20 календарных дней: 20 календарных дней это сколько рабочих дней

Онлайн-калькулятор рабочих и календарных дней между двумя датам — Контур.Экстерн

Вы сможете посчитать:

  • сколько календарных дней прошло между двумя заданными датами;
  • сколько рабочих дней и часов в заданном вами периоде;
  • сколько выходных дней было в заданном вами периоде.

Сдавайте электронную отчетность через интернет. Сервис Экстерн дарит вам 3 месяца бесплатно!

Как работать с калькулятором дней между двумя датами

Вам понадобятся всего два значения. В соответствующих полях калькулятора нужно указать дату начала и конца периода — день, месяц и год. Просто кликните по нужной ячейке левой клавишей мыши и выберите из списка нужный вариант.

Также следует задать количество рабочих часов в день. Например, у офисных работников стандартный рабочий день составляет 8 часов, а на производстве рабочая смена может длиться 10 часов. По умолчанию в калькуляторе указано 8 рабочих часов в сутки.

После того как вы введете в поля калькулятора нужные значения, справа отразится полный расчет. В нем вы увидите количество календарных и рабочих дней, а также количество рабочих часов согласно заданным параметрам.

Пример. Директор ООО «Мечта» дал поручение главному бухгалтеру: рассчитать количество отработанных часов в IV квартале 2018 года. Все работники фирмы в этот период работали по графику, в отпуска не ходили. Главбух открыл онлайн-калькулятор и ввел следующие данные:

Начальная дата — 01.10.2018

Конечная дата — 31.12.2018

Поле «Количество рабочих часов» главбух оставил без изменений.

Калькулятор автоматически произвел расчет и выдал такие цифры:

  • календарных дней — 92;
  • рабочих дней — 65;
  • рабочих часов — 520.

Калькулятор учитывает и сокращенные дни. Например, 02.11.2018 был сокращенный на один час день, и вместо 521 дней калькулятор выдал 520 дней (64 х 8 — 1). 

Сдавайте электронную отчетность через интернет. Сервис Экстерн дарит вам 3 месяца бесплатно!

Срок выплаты по ОСАГО

Водители транспортных средств, в случае ДТП, рассчитывают на возмещение от страховщика по ОСАГО. Каждая страховая организация в отведенные сроки обязана выплатить определенную сумму своему клиенту. Но компании редко укладываются в назначенный период. Чаще всего они под разными предлогами затягивают выплаты.

Чтобы минимизировать претензии страховщика, рекомендуется придерживаться некоторых правил:

  1. В случае аварии сразу же сообщить в полицию и страховое агентство.
  2. До приезда представителей нельзя выполнять каких-либо манипуляций с транспортным средством (перемещать авто, поврежденные вещи и так далее).
  3. Заполнить форму извещения о ДТП совместно с другим участником аварии.
  4. Узнать персональные данные другой стороны, его страховую компанию.
  5. Взять справку и протокол у инспектора ГИБДД.
  6. Собрать необходимые документы: с места аварии, на авто, реквизиты счета, копию доверенности на транспорт.
  7. Отнести бумаги в фирму.

Страховая фирма рассматривает каждый отдельный случай и по результатам выносит решение. Надежная, добросовестная организация переводит установленную сумму на счет пострадавшей стороны на протяжении двух недель.

Срок выплаты по ОСАГО по закону

Согласно закону «Об ОСАГО», период денежной компенсации составляет 20 календарных дней. Отсчет периода данного для возмещения ущерба начинается с числа, когда было оформлено заявление в организации. Дата аварии хоть и прописывается, но началом отсчета по закону РФ не является. Обращаться в страховую следует на протяжении 5 дней, после произошедшего ДТП.

Также важным фактором, который обязательно влияет на продолжительность периода возмещения, является количество праздников (нерабочих дней). К таким датам, например, относятся: 1, 7 января, 9 мая, 8 марта и так далее. Подобные праздничные дни увеличивают время перечислений по полису.

Ответственность за нарушение периода выплат страховщиком также регулируется законом. За каждый день просрочки компания обязана платить неустойку в размере от ставки рефинансирования Центробанком на день, когда компенсация обязана была быть.

Но не всегда аварии заканчиваются только повреждением автомобиля. Не редки случаи значительных травм водителей. Если участники аварии получили серьезные повреждения и находятся на стационарном лечении, они естественно не смогут вовремя обратиться с заявлением. Но долгое пребывание в медицинском учреждении, может негативно повлиять на сроки выплаты по полису. В такой ситуации пострадавший возмещение получит, но по заниженной оценке ущерба.

В подобном варианте поврежденное авто оценивается независимым экспертом, и претензия с отчетом передается собственником транспорта в страховое учреждение. Ответ на претензию, как правило, отрицательный. То есть решать вопрос потребуется через суд. Срок давности по иску в данном случае — три года. Период отсчитывается от даты, которая отмечена в заявлении.

Срок выплаты по ОСАГО на практике

В реальности на получение компенсации может уйти около года и больше. Не редко страховщик пытается занизить сумму ущерба, дело передается в суд, назначается независимая экспертиза. Все длится долго и требует изрядной доли терпения пострадавшего.

По статистике, чаще всего перечисление финансовых средств затягивают малоизвестные страховые организации. В некоторых случаях выплачивать возмещение не хотят из-за неблагоприятного материального положения фирмы. В этом варианте, если, например, фирму лишили лицензии, можно получить компенсацию через Российский Союз Автостраховщиков. Бывают ситуации, когда денег приходится ждать годами.

Крупные компании затягивают возмещение редко, но они очень часто стараются значительно занизить сумму ущерба, рассчитывая, что потерпевший не будет добиваться изменения суммы через суд.

Можно ли ускорить выплаты по ОСАГО?

Понятие «ускорить» предполагает лишь компенсацию без задержек. Ранее установленного срока ни одна организация производить возмещение не будет.

Поэтому, чтобы деньги были перечислены вовремя, следует придерживаться таких правил:

  1. Форму 11, полученную в компании, надо лично отвезти в ГИБДД и самому же забрать бумаги в инспекции.
  2. Необходимо скопировать весь комплект документов, которые подаются в страховую фирму.
  3. В случае, когда есть сомнения, что экспертиза не будет проведена верно, лучше отказаться от услуг специалиста агентства, и выбрать своего эксперта. А чтобы в суде компания не оспорила результаты экспертизы, следует сообщить о ней заранее заказным письмом с уведомлением.
  4. Почаще звоните страховщику, который принял документы и занимается вашим делом.
  5. Когда деньги вовремя не были перечислены, обращайтесь в судовой орган, уведомив об этом организацию. Бывают ситуации, когда, чем раньше начнется разбирательство, тем больший шанс на быстрое разрешение дела.

Надо также отметить, что некоторые организации с целью предупреждения мошенничества, перечисляют деньги напрямую в авторемонтную мастерскую, где будет восстанавливаться пострадавший автомобиль. Такая услуга очень удобна, так как не нужно будет спорить из-за суммы и сроков выплаты, искать того, кто отремонтирует транспорт.

На подготовку градостроительной документации уйдёт на 50 дней меньше

В поправках речь идёт о сокращении сроков внесения изменений в Правила землепользования и застройки (ПЗЗ), а также подготовки документации по планировке территории. Например, с 30 до 25 дней уменьшено время, отпущенное градостроительной комиссии, чтобы рассмотреть предложение о корректировке ПЗЗ и выдать заключение. На принятие решения о внесении изменений главе местной администрации тоже дают 25 дней.

Кроме того, установлен срок подготовки разрешения на отклонение от предельных параметров разрешённого строительства и реконструкции – 15 рабочих дней. Но этот документ всё ещё подлежит рассмотрению на общественных обсуждениях или публичных слушаниях. По их результатам комиссия должна дать добро или отказать заявителю тоже за 15 дней. С 20 до 15 рабочих дней сокращён срок согласования документации по планировке территории для различных бюджетных объектов. 

Когда документацию по планировке территории проверяют и утверждают федеральные органы исполнительной власти, им тоже придётся уложиться не в 30, а в 15 дней. До 15 дней урезаны сроки согласования документации по планировке территории земель лесного фонда и время на оценку проекта планировки при изъятии участков для государственных или муниципальных нужд. Главам поселений или городских округов дают только 15 дней на согласование документации по планировке территорий при размещении объектов федерального, регионального или местного значения. Если они в этот срок не уложатся, документ считается одобренным.

Кроме того, Правительство РФ получает право указывать, какие из процедур в сфере строительства должны осуществляться исключительно в электронной форме и устанавливать такой порядок.

Вносятся изменения и в закон «Об объектах культурного наследия». Например, устанавливаются сроки рассмотрения Минкультом проекта Генплана исторических поселений федерального значения – не более 20 календарных дней. А проект Правил землепользования и застройки он должен рассмотреть за семь рабочих дней. Местному органу охраны тоже даётся семь дней на рассмотрение Генплана исторических поселений регионального значения и на согласование ПЗЗ.

Строители часто недоумевали, почему власти, желая сократить сроки реализации проектов, говорят только о времени оформления разрешения на строительство. Между тем разработку и согласование проектов планировки территорий застройщики называли одной из самых длительных процедур, которая может занимать не один год. Возможно, теперь ситуация упростится, хотя большинство поправок направлены на упрощение строительства бюджетных и линейных объектов. Впрочем, помимо градостроительной документации на сроки влияют и другие проблемы, например, с монополистами: получение техусловий для подключения к сетям, проверка их выполнения, получение актов и допусков также могут занимать по несколько месяцев.

Филиал РГГМУ в Туапсе — Графики зачетно-экзаменационных сессий

График зачетно-экзаменационных сессий2020-21 учебный год
*по состоянию на 10.09.2020 г.

НАПРАВЛЕНИЕ 38.03.01 ЭКОНОМИКА

КУРСГРУППАПЕРИОД И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СЕССИИ
1 курс220Э 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
1 курс120Э 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс219Э 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс119Э 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс218Э 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс118Э 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс217Э 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс117Э 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита выпускной квалификационной работы — 50 календарных дня)
5 курс216Э 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита выпускной квалификационной работы — 50 календарных дня)

НАПРАВЛЕНИЕ 38.03.02 МЕНЕДЖМЕНТ
КУРСГРУППАПЕРИОД И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СЕССИИ
3 курс218М 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс217М 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс117М 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
15.01.21 — 11.02.21 (подготовка и защита выпускной квалификационной работы — 28 календарных дня)
5 курс216М 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
15.01.21 — 11.02.21 (подготовка и защита выпускной квалификационной работы — 28 календарных дня)

НАПРАВЛЕНИЕ 09.03.03 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
КУРСГРУППАПЕРИОД И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СЕССИИ
1 курс220И19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
29.04.21 — 18.05.21 (20 календарных дней)
1 курс120И19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
29.04.21 — 18.05.21 (20 календарных дней)
2 курс219И19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
29.04.21 — 18.05.21 (20 календарных дней)
2 курс119И19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
29.04.21 — 28.05.21 (30 календарных дней)
3 курс118И29.04.21 — 17.06.21 (50 календарных дней)
4 курс217И29.04.21 — 17.06.21 (50 календарных дней)
4 курс117И02.11.20 — 15.11.20 (14 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (50 календарных дня)
5 курс216И02.11.20 — 15.11.20 (14 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (50 календарных дня)

НАПРАВЛЕНИЕ 05.03.06 ЭКОЛОГИЯ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕ
КУРСГРУППАПЕРИОД И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СЕССИИ
1 курс220ЭП 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
1 курс120ЭП 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс219ЭП 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс119ЭП 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс218ЭП 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс118ЭП 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс217ЭП 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс117ЭП 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
15.01.21 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (28 календарных дня)
5 курс216ЭП 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
15.01.21 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (28 календарных дня)

НАПРАВЛЕНИЕ 05.03.05 ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЯ
КУРСГРУППАПЕРИОД И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СЕССИИ
1 курс220ПГ 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
1 курс120ПГ 19.11.20 — 08.12.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс219ПГ 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
01.04.21 — 20.04.21 (20 календарных дней)
2 курс119ПГ 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс218ПГ 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
3 курс118ПГ 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс217ПГ 19.10.20 — 07.11.20 (20 календарных дней)
22.03.21 — 20.04.21 (30 календарных дней)
4 курс117ПГ 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (50 календарных дней)
5 курс216ПГ 12.10.20 — 20.11.20 (40 календарных дней)
23.12.20 — 11.02.21 (подготовка и защита итоговой квалификационной работы (50 календарных дней)

Производственный календарь 2021: графика выходных и праздников на 2021 год

В 2021 выходные и праздничные дни отмечаются в привычные даты, но есть несколько нововведений. В 2021 году 365 календарных дней, при этом рабочих — 243, праздничных, выходных и нерабочих — 122. Всего получилось шесть праздничных периодов.

В 2021 году предусмотрен перенос следующих выходных дней:

  • с субботы 2 января на пятницу 5 ноября;
  • с воскресенья 3 января на пятницу 31 декабря;
  • с субботы 20 февраля на понедельник 22 февраля.

Январь

Новогодние каникулы продлились с 1 по 10 января 2021 года (десять дней — с пятницы по воскресенье).

Февраль

Во второй половине февраля россиян ждала единственная в течение года шестидневная рабочая неделя. Нерабочую субботу, 20 февраля, перенесли на понедельник, 22 февраля. Россияне отдыхали на День защитника Отечества три выходных подряд: с 21 по 23 февраля.

Март

В Международный женский день россиян ждали сразу три нерабочих дня — с 6 по 8 марта. После обычных выходных 6–7 марта россияне получили еще один день отдыха.

Май

Первоначально на майские праздники россияне планировали отдыхать в промежутки с 1 по 3 мая и с 8 по 10 мая. 23 апреля президент РФ Владимир Путин подписал указ о нерабочих днях между майскими праздниками в 2021 году. Таким образом, период отдыха продлится с 1 по 10 мая включительно.

Июнь

В июне мы отдыхаем на День России три дня, с субботы по понедельник, с 12 по 14 июня. 12 июня в 2021 году приходится на субботу, и выходным станет ближайший понедельник — 14 июня. 

Ноябрь

День народного единства отмечается 4 ноября. В 2021 году праздник выпадает на четверг. Пятница, 5 ноября, также станет нерабочим днем за счет переноса выходного с 2 января 2021 года. Россиян ждут сразу четыре нерабочих дня — с 4 по 7 ноября.

Декабрь

Последний день 2021 года, пятница, 31 декабря, будет нерабочим днем.

Индивидуальное жилищное строительство

Услуга

Примечание

Размер платы, взимаемой с заявителя при предоставлении услуги

Реквизиты

 

 

Срок оказания услуги

Бесплатное предоставление земельных участков в собственность отдельным категориям граждан для целей индивидуального жилищного строительства

с.Чемал, с.Чепош, с. Кош-Агач, с.Усть-Кокса, г.Горно-Алтайск, с.Шебалино, с.Турочак, с.Майма

 

 

30 календарных дней

с. Усть-Кан

 

 

45 календарных дней

Предоставление земельных участков в собственность бесплатно отдельным категориям граждан для целей индивидуального жилищного строительства

с.Шебалино, с.Улаган

 

 

30 календарных дней

Постановка на учет и предоставление отдельным категориям граждан Российской Федерации земельных участков для индивидуального жилищного строительства без проведения торгов из земель государственной или муниципальной собственности

с.Майма, с.Соузга, с.Бирюля, с.Манжерок, с.Кызыл-Озек

 

 

30 календарных дней

Бесплатное предоставление земельных участков в собственность отдельным категориям граждан без проведения торгов

г.Горно-Алтайск

 

 

30 календарных дней

Предоставление прав на участки, находящиеся в государственной собственности, на которых расположены здания, строения, сооружения

г. Горно-Алтайск, с.Чоя

 

 

30 календарных дней

Предоставление земельных участков, находящихся в государственной или муниципальной собственности, гражданам для индивидуального жилищного строительства, ведения личного подсобного хозяйства в границах населённого пункта, садоводства, дачного хозяйства, гражданам и крестьянским (фермерским) хозяйствам его деятельности

с.Чоя

 

 

30  календарных дней

Предоставление прав на земельные участки, которые находятся в муниципальной собственности или гос. собственность на которых не разграничена, на которых расположены здания, строения, сооружения

с.Шебалино, с.Черга, с.Чемал, с.Улаган, с.Турочак, с.Чемал, с.Онгудай

 

 

30 календарных дней

Предоставление юридическим и физическим лицам в постоянное (бессрочное пользование), в безвозмездное пользование, аренду, собственность земельных участков из земель государственной и муниципальной собственности

с.Майма, с.Усть-Кан, с.Турочак

 

 

30 календарных дней

с.Онгудай

 

 

30 рабочих дней

Предоставление в собственность, постоянное (бессрочное пользование), в безвозмездное пользование, аренду земельных участков из состава земель, находящихся в собственности муниципального образования, юридическим лицам и гражданам

с.Кош-Агач

 

 

30 календарных дней

Заключение договора безвозмездного пользования в отношении земельного участка из земель, находящихся в государственной или муниципальной собственности

с.Чоя

 

 

30 календарных дней

Заключение договоров аренды земельных участков, находящихся в муниципальной собственности, или земельных участков, государственная собственность на которые не разграничена, на новый срок

г.Горно-Алтайск

 

 

30 календарных дней

Предоставление уведомления о наличии и отсутствии задолженности по арендной плате

г.Горно-Алтайск, с.Шебалино, с.Усть-Кан, с.Усть-Кокса, с.Онгудай, с. Майма

 

 

7 рабочих дней

Выдача выписки из реестра муниципальной собственности

с.Майма, с.Шебалино,

 

 

10 календарных дней

с.Усть-Кан

 

 

5 рабочих дней

с.Турочак

 

 

30 календарных дней

Предоставление сведений из реестра муниципальной собственности

 с.Шебалино

 

 

10 календарных дней

с.Чемал

 

 

5 рабочих дней

Выдача выписки из реестра муниципального имущества

с.Онгудай, г.Горно-Алтайск

 

 

10 календарных дней

с. Кош Агач,

 

 

5 рабочих дней

с.Чемал

 

 

10 календарных дней

Предоставление сведений об объектах имущества, включенных в перечень муниципального имущества, предназначенного для предоставления во владения и (или) пользования субъектам малого и среднего предпринимательства

г.Горно-Алтайск

 

 

15 календарных дней

с.Чоя

 

 

10 рабочих дней

Заключение соглашений о перераспределении земель и (или) земельных участков, находящихся в муниципальной собственности, или земель и (или) земельных участков, государственная собственность на которые не разграничена, земельных участков, находящихся в частной собственности

г.Горно-Алтайск

 

 

90 календарных дней

Выдача разрешения на строительство

г.Горно-Алтайск, с.Майма,

 с.Чемал, с.Улаган,

с.Онгудай, Кош-Агач, с.Турочак

 

 

5 рабочих дней

с.Шебалино

 

 

6 рабочих дней

с.Усть-Кан

 

 

10 календарных дней

с.Чоя

 

 

30 календарных дней

с.Усть-Кокса

 

 

15 рабочих дней

Предоставление разрешения на строительство

с.Турочак

 

 

5 рабочих дней

с.Чоя

 

 

30 календарных дней

Внесение изменений в разрешения на строительство (реконструкцию) объектов капитального строительства

г. Горно-Алтайск

 

 

5 рабочих дней

с.Шебалино

 

 

10 рабочих дней

с.Майма

 

 

7 рабочих дней

Внесение изменений в разрешение на строительство

с.Чоя

 

 

5 рабочих дней

Выдача разрешения на ввод объектов в эксплуатацию  

г.Горно-Алтайск, с.Шебалино,

 с.Усть-Кан,

 

 

10 рабочих дней

с.Усть-Кокса

 

 

6 рабочих дней

с.Майма, с.Чемал, с.Улаган, с.Онгудай, с.Турочак

 

 

5 рабочих дней

Выдача разрешений на ввод объектов в эксплуатацию при осуществлении строительства, реконструкции, капитального ремонта объектов капитального строительства, расположенных на территории муниципального образования

с.Кош-Агач

 

 

5 рабочих дней

Предоставление разрешения на ввод объекта в эксплуатацию

с.Чоя,

 с.Турочак

 

 

5 рабочих дней

Выдача градостроительного плана земельного участка        

г.Горно-Алтайск,

 с.Усть-Кан, с.Усть-Кокса, с.Улаган,

 

 

30 календарных дней

 

с.Кош-Агач, с. Джазатор

 

 

15 календарных дней

с.Улаган,

 

 

14 календарных дней

с.Шебалино

 

 

15 рабочих дней

с.Майма, с.Чемал, с.Чемал, с.Онгудай

 

 

14 рабочих дней

с.Усть-Кан

 

 

30 рабочих дней

Предоставление градостроительного плана земельного участка

с.Турочак

 

 

14 рабочих дней

с.Чоя

 

 

14 рабочих дней

Прием документов, необходимых для согласования перепланировки и (или) переустройства жилого (нежилого) помещения, а также выдача соответствующих решений о согласовании или об отказе

с.Шебалино

 

 

30 календарных дней

Выдача разрешения на продление (прекращение) действия разрешений на строительство (реконструкцию) объектов капитального строительства

г. Горно-Алтайск

 

 

5 рабочих дней

Продление срока действия ранее выданного разрешения на строительство

с. Майма

 

 

7 рабочих дней

Продление срока действия разрешения на строительство

с.Шебалино

 

 

10 рабочих дней

с.Чоя

 

 

30 календарных дней

Предоставление разрешения на условно разрешенный вид использования земельного участка или объекта капитального строительства

г.Горно-Алтайск

 

 

60 календарных дней

Предоставление согласия на перевод земельного участка из одной категории в другую, за исключением земель, находящихся в федеральной собственности

с.Чемал, с.Чепош

 

 

30 календарных дней

Отнесение земель к категориям, перевод земельного участка из одной категории в другую

с.Майма

 

 

70 календарных дней

Присвоение, изменение и аннулирование адресов

г.Горно-Алтайск

 

 

18 рабочих дней

Предоставление сведений, содержащихся в адресном реестре МО «Шебалинское сельское поселение»

с. Шебалино

 

 

5 рабочих дней

Присвоение адреса объекту недвижимости

с. Чемал, с.Чепош

 

 

30 календарных дней

Принятие решения об утверждении схемы расположения земельного участка на кадастровом плане территории

с.Чоя

 

 

20 календарных дней

Предоставление разрешения на осуществления земляных работ

с.Шебалино

 

 

I-этап 5 рабочих дней, II-этап 7 рабочих дней

Предоставление решения о согласовании архитектурно-градостроительного облика

с.Шебалино

 

 

30 календарных дней

Передача материалов для размещения в информационной системе обеспечения градостроительной деятельности

с.Шебалино

 

 

14 календарных дней

Принятие решения о подготовке документации по планировке территории

с.Шебалино, с.Майма

 

 

1 месяц

Утверждение документации по планировке территории

с.Шебалино

 

 

 

Утверждение документации по планировке территории (проектов планировки и проектов межевания) на территории муниципального образования «Майминский район»

с.Майма

 

 

1 месяц

Допуск заявителя к участию в аукционе на право заключить договор о развитии застроенной территории

с.Шебалино

 

 

За 5 дней до начала аукциона

Выдача архивных справок

  с.Чемал, с.Чепош

 

 

10 рабочих дней

Предоставление справок, выписки из похозяйственной книги (кроме архивных)

с.Майма, с.Соузга, с.Бирюля, с.Манжерок, с.Кызыл-Озек

 

 

5 рабочих дней

Выдача выписок из похозяйственной книги

с.Шебалино

 

 

2 рабочих дня

Выдача акта освидетельствования проведения основных работ по строительству (реконструкции) объекта индивидуального жилищного строительства, осуществляемому с привлечением средств материнского (семейного) капитала

с.Чемал, г.Горно-Алтайск

 

 

5 рабочих дней

с.Усть-Кан,

 

 

10 рабочих дней

с.Шебалино, с.Усть-Кокса

 

 

10 рабочих дней

Признание молодых семей нуждающимися в жилых помещениях и участниками подпрограммы «Обеспечение жильем молодых семей ФЦП «Жилище» на 2015-2020 годы

с.Кош-Агач

 

 

10 календарных дней

Направление уведомления о соответствии построенных или реконструированных объекта индивидуального жилищного строительства или садового дома требованиям законодательства о градостроительной деятельности

с.Иогач,

г.Горно-Алтайск, с.Шебалино

 

 

6 рабочих дней

с.Турочак, с. Кебезень,

 

 

5 рабочих дней

Предоставление уведомления о соответствии построенных или реконструированных объекта индивидуального жилищного строительства или садового дома установленным параметрам допустимости размещения объекта индивидуального жилищного строительства или садового дома на земельном участке

с.Чоя

 

 

20 рабочих дней

Перевод земель или земельных участков из одной категории в другую категорию до разграничения государственной собственности на землю

с.Чоя

 

 

20 рабочих дней

Уведомление об изменении параметров планируемого строительства или реконструкции объекта индивидуального жилищного строительства или садового дома

с.Шебалино

 

 

6 рабочих дней

Поликлиника №1 города-курорта Кисловодска — Порядок и сроки госпитализации

Порядок и сроки госпитализации

Выдержка из Приложения 3 к Территориальной программе государственных гарантий бесплатного оказания гражданам медицинской помощи на территории Ставропольского края

V. Сроки ожидания медицинской помощи, оказываемой в плановой

форме, в том числе сроки ожидания оказания медицинской

помощи в стационарных условиях, проведения отдельных

диагностических обследований, а также консультаций

врачей-специалистов

27. Плановая медицинская помощь предоставляется в порядке очередности в пределах установленного настоящими Порядком и условиями срока ожидания оказания медицинской помощи.

28. Срок ожидания проведения консультаций врачей-специалистов при оказании первичной специализированной медико-санитарной помощи в плановой форме составляет не более 14 календарных дней со дня обращения пациента в медицинскую организацию Ставропольского края, для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, — не более 10 календарных дней со дня обращения пациента в медицинскую организацию Ставропольского края.

Срок ожидания приема врачами-терапевтами участковыми, врачами общей практики (семейными врачами), врачами-педиатрами участковыми составляет не более 24 часов с момента обращения пациента в медицинскую организацию Ставропольского края.

Срок ожидания проведения диагностических инструментальных (рентгенографических исследований, включая маммографию, функциональной диагностики, ультразвуковых исследований) и лабораторных исследований при оказании первичной медико-санитарной помощи в плановой форме составляет не более 14 календарных дней со дня назначения, для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, — не более 10 календарных дней со дня назначения.

Срок ожидания проведения компьютерной томографии (включая однофотонную эмиссионную компьютерную томографию), магнитнорезонансной томографии и ангиографии при оказании первичной медикосанитарной помощи в плановой форме составляет не более 30 календарных дней со дня назначения, для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, — не более 20 календарных дней со дня назначения.

Срок ожидания оказания специализированной (за исключением высокотехнологичной) медицинской помощи в плановой форме составляет не более 30 календарных дней со дня выдачи лечащим врачом направления на госпитализацию (при условии обращения пациента за госпитализацией в рекомендуемые лечащим врачом сроки), для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, — не более 20 календарных дней со дня выдачи лечащим врачом направления на госпитализацию (при условии обращения пациента за госпитализацией в рекомендуемые лечащим врачом сроки).

29. Направление пациента на плановую госпитализацию осуществляется лечащим врачом в соответствии с клиническими показаниями, требующими госпитального режима, активной терапии и круглосуточного наблюдения врача, при этом согласовывается дата плановой госпитализации. Направление на госпитализацию выдается по установленному образцу и регистрируется в едином информационном ресурсе Ставропольского края, реализованном в режиме онлайн, предназначенном для информационного сопровождения застрахованных лиц при организации оказания им медицинской помощи страховыми медицинскими организациями Ставропольского края.

В медицинских организациях Ставропольского края, оказывающих специализированную медицинскую помощь в стационарных условиях и в условиях дневного стационара, ведется лист ожидания оказания специализированной медицинской помощи в плановой форме и осуществляется информирование граждан в доступной форме, в том числе с использованием информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», о сроках ожидания оказания специализированной медицинской помощи с учетом требований законодательства Российской Федерации о персональных данных.

20 дней с сегодняшнего дня | WikiDates.org

Среда, 18 августа 2021 г.

Какая дата через 20 дней после сегодняшнего дня?

31 9109 901
Календарь на август 2021 года
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
31 1 2 3 4 5 5 7
32 8 9 10 11 12 13 14
33 15 16 17 19 20 21
34 22 23 24 25 26 27 28
35 29 30

• Сегодня четверг, 29 июля 2021 г.

• Через 20 дней (14 рабочих дней) будет среда, 18 августа 2021 г. .

• 18 августа 2021 года — среда.

• Это 230-й день в году и 33-я неделя в году (неделя начинается с воскресенья).

• В августе 2021 года 31 день.

• 2021 год не високосный, поэтому в этом году 365 дней.

Какая дата 20 рабочих дней с сегодняшнего дня?

Четверг, 26 августа 2021 г.

000000000000000

• 20 рабочих дней (всего 28 дней) с сегодняшнего дня будут четверг, 26 августа 2021 г. .

• Чтобы считать рабочие дни, не забывайте корректировать эту дату для любых праздников.

• 26 августа 2021 года — четверг.

• Это 238-й день в году и 34-я неделя в году (неделя начинается с воскресенья).

• В августе 2021 года 31 день.

• 2021 год не високосный, поэтому в этом году 365 дней.

Рассчитать дней, начиная с сегодняшнего

Определение календарного дня


В некоторых юрисдикциях период времени от полуночи до полуночи.В других случаях — полный 24-часовой период (например, с 3 до 3 часов ночи).

Связанные термины: День, Ясные дни, Календарный месяц, Календарный год, Календарный квартал

Общий строительный закон Нью-Йорка от 2010 г., статья 2, §19, определяет календарный день следующим образом:

« календарный день включает время с полуночи до полуночи.

«Воскресенье или любой отдельно упомянутый день недели означает календарный день».

Это толкование было повторено в деле 1940 года, Lanni v Grimes , в котором судья Верховного суда Нью-Йорка округа Монро Лэпхэм имел перед собой версию этого законодательного определения 1940 года и написал:

«Генерал Закон о строительстве (Нью-Йорка) определяет календарных дня, как , включая время от полуночи до полуночи. Тем не менее, суды будут принимать во внимание доли дня, когда существуют конфликтующие права, для определения которых необходимо им это сделать.

«Как правило, суд не рассматривает доли дня, кроме как с целью защиты от несправедливости ….

» Закон не учитывает доли дня, за исключением случаев, когда час сам по себе является существенным, как и в случае, когда ставится под сомнение приоритет судебных решений ».

Однако в деле Guillory судья Бланш Верховного суда Луизианы предпочел определение« полный 24-часовой период », хотя он было высказано мнение в контексте конкретного закона:

«[T] термин календарных дня означает полный 24-часовой период…. »

ССЫЛКИ:

  • Duhaime, Lloyd, Юридическое определение календарного месяца
  • Duhaime, Lloyd, Legal Definition of Calendar Quarter
  • Duhaime, Lloyd, Legal Definition of Calendar Week
  • Duhaime, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd, Lloyd Определение календарного года
  • Гиллори против Министерства транспорта , 450 So. 2d 1305 (Луизиана, 1984)
  • Кузницкий против Мерфи , 44 н.э. 2d 893 (1942, Иллинойс)
  • Ланни против Граймса , 18 N.Ю.С. 2д 322 (1940)
Календарь на август 2021 года
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
31 1 2 3 4 5 7 32 8 9 10 11 12 13 14
33 15 16 17 18 19 21
34 22 23 24 25 26 27 28
35 29 30 31

Калькулятор даты суда — Онлайн-услуги

Калькулятор даты судебного заседания доступен для помощи в проверке расчета количества судебных дней с заданной даты. Судебные дни не включают выходные и праздничные дни.

Верховный суд Лос-Анджелеса и округ Лос-Анджелес считают, что Калькулятор даты суда точно рассчитывает эту информацию.Однако информация, полученная с помощью калькулятора даты суда, не является официальным расчетом суда и не может использоваться в качестве доказательства.

Любой пользователь Калькулятора даты суда информируется о том, что он использует и полагается на информацию, полученную без каких-либо гарантий, и что в этой информации могут быть ошибки или упущения. В той мере, в какой это разрешено применимым законодательством, Верховный суд Лос-Анджелеса отказывается от всех гарантий, включая, помимо прочего, любые подразумеваемые гарантии товарной пригодности, точности и пригодности для конкретной цели, а также ненарушения прав.Пользователь признает и соглашается с тем, что ни Верховный суд Лос-Анджелеса, ни округ Лос-Анджелес не несут никакой ответственности за точность или достоверность предоставленной информации.

Календарь судебных дат рассчитывает даты с января 2006 года по декабрь 2025 года.

Чтобы начать, щелкните дату начала справа (по умолчанию — текущая дата).Затем введите количество дней суда, прошедших или будущих, для расчета и нажмите кнопку «Рассчитать». Чтобы рассчитать «прошедшие» дни в суде, поставьте перед числом знак минус.

Годовая система нумерации

Годовая система нумерации

Как AZMET обозначает дни и часы


Файлы исходных данных AZMET используют систему нумерации дней года (DOY).Это общий формат, используемый в данных исследований и военными. Система дня года игнорирует существование месяцев и чисел. каждый день года подряд.
В обычные годы мы нумеруем каждый день года от 1 до 365 В високосные годы мы добавляем «високосный день» (29 февраля), в 60-й день года, таким образом смещая остальную часть года «вниз» на один день. Система «День года» используется как в файлах данных по дням, так и по часам.

Примечание:
Есть и другие агентства по сбору данных о погоде, которые используют разные форматы календаря для своих данных.Они установили продолжительность всех лет на 366 дней. Их «високосный день» (29 февраля; 60 DOY) оставлен пустым (нули или нулевые значения данных) для невисокосных лет. В високосные годы позиция високосного дня действительно содержит данные. AZMET не использует этот метод. Наши годы различаются по длине.

AZMET использует 24-часовой формат.
Нумеруем каждый час дня от 1 до 24.
Очевидно, это используется в файлах почасовых данных.
[Мы не используем «цифровые часы» с двоеточием (например, с 1:00 до 24:00).
Мы также не используем формат от 100 до 2400.]

Все данные AZMET собираются, хранятся и представляются в
местного времени «Аризона», которое находится в часовом поясе «Mountain Standard».
В Аризоне не действует переход на летнее время.
Следовательно, время, указанное в файлах данных AZMET,
всегда на семь часов отстает от всемирного координированного времени (UTC)
(также известное как: среднее время по Гринвичу; время зулусов).

 
Ниже приведены несколько таблиц и списков, чтобы помочь вам в визуализации системы дня года: В этой первой таблице числа дней года сгруппированы по месяцам: День года по месяцам ======================================= Обычный год Високосный год -------------- --------------- 1–31 января 1–31 января 32–59 февраля 32–60 февраля 60-90 марта 61-91 марта 91 - 120 апр. 92 - 121 апр. 121 - 151 май, 122 - 152 мая 152 - 181 июн. 153 - 182 июн. Июл 182 - 212 июл 183 - 213 213 - 243 августа - 214 - 244 августа 244 - 273 сен 245 - 274 Октябрь 274 - 304 окт 275 - 305 305–334 ноя 306–335 Декабрь 335 - 365 декабрь 336 - 366

В этой второй календарной таблице Верхнее число в каждом поле представляет собой обычный календарный день месяца.Нижнее число в каждом поле представляет день года (DOY).

 Январь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | |
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 Февраль
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + ****** - + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 * 29 * ПРИМЕЧАНИЕ. В високосные годы прибавляйте 1 |
 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 * 60 * на каждый день года после 29 февраля |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + ****** - + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
                                       
 Март
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 апреля
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | Добавить 1 к DOY |
 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + ----- -------------------------- +

 Май
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 июнь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | Добавить 1 к DOY |
 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 июль
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211 | 212 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 август
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 | 231 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 232 | 233 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 | 241 | 242 | 243 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - -------------------------- +

 сентябрь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 256 | 257 | 258 | 259 | 260 | 261 | 262 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | Добавить 1 к DOY |
 | 263 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 269 | 270 | 271 | 272 | 273 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 Октябрь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 274 | 275 | 276 | 277 | 278 | 279 | 280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | 304 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 Ноябрь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 | 320 | 321 | 322 | 323 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | Добавить 1 к DOY |
 | 324 | 325 | 326 | 327 | 328 | 329 | 330 | 331 | 332 | 333 | 334 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +

 Декабрь
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
 | 335 | 336 | 337 | 338 | 339 | 340 | 341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 347 | 348 | 349 | 350 | 351 | 352 | 353 |
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - - + --- + --- + --- + --- + --- + --- +
 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | Добавить 1 к DOY |
 | 354 | 355 | 356 | 357 | 358 | 359 | 360 | 361 | 362 | 363 | 364 | 365 | в високосные годы.|
 + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + - -------------------------- +


Джулианский нормальный прыжок
 День Год Год
----- ------ ------
  1 = 1 января 1 января
  2 = 2 января 2 января
  3 = 3 января 3 января
  4 = 4 января 4 января
  5 = 5 января, 5 января
  6 = 6 января, 6 января
  7 = 7 января, 7 января
  8 = 8 января 8 января
  9 = 9 января, 9 января
 10 = 10 января 10 января
 11 = 11 января, 11 января
 12 = 12 января, 12 января
 13 = 13 января 13 января
 14 = 14 января, 14 января
 15 = 15 января, 15 января
 16 = 16 января, 16 января
 17 = 17 января, 17 января
 18 = 18 января, 18 января
 19 = 19 января 19 января
 20 = 20 января 20 января
 21 = 21 января, 21 января
 22 = 22 января 22 января
 23 = 23 января, 23 января
 24 = 24 января, 24 января
 25 = 25 января 25 января
 26 = 26 января, 26 января
 27 = 27 января, 27 января
 28 = 28 января, 28 января
 29 = 29 января 29 января
 30 = 30 января 30 января
 31 = 31 января 31 января
 32 = 1 февраля 1 февраля
 33 = 2 февраля 2 февраля
 34 = 3 февраля 3 февраля
 35 = 4 февраля 4 февраля
 36 = 5 февраля 5 февраля
 37 = 6 февраля, 6 февраля
 38 = 7 февраля, 7 февраля
 39 = 8 февраля 8 февраля
 40 = 9 февраля, 9 февраля
 41 = 10 февраля 10 февраля
 42 = 11 февраля 11 февраля
 43 = 12 февраля, 12 февраля
 44 = 13 февраля 13 февраля
 45 = 14 февраля 14 февраля
 46 = 15 февраля, 15 февраля
 47 = 16 февраля 16 февраля
 48 = 17 февраля 17 февраля
 49 = 18 февраля 18 февраля
 50 = 19 февраля 19 февраля
 51 = 20 февраля 20 февраля
 52 = 21 февраля 21 февраля
 53 = 22 февраля 22 февраля
 54 = 23 февраля 23 февраля
 55 = 24 февраля 24 февраля
 56 = 25 февраля 25 февраля
 57 = 26 февраля 26 февраля
 58 = 27 февраля 27 февраля
 59 = 28 февраля 28 февраля
 60 = 1 марта 29 февраля
 61 = 2 марта 1 марта
 62 = 3 марта 2 марта
 63 = 4 марта 3 марта
 64 = 5 марта 4 марта
 65 = 6 марта 5 марта
 66 = 7 марта 6 марта
 67 = 8 марта 7 марта
 68 = 9 марта 8 марта
 69 = 10 марта 9 марта
 70 = 11 марта 10 марта
 71 = 12 марта 11 марта
 72 = 13 марта 12 марта
 73 = 14 марта 13 марта
 74 = 15 марта 14 марта
 75 = 16 марта 15 марта
 76 = 17 марта 16 марта
 77 = 18 марта 17 марта
 78 = 19 марта 18 марта
 79 = 20 марта 19 марта
 80 = 21 марта 20 марта
 81 = 22 марта 21 марта
 82 = 23 марта 22 марта
 83 = 24 марта 23 марта
 84 = 25 марта 24 марта
 85 = 26 марта 25 марта
 86 = 27 марта 26 марта
 87 = 28 марта 27 марта
 88 = 29 марта 28 марта
 89 = 30 марта 29 марта
 90 = 31 марта 30 марта
 91 = 1 апреля 31 марта
 92 = 2 апреля 1 апреля
 93 = 3 апреля 2 апреля
 94 = 4 апреля 3 апреля
 95 = 5 апреля 4 апреля
 96 = 6 апреля 5 апреля
 97 = 7 апреля 6 апреля
 98 = 8 апреля 7 апреля
 99 = 9 апреля 8 апреля
100 = 10 апреля 9 апреля
101 = 11 апреля 10 апреля
102 = 12 апреля 11 апреля
103 = 13 апреля 12 апреля
104 = 14 апреля 13 апреля
105 = 15 апреля 14 апреля
106 = 16 апреля 15 апреля
107 = 17 апреля 16 апреля
108 = 18 апреля 17 апреля
109 = 19 апреля 18 апреля
110 = 20 апреля 19 апреля
111 = 21 апреля 20 апреля
112 = 22 апреля 21 апреля
113 = 23 апреля 22 апреля
114 = 24 апреля 23 апреля
115 = 25 апреля 24 апреля
116 = 26 апреля 25 апреля
117 = 27 апреля 26 апреля
118 = 28 апреля 27 апреля
119 = 29 апреля 28 апреля
120 = 30 апреля 29 апреля
121 = 1 мая 30 апреля
122 = 2 мая 1 мая
123 = 3 мая 2 мая
124 = 4 мая 3 мая
125 = 5 мая 4 мая
126 = 6 мая 5 мая
127 = 7 мая 6 мая
128 = 8 мая 7 мая
129 = 9 мая 8 мая
130 = 10 мая 9 мая
131 = 11 мая 10 мая
132 = 12 мая 11 мая
133 = 13 мая 12 мая
134 = 14 мая 13 мая
135 = 15 мая 14 мая
136 = 16 мая 15 мая
137 = 17 мая 16 мая
138 = 18 мая 17 мая
139 = 19 мая 18 мая
140 = 20 мая 19 мая
141 = 21 мая 20 мая
142 = 22 мая 21 мая
143 = 23 мая 22 мая
144 = 24 мая 23 мая
145 = 25 мая 24 мая
146 = 26 мая 25 мая
147 = 27 мая 26 мая
148 = 28 мая 27 мая
149 = 29 мая 28 мая
150 = 30 мая 29 мая
151 = 31 мая 30 мая
152 = 1 июня 31 мая
153 = 2 июня 1 июня
154 = 3 июня 2 июня
155 = 4 июня 3 июня
156 = 5 июня, 4 июня
157 = 6 июня, 5 июня
158 = 7 июня, 6 июня
159 = 8 июня 7 июня
160 = 9 июня 8 июня
161 = 10 июня, 9 июня
162 = 11 июня 10 июня
163 = 12 июня 11 июня
164 = 13 июня, 12 июня
165 = 14 июня 13 июня
166 = 15 июня 14 июня
167 = 16 июня 15 июня
168 = 17 июня 16 июня
169 = 18 июня 17 июня
170 = 19 июня 18 июня
171 = 20 июня 19 июня
172 = 21 июня 20 июня
173 = 22 июня 21 июня
174 = 23 июня 22 июня
175 = 24 июня 23 июня
176 = 25 июня 24 июня
177 = 26 июня 25 июня
178 = 27 июня 26 июня
179 = 28 июня 27 июня
180 = 29 июня 28 июня
181 = 30 июня 29 июня
182 = 1 июля, 30 июня
183 = 2 июля, 1 июля
184 = 3 июля 2 июля
185 = 4 июля 3 июля
186 = 5 июля, 4 июля
187 = 6 июля, 5 июля
188 = 7 июля, 6 июля
189 = 8 июля, 7 июля
190 = 9 июля 8 июля
191 = 10 июля, 9 июля
192 = 11 июля 10 июля
193 = 12 июля 11 июля
194 = 13 июля, 12 июля
195 = 14 июля 13 июля
196 = 15 июля 14 июля
197 = 16 июля 15 июля
198 = 17 июля, 16 июля
199 = 18 июля 17 июля
200 = 19 июля 18 июля
201 = 20 июля 19 июля
202 = 21 июля 20 июля
203 = 22 июля, 21 июля
204 = 23 июля 22 июля
205 = 24 июля 23 июля
206 = 25 июля, 24 июля
207 = 26 июля 25 июля
208 = 27 июля, 26 июля
209 = 28 июля, 27 июля
210 = 29 июля 28 июля
211 = 30 июля 29 июля
212 = 31 июля 30 июля
213 = 1 августа 31 июля
214 = 2 августа 1 августа
215 = 3 августа 2 августа
216 = 4 августа 3 августа
217 = 5 августа, 4 августа
218 = 6 августа 5 августа
219 = 7 августа, 6 августа
220 = 8 августа 7 августа
221 = 9 августа 8 августа
222 = 10 августа 9 августа
223 = 11 августа 10 августа
224 = 12 августа 11 августа
225 = 13 августа 12 августа
226 = 14 августа 13 августа
227 = 15 августа 14 августа
228 = 16 августа 15 августа
229 = 17 августа 16 августа
230 = 18 августа 17 августа
231 = 19 августа 18 августа
232 = 20 августа 19 августа
233 = 21 августа 20 августа
234 = 22 августа 21 августа
235 = 23 августа 22 августа
236 = 24 августа 23 августа
237 = 25 августа 24 августа
238 = 26 августа 25 августа
239 = 27 августа 26 августа
240 = 28 августа 27 августа
241 = 29 августа 28 августа
242 = 30 августа 29 августа
243 = 31 августа 30 августа
244 = 1 сентября 31 августа
245 = 2 сентября 1 сентября
246 = 3 сентября 2 сентября
247 = 4 сентября 3 сентября
248 = 5 сентября 4 сентября
249 = 6 сентября, 5 сентября
250 = 7 сентября, 6 сентября
251 = 8 сентября, 7 сентября
252 = 9 сентября 8 сентября
253 = 10 сентября, 9 сентября
254 = 11 сентября 10 сентября
255 = 12 сентября 11 сентября
256 = 13 сентября 12 сентября
257 = 14 сентября 13 сентября
258 = 15 сентября 14 сентября
259 = 16 сентября 15 сентября
260 = 17 сентября 16 сентября
261 = 18 сентября, 17 сентября
262 = 19 сентября 18 сентября
263 = 20 сентября, 19 сентября
264 = 21 сентября 20 сентября
265 = 22 сентября 21 сентября
266 = 23 сентября 22 сентября
267 = 24 сентября 23 сентября
268 = 25 сентября 24 сентября
269 ​​= 26 сентября 25 сентября
270 = 27 сентября 26 сентября
271 = 28 сентября, 27 сентября
272 = 29 сентября 28 сентября
273 = 30 сентября 29 сентября
274 = 1 октября, 30 сентября
275 = 2 октября 1 октября
276 = 3 октября 2 октября
277 = 4 октября, 3 октября
278 = 5 октября, 4 октября
279 = 6 октября, 5 октября
280 = 7 октября, 6 октября
281 = 8 октября, 7 октября
282 = 9 октября, 8 октября
283 = 10 октября, 9 октября
284 = 11 октября, 10 октября
285 = 12 октября, 11 октября
286 = 13 октября, 12 октября
287 = 14 октября, 13 октября
288 = 15 октября, 14 октября
289 = 16 октября, 15 октября
290 = 17 октября, 16 октября
291 = 18 октября, 17 октября
292 = 19 октября, 18 октября
293 = 20 октября, 19 октября
294 = 21 октября 20 октября
295 = 22 октября, 21 октября
296 = 23 октября 22 октября
297 = 24 октября, 23 октября
298 = 25 октября, 24 октября
299 = 26 октября, 25 октября
300 = 27 октября, 26 октября
301 = 28 октября, 27 октября
302 = 29 октября, 28 октября
303 = 30 октября, 29 октября
304 = 31 октября, 30 октября
305 = 1 ноября, 31 октября
306 = 2 ноября, 1 ноября
307 = 3 ноября, 2 ноября
308 = 4 ноября, 3 ноября
309 = 5 ноября, 4 ноября
310 = 6 ноября, 5 ноября
311 = 7 ноября, 6 ноября
312 = 8 ноября, 7 ноября
313 = 9 ноября, 8 ноября
314 = 10 ноября, 9 ноября
315 = 11 ноября 10 ноября
316 = 12 ноября, 11 ноября
317 = 13 ноября, 12 ноября
318 = 14 ноября, 13 ноября
319 = 15 ноября, 14 ноября
320 = 16 ноября, 15 ноября
321 = 17 ноября, 16 ноября
322 = 18 ноября, 17 ноября
323 = 19 ноября, 18 ноября
324 = 20 ноября, 19 ноября
325 = 21 ноября 20 ноября
326 = 22 ноября, 21 ноября
327 = 23 ноября 22 ноября
328 = 24 ноября, 23 ноября
329 = 25 ноября, 24 ноября
330 = 26 ноября 25 ноября
331 = 27 ноября, 26 ноября
332 = 28 ноября, 27 ноября
333 = 29 ноября, 28 ноября
334 = 30 ноября, 29 ноября
335 = 1 декабря, 30 ноября
336 = 2 декабря 1 декабря
337 = 3 декабря 2 декабря
338 = 4 декабря 3 декабря
339 = 5 декабря, 4 декабря
340 = 6 декабря 5 декабря
341 = 7 декабря, 6 декабря
342 = 8 декабря, 7 декабря
343 = 9 декабря 8 декабря
344 = 10 декабря 9 декабря
345 = 11 декабря 10 декабря
346 = 12 декабря 11 декабря
347 = 13 декабря 12 декабря
348 = 14 декабря 13 декабря
349 = 15 декабря 14 декабря
350 = 16 декабря 15 декабря
351 = 17 декабря 16 декабря
352 = 18 декабря 17 декабря
353 = 19 декабря 18 декабря
354 = 20 декабря 19 декабря
355 = 21 декабря 20 декабря
356 = 22 декабря 21 декабря
357 = 23 декабря 22 декабря
358 = 24 декабря 23 декабря
359 = 25 декабря 24 декабря
360 = 26 декабря 25 декабря
361 = 27 декабря 26 декабря
362 = 28 декабря 27 декабря
363 = 29 декабря 28 декабря
364 = 30 декабря 29 декабря
365 = 31 декабря 30 декабря
366 = 31 декабря





              День года по месяцам
      =======================================
         Обычный год Високосный год
        -------------- ---------------
        1–31 января 1–31 января
        32–59 февраля 32–60 февраля
        60-90 марта 61-91 марта
        91 - 120 апр. 92 - 121 апр.
        121 - 151 май, 122 - 152 мая
        152 - 181 июн. 153 - 182 июн.
        Июл 182 - 212 июл 183 - 213
        213 - 243 августа - 214 - 244 августа
        244 - 273 сен 245 - 274
        Октябрь 274 - 304 окт 275 - 305
        305–334 ноя 306–335
        Декабрь 335 - 365 декабрь 336 - 366



     Последние високосные годы: прошлые и будущие високосные годы
  ============================ ====================== ============
            1987 1896 1936 1972 2008
          * 1988 - Високосный год 1904 1940 1976 2012 2012
            1989 1908 1944 1980 2016
            1990 1912 1948 1984 2020
            1991 1916 1952 1988 2024
          * 1992 - Високосный год 1920 1956 1992 2028
            1993 1924 1960 1996 2032
            1994 1928 1964 2000 2036
            1995 1932 1968 2004 2040
          * 1996 - високосный год
            1997 г.
            1998 г.
            1999 г.
          * 2000 - Високосный год


    (Практическое правило: високосные годы = U.S. Годы президентских выборов)


     Официальные правила високосного года:

       Если год делится на 4 без остатка, это високосный год.
       Примеры: 1996/4 = 499, следовательно, это високосный год.
                 1997/4 = 499,25, следовательно, это не високосный год.

       Первое исключение:
       Из тех лет, которые делятся на 4 без остатка,
       если год также делится на 100 без остатка,
       это НЕ високосный год.
       Пример: 1900/4 = 475.
                1900/100 = 19, следовательно, это НЕ високосный год.
      
       Второе исключение:
       Из тех лет, которые без остатка делятся на 4 и 100,
       если год также делится на 400 без остатка,
       это високосный год.Пример: 2000/4 = 500
                2000/100 = 20
                2000/400 = 5, следовательно, это високосный год.
         
                1900/400 = 4,75, следовательно, это НЕ високосный год.
      

  Юлианский календарь был разработан Юлием Цезарем и египтянином.
  астроном Сосигенес в 46 г. до н. э. Они стремились создать 12
  месячный календарь, основанный на солнечном году; время, необходимое для
  Земля совершит один полный оборот вокруг Солнца, что составляет 365,2422 дня.
  (До этого римляне и большинство других цивилизаций использовали лунный или
  лунно-солнечный гибридный календарь; только в Египте был строго солнечный календарь.)
  Они устанавливают нормальный год равным 365 дням, а затем назначают каждый четвертый год.
  год (високосный) должен иметь 366 дней. Это было сделано для исправления частичного
  .2422 день, который отсутствовал в текущем году и в каждом из
  предыдущие три года. Для этого они включили «равномерно
  делится на 4 'в их календаре.
  Юлианский календарь был принят Никейским собором в 325 году нашей эры.
  Однако к 1582 году нашей эры количество прошлых високосных лет изменилось.
  (0,2422 умножить на 4 года =.9688 день, а не 1 день)
  а по юлианскому календарю на орбите Земли увеличилось на 10 дней
  положение вокруг солнца. Если не отметить, Пасха в конечном итоге
  происходят летом. Чтобы исправить это, Папа Григорий XIII бросил 10 дней.
  с 1582 г. и ввел в действие первое и второе исключения ('делимые без остатка
  на 100 и на 400 '), как описано выше. Первое исключение исключает
  високосный год каждые 100 лет. Используя только первое исключение,
  календарь через несколько столетий будет немного недокорректирован.То есть он не соответствовал бы истинному орбитальному положению Земли.
  Понимая это, математики Папы добавили второе исключение.
  который включает високосный год каждые 400 лет (1600, 2000, 2400 и т. д.).
  Эти правила не полностью корректируют календарь до идеальных 365,2422 дней.
  в год; к 5000 году нашей эры он получит 1 день и еще один
  потребуется регулировка.

  Раздел «Календарь» любого хорошего Альманаха проверит эти
  правила относительно високосных лет


-----



  ВРЕМЯ:
  Все данные AZMET собираются, хранятся и представляются в
  местное время «Аризона», которое находится в часовом поясе «Mountain Standard».В Аризоне не действует переход на летнее время.
  Следовательно, время, указанное в файлах данных AZMET, является
  всегда на семь часов отстает от всемирного координированного времени (UTC)
  (также известное как: среднее время по Гринвичу; время зулусов).
 

        UTC Аризона Аризона 12 часов
       ------ ------- -------------
        8:00 1:00 1:00 утра
        9:00 2:00 2:00 утра
       10:00 3:00 3:00 утра
       11:00 4:00 4:00 утра
       12:00 5:00 5:00 утра
       13:00 6:00 6:00 утра
       14:00 7:00 7:00
       15:00 8:00 8:00
       16:00 9:00 9:00 утра
       17:00 10:00 10:00
       18:00 11:00 11:00
       19:00 12:00 12:00 утра
       20:00 13:00 13:00
       21:00 14:00 14:00
       22:00 15:00 15:00
       23:00 16:00 16:00
       24:00 17:00 17:00
        13:00 18:00 18:00
        14:00 19:00 19:00
        15:00 20:00 20:00
        16:00 21:00 21:00
        17:00 22:00 22:00
        18:00 23:00 23:00
        19:00 24:00 12:00



 

Календарь на 2020-2021 учебный год в виде таблицы

2020
3 июля Праздник Дня независимости — Школы и офисы закрыты
31 июля Курбан-байрам *
17-19 августа Дней профессиональной службы для новых учителей
20-28 августа Дней профессиональной службы для всех учителей
26 августа Профессиональное развитие
28 августа Ориентация для студентов / Пробный виртуальный день класса (все студенты)
31 августа Первый день в школе для всех учеников
7 сентября Праздник Дня труда — школы и офисы закрыты
19-20 сентября Рош ха-Шана *
25 сентября Повышение квалификации — закрытые школы для учащихся
28 сентября Праздник Йом Киппур * — Школы и офисы закрыты
12 октября День коренных американцев и конференции родителей и учителей — школы закрыты для учащихся
16 октября Повышение квалификации — школы, закрытые для учащихся
3 ноября День выборов — Закрытые школы и офисы
5 ноября Конец 1 квартала (44 дня)
6 ноября Профессиональный день учителей — 2 часа.Досрочное увольнение студентов
14 ноября Дивали *
25-27 ноября Праздники Дня благодарения — школы и офисы закрыты
11 декабря Повышение квалификации — школы, закрытые для учащихся
24-31 декабря Зимние каникулы и рождественские каникулы — школы и офисы закрыты
2021
1 января Зимние каникулы и новогодние каникулы — школы и офисы закрыты
18 января Мартин Л.День короля-младшего — школы и офисы закрыты
27 января Конец второго квартала (46 дней)
28 января Профессиональный день учителей — 2 часа. Досрочное увольнение студентов
15 февраля Праздник в День президентов — школы и офисы закрыты
16 февраля Встречи родителей и учителей — 2-час. Отсроченное открытие для студентов
28 марта — 4 апреля Пасха
29 марта — 1 апреля Весенние каникулы — школы закрыты для учащихся и учителей
2 и 5 апреля Весенние каникулы и пасхальные каникулы — школы и офисы закрыты
9 апреля Конец третьего квартала (45 дней)
12 апреля Профессиональный день учителей — 2 часа.Досрочное увольнение студентов
13 апреля Первый день Рамадана
11 мая Последний день Рамадана
13 мая Праздник Ид аль-Фитр * — школы и офисы закрыты
31 мая День поминовения — школы и офисы закрыты
14 июня 2-часовой. Досрочное увольнение студентов 1
15 июня Последний день для студентов 1 и конец четвертой четверти (45 дней) — 2-час.Досрочное увольнение студентов
16 июня Последний день учителя 1

Календарь на 2020-2021 учебный год

ноября
16–18 сентября Среда – пятница Полностью удаленные неполные школьные дни для учащихся.
21 сентября Понедельник Очное обучение начинается для учащихся 3K, Pre-K и всех учащихся округа 75
28 сентября Понедельник Йом Кипур, школы закрыты
29 сентября Вторник Очное обучение начинается для всех учеников начальной школы (K-12, K-5, K-8, K-2 и K-3 школы)
1 октября Четверг Очное обучение начинается в средней школе, средней школе, средних школах, переходных школах, образовательных учреждениях для взрослых и вечерних школах.
12 октября Понедельник День Колумба, школы закрыты
3 ноября Вторник День выборов, полностью дистанционное обучение для всех учащихся
4 ноября Среда Вечерние конференции родителей и учителей для начальных школ и школ K – 8.
5 ноября Четверг Дневные конференции родителей и учителей для начальных школ и школ K – 8; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
11 ноября Среда День ветеранов, школы закрыты
12 ноября Четверг Вечерние конференции родителей и учителей для средних школ, K – 12 и 6–12 школ.
13 ноября Пятница Дневные конференции родителей и учителей для средних школ, школ K – 12 и школ 6–12; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
18 ноября Среда Вечерние родительские собрания для учащихся средних школ и школьных программ Округа 75.
19 ноября Четверг Дневные конференции для учащихся средних школ и школьных программ Округа 75; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
26–27 ноября Четверг – пятница Перерыв на День благодарения, школы закрыты
24 декабря – 1 января Четверг – следующая пятница Зимние каникулы, школы закрыты
18 января Понедельник Преподобный д-р Мартин Лютер Кинг-младшийДень, школы закрыты
1 февраля Понедельник День профессионального развития для 9–12 и 6–12 школ только в округах 1–32; ученики этих школ не посещают.

Посещают учащиеся школ и программ K – 5, K – 6, 6–8, K – 12 и D75.

12 февраля Пятница Лунный Новый год, школы закрыты
15–19 февраля Понедельник – пятница Зимние каникулы (включая День президентов и День рождения Линкольна), школы закрыто
3 марта Среда Вечерние конференции родителей и учителей для начальных школ и школ K – 8.
4 марта Четверг Дневные конференции родителей и учителей для начальных школ и школ K – 8; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
10 марта Среда Вечерние конференции родителей и учителей для средних школ и школ и программ округа 75.
11 марта Четверг Дневные конференции родителей и учителей для средних школ и школ и программ округа 75; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
18 марта Четверг Вечерние родительские собрания для старшеклассников, школ K – 12 и 6–12.
19 марта Пятница Дневные конференции родителей и учителей для средних школ, школ K – 12 и школ 6–12; учеников этих школ увольняют на три часа раньше.
29 марта — 2 апреля Понедельник – пятница Весенние каникулы, школы закрыты
13 мая Четверг Ид аль-Фитр, школы закрыты
31 мая Понедельник День памяти, школы закрыты
3 июня Четверг Юбилейный день.День канцлерской конференции по развитию персонала. Студенты не посещают занятия.
8 июня Вторник Канцелярский день только для школ и программ K – 5, K – 6, 6–8, K – 12 и D75; ученики этих школ не посещают. Посещают

учеников 9–12 и 6–12 школ в округах 1–32.

25 июня Пятница Последний день в школе для всех учащихся.

Праздники 2021 года, ежедневный календарь из Holiday Insights

Дом

Контентные каналы:

Основные праздники
Праздники Месяц
Праздники еды
Праздники в саду
Дни рождения
Годовщины
Just 4 Fun
This Day in History (Этот день в истории)

Рождество
Хэллоуин
День Благодарения
Пасха
День святого Валентина
г.День Святого Патрика
Китайский Новый год

Праздничный день Рецепты
Garden Рецепты
Тыква Рецепты

Как для создания особых дней

«Национальный» Определение дней

Ежедневный праздничный календарь Major 2020

Есть много ежедневных праздников и особых дней, по одному или нескольким на каждый день. день года.Вот некоторые из основных ежедневных праздничных событий по месяцам. Обязательно отметьте их в своем календаре и отметьте каждого, большого или небольшой.

Major 2020 Праздники:


Дополнительная информация

Скоро будет! Следите за новостями на 2021 год ежедневно по выходным месяцам.



Holiday Insights , где каждый день в году — это праздник, странный или дурацкий день, религиозный праздник или особое событие.Присоединяйтесь к нам в ежедневное веселье в календаре каждый день год.

Знаете ли вы? Есть буквально тысячи ежедневных праздников, особые события и памятные даты. Их больше одного на каждый день в году. Многие из этих праздников новы. Регулярно создаются новые праздники. В отпуске Insights, мы прилагаем большие усилия, чтобы тщательно исследовать и задокументировать детали каждого из них, максимально полно и точно.

На первом складе работает 14 человек: На первом складе работает 14 человек, а на втором- в 4 раза больше. Сколько всего…

На первом складе работает 14 человек, а на втором- в 4 раза больше. Сколько всего человек работает на двух складах? — Знания.site

Зачёт по теме «Лексика и культура речи» (тест) 6 класс

                       Вариант I.

1. Какое утверждение является неверным?

           А. Лексикология – раздел науки о языке, изучающий лексическое значение слова, употребление и происхождение слов.

           Б. Многозначные слова имеют несколько лексических значений.

