольными (горизонтальными)

              параллельными линиями через интервалы в 3 мм, с рядом поперечных

              (вертикальных) линий через интервалы в 20 мм и с 10-ю кососекущими линиями,

              проведенными через интервалы в 2 мм в левом интервале между вертикальными линиями. Длину интервала между вертикальными линиями называют основанием поперечного масштаба и принимают всегда в 20 мм.

              2 см

              8

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              6

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              4

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              2

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              0

              8

              6

              4

              2

              0

              2

              4

              6

              8

               

              Рис. 2

              При необходимости поперечный масштаб аккуратно вычерчивают на

              плотной чертежной бумаге тушью тонкими линиями. Вычерчивание выполняют в следующем порядке:

              На равных расстаяниях проводят11 горизонтальных линий. Делят их

              вертикальными линиями на интервалы в2 см. Из точки К под произвольным углом к горизонтальным линиям проводят прямую, на которой циркулем-

              измерителем

              разбивают 10 равных отрезков

              произвольной длины и

              получают

              точку L. Через концы этих отрезков проводят прямые, параллельные отрезку LО.

              При этом

              отрезок КО автоматически

              делится на десять

              равных ч

              (интервалов), каждая из которых равна 0,1 основания, то есть два мм.

               

              Через полученную от такого деления точкуl и точку N продят прямую,

              параллельно которой через концы других делений на интервалеOКпроводят и другие кососекущие прямые. Отрезки горизонтальных прямых, заключенные в треугольнике АОВ изменяют свою длину от нуля до2 мм. С каждым новым интервалом между горизонтальными прямыми эти отрезки изменяют свою длину на на 0,01 основания или на 0,2 мм (2:10=0,2). Так отрезок ef , поднимаясь на 4

               

               

               

               

              7

               

               

              интервала между горизонталями и становясь отрезком cd увеличивает свою длину

              на 0,2 ´ 4=0,8 мм и становится равным 1 мм.

               

               

              N

              А

              В

               

               

               

              8

              m

               

               

              1:500; 17,85м

              n

              g

               

              h

               

               

               

               

              6

               

               

               

               

               

              c

              d

               

               

               

               

               

               

               

               

              4

               

              s

               

               

               

              t

               

               

               

              1:50000;

              2230м

              2

               

              e

              f

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

              к

               

              l

               

               

               

               

               

              О

               

              2

              4

               

               

               

               

               

               

               

              L

               

               

               

               

               

               

              Рис. 3

               

               

               

               

              После построений линии поперечного масштаба оцифровывают, как это

              показано на рис. 3

               

               

               

               

              Один и тот же поперечный масштаб одинаково успешно используется при

              любом масштабе плана (карты).

              Предположим, что на карте масштаба1: 50000 требуется определить

              расстояние между точкамиs и t в натуре. Основание поперечного масштаба в этом случае равно тысяче метров на местности. Интервал составит сто метров, а

              приращение при подъёме на одну горизонталь будет равно десяти метрам.

              Циркулем-измерителем измеряют расстояние на карте и переносят его на

              поперечный масштаб таким образом, чтобы одна из иголок циркуля пришлась на

              вертикальную

              линию, а другая —

              на кососекущую и чтобы створ иголок

              располагался параллельно горизонтальным линиям.

              Как показано на рисунке 3, в раствор циркуля st умещается два основания,

              два интервала

              и приращение в

              виде отрезка3-йна горизонтальной линии.

               

               

              8

               

               

               

              Отсюда, расстояние между точкамиs и t на

              карте

              составляет: 2х1000 м+2х100

              м+3х10 м = 2230 м.

               

               

               

               

              Это

              же

              расстояние

              можно

              посчитать

              другим:

              20 ´ 2+2 ´ 2+0,2 ´ 3=44,6 мм.

              Согласно приведенному масштабу

              карты1 мм

              соответствует в натуре 50000 мм или 50 м. И при таком подсчете расстояниеs t

              равно 50 ´ 44, 6= 2230 м.

               

               

               

               

              Еще

              один подобный пример: По

              плану

              масштаба1: 500

              требуется

              определить расстояние в натуре между точкамиm и n. В этом примере основание на местности равно десяти метрам, интервал – одному метру, а приращение при подъёме на одну горизонталь составит десять сантиметров.

              Раствор циркуля-измерителя включает в себя одно основание (20 мм), семь

              интервалов

              (2 ´ 7=14 мм) и

              приращение

              при

              подъёме циркуля

              на

              восемь с

              половиной

              горизонталей (0,2 ´ 8,5=1,7

              мм).

              Следовательно

              расстояние между

              точками на местности(в натуре)

              равно: 1х10+7х1+8,5х0,1=17,85 м. Или

              по

              другойметодике:

              раствор

              циркуля

              составляет20+14+1,7=35,7 мм.

              Согласно

              масштабу 1: 500 плана 1 мм соответствует 500 мм или 0,5 м. Значит, отрезок в

              натуре между точками n и m составляет 0,5 ´ 35,7=17,85 м.

               

               

               

              Приведем обратный пример: На плане масштаба1:1000

              требуется

              построить

              отрезок g h , равный в

              натуре17,4 м. Согласно данному

              масштабу

              основание поперечного масштаба на местности равно двадцати метрам, интервал

              соответствует двум метрам, а при

              подъёме на

              одну горизонталь

              приращение

              равно двадцати

              сантиметрам. Раствор

              циркуля-измерителя

              при

              такой

              длине

              отрезка должен включать 8 интервалов и приращение при подъёме на седьмую горизонталь.

              По другой методике 17,4 м в натуре соответствуют 17.4 мм. на плане, что меньше основания поперечного масштаба. Раствор циркуля-измерителя должен включать 8 интервалов и приращение 17,4 — 8 ´ 2=1,4 мм. Искомый отрезок будет расположен на 1,4:0,2=7 горизонтальной линии и заключен между вертикальной линией ob и кососекущей, отсчитывающей от точки О 8 делений.

              9

              Вопросы для проверки

              1.Что называют числовым масштабом?

              2.Что называют линейным масштабом, его основанием? К его строят?

              Показать на примере.

              3.Какие масштабы приняты для карт и какие для планов?

              4.Что называют точностью масштаба? Практическое значение точности масштаба. Показать это на примере.

              5.Для чего существует поперечный масштаб? Как его строят?

              6.Привести примеры на использование поперечного масштаба.

              Масштабы планов — Тарбаев В.А. и др. Геодезия с основами землеустройства

              В.А. Тарбаев, Р.Р. Гафуров Р., Л.М. Хончева
              Геодезия с основами землеустройства
              Учебно-методическое пособие. Саратов: Саратовский ГАУ, 2009. – 67 с.

              1.2. Масштабы планов

              На планах и картах для изображения ситуации пользуются масштабами, которые определяют степень уменьшения линий местности при переносе их на план или карту.

              Масштаб – это отношение длины линии на плане или карте к горизонтальному проложению соответствующей линии на местности.

              Масштабы бывают: численные и графические.

              Численный – масштаб выраженный дробью, где числитель 1, а знаменатель целое число, показывающее степень уменьшения длины линии на местности по отношению к плану или карте (1:500, 1:1000; 1:5000; 1:10000; 1:25000 и т.д.). Масштаб 1:5000 показывает, что 1 см на карте (плане) соответствует линии на местности (в натуре) в горизонтальном проложении в 5000 см или 50 м.

              На практике удобнее производить измерения с помощью графических масштабов, которые подразделяются на линейные и поперечные.

              Линейный масштаб представляет двойную линию, разделенную на 5 равных отрезков (обычно 2 см), которые называются основанием масштаба (рис.1).

              М 1 : 50000

              Рис. 1. Линейный масштаб

              Левое крайнее основание АВ разделено еще на 10 делений, каждое из которых называется наименьшим делением линейного масштаба.

              Для повышения точности измерений пользуются поперечным масштабом, который строится на основании линейного (рис. 2).

              Из концов оснований восстановлены перпендикуляры. Они разделены на 10 равных частей. Левые нижнее и верхнее основания  делят на 10 равных частей. Точки этого деления соединяют наклонными линиями, называемыми трансверсалями, как показано на рисунке 2. Поперечный масштаб в котором наименьшее деление равно 1 : 100 основания, называют сотенным или нормальным.

              М 1 : 5000

              Рис. 2. Поперечный масштаб

              Как пользоваться линейным масштабом?

              Если масштаб плана 1:10000, то основание масштаба в 2 см соответствует 200 м, два основания – 400, три – 600 и т.д. (рис. 3.). Наименьшее деление линейного масштаба 200:10=20 м. Чтобы отложить отрезок длиной в 250 м, необходимо взять 1 целое основание и еще 2,5 деления по 20. Если длина линии 253 м, то дополнительных 3 м откладывают приблизительно.

              М 1:10000

              Рис.3. Определение заданного отрезка местности

              на линейном масштабе

              Более точное изображение можно получить, пользуясь поперечным масштабом (рис. 2).Чтобы отложить линию местности длинной 346м в масштабе 1:5000, где наименьшее деление поперечного масштаба равно 1 м, необходимо отложить измерителем на поперечном масштабе три основания по 100 м (300 м), затем левую иглу отставляем влево на 4 малых деления (40 м) и перемещаем измеритель вверх на 6 делений (6 м), при этом левая игла должна перемещаться по трансверсали, а правая – по вертикали и обе иглы должны оказаться на одном уровне.

              Выбор масштаба при составлении планов и карт зависит от его точности.

              Точностью масштаба называется наименьшая длина линии местности, которую можно отложить в поперечном масштабе. Она соответствует 0,1 мм. Например, точность масштаба 1:5000 – 0,5 м; 1:10000 – 0,1 м и т.д.

              Введение в геодезию. Лекция 1.

              Введение в геодезию. Лекция 1.

              Тема 1. Введение в геодезию

              Лекция 1.

              План:

              1.1.1.  Цель и задачи геодезии.

              1.1.2.  Форма и размеры земли.

              1.1.3.  Карта, план, профиль.

              1.1.4.  Геодезические съемки.

              1.1.5.  Масштабы картографических материалов.

               

              1.1.1.

               

              Геодезия – это наука и учебная дисциплина, изучающая форму и размер Земли.

              Это ее цель, для достижения которой необходимо выполнять последовательно следующие задачи:

              1)  провести необходимые измерения;

              2)  обработать результаты измерений;

              3)  построить карты, планы, профили;

              4)  использовать графические материалы по назначению.

              Слово «геодезия» происходит от греческих слов «ge» — земля и «dazomaj» — разделяй, что буквально означает «землеразделение».

              Геодезия разделяется на несколько дисциплин – высшая геодезия, космическая геодезия, топография, картография, фотограмметрия, инженерная геодезия, маркшейдерия.

              Четких границ между этими дисциплинами не существует. Так, топография включает элементы высшей геодезии и картографии, а инженерная геодезия использует разделы практически всех остальных геодезических дисциплин.

              Геодезия в своем развитии опирается на достижение математики, физики, астрономии, гоефизики, тесно связана с географией, геологией, геоморфологией, почвоведением, земледелием, землеустройством, геоботаникой, мелиорацией и широко используется в сельском хозяйстве.

              Особо большая роль принадлежит геодезии при ведении земельного кадастра, направленного на организацию эффективного использования земли и ее охраны.

              1.1.2.

               

              Общая площадь поверхности Земли составляет 510 млн. км2, из которых 149 млн км2 (29%) занимает суша и 361 млн. км2 (71%) – водная поверхность (океаны, моря, реки, озера и т. д.).

              Так горы достигают 8 км, а океанические впадины – 11 км, формы Земли в геодезии определяют, как тело с уровенной (осредненной) поверхностью, называется геоидом. В каждой точке поверхности земного геоида перпендикулярна отвесной линии и центру Земли.

              Форма и размер земного эллипсоида определяется по формуле:

              а + в

              α=

              А

              Где: α – степень сжатия эллипса;

              А – большая полуось;

              В – малая полуось.

              При А = 6378245 м и В = 6356863 м α = 1/298,3.

              В виду небольшой разницы между большой и меньшей полуосями земного геоида (около 21 км), фигуру Земли условно принимают за шар с радиусом

              Rз = 6371 км.

              1.1.3.

              Земную поверхность условно можно выразить в виде глобуса, или в виде карт и планов.

              Для решения инженерных задач более удобны и карты и планы.

              На картах обычно изображают поверхность Земли, либо больших ее частей (материков, стран, областей и т. д.). чем больше территория, изображенная на карте, тем с большим искажением получается изображенные на нем объекты.

              Карта – это уменьшенное, закономерно искаженное изображение Земли, или ее частей.

              Карты делятся: по масштабу, по содержанию, по назначению.

              По масштабу карты бывают мелкомасштабные (1:1000000 и мельче), среднемасштабные (1:200000 – 1:1000000), крупномасштабные (1:500 – 1:200000).

              По содержанию Карты бывают общегеографические, тематические (почвенные, лесные, аэронавигационные и т. д.).

              По назначению Карты разделяются на учебные, справочные, туристические и т. п.

              При построении Карты Точки и линии местности проектируют сначала на поверхности эллипсоида и затем переносят ее (изображают) на горизонтальную поверхность, а для построения Плана точки и линии местности сразу проектируют на горизонтальную поверхность и уменьшают с сохранением подобия фигур.

              План – это уменьшенное подобное изображение на плоскости горизонтальной проекции участка земной поверхности.

              Длины, углы и площади контуров на плане не искажаются, и масштаб плана является постоянным для всех его частей.

              Согласно проведенным исследованиям ошибкой при замене сферической поверхности плоскостью на участках с радиусом до 20 км при построении плана можно пренебречь, т. е. площадь участка, изображаемого на плане, не должна быть больше площади круга с радиусом R = 20 км.

              Таким образом, основные различия между Картой и Планом Состоит в следующем:

              — Карта – это изображение на плоскости горизонтальной проекции всей Земли или большой ее части с учетом кривизны Земли, а План – это изображение на плоскости гризонтальной проекции небольшого участка земной поверхности без учета кривизны Земли;

              — на Карте Искажения длин и углов и площадей неизбежны, а на Плане они не искажаются;

              — масштаб карты изменяется не только на переходах между точками, но и в каждой точке (по различным направлениям), а на плане Масштаб — величина постоянная.

              Планы как и карты разделяются по масштабу, содержанию, размерам изображаемого участка и назначению.

              По масштабу Мелкомасштабные – 1:10000 и мельче; среднемасштабные – 1:1000-1:5000; крупномасштабные – 1:5000 и крупнее.

              По содержанию: Контурные (изображают только очертания местных предметов ТопографическиЕ (отображают кроме контуров, и неровности поверхности участков), Специальные (почвенные, лесные и т. п.)

              По размерам участка И назначению: планы группы землепользований, хозяйств, частей хозяйств, населенных пунктов и т. д.

              В отличии от карт и планов отображающих всю земную поверхность, или ее части, профили имеют более узкую задачу.

              Профиль – это уменьшенное изображение вертикального разреза земной поверхности по данному направлению.

              На профилях длинных вертикальных разрезов уровненная поверхность изображается прямой линией.

              Для большей наглядности вертикальный масштаб рельефа на профиле принимается крупнее горизонтального (обычно в 10 раз).

              Разрез местности обычно имеет вид кривой линии, а сам профиль строится в виде ломанной линии, поворотные точки которой представляют собой характерные точки местности, высоты (отметки) которых или измерены на местности, или определены по карте.

              1.1.4.

              Съемка — это комплекс полевых геодезических работ по составлению на бумаге изображения какого-либо участка земной поверхности.

              Так как любой снимаемый участок (полигон) обычно имеет криволинейные очертания, все многообразие съемочных работ сводится в основном к измерению Линий и Углов между ними.

              Все геодезические съемки делятся на два вида: воздушные и наземные.

              Воздушные съемки подразделяются на Аэрофотосъемки и космические съемки, а наземные – на Горизонтальные, вертикальные и топографические (совместные) съемки.

              Горизонтальные Съемки охватывают в основном измерения границ полигонов и дают материал для составления контурных планов. К ним относятся Буссольная, теодолитная, и мензульная Съемка.

              Вертикальные Съемки предназначены для определения отметок точек местности с последующим построением планов или профилей снимаемого рельефа. Таковыми является Нивелирная съемка.

              Топографические Съемки потому и называются совместными, что они включают все перечисленные виды съемок. Они включают съемки как ситуации, так и рельефа и по ним составляются топографические карты и планы.

              По способу получения графического изображения местности наземные съемки подразделяются на Графические и аналитические. Первые выполняются непосредственно в поле в один прием, а вторые в два приема – полевые и камеральные работы.

              По целям съемки подразделяются на Почвенные, сельскохозяйственные, лесные, военные и т. д.

              Основной принцип геодезических съемок – «от общего к частному». Согласно этому принципу любая съемка начинается с создания опорных точек, образующих опорную сеть высокой точности. На нее опираются более простые и менее точные съемки.

              Соблюдение принципа «от общего к частному» обеспечивает:

              1)  равномерное распределение ошибок по территории съемки;

              2)  контроль съемочных работ в процессе их производства;

              3)  ускорение съемки в процессе ее проведения.

              Все съемки, кроме мензульной, осуществляются в два этапа: полевые работы, камеральные работы (вычисление результатов, графика).

              Основное правило геодезических съемок: нельзя проводить последующие измерения вычисления и графические построения без полной уверенности в правильности выполнения последующих работ.

              За единицу линейных измерений в геодезии принят Метр, Угловых – Градус (иногда радиан – ρ = 57,3º), площадь измеряется в м2 (км2, га), отметки точек – в метрах.

              1.1.5.

              Масштаб – это степень линейного уменьшения какого-либо изображения по сравнению с его натуральной величиной, выраженная отношением длины линии на бумаге к ее горизонтальному проложению на местности.

              Такое определение масштаба действительно только для планов и профилей, а на картах вместо горизонтального проложения линии на местности берут проекцию линии местности на поверхности эллипсоида.

              Масштабы разделяются на Численные и графические.

              Численный (числовой) масштаб это дробное число, в числителе которого единица, а в знаменателе – число, показывающее, во сколько раз уменьшено на бумаге горизонтальное проложение линии местности.

              Так, численные масштабы 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10000 показывают, что горизонтальные проложения линий местности на плане, или профиле уменьшены соответственно в 1000, 2000, 5000, 10000 раз, т. е. 1 см на бумаге соответствует 1000, 2000, 5000, 10000 см (или 10, 20, 50, 100 м) на местности.

              В геодезии обычно используют численные масштабы 1:200, 1:500, 1:1000, 1:10000 и т. д. Более крупный из них 1:200, более мелкий 1:10000. наносятся они под южной рамкой карты, либо в южной части плана (профиля).

              Величина масштаба – это горизонтальное проложение линии на местности в метрах соответствующее 1 см на бумаге. Она часто наносится на бумагу в виде пояснительной записи, например, «в 1 см 100 м, в 1 см 250 м» и т. д.

              При помощи численного масштаба можно решить две противоположные задачи:

              1)  по длине линии местности (ее проекции) определить ее назначение на бумаге;

              2)  по длине линии на бумаге вычислить ее длину на местности;

              В первой задаче при D = 367 м в масштабе 1:5000 получим: d = 367 : 50 = 7,34 см, во второй при d = 4,6 см в масштабе 1:1000 получим: D = 4,6*100=460м.

              Масштабы делятся на два вида: Численный и графический, а графический в свою очередь, подразделяется на Линейный и поперечный масштабы. Графические масштабы удобны тем, что не требуют никаких вычислений, влекущих за собой возможные ошибки.

              Линейный масштаб – это диаграмма для механического перевода длин линий на местности в их длины на бумаге, и наоборот.

              Принцип построения линейного масштаба очень простой: на прямой линии ближе к ее левому краю устанавливается место нуля, справа от которого несколько раз откладывается отрезок длиной 1,2 или 2,5 см, называемый Основанием масштаба, а слева это основание делят на 10 равных частей, каждая из которых является наименьшим делением линейного масштаба. С правой стороны от нуля несколько раз последовательно оцифровывают основание масштаба (размерность ставится только в конце масштаба), а с левой стороны доли основания не подписываются. Если основание масштаба 1 см, последовательно число метров на местности будет: 0,100, 200, 300, 400 и т. д. При основании масштаба 2 см это будет: 0, 200, 400, 600, 800 и т. д., при основании 2,5 см получим: 0, 250, 500, 750 и т. д. Основание 2,5 см принимают для крупных масштабов, 2,0 см – для средних и 1,0 см – для мелких.

              Пример оцифровки линейного масштаба с основанием 1 см (для масштабов 1:10000 и мельче) приведен ниже.

              Рисунок

              Две основные противоположные задачи решаются и на линейном масштабе (первая – 460 м : 100 = 4,6 см; вторая – 4,6 см * 100 = 460 м).

              Единственным недостатком линейного масштаба является то, что если левый раствор циркуля не попадает в одну из точек наименьших делений слева от нуля, точно измерить линию нельзя.

              Для повышения точности измерений линий и решение обоих основных задач применяется поперечный масштаб.

              Поперечный масштаб – это подвид графического масштаба, позволяющий проводить измерения на бумаге и построение на местности с максимально высокой точностью.

              Поперечный масштаб, как и линейный строится по разным основаниям (1 см, 2 см, 2,5 см) для разных масштабов, но кроме этого справа между отрезками основания масштаба восстанавливают перпендикуляры и строят параллели, а слева от нуля строят косые линии – трансверсали. Полученный чертеж и называют Поперечным масштабом:

              Рисунок

              Из чертежа поперечного масштаба видно горизонтальные отрезки слева от нуля и вертикальные деления с обоих сторон от нуля равняются десятой части основания масштаба, а отрезки между перпендикуляром 06 и первой трансверсалью на каждой параллели различны.

              По подобию треугольников в системе вОа видно, что наименьший отрезок, а1в1, обозначенный (q)1 равняется десятой доли основания масштаба, т. е. сотой доли этого основания, а наибольший отрезок ав равняется десятой доле основания масштаба. И если при основании масштаба 2 см (200 м на местности) а1в1 = q =0,02 см, то а2в2 = 0,04 см, а3в3 =0,06 см, а4в4 = 0,08 см, а5в5 = 0,10 см, а6в6 = 0,12 см, а7в7 = 0,14 см, а8в8 = 0,16 см, а9в9 = 0,18 см, ав =0,20 см, то эти отрезки равняются соответственно 2 м, 4 м, 6 м, 8 м, 10 м, 12 м, 14 м, 16 м, 18 м, 20 м.

              Поперечный масштаб с наименьшим делением 1/100 (q = L/100) называется сотенным, или нормальным.

              Пример. Оцифровать сотенный поперечный масштаб для численного масштаба 1:10000.

              Рисунок

              Длина линии LK = 400 + 20 = 420 м на местности.

              Длина линии NM = 20 +20 * 3 + 10 = 270 м на местности.

              Длина линии SR = 400 + 20 * 3 + 12 = 472 м на местности.

              Точность масштаба – это горизонтальное расстояние на местности, соответствующие 0,1 мм на бумаге. Для определения точности разных масштабов их знаменатели делят на 10000 и получают:

              1:1000 – 0,1 м, 1:2000 – 2,0 м, 1:5000 – 0,5 м, 1:1000 – 1,0 м, 1:2500 – 2,5 м, 1: 5000 – 5,0 м, 1:10000 – 10,0 м, 1: 20000 – 20,0 м, 1:100000 – 100,0 м.

              Чем выше точность масштаба (а она наивысшая при самом мелком масштабе – 1:1000000), тем меньше деталей можно изобразить на плане. Особо важные предметы и контуры обычно изображаются внемасштабными знаками.

              С другой стороны, по фактическим размерам предметов местности можно установить, какой масштаб плана необходимо выбрать с сохранением подобия контуров. Если, например, на плане необходимо изобразить детали размером 1 м, принимают масштаб с точностью не более 1м м, т. е. не мельче 1: 10000.

              137

              Введение в геодезию. Лекция 1. — 4.2 out of 5 based on 18 votes

              Масштабы чертежей — Чертежик

              Масштабы чертежей. Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам предмета.

              Масштабы чертежей бывают численные, линейные, поперечные (десятичные) и угловые (пропорциональные).

              Численный масштаб  обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже. Численный масштаб обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже.

              Графические масштабы на чертеже

              В зависимости от сложности и величины изображения, ею назначения, стадии проектирования на чертежах применяются:
              1.) Масштабы уменьшения: 1:2; 1 :2,5; 1:4; 1 : 5; 1 : 10; 1 : 15; 1:20; 1:25; 1 : 40; 1:50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000. (

              Пример: допустим дана длина 5000 мм. Необходимо начертить в масштабе 1:100, то чертится отрезок размером 50 мм.)

              При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы: 1:2000; 1:5000; 1: 10000; 1:20000; 1:25000; 1: 50000.
              2.) Масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100: 1.

              Пример: допустим дана длина 50 мм. Необходимо начертить в масштабе 2:1, то чертится отрезок длиной 100 мм.)

              В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения 100-n : I. где n — целое число.
              3.) Натуральная величина: 1:1.(пример: длина детали 10 мм., соответственно, чертим линию размером 10мм. )

              Масштаб должен указываться на всех чертежах, кроме некоторых строительных, а также чертежей, воспроизводимых путем клиширования или фотографирования.
              Если на листе все чертежи выполнены в одном масштабе, то его значение проставляют в соответствующей графе основной надписи по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т. д. Если на одном листе помещены чертежи разного масштаба, то масштаб указывают под названием соответствующего чертежа но типу М1:1; М1:2 и т. д.

              Линейный масштаб на чертеже имеет вид линии с делениями, означающими какую-нибудь меру длины, например метр, километр и т.п. Линейные масштабы удобны тем, что с их помощью можно без вычисления определять по чертежу действительные размеры. По линейному масштабу отсчет размеров можно про-изводим.
              Поперечный масштаб, позволяющий измерять размеры на чертеже с точностью до 0,01 принятой единицы длины, применяется в топографическом черчении.

              Угловые (пропорциональные) маштабы применяют для построения изображений в уменьшенном или увеличенном в несколько раз виде.

              Угловым масштабом целесообразно пользоваться, когда масштаб чертежа неопределенный 1 : n, где n может быть любое целое или дробное число и при ограниченном количестве размеров на чертеже.

              Применение масштабов смотрите в примерах чертежей и в разделе чтение сборочного чертежа

              Как читать карту? Часть 1. Масштаб. — Инфокарт

              Автор Карта На чтение 3 мин. Опубликовано Обновлено

              На этот раз попробуем вместе разобраться в некоторых определениях и научимся вычислять масштаб топографических карт, а на десерт вас ожидает парочка роликов посвященных недавней сенсации под названием «Карта создателя», исходя из специфики сайта, я просто не мог пройти мимо 🙂

              Читать карту, не зная масштаба, это все равно, что читать рассказ, не зная где и когда происходят события. Местность на карте изображается в определенном масштабе. Масштаб показывает во сколько раз изображение на местности уменьшено при изображении на карте. И тем, кто еще не научился им пользоваться, необходимо знать, что чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями, и наоборот, чем крупнее масштаб карты, тем с большей детальностью могут быть показаны на ней элементы ее содержания.
              В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт: 1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000. Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.
              Обычно масштаб указывается как в численной форме в виде дроби, так и в линейной:
              Численный масштаб (например, 1:50 000) фиксирует соотношение между линией на карте и соответствующей ей линией на отображаемой картой местности. Так, одна единица длины на карте масштаба 1:50 000 соответствует 50 тысячам тех же единиц на местности. Иными словами, реальный мир воспроизводится на карте в одну пятидесятитысячную своего действительного размера. Таким образом 1 см на карте масштаба 1:50 000 представляет 50 000 см (то есть 500 м, или полкилометра) на местности.
              Линейный масштаб имеет вид простой линии или полосы, разделенной на единицы длины (обычно на километры или мили). Измерить по карте расстояние между двумя точками можно с помощью циркуля-измерителя (либо совместив с обеими точками край листа и отметив карандашом расстояние между ними по карте), который затем накладывается на линейный масштаб со считыванием значения реального расстояния на местности в привычных единицах измерения расстояний.
              Часто для иллюстрации обзорных статей в газетах и журналах приводятся две или даже три карты разных масштабов. Это дает возможность читателю рассмотреть во всех подробностях небольшую страну или ее часть и в то же время узнать ее местоположение на карте мира.
              Масштабы карт обычно выражают отношением единицы к числу, показывающему, во сколько раз все размеры на карте меньше соответствующих размеров в натуре. Вот, например, два масштаба: 1:500 000 и 1:10000 000. Сообразите, какой из них крупнее и во сколько раз.
              Более крупным считается тот масштаб, в котором одни и те же географические объекты изображаются крупнее. В самом деле, масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. А из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель. Значит масштаб 1:500 000 крупнее масштаба 1:10 000 000 в 20 раз.
              А если вам встретится такое выражение: «Масштаб карты более 1 км в 1 см», что же это будет за карта? Крупнее или мельче, чем карта масштаба 1:100 000, у которой 1 см точно соответствует 1 км? Оказывается мельче, потому что, чем больше знаменатель, тем мельче масштаб карты.
              По численному масштабу очень легко узнать именованный масштаб (число километров, соответствующее 1 см карты). Километр, как известно, содержит 100 000 см. Значит, знаменатель масштаба надо разделить на 100 000, т. е. у знаменателя нужно зачеркнуть последние пять нулей.

              А далее видео…

              Раз:

              И два:

              Масштаб карты виды масштаба цель

              Масштаб карты. Виды масштаба

              Цель:

              — Сформировать у учащихся понятие о масштабе и его видах

              — Научить учащихся пользоваться масштабом, переводить из численного в именованный и обратно

              Оборудование:

              Карты различных масштабов

              Карточки – лото

              Карточки для закрепления изученного

              Ход урока

              I Организационный момент

              II Поверка знаний по изученному материалу

              1. Задания на знание определений

              — Что называется планом местности?

              — Что такое карта?

              — Как делятся карты по охвату территории, содержанию, масштабу?

              — Что такое условные знаки?

              — Назовите виды условных знаков

              2. Задание на знание условных знаков

              А) Учитель показывает карточки с условными обозначениями, а учащиеся записывают описание знака в тетрадях (оценочная работа)

              Б) Игра «Лото»

              Играют двое или один ученик (лучше двое, чтобы работу можно было сразу оценить). Игрокам выдается одна большая карточка и шесть маленьких. Большая карточка расчерчена на шесть полей, на каждом поле – условный знак, а на шести маленьких карточках – словесное описание условных обозначений. Необходимо найти соответствие. Работу можно организовать и наоборот: на большой карточке – словесное описание, на маленьких – условные обозначения. Например,

              В) Топографический диктант (оценочная работа)

              Необходимо заменить слова условными топографическими знаками.

              От деревянного моста мы пошли по шоссе через луг. Слева виднелось болото, справа кустарник. Вскоре мы вошли в лиственный лес, пересекли овраг и подошли к озеру

              III Изучение нового материала

              Учитель предлагает детям выполнить невыполнимое проблемное задание – начертить в тетрадях план пришкольного участка в натуральную величину.

              — Почему не можете начертить план? (Он большой, а тетрадь маленькая)

              — Что нужно сделать, чтобы выполнить задание? (Уменьшить план или увеличить тетрадь)

              — Посмотрите на карты (Учитель показывает карты разных масштабов). Что можете сказать о реках, озерах, морях, городах? (Они уменьшены. На одних картах – сильнее, на других меньше)

              — Но как выразить уменьшение?

              Прочитайте в учебнике (§2, стр 11, «Масштаб»). Учащиеся читают и отвечают, что уменьшение выражают дробью, которая показывает, во сколько раз расстояние на карте умешено по сравнению с реальным расстоянием на местности. Это дробное число называют масштабом (определение учащиеся записывают в тетрадь)

              Затем учитель предлагает заполнить схему «Виды масштабов» (используя текст учебника)

              По окончании самостоятельной работы учеников учитель сам объясняет виды масштаба.

              Масштаб (нем mab-мера, stab – палка) – отношение длины отрезка на карте или плане к его действительной длине на местности.

              Масштаб может быть выражен дробью, где числитель равен единице, а знаменатель – число, показывающее во сколько раз уменьшено изображение, — это численный масштаб.

              Например:

              1:50 – 1 см на карте соответствует 50 см на местности;

              1:100 – 1 см на карте соответствует 100 см на местности;

              1:1000 – 1 см на карте соответствует 1000 см на местности;

              1:100000000 – 1 см на карте соответствует 100000000 см на местности;

              Задание.

              Начертите в тетрадях квадрат со сторонами 100 см в масштабе 1:50 (квадрат со стороной 2 см)

              Кроме численного есть именованный масштаб. Он показывает, какое расстояние на местности соответствует одному сантиметру на карте или плане. Например, в1 см – 1м

              Задание

              Начертите в этом масштабе (в 1 см – 1 м) квадрат со сторонами 3 (квадрат со стороной 3 см)

              — А что делать, если именованный масштаб не указан, а имеется численный, например, 1:1000000 см. Что нужно сделать? (В правой части перевести сантиметры в метры и , если требуется в километры. т.е. в 1см 10 км

              — Используя масштабы карт в учебнике (§2, стр 11), переведите численный масштаб в именованный. Например:

              1:15000000 ( в 1 см 150 км)

              1:3000000 ( в 1 см 30 км)

              1:1950000 ( в 1 см 19,5 км)

              Третий вид масштаба – линейный. Он показан в виде вспомогательной мерной линейки (§2, стр 11), наносимой на картах для удобства измерения расстояний. Линейный масштаб обычно не заменяет численный и именной, а приводится наряду с ними. Первый сантиметр слева делится на равные мелкие участки.

              IV Закрепление

              Выполнить задания (тетрадь – тренажер, стр 11 «Считаем и сравниваем»)

              1. Определите, во сколько раз уменьшено расстояние на планах, построенных в масштабе:

              А) 1:50 Б) 1:100 В) 1:5000

              Какой из этих масштабов мелкий?

              1. Определите численный масштаб плана местности, если расстояние в 4 км показано на нем отрезком длиной 8 см.

              2. Рассчитайте, отрезком какой длины (в см) может быть выражено расстояние в 50м при масштабе плана 1:2500

              3. Переведите численные масштабы в именованные:

              А) 1:10000 б) 1:250000 в) 1:500000

              V Игра «Путешествие в страну Масштабию»

              Групповая работа. Число групп – четное. Учащиеся передвигаются по этапам. Результаты записываются в тетради.

              Первый этап.

              Перевести именованный масштаб в численный

              В 1 см – 10 м в 1см – 200 м

              В 1 см – 50 км в 1см – 750 км

              Второй этап

              Перевести численный масштаб в именованный

              1:10000 1:30000

              1:750000 1:100000

              Третий этап

              Измерить расстояние на карте и вычислить расстояние на местности (на топографической карте)

              Четвертый этап

              Определите масштаб плана, если дорога длиной 5 км на нем имеет длину 20 см

              Пятый этап

              Учащиеся прошли на север 5000 м. начертите маршрут движения с помощью масштаба в 1 см – 1 км.

              По окончании работы группы обмениваются тетрадями и вместе с учителем определяют правильные ответы. После проверки дается устная оценка работ. Тем, кто допустил ошибки, предлагается с особой тщательностью подойти к выполнению домашнего задания.

              Домашнее задание: §2, стр 11, записи

              Масштаб

              Топографическая карта

              Топографическими называются такие карты, содержание которых позволяет решать по ним разнообразные технические задачи.

              Карты либо являются результатом непосредственной топографической cъемки местности, либо составляются по имеющимся картографическим материалам.

              Местность на карте изображается в определенном масштабе.

              Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем крупнее масштаб. Планы составляют в крупных масштабах, а карты – в мелких.

              В картах учитывается «шарообразность» земли, а в планах – нет. Из-за этого планы не составляются для территорий площадью свыше 400 км² (то есть участков земли примерно 20 км × 20 км).

              Стандартные масштабы топографических карт

              В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт:

              1. 1:1 000 000
              2. 1:500 000
              3. 1:200 000
              4. 1:100 000
              5. 1:50 000
              6. 1:25 000
              7. 1:10 000.

              Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

              Крупномасштабные топографические карты

              Карты масштабов:

              1. 1:10 000 (1см =100м)
              2. 1:25 000 (1см = 100м)
              3. 1:50 000 (1см = 500м)
              4. 1:100 000 (1см =1000м)

              называются крупномасштабными.

              Другие масштабы и карты

              Топографические карты территории России до масштаба 1:50 000 включительно являются секретными, топографические карты масштаба 1:100 000 — ДСП (для служебного пользования), а мельче — несекретными.

              В настоящее время существует методика создания топографических карт и планов любых масштабов, не имеющих грифа секретности и предназначенных для открытого пользования.

              Точность масштаба

              Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба.

              Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0.01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2.5 м; для карты 1:100 000 — 10 м и т. п.

              Масштабы топографических карт

              численный масштаб карты

              название карты

              1 см на карте соответствует на местности расстоянию

              1 см2 на карте соответствует на местности площади

              1:5 000

              пятитысячная

              50 м

              0.25 га

              1:10 000

              десятитысячная

              100 м

              1 га

              1:25 000

              двадцатипятитысячная

              250 м

              6.25 га

              1:50 000

              пятидесятитысячная

              500 м

              25 га

              1:1100 000

              стотысячная

              1 км

              1 км2

              1:200 000

              двухсоттысячная

              2 км

              4 км2

              1:500 000

              пятисоттысячная, или полумиллионная

              5 км

              25 км2

              1:1000000

              мииллионная

              10 км

              100 км2

              Ниже приведены численые маштабы карт и соответствующие им именованые масштабы:

              Масштаб 1:100 000

              • 1 мм на карте – 100 м (0.1 км) на местности
              • 1 см на карте – 1000 м (1 км) на местности
              • 10 см на карте – 10000 м (10 км) на местности

              Масштаб 1:10000

              • 1 мм на карте – 10 м (0.01 км) на местности
              • 1 см на карте – 100 м (0.1 км) на местности
              • 10 см на карте – 1000м (1 км) на местности

              Масштаб 1:5000

              • 1 мм на карте – 5 м (0.005 км) на местности
              • 1 см на карте – 50 м (0.05 км) на местности
              • 10 см на карте – 500 м (0.5 км) на местности

              Масштаб 1:2000

              • 1 мм на карте — 2 м (0.002 км) на местности
              • 1 см на карте – 20 м (0.02 км) на местности
              • 10 см на карте – 200 м (0.2 км) на местности

              Масштаб 1:1000

              • 1 мм на карте – 100 см (1 м) на местности
              • 1 см на карте – 1000см (10 м) на местности
              • 10 см на карте – 100 м на местности

              Масштаб 1:500

              • 1 мм на карте – 50 см (0.5 метра) на местности
              • 1 см на карте – 5 м на местности
              • 10 см на карте – 50 м на местности

              Масштаб 1:200

              • 1 мм на карте – 0,2 м (20 см) на местности
              • 1 см на карте – 2 м (200 см) на местности
              • 10 см на карте – 20 м (0.2 км) на местности

              Масштаб 1:100

              • 1 мм на карте – 0,1 м (10 см) на местности
              • 1 см на карте – 1 м (100 см) на местности
              • 10 см на карте – 10 м (0.01 км) на местности

              Пример 1

              Переведите численный масштаб карты в именованный:

              1. 1:200 000
              2. 1:10 000 000
              3. 1:25 000

              Решение:

              Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе.

              Например, в масштабе 1:500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.


              Если после цифры в знаменателе пятьи более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

              Пример для масштаба 1:500 000

              В знаменателе после цифры – пять нулей. Закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.

              
Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

              Если, например, в знаменателе масштаба 1:10 000 закроем два нуля, получим:

              в 1 см – 100 м.

              Ответы

              1. в 1 см – 2 км
              2. в 1 см – 100 км
              3. в 1 см – 250 м

              Используйте линейку, накладывайте на карты для облегчения измерения расстояний.

              Пример 2

              Переведите именованный масштаб в численный:

              1. в 1 см – 500 м
              2. в 1 см – 10 км
              3. в 1 см – 250 км

              Решение:

              Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры.

              Если расстояние на местности выражено в метрах, тогда чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.


              Например, для именованного масштаба в 1 см — 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1:10 000.

              Для масштаба в 1 см – 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1:500 000.

              Ответы

              1. 1:50 000;
              2. 1:1 000 000;
              3. 1:25 000 000.

              Типы карт в зависимости от масштабов

              Карты в зависимости от масштабов условно подразделяют на следующие типы:

              • топографические планы 1:400 — 1:5 000;
              • крупномасштабные топографические карты 1:10 000 — 1:100 000;
              • среднемасштабные топографические карты от 1:200 000 — 1:1 000 000;
              • мелкомасштабные топографические карты менее 1:1 000 000.

              Каким бывает масштаб?

              Для работы с чертежами вам понадобится один важный документ: ГОСТ 2.302-68.

              Это документ со всей необходимой информацией, связанной с масштабом чертежей. К сожалению, вы не можете выбирать его самостоятельно: он должен совпадать с параметрами, определенными ГОСТом.

              Есть несколько видов масштабов чертежей по ГОСТ:

              • натуральной величины — 1:1. Удобно, когда нужно быстро сориентироваться в реальном размере объекта;
              • масштаб уменьшения. Это лучший вариант, если вы хотите показать на чертеже большой станок или объемную деталь. Примеры: 1:2, 1:10, 1:25, 1:100 и т. п;
              • масштаб увеличения. Нужен в тех случаях, если деталь мелкая, как механизм часов или гайка. Это 3:1, 4:1, 10:1 и др;
              • особый м-б уменьшения. Такой вариант вам понадобится для огромных объектов — моста или высотного здания. Чтобы его просчитать, используйте формулу 1:10n, 1:(2*10n), 1:(4*10n) и т. д. Здесь n — целое число;
              • особый м-б увеличения. Тут применяется обратная формула (10*2):1, в которой n является целым числом.

              При проектировке генерального плана больших объектов применяют масштабы типа 1:2000, 1:10000 и т. д.

              Масштаб.

              Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.

              В соответствии со своим масштабом карты так и называют: пятитысячная, десятитысячная и т.д.

              Пятитысячная карта, т. е. карта с масштабом 1:5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Но мы не меряем расстояния на местности в сантиметрах. Переводим 5000 см в метры. Так как 1 м = 100 см, то 5000 см=50 м. Следовательно, 50 м на местности изображены на пятитысячной карте отрезком, равным 1 см. Что же можно изобразить на пятитысячной карте? Например, наш сквер, имеющий прямоугольную форму с размерами 600 м х 200 м (длина сквера 600 метров, а ширина 200 метров). На карте с масштабом 1:5000 сквер будет изображен прямоугольником длиной 12 см (600:50=12) и шириной 4 см (200:50=4).

              десятитысячной1:100001 см10000 см100 м

              Как «читать» эту карту? Найдем расстояние между интересующими нас объектами в сантиметрах и умножим на 10000 (см), а затем переведем в метры.

              На двадцатипятитысячных, пятидесятитысячных картах изображают небольшие населенные пункты.

              На стотысячных, двухсоттысячных картах можно изображать крупные города.

              Одному сантиметру стотысячной карты соответствуют 100 000 см на местности. Переведем в метры: 100 000 см = 1000 м, а затем в километры: 1000 м=1 км.

              Итак, 100 000 см=1 км. Сделаем вывод: чтобы перевести число сантиметров в километры, нужно разделить это число на 100 000 (или просто «убрать» пять нулей). Теперь нам проще будет представить масштабирование 1:100 000. На 1 см на карте приходится 1 км на местности. Если расстояние от вашего города до дачного поселка  составляет 10км (по прямой!), то на стотысячной карте это расстояние представляет собой отрезок длиной 10см.

              На двухсоттысячной карте (М=1:200 000) в 1 см изображается фактическое расстояние, равное 2 км (200 000 см=2 км).

              На трехсоттысячной карте с масштабом 1:300 000 под каждым сантиметром подразумевают фактическое расстояние в 3 км (300 000 см=3 км).

              На пятитысячной карте 1 см соответствует 5 км на местности.

              На миллионной карте 1 см соответствует 10 км на местности. На таких картах изображают области, края.

              А на каких картах можно изобразить страны? Обычно карты стран, Республик имеют масштаб 1:8 000 000 или 1: 10 000 000.

              Большая карта Мира, которую вы изучаете в школе, имеет масштаб 1: 25 000 000.

              Чтобы напечатать эту карту в атласе нужно ее уменьшить. И тогда масштаб карты Мира в атласе может составить 1: 60 000 000 или 1:75 000 000, если атлас будет поменьше.

              Задача 1. Пользуясь картой масштабом 1:12 250 000, найдите расстояние (по прямой) между Астаной и Таразом на местности.

              Решение.

              На карте 1 см соответствует 12 250 000 см или (делим число сантиметров на 100 000 — переносим запятую на 5 цифр влево) 122, 5 км.

              Измерим линейкой расстояние между Астаной и Таразом на карте. Получилось 7,5 см. Нужно узнать, сколько километров соответствует отрезку на карте в 7,5 см. Итак:

              1 см ———-122,5 км

              7,5 см——-  х км.  Можно составить пропорцию, а можно рассуждать так: в 1 см — 122,5 км, тогда в 7,5 см — в 7,5 раз больше. Следовательно, 122,5·7,5=918,75. Округлим до целых: 918,75≈919.

              Ответ: от Астаны до Тараза (по прямой) 919 км.

               Задача 2. Найти масштаб карты, если расстояние от Астаны до Атырау (по прямой) на местности составляет 1500 км.

              Решение.

              Измеряем линейкой расстояние от Астаны до Атырау. Получилось 7,5 см. По условию можно записать:

              7,5 см ———- 1500 км. Найти масштаб карты — означает узнать, сколько километров (а потом, обязательно, — сантиметров на местности) соответствуют отрезку в 1 см на карте. Запишем:

              1 см ———— х км. Можно составить пропорцию: 7,5:1=1500:х, из которой найти ее крайний член х. А можно рассуждать так:  1500 км изображены отрезком в 7,5 см, значит, отрезок в 1 см будет соответствовать расстоянию в 7,5 раз меньшему, и нужно число 1500 разделить на 7,5.

              х=15007,5;

              х=1500075;

              х=200. Мы нашли, сколько км на местности приходится на 1 см на карте. Выразим 200 км в сантиметрах (для этого нам просто нужно приписать к числу 200 справа 5 нулей).

              200 км=20 000 000 см. Масштаб карты 1:20 000 000.

              Ответ: М=1:20 000 000.

              Смотрите видео: «Масштаб».

              Масштаб в черчении

              С данным понятием школьная программа знакомит не только на уроках географии, но и в черчении. Здесь он используется для детального изображения различных предметов. От географического масштаба, чертежный отличается тем, что здесь, наоборот, он применяется для увеличения на рисунке мелких деталей или их частей. К примеру, чтобы показать винтик и т.д.

              В данном случае, масштабирование нам помогает детальнее рассмотреть мелкий предмет. Записывается масштаб на чертеже, тоже в перевернутом виде 100:1. Это значит, что  100 метрических единиц предмета, который изображен на данном чертеже, соответствуют  1 единице его размера в действительности.

              Виды масштаба

              Указанный выше ГОСТ определяет 3 вида масштаба: натуральный, уменьшенный и увеличенный. Оптимальным является масштаб, который соответствует реальным параметрам, обозначается он 1:1.

              Лучший масштаб — реальный

              Тем не менее, не всегда получается воспроизвести объект в натуральную величину, если он слишком большой или маленький.

              В таких случаях используются увеличивающий и уменьшающий масштабы.

              Масштабы уменьшения применяются, когда габариты объекта слишком большие (например, в строительных чертежах, графических изображениях в сфере геодезии).

              ГОСТ предлагает около десятка вариантов увеличения, с которыми можно ознакомиться в пункте 5.2 данного нормативного документа или в таблице, предоставленной ниже (составлена по ГОСТ).

              Слишком крупные объекты, например, для генеральных планов, можно изображать в соотношениях 1:50000, 1:25000, 1:20000, 1:10000, 1:5000, 1:2000.

              Если же деталь очень маленькая (гайка, болт, деталь компьютера, ноутбука и другой техники), для ее изображения на бумаге нужно использовать масштаб увеличения, варианты которого также предоставлены государственным стандартом (см. таблицу).

              Обратите внимание! Первая цифра в соотношениях указывает на величину реального объекта, а вторая – на размер на чертеже. Например, соотношение 1:2 указывает на то, изображение уменьшило деталь в 2 раза, а если на чертеже обозначено 2:1 – деталь наоборот увеличили в 2 раза

              ГОСТом предусмотрена и ситуация, когда автору нужно самостоятельно рассчитать увеличенный масштаб. Для этого используется формула 100n:1 (букву n при расчете меняем на целое число).

              Масштаб и его виды

              Если кратко, то это уменьшенное изображение определенной местности в какое-то количество раз. Он используется на картах, глобусах, планах и т.д. Поэтому его можно встретить в проектировании, геодезии и картографии. Масштаб указывает на то, в какое количество раз все линии на плане или чертеже больше, чем реальные размеры (или меньше). Виды таких увеличений и уменьшений бывают следующие:

              • графические;
              • численные;
              • именованные.

              Численный изображается, как дробь с единицей в числителе и со степенью уменьшения чертежа в знаменателе. Именованный указывает на то расстояние, которое соответствует одному сантиметру на местности. Например, в одном сантиметре 100 километров. Последний вид — графический, который делится на линейный и поперечный.

              Как определить масштаб чертежа 🚩 как уменьшать масштаб чертежа 🚩 Наука 🚩 Другое

              23 сентября 2011

              Автор КакПросто!

              Выбор масштаба, в котором будет выполнен чертеж, важная задача каждого инженера-конструктора. При выполнении чертежей небольших деталей или сборочных единиц предпочтителен натуральный масштаб 1:1, при котором чертеж детали выполняется с размерами реального объекта. Часто для удобства прочтения чертежа применяют масштабы увеличения или уменьшения.

              Инструкция

              Если вы не можете найти масштаб на чертеже, попытайтесь определить его самостоятельно. Для этого вам необходимо знать, какой именно объект изображен на чертеже и его габаритные размеры. Если на чертеже размеры не проставлены, но под рукой у вас есть деталь, измерить ее можно с помощью штангенциркуля, линейки или рулетки.

              Найдите на чертеже тот вид детали, на котором нанесены габаритные размеры. Приложите линейку или рулетку к размерной линии одного из габаритных размеров и измерьте ее длину. На чертеже она выглядит как отрезок со стрелками на концах и числовым значением размера посередине.

              Сравните полученный результат с числовым значением размера. Для этого разделите результат на числовое значение. Например, вы получили значение 16 мм, а на размерной линии написано 8. Разделив значения, вы получите число 2, это и будет масштаб увеличения, поскольку измеренный отрезок оказался больше значения размера в 2 раза.

              Если вы не можете найти масштаб на строительном чертеже, попробуйте выяснить размеры проектируемого или уже имеющегося здания. Приблизительно определить реальные размеры здания можно, оценив количество этажей в нем, высоту потолков и т.д. Затем также измерьте высоту здания, изображенного на чертеже, и сравните значения. Обязательно учитывайте то, что размеры на чертежах проставляются в миллиметрах.

              как уменьшать масштаб чертежа

              Совет полезен?

              Не получили ответ на свой вопрос?Спросите нашего эксперта:

              Линейный масштаб

              Линейный масштаб представляет собой шкалу с делениями и по значению, как правило, соответствует численному.  

              Линейный масштаб представляет собой прямую линию, на которой несколько раз отложены равные отрезки называемые основанием масштаба. Левый крайний отрезок разделен на 10 равных частей. По этому масштабу одну десятую часть наименьшего деления оценивают на глаз. В качестве линейного масштаба может быть использована любая линей ка с миллиметровыми делениями. Расстояния по линейке откладывают с помощью циркуля-измерителя.  

              Линейный масштаб представляет собой шкалу, деления которой подписаны применительно к заданному численному масштабу. Им пользуются при нанесении проекций линий на чертеж, а также при измерении линий на чертеже с целью определения соответствующей им длины на проекции.  

              Способы выражения масштаба карты. Три наиболее распространенных способа выражения масштаба. вербальный, линейный и численный.  

              Линейный масштаб ( graphic scale), также показанный на Рисунке 3.2 — еще один из основных методов выражения масштаба; здесь действительные расстояния на земле показываются прямо на карте. На карте могут быть показаны и реальные площади, но это встречается гораздо реже. Манипуляции с картами в ГИС с большой вероятностью влекут за собой многие изменения масштаба выходных документов, в зависимости от требований пользователя. Во время ввода карты на нее может быть помещена масштабная линейка, и при изменении масштаба на выходе будет изменяться и сама линейка.  

              Линейные масштабы схем должны соответствовать ГОСТ 2302 — 68 на линейные размеры.  

              Начертим линейный масштаб ниже основания картины. Затем с помощью масштаба глубины определим перспективу точки А.  

              Вычисление линейного масштаба ц / производится так, как это сделано в следующем примере.  

              Вычисление линейного масштаба ii производится так, как это сделано в следующем примере.  

              Вычисление линейного масштаба jj; производится так, как это сделано в следующем примере.  

              Применение линейного масштаба избавляет от вычислений, выполняемых при пользовании численным масштабом. Хотя эти вычисления просты, но при большом их количестве становятся утомительными и отнимают много времени.  

              Вычисление линейного масштаба цг производится так, как это сделано в следующем примере.  

              Пользуются линейным масштабом следующим образом. На чертеже разметочным циркулем измеряют длину отрезка прямой и, приложив ножки циркуля к шкале, определяют его размер.  

              В качестве линейного масштаба в приводимых формулах используется D — диаметр трубы.  

              Для построения метрического линейного масштаба берут прямую линию и откладывают на ней несколько раз ( четыре-пять) один и тот же отрезок, называемый основанием масштаба. Первое основание делят на 10 равных частей и на правом конце его пишут нуль, а на левом — то число метров или километров, которое на проекции соответствует в заданном масштабе основанию. Вправо от нуля деления масштаба подписывают соответственно расстояниям на местности, выраженным отрезками от нуля до штриха с подписью. В качестве основания для метрических масштабов чаще всего берут отрезок в 2 см. Тогда линейный масштаб для численного 1: 5000 получится таким, как на рис. 10, а.  

              Как измерять расстояние по карте, плану или глобусу?

              Измерять расстояния можно при помощи масштаба или градусной сетки (на плане её нет). Второй способ мы изучим немного позднее. Чтобы узнать расстояние на местности, нужно расстояние между двумя точками на карте или плане измерить при помощи линейки (этот способ подходит для прямых линий, для извилистых пользуются курвиметром или измерением малым раствором циркуля).

              Измерения нужно производить очень точно, учитывая миллиметры. Затем полученные данные умножить на величину масштаба. Например, если при измерении мы получили расстояние 1,4 см, а масштаб карты в 1см 10 000 км, нужно умножить 1,4 на 10 000, получится 14 000 км – это и есть расстояние на местности. Нужно знать, что мы узнаём не действительное расстояние, а его проекцию. Линия на карте может иметь разные неточности в связи с углом наклона земной поверхности.

              При помощи линейного масштаба измеряют расстояние линейкой или циркулем, переносят это расстояние на масштабную линейку и без дополнительных расчетов получают искомое расстояние. При этом неизбежны ошибки, которые зависят от масштаба и проекции карты. Чем крупнее масштаб карты, тем точнее измеренные расстояния.

              Глобус – объёмная модель Земли. Он показывает шарообразную форму нашей планеты. На нём все объекты изображены в неискажённом виде. В отличие от карты, они сохраняют свою форму, площадь, длину. Направления на глобусе совпадают с направлениями на Земле. У глобуса всюду один и тот же масштаб, который обычно надписывается в южной части Тихого океана. Масштабы школьных глобусов очень мелкие: 1:50 000 000, т. е. в 1 см – 500 км, истинное расстояние на нём уменьшается в 50 миллионов раз.

              Для определения расстояний по глобусу надо ниткой или полоской бумаги измерить расстояние между заданными пунктами и, зная масштаб глобуса, вычислить истинное расстояние с помощью пропорции, как по обычной карте.

              Сказка про карту в масштабе 1:1

              Жил-был Капризный Король. Однажды он объехал своё королевство и увидел, как велика и прекрасна его земля. Он увидел извилистые реки, огромные озёра, высокие горы и чудесные города. Он возгордился своими владениями и захотел, чтобы весь мир узнал о них.

              И вот, Капризный Король приказал картографам создать карту королевства. Картографы трудились целый год и, наконец, преподнесли Королю замечательную карту, на которой были обозначены все горные гряды, крупные города и большие озёра и реки.

              Однако, Капризный Король остался недоволен. Он хотел видеть на карте не только очертания горных цепей, но и изображение каждой горной вершины. Не только крупные города, но и мелкие, и селения. Он хотел видеть небольшие речки, впадающие в реки.

              Картографы вновь принялись за работу, трудились много лет и нарисовали другую карту, размером в два раза больше предыдущей. Но теперь Король пожелал, чтобы на карте были видны перевалы между горными вершинами, маленькие озерца в лесах, ручейки, крестьянские домики на окраине селений. Картографы рисовали все новые и новые карты.

              Капризный Король умер, так и не дождавшись окончания работы. Наследники один за другим вступали на трон и умирали в свою очередь, а карта все составлялась и составлялась. Каждый король нанимал новых картографов для составления карты королевства, но всякий раз оставался недовольным плодами труда, находя карту недостаточно подробной.

              Наконец картографы нарисовали Невероятную карту! Она изображала всё королевство в мельчайших подробностях — и была точно такого же размера, как само королевство. Теперь уже никто не мог найти различия между картой и королевством.

              Где же собирались хранить Капризные Короли свою замечательную карту? Ларца для такой карты не хватит. Понадобится огромное помещение вроде ангара, и в нем карта будет лежать во много слоев. Только нужна ли такая карта? Ведь карта в натуральную величину может быть с успехом заменена самой местностью ))))

              Полезно ознакомиться и с этим

              • Ознакомиться с используемыми в России единицами измерения площадей земельных участков можно здесь.
              • Для тех, кого интересует возможность увеличения площади земельных участков для ИЖС, ЛПХ, садоводства, огродничества, находящихся в собственности, полезно ознакомиться с порядком оформления прирезок.
              • С 1 января 2018 года в кадастровом паспорте должны быть зафиксированы точные границы участка, поскольку купить, продать, заложить или подарить землю без точного описания границ будет попросту невозможно. Так регламентировано поправками к Земельному кодексу. А тотальная ревизия границ по инициативе муниципалитетов началась с 1 июня 2015 г.
              • С 1 марта 2015 года вступил в силу новый Федеральный закон «О внесении изменений в Земельный кодекс РФ и отдельные законодательные акты РФ» (N 171-ФЗ от 23.06.2014 г.), в соответствии с которым, частности, упрощена процедура выкупа земельных участков у муниципалитетов. Ознакомиться с основными положениями закона можно здесь.
              • В отношении регистрации домов, бань, гаражей и других построек на земельных участках, находящихся в собственности граждан, улучшит ситуацию новая дачная амнистия.

              С этим читают

              Масштаб карты

              — репрезентативная дробь, линейная шкала и вербальная шкала

              Естественно, невозможно нарисовать на карте объекты реального мира такого размера, как их истинный размер. Поэтому для того, чтобы представить реальный мир, карты делаются в определенном масштабе. Масштаб карты определяется как отношение расстояния между двумя точками на карте к соответствующему расстоянию на земле. Карты бывают разных масштабов.Карты большого размера покрывают небольшую территорию с большой детализацией и точностью. в то время как мелкомасштабные карты охватывают большую территорию с меньшей детализацией.

              Как показано на этом изображении, масштабы карты могут быть выражены как словесное утверждение, как дробь или соотношение и, наконец, как графическая шкала или шкала. Такие масштабные выражения можно использовать для определения расстояния между любыми объектами на основе преобразования соответствующего измерения расстояния на карте.

              вербальная шкала:

              «1 сантиметр на карте соответствует 500 м на земле» — словесная шкала.Очевидно, что здесь расстояние в 1 см на карте соответствует 500 м на поверхности земли. Итак, если вы планируете маршрут с общим расстоянием 22 см на карте, это будет означать, что вы будете путешествовать (22 см x 500 м) / 1 см = 11000 м или 11 км по земле.

              Репрезентативная фракция (RF) — Дробная шкала — Масштаб отношения:

              1: 50000 представляет масштаб карты в виде математического отношения или дроби, таким образом, масштаб соотношения имен или дробный масштаб. 1: 50000 также может отображаться как 1/50000.Здесь такой масштаб означает, что одна единица измерения на карте равно 50000 единиц такой же единицы на земле. Такой единицей может быть что угодно, например, сантиметр, метр, футы, дюймы, длина вашего пальца, половина длины карандаша и т. Д. Также мы можем сказать, что любое расстояние на карте составляет 1/50000 от его истинного значения на земле. . Следовательно, 1 см на карте равен 50000 см на земле, то есть 1 см на карте равен (50000 см x 1 м) / 100 см = 500 м или 0,5 км на земле. Опять же, 22-сантиметровый маршрут на карте можно рассчитать как равный 22 х 50000см = 1100000см на земле или (1100000см х 1м) / 100см = 11000м.

              Барная шкала — Графическая шкала — Линейная шкала:

              Гистограмма, также известная как масштабная линейка, линейная шкала или графическая шкала, визуально показывает взаимосвязь между расстояниями на карте и реальным миром. Обычно сбоку от карты отображается более одной шкалы, в каждой из которых используются разные единицы измерения. Чтобы измерить расстояние на Google Maps, вы можете использовать шкалу шкалы в углу карты. Длина шкалы и числа корректируются при увеличении или уменьшении масштаба карты.Чтобы увидеть пример измерения расстояний с использованием линейчатой ​​шкалы, проверьте расчет уклона по сечению горизонтальных линий.

              Зная дробный масштаб карты, масштабную линейку инженера или архитектора можно использовать для определения расстояний до земли напрямую, без вышеуказанных математических вычислений. Линейки могут быть представлены как в метрических, так и в английских единицах измерения. Многие компасы имеют аналогичную линейку на опорной пластине. Определение расстояний до извилистых объектов, таких как тропы или реки, может оказаться сложной задачей и потребовать много времени при использовании объекта с прямыми краями, например линейки; в таких случаях вы можете использовать веревку и разместить ее на карте по длине объекта, а затем поместить веревку рядом со шкалой для прямого измерения (или измерить ее длину линейкой).

              Вы можете удобно измерить расстояния между любыми двумя точками на топографических картах или базовых картах Google Maps с помощью инструмента расстояния и пеленга в Geokov Map Maker. Просто введите координаты (широта / долгота или UTM) точек и выберите желаемую единицу измерения расстояния. В качестве альтернативы инструмент линии в Map Maker можно использовать для рисования линии вдоль объекта или между точками; длина линии (расстояние) будет показана в легенде слева от карты.

              Карты малого масштаба и карты большого размера

              Как упоминалось выше, карты бывают разных масштабов. Карты большого и малого масштаба можно различать с помощью дробных или пропорциональных выражений. Карта, покрывающая большую территорию (например, страну или штат) с мелким масштабом, является картой малого масштаба (например, 1: 1000000), тогда как карта, охватывающая меньшую область (город) с крупной частью, является крупномасштабной картой ( например, 1: 10000). В большинстве случаев сравнение крупномасштабных и мелкомасштабных карт может быть относительным.Например, карта 1: 250000 имеет меньший масштаб, чем карта 1: 50000. Если запутались, просто проведите деление: 1/250000

              При работе с цифровыми картами размер карты во время печати может быть изменен таким образом, чтобы она умещалась на странице. Размер цифровой карты также можно изменить, сохранив ее в другом формате (например, jpg, png, pdf). Та же проблема возникает, когда бумажная карта воспроизводится путем ксерокопирования.Обратите внимание, что в таких ситуациях исходный масштаб соотношения (или вербальный масштаб) карты больше не будет точным. Однако преимущество шкалы шкалы состоит в том, что она будет сжиматься или расширяться в соответствии с картой в случае любого изменения размера и, следовательно, останется точным представлением масштаба карты. Кроме того, разные разрешения мониторов и уровни масштабирования делают ненадежными соотношения / вербальные масштабы цифровых карт.

              Еще один момент, заслуживающий внимания, заключается в том, что, хотя вы можете просматривать цифровую карту в любом масштабе, увеличивая / уменьшая масштаб на экране компьютера, вы должны отметить, что когда карта создается в определенном масштабе с определенным уровнем точности (или error), изменение его масштаба не повлияет на исходный уровень точности.Например, при увеличении масштаба топографической карты 1: 50000 так, чтобы ее масштаб изменился на 1: 25000 или 1: 10000, уровень точности карты останется на исходном уровне, разработанном для карты 1: 50000. Другими словами, ваша увеличенная карта (до масштаба 1: 10000) не будет иметь такой же уровень точности, как первоначально опубликованная карта 1: 10000.

              Как сделать линейную шкалу в Excel | Small Business

              Microsoft Excel — это универсальная программа, которая позволяет создавать различные документы, изображения и диаграммы.Создайте линейную шкалу в Excel для отображения размеров карты, чертежа или модели. Линейные шкалы используются в архитектуре, инженерии и картографии для передачи относительных размеров объекта. Используйте встроенные инструменты Excel для создания, настройки и изменения линейной шкалы. Создав линейную шкалу в Excel, вы можете скопировать и вставить ее в документ, презентацию или электронное письмо.

              Откройте новую пустую электронную таблицу Excel, щелкнув вкладку «Файл» на ленте, нажав кнопку «Создать» и дважды щелкнув «Пустая книга».»Если ваша линейная шкала относится к данным из существующей электронной таблицы Excel, откройте эту электронную таблицу вместо этого. Откройте или создайте новую вкладку в нижней части экрана.

              Переключитесь на макет страницы, чтобы просмотреть параметры страницы вашей электронной таблицы. Стандартная страница макет для электронной таблицы Excel — книжный. Если вам нужно больше места для линейного масштаба, переключите ориентацию в альбомный режим на вкладке «Макет страницы» на ленте.

              Измените ширину столбцов, чтобы представить каждый сегмент линейного масштаба.Выделите все столбцы, щелкните правой кнопкой мыши и выберите кнопку «Ширина столбца». Введите ширину, соответствующую вашей шкале, например «1 дюйм» для одного дюйма или «1 см» для одного сантиметра.

              Добавьте границы к ячейкам, чтобы различать разные сегменты. Выделите первую строку и щелкните вкладку «Главная» на ленте. Нажмите кнопку «Границы» в области «Шрифт» и выберите «Все границы».

              Назначьте контрольные точки в нижней части линейной шкалы, введя значения во вторую строку.Например, если ваша шкала представляет собой мили, вашими опорными точками могут быть ноль, пять, 10, 15 и 20. Введите масштаб в строку три, чтобы отобразить фактический масштаб вашего инструмента, например «Масштаб 1: 10 000».

              Ссылки

              Советы

              • Единицы ширины столбца и высоты строки по умолчанию в Excel представляют собой количество стандартных символов, которые умещаются в пространстве. Например, если вы измените ширину столбца на пять без каких-либо единиц, Excel изменит ширину до пяти знаков.Для конкретных измерений введите такие единицы измерения, как «дюймы» или «сантиметры» в режиме просмотра макета страницы.

              Писатель Bio

              Эмили Эдигер начала профессионально писать в 2007 году. Ее работа включает документирование технических процедур и редактирование программ мероприятий. Ее опыт заключается в технологиях, интерактивном обучении и поиске информации. Она имеет степень бакалавра искусств по английскому языку в Государственном университете Портленда.

              НОВЫЕ УРОКИ НА КАРТАХ ИЛИ ПЛАНАХ И МАСШТАБАХ

              ТЕМА : Теория чисел

              ТЕМА : Карты и весы

              УРОК : Расчет фактических расстояний. на поверхности земли с расстояний на картах и ​​наоборот

              ПРЕДЫДУЩИЕ ЗНАНИЯ : Студенты может решать задачи, связанные с пропорциями и пропорциями, а также конвертировать из одного единица измерения в другую.Студенты могут идентифицировать карту.

              ЦЕЛИ : К концу урок, ученики должны б

              я) Возможность рассчитывать расстояния на картах с учетом масштаба, соответствующие фактические расстояния на поверхности земли и наоборот.

              II) ii) Способен для расчета масштабов, если указаны расстояния на карте и на земной поверхности.

              iii) iii) Возможность точного преобразования из одной единицы измерения к другому.

              ОБУЧЕНИЕ СПИДУ : Карты с масштабы и обозначенные в нем маршруты

              МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ : Демонстрация, групповое обсуждение, Опрос и методы задания

              УРОВЕНЬ УРОВНЯ : 7

              ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ : 45 минут

              ВВЕДЕНИЕ

              Когда карта нарисована в масштабе скажем, 1:50 000, это означает, что 1 см на карте соответствует 50 000 см на поверхности земли. или на суше. 1:50 000 — это соотношение, показывающее расстояние на карте к расстоянию на суше.Это соотношение можно изменить на противоположное, чтобы оно составляло 50 000: 1, то есть расстояние на суше до расстояние на карте.

              ПРЕЗЕНТАЦИЯ

              Если соотношение 1: 50 000 означает, что 1 см на карте равен 50 000 см на суше. Когда это соотношение меняется на противоположное, оно составляет 50 000: 1 или записывается как

              .

              50 000

              1 называется линейным масштабным коэффициентом и обозначается.

              Длина по суше = K или расстояние на суше = k,

              Длина на карте Расстояние на карте

              Используя приведенный выше коэффициент линейного масштабирования, следует, что 50,000 = K, умножить крест на номинал или

              1

              Пример 1

              Карта нарисована в масштабе 1:50 000.Рассчитайте длину дорога, которая отображается на карте как 3 см.

              Решение

              Масштаб 1: 50 000

              Длина по карте = 3см.

              Длина на суше = X

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 50,000

              Длина по суше = k

              Длина на карте

              Х = 50 000

              3см

              X x 3 см = 50 000 x 3 см

              3см

              X = 150 000 см.

              Следовательно, длина дороги на картах составляет 3 см. собственно 150 000см на суше.

              Пример 2.

              Карта нарисована в масштабе 1: 100 000. Рассчитайте расстояние между двумя городами A и B, которые на карте находятся на расстоянии 12,3 см друг от друга.

              Решение

              Масштаб 1: 100 000

              Расстояние на карте = 12,3см

              Расстояние по суше = X

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 100,000

              Расстояние по суше = k

              Расстояние на карте

              Х = 100 000

              12.3

              X x 12,3 см = 1000000 x 12,3 см

              12,3 см

              X = 1,230,000 см

              Следовательно, расстояние между двумя городами, которые кажутся 12,3 см на карте — это 1230 000 см на суше.

              Пример 3.

              Карта нарисована в масштабе 1: 30 000. Рассчитайте длину озеро на карте, длина которого на суше составляет 10 см.

              Решение

              Масштаб 1: 30 000

              Длина на карте = Y

              Длина по земле = 10 см

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 130,000

              Следовательно, длина озера на карте равна 0.000077см на карта.

              Расстояние по суше = к

              Расстояние на карте

              10 см = 130 000 знак равно k

              Y

              10 см x Y = 130000 x Y

              Y

              10 см = 130000 Y

              130,000Y = 10 см

              130 000 Y = 10 см

              130 000 130 000

              Y = 0,000077 см

              Примечание.Из выписки расстояние на суше = k; пишем, расстояние на суше = K x расстояние на карте

              расстояние на карте

              Пример 4.
              Если масштаб карты 1: 10 000. Какой будет длина дорога на карте длиной 50.000 см?

              Решение

              Масштаб 1: 10 000

              Карта длины = Y

              Длина на суше = 50 000см

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 10,000

              Расстояние по суше = K

              Расстояние на карте

              50 000 см = 10 000

              Y

              50,000 см x Y = 10,000 x Y

              Y

              50 000 см = 10 000 лет

              10,000Y = 50,000 см

              10,000 Y = 50,000 CM

              10 000 10 000

              Y = 5 см

              Следовательно, длина дороги на карте = 5см.

              Пример 5.

              Карта нарисована в масштабе 1: 20 000. Рассчитать;

              а) расстояние между двумя деревнями в км которые на карте кажутся на расстоянии 2 см друг от друга

              б) Длина на карте озера, Длина 10км.

              Решение

              а) Масштаб 1: 20 000

              Расстояние между деревни на карте = 2см

              Расстояние между деревни на суше = X

              Линейный масштаб (K) = 120 000

              Расстояние по суше =

              КБ

              Расстояние на карте

              Х = 20 000

              2см

              х х 2 см = 20,000×2 см

              2см

              X = 40 000 см

              Расстояние на суше в см составляет 40 000 см.Это необходимо преобразовать в километры (км)

              100 см = 1 м

              40,000 см = T

              40 000 см = т

              1000 см 1м

              400 м x 1 м = T

              Т = 400м.

              1000 м = 1 км

              400м =

              п.

              400 м = п

              1000 м 1 км

              400 м = п.

              10000м 1км

              P = 400 x 1 км

              1000

              Р = 0.4 км

              Следовательно, расстояние по суше в километрах составляет 0,4км

              б) Масштаб 1: 20 000

              Длина озера на земля = 10 км = (10 ) см = 1000000 см

              Длина озера на карте = Y

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 20 000

              Длина озера на суше = k

              Длина озера на карте

              1000000 см = 20 000

              y

              1,000,000 см = 20,000Y

              20,000Y = 1,000,000 см

              20000л = 1 000 000

              20000 20000 см

              Y = 50 см

              Длина озера 50 см. на карте.

              Пример 6

              На карте масштабом 1см до 5 м, расстояние между двумя пальмами — 14 см. Рассчитать расстояние между этими деревьями на земле.

              Решение

              Масштаб от 1 см до 5 м означает 1 см: 500 см, что дает 1: 500

              Расстояние на земля = X

              Расстояние на карте = 14 см

              Коэффициент линейного масштабирования (K) = 500

              Х = 500

              14см

              `X = 14 см

              X = 7000 см

              Расстояние между пальмы на земле находятся на расстоянии 7000 см друг от друга.

              ОЦЕНКА

              1) На карте масштаба 1: 35000 расстояние между двумя телефонными столбами — 26см. рассчитать расстояние между двумя столбы на суше.

              2) Если масштаб карты 1:10 000, то какой будет ли на карте длина дороги, равной 100м?

              3) Найдите длину дороги, представленной цифрой

              .

              я) 21.7см на карте

              II) O.75см на карте

              Когда масштаб от 1см до 5м

              4) Найдите длину на карте, представленной

              я) 7.2см на суше

              II) 28,6 см на суше

              При масштабе от 1 см до 10 м.

              КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ

              Ø Для выполнения любых расчетов убедитесь, что что шкала имеет те же единицы на задействованных числах и запишите это как соотношение в виде 1: n

              Ø Запишите коэффициент линейного масштабирования K полученный из соотношения размерности на суше: размер на карте или плане.

              Ø Используйте формулу; Длина на суше = K Длина на карте или плане.

              Ø Подставьте значения в формулу и решить как просили.

              Ø Не брать единицы измерения в используйте и убедитесь, что вы преобразовали их в один.

              ЗАКЛЮЧЕНИЕ

              1) Если масштаб 1: 10 000. Какая длина будет 60см на карте представляют на суше:

              я) в сантиметрах (cm)

              II) в метрах (м)

              iii) в километрах (км)

              2) Расстояние от Баменды до Ндопа составляет 32 км.Как далеко они будут друг от друга на карте масштаба 1: 5000?

              типов шкалы в географии — знайте все об этом

              Картография — это процесс создания карты, чтобы показать часть конкретных деталей поверхности Земли. Создатель карты указывает точное местоположение горы, здания, дороги и моста. Картография использует компьютерную графику, рисование от руки и живопись, чтобы показать детали достопримечательностей карты.

              Mapping предоставляет важную информацию о достопримечательностях.Карты анализируют изменения в структуре или ориентире. Карта требует регулярного обновления, если наблюдаются значительные изменения в особенностях суши. Один из примеров показывает наличие недавно построенных зданий, дорог и мостов.

              Масштаб:

              Масштаб карты — это коэффициент расстояния карты, который соответствует фактическому расстоянию до земли. Масштаб на карте представляет собой измерение расстояния между каждым ориентиром. Например, карта масштаба 1: 1000000 см показывает, что 1 сантиметр равен 1 километру на земле.

              Значение шкалы:

              · Масштаб обновляет последние изменения расстояния карты. Это наличие новостроек или дорожных сетей.

              · Когда новая карта создается недавно, масштаб сравнивает различия между новой и старой картами. Сравнение обнаруживает изменения или улучшения между двумя картами.

              · Наличие шкалы на карте знакомит читателей с известными достопримечательностями и сооружениями. Пользователи карты узнают значение расстояния и названия характерных особенностей конкретной местности.

              · Масштаб карты направляет любого при посещении незнакомой достопримечательности. Масштаб предоставляет подробную информацию об ориентирах, включая расстояние до них на карте.

