Рубрика: Разное

7 умножить на 93: как решить в столбик 93 умножить на 7

alexxlab / / Разное

Таблица умножения на 7

Большая таблица умножения натуральных чисел на 7 (семь) 
МножителиПроизведение (Результат)
7 * 1 =7
7 * 2 =14
7 * 3 =21
7 * 4 =28
7 * 5 =35
7 * 6 =42
7 * 7 =49
7 * 8 =56
7 * 9 =63
7 * 10 =70
7 * 11 =77
7 * 12 =84
7 * 13 =91
7 * 14 =98
7 * 15 =105
7 * 16 =112
7 * 17 =119
7 * 18 =126
7 * 19 =133
7 * 20 =140
7 * 21 =147
7 * 22 =154
7 * 23 =161
7 * 24 =168
7 * 25 =175
7 * 26 =182
7 * 27 =189
7 * 28 =196
7 * 29 =203
7 * 30 =210
7 * 31 =217
7 * 32 =224
7 * 33 =231
7 * 34 =238
7 * 35 =245
7 * 36 =252
7 * 37 =259
7 * 38 =266
7 * 39 =273
7 * 40 =280
7 * 41 =287
7 * 42 =294
7 * 43 =301
7 * 44 =308
7 * 45 =315
7 * 46 =322
7 * 47 =329
7 * 48 =336
7 * 49 =343
7 * 50 =350
7 * 51 =357
7 * 52 =364
7 * 53 =371
7 * 54 =378
7 * 55 =385
7 * 56 =392
7 * 57 =399
7 * 58 =406
7 * 59 =413
7 * 60 =420
7 * 61 =427
7 * 62 =434
7 * 63 =441
7 * 64 =448
7 * 65 =455
7 * 66 =462
7 * 67 =469
7 * 68 =476
7 * 69 =483
7 * 70 =490
7 * 71 =497
7 * 72 =504
7 * 73 =511
7 * 74 =518
7 * 75 =525
7 * 76 =532
7 * 77 =539
7 * 78 =546
7 * 79 =553
7 * 80 =560
7 * 81 =567
7 * 82 =574
7 * 83 =581
7 * 84 =588
7 * 85 =595
7 * 86 =602
7 * 87 =609
7 * 88 =616
7 * 89 =623
7 * 90 =630
7 * 91 =637
7 * 92 =644
7 * 93 =651
7 * 94 =658
7 * 95 =665
7 * 96 =672
7 * 97 =679
7 * 98 =686
7 * 99 =693
7 * 100 =700
… * 101 =…

Автор: Bill4iam

КАК ХОРОШО УМЕТЬ СЧИТАТЬ… ПРИЁМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

КАК ХОРОШО УМЕТЬ СЧИТАТЬ… ПРИЁМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

Гатилов М.Д. 1

1

Комазова С.В. 1

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Содержание

Введение …………………………………………………………………………..3

Теоретическая часть

Часть 1.

Графический способ умножения…………………………..……………………..4

Часть 2.

Умножение на пальцах……………………………………………………………5

Часть 3.

Лёгкий способ умножения на 11, в уме………………………….………………6

Часть 4.

Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5 ………………………..…7

Практическая часть……. ……………………………………………………….. 8

Заключение ………………………………………………………………………14

Источники информации …………………………………………………………15

Введение

«Как хорошо уметь читать…», хотя уметь считать тоже неплохо. В библиотеке я увидел книгу «Быстрый счет» Я.И. Перельмана. Полистав ее, я понял, что долгие математические операции можно выполнять быстрее. Я спрашивал своих одноклассников, знают ли они другие способы счета? Все говорили только о тех способах, которые изучаются в школе. Оказалось, что все мои друзья ничего не знают о других способах. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

В истории математики известно около 30 способов умножения, отличающихся схемой записи или самим ходом вычисления. Метод умножения «в столбик», который мы изучаем в школе – один из способов. Но самый ли эффективный ли это способ? Давайте, посмотрим!

Актуальность:

В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы заинтересовать своих одноклассников, я решил показать им интересные способы умножения.

Цель исследования:

Оценка эффективности использования различных видов устных вычислений для значительного сокращения времени, потраченного на вычисления и запись решения.

Задачи:

1. Узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2. Рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении чисел.

3. Помочь себе и товарищам овладеть вычислительными навыками, при этом, развивая память и внимание.

4. Собрать материал по теме, проанализировать и представить в виде исследовательской работы.

Методы исследования:

1. Сбор информации.

2. Систематизация и обобщение.

3. Проведение мастер класса.

4. Анкетирование.

Гипотеза:

Существующие специальные способы умножения, сокращают время, потраченное на вычисления, позволяют свести вычисления к устным, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Часть 1.

Графический способ умножения

Мы в школе учили таблицу умножения наизусть. Да это надо! Но многие мои одноклассники до сих пор испытывают затруднения.

Данный способ заключается в изображении множителей с помощью пересечения вертикальных и горизонтальных линий соответственно множителям. Результатом произведения считается количество пересечений. Например: 3*2 =6

Так же можно считать и двузначные числа, например 32 * 21. На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера. Сначала 32 – линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый: сначала 3 линии и чуть ниже — 2 . Затем 21: из нижнего левого, в верхний правый перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 лини, затем — 1. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области ( область сотен) — 6 точек, во второй (область десятков) — 7 точек, в третьей (область единиц) — 2 точки. Следовательно ответ: 672.

Часть 2.

Умножение на пальцах

Все что нам надо – это 10 пальцев рук. Умножение на 6, 7 и 8.

Поверните кисти ладонями к себе и присвойте каждому пальцу цифры от 6 и до 10 начиная с мизинца.

Теперь попробуем умножить, например, 7*8. Для этого соедините палец №7 на левой руке с пальцем №8 на правой.

А теперь считаем пальцы: количество пальцев под соединенными, вместе с ними – это десятки. А пальцы левой руки, оставшиеся сверху, умножаем на пальцы правой – это и будут наши единицы (3*2=6). Десятки и единицы складываем, и получаем 56.

Умножение на 9

Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10.

Теперь умножаем, например, 2*9. Это значит загибаем палец №2. Все то, что идет до пальца №2 – это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 – единицы (то есть 8). В итоге получаем 18.

Часть 3.

Лёгкий способ умножения на 11 «в уме»

Для того, чтобы умножать на 11 существует специальный метод, позволяющий совершать операции даже с очень большими множителями. Для начала продемонстрирую пример того, как можно умножить на 11 любое двузначное число.

Пример 42*11 решается просто. Пишем цифры «4» и «2», а между ними «4+2». Получается 462 – это и есть верный ответ. Если сумма в скобках больше 10, тогда пишем по центру количество единиц от суммы, а к первой цифре добавляем «1». Например:

93*11 = 9 (9+3) 3 = 1023

Конечно, можно умножить 93 на 10, и к 930 прибавить 93. Но этот несколько сложнее. В примерах с двузначными числами разницы в скорости решения между описанным выше и традиционным методами практически нет. Но если на 11 умножать большие числа, то сокращенный метод может быть более эффективным. По сути техника умножения на 11 любого числа сводится к сложению соседних чисел. К примеру, умножим 51726 на 11. Вначале пишем первую цифру «5», затем последнюю «6», а между ними суммируем все цифры последовательно.

51 726 * 11 = 5 (5+1) (1+7)(7+2)(2+6) 6 = 568 986

Если сумма в скобках дает результат больше 9, то поступаем также как и в примере с двузначными числами. Не смотря на то, что ответ получается громоздким, мы его получили достаточно просто.

Возведение в квадрат числа, содержащего в себе одни единицы.Все что нам понадобится – подсчитать количество единиц. Для наглядности возведем в квадрат сто одиннадцать тысяч сто одиннадцать. Звучит впечатляюще? Записываем 1111112. Подсчитываем количество единиц – 6. А теперь записываем подряд числа от 1 до 6 и опять до 1: 1111112= 12345654321.

Часть 4.

Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

Кто-то может посчитать, а зачем это надо, ведь есть более надежный вариант — калькулятор, но на школьных экзаменах калькулятором пользоваться нельзя, в задачах надо оперировать порой большими числами, а значит решать в столбик, на что уходит драгоценное время. А возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, особенно если оно двухзначное, займет 1-2 секунды — проверим?

Итак, как найти квадрат числа, оканчивающегося на 5?

Возведем в квадрат 15 или умножим 15 на само себя:

15*15=225

А теперь по схеме, которая отнимет у Вас пару секунд:

1. Выделим цифры в числе, стоящие до 5 (в нашем случае — это 1)

2. Выделенное число умножим на число единицей больше (в нашем случае: 1 умножим на 2, итого: 1*2=2)

3. К полученному ответу подпишем в конце 25 — ответ готов (в нашем случае к 2 подписываем 25, результат 225). Получилось? Еще несколько примеров:

Трехзначные, четырехзначные и более числа, оканчивающиеся на 5 можно возводить в квадрат по той же схеме, что и квадраты двузначных чисел, но перед 5 будет уже стоять не однозначное число, а значит придется перемножать двухзначные, трехзначные и более числа. А это уже не пара секунд, но если под рукой нет калькулятора, перемножить эти числа в столбик все равно будет быстрее, чем возвести в квадрат нужное число, т.к. это число на порядок больше.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Анкетирование

Преждечем начать исследование необходимо было выяснить, знают ли учащиеся о приёмах быстрого счёта и применяют ли их при выполнении заданий. Мною было проведено анкетирование (приложение 1) в 2-4 и 5-7 классах по вопросам (Анкета №1):

  1. Хорошо ли ты знаешь таблицу умножения от 1 до 9?

  2. Умеешь ли ты выполнять умножение двузначных чисел в уме ?

  3. Знакомы ли тебе способы быстрого счёта?

  4. Ты хотел бы научиться быстро считать?

Выяснилось:

Рис. 1. Результаты анкетирования №1

Не все уверены в своих силах, но очень хотелось бы научиться быстро считать.

После проведения нескольких мастер классов и тренинговых упражнений было проведено повторное анкетирование (Анкета №2):

  1. Понравились ли тебе способы быстрого счёта?

  2. Ты сможешь их применить самостоятельно?

  3. Как ты думаешь, тебе помогут эти способы быстрого счёта в учёбе?

  4. Какой способ тебе понравился больше всего?

Рис.2. Результаты анкетирования №2.

На четвёртый вопрос:

— в начальной школе ответили: 54% — умножение на 11; 28% — умножение на пальцах; 18% — графический способ;

— в 5-7 классах: 25% — умножение на 11; 38% — умножение на пальцах; 8% — графический способ; 25 % — возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5; 4% — не понравился никакой способ.

Диагностика вычислительных навыков

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно уменьшить время вычисления.

Объект исследования: 5-7 классы.

Время проведения: декабрь-февраль.

Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, состоящих из 5 примеров на умножение и возведение в квадрат (см. Приложение 2. «Реши примеры»).

Диагностика проводилась в несколько этапов:

  1. Определение времени решения данных примеров известными способами;

  2. Тренинговые занятия с использованием быстрых способов умножения;

  3. Определение времени решения данных примеров с помощью быстрых способов умножения.

Обработка результатов показала:

На первом этапе (декабрь) учащиеся 5-7 классов показали результат в 3 мин. 46 сек.

После изучения способов быстрого умножения (февраль), 5 заданий было решено за 3 мин. 8 сек.

Ниже приведена диаграмма, из которой видно, что прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов быстрого счета.

Рис.3. Динамика развития вычислительных навыков учащихся

Таким образом, принимаем гипотезу о том, что можно улучшить вычислительные навыки с помощью приемов быстрого счета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности. В своей работе мы попытались показать эффективность использования различных приемов устного счета, из которых каждый ученик может выбрать те, которые показались ему целесообразными, и применять их на практике.

В результате проведения практических занятий мы подтвердили, что различные приемы устного счета помогают быстрее и правильней выполнять вычисления, что в свою очередь тренирует внимание и память, формирует числовую зоркость, развивает память.

Научиться быстро и правильно считать не так уж сложно. Вышеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное — более или менее продолжительная тренировка. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения. У меня появилось желание продолжить нашу работу и узнать ещё многие другие способы устного счёта.

В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!

Список используемой литературы

  1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.

  2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 192 с.

  3. Игры и развлечения. Кн.I/Сост. Л.М. Фирсова. – Ь.: Мол. Гвардия, 1989. – 237 c., ил.

  4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. — 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.

  5. Перельман Я.И. Живая математика. — Екатеринбург, Тезис, 1994.

  6. Перельман Я.И. Быстрый счёт. — Екатеринбург, Тезис, 1994.

  7. Ткачева М.В. Домашняя математика. — М., Просвещение,1993.

  8. Зайкин М.Н. Математический тренинг. — Москва, 1996.

  9. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

  10. Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике. //Математика в школе. — 1990, №11.– с.39-44.

  11. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6. — с.44-46.

  12. Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7. — с.11-14.

  13. Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. // Начальная школа. — 1998, №2. — с.34-38.

Интернет-источники

  1. www.school.edu.ru

  2. www.ik.net/~stepanov/

  3. http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm

Приложение 1.

Анкета 1

  1. Хорошо ли ты знаешь таблицу умножения от 1 до 9?

Да Нет

  1. Умеешь ли ты выполнять умножение двузначных чисел в уме ?

Да Нет

  1. Знакомы ли тебе способы быстрого счёта?

Да Нет

  1. Ты хотел бы научится быстро считать?

Да Нет

Анкета 2

  1. Понравились ли тебе способы быстрого счёта?

Да Нет

  1. Ты сможешь их применить самостоятельно?

Да Нет

  1. Как ты думаешь, тебе помогут эти способы быстрого счёта в учёбе?

Да Нет

  1. Какой способ тебе понравился больше всего?

Приложение 2.

Реши примеры:

  1. 9*6 =

  2. 36*11 =

  3. 11112 =

  4. 952 =

  5. 1152 =

Реши примеры:

  1. 9*7 =

  2. 26*11 =

  3. 1112 =

  4. 852 =

  5. 1052 =

14

Просмотров работы: 3236

Порядок действий

В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.

Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.

Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:

10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Такие выражения нельзя вычислить сразу, то есть поставить знак равенства и записать значение выражения. Да и выглядят они не так просто, как 2 + 2 или 9 − 3.

Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.

Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение 10 − 1 + 2 + 3. Видим, что в нём нет никаких скобок. Тогда переходим к следующему правилу, которое выглядит так:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:

Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Встречаем вычитание 10 − 1. Сразу выполняем эту операцию: 10 − 1 = 9. Полученную девятку запишем в главном выражении вместо 10 − 1

Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:

1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!

2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!

3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!

Сейчас у нас имеется выражение 9 + 2 + 3 Читаем его слева направо и встречаем сложение 9 + 2. Выполняем эту операцию: 9 + 2 = 11. Запишем число 11 в главном выражении вместо 9 + 2:

Осталось простейшее выражение 11 + 3, которое вычисляется легко:

11 + 3 = 14

Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14

10 − 1 + 2 + 3 = 14

Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  10 − 1 = 9

2)   9 + 2 = 11

3)  11 + 3 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:

Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.

Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3

Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение (3 + 5) + 2 × 3. Видим, что в нём есть выражение в скобках (3 + 5). Вычислим то, что в этих скобках: 3 + 5 = 8. Запишем полученную восьмёрку в главном выражении вместо выражения в скобках:

8 + 2 × 3

Снова читаем первое правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Посмотрим на наше выражение 8 + 2 × 3. Видим, что в нём есть умножение 2 × 3. Выполним эту операцию: 2 × 3 = 6. Запишем полученную шестёрку в главном выражении вместо 2 × 3

8 + 6

Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:

8 + 6 = 14

Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14

(3 + 5) + 2 × 3 = 14

Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  3 + 5 = 8

2)   2 × 3 = 6

3)  8 + 6 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.

Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием,  четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:

1)  5 − 3 = 2

2)  5 × 2 = 10

3)  2 : 2 = 1

4)  10 + 1 = 11

5)  11 + 1 = 12

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Четвёртое и пятое действие заключалось в том, чтобы вычислить оставшееся простейшее выражение 10 + 1 + 1. Мы не стали тратить время на выполнение каждого из этих действий, а поставили знак равенства и записали ответ 12.

Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым

1)  3250 − 2905 = 345

2)  345 : 5 = 69

В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.

Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.

В данном случае сначала нужно 6 411 умножить на 8, и из полученного результата вычесть 40 799. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат будет умножен на 6.

В результате будем иметь следующий порядок:

1)  6 411 × 8 = 51 288

2)  51 288 − 40 799 = 10 489

3)  10 489 × 6 = 62 934

Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.

1) 50 377 + 20 338 = 70 715

2) 1 657 974 : 822 = 2 017

3) 2 017 × 106 = 213 802

4) 213 802−70 715 = 143 087

Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.

В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:

1) 96 : 4 = 24

2) 24 + 3 680 = 3 704

3) 14026 − 3 704 = 10 322

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

5 + 2 − 2 − 1

Решение

Задание 2. Найдите значение выражения:

14 + (6 + 2 × 3) − 6

Решение

Задание 3. Найдите значение выражения:

486 : 9 − 288 : 9

Решение

Задание 4. Найдите значение выражения:

756 : 3 : 4 × 28

Решение

Задание 5. Найдите значение выражения:

807 : 3 − (500 − 58 × 4)

Решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Новости за 7 дней.

Компания TP-Link®, ведущий мировой поставщик сетевых решений, представляет на российском рынке Archer C64 – новый двухдиапазонный гигабитный Wi-Fi роутер класса AC1200 c поддержкой MU-MIMO. TP-Link Archer C64 – это новинка в линейке гигабитных двухдиапазонных Wi-Fi роутеров TP-Link, которая подде….

Axis Communications выпустила высокоскоростную PTZ-камеру AXIS Q6315-LE с 31-кратным оптическим зумом, превосходной светочувствительностью и улучшенными функциями безопасности. ИК-подсветка и функция ночной съемки позволяет ей снимать при любых условиях освещения, а лазерная технология обеспечивает….

Изгибы переплетений веточек аканта, их мягкие перистые завитки образуют округлые ромбы. За счет равности сторон фигуры дизайн не трансформирует геометрию пространства, но привносит в него спокойный гармонический ритм. Форма скругленного ромба повторена в геометрическом мотиве второго плана. Это до….

Контроллер MY HEAT PRO предназначен для управления системами отопления и горячего водоснабжения, инженерным оборудованием, системой полива и освещения. Контроллер MY HEAT PRO имеет массу уникальных возможностей: управление каскадом до 6-ти котлов; управление бойлером косвенного нагрева; упр….

Паркет из американского ореха может быть разным – живописно-ярким или сдержанно-выразительным, но это всегда эффектный акцент интерьера. Трендовые дымчатые тонировки французской и английской елки Coswick Зимний закат и Туманный рассвет смягчают контрастные переходы цвета, сохраняя при этом «вкусн….

В рамках ежегодного обновления коллекций предлагаем вашему вниманию новинки в коллекции бытового линолеума на улучшенной дублированной основе – GLADIATOR. В этом году коллекция GLADIATOR обновлена тремя новыми расцветками FORMOSA 1,2,3. Эффект треснувшей, выгоревшей на солнце древесины привносит с….

Декоративная антисептическая пропитка на водной основе обеспечивает долговременную защиту и тонирование древесины в различные цвета внутри помещений. Инновационный состав позволяет за один приём обезопасить поверхность от биопоражений и древоточцев, и придать ей декоративные свойства. Передовое со….

Масло для террас PREMIUM NEOMID предназначено для долговременной защиты деревянных поверхностей, эксплуатируемых на открытом воздухе, от атмосферных осадков, биопоражений (грибка, плесени), УФ-излучения. Масло глубоко проникает и заполняет поры древесины, тем самым увеличивает ее срок службы. Нату….

Предлагаем электромонтажникам готовое решение – шаблоны для подрозетников EKF Expert. В комплекте 5 рамок (от 1 до 5 отверстий) диаметром 68 или 72 мм. Шаблоны используются, чтобы высверлить отверстия для подрозетников в стенах из бетона, кирпича, гипсокартона, плитки, дерева и других материалов….

Крупные группы из пионов и небольших садовых цветов расположены вертикальными рядами. Однако эта линейность не считывается из-за свободной формы букета, в котором отсутствует сфокусированный центр, а обрамляющие веточки плавно соединяют элементы. Этот эффект размеренного перетекания и единства соз….

Тяжелые гроздья сирени, усеянные множеством миниатюрных цветов, украшают тонкие ветки и составляют цветовой и композиционный акцент дизайна. Листья лишь дополняют движение линий, внося в них легкую асимметрию и пластичность живой формы. Образ кирпичной, монолитной стены передан со всеми нюансами….

Эффектная композиция из хризантем, пышных ирисов и крупных лилий, перемежающихся с небольшими садовыми цветами и сочной зеленью. Богатый рельеф, живые цвета и искусная детализация. Дизайн не только насыщен различными элементами, но и пронизан динамикой. Все цветы расположены восходящими диагона….

Гладкие упругие завитки сплетаются в фестончатые медальоны. Центр каждого украшен веточкой-цветком, составленным из растительных элементов. Вершина увенчана маленькой короной, вытягивающей вектор движения узора по вертикали. Второй план полностью повторяет основной рисунок в уменьшенном масштаб….

Крупные цветы чередуются с небольшим изменением угла поворота и наклона чашечки. Их распределение по восходящей диагонали усиливает яркость узора, дополняет экспрессию эффектного образа. Цветы первого плана переданы в мельчайших деталях рельефа и тонких нюансах тоновых переходов. Второй план выпо….

Светодиодные рамки ЭРА — стильное и функциональное решение вопроса освещения офисов, общественных пространств, муниципальных объектов — школ, университетов, поликлиник. Эффектно смотрятся на потолке, быстро и просто монтируются, обеспечивают отличное качество света. Мы расширили ассортимент LED-ра….

Новые умные сенсорные выключатели способны изменить взгляд на привычные вещи в доме. Они созданы для ценителей повышенного комфорта в управлении освещением. Wi-Fi модуль позволяет включать и выключать освещение со смартфона или планшета дистанционно при помощи бесплатного мобильного приложения Mini….

Клуб обновляет дизайн и корпоративный имидж с помощью премиум-коллекций керамической плитки и аксессуаров для ванных комнат производства испанской международной группы. Королевский навигационный клуб Валенсии начинает новый этап в своей деятельности, наделяя интерьер функциональным, доступным и на….

Компания из группы PORCELANOSA Grupo включила в свой ассортимент натуральных камней новую модель серых и кремовых оттенков с отделкой, усиливающей яркость интерьеров. Природная красота и цветовые контрасты Африки воспроизводятся в мраморе Nairobi от L ac, дизайн которого отличается потрясающей изы….

Компактная, яркая модель VITEK VT-8190 станет незаменимым помощником для поддержания чистоты и порядка в доме. Убраться в доме не просто чисто, а идеально поможет паровая швабра VT-8190 с максимальной мощностью 1500 Вт. Паровая швабра, конструктивный принцип работы которой способствует не только….

Приготовить в любое время года мясо, рыбу или овощи с румяной корочкой в домашних условиях поможет электрический гриль-пресс VT-2631 с максимальной мощностью 1800 Вт. Корпус гриля выполнен из высококачественного термостойкого пластика черного цвета. Благодаря высокопрочному антипригарному покрыт….

Ознакомьтесь с обзором матриц, формирующих фотоизображение. Часть 2

Часть 2. История развития форматов

Владимир Нескоромный

Главный редактор сайта alphapro.sony.ru

Продолжение. Начало материала (часть 1) здесь.

 

Компания-производитель камеры сообщает обычно размер изображения в мегапикселях, а также условный размер матрицы, к примеру, «полный кадр», APS-C, «4/3», разнообразные дюймовые дроби. С практической точки зрения, фотографу полезнее знать кроп-фактор. Это коэффициент пересчета фокусного расстояния объектива для получения с помощью разных камер и объективов одного и того же по передаче перспективы снимка.

Если кроп-фактор 1,5х, это значит, что 50-мм объектив на определенной камере будет работать как 75-мм на полнокадровой. А также, что гиперфокальное расстояние будет примерно в эти же полтора раза меньше. Начало зоны резкости расположится ближе к фотографу, а сама она будет шире.

Чтобы определить кроп-фактор, нужно разделить принятую за «единицу измерения» диагональ малоформатного (24х36 мм) кадра, а это 43,3 мм, на диагональ матрицы выбранной камеры.

 

Два дюйма — две эпохи

Цифровая фотография унаследовала технологии и стандарты как пленочной, так и видеозаписывающей техники. Так, для расчета кроп-фактора мы используем величину диагонали (43,3 мм) кадра 35-мм кинопленки с перфорацией. Именно эта пленка и, конечно, камеры Leica, где она применялась, в свое время обеспечили популярность этому формату. А вот дюймовым дробям в маркировке матриц мы обязаны видеокамерами, вернее телекамерам.

В телекамерах на заре телевидения использовались для регистрации видеосигнала электронно-лучевые передающие телевизионные трубки — видиконы. Их технологический размер, а именно внешний диаметр трубки, обозначался в дюймах. Этот размер дошел до эпохи цифровых камер как отраслевой стандарт производства теле/видеоаппаратуры. Важно отметить, что этот стандарт характеризует не размер светочувствительной области, а габаритные размеры видикона. В прошлом это было важно для возможности независимой разработки и ремонта телекамер.

Реальный размер светочувствительной зоны матрицы составляет примерно две трети от видиконовской трубки. (Точно узнать значение размеров можно из справочников или из документации аппарата.) Поэтому когда говорят «видиконовский дюйм», то имеется в виду не 25,4 мм (общепринятый дюйм), а около 17 мм (16,93 мм). Иными словами, сам видикон имел габариты 24,5 мм, а диагональ его светочувствительного элемента составляла 17 мм.

Напомним, что для кадра 24х36 мм с диагональю 43,3 мм цифровая фотография унаследовала технологии и стандарты как пленочной, так и видеозаписывающей техники. Так, для расчета кроп-фактора мы используем величину диагонали (43,3 мм) кадра 35-мм кинопленки с перфорацией. Именно эта пленка и, конечно, камеры Leica, где она применялась, в свое время обеспечили популярность этому формату. А вот дюймовым дробям в маркировке матриц мы обязаны видеокамерами, вернее телекамерам.

Сколько дюймов?

Именно в видиконовских дюймах измеряют сенсоры компактных камер. Например, в камерофоне Sony Ericsson Cyber-Shot C905 (2008) установлен КМОП-сенсор с диагональю 1/ 2,5 дюйма. Как это значение перевести в традиционные миллиметры? Нужно единицу разделить на 2,5 и умножить на 16,93 мм. Получается 6,77 мм. Напомним, что диагональ 35-мм кадра равна 43,3 мм. Значит, диагональ сенсора камерофона в 6,4 раза меньше, чем полный кадр. Иными словами, кроп-фактор 6,4х.

Теперь рассмотрим объектив. В спецификациях сказано, что его фокусное расстояние составляет f=5,91 мм. Умножаем это значение на полученный кроп-фактор 6,4х и получаем эквивалентное фокусное расстояние f=38 мм.

Соответственно, популярный формат Four Thirds (4/3 дюйма) пересчитываем следующим образом: 4 делим на 3 и умножаем на 16,93; получается 22,57 мм, что почти в два раза меньше, чем полный кадр (кроп-фактор 2х). Собственно, так и пересчитывается оптика для системы Four Thirds.  

В камерафоне Sony Ericsson Cyber-Shot C905 (2008) установлен КМОП-сенсор с диагональю 1/ 2,5 дюйма. Кроп-фактор 6,4х. Фокусное расстояние объектива экв. f=38 мм.

Пленочный формат в цифровых камерах

Терминология современных цифровых камер сберегла для нас память об одной из последних попыток автоматизации и цифровизации пленочной фотографии. В 1990-х годах компании-производители фототехники и фотоматериалов приняли новый набор отраслевых стандартов под названием «Усовершенствованная фотосистема»/Advanced Photo System (APS).

В серийных образцах APS-камер использовалась 24-мм пленка с более тонким слоем фотоэмульсии, по сравнению с 35-мм, и с лучшими характеристиками. В камеру заряжалась почти традиционная кассета, но уменьшенного размера. При съемке можно было выбрать различное соотношение сторон кадра, например, 3:2, 16:9 или 3:1 (панорама). Первый режим съемки маркировался «С» (Classic), второй — «H» (High Definition), третий — «P» (Panoramic).

Собственно, когда стали появляться цифровые камеры, а полный кадр все еще был непозволительной роскошью, разработчики решили использовать APS-формат применительно к новым цифровым моделям. Они выбрали формат, который ближе к фотографии, а не видиконовский из видеоиндустрии.

Например, камера ILCE-6500 оснащается сенсором APS-C с площадью кадра 23,5х15,6 мм. Как мы уже написали, это Classic, соотношение сторон 3:2. Попробуем просчитать кроп-фактор. При диагонали 28,20 мм кроп-фактор составляет 1,54х.

Матрица формата APS-C (23,5×15,6 мм). Разрешение 20 Мпикс.

Заключение

Хотя в качестве отправной точки для пересчета и был выбран кадр узкой пленки 24х36 мм, он не является вершиной пирамиды матриц. Современные технологии уже обеспечили доступность матриц и камер больше малого формата. И если говорить о цифровом среднем формате, то следует сказать, что для него кроп-фактор меньше единицы, например, 0,79х, Но цифра эта малоинформативна для практического применения. Фотографы, использующие среднеформатные камеры, не пересчитывают свои объективы на малоформатные, а оперируют более профессиональным термином — «угол поля зрения объектива». Но это тема уже для другого материала.

 

Примечания:

1_ Four Thirds — Стандарт крепления объективов для цифровых зеркальных фотокамер.

2_ Advanced Photo System (APS) — «Усовершенствованная фотосистема» («А-Пэ-Эс»).

3_«С» (Classic) — Классический формат.

4_«H» (High Definition) — Формат высокой четкости.

5_«P» (Panoramic) — Панорамный формат.

похожие статьи

Статья 12. Размер ежемесячной страховой выплаты / КонсультантПлюс

1. Размер ежемесячной страховой выплаты определяется как доля среднего месячного заработка застрахованного, исчисленная в соответствии со степенью утраты им профессиональной трудоспособности.

(в ред. Федерального закона от 07.07.2003 N 118-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. При расчете размера утраченного застрахованным в результате наступления страхового случая заработка учитываются выплаты и иные вознаграждения, начисленные в пользу физических лиц по гражданско-правовому договору, предметом которого являются выполнение работ и (или) оказание услуг, договору авторского заказа, в соответствии с которыми заказчик обязан уплачивать страховщику страховые взносы.

(в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Все виды заработка учитываются в суммах, начисленных до удержания налогов, уплаты сборов и других обязательных платежей.

В местностях, где установлены районные коэффициенты, процентные надбавки к заработной плате, размер ежемесячной страховой выплаты определяется с учетом этих коэффициентов и надбавок.

При исчислении среднемесячного заработка застрахованного, направленного страхователем для работы за пределы территории Российской Федерации, учитываются как суммы заработка по основному месту работы, так и суммы заработка, начисленные в иностранной валюте (если на них начислялись страховые взносы), которые пересчитываются в рубли по курсу Центрального банка Российской Федерации, установленному на день назначения ежемесячной страховой выплаты.

(в ред. Федерального закона от 08.12.2010 N 348-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Среднемесячный заработок застрахованного исчисляется путем деления общей суммы его заработка (с учетом премий, начисленных в расчетном периоде) за 12 месяцев повлекшей повреждение здоровья работы, предшествовавших месяцу, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, на 12. При расчете среднемесячного заработка застрахованного месяцы, не полностью им проработанные, а также месяцы, за которые отсутствуют сведения о заработке застрахованного, заменяются предшествующими месяцами, полностью проработанными на работе, повлекшей повреждение здоровья, и за которые имеются сведения о заработке, либо исключаются в случае невозможности их замены. Замена не полностью проработанных застрахованным месяцев не производится в случае, если в этот период за ним сохранялся в соответствии с законодательством Российской Федерации средний заработок, на который начисляются страховые взносы в соответствии со статьей 20.1 настоящего Федерального закона.(в ред. Федеральных законов от 07.07.2003 N 118-ФЗ, от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Если повлекшая повреждение здоровья работа продолжалась менее 12 месяцев или 12 месяцев, но сведения о заработке за один или несколько месяцев отсутствуют, среднемесячный заработок застрахованного исчисляется путем деления общей суммы его заработка за фактически проработанное им число месяцев, за которые имеются сведения о заработке и которые предшествовали месяцу, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, на число фактически проработанных месяцев. В случае, если период работы, повлекшей повреждение здоровья, составил менее одного полного календарного месяца, ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из условного месячного заработка, определяемого путем деления суммы заработка за проработанное время на количество проработанных дней и умножения полученного результата на количество рабочих дней в месяце, исчисленное в среднем за год.

(в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

По желанию застрахованного при наступлении страхового случая по причине получения им профессионального заболевания средний месячный заработок может быть подсчитан за последние 12 месяцев работы, предшествовавших прекращению работы, повлекшей такое заболевание.

4. Ежемесячные страховые выплаты застрахованному, не достигшему на момент назначения обеспечения по страхованию возраста 18 лет, исчисляются из его среднего заработка, но не менее установленной в соответствии с законом величины прожиточного минимума трудоспособного населения в целом по Российской Федерации.(п. 4 в ред. Федерального закона от 07.07.2003 N 118-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

5. Если страховой случай наступил после окончания срока действия трудового договора, а также гражданско-правового договора, предметом которого являлись выполнение работ и (или) оказание услуг, договора авторского заказа и в соответствии с указанными договорами предусматривалась уплата страховых взносов страховщику, ежемесячная страховая выплата исчисляется из заработка застрахованного до окончания срока действия указанного договора.

(п. 5 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

6. Если в заработке застрахованного до наступления страхового случая произошли устойчивые изменения, улучшающие его имущественное положение (повышена заработная плата по занимаемой должности, он переведен на более высокооплачиваемую работу, поступил на работу после окончания учебного учреждения по очной форме обучения и в других случаях, когда доказана устойчивость изменения или возможности изменения оплаты труда застрахованного), при подсчете его среднего месячного заработка учитывается только заработок, который он получил или должен был получить после соответствующего изменения.

7. Если застрахованный (страхователь) не имеет возможности представить справку (справки) о заработке, из которого должна быть исчислена ежемесячная страховая выплата, ежемесячная страховая выплата рассчитывается из тарифной ставки (должностного оклада), установленной в отрасли (подотрасли) для данной профессии и сходных условий труда ко времени обращения за страховыми выплатами, или (по выбору застрахованного) величины прожиточного минимума трудоспособного населения в целом по Российской Федерации, установленной в соответствии с федеральным законом на день обращения за назначением обеспечения по страхованию. При этом, если застрахованный на момент наступления страхового случая работал на условиях неполного рабочего времени (неполного рабочего дня (смены) или неполной рабочей недели), размер ежемесячной страховой выплаты подлежит уменьшению пропорционально продолжительности рабочего времени застрахованного.В указанном случае территориальный орган страховщика по заявлению застрахованного направляет запрос в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации о представлении сведений о заработной плате, иных выплатах и вознаграждениях застрахованного у соответствующего страхователя за календарный год, предшествующий году, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, или по желанию застрахованного при наступлении страхового случая по причине получения им профессионального заболевания — за последний календарный год работы, повлекшей такое заболевание. Форма заявления застрахованного, форма и порядок направления запроса, форма, порядок и сроки представления территориальным органом Пенсионного фонда Российской Федерации запрашиваемых сведений устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере социального страхования. При наличии указанных сведений ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из этих сведений.В случае, если после назначения ежемесячной страховой выплаты, исчисленной в порядке, предусмотренном абзацами первым и вторым настоящего пункта, застрахованный (страхователь) представит в территориальный орган страховщика справку (справки) о заработке застрахованного, из которого должна была первоначально исчисляться ежемесячная страховая выплата, назначенная ежемесячная страховая выплата подлежит перерасчету с месяца, следующего за месяцем, в котором была представлена соответствующая справка (справки). При этом размер пересчитанной ежемесячной страховой выплаты не может быть меньше ранее установленного размера.(п. 7 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

8. Лицам, имеющим право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного, размер ежемесячной страховой выплаты исчисляется исходя из его среднего месячного заработка за вычетом долей, приходящихся на него самого и трудоспособных лиц, состоявших на его иждивении, но не имеющих право на получение страховых выплат. Для определения размера ежемесячных страховых выплат каждому лицу, имеющему право на их получение, общий размер указанных выплат делится на число лиц, имеющих право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного.

(см. текст в предыдущей редакции)

9. Ежемесячная страховая выплата в дальнейшем перерасчету не подлежит, за исключением следующих случаев:

изменение степени утраты профессиональной трудоспособности;

изменение круга лиц, имеющих право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного;

уточнение данных о размере фактического заработка застрахованного;

индексация ежемесячной страховой выплаты.

(п. 9 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

10. При назначении ежемесячной страховой выплаты суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, полученные за период до дня проведения индексации размеров ежемесячных страховых выплат в соответствии с пунктом 11 настоящей статьи, увеличиваются с учетом соответствующих коэффициентов, установленных для индексации размера ежемесячной страховой выплаты. При этом коэффициенты, примененные к суммам заработка, к назначенному размеру ежемесячной страховой выплаты не применяются.(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 350-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.

Ежемесячные страховые выплаты, назначенные начиная с 06.10.2006, подлежат перерасчету с даты их назначения с учетом коэффициентов, установленных абз. 2 — 5 п. 10 ст. 12 данного документа (ФЗ от 19.05.2010 N 90-ФЗ).

В связи с повышением стоимости жизни и изменениями в уровне оплаты труда суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, увеличиваются с учетом следующих коэффициентов:

(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)

за 1971 год и предшествующие периоды — 11,2; за 1972 год — 10,9; за 1973 год — 10,6; за 1974 год — 10,3; за 1975 год — 10,0; за 1976 год — 9,7; за 1977 год — 9,4; за 1978 год — 9,1; за 1979 год — 8,8; за 1980 год — 8,5; за 1981 год — 8,2; за 1982 год — 7,9; за 1983 год — 7,6; за 1984 год — 7,3; за 1985 год — 7,0; за 1986 год — 6,7; за 1987 год — 6,4; за 1988 год — 6,1; за 1989 год — 5,8; за 1990 год — 5,5; за 1991 год — 4,3.

(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)

Суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, дополнительно увеличиваются за период до 1 января 1991 года с учетом коэффициента 6, с 1 января 1991 года по 31 декабря 1991 года — с учетом коэффициента 3.

(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)

В связи с повышением стоимости жизни и изменениями в уровне оплаты труда при исчислении размера ежемесячной страховой выплаты суммы заработка, полученные за период с 1 января 1992 года по 31 января 1993 года, увеличиваются с учетом коэффициента 3.

(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)

Суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, полученные за период до 1 мая 2002 года, увеличиваются пропорционально повышению в централизованном порядке в период по 1 мая 2002 года включительно минимального размера оплаты труда.

(абзац введен Федеральным законом от 09.12.2010 N 350-ФЗ)11. Размер ежемесячной страховой выплаты подлежит индексации один раз в год с 1 февраля текущего года исходя из индекса роста потребительских цен за предыдущий год. Коэффициент индексации определяется Правительством Российской Федерации.(п. 11 в ред. Федерального закона от 19.12.2016 N 444-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.

Размеры выплат, установленные до 01.01.2018 и превышающие максимальный размер, установленный в соответствии с п. 12 и 13 ст. 12 (в ред. ФЗ от 19.12.2016 N 444-ФЗ), не изменяются.(в ред. Федерального закона от 19.12.2016 N 444-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

При назначении страховых выплат застрахованному по нескольким страховым случаям ограничение максимальным размером применяется к общей сумме страховой выплаты.

При назначении страховых выплат лицам, имеющим право на их получение в связи со смертью застрахованного, ограничение максимальным размером применяется к общей сумме страховых выплат, назначенных в связи со смертью застрахованного.

(п. 12 введен Федеральным законом от 07.07.2003 N 118-ФЗ)13. Установленный пунктом 12 настоящей статьи максимальный размер ежемесячной страховой выплаты подлежит индексации один раз в год с 1 февраля текущего года исходя из индекса роста потребительских цен за предыдущий год. Коэффициент индексации определяется Правительством Российской Федерации.(п. 13 введен Федеральным законом от 19.12.2016 N 444-ФЗ)

Подсчет данных при помощи запроса

В данной статье описано использование агрегатной функции для суммирования данных в результатах запроса. В ней также кратко описывается использование других агрегатных функций, например COUNT и AVG, для подсчета или вычисления средних значений в результирующем наборе записей. Кроме того, в этой статье рассматривается использование строки итогов — возможности Access, позволяющий суммировать данные без изменения структуры запросов.

Выберите нужное действие

Общее представление о способах суммирования данных

Просуммировать числовой столбец в запросе можно с помощью агрегатной функции. Агрегатные функции выполняют вычисления со столбцами данных и возвращают единственное значение. В Access существует множество агрегатных функций, включая Sum, Count, Avg (для вычисления среднего значения), Min и Max. Суммирование данных производится путем добавления в запрос функции Sum, подсчет данных — путем использования функции Count и т. д.

Кроме того, в Access предусмотрено несколько способов добавления функции Sum и других агрегатных функций в запрос. Вы можете:

  • Открыть запрос в режиме таблицы и добавить строку итогов. Строка итогов — возможность Access, позволяющая использовать агрегатные функции в одном или нескольких столбцах в результатах запроса без необходимости изменять его структуру.

  • Создать итоговый запрос. Итоговый запрос вычисляет промежуточные итоги для групп записей, а строка итогов — общие итоги для одного или нескольких столбцов (полей) данных. Например, если вы хотите вычислить промежуточную сумму всех продаж по городам или по кварталам, следует использовать итоговый запрос для группировки записей по нужной категории, а затем просуммировать все объемы продаж.

  • Создать перекрестный запрос. Перекрестный запрос — это особый тип запросов, отображающий результаты в сетке, напоминающей лист Excel. Перекрестные запросы суммируют значения и затем группируют их по двум наборам фактов — вдоль боковой стороны (заголовки строк) и в верхней части (заголовки столбцов). Например, вы можете использовать перекрестный запрос для отображения итоговых значений продаж для каждого города за последние три года, как показано в таблице:

Город

2003

2004

2005

Краснодар

254 556

372 455

467 892

Санкт-Петербург

478 021

372 987

276 399

Москва

572 997

684 374

792 571

…

…

…

…

Примечание: Ниже в разделах этой статьи подробно описано применение функции Sum, однако следует помнить, что вы можете использовать другие агрегатные функции в строках итогов и запросах. Дополнительные сведения об использовании других агрегатных функций см. ниже в разделе Справочные сведения об агрегатных функциях.

Дополнительные сведения о способах использования других агрегатных функций см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

В следующих разделах описано, как добавить строку итогов, использовать итоговый запрос для суммирования данных и перекрестный запрос, вычисляющий промежуточные итоги по группам и интервалам времени. Помните, что многие агрегатные функции работают только с данными в полях, имеющих определенный тип данных. Например, функция SUM работает только с типами данных «Число», «Действительное» и «Денежный». Дополнительные сведения о типах данных, требуемых для каждой функции, см. ниже в разделе Справочные сведения об агрегатных функциях.

Общие сведения о типах данных см. в статье Изменение типа данных для поля.

К началу страницы

Подготовка примера данных

В инструкциях этой статьи приводятся таблицы с примерами данных. Они помогают понять, как работают агрегатные функции. Вы можете добавить примеры таблиц в новую или существующую базу данных.

Сделать это в Access можно несколькими способами. Вы можете ввести данные вручную, скопировать каждую таблицу в редактор электронных таблиц (такой как Excel) и импортировать листы в Access или же вставить данные в текстовый редактор, например Блокнот, и импортировать их из созданных текстовых файлов.

В пошаговых инструкциях этого раздела объясняется, как вводить данные вручную на пустой лист, а также как копировать примеры таблиц в редактор электронных таблиц и затем импортировать их в Access. Дополнительные сведения о создании и импорте текстовых данных см. в статье Импорт данных или связывание с данными текстового файла.

В пошаговых инструкциях в этой статье используются приведенные ниже таблицы. Создайте пример данных на их основе:

Таблица «Категории»

Категория

Куклы

Игры и головоломки

Картины и рамы

Видеоигры

DVD-диски и фильмы

Модели для сборки, хобби

Спортивное снаряжение

Таблицы «Товары»

Наименование товара

Цена

Категория

Фигурка программиста

12,95 ₽

Куклы

Эксперименты с C# (игра для всей семьи)

15,85 ₽

Игры и головоломки

Схема реляционной базы данных

22,50 ₽

Картины и рамы

Волшебная микросхема (500 деталей)

32,65 ₽

Игры и головоломки

Access! Игра!

22,95 ₽

Игры и головоломки

Компьютерные маньяки и мифические животные

78,50 ₽

Видеоигры

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

14,88 ₽

DVD-диски и фильмы

Неуловимая летающая пицца

36,75 ₽

Спортивное снаряжение

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

65,00 ₽

Модели для сборки, хобби

Недвижущаяся фигурка бюрократа

78,88 ₽

Куклы

Тьма

53,33 ₽

Видеоигры

Собери клавиатуру

77,95 ₽

Модели для сборки, хобби

Таблица Заказы

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

14.11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

16.11.2005

17.11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

18.11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

19.11.2005

20.11.2005

Владивосток

525,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

21.11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица Сведения о заказах

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

5

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Примечание: Помните, что в типичной базе данных таблица «Сведения о заказах» будет содержать только поле «Код товара» (без поля «Наименование товара»). В данном примере поле «Наименование товара» используется для упрощения восприятия данных.

Ввод примеров данных вручную

  1. на вкладке Создание в группе Таблицы нажмите кнопку Таблица.

    Access добавит в базу данных новую пустую таблицу.

    Примечание: Эту операцию следует выполнять только при необходимости добавить таблицу в базу данных. При открытии новой пустой базы данных это действие не требуется.

  2. Дважды щелкните первую ячейку в строке заголовков и введите имя поля из примера таблицы.

    По умолчанию в Access пустые поля обозначаются надписью Добавить поле в строке заголовков:

  3. С помощью клавиш со стрелками перейдите в следующую пустую ячейку заголовка и введите имя второго поля (чтобы перейти в другую ячейку, можно также нажать клавишу TAB или щелкнуть эту ячейку два раза). Повторите эти действия, чтобы ввести имена всех полей.

  4. Введите данные в пример таблицы.

    По мере ввода данных Access определяет их тип для каждого поля. Если вы плохо знакомы с реляционными базами данных, для каждого поля таблицы следует задать конкретный тип данных, например «Число», «Текст» или «Дата/время». Это обеспечивает точный ввод данных и помогает предотвратить ошибки, например использование цифр номера телефона в вычислениях. Для этих примеров таблиц можно определить тип данных автоматически.

  5. Завершив ввод данных, нажмите кнопку Сохранить.

    (Сочетание клавиш: нажмите CTRL+S.)

    Откроется диалоговое окно Сохранение документа.

  6. В поле Имя таблицы введите имя примера таблицы и нажмите кнопку ОК.

    Следует использовать указанные имена таблиц, потому что они применяются в запросах, приведенных в пошаговых инструкциях.

  7. Повторяйте эти шаги, пока не создадите каждый из примеров таблиц, приведенных в начале этого раздела.

Если вы не хотите вводить данные вручную, можно выполнить указанные ниже действия для копирования информации в файл электронной таблицы, а затем импортировать данные из него в Access.

Создание листов с примерами данных

  1. Запустите редактор электронных таблиц и создайте пустой файл. Если вы используете Excel, по умолчанию создается пустая книга.

  2. Скопируйте первый пример таблицы и вставьте его на первый лист, начиная с первой ячейки.

  3. Присвойте листу имя с помощью функций редактора электронных таблиц. Оно должно совпадать с именем примера таблицы. Например, если пример называется Категории, присвойте листу это же имя.

  4. Повторяйте шаги 2 и 3, чтобы скопировать каждый пример таблицы на пустой лист и переименовать этот лист.

    Примечание: К файлу электронной таблицы может понадобиться добавить листы. Сведения о том, как сделать это, см. в справке редактора электронных таблиц.

  5. Сохраните книгу в нужной папке на компьютере или в сети и переходите к следующей процедуре.

Создание таблиц базы данных на основе листов

  1. На вкладке Внешние данные в группе Импорт щелкните Excel.

    -или-

    Нажмите кнопку Дополнительно, а затем выберите редактор электронных таблиц из списка.

    Откроется диалоговое окно Внешние данные — лист <имя программы>.

  2. Нажмите кнопку Обзор, откройте файл электронной таблицы, созданный на предыдущих этапах, и нажмите кнопку ОК.

    Откроется окно мастера импорта электронных таблиц.

  3. По умолчанию мастер выбирает первый лист в книге (в этом примере — лист Клиенты), и данные из этого листа появляются в нижней части страницы мастера. Нажмите кнопку Далее.

  4. На следующей странице мастера выберите Первая строка содержит названия столбцов, а затем нажмите кнопку Далее.

  5. Если нужно, вы можете изменить имена полей и типы данных или пропустить некоторые поля, воспользовавшись текстовыми полями и списками в группе Параметры поля. В противном случае нажмите кнопку Далее.

  6. Оставьте параметр автоматически создать ключ выбранным и нажмите кнопку Далее.

  7. По умолчанию Access использует имя листа для новой таблицы. Оставьте это имя или введите другое, а затем нажмите кнопку Готово.

  8. Повторите шаги с 1 по 7 для каждого листа книги Excel, чтобы создать для него таблицу.

Переименование полей первичного ключа

Примечание: При импорте листов Access автоматически добавляет в каждую таблицу столбец первичного ключа и по умолчанию присваивает ему имя «Код» и тип данных «Счетчик». В этом разделе даны инструкции по переименованию полей первичного ключа. Это позволяет четко определить все поля в запросе.

  1. В области навигации щелкните правой кнопкой мыши каждую таблицу, созданную на предыдущем шаге, и выберите команду Конструктор.

  2. Для каждой таблицы найдите поле первичного ключа. По умолчанию Access присваивает каждому полю имя Код.

  3. В столбце Имя поля каждого поля первичного ключа добавьте имя таблицы.

    Например, можно переименовать поле «ИД» в таблице «Категории» в «ИД категории», а поле таблицы «Заказы» — в «ИД заказа». В таблице «Сведения о заказе» переименуем поле в «Подробный ИД». В таблице «Товары» переименуем поле в «ИД товара».

  4. Сохраните изменения.

В последующих ссылках на примеры таблиц в данной статье указываются поля первичного ключа, переименованные, как описано выше.

К началу страницы

Суммирования данных с помощью строки итогов

Чтобы добавить в запрос строку итогов, откройте его в режиме таблицы, добавьте строку, а затем выберите нужную агрегатную функцию, например Sum, Min, Max или Avg. В этом разделе объясняется, как создать простой запрос на выборку и добавить строку итогов. Не обязательно использовать примеры таблиц, представленные в предыдущем разделе.

Создание простого запроса на выборку

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицу или таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Выбранные таблицы отображаются в виде окон в верхней части конструктора запросов.

  3. Дважды щелкните поля таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Можно включить поля, содержащие описательные данные, например имена и описания, но следует обязательно добавить поле, содержащее числовые или денежные значения.

    Каждое поле отображается в ячейке в бланке запроса.

  4. Нажмите кнопку Выполнить для выполнения запроса.

    Результаты запроса будут отображены в режиме таблицы.

  5. При необходимости переключитесь в Конструктор и скорректируйте запрос. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Конструктор. После этого можно изменить запрос, добавив или удалив поля таблицы. Чтобы удалить поле, выберите столбец в бланке запроса и нажмите клавишу DELETE.

  6. Сохраните запрос.

Добавление строки итогов

  1. Убедитесь в том, что запрос открыт в режиме таблицы. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Режим таблицы.

    -или-

    Дважды щелкните запрос в области навигации. Запрос будет выполнен, а его результаты будут загружены в таблицу.

  2. На вкладке Главная в группе Записи нажмите кнопку Итоги.

    В таблице появится новая строка Итог.

  3. В строке Итог щелкните ячейку в поле, по которому вы хотите вычислить сумму, и выберите в списке функцию Sum.

Скрытие строки итогов

Дополнительные сведения об использовании строки итогов см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

К началу страницы

Вычисление общих итогов с помощью запроса

Общие итоги — это сумма по всем значениям столбца. Можно вычислять нескольких типов общих итогов, включая:

  • Простой общий итог, суммирующий значения одного столбца. Например, можно вычислить общую стоимость доставки.

  • Вычисляемый общий итог, суммирующий значения нескольких столбцов. Например, можно вычислить суммы продаж путем умножения цены нескольких товаров на число заказанных товаров, а затем просуммировав результирующие значения.

  • Общий итог за исключением нескольких записей. Например, можно вычислить сумму продаж только по последней пятнице.

В следующих разделах описано, как вычислить каждый из типов общих итогов. В инструкциях используются таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

Таблица «Заказы»

Идентификатор заказа

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

1

14.11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

2

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

3

16.11.2005

17.11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

4

17.11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

5

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

6

17.11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

7

18.11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

8

19.11.2005

20.11.2005

Владивосток

525,00 ₽

9

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

10

20.11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

11

21.11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

12

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица «Сведения о заказах»

Код сведений

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

0,05

2

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

0,075

3

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

0,04

4

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0,00

5

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0,00

6

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

0,15

7

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

0,06

8

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

0,04

9

5

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

0,10

10

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

0,065

11

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

0,08

12

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

0,09

Вычисление простого общего итога

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицу, которую вы хотите использовать в запросе.

    При использовании примера данных нужно дважды щелкнуть таблицу «Заказы».

    Таблица появится в окне в верхней части конструктора запросов.

  3. Дважды щелкните поле, для которого вы хотите найти сумму. Убедитесь, что поле имеет тип данных «Число» или «Денежный». При попытке суммировать значения в нечисловых полях, например в текстовом поле, Access выводит сообщение об ошибке Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

    Если вы используете пример данных, дважды щелкните столбец «Стоимость доставки».

    Вы можете добавить дополнительные числовые поля, если хотите вычислить для них общие итоги. Итоговый запрос может вычислять общие итоги для нескольких столбцов.

  4. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

    В бланке появится строка Итог, а в ячейке столбца «Стоимость доставки» будет указано Группировка.

  5. Измените значение в ячейке строки Итог строки на Sum.

  6. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    Совет: Обратите внимание, что Access добавит «СуммаOf» в начало имени поля, которое вы суммируете. Чтобы изменить заголовок столбца на более осмысленный, например «Всего доставки», переключиться обратно в конструктор и щелкните в строке «Поле» столбца «Стоимость доставки» в сетке конструктора. Поместите курсор рядом с искомой стоимостью доставки и введите слова Total Shippingи двоеточие, например: Total Shipping: Shipping Fee.

  7. При необходимости вы можете сохранить запрос и закрыть его.

Вычисление общего итога за исключением нескольких записей

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

  3. Добавьте поле «Дата заказа» из таблицы «Заказы» в первый столбец на бланке запроса.

  4. В строке Условие отбора первого столбца введите Date() -1. Это выражение исключает записи с текущей датой из вычисляемого итогового значения.

  5. Затем создайте столбец, который вычисляет объем продаж по каждой транзакции. Введите в строку Поле второго столбца на бланке следующее выражение:

    Общее значение продаж: (1-[Сведения о заказах].[Скидка]/100)*([Сведения о заказах].[Цена за единицу]*[Сведения о заказах].[Количество])

    Убедитесь, что выражение ссылается на поля с типами данных «Число» или «Денежный». Если оно ссылается на поля с другими типами данных, то при попытке выполнения запроса появится сообщение Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

  6. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

    В бланке появится строка Итог, а в первом и втором столбцах будет указано Группировка.

  7. Во втором столбце измените значение в ячейке строки Итог строки на Sum. Функция Sum суммирует отдельные показатели продаж.

  8. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

  9. Сохраните запрос с именем Продажи за день.

    Примечание: При следующем открытии запроса в Конструкторе можно заметить небольшие изменения в значениях, указанных для строк Поле и Итог в столбце «Общее значение продаж». Выражение заключено в функцию Sum, а в строке Итог выводится Выражение вместо функции Sum.

    Например, если вы использовали пример данных и создали запрос, как показано выше, будет отображено:

    Общее значение продаж: Sum((1-[Сведения о заказах].Скидка/100)*([Сведения о заказах].Цена*[Сведения о заказах].Количество))

К началу страницы

Вычисление итогов по группе с помощью итогового запроса

В этом разделе описано, как создать итоговый запрос для вычисления промежуточных итогов по группам данных. Помните, что по умолчанию итоговый запрос может включать только поле или поля, содержащие данные, по которым выполняется группировка, например поле «Категории», а также поля со значениями, которые вы хотите просуммировать, например поле «Продажи». Итоговые запросы не могут включать другие поля, описывающие значения внутри категории. Если вы хотите отобразить эти описательные данные, создайте второй запрос на выборку, объединяющий поля из итогового запроса с полями, содержащими дополнительные данные.

В этом разделе описано, как создавать итоговые запросы и запросы на выборку, если требуется определить объем продаж для каждого товара. В качестве примера используются следующие таблицы:

Таблицы «Товары»

Код товара

Наименование товара

Цена

Категория

1

Фигурка программиста

12,95 ₽

Куклы

2

Эксперименты с C# (игра для всей семьи)

15,85 ₽

Игры и головоломки

3

Схема реляционной базы данных

22,50 ₽

Картины и рамы

4

Волшебная микросхема (500 деталей)

32,65 ₽

Картины и рамы

5

Access! Игра!

22,95 ₽

Игры и головоломки

6

Компьютерные маньяки и мифические животные

78,50 ₽

Видеоигры

7

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

14,88 ₽

DVD-диски и фильмы

8

Неуловимая летающая пицца

36,75 ₽

Спортивное снаряжение

9

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

65,00 ₽

Модели для сборки, хобби

10

Недвижущаяся фигурка бюрократа

78,88 ₽

Куклы

11

Тьма

53,33 ₽

Видеоигры

12

Собери клавиатуру

77,95 ₽

Модели для сборки, хобби

Таблица «Сведения о заказах»

Код сведений

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

2

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

3

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

4

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

5

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

6

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

7

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

8

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

9

5

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

10

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

11

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

12

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Следующие действия также предполагают наличие отношения «один-ко-многим» между полями «Код товара» в таблицах «Заказы» и «Сведения о заказах» с таблицей «Заказы» на стороне «один» данного отношения.

Создание итогового запроса

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Выберите нужные таблицы и нажмите кнопку «Добавить».

    Таблица появится в виде окна в верхней части конструктора запросов.

    При использовании примеров таблиц, указанных выше, добавьте таблицы «Товары» и «Сведения о заказах».

  3. Дважды щелкните поля таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Как правило, в запрос добавляются только поле группы и поле значений. Однако вместо поля значения можно использовать вычисление — в следующих действиях объясняется, как это сделать.

    1. Добавьте поле «Категория» из таблицы «Товары» в бланк запроса.

    2. Создайте столбец, вычисляющий объемы продаж для каждой транзакции, введя во второй столбец бланка запроса следующее выражение:

      Общее значение продаж: (1-[Сведения о заказах].[Скидка]/100)*([Сведения о заказах].[Цена за единицу]*[Сведения о заказах].[Количество])

      Убедитесь, что поля, на которые ссылается выражение, имеют типы данных «Число» или «Денежный». Если оно ссылается на поля с другими типами данных, то при попытке переключения в режим таблицы появится сообщение об ошибке Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

    3. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

      В бланке появится строка Итог, в первом и втором столбцах которой будет указано Группировка.

    4. Во втором столбце измените значение в строке Итог строки на Sum. Функция Sum суммирует отдельные показатели продаж.

    5. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    6. Оставьте запрос открытым, чтобы использовать его в следующем разделе.

      Использование условий в итоговом запросе

      Запрос, созданный в предыдущем разделе, включает все записи в базовых таблицах. Он не исключает никакие заказы при вычислении итогов и отображает итоги для всех категорий.

      Если вам нужно исключить некоторые записи, можно добавить условия в запрос. Например, вы можете пропустить транзакции с суммой менее 100 ₽ или вычислить итоги только по некоторым категориям товаров. В этом разделе описано использование трех типов условий:

    7. Условия, игнорирующие некоторые группы при вычислении итогов.    Например, можно вычислить итоги только для категорий товаров «Видеоигры», «Картины и рамы» и «Спортивное снаряжение».

    8. Условия, скрывающие некоторые итоговые значения после их вычисления.    Например, можно отобразить только итоговые значения свыше 150 000 ₽.

    9. Условия, исключающие некоторые записи при вычислении итогового значения.    Например, можно исключить отдельные транзакции, в которых значение (Цена за единицу * Количество) меньше 100 ₽.

      На примере следующих действий объясняется, как добавить условия одно за другим и как это повлияет на результаты запроса.

      Добавление условий в запрос

    10. Откройте запрос из предыдущего раздела в Конструкторе. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Конструктор.

      -или-

      Щелкните правой кнопкой мыши запрос в области навигации и выберите Конструктор.

    11. В строке Условия отбора столбца «Код категории» введите =Куклы Or Спортивное снаряжение or Картины и рамы.

    12. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    13. Вернитесь в Конструктор и в строке Условия отбора столбца «Общее значение продаж» введите >100.

    14. Выполните запрос, чтобы просмотреть результаты, а затем переключитесь в Конструктор.

    15. Теперь добавьте условия для исключения отдельных транзакций, сумма которых меньше 100 ₽. Для этого необходимо добавить еще один столбец.

      Примечание: Невозможно указать третье условие для столбца «Общее значение продаж». Любое условие, указанное для этого столбца, будет применено к итоговому значению, а не к отдельным значениям.

    16. Скопируйте выражение из второго столбца в третий столбец.

    17. В строке Итог нового столбца выберите Условие, а в строке Условия отбора введите >20.

    18. Выполните запрос, чтобы просмотреть результаты, а затем сохраните его.

      Примечание: При следующем открытии запроса в Конструкторе можно заметить небольшие изменения в бланке. Во втором столбце выражение в строке Поле будет заключено в функцию Sum, а в строке Итоги будет указано Выражение вместо функции Sum.

      Общее значение продаж: Sum((1-[Сведения о заказах].Скидка/100)*([Сведения о заказах].Цена*[ Сведения о заказах].Количество))

      Будет также отображен четвертый столбец. Этот столбец — копия второго столбца, но условия, заданные во втором столбце, на самом деле отображаются как часть нового столбца.

К началу страницы

Суммирование данных из нескольких групп с помощью перекрестного запроса

Перекрестный запрос — это особый тип запросов, отображающий результаты в сетке, напоминающей лист Excel. Перекрестные запросы суммируют значения и затем группируют их по двум наборам фактов — один набор вдоль боковой стороны (заголовки строк) и второй набор вдоль верхней части (заголовки столбцов). На рисунке показана часть набора результатов для примера перекрестного запроса.

Помните, что перекрестный запрос не всегда заполняет все поля в наборе результатов, потому что таблицы, используемые в запросе, не всегда содержат значения для всех возможных точек данных.

При создании перекрестного запроса обычно включаются данные из нескольких таблиц, и всегда включаются три типа данных: данные, используемые в качестве заголовков строк, данные, используемые в качестве заголовков столбцов и значения, которые вы хотите просуммировать или с которыми необходимо произвести другие вычисления.

Инструкции в данном разделе предполагают использование следующих примеров таблиц:

Таблица «Заказы»

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

14.11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

16.11.2005

17.11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

18.11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

19.11.2005

20.11.2005

Владивосток

525,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

21.11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица «Сведения о заказах»

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

5

Внешний дисковод гибких дисков 5.25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Ниже объясняется, как создавать перекрестный запрос, группирующий итоги продаж по городам. Запрос использует два выражения для возврата форматированной даты и общего объема продаж.

Создание перекрестного запроса

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Таблица появится в виде окна в верхней части конструктора запросов.

    При использовании примеров таблиц дважды щелкните таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

  3. Дважды щелкните поля, которые вы хотите использовать в запросе.

    Каждое имя поля появится в пустой ячейке в строке Поле на бланке.

    При использовании примеров таблиц добавьте поля «Город назначения» и «Дата отгрузки» из таблицы «Заказы».

  4. В следующую пустую ячейку строки Поле скопируйте и вставьте или введите следующее выражение: Итоги продаж: Sum(CCur([Сведения о заказах].[Цена за едницу]*[Количество]*(1-[Скидка])/100)*100)

  5. На вкладке Конструктор в группе Тип запроса щелкните элемент Перекрестная таблица.

    В бланке запроса будут отображены строки Итог и Перекрестный.

  6. Щелкните ячейку в строке Итог в поле «Город назначения» и выберите Группировка. Выполните те же действия для поля «Дата отгрузки». Измените значение в ячейке Итоги поля «Итоги продаж» на Выражение.

  7. В строке Перекрестный присвойте ячейке в поле «Город назначения» значение Заголовки строк, полю «Дата отгрузки» — значение Заголовки столбцов, а полю «Итоги продаж» — Значение.

  8. На вкладке Конструктор в группе Результаты нажмите кнопку Выполнить.

    Результаты запроса будут отображены в режиме таблицы.

К началу страницы

Справочные сведения об агрегатных функциях

В следующей таблице перечислены и отписаны агрегатные функции Access, которые можно использовать в строке итогов и в запросах. Помните, что в Access предусмотрено больше агрегатных функций для запросов, чем для строки итогов. Кроме того, при работе с проектом Access (внешней базой данных Access, которая подключается к базе данных Microsoft SQL Server) можно использовать расширенный набор агрегатных функций, предоставляемый SQL Server. Дополнительные сведения о них см. в электронной документации Microsoft SQL Server.

Функция

Описание

Поддерживаемые типы данных

Average

Вычисляет среднее значение для столбца. Столбец должен содержать числовые или денежные величины или значения даты или времени. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Count

Подсчитывает число элементов в столбце.

Все типы данных, за исключением сложных повторяющихся скалярных данных, таких как столбец многозначных списков.

Дополнительные сведения о списках, которые могут быть многоценными, см. в руководстве по полям, которые могут быть многоценными, а также к созданию или удалите многофаентное поле.

Максимум

Возвращает элемент, имеющий наибольшее значение. Для текстовых данных наибольшим будет последнее по алфавиту значение, причем Access не учитывает регистр. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Minimum

Возвращает элемент, имеющий наименьшее значение. Для текстовых данных наибольшим будет первое по алфавиту значение, причем Access не учитывает регистр. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Standard Deviation

Показывает, насколько значения отклоняются от среднего.

Дополнительные сведения об этой функции см. в статье Отображение итогов по столбцу в таблице.

«Число», «Денежный»

Sum

Суммирует элементы в столбце. Подходит только для числовых и денежных данных.

«Число», «Денежный»

Variance

Вычисляет статистическую дисперсию для всех значений в столбце. Подходит только для числовых и денежных данных. Если таблица содержит менее двух строк, Access возвращает пустое значение.

Дополнительные сведения о функциях для расчета дисперсии см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

«Число», «Денежный»

К началу страницы

7 разделить на что равно 93? (Найдите недостающий номер)

7 разделить на 93? Если вы хотите решить эту словесную проблему, то вы попали в нужное место. Если у вас есть число 7, и вы хотите разделить его на что-то, чтобы получить ответ 93, то этот быстрый урок по уравнениям покажет вам, как именно найти это недостающее число «что-то».

Прежде всего, мы можем записать эту проблему и использовать букву X в качестве недостающего числа, которое мы хотим найти:

7 / Икс = 93

Первый шаг — умножить обе части этого уравнения на недостающее число X.Мы еще не знаем, что такое X, поэтому делаем это, добавляя X в скобках:

7 (Х) / Икс = 93 (Х)

Если вы новичок в уравнениях, это может показаться немного запутанным, но все, что мы на самом деле говорим, это то, что 7 совпадает с 93 умножением на X.

Чтобы найти X, нам нужно разделить обе части на наш окончательный ответ, 93:

7 / 93 знак равно 93 (Х) / 93

Итак, наш окончательный ответ на 7, разделенное на 93, будет:

.

0,0753 = Х

В этих ответах мы округляем их максимум до 4 знаков после запятой, потому что некоторые вычисления могут иметь длинные десятичные ответы.Если вы хотите проверить, близок ли ответ, вы можете разделить 7 на 0,0753:

.

7 / 0,0753 = 92,9615

Надеюсь, теперь вы точно знаете, как решать подобные математические задачи в будущем. Могу я просто сказать вам разделить 7 на 93? Да, но разве вы не рады, что научились этому процессу?

Попробуйте сами и попробуйте вычислить пару из них без использования нашего калькулятора. Возьмите карандаш и лист бумаги и выберите пару цифр.

Цитируйте, дайте ссылку или ссылайтесь на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали.Мы очень ценим вашу поддержку!

  • 7 разделить на то, что равно 93?

  • «7 разделить на что равно 93?». VisualFractions.com . По состоянию на 28 июля 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/divided-by-what/7-divided-by-what-equals-93/.

  • «7 разделить на что равно 93?». VisualFractions.com , https: // visualfractions.ru / калькулятор / разделить-на-чем / 7-разделить-на-что-равно-93 /. Доступ 28 июля 2021 г.

  • 7 разделить на то, что равно 93 ?. VisualFractions.com. Получено с https://visualfractions.com/calculator/divided-by-what/7-divided-by-what-equals-93/.

Калькулятор делений на то, что равно

Гарри деЛейер, 93 года, умер; Он спас лошадь и сделал ее легендой

Гарри деЛейер, дрессировщик и наездник, который в истории, которую можно описать иначе, как из «клячей к богатству», превратил престарелого брошенного мерина по имени Снеговик в одного из самых известных выставочные лошади всех времен умерли 25 июня в Стэнардсвилле, штат Вирджиния.Ему было 93 года.

Его дочь Харриет подтвердила его смерть в доме престарелых.

Г-н деЛейер (произносится как deh-LAY-er) был голландским иммигрантом, который работал с антигерманским сопротивлением во время Второй мировой войны и прибыл в Соединенные Штаты в 1950 году со своей женой Йоханной, его опыт работы в основном ограничивался его семейная ферма в Нидерландах. Вскоре он устроился инструктором верховой езды в школу для девочек на Лонг-Айленде.

В 1956 году он отправился на аукцион лошадей в Пенсильвании, чтобы посмотреть, сможет ли он подобрать несколько животных для своих начинающих учеников.Но ему пришлось остановиться из-за спущенного колеса, и к тому времени, когда он прибыл на аукцион, он был уже закончен. Не проданных лошадей грузили в грузовик, направлявшийся на бойню.

Мистер ДеЛайер заглянул внутрь, и его внимание привлекла серовато-белая лошадь. Остальные были явно напуганы; этот был спокоен. У большинства были очевидные травмы; этот, не считая нескольких поверхностных шрамов, был здоровым и хорошо сложенным. Он был плугом и примерно в 8 лет начал изнашиваться.

Г-н деЛейер, выросший на рабочих лошадях, увидел то, чего не видели другие покупатели. Он купил лошадь за 80 долларов (около 750 долларов в сегодняшних деньгах) в то время, когда призовые лошади могли принести более 40 000 долларов (или около 375 000 долларов сегодня). Когда он пришел домой с лошадью, его 4-летняя дочь Харриет назвала ее Снеговиком.

Снеговик должен был стать обучающей лошадью для начинающих наездников. Но по мере того, как он набирался сил, он показал себя многообещающим прыгуном, и мистер ДеЛайер всегда был в поисках новых выставочных лошадей.Он и Снеговик начали тренироваться.

«Я думаю, эта лошадь знала, что мой отец дал ему второй шанс», — сказала Харриет деЛейер в телефонном интервью. «Мой отец просил его делать какие-то безумные вещи, и он это делал».

Два года спустя мистер ДеЛайер выступил на Снеговике на своем первом соревновании, местном шоу, где они легко выиграли синюю ленту в классе прыгунов. Последовало еще одно, более масштабное шоу, где они нокаутировали двукратного действующего чемпиона. Последовали новые победы.

«Кажется, нет конца победным титулам Снеговика на крупнейших шоу страны», — написала журналистка Мари Лафренц в The New York Herald Tribune.

Выставки лошадей были широко популярны в 1950-х годах, особенно в районе Нью-Йорка, где и участвовали, и наблюдали состоятельные люди — Национальная выставка лошадей в Мэдисон-Сквер-Гарден открыла социальный сезон на Манхэттене.

Пресса заискивала перед Снеговиком и мистером ДеЛейером, равно как и фанаты, которым нравился их бессистемный подход к элитарным начинаниям. Там, где прибыло много команд с модным оборудованием и большой свитой, появился г-н деЛайер с Джоанной, их восьмью детьми и случайными учениками, все из которых приняли участие.Некоторые из них вручную нарисовали вывеску возле своей временной конюшни во время своего первого появления в Мэдисон-Сквер-Гарден в 1958 году.

Снеговик взял синюю ленту в том году, она была названа лошадью года Американской ассоциацией конных шоу (сегодня Федерация конного спорта США) и выиграл чемпионат Ассоциации профессиональных всадников, что сделало его одной из немногих лошадей, выигравших то, что тогда считалось тройной короной этого вида спорта.

Мистер ДеЛайер и Снеговик едва не повторили свое достижение в следующем году, снова выиграв в Мэдисон Сквер Гарден и завоевав титул лошади года.