           В. Все слова, помимо прямого значения, имеют переносное значение.

           Г. Омонимы – это слова одной и той же части речи, одинаковые по звучанию и написанию, но разные по лексическому значению.

2. Слова одной и той же части речи с противоположным лексическим значением называются:

           А. Антонимами.

           Б. Синонимами.

           В. Омонимами.

3. Слова, употребляемые жителями той или иной области, называются:

           А. Профессиональными.

           Б. Диалектными.

           В. Устаревшими.

4. Фразеологизмы – это:

           А. Слова, вошедшие в русский язык из других языков.

           Б. Устойчивые сочетания слов.

           В. Новые слова, возникшие в языке.

5. Какую букву нужно вставить?                                                         

А        Б        В        Г                                                       

           Пос..деть к старости                       е         е         и         и

           Пол. .скать ребенка              а         а         о         о

           Прим..рять друзей               е         и         и         е

6. Какая из данных пар слов не является антонимами?

           А. Болезнь-хворь.                В. Трудолюбие-лень.

           Б. Чистовик-черновик.      Г. Открытое-сокровенное. 

7. Какая из данных пар слов не является синонимами?

           А. Истина-правда.              В. Свобода-воля.

           Б. Добро-зло.                                   Г. Запущенность-заброшенность.             

8. В каком предложении есть фразеологизм.

           А. По вечерам бабушка рассказывала внуку сказки.

           Б. Алешка набрал в рот воды и раздул щеки.

           В. Нашлись люди неробкого десятка, которые не теряли присутствие духа.

           Г. На арене цирка заяц ходил на задних лапках.

9. Найдите сочетания слов, употребленные в переносном значении.

           А. Сухие листья трепетали на ветках.

           Б. Тишину нарушал треск сухой ветки под ногой.

           В. Спокойно дремлет лес над тихими полями.

           Г. Крики диких уток отдавались в дальнем озере.

10. Значение какого слова определено неверно?

           А. Колорит – сочетание красок, цветов в картине.

           Б. Фразеология – раздел науки о языке, изучающий способы построения фраз.

           В. Жалюзи – шторы из пластинок, навешиваемые на окна.

           Г. Филолог – ученый, занимающийся изучением языка и литературы.

Вариант II.

1. Какое утверждение является неверным?

           А. Лексика изучает слово с точки зрения его смыслового значения.

           Б. Однозначные слова имеют только одно лексическое значение.

           В. Синонимами могут быть слова различных частей речи.

           Г. Метафора – средство выразительности языка, основанное на уподоблении одного предмета или явления другому по сходству или контрасту.

2. Слова одной и той же части речи, обозначающие одно и то же, но отличающиеся оттенками лексического значения и употреблением в речи, называются:

           А. Омонимами.

           Б. Синонимами.

           В. Антонимами.

3. Слова, вышедшие из активного повседневного употребления, называются:

           А. Заимствованными.

           Б. Устаревшими.

           В. Профессиональными

4. Фразеологизмы – это:

           А. Устойчивые сочетания слов.

           Б. Слова, вошедшие в русский язык из других языков.

           В. Новые слова, возникшие в языке.

5. Какую букву нужно вставить?

                                              А        Б        В        Г

           пос..деть рядом        и         и         е         е         

           пол..скать белье       о         а         о         а

           прим..рять платье    е         е         и         и         

6. Какая из данных пар слов не является антонимами?

           А. Доброта – жадность.                  В. Свет – тень.

           Б. Настоящее – истинное.             Г. Правдивый – лживый.              

7. Какая из данных пар слов не является синонимами?

           А. Прозрачный – чистый.

           Б. Произведение – творение.

           В. Убирать – уборка

           Г. Размашистый – широкий.

8. В каком предложении есть фразеологизм.

           А. В этом году уродилось много грибов, так что за ними далеко ходить не надо.

           Б. Машина дала задний ход и остановилась.

           В. Надо внимательнее слушать объяснение учителя, а не хлопать ушами.

           Г. Свинья села в лужу прямо посредине двора.

9. Найдите сочетание слов, употребленное в переносном значении.

           А. Падая, лист крутится в воздухе.

           Б. В тени молодых березок разостлали ковер.

           В. Колокольчик хохочет до слез.

           Г. Сквозь зеленые ветки берез просвечивало солнце.

10. Значение какого слова определено неверно?

           А. Гамма – последовательный ряд музыкальных звуков.

           Б. Эстамп – оттиск, отпечаток картины на бумаге ( на камне, металле, дереве) с печатной формы.

           В. Яхтсмен – человек, строящий яхты.

           Г. Сентиментальный (человек) – излишне чувствительный.

Бастрыкин поручил завести уголовное дело по пожару на складе Ozon

Происшествия 1957

Поделиться

Фото: АГН «Москва»

Следственный комитет сообщил, что глава ведомства Александр Бастрыкин поручил возбудить уголовное дело по факту пожара на подмосковном складе Ozon. Статья УК РФ пока не названа.

В пресс-службе ведомства заявили, что ход и результаты расследования будут поставлены на контроль в центральном аппарате СК.

По последним данным, площадь пожара на складе в Истринском округе достигла 50 тысяч квадратных метров, огонь приближается к размещенным неподалеку цистернам ГСМ. По оценкам местных властей, здание склада спасти уже не удастся. На месте работает пожарная авиация, направлен пожарный поезд.

Информагентства со ссылкой на источники сообщают о гибели одного человека, без вести пропавшим числится еще один сотрудник склада. Также сообщается о 13 пострадавших. При этом в МЧС заявили, что у ведомства пока нет сведений о жертвах, официально подтвержден список пострадавших из 11 человек, двое госпитализированы.

По сообщениям источников, основной версией произошедшего считается поджог.

В Истре загорелся крупный склад «Озон»: апокалиптические кадры пожара

Смотрите фотогалерею по теме

Подписаться

Авторы:

МЧС Подмосковье — Московская область Пожар

Что еще почитать

Что почитать:Ещё материалы

В регионах

  • Самые вкусные оладьи из кабачков по-новому

    12900

    Калуга

    Елена Одинцова

  • Полиция задержала 50 девушек в красном на петрозаводской площади Кирова.

    ФОТО

    Фото 12600

    Карелия

    Ирина Стафеева

  • Как получить звание ветерана труда

    3276

    Великий Новгород

    Белобородько Мария

  • «Надо настраиваться»: стилист в Улан-Удэ предсказала возвращение моды нулевых годов

    Фото 2748

    Улан-Удэ

    Сэсэг Жигжитова

  • «Мужчина заплакал и стал целовать мне руки»: врач из Астрахани помогла спасти жизнь пассажиру рейса «Москва – Астрахань», который экстренно сел в Саратове

    Фото 2466

    Астрахань

    Юрий Асадулин

  • Жительницы Улан-Удэ становятся проститутками ради уплаты долгов и помощи близким

    2278

    Улан-Удэ

    Роксана Родионова

В регионах:Ещё материалы

Подсчет данных при помощи запроса

В данной статье описано использование агрегатной функции для суммирования данных в результатах запроса. В ней также кратко описывается использование других агрегатных функций, например COUNT и AVG, для подсчета или вычисления средних значений в результирующем наборе записей. Кроме того, в этой статье рассматривается использование строки итогов — возможности Access, позволяющий суммировать данные без изменения структуры запросов.

Выберите нужное действие

  • Общее представление о способах суммирования данных

  • Подготовка примера данных

  • Суммирования данных с помощью строки итогов

  • Вычисление общих итогов с помощью запроса

  • Вычисление итогов по группе с помощью итогового запроса

  • Суммирование данных из нескольких групп с помощью перекрестного запроса

  • Справочные сведения об агрегатных функциях

Общее представление о способах суммирования данных

Просуммировать числовой столбец в запросе можно с помощью агрегатной функции. Агрегатные функции выполняют вычисления со столбцами данных и возвращают единственное значение. В Access существует множество агрегатных функций, включая Sum, Count, Avg (для вычисления среднего значения), Min и Max. Суммирование данных производится путем добавления в запрос функции Sum, подсчет данных — путем использования функции Count и т. д.

Кроме того, в Access предусмотрено несколько способов добавления функции Sum и других агрегатных функций в запрос. Вы можете:

  • Открыть запрос в режиме таблицы и добавить строку итогов. Строка итогов — возможность Access, позволяющая использовать агрегатные функции в одном или нескольких столбцах в результатах запроса без необходимости изменять его структуру.

  • org/ListItem»>

    Создать итоговый запрос. Итоговый запрос вычисляет промежуточные итоги для групп записей, а строка итогов — общие итоги для одного или нескольких столбцов (полей) данных. Например, если вы хотите вычислить промежуточную сумму всех продаж по городам или по кварталам, следует использовать итоговый запрос для группировки записей по нужной категории, а затем просуммировать все объемы продаж.

  • Создать перекрестный запрос. Перекрестный запрос — это особый тип запросов, отображающий результаты в сетке, напоминающей лист Excel. Перекрестные запросы суммируют значения и затем группируют их по двум наборам фактов — вдоль боковой стороны (заголовки строк) и в верхней части (заголовки столбцов). Например, вы можете использовать перекрестный запрос для отображения итоговых значений продаж для каждого города за последние три года, как показано в таблице:

Город

2003

2004

2005

Краснодар

254 556

372 455

467 892

Санкт-Петербург

478 021

372 987

276 399

Москва

572 997

684 374

792 571

. ..

Примечание: Ниже в разделах этой статьи подробно описано применение функции Sum, однако следует помнить, что вы можете использовать другие агрегатные функции в строках итогов и запросах. Дополнительные сведения об использовании других агрегатных функций см. ниже в разделе Справочные сведения об агрегатных функциях.

Дополнительные сведения о способах использования других агрегатных функций см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

В следующих разделах описано, как добавить строку итогов, использовать итоговый запрос для суммирования данных и перекрестный запрос, вычисляющий промежуточные итоги по группам и интервалам времени. Помните, что многие агрегатные функции работают только с данными в полях, имеющих определенный тип данных. Например, функция SUM работает только с типами данных «Число», «Действительное» и «Денежный». Дополнительные сведения о типах данных, требуемых для каждой функции, см. ниже в разделе Справочные сведения об агрегатных функциях.

Общие сведения о типах данных см. в статье Изменение типа данных для поля.

К началу страницы

Подготовка примера данных

В инструкциях этой статьи приводятся таблицы с примерами данных. Они помогают понять, как работают агрегатные функции. Вы можете добавить примеры таблиц в новую или существующую базу данных.

Сделать это в Access можно несколькими способами. Вы можете ввести данные вручную, скопировать каждую таблицу в редактор электронных таблиц (такой как Excel) и импортировать листы в Access или же вставить данные в текстовый редактор, например Блокнот, и импортировать их из созданных текстовых файлов.

В пошаговых инструкциях этого раздела объясняется, как вводить данные вручную на пустой лист, а также как копировать примеры таблиц в редактор электронных таблиц и затем импортировать их в Access. Дополнительные сведения о создании и импорте текстовых данных см. в статье Импорт данных или связывание с данными текстового файла.

В пошаговых инструкциях в этой статье используются приведенные ниже таблицы. Создайте пример данных на их основе:

Таблица «Категории»

Категория

Куклы

Игры и головоломки

Картины и рамы

Видеоигры

DVD-диски и фильмы

Модели для сборки, хобби

Спортивное снаряжение

Таблицы «Товары»

Наименование товара

Цена

Категория

Фигурка программиста

12,95 ₽

Куклы

Эксперименты с C# (игра для всей семьи)

15,85 ₽

Игры и головоломки

Схема реляционной базы данных

22,50 ₽

Картины и рамы

Волшебная микросхема (500 деталей)

32,65 ₽

Игры и головоломки

Access! Игра!

22,95 ₽

Игры и головоломки

Компьютерные маньяки и мифические животные

78,50 ₽

Видеоигры

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

14,88 ₽

DVD-диски и фильмы

Неуловимая летающая пицца

36,75 ₽

Спортивное снаряжение

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

65,00 ₽

Модели для сборки, хобби

Недвижущаяся фигурка бюрократа

78,88 ₽

Куклы

Тьма

53,33 ₽

Видеоигры

Собери клавиатуру

77,95 ₽

Модели для сборки, хобби

Таблица Заказы

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

14. 11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

16.11.2005

17.11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

17. 11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

18. 11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

19.11.2005

20.11.2005

Владивосток

525,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

20. 11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

21.11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица Сведения о заказах

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

5

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Примечание: Помните, что в типичной базе данных таблица «Сведения о заказах» будет содержать только поле «Код товара» (без поля «Наименование товара»). В данном примере поле «Наименование товара» используется для упрощения восприятия данных.

Ввод примеров данных вручную

  1. на вкладке Создание в группе Таблицы нажмите кнопку Таблица.

    Access добавит в базу данных новую пустую таблицу.

    Примечание: Эту операцию следует выполнять только при необходимости добавить таблицу в базу данных. При открытии новой пустой базы данных это действие не требуется.

  2. Дважды щелкните первую ячейку в строке заголовков и введите имя поля из примера таблицы.

    По умолчанию в Access пустые поля обозначаются надписью Добавить поле в строке заголовков:

  3. org/ListItem»>

    С помощью клавиш со стрелками перейдите в следующую пустую ячейку заголовка и введите имя второго поля (чтобы перейти в другую ячейку, можно также нажать клавишу TAB или щелкнуть эту ячейку два раза). Повторите эти действия, чтобы ввести имена всех полей.

  4. Введите данные в пример таблицы.

    По мере ввода данных Access определяет их тип для каждого поля. Если вы плохо знакомы с реляционными базами данных, для каждого поля таблицы следует задать конкретный тип данных, например «Число», «Текст» или «Дата/время». Это обеспечивает точный ввод данных и помогает предотвратить ошибки, например использование цифр номера телефона в вычислениях. Для этих примеров таблиц можно определить тип данных автоматически.

  5. org/ListItem»>

    Завершив ввод данных, нажмите кнопку Сохранить.

    (Сочетание клавиш: нажмите CTRL+S.)

    Откроется диалоговое окно Сохранение документа.

  6. В поле Имя таблицы введите имя примера таблицы и нажмите кнопку ОК.

    Следует использовать указанные имена таблиц, потому что они применяются в запросах, приведенных в пошаговых инструкциях.

  7. Повторяйте эти шаги, пока не создадите каждый из примеров таблиц, приведенных в начале этого раздела.

Если вы не хотите вводить данные вручную, можно выполнить указанные ниже действия для копирования информации в файл электронной таблицы, а затем импортировать данные из него в Access.

Создание листов с примерами данных

  1. Запустите редактор электронных таблиц и создайте пустой файл. Если вы используете Excel, по умолчанию создается пустая книга.

  2. Скопируйте первый пример таблицы и вставьте его на первый лист, начиная с первой ячейки.

  3. Присвойте листу имя с помощью функций редактора электронных таблиц. Оно должно совпадать с именем примера таблицы. Например, если пример называется Категории, присвойте листу это же имя.

  4. Повторяйте шаги 2 и 3, чтобы скопировать каждый пример таблицы на пустой лист и переименовать этот лист.

    Примечание: К файлу электронной таблицы может понадобиться добавить листы. Сведения о том, как сделать это, см. в справке редактора электронных таблиц.

  5. Сохраните книгу в нужной папке на компьютере или в сети и переходите к следующей процедуре.

Создание таблиц базы данных на основе листов

  1. На вкладке Внешние данные в группе Импорт щелкните Excel.

    -или-

    Нажмите кнопку Дополнительно, а затем выберите редактор электронных таблиц из списка.

    Откроется диалоговое окно Внешние данные — лист <имя программы>.

  2. Нажмите кнопку Обзор, откройте файл электронной таблицы, созданный на предыдущих этапах, и нажмите кнопку ОК.

    Откроется окно мастера импорта электронных таблиц.

  3. По умолчанию мастер выбирает первый лист в книге (в этом примере — лист Клиенты), и данные из этого листа появляются в нижней части страницы мастера. Нажмите кнопку Далее.

  4. org/ListItem»>

    На следующей странице мастера выберите Первая строка содержит названия столбцов, а затем нажмите кнопку Далее.

  5. Если нужно, вы можете изменить имена полей и типы данных или пропустить некоторые поля, воспользовавшись текстовыми полями и списками в группе Параметры поля. В противном случае нажмите кнопку Далее.

  6. Оставьте параметр автоматически создать ключ выбранным и нажмите кнопку Далее.

  7. По умолчанию Access использует имя листа для новой таблицы. Оставьте это имя или введите другое, а затем нажмите кнопку Готово.

  8. Повторите шаги с 1 по 7 для каждого листа книги Excel, чтобы создать для него таблицу.

Переименование полей первичного ключа

Примечание: При импорте листов Access автоматически добавляет в каждую таблицу столбец первичного ключа и по умолчанию присваивает ему имя «Код» и тип данных «Счетчик». В этом разделе даны инструкции по переименованию полей первичного ключа. Это позволяет четко определить все поля в запросе.

  1. В области навигации щелкните правой кнопкой мыши каждую таблицу, созданную на предыдущем шаге, и выберите команду Конструктор.

  2. org/ListItem»>

    Для каждой таблицы найдите поле первичного ключа. По умолчанию Access присваивает каждому полю имя Код.

  3. В столбце Имя поля каждого поля первичного ключа добавьте имя таблицы.

    Например, можно переименовать поле «ИД» в таблице «Категории» в «ИД категории», а поле таблицы «Заказы» — в «ИД заказа». В таблице «Сведения о заказе» переименуем поле в «Подробный ИД». В таблице «Товары» переименуем поле в «ИД товара».

  4. Сохраните изменения.

В последующих ссылках на примеры таблиц в данной статье указываются поля первичного ключа, переименованные, как описано выше.

К началу страницы

Суммирования данных с помощью строки итогов

Чтобы добавить в запрос строку итогов, откройте его в режиме таблицы, добавьте строку, а затем выберите нужную агрегатную функцию, например Sum, Min, Max или Avg. В этом разделе объясняется, как создать простой запрос на выборку и добавить строку итогов. Не обязательно использовать примеры таблиц, представленные в предыдущем разделе.

Создание простого запроса на выборку

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицу или таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Выбранные таблицы отображаются в виде окон в верхней части конструктора запросов.

  3. org/ListItem»>

    Дважды щелкните поля таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Можно включить поля, содержащие описательные данные, например имена и описания, но следует обязательно добавить поле, содержащее числовые или денежные значения.

    Каждое поле отображается в ячейке в бланке запроса.

  4. Нажмите кнопку Выполнить для выполнения запроса.

    Результаты запроса будут отображены в режиме таблицы.

  5. При необходимости переключитесь в Конструктор и скорректируйте запрос. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Конструктор. После этого можно изменить запрос, добавив или удалив поля таблицы. Чтобы удалить поле, выберите столбец в бланке запроса и нажмите клавишу DELETE.

  6. Сохраните запрос.

Добавление строки итогов

  1. Убедитесь в том, что запрос открыт в режиме таблицы. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Режим таблицы.

    -или-

    Дважды щелкните запрос в области навигации. Запрос будет выполнен, а его результаты будут загружены в таблицу.

  2. org/ListItem»>

    На вкладке Главная в группе Записи нажмите кнопку Итоги.

    В таблице появится новая строка Итог.

  3. В строке Итог щелкните ячейку в поле, по которому вы хотите вычислить сумму, и выберите в списке функцию Sum.

Скрытие строки итогов

Дополнительные сведения об использовании строки итогов см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

К началу страницы

Вычисление общих итогов с помощью запроса

Общие итоги — это сумма по всем значениям столбца. Можно вычислять нескольких типов общих итогов, включая:

  • org/ListItem»>

    Простой общий итог, суммирующий значения одного столбца. Например, можно вычислить общую стоимость доставки.

  • Вычисляемый общий итог, суммирующий значения нескольких столбцов. Например, можно вычислить суммы продаж путем умножения цены нескольких товаров на число заказанных товаров, а затем просуммировав результирующие значения.

  • Общий итог за исключением нескольких записей. Например, можно вычислить сумму продаж только по последней пятнице.

В следующих разделах описано, как вычислить каждый из типов общих итогов. В инструкциях используются таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

Таблица «Заказы»

Идентификатор заказа

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

1

14. 11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

2

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

3

16.11.2005

17. 11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

4

17.11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

5

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

6

17. 11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

7

18.11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

8

19.11.2005

20. 11.2005

Владивосток

525,00 ₽

9

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

10

20.11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

11

21. 11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

12

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица «Сведения о заказах»

Код сведений

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

0,05

2

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

0,075

3

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

0,04

4

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0,00

5

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0,00

6

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

0,15

7

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

0,06

8

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

0,04

9

5

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

0,10

10

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

0,065

11

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

0,08

12

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

0,09

Вычисление простого общего итога

    org/ItemList»>
  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицу, которую вы хотите использовать в запросе.

    При использовании примера данных нужно дважды щелкнуть таблицу «Заказы».

    Таблица появится в окне в верхней части конструктора запросов.

  3. Дважды щелкните поле, для которого вы хотите найти сумму. Убедитесь, что поле имеет тип данных «Число» или «Денежный». При попытке суммировать значения в нечисловых полях, например в текстовом поле, Access выводит сообщение об ошибке Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

    Если вы используете пример данных, дважды щелкните столбец «Стоимость доставки».

    Вы можете добавить дополнительные числовые поля, если хотите вычислить для них общие итоги. Итоговый запрос может вычислять общие итоги для нескольких столбцов.

  4. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

    В бланке появится строка Итог, а в ячейке столбца «Стоимость доставки» будет указано Группировка.

  5. Измените значение в ячейке строки Итог строки на Sum.

  6. org/ListItem»>

    Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    Совет: Обратите внимание, что Access добавит «СуммаOf» в начало имени поля, которое вы суммируете. Чтобы изменить заголовок столбца на более осмысленный, например «Всего доставки», переключиться обратно в конструктор и щелкните в строке «Поле» столбца «Стоимость доставки» в сетке конструктора. Поместите курсор рядом с искомой стоимостью доставки и введите слова Total Shippingи двоеточие, например: Total Shipping: Shipping Fee.

  7. При необходимости вы можете сохранить запрос и закрыть его.

Вычисление общего итога за исключением нескольких записей

    org/ItemList»>
  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

  3. Добавьте поле «Дата заказа» из таблицы «Заказы» в первый столбец на бланке запроса.

  4. В строке Условие отбора первого столбца введите Date() -1. Это выражение исключает записи с текущей датой из вычисляемого итогового значения.

  5. org/ListItem»>

    Затем создайте столбец, который вычисляет объем продаж по каждой транзакции. Введите в строку Поле второго столбца на бланке следующее выражение:

    Общее значение продаж: (1-[Сведения о заказах].[Скидка]/100)*([Сведения о заказах].[Цена за единицу]*[Сведения о заказах].[Количество])

    Убедитесь, что выражение ссылается на поля с типами данных «Число» или «Денежный». Если оно ссылается на поля с другими типами данных, то при попытке выполнения запроса появится сообщение Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

  6. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

    В бланке появится строка Итог, а в первом и втором столбцах будет указано Группировка.

  7. Во втором столбце измените значение в ячейке строки Итог строки на Sum. Функция Sum суммирует отдельные показатели продаж.

  8. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

  9. Сохраните запрос с именем Продажи за день.

    Примечание: При следующем открытии запроса в Конструкторе можно заметить небольшие изменения в значениях, указанных для строк Поле и Итог в столбце «Общее значение продаж». Выражение заключено в функцию Sum, а в строке Итог выводится Выражение вместо функции Sum.

    Например, если вы использовали пример данных и создали запрос, как показано выше, будет отображено:

    Общее значение продаж: Sum((1-[Сведения о заказах].Скидка/100)*([Сведения о заказах].Цена*[Сведения о заказах].Количество))

К началу страницы

Вычисление итогов по группе с помощью итогового запроса

В этом разделе описано, как создать итоговый запрос для вычисления промежуточных итогов по группам данных. Помните, что по умолчанию итоговый запрос может включать только поле или поля, содержащие данные, по которым выполняется группировка, например поле «Категории», а также поля со значениями, которые вы хотите просуммировать, например поле «Продажи». Итоговые запросы не могут включать другие поля, описывающие значения внутри категории. Если вы хотите отобразить эти описательные данные, создайте второй запрос на выборку, объединяющий поля из итогового запроса с полями, содержащими дополнительные данные.

В этом разделе описано, как создавать итоговые запросы и запросы на выборку, если требуется определить объем продаж для каждого товара. В качестве примера используются следующие таблицы:

Таблицы «Товары»

Код товара

Наименование товара

Цена

Категория

1

Фигурка программиста

12,95 ₽

Куклы

2

Эксперименты с C# (игра для всей семьи)

15,85 ₽

Игры и головоломки

3

Схема реляционной базы данных

22,50 ₽

Картины и рамы

4

Волшебная микросхема (500 деталей)

32,65 ₽

Картины и рамы

5

Access! Игра!

22,95 ₽

Игры и головоломки

6

Компьютерные маньяки и мифические животные

78,50 ₽

Видеоигры

7

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

14,88 ₽

DVD-диски и фильмы

8

Неуловимая летающая пицца

36,75 ₽

Спортивное снаряжение

9

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

65,00 ₽

Модели для сборки, хобби

10

Недвижущаяся фигурка бюрократа

78,88 ₽

Куклы

11

Тьма

53,33 ₽

Видеоигры

12

Собери клавиатуру

77,95 ₽

Модели для сборки, хобби

Таблица «Сведения о заказах»

Код сведений

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

2

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

3

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

4

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

5

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

6

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

7

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

8

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

9

5

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

10

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

11

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

12

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Следующие действия также предполагают наличие отношения «один-ко-многим» между полями «Код товара» в таблицах «Заказы» и «Сведения о заказах» с таблицей «Заказы» на стороне «один» данного отношения.

Создание итогового запроса

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Выберите нужные таблицы и нажмите кнопку «Добавить».

    Таблица появится в виде окна в верхней части конструктора запросов.

    При использовании примеров таблиц, указанных выше, добавьте таблицы «Товары» и «Сведения о заказах».

  3. Дважды щелкните поля таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Как правило, в запрос добавляются только поле группы и поле значений. Однако вместо поля значения можно использовать вычисление — в следующих действиях объясняется, как это сделать.

    1. Добавьте поле «Категория» из таблицы «Товары» в бланк запроса.

    2. Создайте столбец, вычисляющий объемы продаж для каждой транзакции, введя во второй столбец бланка запроса следующее выражение:

      Общее значение продаж: (1-[Сведения о заказах].[Скидка]/100)*([Сведения о заказах].[Цена за единицу]*[Сведения о заказах].[Количество])

      Убедитесь, что поля, на которые ссылается выражение, имеют типы данных «Число» или «Денежный». Если оно ссылается на поля с другими типами данных, то при попытке переключения в режим таблицы появится сообщение об ошибке Несоответствие типов данных в выражении условия отбора.

    3. На вкладке Конструктор в группе Показать или скрыть нажмите кнопку Итоги.

      В бланке появится строка Итог, в первом и втором столбцах которой будет указано Группировка.

    4. Во втором столбце измените значение в строке Итог строки на Sum. Функция Sum суммирует отдельные показатели продаж.

    5. org/ListItem»>

      Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    6. Оставьте запрос открытым, чтобы использовать его в следующем разделе.

      Использование условий в итоговом запросе

      Запрос, созданный в предыдущем разделе, включает все записи в базовых таблицах. Он не исключает никакие заказы при вычислении итогов и отображает итоги для всех категорий.

      Если вам нужно исключить некоторые записи, можно добавить условия в запрос. Например, вы можете пропустить транзакции с суммой менее 100 ₽ или вычислить итоги только по некоторым категориям товаров. В этом разделе описано использование трех типов условий:

    7. org/ListItem»>

      Условия, игнорирующие некоторые группы при вычислении итогов.    Например, можно вычислить итоги только для категорий товаров «Видеоигры», «Картины и рамы» и «Спортивное снаряжение».

    8. Условия, скрывающие некоторые итоговые значения после их вычисления.    Например, можно отобразить только итоговые значения свыше 150 000 ₽.

    9. Условия, исключающие некоторые записи при вычислении итогового значения.    Например, можно исключить отдельные транзакции, в которых значение (Цена за единицу * Количество) меньше 100 ₽.

      На примере следующих действий объясняется, как добавить условия одно за другим и как это повлияет на результаты запроса.

      Добавление условий в запрос

    10. Откройте запрос из предыдущего раздела в Конструкторе. Для этого щелкните правой кнопкой мыши вкладку документа для запроса и выберите команду Конструктор.

      -или-

      Щелкните правой кнопкой мыши запрос в области навигации и выберите Конструктор.

    11. В строке Условия отбора столбца «Код категории» введите =Куклы Or Спортивное снаряжение or Картины и рамы.

    12. Чтобы выполнить запрос и отобразить результаты в режиме таблицы, нажмите кнопку Выполнить .

    13. Вернитесь в Конструктор и в строке Условия отбора столбца «Общее значение продаж» введите >100.

    14. Выполните запрос, чтобы просмотреть результаты, а затем переключитесь в Конструктор.

    15. Теперь добавьте условия для исключения отдельных транзакций, сумма которых меньше 100 ₽. Для этого необходимо добавить еще один столбец.

      Примечание: Невозможно указать третье условие для столбца «Общее значение продаж». Любое условие, указанное для этого столбца, будет применено к итоговому значению, а не к отдельным значениям.

    16. Скопируйте выражение из второго столбца в третий столбец.

    17. В строке Итог нового столбца выберите Условие, а в строке Условия отбора введите >20.

    18. Выполните запрос, чтобы просмотреть результаты, а затем сохраните его.

      Примечание: При следующем открытии запроса в Конструкторе можно заметить небольшие изменения в бланке. Во втором столбце выражение в строке Поле будет заключено в функцию Sum, а в строке Итоги будет указано Выражение вместо функции Sum.

      Общее значение продаж: Sum((1-[Сведения о заказах].Скидка/100)*([Сведения о заказах].Цена*[ Сведения о заказах].Количество))

      Будет также отображен четвертый столбец. Этот столбец — копия второго столбца, но условия, заданные во втором столбце, на самом деле отображаются как часть нового столбца.

К началу страницы

Суммирование данных из нескольких групп с помощью перекрестного запроса

Перекрестный запрос — это особый тип запросов, отображающий результаты в сетке, напоминающей лист Excel. Перекрестные запросы суммируют значения и затем группируют их по двум наборам фактов — один набор вдоль боковой стороны (заголовки строк) и второй набор вдоль верхней части (заголовки столбцов). На рисунке показана часть набора результатов для примера перекрестного запроса.

Помните, что перекрестный запрос не всегда заполняет все поля в наборе результатов, потому что таблицы, используемые в запросе, не всегда содержат значения для всех возможных точек данных.

При создании перекрестного запроса обычно включаются данные из нескольких таблиц, и всегда включаются три типа данных: данные, используемые в качестве заголовков строк, данные, используемые в качестве заголовков столбцов и значения, которые вы хотите просуммировать или с которыми необходимо произвести другие вычисления.

Инструкции в данном разделе предполагают использование следующих примеров таблиц:

Таблица «Заказы»

Дата заказа

Дата отгрузки

Город назначения

Стоимость доставки

14. 11.2005

15.11.2005

Москва

55,00 ₽

14.11.2005

15.11.2005

Санкт-Петербург

76,00 ₽

16.11.2005

17.11.2005

Санкт-Петербург

87,00 ₽

17. 11.2005

18.11.2005

Москва

43,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Краснодар

105,00 ₽

17.11.2005

18.11.2005

Новосибирск

112,00 ₽

18. 11.2005

19.11.2005

Иркутск

215,00 ₽

19.11.2005

20.11.2005

Владивосток

525,00 ₽

20.11.2005

21.11.2005

Иркутск

198,00 ₽

20. 11.2005

21.11.2005

Краснодар

187,00 ₽

21.11.2005

22.11.2005

Санкт-Петербург

81,00 ₽

23.11.2005

24.11.2005

Москва

92,00 ₽

Таблица «Сведения о заказах»

Идентификатор заказа

Наименование товара

Код товара

Цена за единицу

Количество

Скидка

1

Собери клавиатуру

12

77,95 ₽

9

5%

1

Недвижущаяся фигурка бюрократа

2

78,88 ₽

4

7,5%

2

Упражнение для компьютерных мониторов! DVD-диск!

7

14,88 ₽

6

4%

2

Волшебная микросхема

4

32,65 ₽

8

0

2

Компьютерные маньяки и мифические животные

6

78,50 ₽

4

0

3

Access! Игра!

5

22,95 ₽

5

15%

4

Фигурка программиста

1

12,95 ₽

2

6%

4

Неуловимая летающая пицца

8

36,75 ₽

8

4%

5

Внешний дисковод гибких дисков 5. 25» (масштаб 1:4)

9

65,00 ₽

4

10%

6

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

12

6,5%

7

Тьма

11

53,33 ₽

6

8%

7

Схема реляционной базы данных

3

22,50 ₽

4

9%

Ниже объясняется, как создавать перекрестный запрос, группирующий итоги продаж по городам. Запрос использует два выражения для возврата форматированной даты и общего объема продаж.

Создание перекрестного запроса

  1. На вкладке Создать в группе Другое нажмите кнопку Конструктор запросов.

  2. Дважды щелкните таблицы, которые вы хотите использовать в запросе.

    Таблица появится в виде окна в верхней части конструктора запросов.

    При использовании примеров таблиц дважды щелкните таблицы «Заказы» и «Сведения о заказах».

  3. org/ListItem»>

    Дважды щелкните поля, которые вы хотите использовать в запросе.

    Каждое имя поля появится в пустой ячейке в строке Поле на бланке.

    При использовании примеров таблиц добавьте поля «Город назначения» и «Дата отгрузки» из таблицы «Заказы».

  4. В следующую пустую ячейку строки Поле скопируйте и вставьте или введите следующее выражение: Итоги продаж: Sum(CCur([Сведения о заказах].[Цена за едницу]*[Количество]*(1-[Скидка])/100)*100)

  5. На вкладке Конструктор в группе Тип запроса щелкните элемент Перекрестная таблица.

    В бланке запроса будут отображены строки Итог и Перекрестный.

  6. Щелкните ячейку в строке Итог в поле «Город назначения» и выберите Группировка. Выполните те же действия для поля «Дата отгрузки». Измените значение в ячейке Итоги поля «Итоги продаж» на Выражение.

  7. В строке Перекрестный присвойте ячейке в поле «Город назначения» значение Заголовки строк, полю «Дата отгрузки» — значение Заголовки столбцов, а полю «Итоги продаж» — Значение.

  8. На вкладке Конструктор в группе Результаты нажмите кнопку Выполнить.

    Результаты запроса будут отображены в режиме таблицы.

К началу страницы

Справочные сведения об агрегатных функциях

В следующей таблице перечислены и отписаны агрегатные функции Access, которые можно использовать в строке итогов и в запросах. Помните, что в Access предусмотрено больше агрегатных функций для запросов, чем для строки итогов. Кроме того, при работе с проектом Access (внешней базой данных Access, которая подключается к базе данных Microsoft SQL Server) можно использовать расширенный набор агрегатных функций, предоставляемый SQL Server. Дополнительные сведения о них см. в электронной документации Microsoft SQL Server.

Функция

Описание

Поддерживаемые типы данных

Average

Вычисляет среднее значение для столбца. Столбец должен содержать числовые или денежные величины или значения даты или времени. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Count

Подсчитывает число элементов в столбце.

Все типы данных, за исключением сложных повторяющихся скалярных данных, таких как столбец многозначных списков.

Дополнительные сведения о списках, которые могут быть многоценными, см. в руководстве по полям, которые могут быть многоценными, а также к созданию или удалите многофаентное поле.

Максимум

Возвращает элемент, имеющий наибольшее значение. Для текстовых данных наибольшим будет последнее по алфавиту значение, причем Access не учитывает регистр. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Minimum

Возвращает элемент, имеющий наименьшее значение. Для текстовых данных наибольшим будет первое по алфавиту значение, причем Access не учитывает регистр. Функция игнорирует пустые значения.

«Число», «Денежный», «Дата/время»

Standard Deviation

Показывает, насколько значения отклоняются от среднего.

Дополнительные сведения об этой функции см. в статье Отображение итогов по столбцу в таблице.

«Число», «Денежный»

Sum

Суммирует элементы в столбце. Подходит только для числовых и денежных данных.

«Число», «Денежный»

Variance

Вычисляет статистическую дисперсию для всех значений в столбце. Подходит только для числовых и денежных данных. Если таблица содержит менее двух строк, Access возвращает пустое значение.

Дополнительные сведения о функциях для расчета дисперсии см. в разделе Отображение итогов по столбцу в таблице.

«Число», «Денежный»

К началу страницы

подборка сервисов и складов, где можно временно оставить свои вещи на хранение

Я трижды переезжала из квартиры в квартиру и знаю, как непросто разбирать горы мебели и коробки с вещами.

Полина Калмыкова

переезжает с комфортом

Профиль автора

Поэтому пришлось разобраться, как работают сервисы временного хранения — это такие цивилизованные аналоги гаражу. В них можно оставить коробки с вещами не первой необходимости, чтобы они не мешали во время перестановок. Или бытовую технику или мебель, которая оказалась лишней при переезде, но в перспективе еще пригодится.

В этом материале — склады и службы доставки, которые не подведут. Сохраните статью в закладки на случай, если у вас в квартире окажется больше вещей, чем нужно.

Сколько стоит: от 900 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 1 м³ до 1400 м²
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адреса складов: ул. Новоалексеевская, 18, стр. 5; ул. Поклонная, 11, стр. 6; микрорайон Северное Чертаново, 5; Бережковская набережная, 30Г; Щелковское шоссе, 100, к. 107; 2-й Павелецкий проезд, 12А

Условия. «Хоумсклад» — одна из самых крупных сетей хранения в Москве: сейчас у компании шесть складов в разных районах города.

Цены и размеры ячеек зависят от конкретного склада. В основном за месячную аренду квадратного метра просят 1500—1900 Р, но так только в теплых складах с постоянной температурой воздуха +18 °C. Если хотите сэкономить, арендуйте уличные контейнеры от 900 Р в месяц за квадратный метр. Правда, это не финальная цена: к стоимости аренды добавится страховой депозит в размере месячной платы — потом его можно вернуть или засчитать в оплату последнего месяца аренды.

Доступ в помещения складов круглосуточный, а вот к уличным контейнерам ночью не пустят. У охраны и сотрудников склада ключей от ячеек нет: попасть в бокс может или арендатор, или его доверенный человек, о котором предупреждена администрация.

Сколько стоит: от 1956 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 1 до 25 м²
Минимальный срок хранения: 14 дней
Адреса складов: ул. Электродная, 3Б; ул. Газопровод, 4Б; ул. Новоорловская, 5Б; ул. Люблинская, 60, к. 2; ул. Твардовского, 8, к. 1; ул. Рябиновая, 61А, стр. 3; ул. Барышиха, 39А; г. Химки, ул. Панфилова, стр. 37; г. Мытищи, ул. Трудовая, 33, стр. 1

Условия. «Складовка» — еще одна компания с большим количеством филиалов: можно выбрать один из девяти складов в разных районах города. Правда, почти все они находятся неподалеку от Мкада.

Чтобы рассчитать, какой объем бокса понадобится, на сайте есть удобный калькулятор: он умеет переводить в квадратные метры количество коробок или громоздкую мебель. Например, угловой диван, книжная полка и телевизор вместе со специальными полками займут всего 3,5 м².

Большая часть складов находится в закрытых теплых помещениях: зимой температура не опускается ниже +12 °C. Но для клиентов, которым нужно хранить что-то морозоустойчивое, есть экспериментальные уличные боксы.

Попасть на склад можно по индивидуальному пин-коду в любое время суток. Если помимо арендатора заходить в бокс нужно будет кому-то другому, его потребуется отдельно вписать в договор.

Сколько стоит: от 1700 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 1 м³ до 100 м²
На какой срок можно оставить: от 1 недели
Адреса складов: ул. Перерва, 11, стр. 27; Ленинградское шоссе, 236, стр. 1; Варшавское шоссе, 125, стр. 18; Магистральный переулок, 1; 12-й проезд Марьиной Рощи, 8, стр. 2

Условия. «Сити-бокс» выделяется своим вниманием к безопасности хранилища: компания предусмотрела восемь степеней защиты, которые не дадут посторонним добраться до вещей клиентов. Посещение своего бокса практически не ограничено: с 7 утра до полуночи клиент может входить в бокс свободно, а если нужно заглянуть за вещами ночью, потребуется заранее письменно уведомить об этом администрацию.

Склады спроектированы так, чтобы автомобиль с вещами мог подъехать как можно ближе к ячейке, а довезти коробки до финальной точки помогут тележки и подъемники. Все упаковочные материалы — коробки, скотчи, вакуумные пакеты, пленки и наполнители — можно купить в «Сити-боксе», а стеллажи и пластиковые контейнеры придется взять у компании в аренду.

Сколько стоит: от 1275 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 1 м³ до 30 м²
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адреса складов: ул. 2-я Магистральная, 14а, стр. 4

Условия. «Хранилище» — идеальный вариант для клиентов, которые хотят контролировать состояние вещей самостоятельно: за 1000 Р в месяц сотрудники склада установят камеру в бокс, которая будет показывать видео арендатору в прямом эфире.

В остальном условия стандартные: посещать склад можно круглосуточно, но только арендатору, а на любого другого человека нужно оформлять доверенность. Оплата помесячная, причем для заключения договора нужно внести страховой депозит — 100% от арендной платы за месяц.

Сколько стоит: от 672 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 0,6 м³ до 20 м²
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адреса складов: Ставропольский проезд, 7; ул. Беломорская, 36; Киевское шоссе, бизнес-парк «Румянцево», вл. 4, блок Д; Можайское шоссе, 166Б; ул. Маршала Жукова, 76, к. 2; ул. Профсоюзная, 69; Дербеневская набережная, 7, стр. 23

Условия. «Кладовкин» — более технологичная версия складов с индивидуальными ячейками: на сайте можно посмотреть адреса помещений, режим температуры и влажности в каждом из них, а еще увидеть, какие боксы свободны, и сразу забронировать понравившийся. Попасть в хранилище можно по индивидуальному пин-коду в любое время суток: склад работает без выходных и перерывов.

Для клиентов, которые хотят убедиться в удобстве и безопасности склада своими глазами, предусмотрен гостевой режим. По запросу сервис предоставляет одноразовый код доступа к любому свободному боксу, воспользоваться им можно в течение недели.

Ячейки отличаются друг от друга размерами и конфигурацией: можно подобрать идеальное помещение для длинных лыж или громоздкого компьютера. На некоторых складах контейнеры стоят таким образом, чтобы прямо к ним можно было подъехать на машине и не мучиться с транспортировкой тяжелых или громоздких вещей с парковки до бокса.

Чтобы заключить договор, клиенту потребуется оплатить услуги склада и оставить страховой депозит — 50% от размера ежемесячного платежа.

Сколько стоит: от 1283 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 1 м³ до 60 м²
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адреса складов: ул. Молодогвардейская, 61, стр. 3; ул. Нагатинская, 16; Звенигородское шоссе, 28, стр.  16; ул. Верхнелихоборская, 8А; г. Реутов, Транспортный переулок, 2а

Условия. «Альфасклад» тоже предлагает клиентам онлайн-бронирование: можно заранее увидеть все свободные боксы и ячейки во всех филиалах и забронировать самую удобную — например, узкую, но высокую, чтобы хранить велосипед.

Определиться с объемом бокса поможет калькулятор: туда включена не только мебель, но и другие повседневные вещи — от пианино до детской коляски. А тем, кто планирует использовать склад в коммерческих целях, подойдут другие единицы измерения: коробки и палеты.

Время посещения боксов зависит от склада. В большинстве филиалов клиент может приходить в бокс круглосуточно, но в помещении на Звенигородском шоссе ночной доступ закрыт: зайти на склад можно только с 08:00 до 20:30.

Как грамотно потратить и сэкономить

Рассказываем в нашей рассылке дважды в неделю. Подпишитесь, чтобы совладать с бюджетом

Сколько стоит: от 2000 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 2 до 100 м²
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адреса складов: ул.  Электродная, 2, стр. 28, пом. 1; ул. Боровая, 7, стр. 3

Условия. В «Кладовой № 1» нет маленьких ячеек: все боксы — это отдельно огороженные комнаты разной площади с высокими потолками. Зато компания предлагает одни из самых вместительных складских помещений — до 100 м²: это вряд ли пригодится обычной семье, которая переезжает из двушки в трешку, но может быть удобно владельцам интернет-магазинов.

За каждый квадратный метр компания попросит 1000 Р в месяц. Это все: страховой депозит или другие дополнительные траты договором не предусмотрены.

Посещать склад можно в любое время: но если клиент хочет попасть в свою ячейку раньше 9 утра и позже 9 вечера, об этом нужно заранее предупредить администрацию. Ключи от ячейки находятся только у арендатора: сотрудники компании не смогут попасть в бокс без согласования с клиентом.

Сколько стоит: от 450 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 0,02 до 100 м²
Минимальный срок хранения: 1 неделя
Адреса складов: ул.  Горбунова 6, к. 2, стр. 1; Ленинградское шоссе, 22; 3-й Угрешский проезд, 27; Варшавское шоссе, 28a, стр. 15; проспект 60-летия Октября, 11А, стр. 14; г. Химки, Вашутинское шоссе, 24б

Условия. Safebox — практически такой же минималистичный сервис, как и «Кладовая № 1»: компания сдает помещения в аренду и продает необходимые упаковочные материалы, но никаких других дополнительных услуг не оказывает. Правда, к стоимости аренды все-таки добавляется депозит: его размер зависит от размера бокса.

Главное преимущество — можно занять совсем маленькую ячейку. Это удобно, если нужно хранить документы или другие компактные вещи. Минимальный срок аренды в Safebox тоже один из самых коротких: вещи можно оставить всего на одну неделю. Доступ на склад — в любое время суток, а чтобы охрана пустила на склад кого-то кроме самого арендатора, потребуется доверенность.

Сколько стоит: от 450 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 0,5 м³ до 100 м²
Минимальный срок хранения: 1 неделя
Адреса складов: ул.  1-я Мытищинская, 27, стр. 2; Днепропетровский проезд, 1; ул. Смирновская, 2, стр. 2; 1-й Магистральный тупик, 5, стр. 4; Ленинградский проспект, 36, стр. 10

Условия. «Инбокс» предлагает два типа хранилищ: теплые склады и морские контейнеры, которые стоят на улице. Контейнеры стоят дешевле, но подойдут не для всех вещей: одежда, книги и мебель могут пострадать от перепадов температуры и влажности. А еще контейнеры можно снять только целиком — если вещей немного, платить за лишнюю площадь может быть невыгодно.

Платить нужно только за аренду склада: компания не берет страховой депозит, а вместо этого работает по предоплатной системе. Тарификация посуточная: минимальный срок аренды — 7 дней, а после этого можно платить только за те дни, когда вещи реально находились в боксе, и не переплачивать за полный месяц.

Сколько стоит: от 400 Р в сутки и 2750 Р в месяц
Какую площадь можно занять: от 5,10 до 15,91 м³
Минимальный срок хранения: 1 день
Адреса складов: ул.  Калибровская, 31А; ул. Электродная, 8; ул. Внуковская, 7А; ул. Подольских Курсантов, 3, стр. 7a; Очаковское шоссе, 32, стр. 23; 1-й Вязовский проезд, 5, стр. 1; Ленинградское шоссе, 63; рабочий поселок Бутово, 13; г. Красногорск, ул. Центральная, 3а

Условия. «Мобиус» предлагает клиентам особенную систему хранения: в мобильных контейнерах, которые можно загрузить прямо перед домом, а потом в закрытом виде привезти на склад. Когда вещи понадобятся обратно, процедура погрузки-разгрузки пройдет также быстро: грузовик просто привезет контейнер к дому и вернет его в компанию уже пустым.

Цена на хранение зависит от размера контейнера и площадки, на которой он будет стоять. У «Мобиуса» небольшой выбор доступных объемов: 5,10 м³, 8,57 м³, 11,83 м³ и 15,91 м³. Зато можно не переплачивать за поддержание тепла, если вещи в контейнере не требуют особых условий: хранение на открытой площадке стоит дешевле.

Для тех, кому нужно сохранить только шины до следующего сезона, у «Мобиуса» есть специальное предложение: можно не арендовать для этого целый склад, а оставить резину в общем контейнере — от 1800 Р за хранение комплекта в течение полугода.

Сколько стоит: от 499 Р в месяц
Какую площадь можно занять: без ограничений
Минимальный срок хранения: 1 месяц
Адрес терминала: ул. Складочная, 1, стр. 10

Условия. Другие склады предлагают сервис под ключ как дополнительную услугу, а «Чердак» сделал ее базовым вариантом. Клиент не может прийти на склад или арендовать ячейку: только вызвать грузчиков — и передать им вещи, которые сотрудники сервиса упакуют в подходящие коробки, а потом отвезут на склад.

На складе вещи погрузят на палеты и поставят на общие полки, а чтобы не запутаться, где чьи коробки, их промаркируют персональными штрихкодами. Эти же штрихкоды клиент увидит в личном кабинете: если ему понадобится срочно достать с полок какую-то вещь, ее возврат можно будет заказать в один клик.

Вещи, которые требуют специальных условий, хранят соответствующе: мотоциклы накрывают чехлами, а лыжи, велосипеды и сноуборды устанавливают в специальные крепления.

За счет того, что вещи на складе стоят на общих полках, клиентам не приходится переплачивать за воздух: деньги берут только за тот объем, который занимают вещи. Доставка и сбор вещей оплачиваются отдельно: 990 Р за 1 м³. Чтобы сэкономить, можно сдавать и забирать коробки в терминале самовывоза: это бесплатно.

Сколько стоит: от 149 Р в месяц
Какую площадь можно занять: без ограничений
Минимальный срок хранения: 1 или 3 месяца — зависит от тарифа

Условия. «Кьюби» работает по той же схеме, что и «Чердак»: клиенты не складывают вещи в ячейки, а передают сотрудникам сервиса, которые размещают их на общих полках.

Тарифы сервиса делятся на две большие группы: можно сдавать вещи поштучно и платить за каждый предмет отдельно, а можно выбрать объем, который они займут, и оплачивать его. Для мелких вещей компания бесплатно предоставляет пластиковые контейнеры — их наполняет клиент, а габаритные предметы уже упаковывают грузчики «Кьюби».

Первый вывоз вещей бесплатный, а дальше зависит от тарифа: поштучный вывоз стоит от 250 Р, час работы грузчиков-упаковщиков — 1500 Р. Вернуть вещи можно бесплатно: два раза в месяц, если клиент выбрал оплату за объем, и всегда, если вещи хранятся поштучно.

Помимо хранения «Кьюби» может вывезти и сдать на благотворительность ненужные вещи — их передадут фонду «Второе дыхание», а еще выставить вещи на перепродажу.

Где хранить вещи в Москве: сравнение сервисов

Представим, что у нас есть комплект шин, для которых места в квартире нет. Их нужно куда-то сплавить на полгода. Таблица ниже покажет, где будет выгоднее хранить эти шины, если нет свободного гаража или кладовки.

Где выгоднее хранить шины

ДепозитБронирование онлайнУличные контейнерыУпаковка и доставкаХранение шин на полгода
Хоумсклад9024 Р
Складовка10 430 Р
Сити-бокс10 200 Р
Хранилище6885 Р
Кладовкин7800 Р
Альфасклад2100 Р
Кладовая № 112 000 Р
Safebox5850 Р
Инбокс7200 Р
Мобиус3360 Р
Чердак2994 Р
Кьюби2994 Р

Хоумсклад

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

9024 Р

Складовка

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

10 430 Р

Сити-бокс

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

10 200 Р

Хранилище

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

6885 Р

Кладовкин

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

7800 Р

Альфасклад

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

2100 Р

Кладовая № 1

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

12 000 Р

Safebox

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

5850 Р

Инбокс

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

7200 Р

Мобиус

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

3360 Р

Чердак

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

2994 Р

Депозит

Бронирование онлайн

Уличные контейнеры

Упаковка и доставка

Хранение шин на полгода

2994 Р

Страница не найдена – портал Вашифинансы.

рф

Москва

Ваш город:

Москва

ПартнерамДля СМИ

Рус Eng

Неделя
финансовой грамотности
2021 Проверь уровень
финансовой грамотности Учись управлять
личными финансами Узнай
как защитить свои
права Финансовые
калькуляторы Как
говорить с детьми
о деньгах

С 1 октября 2021 года актуальные материалы по финансовой грамотности читайте на сайте

МОИФИНАНСЫ.РФ

В этом разделе вы можете ознакомиться с материалами, созданными в рамках совместного проекта Минфина России и Всемирного банка в период с 2010 по 2020 год.

Страница, которую вы запросили, отсутствует на нашем сайте.

Возможно, вы ошиблись при наборе адреса или перешли по неверной ссылке.

  • проверьте правильность написания;
  • воспользуйтесь главной страницей;
  • воспользуйтесь поиском выше;
  • воспользуйтесь картой сайта.
  • Контакты
  • Карта сайта
  • Условия использования материалов
  • На уровень выше
  • Финансы на каждый день
    • Вводный курс
    • Домашняя бухгалтерия
    • Долги и кредиты
    • Финансы и жилье
    • Работа и зарплата
    • Семья и деньги
    • Права и обязанности
    • Непредвиденные обстоятельства
    • Обеспеченная старость
    • Сохранить и приумножить
    • Словарь финансовых терминов
    • Вопрос? Ответ!
    • Мнение эксперта
    • Лайфхаки
  • Защита прав потребителей
  • Финансовые калькуляторы
    • Калькулятор потребительского кредита
    • Калькулятор личного накопительного плана
    • Ипотечный калькулятор
    • Калькулятор вклада с капитализацией процентов
    • Калькулятор кредита на неотложные нужды
  • Тесты
    • Финансовая арифметика для школьников
    • Финансовая грамотность для студентов
    • Финансовая грамотность для взрослых
    • Насколько вы финансово грамотны?
    • Литературная классика
    • Тесты сайта «ХочуМогуЗнаю»
  • Детям и молодежи о финансах
  • Архив материалов
    • Родителям
    • Педагогам
    • Исследователям
    • Детям и молодежи
    • Финансовым институтам
    • Взрослым
    • Пенсионерам
    • Для участников проекта
  • Для участников проекта
    • Методические центры

      — Федеральный методический центр по финансовой грамотности системы общего и среднего профессионального образования

      — Федеральный сетевой методический центр повышения квалификации преподавателей вузов и развития программ повышения финансовой грамотности студентов

      — Федеральный консультационно-методический центр по повышению финансовой грамотности взрослого населения

    • Материалы

      — Родителям

      — Педагогам

      — Исследователям

      — Детям и молодежи

      — Финансовым институтам

      — Взрослым

      — Пенсионерам

      — Для участников проекта

    • Педагогам
    • Календарь мероприятий
    • Журнал «Дружи
      с финансами»
    • Стратегия
    • Новые
      УМК

      — Описание

      — Итоговый релиз

      — Публикации в СМИ

      — ТВ сюжеты

      — Медиагалерея

      — Учебно-методические материалы для учащихся 2-3 классов

      — Методические материалы для учащихся 4 классов

      — Методические материалы для учащихся 5–7 классов

      — Методические материалы для учащихся 8–9 классов

      — Методические материалы для учащихся 10–11 классов

      — Учебно-методические материалы для учащихся 10–11 классов социально-экономического профиля

      — Учебно-методические материалы для студентов среднего профессионального образования

      — Учебно-методические материалы для воспитанников организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей

    • Материалы для
      региональных
      и городских
      порталов

      — Студентам и молодым специалистам

      — Подборка материалов для взрослых

      — Для пенсионеров и граждан предпенсионного возраста

      — Информация о COVID-19

    • Библиотека
    • Сельский
      финансовый
      фестиваль
    • Рейтинг
      Регионов России
  • Для СМИ
    • Пресс-центр
  • Как мы ускоряли время разгрузки товара на складе / Хабр

    Терминал сбора данных Zebra WT-40 со сканером-кольцом. Нужен для того, чтобы была возможность быстро сканировать товар, при этом укладывать физически короба на паллету (свободные руки).

    На протяжении нескольких лет мы очень быстро открывали магазины и росли. Закончилось это тем, что сейчас наши склады принимают и отправляют порядка 20 тысяч паллет в день. Естественно, сегодня у нас уже больше складов: два больших в Москве — 100 и 140 тысяч квадратных метров, но есть и небольшие в других городах.

    Каждая сэкономленная секунда в процессах приёмки, сборки или отправки товара в таких масштабах — это возможность сберечь время на операции. А ещё это огромная экономия.

    Именно поэтому два главных множителя эффективности — это продуманный алгоритм действий (процесс) и настроенные ИТ-системы. Желательно «как часы», но «работающие чуть менее, чем идеально» тоже вполне подойдёт. Всё же мы в реальном мире.

    История началась шесть лет назад, когда мы присмотрелись к тому, как именно поставщики разгружают фуры у нас на складе. Это было настолько нелогично, но привычно, что сотрудники даже не замечали неоптимальности процесса. Более того, в тот момент у нас не было промышленной системы управления складом, и в основном логистические операции мы доверяли 3PL-операторам, которые использовали свой софт и опыт в построении процессов.

    Приёмка товара

    Как мы уже говорили, наша компания на тот момент (как, в принципе, и сейчас) стремилась открыть много магазинов, поэтому пришлось оптимизировать складские процессы для увеличения пропускной способности (больше товаров за меньшее количество времени). Это непростая задача, и решить её, просто увеличив персонал, было нельзя хотя бы потому, что все эти люди будут друг другу мешать. Таким образом, мы начали думать о внедрении информационной системы WMS (warehouse management system). Как и полагается, мы начали с описания целевых складских процессов и уже в самом начале обнаружили непаханое поле для улучшений в процессе приёмки товара. Нужно было отработать процессы на одном из складов, чтобы потом накатить их на остальные.

    Приёмка — это одна из первых больших операций на складе. Она бывает нескольких типов: когда мы просто пересчитываем количество грузовых мест и когда нам необходимо, помимо этого, посчитать, сколько и каких артикулов лежит на каждой паллете. Большая часть товаров у нас проходит по потоку кросс-докинг. Это когда товары приезжают на склад от поставщика, а склад выступает в роли роутера и старается тут же переотправить их на конечного получателя (магазин). Есть и другие потоки, например, когда склад выступает в роли кэша или в роли накопителя (нужно положить поставку в сток, разделить на части и постепенно вывозить в магазины). Наверное, про работу со стоком лучше расскажут мои коллеги, которые занимаются математическими моделями оптимизации остатков. Но тут сюрприз! Проблемы стали возникать чисто на ручных операциях.

    Процесс выглядел так: грузовик приезжал, водитель менялся документами с администратором склада, администратор понимал, что там приехало и куда его отправить, потом направлял грузчика забирать товар. Всё это занимало около трёх часов (конечно, во многом время приёмки зависит от того, какой логистический поток мы принимаем: где-то необходимо делать внутритарный пересчёт, а где-то — нет). Большее количество людей на один грузовик направить нельзя: будут друг другу мешать.

    Какие были потери? Их было море. Во-первых, работники склада получали бумажные документы. Они ориентировались и принимали решения, что делать с поставкой, по ним. Во-вторых, они считали паллеты вручную и в этих же товарных накладных отмечали количество. Потом заполненные бланки приёмки относились к компьютеру, где данные забивались в XLS-файл. Данные из этого файла затем импортировались в ERP, и только тогда наше ИТ-ядро по факту видело товар. Мы имели очень мало метаданных о заказе вроде времени прибытия транспорта, либо эти данные были неточными.

    Первое, что мы сделали, — это начали автоматизировать сами склады так, чтобы у них появилась поддержка процессов (понадобилось поставить кучу софта, железа наподобие мобильных сканеров штрихкодов, развернуть инфраструктуру для всего этого). Потом связали эти системы с ERP через шину. В конечном итоге информация о наличии товара обновляется в системе, когда грузчик проводит сканером штрихкода по паллете на приехавшем грузовике.

    Стало так:

    1. Поставщик сам заполняет данные о том, что отправляет к нам и когда. Для этого есть связка из SWP и EDI-порталов. То есть магазин публикует заказ, а поставщики берутся выполнить заявку и поставить товар в нужном количестве. Они же при отправке товара указывают состав паллет в фуре и всю необходимую информацию логистического характера.
    2. Когда машина уехала от поставщика к нам, мы уже знаем, какой товар к нам идёт; более того, с поставщиками налажен электронный документооборот, поэтому мы знаем, что УПД уже подписан. Готовится схема оптимального перемещения этого товара: если это кросс-докинг, то мы уже заказали транспорт со склада, рассчитывая на товар, а также для всех логистических потоков мы уже определили, какое количество складских ресурсов нам понадобится для обработки поставок. В деталях для кросс-докинга предварительный план по транспорту со склада делается на более раннем этапе, когда поставщик только зарезервировал слот на поставку в системе управления складскими воротами (YMS — yard management system), которая интегрирована с порталом поставщика. Информация приходит в YMS сразу.
    3. YMS получает номер грузовика (если быть точнее, то номер отгрузки из SWP) и записывает водителя на приёмку, то есть отводит ему необходимый слот времени. То есть теперь водителю, который приехал вовремя, не нужно ждать живой очереди, а под него отведены его законное время и док разгрузки. Это позволило нам, кроме всего прочего, оптимально распределять грузовики по территории и эффективнее использовать разгрузочные слоты. А ещё, поскольку мы заранее составляем график, кто, куда и когда приедет, то знаем, сколько людей и где нужно. То есть это ещё связано с рабочими графиками сотрудников склада.
    4. В итоге этой магии грузчики уже не нуждаются в дополнительной маршрутизации, а лишь ожидают машины для их разгрузки. Фактически их инструмент — терминал — говорит им, что делать и когда. На уровне абстракции это как API грузчика, но в human-computer interaction-модели. Момент сканирования первой паллеты с грузовика — это ещё запись метаданных по поставке.
    5. Разгрузка пока делается всё так же руками, но по каждой паллете грузчик проводит сканером штрихкодов и подтверждает, что данные этикетки в порядке. Система контролирует, чтобы это была правильная паллета, которую мы ожидаем. К концу разгрузки в системе будет точный пересчёт всех грузовых мест. На этой стадии ещё отсеивается брак: если есть явные повреждения транспортной тары, то достаточно просто отметить это в процессе разгрузки или вовсе не принять этот товар, если он совсем негодный.
    6. Раньше паллеты пересчитывались в зоне разгрузки после того, как все будут выгружены из машины. Сейчас уже процесс физической выгрузки является пересчётом. Брак мы возвращаем сразу же, если он очевидный. Если он неочевидный и обнаруживается потом, то мы накапливаем его в специальный буфер на складе. Гораздо быстрее прокинуть паллету дальше в процесс, собрать с десяток таких и дать возможность поставщику забрать всё сразу за один отдельный приезд. Некоторые виды брака переводятся в зону утилизации (это часто касается зарубежных поставщиков, которым проще получить фотографии и прислать новый товар, чем принимать его обратно через границу).
    7. В конце разгрузки подписываются документы, и водитель уезжает дальше по своим делам.