              · Масштаб предотвращает смешение двух и более ориентиров. Каждая шкала предоставляет фактическую информацию, чтобы избежать неправильной идентификации ориентира.

              · Измерения на шкале каждого ориентира помогают путешественникам сократить время в пути. На шкале указаны числовые соотношения для расчета предполагаемого времени в пути.

              · Масштаб карты информирует общественность об исчезновении достопримечательностей.Это разрушенные здания и дороги, затронутые либо природой, либо людьми.

              Инфо-Графика:

              Три типа весов:

              1. Дробный или пропорциональный масштаб: Дробный масштаб карты показывает долю объекта или наземного объекта на карте. Этот тип использует набор чисел, который представляет объект или ориентир. Например, на левой фотографии шкала с оранжевым заштрихованием представляет собой дробную шкалу 2/3.

              2. Линейный масштаб: Линейный масштаб показывает расстояние между двумя или более заметными ориентирами. Линейный масштаб на картах представляет собой набор линий или точек, обозначающих ориентир. Пример на фотографии слева — это карта с линейным масштабом на каждой дороге.

              3. Словесная шкала: Этот тип шкалы использует простые слова для описания характерных особенностей поверхности. Масштаб словесной карты расширяет аббревиатуры для описания ориентира или объекта.Например, изображение слева описывает масштаб, равный 15 километрам.

              Один дополнительный тип шкалы, который можно добавить в книги по географии:

              4. Изменен масштаб: Карты с большим расстоянием, например, 1450000 см, трудно описать. Измененный тип шкалы действует как альтернатива большому коэффициенту или метрической шкале. Например, масштаб метрического отношения 1: 1450000 меняется на 1 см = 15 км.

              Использование шкалы в географии:

              1.Географический анализ: Масштаб обеспечивает географический анализ определенного объекта поверхности на карте. Анализ объясняет важность объекта земли и расстояние между ориентирами. Географический анализ подтверждает, что тип объекта земли — гора, здание или дорога.

              2. Точность: Масштаб представляет собой точное значение объекта, изображенного на карте. Точная информация об ориентирах предоставляет важные факты и цифры. Примеры: название улицы, здания, горы или дороги.

              3. Геометрическое представление: Использование геометрического представления подчеркивает видимость ориентира. Есть формы, которые представляют расстояние, высоту и структуру ориентира. Это формы с острыми краями, которые представляют здания и достопримечательности на карте.

              4. Управление временем: Масштаб позволяет сэкономить время и усилия при изучении географии местности на карте. Каждая шкала детализирует ориентиры и географическое расстояние. Читателям карт больше не требуется проводить исследования, чтобы понять географию достопримечательностей.

              5. Представьте место посетителям: Туристы полагаются на масштабные карты, чтобы ориентироваться в географии достопримечательности. Масштабная карта знакомит туристов с названием достопримечательности и расстоянием между объектами суши. В качестве примера на карте показана общая протяженность пляжа с белым песком, длина которого составляет 8 километров.

              6. Образование: Масштабы на карте расширяют знания о географических деталях объекта, сцены или географического положения.Во избежание путаницы на шкале указано фактическое название объекта. Примером может служить гора Рейнир, высота которой составляет 4392 метра над уровнем моря.

              Разница между крупномасштабной картой и мелкомасштабной картой:

              1. Крупномасштабная карта: На крупномасштабной карте каждый объект или ориентир кажется больше. Дом и дороги хорошо узнаваемы. На крупномасштабной карте показаны названия торговых центров, мостов и названий улиц.

              2. Мелкомасштабная карта: Мелкомасштабная карта делает объекты и ориентиры меньше. Здание, дорога, мост или какой-либо участок земли не распознаются. На мелкомасштабной карте не отображаются названия зданий, дорог или мостов.

              Недостатки шкалы:

              1. Требуется время: Создание масштабов на карте требует времени и усилий. Этот процесс занимает не менее одного месяца, чтобы установить масштабы на карту.

              2. Требуется тщательное исследование: Для весов необходим надежный источник информации о фактическом названии ориентира. Цель — проверить название объекта и расстояние между ориентирами.

              3. Требуются постоянные обновления: весы требуют постоянных обновлений. Каждый ориентир со временем меняется естественным образом. Погода и геология окружающей среды постепенно меняют внешний вид ориентира.

              4. Дорого: Создание масштаба карты стоит значительных денег.Оборудование и профессиональные услуги создателей масштабов требуют оплаты за установку шкалы на карты. Стоимость каждого масштаба может составлять от сотен до тысяч долларов США при любом масштабе карты.

              5. Проблемы безопасности: Создание масштабной карты ставит под угрозу жизнь и здоровье создателя. Посещение сайта авторов может быть небезопасным. Например, создатели масштабных карт сталкиваются с дорожно-транспортными происшествиями или травмами при проведении обследования.

              Масштаб и единицы карты

              Масштаб и единицы карты Лаборатория наук о Земле

              ВЕСЫ И ЕДИНИЦЫ КАРТЫ

              Этот раздаточный материал был разработан, чтобы помочь вам понять взаимосвязь между различные масштабы карты, единицы измерения карты, расстояние и площадь.Ты должен понять логика того, как они используются и как они должны выглядеть на реальных топографические карты. На предстоящем лабораторном экзамене вы также сможете преобразовать один тип масштаба карты в другой и вычислить разницу в размерах (коэффициент масштабирования, коэффициент площади) между разными картами.


              A. Обзор распространенных типов масштабов карты

              Все масштабы карты являются выражением числовой связи между КАРТА и ЗЕМЛЯ, которая представлена.Всегда упоминается блок MAP первый.

              1. Вербальная шкала : Словесная шкала — это просто предложение, в котором что «1 единица карты = X единиц земли». Для удобства обычно используется смесь единиц, например

              1 дюйм = 1 миля

              Однако нет требований, чтобы блоки были разные! Выражение «1 дюйм = 63 360 дюймов» по-прежнему вербальная шкала.Смесь карты и наземных единиц делает вербальный масштаб сложно сравнивать разные карты — сначала нужно конвертировать в репрезентативную фракцию (см. ниже).


              2. Репрезентативная фракция (R.F.) : An R.F. масштаб — это соотношение или дробь, которая выражает математическую связь между КАРТА и ЗЕМЛЯ, например 1: 24 000

              , что означает «1 единица карты эквивалентна 24 000 единиц земли». Поскольку Р.Ф. не содержит единиц измерения (дюймы, сантиметры и т. д.).), это означает что Р.Ф. масштабы можно сравнивать между разными картами. Преобразование Р.Ф. масштабироваться до вербальной шкалы очень легко; просто выберите ОДИН блок и примените его к ОБЕИМ карте и номерам земель. Приведенный выше пример можно записать в словесной шкале: «1 дюйм = 24 000 дюймов» или «1 метр = 24 000 метров, « и т. д. (Примечание: ВЫ НЕ МОЖЕТЕ СМЕШАТЬ ЕДИНИЦЫ в RF! изменить числовое соотношение Р.Ф.)


              3. Графическая шкала : Графическая шкала представляет собой гистограмму или «линейка», нарисованная внизу топографической карты.Это масштаб который вы должны использовать, когда вас попросят измерить расстояния на карте. Be Осторожно : обратите внимание, что нулевая отметка не находится на левом конце графический масштаб. Для вашего удобства графический масштаб увеличен до слева от нулевой отметки для обозначения долей единиц, например 1/10 миля. Вы можете измерить расстояния, отметив 2 конечные точки на край листа бумаги и совместив край бумаги с графическая шкала (убедитесь, что одна из ваших отметок находится на нуле).

              B. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЛАВНОЙ МАСШТАБЫ В R.F.

              При преобразовании вербальной шкалы в R.F. стратегия заключается в преобразовании от смешанных единиц (вербальная шкала) до одной единицы (Р.Ф.). Это основное различие между этими двумя типами масштабов карты.

              Пример:

              Если ваша вербальная шкала «1 дюйм = 1 миля» , как это выражается? как Р.Ф.?

              Решение:

              1. Решите, какую ОДНУ единицу преобразовать в : Чтобы стать R.F., и карта, и наземные юниты (теперь 2 разных типа) должны быть такой же. У вас есть 2 варианта на выбор: вы можете конвертировать миль. в дюймах или дюймов в мили. Обычно проще конвертировать от большего к меньшему («сколько дюймов в миле?» легче справиться, чем «сколько миль в дюйме?»). Итак, тогда мы преобразовать «1 милю земли» в «X дюймов».

              2. Удалите ненужную единицу умножением : Одно из основных правил алгебры состоит в том, что любое число или единица деления на сам по себе равен 1. Если вы начали с миль и хотели избавиться от них и в итоге получаются сантиметры, как вы это делаете?

              Во-первых, избавьтесь от «миль» на , умножив его на дробь, содержащую «мили» в знаменателе и эквивалентное количество меньших единиц в числителе. Вы можете не знать, сколько дюймов в миле, но вы должны знать, что в миле 5280 футов.Это получит избавиться от миль, но оставит вас с «ногами», которые все еще не те как Единицы Карты (дюймы). Чтобы получить дюймы, избавьтесь от «футов», умножив на дробь, в знаменателе которой есть футы и эквивалент количество дюймов в числителе:

              1 миля X

              		(5280 футов)
              (1 миля)               		X (12 дюймов)
              (1 фут)               		= 63 360 дюймов

              Теперь, когда исходная единица земли «1 миля» преобразована в 63 630 дюймов, единицы измерения карты и земли теперь одного типа, а R.Ф. записывается простым удалением единиц и заменой двоеточия на знак равенства:

              1 дюйм = 63 360 дюймов

              1: 63,360

              Не существует «правильного» или «неправильного» способа умножения — вы должны решить как настроить дроби так, чтобы единицы, которые вы не хотите, отменялись, и в качестве ответа будет нужный блок.

              C. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ Р.Ф. В ВЕРБАЛЬНОЙ МАСШТАБЕ

              Преобразование R.F. по вербальной шкале обычно намного проще, чем задний ход. По определению, R.F. означает, что и карта, и земля единицы такие же, , поэтому вы можете выбрать любую ОДНУ единицу: 1: 24,000 может быть «1 см = 24 000 см» или «1 дюйм = 24 000», длина поскольку вы не используете два разных блока. Помните, НЕТ ТРЕБОВАНИЕ, что словесная шкала должна использовать разные единицы!

              Д. СРАВНЕНИЕ МАСШТАБОВ И ПЛОЩАДЕЙ МЕЖДУ РАЗНЫМИ КАРТАМИ

              Одно из основных преимуществ использования R.F. (Представительная фракция) масштаб заключается в том, что он позволяет напрямую сравнивать размеры объектов между разные карты. Поскольку Р.Ф. исключает использование определенных единиц (таких в дюймах, футах, милях и т. д.), никаких сложных преобразований не требуется.

              Сравнение R.F. Масштабирование между разными картами

              Просто разделите больший масштаб карты на меньший, чтобы получить МАСШТАБ ФАКТОР:

              МАСШТАБНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ =

              		Р.F. Карты A =
              Р.Ф. Карты B               		1: 50 000
              1: 10 000               		= 5

              Взаимосвязь между масштабом и площадью

              Карта масштаба измеряет расстояние , которое является одномерным Блок. Площадь — это двумерная величина, вычисляемая путем измерения «Длина X Ширина». Обратите внимание, что при изменении масштаба карты на определенный числовой коэффициент, площадь изменяется на квадрат этого числа. Прочие слова, если масштаб в 2 раза больше, то площадь становится в 4 раза больше; если масштаб в 5 раз больше, площадь становится в 25 раза больше:

              Карта A Карта B
              Площадь = (500 футов по горизонтали) X (500 футов по вертикали)
              100 футов. 100 футов. 100 футов. 100 футов. 100 футов.
              100 футов.
              100 футов.
              100 футов.
              100 футов.
              Карта A имеет R.F. из 1: 50,000.
              На карте выше показан земельный участок
              500 футов X 500 футов = 250 000 квадратных футов.              		 Площадь = (100 футов по горизонтали) X (100 футов по вертикали)
              Карта B имеет RF 1: 10,000 .
              Этот квадратный земельный участок имеет площадь
              100 футов x 100 футов = 10 000 квадратных футов.
              Обратите внимание, что вся площадь этого большого квадрата умещается в один из 25 меньших квадратов на карте A, и на этой карте A отображается 25 умноженное на площадь Карты B (квадрат масштабного коэффициента )

              Обратите внимание, что хотя обе карты одинакового размера, карта A охватывает 500 единиц. расстояния по сравнению с 100 единицами для Карты B. Но, карта A (500×500 = 250,000 кв. футов) покрывает 25 РАЗ ПЛОЩАДЬ карты B (100×100 = 10000 кв. футов /).

              Итак, взаимосвязь между МАСШТАБНЫМ ФАКТОРОМ и ПЛОЩАДЬЮ:

              КОЭФФИЦИЕНТ ПЛОЩАДИ = (МАСШТАБНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ) 2

              Авторские права © 1996 Уильям К. Тонг Масштаб карты

              — География Царства

              Карты — это графическое изображение мира или его части.

              Карты представляют собой сжатые версии реального мира, что означает, что большой участок земли воссоздается на меньшем листе бумаги или в цифровом файле.

              Карты представляют собой некоторые географические объекты мира. Карта: карта международных гидрологических исследований, Геологическая служба США, общественное достояние.

              Отношение между реальным размером географического объекта и его репрезентативным объектом на карте называется масштабом.

              Масштаб часто представляет собой соотношение между размером реального мира и размером в единицах измерения на карте.

              Как масштаб отображается на карте

              Существует три основных способа указания масштаба на карте: графическое изображение (или гистограмма), словесное выражение и репрезентативная дробь (RF).

              Барные весы

              Гистограммы показывают масштаб в графическом формате. Фактическая длина шкалы показывает, что она представляет в реальных единицах измерения.

              В приведенном ниже примере шкала шкалы показывает расстояние на карте, которое представляет десять километров или чуть меньше шести миль.

              Отображение масштаба с использованием графического масштаба.

              Масштаб также может быть представлен устно или в текстовом формате.

              Вербальная шкала

              Например, словесный масштаб 1 ″ = 100 ′ означает, что один дюйм измеренной карты представляет собой 100 футов на земле.

              Эта карта, подготовленная Бюро переписи населения штата Оклахома США, включает в себя вербальный масштаб карты.

              Базовая карта штата Оклахома подготовлена ​​США. Бюро переписи населения. Отдел географии. Библиотека Конгресса, общественное достояние.

              Эту декоративную вербальную карту масштаба можно найти на карте города Вашингтон 1796 года.

              Масштаб карты. Из: Карта части города Вашингтон, на которой показано расположение особняка, могильного двора и зданий, принадлежащих г.Нотли Янг: первоначальный владелец этой части города, 1796 год. Библиотека Конгресса.

              Репрезентативная фракция

              Этот тип представления шкалы визуально очень похож на репрезентативную дробь (RF). Однако репрезентативная фракция позволяет избежать использования единиц при определении масштаба карты.

              Например, масштаб RF 1: 100 означает, что каждая единица на карте равна сотне таких же единиц на земле.

              В сопоставимых терминах шкала RF 1: 1 200 — та же шкала, что и вербальная шкала 1 ″ = 100 ′ .

              Набор масштабов карты из 7,5-минутной топографической карты USGS, показывающий репрезентативную долю (RF) и три различных шкалы для различных метрических и стандартных единиц.

              Карты большого и малого масштаба

              Карты можно охарактеризовать по разнообразию масштаба.

              Карты, которые показывают большую географическую область по сравнению с относительным размером карты, известны как карты малого масштаба. Малый масштаб указывает на то, насколько мала дробь.

              Гора Рейнир в Вашингтоне показана на топографических картах Геологической службы США с разным масштабом.Источник: Геологическая служба США, общественное достояние.

              Карта, показывающая весь мир, будет считаться картой малого масштаба, тогда как карта, показывающая окрестности, будет считаться картой большого масштаба.

              Мелкомасштабные карты, как правило, показывают большую географическую область, а менее подробные и крупномасштабные карты показывают меньшую географическую область с большей детализацией.

              В приведенном ниже примере на мелкомасштабной карте района Чикаго показаны только основные транспортные маршруты и реки. На крупномасштабной карте доступно гораздо больше деталей, таких как все улицы, следы зданий, направление уличного потока и усиленная маркировка большего количества объектов.

              Мелкомасштабная карта с изображением Чикаго (верхняя карта) и крупномасштабная карта, показывающая район Чикаго (нижняя карта).

              Часы: Масштаб карты

              Связанные ресурсы

              Поделиться:

              Продвинутый курс фотографии

              Интервал экспозиции (в секундах) для 60-процентного перекрытия

              Захват земли

              Покрытие земли на дюйм негатива и интервалы экспозиции

              Если вы собираетесь использовать компьютер BM-38A,

              Подробные инструкции см. В Руководстве по эксплуатации компьютера для фотоаппаратов ,
              RC-025063.

              МАСШТАБ

              Обычно отображаемая область указывается на

              Приведена диаграмма

              и максимальные границы. Масштаб
              этой диаграммы или ее линейный масштаб дает
              важную информацию. Площадь

              кв.

              охваченных можно определить по одной из этих шкал.

              Масштаб карты указан как обычный

              дроби или как отношение. Например, масштаб может быть

              .

              1/10 000 или 1:10 000 на карте.В любом случае

              Шкала

              читается «от одной до десяти тысяч». Эта шкала
              показывает, что одна единица измерения на карте равна 10 000
              таких же единиц на земле.

              Одна из проблем аэрофотосъемки — определение масштаба

              мозаичной карты. Если предусмотрен требуемый масштаб
              , тогда высота и фокусное расстояние должны быть
              , чтобы получить требуемый масштаб. Масштаб фотомозаичной карты
              рассчитывается следующим образом:

              S = Масштаб карты

              F = Фокусное расстояние объектива

              A = высота над землей

              На F (в дюймах) нужно умножить A (в футах)

              на 12, чтобы преобразовать в ту же единицу измерения
              (дюймы).

              S = F

              12 А

              Пример: Каков масштаб карты, взятой из

              на высоте 5000 футов с использованием 6-дюймового объектива.

              S =

              6

              =

              =

              6

              1

              12

              5 000

              60 000

              10 000

              Следовательно, масштаб 1/10 000. Это означает, что 1 дюйм на фотографии
              равен 10 000 дюймов на земле.

              ПЕРЕКРЫТИЕ ПЕРЕДНЕЕ

              Чтобы обеспечить полное покрытие территории, вы

              должен делать каждую фотографию на каждой линии полета или полосе
              таким образом, чтобы она перекрывала как предыдущую фотографию, так и следующую фотографию
              . Сумма перекрытия на каждые

              фотография составляет примерно 60 процентов. Создание перекрытия
              гарантирует, что полоса не будет содержать пустых областей
              (рис. 4-17).

              Перекрытие также выполняет еще одну важную функцию.

              , делая серию вертикальных фотографий.Для всех практических целей
              , когда самолет находится прямо над горой
              , достигается идеальное воспроизведение горы
              . Снимки, сделанные до и после горы
              прямо над горой, ясно показывают ближнюю сторону горы
              , но очень мало, если вообще есть, обратной стороны.
              Это вызвано разным положением камеры в
              по отношению к объекту.

              Масштаб зависит от этой разницы камеры

              позиции. Практически невозможно сопоставить
              краев отпечатков, когда эти искажения ландшафта присутствуют в
              .Следовательно, внешняя область (ближе к краям
              отпечатка) отбрасывается, и используются внутренние 40 процентов каждого отпечатка
              . Другой важной причиной использования только
              центральной области отпечатков является то, что стереоскопическое измерение
              , связанное либо с контурным картированием, либо с фотографической интерпретацией
              , требует наивысшей степени точности
              .

              Поскольку создается 60-процентное перекрытие, только 40

              процента форварда с опорой на землю (GGF) можно использовать по
              в каждом негативе.Например, 5-

              5 дюймов негатив

              имеет полезную область изображения 2 дюйма. (5,0

              0,40 = 2)

              Чтобы найти фактическое количество используемого GGF в каждом
              негативе, умножьте покрытие земли на 0,40. Для примера
              , используя формулу IFGA, вы определили
              , что покрытие земли для каждого негатива составляет 9000 футов.
              Полезный GGF в каждом негативе составляет 3600 футов (9000

              0,40 = 3600).

              БОКОВАЯ ПРУГ

              Область, которую вы фотографируете для мозаики

              Карта

              может быть широкой и не может быть сфотографирована одной полосой
              .Самолет должен пролететь несколько расположенных рядом полос
              , чтобы обеспечить полное покрытие, чтобы ни одна из областей не составляла

              .

              4-20

              Продвинутый курс фотографии

              .

              Х 2 t: Запрошенная Вами страница не была найдена на нашем сайте.

              alexxlab / / Разное

              Труба мет/пласт. 16 х 2 Т=95′ б/шов. Лазер

              Описание

              Металлопластиковая труба JIF применяется в системах холодного и горячего водоснабжения, кондиционирования, подогрева парников и теплиц, а также в качестве технологических трубопроводов, транспортирующих жидкости, не агрессивные к материалам трубы. JIF выпускает 2 типа трубы: ∙ JIFPEX LASER — металлопластиковая труба PEX-AL-PEX (бесшовная) в размерах 16 x 2,0 (100 м; 200 м), 20 x 2,0 100 м, 26 x 3,0 100 м, 20 x 2,0 50 м Качество продукции подтверждено сертификатами соответствия РОСТЕСТ, а также многочисленными положительными отзывами партнеров компании.

              Характеристики

              • Вес, Объем

              • Вес:

                0.11 кг

              • Другие параметры

              • Производитель:

              • Страна происхож.:

                Китай

              • Торговая марка:

              Характеристики

              Торговый дом «ВИМОС» осуществляет доставку строительных, отделочных материалов и хозяйственных товаров. Наш автопарк — это более 100 единиц транспортных стредств. На каждой базе разработана грамотная система логистики, которая позволяет доставить Ваш товар в оговоренные сроки. Наши специалисты смогут быстро и точно рассчитать стоимость доставки с учетом веса и габаритов груза, а также километража до места доставки.

              Заказ доставки осуществляется через наш колл-центр по телефону: +7 (812) 666-66-55 или при заказе товара с доставкой через интернет-магазин. Расчет стоимости доставки производится согласно тарифной сетке, представленной ниже. Точная стоимость доставки определяется после согласования заказа с вашим менеджером.

              Уважаемые покупатели! Правила возврата и обмена товаров, купленных через наш интернет-магазин регулируются Пользовательским соглашением и законодательством РФ.

              ВНИМАНИЕ! Обмен и возврат товара надлежащего качества возможен только в случае, если указанный товар не был в употреблении, сохранены его товарный вид, потребительские свойства, пломбы, фабричные ярлыки, упаковка.

              Доп. информация

              Цена, описание, изображение (включая цвет) и инструкции к товару Труба мет/пласт. 16 х 2 Т=95′ б/шов. Лазер на сайте носят информационный характер и не являются публичной офертой, определенной п.2 ст. 437 Гражданского кодекса Российской федерации. Они могут быть изменены производителем без предварительного уведомления и могут отличаться от описаний на сайте производителя и реальных характеристик товара. Для получения подробной информации о характеристиках данного товара обращайтесь к сотрудникам нашего отдела продаж или в Российское представительство данного товара, а также, пожалуйста, внимательно проверяйте товар при покупке.

              Купить Труба мет/пласт. 16 х 2 Т=95′ б/шов. Лазер в магазине Гатчина вы можете в интернет-магазине «ВИМОС».

              Статьи по теме

              Прямолинейное движение точки задано уравнением x=-2+3t-0,5t^2 (м).2})’\]

              \[\upsilon  = 3 – t\]

              Как видите, мы получили то же самое.

              Зная тот факт, что площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени есть пройденный путь, построим график \(\upsilon  = 3 – t\) (рисунок справа). Получается, чтобы узнать путь \(S\) нужно посчитать площади двух треугольников и сложить их.

              Кстати, расположение этих треугольников (над или под осью) также несет смысл. Если график скорости пересекает ось, значит тело меняет направление своего движения. Поэтому, в случае если мы ищем путь, по полученные площади необходимо сложить, если же мы пытаемся найти перемещение, то нужно отнять из большего меньшее.

              Площадь прямоугольных треугольников определяется как половина произведения двух катетов, поэтому ответ такой:

              \[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \left( {8 – 3} \right) \cdot 5 = 17\; м\]

              Наша точка прошла 4,5 м по оси \(x\) и 12,5 м против нее.

              Ответ: 17 м.

              Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.{2}}-4\text{ac}\) \( \displaystyle \text{D}=16-4\cdot 3=16-12=4\) \( \displaystyle \sqrt{\text{D}}=\sqrt{4}=2\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-\text{b}\pm \sqrt{\text{D}}}{2\text{a}}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1,2}}=\frac{-4\pm 2}{2}\) \( \displaystyle {{{x}}_{1}}=\frac{-4+2}{2}=-1\) \( \displaystyle {{{x}}_{2}}=\frac{-4-2}{2}=-3\)

              Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

              Ответ: \( \displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{5-\sqrt{13}}{2};-1;-3\)

              У тебя получился такой же?

              Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

              Лебедка рычажная гаражная 2 т х 2,8 м 59335

              Описание гаражной рычажнойлебедки 2 т х 2,8 м 59335

              С помощью рычажной лебёдки без особых усилий можно сдвинуть груз весом до 2 тонн. Это может быть застрявший в снежном сугробе, трясине или другом опасном месте автомобиль или иная неподъёмная конструкция.

              Производитель оставляет за собой право изменять страну производства, характеристики товара, его внешний вид и комплектность без предварительного уведомления продавца. Уточняйте информацию у менеджеров!

              1. Способы доставки

                до 100 кг до 300 кг до 500 кг** Постаматы и ПВЗ  PickPoint
              Москва 390 руб 500 руб 900 руб 200 руб
              МО, область 390 руб*  500 руб* 900 руб* 200 руб
              Регионы, РФ       450 руб
              Самовывоз

              Выдача товара до 20:00, Раменский район, Михайловская слобода, Старорязанская улица, д.4. (при оплате — резерв товара)

              Пункт выдачи по адресу: Москва, Рязанский проспект, д.79 (пн-вс с 09:00 до 20:00)

              * каждый 1 км за МКАД дополнительно 30 руб

              ** полная информация по доставке крупногабаритных грузов смотрите в разделе Доставка и оплата

              2. Способы оплаты

                    Банковской картой онлайн на сайте             ЮMoney (Я.Деньги)

                   Наличными курьеру                                                    QIWI кошелек

                   Сбербанк-онлайн                                                           WebMoney

                   Безналичный расчет

              Вы можете вернуть товар, если был обнаружен производственный брак, дефекты и прочие повреждения. Срок возврата осуществляется в течение 14 дней с даты покупки товара. 

              Возврат товара осуществляется в полном соответствии с законодательством РФ, включая Закон о Правах Потребителя.

              Подробная информация о возратах и обмене

              10ВП2 / 1020 Канал круглый 100 мм х 2 м т/п

              Мы осуществляем доставку товаров по всей России. Наши пункты выдачи расположены более, чем в 165 городах:

              Абакан

              655004, Республика Хакасия,
              г. Абакан ул. Пушкина 213Р, строение 1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Адлер (ДЛ) без Акции

              г. Сочи, Адлерский р-н,
              ул. Гастелло ул., 23а 

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Аксай

              346720, Ростовская область,
              Аксайский район, г. .Аксай,
              ул. Авиаторов, д. 5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.,вс. выходной

              Алматы

              050050, Казахстан, г. Алматы,
              ул. Казыбаева, д. 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Альметьевск

              423450, г. Альметьевск,
              ул. Базовая, д. 4

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ангарск (ДЛ) без Акции

              665824, Иркутская обл.,
              г. Ангарск, ул. 221-й квартал, 4

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 09-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Армавир

              352925, г. Армавир,
              ул. Мичурина, 7 База «АРМО»

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Артем (Без Акции)

              692770, г. Артем,
              ул. 1-я Рабочая, д. 1

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Архангельск

              163045, г. Архангельск,
              Талажское шоссе, 4

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Астана

              010007, Казахстан,
              г. Астана, ул. Жанажол, д.19

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Астрахань

              414000, г. Астрахань,
              ул. Боевая, 136 Б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Апатиты (ДЛ) без Акции

              184209, Мурманская обл.,
              г. Апатиты, ул. Козлова, 6а

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-сб с 9-00 до 18-00   

              вс. с 10-00 до 15-00 

              Арзамас (ДЛ) без Акции

              607220, Нижегородская обл.,
              г. Арзамас, ул. Заготзерно, 1

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.,вс. выходной

              Ачинск (ДЛ) без Акции

              662150, Красноярский край,
              г. Ачинск, ул. Дзержинского, 42

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Балаково

              413841, Саратовская обл.,
              г. Балаково, ул. Вокзальная, 24

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Барнаул

              656049, Алтайский край, г. Барнаул,
              ул. Чернышевского, 293А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Белгород

              308019, Белгородская обл., г. Белгород, 
              ул. Кирпичный тупик, д.2А

              Время работы

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Березники

              618400,  Пермский край,
              г. Березники,
              ул. Большевистская, 8

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Бийск

              659303, Алтайский край,  г. Бийск,
              ул. Петра Мерлина, д. 63, корп. 2 (заезд с ул. Шадрина)

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Благовещенск (Без Акции)

              675005, Амурская область, г. Благовещенск, ул. Калинина, д. 126 (территория ИПК «Приамурье»)

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Бор

              606440, Нижегородская обл., г. Бор,
              ул. Октябрьская, д. 4

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Борисоглебск

              397165, Воронежская обл.,
              г. Борисоглебск,
              ул. Матросовская, д. 162

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Боровичи (ДЛ) без Акции

              174411, Новгородская обл.,
              г. Боровичи, ул Окуловская, 4

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Братск (Без Акции)

              665717, Иркутская обл, г. Братск,
              ул. Южная, д.14, стр.10

              Не участвует в Акции.

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Брянск

              241014, Брянская обл., г. Брянск,
              ул. М. Расковой, д. 25

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Буденновск

              356800, Ставропольский край,
              г. Буденновск, ул. Промышленная, 2

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 17-00

              сб. с 09-00 до 12-00

              вс. выходной

              Выборг (ДЛ) без Акции

              188800, Ленинградская обл., г. Выборг, 
              пос. Южный, ул. Водного колодца
              напротив АЗС «Shell»)

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.,вс. выходной

              Волгодонск (ДЛ) без Акции

              347360, Ростовская обл., г. Волгодонск,
              ул. Прибрежная, 2а

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Великие Луки (ДЛ) без Акции

              182100, Псковская обл., г. Великие Луки,
              Октябрьский пр., 125

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-сб с 9-00 до 18-00 

              вс. выходной

              Великий Новгород

              173003, Новгородская область,
              г. Великий Новгород,
              Район Колмово, пер. Базовый, 13

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Владивосток (Без Акции)

              690088, Приморский край,
              г. Владивосток,  Военное Шоссе, 18

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Владикавказ

              362002, Республика Северная Осетия — Алания,
              г. Владикавказ,  ул. Ставропольская, 2Б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Владимир

              600007, Владимирская обл.,
              г. Владимир, ул. Гастелло, д.8

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Волгоград

              400048,  Волгоградская обл.,
              г. Волгоград, ул. Землячки, д. 16

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 20-00 

              сб., вс с 10-00 до 16-00  

              Волжский

              404130,  Волгоградская обл., г. Волжский,
              ул. Автодорога, 6 д. 31В

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Вологда

              160002,  Вологодская обл.,
              г. Вологда, ул. Ильюшина, 9б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Воронеж

              394033, Воронежская обл,.
              г. Воронеж, ул. Землячки, 15

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Воскресенск (ДЛ) без Акции

              Московская обл., г. Воскресенск,
               ул. Советская, 2Ж

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб-вс. выходной

              Всеволожск

              Ленинградская обл., г. Всеволожск,
              Южное ш., 140А 

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Гатчина (ДЛ) без Акции

              188304,  Ленинградская обл.,
              Гатчинский р-н, пос. Пригородный,
              Вырицкое ш., 2 

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.,вс. выходной

              Дзержинск

              606002, Нижегородская обл.,
              г. Дзержинск, ул.Красноармейская, 3А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Димитровград

              433504, Ульяновская обл.,
              г. Димитровград,
              ул. Промышленная, д. 35/5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Екатеринбург

              620138, Свердловская обл.,
              г. Екатеринбург,
              ул. Чистопольская, д. 6

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 21-00 

              сб., вс. с 10-00 до 16-00 

              Забайкальск (Без Акции)

              674650 Читинская обл., Забайкальский р-н,
              п. Забайкальск, ул. Ключевская ул., 1б

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн- вс. — 24 часа

              Зеленодольск 

              420000, Республика Татарстан,
              г. Зеленодольск,
              ул.Новостроительная, д.2/4

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Иваново

              153021, г. Иваново,
              ул. П. Коммуны, д. 84

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ижевск

              426028, Удмуртская Республика,
              г. Ижевск, ул. Пойма, д. 22

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00 

               вс. с 10-00 до 14-00

              Иркутск (Без Акции)

              664024, г. Иркутск, ул. Новаторов, 1

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Йошкар-Ола

              424000, Республика Марий Эл,
              г. Йошкар-Ола, ул. Строителей, 99Б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Казань

              420054, г. Казань,
              ул. Тихорецкая, д. 19

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00 

               вс. выходной

              Калининград

              236006, г. Калининград,
              ул. Пригородная, д. 20

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Калуга

              248017, Калужская обл, г. Калуга,
              ул.Параллельная, д.11, стр.22

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Каменск-Урал-кий

              623401, Свердловская обл.,
              г. Каменск-Уральский,
              ул. Карла Маркса, 99

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Каменск-Шах-кий

              347800, Ростовская обл.,
              г. Каменск-Шахтинский,
              ул. Гаражная, д. 16

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Камышин (ДЛ) без Акции

              403877, Волгоградская обл.,
              г. Камышин, ул. Петровская, 36

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Кемерово

              650055, Кемеровская обл., г. Кемерово,
              Кузнецкий проспект, 91

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Кинешма

              155805, Ивановская обл.,
              г. Кинешма, ул. Вичугская, д. 150

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Киров

              610021, Кировская область,
              г. Киров, ул. Производственная, 22

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Клин (ДЛ) без Акции

              141607, Московская,
              г. Клин, Волоколамское ш., 4

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Коломна

              140483, Московская область,
              Коломенский район
               поселок Радужный, д. 47 Б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Колпино (ДЛ) без Акции

              196650,  Санкт-Петербург,
              Колпино, ул. Красноборская

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Комсомольск-на-Амуре (Без Акции)

              681027, г. Комсомольск-на-Амуре,
              ул. Вокзальная, д. 10/4Б

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00

              вс. выходной

              Кострома

              156019, г. Кострома,
              ул. Деминская, д. 2 Б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Котлас (ДЛ) без Акции

              165302, Архангельская обл.,
              г. Котлас, ул. Новая Ветка, 3, стр. 1

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Краснодар

              350087, Краснодарский край, 
              г. Краснодар, ул. Бульварная, д. 2/2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 09-00 до 16-00   

              вс.  с 10-00 до 14-00

              Красноярск (Без Акции)

              660118, Красноярский край,
              г. Красноярск,
              Северное шоссе, 5Г, стр. 26

              Не участвует в Акции.

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Кузнецк

              442530, Пензенская обл.,
              г. Кузнецк, Алексеевское шоссе, д. 5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Курган

              640007, Курганская область,
              г. Курган, ул. Омская, 146

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Курск

              305023, Курская обл., г. Курск, 
              ул. Литовская, 12 А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ливны (ДЛ) без Акции

              303851, Орловская обл., г. Ливны,
              ул. Индустриальная, 2Д

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Липецк

              398902, Липецкая обл., г. Липецк,
              ул. Ангарская, д. 30

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Магадан (Без Акции)

              685000, Магаданская обл.,
              г. Магадан, ул. Зайцева, д. 1

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Магнитогорск

              454000, Челябинская обл., г. Магнитогорск,
              ул. 1-я Северо-Западная, 8/2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Махачкала (ДЛ) без Акции

              367950, Республика Дагестан,
              г. Махачкала, пер. Крылова, 5

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Москва

              123458 г. Москва, м. Строгино,
              ул. Твардовского, д. 8, офис 18

              Телефон: 8 (495) 181-19-81 (многоканальный)

              Режим работы:
              понедельник — пятница: с 9:00 до 17:30
              (обслуживание только юридических лиц)

              Миасс

              456300, Челябинская обл.,
              г. Миасс, ул. Академика Павлова, 8

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Мурманск

              183034, Мурманская обл., г. Мурманск,
              ул. Домостроительная, д. 16/1, 2 этаж 
              (территория маг. «Стройлэнд»)

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. вс. с 10-00 до 16-00

              Муром

              602266, Владимирская обл.,
              г. Муром, Владимирское шоссе, д. 5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Наб-ные Челны

              423800, Республика Татарстан,
              Набережные Челны, Промкомзона,
              Производственный проезд, 19

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Нальчик

              360000, Кабардино-Балкарская Республика,
              г. Нальчик, переулок Кузнечный, д.5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Нефтекамск

              452680, Республика Башкортостан,
              г. Нефтекамск, ул. Высоковольтная, стр. 2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Невинномысск

              357111, Ставропольский край,
              г. Невинномысск,
              ул. Пятигорское шоссе, 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Нижнекамск

              423570,  Республика Татарстан,
              г. Нижнекамск, ул. Первопроходцев, д. 13

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Нижневартовск (Без Акции)

              628600, Ханты-Мансийский автономный округ — Югра,
              г. Нижневартовск,  ул. Индустриальная, д. 38

              Не участвует в Акции.

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Нижний Новгород

              603124, Канавинский район,
              г. Нижний Новгород, ул. Вторчермета, д.1,
              строение К2 (Заезд с Базового проезда)

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс.  с 09-00 до 15-00

              Нижний Тагил

              620000, Свердловская обл.,
              Нижний Тагил, Восточное шоссе, 17

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Новокузнецк

              654027, Кемеровская обл.,
              г. Новокузнецк, ул. Куйбышева, 17/28

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Новомосковск (ДЛ) без Акции

              301650, Тульская обл., г. Новомосковск,
              ул. Первомайская, 83, стр. 4

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб.  вс. выходной

              Новороссийск

              353907, Краснодарский край,
              п. Гайдук , ул. 5-я Промышленная, 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00 

              вс. Выходной

              Новосибирск (Без Акции)

              630032, г. Новосибирск, ул. Большая, д. 280

              Не участвует в Акции.

              время работы

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной.

              Новочебоксарск

              429956, Чувашская Республика,
              г. Новочебоксарск,  ул. Советская, д.73

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. Выходной

              Новочеркасск

              346400, Ростовская обл.,
              г. Новочеркасск, ул. Трамвайная, д. 7/9

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ногинск (ДЛ) без Акции

              142400, Московская обл.,
              г. Ногинск, Электростальское ш., 1а

              Не участвует в Акции

              Время работы

              пн-пт с 9-00 до 18-00

              сб. с 11-00 до 16-00 

              вс. выходной

              Ноябрьск (Без Акции)

              629811, Ямало-Ненецкий автономный округ
               г. Ноябрьск, «Промузел Пелей, Панель 10»

              Не участвует в Акции.

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. Выходной

              Обнинск (ДЛ) без Акции

              249032, Калужская обл.,
              г. Обнинск, Киевское ш., 31

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Октябрьский

              452615, респ. Башкортостан,
              г. Октябрьский, ул. Космонавтов, д. 63, корп. 2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Омск

              644076, Омская обл., г. Омск,
              пр-кт Космический, 109 к.1

              Время работы:

              пн-пт с 8-30 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Орел

              302042, Орловская обл.,
              г. Орел, ул. Автогрейдерная, 4

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Оренбург

              460035, Оренбургская обл.,
              г. Оренбург, пл. 1 Мая, 1а

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Орск

              462403, Оренбургская обл.,  г. Орск,
              пр. Мира, 12Б (по Орскому шоссе,
              в районе ООО «ОрскВодоканал»)

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Пенза

              440015, Пензенская обл.
              г. Пенза, ул. Измайлова, д.13

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. с 10-00 до 14-00

              Пермь

              614065, Пермский край, г. Пермь,
              ул. Промышленная, 123

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. с 10-00 до 14-00

              Первоуральск (ДЛ) без Акции

              623104, Свердловская обл,
              г. Первоуральск, ул. Комсомольская, 14

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. вс. выходной

              Петрозаводск

              185031, Республика Карелия,
              г. Петрозаводск,
              ул. Зайцева, д. 65, корп. 4

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Петропавловск-Камчатский (Без Акции)

              683023, Камчатская область,
              г. Петропавловск-Камчатский,
              ул. Вулканная, д. 59/3

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Прокопьевск 

              653016, Кемеровская обл.,
              г. Прокопьевск, переулок Изыскателей, 28

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Псков

              180006, Псковская обл., г. Псков,
              ул. Леона Поземского, 110 Д, 1001

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Пятигорск

              357528, Ставропольский край,
              г. Пятигорск, ул. Егоршина, 6

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 09-00 до 15-00   

              вс. с 10-00 до 15-00

              Россошь

              396650, Воронежская обл.,
              г. Россошь, ул. Мира, 201

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб., вс. выходной

              Ростов-на-Дону

              344091, Ростовская обл.,
              г. Ростов-на-Дону,
              ул. Каширская, 5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Рыбинск

              152900, Ярославская обл., г. Рыбинск,
              Ярославский тракт, д. 52

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Рубцовск

              658219, Алтайский край, г. Рубцовск,
              Кооперативный проезд, д. 1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Рязань

              390035, Рязанская обл., г. Рязань,
              195 км Окружной дороги

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Салават

              453261, Республика Башкортостан,
              г. Салават, ул. Уфимская, 11/1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Самара

              443052, Самарская обл., г. Самара,
              ул. Береговая, д. 36

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 20-00 

              сб., вс. с 10-00 до 16-00 

              Санкт-Петербург

              194292, Ленинградская обл.,
              г. Санкт-Петербург, Промзона «Парнас»,
              2-й Верхний переулок, 15, литер А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб., вс. с 10-00 до 16-00  

              Саранск

              430030, Республика Мордовия,
              г. Саранск, ул. Строительная, 11

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Саратов

              410038, Саратовская обл.,
              г. Саратов, ул. Соколовая гора, д. 5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Севастополь

              299014, г. Севастополь,
              Фиолентовское шоссе, д. 1/5

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Северодвинск

              164500, Архангельская обл.,
              г. Северодвинск,
              Беломорский проспект, д. 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Сергиев Посад (ДЛ) без Акции

              Московская обл., г. Сергиев Посад, ул. Фабричная, 4А

              Не участвует в Акции

              Время работы:
              пн-пт с 9-00 до 18-00
              сб, вс. выходной

               

              Контакты:
              + 7 (495) 775-55-30
              e-mail: [email protected]

              Серов (ДЛ) без Акции

              624980, Свердловская обл.,
              г. Серов, ул. Нахабина, 3Б

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. вс. выходной

              Серпухов (ДЛ) без Акции

              142211, Московская обл.,
              г. Серпухов, Московское ш., 96Ф

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. вс. выходной

              Симферополь

              295022, Крым, г. Симферополь,
              ул. Глинки, д. 67Г

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Смоленск

              214012, Смоленская обл.,
              г. Смоленск, 
              ул. Старо-Комендантская, д. 2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Солнечногорск (ДЛ) без Акции

              141503, Московская обл.,
              г. Солнечногорск, Бутырский тупик

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. вс. выходной

              Сочи

              354340, Краснодарский край,
              г. Сочи, ул. Гастелло, 23а

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ставрополь

              355035, Ставропольский край,
              г. Ставрополь, ул. 2-я Промышленная, 33

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Старый Оскол

              309508, Белгородская обл,
              г. Старый Оскол, ул. Заводская, 1а

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Стерлитамак

              452680, Республика Башкортостан,
              г. Стерлитамак, ул. Элеваторная, 19

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ступино (ДЛ) без Акции

              142800, Московская обл.,
              г. Ступино, Транспортная ул., 22/2

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. вс. выходной

              Сургут (Без Акции)

              628407, Ханты-Мансийский автономный округ
              — Югра, г. Сургут, ул. Аграрная, д. 3

              Не участвует в Акции.

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Сызрань

              446008, Самарская обл.,
               г. Сызрань, ул. Фурманова, 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Сыктывкар

              167000, Республика Коми, г. Сыктывкар,
              ул. Лесопарковая 21/3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Таганрог

              347927, Ростовская обл., г. Таганрог,
              Поляковское шоссе, 22

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Тамбов

              392000, Тамбовская обл., г. Тамбов,
              ул. Кавалерийская, 13А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Тверь

              170000, Тверская обл., г. Тверь,
              Московское шоссе, д. 18, стр. 1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Тольятти

              445004, Самарская обл., г. Тольятти,
              ул. Базовая, 1,стр. 20

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Томилино (ДЛ) без Акции

              Московская обл., Люберецкий р-н.,
              рп Октябрьский, ул. Ленина, 47, литера Д

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 11-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Томск

              634009, Томская обл. г. Томск,
              ул. Пролетарская, 38В, строение 1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Туапсе

              352800, Краснодарский край,  г. Туапсе,
              ул. Калараша 20г (база Партнер)

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Тула

              300005, Тульская обл., г. Тула,
              ул. Чмутова, д. 158 В

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Тюмень

              625023, Тюменская обл., г. Тюмень
              ул. Одесская, д. 1, стр. 8

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Улан-Удэ (Без Акции)

              670045, Республика Бурятия,
              г. Улан-Удэ,  ул. Ботаническая, д. 38/2

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ульяновск

              432045, Ульяновская обл, г. Ульяновск,
              Московское шоссе, д. 9а, корп. 2

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Уссурийск (Без Акции)

              692524, Приморский край, г. Уссурийск,
              ул. Резервная, д. 31

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Уфа

              450039, Республика Башкортостан,
              г. Уфа, ул. Сельская Богородская, 57

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб., вс с 10-00 до 16-00

              Ухта (ДЛ) без Акции

              169309, Республика Коми,
              г. Ухта, Западная ул., 18

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 19-00 

              сб. с 09-00 до 15-00   

              вс. с 09-00 до 13-00

              Хабаровск (Без Акции)

              680022, Хабаровский край
              г. Хабаровск, ул. Лазо, д. 3 «с»

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 17-00   

              вс. выходной

              Ханты-Мансийск ДЛ без Акции

              628011 г. Ханты-Мансийск,
              ул. Объездная, д. 3

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 15-00   

              вс. выходной

              Чебоксары

              428024, Чувашская Республика,
              г. Чебоксары, ул. Гаражный пр-д, д. 3/1

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Челябинск

              454081, Челябинская обл., г. Челябинск,
              Северный луч, 1А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 20-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. с 10:00 до 14:00

              Череповец

              162612, Вологодская обл., г. Череповец,
              ул. Красная, 4 Г

              Время работы:

              пн-пт с 8-00 до 20-00 

              сб., вс. с 09-00 до 18-00

              Чита (Без Акции)

              672003, Читинская обл,
              г. Чита, ул. Туринская, 1Б

              Не участвует в Акции

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Шахты

              346513, Ростовская обл., г. Шахты,
              пер. Газетный, 4б

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Электросталь

              144001, Московская обл., г. Электросталь,
              ул. Рабочая, д. 35А

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Энгельс

              413121, Саратовская обл, г. Энгельс,
              ул. Промышленная, 3

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ярославль

              150044, Ярославская обл., г. Ярославль,
              проспект Октября, 93

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 19-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              Ялта

              298609, г. Ялта,
              Дарсановский пер., д. 10

              Время работы:

              пн-пт с 9-00 до 18-00 

              сб. с 10-00 до 16-00   

              вс. выходной

              102789 Масло моторное для 2-х тактных двигателей лодок OUTBOARD Tech 2T п/синт.1л MOTUL — 102789 MOTUL

              102789 Масло моторное для 2-х тактных двигателей лодок OUTBOARD Tech 2T п/синт.1л MOTUL — 102789 MOTUL — фото, цена, описание, применимость. Купить в интернет-магазине AvtoAll.Ru Распечатать

              46

              1

              Артикул: 102789еще, артикулы доп.: MOTULскрыть

              Код для заказа: 501387

              Есть в наличии Доступно для заказа — >10 шт.Сейчас в 8 магазинах — >10 шт.Цены в магазинах могут отличатьсяДанные обновлены: 27.07.2021 в 08:30 Доставка на таксиДоставка курьером — 300 ₽

              Сможем доставить: Завтра (к 28 Июля)

              Доставка курьером ПЭК — EasyWay — 300 ₽

              Сможем доставить: Сегодня (к 27 Июля)

              Пункты самовывоза СДЭК Пункты самовывоза Boxberry Постаматы PickPoint Магазины-салоны Евросеть и Связной Отделения Почты РФ Терминалы ТК ПЭК — EasyWay Самовывоз со склада интернет-магазина на Кетчерской — бесплатно

              Возможен: сегодня c 10:42

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Люберцах (Красная Горка) — бесплатно

              Возможен: сегодня c 17:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в поселке Октябрьский — бесплатно

              Возможен: сегодня c 17:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Сабурово — бесплатно

              Возможен: сегодня c 19:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина на Братиславской — бесплатно

              Возможен: сегодня c 17:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Перово — бесплатно

              Возможен: сегодня c 17:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Кожухово — бесплатно

              Возможен: завтра c 11:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Вешняков — бесплатно

              Возможен: завтра c 11:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина из МКАД 6км (внутр) — бесплатно

              Возможен: завтра c 11:00

              Самовывоз со склада интернет-магазина в Подольске — бесплатно

              Возможен: завтра c 11:00

               Код для заказа 501387 Артикулы 102789, MOTUL Производитель MOTUL Объем [л] 1 Спецификация API TSC 4

              Отзывы о товаре

              Сертификаты

              Обзоры

              Наличие товара на складах и в магазинах, а также цена товара указана на 27.07.2021 08:30.

              Цены и наличие товара во всех магазинах и складах обновляются 1 раз в час. При достаточном количестве товара в нужном вам магазине вы можете купить его без предзаказа.

              Интернет-цена — действительна при заказе на сайте или через оператора call-центра по телефону 8-800-600-69-66. При условии достаточного количества товара в момент заказа.

              Цена в магазинах — розничная цена товара в торговых залах магазинов без предварительного заказа.

              Срок перемещения товара с удаленного склада на склад интернет-магазина.

              Представленные данные о запчастях на этой странице несут исключительно информационный характер.

              642546f8dbe7bdf46fd71f2a590620bf

              Добавление в корзину

              Код для заказа:

              Доступно для заказа:

              Кратность для заказа:

              Добавить

              Отменить

              Товар успешно добавлен в корзину

              !

              В вашей корзине на сумму

              Закрыть

              Оформить заказ

              Calculus II — Параметрические уравнения и кривые

              Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

              Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

              Раздел 3-1: Параметрические уравнения и кривые

              До этого момента (как в исчислении I, так и в исчислении II) мы рассматривали почти исключительно функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) ) \) и почти все формулы, которые мы разработали, требуют, чтобы функции были в одной из этих двух форм.2}} & \ hspace {0,15 дюйма} & \ left ({{\ mbox {left side}}} \ right) \ end {align *} \]

              К сожалению, мы обычно работаем над всем кругом или просто не можем сказать, что будем работать только над его частью. Даже если мы можем сузить круг вопросов до одной из этих частей, работать с функцией все равно будет довольно неприятно.

              Есть также очень много кривых, которые мы даже не можем записать в виде единого уравнения, используя только \ (x \) и \ (y \).Итак, чтобы справиться с некоторыми из этих проблем, мы вводим параметрических уравнений . Вместо определения \ (y \) в терминах \ (x \) (\ (y = f \ left (x \ right) \)) или \ (x \) в терминах \ (y \) (\ (x = h \ left (y \ right) \)) мы определяем как \ (x \), так и \ (y \) в терминах третьей переменной, называемой параметром, следующим образом:

              \ [x = f \ left (t \ right) \ hspace {0,5 дюйма} y = g \ left (t \ right) \]

              Эта третья переменная обычно обозначается \ (t \) (как мы это делали здесь), но, конечно, не обязательно.Иногда мы ограничиваем значения \ (t \), которые мы будем использовать, а в других случаях — нет. Это часто будет зависеть от проблемы и от того, что мы пытаемся сделать.

              Каждое значение \ (t \) определяет точку \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right ) \), которую мы можем построить. Набор точек, который мы получаем, позволяя \ (t \) быть всеми возможными значениями, является графиком параметрических уравнений и называется параметрической кривой .

              Чтобы визуализировать, что такое параметрическая кривая, представьте, что у нас есть большой резервуар с водой, который находится в постоянном движении, и мы бросаем в резервуар шарик для пинг-понга. Точка \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right) \) будет представлять местоположение мяч для пинг-понга в резервуаре в момент времени \ (t \), и параметрическая кривая будет отражать все положения шара для пинг-понга. Обратите внимание, что это не всегда правильная аналогия, но она полезна на начальном этапе, чтобы помочь визуализировать, что такое параметрическая кривая.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

              На данный момент наш единственный вариант для построения параметрической кривой — это выбрать значения \ (t \), вставить их в параметрические уравнения и затем построить точки. Итак, давайте добавим несколько \ (t \) ‘s.

              \ (т \) \ (х \) \ (у \)
              -2 2-5
              -1 0 -3
              \ (- \ frac {1} {2} \) \ (- \ frac {1} {4} \)-2
              0 0 -1
              1 2 1

              Первый вопрос, который следует задать на этом этапе: как мы узнали, что использовать значения \ (t \), которые мы использовали, особенно третий вариант? К сожалению, на данный момент нет реального ответа на этот вопрос.Мы просто выбираем \ (t \), пока не будем достаточно уверены, что получили хорошее представление о том, как выглядит кривая. Именно эта проблема с выбором «хороших» значений \ (t \) делает этот метод построения параметрических кривых одним из худших вариантов. Иногда у нас нет выбора, но если у нас есть выбор, мы должны его избегать.

              В следующих примерах мы обсудим альтернативный метод построения графиков, который поможет объяснить, как были выбраны эти значения \ (t \).

              У нас есть еще одна идея, которую нужно обсудить, прежде чем мы нарисуем кривую.Параметрические кривые имеют направление движения . Направление движения задается увеличением \ (t \). Итак, при построении параметрических кривых мы также включаем стрелки, показывающие направление движения. Мы часто будем указывать значение \ (t \), которое дало определенные точки на графике, а также чтобы прояснить значение \ (t \), которое дало эту конкретную точку.

              Вот эскиз этой параметрической кривой.

              Итак, похоже, у нас есть парабола, которая открывается вправо.

              Прежде чем мы закончим этот пример, есть несколько важный и тонкий момент, который мы должны обсудить в первую очередь. Обратите внимание, что мы включили часть эскиза справа от точек, соответствующих \ (t = — 2 \) и \ (t = 1 \), чтобы указать, что там есть части эскиза. Если бы мы просто остановили набросок в этих точках, мы указываем, что не было части кривой справа от этих точек, и она явно будет. Мы просто не вычисляли ни одну из этих точек.

              Это может показаться неважным, но, как мы увидим в следующем примере, это более важно, чем мы думаем.

              Прежде чем приступить к более простому способу построения наброска этого графика, давайте сначала рассмотрим вопрос об ограничениях для параметра. В предыдущем примере у нас не было ограничений на параметр. Без ограничений для параметра график будет продолжаться в обоих направлениях, как показано на скетче выше.

              Однако у нас часто бывают ограничения на параметр, и это влияет на эскиз параметрических уравнений.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \ hspace {0,5 дюйма} — 1 \ le t \ le 1 \] Показать решение

              Обратите внимание, что единственная разница здесь — наличие ограничений на \ (t \). Все эти ограничения говорят нам, что мы не можем брать какое-либо значение \ (t \) за пределы этого диапазона. Следовательно, параметрическая кривая будет только частью приведенной выше кривой. Вот параметрическая кривая для этого примера.

              Обратите внимание, что с этим скетчем мы начали и остановили скетч прямо на точках, исходящих из конечных точек диапазона \ (t \) ‘s.Сравните это с эскизом в предыдущем примере, где у нас была часть эскиза справа от «начальной» и «конечной» точек, которые мы вычислили.

              В этом случае кривая начинается в \ (t = — 1 \) и заканчивается в \ (t = 1 \), тогда как в предыдущем примере кривая действительно не начиналась в самых правых точках, которые мы вычислили. В наших набросках мы должны четко понимать, начинается ли / заканчивается ли кривая прямо в точке, или эта точка была просто первой / последней, которую мы вычислили.

              Пришло время взглянуть на более простой метод построения эскиза этой параметрической кривой. Этот метод использует тот факт, что во многих, но не во всех случаях мы можем фактически исключить параметр из параметрических уравнений и получить функцию, включающую только \ (x \) и \ (y \). Иногда мы будем называть это алгебраическим уравнением , чтобы отличить его от исходных параметрических уравнений. При использовании этого метода возникнут две небольшие проблемы, но их будет легко решить.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

              Один из самых простых способов удалить параметр — просто решить одно из уравнений для параметра (в данном случае \ (t \)) и подставить его в другое уравнение. 2} + y + \ frac {3} {4} \]

              Конечно, из наших знаний алгебры мы можем видеть, что это парабола, которая открывается вправо и будет иметь вершину в точке \ (\ left ({- \ frac {1} {4}, — 2} \ right) \) .

              Мы не будем заморачиваться с наброском для этого, поскольку мы уже набросали его однажды, и смысл здесь был больше в том, чтобы в любом случае исключить параметр.

              Прежде чем мы закончим этот пример, давайте быстро рассмотрим одну проблему.

              В первом примере мы просто, казалось бы, случайным образом выбрали значения \ (t \) для использования в нашей таблице, особенно третье значение. На самом деле не было очевидной причины для выбора \ (t = — \ frac {1} {2} \).Однако, вероятно, это наиболее важный выбор \ (t \), поскольку именно он дает вершину.

              Реальность такова, что при написании этого материала мы сначала решили эту задачу, а затем вернулись и решили первую задачу. Построение точек — это, как правило, способ, которым большинство людей сначала учатся строить графики, и он действительно иллюстрирует некоторые важные концепции, такие как направление, поэтому имело смысл сначала сделать это в примечаниях. Однако на практике этот пример часто выполняется первым.2} + t} \\ {- 2 = 2t — 1} \ end {array} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ begin {array} {ll} {t = — \ frac {1 } {2} \, \, \, \ left ({{\ mbox {двойной корень}}} \ right)} \\ {t = — \ frac {1} {2}} \ end {array} \]

              Итак, как мы видим, значение \ (t \), которое даст обе эти координаты, равно \ (t = — \ frac {1} {2} \). Обратите внимание, что параметрическое уравнение \ (x \) дало двойной корень, а этого часто не происходит. Часто из этого уравнения мы получали два разных корня. На самом деле нет ничего необычного в том, чтобы получить несколько значений \ (t \) из каждого уравнения.

              Однако мы можем сказать, что будут значения \ (t \), которые встречаются в обоих наборах решений, и это \ (t \), которые мы хотим для этой точки. В конце концов мы увидим пример, где это происходит, в следующем разделе.

              Теперь из этой работы мы видим, что если мы используем \ (t = — \ frac {1} {2} \), мы получим вершину, и поэтому мы включили это значение \ (t \) в таблицу в примере 1. Как только мы получили это значение \ (t \), мы выбрали два целых значения \ (t \) с каждой стороны, чтобы завершить таблицу.

              Как мы увидим в последующих примерах в этом разделе, определение значений \ (t \), которые дадут конкретные баллы, — это то, что нам нужно будет делать на довольно регулярной основе. Однако, как показал этот пример, это довольно просто. Все, что нам нужно, это решить (обычно) довольно простое уравнение, которое к этому моменту не должно быть слишком сложным.

              Создание эскиза параметрической кривой после исключения параметра кажется довольно простым.Все, что нам нужно сделать, это изобразить уравнение, которое мы нашли, исключив параметр. Однако, как уже отмечалось, у этого метода есть две небольшие проблемы. Первый — это направление движения. Уравнение, включающее только \ (x \) и \ (y \), НЕ даст направление движения параметрической кривой. Однако, как правило, эту проблему легко решить. Давайте быстро посмотрим на производные параметрических уравнений из последнего примера. Их,

              \ [\ begin {align *} \ frac {{dx}} {{dt}} & = 2t + 1 \\ \ frac {{dy}} {{dt}} & = 2 \ end {align *} \]

              Теперь все, что нам нужно сделать, это вспомнить наши знания по Исчислению I.Очевидно, что производная \ (y \) по \ (t \) всегда положительна. Вспоминая, что одна из интерпретаций первой производной — это скорость изменения, мы теперь знаем, что по мере увеличения \ (t \) \ (y \) также должно увеличиваться. Следовательно, мы должны двигаться вверх по кривой снизу вверх по мере увеличения \ (t \), поскольку это единственное направление, которое всегда будет давать увеличение \ (y \) при увеличении \ (t \).

              Обратите внимание, что производная \ (x \) не так полезна для этого анализа, поскольку она будет как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, \ (x \) будет как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от значения \ (t \).Это не очень помогает с направлением, поскольку следование кривой в любом направлении будет показывать как увеличение, так и уменьшение \ (x \).

              В некоторых случаях только одно из уравнений, например, в этом примере, задает направление, в то время как в других случаях можно использовать любое из них. Также возможно, что в некоторых случаях для определения направления потребуются обе производные. Это всегда будет зависеть от индивидуального набора параметрических уравнений.

              Вторая проблема с удалением параметра лучше всего проиллюстрирована на примере, поскольку мы столкнемся с этой проблемой в остальных примерах.

              Пример 4 Постройте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко укажите направление движения. \ [x = 5 \ cos t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2 \ sin t \ hspace {0,5 дюйма} 0 \ le t \ le 2 \ pi \] Показать решение

              Прежде чем мы приступим к устранению параметра для этой проблемы, давайте сначала обратимся к еще раз, почему просто выбирать \ (t \) и наносить точки на график не очень хорошая идея.

              Учитывая диапазон значений \ (t \) в формулировке задачи, давайте воспользуемся следующим набором \ (t \) ’.

              \ (т \) \ (х \) \ (у \)
              0 5 0
              \ (\ frac {\ pi} {2} \) 0 2
              \ (\ pi \)-5 0
              \ (\ frac {{3 \ pi}} {2} \) 0-2
              \ (2 \ pi \) 5 0

              Теперь нам нужно задать вопрос: достаточно ли у нас точек, чтобы точно нарисовать график этого набора параметрических уравнений? Ниже приведены некоторые эскизы некоторых возможных графиков параметрического уравнения, основанного только на этих пяти точках.

              Учитывая природу синуса / косинуса, вы могли бы исключить ромб и квадрат, но нельзя отрицать, что это графики, проходящие через заданные точки. Последний график тоже немного глуп, но он показывает график, проходящий через заданные точки.

              Опять же, учитывая природу синуса / косинуса, вы, вероятно, можете догадаться, что правильный график — это эллипс.Однако на данный момент это все, что нужно сделать. Догадка. На самом деле ничто не говорит однозначно о том, что параметрическая кривая представляет собой эллипс только из этих пяти точек. В этом опасность построения параметрических кривых на основе нескольких точек. Если мы не знаем заранее, какой график будет, мы на самом деле просто делаем предположение.

              Итак, в общем, нам следует избегать нанесения точек на эскиз параметрических кривых. {- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right) \ hspace {0.{- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right)} \ right) \]

              Вы видите проблему с этим? Это определенно легко сделать, но у нас больше шансов правильно построить график исходных параметрических уравнений путем нанесения точек, чем при построении этого графика!

              Есть много способов исключить параметр из параметрических уравнений, и решение для \ (t \) обычно не лучший способ сделать это. Хотя часто это легко сделать, в большинстве случаев мы получаем уравнение, с которым практически невозможно справиться.2}}} {4} \]

              Итак, теперь мы знаем, что у нас будет эллипс.

              А теперь продолжим пример. Мы определили, что параметрические уравнения описывают эллипс, но мы не можем просто набросать эллипс и покончить с ним.

              Во-первых, то, что алгебраическое уравнение было эллипсом, на самом деле не означает, что параметрическая кривая представляет собой полный эллипс. Всегда возможно, что параметрическая кривая является только частью эллипса.Чтобы определить, какую часть эллипса будет покрывать параметрическая кривая, давайте вернемся к параметрическим уравнениям и посмотрим, что они говорят нам о любых ограничениях на \ (x \) и \ (y \). Основываясь на наших знаниях синуса и косинуса, мы имеем следующее:

              \ [\ begin {align *} & — 1 \ le \ cos t \ le 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} — 5 \ le 5 \ cos t \ le 5 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0.25in} \, \, — 5 \ le x \ le 5 \\ & — 1 \ le \ sin t \ le 1 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} — 2 \ le 2 \ sin t \ le 2 \, \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, — 2 \ le y \ le 2 \ конец {выравнивание *} \]

              Итак, начав с синуса / косинуса и «построив» уравнение для \ (x \) и \ (y \) с помощью основных алгебраических манипуляций, мы получим, что параметрические уравнения накладывают указанные выше ограничения на \ (x \) и \ (у \). В этом случае это также полные ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые мы получаем, построив график полного эллипса.

              Это вторая потенциальная проблема, о которой говорилось выше.Параметрическая кривая не всегда может прослеживать полный график алгебраической кривой. Мы всегда должны находить ограничения на \ (x \) и \ (y \), налагаемые на нас параметрической кривой, чтобы определить, какая часть алгебраической кривой на самом деле нарисована параметрическими уравнениями.

              Таким образом, в этом случае мы теперь знаем, что получаем полный эллипс из параметрических уравнений. Прежде чем мы продолжим рассмотрение остальной части примера, будьте осторожны, чтобы не всегда просто предполагать, что мы получим полный график алгебраического уравнения.Определенно бывают случаи, когда мы не можем получить полный график, и нам нужно будет провести аналогичный анализ, чтобы определить, какую часть графика мы на самом деле получаем. Позже мы увидим пример этого.

              Также обратите внимание, что любые ограничения на \ (t \), указанные в постановке задачи, также могут повлиять на то, какую часть графика алгебраического уравнения мы получим. Однако в этом случае, основываясь на таблице значений, которые мы вычислили в начале задачи, мы можем видеть, что действительно получаем полный эллипс в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \).Однако это не всегда так, поэтому обратите внимание на любые ограничения на \ (t \), которые могут существовать!

              Далее нам нужно определить направление движения параметрической кривой. Вспомните, что все параметрические кривые имеют направление движения, а уравнение эллипса просто ничего не говорит нам о направлении движения.

              Чтобы получить направление движения, заманчиво просто использовать таблицу значений, которую мы вычислили выше, чтобы получить направление движения.В этом случае мы могли бы предположить (и да, это все — предположение), что кривая идет против часовой стрелки. Мы были бы правы. В этом случае мы были бы правы! Проблема в том, что таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления движения, как мы увидим в следующем примере.

              Следовательно, лучше не использовать таблицу значений для определения направления движения. Чтобы правильно определить направление движения, мы будем использовать тот же метод определения направления, который мы обсуждали после примера 3.Другими словами, мы возьмем производную параметрических уравнений и воспользуемся нашими знаниями Исчисления I и триггера для определения направления движения.

              Производные параметрических уравнений равны,

              \ [\ frac {{dx}} {{dt}} = — 5 \ sin t \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{dy}} {{dt}} = 2 \ cos t \]

              Теперь, в точке \ (t = 0 \), мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте посмотрим, что произойдет, если мы начнем увеличивать \ (t \).Увеличим \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \). В этом диапазоне значений \ (t \) мы знаем, что синус всегда положителен, и поэтому из производной уравнения \ (x \) мы можем видеть, что \ (x \) должно уменьшаться в этом диапазоне значений \ (t \) ‘s.

              Это, однако, не помогает нам определить направление параметрической кривой. Начиная с \ (\ left ({5,0} \ right) \) независимо от того, движемся ли мы по часовой стрелке или против часовой стрелки, \ (x \) должен будет уменьшаться, поэтому мы действительно ничего не узнали из \ (x \) производная.

              С другой стороны, нам поможет производная от параметрического уравнения \ (y \). Опять же, когда мы увеличиваем \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \), мы знаем, что косинус будет положительным, и поэтому \ (y \) должен быть увеличивается в этом диапазоне. Однако это может произойти только в том случае, если мы движемся против часовой стрелки. Если бы мы двигались по часовой стрелке от точки \ (\ left ({5,0} \ right) \), мы могли бы видеть, что \ (y \) пришлось бы уменьшаться!

              Следовательно, в первом квадранте мы должны двигаться против часовой стрелки.Перейдем ко второму квадранту.

              Итак, теперь мы находимся в точке \ (\ left ({0,2} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {\ pi} {2} \) до \ (т = \ пи \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус будет отрицательным, а синус — положительным. Следовательно, из производных параметрических уравнений мы можем видеть, что \ (x \) все еще уменьшается, и \ (y \) теперь также будет уменьшаться.

              В этом квадранте производная \ (y \) ничего не говорит нам, поскольку \ (y \) просто должен уменьшаться, чтобы перейти от \ (\ left ({0,2} \ right) \).Однако для уменьшения \ (x \), как мы знаем, в этом квадранте, направление все еще должно двигаться против часовой стрелки.

              Сейчас мы находимся в \ (\ left ({- 5,0} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ pi \) до \ (t = \ frac {{3 \ пи}} {2} \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус отрицателен (и, следовательно, \ (y \) будет уменьшаться), а синус также отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Поэтому продолжим движение против часовой стрелки.

              Для квадранта 4 -го мы начнем с \ (\ left ({0, — 2} \ right) \) и увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {{3 \ pi}} { 2} \) в \ (t = 2 \ pi \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус положительный (и, следовательно, \ (y \) будет увеличиваться), а синус отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Итак, как и в предыдущих трех квадрантах, мы продолжаем двигаться против часовой стрелки.

              На этом этапе мы охватили диапазон \ (t \), указанный в постановке задачи, и в течение всего диапазона движение происходило против часовой стрелки.

              Теперь мы можем полностью набросать параметрическую кривую, вот и эскиз.

              Хорошо, это был действительно длинный пример. Большинство проблем такого типа не такие продолжительные. Нам просто нужно было многое обсудить в этом, чтобы мы могли выделить пару важных идей. Остальные примеры в этом разделе не займет много времени.

              Теперь давайте взглянем на другой пример, который проиллюстрирует важную идею о параметрических уравнениях.

              Пример 5 Постройте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко укажите направление движения. \ [x = 5 \ cos \ left ({3t} \ right) \ hspace {0,5 дюйма} y = 2 \ sin \ left ({3t} \ right) \ hspace {0,5 дюйма} 0 \ le t \ le 2 \ Пи \] Показать решение

              Обратите внимание, что единственное различие между этими параметрическими уравнениями и уравнениями в примере 4 состоит в том, что мы заменили \ (t \) на 3 \ (t \). Здесь мы можем удалить параметр таким же образом, как и в предыдущем примере.2}}} {4} \]

              Итак, мы получили тот же эллипс, что и в предыдущем примере. Также обратите внимание, что мы можем провести такой же анализ параметрических уравнений, чтобы определить, что у нас точно такие же ограничения на \ (x \) и \ (y \). А именно

              \ [- 5 \ le x \ le 5 \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} — 2 \ le y \ le 2 \]

              Начинает казаться, что изменение \ (t \) на 3 \ (t \) в тригонометрических уравнениях никоим образом не изменит параметрическую кривую.Однако это неверно. Кривая действительно меняется небольшим, но важным образом, который мы вскоре обсудим.

              Прежде чем обсуждать то небольшое изменение, которое 3 \ (t \) вносит в кривую, давайте обсудим направление движения этой кривой. Несмотря на то, что мы сказали в последнем примере, что выбор значений \ (t \) и подключение к уравнениям для поиска точек для построения графика — плохая идея, давайте сделаем это любым способом.

              Учитывая диапазон значений \ (t \) из условия задачи, следующий набор выглядит как хороший выбор для использования \ (t \).

              \ (т \) \ (х \) \ (у \)
              0 5 0
              \ (\ frac {\ pi} {2} \) 0-2
              \ (\ pi \)-5 0
              \ (\ frac {{3 \ pi}} {2} \) 0 2
              \ (2 \ pi \) 5 0

              Итак, единственное изменение в этой таблице значений / точек из последнего примера — это все ненулевые значения \ (y \) изменили знак.При быстром взгляде на значения в этой таблице может показаться, что кривая в этом случае движется по часовой стрелке. Но так ли это? Напомним, мы говорили, что эти таблицы значений могут вводить в заблуждение, когда используются для определения направления, и поэтому мы их не используем.

              Посмотрим, верно ли наше первое впечатление. Мы можем проверить наше первое впечатление, выполнив производную работу, чтобы получить правильное направление. Давайте работать с параметрическим уравнением \ (y \), так как \ (x \) будет иметь ту же проблему, что и в предыдущем примере.Производная параметрического уравнения \ (y \) равна,

              \ [\ frac {{dy}} {{dt}} = 6 \ cos \ left ({3t} \ right) \]

              Теперь, если мы начнем с \ (t = 0 \), как в предыдущем примере, и начнем увеличивать \ (t \). При \ (t = 0 \) производная явно положительна, и поэтому увеличение \ (t \) (по крайней мере, вначале) заставит \ (y \) также увеличиться. Единственный способ сделать это — если кривая изначально идет против часовой стрелки.

              Теперь мы могли бы продолжить рассмотрение того, что происходит при дальнейшем увеличении \ (t \), но когда мы имеем дело с параметрической кривой, которая представляет собой полный эллипс (как эта), а аргумент триггерных функций имеет вид nt для любой константы \ (n \) направление не изменится, поэтому, как только мы знаем начальное направление, мы знаем, что оно всегда будет двигаться в этом направлении. Обратите внимание, что это верно только для параметрических уравнений в той форме, которая у нас есть. В последующих примерах мы увидим, что для различных типов параметрических уравнений это может быть неверно.

              Хорошо, из этого анализа мы видим, что кривая должна быть начерчена против часовой стрелки. Это прямо противоречит нашему предположению из таблиц значений выше, и поэтому мы можем видеть, что в этом случае таблица, вероятно, привела бы нас в неверном направлении. Итак, еще раз, таблицы, как правило, не очень надежны для получения практически любой реальной информации о параметрической кривой, кроме нескольких точек, которые должны быть на кривой. В остальном таблицы редко бывают полезными и, как правило, не рассматриваются в дальнейших примерах.

              Итак, почему наша таблица дала неверное представление о направлении? Хорошо напомним, что мы упоминали ранее, что 3 \ (t \) приведет к небольшому, но важному изменению кривой по сравнению с просто \ (t \)? Давайте посмотрим, что это за изменение, так как оно также ответит, что «пошло не так» с нашей таблицей значений.

              Начнем с \ (t = 0 \). В \ (t = 0 \) мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте спросим себя, какие значения \ (t \) возвращают нас в эту точку.В Примере 3 мы видели, как определять значения \ (t \), которые ставят нас в определенные точки, и здесь будет работать тот же процесс с небольшими изменениями.

              Вместо того, чтобы смотреть на уравнения \ (x \) и \ (y \), как мы это делали в этом примере, давайте просто посмотрим на уравнение \ (x \). Причина этого в том, что мы отметим, что на эллипсе есть две точки, координата которых будет равна нулю \ (y \): \ (\ left ({5,0} \ right) \) и \ (\ слева ({- 5,0} \ right) \). Если мы установим координату \ (y \) равной нулю, мы найдем все \ (t \), которые находятся в обеих этих точках, когда нам нужны только значения \ (t \), которые находятся в \ ( \ left ({5,0} \ right) \).{- 1}} \ left (1 \ right) = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, \ to \ hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \ , t = \ frac {2} {3} \ pi n \, \, \, \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {align *} \]

              Не забывайте, что при решении тригонометрического уравнения нам нужно добавить «\ (+ 2 \ pi n \)», где \ (n \) представляет количество полных оборотов против часовой стрелки (положительное значение \ ( n \)) и по часовой стрелке (отрицательное \ (n \)), которое мы поворачиваем от первого решения, чтобы получить все возможные решения уравнения.

              Теперь давайте подставим несколько значений \ (n \), начиная с \ (n = 0 \). В этом случае нам не нужно отрицательное \ (n \), поскольку все они приведут к отрицательному \ (t \), а те выходят за пределы диапазона \ (t \), который мы были указаны в формулировке задачи. Тогда первые несколько значений \ (t \) равны

              . \ [\ begin {align *} n & = 0 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = 0 \\ n & = 1 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ гидроразрыв {{2 \ pi}} {3} \\ n & = 2 \ hspace {0.25 дюймов}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ frac {{4 \ pi}} {3} \\ n & = 3 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ frac {{6 \ pi}} {3} = 2 \ pi \ end {align *} \]

              На этом мы можем остановиться, так как все дальнейшие значения \ (t \) будут выходить за пределы диапазона \ (t \), указанного в этой задаче.