Невероятная история Гарри де Лейера и его «Лошади-Золушки» сделала их знаменитостями. Они появились на «Вечернем шоу», где Джонни Карсон поехал в седло. Они отправились в Европу. Поклонники приехали со всего мира, чтобы посетить их загон на Лонг-Айленде.

Появившись на «Шоу Дика Каветта», г-н деЛайер сказал: «Снеговик и я оба пришли из ничего. Но вместе мы добрались до вершины мира ».

Снеговик продолжал соревноваться, но реже и выигрывал меньше титулов, так как он встречался с более молодыми лошадьми.Он и г-н деЛайер чаще появлялись на выставках — несмотря на свой возраст, он легко мог преодолевать препятствия семи футов высотой и в рамках своего шоу прыгал через других лошадей.

Мистер ДеЛайер всегда восхищался силой Снеговика — «уродец природы», как он его однажды назвал, — но настаивал, что ключом к успеху лошади является его поведение: спокойствие, дружелюбие, желание. Выйдя из ринга, Снеговик стал частью семьи деЛайеров, купаясь в озере с детьми летом и таща их на лыжах зимой.

Снеговик официально ушел на пенсию в 1969 году в Мэдисон-Сквер-Гарден, где толпа аплодировала и пела «Auld Lang Syne».

В 1974 году у Снеговика началась почечная недостаточность, и деЛейеры решили усыпить его. Несмотря на свое жестокое отношение к ферме, мистер ДеЛайер сначала не мог заставить себя оказаться там, когда ветеринар забрал Снеговика из его конюшни. Но лошадь отказывалась идти, пока мистер ДеЛайер со слезами на глазах не прибыл, чтобы вывести его.

Хенрикус деЛейер родился сентября.21 декабря 1927 года в Синт-Оденроде, голландском городке недалеко от бельгийской границы. Его отец, Иосиф Флавий, управлял семейной фермой и пивоварней, а его мать, Вильгельмина, воспитывала их 12 детей.

Мистер ДеЛайер, который взял себе имя Гарри, когда приехал в Соединенные Штаты, научился ездить верхом почти сразу же, как научился ходить, и к 7 годам он уже участвовал в соревнованиях, в конечном итоге попав в юношескую сборную Голландии.

Его многообещающая карьера конного спортсмена была прервана, когда немцы вторглись в Нидерланды в мае 1940 года.Его отец превратил их ферму в перевалочный пункт сопротивления, укрывая евреев и сбивая пилотов союзников в секретном подвале, который он выкопал рядом с сараем и замаскировал под кучей навоза. Ночью Гарри выезжал верхом на поиски раненых пилотов.

Один из таких пилотов, американец, умер вскоре после того, как Гарри вернул его на ферму. Семья похоронила его и отправила жетоны его родителям в Северной Каролине, которые завязали переписку с мистером ДеЛейером и Джоанной.В 1950 году они спонсировали приезд пары в Соединенные Штаты.

ДеЛейеры расстались в 1970-х, и г-н деЛейер позже женился повторно. Его вторая жена, Джоан, умерла в 2013 году. Трое из его детей, Джозеф, Уильям и Гарри-младший, также умерли.

Помимо дочери Харриет, у него остались дети Мартин, Андре, Джон и АннаМари; 14 внуков; и трое правнуков. Информация о его братьях и сестрах в Нидерландах была доступна не сразу.

г.ДеЛайер четыре года управлял табачной фермой в Северной Каролине, показывая лошадей по выходным. Он и его семья переехали на Лонг-Айленд в 1954 году, когда он стал инструктором по верховой езде в женской школе Нокс в Сент-Джеймсе, штат Нью-Йорк,

, штат Нью-Йорк.

Снеговик был не единственной его лошадью, и г-н деЛайер продолжал соревноваться в верховой езде даже после Смерть снеговика. Поклонники называли г-на деЛейера «Скачущим дедушкой», и если он не всегда побеждал — хотя и делал это часто, — его любили как жестокого конкурента и энергичного шоумена.

В 1979 году он вернулся на Национальную выставку лошадей и снова получил голубую ленту в своем классе, спустя два десятилетия после своего первого триумфа.

Он продолжал обучать верховой езде и дрессировать лошадей, в конце концов перебравшись в сельскую местность в центральной Вирджинии, где ему принадлежала племенная ферма. Его семья последовала его примеру: шестеро из восьми его детей также стали наездниками и тренерами.

Снеговик и мистер ДеЛайер были предметом нескольких книг, в том числе «Чемпион за 80 долларов: Снеговик, лошадь, которая вдохновила нацию» (2011) Элизабет Леттс, бестселлера New York Times.

Они также были показаны в документальном фильме 2016 года «Гарри и Снеговик», который включает обширные интервью с г-ном деЛейером.

«В моей жизни было так много замечательных лошадей, но Снеговик был для меня самым особенным», — сказал он в фильме. «Снеговик для меня был больше, чем лошадь. Он был моим другом ».

Джеки Мейсон, комик, усовершенствовавший забавное возмущение, умирает на 93

НЬЮ-ЙОРК (AP) — умер Джеки Мейсон, раввин, ставший комиком, чья энергичная стендап-комедия привела его в ночные клубы Catskills, ток-шоу на Западном побережье и на бродвейские сцены.Ему было 93 года.

Мейсон умер в субботу в 18:00. ET в Mt. Больница Синай на Манхэттене после более чем двухнедельной госпитализации, сообщил Associated Press знаменитый адвокат Рауль Фельдер.

Вспыльчивый масон был известен своим острым умом и проницательными социальными комментариями, часто о том, что он еврей, мужчина и женщина, и о своих собственных недостатках. Его типичным стилем была забавная ярость.

«Восемьдесят процентов женатых мужчин в Америке изменяют. Остальные обманывают в Европе », — пошутил он однажды.Еще одна фраза Мейсона гласила: «Политика не создает странных друзей, в отличие от брака». О себе он однажды сказал: «Я был так застенчив, каждый раз, когда футболисты собирались в кучу; Я думал, они говорили обо мне ».

На этой фотографии из архива от 4 февраля 1991 года Лайза Миннелли болтает с комиком Джеки Мэйсон во время визита за кулисы Театра Нила Саймона в Нью-Йорке. AP Photo / Майкл Саймон, дело

Его смерть оплакивали повсюду, от комика Гилберта Готфрида, который назвал его «одним из лучших», до личности Fox News Channel Шона Хэннити, который приветствовал Мэйсона как «непочтительного, иконоборческого, забавного, умного и великого американского патриота». .”

Мейсон родился Джейкоб Маза, сын раввина. Три его брата стали раввинами. Так же поступил и Мейсон, у которого одно время были собрания в Пенсильвании и Северной Каролине. Со временем комедия оказалась более настойчивым призванием, чем Бог.

«Человек должен чувствовать себя эмоционально бесплодным, опустошенным или разочарованным, чтобы стать комиком, — сказал он в интервью Associated Press в 1987 году. — Я не думаю, что люди, которые чувствуют себя комфортно или счастливы, заинтересованы в том, чтобы стать комиками. Вы что-то ищете и готовы заплатить высокую цену, чтобы привлечь это внимание.”

Мейсон начал карьеру в шоу-бизнесе в качестве социального директора на курорте Катскиллс. Он был тем парнем, который заставил всех поиграть с Саймоном Сэйсом, викторины или шаффлборд. Он тоже рассказывал анекдоты. После одного сезона он играл в клубы по всему Кэтскиллсу, чтобы заработать больше денег.

«Никто меня не знал, но в горах я был настоящим хитом», — вспоминал Мейсон.

В 1961 году комикс размером с пинту получил большой успех — он появился в еженедельном телешоу Стива Аллена. Успех привел его в «Шоу Эда Салливана» и другие программы.

Ему запретили на два года участвовать в шоу «Салливан», когда он якобы показал ведущему пальцем, когда Салливан дал ему знак завершить свое выступление во время выступления 18 октября 1964 года.

Выступление Мэйсона даже привело его на Бродвей, где он поставил несколько сольных спектаклей, в том числе «Freshly Squeezed» в 2005 г., «Love Thy Neighbor» в 1996 г. и «Мир со слов меня» в 1988 г., за которые он получил премию специальная премия Тони.

«Сегодня я чувствую себя Рональдом Рейганом», — пошутил Мейсон в разговоре с Тони.«Он всю жизнь был актером, ничего не знал о политике и стал президентом США. Я бывший раввин, который ничего не знал об актерском мастерстве, и получаю премию Тони ».

Мейсон называл себя наблюдателем, который наблюдает за людьми и учится. На основании этих наблюдений он сказал, что получил свои шутки, а затем опробовал их на друзьях. «Я предпочел бы выставить себя дураком перед двумя людьми просто так, чем тысяча человек, которые заплатили за билет», — сказал он AP.

На этой фотографии из архива от 28 августа 2002 года комикс Джеки Мейсон обращается к средствам массовой информации в комедийном клубе Зани в Чикаго о решении клуба отменить появление в комиксе Рэя Ханании. AP Photo / Stephen J. Carrera, File

Его юмор мог перескочить с компьютеров и дизайнерского кофе на тогдашнего Сена. Джон Керри, бывший премьер-министр Израиля Ариэль Шарон и Дональд Трамп. Он сумел сформулировать гнев среднего Джо, сделав унижения жизни смешными и, может быть, чуть более терпимыми.

«Я очень редко что-то записываю. Я просто много думаю о жизни и стараюсь выразить это в фразах, которые получат шутку », — сказал он. «Я никогда не шучу, в которую не верю.Для меня смысл и шутка совпадают ».

На телевидении Мейсон был надежным представителем, обычно в эпизодической роли в таких шоу, как «30 Rock» или «Симпсоны», или в качестве надежного гостя в ночных чат-шоу. Он выступал перед британской королевой Елизаветой II, а его шоу «Fearless» проходило в лондонском Вест-Энде в 2012 году.

Он изобразил бывшего продавца пижамы-еврея, влюбленного в вдову ирландского католицизма, которую изображала Линн Редгрейв в сериале «Куриный суп» в 1989 году, но это длилось недолго.Во время выступления О.Дж. Шотландская служба British Broadcasting Corp. по делу об убийстве Симпсона наняла Мэйсона в качестве еженедельного комментатора.

Юмор Мэйсона иногда заходил слишком далеко, как, например, когда он вызвал скандал в Нью-Йорке во время кампании кандидата в мэры Республиканской партии Рудольфа Джулиани против демократа Дэвида Динкинса, который был Черным. Мейсону пришлось извиниться, сказав, среди прочего, что евреи будут голосовать за Динкинса из-за вины.

Фелдер, его давний друг, сказал AP, что Мейсон имел талмудический взгляд на жизнь: «Что бы вы ему ни сказали, он начнет с вами спор.”

У него остались жена, продюсер Джилл Розенфельд и дочь Шеба.

демонстраций и политического насилия в Америке: новые данные за лето 2020 г.

Жестокий ответ правительства

Первоначальная реакция правительства на демонстрации была неоднородной. Многие первые акции протеста прошли мирно и без происшествий. В некоторых городах, таких как Лос-Анджелес, Калифорния и Камден, штат Нью-Джерси, власти даже выразили поддержку, присоединившись к маршам, преклонив колени или посетив общественные собрания по реформе (ABC7, 1 июня 2020 г .; CBS8, 15 июня 2020 г .; NJ Spotlight, 12 Июнь 2020 г.).В некоторых случаях эти усилия снизили напряженность между сообществом и полицией, в то время как в других демонстранты выразили обеспокоенность тем, что эти демонстрации служили скорее «пиар-ходом», чем подлинными актами солидарности, потенциально скрывая масштабы злоупотреблений со стороны полиции (ABC, 6 июня 2020 г.) . Например, в начале июня, когда некоторые полицейские встали на колени вместе с демонстрантами в Буффало, штат Нью-Йорк, появились отдельные сообщения, показывающие, что городская полиция жестоко повалила пожилого протестующего на землю, на следующий день сломав ему череп (ABC, 6 июня 2020; NPR, 30 июня 2020 г.).

В целом, данные ACLED показывают, что правительственные силы вскоре заняли жесткую позицию в отношении растущего протестного движения. На демонстрациях, где присутствуют власти, они чаще всего применяют силу. Данные показывают, что они непропорционально применяли силу при вмешательстве в демонстрации, связанные с движением BLM, по сравнению с другими типами демонстраций.

Несмотря на то, что демонстрации, связанные с движением BLM, были исключительно мирными, более 9% — или почти каждый десятый — были встречены вмешательством правительства по сравнению с 3% всех других демонстраций.Это также знаменует общий рост числа интервенций по сравнению с этим временем прошлого года. В июле 2019 года власти вмешались менее чем в 2% всех демонстраций — менее 30 событий — по сравнению с июлем 2020 года, когда они вмешались в 9% всех демонстраций, или более чем в 170 мероприятиях.

Власти применяли силу — например, применяли менее смертоносное оружие, такое как слезоточивый газ, резиновые пули и перцовый баллончик, или избивали демонстрантов дубинками — более чем в 54% демонстраций, в которых они участвовали.Это тоже значительное увеличение по сравнению с прошлым годом. В июле 2019 года правительственный персонал применил силу всего в трех задокументированных демонстрациях по сравнению с июлем 2020 года, когда они применили силу против демонстрантов как минимум в 65 мероприятиях. Более 5% всех мероприятий, связанных с движением BLM, были встречены властями с применением силы, по сравнению с менее 1% всех других демонстраций. В некоторых случаях, например в Сиэтле, Вашингтоне и Портленде, штат Орегон ( см. Ниже), жесткие действия полиции, по-видимому, усилили напряженность и увеличили риск эскалации насилия (New York Times, 31 мая 2020 г.).

Военизированная федеральная реакция

Эскалация применения силы против демонстрантов происходит на фоне более широкой милитаризации реакции правительства на внутренние беспорядки и, в частности, на демонстрации, которые считаются связанными с левыми группами, такими как Антифа, которую администрация считает «террористической» организацией (Нью-Йорк Times, 31 мая 2020 г.). Сразу после убийства Флойда президент Трамп опубликовал в социальных сетях серию сообщений с угрозами задействовать вооруженные силы и национальную гвардию для разгона демонстраций, предлагая властям применить смертоносную силу, если демонстранты участвуют в грабежах (New York Magazine, 1 июня 2020 г.) .Президент назвал губернаторов «слабыми» за то, что они допустили демонстрации в своих штатах, и поручил им вызвать Национальную гвардию, чтобы «доминировать» и «пробивать [протестующих] как масло» (Vox, 2 июня 2020 г.). Сенатор Том Коттон от Арканзаса, советник президента, рекомендовал администрации «ввести войска» и «не давать пощады повстанцам, анархистам, бунтовщикам и мародерам» (New York Times, 3 июня 2020 г., 23 июня 2020 г.) .

Риторика вскоре перешла в действие: в начале июня правительство использовало войска Национальной гвардии, агентов секретных служб и полицию парка США — среди других федеральных агентов — для насильственного разгона мирных протестов на площади Лафайет у Белого дома, чтобы создать возможность сфотографироваться на Санкт-ПетербургJohn’s Church (Vox, 2 июня 2020 г .; New York Times, 10 июня 2020 г.). Инцидент вызвал редкое публичное осуждение со стороны бывшего министра обороны Джеймса Мэттиса и возможный отказ нынешнего министра обороны Марка Эспера поддержать действие Закона о восстании, который позволил бы развернуть действующие войска для реагирования на демонстрации (Атлантика, США). 3 июня 2020 г .; ВРЕМЯ, 3 июня 2020 г.). Тем не менее, к концу месяца DHS установило PACT и разместило агентов по всей стране, в том числе в Портленде, штат Орегон; Сиэтл, Вашингтон; и Вашингтон, округ Колумбия (Аль-Джазира, 23 июня 2020 г.).После убийства Флойда ACLED регистрирует более 55 дислокаций федеральной и национальной гвардии по всей стране, включая членов PACT, а также сил, связанных с Operations Legend и Diligent Valor.

Moqut Ruffins хотят закрепить за собой чемпионат арены 2019

Обстоятельства изменили эти планы. AFL объявил о банкротстве в ноябре 2019 года, и, скорее всего, о нем больше ничего не будет слышно. Затем COVID-19 отменил все футбольные сезоны на арене в 2020 году.

Игра в закрытых помещениях вернулась в Олбани в этом году с расширенной франшизой в Национальной лиге арены, и Раффинс официально вступил в игру в среду.Тайт-энд / атакующий лайнмен ростом 6 футов 5 дюймов и весом 360 фунтов, он играл в сезонах 2018 и 2019 годов за франшизу Albany AFL и воссоединился с бывшими товарищами по команде Томми Грейди, Малачи Джонсом, Шоном Локеттом и Гарольдом Брантли.

«Победа в чемпионате была золотой, — сказал Раффинс после своей первой тренировки. — Многим людям нравится кататься на закате, но в моей голове я хотел защитить свой титул в 2020 году. Что случилось с лигой и COVID? , мы не смогли сыграть.У меня все еще был зуд от желания пойти и просто закончить все как следует ».

Руффинс получит такую ​​возможность начиная с субботы вечером, когда Империя примет у себя Полет Джерси. Он был подписан во вторник после того, как Олбани выпустил защитника Деррика Росса.

Как часть наиболее результативного нападения NAL, Руффинс будет скользить в узкую щель. Полузащитник нападения Брэкин Смит возьмет на себя роль защитника.

«Я не могу просто сидеть без дела, толстеть и лениться», — сказал Раффинс.«Я постоянно занимаюсь спортом и хожу в спортзал. Футбольная форма — это немного другая форма, но я был в достаточно хорошей форме, чтобы выходить сюда, бегать и не уставать. Я чувствую себя хорошо. Я готов идти.»

«Мо хотел играть, — сказал тренер Том Менас. — Потребовалось время (чтобы подписать его). У каждого свои сроки, и я очень рад, что он у нас есть. Он непревзойденный профессионал. Мы были очень хороши. Он делает нас лучше ».

Раффинс, 37 лет, играл коллегиально в Технологическом университете Луизианы и играл с 10 командами в закрытых помещениях с момента своего профессионального дебюта в 2006 году.

«Я здесь с сезона 2018», — сказал Раффинс, посетивший последнюю домашнюю игру Империи 12 июня против Каролины. «Отличное сообщество. Хорошая возможность вернуться и получить титул. Очевидно, Томми был моим парнем, Малачи — моим парнем. Я какое-то время выступал против Дариуса (принца), он мой парень. Мне нравится дух товарищества, был немного скучаю по игре и имею возможность сделать что-то великое.Парни уже начали что-то великое с этого перезапуска новой франшизы, поэтому я прихожу сюда и пытаюсь внести свой вклад в то, что они уже делают.«

Несмотря на то, что в каждом из своих предыдущих сезонов в Олбани он ловил только один пас, Раффинс сказал, что он готов стать одним из игроков в нападении, в котором уже есть три лучших принимающих в лиге — Джонс, Принс и Филип Барнетт.

«Никакого неуважения к моим ребятам, уже здесь, — сказал Раффинс со смехом, — но они немного больше похожи на традиционных нападающих лайнменов. Я, как спортсмен D-line и O-line, я знаю, что это было частью разговоры о желании вернуть меня, просто добавив еще одной динамики к нашему нападению и возможности поймать мяч, чтобы помочь нападению.Поскольку мы с Томми вместе уже пять лет, он знает, на что я способен «.

За девять лет карьеры в AFL Раффинс накопил 66 приемов, 636 ярдов и 22 приземления, но его причины для возвращения гораздо шире.

«Я знаю, что осталось не так много игр, — сказал он, — но я хочу попытаться прийти сюда и избавиться от этого зуда, закончить так, как я хотел закончить и просто не имел возможности защищаться. Просто приехать сюда с моими парнями и попытаться это сделать — определенно мотивация для меня вернуться.«

Эпидемия ожирения и диабета

Tex Heart Inst J. 2011; 38 (2): 142–144.

Тенденции и методы лечения

Стефани А. Коултер, доктор медицины, редактор отдела

От: Медицинский колледж Бейлора, Хьюстон, Техас 77030

Авторские права © 2011 Texas Heart® Institute, Хьюстон Эта статья цитируется в других статьях в ЧВК.

Сердечно-сосудистые заболевания остаются основной причиной смерти женщин. И ожирение, и сахарный диабет являются важными независимыми факторами риска развития сердечно-сосудистых заболеваний.Ожирение — ведущий фактор риска диабета 2 типа. Центры по контролю и профилактике заболеваний сообщают, что 32% белых и 53% черных женщин страдают ожирением. У женщин с индексом массы тела (ИМТ) 30 кг / м 2 риск развития диабета в 28 раз выше, чем у женщин с нормальным весом. Риск диабета в 93 раза выше, если ИМТ составляет 35 кг / м 2 . 1 Наличие диабета может увеличить риск сердечных заболеваний у женщины в 2 раза. Кроме того, наличие диабета затмевает защитные эффекты пременопаузального состояния.В 2007 году 11,5 миллиона всех женщин старше 20 лет (10,2%) страдали диабетом, а показатели были немного выше в группах этнических меньшинств: 10,4% у испаноязычных женщин и 11,8% у неиспаноязычных чернокожих женщин. 2 Национальные показатели распространенности диабета увеличивались параллельно с показателями ожирения ().

Рис. 1 Процент взрослых США с поправкой на возраст, страдающих ожирением или имевших диагноз сахарного диабета.

ИМТ = индекс массы тела

Скрининг

Скрининг на ожирение и диабет — это первый шаг к лечению, часто выявляющий людей, которые подвержены риску, но еще не имеют явных заболеваний.Целевая группа профилактических служб США (USPSTF) рекомендует обследовать всех взрослых на предмет ожирения. Ожирение означает избыток жировой ткани. Самый распространенный метод скрининга — определение ИМТ. ИМТ — это вес в килограммах, разделенный на рост в метрах в квадрате (ИМТ = кг / м 2 ) (). Большинство электронных медицинских карт автоматически рассчитывают ИМТ, если вводятся рост и вес. Также существует множество приложений для смартфонов и онлайн-калькуляторов, которые могут рассчитывать ИМТ (например, http: // www.nhlbisupport.com/bmi). Другие инструменты скрининга включают окружность талии и соотношение талии к бедрам. У женщин окружность талии> 35 дюймов (88 см) или соотношение талии к бедрам> 0,7 указывает на избыток висцерального жира и повышенный риск заболевания.

ТАБЛИЦА I. Индекс массы тела (ИМТ) Классификация

Рекомендации по скринингу на диабет зависят от автора руководства. USPSTF рекомендует проводить скрининг бессимптомных пациентов с артериальным давлением> 135/80 мм рт.Американская диабетическая ассоциация (ADA) рекомендует ежегодно обследовать людей в возрасте ≥18 лет с ИМТ ≥25 кг / м 2 и 1 дополнительным фактором риска диабета (). 3 Лица старше 45 лет без факторов риска должны проходить обследование каждые 3 года. В январе 2010 года ADA выпустила новые рекомендации по использованию гемоглобина A1C в качестве инструмента скрининга. A1C более 6,5% указывает на диабет. Кроме того, результаты скрининговых тестов на диабет позволяют выявить людей с «преддиабетом», у которых заметно повышенный риск развития явного заболевания. 3

ТАБЛИЦА II. Рекомендации Американской диабетической ассоциации по скринингу на диабет 2 типа 3

Немедикаментозное лечение

Образ жизни Варианты лечения сахарного диабета и избыточного веса схожи, и 2 недавних исследования 4,5 продемонстрировали важнейшие компоненты для лечения преддиабета и диабета путем снижения веса с использованием ограничения калорийности и физических нагрузок. деятельность.Первым исследованием была Программа профилактики диабета. 4 Целью исследования было выявить людей, которые были подвержены риску развития диабета из-за повышенного уровня глюкозы в плазме натощак или нарушения толерантности к глюкозе, которые еще не входили в диагностический диапазон, чтобы определить, является ли метформин или интенсивное вмешательство в образ жизни может отсрочить или предотвратить возникновение диабета. Более 3000 человек с преддиабетом были рандомизированы для получения плацебо, метформина или 16-сеансовой программы изменения образа жизни.Программа интенсивного образа жизни поставила цель потерять 7% веса и умеренную физическую активность в 150 минут в неделю. Пятьдесят процентов группы изменения образа жизни потеряли 7% веса своего тела. 3-летняя заболеваемость диабетом в группе метформина была на 31% ниже, чем в группе плацебо. Заболеваемость была на 58% ниже в группе, придерживавшейся образа жизни, чем в группе плацебо. 4 Клиническое значение этого исследования состоит в том, что мы должны 1) идентифицировать людей с предиабетом и 2) рекомендовать изменения образа жизни, которые приведут к потере веса на 7% и включают 150 минут в неделю умеренной физической активности.

Второе исследование, посвященное лечению диабета и ожирения, связанного с образом жизни, — это исследование Look AHEAD. Целью исследования было определить влияние преднамеренной потери веса на факторы риска сердечно-сосудистых заболеваний у лиц с диабетом. Около 5100 человек с диабетом 2 типа и повышенным ИМТ были рандомизированы. Условия исследования предусматривали интенсивное вмешательство в образ жизни с 36 сеансами с возможностью использования частичной замены еды для ограничения калорийности или 4 сеанса стандартной поддержки и обучения диабету (DSE).Через 1 год 55% участников группы интенсивного образа жизни потеряли 7% веса. Гемоглобин A1C, систолическое и диастолическое артериальное давление и липиды значительно улучшились в группе интенсивного образа жизни, чем в группе DSE. 5 Клиническое значение этого исследования состоит в том, что преднамеренная потеря веса не менее 7% может улучшить профиль риска сердечно-сосудистых заболеваний у пациентов с диабетом 2 типа.

Выводы

Избыточный вес затрагивает две трети взрослого населения США и увеличивает риск сердечно-сосудистых заболеваний и диабета.Все пациенты должны пройти обследование на ожирение, а большинство — на преддиабет и диабет. Лучшее лечение диабета — это профилактика. Профилактика диабета может быть достигнута путем снижения веса на 7% с помощью интенсивных вмешательств в образ жизни, которые включают снижение калорийности и ежедневную умеренную физическую активность примерно на 30 минут. Практикующие вскоре получат доступ к этим программам, основанным на фактических данных. Центры по контролю и профилактике заболеваний продвигают программы профилактики диабета на уровне общин по всей стране.

Сноски

Адрес для перепечатки: Энн Смит Барнс, доктор медицины, магистр здравоохранения, факультет медицины, Медицинский колледж Бейлора, One Baylor Plaza, MS 285, Хьюстон, Техас 77030. Эл. Почта: ude.mcb@htim

Представлен на симпозиуме «Риск, диагностика и лечение сердечно-сосудистых заболеваний у женщин»; Аудитория Дентона А. Кули, Техасский институт сердца, Хьюстон; 11 сентября 2010г.

Ссылки

1.Colditz GA, Willett WC, Rotnitzky A, Manson JE. Увеличение веса как фактор риска клинического сахарного диабета у женщин. Ann Intern Med, 1995; 122 (7): 481–6. [PubMed] 3. Американская диабетическая ассоциация. Стандарты медицинской помощи при сахарном диабете – 2010. Уход за диабетом 2010; 33 Приложение 1: S11–61. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] 4. Ноулер WC, Барретт-Коннор Э., Фаулер С.Е., Хамман Р.Ф., Лачин Дж.М., Уокер Э.А. и др. Снижение заболеваемости диабетом 2 типа с помощью изменения образа жизни или метформина.N Engl J Med 2002; 346 (6): 393–403. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] 5. Look AHEAD Research Group, Pi-Sunyer X, Blackburn G, Brancati FL, Bray GA, Bright R, et al. Снижение веса и факторов риска сердечно-сосудистых заболеваний у лиц с диабетом 2 типа: результаты исследования look AHEAD за год. Уход за диабетом 2007; 30 (6): 1374–83. [Бесплатная статья PMC] [PubMed]

Национальное исследование структуры человеческой деятельности (NHAPS): ресурс для оценки воздействия загрязнителей окружающей среды

  • 1

    Адэйр Дж. Х. и Шпенглер Дж. Д. Оценка временной активности и воздействия: опыт качества воздуха внутри помещений в шести городах. Документ № 89-100.5. Представлено на 82-м ежегодном собрании и выставке Ассоциации по обращению с воздухом и отходами, Анахайм, Калифорния (1989)

  • 2

    Akland GG Hartwell TD Johnson TR и Whitmore RW, Измерение воздействия окиси углерода на человека в Вашингтоне, округ Колумбия, и Денвер, штат Колорадо, зимой 1982–1983 гг. Environ Sci Technol (1985) 19 : 911–918

    CAS Статья Google Scholar

  • 3

    Бехар Дж. В. Бланкато Дж. Н. Пандиан, доктор медицины и Томас Дж., Моделирование воздействия / дозы бензола на человека В: Nagda N.Л. (ред.), Моделирование качества воздуха в помещении и воздействия на него, STP 1205 ASTM, Филадельфия, Пенсильвания, 1993

  • 4

    Департамент здравоохранения Калифорнии, Обследование поведенческих факторов риска в Калифорнии, 1996–97 обновления. Сакраменто, Калифорния, (1998)

  • 5

    Чапин Ф.С. Jr, Модели человеческой деятельности в городе: вещи, которые люди делают во времени и пространстве John Wiley and Sons, New York, 1974

    Google Scholar

  • 6

    Cochran WG, Sampling Techniques 3rd edn.John Wiley and Sons, Нью-Йорк, 1977

    Google Scholar

  • 7

    Converse PE, Бюджеты времени. В: Силлс Д. (ред.), Международная энциклопедия социальных наук, Vol. 16 Macmillan and the Free Press, Нью-Йорк, 1968

  • 8

    Дуан Н. Типы микросреды: модель воздействия на человека загрязненного воздуха. Environ Int (1982) 8 : 305–309

    CAS Статья Google Scholar

  • 9

    Фриман Н., Уолдман Дж. И Лиой П. Оценка ежедневного дневника, предназначенного для определения источников воздействия. Документ № 89-100.2. Представлено на 82-м ежегодном собрании и выставке Ассоциации по управлению атмосферным воздухом и отходами, Анахайм, Калифорния, (1989)

  • 10

    Fugas M, Оценка общего воздействия загрязнения воздуха В: Материалы Международной конференции по экологическому зондированию и оценке , Документ № 38-5, Том. 2, IEEE № 75-Ch2004-1. ICESA, Лас-Вегас, Невада, 1975

  • 11

    Glen G, Подробная информация о модели воздействия HAPEM-MS2. Отчет для ManTech Environmental Technology.Research Triangle Park, NC (1994)

  • 12

    Glen G и Shadwick D, Заключительный технический отчет по анализу воздействия окиси углерода в четырнадцати городах с использованием HAPEM-MS3. Отчет для ManTech Environmental Technology, Research Triangle Park, NC (1998)

  • 13

    Glen G, Lakkadi Y, Tippett JA и del Valle-Torres M, Разработка NERL / CHAD: национальной лаборатории исследований воздействия Consolidated Human База данных активности. Отчет для ManTech Environmental Technology, Research Triangle Park, NC (1997)

  • 14

    Ihaka R и Gentleman R, R: язык для анализа данных и графики. J. Comput. Графическая статистика. (1996) 5 : 299–314

    Google Scholar

  • 15

    Дженкинс П.Л., Филлипс Т.Дж., Малберг Э.Дж. и Хуэй С.П., Образцы активности жителей Калифорнии: использование и близость к источникам загрязнителей внутри помещений. Atmos. Environ (1992) 26A : 2141–2148

    CAS Статья Google Scholar

  • 16

    Johnson T, Исследование личного воздействия окиси углерода в Денвере, Колорадо, EPA-600 / 4-84-014, NTIS PB-84-146125.Агентство по охране окружающей среды США, Research Triangle Park, NC (1983)

  • 17

    Джонсон Т., Кейпел Дж. И Маккой М., Оценка воздействия озона на городских жителей с использованием вероятностной версии NEM и данных о населении за 1990 год. Report for International Technology Air Quality Services, Дарем, Северная Каролина (1996a)

  • 18

    Джонсон Т., Кейпел Дж., Маккой М. и Варнаш Дж., Оценка воздействия озона на рабочих на открытом воздухе в девяти городских районах с использованием вероятностной версии NEM. Report for International Technology Air Quality Services, Durham, NC (1996b)

  • 19

    Klepeis NE, Введение в подход к оценке косвенного воздействия: моделирование воздействия на человека с использованием измерений микросреды и недавнего Национального исследования характера человеческой деятельности. Environ Health Perspect (1999) 107 (приложение 2): 365–374

    PubMed PubMed Central Google Scholar

  • 20

    Клепейс Н. Е. Отт В. Свитцер П. и Робинсон Дж. П., Модель общего воздействия на человека (ИМ) вдыхаемых взвешенных частиц (RSP). Документ № A261. Представлено на 87-м ежегодном собрании Ассоциации по обращению с воздухом и отходами, Цинциннати, Огайо, (1994)

  • 21

    Klepeis NE Tsang AM and Behar JV, Анализ респондентов Национального исследования структуры человеческой деятельности (NHAPS) с точки зрения оценка воздействия. Заключительный отчет EPA, EPA / 600 / R-96/074. Вашингтон, округ Колумбия, (1996)

  • 22

    Лебовиц, доктор медицины, Quackenboss, JJ Soczek ML, Колландер М. и Коломе, С.Д., Новый стандартный вопросник по инвентаризации окружающей среды для оценки концентраций внутри помещений. J Ассоциация по борьбе с загрязнением воздуха (1989) 39 : 1411–1419

    CAS Google Scholar

  • 23

    Пиявка Дж. А. Уилби К., МакМаллен Э и Лапорт К., Канадское исследование структуры человеческой деятельности: отчет об обследованных методах и популяции. Хронический диск (1996) 17 (3–4): 118–123

    CAS PubMed Google Scholar

  • 24

    Пиявка Дж. А. Уилби К. и МакМаллен Э., Образцы воздействия табачного дыма в окружающей среде: поданализ канадского обследования моделей времени и активности. Can J Public Health (1999) 90 (4): 244–249

    CAS PubMed Google Scholar

  • 25

    Лихтенштейн С. Рот HD и Уокер П. Обзор моделей активности астматиков. Документ № 89-100.1. Представлено на 82-м ежегодном собрании и выставке Ассоциации управления воздухом и отходами, Анахайм, Калифорния (1989)

  • 26

    Лундберг Г.А. Комаровский М. и Макинерни М.А., Досуг: исследование пригородов Columbia University Press, Нью-Йорк, 1934

    Google Scholar

  • 27

    Макинтош Д.Л. Сюэ Дж. Озкайнак Х. Шпенглер Д.Д. и Райан П.Б. Модель воздействия бензола на популяцию. J Expos Anal Environ Epidemiol (1995) 5 : 375–403

    CAS Google Scholar

  • 28

    McCormick TC, Количественный анализ и сравнение живых культур. Am Sociol Rev (1939) 4 : 463–474

    Статья Google Scholar

  • 29

    Маккарди, Т., Оценка воздействия на человека отдельных загрязнителей автотранспортных средств с использованием моделей серии NEM: уроки, которые необходимо извлечь. J Expos Anal Environ Epidemiol (1995) 5 : 533–550

    CAS Google Scholar

  • 30

    Маккарди Т. Деятельность человека, которая может привести к получению высоких доз вдыхания у детей в возрасте 6–13 лет. Environ Toxicol Pharmacol (1997) 4 : 251–260

    CAS Статья Google Scholar

  • 31

    Маккарди Т., Глен Дж., Смит Л. и Лаккади Ю., Сводная база данных о человеческой деятельности национальной лаборатории по изучению воздействия. J Expos Anal Environ Epidemiol (2000) 10 (6): 566–578

    CAS Статья Google Scholar

  • 32

    Майкельсон В. Бюджет времени на экологические исследования: некоторые вводные соображения В: Preiser W.F.E. (Ред.), Исследование дизайна окружающей среды: Vol. 11. Симпозиумы и семинары. 4-я Международная конференция EDRA, Дауден, Хатчинсон, Росс, Страудсбург, Пенсильвания, 1973

  • 33

    Миллер С.Л. Бранофф С. Лим И Лю Д. Ван Лой, доктор медицины и Назарофф В.В., Оценка воздействия токсичных веществ в атмосферу, вызванных табачным дымом в окружающей среде. Заключительный отчет, контракт № 94-344, Калифорнийский совет по воздушным ресурсам, Сакраменто, Калифорния (1998a)

  • 34

    Миллер С.Л. Бранофф С. и Назаров В.В., Воздействие токсичных загрязнителей воздуха в табачном дыме в окружающей среде: оценка для Калифорнии, основанная на данных личного мониторинга. J Expos Anal Environ Epidemiol (1998b) 8 (3): 287–311

    CAS Google Scholar

  • 35

    Нельсон В.К. Отт В.Р. и Робинсон Дж. П., Национальное исследование характера человеческой деятельности (NHAPS): использование общенациональных данных о деятельности для оценки воздействия на человека. Документ № 94-WA75A.01. Представлено на 87-м ежегодном собрании A & WMA: Цинциннати, Огайо, 1994; и EPA Report, 600 / A-94/147, AREAL, Research Triangle Park, O-67 (1994)

  • 36

    Ott WR, Оценка воздействия на основе компьютерных моделей активности. J Toxicol (1984) 21 : 97–128

    CAS Google Scholar

  • 37

    Отт В.Р., Модели человеческой активности: обзор литературы для оценки времени, проведенного в помещении, на улице и в пути В: Труды конференции по планированию исследований по моделям человеческой деятельности, EPA / 600 / 4-89 / 004 .Национальная исследовательская лаборатория воздействия на окружающую среду EPA, Лас-Вегас, штат Невада, 1989, стр. 3-1–3-38

  • 38

    Отт В.Р. и Робертс Дж. У., Ежедневное воздействие токсичных загрязнителей. Sci Am (1998): февраль: 86–91

  • 39

    Отт WR Mage DT и Томас Дж., Сравнение концентраций CO в микросреде в двух городах для моделирования воздействия на человека. J Expos Anal Environ Epidemiol (1992) 2 (2): 249–267

    CAS Google Scholar

  • 40

    Отт В. Р. Свитцер П. и Робинсон Дж. П., Воздействие табачного дыма окружающей среды на жителей Калифорнии (ETS) по времени суток: компьютерная методология анализа данных о структуре активности. Отчет № 4 по обследованию характера деятельности в Калифорнии, Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния (1994)

  • 41

    Отт В. Р. Томас Дж. Маг Д. и Уоллес Л., Подтверждение моделирования деятельности человека и загрязняющих веществ Модель воздействия (SHAPE) с использованием парных дней из полевого исследования окиси углерода в Денвере, штат Колорадо. Atmos Environ (1998) 22 : 2101–2113

    Статья Google Scholar

  • 42

    Оттенсманн Дж. Р., Системы городской деятельности и время: интерпретирующий обзор литературы. Urban Studies Research Paper, Центр городских и региональных исследований, Университет Северной Каролины, Чапел-Хилл, Северная Каролина (1972)

  • 43

    Филлипс Т.Дж. Малберг Э.Дж. и Дженкинс П.Л., Модели активности взрослых и подростков Калифорнии: использование бытовой техники, методы вентиляции и заполняемость здания. Документ, представленный в Летнем исследовании 1990 г. по энергоэффективности в зданиях, Американский совет по энергоэффективной экономике (ACEEE): Vol. 4. Окружающая среда, Вашингтон, округ Колумбия, (1990)

  • 44

    Филлипс Т.Дж. Дженкинс П.Л. и Малберг Э.Дж., Дети в Калифорнии: характер деятельности и наличие источников загрязняющих веществ. Документ № 91-172.5. Представлено на 84-м ежегодном собрании и выставке Ассоциации управления воздухом и отходами, Ванкувер, Британская Колумбия, (1991)

  • 45

    Quackenboss JJ Spengler JD Kanarek MS Letz R и Duffy CP, Личное воздействие диоксида азота: связь с внутренним / внутренним / качество наружного воздуха и характер активности. Environ Sci Technol (1986) 20 : 775–783

    CAS Статья Google Scholar

  • 46

    Робинсон Дж. П., Оценка затрат времени на деятельность и местоположение на основе данных о человеческой деятельности: сравнение данных о деятельности TEAM Денвера – Вашингтона с национальными данными Калифорнии за 1987–88 годы и за 1985 год. Survey Research Center, Проект отчета, Университет Мэриленда, Колледж-Парк, Мэриленд (1991)

  • 47

    Робинсон Дж. П. и Блэр Дж., Оценка воздействия загрязняющих веществ на основе данных о структуре человеческой деятельности: национальное обследование модели микроэкологической активности. Годовой отчет , Исследовательский центр исследования, Университет Мэриленда, Колледж-Парк, Мэриленд (1995)

  • 48

    Робинсон Дж. П. и Силверс А., Измерение потенциального воздействия загрязнителей окружающей среды: время, проведенное с почвой, и время, проведенное на открытом воздухе. J Expos Anal Environ Epidemiol (2000) 10 (4): 341–354

    CAS Статья Google Scholar

  • 49

    Робинсон Дж. П. и Томас Дж. Время, проведенное на занятиях, в местах и ​​в микросредах: сравнение Калифорнии и страны. EPA / 600 / 4-91 / 006, Заключительный отчет EPA, Вашингтон, округ Колумбия (1991)

  • 50

    Робинсон JP Converse PE и Салаи А. Повседневная жизнь в двенадцати странах В: Салаи А.(Ред.), Использование времени; Повседневная активность городского и пригородного населения в двенадцати странах Мутон, Гаага, 1972, стр. 112–144

  • 51

    Робинсон Дж. П. Свитцер П. и Отт В. Курение и воздействие табачного дыма в окружающей среде (ETS) в Калифорнии: a многомерный анализ. Отчет № 1 обследования моделей активности в Калифорнии, Статистический факультет, Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния, (1993)

  • 52

    Робинсон Дж. П. Свитцер П. и Отт В., Воздействие табачного дыма из окружающей среды (ETS) среди курильщиков и курильщиков. некурящие. Отчет № 2 для исследования характера деятельности в Калифорнии, Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния (1994a)

  • 53

    Робинсон Дж. П. Свитцер П. и Отт В. Факторы микросреды, связанные с потенциальным воздействием табака на калифорнийцев. дым (ETS). Отчет № 3 обследования моделей активности в Калифорнии, Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния (1994b)

  • 54

    Робинсон Дж. П. Свитцер П. и Отт В. Р., Ежедневное воздействие табачного дыма в окружающей среде: курильщики некурящих в Калифорнии. Am J Public Health (1996) 86 (9): 1303–1305

    CAS Статья Google Scholar

  • 55

    Schwab M, Дифференциальное воздействие окиси углерода среди социально-демографических групп в Вашингтоне, округ Колумбия. Докторская диссертация, Высшая школа географии, Университет Кларка, Вустер, Массачусетс, февраль (1988)

  • 56

    Schwab M Spengler J Ryan PB Colome SD Wilson AL Becker E and Billick IH, Описание моделей активности для использования при оценке воздействия : данные личного мониторинга в Лос-Анджелесе.Документ № 89-100.4. Представлено на 82-м заседании и выставке Ассоциации управления воздухом и отходами, Анахайм, Калифорния (1989a)

  • 57

    Schwab M Spengler JD Özkaynak H и Terblanche P, Компонент времени / активности исследования здоровья округа Канава В: Материалы первого международного симпозиума по методологии оценки общего воздействия: A New Horizon EPA, Лас-Вегас, штат Невада, 1989b

  • 58

    Schwab M Colome SD Spengler JD, Райан ПБ и Биллик И.Х., Модели активности, применяемые для оценки воздействия: данные индивидуальное мониторинговое исследование в Лос-Анджелесе. J Toxicol Ind Health (1990) 6 : 537–592

    Google Scholar

  • 59

    Schwab M. Terblanche APS и Spengler JD. Уровни нагрузки, сообщаемые самими пациентами в дневниках времени / активности: применение для оценки воздействия. J Expos Anal Environ Epidemiol (1991) 1 (3): 339–356

    CAS Google Scholar

  • 60

    Шваб М., Макдермотт А. и Шпенглер Дж. Д., Использование продольных данных для понимания моделей активности детей в контексте воздействия: данные исследования здоровья округа Канава. Environ Int (1992) 18 : 173–189

    CAS Статья Google Scholar

  • 61

    Секстон К. и Райан П.Б., Оценка воздействия загрязнения воздуха на человека: методы, измерения и модели. Public Health National Academy Press, Нью-Йорк, 1988, стр. 207–238

  • 62

    Сорокин П.А. и Бергер К.В., Бюджеты времени человеческого поведения Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1939

    Google Scholar

  • 63

    Салаи А. Тенденции сравнительных исследований бюджета времени. Am Behav Sci (1966) 9 : 3–8

    Статья Google Scholar

  • 64

    Салаи А. (ред.), Использование времени: повседневная деятельность городского и пригородного населения в двенадцати странах Мутон, Гаага, 1972

    Google Scholar

  • 65

    Thomas KW Pellizzari ED Perritt RL и Nelson WC, Влияние химической чистки одежды на уровни тетрахлорэтилена в воздухе помещений, личном воздухе и дыхании для жителей нескольких домов в Нью-Джерси. J Expos Anal Environ Epidemiol (1991) 1 : 475–490

    CAS Google Scholar

  • 66

    Томас К.В. Пеллиццари, ЭД, Клейтон, Калифорния, Перритт, Р.Л. Дитц, Р.Н., Гудрич, Р.В., Нельсон, В.С. и Уоллес, Л.А., Временная изменчивость воздействия бензола на жителей нескольких домов в Нью-Джерси с прилегающими гаражами или табачный дым. J Expos Anal Environ Epidemiol (1993) 3 : 49–73

    CAS Google Scholar

  • 67

    Цанг А.М. и Клепейс Н.Э., Таблицы описательной статистики на основе подробного анализа данных Национального обследования моделей человеческой деятельности (NHAPS).Окончательный отчет EPA, EPA / 600 / R-96/148, Вашингтон, округ Колумбия (1996)

  • 68

    Министерство торговли США, Перепись населения и жилищного фонда 1990 г. Бюро переписи населения, 1992 г.

  • 69

    Министерство торговли США, Оценка населения страны и штата: с 1990 по 1994 год Бюро переписи населения, 1995 год

  • 70

    Министерство торговли США, Уровень образования в США: март 1995 года Бюро переписи населения, 1996 год

  • 71

    Уоллес Л.А., Воздействие загрязнителей окружающей среды на человека: десятилетний опыт. Clin Exp Allergy (1995) 25 (1): 4–9

    CAS Статья Google Scholar

  • 72

    Уоллес Л.А., Внутренние частицы: обзор. J Air Waste Manage Assoc (1996) 46 : 98–126

    CAS Статья Google Scholar

  • 73

    Уоллес Л.А. Пеллиццари Э.Д. Хартвелл Т.Д. Дэвис В. Майкл Л.С. и Уитмор Р.В., Влияние личной деятельности на воздействие летучих органических соединений. Environ Res (1989) 50 : 37–55

    CAS Статья Google Scholar

  • 74

    Уоллес Л.А. Нельсон В. Зигенфус Р. Пеллиццари Э. Майкл Л. и др. Исследование КОМАНДЫ Лос-Анджелеса: индивидуальное воздействие, концентрации 25 летучих органических соединений в воздухе внутри и снаружи помещений. J Expos Anal Environ Epidemiol (1991) 1 : 157–192

    CAS Google Scholar

  • 75

    Wiley J Robinson JP Piazza T Garrett K Cirksena K Cheng Y and Martin G, Модели активности жителей Калифорнии.

    • Онлайн калькулятор сочетание: Математическое Бюро. Страница 404

    alexxlab / / Разное

    Найти число сочетаний элементов множества. Онлайн калькулятор

    0
    AC +/- ÷
    7 8 9 ×
    4 5 6 —
    1 2 3 +
    0 00 , =

    Введите количество элементов множества

    Введите количество объектов в сочетании


    Как найти количество сочетании

    Количество сочетаний в комбинаторике вычисляется по формуле

    Cnm =

    n!

    (n — m)! ⋅ m!

    , где

    n – количество элементов множества,
    m – количество объектов в сочетании.

    Для сочетания не имеет значения порядок расположения элементов в сочетании.

    Например, имеется множество, состоящее из трех цветов {фиолетовый, красный, синий} сколько вариантов сочетаний, если количество цветов в каждом сочетании m= 2?

    Решение:

    C23 =

    3!

    (3 — 2)! ⋅ 2!

    = 3 варианта

    Вариант 1: фиолетовый, красный
    Вариант 2: фиолетовый, синий
    Вариант 3: красный, синий


    Вам могут также быть полезны следующие сервисы
    Калькуляторы (Комбинаторика)
    Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
    Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
    Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
    Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
    Калькулятор сложения и вычитания матриц
    Калькулятор умножения матриц
    Калькулятор транспонирование матрицы
    Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
    Калькулятор нахождения обратной матрицы
    Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
    Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
    Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
    Калькулятор сложения и вычитания векторов
    Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
    Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
    Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
    Калькулятор смешанного произведения векторов
    Калькулятор умножения вектора на число
    Калькулятор нахождения угла между векторами
    Калькулятор проверки коллинеарности векторов
    Калькулятор проверки компланарности векторов
    Калькуляторы систем счисления
    Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
    Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
    Системы счисления теория
    N2 | Двоичная система счисления
    N3 | Троичная система счисления
    N4 | Четырехичная система счисления
    N5 | Пятеричная система счисления
    N6 | Шестеричная система счисления
    N7 | Семеричная система счисления
    N8 | Восьмеричная система счисления
    N9 | Девятеричная система счисления
    N11 | Одиннадцатиричная система счисления
    N12 | Двенадцатеричная система счисления
    N13 | Тринадцатеричная система счисления
    N14 | Четырнадцатеричная система счисления
    N15 | Пятнадцатеричная система счисления
    N16 | Шестнадцатеричная система счисления
    N17 | Семнадцатеричная система счисления
    N18 | Восемнадцатеричная система счисления
    N19 | Девятнадцатеричная система счисления
    N20 | Двадцатеричная система счисления
    N21 | Двадцатиодноричная система счисления
    N22 | Двадцатидвухричная система счисления
    N23 | Двадцатитрехричная система счисления
    N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
    N25 | Двадцатипятеричная система счисления
    N26 | Двадцатишестеричная система счисления
    N27 | Двадцатисемеричная система счисления
    N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
    N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
    N30 | Тридцатиричная система счисления
    N31 | Тридцатиодноричная система счисления
    N32 | Тридцатидвухричная система счисления
    N33 | Тридцатитрехричная система счисления
    N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
    N35 | Тридцатипятиричная система счисления
    N36 | Тридцатишестиричная система счисления
    Дроби
    Калькулятор интервальных повторений
    Учим дроби наглядно
    Калькулятор сокращения дробей
    Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
    Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
    Калькулятор возведения дроби в степень
    Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
    Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
    Калькулятор сравнения дробей
    Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
    Калькуляторы (тригонометрия)
    Калькулятор синуса угла
    Калькулятор косинуса угла
    Калькулятор тангенса угла
    Калькулятор котангенса угла
    Калькулятор секанса угла
    Калькулятор косеканса угла
    Калькулятор арксинуса угла
    Калькулятор арккосинуса угла
    Калькулятор арктангенса угла
    Калькулятор арккотангенса угла
    Калькулятор арксеканса угла
    Калькулятор арккосеканса угла
    Калькулятор нахождения наименьшего угла
    Калькулятор определения вида угла
    Калькулятор смежных углов
    Калькуляторы (Теория чисел)
    Калькулятор выражений
    Калькулятор со скобками
    Калькулятор разложения числа на простые множители
    Калькулятор НОД и НОК
    Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
    Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
    Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
    Калькулятор деления числа в данном отношении
    Калькулятор процентов
    Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
    Калькулятор экспоненциальной записи чисел
    Калькулятор нахождения факториала числа
    Калькулятор нахождения логарифма числа
    Калькулятор квадратных уравнений
    Калькулятор остатка от деления
    Калькулятор корней с решением
    Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
    Калькулятор больших чисел
    Калькулятор округления числа
    Калькулятор свойств корней и степеней
    Калькулятор комплексных чисел
    Калькулятор среднего арифметического
    Калькулятор арифметической прогрессии
    Калькулятор геометрической прогрессии
    Калькулятор модуля числа
    Калькулятор абсолютной погрешности приближения
    Калькулятор абсолютной погрешности
    Калькулятор относительной погрешности
    Калькуляторы площади геометрических фигур
    Площадь квадрата
    Площадь прямоугольника
    КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
    Генератор Pdf с примерами
    Тренажёры решения примеров
    Тренажёр таблицы умножения
    Тренажер счета для дошкольников
    Тренажер счета на внимательность для дошкольников
    Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
    Тренажер решения примеров с разными действиями
    Тренажёры решения столбиком
    Тренажёр сложения столбиком
    Тренажёр вычитания столбиком
    Тренажёр умножения столбиком
    Тренажёр деления столбиком с остатком
    Калькуляторы решения столбиком
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
    Калькулятор деления столбиком с остатком
    Конвертеры величин
    Конвертер единиц длины
    Конвертер единиц скорости
    Конвертер единиц ускорения
    Цифры в текст
    Калькуляторы (физика)

    Механика

    Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
    Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
    Калькулятор вычисления времени движения
    Калькулятор времени
    Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
    Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
    Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
    Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
    Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

    Оптика

    Калькулятор отражения и преломления света

    Электричество и магнетизм

    Калькулятор Закона Ома
    Калькулятор Закона Кулона
    Калькулятор напряженности E электрического поля
    Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
    Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
    Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
    Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
    Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
    Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

    Конденсаторы

    Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькуляторы по астрономии
    Вес тела на других планетах
    Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
    Генераторы
    Генератор примеров по математике
    Генератор случайных чисел
    Генератор паролей

    Совместимость продуктов — Combinefood.ru

    Совместимость продуктов питания

    Таблица совместимости продуктов питания, где все продукты условно разделены на группы, различные сочетания оцениваются по пятибалльной системе.

    5 — Отличное сочетание продуктов
    4 — приемлемым, но не идеальным
    3 — условно-допустимые
    2 — плохие сочетания,
    1 — наиболее вредные для здоровья

        Сладкие фрукты Полук. фрукты Дыня, персик, черника Кислые фрукты Совместимые овощи Тыква, кабачки, баклажаны Цветная капуста Зеленый горошек Поми-доры Квашеная капуста Крупы, хлеб, мака-роны Карто-фель Мясо, рыба, яйца Молоко Творог жирный Сыр Просто-кваша, кефир Сухие зерно-бобовые Орехи Грибы Зелень Сало Сливо-чное масло Сливки, сметана Расти-тельное масло Сахар, варенье Мед Специи
        1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
    Сладкие фрукты 1 * 5 3 3 3 2 2 1 3 3 1 1 1 2 4 3 4 1 2 1 4 2 3 4 3 3 4 5
    Полукислые фрукты 2 5 * 4 5 3 3 2 2 3 3 1 2 1 3 5 4 5 1 3 1 4 2 3 4 4 3 4 5
    Дыня, персик, черешня 3 3 4 * 3 2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 3 2 3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 3 5
    Кислые фрукты 4 3 5 3 * 3 2 2 2 3 3 1 1 1 3 5 4 5 1 3 1 4 3 4 5 5 3 4 5
    Совместимые овощи 5 3 3 2 3 * 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5
    Тыква, кабачки, баклажаны 6 2 3 2 2 5 * 5 5 4 5 5 5 4 2 4 4 3 4 4 5 5 5 5 5 5 2 3 5
    Цветная капуста 7 2 2 2 2 5 5 * 5 5 5 4 4 3 1 2 4 2 4 3 4 5 4 4 5 5 2 3 5
    Зеленый горошек 8 1 2 1 2 5 5 5 * 5 5 3 4 3 1 2 4 2 4 3 4 5 4 4 5 5 1 2 5
    Помидоры 9 3 3 3 3 5 4 5 5 * 5 2 3 3 3 5 5 5 3 3 3 5 5 5 5 5 3 4 5
    Квашеная капуста 10 3 3 2 3 5 5 5 5 5 * 4 5 5 1 3 5 3 3 4 5 5 5 4 4 5 3 3 5
    Крупы, хлеб, макароны 11 1 1 1 1 5 5 4 3 2 4 * 3 1 1 1 2 1 3 2 4 5 5 5 4 5 1 3 5
    Картофель 12 1 2 1 1 5 5 4 4 3 5 3 * 2 2 2 3 2 2 2 5 5 5 5 4 5 1 2 5
    Мясо, рыба, яйца 13 1 1 1 1 5 4 3 3 3 5 1 2 * 1 1 2 1 1 1 3 5 5 4 3 3 1 1 5
    Молоко 14 2 3 1 3 2 2 1 1 3 1 1 2 1 * 5 3 4 1 1 1 3 2 4 4 3 2 3 5
    Творог жирный 15 4 5 3 5 5 4 2 2 5 3 1 2 1 5 * 5 5 2 2 2 5 2 4 5 2 2 3 5
    Сыр 16 3 4 2 4 5 4 4 4 5 5 2 3 2 3 5 * 5 2 2 3 5 3 5 5 4 2 2 5
    Простокваша, кефир 17 4 5 3 5 5 3 2 2 5 3 1 2 1 4 5 5 * 1 1 2 5 2 3 5 3 2 3 5
    Сухие зернобобовые 18 1 1 1 1 5 4 4 4 3 3 3 2 1 1 2 2 1 * 2 2 5 4 4 4 5 1 2 5
    Орехи 19 2 3 2 3 5 4 3 3 3 4 2 2 1 1 2 2 1 2 * 2 5 3 3 3 5 1 2 5
    Грибы 20 1 1 1 1 5 5 4 4 3 5 4 5 3 1 2 3 2 2 2 * 5 5 4 5 5 1 2 5
    Зелень 21 4 4 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 * 5 5 5 5 5 5 5
    Сало 22 2 2 2 3 5 5 4 4 5 5 5 5 5 2 2 3 2 4 3 5 5 * 3 3 4 2 3 5
    Сливочное масло 23 3 3 2 4 5 5 4 4 5 4 5 5 4 4 4 5 3 4 3 4 5 3 * 4 3 2 4 5
    Сливки, сметана 24 4 4 3 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 4 5 5 5 4 3 5 5 3 4 * 3 3 3 5
    Растительное масло 25 3 4 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 2 4 3 5 5 5 5 4 3 3 * 2 4 5
    Сахар, варенье 26 3 3 2 3 3 2 2 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 5 2 2 3 2 * 4 5
    Мед 27 4 4 3 4 5 3 3 2 4 3 3 2 1 3 3 2 3 2 2 2 5 3 4 3 4 4 * 5
    Специи 28 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 *

    Калькулятор cочетаний — количество возможных комбинаций

    Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

    Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

    Читать дальше!

    Что такое формула комбинирования?

    Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

    nCr = n! / р! (н-р)!

    Где,

    n – общее количество в наборе данных

    r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

    Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

    Формула сочетания с повторением:

    Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

    nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

    Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

    Образ

    Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

    Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

    Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

    Проведите по!

    Пример:

    Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

    Решение:

    Комбинированное уравнение:

    nCr = n! / р! (н-р)!

    Вот,

    Общее количество студентов (n) = 30

    Выбранные ученики (r) = 4

    Так,

    30C4 = 30! / 4! (30-4)!

    30C4 = 30! / 4! (26)!

    30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

    30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

    30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

    30C4 = 657720/24

    30C4 = 27405 Возможные команды

    Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

    Комбинации и перестановки:

    В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

    Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

    Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

    Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

    Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

    Входы:

    • Прежде всего, выберите имя элементов набора данных из раскрывающегося списка этого инструмента.
    • Затем введите общее количество элементов в предназначенное для этого поле.
    • Затем введите, сколько элементов вы хотите выбрать из общего числа элементов.
    • Затем вам нужно выбрать, что вы хотите создать, из раскрывающегося меню. Это может быть как комбинация, так и комбинация с повторением.
    • Затем вставьте значения элементов в указанное поле.
    • Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

    Выходы:

    Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

    • Комбинация
    • Сочетание с повторением
    • Пошаговый расчет

    Заметка:

    Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

    Часто задаваемые вопросы (FAQ):

    Что означает 10 выбирают 3?

    Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

    Для чего используется комбинация?

    Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

    Конечное примечание:

    К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

    Other Languages: Combination Calculator, Kombinasyon Hesaplama, Kalkulator Kombinacji, Kalkulator Kombinasi, Kombinatorik Rechner, 組み合わせ 計算, 조합 계산기, Kombinace Kalkulačka, Calculadora De Combinações, Calcul Combinaison, Calculadora De Combinaciones, Calcolo Combinatorio, Yhdistelmää Laskin, Kombinations Beregner, Kombinatorikk Kalkulator.

    Матрица судьбы с расшифровкой. Калькулятор Матрицы Судьбы. Совместимость по Матрице судьбы.

    Предназначение. • Автоматический расчет Матрицы судьбы с подробной расшифровкой! : Матрица судьбы

    Рассчитать матрицу онлайн

    Рассчитать совместимость

    Рассчитать детскую матрицу

    Без знаний о совокупности талантов и данных, дарованных нам при рождении жизнь похожа на заблудившийся в открытом море корабль. Метод Матрица судьбы по дате рождения, словно маяк, который указывает путь нуждающемуся страннику, помогает найти предназначение в жизни и узнать свою Судьбу . А совместимость по Матрице судьбы поможет найти идеального партнера и избежать трудностей в отношениях.

    Главное о методе Матрица Судьбы

    Наша команда, разработала уникальный сервис – автоматический расчет метода Матрица Судьбы и подробной расшифровкой по каждой дате. Такого ты не встретишь нигде. Мы сделали это, чтобы каждый смог рассчитать и расшифровать свою матрицу. Также мы подготовили пошаговое руководство по составлению матрицы самостоятельно. А наш умный калькулятор Матрицы Судьбы наглядно покажет, какие энергии в описании. Так как при нажатии на определённый раздел в диаграмме подсвечиваются только энергии этого раздела.

    Это – наше предназначение, распространить эту ценнейшую информацию и помочь людям найти ответы на свои вопросы и найти главное предназначение человека в мире.

    Метод называют по-разному: “Матрица судьбы”, “Метод 22 Арканов”, “Диагностика Предназначения”.
    Это система самопознания, основанная на астрологии, нумерологии, таро и других методиках развития личности. С его помощью по дате рождения, можно найти решения проблем, мучающих людей годами, узнать предназначение в обществе и главное – Высшее Предназначение человека!

    А совместимость по Матрице Судьбы поможет понять своего партнера и улучшить ваши отношения. А если его ещё нет, сделать правильный выбор.

    Мы постарались донести до тебя методику карт судьбы максимально просто, вложили множество знаний, трудов и конечно свой опыт. От тебя требуется лишь позволить нам поделиться с тобой нашими знаниями и применять их для своего наилучшего будущего.

    И мы точно знаем, что каждый человек уникален. Узнай именно свой путь с методикой «Матрица судьбы». А совместимость по Матрице судьбы поможет найти своего партнера и избежать трудностей с взаимопониманием.

    Узнать свой путь

    Блог

    Смотреть все статьи

    Матрица необходима тебе, если ты:

    Не чувствуешь
    уверенности в себе

    Считаешь, что достоин
    лучшей жизни

    Ощущаешь, что сбился с пути
    и ищешь жизненный ориентир

    Ищешь свое
    предназначение

    Забыл, как
    радоваться жизни

    Хочешь раскрыть свой потенциал
    и открыть в себе таланты

    Знаешь, какой жизнью хочешь жить, но не знаешь, как этого достигнуть

    Хочешь начать новую
    успешную карьеру

    Получаемые возможности

    Зная расшифровку своей Матрицы Судьбы ты сможешь применять эти методы в жизни и менять ее к лучшему, день за днём. Совместимость по Матрице судьбы поможет выстроить гармоничные и счастливые отношения.

    А наш умный калькулятор Матрицы Судьбы покажет все энергии в соответсвии с разделом,

    • Финансовое благополучие

      Достигнешь улучшения финансовой стороны жизни.

    • Улучшение здоровья

      Поймешь причины проблем со здоровьем и как их решить .

    • Гармония в отношениях

      Гармонизируешь отношения со второй половинкой или узнаешь образ подходящего партнера, если пока еще его нет, наладишь отношения с родными.

    • Новые таланты

      Раскроешь свои таланты, поможешь раскрыть потенциал своим детям и правильно их направишь.

    • Понимание окружающих

      Поймешь почему окружающие ведут себя именно так.

    • Предназначение

      Найдешь свое предназначение, добавишь в жизнь красок и наполнишь смыслом каждый день.

    • Помощь близким

      Получишь рабочий инструмент помощи другим людям в поисках ответов на их вопросы.

    • Самореализация

      Появится возможность самореализации и работать удаленно.

    Узнай своё предназначение


    и помогай другим

    Инвестируй время в изучение метода Матрица Судьбы  и зарабатывай. Средняя стоимость одной консультации от 1500 ₽ до 7000 ₽. Быть консультантом по поиску предназначения – востребованная и прибыльная профессия. Множество людей озадачены поиском себя и у тебя есть шанс им помочь. Это возможность сделать свою жизнь успешнее и жить более качественно, занимаясь, любимым делом и помогая другим людям. Наш умный калькулятор Матрицы судьбы, расшифровка всех разделов и совместимость по Матрице судьбы помогут в твоем новом успешном занятии.

    Ты сможешь зарабатывать из любой точки мира более 70000 ₽ в месяц, для этого понадобится лишь интернет. Стоимость обучения окупается буквально за несколько консультаций.

    Получить методику

    Практика и рекомендации по


    разбору матриц

    Для того, чтобы тебе было легче начать развиваться в новой профессии, мы составили рекомендации по привлечению клиентов и ведению консультаций.

    Мы предлагаем:

    Руководство, обучающее основным расчетам и расшифровке матрицы судьбы

    Описание 22 энергий, лежащих в
    основе метода

    Сертификат консультанта
    по методу Матрица Судьбы

    Наша личная разработка, аналогов которой нет в мире – функция автоматический расчет матрицы и расшифровка с подробным описанием всех ее составляющих и умный калькулятор матрицы судьбы:

    • Личные качества
    • Деньги
    • Отношения
    • Предназначение
    • Сексуальность
    • Программы
    • Рекомендации по здоровью
    • Описание прошлой жизни и уроки в этой
    • Прогноз на год
    • Отношения с родителями и детьми
    • Руководство по жизни
    • Расчёт совместимости

    Посмотреть как работает

    расчет матрицы

    Так же ты получишь:

    Круглосуточный доступ к материалам из
    любого уголка планеты

    Можно начать изучение
    прямо сейчас

    Секретный чат консультантов,
    где есть ответы на все вопросы

    • Мы гарантируем точность расчётов, так как они автоматизированы. Исключён человеческий фактор.
    • Все необходимые файлы у тебя будут всегда под рукой — это удобно как для консультантов, так и для тех, кто изучает метод для себя.

    Подбор цветов и генерация цветовых схем

    Монохроматическая модель. Эта цветовая схема основана на одном оттенке цвета, и использует вариации, сделанные только лишь изменением насыщенности и яркости.

    Результат комфортен для глаз, даже при использовании агрессивных цветов. Вместе с тем, труднее найти диакритические знаки и основные факты.

    Также монохроматические вариации сделаны для каждого цвета в других схемах.

    Комплементарная (контрастная) модель. Основной цвет дополнен его комплементом (цвета на противоположной стороне цветового круга). Создается один холодный и один теплый цвет — вы должны рассмотреть, какой из них будет доминирующим, и должен ли дизайн выглядеть холодным, или теплым.

    Не следует злоупотреблять контрастными цветами в дизайне, используйте их только как цветовой акцент.

    Модель цветовой триады (мягкий контраст). Основной цвет дополнен двумя цветами, помещенными тождественно по обе стороны его комплемента. В отличие от «острого» контраста, эта цветовая схема зачастую является более комфортной для глаз, она мягче, и в ней больше пространства для балансировки теплых/холодных цветов.

    Триада образована тремя цветами, равномерно распределяя цветовой круг (120°). Цветовые схемы триады имеют много возможностей по сочетанию цветов, регулировке контраста, акцентов и баланса теплых/холодных цветов.

    Модель цветовой тетрады (двойной контраст). Эта цветовая схема образована парой цветов и их контрастов. Она основана на Тетраде — четверке цветов, равномерно распределенных по цветовому кругу (90°). Тетрада — очень агрессивная цветовая схема, требующая хорошего планирования и деликатный подход к отношениям этих цветов.

    Меньшая дистанция между цветами вызывает в результате меньше напряжения. Тем не менее, тетрада всегда является более «нервной» и «вызывающей», чем другие цветовые схемы. Работая с ней, вы должны заботиться о связях между одним цветом и его смежным дополнительным цветом (комплементом). В случае тетрады (угол 90°), необходимо хорошее чувство цвета и очень деликатный подход к сочетанию цветов.

    Модель аналогичных цветов. Эта цветовая схема образована основным цветом и его смежными цветами — два цвета, расположенные тождественно по обе стороны. Это всегда смотрится элегантно и четко, цветовая гамма в результате этого выглядит с меньшей напряженностью и равномерной колориметрией. Если выбран цвет на тепло-холодной границе, цвет с противоположной «температурой» может быть использован для акцентирования двух других цветов.

    Вы можете задать дистанцию смежных (вторичных) цветов, угол не должен превышать 60°.

    Модель акцентированной аналогии. Это аналогичная модель с добавлением дополнительного (контрастного) цвета. Модель должна рассматриваться как дополнение — она добавляет напряженности к цветовой палитре, и слишком агрессивна в случае злоупотребления. Вместе с тем, она может быть использована в некоторых деталях, а так же в качестве цветового акцента — порой получается очень эффективная и элегантная цветовая гамма.

    Оттенок. На этой вкладке отображается цветовой круг. Кликните по ней для регулировки оттенков основных, дополнительных, и вторичных цветов.

    Регулировка цветовой схемы. На этой вкладке можно регулировать яркость/насыщенность цвета и контраст цветовой схемы, или просто выбрать из предопределенных настроек.

    Информация о цветовой схеме. Кликните по этой вкладке для отображения значений цветов фактической цветовой схемы, а так же для экспорта их в различные форматы данных.

    Оттенок основного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

    Оттенок дополнительного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

    Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

    Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

    Значение оттенка основного цвета. Кликните для ввода числового значения.

    Угол/дистанция оттенка вторичных цветов. Кликните для ввода числового значения. Имеет смысл только в цветовых схемах, использующих вторичные цвета.

    Значение RGB основного цвета. Кликните для ввода числового значения.

    Будьте осторожны: из-за ошибки округления во время преобразования, значение RGB, используемое в цветовой схеме, может немного отличаться от введенного значения.

    Значения RGB основного цвета.

    Пресеты цветовых схем. Кликните и выберите предопределенные комбинации яркости, насыщенности и контрастности цветовой схемы.

    Яркость и Насыщенность. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки яркости (вверх = светлее, вниз = темнее) и насыщенности (вправо = насыщенное, влево = разбавленное).

    Контрастность цветовой схемы. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки контрастности вариантов цвета в схеме (вверх/вниз для темного варианта, влево/вправо для светлого варианта).

    Контрастность цветовой схемы. Панель для регулировки яркости и насыщенности сразу всех вариантов схемы.

    Коррекция Вариантов. Панель для регулировки яркости и насыщенности по отдельности для каждого цвета.

    Список вариантов цвета. Выберите вариант цвета, а затем отрегулируйте его насыщенность и яркость при помощи ползунка на левом квадрате.

    Схема палитры. Представлены четыре основных цвета, для легкого составления впечатления о схеме.

    URL адрес цветовой схемы. Для каждой схемы существует уникальный ID. Вы можете сохранить эту ссылку в закладки, и вернуться к редактированию своей цветовой схемы в любой момент времени.

    Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

    Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

    Пример веб-страницы (светлая/позитив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

    Пример веб-страницы (темная/негатив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

    Показать пример текста. Отметьте галочку, чтобы отобразить белый, черный и серый текст в окне предварительного просмотра цветовой схемы.

    Формула количества сочетаний без повторений

    Skip to content

    Содержание:

    • 1 Определение числа сочетаний
    • 2 Найти сочетания из n по k
    • 3 Видеоролик о сочетаниях
    • 4 Полезные ссылки
    • 5 Решебник по ТВ

    Число всех сочетаний без повторений по m из n элементов обозначается .

    Буква C от французского «combinaison» («сочетание»).

    Теорема. .

    Доказательство. Каждое размещение без повторений (x1,…,xm) по m из n можно построить в 2 шага: вначале строится сочетание без повторений <x1,…,xm> по m из n, а затем – перестановка (x1,…,xm) из m элементов множества <x1,…,xm>. По правилу произведения

    Из теоремы и формул для числа размещений без повторений следуют еще 2 формулы для числа сочетаний без повторений:

    .

    .

    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

    Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 — | 7230 — или читать все.

    91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

    Отключите adBlock!
    и обновите страницу (F5)
    очень нужно

    Определение числа сочетаний

    Пусть имеется $n$ различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений). k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

    Видеоролик о сочетаниях

    Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

    Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

    Полезные ссылки

    Решебник по ТВ

    Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

    Основные формулы комбинаторики

    Задачи, в которых речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в которой рассматриваются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

    Комбинаторика – область математики, в которой рассматриваются задачи о тех или иных комбинациях объектов.

    Правило суммы

    Пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A1, A2,…An, содержащих m1, m2,…, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно

    Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?

    Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно сложить все эти способы:

    Ответ: выбрать одного студента из трех групп можно 75 способами.

    Правило произведения

    Пусть имеется . n множеств A1, A2,…An,содержащих m1, m2,,…, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества

    Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из каждой из них можно выбрать по одному студенту?

    Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Если выбираем один элемент из нескольких множеств, то применяем правило суммы.

    Если выбираем по одному элементу из нескольких множеств, то применяем правило произведения.

    Факториаломчислаn называется последовательное произведение натуральных чисел от единицы до самого числа n:

    Перестановки без повторений

    Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Перестановки — частный случай размещений.

    Пример. Сколькими способами можно расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек?

    Решение. Число способов есть число перестановок из 25 элементов, то есть:

    Ответ: расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек можно 1,55ּ10 25 способами.

    Размещения без повторений

    Различные упорядоченные подмножества по m элементов данного множества, содержащего n элементов, называются размещениями из n по m. Их число равно:

    В частности: .

    Пример. Из группы, состоящей из 25 человек, надо выбрать шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение. Так как из 25 человек выбираются 4 и порядок важен, то число способов есть число размещений из 25 по 4, то есть:

    .

    Ответ: выбрать из 25 человек шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски можно 303600 способами.

    Сочетания без повторений.

    Различные неупорядоченные подмножества по m элементов из данного множества, содержащего n элементов, называются сочетаниями из n по m. Их число равно:

    В частности, .

    Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду из пяти человек?

    Решение. Так как из 25 человек выбираются 5 и порядок не важен, то число способов есть число сочетаний из 25 по 5, то есть:

    Ответ: из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду 53130 способами.

    Рубрики

    • Без рубрики
    • Дримкаст аксессуары
    • Дримкаст игры
    • Дримкаст прохождения
    • Дримкаст эмуляторы
    • История
    • Компьютеры
    • Помощь
    • Приставки

    Adblock
    detector

    Калькулятор перестановок и комбинаций

    Перестановки , n P r = 
    6!
    (6 — 2)!
    		 = 30
    Комбинации , N C R =
    6!
    2! × (6 — 2)!
    		  =  15


    Калькулятор связанных вероятностей | Калькулятор размера выборки

    Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур. Перестановки — это определенный выбор элементов в наборе, где важен порядок расположения элементов, тогда как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок технически должен называться замком перестановки по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации любого порядка этих трех чисел будет достаточно. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но приведенный выше калькулятор рассматривает только случай без замены, также называемый без повторения. Это означает, что для приведенного выше примера с кодовым замком этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например, 3-3-3.

    Перестановки

    Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, где расположение фиксированного числа элементов r , берутся из заданного набора n . По сути, это можно назвать R-перспективами N или частичных перестановок , обозначаемым как N P R , N P R , P (N, R) , R , P (N, R) R , P (N, R) R , P (N, R) R , P . , или P(n,r) среди прочих. В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы перечисления элементов в наборе в определенном порядке, но количество вариантов выбора уменьшается каждый раз при выборе элемента, а не в таком случае, как «комбинированный» замок. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и после выбора они должны быть удалены из набора. Буквы A от до K будет представлять 11 различных членов команды:

    A B C D E F G H I J K  11 участников; A выбран капитаном

    B C D E F G H I J K   10 членов; B выбран в качестве вратаря

    Как видно, первый выбор был для A капитаном из 11 первоначальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарем, A был снят со сета перед вторым выбором вратаря B можно изготовить. Общие возможности, если бы была указана позиция каждого отдельного члена команды, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае важны только выбор капитана команды и вратаря, релевантными являются только первые два выбора, 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для расчета перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать так:

    n P r =
    нет!
    (н — р)!

    Или в данном случае специально:

    11 P 2 = 
    11!
    (11 — 2)!
    		  =  = 11 × 10 = 110

    Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытства ниже приведено уравнение: в том, что они по существу являются перестановками, в которых удалены все избыточности (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен. Комбинации, как и перестановки, обозначаются по-разному, в том числе N C R , N C R , C (N, R) , или C (N, R) или чаще всего, как просто

    . Как и в случае с перестановками, предоставленный калькулятор рассматривает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой обсуждаться не будет. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек. В отличие от случая, приведенного в примере с перестановкой, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором нападающие выбраны не имеет значения, так как они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как буквы 9От 0006 A до K , не имеет значения, будут ли A и затем B или B и затем A выбраны страйкерами в этих соответствующих порядках, важно лишь то, что они выбраны. Возможное количество договоренностей для всех n человек равно n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточности из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок) путем деления избыточности, которая в данном случае равна 2!. Опять же, это потому, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки нужно сократить на количество способов, которыми можно выбрать игроков, A , затем B или B , затем A , 2 или 2!. Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как и для перестановки, деленное на количество избыточностей, и обычно известное как биномиальный коэффициент:

    n C r =
    нет!
    р! × (п — г)!

    Или в данном случае специально:

    11 С 2 =
    11!
    2! × (11 — 2)!
    		  = 
    11!
    2! × 9!
    		  = 55

    Логично, что вариантов для комбинации меньше, чем для перестановки, поскольку избыточность убирается. Опять же для любопытных, уравнение для комбинаций с заменой приведено ниже:

    n C r =
    (г+н-1)!
    р! × (n — 1)!

    Комбинированный калькулятор (nCr) | Генератор комбинаций

    Создано Богной Шик и Домиником Черниа, кандидатом наук

    Рассмотрено Стивеном Вудингом и Джеком Боуотером

    Последнее обновление: 06 апреля 2022 г.

    Содержание:
    • Что такое комбинация? — определение комбинации
    • Как рассчитать комбинации? — формула комбинации
    • Перестановка и комбинация
    • Перестановка и комбинация с повторением. Генератор комбинаций
    • Вероятность комбинации и линейная комбинация
    • Часто задаваемые вопросы

    Этот калькулятор комбинаций (калькулятор n select k) представляет собой инструмент, который поможет вам не только определить количество комбинаций в наборе (часто обозначается как nCr), но и показывает вам каждую возможную комбинацию (перестановку) вашего набора длиной до 20 элементов. Однако будьте осторожны! Нахождение таких длинных терминов для нашего генератора комбинаций может занять даже пару секунд. Если вам интересно, сколько различных комбинаций можно составить из определенного количества элементов и размера выборки, попробуйте наш калькулятор комбинаций прямо сейчас!

    Если вы все еще не знаете, что такое комбинация, все это будет объяснено в следующей статье. Здесь вы найдете определение комбинации вместе с формулой комбинации (с повторениями и без них). Мы покажем вам, как рассчитывать комбинации и что такое линейная комбинация и вероятность комбинации. Наконец, мы поговорим об отношении между перестановкой и комбинацией. Вкратце, перестановка учитывает порядок членов и комбинация не . Вы можете найти больше информации ниже!

    Задумывались ли вы, каковы ваши шансы выиграть главный приз в лотерее? Какова вероятность выиграть второй приз? Чтобы ответить на оба и похожие вопросы, нужно использовать комбинации. У нас есть специальный инструмент, предназначенный для такого рода проблем. Наш лотерейный калькулятор не только оценивает вероятность комбинации для выигрыша в любой лотерейной игре, но также предоставляет формулу лотереи. Попытайся! Вы узнаете, насколько велики (или малы) эти числа на самом деле. Вас также может заинтересовать удобный способ записи очень длинных чисел, который называется научной нотацией. Например, 145 000 000 000 можно записать как 1,45 × 10 11 и 0,000000643 как 6,43 × 10 -7 . Разве это не проще? Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с правилами научной записи.

    Что такое комбинация? — определение комбинации

    В определении комбинации говорится, что это число способов , которыми можно выбрать r элементов из набора, содержащего n различных объектов (поэтому такие задачи часто называют «n выбрать r» проблемы). Порядок, в котором вы выбираете элементы, не важен, в отличие от перестановки (вы можете найти подробное объяснение этой проблемы в разделе перестановки и комбинации).

    Поиск каждой комбинации набора объектов является чисто математической задачей. Вас, вероятно, уже научили, скажем, как находить наибольший общий делитель (НОД) или как находить наименьшее общее кратное (НОК). Ну, а сочетание — это совсем другая история. Посмотрим, насколько это может быть сложно.

    Представьте мешок, наполненный двенадцатью шарами, каждый из которых имеет свой цвет. Вы выбираете пять шаров наугад. Сколько различных наборов шаров вы можете получить? Или, другими словами, сколько различных комбинаций вы можете получить?

    Как считать комбинации? — комбинированная формула

    Математики предлагают точное решение многих различных задач, например, как рассчитать площадь в квадратных футах или как рассчитать объем. Есть ли аналогичный подход к оценке количества комбинаций в приведенном выше примере с шарами?

    К счастью, вам не нужно записывать все возможные наборы! Как тогда считать комбинации? Вы можете использовать следующую формулу комбинаций, которая позволит вам быстро определить количество комбинаций:

    C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) ,

    где:

    • C(n,r) — количество комбинаций;
    • n – общее количество элементов в наборе; и
    • r — количество элементов, которое вы выбираете из этого набора.

    Восклицательный знак ! представляет собой факториал. Ознакомьтесь с нашим калькулятором факториала для получения дополнительной информации по этой теме. Выражение в правой части также известно как биномиальный коэффициент. Мы также используем его в нашем другом статистическом калькуляторе, называемом калькулятором биномиального распределения. Если вы посетите этот сайт, вы обнаружите некоторое сходство в вычислениях — например, в этом биномиальном калькуляторе используется наш калькулятор nCr.

    Применим это уравнение к нашей задаче с разноцветными шарами. Нам нужно определить, сколько существует различных комбинаций:

    C(12,5) = 12!/(5! * (12-5)!) = 12!/(5! * 7!) = 792 .

    Вы можете проверить результат с помощью нашего калькулятора nCr. Также перечислит все возможные комбинации ! Однако имейте в виду, что 792 различных комбинации — это уже довольно много для показа. Чтобы избежать ситуации, когда сгенерировано слишком много комбинаций, мы ограничили этот генератор комбинаций определенным максимальным количеством комбинаций (по умолчанию 2000). Вы можете изменить его в расширенный режим в любое время.

    Вы могли заметить, что согласно формуле комбинаций количество комбинаций для выбора только одного элемента равно просто n . С другой стороны, если вам нужно выбрать все элементы, есть только один способ сделать это. Давайте проверим это свойство комбинации на нашем примере. У вас есть общее количество объектов, равное n = 12 . Каждая буква, отображаемая в калькуляторе nCr, представляет собой шар определенного цвета, например, A — красный, B — желтый, C — зеленый и так далее. Если вы выберете только один элемент r = 1 сразу из этого набора, количество комбинаций будет 12 — потому что есть 12 разных шаров. Однако, если вы выберете r = 12 элементов, будет только 1 возможных комбинаций, включающих каждый шар. Попробуйте сами с помощью калькулятора n Choose r!

    К этому моменту вы, вероятно, уже знаете все, что должны знать о комбинациях и формулах комбинаций. Если вам все еще недостаточно, в следующих разделах мы напишем больше о различиях между перестановкой и комбинацией (часто ошибочно считали одно и то же ), вероятность комбинации и линейную комбинацию.

    Перестановка и комбинация

    Представьте, что у вас есть тот же мешок, наполненный разноцветными шариками, что и в примере из предыдущего раздела. Опять же, вы выбираете пять шаров наугад, но на этот раз порядок важен — имеет значение, выберете ли вы красный шар первым или третьим. Возьмем более простой пример: вы выбираете три шара с именами R (красный), B (синий), G (зеленый). Существует шесть перестановок этого набора (порядок букв определяет порядок выбранных шаров): RBG, RGB, BRG, BGR, GRB, GBR, а определение комбинации говорит, что существует только одна комбинация! Это ключевое отличие.

    По определению перестановка — это акт перестановки всех элементов набора в некоторой последовательности или порядке. Однако в литературе мы часто обобщаем это понятие и отказываемся от требования использования всех элементов данного набора. Вот что делает перестановку и комбинацию такими похожими. Этот смысл перестановки определяет количество способов, которыми вы можете выбрать и расположить n элементов из набора, содержащего n различных объектов. это называется r-перестановки n (иногда называемые вариациями). Формула перестановки выглядит следующим образом:

    P(n,r) = n!/(n-r)! .

    Разве это уравнение не похоже на формулу комбинации? Фактически, если вы знаете количество комбинаций, вы можете легко подсчитать количество перестановок:

    P(n,r) = C(n,r) * r! .

    Если вы включите расширенный режим этого калькулятора комбинаций, вы сможете найти количество перестановок.

    Вы можете задаться вопросом , когда следует использовать перестановку вместо комбинации . Ну, это зависит от того, нужно ли вам учитывать порядок или нет. Например, предположим, что у вас есть колода из девяти карт с цифрами от 1 до 9. Вы берете три случайные карты и выстраиваете их на столе, образуя трехзначное число, например, 425 или 837. Сколько различных чисел ты можешь создать?

    Р(9,3) = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 504

    Проверьте результат с помощью нашего калькулятора nCr! И сколько разных комбинаций?

    C(9,3) = 9!/(3! * (9-3)!) = 9!/(3! * 6!) = 84

    Количество комбинаций всегда меньше числа перестановок. На этот раз оно в шесть раз меньше (если умножить 84 на 3! = 6 , получится 504). Это связано с тем, что каждые три выбранные вами карты можно переставить шестью различными способами, как и в предыдущем примере с тремя цветными шарами.

    Комбинация и перестановка необходимы во многих областях обучения. Вы можете найти их в физике, статистике, финансах и, конечно же, в математике. У нас также есть другие удобные инструменты, которые можно использовать в этих областях. Попробуйте этот калькулятор журнала, который быстро вычисляет логарифм с любым основанием, которое вы хотите, и калькулятор значащих цифр, который говорит вам, что такое значащие цифры, и объясняет правила значащих цифр. Это фундаментальное знание для каждого человека с научной душой.

    Перестановка и комбинация с повторением. Генератор комбинаций

    Чтобы завершить наши рассуждения о перестановках и комбинациях, мы должны ввести аналогичную выборку, но на этот раз с разрешенными повторениями . Это означает, что каждый раз, когда вы выбираете элемент из набора n различных объектов, вы возвращаете его обратно в этот набор. В примере с разноцветными шарами вы берете из мешка один шар, запоминаете, какой вы вытащили, и кладете его обратно в мешочек. Аналогично, во втором примере с картами вы выбираете одну карту, записываете номер на этой карте и кладете ее обратно в колоду. Таким образом, у вас может быть, например, два красных шара в вашей комбинации или 228 в качестве перестановки.

    Вы, наверное, догадываетесь, что обе формулы сильно усложнятся. Тем не менее, это не так сложно, как рассчитать содержание алкоголя в вашем домашнем пиве (что, кстати, вы можете сделать с помощью нашего калькулятора ABV). На самом деле, в случае перестановки уравнение становится еще более простым. Формула для комбинации с повторением выглядит следующим образом:

    C'(n,r) = (r+n-1)!/(r! * (n-1)!) ,

    и для перестановки с повторением :

    P'(n,r) = n р .

    На картинке ниже мы представляем сводку различий между четырьмя типами выбора объекта: комбинация, комбинация с повторением, перестановка и перестановка с повторением . Это пример, в котором у вас есть четыре шара разных цветов, и вы выбираете три из них. В случае выборов с повторением вы можете выбрать один из шаров несколько раз. Если вы хотите попробовать перестановки, будьте осторожны, там будут тысячи разных наборов! Однако вы все равно можете смело подсчитать, сколько их там (перестановок в расширенный режим ).

    Вероятность комбинации и линейная комбинация

    Начнем с вероятности комбинации, которая необходима во многих статистических задачах (у нас есть калькулятор вероятностей, который все это решает). Пример, изображенный выше, должен легко объяснить это — вы выбираете три из четырех разноцветных шаров из мешка. Допустим, вы хотите узнать шансы (вероятность) того, что среди них будет красный шар. Есть четыре различных комбинации, и красный шар находится в трех из них. Тогда вероятность комбинации равна:

    Pr = 3/4 = 75% .

    Если вы вытащите из мешка три случайных шара, в 75% случаев вы вытащите красный шар. Чтобы выразить вероятность, мы обычно используем знак процента. В другом нашем калькуляторе вы можете научиться находить проценты, если вам это нужно.

    Теперь предположим, что вы выбрали один мяч, записали, какого цвета вы получили, и положили его обратно в мешок. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один красный шар? Это проблема «комбинации с повторением». На картинке выше видно, что всего имеется двадцать комбинаций, и красный шар находится в десяти из них, поэтому:

    Pr = 10/20 = 50% .

    Это для тебя сюрприз? Ну не должно быть. Когда вы возвращаете первый шар, например, синий, вы можете взять его как второй и третий мяч. Таким образом, шансы на получение красного шара снижаются . Вы можете сделать аналогичные соображения с перестановкой. Попробуйте решить задачу с мешком разноцветных шаров: какова вероятность того, что ваш первый выбранный шар красный?

    Допустим, вы нам не доверяете и хотите проверить сами. Вы вытягиваете три шара из четырех и проверяете, есть красный шар или нет (как в первом примере этого раздела). Вы повторяете этот процесс еще три раза, и вы получаете красный шар только в одном из четырех случаев — 25% случаев. Вы ожидали 75% согласно теории. что случилось? Вот как работает вероятность! Существует закон больших чисел , который описывает результат выполнения одного и того же эксперимента большое количество раз. Если вы повторите рисунок, например, сто раз, вы будете намного ближе к 75% .

    Более того, закон больших чисел почти всегда приводит к стандартному нормальному распределению, которое может описывать, например, интеллект или рост людей, с так называемым p-значение . В калькуляторе p-значения мы объясняем, как найти p-значение с помощью таблицы z-показателей. Это может показаться очень сложным, но это не так сложно!

    Вы когда-нибудь слышали о линейной комбинации? На самом деле, несмотря на то, что в нем есть слово и комбинация , оно не имеет много общего с тем, что мы узнали до сих пор. Тем не менее, мы попытаемся объяснить это кратко. Линейная комбинация — это результат умножения набора членов и 90 351 каждого члена на константу и сложения результатов 9. 0352 . Он часто используется в волновой физике для предсказания уравнения дифракционной решетки или даже в квантовой физике из-за уравнения де Бройля. Здесь вы можете увидеть некоторые распространенные примеры линейной комбинации:

    1. Векторы . Каждый вектор в 3D можно разложить на три единичных вектора e₁ = (1,0,0) , e₂ = (0,1,0) и e₃ = (0,0,1) . Например, v = (2,5,3) = 2e₁ + 5e₂ + 3e₃ , и это линейная комбинация.
    2. Функции . Допустим, у вас есть две функции f(x) = eˣ и g(x) = e⁻ˣ . Из этих двух функций вы можете создать линейные комбинации, которые описывают гиперболический синус sinh(x) = f(x)/2 - g(x)/2 или косинус cosh(x) = f(x)/2 + g (х)/2 . Вы можете сделать то же самое с нормальным синусом и косинусом, но вам нужно использовать мнимое число i . Подробнее об этом мы пишем в последнем разделе калькулятора квадратного корня.
    3. Многочлены . Например, у вас есть три многочлена p₁(x) = 1 , p₂(x) = 3x + 3 , p₃(x) = x² - x + 1 , и вы хотите выразить функцию q (x) = 2x² + x + 3 как линейная комбинация этих многочленов. Это не всегда возможно, но в данном случае q(x) = -2p₁(x) + p₂(x) + 2p₃(x) .

    Часто задаваемые вопросы

    В чем разница между перестановкой и комбинацией?

    Фундаментальное различие между комбинациями и перестановками в математике заключается в том, заботимся ли мы о порядок элементов :

    • При перестановке порядок имеет значение, поэтому мы располагаем элементы в последовательном порядке.
    • В комбинациях порядок не имеет значения, поэтому мы выбираем группу предметов из большей коллекции.

    Как рассчитать перестановки из комбинаций?

    Если у вас уже есть комбинация и вы хотите превратить ее в перестановку, вам необходимо наложить порядок на набор предметов, т. е. выбрать один из возможных порядков для вашего набора. Следовательно, число перестановок r шт. выбранных из n шт. равно количеству комбинаций r шт. выбранных из n шт. умноженному на количество заказов этих r шт. .

    Как рассчитать комбинации из перестановок?

    Если у вас уже есть перестановка и вы хотите превратить ее в комбинацию, вам нужно удалить порядок , т. е. рассматривать все возможные перестановки как один и тот же объект. Следовательно, количество комбинаций r предметов, выбранных из n предметов равно количеству перестановок r предметов, выбранных из n предметов , деленному на количество заказов этих r предметов, т.е. на r! .

    Сколькими способами можно составить слово из 7 букв?

    Если слово состоит из семи различных букв, у вас есть 7! = 5040 способов их расположения (простых перестановок семи элементов). Однако, если некоторые буквы встречаются более одного раза, количество аранжировок уменьшается! Например:

    • Если слово «WITNESS», то буква «S» встречается дважды, поэтому мы делим на 7! на 2! = 2 и результат 2520 .
    • Если слово «КТО-ТО», то буквы «О» и «Е» встречаются дважды, поэтому мы делим на 7! на 2! * 2! = 4 и результат 1260 .
    • Если слово «НЕИЗВЕСТНО», мы имеем «N» трижды, поэтому делим на 7! на 3! = 6 и результат 840 .

    Bogna Szyk и Dominik Czernia, кандидат PhD

    Набор объектов

    Общее количество объектов n

    Размер выборки R

    Число выборов

    Комбинации

    С комбинациями

    . похожие калькуляторы риска и вероятности 🎲

    Точность Теорема Байеса Парадокс дня рождения… Еще 19

    Калькулятор комбинаций (калькулятор nCr)

    Используйте этот калькулятор nCr, чтобы легко рассчитать количество комбинаций с учетом набора объектов (типов) и количества, которое вам нужно нарисовать из набора. N выберите онлайн-калькулятор K , чтобы рассчитать, сколько комбинаций с N числами возможно.

        Быстрая навигация:

    1. Что такое комбинация?
    2. Как считать комбинации?
    • Формула комбинации без повторения
    • Формула для возможных комбинаций с повторением
  • Комбинация с повторением
  • N выбрать K задач с решениями
  • N выбрать K таблица
  • Комбинации и перестановки

    •     Что такое комбинация?

    Комбинация — это способ выбрать часть коллекции или набор вещей, в которых порядок не имеет значения и именно в этих случаях вам может помочь наш калькулятор комбинаций. Например, если вы хотите новый ноутбук, новый смартфон и новый костюм, но можете позволить себе только два из них, на выбор есть три возможных комбинации: ноутбук + смартфон, смартфон + костюм и ноутбук + костюм. Порядок, в котором вы их комбинируете, не имеет значения, так как вы все равно купите два выбранных вами предмета. Комбинации часто возникают, когда вам нужно оценить количество возможных связей или группировок между вещами или людьми.

    Расчет комбинаций полезен в азартных играх , таких как лотерея, покер, бинго и других видах азартных игр или играх, в которых вам необходимо знать свой шанс на успех или неудачу (шансы), который обычно выражается как отношение между количество комбинаций в игре, которые приведут к вашему выигрышу, деленное на количество возможных комбинаций, которые приведут к вашему проигрышу.

    Например, шансы выиграть джекпот лотереи Powerball США составляют примерно 1 к 29.2 миллиона (1/292 201 338), где 292 201 338 — общее количество возможных комбинаций. Порядок розыгрышей в большинстве лотерей не имеет значения. Если мы рассмотрим пример с покером дальше: покерная рука может быть описана как комбинация из 5 карт из колоды из 52 карт. Все 5 карт в руке различны, и порядок карт в руке не имеет значения, поэтому это комбинаторная проблема. С помощью нашего калькулятора комбинаций вы можете подсчитать, что таких комбинаций возможно 2 598 960, следовательно, шанс выпадения той или иной руки равен 1/2,59. 8960.

    Вот более наглядный пример того, как работают комбинации. Допустим, вам нужно выбрать два из трех видов деятельности (задача «3 выбрать 2»): езда на велосипеде, бейсбол и теннис, возможные комбинации будут выглядеть следующим образом:

    Вычисления комбинаций играют роль в статистике, решении проблем и принятии решений. алгоритмы и другие.

        Как считать комбинации?

    Существуют две формулы для расчета количества возможных комбинаций в сценарии «n выбирают k», также известном как «n выбирают r», в зависимости от того, разрешено ли повторение выбранных элементов или нет. В обоих уравнениях «!» обозначает факториальную операцию: умножение последовательности целых чисел от 1 до этого числа. Например, факториал 4 равен 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24,

    Комбинированная формула без повторения

    для вычисления количества возможных комбинаций R Не повторные элементы из набора из N Типы из элементов

    929. Следовательно, уравнение выражает количество способов выбора r уникальных неупорядоченных результатов из n возможных объектов и часто упоминается как формула nCr.

        Формула для возможных комбинаций с повторением

    Если элементы могут повторяться в комбинации, соответствующее уравнение:

    Результатом является количество всех возможных способов выбора r неуникальных элементов из множества n элемента. В некоторых вариантах приведенных выше формул r заменяется на k без изменения их результата или интерпретации.

        Комбинации с повторением

    В некоторых случаях желательно повторение одного и того же элемента в комбинациях. Например, если вы пытаетесь придумать способы расстановки команд из набора из 20 человек, повторение невозможно, так как все уникальны, однако если вы пытаетесь выбрать 2 фрукта из набора из 3-х видов фруктов, и вы можете выберите более одного из каждого типа, тогда это проблема с повторением. Формула ее решения приведена выше, но вообще удобнее просто поставить галочку «с повторением» в нашем калькуляторе комбинаций и позволить нам сделать всю работу за вас.

        N задач на выбор K с решениями

    Часто встречающиеся задачи комбинаторики включают выбор k элементов из набора n , или так называемые задачи «n на выбор k», также известные как «n на выбор r». «. Здесь мы рассмотрим несколько и рассмотрим их решения. Все это можно проверить с помощью нашего калькулятора формулы ncr выше.

    Сколько комбинаций с N числами?

    В простейшем варианте этих задач N равно K (или R), в котором часто подразумевается, что повторение разрешено, иначе ответ всегда один. Если повторение разрешено, то ответ можно получить, решив уравнение (2·н — 1)! / (н! · (н — 1)!) . Например, если задача состоит в том, чтобы найти, сколько комбинаций возможно с 4 числами, вычислите (2 · 4 — 1)! = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 / (24 · 6) = 5040 / 144 = 35.

    3 выбрать 2

    Что если попросить определить, сколько уникальных комбинаций двух чисел возможны, если один выбирает из трех? Ответ, используя формулу ncr без повторения выше, просто: 3! / (2! · (3 — 2)!) = 3! / (2! · 1!) = 3 · 2 · 1 / (2 · 1 · 1) = 6 / 2 = 3. При 3 выберите 2 есть только 3 возможных комбинации.

    4 выбрать 2

    Что делать, если мы выбираем 2 из 4 предметов, повторение запрещено? Используя ту же формулу и заменив N и R, получим ответ 4! / (2! · (4 — 2)!) = 24 / (2! · 2!) = 24 / 4 = 6 способов выбрать два уникальных элемента из четырех.

    4 выберите 3

    Чтобы рассчитать, сколько комбинаций из трех из четырех элементов можно выбрать без повторения элемента, используйте формулу ncr и замените, чтобы получить 4! / (3! · (4 — 3)!) = 24 / (3! · 1!) = 24 / 6 = 4. Обратите внимание, что это меньше, чем если бы вы выбирали два из четырех, как в предыдущем примере.

        N таблица выбора K

    Ниже приведена таблица с решениями часто встречающихся комбинированных задач, известных как n выбрать k или n выбрать r, в зависимости от используемых обозначений. Решения даны как с повторением, так и без него.

    n выбор таблицы k
    Комбинация Комбинация без повторения Комбинация с повторением
    2 выбрать 1 2 2
    2 выбрать 2 1 3
    3 выбрать 1 3 3
    3 выбрать 2 3 6
    3 выбрать 3 1 10
    4 на выбор 1 4 4
    4 на выбор 2 6 10
    4 выбрать 3 4 20
    4 выбрать 4 1 35
    5 выбрать 1 5 5
    5 выбрать 2 10 15
    5 выбрать 3 10 35
    5 выбрать 4 5 70
    5 выбрать 5 1 126
    6 выбрать 1 6 6
    6 выбрать 2 15 21
    6 выбрать 3 20 56
    6 выбрать 4 15 126
    6 выбрать 5 6 252
    6 выбрать 6 1 462
    7 выбрать 1 7 7
    7 выбрать 2 21 28
    7 выбрать 3 35 84
    7 выбрать 4 35 210
    7 выбрать 5 21 462
    7 выбрать 6 7 924
    7 выбрать 7 1 1 716
    8 выбрать 4 70 330
    10 выбрать 4 210 715

    Для других решений просто используйте приведенный выше калькулятор nCr.

    Изучив таблицу, можно сделать вывод о трех общих правилах:

    • Правило № 1: Для комбинаций без повторений наибольшее количество возможностей существует, когда r = n / 2 (k = n/2, если использовать это обозначение). Например, при выборе из шести элементов наибольшее количество возможных комбинаций получается при r = 6 / 2 = 3 (k = 3 при использовании k вместо r).
    • Правило № 2: при повторении количество возможных комбинаций тем больше, чем ближе r к n (или k к n в этом обозначении).
    • Правило №3: без повторения, если n = r (или n = k), возможен только один розыгрыш .

        Комбинации и перестановки

    Разница между комбинациями и перестановками заключается в том, что при подсчете комбинаций нас не волнует порядок вещей, которые мы комбинируем с перестановками, порядок имеет значение. Перестановки для упорядоченных списков, а комбинации для неупорядоченных групп . Например, если вы думаете о количестве комбинаций, открывающих сейф или портфель, то на самом деле это перестановки, поскольку изменение порядка цифр или букв приведет к недействительному коду. Если, однако, вы думаете о том, сколько способов комбинировать ваши платья с туфлями или галстуки с костюмами, то порядок не имеет значения, поскольку конечный результат выбора сначала галстука, а потом костюма такой же, как выбирая сначала костюм, а потом галстук.

    Много раз в обиходе люди неправильно называют перестановки «комбинациями». Например, комбинация замков на самом деле является перестановкой. В другом примере — если вы хотите оценить, сколько вычислительных часов вам нужно для грубой силы хешированного пароля, вы рассчитываете количество перестановок, а не количество комбинаций.

    Калькулятор перестановок и комбинаций

    • вход в систему
    • регистрация
    • Домашняя страница
    • Математика
    • Finance
    • Engineering

    Рассчитайте

    Отчет об этом

    Рассчитайте

    Передача (NPR) и комбинация (NCR) Calculator 222. r\leq n` и вычисляет перестановки или комбинации ряда объектов `r`, взятых из заданного множества `n`. Это математический онлайн-инструмент, который определяет количество комбинаций и перестановок, которые получаются, когда мы выбираем «r» объектов из набора «n» объектов. Необходимо выполнить следующие шаги:

    1. Введите в поле общее количество объектов и объем выборки. Эти значения должны быть положительными целыми числами; Второй должен быть меньше первого.
    2. Нажмите кнопку » GENERATE WORK «, чтобы выполнить расчет;
    3. Калькулятор nPr и nCr покажет количество перестановок или комбинаций в наборе объектов.

    Ввод: Два положительных целых числа как общее количество объектов и размер выборки;
    Вывод: Положительное целое число как перестановка или перестановка `n` объектов, взятых `r` одновременно.

    Какова формула перестановки?

    Количество различных перестановок n объектов, взятых r за раз, определяется по формуле $$P(n,r)=n\times (n — 1)\times\ldots\times(n — (r — 1))=\frac{n!}{(n-r)!}$$

    Какова формула объединения?

    Количество различных сочетаний n объектов, взятых r за один раз, определяется по формуле $$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!\times (n-r)!}$$

    Область математики, изучающая различные возможности расположения предметов называется комбинаторикой. Например, если мы купим три разные книги в разном порядке, сколько элементов будет в соответствующем выборочном пространстве? Обозначая их $1, 2,$ и $3,$, пространство выборки равно $$\Омега =\{123 132 213 231 312 321\}$$ Что такое перестановка?
    Перестановка или, короче, nPr — это количество способов, которыми мы можем выбрать `r (r\leq n)` разных объектов из набора, содержащего `n` разных объектов, где важен порядок элементов. В нашем примере имеется $6$ возможных перестановок $3$ различных объектов. Символ $P(n, r)$ обозначает количество перестановок `n` объектов, взятых одновременно. Символ $P(n, r)$ обозначает количество перестановок `n` объектов, взятых `r` за раз.

    Что такое комбинация?
    Комбинация или короче nCr это количество способов, которыми мы можем выбрать r объектов из набора, содержащего n различных объектов, так что (в отличие от перестановок) порядок выбора не имеет значения. Символ $C(n, r)$ обозначает количество комбинаций `n` объектов, взятых `r` за раз. {th} $. Следовательно, существует $P(n,r)$ способов выбрать `r` объектов.

    Комбинация: Количество различных комбинаций «n» объектов, взятых «r» за раз, определяется отношением пошаговый расчет для нахождения количества способов, которыми мы можем выбрать $8$ различных объектов из набора, содержащего $10$ различных объектов, где важен порядок элементов. Для любых других значений общего количества объектов и размера выборки просто укажите два положительных целых числа и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор перестановок и комбинаций для создания работы, проверки результатов комбинаторики, вероятностных и статистических задач или эффективного выполнения домашних заданий.

    Краткая справочная таблица nPr и nCk

    Пользователи могут обратиться к приведенной ниже таблице для быстрой справки, чтобы проверить, каковы все перестановки и комбинации для n различных объектов, взятых r одновременно. Для проверки расчета используйте приведенный выше калькулятор nPr и nCk.

    перестановки

    95
    Объекты NPR
    2 P 10009 .0008 2 2
    3 P 1 3
    3 P 2 6
    3 P 3 6
    4 P 1 4
    4 P 2 12
    4 P 3 24
    4 P 4 24
    5 P 1 5
    5 P 2 20
    5 P 3 60
    5 P 4 120
    5 P 5 120
    6 P 1 6
    6 P 2 30
    6 P 3 120
    6 P 4 360
    6 P 5 720
    6 P 6 720

    Combinations

    0.0005 6
    n-CHOOSE-k nCk
    2 choose 1 2
    2 choose 2 1
    3 choose 1 3
    3 choose 2 3
    3 choose 3 1
    4 Выберите 1 4
    4 Выберите 2 6
    4 Выберите 3 4
    4. Выберите 4 4
    4. Выберите 4 4
    4. Выберите 4 4
    4.0005 5 Выберите 1 5
    5 Выберите 2 10
    5 Выберите 3 10
    5 Выберите 4 5
    0 5 Выбрать 4 5
    0 5. Выберите 4 5
    0 5 5
    0 5 5
    0. 6 Выберите 1 6
    6 Выберите 2 15
    6 Выберите 3 20
    6 Выберите 4 15
    6. Выберите 4 15
    6 выберите 6 1

    Пример решения nPr и nCr комбинаций C(n,r) расчет по приведенным выше формулам.

    Пример Задача 1
    Найдите количество различных перестановок nPr и комбинаций nCr коробки, содержащей 6 шаров разного цвета, взятых по 3 за раз?

    Решение
    Данные приведены
    n = 6
    r = 3

    Пошаговый расчет
    формула для нахождения перестановки nPr = n!/!
    н! = 6! = 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1
    н! = 720

    (н — г)! = 3! = 3 х 2 х 1
    (n — r)! = 6

    р! = 3! = 3 х 2 х 1
    р! = 6

    подставьте значения
    = 720/6
    nPr = 120

    формулу, чтобы найти комбинацию nCr = n!/(r!(n-r)!)
    замените приведенные выше значения
    = 720/(6 x 6)
    nCr = 20

    Пример задачи 2
    Как решить 5 выбрать 2?
    Решение:
    Даны данные
    n = 5 и r = 2
    nCr = n!/(r!(n-r)!) = 5!/(2! x 3!)
    = (4 x 5)/(1 x 2) = 10
    Следовательно, 5 выбирают 2 равно 10.

    Пример задачи 3
    Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех цифр?
    Из 4 однозначных чисел можно получить 24 различных номера.
    4 x 3 x 2 x 1 = 24

    Реальные задачи с использованием nPr и nCk

    Использование перестановок и комбинаций в математике и информатике огромно. Особенно часто они упоминаются в теории графов, вероятностях, геометрии и т. д. Дискретная математика — одна из важнейших областей компьютерных наук. Существует так много приложений к теории графов, например, Facebook использует множество концепций теории графов. nPr и nCk часто используются для решения простых вероятностных и геометрических задач. Например, сколько прямых определяется $15$ точками, из которых $4$ лежат на одной прямой? Перестановки и комбинации также полезны в банковском сейфе, дверных замках и паролях.

    Практические задачи по перестановкам и комбинациям

    Практическая задача 1 : Совет директоров некоторой компании состоит из $10$ участников. Сколькими способами они могут выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря, если одно лицо не может занимать более одной должности?

    Практическое задание 2 : В одной из школ в бюллетене для голосования за гандбольную команду указано 15$ имен. Шесть будут отобраны для формирования команды. Сколько различных команд по 6 человек можно сформировать?

    Калькулятор перестановок и комбинаций, формулы, примеры расчетов (работа с шагами), задачи из реальной жизни и практические задачи будут очень полезны учащимся начальных классов (K-12 образование) для понимания основной концепции комбинаторики. Это понятие может иметь значение во многих областях науки и реальной жизни.

    • Калькулятор факториала положительного числа (n!)
    • Калькулятор вероятности
    • Калькулятор размера выборки
    • Калькулятор среднего, медианы и моды
    • Стандартный калькулятор отклонения
    • Стандартный калькулятор отклонений. (ME) Калькулятор

    Калькулятор комбинаций (калькулятор nCr)

    Формула комбинаций

    Следующая формула для комбинаций позволяет получить комбинации из r объект из набора n объектов.

    С (п, г) = п! / (r! × (n — r)!)

    В этом уравнении

    C (n, r)  представляет количество комбинаций,

    r относится к количеству элементов чтобы выбрать из этого набора,

    n представляет общее количество элементов в наборе, а

    ! восклицательный знак относится к факториалу.

    Калькулятор возможностей также действует как калькулятор формулы комбинации, поскольку позволяет вычислять комбинации без использования формулы. Он генерирует комбинации данного набора данных напрямую.

    Калькулятор комбинаций — это онлайн-инструмент, который используется для расчета количества комбинаций r объектов с использованием набора объектов n. Он берет размер выборки r и общее количество объектов r и вычисляет комбинацию ряда объектов.

    В этом посте мы объясним, что такое комбинация, как использовать наш калькулятор комбинаций, формулу nCr и как найти комбинацию.

    Как пользоваться калькулятором комбинаций?

    Калькулятор Ncr имеет простой, но интерактивный интерфейс. Его способность рассчитывать комбинации великолепна, поэтому он позволяет вам рассчитывать комбинации за несколько секунд. Более того, он генерирует все возможные комбинации r из заданного набора н.

    Чтобы получить комбинации с использованием вашего набора объектов, выполните следующие действия:

    • Введите номер объекта n в данное поле ввода.
    • Введите количество объектов r в данное поле ввода.
    • Нажмите кнопку Вычислить , чтобы получить комбинации.
    • Вы можете в любое время сбросить настройки калькулятора, нажав кнопку Сброс .

    Вам будет очень легко получить комбинации, используя выберите калькулятор выше. Все, что вам нужно сделать, это ввести свои значения, и этот генератор комбинаций чисел сразу же покажет вам комбинации объектов.

    Калькулятор комбинаций поможет решить математические задачи в школе или колледже. Если вы работаете над какой-либо другой математической темой, вы можете ознакомиться с нашим разнообразием калькуляторов, которые помогут вам решить математические задачи. Вы можете использовать наш калькулятор экспоненциальной записи, калькулятор HCF или найти любой калькулятор, который вам нужен здесь.

    Что такое комбинация?

    Определение комбинации согласно Википедии:

    « В математике комбинация — это выбор элементов из коллекции, порядок выбора которых не имеет значения. »

    Например, даны три фрукта, скажем, банан, яблоко и апельсин. Из этого набора можно извлечь три комбинации из двух: яблоко и банан; яблоко и апельсин; или банан и апельсин.

    Давайте разберемся с этим более техническим способом.

    Комбинация представляет общее количество способов, которыми объект r может быть выбран из набора различных объектов n.

    Как рассчитать комбинацию?

    При расчете комбинаций вручную используется формула nCr. Приведенное выше уравнение комбинации можно использовать для расчета комбинации из заданных значений. Здесь мы собираемся ответить на большой вопрос: «Как рассчитать комбинацию».

    Чтобы найти комбинацию, выполните следующие действия:

    • Определите и запишите значения.
    • Запишите формулу комбинации.
    • Подставьте значения в формулу.
    • Рассчитайте комбинацию

    Пример 1 :

    Подсчитайте общее количество комбинаций ящика, содержащего 5 разных книг, если мы вытащим 2 из них сразу.

    Раствор :

    Шаг 1 : Определите и запишите значения.

    n = 5 , r = 2

    Шаг 2 : Запишите формулу сочетания.

    С (п, г) = п! / (r! × (n — r)!)

    Шаг 3 : Подставляем значения в формулу.

    С (п, г) = 5! / (2! × (5 — 2)!)

    Шаг 4 : Вычислить комбинацию нКр.

    С (п, г) = 5! / (2! × (5 — 2)!)

    C (n, r) = 120 / (2 × 3!)

    C (n, r) = 120 / (2 × 6)

    C (n, r) = 10

    Итак, из 5 книг, если вынуть две из них, есть возможность получить 10 различных комбинаций в виде пары.

    Пример из реальной жизни:

    В колледже 7  имен участвуют в опросе на вступление в футбольную команду. 3 игрока будут назначены в команду. Подсчитайте количество комбинаций 3 игроков, которые могут присоединиться к команде?

    Решение :

    Шаг 1 : Определите и запишите значения.

    n = 7 , r = 3

    Шаг 2 : Запишите формулу сочетания.

    С (п, г) = п! / (г! × (п — г)!)

    Шаг 3 : Подставьте значения в формулу.

    С (п, г) = 7! / (3! × (7 — 3)!)

    Шаг 4 : Вычислите комбинацию нCr.

    C (n, r) = 5040 / (6 × 4!)

    C (n, r) = 5040 / (6 × 24)

    C (n, 4 r) = 5040 / (6 × 24) / 144

    C (n, r) = 35

    Итак, для 7 игроков, когда мы выбираем три из них, есть возможность 35 разных комбинаций выйти вступить в команду.

    Разница между комбинацией и перестановкой?

    Разница между перестановкой и комбинацией связана с порядком появления или последовательностью объектов. Комбинация фокусируется на выборе объектов независимо от выбранного порядка. Для сравнения, перестановка зависит от последовательности появления объектов в дополнение к их порядку.

    Возьмем, к примеру, буквы A и B . Мы можем сделать две двухбуквенные перестановки с помощью этих букв: AB, и BA. AB и BA считаются разными перестановками, поскольку порядок перестановок имеет значение. Поскольку порядок для комбинации не важен, AB и BA составляют только одну комбинацию.

    Комбинации Таблица nCr

    Ниже представлена ​​таблица комбинаций, описывающая сценарий n-выбор k. Он включает в себя различные сценарии, но вы можете использовать наши n выберите калькулятор , чтобы получить результат для любого из них.

    1 2 511111112111111126669
    .
    6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666669
    9

    Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.

    Итак, все по порядку:

    Дата рождения составляется в 3 этапа.

    • 1 этап – день рождения.
    • 2 этап – месяц рождения.
    • 3 этап – год рождения.

    Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дату рожденного 28 августа 1999 года .

    В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28. 08.1999 . Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999 , разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII. VIII. MCMXCIX .

    1 этап. Выбор дня.

    Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:

    n-CHOOSE-r

    nCr

    2 choose 1

    2

    2 choose 2

    1

    3 выбрать 1

    3

    3 choose 2

    3

    3 choose 3

    1

    4 choose 1

    4

    4 выбрать 2

    6

    4 выбрать 3

    912    		 4

    0004

    4 choose 4

    1

    5 choose 1

    5

    5 choose 2

    10

    5 Выберите 3

    10

    5 Выберите 4

    5

    5

    5 choose 5

    1

    6 choose 1

    6

    6 choose 2

    15

    6 выбрать 3

    20

    6 выбрать 4

    6    		 15018

    6 Выберите 5

    6

    6 Выберите 6

    1

    1

    		 1115

    1 .

    Если у вас есть общее количество предметов, и вы хотите получить из него общее количество комбинаций, вы можете сделать это следующим образом.

    Количество предметов: 4

    4 × 3 × 2 × 1 = 24

    Значит, будет 24 комбинации из 4 позиций. Используйте наш комбинаторный калькулятор выше, чтобы получить комбинации для любого набора данных.

    Сколько существует комбинаций трех цветов?

    Будет шесть комбинаций 3 цвета. Посмотрим как?

    3 × 2 × 1 = 6

    Если у нас есть три цвета красный, желтый, и зеленый, все шесть комбинаций будут:

    2 Комбинация0352

    First

    Second

    Third

    1

    Red

    Yellow

    Green

    2

    Красный

    Зеленый

    Желтый

    3

    Yellow

    Red

    Green

    4

    Yellow

    Green

    Red

    5

    Зеленый

    Красный

    Желтый

    6

    Грин

    Желтый

    КРАСНЫЙ

    8 HOW MOST MORST SORKINTIONS OF MORST SICS 1234 40026

    8.

    Комбинация в 1,2,3,4 будет:

    4 × 3 × 2 × 1 = 24

    Всего будет 24 комбинации в 1,2,3,4. Эти 24 комбинации:

    1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432

    2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431

    3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421

    4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321

    Permutation Calculator / Калькулятор комбинаций


    Калькуляторы > Калькулятор перестановок / Калькулятор комбинаций

    Посмотрите видео или прокрутите вниз, чтобы найти калькулятор.

    Как пользоваться калькулятором перестановок и комбинаций

    Посмотрите это видео на YouTube.

    Видео не видно? Кликните сюда.

    Путь Мати

    • n =
    • г =
    • Имеет ли значение порядок? ДаНет
    • Могут ли элементы повторяться? ДаНет

    Когда порядок элементов имеет значение, это называется Permutation .
    Когда порядок элементов не имеет значения, это называется Комбинация . Поскольку нам , а не разрешено повторять элементы, мы используем следующую формулу:

    Количество возможных перестановок  
     
     
    =

    Количество возможных перестановок  
    =     н!
    (н-р)!
     
    =     !
    (-)!
     
    =

    Количество возможных комбинаций  
    =     (н + р — 1)!
    р!(н – 1)!
     
    =     (+-1)!
    !( – 1)!
     
    =

    Количество возможных комбинаций  
    =     н!
    р!(н – р)!
     
    =     !
    !(-)!
     
    =

    Визуальный путь

    Одной из форм задачи перестановки, с которой обычно сталкиваются учащиеся, является задача «комитета». Например:

    Если есть 5 человек, Джим, Джейн, Боб, Сьюзан и Ральф, и только трое из них могут быть членами нового комитета PTA, сколько различных комбинаций возможно?

    В этом примере есть 5 человек на выбор (так что n равно 5 ), и нам нужно выбрать 3 из них (так r равно 3 ).

    Порядок не имеет значения : если Джим входит в комитет, он входит в комитет независимо от того, выбран он первым или последним. Повторение запрещено потому что Сьюзен не может быть в комитете дважды (даже если она действительно хочет быть!)

    Таким образом, если мы воспользуемся «математическим» способом, описанным выше, мы знаем формулу:

    Количество возможных комбинаций  
    =     н!
    р!(н – р)!

    И мы вводим число 5 для n и 3 для r, и так мы знаем, что есть 10 возможных комбинаций.

    Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении 2 прямых: Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар

    alexxlab / / Разное

    Урок-презентация по геометрии для 7 класса «Разнообразные углы»

    математика Углы 7 класс УМК 7-9 кл, Атанасян Учитель: Чудинова Алена Сергеевна

     Девиз нашего урока «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу».

    Цель урока: ознакомить учащихся с понятиями смежных углов, вертикальных углов, односторонних углов, накрест лежащих углов; рассмотреть их свойства

    Изобразите любую фигуру состоящую из следующих геометрических фигур

    Углы: смежные вертикальные Накрест лежащие односторонние

    смежные Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.   ∠1 и ∠2 — смежные углы Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

    При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4, ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4

    Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180º. Задача: Угол 1 равен 38 градусов, сколько градусов равен смежный с ним угол?

    Вертикальные углы Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. ∠1 и ∠2  — вертикальные углы    

    Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.                                       ∠AOC =∠BOD                                      ∠AOD =∠BOC  

    Односторонние углы Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

    При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.                                        ∠1 и∠2 ∠3 и∠4 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

    Свойства внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.                                        Если a ∥ b, то ∠1 +∠2 =180º (как внутренние односторонние при  a ∥ b и секущей c).  

    Накрест лежащие углы накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

    Свойства накрест лежащих углов: Накрест лежащие углы равны. Задача: Назвать все углы с рисунка

    Урок геометрии в 7 классе. «Смежные и вертикальные углы»

    Урок геометрии в 7 классе

    Смежные и вертикальные углы

    Цель урока: ввести понятие «смежных» и «вертикальных» углов; рассмотреть их свойства; научить учащихся строить такие углы, находить на рисунках вертикальные и смежные углы; сформировать умения и навыки применять полученные знания свойств углов при решении задач; воспитывать аккуратность при выполнении рисунков в тетрадях и на доске, трудолюбие; развивать мышление, память, самостоятельность в учебной деятельности.

    Тип урока: усвоение новых знаний

    Ход урока:

    1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

    2. Актуализация опорных знаний.

    Фронтальный опрос по технологии «Микрофон»

    1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

    2. Какая фигура называется углом? Как обозначается угол?

    3. Какой угол называется развернутым?

    4. Какой луч называется биссектрисой угла?

    5. Что такое градусная мера угла?

    6. Какой угол называется острым? прямым? тупым?

    7. Луч AD проходит между сторонами угла CAK. Найдите градусную меру угла CAK, если , .

    1. Сообщение темы и цели урока.

    2. Изучение нового материала.

    Задание классу (один учащийся работает возле доски)

    • Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

    Рис. 1 рис. 2 рис. 3

    Сколько углов изображено на каждом из этих рисунков?

    На каждом рисунке по три угла, два из которых имеют общую сторону.

    — понятие смежных углов

    Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными.

    Какое свойство измерения углов можно применить к ним?

    На 1 и 3 рисунках угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС.

    Можно ли назвать градусную меру каких-то из изображенных углов?

    На рис.1 угол АОС равен 1800.

    Проанализируйте, то что вы видите на рис.1 и сделайте вывод.

    Два угла имеют общую сторону, а две другие стороны образуют развернутый угол, т.е. их сумма 1800.

    Строим смежные углы, аналогично рис.1 и записываем свойство:

    AOB + BОС = 1800.

    Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 1800.

    Задание классу:

    Учитель на доске строит произвольный острый угол .

    • Сколько углов, смежных с данным можно построить?

    • Даны два смежных угла и , = 300. Найдите .

    • Если один из смежных углов тупой (прямой, острый), то каким будет второй угол?

    — понятие вертикальных углов

    Постройте в тетрадях две пересекающиеся в точке О прямые АВ и СМ.

    Сколько получилось неразвернутых углов? Пусть один из тупых углов равен 1300. Найдите остальные три угла и сделайте вывод.

    При пересечении двух прямых, сколько неразвернутых углов образуется?

    Назовите их (

    Назовите углы , которые не являются смежными ( .

    Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

    Задание классу:

    • Какой предмет домашней обстановки дает вам представление о вертикальных углах? (Ножницы)

    • Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? (Две)

    Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

    ( т.к. — смежные и их сумма равна 1800)

    (т.к. — смежные и их сумма равна 1800)

    — вертикальные углы

    1. Закрепление новых знаний и умений учащихся.

    1. Могут ли два смежных угла быть равными: 1) 360 и1540; 2) 590 и 1210; 3) 930 и 770? Ответ обоснуйте.

    2. Верно ли утверждение, что для каждого угла можно построить только один: 1) вертикальный угол; 2) смежный угол?

    3. Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если:

    1. Сумма двух из них равна 980;

    2. Разность двух из них равна 580;

    3. Все углы равны между собой;

    4. Сумма трех из них равна 2860.

    1. Итоги урока

    2. Домашнее задание № 61(а,б,г), 66(а)

    Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства.

    Смежные и вертикальные углы.

    Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

    Смежные углы.

    Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .


    Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

    Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

    На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

    Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

    ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

    Дано: и – смежные

    Доказать:

    Доказательство.

    По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

    Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

    ч.т.д.

    Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

    Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

    Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

    Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с тупым углом, — острый.

    Вертикальные углы.

    Смежные углы | Треугольники

    Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

    Определение.

    Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

     

    ∠1 и ∠2 — смежные углы

     

    Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

    При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

    ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4,

    ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4

    Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

    Свойство смежных углов.

    Сумма смежных углов равна 180º.

    Задачи.

    1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

    Дано:

    ∠AOC и ∠BOC — смежные,

    ∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC

    Найти: ∠AOC и ∠BOC.

    Решение:

    Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

    Имеем уравнение:

    х+х+42=180

    2х=180-42

    2x=138

    x=69

    Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

    Ответ: 69º и 111º.

    2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

    Дано:

    ∠1 и ∠2 — смежные,

    ∠1 : ∠2= 4:5

    Найти:∠1 и ∠2

    Решение:

    Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

    Имеем уравнение:

    4k+5k=180

    9k=180

    k=20

    Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

    Ответ: 80º и 100º.

    3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

    Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

    ∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD

    Найти: ∠AOD, ∠BOD

    Решение:

    При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

    Имеем уравнение:

    x+5x=180

    6x=180

    x=30

    Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

    Ответ: 30º и 150º.

    Могут ли смежные углы быть равными?

    Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

    Вывод:

    угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

    Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

    Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

    Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

    Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

    Урок геометрии Смежные и вертикальные углы

    «Смежные и вертикальные углы»

    Урок геометрии в 7 классе

    Цели и задачи урока:

    — ввести понятия смежных и вертикальных углов;

    — рассмотреть их свойства;

    — развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

    — воспитывать потребность в доказательных рассуждениях;

    — воспитывать аккуратность при выполнении рисунков,

    — ответственное отношение к учебному труду.

    Оборудование: компьютер, проектор, экран

    Мультимедийная презентация «Смежные и вертикальные углы».

    ХОД УРОКА

    I. Актуализация знаний.

    Сегодня мы повторим виды уг­лов, их свойства и добавим к знаниям об углах ещё два вида. Чтобы не забыть старых «знакомых», выполним устно задания

    1. Назвать вид каждого угла и указать градусную меру.

    2) Дано: АОD = 8DОВ. Найти: DОВ

    3) а) АОЕ=300

    ЕОС=20°

    AOC=?

    б) АОС=70°

    АОЕ=50°

    ЕОС=?

    II. Изучение нового материала.

    Введение понятия «Смежные углы».

    1. Практическая работа. Построим прямую АD и отметим точку С, лежащую между точками А и D. Проведём луч СВ. Получились два угла: АСВ и ВСD. Такие углы принято называть смежными.

    Попробуем сформулировать определение смежных углов, но сначала ответим на вопросы:

    а) назовите стороны каждого из углов;

    б) как связаны между собой стороны смежных углов?;

    в) выделить особенности смежных углов (одна сторона общая, две другие являются продолжениями одна другой).

    Обратить внимание на слово «смежные» — находящиеся рядом («межа»).

    Далее прочитать определение смежных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять смежные углы.

    2. Усвоение понятия смежных углов.

    Найдите пары смежных углов и объясните, почему они смежные.

    3. Сформулировать свойство смежных углов. (Предложить это сделать самим учащимся).

    4. Закрепление понятия и свойства смежных углов.

    Решить из учебника задачу № 80_________________________

    5. Введение понятия вертикальных углов.

    Практическая работа:

    1) проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ;

    2) запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными.

    Вопрос: Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

    Попробуем сформулировать определение вертикальных углов, ответив на вопросы:

    1) назвать стороны каждого вертикального угла;

    2) как связаны стороны вертикальных углов между собой?

    3) выделить особенности вертикальных углов (1-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго, 2-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго).

    Далее прочитать определение вертикальных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять вертикальные углы.

    6. Усвоение понятия вертикальных углов.

    Указать пары вертикальных углов на рисунке и объяснить, почему они вертикальные.


    7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере:

    Задача. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что угол АОD равен 350.

    Найдите углы АОС и ВОС,

    Задачу решить по готовому чертежу.

    Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

    III. Тест.

    1. Являются ли смежными углы

    а) DОС и DОЕ;

    б) DОС и СОВ;

    в) DОЕ и АОВ?

    2. Являются ли вертикальными углы:

    а) DОЕ и СОА;

    б) DОА и АОВ;

    в) АОВ и DОЕ?

    1У. Домашнее задание. _п.6, № 81,82___________________________________

    У.Итог урока.

    1) что нового вы узнали сегодня на уроке?

    2) что было самое трудное на уроке?

    3) что помогло с этой трудностью справиться?

    Урок 10. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ»

    Урок 10
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 «Начальные геометрические сведения»

    Цели: проверить знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы».

    Ход урока

    I. Организация учащихся на выполнение работы.

    II. Выполнение работы по двум (трём) вариантам.

    Вариант I

    1. Три точки В, С и D  лежат на одной прямой.  Известно,  что ВD =
    = 17 см, DС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

    2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и DЕ, равна 204°. Найдите угол МОD.

    3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла.

    Вариант II

    1. Три  точки  М,  N и K лежат на одной прямой.  Известно, что MN =
    = 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МК?

    2. Сумма вертикальных углов АОВ и СОD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108°. Найдите угол ВОD.

    3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

    Вариант III
    (для более подготовленных учащихся)

    1. Лежат ли точки M, N и P на одной прямой, если MP = 12 см, MN =
    = 5 см, PN = 8 см?

    2. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°.

    3. На рисунке АВСD, луч ОЕ – биссектриса угла АОD.

    Найдите угол СОЕ.

    III. Итоги урока.

    Домашнее задание: повторить § 1–6 и подготовиться к устному опросу, который будет проводиться во внеурочное время.

    Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.

     

     

    Вариант I

    1. Какая точка называется серединой отрезка?

    2. Отметьте точку С на прямой АВ так, чтобы точка В оказалась серединой отрезка АС.

    3. Отрезок длиной 18 см разделен точкой на два неравных отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?

    Вариант II

    1. Какой луч называется биссектрисой угла?

    2. Начертите угол ВАС, а затем с помощью транспортира и линейки проведите луч АD так, чтобы луч АВ оказался биссектрисой угла САD. Всегда ли это выполнимо?

    3. Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов?

    Вариант III

    1. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы?

    2. Начертите угол, смежный с данным углом. Сколько таких углов можно начертить?

    3. Градусные меры двух смежных углов относятся как 3 : 7. Найдите эти углы.

    Вариант IV

    1. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

    2. Начертите три прямые АВ, СD и МK, пересекающиеся в точке О. Назовите пары получившихся вертикальных углов.

    3. При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290°.

    Вариант V

    1. какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей?

    2. Начертите прямую а и отметьте точку М, не лежащую на ней. С помощью чертежного угольника проведите через точку М прямую, перпендикулярную к прямой а.

    3. Начертите тупой угол АВС и отметьте точку D вне его. С помощью чертежного угольника через точку D проведите прямые, перпендикулярные к прямым АВ и ВС.

     

     

     

     

    I. Анализ контрольной работы.

    1. Сообщение итогов контрольной работы.

    2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

    3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся

     


     

    Тест Смежные и вертикальные углы 7 класс с ответами

    Тесты по геометрии 7 класс. Тема: «Смежные и вертикальные углы»

    Правильный вариант ответа отмечен знаком +

    1. На каком рисунке изображены смежные углы:

    — б

    + в

    — а

    — г

    2. Углы ∠1= ∠4, ∠2=50°. Найдите величину угла ∠3

    + 130°

    — 50°

    — 180°

    — 40°

    3. Точка O является точкой пересечения трёх прямых. Чему равна сумма углов 1, 2 и 3 равна:

    — 90°

    — 360°

    + 180°

    — 45°

    4. Углы AOB и BOC – смежные. Угол AOB больше угла BOC в 4 раза. Чему равен угол BOC равен:

    + 36°

    — 72°

    — 18°

    — 90°

    5. Один из смежных углов – тупой. Тогда другой угол:

    — тупой

    — прямой

    + острый

    — развёрнутый

    6. Углы MNK и KNL — смежные. Угол MNK равен 127°. Найдите угол KNL.

    + 53°

    — 90°

    — 180°

    — 60°

    7. Углы AOB и COD — вертикальные. Угол AOB равен 138°. Найдите угол COD.

    — 42°

    — 90°

    — 180°

    + 138°

    8. На каком рисунке изображены вертикальные углы?

    — в

    + а

    — г

    — б

    9. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен 110°. Тогда остальные углы равны:

    — 110°

    — 180°

    + 70°

    — 55°

    тест 10. Перпендикуляр к прямой a изображён на рисунке:

    — б

    + а

    — в

    — г

    11. Прямые FG и TP пересекаются в точке H. Угол FHT равен 39°. Какова градусная мера других углов?

    — 78°,52°,52°

    — 39°,51°,51°

    + 39°,141°,141°

    12. Чему равна сумма смежных углов?

    — 90°

    + 180°

    — 45°

    — 360°

    13. Каким свойством обладают вертикальные углы?

    — они не равны

    + они равны

    — они острые

    — их сумма равна 180°

    14. Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых:

    + 2

    — 4

    — 6

    — 8

    15. Найдите сумму углов 1, 2 и 3:

    — 160°

    — 70°

    + 340°

    — 90°

    Вертикальные углы — объяснения и примеры

    В этой статье мы узнаем , что такое вертикальные углы и , как их вычислить . Прежде чем мы начнем, давайте сначала познакомимся со следующими понятиями о линиях.

    Что такое пересекающиеся и параллельные прямые?

    Пересекающиеся линии — это прямые линии, которые пересекаются или пересекаются в определенной точке. На рисунке ниже показаны пересекающиеся линии.

    Линия PQ и линия ST пересекаются в точке Q. Следовательно, эти две линии пересекаются.

    Параллельные линии — это прямые, которые не пересекаются ни в одной точке на плоскости.

    Прямые AB и CD — параллельные прямые, потому что они не пересекаются ни в одной точке.

    Что такое вертикальные углы?

    Вертикальные углы — это парные углы, образующиеся при пересечении двух прямых. Вертикальные углы иногда называют вертикально противоположными углами, потому что эти углы противоположны друг другу.

    Реальные настройки, в которых используются вертикальные углы, включают: знак железнодорожного переезда, буква « X », открытые ножницы и т. д. Египтяне рисовали две пересекающиеся линии и всегда измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны.

    Вертикальные углы всегда равны . В целом можно сказать, что при пересечении двух прямых образуются 2 пары вертикальных углов. См. Схему ниже.

    На диаграмме выше:

    • ∠a и ∠b — вертикальные противоположные углы.Эти два угла также равны, т.е. ∠a = ∠
    • ∠c и ∠d составляют еще одну пару вертикальных углов, и они тоже равны.
    • Мы также можем сказать, что два вертикальных угла имеют общую вершину (общую конечную точку двух или более линий или лучей).

    Доказательство теоремы о вертикальном угле

    Мы можем доказать это на диаграмме выше.

    Мы знаем, что угол b и угол d являются дополнительными углами, т.е.

    Мы также знаем, что угол a и угол d являются дополнительными углами i.е.

    Мы можем переставить приведенные выше уравнения:

    Сравнивая два уравнения, мы имеем:

    Следовательно, доказано.

    Вертикальные углы — это дополнительные углы, когда линии пересекаются перпендикулярно.

    Например, , ∠W и ∠ Y — это вертикальные углы, которые также являются дополнительными углами. Аналогично, ∠X и ∠Z — вертикальные углы, которые являются дополнительными.

    Как найти вертикальные углы?

    Не существует специальной формулы для вычисления вертикальных углов, но вы можете определить неизвестные углы, соотнося разные углы, как показано в примерах ниже.

    Пример 1

    Рассчитайте неизвестные углы на следующем рисунке.

    Решение

    ∠ 47 0 и ∠ b — вертикальные углы. Следовательно, ∠ b также равно 47 0 (вертикальные углы равны или равны).

    ∠47 0 и ∠ a — дополнительные углы. Следовательно, ∠a = 180 0 — 47 0

    ⇒∠a = 133 0

    ∠ a и ∠ c — вертикальные углы.Следовательно, c = 133 0

    Пример 2

    Определите значение θ на диаграмме, показанной ниже.

    Решение

    На диаграмме выше ∠ (θ + 20) 0 и ∠ x — вертикальные углы. Следовательно,

    ∠ (θ + 20) 0 = ∠ x

    Но 110 0 + x = 180 0 (дополнительные углы)

    x = (180 — 110) 0

    = 70 0

    Подставим x = 70 0 в уравнение;

    ⇒ (θ + 20) 0 = ∠ 70 0

    ⇒ θ = 70 0 — 20 0 = 50 0

    Следовательно, значение θ составляет 50 градусов.

    Пример 3

    Рассчитайте значение угла y на рисунке, показанном ниже.

    Решение

    140 0 + z = 180 0

    z = 180 0 -140 0

    z = 40 0

    Но (x + y) + z = 180 0

    (x + y) + 40 0 = 180 0

    x + y = 140 0

    90 0 + y = 140 0

    y = 50 0

    Пример 4

    Если 100 0 и (3x + 7) ° — вертикальные углы, найдите значение x.

    Решение

    Вертикальные углы равны, следовательно;

    (3x + 7) 0 = 100 0

    3x = 100-7

    3x = 93

    x = 31 0

    Следовательно, значение x равно 31 градусу.

    Применение вертикальных углов (h4)

    Вертикальные углы имеют множество применений, которые мы видим или испытываем в повседневной жизни.

    • Американские горки устанавливаются под определенным углом для правильной работы.Эти углы настолько важны, что если бы они сместились на градус выше или ниже, возникла бы вероятность аварии. Максимальный вертикальный угол, установленный для американских горок ( Mumbo Jumbo , Flamingo Land’s ), составляет 112 градусов.
    • На авиашоу мы видим два следа пара, которые пересекаются друг с другом и образуют вертикальные углы.
    • Знаки железнодорожных переездов (X), размещенные на дорогах для обеспечения безопасности транспортных средств.
    • Воздушный змей, где две деревянные палки пересекаются и удерживают воздушный змей.
    • Дартс имеет 10 пар вертикальных углов, где «яблочко» является виртуальной вершиной.

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Пересекающиеся линии — объяснения и примеры

    Теперь, когда вы изучаете геометрию или классы предварительного вычисления, вы несколько раз столкнетесь с концепцией пересекающихся линий . Вот почему нам нужно понимать концепции, связанные с пересекающимися линиями.

    А пока давайте быстро перейдем к определению пересекающихся линий:

    Пересекающиеся линии — это линии, которые пересекаются в одной точке.

    Удивительно, как простое определение может помочь нам узнать важные свойства углов и систем линейных уравнений. Эта статья поможет нам понять определение, свойства и применение пересекающихся линий.

    Определение пересекающихся линий

    Пересекающиеся линии — это две или более линий, которые копланарны друг другу и встречаются в общей точке.

    Три пары линий, показанные выше, являются примерами пересекающихся линий. Посмотрите, как каждая пара пересекается в точке $ \ boldsymbol {O} $? Мы называем это точкой пересечения . Сегменты линии также могут пересекаться и иметь точку пересечения.

    Имейте в виду, что три или более линий могут иметь более одной точки пересечения.

    Линии $ \ overline {WX} $, $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются друг с другом, и, как можно видеть, эти линии имеют три точки пересечения.

    • Линии $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.
    • Прямые $ \ overline {YZ} $ и $ \ overline {UV} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {N} $.
    • Прямые $ \ overline {WX} $ и $ \ overline {YZ} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {M} $.

    Углы, образованные этими пересекающимися линиями (и линейными сегментами), обладают интересными свойствами, которые мы скоро узнаем в следующих нескольких разделах.

    Какие реальные примеры пересекающихся линий?

    Один из способов проверить наше понимание определения пересекающихся линий — это подумать о реальных примерах, представляющих пересекающиеся линии.Вы можете придумать что-нибудь? Вот три, которые помогут вам перечислить больше примеров:

    • Наши ножницы — отличные примеры объектов, которые пересекаются друг с другом и имеют общую точку.
    • Перекрестки также представляют собой пересекающиеся линии, поскольку они встречаются в точках пересечения.
    • Линии этажей также пересекаются друг с другом и имеют общие точки пересечения.

    Как использовать пересекающиеся линии в координатной геометрии?

    Хотите узнать, что означает пересечение двух линий или кривых в координатной геометрии? Ниже приведены лишь некоторые из свойств, которые мы узнаем о пересекающихся линиях в системе координат xy.

    • Когда два графика двух функций пересекаются друг с другом, точка пересечения представляет собой решение, когда обе функции приравниваются друг к другу.
    • Это также означает, что при пересечении двух линий или графиков их уравнение будет иметь решение.
    • Линии, которые пересекаются с осями $ x $ и $ y $, содержат точки пересечения и представляют собой точки пересечения $ x $ и $ y $ соответственно.

    Мы узнаем больше обо всех этих основных концепциях, когда углубимся в функции и решим функции с помощью графиков.

    А пока давайте рассмотрим общие свойства углов в точке пересечения. В следующих разделах мы также узнаем, как применять их при решении словесных задач, связанных с углами и пересекающимися линиями.

    Свойства углов, образованных пересекающимися линиями

    Когда две или более прямых пересекаются, они образуют разные углы в точке пересечения.

    Линии $ \ overline {AB} $ и $ \ overline {CD} $, например, пересекаются в точке $ \ boldsymbol {O} $.Они также образуют четыре угла в точке пересечения: $ \ angle COA $, $ \ angle COB $, $ \ angle BOD $ и $ \ angle AOD $.

    Вы также заметили две пары вертикальных углов? Если вам нужно напомнить, что такое вертикальные углы, вы можете прочитать эту статью о вертикальных углах, которую мы написали ранее. Для случая двух пересекающихся линий, показанных выше, у нас есть следующие вертикальные углы:

    • $ \ angle COA $ и $ \ angle BOD $
    • $ \ angle COB $ и $ \ angle AOD $

    Свойства вертикальных и линейных углов по-прежнему применяются к углам, образованным двумя пересекающимися линиями.

    Что происходит с углами, когда третья линия пересекает две пересекающиеся линии посередине?

    Применяются те же свойства, и согласно постулату сложения углов угол, пересекаемый третьей пересекающейся линией, создаст два угла, которые в сумме составят величину пересеченного угла.

    • Это означает, что сумма $ \ boldsymbol {\ angle SOW} $ и $ \ boldsymbol {\ angle WOU} $ равна $ \ boldsymbol {\ angle SOU} $.
    • Аналогично $ \ boldsymbol {\ angle VOX + \ angle XOT = \ angle VOT} $.

    Хотите проверить эти концепции? Вы можете попробовать построить четыре пересекающиеся линии и проверить, как ведут себя углы.

    Теперь, когда мы узнали об определениях и свойствах пересекающихся линий, пришло время поработать над некоторыми вопросами, чтобы проверить свои знания.

    Пример 1

    Заполните следующие инструкции: иногда , никогда и всегда .

    1. Параллельные линии могут ____________ быть пересекающимися.
    2. Перпендикулярные линии могут быть ____________ пересекающимися линиями.
    3. Стрелки часов могут ____________ представлять две пересекающиеся линии.
    4. Пересекающиеся линии ______________ будут иметь более одной точки пересечения.

    Решение

    При работе с подобными вопросами всегда полезно вернуться к определению используемых терминов.

    • Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекутся, поэтому никогда не пересекутся.
    • Перпендикулярные линии, с другой стороны, вместе образуют 90 °, поэтому они всегда будут .
    • Стрелки часов пересекаются в общей точке. всегда представляет две пересекающиеся линии.
    • Для трех или более пересекающихся линий они могут иногда иметь две или более пересекающихся точек.

    Пример 2

    Какое из следующих утверждений неверно?

    1. Три пересекающиеся линии могут иметь общую точку пересечения.
    2. Две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов.
    3. Две пересекающиеся линии образуют четыре пары вертикальных углов.
    4. Три пересекающиеся линии никогда не могут иметь четыре общие точки пересечения.

    Решение

    Давайте продолжим и рассмотрим каждое из приведенных утверждений.

    • Три пересекающиеся линии могут пересекаться только в одной общей точке, поэтому утверждение верно.
    • Когда две линии пересекаются, они образуют четыре угла.Каждая пара углов напротив друг друга — это вертикальные углы, так что это утверждение верно.
    • Две пересекающиеся линии образуют только четыре угла и две пары вертикальных углов. Это утверждение неверно.
    • Максимальное количество точек пересечения между тремя пересекающимися линиями — три, поэтому невозможно иметь четыре общие точки. Следовательно, четвертое утверждение верно.

    Пример 3

    Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {AB} $.Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.

    Решение

    Постройте вторую линию, которая пересекает линию $ \ overline {AB} $. Ниже приведены три пары пересекающихся линий, которые помогут вам создать собственную пару пересекающихся линий.

    В трех примерах мы назвали линию пересечения $ \ overline {CD} $ и точку пересечения Point $ O $. Ваше решение может отличаться от приведенного выше, но не беспокойтесь, все они хороши, если две линии пересекаются.

    Четыре угла, образованные для пересекающихся прямых, — это $ \ angle AOC $, $ \ angle AOD $, $ \ angle COB $ и $ \ angle BOD $. Если вы пометите строки по-другому, вы получите другой ответ, нежели тот, который мы показали.