    В старом процессе паллеты перемещались зачастую в специальную буферную зону, где уже с ними работали: считали, регистрировали брак и так далее. Нужно было это для того, чтобы освободить док для следующей машины. Сейчас все процессы настроены так, что эта буферная зона просто не нужна. Есть выборочные пересчёты (один из примеров — процесс выборочного внутритарного пересчёта для кросс-докинга на складе, реализованный в проекте «Светофор»), но большая часть товара обрабатывается сразу по факту приёмки и именно из дока едет на оптимальное место на складе или сразу в другой док для погрузки, если транспорт на отгрузку со склада уже прибыл. Знаю, для вас это звучит немного обыденно, но пять лет назад на огромном складе возможность обработать поставку сразу на конечные точки вроде дока погрузки для другого грузовика — это нам казалось чем-то вроде космической программы.

    Что дальше происходит с товаром?

    Дальше, если это не кросс-докинг (и товар уже не уехал в буфер перед отправкой или прямо в док), то его нужно положить в сток на хранение.

    Нужно определить, куда этот товар пойдёт, в какую ячейку хранения. В старом процессе нужно было зрительно определить, в какой зоне мы храним товары данного типа, и потом выбрать там место и отвезти, положить, записать, что положили. Сейчас у нас настроены маршруты размещения по каждому товару по топологии. Мы знаем, какой товар в какую зону и в какую ячейку должен попасть, знаем, сколько ячеек занять дополнительно рядом, если это негабарит. Человек подходит к паллете и сканирует её SSCC с помощью ТСД. Сканер показывает: «Вези в А101-0001-002». Дальше он везёт туда и отмечает, что положил, тыкая сканером в код на месте. Система проверяет, что всё правильно, и отмечает. Ничего писать не нужно.

    На этом первая часть работы с товаром заканчивается. Дальше магазин готов забирать его со склада. И это порождает следующий процесс, про который лучше расскажут коллеги из отдела снабжения.

    Итак, в системе сток обновляется в момент приёмки заказа. А запас ячейки — в момент постановки паллеты в неё. То есть мы всегда знаем, сколько товара есть на складе итого и где какой лежит конкретно.

    Очень много потоков работает напрямую в хабы (региональные перевалочные склады), потому что у нас много местных поставщиков в каждом регионе. Те же кондиционеры из Воронежа удобнее ставить не на федеральный склад, а сразу в хабы на местах, если это быстрее.

    Обратные потоки брака тоже слегка оптимизированы: если товар на кросс-докинге, то поставщик может забрать его со склада в Москве. Если брак вскрылся уже после открытия транспортной упаковки (и снаружи это было непонятно, то есть он появился не по вине транспортников), то есть зоны возврата в каждом магазине. Брак можно забросить на федеральный склад, а можно отдавать поставщику прямо из магазина. Второе случается чаще.

    Ещё один процесс, который сейчас нуждается в оптимизации, — это обработка непроданных сезонных товаров. Дело в том, что у нас есть два важных сезона: Новый год и время сада-огорода. То есть в январе мы получаем на РЦ нереализованные искусственные ёлки и гирлянды, а к зиме — газонокосилки и другие сезонные товары, которые нужно сохранить, если они выдержат ещё год. По идее, нужно распродавать их полностью в конце сезона либо отдавать кому-то ещё, а не тащить обратно на склад — вот это та часть, куда у нас ещё не дошли руки.

    За пять лет мы сократили время приёмки товара (разгрузку машины) в четыре раза и ускорили ряд других процессов, что в общей сложности улучшило оборачиваемость кросс-докинга чуть больше, чем вдвое. Наша задача — оптимизация, чтобы снизить запас и не «замораживать» деньги на складе. И дали возможность магазинам получать нужный товар чуть более вовремя.

    По складским процессам большие улучшения заключались в том, чтобы автоматизировать то, что раньше было бумагой, избавиться от лишних этапов в процессе за счёт оборудования и правильно настроенных процессов и соединить все ИТ-системы компании в единое целое, чтобы заказ из ERP (например, в магазине чего-то не хватает на третьей полке слева) в конечном итоге превращался в конкретные действия в системе складского хранения, заказа транспорта и так далее. Сейчас оптимизация больше касается тех процессов, до которых мы ещё не добирались, и математики прогнозирования. То есть эпоха бурного внедрения закончилась, мы сделали те 30 % работы, которые дали 60 % результата, и дальше надо постепенно покрывать всё остальное. Либо двигаться на другие участки, если там можно сделать больше.

    Ну и если считать в спасённых деревьях, то переход поставщиков на EDI-порталы тоже очень много дал. Сейчас практически все поставщики не звонят и не общаются с менеджером, а сами в личном кабинете смотрят заказы, подтверждают их и везут товар. По возможности отказываемся от бумаги, с 2014 года уже 98 % поставщиков — на электронном документообороте. В общей сложности это сохранённые 3 000 деревьев за год только на отказе от распечатки всех нужных бумаг. Но это без учёта тепла от процессоров, но и без учёта сэкономленного рабочего времени людей вроде тех же менеджеров на телефоне.

    За пять лет у нас стало в четыре раза больше магазинов, в три раза больше различных документов, и, если бы не было EDI, у нас было бы в три раза больше бухгалтеров.

    Мы не останавливаемся на достигнутом и продолжаем подключать к EDI новые сообщения, новых поставщиков к электронному документообороту.

    В прошлом году мы открыли крупнейший распределительный центр в Европе — 140 тыс. кв. м — и взялись за его механизацию. Об этом я расскажу в другой статье.

    Моя неделя инсайдера Amazon | Amazon

    Первое, что я вижу на складе Amazon в Суонси, — это упаковка собачьих подгузников. Второй — массивный розовый пластиковый фаллоимитатор. Площадь склада составляет 800 000 квадратных футов, или, в стандартной единице измерения Amazon, размер 11 футбольных полей (склад в Данфермлине, крупнейший в Великобритании, составляет 14 футбольных полей). От края до края четверть мили. Оказывается, есть место для ужасного количества дерьма.

    Но с другой стороны, на его британском веб-сайте есть более 100 миллионов товаров: если вы можете себе это представить, Amazon продает их. И если вы не можете себе этого представить, что ж, Amazon тоже это продает. Тратить 10,5 часов в день, выбирая товары с полок, означает созерцать самые темные уголки наших потребительских желаний, самые дикие уголки вещей, вещи, которые можно купить за деньги: браслет с подвесками One Direction, комбинезон для собаки, когтеточка для кошек, разработанная выглядеть как пластинка ди-джея, нож для бананов, фальшивая веточка. Я работаю в основном в крупногабаритном «неперевозимом» отделе, где продаются корма для диабетических собак, биоорганические вегетарианские корма для собак и корма для собак с ожирением; 52-дюймовые телевизоры и шесть упаковок воды, доставленные с Фиджи, и негабаритные секс-игрушки — 18-дюймовые двойные донги (секс-игрушки обычного размера находятся на полках в разделе сортируемых товаров).

    На второй день менеджер говорит нам, что только мы собрали и упаковали 155 000 товаров за последние 24 часа. Завтра, 2 декабря, в самый загруженный день онлайн-покупок в году, эта цифра приблизится к 450 000. И это только один из восьми складов по всей стране. В прошлом году Amazon принял 3,5 млн заказов за один день. Рождество — это ее Вьетнам — испытание ее корпоративного характера и своего рода вызов, который заставил бы даже самого опытного менеджера по поставкам сломаться и заплакать. За последние две недели компания наняла дополнительно 15 000 сотрудников агентства в Великобритании. И он рассчитывает удвоить количество складов в Великобритании в ближайшие три года. Компания рассчитывает продолжить рост, сделавший ее одной из самых мощных транснациональных корпораций на планете.

    Прямо сейчас в Суонси четыре смены будут работать по крайней мере 50 часов в неделю, вручную собирая и упаковывая каждый предмет, или, как написала Daily Mail в статье несколько недель назад, быть «Amazon’s эльфы» в «гроте Санты 21 века».

    Если бы Санта платил своим временным эльфам минимальную заработную плату, одновременно подгоняя их к пределам директивы ЕС о рабочем времени и увольняя их, если они берут три больничных в любой трехмесячный период, это было бы подходящим сравнение. Вероятно, разумно предположить, что уклонение от уплаты налогов не является «конституционно» частью бизнес-модели Санта-Клауса, как утверждает Брэд Стоун, автор новой книги об Amazon, Магазин всего: Джефф Безос и эпоха Amazon , говорит мне, что это в случае с Amazon. Санта также не пытается запугивать своих конкурентов, в чем его обвиняет Марк Константин, основатель косметической компании Lush, который на прошлой неделе подал на Amazon в суд. Дед Мороз не был вызван в Счетный комитет палаты общин, и депутаты назвали его «аморальным».

    В течение недели я был амазонским эльфом: временным работником, получившим работу через агентство по трудоустройству Суонси — хотя оказалось, что я был не единственным журналистом, которому пришла в голову эта идея. В прошлый понедельник BBC Панорама транслировала программу, в которой были тайно сняты кадры с того же склада. На мгновение я задаюсь вопросом, совершили ли мы абсолютный абсурд для СМИ, и репортер шоу под прикрытием Адам Литтлер тайно снял меня, пока я тайно брал у него интервью. Он этого не сделал, но это не совпадение, что самый успешный онлайн-бизнес в мире находится в центре внимания. Потому что Amazon — это будущее покупок; быть «партнером» Amazon в «центре выполнения» Amazon — примите это за двусмысленность, мистер Оруэлл — это будущее работы; а уплата Amazon минимального налога в любой юрисдикции — это будущее глобального бизнеса. Будущее, в котором транснациональные корпорации обладают большей властью, чем правительства.

    Но кто же тогда не щелкал что-нибудь по рассеянности в праздную минуту на работе, или при просмотре телека в пижаме, и, как маленькое чудо современной жизни, не получал знакомый коричневый картонный пакет, падающий на ваш коврик через день. Amazon успешен по одной причине. Это блестяще в том, что он делает. «Он решил эти огромные проблемы, — говорит Брэд Стоун. «Он справился с хаосом хранения десятков миллионов продуктов и выяснил, как доставить их людям вовремя и в обязательном порядке, и никто другой не подошел даже близко». Мы не просто собрали и упаковали более 155 000 товаров в первый день. Мы отобрали и упаковали нужные товары и отправили их нужным клиентам. «Мы не пропустили ни одного заказа», — с гордостью говорит нам руководитель нашего отдела.

    В конце моего первого дня я вхожу в свою учетную запись Amazon. Я вышел из дома моей мамы за пределами Кардиффа в 6:45 утра и вернулся в 19:30, и мне нужен блистерный пластырь Compeed для пальцев ног, и я не могу сделать это перед работой, и я не могу сделать это после работы. Мой палец зависает над опцией «добавить в корзину», но вместо этого я смотрю на свою историю Amazon. Я сделал свою первую покупку, The Rough Guide to Italy , в феврале 2000 года и помню, что купил его для статьи, которую я написал о бронировании отпуска в Интернете. Так непривычно читать это сейчас. Это из эпохи до появления широкополосной связи (я перечисляю свой телефонный счет за день, и это стоило мне 25,10 фунтов стерлингов), когда Google был в зачаточном состоянии. Он завален названиями неработающих веб-сайтов (помните сайт сэра Боба Гелдофа «deskchair.com», кто-нибудь?). Это была разочаровывающая задача, и почти все, что я заказал, только книга пришла вовремя, как и просили.

    Но ведь это феноменальная операция. А работать в — и мне трудно напечатать эти слова, не испытывая припадка иронии — «центр выполнения» должен быть крошечным винтиком в огромной глобальной машине распределения. Это промышленный процесс в действительно массовом масштабе, который стал возможен благодаря новым технологиям. Место может выглядеть так, как будто оно было заполнено в 2 часа ночи пьяным заполнителем полок: на типичной полке может быть набор бритвенных лезвий, упаковка презервативов и DVD My Little Pony . И все же все систематизировано, потому что так должно быть. Это делает еще более маловероятным, что в основе операции, перетасовки предметов от укладки к сбору, упаковке и отправке, лежат те телесные, не всегда надежные, склонные к сбоям вещи, которых мы знаем как людей.

    Именно здесь, когда настоящие люди сталкиваются с бизнес-требованиями одной из самых передовых технологических компаний на планете, все становится грязным. Это система, включающая в себя такие несистематические вещи, как надежды и страхи, планы на будущее, детей и жизни. А в местах с высоким уровнем безработицы и низкими экономическими возможностями, где Amazon намеренно размещает свои распределительные центры — компания получила 8,8 млн фунтов стерлингов в виде грантов от правительства Уэльса на размещение здесь склада, — отчаяние просачивается по краям. На собеседовании — заполнении анкет, тестировании на наркотики и алкоголь, общей проверке умений читать в местном агентстве по трудоустройству — нам показывают видео. Объясняется процесс и берутся интервью у некоторых людей. «Как и вы, я начал работать в агентстве на Рождество», — говорит один из мужчин. «Но я быстро устроился на постоянную работу, потом повысился и теперь, два года спустя, я региональный менеджер».

    Нам сказали, что после Рождества Amazon будет брать людей на постоянной основе, и если вы будете усердно работать, вы можете стать одним из них. В районе Суонси/Нит/Порт-Талбот, области, все еще страдающей от ударов британского постиндустриального упадка, это сильные слова, хотя все начинает довольно быстро распутываться. Есть четыре агентства, которые предоставили персонал на склад, и их представители работают за столами на складском этаже. Переходя с одной тренировки на другую, я спрашиваю одного из них, сколько постоянных сотрудников работает на складе, но он меня ослышался и отвечает совсем на другой вопрос: «Ну, очевидно, не всех возьмут. Вы только посмотрите на цифры. Честно говоря, агентства должны говорить это только для того, чтобы заставить людей пройти через дверь».

    Так и есть. Это то, к чему стремится большинство людей в моей вводной группе. Я тренируюсь с Питом — его имя изменено, — который последние три года безработный. До этого он был санитаром. Он живет на вершине долины Рондда, и его напарница Сьюзан (имя тоже изменено), безработный техник по ремонту компьютеров, тоже только начала. Им потребовалось больше часа, чтобы добраться до работы. «Нам приходилось поднимать детей в пять, — говорит он. После 10,5-часовой смены и еще примерно часа езды обратно, прежде чем забрать детей у родителей, они вернулись домой в 9 часов.вечера. На следующий день они сделали то же самое, за исключением того, что Сьюзан подвернула лодыжку в первую смену. Она звонит, но получает «очко». Если она наберет три балла, ее «отпустят», как увольняют в современном корпоративе.

    Кэрол Кадвалладр из The Observer возле склада, где она проработала неделю. Фотография: Стивен Шепард для Observer

    А еще есть «Лес», один из наших тренеров. У него есть специальный цветной ремешок, который показывает, что он «посол» Amazon, и другой, на котором написано, что он оказывает первую помощь. Он проработал на складе больше года, и в течение недели я вижу, как он мчится по цеху со скоростью как минимум вдвое превышающей мою. Ему за 60, и он рассказывает мне, как потерял два стоуна за первые два месяца работы там от ходьбы. Когда мы подали заявку на работу, нам сказали, что мы можем проходить пешком до 15 миль в смену. Он был старшим менеджером в одной и той же фирме в течение 32 лет, прежде чем его уволили и он оказался здесь. Сколько времени прошло, прежде чем вы получили постоянную работу, спрашиваю я его. «А я нет», — говорит он и поднимает свой зеленый бейдж. Постоянные сотрудники имеют синие, лучшую почасовую ставку, а через два года опционы на акции, и на работе присутствует тонкий апартеид.

    «Они развешивают эти синие значки перед вами», — говорит Билл Вулкок, бывший сотрудник центра выполнения заказов Amazon в Ругли, Стаффордшир. «Если у вас есть синий значок, у вас есть лучшая заработная плата, соответствующие права. Вы можете работать вместе с кем-то на той же работе, но они стабильны, а вы просто пушечное мясо. Я работал там с сентября 2011 года по февраль 2012 года и далее. В канун Рождества у выхода стоял представитель агентства с блокнотом и говорил: «Вы вернулись после Рождества. И вы вернулись. А вас нет. Вы не вернулись». Это было просто жестоко. Это напомнило мне истории о Великой депрессии, когда мужчины стояли у ворот фабрики в надежде, что их отберут на несколько дней работы. Вы просто чувствуете, что у вас нет никакой личной ценности ».

    Почему тебе не дали нормальную работу, спрашиваю я Леса, и он пожимает головой, но в других местах люди бормочут: это друзья менеджеров получают работу. Это HR выбирает имена наугад. Это какая-то черная магия, которую никто не понимает. Уходя со смены в огромной волне оранжевых светоотражающих жилетов, я болтаю с другим мужчиной лет шестидесяти. По его словам, он работал на шахте Юнити недалеко от Нита, пока месяц назад его не уволили во второй раз за два года. На прошлое Рождество он тоже работал в Amazon. «И они просто отпустили меня сразу после этого, без предупреждения или чего-то еще. И я не мог работать больше! Я выработал свои носки!»

    Когда я задал вопрос Amazon, он ответил: «Небольшое количество сезонных сотрудников работает с нами в течение длительного периода времени, и мы стремимся сохранить этих людей, чтобы мы могли предоставить им постоянную роль, когда один становится доступным. В 2013 году мы смогли создать 2300 постоянных рабочих мест для сезонных сотрудников, воспользовавшись сезонностью Рождества, чтобы найти отличных постоянных сотрудников, но, к сожалению, мы просто не можем удержать 15 000 сезонных сотрудников».

    А вот что Amazon говорит о своей политике в отношении болезней: «Amazon — это компания, которая развивается, и мы предлагаем высокий уровень безопасности для всех наших сотрудников. Как и многие компании, мы используем систему учета посещаемости сотрудников. и проверять все личные обстоятельства в отношении любых проблем с посещаемостью, и мы не будем увольнять кого-либо по причине болезни Текущие системы, используемые для учета посещаемости сотрудников, являются справедливыми и предсказуемыми и привели к увольнению 11 постоянных сотрудников из более чем 5000 постоянных сотрудников. сотрудников в 2013 году».

    Стоит отметить, что агентские работники не являются сотрудниками Amazon.

    Без сомнения, это тяжелая физическая работа. Документальный фильм Panorama был посвящен милям, которые прошел Адам, волдырям, которые он получил, нелепым целям и тому факту, что за вами каждую секунду каждую смену следит оруэлловская трубка. Как работнику агентства, вам платят 19 пенсов в час сверх минимальной заработной платы — 6,50 фунтов стерлингов — и смены длятся 10,5 часов. Но многие работы связаны с тяжелым физическим трудом. Это не то, что беспокоит людей. Почти все остаются стойкими перед лицом физического дискомфорта и истощения. И они валлийцы: теплота и дружелюбие исходят почти от всех, кто там работает. Лидер моей группы не корпоративный дроид. Он начал с цеха, звучит как Ричард Бертон и мягко подбадривает. И все еще.

    «Я работал везде», — говорит мне водитель погрузчика. «И это самое худшее. Они платят дерьмо, потому что могут. Потому что другой работы там нет. Поверьте мне, я знаю, я пытался. На моей последней работе я работал за 12 фунтов в час. Я получаю 8 фунтов». час здесь. Раньше я работал в Sony, и они были строгими, но справедливыми. Это несправедливость, которая привела вас сюда».

    Несправедливость, у которой нет выхода. После документального фильма Би-би-си Хайвел Фрэнсис, член парламента от Аберавона, на прошлой неделе сумел добиться встречи с директором по общественной политике Amazon, встречи, которую он пытался добиться в течение многих лет. Он не хочет говорить о жалобах, которые он услышал от своих избирателей, но говорит, что «завод является исключительным в этом районе тем, что на нем нет представительства профсоюза. Это был долгий путь, чтобы даже добраться туда и узнать, что происходит». Это была черная дыра, где отсутствие каких-либо проверок его мощности оставило ощущение, что все сделано до мелочей — от самой дешевой из дешевых пластиковых защитных ботинок, на замену которых, кажется, большинство сотрудников с большим стажем работы тратят собственные деньги. с чем-то, в чем они могут ходить, к политике увольнения, если вы больны, к 15-минутному перерыву, который начинается, где бы вы ни оказались на складе. На третье утро, в самый низший момент, когда моя энергия иссякла, а настроение упало, мне требуется шесть минут, чтобы дойти до сканеров в стиле аэропорта, где меня обыскивают в течение минуты. Я стою в очереди в туалет, достаю банан из своего шкафчика, сажусь на 30 секунд, а затем встаю и иду шесть минут обратно на свою станцию.

    Работать в Amazon — значит проводить дни на острие потребительства. Чтобы засвидетельствовать нашу жажду вещей. Материалы этого года включают в себя огромное количество Xbox и Kindle, а также кулинарную книгу Джейми Оливера этого сезона, «Сохранить с Джейми » (хотите сэкономить с Джейми? Не покупайте его дерьмовую книгу) и « пирогов и пудингов» Пола Голливуда и . Рик Стайн Индия .

    Кулинарные книги знаменитых поваров приводят меня в ярость. Они даже не удосуживаются вынуть их из коробок. Они лежат огромными кучками размером с гору европейского масла в конце прохода. Приготовьте яйцо по телевизору, и это все равно, что получить лицензию на печать денег на всю вечность. Подавляющее большинство людей, работающих на складе, белые, валлийцы, рабочий класс, но я тренируюсь с человеком, которого зовут не Сэмми и который не проситель убежища из Судана, а из другой страны, и я провожу день, объясняя ему, что имеет в виду сканер, когда говорит ему поискать чулок для собак Good Boy Luxury или компакт-диск с гипнозом Gastric Mind Band.

    Рождественский адвент-календарь куклы Барби, однако, меня чуть не сломил. Я хожу туда-сюда в секцию F, где разрезаю коробку, беру еще один адвент-календарь Барби, распаковываю коробку и кладу ее в мусорную кучу, кладу календарь, который был доставлен из Китая, передан из контейнерного порта в стороннего дистрибьютора, а оттуда на склад Amazon, на мою тележку и передать ее упаковщикам, где она будет переупакована в другую коробку и, наконец, достигнет своего конечного пункта назначения: радости в сердце маленького ребенка. Потому что ничто так не отражает волшебство Рождества, как фотография надувной блондинки с несколькими сумками для покупок. Вы не можете установить цену на это (9 фунтов стерлингов.23 с бесплатной доставкой).

    Прибытие Amazon совпало с закатом главной улицы в соседнем городке Бритон-Ферри. Фотография: Стивен Шепард для Observer

    Нам нужны дешевые вещи. И мы хотим заказать его с наших кресел. И мы хотим, чтобы его доставили к нашим дверям. И именно Amazon придумал, как это сделать. Со временем, как у закоренелого наркомана, моя привычка к Amazon увеличилась. В 2002 году я заказал свой первый некнижный товар, видео This Life серии 1; в 2005 году мой первый продукт не от Amazon, подержанная копия биографии Патрисии Хайсмит; а в 2008 году я начал делать онлайн-эквивалент внутривенных инъекций, когда купил на сайте телевизор. «Мы самая клиентоориентированная компания на земле», — говорят нам на вступительном брифинге, незадолго до того, как нам объясняют, что если мы опоздаем, то получим полбалла, а после трех из них мы вылетаем. Что такое опоздание, спрашиваю я. «Одну минутку», — говорят мне.

    Я вырос в Южном Уэльсе и своими глазами видел, как рецессия 1980-х нанесла жестокий удар по всему, включая мою собственную большую семью. Я всегда знал, что между очень разными жизнями есть лишь тонкий кусочек удачи. Но тогда мой дедушка работал на складе в Суонси. В моем случае между мной и жизнью амазонки на самом деле всего лишь кусочек удачи. У меня есть много времени, чтобы подумать об этом в течение моего 10,5-часового рабочего дня.

    В клубе рабочих Neath вниз по дороге один из сотрудников сказал мне, что Amazon является «работодателем последней надежды». Это место, где вы получаете работу, если вы не можете найти работу где-либо еще. И это так душераздирающе. Чем вы занимались раньше, спрашиваю я людей. И они говорят, что они строители, менеджеры гостиничного бизнеса, выпускники отдела маркетинга, специалисты по информационным технологиям, плотники, электрики. У них был собственный бизнес, и их уволили. Или бизнес разорился. Или у них был инсульт. Или их контракт закончился. Это люди, имевшие квалифицированную работу, или профессиональную работу, или просто более высокооплачиваемую работу. А теперь они работают на Amazon, получая минимальную заработную плату, и большинство из них благодарны за это.

    Amazon не несет ответственности за экономику в целом, но именно экономика в целом делает модель Amazon такой пугающей. Под угрозой оказываются не только приятные приятные рабочие места, такие как работа в книжном магазине, как Хью Грант в Notting Hill , или в музыкальном магазине, как герой в High Fidelity Ника Хорнби, или работы, которые побывали в Borders, Woolworths, Jessops и HMV, да и во всем остальном тоже. На очереди все: работа в обувном отделе в John Lewis, или за кассой в Tesco, или работа с персоналом, или аудит их счетов, или создание их веб-сайтов, или написание их корпоративных журналов. Торговый центр Суонси дальше по дороге уже превратился в катастрофу; пустырь благотворительных магазинов и то, что Сара Риз из книжного магазина Cover to Cover называет «второсортным Debenhams и третьесортным Marks and Spencer».

    «Люди знают об их методах работы, и все курьеры их ненавидят, но помнят ли люди об этом, когда щелкают? Наверное, нет. Мы пытаемся убить их добротой», — говорит она. «Джинна обратно в бутылку не посадишь». Но тогда больше нечем их убивать. Часто для нее дешевле заказывать книги на Amazon, чем через своего дистрибьютора. «Мы открыто говорим об этом и рассказываем людям, но у нас просто нет возможности конкурировать с ними по цене».

    Аппетитам Amazon нет конца. «Он расширяется во всех мыслимых направлениях, — говорит мне Брэд Стоун. «Вот почему я назвал свою книгу Магазин всего . Их стремление продать все. У них уже есть свои цифровые услуги и свои корпоративные услуги. Они только начали продавать искусство. Одежда все еще очень незрелая и настроена на расширение. Продовольственные товары — следующая большая вещь. После этого они идут очень активно, потому что это сократит расходы в других местах. Если они смогут запустить свои собственные грузовики в крупных городских районах, они смогут сократить расходы на сторонних грузоотправителей». Я подозреваю, что они будут приобретать», — говорит он. И везде это убивает рабочие места. Согласно исследованию, проведенному компанией ILSR, в магазинах работает 47 человек на каждые 10 миллионов долларов продаж. В Amazon работает всего 14 человек на 10 миллионов долларов дохода. Великобритания, в прошлом году ее оборот составил более 4,2 млрд фунтов стерлингов, что представляет собой чистую потерю 23 000 рабочих мест. позвонил в Kiva за $775 млн. Сколько рабочих мест в розничной торговле любого типа останется через 10 лет? 

    Наша страсть к дешевым товарам со скидкой, доставляемым к нашим дверям быстро и эффективно, имеет свою цену. Мы просто еще не поняли, что это такое.

    Это, конечно, налоги, которые оплачивают дороги, по которым ездят грузовики Amazon, и школы, в которых учатся ее сотрудники, и больницы, в которых рождаются их дети и им латают артерии, и в которых, когда-нибудь о них можно будет позаботиться, когда они предстанут перед смертью. Налоги, которые платят все ее работники, и которые, как выяснилось в 2012 году, она, как правило, не платит. При продажах в Великобритании в размере 4,2 млрд фунтов стерлингов в 2012 году компания заплатила 3,2 млн фунтов стерлингов корпоративного налога. В 2006 году он перевел свой бизнес в Великобритании в Люксембург и реклассифицировал свою деятельность в Великобритании как просто бизнес по «выполнению заказов». В Люксембургском офисе работает 380 человек. В Великобритании работает 21 000 человек. Вы делаете математику.

    Брэд Стоун сказал мне, что уклонение от уплаты налогов заложено в ДНК компании. С самого начала он был «конституционно ориентирован на обеспечение всех возможных преимуществ для своих клиентов, установление максимально низких цен, использование всех известных налоговых лазеек или создание новых». Это то, над чем Марк Константин, соучредитель косметики Lush, долго размышлял. Он отказывается продавать через Amazon, но это не помешало Amazon использовать имя Lush для направления покупателей на свой сайт, где предлагались альтернативные продукты, которые могли бы им понравиться.

    «Это способ заставить бизнес пользоваться их услугами. И мы отказались. На этой неделе мы обратились в Верховный суд, чтобы подать на них в суд за нарушение прав на товарный знак. На данный момент защита нашего бизнеса обошлась нам в полмиллиона фунтов стерлингов. Большинство компаний просто не могут себе этого позволить. Но мы сделали это, потому что это вопрос принципа. Они продолжают принуждать вас к действию, но у них нет жизнеспособной бизнес-модели. Единственный способ, которым они могут себе это позволить, это неуплаты налогов.Если бы им пришлось вести себя более традиционно, им пришлось бы бороться9.0003

    «Это форма пиратского капитализма. Они врываются в страны людей, вывозят деньги и сбрасывают их в удобном порту. Это не бизнес в традиционном смысле. Это уродливый возврат к форме эксплуататорского капитализм, который был у нас столетие назад, и мы как общество решили уйти от него».

    В Суонси я некоторое время болтаю с кем-то, чье имя не Мартин. Сегодня суббота, светит солнце, и на складе стало тихо. Нам сказали перестать собирать. Заказы были отключены как кран. «Это погода, — говорит он. «Когда идет дождь, он может внезапно сойти с ума». Мы убираем коробки, и встает вопрос о налогах. «Здесь было много гнева, — говорит он. «Люди были очень огорчены этим. Но я всегда говорил им: «Если бы кто-то сказал вам, что вы можете платить меньше налогов, вы действительно думаете, что добровольно согласились бы платить больше?» Он прав. И люди, которые злились, тоже были правы. Как сказал мне Стюарт Роупер из Манчестерской бизнес-школы, в современной жизни нельзя игнорировать тот факт, что «некоторые из этих крупных брендов более влиятельны, чем правительства. Они богаче. Если бы они были странами, у них была бы довольно крупная экономика. Они многонациональны, а глобальная финансовая ситуация позволяет им отправлять деньги по всему миру. А правительство так отчаянно нуждается в рабочих местах, что упустило большие элементы контроля».

    Это зеркальное отражение того, что происходит в цеху. Точно так же, как Amazon подорвала 200-летние права рабочих, используя агентства, и сделала большую часть своих работников бесправными, точно так же она провернула тот же трюк с корпоративной ответственностью. Депутаты любят критиковать Amazon, Starbucks и Google за неуплату налогов, но им еще предстоит создать закон, который заставит их это делать.

    «Они берут огромные субсидии от государства и не возвращают их», — говорит Мартин Смит из профсоюза GMB. «Их аргумент состоит в том, что они создают рабочие места, но то, что они делают, вытесняет и заменяет другие рабочие места. Лучшие рабочие места. А магазины на центральных улицах, как правило, платят налоги. льготы, позволяющие людям выжить. Когда компании платят минимальную заработную плату, они фактически субсидируются налогоплательщиком».

    Вернувшись в Суонси, в последний перерыв моего последнего дня, я сижу и болтаю с Питом и Сьюзен из Рондды и Сэмми, просителем убежища из Судана. Сьюзен по-прежнему хочет найти постоянную работу, но сомневается, что это произойдет. Ее лодыжка все еще опухла. Ее рейтинг выбора был низким. Нам сказали, что на следующей неделе количество рабочих часов увеличится на час в день и будет добавлен дополнительный день обязательной сверхурочной работы. Это будет означать, что их дети будут вставать в 4:30 утра, а Пит беспокоится о том, чтобы найти няню за три дня. Когда я спрашиваю Сэмми, чем его работа отличается от той, что была у него в Судане, где он был мастером на фабрике, он на минуту задумывается, а потом пожимает плечами: «То же самое».

    Мусорная работа всегда была. Ян Бринкли, директор Work Foundation, называет методы трудоустройства Amazon «старым вином в новых бутылках». Рестораны и кебабные делают то же самое в течение многих лет. Но Amazon — это не шашлычная. Это будущее. Что может быть, а может и не быть тем, о чем нужно подумать, когда вы нажимаете «добавить в корзину».

    Я провел неделю, работая на складе Amazon, и это тяжелая физическая работа

    Я провел неделю, работая на складе Amazon, и это тяжелая физическая работа Значок поискаУвеличительное стекло. Это означает: «Нажмите, чтобы выполнить поиск». Логотип InsiderСлово «Инсайдер».

    Рынки США Загрузка… ЧАС М С В новостях

    Значок шевронаОн указывает на расширяемый раздел или меню, а иногда и на предыдущие/следующие параметры навигации.ДОМАШНЯЯ СТРАНИЦА

    Кэрол Кадуоллдр,

    Хранитель

    2013-12-01T16:48:00Z

    Значок «Сохранить статью» Значок «Закладка» Значок «Поделиться» Изогнутая стрелка, указывающая вправо.

    Скачать приложение

    Рейтер 901:20 Первый товар, который я вижу на складе Amazon в Суонси, — это упаковка подгузников для собак. Второй — массивный розовый пластиковый фаллоимитатор. Площадь склада составляет 800 000 квадратных футов, или, в стандартной единице измерения Amazon, размер 11 футбольных полей (склад в Данфермлине, крупнейший в Великобритании, составляет 14 футбольных полей). От края до края четверть мили. Оказывается, есть место для ужасного количества дерьма.

    Но с другой стороны, на его британском веб-сайте есть более 100 миллионов товаров: если вы можете себе это представить, Amazon продает их. И если вы не можете себе этого представить, что ж, Amazon тоже это продает. Тратить 10,5 часов в день, выбирая товары с полок, означает созерцать самые темные уголки наших потребительских желаний, самые дикие уголки вещей, вещи, которые можно купить за деньги: браслет с подвесками One Direction, комбинезон для собаки, когтеточка для кошек, разработанная выглядеть как пластинка ди-джея, нож для бананов, фальшивая веточка. Я работаю в основном в крупногабаритном «неперевозимом» отделе, где продаются корма для диабетических собак, биоорганические вегетарианские корма для собак и корма для собак с ожирением; 52-дюймовые телевизоры и шесть упаковок воды, доставленные с Фиджи, и негабаритные секс-игрушки — 18-дюймовые двойные донги (секс-игрушки обычного размера находятся на полках в разделе сортируемых товаров).

    На второй день менеджер говорит нам, что только мы собрали и упаковали 155 000 товаров за последние 24 часа. Завтра, 2 декабря, в самый загруженный день онлайн-покупок в году, эта цифра приблизится к 450 000. И это только один из восьми складов по всей стране. В прошлом году Amazon принял 3,5 млн заказов за один день. Рождество — это ее Вьетнам — испытание ее корпоративного характера и своего рода вызов, который заставил бы даже самого опытного менеджера по поставкам сломаться и заплакать. За последние две недели компания наняла дополнительно 15 000 сотрудников агентства в Великобритании. И он рассчитывает удвоить количество складов в Великобритании в ближайшие три года. Компания рассчитывает продолжить рост, сделавший ее одной из самых мощных транснациональных корпораций на планете.

    Прямо сейчас в Суонси четыре смены будут работать по крайней мере 50 часов в неделю, вручную собирая и упаковывая каждый предмет, или, как написала Daily Mail в статье несколько недель назад, быть «Amazon’s эльфы» в «гроте Санты 21 века».

    Если бы Санта платил своим временным эльфам минимальную заработную плату, одновременно подгоняя их к пределам директивы ЕС о рабочем времени и увольняя их, если они берут три больничных в любой трехмесячный период, это было бы подходящим сравнение. Вероятно, разумно предположить, что уклонение от уплаты налогов не является «конституционно» частью бизнес-модели Санта-Клауса, как утверждает Брэд Стоун, автор новой книги об Amazon, Магазин всего: Джефф Безос и эпоха Amazon , говорит мне, что это в случае с Amazon. Санта также не пытается запугивать своих конкурентов, в чем его обвиняет Марк Константин, основатель косметической компании Lush, который на прошлой неделе подал на Amazon в суд. Дед Мороз не был вызван в Счетный комитет палаты общин, и депутаты назвали его «аморальным».

    В течение недели я был амазонским эльфом: временным работником, получившим работу через агентство по трудоустройству Суонси — хотя оказалось, что я был не единственным журналистом, которому пришла в голову эта идея. В прошлый понедельник BBC Панорама транслировала программу, в которой были тайно сняты кадры с того же склада. На мгновение я задаюсь вопросом, совершили ли мы абсолютный абсурд для СМИ, и репортер шоу под прикрытием Адам Литтлер тайно снял меня, пока я тайно брал у него интервью. Он этого не сделал, но это не совпадение, что самый успешный онлайн-бизнес в мире находится в центре внимания. Потому что Amazon — это будущее покупок; быть «партнером» Amazon в «центре выполнения» Amazon — примите это за двусмысленность, мистер Оруэлл — это будущее работы; а уплата Amazon минимального налога в любой юрисдикции — это будущее глобального бизнеса. Будущее, в котором транснациональные корпорации обладают большей властью, чем правительства.

    Но кто же тогда не щелкал что-нибудь по рассеянности в праздную минуту на работе, или при просмотре телека в пижаме, и, как маленькое чудо современной жизни, не получал знакомый коричневый картонный пакет, падающий на ваш коврик через день. Amazon успешен по одной причине. Это блестяще в том, что он делает. «Он решил эти огромные проблемы, — говорит Брэд Стоун. «Он справился с хаосом хранения десятков миллионов продуктов и выяснил, как доставить их людям вовремя и в обязательном порядке, и никто другой не подошел даже близко». Мы не просто собрали и упаковали более 155 000 товаров в первый день. Мы отобрали и упаковали нужные товары и отправили их нужным клиентам. «Мы не пропустили ни одного заказа», — с гордостью говорит нам руководитель нашего отдела.

    В конце моего первого дня я вхожу в свою учетную запись Amazon. Я вышел из дома моей мамы за пределами Кардиффа в 6:45 утра и вернулся в 19:30, и мне нужен блистерный пластырь Compeed для пальцев ног, и я не могу сделать это перед работой, и я не могу сделать это после работы. Мой палец зависает над опцией «добавить в корзину», но вместо этого я смотрю на свою историю Amazon. Я сделал свою первую покупку, The Rough Guide to Italy , в феврале 2000 года и помню, что купил его для статьи, которую я написал о бронировании отпуска в Интернете. Так непривычно читать это сейчас. Это из эпохи до появления широкополосной связи (я перечисляю свой телефонный счет за день, и это стоило мне 25,10 фунтов стерлингов), когда Google был в зачаточном состоянии. Он завален названиями неработающих веб-сайтов (помните сайт сэра Боба Гелдофа «deskchair.com», кто-нибудь?). Это была разочаровывающая задача, и почти все, что я заказал, только книга пришла вовремя, как и просили.

    Но ведь это феноменальная операция. А работать в — и мне трудно напечатать эти слова, не испытывая припадка иронии — «центр выполнения» должен быть крошечным винтиком в огромной глобальной машине распределения. Это промышленный процесс в действительно массовом масштабе, который стал возможен благодаря новым технологиям. Место может выглядеть так, как будто оно было заполнено в 2 часа ночи пьяным заполнителем полок: на типичной полке может быть набор бритвенных лезвий, упаковка презервативов и DVD My Little Pony . И все же все систематизировано, потому что так должно быть. Это делает еще более маловероятным, что в основе операции, перетасовки предметов от укладки к сбору, упаковке и отправке, лежат те телесные, не всегда надежные, склонные к сбоям вещи, которых мы знаем как людей.

    Именно здесь, когда настоящие люди сталкиваются с бизнес-требованиями одной из самых передовых технологических компаний на планете, все становится грязным. Это система, включающая в себя такие несистематические вещи, как надежды и страхи, планы на будущее, детей и жизни. А в местах с высоким уровнем безработицы и низкими экономическими возможностями, где Amazon намеренно размещает свои распределительные центры — компания получила 8,8 млн фунтов стерлингов в виде грантов от правительства Уэльса на размещение здесь склада, — отчаяние просачивается по краям. На собеседовании — заполнении анкет, тестировании на наркотики и алкоголь, общей проверке умений читать в местном агентстве по трудоустройству — нам показывают видео. Объясняется процесс и берутся интервью у некоторых людей. «Как и вы, я начал работать в агентстве на Рождество», — говорит один из мужчин. «Но я быстро устроился на постоянную работу, потом повысился и теперь, два года спустя, я региональный менеджер».

    Нам сказали, что после Рождества Amazon будет брать людей на постоянной основе, и если вы будете усердно работать, вы можете стать одним из них. В районе Суонси/Нит/Порт-Талбот, области, все еще страдающей от ударов британского постиндустриального упадка, это сильные слова, хотя все начинает довольно быстро распутываться. Есть четыре агентства, которые предоставили персонал на склад, и их представители работают за столами на складском этаже. Переходя с одной тренировки на другую, я спрашиваю одного из них, сколько постоянных сотрудников работает на складе, но он меня ослышался и отвечает совсем на другой вопрос: «Ну, очевидно, не всех возьмут. Вы только посмотрите на цифры. Честно говоря, агентства должны говорить это только для того, чтобы заставить людей пройти через дверь».

    Так и есть. Это то, к чему стремится большинство людей в моей вводной группе. Я тренируюсь с Питом — его имя изменено, — который последние три года безработный. До этого он был санитаром. Он живет на вершине долины Рондда, и его напарница Сьюзан (имя тоже изменено), безработный техник по ремонту компьютеров, тоже только начала. Им потребовалось больше часа, чтобы добраться до работы. «Нам приходилось поднимать детей в пять, — говорит он. После 10,5-часовой смены и еще примерно часа езды обратно, прежде чем забрать детей у родителей, они вернулись домой в 9 часов.вечера. На следующий день они сделали то же самое, за исключением того, что Сьюзан подвернула лодыжку в первую смену. Она звонит, но получает «очко». Если она наберет три балла, ее «отпустят», как увольняют в современном корпоративе.

    А еще есть «Лес», один из наших тренеров. У него есть специальный цветной ремешок, который показывает, что он «посол» Amazon, и другой, на котором написано, что он оказывает первую помощь. Он проработал на складе больше года, и в течение недели я вижу, как он мчится по цеху со скоростью как минимум вдвое превышающей мою. Ему за 60, и он рассказывает мне, как потерял два стоуна за первые два месяца работы там от ходьбы. Когда мы подали заявку на работу, нам сказали, что мы можем проходить пешком до 15 миль в смену. Он был старшим менеджером в одной и той же фирме в течение 32 лет, прежде чем его уволили и он оказался здесь. Сколько времени прошло, прежде чем вы получили постоянную работу, спрашиваю я его. «А я нет», — говорит он и поднимает свой зеленый бейдж. Постоянные сотрудники имеют синие, лучшую почасовую ставку, а через два года опционы на акции, и на работе присутствует тонкий апартеид.

    «Они развешивают эти синие значки перед вами», — говорит Билл Вулкок, бывший сотрудник центра выполнения заказов Amazon в Ругли, Стаффордшир. «Если у вас есть синий значок, у вас есть лучшая заработная плата, соответствующие права. Вы можете работать вместе с кем-то на той же работе, но они стабильны, а вы просто пушечное мясо. Я работал там с сентября 2011 года по февраль 2012 года и далее. В канун Рождества у выхода стоял представитель агентства с блокнотом и говорил: «Вы вернулись после Рождества. И вы вернулись. А вас нет. Вы не вернулись». Это было просто жестоко. Это напомнило мне истории о Великой депрессии, когда мужчины стояли у ворот фабрики в надежде, что их отберут на несколько дней работы. Вы просто чувствуете, что у вас нет никакой личной ценности ».

    Почему тебе не дали нормальную работу, спрашиваю я Леса, и он пожимает головой, но в других местах люди бормочут: это друзья менеджеров получают работу. Это HR выбирает имена наугад. Это какая-то черная магия, которую никто не понимает. Уходя со смены в огромной волне оранжевых светоотражающих жилетов, я болтаю с другим мужчиной лет шестидесяти. По его словам, он работал на шахте Юнити недалеко от Нита, пока месяц назад его не уволили во второй раз за два года. На прошлое Рождество он тоже работал в Amazon. «И они просто отпустили меня сразу после этого, без предупреждения или чего-то еще. И я не мог работать больше! Я выработал свои носки!»

    Когда я задал вопрос Amazon, он ответил: «Небольшое количество сезонных сотрудников работает с нами в течение длительного периода времени, и мы стремимся сохранить этих людей, чтобы мы могли предоставить им постоянную роль, когда один становится доступным. В 2013 году мы смогли создать 2300 постоянных рабочих мест для сезонных сотрудников, воспользовавшись сезонностью Рождества, чтобы найти отличных постоянных сотрудников, но, к сожалению, мы просто не можем удержать 15 000 сезонных сотрудников».

    А вот что Amazon говорит о своей политике в отношении болезней: «Amazon — это компания, которая развивается, и мы предлагаем высокий уровень безопасности для всех наших сотрудников. Как и многие компании, мы используем систему учета посещаемости сотрудников. и проверять все личные обстоятельства в отношении любых проблем с посещаемостью, и мы не будем увольнять кого-либо по причине болезни Текущие системы, используемые для учета посещаемости сотрудников, являются справедливыми и предсказуемыми и привели к увольнению 11 постоянных сотрудников из более чем 5000 постоянных сотрудников. сотрудников в 2013 году».

    Стоит отметить, что агентские работники не являются сотрудниками Amazon.

    Без сомнения, это тяжелая физическая работа. Документальный фильм Panorama был посвящен милям, которые прошел Адам, волдырям, которые он получил, нелепым целям и тому факту, что за вами каждую секунду каждую смену следит оруэлловская трубка. Как работнику агентства, вам платят 19 пенсов в час сверх минимальной заработной платы — 6,50 фунтов стерлингов — и смены длятся 10,5 часов. Но многие работы связаны с тяжелым физическим трудом. Это не то, что беспокоит людей. Почти все остаются стойкими перед лицом физического дискомфорта и истощения. И они валлийцы: теплота и дружелюбие исходят почти от всех, кто там работает. Лидер моей группы не корпоративный дроид. Он начал с цеха, звучит как Ричард Бертон и мягко подбадривает. И все еще.

    «Я работал везде», — говорит мне водитель погрузчика. «И это самое худшее. Они платят дерьмо, потому что могут. Потому что другой работы там нет. Поверьте мне, я знаю, я пытался. На моей последней работе я работал за 12 фунтов в час. Я получаю 8 фунтов». час здесь. Раньше я работал в Sony, и они были строгими, но справедливыми. Это несправедливость, которая привела вас сюда».

    Несправедливость, у которой нет выхода. После документального фильма Би-би-си Хайвел Фрэнсис, член парламента от Аберавона, на прошлой неделе сумел добиться встречи с директором по общественной политике Amazon, встречи, которую он пытался добиться в течение многих лет. Он не хочет говорить о жалобах, которые он услышал от своих избирателей, но говорит, что «завод является исключительным в этом районе тем, что на нем нет представительства профсоюза. Это был долгий путь, чтобы даже добраться туда и узнать, что происходит». Это была черная дыра, где отсутствие каких-либо проверок его мощности оставило ощущение, что все сделано до мелочей — от самой дешевой из дешевых пластиковых защитных ботинок, на замену которых, кажется, большинство сотрудников с большим стажем работы тратят собственные деньги. с чем-то, в чем они могут ходить, к политике увольнения, если вы больны, к 15-минутному перерыву, который начинается, где бы вы ни оказались на складе. На третье утро, в самый низший момент, когда моя энергия иссякла, а настроение упало, мне требуется шесть минут, чтобы дойти до сканеров в стиле аэропорта, где меня обыскивают в течение минуты. Я стою в очереди в туалет, достаю банан из своего шкафчика, сажусь на 30 секунд, а затем встаю и иду шесть минут обратно на свою станцию.

    Работать в Amazon — значит проводить дни на острие потребительства. Чтобы засвидетельствовать нашу жажду вещей. Материалы этого года включают в себя огромное количество Xbox и Kindle, а также кулинарную книгу Джейми Оливера этого сезона, «Сохранить с Джейми » (хотите сэкономить с Джейми? Не покупайте его дерьмовую книгу) и « пирогов и пудингов» Пола Голливуда и . Рик Стайн Индия .

    Кулинарные книги знаменитых поваров приводят меня в ярость. Они даже не удосуживаются вынуть их из коробок. Они лежат огромными кучками размером с гору европейского масла в конце прохода. Приготовьте яйцо по телевизору, и это все равно, что получить лицензию на печать денег на всю вечность. Подавляющее большинство людей, работающих на складе, белые, валлийцы, рабочий класс, но я тренируюсь с человеком, которого зовут не Сэмми и который не проситель убежища из Судана, а из другой страны, и я провожу день, объясняя ему, что имеет в виду сканер, когда говорит ему поискать чулок для собак Good Boy Luxury или компакт-диск с гипнозом Gastric Mind Band.

    Рождественский адвент-календарь куклы Барби, однако, меня чуть не сломил. Я хожу туда-сюда в секцию F, где разрезаю коробку, беру еще один адвент-календарь Барби, распаковываю коробку и кладу ее в мусорную кучу, кладу календарь, который был доставлен из Китая, передан из контейнерного порта в стороннего дистрибьютора, а оттуда на склад Amazon, на мою тележку и передать ее упаковщикам, где она будет переупакована в другую коробку и, наконец, достигнет своего конечного пункта назначения: радости в сердце маленького ребенка. Потому что ничто так не отражает волшебство Рождества, как фотография надувной блондинки с несколькими сумками для покупок. Вы не можете установить цену на это (9 фунтов стерлингов.23 с бесплатной доставкой).

    Нам нужны дешевые вещи. И мы хотим заказать его с наших кресел. И мы хотим, чтобы его доставили к нашим дверям. И именно Amazon придумал, как это сделать. Со временем, как у закоренелого наркомана, моя привычка к Amazon увеличилась. В 2002 году я заказал свой первый некнижный товар, видео This Life серии 1; в 2005 году мой первый продукт не от Amazon, подержанная копия биографии Патрисии Хайсмит; а в 2008 году я начал делать онлайн-эквивалент внутривенных инъекций, когда купил на сайте телевизор. «Мы самая клиентоориентированная компания на земле», — говорят нам на вступительном брифинге, незадолго до того, как нам объясняют, что если мы опоздаем, то получим полбалла, а после трех из них мы вылетаем. Что такое опоздание, спрашиваю я. «Одну минутку», — говорят мне.

    Я вырос в Южном Уэльсе и своими глазами видел, как рецессия 1980-х нанесла жестокий удар по всему, включая мою собственную большую семью. Я всегда знал, что между очень разными жизнями есть лишь тонкий кусочек удачи. Но тогда мой дедушка работал на складе в Суонси. В моем случае между мной и жизнью амазонки на самом деле всего лишь кусочек удачи. У меня есть много времени, чтобы подумать об этом в течение моего 10,5-часового рабочего дня.

    В клубе рабочих Neath вниз по дороге один из сотрудников сказал мне, что Amazon является «работодателем последней надежды». Это место, где вы получаете работу, если вы не можете найти работу где-либо еще. И это так душераздирающе. Чем вы занимались раньше, спрашиваю я людей. И они говорят, что они строители, менеджеры гостиничного бизнеса, выпускники отдела маркетинга, специалисты по информационным технологиям, плотники, электрики. У них был собственный бизнес, и их уволили. Или бизнес разорился. Или у них был инсульт. Или их контракт закончился. Это люди, имевшие квалифицированную работу, или профессиональную работу, или просто более высокооплачиваемую работу. А теперь они работают на Amazon, получая минимальную заработную плату, и большинство из них благодарны за это.

    Amazon не несет ответственности за экономику в целом, но именно экономика в целом делает модель Amazon такой пугающей. Под угрозой оказываются не только приятные приятные рабочие места, такие как работа в книжном магазине, как Хью Грант в Notting Hill , или в музыкальном магазине, как герой в High Fidelity Ника Хорнби, или работы, которые побывали в Borders, Woolworths, Jessops и HMV, да и во всем остальном тоже. На очереди все: работа в обувном отделе в John Lewis, или за кассой в Tesco, или работа с персоналом, или аудит их счетов, или создание их веб-сайтов, или написание их корпоративных журналов. Торговый центр Суонси дальше по дороге уже превратился в катастрофу; пустырь благотворительных магазинов и то, что Сара Риз из книжного магазина Cover to Cover называет «второсортным Debenhams и третьесортным Marks and Spencer».

    «Люди знают об их методах работы, и все курьеры их ненавидят, но помнят ли люди об этом, когда щелкают? Наверное, нет. Мы пытаемся убить их добротой», — говорит она. «Джинна обратно в бутылку не посадишь». Но тогда больше нечем их убивать. Часто для нее дешевле заказывать книги на Amazon, чем через своего дистрибьютора. «Мы открыто говорим об этом и рассказываем людям, но у нас просто нет возможности конкурировать с ними по цене».

    Аппетитам Amazon нет конца. «Он расширяется во всех мыслимых направлениях, — говорит мне Брэд Стоун. «Вот почему я назвал свою книгу Магазин всего . Их стремление продать все. У них уже есть свои цифровые услуги и свои корпоративные услуги. Они только начали продавать искусство. Одежда все еще очень незрелая и настроена на расширение. Продовольственные товары — следующая большая вещь. После этого они идут очень активно, потому что это сократит расходы в других местах. Если они смогут запустить свои собственные грузовики в крупных городских районах, они смогут сократить расходы на сторонних грузоотправителей». Я подозреваю, что они будут приобретать», — говорит он. И везде это убивает рабочие места. Согласно исследованию, проведенному компанией ILSR, в магазинах работает 47 человек на каждые 10 миллионов долларов продаж. В Amazon работает всего 14 человек на 10 миллионов долларов дохода. Великобритания, в прошлом году ее оборот составил более 4,2 млрд фунтов стерлингов, что представляет собой чистую потерю 23 000 рабочих мест. позвонил в Kiva за $775 млн. Сколько рабочих мест в розничной торговле любого типа останется через 10 лет? 

    Наша страсть к дешевым товарам со скидкой, доставляемым к нашим дверям быстро и эффективно, имеет свою цену. Мы просто еще не поняли, что это такое.

    Это, конечно, налоги, которые оплачивают дороги, по которым ездят грузовики Amazon, и школы, в которых учатся ее сотрудники, и больницы, в которых рождаются их дети и им латают артерии, и в которых, когда-нибудь о них можно будет позаботиться, когда они предстанут перед смертью. Налоги, которые платят все ее работники, и которые, как выяснилось в 2012 году, она, как правило, не платит. При продажах в Великобритании в размере 4,2 млрд фунтов стерлингов в 2012 году компания заплатила 3,2 млн фунтов стерлингов корпоративного налога. В 2006 году он перевел свой бизнес в Великобритании в Люксембург и реклассифицировал свою деятельность в Великобритании как просто бизнес по «выполнению заказов». В Люксембургском офисе работает 380 человек. В Великобритании работает 21 000 человек. Вы делаете математику.

    Брэд Стоун сказал мне, что уклонение от уплаты налогов заложено в ДНК компании. С самого начала он был «конституционно ориентирован на обеспечение всех возможных преимуществ для своих клиентов, установление максимально низких цен, использование всех известных налоговых лазеек или создание новых». Это то, над чем Марк Константин, соучредитель косметики Lush, долго размышлял. Он отказывается продавать через Amazon, но это не помешало Amazon использовать имя Lush для направления покупателей на свой сайт, где предлагались альтернативные продукты, которые могли бы им понравиться.

    «Это способ заставить бизнес пользоваться их услугами. И мы отказались. На этой неделе мы обратились в Верховный суд, чтобы подать на них в суд за нарушение прав на товарный знак. На данный момент защита нашего бизнеса обошлась нам в полмиллиона фунтов стерлингов. Большинство компаний просто не могут себе этого позволить. Но мы сделали это, потому что это вопрос принципа. Они продолжают принуждать вас к действию, но у них нет жизнеспособной бизнес-модели. Единственный способ, которым они могут себе это позволить, это неуплаты налогов.Если бы им пришлось вести себя более традиционно, им пришлось бы бороться9.0003

    «Это форма пиратского капитализма. Они врываются в страны людей, вывозят деньги и сбрасывают их в удобном порту. Это не бизнес в традиционном смысле. Это уродливый возврат к форме эксплуататорского капитализм, который был у нас столетие назад, и мы как общество решили уйти от него».

    В Суонси я некоторое время болтаю с кем-то, чье имя не Мартин. Сегодня суббота, светит солнце, и на складе стало тихо. Нам сказали перестать собирать. Заказы были отключены как кран. «Это погода, — говорит он. «Когда идет дождь, он может внезапно сойти с ума». Мы убираем коробки, и встает вопрос о налогах. «Здесь было много гнева, — говорит он. «Люди были очень огорчены этим. Но я всегда говорил им: «Если бы кто-то сказал вам, что вы можете платить меньше налогов, вы действительно думаете, что добровольно согласились бы платить больше?» Он прав. И люди, которые злились, тоже были правы. Как сказал мне Стюарт Роупер из Манчестерской бизнес-школы, в современной жизни нельзя игнорировать тот факт, что «некоторые из этих крупных брендов более влиятельны, чем правительства. Они богаче. Если бы они были странами, у них была бы довольно крупная экономика. Они многонациональны, а глобальная финансовая ситуация позволяет им отправлять деньги по всему миру. А правительство так отчаянно нуждается в рабочих местах, что упустило большие элементы контроля».

    Это зеркальное отражение того, что происходит в цеху. Точно так же, как Amazon подорвала 200-летние права рабочих, используя агентства, и сделала большую часть своих работников бесправными, точно так же она провернула тот же трюк с корпоративной ответственностью. Депутаты любят критиковать Amazon, Starbucks и Google за неуплату налогов, но им еще предстоит создать закон, который заставит их это делать.

    «Они берут огромные субсидии от государства и не возвращают их», — говорит Мартин Смит из профсоюза GMB. «Их аргумент состоит в том, что они создают рабочие места, но то, что они делают, вытесняет и заменяет другие рабочие места. Лучшие рабочие места. А магазины на центральных улицах, как правило, платят налоги. льготы, позволяющие людям выжить. Когда компании платят минимальную заработную плату, они фактически субсидируются налогоплательщиком».

    Вернувшись в Суонси, в последний перерыв моего последнего дня, я сижу и болтаю с Питом и Сьюзен из Рондды и Сэмми, просителем убежища из Судана. Сьюзен по-прежнему хочет найти постоянную работу, но сомневается, что это произойдет. Ее лодыжка все еще опухла. Ее рейтинг выбора был низким. Нам сказали, что на следующей неделе количество рабочих часов увеличится на час в день и будет добавлен дополнительный день обязательной сверхурочной работы. Это будет означать, что их дети будут вставать в 4:30 утра, а Пит беспокоится о том, чтобы найти няню за три дня. Когда я спрашиваю Сэмми, чем его работа отличается от той, что была у него в Судане, где он был мастером на фабрике, он на минуту задумывается, а потом пожимает плечами: «То же самое».

    Мусорная работа всегда была. Ян Бринкли, директор Work Foundation, называет методы трудоустройства Amazon «старым вином в новых бутылках». Рестораны и кебабные делают то же самое в течение многих лет. Но Amazon — это не шашлычная. Это будущее. Что может быть, а может и не быть тем, о чем нужно подумать, когда вы нажимаете «добавить в корзину».

    Первоначально эта статья была опубликована на сайте guardian.co.uk

    Подпишитесь на уведомления от Insider! Будьте в курсе того, что вы хотите знать.

    Подписаться на push-уведомления

    Прочитайте оригинальную статью в The Guardian. Авторское право 2013. Подпишитесь на The Guardian в Твиттере. Значок сделкиЗначок в виде молнии.

    Продолжай читать

    LoadingЧто-то загружается. Более: Амазонка Джефф Безос

    Законопроект направлен на улучшение условий труда для работников складов в Калифорнии – Daily Bulletin

    На стол губернатора попал законопроект, направленный на защиту работников складов в Калифорнии от неправомерных систем квот.

    Законопроект 701 Ассамблеи, недавно получивший одобрение в Ассамблее и Сенате, был подготовлен женщиной-ассамблеей Лореной Гонсалес, штат Сан-Диего. Если закон будет принят, он станет первым в стране законом, обязывающим компании раскрывать требования к производительности и показатели скорости работы, которые они устанавливают для сотрудников.

    Он запрещает увольнять рабочих за невыполнение нормы, которая мешает им пользоваться туалетом или делать перерывы на отдых, а работодателям запрещается наказывать сотрудников склада за то, что они «не работают», когда они соблюдают законы о здоровье и безопасности.

    Amazon под прицелом

    В законе конкретно не упоминается Amazon, но сторонники и противники законопроекта говорят, что базирующийся в Сиэтле гигант электронной коммерции явно является главной целью для правил.

    «Amazon заставляет работников рисковать своим телом для доставки на следующий день, в то время как они не могут даже пользоваться туалетом, не опасаясь возмездия», — говорится в заявлении Гонсалеса. «Мы не можем позволить корпорациям наживаться на травмах своей рабочей силы».

    Связаться с представителями Amazon для комментариев не удалось, несмотря на неоднократные попытки.

    В интервью The Guardian в феврале 2020 года представитель Amazon сказал: «Как и у большинства компаний, у нас есть ожидания по производительности для каждого амазонца, и мы измеряем фактическую производительность по сравнению с этими ожиданиями».

    Законопроект запрещает увольнять работников за невыполнение нормы, которая мешает им пользоваться туалетом или делать перерывы на отдых, а также запрещает работодателям наказывать работников склада за то, что они «не работают», когда они соблюдают требования. законы о здоровье и безопасности. (Фото Терри Пирсона, The Press-Enterprise/SCNG)
    Сильная оппозиция

    Калифорнийская ассоциация розничных продавцов выступает против AB 701, заявляя, что эта мера затрагивает слишком много компаний, хотя мера явно нацелена на Amazon.

    «Если вы забросите эту огромную сеть, чтобы преследовать одну компанию, будут непредвиденные последствия», — сказала президент ассоциации Рэйчел Мишлен. «У нас уже есть Cal/OSHA, который уполномочен обеспечивать безопасность на рабочем месте. Если правилам нужно больше зубов, давайте начнем с этого, а не будем создавать совершенно новый свод законов».

    Michelin заявила, что законопроект повлияет на распределительные центры в нескольких отраслях и повысит стоимость жизни для калифорнийцев, убьет хорошо оплачиваемые рабочие места и нанесет ущерб хрупкой цепочке поставок в регионе.

    Пятьдесят организаций, от розничных продавцов и производителей продуктов питания до производителей автозапчастей и этнических торговых палат, выступают против AB 701. Они объединены через noonab701.org.

    Быстрый всплеск покупок в электронной коммерции вызвал бешеный ажиотаж на складах в Южной Калифорнии, и эта тенденция усугубляется тем, что опасающиеся пандемии потребители не хотят делать покупки в обычных магазинах.

    Поток потребительских товаров, прибывающих из Азии через порты Лос-Анджелеса и Лонг-Бич, также способствовал росту складских помещений, особенно во Внутренней Империи. В прошлом году в регионе с двумя округами было построено 52 миллиона квадратных футов сделок с недвижимостью транзакций, наибольшее количество когда-либо зарегистрированных, по данным CBRE.