              Итак, о чем это нам говорит? В Примере 4, когда аргументом было просто \ (t \), эллипс был начерчен ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \). Однако, когда мы меняем аргумент на 3 \ (t \) (и помня, что кривая всегда будет трассироваться против часовой стрелки для этой задачи), мы проходим через «начальную» точку \ (\ left ( {5,0} \ right) \) в два раза больше, чем в предыдущем примере.

              Фактически, эта кривая прослеживается три разных раза. Первая трассировка завершается в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ frac {{2 \ pi}} {3} \). Вторая трассировка завершается в диапазоне \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \ le t \ le \ frac {{4 \ pi}} {3} \), а третья и последняя трассировка завершается в диапазон \ (\ frac {{4 \ pi}} {3} \ le t \ le 2 \ pi \). Другими словами, изменение аргумента с \ (t \) на 3 \ (t \) увеличивает скорость трассировки, и кривая теперь будет трассироваться три раза в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \ )!

              Вот почему таблица производит неправильное впечатление.Скорость трассировки увеличилась, что привело к неправильному впечатлению от точек в таблице. Таблица, кажется, предполагает, что между каждой парой значений \ (t \) четверть эллипса прослеживается по часовой стрелке, тогда как на самом деле она выводит три четверти эллипса против часовой стрелки.

              Вот последний набросок кривой и обратите внимание, что он не сильно отличается от предыдущего наброска. Единственные различия — это значения \ (t \) и различные точки, которые мы включили.Мы включили еще несколько значений \ (t \) в различных точках, чтобы проиллюстрировать, где находится кривая для различных значений \ (t \), но в целом они действительно не нужны.

              Итак, в последних двух примерах мы видели два набора параметрических уравнений, которые каким-то образом давали один и тот же график. Тем не менее, поскольку они вычерчивали график разное количество раз, нам действительно нужно думать о них как о разных параметрических кривых, по крайней мере, в некотором роде.Это может показаться различием, о котором нам не нужно беспокоиться, но, как мы увидим в следующих разделах, это может быть очень важным различием. В некоторых из последующих разделов нам понадобится кривая, которая будет начерчена ровно один раз.

              Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, давайте кратко рассмотрим, что происходит при изменении \ (t \) на nt в такого рода параметрических уравнениях. Когда мы имеем дело с параметрическими уравнениями, включающими только синусы и косинусы, и оба они имеют один и тот же аргумент, если мы изменим аргумент с \ (t \) на nt , мы просто изменим скорость, с которой выполняется трассировка кривой.2}}} {4} \]

              В данном случае алгебраическое уравнение представляет собой параболу, которая открывается влево.

              Однако нам нужно быть очень и очень осторожными при построении эскиза этой параметрической кривой. Мы НЕ получим всю параболу. Набросок параболы алгебраической формы будет существовать для всех возможных значений \ (y \). Однако параметрические уравнения определили как \ (x \), так и \ (y \) в терминах синуса и косинуса, и мы знаем, что их диапазоны ограничены, и поэтому мы не получим все возможные значения \ (x \ ) и \ (y \) здесь.2} t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & 0 \ le x \ le 1 \\ — 1 \ le \ cos t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le 2 \ cos t \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

              Итак, из этого ясно, что мы получим только часть параболы, которая определяется алгебраическим уравнением. Ниже приведен краткий набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

              Чтобы закончить набросок параметрической кривой, нам также необходимо направление движения кривой. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, давайте перейдем вперед и определим диапазон значений \ (t \) для одной трассы. Для этого нам нужно знать \ (t \), которые помещают нас в каждую конечную точку, и мы можем следовать той же процедуре, которую мы использовали в предыдущем примере. Единственная разница в том, что на этот раз давайте будем использовать параметрическое уравнение \ (y \) вместо \ (x \), потому что координаты \ (y \) двух конечных точек кривой различны, тогда как координаты \ (x \) одинаковы.{- 1}} \ left ({- 1} \ right) = \ pi + 2 \ pi n, \ hspace {0.25in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {выровнять*}\]

              Итак, мы видим, что мы будем в нижней точке на,

              \ [t = \ ldots, — 3 \ pi, — \ pi, \ pi, 3 \ pi, \ ldots \]

              Итак, если мы начнем, скажем, с \ (t = 0 \), мы находимся в верхней точке и увеличиваем \ (t \), мы должны двигаться по кривой вниз, пока не достигнем \ (t = \ pi \) в этот момент мы сейчас находимся в нижней точке.Это означает, что мы проведем кривую ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \).

              Однако это не единственный диапазон, по которому можно проследить кривую. Обратите внимание, что если мы будем увеличивать \ (t \) от \ (t = \ pi \), теперь нам придется вернуться вверх по кривой, пока мы не достигнем \ (t = 2 \ pi \), и теперь мы вернемся наверх. точка. Увеличение \ (t \) снова, пока мы не достигнем \ (t = 3 \ pi \), вернет нас вниз по кривой, пока мы снова не достигнем нижней точки, и т. Д. .Из этого анализа мы можем получить еще два диапазона \ (t \) для одной трассы,

              \ [\ pi \ le t \ le 2 \ pi \ hspace {0,5 дюйма} 2 \ pi \ le t \ le 3 \ pi \]

              Как вы, вероятно, видите, существует бесконечное количество диапазонов \ (t \), которые мы могли бы использовать для одного следа кривой. Любой из них был бы приемлемым ответом на эту проблему.

              Обратите внимание, что в процессе определения диапазона \ (t \) для одной трассы нам также удалось определить направление движения для этой кривой.В диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \) мы должны были пройти вниз по кривой, чтобы добраться от верхней точки в \ (t = 0 \) до нижней точки в \ (t = \ pi \) . Однако в точке \ (t = 2 \ pi \) мы снова находимся в верхней точке кривой, и чтобы попасть туда, мы должны двигаться по пути. Мы не можем просто перепрыгнуть на верхнюю точку или выбрать другой путь, чтобы добраться туда. Все путешествие необходимо совершать по намеченному пути. Это означает, что нам пришлось вернуться вверх по пути. Дальнейшее увеличение \ (t \) возвращает нас обратно по пути, затем снова вверх по пути и т. Д. .

              Другими словами, этот путь нарисован в обоих направлениях, потому что мы не налагаем никаких ограничений на \ (t \) ’, и поэтому мы должны предположить, что мы используем все возможные значения \ (t \). Если бы мы наложили ограничения на то, какие \ (t \) использовать, мы действительно могли бы двигаться только в одном направлении. Однако это будет результатом только диапазона \ (t \), который мы используем, а не самих параметрических уравнений.

              Обратите внимание, что нам действительно не нужно было проделывать вышеописанную работу, чтобы определить, идет ли кривая в обоих направлениях.в таком случае. Оба параметрических уравнения \ (x \) и \ (y \) включают синус или косинус, и мы знаем, что обе эти функции колеблются. Это, в свою очередь, означает, что как \ (x \), так и \ (y \) также будут колебаться. Единственный способ сделать это на данной кривой — это провести кривую в обоих направлениях.

              Будьте осторожны с приведенными выше рассуждениями о том, что колебательный характер синуса / косинуса заставляет кривую прослеживаться в обоих направлениях. Его можно использовать только в этом примере, потому что «начальная» и «конечная» точки кривых находятся в разных местах.Единственный способ добраться от одной из «конечных» точек кривой до другой — вернуться назад по кривой в противоположном направлении.

              Сравните это с эллипсом в примере 4. В этом случае синус / косинус также присутствовал в параметрических уравнениях. Однако кривая прослеживалась только в одном направлении, а не в обоих направлениях. В Примере 4 мы строили график полного эллипса, и поэтому независимо от того, где мы начинаем рисовать график, мы в конечном итоге вернемся к «начальной» точке, даже не отслеживая никакую часть графика.В примере 4, когда мы обрисовываем полный эллипс, оба \ (x \) и \ (y \) фактически колеблются между своими двумя «конечными точками», но сама кривая не проходит в обоих направлениях, чтобы это произошло.

              В принципе, мы можем использовать колебательный характер синуса / косинуса только для определения того, что кривая идет в обоих направлениях, если кривая начинается и заканчивается в разных точках. Если начальная / конечная точка совпадает, тогда нам обычно нужно пройти через аргумент полной производной, чтобы определить фактическое направление движения.

              Итак, чтобы закончить эту проблему, ниже приведен эскиз параметрической кривой. Обратите внимание, что мы поместили стрелки направления в обоих направлениях, чтобы четко указать, что он будет прослеживаться в обоих направлениях. Мы также добавили несколько значений \ (t \), чтобы помочь проиллюстрировать направление движения.

              К этому моменту мы видели примеры, которые могли бы проследить весь график, который мы получили, исключив параметр, если бы мы взяли достаточно большой диапазон \ (t \) ‘s.Однако в предыдущем примере мы увидели, что это не всегда так. Более чем возможно иметь набор параметрических уравнений, которые будут непрерывно отслеживать только часть кривой. Обычно мы можем определить, произойдет ли это, ища ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые накладываются на нас параметрическим уравнением.

              Мы часто будем использовать параметрические уравнения для описания пути объекта или частицы. Давайте посмотрим на это на примере.2} \ left ({2t} \ right) \]

              Полностью опишите путь этой частицы. Для этого нарисуйте путь, определив пределы для \ (x \) и \ (y \) и указав диапазон значений \ (t \), для которых путь будет прослеживаться ровно один раз (при условии, что он трассирует более один раз конечно).

              Показать решение

              Удаление параметра на этот раз будет немного другим. На этот раз у нас есть только косинусы, и мы воспользуемся этим в наших интересах. Мы можем решить уравнение \ (x \) для косинуса и подставить его в уравнение для \ (y \).2} \ left ({2t} \ right) \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & 1 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

              Итак, мы снова обрисовываем только часть кривой. Вот быстрый набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

              Теперь, как мы обсуждали в предыдущем примере, поскольку параметрические уравнения \ (x \) и \ (y \) включают косинус, мы знаем, что и \ (x \), и \ (y \) должны колебаться, и поскольку «начало »И« конечные »точки кривой не совпадают, единственный способ колебания \ (x \) и \ (y \) — это движение кривой в обоих направлениях.

              Чтобы решить проблему, все, что нам нужно сделать, это определить диапазон \ (t \) для одной трассы. Поскольку «конечные» точки на кривой имеют одинаковое значение \ (y \) и разные значения \ (x \), мы можем использовать параметрическое уравнение \ (x \) для определения этих значений. Вот эта работа.

              \ [\ begin {array} {ll} \ begin {align} x = 3: \\ \\ \\ \ end {align} & \ begin {align *} 3 & = 3 \ cos \ left ({2t} \ справа) \\ 1 & = \ cos \ left ({2t} \ right) \\ 2t & = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25 дюймов} \, \ to \ hspace {0,25 дюйма} t = \ pi n \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end { выровнять *} \ конец {массив} \] \ [\ begin {array} {ll} \ begin {align} x = -3: \\ \\ \\ \\ \ end {align} & \ begin {align *} — 3 & = 3 \ cos \ left ( {2t} \ right) \\ — 1 & = \ cos \ left ({2t} \ right) \\ 2t & = \ pi + 2 \ pi n \ hspace {0,25 дюйма} \, \ to \ hspace {0,25 дюйма } t = \ frac {1} {2} \ pi + \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end { выровнять *} \ конец {массив} \]

              Итак, мы будем в правой конечной точке в \ (t = \ ldots, — 2 \ pi, — \ pi, 0, \ pi, 2 \ pi, \ ldots \), а мы будем на левом конце укажите на \ (t = \ ldots, — \ frac {3} {2} \ pi, — \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {3} { 2} \ пи, \ ldots \).Итак, в этом случае существует бесконечное количество диапазонов значений \ (t \) для одной трассы. Вот несколько из них.

              \ [- \ frac {1} {2} \ pi \ le t \ le 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} 0 \ le t \ le \ frac {1} {2} \ pi \ hspace { 0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {1} {2} \ pi \ le t \ le \ pi \]

              Вот окончательный набросок траектории частицы с несколькими значениями \ (t \) на нем.

              Здесь следует сделать небольшое предупреждение.Из-за заложенных в них идей мы сконцентрировались на параметрических кривых, которые повторяли части кривой более одного раза. Однако не зацикливайтесь на мысли, что это всегда будет происходить. Многие, если не большинство параметрических кривых могут быть построены только один раз. Первый, который мы рассмотрели, является хорошим примером этого. Эта параметрическая кривая никогда не повторится ни на одной своей части.

              Перед тем, как двигаться дальше, в этом разделе необходимо обсудить еще одну тему. До сих пор мы начали с параметрических уравнений и устранили параметр для определения параметрической кривой.2}}} = 1 \]

              набор параметрических уравнений для него будет,

              \ [x = a \ cos t \ hspace {1.0in} y = b \ sin t \]

              Этот набор параметрических уравнений проведет по эллипсу, начиная с точки \ (\ left ({a, 0} \ right) \), и будет вести трассировку против часовой стрелки и будет трассировать ровно один раз в диапазоне \ ( 0 \ le t \ le 2 \ pi \). Это довольно важный набор параметрических уравнений, поскольку он постоянно используется в некоторых предметах, связанных с эллипсами и / или кругами.

              Каждую кривую можно параметризовать более чем одним способом. Любой из следующих параметров также параметризует тот же эллипс.

              \ [\ begin {align *} x & = a \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0,5in} & y & = b \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \\ x & = a \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0.5in} & y & = b \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \\ x & = a \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0.5in} & y & = — b \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \ end {выровнять*}\]

              Наличие символа \ (\ omega \) изменит скорость вращения эллипса, как мы видели в примере 5.Также обратите внимание, что последние два очерчивают эллипсы с направлением движения по часовой стрелке (вы можете проверить это). Также обратите внимание, что все они не начинаются в одном и том же месте (если мы думаем о \ (t = 0 \) как о начальной точке).

              Конечно, существует множество других параметризаций эллипса, но вы поняли идею. Важно помнить, что каждая параметризация будет отслеживать кривую один раз с потенциально другим диапазоном \ (t \) ‘s. Каждая параметризация может вращаться с разными направлениями движения и может начинаться в разных точках.

              Вы можете обнаружить, что вам нужна параметризация эллипса, который начинается в определенном месте и имеет определенное направление движения, и теперь вы знаете, что с некоторой работой вы можете написать набор параметрических уравнений, которые дадут вам поведение, которое ты после.

              Теперь давайте запишем пару других важных параметризаций, и все комментарии о направлении движения, начальной точке и диапазоне \ (t \) для одной трассы (если применимо) по-прежнему верны.

              Во-первых, поскольку круг — это не что иное, как частный случай эллипса, мы можем использовать параметризацию эллипса, чтобы получить параметрические уравнения для окружности с центром в начале радиуса \ (r \). Один из возможных способов параметризации круга:

              \ [x = r \ cos t \ hspace {1.0in} y = r \ sin t \]

              Наконец, даже если может показаться, что для этого нет никаких причин, мы также можем параметризовать функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) \).В этих случаях мы параметризуем их следующим образом:

              \ [\ begin {align *} x & = t \ hspace {1.0in} & x & = h \ left (t \ right) \\ y & = f \ left (t \ right) \ hspace {1.0in} & y & = t \ end {выровнять *} \]

              На данный момент может показаться не очень полезным выполнять параметризацию такой функции, но есть много случаев, когда на самом деле будет проще или даже может потребоваться работать с параметризацией вместо самой функции .К сожалению, почти все эти случаи встречаются в курсе Calculus III.

              17.2: Неоднородные линейные уравнения — Математика LibreTexts

              В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

              Общее решение неоднородного линейного уравнения

              Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

              \ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\ nonumber \]

              Соответствующее однородное уравнение

              \ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

              называется дополнительным уравнением . Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

              Определение: частное решение

              Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением этого уравнения.

              ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

              Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

              \ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \]

              Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

              \ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

              Проба

              Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме.Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

              \ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x). \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

              Итак, \ (y (x) \) — решение.

              Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y » + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\) Тогда

              \ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

              , поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

              \ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

              Отсюда видим, что

              \ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

              Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

              Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

              Решение

              Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

              \ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

              Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

              \ [y ′ (x) = — c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

              и

              \ [y ″ (x) = — c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

              Затем

              \ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

              Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

              В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и задача сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

              Неопределенные коэффициенты

              Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Итак, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

              Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

              Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

              \ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

              Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

              \ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0.{−3x} + x− \ frac {4} {3}. \ nonumber \]

              В примере \ (\ PageIndex {2} \) обратите внимание, что даже несмотря на то, что \ (r (x) \) не включает постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение. Если бы мы предположили решение вида \ (y_p = Ax \) (без постоянного члена), мы не смогли бы найти решение. (Проверьте это!) Если функция \ (r (x) \) является полиномом, наша догадка для конкретного решения должна быть полиномом той же степени, и она должна включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в \ (r (x) \).{2t} + \ sin t + \ cos t \]

              В предыдущей контрольной точке \ (r (x) \) включал как синус, так и косинус. Однако даже если \ (r (x) \) включает только синусоидальный член или только косинусный член, в предположении должны присутствовать оба члена.αx sin βx,” in the second column.»>

       Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов
      \ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \)
      \ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная)
      \ (топор + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

      СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

      1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
      2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
      3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
      4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте подобные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
      5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

      Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

      Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = — 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
      Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

      \ [y_p ′ (x) = — 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

      поэтому мы хотим найти такие значения \ (A \) и \ (B \), что

      \ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

      \ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

      Следовательно,

      \ [\ begin {align *} — 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

      Изменение параметров

      Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход, который называется методом изменения параметров .

      Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

      \ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

      где \ (p \) и \ (q \) — константы.

      Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

      \ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

      В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

      \ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

      Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

      \ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

      Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

      \ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

      Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

      \ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

      Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

      Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей.

      ПРАВИЛО

      : ПРАВИЛО КРЕМЕРА

      Система уравнений

      \ [\ begin {align *} a_1z_1 + b_1z_2 = r_1 \\ [4pt] a_2z_1 + b_2z_2 = r_2 \ end {align *} \]

      имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов не равен нулю. 2 \\ r_1 (x) = 0 \\ r_2 (х) = 2х.2} \), \ (z_2 = \ frac {2x + 2} {11x} \)

      СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

      1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение \ [c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x). \]
      2. Используйте правило Крамера или другой подходящий метод, чтобы найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \), удовлетворяющие \ [\ begin {align} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u ′ Y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x). \ end {align} \]
      3. Интегрируйте \ (u ′ \) и \ (v ′ \), чтобы найти \ (u (x) \) и \ (v (x) \).т \ лн | т | \ tag {step 5} \]

      4. Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0 \) с соответствующим общим решением \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \). Итак, \ (y_1 (x) = \ cos x \) и \ (y_2 (x) = \ sin x \) (шаг 1). Затем мы хотим найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \) такие, что

        \ [\ begin {align *} u ′ \ cos x + v ′ \ sin x = 0 \\ −u ′ \ sin x + v ′ \ cos x = 3 \ sin _2 x \ end {align *}. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т \ лн | т | \)

        Imagine X2T — Tower — Динамики PSB

        Описание

        Быстрый и артикулированный расширенный бас
        В динамиках Imagine X2T Tower используются два низкочастотных динамика 6½ ”(165 мм), каждый со своей отдельной акустической камерой, настроенной с фронтальным портом для достижения невероятного контроля и пространственного, динамического качества звука. Разделение и индивидуальное расположение камер устраняет стоячие волны внутри высокого и тонкого корпуса динамика X2T.Стратегическое размещение низкочастотных динамиков в нескольких положениях приводит к низкому искажению низких частот, что действительно демонстрирует их возможности.

        Самый точный звук. Период.
        Imagine X2T также использует отдельный среднечастотный драйвер в собственном настроенном корпусе для оптимизации воспроизведения голосов и воссоздания максимально точного звука. Это в сочетании с твитером с титановым куполом создает гораздо более аутентичные и точные басы, средние частоты, передающие мощь и авторитет, и высокие частоты, которые оживают с захватывающим дух реализмом.Стремление PSB к инновациям привело к созданию доступной колонки в корпусе Tower, которая может улучшить любой кинематографический опыт.

        Добавьте азарта и изюминки в вашу систему.
        Imagine X2T является самой большой колонкой в ​​линейке колонок Imagine X, но изящный, минималистичный дизайн черного корпуса позволяет ей хорошо вписаться в интерьер дома и в вашу систему. Желтые конусы двух низкочастотных динамиков 6½ ”(165 мм) подчеркивают его переднюю перегородку и придают немного изящества. Их также легко скрыть с помощью прилагаемых решеток.Imagine X2T — долгожданное дополнение к любому пространству по исключительной цене.

        • Входная мощность 200 Вт
        • Твитер с титановым куполом, феррожидкостью и структурой неодимового магнита
        • 6½ ”(165 мм) НЧ-динамики с коническим диффузором из полипропилена, армированного глиной / керамикой
        • 3-полосная герметичная камера среднего диапазона с двойным фазоинвертором
        • Два набора позолоченных пятисторонних клеммных зажимов, могут быть двухпроводными или двухканальными
        • Виниловое покрытие черный ясень

        1.2 Расчет параметрических кривых — том 3

        Обучение

        • 1.2.1 Определение производных и уравнений касательных для параметрических кривых.
        • 1.2.2 Найдите площадь под параметрической кривой.
        • 1.2.3 Используйте уравнение для длины дуги параметрической кривой.
        • 1.2.4 Примените формулу площади поверхности к объему, созданному параметрической кривой.

        Теперь, когда мы ввели концепцию параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этой концепцией в контексте исчисления.Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, можно ли вычислить наклон касательной к кривой? Как насчет длины дуги кривой? Или площадь под кривой?

        Другой сценарий. Предположим, мы хотим изобразить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покидает руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой (x (t), y (t)), (x (t), y (t)), тогда мы сможем использовать математические вычисления для определения скорости движения мяча. мяч в любой момент времени.Кроме того, мы должны иметь возможность вычислить, как далеко прошел этот шар, в зависимости от времени.

        Производные параметрических уравнений

        Мы начинаем с вопроса, как вычислить наклон прямой, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

        x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.

        График этой кривой представлен на Рисунке 1.16. Это отрезок, начинающийся в (−1, −10) (- 1, −10) и заканчивающийся в (9,5).(9,5).

        Рисунок 1.16 График отрезка прямой, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

        Мы можем исключить параметр, сначала решив уравнение x (t) = 2t + 3x (t) = 2t + 3 для t :

        x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32. x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32.

        Подставляя это в y (t), y (t), получаем

        y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92−4y = 3×2−172.y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92− 4у = 3х2−172.

        Наклон этой прямой равен dydx = 32.dydx = 32. Затем мы вычисляем x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t).y ′ (t). Это дает x ′ (t) = 2x ′ (t) = 2 и y ′ (t) = 3. y ′ (t) = 3. Обратите внимание, что dydx = dy / dtdx / dt = 32.dydx = dy / dtdx / dt = 32. Это не совпадение, как указано в следующей теореме.

        Теорема 1.1

        Производная параметрических уравнений

        Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями x = x (t) x = x (t) и y = y (t) .y = y (t). Предположим, что существуют x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t) y ′ (t), и предположим, что x ′ (t) ≠ 0.x ′ (t) ≠ 0. Тогда производная dydxdydx равна

        dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).

        (1,1)

        Доказательство

        Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр t можно исключить, получив дифференцируемую функцию y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)). Y (t) = F (x (t)). Дифференцируя обе части этого уравнения с помощью правила цепочки, получаем

        y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t), y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t),

        т.

        F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t). F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t).

        Но F ′ (x (t)) = dydx, F ′ (x (t)) = dydx, что доказывает теорему.

        □

        Уравнение 1.1 можно использовать для вычисления производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критической точкой дифференцируемой функции y = f (x) y = f (x) является любая точка x = x0x = x0 такая, что либо f ′ (x0) = 0f ′ (x0) = 0, либо f ′ (x0 ) f ′ (x0) не существует. Уравнение 1.1 дает формулу для наклона касательной к кривой, заданной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией y = f (x) y = f (x) или нет.

        Пример 1.4

        Нахождение производной параметрической кривой

        Рассчитайте производную dydxdydx для каждой из следующих параметрически определенных плоских кривых и найдите любые критические точки на соответствующих графиках.

        1. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4
        2. x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t≤5x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t ≤5
        3. x (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2πx (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2π
        Решение
        1. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
          x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.
          Затем подставьте их в уравнение:
          dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.
          Эта производная не определена при t = 0. t = 0. Вычисление x (0) x (0) и y (0) y (0) дает x (0) = (0) 2−3 = −3x (0) = (0) 2−3 = −3 и y (0 ) = 2 (0) −1 = −1, y (0) = 2 (0) −1 = −1, что соответствует точке (−3, −1) (- 3, −1) на графике. График этой кривой представляет собой параболу, раскрывающуюся вправо, а точка (−3, −1) (- 3, −1) является ее вершиной, как показано.

          Рис. 1.17. График параболы, описываемый параметрическими уравнениями в части а.

        2. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
          x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.
          Затем подставьте их в уравнение:
          dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.
          Эта производная равна нулю при t = ± 1. t = ± 1. Когда t = −1t = −1, мы имеем
          x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6, x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,
          что соответствует точке (−1,6) (- 1,6) на графике. При t = 1t = 1 имеем
          x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2, x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2,
          что соответствует точке (3,2) (3,2) на графике.Точка (3,2) (3,2) является относительным минимумом, а точка (−1,6) (- 1,6) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.

          Рис. 1.18 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части b.

        3. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
          x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.
          Затем подставьте их в уравнение:
          dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.
          Эта производная равна нулю, когда cost = 0cost = 0, и не определена, когда sint = 0. sint = 0. Это дает t = 0, π2, π, 3π2 и 2πt = 0, π2, π, 3π2 и 2π в качестве критических точек для t. Подставляя каждое из них в x (t) x (t) и y (t), y (t), получаем
          тт х (т) х (т) г (т) г (т)
          0 5 0
          π2π2 0 5
          ππ −5 0
          3π23π2 0 −5
          2π2π 5 0

          Эти точки соответствуют сторонам, верху и низу круга, который представлен параметрическими уравнениями (рисунок 1.19). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.

          Рис. 1.19 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.

        КПП 1.4

        Вычислить производную dy / dxdy / dx для плоской кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

        и найдите критические точки на его графике.

        Пример 1.5

        Поиск касательной

        Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4whent = 2. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤ 4whent = 2.
        Решение

        Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения 1.1, что означает вычисление x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):

        x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.

        Затем подставьте их в уравнение:

        dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.

        Когда t = 2, t = 2, dydx = 12, dydx = 12, значит, это наклон касательной. Вычисление x (2) x (2) и y (2) y (2) дает

        x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3, x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3,

        , что соответствует точке (1,3) (1,3) на графике (рисунок 1.20). Теперь используйте форму точки наклона уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной:

        y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x − 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x− 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. Рис. 1.20. Касательная к параболе, описываемой данными параметрическими уравнениями при t = 2.т = 2.

        КПП 1.5

        Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤10whent = 5. x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤ 10whent = 5.

        Производные инструменты второго порядка

        Наша следующая цель — увидеть, как взять вторую производную функции, определенной параметрически. Вторая производная функции y = f (x) y = f (x) определяется как производная от первой производной; то есть

        d2ydx2 = ddx [dydx] .d2ydx2 = ddx [dydx].

        Поскольку dydx = dy / dtdx / dt, dydx = dy / dtdx / dt, мы можем заменить yy в обеих частях этого уравнения на dydx.dydx. Это дает нам

        d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt. d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt.

        (1,2)

        Если мы знаем dy / dxdy / dx как функцию от t, , то эту формулу легко применить.

        Пример 1.6

        Поиск второй производной

        Вычислите вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.

        Решение

        Из примера 1.4 мы знаем, что dydx = 22t = 1t.dydx = 22t = 1t. Используя уравнение 1.2, получаем

        d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.

        КПП 1.6

        Вычислить вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

        и найдите критические точки на его графике.

        Интегралы, содержащие параметрические уравнения

        Теперь, когда мы увидели, как вычислить производную плоской кривой, возникает следующий вопрос: как найти площадь под кривой, заданной параметрически? Напомним циклоиду, определяемую уравнениями x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost. Предположим, мы хотим найти площадь заштрихованной области на следующем графике.

        Рисунок 1.21 График циклоиды с выделенной аркой над [0,2π] [0,2π].

        Вывести формулу площади под кривой, определяемой функциями

        x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b,

        мы предполагаем, что x (t) x (t) дифференцируема, и начинаем с равного разбиения интервала a≤t≤b.а≤t≤b. Предположим, что t0 = a

        Рисунок 1.22 Аппроксимация площади под параметрически заданной кривой.

        Мы используем прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Высота типичного прямоугольника в этой параметризации равна y (x (t – i)) y (x (t – i)) для некоторого значения t – it – i в подынтервале i , а ширину можно вычислить как x (ti) −x (ti − 1) .x (ti) −x (ti − 1). Таким образом, площадь прямоугольника и равна

        . Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).

        Тогда сумма Римана для площади равна

        An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)). An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x ( ti − 1)).

        Умножение и деление каждой площади на ti − ti − 1ti − ti − 1 дает

        An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i )) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.

        Если принять предел, когда nn стремится к бесконечности, получаем

        A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt. A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt.

        Это приводит к следующей теореме.

        Теорема 1.2

        Площадь под параметрической кривой

        Рассмотрим несамопересекающуюся плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

        x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t≤b

        и предположим, что x (t) x (t) дифференцируема. Площадь под этой кривой равна

        . A = aby (t) x ′ (t) dt. A = aby (t) x ′ (t) dt.

        (1,3)

        Пример 1.7

        Определение площади под параметрической кривой

        Найдите площадь под кривой циклоиды, определяемой уравнениями

        x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.
        Решение

        Используя уравнение 1.3, имеем

        A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1-2cost + cos2t) dt = ∫02π (1-2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1−2cost + cos2t) dt = ∫02π (1−2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.

        КПП 1.7

        Найдите площадь под кривой гипоциклоиды, определяемой уравнениями

        x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.

        Длина дуги параметрической кривой

        В дополнение к нахождению площади под параметрической кривой нам иногда необходимо найти длину дуги параметрической кривой. В случае линейного сегмента длина дуги равна расстоянию между конечными точками. Если частица перемещается из точки A в точку B по кривой, то расстояние, которое проходит частица, является длиной дуги. Чтобы разработать формулу для длины дуги, мы начнем с аппроксимации отрезками линии, как показано на следующем графике.

        Рисунок 1.23 Аппроксимация кривой отрезками прямых.

        Для плоской кривой, определяемой функциями x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, мы начните с разделения интервала [a, b] [a, b] на n равных подинтервалов: t0 = a d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.

        Затем сложите их. Пусть s обозначает точную длину дуги, а snsn обозначает аппроксимацию n отрезков линии:

        s≈∑k = 1nsk = ∑k = 1n (x (tk) −x (tk − 1)) 2+ (y (tk) −y (tk − 1)) 2. k) Δty (tk) −y (tk − 1) = y ′ (t ˜k) (tk − tk − 1) = y ′ (t˜k) Δt.k и t˜kt˜k содержатся в одном и том же постоянно сокращающемся интервале шириной Δt, Δt, поэтому они должны сходиться к одному и тому же значению.

        Мы можем резюмировать этот метод в следующей теореме.

        Теорема 1.3

        Длина дуги параметрической кривой

        Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями

        x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2

        и предположим, что x (t) x (t) и y (t) y (t) — дифференцируемые функции от t. Тогда длина дуги этой кривой равна

        . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.

        (1,5)

        На этом этапе боковой вывод приводит к предыдущей формуле для длины дуги. В частности, предположим, что параметр можно исключить, что приведет к функции y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)) y (t) = F (x (t)) и цепное правило дает y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). Подставляя это в уравнение 1.5, получаем

        s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.

        Здесь мы предположили, что x ′ (t)> 0, x ′ (t)> 0, что является разумным предположением. Цепное правило дает dx = x ′ (t) dt, dx = x ′ (t) dt, и, полагая a = x (t1) a = x (t1) и b = x (t2) b = x (t2), мы получить формулу

        s = ab1 + (dydx) 2dx, s = ∫ab1 + (dydx) 2dx,

        , который представляет собой формулу для длины дуги, полученную во введении к приложениям интеграции.

        Пример 1.8

        Определение длины дуги параметрической кривой

        Найдите длину дуги полукруга, определяемую уравнениями

        x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.
        Решение

        Значения от t = 0t = 0 до t = πt = π очерчены красной кривой на рисунке 1.23. Чтобы определить его длину, используйте уравнение 1.5:

        . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π. s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π.

        Обратите внимание, что формула для длины дуги полукруга равна πrπr, а радиус этой окружности равен 3.Это отличный пример использования исчисления для вывода известной формулы геометрической величины.

        Рис. 1.24. Длина дуги полукруга равна его радиусу, умноженному на π.π.

        КПП 1.8

        Найдите длину дуги кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.

        Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела, о том, что бейсбольный мяч выходит из руки питчера. Игнорируя эффект сопротивления воздуха (если это не криволинейный шар!), Мяч движется по параболической траектории.Предполагая, что рука питчера находится в начале координат, а мяч движется слева направо в направлении положительной оси x , параметрические уравнения для этой кривой можно записать как

        x (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2tx (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2t

        , где t — время. Сначала мы вычисляем расстояние, которое проходит мяч, как функцию времени. Это расстояние представлено длиной дуги. Мы можем немного изменить формулу длины дуги. Сначала перепишите функции x (t) x (t) и y (t) y (t), используя v в качестве независимой переменной, чтобы исключить путаницу с параметром t :

        . х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.

        Затем запишем формулу длины дуги следующим образом:

        s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv.s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2дв.

        Переменная v действует как фиктивная переменная, которая исчезает после интегрирования, оставляя длину дуги как функцию времени t. Чтобы интегрировать это выражение, мы можем использовать формулу из Приложения A,

        A2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C. a2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C.

        Положим a = 140a = 140 и u = −32v + 2.u = −32v + 2. Это дает du = −32dv, du = −32dv, поэтому dv = −132du.dv = −132du. Следовательно,

        ∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (−32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (- 32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C

        и

        s (t) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) .s (t ) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604).

        Эта функция представляет расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Для расчета скорости возьмем производную этой функции по т. Хотя это может показаться сложной задачей, можно получить ответ непосредственно из Фундаментальной теоремы исчисления:

        ddx∫axf (u) du = f (x). ddx∫axf (u) du = f (x).

        Следовательно,

        s ′ (t) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.s ′ (T) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.

        Через одну треть секунды после того, как мяч покидает руку питчера, расстояние, которое он проходит, равно

        . s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) +1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69feet.s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) + 1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69 футов.

        Это значение составляет чуть более трех четвертей пути к исходной тарелке. Скорость мяча

        s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140,34 фут / с.s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140.34 фута / с.

        Эта скорость соответствует примерно 95 милям в час — фастбол высшей лиги.

        Площадь поверхности, созданная параметрической кривой

        Вспомните задачу о нахождении площади поверхности объема вращения. В разделах Длина кривой и Площадь поверхности мы вывели формулу для определения площади поверхности объема, созданного функцией y = f (x) y = f (x) от x = ax = a до x = b, x = b, вращается вокруг оси x :

        S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx. S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx.

        Теперь рассмотрим объем вращения, создаваемый вращением параметрически определенной кривой x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t ≤b вокруг оси x , как показано на следующем рисунке.

        Рис. 1.25 Поверхность вращения, образованная параметрически заданной кривой.

        Аналогичная формула для параметрически определенной кривой:

        S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dtS = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt

        (1,6)

        при условии, что y (t) y (t) не отрицательно на [a, b]. [A, b].

        Пример 1.9

        В поисках площади

        Найдите площадь поверхности сферы радиусом r с центром в начале координат.

        Решение

        Начнем с кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.

        Это создает верхний полукруг радиусом r с центром в начале координат, как показано на следующем графике.

        Рис. 1.26. Полукруг, образованный параметрическими уравнениями.

        Когда эта кривая вращается вокруг оси x , она образует сферу радиусом r . Чтобы вычислить площадь поверхности сферы, мы используем уравнение 1.6:

        S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.

        Фактически, это формула для определения площади поверхности сферы.

        КПП 1.9

        Найдите площадь поверхности, образованную плоской кривой, определяемой уравнениями

        x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1

        вращается вокруг оси x .

        Раздел 1.2. Упражнения

        В следующих упражнениях каждый набор параметрических уравнений представляет собой линию.Не исключая параметр, найдите наклон каждой линии.

        62.

        x = 3 + t, y = 1 − tx = 3 + t, y = 1 − t

        64.

        x = 4−3t, y = −2 + 6tx = 4−3t, y = −2 + 6t

        65.

        x = −5t + 7, y = 3t − 1x = −5t + 7, y = 3t − 1

        Для следующих упражнений определите наклон касательной, затем найдите уравнение касательной при заданном значении параметра.

        66.

        x = 3sint, y = 3cost, t = π4x = 3sint, y = 3cost, t = π4

        67.

        x = стоимость, y = 8sint, t = π2x = стоимость, y = 8sint, t = π2

        68.

        x = 2t, y = t3, t = −1x = 2t, y = t3, t = −1

        69.

        x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1

        Для следующих упражнений найдите все точки кривой с заданным наклоном.

        71.

        x = 4cost, y = 4sint, x = 4cost, y = 4sint, slope = 0,5

        72.

        x = 2cost, y = 8sint, slope = −1x = 2cost, y = 8sint, slope = −1

        73.

        x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1

        74.

        x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0

        Для следующих упражнений запишите уравнение касательной в декартовых координатах для данного параметра t .

        75.

        x = et, y = 1 − lnt2, t = 1x = et, y = 1 − lnt2, t = 1

        76.

        x = tlnt, y = sin2t, t = π4x = tlnt, y = sin2t, t = π4

        77.

        x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1) x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1)

        78.

        Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует горизонтальная касательная.

        79.

        Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует вертикальная касательная.

        80.

        Найдите все точки на кривой x = 4sin (t), y = 4cos (t) x = 4sin (t), y = 4cos (t), которые имеют наклон 0,50,5

        81.

        Найдите dydxdydx для x = sin (t), y = cos (t). X = sin (t), y = cos (t).

        82.

        Найдите уравнение касательной к x = sin (t), y = cos (t) x = sin (t), y = cos (t) при t = π4.t = π4.

        83.

        Для кривой x = 4t, y = 3t − 2, x = 4t, y = 3t − 2 найдите наклон и вогнутость кривой при t = 3.t = 3.

        84.

        Для параметрической кривой, уравнение которой имеет вид x = 4cosθ, y = 4sinθ, x = 4cosθ, y = 4sinθ, найдите наклон и вогнутость кривой при θ = π4.θ = π4.

        85.

        Найдите наклон и вогнутость кривой, уравнение которой: x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθx = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ при θ = π6.θ = π6.

        86.

        Найдите все точки на кривой x = t + 4, y = t3−3tx = t + 4, y = t3−3t, в которых есть вертикальные и горизонтальные касательные.

        87.

        Найдите все точки на кривой x = secθ, y = tanθx = secθ, y = tanθ, в которых существуют горизонтальные и вертикальные касательные.

        Для следующих упражнений найдите d2y / dx2.d2y / dx2.

        88.

        x = t4−1, y = t − t2x = t4−1, y = t − t2

        89.

        x = sin (πt), y = cos (πt) x = sin (πt), y = cos (πt)

        90.

        x = e − t, y = te2tx = e − t, y = te2t

        Для следующих упражнений найдите точки на кривой, в которых касательная линия является горизонтальной или вертикальной.

        91.

        x = t (t2−3), y = 3 (t2−3) x = t (t2−3), y = 3 (t2−3)

        92.

        x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3

        Для следующих упражнений найдите dy / dxdy / dx в значении параметра.

        93.

        x = стоимость, y = синт, t = 3π4x = стоимость, y = синт, t = 3π4

        94.

        x = t, y = 2t + 4, t = 9x = t, y = 2t + 4, t = 9

        95.

        x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14

        Для следующих упражнений найдите d2y / dx2d2y / dx2 в заданной точке, не удаляя параметр.

        96.

        x = 12t2, y = 13t3, t = 2x = 12t2, y = 13t3, t = 2

        97.

        x = t, y = 2t + 4, t = 1x = t, y = 2t + 4, t = 1

        98.

        Найдите t интервалов, на которых кривая x = 3t2, y = t3 − tx = 3t2, y = t3 − t вогнута вверх и вниз.

        99.

        Определите вогнутость кривой x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.

        100.

        Нарисуйте и найдите площадь под одной аркой циклоиды x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ) .x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ).

        101.

        Найдите площадь, ограниченную кривой x = cost, y = et, 0≤t≤π2x = cost, y = et, 0≤t≤π2 и линиями y = 1y = 1 и x = 0.x = 0.

        102.

        Найдите площадь, заключенную в эллипс x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.

        103.

        Найдите площадь области, ограниченной x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, для 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.

        Для следующих упражнений найдите площадь областей, ограниченных параметрическими кривыми и указанными значениями параметра.

        104.

        x = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤πx = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤π

        105.

        [T] x = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t <2πx = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t < 2π

        106.

        [T] x = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2πx = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2π («песочные часы»)

        107.

        [T] x = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2πx = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2π («слеза»)

        Для следующих упражнений найдите длину дуги кривой на указанном интервале параметра.

        108.

        x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2

        109.

        x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1

        110.

        x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2

        111.

        х = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1x = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1

        112.

        x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2 (выразите ответ в виде десятичной дроби с округлением до трех знаков)

        113.

        x = acos3θ, y = asin3θx = acos3θ, y = asin3θ на интервале [0,2π) [0,2π) (гипоциклоида)

        114.

        Найдите длину одной дуги циклоиды x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost) .x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost).

        115.

        Найдите расстояние, пройденное частицей с положением (x, y) (x, y), поскольку t изменяется в заданном временном интервале: x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.

        116.

        Найдите длину одной дуги циклоиды x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.

        117.

        Покажите, что общая длина эллипса x = 4sinθ, y = 3cosθx = 4sinθ, y = 3cosθ равна L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, где e = cae = ca и с = a2 − b2.c = a2 − b2.

        118.

        Найдите длину кривой x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.

        Для следующих упражнений найдите площадь поверхности, полученную вращением данной кривой вокруг оси x .

        119.

        x = t3, y = t2,0≤t≤1x = t3, y = t2,0≤t≤1

        120.

        x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2

        121.

        [T] Используйте CAS, чтобы найти площадь поверхности, созданную вращением x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t≤2x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t ≤2 относительно оси x .(Ответ с точностью до трех знаков после запятой.)

        122.

        Найдите площадь поверхности, полученную вращением x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5 вокруг оси y .

        123.

        Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t, 0≤t≤4x = t2, y = 2t, 0≤t≤4 относительно оси x .

        124.

        Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t2,0≤t≤1x = t2, y = 2t2,0≤t≤1 относительно оси y .

        Уравнение в частных производных — обзор

        7.6 Формализм специальной системы многокомпонентных дифференциальных уравнений

        Аналогично случаю DTSS мы формулируем спецификацию системы многокомпонентных дифференциальных уравнений multiDESS с немодульной связью. Напомним, что основной формализм DESS не определяет функцию следующего состояния напрямую, а только через функции скорости изменения для отдельных переменных непрерывного состояния. В многокомпонентном случае отдельные компоненты определяют скорость изменения своих собственных переменных состояния на основе значений состояния их факторов влияния.Давайте сначала определим общий формализм, а затем обсудим подход к моделированию, рассматривая уравнения в частных производных — особый тип модели, показывающий большое сходство с клеточными автоматами в дискретной временной области.

        Спецификация системы многокомпонентных дифференциальных уравнений — это структура

        multiDESS = 〈X, D, {Md}〉

        , где X — это набор входных данных, вещественное векторное пространство Rm и D — это индексный набор. Для каждого d∈D компонент Md определяется как

        Md = 〈Qd, Yd, Id, fd, λd〉

        , где Qd — это набор состояний d , вещественное векторное пространство Rn, Yd — набор выходов d , вещественное векторное пространство Rp, Id⊆D — набор факторов влияния d , fd: × i∈IdQi × X → Qd — функция скорости изменения для переменных состояния d , λd: × i∈IdQe × X → Yd — функция локального выхода d .Набор влияний Ed d снова определяется как набор {d}. Мы требуем, чтобы каждый fd удовлетворял условию Липшица:

        || fd (q, x) −fd (q ′, x) || ⩽kd || q − q ′ ||

        В multiDESS производная функция каждого компонента определяет скорость изменения его локальных переменных состояния. Формально multiDESS = 〈XN, D, {Md}〉 определяет DESS = 〈X, Y, Q, f, λ〉 на уровне системы ввода-вывода следующим образом: Q = × d∈DQd, Y = × d∈DYd, f (q, x) определяется как

        f (q, x). d = fd ((…, qi, …), x),

        и λ (q) определяется на

        λ (q).d = λd ((…, qi, …)),

        с i∈Id.

        Теперь мы должны показать, что полученная производная функция удовлетворяет условию Липшица:

        || f (q, x) −f (q ′, x) || ⩽k || q − q ′ ||

        Это будет следовать из того факта, что каждая из ее координатных функций удовлетворяет такому условию посредством ограничения, наложенного на эти функции, указанного ранее. Мы продемонстрируем, как это работает, используя только две координаты:

        || f (q1, q2, x) −f (q1 ′, q2 ′, x) || = || (f1 (q1, q2, x) −f1 ( q1 ′, q2 ′, x), f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x)) || ⩽ || f1 (q1, q2, x) −f1 (q1 ′, q2 ′ , x) || + || f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x) || ⩽k1 || (q − q ′ || + k2 || (q − q ′ | | ⩽ (k1 + k2) || q − q ′ ||

        7.6.1 Пространственная DESS: модели дифференциальных уравнений в частных производных

        Модели дифференциальных уравнений в частных производных возникают из расширения дифференциального уравнения, в котором пространственные координаты, помимо времени, вводятся как независимые переменные. Таким образом, система, заданная уравнением в частных производных, показывает изменения как во времени, так и в пространстве.

        Системы дифференциальных уравнений в частных производных требуют отдельной науки, и целая дисциплина занимается решением таких систем дифференциальных уравнений.Мы лишь кратко рассмотрим их здесь, чтобы поместить их в нашу структуру формализмов имитационного моделирования.

        Для нашего изложения рассмотрим простой пример общего уравнения, консервативного по потоку, от одной переменной u. Уравнение

        ∂u∂t = −v∂u∂x

        выражает, что изменение переменной u во времени равно отрицательной скорости — v , умноженной на изменение переменной u. в пространственном измерении x .Результатом этого уравнения является волна, которая распространяется со скоростью v вдоль размера x .

        Подход к решению таких задач, который является представителем так называемого гиперболического уравнения в частных производных , приводит к дискретизации пространственных и временных измерений. Сначала введем дискретизацию пространства. Весь интервал наблюдения [x0, xl] длиной l разделен на k равных отрезков шириной Δx = l / k каждый.Затем мы получаем k точек сетки, для которых мы составляем уравнения, чтобы выразить изменения во времени. В так называемом подходе Forward Time Centtered Space (FCTS) это делается для каждой точки сетки j путем замены пространственной производной ∂uj∂x от u в точке j на разность соседних деление состояний на длину пространственного интервала

        uj − 1 − uj + 12Δx

        (обратите внимание на сходство с методом интегрирования Эйлера), дающее уравнение для производной по времени переменной u в точке j

        ∂ uj∂t = −vuj − 1 − uj + 12Δx

        для каждой точки сетки j .Очевидно, у нас есть multiDESS с k компонентов и набором факторов влияния Ij = {j − 1, j + 1} для каждого компонента j , а также производными функциями, как указано выше.

        Обычно при решении уравнений в частных производных модель строится путем дискретизации также измерения времени. Когда мы применяем тот же метод разности для дискретизации измерения времени, а именно деление временного интервала на интервалы равной длины Δ t , мы можем заменить производную по времени на в пространственной точке j и временной точке n + 1. на разницу значений в момент времени n + 1 минус значение в момент времени n , деленное на Δt (интегрирование Эйлера)

        ujn + 1 − ujnΔt

        Таким образом, мы наконец получаем уравнение для состояния в точке сетки j для времени n + 1:

        ujn + 1 = uj − 1n − vujn − 1 − ujn + 12ΔxΔt.

        Чего мы наконец достигли? Начиная с уравнения в частных производных с производными по времени и пространственному измерению, мы дискретизируем пространство и время. С помощью дискретизации пространства мы получили непрерывную многокомпонентную модель в клеточной форме с равными производными функциями для ячеек. С дискретизацией пространства мы наконец получили клеточный автомат с окрестностью {j − 1, j + 1}, временным шагом Δt и равной следующей функции состояния для ячейки j , как указано выше.

        Принцип суперпозиции — x-engineer.org

        Линейные функции — это простейшие алгебраические функции. У них есть важное свойство: сумма двух линейных функций также является линейной функцией . Кроме того, линейные уравнения — это алгебраические уравнения, которые проще всего решить. Использование матриц и определителей для решения системы уравнений применимо только к линейным уравнениям.

        Система, определяемая функцией f (x) , является линейной, если верно следующее соотношение:

        \ [\ begin {split}
        f (x_1) & = y_1 \\
        f (x_2) & = y_2 \\
        f (x_1 + x_2) & = y_1 + y_2
        \ end {split} \]

        Это свойство называется принципом суперпозиции , который может быть определен как: если система (функция) реагирует на ввод x 1 с выходом y 1 и он отвечает на вход x 2 с выходом y 2 , он будет отвечать на сумму входов x 1 + x 2 с суммой выходов y 1 + y 2 .Другими словами, для всех линейных систем чистый ответ, вызванный двумя или более стимулами, представляет собой сумму ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально.

        Если входы изменяются во времени, принцип суперпозиции можно записать как:

        \ [\ begin {split}
        f (x_1 (t)) & = y_1 (t) \\
        f (x_2 (t)) & = y_2 (t) \\
        f (x_1 (t) + x_2 (t)) & = y_1 (t) + y_2 (t)
        \ end {split} \]

        Основываясь на определении суперпозиции, мы может утверждать, что:

        • любая система (функция), которая соблюдает принцип суперпозиции, является линейной системой (функцией)
        • принцип суперпозиции применяется ко всем линейным системам (функциям)

        Система (функция) определяется как линейный, если он удовлетворяет следующим свойствам:

        \ [\ begin {split}
        f (x_1 + x_2) & = f (x_1) + f (x_2) \ quad & \ text {Аддитивность} \\
        f (c \ cdot x_1) & = c \ cdot f (x_1) \ quad & \ text {Однородность}
        \ end {split} \]

        , где c — скаляр (константа).

        Свойства аддитивности и однородности вместе составляют принцип суперпозиции .

        Более общее определение принципа суперпозиции может быть записано как: отклик y (t) линейной системы на несколько входов x 1 (t), x 2 (t), … X n (t) , которые действуют одновременно на систему, равны сумме откликов каждого отдельного входа, когда все начальные условия системы равны нулю.{n} {y_ {i} (t)} \]

        Принцип суперпозиции может использоваться для решения задач в математике, системах управления, электронике и физике. В приведенных ниже примерах мы рассмотрим каждую область и решим проблемы, используя принцип суперпозиции.

        Пример 1. Линейные функции

        Линейная система описывается функцией:

        \ [y (t) = 5 \ cdot x_ {1} (t) + x_ {2} (t) \]

        , где входы x 1 (t) и x 2 (t) определяются как:

        \ [\ begin {split}
        x_ {1} (t) & = t \\
        x_ {2} ( t) & = t ^ 2
        \ end {split} \]

        Найдите выражение функции y (t) от t , используя принцип суперпозиции. 2} \ sin (x) & = — \ sin (x)
        \ end {split} \]

        Если мы заменим производные второго порядка решений и решений y 1 (x) и y 2 (x) в исходном дифференциальном уравнении (1), мы получим:

        \ [\ begin {split}
        \ cos (x) — \ cos (x) & = 0 \\
        \ sin (x) — \ sin (x) & = 0
        \ end {split} \]

        , что доказывает, что y 1 (x) и y 2 (x) являются решениями для дифференциала уравнение.

        Шаг 3 . Согласно принципу суперпозиции, общее решение дифференциального уравнения можно записать как:

        \ [y (x) = c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) \ tag {2} \]

        , где c 1 и c 2 — скаляры (константы).

        Докажем, что y (x) на самом деле является общим решением дифференциального уравнения. Мы знаем, что постоянный множитель может быть взят из производной, а производная суммы двух функций равна сумме их производных.2} \ sin (x) = — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) \ tag {3} \]

        Замена (2) и (3) в исходном дифференциальном уравнении (1) дает:

        \ [\ begin {split}
        — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) + c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) & = 0 \\
        0 & = 0
        \ end { split} \]

        , что доказывает, что (2) является общим решением дифференциального уравнения (1).

        Пример 3. Системы управления

        Система управления является линейной, если к ней применим принцип суперпозиции . Следовательно, для линейных систем ответ на несколько входов можно рассчитать, рассматривая один вход за раз и добавляя результаты.2 + 1.2 \ cdot s +1}
        \ end {split} \]

        Две передаточные функции образуют систему, которая стимулируется двумя входами u 1 (t) и u 2 (t ) . Предположим, что u 1 (t) — это входной шаг , а u 2 (t) — входной сигнал линейного изменения .

        Изображение: Система с двумя входными сигналами

        Цель упражнения — продемонстрировать принцип наложения. Выход y (t) будет рассчитан как сумма между y 1 (t) и y 2 (t) , где:

        • y 1 (t) — это выход системы, когда u 1 (t) — это ступенчатый вход, а u 2 (t) = 0
        • y 2 (t) — выход системы когда u 1 (t) = 0 и u 2 (t) — это вход рампы

        Чтобы смоделировать нашу систему, мы собираемся использовать модель блок-схемы Xcos.

        Изображение: Передаточные функции — блок-схема Xcos

        В разделе A) блок-схемы Xcos система моделируется как с входными, так и с шаговыми сигналами и сигналами линейного изменения. Выход y (t) затем наносится на график Scope 1 вместе с входными сигналами u 1 (t) и u 2 (t) . В разделе B) схемы вход u 2 (t) установлен на ноль, и в систему подается только ступенчатый вход.В разделе C) схемы вход u 1 (t) установлен на ноль, и в систему подается только вход рампы. Выходные данные y 1 (t) и y 2 (2) затем наносятся на график отдельно и суммируются в Scope 2 .

        Изображение: участок 1

        Изображение: график 2

        Как и ожидалось, сумма отдельных выходов y 1 (t) и y 2 (2) дает то же значение y (t) , смоделированное с обоими активными входами.Это показывает, что принцип суперпозиции справедлив для линейных непрерывных систем.

        Пример 4. Электрические схемы

        Рассмотрим электрическую схему ниже. Найдите значения электрических токов, протекающих через резисторы.

        Изображение: Электрическая схема

        где:

        \ [\ begin {split}
        E_1 & = 28 \ text {V} \\
        E_2 & = 7 \ text {V} \\
        R_1 & = 4 \ text { } \ Omega \\
        R_2 & = 2 \ text {} \ Omega \\
        R_3 & = 1 \ text {} \ Omega
        \ end {split} \]

        Для решения схемы мы будем использовать принцип : суперпозиция .Используемая стратегия состоит в том, чтобы исключить все источники напряжения, кроме одного, в цепи за один раз и с помощью последовательного / параллельного анализа (KVL и KCL) определить электрический ток в модифицированной цепи для каждого источника напряжения отдельно. Затем, как только электрические токи были определены, для каждого источника напряжения, работающего отдельно, все значения «накладываются» друг на друга (складываются алгебраически), чтобы найти фактические токи со всеми активными источниками напряжения.

        Шаг 1 .Оставьте только один источник напряжения ( E 1 ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

        Изображение: Электрическая цепь — с источником напряжения E 1

        В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

        \ [I_1 = I_2 + I_3 \ tag {4} \]
        \ [E_1 = I_1 \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {5} \]
        \ [0 = I_2 \ cdot R_2 — I_3 \ cdot R_3 \ tag {6} \]

        У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

        Замена (4) в (5) дает:

        \ [(I_2 + I_3) \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 = E_1 \ tag {7} \]

        Из (6) мы можем извлечь выражение I 3 :

        \ [I_3 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_3} \ tag {8} \]

        Замена (8) в (7) дает:

        \ [I_2 \ cdot (R_1 + R_2 ) + I_2 \ cdot \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3} = E_1 \ tag {9} \]

        Из (9) мы можем записать выражение I 2 только функцию сопротивлений и входного напряжения :

        \ [I_2 = \ frac {E_1} {R_1 + R_2 + \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3}} \ tag {10} \]

        Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (10), дает значение электрического тока I 2 :

        \ [I_2 = 2 \ text {A} \ tag {11} \]

        Замена (11) в (8) дает значение I 3 :

        \ [I_3 = 4 \ text {A} \ tag {12} \]

        Замена (11) и (12) в (4) дает значение I 1 :

        \ [I_1 = 6 \ text {A} \ tag {13} \]

        Шаг 2 .Оставьте только один источник напряжения ( E 2 ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

        Изображение: Электрическая схема — с источником напряжения E 2

        В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

        \ [I_3 = I_1 + I_2 \ tag {14} \]
        \ [E_2 = I_3 \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {15} \]
        \ [0 = I_1 \ cdot R_1 — I_2 \ cdot R_2 \ tag {16} \]

        У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

        Замена (14) в (15) дает:

        \ [(I_1 + I_2) \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 = E_2 \ tag {17} \]

        Из (16) мы можем извлечь выражение для I 1 :

        \ [I_1 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_1} \ tag {18} \]

        Замена (18) в (17) дает:

        \ [I_2 \ cdot \ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + I_2 \ cdot (R_3 + R_2) = E_2 \ tag {19} \]

        Из (19) мы можем записать выражение I 2 только функцию сопротивлений и входного напряжения :

        \ [I_2 = \ frac {E_2} {\ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + R_3 + R_2} \ tag {20} \]

        Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (20), дает значение электрического тока I 2 :

        \ [I_2 = 2 \ text {A} \]

        Замена (21) в (18) дает значение I 1 :

        \ [I_1 = 1 \ text {A} \]

        Замена (21) и (22) в (14) дает значение I 3 :

        \ [I_3 = 3 \ text {A} \]

        Шаг 3 .Сложите значения электрических токов из Шага 1 и Шага 2, обращая внимание на знак.

        \ [\ begin {split}
        I_1 & = 6-1 & = 5 \ text {A} \\
        I_2 & = 2 + 2 & = 4 \ text {A} \\
        I_3 & = 4 — 3 & = 1 \ text {A}
        \ end {split} \]

        Чтобы убедиться, что наши вычисления верны, мы собираемся смоделировать ту же схему в среде Xcos и запустить моделирование с обоими активными источниками напряжения. Электрические токи в моделировании Xcos должны соответствовать нашему ручному расчету.

        Изображение: Электрическая схема — блок-схема Xcos

        Как и ожидалось, у нас есть точно такие же результаты для электрического тока, протекающего через резисторы, что подтверждает принцип суперпозиции в качестве метода расчета. Это упражнение доказывает, что в линейной электрической цепи (сети) напряжение или ток в любом элементе, возникающие от нескольких источников, действующих вместе, является суммой напряжений или токов, возникающих от каждого источника, действующего в одиночку.

        Пример 5.Электростатические силы

        Предположим, что у нас есть три электрических заряда Q 1 , Q 2 и Q 3 , расположенных друг от друга, как на изображении ниже, часть A). Q 1 и Q 3 имеют положительный заряд, а Q 2 имеют отрицательный заряд. Если предположить, что электрические заряды не взаимодействуют ни с чем другим вокруг них, и предположить, что гравитационные взаимодействия незначительны, каковы величина и направление суммарной электростатической силы, действующей на электрический заряд Q 1 ?

        Электрические заряды — взаимодействие сил

        Для численного расчета мы рассмотрим следующие параметры:

        \ [\ begin {split}
        Q_1 & = 1.{-12} \ text {диэлектрическая проницаемость вакуума} \\
        \ varepsilon_r & = 1.00058986 \ text {(относительная диэлектрическая проницаемость воздуха, в STP)}
        \ end {split} \]

        В части B) изображения выше, мы нарисовали силы, действующие на Q 1 . Действуя на Q 1 (положительный заряд), существует сила притяжения F 21 от Q 2 (отрицательный заряд) и сила отталкивания F 31 от Q 3 (положительный заряд).Применяя принцип суперпозиции , во-первых, мы можем вычислить величину каждой силы в отдельности, а во-вторых, величину и направление результирующей силы как векторную сумму отдельных сил.

        Шаг 1 . Рассчитайте расстояние между зарядом Q 1 и Q 3 .

        Мы видим, что заряды отображаются в прямоугольном треугольнике с катетами длиной L . Чтобы рассчитать расстояние между Q 1 и Q 3 , нам нужно применить теорему Пифагора .2} \]

        где:

        F [N] — кулоновская сила
        Q 1 , Q 2 [C] — электрические заряды
        L [м] — расстояние между электрическими зарядами
        k [F / m] — называется постоянной Кулона, или постоянной электрической силы, или электростатической постоянной. 2} = -4 .{-22} \ text {N}
        \ end {split} \]

        Зная величину и направление F 31 и F 21 , мы можем определить величину и направление равнодействующей силы Факс 1 .

        Изображение: Электрический заряд — силы

        Шаг 3 . Вычислите компоненты оси x и оси y для F 31 и F 21 .

        \ [\ begin {split}
        F_ {21x} & = F_ {21} & = -4.{\ circ}
        \ end {split} \]

        Заключение : Результирующая сила была определена путем расчета действия каждой силы на заряд Q 1 и суммирования результатов. Этот метод является примером применения принципа наложения .

        Изображение: Анимация, объясняющая принцип наложения электростатических сил

        Пример 6. Изменение длины металлического стержня

        Рассчитайте общее изменение длины в мм стального стержня при нескольких линейных нагрузках (см. Изображение ниже).

        Изображение: Металлический стержень с множественными линейными нагрузками

        Чтобы стержень находился в равновесии, необходимо выполнение следующего соотношения:

        \ [F_ {1} = F_ {2} + F_ {3} + F_ {4} \]

        Значения силы и длины следующие:

        \ [\ begin {split}
        F_ {1} & = 2000 & \ text {N} \\
        F_ {2} & = 500 & \ text {N} \\
        F_ {3} & = 500 & \ text {N} \\
        F_ {4} & = 1000 & \ text {N} \\
        L_ {1} & = 0.5 & \ text {m} \\
        L_ {2} & = 0,25 & \ text {m} \\
        L_ {3} & = 0.{2}}
        \ end {split} \]

        Для решения этой проблемы нам нужно использовать закон Гука , который гласит, что жесткость при растяжении (растягивающее напряжение) однородного стержня σ линейно пропорциональна его относительной протяженности деформации) ε на модуль упругости E :

        \ [\ sigma = \ epsilon \ cdot E \ tag {21} \]

        Относительное удлинение (деформация) ε составляет:

        \ [\ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {22} \]

        , где ΔL — это изменение длины стержня из-за приложенной силы, а L — длина стержня без нагрузки.

        Растягивающее напряжение σ — это соотношение между прилагаемой силой F и площадью поперечного сечения A :

        \ [\ sigma = \ frac {F} {A} \ tag {23} \]

        Замена (22) и (23) в (21) дает:

        \ [\ frac {F} {A} = E \ cdot \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {24} \]

        Из ( 24) мы можем извлечь выражение изменения длины стержня:

        \ [\ Delta L = \ frac {F \ cdot L} {A \ cdot E} \ tag {25} \]

        Принцип суперпозиции , примененный к этой проблеме, утверждает, что общее изменение длины стержня равно сумме изменений длины увеличенных участков стержня с индивидуальным приложением силы (см. Изображение ниже).{11}} = 0,000005 \ text {m} = 0,005 \ text {mm} \]

        Шаг 4 . Вычислите полное изменение длины

        Из (26) мы получим:

        \ [\ Delta L = 0.00125 + 0.001875 + 0.005 = 0.008125 \ text {mm} \]

        . Эта задача демонстрирует, что принцип суперпозиции может быть используется для решения сложных проблем с множественными нагрузками и / или реакциями, действующими на элемент. Суперпозиция помогает нам решить эти проблемы, ломая член столько раз, сколько необходимо для каждой силы, действующей на него.После того, как все напряжения или отклонения для интересующей точки найдены, их можно сложить вместе, чтобы получить окончательный ответ.

        3.4 Деривативы как скорость изменения — Объем расчетов 1

        Цели обучения

        • Определите новое значение количества из старого значения и суммы изменения.
        • Рассчитайте среднюю скорость изменения и объясните, чем она отличается от мгновенной скорости изменения.
        • Применение скорости изменения смещения, скорости и ускорения объекта, движущегося по прямой линии.
        • Предскажите численность населения в будущем, исходя из текущей стоимости и темпов прироста населения.
        • Используйте производные инструменты для расчета предельных затрат и доходов в деловой ситуации.

        В этом разделе мы рассмотрим некоторые применения производной, сосредоточив внимание на интерпретации производной как скорости изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и маргинальные функции в экономике.

        Помимо анализа скорости, скорости, ускорения и положения, мы можем использовать производные для анализа различных типов популяций, в том числе таких разнообразных, как колонии бактерий и города. Мы можем использовать текущую популяцию вместе со скоростью роста, чтобы оценить размер популяции в будущем. Скорость роста населения — это скорость изменения населения и, следовательно, может быть представлена ​​производной от размера населения.

        Определение

        Если — количество сущностей, присутствующих в популяции, то темпы прироста населения определяются равными.

        Оценка населения

        Население города увеличивается в три раза каждые 5 лет. Если его нынешнее население составляет 10 000 человек, какое будет его примерное население через 2 года?

        Известно, что в настоящее время в колонии комаров проживает 3000 человек; это, . Если, оцените численность популяции за 3 дня, где измеряется в днях.

        В дополнение к анализу движения вдоль линии и роста населения, производные инструменты полезны для анализа изменений в стоимости, доходе и прибыли.Концепция маржинальной функции распространена в сфере бизнеса и экономики и подразумевает использование производных финансовых инструментов. Предельные затраты являются производной функции затрат. Маржинальный доход является производным от функции дохода. Маржинальная прибыль i является производной функции прибыли, которая основана на функции затрат и функции дохода.

        Мы можем приблизительно оценить

        , выбрав соответствующее значение для.Поскольку представляет объекты, разумным и малым значением для является 1. Таким образом, подставляя, мы получаем приближение. Следовательно, данное значение можно рассматривать как изменение стоимости, связанное с производством одного дополнительного элемента. Аналогичным образом приближается доход, полученный от продажи одного дополнительного предмета, и приближается прибыль, полученная от производства и продажи одного дополнительного предмета.

        Применение предельного дохода

        Предположим, что прибыль, полученная от продажи обедов из жареной рыбы, равна.Используйте функцию маржинальной прибыли, чтобы оценить прибыль от продажи 101-го обеда из жареной рыбы.

        Ключевые понятия

        • Используя, можно оценить данные и.
        • Скорость изменения положения — это скорость, а скорость изменения скорости — это ускорение. Скорость — это абсолютное значение или величина скорости.
        • Темпы прироста населения и текущее население могут быть использованы для прогнозирования размера будущей популяции.
        • Функции предельных затрат, предельного дохода и предельной прибыли можно использовать для прогнозирования, соответственно, затрат на производство еще одного изделия, дохода, полученного от продажи еще одного изделия, и прибыли, полученной от производства и продажи еще одного изделия.

        Для следующих упражнений данные функции представляют положение частицы, движущейся вдоль горизонтальной линии.

        1. Найдите функции скорости и ускорения.
        2. Определите временные интервалы, когда объект замедляется или ускоряется.

        1.

        2.

        Решение

        а.
        г. Ускоряться: ; Притормаживает:

        3.

        5. Мяч бросается вниз со скоростью 8 футов / с с вершины здания высотой 64 фута. Через несколько секунд его высота над землей будет равна.

        1. Определите, сколько времени требуется мячу, чтобы коснуться земли.
        2. Определите скорость мяча, когда он ударяется о землю.

        [показать-ответ q = ”875579 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
        [скрытый-ответ a =” 875579 ″] a. 5 футов / с b. 9 фут / с

        7. Положение колибри, летящего по прямой линии в секундах, указывается в метрах.

        1. Определите скорость птицы в сек.
        2. Определите ускорение птицы в сек.
        3. Определите ускорение птицы, когда скорость равна 0.

        9. Функция позиции определяет положение грузового поезда в милях, где восток является положительным направлением и измеряется в часах.

        1. Определите направление, в котором движется поезд.
        2. Определите направление, в котором движется поезд, когда.
        3. Определите временные интервалы, когда поезд замедляется или набирает скорость.

        10. На следующем графике показано положение объекта, движущегося по прямой линии.

        1. Используйте график функции положения, чтобы определить временные интервалы, когда скорость положительная, отрицательная или нулевая.
        2. Нарисуйте график функции скорости.
        3. Используйте график функции скорости, чтобы определить временные интервалы, когда ускорение является положительным, отрицательным или нулевым.
        4. Определите временные интервалы, когда объект ускоряется или замедляется.

        11. Функция затрат в долларах компании, производящей кухонные комбайны, определяется выражением, где — количество произведенных кухонных комбайнов.

        1. Найдите функцию предельных затрат.
        2. Найдите предельные затраты на производство 12 кухонных комбайнов.
        3. Найдите фактическую стоимость производства тринадцатого кухонного комбайна.
        Решение

        а.
        г.
        г. 6 долларов за товар, 0 долларов за товар

        13. [T] Прибыль получается, когда выручка превышает затраты. Предположим, что функция прибыли производителя скейтбордов имеет вид, где — количество проданных скейтбордов.

        1. Найдите точную прибыль от продажи тридцатого скейтборда.
        2. Найдите функцию предельной прибыли и используйте ее для оценки прибыли от продажи тридцатого скейтборда.
        Решение

        а.
        г.
        г. Популяция бактерий увеличивается с 0 до 10 часов; впоследствии популяция бактерий уменьшается.
        г. . Скорость роста бактерий уменьшается в течение первых 10 часов. После этого популяция бактерий уменьшается с уменьшающейся скоростью.

        17. Центростремительная сила объекта массы определяется выражением, где — скорость вращения, а — расстояние от центра вращения.

        1. Найдите скорость изменения центростремительной силы по отношению к расстоянию от центра вращения.
        2. Найдите скорость изменения центростремительной силы объекта массой 1000 кг, скоростью 13,89 м / с и расстоянием от центра вращения 200 метров.

        Следующие вопросы касаются населения (в миллионах) Лондона по десятилетиям XIX века, которые перечислены в следующей таблице.

        Население Лондона
        Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London.
        Годы с 1800 Население (млн)
        1 0.8795
        11 1.040
        21 1,264
        31 1,516
        41 1.661
        51 2.000
        61 2,634
        71 3,272
        81 3,911
        91 4,422

        18.[Т]

        1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите наиболее подходящую линейную функцию для измерения численности населения.
        2. Найдите производную уравнения в (a) и объясните ее физический смысл.
        3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.
        Решение

        а.
        г. . Население увеличивается.
        г. . Скорость роста населения постоянна.

        19.[Т]

        1. Используя калькулятор или компьютерную программу, найдите наиболее подходящую квадратичную кривую по данным.
        2. Найдите производную уравнения и объясните ее физический смысл.
        3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.

        Для следующих упражнений рассмотрим космонавта на большой планете в другой галактике. Чтобы узнать больше о составе этой планеты, космонавт бросает электронный датчик в глубокую траншею.Датчик каждую секунду передает свое вертикальное положение по отношению к положению космонавта. Сводка данных датчика падения отображается в следующей таблице.

        Время после сброса (с) Позиция (м)
        0 0
        1 -1
        2 -2
        3 −5
        4 −7
        5 −14

        20.[Т]

        1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите квадратичную кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
        2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
        3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.
        Решение

        а.
        г. . Это скорость датчика.
        г. . Это ускорение датчика; это постоянное ускорение вниз.

        21.[Т]

        1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите кубическую кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
        2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
        3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.
        4. Используя результат (c), объясните, почему кубическая функция не является хорошим выбором для этой задачи.

        Следующие задачи относятся к уравнениям Холлинга типа I, II и III.Эти уравнения описывают экологическое событие роста популяции хищников с учетом количества добычи, доступной для потребления.

        Решение

        а.


        г. . Когда количество добычи увеличивается, рост хищника увеличивается.
        г. . Когда количество добычи чрезвычайно мало, скорость роста хищников увеличивается, но когда количество добычи превышает определенный порог, скорость роста хищников начинает уменьшаться.
        г. На более низком уровне добычи жертве легче избежать обнаружения хищником, поэтому поедается меньше особей добычи, что приводит к меньшему росту хищников.

        25. [T] Популяции зайца-снегоступа (в тысячах) и рыси (в сотнях), собранные за 7 лет с 1937 по 1943 год, показаны в следующей таблице. Заяц-снегоступы — основная добыча рыси.

        Популяции зайцев-снегоступов и рысей
        Источник: http: // www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.
        Численность зайца-снегоступа (тыс.) Поголовье рыси (сотни)
        20 10
        55 15
        65 55
        95 60
        1. Постройте график точек данных и определите, какая функция типа Холлинга лучше всего соответствует данным.
        2. Используя значения параметров и, определите значения этих параметров, исследуя график данных.Напомним, что это измерение того, какая ценность жертвы дает половинную максимальную ценность хищника.
        3. Постройте результирующие функции Холлинга I, II и III поверх данных. Был результат из части а. верный?
        .

        Семьдесят девять: Что-то пошло не так (404)

        alexxlab / / Разное

        279 — двести семьдесят девять. натуральное нечетное число. в ряду натуральных чисел находится между числами 278 и 280. Все о числе двести семьдесят девять.

        1. Главная
        2. О числе 279

        279 — двести семьдесят девять. Натуральное нечетное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 278 и 280.

        Like если 279 твое любимое число!

        Изображения числа 279

        Склонение числа «279» по падежам

        ПадежВспомогательное словоХарактеризующий вопросСклонение числа 279
        ИменительныйЕстьКто? Что?двести семьдесят девять
        РодительныйНетКого? Чего?двухсот семидесяти девяти
        ДательныйДатьКому? Чему?двумстам семидесяти девяти
        ВинительныйВидетьКого? Что?двести семьдесят девять
        ТворительныйДоволенКем? Чем?двумястами семьюдесятью девятью
        ПредложныйДуматьО ком? О чём?двухстах семидесяти девяти

        Перевод «двести семьдесят девять» на другие языки

        Азербайджанский
        iki yüz yetmiş doqquz
        Албанский
        279
        Английский
        two hundred seventy-nine
        Арабский
        279
        Армянский
        երկու հարյուր յոթանասուն — ինը
        Белорусский
        279
        Болгарский
        двеста седемдесет и девет
        Вьетнамский
        279
        Голландский
        279
        Греческий
        διακόσια εβδομήντα εννέα
        Грузинский
        ორასი სამოცდაცხრამეტივე
        Иврит
        279
        Идиш
        279
        Ирландский
        279
        Исландский
        279
        Испанский
        doscientos setenta y nueve
        Итальянский
        279
        Китайский
        279
        Корейский
        이백일흔아홉
        Латынь
        duo millia octingenti decem et novem
        Латышский
        279
        Литовский
        279
        Монгольский
        хоёр зуун далан есөн
        Немецкий
        279
        Норвежский
        279
        Персидский
        279
        Польский
        dwieście siedemdziesiąt dziewięć
        Португальский
        279
        Румынский
        279
        Сербский
        две стотине седамдесет девет
        Словацкий
        279
        Словенский
        279
        Тайский
        279
        Турецкий
        279
        Украинский
        двісті сімдесят дев’ять
        Финский
        kaksisataaseitsemänkymmentäyhdeksän
        Французский
        279
        Хорватский
        279
        Чешский
        279
        Шведский
        279
        Эсперанто
        ducent sepdek — naŭ
        Эстонский
        279
        Японский
        二百七十から九

        Перевод «279» на другие языки и системы

        Римскими цифрами

        Римскими цифрами
        CCLXXIX

        Сервис перевода арабских чисел в римские

        Арабско-индийскими цифрами

        Арабскими цифрами
        ٢٧٩
        Восточно-арабскими цифрами
        ۲۷۹
        Деванагари
        २७९
        Бенгальскими цифрами
        ২৭৯
        Гурмукхи
        ੨੭੯
        Гуджарати
        ૨૭૯
        Ория
        ୨୭୯
        Тамильскими цифрами
        ௨௭௯
        Телугу
        ౨౭౯
        Каннада
        ೨೭೯
        Малаялам
        ൨൭൯
        Тайскими цифрами
        ๒๗๙
        Лаосскими цифрами
        ໒໗໙
        Тибетскими цифрами
        ༢༧༩
        Бирманскими цифрами
        ၂၇၉
        Кхемерскими цифрами
        ២៧៩
        Монгольскими цифрами
        ᠒᠗᠙

        В других системах счисления

        279 в двоичной системе
        100010111
        279 в троичной системе
        101100
        279 в восьмеричной системе
        427
        279 в десятичной системе
        279
        279 в двенадцатеричной системе
        1B3
        279 в тринадцатеричной системе
        186
        279 в шестнадцатеричной системе
        117

        QR-код, MD5, SHA-1 числа 279

        Адрес для вставки QR-кода числа 279, размер 500×500:

        http://pro-chislo. ru/data/moduleImages/QRCodes/279/962b9b9a280cf039bc304caaa544a936.png
        MD2 от 279
        6041a634fbfe8120acf2f1092d8eda96
        MD4 от 279
        2b828694631325f3f5801dd91ec44e6d
        MD5 от 279
        d395771085aab05244a4fb8fd91bf4ee
        SHA1 от 279
        1407c2b75f43d3691c240e28204533da74ee4054
        SHA256 от 279
        efd96aedf377e20afd95285a7c751a864260bd6a149656a4040c5b7757bdbbb6
        SHA384 от 279
        cb10f4f2ca1865292e9eaf82fbf38a7243ab08c1996ded3701c730d8c121c667dae27dd144b2cb3d77b316ccb3890eac
        SHA512 от 279
        db9d951ce5bef31a6f93b5fb8ed5c5b2292bb02cfdf36c72eee9b41e746e88149bf3fd0c7427d502947c027c577df7e89bbcadd7f1b82639424cbd9f5d040387
        GOST от 279
        cda1f29e930af1ed89aebc4c5f4364acf5128ba7d77642cdf206e986c22fe077
        Base64 от 279
        Mjc5

        279й день в году

        279й день в не високосном году — 6 октября

        День страховщика

        279й день в високосном году — 5 октября

        День Учителя

        День учи́теля — профессиональный праздник работников сферы образования.