    Как узнать, правильный ли ваш ответ? Проверьте, есть ли в названиях всех углов одинаковая буква посередине.

    Пример 4

    Невозможно создать четыре пересекающиеся линии , которые имеют только одну точку пересечения.

    Докажите неверное утверждение, построив контрпример.

    Решение

    Постройте четыре пересекающиеся линии, где все пересекаются в одной общей точке.

    Приведенный выше пример является одним из возможных контрпримеров для утверждения. Не стесняйтесь создавать свои собственные, чтобы показать, что утверждение не соответствует действительности.

    Используйте изображение, показанное ниже, чтобы ответить на вопросы 5–7 .

    Пример 5

    Назовите две пары пересекающихся линий и соответствующие им точки пересечения.

    Решение

    Вот несколько пар линий, которые вы можете обнаружить на изображении, и мы включили их точки пересечения.

    • Прямые $ \ overline {RS} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {A} $.
    • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {VW} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $.
    • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {TU} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {B} $.
    • Прямые $ \ overline {PQ} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {E} $.
    • Прямые $ \ overline {VW} $ и $ \ overline {RS} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.

    Удалось ли вам найти две пары из списка, который у нас есть? Попытайтесь найти оставшиеся три, чтобы помочь вам освоить эту концепцию!

    Пример 6

    Назовите три отрезка прямой, которые имеют общую точку пересечения.

    Решение

    Помните, что отрезки линии также могут пересекаться. Вот два примера трех линейных сегментов, имеющих общую точку пересечения.

    • Отрезки прямых $ \ overline {AC} $, $ \ overline {DC} $ и $ \ overline {EC} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {C} $.
    • Отрезки прямых $ \ overline {BD} $, $ \ overline {CD} $ и $ \ overline {ED} $ пересекаются в точке $ \ boldsymbol {D} $. {\ circ} $, каким будет значение $ \ angle RAT $?

      Решение

      Помните, что два вертикальных угла, образованные парой пересекающихся линий, встретятся в их общей точке пересечения.{\ circ} $, каков угол $ \ angle BOA $?

      • Решение

      Постройте две пересекающиеся прямые с точкой пересечения $ \ boldsymbol {O} $.

      Вы можете увидеть четыре угла, образованные в точке пересечения. Это следующие углы: $ \ angle AOC $, $ \ angle BOD $, $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $.

      Обратите внимание на две пары вертикальных углов — каждая пара обращена друг напротив друга.

      Это означает, что две пары вертикальных углов:

      • $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $
      • $ \ angle AOB $ и $ \ angle COD $

      Поскольку $ \ angle AOC $ и $ \ angle BOD $ — вертикальные углы, их угловые меры равны.{\ circ} $.

      При работе с пересекающимися линиями и связанными с ними проблемами со словами всегда возвращайтесь к его основному определению и свойствам. Попробуйте выполнить еще несколько практических задач ниже, чтобы еще больше закрепить свои знания о пересекающихся линиях.

      Практические вопросы

      1. Определите, верны ли следующие утверждения. Если утверждение неверно, замените подчеркнутое слово, чтобы утверждение было правильным.

      Пересекающиеся линии никогда не могут иметь общую точку .

      Две пересекающиеся линии могут иногда две точки пересечения.

      Пересекающиеся линии — это некопланарных прямых, которые пересекаются в одной точке.

      Две пересекающиеся линии могут образовывать две пары вертикальных углов.

      1. Постройте линию, которая будет пересекать линию $ \ overline {XY} $. Обозначьте линию и точку пересечения, затем назовите четыре угла, образованные двумя пересекающимися линиями.

      1. Докажите, что утверждение неверно, построив контрпример. {\ circ} $, каким будет значение \ angle UCR $?

        6.{\ circ} $, какова угловая мера $ \ angle MOP $?

        Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

        Вертикальные углы — теорема, доказательство, вертикально противоположные углы

        Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах

        Что такое вертикальные углы в геометрии?

        Вертикальные углы образуются при пересечении двух линий. Из 4 образованных углов противоположные друг другу углы являются вертикальными.Их также называют «вертикально противоположными углами». Эти углы всегда равны.

        ☛Также прочитайте

        Конгруэнтны ли вертикальные углы?

        Когда две прямые линии пересекаются друг с другом, образуются вертикальные углы. Вертикальные углы всегда совпадают и равны. Вертикальные углы совпадают, поскольку две пары несмежных углов, образованных пересечением двух линий, накладываются друг на друга.

        ☛Проверьте и прочтите

        Вертикальные углы являются дополнительными?

        Когда сумма любых двух углов составляет 180 °, мы называем их дополнительными углами.Если есть случай, когда вертикальные углы равны прямым углам или равны 90 °, то каждый вертикальный угол равен 90 °. Следовательно, сумма этих двух углов будет равна 180 °. Так что в таких случаях можно сказать, что вертикальные углы являются дополнительными. Следует отметить, что это особый случай, в котором вертикальные углы являются дополнительными. В противном случае, во всех остальных случаях, когда значение каждого из вертикальных углов меньше или больше 90 градусов, они не являются дополнительными.

        ☛Проверьте разницу между следующим:

        Что такое теорема о вертикальном угле?

        Теорема о вертикальном угле утверждает, что углы, образованные двумя пересекающимися линиями, которые называются вертикальными углами, совпадают.Вертикальные углы имеют одинаковые размеры. Например, если ∠a, ∠b, ∠c, ∠d — это 4 угла, образованные двумя пересекающимися линиями, а ∠a вертикально противоположен ∠b, а ∠c вертикально противоположен ∠d, то ∠a конгруэнтно ∠ b и ∠c конгруэнтно ∠d.

        Могут ли вертикальные углы быть прямыми?

        Да, вертикальные углы могут быть прямыми. Когда два противоположных вертикальных угла составляют 90 ° каждый, тогда говорят, что вертикальные углы являются прямыми углами. Это можно наблюдать по линиям оси x и оси y декартовой диаграммы.

        ☛Отъезд

        Как измерить значение вертикального угла?

        Решая такие случаи, сначала нужно внимательно соблюдать заданные параметры. Если задан угол рядом с вертикальным углом, то значение вертикальных углов легко определить путем вычитания данного значения из 180 градусов в Поскольку в геометрии доказано, что вертикальный угол и прилегающий к нему угол являются дополнительными (180 °). друг другу.

        Как определить, является ли угол смежным или вертикальным?

        Вертикальные углы — это углы, образующиеся при пересечении двух прямых.Противоположные углы, образованные этими линиями, называются вертикально противоположными углами. В то время как смежные углы — это два угла, которые имеют одно общее плечо и вершину.

        Могут ли вертикальные углы быть смежными?

        Вертикальные углы противоположны друг другу, тогда как смежные углы находятся рядом друг с другом. Таким образом, вертикальные углы никогда не могут примыкать друг к другу.

        Всегда ли совпадают вертикальные углы?

        Да, вертикальные углы всегда совпадают. Пересечение двух прямых составляет 4 угла.При этом образуются две пары вертикальных углов. Они равны по меру и конгруэнтны.

        вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео)

        В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками — например, один готовит, а другой печет.

        Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы.

        Содержание

        1. Определение вертикальных углов
        2. Теорема о вертикальных углах
      2. Пример дополнительных углов
      3. Что такое вертикальные углы?

        4. Определение вертикальных углов

        Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела — углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например:

        При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов:

        1. Вертикальные углы совпадают?
        2. Смежны ли вертикальные углы?
        3. Вертикальные углы являются дополнительными?
        4. Вертикальные углы дополняют друг друга?

        Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют.

        Если вы изучите любую пару противоположных углов в предметах, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины.

        Теорема о вертикальных углах

        Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые расположены друг напротив друга и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

        Конгруэнтны ли вертикальные углы?

        Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы будут всегда совпадать или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах.

        Смежны ли вертикальные углы?

        Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом).Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов.

        Вертикальные углы являются дополнительными?

        Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны.

        Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения:

        2a = 180 °

        а = 90 °

        У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались.

        В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке:

        • EMI является дополнением к IMU и ∠EMP
        • IMU является дополнением к PMU и EMI
        • ∠UMP является дополнением к IMU и EMP
        • ∠EMP является дополнением к EMI и ∠UMP

        Вертикальные углы дополняют друг друга?

        Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть в сумме с 90 °?

        Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a:

        2a = 90 °

        а = 45 °

        Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут быть дополнительными; у вас есть шанс 1 из 45.

        Пример дополнительных углов

        Дополнительные углы добавляют к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы — это острые углы.

        В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые.

        Если, однако, мы скажем, что inP в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °:

        90 ° — 57 ° = 33 °

        Что такое вертикальные углы?

        Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину.Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах:

        1. Могут ли вертикальные углы совпадать?
        2. Могут ли вертикальные углы быть дополнительными?
        3. Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга?

        Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают!

        Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны?

        Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °?

        Можно так много узнать об углах и соотношениях углов.

        Следующий урок:

        Теорема о средней точке

        пересекающихся линий и углов | Справка по геометрии

        Две пересекающиеся линии образуют 4 угла. Мы называем два угла, которые находятся рядом друг с другом и образуют прямую линию, «линейной парой» или «дополнительными углами», и их сумма составляет 180 °.

        Почему? Возьмем отрезок прямой (AB) и начнем вращать его вокруг одной из конечных точек:

        Угол, образованный между исходным отрезком (AB0) и последующими положениями (AB1, AB2…), продолжает расти.Когда мы завершаем полный круг, угол составляет 360 °, потому что, как мы сказали выше, это то, что измеряет полный круг.

        Итак, когда мы поворачиваем достаточно, чтобы образовать полукруг (до точки B3), размер будет 180 °. Мы знаем, что когда мы вращаемся достаточно, чтобы образовать полукруг, из-за симметрии у нас будет прямая линия — мы могли бы повернуть линию в любом направлении, и точка на полпути была бы такой же.

        Мы описываем углы, используя следующие обозначения: ∠1 или ∠α, а их размер в градусах — как m∠1 или m∠α.Мы также обычно описываем углы, используя 3 точки, которые их определяют, например: ∠ABC, где B — вершина, а BA и BC — два луча, исходящие из точки B наружу:

        Постулат сложения углов

        сложение углов постулат утверждает, что если точка P лежит внутри угла B, то m∠ABP + m∠PBC = m∠ABC

        Другими словами, мера большего угла является суммой измерений двух внутренних углы, составляющие больший.

        Когда две линии пересекаются и образуют 4 угла на пересечении, два угла, которые находятся напротив друг друга, называются «противоположными углами» или «вертикальными углами», и эти вертикальные углы являются «конгруэнтными», то есть имеют одинаковую форму и размер. .Мы говорим, что два угла конгруэнтны, если у них одинаковая мера угла в градусах. Они равны друг другу. Мы отмечаем конгруэнтность с помощью этого символа: ≅.

        С определениями и аксиомами, представленными до сих пор, мы можем теперь начать вывод нашей первой теоремы, используя наше первое формальное доказательство, доказывая, что противоположные углы двух пересекающихся прямых совпадают.

        —
        Теперь, когда мы объяснили основную концепцию пересечения линий и углов в геометрии, давайте прокрутим вниз, чтобы поработать над конкретными геометрическими проблемами, относящимися к этой теме.

        Строительные блоки — углы и пересекающиеся линии

        Смежные средства «следующий за.» Но мы используем это слово совершенно определенным образом, когда говорим о соседних углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа чтобы быть смежными, углы c и d . Смежные углы должны иметь общий общая сторона и общая вершина, и они не должны перекрывать друг друга.

        Вертикальные углы представляют собой пары углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.Вертикальные углы не смежных углов — они противоположны друг другу. На этой диаграмме углы a и c — вертикальные углы, а углы b и d — вертикальные углы. Вертикальные углы совпадают.

        Эти две строки параллельны и разрезаются на поперечную, что является всего лишь названием, данным линия, пересекающая две или более линий в разных точках.Восемь углов появляются в четырех соответствующих парах, имеющих одинаковую меру, поэтому, следовательно, конгруэнтны.

        Эти четыре соответствующих пары:

        углы a и e
        углы c и g
        углы b и f
        углы d и h

        Углы, которые лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, которые разрезаются поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f внутренние углы. Углы a, b, g, и h лежат снаружи. площади, и их называют «внешними углами».

        ср назовем углы на противоположных сторонах от поперечных альтернативных углов. Углы c и f и d и e — это альтернативные внутренние углы. Уголки a и h , и b и g , имеют альтернативный внешний вид. углы.Обратите внимание, что эти альтернативные пары также совпадают.

        При поперечном отрезает две непараллельные линии, как показано здесь, все равно образует восемь углы — четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары не совпадают, как это происходит с параллельными линиями.

        назад наверх

        открытых учебников | Сиявула

        Математика

        Наука

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Класс 7A

              • Марка 7Б

              • 7 класс (A и B вместе)

            • Африкаанс

              • Граад 7А

              • Граад 7Б

              • Граад 7 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Марка 8A

              • Марка 8Б

              • Оценка 8 (вместе A и B)

            • Африкаанс

              • Граад 8А

              • Граад 8Б

              • Граад 8 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Марка 9А

              • Марка 9Б

              • 9 класс (A и B вместе)

            • Африкаанс

              • Граад 9А

              • Граад 9Б

              • Граад 9 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Класс 4A

              • Класс 4Б

              • Класс 4 (вместе A и B)

            • Африкаанс

              • Граад 4А

              • Граад 4Б

              • Граад 4 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Марка 5A

              • Марка 5Б

              • Оценка 5 (вместе A и B)

            • Африкаанс

              • Граад 5А

              • Граад 5Б

              • Граад 5 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

          • Читать онлайн

          • Учебники

            • Английский

              • Класс 6A

              • класс 6Б

              • 6 класс (A и B вместе)

            • Африкаанс

              • Граад 6А

              • Граад 6Б

              • Граад 6 (A en B saam)

          • Пособия для учителя

        Наша книга лицензионная

        Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

        CC-BY-ND (фирменные версии)

        Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколь угодно часто. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

        Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

        CC-BY (безымянные версии)

        Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, изменять или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula.

    Калькулятор диофантовых уравнений: Линейные диофантовы уравнения онлайн

    alexxlab / / Разное

    Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений

    • Египетские дроби. Часть вторая
    • Египетские (аликвотные) дроби
    • По сегменту определить радиус окружности
    • Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами
    • Деление треугольника на равные площади параллельными
    • Определение основных параметров целого числа
    • Свойства обратных тригонометрических функций
    • Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями
    • Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ
    • Аутотрофные и миксотрофные организмы
    • Рассечение круга прямыми на равные площади
    • Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений.
    • Представить дробь, как сумму её множителей
    • Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
    • Расчет основных параметров четырехполюсника
    • Цепочка остатков от деления в кольце целого числа
    • Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн
    • Уравнение пятой степени. Частное решение.
    • Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн
    • Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения
    • Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
    • Онлайн разложение дробно рациональной функции
    • Корни характеристического уравнения
    • Имя пользователя при работе с Excel
    • Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах

     

    Коэффициенты первого диофантового уравнения
    Коэффициенты второго диофантового уравнения
    Система двух диофантовых уравнений
    Матрица общего решения
    Результат в виде строки
    Проверка для первого уравнения
    Проверка для второго уравнения

    Рассматривается оригинальный алгоритм решения двух произвольных однородных линейных уравнений в целых числах. Автоматический расчет матрицы решений.

    Пусть Нам надо решить систему из двух диофантовых уравнений

    \(\begin{alignedat}{2}2&a-11&b+13&c=1\\62&a+22&b-73&c=-31\end{alignedat}\)

     Несомненно можно решать эту систему так как делают все.

    — Умножив первое уравнение на 31  и вычтя из второго мы получим классическое диофантовое уравнение с двумя переменными.

    — Решив которое можно найти  все целочисленные значения системы 

    Схема рабочая, несмотря на множество ручных вычислений

    Мне такой подход не нравится и  для  решения мы будем использовать другой метод.

    Он красив и понятен даже для школьников, знающих про вектора и матрицы.

    Частично использован алгоритм, описанный вот  в этой статье ( стр 36,37)

    Он доработан, приведен к матричным операциям и обобщен на любые значения.

    Алгоритм и его работу мы будем изучать  на примере.

    Решаем следующую систему диофантовых уравнений

    \(\begin{alignedat}{2}49&a+22&b-26&c=12\\70&a-31&b+9&c=9\end{alignedat}\)

    Мы этот пример взяли по причине, что в интернете его решали и для него вывели общее решение. Так что есть с чем сравнивать.

    1. Находим общее решения первого уравнения из заданной системы. Например пусть будет такое. Но мы можем воспользоваться  и онлайн калькулятором общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения  ответ которого будет равноценен.

    \(\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}\)

    \(\begin{alignedat}{3}a=8&m+14&p+20\\b=-19&m-30&p-44\\c=-&m+&p+0\end{alignedat}\)

    Как проверим что это верное равенство? Да просто умножим вектор коэффициентов первого уравнения на полученную матрицу

    \(\begin{pmatrix}49&22&-26\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&12\end{pmatrix}\)

    Как видим ответ совпадает со свободным членом первого уравнения.

    2. Теперь, раз мы нашли общее решение первого уравнения, давайте его подставим во второе.

    То есть в уравнение \(70a-31b+9c=9\)подставим наши значения

    \(\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\c=-m+p+0\end{cases}\)

    Можно руками подставлять и сокращать подобное, но в матричном исчислении  мы лишь умножаем вектор {70,-31,9} на нашу матрицу.

    \(\begin{pmatrix}70&-31&9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1140&1919&2764\end{pmatrix}\)

    То есть мы получили уравнение

    \(1140m+1919p+2764=0\)

    Но, обратите внимание, что во втором уравнении свободный член равен не нулю, а девяти.

    То есть мы  переписываем

    \(1140m+1919p+2764=9\)

    Переносим свободные члены в правую часть и получаем классическое диофантовое уравнение, которое можем решать легко.

    \(1140m+1919p=-2755\)

    Общее решение такое

    \(\begin{cases}m=6+(1919)k\\p=-5-(1140)k\end{cases}\)

    3. А теперь делаем обратное преобразование.

    То есть 

    вот в эту систему \(\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\c=-m+p+0\end{cases}\)

    мы вместо неизвестных подставляем найденные m и p.

    В матричном исчислении это решается так:

    Убираем из матрицы \(\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\end{pmatrix}\)

    последний столбец. Это свободные члены и они нам пока мешаются.

    получили \(\begin{pmatrix}8&14\\-19&-30\\-1&1\end{pmatrix}\)

    Умножаем эту матрицу на  матрицу созданную из этих уравнений

    \(\begin{cases}m=6+(1919)k\\p=-5-(1140)k\end{cases}\)

    \(\begin{pmatrix}1919&6\\-1140&-5\end{pmatrix}\)

    получаем

    \(\begin{pmatrix}8&14\\-19&-30\\-1&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1919&6\\-1140&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-608&-22\\-2261&36\\-3059&-11\end{pmatrix}\)

    Последняя колонка это свободные члены,  прибавим к ней ту колонку которую убирали в начале этого пункта

    то есть  к вектору {-22 36 -11} прибавляем {20 -44 0}

     Получаем систему

    \(\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}\)

    А следовательно общее решение системы двух диофантовых уравнений

    приобретает вид

    \(\begin{cases}a=-608k-2\\b=-2261k-8\\c=-3059k-11\end{cases}\)

    Проверим, правильно ли посчитали

    Для первого уравнения 

    \(\begin{pmatrix}49&22&-26\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&12\end{pmatrix}\)

    Для второго

    \(\begin{pmatrix}70&-31&9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-608&-2\\-2261&-8\\-3059&-11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&9\end{pmatrix}\)

    Как видим значения свободных членов совпадают с значениями в правой части уравнений, а следовательно мы получили  общее решение.

    Но радоваться рано, несмотря на то, что мы получили общее решение, мы получаем не все возможные значения.

    Почему? Да потому что вектор {-608 -2261 -3059} имеет НОД =19

    и фактически наше общее решение имеет вид

    \(\begin{cases}a=-32(19k)-2\\b=-119(19k)-8\\c=-161(19k)-11\end{cases}\)

    Так как числа в скобках должны быть целыми, то обозначим их t  и наше, уже точно окончательное общее решение системы двух диофантовых уравнений имеет вид

    \(\begin{cases}a=-32t-2\\b=-119t-8\\c=-161t-11\end{cases}\)

    Еще несколько примеров, и небольшие ремарки к алгоритму.

    \(\begin{cases}2a-11b+13c=1\\62a+22b-73c=-31\end{cases}\)

    ответ

    \(a=517k+748\\b=952k+1378\\c=726k+1051\)

     еще пример

    \(\begin{cases}-a+7b+c-53d+13e=-100\\2a+4b-16c-37d-32e=0\end{cases}\)

    ответ

    \(a=-116p-85m+139q-117\\b=-14p+5m+0q+1\\c=-18p-14m+20q-1\\d=0p+2m-2q+2\\e=0p+0m+q-9\)

    Как видите можно решать неограниченные по числу переменных диофантовые уравнения.

    Теперь что калькулятор не может. 

    Очень сильно не любит уравнения с нулевыми коэффициентами. Особенно первое. Например, вот такую систему

    калькулятор не решит.

    \((3)*x_{1}+(0)*x_{2}+(-7)*x_{3}+(6)*x_{4}+(0)*x_{5}=17\\(4)*x_{1}+(3)*x_{2}+(0)*x_{3}+(6)*x_{4}+(-5)*x_{5}=19\)

    Прибавим к первому уравнению, второе. Таким образом в первом уравнении исчезают все нулевые коэффициенты и калькулятор сможет решить эту систему. Ну как не решит? Решит, если прибегнем к уловке, и постараемся убрать все нулевые коэффициенты

    \((7)*x_{1}+(3)*x_{2}+(-7)*x_{3}+(12)*x_{4}+(-5)*x_{5}=36\\(4)*x_{1}+(3)*x_{2}+(0)*x_{3}+(6)*x_{4}+(-5)*x_{5}=19\)

     Проверка показывает что общее решение корректно.

     Удачи  в расчетах!!

     

     

    • Решение уравнений методом Ньютона онлайн >>
    Поиск по сайту
    • Русский и английский алфавит в одну строку
    • Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними.
    • Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн
    • Перемешать буквы в тексте онлайн
    • Массовая доля химического вещества онлайн
    • Декoдировать текст \u0xxx онлайн
    • Частотный анализ текста онлайн
    • Поворот точек на произвольный угол онлайн
    • Площадь многоугольника по координатам онлайн
    • Остаток числа в степени по модулю
    • Расчет процентов онлайн
    • Обратный и дополнительный код числа онлайн
    • Как перевести градусы в минуты и секунды
    • Поиск объекта по географическим координатам
    • Расчет пропорций и соотношений
    • Время восхода и захода Солнца и Луны для местности
    • DameWare Mini Control. Настройка.
    • Растворимость металлов в различных жидкостях
    • Калькулятор географических координат
    • Теория графов. Матрица смежности онлайн
    • Географические координаты любых городов мира
    • Расчет значения функции Эйлера
    • Перевод числа в код Грея и обратно
    • Онлайн определение эквивалентного сопротивления
    • Произвольный треугольник по заданным параметрам
    • НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
    • Площадь пересечения окружностей на плоскости
    • Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней
    • Непрерывные, цепные дроби онлайн
    • Построить ненаправленный граф по матрице
    • Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление
    • Месторождения золота и его спутники
    • Расчет понижающего конденсатора
    • Сообщество животных. Кто как называется?
    • Система комплексных линейных уравнений
    • Из показательной в алгебраическую. Подробно
    • Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн
    • Проекция точки на плоскость онлайн
    • Определение формулы касательной к окружности
    • Расчет параметров конденсатора онлайн
    Онлайн расчеты
    Подписаться письмом

    Общий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор

    Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

    Основные понятия

    Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

    Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

    Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

    Нахождение НОД

    Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

    • последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
    • разложение чисел на неделимые множители;
    • алгоритм Евклида;
    • бинарный алгоритм.

    Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

    Нахождение НОК

    Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

    НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

    Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

    Взаимно простые числа

    Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

    Калькулятор общего делителя и кратного

    При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

    Примеры из реальной жизни

    Общий знаменатель дробей

    Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

    1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

    Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

    • 360/8 = 45
    • 360/9 = 40
    • 360/12 = 30
    • 360/15 = 24
    • 360/18 = 20.

    После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

    45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

    Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

    Решение линейных диофантовых уравнений

    Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

    Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

    Заключение

    НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

    предмет, задачи, изучение, понятие, определения

    Описание степенных функций: виды, свойства, графики

    Формулы сокращенного умножения

    Логарифмы — назначение и свойства, алгоритм решения задач с примерами

    Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы

    Медиана — определение, свойства, как найти

    Формулы площадей всех фигур

    Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения

    Квадратные скобки в математике — значение, основные символы и примеры

    Четные и нечетные числа — определение, признаки и свойства

    Скалярное произведение векторов — свойства, формулы и примеры вычислений

    Сумма кубов — формула, правило и примеры решения

    Икосаэдр — понятие, свойства и структура двадцатигранника

    Вячеслав Малых

    Анастасия Ирлык

    Умник Умников

    Описание эксперта

    Дмитрий Савельев

    Тесты рубрики

    • Тест на тему Знаки больше и меньше в математике 5 вопросов
    • Тест на тему Задачи на движение для 4 класса 5 вопросов
    • Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
    • Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
    • Тест на тему Вычитание дробей — правила и примеры с решениями 5 вопросов
    • Тест на тему Модуль числа — свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
    • Тест на тему Натуральные числа в математике — определение, свойства, примеры 10 вопросов
    • Тест на тему Основные тригонометрические тождества 5 вопросов

    Последние результаты тестов

    С результатом 8 из 10

    С результатом 8 из 10

    С результатом 6 из 10

    Предметы

    Анатомия

    Английский язык

    Астрономия

    Биографии

    Биология

    Бухгалтерия

    География

    Делопроизводство

    Естествознание

    Информатика

    История

    Кадровое дело

    Карьера

    Культурология

    Литература

    Маркетинг

    Математика

    Материаловедение

    Менеджмент

    ОБЖ

    Обществознание

    Окружающий мир

    Педсовет

    Подготовка к ЕГЭ

    Политология

    Помощь студенту

    Правоведение

    Психология

    Родителям

    Русский язык

    Социология

    Товароведение

    Физика

    Физкультура

    Философия

    Финансы и кредит

    Химия

    Черчение

    Экология

    Экономика

    Настоящая школа — Решение квадратных уравнений онлайн 2022

    x2 + x + = 0


     

     

    Установить калькулятор на свой сайт

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    калькулятор квадратных уравнений онлайн, калькулятор квадратных уравнений по теореме виета, калькулятор квадратных уравнений с дробями, калькулятор квадратных уравнений с корнями, калькулятор квадратных уравнений на питоне, калькулятор квадратных уравнений с комплексными числами, решение квадратных уравнений алгоритм, решение квадратных уравнений а+b+c=0, решение квадратных уравнений алгебра 8 класс, решение квадратных уравнений без дискриминанта, решение квадратных уравнений без c, решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, решение квадратных уравнений с буквами, калькулятор биквадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в excel, решение квадратных уравнений в комплексных числах, решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, решение квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в питоне, решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел, решение квадратных уравнений в паскале, в квадрате калькулятор, решение квадратных уравнений калькулятор, онлайн калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений графически, решение квадратных уравнений графическим способом онлайн, решение квадратных уравнений геометрическим способом, решение квадратных уравнений методом группировки, графический калькулятор квадратных уравнений на python и tkinter, гугл калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений дискриминант, решение квадратных уравнений дискриминант равен 0, решение квадратных уравнений дискриминант онлайн, калькулятор квадратных дробных уравнений, решение квадратных дробных уравнений, решение квадратных диофантовых уравнений онлайн, решение квадратных уравнений с двумя неизвестными, онлайн калькулятор для квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений с дискриминантом, решение квадратных уравнений если b четное, решение квадратных уравнений если дискриминант равен нулю, калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений в маткаде, решение квадратных уравнений в комплексных числах онлайн, решение квадратных уравнений в целых числах, решение квадратных уравнений задания, решение квадратных уравнений заменой, решение квадратных уравнений задачи, решение квадратных уравнений методом замены переменной, решение квадратных уравнений содержащих знак модуля, решение квадратных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений методом интервалов, решение квадратных уравнений полных и неполных, калькулятор линейных и квадратных уравнений, решение квадратных уравнений комплексных чисел, решение квадратных уравнений контрольная работа, решение квадратных уравнений конспект урока, решение квадратных уравнений как, решение квадратных уравнений контрольная, решение квадратных уравнений с комплексными числами, скачать калькулятор квадратных уравнений, калькулятор неполных квадратных уравнений, решение систем квадратных уравнений калькулятор, решение квадратных логарифмических уравнений, решение квадратных логарифмических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений онлайн, онлайн калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений методом разложения на множители, решение квадратных уравнений методом коэффициентов, решение квадратных уравнений методом переброски, решение квадратных уравнений маткад, решение квадратных уравнений методом подстановки, калькулятор квадратных уравнений с минусом, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел, решение квадратных уравнений не через дискриминант, решение квадратных уравнений на паскале, решение квадратных уравнений на с++, решение квадратных уравнений неполных, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел онлайн, задания на решение квадратных уравнений, задачи на решение квадратных уравнений, примеры на решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений онлайн с комплексными корнями, решение квадратных уравнений онлайн с минусом, решение квадратных уравнений онлайн по теореме виета, решение квадратных уравнений онлайн через дискриминант, решение квадратных уравнений объяснение, решение квадратных уравнений огэ, решение квадратных уравнений онлайн тест, решение квадратных уравнений по теореме виета, решение квадратных уравнений примеры, решение квадратных уравнений питон, решение квадратных уравнений презентация, решение квадратных уравнений паскаль, решение квадратных уравнений по коэффициентам, решение квадратных уравнений по фото, п-25 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений разложение на множители, решение квадратных уравнений разными способами, решение квадратных уравнений решить, калькулятор квадратных уравнений с решением, решение квадратных уравнений самостоятельная работа, решение квадратных уравнений онлайн калькулятор, калькулятор квадратных уравнений с подробным решением, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, решение квадратных уравнений с модулем, с 25 решение квадратных уравнений, с-26 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений теорема виета, решение квадратных уравнений тест, решение квадратных уравнений теорема виета онлайн, решение квадратных уравнений теория, решение квадратных уравнений тренажер, решение квадратных уравнений теоремы, решение квадратных тригонометрических уравнений, решение квадратных тригонометрических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений. урок 4 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 5 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6, решение квадратных уравнений. урок 7, решение квадратных уравнений. урок 4, решение квадратных уравнений. урок 3, решение квадратных уравнений урок, решение квадратных уравнений формулы, решение квадратных уравнений формула дискриминанта, решение квадратных уравнений по формуле 8 класс презентация, решение квадратных уравнений по формуле виета, решение квадратных уравнений по формуле корней, решение квадратных уравнений вывод формулы, формулы квадратных уравнений 8 класс, формула квадратных уравнений, c-25 решение квадратных уравнений, c-26 решение квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант онлайн, решение квадратных уравнений через теорему виета, решение квадратных уравнений через коэффициент, решение квадратных уравнений через k, решение квадратных уравнений через дискриминант примеры, решение квадратных уравнений через комплексные числа, решение квадратных уравнений эксель, решение квадратных уравнений 10 класс, решение квадратных уравнений вариант 1, 1 квадратный метр калькулятор, решение квадратных уравнений с 2 переменными, решение квадратных уравнений с-25, решение квадратных уравнений 3 степени, калькулятор уравнений 3 класс, калькулятор уравнений 3 степени, решение квадратных уравнений 4 степени, решение квадратных уравнений. урок 4 установите соответствие, калькулятор уравнений 4 класс, калькулятор уравнений 4 степени, 5 квадратных уравнений с решением, 5 квадратных уравнений, калькулятор уравнений 5 класс, 5 квадратных метров сколько см, решение квадратных уравнений 6 класс, решение квадратных уравнений. урок 6 из равенства, уравнение 6 класс калькулятор, 6 квадратных корней из 3, решение квадратных уравнений 7 класс, формулы квадратных уравнений 7 класс, калькулятор уравнений 7 класс, решение квадратных уравнений 8 класс, решение квадратных уравнений 8 класс презентация, решение квадратных уравнений 8 класс самостоятельная работа, решение квадратных уравнений 8 класс примеры, решение квадратных уравнений 8 класс видеоурок, решение неполных квадратных уравнений 8 класс, графическое решение квадратных уравнений 8 класс, тренажер решение квадратных уравнений 8 класс, 8 класс решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений 9 класс, квадратные уравнения примеры, квадратные уравнения онлайн, квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения формулы, квадратные уравнения самостоятельная работа, квадратные уравнения примеры с ответами, квадратные уравнения через дискриминант, квадратные уравнения задания, квадратные уравнения алгебра 8 класс, квадратные уравнения алгоритм, квадратные уравнения а+b+c=0, квадратные уравнения алгебра, квадратные уравнения аналитические и аналитические методы решения, квадратные уравнения на английском, неполные квадратные уравнения алгоритм, решение квадратного уравнения ассемблер, а-8 квадратные уравнения, а что такое квадратные уравнения, а-8 к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения без с, квадратные уравнения без корней, квадратные уравнения бывают, квадратные уравнения без б, квадратные уравнения без дискриминанта, квадратные уравнения без корней примеры, квадратные уравнения с большими коэффициентами, дискриминант квадратного уравнения больше нуля, биквадратные уравнения, биквадратные уравнения 8 класс, биквадратные уравнения примеры, биквадратные уравнения задания, биквадратные уравнения самостоятельная работа, биквадратные уравнения калькулятор, биквадратные уравнения тренажер, биквадратные уравнения огэ, квадратные уравнения вариант 2, квадратные уравнения вариант 1, квадратные уравнения в каком классе, квадратные уравнения виды, квадратные уравнения видеоурок, квадратные уравнения виета, квадратные уравнения в древнем вавилоне, квадратные уравнения в трудах диофанта, в каком классе квадратные уравнения, квадратные уравнения в жизни, в каком классе учат квадратные уравнения, квадратные уравнения в комплексных числах, квадратные уравнения график, квадратные уравнения где дискриминант равен 0, квадратные уравнения гдз, квадратные уравнения графическое решение, коэффициенты квадратного уравнения график, готовые квадратные уравнения, гдз квадратные уравнения, где применяются квадратные уравнения, уравнения квадратные примеры, задачи квадратные уравнения, квадратные уравнения дискриминант, квадратные уравнения дискриминант примеры, квадратные уравнения для решения, квадратные уравнения дроби, квадратные уравнения дискриминант онлайн, квадратные уравнения для чайников, квадратные уравнения для 8 класса, квадратные уравнения доклад, дробные квадратные уравнения, дробные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения егэ, квадратные уравнения если дискриминант равен 0, квадратного уравнения если дискриминант равен нулю, квадратные уравнения и его корни, квадратные уравнения и его корни 8 класс, как решать квадратные уравнения если нет с, как решать квадратные уравнения если дискриминант отрицательный, квадратные уравнения с параметром егэ, квадратные уравнения excel, тема квадратные уравнения, квадратные уравнения с параметром, квадратные уравнения в реальной жизни, квадратные уравнения в повседневной жизни, квадратные уравнения в нашей жизни, квадратные уравнения задачи, квадратные уравнения задания с ответами, квадратные уравнения задания 8 класс, квадратные уравнения задачи повышенной сложности, квадратные уравнения задачи 8 класс, квадратные уравнения зачем нужны, задания квадратные уравнения, задачи квадратные уравнения 8 класс, задачи на квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения и неравенства, квадратные уравнения история, квадратные уравнения и их решения, квадратные уравнения и способы их решения, квадратные уравнения исследовательская работа, квадратные уравнения и графики, квадратные уравнения и его корни видеоурок, линейные и квадратные уравнения, комплексные числа и квадратные уравнения, квадратные уравнения урок, квадратные уравнения теория, квадратные уравнения решить, квадратные уравнения решать, уравнения квадратные онлайн, уравнения квадратные, квадратные уравнения как решать, квадратные уравнения калькулятор, квадратные уравнения контрольная работа, квадратные уравнения какой класс, квадратные уравнения карточки, квадратные уравнения комплексные числа, квадратные уравнения конспект, квадратные уравнения какие бывают, к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения легкие, квадратные логарифмические уравнения, квадратные линейные уравнения, квадратные уравнения в лазарусе, любые квадратные уравнения, легкие квадратные уравнения, квадратные уравнения с логарифмами, квадратные уравнения метод переброски, квадратные уравнения мерзляк, квадратные уравнения метод выделения полного квадрата, квадратные уравнения метод интервалов, квадратные уравнения метод, квадратные уравнения метод хорд, квадратные матричные уравнения, квадратные уравнения с модулем, м квадратные в метры, м квадратные в метры кубические, м квадратные в га, м квадратные в гектары, м квадратные в км квадратные, квадратные уравнения неполные, квадратные уравнения неполные примеры, квадратные уравнения неравенства, квадратные уравнения не имеющие корней, квадратные уравнения на питоне, квадратные уравнения на теорему виета, квадратные уравнения нахождение корней, не приведенные квадратные уравнения, сложные квадратные уравнения примеры, сложные квадратные уравнения, на квадратные ногти, квадратные уравнения огэ, квадратные уравнения основные понятия, квадратные уравнения онлайн тест, квадратные уравнения общего вида, квадратные уравнения объяснение, квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения открытый урок, все о квадратных уравнениях, квадратные уравнения примеры с решением, квадратные уравнения примеры 8 класс, квадратные уравнения по теореме виета, квадратные уравнения презентация, квадратные уравнения примеры огэ, квадратные уравнения полные и неполные, примеры квадратные уравнения 8 класс, полные квадратные уравнения тренажер, полные квадратные уравнения примеры, полные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения решение, квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений, квадратные уравнения решу огэ, квадратные уравнения решение через дискриминант, квадратные уравнения раскрытие скобок, квадратные уравнения рэш, р квадрат, квадратные уравнения реферат, квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения самостоятельная работа с ответами, квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения с комплексными числами, квадратные уравнения с дискриминантом, задачи с квадратными уравнениями, примеры с квадратными уравнениями, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, квадратные уравнения теорема виета, квадратные уравнения тренажер, квадратные уравнения тест, квадратные уравнения теорема виета примеры, квадратные уравнения теорема виета вариант 1 ответы, квадратные уравнения теорема виета самостоятельная работа, квадратные уравнения тест 8 класс, тест квадратные уравнения, таблица квадратных уравнений, тренажер квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения упражнения, квадратные уравнения урок 8 класс, квадратные уравнения урок презентация, когда у квадратного уравнения бесконечно много корней, квадратные уравнения формулы сокращенного умножения, квадратные уравнения формула дискриминанта, квадратные уравнения формула виета, квадратные уравнения формулы корней, квадратные уравнения фипи, квадратные уравнения фото, квадратного уравнения формула решение, формулы квадратные уравнения, формулы квадратных уравнений 8 класс, квадратные уравнения в химии, дискриминант квадратного уравнения х2+5х-6=0 равен, квадратные уравнения в трудах аль хорезми, х квадратного уравнения, x квадратного уравнения, квадратные уравнения с целыми корнями, квадратные уравнения через дискриминант примеры, квадратные уравнения через теорему виета, квадратные уравнения через k, квадратные уравнения через виета, квадратные уравнения что это, квадратные уравнения частные случаи, квадратные уравнения что такое, сложные квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения со скобками, квадратные уравнения список, квадратные уравнения с одним корнем, квадратные уравнения с дробями, онлайн квадратные уравнения, квадратные уравнения в excel, квадратные уравнения в питоне, квадратные уравнения это, неполные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в эксель, приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в экономике, полные квадратные уравнения это, не приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения дискриминант это, ютуб квадратные уравнения, урок квадратные уравнения, урок квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения якласс, квадратные уравнения является, неполные квадратные уравнения якласс, дискриминант квадратного уравнения якласс, коэффициенты квадратного уравнения якласс, корни квадратного уравнения якласс, графиком квадратного уравнения является парабола, якласс квадратные уравнения, квадратные уравнения d=0, квадратные уравнения дискриминант равен 0, квадратные уравнения с дискриминантом 0, квадратные уравнения дискриминант равен 0 примеры, квадратные уравнения x2-9=0, квадратные уравнения a+b+c=0, 0 в квадрате равен 1, 0 в квадрате, 0 в квадрате это, квадратные уравнения 11 класс, квадратные уравнения 10 класс, квадратные уравнения 1 вариант, квадратные уравнения 1 корень, квадратные уравнения примеры 10 класс, тренажер квадратные уравнения вариант 1 ответы, 1. 3.2 квадратные уравнения, 1.3.2 квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения с 2 переменными, тренажер квадратные уравнения вариант 2, 2 квадратных уравнений, 2 формула квадратного уравнения, контрольная работа 2 квадратные уравнения, решите неполные квадратные уравнения 3×2-12=0, тренажер квадратные уравнения вариант 3, 3 квадратных уравнений, тест 3 квадратные уравнения вариант 1, глава 3 квадратные уравнения, 3 формулы квадратного уравнения, зачет номер 3 квадратные уравнения, контрольная работа 3 квадратные уравнения, квадратные уравнения 40 вариантов, квадратные уравнения с 4 степенью, дискриминант квадратного уравнения 4х2–5х+2=0 равен, тренажер квадратные уравнения вариант 4, тема 4 квадратные уравнения с-34, тест 4 квадратные уравнения вариант 1, тема 4 квадратные уравнения с-35, глава 4 квадратные уравнения, тема 4 квадратные уравнения с-33, тема 4 квадратные уравнения с-37, тема 4 квадратные уравнения с-39, контрольная работа 4 квадратные уравнения, квадратные уравнения 5 класс, корни квадратного уравнения 5x^2+20=0, квадратные уравнения контрольная работа 5, 5 квадратных уравнений, к-5 квадратные уравнения 8 класс, кр 5 квадратные уравнения ответы, к-5 квадратные уравнения вариант а2, контрольная работа 5 квадратные уравнения, квадратные уравнения 6 класс, контрольная работа номер 6 квадратные уравнения, квадратные уравнения 7 класс, квадратные уравнения 7 класс примеры, формула квадратного уравнения 7 класс, решение квадратного уравнения 7 класс, как решать квадратные уравнения 7 класс, алгебра 7 класс квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания с ответами, квадратные уравнения 8 класс примеры, квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа, квадратные уравнения 8 класс примеры с ответами, квадратные уравнения 8 класс презентация, квадратные уравнения 8 класс контрольная работа, квадратные уравнения 8 класс как решать, 8 класс квадратные уравнения, 8 класс алгебра квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания, квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения 9 класс примеры, квадратные уравнения 9 класс огэ, квадратные уравнения 9 класс задания, неполные квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения с параметром 9 класс, как решать квадратные уравнения 9 класс,

    Ошибка этого доказательства заключается в том, что уравнение (б) отвечает лишь за само себя, а не за всю систему.

    Для всей системы надо решить общее уравнение

    Или же если вернуться к обозначению этого уравнения в величинах Х, У, Z

    и т.д.

    Но, алгоритм, был найден именно благодаря представленному “решению”.

    Лично я могу вернуться к решению этого уравнения в осенне-зимний период.

    Уравнение Пелля.

    (1)

    Рассмотрим 3 варианта:

    — I Х — чётное число, У — нечётное число, n — нечётное число;

    — II Х — нечётное число, У — нечётное число, n — чётное число;

    — III Х — нечётное число, У — чётное число, n – любое, и чётное, и нечётное число.

    И всегда Х > У

    Вариант I.

    Составим функциональное уравнение.

    , где, конечно же, 1 > 2

    Возьмём к = — 2,тогда

    После преобразований

    (2)

    где ; .

    Окончательно, после подстановки будет

    , где n = 3, 15 . . . . .

    Проверим при n = 3

    а) ,

    б) ,

    Подставим (а) в уравнение (1)

    Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет

    Подставим (б) в уравнение (1)

    Для

    Проверка даёт

    Для

    Проверка даёт

    Составим последующее функциональное уравнение.

    После упрощения

    где ,

    После подстановки

    Следующее функциональное уравнение примет вид

    После упрощения

    где ,

    После подстановки

    Получилась система бесконечных решений:

    (3)

    …………………………..

    Вариант II.

    Функциональное уравнение примет вид.

    После преобразований будет

    , где n чётные числа n = 8, 24 ……

    Само же выражение идентично формуле (2).

    Система бесконечных решений примет вид системы (3).

    Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах.

    Вариант III.

    Также напишем функциональное уравнение.

    Опускаю все вычисления, — напишу окончательный результат:

    …………………………..

    Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, — для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.

    Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:

    ,

    а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.

    Уравнение

    . (1)

    (У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В)

    Рассмотрим 4 варианта:

    — I У — нечётное число, Х — нечётное число, К — чётное число;

    — II У — нечётное число, Х — чётное число, К — нечётное число;

    — III У — чётное число, Х — чётное число, К — чётное число;

    — IV У — чётное число, Х — нечётное число, К — нечётное число.

    Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, — в обоих уравнениях наличие двух переменных.

    Вариант I.

    Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно 1>2

    Тогда будет

    (2)

    Получилась система уравнений (1) и (2).

    Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.

    Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.

    ,при m≥1.

    Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

    Получится возрастающий ряд K.

    Этому ряду K соответствует ряд разностей:

    У—Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

    У—Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

    Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

    1) У—Х=2 K=8

    2) У—Х=4 K=24

    3) У—Х=6 K=48

    4) У—Х=8 K=80

    1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8

    Х1=1 Х2=2 Х3=-2

    У1=3 У2=4 У3=0

    K=8 K=8 K=8

    2) У=Х+4

    Х=1

    У=5

    K=24

    3) У=Х+6

    Х=1

    У=7

    K=48

    4) У=Х+8

    Х1=1 Х2=4 Х3=-4

    У1=9 У2=12 У3=4

    K=80 K=80 K=80

    Вариант II.

    (3)

    Подставляем в (3), получаем

    , m≥1.

    При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;

    Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:

    У—Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У—Х=-3, -5, -7, -9….

    Вариант III.

    После подстановки 1, 2, окончательно получим

    , m≥1.

    При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….

    Этому ряду K соответствует ряд разностей:

    У—Х=0, 2, 4, 6…. ; У—Х=-4, -6, -8, -10….

    Вариант IV.

    , m≥1.

    При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

    Этому ряду K соответствует ряд разностей:

    У—Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У—Х=-3, -5, -7, -9, -11….

    Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

    Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

    — I У — чётное число, Х — нечётное число;

    — II У — чётное число, Х — чётное число, всегда У > Х, и как следствие 1>2.

    Вариант I.

    Т.к.

    Тогда

    После подстановки

    Вариант II.

    Сразу пишу ответ

    И после всех преобразований и подстановок

    Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

    Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.

    Не рассмотрена ситуация У < Х.

    Иррациональные корни уравнения

    .

    Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

    Рассмотрим 2 варианта:

    — I Х — чётное число, У — нечётное число;

    — II Х — нечётное число, У — чётное число.

    Всегда Х > У

    Вариант I.

    Функциональное уравнение общего вида будет:

    , где , (1)

    Преобразования изображу подробно

    (2)

    В уравнении (1) ,

    Тогда ,

    Значения и подставим в формулу (2)

    Исходное уравнение

    запишем в виде

    Тогда

    До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

    (3)

    Вариант II.

    , где , (4)

    Преобразования без комментариев.

    (5)

    В уравнении (4)

    Тогда ,

    Значения и подставим в формулу (5)

    И сразу пишу систему решений

    (6)

    Итого: иррациональными решениями уравнения

    являются две системы уравнений (3) и (6).

    Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

    Что наибольший общий делитель чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор

    Главная > Идеи > Что наибольший общий делитель чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор

    Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

    Основные понятия

    Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

    Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

    Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

    Нахождение НОД

    Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

    • последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
    • разложение чисел на неделимые множители;
    • алгоритм Евклида;
    • бинарный алгоритм.

    Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

    Нахождение НОК

    Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

    НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

    Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

    Взаимно простые числа

    Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

    Калькулятор общего делителя и кратного

    При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

    Примеры из реальной жизни

    Общий знаменатель дробей

    Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

    1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

    Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

    • 360/8 = 45
    • 360/9 = 40
    • 360/12 = 30
    • 360/15 = 24
    • 360/18 = 20.

    После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

    45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

    Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

    Решение линейных диофантовых уравнений

    Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

    Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

    Заключение

    НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

    Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

    Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
    Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
    Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

    Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

    Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

    Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
    48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
    Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
    Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

    Чтобы найти наибольший общий делитель

    2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
    3) найти произ ведение оставшихся множителей.

    Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
    Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

    Наименьшее общее кратное (НОК)

    Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
    Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
    Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

    Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

    Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
    1) разложить их на простые множители;
    2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
    3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
    4) найти произведение получившихся множителей.

    Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
    Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

    Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
    Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
    Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
    Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    Например :

    Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

    Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

    Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12.

    Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

    Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

    Пример : НОД (12; 36) = 12.

    Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

    Пример:

    НОД (7; 9) = 1

    Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

    Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.

    Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

    • Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
    • Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
    • Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

    Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

    • Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

    и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

    Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

    Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

    Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

    где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

    Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

    — это и есть искомый НОД.

    Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа — результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

    Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

    1. Разложить делители чисел на простые множители:

    Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

    2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

    28 = 2 . 2 . 7

    64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

    3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

    НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД:

    Найти НОД 48 и 36.

    НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

    Второй способ записи НОД:

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

    Д (10) = {1, 2, 5, 10}

    Д (15) = {1, 3, 5, 15}

    Д (10, 15) = {1, 5}

    Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Обозначают НОД(a, b).

    Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:

  • 1 Разложим числа на простые множители:
    18 = 2 × 3 × 3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Вычеркнуть из разложения первого числа все множители которые не входят в разложения второго числа, получим 2 × 3 × 3 .
  • 3 Перемножаем оставшиеся простые множители после вычеркивания и получаем наибольший общий делитель чисел: НОД(18 , 60 )=2 × 3 = 6 .
  • 4 Заметим что не важно из первого или второго числа вычеркиваем множители, результат будет одинаков:
    18 = 2 × 3 × 3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 и 432

    Разложим числа на простые множители:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3 × 37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    В результате НОД(324 , 111 , 432 )=3

    Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида

    Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД , используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу .

    Рекуррентная формула для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b) , где a mod b — остаток от деления a на b.

    Алгоритм Евклида
    Пример Найти наибольший общий делитель чисел
    7920 и 594

    Найдем НОД(7920 , 594 ) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора.

  • НОД(7920 , 594 )
  • НОД(594 , 7920 mod 594 ) = НОД(594 , 198 )
  • НОД(198 , 594 mod 198 ) = НОД(198 , 0 )
  • НОД(198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0

      • В результате получаем НОД(7920 , 594 ) = 198

      Наименьшее общее кратное

      Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

      Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

      Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

      Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

      Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

      Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело .

      Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

      Как найти НОК

      НОК можно найти и записать двумя способами.

      Первый способ нахождения НОК

      Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

    1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
    2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

    Пример. Найти НОК 6 и 8 .

    Второй способ нахождения НОК

    Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
    НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ.
    Ответ: НОК (24, 60) = 120

    • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

    Особые случаи нахождения НОК

  • Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

    • Например, НОК (60, 15) = 60
    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

    Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

    Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

    Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
    • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .

      • Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.

      Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

      Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

      Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

      Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

      Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

      Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так :

      Пример: НОД (12; 36) = 12 .

      Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

      Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .

      Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

      Как найти наибольший общий делитель

      Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    • разложить делители чисел на простые множители;

      • Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

      Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

      Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
      28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
    Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
    НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД

    Найти НОД 48 и 36 .

    НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

    Второй способ записи НОД

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

    На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

    Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

    Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

    Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

    В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

    Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

    Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

    Чему равно НОК(68, 34) ?

    Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

    Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

    Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

    Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

    Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

    Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

    Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

    Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

    Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

    Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    НОК(441, 700)= 44 100 .

    Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

    Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

    Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

    Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

    Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

    Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

    Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

    Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

    Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

    Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

    Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

    НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

    Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

    Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

    Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

    Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

    Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

    Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .

    Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .

    Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .

    Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

    www.cleverstudents.ru

    Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК .

    НОД — это наибольший общий делитель.

    НОК — это наименьшее общее кратное.

    Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

    Наибольший общий делитель

    Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b a и b делятся без остатка.

    Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

    Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

    Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

    Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

    Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

    Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9 .

    Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

    12: 1 = 12
    (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

    12: 2 = 6
    (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

    12: 3 = 4
    (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

    12: 4 = 3
    (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

    12: 5 = 2 (2 в остатке)
    (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

    12: 6 = 2
    (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

    12: 7 = 1 (5 в остатке)
    (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

    12: 8 = 1 (4 в остатке)
    (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

    12: 9 = 1 (3 в остатке)
    (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

    12: 10 = 1 (2 в остатке)
    (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

    12: 11 = 1 (1 в остатке)
    (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

    12: 12 = 1
    (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

    Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

    9: 1 = 9
    (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

    9: 2 = 4 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

    9: 3 = 3
    (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

    9: 4 = 2 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

    9: 5 = 1 (4 в остатке)
    (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

    9: 6 = 1 (3 в остатке)
    (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

    9: 7 = 1 (2 в остатке)
    (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

    9: 8 = 1 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

    9: 9 = 1
    (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

    Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

    Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

    Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

    И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

    Значит НОД (12 и 9) = 3

    Второй способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

    Пример 1 . Найти НОД чисел 24 и 18

    Сначала разложим оба числа на простые множители:

    Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

    Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

    Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

    Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

    Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

    Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

    Значит НОД (24 и 18) = 6

    Третий способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

    Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

    Получили два разложения: и

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

    Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

    Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

    Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

    Раскладываем на множители число 100

    Раскладываем на множители число 40

    Получили два разложения:

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

    Перемножим оставшиеся числа:

    Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

    НОД (100 и 40) = 20.

    Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

    Раскладываем на множители число 72

    Раскладываем на множители число 128

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

    Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

    НОД (72 и 128) = 8

    Нахождение НОД для нескольких чисел

    Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

    Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

    Разложим на множители число 18

    Разложим на множители число 24

    Разложим на множители число 36

    Получили три разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

    Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

    Разложим на множители число 12

    Разложим на множители число 42

    Получили четыре разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

    Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

    Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — a и b a и число b .

    Определение содержит две переменные a и b . Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

    Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12 . Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12 .

    Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

    Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

    В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

    Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12.

    3 = 35$ — нелинейное диофантово уравнение.

    Не существует универсального метода решения нелинейных диофантовых уравнений, однако существует ряд «методов», которые могут помочь нам в решении некоторых специальных типов нелинейных диофантовых уравнений. На примерах мы покажем некоторые из этих методов. На самом деле можно сказать, что мы собираемся использовать несколько простых приемов, которые помогут нам в решении таких уравнений.

    Пример 1 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:

    $$xy + 5 y = 11.$$

    Решение .

    Разберем левую часть уравнения на множители:

    $$y(x + 5) = 11.$$

    Следовательно, произведение целых выражений $y$ и $x+5$ равно $11 $, а это возможно только в следующих случаях:

    а) $$y = 1, x+5= 11$$

    б) $$y = 11, x+5 = 1$$

    в) $$y = -1, x+5 = -11$$

    г) $$y = -11, x+5 =- 1$$

     

    Это означает, что решениями данного уравнения являются упорядоченные пары чисел $(x, y)$:

    $$(6, 1), (-4, 11), (-16, -1), (-6, -11).$$

    Пример 2 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:

    $$xy + x – 6y – 9 = 0.$$

    Решение .

    Действуя как в предыдущем примере, перепишем уравнение следующим образом: ) – 6 = 0$$

    $$(y +1) (x -3) = 6$$

    Так как $x, y \in \mathbb{Z}$, то $x-3, y+ 1 \in \mathbb{Z}$. Поэтому различаем следующие случаи:

    1. ) $$x – 3 = 6, y + 1 = 1$$

    2.) $$x -3 = 3, y +1 = 2$$

    3.)  $$x-3 = 2, y+1 = 3$$

    4.) $$x-3 = 1, y+1 = 6$$

    5.) $$x-3 = 6, y+1 = -1$ $

    6.) $$x-3 = -3, y+1 = -2$$

    7.) $$x-3 = -2, y+1 = -3 $$

    8.) $$x -3 = -1, y +1 = -6$$

    Решениями являются упорядоченные пары $(x, y)$: $( 9, 0), (6, 1), (5, 2 ), (4, 5), (-3, -2), (0, -3), (1, -4), (3, -7)$.

    Пример 3 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:

    $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{14}.$$

    Решение .

    В этом случае мы собираемся выразить одну из неизвестных $x$ или $y$; пусть это будет $y$. Умножив уравнение на $14xy$, мы получим:

    $$14y + 14 x = xy$$

    $$14 x = y( x -14)$$

    $$y = \frac{14x}{ x-14}$$

    Если мы разделим числитель на знаменатель, мы получим частное $14$ и остаток $196$. Следовательно:

    $y = 14 + \frac{196}{x-14}.$$

    Поскольку $y$ должно быть целым числом, $\frac{196}{x-14}$ также должно быть целым числом, и это будет для: $x = 15 , х = 16, х = 18, х = 21, х = 28, х = 63, х = 112, х = 210, х = 13, х = 12, х = 10, х = 7, х = -14, x = -35, x = -84, x = -182$, и для этих значений получаем по порядку: $y = 210, y = 112, y = 63, y= 42, y = 28, y= 18, у = 16, у = 15, у = -182, у = -84, у = -35, у = -14, у = 7, у = 10, у = 12, у = 13$.

    Полученные упорядоченные пары $(x, y)$ являются решениями данного уравнения. 92$$

    $$\Longleftrightarrow  3y = y – 4 \bigvee 3y = 4 – y.$$

     

    Отсюда следует $y = -2$ или $ y = 1$. Следовательно, в данном случае решениями данного уравнения являются:

    $$(x, y) = (-4, -2) , (-4, 1).$$

     

    5.1: Линейные диофантовые уравнения — Математика LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    7314
    • Pamini Thangarajah
    • Mount Royal University

    Мысли вслух

    Мэри пошла в парк и увидела машины с \(2\) и \(4\) колесами. Она пересчитала колеса. Когда она пришла домой, она сказала маме, что у машин, которые она видела, всего \(28\) колес. Ее мама спросила, у скольких автомобилей \(2\) колеса и у скольких автомобилей \(4\) колеса. Что ответила Мэри?

    Диофантово уравнение

    Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более целыми неизвестными.

    Линейное диофантово уравнение (ЛДУ) — это уравнение с двумя или более целыми неизвестными, каждое из которых имеет не более чем 1 степень.

    Линейное диофантово уравнение с двумя переменными принимает вид \(ax+by=c ,\) где \(x, y \in \mathbb{Z}\) и a, b, c — целые константы. х и у неизвестные переменные.

    А Однородный Линейное диофантово уравнение (HLDE) равно \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\). Обратите внимание, что \(x=0\) и \(y=0\) — это решение, называемое тривиальным решением этого уравнения.

    Пример \(\PageIndex{1}\):

    Пример однородного линейного диофантова уравнения:

    \(5x-3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\).

    В этом случае \(x= 3\), \(y=5\) является решением как есть \(x=6\), \(y=10\).
    Следовательно, \(x=3k \) и \( y=5k, k \in \mathbb{Z}\) представляют все решения.
    Проверка: \(5(3k)-3(5k)=15k-15k = 0.\)

    **** ПРИМЕЧАНИЕ**** В однородном линейном диофантовом уравнении в тот момент, когда уравнение представляет собой сложение, одна из переменных должна быть отрицательной.
    В случае \(5x+3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\), \(x= -3k\) и \(y= 5k, k \in\mathbb{Z}\ ) являются решениями.

    ТЕОРЕМА: Однородное линейное диофантово уравнение

    Пусть \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\) — линейное однородное диофантово уравнение.
    Если \(\gcd(a, b)=d\), то полное семейство решений приведенного выше уравнения равно
    \(x=\displaystyle \frac{b}{d} k,\) и \(y=-\displaystyle \frac{a}{d} k, k \in\mathbb{Z}\).

    Пример \(\PageIndex{2}\): Решите однородное линейное диофантово уравнение

    \(6x+9y=0, x, y \in \mathbb{Z}\).

    Решение:
    Обратите внимание, что НОД 6 и 9 равен 3. Следовательно, решения равны
    \(x= \frac{9k}{3}=3k\) и \(y= \frac{-6k {3}=-2k\) с \(k \in\mathbb{Z}\).

    Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.

    Решить линейное диофантово уравнение: \(ax+by=c, x, y \in\mathbb{Z}\).

    Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.

    Шаг 1: Определите НОД a и b. Предположим, \(\gcd(a, b)=d\).
    Шаг 2: Убедитесь, что НОД чисел a и b делится на c. ПРИМЕЧАНИЕ. Если ДА, перейдите к шагу 3. Если НЕТ, ОСТАНОВИТЕСЬ, поскольку решений нет.
    Шаг 3: Найдите конкретное решение \(ax+by=c\), сначала найдя \(x_0,y_0\) такое, что \(ax+by=d\). Предположим, что \(x=\frac{c}{d}x_0\) и \(y=\frac{c}{d}y_0\).
    Шаг 4 : Используйте замену переменных: пусть \( u=x-\frac{c}{d}x_0\) и \(v=y-\frac{c}{d}y_0\), тогда мы увидим, что \(au+bv=0\) (важно проверить результат).
    Шаг 5 : Решите \(au+bv=0\). То есть: \(u=-\frac{b}{d}m\) и \(v=\frac{a}{d}m, m \in\mathbb{Z}\).
    Шаг 6: Замените \(u\) и \(v\). Таким образом, общие решения таковы: \(x-\frac{c}{d}x_0=-\frac{b}{d}m\) и \(y-\frac{c}{d}y_0=\frac{a {d}m, m \in\mathbb{Z}\).

    Пример \(\PageIndex{3}\): Задача 9 «Крепкий орешек» с кувшином0003

    Решить линейное диофантово уравнение: \(5x+3y=4, x, y \in\mathbb{Z}\).

    Решение:
    Шаг 1: Определите НОД чисел 5 и 3 (a и b). Поскольку \(5(2)+3(-3)=1\), \(\gcd(5, 3)=1.\)
    Шаг 2: Поскольку \(1\mid 4\), мы перейдите к шагу 3.
    Шаг 3: Найдите частное решение \(5x+3y=4,x,y \in\mathbb{Z}\).
    Так как \(5(5)+3(-7)=4, x=5\) и \(y=-7\) является частным решением.
    Шаг 4: Пусть \(u=x-5\) и \(v=y+7.\) Примечание. Целое число, противоположное шагу 4, поэтому, если оно положительное на шаге 4, оно будет отрицательным на шаге 5, и наоборот.
    Тогда \(5u+3v= 5(x-5)+3(y+7)\)
    \(= 5x-25+3y+21\)
    \(=5x+3y-4\)
    \( = 4-4\) (поскольку уравнение имеет вид \(5x+3y=4\))
    \(=0.\)
    Шаг 5: Решить 5u+3v=0
    Общие решения: \(u= -3m\) и \(v=5m, m \in\mathbb{Z}\).
    Шаг 6: \(x-5=-3m\) и \(y+7=5m, m \in\mathbb{Z}\).
    Следовательно, общие решения равны \(x=-3m+5, y=5m-7, m \in\mathbb{Z}\).

    Пример \(\PageIndex{4}\):

    Решить линейное диофантово уравнение: \(2x+4y=21, x,y \in\mathbb{Z}\).

    Решение:
    Поскольку \(\gcd(2, 4)=2\) и \(2\) не делит \(21\), \(2x+4y=21\) не имеет решения .

    Пример \(\PageIndex{5}\):

    Решить линейное диофантово уравнение \( 20x+16y=500, x,y \in \mathbb{Z_+}\).

    Решение

    Оба \(x, y ≥ 0,500 = 20(x) + 16(y).\)

    Шаг 1: \(gcd(20, 16) = 4. \) Так как \(4 | 500\), мы ожидаем решения.

    Шаг 2: Решение: \(4125=20(1)(125)+16(-1)(125). \)

    \(500= 20(125)+16(-125)\ )

    Следовательно, \(x = 125\) и \( y = -125\) является решением задачи \( 500 = 20x + 16y.\)

    Шаг 3: Пусть u = x — 125 и v = y + 125.

    Предположим, что 20u + 16v = 20x — (20)(125) + 16y +(16)(125)

    = 20x +16y -[(20)(125) -(16)(125 )]

    =20x + 16y -500.

    Таким образом, 20u + 16v = 0,

    Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a, б). Напомним, НОД(20, 16) = 4,

    Таким образом, u = 16k/4 = 4k и v = -20k/4 = -5k, k ∈ ℤ.

    Шаг 5: Замените u и v.

    Рассмотрим 4k = x — 125 и -5k = y + 125.

    Следовательно, x = 4k + 125 и y = -5k — 125.

    Шаг 6 : И x, и y ≥ 0. x ≤ 25 и y ≤ 31, так как сумма равна 500.

    4k + 125 ≥ 0, k ≥ -125/4, ∴ k ≥ -31,25.

    4k + 125 ≤ 25, 4k ≤ -100, ∴k ≤ -25.

    Таким образом, возможны следующие решения:

    Пусть k = -25, тогда x = 25, y = 0.

    Пусть k = -26, тогда x = 21, y = 5.

    Пусть k = -27, тогда x = 17, y = 10.

    Пусть k = -28, тогда x = 13, y = 15.

    Пусть k = -29, тогда x = 9, y = 20.

    Пусть k = -30, тогда x = 5 , y = 25.

    Пусть k = -31, тогда x = 1, y = 30.

    Таким образом, варианты \((x,y\), удовлетворяющие данному уравнению, таковы:

    { (25,0) , (21,5), (17,10), (13, 15), (9, 20), (5, 25), (1,30)}

    В сборниках головоломок можно найти следующую задачу.

    Пример \(\PageIndex{6}\):

    Когда миссис Браун обналичила свой чек, рассеянный кассир дал ей столько центов, сколько у нее должно быть долларов, и столько долларов, сколько у нее должно быть центов. Столь же рассеянная миссис Браун ушла с наличными, не заметив несоответствия. Только после того, как она потратила 5 центов, она заметила, что теперь у нее вдвое больше денег, чем должна. Какова была сумма ее чека?

    Решение

    Пусть x — количество долларов, которое миссис Браун должна была получить, а y — количество центов, которые она должна была получить.

    Тогда 2(100x + y) = 100y + x — 5

    Обратите внимание на двойную первоначальную сумму, не тратя ни цента.

    200х + 2у = 100у + х — 5

    199х — 98у = -5.

    5 = — 199x + 98y

     

    Шаг 1: gcd(199,98) = 1. Так как 1 | 5, мы можем продолжить.

    Шаг 2: Решение 51=-199(-33)(5) + (98)(-67)(5)

    5 = -199(-165) + 98(-335).

    Следовательно, x = -165 и y = -335 являются решением 5 = 98y — 199x.

    Шаг 3: Пусть u = x + 165 и v = y + 335.

    Учтем, что -199u + 98v = -199(x + 165) + 98(y + 335)

    = -199x + 98y — [(199)(165) + (98)(335)]

    Таким образом -199u + 98v = -199x + 98y — 5 = 0.

    Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a,b).

    Напомним, gcd(199, 98) = 1.

    Таким образом, u = 98k и v = 199k, k ∈ ℤ.

    Шаг 5: Замените u и v.

    x + 165 = 98k и y + 335 = 199k, k ∈ ℤ.

    Следовательно, x = -165 + 98k и y = -335 + 199k.

    Шаг 6: Оба x и y ≥ 0 и оба x, y < 100

    -165 + 98k ≥ 0, поэтому k ≥ 1,68 + 98k < 100, 98k < 265, ∴ k < 2,70

    -335 + 199k < 100, 199k < 435, ∴ k < 2,18

    Так как 1,68 ≤ k < 2,18 и k ∈ ℤ, k = 2,

    Таким образом, x = 98(2) — 165 = 31 и y = -335 + 199(2) = 63.

    Таким образом, чек был на 31,63 доллара.

    Для проверки кассир дал миссис Браун 63,31 доллара, затем она потратила 5 центов, оставив ей 63,26 доллара, что в два раза превышает сумму чека \((2)(\31,63 доллара)=\63,26 доллара\).✔

    ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

    • Криптография
    • Создание различных комбинаций различных элементов.

    Эта страница под названием 5.1: Линейные диофантовые уравнения распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором которой является Памини Тангараджа.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Автор
        Памини Тангараджа
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Показать страницу Содержание
        да
      2. Теги
        1. расчет: да
        2. Диофантовы уравнения
        3. юпитер: питон
        4. Линейное диофантово уравнение

      Диофантовы уравнения

      Диофантовы уравнения

      Хорватский

      Андрей Дуйелла:

      Аспирантура     (2006/2007)

      Описание курса

      В этом курсе будут рассмотрены некоторые основные методы решения диофантовы уравнения.

      Мы подробно опишем результаты и алгоритмы, связанные с классические диофантовы уравнения, такие как уравнения Пеллиана и тернарные квадратичные формы. В этих уравнениях общий будут проиллюстрированы принципы решения диофантовых уравнений: приложения результатов диофантовых приближений, алгебраич. теория чисел и p -адический анализ.

      Изучим современные инструменты из диофантовых приближений (линейные формы в логарифмах алгебраических чисел, гипергеометрические метод рациональных приближений целых алгебраических чисел), который позволяют получить оценки сверху на размер решений различные типы диофантовых уравнений. Самые популярные методы для уменьшения этих верхних границ (метод Бейкера-Дэвенпорта на основе цепной дроби, редукция с использованием LLL-алгоритма) будет быть описаны. Проиллюстрируем на примерах, как описанное методы приводят к полному решению различных диофантовых задач. Эти задачи будут включать уравнения Туэ, целые точки на эллиптические кривые, системы уравнений Пеллиана и уравнения с рекурсивные последовательности.

      Предполагается, что учащиеся знакомы с основными понятия и результаты из теории чисел, на уровне, описанном в курс бакалавриата Введение в теорию чисел.

      Каталожные номера

      1. Н. П. Смарт: Алгоритмическое разрешение Диофанта Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1998.
      2. С. Алака, К. С. Уильямс: Введение в алгебраическую теорию чисел , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004.
      3. В. С. Энглин: Королева математики. Введение в теорию чисел , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1995.
      4. Г. Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Springer Verlag, Берлин, 2007 г.
      5. Г. Коэн: Теория чисел. Том II: Аналитические и современные инструменты , Springer Verlag, Берлин, 2007 г.
      6. И. Гаал: Диофантовы уравнения и базисы степенных интегралов , Биркхаузер, Бостон, 2002 г.
      7. WJ LeVeque: Темы по теории чисел. Тома I и II , Дувр, Нью-Йорк, 2002 г.
      8. Л. Дж. Морделл: Диофантовы уравнения , Academic Press, Лондон, 1969 год.
      9. Т. Наджелл: Введение в теорию чисел , Челси, Нью-Йорк, 1981 год.
      10. И. Нивен, Х. С. Цукерман, Х. Л. Монтгомери: Введение в теорию чисел , Уайли, Нью-Йорк, 1991.
      11. А. Петё: Algebraische Algorithmen , Vieweg, Braunschweig, 1999.
      12. В. М. Шмидт: Диофантово приближение и диофантово Уравнения , Springer-Verlag, Берлин, 1996.
      13. Т. Х. Шори, Р. Тайдеман: Экспоненциальная диофантовая Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1986 год.
      14. Дж. Х. Сильверман, Дж. Тейт: рациональных точек на эллиптике Кривые , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1992.
      15. В. Г. Сприндзук: Классические диофантовы уравнения , Springer, Берлин, 1993.
      16. J. Steuding: Диофантовый анализ , Chapman & Hall/CRC, Бока-Ратон, 2005 год.
      17. Б.М.М. де Вегер: Алгоритмы для диофантовых уравнений , Centrum voor Wiskunde en Informatica, Амстердам, 1989 год.
      18. У. Занье: Некоторые приложения диофантова аппроксимации к диофантовым уравнениям , Forum Editrice, Удине, 2003 г.

      Конспект лекций
      (в формате pdf ; на хорватском языке)

      Темы семинара
      Домашнее задание:

      ex1 ex2 отл3 отл4 ex5 ex6

      Некоторые (полезные) ссылки

      Семинар по теории чисел и алгебре (Загребский университет)
      Введение в число Теория — Бакалавриат (Андрей Дуйелла)
      Криптография — Бакалавриат (Андрей Дуйелла)
      Эллиптические кривые и их приложения в криптографии — Студенческий семинар (2002/2003)
      Программные пакеты, представляющие интерес для теории чисел
      Домашняя страница PARI/GP
      Калькулятор MAGMA
      Решатель уравнения Пелла (Майкл Цукер)
      Решатель квадратного диофантова уравнения (Дарио Альперн)
      Вт уравнения (Клеменс Хойбергер)
      Diophantine m -страница кортежей (Andrej Dujella)
      Страница десятой проблемы Гильберта (Максим Всемирнов, Юрий Матиясевич)
      Сеть по теории чисел
      Группы и семинары по теории чисел
      Рекомендуемая литература для аспирантов по теории чисел
      Анри Коэн: Явные методы решения диофантовых уравнений, Зимняя школа в Аризоне, 11-15 марта 2006 г.
      Учебная конференция «Разрешимость диофантовых уравнений», Лейден, 7-11 мая 2007 г.
      Андрей Дуйелла домашняя страница

      Решение линейных диофантовых уравнений | Изучение теории чисел

      Уравнения, подобные приведенным в следующем списке, всегда имеют решения в действительных числах. Когда мы фокусируемся только на целочисленных решениях, они называются линейными диофантовыми уравнениями. В этом посте мы обсудим, как работать с линейными диофантовыми уравнениями с двумя неизвестными. В частности, мы показываем, имея такое уравнение, как определить, есть ли у него решения, и, если они есть, как описать полное множество решений.