    Данные Digital Commerce 360 ​​показывают, что в 2020 году потребители потратили 791,70 млрд долларов в Интернете у американских розничных продавцов, что на 32,4% больше, чем 598,02 млрд долларов в предыдущем году. Расходы на электронную коммерцию составили почти 20 % от общего объема розничных продаж в прошлом году по сравнению с 15,8 % в 2019 году. условий работы на складах Amazon.

    «Работники сообщили, что чрезмерные квоты Amazon делают невозможным выполнение работы и безопасный расчет», — говорится в отчете. «Большинство опрошенных работников сообщили, что испытывают постоянный стресс, пытаясь не отставать».

    Один работник склада, участвовавший в исследовании, утверждает, что для того, чтобы «делать ставки» или поддерживать ожидаемый Amazon темп движения товаров, ей необходимо сканировать не менее 200 товаров в час, независимо от их размера.

    Если она останавливает сканирование более чем на шесть минут — время, которое может потребоваться, например, для упаковки и сканирования более крупного предмета — сканирующее устройство Amazon подает сигнал тревоги, указывающий на то, что она потратила слишком много «нерабочего времени».

    В отчете говорится, что когда работники превышают лимит нерабочего времени, установленный Amazon, или не выполняют норму, они предположительно подвергаются проверке, выписке или увольнению.

    Информационный бюллетень, прилагаемый к отчету, показывает, что работникам склада Amazon разрешено всего шесть минут «отгула» в день, не считая 30-минутного обеденного перерыва. Сотрудники говорят, что ближайший туалет на огромных складах компании часто находится более чем в шести минутах от их рабочего места.

    «Расценки на работу Amazon диктуют опасный темп работы, который приводит к травмам», — говорится в отчете. «Исследования показывают, что быстрый темп работы связан с рядом последствий для здоровья, включая боль в шее и плечах, симптомы в мышцах или суставах и заболевания спины».

    Шестьдесят семь процентов работников Amazon, опрошенных для исследования, сообщили о получении травм в результате работы в Amazon, а 75% заявили, что их требуемая скорость работы либо «всегда», либо «часто» слишком высока для работы в безопасном темпе.

    Гонсалес сказал, что AB 701 позволит работникам иметь право голоса на своем рабочем месте, «даже когда их начальником является алгоритм».

    В соответствии с AB 701 работники склада, считающие квоты небезопасными, имеют право на 90-дневный доступ к своим личным показателям скорости работы и описаниям квот для лучшего документирования нарушений.

    Если работник подвергается дисциплинарному взысканию в течение 90 дней после запроса данных или подачи жалобы своему работодателю или государственному органу на небезопасную квоту, AB 701 создает презумпцию того, что действие было репрессивным.

    Warehouse Associate 14-16 долл. США $ \ U002FHR Еженедельная оплата труда в American Lumper Service LLC в Орландо, FL 32824

    Associate Associate $ 14-16 $ U002FHR Weekly Pay

    American LUMP Орландо, Флорида 32824

    Опубликовано сегодня

    Подать заявку на эту вакансию

    Описание работы

    Мы являемся растущей общенациональной компанией по управлению складами. Мы ищем основных работников для выполнения общих складских обязанностей в районе Орландо, Флорида. Если вы ищете следующее, то вы попали в нужное место.

    • Внести свой вклад в достижение достойной цели!
    • Стань частью замечательной команды!
    • Создайте свое резюме, заложив основу для будущего роста!
    • Повысьте самооценку и чувство выполненного долга!
    • Изучите новые навыки!
    • Обеспечьте лучшую жизнь себе и своей семье!
    • Познакомься с замечательными людьми!

    Описание работы:

    • Опыт погрузки/разгрузки
    • Сортировка/загрузка/укладка продукта на поддоны
    • Должен быть в состоянии постоянно поднимать 40+ фунтов
    • Комплектация/упаковка продукта
    • Должен уметь работать в динамичной среде

    Shift-

    1-й Mon-Fri

    6 утра (12:00 до 14:00)

    Плата-

    $ 140337

    $ 1403337

    7777 $ 1403337

    77777 $ 140337

    9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2

    7 9000 2 9000. $ 140337.

    Сохранить эту работу Подать заявку

    Связанные вакансии

    Все связанные перечисленные вакансии

    Врач-психиатр

    Медицинский центр Милосердия — Сидар-Рапидс Сидар-Рапидс, ИА 52403 Сегодня

    Эта должность поддерживает философию Mercy, ориентированную на пациента, путем предоставления непосредственного ухода за пациентами и поддержки пациентов с поведенческими проблемами.

    Аналитик — Статистика и исследование операций 9 Техник-психиатр продвигает сейф0263

    Юнайтед Эйрлайнз Инк. Чикаго, Иллинойс 60601 Сегодня

    Никогда не было более захватывающего времени, чтобы присоединиться к United Airlines. Мы были на пути к тому, чтобы стать лучшей авиакомпанией в истории авиации. Наша общая цель Объединять людей, объединять

    Зарегистрированная медсестра

    Реабилитационная больница Реюньон Дублин Сегодня

    Получайте оплату за поездки!!! Nobis Rehabilitation Partners ищет путешествующих медсестер для работы между нашими многочисленными стационарными реабилитационными больницами по всей территории Соединенных Штатов. Поиск в разных местах по телефону

    Резидент-менеджер — Albuquerque ARP

    Армия Спасения — Юго-Западная дивизия Сегодня

    РАСПОЛОЖЕНИЕ: Альбукерке, Нью-Мексико. АРПСТАТУС: Полная/почасовая ЗАЯВЛЕНИЕ О МИССИИ: Армия Спасения, международное движение, является евангельской частью всемирной христианской церкви. Его сообщение основано на

    RETURNSHIP — Hardware Engineer

    Системы SambaNova Пало-Альто, Калифорния Сегодня

    Программа возвращения к работе Path Forward в SambaNova представляет собой 12-недельное оплачиваемое возвращение для опытных специалистов, возвращающихся на работу после отпуска по уходу. Программа открыта до

    Ввод данных\u002F Счета к оплате

    Allstate Sales & Leasing Corp. Сент-Луис Парк, MN 55426 Сегодня

    Allstate Peterbilt Group занимается обслуживанием грузовых автомобилей средней и большой грузоподъемности и прицепов на Среднем Западе. С начала процесса покупки автомобиля через

    Водителя запчастей

    Лития Моторс, Инк. Тампа, Флорида 33612 Сегодня

    Дилер: L0341 Тампа Хонда Тампа Хонда Надежный. Мотивированный. Подотчетный. Эти слова описывают вас? Если это так, подайте заявку на вакансию нашего водителя по запчастям и начните свою карьеру. Город Гринвилл, Северная Каролина Сегодня

    Целью этой должности является поддержание содержания и чистоты городских зданий и территорий для обеспечения надежной работы и безопасной рабочей среды.

    Логин

    Имя пользователя

    Пароль

    Запомните меня

    Забыли пароль?

    Ваши права в соответствии с Законом о справедливых трудовых стандартах

    Закон о справедливых трудовых стандартах (FLSA) гарантирует ряд прав, в первую очередь направленных на обеспечение того, чтобы работники получали справедливую оплату за отработанное время.

    Работодатели должны платить всем застрахованным работникам не меньше минимальной заработной платы, которая в настоящее время установлена ​​на уровне 7,25 долларов в час.

    В некоторых штатах установлена ​​минимальная заработная плата, превышающая федеральную, и вы имеете право на более высокую ставку, если она разрешена в вашем штате. Работодатели, не подпадающие под действие FLSA, такие как владельцы мелких ферм, обязаны платить всем работникам минимальную заработную плату штата. (Для получения информации о законе о минимальной заработной плате в вашем штате см. Законы о заработной плате и рабочем времени в зависимости от штата.)

    FLSA не требует какой-либо конкретной системы оплаты, поэтому работодатели могут основывать оплату на рабочем времени, сдельной ставке или каком-либо другом измерении. Однако во всех случаях заработная плата работника, деленная на количество отработанных часов в течение платежного периода, должна равняться минимальной заработной плате или превышать ее.

    Некоторых работодателей либо смущают нюансы и исключения из закона о заработной плате и рабочем времени, либо они изменяют правила в угоду своему карману. Какой бы ни была ситуация, вам следует перепроверить расчеты вашего работодателя. Несколько простых правил, взятых из закона, могут помочь.

    Ежечасно. Почасовым работникам должна выплачиваться минимальная заработная плата за все отработанные часы. Ваш работодатель не может брать среднюю заработную плату или платить вам меньше минимальной заработной платы за одни отработанные часы и больше за другие.

    Фиксированная ставка или оклад. Работники, получающие фиксированную ставку, могут проверить свою заработную плату, разделив сумму, которую они получают за расчетный период, на количество отработанных часов. Полученная средняя должна быть не ниже минимальной заработной платы.

    Комиссионные и сдельные расценки. Ваша общая заработная плата, разделенная на количество отработанных часов, должна в среднем составлять не менее минимальной почасовой ставки.

    Форма оплаты

    В соответствии с FLSA, оплата, которую вы получаете, должна быть в виде наличных денег или чего-то, что может быть легко конвертировано в наличные или другие законные формы компенсации, такие как питание и проживание. Например, ваш работодатель не может заплатить вам купоном или жетоном, который можно потратить только в магазине, которым управляет работодатель. Скидки работникам, предоставляемые работодателями, не учитываются при установлении минимальной заработной платы.

    Плата за нерабочее время

    Ни раздел о минимальной заработной плате, ни какая-либо другая часть FLSA не требуют от работодателей выплаты работникам за отгулы, такие как отпуск, праздники или больничные. Хотя большинство работодателей каждый год предоставляют работникам, занятым полный рабочий день, оплачиваемый отпуск, FLSA покрывает оплату только времени, проведенного на работе.

    Однако законы некоторых штатов требуют, чтобы сотрудники получали оплачиваемый отпуск для работы в качестве присяжного, голосования, отпуска по семейным обстоятельствам и отпуска по болезни. Некоторые штаты и местные органы власти требуют, чтобы работники оплачивались за больничные или определенные виды отпуска по семейным обстоятельствам либо работодателем, либо из государственного фонда. И законы многих штатов предусматривают, что, если работодатели предлагают оплачиваемые выходные дни, работники имеют право на оплату той части, которую они уже заработали, когда они увольняются или увольняются.

    Чаевые

    Когда сотрудники регулярно получают минимальную сумму чаевых в рамках своей работы — обычно от 20 до 30 долларов в месяц, как установлено законом штата, — их работодатели могут платить меньше минимальной заработной платы и кредитовать полученные чаевые. против требования минимальной заработной платы. Однако почасовая заработная плата работника плюс чаевые, которые фактически зарабатывает работник, должны в сумме составлять как минимум минимальную заработную плату, иначе работодатель должен компенсировать разницу. (Дополнительную информацию см. в разделах Чаевые, Объединение чаевых и Баллы чаевых: что нужно знать сотрудникам сферы обслуживания.)

    Комиссионные

    Когда люди получают комиссионные за продажи, эти комиссионные могут заменить заработную плату. Однако, если комиссионные не равны минимальной заработной плате, FLSA требует, чтобы работодатель компенсировал разницу.

    ПРИМЕР: Джулия, продавец в магазине электроники, получает процент от долларового объема продаж, которые она совершает. В течение одной медленной недели она получала в среднем всего 2 доллара комиссионных в час. В соответствии с FLSA ее работодатель должен платить ей дополнительную сумму за каждый час, который она отработала в течение первых 40 часов этой недели, чтобы равняться минимальной заработной плате, и больше за любые сверхурочные часы.

    Равная оплата за равный труд

    Мужчины и женщины, выполняющие одну и ту же работу или работу, требующую равных навыков и ответственности, должны получать компенсацию в виде равной заработной платы и пособий в соответствии с поправкой 1963 года к Закону о равной оплате труда, которая называется Законом о равной оплате труда. (29 U.S.C. § 206.) Однако имейте в виду, что некоторые схемы оплаты, которые на первый взгляд могут показаться дискриминационными, на самом деле не нарушают Закон о равной оплате труда. Закон разрешает несоизмеримые выплаты мужчинам и женщинам, если они основаны на:

    • системах стажа

    • системы заслуг

    • системы измерения заработка по количеству или качеству продукции, такие как поштучное распределение товаров, или

    • любой фактор, кроме пола, например, разница в заработной плате, возникающая из-за неравной начальной заработной платы, основанной на различиях в уровни опыта.

    Хотя Закон о равной оплате труда в основном распространяется на тех же работодателей и работников, что и остальная часть FLSA, есть одно важное отличие: Закон о равной оплате труда также защищает от дискриминационных механизмов оплаты труда руководящих, административных и профессиональных сотрудников, включая администраторов и учителей. в начальных и средних школах.

    Плата за сверхурочную работу

    FLSA не ограничивает количество часов, которые сотрудник может отработать в неделю, за исключением случаев, когда сотрудник является несовершеннолетним. Но он требует, чтобы любой застрахованный работник, который работает более 40 часов в неделю, должен получать оплату, по крайней мере, в полтора раза превышающую его или ее обычную ставку заработной платы за каждый час, отработанный сверх 40 часов.

    В дополнение к Положения FLSA о сверхурочной работе, законы ряда штатов также определяют, как и когда должна оплачиваться сверхурочная работа. В некоторых штатах сверхурочная работа измеряется ежедневно, а не еженедельно. В этих штатах работники, работающие более восьми часов в день, как правило, имеют право на сверхурочную работу, даже если они работают в общей сложности 40 или менее часов в неделю. (Чтобы узнать правила вашего штата о сверхурочной работе, выберите его из списка в разделе «Законы о заработной плате и рабочем времени по штатам».)

    Почасовая оплата

    Математика проста, если вам платят по часам.

    ПРИМЕР: Рэймонд работает в компании по доставке программного обеспечения с зарплатой 8 долларов в час. Когда он работает 50 часов в неделю, выполняя заказы в рамках подготовки к национальной выставке, Раймонду должны платить 12 долларов в час за последние десять часов, которые он отработал на этой неделе.

    Джоди, вице-президент компании по доставке программного обеспечения, а также начальник Рэймонда, тоже работала 50 часов в ту же неделю. Поскольку Джоди имеет квалификацию руководителя и освобождена от FLSA, она не имеет права на оплату сверхурочных, но получает свою обычную еженедельную зарплату.

    Законодательство FLSA не требует, чтобы работники получали оплату за сверхурочную работу только потому, что они работали более восьми часов в день (хотя в некоторых штатах это требуется). Также нет ничего, что требовало бы от работника оплаты сверхурочной работы на месте. В соответствии с FLSA работодателю разрешается рассчитывать и оплачивать сверхурочные по неделям, что может быть любым 168-часовым периодом, состоящим из семи последовательных 24-часовых периодов.

    Обычай, а не закон определяет, что рабочая неделя начинается в понедельник. Однако FLSA требует последовательности. Работодатель не может манипулировать началом рабочей недели, чтобы избежать оплаты сверхурочных.

    Кроме того, из-за характера выполняемой работы здравый смысл и закон диктуют, что некоторые рабочие места освобождаются от требований FLSA по оплате сверхурочных.

    К наиболее распространенным из этих должностей относятся:

    • наемные работники предприятий розничной торговли или сферы обслуживания

    • рабочие некоторых автомобилей, грузовиков, прицепов, сельскохозяйственных орудий, лодок или самолетов

    • работники железнодорожных и авиаперевозчиков, водители такси, некоторые работники автотранспортных перевозчиков, моряки и женщины на американских судах, работники местных служб доставки

    • дикторы, редакторы новостей и главные инженеры малых внегородских радиостанций

    • работники домашней прислуги, проживающие в домах своих работодателей

    • работники кинотеатров и

    • сельскохозяйственные рабочие.

    И, наконец, некоторые сотрудники могут быть частично освобождены от требований Закона об оплате сверхурочной работы. Наиболее распространенным представителем этого гибридного типа является сотрудник, работающий в больнице или учреждении интернатного типа, который соглашается отработать 14-дневный рабочий период. Тем не менее, эти сотрудники должны получать надбавку за сверхурочную работу за все часы, отработанные более восьми часов в день или 80 часов в течение 14-дневного рабочего периода, в зависимости от того, какое из этих часов больше.

    СОВЕТ

    Это бонус или дубинка? Некоторые работодатели пытались обойти требования по оплате сверхурочной работы, называя часть полученной оплаты премией. На самом деле бонусы имеют строгое юридическое определение и предназначены только для денег, выплачиваемых в дополнение к заработной плате за дополнительные усилия, которые вы приложили на работе, в качестве вознаграждения за верную службу или в качестве подарка. Хотя термин «бонус» имеет большое значение, будьте скептичны, если вы получаете его слишком часто. И потратьте время на расчеты, чтобы выяснить, является ли премия подходящим описанием суммы, которую вы получаете, или уловкой, позволяющей обойти законы, требующие оплаты сверхурочных.

    Сдельные ставки и комиссионные

    Люди, которые работают по сдельным расценкам и комиссионным, а не по часам, имеют более сложную задачу при расчете своих ставок заработной платы.

    Для сдельных рабочих обычная ставка заработной платы может быть рассчитана путем усреднения почасовой сдельной заработной платы за неделю. Расчет сверхурочной работы немного сложнее. Работники имеют право на дополнительную половину обычной ставки заработной платы за каждый час, отработанный свыше 40, плюс полную сдельную заработную плату.

    ПРИМЕР: Макс работает сборщиком на копировальной фабрике, ему платят 75 центов за каждую установленную им крышку копировального аппарата. Одну неделю он работал 40 часов и установил 400 крышек, поэтому его обычная ставка оплаты за эту неделю составляла 7,50 долларов в час (400 x 0,75, деленное на 40).

    Для определения оплаты Макса за сверхурочную работу можно использовать один из двух вариантов:

    • Увеличить сдельную ставку на 50% в часы сверхурочной работы. Например, работодатель Макса мог поднять его сдельную ставку до 1,13 доллара за крышку копировального аппарата (150% от 0,75 доллара) за сверхурочные часы.

    • Оценить среднюю почасовую заработную плату, а затем использовать эту расчетную среднюю для расчета сверхурочной работы.

    Имейте в виду, что если Министерство труда США расследует законность вашей ставки заработной платы, оно может потребовать доказательства того, что любые оценки, использованные для расчета вашей заработной платы, соответствуют сдельной оплате, которую вы фактически зарабатывали в течение значительного времени — обычно несколько месяцев. .

    Методы расчета и выплаты комиссий сильно различаются. Если у вас есть вопросы о том, соблюдает ли ваш работодатель законы о заработной плате в отношении сдельных ставок и комиссионных, позвоните или посетите ближайший офис отдела заработной платы и рабочего времени Департамента труда.

    Работа, связанная с чаевыми

    Если вы регулярно работаете за чаевые, получаемые вами чаевые не учитываются как часть вашей обычной ставки оплаты при расчете оплаты за сверхурочную работу. Учитывается только заработная плата, которую ваш работодатель согласился платить вам; в большинстве случаев, когда люди работают за чаевые, это федеральная минимальная заработная плата. Конечно, чаевые, которые вы получаете сверх минимальной суммы заработной платы, по-прежнему облагаются налогом как доход.

    ПРИМЕР: Лиза работает официанткой за зарплату плюс чаевые. Поскольку она получает значительную сумму в виде чаевых, ее работодателю разрешено производить зачет — минимальный почасовой лимит, установленный законом для сотрудников, получающих чаевые. Тем не менее, ее обычная ставка оплаты за сверхурочную работу в соответствии со стандартами FLSA по-прежнему составляет минимальную заработную плату.

    За одну неделю Лиза отработала 41 час — один час сверхурочно. За этот сверхурочный час ей должна быть выплачена полуторакратная минимальная заработная плата, независимо от чаевых, которые она получила в течение этого часа.

    Раздельные шкалы заработной платы

    Если ваша работа связана с различными видами работ, для которых установлены разные шкалы заработной платы, вы должны рассчитать свою обычную ставку оплаты для каждой категории работы, а затем применить соответствующую ставку ко всем сверхурочным часам. Шкала оплаты, которая применяется к типу работы, которую вы выполняли в сверхурочные часы, — это та, на основе которой вы рассчитываете правило полутора часов.

    ПРИМЕР: Мэтт работает в компании, которая управляет большим жилым комплексом. За работу по благоустройству ему платят 8 долларов в час. Когда он работает охранником в частной службе безопасности комплекса, Мэтт получает 10 долларов в час. Для расчета заработной платы его рабочая неделя начинается в понедельник.

    В течение одной весенней недели он работал восемь часов в день, с понедельника по пятницу, в общей сложности 40 часов с командой ландшафтных дизайнеров. Но бригада ландшафтных дизайнеров не работает по выходным, а Мэтту нужны были дополнительные деньги, поэтому в субботу он проработал восемь часов с охраной. Он взял выходной в воскресенье.

    Поскольку правила оплаты сверхурочной работы FLSA вступают в силу только после того, как сотрудник отработает 40 часов в неделю, восемь сверхурочных часов, которые Мэтт отработал в службе безопасности, соответствовали ставке патрулирования службы безопасности в размере 10 долларов в час. Его оплата сверхурочных за эту неделю составляет 120 долларов (10 долларов x 8 x 1

    Как Кристиан Смоллс и Деррик Палмер победили Amazon

    В первые мрачные дни пандемии, когда работник Amazon по имени Кристиан Смоллс запланировал небольшую паническую забастовку из-за безопасности условиях в единственном фулфилмент-центре ритейлера в Нью-Йорке, компания незаметно мобилизовалась.0003

    Amazon сформировала группу реагирования, включающую 10 отделов, в том числе Глобальную разведывательную программу, группу безопасности, в которой работают многие ветераны вооруженных сил. Согласно недавно опубликованным судебным документам, компания назвала «командира инцидента» и полагалась на «Пособие по реагированию на протесты» и «Пособие по трудовой деятельности», чтобы предотвратить «сбои в работе».

    В конце концов, было больше руководителей, в том числе 11 вице-президентов, которые были предупреждены о протесте, чем рабочих, которые его посетили. Главный юрисконсульт Amazon, охарактеризовав г-на Смоллса как «неумного или красноречивого», в электронном письме, ошибочно разосланном более чем 1000 человек, рекомендовал сделать его «лицом» усилий по организации рабочих. Компания уволила мистера Смоллса, заявив, что он нарушил правила карантина, придя на забастовку.

    Увольняя и очерняя его, компания полагалась на жесткую тактику, которая привела ее к доминированию на рынке. Но в пятницу он выиграл первое успешное объединение в профсоюзы на любом складе Amazon в Соединенных Штатах, что стало одной из самых значительных трудовых побед за поколение. Реакция компании на его крошечный первоначальный протест может преследовать ее долгие годы.

    Мистер Смоллс и его лучший друг со склада Деррик Палмер нацелились на объединение в профсоюз после того, как его выгнали. Наряду с растущим кругом коллег — и отсутствием членства в национальной организации труда — эти двое мужчин провели последние 11 месяцев, выступая против Amazon, чьи 1,1 миллиона сотрудников в Соединенных Штатах делают его вторым по величине частным работодателем в стране.

    На автобусной остановке возле склада, месте на Статен-Айленде, известном как JFK8, они развели костры, чтобы согреть коллег, ожидающих рассвета, чтобы вернуться домой. Они снимали видео в TikTok, чтобы охватить рабочих по всему городу. Г-н Палмер привез на площадку домашнюю выпечку зити; другие продавали блинчики с мясом и западноафриканские блюда из риса, чтобы привлечь рабочих-иммигрантов. Они установили таблички с надписью «Бесплатная травка и еда».

    По словам г-на Смоллса, профсоюз потратил в общей сложности 120 000 долларов, собранных через GoFundMe. «Мы начали это с нуля, с двумя столами, двумя стульями и палаткой», — вспоминал он. Согласно федеральным документам, в прошлом году Amazon потратила более 4,3 миллиона долларов только на антипрофсоюзных консультантов по всей стране.

    Голосование за объединение в профсоюзы отражает эпоху роста власти рабочих. В последние месяцы ряд магазинов Starbucks также проголосовали за организацию. Но JFK8 с 8000 сотрудников — один из фирменных складов Amazon, его самый важный путь к самому важному рынку.

    Image

    Склад Amazon JFK8 на Статен-Айленде работает круглосуточно и без выходных, и на нем работают тысячи человек. Бизнес процветал во время пандемии, поскольку сайт обеспечивал снабжение Нью-Йорка в условиях изоляции. Кредит … Дэйв Сандерс для The New York Times

    Amazon годами боролась с профсоюзами, считая это серьезной угрозой для своей бизнес-модели. Его способность доставлять посылки потребителям основана на обширной цепочке ручного труда, который контролируется с точностью до секунды. Никто не знает, что произойдет, если вновь организованные рабочие попытаются изменить эту модель или нарушить работу по номеру , или если их союз будет воспроизведен среди более чем 1000 центров выполнения Amazon и других объектов по всей стране.

    При всех недостатках «Давида против Голиафа» организаторы Стейтен-Айленда имели культурный момент на своей стороне. Их поддержали ужесточение рынка труда, расплата за то, что работодатели должны своим работникам, и Национальный совет по трудовым отношениям, получивший смелость при президенте Байдене, который принял ключевое решение в их пользу. Доморощенная малобюджетная инициатива их независимого профсоюза Amazon превзошла по эффективности традиционных организаторов профсоюзов, которым не удалось объединить Amazon извне, совсем недавно в Бессемере, штат Алабама 9.0003

    «Я думаю, что это встряхнет рабочее движение и перевернет ортодоксию с ног на голову», — сказала Жюстин Медина, упаковщик коробок и профсоюзный организатор JFK8, которая вместе с восторженной толпой ждала в Бруклине результатов голосования.

    Будущее американских усилий по объединению в профсоюзы «не может быть связано с тем, что люди придут извне с планом организации, которому люди должны следовать», — сказала Сара Нельсон, глава профсоюза бортпроводников, в интервью. «Это должно исходить изнутри рабочего места».

    Теперь и зарождающийся профсоюз JFK8, и Amazon сталкиваются с неотложными вопросами. Профсоюз, не имеющий традиционной инфраструктуры, опыта или руководства, скорее всего, столкнется с судебной тяжбой из-за голосования и переговоров по контракту. Компании, которая не ответила на запрос о комментариях для этой статьи, придется решить, стоит ли пересмотреть некоторые из своих тактик и устранить скрытую неудовлетворенность рабочей силой, которая нанесла ей такое сокрушительное поражение.

    «Amazon хотел сделать меня лицом всей профсоюзной кампании против них», — написал г-н Смоллс в твиттере в пятницу, выглядя неустрашимым перед предстоящей задачей. «Ну вот!»

    Когда в 2018 году Amazon открыл обширный сайт JFK8, компания одновременно и привлекала, и опасалась Нью-Йорка, самого важного потребительского рынка Америки. Созданный Союз розничных, оптовых и универмагов объявил о смелой цели: превратить JFK8 в первый организованный склад Amazon в стране.

    Вскоре Amazon отказался от широко разрекламированного плана по открытию второй штаб-квартиры в городе, поскольку нарастала негативная реакция на государственные субсидии, которые она получит, и ее история противодействия профсоюзам. Но разговоры об организации JFK8 ни к чему не привели. В рабочих кругах многие считали, что оборот Amazon слишком высок, а ее тактика слишком воинственна, чтобы профсоюз мог добиться успеха.

    Когда в марте 2020 года в JFK8 были подтверждены первые случаи заражения коронавирусом, г-н Палмер и г-н Смоллс обратились к менеджерам с проблемами безопасности. Сотрудники все больше беспокоились о росте заболеваемости и считали, что Amazon не уведомляет их своевременно о делах, о чем менеджеры задокументировали в недавно опубликованных судебных протоколах.

    Но Amazon отказал в приостановке операций, заявив, что принял «крайние меры» для обеспечения безопасности работников. Пандемия превратила JFK8 в спасательный круг для города, где круглосуточные смены и парк грузовиков доставляли припасы, когда он был заблокирован.

    Забастовка в марте 2020 года из-за опасений сотрудников по поводу Covid-19 положила начало организационному движению в JFK8. Кредит… Спенсер Платт/Getty Images мудрость его увольнения. «Давай», — написал один из них. Мистер Смоллс был снаружи, мирный и социально дистанцированный, написала она. Она предсказала, что его увольнение будет «воспринято как возмездие». Но расторжение продолжалось.

    После увольнения, клеветы главного адвоката на мистера Смоллса — полные извинения пришли только позже — и увольнения еще одного протестующего двое друзей решили действовать. Мистер Смоллс был откровенен, мистер Палмер обдуманно. Они оба были темнокожими мужчинами из Нью-Джерси и одного возраста (31 тогда, 33 сейчас). Оба бросили местный колледж, гордились высокими баллами по показателям производительности Amazon и когда-то надеялись подняться в компании.

    Теперь у них появились новые планы. Мистер Палмер будет продолжать работать в JFK8, чтобы лучше изменить его изнутри.

    В начале 2021 года они отправились на другой склад Amazon. Когда рабочие провели профсоюзную акцию в Бессемере, штат Алабама, г-н Палмер и г-н Смоллс захотели засвидетельствовать это. Но они обнаружили, что организаторы из профсоюза розничной торговли — тот самый, который ранее заявлял об интересе к JFK8 — менее чем приветствовали их и думали, что профессионалы кажутся аутсайдерами, обрушившимися на сообщество.

    Представители профсоюза розничных, оптовых и универмагов у склада Amazon в Бессемере, штат Алабама. Кредит… Дастин Чемберс/Рейтер

    К апрелю рабочие Бессемера отвергли профсоюз более чем 2 к 1. Г-н Палмер и г-н Смоллс объявили о своем намерении организовать JFK8, но мало кто воспринял их всерьез. Почему они должны побеждать, когда более обеспеченные и более опытные оперативники потерпели поражение?

    Когда они приступили к своей первой задаче — сбору тысяч подписей рабочих для проведения голосования по объединению в профсоюзы — в модели занятости Amazon стали очевидны трещины.

    JFK8 предложил работу работникам, уволенным из других отраслей во время пандемии. Но расследование, проведенное New York Times в июне прошлого года, показало, что склад сжигал сотрудников, увольняя других из-за коммуникационных и технологических ошибок и ошибочно лишая работников льгот.

    Чернокожие сотрудники JFK8 почти на 50% чаще были уволены, чем их белые коллеги, согласно внутреннему документу. Еще до того, как пандемия перевернула работу, склады Amazon имели поразительный годовой оборот в 150 процентов.

    Когда мистер Палмер и мистер Смоллс подошли к рабочим на автобусной остановке, тон Amazon по отношению к своим сотрудникам стал меняться. Джефф Безос, основатель компании, передал роль генерального директора Энди Джасси, и компания повысила заработную плату и добавила к своим руководящим принципам цель стать «лучшим работодателем Земли». Он обязался выслушать жалобы и улучшить условия труда.

    Скорость рабочих на складе JFK8 контролируется с точностью до секунды. Кредит… Чанг В. Ли/The New York TimesПосылки отправляются для доставки в регион Нью-Йорка, самый важный рынок Amazon. Кредит… Чанг В. Ли / Нью-Йорк Таймс

    В других случаях это было спорным. В широко разрекламированном Twitter-аккаунте об организации Бессемера Amazon настолько пренебрежительно отозвалась о работниках, которые не могут ходить в туалет и вынуждены мочиться в бутылки, что ей пришлось принести извинения.

    15 сентября 2022 г., 10:02 по восточноевропейскому времени

    • Ипотечные ставки превышают 6 процентов, оказывая давление на рынок жилья.
    • Adobe соглашается купить Figma, платформу для дизайна, за 20 миллиардов долларов.
    • 903:41 Amtrak изо всех сил пытается восстановить поезда, которые она отменила.

    В мае в JFK8 антипрофсоюзный консультант назвал большинство чернокожих профсоюзных организаторов «головорезами», согласно жалобе, поданной против Amazon N.L.R.B. Продавец отрицал этот эпизод.

    А в ноябре агентство по труду заявило, что Amazon продемонстрировала «вопиющее неуважение» к закону и отменила результаты бессемеровского складского голосования, заказав еще одно.

    Той осенью, после нескольких месяцев сбора поддержки, нью-йоркские профсоюзные организаторы поставили более 2000 подписей в совет по труду, но они были отклонены из-за того, что они не соответствуют минимуму, необходимому для проведения выборов. Г-н Смоллс сказал, что Amazon представила совету директоров данные о заработной плате, указывающие на то, что компания считает, что половина людей, подписавших карты, больше не работают на складе.

    «После всех этих месяцев напряженной работы казалось, что импульс пропал», — вспоминал г-н Палмер в интервью. Между работой по сменам и организацией работы в JFK8 в свободное от работы время он месяцами проводил вдали от склада едва ли день. Некоторые из сотрудников, к которым он обращался, скептически относились к профсоюзам или взносам или просто были благодарны Amazon за медицинское обслуживание и зарплату, которая в JFK8 начинается с 18 долларов в час. Другие казались слишком измученными и настороженными, чтобы даже вступать в бой.

    Чтобы двигаться дальше, профсоюзные лидеры размещали видео TikTok, устраивали сморы на открытом воздухе и подпевали хип-хопу и Марвину Гэю. Когда рабочие сталкивались с семейными кризисами, многообещающий профсоюз молился. Один уволенный сотрудник стал бездомным, и группа организовала кампанию по сбору средств.

    Помогло их почти постоянное присутствие на складе. «Чем комфортнее они чувствуют себя у нас, тем больше они начинают нам открываться», — сказал г-н Палмер о других работниках.

    Некоторые сторонники профсоюзов устроились на работу в JFK8 специально, чтобы помочь организационным усилиям, по словам г-жи Медины, которая была среди них.

    Amazon противодействовала всей силой своего антипрофсоюзного аппарата. Он отслеживал социальные сети организаторов, демонстрацию судебных документов, забрасывал рабочих текстовыми сообщениями и устилал склад табличками с надписью «Голосуйте НЕТ» или с утверждениями, что профсоюзные лидеры были посторонними. Компания часто проводила более 20 обязательных встреч с рабочими в день, как сообщила The Times в прошлом месяце, на которых менеджеры и консультанты подвергали сомнению усилия.

    «Профсоюз Amazon никогда не заключал контракты», — говорилось в одной из презентаций. Взносы будут дорогими, продолжал он, а у профсоюза «нет опыта управления такой огромной суммой денег».

    Андро Перес, 35 лет, работает на небольшом складе Amazon возле JFK8, где в этом месяце запланировано еще одно голосование профсоюза. По его словам, он склоняется к тому, чтобы проголосовать за, потому что на обязательных собраниях Amazon в основном критиковались профсоюзы. Он бы предпочел, чтобы его работодатель ответил на вопрос: «Что вы могли бы сделать лучше?»

    Мистер Смоллс (справа) устроил барбекю возле склада, чтобы поощрить рабочих подписать профсоюзные билеты. Фото… Дэйв Сандерс для The New York Times. Палмер поговорил с водителем грузовика Amazon о желании рабочих объединиться. Кредит … Дэйв Сандерс для The New York Times

    Организаторы JFK8 сопротивлялись, подав десятки жалоб в NLRB. утверждая, что Amazon нарушил право рабочих на организацию. Amazon опровергла их обвинения, но совет по труду обнаружил множество нарушений.0285 заслуживающими доверия и преследовали их в административном суде.

    К Рождеству организаторы добились крупной юридической победы. Amazon согласилась на общенациональное соглашение, одно из крупнейших в истории агентства, в котором говорилось, что рабочие могут оставаться в зданиях, чтобы организоваться, когда они не работают.

    При этом организаторы перенесли свои обеды в помещения, предоставив им больше доступа и легитимности. Тетя мистера Смоллса приготовила домашнюю пищу для души: макароны с сыром, засахаренный ямс, листовую капусту и запеченную курицу.

    «Что вы делаете, так это создаете сообщество рабочих, которого у Amazon никогда не было», — сказал Сет Гольдштейн, юрист, который бесплатно представлял организаторов.

    Однажды в феврале этого года мистер Смоллс принес обед в комнату отдыха, когда Амазон позвонил в полицию, заявив, что он нарушил границы. Он и два нынешних сотрудника были арестованы. Ответ мог иметь неприятные последствия: видеоролики профсоюза об этом эпизоде ​​на TikTok были просмотрены сотни тысяч раз.

    41-летняя Кэтлин Лехуез, проработавшая в Amazon в течение девяти лет, сказала, что не является «фанаткой профсоюза», но голосовала за организационные усилия, направленные на то, чтобы отправить сообщение компании, которая, по ее мнению, потеряла связь с работниками. «Человечности в Amazon больше нет, — сказала она в интервью.

    За несколько недель до подсчета голосов Amazon, которая постоянно заявляла, что ее работникам лучше всего подходят прямые отношения с компанией, заложила основу для потенциальных проблем с выборами, утверждая в юридических документах, что совет по труду отказался от « нейтралитет своей должности» в пользу союза.

    В пятницу утром в офисе агентства в Бруклине мистер Смоллс в ярко-красной уличной одежде сидел рядом с юристом Amazon и просматривал каждый бюллетень. Его колено дрожало при представлении каждого голоса.

    16 умножить на 8: 1/16 умножить на 8 надо решить

    Таблица умножения на 8

    Большая таблица умножения натуральных чисел на 8 (восемь) 
    МножителиПроизведение (Результат)
    8 * 1 =8
    8 * 2 =16
    8 * 3 =24
    8 * 4 =32
    8 * 5 =40
    8 * 6 =48
    8 * 7 =56
    8 * 8 =64
    8 * 9 =72
    8 * 10 =80
    8 * 11 =88
    8 * 12 =96
    8 * 13 =104
    8 * 14 =112
    8 * 15 =120
    8 * 16 =128
    8 * 17 =136
    8 * 18 =144
    8 * 19 =152
    8 * 20 =160
    8 * 21 =168
    8 * 22 =176
    8 * 23 =184
    8 * 24 =192
    8 * 25 =200
    8 * 26 =208
    8 * 27 =216
    8 * 28 =224
    8 * 29 =232
    8 * 30 =240
    8 * 31 =248
    8 * 32 =256
    8 * 33 =264
    8 * 34 =272
    8 * 35 =280
    8 * 36 =288
    8 * 37 =296
    8 * 38 =304
    8 * 39 =312
    8 * 40 =320
    8 * 41 =328
    8 * 42 =336
    8 * 43 =344
    8 * 44 =352
    8 * 45 =360
    8 * 46 =368
    8 * 47 =376
    8 * 48 =384
    8 * 49 =392
    8 * 50 =400
    8 * 51 =408
    8 * 52 =416
    8 * 53 =424
    8 * 54 =432
    8 * 55 =440
    8 * 56 =448
    8 * 57 =456
    8 * 58 =464
    8 * 59 =472
    8 * 60 =480
    8 * 61 =488
    8 * 62 =496
    8 * 63 =504
    8 * 64 =512
    8 * 65 =520
    8 * 66 =528
    8 * 67 =536
    8 * 68 =544
    8 * 69 =552
    8 * 70 =560
    8 * 71 =568
    8 * 72 =576
    8 * 73 =584
    8 * 74 =592
    8 * 75 =600
    8 * 76 =608
    8 * 77 =616
    8 * 78 =624
    8 * 79 =632
    8 * 80 =640
    8 * 81 =648
    8 * 82 =656
    8 * 83 =664
    8 * 84 =672
    8 * 85 =680
    8 * 86 =688
    8 * 87 =696
    8 * 88 =704
    8 * 89 =712
    8 * 90 =720
    8 * 91 =728
    8 * 92 =736
    8 * 93 =744
    8 * 94 =752
    8 * 95 =760
    8 * 96 =768
    8 * 97 =776
    8 * 98 =784
    8 * 99 =792
    8 * 100 =800
    … * 101 =

    Автор: Bill4iam


    Лейкоцитарная формула (с микроскопией мазка крови при выявлении патологических изменений)

    Лейкоцитарная формула – процентное соотношение различных форм лейкоцитов в сыворотке крови и подсчет их числа в единице объема.9/л (10 в ст. 9/л).

    Какой биоматериал можно использовать для исследования?

    Венозную, капиллярную кровь.

    Как правильно подготовиться к исследованию?

    • Исключить из рациона алкоголь за сутки перед сдачей крови.
    • Не принимать пищу за 2-3 часа до исследования (можно пить чистую негазированную воду).
    • Исключить физическое и эмоциональное перенапряжение и не курить за 30 минут до исследования.

    Общая информация об исследовании

    Лейкоциты, как и другие клетки крови, образуются в костном мозге. Основная их функция – борьба с инфекцией, а также ответ на повреждение тканей.

    В отличие от эритроцитов, популяция которых является однородной, лейкоциты делятся на 5 типов, отличающихся по внешнему виду и выполняемым функциям: нейтрофилы, лимфоциты, моноциты, эозинофилы, базофилы.

    Лейкоциты образуются из стволовых клеток костного мозга. Они живут недолго, поэтому происходит их постоянное обновление. Продукция лейкоцитов в костном мозге возрастает в ответ на любое повреждение тканей, это часть нормального воспалительного ответа. Разные типы лейкоцитов имеют несколько разные функции, однако они способны к координированным взаимодействиям путем «общения» с использованием определенных веществ – цитокинов.

    Долгое время лейкоцитарную формулу высчитывали вручную, однако современные анализаторы позволяют гораздо точнее проводить исследование в автоматическом режиме (врач смотрит 100-200 клеток, анализатор – несколько тысяч). Если анализатором определяются атипичные формы клеток либо выявляются значительные отклонения от референсных значений, то лейкоцитарная формула дополняется микроскопическим исследованием мазка крови, который позволяет диагностировать некоторые заболевания, такие как, например, инфекционный мононуклеоз, определить степень тяжести инфекционного процесса, описать тип выявленных атипичных клеток при лейкозе.

    Нейтрофилы – наиболее многочисленные из лейкоцитов – первыми начинают бороться с инфекцией и первыми появляются в месте повреждения тканей. Нейтрофилы имеют ядро, разделенное на несколько сегментов, поэтому их еще называют сегментоядерными нейтрофилами или полиморфноядерными лейкоцитами. Эти названия, однако, относятся только к зрелым нейтрофилам. Созревающие формы (юные, палочкоядерные) содержат цельное ядро.

    В очаге инфекции нейтрофилы окружают бактерии и ликвидируют их путем фагоцитоза.

    Лимфоциты – одно из важнейших звеньев иммунной системы, они имеют большое значение в уничтожении вирусов и борьбе с хронической инфекцией. Существует два вида лимфоцитов – Т и В (в лейкоцитарной формуле подсчета видов лейкоцитов по отдельности нет). B-лимфоциты вырабатывают антитела – специальные белки, которые связываются с чужеродными белками (антигенами), находящимися на поверхности вирусов, бактерий, грибов, простейших. Окруженные антителами клетки, содержащие антигены, доступны для нейтрофилов и моноцитов, которые убивают их. Т-лимфоциты способны разрушать зараженные клетки и препятствовать распространению инфекции. Также они распознают и уничтожают раковые клетки.

    Моноцитов в организме не очень много, однако они осуществляют крайне важную функцию. После непродолжительной циркуляции в кровяном русле (20-40 часов) они перемещаются в ткани, где превращаются в макрофаги. Макрофаги способны уничтожать клетки, так же как нейтрофилы, и держать на своей поверхности чужеродные белки, на которые  реагируют лимфоциты. Они играют роль в поддержании воспаления при некоторых хронических воспалительных заболеваниях, таких как ревматоидный артрит.

    Эозинофилов в крови содержится небольшое количество, они тоже способны к фагоцитозу, однако в основном играют другую роль – борются с паразитами, а также принимают активное участие в аллергических реакциях.

    Базофилов в крови также немного. Они перемещаются в ткани, где превращаются в тучные клетки. Когда они активируются, из них выделяется гистамин, обусловливающий симптомы аллергии (зуд, жжение, покраснение).

    Для чего используется исследование?

    • Для оценки способности организма противостоять инфекции.
    • Для определения степени выраженности аллергии, а также наличия в организме паразитов.
    • Для выявления неблагоприятного воздействия некоторых лекарственных препаратов.
    • Для оценки иммунного ответа на вирусные инфекции.
    • Для дифференциальной диагностики лейкозов и для оценки эффективности их лечения.
    • Для контроля за воздействием на организм химиотерапии.

    Когда назначается исследование?

    • Совместно с общим анализом крови при плановых медицинских осмотрах, подготовке к хирургическому вмешательству.
    • При инфекционном заболевании (или подозрении на него).
    • Если есть подозрение на воспаление, аллергическое заболевание или заражение паразитами.
    • При назначении некоторых лекарственных препаратов.
    • При лейкозах.
    • При контроле за различными заболеваниями.

    Что означают результаты?

    Лейкоцитарная формула обычно интерпретируется в зависимости от общего количества лейкоцитов.9/л

    Нейтрофилы, %

    Возраст

    Референсные значения

    Меньше 1 года

    16 — 45  %

    1-2 года

    28 — 48  %

    2-4 года

    32 — 55  %

    4-6 лет

    32 — 58  %

    6-8 лет

    38 — 60  %

    8-10 лет

    41 — 60  %

    10-16 лет

    43 — 60  %

    Больше 16 лет

    47 — 72  %

    Чаще всего уровень нейтрофилов повышен при острых бактериальных и грибковых инфекциях. Иногда в ответ на инфекцию продукция нейтрофилов увеличивается столь значительно, что в кровяное русло выходят незрелые формы нейтрофилов, увеличивается количество палочкоядерных. Это называется сдвигом лейкоцитарной формулы влево и свидетельствует об активности ответа костного мозга на инфекцию.
    Встречается и сдвиг лейкоцитарной формулы вправо, когда количество палочкоядерных форм уменьшается и увеличивается количество сегментоядерных. Так бывает при мегалобластных анемиях, заболеваниях печени и почек.

    Другие причины повышения уровня нейтрофилов:

    • системные воспалительные заболевания, панкреатит, инфаркт миокарда, ожоги (как реакция на повреждение тканей),
    • онкологические заболевания костного мозга. 

    Количество нейтрофилов может уменьшаться при:

    • массивных бактериальных инфекциях и сепсисе, в случаях когда костный мозг не успевает воспроизводить достаточно нейтрофилов,
    • вирусных инфекциях (гриппе, кори, гепатите В),
    • апластической анемии (состоянии, при котором угнетена работа костного мозга), B12-дефицитной анемии,
    • онкологических заболеваниях костного мозга и метастазах других опухолей в костный мозг.9/л

      Лимфоциты, %

      Возраст

      Референсные значения

      Меньше 1 года

      45 — 75 %

      1-2 года

      37 — 60  %

      2-4 года

      33 — 55  %

      4-6 лет

      33 — 50  %

      6-8 лет

      30 — 50  %

      8-10 лет

      30 — 46  %

      10-16 лет

      30 — 45  %

      Больше 16 лет

      19 — 37  %

      Причины повышенного уровня лимфоцитов:

      • инфекционный мононуклеоз и другие вирусные инфекции (цитомегаловирус, краснуха, ветряная оспа, токсоплазмоз),
      • некоторые бактериальные инфекции (туберкулез, коклюш),
      • онкологические заболевания костного мозга (хронический лимфолейкоз) и лимфоузлов (неходжкинская лимфома).9/л

        Моноциты, %

        Возраст

        Референсные значения

        Меньше 1 года

        4 — 10  %

        1 — 2 года

        3 — 10  %

        Больше 2 лет

        3 — 12 %

        Причины повышения уровня моноцитов:

        • острые бактериальные инфекции,
        • туберкулез,
        • подострый бактериальный эндокардит,
        • сифилис,
        • онкологические заболевания костного мозга и лимфоузлов,
        • рак желудка, молочных желез, яичников,
        • заболевания соединительной ткани,
        • саркоидоз.9/л

          Эозинофилы, %

          Возраст

          Референсные значения

          Меньше 1 года

          1 — 6 %

          1 — 2 года

          1 — 7 %

          2 — 4 года

          1 — 6 %

          Больше 4 лет

          1 — 5 %

          Наиболее распространенные причины повышения уровня эозинофилов:

          • аллергические заболевания (бронхиальная астма, сенная лихорадка, пищевая аллергия, экзема),
          • заражение паразитическими червями,
          • аллергическая реакция на лекарственные препараты (антибиотики, аллопуринол, гепарин, пропранолол и др.9/л.

            Базофилы, %: 0 — 1,2 %.

            Увеличение содержания базофилов встречается редко: при онкологических заболеваниях костного мозга и лимфоузлов, истинной полицитемии, аллергических заболеваниях.

            Уменьшаться количество базофилов может при острой фазе инфекции, гипертиреозе, длительной терапии кортикостероидами (преднизолоном).

             Скачать пример результата

            Также рекомендуется

            Кто назначает исследование?

            Врач общей практики, терапевт, педиатр, хирург, инфекционист, гематолог, гинеколог, уролог.

            «Необычные способы умножения» 8 класс

            Муниципальное общеобразовательное учреждение

            «Лаголовская общеобразовательная школа»

            ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

            ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

            «НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ».

            Выполнила: Кубринская Анастасия

            Ученица 8 «Б» класса

            Руководитель: Кондратьева Людмила Алексеевна

            Учитель математики

            .

            2016-2017 уч. год

            Оглавление.

            1. Вступление

            2. Основная часть. Необычные способы умножения:

              1. Актуальность темы

              2. Историческая справка

              3. Умножение на пальцах

              4. Умножение на 9

              5. Русский крестьянский способ

              6. Умножение методом Ферроля

              7. Линейный (японский) способ

              8. Итальянский способ – способ решетки

              9. Индийский способ умножения

            3. Практическая часть

            4. Заключение

            5. Список литературы

            I. Вступление.

            Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

            Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

            Цель работы:

            • Познакомиться с необычными приемами умножения;

            • Расширить знания по различным приемам умножения;

            • Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя необычные способы умножения.

            Задачи:

            • Изучение источников, в которых встречаются необычные способы умножения;

            • Поиск нестандартных оригинальных решений;

            • Изучение выбранных способов умножения натуральных чисел;

            • Описание и освоение быстрых способов умножения;

            • Сравнение и выявление преимуществ и недостатков;

            • Выбрать для себя самые интересные или более легкие и использовать их при счете.

            II. Основная часть. Необычные способы умножения.

            2.1. Актуальность темы

            В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки.

            Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях.

            Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду.

            2.2. Историческая справка

            В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления.

            Индусы, с давних времен знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счет письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже из заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе – умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошел в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже

            2.3. Умножение на пальцах.

            Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

            Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

            Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.

            2.4. Умножение на 9.

            Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

            Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

            Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

            7 клеток 2 клетки.

            2.5. Русский крестьянский способ умножения

            Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

            В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением

            37……….32

            74……….16

            148……….8

            296……….4

            592……….2

            1184……….1

            Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому

            37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

            В случае, когда одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом:

            24 ∙ 17

            24 ∙ 16 =

            = 48 ∙ 8 =

            = 96 ∙ 4 =

            = 192 ∙ 2 =

            =384 ∙ 1 = 384

            24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

            2.6. Умножение методом Ферроля

            Индусы этот метод называют молниеносным, греки – «хиазм», итальянцы же называют – per crocetta, что означает накрест. Известно и другое его название – метод Фурье.

            Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

            Например: 12х14= 1 6 8

            1. 2х4=8

            2. 1х4+1х2=6

            3. 1х1=1

            2.7. Линейный (японский) способ

            Допустим нам надо умножить 32х21.

            На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.

            Сначала число 32, рисуем 3 красные горизонтальные линии и чуть ниже 2 синие горизонтальные линии.

            Число 21, рисуем линии перпендикулярные горизонтальным 2 зеленые и 1 малиновая. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области показаны в виде окружностей). Итак, в первой области (области сотен) – 6 точек. Во второй области (области десятков) – 7 точек, в третьей (область единиц) – 2 точки. Следовательно ответ: 672

            • Рассмотрим еще один пример. Те области где количество точек получилось в виде однозначного числа сложности не вызывают. Поэтому начнем разбирать сразу треть область где 16 точек пересечения, от 16 в этой области оставляем только последнюю цифру т.е. 6, все остальное, а значит это цифра 1 переносим в соседнюю область справа налево, следовательно, в третьей области осталось число 6, а второй области к имеющимся 9 точкам надо добавить перенесенную единицу. Следовательно во второй области 10 точек, а это двухзначное число, значит в этой области мы оставляем ноль, а единицу переносим в первую область, где есть уже 4 точки (4+1=5). Составим ответ 50676.

            2.8. Итальянский способ – способ решетки

            В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

            Например,

            умножим 6827 на 345.

            1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

            1. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. Т.е 6х3=18, записываем 1 и 8

            8х3=24, записываем 2 и 4

            2х3=6, записываем 0 и 6, если при умножении получается однозначное число, то мы сверху пишем ноль, а снизу это однозначное число.

            7х3=21, записываем 2 и 1

            1. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

            0+5=5

            8+3=11

            1+2+8+1=12 , 12+1=13

            2+6+0+2+4+0=14, 14+1=15

            0+4+3+4+3=14, 14+1=15

            2+8+2=12,12+1=13

            1+0=1,1+1= 2

            Ответ: 2 355 315

            2.9. Индийский способ умножения.

            Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

            Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

            Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

            Однако, существует еще один способ, который использовали индусы в Древней Индии.

            Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

            Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого. Полученные произведения пишем в сетку (Б).

            Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

            IV.Практическая часть

            1. Умножение на пальцах

            Выполните умножение данным способом:

            1. 9 х 8=72

            2. 6 х 9=36

            3. 8 х 8=64

            1. Умножение на 9 на пальцах

            Выполните умножение данным способом

            • 7 х 9 = 63

            • 6 х 9 = 54

            • 9 х 9 = 81

            1. Русский крестьянский способ

            Выполните умножение данным способом

            • 25 х 128 = 3200

            • 47 х 64 = 3008

            • 13 х 256 = 3328

            • 47 х 24 = 1128

            • 26 х 48 = 1248

            • 56 х 72 = 4032

            1. Способ Ферроля

            Выполните умножение данным способом

            • 11 х 19 = 209

            • 12 х 13 = 156

            • 16 х 18 = 288

            • 17 х 15 = 255

            • 19 х 14 = 266

            1. Линейный (японский) способ

            Выполните умножение данным способом

            • 31 Х 45 = 1395

            • 24 х 67 = 1608

            • 29 х 33 = 957

            • 341 х 913 = 311333

            • 152 х 421 = 63992

            • 178 х 432 = 76896

            1. Итальянский способ – способ решетки

            Выполните умножение данным способом

            • 4986 х 965 = 4811490

            • 17893 х 357 = 6381801

            • 4328 х 6943 = 30049304

            1. Индийский способ

            Выполните умножение данным способом

            • 486 х 17 = 8262

            • 369 х 85 = 31365

            • 784 х 63 = 49392

            • 951 х 96 = 91296

            • 654 х 38 = 24852

            V. Заключение.

            Научившись считать всеми представленными способами, мы пришли к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

            Из всех найденных нами необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения».

            Самым простым нам показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Его хорошо использовать при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

            Мы думаем, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.

            VI.Литература

            1. Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

            2. Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

            3. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

            4. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.

            5. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994—205с.

            6. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.

            7. Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. –

            8. Интернет ресурсы http://nsportal.ru

            9. Интернет ресурсы http://www.bugaga.ru

            Энтузиаст протестировал новые китайские процессоры Loongson 3A5000

            Энтузиаст состоит в различных чатах в Telegram и как-то недавно наткнулся на канал по процессорам Loongson и ему удалось провести различные тесты данного процессора.

            Сперва рассмотрим характеристики процессора Loongson 3A5000 и его предыдущую модель Loongson 3A4000.

            Характеристики процессоров Loongson 3A5000 и Loongson 3A4000:


            Были проведены следующие тесты:


            • 7zip встроенный бенчмарк
            • Dhrystone, Whetsone
            • Coremark
            • Scimark 2
            • Mp MFLOPS
            • Stream
            • Готовые результаты в SPEC 2006 (1 поток)

            Сразу переходим к результатам, но детали тестов смотрите далее.


            Результаты


            По результатам можно сделать вывод, что процессор примерно сравним с процессором Core i7 4700 HQ и немного не дотягивает (~30%, но 4 потока против 8 HT потоков и частота 2.5 ГГц против 3.4 ГГц) до Core i7-2600, хотя обгоняет его по GFLops’ам.


            Немного об архитектуре LoongArch

            Loongson 3A5000 — процессор на основе сильно переработанной RISC архитектуре MIPS64, часть ненужных команд MIPS64 была удалена и добавлено большое число расширений (SIMD, шифрование, бинарная трансляция, виртуализация), всего порядка 2000+ инструкций.


            Loongson 3A5000 (LS3A5000)

            Loongson 3A5000 — процессор на основе 64 разрядной RISC сильно переработанной архитектуре MIPS64 (loongarch64), имеет 4 ядра, которые работают на частоте 2.5 ГГц.

            Architecture:        loongarch64
            Byte Order:          Little Endian
            CPU(s):              4
            On-line CPU(s) list: 0-3
            Thread(s) per core:  1
            Core(s) per socket:  4
            Socket(s):           1
            NUMA node(s):        1
            Model name:          Loongson-3A5000
            CPU max MHz:         2500.0000
            CPU min MHz:         225.0000
            BogoMIPS:            4992.00
            L1d cache:           64K
            L1i cache:           64K
            L2 cache:            256K
            L3 cache:            16384K
            NUMA node0 CPU(s):   0-3

            Особенности процессора Loongson 3A5000:


            • 64 битная архитектура loongarch64
            • 128 битные SIMD расширения Loongson SIMD EXtension (LSX)
            • 256 битные SIMD расширения Loongson Advanced SIMD EXtension (LASX)
            • Внеочередное исполнение
            • Предсказание ветвлений
            • Поддержка виртуализации (LVZ)
            • Поддержка бинарной трансляции (LBT) архитектур MIPS, ARM, x86
            • 4 АЛУ
            • 2 SIMD блока
            • Кеши
              • 64 КБ L1 кэш команд на ядро
              • 64 КБ L1 кэш данных на ядро
              • 256 КБ L2 кэш на ядро
              • 16 МБ L3 кэш

            Разбираем результаты


            Dhrystone

            Dhrystone достаточно древний тест 80х годов, написан на C. Тестирует целочисленную арифметику и работу со строками. Результаты измеряются в Dhrystone/s и DMIPS. (DMIPS = Dhrystone/s делить на 1757).


            Вывод теста Dhrystone
            ##########################################
            
            Dhrystone Benchmark, Version 2.1 (Language: C or C++)
            
            Optimisation    loongarch64 loongarch64 optimized
            Register option not selected
            
                   10000 runs   0.00 seconds 
                  100000 runs   0.00 seconds 
                 1000000 runs   0.03 seconds 
                10000000 runs   0.32 seconds 
                20000000 runs   0.63 seconds 
                40000000 runs   1.27 seconds 
                80000000 runs   2.53 seconds 
            
            Final values (* implementation-dependent):
            
            Int_Glob:      O.K.  5  Bool_Glob:     O.K.  1
            Ch_1_Glob:     O.K.  A  Ch_2_Glob:     O.K.  B
            Arr_1_Glob[8]: O.K.  7  Arr_2_Glob8/7: O.K.    80000010
            Ptr_Glob->              Ptr_Comp:       *    753386704
              Discr:       O.K.  0  Enum_Comp:     O.K.  2
              Int_Comp:    O.K.  17 Str_Comp:      O.K.  DHRYSTONE PROGRAM, SOME STRING
            Next_Ptr_Glob->         Ptr_Comp:       *    753386704 same as above
              Discr:       O.K.  0  Enum_Comp:     O.K.  1
              Int_Comp:    O.K.  18 Str_Comp:      O.K.  DHRYSTONE PROGRAM, SOME STRING
            Int_1_Loc:     O.K.  5  Int_2_Loc:     O.K.  13
            Int_3_Loc:     O.K.  7  Enum_Loc:      O.K.  1  
            Str_1_Loc:                             O.K.  DHRYSTONE PROGRAM, 1'ST STRING
            Str_2_Loc:                             O.K.  DHRYSTONE PROGRAM, 2'ND STRING
            
            Nanoseconds one Dhrystone run:        31.68
            Dhrystones per Second:             31560942
            VAX  MIPS rating =                 17962.97

            Whetstone

            Тестирует арифметику с плавающей/фиксированной запятой, математические функции, ветвления, вызовов функций, присваиваний, работы с числами с фиксированной запятой, ветвлений. Результаты измеряются в MMIPS.


            Вывод теста Whetstone
            ##########################################
            Single Precision C Whetstone Benchmark loongarch64 loongarch64 optimized, Sat Jul 24 21:37:34 2021
            
            Calibrate
                   0.00 Seconds          1   Passes (x 100)
                   0.01 Seconds          5   Passes (x 100)
                   0.06 Seconds         25   Passes (x 100)
                   0.31 Seconds        125   Passes (x 100)
                   1.57 Seconds        625   Passes (x 100)
                   7.83 Seconds       3125   Passes (x 100)
            
            Use 3989  passes (x 100)
            
                      Single Precision C/C++ Whetstone Benchmark
            
            Loop content                  Result              MFLOPS      MOPS   Seconds
            
            N1 floating point     -1.12367534637451172       929.727              0.082
            N2 floating point     -1.12167274951934814      1370.698              0.391
            N3 if then else        1.00000000000000000                   0.000    0.000
            N4 fixed point        12.00000000000000000               32371.396    0.039
            N5 sin,cos etc.        0.49911010265350342                  99.825    3.325
            N6 floating point      0.99999982118606567       599.758              3.588
            N7 assignments         3.00000000000000000                3747.925    0.197
            N8 exp,sqrt etc.       0.75110864639282227                  62.452    2.376
            
            MWIPS                                           3990.075              9.997

            Современный тест, который должен заменить Dhrystone и Whetstone. Написан на C. Считает различные массивы, матрицы, сортировка массивов и т. д. Предназначался для запуска на всём: от микроконтроллеров до мощных процессоров.


            Вывод однопоточного теста Coremark
            2K performance run parameters for coremark.
            CoreMark Size    : 666
            Total ticks      : 14503
            Total time (secs): 14.503000
            Iterations/Sec   : 13790.250293
            Iterations       : 200000
            Compiler version : GCC8.3.0
            Compiler flags   : -Ofast   -DPERFORMANCE_RUN=1 -DUSE_FORK=1 -lrt
            Memory location  : Please put data memory location here
                        (e.g. code in flash, data on heap etc)
            seedcrc          : 0xe9f5
            [0]crclist       : 0xe714
            [0]crcmatrix     : 0x1fd7
            [0]crcstate      : 0x8e3a
            [0]crcfinal      : 0x4983
            Correct operation validated. See README.md for run and reporting rules.
            CoreMark 1.0 : 13790.250293 / GCC8.3.0 -Ofast   -DPERFORMANCE_RUN=1 -DUSE_FORK=1 -lrt / Heap

            Вывод многопоточного теста Coremark
            2K performance run parameters for coremark.
            CoreMark Size    : 666
            Total ticks      : 14623
            Total time (secs): 14.623000
            Iterations/Sec   : 54708.336183
            Iterations       : 800000
            Compiler version : GCC8.3.0
            Compiler flags   : -Ofast -march=native  -DPERFORMANCE_RUN=1 -DUSE_FORK=1 -lrt
            Parallel Fork : 4
            Memory location  : Please put data memory location here
                        (e.g. code in flash, data on heap etc)
            seedcrc          : 0xe9f5
            [0]crclist       : 0xe714
            [1]crclist       : 0xe714
            [2]crclist       : 0xe714
            [3]crclist       : 0xe714
            [0]crcmatrix     : 0x1fd7
            [1]crcmatrix     : 0x1fd7
            [2]crcmatrix     : 0x1fd7
            [3]crcmatrix     : 0x1fd7
            [0]crcstate      : 0x8e3a
            [1]crcstate      : 0x8e3a
            [2]crcstate      : 0x8e3a
            [3]crcstate      : 0x8e3a
            [0]crcfinal      : 0x4983
            [1]crcfinal      : 0x4983
            [2]crcfinal      : 0x4983
            [3]crcfinal      : 0x4983
            Correct operation validated. See README.md for run and reporting rules.
            CoreMark 1.0 : 54708.336183 / GCC8.3.0 -Ofast -march=native  -DPERFORMANCE_RUN=1 -DUSE_FORK=1 -lrt / Heap / 4:Fork
            

            MP MFLOPS

            Выполняет операции с плавающей запятой на векторах.