        День работников уголовного розыска

        День сотрудников уголовного розыска — неофициальный профессиональный праздник сотрудников уголовного розыска Российской Федерации. Эта дата отмечается в России ежегодно, 5 октября.

        Математические свойства числа 279

        Простые множители
        3 * 3 * 31
        Делители
        1, 3, 9, 31, 93, 279
        Количество делителей
        6
        Сумма делителей
        416
        Простое число
        Нет
        Предыдущее простое
        277
        Следующее простое
        281
        279е простое число
        1801
        Число Фибоначчи
        Нет
        Число Белла
        Нет
        Число Каталана
        Нет
        Факториал
        Нет
        Регулярное число (Число Хемминга)
        Нет
        Совершенное число
        Нет
        Полигональное число
        Нет
        Квадрат
        77841
        Квадратный корень
        16. 70329308849
        Натуральный логарифм (ln)
        5.6312117818214
        Десятичный логарифм (lg)
        2.4456042032736
        Синус (sin)
        0.56608278770604
        Косинус (cos)
        -0.82434839568168
        Тангенс (tg)
        0.68670332916453

        Комментарии о числе 279

        ← 278

        280 →

        • Изображения числа 279
        • Склонение числа «279» по падежам
        • Перевод «двести семьдесят девять» на другие языки
        • Перевод «279» на другие языки и системы
        • QR-код, MD5, SHA-1 числа 279
        • 279й день в году
        • Математические свойства числа 279
        • Комментарии о числе 279

        Склонение числительного 179 (Сто семьдесят девять) по падежам

        Склонение числительного 179 по падежам: именительный, родительный, дательный, винительный, творительный, предложный. Удобный поиск склонений для слов, более 83451 слов в нашей базе. Посмотрите обучающий видео урок  как правильно склонять числительные.

        ПадежВопросСлово
        именительныйКто, что?сто семьдесят девять
        родительныйКого, чего?ста семидесяти девяти
        дательныйКому, чему?ста семидесяти девяти
        винительныйКого, что?сто семьдесят девять
        творительныйКем, чем?ста семьюдесятью девятью
        предложныйО ком, о чём?о ста семидесяти девяти

        Важно знать о склонении слов

        Склонение существительных

        Изменение имён существительных по падежам характеризуется изменением их окончаний, которые называются падежными формами. Всего в русском языке существует шесть падежей, каждый из которых имеет свой вспомогательный вопрос.

        Для того, чтобы определить падеж имени существительного, нужно попробовать задать к нему один из вспомогательных вопросов.

        Также существуют несклоняемые имена существительные, т.е. те, которые имеют во всех падежах одну и ту же форму. К несклоняемым относятся как имена нарицательные (например, «кофе» или «какао»), так и имена собственные (например, «Гёте»).

        Как правило, несклоняемыми существительными оказываются слова, заимствованные из иностранных языков. Они могут относиться ко всем трем родам.

        Склонение имен числительных

        Склонение числительных не имеет единого образца, оно представлено несколькими типами:

        1. Числительное один склоняется как прилагательное в единственном числе: один — одного (новый — нового).
        2. Числительные от пяти до десяти и числительные на -дцать и -десят склоняются как существительные 3-склонения. У числительных на -десят два окончания, так как изменяются обе части: пятидесяти, пятьюдесятью.
        3. Числительные сорок, девяносто, сто, полтора и полтораста, изменяясь по падежам, имеют только две формы: именительный и винительный падежи — сорок, девяносто, сто, полтора, полтораста; родительный, дательный, творительный, предложный падежи — сорока, девяноста, ста, полутора, полутораста.
        4. Числительные от двухсот до четырехсот и от пятисот до девятисот склоняются по особому типу.
        5. Собирательные числительные также склоняются по особому типу. Числительные оба, обе имеют два разных варианта склонения.
        6. Простые порядковые числительные склоняются как прилагательные: первый (новый) — первого (нового). У сложных порядковых числительных только одно окончание. У составных порядковых числительных изменяется только последняя часть.
        7. У дробных числительных при склонении изменяются обе части.

        Склонение прилагательных

        Склонение прилагательных – это изменение их по родам, падежам и числам.

        Однако не все прилагательные изменяются и по родам, и по числам, и по падежам. Краткие прилагательные не изменяются по падежам, а прилагательные в форме простой сравнительной степени вообще не склоняются.

        Для того, чтобы правильно склонять имена прилагательные, нужно знать их падежные вопросы в обоих числах.

        Важно понимать, что окончание прилагательного можно проверить окончанием вопроса.

        Видеоурок. Склонение количественных числительных

        Склонение других чисел

        сто сорок сто тридцать девять сто сорок пять сто сорок четыре сто сорок три сто сорок девять сто сорок восемь сто сорок шесть сто сорок семь сто пятьдесят

        Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.


        Начинается с цифры

        1 2 3 4 5 6 7 8 9

        Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

        https://ria.ru/20220204/palestintsy-1771166962.html

        Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

        Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу — РИА Новости, 04.02.2022

        Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях на Западном берегу

        Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц. РИА Новости, 04.02.2022

        2022-02-04T21:11

        2022-02-04T21:11

        2022-02-04T21:11

        в мире

        армия обороны израиля

        израиль

        наблус (провинция)

        западный берег реки иордан

        палестина

        /html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

        /html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

        https://cdnn21.img.ria.ru/images/101826/44/1018264470_0:52:2000:1177_1920x0_80_0_0_6f7ceefc7961d697dd51e42ba6b6d002.jpg

        ГАЗА/ТЕЛЬ-АВИВ, 4 фев — РИА Новости. Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц.»Семьдесят девять палестинцев получили ранения в столкновениях с израильскими военнослужащими в районах Бурин, Бейта и Бейт-Даджан возле г. Наблус на Западном берегу», — говорится в заявлении для прессы.Красный полумесяц отмечает, что два человека получили огнестрельные ранения, 9 были ранены резиновыми пулями, 68 надышались слезоточивым газом.Волнения в районе деревни Бурин вспыхнули в ходе акции по посадке активистами левых организаций и поселенцами деревьев в этом районе, сообщают израильские СМИ. Факт столкновения между палестинцами и израильскими левыми активистами с одной стороны и поселенцами, а также израильскими силовиками с другой РИА Новости подтвердили в армии Израиля.»На месте происшествия работают силы безопасности для поддержания порядка и предотвращения насилия. В ходе противостояния поступило сообщение об активисте, прибывшем на акцию протеста и напавшем на солдата ЦАХАЛ», — сообщила пресс-служба армии.Активист был задержан израильской полицией, сообщают военные.В районе Наблуса (Шхем), особенно на горе Сбейх в районе деревни Бейта еженедельно происходят столкновения между палестинцами и израильскими поселенцами и военнослужащими.

        https://ria.ru/20220119/palestina-1768623631.html

        https://ria.ru/20211218/oon-1764367128.html

        израиль

        наблус (провинция)

        западный берег реки иордан

        палестина

        РИА Новости

        1

        5

        4.7

        96

        [email protected]

        7 495 645-6601

        ФГУП МИА «Россия сегодня»

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og. xn--p1ai/awards/

        2022

        РИА Новости

        1

        5

        4.7

        96

        [email protected]

        7 495 645-6601

        ФГУП МИА «Россия сегодня»

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

        Новости

        ru-RU

        https://ria.ru/docs/about/copyright.html

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

        РИА Новости

        1

        5

        4.7

        96

        [email protected]

        7 495 645-6601

        ФГУП МИА «Россия сегодня»

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

        1920

        1080

        true

        1920

        1440

        true

        https://cdnn21.img.ria.ru/images/101826/44/1018264470_301:0:1974:1255_1920x0_80_0_0_c0208a2f60a6e7a2fe858c2d92f12015.jpg

        1920

        1920

        true

        РИА Новости

        1

        5

        4.7

        96

        [email protected]

        7 495 645-6601

        ФГУП МИА «Россия сегодня»

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

        РИА Новости

        1

        5

        4. 7

        96

        [email protected]

        7 495 645-6601

        ФГУП МИА «Россия сегодня»

        https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

        в мире, армия обороны израиля, израиль, наблус (провинция), западный берег реки иордан, палестина

        В мире, Армия обороны Израиля, Израиль, Наблус (провинция), Западный берег реки Иордан, Палестина

        ГАЗА/ТЕЛЬ-АВИВ, 4 фев — РИА Новости. Семьдесят девять палестинцев пострадали в столкновениях с израильскими военнослужащими на Западном берегу Иордана, сообщил палестинский Красный Полумесяц.

        «Семьдесят девять палестинцев получили ранения в столкновениях с израильскими военнослужащими в районах Бурин, Бейта и Бейт-Даджан возле г. Наблус на Западном берегу», — говорится в заявлении для прессы.

        Красный полумесяц отмечает, что два человека получили огнестрельные ранения, 9 были ранены резиновыми пулями, 68 надышались слезоточивым газом.

        Волнения в районе деревни Бурин вспыхнули в ходе акции по посадке активистами левых организаций и поселенцами деревьев в этом районе, сообщают израильские СМИ. Факт столкновения между палестинцами и израильскими левыми активистами с одной стороны и поселенцами, а также израильскими силовиками с другой РИА Новости подтвердили в армии Израиля.

        «На месте происшествия работают силы безопасности для поддержания порядка и предотвращения насилия. В ходе противостояния поступило сообщение об активисте, прибывшем на акцию протеста и напавшем на солдата ЦАХАЛ», — сообщила пресс-служба армии.

        Активист был задержан израильской полицией, сообщают военные.

        В районе Наблуса (Шхем), особенно на горе Сбейх в районе деревни Бейта еженедельно происходят столкновения между палестинцами и израильскими поселенцами и военнослужащими.

        Читайте также:

        • Палестина поддержала призыв России собрать «ближневосточный квартет»
        • В ООН призвали прекратить насилие на Западном берегу Иордана

        479438 — денежная сумма прописью / 479400

        479400 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста

        479400 прописью на английском: in words 479400 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred

        479400 прописью на испанском: en palabras 479400 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos

        479400 прописью на немецком: in Worten 479400 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundert

        479400 прописью на французском: par écrit 479400 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cents

        479400 прописью на португальском: em palavras 479400 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos

        479400 прописью на итальянском: in lettere 479400 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocento

        479400 прописью на украинском: прописом 479400 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста

        Сумма 479400 прописью

        479401 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста один

        479401 прописью на английском: in words 479401 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred one

        479401 прописью на испанском: en palabras 479401 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos uno

        479401 прописью на немецком: in Worten 479401 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteins

        479401 прописью на французском: par écrit 479401 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-un

        479401 прописью на португальском: em palavras 479401 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e um

        479401 прописью на итальянском: in lettere 479401 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentouno

        479401 прописью на украинском: прописом 479401 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста один

        Сумма 479401 прописью

        479402 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста два

        479402 прописью на английском: in words 479402 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred two

        479402 прописью на испанском: en palabras 479402 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dos

        479402 прописью на немецком: in Worten 479402 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwei

        479402 прописью на французском: par écrit 479402 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-deux

        479402 прописью на португальском: em palavras 479402 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dois

        479402 прописью на итальянском: in lettere 479402 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodue

        479402 прописью на украинском: прописом 479402 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста два

        Сумма 479402 прописью

        479403 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста три

        479403 прописью на английском: in words 479403 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred three

        479403 прописью на испанском: en palabras 479403 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos tres

        479403 прописью на немецком: in Worten 479403 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdrei

        479403 прописью на французском: par écrit 479403 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trois

        479403 прописью на португальском: em palavras 479403 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e três

        479403 прописью на итальянском: in lettere 479403 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotre

        479403 прописью на украинском: прописом 479403 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста три

        Сумма 479403 прописью

        479404 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста четыре

        479404 прописью на английском: in words 479404 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred four

        479404 прописью на испанском: en palabras 479404 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuatro

        479404 прописью на немецком: in Worten 479404 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvier

        479404 прописью на французском: par écrit 479404 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quatre

        479404 прописью на португальском: em palavras 479404 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quatro

        479404 прописью на итальянском: in lettere 479404 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquattro

        479404 прописью на украинском: прописом 479404 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста чотири

        Сумма 479404 прописью

        479405 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста пять

        479405 прописью на английском: in words 479405 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred five

        479405 прописью на испанском: en palabras 479405 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cinco

        479405 прописью на немецком: in Worten 479405 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünf

        479405 прописью на французском: par écrit 479405 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-cinq

        479405 прописью на португальском: em palavras 479405 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e cinco

        479405 прописью на итальянском: in lettere 479405 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentocinque

        479405 прописью на украинском: прописом 479405 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста п’ять

        Сумма 479405 прописью

        479406 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста шесть

        479406 прописью на английском: in words 479406 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred six

        479406 прописью на испанском: en palabras 479406 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos seis

        479406 прописью на немецком: in Worten 479406 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechs

        479406 прописью на французском: par écrit 479406 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-six

        479406 прописью на португальском: em palavras 479406 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e seis

        479406 прописью на итальянском: in lettere 479406 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosei

        479406 прописью на украинском: прописом 479406 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста шість

        Сумма 479406 прописью

        479407 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста семь

        479407 прописью на английском: in words 479407 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred seven

        479407 прописью на испанском: en palabras 479407 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos siete

        479407 прописью на немецком: in Worten 479407 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsieben

        479407 прописью на французском: par écrit 479407 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-sept

        479407 прописью на португальском: em palavras 479407 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e sete

        479407 прописью на итальянском: in lettere 479407 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosette

        479407 прописью на украинском: прописом 479407 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сім

        Сумма 479407 прописью

        479408 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста восемь

        479408 прописью на английском: in words 479408 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eight

        479408 прописью на испанском: en palabras 479408 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos ocho

        479408 прописью на немецком: in Worten 479408 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertacht

        479408 прописью на французском: par écrit 479408 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-huit

        479408 прописью на португальском: em palavras 479408 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e oito

        479408 прописью на итальянском: in lettere 479408 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotto

        479408 прописью на украинском: прописом 479408 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста вісім

        Сумма 479408 прописью

        479409 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста девять

        479409 прописью на английском: in words 479409 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred nine

        479409 прописью на испанском: en palabras 479409 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos nueve

        479409 прописью на немецком: in Worten 479409 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneun

        479409 прописью на французском: par écrit 479409 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-neuf

        479409 прописью на португальском: em palavras 479409 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e nove

        479409 прописью на итальянском: in lettere 479409 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentonove

        479409 прописью на украинском: прописом 479409 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дев’ять

        Сумма 479409 прописью

        479410 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста десять

        479410 прописью на английском: in words 479410 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred ten

        479410 прописью на испанском: en palabras 479410 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diez

        479410 прописью на немецком: in Worten 479410 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzehn

        479410 прописью на французском: par écrit 479410 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix

        479410 прописью на португальском: em palavras 479410 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dez

        479410 прописью на итальянском: in lettere 479410 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodieci

        479410 прописью на украинском: прописом 479410 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста десять

        Сумма 479410 прописью

        479411 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста одиннадцать

        479411 прописью на английском: in words 479411 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eleven

        479411 прописью на испанском: en palabras 479411 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos once

        479411 прописью на немецком: in Worten 479411 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertelf

        479411 прописью на французском: par écrit 479411 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-onze

        479411 прописью на португальском: em palavras 479411 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e onze

        479411 прописью на итальянском: in lettere 479411 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoundici

        479411 прописью на украинском: прописом 479411 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста одинадцять

        Сумма 479411 прописью

        479412 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двенадцать

        479412 прописью на английском: in words 479412 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twelve

        479412 прописью на испанском: en palabras 479412 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos doce

        479412 прописью на немецком: in Worten 479412 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwölf

        479412 прописью на французском: par écrit 479412 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-douze

        479412 прописью на португальском: em palavras 479412 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e doze

        479412 прописью на итальянском: in lettere 479412 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentododici

        479412 прописью на украинском: прописом 479412 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дванадцять

        Сумма 479412 прописью

        479413 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тринадцать

        479413 прописью на английском: in words 479413 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirteen

        479413 прописью на испанском: en palabras 479413 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos trece

        479413 прописью на немецком: in Worten 479413 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreizehn

        479413 прописью на французском: par écrit 479413 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-treize

        479413 прописью на португальском: em palavras 479413 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e treze

        479413 прописью на итальянском: in lettere 479413 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotredici

        479413 прописью на украинском: прописом 479413 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тринадцять

        Сумма 479413 прописью

        479414 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста четырнадцать

        479414 прописью на английском: in words 479414 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred fourteen

        479414 прописью на испанском: en palabras 479414 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos catorce

        479414 прописью на немецком: in Worten 479414 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierzehn

        479414 прописью на французском: par écrit 479414 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quatorze

        479414 прописью на португальском: em palavras 479414 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quartorze

        479414 прописью на итальянском: in lettere 479414 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquattordici

        479414 прописью на украинском: прописом 479414 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста чотирнадцять

        Сумма 479414 прописью

        479415 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста пятнадцать

        479415 прописью на английском: in words 479415 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred fifteen

        479415 прописью на испанском: en palabras 479415 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos quince

        479415 прописью на немецком: in Worten 479415 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfzehn

        479415 прописью на французском: par écrit 479415 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quinze

        479415 прописью на португальском: em palavras 479415 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quinze

        479415 прописью на итальянском: in lettere 479415 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquindici

        479415 прописью на украинском: прописом 479415 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста п’ятнадцять

        Сумма 479415 прописью

        479416 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста шестнадцать

        479416 прописью на английском: in words 479416 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred sixteen

        479416 прописью на испанском: en palabras 479416 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dieciséis

        479416 прописью на немецком: in Worten 479416 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechzehn

        479416 прописью на французском: par écrit 479416 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-seize

        479416 прописью на португальском: em palavras 479416 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezesseis

        479416 прописью на итальянском: in lettere 479416 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentosedici

        479416 прописью на украинском: прописом 479416 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста шістнадцять

        Сумма 479416 прописью

        479417 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста семнадцать

        479417 прописью на английском: in words 479417 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred seventeen

        479417 прописью на испанском: en palabras 479417 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diecisiete

        479417 прописью на немецком: in Worten 479417 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebzehn

        479417 прописью на французском: par écrit 479417 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-sept

        479417 прописью на португальском: em palavras 479417 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezessete

        479417 прописью на итальянском: in lettere 479417 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciassette

        479417 прописью на украинском: прописом 479417 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сімнадцять

        Сумма 479417 прописью

        479418 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста восемнадцать

        479418 прописью на английском: in words 479418 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred eighteen

        479418 прописью на испанском: en palabras 479418 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos dieciocho

        479418 прописью на немецком: in Worten 479418 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtzehn

        479418 прописью на французском: par écrit 479418 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-huit

        479418 прописью на португальском: em palavras 479418 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezoito

        479418 прописью на итальянском: in lettere 479418 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciotto

        479418 прописью на украинском: прописом 479418 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста вісімнадцять

        Сумма 479418 прописью

        479419 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста девятнадцать

        479419 прописью на английском: in words 479419 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred nineteen

        479419 прописью на испанском: en palabras 479419 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos diecinueve

        479419 прописью на немецком: in Worten 479419 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunzehn

        479419 прописью на французском: par écrit 479419 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-dix-neuf

        479419 прописью на португальском: em palavras 479419 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e dezenove

        479419 прописью на итальянском: in lettere 479419 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentodiciannove

        479419 прописью на украинском: прописом 479419 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста дев’ятнадцять

        Сумма 479419 прописью

        479420 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать

        479420 прописью на английском: in words 479420 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty

        479420 прописью на испанском: en palabras 479420 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinte

        479420 прописью на немецком: in Worten 479420 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzwanzig

        479420 прописью на французском: par écrit 479420 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt

        479420 прописью на португальском: em palavras 479420 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte

        479420 прописью на итальянском: in lettere 479420 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventi

        479420 прописью на украинском: прописом 479420 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять

        Сумма 479420 прописью

        479421 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать один

        479421 прописью на английском: in words 479421 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-one

        479421 прописью на испанском: en palabras 479421 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiuno

        479421 прописью на немецком: in Worten 479421 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinundzwanzig

        479421 прописью на французском: par écrit 479421 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt et un

        479421 прописью на португальском: em palavras 479421 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e um

        479421 прописью на итальянском: in lettere 479421 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventuno

        479421 прописью на украинском: прописом 479421 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять один

        Сумма 479421 прописью

        479422 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать два

        479422 прописью на английском: in words 479422 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-two

        479422 прописью на испанском: en palabras 479422 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintidós

        479422 прописью на немецком: in Worten 479422 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiundzwanzig

        479422 прописью на французском: par écrit 479422 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-deux

        479422 прописью на португальском: em palavras 479422 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e dois

        479422 прописью на итальянском: in lettere 479422 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventidue

        479422 прописью на украинском: прописом 479422 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять два

        Сумма 479422 прописью

        479423 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать три

        479423 прописью на английском: in words 479423 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-three

        479423 прописью на испанском: en palabras 479423 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintitrés

        479423 прописью на немецком: in Worten 479423 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiundzwanzig

        479423 прописью на французском: par écrit 479423 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-trois

        479423 прописью на португальском: em palavras 479423 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e três

        479423 прописью на итальянском: in lettere 479423 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventitré

        479423 прописью на украинском: прописом 479423 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять три

        Сумма 479423 прописью

        479424 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать четыре

        479424 прописью на английском: in words 479424 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-four

        479424 прописью на испанском: en palabras 479424 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinticuatro

        479424 прописью на немецком: in Worten 479424 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierundzwanzig

        479424 прописью на французском: par écrit 479424 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-quatre

        479424 прописью на португальском: em palavras 479424 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e quatro

        479424 прописью на итальянском: in lettere 479424 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventiquattro

        479424 прописью на украинском: прописом 479424 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять чотири

        Сумма 479424 прописью

        479425 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать пять

        479425 прописью на английском: in words 479425 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-five

        479425 прописью на испанском: en palabras 479425 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veinticinco

        479425 прописью на немецком: in Worten 479425 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfundzwanzig

        479425 прописью на французском: par écrit 479425 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-cinq

        479425 прописью на португальском: em palavras 479425 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e cinco

        479425 прописью на итальянском: in lettere 479425 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventicinque

        479425 прописью на украинском: прописом 479425 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять п’ять

        Сумма 479425 прописью

        479426 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать шесть

        479426 прописью на английском: in words 479426 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-six

        479426 прописью на испанском: en palabras 479426 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiséis

        479426 прописью на немецком: in Worten 479426 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsundzwanzig

        479426 прописью на французском: par écrit 479426 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-six

        479426 прописью на португальском: em palavras 479426 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e seis

        479426 прописью на итальянском: in lettere 479426 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventisei

        479426 прописью на украинском: прописом 479426 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять шість

        Сумма 479426 прописью

        479427 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать семь

        479427 прописью на английском: in words 479427 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-seven

        479427 прописью на испанском: en palabras 479427 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintisiete

        479427 прописью на немецком: in Worten 479427 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenundzwanzig

        479427 прописью на французском: par écrit 479427 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-sept

        479427 прописью на португальском: em palavras 479427 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e sete

        479427 прописью на итальянском: in lettere 479427 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventisette

        479427 прописью на украинском: прописом 479427 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять сім

        Сумма 479427 прописью

        479428 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать восемь

        479428 прописью на английском: in words 479428 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-eight

        479428 прописью на испанском: en palabras 479428 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintiocho

        479428 прописью на немецком: in Worten 479428 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtundzwanzig

        479428 прописью на французском: par écrit 479428 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-huit

        479428 прописью на португальском: em palavras 479428 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e oito

        479428 прописью на итальянском: in lettere 479428 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventotto

        479428 прописью на украинском: прописом 479428 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять вісім

        Сумма 479428 прописью

        479429 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста двадцать девять

        479429 прописью на английском: in words 479429 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred twenty-nine

        479429 прописью на испанском: en palabras 479429 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos veintinueve

        479429 прописью на немецком: in Worten 479429 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunundzwanzig

        479429 прописью на французском: par écrit 479429 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-vingt-neuf

        479429 прописью на португальском: em palavras 479429 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e vinte e nove

        479429 прописью на итальянском: in lettere 479429 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoventinove

        479429 прописью на украинском: прописом 479429 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста двадцять дев’ять

        Сумма 479429 прописью

        479430 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать

        479430 прописью на английском: in words 479430 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty

        479430 прописью на испанском: en palabras 479430 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta

        479430 прописью на немецком: in Worten 479430 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreißig

        479430 прописью на французском: par écrit 479430 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente

        479430 прописью на португальском: em palavras 479430 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta

        479430 прописью на итальянском: in lettere 479430 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrenta

        479430 прописью на украинском: прописом 479430 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять

        Сумма 479430 прописью

        479431 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать один

        479431 прописью на английском: in words 479431 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-one

        479431 прописью на испанском: en palabras 479431 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y uno

        479431 прописью на немецком: in Worten 479431 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinunddreißig

        479431 прописью на французском: par écrit 479431 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente et un

        479431 прописью на португальском: em palavras 479431 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e um

        479431 прописью на итальянском: in lettere 479431 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentuno

        479431 прописью на украинском: прописом 479431 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять один

        Сумма 479431 прописью

        479432 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать два

        479432 прописью на английском: in words 479432 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-two

        479432 прописью на испанском: en palabras 479432 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y dos

        479432 прописью на немецком: in Worten 479432 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiunddreißig

        479432 прописью на французском: par écrit 479432 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-deux

        479432 прописью на португальском: em palavras 479432 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e dois

        479432 прописью на итальянском: in lettere 479432 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentadue

        479432 прописью на украинском: прописом 479432 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять два

        Сумма 479432 прописью

        479433 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать три

        479433 прописью на английском: in words 479433 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-three

        479433 прописью на испанском: en palabras 479433 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y tres

        479433 прописью на немецком: in Worten 479433 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiunddreißig

        479433 прописью на французском: par écrit 479433 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-trois

        479433 прописью на португальском: em palavras 479433 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e três

        479433 прописью на итальянском: in lettere 479433 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentatré

        479433 прописью на украинском: прописом 479433 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять три

        Сумма 479433 прописью

        479434 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать четыре

        479434 прописью на английском: in words 479434 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-four

        479434 прописью на испанском: en palabras 479434 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y cuatro

        479434 прописью на немецком: in Worten 479434 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierunddreißig

        479434 прописью на французском: par écrit 479434 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-quatre

        479434 прописью на португальском: em palavras 479434 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e quatro

        479434 прописью на итальянском: in lettere 479434 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentaquattro

        479434 прописью на украинском: прописом 479434 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять чотири

        Сумма 479434 прописью

        479435 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать пять

        479435 прописью на английском: in words 479435 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-five

        479435 прописью на испанском: en palabras 479435 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y cinco

        479435 прописью на немецком: in Worten 479435 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfunddreißig

        479435 прописью на французском: par écrit 479435 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-cinq

        479435 прописью на португальском: em palavras 479435 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e cinco

        479435 прописью на итальянском: in lettere 479435 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentacinque

        479435 прописью на украинском: прописом 479435 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять п’ять

        Сумма 479435 прописью

        479436 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать шесть

        479436 прописью на английском: in words 479436 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-six

        479436 прописью на испанском: en palabras 479436 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y seis

        479436 прописью на немецком: in Worten 479436 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsunddreißig

        479436 прописью на французском: par écrit 479436 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-six

        479436 прописью на португальском: em palavras 479436 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e seis

        479436 прописью на итальянском: in lettere 479436 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentasei

        479436 прописью на украинском: прописом 479436 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять шість

        Сумма 479436 прописью

        479437 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать семь

        479437 прописью на английском: in words 479437 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-seven

        479437 прописью на испанском: en palabras 479437 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y siete

        479437 прописью на немецком: in Worten 479437 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenunddreißig

        479437 прописью на французском: par écrit 479437 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-sept

        479437 прописью на португальском: em palavras 479437 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e sete

        479437 прописью на итальянском: in lettere 479437 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentasette

        479437 прописью на украинском: прописом 479437 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять сім

        Сумма 479437 прописью

        479438 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать восемь

        479438 прописью на английском: in words 479438 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-eight

        479438 прописью на испанском: en palabras 479438 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y ocho

        479438 прописью на немецком: in Worten 479438 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtunddreißig

        479438 прописью на французском: par écrit 479438 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-huit

        479438 прописью на португальском: em palavras 479438 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e oito

        479438 прописью на итальянском: in lettere 479438 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentotto

        479438 прописью на украинском: прописом 479438 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять вісім

        479439 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста тридцать девять

        479439 прописью на английском: in words 479439 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred thirty-nine

        479439 прописью на испанском: en palabras 479439 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos treinta y nueve

        479439 прописью на немецком: in Worten 479439 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneununddreißig

        479439 прописью на французском: par écrit 479439 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-trente-neuf

        479439 прописью на португальском: em palavras 479439 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e trinta e nove

        479439 прописью на итальянском: in lettere 479439 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentotrentanove

        479439 прописью на украинском: прописом 479439 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста тридцять дев’ять

        Сумма 479439 прописью

        479440 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок

        479440 прописью на английском: in words 479440 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty

        479440 прописью на испанском: en palabras 479440 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta

        479440 прописью на немецком: in Worten 479440 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierzig

        479440 прописью на французском: par écrit 479440 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante

        479440 прописью на португальском: em palavras 479440 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta

        479440 прописью на итальянском: in lettere 479440 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquaranta

        479440 прописью на украинском: прописом 479440 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок

        Сумма 479440 прописью

        479441 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок один

        479441 прописью на английском: in words 479441 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-one

        479441 прописью на испанском: en palabras 479441 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y uno

        479441 прописью на немецком: in Worten 479441 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhunderteinundvierzig

        479441 прописью на французском: par écrit 479441 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante et un

        479441 прописью на португальском: em palavras 479441 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e um

        479441 прописью на итальянском: in lettere 479441 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantuno

        479441 прописью на украинском: прописом 479441 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок один

        Сумма 479441 прописью

        479442 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок два

        479442 прописью на английском: in words 479442 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-two

        479442 прописью на испанском: en palabras 479442 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y dos

        479442 прописью на немецком: in Worten 479442 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertzweiundvierzig

        479442 прописью на французском: par écrit 479442 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-deux

        479442 прописью на португальском: em palavras 479442 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e dois

        479442 прописью на итальянском: in lettere 479442 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantadue

        479442 прописью на украинском: прописом 479442 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок два

        Сумма 479442 прописью

        479443 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок три

        479443 прописью на английском: in words 479443 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-three

        479443 прописью на испанском: en palabras 479443 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y tres

        479443 прописью на немецком: in Worten 479443 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertdreiundvierzig

        479443 прописью на французском: par écrit 479443 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-trois

        479443 прописью на португальском: em palavras 479443 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e três

        479443 прописью на итальянском: in lettere 479443 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantatré

        479443 прописью на украинском: прописом 479443 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок три

        Сумма 479443 прописью

        479444 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок четыре

        479444 прописью на английском: in words 479444 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-four

        479444 прописью на испанском: en palabras 479444 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y cuatro

        479444 прописью на немецком: in Worten 479444 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertvierundvierzig

        479444 прописью на французском: par écrit 479444 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-quatre

        479444 прописью на португальском: em palavras 479444 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e quatro

        479444 прописью на итальянском: in lettere 479444 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantaquattro

        479444 прописью на украинском: прописом 479444 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок чотири

        Сумма 479444 прописью

        479445 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок пять

        479445 прописью на английском: in words 479445 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-five

        479445 прописью на испанском: en palabras 479445 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y cinco

        479445 прописью на немецком: in Worten 479445 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertfünfundvierzig

        479445 прописью на французском: par écrit 479445 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-cinq

        479445 прописью на португальском: em palavras 479445 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e cinco

        479445 прописью на итальянском: in lettere 479445 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantacinque

        479445 прописью на украинском: прописом 479445 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок п’ять

        Сумма 479445 прописью

        479446 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок шесть

        479446 прописью на английском: in words 479446 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-six

        479446 прописью на испанском: en palabras 479446 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y seis

        479446 прописью на немецком: in Worten 479446 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsechsundvierzig

        479446 прописью на французском: par écrit 479446 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-six

        479446 прописью на португальском: em palavras 479446 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e seis

        479446 прописью на итальянском: in lettere 479446 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantasei

        479446 прописью на украинском: прописом 479446 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок шість

        Сумма 479446 прописью

        479447 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок семь

        479447 прописью на английском: in words 479447 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-seven

        479447 прописью на испанском: en palabras 479447 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y siete

        479447 прописью на немецком: in Worten 479447 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertsiebenundvierzig

        479447 прописью на французском: par écrit 479447 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-sept

        479447 прописью на португальском: em palavras 479447 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e sete

        479447 прописью на итальянском: in lettere 479447 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantasette

        479447 прописью на украинском: прописом 479447 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок сім

        Сумма 479447 прописью

        479448 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок восемь

        479448 прописью на английском: in words 479448 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-eight

        479448 прописью на испанском: en palabras 479448 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y ocho

        479448 прописью на немецком: in Worten 479448 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertachtundvierzig

        479448 прописью на французском: par écrit 479448 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-huit

        479448 прописью на португальском: em palavras 479448 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e oito

        479448 прописью на итальянском: in lettere 479448 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantotto

        479448 прописью на украинском: прописом 479448 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок вісім

        Сумма 479448 прописью

        479449 прописью:

        Четыреста семьдесят девять тысяч четыреста сорок девять

        479449 прописью на английском: in words 479449 — Four hundred seventy-nine thousand four hundred forty-nine

        479449 прописью на испанском: en palabras 479449 — Cuatrocientos setenta y nueve mil cuatrocientos cuarenta y nueve

        479449 прописью на немецком: in Worten 479449 — Vierhundertneunundsiebzigtausendvierhundertneunundvierzig

        479449 прописью на французском: par écrit 479449 — Quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille-quatre-cent-quarante-neuf

        479449 прописью на португальском: em palavras 479449 — Quatrocentos e setenta e nove mil e quatrocentos e quarenta e nove

        479449 прописью на итальянском: in lettere 479449 — Quattrocentosettantanovemilaquattrocentoquarantanove

        479449 прописью на украинском: прописом 479449 — Чотириста сімдесят дев’ять тисяч чотириста сорок дев’ять

        Сумма 479449 прописью

        семьдесят девять — английский перевод

        Семьдесят девять.

        Seventynine.

        Крупель, семьдесят девять

        Rostra. 99

        Девять тысяч семьдесят.

        9,070.

        Восемью девять семьдесят два.

        Eight times nine is seventy two.

        Восемью девять семьдесят два.

        Eight times nine is seventy two.

        Плюс семь семьдесят девять.

        Plus seven is seventy nine.

        Так что семьдесят два плюс семь семьдесят девять.

        So seventy two plus seven is seventy nine.

        Затем восемью девять семьдесят два.

        Then eight times nine is seventy two.

        Вот тысяча семьдесят девять, Конни.

        Here’s 10079, Connie.

        Семьдесят девять процентов этих клиентов женщины.

        Seventy nine per cent of these clients are women.

        Семьдесят девять процентов этих клиентов  женщины.

        Seventy nine per cent of these clients are women.

        Семьдесят девять случаев находятся в стадии рассмотрения.

        Seventy nine cases remain open.

        Семьдесят девять процентов из проверенных обвинений оказались необоснованными.

        Of those investigated, 79 per cent were unsubstantiated.

        179 (сто семьдесят девять) натуральное число между 178 и 180.

        179 (one hundred seventy nine) is the natural number following 178 and preceding 180.

        460. Семьдесят девять членов (или 6 процентов) Палаты лордов женщины.

        Seventy nine members (or 6 per cent) of the House of Lords are women.

        … семьдесят девять, восемьдесят, восемьдесят два, восемьдесят три… восемьдесят пять… восемьдесят девять, девяносто… девяносто три, девяносто четыре…

        75, 76, 77, 78, 79, 80… 81, 82, 83, 84… 85, 86, 85, 86, 87, 88… 89, 90, 91, 92… 93, 94, 95…

        Семьдесят девять процентов суммы увеличения совокупных поступлений приходилось на начисленные взносы.

        Of the increase in total income, 79 per cent was attributable to assessed contributions.

        Восемью девять семьдесят два, но теперь у нас здесь наверху семь.

        Eight times nine is seventy two, but now you have the seven up here.

        Семьдесят девять государств (60 процентов) не представили никакой информации по этому вопросу.

        Seventy nine States (60 ) did not provide any information on this point.

        Семьдесят девять участников представляли 33 страны и 7 международных и региональных организаций.

        The 79 participants represented 33 countries and 7 international and regional organizations.

        Семьдесят девять государств (60 процентов) не представили никакой информации по этому вопросу.

        Seventy nine States (60 ) did not provide any information on this point.

        Семьдесят девять участников представляли 33 страны и 7 международных и региональных организаций.

        The 79 participants represented 33 countries and 7 international and regional organizations.

        В ходе своих семьдесят шестой семьдесят восьмой сессий Комитет провел девять заседаний Бюро (по три заседания в сессию) с синхронным переводом.

        In this context, the Committee notes with satisfaction that the former practice of issuing press releases summarizing its final decisions under the Optional Protocol after the end of each session was resumed after the Committee’s seventy fifth session (July 2002).

        В ходе своих семьдесят третьей  семьдесят пятой сессий Комитет провел девять заседаний Бюро (по три заседания в сессию) с синхронным переводом.

        During its seventy third through seventy fifth sessions, the Committee held nine Bureau meetings (three per session) with interpretation.

        13. В ходе своих семьдесят третьей семьдесят пятой сессий Комитет провел девять заседаний Бюро (по три заседания в сессию) с синхронным переводом.

        13. During its seventy third through seventy fifth sessions, the Committee held nine Bureau meetings (three per session) with interpretation.

        10. В ходе своих семьдесят шестой семьдесят восьмой сессий Комитет провел девять заседаний Бюро (по три заседания в сессию) с синхронным переводом.

        During its seventy sixth through seventy eighth sessions, the Committee held nine Bureau meetings (three per session), with interpretation.

        Семьдесят четыре, семьдесят пять семьдесят шесть.

        Seventyfour, 75, 76. Seventysix guests.

        Сто семьдесят девять стран  это государства  члены Организации Объединенных Наций, по которым имеются данные.

        The 179 countries represent United Nations Member States for which data are available.

        варварски убиты семьдесят девять (79) эфиопов, проживавших в Асмэре, Кэрэне, АддиГуададе, АддиНефасе и Дурфо

        Seventy nine (79) Ethiopians residing in Asmara, Keren, AdiGuadad, AdiNefas and Durfo have been killed in barbaric fashion

        Сто семьдесят девять стран это государства члены Организации Объединенных Наций, по которым имеются данные.

        The 179 countries represent United Nations Member States for which data are available.

        По состоянию на конец июня 2005 года разработку своих НПД завершили семьдесят девять (79) стран.

        At the end of June 2005, some seventy nine (79) countries had completed their NAPs.

        Семьдесят девять из них он расследовал и урегулировал десять других были расследованы, однако не урегулированы.

        It had investigated and resolved 79 of those reports 10 others were investigated but have not yet been resolved.

        Девять, девять, девять…

        Nine, nine, nine…

        1. Шестьсот семьдесят девять самолето пролетов были совершены самолетами, использующими в качестве базы территорию Саудовской Аравии.

        1. Six hundred and seventy nine sorties were flown using Saudi territory as a base.

        Семьдесят девять процентов фабрик было оборудовано туалетами, но на 72 процентах они находились в антисанитарном состоянии.

        Seventy nine per cent of the factories had toilets, but 72 per cent were in unhygienic condition.

        варварски убиты семьдесят девять (79) эфиопов, проживавших в Асмэре, Кэрэне, Адди Гуададе, Адди Нефасе и Дурфо

        Seventy nine (79) Ethiopians residing in Asmara, Keren, AdiGuadad, AdiNefas and Durfo have been killed in barbaric fashion

        80. По состоянию на конец июня 2005 года разработку своих НПД завершили семьдесят девять (79) стран.

        80. At the end of June 2005, some seventynine (79) countries had completed their NAPs.

        Семьдесят девять государств сообщили о существовании конкретных наказаний или правоприменительных мер, связанных с этими трансграничными перемещениями.

        A total of 79 States reported having specific penalties or enforcement capabilities associated with those cross border movements.

        СЕМЬДЕСЯТ ВТОРОЙ И СЕМЬДЕСЯТ ТРЕТЬЕЙ

        SEVENTYSECOND AND SEVENTYTHIRD SESSIONS IN

        сто семьдесят шесть, сто семьдесят…

        176, 170, 168, 166.

        Во время семьдесят третьей, семьдесят четвертой и семьдесят пятой сессий

        During the seventy third, seventy fourth and seventy fifth sessions

        Девять. Девять.

        Nine.

        Семьдесят девять процентов считают, что Израиль несет ответственность за ухудшение положения в области безопасности в секторе Газа.

        Seventy nine per cent held Israel accountable for the deterioration in the security situation in the Gaza Strip.

        семьдесят

        seventy

        Семьдесят.

        Seventy.

        Кодирование и бумага Letter (семьдесят-девять)

        Новая отделка ресурса.

        Каталог статьи

        • 1 Coding:
        • 2 Paper:

        1. Узел Репозитарий Рисунок Линг: Как загрузить повторяемые науки данных проекта.

        the turing way

        2. Covid-19 образца обработки данных (язык R) нового коронавируса.

        Coronavirus sample processing

        3. Временный и пространственное моделирование диких экстремальных явлений.

        wildfire extremes

        4. Sqlite3 ЯИЧКО плагин.

        egg sqlite3

        5. Мы разрабатываем предпродажную подготовку модель для понимания естественного языка (НЛ) и (NLG) задач Generate.

        unilm

        6.latex компиляции конфигурации среды: Код Visual Studio Конфигурация Введение.

        vscode latex

        7. Google мозг автомат обучения.

        automl

        8. Следующее поколение не имеет расчета не сервер.

        cloudstate

        9.Manim является анимационный движок, который объясняет математике видео. Он используется для программного создания точной анимации, так же, как видно на видео 3Blue1Brown в.

        manim

        10. Официально представлены «Объединенная 3D слежение и прогнозирование с Graph нейронной сетью и разнообразием Sampling» реализацией pytorch.

        GNNTrkForecast

        11. CVPR встреча 2020 Papers «Поворот-и-визуализация: неконтролируемое фотореалистичное вращение лица из salesle вида изображений» коды.

        Rotate and Render

        Данные примеры 12. Швейцария COVID19.

        covid19 cases switzerland

        13.R Язык Хлеб PHYLOREGION, Биологическая География и исследование космического пространства Защита R пакеты.

        phyloregion

        14. .

        bilibili user

        15. Rest API обратной инженерии, используемой в приложении IOS для Nintendo коммутатора.

        NintendoSwitchRESTAPI

        16. «ReviewDog» легко интегрируется с любым инструментом ЛИНТЕР, обеспечивая способ автоматически публиковать комментарий к коду хостинга службы (такие, как Github).

        reviewdog

        17.r Язык Хлеб SpotifyR, пакет Spotify Network API.

        spotifyr

        18. Это концептуальное доказательство использования WASM для выполнения сложных пространственных операций (точек в многоугольной агрегации) в браузере. На моем ноутбуке, я могу синтезировать 13 миллионов точек в примерно 38 000 полигонов в 21 секунд (результаты могут меняться, или медленно или медленно, в зависимости от оборудования, которое вы используете).

        wasm geo agg

        19 .: Биологическая система управления разнесением для бионических существ.

        SysIMiBio

        таможенная библиотека 20. Открыть для Google Earth Engine.

        open manifest

        21. Анализ временных рядов данных из Университета Джона Хопкинса.

        covid 19

        Сеул 22. Южной Кореи анализирует другой код COVID-19.

        covid19seoul

        23. Использование блендер, чтобы сделать географический дизайн.

        geodesign with blender

        24.2020-02-26 мерзавец совместного обучения.

        2020 02 26 git collaboration

        рамки коррекции излучения 25. Рабочей для мониторинга окружающей среды.

        force

        26.Browserfs файл-браузер система, аналоговый узел файловой системы JS прикладной программный интерфейс и поддерживает хранения и извлечения файлов из различных движков.

        BrowserFS

        27.R Language Pack RMDTemplates, установить дополнительные шаблоны для RSTUDIO.

        rmd templates

        28.Git Command Простой интерфейс конечного пользователя.

        lazygit

        29. Изучение управляемых данными частичного суб-уравнение дискретизацию.

        data driven discretization 1d

        Визуализация данных книги 30. Клауса Вильке в.

        dviz.supp

        31.GRPC является современным, открытым исходным кодом, высокопроизводительный удаленный вызов процедур (RPC) рамки, которые могут работать в любом месте.

        grpc

        32. «Мгновенный обмен: Как получить ваши учебные материалы в Интернете через R Markdown онлайн.

        sharing short notice

        33. Майами Инсар программное обеспечение серия Time.

        MintPy

        34. lovefield является реляционной базой данных для веб-приложений. Запись и работа в JavaScript. Обеспечить быстрый, безопасный и простой в API, использование подобных SQL.

        lovefield

        35.R Язык Хлеб WAFLLE, квадратная круговая диаграмма (также названные печенье WAFF) может быть использована для связи неотъемлемой части классификации.

        waffle

        36. — API собраны отделки.

        bilibili API collect

        37. Учебные материалы: Как сделать резюме исследований.

        intro research compendia

        38.R Язык Хлеб RGEDI, НАСА Глобальная экосистема Dynamics Research (GEDI) Визуализация и обработка данных.

        rGEDI

        39.Godot, мульти-платформенный 2D и 3D движки.

        godot

        40. Простой в использовании блог-платформа, расширенная поддержка Jupyter ноутбука.

        fastpages

        41. Практикум ЦСТИК 2020 учебные материалы в Бангладеш.

        ctcn 2020 ee

        42. Документ обследование, обзорная статья, эксперимент и внедрение неопределенности прогноза оценки базового метода в глубокой модели обучения.

        deep learning uncertainty

        43.R Language Pack GTFS2GPS, конвертировать GTFS данных в записи, аналогичные GPS.

        gtfs2gps

        44. Элементы для «ОБЕЗЛЕСЕНИЯ переливов от сертификации масло Пальмовое Самодостаточность» анализа статей.

        rspo leakage

        1.Atakrig: такой г Упаковка для Многофакторного района к зоне и зона-точка Кригинг Предсказанию / Atakrig: Стойка для нескольких зон для зоны и региона к прогнозированию Plikile

        Метод статистического интерполяции был использован в различных областях, таких как науки об окружающей среде, экологии и hydroxation. В качестве региональной пространственной доступности данных, межобластные и межобластные интерполяции имеют огромный потенциал применения. В этом исследовании, был разработан алгоритм deconvolutionary вариант функция, основанная на Goovaerts (2008) в среде R, и область с открытым исходным кодом была разработана в области Kerkin программного пакета atakrig. В Atakrig, функция балльной шкале вариант и функции кросс-вариации могут быть автоматически отменено из пространственной области образца. Она обеспечивает общие рамки для региона к региону и от региона к точке региона и общего метод Кри Gold. Два приложения показывают, что пакет программ эффектов в прогнозировании речного стока и дистанционное зондирование оптической глубины удаление интерполяции данных. Пакет может быть развернут на различных операционных системах и компьютерных аппаратных платформ. Лицом к точке алгоритма интерполяции Krigin является очень важным направлением исследований статистики и пространственной статистики, которая обеспечивает реализацию R пакет, очень хороший способ для изучения.

        2.439-Year Simulate DAILY Разряд Dataset (1861-2299) для верховий реки Янцзы, Китай / река Янцзы 439 Имитационного день трафик Набора данных (1861-2299)

        Выход из четырех глобальных климатических моделей (GFDL-ESM2M, Hadgem2-ES, IPSL-CM5A-LR и Miroc5) используется для привода четыре гидрологические модели (HBV, почвы и оценки воды) инструменты Спецназ;. Почва и вода Всесторонняя модель, SWIM; Variable Проницаемость, VIC) для имитации ежедневных выбросов в гидрологической станции реки Янцзы Tanhe в реке Янцзы на реке Янцзы. Поскольку гидрологическая модель отличается в различных климатических условиях, модель сначала откалиброван в период с 1979 по 1990 гг. Модель была проверена в относительно влажный период с 1967 по 1978 год и относительный период засухи в 1991 году до 2002 года. Автоматической процесс калибровки несколько целей для одной переменной технологии поиска применяется для поиска наилучшего набора параметров для каждой модели в четырех гидрологических моделях. Целевые функции процесса параметризации включают ежедневные выбросы Нэша-Sudlif эффективности (NSE) и взвешенную минимальные квадратурную функцию (ВНК) экстремальных явлений выбросов, выраженные в высокой проходимости (Q10) и низком расход (Q90). Кроме того, количество имитируемыхов испаряются сравниваются с просветом evapoatum данных верхнего течения реки Янцзы. Для того чтобы оценить эффективность гидрологической модели, NSE, повышение эффективности Клинг-Gupta (KGE), отношение стандартного отклонения среднего квадрата ошибки и данные измерения (RSR) и коэффициент корреляции Пирсона (R). Четыре гидрологические модели достигают удовлетворительные результаты моделирования в процессе калибровки и поверки. В этом исследовании не было японских выбросов под вверх по течению реки Янцзы, и ни один не был изменения климата с 1861 до 2299, и в RCP2.6, RCP4 истории. В период 1861-2005 и между 2006 и 2299.5, RCP6.0 и RCP8.5 программы. Долгосрочные наборы данных о выбросах могут быть использованы в международном управлении окружающей среды и водных ресурсов, например, через кросс-секторальная модель влияния сравнения comparisal проект (ISIMIP) рамка, предоставляя ключи, объясняет , как люди возникают вызваны в поток большой степени возможна водой и тенденции потока воды в будущем. Долгосрочный масштаб метеорологических данных гидрологического моделирования, очень хороший набор данных.

        Seventy-Nine (2013) — IMDb

        • Cast & crew
        • User reviews

        IMDbPro

        • 20132013
        • RR
        • 1h 22m

        IMDb RATING

        3. 0/10

        194

        YOUR Рейтинг

        Популярность

        143 083

        51 249

        Игровые трейлер1: 00

        1 Видео

        21 ФОТОГРАФИЯ

        ActionHorrrrirmystery

        В поброшенной запусках, Докторы с секретными экспериментами на UNSUSUSICTINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGINGING. Эксперименты под кодовым названием «Лаймс» предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов мозгового… Читать всеВ заброшенной лечебнице врачи проводят секретные эксперименты над ничего не подозревающими пациентами. Эксперименты под кодовым названием «Лаймс» предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов «промывания мозгов» и манипулирования сознанием. В заброшенном приюте врачи проводят секретные эксперименты над ничего не подозревающими пациентами. Эксперименты под кодовым названием Limes предназначены для лечения эпизодов насилия с помощью новых методов промывания мозгов и манипулирования сознанием.

        IMDb RATING

        3.0/10

        194

        YOUR RATING

        POPULARITY

        143,083

        51,249

        • Director
          • Filip Maciejewicz
        • Writer
          • Filip Maciejewicz
        • Stars
          • Adrian Voo
          • Бо Леннарт Роберт Линтон
          • Афина Баумайстер
        Лучшие титры
        • Режиссер
          • Филип Мациевич
        • Writer
          • Filip Maciejewicz
        • Stars
          • Adrian Voo
          • Bo Lennart Robert Linton
          • Athena Baumeister
      5. See production, box office & company info
        • 8User reviews
        • 3Critic reviews
      6. Смотрите больше на IMDbPro

        7. Видео1

        Трейлер 1:00

        Семьдесят девять

        Фото21

        Лучшие актеры

        Адриан Воо

        • Isamu Tan

        Bo Lennart Robert Linton

        • Ash Paine
        • (as Bo Linton)

        Athena Baumeister

        • Hailey Dagger

        Velta Moore

        • Jael Regardie

        Jonathan Rosenthal

        • Даниэль Регарди

        Кристин Спрингетт

        • Дхарма Кроули

        Катинка ван Путтен

        • Лилли Борг

        Patrick Edward Wynne

        • Ethan Gabriel

        Caroline Attwood

        • Sally Sanders

        Omar Hansen

        • Antero Leary

        Michael Whitton

        • Thomas

        David Neff

        • Dr. Adam May

        Рассел Бэрри

        • Курьер

        Мэрилин Бернс

        • Ученый
        • (как Мэрилин Редферн)

        Will Leon

        • Scientist

        Jeff Moore

        • Scientist

        Lorren Holliday

        • Scientist

        Josie Peng

        • Scientist
        • (as Josephine Peng)
        • Director
          • Filip Maciejewicz
        • Сценарист
          • Филип Мацеевич
        • Весь актерский состав и съемочная группа
        • Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

        Подробнее, как это

        Охотники за сокровищами

        Карантин Л. А.

        Сюжетная линия

        Я начал играть в нее на iflix, прошло 15 минут, и актерская игра НАСТОЛЬКО плохая, я уверен, что все остальное будет отстойным, так что я не собираюсь больше тратить свое время.

        Дело не в том, что актеры неизвестны или их игра действительно плоха, я дал шанс некоторым из этих фильмов, например, Кубу, и это было неплохо. но этот — исключение, я вижу, когда фильм отстой за милю. и пятнадцать минут в этом, я просто знаю это. тот факт, что только один пользователь просмотрел этот фильм и поставил ему оценку 7.1, заставляет меня подозревать, что это ненастоящий обзор.

        фильм относится к категории ужасов… меня это не напугало, начальные сцены показывают немного действия и крови, но по ходу фильма он становится все более и более скучным и раздражающим, что мне пришлось вернуться на IMDb и написать мои 10 строк текста только для того, чтобы я мог дать ему эту оценку.

        Полезно • 14

        5

        • Кэрол-Абелла
        • 24 марта 2016 г.

        Подробная информация

        • Дата выпуска
          • июня 8, Соединенные Штаты)
        • Страна происхождения
          • Соединенные Штаты
        • Официальные сайты
          • Официальный Facebook
          • Официальный сайт
        • Язы Лос-Анджелес, Калифорния, США
      7. Производственная компания
        • Magic Elevator
      8. См. другие кредиты компании на IMDbPro

        9. Technical specs

        • Runtime

          1 hour 22 minutes

        • Color
        • Sound mix
          • Stereo
        • Aspect ratio
          • 1. 78 : 1 / (high definition)

        Related news

        Внести вклад в эту страницу

        Предложить редактирование или добавить отсутствующий контент

        Top Gap

        Под каким названием Seventy-Nine (2013) был официально выпущен в Канаде на английском языке?

        Ответ

        Еще для изучения

        Недавно просмотренные

        У вас нет недавно просмотренных страниц

        девять — определение слова семьдесят девять в The Free Dictionary

        Семьдесят девять — определение слова семьдесят девять в The Free Dictionary

        https://www.thefreedictionary.com/seventy-nine

        : Тезаурус, Википедия.

        ТезаурусАнонимыРодственные словаСинонимы Легенда:

        Перейти к новому тезаурусу

        Adj. 1. семьдесят девять — девять больше семидесяти  

        79, ilxxx

        кардинальное число — являющееся или обозначающее числовое количество, но не порядок; «количественные числа»

        Основано на WordNet 3. 0, коллекции клипартов Farlex. © 2003-2012 Принстонский университет, Farlex Inc.

        Упоминается в ?

        • 79
        • восьмидесятые
        • восьмидесятые
        • восьмидесятые
        • ilxxx
        • семидесятилетний

        Ссылки в классической литературе ?

        Теперь воздух состоит главным образом из двадцати одной части кислорода и семидесяти девяти частей азота.

        Посмотреть в контексте

        При всех этих уступках только двести семьдесят девять человек будут хранителями безопасности, интересов и счастья восьми миллионов, то есть будет только один представитель для защиты прав и объясните положение ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ ТЫСЯЧ ШЕСТЬСОТ СЕМЬДЕСЯТ членов в собрании, подверженном всей силе исполнительного влияния и распространяющем свою власть на каждый предмет законодательства в стране, дела которой в высшей степени разнообразны и сложны.

        Посмотреть в контексте

        Знаменитая мисс Джуэл из Бостона стоила всего семьдесят девять. войны, но, пожалуй, самые большие потери приходятся на детский возраст, когда огромное количество маленьких марсиан становится жертвами больших белых обезьян Марса. парню семьдесят девять и заслуживаешь чего-то для себя»

        Посмотреть в контексте

        Конечно, мое предложение звучит не очень великолепно, но оно было велико для меня, ибо при его словах волна алчности захлестнула мое сердце, и я почти почувствовал, как будто семьдесят девять верблюдов, которые были слева были ничто в сравнении.

        Посмотреть в контексте

        По мере того, как они пьянели, они становились шумными, они ссорились в своих чашках; юноша заплатил старику Баранову его же монетой, оценив его солидно; в награду за что, когда он был трезв, он был взят в обход четырех пикетов и получил семьдесят девять ударов плетью, рассчитанных с русской пунктуальностью наказания.

        Посмотреть в контексте

        Вдобавок к ним — а все они были на палубе, болтая и бормоча странными, почти эльфийскими, фальцетными голосами — двое белых, капитан Ван Хорн и его датский помощник Боркман, всего семьдесят девять душ.

        Посмотреть в контексте

        Если не восемьдесят ниже, то потому что семьдесят девять. за жемчугом так быстро, что Ким едва успевал следить за его пальцами.0009

        Посмотреть в контексте

        Триста семьдесят девять человек получили тяжелые ранения в результате применения индийской армией, военизированными формированиями и полицией пуль, гранат и снарядов со слезоточивым газом против мирных демонстрантов и скорбящих к данным.

        Индийские солдаты-мученики 39 Кашмирцы в октябре

        Семьдесят девять процентов считают, что их работодатель должен поощрять работников к пенсионному плану.

        Улучшение пенсионного обеспечения


        Браузер словарей ?

        • ▲
        • seventeenthly
        • seventeen-year locust
        • seventh
        • Seventh Avenue
        • seventh chord
        • seventh cranial nerve
        • Seventh Crusade
        • Seventh day
        • seventh grade
        • seventh heaven
        • Seventh-Day
        • Адвентисты седьмого дня
        • Адвентисты седьмого дня
        • Баптисты седьмого дня
        • Седьмого дня Dunkers
        • Седьмого иннинга
        • Семь тридцать
        • Седьмого
        • Семидесятые
        • Seventieth
        • Sexenty
        • Seventy-Eight
          • 932
        • Seventy-Eight
          • 932
        • Seventieth
        • 70004
        • Seventieth
        • 70004
        • .
        • семьдесят девять
        • семьдесят один
        • семьдесят семь
        • семьдесят шесть
        • семьдесят три
        • семьдесят два
        • семилетка
        • семилетнее яблоко
        • seven-year itch
        • Seven-year vine
        • sever
        • severability
        • severable
        • severable contract
        • several
        • severalfold
        • severalise
        • Severality
        • severalize
        • severally
        • several-seeded
        • несколькоти
        • выходное пособие
        • выходное соглашение
        • выходное пособие
        • НДПИ
        • ▼

        Полный браузер ?

        Сайт: Следовать:

        Делиться:

        Открыть / Закрыть

        Синонимов и антонимов к слову семьдесят девять

        1. семьдесят девять

        имя прилагательное.
        Существование девять более чем семьдесят.

        Антонимы

        порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

        Синонимы

        илххх кардинал

        Избранные игры

        2. семьдесят пятый

        имя прилагательное.
        порядковый номер количество из семьдесят пять в считая заказ.

        Антонимы

        кардинал Икс xcvi

        Синонимы

        75-й

        3.

        девятичленный
        имя прилагательное. Из а химический сложный имея а звенеть с девять члены.

        Антонимы

        бесчленный

        Синонимы

        член

        4.

        семьдесят семь
        имя прилагательное. Существование Семь более чем семьдесят.

        Антонимы

        порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

        Синонимы

        77 lxxvii

        5.

        семьдесят
        имя прилагательное. (ˈsɛvənti) Существование 10 более чем шестьдесят.

        Антонимы

        порядковый номер неважный квадриллионный 60-й

        Синонимы

        лхх 70

        6.

        семьдесят
        существительное. (ˈsɛvənti) кардинал количество что является в товар из 10 а также Семь.

        Антонимы

        135-й энный 7-й 15-й

        Синонимы

        большое целое число LXX

        7. девять

        имя прилагательное. (наɪн) Обозначая а количество состоящий из один более чем восемь а также один меньше чем 10.

        Антонимы

        порядковый номер интегрировать различать добавлять

        Синонимы

        икс 9

        Этимология

        девять (английский)

        девять (среднеанглийский (1100-1500))

        нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

        8. девять

        существительное. (наɪн) кардинал количество что является в сумма из восемь а также один.

        Антонимы

        остаться квадриллионный 60-й 135-й энный 7-й 15-й

        Синонимы

        эннеада IX девятка цифра Нина из Каролины

        Этимология

        девять (английский)

        девять (среднеанглийский (1100-1500))

        нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

        9. девять

        существительное. (наɪн) Один из четыре играть карты в а палуба с девять пипсы на в лицо.

        Антонимы

        умножить разделять вычесть

        Синонимы

        место

        Этимология

        девять (английский)

        девять (среднеанглийский (1100-1500))

        нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

        10. девять

        существительное. (наɪн) А команда из профессиональный бейсбол игроки кто играть в а также путешествовать вместе.

        Антонимы

        большинство меньшинство земля распространять неважный чистый

        Синонимы

        бейсбольная лига бейсбольный клуб клуб мяч клуб

        Этимология

        девять (английский)

        девять (среднеанглийский (1100-1500))

        нигон (древнеанглийский (ок. 450-1100))

        Популярные запросы 🔥

        хороший поддерживать кто то в первый раз важный камера доминирующий Выражение лица протестант перспектива взволнованный извращенец зона комфорта бабочка помощь деловые отношения существенный придурок цитрусовые все знают работа в процессе Rockstar первостепенный самосовершенствование качество жизни понять рок яблоко Работа Мероприятия представлять отражать независимая переменная конденсация фокус трава водное пространство качественный путешествовать генератор уникальный содержание опыт метод обучения подсолнух

        Seventy Nine Stickers for Sale

        Теги:

        79, семьдесят девять, номер, номер семьдесят девять, команда 79, отряд 79, игрок 79, команда семьдесят девять, отряды семьдесят девять, семья семьдесят девять, семьдесят девять лет, 79 лет, с днем ​​рождения 79, семьдесят девять с днем ​​рождения

        79 Номер семьдесят девять Наклейка

        By Under-TheTable

        От €2,20

        Теги:

        79, счастливое число, 79squad, 79player, семьдесят девять команда, 79 лет, счастливые семьдесят девять, спорт 79, спорт семьдесят девять, 79 день рождения, семьдесят девять, номер семьдесят девять

        Семьдесят девять — мое счастливое число Наклейка

        By Urosek

        From €2. 20

        Теги:

        номер, номера, спорт, спортивная команда, команда, Командами, виды спорта, День рождения, Дни рождения, год, Годы, год рождения, Цифры, Geburtsjahr, соревноваться, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбольный, футболист, Футболисты, футболисты, футболист, Футбольная игра, Футбольная игра, американский футбол, номер 79, номер семьдесят девять, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый

        Номер семьдесят девять Наклейка

        By sweetsixty

        От €1,58

        Метки:

        семьдесят девять, номер семьдесят девять, номер семьдесят девять, 79 волнистый шрифт, 79 swirl шрифт, семьдесят девять вихревых шрифтов, счастливое число, любимый номер, 79, любимый номер, номер 79, номер 79, 79 цифр, 79 хороший шрифт, 79 красивых шрифтов, 79 букв, семьдесят девять цифр, цифра семьдесят девять, семьдесят девять красивых, 79 красиво, номер, Номер красивый шрифт, Число красивых букв, Число красивых цифр, Номер красивый шрифт, Число красивых цифр, Уникальный номер 79, специальный номер 79, числовой, цифра, день рождения, 79-й день рождения, 79-й, семьдесят девятый, семьдесят девятый, трендовые

        79 Наклейка с красивым шрифтом

        Автор: трендовые

        От €1,76

        Метки:

        99, номер 79, номер 79 семьдесят девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, великобритания, великобритания, англия, 2020, спорт, игра, игрок, флаг, страна, раунд, европа

        Флаг Великобритании с номером 79 — семьдесят девять стикер

        Все Рубашки21

        От €1,44

        Метки:

        79, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер, канада, канадец, америка, север, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, красный, белый, лист

        Номер 79 на фоне канадского флага Наклейка

        By AllShirts21

        From €1. 44

        Теги:

        79, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер, мото, мотоцикл, 2020, gp, гран-при, спорт, играть, игрок, чемпион, чемпионат, 2, 3

        Номер 79 и мото — семьдесят девять Наклейка

        By AllShirts21

        От €1,44

        Теги:

        79, счастливое число 79, семьдесят девять, число 79, 79 лет, день рождения, число, мое счастливое число, спорт, День рождения 79, спортивный номер, 79-й, счастливое число, номер семьдесят девять, семьдесят девять лет, дата дня рождения, семьдесят девять лет, праздновать семьдесят девять лет, 79-летие празднования, 79 место, счастливое число семьдесят девять, 79 мне повезло номер, семьдесят девять — мое счастливое число, Памятный, Числа, футбол, Футбольный номер, Баскетбольный номер, Мемориал, семьдесят девятый, виды спорта, баскетбол, Игрок 79, номер бейсбола, мяч, хобби, страсть, 79 счастливое число, 79 лет, 79 лет, футбол 79, бейсбол, футбол

        Наклейка Seventy Nine

        79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, 79, мяч, летучие мыши, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, игрок, для игрока в крикет, крикет, играть в крикет, спорт, любовь, как

        Крикет номер 79 — семьдесят девять Наклейка с летучими мышами и мячом

        By AllShirts21

        от € 1,44

        Теги:

        79, семьдесят девять

        79 Наклейка

        от Supaavn

        от € 1,44

        Tags:

        Carter Hart, Carter

        . 303304 SE:

        .

        От 1,38 €

        Теги:

        номер, 79, баскетбол 79, футбол 79, хоккей 79, бейсбол 79, счастливое число 79, день рождения 79, вечеринка 79, спорт 79, 79, мой номер, родился 79, смешной 79 , семьдесят девять, число семьдесят девять

        79 Наклейка Sports Number Seventy Nine

        By HelloFromAja

        От 2,20 €

        Теги:

        carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, gritty philly, philadelphia, flyers, philady, philaders, philady , новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, летчики с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер

        ya fuckin nerd // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

        By devoidofcolor

        From €1. 57

        Метки:

        день рождения, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый, 0039, смешной, черный, белый, прозрачный 9030 Наклейка на 79-й день рождения

        By KashCapital

        От €1,32

        Метки:

        в 1941, мальчики 79, 79 лет, дамы 79, смешные семьдесят девять, смешная вечеринка по случаю дня рождения, номер 79, сообщение о 79-м дне рождения, 79-й британский смешной, 79-й год, 79-й год потрясающий, вечеринка семьдесят девять, праздновать семьдесят девять, 79-я леди

        79th Funny and Happy Birthday Семьдесят девять стикеров Немецкий, 2021, спорт, играть, Игрок, флаг, страна, круглый, север, желтый, красный, черный, алеманья

        Номер 79 на фоне флага Германии Наклейка

        By AllShirts21

        От €1,44

        Теги:

        79, 7, 9, цифры, семьдесят девять, семь, девять, числа, день рождения, юбилей

        79 Наклейка

        By ART22

        От €1,32

        Метки:

        софтбол, номер 79, номер семьдесят девять, семьдесят девять, 79, мяч, летучие мыши, № 79, № семьдесят девять, номер, канада, 2020, сша, Америка, бейсбол, игрок в софтбол, ребенок в софтбол, мама в софтбол, папа в софтбол, для игрока в софтбол, софтбол, играть в софтбол

        Софтбол номер 79 — семьдесят девять с битами и мячом Наклейка

        By AllShirts21

        От 1,44 €

        Теги:

        79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, № 79, нет семьдесят девять, нет, номер , великобритания, европа, великобритания, англия, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, красный, белый, синий, стартует

        Номер 79 на фоне флага Великобритании Наклейка

        By AllShirts21

        From €1,44

        Теги:

        мода 60, 60, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония

        60-е 70-е Роза Любовь Наклейка

        By AnisettedelSOL

        От €1,76

        79, диск, палочки, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, канада, 2019, 2020, сша, америка, хоккей, диск-хоккей, выстрел, хоккеист, ребенок-хоккеист, мама-хоккеист, папа-хоккеист, для хоккеиста, хоккей, лед, клюшка

        Хоккей номер 79 — семьдесят девять с клюшками и диском Наклейка

        By AllShirts21

        От €1,44

        Теги:

        79, значок, номер, семьдесят девять, фон, бизнес, маркетинг, семьдесят, рынок, белый, новый, знак, шаблон, баннер, специальный, магазин, распродажа, семьдесят девять процентов, предложение, скидка, продвижение, день рождения, процент, черный, процент, 79-й, годовщина, специальное предложение, квадрат, символ, изолированный, реклама, праздник, год, ежедневно, повестка дня, день семьдесят девятый, дата, время, организатор , счастливый, сезон, неделя, напоминание

        СЕМЬДЕСЯТ ДЕВЯТЬ Наклейка

        By PEAKS apparel

        От 1,32 €

        Теги:

        номер, один, девять, семьдесят, восемь, семь, vectshirt

        Номер один девять семьдесят восемь Наклейка

        By Vectshirt-shop 9

        8 From9 80009

        € Теги:

        бейсбол, мяч номер 79, 79, мяч, номер 79, бейсбол 79, бейсболист, фанат бейсбола, бейсбол, номер бейсбола, номера, спортивный бейсбол, номер бейсбольного спорта, 79 спорт, номер 79 спорт, семьдесят девять бейсбол , черный 79, номер семьдесят девять, номер 79, спорт 79, спорт 79, № 79, № 79, семьдесят девять

        Бейсбольный мяч № 79, семьдесят девять Наклейка

        By TheCultStuff

        From €2,20

        Метки:

        79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, сша, америка, соединенные штаты америки, 2021, спорт, играть, игрок, флаг, страна, круглый, север, красный, белый, звезды , нас, старты, синий

        Номер 79 на фоне флага США Наклейка

        By AllShirts21

        От €1,44

        Метки:

        79, номер 79, номер семь девять, семьдесят девять, нет 79, нет семьдесят девять, нет, номер, аргентина, америка, юг, латина, 2021, спорт, игра, игрок, флаг, страна, круглый, север, солнце, синий, белый, испанский, латиноамериканец, латиноамериканец, латиноамериканец, аргентинская республика

        Номер 79 на фоне флага Аргентины Наклейка

        Теги:

        искусственное золото, искусственное золото, номер, семьдесят девять лет, 79лет, 79-й день рождения, семьдесят девятый день рождения, с днем ​​​​рождения, с 79-м днем ​​​​рождения, с семьдесят девятым днем ​​​​рождения, 79-й, семьдесят девятый, 79, семьдесят девять, день рождения 79, день рождения семьдесят девять, номер внешнего вида имитации золота, имитация золота, текст сценария, элегантный день рождения, черный фон, поздравление с днем ​​​​рождения, сообщение о дне рождения, подтверждение дня рождения, изысканный, причудливый, тема дня рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения, причудливое поздравление с днем ​​​​рождения, роскошный, роскошное поздравление с днем ​​​​рождения, простой, черный фон, черный, день рождения

        Элегантный номер с эффектом искусственного золота, «С 79-летием!» (Черный фон) Наклейка

        By aponx

        From €1. 16

        Теги:

        79, мороженое, семьдесят девять, число, 3d, шоколад, шрифт для мороженого, мороженое 3d, 79 день рождения, число 79, цифры, буквы, 3d буквы, 3d цифры, лето, каникулы, 79 девушка, 79 мальчик, с днем ​​рождения, веселый день рождения, вечеринка, отпуск, лето 79, семьдесят девять смешных, семьдесят девять вечеринок, 3d еда, 3d алфавит

        79 Мороженое Семьдесят Девять номер 3d шоколадная наклейка

        от Hellofromaja

        от € 2,20

        Теги:

        год, день рождения, ретро, ​​1970 -е, девятнадцать, семьдесят, девять, 1979

        девятнадцать, семьдесят девять — отличный наклейку

        на Dougierules,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        ,

        8.168.