      Как указано выше, нас интересуют только целочисленные решения уравнения . Таким образом, под решением мы подразумеваем пару целых чисел, удовлетворяющих уравнению.

      Решение линейных диофантовых уравнений — это тема, которая является продолжением обсуждения алгоритма Евклида и расширенного алгоритма Евклида в этом предыдущем посте.

      Вот ход мысли. Чтобы решить линейное диофантово уравнение , где , и целые числа, первым шагом является нахождение наибольшего общего делителя и , используя алгоритм Евклида. Мы используем обозначение для обозначения наибольшего общего делителя. Как только мы узнаем , мы узнаем, имеет ли уравнение решения. Если у него есть решения, тот же алгоритм, который выводит НОД, сгенерирует конкретное решение уравнения (это расширенный алгоритм Евклида). По частному решению можно полностью описать множество решений уравнения . В следующем разделе мы обсудим этот мыслительный процесс более подробно.

      ___________________________________________________________________________________________________________________

      Как находить решения

      Мы демонстрируем метод, используя линейное диофантово уравнение , первое в приведенном выше списке, доказывая по ходу все необходимые леммы и теоремы. Мы работаем над теоремой 3 ниже, которая дает способ описать полное множество решений любого линейного диофантова уравнения (если оно имеет одно решение).

      Пусть . Уравнение всегда имеет решение. На самом деле это утверждение называется расширенным алгоритмом Евклида. Решение можно получить, работая в обратном направлении от алгоритма Евклида (когда мы используем его для получения НОД).

      Например, . Мы можем проследить шаги в поиске НОД, чтобы увидеть, что

        .

      Таким образом, пара и является решением уравнения . Основываясь на этом развитии, мы можем видеть, что всегда есть решение, если оно кратно . Например, уравнение имеет решения, поскольку мы имеем следующее:

        .

      Таким образом, пара и является решением уравнения , которое является первым линейным диофантовым уравнением, перечисленным в начале поста. Подытожим это обсуждение в следующей лемме.

      Лемма 1

      Пусть . Линейное диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда .

      Обозначение означает, что делится на .

      Доказательство леммы 1
      Приведенное выше обсуждение по существу показывает направление . Расширенный алгоритм Евклида показывает, что имеет решение и . Если для некоторого целого числа , то указывает, что пара и является решением .

      Направление следует из наблюдения, которое всегда делит левую часть . Таким образом, должно делить и правую часть, если уравнение не имеет решения.

      Оказывается, если мы можем найти одно решение линейного диофантова уравнения, мы можем найти бесконечно много решений.

      Лемма 2

      Если пара и является решением , то так же является следующая пара чисел

        и

      где любое целое число.

      Лемму 2 можно доказать, подставив новые решения в уравнение . Мы также можем заметить, что если мы увеличим на значение , мы увеличим левую часть уравнения на . С другой стороны, если мы уменьшим на величину , мы уменьшим левую часть уравнения на . Чистый эффект заключается в том, что левая часть уравнения остается неизменной.

      Используя лемму 2, следующее описывает бесконечно много решений уравнения .

        и для всех целых

      Но приведенный выше набор решений не является полным. Например, пара чисел и также является решением уравнения , но не приведена выше. Следующая теорема даст полный набор решений.

      Теорема 3

      Пусть . Если пара и является решением , то полный набор решений уравнения состоит из всех целых пар таких, что

      где любое целое число.

      Доказательство теоремы 3

      Предположим, что пара и является решением . Два момента, которые нужно показать. Во-первых, любая пара чисел в приведенной выше форме является решением. Другой заключается в том, что любое решение имеет вышеуказанную форму. Чтобы увидеть первый, обратите внимание, что

      Чтобы увидеть вторую точку, предположим, что пара чисел и является решением уравнения . У нас есть следующее.

      Перестановка и деление на , мы имеем следующее.

      Обратите внимание, что две дроби в последнем уравнении являются целыми числами, поскольку является наибольшим общим делителем и . Более того . Обратите внимание, что после сокращения всех общих простых множителей двух чисел получившиеся два числа должны быть взаимно простыми.

      На основании приведенного выше уравнения (1) число делится на . Потому что число не может делиться. Значит, число должно делиться. Итак, для некоторого целого числа мы имеем:

      Подключитесь к (1), у нас есть . Это приводит к следующему.

      Уравнения (2) и (3) показывают, что решение и имеет вид, указанный в теореме.

      На основании теоремы 3 полный набор решений уравнения выглядит следующим образом:

      где любое целое число.

      ________________________________________________________________________________________________________________________________

      Резюме

      Линейное диофантово уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда где .

      Если линейное диофантово уравнение разрешимо, его решение состоит из двух шагов.

      Шаг 1
      Сначала находим частное решение. Мы можем найти его методом проб и ошибок, если числа не слишком велики. В противном случае мы можем применить расширенный алгоритм Евклида. Обратите внимание, что если мы используем алгоритм Евклида для нахождения , мы можем просто работать в обратном направлении в алгоритме Евклида, чтобы найти решение уравнения , которое в терминах приводит к решению уравнения .

      Step 2
      Theorem 3 provides a way to desribe the complete solution set of the linear Diophantine equation based on the particular solution that is found in Step 1.

      ___________________________________________________________________________________________________________________

      More Examples

      Чтобы решить, нам нужно найти НОД числа и (знак минус можно опустить). Используем алгоритм Евклида.

      НОД равен , который делит . Итак, уравнение имеет решения. Нам нужно найти конкретное решение. Сначала мы работаем в обратном направлении от приведенных выше разделов, чтобы найти решение . Затем мы умножаем это решение на . Работая в обратном порядке, получаем:

      Итак, пара чисел и является решением . Таким образом, пара чисел и является решением . Таким образом, следующее полностью описывает множество решений .

      ________________________________

      Чтобы решить , обратите внимание , что НОД числа и равно , на которое не делится . Таким образом, уравнение не имеет решений.

      ________________________________

      Чтобы решить , сначала найдите НОД числа и . Применяем алгоритм Евклида.

      Таким образом, НОД равен 1. Значит, уравнение имеет решения. Чтобы получить одно конкретное решение, мы работаем в обратном направлении от вышеуказанных делений и получаем:

      Таким образом, и является конкретным решением для . Полный набор решений описывается:

      для любого целого числа .

      _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Это. Алгоритм Евклида (или алгоритм Евклида) является одним из наиболее часто используемых и наиболее распространенных математических алгоритмов, и, несмотря на тяжелые приложения, его удивительно легко понять и реализовать.

      В простейшей форме НОД двух чисел a, b — это наибольшее целое число k, которое делится на a и b без остатка. Мы будем обозначать его как gcd(a, b), что является стандартным представлением. Когда одно из чисел в паре равно 0, по определению НОД является вторым числом. Когда оба числа равны 0, наибольший общий делитель не определен, но предполагается, что он равен 0.

      Тривиальный алгоритм нахождения общего общего делителя двух чисел будет состоять в цикле от 1 до min(a, b) и проверьте для каждого числа, делится ли оно на a и b. Диапазон gcd(a, b) равен [1, min(a, b)] , потому что число не может делиться на другое число, меньшее его. По той же причине мы зацикливаемся от 1 до min(a, b) .

      Псевдокод для приведенной выше идеи:

       1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
  Пусть a, b будут числами, НОД которых мы вычисляем
Предположим, а <= б
Если а == 0
Возврат б
Эндиф
НОД = 1
для каждого я (1 <= я <= а)
Если а делится на i и b делится на i
НОД = я
Эндиф
Endfor
Вернуть НОД

      Другой способ найти gcd — запустить цикл от i = a до i = 1 и вернуть gcd при первом появлении «i», так что оно делит и a, и b. В обоих случаях временная сложность в худшем случае для этого алгоритма остается O(n) . Алгоритм Евклида, с другой стороны, дает нам способ вычислить наибольший общий делитель двух чисел в O(log(min(a,b))) . В этой статье будет представлен алгоритм Евклида для поиска НОД и его применения в соревновательном программировании.

      НЕКОТОРЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ С НОД

      Вы можете заметить, что НОД двух чисел не меняется, если большее число заменить разностью между двумя числами. Делая это неоднократно, в конце концов один из элементов станет 0, а НОД станет вторым элементом (который не равен нулю). С каждым запуском одно из чисел уменьшается, что гарантирует, что алгоритм в конечном итоге завершится.

      ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРАВИЛЬНОСТИ

      Пусть a равно p k и b равно q k, где k является НОД чисел a и b, и без ограничения общности предположим, что a <= b, т. е. p <= q.
      Теперь разность b-a = (q-p)*k, где q - p >= 0
      Видно, что НОД a и b-a также равен k.
      Повторив этот процесс дальше, в конце концов мы получим 0, а другое число равно k.

      Псевдокод вышеуказанной идеи:

       1
2
3
4
5
6
7
8
  НОД(а, б)
если а > б
swap(a, b) // сохраняем меньшую из пары
Эндиф
Если а == 0
Возврат b//назальный регистр
Эндиф
Вернуть gcd(b - а, а)

      Математически это можно представить как

       1
2
  gcd(a, b) = b, когда a = 0
gcd(b - a, a) иначе. .. Уравнение 1

      ДОПОЛНЕНИЕ К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ

      Тот же алгоритм можно немного улучшить, заменив большее число на b%a вместо b-a. b%a означает b по модулю a или остаток от деления b на a. Доказательство этого изменения находится в уравнении 1.
      Пусть НОД чисел a и b равно k. Следовательно, k|a и k|b, где p|q означает, что p делит q.
      Теперь по определению b%a = b - ⌊b/a⌋*a
      И b, и ⌊b/a⌋*a делятся на k; следовательно, b - ⌊b/a⌋*a также делится на k, что делает b%a | к. После этого момента мы можем повторить то, что мы сделали в уравнении 1, заменив каждое вычитание модулем.

      Тот же пример с 14 и 26

      14 26 заменить 26 на 26%14
      14 12 заменить 14 на 14%12
      2 12 заменить 12 на 12%2
      2 0

      Как только одно из чисел получается 0, выход, gcd - второе число.
      Вот некоторый псевдокод для вышеуказанного алгоритма:

       1
2
3
4
5
  НОД(а, б)
Если а == 0
Возврат б
Эндиф
Возвращает gcd(b % a, a)

      и повторный код

       1
2
3
4
5
6
7
  НОД(а, б)
а > 0
темп = б
б = а
а = темп% а
EndWhile
Возврат б
 99, но с помощью алгоритма Евклида мы можем вычислить наибольший общий делитель не более чем за тридцать шагов.  
       
       РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА 
       
       Расширенный алгоритм Евклида утверждает, что для любых двух положительных целых чисел a и b всегда найдутся m и n такие, что НОД чисел a и b можно представить как a * m + b * n. 
       
       Следовательно, 
        a * m + b * n = gcd(a, b)  для некоторых целых m и n они могут быть отрицательными или нулевыми. 
       
       В то время как алгоритм Евклида находит НОД двух чисел, расширенный алгоритм также позволяет нам представить это НОД в терминах этих двух чисел. Важность этого результата видна в следующей теме, линейных диофантовых уравнениях. 
       
       В этой оригинальной теореме Евклида операции заканчиваются, когда одно из чисел равно 0, а другое — g. Для этих параметров легко найти коэффициенты m и n, которые равны 
       
        0*0 + g*1 = g  …  Уравнение 2  
       
       Где 0 — это m, а 1 — это n, вместо 0, m можно принять целым числом, так как уравнения остаются верными; интересно видеть, что при изменении значений здесь мы получаем разные конечные значения m и n.  Например, если a = 3 и b = 5, то 
        3*(2) + 5*(-1) = 1 , а также 
        3*(-3) + 5*(2) = 1  . Итак, изменение значений m и n в базовом случае дает нам разные m и n для исходного уравнения. 
       
       Поменяв местами шаги теоремы Евклида, мы можем найти коэффициенты m и n. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, как значение m, n изменяется от (b%a, a) до (a, b). 
       
       Предположим, мы знаем некоторые x0 и y0 такие, что 
       
       1
2
3
4
  ах0 + (б % а) у0 = г
ax0 + (b - ⌊b / a⌋ * a) y0 = g
a(x0 - ⌊b / a⌋y0) + by0 = g
ам + бн = г
  
       Следовательно,  m = x0 - ⌊b/a⌋y0  
        n = y0 
       Псевдокод приведенного выше результата выглядит так:
       1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
  gcd(a, b, n, m) // Уравнение будет выглядеть как a*m + b*n = g
Если а == 0
м = 0, п = 1
Возврат б
КонецЕсли
хх, уу
g = gcd(b % a, a, xx, yy)
х = уу - ⌊b / а⌋ * хх;
у = хх;
Возврат г
  
       ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
       У нас есть три целых числа, a, b и c, такие, что  a * x + b * y = c  , нам требуется найти решение этого линейного уравнения. Линейные уравнения с двумя переменными известны как линейные диофантовые уравнения, и в решении этих задач помогает расширенный алгоритм Евклида.
       Давайте еще раз посмотрим на уравнение расширенного алгоритма Евклида, обозначим g как gcd(a, b), а x_g, y_g — целые числа, для которых:
        ax_g + by_g = g  верно *(c/g) + byg*(c/g) = c  также верно
       Следовательно, требуемый x равен  x_g*(c/g)  и  y = y_g*(c/g)  . Если c делится на  gcd(a, b)  , то линейное уравнение имеет одно или несколько решений; в противном случае это не так. Легко заключить, что линейная комбинация любого целого числа должна делиться на это число. 
       Таким образом, одно из решений приведенного выше линейного диофантова уравнения: функция, которую мы вычислили ранее:
       1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
  Find_one_solution (int a, int b, int c, int & m, int & n)
g = gcd(a, b, m, n)
Если с % г != 0
вернуть false // если c не делится на g, решения не существует
КонецЕсли
м = м * с / г
п = п * с / г
Если а < 0
м = -м
КонецЕсли
Если б < 0
п = -п
КонецЕсли
Вернуть истину
  
       ЗАКЛЮЧЕНИЕ
       Слава! Вы завершили его. Теперь вы можете решить любую задачу, использующую алгоритм Евклида или касающуюся поиска решений линейных уравнений. В соревновательном программировании большую часть времени проблемы не связаны с простой задачей вычисления НОД двух чисел. Все-таки часто это подзадача к решению какой-нибудь ДП или жадной, а точнее какой-нибудь математической задачи. Диофантовы уравнения редко приносят пользу, когда возникают такие проблемы, как «Сколькими способами можно    и    объединяются с  <условия>  и их сумма составляет    . " Всегда важно держать под рукой математическую теорему и алгоритмы, когда вы хотите повысить рейтинг.
       Нажмите, чтобы показать предпочтения! Нажмите, чтобы показать предпочтения! по шагам - www.TiNspireApps.com
       Решайте любые задачи по теории чисел — шаг за шагом — с помощью приложения Number Theory Made Easy на сайте www.TiNspireApps.com
       Посмотрите это видео, чтобы увидеть, как он может решать все задачи теории чисел:
       
       Решать простые числа, алгоритм Евклида, теоремы Коллатца, Безу, Ферма, Эйлера, Уилсона, закон взаимности, китайский остаток и т. д. Выполнять модульную арифметику в все уровни, найти НОД, НОК, сигма-нотацию, доказательство по индукции, решить диофантовые уравнения и любые другие уравнения, решить систему уравнений 2 × 2 и 3 × 3, решить арифметические и геометрические последовательности, комплексные числа, квадратные уравнения, заполнить квадрат , многочлены, выполнение полиномиального и синтетического деления, рациональная теорема о нуле, решение задач комбинаторики, включающих перестановки и комбинации. Теория игр, дилемма заключенных. Все проблемы можно решить ШАГ ЗА ШАГОМ
       Here is a listing of the app functionality:
      .
         Theorems & Conjectures
          Goldbach Conjecture
          Collatz Conjecture
          Twin Prime Conjecture
          Dirichlet's Box Principle
          Euclid : бесконечно много простых чисел.
          Теорема о простых числах
          Теорема Эйлера
          Fermat's Little Theorem
          Fermat's Last Theorem
          Wilson's Theorem
          Chinese Remainder Theorem
          Law of Quadratic Reciprocity
          Bezout Theorem
          Primes
          Найти простую факторизацию
          Список простых чисел между A и B
          Count Primes between A and B
          Find Prime greater/less than A
          Prime Checker
          Coprime Checker
          Euler's Phi(n)-function
          Find GCD & LCM
       Euclidean Algorithm находит GCD
       Расширенные Euclidean Algorithm
       Bezout Theorem
       Bezout Theorem
       Bezout Theorem
       Bezout Theorem
       BEZOUT Theorem
       (BEZOUT Theorem
      . 2+bx+c=0 mod m
              Legendre Symbol
              Law of Quadratic Reciprocity
          
            Integers
            Factor
            Expand/Distribute
            Найти НОД и НОД
            Список делителей числа N
            Sigma Σ-Notation
            Divisibility Rules
            Proof By Induction (Sums)
            Proof By Induction (Products)
           
           
              Diophantine Equations
              Count Integers given Range given N
              Подсчет целых чисел, кратных N и/или M
              Целочисленные решения 1 уравнения. с 2 переменными
              Целочисленные решения 1 уравнения. with 3 Variables
              Try: Non-Integer Solutions to 1 Equation
          
              
            Algebra
            Solve any Equation or Inequality
            Solve 2×2 system – Шаг за шагом
            Решить систему 3×3 – Шаг за шагом
            Упростить и оценить
            Powers
            Find Common Denominator
            Find Proper Fractions
            Solve Proportion (Ratio) Problems
            Absolute and Percent Change
           
        
                 Logic
                 Читать таблицы истинности
                 Читать законы высказываний
                 Read Conditional
                 Read BiConditional
                 Read Set Theory: 10 Facts
                 Read Set Theory: 9 Laws
           
           
              Polynomials & Sequences
              All -in-one-Polynomial Explorer
              Найти степень
              Найти корни
              Polynomial Division & Remainder
              Synthetic Division
              Explicit Sequence & Partial Sum
              Recursive Sequence & Partial Sum
              Sequence Formula Finder
              Geometric Sequence & Series
              Арифметическая последовательность
            
           
                 Quadratic Equations & Complex Numbers
                 Do the Quadratic Equation
                 Complete the Square
                 Complete the Square to find Zeros
                 Complete the Square to find Vertex
                 One Complex Номер : All-in-one-Explorer
                Два комплексных номера : All-in-one-Explorer
      
      Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом
      Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
      Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.
      Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.
      Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
      Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.
      для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α
      Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.
      Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
      для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α
      Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.
      Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
      В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:
       Определение 1
      Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.
      для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α
      Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.
      Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
      Они выглядят следующим образом:
      для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2
      Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.
      Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
      Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.
      -1≤α≤1,sin (arcsin α)=α-1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2-∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2-∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
      -1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2-1≤α≤1,cos (arccos α)=α-∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2-∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2
      -1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α-∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=αα≠0 ,tg (arcctg α)=1α
      α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α-1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2α≠0,ctg (arctg α)=1α-∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α
      Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.
       Пример 1
      Вычислите косинус арктангенса из 5.
      Решение
      У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2
      Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26
       Пример 2
      Вычислить синус арккосинуса 12.
      Решение
      Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2
      Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32
      Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32
      Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.
      Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
      Нужна помощь преподавателя?
      Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
       Описать задание
      Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:
      sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α
      Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:
      sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π
      У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.
      Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.
      Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.
      Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.
      Все наши расчеты можно сформулировать более емко:
      1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π
      Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2
      1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,
      Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2
      1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π
      Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
      Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.
      Их мы выведем по имеющемуся шаблону:
      1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что
      cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2
      1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
      2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
      следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2
      Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
      1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
      2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем
      tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).
      1. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.
      Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:
      ctgα=1tgα
      Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.
      Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
      Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.
      Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:
      arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0
      А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:
      arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1
      Формула выражения арктангенса:
      arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0
      Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:
      arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0
      Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.
      Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.
      Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:
      sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α
      Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.
      Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1
      Прочие формулы доказываются по аналогии.
      В завершение разберем один пример применения формул на практике.
       Пример 3
      Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.
      Решение 
      Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
      
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π
      В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
      Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
      Прочие формулы с обратными функциями
      Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.
      Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:
      sin2α2=1-cosα2
      Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:
      sinα2=1-cosα2
      Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:
      sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2
      Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:
      arccosα2=arcsin1-α2
      Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.
      В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.
      Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа
      1. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа.
      Преподаватель математики СПб СВУ МО РФ
       Лошак В.С.
      Уравнение sin x=a
       sin x a; a 1.
       y 1
       a
       0
       1
       x
       x 2 k ;
       x 2 k ;
       k Z.
       arcsin a
      3. АРКСИНУС ЧИСЛА
      Определение. Арксинусом числа
       a 1;1 
       называется
       такое число ;
       синус которого равен а
       ,
       2 2 
       sin arcsin a a,
       arcsin a ,
       2
       2
       1 a 1
      4. АРКСИНУС ЧИСЛА
      • Например
       2 
       arcsin
       ;
       2
       4
       arcsin 0 0;
       3
       arcsin
       ;
       3
       2
       т.к.
       т.к.
       т.к.
       2
       ; sin 
       .
       2 4 2
       4
       2
       2
       0 
       2
       ; sin 0 0.
       3
       ; sin 
       .
       2 3 2
       3 2
      5. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      y 1
       а
       arcsin a
       0
       1
       x
       -а
       arcsin a arcsin a
       arcsin a
      6. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      • Например
       2
       2
       1
       1 
       2 arcsin 3 arcsin
       2 arcsin 
       2
       2 
       2
       2
       3 
       13
       3 2 
       4
       6
       4
       3
       12
       1
       3
       2.
       2 arcsin 1 5 arcsin 0 
       arcsin 
       2
       2
       1. 3 arcsin
       1
       3
       arcsin
       2 5 0 
       2
       2
       2
       1 
       7
       2 3
       6
       6
      7. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      cos 1 sin 
       2
       arcsin a
       arcsin a ; 
       2 2 
       cos arcsin a 1 sin arcsin a 1 a
       2
       2
      8. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      sin(arcsina) = a
       • Например
       3 
       3
       sin arcsin
       2
       2
       6 6
       3.
       4. sin arcsin 
       7 7
       1 
       3
       5. cos arcsin cos 
       2 
       2
       6
       2
       2 
       2 
       4
       6. cos arcsin 1 1 
       25
       5 
       5 
       21
       25
       21
       5
       cos(arcsin a) =
       1 а2
      АРКСИНУС ЧИСЛА
       ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
       sin arcsin a a, arcsin a ; , a 1;1 
       2 2 
       arcsin a arcsin a
       cos arcsin a 1 a
       2
       arcsin sin , ; 
       2 2 
      10. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      • Например
       7. tg 5 arcsin 2 tg tg tg 1
       4
       4
       4 
       2
       1 
       1
       cos arcsin 
       1 
       1 
       3 
       9 
       8. ctg arcsin 
       1
       1 
       3 
       sin arcsin 
       3
       3 
       5
       8
       3 2 2
       9
      11. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
      • Например
       9.
       10.
       arcsin sin 
       5 
       5
       arcsin sin , ; 
       2 2 
       3 arcsin sin 2 
       arcsin sin 
       5 
       5 
       2
       2 
       arcsin sin 
       5
       5 
      12. Уравнение sinx=a
      sin x a, a 1
       y1
       arcsin a
       arcsin a
       a
       0
       x arcsin a 2 k
       x arcsin a 2 k , k Z
       1
       x
       x 1 arcsin a n, n Z
       n
       sin x 0
       x k , k Z
       sin x 1
       x 
       2
       2 k , k Z
       sin x 1
       x 
       2
       2 k , k Z
      13. Уравнение sinx=a
      x 1 arcsin a n, n Z
       n
       Пусть n-чётное число, n=2k, тогда
       x 1 arcsin a 2 k arcsin a 2 k , k Z
       2k
       Пусть n-нечётное число, n=2k+1, тогда
       x 1 
       2 k 1
       Итак
       arcsin a 2k 1 arcsin a 2 k , k Z
       x arcsin a 2 k
       x arcsin a 2 k , k Z
      14. Уравнение sinx=a
      • Пример
       1.
       1
       2 x arcsin 2 2 k
       2 x arcsin 1 2 k
       2
       x 12 k
       , k Z.
       x 5 k
       12
       1
       sin 2 x 
       2
       2 x 6 2 k
       ;
       ; 
       2 x 2 k
       6
       2
       x
       2 k
       6
       2 x 5 2 k ;
       6
       или
       1
       2 x 1 n arcsin n;
       2
       2 x 1 n 
       x 1 
       n
       6
       12
       n
       n
       2
       ;
       , n Z.
      15. Уравнение sinx=a
      Пример 2.
       1
       sin x 
       4 
       2
       1 
       x 4 arcsin 2 2 k
       ;
       1 
       x
       arcsin
       2 k
       4
       2 
       x 4 4 2 k
       ;
       x 2 k
       4
       4
       1
       x
       arcsin
       2 k
       4
       2
       ;
       x arcsin 1 2 k
       4
       2
       x 2 k
       3
       x 2 k , k Z .
       2
      16. Уравнение sinx=a
      • Пример 2.
       1
       sin x 
       4 
       2
       или
       1 
       x 1 arcsin 
       n;
       4
       2 
       1 
       n 
       x 1 arcsin
       n;
       2 4
       n
       x 1 
       n 1
       4
       4
       n, n Z .
       x 2 k
       3
       x 2 k , k Z .
       2
      17. Уравнение sinx=a
      • Пример 3.
       3sin x 1 2 sin x 1 0
       3sin x 1 0;
       2 sin x 1 0;
       1
       sin x ;
       3
       1
       sin x ;
       2
       1
       x 1 arcsin n, n Z .
       3
       n
       1
       x arcsin 2 2 k
       ;
       x arcsin 1 2 k
       2
       x
       2 k
       6
       , k Z.
       x 7 2 k
       6
      18. Уравнение sinx=a
      • Пример 4.
       sin x 2 cos x sin 3x 0
       sin x sin 3x 
       2 cos x 0
       2 sin 2 x cos x 2 cos x 0
       cos x 2 sin 2 x 2 0
       cos x 0
       2 sin 2 x 2 0
      19. Уравнение sinx=a
      • Пример 4.
       cos x 0
       sin x 2 cos x sin 3x 0
       2 sin 2 x 2 0
       2
       2
       sin 2 x 
       2
       x 
       2
       k , k Z .
       2 x 4 2 n
       ;
       2 x 2 n
       4
       x
       n
       8
       , n Z.
       x 5 n
       8
       тригонометрии — Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную?
       тригонометрия — Как можно вычислить $ \ sin (2 * \ arcsin (3/5)) $ вручную? — Обмен стеками математики
       Сеть обмена стеков
       Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
       Посетить Stack Exchange
      2.  0
      3.  +0
      6.  Авторизоваться
 Зарегистрироваться
       Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
       Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
       Кто угодно может задать вопрос
       Кто угодно может ответить
       Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
       Спросил 
       Просмотрено
 1к раз
       $ \ begingroup $
       Хотя достаточно просто зайти на Wolfram Alpha и увидеть, что ответ — 24/25, я хотел бы узнать, как доказать это вручную, если это возможно.К сожалению, arcsin (3/5) — трансцендентное число, и кажется, что оно состоит из бесконечных цифр.
       Есть ли способ оценить sin (2 * arcsin (3/5)) как 24/25, не переходя к компьютерным функциям?
       S.C.B.
       22.5k33 золотых знака3333 серебряных знака5858 бронзовых знаков
       Создан 23 янв.
       ГаленГален
       73444 серебряных знака1919 бронзовых знаков
       $ \ endgroup $  4  $ \ begingroup $
       Давайте использовать прямоугольный треугольник.2 \ theta = \ frac {16} {25}. $ Обратите внимание, что это не делает $ \ cos \ theta = — \ frac {4} {5} $ благодаря определению arcsin. 2} $$
$$ \ color {красный} {\ sin (2 \ arcsin \ dfrac35)} = 2 \ dfrac35 \ sqrt {\ dfrac {16} {25}} = \ color {blue} {\ dfrac {24} {25}}
       $

      Перевести на римские цифры онлайн: Римские цифры: онлайн конвертер

      alexxlab / / Разное

      Онлайн калькулятор — римские цифры

      0
      AC +/- ÷
      7 8 9 ×
      4 5 6 —
      1 2 3 +
      0 00 , =

      Для перевода в римские цифры, введите арабские цифры от 1 до 3 999

      Для перевода в арабские цифры, введите римские цифры от I до MMMCMXCIX

      Исходное число

      Римская система счисления
      Для обозначения римских чисел используется 7 букв латинского алфавита
      I = 1
      V = 5
      X = 10
      L = 50
      C = 100
      D = 500
      M = 1000
      Для того, чтобы записать число от 1 до 3999 в римской системе счисления достаточно семи приведенных выше цифр. Следует отметить, что цифры V, L, D — не могут повторяться, а цифры I, X, C, M — могут повторяться не более трех раз. Числа 1, 2, 3 образуются путем сложения единиц I, II, III. Для образования чисел, для записи которых нет соответствующей буквы латинского алфавита используют сложение, если большая цифра стоит перед меньшей или вычитание, если меньшая цифра стоит перед большей, в данном случае меньшая цифра не может повторяться.

      Таблица римских цифр от 1 до 3 999

      Вам могут также быть полезны следующие сервисы
      Калькуляторы систем счисления
      Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
      Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
      Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
      Системы счисления теория
      N2 | Двоичная система счисления
      N3 | Троичная система счисления
      N4 | Четырехичная система счисления
      N5 | Пятеричная система счисления
      N6 | Шестеричная система счисления
      N7 | Семеричная система счисления
      N8 | Восьмеричная система счисления
      N9 | Девятеричная система счисления
      N11 | Одиннадцатиричная система счисления
      N12 | Двенадцатеричная система счисления
      N13 | Тринадцатеричная система счисления
      N14 | Четырнадцатеричная система счисления
      N15 | Пятнадцатеричная система счисления
      N16 | Шестнадцатеричная система счисления
      N17 | Семнадцатеричная система счисления
      N18 | Восемнадцатеричная система счисления
      N19 | Девятнадцатеричная система счисления
      N20 | Двадцатеричная система счисления
      N21 | Двадцатиодноричная система счисления
      N22 | Двадцатидвухричная система счисления
      N23 | Двадцатитрехричная система счисления
      N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
      N25 | Двадцатипятеричная система счисления
      N26 | Двадцатишестеричная система счисления
      N27 | Двадцатисемеричная система счисления
      N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
      N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
      N30 | Тридцатиричная система счисления
      N31 | Тридцатиодноричная система счисления
      N32 | Тридцатидвухричная система счисления
      N33 | Тридцатитрехричная система счисления
      N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
      N35 | Тридцатипятиричная система счисления
      N36 | Тридцатишестиричная система счисления
      Дроби
      Калькулятор интервальных повторений
      Учим дроби наглядно
      Калькулятор сокращения дробей
      Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
      Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
      Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
      Калькулятор возведения дроби в степень
      Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
      Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
      Калькулятор сравнения дробей
      Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
      Калькуляторы (тригонометрия)
      Калькулятор синуса угла
      Калькулятор косинуса угла
      Калькулятор тангенса угла
      Калькулятор котангенса угла
      Калькулятор секанса угла
      Калькулятор косеканса угла
      Калькулятор арксинуса угла
      Калькулятор арккосинуса угла
      Калькулятор арктангенса угла
      Калькулятор арккотангенса угла
      Калькулятор арксеканса угла
      Калькулятор арккосеканса угла
      Калькулятор нахождения наименьшего угла
      Калькулятор определения вида угла
      Калькулятор смежных углов
      Калькуляторы (Теория чисел)
      Калькулятор выражений
      Калькулятор со скобками
      Калькулятор разложения числа на простые множители
      Калькулятор НОД и НОК
      Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
      Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
      Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
      Калькулятор деления числа в данном отношении
      Калькулятор процентов
      Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
      Калькулятор экспоненциальной записи чисел
      Калькулятор нахождения факториала числа
      Калькулятор нахождения логарифма числа
      Калькулятор квадратных уравнений
      Калькулятор остатка от деления
      Калькулятор корней с решением
      Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
      Калькулятор больших чисел
      Калькулятор округления числа
      Калькулятор свойств корней и степеней
      Калькулятор комплексных чисел
      Калькулятор среднего арифметического
      Калькулятор арифметической прогрессии
      Калькулятор геометрической прогрессии
      Калькулятор модуля числа
      Калькулятор абсолютной погрешности приближения
      Калькулятор абсолютной погрешности
      Калькулятор относительной погрешности
      Калькуляторы площади геометрических фигур
      Площадь квадрата
      Площадь прямоугольника
      КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
      Калькуляторы (Комбинаторика)
      Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
      Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
      Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
      Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
      Калькулятор сложения и вычитания матриц
      Калькулятор умножения матриц
      Калькулятор транспонирование матрицы
      Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
      Калькулятор нахождения обратной матрицы
      Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
      Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
      Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
      Калькулятор сложения и вычитания векторов
      Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
      Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
      Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
      Калькулятор смешанного произведения векторов
      Калькулятор умножения вектора на число
      Калькулятор нахождения угла между векторами
      Калькулятор проверки коллинеарности векторов
      Калькулятор проверки компланарности векторов
      Генератор Pdf с примерами
      Тренажёры решения примеров
      Тренажёр таблицы умножения
      Тренажер счета для дошкольников
      Тренажер счета на внимательность для дошкольников
      Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
      Тренажер решения примеров с разными действиями
      Тренажёры решения столбиком
      Тренажёр сложения столбиком
      Тренажёр вычитания столбиком
      Тренажёр умножения столбиком
      Тренажёр деления столбиком с остатком
      Калькуляторы решения столбиком
      Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
      Калькулятор деления столбиком с остатком
      Конвертеры величин
      Конвертер единиц длины
      Конвертер единиц скорости
      Конвертер единиц ускорения
      Цифры в текст
      Калькуляторы (физика)

      Механика

      Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
      Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
      Калькулятор вычисления времени движения
      Калькулятор времени
      Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
      Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
      Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
      Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
      Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

      Оптика

      Калькулятор отражения и преломления света

      Электричество и магнетизм

      Калькулятор Закона Ома
      Калькулятор Закона Кулона
      Калькулятор напряженности E электрического поля
      Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
      Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
      Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
      Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
      Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
      Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

      Конденсаторы

      Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
      Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
      Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
      Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
      Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
      Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
      Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
      Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
      Калькуляторы по астрономии
      Вес тела на других планетах
      Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
      Генераторы
      Генератор примеров по математике
      Генератор случайных чисел
      Генератор паролей

      Римские цифры перевод и таблица

      Так исторически сложилось, что способов записи цифр существует несколько. Из наиболее популярных можно отметить арабскую запись, которая и сейчас используется практически во всем мире, и римскую запись. Чаще всего римские цифры используют для записи веков.

      Римская запись чисел с использованием римских цифр является непозиционной системой счисления.

      На этой странице вы можете осуществить перевод римских цифр в арабские (русские) и наоборот арабское число в римское с помощью онлайн калькуляторов.

      Римские цифры набираются на клавиатуре большими латинскими буквами — I, V, X, L, C, D, M.

      Римские цифры в арабские

      Введите римское число:

      Допустимые символы — I, V, X, L, C, D, M.

      Некорректный символ. Введите I, V, X, L, C, D или M.

      всего расчетов — 5785

      Арабские цифры в римские

      Введите арабское десятичное число:

      Допустимые символы — 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9, 0.

      Некорректный символ. Введите 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 или 0.

      всего расчетов — 5785

      Соответствие римских и арабскиц цифр

      Римская цифраЧисло
      I1
      V5
      X10
      L50
      C100
      D500
      M1000

      Таблица римские цифры от 1 до 20

      Наиболее востребованными являются римские цифры от 1 до 20. Для вашего удобства сделали таблицу перевода.

      Арабское числоЧисло римскими цифрами
      1I
      2II
      3III
      4IV
      5V
      6VI
      7VII
      8VIII
      9IX
      10X
      11XI
      12XII
      13XIII
      14XIV
      15XV
      16XVI
      17XVII
      18XVIII
      19XIX
      20XX

      Века римскими цифрами

      Чаще всего римские цифры используют для записи дат, а конкретнее дней, месяцев или веков. В таблице указаны значения римских цифр от 1 до 31, чтобы можно было быстро переводить арабскую запись числа в римскую.

      Таблица веков римскими цифрами

      ВекВек римскими цифрами
      1I
      2II
      3III
      4IV
      5V
      6VI
      7VII
      8VIII
      9IX
      10X
      11XI
      12XII
      13XIII
      14XIV
      15XV
      16XVI
      17XVII
      18XVIII
      19XIX
      20XX
      21XXI
      22XXII
      23XXIII
      24XXIV
      25XXV
      26XXVI
      27XXVII
      28XXVIII
      29XXIX
      30XXX
      31XXXI

      Римские цифры до 100

      Огромная таблица римских цифр от 1 до 100.

      ЧислоЧисло римскими цифрамиЧислоЧисло римскими цифрамиЧислоЧисло римскими цифрамиЧислоЧисло римскими цифрамиЧислоЧисло римскими цифрами
      1I21XXI41XLI61LXI81LXXXI
      2II22XXII42XLII62LXII82LXXXII
      3III23XXIII43XLIII63LXIII83LXXXIII
      4IV24XXIV44XLIV64LXIV84LXXXIV
      5V25XXV45XLV65LXV85LXXXV
      6VI26XXVI46XLVI66LXVI86LXXXVI
      7VII27XXVII47XLVII67LXVII87LXXXVII
      8VIII28XXVIII48XLVIII68LXVIII88LXXXVIII
      9IX29XXIX49XLIX69LXIX89LXXXIX
      10X30XXX50L70LXX90XC
      11XI31XXXI51LI71LXXI91XCI
      12XII32XXXII52LII72LXXII92XCII
      13XIII33XXXIII53LIII73LXXIII93XCIII
      14XIV34XXXIV54LIV74LXXIV94XCIV
      15XV35XXXV55LV75LXXV95XCV
      16XVI36XXXVI56LVI76LXXVI96XCVI
      17XVII37XXXVII57LVII77LXXVII97XCVII
      18XVIII38XXXVIII58LVIII78LXXVIII98XCVIII
      19XIX39XXXIX59LIX79LXXIX99XCIX
      20XX40XL60LX80LXXX100C

      Римские цифры на клавиатуре

      Довольно часто возникает проблема при наборе римских цифр. Например, для того, чтобы вводить римские цифры в Ворде (Word) их набирают на клавиатуре с помощью латинских букв как показано на рисунке. Соответственно:

      • римская цифра 1 записывается как I,
      • римская цифра 2 записывается как II,
      • римская цифра 3 записывается как III,
      • римская цифра 4 записывается как IV,
      • римская цифра 5 записывается как V,
      • римская цифра 6 записывается как VI,
      • римская цифра 7 записывается как VII,
      • римская цифра 8 записывается как VIII,
      • римская цифра 9 записывается как IX,
      • римская цифра 10 записывается как X.

      Перевод числа в римскую цифру в Excel

      Мало кто знает, но в Excel есть встроенная функция для перевода арабских чисел в римские цифры. Для того, чтобы сделать перевод введите в ячейке «=РИМСКОЕ(21)» (без кавычек) и нажмите Enter. Excel поместит в ячейку римское число — XXI.

      Ваша оценка

      [Оценок: 57 Средняя: 3. 2]

      Римские цифры перевод и таблица Автор admin средний рейтинг 3.2/5 — 57 рейтинги пользователей

      перевод арабских цифр в римские, перевод в римскую систему счисления, ноль римскими цифрами. Римские цифры в десятичной системе счисления. Римские цифры перевод на русский таблица. Как перевести цифры в римские

      Римскими называют цифры древнеримской нотации (системы счисления). По историческим сведениям, они использовались еще за полтысячелетия до нашей эры древними этрусками — создателями довольно развитой культуры, предшествующей римской.

      Содержание статьи

      • Римские цифры до 20 с переводом
      • Запись чисел римскими цифрами: правила записи
      • Римская нумерация чисел
      • Перевод в римскую систему счисления
      • Перевод из римской системы счисления в десятичную
      • Римские цифры перевод на русский таблица
      • Ноль римскими цифрами
      • Перевод в римскую систему счисления в онлайн
      • Калькулятор римских чисел

      Наряду с более распространенными арабскими римские цифры применяют и сейчас: в оглавлениях научных трудов и книг, при нумерации столетий, указании валентности химических веществ, обозначении групп крови и в ряде других случаев. О правилах и нюансах простого и безошибочного перевода привычных для нас цифр в римские расскажем в статье.

      Римские цифры до 20 с переводом

      Запись чисел римскими цифрами: правила записи

      Римская нумерация чисел

      Сейчас для записи римских цифр применяют семь основных латинских символов. Их комбинации позволяют обозначить любое из чисел в промежутке от 1 до 3999.

      Символы римской системы счисления:

      • I (по-латински — unum) = 1;
      • V (guingue) = 5;
      • X (decem) = 10;
      • L (guinguaginta) = 50;
      • C (centum) = 100;
      • D (guingenti) = 500;
      • M (mille) = 1000.

      Перевод в римскую систему счисления

      Для безошибочного перевода десятичного числа в римскую нотацию достаточно разбить его на разряды. Определим, какое количество единиц, а также десятков, сотен и тысяч содержит число. После этого останется лишь записать их последовательно латинскими символами. Вначале укажем тысячи, затем — сотни, десятки, единицы.

      Так, в числе 25 содержатся пять единиц и два десятка; в 53 — три единицы, пять десятков, в 102 — две единицы и одна сотня. Запишем их символами последовательно: 25 = XXV; 53 = LIII; 102 = CII.

      Важно знать: один и тот же латинский символ в римской цифре не может повторяться более трех раз. Чтобы избежать повторов и сократить количество знаков, символы I, X, C при обозначении 9, 90, 900 ставят перед X, C M соответственно, а при обозначении 4, 40 и 400 — перед V, L и D. На первый взгляд, правило кажется сложным, однако такой вариант записи используют только для шести чисел, которые легко запомнить:

      • IV — для 4;
      • XL — для 40;
      • CD — для 400;
      • IX — для 9;
      • XC — для 90;
      • CM — для 900.

      Несколько примеров:

      Переведем в римскую нотацию число 96. Оно содержит шесть единиц и девять десятков. Если бы мы перечислили разряды, не используя приведенное выше правило, запись получилась бы длинной и сложной к прочтению: XXXXXXXXXIIIIII. Согласно правилу: 90 = 100 — 10 = XC, 6 = VI. Следовательно, число 96, переведенное в римскую систему, будет выглядеть как XCVI.

      Запишем римскими цифрами 253. Число содержит три единицы (III), пять десятков (L), две сотни (CC). В римской нотации 253 будет выглядеть как CCLIII.

      Следуя тем же принципам, мы сможем легко записать в римской нотации любое десятичное число: 49 = 9 + 40 = XLIX; 198 = 8 (VIII) + 90 (XC) + 100 (C) = CXCVIII; 2145 = 5 (V) + 40 (XL) + 100 (C) + 2000 (MM) = MMCXLV; 3818 = 8 (VIII) + 10 (X) + 800 (DCCC) + 3000 (MMM) = MMMDCCCXVIII.

      Как переводить в римскую систему числа, большие, чем 3999? Над всеми символами, означающими тысячи, проводят одинарную черту, над обозначающими миллионы — двойную.

      Перевод из римской системы счисления в десятичную

      Иногда требуются противоположные действия — перевод из римской системы в десятичную, чтобы правильно прочесть или записать то или иное число арабскими цифрами. Для этого важно понимать принципы записи всех римских цифр.

      Правила перевода цифр из римской нотации в десятичную:

      Принцип сложения. Если большие цифры находятся перед меньшими, их последовательно складывают. То есть, чтобы понять значение римского числа XXI, достаточно сложить 10 + 10 + 1 и получить результат — 21.

      Принцип вычитания. Если меньшая цифра предшествует большей, ее вычитают из большей. Вычитаются исключительно римские цифры, означающие либо единицу, либо степень десяти. Уменьшается при этом только цифра, которая записана рядом с вычитающейся. Так, для «расшифровки» числа LXXIX вначале вычтем меньшую цифру I (1), расположенную справа от X (10), и лишь затем сложим все цифры 50 + 10 + 10 + 9, чтобы получить результат — 79.

      Примеры:

      Переведем в десятичную систему римское число DLV. Латинский символ D соответствует десятичному числу 500; L = 50; V = 5. Складываем 500 + 50 + 5, получаем 555.

      Прочтем римское число MIM. M = 1000; I = 1. M + (M — I) = 1000 + (1000 — 1) = 1999.

      Прочтем число посложнее — MMMCDLXVII. Латинский символ M соответствует 1000; C означает 100; D = 500; L = 50; X = 10; V = 5; I = 1. M + M + M + (D — C) + L + X + V + I + I = 1000 + 1000 + 1000 + (500- 100) + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 3467.

      Римские цифры перевод на русский таблица

      Ноль римскими цифрами

      В современной римской системе счисления отсутствует ноль. Это единственное число, которое невозможно написать римскими цифрами. Хотя во времена Древнего Рима для нуля существовало обозначение N (от слова nihil — «ничто»).

      Перевод в римскую систему счисления в онлайн

      Чтобы обойтись без сложных вычислений при переводе десятичных чисел в римскую систему счисления и наоборот, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Найти удобный сервис в сети можно в считанные секунды, набрав поисковой строке браузера фразу «калькулятор римских чисел» или подобную.

      Калькулятор римских чисел

      Пользоваться калькулятором перевода в римскую систему счисления просто:

      Введем в окошко «Римское число» цифру, которую нужно перевести. К примеру, римскую цифру MMDCCLVIII.

      Нажмем клавишу «Перевести».

      Получим результат в графе «Десятичное число» — 2758.

      Таким же образом можно выполнить обратное действие — перевести арабское число в римскую нотацию.

      Конвертер церковнославянских, греческих, еврейских и римских чисел

      5 ступеней веры


      Церковнославянские цифрыГреческие цифрыЕврейские цифрыРимские цифры

      Араб­ское число

      ×

      Число на кирил­лице

      Знак перед тыся­чами ВЫКЛ.

      Цифры в цер­ков­но­сла­вян­ских (а также в гре­че­ских, еврей­ских и латин­ских) книгах обо­зна­ча­ются бук­вами. Цер­ков­но­сла­вян­ская буква-цифра имеет над собой титло про­стое и после себя точку. В дву­знач­ных и мно­го­знач­ных числах титло ста­вится на второй букве от конца.

       123456789
      Еди­ницыа҃.в҃.г҃.д҃.є҃.ѕ҃.з҃.и҃.ѳ҃.
      Десяткиі҃.к҃.л҃.м҃.н҃.ѯ҃. ѻ҃.п҃.ч҃.
      Сотнир҃.с҃.т҃.у҃.ф҃.х҃.ѱ҃.ѿ҃.ц҃.

      Тысячи запи­сы­ва­ются теми же бук­вами, как и еди­ницы, десятки и сотни, но с добав­ле­нием перед буквой сим­вола ҂. Числа состав­ля­ются также как и в совре­мен­ной араб­ской нота­ции: сна­чала пишутся тысячи, затем сотни, затем десятки и еди­ницы, за исклю­че­нием чисел окан­чи­ва­ю­щихся на 11…19, где послед­ние два знака пере­став­ля­ются согласно сла­вян­скому про­чте­нию (напри­мер, один-на-дцать, то есть сперва «один», а потом «дцать» = 10).

      г҃. — 3 д҃і. — 14 тм҃є. — 345 ҂иѿп҃и. — 8888 ҂р҂к҂гун҃ѕ. — 123456

      Если в мно­го­знач­ной цифре число сотен, десят­ков или единиц нуле­вое, то на их место ни какой знак вроде нуля не под­став­ля­ется, а число ста­но­вится короче.

      ҂вѳ҃і. — 2019 ҂в҃к. — 2020 ҂в҃. — 2000

      Боль­шие числа (десятки и сотни тысяч, мил­ли­оны и мил­ли­арды) в разных источ­ни­ках могут  выра­жаться не через знак ҂, а спе­ци­аль­ным обра­зом обве­ден­ной буквой, исполь­зо­вав­шейся для обо­зна­че­ния единиц. Впро­чем, для боль­ших чисел эти обо­зна­че­ния были довольно неста­бильны.

      10 000 — ҂і҃, (тма)

      100 000 — ҂р҃,  (легео́н, несве́дь)

      1 000 000 — ҂҂а,   (лео́др)

      10 000 000 —  (вран)

      100 000 000 —  (коло́да)

      1000 000 000 —  (тма тем)

      Цер­ков­но­сла­вян­ская система чисел явля­ется абсо­лют­ной каль­кой гре­че­ской системы счис­ле­ния.

      Гре­че­ская (ионий­ская, ново­гре­че­ская) система счис­ле­ния — алфа­вит­ная запись чисел, в кото­рой в каче­стве сим­во­лов для счёта, упо­треб­ляют буквы клас­си­че­ского гре­че­ского алфа­вита и неко­то­рые буквы доклас­си­че­ской эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).

      γʹ — 3 ιδʹ — 14 τμεʹ — 345 ͵ηωπηʹ — 8888 ͵ρ͵κ͵γυνϛʹ — 123456

      Еврей­ская система счис­ле­ния в каче­стве цифр исполь­зует 22 буквы еврей­ского алфа­вита. Алфа­вит­ные обо­зна­че­ния чисел были заим­ство­ваны евре­ями у древ­них греков. Еврей­ские числа запи­сы­ва­ются справа налево; перед послед­ней (левой) буквой ста­вится двой­ная кавычка — гер­шаим (״). Если буква всего одна, то после неё ста­вится оди­ноч­ная кавычка — гереш (׳). Для обо­зна­че­ния 1–9 тысяч исполь­зу­ются первые девять букв, после кото­рых ста­вится апо­строф. Исклю­че­ния состав­ляют числа окан­чи­ва­ю­щи­еся на 15 и 16, кото­рые пред­став­ля­ются как 9+6 и 9+7 соот­вет­ственно (ибо «Не поми­най Имени Божия всуе»).

      ג׳ — 3 י״ד — 14 שמ״ה — 345 ח’תתפ״ח — 8888

      В отли­чие от первых трех — в рим­ской системе счис­ле­ния для пред­став­ле­ния любого числа исполь­зу­ются только 7 букв латин­ского алфа­вита I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000). В после­ду­ю­щем к ним были добав­лены ещё 4 сим­вола (от 5 000 до 100 000). Для пра­виль­ной записи боль­ших чисел рим­скими циф­рами необ­хо­димо сна­чала запи­сать число тысяч, затем сотен, затем десят­ков и, нако­нец, единиц. Числа запи­сы­ва­ются при помощи повто­ре­ния этих цифр. При этом, если боль­шая цифра стоит перед мень­шей, то они добав­ля­ются, если же мень­шая – перед боль­шей, то мень­шая вычи­та­ется из боль­шей.

      III — 3 XIV — 14 CCCXLV — 345 ↁMMMDCCCLXXXVIII — 8888 ↈↂↂMMMCDLVI — 123456

      • 42 тыс. 4

      Римские цифры в число — ZedWeb

      Этот онлайн-конвертер поможет вам легко преобразовать римские цифры в число. Введите или вставьте римские цифры, и нажмите на кнопку «Преобразовать», после чего, на экране появится значение в виде числа.

      Использование онлайн-конвертера римских цифр от ZedWeb

      Наш конвертер римских цифр в число очень прост в использовании. Если вы введёте римскую цифру, он преобразует её в число, и покажет вам визуальный результат. Разложив римские цифры на части, легче увидеть, как цифры, составляющие римскую цифру, складываются и вычитаются, чтобы создать более обычное число, с которым мы имеем дело ежедневно.

      Неправильные римские цифры отвергаются, но конвертер попытается преобразовать их в «наилучшее предположение». Например, римская цифра IIII — это неправильное представление числа 4 (правильная римская цифра — IV), но наш конвертер примет этот ввод, исправит его, и покажет вам соответствующий результат.

      Всё это конечно увлекательно, но если даже после игры с нашим конвертером вы всё ещё задаете себе такой вопрос: «Что это такое — римские цифры, и зачем мне нужно их знать?», тогда стоит разобраться, откуда взялись римские цифры, и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни.

      Что такое римские цифры?

      Римская система счисления зародилась в Древнем Риме, и оставалась обычным способом записи чисел по всей Европе, вплоть до позднего Средневековья, благодаря огромному влиянию греко-римской культуры на европейскую цивилизацию. В римской системе цифры представлены комбинациями букв латинского алфавита, в частности: I, V, X, L, C, D, M. Каждая из них соответствует целому положительному числу, как вы можете увидеть в таблице преобразования ниже.

      Римские цифры используются и сегодня, хотя их замена на более удобные арабские цифры началась ещё в 14 веке.

      Римская система не является позиционной, но порядок цифр имеет значение. Числа с большим числовым значением обычно пишутся слева от чисел с меньшим числовым значением. Однако если число с меньшим числовым значением записано слева от числа с большим числовым значением, его необходимо вычесть. Это так называемая «субтрактивная нотация». Так, IV дает 4, поскольку мы вычитаем I из V = 5 — 1 = 4. Аналогично, XC равно 90: X (10) находится слева от C (100), поэтому мы вычитаем 10 из 100, чтобы получить 90. Обратите внимание, что мы не пишем 40 как XXXX, так как это занимает больше места, чем XL. Наш конвертер римских цифр в число обрабатывает всё это для вашего удобства.

      Римские цифры можно увидеть на циферблатах часов, в качестве номеров глав в книгах, газетах и т.д., в продолжениях фильмов. Они также часто используются при написании имён римских пап или монархов, например, Елизаветы II, а также суффиксов поколений, когда одно и то же имя часто передаётся из поколения в поколение. Их также можно увидеть на табличках с годами строительства на торцах зданий и краеугольных камнях. В связи с тем, что они все ещё достаточно широко используются, необходимость преобразования римских цифр в числа — всё ещё довольно распространено.

      Конвертация римских цифр в число

      Чтобы перевести римскую цифру в число, необходимо просуммировать все римские цифры слева направо. Сначала запишите текущую цифру, а затем сравните её с цифрой справа. Если она меньше её, то нужно вычесть из текущей суммы (или прибавить её отрицательное значение). Если больше, то просто выполните сложение.

      Например, если число равно MXIV, действуем следующим образом. Начинаем с суммы, равной нулю. Затем читаем M, которое, как мы знаем из приведённой ниже таблицы преобразования, равно 1000. Следующее число — X, которое равно 10. 10 < 1000, поэтому мы просто прибавляем 1000 к нашей сумме, чтобы получить 1000. Далее мы читаем X и сравниваем его с I справа от него. Поскольку I равно 1, мы просто прибавляем 10 к сумме, получая 1010. Затем мы читаем I и сравниваем его с V справа от него. 1 меньше 5, поэтому мы вычитаем 1. Теперь наша сумма равна 1009. Наконец, читаем V и, поскольку это последнее число, просто прибавляем его к сумме, получая результат: 1014.

      Очевидно, что для больших римских цифр вышеописанная процедура является ручной, и занимает много времени, поэтому вместо этого, мы рекомендуем использовать наш конвертер римских цифр в число.

      Таблица преобразования римских цифр

      Римская цифраЧисло
      I1
      II2
      III3
      IV4
      V5
      VI6
      VII7
      VIII8
      IX9
      X10
      XI11
      XII12
      XX20
      XL40
      L50
      XC90
      C100
      D500
      M1000

      Как составить дату рождения из римских цифр.

      Перевод римские, индийские, арабские цифры (числа) Конвертирование римских чисел онлайн

      В античные времена римляне были очень активны в торговле и коммерции, и как только она обрели письменность они стали нуждаться в обозначении чисел. Система, которую они изобрели для обозначения цифр и чисел, активно использовалась на протяжении многих веков, и даже сейчас она находит свое применение во многих специальных случаях написания чисел.

      Римские числа традиционно обозначают порядок правителей или людей имеющие одинаковое имя (например, Екатерина II , Николай II , Людовик XIV ). Они так же иногда используются для обозначения дат в издательском деле или на зданиях, для указания года постройки, или на надгробных камнях, когда есть желание создать впечатление, ощущение классической почести, дани уважения. Римские числа и цифры (вся целая система) так е живет в нашем языке, который до сих пор использует корни Латинских заимствованных слов для отображения тех или иных численных идей или значений. Несколько примеров: duo — двойной, quadricep — четырёхглавая мышца, decade — группа из десяти, десяток или десятилетие, milliliter — миллилитр, одна тысячная литра и т.п.

      Одно большое различие между римскими и арабскими числами (те которые мы используем повседневно сейчас) это то, что Римская система исчислений не имеет символа нуля, и второе, что положение цифры в записи может означать не сложение, но иногда и вычитание.

      Простой принцип расчета

      Римские числа математически конвертируются в арабские числа путём простого назначения каждой цифре Римского числа соответствующего целочисленного значения в арабской системе с автоматическим суммированием: M=1000 | D=500 | C=100 | L=50 | X=10 | V=5 | I=1.

      Ниже приводятся детальное описание всех основных римских цифр:

      I

      		Самый простой способ записать маленькие числа это нарисовать «зазубрины» — цифра один: I. Две палочки II означают два, III — три. Однако, для большего числа количество становиться очень большим и абсолютно не читаемым….

      20-ый век

      1901 = MCMI
      1902 = MCMII
      1903 = MCMIII
      1904 = MCMIV
      1905 = MCMV
      1906 = MCMVI
      1907 = MCMVII
      1908 = MCMVIII
      1909 = MCMIX
      1910 = MCMX

      1911 = MCMXI
      1912 = MCMXII
      1913 = MCMXIII
      1914 = MCMXIV
      1915 = MCMXV
      1916 = MCMXVI
      1917 = MCMXVII
      1918 = MCMXVIII
      1919 = MCMXIX
      1920 = MCMXX

      1921 = MCMXXI
      1922 = MCMXXII
      1923 = MCMXXIII
      1924 = MCMXXIV
      1925 = MCMXXV
      1926 = MCMXXVI
      1927 = MCMXXVII
      1928 = MCMXXVIII
      1929 = MCMXXIX
      1930 = MCMXXX

      1931 = MCMXXXI
      1932 = MCMXXXII
      1933 = MCMXXXIII
      1934 = MCMXXXIV
      1935 = MCMXXXV
      1936 = MCMXXXVI
      1937 = MCMXXXVII
      1938 = MCMXXXVIII
      1939 = MCMXXXIX
      1940 = MCMXL

      1941 = MCMXLI
      1942 = MCMXLII
      1943 = MCMXLIII
      1944 = MCMXLIV
      1945 = MCMXLV
      1946 = MCMXLVI
      1947 = MCMXLVII
      1948 = MCMXLVIII
      1949 = MCMXLIX
      1950 = MCML

      1951 = MCMLI
      1952 = MCMLII
      1953 = MCMLIII
      1954 = MCMLIV
      1955 = MCMLV
      1956 = MCMLVI
      1957 = MCMLVII
      1958 = MCMLVIII
      1959 = MCMLIX
      1960 = MCMLX

      1961 = MCMLXI
      1962 = MCMLXII
      1963 = MCMLXIII
      1964 = MCMLXIV
      1965 = MCMLXV
      1966 = MCMLXVI
      1967 = MCMLXVII
      1968 = MCMLXVIII
      1969 = MCMLXIX
      1970 = MCMLXX

      1971 = MCMLXXI
      1972 = MCMLXXII
      1973 = MCMLXXIII
      1974 = MCMLXXIV
      1975 = MCMLXXV
      1976 = MCMLXXVI
      1977 = MCMLXXVII
      1978 = MCMLXXVIII
      1979 = MCMLXXIX
      1980 = MCMLXXX

      1981 = MCMLXXXI
      1982 = MCMLXXXII
      1983 = MCMLXXXIII
      1984 = MCMLXXXIV
      1985 = MCMLXXXV
      1986 = MCMLXXXVI
      1987 = MCMLXXXVII
      1988 = MCMLXXXVIII
      1989 = MCMLXXXIX
      1990 = MCMXC 1991 = MCMXCI
      1992 = MCMXCII
      1993 = MCMXCIII
      1994 = MCMXCIV
      1995 = MCMXCV
      1996 = MCMXCVI
      1997 = MCMXCVII
      1998 = MCMXCVIII
      1999 = MCMXCIX
      2000 = MM

      21-ый век

      2001 = MMI
      2002 = MMII
      2003 = MMIII
      2004 = MMIV
      2005 = MMV
      2006 = MMVI
      2007 = MMVII
      2008 = MMVIII
      2009 = MMIX
      2010 = MMX 2011 = MMXI
      2012 = MMXII
      2013 = MMXIII
      2014 = MMXIV
      2015 = MMXV
      2016 = MMXVI
      2017 = MMXVII
      2018 = MMXVIII
      2019 = MMXIX
      2020 = MMXX

      V

      		Таким образом, появилась число 5 — V. Расположение перед ним единички: IV — или расположение любого другого меньшего числа, чем последующий (в нашем случае символ пять) — означает вычитание. Таким образом, IV означает 4. После V можно указать меньшие цифры, тогда это будет означать складывание — VI означает 6, VII означает 7, VIII равно 8.

      X

      		X означает 10. Но что насчет 9? Аналогичное используется правило как с пятёркой. IX означает вычитание I из X, и это равно 9. Числа первого десятка, второго десятка и третьего формируются таким же образом, только с X-ами означающие количество десятков в числе. Таким образом, мы получаем, что XXXI — 31, а XXIV это 24.

      L

      		Значение L равно 50. Основываясь на том, что вы уже прочитали выше, вы уже можете догадаться, как будет записано число 40. Если вы думаете, что это будет XL, то вы правы = 10 отнимается от 50-и. И другие числа 60, 70, и 80 будут выглядеть как LX, LXX и LXXX.

      C

      		Цифра C пошла от слова centum , латинского слова означающее 100. centurion означает 100 людей. Мы по-прежнему используем такие слова, как «century » (столетие) и «cent » (цент). Как и с L, вычитание десятка означает понижение основной последующей цифры: 90 будет записано, как 100 минус 10 = XC. Несколько подряд цифр C будет означать соответствующее количество сотен: CCCLXIX равно 369.

      D

      		D указывает на значение равное 500. По аналогии, CD означает 400. CDXLVIII равное 448.

      M

      		M это 1000. Это цифра очень часто попадается, так как римские числа в основном используются для записи года. MMX — 2010 год.

      V

      		Более большие числа в Римском исчислении записываются при помощи горизонтальной линии расположенной над цифрами, что будет означать умножение данных цифр на тысячу. Отсюда выходит, что V с горизонтальной линией над этой цифрой будет означать 5000.

      Конвертирование римских чисел онлайн

      Вводите все буквы в римской записи числа, как они указаны на вашем экспонате:

      Для корректной работы Dates Calculator Online, вам необходимо включить поддержку JavaScript в своем обозревателе (IE, Firefox, Opera)!

      Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

      Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило:

      Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I).

      Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно:

      VI — 6, т.е. 5 + 1
      IV — 4, т.е. 5 — 1
      XI — 11, т.е. 10 + 1
      IX — 9, т.е. 10 — 1
      LX — 60, т.е. 50 + 10
      XL — 40, т.е. 50 — 10
      СХ — 110, т.е. 100 + 10
      ХС — 90, т.е. 100-10
      MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1.

      Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20).

      Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

      I (1) — unus (унус)
      II (2) — duo (дуо)
      III (3) — tres (трэс)
      IV (4) — quattuor (кваттуор)
      V (5) — quinque (квинквэ)
      VI (6) — sex (сэкс)
      VII (7) — septera (сэптэм)
      VIII (8) — octo (окто)
      IX (9) — novem (новэм)
      X (10) — decern (дэцем)
      XI (11) — undecim (ундецим)
      XII (12) — duodecim (дуодэцим)
      ХШ (13) — tredecim (трэдэцим)
      XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим)
      XV (15) — quindecim (квиндэцим)
      XVI (16) — sedecim (сэдэцим)
      XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим)
      XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти)
      XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти)
      XX (20) — viginti (вигинти)
      XXI (21) — unus et viginti или viginti unus
      XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т. д.
      XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта)
      XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта)
      XXX (30) : triginta (тригинта)
      XL (40) — quadraginta (квадрагинта)
      L (5O) — quinquaginta (квинквагинта)
      LX (60) — sexaginta (сэксагинта)
      LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта)
      LXXX180) — octoginta (октогинта)
      КС (90) — nonaginta (нонагинта)
      C (100) centum (центум)
      CC (200) — ducenti (дуценти)
      CCC (300) — trecenti (трэценти)
      CD (400) — quadrigenti (квадригэнти)
      D (500) — quingenti (квингэнти)
      DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти)
      DCC (700) — septigenti (сэптигэнти)
      DCCC (800) — octingenti (октингэнти)
      CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти)
      M (1000) — mille (милле)
      ММ (2000) — duo milia (дуо милиа)
      V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа)
      X (10 000) — decem milia (дэцем милиа)
      XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа)
      C (100000) — centum milia (центум милиа)
      XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа).

      Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки.

      Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).

      21-й XXI
      20-й XX
      19-й XIX
      18-й XVIII
      17-й XVII
      16-й XVI
      15-й XV
      14-й XIV
      13-й XIII
      12-й XII
      11-й XI
      10-й X
      9-й IX
      8-й VIII
      7-й VII
      6-й VI
      5-йV
      4-йIV
      3-йIII
      2-йII
      1-й I

      Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.

      Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.

      Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей). Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).

      В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).

      Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.

      На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.

      По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.

      1 – I11 – XI21 – XXI31 — XXXI
      2 – II12 – XII22 – XXII
      3 – III13 – XIII23 – XXIII
      4 – IV14 – XIV24 – XXIV
      5 – V15 – XV25 – XXV
      6 – VI16 – XVI26 – XXVI
      7 – VII17 – XVII27 – XXVII
      8 – VIII18 – XVIII28 – XXVIII
      9 – IX19 – XIX29 – XXIX
      10 – X20 – XX30 – XXX

      2 этап.

      Выбор месяца.

      В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.

      3 этап. Выбор года.

      Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.

      1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX , будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII ). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM , как в сокращенном, так и в полном варианте.

      1 – I21 – XXI41 – XLI61 – LXI81 – LXXXI
      2 – II22 – XXII42 – XLII62 – LXII82 – LXXXII
      3 – III23 – XXIII42 – XLIII63 – LXIII83 – LXXXIII
      4 – IV24 – XXIV44 – XLIV64 – LXIV84 – LXXXIV
      5 – V25 – XXV45 – XLV65 – LXV85 – LXXXV
      6 – VI26 – XXVI46 – XLVI66 – LXVI86 – LXXXVI
      7 – VII27 – XXVII47 – XLVII67 – LXVII87 – LXXXVII
      8 – VII28 – XXVIII48 – XLVIII68 – LXVIII88 – LXXXVIII
      9 – IX29 – XXIX49 – XLIX69 – LXIX89 – LXXXIX
      10 – X30 – XXX50 – L70 — LXX90 – XC
      11 – XI31 – XXXI51 – LI71 – LXXI91 – XCI
      12 – XII32 – XXXII52 – LII72 – LXXII92 – XCII
      13 – XIII33 – XXXIII53 – LIII73 – LXXIII93 – XCIII
      14 – XIV34 – XXXIV54 – LIV74 – LXXIV94 – XCIV
      15 – XV35 – XXXV55 – LV75 – LXXV95 – XCV
      16 – XVI36 – XXXVI56 – LVI76 – LXXVI96 – XCVI
      17 – XVII37 – XXXVII57 – LVII77 – LXXVII97 – XCVII
      18 – XVIII38 – XXXVIII58 – LVIII78 – LXXVII98 – XCVIII
      19 – XIX39 – XXXIX59 – LIX79 – LXXIX99 — XCIX
      20 – XX40 – XL60 – LX80 – LXXX
      Конвертер римских цифр

      Конвертер римских цифр

      Главная›Конвертация›Преобразование чисел›Конвертер римских цифр

      Введите римскую цифру или число и нажмите кнопку Преобразовать :

      Римское число

      Десятичное число

      Расчет

      Римские цифры ►

      Преобразователь даты в римские цифры ►

      Таблица преобразования римских цифр

      Число Римская цифра Расчет
      0 не определено  
      1 я 1
      2 II 1+1
      3 III 1+1+1
      4 IV 5-1
      5 В 5
      6 ВИ 5+1
      7 VII 5+1+1
      8 VIII 5+1+1+1
      9 IX 10-1
      10 х 10
      11 XI 10+1
      12 XII 10+1+1
      13 XIII 10+1+1+1
      14 XIV 10-1+5
      15 XV 10+5
      16 XVI 10+5+1
      17 XVII 10+5+1+1
      18 XVIII 10+5+1+1+1
      19 XIX 10-1+10
      20 ХХ 10+10
      21 ХХI 10+10+1
      22 XXII 10+10+1+1
      23 XXIII 10+10+1+1+1
      24 XXIV 10+10-1+5
      25 ХХV 10+10+5
      26 ХХVI 10+10+5+1
      27 ХХVII 10+10+5+1+1
      28 ХХVIII 10+10+5+1+1+1
      29 XXIX 10+10-1+10
      30 ХХХ 10+10+10
      31 XXXI 10+10+10+1
      32 XXXII 10+10+10+1+1
      33 XXXIII 10+10+10+1+1+1
      34 XXXIV 10+10+10-1+5
      35 ХХХV 10+10+10+5
      36 XXXVI 10+10+10+5+1
      37 ХХXVII 10+10+10+5+1+1
      38 XXXVIII 10+10+10+5+1+1+1
      39 XXXIX 10+10+10-1+10
      40XL -10+50
      41 XLI -10+50+1
      42 XLII -10+50+1+1
      43 XLIII -10+50+1+1+1
      44 XLIV -10+50-1+5
      45 XLV -10+50+5
      46 XLVI -10+50+5+1
      47 XLVII -10+50+5+1+1
      48 XLVIII -10+50+5+1+1+1
      49 XLIX -10+50-1+10
      50 л 50
      51 ЛИ 50+1
      52 ЛИИ 50+1+1
      53 ЛИИ 50+1+1+1
      54 ЛИВ 50-1+5
      55 ЛВ 50+5
      56 LVI 50+5+1
      57 LVII 50+5+1+1
      58 ЛВIII 50+5+1+1+1
      59 ЛИКС 50-1+10
      60 ЛХ 50+10
      61 LXI 50+10+1
      62 LXII 50+10+1+1
      63 LXIII 50+10+1+1+1
      64 LXIV 50+10-1+5
      65 LXV 50+10+5
      66 LXVI 50+10+5+1
      67 LXVII 50+10+5+1+1
      68 LXVIII 50+10+5+1+1+1
      69 LXIX 50+10-1+10
      70 ЛХХ 50+10+10
      71 LXXI 50+10+10+1
      72 LXXII 50+10+10+1+1
      73 LXXXIII 50+10+10+1+1+1
      74 LXXIV 50+10+10-1+5
      75 LXXV 50+10+10+5
      76 LXXVI 50+10+10+5+1
      77 LXXVII 50+10+10+5+1+1
      78 LXXVIII 50+10+10+5+1+1+1
      79 LXXXIX 50+10+10-1+10
      80 LXXX 50+10+10+10
      81 LXXXI 50+10+10+10+1
      82 LXXXII 50+10+10+10+1+1
      83 LXXXIII 50+10+10+10+1+1+1
      84 LXXXIV 50+10+10+10-1+5
      85 LXXXV 50+10+10+10+5
      86 LXXXVI 50+10+10+10+5+1
      87 LXXXVII 50+10+10+10+5+1+1
      88 LXXXVIII 50+10+10+10+5+1+1+1
      89 LXXXIX 50+10+10+10-1+10
      90 ХС 100-10
      91 XCI 100-10+1
      92 XCII 100-10+1+1
      93 XCIII 100-10+1+1+1
      94 XCIV 100-10-1+5
      95 XCV 100-10+5
      96 XCVI 100-10+5+1
      97 XCVII 100-10+5+1+1
      98 XCVIII 100-10+5+1+1+1
      99 XCIX 100-10-1+10
      100 С 100
      200 СС 100+100
      300 ССС 100+100+100
      400 CD 500-100
      500 Д 500
      600 DC 500+100
      700 ДКК 500+100+100
      800 ДККК 500+100+100+100
      900 см 1000-100
      1000 М 1000
      5000 В  
      10000 х  
      50000 л  
      100000 С  
      500000 Д  
      1000000 М  

       

      Конвертер даты в римские цифры ►

       

      См.