            Вывод теста MP-MFLOPS
             MP-MFLOPS Compiled for loongarch64 Sat Jul 24 20:52:23 2021
            
                FPU Add & Multiply using 1, 2, 4 and 8 Threads
            
                    2 Ops/Word              32 Ops/Word
             KB     12.8     128   12800    12.8     128   12800
             MFLOPS
             1T    18882   12721   10789   26652   26031   25988
             2T    32784   37675   21228   51444   54126   51909
             4T    51385   70939   40023   94571  107173  102566
             8T    41463   66280   42473   84137  105576  103068
             Results x 100000, 0 indicates ERRORS
             1T    76406   97075   99969       0       0   99951
             2T    76406   97075   99969       0       0   99951
             4T    76406   97075   99969       0       0   99951
             8T    76406   97075   99969       0       0   99951
            
                     End of test Sat Jul 24 20:52:23 2021


            7zip

            Встроенный тест архиватора 7z.

            Запускается так:

            7z b

            Вывод теста 7z
            7-Zip (a) 16.02 : Copyright (c) 1999-2016 Igor Pavlov : 2016-05-21
            p7zip Version 16.02 (locale=zh_CN.UTF-8,Utf16=on,HugeFiles=on,64 bits,4 CPUs LE)
            
            LE
            CPU Freq: 64000000 - - - - - - - -
            
            RAM size:   16165 MB,  # CPU hardware threads:   4
            RAM usage:    882 MB,  # Benchmark threads:      4
            
                                   Compressing  |                  Decompressing
            Dict     Speed Usage    R/U Rating  |      Speed Usage    R/U Rating
                     KiB/s     %   MIPS   MIPS  |      KiB/s     %   MIPS   MIPS
            
            22:      11279   327   3352  10973  |     130124   396   2803  11102
            23:      10681   325   3346  10883  |     127682   393   2810  11048
            24:      11183   353   3406  12025  |     126626   395   2815  11116
            25:      11099   360   3525  12673  |     124248   394   2805  11058
            ----------------------------------  | ------------------------------
            Avr:             341   3407  11638  |              395   2808  11081
            Tot:             368   3108  11360


            STREAM

            Тест производительности ОЗУ.


            Вывод теста STREAM
            Function    Best Rate MB/s  Avg time     Min time     Max time
            Copy:           16748.3     0.009969     0.009553     0.010576
            Scale:          18735.0     0.009437     0.008540     0.010660
            Add:            16333.2     0.015492     0.014694     0.016449
            Triad:          17796.0     0.014789     0.013486     0.015294

            Версия компилятора, ядра Linux

            Ядро Linux:

            Linux 4.19.167-rc5.lnd.1-loongson-3 #1 SMP Sat Apr 17 07:32:32 UTC 2021 loongarch64 loongarch64 loongarch64 GNU/Linux

            Версия компилятора: gcc version 8.3.0 (Debian 8.3.0-6.lnd.vec.20).


            Выводы

            Loongson 3A5000 вышел достаточно неплохим процессором, который уже сейчас может применяться в различных десктопных решениях, а процессоры с низкими частотами могут применяться в ноутбуках (с TDP порядка 30 Вт.)
            Очень хотелось бы попробовать в работе такие компьютеры, а учитывая то, что они поддерживают видеокарты от AMD, то можно запускать и игры с открытым исходным кодом. Будем надеяться, что такие процессоры получат широкое применение.

            Другие результаты для сравнения:

            Картинка


            Ссылки


            16-кратная таблица — выучить таблицу из 16

            Таблица умножения на 16 — это таблица умножения, которая создается путем умножения числа 16 на разные целые числа. Переход от подсчета пальцев к ментальной арифметике начинается с обучения таблицам умножения. В этом мини-уроке вы найдете таблицу умножения на 16, то есть умножение 16 на различные целые числа, а также некоторые приемы для запоминания таблицы.

            16-кратная таблица:

            Таблица умножения 16

            • Изучение таблицы умножения на 16 в годы обучения помогает студентам решать длинные задачи, связанные с умножением и делением.
            • Таблица умножения
            • на 16 помогает визуализировать шаблоны умножения и применять их в реальных сценариях.

            Для быстрых вычислений просмотрите таблицу 16 умножения , которая приведена ниже.

            16-кратная таблица

            16-кратная таблица до 10
            16 × 1 = 16 16 × 6 = 96
            16 × 2 = 32 16 × 7 = 112
            16 × 3 = 48 16 × 8 = 128
            16 × 4 = 64 16 × 9 = 144
            16 × 5 = 80 16 × 10 = 160

            >> Скачать 16-кратную таблицу

            Советы для таблицы 16 раз

            1. 16 не имеет никаких правил, которые упрощают запоминание таблицы умножения 16, но есть образец для каждых пяти кратных шестнадцати: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160.

            2. Последняя цифра этих кратных чисел всегда повторяется, что означает, что учащиеся могут запомнить эти цифры, чтобы помочь им с таблицей умножения на 16.

            Другой способ запомнить таблицу от 16 до 10:

            Как вы можете заметить на изображении выше, цифры, которые сначала стоят на месте единицы, записываются в последовательности 8, 6, 4, 2, 0 во всех 4 рядах двух видимых сеток.Вместо разряда десятков напишите все числа и повторите каждое число, кратное 4. Следовательно, повторяются 4, 8 и 12. Каждое альтернативное число после 16 обведено в кружок, и числа представляют собой таблицу умножения на 16.

            Стол от 16 до 20

            Мы получили первые десять чисел, кратных 16. Давайте оценим таблицу от 16 до 20.

            16 × 11 = 176 16 × 16 = 256
            16 × 12 = 192 16 × 17 = 272
            16 × 13 = 208 16 × 18 = 288
            16 × 14 = 224 16 × 19 = 304
            16 × 15 = 240 16 × 20 = 320

            8 раз, что равно 16?


            Онлайн калькуляторы> Математические калькуляторы

            8 умножить на 2 равно 16, потому что 16/8 = 2.Ниже приведена таблица умножения 8, в которой 8 умножается от 1 до 25.

            8 x 1 = 8
            8 x 2 = 16
            8 x 3 = 24
            8 x 4 = 32
            8 x 5 = 40
            8 x 6 = 48
            8 x 7 = 56
            8 x 8 = 64
            8 x 9 = 72
            8 x 10 = 80
            8 х 11 = 88
            8 х 12 = 96
            8 х 13 = 104
            8 х 14 = 112
            8 х 15 = 120
            8 х 16 = 128
            8 х 17 = 136
            8 х 18 = 144
            8 x 19 = 152
            8 x 20 = 160
            8 x 21 = 168
            8 х 22 = 176
            8 x 23 = 184
            8 х 24 = 192
            8 x 25 = 200
            В 9 раз больше, что равно 9
            , в 8 раз больше, что равно 24

            Электрические калькуляторы
            Калькуляторы недвижимости
            Бухгалтерские калькуляторы
            Бизнес-калькуляторы
            Строительные калькуляторы
            Спортивные калькуляторы

            Финансовые калькуляторы
            Калькулятор сложных процентов
            Ипотечный калькулятор
            Сколько дома я могу себе позволить
            Кредитный калькулятор
            Фондовый калькулятор
            Инвестиционный калькулятор
            Пенсионный калькулятор
            401k Калькулятор
            Калькулятор комиссионных сборов eBay
            PayPal калькулятор комиссионных

            Etsy30 Комиссия наценка TV
            Калькулятор LTV
            Калькулятор аннуитета
            Сколько я зарабатываю в году

            Математические калькуляторы
            Смешанное число в десятичном формате
            Ratio Simplifier
            Percentage Calculator

            Health Calculators
            BMI Calculator
            Weight Loss Calculator CM

            Conversion 901 and Feet 901 MM в дюймах

            Другое
            Сколько мне лет
            Выбор случайных имен
            Генератор случайных чисел

            Сумма чисел, умноженных на 8 и 19, составляет не менее 16

            Тимоти С.ответил • 05.01.20

            Опытный репетитор по математике и естественным наукам из Калифорнийского университета в Дэвисе

            скажем, число x

            8x + 19 ≥ 16

            8x ≥ -3

            x ≥ -3/8

            Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

            ИЛИ
            Найдите онлайн-репетитора сейчас

            Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


            ¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

            Как вводить доли часа в табели учета рабочего времени в Small Business Accounting, Accounting Professional и Accounting Express

            ВВЕДЕНИЕ

            В этой статье описывается, как вводить доли часа в табели учета рабочего времени в Microsoft Office Small Business Accounting, Microsoft Office Accounting Professional и Microsoft Office Accounting Express.

            Дополнительная информация

            При вводе количества часов, проработанных сотрудником в табеле учета рабочего времени, необходимо ввести минуты как доли часа. Например, если сотрудник проработал 1 час 20 минут, введите 1,333 в поле Продолжительность (часы) . На следующей диаграмме показано, как минуты преобразуются в доли часа путем деления количества минут на 60.

            Минут

            Доля часа

            0

            0.000

            1

            0,017

            2

            0,033

            3

            0.050

            4

            0,067

            5

            0,083

            6

            0.100

            7

            0,117

            8

            0,133

            9

            0.150

            10

            0,167

            11

            0,183

            12

            0.200

            13

            0,217

            14

            0,233

            15

            0.250

            16

            0,267

            17

            0,283

            18

            0.300

            19

            0,317

            20

            0,333

            21

            0.350

            22

            0,367

            23

            0,383

            24

            0.400

            25

            0,417

            26

            0,433

            27

            0.450

            28

            0,467

            29

            0,483

            30

            0.500

            31

            0,517

            32

            0,533

            33

            0.550

            34

            0,567

            35

            0,583

            36

            0.600

            37

            0,617

            38

            0,633

            39

            0.650

            40

            0,667

            41

            0,683

            42

            0.700

            43

            0,717

            44

            0,733

            45

            0.750

            46

            0,767

            47

            0,783

            48

            0.800

            49

            0,817

            50

            0,833

            51

            0.850

            52

            0,867

            53

            0,883

            54

            0.900

            55

            0,917

            56

            0,933

            57

            0.950

            58

            0,967

            59

            0,983

            60

            1.000

            8 человек погибли в результате стрельбы в 3 спа-центрах Атланты

            АТЛАНТА —

            Мужчина, обвиняемый в убийстве восьми человек, в том числе шести женщин азиатского происхождения, в ряде спа-салонов Атланты сообщил властям, что у него «сексуальный контакт». зависимость »и хотел избавиться от соблазна, который представляли заведения.

            В среду власти заявили, что нападения «не похоже» были мотивированы расовой принадлежностью. Но правозащитные группы подчеркнули, что нельзя игнорировать более широкий контекст недавнего всплеска преступлений на почве ненависти и преследований, направленных против американцев азиатского происхождения, и начальник полиции Атланты Родни Брайант предупредил, что расследование все еще находится на начальной стадии.

            Для записи:

            , 5:15, 17 марта 2021 г. В предыдущей версии этой истории Фрэнк Рейнольдс был неверно идентифицирован. Он шериф округа Чероки, а не Крисп.

            Роберт Аарон Лонг, 21 год, из Вудстока, штат Джорджия, был арестован вечером во вторник в округе Крисп, примерно в 150 милях к югу от Атланты, после стрельбы в спа-салоне в Акворте, штат Джорджия, и в двух спа-салонах Атланты, где работают многие из сотрудников. Азиатский. Атаки подогревали опасения, что жертвы стали жертвами из-за их расы.

            В среду власти заявили, что Лонг , , который был схвачен после того, как его родители обратились к властям, признал, что совершил нападение. На вопрос, была ли стрельба мотивирована расовыми мотивами, шериф округа Чероки Фрэнк Рейнольдс сказал, что «мы считаем, что он часто бывал в этих местах в прошлом и, возможно, набрасывался», но этот расизм «не был мотивом».

            «У него есть проблемы, потенциально сексуальная зависимость», — сказал Рейнольдс репортерам. «Мы все еще на раннем этапе, нам еще многое предстоит обработать.”

            Брайант добавил, что еще слишком рано говорить о том, была ли раса составной частью атак.

            «Мы все еще находимся в начале этого расследования, поэтому мы не можем сделать это определение в настоящий момент», — сказал Брайант. «Впереди еще много работы».

            Власти заявили, что Лонг направлялся во Флориду, чтобы совершить там аналогичные атаки. Капитан шерифа округа Чероки Джей Бейкер сказал, что курорты были «искушением» для Лонга.

            «Для него это искушение, которое он хотел устранить, — сказал Бейкер.«Эти места, он видит в них выход для себя — то, чего он не должен делать, проблема с порно — и что он пытался избавиться от этого искушения».

            По крайней мере четверо из убитых были корейского происхождения.

            В среду офис шерифа округа Чероки обнародовал имена погибших жертв первой стрельбы: Делайна Эшли Яун, 33 года, из Акворта, Пол Андре Михельс, 54 года, из Атланты, Сяоцзе Ян, 49 лет, из Кеннесо, и Даою. Фэн, 44 года, адрес неизвестен.Пятая жертва, 30-летний Эльсиас Р. Эрнандес-Ортис из Акворта, была ранена.

            Полицейское управление Атланты заявило, что жертвы инцидентов, произошедших в городе Атланта , еще не были идентифицированы, а уведомление о ближайших родственниках не было подтверждено судмедэкспертом округа Фултон.

            «Мы убиты горем этими актами насилия», — говорится в заявлении Стефани Чо, исполнительного директора организации «Американцы азиатского происхождения, продвигающей правосудие».«Шесть азиатских женщин погибли. Пришло время держать жертв и их семьи в наших сердцах и в нашем свете ».

            В среду утром Лонг был доставлен в центр заключения для взрослых округа Чероки утром в среду. Управление шерифа округа Чероки заявило, что ему было предъявлено обвинение по четырем пунктам обвинения в убийстве и одному пункту обвинения в нападении при отягчающих обстоятельствах без залога.

            Выпускник 2017 года средней школы Секвойя в Кантоне, штат Джорджия, Лонг, принадлежал к Первой баптистской церкви Crabapple в Милтоне и описал свои интересы в Instagram как «пицца, оружие, барабаны, музыка, семья и Бог», — сообщает Daily Beast. .В среду утром веб-сайт церкви и страница в Facebook перестали быть общедоступными. Его пастор не ответил на просьбу о комментарии.

            Атаки начались около 17:00. Во вторник, когда Бейкер сообщил Associated Press, когда во время сеанса азиатского массажа Янга в торговом центре в Акворте, примерно в 25 милях к северо-западу от центра Атланты, были застрелены пять человек. Четыре человека погибли и один получил ранения.

            На месте происшествия никого не задержали, но видеозаписи наблюдения запечатлели подозреваемого и черный Hyundai Tucson 2007 года выпуска.

            Менее чем через 50 минут полицейские Атланты отреагировали на сообщение об ограблении примерно в 25 милях к югу от Gold Spa на северо-востоке Атланты, где они обнаружили трех женщин, которые были смертельно ранены. Когда офицеры отреагировали на место происшествия, они получили сообщение о выстрелах в спа-центр ароматерапии через дорогу. Внутри этого предприятия они обнаружили тело еще одной застреленной женщины.

            В 20:00 Рейнольдс предупредил дорожный патруль и управление шерифа округа Крисп, примерно в 150 милях к югу, о том, что подозреваемый направлялся на юг по межштатной автомагистрали 75 на черном Hyundai Tucson 2007 года выпуска.

            Hyundai был замечен около 8:30, и военнослужащий штата выполнил маневр, в результате которого автомобиль вышел из-под контроля, сказал шериф округа Крисп Билли Хэнкок. Лонг был взят под стражу без происшествий и доставлен в тюрьму округа Крисп.

            Опасаясь, что курорты города распространились, полиция Атланты заявила, что командиры в районе, где произошли убийства, усилили патрулирование и направили офицеров для проверки аналогичных предприятий поблизости.

            В заявлении национальной коалиции STOP AAPI Hate, направленной против антиазиатской ненависти в условиях пандемии, стрельба была названа «невыразимой трагедией — в первую очередь для семей жертв, но также и для сообщества AAPI, — которое пошатнулось. от высокого уровня расовой дискриминации.”

            Группа заявила, что, даже не зная мотивов подозреваемого, «прямо сейчас в азиатско-американском сообществе существует много страха и боли, с которыми необходимо бороться».

            За последний год города США зафиксировали рост агрессии против американцев азиатского происхождения. В ходе опроса полицейских управлений в 16 крупных городах Центр изучения ненависти и экстремизма штата Калифорния Сан-Бернардино обнаружил в общей сложности 122 преступления на почве ненависти к Азии в 2020 году — на 149% больше, чем в 2019 году.

            «То, что убитые вчера азиатские женщины работали на очень уязвимых и низкооплачиваемых работах во время продолжающейся пандемии, прямо говорит о совокупных последствиях женоненавистничества, структурного насилия и превосходства белых», — сказала Фи Нгуен, директор по судебным процессам в Asian Americans Advancing Justice. Атланта.

            Группа добавила, что «в то время как антиазиатское насилие пронизано всей историей нашей страны, безжалостное обвинение со стороны администрации Трампа в адрес азиатов за продолжающуюся пандемию COVID-19 увеличило количество случаев ненависти и насилия в отношении американцев азиатского происхождения по всей стране.”

            Министерство иностранных дел Южной Кореи заявило в среду, что его дипломаты в Атланте подтвердили полиции, что четверо из погибших были женщинами корейского происхождения. Министерство заявило, что офис его генерального консульства в Атланте пытается подтвердить национальность женщин.

            «Мы в ужасе от этого насилия, которому нет места ни в Америке, ни где-либо еще, если на то пошло», — сказал госсекретарь Энтони Блинкен в Сеуле, где он встретился в среду с высокопоставленными официальными лицами Южной Кореи.«И я хочу выразить наши глубочайшие соболезнования семьям и друзьям погибших, а также всем членам корейской общины, которые потрясены и глубоко встревожены этим инцидентом. Мы тоже, и мы будем отстаивать право наших соотечественников-американцев и корейских американцев на безопасность, на достойное и уважительное обращение ».

            Пресс-секретарь Белого дома Джен Псаки заявила, что президент Байден был проинформирован об «ужасающих перестрелках» и что официальные лица администрации поддерживали контакт с мэрией Атланты и ФБР.

            Первая леди Джилл Байден упомянула стрельбу во время посещения школы в Конкорде, штат Нью-Хэмпшир: «Я хочу начать с того, что скажу кое-что непосредственно семьям жертв стрельбы в Атланте прошлой ночью. Мое сердце с тобой. И я надеюсь, что все американцы присоединятся ко мне в молитве за всех, кого коснулась эта бессмысленная трагедия ».

            В северо-западном пригороде Атланты Young’s Asian Massage — это небольшой бизнес, расположенный в торговом центре, между салоном красоты и бутиком, в разнообразном районе через дорогу от такерии, карникерии и панадерии.

            Стрельба в 25 милях к югу от района Бакхед в Атланте произошла на участке Пьемонт-роуд, широко известном в городе своими массажными кабинетами и развлекательными клубами для взрослых. На своем веб-сайте Gold Spa предлагает массаж глубоких тканей и шведский массаж от «международного» персонала. Aromatherapy Spa описывает себя как «азиатский латиноамериканский массажный спа».

            По словам представителя ФБР Кевина Роусона, ФБР помогает местным агентствам в расследовании стрельбы.

            Штатные авторы Times Трейси Уилкинсон и Крис Мегериан в Вашингтоне и Associated Press внесли свой вклад в этот отчет.

            Границы | 8:30 утра еще слишком рано, чтобы идти в школу? Начало занятий в 10:00 утра улучшает здоровье и успеваемость учащихся 13–16 лет

            Введение

            Несмотря на общепринятые естественные сдвиги в сторону более позднего бодрствования и сна, которые происходят в подростковом возрасте, в большинстве школ сохраняется раннее время начала занятий.В настоящее время время начала занятий в школе не корректируется с учетом перехода на более позднее время бодрствования и сна, которое происходит естественным образом в подростковом возрасте. Это несоответствие между биологией подростков и общепринятой практикой раннего поступления в школу приводит к систематическому сокращению количества времени, доступного подросткам для сна, и, как следствие, к хроническому дефициту сна. Центры по контролю и профилактике заболеваний и Американская академия педиатрии (2014) заявили, что раннее начало обучения в школе связано с повышенным риском ожирения, депрессии и употребления наркотиков, а также с более низкой успеваемостью (Owens et al., 2014; Wheaton et al., 2015). Их рекомендация открывать средние и старшие школы не ранее 8:30 теперь поддержана Американской медицинской ассоциацией (2016). Почти во всех исследованиях на сегодняшний день, хотя время начала занятий в школе было позже, чем раньше, сохранялось время начала 9:00 или раньше (Kirkby et al., 2011). Одно исследование в Новой Зеландии сообщило об улучшении сна у 17-18-летних студентов, когда время начала было перенесено с 9:00 на 10:30, по сравнению с более молодыми контрольными, которые оставались в 9:00 a.м. (Borlase et al., 2013). Недавнее исследование оптимального времени для когнитивной деятельности учащихся в возрасте 18–19 лет показало, что оптимальным было гораздо более позднее время, особенно после 11 часов утра или 12 часов дня (Evans et al., 2017).

            Доказательства повышенного риска для здоровья, связанного с ранним началом школьного обучения, являются существенными и демонстрируются с помощью различных исследовательских методологий (Hansen et al., 2005; Millman, 2005; Basch et al., 2014; de Souza and Hidalgo, 2014). Основные биологические факторы также хорошо известны.Подросткам требуется от 8 до 10 часов сна в сутки для полноценного здоровья и успеваемости в зависимости от возраста и индивидуальных различий, но большинству из них требуется гораздо меньше сна (Iglowstein et al., 2003; Foster et al., 2013; Hirshkowitz et al. ., 2015). Биологические изменения суточных суточных часов в подростковом возрасте задерживают наступление времени бодрствования и сна, и этот сдвиг не меняется до раннего взросления (Roenneberg et al., 2004). Кроме того, гомеостатическая регуляция давления для сна нарастает медленнее, и требуется больше времени для достижения критического порога, необходимого для засыпания (Carskadon, 2011).Ограничение сна у подростков явно связано с ранним началом школьного обучения, поскольку в неурочные дни подростки просыпаются на два или более часа позже (Roenneberg et al., 2007), что, по-видимому, не существенно зависит от культурных факторов (Gradisar et al., 2011). ; Foster et al., 2013).

            Более позднее время начала занятий в школе способствует улучшению сна, здоровья и обучения подростков (Curcio et al., 2006; Carskadon, 2011; Lufi et al., 2011). Имеются веские доказательства того, что более позднее время начала обучения благоприятно сказывается на успеваемости даже на ранних стадиях полового созревания, и это положительное влияние сохраняется и в позднем подростковом возрасте (Carrell et al., 2011; Эдвардс, 2012; Meltzer et al., 2014). Более позднее время начала связано с улучшением сна, которое продолжается в годы после внедрения (Borlase et al., 2013; Wahlstrom et al., 2014). Более позднее время начала занятий также снижает количество дорожно-транспортных происшествий среди студентов (Danner and Phillips, 2008) и снижает количество сообщений о депрессии (Kirkby et al., 2011).

            Принцип, согласно которому время начала занятий для подростков должно быть позже, чем в настоящее время является нормой в американских школах (около 8:00 утра до вечера).м.) в настоящее время получили широкое распространение. В настоящее время необходимы исследования для более точной синхронизации времени начала занятий в школе с биологией подростков, принимая во внимание возрастающее влияние изменений циркадных ритмов в подростковом возрасте (Shekleton et al., 2013; Kelley et al., 2015). Хотя данные о начале обучения в средней и старшей школе в 8:30 или позже положительны, эта рекомендация основана на доказательствах, ограниченных исследованиями, в которых школьное время переносится не позднее 9:00 или часто раньше, оставляя вопрос без ответа. о том, насколько поздним должно быть время начала занятий в школе.Чтобы изучить влияние гораздо более позднего начала занятий в школе, мы изучили влияние времени начала занятий в 10 часов утра (что представляет собой задержку на 1:10 ч по сравнению с 8:50 утра) на показатели заболеваемости среди 13–16 летних. старшеклассники и успеваемость от 14 до 16 лет.

            Участники и методы

            Определение времени начала

            В свете существовавших на тот момент данных о времени начала занятий, ведущий исследователь настоящего исследования (ПК) разработал и направил полевой эксперимент для реализации и оценки эффективности гораздо более позднего времени начала занятий в школе.Схема кратко изложена в таблице 1, столбцы 1, 2 и 4 (см. Раздел «Результаты»). Школа была смешанной, финансируемой государством, для учеников от 13 до 18 лет. В начале исследования успеваемость школьников была значительно ниже средней по стране. Школа находилась в городском районе с населением 0,7 миллиона человек, в регионе Англии, где успеваемость была ниже, чем в среднем по стране.

            Таблица 1 . Влияние экспериментального лечения (10:00 начало занятий в школе) на пропуски занятий по болезни.

            В школе не было дополнительного финансирования, выборочного зачисления или других образовательных мероприятий во время исследования. Школа действовала в рамках Innovation Trust, благотворительного фонда по улучшению школ в партнерстве с ведущими учеными (см. Раздел «Благодарности»). При работе с этой группой экспертов было рассмотрено более позднее время начала с акцентом на определение времени начала занятий для подростков 13–18 лет. Первоначальное тестирование успеваемости учащихся в 10:00 и 14:00, добровольные исследования хронотипа и уровни телесного жира учащихся привели к выводу, что должен быть основной период времени для всех учащихся с 11:00 до 15:00 с дополнительным обучением. время до (для утренних / средних хронотипов) и после (для вечерних хронотипов) (Sussman, 2009).Это казалось слишком радикальным изменением, и в сочетании с текущим решением Национальной службы здравоохранения о том, что школы не могут по закону хранить какие-либо данные о психическом здоровье учащихся в возрасте 16 лет и младше, включая данные о сне и жировой ткани, привело к ограничению возрастного диапазона 13–16 лет. и с использованием только существующих национальных показателей здоровья и успеваемости. Поэтому анализ соответствующих исследований сна и циркадной нейробиологии, указывающих на то, что время начала 10: 00–10: 30 утра, будет уместным в возрасте 16 лет (Kelley et al., 2015). Этот процесс привел к окончательному выбору 10:00 утра в качестве времени начала занятий в школе, что составляет 1 час 10 минут задержки по сравнению с традиционным временем начала 8:50, которое использовалось в то время.

            Двухлетний процесс изменения времени начала был этически одобрен как The Innovation Trust, благотворительным образовательным исследовательским фондом, связанным со школой, так и Руководящим советом школы на том основании, что учащиеся не будут подвергаться дополнительным опросам, тестам или мерам. кроме более позднего времени начала. Была проведена юридически обязательная консультация с родителями, учениками, учителями и другими людьми.Это вызвало ряд проблем, включая транспорт до школы. В отличие от американских школ, городские школы в Англии, как правило, не предоставляют транспорт для всех учащихся, и существующая транспортная инфраструктура сделала это относительно незначительной проблемой. Школа уже поддержала часы работы родителей и транспорт, открыв их на 1 час раньше и на 1 час после школы (включая спортивные и клубные возможности). Поэтому с небольшими изменениями все время в школе было просто перенесено на час и 10 минут позже. Хотя родители поддержали изменения, наблюдалось сопротивление со стороны местных администраторов образования, явление, отмеченное в других исследованиях (Wahlstrom et al., 2014). Проблемы, поднятые во время консультации, хотя часто и были обоснованными, были рассмотрены по мере возможности, но считались второстепенными по отношению к raison d’etre для школ — помочь здоровым детям реализовать свой академический потенциал.

            После утверждения изменения в 2010 г. был проведен 6-недельный пробный запуск с началом в 10:00, после того как были завершены все ежегодные экзамены и студенты, сдающие экзамены, ушли, но до начала нового учебного года. В ходе судебного разбирательства все связанные запланированные мероприятия были перенесены на 10:00 a.м. начните с транспорта в школу и обратно, семейных мероприятий, школьных клубов и мероприятий. Сообщалось также о некоторых дополнительных и неожиданных преимуществах: время в пути позволяло избежать часа пик и считалось более безопасным; а некоторые сотрудники могли забирать своих детей в начальную школу утром.

            Через 2 года с временем начала в 10 часов утра, естественный эксперимент был произведен сменой местных администраторов образования, которые восстановили раннее начало, используемое во всех местных школах.Следовательно, время начала занятий в школе для детей в возрасте от 13 до 16 лет было изменено обратно на 8:50 утра из-за этих изменений политики, а не части плана исследования; однако мы воспользовались этим естественным экспериментом.

            Вмешательство и сбор данных

            В этом наблюдательном исследовании использовался план «до-после-до» (A-B-A). Время начала занятий в школе изменилось следующим образом за 4 года: в 0-м классе начало занятий в 8:50; 1-й и 2-й классы начинались в 10 часов утра; и у 3-го класса было начало 8:50 утра. За эти четыре академических года (сентябрь 2010 г. — август 2014 г.) были собраны национальные данные и данные школ о заболеваниях и успеваемости 2049 учащихся в возрасте 13–16 лет.

            данных об образовании по английскому языку собираются на национальном уровне для каждой школы, и эти данные для всех школ публикуются Управлением национальной статистики Великобритании (2016). Для оценки влияния изменения времени использовались две переменные: отсутствие учащегося из-за болезни и общая успеваемость учащегося. Английские школы обязаны отличать отсутствие (не в школе по какой-либо причине) от отсутствия по болезни (что составляет ~ 60% всех пропусков в зависимости от года). Пропуски по болезни регистрируются для каждого учащегося на каждой утренней и дневной сессии, поэтому в качестве показателя болезни здесь использовалось количество пропущенных из-за болезни занятий на ученика в год.Этот показатель дает более точный показатель заболеваемости, чем количество простых прогулов (Департамент образования, 2016).

            В то время ключевым показателем академической успеваемости учащихся были экзамены на аттестат зрелости (GCSE), сдаваемые в конце обязательного школьного образования в 16 лет. Хорошая успеваемость в 16 лет определялась как достижение пяти или более оценок GCSE. C или выше по английскому языку, математике и как минимум по трем другим предметам. Показателем успеваемости в школе был процент учащихся, достигших хорошей успеваемости.

            Кроме того, Fisher Family Trust разработала национальную систему анализа добавленной стоимости отдельных учащихся и потенциальных достижений школы в оценках GCSE и хорошей успеваемости для всех учащихся и школ в Англии. Поскольку предыдущие способности когорт учащихся могут варьироваться от года к году, эффективность школ может меняться, и поэтому был проведен второй анализ успеваемости, основанный на этих прогнозах добавленной стоимости (Visscher and Coe, 2003; Koedel et al., 2015). Прогнозируемые результаты были основаны на предыдущих достижениях студентов в национальных тестах.Считается, что школы, в которых процентная хорошая успеваемость превышает прогнозируемый, имеют дополнительную ценность, выраженную в виде процента хорошей успеваемости по сравнению с прогнозируемыми результатами (с отрицательными результатами для школ ниже прогнозов). Например, если учащиеся достигли в среднем на 4% более высокой успеваемости, это будет иметь оценку добавленной стоимости + 4%. Эти два национальных показателя фактической и прогнозируемой успеваемости в школе использовались в нашем анализе.

            Анализы

            Национальные данные были использованы для анализа болезни и работоспособности.По возможности, для оценки стандартных отклонений использовались национальные данные. Кроме того, был создан набор данных из 2 880 аналогичных школ, где «похожие» были определены как финансируемые государством школы с учащимися от 13 до 16 лет в когортах> 100 и с отчетными данными экзаменов за период 2010–2014 гг. Используемые наборы данных представляют собой данные на уровне школ, опубликованные Управлением национальной статистики Великобритании и другими источниками, как указано (Управление национальной статистики Великобритании, 2016). Данные о достижениях имеют ограничения из-за политики и практики публикации.Ограничения политики включают решение об исключении школ, становящихся академиями (аналогично чартерным школам) из национальных данных, изменения экзаменов и данных, представленных в течение 4 лет.

            Анализ данных о заболеваниях и производительности за этот период привел к представлению как исходных баллов, так и баллов, скорректированных с учетом национальных различий. Что касается национальных тенденций в заболеваемости и производительности, для оценки значимости использовались тесты T , а также d и h Коэна для оценки величины эффекта с учетом критики Хэтти образовательных мер для определения воздействия вмешательств (Hattie, 2008).Критика Хэтти исследований в области образования, основанная на синтезе более 800 метаанализов повышения успеваемости, подняла вопросы об анализе и значении образовательных данных. В частности, он утверждал, что более сложные статистические методы, большое количество предметов, обычно доступных в исследованиях в области образования, и другие факторы означают, что величина эффекта должна быть> 0,5 в отдельных исследованиях. Хэтти перечисляет 138 величин эффекта, обнаруженных в метаанализе значительных образовательных вмешательств за последние 20 лет, показывая, что у 20 самых высоких вмешательств величина эффекта варьировалась от 0.61 к 1,44. Обеспокоенность Хэтти по поводу образовательных исследований и размеров эффекта разделяют и другие (Snow, 2015; Church et al., 2017). В иллюстративных целях также были проанализированы затраты / выгоды от образовательных реформ в Англии и Нью-Йорке, направленных на повышение успеваемости.

            Результаты

            Показатели пропусков занятий по болезни среди учащихся в возрасте 13–16 лет были ниже с 10 часами утра (см. Таблицу 1 и Рисунок 1).

            Рисунок 1 . Пропуски занятий по болезни, отличия от среднего показателя по стране.

            В 0-м классе для базовой когорты учащихся в возрасте 13–16 лет, у которых время начала 8:50 в течение обоих лет обучения в целевой школе, среднее количество пропусков занятий по болезни составило 15,4 по сравнению с 11,5 по стране ( Год 0 «Полевая контрольная группа» в таблице 1, сравните столбец 6 для целевой школы с столбцом 5 для национального ориентира). Это разница в 3,9 пропуска, которая статистически значима при p <0,0005 (столбец 7). Более того, он большой: показатель в целевой школе был на 34% выше, чем в национальном эталоне (столбец 8).

            Ситуация резко изменилась в течение 1-го года («Группа полевого лечения №1» в Таблице 1), первого года с экспериментальным началом лечения в 10 часов утра. Среднее количество пропусков в целевой школе снизилось с 15,4 до 11,3, то есть на 4,1 пропусков (столбец 6, сравните год 0 и год 1). Разрыв между целевым показателем пропусков в школе и национальным эталонным показателем сократился на 3,3 пропуска до 0,6 (1 год, столбец 7). Это сокращение составляет 31% -ное сокращение разрыва между целевой школой и национальным эталоном (год 1, столбец 10), снижение, которое является статистически значимым при p <0.0005. d Коэна для изменения составляет 0,58, что делает размер эффекта в диапазоне от среднего до большого. Из-за этого сниженного уровня пропусков у целевой школы осталось всего 0,6 пропуска по сравнению с национальным эталоном, разница настолько мала, что не является статистически значимой ( p > 0,05, столбец 7).

            Суть полевого эксперимента — 2-й год, когда начало второго полного года в 10 часов утра (курсы GCSE целевой школы длятся 2 года с экзаменами на протяжении всего). Пропуски в целевой школе снизились со среднего 11 баллов.3 до среднего 7,9 (столбец 6), снижение на 3,4 пропуска. Это привело к тому, что показатель пропусков занятий в целевой школе оказался значительно ниже национального эталона (столбец 7). Этот сдвиг от немного выше национального эталона в 1-м году до значительно ниже национального эталона во 2-м году имеет коэффициент Коэна 0,48, средний размер эффекта.

            Наиболее важное сравнение проводится между 2-м годом, когда начало работы в 10 часов утра было вторым полным годом, и годом 0, в котором учащиеся были на старте 8:50 в течение как минимум 2 лет.Среднее количество пропусков снизилось полностью на 7,5 (столбец 6, год 2 по сравнению с годом 0). Разрыв между целевым показателем школьного образования и национальным ориентиром сократился на 55%, составив 4,8 пропуска занятий. Это изменение статистически значимо при p <0,0005. Коэффициент Коэна для изменения равен 1,07, что является большой величиной эффекта.

            Таким образом, полевой эксперимент по-разному демонстрирует, что экспериментальное лечение связано со снижением количества абсансов, которое является большим и статистически значимым не только по сравнению с контрольной группой, но и по сравнению с национальным эталоном.Эта закономерность видна на Рисунке 1.

            Далее идет естественный эксперимент, когда время начала в целевой школе вернулось к 8:50 в 3-м классе из-за изменения в политике, которая передала контроль над целевой школой местным органам управления образованием, которые установили единое время раннего начала для всех сопоставимых школ . Среднее количество отсутствующих на работе повысилось до 11,2, что значительно выше уровня предыдущего года (столбец 6). Это на 20% выше национального ориентира, что явно контрастирует с показателем предыдущего года на 10% ниже эталона (столбец 8).С поправкой на ежегодные изменения в национальном уровне пропусков занятий, разрыв между целевой школой и страной увеличился до 2,8 пропусков в год, что на 30% больше (столбцы 11 и 12). Это изменение статистически значимо при p <0,0005 и имеет коэффициент Коэна 0,47, средний размер эффекта.

            В целом, для прогулов полевой эксперимент показывает, что переход на 10 часов утра снизил количество прогулов по болезни более чем на 50 процентов по сравнению с общенациональными показателями, что является большим и статистически значимым снижением.Естественный эксперимент показывает, что возвращение к началу 8:50 вызвало уже в первый год обучения статистически значимое увеличение количества прогулов среднего размера. Эти данные согласуются с дозозависимым ответом на начало 10:00.

            В нулевом классе целевой школы («Полевая контрольная группа» в таблице 2) в базовой когорте учащихся, у которых время начала 8:50 в течение обоих лет обучения, процент успешно сдавших экзамены GCSE составил 34 по сравнению с 56.2 на национальном уровне (столбцы 5 и 6). Это огромная разница в 22 процентных пункта, статистически значимая при p <0,0005 (столбец 7). Эта разница составляет 40% от национального базового уровня (столбец 8), что указывает на то, что целевая школа имеет очень низкий уровень успеваемости. Что касается добавленной стоимости, фактический процент успешных учеников был на 5 процентных пунктов ниже, чем оценка FFT для школы, основанная на прошлой успеваемости когорты (столбец 9), что показывает отрицательную добавленную стоимость.В целом, в 0-м классе целевой школы картина успеваемости была мрачной.

            Таблица 2 . Влияние экспериментального лечения (начало занятий в 10 часов утра) на успеваемость.

            Ситуация резко изменилась в течение 1-го года, первого года экспериментального лечения в 10 часов утра. Фактический процент академически успешных студентов вырос на 19 процентных пунктов до 53 (столбец 6, сравните курс 0 и год 1). Разрыв между целевой школой и национальным эталоном в 1-м классе настолько мал, что он не является статистически значимым (1-й год, столбец 7).Между 0 и 1 годом разрыв между целевым показателем успеваемости в школе и национальным эталоном сократился с 22 до 5 (1 год, столбец 7), сокращение на 17 процентных пунктов, что является статистически значимым при p <0,0005. Добавленная стоимость школы также выросла: фактическая добавленная стоимость школы на 4 процентных пункта больше, чем прогноз FFT, что на 9 процентных пунктов больше, чем в нулевом классе. Это составляет 15% от национального базового уровня и является статистически значимым на уровне . р <0.0005.

            Суть полевого эксперимента — это сравнение 2-го и 0-го классов. Здесь снова есть обширные доказательства положительного влияния начала занятий в 10 часов утра на успеваемость учащихся. Успех учащихся во 2-м классе составляет 52% по сравнению с 34% для 0-го года (столбец 6), прирост значительный при p = 0,001 и среднего размера, с H Коэна 0,37. Между 0 и 2 годом разрыв между целевым показателем успеваемости в школе и национальным эталоном сократился с 22 до 7 лет (2 год, столбец 7).Фактический успех учащихся во 2-м классе превышает прогноз БПФ на 7 процентных пунктов (столбец 10). Действительно, добавленная стоимость школы увеличилась на 12 процентных пунктов, статистически значимый прирост при p <0,0005 (столбец 13) и составляет 20% от национального эталона.

            Таким образом, полевой эксперимент демонстрирует множеством способов, что экспериментальное лечение связано со статистически значимым и существенным увеличением производительности не только по сравнению с контрольной группой, но и по сравнению с национальным эталоном.

            Затем, в естественном эксперименте в 3-м классе, время начала занятий в школе изменилось с 10 до 8:50. Показатель успешности учащихся немного снизился до 51 (3-й год, столбец 6) по сравнению с национальным эталоном 60, что дает целевая школа дефицит в 9 процентных пунктов, что является статистически значимым при p = 0,014 (столбец 7). Добавленная стоимость школы сократилась на 4 процентных пункта, что составляет 7% от национального базового уровня (столбец 14).

            Таким образом, даже если эти студенты прошли первый год своего 2-летнего курса с 10 а.м. Начало, возвращение к 8:50 утра для начала второго года обучения связано со снижением успеваемости по сравнению с национальным базовым уровнем и со снижением добавленной стоимости школы.

            Полная картина объединенных результатов полевого эксперимента и естественного эксперимента ясна на рисунке 2.

            Рисунок 2 . Успех в учебе: добавленная стоимость целевой школой.

            В первом классе успеваемость учащихся в целевой школе была на 5 процентных пунктов ниже, чем можно было бы ожидать с учетом предыдущей успеваемости учащихся (БПФ).Затем начался полевой эксперимент. Введение 10 часов утра в середине курса когорты 1-го класса подняло добавленную стоимость школы на 9 процентных пунктов выше ожидаемого процента успеха. Далее наблюдалось небольшое увеличение добавленной стоимости на 12 процентных пунктов во втором году обучения для когорты, у которой оба года обучения началось в 10 часов утра. На этом полевой эксперимент закончился. Затем в естественном эксперименте время начала было изменено на 8:50, поэтому учащиеся в когорте 3-го класса имели первый год своего курса с 10 а.м. старт и второй год их курса со стартом 8:50. Добавленная стоимость по-прежнему была положительной для этой когорты, но упала на 4 процентных пункта по сравнению с предыдущей когортой, у которой 2 года начинались в 10 часов утра.

            Обсуждение

            На основании этого исследования перенос времени начала занятий в школе на более позднее, чтобы оно лучше соответствовало подростковому сну и моделям хронотипа, является практичным и полезным. После перехода на 10:00 часов начала занятий в школе количество пропусков занятий по болезни среди учащихся в возрасте 13–16 лет снизилось, а успеваемость учащихся в возрасте 14–16 лет значительно улучшилась.Когда время начала занятий было возвращено к 8:50 утра, эти льготы были отменены. Эти результаты показывают, что общая политическая рекомендация начинать обучение в средней школе не ранее 08:30, хотя и полезна, не должна рассматриваться как оправдание, исключающее рассмотрение гораздо более позднего времени начала занятий. Поскольку 8:50 утра уже будет считаться подходящим с учетом рекомендации 8:30 утра, это исследование показывает, что дальнейшие улучшения могут быть сделаны, когда время начала намного позже, в данном случае 10:00 утра.м.

            Данные о пропуске занятий из-за заболеваемости подтверждают прямую выгоду от более позднего начала занятий в школе для здоровья учащихся. Дифференциация в регистрации отсутствия и отсутствия по болезни в Англии предлагает более точную оценку болезни и большой набор национальных данных. После начала 10:00 утра заболеваемость снизилась на второй год более чем на 50%. С возвращением 8:50 утра эти льготы были отменены, и заболеваемость увеличилась на 30%. Учебная успеваемость учащихся в возрасте 14–16 лет также улучшилась с 10:00 a.м. Начало. Особенно полезно было иметь более позднее время начала на 2 года; показывающий прирост добавленной стоимости на 12 процентных пунктов, который является статистически значимым при p <0,0005 и составляет 20% от национального эталона. Нет оснований полагать, что эти результаты отражают изменения мотивации. Учащиеся готовились к выпускным национальным экзаменам, которые определяют их право на продолжение обучения и, в конечном итоге, поступление в колледж или университет или их конкурентоспособность на рынке труда.Это были не тесты, связанные с учебой, а настоящие, разовые экзамены, которые имеют большое влияние на будущее детей и, следовательно, будут в равной степени мотивированы. Хотя существует несколько возможных объяснений низкой успеваемости учащихся в регионах с таким же низким социально-экономическим статусом, возможное влияние ограничения сна, связанного с ранним началом обучения в школе, редко рассматривается.

            Одно из возражений против изменения времени начала занятий в школе заключается в том, что это изменение непрактично и не может преодолеть другие препятствия, такие как расписание автобусов или расписание спортивных программ.В то время как английская правовая база делает переход на более позднее время начала формальным процессом, который может предпринять любая школа (и, следовательно, более практичным, чем в некоторых других странах), перенос всех расписаний этой школы позже не вызвал практических трудностей. Выбирая время начала в 10 часов утра, школа стремилась обеспечить льготы для как можно большей части детей, учитывая межиндивидуальный разброс фазовых задержек, которые испытывают дети, означает, что некоторые существенно задержанные дети все равно будут просыпаться слишком рано в своем циркадном цикле ( Iglowstein et al., 2003; Келли и др., 2015). Даже более позднее время начала может решить эту проблему, но 10 часов утра считались разумным компромиссом между максимизацией биологических преимуществ для большинства детей при сохранении практичности. Национальная рекомендация США о том, что средние и средние школы должны начинаться после 8:30 утра, является явно оправданным положительным шагом, хотя данные этого исследования предполагают гораздо более позднее начало в 10:00 — даже при замене начала школы позже 8:30 Я рекомендую — приносит дополнительные преимущества.Недавнее исследование студентов университетов в возрасте 18–19 лет показало, что более позднее время начала занятий (после 11 часов утра или 12 часов дня) было оптимальным, а для старшеклассников 17–18 лет — намного позже, чем 8:30 утра. Исследование также показало, что использование фиксированного времени для всех учащихся поставит в невыгодное положение один или несколько хронотипов, в частности вечерних хронотипов, если начало занятий было ранним (Kelley et al., 2015; Evans et al., 2017). Таким образом, даже с учетом преимуществ, которые дает использование времени бодрствования в 10 часов утра для всех учащихся, этот подход не учитывает более широкие вариации времени бодрствования для разных хронотипов.

            Ограничения в этом исследовании включают небольшие размеры выборки по некоторым параметрам, акцент в основном на болезни и невозможность измерить продолжительность сна учащихся. Хотя другие исследования показали улучшение сна после менее значительных вмешательств, некоторые отслеживали улучшения сна в течение 4 лет и обнаружили, что улучшения сохраняются (Borlase et al., 2013; Wahlstrom et al., 2014). Местоположение английского языка и показатели академической успеваемости трудно контекстуализировать с предыдущими исследованиями с использованием U.S. данные об испытаниях и выпуске по всему штату. Мы считаем, что общенациональные данные о болезнях по каждой школе, ориентированные на учащихся среднего подросткового возраста и время начала в 10:00 утра, являются уникальными в этой области исследований. Необходимо более подробное и подробное изучение школьных занятий после 9:00 утра, в том числе тех, которые начинаются после 10:00. Существуют предварительные доказательства того, что такие изменения могут иметь преимущества, особенно для старшеклассников (Carrell et al., 2011). .

            Улучшение успеваемости на уровне школы в этом исследовании, если оно будет более широко воспроизведено, должно быть изучено с экономической и образовательной точек зрения.Например, расходы на сокращение разрыва в уровне владения английским языком между богатыми и бедными учениками достигли более одного миллиарда фунтов в период с 2010 по 2015 год, но при этом оказали относительно небольшое влияние по сравнению с доходами, полученными после изменения времени начала занятий в 10 часов утра в этом исследовании. Переход на более мелкие школы в ключевых городах США, таких как Нью-Йорк, был тщательно изучен после дополнительных затрат в размере более миллиарда долларов на повышение успеваемости (Schneider et al., 2007; Stiefel et al., 2015).Другие изменения в образовательной политике, в том числе создание новых типов школ, таких как чартерные, академические и научные, технологические, инженерные и математические (STEM) школы, увеличение продолжительности школьных занятий, изменение учебной программы и тестов или «Ни одного отстающего ребенка» также затрат, но минимальное влияние и небольшая научная строгость при оценке их воздействия. Напротив, переход на более позднее время начала является очень рентабельным вмешательством для повышения образовательных стандартов при значительной научной поддержке (Jacob and Rockoff, 2011; Snow, 2015; Hafner et al., 2017).

            Ключевой вывод этого исследования — сокращение пропусков занятий по болезни более чем на 50% по сравнению с общенациональными показателями (таблица 1, столбцы 12 и 13). Это огромное изменение является как практически важным, так и очень значимым статистически ( p <0,0005 и d Коэна для изменения составляет 1,07, большая величина эффекта). Более широкое влияние более поздних стартов на конкретные аспекты здоровья подростков, такие как продолжительность и качество сна, психическое здоровье и социальное развитие, не оценивалось, хотя другие исследования показали потенциальное воздействие (de Souza and Hidalgo, 2014; Meltzer et al., 2014; Мингес и Редекер, 2016). Дополнительное исследование более поздних стартов должно измерить как фактический режим сна, так и оптимальное время успеваемости для отдельных учащихся. Наиболее важной областью для дальнейших исследований может быть влияние более поздних запусков на развитие социального поведения и психическое здоровье. Например, ежедневное недосыпание на два или более часов в день, вызванное ранним началом школы (которое невозможно восстановить с помощью 10 или более дополнительных часов сна по выходным), может подвергнуть людей с генетической предрасположенностью к психическим заболеваниям большему риску учитывая, что была установлена ​​прямая связь между сном продолжительностью <6 часов и экспрессией генов (Möller-Levet et al., 2013). Депривация сна также связана с тем, что подростки менее восприимчивы к человеческим эмоциям (van der Helm et al., 2010; Guadagni et al., 2014), в период большей чувствительности к социокультурным сигналам (Blakemore and Mills, 2014) и связанным с этим. развитие мозга в подростковом возрасте. Эти взаимосвязанные факторы значительного недосыпания, генетической предрасположенности, высокой распространенности начала психических заболеваний в подростковом возрасте для ряда расстройств (Schmitt et al., 2014) и в меньшей степени восприятия социокультурных сигналов могут влиять на уровни умственного развития. болезни и эмоциональные расстройства в подростковом возрасте (Wulff et al., 2010, 2012).

            Использование основанного на исследованиях подхода к определению времени начала занятий в школе для учащихся 13–16 лет привело к введению времени начала занятий в 10 часов утра. Это более позднее время начала обучения имело существенное преимущество для показателей заболеваемости и успеваемости. Основанный на исследованиях подход к времени начала занятий в школе явно воспроизводится в разных контекстах, культурах и странах. Что еще более важно, стратегия начала занятий в школе после 9:00 — это стратегия с небольшими затратами и множеством потенциальных выгод, которые начинают накапливаться буквально в мгновение ока.Применение исследований сна таким образом демонстрирует мощное влияние на общество и отдельных людей изменений в политике, основанных на фактических данных.

            Заявление об этике

            Инновационный фонд и руководство школы одобрили изменение времени начала занятий в соответствии с английским законодательством об образовании. Родители и ученики были проконсультированы во время изменения в соответствии с требованиями закона.

            Авторские взносы

            PK, SL и JK: дизайн исследования; JK и ME: анализ данных; PK, SL, JK и ME: написание и критический обзор рукописи.

            Финансирование

            Эта работа финансировалась Science + Technology in Learning (Премия № 1/2017).

            Заявление о конфликте интересов

            SL имела ряд коммерческих интересов за последние 12 месяцев (2016-17). Ни одно из них не имеет прямого отношения к исследованию или теме, описанной в этом документе, но в интересах полного раскрытия информации они изложены ниже. SL получила консультационные услуги от Atlanta Falcons, Atlanta Hawks, BHP Billiton и Slingshot Insights; имеет текущие консалтинговые контракты с Akili Interactive; Решения для сна для потребителей; ООО «Делос Ливинг»; ООО «Науки об экологическом освещении»; Headwaters Inc.; Hintsa Performance AG; Легкий познавательный; Умственная тренировка; OpTerra Energy Services Inc .; Pegasus Capital Advisors LP; PlanLED; и Wyle Integrated Science and Engineering; получил неограниченное количество подарков оборудования от Biological Illuminations LLC, Bionetics Corporation и F. Lux Software LLC; гонорары от Oxford University Press; и работал оплачиваемым экспертом по судебным разбирательствам, связанным со светом, сном и здоровьем. Он имеет патент Гарвардского университета и Бригама и женской больницы на «Системы и методы определения и / или контроля качества сна.Он является руководителем программы CRC по предупреждению, безопасности и продуктивности, Австралия.

            Другие авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

            Благодарности

            Авторы хотели бы поблагодарить профессоров Дэвида Рейнольдса, Рассела Фостера и Дэниела Мейджса за их вклад в размышления об изменении времени начала на основе исследований сна, а также Дэвида Рейнольдса в качестве председателя Innovation Trust.

            Сноски

            Список литературы

            Американская академия педиатрии (2014). Рабочая группа по подростковому сну: время начала занятий для подростков. Педиатрия 134, 642–649. DOI: 10.1542 / peds.2014-1697

            CrossRef Полный текст

            Basch, C.E., Basch, C.H., Ruggles, K.V, and Rajan, S. (2014). Распространенность продолжительности сна в течение средней школьной ночи среди 4 репрезентативных на национальном уровне последовательных выборок американских школьников, 2007–2013 гг. Пред. Хронический Диск . 11: E216. DOI: 10.5888 / pcd11.140383

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Блейкмор, С. Дж., И Миллс, К. Л. (2014). Является ли отрочество чувствительным периодом для социокультурной обработки? Annu. Rev. Psychol. 65, 187–207. DOI: 10.1146 / annurev-Psy-010213-115202

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Борлас, Б. Дж., Гандер, П. Х., Гибсон, Р. Х. (2013). Влияние времени начала занятий в школе и использования технологий на сон подростков: 1999–2008 гг. Sleep Biol. Ритмы 11, 46–54. DOI: 10.1111 / sbr.12003

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Каррелл С. Э., Магакян Т. и Уэст Дж. Э. (2011). А от Зззза? Причинное влияние времени начала обучения в школе на успеваемость подростков. Am. Экон. J . 3, 62–81. DOI: 10.1257 / pol.3.3.62

            CrossRef Полный текст

            Церкви, Р., Доммет, Э. и Девоншир, И. (2017). Нейробиология для учителей: применение данных исследований мозга .Лондон: Издательство Crown House.

            Google Scholar

            Даннер Ф. и Филлипс Б. (2008). Подростковый сон, время начала занятий в школе и подростковые автомобильные аварии. J. Clin. Sleep Med. 4, 533–535.

            PubMed Аннотация | Google Scholar

            де Соуза, К. М., и Идальго, М. П. (2014). Середина сна в школьные дни связана с депрессией у подростков. Chronobiol. Int. 31, 199–205. DOI: 10.3109 / 07420528.2013.838575

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Департамент образования (2016). Отсутствие учащихся в школах в Англии: осень 2015 г. и весна 2016 г. Лондон, Великобритания: Департамент образования, SFR 51/2016.

            Эдвардс, Ф. (2012). Рано вставать? Влияние времени начала дня на успеваемость. Экон. Educ. Ред. . 31, 970–983. DOI: 10.1016 / j.econedurev.2012.07.006

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Эванс, М. Д. Р., Келли, П., и Келли, Дж. (2017). Определение наилучшего времени для когнитивного функционирования с использованием новых методов: сопоставление университетского времени с хронотипами бакалавриата. Фронт. Гм. Neurosci. 11: 188. DOI: 10.3389 / fnhum.2017.00188

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Фостер, Р. Г., Пирсон, С. Н., Вульф, К., Виннебек, Э., Веттер, К., и Роеннеберг, Т. (2013). Нарушение сна и циркадных ритмов при смене часовых поясов и психических заболеваниях. Prog. Мол. Биол. Пер. Sci . 119, 325–346. DOI: 10.1016 / B978-0-12-396971-2.00011-7

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Градисар, М., Гарднер, Г., Дохнт, Х. (2011). Последние мировые образцы сна и проблемы в подростковом возрасте: обзор и метаанализ возраста, региона и сна. Sleep Med. 12, 110–118. DOI: 10.1016 / j.sleep.2010.11.008

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Хансен, М., Янссен, И., Шифф, А., Зи, П. К. и Дубокович, М. Л. (2005). Влияние школьного распорядка дня на сон подростков. Педиатрия 115, 1555–1561. DOI: 10.1542 / пед.2004-1649

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Хэтти, Дж. (2008). Видимое обучение: синтез более 800 метаанализов, относящихся к достижению . Лондон: Рутледж.

            Google Scholar

            Хиршковиц М., Уитон К., Альберт С. М., Алесси К., Бруни О., Дон Карлос Л. и др. (2015). Обновленные рекомендации Национального фонда сна по продолжительности сна: Заключительный отчет. Здоровье сна 1, 233–243. DOI: 10.1016 / j.слей.2015.10.004

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Игловштейн, И., Дженни, О. Г., Молинари, Л., и Ларго, Р. Х. (2003). Продолжительность сна от младенчества до подросткового возраста: контрольные значения и тенденции поколений. Педиатрия 111, 302–307.

            PubMed Аннотация | Google Scholar

            Джейкоб Б. А. и Рокофф Дж. Э. (2011). Организация школ для повышения успеваемости учащихся: время начала занятий, конфигурации оценок и назначения учителей. Вашингтон, округ Колумбия: Документ для обсуждения проекта Брукингс / Гамильтон, 2011-08 гг.

            Google Scholar

            Келли П., Локли С. В., Фостер Р. Г. и Келли Дж. (2015). Синхронизация образования с подростковой биологией: «дай подросткам поспать, пойди в школу позже». ЖЖ. Медиа Технол . 40, 210–226. DOI: 10.1080 / 17439884.2014.942666

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Киркби, М., Магги, С., и Д’Анджиулли, А. (2011). Время начала занятий в школе и цикл бодрствования и сна подростков: обзор и критическая оценка имеющихся данных. Educ. Res. 40, 56–61. DOI: 10.3102 / 0013189X11402323

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Кёдел К., Михали К. и Рокофф Дж. Э. (2015). Моделирование с добавленной стоимостью: обзор. Экон. Educ. Ред. 47, 180–195. DOI: 10.1016 / j.econedurev.2015.01.006

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Луфи Д., Цищинский О. и Хадар С. (2011). Задержка начала занятий в школе на один час: некоторые эффекты на уровне внимания у подростков. J. Clin. Sleep Med. 7, 137–143.

            Google Scholar

            Мельцер, Л. Дж., Шахид, К., Амблер, Д. (2014). Начинайте позже, спите позже: время начала занятий и подростковый сон в домашней школе по сравнению с учащимися государственных / частных школ. Behav. Сон Мед . 14: 140. DOI: 10.1080 / 15402002.2014.963584

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Миллман, Р. П. (2005). Чрезмерная сонливость у подростков и молодых людей: причины, последствия и стратегии лечения. Педиатрия 115, 1774–1786. DOI: 10.1542 / peds.2005-0772

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Мингес, К. Э., Редекер, Н. С. (2016). Позднее время начала занятий в школе и подростковый сон: систематический обзор экспериментальных данных. Sleep Med. Rev. 28, 82–91. DOI: 10.1016 / j.smrv.2015.06.002

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Мёллер-Левет, К.С., Арчер, С.Н., Букка, Г., Лэнг, Э.E., Slak, A., Kabiljo, R., et al. (2013). Влияние недостаточного сна на циркадную ритмичность и амплитуду экспрессии транскриптома крови человека. Proc. Natl. Soc. Sci. США 110, E1132 – E1141. DOI: 10.1073 / pnas.1217154110

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Оуэнс, Д., Дробнич, Д., Бейлор, А., и Левин, Д. (2014). Изменение времени начала занятий в школе: углубленное изучение школьных округов США. Mind Brain Educ. 8, 182–213. DOI: 10,1111 / mbe.12059

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Роеннеберг, Т., Куэнле, Т., Джуда, М., Кантерманн, Т., Аллебрандт, К., Гордин, М., и др. (2007). Эпидемиология циркадных часов человека. Sleep Med. Rev. 11, 429–438. DOI: 10.1016 / j.smrv.2007.07.005

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Roenneberg, T., Kuehnle, T., Pramstaller, P. P., Ricken, J., Havel, M., Guth, A., et al. (2004).Маркер окончания подросткового возраста. Curr. Биол. 14, R1038 – R1039. DOI: 10.1016 / j.cub.2004.11.039

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Шмитт, Дж. Э., Нил, М. К., Фассасси, Б., Перес, Дж., Ленрут, Р. К., Уэллс, Э. М. и др. (2014). Динамическая роль генетики в формировании коркового паттерна в детстве и подростковом возрасте. Proc. Natl. Акад. Sci. США 111, 6774–6779. DOI: 10.1073 / pnas.1311630111

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Шнайдер, Б., Wyse, A.E., и Keesler, V. (2007). «Разве маленький действительно лучше? Проверка некоторых предположений о размере средней школы », в Brooking Papers on Education Evaluation Policy , ред. Т. Лавлесс и Ф. М. Хесс (Вашингтон, округ Колумбия: Институт Брукингса), 15–47.

            Google Scholar

            Шеклтон, Дж. А., Раджаратнам, С. М., Гули, Дж. Дж., Ван Рин, Э., Чейслер, К. А., и Локли, С. В. (2013). Улучшение нейроповеденческих характеристик в зоне поддержания бодрствования. J. Clin. Сон Мед .9: 353. DOI: 10.5664 / jcsm.2588

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Сноу, К. Э. (2015). 2014 г. Отличная лекция фонда Уоллеса: строгость и реализм: педагогическая наука в реальном мире. Educ. Res. 44, 460–466. DOI: 10.3102 / 0013189X15619166

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Штифель Л., Шварц А. Э. и Висвалл М. (2015). Поднимает ли реформа малой средней школы городские районы? Свидетельства из Нью-Йорка. Educ. Res . 44, 161–172. DOI: 10.3102 / 0013189X15579187

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Сассман, А. (2009). Британская радиовещательная корпорация (BBC), Horizon Series 2008-2009, Эпизод 11, Тайная жизнь ваших Bodyclock.