        Теги:

        софтбол, мяч номер 79, семьдесят девять, 79, мяч, номер 79, софтбол 79, игрок в софтбол, фанат софтбола, софтбол, номер софтбола, номера, спортивный софтбол, номер спорта софтбол, 79 спорт, номер 79 спорт , семьдесят девять софтбол, черный 79, номер семьдесят девять, номер 79, спорт 79, спорт 79, номер 79, софтбол

        Мяч для софтбола номер 79, семьдесят девять год козы, год, годы, год козы, год козы, мой год, год моего рождения, год рождения, день рождения, рождение, рожденный, рожденный, рожденный в году, коза, козлы, животное, животные, рог , рога, девятнадцать семьдесят девять, девятнадцать, семьдесят девять, семьдесят, один девять семь, один, девять, семь, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп, числа, типография

        1979 Год Козы Наклейка

        По lordmafia

        От 2,20 €

        Теги:

        79th, число 79, семьдесят девять, число семьдесят девятое, математика, спорт, день рождения, даты рождения, числовая последовательность, год рождения, годы , цифры

        Наклейка с номером 79

        Автор: HappinessWorld

        От 2,64 €

        Теги:

        original, social, DistortionPlaying, Live, начиная с девятнадцати, семидесяти, девяти

        The Original Social Distortion Наклейка

        By alexiacece

        От €3,30

        Теги:

        семьдесят девять, спорт, номер, трико, номера, колледж, спортивный, номер 79

        79 джерси джерси номер 79 Джерси Спортивная наклейка

        From €2,10

        Теги:

        искусственное золото, раскраска из искусственного золота, номер из искусственного золота, номер внешнего вида из искусственного золота, семьдесят девять лет, 79 лет, 79-й день рождения, семьдесят девятый день рождения, с днем ​​​​рождения, счастливый 79день рождения, счастливый семьдесят девятый день рождения, элегантный 79-й день рождения, утонченный семьдесят девятый день рождения, роскошный семьдесят девятый день рождения, 79-й, семьдесят девятый, 79, семьдесят девять, день рождения 79, день рождения семьдесят девять, имитация золотого внешнего вида, имитация золота, имитация золотой окраски шаблон, текст сценария, элегантный день рождения, зеленый фон, поздравление с днем ​​​​рождения, сообщение о дне рождения, подтверждение дня рождения, изощренный, необычный, тема дня рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения, необычное поздравление с днем ​​​​рождения, роскошный, роскошное поздравление с днем ​​​​рождения, просто, зеленый фон, зеленый, день рождения , элегантное поздравление с днем ​​рождения, изысканное поздравление с днем ​​​​рождения

        Элегантный номер с эффектом искусственного золота, «С 79-летием!» (Зеленый фон) Наклейка

        Автор: aponx

        От 1,16 €

        Теги:

        carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, песчаный, вратарь, n hl, rookie , хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия летчики, листовка, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, я чертов ботаник, трэвис конекни, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадец, оскар, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

        съешь бутон // travis konecny ​​// philadelphia flyers флаер, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, флаер песчаный, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаер, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак действительно убил этого парня, Трэвис Конечны, ТК, 19 лет, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехере, им 200

        я на 200% // нолан патрик // филадельфия флайерс Наклейка

        армейский камуфляж, номер солдат, армия 79, солдат 79, камуфляж, номер камуфляжа, трендовый солдат, счастливый солдат, счастливое число, номер 79, день рождения солдата, день рождения армии, вечеринка солдат, 79 день рождения, камуфляж 79, камуфляж, номер семьдесят девять, семьдесят девятая армия, солдат семьдесят девять, солдатский папа, 79отряд, команда 79, отряд страйкбола, пейнтбол, годовщина солдат, армейская команда, день рождения ветерана, номер ветерана, ветеран 79, армейская мода, подразделение 79

        Армейский камуфляж номер семьдесят девять Ветеран Счастливый номер 79 Наклейка

        Автор Urosek

        От €2. 20

        Теги:

        79, патриот, день рождения, вечеринка, вечеринка 79, девочки 79, мальчики 79, с днем ​​рождения 79, праздновать, праздновать, колледж, университет, спорт, болельщики, игрок, тренер, 79 день рождения, джерс старый , сша, номер, семьдесят девять, америка, номер семьдесят девять, номер 79

        79 Патриот США Номер семьдесят девять Америка Наклейка

        От el-patron

        От 2,20 €

        Метки:

        carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philadelphia, philly, flyers флаер, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, флаер песчаный, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, микрофон вверх, ботаник, ты гребаный ботаник, трэвис конечный , tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадец, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

        karma // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

        Автор: devoidofcolor

        От 1,57 €

        Теги:

        79-й день рождения женщины, 79-й, день рождения, лет, семьдесят девять, семьдесят девятый, бабушка, милая, бабушка, милая, бабушка мама и сказочная, леди, женщина, женщины, счастливая, королева, великолепная, поворотная

        Женщины 79 лет и сказочные 79-й день рождения графический стикер

        By Grabitees

        From €2. 76

        Теги:

        79-й день рождения женщины, 79й, день рождения, годы, семьдесят девять, семьдесят девятый, милый, бабушка, бабушка, мама и сказочный, леди, женщина, женщины, счастливый, королева, великолепный, поворотный

        Женщины 79 лет и сказочные 79-й день рождения дизайн стикер

        От Grabitees

        От €2.76

        Теги:

        число, 79, зеленый оранжевый, счастливое число, день рождения, вечеринка, празднование 79, лет, спортивный номер, номера, баскетбол 79, футбол 79, белый, зеленый, майами, колледж майами, 79, семьдесят девять, спорт, дети, бейсбол 79, семьдесят девять

        Джерси 79 Номер. Номер семьдесят девять Straight From Miami Sticker

        By Urosek

        От €2,20

        Теги:

        мужу 79 лет, ему, лет, 79, семьдесят девять, семьдесят девятый, день рождения, счастливый, от жены, муж, мужчины, вечеринка, поворот, король, идеи, пара, мужчина, празднование

        Моему мужу 79 лет, и он все еще горячий 79-й день рождения Подарок для него graphic Sticker

        By Grabitees

        От €2,76

        Теги:

        жена 79-й день рождения, для нее, для него, лет, 79-й, семьдесят девять, семьдесят девятый, день рождения, счастливый, от мужа, жены, женщины, вечеринка, поворот, жена, королева, пара, смешной

        Моя жена 79 And Still Hot 79th Birthday Gift For Her design Наклейка

        От Grabitees

        От 2,76 €

        Теги:

        79классика, семьдесят девять, семь, девять, черный, белый, винтаж, ретро, ​​классика, коллекционер, цифры, модный , 79c20210

          , творческий, Размножаться, procreateart, Дизайн футболки, Изготовление гравюр, Магазин наклеек, Графика, Художественная печать, Скриншот, redbubbleshop, Fashionsketch

          Наклейка Seventy Nine Classic

          By 79Classic

          От €1,32

          Теги:

          carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelittyphia flyers нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, орлы, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, пэтти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак фактически убил этого парня, трэвис конечны, tk, 19, девятнадцать , нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбихер, отличный сейв картера харта

          Большое спасение от Картера Харта // Филадельфия Флайерз Наклейка

          Автор: devoidofcolor

          От 1,60 €

          Теги:

          мизинец, 79, номер, семьдесят девять, девочки, девочки 79, розовый, розовый спорт, бейсбол 79, баскетбол 79, футбол 79, волейбол, детский мизинец, детский номер, счастливое число, день рождения, мой номер, мой 79, семьдесят девять, 79 роза, роза, золото, девушки из колледжа, колледж 79

          Пинки 79, номер семьдесят девять Девочки Наклейка из джерси

          0009

          From €2,32

          Теги:

          79, семьдесят девять, 79 лет, день рождения, для, чисел, баскетбол, 79 лет, лучший, футбол, спортивный номер

          79 Номер Баскетбол Семьдесят девять Футбольная наклейка

          By Kiwwwi

          От 2,42 €

          Теги:

          carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, песчаный, вратарь, новичок, нхл, хоккей, национальная хоккейная лига, листовки с песком, нолан патрик, иглз, картер харт филадельфия флаерз, флаер, клод жиру, пэтти, серия стадионов, микрофон вверх, я видел, как призрак на самом деле убил этого парня, трэвис конечный, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер

          я видел, как призрак действительно убил этого парня // нолан патрик // филадельфия летчики Наклейка

          мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинальный, милый, сила, женщина, девушка, молодой, красота, собака, кот, сын, собака, кот сын

          60-е 70-е светло-голубой стикер любви

          By AnisettedelSOL

          От €1,76

          Теги:

          мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинал, мило, сила, женщина, девушка, молодая, красота, собака, кот, сын собака, кот сын

          60-е 70-е Love Sticker

          By AnisettedelSOL

          От €1. 76

          Теги:

          номер, темно-синий, серый, красный, 79, баскетбол 79, футбол 79, хоккей 79, бейсбол 79, Массачусетс 79, счастливое число 79, день рождения 79, вечеринка 79, виды спорта 79, 79, мой номер, американский футбол, родился 79, игрок 79, вечеринка массачусетс, смешной 79, семьдесят девять, номер семьдесят девять, массачусетс, спортивная вечеринка

          79 темно-серый Наклейка Red Sports Number Seventy Nine

          By HelloFromAja

          От 2,20 €

          Теги:

          мода 60, шестьдесят, 1960, семьдесят, семидесятые, тысяча девятьсот семьдесят, 1970, гармония, зеленый, цвет, преимущество, оригинал , милый, сила, женщина, девушка, молодая, красота, собака, кот, сын собака, кот сын

          60s 70s blue Love Sticker

          By AnisettedelSOL

          От €1,76

          Метки:

          веха 79 лет, 79 лет, день рождения, юбилей, шутка, 79, юмор, веха, достижение, 79 лет, папа, папа, папа мужчина, праздник, день рождения, семьдесят девять, идея

          Milestone 79th Birthday — Gag Bday Joke Идея подарка: 78+1 Наклейка

          By trendo

          From €1. 76

          Теги:

          винтаж, 1942, день рождения, 80-летие, день рождения для женщин, возраст, семьдесят девять лет, 19 лет рождения42, 80 лет

          Подарки на 80 лет Женщинам 80 лет Невероятно с 1942 Наклейка

          Автор CreativeGift

          От 2,32 €

          Метки:

          семьдесят девять свадьба, свадьба, 79-я свадьба, семидесятая годовщина свадьбы, 79-я годовщина свадьбы годовщина, 79 годовщина свадьбы, пара, пара, пара, совпадение, соответствие, соответствие, пара, набор, романтик, мама, жена, папа, муж, годовщина, женат, молодожены, брак, 79 лет, семьдесят девять лет, 79

          From €1.49

          Tags:

          день рождения, 20207, девять, семьдесят карантин, изоляция, рождение, день, торт, свечи, вечеринка, covid, корона, блестки

          Семьдесят девять в карантине Наклейка

          By Teesgeek

          От €1,32

          Теги:

          78-е, семьдесят восемь, прикол, с днем ​​рождения , 78 лет, прикольные 78, поздравления с днем ​​рождения, пожелания 78, 19 рожденных42, 1942 смешной, 1942 день рождения, сделано в 1942 году, мальчики 78, 78 лет, 78 лет круто, вечеринка семьдесят восемь, праздновать семьдесят восемь, 78 леди, дамы 78, смешно семьдесят восемь, веселая вечеринка по случаю дня рождения, номер 78, сообщение на 78 день рождения , 78th uk funny, 78th years old

          78th Funny and Happy Birthday Seventy nine Sticker

          By elhefe

          From €2. 32

          Теги:

          номер семьдесят девять, 79 лет, 79 золото черный семьдесят пять, волна текстовый эффект , американский, абстрактный, 70-е, нобия, нумерология, числовой, 79волны линии число, абстрактный дизайн, счастливые числа, день рождения 79, специальный номер 79

          Номер 79 Maglietta Эффект золотой волны Наклейка

          By Nobiya

          From €2.10

          Tags:

          мне не 79 мне 18 с 61 года опыт, мне не 79, мне не 79, я не, день рождения, 79, 79 день рождения, 79 день рождения, 79 возраст, семьдесят девять лет, семьдесят девять лет, офигенно с тех пор, папа, мама, день рождения папы, день рождения мамы, старый, винтажное ретро, ​​огорченный, смешной день рождения, смешной день рождения, годы, многолетний опыт, мне 18

          Мне не 79, мне 18, стаж 61 год. Наклейка

          By Graphicnology ★★★★★

          От 2,76 €

          Теги:

          смешно 78-й день рождения, мне исполнилось 78, 78, семьдесят восемь, исполнилось семьдесят восемь вечеринка по случаю дня рождения, семьдесят восьмой день рождения, с днем ​​​​рождения, исполнилось 78 лет, тридцать девять лет, круто, старение, чувство молодости, мне дважды исполнилось 39, день рождения 78, день рождения

          Мне дважды исполнилось 78 Наклейка

          By StarWheels

          От 1,44 €

          Метки:

          79, семьдесят девять, 79 лет, 79 лет, день рождения, вечеринка, повод, с днем ​​​​рождения, вечеринка по случаю дня рождения, день рождения, торжество, вечеринка, день рождения

          79 & Fabulous Sticker

          By BirthdayBash

          От 1,32 €

          Теги:

          смешно 78 лет, мне исполнилось 78, 78 лет, семьдесят восемь, день рождения, семьдесят восьмой день рождения, с днем ​​​​рождения, исполнилось 78, тридцать девять лет, круто, старение, чувствую себя молодым, мне дважды исполнилось 39, 78 день рождения, день рождения

          Мне исполнилось 39 Дважды Наклейка на 78-й День Рождения , День рождения, Дни рождения, год, Годы, год рождения, Цифры, Geburtsjahr, соревноваться, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбольный, футболист, футболисты, футболисты, футболист, Футбольная игра, американский футбол, типография, Графический дизайн, гонки, мотоцикл, мятежник, бунт, череп, гоночный номер, совершенство, стандарты

          Номер 79 Наклейка

          By t-shirtella

          От 1,32 €

          Теги:

          номер, цифры, количество, семьдесят девять, семьдесят девять, 79, день рождения, юбилей, уникальный, год, годы, игрок, форма, уровень , возраст, год рождения, счастливое число

          Число семьдесят девять (79) Наклейка

          флаг, американский сувенир, поездка в сша, семьдесят девять лет, прикол 79, ретро 79, американская команда, команда 79, отряд 79, сильный американец, американский номер, счастливое число, 79 лет, 79, тренд 79, семьдесят девять, лучший номер, американский флаг, счастливчик, американские цвета, 79 день рождения

          79 Американское счастливое число семьдесят девять Наклейка с флагом США

          By Urosek

          От 2,20 €

          Теги:

          1976, год дракона, 1976 год дракона, год, годы, год рождения, рождение, день рождения, родился, родился в, год рождения, дракон, драконы, летающий дракон, летающие драконы, мифический, мифическое животное, мифические животные, тысяча девятьсот семьдесят шесть, девятнадцать, семьдесят, один девять семь шесть, один, девять, семь, шесть, числа, мои числа, мои год, типография, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп

          1976 Год Дракона Наклейка

          От lordmafia

          От 2,20 €

          Теги:

          79, число 79, число, числа, 79 лет, 79 лет, счастливый, день рождения, родился в, эст. , с 1979 г. , радужный номер, ретро, ​​ретро номер, ретро 79, семьдесят девять, футбольный номер, баскетбольный номер, семьдесят девять номер, спортивный номер, счастливое число 79, дедушка 79 лет, бабушка 79 лет, мама 79 лет, футбол 79, футбол 79, день рождения 79, счастливчик 79

          79 номер Наклейка

          By HanakiArt

          От €2.54

          Метки:

          1977 год змеи, 1977, год, год, год змеи, год змеи, змея, родился, год рождения, год рождения, рождение, годы, день рождения, родился в, год рождения, тысяча девятьсот семьдесят семь, девятнадцать, семьдесят семь, семьдесят, семь, один, девять, животное, животные, змеи, китайский, китайский зодиак, зодиак, китайский гороскоп, гороскоп, мой год, типография

          Наклейка «1977 год змеи»

          Автор: lordmafia

          От 2,20 €

          Теги:

          номер 79 белый, семьдесят девять, номер семьдесят девять, 79, номер 79, цифры, спорт, спортивная команда, команда, команды, спорт, день рождения, дни рождения, год, 79 лет, год рождения, цифры, geburtsjahr, конкурировать, соревнование, командная игра, командные игры, футбол, футбол, футболист, футболисты, футболисты, футболист, футбольная игра, американский футбол, типография, графический дизайн, гонки, мотоцикл, бунтарь, бунт, череп, гоночный номер, 5050

          Номер 79 Белая наклейка

          By t-shirtella

          От 1,32 €

          Теги:

          1978 год лошади, 1978 год лошади, 1978, год лошади, год лошади, лошадь, лошади, животное, животные, год рождения , родился, родился, год рождения, мой год рождения, мой год, рождение, день рождения, девятнадцать семьдесят восемь, девятнадцать, семьдесят, восемь, один девять семь восемь, один, девять, семь, числа, типографика, китайский, китайский зодиак, китайский гороскоп, зодиак, гороскоп

          1978 Год Лошади Наклейка

          От lordmafia

          От 2,20 €

          Теги:

          семьдесят девять, число, числа, числа, день рождения, мужчины и женщины, мальчик, девочка, мама и папа, унисекс для взрослых, топы и

          семьдесят девять классический дизайн, числа на день рождения Наклейка

          By beautyshop10

          От €1,27

          Теги:

          1979 винтажная этикетка, 1979, 79, 70-е, 1970-е, винтаж, год рождения, день рождения, празднование дня рождения, день рождения, ностальгия, ретро, лп изображения

          1979 Vintage Label Sticker

          By LP-Images

          От €1,60

          Теги:

          1979, великий год, винтаж, 1979, 40, 40 лет, 40 лет, 40 лет, для 40 лет , over the hill

          1979 Vintage 40 Year Old Sticker

          By Tricart

          From €1,32

          Теги:

          геометрические, графические, цифры, классика, колледж, футбол, бейсбол, баскетбол, 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят , восемьдесят, девяносто, алфавит, письмо, шрифт, персонаж, тип, шрифт, писать, шаблон, символ, лицо

          семьдесят семь Наклейка

          Автор: designeventy

          От 1,41 €

          Теги:

          самые продаваемые, недавние, трендовые, 1939, 79, семьдесят девять, 39, 30-е, тридцатые, семьдесят девятое, день рождения, день рождения, ретро, ​​винтаж , старая школа, рожденный, год постройки, январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь мама, мама, папа, папа, мама идея, рождество, сделано в

          Винтаж Наклейка на день рождения РЕТРО 1939

          от Mmastert

          От €3,30

          Теги:

          самые продаваемые, недавние, трендовые, 1939, 79, семьдесят девять, 39, 30-е годы, тридцатые годы, семьдесят девятое, день рождения, день рождения, ретро, ​​винтаж, старая школа, родился, год постройки, январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь мама, мама, папа, папа, мама идея, рождество, сделано в

          Винтаж РЕТРО 1939 Наклейка на день рождения

          By Mmastert

          От 3,30 €

          Теги:

          Мне не 79мне 79 с 79-летним стажем, мне не 79, мне не 79 я не, день рождения, 79, 79, 79 день рождения, 79 день рождения, 79 лет, семьдесят девять лет, семьдесят девять лет, круто с тех пор, папа, мама , день рождения папы, день рождения мамы, старый, винтажное ретро, ​​забавный день рождения, забавный день рождения, годы, годы опыта, мне 18

          Мне не 79, мне 18 со стажем 61 год.

          От 2,76 €

          Теги:

          винтаж 1979, 1979, 70-е, семидесятые, 1979, год рождения, день рождения, родился в семидесятых, празднование дня рождения, праздновать, день рождения, ностальгический, ретро, ​​lp изображения, световые изображения

          Vintage 1979 Sticker

          By LP-Images

          From €1.60

          Теги:

          1979, 79, семьдесят девять, возраст, день рождения, винтаж, ретро, ​​классика, год рождения, дедушка, папы, день отца, старый, гоночный номер, автомобили, немецкий флаг, германия, автоспорт, велосипед

          Vintage Classic Retro German 79 Car Racing Number Sticker

          , футбол, бейсбол, баскетбол, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ничего, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто, алфавит, письмо, шрифт, персонаж , тип, шрифт, написать, узор, символ, лицо

          девять Наклейка

          Автор: designeventy

          От €1,41

          Теги:

          ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский арт, ярославский, jaroslaw jasnikowski art work, работы автора Искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

          Одна тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка с изображением

          By Wonderdesigne

          От 2,42 €

          Теги:

          1979, 79, семьдесят девять, день рождения, день рождения, синий, родился, кремовый, папа, для нее, для него , мама, старый, pavnud, красный, семидесятые, тренд, винтаж, год, желтый, bd, ретро, ​​мужчина, женщина

          Винтаж 1979 Наклейка

          By Pavnud

          От €1,54

          Теги:

          ярослав, ярослав ясниковский , искусство ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, работа ярослава ясниковского, 1976 искусство, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

          Одна тысяча девятьсот семьдесят шесть стикеров

          мило, тату, детский сад, нумерология, год, дата, день рождения, рождение легенд, ограниченное издание, эпическое с тех пор, классное, винтажное, числовое, дни, 79, семьдесят девять

          79 Наклейка

          By Teyzshopp

          От € 3,86

          Теги:

          ярослав, ярослав ясниковский, искусство ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство ф, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведение искусства

          одна тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка Artwork

          By Wonderdesigne

          От 2,42 €

          Теги:

          69, золотой, номер, семьдесят, вечеринка 69, день рождения, празднование, празднование, спорт, родился, школа, золото, числа, счастливое число, лучший номер, юбилей, 1969, сделано в, родился 69, 69 девушки, команда 69, игрок 69, с днем ​​рождения 69, золото 69

          69 Золотое число шестьдесят девять Наклейка

          , jaroslaw jasnikowski, jaroslaw jasnikowski art, произведение искусства ярослава ясниковского, произведение искусства ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

          одна тысяча девятьсот семьдесят шесть стикер

          0009

          From €2. 42

          Теги:

          ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский искусство, ярослав ясниковский произведение искусства, произведение ярослава ясниковского, искусство 1976 года, произведение искусства 1976 года, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведение искусства

          9000 Наклейка Nine Hundred Seventy-Six Artwork

          By Wonderdesigne

          От 2,42 €

          Теги:

          с днем ​​рождения, праздновать 79, элегантный, золотой номер 79, 79 лет, винтаж, 79, семьдесят девять, день рождения бабушки, ретро , идеальный день рождения, число 79, вечеринка, 79th

          Золотой номер 79 Семьдесят девять Наклейка

          By Kiwwwi

          От €2,42

          Теги:

          ярослав, ярослав ясниковский, ярослав ясниковский искусство, ярослав7 работа, ярослав ясниковский, art19 jasnikosski art, jaroslaw7 jasnikosski art, jaroslaw7 jasnikosski art 1976 произведение искусства, искусство f, одна тысяча девятьсот семьдесят шесть произведений искусства

          Тысяча девятьсот семьдесят шесть Наклейка с изображением

          Автор Wonderdesigne

          От €2,42

          Теги:

          около, 1979, тысяча девятьсот семьдесят девять, девятнадцать семидесятых, в возрасте, пожилой, хиппи, хиппи, мир, любовь, бабушка и дедушка, бабушка и дедушка, прадедушка, бабушка, дедушка, прабабушка, прадедушка, гиги, gg, золотой век, mop_tees

          Около 1979 г. Seventies Nineteen Seventy-Nine Sticker

          By MOP-tees

          От 1,36 €

          Теги:

          79 лет, забавная идея, день рождения бабушки и дедушки, сделано в 1942 году, 1942 года рождения, 79 лет, день рождения, для мужчин, для женщин , семьдесят девять лет со дня рождения, 79

          79th Birthday Funny Gift Idea Sticker

          By danaJG

          От €1,31

          Метки:

          79, семьдесят девять, семидесятые, 70-е, винтаж, ретро, ​​классика, дедушка, папы, день отца, старые, гонки номер, гоночный, автомобили, быстрый, скорость, гоночный автомобиль, гоночный номер, дверь, капот, Daytona, авто, деревенский

          Vintage Classic Retro 79 Racing Number Sticker

          By KevBrettArt

          От €2,54

          Метки:

          carter Харт, Картер, Харт, 79, семьдесят девять, хартси, Филадельфия, Филадельфия, листовки, Филадельфия Флайерз, песчаный, вратарь, новичок, НХЛ, хоккей, национальная хоккейная лига, Флаеры с песком, Нолан Патрик, Орлы, Картер Харт Филадельфия Флайерз, листовка, Клод Жиру, Пэтти, стадион серия, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, клен leafes, canada, canadian, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

          be a flyer // philadelphia flyers Наклейка

          By devoidofcolor

          From €1. 57

          Tags:

          спорт, номер, 79, семьдесят девять, команда, футбол, баскетбол, бейсбол, хоккей, кливленд, цинциннати, денвер, колледж, университет, счастливое число, день рождения 79, вечеринка 79, празднование 79, оранжевый, 79, игрок 79, тренер

          Спортивный номер 79 Джерси семьдесят девять Оранжевая наклейка

          79, семьдесят девять, винтаж, ретро, ​​семидесятые, 70-е, классика, дедушка, папы, день отца, старый, гоночный номер, гонки, автомобили, быстро, скорость, гоночный автомобиль, номер гонки, дверь, капот, Daytona, авто, деревенский, Circle

          Vintage Classic Circle Retro 79 Car Racing Number Sticker

          By KevBrettArt

          От 2,54 €

          Теги:

          в огне, пламя, автоспорт, гонки, автомобиль, скорость, f1, винтаж, ретро, ​​цифры, год рождения , ралли, спорт, мотокросс, 1979, 79, семьдесят девять, слишком жарко, класс, дайтона, авто, деревенский, bmx, bmxing, байк 9Наклейка On Fire Racing Number 79 , 6, 7, 8, 9, ноль, ноль, ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, одиннадцать, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто , алфавит, буква, шрифт, персонаж, тип, шрифт, запись, шаблон, символ, лицо

          девяносто девять Наклейка

          By designeventy

          От €1,41

          Теги:

          79, семьдесят девять, семидесятые, 70-е, винтаж, ретро, ​​классика, дедушка, папы, день отца, старые, гоночный номер, гонки, автомобили, быстрые, скорость, гонки автомобиль, гоночный номер, дверь, капот, автоспорт, ралли, дайтона, авто, деревенский

          Vintage Classic Retro 79 Racing Number New Sticker

          By KevBrettArt

          From €2. 54

          спорт, 79, баскетбол 79, футбол 79, бейсбол 79, колледж, университет, счастливое число, тренер, игрок 79, команда, день рождения, вечеринка 79, тренд 79, фиолетовый номер, фиолетовый 79

          Seventy-Nine Purple Jersey Number Sports 79 Наклейка

          By HelloFromAja

          От € 2.20

          Теги:

          79, семь девять, семьдесят девять, день рождения 79, вечеринка 79, число 79, футбольный номер, число, самое большое число, день рождения, счастливое число, дети, лучший, лучший номер, кирпичи, кирпичи дети, 79 сын, 79 детей, 79 ребенок, 79 дочь, детский номер, детский номер 79, кирпичи 79, забавные 79

          Детский кубик счастливый номер семь-девять семьдесят девять 79 Наклейка

          By TwoLittleStore

          От €2,42

          Теги:

          им больше, чем, 79, лет, 79 лет, день рождения, юбилей , возраст, празднование, праздник, повышение уровня, конфетти, вечеринка, сувениры, сувениры, торт, свечи, окропляет, искриться, счастливый, семьдесят, девять, девятый, я, больше, чем

          Мне больше, чем 79 Наклейка

          От odfromcg

          От 1,66 €

          Теги:

          carter hart, carter, hart, 79, семьдесят девять, hartsy, philadelphia, philly, flyers, philadelphia flyers, gritty, вратарь, новобранец, nhl, хоккей, национальная хоккейная лига, flyers gritty, nolan patrick, eagles, carter hart philadelphia флаеры, флаер, клод жиру, патти, серия стадионов, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбихер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, кленовые листья, канада, канадский, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

          лети или умри // philadelphia flyers Наклейка

          By devoidofcolor

          From €1. 57

          Теги:

          79, золотой, номер, семьдесят девять, 79 вечеринка, день рождения, празднование, празднование, спорт, рождение, школа, золото , числа, счастливое число, лучший номер, юбилей, 1979, сделано в, 79 рожденных, 79 девочек, команда 79, игрок 79

          79 Золотое число семьдесят девять Наклейка

          :

          Картер Харт, Картер, Харт, 79, семьдесят девять, хартси, Филадельфия, Филадельфия, листовки, Филадельфия Флайерз, песчаный, вратарь, новичок, НХЛ, хоккей, национальная хоккейная лига, Флаеры с песком, Нолан Патрик, Орлы, Картер Харт Филадельфия Флайерз, листовка, Клод Жиру, Пэтти, стадион серия, micd up, nerd, ya fuckin nerd, travis konecny, tk, 19, девятнадцать, нолан, патрик, питтсбург, пингвины, питтсбург пингвины, призрак, шейн гостисбехер, лети или умри, день СМИ, торонто, торонто кленовые листья, клен leafes, canada, canadian, oskar, oskar lindblom, lindblom, 23, двадцать три

          ya nerd // travis konecny ​​// philadelphia flyers Наклейка

          Автор: devoidofcolor

          От €1,57

          Метки:

          79, семьдесят девять, винтаж, ретро, ​​семидесятые, 70-е, классика, дедушка, папы, день отца старый, гоночный номер, гонки, автомобили, быстро, скорость, гоночный автомобиль, номер гонки, спорт, 1979, Daytona, авто, деревенский, bmx, bmxing, велосипед

          Classic Retro 79 Vintage Car Racing Number Наклейка в штучной упаковке

          Автор KevBrettArt

          От 2,54 €

          Seventy-Nine

          Количество игроков: 6
          Тип домино: Double 6
          Тип игры: Trump & Trick Game
          Набор домино: Два набора двойных домино-6.
          Две команды по 3 игрока в каждой.

          Цель игры: Стать первой командой, набравшей 250 очков.
          В начале игры тяните жребий, чтобы определить, кто из игроков тасует карты первым. Перетасуйте плитки.

          Количество выпавших костяшек домино: Каждый игрок вытягивает по 9 костяшек. В результате на кладбище остается 2 плитки.
          Человек слева от тасующего имеет право делать ставки первым.
          Минимальная ставка 50.
          Есть 9 трюков, и каждый трюк приносит одно очко.
          Всего в каждой раздаче нужно выиграть 79 очков: 70 (35 очков в сете дабл-6 x 2 сета) + 9 (9 взяток по 1 очку) = 79.
          Ваша ставка – это прогноз того, сколько из 79 очков вы выиграете в этой раздаче. Ваша ставка должна быть основана почти полностью на вашей собственной руке. Однако, если вы выиграете ставку, любые очки, выигранные вашим партнером в этой раздаче, также будут учитываться в вашей ставке.
          Если вы держите в руке как минимум 3 плитки одной масти, это считается потенциальной рукой для торгов. Эта масть будет вашим козырем, если вы выиграете торги. Если у вас есть 1 или 2 дубля в дополнение к 3 костям одной масти, это считается сильной рукой.
          Слово «трамп» происходит от слова «триумф». Домино козырной масти автоматически «побеждает» другие сыгранные домино. После того, как были объявлены козыри для руки, все 14 домино этой масти имеют более высокий ранг, чем все 42 других домино. Независимо от того, кто его играет, самый высокий сыгранный козырь выигрывает любую взятку. Козырное домино принадлежит только козырной масти, а не другой масти, представленной на его лицевой стороне. Другое число на козырном домино служит только для ранжирования козырей между собой.
          Например: если четверки — козыри, 4-4 — самое сильное домино в руке; 4-6 побеждают 4-5; 4-5 побеждают 4-3; и так далее, 4-0 — самый низкий козырь. 4-0 для этой руки побьют любую плитку, кроме 4-й масти.
          Двойное является старшим домино каждой масти, за которым следуют по порядку 6, 5, 4, 3, 2, 1 и пробел.
          Домино, у которого сумма концов равна пяти или кратна пяти, является «счетным» домино. Есть четыре счетные кости по 10 очков каждая: 5-5 и 6-4. Имеется шесть счетных костей по 5 очков каждая: 5- 0, 4-1 и 3-2.Все плитки со счетом 5 дают в сумме 70 очков.Счет приносит дополнительные очки команде, выигравшей его во взятке.
          Торги продолжаются по часовой стрелке вокруг стола, при этом у тасующего всегда есть последний вариант сделать ставку. У каждого игрока есть только одна возможность сделать ставку. Минимальная ставка — 50. Игрок должен пройти, если он не может сделать ставку не менее 50 или поднять предыдущую ставку. Если все 6 игроков спасуют, все плитки возвращаются в колоду, а затем перетасовываются игроком слева от последнего игрока, который перетасовывал.
          Игрок, делающий самую высокую ставку, является первым игроком и игроком, объявившим, какая масть является козырной для этой руки. (Игрок никогда не показывает козырную масть, пока не выиграет ставку и не будет готов разыграть первую кость. )
          Первый игрок кладет плитку из своей руки. Игра продолжается слева от него. Следующие пять розыгрышей, сделанных другими игроками за столом, должны «последовать их примеру». Это означает, что эти пять игроков должны разыграть кость той же масти, что и самый высокий конец первой кости, сыгранной в этой взятке, если только первый игрок не сыграет кость, по крайней мере, с одним концом той же масти, которая была объявлена ​​«козырной». » для этой руки. В этом случае следующие пять розыгрышей должны быть плиткой с окончанием от козырной масти.
          Например, если бы 6-4 были сыграны первыми, другие игроки должны были бы последовать их примеру с 6 из своей руки. Но если какой-либо конец первой сыгранной плитки имеет козырную масть, то козырь имеет приоритет над другим числом, и все должны следовать его примеру с козырем.
          Если у игрока в руке более одной играбельной плитки, он может сыграть любую из них. Если игрок не может последовать его примеру, потому что у него нет этой масти в руке, он может сыграть любую кость из своей руки, даже козырную.
          Игрок, сыгравший старшую плитку ведущей масти или старшего козыря, выигрывает взятку. Победитель каждой взятки разыгрывает первую плитку для следующей взятки, после чего он может сыграть любую плитку в своей руке.
          Когда все шесть игроков сыграли по одной плитке, эти шесть плиток в совокупности представляют собой трюк. В каждой руке по девять трюков. Каждый трюк оценивается в одно очко.
          Один игрок от каждой команды должен собрать все взятки для этой команды, независимо от того, кто из игроков выиграл взятку. После того, как каждая взятка была выиграна, плитки должны быть перемещены в одну сторону или угол стола, 6 плиток рядом и лицевой стороной вверх. Это упрощает подсчет очков.
          После того, как все 9 взяток сыграны, каждая команда должна подсчитать количество взяток (1 очко за взятку) и общее количество очков за количество собранных доминошек (5 и кратное 5) соответственно.
          Если команда торгов делает или превышает свою ставку, то эта команда получает кредит за все очки, которые они выиграли во время этой руки. В этом случае противники также получают кредит за любые очки, которые они выиграли во время раздачи.
          Например: если команда делает ставку 50, а затем получает 55 очков, то она успешно достигла своей ставки и получает 55 очков. Противники получают кредит за свои 9точки.
          Если команде не удается выполнить свою ставку, то эта команда ничего не получает, а противоположная команда получает кредит за первоначальную ставку, которую они выиграли, x плюс фактические очки, которые они выиграли во время раздачи.
          Например: если ваша команда выиграет ставку в начале игры со ставкой 57, но наберет только 55 очков в раздаче, ваша команда наберет 0 очков, а противники наберут 66 очков (их 9 очков плюс ваша ставка 57 баллов).
          После каждой раздачи игрок, который тасует плитки, поворачивается влево (по часовой стрелке). Игра продолжается таким же образом.
          Побеждает команда, первой набравшая 250 очков. Если обе команды набирают 250 очков в одной и той же раздаче, команда, сделавшая ставку в этой последней раздаче, становится победителем игры, независимо от счета.

          Вариант: Можно использовать упрощенную систему подсчета очков с одной «оценкой» или очком, присуждаемым за победу в раздаче. Первая команда, набравшая 9 очков, побеждает в матче.

          ВАРИАЦИЯ ТОРГА:
          Нель-О
          Цель заявки Nel-O — не принимать никаких уловок. Рука участника торгов Nel-O содержит кости настолько низко, что он считает, что его противники не смогут заставить его взять взятку. Если Nel-O является выигрышной ставкой, игроки должны следовать масти плитки, которая идет на каждой взятке, и козырей нет. . Когда игрок делает ставку Nel-O, его партнер должен перевернуть плитки в своей руке лицевой стороной вниз на столе до конца руки, в то время как игрок, делающий ставку, разыгрывает руку с противоположной командой. Участник торгов ведет с первой плиткой. Противники следуют примеру большего числа этой плитки. Игрок, выигравший взятку, лидирует. В оставшейся части руки цель противников состоит в том, чтобы разыгрывать более низкие плитки, чем игрок, сделавший ставку. Участник торгов считается установленным, если он возьмет одну взятку.
          Некоторые игроки Nel-O рассматривают дубли как отдельную масть, и каждый игрок следует масти с дублем, если идет дубль. Однако большинство не играет по этому правилу.

           

          Перепечатано с разрешения Sterling Publishing Co., Inc., NY, NY из GREAT BOOK OF DOMINO GAMES Дженнифер Келли, © 1999 Дженнифер Келли. (Книга Sterling доступна как PUREMCO’S GREAT BOOK OF DOMINO GAMES)

          Potomack Auctions

          Камиль Писсарро


          Французский, 1830-1903
          Porteuse De Fagots
          Акварель на бумаге: 8 5/8 X 5 7/8 дюйма.

          Продано: $38 100

          Виллем де Лупер


          Американец, 1932–2009 гг.
          Без названия
          Смешанная техника на бумаге: 29 x 40 1/2 дюйма

          Продано: 5 398 долларов США

          Джон Фредерик Кенсетт


          Американец, 1816–1872 гг.
          Вид на гору Кирсардж, штат Нью-Гэмпшир
          Масло, бумага, наложенная на холст: 12 x 14 1/4 дюйма

           

          Продано: 12 700 долларов США

          Andre Brasilier


          French, 1929-
          Chevaux Dans Un Figuier
          Холст, масло: 18 1/4 x 25 1/2 дюйма

          Продано: $25 400

          Гюнтер Герцо
          Мексиканец, 1915-2000
          Пресагио – Предчувствие, 19 лет53
          Холст, масло: 39 ½ x 32 дюйма

          Продано: 169 000 долларов США

          Пабло Пикассо
          Испанец, 1881-1973 гг.
          Жаклин о Шевале
          Неглазурованная фаянсовая посуда: диам. 16,5 дюйма

          Продано: $28 575

          Энди Уорхол


          Американец, 1928–1987 гг.
          Банка супа Кэмпбелл на сумке, 1966 г.
          Шелкография на бумажной сумке для покупок, 23 1/2 x 17 дюймов

          Продано: 25 400 долларов США

          Бриджит Райли


          Великобритания, 1931–
          Прошедшее время, 1982 г.
          Цветная трафаретная печать: 47 1/2 x 31 1/2 дюйма

          Продано: $19 050

          Леон Берковиц


          Американец, 1911-1987
          Полуденное сияние
          Холст, масло: 23 x 27 дюймов

          Продано: 12 700 долларов США

          Гленна Гудакр


          Американец, 1939-2020
          Бронзовый трехчетвертный рельеф «Сын Сакагавеи»

          Продано: $ 25 400

          Элеонора Дэвис
          Американка, 1983-
          Рут Бадер Гинзбург
          Жикле, репродукция

          Продано: $69 850

          Предстоящие сентябрьские/октябрьские аукционы

          Плотина Ву Цао
          Аукцион произведений искусства 20-го и 21-го веков — 27 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Рой Лихтенштейн
          Аукцион произведений искусства 20-го и 21-го веков — 27 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Джеймс Лесен Уэллс
          Аукцион произведений искусства ХХ и ХХI веков — 27 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Уильям Лерой Меткалф
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Английский Давенпорт: собрание сенатора и миссис Джон Уорнер
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Фламандский пасторальный гобелен
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Эддисон Томас Миллар
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Лорд Рональд Гауэр Бронза
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Ковер Биджар, Западная Персия, около 1880 г.
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Викторианский посеребренный гарнитур Elkington
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Пьер Огюст Ренуар Пейзаж ок. 1900 г.; на рассмотрении Исследовательского комитета
          Аукцион классического изобразительного искусства и антиквариата — 28 сентября, 10:00

          Каталог скоро появится

          Памятники Паскаля Косте Modernes de la Perse Mesures
          Книги и рукописи – октябрьский аукцион

          Прием посылок

          Последние аукционы

          Кэтрин Фриман
          20th & 21st C & Classic Fine Art

          27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Щелкните для перехода в каталог

          Джордж Беллоуз
          20th & 21st C & Classic Fine Art

          27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Щелкните для перехода в каталог

          Терри Роджерс
          20th & 21st C & Classic Fine Art

          27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Щелкните для перехода в каталог

          Дональд Султан
          20-е и 21-е C и классическое изобразительное искусство

          27 июля, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Щелкните для перехода в каталог

          Элеонора Дэвис
          Искусство 20-го и 21-го веков Рут Бадер Гинзбург (лоты RBG 1-17) и другие частные коллекции

          27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

          Каталог

          Бабби Свободы
          Рут Бейдер Гинзбург: Chambers & Home (все участки RBG)

          28 АПРЕЛЯ 2022 Г. | 10:00

          Каталог

          Гюнтер Герцо
          Искусство 20-го и 21-го веков Рут Бадер Гинзбург (лоты RBG 1-17) и другие частные коллекции

          27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

          Каталог

          Дейл Чихули
          Современное декоративно-прикладное искусство, мебель и искусство

          27 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 13:00

          Подробнее

          Серьги с колумбийскими изумрудами и бриллиантами
          Ювелирные изделия и мода

          28 АПРЕЛЯ 2022 Г. | 13:00

          Каталог

          Йоос де Момпер Младший
          Классическое искусство, антиквариат и мебель: римляне до 19 летвек

          29 АПРЕЛЯ 2022 ГОДА | 10:00

          Каталог

          Американская консоль из палисандра, коллекция Энди Уорхола, 1988 г.
          Американская мебель, декоративно-прикладное искусство и живопись

          3 мая 2022 г. | 10:00

          Каталог

          Чайно-кофейный сервиз с серебряной хохлатой Георга III
          Американское, английское и европейское серебро

          3 мая 2022 г. | 13:00

          Каталог

          Стэнли Кассельман
          20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

          28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Андре Брасилье
          20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

          28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Варнетт П.
          Ханивуд
          20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

          28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Муркрофт Квинс Выбор
          20th & 21st Century Щелкните для перехода в каталог

          28 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Камиль Писсарро
          Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

          29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Джон Фредерик Кенсетт
          Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

          29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Генри Харрис Браун
          Классическое искусство и антиквариат Щелкните для перехода в каталог

          29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Джордж Морланд
          Классическое искусство и антиквариат Нажмите, чтобы перейти в каталог

          29 июня, 10:00 по восточноевропейскому времени

          Заметные продажи: отправить сейчас

          Гюнтер Герцо (мексиканец, 1915–2000) Пресажио, 1953 г.

          Продано: $130 000

          Салли Мишель Эйвери (американка, 1902–2003) «Сидящая женщина», 1965 г.

          Продано: $42 500

          Портрет Рут Бейдер Гинзбург из ее покоев работы Элеоноры Дэвид

          Продано: $55 000

          Форд Крулл (американец, 1952-) Чиму, 1989 г.

          Продано: $14 000

          Альфонсо Янко Оссорио (американец / филиппинец, 1916–1990) Закрытый сад № 7

          Продано 140 000 долл. США

          Важный Киавак Ашуна, OC, RCA

          Продано $110 000

          Оноре Домье (француз, 1808-1879) Les Buveurs

          Продано $125 000

          Важная французская Belle Époque Ormolu Mounted Kingwood Marquetry and Parquetry Vitrine

          Продано $375 000

          Альберт Йорк (американец, 19 лет)28-2009) Розовые розы

          Продано $95 000

          Пол Ревир (американец, 1735-1818) Кровавая резня

          Продано $160 000

          Tiffany & Co.

          График х в степени 4: у=х в 4 степени,построить график функции.

          alexxlab / / Разное

          y x в 4 степени

          Вы искали y x в 4 степени? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y x в 4 степени график, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «y x в 4 степени».

          Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как y x в 4 степени,y x в 4 степени график,график x в 4 степени,график x в степени 4,график y x в 4 степени,график у х в 4 степени,график функции х в степени 4,график х в 4 степени,функция х в 4 степени,функция х в степени 4,х в 4 степени график,х в степени 4 график. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и y x в 4 степени. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, график x в 4 степени).

          Где можно решить любую задачу по математике, а так же y x в 4 степени Онлайн?

          Решить задачу y x в 4 степени вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

          Функция корня n степени, примеры решения. Урок и презентация в 11 классе по алгебре

          Дата публикации: .n$, тогда график нашей функции $y=\sqrt[n]{x}$ будет симметричен относительно прямой $y=x$. Не забываем, что мы рассматриваем случай неотрицательного значения аргумента, то есть $х≥0$.

          Свойства функции


          Свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ при $x≥0$:
          1. $D(f)=[0;+∞)$.
          2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
          3. Возрастает на $[0;+∞)$.
          4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
          5. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего значения нет.
          6. Непрерывна.
          7. $E(f)=[0;+∞)$.
          8. Выпукла вверх на луче $[0;+∞)$.
          9. Внимательно посмотрев на наш график функции мы можем сказать, что в любой точке к нему можно провести касательную (точку $х=0$ не рассматриваем). А это значит, что наша функция дифференцируема в любой точке. Производной в точке $х=0$ не существует, так как касательная в этой точке совпадает с осью ординат.

          Примеры построения графиков функции и решения уравнений


          Пример. Построить график функции $y=\sqrt[4]{(x+2)}-2$.
          Решение. График нашей функции получается из графика $y=\sqrt[4]{x}$ смещением на две единицы влево и на две единицы вниз относительно начала координат.
          Пример. Решить уравнение $\sqrt[8]{x}=2x-1$.
          Решение. Решим наше уравнение графическим способом. Построим два графика функции $\sqrt[8]{x}$ и $y=2x-1$. Найдем точку их пересечения.
          Наши графики пересекаются в одной точке (1;1). Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получаем верное тождество $1=1$, значит точка $х=1$ — решение нашего уравнения.

          Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что $\sqrt[n]{x}$, если n нечетное существует и при $х $f(-x)=\sqrt[n]{(-x)}=-\sqrt[n]{x}=-f(x)$,где $n=3,5,7,9…$.
          Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность относительно начала координат, давайте построим график функции $y=\sqrt[n]{x}$ для $n=3,5,7,9…$.
          Отразим график функции, которой мы получили вначале, относительно начала координат. Заметим, что ось ординат является касательной к графику нашей функции в точке $х=0$.

          Пример.
          Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$:
          $f(x)=\begin{cases}\sqrt[5]{x}, x≤1\\ \frac{1}{x}, x>1\end{cases}$.
          Решение. Последовательно построим два графика функции на разных координатных плоскостях, после полученные графики объединим в один. Построим график функции $y=\sqrt[5]{x}$, $x≤1$.
          Таблица значений: График функции $y=\frac{1}{x}$ нам хорошо известен, это гипербола, давайте построим график при $x>1$.
          Объединим оба графика:
          Ребята, давайте опишем свойства, которыми обладает наша функция:
          1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
          2.Ни четная, ни нечетная.
          3. Убывает на $[1; +∞)$ и возрастает на $(-∞;1]$.
          4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
          5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
          6. Непрерывна.
          7. $E(f)=( -∞;1]$.
          8. Функция дифференцируема всюду, кроме точек $х=0$ и $х=1$.
          9. $\lim_{x \rightarrow +∞} f(x)=0$.

          Пример. Найти область определения функций:

          а) $y=\sqrt[6]{2x-10}$.2}$.

          3 способа расчета полинома в Excel. | Тренды

          Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

          • 1-й способ с помощью графика;
          • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
          • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

          Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

          Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

          Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax2+bx+c (полином второй степени) и y=ax3+bx2+cx+d (полином третей степени) и т.д.  Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

          У полинома второй степени y=ax2+bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

          У Полинома третьей степени y=ax3+bx2+cx+d может быть один или два экстремума.

          Один экстремум

          Два экстремума

          У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

          Как рассчитать значения полинома в Excel?

          Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

          • 1-й способ с помощью графика;
          • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
          • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

           

           

          1-й способ расчета полинома — с помощью графика

          Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

          На график добавляем полином 6-й степени.

          Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

          После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x6 — 234,94x5 + 4973,6x4 — 35930x3 — 7576,8x2 + 645515x + 5E+06. Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

          Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

          В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

           

          Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

           y = 3,71x6 — 234,94x5 + 4 973,59x4 — 35 929,91x3 — 7 576,79x2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

           

          Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

          Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

          Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x6 — 234,94x5 + 4 973,59x4 — 35 929,91x3 — 7 576,79x2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

          Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

          Скачать файл с примером расчета значений полинома.

           

           

          2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

           Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

          Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

          • «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
          • «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
          • в константу ставим «1»,
          • в статистику «0»

          Получаем следующего вида формулу:

          =ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24];R[-5]C:R[-5]C[24];1;0),

          Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

          Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

          Скачать файл с примером расчета значений полинома.

          2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

           

          3-й способ расчета значений полиномиальных трендов  — Forecast4AC PRO

          Устанавливаем курсор в начало временного ряда

          Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

          Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

          Копируем значения в наш лист.

          Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

          Скачать файл с примером расчета значений полинома.

          1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
          2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
          3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

          Присоединяйтесь к нам!

          Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

          • Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel.
          • 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
          • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

          Тестируйте возможности платных решений:

          • Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

          Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

          Зарегистрируйтесь и скачайте решения

          Статья полезная? Поделитесь с друзьями

           

          Калькулятор онлайн — Построение графика квадратичной функции (с подробным решением)

          Если вам нужно просто построить график любой функции, то для этого у нас есть отдельная программа.2+q $$

          Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

          Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

          Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

          В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
          Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

          Числа можно вводить целые или дробные.2 \)

          При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
          Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

          Координатные плоскости и графики, функции.

          Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

          Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

          Упорядоченная пара

          Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

          Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

          Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

          В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

          Определение графика

          Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

          Пример: нарисовать график y = x2

          Это приближении к графику y = x2

          Пример: нарисовать график y = 1/x

          Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

          Пример: Найдите все пересечения с осями
          (a) 3x + 2y = 6
          (b) x = y2-2y
          (c) y = 1/x

          Решение:

          Пусть y = 0, тогда 3x = 6   or   x = 2

          является искомой точкой пересечения оси x.

          Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

          Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

          y = 1/x

          x-пересечение

          Пусть y = 0

          1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

          Пусть x = 0

          y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

          На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

          • график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

          • график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

          • график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

          Определение:

          График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

          Пример 1

          Постройте график f(x) = x + 2

          y = x + 2

          Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

          y = |x|

          x

          y = x2

          (x,y)

          0

          0

          (0,0)

          1

          1

          (1,1)

          2

          4

          (2,4)

          3

          9

          (3,9)

          -1

          1

          (-1,1)

          -2

          4

          (-2,4)

          -3

          9

          (-3,9)

          X

          y=1/x

          (x,y)

          1/3

          3

          (1/3,3)

          1/2

          2

          (1/2,2)

          1

          1

          (1 ,1)

          2

          1/2

          (2,1/2)

          3

          1/3

          (3,1/3)

          -1/3

          -3

          (-1/3 , -3)

          -1/2

          -2

          (-1/2 , -2)

          -1

          -1

          (-1 , -1)

          -2

          -1/2

          (-2, -1/2)

          -3

          -1/3

          (-3,-1/3)

          |x| =

          x если x ≥ 0, т.e. x — не отрицательно

          -x если x

          График совпадает с линией y = x         для x> 0 и с линией y = -x

          для x < 0 .

          graph of f(x) = -x

          Соединяя эти два графика, мы получаем

          график f(x) = |x|

          Пример 3. Постройте график

          t(x) = (x2— 4)/(x — 2) =

          = ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

          = (x + 2)       x ≠ 2

          Следовательно, эта функция может быть записана в виде

          y = x + 2            x ≠ 2

          График h(x)= x2 — 4 Or                     x — 2

          график y = x + 2 x ≠ 2

          Пример 4. Постройте график

          g(x) =

          1      если x ≤ 2

          x + 2      если x > 2

          Графики функций с перемещением

          — Предположим, что график функции f(x) известен

          — Тогда мы можем найти графики

          y = f(x) + c

          y = f(x) — c

          y = f(x + c)

          y = f(x — c)

          y = f(x) + c          — график функции f(x), перемещённый

          ВВЕРХ на c значений

          y = f(x) — c          — график функции f(x), перемещённый

          ВНИЗ на c значений

          y = f(x + c)          — график функции f(x), перемещённый

          ВЛЕВО на c значений

          y = f(x — c)          — график функции f(x), перемещённый

          Вправо на c значений

          Пример 5. Постройте

          график y = f(x) = |x — 3| + 2

          Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

          y = |x-3|

          Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

          Пример 8

          Постройте график

          y = x2 — 4x + 5

          Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

          y + 4 = (x2 — 4x + 5) + 4 y = (x2 — 4x + 4) + 5 — 4

          y = (x — 2)2 + 1

          Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

          y = x2 — 4x + 5

          Отражения

          (-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

          (x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

          Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

          Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

          График может быть получен отражением и перемещением:

          — Нарисуйте график

          — Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

          — Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

          Вот искомый график

          Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

          график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

          график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

          Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

      Степенная функция, ее свойства и график

      Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p — заданное действительное число.
      Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
      показателя степени p.
      1. Показатель p=2n -четное натуральное число.
      В этом случае степенная функция y=x2n, где n — натуральное число, обладает следующими

      свойствами:

      • область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
      • множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
      • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
      • функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
      График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.

              2. Показатель p=2n-1— нечетное натуральное число
      В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

      • область определения — множество R;
      • множество значений — множество R;
      • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
      • функция является возрастающей на всей действительной оси.
      График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.

             3.Показатель p=-2n, где n — натуральное число.

      В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2nобладает следующими свойствами:

      • область определения — множество R, кроме x=0;
      • множество значений — положительные числа y>0;
      • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
      • функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
      График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.
             4.Показатель p=-(2n-1), где n — натуральное число.
      В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:
      • область определения — множество R, кроме x=0;
      • множество значений — множество R, кроме y=0;
      • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
      • функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.
      График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.

      Функция LOG — Служба поддержки Office

      В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.

      Описание

      Возвращает логарифм числа по заданному основанию.

      Синтаксис

      LOG(число;[основание])

      Аргументы функции LOG описаны ниже.

      • Число    Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

      • Основание    Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент «основание» опущен, предполагается, что он равен 10.

      Пример

      Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

      Формула

      Описание

      Результат

      =LOG(10)

      Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.

      1

      =LOG(8; 2)

      Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8.

      3

      =LOG(86; 2,7182818)

      Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86.

      4,4543473
      4

      Графики Джеффри x, x 2 , x 3 и x 4 от x = -1 до 1 на .1 И

      Работа Шери по нахождению уравнения парабола

      , который перемещается / глава 6 ++

      Джеффри выяснил правило для шаттла головоломка P (P + 2) = M, и Дон попросил его построить график этой функции как x (x + 2) = y. Он получил парабола. Они посмотрели на узор в параболе — от (0,0) идет 1 вправо, 1 вверх, 1 вправо, затем 3 вверх, 1 вправо, затем 5 вверх, и продолжил движение вверх по нечетные числа.Затем Дон попросил Джеффри построить график x = y, x 2 = y, x 3 = y и x 4 = y от x = — 1 к 1 по 0,1 на той же миллиметровой бумаге. Он сделал это ниже:

      Затем Дон попросил его написать о том, что он нашел на графиках.

      «Когда x отрицательно, а y = x в нечетной степени, оба x и y отрицательны, потому что если вы умножите — .9 по — ,9 по — ,9 вы должны получить отрицательное число, потому что отрицательное значение, умноженное на отрицательное, является положительный, и отрицательный, умноженный на положительный, является отрицательным.

      Когда x 4 = y на графике больше похож на половину квадрата, потому что когда вы умножаете число от 0 до 1 и вы дойдете до четвертой степени, она станет намного меньше, потому что это своего рода как деление, потому что .1 2 = .1 x .1 = .01 «.

      Джеффри работал над перемещением парабола y = x 2 до 2 единиц (он обнаружил, что это уравнение имеет вид y = x 2 +2) и правее 3 единицы (он обнаружил, что это уравнение имеет вид y = (x — 3) 2 ).

      Отличная работа Джеффри!

      Джеффри работал над Продолжаем тестировать SSAT, готовимся к экзамену в следующем году на университетский HS . Дон показал Джеффри как умножить 12×13 в его голове, а в итоге умножить 22×23 в его голове. Дон также показал Джеффри, как возвести 2 числа в квадрат из 5, например 25×25. знак равно Что ж, ответ имеет 25 справа _ 2 5. Возьми другое число 2, прибавьте 1, чтобы получить 3, затем умножьте на 2 на 3, чтобы получить 6. Ответ на 25×25 = 625.Занимаясь чем-то в школе, он рассказал о 5 8 = 625 2 , и он начал умножать 625×625 в своей голове!

      Работа Шери по нахождению уравнения парабола

      , который перемещается

      Дон прошел умножение отрицательных чисел с Шери, потому что она нуждалась в этой идее, чтобы график. На числовой строке Дон убедился, что Шери поняла, что по мере перехода от до 2 на — 1, то есть с до 1.

      Шери реализовал из шаблонов, что ( — 3) 2 = + 9 = 9. Шери построил уравнение y = x 2 (шелковица, внизу). После того, как она построила график y = x 2 , Дон попросил ее посмотреть, как график идет вверх от (0,0) — идите на 1 вправо, поднимитесь на 1, 1 вправо поднимитесь на 3, 1 вправо вы поднимаетесь на 5, 7, 9 и т. д. Парабола идет вверх по нечетным числам! Дон попросил ее найти уравнение параболы, если эта исходная парабола сдвинута на вверх 2 единицы измерения.Ее ответы были y = x 3 и y = x 2 + 2. (Получилось выяснил, что второй ответ пришел при разговоре с мамой). Шери продолжила для построения графика y = x 3 далее. В над этим процессом работали Шери и Дон ( — 3) 3 = — 3 x — 3 x — 3 = — 27. Шери обнаружила, что «отрицательное число, возведенное в нечетную степень, отрицательно и отрицательное число, возведенное в четную степень, положительно «.(– 3) 4 = — 3 x — 3 x — 3 x — 3 = 81. Еще говорили о ( — 3) 4 — это , а не , как — (3 4 ). График y = x 3 является синий график и , а не парабола. Затем Шери построил график y = x 2 + 2 (красным), который переместил параболу вверх 2 единицы измерения.Затем Дон дал Шери задачу переместить исходную параболу на правый 3 шт. (светло-зеленый). Уравнение, которое она дала для этого, было y = x 2 . 3. (Сейчас очень здесь важно то, что даже если уравнение Шери неверно, ее уравнение даст график, который будет важен, и сделает что-то другое (). Посмотрите на графики ниже — этот неоново-розовый.

      Итак, уравнение Шери дало график, на котором оригинал тоньше! Она сразу сказала, что если разделить, то график будет шире (желтая) и, конечно, она права.Она не поняла уравнение чтобы переместить график вправо, но она проделала отличную работу и многому научилась о числах со знаком и возведении их в степень!

      При попытке переместить параболу вправо 3 единиц, Дон и Шери составили следующую таблицу:

      Говорили о том, как цифры в третьем столбце отличается от значений x 2 . -4.-3, показанный зелеными линиями, имеет отрицательные координаты y . Это потому, что мощность в этой функции нечетная, что даст вам отрицательный результат.

      Вы заметите, что функции с четной степенью симметричны по оси y , а функции с нечетной степенью симметричны относительно начала координат. Вы можете узнать больше о симметрии в главе «Графическая симметрия» этого курса.

      Функции дробной мощности

      Саванна сейчас изучает путь астероидов.-1/4, очень похожи.

      Обратите внимание, что единственные различия на этих графиках — это положение кривых линий. Вы увидите, что все числа в степенях двух функций — нечетные числа.

      Наконец, мы должны рассмотреть функции, которые имеют степени с неправильными дробями, такие как этот график. Обратите внимание, что этот график не содержит отрицательных координат x или y . 5/2.-1/4. Эти функции похожи, потому что они имеют отрицательную силу.

      Кроме того, не забывайте, когда вы строите график степенных функций в виде кривой с кривой линией.

      Результаты обучения

      Просмотрите этот видео-урок по мере того, как вы преследуете эти цели:

      • Определение и использование степенных функций
      • Вспомните форму уравнения для степенной функции и запишите три основных типа
      • Точно определить, является ли график четной или нечетной функцией с питанием
      • Построение степенной функции

      Логарифмические и экспоненциальные графики

      Экспоненциальные функции

      y = a x

      Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
      (0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
      поскольку a 0 = 1, a 1 = a и a -1 = 1 / a

      Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

      Когда база больше 1

      А когда база меньше 1

      Пример

      Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

      y = 2 x


      Таблица значений

      Обычная функция журнала всегда имеет точки
      (1, 0) и (основание, 1)
      с
      log a 1 = 0 и loga a = 1

      Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

      Пример

      Чтобы вычислить значения y,

      Если y = a x
      x = журнал a y

      Сдвиг графиков журнала влево и вправо

      Возьмем график y = logx


      Здесь база равна 10.
      Найдите точки (1,0) и (10,1)

      Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

      Обратите внимание, как они сдвигаются в противоположную сторону!

      Переключение вверх и вниз


      Опять же, база равна 10.
      Найдите точки (1,0) и (10,1)

      (1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)


      (1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

      Собираем все вместе

      На приведенном ниже графике уравнение y = log (x + a) + b.
      Найдите значения целых чисел a и b.
      Запишите уравнение графика.

      Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
      График сместился на три места влево.
      Это означает, что a должно быть 3.

      , поэтому y = log (x + 3) + b.

      База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
      Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

      Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
      ожидаем точку (7,1)

      На графике, когда x = 7, y = -1.
      Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
      b должно быть равно -2.

      , поэтому a = 3, b = -2
      и y = log (x + 3) –2

      © Александр Форрест

      5.2 — Справочник — Графики восьми основных типов функций

      5.2 — Справочник — Графики восьми основных типов функций

      5.2 — Справочная информация — Графики восьми основных типов функций

      Цель этого справочного раздела — показать вам графики различных типов функций для того, чтобы вы могли ознакомиться с типами.Вы обнаружите, что каждый тип имеет свой собственный отличительный граф. Показывая несколько графиков на одном графике, вы увидеть их общие черты. В этой галерее показаны примеры функций следующих типов: В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход) функции называется y .

      Линейные функции. Это функции формы:
      y = м x + b ,
      где m и b — постоянные.Типичное использование для линейные функции — это преобразование одной величины или набора единиц в другую. Графики этих функций представляют собой прямых . м — это уклон, а b — точка пересечения y . Если м положителен, линия поднимается вправо, а если м. отрицательное, тогда линия падает вправо. Здесь подробно описаны линейные функции.

      Квадратичные функции. Это функции формы:
      y = a x 2 + b x + c ,
      где a , b и c — константы. Их графики называются параболы . Это следующий по простоте тип функции после линейной функции. Падающие предметы движутся по параболическим траекториям. Если , то — положительное число, тогда парабола открывается вверх, и если a — отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.Подробно квадратичные функции описаны здесь.

      Силовые функции. Это функции формы:
      y = a x b ,
      где a и b — константы. Они получили свое название от факта что переменная x возведена в некоторую степень. Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее) представлены в виде степенных функций.Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b :

      Степень b — целое положительное число. Смотрите график справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большой и позитивные они все большие и позитивные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четные полномочия, большие и положительные, в то время как с нечетной мощностью большие и отрицательные.

      Степень b — отрицательное целое число. Смотрите график справа. Когда x = 0, эти функции подвергаются делению на ноль и, следовательно, все бесконечны. Когда x большой и положительные они маленькие и положительные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четная степень, маленькие и положительные, а те, у кого нечетные степени малы и отрицательны.

      Степень b — это дробная часть от 0 до 1. Смотрите график справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальные на origin и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

      Здесь подробно обсуждается степенная функция.


      Полиномиальные функции. Это функции формы:
      y = a n · x n + a n -1 · x n -1 +… + а 2 · x 2 + a 1 · x + a 0 ,
      где a n , a n −1 ,…, a 2 , a 1 , a 0 — константы.Допускаются только целые числа x . Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью полинома. На графике показаны примеры полиномов 4-й и 5-й степени. Степень дает максимальное количество « взлетов и падений, », которое многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x ось, которую он может иметь.

      Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике. приложений и для аппроксимации других типов функций.Здесь подробно описаны полиномы.


      Рациональные функции. Эти функции представляют собой отношение двух многочленов. Одна область обучения, где они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем. (который использует преобразования Лапласа).

      Когда многочлен в знаменатель равен нулю, то рациональная функция становится бесконечной, как указано вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике.Для пример справа это происходит, когда x = −2 и когда x = 7.

      Когда x становится очень большим, кривая может выровняться. Кривая справа выравнивается на y = 5.

      На графике справа показан еще один пример рациональной функции. Здесь деление на ноль равно x = 0. Он не выравнивается, но приближается к прямой y = x , когда x — большой размер, как показано пунктирной линией (еще одна асимптота).


      Показательные функции. Это функции формы:
      y = a b x ,
      где x — показатель степени (не в основании, как это было для степенных функций) и a и b являются константами. (Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .) Если основание b больше 1, то результат будет экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и наличные деньги). на процентном счете).

      Если основание b меньше 1, то результат будет экспоненциальный спад. Многие величины убывают экспоненциально (например, солнечный свет достигает заданной глубины океана и скорость замедления объекта из-за трения).

      Здесь подробно описаны экспоненциальные функции.


      Логарифмические функции. Есть много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем определите их как имеющие форму:
      y = a ln ( x ) + b ,
      где x — натуральный логарифм, а a и b — константы. Они определены только для положительных значений x . Для малых x они отрицательные, а для больших x — положительные, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на звуки различной громкости и реакция человеческого глаза на свет различной яркость. Здесь подробно описаны логарифмические функции.

      Синусоидальные функции. Это функции формы:
      y = a sin ( b x + c ),
      где a , b и c — константы.Синусоидальные функции полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно положение или время. Примеры: волны на воде, высота прилива во время дневной и переменный ток в электричестве. Параметр a (называется амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость) влияет на ширину волны и c (фазовый угол) сдвигает волну влево или вправо.Здесь подробно описаны синусоидальные функции.

      Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
      Оглавление в рамке слева.
      Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

      Экспоненциальные функции и их графики

      4.1 — Экспоненциальные функции и их графики

      Экспоненциальные функции

      До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число.Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.

      Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную. Трансцендентные функции часто могут можно решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. Однако когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

      Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a x , a> 0, а ≠ 1

      Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер. Пример: если a = -2, то (-2) 0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.

      Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными.У них есть инверсии, которые также являются функциями. Их можно применить к обеим сторонам уравнения.

      Графики экспоненциальных функций

      График y = 2 x показан справа. Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

      • График проходит через точку (0,1)
      • В домене все реальные числа
      • Диапазон: y> 0.
      • График увеличивается
      • График асимптотичен по оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность
      • График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
      • График непрерывный
      • График плавный

      Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y.Мы тоже знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 -x , график был бы отражение относительно оси y y = 2 x , и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) x .

      График y = 2 -x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.

      • График проходит через точку (0,1)
      • В домене все реальные числа
      • Диапазон: y> 0.
      • График убывает
      • График асимптотичен по оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
      • График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
      • График непрерывный
      • График плавный

      Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, и поведение на левом и правом концах.

      Переводы экспоненциальных графиков

      Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций.

      Горизонтальный перенос может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

      Вертикальное смещение может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножено на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться там, где он является асимптотическим) влево или верно.Икс приблизится к трансцендентному числу е .

      Указанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела — это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре.

      Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение.

      2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 21540 89149 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​

      55170 27618 38606 26133

      Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 nd ] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.

      Сложные проценты

      Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

      Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) n .

      A — это сумма на счете.P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n — количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если вы пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и задействованных формулах.

      Непрерывное смешивание и рост / распад

      Раньше было непрерывное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

      Модель для непрерывного компаундирование: A = P e rt .

      A — сумма, P — основная сумма, r — годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание для натурального логарифма.

      Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется.

      Экспоненциальная модель: y = A e kt ,

      , где y — количество, присутствующее в момент времени t. А — начальное количество, и k — скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный).


      College Algebra
      Урок 35: Графики полиномиальных функций

      Цели обучения

      По завершении этого руководства вы сможете:
      1. Укажите полиномиальную функцию.
      2. Используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конечное поведение графика заданной полиномиальной функции.
      3. Найдите нули полиномиальной функции.
      4. Найдите кратность нуля и узнайте, пересекает ли график ось абсцисс в нуле или касается оси x и поворачивается вокруг нуля.
      5. Знать максимальное количество точек поворота на графике многочлена функция мог бы иметь.
      6. Изобразите полиномиальную функцию.

      Введение


      В этом уроке мы рассмотрим графики полиномиальные функции. Если вам нужен обзор функций, смело переходите к Tutorial 30: Введение в функции . Если вам нужен обзор многочлены в общем, смело переходите к Tutorial 6: Многочлены. В принципе, график многочлена функция — гладкая непрерывная кривая. Есть несколько основных аспектов это тип графика, который можно использовать для построения кривой. я мы расскажем, как использовать главный член вашего многочлена функция чтобы определить конечное поведение его графика.Мы также будем смотрящий при нахождении нулей, также называемых перехватами x , а также пересечение графика y . Если вам нужен обзор перехватов, смело переходите к Tutorial 26: Уравнения линий . Еще одна важная концепция — знать максимально возможное количество поворотных точек. Это будет помощь будьте более точными на графике, который вы рисуете. Это примерно покрывает это. Думаю, вы готовы к этому.

      Учебник



      Полиномиальная функция

      Полиномиальная функция — это функция что можно написать по форме

      , г. где

      вещественные числа и

      n — целое неотрицательное число.





      Ведущий термин

      Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

      ,

      ведущий член.


      Другими словами, ведущий член — это термин, который переменная имеет его самый высокий показатель.

      Главный член функции было бы .


      Ведущий коэффициент

      Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

      ,

      старший коэффициент.


      В основном старший коэффициент — это коэффициент на ведущей срок.

      Старший коэффициент функции будет — 4.




      Степень члена многочлена Функция

      Степень члена полиномиальной функции — это экспонента на Переменная.




      Степень полиномиальной функции

      Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

      ,

      степень полиномиальной функции это n .


      Степень полинома — это наибольшая степень все его условия.

      Степень функции будет 7.


      Тест ведущих коэффициентов

      Этому тесту подходят четыре случая:

      Дана полиномиальная функция в стандартной форме:

      Корпус 1:

      Если n нечетное И старший коэффициент , положительный , график падает влево и поднимается до в правый :



      Корпус 2:

      Если n нечетное И старший коэффициент , отрицательно, график поднимается влево и падает до в верно.



      Корпус 3:

      Если n равно И старший коэффициент , положительный, график поднимается влево и вверх верно.




      Корпус 4:

      Если n равно И старший коэффициент , отрицательно, график падает влево и влево верно.





      Первый вопрос: что такое ведущий термин?

      Если вы сказали, ты прав!!

      Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

      Если вы сказали 3, вы правы !! 3 — это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

      Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

      Если вы сказали 5, похлопайте себя по плечу !!

      Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

      Поскольку степень многочлена 3 нечетна и ведущий коэффициент, 5, положительна, то график данного многочлена попадает в влево и поднимается вправо.





      Первый вопрос: что такое ведущий термин?

      Если вы сказали, ты прав!!

      Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

      Если вы сказали 4, вы правы !! 4 — это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

      Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

      Если вы сказали -1, похлопайте себя по спине !!

      Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

      Поскольку степень многочлена 4 четная и ведущий коэффициент, -1, отрицателен, тогда график данного многочлен падает влево и падает вправо.





      Первый вопрос: что такое ведущий термин?

      Если вы сказали, ты прав!!

      Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

      Если вы сказали 5, вы правы !! 5 — это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

      Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

      Если вы сказали -7, похлопайте себя по спине !!

      Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

      Поскольку степень многочлена 5 нечетна и ведущий коэффициент, -7, отрицательный, тогда график данного многочлен поднимается влево и опускается вправо.





      Первый вопрос: что такое ведущий термин?

      Если вы сказали, ты прав!!

      Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

      Если вы сказали 6, вы правы !! 6 — это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

      Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

      Если вы сказали 1, похлопайте себя по спине !!

      Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

      Поскольку степень многочлена 6 четная и ведущий коэффициент, 1, положителен, тогда график данного многочлена поднимается влево и поднимается вправо.




      нулей (или корней) многочлена Функции

      Ноль или корень полиномиальной функции — это значение x , так что f ( x ) = 0.

      Другими словами, это интервал x , куда функциональное значение или y равно 0.




      Ноль кратности k

      Если есть фактор полиномиальной функции f и

      это не множитель f , тогда r называется нулем

      кратность к из к .


      Другими словами, когда полиномиальная функция установлена ​​равной к нулю и был полностью учтен, и каждый отдельный фактор записан с наивысший подходящий показатель, в зависимости от того, сколько раз фактор встречается в продукте, показатель степени на множителе, который равен нулю является решением для, дает кратность этого нуля.

      Показатель степени показывает, сколько раз этот множитель будет быть выписанным в продукте это дает нам множественность.




      Кратность нулей и интервал x

      Этой концепции соответствуют два случая:

      Корпус 1:

      Если r — ноль четной кратности:
      Это означает, что график касается оси x . при р и разворачивается.

      Это происходит потому, что знак f ( x ) не меняется с одной стороны на другую р .


      Корпус 2:

      Если r — ноль нечетной кратности:
      Это означает, что график пересекает ось x . при р .

      Это происходит потому, что знак f ( x ) меняется с одной стороны на другую р .



      Точки поворота

      Если f — полиномиальная функция степени н , затем

      есть не более n — 1 поворотные моменты на график ф .


      Точка поворота — это точка, в которой график меняет направление.

      Имейте в виду, что у вас может быть меньше n — 1 точек поворота, но оно никогда не превысит n — 1 точек поворота.




      Пример 5 : Найдите нули полиномиальной функции и укажите кратность каждого нуля.Укажите, есть ли график пересекает ось x или касается оси x и поворачивается на каждом нуле.

      Первый фактор:

      Первый множитель — 3, это постоянная величина. Следовательно, есть нет нулей, которые идут с этим множителем.




      * Установка 2-го коэффициента = 0

      * Решить относительно x

      * x = -1/2 — это ноль


      Какой была бы кратность нуля x = -1/2?

      Если вы сказали , кратность x = -1/2 это 4 , вы правы !!!! Поскольку показатель на этом фактор равно 4, то его кратность равна 4.

      Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = -1/2?

      Если вы сказали , он касается оси x и разворачивается в нуле x = -1/2 , погладить себя на спине !!! Это происходит потому, что кратность 4, что является четным.



      * Установка 3-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 4 — ноль


      Какой была бы кратность нуля x = 4?

      Если вы сказали , кратность x = 4 это 3 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 3, то его кратность равна 3.

      Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 4?

      Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = 4 , похлопайте себя по назад!!! Это происходит потому, что кратность равна 3, что нечетно.




      Пример 6 : Найдите нули полиномиальной функции и укажите кратность каждого нуля. Укажите, есть ли график пересекает ось x или касается оси x и поворачивается на каждом нуле.

      Давайте сначала разложим на множители:




      * Установка 1-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 0 — это ноль


      Какой была бы кратность нуля x = 0?

      Если вы сказали , кратность x = 0 это 2 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 2, то его кратность равна 2.

      Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 0?

      Если вы сказали , он касается оси x и разворачивается в нуле х = 0 , пат сами сзади!!! Это происходит потому, что кратность равна 2, что даже.




      * Установка 2-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = -3 — это ноль


      Какой была бы кратность нуля x = -3?

      Если вы сказали , кратность x = -3 это 1 , вы правы !!!! Поскольку показатель на этом фактор равно 1, то его кратность равна 1.

      Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = -3?

      Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = -3 , похлопайте себя по спина!!! Это происходит потому, что кратность равна 1, что нечетно.



      * Установка 3-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 3 — ноль


      Какой была бы кратность нуля x = 3?

      Если вы сказали , кратность x = 3 — это 1 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 1, то его кратность равна 1.

      Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 3?

      Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = 3 , похлопайте себя по назад!!! Это происходит потому, что кратность равна 1, что нечетно.


      Построение полиномиальной функции

      Шаг 1: Определите конечное поведение графика.



      Шаг 2: Найдите точки пересечения x- ​​ или нули функции.


      Напомним, что вы нашли свой перехват x или ноль, установив вашу функцию равной 0, f ( x ) = 0, полностью факторизуя многочлен и устанавливая каждый множитель равным до 0.

      Если вам нужен обзор на x -перехваты, Чувствовать бесплатно перейти к Урок 26: Уравнения линий.

      Имейте в виду, что когда является множителем вашего многочлена и

      a) если k четное, график касается оси x при р и разворачивается.

      б) если k нечетное, то график пересекает ось x при р .


      Шаг 3. Найдите точку пересечения y функции.


      Напомним, что вы можете найти свой y -intercept положив x = 0, и найдите свой функциональная ценность при x = 0, f (0).

      Если нужен обзор на y -перехватчики, Чувствовать бесплатно перейти к Урок 26: Уравнения линий.


      Шаг 4: Определите, если есть какая-то симметрия.


      y — симметрия оси:
      Напомним, что ваша функция симметрична относительно оси y . если это четная функция.Другими словами, если f (- x ) = f ( x ), тогда твой функция симметрична относительно оси y .

      Симметрия начала координат:
      Напомним, что ваша функция симметрична относительно начала координат, если это нечетная функция. Другими словами, если
      f (- x ) = — f ( x ), тогда ваша функция симметрична относительно начала координат.

      Если вам нужен обзор четных и нечетных функций, пощупайте бесплатно перейти к Учебное пособие 32: Графики функций, часть II.


      Шаг 5: Найдите номер максимальных точек поворота.


      Как обсуждалось выше, если f является полиномом функция степени n , то есть при большинство n — 1 поворотная точка на графике f .


      Шаг 6: Найдите дополнительные баллы, если нужно.


      Иногда может потребоваться найти точки, которые находятся в между теми вы нашли в шагах 2 и 3, чтобы помочь вам быть более точным на своем графике.



      Постройте точки, найденные на шагах 2, 3 и 6, и используйте Информация собраны на шагах 1, 2, 4 и 5, чтобы нарисовать график.

      График полиномиальных функций всегда гладкий непрерывная кривая.




      Пример 7 : Учитывая полиномиальную функцию а) используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конец графика поведение, б) найти x -перехваты (или нули) и штат пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , в) найти точку перехвата y , г) определить симметрия графика, e) указывают максимально возможные точки поворота, и f) график.