      также
      • Как преобразовать число в римские цифры
      • Как преобразовать римские цифры в число
      • Таблица римских цифр
      • Преобразователь даты в римские цифры
      • Римские цифры 1-100 схема
      • Римские цифры 1-20 схема
      • Римские цифры 1-10 диаграмма
      • XXXIX римская цифра
      • Преобразование номера
      • X римская цифра
      • XLIX римская цифра
      • XCIX римская цифра
      • 10 римскими цифрами
      • 50 римскими цифрами
      • 100 римскими цифрами

      Напишите, как улучшить эту страницу

      ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ
      • ASCII, шестнадцатеричный, двоичный, десятичный преобразователь
      • Преобразователь текста ASCII в двоичный код
      • Преобразователь текста ASCII в шестнадцатеричный
      • Базовый преобразователь
      • Двоичный преобразователь
      • Преобразователь двоичного кода в текст ASCII
      • Преобразователь двоичного кода в десятичный
      • Преобразователь двоичного кода в шестнадцатеричный
      • Преобразователь даты в римские цифры
      • Преобразователь десятичной дроби в дробную
      • Преобразователь десятичных чисел в проценты
      • Преобразователь десятичной системы в двоичную
      • Преобразователь десятичного числа в восьмеричное
      • Преобразователь десятичного числа в шестнадцатеричный
      • Перевод градусов в градусы, минуты, секунды
      • Перевод градусов,мин,сек в градусы
      • Перевод градусов в радианы
      • Преобразователь дроби в десятичную дробь
      • Преобразователь дроби в проценты
      • Шестнадцатеричный/десятичный/восьмеричный/двоичный преобразователь
      • Преобразователь текста Hex в ASCII
      • Преобразователь шестнадцатеричного кода в двоичный
      • Преобразователь шестнадцатеричного кода в десятичный
      • Преобразователь восьмеричных чисел в десятичные
      • Преобразователь процентов в десятичные числа
      • Преобразователь процентов в дроби
      • Конвертер процентов в ppm
        • конвертер
      • ppm в проценты
        • Конвертер
      • ppm в ppb
        • Конвертер
      • ppm в ppt
        • Конвертер
      • ppb в ppm
        • Конвертер
      • ppt в ppm
        • Преобразователь
      • частей на миллион
      • Перевод радиан в градусы
      • Преобразователь римских цифр
      • Конвертер научных обозначений
      RAPID TABLES
      • Рекомендовать сайт
      • Отправить отзыв
      • О

      Конвертер римских цифр — Перевод римских цифр

      Содержание:

      • Генератор римских цифр

      Полезен ли этот инструмент?

       Да Нет Возможно  

      Как мы можем его улучшить? Минимальное количество символов 10

      Наш конвертер римских цифр позволяет вводить римские цифры или числа в виде обычной десятичной формы и изменять их напрямую. Конвертер римских цифр Prepostseo — лучший инструмент для онлайн-конвертации римских цифр.

      Вы не найдете переводчика римских цифр по сравнению с нашим калькулятором римских цифр. Он позволяет пользователям вводить римские цифры, а при нажатии кнопки «Преобразовать» он преобразует римские цифры и дает идеальный ответ. Точно так же, если вы хотите преобразовать в римские цифры любое десятичное число, вы можете ввести десятичное число в этом конкретном разделе. Роман на английский сделает волшебство. Он преобразует римские цифры в числа и числа в римские цифры. Мало того, он также производит перевод с римского на английский.

      Какой символ используется для римских цифр?

      1 в римском языке IS I

      5 в римском языке v

      10 в римском — x

      50 в римском IS L

      100 100. Roman Is C

      100 100. на латинице это D

      1000 на латинице это M

      Вы увидите образец. Римские числа имеют значения, соответствующие единицам значений разрядов один и пять, поэтому имеется два римских символа, соответствующих числу разрядов (I и V, каждый на 1 и 5), два на десять разрядов (X и L для 10 и 50) и две для сотен (C и D для 100 и 500).

      Как и другие списки случайной информации, вы можете использовать мнемонику, чтобы попытаться запомнить символы и значения. Если вы запомните предложение « I V alue X ylophones L ike C ows D ig M ilk», первая буква каждого символа латинского алфавита соответствует значению каждого символа. числа в порядке

      (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000)

      Используйте конвертер римских цифр

      Вы можете увидеть, как конвертер римских цифр полезен при преобразовании римских цифр в десятичные числа. Точно так же генератор римских цифр прост в использовании, а его интерфейс очень удобен для перевода римских цифр.

      Работает двумя способами. Если вы введете римские числа, они будут преобразованы в десятичные числа или римские в целые числа. С другой стороны, если вы введете десятичные числа, они будут преобразованы в римские цифры.

      Недопустимые римские цифры будут отклонены. Например, римская цифра «IIII» не является допустимым представлением числа четыре (правильной римской цифрой является «IV»). Когда вы введете «IIII», конвертер покажет результат «INVALID».

      Таким же образом десятичные числа, введенные в конвертер, будут преобразованы непосредственно в соответствующие римские цифры. В отличие от римских цифр, ввести недопустимые числа в десятичной системе достаточно сложно, но конвертер поддерживает только значения до 3999. Таким образом, значение, которое вы введете выше, будет уменьшено до одной тысячи, пока оно не упадет ниже этого числа.

      Преобразование чисел в римские цифры интересно, но если даже поиграв с этим конвертером, вы всегда могли спросить себя: « Зачем нам нужно знать римские цифры? »

      Мы должны понять, откуда взялись римские цифры и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни.

      Где сегодня используются римские цифры? в Риме! Вы часто увидите римские цифры там, где кто-то пытается сделать что-то, что кажется более формальным. Нередко римские цифры появляются на датах авторского права, заголовках глав или разделов в документах или для важных событий, таких как Олимпийские игры или Суперкубок

      Вы увидите римские даты, написанные в разных местах. Как правило, преобразовать сегодняшнюю десятичную версию даты в римскую дату непросто. Тем не менее, наш конвертер дат римских цифр может сделать эту задачу за вас в один миг!

      Если человек носит то же имя, что и его предки, римская цифра будет использоваться в качестве суффикса, чтобы отличить человека от его родителей, чтобы имя могло передаваться из поколения в поколение. Таким образом, вы увидите людей, у которых есть «III» или «IV» в конце их имени, чтобы показать, кто они. Давайте посмотрим на пример этого. Георг IV был королем Соединенного Королевства Великобритании и Ирландии и королем Ганновера после смерти своего отца, короля Георга III. Его звали Георг IV, потому что его отца и предка тоже звали Георгом.

      Римская система счисления до сих пор часто используется в научных целях, включая идентификацию периодов в периодической таблице элементов и определение количества ионов окисления.

      Также очень часто можно увидеть латинские цифры в аналоговых квадрантах, особенно в больших часах в старых зданиях. Это может быть прекрасной возможностью выучить римские цифры и узнать время!

      Итак, как вы собираетесь использовать римские цифры с помощью нашего конвертера римских цифр?

      Roman numerals chart

       

      0031 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 3131 313131 3131 +10+5 -10. 10+5.1031. +1+1. 10+5+1. +1. 10+10+5+1+1+18.
      Number Roman
      Numeral      		 Calculation
      0 not defined  
      1 I 1
      2 II 1+1
      3 III 1+1+1
      4 IV 5-19
      4 IV 5-19
      5 V 5
      6 VI 5+1
      7 VII 5+1+1
      8 VIII 5 +1+1+1
      9 IX 10-1
      10 X 10
      11 XI 10+1
      12 XII 10+1+1
      13 XIII 10+1+1+1
      14 XIV 10-1+5
      15 XV 10+5
      16 XVI 10+5+1
      17 XVII 10+5+1+1
      18 XVIII 10+5+ 1+1+1
      19 XIX 10-1+10
      20 XX 10+10
      21 XXI 10+10+1
      22 XXII 10+10+1 +1
      23 XXIII 10+10+1+1+1
      24 XXIV 10+10-1+5
      25 XXV 10+ 10+5
      26 ХХVI 10+10+5+1
      27 XXVII 10+10+5+1+1
      28 XXVIII 10+10+5+1+1.
      29 XXIX 10+10-1+10
      30 XXX 10+10+10
      31 XXXI 10+10+10+1
      32 XXXII 10+10+10+1+1
      33 XXXIII 10+10+10+1+1+1
      34 XXXIV 10+10-1+5
      35 x 5
      3531303131313130 ​​3031 3531313130303031313131313131 3031 100031 35 3
      35 3
      36 XXXVI 10+10+10+5+1
      37 XXXVII 10+10+10+5+1+1
      38 XXXVIII 10+10+10+5+1+1+1
      39 XXXIX 10+10+10-1+10
      40 XL -10+50
      41 XLI -10+50+1
      42 XLII -10+50+1+1
      43 XLIII -10+50+1+1+1
      44 XLIV -10+50-1+5
      45 XLV -10+50+5
      46 XLVI -10+50+5+1
      47 XLVII -10+50+5+5+1
      48 XLVII
      48 XLVII
      49 XLIX -10+50-1+10
      50 L 50
      51 LI 50+1
      52 ЛИИ 50+1+1
      53 LIII 50+1+1+1
      54 LIV 50-1+5
      55 LV 50+5
      56 LVI 50+5+1
      57 LVII 50+5+1+1
      58 LVIII 50+5+1+1+1
      59 LIX 50-1+10
      60 LX 50+10
      61 LXI 50+10+1
      62 LXII 50+10+1+1
      63 LXIII 50 +10+1+1+1
      64 LXIV 50+10-1+5
      65 LXV 50+10+5
      66 LXVI 50+10+5+1
      67 LXVII 50+10+5+1+1
      68 LXVIII 50+10+5+1+1+1
      69 LXIX 50+10-1 +10
      70 LXX 50+10+10
      71 LXXI 50+10+10+1
      72 LXXII 50+10+10+ 1+1
      73 LXXIII 50+10+10+1+1+1
      74 LXXIV 50+10+10-1+5
      75 LXXV 50+10+5
      7630313030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030313130303031.
      77 LXXVII 50+10+10+5+1+1
      78 LXXVIII 50+10+10+5+1+1+1
      79 LXXIX 50+10+10-1+5
      80 LXXX 50+10+10+10
      81 LXXXI 50+10+10+1
      82 LXXII
      LXXII
      83 LXXXIII 50+10+10+10+1+1+1
      84 LXXXIV 50+10+10+10-1+5
      85 LXXXV 50+10+10+10+5
      86 LXXXVI 50+10+10+10+5+1
      87 LXXXVII 50+10+10+5+1+1
      88 LXXXVIIII 88 LXXXVIIIIII
      89 LXXXIX 50+10+10+10-1+10
      9031 100-10 100-10
      100-10
      100-10
      XCI 100-10+1
      92 XCII 100-10+1+1
      93 XCIII 100-10+1+1+1
      94 XCIV 100-10-1+5
      95 XCV 100-10+ 5
      96 XCVI 100-10+5+1
      97 XCVII 100-10+5+1+1
      98 XCVIII 100-10 +5+1+1+1
      99 XCIX 100-10-1+10
      100 C 100
      200 CC 100+100
      300 CCC 100+100+100
      400 CD 500-100
      500 D 500
      600 DC 500+100
      700 DCC 500+100+100
      800 DCCC 500+100+100+100
      900 CM 1000-100
      1000 M 1000
      5000 V  
      10000 X  
      50000 L  
      100000 C  
      500000 D
      1000000 M

      Римский промежуток

      Поиск

      Введите число ниже, чтобы преобразовать его в римские цифры. Наш инструмент позволяет легко преобразовывать числа в римские.

      Введите арабские цифры

      Римские цифры

      Что такое римские цифры?

      Римские цифры (I, V, X, L, C, D, M) образуют систему счисления, которая использовалась в Древнем Риме, где буквы представляют числа. Они оставались в использовании до позднего средневековья в Европе. Это контрастирует с арабскими цифрами, которые являются современной системой счисления, используемой во всем мире (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Наш инструмент выше позволяет вам конвертировать арабские цифры в римские цифры.

      Римские цифры и их арабские аналоги можно найти в таблице ниже:

      Roman Numeral Arabic Number
      I 1
      V 5
      X 10
      L 50
      C 100
      D 500
      M 1000
      I̅ 1000
      V̅
      V̅
      V̅
      V̅
      V̅
      V̅
      V̅
      В. 0021 X̅ 10,000
      L̅ 50,000
      C̅ 100,000
      D̅ 500,000
      M̅ 1,000,000

      The traditional Roman numeral system was only используется для чисел до 3999, которые представлены как MMMCMXCIX. Теоретически вы можете добавить больше «М» в начало, что добавит 1000 для каждого «М», но более простой способ — добавить римские цифры с надчеркиваниями. Надпись над римской цифрой означает, что вы умножаете ее на 1000, поэтому V̅ равно 5*1000 = 5000.

      Когда используются римские цифры?

      В наши дни римские цифры обычно не используются, но есть несколько сценариев, в которых вы можете с ними столкнуться. Вы можете использовать наш генератор римских чисел для этих различных вариантов использования. Обычно римские цифры используются на приглашениях, циферблатах и ​​в названии ежегодного Суперкубка. Они также использовались в королевских титулах, чтобы обозначить, какой король или королева были кем.

      • Роялти: Исторически римские цифры использовались в королевских именах. Например, Елизавета II или королева Елизавета Вторая. Это касается и пап.
      • Приглашения на свадьбу: Иногда люди делают свадебные приглашения более изысканными, записывая числа и время римскими цифрами.
      • Главы книг:  Иногда главы книг обозначаются римскими цифрами.
      • На часах: Вы можете купить специализированные часы, которые показывают часы дня римскими цифрами.
      • Классическая музыка: В некоторых произведениях классической музыки номера частей указаны римскими цифрами.
      • Суперкубки: Ежегодный номер Супербоула всегда обозначается римскими цифрами. Например, Super Bowl LIV состоится в 2020 году и станет 54-м Суперкубком.
      • Годы кино: Кинопроизводители обычно указывают год своего фильма в титрах римскими цифрами, чтобы людям было труднее узнать, когда фильм вышел, чтобы старые фильмы не были так узнаваемы только по кредиты.

      Таблицы с римскими цифрами

      Numbers 1-100 to Roman Numerals

      0028
      Arabic Roman Numeral
      1 I
      2 II
      3 III
      4 IV
      5 V
      6 VI
      7 VII
      8 VIII
      9 IX
      10 X
      11 XI
      12 XII
      13 XIII
      14 XIV
      15 XV
      16 XVI
      17 XVII
      18 XVIII
      19 XIX
      20 XX
      21 XXI
      22 XXII
      23 XXIII
      24 XXIV
      25 XXV
      26 XXVI
      27 XXVII
      28 XXVIII
      29 XXIX
      30 XXX
      31 XXXI
      32 XXXII
      33 XXXIII
      34 XXXIV
      35 XXXV
      36 XXXVI
      37 XXXVII
      38 XXXVIII
      39 XXXIX
      40 XL
      41 XLI
      42 XLII
      43 XLIII
      44 XLIV
      45 XLV
      46 XLVI
      47 XLVII
      48 XLVIII
      49 XLIX
      50 L
      51 LI
      52 LII
      53 LIII
      54 LIV
      55 LV
      56 LVI
      57 LVII
      58 LVIII
      59 LIX
      60 LX
      61 LXI
      62 LXII
      63 LXIII
      64 LXIV
      65 LXV
      66 LXVI
      67 LXVII
      68 LXVIII
      69 LXIX
      70 LXX
      71 LXXI
      72 LXXII
      73 LXXIII
      74 LXXIV
      75 LXXV
      76 LXXVI
      77 LXXVII
      78 LXXVIII
      79 LXXIX
      80 LXXX
      81 LXXXI
      82 LXXXII
      83 LXXXIII
      84 LXXXIV
      85 LXXXV
      86 LXXXVI
      87 LXXXVII
      88 LXXXVIII
      89 LXXXIX
      90 XC
      91 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      92 XCI
      93 XCIII
      94 XCIV
      95 XCV
      96 XCVI
      97 XCVII
      98 XCVIII
      99 XCIX
      100 C

      лет до римских цифр

      Год 9113

      . 0021 19861130 2016 20171130 2016 2017
      Год031
      1000 M
      1100 MC
      1200 MCC
      1300 MCCC
      1400 MCD
      1500 MD
      1600 MDC
      1700 MDCC
      1800 MDCC
      1900 MCM
      1900 MCM
      1900
      1900
      1900
      1900
      1900 1950 MCML
      1951 MCMLI
      1952 MCMLII
      1953 MCMLIII
      1954 MCMLIV
      1955 MCMLV
      1956 MCMLVI
      1957 MCMLVII
      1958 MCMLVIII
      1959 MCMLIX
      195930303030303030303030303030303030303030303030303030303030 30303030303030303030303030303030303030303030303030303030 303030303030303030031
      1960 MCMLX
      1961 MCMLXI
      1962 MCMLXII
      1963 MCMLXIII
      1964 MCMLXIV
      1965 MCMLXV
      1966 MCMLXVI
      1967 MCMLXVII
      1968 MCMLXVIII
      19 19369 MCMLXIX
      1970 MCMLXX
      1971 MCMLXXI
      1972 MCMLXXII
      1973 MCMLXXIII
      1974 MCMLXXIV
      1975 MCMLXXV
      1976 MCMLXXVI
      1977 MCMLXXVII
      1978 MCMLXXVII
      1978. 0031
      1979 MCMLXXIX
      1980 MCMLXXX
      1981 MCMLXXXI
      1982 MCMLXXXII
      1983 MCMLXXXIII
      1984 MCMLXXXIV
      0021 1988 MCMLXXXVIII
      1989 MCMLXXXIX
      1990 MCMXC
      1991 MCMXCI
      1992 MCMXCII
      1993 MCMXCIII
      1994 MCMXCIV
      1995 MCMXCV
      1996 MCMXCVI
      1997 MCMXCVII
      1998 MCMXCVIII
      1999 MCMXCIX
      2000 MM
      2001 MMI
      2002 MMII
      2003 MMIII
      2004 MMIV
      2005 MMV
      2006 MMVI
      2007 MMVI
      2007 MMVI
      20070031 MMVII
      2008 MMVIII
      2009 MMIX
      2010 MMX
      2011 MMXI
      2012 MMXII
      2013 MMXIII
      2014 MMXIV
      2015 MMXV
      2016 MMXVI
      MMXVI
      031 MMXVII
      2018 MMXVIII
      2019 MMXIX
      2020 MMXX
      2021 MMXXI
      2022 MMXXII
      2023 MMXXIII
      2024 MMXXIV
      2025 MMXXV
      2026 MMXXVI
      2027 MMXXVII
      2028 MMXXVIII
      2029 MMXXIX
      2030 MMXXX
      2031 MMXXXI
      2032 MMXXXII
      2033 MMXXXIII
      2034 MMXXXIV
      2035 MMXXXV
      2036 ММ. М.0031
      2037 MMXXXVII
      2038 MMXXXVIII
      2039 MMXXXIX
      2040 MMXL
      2041 MMXLI
      2042 MMXLII
      2043 MMXLIII
      2044 MMXLIV
      2045 MMXLV
      2046 MMXLV
      2046 MMXLV
      MMXLV
      MMXLV0031 MMXLVI
      2047 MMXLVII
      2048 MMXLVIII
      2049 MMXLIX
      2050 MML

      Excel’s Roman Numeral Formula

      Did you know that В Excel (и Google Sheets) есть встроенная формула для преобразования чисел в римские цифры?

      Просто используйте формальное «=ROMAN(CELL)», и число будет автоматически преобразовано!

      Языки: английский, испанский, немецкий

      Раскрытие информации

      Как партнер Amazon, CapitalizeMyTitle. com зарабатывает на соответствующих покупках.
      * Мы также можем получать комиссионные, когда вы устанавливаете Grammarly по нашим ссылкам.

      Последние сообщения

      Копировать Пожалуйста, убедитесь, что Javascript включен для целей доступность веб-сайта

      Конвертер римских цифр

      В вашем веб-браузере должен быть включен JavaScript для работы калькулятора дробей.

      Спасти! Вы можете ввести здесь римскую цифру, и этот преобразователь даст вам соответствующую арабскую цифру…

      Конечно, вы можете сделать и наоборот… Просто введите сюда число, и вы получите обратно римскую цифру.

      Лучше всего то, что на этой диаграмме показано, как эта римская цифра состоит из отдельных римских цифр! Римские цифры еще никогда не были такими простыми для понимания!

      Введите число…

      Римская цифра

      Число

      Поделитесь этим преобразованием:

      Используйте этот URL, чтобы поделиться этим преобразованием римских цифр

      Предыдущий

      Больше онлайн-калькуляторов!

      Далее

      Добро пожаловать в конвертер римских цифр

      Этот конвертер римских цифр позволяет вам вводить либо римские цифры, либо числа в обычной арабской форме, и он мгновенно преобразует их в другие. Он также показывает полный анализ каждой римской цифры, разложение по разрядному значению и показывает, как она соотносится с версией числа с основанием 10.

      Что такое римские цифры?

      Римская система счисления — это система счисления, которая, вероятно, была разработана как более формальная версия системы счетных меток, которую мы используем до сих пор. Если вы когда-нибудь считали что-то с помощью такой системы…

      … тогда римские цифры, вероятно, станут более понятными. Либо так, либо вы будете особенно благодарны за конвертер римских цифр на этой странице! Эта система нумерации первоначально использовалась в Древнем Риме купцами, мореплавателями, пастухами и другими людьми для отслеживания товаров и услуг в торговле. Его использование сегодня продолжается в различных неожиданных местах, и способность расшифровывать римские цифры продолжает оставаться одним из навыков, составляющих всестороннее образование.

      Символы, используемые для римских цифр, вероятно, произошли от того же вида меток или решеток, которые мы используем сегодня для простых упражнений по счету.

      Какие символы используются для римских цифр?

      • 1 римскими цифрами равно I
      • 5 римскими цифрами равно V
      • 10 римскими цифрами равно X
      • 50 римскими цифрами равно L
      • 100 римскими цифрами C
      • 500 римскими цифрами это D
      • 1000 римскими цифрами это М

      Вы заметите закономерность… Римские цифры имеют значения, которые соответствуют разрядным единицам единиц и пятерок, поэтому есть два символа римских цифр в том, что соответствует нашим разрядным числам (I и V, для 1 и 5). соответственно), два для разряда десятков (X и L для 10 и 50) и два для разряда сотен (C и D для 100 и 500).

      Как и любой другой список случайной информации, вы можете использовать мнемонику, чтобы попытаться запомнить символы и значения. Если вы запомните предложение «Я ценю ксилофоны, как коровы, которые копают молоко», первая буква каждого слова будет соответствовать значению каждой римской цифры по порядку (I=1, V=5, X=10, L=50, С=100, Д=500, М=1000).

      Как читать римские цифры

      1. Запомните основные символы римских цифр и их значения. (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000)
      2. Начать чтение символов слева направо, добавляя к сумме значение текущего символа, кроме…
      3. Если значение текущего символа меньше значения следующего, вычесть значение текущего символа из значения следующего символа и добавить результат к сумме.

      Третий шаг — это то, что иногда делает чтение римских цифр запутанным. Посмотрите на этот пример, показывающий, как римская цифра 4 (IV) разбивается конвертером римских цифр…

      Конвертер показывает, как число 4 (IV) выражается римскими цифрами как 5 минус 1, хотя порядок сначала кажется нелогичным. Значение «I», предшествующее «V», — это то, что запускает это последнее правило, когда вы читаете символы слева направо, если вы встречаете символ с большим значением, которое вам нужно вычесть. Ищите эти шаблоны, где вы видите значения мест, основанные на 4 (IV = 4, XL = 40 и CD = 400) или 9 (IX = 9, XC = 90 и CM = 900). Вот еще один пример визуального представления числа 44…9 в конвертере римских цифр.0003

      Использование конвертера римских цифр

      Вы видите, насколько полезным может быть конвертер римских цифр, и он также очень прост в использовании. Если вы введете римскую цифру, она преобразует ее в арабскую цифру и покажет вам визуальное представление. Разложив римские цифры на части, легче увидеть, как цифры, составляющие римские цифры, складываются и вычитаются, чтобы получить более привычное число, с которым мы имеем дело ежедневно.

      Недопустимые римские цифры отклоняются, но преобразователь попытается преобразовать их в «наилучшее предположение» и предоставит как римские, так и арабские цифры. Например, римская цифра «IIII» является недопустимым представлением числа четыре (правильной римской цифрой является «IV»), но преобразователь примет этот ввод и исправит его, а также покажет вам соответствующую визуализацию. Вы заметите, что поле римских цифр ненадолго мигнет красным, когда это произойдет.

      Аналогичным образом ввод арабского числа мгновенно преобразует его в соответствующее римское число. В отличие от римских цифр, ввести недопустимое число в арабской системе немного сложнее, но конвертер поддерживает только значения до 3999, поэтому любое значение, которое вы введете выше этого, будет уменьшено на одну тысячу, пока не упадет ниже этого числа.

      Это все увлекательно, но если даже поиграв с этим конвертером, вы все равно спросите себя: «Зачем нам знать римские цифры?» Стоит понять, откуда взялись римские цифры и почему они до сих пор являются частью повседневной жизни.

      Где сегодня используются римские цифры?

      Сегодня вы можете встретить римские цифры в самых разных местах, не только в Риме! Вы часто будете видеть римские цифры там, где кто-то пытается сделать что-то более формальным или официальным. Нередко римские цифры появляются в датах авторских прав, названиях глав или разделов в документах или для крупных событий, таких как Олимпийские игры или Суперкубок.

      Если у кого-то такое же имя, как у его предка, римские цифры будут использоваться в качестве суффикса, чтобы отличить этого человека от его родителей, что позволит передавать имя из поколения в поколение. Таким образом, вы увидите людей, у которых есть «III» или «IV» в конце их имени, чтобы указать, кто они. У меня был друг, которого звали «Георг IV», и мы дразнили его, что его родители просто не могут придумать уникальное имя.

      Римские цифры до сих пор часто используются в научных целях, в том числе для обозначения периодов в периодической таблице элементов и для определения степени окисления ионов.

      Также очень часто можно увидеть римские цифры на циферблатах аналоговых часов, особенно на больших часах в старых зданиях. Это может быть прекрасной возможностью для изучения римских цифр и определения времени!

      В последнее время появилась тенденция использовать даты для татуировок с римскими цифрами. Я надеюсь, что вы хорошо подумаете, прежде чем браться за что-то подобное, и если вы продолжите, будьте вполне уверены в том преобразовании римских цифр, которое вы сделали.

      Независимо от того, где вы найдете римские цифры, вы всегда можете использовать этот преобразователь римских цифр, чтобы выяснить, какое число они означают. Но это не повод учиться читать римские цифры самостоятельно.

      Римские цифры, Common Core и другие стандарты

      Хотя в официальных стандартах Common Core ничего не говорится о римских цифрах, эта тема широко преподается в государственных школах, потому что римские цифры по-прежнему используются во многих повседневных приложениях. Из-за этого альтернативные стандарты обучения, такие как Core Knowledge, продолжают включать римские цифры в учебную программу учащихся, как правило, в качестве математической темы, впервые представленной в 3-м классе и освоенной в 4-м классе.

      Римские цифры 1-20 (I-XX)

      Вот краткая таблица римских цифр от 1 до 20. Если вам нужно преобразовать более крупные значения, попробуйте конвертер римских цифр, подобный тому, что находится вверху этой страницы!

      . 0030 3
      Римская цифра Преобразование Арабский номер
      I 1 1
      II 1 + 1 2
      III 1 + 1
      III 1 + 1
      III 1 + 1
      III 1 + 1
      III 1 + 1
      III
      IV (-1) + 5 4
      V 5 5
      VI 5 + 1 6
      VII 5 + 1 + 1 7
      VIII 5 + 1 + 1 + 1 8
      IX (-1) + 10 9
      X 10 10
      XI 10 + 1 11
      XII 10 + 1 + 1 12
      XIII 10 + 1 + 1 13
      XIV 10 + (-1) + 5 14
      XV 10 + 5 15
      XVI 10 + 5 + 1 16
      XVII 10 + 5 + 1 + 1 17
      XVIII 10 + 5 + 1 + 1 + 1 18
      XIX 10 + (-1) + 10 19
      XX 10 + 20
      9003 = Arabic Number Roman Numeral I = 1 Roman Numeral V = 5 Roman Numeral X = 10 Roman Numeral L = 50 Roman Numeral C = 100 Roman Numeral D = 500 Roman Numeral M = 1000

      Нужна дополнительная помощь в переводе римских цифр?

      Этот конвертер является отличным началом для того, чтобы увидеть, как переводить римские цифры, но иногда вам просто нужна простая таблица римских цифр для перевода между римскими и арабскими цифрами. Некоторые из диаграмм содержат краткие советы по преобразованию римских цифр, и вы найдете варианты диаграмм для небольших чисел, лет и даже чисел Суперкубка.

      Обновления преобразователя

      Дата Описание
      12.02.2017 Конвертер римских чисел переполнял правое поле при преобразовании некоторых значений, содержащих большее количество римских цифр, но мало вычитаний (например, xxxvii).
      02.10.2017 Небольшие исправления в таблице преобразования римских цифр.
      13.02.2022 Исправлена ​​загрузка производительности и сглажена анимация римских цифр.

      Преобразование арабских цифр в римские

      Эта страница поможет вам преобразовать повседневные числа в римские цифры. Введите в поле, и число будет преобразовано автоматически.

      Число для преобразования

      1999 = MCMXCIX

      Щелкните здесь для обратного расчета

      Символы римских цифр

      Узнайте больше о римских цифрах

      Таблица преобразования римских цифр

      3 Арабский3 Роман
      1 я
      2 II
      3 III
      4 IV
      5 В
      6 VI
      7 VII
      8 VIII
      9 IX
      10 х
      11 XI
      12 XII
      13 XIII
      14 XIV
      15 XV
      16 XVI
      17 XVII
      18 XVIII
      19 XIX
      20 ХХ
      21 XXI
      22 XXII
      23 XXIII
      24 XXIV
      25 XXV
      26 ХХVI
      27 XXVII
      28 XXVIII
      29 XXIX
      30 ХХХ
      31 XXXI
      32 XXXII
      33 XXXIII
      34 XXXIV
      35 XXXV
      36 XXXVI
      37 ХХXVII
      38 XXXVIII
      39 XXXIX
      40XL
      41 XLI
      42 XLII
      43 XLIII
      44 XLIV
      45 XLV
      46 XLVI
      47 XLVII
      48 XLVIII
      49 XLIX
      50 л
      51 ЛИ
      52 ЛИИ
      53 ЛIII
      54 ЛИВ
      55 ЛВ
      56 LVI
      57 LVII
      58 ЛВIII
      59 LIX
      60 ЛХ
      61 LXI
      62 LXII
      63 LXIII
      64 LXIV
      65 LXV
      66 LXVI
      67 LXVII
      68 LXVIII
      69 LXIX
      70 LXX
      71 LXXI
      72 LXXII
      73 LXXIII
      74 LXXIV
      75 LXXV
      76 LXXVI
      77 LXXVII
      78 LXXVIII
      79 LXXIX
      80 LXXX
      81 LXXXI
      82 LXXXII
      83 LXXXIII
      84 LXXXIV
      85 LXXXV
      86 LXXXVI
      87 LXXXVII
      88 LXXXVIII
      89 LXXXIX
      90 ХС
      91 XCI
      92 XCII
      93 XCIII
      94 XCIV
      95 XCV
      96 XCVI
      97 XCVII
      98 XCVIII
      99 XCIX
      100 С
      101 КИ
      102 КИИ
      103 CIII

      Арабский Роман
      104 CIV
      105 резюме
      106 ХВИ
      107 CVII
      108 CVIII
      109 CIX
      110 СХ
      111 CXI
      112 CXII
      113 CXIII
      114 CXIV
      115 CXV
      116 CXVI
      117 СXVII
      118 CXVIII
      119 CXIX
      120 СХХ
      121 CXXI ​​
      122 CXXII
      123 CXXIII
      124 CXXIV
      125 CXXV
      126 CXXVI
      127 CXXVII
      128 CXXVIII
      129 CXXIX
      130 СХХХ
      131 CXXXI
      132 CXXXII
      133 CXXXIII
      134 CXXXIV
      135 CXXXV
      136 CXXXVI
      137 CXXXVII
      138 CXXXVIII
      139 CXXXIX
      140 CXL
      141 CXLI
      142 CXLII
      143 CXLIII
      144 CXLIV
      145 CXLV
      146 CXLVI
      147 CXLVII
      148 CXLVIII
      149 CXLIX
      150 Класс
      151 Командная строка
      152 КЛИИ
      153 КЛIII
      154 КЛИВ
      155 CLV
      156 КЛВИ
      157 CLVII
      158 CLVIII
      159 КЛИКС
      160 CLX
      161 CLXI
      162 CLXII
      163 CLXIII
      164 CLXIV
      165 CLXV
      166 CLXVI
      167 CLXVII
      168 Класс XVIII
      169 CLXIX
      170 CLXX
      171 CLXXI
      172 CLXXII
      173 CLXXIII
      174 КЛXXIV
      175 CLXXV
      176 CLXXVI
      177 CLXXVII
      178 CLXXVIII
      179 CLXXIX
      180 CLXXX
      181 CLXXXI
      182 CLXXXII
      183 CLXXXIII
      184 CLXXXIV
      185 CLXXXV
      186 CLXXXVI
      187 CLXXXVII
      188 CLXXXVIII
      189 CLXXXIX
      190 СХС
      191 ЦХКИ
      192 CXCII
      193 CXCIII
      194 CXCIV
      195 CXCV
      196 CXCVI
      197 CXCVII
      198 CXCVIII
      199 CXCIX
      200 СС
      210 CCX
      220 CCXX
      230 CCXXX
      240 CCXL
      250 БКЛ
      260 CCLX

      Арабский Роман
      270 CCLXX
      280 CCLXXX
      290 CCXC
      300 ССС
      310 СССХ
      320 СССХХ
      330 CCCXXX
      340 CCCXL
      350 CCCL
      360 CCCLX
      370 CCCLXX
      380 CCCLXXX
      390 СССХС
      400 CD
      410 CDX
      420 CDXX
      430 CDXXX
      440 CDXL
      450 CDL
      460 CDLX
      470 CDLXX
      480 CDLXXX
      490 CDXC
      500 Д
      600 ДЦ
      700 ДКК
      800 DCCC
      900 СМ
      1000 М
      1100 МС
      1200 ЦУП
      1300 ГЦКК
      1400 МКД
      1500 МД
      1600 МДЦ
      1700 МДКЦ
      1800 MDCCC
      1900 МКМ
      1901 МСМИ
      1902 МСМII
      1903 МКМIII
      1904 MCIV
      1905 МЦМВ
      1906 МЦМВИ
      1907 MCMVII
      1908 MCMVIII
      1909 МКМИКС
      1910 MCMX
      1911 МЦМСИ
      1912 MCMXII
      1913 MCMXIII
      1914 MCMXIV
      1915 MCMXV
      1916 MCMXVI
      1917 MCMXVII
      1918 MCMXVIII
      1919 MCMXIX
      1920 MCMXX
      1921 MCMXXI
      1922 MCMXXII
      1923 MCMXXIII
      1924 MCMXXIV
      1925 MCMXXV
      1926 MCMXXVI
      1927 MCMXXVII
      1928 MCMXXVIII
      1929 MCMXXIX
      1930 МСМХХХ
      1931 МКМXXXI
      1932 MCMXXXII
      1933 MCMXXXIII
      1934 MCMXXXIV
      1935 MCMXXXV
      1936 MCMXXXVI
      1937 MCMXXXVII
      1938 MCMXXXVIII
      1939 MCMXXXIX
      1940 MCMXL
      1941 MCMXLI
      1942 MCMXLII
      1943 MCMXLIII
      1944 MCMXLIV
      1945 MCMXLV
      1946 MCMXLVI
      1947 MCMXLVII
      1948 MCMXLVIII
      1949 MCMXLIX
      1950 МЦМЛ
      1951 МЦМЛИ
      1952 MCMLII
      1953 MCMLIII
      1954 МЦМЛИВ
      1955 МЦМЛВ
      1956 МЦМЛВИ
      1957 МЦМLVII
      1958 MCMLVIII
      1959 МКМЛИКС
      1960 MCMLX
      1961 MCMLXI
      1962 MCMLXII
      1963 MCMLXIII
      1964 MCMLXIV
      1965 MCMLXV

      Арабский Роман
      1966 MCMLXVI
      1967 MCMLXVII
      1968 MCMLXVIII
      1969 MCMLXIX
      1970 MCMLXX
      1971 MCMLXXI
      1972 MCMLXXII
      1973 MCMLXXIII
      1974 MCMLXXIV
      1975 MCMLXXV
      1976 MCMLXXVI
      1977 MCMLXXVII
      1978 MCMLXXVIII
      1979 MCMLXXIX
      1980 MCMLXXX
      1981 MCMLXXXI
      1982 MCMLXXXII
      1983 MCMLXXXIII
      1984 MCMLXXXIV
      1985 MCMLXXXV
      1986 MCMLXXXVI
      1987 MCMLXXXVII
      1988 MCMLXXXVIII
      1989 MCMLXXXIX
      1990 MCMXC
      1991 MCMXCI
      1992 MCMXCII
      1993 MCMXCIII
      1994 MCMXCIV
      1995 MCMXCV
      1996 MCMXCVI
      1997 MCMXCVII
      1998 MCMXCVIII
      1999 MCMXCIX
      2000 мм
      2001 ММИ
      2002 MMII
      2003 ММIII
      2004 ММИВ
      2005 ММВ
      2006 ММВИ
      2007 ММВII
      2008 ММВIII
      2009 MMIX
      2010 ММХ
      2011 MMXI
      2012 MMXII
      2013 ММХIII
      2014 MMXIV
      2015 ММХВ
      2016 MMXVI
      2017 ММXVII
      2018 ММXVIII
      2019 MMXIX
      2020 ММХХ
      2021 MMXXI
      2022 MMXXII
      2023 MMXXIII
      2024 MMXXIV
      2025 MMXXV
      2026 ММХXVI
      2027 MMXXVII
      2028 ММХXVIII
      2029 ММХХIX
      2030 ММХХХ
      2031 ММXXXI
      2032 ММXXXII
      2033 ММXXXIII
      2034 ММXXXIV
      2035 ММХХХV
      2036 ММXXXVI
      2037 MMXXXVII
      2038 MMXXXVIII
      2039 ММXXXIX
      2040 MMXL
      2041 MMXLI
      2042 MMXLII
      2043 MMXLIII
      2044 MMXLIV
      2045 MMXLV
      2046 MMXLVI
      2047 MMXLVII
      2048 MMXLVIII
      2049 MMXLIX
      2050 ММЛ
      2100 ММС
      2200 ММСЦ
      2300 ММССС
      2400 MMCD
      2500 ММД
      2600 ММДС
      2700 ММДКК
      2800 MMDCCC
      2900 ММСМ
      3000 МММ
      5000 В
      10 000 Х
      50 000 л
      100 000 С
      500 000 Д
      1 000 000 М

      Конвертер римских цифр и алфавита

      Преобразование римских цифр в алфавит :

      Преобразование алфавита в римские цифры :

      Калькулятор дробей

      Использование конвертера римских цифр и алфавита

      Калькулятор преобразует целое положительное число меньше 5000 между римскими цифрами и алфавитом. Максимальное число, которое вы можете ввести, — 4999 или MMMMCMXCIX в формате римских цифр.

      О римских цифрах

      Римские цифры основаны на семи символах

      • I = 1
      • В = 5
      • Х = 10
      • Д = 50
      • С = 100
      • Д = 500
      • М = 1000

      Существует несколько правил написания римских цифр.

      • Повторение цифры до трех раз означает добавление числа. Например, XXX представляет X + X + X = 30. Могут повторяться только I, X, C и M; V, L и D не могут повторяться.
      • Написание цифр, уменьшающихся слева направо, представляет собой сложение цифр. Например, LX представляет 50 + 10 = 60, а XVI представляет 10 + 5 + 1 = 16,9.0969
      • TЗапись меньшей цифры слева от большей цифры представляет собой вычитание. Например, IV представляет 5 — 1 = 4, а IX представляет 10 — 1 = 9. но единственными парами цифр, которые используют это правило вычитания, являются:
        • IV = 5 — 1
        • IX = 10 — 1
        • XL = 50 — 10
        • ХС = 100 — 10
        • КД = 500 — 100
        • см = 1000 — 10

      Вот пример правил повторения и вычитания:
      Преобразуем римские цифры в числа алфавита.
      MMCMXCIX
      = М + М + (М — С) + (С — Х) + (Х — I)
      = 1000 + 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + (10 — 1)
      = 2999

      Наиболее часто используемые римские цифры от единицы до тысячи

      Римские цифры Арабские
      Цифры
      верхний регистр нижний регистр
      я и 1
      II II 2
      III III 3
      IV iv 4
      В против 5
      VI ви 6
      VII vii 7
      VIII viii 8
      IX икс 9
      Х х 10
      XI и 11
      XII xii 12
      XIII хiii 13
      XIV хiv 14
      XV хв 15
      XVI xvi 16
      XVII xvii 17
      XVIII xviii 18
      XIX xix 19
      ХХ хх 20
      XXI ХХI 21
      XXII ХХII 22
      XXIII ХХIII 23
      ХХХ ххх 30
      XL xl 40
      Л л 50
      LX лк 60
      LXX люкс 70
      LXXX лххх 80
      ХС кс 90
      С с 100
      СС куб.

      Множества равны когда: Страница не найдена — ПриМат

      alexxlab / / Разное

      Страница не найдена — ПриМат

      © 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

      Множества — Теория — Равенство множеств

       

           Определение. Неупорядоченные множества равны, если они содержат одинаковый набор элементов.
           Обозначается A=B. Если множества не равны, это обозначается .

           Определение. Число элементов в конечном множестве М обозначается .

           Для множеств A и B с бесконечным или большим числом элементов проверка совпадения наборов всех элементов может быть практически затруднительной. Более эффективной оказывается логическая проверка двухстороннего включения. А именно, А=В тогда и только тогда, когда из следует и из следует .

           Пример. Пусть заданы множества

      A = {1,2,3,4,5};

      B — множество натуральных чисел от 1 до 5;

      D = {4,1,5,2,3}.

      Эти множества содержат один набор элементов, поэтому A=B=C=D.

           При задании множеств могут присутствовать неточности, которые необходимо устранять. Рассмотрим примеры.

           Пример. Пусть заданы множества:
      A={Иванов, Петров, Сидоров};
      B={Иванов, Петров, Сидоров}.
           В этом случае A=B, если речь идет об одних и тех же людях. В противном случае . Такие определения необходимо уточнять, чтобы можно было безошибочно определить элементы множества.

           Пример. Рассмотрим множество A остатков, получаемых при последовательном делении натуральных чисел {3,4,5,6,…} на 3. A={0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…}. Это множество содержит всего три элемента: 0, 1, 2. Поэтому его можно записать в виде A={0,1,2}. Аналогично множество D={a,b,b,b,a} можно записать как D={a,b}.

           Пример. Пусть задано множество , тогда .

           Пример. Пусть B — множество всех видов шахматных фигур, а С — множество всех шахматных фигур, участвующих в одной игре. Тогда (пешка, ладья, слон, конь, ферзь, король), а (16 белых и 16 черных).

      — 2. .

      Практическая работа № 2. Равенство множеств. 

      Подмножество. Надмножество

      Вопросы к работе

        1. Какие множества называют равными?

        2. Когда два конечных множества будут равными?

        3. Когда множество А называется подмножеством множества В? Как множество В в этом случае называется по отношению к множеству А?

        4. Какие подмножества множества А называются тривиальными?

        5. Что такое “длина множества”?

        6. Сколько подмножеств можно создать для множества длины n?

      Образцы решения заданий

      Пример 1. Пусть А – множество двузначных натуральных чисел, В – множество четных двузначных чисел. Верно ли, что В есть подмножество множества А? 

      Ответ: Каждое четное двузначное число содержится в множестве А. Следовательно, В  А.

      Пример 2. Пусть А = {1; 2; 3}, В = {x | x  N , х < 4}. Верно ли, что  А = В.

      Ответ. Множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Каждый элемент из А входит в В. Следовательно,  А  В. Но натуральных чисел, меньших 4, кроме чисел 1,2,3, нет. Следовательно, каждый элемент из В входит в А. Значит, В  А. По определению, А = В.

      Пример. 3. Дано множество А четных натуральных чисел и множество В натуральных чисел, кратных 4. В каком отношении включения находятся множества А и В? Ответ проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна. 

      Решение. Каждое натуральное число, кратное 4, является четным числом. Значит, B  А. Но не каждое четное число обязано делится на 4. Например, 6 не делится 4, т.е. А  В. Имеем диаграмму:  

        

                                           

      1. Найдите все подмножества множества А = {1; 2;  3; 4}.

      2. Установите, в каком отношении включения находятся множества А и В. Ответ проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

      а)  А – множество натуральных четных чисел,

           В – множество натуральных чисел, кратных 7;

      б)  А – множество натуральных четных чисел,

           В – множество натуральных нечетных чисел.

      3. Дано множество А = {72; 56; 513; 117; 324}. Составьте подмножества множества А, состоящие из чисел, которые:

      а) делятся на 4;

      б) делятся на 9;

      в) делятся на 5;

      г) делятся на 10.

      4. Установите, в каком отношении включения находятся множества решений неравенств от одного неизвестного x:

      а) х  <  12  и  х  < 10;

      б) х  <  12  и   x  > 15;

       в) x  <  12  и  x  > 10;        

       г)  x  < 12 и  –3x  >  – 36.

      5. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношение включения между множествами А и В, если:

      а) А – множество натуральных четных чисел,

          В – множество натуральных чисел, кратных 3;

      б) А – множество квадратов,

          В – множество прямоугольников;

      в) А – множество квадратов,

          В – множество прямоугольных треугольников;

      г) А – множество квадратов,

          В – множество прямоугольников с равными сторонами.

      6. Приведите примеры множеств X,Y,Z,  чтобы отношение включения между ними были такими, как на диаграммах  а), б), с).

                           

                                             Индивидуальноее задание

      1. Даны пары множеств А и В. Укажите отношение включения между ними.

      1)  А – множество городов северного полушария,

      В – множество городов, находящихся в Азии;

      2)  А – множество городов Российской Федерации,

      В – Москва, Новосибирск, Владивосток, Мурманск, Грозный, Сочи, Барнаул.      

      3)  А – множество городов Франции,

           В – множество городов Европы;

      4)  А – множество рек Татарстана,

           В – множество рек Поволжья;

      5)  А – множество озер Смоленщины,

           В – множество водоемов Смоленской области;

      6)  А – множество административных центров Мордовии,

            В – множество городов Поволжья. 

      7)   А – множество рек Сибири,

             В – множество рек СНГ;

      8)   А – множество озер Канады,

             В – множество озер Северного полушария;

      9)   А – множество городов Африки,

            В – множество населенных пунктов Южного полушария;

      10)  А – множество городов Японии,

             В – множество городов Северного полушария;

      1. Среди следующих пар множеств найдите пары равных множеств:
      1. X = {3; 5; 7; 9},

      Y – множество нечетных натуральных чисел, больших 2, но меньших 10;

      1. X = {4; 6; 8},

      Y – множество четных натуральных чисел, больших 1, но меньших 9;

      3)  X –  множество плоских четырехугольников,

      Y – множество плоских фигур, ограниченных замкнутой ломаной из  четырех отрезков;

      4)  X –   множество двузначных чисел, кратных 9,

      Y – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9;

      5)  X – множество сумм двух нечетных натуральных чисел,

      Y – множество четных натуральных чисел;

      6)   X –  множество точек плоскости, равноудаленных от точек М и К,

      Y – множество точек прямой, проходящей через середину отрезка МК  перпендикулярно этому отрезку;

      7) X – множество точек, лежащих на окружности с центром C и радиусом  5,

      Y – множество точек, расстояние которых от точки  C равно 5;

      8) X – множество точек, лежащих внутри круга, ограниченных   окружностью с центром C и радиуса 5,

      Y – множество точек, расстояние которых от точки C меньше, чем 5;

      9)   X – множество точек, лежащих вне круга, ограниченного окружностью с центром C и радиуса 5,

      Y – множество точек, расстояние которых от точки C больше, чем 5;

      10)  X – множество натуральных чисел, кратных 10,

      Y – множество натуральных чисел, кратных 2 и 5 одновременно.

      Задания для самоконтроля

      1. Верно ли, что

      а) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

      б) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

      в) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

      г) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}?

      2. Равны ли следующие множества:

      а) A = {2; 4; 6}, B = {6; 4; 2};

      б) A = {1; 2; 3}, B = {I; II; III};

      в) A = {{1; 2}, {2; 3}}, B = {2; 3; 1};

      г) A = {, , , }, B = {12, 22, 32, 42}, где A  N, B  N.

      3. Существуют ли такое множество, которое имеет 80 подмножеств?

      4. Изобразите диаграмму Эйлера-Венна взаимодействия множеств N, Z, Q, R.

      5. В чем ошибочность следующих формулировок:

      а) Если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в множество В;

      б)  Если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны.

      Как исправить эти формулировки?

      Математика. Множества. Равные множества. Подмножества. Объединение множеств.

      Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись aR означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут aR .

      Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества Аявляется элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

      Сравнение множеств.

      Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

      Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: ØА и А  А

      В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если  , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что ,

      По определению  ,

      Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга

      Операции над множествами

      Пересечение.

      Объединение.

      Свойства.

      1.Операция объединения множеств коммутативна

      2.Операция объединения множеств транзитивна

      3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

      Примеры:

      1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда 

      2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

       {2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

      3. Множество детей является подмножеством всего населения

      4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

      5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

      6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

      Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

      Диаграмма Венна четырёх множеств.

      Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

       

      Диаграммы Эйлера

      Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

      Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

      Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 — 17 = 13 человек.

       

      Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

      ПМ-ПУ :: Атаева Надежда Николаевна :: Фрактальные множества

      Атаева Надежда


      Оглавление

      Комплексные числа

      Во множестве натуральных чисел всегда выполнимы только сложение и умножение. Вычитание уже может приводить к числам отрицательным, а деление — к дробным.

      Во множестве рациональных чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики, но действие извлечения корня не всегда возможно.

      Во множестве вещественных (действительных) чисел извлечение корня возможно за исключением извлечения корней четной степени из отрицательных чисел.

      Во множестве комплексных (мнимых) чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики (с сохранением всех аксиом), а также извлечение корня любой степени из любого комплексного числа. В результате выполнения этих действий над комплексными числами снова получаем комплексные числа. Кроме того, целый ряд задач, которые во множестве вещественных чисел оказывались неразрешимыми, получили простое и естественное объяснение во множестве чисел комплексных. Например, во множестве алгебраическое уравнение n-ой степени всегда имеет в точности n корней (с учетом их кратности), в то время как во множестве чисел вещественных оно может иметь и меньшее число корней (и даже не иметь их вовсе). Во множестве комплексных чисел существует логарифм от отрицательных чисел, функции синус и косинус могут принимать любые значения (в том числе и большие единицы), и т.д.

      Комплексное число представляется в виде суммы , где  и  — вещественные числа. При этом называется вещественной частью, а  — мнимой частью комплексного числа: (сокращение от real и imaginary). Число (такое обозначение придумал Эйлер в XVIII веке) называется мнимой единицей, для него вводится правило умножения

      Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части:

      Комплексное число вида считается равным вещественному числу . Таким образом, множество комплексных чисел включает в себя множество вещественных. Для геометрической интерпретации комплексного числа, напомним, что всякое вещественное число графически можно изобразить либо отрезком, отложенным на данной прямой, либо точкой на этой прямой, если начала всех отрезков помещать в начало координат. Теперь если рассмотреть плоскость XOY с прямоугольной системой координат и договориться вещественные числа откладывать по оси OX, а числа вида — по оси OY, то каждой точке плоскости будет однозначно соответствовать комплексное число . В этой терминологии плоскость XOY называется комплексной плоскостью, прямая OX — ее вещественной осью, а OY — ее мнимой осью.

      Можно также считать комплексное число вектором, с началом в начале координат и с концом — в точке . Вспомним, что тот же вектор можно задать не только прямоугольными координатами и , но и полярными координатами: длиной вектора и углом, который вектор образует с положительным направлением оси OX:

      Следовательно, имеем

      и соответствующее комплексное число можно представить в, так называемой, тригонометрической форме:

      Здесь называется модулем комплексного числа, а  — его аргументом: .

      Алгебраические действия над комплексными числами

      Сложение комплексных чисел выполняется по правилу:

      Вычитание комплексных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел и  всегда можно найти такое число , что . Таким образом,

      Видим, что обе операции совершенно аналогичны действиям с векторами. Однако на следующей операции аналогия заканчивается.

      Умножение комплексных чисел. Приняв во внимание, что , и группируя действительные и мнимые части, находим

      Тот же результат можно представить и в тригонометрической форме: если

      то

      (при умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываютсяаргументы).

      Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению: если и , то частное от деления z1 на z2 есть число, удовлетворяющее равенству :

      Возведение в степень комплексного числа, т.е. вычисление также может быть выполнено двумя способами. С одной стороны, можно раз воспользоваться формулой умножения (формулой бинома Ньютона)

      Здесь означает биномиальный коэффициент: . С другой стороны, вспомнив правило умножения чисел в тригонометрической форме, можно получить формулу Муавра:

      Извлечение корня из комплексного числа или вычисление числа такого, что  может быть произведено с использованием формулы Муавра

      Здесь параметр может пробегать любые целые значения, но реально последняя формула содержит только различных значений для ; они соответствуют . На комплексной плоскости все эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и они делят эту окружность на  равных дуг.

      Графики функций комплексного переменного

      График вещественной функции можно изобразить в двумерном (2D) пространстве, на плоскости XOY. Это многим знакомо и привычно:

      График же комплексной функции можно было бы построить в четырехмерном (4D) пространстве (две координаты нужны для изображения , и две — для ).

      К сожалению, подавляющее большинство людей сталкивается с серьезными проблемами при воображении четырехмерного пространства… Поэтому, одно из ухищрений, обычно применяемое, заключается в следующем: график строится в трехмерном (3D) пространстве. Ось OX отвечает за , ось OY — за , ось OZ — за . Для изображения используется цвет получаемой 3D-точки. Цвет берется из заранее сформированной цветовой шкалы (градиента). Вот несколько примеров для :

      Для наглядности под получившейся изображено множество значений (). Примеры функций вынесены на отдельную страницу.

      Множества Жюлиа и Мандельброта

      Обозначим через плоскость комплексных чисел, а через — риманову сферу . Рассмотрим процесс , где  и . Выбрав произвольное число , возведем его в квадрат и прибавим константу для того, чтобы получить ; затем повторим вычисления для того, чтобы получить , , и т.д.

      Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы , а именно . Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: . В зависимости от значения имеются три возможности:

      1. Если , то числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю.
      2. Если , то числа получаются все большими и большими, стремясь к бесконечности.
      3. Если , то точки продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.

      Ситуация ясна: плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

      Сюрпризы начинаются, когда мы выберем ненулевое значение параметра , например, Здесь для последовательности имеются также три вышеперечисленные возможности, но внутренняя точка, к которой стремится последовательность, уже не является нулем, а граница уже не является гладкой, она сильно изломана. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы.

      Одной из характерных особенностей такой границы является ее самоподобие. Если взять любую часть границы, то можно обнаружить, что она встречается в разных местах границы и имеет разные размеры. Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа.

      Различные значения параметра могут порождать разнообразные множества Жюлиа, причем малейшее изменение этого параметра нередко приводит к существенным метаморфозам. Некоторые множества Жюлиа связны, другие представляют собой канторовы множества.

      Существует правило, определяющее вид множества Жюлиа. Оно зависит от параметра и связано с изображением множества Мандельброта. Множество всех точек , для которых итерации остаются ограниченными при , называется множеством Мандельброта.

      Интересно, что все значения , при которых множества Жюлиа связны, принадлежат множеству Мандельброта, поэтому последнее может быть определено и как множество всех значений параметра , при которых множество Жюлиа связно.

      Алгоритм построения множества Жюлиа

      Шаг 0:

      Выбрать параметр

      Выбрать число M, которое считается бесконечно большим.

      Положить , где  — разрешающая способность экрана.

      Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру:

      Шаг 1:

      Положить

      Шаг 2 (итерация):

      Вычислить по , используя формулы

      Увеличить счетчик k на 1.

      Шаг 3 (оценка):

      Вычислить .

      Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

      Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

      Если , вернуться на Шаг 2.

      Шаг 4:

      Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.

      Алгоритм построения множества Мандельброта

      Шаг 0:

      Выбрать

      Выбрать число M, которое считается бесконечно большим. Например, M=100.

      Положить .

      Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру:

      Шаг 1:

      Положить

      Шаг 2 (итерация):

      Вычислить , используя формулы

      Увеличить счетчик k на 1.

      Шаг 3 (оценка):

      Вычислить .

      Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

      Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

      Если , вернуться на Шаг 2.

      Шаг 4:

      Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.

      Визуализация фрактальных множеств: примеры Дмитрия Абрамова

      Литература

      1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
      2. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ , 2000, 320 с.
      3. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 162 с.
      4. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных систем. М.: Мир, 1993, 176 с.
      5. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Москва, 1959, 376 с.
      6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001, 526 с.

      Множество и его элементы. подмножество. пустое множество.

      Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а.

      Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись — наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак называют знаком принадлежности.

      Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы.

      Например: {2, 4, 6} = {4, 2, 6} – равные множества.

      Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент.

      Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

      В этом случае пишут , знак называют знаком включения.

      Например: {2, 4,} {4, 2, 6}

      Рассмотрим свойства отношения включения.

      рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе.

      транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С.

      антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны.

      Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством.

      Пустое множество обозначают

      Пустое множество является подмножеством любого множества.

      Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

      В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением:

      Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n.

      Пример. Выделим все подмножества множества А ={2, 4, 6}.

      Р(А)={2, 4, 6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2}, {4 }, {6}, — всего 23=8.

      Операции над множествами

      Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В.

      Для обозначения объединения множеств используют знак .

      Пример. , ,

      Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

      Для обозначения пересечения множеств используют знак .

      Пример. , ,

      Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В.

      Для обозначения разности множеств используют знак /.

      Пример. , ,

      Перечислим основные свойства операций над множествами:

      1) идемпотентность объединения

      2) идемпотентность пересечения

      3) коммутативность объединения

      4) коммутативность пересечения

      5) ассоциативность объединения

      6) ассоциативность пересечения

      7) дистрибутивность объединения относительно пересечения

      8) дистрибутивность пересечения относительно объединения

      Универсальное множество. Дополнение множества.

      Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U.

      Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается (или ).

      Дополнение U/ множества обозначается

      Справедливы следующие формулы:

      =

      — закон инволюции.

      Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В.

      Доказательство.

      Пусть множество А является подмножеством множества В, , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству , то он принадлежит и множеству .

      .

      Действительно, если х принадлежит множеству , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству .

      Теорема. Имеют место следующие тождества

      — Законы де Моргана для множеств

      Приведем краткое доказательство первого утверждения.

      Второе утверждение докажите самостоятельно.

      Диаграммы Эйлера-Венна.

      Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна.

      Объединение множеств Пересечение множеств

      Разность множеств Подмножество

      Универсальное множество Дополнение

      Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество. Принадлежность элементов.


      Простая и сложная математика – аналитический портал ПОЛИТ.РУ

       

      Партнер проекта

      3 октября в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялось выступление Леона Арменовича Тахтаджяна – доктора физико-математических наук, профессора математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущего научного сотрудника Международного математического института имени Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. Его лекция называлась «Математика как форма существования».

      В своем рассказе Леон Тахтаджян продемонстрировал как многие понятия, знакомые нам по каждодневной жизни и кажущиеся простыми и понятными: число, форма, размер — при более внимательном анализе демонстрируют нам неожиданную сложность. Объем краткого вступительного очерка не позволяет нам описать целиком даже отдельный раздел лекции. Поэтому мы, учитывая, что лекция всё-таки была рассчитана на восприятие более или менее подготовленных слушателей, решили немного облегчить задачу тех, кто знаком с математикой мало. Для этого на уровне ликбеза мы рассмотрим лишь одну математическую проблему, упомянутую лектором — континуум-гипотезу в теории множеств. Читатели, получившие математическое образование, могут смело переходить сразу к видеозаписи лекции Леона Арменовича.

      Рассуждать о сравнении множеств удобно на примере театра. Представим себе, что в ProScience Театр приходят зрители и рассаживаются в креслах. Глядя на это глазами математика, можно сказать, что устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством кресел. Что же мы видим? Ни один человек не сидит сразу на двух креслах (математик скажет, что такое соответствие двух множеств функционально). Нет ни одного кресла, где ютились бы сразу двое (математик назовет такое соответствие инъективным). Пустых кресел не осталось (такое соответствие зовется сюръективным). И все пришедшие люди смогли сесть (значит, соответствие является всюду определенным). Если соответствие функционально, инъективно, сюръективно и всюдуопределено, его называют взаимно-однозначным соответствием. Установив взаимно-однозначное соответствие между множеством пришедших зрителей и множеством кресел, мы узнали, что в этих множествах одинаковое число элементов. Математики в таких случаях также говорят, что мощности этих множеств равны или что данные множества эквивалентны.

      Пока что эти рассуждения кажутся очевидными. Посмотрим, что будет дальше. Представьте, что ProScience Театр стал настольно популярен, что для него построили новое здание, где в зрительном зале бесконечное число кресел. На выступление известного ученого пришло бесконечное число зрителей. Первый зритель сел в кресло номер один, второй – в кресло номер два, n-й – в кресло номер n и так далее. Вновь установилось взаимно-однозначное соответствие. На следующий день в театре состоялось другое выступление, в котором лектор-физик положил перед началом спектакля на кресло номер один маленькую модель Большого адронного коллайдера. Пришел первый зритель, увидел, что кресло занято, и сел в кресло номер два. Второй – в кресло номер три, третий – в кресло номер четыре, n-й – в кресло номер n+1 и так далее. Администрация театра удивлена: свободных кресел было на одно меньше, в всем зрителям хватило место.

      Но однажды случилась накладка. На одно и то же время в ProScience Театр по ошибке назначили два выступления. И на каждое купило билеты бесконечное число зрителей. Пришли зрители, заняли все кресла. И тут приходит еще столько же зрителей. Куда их сажать? Администрация театра, уже знакомая с неожиданными свойствами бесконечного зрительного зала нашла выход. Обратившись к первой бесконечной группе зрителей, директор театра попросил их сесть через одного на кресла с четными номерами. Первое кресло пустует, первый зритель сел во второе кресло, третье кресло осталось пустым, второй зритель – в третье кресло, третий – в пятое, n-й – в кресло номер 2n. Все расселись. Тогда директор предложил занять места бесконечному числу зрителей, пришедших позднее. Они уселись на нечетных креслах: первом, третьем, пятом… И всем хватило мест! Выходит, в бесконечном зрительном зале мест в два раза больше, чем мы думали?

      Мы смогли установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (зрителями) и множеством четных или нечетных чисел (креслами). Каким бы парадоксальным это не казалось, эти множества эквивалентны. Более того, множеству натуральных чисел эквивалентно любое его бесконечное подмножество: все числа, делящиеся на 43; все числа, заканчивающиеся на 0, простые числа, числа Фибоначчи и так далее. Ведь любое из этих множеств мы можем представить в виде последовательности элементов и перенумеровать эти элементы натуральными числами. Аристотель когда-то писал, что целое больше части. Как мы видим, в случае с бесконечными множествами это не так.

      Может быть, множество целых (положительных и отрицательных) чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных? Нет, оказывается, что и эта пара множеств эквивалентна. Взаимно-однозначное соответствие устанавливается просто:

      0 — 1, 1 — 2, -1 — 3, 2 — 4, -2 — 5, 3 — 6, -3 — 7 и так далее.

      Тогда, может быть, все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Ответ на этот вопрос нашел немецкий математик Георг Кантор. Именно он создал теорию множеств, им введен термин «взаимно-однозначное соответствие». Ему удалось и доказать, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность натуральных. Доказательство это известно под названием канторовский диагональный процесс.

      Рассмотрим действительные числа, расположенные на числовой оси между нулем и единицей. Предположим, что их множество эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть все их можно перенумеровать: а1, а2, а3, а4…, аn, … Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь конечна, то с какого-то момента все последующие знаки в нем будут нулями. Запишем наши числа в виде десятичных дробей:

      а1 = 0,00132277…

      а2 = 0,90367515…

      а3 = 0,21597404…

      а4 = 0,09708352… и так далее.

      Обратите внимание на подчеркнутые цифры. Они стоят по диагонали: первая цифра после запятой у а1, вторая — у а2 и так далее. С их помощью составим новую бесконечную десятичную дробь. Причем поступим так: если у числа аn на n-ом месте стоит ноль, в новой дроби на n-ом месте поставим единицу, во всех остальных случаях на n-ом месте ставим ноль. В итоге наша дробь будет выглядеть так: 0,1101… Получившаяся дробь не будет совпадать ни с одной из имеющихся среди а1,…, аn,… С а1 у нее будет отличаться первый знак после запятой, с а2 — второй и так далее. Мы считали, что записали в последовательности все числа между 0 и 1, однако новой дроби среди них не оказалось. Значит, мы пришли к противоречию, следовательно, утверждение, что множество чисел на отрезке от 0 до 1 эквивалентно множеству натуральных чисел неверно. Понятно, что множество действительных числе также не эквивалентно натуральным.

      Затем Кантор доказал другую теорему: о том, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, стали называть счетными множествами. Мощность множества действительных числе называется континуум. Как мы видим, в сторону увеличения мощность множеств может расти бесконечно: для каждого множества есть более мощное множество всех его подмножеств. Счетные же множества — самые «маленькие» из бесконечных множеств.

      Тут мы и подошли к проблеме, которой заинтересовался и Георг Кантор: существуют ли множества, мощность которых больше, чем у счетных, но меньше, чем у множества действительных чисел. Это проблема получила название континуум-гипотезы. Доказать, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, Георг Кантор так и не смог. Лишь в 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом теории множеств, а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал, что и континуум-гипотеза также недоказуема в этой системе аксиом. Можно принять ее или ее отрицание как еще одну аксиому, что порождает два разных варианта теории множеств.

      Равные и эквивалентные наборы — определение, объяснение, примеры и часто задаваемые вопросы

      Чтобы понять значение «Равный набор», равный набор определяется как два набора, имеющие одинаковые элементы. Два набора A и B могут быть равны только при условии, что каждый элемент набора A также является элементом набора B. Кроме того, если два набора оказываются подмножествами друг друга, то они указываются как равные наборы.

      (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

      Равные множества

      Равные множества могут быть представлены как:

      P = Q

      P ⊂ Q и Q ⊂ P ⟺ P равно Q

      Следует отметить, что если описанное выше условие не выполняется, то набор считается неравным.

      Неравные множества представлены как

      P ≠ Q

      Определить эквивалентные множества

      Эквивалентные множества, означающие в математике, содержат два определения.

      Эквивалентных множеств Определение 1 — Предположим, что два набора A и B имеют одинаковую мощность, тогда существует целевая функция от множества A до B.

      Эквивалентных множеств Определение 2 — Предположим, что указаны два набора A и B. быть эквивалентными, только если они имеют одинаковую мощность, то есть n (A) = n (B).

      Таким образом, чтобы оставаться или быть эквивалентными, множества должны иметь одинаковую мощность. Это условие означает, что между элементами, принадлежащими обоим множествам, должно быть однозначное соответствие. В этом контексте условие «один к одному» подразумевает, что для каждого элемента в множестве A существует элемент в множестве B, пока и множество A, и множество B не будут исчерпаны.

      Таким образом, в целом можно констатировать, что два набора остаются эквивалентными друг другу, если только количество элементов в обоих наборах остается равным.Наборы не обязательно должны содержать одни и те же элементы, иначе они останутся подмножеством друг друга.

      (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

      Эквивалентные наборы

      Примеры равных и эквивалентных множеств

      Пример равных множеств

      Давайте разберемся, равные множества на примере,

      Если M = {1, 3, 9, 5, — 7} и N = {5, −7, 3, 1, 9,}, то можно сказать, что M = N. Следует отметить, что независимо от того, сколько раз элемент повторяется в конкретном наборе, элемент засчитывается только один раз.Также следует отметить, что порядок элементов в конкретном наборе не имеет значения. Следовательно, в терминах кардинального числа равные множества могут быть заявлены так:

      Если P = Q, то n (P) = n (Q) и для любого x ∈ P, x ∈ Q тоже.

      Пример эквивалентного множества

      Если S = ​​{x: x, где x указано как положительное целое число} и T = {d: d, где x считается натуральным числом}, то S определяется как эквивалент T.

      Таким образом, можно сказать, что эквивалентный набор — это просто набор с равным числом элементов.Однако в наборах не обязательно должны быть одни и те же элементы, но они должны содержать одинаковое количество элементов.

      Давайте разберемся с эквивалентными наборами на примерах

      1. Если A = {1, −7,200011000,55} и B = {1,2,3,4}, то A эквивалентно B.

      2. Если Набор G: {Свитер, Рукавицы, Шарф, Куртка} и Набор H: {Яблоки, Бананы, Персики, Виноград}, можно отметить, что Набор G и Набор H содержат элементы слов в разных категориях и имеют одинаковое количество элементов. я.е. четыре.

      Важные моменты, которые следует помнить об эквивалентных наборах

      • Все нулевые наборы считаются эквивалентными друг другу.

      • Не все бесконечные множества остаются эквивалентными друг другу. Например, эквивалентный набор всех действительных чисел и эквивалентный набор целых чисел.

      • Если P и Q указаны как два набора, так что P равно Q, то есть (P = Q). Этот пример означает, что два равных набора всегда будут оставаться эквивалентными, но обратное эквивалентному набору может оставаться верным, а может и не оставаться.

      • Равный набор может быть эквивалентным набором, но не обязательно, чтобы эквивалентный набор был равным набором.

      Основы набора

      Основы набора

      Набор

      Основы набора

      Предметы для изучения

      • равенство наборов
      • подмножество, собственное подмножество
      • пустой набор
      • универсальный набор
      • силовой агрегат

      Содержание

      Определение (равенство наборов): Два набора — равно тогда и только тогда, когда у них одинаковые элементы.
      Формально для любых наборов A и B , A = B тогда и только тогда, когда х [ x А х B ].

      Таким образом, например, { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } , то есть порядок элементов не имеет значения, и { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1, 1 } , то есть дублирование не не имеет значения для наборов.

      Определение (подмножество): Набор A является подмножество набора B тогда и только тогда, когда все в A также в B .
      Формально для любых наборов A и B , A — это подмножество из B и обозначается А B , если и только если х [ x А х B ].
      Если А Б , г. и А Б , г. тогда A называется собственное подмножество из B и обозначается А В .

      Например { 1, 2 } { 3, 2, 1 }.
      Также { 1, 2 } { 3, 2, 1 }.

      Определение (мощность): Если набор S имеет n отдельные элементы для некоторого натурального числа n , n — это мощность (размер) из S и S является конечным множеством .Мощность S обозначается | S | .

      Например, количество элементов набора { 3, 1, 2 } равно 3 .

      Определение (пустой набор): Набор, не имеющий элементов, называется пустой набор.
      Более формально, пустой набор , обозначенный , г. — это набор, удовлетворяющий следующему:
      х х ,
      где означает «не входит» или «не является членом».

      Обратите внимание, что и {} — разные наборы. {} в нем есть один элемент. Так {} не пусто. Но в нем ничего нет.

      Определение (универсальный набор): Набор, в котором есть все элементы вселенная дискурса называется универсальный набор.
      Более формально универсальный набор , обозначаемый U , — это набор, удовлетворяющий следующему:
      х х U.

      Три отношения подмножества, включающие пустой набор и универсальный набор, перечислены ниже. как теоремы без доказательства.Их доказательства найдены в другом месте.

      Обратите внимание на , что набор A в следующих четырех теоремах произвольный. Таким образом, A может быть пустым набором или универсальным набором.

      Теорема 1: Для произвольного набора A А У .

      Теорема 2: Для произвольного набора A А .

      Теорема 3: Для произвольного набора A А А .

      Определение (набор мощности): Набор всех подмножеств набора A называется набором мощности из A и обозначается 2 A или ( А ).

      Например, для A = { 1, 2 } , ( A ) знак равно , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}.

      Для B = {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }, ( B ) знак равно , {{ 1, 2 }}, {{{ 1 }, 2}}, {}, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}}, {{ 1, 2 }, }, {{{ 1 }, 2}, }, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }}.

      Также () знак равно и ({}) знак равно {}}.

      Теорема 4: Для произвольного набора A , количество подмножеств A равно 2 | A | .

      Проверьте свое понимание основных концепций набора


      Далее — Математические рассуждения

      Вернуться к расписанию
      Вернуться к содержанию

      Equal Sets — Учебный материал для IIT JEE


      Значение наборов

      Набор различных объектов, имеющих какое-то общее свойство, называется набором .Это может быть что угодно, например числа, алфавиты изображений и т. Д. В наборе мы должны перечислить все объекты группы, а затем заключить их в фигурные скобки «{}» .

      Что такое элементы набора?

      Различные объекты набора называются элементами набора. Элементы и члены — это одно и то же. Обычно мы обозначаем набор заглавными буквами. Мы должны перечислить все объекты и разделить их запятой, а затем заключить их в фигурные скобки.

      Пример 1

      На картинке выше 3, 6 и 91 — это элементы набора, поэтому мы должны записать их в скобках. Здесь три точки означают, что нет. элементов не ограничены.

      Пример 2

      Здесь формы являются элементами набора, и набор обозначен заглавной буквой «B». А количество элементов набора B здесь 4. Представим его как n (B) = 4.

      Определение равных множеств

      Два заданных набора называются Равными наборами, если их количество элементов и состав элементов в точности совпадают. Это может быть что угодно, например числа, изображения, буквы и т. Д. Порядок элементов и их повторение здесь не имеют никакого значения.

      Пример 1

      Вот два набора фигур. Это равные наборы, потому что количество элементов одинаково и есть одинаковые элементы.

      Пример 2

      A = {5, 6, 7, 8}

      B = {6, 8, 5, 7}

      C = {5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8}

      Здесь все три набора, набор A, набор B и набор C равны, так как их элементы одинаковы по несущественности порядка и повторения.