            Управление национальной статистики Великобритании (2016). Выпуски данных GCSE за 2010–2015 гг. . Доступно в Интернете по адресу: https://www.ons.gov.uk/ (по состоянию на ноябрь 2017 г.).

            Вишер, А. Дж., И Коу, Р.(2003). Системы обратной связи по успеваемости в школе: концептуализация, анализ и рефлексия. Sch. Эффект. Sch. Improv. 14, 321–349. DOI: 10.1076 / sesi.14.3.321.15842

            CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Уолстрем, К., Дретцке, Б., Гордон, М., Петерсон, К., Эдвардс, К., и Гдула, Дж. (2014). Изучение влияния более позднего начала обучения в школе на здоровье и академическую успеваемость учащихся старших классов: исследование с нескольких площадок . Carei; Сент-Пол, Миннесота: Университет Миннесоты.

            Google Scholar

            Уитон А.Г., Ферро Г.А. и Крофт Дж. Б. (2015). Время начала занятий для учащихся средних и старших классов — США, 2011–2012 учебный год. MMWR Morb. Смертный. Wkly. Rep . 64, 809–813. DOI: 10.15585 / mmwr.mm6430a1

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Вульф, К., Дейк, Д. Дж., Миддлтон, Б., Фостер, Р. Г., и Джойс, Э. М. (2012). Нарушение сна и циркадного ритма при шизофрении. Brit. J. Psychiatry 200, 308–316. DOI: 10.1192 / bjp.bp.111.096321

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Вульф К., Гатти С., Веттштейн Дж. Г. и Фостер Р. Г. (2010). Нарушение сна и циркадных ритмов при психических и нейродегенеративных заболеваниях. Nat. Ред. Neurosci . 11, 589–599. DOI: 10.1038 / nrn2868

            PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

            Объяснение 4 различных типов — Клиника Кливленда

            Если вы думали, что пост предназначен только для религиозных целей, подумайте еще раз.Новое явление в мире похудания, называемое прерывистым голоданием (IF), становится популярной тенденцией для здоровья и фитнеса.

            Клиника Кливленда — некоммерческий академический медицинский центр. Реклама на нашем сайте помогает поддерживать нашу миссию. Мы не поддерживаем продукты или услуги, не принадлежащие Cleveland Clinic. Политика

            Во время IF вы чередуете периоды приема пищи и голодание. Этот тип питания часто описывается как «шаблоны» или «циклы» голодание.

            Есть несколько эффективных подходов к IF, но все они вплоть до личных предпочтений.

            «Если вы хотите попробовать IF, будьте готовы выяснить, что лучше всего подходит для вас», — говорит зарегистрированный диетолог Анна Тейлор, MS, RD, LD, CDE. «Сначала может потребоваться метод проб и ошибок».

            Некоторым людям легко голодать в течение 16 часов и ограничивать прием пищи только восемью часами дня, например, с 9 утра до 5 вечера, в то время как другим трудно и им нужно сократить период голодания, объясняет Тейлор.

            Но полезно ли вам прерывистое голодание?

            Пока некоторые исследования показал преимущества IF, такие как потеря веса, более низкая кровяное давление и улучшенное метаболическое здоровье, требуются дополнительные исследования все еще необходимо, особенно в отношении долгосрочных результатов ИФ. Также есть аспект устойчивости. Строгое ограничение калорий или длительный отказ от еды периоды за раз не для всех. Некоторые исследования даже показывает, что те, кто соблюдают периодическое голодание, обычно его не соблюдают по сравнению с теми, кто пытается похудеть на более традиционных диетах.

            Тем не менее, IF было показано, что это эффективная форма потери веса. — но есть и другие варианты, такие как сбалансированное питание в сочетании с упражнение. Одно исследование предполагает, что IF не более эффективен для поддержки потери веса или улучшения сахара в крови, чем другие хорошо сбалансированные подходы.

            «Потеря веса никогда не бывает универсальной», — говорит Тейлор. «IF может быть устойчивым для некоторых людей, в то время как другие считают, что просто не для них «.

            Если вы хотите попробовать IF, вам сначала нужно выяснить, как вы собираетесь включить этот стиль питания в свою жизнь, особенно когда речь идет о таких вещах, как общественные мероприятия и поддержание активности, советует она.

            Готовы изучить ваши варианты? Здесь Тейлор объясняет некоторые из самых популярных методов IF.

            1. Метод дважды в неделю — 5: 2

            Этот подход к IF фокусируется на ограничении ваши калории на уровне 500 два дня в неделю. В остальные пять дней неделю вы придерживаетесь здорового и нормального питания.

            В разгрузочные дни этот подход обычно включает в себя прием пищи на 200 и 300 калорий. Важно сосредоточиться на продуктах с высоким содержанием клетчатки и белка, чтобы насытиться, но при этом сохранять низкое количество калорий во время голодания.

            Вы можете выбрать любой из двух разгрузочных дней (например, вторник и четверг), если между ними есть не постный день. Обязательно ешьте столько же, сколько обычно в не постные дни.

            2. Альтернативное дневное голодание

            Этот вариант предполагает «модифицированное» голодание через день. Например, ограничьте количество калорий в дни голодания до 500 — или около 25% от вашего обычного потребления. В не разгрузочные дни возобновите обычную здоровую диету. (Существуют также строгие вариации этого подхода, которые включают потребление 0 калорий через день вместо 500.)

            Интересное примечание: одно исследование показало, что у людей, которые следовали этой схеме ПФ в течение шести месяцев, значительно повысился уровень ЛПНП (или плохого) холестерина еще после шести месяцев отказа от диеты.

            3. Еда с ограничением по времени (пример: метод 16/8 или 14/10)

            В этом варианте вы установили окна голодания и приема пищи. Например, вы голодаете 16 часов в день и можете есть только восемь часов в день.

            Поскольку большинство людей постятся уже во время сна, этот метод популярен.Это удобно, поскольку вы продлеваете ночное голодание, пропуская завтрак и не ешьте до обеда. Некоторые из наиболее распространенных способов?

            • Метод 16/8: Еда только с 11:00 до 19:00. или полдень и 20:00
            • 14/10 метод: Еда только с 10 до 20 часов.

            Этот метод IF можно повторять сколько угодно часто или даже один или два раза в неделю — независимо от ваших личных предпочтений.

            Поиск правильных периодов приема пищи и голодания для этого метода может занять несколько дней, особенно если вы очень активны или просыпаетесь голодным к завтраку.

            «Эта форма голодания — более безопасный вариант для многих людей, которые хотят попробовать IF в первый раз», — говорит Тейлор.

            4. 24-часовой пост (или метод «есть: стоп: есть»)

            Этот метод предполагает полное голодание в течение полных 24 часов. Часто это делается один или два раза в неделю. Большинство людей постятся с завтрака до завтрака или с обеда до обеда. У этой версии IF могут быть очень сильные побочные эффекты, такие как утомляемость, головные боли, раздражительность, голод и упадок сил.

            Если вы будете следовать этому методу, вы должны вернуться к нормальному здоровому питанию в не разгрузочные дни.

            Прерывистое голодание — не волшебная пилюля

            Соблюдаете ли вы IF, кето, низкоуглеводную, высокобелковую, вегетарианскую или средиземноморскую диету — вы называете это — все зависит от качества ваших калорий и того, сколько вы потребляете.

            Итог с ЕСЛИ? Несмотря на то, что жюри еще не принято, а долгосрочные эффекты все еще изучаются, очень важно придерживаться здоровой, хорошо сбалансированной диеты, следуя IF.

            «Нельзя есть нездоровую пищу и лишние калории в непосточные дни и рассчитывать на похудание», — говорит Тейлор.

            Побочные эффекты и риски

            Прерывистое голодание небезопасно для некоторых людей, включая беременных женщин, детей, людей с риском гипогликемии или людей с определенными хроническими заболеваниями.

            «Если вы подвержены риску расстройства пищевого поведения, вам не следует пытаться соблюдать какую-либо диетическую диету», — советует Тейлор. «IF также, как известно, увеличивает вероятность переедания у некоторых людей из-за ограничения.”

            Если вы хотите попробовать IF, вы также должны знать о некоторых не очень приятных побочных эффектах. IF может быть связан с раздражительностью, низкой энергией, постоянным голодом, температурной чувствительностью и плохой работой и активностью.

    Линия параллельная основаниям трапеции делит одну боковую: № 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?

    Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

    Навигация по странице: Определение трапеции Элементы трапеции Виды трапеций Основные свойства трапеции Стороны трапеции Средняя линия трапеции Высота трапеции Диагонали трапеции Площадь трапеции Периметр трапеции Окружность описанная вокруг трапеции Окружность вписанная в трапецию Другие отрезки трапеции

    Определение.

    Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

    Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

    Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

    Элементы трапеции:

    • Основы трапеции — параллельные стороны
    • Боковые стороны — две другие стороны
    • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

    Виды трапеций:

    • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
    • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
    Рис.1 Рис.2

    Основные свойства трапеции

    1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

    AB + CD = BC + AD

    2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

    AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

    3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

    m = a + b
    2

    4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

    5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

    6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

    BC : AD = OC : AO = OB : DO

    7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

    d12 + d22 = 2ab + c2 + d2


    Сторона трапеции

    Формулы определения длин сторон трапеции:

    1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

    a = 2m — b

    b = 2m — a

    2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

    a = b + h · (ctg α + ctg β)

    b = a — h · (ctg α + ctg β)

    3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

    a = b + c·cos α + d·cos β

    b = a — c·cos α — d·cos β

    4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

    с = h       d = h
    sin αsin β


    Средняя линия трапеции

    Определение.

    Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

    Формулы определения длины средней линии трапеции:

    1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

    m = a + b
    2

    2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

    m = S
    h


    Высота трапеции

    Формулы определения длины высоты трапеции:

    1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

    h = c·sin α = d·sin β

    2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

    h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
    a + ba + b

    3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

    h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
    2m2m

    4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

    h = 2S
    a + b

    5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

    h = S
    m


    Диагонали трапеции

    Формулы определения длины диагоналей трапеции:

    1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

    d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

    d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos α

    2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

    d1 =  d 2 + ab —  a(d 2 — c2)
    a — b
    d2 =  c2 + ab —  a(c2 — d 2)
    a — b

    3. Формула длины диагоналей через высоту:

    d1 = √h2 + (a — h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

    d2 = √h2 + (a — h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

    4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

    d1 = √c2 + d 2 + 2ab — d22

    d2 = √c2 + d 2 + 2ab — d12


    Площадь трапеции

    Формулы определения площади трапеции:

    1. Формула площади через основания и высоту:

    S = (a + b) · h
    2

    2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

    S = m · h

    3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

    S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
    22

    4. Формула площади через четыре стороны:

    S = a + bc2((a — b)2 + c2 — d 2)2
    22(a — b)

    5. Формула Герона для трапеции

    S = a + b√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
    |a — b|
    где
    p = a + b + c + d  — полупериметр трапеции.
    2


    Периметр трапеции

    Формула определения периметра трапеции:

    1. Формула периметра через основания:

    P = a + b + c + d


    Окружность описанная вокруг трапеции

    Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

    Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

    1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

    R = a·c·d1
    4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

    где

    p = a + c + d1
    2

    a — большее основание


    Окружность вписанная в трапецию

    В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

    a + b = c + d

    Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

    1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

    r = h
    2

    Другие отрезки разносторонней трапеции

    Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

    1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

    KM = NL = b   KN = ML = a   TO = OQ = a · b
    22a + b


    Все таблицы и формулы

    Диагонали трапеции

    Свойства диагоналей трапеции

    1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
    2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
    3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
    4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
    5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
    6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

    Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции


    Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.  
    Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.

    Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.

    Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

    LM = (AD — BC)/2
    или
    LM = (a-b)/2

    Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


    Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.
    Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
    Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны. 
    Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

    Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

    Что из этого следует?

    Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

    Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


    Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

    Свойства трапеции, достроенной до треугольника


    Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований

    Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

    • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
    • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

    Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


    Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).

    KO / ON = BC / AD

    Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

    Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


    Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

    • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
    • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

    Формулы для нахождения диагоналей трапеции

    Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»


    Далее, в формулах используются следующие обозначения:

    a, b — основания трапеции

    c, d — боковые стороны трапеции

    d1 d2 — диагонали трапеции

    α β — углы при большем основании трапеции

    Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

     

    Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

    1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

    2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

    3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

    Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

    Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции,  одна боковая сторона и угол при основании.

    Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


    Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

    Задача.
    Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

    Решение.
    Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

    Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

    Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

    AO / OC = AD / BC
    9 / 6 = 24 / BC
    BC = 24 * 6 / 9 = 16

    Ответ: 16 см

    Задача.
    В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

    Решение.
    Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

    Значит
    AD = AM+BC+KD
    a + 8 + b = 24
    a = 16 — b

    Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

    h2 + (24 — a)2 = (5√17)2
    и
    h2 + (24 — b)2 = 132

    Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
    h2 + (24 — 16 + b)2 = 425
    h2  = 425 — (8 + b)2

    Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
    425 — (8 + b)2 + (24 — b)2  = 169
    -(64 + 16b + b)2 + (24 — b)2 = -256
    -64 — 16b — b2 + 576 — 48b + b2  = -256
    -64b = -768
    b = 12

    Таким образом, KD = 12
    Откуда
    h2  = 425 — (8 + b)2 = 425 — (8 + 12)2 = 25
    h = 5

    Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
    , где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
    S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см2

    Ответ: площадь трапеции равна 80 см2.

    0  

     Трапеция (задачи про основания) | Описание курса | Прямоугольная трапеция 

       

    Задачи для повторения курса геометрии в 9 классе.

    Задачи по геометрии 7-9 класс.

    Учитель математики: Охрименко Нина Михайловна

    Ленинградская средняя школа №1 Акжарского района Северо- Казахстанской области.

    Содержание предлагаемых задач проверяет знания учащихся :овладение конкретными математическими знаниями, необходимые для применения в практической деятельности, интеллектуальное развитие, формирование качества мышления ,характерного для математической деятельности и необходимого человеку для полноценного функционирования в обществе. Разнообразный задачный материал по важнейшим разделам школьного курса геометрии 7-9 классов. Можно использовать при повторении геометрии в 9 классе ,а также как подготовительные в качестве тренировочных упражнений для самоподготовки к ЕНТ в 11 классе. Ко всем заданиям даны ответы. Так как у учащихся очень мало дополнительной литературы по математике ,я сделала подборку интересных и очень важных , необходимых задач ,которые затем учащиеся используют для самоподготовки к ЕНТ

    Задачи для повторения курса геометрии в 9 классе.

    1.Средняя линия ,параллельная основанию треугольника равна 4см, а периметр равнобедренного треугольника равен 18см. Найдите площадь

    треугольника.(12)

    2.Найдите наибольший угол треугольника,если медиана равна половине стороны к которой она проведена.(90)

    3. Площадь ромба 18см2,острый угол равен300. Найдите сторону ромба.(6)

    4.Диагонали ромба относятся как 2:1. Площадь ромба равна12см2. Найдите сторону ромба.(√15)

    5.Острый угол параллелограмма АВСД равен 600.Диагональ ВД=3см и перпендикулярна стороне АВ. Найдите площадь параллелограмма.(3√3)

    6. Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 7см и 3см и острым углом 600.(20√3)

    7. Угол при основании равнобедренной трапеции равен 600,а ее диагональ равна 4см и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.(4√3)

    8. Основания трапеции равны 5 см и 15 см .а диагонали 12см и 16см. Найдите площадь трапеции.(96)

    9. Основания трапеции равны 28см и 11см , а боковые стороны 25см и 26см . Найдите высоту трапеции.(24)

    10. В прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 15 см вписан квадрат ,имеющий общий угол. Найдите периметр квадрат.(24)

    11. В треугольник АВС вписан ромб АДЕК, так что угол А общий ,а вершина Е лежит на стороне СВ. Найдите сторону ромба, если АВ=12см и АС=8см.(4,8)

    12.В треугольнике угол С=900, СД биссектриса , АД=5см. НайдитеВС, если высота ДМ треугольника АДС равна 3см.(21/4)

    13.Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями 6см и 2см проведена прямая параллельная основаниям. Найдите длину ее отрезка , заключенного между боковыми сторонами трапеции.(3)

    14. В трапеции с основаниями 2см и 6см, проведена средняя линия . Найдите длину ее отрезка ,заключенного между диагоналями трапеции.(2)

    15. Найдите основание равнобедренного треугольника с углом при основании 300,если взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии ,равном 3см от боковых сторон и на расстоянии 2√3см от основания. (24)

    16. Найдите наибольший угол треугольника со сторонами 1см ,√2 см и √5см.(135)

    17. Найдите наибольший угол параллелограмма с сторонами 3см и 5см и диагональю 7см.(120)

    18. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, если основания и площадь равны соответственно 8см , 14см и 44см2.(5)

    19 Найдите площадь ромба, если его высота равна 12см а диагональ 13см. (202,8)

    20. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 74дм ,а площадь3м2. (12и25)

    21.В параллелограмме диагонали АС и ВД пересекаются в точкеМ, угол АВД=300, угол ВМС=450. Найти АВ, если АС=4√2см. (4)

    22.Если диагональ параллелограмма , длина которой 4√6см составляет с основанием угол 600, а другая диагональ составляет с этим основанием угол 450, то длина другой диагонали:(12)

    23.В трапеции АВСД диагональ АС образует с основанием СД угол 450, угол АВС=750, боковая сторона ВС=2√6см. Найдите основание АВ.

    24. В треугольнике АВС , АВ=14см и медианы АК=15см и ВР=9см, М-точка пересечения медиан. Найдите угол АМВ .(120)

    25. . В треугольнике АВС , АВ=13см и медианы АМ=18см и ВК=7,5см. Найдите площадь треугольника АВС .(90)

    26. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне равна 15см, а высота ,опущенная на основание равна 18см. Найдите площадь треугольника. (144)

    27. В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ=4√2см, боковые стороны- 6см. Найдите медиану АМ. (5)

    28.Стороны треугольника11см, 12см и 13см. Найдите длину медианы ,проведенной к большей стороне. (9,5)

    29.В окружности проведена хорда ,перпендикулярнная к радиусу и проходящая через его середину. Найдите длину хорды, если диаметр равен 8см.(4√3)

    30. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину хорды МК ,если АР=2см, АТ=24см, АМ:КА=3:4. (14)

    31.Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма , если его периметр равен 60см. (12и 18)

    32.Диагонали трапеции делят углы , прилежащие к большему основанию пополам. Периметр трапеции равен 36см, средняя линия равна 11,7см. Найдите длину большего основания. (17,1)

    33. В равнобедренной трапеции АВСД диагональ АС является биссектрисой угла ВАД при основании АВ. Найдите площадь трапеции АВ=11см, СД=5см. (32)

    34. В равнобедренной трапеции АВСД боковые стороны и меньшее основание равны 2см, диагональ ВД перпендикулярна боковой стороне АВ. Найдите площадь трапеции. (3√3)

    35. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 2см и 4см, короткий лежит около основания. Найдите длину основания. (3)

    36. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании делит его боковую сторону на отрезки длиной 3см и 2см, считая от основания. (75√7/16)

    37. В равнобедренном треугольнике с основанием 5см и боковой стороной 20см. Найдите биссектрису угла при основании. (6)

    38. . В треугольнике состоронами 2см, 3см и 4см. Найдите биссектрису среднего по величине угла .(√6)

    39.Концы диаметра окружности удалены от касательной на 1см и 3см. Найдите угол между касательной и диаметром.(30)

    40.Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная половине радиуса. Найдите угол между хордой и диаметром. (arcsin1/4)

    41. Из точки на окружности проведены касательная и секущая . Найдите

    длину касательной , если окружность делит касательную на отрезки 18см и 50см. (10√34,6√34)

    42.Хорды АВ и СД пересекаются в точке М, причем АМ=МВ, СМ=16см, ДМ:МС=1:4. Найдите АВ. (16)

    43. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М, причем АМ:МВ=1:3, СД=20см, ДМ=5см. Найдите АВ. (20)

    44.Внутри окружности радиуса 13см дана точка М на расстоянии 5см от центра. Через эту точку проведена хорда равная 25. Найти отрезки на которые хорда делится точкой М. (16и9)

    45.Основание равнобедренного треугольника √32, а медиана к боковой стороне равна 5 см. Найдите длины боковых счторон. (6 и 6)

    46.В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого 9√3см2, а в треугольник вписана окрухность. Найдите площадь полученного кольца. (9∏)

    47.В круге радиуса 6см по одну сторону от центра проведены две параллельные хорды , стягивающие дуги в 600и 1200. Найдите площадь части круга ,заключенного между хордами. (6∏)

    48.В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12см и 6см. Найдите площадь круга. (225/4∏)

    49.Общая хорда двух кругов стягивает дуги в 600и 1200. Найдите отношение площадей этих кругов. (3:1)

    50. В прямоугольный треугольник вписана окружность.Точка касания делит один из катетов на отрезки 6см и 10см. Найдите площадь треугольника. (240)

    51. Если в прямоугольном треугольнике гипотенуза 20см, а радиус вписанной окружности 4см, то сумма катетов равна. (28)

    52. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружности равны 2см и 5см. (24)

    53. Периметр прямоугольного треугольника 36см, а радиус вписанной в него окружности 3,5см. Найдите радиус описанной около него окружности. (7,25)

    54. Стороны треугольника АВС равны 15см , 14см и 13см. О-точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОВ. (28)

    55. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник , делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите радиус этой окружности, если меньший катет 12 см. (4)

    56. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2√3см. Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2 считая от Р. Найдите периметр треугольника РМК. (36)

    57. Основание треугольника равно 20, медианы боковых сторон 18см и 24см . Найдите площадь треугольника. (288)

    58. Окружность , вписанная в равнобедренную трапецию , делит боковую сторону на отрезки 1 см и 4см. Найдите площадь трапеции. (20)

    59. Найдите угол А в треугольнике АВС , если а=14см, в=16см,с=10см. (60)

    60. В равнобедренном треугольнике высота равна 20м, а основание относится к боковой стороне как 4:3 . Найдите радиус круга , вписанного в этот треугольник. (8)

    61.Четырехугольник АВСД вписан в окружность с центром О. Найдите угол АОС , если угол АВС=1300. (100)

    62. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. Угол А=800. А угол А вдвое больше угла Д. Найдите наименьший угол четырехугольника АВСД . (60)

    63.В ромб, который своей диагональю делится на два равносторонних треугольника вписана окружность радиуса 2см. Найдите сторону ромба. (8/√3)

    64. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2см. (2√2)

    65. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ=8см, АС=3см , уголА=600. (7/√3)

    66. Точки А,В,С лежат на окружности. Найдите хорду АС , если угол АВС=300, а диаметр окружности равен 10см. (5)

    67. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с диагональю 10см и углом при основании 300. (10)

    68. . Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основаниями 14см и 2см и углом 450 при основании. (5√2)

    69. Равнобедренная трапеция с основанием 8см и боковой стороной 5см ,описана около окружности. Найдите радиус окружности. (2)

    70. Равнобедренная трапеция с основаниями 8см и 2см , описана около окружности. Найдите площадь трапеции. (20)

    71. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 600, площадь равна 24√3см2, вписана окружность. Найдите радиус окружности. (3)

    72.Основания трапеции 4см и 16см .Найдите радиусы вписанной в трапецию и описанной около нее окружностей ,если обе они существуют. (4. 5/4√41)

    73. В окружность вписана трапеция АВСД , в которую вписана окружность радиуса 2см. Найдите среднюю линию трапеции, если угол А=600. (8/√3)

    74. Найдите длину гипотенузы. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе разбивает его на два треугольника с площадями 4см2 и 16см2. (10)

    75. Площадь равнобедренной трапеции ,описанной около круга ,равна 12см, а острый угол при основании равен 300 . Найдите среднюю линию трапеции. (8)

    76. Прямоугольная трапеция ,описана около окружности радиуса 3см. Найдите площадь трапеции, если одна из боковых сторон 10см. (48)

    77. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12см и высотой 8см, проведена касательная параллельная основанию. Найдите отрезок касательной ,заключенный внутри треугольника (3)

    78. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 17см, 65см и 80см. (7,2)

    79. Четырехугольник АВСД со сторонами АВ=4см, ВС=2см, СД=6см , описан около окружности радиуса 5см. Найдите площадь четырехугольника. (50)

    80. В равнобедренную трапецию вписана окружность.Точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24см. Найдите длину средней линии трапеции. (25)

    Видеоресурсы

    Наименование

    Действия

    Результат фильтрации: 13118 элементов

    Внимание! Видеоматериалы, размещённые в данном разделе, представлены из открытых интернет-источников в исходном виде. В связи с этим Администрация сайта profspo.ru не несёт ответственности за содержание данных материалов и не является их правообладателем. Использование на сайте материалов из открытых интернет-источников осуществляется в соответствии со ст. 1274 ГК РФ («Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях»).

    «… пучок света в шумах …» — пьеса Хуго Балля и ее постановки | Юлиана Каминская

    «. .. пучок света в шумах …» — пьеса Хуго Балля и ее постановки | Лектор: Юлиана Каминская | Организатор: Лекторий Cultura Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/29584 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за новостями: https://vk.com/openlektorium https://www.facebook.com/openlektorium

    Литература

    «DIY культура города: открытый код и прототип» в рамках проекта «Искусство для города» | Лекториум

    Лекция: «DIY культура города: открытый код и прототип» в рамках проекта «Искусство для города» | Курс: Искусство для города | Лектор: Хуан Чакон, Наталия Хози | Организатор: Научная среда Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/28310 Подписывайтесь на канал:…

    «Интернет Вещей». Открытая лекция Роба Ван Краненбурга

    Интернет вещей (Internet of Things, IoT) — качественно новый этап развития интернета, позволяющий сопрягать физические и виртуальные объекты, процессы, системы. Проект IoT принят в качестве приоритетного на государственном уровне в ЕС (www.internet-of-things.eu) и Китае, является ключевым для…

    Физика

    «Сделано в России». Производство сыра

    В видеосюжете рассказано об истории сыроварения, а также о технологических особенностях производства сыра с использованием современного оборудования.

    Ветеринария и зоотехния

    »Игротехника» в политологических исследованиях | Ольга Попова | СПбГУ | Лекториум

    Лекция: »Игротехника» в политологических исследованиях | Лектор: Ольга Попова | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет (СПбГУ) Смотрите это видео на Лекториуме: https://lektorium.tv/lecture/15187 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за…

    Политология

    »Революции» на Ближнем Востоке: Тунис, Египет — кто следующий?

    »Революции» на Ближнем Востоке: Тунис, Египет — кто следующий? | Лектор: Валерий Ачкасов | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет (СПбГУ) Смотрите это видео на Лекториуме: https://www. lektorium.tv/lecture/15202 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите…

    История

    ‘Psychological’ or `Mental’ Violence and Domestic Violence Laws: Problems and Solutions

    ‘Psychological’ or `Mental’ Violence and Domestic Violence Laws: Problems and Solutions | Курс: Актуальные проблемы юридической психологии. Потерпевшие и свидетели: от научных исследований к эффективной практике | Лектор: Cheryl Thomas | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет…

    Психология

    «Вызов инноватора». НИЯУ МИФИ

    Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» принял участие во флешмобе «Вызов инноватора».

    Физика

    «Гроб Магомеда»

    Парение катушки с током Гервидс Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.

    Физика

    «Меры Пальма детерминантных процессов» | Александр Буфетов | Лекториум

    Меры Пальма детерминантных процессов | Лектор: Александр Буфетов | Организатор: Математическая лаборатория имени П. Л.Чебышева Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/27887 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за новостями:…

    Математика

    «Мы Вас приветствуем!»

    Опыт с перчаткой. Гервидс Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.

    Физика

    «Создаешь, молодежь!» Часть 1

    Физика

    «Создаешь, молодежь!» Часть 2

    Физика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С2

    Тема лекции: Часть С2 Лектор: Днестрян Андрей Игоревич, преподаватель кафедры высшей математики МФТИ Теоретическая справка: http://abitu.net/folders/file/206 Домашнее задание: http://abitu.net/folders/file/210 «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С4

    Тема: Решение задач части С4 по математике. Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С5

    Тема: Решение задач части С5 по математике. Лектор: Днестрян Андрей Игоревич, преподаватель кафедры высшей математики МФТИ. Домашнее задание: http://abitu.net/folders/file/192 «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике и 9 уроков по…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2014

    Тема лекции: Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2014. Лектор: Бабичева Татьяна Сергеевна, аспирант МФТИ, м.н.с. МФТИ, призер и победитель множества олимпиад по математике. «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике и 9 уроков по…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, С3

    Лекция будет посвящена решению задач части С3 по математике. Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Часть С1

    Тема лекции: Постоянный ток. Часть С1 Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер…

    Математика

    «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Часть С5

    Тема лекций: Часть С5 Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич , преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер Всероссийской олимпиады по…

    Математика

    Авторизация

    Используйте email-адрес, указанный вами при персональной регистрации, или данные, предоставленные вашему учебному заведению для регистрации.

    E-mail или логин

    Пароль (забыли пароль?)

    запомнить

    Регистрация по кодам приглашения
    Обычная регистрация

    • Arial
    • Roboto
    • Times New Roman
    • Стандартный
    • Средний
    • Большой

    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям: Свойство средней линии трапеции — доказательство — ЭкоДом: Дом своими руками

    Содержание

    чему равна, свойства, доказательство теоремы

    Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

    Трапеция – это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD и BC), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD).

    Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL).

    Свойства средней линии трапеции

    1. Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований:
    2. Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.

    Доказательство теоремы о средней линии трапеции

    Доказать, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

    Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ.

    Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:

    1. По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
    2. ∠ BLC = ∠ QLD, так как эти углы вертикальные.
    3. ∠ BCL = ∠ LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.

    Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQ и самое главное — BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем:

    1. KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)
    2. KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

    Для закрепления материала рекомендуем Вам просмотреть видео урок по данной теме:

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Скорее всего, Вам будет интересно:

    Средняя линия трапеции ABCD: определение, свойства, признак, длина

    В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

    Определение средней линии трапеции

    Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.

    • LM – средняя линия трапеции ABCD
    • L – середина стороны AB, т. е. AL = LB
    • M – середина стороны CD, т.е. CM = MD

    Свойства средней линии трапеции

    Свойство 1

    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.

    Для рисунка выше:

    Свойство 2

    Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.

    Свойство 3

    Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):

    Признак средней линии трапеции

    Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

    Вторая средняя линия

    Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.

    Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.

    Пример задачи

    Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

    Решение

    Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b)/2 ⋅ h

    В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b)/2.

    Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см2.

    Средняя линия т. Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

    Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
    .

    Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
    , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
    . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

    Средняя Линия Трапеции

    Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

    Теорема:

    Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

    Теорема:

    Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

    MN || AB || DC
    AM = MD; BN = NC

    MN
    средняя линия, AB
    и CD

    — основания, AD
    и BC
    — боковые стороны

    MN = (AB + DC)/2

    Теорема:

    Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

    Основная задача
    : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

    Средняя Линия Треугольника

    Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
    Теорема
    : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

    AM = MC and BN = NC
    =>

    Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

    Деление отрезка на определённое количество равных частей.
    Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
    Решение:
    Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
    Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

    В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
    Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
    AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
    Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

    Средняя линия
    фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

    Энциклопедичный YouTube

      1
      /
      3

      ✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

      ✪ геометрия СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Атанасян 8 класс

      ✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок

      Субтитры

    Средняя линия треугольника


    Свойства

    • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
    • при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    • средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
    • Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .
    Признаки

    • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

    Средняя линия четырёхугольника


    Средняя линия четырёхугольника
    — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

    Свойства

    Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
    Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
    Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

    • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
    • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
    • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
    • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
      . Средние линии второго рода
      — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
      выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
    • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

    Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

    Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

    Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

    Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

    Так же это основывается на теореме Фалеса:

    Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

    То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

    Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

    Доказано!

    Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

    27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

    Вычисляем по формуле:

    27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

    Выразим большее основание:

    Таким образом:

    27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

    Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

    Построим второй перпендикуляр DF:

    Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

    В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

    Таким образом DC=6. Вычисляем:

    27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

    Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

    Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

    27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

    Исходя из условия можем записать:

    Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

    Второе уравнение уже можно записать в виде:

    27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

    Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

    Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

    27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

    Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

    Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

    Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

    Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

    27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

    Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

    Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

    Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

    Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

    Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

    Таким образом, средняя линия равна 12.

    *Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

    В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

    27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD
    , если стороны квадратных клеток равны 1.

    Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

    Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

    Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

    – это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD
    и BC
    ), две другие – боковыми (на рисунке AB
    и CD
    ).

    Средняя линия трапеции
    – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL
    ).

    Свойства средней линии трапеции

    Доказательство теоремы о средней линии трапеции

    Доказать
    , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

    Дана трапеция ABCD
    со средней линией KL
    . Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B
    и L
    . На рисунке 2 это прямая BQ
    . А также продолжить основание AD
    до пересечения с прямой BQ
    .

    Рассмотрим полученные треугольники LBC
    и LQD
    :

    1. По определению средней линии KL
      точка L
      является серединой отрезка CD
      . Отсюда следует, что отрезки CL
      и LD
      равны.
    2. ∠ BLC
      = ∠ QLD
      , так как эти углы вертикальные.
    3. ∠ BCL
      = ∠ LDQ
      , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD
      и BC
      и секущей CD
      .

    Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC
    и LQD
    равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC
    = ∠ LQD
    , BC=DQ
    и самое главное — BL=LQ
    => KL
    , являющаяся средней линией трапеции ABCD
    , также является и средней линией треугольника ABQ
    . Согласно свойству средней линией треугольника ABQ
    получаем.

    Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

     Средняя линии треугольника. Средняя линия трапеции.

    Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

     

     

    На рисунке средней линией является отрезок DE.

    Теорема. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

    Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и DBE. Они подобны, так как имеют две пары пропорциональных сторон (AB = 2BD, BC = 2BE) и общий угол B. Значит, все углы в этих треугольниках равны. ∠BDE = ∠BAC, следовательно, DE||AC по признаку параллельности: соответствующие углы равны. Коэффициент подобия равен 2, значит, AC = 2DE.

    Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF.

    Каждый из четырёх треугольников ADF, DBE, ECF, DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5.

     

     

    Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции. Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

    Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

     

     

    На рисунке средней линией трапеции является отрезок EF.

    Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

     

     

    Дано: ABCD – трапеция, E – середина AB, F – середина CD.

    Доказать: EF||BC||AD, EF = (BC+AD):2.

    Доказательство. Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию. Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G.

    Рассмотрим треугольники BCF и FDG. В них CF = FD (по условию), ∠BFC = ∠DFG (вертикальные углы), ∠BCF = ∠GDF (накрест лежащие при параллельных прямых). Следовательно, треугольники равны по второму признаку.

    Из равенства треугольников следует BF = FG и DG = BC. Значит, отрезок EF является средней линией треугольника ABG. Отсюда следует параллельность: EF||AD||BC.

    Найдем длину EF. По теореме о средней линии треугольника EF = AG:2 = (AD+DG):2 = (AD+BC):2, что и требовалось доказать.

    Чему равна средняя линия трапеции формула. Средняя линия. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

    1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
    2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
    3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
    4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
    5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
    6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
    Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

    Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

    Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
    .

    Данный отрезок параллелен основаниям трапеции
    .

    Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

    LM = (AD — BC)/2

    или

    LM = (a-b)/2

    Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

    Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными
    .

    Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

    Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

    Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

    Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

    Что из этого следует?

    Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

    Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

    Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны
    , то есть треугольники являются равновеликими.

    Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований
    .

    Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

    • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
    • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
    Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

    Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции
    (BC/AD).

    KO / ON = BC / AD

    Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

    Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

    Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

    • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
    • Длина отрезка
      , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

    Формулы для нахождения диагоналей трапеции

    a, b

    — основания трапеции

    c, d

    — боковые стороны трапеции

    d1 d2

    — диагонали трапеции

    α β
    — углы при большем основании трапеции

    Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

    Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

    1.
    Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований
    . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

    2
    . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

    3
    . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

    Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

    Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

    Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

    Примечание
    . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме
    .

    Задача
    .

    Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

    Решение
    .

    Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

    Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

    Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

    AO / OC = AD / BC

    9 / 6 = 24 / BC

    BC = 24 * 6 / 9 = 16

    Ответ
    : 16 см

    Задача
    .

    В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

    Решение
    .

    Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
    длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
    нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

    Значит

    AD = AM+BC+KD

    a + 8 + b = 24

    a = 16 — b

    Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

    H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2

    и

    h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

    Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении

    h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425

    h 2 = 425 — (8 + b) 2

    Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

    425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169

    -(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256

    -64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256

    -64b = -768

    b = 12

    Таким образом, KD = 12

    Откуда

    h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25

    h = 5

    Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

    , где a b — основания трапеции, h — высота трапеции

    S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

    Ответ
    : площадь трапеции равна 80 см 2 .

    Средняя линия
    фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

    Средняя линия треугольника


    Свойства

    • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
    • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
    • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.
    Признаки

    • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.
    • Площадь и, соответственно, и объём отсекаемого средней линией треугольника равна 1/4 от площади и, соотвественно, объёму от всего данного треугольника.

    Средняя линия четырёхугольника


    Средняя линия четырёхугольника
    — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

    Свойства

    Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
    Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
    Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

    • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
    • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
    • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
    • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
      . Средние линии второго рода
      — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
      выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
    • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
    • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

    Средняя линия трапеции


    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции
    — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

    Она рассчитывается по формуле:
    E
    F
    =
    A
    D
    +
    B
    C
    2
    {\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}
    , где AD
    и BC
    — основания трапеции.

    В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

    Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

    Трапеция и все-все-все

    Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

    Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

    В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

    Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

    Свойства диагоналей трапеции

    Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

    1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2
      .
    2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.

      Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
    3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
    4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
      Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
    5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ
      .
    6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b)
      .

    Свойства средней линии трапеции

    Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

    1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2
      .
    2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

    Свойство биссектрисы трапеции

    Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

    Свойства углов трапеции

    1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
    2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2
      .
    3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

    Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

    1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
    2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
    3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
    4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
    5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
    6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2
      .
    7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
    8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2
      . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2
      .

    Свойства трапеции, вписанной в окружность

    Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

    1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
    2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
    3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
    4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ
      .
    5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ
      . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
    6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ
      .

    Свойства трапеции, описанной около окружности

    Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

    1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2
      .
    2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ
      .
    3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
    4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab
      .
    5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
      Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

    Свойства прямоугольной трапеции

    Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

    1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
    2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2
      ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
    3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

    Доказательства некоторых свойств трапеции

    Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

    • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

    Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

    АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

    Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

    Что и требовалось доказать.

    Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной
    :

    • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

    ∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

    МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

    У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

    Задача для повторения

    Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

    Решение:
    Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

    Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

    Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

    Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

    Послесловие

    Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

    Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

    Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
    Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

    Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

    Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

    a, b – основания, l – средняя линия.

    Как найти среднюю линию трапеции через площадь

    Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
    S – площадь,
    h – высота,
    a, b – основания.
    Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

    Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

    При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

    l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
    l – искомая величина,
    a – большее основание,
    α, β – углы при нем,
    h – высота фигуры.

    Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

    l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

    l – искомая величина,
    b – меньшее основание,
    α, β – углы при нем,
    h – высота фигуры.

    Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

    Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

    l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

    l – линия средины,
    d1, d2 – диагонали,
    φ, γ – углы между ними,
    h – высота фигуры.

    Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

    В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

    • При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

    l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

    • Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

    l=a-h*ctgα,
    l=b+h*ctgα,

    l – линия средины,
    a, b – основания (b
    α – углы при нем,
    h – высота фигуры.

    • Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

    l=a-√(c*c-h*h),
    l=b+√(c*c-h*h),
    l – линия средины,
    a, b – основания (b
    h – высота фигуры.

    • При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

    l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

    l – линия средины,
    d – диагонали,
    φ, γ – углы между ними,
    h – высота фигуры.

    • Известны площадь и высота фигуры, тогда:

    l=S/h,
    S – площадь,
    h – высота.

    • Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

    h=c*sinα, поэтому
    l=S/c*sinα,
    l – линия средины,
    S – площадь,
    c – боковая сторона,
    α- угол у основания.

    Вторая средняя линия трапеции презентация. Средняя линия трапеции

    Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. АК = КС ВЕ = СЕ КЕ – средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых её сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЕ = СЕ НЕ – средняя линия АВСК А В С К Е Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий в трапеции?

    Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: АВС, МК – средняя линия Доказательство: Т. к. по условию МК – средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС, Значит, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В – общий для АВС и МВК, значит, АВС и МВК подобны по второму признаку подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС. Доказать: МК АС, МК = ½ АС МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, т. е. МК = ½ АС.

    Реши задачу F R N ? А В

    Доказательство: Проведём А 1 В 1 А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, ВВ 1 – медианы значит, ВА 1 = СА 1, АВ 1 = СВ 1, т. е. А 1 В 1 – средняя линия. Значит, А 1 В 1 АВ, поэтому 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны: АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 По свойству средней линии треугольника АВ = 2 А 1 В 1, т. е. АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1О 2 1 Получим: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1

    Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК – трапеция МР – средняя линия Доказать: МР АК, МР ВС МР = Доказательство: О Проведём через точку М прямую МЕ АК, докажем, что МЕ пройдёт через Р. Т. к. АВСК – трапеция, то ВС АК, а, значит, ВС МЕ АК Т. к. МР – средняя линия, то АМ= МВ, КР = СР Е Следовательно, МР лежит на МЕ, значит, МР АК, МР ВС. Проведём ВК. По теореме Фалеса О – середина ВК, значит, МО – средняя линия АВК, ОР – средняя линия ВСК МР = МО + ОР = ½ АК + ½ ВС = ½ (АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересечёт СК в середине СК, т. е. в точке Р.

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com

    Подписи к слайдам:

    Средняя линия (8 класс)

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника. Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

    Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т.е.: КМ ║ АС КМ = ½ АС A B C K M

    Решить задачу устно: A B C K M 7 см Дано: M К – сред. линия Найти: АС?

    Работа в парах:

    Решим задачу: Дано: MN – сред. линия Найти: P ∆ АВС M N A B C 3 4 3, 5

    Работа в парах:

    Средняя линия трапеции

    Вспомним: Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD – боковые стороны

    Средняя линия трапеции. Определение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. A D B C M N MN – средняя линия трапеции ABCD

    Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. т.е.: М N ║ВС║А D М N = ½ (ВС+А D) M N A D B C

    Решить устно: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?

    Решить устно в парах: Дано: AB = 16 см; CD = 1 8 см; М N = 15 см Найти: P ABCD = ? M N A D B C

    Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см. Найти основания трапеции, если известно, что нижнее основание больше верхнего основания в 1,5 раз. Решение: A D B C 5 см Пусть BC = Х см тогда AD = 1.5X см BC+AD = 10 см X + 1.5X = 10 X = 4 Значит: BC = 4 см AD = 6 см

    СПАСИБО ЗА УРОК!!!

    Презентация разработана учителем математики ГБОУ СОШ №467 Г. Санкт-Петербурга, Колпинского района Лугвиной Натальей Анатольевной

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Урок обобщения и закрепления знаний по теме «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции» в 8 классе с использованием ИКТ….

    Рабочая тетрадь — это индивидуальное творческое задание ученика. которое предполагает самостоятельную работу с текстом по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции», применение знаний при решении задач. …

    краткое содержание других презентаций

    «Построение правильных многоугольников» — ?=60?. ·180?. Геометрия. ?=. n. n — 2. Работу выполнила учитель математики МОУ «Гимназия №11» Лисицына Е.Ф.

    «Теорема Фалеса» — Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Астрономия. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Презентация по геометрии Ученицы 9 «А» класса Сорогиной Полины. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Фалес широко известен как геометр. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е.

    «Разложение вектора по двум неколлинеарным» — Пусть р коллинеарен b . Доказательство: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Доказательство: Пусть а и b — неколлинеарные векторы. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а? 0, то существует такое число k, что b = ka. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Геометрия 9 класс. Тогда р = уb , где у – некоторое число.

    «Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Построение правильного пятиугольника 1 способ. МОУ гимназия №56 г.Томск-2007. Правильные многоугольники.

    «Симметрия фигур» — Прямая а называется осью симметрии фигуры. D. Одна фигура получена из другой преобразованием. Оглавление. Преобразование, обратное движению, также является движением. А1. Выполнил:Пантюков Е. А. Существует множество различных видов симметрии. М1. Преобразование фигур.

    «Симметрия относительно прямой» — Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Симметрия в природе. Савченко Миша, 9В класс. Угол. Кто же изображен на фотографии оригинале? Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ относительно прямой. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Прямоугольник.

    «Урок площадь трапеции» — В прямоугольной трапеции основания 5см. и 17см. , а меньшая боковая сторона 10см. Учитель подводит итоги, задавая вопросы: Кто получил 5, 4, 3 балла? В каждом случае формулируют теорему, которую доказали. Решение поставленной задачи. Как вычислить площадь трапеции? Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?

    «Задачи на теорему Пифагора» — №21 Найти: Х. №18 Найти: Х. №27 Найти: Х. Задачи на готовых чертежах («Теорема Пифагора»). №23 Найти: Х. №25 Найти: Х. №26 Найти: Х. №13 Найти: Х. №20 Найти: Х. №19 Найти: Х. №14 Найти: Х. Вы справились со всеми предложенными заданиями. №29 Найти: Х. №28 Найти: Х. №30 Найти: Х. №22 Найти: Х.

    «Теорема Фалеса» — Фалес широко известен как геометр. Астрономия. Милетский материалист. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Из равенства треугольников следует равенство сторон В1В2=В2В3. Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Треугольники В2В1F и В2В1Е равны по второму признаку равенства треугольников.

    «Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Решение: Устная работа: Ответы к задачам по чертежам: Проверка домашнего задания. Тема урока: Теорема синусов. Теорема синусов:

    «Урок теорема Пифагора» — Определить вид треугольника: Знакомства с теоремой. Доказательство теоремы. Разминка. Теорема Пифагора. И обрете лестницу долготою 125стоп. План урока: Исторический экскурс. Показ картинок. Решение простейших задач. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Определить вид четырехугольника KMNP.

    «Теорема Пифагора 8 класс» — ФИГУРЫ. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник a,b катеты с- гипотенуза. Высота. Доказательство Бхаскари. Открытия пифагорийцев в математике. Дано: Прямоугольный треугольник, a, b – катеты, с — гипотенуза Доказать: c2 = a2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.

    Тема «Средняя линия трапеции» относится к одной из важных тем курса геометрии. Данная фигура довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные этой темы часто встречаются в итоговых контрольных и аттестационных работах. Знание по данной теме могут также пригодиться при обучении в средних и высших заведениях.

    Хотя и в теме заявлена фигура трапеция, но рассмотрение данной темы может проходить в период изучения темы «Векторы» и «Применение векторов при решении задач». Это можно понять, глядя на слайд презентации.

    Автор здесь определяет среднюю линию, как отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Более того, здесь же отмечено, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме. Вот именно в ходе доказательства этого утверждения и пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов по чертежу, который показан, как иллюстрация условия, получаются равенства. Эти равенства имеют одинаковую левую часть, и она является средней линией трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, получаются большое выражение в правой части равенства.

    слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)

    Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях получается сложение противоположных векторов, дающих в результате нуль. Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащий основания. Разделив это равенство на 2, получается, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основания. Теперь идет сравнение векторов. Получается, что все эти векторы одинаково направленные. Это значит, что знаки векторов можно смело опускать. И тогда получается, что сама средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

    Презентация содержит единственный слайд, который несет в себе большое количество информации. Здесь дано определение средней линии трапеции, а также указано ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Так здесь доказана теорема с использованием знаний понятия векторов и действий над ними.

    Учитель может данную презентацию дополнить своими примерами и задачами, но все, что требуется для среднего уровня знаний по данному предмету здесь опубликовано. Более того, так автор оставил возможность учителю пофантазировать, доработать то, что ему самому захочется для того,чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке. Не стоит забывать и про сам настрой на урок. Тогда с помощью данной презентации точно можно добиться желаемого результата.

    Средняя линия — трапеция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Средняя линия — трапеция


    Cтраница 1

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
     [1]

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
     [2]

    Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобочной. В равнобочной трапеции углы при основании равны. Трапеция, у которой хотя бы один угол прямой, называется прямоугольной.
     [3]

    Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрезка.
     [4]

    Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми 2 дм.
     [5]

    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и делит высоту пополам.
     [6]

    Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равча 2 дм.
     [7]

    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.
     [8]

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и длина ее равна полусумме длин оснований.
     [9]

    Средняя линия трапеции равна 21 4, а биссектриса большего угла параллельна боковой стороне.
     [10]

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
     [11]

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований.
     [12]

    Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из оснований больше другого на 4 см. Найти основания трапеции.
     [13]

    Средняя линия трапеции равна 56 дм.
     [14]

    Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
     [15]

    Страницы:  

       1

       2

       3

       4




    Линия, параллельная основанию трапеции

    Есть ряд интересных особенностей линий, проведенных параллельно основанию трапеции. В этой задаче мы видели одну из них — линию, параллельную основанию и соединяющую середины ног.

    Если основания трапеции — это a и b, длина этой линии равна ½ (a + b). Позже мы будем иметь дело с другой такой интересной линией — линией, параллельной основанию трапеции, которая разделяет ее на две похожие трапеции.

    Но здесь мы рассмотрим следующую линию, проведенную параллельно основанию трапеции и разделившую трапецию на 2 равные области. Эту линию иногда называют биссектрисой площади.

    Задача

    ABCD — трапеция, AB || CD. Ef параллелен основаниям (EF || AB, EF || AB) и делит ABCD на две равные области. Найдите формулу длины EF, используя AB и CD.

    Стратегия

    Назовем верхнюю основу «a», нижнюю основу «b» и среднюю линию «c».

    Линия c создает две трапеции внутри исходной трапеции. Площади двух маленьких трапеций равны, поэтому назовем эту область «S», а площадь большой трапеции — 2S.

    Мы запишем формулы для площадей двух маленьких трапеций, используя основы a, b и c, а затем воспользуемся некоторой базовой алгеброй для решения относительно c, учитывая тот факт, что площади равны, и что общая высота меньших трапеций равна высоте большой: h 1 + h 2 = h

    Решение

    Для верхней малой трапеции:
    (1) S = (a + c) · h 1 /2 → h 1 = 2S / (a ​​+ c)

    Для нижней малой трапеции:
    (2) S = (b + c) · h 2 /2 → h 2 = 2S / (b + c)

    Для большой трапеции h = h 1 + h 2 , а площадь равна 2S, поэтому
    (3) 2S = (a + b) · h / 2 = (a + b) · [2S / (a ​​+ c) + 2S / (b + c)] / 2
    (4) 1 = (a + b) / [1 / (a ​​+ c) + 1 / (b + c)] / 2 // делим обе стороны на 2S
    (5) 2 = (a + b) / (a ​​+ c) + (a + b) / (b + c) // переставляем
    (6 ) 2 · (a + c) · (b + c) = (a + b) (b + c) + (a + b) (a + c) // общий знаменатель и перекрестное умножение
    (7) 2ab + 2ac + 2cb + 2c 2 = ab + ac + b 2 + bc + a 2 + ac + ba + bc
    (8) 2c 2 = b 2 + a 2
    (9) c = √ [(b 2 + a 2 ) / 2]

    Итак, c — среднее квадратичное (или среднеквадратичное значение — RMS) двух оснований трапеции.

    Средняя линия трапеции. Свойства, знаки, площадь. Средняя линия трапеции

    Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией .

    Параллельные стороны трапеции называются основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами … Если стороны равны, то такая трапеция равнобедренная. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия — это отрезок прямой, соединяющий середины сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

    Теорема:

    Если прямая линия, пересекающая середину одной стороны, параллельна основанию трапеции, то она делит трапецию второй стороны пополам.

    Теорема:

    Длина средней линии равна среднему арифметическому длин ее оснований

    MN || AB || DC
    AM = MD; BN = NC

    MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — стороны

    МН = (AB + DC) / 2

    Теорема:

    Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин ее оснований.

    Основная задача : Докажите, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине основания трапеции.

    Центральная линия треугольника

    Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Он параллелен третьей стороне и составляет половину длины третьей стороны.
    Теорема : Если линия, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне этого треугольника, то она делит третью сторону пополам.

    AM = MC и BN = NC =>

    Применение свойств треугольника и трапеции средней линии

    Разделение отрезка на определенное количество равных частей.
    Задача: разделить отрезок AB на 5 равных частей.
    Решение:
    Пусть p — случайный луч с началом в точке A, не лежащий на прямой AB. Накладываем последовательно 5 равных отрезков на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
    Соединяем A 5 с B и проводим такие линии через A 4, A 3, A 2 и A 1, которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4, B 3, B 2 и B 1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 видим, что BB 4 = B 4 B 3. Таким же образом из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

    При этом из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
    Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключение получаем :
    AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
    Понятно, что чтобы разделить отрезок AB на другое количество равных частей, нам нужно спроецировать такое же число равных отрезков на луч p.А затем продолжайте, как описано выше.

    средняя линия фигуры в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие использовано для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция.

    Энциклопедический YouTube

      1
      /
      3

      ✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

      ✪ геометрия СРЕДНИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Атанасян 8 сорт

      ✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс №62 | Инфо-урок

      Субтитры

    Средняя линия треугольника

    Свойства
    • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
    • , когда все три средние линии пересекаются, образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    • средняя линия отсекает треугольник, похожий на этот, а его площадь составляет одну четвертую площади исходного треугольника.
    • Три средние линии треугольника делят его на 4 равных (одинаковых) треугольника, похожих на исходный треугольник. Все четыре одинаковых треугольника называются средними треугольниками.Центр этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.
    Знаки
    • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

    Средняя линия четырехугольника

    Средняя линия четырехугольника — отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника.

    Недвижимость

    Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Второй соединяет 2 другие противоположные стороны. Третий соединяет центры двух диагоналей (не все четырехугольники имеют точку пересечения, которая делит диагонали пополам).

    • Если в выпуклом четырехугольнике средняя линия составляет равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
    • Длина центральной линии четырехугольника меньше половины суммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
    • Середины сторон произвольного четырехугольника — это вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а центр лежит на пересечении срединных линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
    • Последняя точка означает следующее: В выпуклом четырехугольнике четыре средних линии второго рода . Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырехугольника, проходящие через середины его соседних сторон, параллельных диагоналям.Четыре средние линии второго вида выпуклый четырехугольник, разрежьте его на четыре треугольника и один центральный четырехугольник. Этот центральный четырехугольник — параллелограмм Вариньона.
    • Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит половину отрезка, соединяющего середины диагоналей. Кроме того, она

    Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

    Сбор и использование личной информации

    Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

    Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

    Какую личную информацию мы собираем:

    • Когда вы отправляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

    Как мы используем вашу личную информацию:

    • Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
    • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как аудит, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
    • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.
    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании запросов общественности или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.
    Защита личной информации

    Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Уважение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

    В этой статье мы сделали для вас еще одну подборку трапециевидных задач. Условия так или иначе связаны с его средней линией. Типы задач взяты из открытого банка типовых задач. При желании можно освежить теоретические знания… В блоге уже освещены задачи, к условиям которых тоже относятся. Кратко о средней линии:

    Средняя линия трапеции соединяет середины сторон. Он параллелен основаниям и равен их полусумме.

    Прежде чем решать задачи, давайте рассмотрим теоретический пример.

    Дана трапеция ABCD. Диагональ AC, пересекающаяся со средней линией, образует точку K, диагональ BD — точку L.Докажите, что отрезок KL равен половине разницы между основаниями.

    Прежде всего отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на его основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте себе отрезок линии, соединяющий две базовые точки, он разделит эту трапецию на две другие. Получается, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину стороны с другой стороны, будет проходить через ее середину.

    Он также основан на теореме Фалеса:

    Если на одной из двух прямых мы отложим последовательно несколько равных отрезков и проведем через их концы параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отрежут равные отрезки на второй прямой.

    То есть в данном случае K — это середина AC, а L — середина BD. Следовательно, EK — это средняя линия треугольника ABC, LF — средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

    Теперь мы можем выразить отрезок KL через основания:

    Проверено!

    Этот пример дан не случайно.В задачах для самостоятельного решения есть как раз такая задача. Только это не говорит о том, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

    27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания 30 и 16.

    Рассчитываем по формуле:

    27820. Средняя линия трапеции 28 и меньше база равна 18. Найдите большее основание трапеции.

    Выразим большую базу:

    Таким образом:

    27836. Перпендикуляр, опущенный от вершины тупого угла к большему основанию равнобедренной трапеции, делит его на части длиной 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

    Чтобы найти осевую линию, вам необходимо знать основание. Базу AB найти несложно: 10 + 4 = 14. Найдите DC.

    Построим второй перпендикуляр DF:

    AF, FE и EB будут 4, 6 и 4 соответственно. Почему?

    В равнобедренной трапеции перпендикуляры, опущенные к большему основанию, делят ее на три сегмента.Два из них, являющиеся сторонами отрезанных прямоугольных треугольников, равны между собой. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противоположные стороны равны. В этой задаче:

    Таким образом DC = 6. Вычисляем:

    27839. Основания трапеции равны 2: 3, а средняя линия — 5. Найдите меньшее основание.

    Введем коэффициент пропорциональности x.Тогда AB = 3x, DC = 2x. Можно написать:

    Следовательно, меньшее основание 2 ∙ 2 = 4.

    27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите сторону трапеции.

    Исходя из условия, мы можем написать:

    Если обозначить среднюю линию через значение x, то получим:

    Второе уравнение уже можно записать как:

    27841. средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4.Найдите большую основу трапеции.

    Обозначим меньшее основание (DC) как x, тогда большее (AB) будет равно x + 4. Мы можем написать

    Мы получили, что нижнее основание — это ранняя пятерка, поэтому большее — 9

    27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два сегмента, разница между которыми равна 2. Найдите большее основание трапеции.

    Мы можем легко найти большее основание трапеции, если вычислим отрезок EO. Это средняя линия в треугольнике ADB, а AB = 2 ∙ EO.

    Что у нас есть? Говорят, что средняя линия равна 12, а разница между сегментами EO и OF равна 2. Мы можем записать два уравнения и решить систему:

    Понятно, что в этом случае можно подобрать пара чисел без вычислений, это 5 и 7. Но, тем не менее, решим систему:

    Отсюда EO = 12–5 = 7. Таким образом, большее основание равно AB = 2 ∙ ЭО = 14.

    27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции — 12. Найдите ее среднюю линию.

    Сразу отметим, что высота, проведенная через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции, лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высоты делятся в половине.

    Казалось бы, чтобы вычислить среднюю линию, надо найти основания.Тут возникает небольшой тупик … Зная высоту, в таком случае рассчитать базы? И не как! Таких трапеций с фиксированной высотой и пересекающимися под углом 90 градусов диагоналями очень много. Как быть?

    Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам не нужно знать сами основания, достаточно знать их сумму (или половину суммы). Мы можем сделать это.

    Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, образуются равнобедренные прямоугольные треугольники с высотой EF:

    Из вышесказанного следует, что FO = DF = FC, а OE = AE = EB. А теперь запишем, какая высота выражается в отрезках DF и AE:

    Итак, средняя строка — 12.

    * В общем, это задача, как вы понимаете, для вербального счета. Но я уверен, что подробное объяснение необходимо. А так … Если посмотреть на фигуру (при условии, что при строительстве соблюдается угол между диагоналями), сразу бросается в глаза равенство FO = DF = FC, а OE = AE = EB.

    В составе прототипов также есть типы заданий с трапециями. Он строится на листе в ячейке, и вам нужно найти среднюю линию, сторона ячейки обычно равна 1, но может быть другое значение.

    27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных ячеек равны 1.

    Все просто, мы вычисляем основания по ячейкам и используем формулу: (2 + 4) / 2 \ u003d 3

    Если базы строятся под углом к ​​сетке ячеек, то есть два пути.Например!

    Средняя линия трапеции, и особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства определенных теорем.

    Представляет собой четырехугольник, всего 2 стороны которого параллельны друг другу. Параллельные стороны называются основаниями (на рисунке 1 — AD и BC ), две другие — боковыми (на рисунке AB и CD ).

    Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL ).

    Свойства осевой линии трапеции

    Доказательство теоремы о средней линии трапеции

    Докажите , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

    Дана трапеция ABCD со средней линией KL … Чтобы доказать рассматриваемые свойства, необходимо провести прямую линию через точки B и L … На рисунке 2 это прямая BQ … А также продолжить фундамент AD до пересечения линии BQ .

    Рассмотрим получившиеся треугольники LBC и LQD :

    1. По определению средней линии KL точка L является средней точкой сегмента CD … Отсюда следует, что сегменты CL и LD равны.
    2. ∠ BLC = ∠ QLD , поскольку эти углы вертикальные.
    3. ∠ BCL = ∠ LDQ , так как эти углы лежат поперек параллельных прямых AD и BC и секущей CD .

    Из этих трех равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилегающим к ней углам (см. Рис. 3). Отсюда ∠ LBC = ∠ LQD , BC = DQ и самое главное — BL = LQ => KL , которая является средней линией трапеции ABCD , также является средняя линия треугольника ABQ … По свойству средней линии треугольника ABQ получаем.

    Трапеция

    Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. На рисунке ниже показано несколько различных типов трапеций.

    Примечание. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон, подразумевая, что он может содержать две пары параллельных сторон, что делает его параллелограммом. В рамках данной статьи мы определим трапецию как четырехугольник с одной парой параллельных сторон.

    Грани трапеции

    Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями.Непараллельные стороны называются ножками. Высота (или высота) — это отрезок линии, используемый для измерения кратчайшего расстояния между двумя основаниями.

    Углы трапеции

    В трапеции пара углов, имеющих общее основание, называется базовыми углами. Для трапеций, показанных на диаграмме ниже, A и ∠D — это базовые углы, а ∠B и ∠C — базовые углы. Пара углов рядом с опорой дополнительные: ∠A + ∠B = 180 ° и ∠C + ∠D = 180 °.

    Срединный отрезок трапеции

    Середина трапеции — это отрезок прямой, соединяющий середину ее ног.Средний сегмент параллелен основаниям и имеет длину, равную половине суммы двух оснований.

    На рисунке выше средний сегмент EF делит ветви AB и CD пополам и

    Площадь трапеции

    Площадь А трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и ее высоты.

    , где h — высота, а b 1 и b 2 — базовые длины.

    Классификация трапеций

    Трапеции можно классифицировать как разносторонние или равнобедренные в зависимости от длины ног.Если ноги и углы основания трапеции совпадают, это равнобедренная трапеция. В остальном это разносторонняя трапеция.

    Чешуйчатая трапеция Равнобедренная трапеция
    Ножки или углы основания не совпадают Конгруэнтные ножки и углы основания

    Трапеции также можно классифицировать как прямые трапеции или тупые трапеции в зависимости от их углов.Если одна из ножек перпендикулярна основанию, трапеция представляет собой прямую трапецию. В противном случае трапеция должна содержать два тупых угла и называется тупой трапецией.

    Правая трапеция Тупая трапеция
    Одна нога перпендикулярна основаниям. Два угла тупые.

    Равнобедренные трапеции

    Равнобедренная трапеция — это особая трапеция с совпадающими сторонами и углами основания.Он обладает следующими свойствами.

    • Две диагонали равнобедренной трапеции совпадают. Они также образуют равные треугольники. На изображенной ниже равнобедренной трапеции диагонали AC и BD совпадают. Поскольку ноги равнобедренной трапеции конгруэнтны, а следующие пары треугольников имеют общее основание, △ ABD ≅ DCA и △ ABC ≅ △ DCB согласно постулату Сторона-Сторона-Сторона.
    • Соотношение сегментов, составляющих диагонали трапеции, пропорционально. На диаграмме выше AE = DE, BE = CE и
    • Равнобедренная трапеция имеет одну линию симметрии: высоту, разделяющую ее основания пополам.На рисунке выше высота FE делит пополам основания AD и BC. Отражение равнобедренной трапеции ABCE поперек FE сохраняет его, делая FE линией симметрии.