      Считаете ли вы, что график поднимается или опускается до слева и в верно?

      Поскольку степень многочлена 4 четная и ведущий коэффициент 1 положителен, то график данного многочлена поднимается вверх влево и поднимается вправо.





      * Установка 1-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 0 — это ноль


      Так как показатель степени этого множителя равен 2, то кратность для ноль x = 0 равен 2.

      Так как кратность равна 2, что является четным, тогда граф касается ось x и разворачивается в нуле x = 0.



      * Установка 2-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 3 — ноль


      Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = 3 равен 1.

      Так как кратность равна 1, что нечетно, то граф пересекает ось x в нуле x = 3.



      * Установка 3-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = -1 — это ноль


      Так как показатель степени этого множителя равен 1, то множественность для ноль x = -1 равно 1.

      Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле х = -1.




      * Вставка 0 для x


      Перехват y (0, 0).


      Шаг 4: Определите, есть какая-то симметрия.


      * Вставка — x для x



      Он несимметричен относительно оси y .




      * Вставка — x для x

      * Возьмем противоположность f ( x )


      Это несимметрично относительно начала координат.



      Так как степень функции равна 4, то на большинство 4 — 1 = 3 точки поворота.



      Чтобы получить более точную кривую, давайте найдем несколько точек которые находятся между точки, которые мы нашли на шагах 2 и 3:


      х ( x , y )
      -.5 (-.5, -.437)
      1 (1, -4)
      2 (2, -12)





      Пример 8 : Учитывая полиномиальную функцию а) используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конец графика поведение, б) найти x -перехваты (или нули) и штат пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , в) найти точку перехвата y , г) определить симметрия графика, e) указывают максимально возможные точки поворота, и f) график.


      Считаете ли вы, что график поднимается или опускается до слева и в верно?

      Поскольку степень многочлена 3 нечетна и ведущий коэффициент, -2, отрицателен, то график данного многочлена поднимается вверх влево и падает вправо.





      * Установка 1-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 0 — это ноль


      Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = 0 равен 1.

      Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле x = 0.



      * Установка 2-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = -1 — это ноль


      Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = -1 равен 1.

      Так как кратность равна 1, что нечетно, то граф пересекает ось x в нуле x = -1.



      * Установка 3-го фактора = 0
      * Решить относительно x
      * x = 1 — ноль


      Так как показатель степени этого множителя равен 1, то множественность для ноль x = 1 равно 1.

      Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле х = 1.




      * Вставка 0 для x


      Перехват y (0, 0).


      Шаг 4: Определите, есть какая-то симметрия.


      * Вставка — x для x



      Он несимметричен относительно оси y .




      * Вставка — x для x

      * Возьмем противоположность f ( x )


      Он симметричен относительно начала координат.



      Поскольку степень функции равна 3, то на большинство 3 — 1 = 2 поворотные точки.



      Чтобы получить более точную кривую, давайте найдем несколько точек которые находятся между точки, которые мы нашли на шагах 2 и 3:


      х ( x , y )
      -1/2 (-1/2, -3/4)
      1/2 (1/2, 3/4)





      Практические задачи


      Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

      Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

      Практика Задачи 1a — 1b: Учитывая полиномиальную функцию а) используйте ведущую Тест коэффициентов для определения поведения конца графика, б) найти точки пересечения x (или нулей) и укажите, пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , c) найти пересечение y , d) определение симметрии графика, e) указывать максимально возможные точки поворота; е) график.



      Нужна дополнительная помощь по этим темам?




      Последнее изменение 14 марта 2012 г. Ким Сьюард.
      Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2012, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

      Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

      Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения
      2008 Rasmus ehf и Jhann sak

      Уравнения III

      Урок 3 Пересечение точек графиков

      Как приступить к поиску точек, в которых два графика y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

      Мы уже знаем, где найти график f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f (x) = 0.
      Когда графики y = f (x) и y = g (x) пересекаются, оба графа имеют точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки пересечения путем решения уравнения f (x) = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета либо f (x), либо g (x).

      Пример 1

      Вычислить точку пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл пересечение есть (2, 3).

      Рассчитываем точку пересечения по формуле решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

      2х — 1 = х + 1

      2х — х = 1 + 1

      х = 2

      Координата Y теперь может быть найдена вычисление f (2):

      f (2) = 2 × 2 — 1 = 3

      Точка пересечения (2, 3) .

      Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами.
      Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

      Решить уравнение графически легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
      Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и калькуляторы.

      Пример 2

      Решите уравнение x 2 — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, а затем алгебраически.

      Рисуем графики f (x) = x 2 — 2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

      Решает алгебраически:

      x 2 — 2x — 3 = 2x — 3

      x 2 — 4x = 0

      х (х — 4) = 0

      Получение решений x = 0 и x = 4 .

      Пример 3

      Решите уравнение x 2 — 1 = 2x — 3

      Сначала переместите все термины перейдите к левой части уравнения и упростите.

      Это дает x 2 — 2x + 2 = 0

      Воспользуемся квадратной формулой с a = 1, b = −2 и c = 2.

      Число под знаком квадратного корня: отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
      Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала. уравнение

      f (x) = x 2 — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.

      Мы видим, что парабола f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

      Пример 4

      Решите уравнение x 3 — 3x + 2 = x 2 — 2x + 1

      Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все слагаемые в левую часть уравнения.

      х 3 — 3x + 2 = x 2 — 2x + 1

      x 3 — x 2 — x + 1 = 0

      (x 3 — x 2 ) — (x — 1) = 0

      x 2 (x — 1) — (x — 1) = 0

      (х — 1) (х 2 — 1) = 0

      (х — 1) (х — 1) (х + 1) = 0

      Расчеты показывают, что их всего два решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три решения.График показывает нам, что происходит.

      Графики f (x) = x 2 — 2x + 1 и g (x) = x 3 — 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение.

      Пример 5

      Решите уравнение x 2 = x

      Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики.

      Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x. Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.

      На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1.
      Вот как решить уравнение расчетом:

      x 2 = x

      х 4 = х

      х 4 — х = 0

      x (x 3 — 1) = 0

      		 Квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

      Это дает решение x = 0 и x = 1 .

      Пример 6

      Решите уравнение ln x = x 2 — 1

      Это уравнение не так-то просто решить. Если мы помните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

      График показывает нам, что есть два решения. Одно решение — это ровно x = 1, поскольку e 0 = 1.

      Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.
      Пример 7

      EXCEL

      Если мы воспользуемся графическим калькулятором, мы сможем найти решение уравнения ln x = x 2 — 1 намного проще.

      Рисуем графики обеих сторон уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти точка пересечения.

      Еще проще использовать G-Solve (F5) и затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

      Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню.В на экране появляется следующее:

      Пишем D2, 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным к значению 1, изменив значение в B2.

      Когда нажимаем ОК, появляется следующая информация.

      Это говорит нам о том, что аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.

      Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

      Не забудьте использовать контрольный список, чтобы следите за своей работой.

      .

      Инвестиции целесообразно осуществлять если: Инвестиции целесообразно осуществлять если npv irr

      alexxlab / / Разное

      Рынок капитала. Дисконтирование. Процент

       

      Капитал (физический) – это производственный фактор длительного пользования, действующий на протяжении многих лет. Поэтому характеристика рынка капитала требует учета фактора времени. Чтобы решить, выгодны капиталовложения или нет, фирмы должны сравнивать стоимость единицы капитала в настоящий момент с величиной будущей прибыли. Процедура, с помощью которой вычисляется сегодняшнее значение суммы, которая может быть получена в будущем, называется дисконтированием. Соответственно дисконтированная стоимость – это оценка в текущей стоимости будущих доходов.

      Текущая дисконтированная стоимость (PDV) рассчитывается следующим образом:

      ,

      где R – доход,

      i – ставка (процентная) дисконтирования,

      n – год получения дохода,

      – коэффициент дисконтирования.

      Величина PDV находится в прямой зависимости от срока службы капитала и в обратной зависимости от ставки процента.

      Для определения целесообразности инвестиций рассчитывают чистую дисконтированную стоимость (NDV).

      NDV = PDV – J,

      где J – инвестиции.

      Инвестиции целесообразно осуществлять в том случае, когда NPV >0. Это означает, что приведенная прибыль, ожидаемая от инвестиций, больше, чем величина произведенных инвестиций. Следовательно, необходимоинвестировать тогда, когда ожидаемые доходы будут выше, чем издержки,связанные с инвестициями.

      Норма дисконта (i)может быть ставкой процента или какой — либо иной ставкой. Иногда целесообразно рассматривать норму дисконта как альтернативные издержки вложений в основной капитал.

      Инвестирование – это процесс создания или пополнения запаса капитала. Обычно под процессом инвестирования понимают приток нового капитала в данном году. Различают валовые и чистые инвестиции.



      Валовые инвестиции — это общее увеличение запаса капитала. Валовые инвестиции сравниваются с затратами на возмещение.

      Возмещение– это процесс замены изношенного основного капитала.

      Чистые инвестиции – это валовые инвестиции за вычетом средств, идущих на возмещение.

      Инвестирование часто осуществляется за счет заемных средств, что предполагает функционирование денежного рынка, на котором в результате взаимодействия предложения денег и спроса на них, формируется равновесная процентная ставка.

      Ставка процента рассчитывается по формуле:

      Процент – это цена, уплачиваемая собственнику капитала (кредитору) заемщиком за использование его средств в течение определенного периода времени.

      Различают номинальную и реальную процентные ставки.

      Номинальная ставка – процентная ставка, выраженная по текущему курсу. Реальная ставка – это ставка процента, скорректированная на инфляцию, т.е. выраженная в денежных единицах постоянной покупательной способности. Она рассчитывается по формуле: , где П – уровень инфляции.

      Именно реальная ставка определяет принятие решений о целесообразности инвестиций.

      Рынок труда

      Рынок труда – это сфера взаимоотношений покупателей и продавцов трудовых услуг. Он охватывает тех, кто активно ищет работу, и тех, кто постоянно занят в качестве наемных работников. Иначе говоря, он охватывает всю сферу труда, как безработных, так и занятых, всю совокупность рабочей силы.

      Рынок труда существенно отличается от рынка других ресурсов, что объясняется, в первую очередь, неотделимостью труда от человека.

      Особенности рынка труда

      1. Физическое присутствие его владельца на рабочем месте. Неотделимость прав собственности на труд от работника.

      2. Большая продолжительность контакта продавца и покупателя. Сделка, совершаемая между ними на рынке труда, предполагает начало длительных отношений.

      3. Наличие и действие неденежных аспектов сделки – социальных, психологических, политических (условий труда, микроклимата в коллективе, перспектив профессионального роста).

      4. Высокая степень индивидуализации сделок.

      5. Наличие большого числа институциональных структур особого рода – системы трудового законодательства, различных учреждений и служб регулирования занятости, государственных программ в области труда и занятости.

      Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

      Управляющие компании паевых инвестиционных фондов

      В соответствии со ст. 11 Федерального закона № 156-ФЗ, управляющая компания осуществляет доверительное управление фондом путем совершения любых юридических и фактических действий в отношении составляющего его имущества, совершает сделки с имуществом фонда от своего имени, указывая при этом, что она действует в качестве доверительного управляющего.

      Так, с учетом положений, установленных подп. 5 п. 1  и п. 7 ст. 40 Федерального закона № 156-ФЗ, а также п. 3 Указания № 4885-У, управляющая компания, действующая в качестве доверительного управляющего активами фонда, инвестиционные паи которого ограничены в обороте, вправе заключать договоры займа, если правилами доверительного управления фондом предусмотрено заключение таких договоров.

      Одновременно следует отметить, что отношения, возникающие в связи  с предоставлением кредита (займа) физическому лицу в целях, не связанных  с осуществлением предпринимательской деятельности, на основании кредитного договора, договора займа и исполнением соответствующего договора, регулируются Федеральным законом № 353-ФЗ.

      При этом профессиональная деятельность по предоставлению указанных займов в соответствии со ст. 4 Федерального закона  № 353-ФЗ осуществляется кредитными организациями, а также некредитными финансовыми организациями в случаях, определенных федеральными законами об их деятельности.

      Учитывая, что деятельность управляющих компаний, имеющих лицензию, регламентируется Федеральным законом № 156-ФЗ, которым  не предусмотрена возможность предоставления физическим лицам потребительских займов, управляющая компания не вправе выдавать физическим лицам такие займы, а также, учитывая положение п. 1  ст. 12 Федерального закона № 353-ФЗ, не вправе заключать договор уступки права требования к заемщику по договору потребительского займа.

      В отношении возможности выдачи управляющей компанией, осуществляющей доверительное управление фондом, кредитов (займов) физическим лицам в целях, не связанных с осуществлением ими предпринимательской деятельности, и обязательства заемщиков по которым обеспечены ипотекой, необходимо отметить следующее.

      Изменения, внесенные в Федеральный закон № 353-ФЗ, устанавливают закрытый перечень организаций, осуществляющих деятельность  по предоставлению кредитов (займов) физическим лицам в целях,  не связанных с осуществлением ими предпринимательской деятельности,  и обязательства заемщиков по которым обеспечены ипотекой. Таким образом, с 01.10.2019 управляющая компания, действуя в качестве доверительного управляющего активами фонда, не вправе осуществлять указанную выше деятельность. Кроме того, учитывая требования, содержащиеся в ч. 1 ст. 12 Федерального закона № 353-ФЗ, а также п. 1 ст. 47 Федерального закона № 102-ФЗ, управляющей компании не может быть осуществлена уступка прав (требований) по договору потребительского кредита (займа), обеспеченного ипотекой.

      Памятка «Об условиях обслуживания в иностранных предприятиях торговли/услуг»

      Памятка «Об условиях обслуживания с использованием платежных карт и процедурах опротестования операций, совершенных в иностранных предприятиях торговли/услуг»

      Соблюдение рекомендаций, содержащихся в Памятке, снизит возможные риски при совершении операций с использованием платежных карты при безналичной оплате в торгово-сервисных предприятиях (далее – ТСП), находящихся за пределами Российской Федерации, и операций перевода денежных средств в адрес иностранных организаций, которые предоставляют возможность участия в инвестиционной деятельности.

      Общие рекомендации

      1. При совершении операции оплаты в иностранном ТСП Держатель карты заключает договор с ТСП на поставку товара, оказание услуг или совершение инвестиционных операций. При этом, следует иметь в виду, что заключение договора может осуществляться посредством совершения действий по выполнению условий, указанных в оферте. Совершение данных действий – заключение договора на условиях оферты.

      2. Держателю карты необходимо внимательно ознакомиться с условиями договора с ТСП до момента оплаты товаров (услуг), заранее оценив риски утраты денежных средств. Защита гражданами Российской Федерации своих прав в случае недобросовестности иностранных ТСП может быть затруднительной вследствие необходимости применения норм иностранного законодательства.

      3. Держателю карты следует осуществлять взаимодействие с ТСП в соответствии с договором, в том числе в случаях, когда ТСП не была оказана либо некачественно оказана оплаченная с использованием платежной карты услуга, а также не была осуществлена поставка оплаченного товара.

      4. Отношения между Держателем карты и иностранными ТСП носят гражданско-правовой характер. Защиту нарушенных или оспоренных гражданских прав целесообразно осуществлять в судебном порядке. При наличии оснований полагать, что со стороны третьих лиц под видом иностранного ТСП были осуществлены противоправные действия, гражданину необходимо обратиться с соответствующим заявлением в правоохранительные органы.

      Условия опротестования

      В случае совершения Держателем карты высокорисковых операций, таких как инвестиционная деятельность, азартные игры, лотереи, операции на бирже, в соответствии с правилами карточных платежных систем банки ограничены в праве применять процедуры опротестования операций, проведенных с использованием платежных карт:

      1. Держателю карты следует учесть, что Банк имеет возможность инициировать процедуры опротестования в рамках правил платежных систем не позднее 120 календарных дней с момента совершения операции/получения товара. Таким образом, обращение Держателя карты в Банк должно быть не позднее 100 календарных дней с момента совершения операции.

      2. Опротестование операций в рамках правил платежных систем возможно при предоставление Держателем карты документов, подтверждающих его обращение в ТСП для урегулирования диспутной ситуации самостоятельно. Это может быть переписка с ТСП по электронной почте, в мессенджерах, и/или через личный кабинет на сайте ТСП, зафиксированный телефонный звонок. В случае если клиент предпринял попытку урегулировать вопрос с ТСП, но безрезультатно, то следует к заявлению приложить документ, подтверждающий этот факт. Если клиент не обращался в ТСП для разрешения диспутной ситуации, то нужно это сделать незамедлительно. Попытка клиента разрешить спор с ТСП — это обязательное условие опротестования.

      3. Платежная система Mastercard Worldwide ограничивает банки в правах на ведение процедур оспаривания в отношении операций вложения в инвестиции, валютные счета или другие схожие счета. В связи с этим, у банков нет прав на оспаривание операций, связанных с этими и другими услугами по данным счетам. Такие услуги включают, но не ограничивают, вывод средств и торговые/инвестиционные решения.

      Анализ инвестиционной деятельности субъектов хозяйствования

      Инвестиционная деятельность — это совокупность практических действий граждан, юридических лиц и государства по вложению инвестиций в формирование потенциала субъектов хозяйствования. При этом инвестициями являются все виды м имущественных и интеллектуальных ценностей, которые вкладываются в объекты предпринимательской и других видов деятельности, в результате чего создается прибыль и чистый доход в сумме амортизационных отчислений, или достигается социальный эфт.

      Анализ инвестиционной деятельности субъектов хозяйствования основывается на изучении:

      — баланса инвестиционных потоков денежных средств (финансовых ресурсов) и затрат на формирование объектов инвестиций;

      — инвестиционных ресурсов предприятия по их величине, структуре и динамике;

      — инвестиционных объектов по объемам, функциональным назначением, целевым направлением и размещением;

      — эффективности возмещения вложенных средств в инвестиционные объекты за счет доходов от реализации товаров, продукции, работ и услуг и полученной прибыли, обеспечивающего рентабельность инвестиции й не ниже желательного для предприятия ровной.

      Источниками для получения такой информации является баланс предприятия, отчет о движении денежных средств, примечания к финансовой отчетности, форма статистической отчетности № 2-инвестиции (квартальная)»Капитальные инв вестиции»и др.t; та інші.

      На основе данных раздела III формы № 5″Примечания к финансовой отчетности»осуществляется горизонтальный и вертикальный анализ капитальных инвестиций. При этом исследования состава, структуры и тенденции изменения капитальных инвестиций изучаются в разрезе следующих их составных складових:

      — капитальное строительство;

      — приобретение (изготовление) основных средств;

      — приобретение (изготовление) прочих необоротных материальных активов;

      — приобретение (создание) нематериальных активов;

      — формирование основного стада;

      — другие

      Увеличение незавершенного строительства может негативно сказаться на результатах финансово-хозяйственной деятельности предприятия. Поскольку результативность инвестиционной деятельности в капитальном строи ицтви косвенно отражается в динамике незавершенного строительства, то в анализе инвестиционной активности целесообразно сравнивать темпы роста незавершенного строительства с темпами роста валют и баланса. Если показатель роста совокупных активов является меньше чем соответствующий показатель для незавершенного строительства, то текущая деятельность предприятия в сфере капитального строительства является низкоэффективных й. В этом случае необходимо детально изучить состав капитальных инвестиций строительства и показатели эффективности отдельных проектов реального инвестирования с целью выявления тех, от которых целесообразно отказать ся или по которым можно ускорить процесс ввода объектов в эксплуатацию. Также исследование эффективности отдельных проектов в составе незавершенного строительства необходимо осуществлять, если стоимость незавер шеного строительства является неизменной или незначительно уменьшается (коэффициент роста составляет от 0,9 до 1о 1).

      Целесообразность инвестирования в отдельные объекты капитальных инвестиций определяется величиной и скоростью возвращения инвестору вложенных средств через денежные потоки, которые генерируют эти инвестиции. Анализ эффекты ивности инвестиций производится на основе показателей, приведенных в теме5.

      Состав, структура и динамика финансовых инвестиций изучается на основе данных раздела IV формы № 5″Примечания к финансовой отчетности», предусматривающий их разделение на следующие составляющие:

      — финансовые инвестиции по методу участия в капитале, которые, в свою очередь, дифференцируются на инвестиции в ассоциированные предприятия, дочерние предприятия, совместной деятельности;

      — другие финансовые инвестиции, в составе которых выделяют: доли и паи в уставном капитале других предприятий, акции; облигации, другие

      Углубленное исследование эффективности и обоснованности вложения средств в объекты, являющиеся предметом долгосрочного финансового инвестирования, обязательно необходимо проводить, если по данным баланса подп предприятия коэффициент роста стоимости всех активов является меньшим, чем показатель роста долгосрочных финансовых инвестиций. Это связано с тем, что увеличение таких инвестиционных вложений указывает на отв оликання средств по основной производственной деятельности, может приводить к ухудшению общего финансового состояния предприятия. Если в результате дальнейшего анализа предприятие будет признано неплатоспром ожним, рекомендуется дополнительно изучать состав инвестиционных бумаг предприятия, дать оценку их ликвидности, а также целесообразности отвлечения средств на данные вложенияня.

      Оценка целесообразности вложения средств в финансовые инвестиции оценивается путем сравнения рыночной и внутренней стоимости финансовых инструментов (см. тему и0)

      Общая оценка развития инвестиционной деятельности предприятия может быть осуществлена ??по показателям эластичности, то есть расчета отношение темпов прироста инвестиций и полученных результатов от инвес стування (чистой прибыли, добавленной стоимости, чистого дохода и т.п.). Показатели эластичности показывают, на сколько процентов изменяется результат инвестирования в результате изменения величины инвестиций на и%. При этом чем выше будет значение показателя эластичности, тем более эффективно дополнительное инвестирование. Расчет показателей эластичности целесообразно осуществлять по объемам инвестиций в целом, а так же отдельно по видам и объектам инвестированияння.

      Кроме того, во внешнем анализе инвестиционной деятельности предприятия по данным финансовой отчетности можно использовать такую ??систему показателей инвестиционной активности:

      — коэффициент соотношения реальных и финансовых инвестиций, который раскрывает характер направленности инвестиционной деятельности предприятия — участие в финансировании инвестиционных проектов или в вложение средств ценные бумаги и другие финансовые инструменты. Данный показатель показывает сколько капитальных инвестиций приходится на 1 гривну финансовых инвестиций, осуществляемых предприятием за период анализируется;

      — коэффициент соотношения долгосрочных и текущих финансовых инвестиций, отражающий уровень ликвидности финансовых инвестиций предприятия. Чем меньше значение этого показателя тем выше мобил льнисть финансовых инвестиций, но вместе с тем, менее стабильными являются состав и структура таких инвестиций, что приводит к повышению требований к качеству аналитического обоснования инвестиционных решений в процессе формирования инвестиционного портфеля предприятия;

      — удельный вес инвестиционных доходов в годовом входящем денежном потоке косвенно отражает эффективность инвестиционной деятельности и ее влияние на качество движения денежных средств субъектов хозяйствования ния. Рост данного показателя, как правило, оценивается положительно, если он не превышает вклад основной деятельности в формирование поступлений денежных средств предприятия;

      — удельный вес инвестиций в годовом исходном денежном потоке как и предыдущий коэффициент является показателем эффективности инвестиционной деятельности. В оценках этого показателя необходимо учитывать, что качество г денежного потока предприятия будет оставаться нормальной даже при высоком уровне расходов денежных средств по инвестиционной деятельности, поскольку инвестиции, осуществленные в текущем периоде приводят д в рост денежных поступлений от операционной и инвестиционной деятельности в будущем;

      — коэффициент ликвидности денежного потока от инвестиционной деятельности, который рассчитывается как отношение поступлений

      денежных средств от инвестиционной деятельности в соответствующих расходов средств за период. Если данный показатель меньше 1, то предприятие для финансирования инвестиций дополнительно привлекает инвестиционные ресурсы, с сформированные по другим видам деятельности — операционной и финансовой. Уменьшение показателя указывает на увеличение использования операционной прибыли, амортизационных отчислений, заемного капитала в реал ции инвестиционных заданиемнь.

      — коэффициент эффективности денежного потока от инвестиционной деятельности, который показывает объем чистого денежного потока от инвестиционной деятельности в расчете на 1 денежную единицу использовании денежных их средств для реального и финансового инвестирования. Отрицательное значение этого показателя не всегда указывает неэффективность инвестиционной деятельности, поскольку преобладание инвестиционных расходов над поступаю нням денежных средств в текущем периоде при низкой рискованности и высокой эффективности соответствующих инвестиций может привести будущий рост коэффициента эффективности денежного потока. Рост д а ноги показателя всегда оценивается положительно, поскольку указывает на рост доходности инвестицииій.

      Десять вещей, которые следует учесть перед принятием инвестиционного решения


      Инвестируйте с умом: введение в паевые инвестиционные фонды. В этой публикации объясняются основы инвестирования паевых инвестиционных фондов, как работают паевые инвестиционные фонды, какие факторы следует учитывать перед инвестированием и как избежать распространенных ошибок.
      /investor/pubs/inwsmf.htm


      Финансовая навигация в текущей экономике: десять вещей, которые следует учесть, прежде чем принимать инвестиционные решения

      Учитывая недавние рыночные события, у вас может возникнуть вопрос, следует ли вам вносить изменения в свой инвестиционный портфель.Управление по обучению и защите интересов инвесторов SEC обеспокоено тем, что некоторые инвесторы, в том числе охотники за скидками и продавцы матрасов, принимают быстрые инвестиционные решения, не учитывая свои долгосрочные финансовые цели. Хотя мы не можем рассказать вам, как управлять своим инвестиционным портфелем во время нестабильного рынка, мы выпускаем это Уведомление для инвесторов, чтобы дать вам инструменты для принятия обоснованного решения. Прежде чем принимать какое-либо решение, рассмотрите следующие важные области:

      1. Составьте личную финансовую дорожную карту.

      Прежде чем принимать какое-либо решение об инвестировании, сядьте и честно взгляните на свое финансовое положение в целом, особенно если вы никогда раньше не составляли финансовый план.

      Первый шаг к успешному инвестированию — это определение своих целей и толерантности к риску — самостоятельно или с помощью финансового профессионала. Нет никаких гарантий, что вы заработаете деньги на своих инвестициях. Но если вы получите факты о сбережениях и инвестировании и будете следовать разумному плану, вы сможете обрести финансовую безопасность на протяжении многих лет и пользоваться преимуществами управления своими деньгами.

      2. Оцените свою зону комфорта при принятии риска.

      Все инвестиции связаны с определенной степенью риска. Если вы собираетесь покупать ценные бумаги, такие как акции, облигации или паевые инвестиционные фонды, перед инвестированием важно понять, что вы можете потерять часть или все свои деньги. В отличие от вкладов в банках, застрахованных FDIC, и кредитных союзах, застрахованных NCUA, деньги, которые вы вкладываете в ценные бумаги, обычно не застрахованы на федеральном уровне. Вы можете потерять свою основную сумму, то есть сумму, которую вы вложили.Это верно, даже если вы покупаете инвестиции через банк.

      Вознаграждение за риск — это потенциал для большей прибыли от инвестиций. Если у вас есть финансовая цель с длительным временным горизонтом, вы, вероятно, заработаете больше денег, осторожно инвестируя в категории активов с большим риском, такие как акции или облигации, вместо того, чтобы ограничивать свои инвестиции активами с меньшим риском, такими как эквиваленты денежных средств. С другой стороны, вложение исключительно в денежные вложения может быть подходящим для краткосрочных финансовых целей.Основная проблема для физических лиц, вкладывающих средства в эквиваленты денежных средств, — это риск инфляции, то есть риск того, что инфляция превысит темп и снизит доходность с течением времени.

      Депозиты, застрахованные на федеральном уровне, в банках и кредитных союзах — Если вы не уверены, что ваши депозиты полностью обеспечены доверием и доверием правительства США, это легко выяснить. Чтобы узнать о банковских счетах, перейдите на сайт www.myfdicinsurance.gov. Для счетов кредитных союзов перейдите по адресу http://webapps.ncua.gov/Ins/.

      3.Рассмотрите подходящий набор инвестиций.

      Включая в портфель категории активов с инвестиционной доходностью, которые изменяются вверх и вниз при различных рыночных условиях, инвестор может помочь защититься от значительных потерь. Исторически сложилось так, что доходность трех основных категорий активов — акций, облигаций и денежных средств — не меняется одновременно вверх и вниз. Рыночные условия, которые приводят к хорошему росту одной категории активов, часто приводят к тому, что другая категория активов имеет среднюю или низкую доходность.Инвестируя более чем в одну категорию активов, вы уменьшите риск потери денег, и общая доходность вашего портфеля будет более плавной. Если инвестиционная доходность одной категории активов упадет, вы сможете противодействовать своим убыткам в этой категории активов за счет более высокой доходности инвестиций в другую категорию активов.

      Кроме того, распределение активов важно, потому что оно оказывает большое влияние на то, достигнете ли вы своей финансовой цели. Если вы не включите в свой портфель достаточный риск, ваши инвестиции могут не принести достаточно большой доход для достижения вашей цели.Например, если вы делаете сбережения для долгосрочной цели, такой как выход на пенсию или обучение в колледже, большинство финансовых экспертов согласны с тем, что вам, вероятно, потребуется включить в свой портфель хотя бы некоторые акции или паевые инвестиционные фонды.

      Фонды жизненного цикла — Чтобы приспособить инвесторов, которые предпочитают использовать одну инвестицию для сбережений для определенной инвестиционной цели, такой как выход на пенсию, некоторые компании взаимных фондов начали предлагать продукт, известный как «фонд жизненного цикла». Фонд жизненного цикла — это диверсифицированный паевой инвестиционный фонд, который автоматически переходит к более консервативному сочетанию инвестиций по мере приближения определенного года в будущем, известного как его «плановая дата».«Инвестор фонда жизненного цикла выбирает фонд с правильной целевой датой на основе его или ее конкретной инвестиционной цели. Затем менеджеры фонда принимают все решения о распределении активов, диверсификации и ребалансировке. Определить фонд жизненного цикла легко, потому что его название скорее всего, будет относиться к его целевой дате. Например, вы можете увидеть фонды жизненного цикла с такими названиями, как « Portfolio 2015 », « Retirement Fund 2030 » или « Target 2045 ».

      4.Будьте осторожны, вкладывая большие средства в акции работодателя или отдельные акции.

      Один из наиболее важных способов снизить риски инвестирования — это диверсифицировать ваши вложения. Здравый смысл: не кладите все яйца в одну корзину. Выбрав правильную группу инвестиций в категории активов, вы сможете ограничить свои потери и уменьшить колебания доходности инвестиций, не жертвуя слишком большой потенциальной прибылью.

      Вы подвергнетесь значительному инвестиционному риску, если вложите значительные средства в акции своего работодателя или любые отдельные акции.Если эти акции плохо пойдут или компания обанкротится, вы, вероятно, потеряете много денег (и, возможно, свою работу).

      5. Создать и поддерживать резервный фонд.

      Большинство умных инвесторов вкладывают достаточно денег в сберегательный продукт, чтобы покрыть чрезвычайную ситуацию, например, внезапную безработицу. Некоторые следят за тем, чтобы у них было до шести месяцев своего дохода в виде сбережений, чтобы они знали, что они будут абсолютно рядом, когда они им понадобятся.

      6. Выплата долга по кредитной карте с высокой процентной ставкой.

      Нигде не существует инвестиционной стратегии, которая окупалась бы так же хорошо или с меньшим риском, чем простое погашение всей вашей задолженности с высокими процентами. Если у вас есть задолженность по кредитным картам с высокой процентной ставкой, самое разумное, что вы можете сделать при любых рыночных условиях, — это как можно быстрее полностью погасить остаток.

      7. Рассмотрите усреднение долларовой стоимости.

      С помощью инвестиционной стратегии, известной как «усреднение долларовой стоимости», вы можете защитить себя от риска вложить все свои деньги в неподходящее время, следуя последовательной схеме добавления новых денег к своим инвестициям в течение длительного периода времени.Делая регулярные инвестиции с одинаковой суммой денег каждый раз, вы будете покупать больше инвестиций, когда их цена низкая, и меньше инвестиций, когда их цена высока. Лица, которые обычно вносят единовременный взнос на индивидуальный пенсионный счет в конце календарного года или в начале апреля, могут захотеть рассмотреть «усреднение долларовых затрат» в качестве инвестиционной стратегии, особенно на нестабильном рынке.

      8. Воспользуйтесь «бесплатными деньгами» от работодателя.

      Во многих пенсионных планах, спонсируемых работодателем, работодатель будет компенсировать часть или все ваши взносы. Если ваш работодатель предлагает пенсионный план, а вы не вносите достаточно, чтобы получить максимальную отдачу от вашего работодателя, вы упускаете «бесплатные деньги» на свои пенсионные сбережения.

      Держите деньги в рабочем состоянии — В большинстве случаев план на рабочем месте является наиболее эффективным способом накопления на пенсию. Тщательно обдумайте возможные варианты, прежде чем брать деньги по пенсионному плану.В частности, избегайте использования дебетовой карты 401 (k), за исключением крайних случаев. Деньги, которые вы занимаете сейчас, уменьшат сбережения, которые могут расти с годами, и, в конечном итоге, то, что у вас будет, когда вы выйдете на пенсию. Кроме того, если вы не погасите ссуду, вы можете заплатить федеральный подоходный налог и штрафы.

      9. Время от времени рассматривайте возможность ребалансировки портфеля.

      Ребалансировка возвращает ваш портфель к исходной структуре распределения активов. Путем ребалансировки вы убедитесь, что в вашем портфеле не слишком много внимания уделяется одной или нескольким категориям активов, и вернете свой портфель к комфортному уровню риска.

      Придерживайтесь своего плана: покупайте дешево, продавайте дорого — Перенести деньги из категории активов, когда она хорошо работает, в пользу категории активов, которая работает плохо, может быть нелегко, но это может быть мудрым шагом. Урезая текущих «победителей» и добавляя больше текущих так называемых «проигравших», ребалансировка вынуждает вас покупать дешево и продавать дорого.

      Вы можете перебалансировать свой портфель на основе календаря или ваших инвестиций. Многие финансовые эксперты рекомендуют инвесторам перебалансировать свои портфели через регулярные промежутки времени, например, каждые шесть или двенадцать месяцев.Преимущество этого метода в том, что календарь является напоминанием о том, когда вам следует подумать о перебалансировке. Другие рекомендуют перебалансировать только тогда, когда относительный вес класса активов увеличивается или уменьшается более чем на определенный процент, который вы определили заранее. Преимущество этого метода заключается в том, что ваши вложения сообщают вам, когда проводить ребалансировку. В любом случае, перебалансировка работает лучше всего, если выполняется относительно нечасто.

      10. Избегайте обстоятельств, которые могут привести к мошенничеству.

      Мошенники тоже читают заголовки. Часто они используют широко разрекламированные новости, чтобы заманить потенциальных инвесторов и сделать их «возможность» более законной. Комиссия по ценным бумагам и биржам рекомендует задавать вопросы и проверять ответы из объективного источника, прежде чем вкладывать средства. Всегда не торопитесь и поговорите с надежными друзьями и членами семьи, прежде чем инвестировать.

      * * *

      Для получения более подробной информации по темам, обсуждаемым в данном Уведомлении для инвесторов, ознакомьтесь со следующими материалами:

      http: // www.sec.gov/investor/pubs/tenthingstoconsider.htm

      10 лучших инвестиций в 2021 году

      Для обеспечения комфортного будущего большинству людей абсолютно необходимы инвестиции. Как показали экономические последствия пандемии коронавируса, внешне стабильная экономика может быстро перевернуться с ног на голову, оставив тех, кто не подготовился, бороться за доходы. Но те, кто смог удержать свои инвестиции, возможно, преуспели, поскольку рынок достиг новых рекордных максимумов еще в 2021 году.

      Но с учетом столь низкой доходности облигаций и CD, астрономических оценок некоторых активов и восстановления экономики, какие шаги следует предпринять инвесторам во второй половине 2021 года? Одна из идей состоит в том, чтобы иметь сочетание более безопасных инвестиций и более рискованных и прибыльных.

      Зачем инвестировать?

      Инвестирование может предоставить вам еще один источник дохода, пополнить ваш пенсионный фонд или даже вывести вас из финансового кризиса. Прежде всего, инвестирование увеличивает ваше богатство, помогая вам достичь ваших финансовых целей и со временем увеличивая вашу покупательную способность.Или, может быть, вы недавно продали свой дом или заработали немного денег. Это мудрое решение позволить этим деньгам работать на вас.

      Хотя инвестирование может увеличить богатство, вам также необходимо сбалансировать потенциальную прибыль с сопутствующим риском. И вам нужно иметь для этого финансовое положение, а это означает, что вам потребуются управляемые уровни долга, достаточный запас на случай чрезвычайных ситуаций и возможность выдерживать взлеты и падения рынка без необходимости иметь доступ к своим деньгам.

      Есть много способов инвестировать — от очень безопасных вариантов, таких как CD и счета денежного рынка, до опционов со средним риском, таких как корпоративные облигации, и даже вариантов с более высоким риском, таких как фонды фондовых индексов.Это отличная новость, потому что это означает, что вы можете найти инвестиции, которые предлагают различную доходность и соответствуют вашему профилю риска. Это также означает, что вы можете комбинировать инвестиции для создания всестороннего и диверсифицированного, то есть более безопасного, портфеля.

      Вот лучшие вложения в 2021 году:

      1. Высокодоходные сберегательные счета
      2. Депозитные сертификаты
      3. Фонды государственных облигаций
      4. Фонды краткосрочных корпоративных облигаций
      5. Фонды муниципальных облигаций
      6. Индексные фонды S&P 500
      7. Дивидендные фонды
      8. Индексные фонды Nasdaq-100
      9. Аренда жилья
      10. Криптовалюта

      Обзор: Лучшие инвестиции в 2021 году

      1.Высокодоходные сберегательные счета

      На высокодоходных сберегательных счетах в Интернете выплачиваются проценты на остаток денежных средств. И так же, как сберегательный счет, на котором можно зарабатывать гроши в обычном банке, высокодоходные сберегательные онлайн-счета являются доступным средством для получения наличных. С меньшими накладными расходами вы обычно можете получать гораздо более высокие процентные ставки в онлайн-банках. Кроме того, обычно вы можете получить доступ к деньгам, быстро переведя их в свой основной банк или, возможно, даже через банкомат.

      Сберегательный счет — хорошее средство для тех, кому в ближайшем будущем понадобится доступ к наличным деньгам.

      Лучшая инвестиция для

      Высокодоходный сберегательный счет хорошо подходит для инвесторов, не склонных к риску, и особенно для тех, кому нужны деньги в краткосрочной перспективе и которые хотят избежать риска того, что они не получат свои деньги обратно.

      Risk

      Банки, которые предлагают эти счета, застрахованы FDIC, поэтому вам не нужно беспокоиться о потере депозита. Хотя высокодоходные сберегательные счета считаются безопасными инвестициями, как и компакт-диски, вы рискуете со временем потерять покупательную способность из-за инфляции, если ставки будут слишком низкими.

      Ликвидность

      Накопительные счета настолько же ликвидны, насколько и ваши деньги. Вы можете добавить или удалить средства в любое время, хотя ваш банк может по закону ограничить вас до шести снятий за период выписки, если он решит это сделать.

      2. Депозитные сертификаты

      Депозитные сертификаты или компакт-диски выпускаются банками и обычно предлагают более высокую процентную ставку, чем сберегательные счета.

      Эти срочные вклады с федеральным страхованием имеют определенные сроки погашения, которые могут варьироваться от нескольких недель до нескольких лет.Поскольку это «срочные вклады», вы не можете снимать деньги в течение определенного периода времени без штрафных санкций.

      При использовании компакт-диска финансовое учреждение выплачивает вам проценты через регулярные промежутки времени. После наступления срока погашения вы получите обратно свою первоначальную основную сумму и все начисленные проценты. Покупки в Интернете выгодны по самым выгодным ценам.

      Благодаря своей безопасности и более высокой выплате компакт-диски могут быть хорошим выбором для пенсионеров, которым не нужен немедленный доход и которые могут немного сберечь свои деньги.Но существует множество типов компакт-дисков, которые соответствуют вашим потребностям, и поэтому вы все равно можете воспользоваться преимуществами более высоких цен на компакт-диски.

      Лучшее вложение за

      Компакт-диск хорошо подходит для инвесторов, не склонных к риску, особенно для тех, кому нужны деньги в определенное время и которые могут связать свои деньги в обмен на немного больший доход, чем они могли бы получить на сберегательном счете.

      Риск

      CD считаются безопасными инвестициями. Но они несут риск реинвестирования — риск того, что при падении процентных ставок инвесторы заработают меньше, если реинвестируют основную сумму и проценты в новые компакт-диски с более низкими ставками, как мы видели в 2020 году.Противоположный риск состоит в том, что ставки вырастут, и инвесторы не смогут воспользоваться преимуществом, потому что они уже заблокировали свои деньги на компакт-дисках.

      Рассмотрите возможность создания компакт-дисков с лестницей — вложения денег в компакт-диски с различными сроками хранения — чтобы все ваши деньги не были привязаны к одному инструменту на долгое время. Важно отметить, что инфляция и налоги могут значительно снизить покупательную способность ваших инвестиций.

      Ликвидность

      CD не так ликвидны, как сберегательные счета или счета денежного рынка, потому что вы блокируете свои деньги до тех пор, пока CD не достигнет срока погашения — часто на месяцы или годы.Получить деньги можно раньше, но за это часто придется заплатить штраф.

      3. Фонды государственных облигаций

      Фонды государственных облигаций — это паевые инвестиционные фонды или ETF, которые инвестируют в долговые ценные бумаги, выпущенные правительством США и его агентствами.

      Фонды инвестируют в долговые инструменты, такие как казначейские векселя, казначейские облигации, казначейские облигации и ценные бумаги с ипотечным покрытием, выпущенные спонсируемыми государством предприятиями, такими как Fannie Mae и Freddie Mac. Эти фонды государственных облигаций хорошо подходят для инвесторов с низким уровнем риска.

      Эти фонды также могут быть хорошим выбором для начинающих инвесторов и тех, кто ищет денежный поток.

      Лучшее вложение для

      Фонды государственных облигаций могут хорошо работать для инвесторов, не склонных к риску, хотя некоторые типы фондов (например, фонды долгосрочных облигаций) могут колебаться намного больше, чем краткосрочные фонды, из-за изменений процентной ставки.

      Риск

      Фонды, которые инвестируют в государственные долговые инструменты, считаются одними из самых безопасных вложений, поскольку облигации обеспечены полной верой и кредитом США.Правительство С.

      Однако, как и другие паевые инвестиционные фонды, сам фонд не имеет государственной поддержки и подвержен таким рискам, как колебания процентных ставок и инфляция. Если инфляция возрастет, покупательная способность может снизиться. Если процентные ставки повышаются, цены существующих облигаций падают; и если процентные ставки снижаются, цены существующих облигаций вырастут. Риск процентной ставки выше для долгосрочных облигаций.

      Ликвидность

      Доли фонда облигаций высоколиквидны, но их стоимость колеблется в зависимости от среды процентных ставок.

      4. Фонды краткосрочных корпоративных облигаций

      Корпорации иногда привлекают деньги, выпуская облигации инвесторам, и они могут быть объединены в фонды облигаций, которые владеют облигациями, выпущенными потенциально сотнями корпораций. Краткосрочные облигации имеют средний срок погашения от одного до пяти лет, что делает их менее подверженными колебаниям процентных ставок, чем средне- или долгосрочные облигации.

      Фонды корпоративных облигаций могут быть отличным выбором для инвесторов, которым нужен денежный поток, например для пенсионеров или тех, кто хочет снизить общий риск своего портфеля, но при этом получить доход.

      Лучшая инвестиция для

      Фонды краткосрочных корпоративных облигаций могут быть хороши для не склонных к риску инвесторов, которые хотят немного большей доходности, чем фонды государственных облигаций.

      Риск

      Как и в случае с другими фондами облигаций, фонды краткосрочных корпоративных облигаций не застрахованы FDIC. Фонды краткосрочных облигаций инвестиционного уровня часто приносят инвесторам более высокую доходность, чем фонды государственных и муниципальных облигаций.

      Но большее вознаграждение сопряжено с дополнительным риском. Всегда есть шанс, что компаниям будет понижен кредитный рейтинг или они столкнутся с финансовыми проблемами и дефолтом по облигациям.Чтобы снизить этот риск, убедитесь, что ваш фонд состоит из высококачественных корпоративных облигаций.

      Ликвидность

      Вы можете покупать или продавать доли своего фонда каждый рабочий день. Кроме того, вы обычно можете реинвестировать дивиденды дохода или сделать дополнительные инвестиции в любое время. Просто имейте в виду, что возможны потери капитала.

      5. Фонды муниципальных облигаций

      Фонды муниципальных облигаций инвестируют в различные муниципальные облигации, или муниципальные облигации, выпущенные правительствами штата и местными органами власти.Заработанные проценты, как правило, не облагаются федеральным подоходным налогом, а также могут освобождаться от налогов штата и местных налогов, что делает их особенно привлекательными для инвесторов в штатах с высокими налогами или с высокими налоговыми категориями.

      Облигации Muni можно покупать индивидуально, через паевой инвестиционный фонд или биржевой фонд. Вы можете проконсультироваться с финансовым консультантом, чтобы подобрать для вас подходящий тип инвестиций, но вы можете выбрать те, которые находятся в вашем штате или местности, для получения дополнительных налоговых преимуществ.

      Фонды муниципальных облигаций отлично подходят для начинающих инвесторов, потому что они предлагают диверсифицированные позиции, при этом инвестору не нужно анализировать отдельные облигации.Они также хороши для инвесторов, которым нужен денежный поток.

      Лучшее вложение за

      Муниципальные облигации — хороший выбор для инвесторов, живущих в штатах с высокими налогами, что позволяет им избежать сборов и получать доход. Их более низкая доходность может сделать их менее привлекательными для инвесторов в странах с низкими налогами или государствами с низкими налогами.

      Риск

      Отдельные облигации несут риск дефолта, что означает, что эмитент лишается возможности производить дальнейшие выплаты дохода или основной суммы долга. Города и штаты не часто становятся банкротами, но это может случиться, и исторически муниципальные облигации были очень безопасными, хотя суровый 2020 год немного поставил эту безопасность под сомнение.

      Облигации также могут быть отзывными, что означает, что эмитент возвращает основную сумму и погашает облигацию до даты погашения облигации. Это приводит к потере будущих процентных выплат инвестору. Облигационный фонд позволяет распределить потенциальные риски дефолта и досрочного погашения, владея большим количеством облигаций, тем самым смягчая удар негативных сюрпризов от небольшой части портфеля.

      Ликвидность

      Вы можете покупать или продавать доли своего фонда каждый рабочий день. Кроме того, вы, как правило, можете реинвестировать дивиденды дохода или сделать дополнительные инвестиции в любое время.

      6. Индексные фонды S&P 500

      Если вы хотите добиться более высокой доходности, чем более традиционные банковские продукты или облигации, хорошей альтернативой является индексный фонд S&P 500, хотя он и отличается большей волатильностью.

      Фонд основан примерно на пятистах крупнейших американских компаниях, что означает, что он включает в себя многие из самых успешных компаний в мире. Например, Amazon и Berkshire Hathaway — две самые известные компании-участники индекса.

      Как почти любой фонд, индексный фонд S&P 500 предлагает немедленную диверсификацию, позволяя вам владеть частью всех этих компаний.В фонд входят компании из всех отраслей, что делает его более устойчивым, чем многие инвестиции. Со временем индекс приносил около 10% годовых. Эти фонды могут быть приобретены с очень низким коэффициентом расходов (сколько управленческая компания взимает за управление фондом), и они являются одними из лучших индексных фондов.

      Индексный фонд S&P 500 — отличный выбор для начинающих инвесторов, поскольку он обеспечивает широкий, диверсифицированный доступ к фондовому рынку.

      Лучшая инвестиция для

      Индексный фонд S&P 500 — хороший выбор для любого инвестора в акции, который ищет диверсифицированные инвестиции и может оставаться в нем не менее трех-пяти лет.

      Риск

      Фонд S&P 500 — один из менее рискованных способов инвестирования в акции, поскольку он состоит из ведущих компаний рынка и отличается высокой степенью диверсификации. Конечно, он по-прежнему включает акции, поэтому он будет более волатильным, чем облигации или любые банковские продукты. Он также не застрахован государством, поэтому вы можете потерять деньги из-за колебаний стоимости. Однако с течением времени индекс показал неплохие результаты.

      Индекс закрыл 2020 год вблизи рекордных максимумов после сильного отскока и начал уверенно в 2021 году, поэтому инвесторы, возможно, захотят действовать осторожно и придерживаться своего долгосрочного инвестиционного плана, а не торопиться.

      Ликвидность

      Индексный фонд S&P 500 является высоколиквидным, и инвесторы могут купить или продать его в любой день открытия рынка.

      7. Дивидендные фонды акций

      Даже ваши вложения на фондовый рынок могут стать немного безопаснее с акциями, по которым выплачиваются дивиденды.

      Дивиденды — это часть прибыли компании, которая может выплачиваться акционерам, как правило, ежеквартально. Располагая дивидендными акциями, вы можете не только получить прибыль от своих инвестиций за счет долгосрочного повышения рыночной стоимости, но и заработать деньги в краткосрочной перспективе.

      Покупка отдельных акций, вне зависимости от того, выплачивают они дивиденды или нет, больше подходит для средних и продвинутых инвесторов. Но вы можете купить их группу в фондовый фонд и снизить риск.

      Лучшая инвестиция для

      Дивидендные фонды акций — хороший выбор практически для любого инвестора в акции, но могут быть лучше для тех, кто ищет доход. Они могут оказаться привлекательными для тех, кому нужен доход и которые могут продолжать инвестировать в течение более длительного периода времени.

      Риск

      Как и любые инвестиции в акции, дивидендные акции сопряжены с риском.Они считаются более безопасными, чем акции роста или другие недивидендные акции, но вы должны тщательно выбирать свой портфель.

      Убедитесь, что вы инвестируете в компании с солидной историей увеличения дивидендов, а не выбираете компании с самой высокой текущей доходностью. Это могло быть признаком предстоящих неприятностей. Однако даже хорошо зарекомендовавшие себя компании могут пострадать от кризиса, поэтому хорошая репутация, наконец, не является защитой от сокращения компанией своих дивидендов или их полного устранения.

      Ликвидность

      Вы можете покупать и продавать свой фонд в любой день, когда рынок открыт, а ежеквартальные выплаты являются ликвидными.Долгосрочные инвестиции являются ключевыми для получения максимальной отдачи от ваших дивидендных вложений в акции. Вы должны стремиться реинвестировать свои дивиденды для получения максимальной прибыли.

      8. Индексные фонды Nasdaq-100

      Индексные фонды, основанные на Nasdaq-100, являются отличным выбором для инвесторов, которые хотят иметь доступ к одним из крупнейших и лучших технологических компаний без необходимости выбирать победителей и проигравших или иметь для анализа конкретных компаний.

      Фонд основан на 100 крупнейших компаниях Nasdaq, что означает, что они являются одними из самых успешных и стабильных.К таким компаниям относятся Apple и Facebook, каждая из которых составляет значительную часть общего индекса. Microsoft — еще одна известная компания-член.

      Индексный фонд Nasdaq-100 предлагает вам немедленную диверсификацию, так что ваш портфель не будет подвержен банкротству какой-либо отдельной компании. Лучшие индексные фонды Nasdaq взимают очень низкий коэффициент расходов, и они представляют собой дешевый способ владеть всеми компаниями в индексе.

      Лучшая инвестиция за

      Индексный фонд Nasdaq-100 — хороший выбор для инвесторов в акции, которые стремятся к росту и хотят иметь дело со значительной волатильностью.Инвесторы должны иметь возможность держать его не менее трех-пяти лет.

      Риск

      Как и любая публично торгуемая акция, эта совокупность акций также может двигаться вниз. В то время как Nasdaq-100 включает в себя одни из самых сильных технологических компаний, эти компании также обычно являются одними из самых высоко оцененных. Такая высокая оценка означает, что они, вероятно, склонны к быстрому падению во время спада, хотя они могут снова вырасти во время восстановления экономики.

      Ликвидность

      Как и другие публичные индексные фонды, индексный фонд Nasdaq легко конвертируется в наличные в любой день открытия рынка.

      9. Аренда жилья

      Аренда жилья может быть отличным вложением, если у вас есть желание управлять своей собственностью. А поскольку в последнее время ставки по ипотечным кредитам достигли рекордно низкого уровня, это может быть прекрасным временем для финансирования покупки новой недвижимости, хотя нестабильная экономика может усложнить ее фактическое управление, поскольку арендаторы могут с большей вероятностью объявить дефолт из-за безработицы. .

      Чтобы продолжить этот путь, вам нужно будет выбрать подходящую недвижимость, профинансировать ее или купить сразу, поддерживать ее и иметь дело с арендаторами.Вы можете преуспеть, если будете делать разумные покупки. Однако вам не понравится легкость покупки и продажи активов на фондовом рынке одним щелчком мыши или касанием устройства с подключением к Интернету. Хуже того, вам, возможно, придется терпеть случайные звонки в 3 часа ночи о сломанной трубе.

      Но если вы будете удерживать свои активы в течение долгого времени, постепенно выплачивать долги и повышать арендную плату, у вас, вероятно, будет мощный денежный поток, когда придет время выходить на пенсию.

      Лучшая инвестиция для

      Аренда жилья — хорошая инвестиция для долгосрочных инвесторов, которые хотят управлять своей собственностью и генерировать регулярный денежный поток.

      Риск

      Как и за любой актив, за жилье можно переплатить, как выяснили инвесторы в середине 2000-х годов. При низких процентных ставках и ограниченном предложении жилья цены на жилье в 2020 и 2021 годах резко выросли, несмотря на трудности экономики. Кроме того, нехватка ликвидности может стать проблемой, если вам когда-либо понадобится быстро получить доступ к наличным деньгам. Возможно, вам придется выложить серьезные деньги на некоторые расходы, например, на новую крышу или кондиционер, если они понадобятся. Конечно, вы рискуете остаться пустым, пока вы все еще платите по ипотеке.

      Ликвидность

      Жилье относится к наименее ликвидным инвестициям, поэтому, если вам срочно нужны наличные, инвестирование в арендуемую недвижимость может быть не для вас (хотя возможен рефинансирование с выплатой наличными или кредит на покупку собственного капитала). А если вы продаете, брокер может взять до 6 процентов от максимальной цены продажи в качестве комиссии.

      10. Криптовалюта

      Криптовалюта — это разновидность цифровой электронной валюты, которая предназначена для использования в качестве средства обмена. Он стал популярным в последнее десятилетие, когда биткойн стал ведущей цифровой валютой.В частности, криптовалюта стала популярной в последние несколько лет, поскольку доллары влетели в актив, подняв цены и привлекая к действию еще больше трейдеров.

      Биткойн — наиболее широко доступная криптовалюта, и ее цена сильно колеблется, что привлекает многих трейдеров. Например, с цены ниже 10 000 долларов за монету в начале 2020 года биткойн взлетел примерно до 30 000 долларов в начале 2021 года. Вскоре после этого он удвоился, а затем снова упал.

      В отличие от других перечисленных здесь активов, он не поддерживается Федеральной корпорацией по страхованию депозитов (FDIC) или денежными средствами правительства или компании.Его ценность определяется исключительно тем, сколько трейдеры будут за это платить.

      Лучшее вложение за

      Криптовалюта хороша для инвесторов, ищущих риска, которые не будут возражать, если их вложения упадут до нуля в обмен на возможность гораздо более высокой доходности. Это не лучший выбор для инвесторов, не склонных к риску, или тех, кто нуждается в надежных инвестициях.

      Риск

      Криптовалюта имеет очень значительные риски, в том числе те, которые могут превратить любую отдельную валюту в полный ноль, например быть вне закона.Цифровые валюты очень волатильны и могут стремительно падать (или расти) даже за очень короткие промежутки времени, а цена полностью зависит от того, сколько трейдеры будут платить. Трейдеры также подвергаются некоторому риску быть взломанными, учитывая некоторые громкие кражи в прошлом. А если вы инвестируете в криптовалюты, вам нужно будет выбрать победителей, которым удастся остаться, хотя многие вполне могут полностью исчезнуть.

      Ликвидность

      Криптовалюты, как правило, ликвидны, особенно такие основные, как Биткойн и Эфириум, и вы можете покупать и продавать их в любое время суток.Однако комиссионные по ним, как правило, очень высоки (по сравнению с типичными инвестициями, такими как акции), и вам нужно будет увидеть значительное повышение, чтобы просто выйти на уровень безубыточности. Поэтому важно найти лучшего брокера, чтобы свести к минимуму эти расходы.

      Что следует учитывать

      Когда вы решаете, во что инвестировать, вам нужно учитывать ряд факторов, включая вашу терпимость к риску, временной горизонт, ваши знания об инвестировании, ваше финансовое положение и то, сколько вы можете инвестировать .

      Если вы хотите приумножить богатство, вы можете выбрать менее рискованные инвестиции, которые приносят скромную прибыль, или вы можете взять на себя больший риск и стремиться к более высокой доходности.Обычно при инвестировании приходится выбирать между риском и доходностью. Или вы можете использовать сбалансированный подход, имея абсолютно безопасные денежные вложения, но при этом оставляя себе возможность для долгосрочного роста.

      Лучшие инвестиции на 2021 год позволяют делать и то, и другое, с разными уровнями риска и доходности.

      Допуск к риску

      Допуск к риску означает, насколько вы можете выдержать колебания стоимости ваших инвестиций. Готовы ли вы пойти на большой риск, чтобы потенциально получить большую прибыль? Или вам нужно более консервативное портфолио? Терпимость к риску может быть психологической, а не только той, которую требует ваша личная финансовая ситуация.

      Консервативным инвесторам или тем, кто приближается к пенсии, может быть удобнее направить больший процент своих портфелей на менее рискованные инвестиции. Они также отлично подходят для людей, откладывающих как на краткосрочные, так и на среднесрочные цели. Если рынок станет нестабильным, вложения в компакт-диски и другие счета, защищенные FDIC, не потеряют в цене и будут там, когда они вам понадобятся.

      Те, у кого более сильный желудок, работники, все еще накапливающие пенсионное яйцо, и те, у кого есть десятилетие или больше, пока им не понадобятся деньги, вероятно, будут лучше справляться с более рискованными портфелями, если они диверсифицируются.Более длительный временной горизонт позволяет, например, выдержать волатильность акций и воспользоваться их потенциально более высокой доходностью.

      Временной горизонт

      Временной горизонт означает просто, когда вам нужны деньги. Деньги нужны завтра или через 30 лет? Вы откладываете деньги на первоначальный взнос за дом через три года или собираетесь потратить свои деньги на пенсию? Временной горизонт определяет, какие виды инвестиций более уместны.

      Если у вас более короткий временной горизонт, вам нужно, чтобы деньги находились на счете в определенный момент времени и не были связаны.А это означает, что вам нужны более безопасные инвестиции, такие как сберегательные счета, компакт-диски или, возможно, облигации. Они меньше колеблются и, как правило, безопаснее.

      Если у вас более длительный временной горизонт, вы можете позволить себе пойти на некоторые риски с более высокой доходностью, но более волатильными инвестициями. Ваш временной горизонт позволяет вам пережить взлеты и падения рынка, надеюсь, на пути к более высокой долгосрочной доходности. При более длительном временном горизонте вы можете инвестировать в акции и фонды акций, а затем иметь возможность удерживать их не менее трех-пяти лет.

      Важно, чтобы ваши инвестиции соответствовали вашему временному горизонту. Вы же не хотите вкладывать деньги за аренду в следующем месяце на фондовый рынок и надеяться, что они появятся там, когда они вам понадобятся.

      Ваши знания

      Ваши знания в области инвестирования играют ключевую роль в том, во что вы инвестируете. Такие инвестиции, как сберегательные счета и компакт-диски, не требуют особых знаний, особенно с учетом того, что ваш счет защищен FDIC. Но рыночные продукты, такие как акции и облигации, требуют дополнительных знаний.

      Если вы хотите инвестировать в активы, требующие дополнительных знаний, вам нужно развить их понимание. Например, если вы хотите инвестировать в отдельные акции, вам нужно хорошо знать компанию, отрасль, продукты, конкурентную среду, финансы компании и многое другое. У многих нет времени вкладывать средства в этот процесс.

      Однако есть способы воспользоваться преимуществами рынка, даже если у вас мало знаний. Один из лучших — индексный фонд, который включает коллекцию акций.Если какая-либо отдельная акция работает плохо, это, скорее всего, не сильно повлияет на индекс. По сути, вы инвестируете в доходность десятков, если не сотен акций, что, скорее, является ставкой на общую динамику рынка.

      Итак, вы захотите понять свои знания и их пределы, когда думаете об инвестициях.

      Сколько вы можете инвестировать

      Сколько вы можете вложить в инвестиции? Чем больше денег вы можете вложить, тем больше вероятность того, что стоит изучить более рискованные и прибыльные инвестиции.

      Если вы можете принести больше денег, возможно, стоит потратить время, необходимое для понимания конкретной акции или отрасли, поскольку потенциальные выгоды намного выше, чем при использовании банковских продуктов, таких как компакт-диски.

      В противном случае это может не стоить вашего времени. Таким образом, вы можете придерживаться банковских продуктов или обратиться к ETF или паевым инвестиционным фондам, которые требуют меньше временных вложений. Эти продукты также могут быть полезны для тех, кто хочет добавлять в аккаунт постепенно, как это делают участники 401 (k).

      Как инвестировать свой стимулирующий чек

      Если вы получили стимулирующий чек и думаете об инвестировании, вам нужно сначала рассмотреть несколько вопросов. Инвестирование предназначено для денег, без которых вы можете жить, а не для денег, которые вам скоро понадобятся:

      • У вас есть немедленные расходы, с которыми у вас могут возникнуть проблемы с оплатой?
      • Есть ли у вас чрезвычайный фонд, в котором накоплены как минимум шесть месяцев?
      • У вас есть значительная непогашенная задолженность?

      Прежде чем делать инвестиции, важно контролировать свое текущее финансовое положение.

      У вас есть несколько способов вложить деньги, включая варианты, указанные выше. Если вы хотите инвестировать в акции, облигации или фонды, вам понадобится счет у брокера. Если вы предпочитаете, чтобы за вас инвестировал кто-то другой, отличный вариант — обратиться к робо-консультанту. Вы заплатите небольшую комиссию за управление, а все остальное сделает робот-консультант.

      Если вы новый инвестор, подумайте о том, чтобы выбрать более безопасные варианты инвестирования. Такие инвестиции, как индексный фонд S&P 500 или индексный фонд Nasdaq-100, как правило, более безопасны, чем портфель из нескольких отдельных акций.Робо-консультант также может помочь вам с этим выбором, и цена будет разумной.

      Bottom line

      Инвестирование может быть отличным способом накопить ваше богатство с течением времени, и у инвесторов есть ряд вариантов инвестирования, от безопасных активов с более низкой доходностью до более рискованных и высокодоходных. Этот диапазон означает, что вам нужно понимать плюсы и минусы каждого варианта инвестирования и то, как они вписываются в ваш общий финансовый план, чтобы принять обоснованное решение. Поначалу это кажется сложным, но многие инвесторы управляют своими собственными активами.

      Но первый шаг к инвестированию на самом деле прост: открытие брокерского счета. Инвестиции могут быть на удивление доступными, даже если у вас мало денег. (Вот некоторые из лучших брокеров на выбор, если вы только начинаете.)

      Обзор 10 лучших инвестиций в 2021 году

      1. Высокодоходные сберегательные счета
      2. Депозитные сертификаты
      3. Фонды государственных облигаций
      4. Фонды краткосрочных корпоративных облигаций
      5. Фонды муниципальных облигаций
      6. Индексные фонды S&P 500
      7. Дивидендные фонды
      8. Индексные фонды Nasdaq-100
      9. Аренда жилья
      10. Криптовалюта

      Подробнее:

      От редакции: всем инвесторам рекомендуется провести собственное независимое исследование инвестиционных стратегий, прежде чем принимать инвестиционное решение.Кроме того, инвесторам сообщают, что результаты прошлых инвестиционных продуктов не являются гарантией повышения цен в будущем.

      Как инвестировать деньги: умные способы начать работу

      Вложение денег в фондовый рынок — это американцы номер 1, которые создают богатство и откладывают их для долгосрочных целей, таких как выход на пенсию, но при этом выясняют, как лучше всего инвестировать деньги. устрашающе. Это не должно быть так.

      Лучший способ вложить деньги: пошаговое руководство

      У каждого свое финансовое положение.Лучший способ вложения денег зависит от ваших личных предпочтений, а также от ваших текущих и будущих финансовых обстоятельств. При составлении надежного финансового плана и выборе наилучшего способа инвестирования для вас важно иметь подробное представление о своих доходах и расходах, активах и обязательствах, обязанностях и целях.

      Вот пятиступенчатый процесс, который поможет вам понять, как вложить свои деньги прямо сейчас:

      1. Определите свои финансовые цели, временные рамки и отношение к риску.

      2. Решите, хотите ли вы использовать подход «сделай сам» или «сделай это за меня».

      3. Выберите тип инвестиционного счета, который вы будете использовать (401 (k), IRA, налоговый брокерский счет, образовательный инвестиционный счет).

      5. Выберите, какие инвестиции соответствуют вашей устойчивости к риску (акции, облигации, паевые инвестиционные фонды, недвижимость).

      А вот подробности о том, как сразу же правильно заставить свои деньги работать.

      1.Дайте своим деньгам цель

      Определение того, как инвестировать деньги, начинается с определения ваших инвестиционных целей, когда вам нужно или вы хотите их достичь, и вашего уровня комфорта с риском для каждой цели.

      • Долгосрочные цели: Универсальной целью часто является выход на пенсию, но у вас могут быть и другие цели: хотите ли вы внести первоначальный взнос за обучение на дому или в колледже? Купить загородный дом своей мечты или отправиться в юбилейное путешествие через 10 лет?

      • Краткосрочные цели: это каникулы в следующем году, дом, который вы хотите купить в следующем году, чрезвычайный фонд или ваша рождественская копилка.

      В этом посте мы уделяем большое внимание долгосрочным целям. Мы также коснемся того, как инвестировать без конкретной цели. В конце концов, цель приумножить свои деньги сама по себе прекрасная цель.

      2. Решите, какую помощь вы хотите получить

      Как только вы узнаете свои цели, вы можете углубиться в особенности того, как инвестировать (от выбора типа счета до лучшего места для открытия счета и выбора инвестиционных инструментов) . Но если вариант «сделай сам» не похож на вашу чашку чая, не беспокойтесь.

      Многие вкладчики предпочитают, чтобы кто-нибудь вкладывал за них свои деньги. И хотя раньше это было дорогое предложение, в настоящее время оно вполне доступно — даже дешево! — нанять профессиональную помощь благодаря появлению автоматизированных сервисов управления портфелем, известных как робо-консультанты.

      Эти онлайн-консультанты используют компьютерные алгоритмы и передовое программное обеспечение для создания инвестиционного портфеля клиента и управления им, предлагая все, от автоматической перебалансировки до оптимизации налогообложения и даже доступа к человеческой помощи, когда это необходимо.

      Если вы предпочитаете делать это сами, давайте продолжим.

      3. Выберите инвестиционный счет

      Для покупки большинства типов акций и облигаций вам понадобится инвестиционный счет. Так же, как существует несколько банковских счетов для различных целей — чековые, сберегательные, денежный рынок, депозитные сертификаты, — существует и несколько инвестиционных счетов, о которых следует знать.

      Некоторые аккаунты предлагают налоговые льготы, если вы инвестируете с определенной целью, например, для выхода на пенсию. Имейте в виду, что вас могут облагать налогом или штрафовать, если вы заберете деньги раньше срока или по причине, не соответствующей критериям правил плана.Другие учетные записи являются универсальными и должны использоваться для целей, не связанных с выходом на пенсию — дома для отпуска вашей мечты, лодки или ремонта дома в будущем.

      Вот список некоторых из самых популярных инвестиционных счетов:

      Если вы инвестируете на пенсию:

      • 401 (k): у вас уже может быть 401 (k), который предлагают многие работодателей и берет взносы прямо с вашей зарплаты. Многие компании будут соответствовать вашим взносам до определенного предела — если ваш, вы должны внести по крайней мере достаточно, чтобы заработать этот взнос, прежде чем вкладывать средства в другое место.

      • Традиционный или Roth IRA: если вы уже вносите вклад в 401 (k) или у вас его нет, вы можете открыть индивидуальный пенсионный счет. В традиционной IRA ваши взносы не облагаются налогом, но выплаты при выходе на пенсию облагаются налогом как обычный доход. Roth IRA является двоюродным братом традиционной версии с противоположным налоговым режимом: взносы делаются после уплаты налогов, но деньги растут без налогов, а выплаты при выходе на пенсию не облагаются налогом. Существуют также пенсионные счета, специально предназначенные для самозанятых людей.

      Если вы инвестируете с другой целью:

      • Налогооблагаемый счет. Эти гибкие инвестиционные счета, которые иногда называют невыполненными или неквалифицированными счетами, не предназначены для каких-либо конкретных целей. В отличие от пенсионных счетов, здесь нет правил по суммам взносов, и вы можете снять деньги в любое время. Эти счета не имеют особых налоговых преимуществ. Если вы откладываете на пенсию и исчерпали все вышеперечисленные возможности, вы можете продолжать откладывать на налогооблагаемый счет.

      • Сберегательные счета колледжа. Как и пенсионные счета, они предлагают налоговые льготы для сбережений на учебу в колледже. Счет 529 и образовательный сберегательный счет Coverdell обычно используются для сбережений в колледже.

      За исключением 401 (k), который предлагается через вашего работодателя, вы можете открыть эти счета у онлайн-брокера.

      4. Откройте свою учетную запись

      Теперь, когда вы знаете, какой тип учетной записи вам нужен, вам нужно выбрать поставщика учетной записи.Есть два основных варианта:

      • Онлайн-брокер позволит вам самостоятельно управлять своим счетом, покупая и продавая различные инвестиции, включая акции, облигации, фонды и более сложные инструменты. Счет у онлайн-брокера — хороший выбор для инвесторов, которым нужен большой выбор вариантов инвестирования или которые предпочитают практично управлять счетом. Вот как открыть брокерский счет.

      • Робо-консультант в компании по управлению портфелем, которая использует компьютеры для выполнения большей части работы за вас, создавая и управляя портфелем на основе вашей устойчивости к риску и цели.Вы будете платить годовой сбор за управление услугой, обычно от 0,25% до 0,50%. Робо-консультанты часто используют фонды, поэтому они, как правило, не лучший выбор, если вас интересуют отдельные акции или облигации. Но они могут быть идеальными для инвесторов, которые предпочитают держаться подальше.

      Не волнуйтесь, если вы только начинаете. Часто можно открыть счет без начального депозита. (См. Наш список лучших брокеров для начинающих инвесторов.) Конечно, вы не инвестируете, пока не добавите деньги на счет, что вам нужно делать регулярно для достижения наилучших результатов.Вы можете настроить автоматические переводы со своего текущего счета на свой инвестиционный счет или даже напрямую со своей зарплаты, если это разрешено вашим работодателем.

      5. Выберите инвестиции, которые соответствуют вашей толерантности к риску

      Чтобы понять, как инвестировать деньги, нужно спросить, куда вам следует инвестировать деньги (см. Наш полный список лучших инвестиций для любого возраста и дохода). Ответ будет зависеть от ваших целей и готовности пойти на больший риск в обмен на более высокие потенциальные инвестиционные выгоды.Общие инвестиции включают:

      • Акции: отдельные акции (доли собственности) компаний, стоимость которых, по вашему мнению, возрастет.

      • Облигации: Облигации позволяют компании или правительству занимать ваши деньги для финансирования проекта или рефинансирования другого долга. Облигации считаются инвестициями с фиксированным доходом и обычно приносят инвесторам регулярные выплаты процентов. Затем основная сумма возвращается в установленный срок погашения. (Подробнее о том, как работают облигации.)

      • Паевые инвестиционные фонды: Вложение ваших денег в фонды, такие как паевые инвестиционные фонды, индексные фонды или биржевые фонды (ETF), позволяет вам приобретать множество акций, облигаций или других инвестиций по цене. однажды.Паевые инвестиционные фонды обеспечивают мгновенную диверсификацию, объединяя деньги инвесторов и используя их для покупки корзины инвестиций, которые соответствуют заявленной цели фонда. Средства могут активно управляться, когда профессиональный менеджер выбирает используемые инвестиции, или они могут отслеживать индекс. Например, индексный фонд Standard & Poor’s 500 будет содержать 500 крупнейших компаний США.

      • Недвижимость: Недвижимость — это способ диверсифицировать ваш инвестиционный портфель, выходящий за рамки традиционного сочетания акций и облигаций.Это не обязательно означает покупку дома или становление арендодателем — вы можете инвестировать в REIT, которые похожи на паевые инвестиционные фонды для недвижимости, или через онлайн-платформы для инвестирования в недвижимость, которые объединяют деньги инвесторов.

      Для роста инвестируйте в акции и фонды акций

      Если у вас высокая толерантность к риску и вы можете переносить волатильность, вам понадобится портфель, который в основном состоит из акций или фондов акций. Если у вас низкая толерантность к риску, вам понадобится портфель, в котором будет больше облигаций, поскольку они, как правило, более стабильны и менее волатильны.Ваши цели также важны при формировании вашего портфолио. Для долгосрочных целей ваш портфель может быть более агрессивным и брать на себя больше рисков, что может привести к более высокой доходности, поэтому вы, вероятно, захотите владеть большим количеством акций, чем облигаций.

      Какой бы путь вы ни выбрали, лучший способ достичь ваших долгосрочных финансовых целей и минимизировать риски — это распределить деньги между различными типами активов. Это называется распределением активов. Затем в рамках каждого класса активов вы также захотите диверсифицировать несколько инвестиций.

      • Распределение активов важно, потому что разные классы активов — акции, облигации, ETF, паевые инвестиционные фонды, недвижимость — по-разному реагируют на рынок. Когда один наверху, другой может быть внизу. Таким образом, выбор правильного сочетания поможет вашему портфелю на пути к изменению рынков на пути к достижению ваших целей.

      • Диверсификация означает владение рядом активов в различных отраслях, размерах компаний и географических регионах. Это как подмножество распределения активов.

      Создание диверсифицированного портфеля отдельных акций и облигаций требует времени и опыта, поэтому большинство инвесторов извлекают выгоду из вложения фондов. Индексные фонды и ETF, как правило, недороги и просты в управлении, поскольку для создания адекватной диверсификации может потребоваться всего четыре или пять фондов.

      Насколько я понимаю в финансовом отношении?

      Наша дорожная карта инвестиционной стратегии может помочь вам в инвестировании.

      Дополнительные ресурсы

      Теперь вы знаете основы инвестирования и у вас есть деньги, которые вы хотите вложить.Чувствуете, что вам нужна дополнительная информация? Приведенные ниже посты глубже погружаются в то, что мы обсуждали выше.

      Как начать вкладывать деньги впервые

      Обновлено: 7 июля 2021 г., 21:29

      Прежде всего, поздравляю! Вложение денег — самый надежный способ накопить богатство с течением времени. Если вы впервые инвестируете, мы здесь, чтобы помочь вам начать работу. Пора заставить деньги работать на вас.

      Прежде чем вкладывать с трудом заработанные деньги в инвестиционный инструмент, вам потребуется базовое понимание того, как правильно инвестировать деньги. Вот несколько лучших способов вложить деньги:

      Акции

      Акции — это инвестиции в будущий успех компании. Когда вы инвестируете в акции компании, вы получаете прибыль вместе с ними.

      Облигации

      Так же, как заимствование денег является частью жизни для большинства людей, компании и муниципалитеты также занимают деньги, используя облигации.

      Индексные фонды

      Этот популярный инвестиционный инструмент отслеживает рыночный индекс и может помочь сбалансировать ваш портфель.

      ETFs

      Узнайте о торгуемых на бирже фондах или ETF, которые торгуются так же, как акции.

      Однако здесь нет универсального ответа. Лучший способ вложить деньги — тот, который подходит вам больше всего. Чтобы понять это, вам нужно принять во внимание:

      1. Ваш стиль
      2. Ваш бюджет
      3. вашу терпимость к риску.

      1. Ваш стиль —

      Сколько времени вы хотите вложить в свои деньги?

      В инвестиционном мире есть два основных лагеря, когда дело доходит до способов инвестирования денег: активное инвестирование и пассивное инвестирование. Мы считаем, что оба стиля имеют свои достоинства, если вы ориентируетесь на долгосрочную перспективу, а не просто ищете краткосрочные выгоды. Но ваш образ жизни, бюджет, терпимость к риску и интересы могут отдать предпочтение одному типу.