      Равные множества по математике

      Два набора X и Y называются равными наборами, если все элементы X присутствуют в Y, и все элементы Y присутствуют в X.Или вы можете сказать, что если оба набора являются подмножеством друг друга, то они равны.

      X⊂Y и Y⊂X ⇔X = Y

      X — это подмножество Y, а Y — подмножество X, это означает, что X равен Y.

      Пример

      Здесь все элементы A и B одинаковы, или мы можем сказать, что A — это подмножество B, а B — подмножество A, Итак, A = B

      Но если это условие не выполняется, то наборы называются неравными.

      Как в примере выше,

      C⊂A, но A⊄C ⇔ A ≠ C

      То есть, все элементы C присутствуют в A, но все элементы A отсутствуют в C, это означает, что A не равно C или A, а C — неравные множества.

      Итак, , если все элементы двух данных наборов не одинаковы, они называются Неравными наборами .

      Количество равных множеств

      Мощность набора равна n (A) = x, где x представляет количество элементов набора A.

      Как на картинке выше, мощность этого набора A равна 6, и набора B также 6.

      п (А) = п (В) = 6

      Итак, согласно количеству элементов или в количественном выражении, два набора называются равными наборами, если,

      n (A) = n (B) и x ∈ A , x ∈ B также ,

      Затем,

      А = В

      Обозначение равных множеств

      Для представления равных множеств мы используем символ «=» i.е. равенство.

      И для неравных наборов мы используем символ «≠» , т.е. не равно.

      Как в примере выше,

      A = B, т.е. набор A равен набору B

      Но, A ≠ C, т.е. набор A не равен набору C.


      Какое определение эквивалентных множеств в математике?

      Два набора называются эквивалентными наборами , если количество элементов одинаково. Элементы не обязательно должны быть одинаковыми, просто количество элементов должно быть одинаковым.

      Здесь все четыре набора являются эквивалентными наборами, поскольку количество элементов одинаково во всех четырех наборах треугольника, смайлика, звезды и сердца. Здесь n (T) = n (Sm) = n (St) = -n (H ) = 6.

      Итак, наборы считаются эквивалентными, если их кадинальность такая же.

      Поскольку все пустые множества имеют нулевую мощность, все пустые множества являются эквивалентными множествами.

      Другое определение эквивалентных множеств состоит в том, что два множества эквивалентны, если существует взаимно однозначное соответствие внутри двух множеств.Биекция — это взаимно однозначное соответствие между двумя наборами. Это означает, что для каждого элемента в наборе X должен быть элемент в наборе Y, пока элементы не пройдут.

      Пример

      Биекция — это взаимно-однозначное соответствие между наборами

      Здесь, на картинке выше, X и Z — эквивалентные множества, поскольку элементы не совпадают, но количество элементов одинаково. Для каждого элемента в множестве X также есть элемент в множестве Z.Но множества X и Y не эквивалентны, потому что для каждого элемента в Y нет элемента в X. В X есть 3 элемента и 4 элемента в Y.

      Итак, два набора эквивалентны, если в них есть взаимное соответствие .

      Обозначение комплектов эквивалентов

      Для представления эквивалентных множеств мы используем эквивалентный знак или «~» или «≡»

      Как в приведенном выше примере X ~ Z, т.е. Set X эквивалентен Set Z.

      В чем разница между равными и эквивалентными наборами?

      Разница между равными и эквивалентными наборами следующая:

      No. Очки Равные наборы Наборы эквивалентов
      1

      Определение

      Два набора равны, если все элементы обоих наборов одинаковы.

      Два набора эквивалентны, если количество элементов в обоих наборах одинаково.

      2

      Количество элементов

      То же в обоих наборах

      То же в обоих наборах

      3

      Мощность

      То же для обоих комплектов

      То же для обоих комплектов

      5

      Элементы

      Элементы должны быть одинаковыми

      Элементы не должны совпадать

      6

      Символ

      =

      ~ или

      ≡
      7

      Отношение

      Равные наборы также могут быть эквивалентными.

      Эквивалентные наборы не могут быть равны.

      8

      Пример

      A = {2,4,6,8}

      B = {4,8,2,6}

      А = В

      X = {2, 4, 6, 8}

      Y = {1,3,5,7}

      X ~ Y

      Связь между равными и эквивалентными наборами

      Два набора равны, если они точно такие же i.е. их элементы и количество элементов одинаковы, без какого-либо отношения к порядку и повторению элементов.

      И два набора эквивалентны, если их количество элементов одинаково. Элементы могут быть одинаковыми или разными, просто количество должно быть одинаковым.

      Равные наборы также эквивалентны

      Здесь, на картинке выше, оба набора равны, потому что все элементы одинаковы, а количество элементов также одинаково, поэтому они также эквивалентны.

      Значит, все равные множества также эквивалентны.

      Эквивалентные наборы могут не совпадать с наборами

      Здесь X и Y — эквивалентные множества, поскольку их количество элементов одинаково, то есть 4, но это не равные множества, потому что элементы не совпадают.

      Итак, все эквивалентные множества не равны.

      Как определить наборы как равные или эквивалентные?

      Как мы знаем, все наборы, которые имеют один и тот же элемент и одинаковое количество элементов, называются равными наборами, а наборы, имеющие одинаковое количество элементов, являются эквивалентными наборами.Таким образом, легко идентифицировать наборы как равные или эквивалентные наборы.

      Давайте попробуем несколько примеров, чтобы определить равные и эквивалентные множества.

      S.Np. Пример Аналог или эквивалент Почему?
      1

      A = {5,10,15,20}

      Обе одинаковые и эквивалентные

      Оба набора содержат одинаковые элементы, и порядок элементов не имеет значения.

      B = {10,5,20,15}

      2

      C = {5, 10, 15, 20}

      Аналогично, но не равно

      В обоих наборах одинаковое количество элементов, но они разные.

      D = {@, $, &, #}

      3

      E = {1,2,3,4,5}

      Обе одинаковые и эквивалентные

      Оба набора содержат одинаковые элементы, и повторение элементов не имеет значения.

      F = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5}

      4

      G = {1,2,3,4}

      Не равно и не эквивалентно

      Оба набора имеют разное количество элементов, и элементы также не совсем одинаковы.

      H = {1,2,3,4,5}

      5

      I = {A, B, C, D}

      Аналогично, но не равно

      Количество элементов в обоих наборах одинаковое.

      J = вс, пн, вт, ср}

      6

      Аналогично, но не равно

      Количество элементов в обоих наборах одинаковое.

      Это показывает, что все равные множества также эквивалентны, но все эквивалентные множества не равны.

      В чем разница между объединенными и непересекающимися наборами?

      Комплекты шарниров

      Два набора называются соединенными, если в них есть хотя бы один общий элемент.

      Условно,

      A∩B ≠ ∅ т.е. пересечение B не является пустым множеством.

      Пример

      A = {1, 2, 3, 4}

      B = {2, 4, 6, 8}

      A∩B = {2,4} ≠ ∅

      Здесь A и B — это наборы шарниров, потому что в A и B есть два общих элемента.

      Разъединенные наборы

      Два множества называются непересекающимися, если в них нет общего элемента.

      Условно,

      A∩B = ∅ i.е. Пересечение B — пустое множество.

      Пример

      A = {1, 2, 3, 4}

      B = {5, 6, 7, 8}

      A∩B =

      ∅

      Здесь A и B — непересекающиеся множества, потому что в них нет общего элемента.

      Графическое представление совместных и непересекающихся множеств

      Совместное и непересекающееся множества можно представить диаграммой Венна. Это простой способ понять концепцию совместных и непересекающихся множеств.

      Если два набора представлены двумя взаимоисключающими окружностями и не пересекаются друг с другом, то эти наборы называются непересекающимися наборами. Как видно из названия, наборы не соединяются друг с другом.

      Если два набора представлены двумя пересекающимися друг с другом окружностями, то это совместные множества. Это показывает, что внутри них есть некий общий элемент, который показан пересечением двух кругов.

      Здесь набор A и набор B являются непересекающимися наборами, поскольку в них нет общего элемента.Они исключают друг друга.

      A = {1, 2, 3}

      B = {5, 7, 9}

      Если два множества не пересекаются, их пересечение пусто.

      A∩B =

      ∅

      Наборы C и D являются наборами шарниров, поскольку они имеют один общий элемент.

      C = {3, 5, 7}

      D = {7, 9, 11}

      C∩D = {7}

      Дополнительная информация

      Равные наборы

      пар наборов

      Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

      За электронным обучением будущее уже сегодня.

      Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

      Если между двумя наборами существует какая-то связь, такие наборы называются парами наборов.

      Пары множеств — это равные множества, эквивалентные множества, непересекающиеся множества и перекрывающиеся множества.

      Равные наборы

      Два набора считаются равными, если они содержат одинаковые элементы.

      Примеры:

      1) A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3}

      Поскольку два набора содержат одинаковые элементы, набор A и набор B являются равными наборами

      Он обозначается как A = B

      Эквивалентные наборы

      Два набора эквивалентны тогда и только тогда, когда между ними существует взаимно однозначное соответствие

      Примеры

      Поскольку набор A и набор B являются эквивалентными наборами .

      Обозначается как A ↔ B

      2) A = {x | x ∈ N, x ∠ 5} и B = {x | x — буквенное слово DEAR}

      Решение:
      A = {x | x ∈ N, x ∠ 5}

      A = {1, 2, 3, 4}

      B = {D, E, A, R}

      N (A) = n (B)

      ∴ A ↔ B

      Непересекающиеся множества

      Два набора не пересекаются, если у них нет общих элементов.

      Примеры:

      1) A = {1, 2, 3} и B {4, 5, 6}

      Набор A и набор B не пересекаются, поскольку в них нет общего элемента.

      2) A {x | x ∈ N} и B {x | x ∠ o, x ∈ Z}

      Решение:
      A = {x | x ∈N}

      A = {1, 2, 3, 4…}

      B = {x | x ∠o, X ∈ Z}

      B = {-1, -2, -3…}

      Поскольку нет общего элемента в наборе A и наборе B, поэтому они не пересекаются

      Перекрывающиеся наборы

      Если два набора A и B имеют некоторые общие элементы, тогда они называются перекрывающимися наборами

      Примеры:

      1) A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}

      В наборе A и установите B там являются двумя общими элементами 3 и 4

      Набор A и набор B являются перекрывающимися наборами

      Теория множеств

      • Наборы
      • Представление набора
      • Кардинальное число
      • Типы наборов
      • Пары наборов
      • Подмножество
      • Дополнение набора
      • Объединение множеств
      • Пересечение множеств
      • Операции над множествами
      • Закон Де Моргана
      • Диаграммы Венна
      • Диаграммы Венна для множеств
      • Диаграммы Венна для различных сидений uations
      • Проблемы на пересечении двух множеств
      • Проблемы на пересечении трех множеств

      Домашняя страница

      Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

      Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

      теория элементарных множеств — Какие из этих множеств равны?

      Ваше сообщение отредактировано. В новой редакции ясно, что вы не делаете запутанных и абстрактных, а продвинутых обозначений теории множеств чисел, тогда как раньше казалось очевидным, что это так. ТАК новый ответ:

      «Я знаю, что ∅ — это подмножество всех пустых множеств. Таким образом, не будут ли все они равны друг другу?»

      Нет, иметь что-то как элемент — это не то же самое, что быть подмножеством.Надеюсь, это станет ясно из объяснения. (Если нет, вы можете использовать аналогию «набор похож на мешок» и «пустой мешок внутри мешка отличается от пустого мешка»)

      а) $ \ emptyset $ — пустое множество. Это набор без каких-либо элементов. Ничего особенного.

      б) {$ \ emptyset $} — это набор, состоящий из одного элемента. Единственный элемент — это пустой набор. Можно ставить наборы как элементы наборов. Но наборы — это элементы набора. Они не подмножества. Подмножество — это набор с одними и теми же элементами.Набор внутри набора может иметь совершенно разные элементы. Во всяком случае, это из , первый набор как элемент.

      c) {0} — это набор с единственным элементом 0 в нем. Ноль — это число. Это не набор.

      Итак, для $ a \ ne b $, $ b \ ne c $ и $ c \ ne a $.

      г) {} — еще один способ записи пустого множества. Знаки «{» и «}» представляют собой символы, обозначающие, «что внутри является элементами набора». Итак, {} говорит: «Это список, в котором ничего нет.Это пустой набор.

      Итак, {{}} — это набор, состоящий из одного элемента. Этот элемент — пустой набор.

      Итак, у нас есть = $ \ emptyset $ = {}. b = d = {$ \ emptyset $} = {{}}. И c = {0}.

      e) {}, как я сказал в d), {} — это пустое множество.

      Так

      a = e = пустой набор = набор вообще без элементов = $ \ emptyset $ = {}

      b = d = набор с пустым набором в качестве единственного элемента = {{}} = {$ \ emptyset $}

      c = набор с номером ноль в качестве единственного элемента = {0}.

      ==== старый ответ, если вы делаете более продвинутый класс. Оставлено для справки. =====

      a) Если вы не делаете теоретическое определение числа множеством, 0 вообще не является множеством. Это просто число.

      Если вы выполняете теоретическое определение числа, все, — это набор. Я собираюсь предположить, что вы делаете теоретическое определение числа до конца этого ответа.

      0 — это пустой набор — набор без элементов.Существует только один пустой набор, поэтому утверждение «0 — это подмножество всех пустых наборов» вводит в заблуждение. 0 — это пустой набор — единственный пустой набор.

      б) {0}. Это набор с элементом в нем. Элемент в нем равен 0. Это не пустой набор, потому что в нем есть элемент. Мы можем переписать пустой набор как, $ \ emptyset $, {} или 0. Таким образом, этот набор может быть записан как {0}, {{}}, {$ \ emptyset $} или 1. Как в определении множества для числа, число 1 определяется как набор, содержащий только один член — пустой набор.

      c) означает то же самое, что и b в письменной форме. Один из них должен был быть {$ \ emptyset $}? Ну да ладно. Как я объяснил в б) {{}}, {0}, {$ \ emptyset $} и 1 — это одно и то же: набор с ровно одним элементом; элемент — это пустой набор.

      d) то же самое

      e) {} — это набор без элементов, то есть пустой набор.

      Итак, a = e и b = c = d.

      Быть элементом — не то же самое, что быть его подмножеством.

      ====

      Хорошо, если вы , а не , выполняете определение чисел в теории множеств, тогда 0 — это число.Это вообще не набор. В остальном все то же самое: а) не набор b = c = d = набор, содержащий пустой набор. e = пустое множество.

      Теория элементарных множеств

      — равен ли пустой набор другому пустому набору?

      Чтобы показать, что два набора эквивалентны, вы должны показать, что $ A \ substeq B $ и $ B \ substeq A $. Отсюда следует, что $ A = B $. Если $ A = \ varnothing $ и $ B = \ varnothing $, попробуйте доказательство поиска элементов, чтобы показать, что $ A = B $.

      ($ \ to $): Если $ x \ in A $, то $ x \ in B $.Таким образом, $ A \ substeq B $. $ \ qquad $ [ Вакуумно верно ]

      ($ \ leftarrow $): Если $ x \ in B $, то $ x \ in A $. Таким образом, $ B \ substeq A $. $ \ Qquad $ [ Вакуумно верно ]

      Таким образом, благодаря взаимному включению подмножеств, мы получаем, что $ A = B $.

      Однако этот вывод довольно неубедительный, поскольку он является примером так называемой пустой истины . Импликация $ p \ to q $ ложна только тогда, когда $ p $ истинно, а $ q $ ложно. Таким образом, предположение, что что-то находится в пустом наборе, приведет к всевозможным странным выводам.

      Приложение: Некоторая путаница, кажется, коренится в том, что значит быть подмножеством, а не элементом. Таким образом, я собираюсь перечислить несколько утверждений, цель которых — выяснить, является ли утверждение истинным или ложным (надеюсь, это может помочь OP и некоторым другим пользователям). Ответы будут предоставлены на каждой претензии.

      Претензии:

      (a) $ 0 \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (b) $ \ varnothing \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (c) $ \ {0 \} \ subset \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (d) $ \ varnothing \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (e) $ \ {0 \} \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (f) $ \ {0 \} \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (g) $ \ {\ varnothing \} \ substeq \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (h) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (i) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (j) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (k) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (l) $ \ {\ varnothing \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (м) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (n) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ False ]

      Примечание: Ниже $ x $ означает просто букву , а не набор (который часто обозначается прописной буквой, как это было сделано в первоначальном объяснении).Для (t) , если $ x $ действительно обозначает набор, тогда $ x = \ varnothing $ сделает (t) истинным, а не ложным.

      (o) $ x \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (p) $ \ {x \} \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (q) $ \ {x \} \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (r) $ \ {x \} \ in \ {\ {x \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (s) $ \ varnothing \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

      (t) $ \ varnothing \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

      (u) $ \ varnothing \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ False ]

      (v) $ \ varnothing \ substeq \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ True ]

      Доказательство равенства двух комплектов

      Достаточно распространенная проблема, с которой мы столкнемся в этом курсе, — это доказать, что два множества $ S $ и $ T $ на самом деле равны.Конечно, если и $ S $, и $ T $ имеют точное описание, эта проблема будет тривиальной. Однако обычно описания $ S $ и $ T $ будут разными, и, следовательно, если мы утверждаем, что $ S = T $, то нам нужно представить доказательство этого утверждения. Ниже мы поговорим об одном очень распространенном приеме доказательства равенства множеств.

      Этот трюк основан на том простом факте, что $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ T \ substeq S $:

      Уловка 1

      Сначала докажите $ S \ substeq T $.Затем докажите $ T \ substeq S $.

      Мы применим этот трюк к следующему упражнению:

      Упражнение 1

      Вы — журналист-расследователь, изучающий две компании. Две компании занимают нишу, занимающуюся производством плитки с цельными размерами. WeLoveEvenSides утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, по крайней мере, по длине или ширине. WeLoveEvenArea утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, площадь которых делится на два. Ваши предварительные расследования привели вас к мысли, что эти две компании действительно одно и то же. Теперь представьте аргумент о нокауте, доказав, что набор прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenSides , в точности совпадает с набором прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenArea (что, по утверждениям компаний, показывает, что они одинаковы).

      В качестве дополнения:

      Упражнение 2

      Объясните, почему вы не можете нанести сокрушительный удар в упражнении 1, если размеры плиток могут быть действительными числами.

      Наконечник

      Всякий раз, когда вы видите такую ​​многословную постановку задачи, как в упражнении 1, полезно абстрагироваться от математической задачи.

      Я утверждаю, что вышеприведенное то же самое, что и следующая проблема (это упражнение, чтобы убедить себя, что мое утверждение действительно верно):

      Упражнение 3

      Пусть $ R $ — множество всех прямоугольников с целой длиной и шириной. Пусть $ R_1 \ substeq R $ будет набором прямоугольников четной длины или ширины. Пусть $ R_2 $ — множество всех прямоугольников с четной целой площадью. Докажите, что $ R_1 = R_2 $.

      Теперь воспользуемся нашим приемом для решения упражнения 3.

      Доказательство идеи (пример 3)

      Сначала мы докажем, что $ R_1 \ substeq R_2 $. Затем мы будем утверждать, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Для этого воспользуемся тем фактом, что прямоугольник длиной $ \ ell $ и шириной $ b $ имеет площадь $ \ ell \ cdot b $.

      Детали доказательства

      Сначала докажем $ R_1 \ substeq R_2 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_1 $ длины $ \ ell $ и ширины $ b $.Поскольку $ r \ in R_1 $ либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. Поскольку умножение четного числа на другое целое число приводит к другому четному числу, мы заключаем, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Отсюда по определению следует $ r \ in R_2 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, имеем $ R_1 \ substeq R_2 $.

      Теперь докажем, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_2 $ с площадью $ a $. Это означает, что $ a $ четное. Теперь пусть $ \ ell $ и $ b $ обозначают длину и ширину $ r $.Обратите внимание, что это означает, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Мы утверждаем, что либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. (Мы вскоре докажем это утверждение.) Обратите внимание, что по определению отсюда следует, что $ r \ in R_1 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, мы имеем $ R_2 \ substeq R_1 $, что и требовалось.

      Наконец, докажем утверждение. Допустим, для противодействия, что и $ \ ell $, и $ b $ нечетные. Поскольку произведение двух целых чисел дает нечетное целое число, должно быть так, что $ a = \ ell \ cdot b $ нечетное.Противоречие (поскольку $ a $ четно) доказывает утверждение.

      Уловка 1 ‘(для конечных множеств)

      Теперь мы представляем вариант трюка 1, который работает для конечных множеств. 1 Это основано на учете следующего свойства:

      Упражнение 4 (Уловка 1 ‘)

      Пусть $ S $ и $ T $ — конечные множества. Тогда $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ | S | \ ge | T | $.

      В этой заметке мы не будем подробно останавливаться на приеме 1 ‘(поскольку мы не будем использовать его в CSE 331), но вот упражнение, в котором вы можете применить прием 1’: 2

      Упражнение 5

      Пусть $ S = \ {(0,0), (1,1) \} $ и $ T = \ {(a, b) | a \ oplus b = 0 \ text {and} a, b \ in \ {0,1 \} \} $.

      Уравнение окружности в полярной системе координат: Уравнение окружности в полярных координатах — Студопедия

      alexxlab / / Разное

      Уравнение линии в полярных координатах. Простейшие примеры

      

      По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса  от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от  до  (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от  до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

      Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

      «Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :
      Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .
      В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы  у функции  рассматривать нельзя.

      ! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

      Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

      Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

      Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

      Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

      Уравнение вида  определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса . 

      Например, . Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу , проведём замену:

      Возведём обе части в квадрат:
       – уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

      А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

      Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

      Задача 116

      Построить линию

      Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
      я советую более быстрый графический метод решения:

      – Посмотрим на график функции  (см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство ? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс , а именно, его часть на отрезке  . И, соответственно, интервал  не подходит. Таким образом, область определения нашей функции: ,  то есть график  расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

      В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

      Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса  соответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):

      Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:

      В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме.

      Обе части уравнения  искусственно домножаем на «эр»:  и используем более компактные формулы перехода:

      Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:

       – уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

      Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

      Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ?

      Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции  нас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

      Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида  задаёт окружность диаметра  с центром в точке .

      Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси  и обязательно проходят через полюс. Если же ,  то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

      Похожая задача для самостоятельного решения:

      Задача 117

      Построить линию  и найти её уравнение в декартовой системе координат.

      Систематизируем порядок решения задачи:

      Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

      На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

      На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

      И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

      Примерный образец решения в конце книги.

      Общий алгоритм и технику построения  в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

      4. 5. Полярная роза

      4.3. Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

      | Оглавление |

      

      Автор: Aлeксaндр Eмeлин


      Полярные координаты — определение и вычисление с примерами решения

      Содержание:

      Полярные координаты

      Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

      Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

      Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

      Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

      Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

      Связь между прямоугольными и полярными координатами

      Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

      Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

      Тогда для произвольной точки М имеем

      Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

      Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

      Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

      Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

      Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

      Пример:

      Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

      По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

      Параметрические уравнения линии

      Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

      Пример:

      Выведем параметрические уравнения окружности.

      Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

      Это и есть параметрические уравнения окружности.

      Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

      Пример:

      Выведем параметрические уравнения эллипса.

      Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

      За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

      Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

      Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

      Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

      Пример:

      Построить кривую

      Решение:

      Составляем таблицу значений:

      Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

      Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

      Параметрические уравнения циклоиды

      Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

      Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

      Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

      Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

      ——-

      Полярная система координат

      Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
      радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
      полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
      Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
      координатами точки М задается в виде:     (1)

      Рис. 1. Полярные координаты точки.
      Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
      прямоугольную систему координат:

      Пример 1.

      Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
      − лемниската.
      Решение.


      Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

      Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
      отрезки длины r , получим :


      Рис.3. Лемниската 

      • Заказать решение задач по высшей математике

      Пример 2.

      а) Построим кривую  − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:




      Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤  ϕ 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).


      При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r


      Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде:
      ϕ — параметр.
      В этом случае на кривой получаются два дополнительных
      лепестка, когда  соответствующие случаю r  (см.пример 9 § 30).
      На кривой каждый из лепестков проходится дважды и
      задается параметрически формулами:
      (см.пример 10 § 30).

      Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при . Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор
      Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф
      соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ)


      Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение
      трапеции:


      Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:

      Каждое слагаемое в нижней сумме равно площади  обычного кругового
      сектора радиуса  
      таким образом,
       (2) для нижних сумм и (3)    для верхних сумм Дарбу, где  Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции  (см.формулы (5) § 24), поэтому (4)
      Пример 3.

      Найти площадь ограниченную лемнискатой  (см.пример 1).
      Решение.

      По формуле (4):
      площадь одного лепестка.
      Поэтому 
      Пример 4.

      Найти площадь фигуры ограниченной линиями: и  (вне круга).

      Решение. Найдем точки пересечения кривых:     По формуле (4):

      Пример 3.

      r=2cosϕ. Вычислим 

      − окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).

      При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против
      часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает
      удвоенную площадь круга.

      Полярная система координат

      Содержание статьи

      1. Образование полярной системы координат

      2. Связь между прямоугольными и полярными координатами

      3. Некоторые важнейшие кривые

      Образование полярной системы координат

      На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. {2} $. Уравнение той же окружности в полярной системе координат: $\rho =R$.

      Полярная система координат вводится следующим образом. На плоскости вибираем некоторую точку $O$, которая называется полюсом. Из этой точки проводим луч $Ox$, который называется полярной осью. Выбираем линейный масштаб для измерения длин отрезков. Для измерения углов выбираем или градусную, или радианную меру.

      Положение точки $M$ на плоскости определяют два числа: число $\rho $ — расстояние точки $M$ от полюса (полярный радиус $OM$), а также число $\phi $ — угол, образованный полярным радиусом с полярной осью (полярный угол). Положительным направлением отсчета угла $\phi $ считается направление против часовой стрелки.

      Числа $\rho $ и $\phi $ называются полярными координатами точки $M\left(\rho ,\; \phi \right)$. При этом полярный радиус $\rho \ge 0$, а полярный угол $0\le \phi

      Связь между прямоугольными и полярными координатами

      Между полярными и декартовыми прямоугольными координатами точки $M$ можно установить связь. {3} }{a-x} } $.

      При построении графика строфоиды поступаем аналогично.

      Для построения графиков кардиоиды и лемнискаты такой прием не подходит, так как разрешить их уравнения в декартовой прямоугольной системе координат относительно $y$ невозможно.

      Поэтому рекомендуется использовать уравнения этих кривых в полярных координатах по следующей схеме: задать значение угла $\phi $ в градусах (так удобнее), перевести это значение в радианы, в соответствии с уравнением кривой вычислить значение $\rho $, вычислить декартовы координаты $x$ и $y$ по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $. Теперь можно строить график обычным образом.

      Сообщество экспертов Автор24

      Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.11.2021

      Проект «Исследование полярной системы координат»

       Министерство образования и науки Российской Федерации
      Муниципальное автономное образовательное учреждение
      «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А. М. Кузьмина».

      ПРОЕКТ 
      на тему: «Исследование полярной системы координат».

                                        Выполнила:                                                    
                                                         Учащаяся 11 класса «Б»
                                                                      Бросалина Татьяна Витальевна
                                                         Подпись ____________

                                                             Научный руководитель:
                                                                       Ондрикова Елена Вячеславовна,
                                                    учитель математики

                                                         Оценка ______________
                                                         Дата ________________
                                                         Подпись _____________

      Тамбов, 2016

      СОДЕРЖАНИЕ

      1. Введение…………………………………………………………………. ……. 3
      2. Полярная система координат………………………………………….……..4
      3. Связь между полярными и декартовыми координатами………………….. 6
      4. Уравнения кривых в полярных координатах………………………………..8

           4.1 Окружность………………………………………………………………..8

           4.2 Спираль Архимеда………………………………………………………..9

           4.3 Логарифмическая спираль ………………………………………………10

           4.4 Гиперболическая спираль………………………………………………..12

           4.5 Семейство роз Гранди …………………………………………………..13

              4.6 Улитка Паскаля и кардиоида………………………………………………15

      5.        Вывод …………………………………………………………………………20

      1.   Список используемой литературы………………………………………….21

      ВВЕДЕНИЕ

      Любая точка на плоскости может быть задана координатами и легко определяется в пространстве с помощью различных систем координат. Не во всех случаях рационально и удобно использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие способы определения точки на плоскости или в пространстве. Выбор этих способов зависит от разнообразных факторов, например, от желаемой наглядности полученного результата. Наиболее часто используются полярные, цилиндрические и сферические координаты.

      Именно полярная система координат и является объектом исследования данной работы. Такая система координат хорошо и естественно отображает природные формы, и может познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки. Различные кривые, построенные в такой системе координат, имеют сходства с растениями и животными окружающего мира, и вследствие этого обладают эстетической привлекательностью. Таким образом, предметом исследования выбраны уравнения кривых, заданные в полярной системе координат.

      Данная тема является актуальной на сегодняшний день, т.к. не каждая школьная программа включает в себя изучение полярной системы координат, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи.

      Целью данной исследовательской работы является изучение полярной системы координат, ознакомление с важнейшими математическими кривыми, а также приобретение навыка решения простейших задач в полярной системе координат.

      Задачи, требующие выполнения в ходе исследовательской работы:

      • изучить основную теорию о полярной системе координат
      • сравнить полярную систему координат с декартовой
      • рассмотреть важнейшие математические кривые и их применение в жизни
      • научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат

      ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

      Полярная система координат — двухмерная система координат, каждая точка в которой однозначно определяется на плоскости двумя числами —  полярным радиусом и полярным углом.

      Чтобы определить полярную систему координат на плоскости следует отметить произвольную точку O, которая называется полюсом, и луч OX, называемый полярной осью. Также следует задать масштабный отрезок, с помощью которого и будет измеряться расстояние от какой-либо точки на плоскости до полюса. Как правило, задается единичный вектор , длина которого и является масштабным отрезком. Направление данного вектора задает положительное направление полярной оси.

      Рис.1

      Положение любой точки M определяется в полярной системе координат полярным радиусом — расстоянием r от точки M, до полюса, т.е. r = ||, и полярным углом — углом φ между вектором  и полярной осью. Полярные радиус и угол составляют полярные координаты точки M, что записывается в виде M(r,φ).

      Полярный радиус можно определить для любой точки области, при этом он, так как расстояние не может быть отрицательным, всегда будет больше либо равен нулю (r ≥0).

      Полярный угол можно определить для любой точки плоскости, кроме самого полюса О, при этом он, как правило, изменяется в пределах –π

      Полярный угол отсчитывается от полярной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, если значение угла положительное, а в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, если значение угла отрицательное. Измеряется в радианах.  

      Таким образом, точка с координатами (5, 30°) на графике – это точка, принадлежащая лучу, который лежит под углом 30° к полярной оси, на расстоянии пяти единичных отрезков. Точка с координатами (5, -330) будет расположена на том же месте. В этом заключается одна из главнейших особенностей полярной системы координат – одна и та же очка может быть представлена бесконечным количеством разных способов.

      Принято считать, что термин «полярные координаты» ввел итальянский математик, Грегорио Фонтана. В английский же язык термин перешел в 1816 году, когда Джордж Пикок перевел трактат «Дифференциальное и интегральное исчисление», написанный Сильвестром Лакруа. Французский математик Алекси Клеро впервые применил полярные координаты для трехмерного пространства, а Леонард Эйлер был первым ученым, разработавшим систему таких координат.

      СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКАРТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ

      В школе ученики обычно строят графики функций в декартовой системе координат. Однако точно такие же построения можно совершать и в полярной системе, что особенно удобно, когда переменная φ не только изображается, но и фактически является углом.

      Полярную систему координат Oxφ можно связать с более привычной декартовой системой O следующим способом.

      Для перехода из одной системы координат в другую начало декартовой системы O должно совпадать с полюсом полярной системы, а ось абсцисс с полярной осью, сохранив направление вектора. Следом, перпендикулярно оси абсцисс, достраивается ось ординат так, чтобы, проходя через точку O, она образовывала декартовую систему координат, как показано на рисунке.

                                      Рис.2                                      Рис.3

      И, наоборот, из декартовой системы координат можно легко перейти в полярную. Для этого следует принять положительную ось абсцисс за полярную ось.

      Теперь рассмотрим связь полярных и декартовых координат точки. Из рисунка 3 можно увидеть, что вектор  является диагональю в прямоугольнике, со сторонами x и y, которые являются декартовыми координатами точки M. Из этого следует, что искомое расстояние r можно найти с помощью теоремы Пифагора по формуле . Кроме того, из рисунка видно, что

       

      Таким образом, можно найти декартовые координаты, если известны полярные. В противоположном случае действуют следующие формулы:

       

      При определении главного значения полярного угла следует помнить:

      • если r = 0, то  может принимать любые значения и является произвольным действительным числом;
      • если r ≠0, то  ограничивают интервалом в 2, обычно выбирают интервал (-π;π] или (0;2π].

      Для определения главного значения полярного угла используют следующие формулы:

      Углы в полярной системе координат могу измеряться как в градусах, так и в радианах. Выбор единиц измерения зависит, как правило, от области применения. В то время как в математике и почти во всех областях физики наиболее часто используют радианы, в навигации предпочтение отдается именно градусам.

      УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

      В полярной системе координат, благодаря ее радиальной природе, многие кривые могут быть описаны гораздо более просто и менее громоздко, нежели в декартовой системе. Рассмотрим самые распространенные из них.

      1. ОКРУЖНОСТЬ

      Уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом a имеет вид r(φ)=a

      Очевидно, что графиком этой функции является совокупность точек, расположенных на равном расстоянии от полюса при любом угле, т.е. окружность.

      Для того, чтобы ее построить, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      φ

      0

      π

      2π

      r

      а

      а

      а

      а

       а

      а

      а

      а

      а

      На графике ниже можно увидеть построение окружности r(φ)=а.

      Окружность, центром которой не является полюс, можно построить по точкам, или уравнением +=, центр окружности в таком случае находится в точке (;.

                   

      1. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

      Чтобы представить спираль Архимеда, отметим точку на секундной стрелке часов и будем перемещать ее вдоль этой стрелки, независимо от движения самой стрелки. Тогда точка опишет кривую, которая носит название «спираль Архимеда».

      Данная кривая задается уравнением r=aφ, где a – коэффициент пропорциональности.

      Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      φ

      0

      π

      2π

      r

      0

      π

      2π

      Отметим на лучах φ=0, φ=, и т. д. соответствующие значения r. Можно заметить, что при увеличении φ будет возрастать и r, что можно увидеть на графике ниже.

      Открытие данной кривой приписывается Коннону Самосскому, но впервые описал все ее свойства именно Архимед. Главное из этих свойств заключается в том, что расстояние между двумя витками в данной спирали всегда остается постоянной величиной. Благодаря этому свойству, с помощью спирали Архимеда можно легко разделить любой угол на равные части.

      В технической области спираль Архимеда применяется в кулачковых механизмах, преобразующих вращательное движение шайбы и поступательное движения стержня.  Также форму спирали Архимеда играет и звуковая дорожка на пластинке.

      1. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

      Логарифмическую спираль описывает точка, отмеченная на секундной стрелке, которая движется по этой стрелке не с постоянной скоростью, как в спирали Архимеда, а с возрастающей пропорционально расстоянию от центра часов.

      Данная кривая задается уравнением r=a, где k – это коэффициент, который отвечает за расстояние между витками.

      Пусть k=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      φ

      0

      π

      2π

      r

      а

      4,78а

      22,88а

      110,56а

      523,65а

      Логарифмическая спираль имеет несколько интересных свойств:

      • Расстояния между последовательными витками составляют геометрическую прогрессию.
      • Образующиеся в результате отсекания кривой радиусами секторы подобны друг другу.
      • Последовательность длин радиусов, которые составляют одинаковые углы друг с другом, так же образуют геометрическую прогрессию
      • Не изменяет своей природы при таких преобразованиях, как ее сжатие или растяжение относительно полюса, или при ее повороте на определенный угол.

      В математике логарифмическая спираль впервые упоминается Декартом в 1638 году. Он описал ее, как линию, отношение длины дуги которой к соответствующему радиусу остается константой.

      На свойстве логарифмической спирали пересекать все свои радиус-векторы под одним углом основаны ее применения в технике. Например, вращающиеся ножи нередко имеют схожую форму, вследствие чего угол резания по всей поверхности ножа остается постоянным, что делает его менее изнашиваемым.  

      1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

      Гиперболическая спираль задается уравнением r=, которое является обратным для  уравнения спирали Архимеда.

      Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      φ

      π

      2π

      r

      0,31

      0,15

      Особенностью гиперболической спирали является тот факт, что при φ, r, то есть полюс является асимптотической точкой данной кривой.

      Более того, из треугольника MNO видно, что отрезок MN= r.

      Таким образом, при φ, MN, то есть прямая, проходящая параллельно  полярой оси и удаленная от нее на расстояние a, является асимптотой данной спирали.  

      1. СЕМЕЙСТВО РОЗ ГРАНДИ

      Роза – это плоская кривая, которая формой напоминает изображение цветка. Она задается формулой r = a, где a – постоянная, определяющая размер лепестков, а  – постоянная, определяющая количество лепестков данной розы.

      При  вся кривая расположена внутри окружности радиусом a, а график состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Причем, если  четное, то количество лепестков будет 2, а если нечетное, то просто

      При  кривая расположена вне окружности и образована точкой, движущейся по внешней стороне окружности.

      На данном рисунке можно увидеть, как изменяется роза в зависимости от .

      Рассмотрим графики четырех- и трехлепестковых роз.

      Трехлепестковая кривая задается уравнением r=a.

      Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график.

      Найдем область определения функции. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3φ≥0, решая которое находим область допустимых углов: φ[0; ][][]

      φ

      0

      3φ

      0

      0

      0,7

      1

      0,7

      0

      Четырехлепестковая кривая задается уравнением r=a.

      Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график.

      φ

      0

      2φ

      0

      0

      0,5

      0,86

      1

      0,86

      0,5

      0

      Семейство роз Гранди было открыто в XVIII в. итальянским геометром Гвидо Гранди. Эти кривые нашли широко применяются в технике. Напимер, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки, которая называется центром колебаний, то траектория этой точки будет описываться именно розой Гранди.

      1. УЛИТКА ПАСКАЛЯ

      Улитка Паскаля  задается уравнением r=2R, где R – радиус данной окружности.

      Построим кривую при a=2R. В таком случае уравнение принимает вид r=1). График такой функции является частным случаем улитки Паскаля и называется кардиоидой.

      Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

      φ

      0

      1

      0,86

      0,7

      0

      -0,5

      -0,7

      -0,86

      -1

      1)

      2

      1,86

      1,7

      1

      0,5

      0,3

      0,14

      0

      Стоит отметить, что если в уравнении r=2R, , то радиус будет находиться по формуле r=2R, которая является уравнением окружности с радиусом r.

      ЗАДАЧИ

      Задача 1. Найти полярные координаты точки М (1; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс.

      Решение:

      Из теории известно, что . Кроме того, из рисунка видно, что

       , следовательно =.

      На основании этих равенств находим  = ; =. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно,  =.

      Итак, М (2;).

      Ответ: (2;).

      Задача 2. Найти прямоугольные координаты точки А (; ). если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

      Решение:

      Из теории известно, что  , следовательно:

      х==2;

      y==2.

      Таким образом, А (2;2).

      Ответ: (2;2).

      Задача 3. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (4; ).

      Решение:

      Рассмотрим треугольник O. По теореме косинусов:

      =  =) = =5.

      Ответ: 5

      Задача 4.1. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М – с полюсом; при повороте же луча на угол  = 1 радиан, точка М удалилась от полюса на расстояние а.

      Решение: Поскольку в начальный момент величины r и  равны нулю, а затем обе возрастают пропорционально времени,  легко заметить, что они связаны прямой пропорциональной зависимостью: =const. Но r = а при  = 1, следовательно, =, т.е. r =. Кривая r = называется спиралью Архимеда. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

      Задача 4.2. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярных координатах уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.

      Решение:

      На рисунке  – это первоначальное положение центра катящейся окружности, A — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию. Причем точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности,  -центр неподвижной окружности, — центр катящейся окружности в новом положении,  — новое положение точки , описывающей искомую линию. После перемещения  окружности  в положение  точка  займет положение . Точка  займет положение .

      Так как качение происходит без скольжения, то     =    ,  =. На чертеже показано положение полюса О и пол󠆻ярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (r; ) искомой линии. Можно заметить, что  = O, в силу чего четырехугольник O является равнобедренной трапецией с меньшим основанием  = а, ; и перпендикуляры, опущенные из точек  и  на прямую О.

      Итак, r  =++=  + a+ =a(1+).

       Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид r = a(1+). Эта кривая называется кардиоидой. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

      Задача 5. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2φ

      Решение:

      В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 =  и φ2 = , выразится следующим  интегралом:

      S =d.

      В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади:

      S =  d =  = .

      Следовательно, вся площадь равна S = a2.

      Ответ: a2

       

      ВЫВОД

      Таким образом, цели, поставленные в данной работе, достигнуты. Основная теория о полярной системе координат изучена. В ходе данной исследовательской работы были рассмотрены важнейшие математические кривые и их применение в жизни, а также были приобретены навыки решения простейших задач, связанных с полярной системой координат, что значительно упрощает решение некоторых задач.

      СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

      1. В.К. Егерев, Б.А. Радунский, Д.А.Тальский. «Методики построения графиков функций»
      2. А.А. Гусак. «Пособие к решению задач по высшей математике»
      3. Д.В. Клетеник. «Сборник задач по аналитической геометрии»
      4. П.Е. Данко, А.Г. попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах».
      5. Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу».

      Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат.

      Заглавная страница
      Избранные статьи
      Случайная статья
      Познавательные статьи
      Новые добавления
      Обратная связь

      КАТЕГОРИИ:

      Археология
      Биология
      Генетика
      География
      Информатика
      История
      Логика
      Маркетинг
      Математика
      Менеджмент
      Механика
      Педагогика
      Религия
      Социология
      Технологии
      Физика
      Философия
      Финансы
      Химия
      Экология

      ТОП 10 на сайте

      Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

      Техника нижней прямой подачи мяча.

      Франко-прусская война (причины и последствия)

      Организация работы процедурного кабинета

      Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

      Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

      Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

      Образцы текста публицистического стиля

      Четыре типа изменения баланса

      Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



      Мы поможем в написании ваших работ!

      ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

      Влияние общества на человека

      Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

      Практические работы по географии для 6 класса

      Организация работы процедурного кабинета

      Изменения в неживой природе осенью

      Уборка процедурного кабинета

      Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

      Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

      ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 15Следующая ⇒

      Замена переменной в интеграле   состоит в переходе от переменных xиyк новым переменным   u  иv, связанных соотношениями

      x= X (u, v), y = Y (u,v), (u,v)  D.                                  (3.4)

      При выполнении условий, что отображение (3.4) взаимно однозначно, а функции в соотношении (3.4) непрерывно-дифференцируемы, то якобиан отображения – определитель, составленный из первых частных производных:

      тогда имеет место формула:

                                         (3. 5)

      Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (3.4) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, связанные с прямоугольными формулами: 

      ,  , ,                                            (3. 6)

      ;

      В полярных координатах полюс совпадает с началом координат, полярная ось – с положительным направлением оси Ох, угол φ (положительный) отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

      Якобиан преобразования равен:

      Если D =  , то

                                     (3.7)

      Пример: построить область интегрирования и перейти к полярной системе координат

      Порядок интегрирования соответствует формуле (3.1):


       ;       верхняя граница

      Возводя в квадрат правую и левую части и дополняя до полного квадрата разности, получили уравнение окружности

          с центром (

      т.к. в верхнем пределе перед корнем нет знака, то приписывается знак плюс. Т.е. верхняя граница области D – верхняя часть окружности

      Нижняя граница:

      Переносим  в левую часть и возводим правую и левую часть в квадрат

      Получили уравнение окружности

        с центром   радиуса

      Рис. 3.8

      Область интегрирования D — область между двумя выше указанными окружностями. Точка пересечения A ( ). Вся область D находится в первом квадранте, следовательно , но область ограничена двумя разными окружностями. Проведем луч из начала координат в точку А. Тогда область разделится на две части.

      , следовательно, . Тогда в полярной системе координат область интегрирования и сам двойной интеграл разбиваются на две части: 0≤φ≤π/6 и π/6≤φ≤π/2.

      Окружность   в полярной системе примет вид

      Окружность   в полярной системе примет вид     

      Студентам рекомендуется запомнить следующее правило. Если центр окружности сдвинут по оси Ох вправо, ровно на радиус окружности R, то в полярной системе координат уравнение такой окружности  , если влево на радиус, то . Если центр окружности сдвинут на радиус по оси Оy вверх – уравнение окружности в полярной системе , если же центр окружности сдвинут ровно на радиус вниз, то . Это правило легко выводится из соотношений (3.6).

      Окончательно в полярной системе координат двойной интеграл примет вид:

      I=

       

      Пример: начертить область на которую, распространяется двойной интеграл, изменить порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат.

       

      Рис. 3.9

      Уравнение нижней окружности:

       

      Уравнение верхней окружности: x ²+ y ²=2. В декартовой системе координат заданный интеграл примет вид:

       порядок интегрирования изменен, где   (нижний предел интегрирования во внутреннем интеграле).

      Используя вышеприведенное правило в полярной системе координат при

      π≤φ≤7π/6 двойной интеграл примет вид:                              

       — двойной интеграл в полярной системе координат.

       

      Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

      Пусть G – материальная пластинка (квадрируемая фигура) на плоскости с плотностью   

      1. Площадь пластины

      2. Масса пластины m=

      3. Статические моменты пластинки относительно осей Ox и Oy

      4. Координаты центра тяжести пластинки

      5. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy

      ,

      6. Момент инерции пластинки относительно начала координат

       

      Пример: вычислить площадь пластины ограниченной линиями: y=x; y=0; y ²-4 y + x ²=0; y ²-8 y + x ²=0

      Запишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования:

      y ² — 4 y + x ² =0                                                           y

                                                            

                                                             

      Окружность с центром,                                    Окружность с центром,

      сдвинутым по у на 4 единицы

      сдвинутым по у на 2 единицы                                            

      Рис. 3.10

      Уравнения окружностей, в соответствии с вышеизложенным правило примут вид: ρ=4∙ sinφи ρ=8∙sinφ.  

                                                                       

                                        

      Пример: вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением

      Проведем замену переменных: x=ρcosφ, y= ρsinφ. Тогда заданная кривая в полярной системе координат примет вид:

      где

      Рис.3.11

      Тогда  С учетом того, что cos2  имеет период Т=π, и ρ≥0 параметр

      С учетом симметрии фигуры (рис. 3.11), вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре.

      Вычислим площадь по формуле

      Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, S=2 .

      Пример: найти массу пластинка G, если она задана ограничивающими её кривыми (рис. 3.12):

       x = 0, y = 0,  ,

      — поверхностная плотность.

       

      Рис. 3.12

       

      Пластинка расположена в прямоугольной системе координат таким образом, что центры окружностей совпадают с началом координат.

       

      . Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам

      при этом область G преобразуется в прямоугольную область в полярной системе координат: 2≤ρ≤3, -π/2 ≤φ≤0, поверхностная плотность:

                 

      Масса плоской пластины вычисляется по формуле:

       

      Пример: найти статические моменты относительно координатных осей Ох и Oy однородной фигуры, ограниченной кривыми y²=ax, y=x (рис. 3.13) Т.к. фигура однородная, примем поверхностную плотность μ=const=1.

      Рис.3.13

       

      Статический момент относительно оси Ох

      Статический момент относительно оси Оу

      Тройные интегралы

      Задача о массе пространственного тела переменной плотности f(x,y,z) приводит к понятию тройного интеграла. Под областью “V”,на которую распространен тройной интеграл, понимается ограниченная замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Переменные x и y изменяются в плоской области , которая является проекцией на плоскость xoy пространственной области “V”. Функция f(x,y,z), стоящая под интегралом должна быть непрерывной и ограниченной в области “V”.

       

      Свойства тройного интеграла аналогичны свойствами двойного интеграла.

      Предыдущая123456789101112131415Следующая



      Читайте также:

      

      Алгоритмические операторы Matlab

      Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

      Исследования учёных: почему помогают молитвы?

      Почему терпят неудачу многие предприниматели?

      

      Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 105; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

      infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.016 с.)

      Фигуры в криволинейных координатах

      Фигуры в криволинейных координатах

      Криволинейные координаты

      Примеры для статьи — polar.zip

      Кроме привычной нам прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные, цилиндрические и сферические координаты. Все эти системы родственны. В них присутствует центральная точка или полюс, от которого расходятся концентрические окружности (полярная система координат), цилиндры (цилиндрическая система) или сферы (сферические координаты). Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность, цилиндр или сферу. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы. Перечисленные криволинейные системы координат идеально приспособлены для отображения форм, построенных вокруг единой центральной точки. Такая организация характерна для многих биологических объектов. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения «полярных» объектов. Живой организм «начинается» из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию «математических», «полярных» форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, примитивных многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе.

      Полярная система координат

      В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом theta, образуемым полярным радиусом с полярной осью. Если в декартовой системе координат предельно простое выражение y=kx определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме R=k*theta, уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. В цилиндрической системе к полярному радиусу и углу добавляется еще одна координата — z, которую можно интерпретировать как высоту точки над плоскостью, в которой вращается полярный радиус.

      Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы:

      X=R* Cos (theta)
Y=R* Sin(theta)

      Соответственно, для перехода от декартовой системы к полярной применяют формулу:

      R=Sqr(X*X+Y*Y)
и угол вычисляется как Atn(Y/X) (если X не равен 0)

      Фигуры в полярных координатах

      Формулы кривых, записанных в полярной системе координат, вычисляются гораздо проще, чем в декартовой. Например, уравнение окружности с радиусом 0.9 вокруг точки отчета выглядит очень просто

      R=0.9, что подразумевает следующие вычисления:

      R*Cos(theta)
R*Sin(theta)
      где угол theta изменяется от 0 до 2π радиан и определяет декартовы координаты X и Y окружности в полярной системе

      Для объяснения вышесказанного приведем небольшой листинг программы, рисующей окружность:

      Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0.05
  R = 0.9
  x = R * Cos(I)
  y = R * Sin(I)
  PSet (x, y)
Next I

      Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. Например, можно нарисовать четырехлистный клевер. Его формула выглядит как R = Cos (2*theta), где угол theta меняется от 0 до 2π радиан (от 0 до 360 градусов)

      Листинг для клевера

      Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0. 01
  R = Cos(2 * I)
  x = R * Cos(I)
  y = R * Sin(I)
  PSet (x, y)
Next I

      Для трехлистного цветка используйте формулу R = Cos (3*theta)

      На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.

      • Дельтоида
      • Астроида
      • Кардиоида
      • Лимакона (Улитка Паскаля)
      • Спираль Архимеда
      • Логарифмическая спираль
      • Кохлеоида
      • Строфоида
      • Freeth’s Nephroid
      • Овалы Кассини
      • Лемниската Бернулли

      Окружность

      Итак, формула R=a определяет обычную окружность, а коэффициент a влияет на ее радиус

      «Пируэты» окружности

      Возьмем теперь одну окружность и поместим ее внутрь другой. Все кривые, которые будет вычерчивать точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, будут относиться к семейству гипоциклоид (от греч. гипо — под, внизу и киклоидес — кругообразный). 3 рисует астроиду,
      где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры.

      Эпициклоиды

      Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи — на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля

      Реклама

      Уравнение окружности — Формула, Примеры

      Уравнение окружности обеспечивает алгебраический способ описания окружности с учетом центра и длины радиуса окружности. Уравнение окружности отличается от формул, которые используются для вычисления площади или длины окружности. Это уравнение используется во многих задачах окружностей в координатной геометрии.

      Чтобы изобразить окружность на декартовой плоскости, нам потребуется уравнение окружности. На листе бумаги можно нарисовать окружность, если известны ее центр и длина радиуса. Точно так же на декартовой плоскости мы можем нарисовать окружность, если знаем координаты центра и его радиус. Круг может быть представлен во многих формах:

      • Общая форма
      • Типовая форма
      • Параметрическая форма
      • Полярная форма

      В этой статье давайте узнаем об уравнении окружности, его различных формах с графиками и решенными примерами.

      1. Что такое уравнение окружности?
      2. Различные формы уравнения окружности
      3. Уравнение окружности Формула
      4. Вывод уравнения окружности
      5. График уравнения окружности
      6. Как найти уравнение окружности?
      7. Преобразование общей формы в стандартную форму
      8. Преобразование стандартной формы в общую форму
      9. Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

      Что такое уравнение окружности?

      Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. Зная координаты центра окружности и длину ее радиуса, мы можем написать уравнение окружности. Уравнение окружности представляет собой все точки, лежащие на окружности окружности. 92\).

      Различные формы уравнения окружности

      Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. На листе бумаги можно нарисовать окружность, зная ее центр и длину радиуса. Используя уравнение окружности, как только мы найдем координаты центра окружности и ее радиус, мы сможем нарисовать окружность на декартовой плоскости. Существуют различные формы представления уравнения окружности,

      • Общая форма
      • Типовая форма
      • Параметрическая форма
      • Полярная форма

      Давайте рассмотрим здесь две распространенные формы уравнения окружности — общий вид и стандартную форму уравнения окружности, а также полярную и параметрическую формы в деталях.

      Общее уравнение окружности

      Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для определения координат центра окружности и радиуса, где g, f, c — константы. В отличие от стандартной формы, которую легче понять, общая форма уравнения окружности затрудняет поиск каких-либо значимых свойств любой данной окружности. Итак, мы будем использовать формулу заполнения квадрата, чтобы сделать быстрое преобразование из общей формы в стандартную форму. 92\)

      Рассмотрим этот пример уравнения окружности (x — 4) 2 + (y — 2) 2 = 36 — это окружность с центром в точке (4,2) и радиусом 6.

      Параметрическое уравнение окружности

      Мы знаем, что уравнение окружности в общем виде имеет вид x 2 + y 2 + 2hx + 2ky + C = 0. Берем общую точку на границе окружности, сказать (х, у). Линия, соединяющая эту общую точку и центр окружности (-h, -k), образует угол \(\theta\). Параметрическое уравнение окружности можно записать в виде x 2 + y 2 + 2hx + 2ky + C = 0, где x = -h + rcosθ и y = -k + rsinθ.

      Полярное уравнение окружности

      Полярная форма уравнения окружности почти аналогична параметрической форме уравнения окружности. Обычно мы пишем полярную форму уравнения окружности для окружности с центром в начале координат. Возьмем точку P(rcosθ, rsinθ) на границе круга, где r — расстояние точки от начала координат. Мы знаем, что уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом «p» равно x 2 + у 2 = р 2 .

      Подставьте значения x = rcosθ и y = rsinθ в уравнение окружности.

      (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = p 2
      r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = p 2
      r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = p 2
      г 2 (1) = р 2
      г = р
      где р — радиус окружности.

      Пример: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: уравнение окружности в полярной форме, замените значения \(x\) и \(y\) на:

      x = rcosθ
      у = rsinθ

      х = rcosθ
      у = rsinθ
      х 2 + у 2 = 9
      (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = 9
      r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 9
      r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = 9
      г 2 (1) = 9
      г = 3

      Уравнение окружности Формула

      Формула уравнения окружности используется для расчета уравнения окружности. 2\).

      • Для этого нам нужно всего лишь изменить константу 9, чтобы она соответствовала r 2 как (x -3) 2 + (y — 2) 2 = 3 2 .
      • Здесь мы должны отметить, что одной из распространенных ошибок является рассмотрение \(x_{1}\) как -3, а \(y_{1}\) как -2.
      • В уравнении окружности, если знак перед \(x_{1}\) и \(y_{1}\) отрицателен, то \(x_{1}\) и \(y_{1}\) равны положительные значения и наоборот.
      • Здесь \(x_{1}\) = 3, \(y_{1}\) = 2 и r = 3

      Таким образом, окружность, представленная уравнением (x -3) 2 + (y — 2) 2 = 3 2 , имеет центр в точке (3, 2) и радиус 3. На приведенном ниже изображении показан график, полученный из этого уравнения окружности.

      Как найти уравнение окружности?

      Существует множество различных способов представления уравнения окружности в зависимости от положения окружности на декартовой плоскости. Мы изучили формы представления уравнения окружности при заданных координатах центра окружности. Существуют определенные особые случаи, основанные на положении окружности в координатной плоскости. Давайте узнаем о методе нахождения уравнения окружности для общего и этих частных случаев. 92} = г\).

    3. Шаг 3: Выразите ответ в требуемой форме уравнения окружности.

      4. Уравнение окружности с центром в начале координат

      В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

      Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\).

      Если центр находится в начале координат, то \(x_1\)= 0 и \(y_1\)= 0.

      Ответ: Уравнение окружности, если ее центр находится в начале координат, равно x 2 + y 2 = г 2 .

      Уравнение окружности с центром на оси x

      Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

      Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

      Уравнение касания окружности с осью x

      Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси x в некоторой точке: (a, r) ​​— центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси x, то координата y центра окружности равна радиусу r.

      (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

      Уравнение касания окружности с осью y

      Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси y в некоторой точке: (r, b) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси y, то координата x центра окружности равна радиусу r.

      (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

      Уравнение окружности, касающейся обеих осей

      Рассмотрим случай, когда окружность касается обеих осей в некоторой точке: (r, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается и оси x, и оси y, то обе координаты центра окружности становятся равными радиусу (r, r).

      (x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92 = 16\
      г = 4 \)

      Преобразование общей формы в стандартную форму

      Это стандартное уравнение окружности с радиусом r и центром в (a,b): (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 и рассмотрим общую форму как : x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы преобразовать общую форму в стандартную:

      Шаг 1: Объединить подобные члены и взять константу на другая сторона как х 2 + 2gx + y 2 + 2fy = — c -> (1)

      Шаг 2: Использование тождества с совершенным квадратом (x + g) 2 = x 2 + 2gx + g 2 найти значения выражения x 2 + 2gx и y 2 + 2fy как:

      (x + g) 2 = x 2 + 2gx + g 2 + 907 x 2 90 2gx = (x + g) 2 — g 2 -> (2)

      (y + f) 2 = y 2 + 2fy + f 2 ⇒ y 2 + 2fy = (y + f) 2 — f 2 -> (3)

      Подставляя (2) и (3) в (1), получаем уравнение в виде:

      (x+g) 2 — g 2 + (y+f) 2 — f 2 = — c

      (x+g) 2 + (y+f) 2 = g 2 + f 2 — c

      Сравнивая это уравнение со стандартной формой: (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 получаем,

      Центр = (-g,-f) и радиус = \(\sqrt{g^2+f^2 — c}\) 9{2} — 9}\) = \(\sqrt{9 + 16 — 9}\) = \(\sqrt{16}\) = 4. Итак, радиус r = 4,

      Преобразование стандартной формы в общую форму

      Мы можем использовать алгебраическую формулу тождества (a — b) 2 = a 2 + b 2 — 2ab, чтобы преобразовать стандартную форму уравнения окружности в общую форму. Давайте посмотрим, как сделать это преобразование. Для этого расширьте стандартную форму уравнения окружности, как показано ниже, используя алгебраические тождества для квадратов: 92 + 2gx + 2fy + с = 0\), где g, f, с — константы.

      Статьи по теме Уравнение окружности

      Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными уравнению окружности

      • Уравнение окружности Калькулятор
      • Длина окружности
      • Все формулы круга
      • Отношение длины окружности к диаметру

      Важные примечания к уравнению окружности

      Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении уравнения окружности 92 + axy + C = 0\), то это не уравнение окружности. В уравнении окружности нет члена \(xy\).

    4. В полярной форме уравнение окружности всегда представляется в виде \(r\) и \(\theta\).
    5. Радиус — это расстояние от центра до любой точки на границе круга. Следовательно, значение радиуса окружности всегда положительно.

      6.  

      Примеры уравнений окружности

      1. Пример 1: Найдите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (2,-3) и радиусом 3.

        Решение:

        Уравнение окружности в стандартной форме запишется как: (x — x \(_1\)) 2 + (у — у\(_1\)) 2 = г 2 . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (2, -3) — центр окружности и радиус r = 3.

        Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности :

        (х — 2) 2 + (у — (-3)) 2 = (3) 2
        (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 9 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.

      2. Пример 2: Запишите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (-1, 2) и радиусом, равным 7.

        Решение:

        Уравнение окружности в стандартной форме записывается как: (х — х\(_1\)) 2 + (у — у\(_1\)) 2 = г 2 . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (-1, 2) — центр окружности и радиус r = 7.

        Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности:

        (х — (-1)) 2 + (у — 2) 2 = 7 2
        (x + 1) 2 + (y — 2) 2 = 49 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.

      3. Пример 3: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: x 2 + y 2 = 16.

        Решение:

        Чтобы найти уравнение окружности в полярной форме, подставьте значения x и y на:

        x = rcosθ
        y = rsinθ

        x 2 + y 2 = 16

        (rcosθ) 2 + (rsinθ) 2 = 16

        r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 16

        r 2 (1) = 4

      перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

      Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

      Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

      Записаться на бесплатный пробный урок

      Практические вопросы по уравнению окружности

       

      перейти к слайдуперейти к слайду

      Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

      Что такое уравнение окружности в геометрии? 92\).

      Каково уравнение окружности, когда центр находится в начале координат?

      В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Уравнение окружности, когда центр находится в начале координат: x 2 + y 2 = r 2 .

      Что такое общее уравнение окружности?

      Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 92 + 2hx + 2ky + C = 0\), где \(x = -h +rcos \theta\) и \(y = -k +rsin \theta\)

      Что такое C в общем уравнении окружности?

      Общая форма уравнения окружности: x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. 2 = 2\).

      Что такое полярное уравнение окружности?

      Полярное уравнение окружности с центром в начале координат: r = p, где p – радиус окружности.

      Предварительное вычисление алгебры — Полярное уравнение окружности

      спросил

      Изменено 7 лет, 2 месяца назад

      Просмотрено 44к раз 92 \sin\theta = 0$$

      Теперь я застрял, я думаю, что должен был заполнить квадрат или что-то в этом роде. Кто-нибудь может закончить мою мысль?

      алгебра-предварительное исчисление тригонометрия круги полярные координаты

      $\endgroup$

      1

      $\begingroup$

      Я думаю, что ваши замены из первой строки во вторую не совсем правильные. 2$ добавление этих двух уравнений, равных нулю, дает уравнение в декартовой форме, как показано выше Джерри Майерсоном. Я просто добавляю подробности для тех, кто может не понять.

      $\endgroup$

      Твой ответ

      Зарегистрируйтесь или войдите в систему

      Зарегистрируйтесь с помощью Google

      Зарегистрироваться через Facebook

      Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

      Опубликовать как гость

      Электронная почта

      Требуется, но не отображается

      Опубликовать как гость

      Электронная почта

      Требуется, но не отображается

      Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

      .

      Документ без названия

      Документ без названия

      Полярные уравнения

      на

      Хи Юнг Ким

      На плоскости две системы координат: декартова система координат и полярная система координат. Любая точка в плоскость может иметь декартовы координаты (x, y) или полярные координаты (r, θ) в соответствующей системе. Полярные координаты (r, θ) точки состоит из радиальной координаты r и угловой координаты θ. Координата r представляет собой направленное расстояние от источника, называемого полюсом, и Координата θ представляет угол против часовой стрелки от начального луча называется полярной осью. Полярная ось обычно совпадает с осью абсцисс. Декартова система координат.

      Когда мы перекрываем две системы координат, мы можем легко преобразовать полярные координаты (r, θ) точки в декартовы координаты (х, у).

      х = r cos θ

      y = r sin θ

       

      I. Теперь давайте исследуем поведение графика полярного уравнения r = 2 a sin ( k θ) + b варьируя значения (отличные от нуля) a , b , и к с .

      1.1. Эффект

      Установим b = 0 и k = 1, и посмотрите на график r = 2 a sinθ при изменении a . На анимации ниже и варьируются от 0 до 10.

      График r = 2 a sinθ представляет собой окружность с центром (0, 1) и радиусом 1. Это также можно показать алгебраически, преобразовав полярное уравнение в уравнение в декартовой системе координат.

      Разновидность и (будь то и > 0 или a < 0) изменяет центр и радиус круг уравнения r = 2 a sin θ. На самом деле это центр ( a , 0) и радиус a .

      Вот несколько графиков, когда a < 0.

      Следовательно, мы заметили, что и есть только относительно центра и радиуса на графике r = 2 а грех ( k θ), когда k = 1. Если a > 0, кружок находится над осью абсцисс, а если a < 0, то круг находится ниже оси Y. Поскольку функция синуса является нечетной функцией (f(-x) = - f(x)), r = a sin(-θ) совпадает с r = — a sinθ. Следовательно, когда b = 0 и k = -1, мы имеем аналогичный результат, за исключением того, что если a < 0, кружок находится выше ось абсцисс, а если a > 0, кружок ниже оси Y.

      1.2. Эффект к

      Когда k = 1, r = 2 a sin ( k θ) — это круг. Когда k не равно 1, график по-прежнему круг? Нет, это уже не круг, а на самом деле n-листная роза. Когда k четно, граф симметричен с относительно оси x (при условии, что мы перекрываем две системы координат), поэтому r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) = -2asin ( k θ) имеют то же самое график.

      Когда k нечетно, графики r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) различны и симметричны относительно ось х.

      На следующих рисунках показано, что и по-прежнему связано с размером графика, и чем больше | и | то есть, тем больше растяжение графика.

      Теперь исправьте на = 1, чтобы увидеть больше влияние k на график.

      Из приведенных выше цифр можно сказать, что

      r = 2sin ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если k четно

      r = 2sin ( k θ) это | k |-листовая роза if k странно.

      1.3. Эффект б

      Теперь изменим значение b of r = 2 a sin ( k θ) + b . Напоминание влияние константы , скажем, c на график y = f(x) + c в декартовой системе координат, можно предположить, что b может быть связано с сдвиг. Но если это правильно, то вопрос «вдоль чего?». Давайте исправим на = 1 и k = 1 для простоты и рассмотрим несколько графиков. Первый всего, находим, что r = 2 a sin θ + b и r = 2 a sin θ — b имеют такие же графики.

      В общем, если k нечетно, графики r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b совпадают, которые симметричны относительно оси y (при условии, что мы перекрываем две системы координат, декартова и полярная координаты).

      С другой стороны, если к четно, r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b симметричны относительно оси y (при условии, что мы перекрываем две системы координат, декартовы и полярные координаты).

       

      На следующих графиках показано, что начальное предположение для эффекта b было неправильно, значит b не имеет отношения к сдвигу графика.

      Чем больше |b| это «больше» «размер» графика. (Строго говоря, это объяснение очень интуитивно и не совсем математически правильно, потому что форма каждого графика различна.) Например, при изменении b график r = 2sin (2θ) + b это:

      Подводя итог, имеем следующее:

      r = 2 a sin ( k θ) и г = 2 a sin (- k θ) = -2 a sin ( k θ) есть тот же график, если к даже

      r = 2 a sin ( k θ) и r = 2 a sin (- k θ) равны симметричен относительно оси x, если k нечетно

       

      r = 2 a sin ( k θ) является кругом, если | к | = 1

      и выше | и | есть, чем больше круг есть.

      Когда k = 1, если a > 0, кружок находится над осью x, а если a < 0, круг находится ниже оси Y.

      Когда k = -1, если a > 0, кружок внизу ось x, и если a > 0, кружок находится над осью y.

       

      r = 2 a sin ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если к четно.

      r = 2 a sin ( k θ) это | k |-листовая роза, если k нечетно (исключая 1 и -1).

       

      r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b имеют тот же график, если k нечетно.

      r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b симметричны относительно оси y, если k даже.

       

      II. Сравнение графика r = 2 a sin ( k θ) + b , исследуем поведение графика r = 2 a cos ( k θ) + b варьируя значения (отличные от нуля) a , b , и к с . Поскольку функция косинуса четная,

      r = 2 a cos ( k θ) и r = 2 a cos (- k θ)) имеют одинаковый график для любых k .

      Поэтому будем рассматривать только положительное значение k .

      На анимации выше, когда и варьировались от -5 до 5, мы обнаружили, что

      r = 2 a cos ( k θ) является кругом, если | к | = 1

      и выше | и | есть, чем больше круг есть.

      Когда | к | = 1, если a > 0, кружок находится справа от оси y, а если a < 0, круг находится в левой части оси Y.

       

      r = 2 a cos ( k θ) и r = -2 a cos ( k θ) имеют один и тот же график для любых k (исключая 1 и -1).

      r = 2 a cos ( k θ) это | k |-листовая роза, если k нечетно (исключая 1 и -1).

      r = 2 a cos ( k θ) это 2 | k |-листовая роза, если k четно.

       

      Из приведенных выше графиков имеем:

      r = 2 a cos ( k θ) + б и г = 2 а cos ( k θ) — b имеют тот же график, если k нечетно.

       

      Соотношение между графиками r = 2 a sin ( k θ) + b и r = 2 a sin ( k θ) — b при k даже включает поворот на некоторые углы относительно начала координат, хотя формы графиков совпадают.

      III. Как насчет графика ?

      3.1. Варьируем c с a = b и k = 1. Когда а = б = 1, имеем:

      Когда a = b = -3,14, у нас есть:

      До a = b и k = 1, график является прямой линией, а c относится к точкам пересечения с осью y. Если и = b = 1 или -1, (0, c ) и (0, — c ) являются y-пересечениями графика.

      С , можно сказать, что линии и имеют одинаковые наклоны, поэтому они параллельны. В самом деле, полярное уравнение эквивалентно a rcosθ + a rsinθ = c , поэтому, используя эквивалентное соотношение с декартовыми уравнениями, мы имеем a x + a y = c , что равно линейное уравнение

      а у = — а х + с

      у = — х + к/к

      с наклоном -1 и точкой пересечения с осью Y (0, c/a ). Вот почему чем бы ни было , поскольку а = b и k = 1, прямые параллельны с уклоном -1.

      3.2. Поменяем к где a = b и c = 1.

      Когда a = b = с =1,

      имеет 2| к | параболы с 2| к | асимптоты, если k даже

      имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетное (кроме 1)

       

      Для любой c, когда a = b = 1, мы можем иметь те же формы:

      имеет 2 | к | параболы с 2| к | асимптоты, если к это даже

      имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетное (кроме 1)

      3. 3. Поскольку k = 1, для любых ненулевых a , b и c график представляет собой линию, потому что

      Когда к = 2,

       

      графики выше показывают, что для любых ненулевых a и b , и имеют один и тот же график.

      Кроме того,

      вариация c не влияет на форму графика, и чем больше | с | есть, тем больше график.

      В заключение, мы имеем для любого ненулевого a , b и c , и ненулевое целое число k :

      имеет | к | параболы с | к | асимптоты, если k нечетно (исключая 1)

      имеет 2| к | параболы с 2| к | асимптоты, если k равно

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      8.

      2: Полярные координаты — Математика LibreTexts
      1. Последнее обновление
      2. Сохранить как PDF
    6. Идентификатор страницы
      13876
      • Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
      • The OpenTextBookStore
      7

      Система координат, с которой мы лучше всего знакомы, называется декартовой системой координат, прямоугольной плоскостью, разделенной на четыре квадранта горизонтальной и вертикальной осями.

      В предыдущих главах мы часто находили декартовы координаты точки на окружности под заданным углом от положительной горизонтальной оси. Иногда этот угол, наряду с расстоянием точки от начала координат, обеспечивает более полезный способ описания местоположения точки, чем обычные декартовы координаты.

      ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

      Полярные координаты точки состоят из упорядоченной пары (\(r\),\(\theta\)), где \(r\) — расстояние от точки до начала координат, а \( \theta\) — угол, измеренный в стандартном положении.

      Обратите внимание, что если бы мы разметили плоскость в полярных координатах, это выглядело бы как график справа, с кругами с возрастающими радиусами и лучами, нарисованными с возрастающими углами.

      Пример \(\PageIndex{1}\)

      Постройте полярную точку (\(3, \dfrac{5\pi}{6}\)).

      Решение

      Эта точка будет находиться на расстоянии 3 от начала координат под углом \(\dfrac{5\pi}{6}\). Построение этого

      Пример \(\PageIndex{2}\)

      Постройте полярную точку (\(-2, \dfrac{\pi}{4}\)).

      Решение

      Обычно мы используем положительные значения \(r\), но иногда мы сталкиваемся со случаями, когда \(r\) отрицательно. На обычной числовой прямой мы измеряем положительные значения справа и отрицательные значения слева. Аналогично нанесем эту точку. Для начала мы поворачиваем на угол \(\dfrac{\pi}{4}\).

      Перемещение в этом направлении в первый квадрант даст положительные значения r . Для отрицательных r значений, мы движемся в противоположном направлении, в третий квадрант. График:

      Обратите внимание, что результирующая точка совпадает с полярной точкой (\(2, \dfrac{5\pi}{4}\)). На самом деле, любую декартову точку можно представить бесконечным числом различных полярных координат, добавляя или вычитая из этих точек полные обороты. Например, одна и та же точка может быть представлена ​​как (\(2, \dfrac{13\pi}{4}\)).

      Упражнение \(\PageIndex{1}\)

      Нанесите следующие точки, заданные в полярных координатах, и подпишите их.

      а. \(A = (3, \dfrac{\pi}{6})\)

      б. \(B = (-2, \dfrac{\pi}{3})\)

      c. \(C = (4, \dfrac{3\pi}{4})\)

      Ответ

      Конверсионные баллы

      Чтобы преобразовать полярные координаты в декартовы координаты, мы вспоминаем отношения, которые мы разработали еще в главе 5.

      ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКРАТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ

      Для преобразования между полярными (\(r, \theta\)) и декартовыми (\(x, y\)) координатами мы используем отношения 9{2}\]

      Исходя из этих соотношений и наших знаний об единичной окружности, если \(r = 1\) и \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), полярные координаты будут \((r, \theta ) = (1, \dfrac{\pi}{3})\), и соответствующие декартовы координаты \((x, y) = (\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}} {2})\).

      Запоминание значений единичного круга очень пригодится при преобразовании между декартовыми и полярными координатами.

      Пример \(\PageIndex{3}\)

      Найти декартовы координаты точки с полярными координатами \((r, \theta) = (5, \dfrac{2\pi}{3})\).

      Решение

      Чтобы найти \(x\) и \(y\) координаты точки,

      \[x = r\text{cos} (\theta) = 5 \cos (\dfrac{ 2\pi}{3}) = 5(-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{5}{2}\nonumber\]

      \[y = r\text{sin} (\theta ) = 5 \ sin (\ dfrac {2 \ pi} {3}) = 5 (- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}) = — \ dfrac {5 \ sqrt {3}} {2} \ nonumber\]

      Декартовы координаты: (\(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)).

      Пример \(\PageIndex{4}\)

      Найти полярные координаты точки с декартовыми координатами (−3,−4) . 9{\text{rd}}\) квадранта, мы можем определить, что второй угол и есть тот, который нам нужен. Полярные координаты этой точки равны \((r, \theta) = (5, 4,069)\).

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Преобразуйте следующее.

      а. Преобразуйте полярные координаты \((r, \theta) = (2, \pi)\) в (\(x, y)\).

      б. Преобразуйте декартовы координаты \((x, y) = (0, -4)\) в \((r, \theta)\).

      Ответить

      а. \((r, \theta) = (2, \pi)\) преобразуется в \((x, y) = (2\cos(\pi), 2\sin(\pi)) = (-2, 0 )\) 92\) описывает связь между значениями \(x\) и \(y\) на декартовой сетке, можно написать полярное уравнение, описывающее связь между значениями \(r\) и \(\theta\) на полярной сетка.

      Пример \(\PageIndex{5}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \theta\).

      Решение

      Уравнение \(r = \theta\) описывает все точки, для которых радиус \(r\) равен углу. Чтобы визуализировать эту связь, мы можем создать таблицу значений.

      \(\тета\) 0 \(\пи/4\) \(\пи/2\) \(3\пи/4\) \(\пи\) \(5\пи/4\) \(3\пи/2\) \(7\пи/4\) \(2\пи\)
      \(р\) 0 \(\пи/4\) \(\пи/2\) \(3\пи/4\) \(\пи\) \(5\пи/4\) \(3\пи/2\) \(7\пи/4\) \(2\пи\)

      Мы можем нанести эти точки на плоскость, а затем нарисовать кривую, соответствующую этим точкам. Полученный график представляет собой спираль.

      Обратите внимание, что результирующий график не может быть результатом функции вида \(y = f(x)\), так как он не проходит тест на вертикальную линию, даже если он является результатом функции, дающей \(r\ ) в терминах \(\тета\).

      Хотя приятно видеть полярные уравнения на полярных сетках, полярные графики чаще изображаются в декартовой системе координат, поэтому остальные полярные уравнения будут отображаться соответственно.

      Здесь показан приведенный выше спиральный график на декартовой сетке.

      Пример \(\PageIndex{6}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 3\).

      Решение

      Вспомните, что когда переменная не появляется в уравнении, это означает, что не имеет значения, какое значение имеет эта переменная; результат уравнения останется прежним. Например, декартово уравнение \(y = 3\) описывает все точки, где \(y = 3\), независимо от значений x, образуя горизонтальную линию.

      Аналогично, это полярное уравнение описывает все точки на расстоянии 3 от начала координат, независимо от угла, создавая график круга.

      Нормальные настройки графических калькуляторов и графических программ в декартовой системе координат, где \(y\) является функцией \(x\), где графическая утилита запрашивает \(f(x)\), или просто \( у =\).

      Для построения полярных уравнений вам может потребоваться изменить режим калькулятора на полярный. Вы будете знать, что вам удалось изменить режим, если теперь у вас есть \(r\) как функция \(\theta\), где графическая утилита запрашивает \(r(\theta)\), или просто \ (г =\).

      Пример \(\PageIndex{7}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 4 \cos(\theta)\) и найдите интервал, на котором оно завершает один цикл.

      Решение

      Хотя мы могли бы снова создать таблицу, нанести на нее соответствующие точки и соединить точки, мы также можем обратиться к технологии, чтобы напрямую изобразить ее. Используя технологию, мы производим показанный здесь график, окружность, проходящую через начало координат.

      Поскольку этот график замыкает цикл и повторяется, мы можем спросить, какой интервал значений \(\theta\) дает весь график. В \(\theta = 0\), \(r = 4\cos(0) = 4\), что дает точку (4, 0). Нам нужно следующее значение \(\theta\), когда график вернется к точке (4, 0). Решение для случая \(x = 4\) эквивалентно решению \(r\cos(\theta) = 4\). 9{2}(\theta)= 1\nonumber\]У этого есть решения, когда
      \[\cos(\theta) = 1\text{ или }\cos(\theta) = -1\nonumber\]Решение этих решений дает решения
      \[\theta = 0\text{ or }\theta = \pi\nonumber\]

      Это показывает нам, что при 0 радианах мы находимся в точке (0, 4), и снова при \(\pi\) радианах мы находимся в точке (0, 4), совершив один полный оборот.

      Этот интервал \(0 \le \theta < \pi\) дает одну полную итерацию окружности.

      Упражнение \(\PageIndex{3}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 3 \sin (\theta)\) и найдите интервал, на котором оно совершает один цикл.

      Ответить

      \[3 \sin(\theta) = 0\text{ at }\theta = 0\text{ и }\theta = \pi\nonumber\]

      Он завершает один цикл на интервале \(0 \le \theta < \pi\).

      Последние несколько примеров были кругами. Далее мы рассмотрим два других «именных» полярных уравнения, лимасон и розы .

      Пример \(\PageIndex{8}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = 4\sin(\theta) + 2\). Какой интервал значений \(\theta\) соответствует внутреннему циклу?

      Solution

      Этот тип графика называется limaçon .
      Используя технологию, мы можем нарисовать график. Внутренний цикл начинается и заканчивается в начале координат, где \(r = 0\). Мы можем найти значения \(\theta\), для которых \(r = 0\).

      \[0 = 4\sin(\theta) + 2\nonnumber\]
      \[-2 = 4\sin(\theta)\nonnumber\]
      \[\sin(\theta) = -\dfrac{ 1}{2}\nonumber\]
      \[\theta = \dfrac{7\pi}{6}\text{ или }\theta = \dfrac{11\pi}{6}\nonumber\]

      Это говорит нам, что \(r = 0\), поэтому график дважды проходит через начало координат на интервале \([0, 2\pi)\).

      Внутренняя петля возникает из интервала \(\dfrac{7\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{11\pi}{6}\).

      Это соответствует тому, где функция \(r = 4 \sin(\theta) + 2\) принимает отрицательные значения, как мы могли бы видеть, если бы построили график функции в плоскости \(r \theta\).

      Пример \(\PageIndex{9}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \cos(3\theta)\). Какой интервал значений \(\theta\) описывает одну маленькую петлю графика?

      Решение

      Этот тип графа называется трехлистной розой .

      Мы можем использовать технологию для создания графика. Интервал \([0, \pi)\) дает один цикл этой функции. Как и в последней задаче, мы можем заметить, что существует интервал, на котором одна петля этого графа начинается и заканчивается в начале координат, где \(r = 0\). Решение для \(\тета\),

      \[0 = \cos(3\theta)\nonumber\]Подстановка \(u = 3\theta\)
      \[0 = \cos(u)\nonumber\]
      \[u = \dfrac{\ pi}{2}\text{ или }u = \dfrac{3\pi}{2}\text{ или }u = \dfrac{5\pi}{2}\nonumber\]

      Отменить замену,

      \[3 \theta = \dfrac{\pi}{2}\text{ или}3 \theta = \dfrac{3\pi}{2}\text{ или}3 \theta = \dfrac{5\pi {2}\nonumber\]

      \[\theta = \dfrac{\pi}{6}\text{ или }\theta = \dfrac{\pi}{2}\text{ или }\theta = \ dfrac{5\pi}{6}\nonumber\]

      Есть 3 решения на \(0 \le \theta < \pi\), которые соответствуют 3 раза, когда график возвращается в начало координат, но первые два решения мы решили выше, достаточно, чтобы сделать вывод, что

      одна петля соответствует интервалу \(\dfrac{\pi}{6} \le \theta < \dfrac{\pi}{2}\).

      Если мы хотим получить представление о том, как компьютер нарисовал этот график, рассмотрим, когда \(\theta = 0\).

      \(r = \cos(3\theta) = \cos(0) = 1\), поэтому график начинается с (1, 0). Как мы обнаружили выше, при \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) и \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) график находится в начале координат. Глядя на уравнение, обратите внимание, что любой угол между \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{\pi}{2}\), например, при \(\theta = \dfrac{ \pi}{3}\), дает отрицательное значение \(r\): \[r = \cos(3 \cdot \dfrac{\pi}{3}) = \cos(\pi) = -1\nonumber \]

      Обратите внимание, что при отрицательном значении \(r\) и угле с конечной стороной в первом квадранте соответствующая декартова точка будет в третьем квадранте. Поскольку \(r = \cos(3\theta)\) отрицательно на \(\dfrac{\pi}{6} \le \theta < \dfrac{\pi}{2}\), этот интервал соответствует петля графика в третьем квадранте.

      Упражнение \(\PageIndex{4}\)

      Нарисуйте график полярного уравнения \(r = \sin(2\theta)\). Вы бы назвали эту функцию limaçon 9?0004 или роза ?

      Ответить

      Это 4-хлистная роза.

      Преобразование уравнений

      Несмотря на то, что многие полярные уравнения невозможно красиво выразить в декартовой форме (и наоборот), может быть полезно конвертировать между двумя формами, когда это возможно. Для этого мы используем те же отношения, которые мы использовали для преобразования точек между системами координат.

      92 — 6r\sin(\theta) = 0\nonnumber\]Множитель
      \[r (r — 6\sin(\theta)) = 0\nonnumber\] Используйте теорему о нулевом множителе
      \[r = 6\sin (\theta)\text{ или }r = 0\nonumber\] Поскольку \(r = 0\) — это всего лишь точка, мы отвергаем это решение.

      Решение \(r = 6\sin(\theta)\) очень похоже на то, что мы изобразили в примере 7. Фактически, это уравнение описывает окружность с низом в начале координат и вершиной в точке (0, 6).

      Пример \(\PageIndex{11}\)

      Перепишите декартово уравнение \(y = 3x + 2\) как полярное уравнение.

      Решение

      \[y = 3x + 2\nonnumber\]Используйте \(y = r\sin(\theta)\) и \(x = r\cos(\theta)\)
      \[r \sin(\theta) = 3r\cos(\theta) + 2\nonumber\] Переместить все термины с \(r\) в одну сторону
      \[r\sin(\theta) — 3r\cos(\theta) = 2\nonumber\] Вынести на множители \(r\)
      \[r(\sin(\theta) — 3\cos(\theta)) = 2\nonumber\] Разделить
      \[r = \dfrac{2} {\sin(\theta) — 3\cos(\theta)}\nonumber\]

      В этом случае полярное уравнение более громоздко, чем декартово уравнение, но все же бывают случаи, когда это уравнение может быть полезным.

      Пример \(\PageIndex{12}\)

      Перепишите полярное уравнение \(r = \dfrac{3}{1- 2\cos(\theta)}\) как декартово уравнение.

      Решение

      Мы хотим исключить \(\theta\) и \(r\) и ввести \(x\) и \(y\). Обычно проще всего начать с очистки дроби и поиска подстановочных значений, которые исключат \(\theta\).

      \[r = \dfrac{3}{1 — 2\cos(\theta)}\nonumber\]Очистить дробь
      \[r(1 — 2\cos(\theta)) = 3\nonumber\] Используйте \(\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}\), чтобы исключить \(\theta\) 9{2/3}\номер\]

      • Декартова система координат
      • Полярная система координат
      • Нанесение точек в полярных координатах
      • Преобразование координат между системами
      • Полярные уравнения: спирали, круги, лимасоны и розы Преобразование уравнений между системами

      Эта страница под заголовком 8.2: Полярные координаты публикуется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (The OpenTextBookStore) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
        • Была ли эта статья полезной?
        1. Тип изделия
          Раздел или страница
          Автор
          Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
          Лицензия
          CC BY-SA
          г.
          Версия лицензии
          4,0
          Показать страницу Содержание
          нет
        2. Теги
          1. полярные координаты
          2. источник@http://www.opentextbookstore.com/details.php?id=30

        Полярные координаты

        Полярные координаты

        Определение полярных координат

        Напомним, что мы определяем точку (x,y) на плоскости как x единиц вправо от начала координат и у единиц слева от начала координат. Это отлично работает для линий и парабол, но у окружностей есть несколько запутанные уравнения. В качестве в качестве альтернативы мы определяем новую систему координат, где первая координата r — расстояние от начала координат до точки и вторая координата q это угол, который луч из начала координат в точку составляет с положительная ось x. Из тригонометрии имеем

        x = rcosq     y = rsinq


        В вашем калькуляторе есть специальный режим для полярных координат. Мы используем калькулятор для построения графика

        r = 5cosq  

        и 

        г = потому что ( )

        кругов

        Окружность с центром в начале координат имеет уравнение

        x 2 + y 2 = R 2

        В полярной форме имеем

        г = р

        Например, круг радиуса 3 с центром в (0,0) имеет полярное уравнение

        р = 3

        90 250  Линии 90 251

        Если

        у = мх + б

        мы можем написать

        г грех (д) = m r cos q + b

        или

        б
        r  =                                   
        sin q —  m cos q

        Конические сечения

        Напомним, что коническое сечение определяется следующим образом:
        Пусть f (называемая фокусом ) будет фиксированной точкой на плоскости, м (так называемый директриса ) быть фиксированной линией, а e (называется эксцентриситет ) положительная постоянная. затем множество точек P на плоскости с

        по

        |ПФ|
        =   е
        |Пм|


        является коническим сечением. Если e < 1, то сечение представляет собой эллипс, если e = 1, то это a парабола,
        а также если e = 0, то это гипербола.

        Примечание.   Если F – исходная точка, m х = d, тогда

        |ПФ| = r,     |Pm| = д — r cos q

        так что уравнение становится

        г = е (d — rcos (q)) = ed — рекос(к)

        или

        издание
        r   =                       
        1 + e cosq


        Производные в полярных координатах

        Теорема  

        Пусть r = r(q) представляет собой полярную кривую, тогда

        ды dy/dq                  r’ sinq + г cosq
        знак равно =                                      
        дх дх/дк r ‘cosq — г синк

        dy             r’ sinq + г cosq
        =                                               
        дх r ‘cosq — г синк


        Доказательство:          

        Так как

                x = r cosq, и     y = r sinq,

        мы можем подставить в r = r(q), чтобы получить

                x = r cosq

        Взяв производную,

                x’ = r’ cosq — r sinq

        и

                y’ = r’ sinq + р коскв.

        Начиная с 

                 день dy/dq
        =                               
        дх dx/dq

        деление дает результат.


        Пример

        Пусть

                r = q синк

        Затем

                dy (раковина + q cosq) sinq + q sinq cosq
        =                                                                                      
        дх (раковина + qcosq) cosq — q sinq sinq


        sin 2 q + 2qsinqcosq
        =                                                                          
        Синк Коскв + qcos 2 q — qsin 2 q


        sinq cosq + qcos(2q)
        =                                                            
        грех 2 д + qsin(2q)

        Назад к полярному и параметрическому Страница уравнений

        Назад на домашнюю страницу Math 107

        Назад на домашнюю страницу математического факультета

        электронная почта Вопросы и предложения

        Полярные координаты

        

        Полярные координаты

        Преобразование полярных координат

        Если мы выберем луч l как положительную ось x , то точка P на плоскости имеет как декартовы координаты ( x , y ), так и полярные координаты ( r , q).

        		 (2)
        Определение функций синуса и косинуса подразумевает, что ( x , y ) задается в терминах ( р ,q) по
        x = r cos(q) ,        y = r sin(q)
        		 (1)
        Решение для r и q дает тождества
        r 2 = x 2 + y 2     и     tan(q) = г x
        		(2)
        ПРИМЕР 3    Преобразование точки ( 4, p/4) из полярные координаты в декартовы координаты, а затем показать, что (2) преобразует его обратно в полярный .

        Решение: Для этого положим r = 4 и q = p/4 в (1), чтобы получить

        х = 4cos æ
        è        		 п 4
        		ö
        ø        		 = 2…2,        y = 4sin æ
        è        		 п 4
        		ö
        ø        		 = 2…2
        Чтобы отобразить обратно, мы замечаем, что
        р 2 = x 2 + y 2 = 8 + 8 = 16, R = 4

        и что y/x

        и что y/x =

        и что y/x = Q) = Q) Q) Q) Q). 1, д = р/4.

        Если мы подставим x = r cos(q) и y = r sin(q) в кривую g ( x,y ) = k , то 60 результат

        g ( r cos(q), r sin(q) ) = k     
        называется откатом кривой в полярные координаты. Тождество r 2 = x 2 + y 2 часто используется для перевода кривой обратно в полярные координаты.

        Для например, x 2 + y 2 = R 2 для константа R > 0 имеет откат

        r 2 = R 2    Þ    r = R
        Точно так же строки формы y = m x становятся
        r sin(q) = m r cos(q)    Þ     sin(q) = m cos(q)     Þ     tan(q) = м
        Это соответствует примеру 4 в предыдущем разделе, в котором мы видели, что координата кривые для преобразования полярных координат
        Т ( г , д ) = á r cos(q),   r sin(q) –
        представляют собой окружности с центром в начале координат и линии, проходящие через начало координат, соответственно.
        Кроме того, это показывает, что всякий раз, когда это возможно, мы должны решить для r значение получить функцию вида r = f (q) .

        ПРИМЕР 4    Преобразование кривой x 2 + ( г — 1) 2 = 1 в полярный координаты, а затем решить для р , если можно.

        Решение: Расширение приводит к x 2 + y 2 — 2 y + 1 = 1 , так что для этого заменим y r 2 и пусть x = r cos( q) :

        r 2 —  2 r sin(q) + 1 = 1
        Решение на r тогда получается
        г = 2 sin(q)

        То есть r = 2 sin(q) — окружность радиус 1 с центром в ( 1,0) .

        150 умножить на 30: Онлайн калькулятор. Умножение столбиком.

        alexxlab / / Разное

        OZON.ru

        Казань

        • Ozon для бизнеса
        • Мобильное приложение
        • Реферальная программа
        • Зарабатывай с Ozon
        • Подарочные сертификаты
        • Помощь
        • Пункты выдачи

        Каталог

        ЭлектроникаОдеждаОбувьДом и садДетские товарыКрасота и здоровьеБытовая техникаСпорт и отдыхСтроительство и ремонтПродукты питанияАптекаТовары для животныхКнигиТуризм, рыбалка, охотаАвтотоварыМебельХобби и творчествоЮвелирные украшенияАксессуарыИгры и консолиКанцелярские товарыТовары для взрослыхАнтиквариат и коллекционированиеЦифровые товарыБытовая химия и гигиенаМузыка и видеоАвтомобили и мототехникаOzon УслугиЭлектронные сигареты и товары для куренияOzon PremiumOzon GlobalТовары в РассрочкуПодарочные сертификатыУцененные товарыOzon CardСтрахование ОСАГОРеферальная программаOzon TravelРегулярная доставкаОzon ЗОЖДля меняDисконтOzon MerchOzon для бизнесаOzon КлубУскоренная доставка!Ozon LiveМамам и малышамТовары Ozon Везде 0Войти 0Заказы 0Избранное0Корзина
        • TOP Fashion
        • Premium
        • Ozon Travel
        • Ozon Card
        • LIVE
        • Акции
        • Бренды
        • Магазины
        • Сертификаты
        • Электроника
        • Одежда и обувь
        • Детские товары
        • Дом и сад
        • Dисконт

        Такой страницы не существует

        Вернуться на главную Зарабатывайте с OzonВаши товары на OzonРеферальная программаУстановите постамат Ozon BoxОткройте пункт выдачи OzonСтать Поставщиком OzonЧто продавать на OzonEcommerce Online SchoolSelling on OzonО компанииОб Ozon / About OzonВакансииКонтакты для прессыРеквизитыАрт-проект Ozon BallonБренд OzonГорячая линия комплаенсПомощьКак сделать заказДоставкаОплатаКонтактыБезопасностьOzon для бизнесаДобавить компаниюМои компанииКешбэк 5% с Ozon СчётПодарочные сертификаты © 1998 – 2021 ООО «Интернет Решения». Все права защищены. OzonИнтернет-магазинOzon ВакансииРабота в OzonOZON TravelАвиабилетыOzon EducationОбразовательные проектыLITRES.ruЭлектронные книги

        Что такое проценты и как их считать

        Что такое процент?

        1 процент — это сколько?

        Процент — это сотая доля числа. Обозначается знаком «%». Является способом выразить число как часть целого.

        100% 👧 👧 👧 👧 👧 👧 👧 👧 80% 👦 👦 20%  

        Предположим, на столе лежит один пирог. Его мы разделим на 100 одинаковых частей.

        Один кусочек из ста — это сотая доля пирога, что есть

        • в виде обыкновенной дроби: 1 100,
        • в виде десятичной дроби: 0,01,
        • в процентах: 1% от пирога. 
        1 : 100 = 1
100 = 0,01 = 1%

        25 процентов — это сколько?

        25 кусочков — это четверть пирога или 25%. 

        25 : 100 = 25
100 = 1
4 = 0,25 = 25%

        50 процентов — это сколько?

        50 кусочков — это половина пирога или 50%. 

        50 : 100 = 50
100 = 1
2 = 0,5 = 50%

        Уменьшить на 50% — значит уменьшить число в 2 раза. 

        100% чего-либо - 50% чего-либо = 50% чего-либо

        100 процентов — это сколько?

        Весь пирог — это один пирог или 100%. 

        100 : 100 = 100
100 = 1 = 100%

        Увеличить на 100% — значит увеличить число в 2 раза. 

        100% чего-либо + 100% чего-либо = 200% чего-либо

        150 процентов — это сколько?

        Один целый пирог и ещё половина другого — это полтора пирога или 150%. 

        150 : 100 = 150
100 = 150
100 = 11
2 = 1,5 = 150%

        200 процентов — это сколько?

        Два пирога — это 200%. 

        200 : 100 = 200
100 = 2 = 200%

        200% от числа — значит увеличить число в 2 раза.

        Увеличить на 200% — значит увеличить число в 3 раза. 

        100% чего-либо + 200% чего-либо = 300% чего-либо

        На сколько процентов одно число меньше другого?

        Было 1000, стало 300. Разница в процентах?
        На сколько процентов уменьшилась выручка, цена, зарплата, объём продаж и другое?
        Или планировалось выполнить 1000 единиц, а сделали 300. 
        100% - 30% = 70%

300 меньше 1000 на 70%
Значение уменьшилось на 70%
План сделан на 30%, он недовыполнен на 70%

        На сколько процентов одно число больше другого?

        Было 300, стало 1000. Разница в процентах?
        На сколько процентов увеличилась выручка, цена, зарплата, объём продаж и другое?
        Планировалось выполнить 300 единиц, а сделали 1000. 
        333,33% - 100% = 233,33%

1000 больше 300 на 233,33%
Значение увеличилось на 233,33%
План сделан на 333,33%, он перевыполнен на 233,33%

        Реальная скорость соединения, используемая в технологии Wi-Fi – Keenetic

        Начнем с того, что пользователи часто неверно ориентируются на скорость подключения в Мегабитах в секунду (Мбит/с), которая отображается в строке «Скорость» (Speed) на закладке «Общие» (General) в окне «Состояние» (Status) беспроводного соединения в операционной системе Windows.

        В интернет-центре Keenetic посмотреть текущую канальную скорость подключения мобильных устройств по Wi-Fi можно через его веб-конфигуратор на странице «Список устройств».

        Данная цифра показывает именно канальную скорость между роутером и устройством, т.е. скорость подключения на физическом уровне, которая используется в текущее время в рамках выбранного стандарта. А реальная скорость передачи данных будет ниже канальной примерно в 2-3 раза. Например, в свойствах подключения вы видите скорость 150 Мбит/с, а реальная скорость передачи данных будет составлять около 50 — 60 Мбит/с. Разница между скоростью подключения и реальными показателями объясняется прежде всего большим объемом служебных данных, потерями сетевых пакетов в беспроводной среде и затратами на повторную передачу. Реальная (действительная) скорость передачи данных в беспроводной сети зависит от настроек точки доступа, клиентского оборудования, числа одновременно подключенных к ней клиентов, препятствий на пути прохождения сигнала, наличия других беспроводных сетей и радиопомех в частотном диапазоне, в котором работает сеть, и других факторов.

        NOTE: Важно! В технических спецификациях устройств указывается скорость соединения в Мегабитах в секунду (Мбит/с), а в пользовательских программах (интернет-браузеры, менеджеры загрузки, торрент-клиенты) скорость передачи данных при скачивании файлов (скорость закачки) отображается в Килобайтах или Мегабайтах в секунду (КБ/с, Кбайт/с или МБ/с, Мбайт/с). Эти величины часто путают.
        Для перевода Мегабайтов в Мегабиты, необходимо умножить значение в Мегабайтах на 8. Например, если интернет-браузер показывает скорость при скачивании файлов 4 Мбайт/с, то для перевода в Мегабиты нужно умножить это значение на 8: 4 Мбайт/с * 8 = 32 Мбит/с.
        Для перевода из Мегабит в Мегабайты необходимо разделить значение в Мегабитах на 8.

        Но вернемся к скорости подключения по Wi-Fi.

        Как мы писали выше, при подключении отображается не реальная скорость передачи данных, а канальная скорость соединения.
        Дело в том, что в технологии Wi-Fi в каждый момент времени точка доступа работает только с одним клиентским Wi-Fi-адаптером из всей Wi-Fi-сети. Передача данных происходит в полудуплексном режиме, т.е. по очереди — от точки доступа к клиентскому адаптеру, затем наоборот и так далее. Одновременный, параллельный процесс передачи данных (дуплекс) в технологии Wi-Fi невозможен.
        Если в Wi-Fi-сети два клиента, то точке доступа нужно будет коммутировать в два раза чаще, чем если бы клиент был один, т.к. в Wi-Fi используется полудуплексная передача данных. Соответственно, реальная скорость передачи данных между двумя адаптерами будет примерно в два раза ниже, чем максимальная реальная скорость для одного клиента (речь идет о передаче данных от одного компьютера другому через точку доступа по Wi-Fi-соединению).

        В зависимости от удаленности клиента Wi-Fi-сети от точки доступа или от наличия различных помех и препятствий будет изменяться теоретическая и, как следствие, реальная скорость передачи данных. Совместно с беспроводными адаптерами точка доступа изменяет параметры сигнала в зависимости от условий в радиоэфире (расстояние, наличие препятствий и помех, зашумленности радиоэфира и прочих факторов).

        Приведем пример. Скорость передачи между двумя ноутбуками, соединенными напрямую по Wi-Fi составляет около 10 Мбайт/с (один из адаптеров работает в режиме точки доступа, а другой в режиме клиента), а скорость передачи данных между теми же ноутбуками, но подключенными через интернет-центр Keenetic, составляет около 4 Мбайт/с. Так и должно быть. Скорость между двумя устройствами, подключенными через точку доступа по Wi-Fi, всегда будет как минимум в 2 раза меньше, чем скорость между теми же устройствами, подключенными друг к другу напрямую, т.к. полоса частот одна и адаптеры смогут общаться с точкой доступа только поочередно.

        NOTE: Важно! Согласно требованиям Wi-Fi Alliance, в диапазоне 2,4 ГГц беспроводные устройства могут автоматически выбирать режим ширины канала 20 МГц. Поскольку большинство смартфонов и планшетов, а заодно и многие недорогие ноутбуки, оборудованы адаптерами Wi-Fi использующими один пространственный поток (MIMO 1×1 / 1T1R, одна передающая и одна приемная антенна), они в этом случае будут работать на скорости до 72 Мбит/с и их реальная скорость доступа в Интернет не превысит 40 Мбит/с.

        С адаптерами, использующими один пространственный поток MIMO 1×1 и канал 40 МГц для приема и передачи данных, канальная скорость соединения может составить до 150 Мбит/с, а значит реальная скорость не превысит 60 Мбит/с.
        При этом, интернет-центры Keenetic в диапазоне 2,4 ГГц с адаптерами использующими два пространственных потока MIMO 2×2 и шириной канала 40 МГц могут обеспечивать линк до 300 Мбит/с и максимальную реальную скорость (в идеальных условиях) до 120 Мбит/с.

        Зафиксировать режим ширины канала 40 МГц в интернет-центре  нельзя, т.к. это рекомендация стандарта, иначе большинство клиентов не смогут подключиться к точке доступа.

        Для получения высоких скоростей используйте диапазон 5 ГГц.

        Дополнительная информация доступна в следующих статьях:

         

        TIP: Примечание

        Некоторые пользователи для измерения реальной скорости передачи данных по Wi-Fi пользуются популярными онлайн-сервисами (например, Speedtest или nPerf).
        Обращаем ваше внимание, что онлайн-сервисы предназначены для проверки скорости интернет-канала. Они не показывают действительную скорость подключения между клиентом сети Wi-Fi и роутером.

         

        Таблица мер и весов — — ЖЖ

        Ложки и стаканы в граммы

        1 щепотка — менее 1/8 ч.л. (для сухих веществ) — 0,5 г

        1 капелька=3 капли — 1/4 ч.л. (для жидкостей) — 1,25 г

        1 ч.л. (для жидкостей) 5 г

        3 ч.л. — 1 ст.л. — 14,3 г

        2 ст.л. — 28,35 г

        4 ст.л.=1/4 стакана — 56,7 г

        8 ст.л.=1/2 стакана — 113,4 г

        8 ст.л. (муки) — 72 г

        16 ст.л. = 1 стакан — 1/2 фунта — 226,8 г

        32 ст.л. = 2 стакана — 1 фунт — 453,6 г

        64 ст.л. = 1 кварта=2 фунта — 907 г

        Весы:

        1/2 унции — 10 г

        3/4 унции — 20 г

        1 унция — 25-28 г

        1 1/2 унции — 40 г

        2 унции — 50 г

        3 унции — 75 г

        4 унции — 110 г

        5 унций — 150 г

        6 унций — 175 г

        7 унций — 200 г

        8 унций — 225 г

        9 унций — 250 г

        10 унций — 275 г

        12 унций — 350 г

        1 фунт — 450 г

        Меры жидкости

        1 ч.л. — 5 мл

        1 десертная ложка — 12 мл

        1 ст.л. — 15 мл

        1 шот (shot) — 25 мл

        1 маленький стакан — 125 мл

        1 большой стакан — 250 мл

        1 жидкая унция — 30 мл

        1 пинта — 568 мл

        1 глаг (glug) — около 20 мл

        Соотношение мер веса и объема

        Сахар: стакан — 200 г, 1 ст.л. — 25 г

        Соль — 1 ст.л. — 25 г

        Мука: стакан — 160 г (для пшеничной), 130 г (для ржаной), 1 ст.л. — 25 г

        Чашка = 240 мл.

        1 палочка сливочного масла = 113 грамм

        1 палочка = 8 столовых ложек

        1 ст. ложка сливочного масла = 14,1 грамм

        1 чашка масла = 2 палочки

        Температура

        Газовая отметка F (фаренгейт) C (цельсий)

        1/4                                                110

        1/2                                                130

        1                             275                140

        2                             300                150

        3                             325                170

        4                             350                180

        5                             375                190

        6                             400                200

        7                             425                220

        8                             450                230

        9                             475                240

        Для духовок с конвекцией уменьшить температуру на 10-20С.

        Коэффициенты пересчета из

        Унций в граммы: умножить число унций на 28.3 для получения граммов

        Граммов в унции: умножить число граммов на 0,0353 для получения унций

        Фунтов в граммы: умножить число фунтов на 453,59

        Фунтов в килограммы: умножить число фунтов на 0,45

        Унций в миллилитры: умножить число унций на 30

        Чашек в литры: умножить число чашек на 0,24

        Градусов по Фаренгейту в градусы по Цельсию: вычесть 32 градуса из числа градусов по Фаренгейту, умножить на 5, затем разделить на 9, чтобы получить градусы по Цельсию

        Градусов по Цельсию в градусы по Фаренгейту: умножить число градусов по Цельсию на 9, разделить на 5, затем добавить 32

        Дюймов в сантиметры: умножить число дюймов на 2,54

        Сантиметров в дюймы: умножить число сантиметров на 0,39

        Обычная белая мука\мука с разрыхлителем, кукурузный крахмал,kакао-порошок:

        1 стакан= 140 грамм

        1 столовая ложка( без «горки») = 10 грамм

        1 чайная ложка (без «горки») — 3 гр.

        3/4 стакана=приблизительно 100 грамм(а точно 105 грамм)

        Мука пшеничная  цельно зерновая:

        1 стакан = 125 грамм

        1 столовая ложка = 7,8 грамма

        1 чайная ложка = 2,6 грамм

        3/4 стакана+ 1 столовая ложка=100 грамм

        Сахарная пудра:

        1 стакан — 120 грамм

        1 столовая ложка — 7.5  грамм.

        1 чайная ложка  — приб.3грамм

        Сода:

        1 столовая ложка(с горкой «верхом») = 15  грамм

        1 чайная ложка =5  грамм

        Разрыхлитель:

        1 столовая ложка с верхом = 15  грамм

        1 чайная ложка = 5 грамм

        Белый сахар\светлокоричневый сахар (Demerara):

        1 стакан = 200-210 грамм

        1 столовая ложка = 12,5 грамм

        1 чайная ложка = 4 грамм

        8 столовых ложек =100 грамм

        Темно-коричневый сахар:

        1 стакан = 190 грамм

        1 столовая ложка = 12 грамм

        8 ст ложек = 100 грамм

        Обычная   соль:

        1 столовая ложка = 15 грамм

        1 чайная ложка = 5 грамм

        Мед,патока,кукурузный сироп,варенье:

        1 стакан = 330 грамм

        1 столовая ложка = 21 грамм

        1 чайная ложка = 7 граммов

        1/3 стакана -2 столовые ложки= 100 грамм

        Сливочное масло:

        1 стакан = 230 грамм

        1 столовая ложка = 14 грамм

        1 чайная ложка = 4,6 грамма

        1/2 стакана — 1 столовая ложка=100 грамм

        Butter stick(«палочка» масла)= 113 грамм = 1 / 2 стакана масла

        Рис:

        1 стакан = 140 грамм

        Орехи:

        1 стакан орехов молотых в муку — 85грамм

        1 стакан орехов измельчённых в крошку — 100 грамм

        1 столовая ложка орехов(крошка)  -6 грамм

        Шоколад:

        1 стакан шоколадных «чипсов» — 200 грамм

        Сухофрукты:

        1 стакан измельчённых сухофруктов — 150 грамм

        Мелкая кокосовая стружка :

        1 стакан= 100 грамм

        Молотый мак:

        1 стакан =85 грамм

        Жидкость:

        1/2 чайной ложки = 2,5 мл

        1 чайная ложка = 5 мл (4,93)

        1 столовая ложка = 3 чайных ложки = 15 мл

        1/4 стакана = 60 мл = 4 столовые ложки

        1/3 стакана = 80 мл = около 5 столовых ложек

        1/2 стакана = 120 мл = 8 столовых ложек

        2/3 стакана = 160 мл = около -10,5 ст.ложек

        3/4 стакана = 180 мл = 12 столовых ложек

        1 стакан = 240 мл = 16 столовых ложек

        50 мл = 3 ст.ложек = 1 / 4 стакана- 2 столовые ложки

        100 мл = около 7 ст.ложек = 1/ 2 стакана- 4 столовые ложки или 1/3 стакана+ 4 чайные ложки

        150 мл = 10 ст.ложек = 2 / 3 стакана -2 столовые ложки

        200 мл = 14 ст.ложек = 3/4 стакана+ 4 чайные ложки

        Жидкость вес:

        100 мл воды = 100 граммов воды

        100 мл = 90 грамм растительного масла

        Дрожжи:

        В целом, соотношение сухих дрожжей  и свежих дрожжей(влажных) 1:3 (т.е на 50 грамм свежих дрожжей-17 грамм сухих (2 ст.ложки))

        Соотношение: Масло сливочное и растительное:

        Когда заменяем сливочное масло на растительное-вес растительного масла должен быть 85% от сливочного

        Например, 200 граммов сливочного масла = 170 грамм растительного

        100 грамм сливочного  масла = 100 мл  раст.масла (чуть меньше 1 / 2 стакана)

        200 грамм масла = 200 мл  раст.масла (чуть более 3/4 стакана)

        1 стакан  раст.масла = 200 грамм раст.масла

        100 мл раст.масла = 90 грамм раст.масла

        Желатин:

        1 стандартный пакет порошкового желатина = 14 граммов

        1  стандартная пластинка желатина = 4 грамм

        Соотношения желатина и воды 1:5 т.есть чтобы растворить 1 грамм желатина нам понадобится 5 грамм\мл воды

        Яйца:

        Размер S (1 номер)

        Яйца весом 52 граммов и вниз

        Размер M (2 номер)

        Яйца весом от 62-53 грамм

        L( 3 номер)

        Яйца весом 72-63 граммов

        XL (супербольшие)

        Яйца весом 73 граммов и более

        Как уменьшить калорийность выпечки способом замены жира на яблочное пюре:

        заменяем в одинаковых пропорциях,то есть

        100 мл раст.масла на 100 мл яблочного пюре

        100 грамм сливочного масла на 100 грамм яблочного пюре

        Как заменить яйца на яблочное пюре:

        1 яйцо(1 номер) = 60 граммов яблочного пюре

        Как сделать из простой муки самовосходящую:

        К стакану обычной муки(140 грамм) добавить 1 чайную ложку(5 грамм) разрыхлителя

        Перевод в % необходимого количества продуктов при изменении диаметра формы:

        Увеличение:

        с Диаметра 22 см- 24 см +20%

        22 см -26 см +40%

        22 см -28 см +60%

        Уменьшение:

        с диаметра 26 см -24 см -15%

        26 см-22 см -30%

        28 см -22 см -40%

        Иностранные меры веса:

        Pound =  465 грамм

        Ounce = 28,35 грамм

        Fluid Ounce =  29,57 мл

        Американская чашка — 237 мл


        SPF 15/30/50 — Какой SPF использовать и в чём разница?

        С наступлением лета и существованием такого огромного количества средств на полках с солнцезащитным фактором, очень важно понять какой будет более подходящим для тебя. В чём разница между кремами с фактором SPF 30 и 50? И нужен ли тебе вообще санскрин?

        Что такое SPF?

        «Sun Protection Factor»- солнцезащитный фактор, содержащийся в средстве. Это вещество которое защищает кожу от пагубного влияния ультрафиолетовых лучей. УФ-лучи это те самые лучи, которые способствуют твоему красивому загару, но также именно из-за них у нас может появиться ожог и раздражения на коже. Солнцезащитный крем поглощает вредоносное излучение и продлевает безопасное время нахождения на солнце.

        Что означают те самые цифры на упаковке с кремом?

        Цифры после обозначения «SPF» указаны для понимания — сколько времени можно проводить на солнце, наслаждаясь солнечными ваннами не получив ожога. Для этого нужно цифры умножить на количество минут, за которые ты обгораешь на солнце, к примеру, санскрины с фактором 30 позволяет провести на солнце безопасные 150 минут, если ты обгораешь за 5 (30 × 5 = 150). Но не всё так просто, практически все санскрины теряют свои драгоценные защитные свойства спустя пару часов после нанесения. Помимо того, что на коже происходят тысячи различных реакций, мы потеем и по привычке трогаем лицо руками. В частых случаях, чем выше цифра, тем больше возникает ложное ощущение безопасности, и нанося крем с самым высоким уровнем защиты мы думаем что солнечным лучам нас не одолеть, и мы непобедимы. Поэтому очень важно не забывать о повторном нанесении крема спустя пару часов, даже если ты находишься в помещении.

        Самым универсальным фактором защиты является — SPF 30, подходящий большинству людей с разными типами кожи. И к сожалению, нет такой защиты которая защитила бы нас от 100% солнечных лучей. Разберём самые популярные варианты защиты на примере:

        • SPF 15 защитит нас от 93% УФ-лучей

        • SPF 30 от 97% УФ-лучей

        • SPF 50 от 99% УФ-лучей

        Таким образом, мы видим, что разница в кремах с защитой SPF 30 и 50 всего лишь 2%. Но даже такая незначительная разница может сыграть для тебя решающую роль, если ты находишься под прямым воздействием солнечных лучей, особенно когда ты расслабляешься на лежаке принимая солнечные ванны. Стоит отметить, что защитные показатели не суммируются при наслаивании друг на друга, и если на крем с защитой SPF 20 нанести пудру с защитой в SPF 15, то общий показатель у них будет не 35, а всего лишь 20. Порой, используя тональные средства или пудры с фактором защиты, мы думаем, что этого достаточно, чтобы обеспечить нашу кожу должной защитой, но это не так. Обязательно используй дополнительное солнцезащитное средство под макияж, особенно в период, когда солнце наиболее активно.

        В чём разница между такими обозначениями на упаковке как UVA/UVB и UVC?

        Ультрафиолетовые лучи представляют собой невидимую часть света и подразделяются на три типа:

        UVA (лучи типа А) — являются причиной преждевременного старения кожи, обгорания и появления морщин. За счёт того что их длина волны больше остальных, они способны глубже проникать в кожу и достигать её базового слоя. Составляют 95% излучения достигаемого земли, так как не поглощаются озоновым слоем.

        UVB (лучи типа B) — одна из основных причин солнечных ожогов, также способствуют развитию рака кожи. Так как длина этих волн значительно меньше, чем лучи типа А, они имеют воздействие только на поверхностный слой кожи. Способствуют прямому воздействию на нашу ДНК. Обычно воздействие этих лучей проявляется спустя пару часов. Составляют 5% излучения, остальное задерживается в озоновом слое. Максимально активно они себя проявляют в период между 10:00 и 16:00 часами.

        UVC (лучи типа C) — Единственный тип излучения, к счастью, не достигаемый земли, так как отфильтровывается ещё в озоновом слое. Но они проявляются в сварочных горелках и ртутных лампах, и лампах для стерилизации.

        Все виды УФ-излучения могут навредить нашей нежной коже по-своему, поэтому очень важно наносить солнцезащитные средства, и самое главное нужно грамотно подходить к выбору этих средств. Но это не является единственной защитой от солнца. Не рекомендуется загорать в промежуток между 10:00 и 16:00 часами, нужно носить солнцезащитные очки, шляпы и плотную одежду, которая не позволит излучению навредить твоей коже.

        Памятка для тебя по использованию солнцезащитного крема:

        • Выбирай солнцезащитный крем широкого спектра, который будет защищать от UVA и UVB лучей. Также обращай внимание на то, водостойкий ли крем, особенно если собираешься плавать, заниматься спортом, или твоя кожа склонна к жирности.

        • Не забывай наносить санскрин повторно, спустя пару часов после первого и последующих нанесений. Особенно, если занимаешься спортом на открытом воздухе или соприкасаешься с водой.

        • Применяй солнцезащитный крем не только во время солнечных дней. Так как UVA лучи имеют свойство проникать сквозь облака, они способны нанести вред твоей коже даже в пасмурный день.

        • Наноси санскрин за полчаса до выхода из дома, до использования своего увлажняющего крема, и особенно до нанесения тональной основы. Недостаточно наносить крем похлопывающими движениями, тщательно массируй кожу во время нанесения, так крем лучше впитается в твою кожу.

        • Не забывай про зону декольте и шею! Эти участки тела также нуждаются в особом уходе и защите.

        • Наноси нужное количество. Доза для нанесения на лицо составляет около 1 чайной ложки, покрытие должно быть достаточно плотным и равномерным, и только тогда, оно в достаточной степени защитит твою кожу от пагубного воздействия лучей.

        • Смывать санскрин также важно, как и наносить его. Даже если тебе кажется, что он полностью впитался в твою кожу, и от него не осталось ни следа.

        Вот несколько солнцезащитных кремов доступные к продаже у нас в магазинах:

        (*кликнув на картинку ты перейдёшь на страничку нашего интернет магазина, где сможешь приобрести понравившееся средство)

        Natura Siberica / Sun / Солнцезащитный крем для тела spf 50

        Солнцезащитный крем на основе сибирских растений эффективно защищает и интенсивно увлажняет кожу. Предотвращает возникновение солнечных ожогов, гиперпигментации и обезвоживания, возникающих при воздействии UVA и UVB-излучения.

        Garnier Ambre Solaire Классическое солнцезащитное молочко SPF50

        Очень высокая степень защиты для светлой, чувствительной к солнечным лучам кожи, защита от UVA- и UVB-лучей. Инновационная формула Классического Молочка Ambre Solaire содержит масло Карите, быстро впитывается, увлажняет 24 часа.

        GARNIER Солнцезащитный Сухой Спрей Эксперт Защита, SPF 50

        Garnier Ambre Solaire создает сухой спрей для бережной защиты от UVB-, UVA- и длинных UVA-лучей.

        Ультралегкая формула мгновенно впитывается, не оставляя следов и жирной пленки.

        После нанесения средство не ощущается на коже.

        GARNIER Солнечный спрей Ambre Solaire «Солнечная вода», освежающий, прозрачный, SPF 30

        Водостойкий спрей для тела обладает нелипкой прозрачной текстурой с Алое, которая освежает и увлажняет кожу. Солнцезащитный спрей защищает кожу от солнечных ожогов и возрастных изменений, вызванных солнцем и обладает защитой SPF 30. Подходит для светлой, уже загорелой кожи.

        VILENTA Sun Party молочко для тела солнцезащитное SPARKLING STAR, SPF 30

        Солнцезащитное молочко для тела с блестками SPARKLING STAR предотвратит возникновение солнечных ожогов и фотостарение, а также подарит твоей коже нежное золотистое сияние и ухоженный вид! Фотостабильные UV-фильтры широкого спектра действия надежно защитят от вредного воздействия UVB, UVA1, UVA2 лучей.

        VILENTA Sun Party солнцезащитный крем для лица BLAZING LIGHT, SPF 50

        Солнцезащитный крем для лица BLAZING LIGHT докажет тебе, что реальный солнцепек не так уж и страшен! Крем убережет кожу от солнечных ожогов и фотостарения, а также поддержит необходимый уровень влаги в ее клетках, позволяя получить здоровый и равномерный загар. Даже под ярким солнышком, заставляющим таять мороженку в твоей руке, нежная кожа твоего лица будет под надежной и долговременной защитой.

        сколько нужно мешков цемента на 1 куб бетона

        Для того чтобы приготовить бетон понадобятся три составляющие: цемент, песок и щебень. Соблюдение пропорций основных компонентов влияет на качество готового продукта. Рассмотрим детальнее, каков расход цемента на 1 куб раствора.

        Сколько нужно цемента на куб бетона

        В зависимости от предназначения бетона его изготавливают с определённой прочностью. Например, марку М100 применяют для заливки основания дорог и создания бордюров, М150 — возведения небольших построек, М200 — для заливки фундаментов.

        Расход цемента на 1м3 бетонного раствора
          Марка готового бетона
        М75 М100 М150 М200

        Марка цемента

        		 М400 195 кг 250 кг 345 кг 445 кг
        М500 155 кг 200 кг 275 кг 355 кг

        Если в бетоне слишком мало цемента, он не способен держать связующее и наполнитель, и такой материал быстро разрушится под влиянием внешних факторов. И наоборот, существенно превышение объёмов отвердителя, приведёт к растрескиванию конечного продукта.

        Сколько нужно мешков цемента на 1 куб бетона

        Стройматериалы лучше приобретать в мешках, расфасованных по 50 кг, — так легче рассчитать пропорции компонентов. Например, для изготовления бетонной смеси под фундамент рекомендуемое соотношение цемента, песка, щебня и воды — 1:3:5:0.5. Это означает, что на 1 ведро цемента нужно взять 3 ведра песка, 5 ведер щебня (гравия) и полведра воды.

        Чтобы рассчитать расход цемента на 1 м2 стяжки, воспользуйтесь калькулятором. Для начала следует рассчитать необходимый объём раствора: толщину умножить на площадь поверхности. Так, для изготовления стяжки толщиной в 30 мм для помещения площадью 15 м2 понадобится: 15×0,03 = 0,45 м3 бетона.

        Для стяжки рекомендуется использовать бетонный раствор марки М200, то есть нужно 445 кг цемента марки М400 на 1 м3. Значит, расход составляет: 0,45×445 = 200,25 кг (четыре мешка).

        Если пол изначально кривой, в качестве высоты нужно брать среднюю величину. Например, для расчёта расхода бетонного раствора на стяжку, у которой в одном углу будет толщина 1 см, а в другом — 5 см, следует брать рассчётной толщину в 3 см.

        Расход цемента на 1 м2 кладки кирпича рассчитывается также исходя из необходимого количества готового раствора. Примерный расход цементной кладочной смеси на кирпичную кладку рассчитывается для кубометра будущей кладки. Объём кладки нетрудно рассчитать, зная её площадь и толщину в кирпичах.

        Примерный расход можно узнать из таблицы:

        Расход кладочной смеси на 1 м3 кирпичной кладки
          Толщина стен в кирпичах
        0,5 (12 см) 1 (25 см) 1,5 (38 см) 2 (51 см) 2,5 (64 см)
        Вид кирпича Обычный (25х12х6.5 см) 0,189 м3 0,221 м3 0,234 м3 0,240 м3 0,245 м3
        Модулированный (25х12х8.8 см) 0,160 м3 0,200 м3 0,216 м3 0,222 м3 0,227 м3

        таблица 3 и 6 метров

        Чтобы узнать количество разных по длине досок в 1 кубе, можно применить таблицу или провести расчёт самостоятельно. Реализация продукции происходит в кубических метрах, при этом указывают следующие параметры:

        • Длина — метр или миллиметр.
        • Ширина и толщина — миллиметр.

        Все единицы измерения переводим в метры.

        Расчёт: 1 м3, разделить на объём доски, он будет — 0,045 м3, получим — 22,2 шт.

        Получилось не целое число, но при покупке объём будет соблюдаться. Для реализации предлагается пиломатериал больше по длине, на несколько сантиметров. Чтобы не возникло недостатка, который может получиться за счёт ширины поперечного распила.

        Ниже представлена таблица, из которой видно, сколько досок в 1 кубе по 6 метров.

        Таблица соответствия на 6 метров
        Размер сечения, мм Длина, м Количество досок в 1 кубе
        25х100 6 66,67
        25х150 6 44,44
        40х100 6 41,67
        50х100 6 33,33
        40х150 6 27,78
        50х150 6 22,22
        50х200 6 16,67

        Если нужны доски диной 3 метра одинаковой толщины, то количество следует умножить на два.

        Ниже представлена таблица, из которой видно, сколько досок в 1 кубе по 3 метра.

        Таблица соответствия на 3 метра
        Размер сечения, мм Длина, м Количество досок в 1 кубе
        25х100 3 133,34
        25х150 3 88,88
        40х100 3 83,34
        50х100 3 66,66
        40х150 3 55,56
        50х150 3 44,44
        50х200 3 33,34
        Таблица умножения

        — Таблица умножения (×)

        Используйте интерактивную таблицу умножения, чтобы быстро умножить два числа.

        Нажмите кнопку столбца и кнопку строки ниже, чтобы получить результат умножения:

        × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
        1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
        2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
        3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
        4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
        5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
        6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
        7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
        8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
        9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
        10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
        11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
        12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

        Тест на умножение

        Воспользуйтесь таблицей умножения, чтобы решить эту викторину, или решите ее самостоятельно:

        См. Также

        Сколько умножить на 150

        что можно умножить, чтобы получить 150?

        Математически 6 умножить на 25 равно 6 x 25 = 150

        Другие значения, которые умножаются и дают 150: = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

        Примеры того, сколько времени равно 150

        1 x 150 = 150
        2 x 75 = 150
        3 x 50 = 150
        5 x 30 = 150
        6 x 25 = 150
        10 x 15 = 150
        15 x 10 = 150
        25 x 6 = 150
        30 x 5 = 150
        50 x 3 = 150

        что такое произведение 6 x 25

        что такое таблица умножения

        Ответ: Таблица умножения — это математическая таблица, используемая для отображения операции умножения для данного числа.Таблица начинается с 2 как наименьшего числа в таблице математики. Таблица умножения получается путем умножения заданного числа на числа от 1 до 12 и получения желаемого значения.

        что такое таблица умножения.

        Ответ: Таблица умножения — это другое название таблицы умножения, которая используется для отображения операции умножения данного числа. Данное число умножается на числа от 1 до 12.

        в чем разница между таблицей умножения, математической таблицей и таблицей умножения?

        Ответ: Между ними нет разницы, математическая таблица у них одинаковая.

        Как определяется таблица умножения

        Ответ: Таблица умножения определяется путем умножения заданного числа на число от 1 до 12. Например, число 6, мы умножаем 6 на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10, 11,12 в этом формате 6 x 1, 6 x 2, 6 x 3, 6 x 4, 6 x 5, 6 x 6, 6 x 7, 6 x 8, 6 x 9, 6 x 10, 6 x 11, 6 x 12 и значение 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72. Это значение составляет таблицу умножения 6

        .

        6 умножается на 25 то же самое, что и 6 x 25

        Ответ: Да 6 умноженное на 25 равно 6 x 25.Это математические термины, используемые для обозначения умножения.

        Сколько цифр в 6

        Ответ: 6 — это 1 цифра №

        Сколько цифр в 25

        Ответ: 25 — двузначное число

        .

        Какая цифра умножения равна 6 x 25

        Ответ: 6 x 25 — это умножение 1 на 2 цифры

        Что такое умножение?

        Ответ: Умножение — это одна из четырех элементарных арифметических операций математики.Остальные — сложение, вычитание и деление. Умножение обозначается знаком умножения x.

        В чем разница между умножением, делением, сложением и вычитанием?

        Ответ: Умножение — это умножение данного значения на второе значение, оно обозначается знаком x, деление — это деление данного значения на второе значение, оно обозначается знаком /, Сложение — это сложение чисел, оно обозначается знаком +, вычитание вычитает значения из другого числа, оно обозначается -.

        Если вы обнаружите ошибку на этом сайте, мы будем благодарны, если вы сообщите нам об этом, используя предоставленный контактный адрес электронной почты. отправьте электронное письмо в контакт на нашем сайте.

        Далее Назад

        7

        Сколько умножить на 150

        что можно умножить, чтобы получить 150?

        Математически 5 умножить на 30 равно 5 x 30 = 150

        Другие значения, которые умножаются и дают 150: = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

        Примеры того, сколько времени равно 150

        1 x 150 = 150
        2 x 75 = 150
        3 x 50 = 150
        5 x 30 = 150
        6 x 25 = 150
        10 x 15 = 150
        15 x 10 = 150
        25 x 6 = 150
        30 x 5 = 150
        50 x 3 = 150

        какое произведение 5 x 30

        что такое таблица умножения

        Ответ: Таблица умножения — это математическая таблица, используемая для отображения операции умножения для данного числа.Таблица начинается с 2 как наименьшего числа в таблице математики. Таблица умножения получается путем умножения заданного числа на числа от 1 до 12 и получения желаемого значения.

        что такое таблица умножения.

        Ответ: Таблица умножения — это другое название таблицы умножения, которая используется для отображения операции умножения данного числа. Данное число умножается на числа от 1 до 12.

        в чем разница между таблицей умножения, математической таблицей и таблицей умножения?

        Ответ: Между ними нет разницы, математическая таблица у них одинаковая.

        Как определяется таблица умножения

        Ответ: Таблица умножения определяется путем умножения заданного числа на число от 1 до 12. Например, число 5, мы умножаем 5 на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10, 11,12 в этом формате 5 x 1, 5 x 2, 5 x 3, 5 x 4, 5 x 5, 5 x 6, 5 x 7, 5 x 8, 5 x 9, 5 x 10, 5 x 11, 5 x 12 и значение 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60. Это значение составляет таблицу умножения 5

        5 умножается на 30 то же самое, что и 5 x 30

        Ответ: Да 5, умноженное на 30, равнозначно 5 x 30.Это математические термины, используемые для обозначения умножения.

        Сколько цифр в 5

        Ответ: 5 — это 1 цифра №

        Сколько цифр 30

        Ответ: 30 — двузначное число

        .

        Какая цифра умножения равна 5 x 30

        Ответ: 5 x 30 — это умножение 1 на 2 цифры

        Что такое умножение?

        Ответ: Умножение — это одна из четырех элементарных арифметических операций математики.Остальные — сложение, вычитание и деление. Умножение обозначается знаком умножения x.

        В чем разница между умножением, делением, сложением и вычитанием?

        Ответ: Умножение — это умножение данного значения на второе значение, оно обозначается знаком x, деление — это деление данного значения на второе значение, оно обозначается знаком /, Сложение — это сложение чисел, оно обозначается знаком +, вычитание вычитает значения из другого числа, оно обозначается -.

        Если вы обнаружите ошибку на этом сайте, мы будем благодарны, если вы сообщите нам об этом, используя предоставленный контактный адрес электронной почты. отправьте электронное письмо в контакт на нашем сайте.

        Далее Назад

        6

        1,4 Умножение | NWCG

        УМНОЖЕНИЕ: БЫСТРОЕ ПОВТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ

        Умножение — это более простой способ выполнения повторного сложения. Предположим, Рон может сделать 30 отжиманий за одну минуту. Если он будет поддерживать постоянный темп, сколько отжиманий он сможет сделать за пять минут? Вы можете сложить 30 + 30 + 30 + 30 + 30 или умножить 30 × 5, чтобы получить ответ 150 отжиманий.Некоторые слова и символы, используемые при умножении: умножить на , — произведение , знак «×» или точка вроде «•». Иногда умножаемые числа помещаются в круглые скобки (30) (5) = 150.

        Пример 1 — Каждый человек в вашей бригаде из шести человек несет пять литров воды. Сколько всего литров воды у вашей команды?

        Задача умножения будет равна 5 × 6 = 30.
        Этот процесс аналогичен шестикратному сложению 5.

        Когда используются большие числа, умножение намного проще, чем повторное сложение.

        Пример 2 — Умножение 17 на 63.

        Шаг 1. Умножьте верхнее число на число в разряде единиц, что составляет 3.
        17 × 3 = 51

        Шаг 2. Умножьте на число в десятки или 60, поставив «0» вместо единиц и умножив 17 × 6.
        17 × 60 = 1020

        Шаг 3. Сложите их вместе.
        17 × 63 = 51 + 1020 = 1071

        Пример 3 — Умножение 374 × 261.

        Выполните те же шаги, что и выше.

        Шаг 1.Умножьте 374 на 1.

        Шаг 2. Умножьте на 60. Поставьте «0» на разряды единиц, а затем умножьте 374 на 6.

        Шаг 3. Умножьте на 200. Поставьте «0» в разряды единиц и десятков и затем умножьте 374 на 2.

        Шаг 4. Сложите числа.
        374 + 22 440 + 74 800 = 97 614

        Ответ на 374 × 261 — 97 614.

        УМНОЖЕНИЕ ЗНАКОВЫХ ЧИСЕЛ

        При умножении двух чисел с одинаковым знаком ответом будет положительное число. Положительное число, умноженное на положительное, всегда дает положительный ответ.
        5 × 5 = 25
        4 × 8 = 32
        2 × 6 = 12

        Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, всегда дает положительный ответ.
        -5 × (-5) = 25
        -5 × (-10) = 50
        -9 × (-7) = 63

        Положительное число, умноженное на отрицательное, всегда дает отрицательный ответ.
        5 × (-5) = -25
        -70 × 8 = -560
        24 × (-2) = -48

        Практика викторины

        Выберите правильный ответ из следующих вопросов:

        Сколько раз то, что равно 150?

        Стратегии ментальной математики для умножения: Урок для детей

        В этом уроке есть стратегии умножения больших и малых чисел в вашей голове.Изучите математические методы в уме, чтобы вы могли преобразовывать сложное умножение в более простое умножение и использовать сложение и вычитание для экономии времени.

        В задачах умножения иногда мы хотим получить «достаточно близкий», а не точный ответ.В этом уроке вы узнаете, как оценивать товары, чтобы получить «достаточно близкий» ответ.

        Работа с таблицами ввода-вывода умножения

        В этом уроке мы найдем шаблоны в таблицах ввода-вывода и воспользуемся этими шаблонами для поиска недостающих данных в таблицах.Для этих таблиц мы будем использовать четыре операции: умножение, деление, сложение и вычитание.

        Использование разумности для решения математических задач

        При решении математических задач проверка вашего возможного решения на предмет разумности поможет вам определить, является ли ваше возможное решение реальным или вы сделали что-то не так.Узнайте, как это сделать, в этом уроке.

        Урок белков для детей: определение и факты

        В этом уроке вы узнаете о питательном белке.Вы узнаете, откуда он берется и насколько он важен для здоровья и силы вашего тела. Прочтите, чтобы узнать интересные и интересные факты о белке.

        Чтение и интерпретация линейных графиков

        Посмотрите этот видеоурок, чтобы узнать, насколько полезными могут быть линейные графики и сколько информации вы можете получить, просто взглянув на них.Узнайте, как вы можете применить эту информацию в своей жизни, чтобы принимать более правильные решения.

        Умножение двузначного числа на однозначное число

        В этом уроке вы узнаете, что такое умножение, и изучите два метода умножения двузначного числа на однозначное: модель площади и традиционный метод.Вы можете использовать и то, и другое, чтобы развить свои навыки умножения!

        Иногда бывает трудно представить себе, как выглядят числа. Блоки Base 10 были созданы, чтобы помочь учащимся увидеть, как выглядят числа, и понять их ценность.В этом уроке вы узнаете все о блоках base 10 и о том, как они используются.

        Понимание данных, представленных в таблицах и графиках

        Данные часто представлены в виде таблиц и графиков, чтобы их было легче понять и интерпретировать.В этом уроке вы узнаете о нескольких типах таблиц и графиков и разовьете навыки, необходимые для их понимания.

        Адаптация растений в водной среде обитания

        В этом уроке мы узнаем о некоторых наиболее полезных адаптациях растений, которые помогают им жить в водной среде.Мы рассмотрим адаптации, которые помогут с газообменом, получением солнечного света, балансировкой соли и размножением.

        Что такое графическое изображение? — Определение и примеры

        Мы исследуем функцию графического изображения и рассмотрим несколько примеров.Кроме того, в этом уроке вы научитесь создавать вопросы и организовывать, представлять и интерпретировать данные из графического изображения.

        Какие существуют способы размножения?

        Знаете ли вы, что есть несколько способов умножать числа? В этом уроке мы поговорим о различных способах размножения, чтобы помочь вам найти наиболее простой для вас.

        Сплошные фигуры: определение, свойства и примеры

        Вокруг нас твердые фигуры.В этом уроке мы узнаем, что такое твердые фигуры, и изучим некоторые распространенные типы твердых фигур. Пройдя урок, вы сможете проверить свои новые знания с помощью викторины.

        Таблица из 150 — Выучить 150 раз Таблица

        Таблица 150 показывает значения, которые мы получаем, когда число 150 умножается на другие целые числа. Повторное сложение 150 — это таблица умножения 150.Например, 150 + 150 + 150 = 3 × 150 = 450. На этой странице вы можете найти таблицу от 150 до 20. Вы можете распечатать или сохранить это таблица умножения в формате PDF, щелкнув ссылку ниже.

        Таблица 150 Диаграмма

        Стол из 150

        Ниже представлена ​​таблица от 150 до 20. Изучение таблицы 150 помогает детям получить более глубокие знания. понимание умножения, которое полезно в долгосрочной перспективе.

        Стол от 150 до 10

        150 × 1 = 150 150 × 6 = 900
        150 × 2 = 300 150 × 7 = 1050
        150 × 3 = 450150 × 8 = 1200
        150 × 4 = 600150 × 9 = 1350
        150 × 5 = 750 150 × 10 = 1500

        Стол от 150 до 20

        150 × 11 = 1650 150 × 16 = 2400
        150 × 12 = 1800150 × 17 = 2550
        150 × 13 = 1950150 × 18 = 2700
        150 × 14 = 2100150 × 19 = 2850
        150 × 15 = 2250 150 × 20 = 3000

        Таблица от 150 до 10 в словах

        • Сто пятьдесят раз один равен ста пятидесяти
        • сто пятьдесят два равно триста
        • сто пятьдесят три равно четыреста пятьдесят
        • сто пятьдесят четыре равно шестьсот
        • сто пятьдесят пять равно семьсот пятьдесят
        • сто пятьдесят раз шесть равно девятьсот
        • сто пятьдесят семь равно одна тысяча пятьдесят
        • сто пятьдесят восемь равно одна тысяча двести
        • сто пятьдесят девять равно тысяча триста пятьдесят
        • Сто пятьдесят раз десять равно одной тысяче пятистам

        ☛ Также проверьте:

        Таблицы из 150 решенных примеров

        1. Пример 1: Вирджиния пробегает 4 мили в день.Воспользуйтесь таблицей 150 и узнайте, сколько миль она пробегает за 150 дней.

        Решение:

        Вирджиния бегает трусцой 4 мили в день. Следовательно, общее количество пройденных миль за 150 дней составляет 4 × 150 = 600 миль.

      3. Пример 2: Бренда делает 17 пончиков в день. Сколько пончиков она сделает за 150 дней?

        4. Решение:

        Бренда делает 17 пончиков в день. Следовательно, из таблицы 150, общее количество пончиков, приготовленных за 150 дней, составляет 17 × 150 = 2550 пончиков.

      4. Пример 3: Келли зарабатывает 20 долларов в час. Сколько денег она заработает, если проработает 150 часов?

        5. Решение:

        Келли зарабатывает 20 долларов в час. Следовательно, используя таблицу 150, общая сумма денег, заработанных Келли за 150 часов, составит 20 × 150 = 3000 долларов.

        перейти к слайду перейти к слайду

        Готовы увидеть мир глазами математиков?

        Математика лежит в основе всего, что мы делаем.Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых занятиях и станьте экспертом во всем.

        Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

        Часто задаваемые вопросы о таблицах из 150

        Найдите значение 150 умноженное на 12, используя таблицу 150.

        Значение 150 умноженное на 12 из таблицы 150 равно 150 × 12 = 1800

        Найдите, сколько раз нам нужно умножить 150, чтобы получить 750.

        Из таблицы 150 получаем 150 × 5 = 750. Следовательно, 150 нужно умножить в 5 раз, чтобы получить 750.

        Сколько будет в 150 раз 16 минус 12 плюс 12?

        Из таблицы 150, 150 умножить на 16 будет 2400. Следовательно, 150 × 16 — 12 + 12 = 2400 — 12 + 12 = 2400

        Используя таблицу 150, найдите значение 3 плюс 150 умноженное на 11 минус 150 умноженное на 13.

        Из таблицы 150, 150 умножить на 11 = 1650 и 150 умножить на 13 = 1950. Следовательно, 3 + 150 × 11 — 150 × 13 = -297.


        ☛ Статьи по теме:

        Коэффициент 150 | факторные пары 150


        Каковы факторы 150

        Факторы 150 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

        Разные множители 150 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150,

        Примечание: множители 150 и особые множители совпадают.

        Факторы -150 = -1, -2, -3, -5, -6, -10, -15, -25, -30, -50, -75, -150,

        Отрицательные факторы — это просто факторы с отрицательным знаком.


        Как рассчитать множители 150

        Факторы — это числа, которые могут разделить 150 без остатка.

        Каждое число делится само на себя и 1.

        Расчетный множитель 150

        150/1 = 150 дает остаток 0 и поэтому делится на 1
        150/2 = 75 дает остаток 0 и поэтому делится на 2
        150/3 = 50 дает остаток 0 и поэтому делится на 3
        150/5 = 30 дает остаток 0 и поэтому делится на 5
        150/6 = 25 дает остаток 0 и поэтому делится на 6
        150/10 = 15 дает остаток 0 и поэтому делится на 10
        150/15 = 10 дает остаток 0 и поэтому делится на 15
        150/25 = 6 дает остаток 0 и поэтому делится на 25
        150/30 = 5 дает остаток 0 и поэтому делится на 30
        150/50 = 3 дает остаток 0 и поэтому делятся на 50
        150/75 = 2 дает остаток 0 и поэтому делится на 75
        150/150 = 1 дает остаток 0 и поэтому делится на 150

        Другие целые числа, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35 , 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, делится с остатком, поэтому не может быть множителем 150.

        В множители можно преобразовать только целые числа и целые числа.

        Множители 150, которые складываются с числами

        Множители 150, которые в сумме дают 372 = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 25 + 30 + 50 + 75 + 150

        Множители 150, которые складывают до 3 = 1 + 2

        Факторы 150, которые в сумме дают 6 = 1 + 2 + 3

        Факторы 150, которые в сумме дают 11 = 1 + 2 + 3 + 5

        Фактор 150 в парах

        1 x 150, 2 x 75, 3 x 50, 5 x 30, 6 x 25, 10 x 15, 15 x 10, 25 x 6, 30 x 5, 50 x 3, 75 x 2, 150 x 1

        1 и 150 являются парой факторов 150, поскольку 1 x 150 = 150

        2 и 75 являются парой факторов 150, поскольку 2 x 75 = 150

        3 и 50 являются парой факторов 150, поскольку 3 x 50 = 150

        5 и 30 — это пара факторов 150, поскольку 5 x 30 = 150

        6 и 25 — пара факторов 150, поскольку 6 x 25 = 150

        10 и 15 являются парой факторов 150, поскольку 10 x 15 = 150

        15 и 10 — это пара множителей 150, так как 15 x 10 = 150

        25 и 6 — пара множителей 150, так как 25 x 6 = 150

        30 и 5 представляют собой пару факторов, равную 150, поскольку 30 x 5 = 150

        50 и 3 представляют собой пару факторов, равную 150, поскольку 50 x 3 = 150

        75 и 2 представляют собой пару факторов, равную 150, поскольку 75 x 2 = 150

        150 и 1 представляют собой пару множителей 150, поскольку 150 x 1 = 150

        .

        Систем неравенств онлайн калькулятор с решением: Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

        alexxlab / / Разное
        2 — 2y > 7 3x + y > 3

        Система неравенств с тремя неизвестными и квадратным корнем

        x >= -2
y = 3
z
        Правила ввода выражений и функций

        Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

        absolute(x)
        Абсолютное значение x
        (модуль x или |x|)
        arccos(x)
        Функция — арккосинус от x
        arccosh(x)
        Арккосинус гиперболический от x
        arcsin(x)
        Арксинус от x
        arcsinh(x)
        Арксинус гиперболический от x
        arctg(x)
        Функция — арктангенс от x
        arctgh(x)
        Арктангенс гиперболический от x
        exp(x)
        Функция — экспонента от x (что и e^x)
        log(x) or ln(x)
        Натуральный логарифм от x
        (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
        sin(x)
        Функция — Синус от x
        cos(x)
        Функция — Косинус от x
        sinh(x)
        Функция — Синус гиперболический от x
        cosh(x)
        Функция — Косинус гиперболический от x
        sqrt(x)
        Функция — квадратный корень из x
        sqr(x) или x^2
        Функция — Квадрат x
        ctg(x)
        Функция — Котангенс от x
        arcctg(x)
        Функция — Арккотангенс от x
        arcctgh(x)
        Функция — Гиперболический арккотангенс от x
        tg(x)
        Функция — Тангенс от x
        tgh(x)
        Функция — Тангенс гиперболический от x
        cbrt(x)
        Функция — кубический корень из x
        gamma(x)
        Гамма-функция
        LambertW(x)
        Функция Ламберта
        x! или factorial(x)
        Факториал от x
        DiracDelta(x)
        Дельта-функция Дирака
        Heaviside(x)
        Функция Хевисайда

        Интегральные функции:

        Si(x)
        Интегральный синус от x
        Ci(x)
        Интегральный косинус от x
        Shi(x)
        Интегральный гиперболический синус от x
        Chi(x)
        Интегральный гиперболический косинус от x

        В выражениях можно применять следующие операции:

        Действительные числа
        вводить в виде 7. 3
        — возведение в степень
        x + 7
        — сложение
        x — 6
        — вычитание
        15/7
        — дробь

        Другие функции:

        asec(x)
        Функция — арксеканс от x
        acsc(x)
        Функция — арккосеканс от x
        sec(x)
        Функция — секанс от x
        csc(x)
        Функция — косеканс от x
        floor(x)
        Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
        ceiling(x)
        Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
        sign(x)
        Функция — Знак x
        erf(x)
        Функция ошибок (или интеграл вероятности)
        laplace(x)
        Функция Лапласа
        asech(x)
        Функция — гиперболический арксеканс от x
        csch(x)
        Функция — гиперболический косеканс от x
        sech(x)
        Функция — гиперболический секанс от x
        acsch(x)
        Функция — гиперболический арккосеканс от x

        Постоянные:

        pi
        Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
        e
        Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
        i
        Комплексная единица
        oo
        Символ бесконечности — знак для бесконечности

        Решение линейных неравенств: онлайн калькулятор

        Выполнить {$ main.types[data.type] $}