    Упражнения по математике

    ]]>
    • Матрицы
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Функции
    • Тригонометрия
    • Координатная геометрия
    • Комбинаторика
    Suma y resta Продукт для эскалара Продукт Inversa
    Мономы Полиномы Особые продукты Уравнения Квадратные уравнения
    Радикальные выражения Системы уравнений Последовательности и серии Внутренний продукт Экспоненциальные уравнения
    Матрицы Детерминанты Инверсия матрицы Логарифмические уравнения Системы трех переменных уравнений
    Двумерные фигуры Площади Теорема Пифагора Расстояния
    Графики Определение уклона Положительный или отрицательный наклон Определить наклон прямой Ecuación de una recta Уравнение прямой (из графика)
    Квадратичная функция Posición relativa de dos rectas Асимптоты Пределы Distancias
    Непрерывность и разрывы
    Теорема Пифагора Синус Косинус Касательная Косеканс Секант

    Котангенс

    Тригонометрические идентификаторы
    Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции связанных углов Решение прямоугольных треугольников Закон косинусов Закон синусов
    Ecuación de una recta Posición relativa de dos rectas Distancias Углы в пространстве Внутренний продукт
    Факториал Варианты без повторов Вариации с повторением Перестановки с повторением Перестановки без повторов
    Упражнения Круговые перестановки Биномиальный коэффициент Комбинации с повторением Комбинации без повторов
    Среднее арифметическое

    Параллельно через пересечение диагоналей.

    Параллель через пересечение диагоналей.




    Необязательно, чтобы трапеция была равнобедренной. Возьмите любую трапецию
    ABCD с диагоналями AC и BD , пересекающимися в точке E .
    Пусть a = AB и b = CD . Пусть c будет длиной
    отрезка FG параллельно двум основаниям трапеции. Наш
    проблема состоит в том, чтобы выразить c через a и b .

    ———————————

    Вытяните стороны DA и CB так, чтобы они встретились в точке H. Постройте линию A, параллельную стороне.
    DA через G и продолжается до места пересечения AB в точке J (внешней по отношению к AB)
    и CD в K (внутренний для CD).

    Это дает следующие похожих треугольников : HAB, HDC, GJB,
    GKC. Обратите внимание, что в терминах a , b и c , BJ = c
    a и CK = b c

    Следовательно, учитывая треугольники GJB и HAB, отношение подобия
    есть и учитывая треугольники GKC и HDC, отношение подобия. Следовательно, у нас есть отношение, включающее a, b и c, которое мы можем решить для
    c.

    Если три числа таковы, что по любой части наибольшее
    срок превышает средний срок, а средний срок превышает третий срок
    та же часть третьего и среднего члена — это среднее гармоническое
    первого и третьего. Это соотношение показано в этом уравнении.
    Обычно отношение записывается в одной из следующих форм, чтобы показать, что
    c — гармоническое среднее положительных чисел a и b :

    или же

    Таким образом, длина отрезка параллельной прямой через точку пересечения
    диагоналей — это гармоническое среднее оснований трапеции.


    Возврат



    трапеция и ее теоремы

    Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

    Электронное обучение — это будущее сегодня.

    Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

    В этом разделе мы обсудим трапецию и ее теоремы.

    Трапеция — это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. AB || CD. (если есть две пары параллельных прямых, то это параллелограмм)

    Когда непараллельные стороны трапеции равны, то это равнобедренная трапеция.
    Теорема 1: Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы основания совпадают.

    Дано: ABCD — равнобедренная трапеция. AD = BC и AB || CD.

    Докажите, что: ∠C = ∠D

    Заявления Причины
    1) ABCD — трапеция. 1) Дано
    2) AB || CD 2) Дано
    3) AD = BC 3) Дано
    4) DA || CE 4) По конструкции
    5) ADCE — параллелограмм. 5) По свойствам параллелограмма.
    6) DA = CE и DC = AE 6) По свойствам параллелограмма.
    7) BC = CE 7) BC = AD и AD = CE (переходное свойство)
    8) ∠CEB ≅ & CBE 8) Если BC ≅ CE, то противоположный им угол конгруэнтен.
    9) ∠DAB ≅ ∠ABC 9) свойство параллелограмма и углов линейной пары
    10) ∠A + ∠D = 180 и ∠B + ∠C = 180 10) Внутренние углы на с той же стороны трансверсали являются дополнительными.
    11) ∠A + ∠D = ∠C + ∠B 11) Транзитивность (правые части одинаковы, поэтому левые части равны)
    12) ∠D = ∠C 12) Сверху (∠A = ∠B)

    Пример: В форме трапеции PQRS, PQ || RS и PS = QR. Если ∠S = 60 0 , найдите оставшиеся углы.
    Решение:
    PQ || RS и PS = QR, поэтому трапеция PQRS является равнобедренной трапецией.
    У равнобедренной трапеции углы основания равны. (трапеция и ее теоремы)
    ∠S = ∠R и ∠P = ∠Q
    Но ∠S = 60 0
    ∴ ∠R = 60 0
    Пусть ∠P = ∠Q = x
    Сумма всех углов в четырехугольнике 360.
    ∴ ∠P + ∠Q + ∠S + ∠R = 360
    x + x + 60 + 60 = 360
    2x +120 = 360
    2x = 360-120
    2x = 240
    ∴ x = 240/2
    x = 120
    ∠P = ∠Q = 120 0
    __________________________________________________________________
    Некоторые важные теоремы трапеций приведены ниже:

    1.Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда базовые углы совпадают.
    2. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали совпадают.
    3. Если трапеция равнобедренная, противоположные углы являются дополнительными.
    Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а его длина составляет половину суммы длин оснований.
    Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию.

    Практика
    1) В форме трапеции ABCD, AB || CD и BC = AD. Если m∠C = 65 0 , найдите m∠D.
    2) PQRS — это трапеция, в которой PQ || RS. Если ∠P = ∠Q = 40, найдите размеры двух других углов.
    3) В трапеции ABCD B = 120 0 Найдите m∠C.
    4) В четырехугольнике HELP, если EP = LH, то какой это четырехугольник?
    5) В четырехугольнике углы имеют соотношение 4: 5: 3: 6.Найдите размеры каждого угла.
    6) Если три угла трапеции равны 130 0 , 120 0 , 50 0 и 2x 0 . Найдите x и 4-й угол.
    7) Нарисуйте равнобедренную трапецию с именем PQRS, PS || QR и PQ = SR.


    Четырехугольник

    • Введение в четырехугольник
    • Типы четырехугольника
    • Свойства четырехугольника
    • Параллелограмм и его теоремы
    • Прямоугольник и его теоремы
    • Квадрат и его теоремы
    • Ромб и его теоремы
    • Трапеция и его теоремы
    • Воздушный змей и его теоремы
    • Теорема средней точки

    Геометрия

    Домашняя страница

    Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

    Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

    Как найти площадь трапеции без длины одной из параллельных сторон

    Трапеция — это четырехугольная геометрическая форма, имеющая две параллельные и две непараллельные стороны. Площадь трапеции можно рассчитать как произведение высоты и среднего значения двух параллельных сторон, также известных как основания. Есть несколько свойств трапеций, которые позволяют определять неизвестные параметры на основе известных факторов, включая меру параллельных сторон, меру непараллельных сторон и меру различных углов.В частности, площадь трапеции может быть получена с использованием этих различных свойств, несмотря на то, что известна только длина одного основания, если известны длина диагонали, высота трапеции и одна непараллельная сторона.

      Определите заданную длину одного основания, высоту трапеции и длину одной непараллельной стороны. Например, предположим, что высота трапеции составляет 4 дюйма, одно основание — 6 дюймов, а непараллельная сторона — 5 дюймов.

      Определите длину диагонали.2, где c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны. В этом примере, проведя линию высоты и диагональную линию, идущую из одного угла, можно увидеть два различных прямоугольных треугольника. Тогда можно увидеть, что сумма двух неизвестных сторон этих двух треугольников равна длине неизвестного основания.

    Ошибка 404 — Страница не найдена

    К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

    Поиск для:

    Архивы

    Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

    Рубрики

    РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКРаботы статградрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

    Страницы

    • 04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
    • 05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
    • 05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
    • 06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
    • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
    • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
    • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
    • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
    • 06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
    • 06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
    • 07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
    • 07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
    • 08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
    • 08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
    • 10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
    • 10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
    • 10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
    • 10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
    • 100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
    • 100balnik отзывы пользователей
    • 11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
    • 11 апреля 6 класс история ответы и задания
    • 11 апреля 7 класс биология ответы и задания
    • 11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
    • 11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
    • 11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
    • 11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
    • 11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
    • 11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
    • 12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
    • 12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
    • 12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
    • 12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
    • 12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
    • 13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
    • 13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
    • 13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
    • 13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
    • 13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
    • 14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
    • 14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
    • 14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
    • 14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
    • 14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
    • 14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
    • 14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
    • 14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
    • 15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
    • 15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
    • 15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
    • 15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
    • 16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
    • 16 апреля 5 класс история ответы и задания
    • 16 апреля 6 класс биология ответы и задания
    • 16 апреля 7 класс география ответы и задания
    • 16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
    • 16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
    • 16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
    • 16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
    • 17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
    • 17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
    • 18 апреля 11 класс химия ответы и задания
    • 18 апреля 5 класс биология ответы и задания
    • 18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
    • 18 апреля 7 класс математика ответы и задания
    • 18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
    • 18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
    • 18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
    • 18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
    • 19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
    • 19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
    • 19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
    • 19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
    • 19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
    • 19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
    • 19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
    • 2 апреля 11 класс история ВПР
    • 2 апреля 7 класс английский язык ВПР
    • 20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
    • 20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
    • 20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
    • 20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
    • 21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
    • 21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
    • 21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
    • 21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
    • 21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
    • 21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
    • 22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
    • 22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
    • 22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
    • 23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
    • 23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
    • 23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
    • 23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
    • 24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
    • 24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
    • 24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
    • 25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
    • 25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
    • 25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
    • 25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
    • 26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
    • 26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
    • 26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
    • 26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
    • 26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
    • 27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
    • 27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
    • 28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
    • 29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
    • 30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
    • 4 апреля 11 класс биология ВПР
    • 4 апреля 7 класс обществознание ВПР
    • 4 класс диктант 2019 год
    • 4 класс диктант платно
    • 4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
    • 4 класс математика платно ответы и задания
    • 4 класс окр. мир платно
    • 4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
    • 4 класс русский тест 2019 год
    • 4 класса тест платно
    • 5 класс биология платно
    • 5 класс история платно
    • 5 класс русский язык впр 25 апреля
    • 5 класс русский язык платно
    • 6 класс история платно
    • 6 класс математика впр 25 апреля
    • 6 класс математика платно
    • 6 класс общество платно
    • 6 класс платно гео ответы и задания
    • 6 класс платно ответы и задания
    • 7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
    • 7 класс история впр 25 апреля
    • 7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
    • 7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
    • 8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
    • 9 апреля география 6 класс ВПР 2019
    • 9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
    • 9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
    • 9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
    • 9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
    • 9 класс информатика огэ 2019 год
    • 9 класс математика огэ 2019 год
    • 9 класс обществознание ОГЭ 2019
    • 9 класс ОГЭ 2019
    • 9 класс русский язык ОГЭ 2019
    • 9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
    • 9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
    • 9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
    • 9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
    • British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
    • British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
    • British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
    • British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
    • FAQ
    • My Calendar
    • Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
    • Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
    • Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
    • Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
    • Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
    • Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
    • Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
    • Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
    • Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
    • Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
    • Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
    • Английский язык 9 класс платно
    • Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
    • Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
    • Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
    • Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
    • Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
    • Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
    • Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
    • Архив работ
      • 01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
      • 05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
      • 06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
      • 12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
      • 12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
      • 13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
      • 14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
      • 14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
      • 15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
      • 18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
      • 19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
      • 19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
      • 21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
      • 24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
      • Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
      • Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
      • ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
      • ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
      • ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
      • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
      • ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
      • ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
      • ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
      • ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
      • ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
      • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
      • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
      • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
      • Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
      • Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
      • История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
      • Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
      • Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
      • Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
      • Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
      • МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
      • Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
      • Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
      • Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
      • Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
      • Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
      • Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
      • Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
      • Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
      • РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
      • РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
      • Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
      • Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
      • Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
      • Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
      • Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
      • Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
      • Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
      • Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
      • Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
      • Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
      • Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
      • Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
      • Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
    • Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
    • Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
    • Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
    • Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
    • Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
    • Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
    • Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
    • Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
    • Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
    • Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
    • Биология 6 класс платно
    • Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
    • Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
    • Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
    • Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
    • Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
    • Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
    • Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
    • Биология ОГЭ 2018 платно
    • Благодарим за ваш заказ!
    • Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
    • Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
    • Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
    • Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
    • Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
    • Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
    • Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
    • Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
    • Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
    • Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
    • Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
    • Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
    • Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
    • Ваши отзывы — пожелания
    • Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
    • Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
    • Витрина
    • ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
    • ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
    • Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
    • Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
    • ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
    • ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
    • ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
    • ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
    • ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
    • ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
    • ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
    • ВПР 11 класс география
    • ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
    • ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
    • ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
    • ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
    • ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
    • ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
    • ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
    • ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
    • ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
    • ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
    • ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
    • ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
    • ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
    • ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
    • ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
    • ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
    • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
    • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
    • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
    • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
    • ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
    • ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
    • ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
    • ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
    • ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
    • ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
    • ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
    • ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
    • ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
    • ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
    • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
    • ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
    • ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
    • ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
    • ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
    • ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
    • ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
    • ВПР география 10-11 класс
    • ВПР математика 5 класс ответы и задания
    • ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
    • ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
    • ВПР физика 11 класс резервный день ответы
    • ВПР ХИМИЯ 11 05.04
    • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
    • Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
    • Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
    • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
    • Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
    • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
    • Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
    • Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
    • Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
    • Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
    • Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
    • Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
    • Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
    • Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
    • Гарантия
    • ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
    • ГДЗ 5 классы решебники
    • ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
    • ГДЗ решебники
    • Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
    • Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
    • География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
    • География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
    • География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
    • География 11 класс платно
    • География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
    • География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
    • География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
    • География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
    • География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
    • География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
    • География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
    • География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
    • География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
    • География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
    • География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
    • География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
    • География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
    • География 9 класс СтатГрад задания и ответы
    • География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
    • География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
    • География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
    • Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
    • Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
    • Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
    • Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
    • Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
    • Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
    • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
    • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
    • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
    • Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
    • Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
    • Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
    • Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
    • Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
    • Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
    • ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
    • Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
    • Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
    • Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
    • Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
    • Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
    • Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
    • Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
    • ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
    • ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
    • Добро пожаловать
    • Доступ ко всем работам
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
    • Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
    • Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
    • за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
    • Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
    • Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
    • Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
    • Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
    • Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
    • Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
    • Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
    • Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
    • Задания и ответы Англ. яз 18.11
    • Задания и ответы Биология 14.11
    • Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
    • Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
    • Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
    • Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
    • Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
    • Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
    • Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
    • Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
    • Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
    • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
    • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
    • Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
    • Задания и ответы для работ Республики Коми
    • Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
    • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
    • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
    • Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
    • Задания и ответы Математика 03. 12
    • Задания и ответы Математика 17.11
    • Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
    • Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
    • Задания и ответы МХК 15.11
    • Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
    • Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
    • Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
    • Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
    • Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
    • Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
    • Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
    • Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
    • Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
    • Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
    • Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
    • Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
    • Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
    • Задания и ответы ПРАВО 14. 11
    • Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
    • Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
    • Задания и ответы Русский язык 19.11
    • Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
    • Задания и ответы Физика 18.11
    • Задания и ответы Химия 24.11
    • Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
    • Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
    • Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
    • Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
    • Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
    • Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
    • Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
    • Закрытый раздел
    • Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
    • Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
    • Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
    • Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
    • Информатика 11 класс платно
    • Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
    • Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
    • Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
    • Информатика 9 класс 06. 03
    • Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
    • Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
    • Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
    • Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
    • Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
    • Информатика ОГЭ 2018
    • Информатика ОГЭ 2018 платно
    • Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
    • История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
    • История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
    • История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
    • История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
    • История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
    • История 11 класс задания и ответы СтатГрад
    • История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
    • История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
    • История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
    • История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
    • История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
    • История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
    • История 5 класс ВПР 25.04
    • История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
    • История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
    • История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
    • История 7 класс платно 24 апреля
    • История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
    • История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
    • История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
    • История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
    • История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
    • История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
    • Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
    • Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
    • Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
    • Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
    • Итоговое сочинение 05. 12.2018
    • Итоговое сочинение 2017
    • Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
    • Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
    • Как получить задания и ответы для ВПР 2019
    • Как получить работу задания и ответы
    • Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
    • Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
    • КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
    • КДР (задания+ответы) на Январь 2017
    • КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
    • КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
    • КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
    • КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
    • КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
    • КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
    • КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
    • КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
    • КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
    • КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
    • КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
    • КДР апрель 2017 работы задания и ответы
    • КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
    • КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
    • КДР задания и ответы
    • КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
    • КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
    • КДР Май 2017 работы задания и ответы
    • КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
    • КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
    • КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
    • КДР математика 9 класс 19.04
    • КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
    • КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
    • КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
    • КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
    • КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
    • КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
    • КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
    • КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
    • КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
    • КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
    • КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
    • КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
    • КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
    • КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
    • КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
    • КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
    • КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
    • КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
    • КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
    • КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
    • КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
    • КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
    • КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
    • КДР по литературе 10 класс ответы
    • КДР по Математике 9 класс официальные ответы
    • КДР по русскому языку для 9 классов
    • КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
    • КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
    • КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
    • КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
    • Кенгуру 2017 9 класс ответы
    • Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
    • Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
    • Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
    • КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
    • КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
    • КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
    • Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
    • Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
    • Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
    • Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
    • Контакты
    • Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
    • Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
    • Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
    • Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
    • Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
    • Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
    • Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
    • Корзина
    • Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
    • Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
    • Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
    • Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
    • Куда поступить после 11 класса в 2017 году
    • Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
    • Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
    • Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
    • Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
    • Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
    • Литература ОГЭ 2018 платно
    • Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
    • Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
    • Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
    • Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
    • Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
    • Математика 10 класс (вероятность и статистика)
    • Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
    • Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
    • Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
    • Математика 10 класс ответы и задания 18.05
    • Математика 10 класс ответы и задания статград
    • Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
    • Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
    • Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
    • Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
    • Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
    • Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
    • Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
    • Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
    • Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
    • Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
    • Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
    • Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
    • Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
    • Математика 11 класс профиль 56 рег
    • Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
    • Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
    • Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
    • Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
    • Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
    • Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
    • Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
    • Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
    • Математика 5 класс платно
    • Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
    • Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
    • Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
    • Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
    • Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
    • Математика 8 класс 56 регион 17.03
    • Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
    • Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
    • Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
    • Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
    • Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
    • Математика 8 класс статград ответы и задания
    • Математика 9 класс — 64 регион ответы
    • Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
    • Математика 9 класс 13. 02
    • Математика 9 класс 56 рег ответы
    • Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
    • Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
    • Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
    • Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
    • Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
    • Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
    • Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
    • Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
    • Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
    • Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
    • Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
    • Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
    • Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
    • Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
    • Математика База платно
    • Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
    • Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
    • Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
    • Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
    • Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
    • Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
    • Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
    • Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
    • Материалы за 2016-2021 учебный год
    • Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
    • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
    • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
    • Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
    • Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
    • Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
    • Мой аккаунт
    • Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
    • Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
    • Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
    • Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
    • Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
    • Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
    • Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
    • Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
    • МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
    • Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
    • Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
    • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
    • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
    • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
    • Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
    • Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
    • Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
    • Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
    • Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
    • Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
    • Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
    • Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
    • Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
    • Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
    • Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
    • МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
    • МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
    • МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
    • МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
    • МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
    • МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
    • МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
    • МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
    • МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
    • МЦКО 8 класс ответы 15. 03
    • МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
    • МЦКО математика 3 класс задания
    • Мцко математика 7 класс 02.03.17
    • МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
    • МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
    • МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
    • МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
    • МЦКО по физике для 9 классов
    • МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
    • МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
    • Направления тем итогового сочинения 2017-2018
    • Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
    • Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
    • Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
    • Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
    • Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
    • Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
    • Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
    • Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
    • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
    • О нас
    • ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
    • ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
    • Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
    • Обществознание 11 класс 04.05
    • Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
    • Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
    • Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
    • Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
    • Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
    • Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
    • Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
    • Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
    • Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
    • Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
    • Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
    • Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
    • ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
    • Обществознание ОГЭ 2018 платно
    • ОГЭ
    • ОГЭ 2017 закрытый раздел
    • ОГЭ 2018 Математика платно
    • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
    • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
    • ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
    • ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
    • Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
    • Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
    • Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
    • Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
    • Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
      • Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
    • Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
    • Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
    • Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
    • Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
    • Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
    • Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
    • Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
    • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
    • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
    • Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
    • Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
    • Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
    • Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
    • Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
    • Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
    • Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
    • Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
    • Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
    • Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
    • Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
    • Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
    • Оплата заказа
    • Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
    • Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
    • Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
    • Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
    • Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
    • Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
    • Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
    • Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
    • Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
    • Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
    • Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
    • Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
    • Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
    • Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
    • Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
    • Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
    • Ответы и задания 12. 04.2018
    • Ответы и задания 2 класс пегас 2019
    • Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
    • Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
    • Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
    • Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
    • Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
    • Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
    • Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
    • Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
    • Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
    • Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
    • Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
    • Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
    • Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
    • Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
    • Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
    • Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
    • Ответы и задания биология 11 класс статград
    • Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
    • Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
    • Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
    • Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
    • Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
    • Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
    • Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
    • Ответы и задания для работ 15.02.2017
    • Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
    • Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
    • Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
    • Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
    • Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
    • Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
    • Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
    • Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
    • Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
    • Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
    • Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
    • Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
    • Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
    • Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
    • Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
    • Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
    • Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
    • Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
    • Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
    • Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
    • Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
    • Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
    • Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
    • Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
    • Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
    • Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
    • Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
    • Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
    • Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
    • Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
    • Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
    • Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
    • Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
    • Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
    • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
    • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
    • Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
    • Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
    • Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
    • Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
    • Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
    • Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
    • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
    • Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
    • Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
    • Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
    • Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
    • Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
    • Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
    • Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
    • Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
    • Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
    • Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
    • Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
    • Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
    • Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
    • Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
    • Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
    • Ответы и задания по физике 9 класс статград
    • Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
    • Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
    • Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
    • Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
    • Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
    • Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
    • Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
    • Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
    • Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
    • Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
    • Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
    • Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
    • Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
    • Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
    • Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
    • Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
    • Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
    • Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
    • Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
    • Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
    • Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
    • Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
    • Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
    • Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
    • Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
    • Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
    • Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
    • Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
    • Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
    • Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
    • Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
    • Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
    • Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
    • Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
    • Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
    • Ответы ОГЭ 2018 английский язык
    • Ответы ОГЭ 2018 русский язык
    • Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
    • Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
    • Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
    • Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
    • Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
    • Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
    • Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
    • Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
    • Ответы по географии для 9 классов 11 регион
    • Ответы по информатике 11 класс 12. 05
    • Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
    • Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
    • Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
    • Ответы по истории 9 класс статград
    • Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
    • Ответы по математике 7-8 класс КДР
    • Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
    • Ответы по математике 9 класс 64 регион
    • Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
    • Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
    • Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
    • Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
    • Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
    • Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
    • Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
    • Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
    • Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
    • Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
    • Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
    • Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
    • Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
    • Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
    • Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
    • Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
    • Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
    • Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
    • Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
    • Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
    • Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
    • Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
    • Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
    • Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
    • Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
    • Отзывы прошлых лет
    • Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
    • Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
    • Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
    • Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
    • Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
    • Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
      • РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
      • РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
    • Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
    • Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
    • Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
    • Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
    • Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
    • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
    • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
    • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
    • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
    • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
    • Оформление заказа
    • Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
    • Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
    • Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
    • Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
    • Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
    • Платно русский язык 9 класс
    • Поддержать проект
    • Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
    • ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
    • Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
    • Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
    • Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
    • Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
    • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
    • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
    • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
    • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
    • Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
    • Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
    • Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
    • Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
    • Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
    • Проект математическая вертикаль ответы и задания
    • Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
    • Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
    • Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
    • Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
    • Работы (задания+ответы) Февраль 2017
    • Работы (задания+ответы) Январь 2017
    • Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
    • Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
    • Работы для Оренбургской области
    • Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
    • Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
    • Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
    • Работы задания и ответы по регионам
    • Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
    • Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
    • Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
    • Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
    • Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
    • Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
    • Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
    • Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
    • Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
    • Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
    • Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
    • Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
    • Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
    • Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
    • Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
    • Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
    • Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
    • Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
    • Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
    • Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
    • Работы СтатГрад, КДР за май 2017
    • Работы СтатГрад, КДР за март 2017
    • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
    • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
    • Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
    • Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
    • Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
    • Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
      • Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
      • Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
      • Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
      • Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
    • Расписание
      • ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
      • ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
      • ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
      • Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
      • Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
      • Расписание работ КДР 2019
      • Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
      • Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
    • Расписание ГИА ОГЭ 2017
    • Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
    • Расписание итогового сочинения 2017-2018
    • Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
    • Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
    • Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
    • РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
    • РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
    • РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
    • РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
    • РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
      • Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
    • РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
    • Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
    • Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
    • Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
    • Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
    • Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
    • Региональный экзамен по математике 7 класс
    • Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
    • Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
    • Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
    • Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
    • Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
    • Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
    • Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
    • Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
    • Региональный этап по математике ответы и задания 2019
    • Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
    • Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
    • Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
    • Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
    • РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
    • РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
    • РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
    • Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
    • Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
    • Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
    • Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
    • Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
    • Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
    • Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
    • Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
    • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
    • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
    • Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
    • Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
    • Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
    • Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
    • Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
    • Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
    • Русский язык 11 класс 03.06.2019
    • Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
    • Русский язык 11 класс 56 регион ответы
    • Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
    • Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
    • Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
    • Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
    • Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
    • Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
    • Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
    • Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
    • Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
    • Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
    • Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
    • Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
    • Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
    • Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
    • Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
    • Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
    • Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
    • Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
    • Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
    • Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
    • Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
    • Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
    • Русский язык 7 класс 56 регион ответы
    • Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
    • Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
    • Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
    • Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
    • Русский язык 7 класс статград ответы и задания
    • Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
    • Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
    • Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
    • Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
    • Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
    • Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
    • Русский язык 8 класс статград ответы и задания
    • Русский язык 9 класс 11.05 ответы
    • Русский язык 9 класс 74 регион ответы
    • Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
    • Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
    • Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
    • Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
    • Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
    • Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
    • Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
    • Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
    • Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
    • Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
    • Русский язык платно
    • Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
    • Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
    • РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
    • РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
    • РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
    • СтатГрад
      • Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
      • Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
      • Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
      • Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
      • Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
      • Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
      • Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
      • Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
      • Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
      • Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
      • Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
      • Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
      • Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
      • Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
    • Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
    • СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
    • СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
    • Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
    • СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
    • Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
    • Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
    • СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
    • Статград задания и ответы январь 2018-2019
    • Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
    • СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
    • Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
    • СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
    • СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
    • Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
    • Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
    • СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
    • СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
    • СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
    • СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
    • Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
    • СтатГрад по математике для 11 классов
    • Статград работы май 2018 ответы и задания
    • Статград работы ответы и задания май 2019
    • СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
    • Темы итогового сочинения 2017
    • Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
    • Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
    • Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
    • Тренировочная работа по биологии 11 класс
    • Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
    • Тренировочная работа по информатике 11 класс
    • Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
    • Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
    • Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
    • Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
    • Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
    • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
    • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
    • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
    • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
    • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
    • Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
    • Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
    • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
    • Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
    • Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
    • Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
    • Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
    • Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
    • Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
    • Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
    • Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
    • Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
    • Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
    • Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
    • Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
      • 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
      • 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
      • 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
      • 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
      • Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
      • Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
      • Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
      • Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
      • Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
      • Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Условия перепечатки материалов | Правообладателям
    • Устная часть английский язык 2018 платно
    • Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
    • Устное собеседование 9 класс 2019
    • Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
    • Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
    • Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
    • Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
    • Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
    • Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
    • Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
    • Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
    • Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
    • Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
    • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
    • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
    • Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
    • Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
    • Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
    • Физика ОГЭ 2018 платно
    • Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
    • Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
    • ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
    • Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
    • Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
    • Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
    • Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
    • Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
    • Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
    • Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
    • Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
    • Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
    • Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
    • Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
    • Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
    • Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
    • Химия 9 класс ответы и задания 16.05
    • Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
    • Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
    • Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
    • Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
    • Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
    • Частная группа
    • ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
    • ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
    • ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
    • ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
    • Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
    • Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
    • Школьные конкурсы расписание 2017-2018
    • Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
    • Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
    • Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
    • Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
    • Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
    • Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
    • Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
    • Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
    • Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
    • Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
    • Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
    • Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
    • Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
    • Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
    • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
    • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
    • Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
    • Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
    • Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
    • Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
    • Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
    • Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
    • Экзамен по географии ОГЭ 2019
    • Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

    Площадь трапеции – объяснение и примеры

    Напомним, что трапеция , также называемая трапецией , , представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон и другой парой непараллельных сторон. Подобно квадрату и прямоугольнику, трапеция тоже плоская. Следовательно, это 2D.

    В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а пара непараллельных сторон — катетами. Расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами трапеции известно как высота трапеции.

    Проще говоря, основание и высота трапеции перпендикулярны друг другу.

    Трапеции могут быть как прямыми трапециями (два угла по 90 градусов), так и равнобедренными трапециями (две стороны одинаковой длины). Но иметь один прямой угол невозможно, потому что у него есть пара параллельных сторон, которые ограничивают его, чтобы он одновременно образовывал два прямых угла.

    Из этой статьи вы узнаете:

    • Как найти площадь трапеции,
    • Как вывести формулу площади трапеции и,
    • Как найти площадь трапеции, используя формулу площади трапеции.

     

    Как найти площадь трапеции?

    Площадь трапеции — это область, покрытая трапецией в двумерной плоскости. Это пространство, заключенное в двумерную геометрию.

    На приведенном выше рисунке трапеция состоит из двух треугольников и одного прямоугольника. Следовательно, мы можем вычислить площадь трапеции, взяв сумму площадей двух треугольников и одного прямоугольника.

    Получить формулу трапеции

    Область трапеции ADEF = (½ x AB x FB ) + ( BC x FB ) + (½ x CD X )

    = (½ x CD X ) 9 0007

    = (½ x CD X ) 9 0007

    = (½ x CD X ) 9 0007

    = (½ x CD X ) . ¹/₂ × AB × H ) + ( BC × H ) + (¹/₂ × CD × H )

    = ¹/× H × ( AB + 2 BC + CD )

    = ¹/₂ × h × ( FE + AD )

    Но, FE = b 1 и AB = B 2

    Следовательно, площадь трапеции ADEF ,

    = ¹/ × H × (B 1 + B 2 )… ………. (Это формула площади трапеции)

    Формула площади трапеции

    Согласно формуле площади трапеции, площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы двух оснований.

    Площадь = ½ x (сумма параллельных сторон) x (перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами).

    Площадь = ½ h (b 1 + b 2 )

    Где h — высота, а b 1, и b 2 — параллельные стороны трапеции.

    Как найти площадь неправильной трапеции?

    Неправильная трапеция имеет непараллельные стороны разной длины. Чтобы найти его площадь, нужно найти сумму оснований и умножить ее на половину высоты.

    В вопросе иногда отсутствует высота, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

    Как найти периметр трапеции?

    Вы знаете, что периметр — это сумма всех длин внешнего края фигуры. Следовательно, периметр трапеции равен сумме длин всех 4-х сторон.

    Пример 1

    Вычислите площадь трапеции, высота которой 5 см, а основания 14 см и 10 см.

    Раствор

    Пусть b 1 = 14 см и b 2 = 10 см

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + B 2 ) CM 2

    = ½ x 5 (14 + 10) CM 2

    = ½ x 5 x 24 CM 2

    = 60 CM 2 2

    = 60 CM 2

    = 60 CM 2

    = 60 CM 2

    = 60 CM

    = 60 CM

    = 60 CM

    = ½ x Пример 2

    Найдите участок трапеции высотой 30 мм, основания которого равны 60 мм и 40 мм.

    Solution

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единиц

    = ½ x 30 x (60 + 40) мм

    1 2

    02 = ½ x 30 x 100 мм

    2

    = 1500 мм 2

    Пример 3

    Площадь трапеции равна 32 дюймам. Если длины двух параллельных сторон трапеции равны 19 и 27 дюймов, найдите высоту трапеции.

    Раствор

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

    ⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x (19 + 27) кв. дюймов

    ⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x 46 кв. дюймов

    ⇒ 322 = 23h

    Разделите обе стороны на 23.

    h = 14

    Итак, высота трапеции 14 дюймов.

    Пример 4

    Учитывая, что высота трапеции 16 м, а длина одного основания 25 м. Вычислите размер другого основания трапеции, если ее площадь равна 352 м 2 .

    Раствор

    Пусть b 1 = 25 м

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. шт.

    ⇒ 352 м 2 = ½ x 16 м x (25 м + b 2 ) кв. шт.

    ⇒ 352 = 200 + 8b 2

    Вычтите по 200 с обеих сторон.

    ⇒ 152 = 8b 2

    Разделите обе части на 8, чтобы получить;

    b 2 = 19

    Следовательно, длина другого основания трапеции равна 19 м.

    Пример 5

    Вычислите площадь трапеции, показанной ниже.

    Решение

    Поскольку катеты (непараллельные стороны) трапеции равны, то высоту трапеции можно рассчитать следующим образом;

    Чтобы получить основания двух треугольников, вычтите 15 см из 27 см и разделите на 2.

    ⇒ (27 – 15)/2 см

    ⇒ 12/2 см = 6 см

    12 2 = h 2 + 6 2 По теореме Пифагора высота (h) рассчитывается как;

    144 = h 2 + 36.

    Вычесть 36 с обеих сторон.

    ч 2 = 108.

    ч = 10,39 см.

    Отсюда высота трапеции 10,39см.

    Теперь вычислите площадь трапеции.

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

    = ½ x 10,39 x (27 + 15) см 2 .

    = ½ x 10,39 x 42 см 2 .

    = 218,19 см 2 .

    Пример 6

    Одно основание трапеции на 10 м больше высоты. Если другое основание равно 18 м, а площадь трапеции 480 м 2 , найдите высоту и основание трапеции.

    Решение

    Пусть высота = x

    Другое основание на 10 м больше высоты = x + 10.

    Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2) кв. единицы.

    Подстановкой,

    480 = ½ * x * (x + 10 + 18)

    480 = ½ *x * (x + 28)

    Используйте свойство распределения, чтобы удалить скобки.

    480 = ½x 2 + 14x

    Умножение каждого члена на 2.

    960 = x 2 + 28x

    x 2 + 28x — 960 = 0

    Solve Solve Квадратичный уравнение;

    x = – 48 или x = 20

    Подставьте положительное значение x в уравнение высоты и основания.

    Высота: x = 20 м.

    Другая база = х + 10 = 10 + 20 = 30 м.

    Следовательно, другое основание и высота трапеции равны 30 и 20 м соответственно.

     

    Объяснение урока: Площадь трапеции

    В этом объяснении мы научимся находить площадь трапеции с помощью формулы и применять ее для нахождения площади в реальной жизни.

    Мы начнем с обсуждения различных существующих типов трапеций. Трапеция – это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Мы называем эти стороны основаниями и часто обозначаем их длины буквами 𝑎 и 𝑏. Перпендикулярное расстояние между двумя основаниями называется высотой трапеции и обычно обозначается ℎ. Две другие стороны трапеции (непараллельные противоположные стороны) известны как ноги.

    Равнобедренная трапеция — это трапеция, катеты которой имеют одинаковую длину. Все равнобедренные трапеции имеют линию симметрии, проходящую через середины их оснований.

    A правая трапеция – это трапеция, у которой один из катетов перпендикулярен двум параллельным основаниям.

    Теперь рассмотрим, как найти площадь трапеции, у которой высота обозначена через ℎ, а длины основания по 𝑎 и 𝑏.

    Допустим, мы проводим диагональ трапеции, соединяющую две противоположные вершины. Это делит трапецию на два треугольника, как показано на рисунке ниже.

    Площадь каждого треугольника можно найти по формуле площадьоснованиятреугольникаперпендикулярвысота=×2.

    Перпендикулярная высота каждого треугольника равна ℎ. Верхний треугольник имеет основание длиной 𝑎 единиц, а нижний треугольник имеет основание длины 𝑏 единиц. Следовательно, площадь трапеции равна площадь трапецииплощадь верхнего треугольникаплощадь цветкатреугольник=+=𝑎×ℎ2+𝑏×ℎ2=(𝑎+𝑏)ℎ2.

    Заметим, что (𝑎+𝑏) есть сумма длин параллельных оснований трапеции. Неформально мы можем думать о площадь трапеции как «половина суммы параллельных оснований, умноженная на высоту».

    Формула: Площадь трапеции

    Площадь трапеции равна половине суммы длин параллельных оснований, умноженных на высоту.

    Для трапеции с высотой ℎ и длинами оснований 𝑎 и 𝑏 площадь определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.

    В нашем первом примере мы покажем, как применить эту формулу, чтобы найти площадь трапеции, зная ее высоту и длины ее оснований.

    Пример 1. Нахождение площади трапеции

    Длины параллельных сторон трапеции равны 82 и 70. Если высота равна 100, какова площадь трапеции?

    Ответ

    Напомним, что площадь трапеции определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ, где 𝑎 и 𝑏 представляют длины оснований или параллельных сторон трапеции. и ℎ представляет его перпендикулярную высоту. Нам дана каждая из этих длин в вопросе.

    Замена 𝑎=82, 𝑏=70 и ℎ=100, а затем вычисление дает площадь трапеции=12(82+70)×100=12×152×100=76×100=7600.

    Следовательно, площадь трапеции равна 7‎ ‎600 квадратных единиц.

    Теперь мы рассмотрели пример того, как вычислить площадь трапеции, зная ее высоту и длины параллельных сторон. Теперь рассмотрим проблему это, по сути, обратное: вычисление высоты трапеции по ее площади и длинам ее оснований.

    Пример 2. Нахождение высоты трапеции по ее площади

    Площадь этой трапеции составляет 30‎ ‎000 ярдов 2 . Какова его высота?

    Ответ

    Начнем с того, что вспомним, что площадь трапеции можно вычислить, умножив половину суммы длин параллельных оснований на высоту перпендикуляра.

    Из рисунка видно, что параллельные основания трапеции имеют длины 80 ярдов и 295 ярдов. Нам также известна длина одного из катетов трапеции. (232 ярда), но это не относится к нашему расчету, так как это не перпендикулярная высота трапеции.

    Мы можем использовать данную площадь трапеции и длины двух параллельных оснований, чтобы составить уравнение, где ℎ представляет собой неизвестную высоту трапеции: 12(80+295)ℎ=30000.

    Теперь решим это уравнение, чтобы определить значение ℎ. Упрощение левой части дает 3752ℎ=30000.

    Умножение обеих частей уравнения на 2375 (множительное обратное 3752) дает ℎ=30000×2375=60000375=160.

    Следовательно, высота трапеции равна 160 ярдам.

    В примере, который мы только что видели, нам дали больше информации, чем нужно на рисунке. Длина катета трапеции не требовалась для того, чтобы вычислить его площадь. Понимание измерений, необходимых для применения конкретной формулы, и возможность выбрать соответствующую информацию на диаграмме или словесное описание является важным навыком при решении геометрических задач.

    В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти длину одной из параллельных сторон трапеции, зная ее площадь, высоту, и длину другой параллельной стороны.

    Пример 3. Нахождение длины основания трапеции по ее площади

    Площадь трапеции равна 1‎ ‎760, а расстояние между ее параллельными сторонами равно 40. Если одна параллельная сторона равна 39, чему равна другая сторона?

    Ответ

    Напомним, что площадь трапеции с параллельными сторонами (или основаниями) длин 𝑎 и 𝑏 единиц а высота ℎ единиц определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.

    Нам известно, что эта трапеция имеет площадь 1‎ ‎760 квадратных единиц. Расстояние между параллельными сторонами, иначе говоря, высота трапеции, составляет 40 единиц, а длина одной параллельной стороны или основания трапеции составляет 39единицы. Подставляя каждое из этих значений в формулу выше дает уравнение, которое мы можем решить, чтобы определить длину другой параллельной стороны: 1760=12(39+𝑏)×40.

    Начнем с упрощения правой части уравнения, уменьшив коэффициент 2: 1760=20(39+𝑏).

    Деление обеих частей уравнения на 20 дает 88=39+𝑏.

    Наконец, вычитание 39 из каждой части уравнения дает 49=𝑏.

    Следовательно, длина другой параллельной стороны (или основания) трапеции равна 49единицы.

    Теперь рассмотрим альтернативный способ задания формулы площади трапеции. Неформально мы сказали, что эту формулу можно рассматривать как «половина суммы параллельных оснований, умноженная на высоту». На самом деле «половина суммы параллельных оснований» имеет геометрическое значение. которые мы определяем ниже.

    Определение: среднее основание трапеции

    Среднее основание трапеции — это отрезок, концы которого являются серединами катетов трапеции. Среднее основание трапеции параллельна двум основаниям трапеции.

    Длина среднего основания трапеции 𝑚 равна среднему арифметическому длин оснований 𝑎 и 𝑏: 𝑚=𝑎+𝑏2.

    Другими словами, длина среднего основания трапеции равна «половине суммы длин параллельных оснований». Формула для Следовательно, площадь трапеции может быть эквивалентно выражена как площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

    Формула: площадь трапеции с использованием длины ее среднего основания

    Площадь трапеции равна произведению длины ее среднего основания на ее высоту.

    Для трапеции с высотой ℎ и средним основанием длины 𝑚 площадь определяется выражением площадь трапеции=𝑚ℎ.

    Теперь рассмотрим два примера, в которых мы используем эту версию формулы площади для решения двух задач, касающихся площади трапеции.

    Пример 4. Использование среднего основания для определения площади трапеции

    Найдите площадь показанной трапеции.

    Ответ

    Изучив схему, мы видим, что 𝑋𝑌 делит каждый из катетов трапеции, 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶, на два отрезка равной длины. Следовательно, 𝑋𝑌 соединяет середины катетов трапеции и, следовательно, является средним основанием трапеции.

    Напомним, что площадь трапеции можно вычислить из длины ее среднего основания и высоты по формуле площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

    Замена 19 мм длины среднего основания и 8 мм на высоту трапеции дает areaoftrapezoidmm=19×8=152.

    Пример 5. Вычисление длины среднего основания трапеции по ее площади и высоте

    Найдите длину среднего основания трапеции, площадь которой равна 28 см 2 и высотой 4 см.

    Ответ

    Напомним, что площадь трапеции можно вычислить по формуле площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

    Нам известны площадь и высота трапеции, и мы можем составить уравнение. Подстановка 28 для площади и 4 для высоты дает 28=×4. lengthofmiddlebase

    Чтобы найти длину среднего основания, разделим обе части уравнения на 4: длина среднего основания = 284 = 7.

    Среднее основание данной трапеции равно 7 см.

    Методы, которые мы разработали в этом объяснении, также могут быть применены к реальным задачам, связанным с трапециями. Теперь рассмотрим последний пример связанные с измерениями полей фермера, одно из которых имеет форму трапеции.

    Пример 6. Использование площадей трапеций для решения реальной задачи

    Фермер владеет двумя полями одинаковой площади: одно в форме ромба и одно в форме трапеции, как показано на рисунке. Вычислите длину среднего основания трапециевидного поля.

    Ответ

    Начнем с рассмотрения поля слева на рисунке. Это поле имеет форму ромба, потому что длины его четырех сторон равны. Нам даны длины двух диагоналей ромба: они равны 100 м и 90 м. Вспомним, что площадь ромба равна площадь ромба=𝑑𝑑2, где 𝑑 и 𝑑 представляют длины его диагоналей. Следовательно, у нас есть площадь ромба=100×902=

    =4500.

    Далее рассмотрим поле справа на рисунке. Это поле имеет форму трапеции, потому что это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Нам дана высота трапеции (25 м) и теперь мы знаем, что ее площадь, равная площади другого поля, составляет 4‎ ‎500 м 2 .

    Поскольку мы хотим вычислить длину среднего основания трапеции, вспомним формулу площади трапеции, включающую эту меру: площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

    Подстановка известной площади трапеции (4‎ ‎500 м 2 ) и известной высоты (25 м) дает уравнение, которое мы можем решить, чтобы определить длину среднего основания: 4500=×25.lengthofmiddlebase

    Разделив обе части этого уравнения на 25, получим длина среднего основания m=450025=180.

    Длина среднего основания поля в форме трапеции 180 м.

    Давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.

    Ключевые точки

    • Площадь трапеции с высотой ℎ и параллельными основаниями длин 𝑎 и 𝑏 определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.
    • Неформально мы можем считать это площадь трапеции равна половине суммы параллельных основанийвысота=×.
    • Среднее основание трапеции — это отрезок, концы которого являются серединами двух катетов трапеции.
    • Длина среднего основания трапеции, 𝑚, является средним арифметическим длин оснований: 𝑚=𝑎+𝑏2.
    • Площадь трапеции равна произведению длины ее среднего основания на ее высоту: площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

    Равнобедренная трапеция – формула, свойства, определение, примеры

    Равнобедренная трапеция – это трапеция с конгруэнтными углами при основании и конгруэнтными непараллельными сторонами. Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна только одна сторона. Равнобедренная трапеция обладает многими интересными свойствами, которые делают ее уникальной и помогают нам отличить ее от других четырехугольников. Давайте обсудим их подробно.

    1. Определение равнобедренной трапеции
    2. Свойства равнобедренной трапеции
    3. Формула равнобедренной трапеции
    4. Часто задаваемые вопросы о равнобедренной трапеции

    Определение равнобедренной трапеции

    Равнобедренная трапеция может быть определена как трапеция, у которой непараллельные стороны и углы при основании имеют одинаковую величину. Другими словами, если две противоположные стороны (основания) трапеции параллельны, а две непараллельные стороны имеют одинаковую длину, то это равнобедренная трапеция. Посмотрите на изображение ниже: стороны c и d равны по длине, а противоположные стороны a и b (основания трапеции) параллельны друг другу.

    Свойства равнобедренной трапеции

    Ниже приведены свойства равнобедренной трапеции согласно рисунку, приведенному ниже.

    • Имеет ось симметрии. Он не имеет вращательной симметрии и имеет одну линию симметрии, соединяющую середины параллельных сторон.
    • Одна пара сторон параллельна и является базовой стороной. (AB II DC на данном изображении)
    • Остальные стороны, кроме основания, непараллельны и равны по длине. (c = d на данном изображении)
    • Диагонали имеют одинаковую длину. (АС = БД)
    • Углы основания одинаковые. (∠D = ∠C, ∠A=∠B)
    • Сумма противоположных углов равна 180° или дополнительным. (∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°)
    • Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен основаниям. (PQ ⊥ DC)

    Формула равнобедренной трапеции

    Ниже приведены формулы для расчета площади и периметра равнобедренной трапеции.

    Площадь равнобедренной трапеции

    Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, мы должны сложить стороны основания или параллельные стороны и разделить на 2, а затем умножить результат на высоту.
    Площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × h

    Периметр равнобедренной трапеции

    Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции, мы должны сложить все стороны равнобедренной трапеции.
    Периметр равнобедренной трапеции = сумма всех сторон

    Похожие статьи о равнобедренной трапеции

    Ознакомьтесь с интересными темами, чтобы узнать больше о равнобедренной трапеции.

    • Формула трапеции
    • Площадь трапеции
    • Периметр трапеции Формула
    • Калькулятор равнобедренных трапеций

     

    Примеры на равнобедренной трапеции

    1. Пример 1: Найдите высоту равнобедренной трапеции, если площадь равна 128 дюймов 2 и длины оснований 12 дюймов и 20 дюймов.
      Решение: Данная площадь = 128 дюймов 2 , основания = 12 дюймов и 20 дюймов
      мы знаем, что площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота
      следовательно, 128 = [(12 + 20) ÷ 2] × высота 90 673 Высота = 128/16 = 8 дюймов

    2. Пример 2: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания 3 дюйма и 5 дюймов, а высота 4 дюйма.
      Решение: Площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота
      дано, основания = 3 дюйма и 5 дюймов, высота = 4 дюйма
      Площадь = [(3 + 5) ÷ 2] × 4
      Площадь = 16 дюймов 2

    3. Пример 3: Найдите периметр равнобедренной трапеции, если ее основания равны 20 и 25 дюймов, а непараллельные стороны по 30 дюймов каждая.
      Решение: Периметр равнобедренной трапеции = сумма всех сторон равнобедренной трапеции
      Периметр равнобедренной трапеции = 20 + 25 + 30 + 30 = 105 дюймов

    перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

    Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

    Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    Практические вопросы по равнобедренной трапеции

     

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Часто задаваемые вопросы о равнобедренной трапеции

    Что такое равнобедренная трапеция?

    Равнобедренная трапеция — это разновидность трапеции, у которой непараллельные стороны равны друг другу. Равнобедренная трапеция — это тип четырехугольника, в котором линия симметрии делит пополам одну пару противоположных сторон. Основания равнобедренной трапеции параллельны друг другу, а стороны равны по размеру.

    Каковы свойства равнобедренной трапеции?

    У равнобедренной трапеции четыре стороны. Две противоположные стороны (основания) параллельны друг другу, а две другие стороны равны по длине, но не параллельны друг другу.

    Если один угол при основании равнобедренной трапеции равен 30°. Найдите другой угол при основании.

    Согласно свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому если один угол при основании равен 30°, то и другой угол при основании будет равен 30°.

    В чем разница между трапецией и равнобедренной трапецией?

    В трапеции каждая сторона имеет разную длину и диагонали не равны, тогда как в равнобедренной трапеции непараллельные стороны равны, углы при основании равны, диагонали равны, а противоположные углы дополняют друг друга.

    Какая формула площади равнобедренной трапеции?

    Формула для расчета площади равнобедренной трапеции: Площадь = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота.

    Какая формула для периметра равнобедренной трапеции?

    Формула для вычисления периметра равнобедренной трапеции: Периметр = сумма всех сторон равнобедренной трапеции

    Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

    Рабочие листы по геометрии

    Вписанное свойство трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

    Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон параллельна. Термин «трапеция» происходит от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «стол». В этой статье мы рассмотрим виды трапеций и их свойства. Кроме того, мы разберемся, как рассчитать отдельные элементы данного примера, диагональ равнобедренной трапеции, среднюю линию, площадь и т. д. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, то есть в легкодоступном форма.

    Общая информация

    Для начала разберемся, что такое четырехугольник. Эта фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две несмежные вершины четырехугольника называются противоположными. То же самое можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников – параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтовидная форма.

    Итак, вернемся к трапеции. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны параллельны. Они называются базами. Две другие (непараллельные) — стороны. В материалах экзаменов и различных тестов часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от студента знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учащихся со свойствами углов и диагоналей, а также со средней линией равнобедренной трапеции. Но ведь помимо этого упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них позже…

    Типы трапеций

    Есть много типов этой фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать две из них – равнобедренную и прямоугольную.

    1. Прямоугольной трапецией называется фигура, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям. Он имеет два угла, которые всегда равны девяноста градусам.

    2. Равнобедренная трапеция – геометрическая фигура, стороны которой равны между собой. Это означает, что углы при основаниях также попарно равны.

    Основные принципы методики изучения свойств трапеции

    Основным принципом является использование так называемого задачного подхода. На самом деле нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства этой фигуры. Их можно обнаружить и сформулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задачи необходимо ставить перед учащимися в тот или иной момент учебного процесса. При этом каждое свойство трапеции можно представить как ключевую задачу в системе задач.

    Второй принцип – так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это предполагает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запомнить. Например, свойство четырех точек. Это можно доказать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равенство площадей треугольников, прилегающих к сторонам фигуры, можно доказать, применяя не только свойства равновеликих треугольников, проведенных к сторонам, лежащим на одной прямой, но и используя формулу S= 1/ 2(ab*sinα). Кроме того, можно заниматься на вписанной трапеции или прямоугольном треугольнике на описанной трапеции и т. д.

    Использование «внеклассных» признаков геометрической фигуры в содержании школьного курса является задачной технологией их обучения. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся получить более глубокие знания о трапеции и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

    Элементы и свойства равнобедренной трапеции

    Как мы уже отмечали, стороны этой геометрической фигуры равны. Ее еще называют правильной трапецией. Чем он так примечателен и почему получил такое название? К особенностям этой фигуры относится то, что равны не только стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусов. Но это не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов этой фигуры равна 180 градусам, и только при этом условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующее свойство рассматриваемой геометрической фигуры состоит в том, что расстояние от вершины основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, будет равно средней линии.

    Теперь разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим решение этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

    Решение

    Обычно четырехугольник принято обозначать буквами A, B, C, D, где BS и AD — основания. У равнобедренной трапеции стороны равны. Будем считать, что их размер равен X, а размеры оснований равны Y и Z (меньше и больше соответственно). Для проведения расчета необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получится прямоугольный треугольник ABN, где АВ — гипотенуза, а ВN и AN — катеты. Вычисляем размер катета AN: из большего основания вычитаем меньшее, а результат делим на 2. Записываем в виде формулы: (Z-Y)/2=F. Теперь для расчета острый угол треугольника, используем функцию cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить второй, для этого выполняем элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

    Есть и второе решение этой проблемы. В начале опускаем высоту Н от угла В. Рассчитываем величину ножки БН. Мы знаем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(X2-F2). Далее воспользуемся тригонометрической функцией tg. В результате имеем: β = arctg(BN/F). Найден острый угол. Далее определяем аналогично первому способу.

    Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

    Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

    Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

    Его высота и срединная линия равны;

    Центр круга — это точка, где находится ;

    Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, то она равна корню квадратному из произведения этих отрезков;

    Четырехугольник, образованный точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности, представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу;

    Площадь фигуры равна произведению оснований на произведение половины суммы оснований на ее высоту.

    Подобные трапеции

    Эта тема очень удобна для изучения свойств этой. Например, диагонали делят трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям подобны, а прилежащие к сторонам равны. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается с помощью критерия подобия в двух углах. Для доказательства второй части лучше использовать изложенный ниже метод.

    Доказательство теоремы

    Примем, что фигура ABSD (AD и BS — основания трапеции) делится диагоналями VD и AC. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АВО и СОД — у боковых сторон. Треугольники SOD и BOS имеют общую высоту, если их основаниями являются отрезки BO и OD. Получаем, что разность их площадей (P) равна разнице между этими отрезками: PBOS/PSOD=BO/OD=K. Следовательно, PSOD=PBOS/K. Аналогично треугольники BOS и AOB имеют общую высоту. За их основания возьмем отрезки СО и ОА. Получаем PBOS/PAOB=CO/OA=K и PAOB=PBOS/K. Отсюда следует, что PSOD=PAOB.

    Для закрепления материала учащимся предлагается найти зависимость между площадями полученных треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями, путем решения следующей задачи. Известно, что площади треугольников BOS и AOD равны, необходимо найти площадь трапеции. Поскольку ПСОД = ПАОБ, значит, ПАВСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. Из подобия треугольников BOS и AOD следует, что BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следовательно, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаем PSOD=√(PBOS*PAOD). Тогда PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

    свойства подобия

    Продолжая развивать эту тему, мы можем доказать и другие интересные свойства трапеций. Итак, используя подобие, можно доказать свойство отрезка, проходящего через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка RK, проходящего через точку O. Из подобия треугольников AOD и BOS следует, что AO/OS=AD/BS. Из подобия треугольников АОП и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО = БС*АД/(БС+АД). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBS следует, что OK = BS * AD / (BS + AD). Отсюда мы получаем, что RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельных основаниям и соединяющий две стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее свойство трапеции, которое называется свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения сторон (Е), а также середины оснований (Т и W) всегда лежат на одной прямой. Это легко доказывается методом подобия. Получившиеся треугольники BES и AED подобны, и в каждом из них медианы ET и EZH делят угол при вершине E на равные части. Следовательно, точки E, T и W лежат на одной прямой. Точно так же точки T, O и G расположены на одной прямой. Все это следует из подобия треугольников BOS и AOD. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и W — будут лежать на одной прямой.

    Используя подобные трапеции, учащимся можно предложить найти длину отрезка (LF), который делит фигуру на две подобные. Этот отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как получившиеся трапеции ALFD и LBSF подобны, то BS/LF=LF/AD. Отсюда следует, что LF=√(BS*BP). Получаем, что отрезок, который делит трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее свойство сходства. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две фигуры одинакового размера. Примем, что трапеция ABSD делится отрезком EN на два подобных. От вершины B опускается высота, которая делится отрезком EH на две части — B1 и B2. Получаем: ПАБСД/2=(БС+ЭХ)*Б1/2=(АД+ЭХ)*Б2/2 и ПАБСД=(БС+АД)*(Б1+Б2)/2. Далее составляем система, первое уравнение которой (БС+ЭН)*В1=(АД+ЭН)*В2 и второе (БС+ЭН)*В1=(БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует что B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равные, равна среднему квадрату длин оснований: √ ((BS2 + AD2)/2).

    Выводы о подобии

    Итак, мы доказали, что:

    1. Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен AD и BS и равен среднему арифметическому между BS и AD (длина основание трапеции).

    2. Прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей, параллельных AD и BS, будет равна среднему гармоническому чисел AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

    3. Отрезок, делящий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований BS и AD.

    4. Элемент, делящий фигуру на две равные, имеет длину средних квадратов чисел AD и BS.

    Для закрепления материала и понимания связи между рассматриваемыми отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он легко может отобразить среднюю линию и отрезок, проходящий через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. Но где будет третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к обнаружению желаемого соотношения между средними значениями.

    Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

    Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Примем, что отрезок MH параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Назовем точки пересечения W и W. Этот отрезок будет равен полуразности оснований. Давайте проанализируем это более подробно. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МС — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, Сщ = АД / 2-БС / 2 = (АД + ВС) / 2.

    Центр тяжести

    Посмотрим, как определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо вытянуть основания в противоположные стороны. Что это значит? Необходимо к верхнему основанию добавить нижнее основание — в любую из сторон, например, вправо. А низ удлиняется на длину верха влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры является центром тяжести трапеции.

    Вписанные и описанные трапеции

    Перечислим признаки таких фигур:

    1. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная.

    2. Трапецию можно описать по окружности при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин сторон.

    Следствия вписанной окружности:

    1. Высота описываемой трапеции всегда равна двум радиусам.

    2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

    Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД прямой, что, собственно, тоже не составит труда. Но знание этого свойства позволит нам использовать прямоугольный треугольник при решении задач.

    Уточним теперь эти следствия для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность. Получаем, что высота есть среднее геометрическое оснований фигуры: H=2R=√(BS*AD). Отрабатывая основной прием решения задач на трапеции (принцип рисования двух высот), учащийся должен решить следующую задачу. Примем, что BT есть высота равнобедренной фигуры ABSD. Необходимо найти отрезки AT и TD. Используя формулу, описанную выше, сделать это не составит труда.

    Теперь разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Снижаем высоту от вершины B к основанию AD. Так как окружность вписана в трапецию, то BS+AD=2AB или AB=(BS+AD)/2. Из треугольника ABN находим sinα=BN/AB=2*BN/(BS+AD). ПАБСД=(БС+АД)*БН/2, БН=2Р. Получаем ПАБСД=(БС+АД)*R, отсюда следует, что R=ПАБСД/(БС+АД).

    Все формулы средней линии трапеции

    Теперь пришло время перейти к последнему элементу этой геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

    1. Через основания: М = (А+В)/2.

    2. Через высоту, основание и углы:

    М = А-Н*(ctgα + ctgβ)/2;

    М = В + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

    3. Через высоту, диагонали и угол между ними. Например, D1 и D2 — диагонали трапеции; α, β — углы между ними:

    М = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

    4. Через площадь и высоту: M = P / N.

    \[(\Large(\text(Произвольная трапеция)))\]

    Определения

    стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

    Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны называются ее сторонами.

    Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание. 9\круг\).

    2) Так как \(AD\параллель BC\) и \(BD\) секанс, то \(\угол DBC=\угол BDA\) лежит поперек.
    Также \(\угол BOC=\угол AOD\) как вертикальный.
    Следовательно, в двух углах \(\треугольник BOC\sim\треугольник AOD\).

    Докажем, что \(S_(\треугольник AOB)=S_(\треугольник COD)\). Пусть \(h\) — высота трапеции. Тогда \(S_(\треугольник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\треугольник ACD)\). Затем: \

    Определение

    Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

    Теорема

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.


    Доказательство*

    1) Докажем параллелизм.


    Проведите прямую \(MN»\параллельно AD\) (\(N»\in CD\) ) через точку \(M\) ). Тогда по теореме Фалеса (поскольку \(MN»\параллельно AD\параллельно BC, AM=MB\)) точка \(N»\) является серединой отрезка \(CD\)… Следовательно, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

    2) Докажем формулу.

    Нарисуем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть будет \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\).


    Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) являются серединами отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Итак, \(MM»\) — это средняя линия \(\треугольник ABB»\) , \(NN»\) — это средняя линия \(\треугольник DCC»\) . Так: \

    Так как \(MN\параллельно AD\параллельно BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\ ) являются прямоугольниками. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Следовательно, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

    Таким образом:

    \ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

    Теорема: свойство произвольной трапеции

    Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


    Доказательство*
    С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы «Похожие треугольники».

    1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


    Проведите прямую \(PN\) (\(P\) точка пересечения продолжений сторон, \(N\) середина \(BC\) ). Пусть она пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

    Рассмотрим \(\треугольник BPN\) и \(\треугольник APM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол APM\) — общий, \(\угол PAM=\угол PBN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(AB\)). Означает: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

    Рассмотрим \(\треугольник CPN\) и \(\треугольник DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол DPM\) — общий, \(\угол PDM=\угол PCN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(CD\)). Означает: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

    Отсюда \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

    2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


    Пусть \(N\) — середина \(BC\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Нарисуйте линию \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

    \(\треугольник BNO\sim \треугольник DMO\) на два угла (\(\угол OBN=\угол ODM\) лежащие при \(BC\параллели AD\) и \(BD\) секущей; \( \угол BON=\угол DOM\) как вертикальный). Означает: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

    Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Означает: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

    Отсюда \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

    \[(\Large(\text(Равнобедренная трапеция)))\]

    Определения

    Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

    Трапеция называется равнобедренной, если ее стороны равны.

    Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

    1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

    2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

    3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, равнобедренные.

    Доказательство

    1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

    Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) является параллелограммом, следовательно, \(BM = CN\) .

    Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Поскольку у них равные гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , эти треугольники конгруэнтны, следовательно, \(\угол DAB = \угол CDA\) .

    2)

    Поскольку \(AB=CD, \угол A=\угол D, AD\) — общее, то по первому признаку. Следовательно, \(AC=BD\) .

    3) Поскольку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\), то \(\угол BDA=\угол CAD\) . Следовательно, треугольник \(\треугольник AOD\) равнобедренный. Аналогично доказывается, что \(\треугольник BOC\) равнобедренный.

    Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

    1) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

    2) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

    Доказательство

    Рассмотрим трапецию \(ABCD\) такую, что \(\угол A = \угол D\) .


    Достроим трапецию до треугольника \(AED\), как показано на рисунке. Так как \(\угол 1 = \угол 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как соответствуют параллельным прямым \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Точно так же углы \(2\) и \(4\) равны, но \(\угол 1 = \угол 2\) , тогда \(\угол 3 = \угол 1 = \угол 2 = \угол 4\ ), поэтому треугольник \(BEC\) также равнобедренный и \(BE = EC\) .

    В конце концов \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), т.е. \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

    2) Пусть \(AC=BD\) . Так как \(\треугольник AOD\sim \треугольник BOC\), то мы обозначаем их коэффициент подобия через \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Подобно \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


    Поскольку \(AC=BD\) , тогда \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Итак, \(\треугольник AOD\) равнобедренный и \(\угол OAD=\угол ODA\) .

    Таким образом, по первому признаку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\) (\(AC=BD, \угол OAD=\угол ODA, AD\)- общее). Итак, \(AB=CD\) , поэтому.

    Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Угловые вершины многоугольника и вершины многоугольника являются конгруэнтными точками.

    Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

    Свойства параллелограмма

    1. Противоположные стороны равны.
    На рис. одиннадцать AB = CD ; г. до н.э. г. = г. н.э. г. .