      Активное инвестирование означает, что нужно потратить время на самостоятельное исследование инвестиций, а также на самостоятельное создание и поддержание своего портфеля.Если вы планируете покупать и продавать отдельные акции через онлайн-брокера, вы планируете стать активным инвестором. Чтобы успешно стать активным инвестором, вам понадобятся три вещи:

      • Время: Активное инвестирование требует много домашней работы. Вам нужно будет изучить инвестиционные возможности, провести базовый анализ и следить за своими инвестициями после их покупки.
      • Знание: Все время в мире не поможет, если вы не знаете, , как анализировать инвестиции и правильно исследовать акции.По крайней мере, вы должны быть знакомы с некоторыми основами анализа акций, прежде чем инвестировать в них.
      • Желание: Многие люди просто не хотят, чтобы тратил часы на свои инвестиции. А поскольку пассивные инвестиции исторически приносили высокую прибыль, в этом подходе нет абсолютно ничего плохого. Активное инвестирование, безусловно, имеет потенциал для превосходной прибыли, но вы должны потратить время, чтобы сделать это правильно.

      С другой стороны, пассивное инвестирование эквивалентно установке самолета на автопилот по сравнению с управлением им вручную.Вы все равно получите хорошие результаты в долгосрочной перспективе, а требуемых усилий будет гораздо меньше. Вкратце, пассивное инвестирование подразумевает использование ваших денег в инвестиционных механизмах, где кто-то другой делает тяжелую работу — инвестирование в паевые инвестиционные фонды является примером этой стратегии. Или вы можете использовать гибридный подход. Например, вы можете нанять финансового или инвестиционного консультанта или использовать робо-консультанта для разработки и реализации инвестиционной стратегии от вашего имени.

      Пассивное инвестирование

      Больше простоты, большей стабильности, большей предсказуемости

      • Подход без участия пользователя
      • Умеренная доходность
      • Налоговые преимущества

      Активное инвестирование

      Больше работы, больше риска, больше потенциального вознаграждения

      • Вы инвестируете самостоятельно (или через управляющего портфелем)
      • Много исследований
      • Потенциал огромной, изменяющей жизнь прибыли

      2.Ваш бюджет —

      Сколько денег нужно вложить?

      Вы можете подумать, что вам нужна крупная сумма денег, чтобы открыть портфель, но вы можете начать инвестировать со 100 долларов. У нас также есть отличные идеи для вложения 1000 долларов. Сумма денег, с которой вы начинаете, не самое главное — это обеспечение финансовой готовности к инвестированию и частое инвестирование денег с течением времени.

      Одним из важных шагов перед инвестированием является создание резервного фонда.Это наличные деньги, отложенные в форме, позволяющей их быстро снять. Все инвестиции, будь то акции, паевые инвестиционные фонды или недвижимость, имеют определенный уровень риска, и вы никогда не захотите оказаться вынужденным продать (или продать) эти инвестиции в трудную минуту. Чрезвычайный фонд — ваша подстраховка, чтобы избежать этого.

      Большинство специалистов по финансовому планированию предлагают идеальную сумму для чрезвычайного фонда, достаточную для покрытия шести месяцев расходов. Хотя это, безусловно, хорошая цель, вам не нужно откладывать так много, прежде чем вы сможете инвестировать — дело в том, что вы просто не хотите продавать свои инвестиции каждый раз, когда у вас спустило колесо или у вас возникнет другой всплывают непредвиденные расходы.

      Это также хорошая идея — избавиться от любых долгов с высокими процентами (например, по кредитным картам), прежде чем начинать инвестировать. Подумайте об этом так: фондовый рынок исторически давал доходность 9-10% в год в течение длительных периодов времени. Если вы инвестируете свои деньги в эти типы доходности и одновременно платите 16%, 18% или более высокую годовую процентную ставку своим кредиторам, вы ставите себя в положение, при котором теряют денег в долгосрочной перспективе.

      3. Ваша толерантность к риску —

      На какой финансовый риск вы готовы пойти?

      Не все вложения успешны.Каждый тип инвестиций имеет свой уровень риска, но этот риск часто коррелирует с доходностью. Важно найти баланс между максимальной отдачей от ваших денег и поиском приемлемого для вас уровня риска. Например, облигации предлагают предсказуемую доходность с очень низким риском, но они также дают относительно низкую доходность около 2-3%. В отличие от этого, доходность акций может широко варьироваться в зависимости от компании и временных рамок, но весь фондовый рынок в среднем приносит почти 10% в год.

      Даже внутри широких категорий акций и облигаций могут быть огромные различия в рисках. Например, казначейская облигация или корпоративная облигация с рейтингом AAA — это инвестиция с очень низким уровнем риска, но они, вероятно, будут иметь относительно низкие процентные ставки. Сберегательные счета представляют еще меньший риск, но предлагают меньшее вознаграждение. С другой стороны, высокодоходная облигация может принести больший доход, но сопряжена с большим риском дефолта. В мире акций разница в риске между акциями «голубых фишек», такими как Apple (NASDAQ: AAPL), и акциями пенни огромна.

      Одним из хороших решений для новичков является использование робо-советника для составления инвестиционного плана, который соответствует вашей устойчивости к риску и финансовым целям. Короче говоря, робо-консультант — это услуга, предлагаемая брокерской компанией, которая будет создавать и поддерживать портфель индексных фондов на основе акций и облигаций, предназначенных для максимизации вашего потенциала доходности, сохраняя при этом уровень риска, соответствующий вашим потребностям.

      В этом видео мы рассмотрим:

      0:20 — Чрезвычайный фонд 101

      1:16 — Выбор брокерского счета

      2:00 — Рот против традиционного IRA

      3:35 — Как инвестировать в паевые инвестиционные фонды

      4:16 — Индексные фонды

      5:52 — ETF против паевого фонда

      6:11 — Как инвестировать в ETF

      7:12 — Как инвестировать в облигации

      10:16 — Облигации против акций

      11:14 — Как инвестировать в акции

      Во что вы должны вложить свои деньги ?

      Это сложный вопрос, и, к сожалению, на него нет идеального ответа.Лучший вид инвестиций зависит от ваших инвестиционных целей. Но, основываясь на рекомендациях, описанных выше, вы должны быть в гораздо лучшем положении, чтобы решить, во что вам следует инвестировать.

      Например, если у вас относительно высокая устойчивость к риску, а также время и желание исследовать отдельные акции ( и научиться делать это правильно), это может быть лучшим выходом. Если у вас низкая толерантность к риску, но вы хотите получить более высокую прибыль, чем со сберегательного счета, вложения в облигации (или фонды облигаций) могут быть более подходящими.

      Если вы похожи на большинство американцев и не хотите тратить часы своего времени на свой портфель, разумным выбором может быть вкладывание денег в пассивные инвестиции, такие как индексные фонды или паевые инвестиционные фонды. И если вы действительно хотите использовать невмешательство, робот-советник может быть подходящим для вас.

      Глупый результат

      Вложение денег может показаться пугающим, особенно если вы никогда не делали этого раньше. Однако, если вы выясните: 1. как вы хотите инвестировать, 2.сколько денег вам следует инвестировать, и 3. ваша терпимость к риску, вы будете иметь хорошие возможности для принятия разумных решений с вашими деньгами, которые будут хорошо служить вам на протяжении десятилетий.

      Лучшие безопасные инвестиции на 2021 год — советник Forbes

      От редакции. Советник Forbes может получать комиссию за продажи по партнерским ссылкам на этой странице, но это не влияет на мнения или оценки наших редакторов.

      Неустойчивые, волатильные рынки могут поколебать вашу веру в такие рискованные инвестиции, как акции. Вот почему многие инвесторы вкладывают свои деньги в безопасные инвестиции, когда возникает волатильность. Более стабильные, безопасные инвестиции с низкой доходностью помогают защитить ваши деньги — и даже могут обеспечить умеренный рост в трудные времена.

      Если вы ищете убежище на жестких рынках, эти восемь безопасных инвестиций предлагают меньший риск, чем акции, не говоря уже о душевном спокойствии для ваших инвестиций.

      Высокодоходные сберегательные счета

      Высокодоходные сберегательные счета — это чуть ли не самый безопасный тип счета для ваших денег. Эти банковские счета, застрахованные Федеральной корпорацией страхования депозитов (FDIC), являются высоколиквидными и невосприимчивыми к рыночным колебаниям. Просто имейте в виду, если инфляция выше, чем ваш годовой процентный доход (APY), ваши деньги могут потерять покупательную способность.

      Как правило, процентные ставки для депозитных счетов низкие по всем направлениям — и в обозримом будущем они останутся такими же.Однако вы можете получать скромную прибыль с лучшими сберегательными счетами, даже если они не всегда успевают за инфляцией.

      Депозитные сертификаты

      Если вам не нужен немедленный доступ к наличным деньгам, но вы хотите заработать немного больше, чем сберегательный счет, депозитные сертификаты (компакт-диски) — хороший выбор, — говорит Кевин Мэтьюз, бывший финансовый консультант и основатель веб-сайт инвестиционного образования Building Bread. Кроме того, компакт-диски имеют те же страховые суммы FDIC, что и другие типы депозитных счетов.

      Как и в случае со сберегательными счетами, в ближайшие пару лет процентные ставки по компакт-дискам будут низкими. Хотя ставки могут быть выше по долгосрочным компакт-дискам, помните, что они блокируют ваши деньги, снижая вашу ликвидность, и, как правило, взимают штрафы, если вы снимаете наличные раньше срока (обычно это несколько месяцев процентов). Хотя существуют компакт-диски без штрафов, они обычно имеют более низкую доходность.

      Золото

      Многие инвесторы считают золото самым надежным вложением средств. Просто помните, что в краткосрочной перспективе он может испытывать такие же резкие колебания цен, как акции и другие рискованные активы.Исследования показывают, что золото может сохранять свою ценность в долгосрочной перспективе.

      По словам Дэвида Стейна, бывшего управляющего фондом и автора книги по инвестиционному образованию «Деньги для остальных», есть несколько вещей, о которых следует помнить, рассматривая золото как безопасное вложение, в зависимости от ваших потребностей.

      «Это может быть безопасная гавань, поскольку она защищена от инфляции в долгосрочной перспективе, но не защищает вас каждый год», — говорит он. «Однако это денежный актив, поэтому он может помочь вам диверсифицировать активы, деноминированные в долларах, если это то, что вас интересует.”

      Казначейские облигации США

      казначейские облигации США считаются самыми безопасными инвестициями в мире. Поскольку правительство Соединенных Штатов никогда не допускало дефолта по своим долгам, инвесторы рассматривают казначейские облигации США как высоконадежные инвестиционные инструменты.

      «В последнее время казначейские облигации стали менее привлекательными из-за их низкой доходности», — говорит Мэтьюз. «Однако вы можете получить некоторую защиту от инфляции, если выберете TIPS — казначейские облигации с защитой от инфляции».

      Вы можете покупать государственные облигации напрямую в США.S. Treasury или на вторичных рынках через брокерскую онлайн-платформу. Мэтьюз предостерегает от вторичного рынка, поскольку реселлеры часто берут на себя дополнительные расходы, в то время как вы можете покупать казначейские облигации США бесплатно на TreasuryDirect.gov.

      Вы также можете инвестировать в паевые инвестиционные фонды и биржевые фонды (ETF), которые содержат исключительно казначейские облигации США. Это освобождает вас от сложностей, связанных с покупкой отдельных облигаций, и избавляет от хлопот перепродажи на вторичном рынке, если вам нужны наличные до погашения облигации.

      Сберегательные облигации серии I

      Если вы хотите противостоять инфляции, а также получить процентную ставку, обратите внимание на сберегательные облигации серии I, государственные облигации, доходность которых не может опускаться ниже нуля. У них есть преимущество в TIPS, которые могут фактически давать отрицательную доходность, говорит Стейн.

      Для I-облигаций «общая ставка составляет около 1,6% на следующие шесть месяцев, что лучше, чем вы могли бы увидеть для многих высокодоходных сберегательных счетов», — говорит Стейн. «К сожалению, вы можете инвестировать только 10 000 долларов в год на один номер социального страхования, хотя вы можете обойти это, указав в своей налоговой декларации, которая будет использоваться для покупки I-бондов в дополнение к совершению отдельной покупки.”

      Однако важное предостережение: I Облигации приносят проценты на срок до 30 лет. Вы должны удерживать их не менее года, прежде чем сможете ликвидировать их в правительстве, и если вы обналичите их до того, как удерживаете их не менее пяти лет, вы лишаетесь трех месяцев процентов, как и многие компакт-диски.

      Корпоративные облигации

      Если вы хотите более высокую доходность, рассмотрите корпоративные облигации. Как правило, они предлагают более привлекательные процентные ставки, но также несут больший риск, поскольку немногие компании имеют кредитную историю дяди Сэма.

      Чтобы убедиться, что вы делаете безопасное вложение, важно пересмотреть рейтинг облигаций. Мэтьюз предлагает взглянуть на корпоративные облигации с рейтингом инвестиционного уровня, что обычно означает рейтинг AAA, AA, A и BBB. У всего остального может быть даже более высокая доходность, но и гораздо больший риск.

      Можно приобрести облигации через онлайн-брокера, но Мэтьюз предупреждает, что многие операции с облигациями взимают более высокую комиссию, чем операции с акциями.

      Чтобы избежать комиссий и снизить риск дефолта одной компании, обращайте внимание на паевые инвестиционные фонды и ETF облигаций, которые инвестируют в сотни или тысячи облигаций компании.Большинство индексных ETF и паевых инвестиционных фондов в наши дни будут доступны без торговых комиссий от большинства брокерских контор, но важно дважды проверить, а также остерегаться комиссионных за загрузку паевых инвестиционных фондов.

      Недвижимость

      Недвижимость может считаться надежным вложением средств в зависимости от местных условий. Кроме того, недвижимость может предлагать довольно приличный доход — опять же, в зависимости от условий местного рынка.

      «Будь то коммерческая недвижимость или недвижимость, сдаваемая в аренду, вы, скорее всего, будете получать стабильный доход, что избавит вас от взлетов и падений фондового рынка», — говорит Мэтьюз.

      Долгосрочный рост стоимости недвижимости остается относительно низким, со средним значением за 25 лет около 3,8%. Недвижимость также связана с различными дополнительными расходами, которых не хватает другим безопасным инвестициям, такими как плата за обслуживание и налоги на недвижимость, и может потребовать крупных первоначальных инвестиций.

      Некоторые люди могут предложить инвестировать в инвестиционные фонды недвижимости (REIT), чтобы получить доступ к недвижимости с большей ликвидностью и меньшими затратами. Но REIT — это рискованные активы, и их нельзя рекомендовать в качестве безопасного убежища для ваших денег на нестабильных рынках.

      Привилегированные акции

      Привилегированные акции — это гибридные ценные бумаги с характеристиками как акций, так и облигаций. Они предлагают потенциальный доход от облигаций благодаря гарантированным выплатам дивидендов, а также долю владения и потенциал повышения стоимости обыкновенных акций.

      Однако потенциальное удорожание привилегированных акций ведет к обоюдному сокращению. Вы можете увидеть более сильный рост рыночной стоимости с течением времени, чем облигации, а также более сильное потенциальное снижение стоимости при падении рынка. Так почему же они безопасные вложения? Потому что дивиденды по привилегированным акциям гарантированы почти во всех случаях, а это означает, что вы будете получать доход независимо от того, что делает акция.

      «Эти инвестиции не могут быть безопасным убежищем с точки зрения рыночного риска, потому что прирост капитала — это проблема на падающем рынке», — говорит Стейн. «Однако вы можете увидеть определенную степень защиты доходов из-за более высоких дивидендов».

      Итог

      Совершенно безрисковых вложений не бывает. Даже перечисленные выше безопасные инвестиции сопряжены с рисками, такими как потеря покупательной способности со временем из-за роста инфляции. Ключевым моментом является рассмотрение ваших индивидуальных потребностей и составление портфеля, обеспечивающего достаточную стабильность, но при этом позволяющего вам воспользоваться преимуществами роста с течением времени.

      Умный способ приумножить свои деньги

      Инвестирование предназначено не только для сверхбогатых людей и людей с Уолл-стрит. На самом деле, инвестирование в фондовый рынок — один из наиболее распространенных способов стать миллионером среднестатистического американца.

      Изучение того, как инвестировать впервые, может показаться пугающим, но это вовсе не так страшно, как вы думаете. Здесь я собираюсь показать вам, как лучше всего начать инвестировать, и укажу несколько вещей, которые вам следует изучить в следующий раз.

      Готов ли я начать инвестировать?

      Прежде чем вы начнете инвестировать, важно привести в порядок остальную часть вашего финансового дома. Вам следует:

      • Будьте уверены в своем бюджете — сколько вы зарабатываете, тратите и откладываете каждый месяц.
      • Управляйте своим долгом — избавьтесь от остатков на кредитных картах с высокими процентами и разработайте план по выплате студенческих ссуд и других обязательств.
      • Имейте четкие цели, определяющие, на что вы хотите, чтобы ваши деньги позволяли вам делать в будущем.

      Вам не нужно ждать, пока вы не освободитесь от долгов, чтобы начать инвестировать (на самом деле, вам не следует ждать так долго!). Но если у вас есть какие-либо сомнения относительно того, готовы ли вы начать инвестировать, обратитесь к моей статья о семи шагах к финансовой стабильности, прежде чем вернуться к этому руководству.

      Почему стоит инвестировать

      Инвестиции необходимы, если вы хотите, чтобы ваши сбережения со временем росли. Хотя хранение денег на сберегательном счете кажется безопасным, процентов, которые вы будете зарабатывать, недостаточно, чтобы успевать за инфляцией на протяжении многих десятилетий.

      Хотя в краткосрочной перспективе фондовый рынок более рискован, в долгосрочном плане он приносит сложную доходность, которая не только не отстает от инфляции, но и опережает ее. Если вы потратите минуту, чтобы узнать, как работает комплексный рост, вы быстро поймете, почему вы просто должны начать инвестировать сегодня.

      Допустим, вы получили небольшое наследство и решили вложить его — если вы поместите 5000 долларов на счет с процентной ставкой 7% и внесете дополнительно 200 долларов в месяц, через 30 лет у вас будет чуть больше 284000 долларов.

      Куда вкладывать — лучшие способы вложить деньги

      Личные финансы — это личные финансы. Лучший способ вложить деньги для вас будет отличаться от лучшего способа вложить деньги для меня.

      Некоторые вещи, однако, универсальны. Каждый должен вкладывать деньги на пенсию, к которым не притрагиваешься многие десятилетия. Когда вам 20 или 30 лет, может быть трудно почувствовать необходимость планировать выход на пенсию. Но нам нужно позаботиться о нашем будущем «я», и отыскать достаточно, чтобы прожить комфортную пенсию, — задача не из легких.Чем раньше вы начнете инвестировать, тем легче будет.

      Инвестиции для выхода на пенсию по работе

      Самый простой (и, возможно, лучший) способ начать инвестировать — это зарегистрироваться в программе 401 (k) вашего работодателя или аналогичной программе пенсионных сбережений, если они ее предлагают.

      Вы указываете, сколько денег инвестировать, и ваш работодатель вычитает сумму прямо из вашей зарплаты. Для этих счетов предусмотрены налоговые льготы, и иногда ваш работодатель может предоставить процент от ваших инвестиций.

      У вас будет возможность указать, как вы хотите инвестировать эти деньги, о чем я расскажу в следующем разделе.

      Имейте в виду, что деньги, которые вы вкладываете в пенсионный счет 401 (k) или аналогичный, не подлежат снятию до тех пор, пока вы не выйдете на пенсию (после 59 лет). Досрочный вывод денег может потребовать уплаты подоходного налога и 10% штрафа за досрочное снятие.

      Самостоятельное инвестирование на пенсию

      Если вы не работаете у работодателя, который предлагает пенсионный план, вы все равно можете воспользоваться налоговыми льготами при выходе на пенсию, вложив средства в индивидуальный пенсионный счет (IRA).

      Как и 401 (k) s, IRA позволяют вашим инвестициям расти без уплаты налогов, но средства не могут быть сняты без штрафа до достижения возраста 59 ½. Вы можете открыть IRA в любой брокерской компании, робоадвайзере или паевой инвестиционной компании. Большинство инвесторов могут инвестировать до 6000 долларов в IRA в 2021 году (до 7000 долларов, если вам больше 50), но право на участие в IRA постепенно теряется для налогоплательщиков с высокими доходами.

      Если вы думаете об открытии IRA, следующим шагом должно стать изучение налоговой разницы между традиционными IRA и IRA Рота.

      Инвестирование на краткосрочные цели

      Каждый должен вкладывать средства для выхода на пенсию, но у вас, скорее всего, будут и краткосрочные финансовые цели.

      В общем, не вкладывайте деньги, которые хотите использовать для достижения цели, до которой осталось менее 5 лет. Любое инвестирование связано с риском. Фондовый рынок поднимается и опускается, как американские горки, иногда жестоко, но со временем сглаживается. Чем дольше вы будете инвестировать, тем выше вероятность получения сильной прибыли.

      Храните деньги, которые вы хотите использовать в течение следующих нескольких лет, на сберегательном счете с высокими процентами, например, Chime (APY Chime равно 0.50%, если не требуется минимальный остаток и ежемесячная плата). По сравнению с тем, что вы можете заработать на инвестировании, сберегательные счета не приносят больших процентов. Но, что важно, деньги, которые вы кладете на сберегательный счет, застрахованы государством и не могут потерять ценность.

      Chime Disclosure — Chime — это компания, занимающаяся финансовыми технологиями, а не банк. Банковские услуги, предоставляемые банком The Bancorp Bank или Stride Bank, N.A, и дебетовая карта, выпущенная ими; Члены FDIC.

      Инвестирование на долгосрочные цели (помимо выхода на пенсию)

      Допустим, у вас есть цели, не связанные с выходом на пенсию, до которых более пяти лет.Стоит ли вкладывать деньги, которые вы для них копите?

      Да!

      Со временем стоимость всего медленно растет. Всего через десять лет на один доллар можно будет купить меньше, чем сегодня. Через 20 лет за один доллар можно будет купить намного меньше. Это инфляция, и она почти так же гарантирована, как смерть и налоги.

      Процентные ставки, которые банки выплачивают по сберегательным счетам, почти всегда намного ниже среднего уровня инфляции. Пока я пишу это, большинство банков платят 0,5% или меньше, в то время как инфляция составляет 2 или 3%.Это означает, что с точки зрения реальной стоимости деньги, находящиеся на сберегательном счете, теряют от 1,5% до 2,5% в год!

      Чтобы накопить богатство, вам нужно, чтобы ваши сбережения росли со скоростью, которая не только соответствует темпам инфляции, но и опережает их. В долгосрочной перспективе хорошо диверсифицированный портфель акций должен обеспечивать среднегодовую доходность от 5 до 8% (больше, если вам повезет). Будут годы, когда прирост акций будет намного выше, и годы, когда акции будут терять деньги и приносить отрицательную прибыль.Но если вы предположите среднегодовую доходность 7% и средний уровень инфляции 2,5%, реальная стоимость ваших денег будет расти на 4,5% в год.

      Что мы подразумеваем под «портфелем»?

      1. В мире инвестирования портфель — это любое собрание акций, облигаций и других инвестиций. Независимо от того, держите ли вы эти инвестиции в одном и том же месте, ваш портфель относится ко всем инвестициям, которыми вы владеете.
      2. Чтобы инвестировать в долгосрочные цели, вы можете создать учетную запись у биржевого маклера, например Robinhood или E * TRADE , или робо-консультанта, например, M1 Finance или Betterment .Вместо того, чтобы покупать акции отдельных акций, лучше инвестировать в диверсифицированный портфель, содержащий сотни акций и облигаций. Аккаунт робо-советника сделает это за вас. В брокерской компании вы захотите приобрести специальные биржевые фонды (ETF), называемые индексными фондами, которые отслеживают либо целые рынки, либо большие сектора рынка за одну инвестицию.

      А как насчет паевых инвестиционных фондов?

      Паевые инвестиционные фонды похожи на ETF; оба объединяют десятки или сотни отдельных ценных бумаг в одну инвестицию.Паевые инвестиционные фонды отличаются от ETF тем, как они оцениваются и продаются. ETF работают как отдельные акции. Когда рынок открыт, их цены меняются в реальном времени, и вы можете торговать ими так часто, как захотите. Паевые инвестиционные фонды оцениваются только один раз в день, и могут быть ограничения на то, как часто вы можете торговать ими. У искушенных инвесторов будут причины предпочесть одно другому, но, в целом, новым инвесторам легче торговать ETF.

      Как инвестировать в облигации?

      Покупка отдельных облигаций — это продвинутая инвестиционная стратегия.Вы можете добавить облигации в свой портфель с помощью индексного фонда облигаций (ETF или паевого инвестиционного фонда). Если вы инвестируете в робо-консультанта или диверсифицированный фонд, это будет включать в себя риски по облигациям в соответствии с целями продукта и профилем риска.

      Инвестиции ради развлечения

      Что делать, если вы хотите сделать ставку на акции любимой компании? Или попробовать прокатиться на последней акции мемов / r / wallstreetbets до луны?

      За последние несколько лет биржевые маклеры устранили комиссию за торговлю и упростили покупку дробных акций.В прошлом, если акция стоила 500 долларов за акцию, вам нужно было иметь 500 долларов, чтобы купить одну акцию. С вас также может взиматься комиссия в размере 5 долларов за каждую покупку или продажу акций.

      Сегодня вы можете инвестировать всего несколько долларов в любую акцию без уплаты комиссии. Если у вас есть 50 долларов, вы можете купить одну десятую доли этой акции на 500 долларов.

      Исследования показывают, что лучший способ инвестировать — это покупать индексные фонды и удерживать их десятилетиями. Эта стратегия почти всегда побеждает даже самых умных трейдеров с Уолл-стрит.К тому же это ужасно скучно.

      Вот как я предлагаю вам вложить большую часть своих денег. Но вполне нормально откладывать 5 или 10% своих денег на «игру», совершая более частые сделки. Я сам это делаю. Это позволяет вам получать удовольствие и учиться, совершая более частые сделки, не подвергая опасности ваше богатство. Прелесть диверсификации заключается в том, что вы можете получить прибыль от любых акций, которые преуспевают, но несколько падающих акций не обанкротят вас. Если вы выберете свои собственные акции и ошибетесь, вполне возможно потерять большую часть с трудом заработанных денег.

      Выбор инвестиционного счета

      Чтобы начать инвестировать самостоятельно (за пределами рабочего пенсионного счета), вы должны решить, хотите ли вы покупать индексные фонды и держать их в течение многих лет, часто торговать отдельными акциями или и то, и другое.

      Некоторые инвестиционные платформы позволяют делать и то, и другое. Другие лучше всего подходят тому или другому.

      Робо-советники

      Если вы хотите, чтобы все было как можно проще, обратите внимание на робо-советник.Робо-консультанты используют технологии, чтобы инвестировать ваши деньги в широко диверсифицированный портфель акций и облигаций, адаптированный к вашим целям и устойчивости к риску. Открыть счет так же просто, как ответить на викторину из 10 вопросов.

      В отличие от финансовых консультантов, робо-консультанты недороги и не требуют минимального баланса.

      Обратной стороной является то, что вы ограничены несколькими инвестиционными стратегиями. С большинством робо-консультантов вы не можете настроить свое портфолио за пределы рекомендованных ими портфелей.Вы также не можете покупать отдельные акции.

      Сколько мне нужно инвестировать? Куда мне инвестировать?
      Новичок: У меня меньше 500 долларов для инвестиций Улучшение
      Средний уровень: У меня есть более 500 долларов для инвестирования Wealthfront
      Продвинутый средний уровень: У меня есть более 1000 долларов для инвестиций M1 Finance
      Продвинутый уровень: У меня есть более 3000 долларов для инвестиций Vanguard Digital Advisor

      Биржевые маклеры

      Если робо-консультант похож на ресторан, предлагающий меню из приготовленных блюд, то брокерские конторы похожи на инвестиционные супермаркеты; Вы можете купить все, что захотите, но вы должны уметь готовить.Если вы хотите купить много разных акций или ищете конкретные инвестиции, это хорошо. Если вы не знаете, что ищете, или не умеете готовить, это может вас ошеломить.

      С помощью брокерской компании вы можете создать свой собственный портфель «купи и держи», используя несколько фондов, торгуемых на бирже. Конечно, вы также можете торговать отдельными акциями так часто, как захотите.

      Наконечник MU30

      Брокеры и робо-консультанты для инвестирования по принципу «купи и держи»

      Если вы хотите быть прямым инвестором «купи и держи», зачем выбирать брокерскую компанию?

      Две причины: настройка и стоимость.

      1. Если вы чувствуете себя комфортно, выбирая индексные фонды, вы можете создать портфель, более приспособленный к вашим целям, чем вы можете купить в робо-консультанте.
      2. Это обойдется вам дешевле. Инвестиционные фонды (ETF и паевые инвестиционные фонды) взимают ежегодную комиссию в виде процента от суммы вашего инвестирования. Хорошие индексные фонды стоят очень мало — всего несколько сотых процента (например, 0,05% будет стоить 50 долларов на 10 000 вложенных долларов). Но робо-консультанты взимают чуть более высокие ежегодные сборы сверх сборов фонда.Например, робот-консультант может взимать 0,15%, или 150 долларов за каждые вложенные 10000 долларов, в дополнение к комиссиям, взимаемым базовыми фондами. Покупка средств напрямую у биржевого маклера позволяет избежать дополнительных затрат.

      Есть десятки биржевых брокеров на выбор, включая некоторые приложения, которые, возможно, лучше всего подходят для частой торговли. Если вы не опытный пользователь, которому нужны конкретные функции, которые помогут вам в продвинутых торговых стратегиях, ошибиться сложно. Мы также составили этот список брокерских компаний, которые стоит рассмотреть (включая ссылки на отзывы наших редакторов).

      Брокерская служба Основные характеристики
      Общественное Долевое инвестирование
      Без комиссионных сборов или минимумов на счете
      Обучающееся сообщество других инвесторов
      Robinhood Инвестирование без комиссии
      Бесплатная первая акция при регистрации
      Нет минимального остатка на счете
      Долевое инвестирование в акции
      TD Ameritrade Онлайн-торговля без комиссии
      Без минимальных вложений
      Активная торговая платформа

      Инвестиции в недвижимость

      Недвижимость тоже может быть отличным вложением.Чтобы было ясно, вы не должны рассматривать свое основное место жительства как вложение. Инвестиции в недвижимость относятся к квартирам или коммерческим зданиям, которыми вы владеете, а затем сдаете в аренду. Хотя большая часть недвижимости дорожает годами и десятилетиями, сила инвестирования в недвижимость заключается в денежных потоках от арендаторов.

      Если вы можете брать арендную плату больше, чем платите по ипотеке, налогам и содержанию, владение недвижимостью может принести доход, который вы можете положить в свой карман или реинвестировать.

      Изучение того, как инвестировать в недвижимость — это гораздо более обширная тема, которую мы можем здесь осветить, но есть способы быстро начать работу при скромном бюджете. Fundrise и Roofstock — две платформы для инвестиций в недвижимость, которые привлекают возможности для инвестиций. Вы можете инвестировать всего 5000 долларов вместе с другими инвесторами и участвовать в прибылях от крупных многоквартирных квартир или офисных зданий.

      Эти вложения сопряжены с риском, а гонорары компаний съедают прибыль. Но они могут быть привлекательными, если вы хотите добавить в свой портфель доступ к недвижимости, не беря на себя работу и расходы по покупке и управлению недвижимостью.

      Самостоятельное инвестирование и работа с финансовым консультантом

      Для большинства новых инвесторов лучше всего подходит самостоятельный подход. Наем финансового консультанта требует значительных затрат. Кроме того, многие консультанты хотят работать только с клиентами, у которых есть шестизначные или даже семизначные суммы для инвестирования.

      С другой стороны, если у вас есть значительная сумма денег и вы беспокоитесь о том, как ими распорядиться, ничто не заменит профессионала. Хороший консультант найдет время, чтобы понять ваши потребности и помочь вам разработать и выполнить индивидуальный инвестиционный план.

      Как найти хорошего финансового консультанта? Один из способов — это такая компания, как Paladin , которая подберет для вас квалифицированных финансовых консультантов в зависимости от ваших потребностей и местоположения. Еще одно место для поиска советника — Facet Wealth . Это компания по онлайн-финансовому планированию, которая предлагает финансовую помощь на сумму от 1200 до 6000 долларов в год.

      Найти консультанта — важное решение, но оно может быть проще, если вы знаете, какие вопросы задавать.

      Где узнать больше

      Узнайте, как инвестировать шаг за шагом. Инвестиционная перегрузка информации — это реальный риск; вы хотите избежать «аналитического паралича».

      Наконец, если вы уже каждый месяц откладываете много денег на пенсию, выберите онлайн-брокерский счет с самостоятельным управлением, чтобы совершать интересные сделки или научиться инвестировать в фондовый рынок по-своему.

      Подробнее:

      Как работает инвестирование | Принципал

      Когда вы инвестируете, вы даете своим деньгам возможность работать на вас и ваши будущие цели.Это сложнее, чем прямое перечисление зарплаты на сберегательный счет, но каждый вкладчик может стать инвестором.

      Что такое инвестирование?

      Инвестирование — это способ потенциально увеличить имеющуюся у вас сумму денег. Цель состоит в том, чтобы купить финансовые продукты, также называемые инвестициями, и, надеюсь, продать их по более высокой цене, чем та, которую вы изначально заплатили. Инвестиции — это акции, облигации, паевые инвестиционные фонды и аннуитеты. Вы покупаете эти продукты через инвестиционный счет, например 401 (k), IRA или брокерский счет.

      Различия между сбережениями и инвестированием заключаются в следующем:

      • Обычно вы экономите деньги на традиционном банковском счете или просто храните их в безопасном месте. Когда вы инвестируете, вы покупаете продукты и храните деньги на определенном инвестиционном счете.
      • При сбережении ваши возможности для роста ниже и могут не существовать вовсе. Инвестирование помогает победить инфляцию — за счет заработанных процентов — обеспечивая высокую покупательную способность ваших денег.
      • Сбережения обычно предназначены для краткосрочных и среднесрочных целей, тогда как инвестирование лучше подходит для достижения долгосрочных целей, таких как выход на пенсию.

      3 стратегии инвестирования

      Вы, вероятно, думаете: «Мне бы хотелось, чтобы мои деньги росли. Инвестирование — это здорово! » Вы правы — и к нему даже прилагается сборник правил. Приведенные ниже 3 стратегии помогут вам составить надежный инвестиционный план.

      1. Начните инвестировать как можно скорее

      Чем больше времени ваши деньги будут работать на вас, тем больше у них будет возможностей для роста. Вот почему важно начать инвестировать как можно раньше.

      2.Постарайтесь оставаться инвестированным столько, сколько сможете.

      Если вы продолжаете вкладывать деньги и не выходите на рынки и не уходите с них, вы можете зарабатывать деньги сверх уже заработанных денег. Это называется сложным доходом, и это может означать больше денег для выхода на пенсию.

      3. Распределите свои инвестиции, чтобы управлять рисками.

      Вкладывать все деньги в одно вложение рискованно — вы можете потерять деньги, если эти вложения упадут в цене. Но если вы диверсифицируете свои деньги с помощью нескольких инвестиций, вы можете снизить риск потери денег.

      Начинайте раньше, оставайтесь долго

      Одна из важных инвестиционных стратегий — начать раньше и оставаться инвестированным дольше, даже если вы начинаете с меньшей суммы, чем вы надеетесь инвестировать в будущем. Это позволяет компаунду поиграть мускулами. Компаундирование происходит, когда прибыль либо от прироста капитала, либо от процентов реинвестируется, создавая со временем дополнительную прибыль.

      Насколько важно время для инвестирования? Очень. Рассмотрим пример 25-летнего инвестора.Она делает первоначальные инвестиции в размере 10 000 долларов и может получать в среднем 6% годовых. Если она сохранит свои первоначальные вложения и все накопленные доходы примерно в течение следующих 40 лет, то к 65 годам она увеличит свои деньги более чем в 10 раз от ее первоначальной суммы. 1

      Но ожидание 10 лет перед тем, как начать инвестировать, что молодой инвестор может делать в начале своей трудовой жизни, может повлиять на то, сколько денег у него будет на пенсии.Вместо того, чтобы иметь сбережений в размере более 100 000 долларов к 65 годам, у нее будет всего 57 000 долларов — почти вдвое меньше. Если она откладывает инвестирование еще дольше (например, на 20 лет), общая стоимость ее инвестиций будет еще ниже, чуть более 32000 долларов. 1

      Даже если это только начало вашей карьеры и у вас есть небольшая сумма для инвестиций, оно того стоит. Сила времени может работать сама на себя — деньги, которые вы вкладываете (даже если их совсем немного), будут расти, пока вы их вкладываете. 2

      Допустим, вы начинаете карьеру в 25 лет, и все, что вы можете инвестировать из своей двухнедельной зарплаты в первый год, составляет 20 долларов, или всего 520 долларов. Вы вкладываете эти деньги в работу по своему плану 401 (k) и можете получать годовой доход в размере 6%.

      Может быть, в следующем году вы сможете сэкономить немного больше — по одному доллару за каждый платежный период. Вы следуете этой схеме каждый год: увеличиваете свои инвестиции на 1 доллар на зарплату, сохраняете свои деньги вложенными в рынок и зарабатываете 6% прибыли каждый год.

      В возрасте 65 лет общая сумма, которую вы должны положить на свой счет 401 (k), может превысить 42 000 долларов. Но ваша учетная запись будет стоить более чем в 3 раза больше — более 147 000 долларов.

      Диверсифицируйте свои инвестиции, чтобы снизить риски

      Обычно вы не можете инвестировать, не столкнувшись лицом к лицу с определенным риском. Однако есть способы управлять рисками, которые помогут вам достичь ваших долгосрочных целей.

      Самый простой способ — диверсификация и распределение активов. Когда вы диверсифицируете — распределяете деньги по нескольким различным типам инвестиций — вы можете помочь снизить риск потери денег.Одна инвестиция может потерять ценность, но эти потери могут быть компенсированы прибылью других.

      При инвестировании исключительно в акции может быть сложно диверсифицировать, особенно если вы не начинаете с большого капитала. Здесь в игру вступает распределение активов. Распределение активов включает разделение вашего инвестиционного портфеля между различными категориями активов, такими как акции, облигации и наличные деньги. Простой способ распределить свои инвестиции между различными классами активов — это вложить деньги в паевые инвестиционные фонды и биржевые фонды (ETF). Оба продукта обычно имеют большое количество акций и других инвестиций в фонде, что делает их более диверсифицированными, чем единичный сток.

      Как можно заработать на инвестициях?

      Вот пара стратегий заработка денег на инвестировании:

      • Продажа ваших инвестиций дороже, чем вы заплатили.
      • Получение выплат в виде дивидендов (акции) или процентов (облигации).

      Когда и как вы зарабатываете деньги, может зависеть от типа ваших инвестиций. Существуют определенные налоговые правила в отношении дохода от инвестиций, особенно если они хранятся за пределами учетной записи с налоговыми льготами, например IRA или 401 (k).Финансовый специалист может помочь ответить на любые ваши вопросы относительно инвестиционного дохода и помочь вам выбрать путь для достижения ваших целей.

      Инвестирование — это то, чем вы можете заняться сегодня, завтра или когда почувствуете, что готовы.

      В 1 см 2 км какой это масштаб: Масштаб 1:200 000 соответствует масштабу 1) в 1 см 200 м 2) в 1 см 2 км 3) в 1 см 20 км 4) в 1 см 200 км

      alexxlab / / Разное

      Тема 1. Масштабы карт. Измерение длин и площадей объектов по топографическим картам — Мегаобучалка

      Цель работы: сформировать представление о масштабных свойствах топографических карт.

       

      Масштабом карты называется отношение длины линии на карте к горизонтальной проекции соответствующей линии на местности. Масштаб— это величина, показывающая во сколько раз длина на местности (земной поверхности) уменьшена при переносе ее на карту.

      Масштаб указывают под южной рамкой карты и выражают отношениями чисел (численный масштаб), словесно (именованный масштаб) и графически (линейный масштаб).

       

      а) Численный масштаб записывается в виде дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе — число, выражающее степень уменьшения горизонтальных проекций – линий местности при изображении их на карте. Всегда дается в сантиметрах (см).

      Например: 1 : 1 000 000 — 1 см на карте соответствует 1000 000 см на местности (степень уменьшения в 1 000 000 раз).

      1 : 200 000 — 1 см на карте соответствует 200000 см на местности

      1 : 50 000 — 1 см на карте соответствует 50000 см на местности

       

      1 : 100 — 1 см на карте соответствует 100 см на местности

      1 : 5 — 1 см на карте соответствует 5 см на местности

      Запомнить1 : 1 000 000 см см на карте на местности расстояние на местности соответствует 1 см на карте.



       

      б) Именованный масштаб указывается в виде подписи, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте.

      Например:

      в 1 см 1 км или 1 : 1 000 00

      в 1 см 10 км или 1 : 10 000 00

      в 1 см 500 м или 1 : 500 00

      в 1 см 10 м или 1 : 10 00

      в 1 см 30 см или 1 : 30

       

      в) Линейный масштаб дается в виде линейки, разделенной на равные отрезки (соответствующие 1 см) с подписями, означающими расстояние на местности. Линейный масштаб строят и используют для удобства пользования картами и планами, он позволяет избежать расчетов при переводе длин линий местности в масштаб карты или плана и наоборот. На топографических картах и планах линейный масштаб вычерчивается под южной рамкой карты или плана.

       

      Равные отрезки на линейном масштабе (соответствующие 1 см на карте) называются основанием масштаба (а) а = 1 см = 100 м (соответствующие 1 мм на карте) для измерения расстояний с большей точностью — это точность масштаба (в) 1 в = 1 мм = а = 10 м

      Линейное расстояние на местности, выражающееся 0,1 мм на карте данного масштаба называется предельной точностью масштаба (в1) (величина, приближенно соответствующая разрешающей способности глаза) в1 = 0, 1 мм = в = 1 м

      Для построения линейного масштаба, на прямой несколько раз откладывается отрезок одинаковой длины, который называется основанием масштаба. Чаще всего основание линейного масштаба принимается равным 2 см.

      Для повышения точности построения или измерения отрезков на картах или планах, крайний левый отрезок линейного масштаба делят на 10 или 20 равных частей, которые называются делениями основного масштаба.

      Линейный масштаб используют следующим образом:

      1). в раствор циркуля-измерителя с карты или плана берут отрезок, длину которого необходимо определить;

      2). прикладывают циркуль к линейному масштабу таким образом, чтобы одна иголка находилась на нулевом или другом находящимся справа от нуля штрихе линейного масштаба;

      3). по второй иголке отсчитывают части левого основания масштаба.

      На рисунке ниже, длины измеренных отрезков по плану масштаба 1:5000 равны 220 метров и 60 метров.

      Например: 1 : 1 000 000

      а = 1 см = 1 000 000 см = 1 000 0 м = 10 км

      в = 1 мм = 1 000 00 см = 1 000 м = 1 км

      в1 = 0,1 мм = 1 000 0 см = 1 00 м = 0, 1 км

      1 : 1 000 000, 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.

       

      Второе число необходимо перевести в более крупные единицы длины, используемые для измерений на местности, т.е. в метры или километры. Получится, что в 1 см на карте содержится 10 км на местности.

      Вспомнить: 1 см — 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м

      1 : 500 000

      а = 1 см = 500 000 см = 500 0 м = 5 км

      в = 1 мм = 500 00 см = 500 м

      в1 = 0,1 мм = 500 0 см = 50 м

       

      Рис. 1. Обозначение численного и линейного масштабов на карте.

      К сведению: в старых русских картах использовались следующие меры длины:

      1 верста = 1,067 км, 1 сажень = 2,134 м, 1 дюйм = 2,54 см. Английская система мер — 1 миля = 1,609 км.

       

      Поперечный масштаб, в отличие от линейного масштаба, позволяет измерять и переносить линии на карту или план с большей точностью.

      Начало построения поперечного масштаба аналогично построению линейного масштаба.

      Рис.2. Длины измеренных отрезков по плану поперечного масштаба 1:5000 равны 252 метра и 477 метров

      Задание 1.Дать словесное выражение численным масштабам.

      1: 50 000; 1: 20 000; 1: 1 000; 1: 500; 1: 300; 1:50; 1:25; 1: 100 000; 1: 200 000; 1: 5 000; 1: 10 000; 1: 1 250; 1: 25 000; 1: 500 000.

      Например: 1 : 25 — в 1 см 25 см

      Задание 2.Именованный масштаб заменить численным.

      в 1 см 5 см; в 1 см 50 м; в 1 см 250 м; в 1 см 3 км; в 1 см 500 км;

      в 3 см 600 м; в 2 см 10 км; в 4 см 1 км, 1 см — 50м; 1 см – 200 м; 2 см – 1 км; 1 см – 500 м; 1 см – 100 м; 1 м – 1000 м; 2 см – 2 км; 2 см – 10 м; 4 см – 1 км; 10 см – 1 км; 1 см – 2 м; 1 см – 2 км; 1 см – 10 км; 1 см – 5 км.

       

      Например: в 1 см 5 см — 1: 5

      в 3 см 600 м — 3см : 600 00 см — 1: 200 00

      Задание 3.С помощью циркуля измерителя и поперечного масштаба отложить отрезки следующей длины: 0,78 см; 1,84 см; 27,4мм; 41,3 мм; 5,5 мм; 11,2 м; 33,8 мм; 13,0 мм; 20,5 мм; 6,7 мм; 1,3 мм; 0,8 мм; 10,2 мм; 12,0 мм; 15,4 мм; 19,9 мм; 2,2 мм; 5,7 мм; 9,8 мм; 12,6 мм; 4,8 мм; 25,8 мм; 30,9 мм; 45,8 мм.

      Задание 4.Построить удобные линейные метрические масштабы для карт заданных масштабов:

      1: 42 000; 1: 840 000; 1: 62 500; 1: 21 000;

      1 дюйм – 250 саж. ; 1 дюйм – 500 саж.; 1: 126 000.

      Задание 5. Определить масштабы карт по длине линий на карте и местности

      № В-та Длина линии на местности Длина линии на карте Масштаб карты
      А Б В Г Д Е Ж З И К Л М 1250 м 19,2 км 550 м 840 м 570 м 2,87 км 5280 м 1285 м 150 м 420 м 9710 м 374 м 1,25 см 192 мм 11 мм 84 мм 22,8 мм 57,4 мм 26,4 мм 128,5 мм 30 мм 16,8 мм 194,2 мм 3,7 мм    

      Задание 6.Найти расстояние между городами (используя атласы по географии) на карте и на местности.

      1) Санкт-Петербург — Москва

      2) Москва — Самара

      3) Самара — Новосибирск

      4) Новосибирск — Братск

      5) Братск – Комсомольск – на – Амуре

      6) Комсомольск – на – Амуре – Владивосток

      Проверь свои знания

      Тесты по теме: «Масштабы карт. Измерение длин и площадей объектов по топографическим картам».

      1. Расстояния на местности, равные 1 см на карте называют…

      1. точностью масштаба

      2. основанием масштаба

      3. предельной точностью масштаба

       

      2. Дробь, в числителе которого единица, а в знаменателе число, показывающее степень уменьшения называется…

      1. именованным масштабом

      2. линейным масштабом

      3. численным масштабом

      4. поперечным масштабом

       

      3. Графическое построение в виде линейки, разделенной на равные отрезки с подписями, означающими соответствующее расстояние на местности называется …

      1.численным масштабом

      2.именованным масштабом

      3.линейным масштабом

      4.поперечным масштабом

       

      5. Дополните таблицу

       

      Виды масштаба Как изображается Что показывает Для чего используется
      Именованный Словами и числами    
      Численный   Величину масштаба  
      Линейный     Для измерений расстояний циркулем

      6. Закончите фразу:

      Если длина отрезка СК на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности, то масштаб этой карты …

      Если отрезок АВ=1см изображен на карте с масштабом 1: 10 000, то на местности его длина равна…

      7.Отрезком какой длины обозначается на ней расстояние в 500; 50 км, если масштаб карты 1: 10 000 000?

      8.Каково расстояние между двумя пунктами, если на карте оно изображено отрезком в 2; 4 км.

      Масштаб карты


      Задачи из экзаменов по географииЗадача 1.

      Определите по карте расстояние на местности по прямой от родника до дома лесника. Полученный результат

      округлите до десятков метров

      . Ответ запишите в виде числа.
      (демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии;
      в демоверсии ОГЭ задание аналогично)

      Решение:
      Найдем указанные объекты и измерим расстояние между ними (красный пунктир). На распечатке в оригинальном размере при измерении линейкой это расстояние 27 мм (2 см 7 мм).
      Через пропорцию найдем соответствующее расстояние на местности:
      1 см = 100 м
      2,7 см = х м
      х = (2,7 см * 100 м) / 1 см = 270 м.
      (округлять не пришлось, но если бы получили 273м или 267 м, то округляем, согласно условию задачи до десятков метров — 270 м).
      Ответ согласно условию задачи записываем без размерных единиц.
      Ответ: 270

      Задача 2.


      С корабля, находящегося в точке с координатами 13° с.ш. 73° з.д., поступило радиосообщение о неисправности двигателя. Какое расстояние (в км) до неисправного судна пройдёт ремонтный корабль из порта Риоача (11° с.ш. 73° з.д.), если известно, что корабль будет идти строго по меридиану, а неисправное судно останется в той же точке, откуда было передано сообщение? Запишите решение задачи.

      Ответ округлите до целого числа

      .
      (демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии)

      Решение:
      Согласно условию задачи корабль будет двигаться строго по меридиану 73° з. д., и пройдет путь с 11° с.ш. до 13° с.ш., т.е. расстояние, соответствующее 2° длины меридиана.
      Длина 1° любого меридиана примерно 111 км
      (критерии оценки ФИПИ позволяют использовать длину дуги 1° меридиана от 111,0 до 111,7 км, рекомендуется брать значение 111 км)
      Необходимо записать в решение подсчёт:
      (13 — 11) * 111 км = 222 км
      (округлять не пришлось, но если бы получили 222,2 км (взяв за длину 1° 111,1 км), то согласно условию задачи нужно округлить до целого — 222 км)
      Ответ: 222 км

      Задача 3.

      Постройте профиль рельефа местности по линии А – В. Для этого перенесите основу для построения профиля на бланк ответов, используя горизонтальный масштаб в 1 см 50 м и вертикальный масштаб в 1 см 5 м.
      Укажите на профиле знаком «Х» положение родника.
      (демоверсия ФИПИ ЕГЭ по географии, в демоверсии ОГЭ задача проще — вместо построения предложено выбрать правильный профиль из вариантов ответов)

      Решение:
      1) Сделаем построения на рисунке из условия

      1) Соединим т. А и т. B и измерим длину отрезка.
      В распечатке длина составляет 40 мм.
      Промерим расстояния относительно точки А в мм, где отрезок пересекает горизонтали, в этих точках нам известны точные высоты — значения этих горизонталей.

      2) Построим в бланке ответов заготовку для профиля с высотными положениями т. А и т. B и вертикальной шкалой по образцу, приведенному в задании, соблюдая масштаб вертикальной оси в 1 см 5 м. Т.к. горизонтальный масштаб профиля по условию — в 1 см 50 м (в 2 раза крупнее, чем карты), то длина построенного профиля 40 мм * 2 = 80 мм, все значения, где линия AB пересекает горизонтали и родник также удваиваем и наносим на горизонтальную шкалу и проводим асимптоты до соответствующих высот, по которым строится профиль.

      Крестиком отмечаем родник.


      Задачи из экзаменов и школьной программы по математике

      Задача 1.
      Масштаб карты 1:200 000. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 2,5 см?

      Решение:
      Масштаб 1:200 000,
      т.е. в 1 см 200 000 см
      или в 1 см 2 км
      Составим пропорцию:
      1 см = 2 км
      2,5 см = x км
      x = (2,5 см * 2 км) / 1 см
      x = 5 (км)
      Ответ: 5 км.

      Задача 2.
      Отрезку на карте, длина которого 2,4 см, соответствует расстояние на местности в 96 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте между ними 15 см?

      Решение:
      Составим пропорцию:
      2,4 см = 96 км
      15 см = x км
      x = (15 см * 96 км) / 2,4 см
      x = 600 (км)
      Ответ: 600 км.

      Задача 3.
      Расстояние на местности в 75 км изображено на карте отрезком 1,5 см. Определите масштаб карты (именованный и численный).

      Решение:
      Составим пропорцию:
      1,5 см = 75 км
      1 см = x км
      x = (1 см * 75 км) / 1,5 см
      x = 50 (км)
      следовательно в 1 см 50 км
      или в 1 см 5 000 000 см,
      т. е. 1:5000000
      Ответ: в 1 см 50 км или 1:5000000.

      Задача 4.
      Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1:50000?

      Решение:
      4,5 км = 4500 м = 450 000 см
      Составим пропорцию:
      1 см = 50000 см
      x см = 450000 см
      x = (450000 см * 1 см) / 50000 см
      x = 9 (см)
      Ответ: 9 см.

      Задача 5.
      Длина железной дороги Москва — Петербург приближенно равна 650 км. Сколько сантиметров займет изображающий ее отрезок в масштабе 1:10 000 000?

      Решение:
      Масштаб 1:10000000
      т.е. 1 см 10000000 см,
      или в 1 см 100 км
      Составим пропорцию:
      1 см = 100 км
      x см = 650 км
      x = (650 км * 1 см) / 100 км
      x = 6,5 (см)
      Ответ: 6,5 см.

      Задача 6.
      Длина реки на карте в масштабе 1:50000, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой реки на другой карте в масштабе 1:200000?

      Решение:
      1) Найдем длину реки на местности по карте масштаба 1:50000:
      1 см = 50000 см
      7,2 см = x см
      из пропорции x = 360000 (см) — длина реки на местности
      2) Найдем длину реки на карте 1:200000:
      1 см = 200000 см
      x см = 360000 см
      из пропорции x = 1,8 (см) — длина реки на второй карте

      Решение коротким способом:
      Карта 1:200000 (в 1 см 2 км) мельче карты 1:50000 (в 1 см 500м) в 4 раза (200000/50000 = 4). Следовательно длина реки на второй карте в 4 раза короче: 7,2 см / 4 = 1,8 см.
      Ответ: 1,8 см.

      Масштаб карты

      Репетиторы ❯ Математика ❯ Масштаб карты

      Автор: Владимир Л., онлайн репетитор по математике

      ●

      21.12.2011

      ●

      Раздел: Математика

      Каждая карта имеет масштаб – число, которое показывает, сколько сантиметров на местности соответствует одному сантиметру на карте.

      Масштаб карты обычно указан на ней. Запись 1 : 100 000 000 означает, что если расстояние между двумя точками на карте равно 1 см, то расстояние между соответствующими точками её местности равно 100 000 000 см.

      Масштаб может быть указан в численной форме в виде дроби – численный масштаб (например, 1 : 200 000). А может быть обозначен в линейной форме: в виде простой линии или полосы, разделенной на единицы длины (обычно на километры или мили).

      Чем крупнее масштаб карты, тем с более детально могут быть изображены на ней элементы ее содержания, и наоборот, чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями.

      Масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. Чтобы определить, какой из масштабов крупнее и во сколько раз, вспомним правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.

      Отношение расстояния на карте (в сантиметрах) к соответствующему расстоянию на местности (в сантиметрах) равно масштабу карты.

      Как же эти знания помогут нам при решении задач по математике?

      Пример 1.

      Рассмотрим две карты. Расстоянию в 900 км между пунктами А и В соответствует на одной карте расстояние в 3 см. Расстоянию в 1 500 км между пунктами С и D соответствует на другой карте расстояние в 5 см. Докажем, что масштабы карт одинаковы.

      Решение.

      Найдём масштаб каждой карты.

      900 км = 90 000 000 см;

      масштаб первой карты равен: 3 : 90 000 000 = 1 : 30 000 000.

      1500 км = 150 000 000 см;

      масштаб второй карты равен: 5 : 150 000 000 = 1 : 30 000 000.

      Ответ. Масштабы карт одинаковы, т.е. равны 1 : 30 000 000.

      Пример 2.

      Масштаб карты – 1 : 1 000 000. Найдём расстояние между точками А и В на местности, если на карте
      АВ = 3,42       см?

      Решение.

      Составим уравнение: отношение АВ = 3,42 см на карте к неизвестному нам расстоянию х (в сантиметрах) равно отношению между теми же пунктами А и В на местности к масштабу карты:

      3,42 : х = 1 : 1 000 000;

      х · 1 = 3,42 · 1 000 000;

      х = 3 420 000 см = 34,2 км.

      Ответ: расстояние между пунктами А и В на местности равно 34,2 км.

      Пример 3

      Масштаб карты – 1 : 1 000 000. Расстояние между пунктами на местности 38,4 км. Каково расстояние между этими пунктами на карте?

      Решение.

      Отношение неизвестного нам расстояния х между пунктами А и В на карте к расстоянию в сантиметрах между теми же пунктами А и В на местности равно масштабу карты.

      38,4 км = 3 840  000 см;

      х : 3 840  000 = 1 : 1 000 000;

      х = 3 840  000 · 1 : 1 000 000 = 3,84.

      Ответ: расстояние между пунктами А и В на карте равно 3,84 см.

      Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи?
      Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
      Первый урок – бесплатно!

      Зарегистрироваться

      © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

      Остались вопросы?

      Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

      Задать вопрос

      Математика

      Курсы по математике 10 класс

      Математика

      Курсы по математике 9 класс

      Математика

      Математика 11 класс

      Математика

      Курсы по геометрии 7 класс

      Математика

      Курсы по алгебре 7 класс

      Математика

      Алгебра 8 класс

      Математика

      Курсы по геометрии 8 класс

      Физика

      Курсы по физике 10 класс

      «Масштаб».

      6-й класс

      Цели урока:

      • показать практическое применение понятия масштаб;
      • формировать у учащихся практические умения и навыки, связанные с математическими вычислениями при решении текстовых задач;
      • способствовать развитию умения делать выводы на основе собственных наблюдений, сравнения, обобщения, использования личного опыта; развивать логическое мышление и пространственные представления;
      • закрепить навыки, связанные с преобразованием величин.

      Оборудование: компьютер, мультимедийная разработка урока, проектор, модели машинок, копии планов квартир с БТИ, модели геометрических тел, географическая карта.

      Ход урока

      1. Орг. момент.

      2. Устный счёт, устная работа. (слайд2)

      1) выразите в километрах:

      а)32000000см;

      б)600000см;

      в)32000см;

      г)5000000см.

      — Что нужно сделать, чтобы выразить данные величины в км? /так как 1км = 100000см, то нужно разделить на 100000./

      2) выразите в метрах:

      а)32000000см;

      б) 600000см;

      в)32000см;

      г)5000000см.

      — Что необходимо сделать?

      Актуализация знаний.

      — Скажите, а с чем вы сейчас работали, какие знания применили? / Меры длины/.

      Без них нам сегодня на уроке никак не обойтись. Вспомним перевод одних единиц в другие (Слайд 3).

      Молодцы. Тема, которую нам сегодня предстоит изучить, покажет практическое применение отношений.

      3. Изучение нового материала

      1)) Подготовительная работа. (слайд4)

      — Составьте отношения:

      а) 1см к 4000м;

      б) 1см к 120 м;

      в) 1см к 10000 км;

      г) 1 см к 25 см.

      — Что сначала необходимо сделать?/привести в одинаковые единицы измерения/

      Работа с понятием “масштаб”.

      — Хорошо. Запишем все величины в сантиметрах.

      Решение:

      а) 1: 400000;

      б) 1 : 12000;

      в) 1 : 1000000000;

      г) 1 : 25.

      — Мы с вами знаем, что участки земной поверхности, детали машин и многое другое изображают на бумаге в уменьшенном виде.

      — Если на карте, плане или чертеже встретите такие отношения, то это масштаб карты, плана или чертежа.

      — Что же мы будем сегодня изучать? /Масштаб/ Запишите тему урока в тетрадочку. (слайд 5)

      Уточнение понятия с опорой на имеющиеся знания.

      — Итак, “масштаб”. О чем вам говорит это слово?

      Ответы детей можно дополнить демонстрацией реальных моделей предметов (глобус земли, географическая карта, показом моделей машинок)

      — Мы увидели, что использование масштаба позволяет создавать модели реальных предметов.

      — Само слово “масштаб” пришло к нам из немецкого языка. Maс означает: “мера”, штаб означает “размер”, что уже говорит о связи с математикой. Слово “масштаб”, придя из немецкого языка, хорошо прижилось в нашей речи. Какие родственные слова к нему вы можете назвать? (масштабный, крупномасштабный). Реже используется слово “масштабировать”, что означает – изменять все размеры в определенное количество раз. Это слово сегодня нам понадобится.

      (Слайд 6). Полное определение “масштаба” звучит так: Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом. Аналогично можно сказать о чертеже или плане.

      Масштаб — жезл размеренный или мерило, мерник, размерник, мера линейная, принятая для чертежа или иной работы. (Из толкового словаря В.И. Даля.) (слайд7)

      Вернёмся к уже написанным отношениям. Объясните, что означают данные масштабы (слайд 8-9)

      /ответы учащихся: а) если масштаб карты 1 : 400000, то на этой карте длина каждого отрезка уменьшена в 400000 раз. На такой карте расстояние, равное 4 км, будет изображаться в 1см.

      — Масштаб карты 1 : 400000 говорит, что карта сделана в масштабе одначетырёхсоттысячная и.т.д.

      Хорошо. Молодцы. Выполните такую задачу. (слайд10)

      Расстояние от школы до дома, в которой учится Коля, равно 200 м. Изобразите это расстояние отрезком в масштабе 1:4000.

      Запись решения в тетради. Выразим 200 м в см. 200 м = 20000 см. Масштаб 1:4000 означает, что 1 см на плане будет в 4000 раз меньше расстояния на местности.

      20000 : 4000 = 5 (см)

      Ответ: длина отрезка равна 5 см.

      Проверка (Слайд 11-12)

       Задача. (слайд13) Длина отрезка на карте 15 см. Найдите длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 10000.

      — Что означает масштаб 1 : 10000?

      — Решим данную задачу, оформив краткую запись в виде таблицы.

      Решение: Пусть х(м) – расстояние на местности.

        Расстояние Масштаб
      На карте

      На местности

      		 15 см

      х

      		 1

      10000

      15 : х = 1 : 10000

      Х = 150000(см) =1500 м= 1,5 км

      1,5 км расстояние на местности

      Ответ: 1,5 км

      Физкультминутка.

      Закрепление изученного материла, практическая работа по учебнику № 820 стр 134

      — Прочитайте задание. Можем сразу найти расстояние?

      — Что нужно знать? /Длину отрезка на карте/

      — Как узнать длину отрезка на карте? /измерить линейкой/

      — Измерьте расстояние на карте. Что означает масштаб 1 : 100000? /1см на карте равен 100000см на местности/

      Запишем краткую запись в виде таблицы

        Расстояние Масштаб
      На карте

      На местности

      		 3 см

      х

      		 1

      100000

      Составим пропорцию: 3 : х =1 : 100000; х =300000см = 3000 м =3 км – расстояние на местности

      Ответ: 3 км.

      № 821 стр 134 (слайд16)

      — Прочитайте задачу. Что известно? Что нужно найти? Что означает данный масштаб? /1см на карте равен 1000000см на местности/

      Решение:

      Пусть х(м) – расстояние на местности.

        Расстояние Масштаб
      На карте

      На местности

      		 8,5 см

      х

      		 1

      1000000

      Составим пропорцию: 8,5 : х =1 : 1000000; х =8500000см = 85 км – расстояние на местности

      Ответ: 85 км.

      Задача. Длина отрезка на местности 300 км. Найдите длину соответствующего отрезка на карте, если масштаб карты 1:1000000.

      — Чем интересна эта задача?

      Для решения составим табличку – краткую запись.

        Расстояние Масштаб
      На карте

      На местности

      		 х

      300 км = 30000000 см

      		 1

      1000000

      Составим пропорцию: х : 30000000 = 1 : 1000000; х =1*30000000 : 1000000 =30см – длина на карте

      Ответ: 30 см.

      № 822 самостоятельно, с последующей проверкой.(слай 17)

        Расстояние Масштаб
      На карте

      На местности

      		 х см

      650км = 65000000см

      		 1

      10000000

      Составим пропорцию: х : 65000000= 1 : 10000000;х =1*65000000 : 10000000=6,5см

      Ответ: 6,5см

      Возможность масштабирования заложена и в фотоаппаратах и видеокамерах: мы приближаем и отдаляем объекты для съемки. При этом все их размеры одинаково увеличиваются или отдаляются.

      Работа в группах — парах

      Масштаб квартиры 1 : 100. Определить по плану, какие размеры имеют комнаты №1, №2, №3 и какова их площадь в действительности.

      Решение: По плану размеры первой комнаты 27мм * 41мм; второй комнаты 38мм*43мм, третьей комнаты 30мм*28мм. Если масштаб 1:100, то размеры первой комнаты 2700мм*41мм = 2м 70см * 4м 10см; второй комнаты 3800мм*4300мм = 3м 80см * 4м 30см, третьей комнаты 3000мм*2800мм = 3м * 2м 80см.

      Ответ: Площадь первой комнаты 11,07м2; площадь второй комнаты 16,34м2; а площадь третьей комнаты 8,4м2.

      Домашнее задание: задача № 842, 844, № 846 (а).

      Творческое задание: придумать и красиво оформить свою задачу по теме: “Масштаб”.

      Подведение итогов. Рефлексия.

      • Что нового вы узнали сегодня?
      • На какие вопросы получили ответы?
      • Какие новые вопросы появились?
      • Какие виды заданий вызвали затруднения?
      • Какие моменты урока вас обрадовали или огорчили?

      Я надеюсь, сегодняшний урок помог вам открыть неизвестное в известном ранее понятии “масштаб”.

      Масштаб. Презентация. 6 кл.

      Масштаб

      Подготовила: Задыляк Л.М.,

      учитель МАОУ СОШ №26

      г. Калининград

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      Виды масштаба

      Численный . Масштаб можно обозначить в виде дроби 1:10 000 (одна десятитысячная), где цифра 1 – это отрезок длиной 1см на плане (карте), 10 000 – это соответствующее этому отрезку расстояние на местности в см. Оно показывает величину уменьшения расстояния.

      Именованный . Ч.м. можно записать словами « в 1см -100 м ». Расстояние на местности, соответствующее 1 см на плане, называют величиной масштаба . С ее помощью удобно определять расстояния.

      Линейный . Его изображают прямой линией, разделенной на равные отрезки ( см ). Первый слева от 0 отрезок поделен на мм . Соответствующие плану расстояния на местности указываются над линейкой.

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      Как называется число?

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      Что показывает число?

      Что показывает число?

      2. Именованный масштаб

      ?

      в 1 см – 200 м

      Как называется число?

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      Как называется число?

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      расстояние на плане (карте), в см

      Что показывает число?

      2. Именованный масштаб

      ?

      в 1 см – 200 м

      Как называется число?

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      Как называется число?

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      Расстояние на местности,

      в см

      расстояние на плане (карте),

      в см

      2. Именованный масштаб

      ?

      в 1 см – 200 м

      Как называется число?

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      величина уменьшения

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      Расстояние на местности,

      в см

      расстояние на плане (карте),

      в см

      2. Именованный масштаб

      ?

      в 1 см – 200 м

      Как называется число?

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      величина уменьшение

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      расстояние на местности,

      в см

      расстояние на плане (карте),

      в см

      2. Именованный масштаб

      в 1 см – 20 м

      Как называется число

      Масштаб – это отношение длины отрезка на плане (карте ) к длине соответствующего отрезка на местности

      величина уменьшение

      • Численный масштаб

      1 : 2 000

      расстояние на местности,

      в см

      расстояние на плане (карте),

      в см

      2. Именованный масштаб

      в 1 см – 20 м

      величина масштаба

      При измерении длины кривых линий применяются специальные приборы – курвиметры . Они действуют как счетчики расстояний. По кривым линиям к. устанавливают колесиком на крайнюю точку измеряемого отрезка и катят его строго по измеряемой линии. Замеренное расстояние отсчитывается к. и показывается в см стрелкой на его шкале. Полученное в см расстояние можно перевести по масштабу в м или км.

      • Переведите линейный масштаб в именованный и численный

      1)

      2)

      3)

      4)

      • Переведите линейный масштаб в именованный и численный

      в 1 см — 100 м 1:10 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      • Переведите линейный масштаб в именованный и численный

      в 1 см — 100 м 1:10 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 250 м 1:25 000

      • Переведите линейный масштаб в именованный и численный

      в 1 см — 100 м 1:10 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 250 м 1:25 000

      в 1 см – 500 м 1:50 000

      • Переведите линейный масштаб в именованный и численный

      в 1 см — 100 м 1:10 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 250 м 1:25 000

      в 1 см – 500 м 1:50 000

      в 1 см – 1 км 1:100 000

      2. Переведите численный масштаб в именованный

      1:3 000 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:2 000

      1:40 000 000

      1:500

      2. Переведите численный масштаб в именованный

      1:3 000 000 в 1 см – 30 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:2 000

      1:40 000 000

      1:500

      2. Переведите численный масштаб в именованный

      1:3 000 000 в 1 см – 30 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:2 000 в 1 см – 20 м

      1:40 000 000

      1:500

      2. Переведите численный масштаб в именованный

      1:3 000 000 в 1 см – 30 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:2 000 в 1 см – 20 м

      1:40 000 000 в 1 см – 400 км

      1:500

      2. Переведите численный масштаб в именованный

      1:3 000 000 в 1 см – 30 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:2 000 в 1 см – 20 м

      1:40 000 000 в 1 см – 400 км

      1:500 в 1 см – 5 м

      3. Переведите именованный масштаб в численный

      в 1 см – 10 м

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 4 км

      в 1 см – 70 км

      в 1 см – 50 м

      3. Переведите именованный масштаб в численный

      в 1 см – 10 м 1:1 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 4 км

      в 1 см – 70 км

      в 1 см – 50 м

      3. Переведите именованный масштаб в численный

      в 1 см – 10 м 1:1 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 4 км 1:400 000

      в 1 см – 70 км

      в 1 см – 50 м

      3. Переведите именованный масштаб в численный

      в 1 см – 10 м 1:1 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 4 км 1:400 000

      в 1 см – 70 км 1:7 000 000

      в 1 см – 50 м

      3. Переведите именованный масштаб в численный

      в 1 см – 10 м 1:1 000

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 4 км 1:400 000

      в 1 см – 70 км 1:7 000 000

      в 1 см – 50 м 1:5 000

      4. Если численный масштаб карты 1:100 000, то это означает, что:

      в 1 см – 100 000 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 1 км

      в 1 см – 1 000 км

      в 1 см – 10 км

      4. Если численный масштаб карты 1:100 000, то это означает, что:

      в 1 см – 100 000 км

      1)

      2)

      3)

      4)

      в 1 см – 1 км

      в 1 см – 1 000 км

      в 1 см – 10 км

      5. Если именованный масштаб карты в 1 см – 500 к м, то численный масштаб:

      1:500

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:50 000

      1:500 000

      1:50 000 000

      5. Если именованный масштаб карты в 1 см – 500 к м, то численный масштаб:

      1:500

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:50 000

      1:500 000

      1:50 000 000

      6. Наиболее подробно территория изображена на карте масштаба:

      1:2 500

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:25 000

      1:250 000

      1:25 000 000

      6. Наиболее подробно территория изображена на карте масштаба:

      1:2 500

      1)

      2)

      3)

      4)

      1:25 000

      1:250 000

      1:25 000 000

      7. Установите соответствие «масштаб – тип карты по масштабу»:

      А.

      крупномасштабная

      1:250 000

      1)

      Б.

      2)

      3)

      В.

      среднемасштабная

      1:60 000

      мелкомасштабная

      1:7 200 000

      7. Установите соответствие «масштаб – тип карты по масштабу»:

      А.

      крупномасштабная

      1:250 000

      1)

      Б.

      2)

      3)

      В.

      среднемасштабная

      1:60 000

      мелкомасштабная

      1:7 200 000

      • Численный масштаб 1:10 000.
      • Численный масштаб 1:10 000.
      • Численный масштаб 1:10 000.

      Как называется число 10 000 ?

      9. Именованный масштаб «в 1 см – 50 м».

      Как называется число 50?

      З а д а н и я

      1

      Перевести именованный масштаб в численный:

      2

      в 1 см – 10 м

      3

      Перевести численный масштаб в именованный

      в 1 см-50 км

      4

      1:10 000

      Измерить расстояние на карте и вычислить действительное расстояние на местности (по топографической карте)

      в 1 см-200 м

      5

      Учащиеся прошли на север 500 м. Начертите маршрут движения с помощью масштаба в 1 см – 1 км

      1:750 000

      в 1 см-750 км

      1:30 000

      Чему равна действительная площадь квадрата, который на карте масштаба 1:35 000 000 изображен в виде квадрата стороной в 1 см?

      6

      1:100 000

      Определите масштаб плана, если дорога длиной 5 км на нем имеет длину 20 см.

      З а д а н и е

      1.

      Дробь, показывающая, сколько километров на местности содержится в 1 см на карте, называется:

      2.

      А) численным масштабом

      Если изображение местности имеет масштаб

      3.

      4.

      Если численный масштаб карты 1:25 000, то это значит, что:

      А) план

      Б) именованным

      1:1 000 000, то это

      В) линейным

      5.

      А) в 1 см – 25 000 км

      Если именованный масштаб в 1 см – 100 км, это значит, что:

      Б) карта

      6.

      Определите масштаб плана, если на них дорога длиной в 3 км имеет длину 10 см

      А) 1:100

      Б) в 1 см – 250 м

      В) в 1 см -25 км

      7.

      Б) 1: 10 000 000

      А) в 1 см – 5 000 м

      В каком масштабе расстояние 30 км соответствует 3 см?

      А) 1: 1 000 000

      Отрезок длиной 3 см на карте масштаба 1:7 500 000 соответствует расстоянию в

      В) 1:100 100

      Б) в 1 см – 50 км

      • 125 км
      • 225 км
      • 275 км
      • 350 км

      В) в 1 см – 500 м

      Б) 1: 300 000

      В) 1: 1 000 000

      В) 1: 30 000 000

      Г) 1: 300 000

      Задание

      8.

      Какой масштаб мельче:

      9.

      Масштаб мелкомасштабной карты — это

      10.

      • 1: 85 000
      • 1: 8 500
      • 1: 850 000
      • 1: 8 500 000

      Масштаб крупномасштабной карты — это

      • 1:10 000
      • 1:500 000
      • 1:250 000
      • 1:10 000 000

      11.

      • 1:1 000 000
      • 1:2 000 000
      • 1:5 000 000
      • 1:200 000

      Топографическая карта имеет масштаб

      • Крупнее 1:200 000
      • 1:200 000-1:10 000 000 включительно
      • Мельче 1:1 000 000
      • 1:2 000 000 – 1:10 000 000 включительно

      Деление карт по масштабу

      • Крупномасштабные : в 1см˂2 км Среднемасштабные : в 1 см 2 до 10 км Мелкомасштабные : в 1 см˃10 км
      • Крупномасштабные : в 1см˂2 км
      • Среднемасштабные : в 1 см 2 до 10 км
      • Мелкомасштабные : в 1 см˃10 км

      Масштаб на карте в чем измеряется. Масштаб. Измерение расстояний по планам, картам и глобусу. Урок 3

      Чтобы измерить расстояние по плану, карте или глобусу, нужно знать, что такое масштаб и уметь им пользоваться. Масштаб – одна из основных математических составляющих любой географической модели Земли, он показывает, во сколько раз уменьшены все расстояния на карте по сравнению с теми же расстояниями на местности.

      Если масштабирование не произвести, то никакой бумаги не хватит, чтобы изобразить на ней даже небольшой участок поверхности. На старинных картах размеры и расстояния уменьшены в неодинаковое количество раз, поэтому по ним можно узнать очертания объектов, но не их величину.

      Как обозначается масштаб?

      Масштаб плана или карты всегда один, но указываться он может тремя разными способами. Способы обозначения масштаба следующие:

      • численные;
      • именованные;
      • графические (линейные и поперечные).

      Численный масштаб имеет вид дроби, например 1:1000, числитель которой показывает единицу измерения на карте, а знаменатель – во сколько раз она уменьшена по сравнению с действительным расстоянием, второе число называется величиной масштаба.

      Масштаб 1:1000 нужно читать так «один к тысячи», а обозначает он, что 1см на плане соответствует 1000 см на местности. То есть этот масштаб показывает, что действительное расстояние уменьшено в 1000 раз. Числитель и знаменатель дроби численного масштаба указываются в одинаковых единицах – в сантиметрах, ведь у дроби всегда так.

      Чем больше знаменатель дроби, тем меньше сама дробь, а значит, мельче масштаб. Например, масштаб 1 : 100 000 мельче, чем масштаб 1:10 000.

      Масштаб топографическтй карты

      Но, зная математику, мы легко можем перевести сантиметры  в метры или километры. Чтобы делать это быстрее, переводя в метры, просто зачёркиваем 2 нуля, так как в 1м – 100 см, а в километры – убираем 5 нулей. Пример: 1:1000 – убираем 2 нуля и получаем 10 метров.

      Если масштаб один к ста тысячам, например, тогда уже можно перевести знаменатель и в километры – 1:100 000, для этого уберём 5 нулей, потому что в 1 км 100 000 см.

      Получим, что в 1 см на карте 10 км на местности, а это будет уже другой вид масштаба – именованный.

      Именованный масштаб указывается на всех картах, он дополняется словами. В 1 см – 10 м, 10 м – это величина масштаба. Для примера переведём численный масштаб в именованный, пользуясь правилом, обсуждаемым выше:

      • 1:25 000 000 – 1см-250 км;
      • 1:10 000 000 – 1см-100 км;
      • 1:20 000 – 1см-200 м.

      При необходимости обратного перевода добавляем те же нули, при переводе километров в сантиметры добавим 5 нулей, метров в сантиметры – 2 нуля. Например:

      • 1 см-300 м – это 1:30 000;
      • 1см-250 км – это 1:25 000 000.



      Для непосредственного определения расстояния по картам и планам служит линейный масштаб. Это график, помещаемый внизу карты в виде линейки (масштабная линейка), в России она разделёна на сантиметры.

      Справа от нуля у каждого деления линейки подписано истинное расстояние на местности, равное одному, двум или нескольким величинам масштаба.

      Слева от нуля сантиметр линейки разбивают на меньшие деления, например на миллиметры, для получения более точных результатов.

      Как измерять расстояние по карте, плану или глобусу?

      Измерять расстояния можно при помощи масштаба или градусной сетки (на плане её нет). Второй способ мы изучим немного позднее. Чтобы узнать расстояние на местности, нужно расстояние между двумя точками на карте или плане измерить при помощи линейки (этот способ подходит для прямых линий, для извилистых пользуются курвиметром или измерением малым раствором циркуля).

      Измерения нужно производить очень точно, учитывая миллиметры. Затем полученные данные умножить на величину масштаба.

      Например, если при измерении мы получили расстояние 1,4 см, а масштаб карты в 1см 10 000 км, нужно умножить 1,4 на 10 000, получится 14 000 км – это и есть расстояние на местности.

      Нужно знать, что мы узнаём не действительное расстояние, а его проекцию. Линия на карте может иметь разные неточности в связи с углом наклона земной поверхности.

      При помощи линейного масштаба измеряют расстояние линейкой или циркулем, переносят это расстояние на масштабную линейку и без дополнительных расчетов получают искомое расстояние. При этом неизбежны ошибки, которые зависят от масштаба и проекции карты. Чем крупнее масштаб карты, тем точнее измеренные расстояния.

      Глобус – объёмная модель Земли. Он показывает шарообразную форму нашей планеты. На нём все объекты изображены в неискажённом виде. В отличие от карты, они сохраняют свою форму, площадь, длину.

      Направления на глобусе совпадают с направлениями на Земле. У глобуса всюду один и тот же масштаб, который обычно надписывается в южной части Тихого океана. Масштабы школьных глобусов очень мелкие: 1:50 000 000, т. е.

      в 1 см – 500 км, истинное расстояние на нём уменьшается в 50 миллионов раз.

      Для определения расстояний по глобусу надо ниткой или полоской бумаги измерить расстояние между заданными пунктами и, зная масштаб глобуса, вычислить истинное расстояние с помощью пропорции, как по обычной карте.

      Масштаб и классификация карт по нему

      Чем больший участок Земли нужно изобразить, тем в большее количество раз нужно уменьшить расстояния на карте по сравнению с действительным. На такой карте все подробности не покажешь, для этого она слишком мелкомасштабна. Приходится отбирать только те объекты, которые важны именно для цели выполняемой данной картой – этот процесс называется географической генерализацией.

      Подробно можно показать небольшую площадь, посёлок, район, город. Тут будет видны уже и форма и размер зданий, расположение лесопарков, небольшие реки и др. Это возможно потому, что расстояния уменьшены несильно, масштаб карты достаточно крупный.

      По масштабу карты делят на:

      • мелкомасштабные (обзорные) — с масштабом менее 1: 1 000 000;
      • среднемасштабные (обзорно-топографические) – в пределах 1: 200 000 до 1: 1 000 000;
      • крупномасштабные (топографические) – от 1: 200 000 до 1: 10 000.

      Нужно запомнить правило: чем больше величина масштаба, тем мельче масштаб карты, чем крупнее масштаб, тем подробнее карта.

      Измерения по топографической карте

      Местность на карте всегда изображается в уменьшенном виде. Степень уменьшения местности определяется масштабом карты.

      Масштаб показывает во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Масштаб указан – на каждом листе карты под южной (нижней) стороной рамки в числовом и графическом виде.

      Численный масштаб обозначается на картах в виде отношения единицы к числу, показывающему, во сколько раз уменьшены длины линий на местности при изображении их на карте.

      Пример: масштаб 1:50000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50000 раз, т. е. 1 см на карте соответствует 50000 см на местности.

      Количество метров (километров) на местности, соответствующее 1 см на карте, называется величиной масштаба. Она указывается на карте под численным масштабом.

      Полезно запомнить правило: если в правой части отношения зачеркнуть два последних нуля 1:50000, то оставшееся число покажет, сколько метров на местности содержится в 1 см на карте, т. е. величину масштаба.

      При сравнении нескольких масштабов более крупным будет тот , у которого число в правой части отношения меньше. Чем крупнее масштаб карты, тем подробнее и точнее на ней изображена местность.

      Линейный масштаб – графическое изображение численного масштаба в виде прямой линии с делениями (в километрах, метрах) для непосредственного отчета расстояний, измеряемых на карте.

      Способы измерения расстояний по карте

      • Расстояние по карте измеряют, пользуясь численным или линейным масштабом.
      • Расстояние на местности равно произведению длины отрезка, измеренного на карте в сантиметрах на величину масштаба.
      • Расстояние между точками по прямым или ломаным линиям измеряют обычно при помощи линейки, умножая это значение на величину масштаба.

      Пример 1: по карте 1:50000 (СНОВ) измерить длину дороги от мукомольного завода в свх.

      Беличи (6511) до пересечения с железной дорогой.

      1. Длина дроги на карте – 4, 6 см
      2. Величина масштаба – 500 м
      3. Длина дороги на местности 4,6х500 = 2300 м

      Пример 2: по карте 1:50000 (СНОВ) измерить длину полевой дороги от Воронихи (7419) до моста через реку Губановку (7622). Длина дороги по карте равна 2 см + 1 см + 2, 3 см + 1, 4 см + 0,4 см = 7, 1 см. длина полевой дороги на местности 7, 1 х 500 = 3550 м.

      Небольшие прямолинейные участки измеряют, пользуясь линейным масштабом без всяких вычислений. Для этого достаточно отложить циркулем расстояние между заданными точками на карте и, приложив циркуль к линейному масштабу, снять готовый отсчет в метрах или километрах.

      • Пример 3: по карте 1:50000 (СНОВ) определить длину озера Камышовое (7412) при помощи линейного масштаба.
      • Длина озера – 575 м.
      • Пример 4: пользуясь линейным масштабом определить длину реки Воронка от плотины (6717) до впадения в реку Соть.
      1. Длина реки Воронка – 2175 м.
      2. Для измерения кривых и извилистых линий используют либо циркуль-измеритель, либо специальный прибор – курвиметр.
      3. При использовании циркуля – измерителя необходимо установить раствор циркуля, соответствующий целому числу метров (километров), а также соизмеримый с кривизной измеряемой линии.

      • Пример 5: по карте 1:50000 (СНОВ) измерить длину участка реки Андога от железнодорожного моста до места впадения Андоги в реку Соть.
      • Выбранный раствор циркуля – 0,5 см.
      • Количество шагов – 6.
      • Остаток – 0,2 см.
      • Величина масштаба – 500 м.
      • Длина участка реки Андоги на местности (0,5 х 6) х 500 + (0,2 х 500) = 1500 м + 100 м = 1600 м.

      Для измерения кривых и извилистых линий используют также специальный прибор – курвиметр. Механизм этого прибора состоит из измерительного колесика, соединенного со стрелкой, которая движется по циферблату. При движении колесика вдоль измеряемой по карте линии стрелка передвигается по циферблату и указывает пройденное колесиком расстояние в сантиметрах.

      Для измерения кривых линий курвиметром следует предварительно установить стрелку курвиметра на «0», а затем прокатить его по измеряемой линии, следя за тем, чтобы стрелка курвиметра двигалась по направлению движения часовой стрелки. Умножив показания курвиметра в см на величину масштаба, получают расстояние на местности.

      1. Пример 6: по карте 1:50000 (СНОВ) при помощи курвиметра измерить длину участка железной дороги Мирцевск – Бельцово ограниченного рамкой карты.
      2. Показания стрелки курвиметра – 33 см
      3. Величина масштаба – 500 м
      4. Длина участка железной дороги Мирцевск – Бельцово на местности составляет: 33х500 = 16500 м = 16, 5 км.
      5. Точность измерения расстояния по карте.
      6. Точность измерения расстояний по карте зависит от ее масштаба, погрешностей в составлении самой карты, помятости и деформации бумаги, рельефа местности, измерительных приборов, зрения и аккуратности человека.
      7. Предельная графическая точность в топографии принята 0,5 мм 5% от величины масштаба карты.

      Измеренные по карте расстояния получаются всегда несколько короче действительных. Это происходит потому что, по карте измеряются горизонтальные проложения, в то время как соответствующие им линии на местности наклонные, т. е. длиннее своих горизонтальных проложений.

      • Поэтому при расчетов приходится вводить соответствующие поправки на наклон линий.
      • Наклон линий — 10° поправка – 2% от длины линии
      • Наклон линий — 20° поправка – 6% от длины линии
      • Наклон линий — 30° поправка – 15% от длины линии
      • Измерение площадей по карте.

      Площади объектов чаще всего измеряют подсчетом квадратов координатной сетки. Каждому квадрату сетки карт 1:10000 – 1:50000 на местности соответствует 1 км, 1:100000 – 4 км, 1:200000 – 16 км.

      1. При измерении больших площадей по карте или аэрофотоснимку применяется геометрический способ, который заключается в измерении линейных элементов участка и последующем вычислении его по формулам.
      2. Если участок на карте имеет сложную конфигурацию, его делят прямыми линиями на прямоугольники ( (а+в) х 2), треугольника ((ахв) : 2) и вычисляют площади полученных фигур, которые затем суммируют.
      3. Площади небольших участков удобно измерять офицерской линейкой, имеющей специальные вырезы прямоугольной формы.
      4. Площадь радиоактивного заражения местности рассчитывают по формуле для определения площади трапеции:
      5. P = Ra:2,
      6. где R – радиус круга заражения, км
      7. а – хорда, км.

      Понятие системы координат

      Координатами называются линейные или угловые величины, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве.

      Системой координат называется совокупность линий и плоскостей, относительно которых определяют положение точек, объектов, целей и т.п.

      Существует множество систем координат, которые находят применение в математике, физике, технике, военном деле.

      В военной топографии для определения положения точек (объектов, целей) на земной поверхности и на карте применяются географические, плоские прямоугольные и полярные системы координат.

      Географическая система координат

      В этой системе положение любой точки на наземной поверхности определяется двумя углами – географической широтой и географической долготой, относительно экватора и начального (нулевого меридиана).

      Географическая широта (В) – это угол, образованный плоскостью экватора и ответственной линией в данной точке земной поверхности.

      Широты отсчитываются по дуге меридиана к северу и к югу от экватора от) 0° на экваторе до 90° у полюсов. В северном полушарии – южные широты.

      Географическая долгота (L) – угол, образованный плоскость начального (нулевого) меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку.

      За начальный меридиан принят меридиан, проходящий через астрономическую обсерваторию в Гринвиче (около Лондона). Все точки на земном шаре, расположенные к востоку от начального меридиана имеют восточную долготу от 0° до 180° а к западу – западную долготу, также от 0° до 180°. Все точки, лежащие на одном меридиане имеют одинаковою долготу.

      Разность долгот двух точек показывает не только их взаимное расположение, но и разницу во времени в этих точках. Каждые 15° по долготе соответствует 1 час, т. к. поворот Земли на 360° совершается на 24 часа.

      Таким образом, зная долготу двух пунктов, легко определить разность местного времени в этих пунктах.

      • Географическая сетка на топографических картах.
      • Линии, соединяющие точки земной поверхности одинаковой широты, называется параллелями.
      • Линии, соединяющие точки земной поверхности одинаковой долготы, называются меридианами.
      • Параллели и меридианы являются рамками листов топографических карт.
      • Нижняя и верхняя стороны рамки являются параллелями, а боковые стороны – меридианами.

      Широты и долготы рамки подписываются на углах каждого листа кары (прочитать и показать на карте и плакате). На крупномасштабных и среднемасштабных топографических картах стороны рамок разделены на отрезки, равные одной минуте. Минутные отрезки оттенены через один черной краской и разделены точками на части по 10 секунд.

      Кроме того, непосредственно на карте показывается пересечения средних параллелей и меридианов и дается их оцифровка в градусах и минутах, а по внутренней рамке показываются штрихами 2-3 мм выходы минутных делений.

      Это позволяет прочерчивать параллели и меридианы на карте, склеенной из нескольких листов.

      Чтобы определить географические координаты, какой либо точки по топографической карте, нужно через эту точку провести линии параллели и меридиана. Для чего из этой точки опустить перпендикуляры на нижнюю (верхнюю) и боковую стороны рамки карты. После этого произвести расчеты градусов, минут и секунд по шкалам широт и долгот на сторонах рамки карты.

      1. Точность определения географических координат по крупномасштабным картам составляет около 2-х секунд.
      2. Пример: географические координаты условного знака аэродрома (7407) на карте СНОВ будут соответственно:
      3. B = 54 45’ 23” – северной широты;
      4. L = 18 00’ 20” – восточной долготы.

      Система плоских прямоугольных координат

      • Плоскими прямоугольными координатами в топографии называются линейные величины:
      • Абсцисса Х,
      • Ордината У.

      Эти координаты несколько отличаются от принятых в математике декартовых координат на плоскости. За положительное направление осей координат принято для оси абсцисс (осевой меридиан зоны) направление на север, для оси ординат (экватора эллипсоида) на восток.

      Оси координат делят шестиградусную зону на четыре четверти, счет которых ведется по ходу часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс Х. Положение любой точки, например точки М, определяется кратчайшим расстоянием до осей координат, то есть по перпендикулярам.

      Ширина любой координатной зоны составляет на экваторе примерно 670 км, на широте 40 – 510 км, на широте 50 – 430 км. В северном полушарии Земли (I и IV четверти зон) знаки абсцисс положительные. Знак ординаты в IV четверти отрицательный.

      Чтобы не иметь отрицательных значений ординат при работе с топографическими картами, в точке начала координат каждой зоны величина ординаты принята равной 500 км, а ордината точки расположенной к западу от осевого меридиана зоны, будет всегда положительной и по абсолютному значению меньше 500 км, а ордината точки, расположенной к востоку от осевого меридиана, будет всегда больше 500 км.

      Что такое масштаб карты в географии?

      Масштабом называют соотношение настоящих размеров объекта к изображению, модели объекта. Географический масштаб помогает определить, во сколько раз на карте уменьшили все реальные размеры — площадь территории, отдельных объектов, длину рек, дорог и т.д.

      В древности масштаба не знали, потому объекты располагали на карте на произвольном расстоянии друг от друга. Пользуясь такой картой, человек не мог определить, будет он добираться до нужного места 2 дня, 2 недели или 2 месяца.

      Первым картографом, применившим в составлении карты масштаб, был Анаксимандр Милетский — древнегреческий учёный (VI – V вв. до н. э.), придумавший термин «закон» и предложивший первую формулировку закона сохранения материи.

      • В зависимости от масштаба карты условно разделяют на:
      • – мелкомасштабные (обзорные) — менее 1:1 000 000;
      • – среднемасштабные (обзорно-топографические) — от 1:200 000 до 1:1 000 000;
      • – крупномасштабные (топографические) — от 1:10 000 до 1:100 000.
      • Масштабы до 1:5 000 используют преимущественно в составлении топографического плана.
      • В легендах географических карт используют графический (он же — линейный) и численный масштаб, редко прибегают к именованному.

      Масштаб численный

      Для его записи применяют дроби, в которых числители — это 1 см (если не оговорено иного), а знаменатели — числа, показывающие, в какое количество раз уменьшен показатель. К примеру, масштаб 1:25 000 демонстрирует, что 1 см карты соответствует 25 000 см (250 м) местности.

      Чем меньше знаменатель, тем крупнее масштаб: 1:1000 крупнее, чем 1:5 000, т.к. в первом случае в 1 см карты «умещается» 10 м, а во втором — 50 м. Карты с крупным масштабом подробнее, содержательнее, но использовать их можно для небольших участков местности.

      Линейный (графический) масштаб

      Линейный, или графический масштаб, особенно удобен и даёт возможность узнавать расстояния, размеры без расчётов и переводов длин из масштабных в реальные. Линейный масштаб выглядит как линейка с делениями — мелкими и крупными, каждое из которых подписано соответствующим метрическим значением.

      Основное деление — это обычно отрезок в 2 см, для которого указан размер масштабирования, например — 100 м, 500 м и т.д. Чтобы воспользоваться графическим масштабом, раствор циркуля, равный измеряемому отрезку, прикладывают к линейке масштаба и тут же узнают расстояние между объектами, длину нужного участка и т.д.

      Именованный масштаб

      Именованный масштаб отличается от прочих тем, что в нём словами прописано, сколько в 1 см содержится метров или километров. Например: в 1 см — 250 м; в 1 см — 5 км.

      Где искать масштаб на карте?

      Чтобы узнать масштаб географической карты, нужно посмотреть углы карты или её легенду. Легендой называют список обозначений с их разъяснением.

      Очень часто на картах приводятся все 3 вида масштабов, чтобы каждый человек смог разобраться, во сколько раз реальные расстояния уменьшены на карте.

      Стандарты численных масштабов

      1. В Российской Федерации приняты следующие стандарты численного масштаба:
      2. 1:10 000 1:25 000 1:50 000 1:100 000 1:200 000 1:300 000 1:500 000
      3. 1:1 000 000

      Масштабы топографических карт и планов

      • Масштаб карты – это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.
      • Масштаб (от немецкого Stab – палка) – это отношение длины отрезка на карте, плане, аэро- или космическом снимке к его действительной длине на местности.
      • Рассмотрим виды масштабов.

      Численный масштаб

      Это масштаб, выраженный в виде дроби, где числитель – единица, а знаменатель – число, показывающее во сколько раз уменьшено изображение.

      Численный масштаб – масштаб, выраженный дробью, в которой:

      • числитель равен единице,
      • знаменатель равен числу, показывающему во сколько раз уменьшены линейные размеры на карте.

      Именованный (словесный) масштаб

      1. Это вид масштаба, словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане, снимке.
      2. Именованный масштаб выражается именованными числами, обозначающими длины взаимно соответствующих отрезков на карте и в натуре.
      3. Например, в 1 сантиметре 5 километров (в 1 см 5 км).

      Линейный масштаб

      Это вспомогательная мерная линейка, наносимая на карты для облегчения измерения расстояний.

      Масштаб плана и масштаб карты

      Масштаб плана одинаков во всех его точках.

      Масштаб карты в каждой точке имеет свое частное значение, зависящее от широты и долготы данной точки. Поэтому его строгой числовой характеристикой является численный масштаб – отношение длины бесконечно малого отрезка Д на карте к длине соответствующего бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида земного шара.

      Однако при практических измерениях на карте используют её главный масштаб.

      Формы выражения масштаба

      Обозначение масштаба на картах и планах имеет три формы – численный, именованный и линейный масштабы.

      Численный масштаб выражают дробью, в которой:

      • числитель — единица,
      • знаменатель М – число, показывающее, во сколько раз уменьшены размеры на карте или плане (1:М)

      В России для топографических карт приняты стандартные численные масштабы

      • 1:1 000 000
      • 1:500 000
      • 1:300 000
      • 1:200 000
      • 1:100 000
      • 1:50 000
      • 1:25 000
      • 1:10 000
      • для специальных целей создают также топографические карты в масштабах 1:5 000 и 1:2 000
      • 1:5000
      • 1:2000
      • 1:1000
      • 1:500
      • В землеустроительной практике планы землепользований чаще всего составляют в масштабах 1:10 000 и 1:25 000, а иногда — 1:50 000.
      • При сравнении различных численных масштабов более мелким является тот, у которого больше знаменатель М, и, наоборот, чем меньше знаменатель М, тем крупнее масштаб плана или карты.
      • Так, масштаб 1:10000 крупнее, чем масштаб 1:100000, а масштаб 1:50000 мельче масштаба 1:10000.
      • Примечание
      • Применяемые в топографических картах масштабы установлены Приказом Министерства экономического развития РФ «Об утверждении требований к государственным топографическим картам и государственным топографическим планам, включая требования к составу сведений, отображаемых на них, к условным обозначениям указанных сведений, требования к точности государственных топографических карт и государственных топографических планов, к формату их представления в электронной форме, требований к содержанию топографических карт, в том числе рельефных карт» (№ 271 от 6 июня 2017 года с изменениями на 11 декабря 2017 года).

      Именованный масштаб

      Так как длины линий на местности принято измерять в метрах, а на картах и планах в сантиметрах, то масштабы удобно выражать в словесной форме, например:

      В одном сантиметре 50 м. Это соответствует численному масштабу 1:5000. Поскольку 1 метр равен 100 сантиметрам, то число метров местности, содержащееся в 1 см карты или плана, легко определяют путём деления знаменателя численного масштаба на 100.

      Линейный масштаб

      Представляет собой график в виде отрезка прямой, разделенного на равные части с подписанными значениями соразмерных им длин линий местности. Линейный масштаб позволяет без вычислений измерять или строить расстояния на картах и планах.

      Точность масштаба

      Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0.01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба.

      Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0.01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2.5 м; для карты 1:100 000 — 10 м и т. п.

      Масштабы топографических карт

      численный масштаб карты название карты 1 см на карте соответствует на местности расстоянию 1 см2 на карте соответствует на местности площади
      1:5 000 пятитысячная 50 м 0.25 га
      1:10 000 десятитысячная 100 м 1 га
      1:25 000 двадцатипятитысячная 250 м 6.25 га
      1:50 000 пятидесятитысячная 500 м 25 га
      1:1100 000 стотысячная 1 км 1 км2
      1:200 000 двухсоттысячная 2 км 4 км2
      1:500 000 пятисоттысячная, или полумиллионная 5 км 25 км2
      1:1000000 мииллионная 10 км 100 км2

      Ниже приведены численные маштабы карт и соответствующие им именованые масштабы:

      Масштаб 1:100 000

      • 1 мм на карте – 100 м (0. 1 км) на местности
      • 1 см на карте – 1000 м (1 км) на местности
      • 10 см на карте – 10000 м (10 км) на местности

      Масштаб 1:10000

      • 1 мм на карте – 10 м (0.01 км) на местности
      • 1 см на карте – 100 м (0.1 км) на местности
      • 10 см на карте – 1000 м (1 км) на местности

      Масштаб 1:5000

      • 1 мм на карте – 5 м (0.005 км) на местности
      • 1 см на карте – 50 м (0.05 км) на местности
      • 10 см на карте – 500 м (0.5 км) на местности

      Масштаб 1:2000

      • 1 мм на карте – 2 м (0.002 км) на местности
      • 1 см на карте – 20 м (0.02 км) на местности
      • 10 см на карте – 200 м (0.2 км) на местности

      Масштаб 1:1000

      • 1 мм на карте – 100 см (1 м) на местности
      • 1 см на карте – 1000 см (10 м) на местности
      • 10 см на карте – 100 м на местности

      Масштаб 1:500

      • 1 мм на карте – 50 см (0. 5 м) на местности
      • 1 см на карте – 5 м на местности
      • 10 см на карте – 50 м на местности

      Масштаб 1:200

      • 1 мм на карте – 0,2 м (20 см) на местности
      • 1 см на карте – 2 м (200 см) на местности
      • 10 см на карте – 20 м (0.2 км) на местности

      Масштаб 1:100

      • 1 мм на карте – 0,1 м (10 см) на местности
      • 1 см на карте – 1 м (100 см) на местности
      • 10 см на карте – 10 м (0.01 км) на местности

      Пример 1

      Переведите численный масштаб карты в именованный:

      1. 1:200 000
      2. 1:10 000 000
      3. 1:25 000
      1. Решение:
      2. Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе.
      3. Например, в масштабе 1:500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.

      4. Если после цифры в знаменателе пятьи более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.
      5. Пример для масштаба 1:500 000

      В знаменателе после цифры – пять нулей. Закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.

      • 
Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.
      • Если, например, в знаменателе масштаба 1:10 000 закроем два нуля, получим:
      • в 1 см – 100 м.
      • Ответы:
      1. в 1 см – 2 км
      2. в 1 см – 100 км
      3. в 1 см – 250 м

      Используйте линейку, накладывайте на карты для облегчения измерения расстояний.

      Пример 2

      Переведите именованный масштаб в численный:

      1. в 1 см – 500 м
      2. в 1 см – 10 км
      3. в 1 см – 250 км
      1. Решение:
      2. Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры.
      3. Если расстояние на местности выражено в метрах, тогда чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.

      4. Например, для именованного масштаба в 1 см – 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1:10 000.
      5. Для масштаба в 1 см – 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1:500 000.
      6. Ответы:
      1. 1:50 000
      2. 1:1 000 000
      3. 1:25 000 000

      Типы карт в зависимости от масштабов

      Карты в зависимости от масштабов условно подразделяют на следующие типы:

      • топографические планы 1:400 – 1:5 000
      • крупномасштабные топографические карты 1:10 000 – 1:100 000
      • среднемасштабные топографические карты от 1:200 000 – 1:1 000 000
      • мелкомасштабные топографические карты менее 1:1 000 000

      Топографическая карта

      • Топографическими называются такие карты, содержание которых позволяет решать по ним разнообразные технические задачи.
      • Карты либо являются результатом непосредственной топографической cъемки местности, либо составляются по имеющимся картографическим материалам.
      • Местность на карте изображается в определенном масштабе.

      Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем крупнее масштаб. Планы составляют в крупных масштабах, а карты – в мелких.

      В картах учитывается «шарообразность» земли, а в планах – нет. Из-за этого планы не составляются для территорий площадью свыше 400 км² (то есть участков земли примерно 20 км х 20 км).

      • Стандартные масштабы топографических карт

      В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт:

      1. 1:1 000 000
      2. 1:500 000
      3. 1:200 000
      4. 1:100 000
      5. 1:50 000
      6. 1:25 000
      7. 1:10 000

      Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

      • Крупномасштабные топографические карты

      Карты масштабов:

      1. 1:10 000 (1см =100 м)
      2. 1:25 000 (1см = 100 м)
      3. 1:50 000 (1см = 500 м)
      4. 1:100 000 (1см =1000 м)
      1. называются крупномасштабными.
      2. Топографические карты территории России до масштаба 1:50 000 включительно являются секретными, топографические карты масштаба 1:100 000 — ДСП (для служебного пользования), а мельче – не секретными.
      3. В настоящее время существует методика создания топографических карт и планов любых масштабов, не имеющих грифа секретности и предназначенных для открытого пользования.

      Сказка про карту в масштабе 1:1

      Жил-был Капризный Король. Однажды он объехал своё королевство и увидел, как велика и прекрасна его земля. Он увидел извилистые реки, огромные озёра, высокие горы и чудесные города. Он возгордился своими владениями и захотел, чтобы весь мир узнал о них.

      И вот, Капризный Король приказал картографам создать карту королевства. Картографы трудились целый год и, наконец, преподнесли Королю замечательную карту, на которой были обозначены все горные гряды, крупные города и большие озёра и реки.

      Однако, Капризный Король остался недоволен. Он хотел видеть на карте не только очертания горных цепей, но и изображение каждой горной вершины. Не только крупные города, но и мелкие, и селения. Он хотел видеть небольшие речки, впадающие в реки.

      Картографы вновь принялись за работу, трудились много лет и нарисовали другую карту, размером в два раза больше предыдущей. Но теперь Король пожелал, чтобы на карте были видны перевалы между горными вершинами, маленькие озерца в лесах, ручейки, крестьянские домики на окраине селений. Картографы рисовали все новые и новые карты.

      Капризный Король умер, так и не дождавшись окончания работы. Наследники один за другим вступали на трон и умирали в свою очередь, а карта все составлялась и составлялась. Каждый король нанимал новых картографов для составления карты королевства, но всякий раз оставался недовольным плодами труда, находя карту недостаточно подробной.

      Наконец картографы нарисовали Невероятную карту! Она изображала всё королевство в мельчайших подробностях — и была точно такого же размера, как само королевство. Теперь уже никто не мог найти различия между картой и королевством.

      Где же собирались хранить Капризные Короли свою замечательную карту? Ларца для такой карты не хватит. Понадобится огромное помещение вроде ангара, и в нем карта будет лежать во много слоев. Только нужна ли такая карта? Ведь карта в натуральную величину может быть с успехом заменена самой местностью ))))

      Полезно ознакомиться и с этим

      • Ознакомиться с используемыми в России единицами измерения площадей земельных участков можно здесь.
      • Для тех, кого интересует возможность увеличения площади земельных участков для ИЖС, ЛПХ, садоводства, огродничества, находящихся в собственности, полезно ознакомиться с порядком оформления прирезок.
      • С 1 января 2018 года в кадастровом паспорте должны быть зафиксированы точные границы участка, поскольку купить, продать, заложить или подарить землю без точного описания границ будет попросту невозможно. Так регламентировано поправками к Земельному кодексу. А тотальная ревизия границ по инициативе муниципалитетов началась с 1 июня 2015 г.
      • С 1 марта 2015 года вступил в силу новый Федеральный закон «О внесении изменений в Земельный кодекс РФ и отдельные законодательные акты РФ» (N 171-ФЗ от 23.06.2014 г.), в соответствии с которым, частности, упрощена процедура выкупа земельных участков у муниципалитетов. Ознакомиться с основными положениями закона можно здесь.
      • В отношении регистрации домов, бань, гаражей и других построек на земельных участках, находящихся в собственности граждан, улучшит ситуацию новая дачная амнистия.

      Лекция 2

      Лекция 2 Лекция 2

      Весы

      Точная геометрическая связь между картой и регионом, который она изображает.
      — одна из важнейших характеристик современной карты.
      — Большинство карт значительно уменьшены в размерах по сравнению с их предметами, поэтому масштаб является небольшой долей.

      Определение: Отношение размера карты к ее тематике:
      Масштаб = расстояние на карте / расстояние на местности

      Пример:
      — Две точки на земле находятся на расстоянии 1000 м друг от друга.
      — Представлено на карте точками, отстоящими друг от друга только на 1 см
      — Рассчитайте масштаб следующим образом:
      — 1 см соответствует 1000 м
      — 1000 м = 100 000 см
      — таким образом, 1 см соответствует 100 000 см
      — таким образом, масштаб = 1 см / 100 000 см = 1/100 000

      — Шкала представляет собой дробь, выраженную тремя способами:
      — Репрезентативная дробь (RF) , например. 1:100,000
      — Вербальная шкала «Один см соответствует одному километру»
      — Графическая шкала — линия, помеченная расстоянием, которое она представляет.

      Графический масштаб остается точным при увеличении или уменьшении карты. Вербальные и RF весы не имеют.
      В графическом масштабе интервалы должны быть удобными круглыми числами.

      Примеры весов

      пример: расстояние до земли = 5 км, расстояние до карты = 2 см.
      — ЭТАП 1: — 2 см соответствует 5 км — (запишите полностью)
      — ЭТАП 2: — 1 см соответствует 2,5 км — (разделите так, чтобы левая часть = 1)
      — ЭТАП 3: — 1 см соответствует 250 000 см — ( преобразовать в те же единицы)
      — ШАГ 4: — масштаб 1 : 250 000 — (выразить в виде репрезентативной дроби)

      пример: расстояние по карте = 3,5 см, масштаб карты = 1:15 000
      — какое реальное расстояние?
      — ШАГ 1: — 1 см соответствует 15 000 см — (укажите масштаб прописью, в тех же единицах, что и ваши измерения)
      — ШАГ 2: — 3,5 см соответствует (3,5 x 15 000) см = 52 500 см — (умножьте обе стороны на расстояние по карте )
      — ШАГ 3: — 3,5 см соответствует 525 м — (перевести в более удобные единицы измерения)
      ответ: 525 м

      Масштаб (2)

      Большие и малые масштабы:
      — Масштаб представляет собой дробь.
      — 1/2 больше, чем 1/4.
      — 1/5000 больше, чем 1/100 000.
      — масштаб 1:5000 больше, чем 1:100 000.
      — «Крупный масштаб» зависит от контекста, но обычно относится к масштабам более 1:50 000.
      (ПРИМЕЧАНИЕ — это не имеет ничего общего с выражением типа «большая стройка»)

      Увеличение или уменьшение:
      — Масштаб представляет собой расстояние по карте / расстояние по земле.
      — При увеличении карты (на ксероксе и т.д.) расстояние карты увеличивается, соответственно меняется масштаб.
      — Большая карта = больший масштаб, меньшая карта = меньший масштаб.
      — Умножьте расстояние карты на процентное изменение и пересчитайте масштаб.

      пример: Расстояние до карты = 1 см, Расстояние до земли = 1 км.
      — Масштаб = 1:100 000
      — Увеличить на 141% на копировальной машине.
      — Расстояние до карты = 1,41 см Расстояние до земли = 1 км
      — Масштаб = 1,41/100 000 = 1:70 921

      Направления

      Три основных способа выразить направление.

      1. Стрелки компаса
      — Пригодны для приблизительных указаний, а не для точной работы.
      — Направления обычно лежат между точками компаса, однако часто вы их подразделяете.

      2. Азимут (числовая версия № 1)
      — ШАГ 1: Посмотрите строго на север, если интересующая вас точка находится совсем к северу от вас. Смотри строго на юг, если он южнее тебя.
      — ШАГ 2: Повернитесь на восток или запад, пока не окажетесь лицом к точке.
      — ШАГ 3: Измерьте угол этого поворота.
      — ШАГ 4: Выразите пеленг, используя все три элемента информации из шагов 1, 2 и 3:
      — Север 30 o Запад
      — Север 45 o Восток
      — Юг 12 o Запад
      — Юг 87 o Восток

      3. Азимут
      — ШАГ 1: Посмотрите на север.
      — ШАГ 2: Поверните по часовой стрелке, пока не окажетесь лицом к интересующей вас точке.
      — Шаг 3: Измерьте угол поворота. Этот угол является СЕВЕРНЫМ АЗИМУТОМ, обычно просто называемым азимутом:
      — 330 градусов
      — 45 градусов
      — 192 градуса
      — 93 градуса

      Уметь конвертировать пеленги и азимуты!

      Добавление углов
      Полезно при съемке и навигации.
      — Помните: 60′ = 1 o 60″ = 1′
      — 35 o 22′ 40″ + 5 o 15′ 30″ = 40 o 38′ 10″

      0 Определение северной широты

      0 Три общих подхода:

      1. Истинный север (по координатной сетке широта — долгота).
      — Указывает точно на северный географический полюс (ось вращения).

      2. Магнитный Север (направление указывает стрелка компаса).
      — Точки вдоль силовых линий магнитного поля, примерно в направлении северного магнитного полюса (в СЗТ).
      — отличается от истинного севера в большинстве мест, потому что магнитный и географический полюсы не совпадают.
      — Изменяется со временем по мере дрейфа магнитного полюса.
      — Положение магнитного севера необходимо пересчитывать, если карте больше нескольких лет.
      — Скорость изменения напечатана на краю карты.

      пример:
      — «Магнитный север находился на 7 o 30 футов к западу от истинного севера в 1985 году, ежегодно уменьшаясь на 12 футов».
      — таким образом, в 1992 году, через семь лет:
      — Магнитный север будет равен 7 o 30′ к западу от истинного севера, МИНУС 7 умножить на 12′ = 84′
      — 84′ = 1 o 24′
      — таким образом, в 1992 году магнитный север находится на 6 o 6′ к западу от истинного севера

      3. Северная сетка (относится к сетке UTM).
      — то же, что и истинный север в центре каждой шестиградусной зоны UTM.
      — Изменения в каждую сторону, потому что квадратная сетка не соответствует схождению меридианов к полюсу.
      — На большинстве топографических карт три севера показаны на полях.
      — Некоторые карты показывают только один север. Если это не ИСТИННЫЙ север, он ДОЛЖЕН быть идентифицирован.

      Лекция: Масштаб карт, доктор Родриг

      Лекция: Масштаб карт, доктор Родриг
      
III. Масштаб карты — это понятие, относящееся к тому факту, что карты представляют собой
     области, которые они представляют (ну, я полагаю, вы могли бы нанести на карту что-то под
     микроскоп, и в этот момент карта будет расширением области, которую она
     представляет собой).  Они должны сказать вам, насколько они уменьшают землю, так что вы
     может делать такие вещи, как измерение расстояния и интерпретация относительного размера. "Шкала"
     это индекс редукции, который дает вам эту информацию. Есть
     три основных способа сделать это.
     A. Графическая шкала или линейчатая шкала. Это просто линия, отмеченная в
        километров или миль, так что вы можете просто использовать линейку или любой другой
        линейка для измерения реального расстояния между любыми двумя
        места на карте.

         

        1. Эти шкалы могут быть даны в километрах или милях или
           комбинация двух, как вы видите здесь.
        2. Приятной особенностью графических масштабов является то, что их можно уменьшать или уменьшать.
           увеличены и по-прежнему сохраняют свое пропорциональное значение. Все остальные
           Типы шкал должны быть переделаны, если вы планируете уменьшить или увеличить
           карта.
        3. Возможны два недостатка:
           а.  Как и в случае с любой шкалой, вы должны доверять ее точности только в
              центр карты и рассматривать его только как приближение вокруг
              края, особенно на картах, на которых изображены большие территории.
           б. Шкала может быть привязана к культуре в том смысле, что если вы только
              укажите масштаб в милях, большая часть остального мира не будет
              возможность использовать вашу карту без большого количества дополнительных вычислений.
              Точно так же, если вы предоставляете только километры, большинство американцев
              чем тем, кто занимается науками, будет трудно прочитать его без
              много дополнительной работы. Будьте вежливы и предоставьте и то, и другое.
     B. Вербальная шкала или заявленная шкала. Один дюйм равен одной миле или 1
        сантиметр равен одному километру или что-то в этом роде. Опять же, вы бы использовали линейку
        для оценки различий в реальном мире.
        1.  Преимущество этого в том, что большинству людей легко
           ОПРЕДЕЛЕННАЯ культура его использования.
        2. Одним из недостатков является то, что это действительно сложно перевести на
           другая числовая культура (каким-то образом 2,5 см = 1,6 км не соответствует
           сделайте это для меня, и 0,4" = 0,6 мили).
        3. Еще один небольшой недостаток заключается в том, что для его использования вам понадобится настоящая линейка:
           Вы не можете просто отметить лист бумаги на графической шкале
           прямо тогда и там.
        4. Один БОЛЬШОЙ недостаток заключается в том, что вам придется пересчитывать и переформулировать его, если
           вы увеличиваете или уменьшаете карту.
     C. Репрезентативная фракция или коэффициент карты показывает масштаб как фракцию или
        соотношение, в котором числитель всегда равен единице. Примеры были бы
        1:500 000, или 1/100 000, или 1/63 360, или 1:62 500. знаменатель
        обозначает количество ОДИНАКОВЫХ ЕДИНИЦ (например, сантиметров или дюймов)
        что карта показывает в реальном мире.  Таким образом, 1:100 000 будет означать один
        дюйм на карте равен 100 000  дюймов  в реальном мире (около
        1,6 мили). В равной степени это означало бы, что один сантиметр на карте равен
        100 000  сантиметров  в реальном мире (1 км).
        1. Таким образом, каждый может прочитать вашу карту в любом измерении
           система, с которой им комфортно. Все счастливы.
        2. Как и вербальная шкала, репрезентативная дробь должна быть
           пересчитывается каждый раз, когда вы увеличиваете или уменьшаете карту.
        3. Самый большой недостаток в том, что трудно представить, о, 125 000
           дюймов или 125 000 сантиметров. Мы должны преобразовать его из
           изящные единицы сантиметров и дюймов в более крупные
           единицы, которые мы используем в путешествии: километры и мили. Так что вы
           нужно сделать небольшое разделение, чтобы сделать их разумными для вас
           а. В метрической системе 100 000 см/км, так что просто разделите
              знаменатель на 100 000. 
                я. 1:500 000 это 1 см = 5 км
               II. 1:250 000 это 1 см=2,5 км
              III. 1:125 000 это 1 см = 1,25 км
               IV. 1:100 000 это 1 см=1 км
                v. 1:62 500 1 см = 0,625 км
               ви. Здесь вы можете понять, почему ученым нравится эта метрика.
                   система -- простое деление (мы ленивые)!
           б. Большинство американцев используют английскую систему, хотя английская
              отказался от него ради удовольствия владеть нулевым меридианом и
              хоть американцы и англичан в Революцию хлестали
              что породили США и ото всех оторвались
              виды других англицизмов (например, то, как они пишут такие вещи, как
              «честь», «защита» и «среди»). В английской системе один
              миля, уххххх, сколько футов? Хммммм. Это тяжело.
              Кто-нибудь знает навскидку? Я никогда не помню этого сам, и я
              на самом деле пришлось искать его для этой лекции . 
              Одна миля составляет 5280 футов. Почему 5280? Нажмите здесь, чтобы
              узнайте, если вы болезненно любопытны. Итак, сколько дюймов
              там в ногу? Двенадцать. Итак, сколько дюймов в
              миля? Двенадцать умножить на 5 280 (вы сидите?) 63 360. Ага,
              одна миля составляет 63 360 дюймов. Итак, просто разделите знаменатель на
              63 360. Кусок пирога!!! 1:500,000, тогда будет, посмотрим,
              500 000/63 360 = 7,8914 миль. О, ЭТО хорошее круглое число
              мы все можем ярко представить, верно? Нет. Итак, Соединенные Штаты,
              чтобы сделать английскую систему немного более управляемой в Геологической службе США
              карты, выдумки немного. В целях использования карт Геологической службы США вы
              предположим, что одна миля равна 62 500 дюймам. Почему? Потому что
              это как бы близко к реальному числу 63 360 и проще
              разделить на эти знаменатели.  Итак, 1:500,000 теперь включает
              500 000/62 500. Итак, 1 дюйм «равняется» 8 милям.
                я. 1:500,000 это 1 дюйм = 8 миль.
               II. 1:250 000 — это 1 дюйм = 4 мили.
              III. 1:125 000 — это 1 дюйм = 2 мили.
               IV. 1:100 000 — это 1 дюйм = 1,6 мили.
                v. 1:62 500 - это 1 дюйм = 1 миля.
               ви. 1:63 360 также 1 дюйм = 1 миля.
              vii. Теперь вы понимаете, почему американские ученые так возмущены тем, что
                   большинство американцев не хотят переходить на метрическую систему, несмотря на США
                   подписание Метрического договора еще в 1875 году, несмотря на то, что Томас
                   Джефферсон и Джон Куинси Адамс призывают новые США
                   учитывать достоинства французской системы, несмотря на американскую.
                   Конгресс разрешил США перейти на метрическую систему в 1866 году, несмотря на
                   Конгресс США (снова) принимает Закон о преобразовании метрических единиц
                   из 1975 о создании надзорного органа «для координации
                   добровольный переход на метрическую систему», и, несмотря на
                   экономические и торговые издержки нашего отказа от участия в
                   международная (и простая в использовании) система, которую страна
                   сам помог разработать!!! Эээээ!! Извините, я думаю, что
                   восстановил мое самообладание. ... (конец разглагольствования на данный момент).
     D. Очень запутанной концепцией является понятие крупного масштаба и малого масштаба.
        карты. Здесь действительно нужно сосредоточиться.
        1. Крупномасштабная карта — это карта, которая показывает большое количество деталей о
           небольшая площадь. Другими словами, его репрезентативная фракция представляет собой большую
           число (что означает, что оно имеет относительно небольшой знаменатель). Есть
           все это? Просто помните: крупный масштаб означает большую ДЕТАЛИ.
        2. Мелкомасштабная карта — это карта, которая показывает небольшое количество деталей о
           большая площадь. Его репрезентативная часть представляет собой небольшое число
           (что математически означает, что у него большой знаменатель). Запомнить:
           Малый масштаб соответствует небольшому количеству деталей.
        3. Итак, какая карта крупнее? 1:10 000 или 1:100 000? (первый
           один)
        4.  Какая карта меньшего масштаба? 1:250 000 или
           1:1 000 000 000? (второй)
        5. Какая карта будет крупнее? Тот, который показывает все
           мир или тот, который показывает только Калифорнию? (Калифорния)
     E. Если вы хотите узнать больше об этих вопросах, вы можете посетить:

        Интерпретация карты
        Конверсия: показатели

Следующая лекция будет посвящена символизации карт.

      Документ и © поддерживаются Dr. Родриг
      Первое размещение в сети: 16.09.00 Последняя редакция: 08.06.07

      сантиметров в километры конвертировать

      Выберите тип преобразования:
      сантиметры => километры-километры => сантиметры

      Варианты округления:
      1 знак после запятой2 знака после запятой3 знака после запятой4 знака после запятой5 знаков после запятой6 знаков после запятой7 знаков после запятой8 знаков после запятой9 знаков после запятой10 знаков после запятой



      Перевести километры в сантиметры (км в см) ▶

      Таблица преобразования

      201
      см в километры
      см км
      10000 0. 1
      20000 0.2
      30000 9 0.202
      40000 0.4
      50000 0.5
      60000 0.6
      70000 0.7
      80000 0.8

      		 0.9
      100000 1
      110000 1. 1
      120000 1.2

      40203
      1.3
      140000 1.4
      150000 1.5
      160000 1.6
      170000 1.7
      180000 1.8
      1

      		 1.9
      200000 2

      Как преобразовать

      1 сантиметр (см) = 0,00001 километр (км). Сантиметр (см) — единица длины, используемая в метрической системе. Километр (км) — единица длины, используемая в метрической системе. Сантиметры также можно обозначить как сантиметров .

      Километр

      — Единица измерения расстояния/длины

      Обозначение/сокращение единицы измерения: км

      Где единица измерения используется в мире:

      Километр используется как единица измерения расстояний или длин.
      Это стандартная мера пройденных расстояний, географических расстояний и карт в большинстве стран, за исключением США и Великобритании, где для этой цели до сих пор используется миля.
      между географическими точками на суше, и в большинстве стран является официальной единицей для этой цели. Основными исключениями являются Соединенное Королевство, Либерия, Мьянма и Соединенные Штаты Америки, где миля остается стандартной частью имперской системы.

      Определение единицы измерения:

      Километр (километр в британском написании) — единица длины/расстояния в метрической системе (система единиц СИ), эквивалентная одной тысяче метров.

      1 км эквивалентен 0,62137 мили.

      История подразделения:

      Хотя метр был определен в 1799 году во Франции, километр был впервые принят для повседневного использования голландцами в 1817 году под местным названием mijl. Мириаметры (10 000 метров) и «lieues de Poste» (почтовые лиги, 4 288 метров) предпочитались «километру» для повседневного использования во Франции в 1919 году.век. В середине 19 века километр уже использовался в повседневном использовании в Италии и Нидерландах, а мириаметр все еще использовался во Франции. CIPM (Международный комитет мер и весов) официально отменил приставку «мириа-» и «мириаметр» в 1935 году, оставив километр в качестве признанной единицы длины вместо мириаметра.

      Где используется:

      Километр обычно используется на дорожных знаках для обозначения расстояния до определенного места, на картах для обозначения масштаба, для обозначения одометра в автомобильной промышленности. Это также самая популярная единица для описания расстояния между географическими точками и местами.

      Эквиваленты в других единицах и масштабах:

      • 1 км = 1000000 миллиметров (мм)
      • 1 км = 100 000 сантиметров (см)
      • 1 км = 10000 дециметров (дм)
      • 1 км = 1000 метров (м)
      • 1 км = 3280,84 фута (фута)
      • 1 мегаметр = 1000 км
      • 1 гигаметр = 1000000 км
      • Единицы длины в метрической системе СИ основаны на кратных или долях метра.
      • Существуют измерения длины/расстояния в метрической системе СИ, превышающие километр, которые могут быть выражены в километрах.

      1 км эквивалентен 0,621371 мили.

      Километр является единицей длины в метрической системе СИ и равен одной тысяче метров.

      Испанский Русский французский

      [PDF] Масштаб и расстояние на картах

      1 Масштаб и расстояние на картах В этом разделе объясняется, как использовать и преобразовывать различные типы масштабов. Также обсуждается ч…

      Масштаб и расстояние на картах В этом разделе объясняется, как использовать и преобразовывать различные типы масштабов. Также обсуждается, как измерять расстояния на картах. К концу этого раздела вы должны уметь: 

      Измерять кривые и прямые расстояния

      Использовать масштаб для преобразования расстояний на карте в реальные расстояния

      Преобразовывать (изменять) один масштаб в другой.

      Топографические карты показывают искусственные объекты, такие как дома, дороги, железные дороги, ветряные мельницы и т. д., а также природные объекты, такие как реки и горы.

      Часть топографической карты района Огонго масштаба 1:50 000

      Давайте навестим моего дядю в Сельскохозяйственном колледже.

      Можем ли мы пройти пешком от Ошитутума до колледжа?

      Не знаю, давайте посмотрим на нашу карту. Он имеет масштаб масштаба 1:50 000. На карте от Ошитутума до колледжа около 7 см. Формула: расстояние карты × масштаб, поэтому 7 см × 50 000 см равно 350 000 см. Теперь мы должны разделить 350 000 см на 100 000 см, чтобы перевести расстояние в километры. Таким образом, реальное расстояние составляет 350 000 ÷ 100 000 = 3,5 км. Да, мы сможем дойти до колледжа пешком.

      В словесной шкале могут использоваться разные единицы измерения, например, если 1 см равен 0,5 км, то 1 мм равен 0,05 км.

      Рубен и Сельма используют топографическую карту, чтобы найти дорогу в колледж. Чтобы определить, каким будет реальное расстояние, они должны уметь пользоваться масштабом карты. Они также должны знать, как измерять расстояния на карте.

      Масштаб карты Масштаб карты показывает соотношение между расстоянием на карте и соответствующим расстоянием на поверхности земли. Существует три типа шкал: шкалы слов, шкалы отношений и линейные шкалы. 1

      Масштабы слова

      Если 1 см на карте соответствует 50 000 см в действительности, то 1 см также соответствует 0,5 км.

      2

      Шкалы пропорций

      Если масштаб пропорций 1:50 000, то 1 см равен 50 000 см. Вот примеры других шкал отношений: 1:2 000 000 1:4 000

      Чтобы преобразовать шкалу слов в шкалу отношений, вы должны следовать двум правилам: 1

      Шкала отношений всегда должна начинаться с 1.

      2

      Размеры до и после двоеточия (:) должны быть в одних и тех же единицах измерения. Например, чтобы преобразовать масштаб слова 4 см в 2 км, необходимо применить оба правила. Поэтому вы должны сначала преобразовать 2 км в см (2 × 100 000 = 200 000), а затем разделить 4 на 4 (=1). Помните, что вы также должны разделить 200 000 на 4 (= 50 000). Таким образом, масштаб соотношения составляет 1:50 000.

      3

      Линейная шкала

      Линейная шкала состоит из линии, разделенной на основные единицы, со второстепенными единицами слева от 0. Помните, что основные единицы слева от 0 должны быть точно такого же размера или длина в качестве основных единиц справа от 0.

      Приведенный выше пример линейного масштаба означает, что 1 см на карте равен 1 км на местности. Изучите следующие два примера и попытайтесь преобразовать их в словесные шкалы. Не беспокойтесь, если вы не можете этого сделать. Мы объясним больше о преобразованиях масштаба позже. 2 см = 3 км или 1 см = 1,5 км

      Следующие шаги помогут вам нарисовать линейную шкалу. Они используются в приведенном ниже примере, чтобы показать вам, как вы рисуете линейную шкалу. Пример: Нарисуйте линейную шкалу с основными и дополнительными единицами, где 2 см равняется 100 м. Шаг 1: Начертите линейную шкалу (линию)… __________________________________(начертите линию любой длины)

      Шаг 2: где 2 см…(разделите линию на 2 см)

      Шаг 3: равно 100 м

      (каждые 2 см равняется 100 м) Шаг 4: Разделите единицы слева от 0 на более мелкие второстепенные единицы по вашему выбору.

      Как преобразовать масштабы Один тип масштаба может быть преобразован в другой тип масштаба. Посмотрите на пример ниже, чтобы увидеть, как это сделать. Пример:

      Преобразовать в:

      Словесный масштаб: 1 см соответствует 0,5 км

      Коэффициентный масштаб:

      Линейный:

      Словесный масштаб: 1 см соответствует 1 км

      Чтобы иметь возможность преобразовать один масштаб в другой масштаб или один единицы в другую, необходимо знать следующее:

      Есть:

      Для перевода из: 1 000 000 мм в 1 км

      мм в км вас ÷ на 1 000 000

      100 000 cm в 1 км

      cm в км вас ÷ на 100 000

      1 000 м в 1 км см в 1 м

      см в м you ÷ на 100

      1 000 мм в 1 м

      мм в m you ÷ на 1 000

      Измерение расстояния На карте расстояния можно измерять двумя способами: по прямой линии или по кривой линии. Вдоль прямой линии Чтобы измерить прямую линию, просто используйте линейку. Например, показанное здесь расстояние от А до В равно 5,6 см.

      1

      По кривой линии

      Для измерения кривой вам понадобится лист бумаги с прямым краем. Шаг 1: Поместите полоску бумаги прямым краем на первую прямую часть дороги или изогнутую линию. Отметьте точку B на полосе в ее начале и сделайте еще одну отметку (b) там, где дорога начинает изгибаться от бумажной полосы.

      Шаг 2: Удерживая отметку (b) прочно закрепленной, поверните прямой край бумажной полоски, пока он не пройдет по следующему прямому участку дороги. Теперь отметьте (c), где дорога снова изгибается (вверх или вниз) от бумажной полоски.

      Шаг 3: Продолжайте вращать бумажную полоску и отмечать части на полоске, пока все изогнутое расстояние от B до Намутони не будет отмечено на полоске бумаги.

      Шаг 4: Положите бумажную полоску на линейку и прочтите расстояние от B до Намутони, как показано ниже. Определите реальное расстояние, используя предоставленные масштабы карты. .

      Вычисление расстояния с использованием различных масштабов Если вы умеете пользоваться масштабами карты, вы сможете легко вычислить реальное расстояние между местами.

      Карта имеет соотношение и линейный масштаб. Чтобы использовать шкалу отношения, вы должны понимать следующую формулу: Масштаб отношения = Расстояние на карте × масштаб (если перевести из см в км) 100 000 Давайте измерим расстояние, пройденное самолетом между Могадишо в Сомали и Найроби в Кении, используя нашу формула. Расстояние карты = 1,5 см × масштаб карты = 1,5 см × 60 000 000 см = 90 000 000 см ÷ 100 000 (для преобразования в км) = 900 км

      Чтобы использовать линейный масштаб, вы должны понимать, как читать расстояние на этот тип шкалы. Он позволяет измерять реальное расстояние между точками на карте. Воспользуйтесь линейкой и измерьте расстояние от Виндхука до Луанды на карте Африки (рис. 1.5). Расстояние 2,7 см. Теперь поместите линейку на линейную шкалу так, чтобы отметка 2,7 см на линейке находилась непосредственно под отметкой 1 200 км на линейной шкале (между 2 и 3 см). Теперь изучите рисунок 1.6. Пункт А — Виндхук, Б — Луанда. Точка А лежит где-то в второстепенных единицах слева от 0 (нуля). Возьмите показание от 0 на линейной шкале до точки B. Сделайте то же самое от 0 на линейной шкале до точки A и сложите два показания (расстояния). Ответ даст вам расстояние в км (километрах) между Виндхуком и Луандой. От нуля до В

      = 1200 км

      От нуля до А

      = 450 км

      Виндхук до Луанды = 1650 км

      Итоги урока • Каждая карта имеет шкалу, показывающую соотношение между расстоянием на карте и таким же расстоянием в реальности. жизнь. • Существует три типа шкал: шкалы слов, шкалы отношений и линейные шкалы, причем одна шкала может быть преобразована в другую. •Расстояние на карте можно измерять по прямой линии между двумя точками или по кривой линии, например, по дороге. Масштаб затем используется для преобразования расстояния на карте в реальное расстояние в метрах или километрах.

      5.2 Масштаб карты | NWCG

      5.2 Масштаб карты | СЗКГ

      Перейти к основному содержанию

      View Navigation

      Масштаб карты печатается в легенде карты. Он дается как отношение дюймов на карте к дюймам, футам или милям на земле. Например, масштаб карты, показывающий соотношение 1:24 000 (дюйм/дюйм), означает, что на каждый дюйм карты приходится 24 000 дюймов земли. Наземные расстояния на картах обычно указываются в футах или милях.
       

      Map Scale Conversion Factors

       

      Scale Representative Fraction Map in/mi Map in/ch map ft/in
      1:253,440 253. 44 0.25 0.0031 21,120
      1:126,720 126.72 0.50 0.0063 10,560
      1:63,360 63.36 1.00 0.0125 5,280
      1:62,500 62.50 1.01 0.0127 5,208
      1:31,680 31.68 2 0.025 2,640
      1:24,000 24.00 2.64 0.033 2,000
      1:21,120 21.12 3 0.038 1,760
      1:15,840 15.84 4 0.05 1,320
      1:7,920 7.92 8 0.1 660

      Table 5.1. Коэффициенты преобразования масштаба карты

      Пример 1. Преобразование масштаба карты 1:24 000 (дюйм/дюйм) в (дюйм/фут).

      Шаг 1. Настройте таблицу отмены, чтобы все единицы измерения отменялись, кроме нужной единицы, фут/дюйм.

      На карте 1 дюйм равен 2000 футов на земле, 1:2000 (дюйм/фут).

      Пример 2. Преобразование 1:2 000 (дюйм/фут) в (дюйм/миля).

      Шаг 1.  Настройте таблицу отмены так, чтобы все единицы измерения отменялись, кроме нужной единицы, мили/дюйм.

      На карте 1 дюйм равен 0,4 мили.

      Пример 3a. Расстояние на карте между двумя точками составляет 6 дюймов. Масштаб карты 1:24 000 (дюйм/дюйм). Какое расстояние до земли в футах?

      Настройте таблицу отмены так, чтобы все единицы измерения отменялись, кроме нужной единицы, футов.

      Расстояние до земли составляет 12 000 футов.

      Использование модифицированной сетки площади (прозрачность)

      для использования прозрачности сетки площади, следуйте этим шагам:


      Масля Акров на квадратный дюйм Коэффициент преобразования, равный каждой точке 1:20,000 3. 168 63.769 1.736 Acres 1:24,000 2.640 91.827 2.500 Acres 1:62,500 1.014 622.449 16.946 Acres Таблица 5.2 Таблица 5.2 Таблица 5.2

      1. Поместите прозрачную сетку площади в акрах на измеряемую площадь.
      2. Подсчитайте точки внутри нарисованной области. Подсчитайте каждую вторую точку, когда точки попадают на граничную линию.
      3. Умножьте общее количество точек на коэффициент преобразования в масштабе карты, чтобы определить общую площадь. (См. Таблицу 5.2.)
      4. Пример 3b  – Используя информацию из примера 3a, найдите расстояние по земле в цепях, милях и дюймах.

        Шаг 1.  Настройте таблицу отмены, чтобы все единицы, кроме нужной единицы, отменяли цепочки.

        12 000 футов = 182 цепи
         

        Шаг 2.  Настройте таблицу отмены так, чтобы все единицы измерения, кроме нужной единицы, миль, были отменены.

        Шаг 3.  Настройте таблицу отмены так, чтобы все единицы измерения исключались, кроме требуемой единицы измерения, дюймов.

        12 000 футов = 182 цепи = 2,3 мили = 144 000 дюймов

        Иногда на карте может не быть масштаба. Масштаб можно рассчитать, зная расстояние между двумя точками на карте и измерив расстояние на карте. Кроме того, если на карте есть линии сечения, расстояние между линиями сечения обычно составляет 1 милю.

        Пример 4. Расстояние между точками A и B на карте составляет 6 дюймов. Известное расстояние до земли составляет 3600 футов. Какой масштаб в дюймах/футах?

        Масштаб карты 1:600 ​​дюймов/фут.

        Пример 5. Используйте масштаб карты из примера 6. Известное наземное расстояние между точками B и C составляет 1/2 мили. Скольким дюймам соответствует это расстояние на карте?

        масштаб карты = известное расстояние / измеренное расстояние

        Переставьте члены, умножив каждую сторону на измеренное расстояние и разделив каждую сторону на карту 9Масштаб 0004.

        измеренное расстояние = известное расстояние / масштаб карты

        Шаг 1.  Настройте таблицу отмены так, чтобы все единицы измерения отменялись, кроме нужной единицы, футов.

        Шаг 2.  Используйте масштаб карты из примера 6, чтобы найти расстояние по карте.

        измеренное расстояние = известное расстояние
        масштаб карты
        измеренное расстояние = 2640 футов 1 дюйм = 4,4 дюйма
        600 футов

        На земле половина мили соответствует 4,4 дюймам на карте.

        5.  

      • 0

      • 1

      • 2

      • 3

      • 4

      • 5

      • 6

      • 7

      • 8

      • 9

      Часть B: Роль соотношения (45 минут)

      В этой части

      • Соотношение и масштаб
      • Постоянные отношения
      • Использование теоремы Пифагора

      Соотношение и масштаб

      Измерение — это процесс количественной оценки свойств объекта путем сравнения их с некоторыми стандартными единицами измерения. Таким образом, мера есть отношение. Когда мы утверждаем, что объект имеет длину 8 дюймов, это сравнивается с единицей измерения 1 дюйм. Точно так же заявление о том, что мешок сахара весит 5 фунтов, подразумевает, что 5 фунтов сравниваются с единицей измерения 1 фунт. ., хотя мы и не указываем это явно.

      Мы используем пропорциональные рассуждения другими способами в ситуациях измерения. Например, все мы знакомы с масштабами карт. Если 1 см на карте соответствует расстоянию в 250 км, каково приблизительное расстояние длины, представленной 2,7 см? Мы можем составить пропорцию, чтобы показать, что расстояние равно 675 км:

         1 см    =   2,7 см
      250 км        x км

      Решая уравнение относительно x, получаем x = 250 • 2,7 = 675 км.

      Одна единица измерения на чертеже в масштабе соответствует n единицам измерения в действительности. Единицы могут быть любыми — сантиметры, метры и т. д. На самом деле, это даже не обязательно должны быть одни и те же единицы; в приведенном выше примере использовались сантиметры и километры. В этой шкале могли использоваться те же единицы измерения (1 см на карте соответствует определенному количеству сантиметров в действительности), но преобразование сантиметров в километры упрощает задачу для пользователя.

       

      Задача B1

      Масштаб 1 см:250 км сравнивает сантиметры с километрами. Перепишите шкалу, чтобы показать такое же отношение при сравнении сантиметров к сантиметрам (1 см:х см или просто 1:х).

      Помните, что 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см.

       

      Чертежи и модели в масштабе — это еще один способ использования соотношения в измерениях. Обычно шкала сравнивает линейные меры. Изучите чертежи в масштабе ниже. Масштаб 1:1 подразумевает, что рисунок кузнечика такой же, как реальный объект. Масштаб 1:2 подразумевает, что рисунок меньше (половина размера), чем реальный объект (иными словами, размеры умножаются на коэффициент масштабирования 0,5). Масштаб 2:1 предполагает, что рисунок больше реального кузнечика — в два раза длиннее и в два раза выше (мы говорим, что размеры умножены на коэффициент масштабирования, равный 2). Если в шкале не указаны единицы, то можно считать, что чертеж и объект измеряются в одних и тех же единицах. Например, масштаб 1:2 может представлять 1 см:2 см или 1 дюйм:2 дюйма 9.0010

       

      Задача B2

      На стене нарисована собака. Увеличенная собака была 45 футов в высоту. Если средний рост этой породы собак составляет 3 фута, каков масштабный коэффициент этого увеличения? Можете ли вы выразить эту шкалу более чем одним способом?

       

      Задача B3

      Представьте, что вам нужно нарисовать себя (стоящим), чтобы полностью поместиться на 8,5 на 11 дюймов. лист бумаги. Определите масштабный коэффициент, допускающий не более дюйма границы вверху и внизу страницы. Как долго ваши руки будут на рисунке? Note 8

      Попробуйте масштаб 1:10 (т. е. ваш рисунок будет в десять раз меньше вашего фактического размера) или 1:8. Измерьте различные части тела, такие как длина головы, рук, туловища и ног, а затем используйте соотношение, чтобы определить размер этой части тела на рисунке.

       

      Чертежи в масштабе особенно полезны при сравнении относительных величин очень больших объектов. В музеях науки часто есть масштабная модель нашей Солнечной системы, чтобы помочь нам понять огромные расстояния между Солнцем и каждой планетой. Представьте, что вам нужно спроектировать модель солнечной системы для своей школы.

      Ниже приведена таблица с некоторыми важными данными. Обратите внимание, что расстояние от Солнца указано в экспоненциальной записи:

      .

       

      Диаметр (в км)

      Расстояние от Солнца в научных обозначениях (в км)

      Вс 1 392 000
      Меркурий 4 900 5,8 • 10 7
      Венера 12 100 1,08 • 10 8
      Земля 12 760 1,5 • 10 8
      Марс 6 790 2,28 • 10 8
      Юпитер 143 000 7,78 • 10 8
      Сатурн 121 000 1,43 • 10 9
      Уран 51 000 2,87 • 10 9
      Нептун 50 000 4,5 • 10 9
      Плутон 2 300 5,9 • 10 9

       

      Продолжайте: Проблема B4

      а. Какой масштаб вы бы использовали, если бы хотели показать учащимся, насколько далеко планеты от Солнца?
      б. Какой масштаб вы бы использовали, если бы хотели помочь учащимся понять разницу в диаметре планет? Можно ли использовать одну и ту же шкалу для обеих целей? Примечание 9

       

      Иди дальше

      Проблема B5

      Научный парк в Вестерборке, Голландия, использует масштаб 1:3,7 • 10 9 для масштабной модели Солнечной системы. Как вы думаете, какие юниты решили использовать в парке?

       

      Постоянные отношения

      Отношение играет важную роль в измерениях и может использоваться для прогнозирования. Если отношение дюймов к сантиметрам составляет 1 к 2,54 (1:2,54), то мы можем считать, что длина 12 дюймов составляет примерно 30 см (30,48).

      Однако не все соотношения в природе постоянны. По словам математика Эрнеста Зебровски-младшего, «большинство соотношений на самом деле непостоянны. Если, например, потребовалось 24 гребца, чтобы грести на галере со скоростью 15 миль/ч, это не означает, что 48 гребцов разогнали бы лодку до 30 миль/ч и что при 144 гребцах лодка достигла бы 90 миль/ч. (На самом деле, эта цепочка рассуждений предполагает, что древние могли преодолеть звуковой барьер, просто собрав достаточное количество гребцов.) …. Хотя для бухгалтера или математика несложно утверждать, что конкретное отношение является постоянным, законы природы являются окончательным арбитром. Очевидно, что прежде чем делать прогнозы на основе предполагаемого постоянного соотношения, нам нужно, чтобы кто-то проверил реальность ситуации».

      В то время как Зебровски утверждает, что многие отношения непостоянны, в ситуациях измерения обнаруживаются некоторые постоянные отношения. Одно постоянное отношение, которое мы регулярно используем, — это π. Мы подробнее рассмотрим это соотношение на занятии 7, посвященном кругам.

      Другая распространенная ситуация измерения связана с прямоугольными треугольниками. Теперь мы более внимательно рассмотрим прямоугольные треугольники, начав с нескольких прямоугольных треугольников разных размеров.

       

       

       

       

      Задача B6

      Распечатайте фигуры из файла PDF (обязательно распечатайте этот документ в полном масштабе). Сантиметровой линейкой измерьте гипотенузы этих треугольников. Мы исследуем, существует ли константа пропорциональности.

      Заполните таблицу. (Обратите внимание, что это все равнобедренные прямоугольные треугольники.):

      Длина гипотенузы (H) в см

      Соотношение S:S

      Соотношение В:Ш

      1
      2
      3
      4
      5
      6

      Проблема B7

      а. Какие постоянные отношения вы нашли в равнобедренных прямоугольных треугольниках (45°-45°-90°)?
      б. Иногда вы не можете измерить что-то напрямую (например, с помощью линейки), но вы все равно можете определить его меру. Меры, найденные косвенно с помощью математики, часто называют «производными» мерами. Например, если мы знаем длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, как мы можем определить меру его гипотенузы?

      Использование теоремы Пифагора

      Помните, что теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольных треугольниках с длинами катетов a и b и длиной гипотенузы c выполняется следующее соотношение: a 2 + b 2 = c 2 . Примечание 10 Когда вы используете теорему Пифагора, ваш ответ может быть нелегко сократить от радикальной формы (как квадратный корень). Вместо того, чтобы использовать калькулятор для извлечения квадратного корня, вы можете вместо этого выразить ответ в сокращенной радикальной форме. Вот как: Выразите число как произведение множителей, где один из множителей (если возможно) является квадратным числом. Затем возьмите квадратный корень только из квадратного числа и оставьте ответ как произведение квадратного корня и радикала:

       

      Задача B8

      1. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длины гипотенуз для всех треугольников из задачи B6. Оставив длину в радикальной форме, заполните пустые столбцы в таблице ниже. Сделайте это на бумаге, распечатав эту страницу, если на вашем компьютере невозможно ввести символ квадратного корня. Обратите внимание на закономерности в соотношении H:S.

        Длина сторон (S) в см

        Длина гипотенузы (H) в см

        Соотношение S:S

        Отношение Пифагора H:S

        1 1:1
        2 2:2
        3 3:3
        4 4:4
        5 5:5
        6 6:6
      2. Какие измерения точнее — линейкой или по теореме Пифагора? Объяснять.

      Задача B9

      В большинстве прямоугольных треугольников одно или несколько значений длины стороны иррациональны. Примечание 11
      С точки зрения измерения, каковы последствия того, что одно или несколько значений являются иррациональными?

      Примечания

      Примечание 8

      Если вы работаете в группе, работайте в парах над Задачей B3. Попрактикуйтесь в настройке пропорций (два соотношения, которые равны друг другу), чтобы определить длину различных частей тела на вашем рисунке.

       

      Примечание 9

      Решение этой проблемы может занять некоторое время, особенно если вы пытаетесь использовать одну шкалу как для диаметра планет, так и для их расстояний от Солнца. Часто создаются модели, которые фокусируются на одном или другом (размер или расстояние). Если вы выберете масштаб, позволяющий расстоянию от Солнца поместиться в большую комнату, вы обнаружите, что модели некоторых планет очень и очень малы. Если вы выберете масштаб, позволяющий модели планет быть достаточно большими, чтобы вы могли их наблюдать, вы обнаружите, что расстояния между планетами в модели должны быть очень большими.

      ПРИМЕЧАНИЕ 10

      , чтобы узнать больше о теореме Пифагора, перейдите к Обучение Математика: Геометрия, Сессия 6.

      Примечание 11

      Примечание

      . потому что его нельзя выразить в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, а b — 0. Другими словами, это значение нельзя записать в виде дроби или повторяющегося или завершающего десятичного числа. Если бы мы выразили его в виде десятичного числа, оно имело бы бесконечное количество цифр справа от десятичной точки в неповторяющемся шаблоне. Система действительных чисел состоит из бесконечного числа рациональных чисел (тех, которые соответствуют указанному выше свойству дроби) и бесконечного числа иррациональных чисел. Есть много ситуаций, когда длина на самом деле является иррациональным числом (например, гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников), поэтому мы не можем точно измерить длину. Идея о том, что мера всегда является приблизительной величиной, трудно понять, поскольку в повседневной жизни мы обращаемся с мерами как с точными величинами.

       

      Решения

      Задача B1

      Поскольку 1 км = 100 000 см, масштаб 1 см:250 км эквивалентен 1 см:250 • 100 000 см, или 1:25 000 000.

       

      Задача B2

      Масштабный коэффициент 45:3. Его можно упростить до 15:1 или выразить другими способами, например, 7,5:0,5 или 150:10.

       

      Задача B3

      Ответы будут разными. Вот один пример: предположим, что кто-то ростом ровно 6 футов, с руками 3 фута в длину. Масштабный коэффициент будет 9дюймов: 6 футов, чтобы оставить 1 дюйм границы сверху и снизу. Чтобы упростить это, помните, что 6 футов = 72 дюйма. Масштабный коэффициент может быть выражен как 9:72 или 1:8. Руки этого человека были бы на 1/8 длиннее на чертеже в масштабе; 1/8 от 3 футов (36 дюймов) равно 4,5 дюйма

       

      Задача B4

      1. Самая дальняя планета от Солнца, Плутон, имеет среднее расстояние от Солнца около 5,9 млрд км. Для размещения на школьной территории (скажем, в пределах 100 м) потребуется масштабный коэффициент 100 м: 5,9.00 000 000 км. Поскольку 1 км = 1000 м, коэффициент масштаба может быть выражен как 100 м: 5 900 000 000 000 000 м, или 1 м: 59 млрд. М:
        100 м 1 • 10 2 м 1 5,9 • 10 9 км = 5,9 • 10 • 10 12 км = 5,9 • 10 10 м
      2. Этот масштаб был бы безнадежно большим для визуализации разницы в размерах диаметров между планетами, поскольку самый большой диаметр (Юпитера) составляет всего около 143 000 км. В масштабе 1 м: 59 миллиардов м диаметр Юпитера составляет примерно 2,4 мм, что очень мало. Лучший масштаб может быть 1 м: 590 миллионов м, что составляет диаметр Юпитера примерно 24 см. Самая маленькая планета, Плутон, будет иметь диаметр 3,8 мм в этом масштабе, что все еще мало, но, безусловно, заметно.

       

      Проблема B5

      Скорее всего, выбрали мили. Наибольшее расстояние от Солнца, 5,9 • 10 9 , становится равным 1,6 км. Это чуть меньше одной мили, поэтому масштаб, вероятно, был выбран таким, чтобы вся модель уместилась в пределах одной мили. Используя этот масштаб, наименьший фрагмент данных (диаметр Плутона) становится равным 0,62 мм, что очень мало, но все же заметно.

       

      Задача B6

      Ответы могут различаться в зависимости от измерений. Здесь ответы даны с точностью до десятых долей сантиметра:

      Длина сторон (S) в см

      Длина гипотенузы (H) в см

      Соотношение S:S

      Соотношение В:Ш

      1

      1,4

      1:1

      1,4:1

      2

      2,8

      2:2

      2,8:2

      3

      4,2

      3:3

      4,2:3

      4

      5,7

      4:4

      5,7:4

      5

      7. 1

      5:5

      7,1:5

      6

      8,5

      6:6

      8,5:6

       

      Задача B7

      1. Неудивительно, что отношение сторон постоянно и равно 1:1, поскольку мы работали исключительно с равнобедренными прямоугольными треугольниками. Отношения между гипотенузой и катетом также кажутся примерно одинаковыми (это становится очевидным, если разделить отношения H:S и записать их в виде десятичных дробей). Так что здесь тоже может быть постоянное соотношение. Все наблюдения находятся между 1,4 и 1,425, поэтому постоянное отношение (если оно есть) может находиться между этими значениями.
      2. Мы могли бы умножить длину стороны на 1,41 (среднее отношение), чтобы получить приблизительный ответ. Мы также можем использовать теорему Пифагора (описанную в следующем разделе), чтобы вывести меру гипотенузы.

       

      Проблема B8

      Длина сторон (S) в см

      Длина гипотенузы (H) в см

      Соотношение S:S

      Отношение Пифагора H:S

      1 √2 1:1 √2:1
      2 2√2 2:2 2√2:2
      3 3√2 3:3 3√2:3
      4 4√2 4:4 4√2:4
      5 5√2 5:5 5√2:5
      6 6√2 6:6 6√2:6

      б.

      1 … 2 745 2 746 2 747 2 748 2 749 … 2 804