    2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
    На рис. 11∠ А = ∠ С ; ∠ Б = ∠ Д .

    3 Диагонали (отрезки, соединяющие две противоположные вершины) пересекаются, и точка пересечения делится пополам.

    На рис. 11 сегментов AO = OC ; БО = ОД .

    Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет.

    Параллельные стороны назвали ее основанием , а две другие стороны сторонами .

    Виды трапеций

    1. Трапеция , стороны которой не равны,
    называется универсальной (рис. 12).

    2. Трапецию, у которой стороны равны, называют равнобедренной (рис. 13).

    3. Трапецию, у которой одна сторона образует с основаниями прямой угол, называют прямоугольной (рис. 14).

    Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции ( МН ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

    Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому названия трапеций аналогичны названиям треугольников (треугольники разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

    Площадь параллелограмма и трапеции

    Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

    ФГКОУ «МКК «Школа-интернат МО РФ»

    «УТВЕРЖДАЮ»

    Заведующий отдельной дисциплиной

    (математика, информатика и ИКТ) Крылова Ю.В.

    7 9000 _____________

    «___» _____________ 2015

    «Трапеция и ее свойства»

    Методическая разработка

    учитель математики

    Шаталина Елена Дмитриевна

    Рассмотрено и

    на заседании ОУП от _______________

    Протокол №______

    Москва

    2015

    Содержание

    Введение 2

      Определения 3

      Свойства равнобедренной трапеции 4

      Вписанные и описанные окружности 7

      Свойства списанных и ограниченных трапеций 8

      Средние значения в трапеции 12

      Свойства произвольного трапеции 15

      Признаки трапеции 18

      Дополнительные конструкции в трапзоидной 20

      Trapezoid.

    10. Заключение

    Список литературы

    Приложение

      Доказательства некоторых свойств трапеции 27

      Задания для самостоятельной работы

      Задания по теме «Трапеция» повышенной сложности

      Контрольный тест по теме «Трапеция»

    Введение

    Данная работа посвящена геометрической фигуре, называемой трапецией. «Обычная фигура», — скажете вы, но это не так. Она таит в себе множество тайн и загадок, если вы внимательно присмотритесь и вникнете в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

    Трапеция — от греческого слова trapezion — «стол». Кредиты. в 18 веке от лат. яз., где трапеция греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапецию впервые находит древнегреческий ученый Посидоний (II век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе начали изучать трапецию. Эта цифра нас заинтересовала, а в учебнике о ней написано невероятно мало. Поэтому мы решили взять это дело в свои руки и найти информацию о трапеции. его свойства.

    В работе рассматриваются свойства, знакомые учащимся по материалу, пройденному в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, необходимые для решения сложных задач. Чем больше задач предстоит решить, тем больше вопросов возникает при их решении. Ответ на эти вопросы иногда кажется загадкой, познавая новые свойства трапеции, необычные способы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В Интернете, если забить в поисковике, очень мало литературы по методам решения задач на тему «трапеция». В процессе работы над проектом было найдено большое количество информации, которая поможет школьникам в глубоком изучении геометрии.

    Трапеция.

      Определения

    Трапеция Четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

    Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Две другие — боковые.
    Если стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

    Трапеция, у которой на стороне прямые углы, называется прямоугольной.

    Отрезок, соединяющий середины сторон, называется средней линией трапеции.

    Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

    2 . Свойства равнобедренной трапеции.



    3 . Диагонали равнобедренной трапеции равны.

    4



    1
    0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна сумме оснований.



    3. Вписанная и описанная окружность

    Если сумма оснований трапеции равна сумме сторон, то в нее можно вписать окружность.

    E
    Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность.

    4 . Свойства вписанных и описанных трапеций


    2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то


    сумма длин оснований равна сумме длин сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

    4 . Если в трапецию вписана окружность, то стороны от ее центра видны под углом 90°.



      E если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из сторон, делит ее на отрезки м и № , , то радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.


    1

    0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции равны 30°, 30°, 150°, 150°.






    5. Средние значения в трапеции

    среднее геометрическое






      В любой трапеции с основаниями и и б для а > б неравенство :



    б ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

    6. Свойства произвольной трапеции

    1
    . Середины диагоналей трапеции и середины сторон лежат на одной прямой.



    2. Биссектрисы углов, прилегающих к одной из сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т. е. при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенуза равна катету.



    3. Отрезки прямой, параллельные основаниям трапеции, пересекающие стороны и диагонали трапеции, заключенные между сторонами диагонали, равны.

      Точка пересечения продолжения сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой.



    5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилегающие к основаниям, подобны, а треугольники, прилегающие к сторонам, равны (т. е. , имеют равные площади).

    6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов сторон, прибавленной к удвоенному произведению оснований.


    д 1 2 + д 2 2 = в 2 + д 2 + 2 аб

    7
    . В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разнице квадратов оснований д 1 2 д 2 2 = и 2 б 2

    8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.


    9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последним пополам.

    7. Знаки трапеции


    восемь. Дополнительные конструкции в трапецию

    1. Отрезок, соединяющий середины сторон, является средней линией трапеции.

    2
    . Отрезок, параллельный одной из сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой стороны, а другой принадлежит прямой, содержащей основание.

    3
    . Даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проведена прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находится площадь треугольника, затем высота треугольника, которая равна высоте трапеции.

    4

    . Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований трапеция, то есть средняя линия трапеции.

    5. Высоты трапеции, опущенной из вершин одного основания, разрезаны на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

    6
    . Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции, проведен через вершину — точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получится треугольник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья — равна сумме оснований
    .


    7
    .Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

    8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т. е. при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной В сторону.

    9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


    1
    0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равных треугольника, примыкающих к сторонам.

    1
    1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равных треугольника, примыкающих к сторонам.

    1
    2. Продолжение сторон трапеции до пересечения позволяет рассматривать подобные треугольники.

    13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то начерчена высота трапеции — среднее геометрическое произведение оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведение отрезков сторон, на которые она делится точка контакта.


    9. Площадь трапеции

    1 . Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту S = ½(a + б) h или

    P

    Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = м ч .

    2. Площадь трапеции равна произведению стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой стороны на прямую, содержащую первую сторону.


      Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r и углом при основании α :

    10. Заключение

    ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

    Трапеция в спорте: Трапеция, безусловно, прогрессивное изобретение человечества. Он призван разгрузить наши руки, сделать ходьбу на виндсерфере удобной и легкой. Ходьба на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между шагами и ногами и эффективно ускориться.

    Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна в Средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В то время основу женской одежды составляли туники в пол, туника сильно расширялась к низу, что создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961 году и стало гимном молодости, независимости и изысканности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная как Твигги. Невысокая девушка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а ее любимыми нарядами были короткие платья-трапеции.

    Трапеция в природе: Трапеция также встречается в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия и, конечно же, гора Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

    Трапеция в повседневной жизни: Трапеция также используется в повседневной жизни, потому что ее форма практична. Встречается в таких предметах, как: ковш экскаватора, стол, шнек, станок.

    Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующей стилистической формой в архитектуре инков является простая, но изящная трапеция. Он имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна и стенные ниши встречаются в постройках всех типов, как в храмах, так и в менее значительных постройках, более грубых, так сказать, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Такая форма зданий необычна, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

    Трапеция в машиностроении: Трапеция используется при конструировании деталей в космической технике и в авиации. Например, некоторые солнечные панели космических станций имеют форму трапеции, так как имеют большую площадь, а значит, аккумулируют больше солнечной энергии.

    В 21 веке люди почти не задумываются о значении геометрических фигур в своей жизни. Им совершенно все равно, какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают форму, которая практична. Но от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его назначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одним из величайших достижений человечества — трапецией. Мы открыли дверь в удивительный мир фигур, рассказали вам секреты трапеции и показали, что геометрия окружает нас повсюду.

    Библиография

      Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Теория и проблемы математики. Книга 1 Учебник для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

      Быков А.А., Малышев Г.Ю., Факультет довузовской подготовки. Математика. Учебное пособие 4 часть М2004

      Гордин Р.К. Планиметрия. Книга заданий.

      Иванов А.А.,. Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы-М: Изд-во МФТИ, 2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

      Пиголкина Т.С., Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задание №2 для 10 классов (2012-2013 учебный год).

      Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть 1). Математическая энциклопедия абитуриента. М., изд-во Российского открытого университета 1992.

      Шарыгин И.Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузах (1987-1990 гг.) Львов журнал Квантор 1991.

      Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

    Приложение

    1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

    1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, пересекает стороны трапеции в точках К и Л . Докажите, что если основания трапеции равны и и б , затем длина сегмента КЛ равно среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

    Пусть будет O — точка пересечения диагоналей, г. н.э. знак равно а, вс знак равно б . Прямой КЛ параллельно основанию AD , следовательно, K О г. н.э. , треугольники АТ К О и плохо аналогично, поэтому


    (1)

    (2)

    Подставляем (2) в (1) , получаем KO=

    Аналогично LO = Тогда К Л = КО + LO =

      В относительно любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений сторон лежат на одной прямой.

      Доказательство. Пусть продолжения сторон пересекаются в точке 9.1024 ТО. Через точку и точка О пересечения диагоналей провести прямую линию КО.

    К

    Покажем, что эта прямая делит основания пополам.

    O обозначить VM = х, МС = г, АН = и, Н.Д. = В . У нас есть:

    ВКМ ~ ∆АКН

    М

    х

    Б

    С

    Д

    МК С ~ ∆НКД → →

    В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

    Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

    Трапеция и все-все-все

    Для начала вкратце вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

    Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

    В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

    О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

    Свойства диагоналей трапеции

    Чтобы было понятнее, при чтении начертите трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

    1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии. А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: ХТ = (а — б) / 2 .
    2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
      Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
    3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
    4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции. Он пересекает основания в точках X и T.
      Если теперь продолжить линию XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой пересекаются продолжения сторон и середины оснований X и T.
    5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ .
    6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

    Свойства средней линии трапеции

    Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

    1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (а + b)/2 .
    2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

    Свойство биссектрисы трапеции

    Выберите любой угол трапеции и начертите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок такой же длины, как и сторона.

    Свойства угла трапеции

    1. Какой бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
    2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить по разнице длин оснований, деленной пополам: ТХ = (АЭ — КМ) / 2 .
    3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

    Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

    1. У равнобедренной трапеции углы при любом из оснований равны.
    2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
    3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
    4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
    5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
    6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + б)/2 .
    7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
    8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции. Вы получите два разреза. Длину одного можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (а+б)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

    Свойства трапеции, вписанной в окружность

    Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

    1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
    2. Диагональ и сторона могут также встречаться под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
    3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
    4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
    5. Кратко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = АЕ/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
    6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

    Свойства трапеции, описанной около окружности

    В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

    1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
    2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
    3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
    4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
    5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами. У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
      Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

    Свойства прямоугольной трапеции

    Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой. И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

    1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
    2. Высота и сторона трапеции, примыкающие к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
    3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

    Доказательства некоторых свойств трапеции

    Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

    • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

    Получившийся четырехугольник АКМТ является параллелограммом (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

    АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

    Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

    Q.E.D.

    Теперь, исходя из свойства равнобедренной трапеции (равенство диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

    • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

    ∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

    МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

    Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

    Задание повторить

    Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 . Вам нужно найти площадь трапеции.

    Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

    Уголки АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

    Рассмотрим теперь прямоугольный ∆ANK (думаю, этот момент очевиден для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции КН — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 . Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

    Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

    Послесловие

    Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать трапеции по всем вышеперечисленным свойствам с карандашом в руках и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

    Конечно, здесь много информации, разнообразной и местами даже запутанной: спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной не так уж и сложно. Но вы сами видели, что разница огромна.

    Теперь у вас есть подробный обзор всех основных свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

    сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Январские именины, Православные праздники в январе Календарь имен по святцам на каждый месяц

    Январские именины, Православные праздники в январе Отличительные черты характера январских девушек

    Площадь Трапеции — Формула, Примеры, Решения

    1. Трапеция — что это за фигура?
    2. Особенности трапеции
    3. Теорема: площадь трапеции
    4. Вычисление площадей в прошлые времена
    5. Вычисление площадей в современном мире
      1. Формула площади трапеции по основанию и высоте
      2. Формула площади трапеции в основании и на осевой линии
      3. Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол
      4. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
    6. Трапеция и созвездия
    7. Трапеции в экспериментальной физике

    Учащиеся должны выполнять разные домашние задания по геометрии. Однако больше всего трудностей возникает у учащихся средних классов, поскольку они изучали только математику и алгебру, и геометрию. Например, им нужно найти перпендикулярное расстояние, площадь поверхности или параллельные стороны трапеции. Сегодня мы поговорим именно о трапециях, нахождении площади и рассмотрении ее как одной из важнейших теорем.

    Трапеция — что это за фигура?

    Трапеция – это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Высота трапеции – это расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любым общим перпендикуляром этих прямых. Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины сторон.

    Черты трапеции

    Если в трапецию вписана окружность, то сумма основ всегда совпадает с суммой сторон: a+b=c+d, а средняя линия всегда равна полусумме сторон:

    Равнобедренная трапеция — это трапеция, стороны которой равны AB = CD. Тогда диагонали AC = BD и углы при основании равны:

    Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, если сумма противоположных прямых углов равна 180°. В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины, которая непосредственно связана с основанием, всегда совпадает с осевой линией.

    Прямоугольная трапеция — это тип трапеции, у которой угол при основании равен 90°.

    Теорема: площадь трапеции

    Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, мы делаем следующее: делим многоугольник на треугольники и находим площадь треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника. С помощью этой методики выводим формулу расчета площади запасной части трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований на прямую, содержащую другое основание. На рисунке ниже мы указали, что отрезок линии BH является высотой трапеции ABCD:

    Исходя из этого, получаем теорему: «Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту». Используя формулу площади, мы можем доказать эту теорему.

    Дана трапеция: ABCD, AD, BC — длины оснований, BH — высота.

    Докажите: площадь этой трапеции ABCD будет равна S = ½ (AD + BC) · BH.

    Доказательство: проведите диагональ BD. Он делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Это означает, что периметр трапеции ABCD будет равен сумме площадей этих треугольников.

    В треугольнике ABD: AD — основание, BH — высота. В треугольнике BCD: BC является основанием.

    Нарисуем высоту ДК. Площадь S треугольника ABD = 1/2 AD · BH; площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · DK. Так как BH = DK, то площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · BH. Таким образом, площадь S трапеции ABCD = 1/2 AD · BH + 1/2 BC · BH = 1/2 (AD + BC) · BH. Что требовалось доказать.

    Вычисление площадей в прошлые времена

    Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь трапеции в квадратных единицах. Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же приемы, что и мы: сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту.

    Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач. Люди не сразу нашли правильный подход к их решению. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей открыл Евклид. При расчете площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

    Вычисление площадей в современном мире

    Сегодня существует множество формул для вычисления длин сторон, вершин, параллельных оснований и площади трапеции. Мы рассмотрим самые основные из них. Приведенные ниже формулы просты в использовании, но если вам сложно их понять и вам нужна помощь с домашним заданием, вы всегда можете обратиться в нашу службу. Опытные авторы проконсультируют вас по всем заданиям, и вы значительно улучшите свою успеваемость.

    Формула площади трапеции по основанию и высоте

    Дана произвольная трапеция. Для нахождения его площади используем следующую формулу:

    В этой формуле:

    • а, b — основания трапеции;
    • hh — высота трапеции.

    Представим, что нам нужно найти площадь трапеции, у которой известны основания, численно равные 10 см и 8 см. Также известный рост, 6 см в длину.

    Решение:

    • а = 8;
    • б = 10;
    • ч = 6;

    Сразу подставляем цифры в полученную формулу и вычисляем значение:

    Ответ: 54 квадратных сантиметра.

    Формула площади основания и центральной линии трапеции

    Следует отметить, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Таким образом, нахождение площади через центральную линию есть не что иное, как метод, аналогичный первому. Насколько:

    В этой формуле:

    • S = l ⋅ h;
    • l — средняя линия трапеции;
    • h — высота.

    Предположим, нам нужно найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 см, а высота трапеции в два раза больше ее высоты.

    Решение:

    • л = 5;
    • ч = 2 ⋅ л.

    Найдите высоту трапеции:

    h = 2 ⋅ 5 = 10

    Площадь:

    S = l ⋅ h = 5 ⋅ 10 = 50 см.кв.

    Ответ: 50 квадратных сантиметров

    Формула площади трапеции через радиус и угол вписанной окружности

    Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции:

    В этой формуле: радиус вписанной окружности;

  • α — угол между основанием и стороной.
  • Предположим, нам дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 см. Угол α равен 90 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    • r = 4;
    • α = 90.

    По формуле:

    Ответ: 64 квадратных сантиметра.

    Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

    Существует простая формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними:

    В этой формуле:

    • d1, d2 — диагонали трапеции;
    • α — угол между диагоналями.

    Пусть две диагонали трапеции равны 20 см и 7 см. При пересечении они образуют угол 30 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    • d1 = 20;
    • д2 = 7;
    • α = 30°.

    Площадь:

    Ответ: 35 квадратных сантиметров.

    Трапеция и созвездия

    Трапеция встречается не только в домашних заданиях по математике. Эту цифру можно найти при изучении созвездий. Выдающимся астеризмом весеннего неба является трапеция Льва, которую можно наблюдать по вечерам с февраля по май. Эта фигура расположена в зодиакальном созвездии Льва, образуя тело животного, и по форме напоминает трапецию.

    Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ расположены на вершинах трапеции – тела льва. А голову льва образуют звезды, расположенные в виде серпа. Отсюда и название — трапеция Льва.

    Трапеции в экспериментальной физике Посмотреть

    Союз физики и математики предполагает непрерывное движение науки вперед. В физике ученые проводят опыты, суть которых становится полностью ясной только после математического анализа. Многие разделы математики обязаны своим возникновением и дальнейшим развитием новым физическим опытам. В качестве примера рассмотрим школьную лабораторную работу по физике.

    Постановка вопроса: Рассмотрим фигуру — произвольную трапецию ABCD. Проведите две его диагонали AC и BD, которые делят трапецию на четыре треугольника — ABO, BCO, CDO и DAO. Треугольники ABO и CDO равны:

    Формулировка цели опытной работы: с помощью взвешивания доказать, что массы треугольников, полученных диагоналями и сторонами трапеции, равны.

    Ход лабораторной работы:

    1. Учащимся необходимо взять: лист бумаги, линейку, карандаш, ластик, ножницы.
    2. Учащиеся проводят параллельные линии с помощью прямоугольных линеек.
    3. Учащимся необходимо построить пять различных трапеций и провести диагональ.
    4. Учащиеся вырезают ножницами те треугольники в трапеции, которые имеют одну сторону трапеции.
    5. С помощью балочных весов учащиеся взвешивают разрезанные треугольники ABO и CDO.
    6. Учащиеся записывают полученные результаты в таблицу и сравнивают.

    Как видите, знания о трапеции пригодятся вам в физике и других науках.

    Математическая задача: длина 26 — вопрос № 68714, статистика, среднее

    Длина медианы трапеции равна 10 дюймам. Медиана делит трапецию на две части, соотношение которых равно 3:5. Длина более короткого основания:

    Правильный ответ:

    c =  5 в

    Пошаговое объяснение:

    м=10 дюйм S1​:S2​=3:5  (a+c)/2 =m a+c=2⋅ m=20 in h2​=h3​ h2​+h3​=h  S1​=h2​⋅ (a+m)/2 S2​=h3​⋅ (c+m)/2 =h2​⋅ (c+m)/2  h2​⋅ (c+m)/2:h2​⋅ (a+m)/2=3:5  (c+m):(a+m)=3: 5  (c+m)=53​⋅ (a+m) (a+c)/2=m (c+10)=53​⋅ (a+10) (a+c)/2=10  (c+ 10)=3/5⋅ (a+10) (a+c)/2=10 3a−5c=20 a+c=20 2-й ряд – 31 ⋅ 1-й ряд → 2-й ряд 3a-5c=20 2,67c=13,33 c= 2,6666666713,33333333​=5 a=320+5c​=320+5⋅ 5​=15 a=15 c=5=5 в


    Вы нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

    написать нам

    . Благодарю вас!

    Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

    Нужна помощь в вычислении среднего арифметического?
    Ищете статистический калькулятор?
    Воспользуйтесь нашим калькулятором коэффициентов.
    У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?
    См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

    Вам необходимо знать следующие знания для решения этой задачи по математике:

    • Статистика
    • Среднее
    • Геометрия
    • сходства
    • .
    • 43434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343443434343434343434434343н. выражение переменной из формулы
    • контуры
    • площадь фигуры
    • треугольник
    • трапеция
    • основные функции
    • ratio
    Units of physical quantities:
    • area
    Grade of the word problem:
    • practice for 14 year olds

     

    We encourage you to watch this tutorial video on this math problem : video1   video2

    • Трапеция — центральная медиана
      Центральная медиана делит трапецию на две меньшие трапеции. Найдите отношение его площадей.
    • МО Z9–I–2 — 2017
      VO является более длинным основанием в трапеции VODY, а диагональное пересечение K делит линию VD в отношении 3:2. Площадь треугольника КОВ равна 13,5 см². Найдите площадь всей трапеции.
    • Герб
      Класс создал свой герб, который имел форму, состоящую из равнобедренной трапеции ABCD (более короткое основание а = 4,5 см в длину, более длинное 2а = 9 см, высота трапеции 6 см) и полукруга с центром S и диаметр АВ. Три одинаковых равнобедренных треугольника для
    • Трапеция KLMN
      Трапеция KLMN имеет основания KL 40см и MN 16см. В основании KL находится точка P. Отрезок NP делит трапецию на звенья одинаковой площади. На каком расстоянии точка P от точки K?
    • MO Z8–I–6 2018
      В трапеции KLMN KL имеет основание 40 см и MN 16 см. Точка P лежит на прямой KL так, что отрезок NP делит трапецию на две части одинаковой площади. Найдите длину линии КП.
    • Внутренние углы
      Величина внутреннего угла при центральной вершине C равнобедренного треугольника ABC равна 72°. Прямая p, параллельная основанию этого треугольника, делит треугольник на трапецию и меньший треугольник. Каковы внутренние углы трапеций
    • Терции трапеции
      Трапеция ABCD с параллельными сторонами AB и CD и точкой E стороны AB. Отрезок DE делит трапецию на две части одинаковой площади. Найдите длину отрезка AE.
    • Тимоти
      Рост Тимоти 56 4/5 дюймов. Тереза ​​на 1 1/6 дюйма ниже Тимоти, а Джейн на 1 1/3 дюйма ниже Терезы. Какой рост у Джейн?
    • Равнобедренная трапеция
      Какова высота равнобедренной трапеции, длина основания которой 11 см и 8 см, а длина катетов 2,5 см?
    • Рассчитать 3993
      Медиана трапеции p равна 18,6 см, а основание a = 29,8 см. Вычислите размер второго основания c.
    • Томас 2
      Рост Томаса 56 3/4 дюйма. Джиллиан на 1 3/8 дюйма ниже Томаса, а Джейн на 1 1/5 дюйма ниже Джиллиан. Какой рост у Джейн? Подпишите имена на диаграмме ленты, чтобы представить эту проблему. Джейн Джиллиан Томас Отлично!
    • Трапеция
      Длина основания и высота основания трапеции находятся в соотношении 5:3:2.

    Объем шара онлайн калькулятор: Объем шара | Онлайн калькулятор

    Объем шара — онлайн калькулятор через диаметр и радиус

    Скачать, сохранить результат

    Выберите способ сохранения

    Информация

    В геометрии на сегодняшний день сложились определенные базовые формулы, аксиомы и теории, которые являются неотъемлемой частью нашей жизни. Формула объема шара является одной из таких формул. Особенно в такой сфере деятельности, как строительство, часто возникает необходимость расчета необходимого объема материалов для того или иного объекта. Чтобы не задаваться вопросом «Как найти объем шара?» был создан калькулятор, позволяющий найти необходимые Вам значения через встроенные в него формулы. Например, Вы выбираете формулу нахождения объема шара, и Вам необходимо найти объем шара через диаметр, калькулятор предоставляет Вам информацию о том, какие данные следует ввести, чтобы была применима формула объема шара через диаметр.

    Введя необходимые данные, Вы получите точно рассчитанный объем шара. Также может быть применима формула нахождения шара через радиус, которая посчитает нужный Вам показатель автоматически после введения базовых показателей.

    Наш калькулятор применяет следующие вычисления объема шара:

    • Способ вычисления по формуле объема шара через радиус:
    • Способ вычисления по формуле объема шара через диаметр:
    • Способ вычисления объема шара через длину окружности:

    Существует множество преимуществ, которые даст Вам наш онлайн калькулятор:

    • экономия времени, благодаря автоматизации подсчета;
    • гарантия точности рассчитанного показателя;
    • комфортное применение интерфейса калькулятора и много другое.

    Таким образом, используя наш калькулятор, Вы сможете избежать необходимости самостоятельного расчета формул и всех значений, сэкономив время и силы. При этом наш калькулятор исключает возможность возникновения ошибок в расчетах и Вы получите максимально точный и правильный ответ.

    поделиться и оценить

    Смотрите также:

    Добавить комментарий

    Объем шара: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

    Шар — это геометрическое тело вращения, образованное путем вращения круга или полукруга вокруг его диаметра. Также шар — это пространство, ограниченное сферической поверхностью. Существует множество реальных сферических объектов и связанных с ними задач, для решения которых требуется определить объем шара.

    Шар и сфера

    Круг — самая древняя геометрическая фигура, и античные ученые придавали ей сакральное значение. Круг — это символ нескончаемого времени и пространства, символ Вселенной и бытия. По мнению Пифагора, круг — прекраснейшая из фигур. В трехмерном пространстве окружность превращается в сферу, такую же идеальную, космическую и прекрасную, как и круг.

    Сфера по-древнегречески означает «мяч». Сфера представляет собой поверхность, образованную бесконечным множеством точек, равноудаленных от центра фигуры. Пространство, ограниченное сферой, и есть шар. Шар — идеальная геометрическая фигура, форму которой принимают многие реальные объекты. К примеру, в реальной жизни форму шара имеют пушечные ядра, подшипники или мячи, в природе — капли воды, кроны деревьев или ягоды, в космосе — звезды, метеоры или планеты.

    Объем шара

    Определение объема сферической фигуры — сложная задача, ведь такое геометрическое тело нельзя разбить на кубы или треугольные призмы, формулы объемов которых уже известны. Современная наука позволяет вычислить объем шара при помощи определенного интеграла, однако каким образом была выведена формула объема в Древней Греции, когда об интегралах еще никто не слышал? Архимед вычислил объем шара при помощи конуса и цилиндра, так как формулы объемов этих фигур были уже определены древнегреческим философом и математиком Демокритом.

    Архимед представил половину шара при помощи одинаковых конуса и цилиндра, при этом радиус каждой фигуры был равен ее высоте R = h. Античный ученый представил конус и цилиндр разбитыми на бесконечное количество маленьких цилиндров. Архимед понял, что если из объема цилиндра Vc вычесть объем конуса Vk, он получит объем одной полусферы Vsh:

    0,5 Vsh = Vc − Vk

    Объем конуса вычисляется по простой формуле:

    Vk = 1/3 × So × h,

    но зная, что So в данном случае — это площадь круга, а h = R, то формула трансформируется в:

    Vk = 1/3 × pi × R × R2 = 1/3 pi × R3

    Объем цилиндра вычисляется по формуле:

    Vc = pi × R2 × h,

    но считая, что высота цилиндра равна его радиусу, мы получаем:

    Vc = pi × R3.

    Используя эти формулы, Архимед получил:

    0,5 Vsh = pi × R3 — 1/3 pi × R3 или Vsh = 4/3 pi × R3

    Современное определение формулы объема шара выводится из интеграла от площади сферической поверхности, однако результат остается все тем же

    Vsh = 4/3 pi × R3

    Расчет объема шара может понадобиться как в реальной жизни, так и при решении абстрактных задач. Для вычисления объема шара при помощи онлайн-калькулятора вам понадобится узнать всего один параметр на выбор: диаметр или радиус сферы. Рассмотрим пару примеров.

    Примеры из жизни

    Пушечные ядра

    Допустим, вы хотите узнать, сколько чугуна необходимо для отливки пушечного ядра шестифутового калибра. Вы знаете, что диаметр такого ядра составляет 9,6 сантиметров. Введите это число в ячейку калькулятора «Диаметр», и вы получите ответ в виде

    V = 463,24

    Таким образом, для выплавки пушечного ядра заданного калибра вам понадобится 463 кубических сантиметров или 0,463 литра чугуна.1/3 — извлечение кубического корня.

    Источники:

    Окружностью называется геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек этой плоскости находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Заданная точка при этом называется центром окружности , а расстояние, на котором точки окружности находятся от её центра – радиусом окружности . Область плоскости ограниченная окружностью называется кругом.Существует несколько методов расчёта диаметра окружности , выбор конкретного зависти от имеющихся первоначальных данных.

    Инструкция

    Видео по теме

    При проведении построений различных геометрических фигур иногда требуется определить их характеристики: длину, ширину, высоту и так далее. Если речь идет о круге или окружности, то часто приходится определять их диаметр. Диаметр представляет собой отрезок прямой, который соединяет две наиболее удаленных друг от друга точки, расположенные на окружности.

    Вам понадобится

    • — измерительная линейка;
    • — циркуль;
    • — калькулятор.

    Инструкция

    В самом простом случае определите диаметр по формуле D = 2R, где R – радиус окружности с центром в точке О. Такая удобна, если вы вычерчиваете круг с заранее оговоренным . Например, если при построении фигуры вы установите раствор ножек циркуля равным 50 мм, то диаметр круга, полученного в результате, будет равен удвоенному радиусу, то есть 100 мм.

    Если вам известна длина окружности, составляющей внешнюю границу круга, то используйте для определения диаметра формулу:

    D = L / p, где
    L – длина окружности;
    p – число «пи», равное приблизительно 3,14.

    Например, если длина 180 мм, то диаметр будет равняться приблизительно: D = 180 / 3,14 = 57,3 мм.

    Если вы имеете предварительно вычерченный круг с радиусом, диаметром и длиной окружности, то для приблизительного диаметра используйте и измерительную линейку . Сложность заключается в том, чтобы найти на

    Сферические фигуры окружают нас практически везде, однако, мы настолько к ним привыкли, что не придаем этому внимания. Тем временем, случается так, что нам необходимо узнать объем какой-нибудь из них. Но все ли знают, как найти объем шара ? Углубляться в школьные воспоминания, чтобы восстановить в голове курс геометрии? Не затрудняйте себе задачу. Давайте лучше включим логику, и разберемся с этим вопросом.

    Инструкция:

    • Начнем с примера, когда формула объема шара нам не понадобится — представим, что у нас есть возможность произвести вычисления практическим путем . Один из наиболее простых способов это сделать — последовать по стопам Архимеда, определив объем не самого шара непосредственно, а вытесненной им воды . Для этого нужно положить его в емкость, подходящую по размерам, предварительно отметив уровень воды. Погрузив сферу целиком в жидкость, сделайте повторные измерения. Теперь осталось найти разницу между получившимися цифрами. Конечно, лучше всего будет поместить шар в емкость с делениями, к примеру, в мерный стакан — если позволяет размер. Таким образом, мы сразу получим нужную характеристику — обычно деления показаны в миллилитрах. В ином случае, просто переведите число в кубические метры.
    • Если вы уверены в том, из какого именно материала сделана сфера, постарайтесь определить ее плотность — эта информация наверняка найдется на просторах всемирной сети. В этой ситуации от вас потребуется лишь взвесить данную фигуру, после чего воспользоваться простой формулой объема шара, разделив вес предмета на его плотность: V=m/p .
    • Может случиться, что предыдущие варианты вам недоступны. Не отчаивайтесь — если есть возможность узнать радиус шара, к нам на помощь придет нужная формула, более сложная, чем предыдущая, но доступная. Нам необходимо умножить число Пи на 4, после чего перемножить получившееся число на значение радиуса в кубе. В итоге разделите все это на 3, и получите объем шара: V=4*π*r³/3 . Разберем простой пример: радиус сферы — 30 см ., тогда объем фигуры будет составлять: 4*3,14*30³/3 = 11340см³ ≈ 0,113м³.
    • Бывает и так, что гораздо легче найти диаметр фигуры , нежели его радиус. Этот вариант даже лучше — можно не производить таких сложных вычислений, формула становится значительно проще. Нам нужно будет лишь умножить диаметр в кубе на число Пи, после чего разделить получившееся число на шесть: V=π*d³/6 . К примеру, вы узнали, что диаметр вашей сферы составляет 25 см., тогда ее объем будет равняться: 3,14*25³/6 = 8177,08333см³ ≈ 0,818м³.

    Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

    Вычислить объем шара

    Объем шара можно вычислить по формуле:

    R – радиус шара

    V – объем шара

    Найти объем шара радиусом сантиметров.

    Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

    где – искомый объем шара, – , – радиус.

    Таким образом, при радиусе сантиметров объем шара равен:

    V 3,14 × 103 = 4186,7

    кубических сантиметров.

    В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара.

    Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

    С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара . Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары.

    С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

    В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение.

    Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки.

    Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

    Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений.

    В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

    Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы.

    Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

    Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий.

    Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

    Сфера — одно из простейших геометрических тел, в котором все точки ее поверхности находятся на одном и том же расстоянии от центра изображения. Расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности называется радиусом.

    Объем мяча

    Диаметр шара называется удвоенным радиусом.

    Как найти объем шара вокруг его радиуса

    Если мы знаем радиус сферы, мы можем легко вычислить ее величину. Для этого умножьте куб на радиус и четверное число Pi, после чего результат будет разделен на три. Формула для определения объема шара по его радиусу выглядит следующим образом: .
    Для тех, кто забыл, мы помним, что число Pi является фиксированным значением и равно 3.14.

    Как найти объем сферы на диаметр

    Если диаметр сферы известен из условий задачи, ее объем вычисляется по следующей формуле: , то есть.

    число Pi следует умножить на диаметр диаметра, то полученный результат делится на 6.

    Как определить массу шара

    Масса тела — это физическая величина, указывающая степень ее инертности. Масса физического тела зависит от объема занимаемого пространства и плотности материала, из которого он собирается. Объем тела правильной формы (скажем, бить ) нетрудно рассчитать, и если материал, из которого он изготовлен, также известен, навалом это разрешено быть очень примитивным.

    инструкции

    первый Укажите сумму бить .

    Как рассчитать объем шара

    Для этого достаточно знать один из ваших параметров — радиус, диаметр, поверхность и т. Д. Скажите, знаете ли вы диаметр бить (d), его объем (V) разрешается определять, как одна шестая часть продукта с диаметром поднимается в кубе с числом Pi: V = π * d? / 6. Через радиус бить (r) объем выражается как одна треть произведения числа Pi, который в четыре раза увеличивается с радиусом, помещенным в куб: V = 4 * π * r? / 3.

    второй подсчитывать навалом бить (m), умножьте его объем с великолепной плотностью вещества (p): m = p * V.

    Если это материал бить не однородный, то мы должны взять среднюю плотность. В этой формуле мы заменяем объем бить через его известные параметры, допускается принимать по известному диаметру бить формула m = p * π * d? / 6 и для главного радиуса m = p * 4 * π * r? / 3.

    третий Используйте для расчетов, например, типичный калькулятор программного обеспечения, который входит в базовую операционную систему Windows, любую сильную версию, используемую сегодня.

    Самый простой способ начать — нажатием win + r, чтобы открыть типичный диалог для запуска программы, затем введите команду calc и нажмите кнопку OK.

    В меню «Калькулятор» разверните раздел «Вид» и выберите строку «Инженер» или «Ученый» (в зависимости от используемой версии ОС) — интерфейс этого режима имеет кнопку для ввода номера номера Pi одним щелчком мыши. Операции размножения и деления в этом калькуляторе не обязаны поднимать вопросы, но определять при расчете массы бить будет несколько кнопок с символами x ^ 2 и x ^ 3.

    ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОДЫ И САНИТАЦИИ

    E-mail: [email protected]

    Время работы: Пн-Пт с 9-00 до 18-00 (без обеда)

    Вычисление объема сферы через радиус или диаметр

    Сфера — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, расположенных от центра на некотором расстоянии.

    Как рассчитать объем шара

    Основной математической характеристикой шара является его радиус.

    Количество шара — это количественная характеристика этого числа во Вселенной.

    Формула расчета объема шара:

    V = 4/3 * π * r 3

    V = 1/6 * π * d 3

    r — радиус сферы;
    d — диаметр сферы.

    См. Также статью о всех геометрических фигурах (линейный 1D, плоский 2D и 3D 3D).

    Эта страница является самым простым веб-калькулятором для расчета объема шара по радиусу или диаметру.

    Шар — это геометрическое тело вращения, образованное путем вращения круга или полукруга вокруг его диаметра. Также шар — это пространство, ограниченное сферической поверхностью. Существует множество реальных сферических объектов и связанных с ними задач, для решения которых требуется определить объем шара.

    Шар и сфера

    Круг — самая древняя геометрическая фигура, и античные ученые придавали ей сакральное значение. Круг — это символ нескончаемого времени и пространства, символ Вселенной и бытия. По мнению Пифагора, круг — прекраснейшая из фигур. В трехмерном пространстве окружность превращается в сферу, такую же идеальную, космическую и прекрасную, как и круг.

    Сфера по-древнегречески означает «мяч». Сфера представляет собой поверхность, образованную бесконечным множеством точек, равноудаленных от центра фигуры. Пространство, ограниченное сферой, и есть шар. Шар — идеальная геометрическая фигура, форму которой принимают многие реальные объекты. К примеру, в реальной жизни форму шара имеют пушечные ядра, подшипники или мячи, в природе — капли воды, кроны деревьев или ягоды, в космосе — звезды, метеоры или планеты.

    Объем шара

    Определение объема сферической фигуры — сложная задача, ведь такое геометрическое тело нельзя разбить на кубы или треугольные призмы, формулы объемов которых уже известны. Современная наука позволяет вычислить объем шара при помощи определенного интеграла, однако каким образом была выведена формула объема в Древней Греции, когда об интегралах еще никто не слышал? Архимед вычислил объем шара при помощи конуса и цилиндра, так как формулы объемов этих фигур были уже определены древнегреческим философом и математиком Демокритом.

    Архимед представил половину шара при помощи одинаковых конуса и цилиндра, при этом радиус каждой фигуры был равен ее высоте R = h. Античный ученый представил конус и цилиндр разбитыми на бесконечное количество маленьких цилиндров. Архимед понял, что если из объема цилиндра Vc вычесть объем конуса Vk, он получит объем одной полусферы Vsh:

    0,5 Vsh = Vc − Vk

    Объем конуса вычисляется по простой формуле:

    Vk = 1/3 × So × h,

    но зная, что So в данном случае — это площадь круга, а h = R, то формула трансформируется в:

    Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

    Объем цилиндра вычисляется по формуле:

    Vc = pi × R 2 × h,

    но считая, что высота цилиндра равна его радиусу, мы получаем:

    Vc = pi × R 3 .

    Используя эти формулы, Архимед получил:

    0,5 Vsh = pi × R 3 — 1/3 pi × R 3 или Vsh = 4/3 pi × R 3

    Современное определение формулы объема шара выводится из интеграла от площади сферической поверхности, однако результат остается все тем же

    Vsh = 4/3 pi × R 3

    Расчет объема шара может понадобиться как в реальной жизни, так и при решении абстрактных задач. Для вычисления объема шара при помощи онлайн-калькулятора вам понадобится узнать всего один параметр на выбор: диаметр или радиус сферы. Рассмотрим пару примеров.

    Примеры из жизни

    Пушечные ядра

    Допустим, вы хотите узнать, сколько чугуна необходимо для отливки пушечного ядра шестифутового калибра. Вы знаете, что диаметр такого ядра составляет 9,6 сантиметров. Введите это число в ячейку калькулятора «Диаметр», и вы получите ответ в виде

    Таким образом, для выплавки пушечного ядра заданного калибра вам понадобится 463 кубических сантиметров или 0,463 литра чугуна.

    Воздушные шары

    Пусть вам любопытно, сколько воздуха необходимо для накачки воздушного шара идеальной сферической формы. Вы знаете, что радиус выбранного шарика составляет 10 см. Вбейте это значение в ячейку калькулятора «Радиус» и вы получите результат

    Это означает, что для накачки одного такого шара вам понадобится 4188 кубических сантиметров или 4,18 литров воздуха.

    Заключение

    Необходимость определения объема шара может возникнуть в самых разных ситуациях: от абстрактных школьных задач до научных изысканий и производственных вопросов. Для решения вопросов любой сложности используйте наш онлайн-калькулятор, который мгновенно представит вам точный результат и необходимые математические выкладки.

    Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.

    Шаги

    Формулы для вычисления радиуса

      Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2 . Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.

    • Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см . Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).
  • Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π . Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.

    • Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см .
    • Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.
  • Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3 . Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr 3 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).

    • Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
      • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
      • (23,87) 1/3 = r
      • 2,88 см = r
  • Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)) . Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr 2 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.

    • Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
      • √(A/(4π)) = r
      • √(1200/(4π)) = r
      • √(300/(π)) = r
      • √(95,49) = r
      • 9,77 см = r

    Определение основных величин

    1. Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

      Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

    Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

    1. Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).

      • Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12) . Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.
    2. Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

      • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0) . Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.
    3. Вычислите радиус по формуле d = √((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2), где d – расстояние между точками, (x 1 ,y 1 ,z 1) – координаты центра шара, (x 2 ,y 2 ,z 2) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.

      • В рассматриваемом примере вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) подставьте (3,3,0):
        • d = √((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2)
        • d = √((3 — 4) 2 + (3 — -1) 2 + (0 — 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69 . Это искомый радиус шара.
    4. Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками «d» заменить на «r», получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x 1 ,y 1 ,z 1) центра шара и координатам (x 2 ,y 2 ,z 2) любой точки, лежащей на поверхности шара.

      • Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).
    • Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
    • В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
    • π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.
  • Объём шара, сферы

    Через какой размер считать:

    Радиус Диаметр

    Укажите размер:

    Объём:

    Решение:

    Отправить ссылку в:

      Сфера — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

      Радиус сферы — это расстояние от точки центра сферы до её поверхности. Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.

    Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. С понятием объёма тесно связано понятие вместимости — объёма внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т.3

    • V — объём сферы
    • r — радиус сферы
    • π — число Пи (≈ 3,14)

    Похожие калькуляторы:

    Калькулятор онлайн — Вычисление объема шара

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить объём шара. Программа для вычисления объёма шара не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

    Числа можно вводить целые или дробные.
    Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

    Правила ввода десятичных дробей.
    В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
    Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

    Правила ввода обыкновенных дробей.
    В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

    Знаменатель не может быть отрицательным.

    При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
    Ввод: -2/3
    Результат: \( -\frac{2}{3} \)

    Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
    Ввод: -1&5/7
    Результат: \( -1\frac{5}{7} \)

    Площадь поверхности шара калькулятор онлайн

    – Автор: Игорь (Администратор)

    С помощью данного бесплатного онлайн калькулятора вы сможете рассчитать площадь поверхности шара разными методами. Преимуществом сервиса является то, что расчет осуществляется автоматически. Просто вводите значения в соответствующие поля.

    Примечание: Так же вам может быть полезен онлайн калькулятор объема шара.

     

    1. Площадь поверхности шара, зная радиус (R)

     

    Площадь поверхности шара (S) 0.000

     

     

    2. Площадь поверхности шара, зная диаметр (D)

     

    Площадь поверхности шара (S) 0.000

     

     

    3. Площадь поверхности шара, зная длину окружности (L)

     

    Площадь поверхности шара (S) 0.000

     

     

    Округлять до знаков после запятой (от 0 до 10)

     

    Шар — это геометрическое тело, которое имеет множество точек, равноудаленных от центра. Такое расстояние принято называть радиусом шара.

    Как самостоятельно узнать площадь поверхности шара?

    Для вычисления площади поверхности шара можно воспользоваться следующими формулами:

    Значение Пи равно 3.141592653589793 с точностью 15 десятичных знаков после запятой.

    1. Зная радиус (R):

    Площадь поверхности шара (S) = 4 * π * Радиус (R)2 = 4 * π * R2

    2. Зная диаметр (D):

    Площадь поверхности шара (S) = π * Диаметр (D)2 = π * D2

    3. Зная длину окружности (L):

    Площадь поверхности шара (S) = Длина окружности (L)2 / π = L2 / π

    Примечание: Длина окружности (L) = 2 * π * Радиус (R) = 2 * π * R

    Теперь, у вас всегда есть под рукой удобный и легкий калькулятор для расчетов.

    Понравилась заметка? Тогда время подписываться в социальных сетях и делать репосты!

    ☕ Хотите выразить благодарность автору? Поделитесь с друзьями!

    • Объем конуса калькулятор онлайн
    • Периметр квадрата калькулятор онлайн
    Добавить комментарий / отзыв

    Как рассчитать объем шара

    Объем шара (сферы)калькулятор для онлайн расчета

    Рассчитать объем шара (сферы) в режиме онлайн. Как рассчитать объем шара и формула объема шара — ответы на эти вопросы на нашем сайте.

    Объем шара

    Объем шара можно найти в результате расчёта производимого по формуле, при условии, если будут известны такие величины, как радиус шара и число пи

    Объем шараформула и расчет онлайн

     · На этой странице вы можете рассчитать объем шара. Предлагаем вам 3 формулы и калькуляторы для них. Различаются они исходными данными. Вы можете найти объем шара зная его радиус, диаметр или .

    Формула объема шара по радиусу, расчет в см3, м3 и

    Как рассчитать объем шара, если известен радиус? Объем шара определятся по формуле: V=4*Π*r 3 /3, где. Π = 3.1415926535 — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру;

    Как рассчитать объем шараМозган

    Как рассчитать объем шара. На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем шара онлайн. Для расчета задайте радиус. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах.

    Как рассчитать объем шара

    Как рассчитать объем шара Совет 1: Как найти площадь и объем шара В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую …

    Как вычислить объем шара как вычислить

    Как вычислить объем шара Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не .

    Объем шара | Формулы и расчеты онлайн

    Объем шара, формула. Шар или сфера.Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра шара.

    Как найти объём шара?

    Нужно знать его радиус. Умножить 4/3 на число «пи» и на радиус шара в третьей степени. К примеру, объем шара с радиусом 2 метра будет: 4/3х3,14х8=33,5 куб.метра

    Объем шараформула и расчет онлайн

    На этой странице вы можете рассчитать объем шара. Предлагаем вам 3 формулы и калькуляторы для них. Различаются они исходными данными. Вы можете найти объем шара зная его радиус, диаметр или .

    Формула объема шара по радиусу, расчет в см3, м3 и

    Как рассчитать объем шара, если известен радиус? Объем шара определятся по формуле: V=4*Π*r 3 /3, где. Π = 3.1415926535 — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру;

    Как рассчитать объем шараМозган

    Как рассчитать объем шара. На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем шара онлайн. Для расчета задайте радиус. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах.

    Расчет объема шара и формула объема шара,

    Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Наш онлайн калькулятор вычисляет объем шара …

    Формула объема шара по диаметру, расчет в см3, м3 и

    Как рассчитать объем шара, если известен диаметр? Объем шара определятся по формуле: V=Π*d 3 /6, где. Π = 3.1415926535 — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру;

    Как найти объём шара?

    Нужно знать его радиус. Умножить 4/3 на число «пи» и на радиус шара в третьей степени. К примеру, объем шара с радиусом 2 метра будет: 4/3х3,14х8=33,5 куб.метра

    Как найти объем шара?elHow

    Вокруг нас очень много предметов, имеющих сферическую поверхность. И порой возникают ситуации, когда необходимо рассчитать объем шара. Но все ли мы помним из курса школьной геометрии, как найти объем шара?

    Калькулятор расчета радиуса шара через объем

    где V — объем, r — радиус шара. Отсюда, радиус шара равен корню кубическому из объема шара деленного на три четвертых Пи: r = ∛(V / (¾π)) Рассчитать радиус шара через объем

    Ответы : Как рассчитать объём шара, если

    У нас есть шарльер. Как рассчитать объём шара, если известен масса полезного груза

    Как рассчитать объём ёмкости единица емкости

    Как рассчитать объем цилиндра. Емкость в виде шара. Измерьте рулеткой диаметр шара.

    Как найти радиус шара: формула через объем, площадь

    Объем шара составляет 904,32 . В данном случае рассчитать радиус шара можно, применив 2-ю формулу (через площадь поверхности): . Как …

    Как посчитать объём?

    Пример 3. Найти объем шара с диаметром 3 м. Чтобы посчитать кубические метры в шаре, вспомним формулу. v = 4/3πr 3. Подставляем заданное значение и находим объем: 4/3 х 3,14 х (1,5 м) 3 = 14,13 м 3.

    Площадь поверхности сферы, шара

    Формула площади поверхности шара (s): Калькулятор — вычислить, найти площадь поверхности сферы R = точность 2 1 2 4 6 10 F

    Как вычислить объем шара и другие нюансы при

     · Объем шара, формула для исчисления которого указана выше, выведен посредством интегрирования. Разберемся по пунктам. . Как рассчитать объем различных геометрических тел?

    Калькулятор объема

    Ниже приводится список калькуляторов объема для нескольких распространенных форм. Заполните соответствующие поля и нажмите кнопку «Рассчитать».

    Калькулятор объема сферы


    Калькулятор объема конуса


    Калькулятор объема куба


    Калькулятор объема цилиндра


    Калькулятор объема прямоугольного резервуара


    Калькулятор объема капсулы


    Калькулятор объема сферической крышки

    Для расчета укажите любые два значения ниже.


    Калькулятор объема конической ствола


    Калькулятор объема эллипсоида


    Калькулятор объема квадратной пирамиды


    Калькулятор объема трубки


    Калькулятор площади сопутствующих поверхностей | Калькулятор площади

    Объем — это количественная оценка трехмерного пространства, которое занимает вещество.Единицей измерения объема в системе СИ является кубический метр, или м 3 . Обычно объем контейнера — это его вместимость и количество жидкости, которое он может вместить, а не количество места, которое фактически вытесняет контейнер. Объемы многих форм можно рассчитать с помощью четко определенных формул. В некоторых случаях более сложные формы могут быть разбиты на более простые совокупные формы, а сумма их объемов используется для определения общего объема. Объемы других, еще более сложных форм можно рассчитать с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы.Помимо этого, формы, которые нельзя описать известными уравнениями, можно оценить с помощью математических методов, таких как метод конечных элементов. В качестве альтернативы, если плотность вещества известна и однородна, объем можно рассчитать, используя его вес. Этот калькулятор вычисляет объемы для некоторых из наиболее распространенных простых форм.

    Сфера

    Сфера — это трехмерный аналог двумерного круга. Это идеально круглый геометрический объект, который математически представляет собой набор точек, которые равноудалены от данной точки в ее центре, где расстояние между центром и любой точкой на сфере составляет радиус r .Вероятно, самый известный сферический объект — это идеально круглый шар. В математике существует различие между шаром и сферой, где шар представляет собой пространство, ограниченное сферой. Независимо от этого различия, шар и сфера имеют одинаковый радиус, центр и диаметр, и расчет их объемов одинаков. Как и в случае с кругом, самый длинный отрезок, соединяющий две точки сферы через ее центр, называется диаметром d . Уравнение для расчета объема шара приведено ниже:

    EX: Клэр хочет заполнить идеально сферический воздушный шар с радиусом 0.15 футов с уксусом для борьбы с ее заклятым врагом Хильдой на воздушных шарах в предстоящие выходные. Необходимый объем уксуса можно рассчитать, используя приведенное ниже уравнение:

    объем = 4/3 × π × 0,15 3 = 0,141 фута 3

    Конус

    Конус — это трехмерная форма, которая плавно сужается от своего обычно круглого основания к общей точке, называемой вершиной (или вершиной). Математически конус образован так же, как круг, набором отрезков прямых, соединенных с общей центральной точкой, за исключением того, что центральная точка не входит в плоскость, содержащую круг (или другое основание).На этой странице рассматривается только случай конечного правого кругового конуса. Конусы, состоящие из полукруглых линий, некруглых оснований и т. Д., Которые простираются бесконечно, не рассматриваются. Уравнение для расчета объема конуса выглядит следующим образом:

    , где r — радиус, а h — высота конуса

    EX: Би полна решимости выйти из магазина мороженого, не зря потратив свои с трудом заработанные 5 долларов. Хотя она предпочитает обычные сахарные рожки, вафельные рожки, несомненно, больше.Она определяет, что на 15% предпочитает обычные сахарные рожки вафельным рожкам, и ей необходимо определить, превышает ли потенциальный объем вафельного рожка на ≥ 15% больше, чем у сахарного рожка. Объем вафельного рожка с круглым основанием радиусом 1,5 дюйма и высотой 5 дюймов можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

    объем = 1/3 × π × 1,5 2 × 5 = 11,781 дюйм 3

    Беа также вычисляет объем сахарного рожка и обнаруживает, что разница составляет <15%, и решает купить сахарный рожок.Теперь все, что ей нужно сделать, это использовать свой ангельский детский призыв, чтобы заставить посох выливать мороженое из контейнеров в ее рожок.

    Куб

    Куб является трехмерным аналогом квадрата и представляет собой объект, ограниченный шестью квадратными гранями, три из которых пересекаются в каждой из его вершин, и все они перпендикулярны своим соответствующим смежным граням. Куб является частным случаем многих классификаций геометрических фигур, включая квадратный параллелепипед, равносторонний кубоид и правый ромбоэдр.Ниже приведено уравнение для расчета объема куба:

    объем = 3
    где a — длина ребра куба

    EX: Боб, который родился в Вайоминге (и никогда не покидал штат), недавно посетил свою исконную родину Небраску. Пораженный великолепием Небраски и окружающей средой, непохожей на какие-либо другие, с которыми он когда-либо сталкивался, Боб знал, что он должен привезти с собой домой часть Небраски. У Боба есть чемодан кубической формы с длиной по краям 2 фута, и он рассчитывает объем почвы, который он может унести с собой домой, следующим образом:

    объем = 2 3 = 8 футов 3

    Цилиндр

    Цилиндр в его простейшей форме определяется как поверхность, образованная точками на фиксированном расстоянии от данной прямой оси.Однако в обычном использовании «цилиндр» относится к правильному круговому цилиндру, где основания цилиндра представляют собой окружности, соединенные через их центры осью, перпендикулярной плоскостям его оснований, с заданной высотой h и радиусом r . Уравнение для расчета объема цилиндра показано ниже:

    объем = πr 2 ч
    где r — радиус, а h — высота резервуара

    EX: Кэлум хочет построить замок из песка в гостиной своего дома.Поскольку он является твердым сторонником рециркуляции, он извлек три цилиндрических бочки с незаконной свалки и очистил бочки от химических отходов, используя средство для мытья посуды и воду. Каждая бочка имеет радиус 3 фута и высоту 4 фута, и Кэлум определяет объем песка, который может вместить каждая, используя следующее уравнение:

    объем = π × 3 2 × 4 = 113.097 футов 3

    Он успешно строит замок из песка в своем доме и в качестве дополнительного бонуса экономит электроэнергию на ночном освещении, так как его замок из песка светится ярко-зеленым в темноте.

    Прямоугольный бак

    Прямоугольный резервуар — это обобщенная форма куба, стороны которого могут иметь разную длину. Он ограничен шестью гранями, три из которых пересекаются в его вершинах, и все они перпендикулярны своим соответствующим смежным граням. Уравнение для расчета объема прямоугольника показано ниже:

    объем = длина × ширина × высота

    EX: Дарби любит торт. Она ходит в спортзал по 4 часа в день, каждый день, чтобы компенсировать свою любовь к торту.Она планирует отправиться в поход по тропе Калалау на Кауаи, и, хотя она в очень хорошей форме, Дарби беспокоится о своей способности пройти тропу из-за отсутствия торта. Она решает упаковать только самое необходимое и хочет набить свою идеально прямоугольную упаковку длиной, шириной и высотой 4 фута, 3 фута и 2 фута соответственно тортом. Точный объем торта, который она может уместить в свою упаковку, рассчитан ниже:

    объем = 2 × 3 × 4 = 24 фута 3

    Капсула

    Капсула — это трехмерная геометрическая форма, состоящая из цилиндра и двух полусферических концов, где полусфера — это полусфера.Отсюда следует, что объем капсулы можно рассчитать, объединив уравнения объема для сферы и правого кругового цилиндра:

    объем = πr 2 ч + πr 3 = πr 2 ( р + з)

    , где r — радиус, а h — высота цилиндрической части

    EX: Имея капсулу радиусом 1,5 фута и высотой 3 фута, определите объем растопленного молочного шоколада, который Джо может унести в капсуле времени, которую он хочет похоронить для будущих поколений на пути к самопознанию Гималаи:

    объем = π × 1.5 2 × 3 + 4/3 × π × 1,5 3 = 35,343 фута 3

    Сферический колпачок

    Сферический колпачок — это часть сферы, отделенная от остальной сферы плоскостью. Если плоскость проходит через центр сферы, сферический колпачок называется полусферой. Существуют и другие различия, включая сферический сегмент, где сфера сегментирована двумя параллельными плоскостями и двумя разными радиусами, где плоскости проходят через сферу. Уравнение для расчета объема сферической крышки выводится из уравнения для сферического сегмента, где второй радиус равен 0.Относительно сферической крышки, указанной в калькуляторе:

    Имея два значения, калькулятор вычисляет третье значение и объем. Уравнения для преобразования между высотой и радиусом показаны ниже:

    Для r и R : h = R ± √R 2 — r 2

    Для R и h : r = √2Rh — h 2
    где r — радиус основания, R — радиус сферы, а h — высота сферической крышки.

    EX: Джек действительно хочет победить своего друга Джеймса в игре в гольф, чтобы произвести впечатление на Джилл, и вместо того, чтобы тренироваться, решает саботировать мяч для гольфа Джеймса.Он отрезает идеальную сферическую крышку от верхней части мяча для гольфа Джеймса и ему нужно рассчитать объем материала, необходимый для замены сферической крышки и перекоса веса мяча для гольфа Джеймса. Учитывая, что мяч для гольфа Джеймса имеет радиус 1,68 дюйма, а высота сферической крышки, которую срезал Джек, составляет 0,3 дюйма, объем можно рассчитать следующим образом:

    объем = 1/3 × π × 0,3 2 (3 × 1,68 — 0,3) = 0,447 дюйма 3

    К несчастью для Джека, за день до игры Джеймс получил новую партию мячей, и все усилия Джека были напрасны.

    Коническая Frustum

    Усеченный конус — это часть твердого тела, которая остается, когда конус разрезается двумя параллельными плоскостями. Этот калькулятор рассчитывает объем специально для правильного кругового конуса. Типичные конические усики, встречающиеся в повседневной жизни, включают абажуры, ведра и некоторые стаканы для питья. Объем усеченного правого конуса рассчитывается по следующей формуле:

    объем = πh (r 2 + rR + R 2 )

    где r и R — радиусы оснований, h — высота усеченного конуса

    EX: Би успешно приобрела мороженое в сахарном рожке и только что съела его так, что мороженое остается упакованным внутри рожка, а поверхность мороженого находится на уровне и параллельно плоскости отверстия рожка.Она собирается начать есть свой рожок и оставшееся мороженое, когда ее брат хватает ее рожок и откусывает часть дна рожка, которая идеально параллельна ранее единственному отверстию. Теперь у Би осталась коническая усеченная пирамида, из которой вытекает мороженое, и ей нужно рассчитать объем мороженого, который она должна быстро съесть, учитывая высоту усеченной пирамиды 4 дюйма с радиусом 1,5 дюйма и 0,2 дюйма:

    объем = 1/3 × π × 4 (0,2 2 + 0,2 × 1,5 + 1,5 2 ) = 10.849 из 3

    Эллипсоид

    Эллипсоид является трехмерным аналогом эллипса и представляет собой поверхность, которую можно описать как деформацию сферы посредством масштабирования элементов направления. Центр эллипсоида — это точка, в которой пересекаются три попарно перпендикулярные оси симметрии, а отрезки прямых, ограничивающие эти оси симметрии, называются главными осями. Если все три имеют разную длину, эллипсоид обычно называют трехосным.Уравнение для расчета объема эллипсоида выглядит следующим образом:

    , где a , b и c — длины осей

    EX: Хабат любит есть только мясо, но его мать настаивает на том, что он ест слишком много, и позволяет ему есть столько мяса, сколько он может уместить в булочке в форме эллипса. Таким образом, Хабат выдалбливает булочку, чтобы максимально увеличить объем мяса, который он может уместить в своем сэндвиче. Учитывая, что его булочка имеет длину оси 1,5 дюйма, 2 дюйма и 5 дюймов, Хабат рассчитывает объем мяса, который он может уместить в каждой полой булочке, следующим образом:

    объем = 4/3 × π × 1.5 × 2 × 5 = 62,832 дюйма 3

    Квадратная пирамида

    Пирамида в геометрии — это трехмерное твердое тело, образованное путем соединения многоугольного основания с точкой, называемой его вершиной, где многоугольник — это форма на плоскости, ограниченная конечным числом отрезков прямой. Существует много возможных многоугольных оснований пирамиды, но квадратная пирамида — это пирамида, в которой основание представляет собой квадрат. Еще одно отличие пирамид заключается в расположении вершины. У правых пирамид есть вершина, которая находится прямо над центром тяжести ее основания.Независимо от того, где находится вершина пирамиды, если ее высота измеряется как перпендикулярное расстояние от плоскости, содержащей основание, до ее вершины, объем пирамиды может быть записан как:

    Объем обобщенной пирамиды:

    , где b — площадь основания, а h — высота

    Объем квадратной пирамиды:

    , где a — длина края основания

    EX: Ван очарован Древним Египтом и особенно любит все, что связано с пирамидами.Будучи старшим из своих братьев и сестер Ту, Дерево и Форе, он может легко загонять и развертывать их по своему желанию. Воспользовавшись этим, Ван решает воссоздать древнеегипетские времена, а его братья и сестры выступают в роли рабочих, строящих ему пирамиду из грязи с длиной ребра 5 футов и высотой 12 футов, объем которой можно рассчитать, используя уравнение для квадрата. пирамида:

    объем = 1/3 × 5 2 × 12 = 100 футов 3

    Трубчатая пирамида

    Трубка, часто также называемая трубой, представляет собой полый цилиндр, который часто используется для передачи жидкостей или газа.Для вычисления объема трубы используется та же формула, что и для цилиндра (объем = pr 2 h ), за исключением того, что в этом случае используется диаметр, а не радиус, и длина, а не высота. Таким образом, формула включает измерение диаметров внутреннего и внешнего цилиндров, как показано на рисунке выше, вычисление каждого из их объемов и вычитание объема внутреннего цилиндра из объема внешнего. С учетом использования длины и диаметра, упомянутых выше, формула для расчета объема трубы показана ниже:

    , где d 1 — внешний диаметр, d 2 — внутренний диаметр, а l — длина трубы

    EX: Beulah посвящен охране окружающей среды.Ее строительная компания использует только самые экологически чистые материалы. Она также гордится тем, что удовлетворяет потребности клиентов. У одного из ее клиентов есть загородный дом, построенный в лесу через ручей. Ему нужен более легкий доступ к своему дому, и он просит Беулу построить ему дорогу, следя за тем, чтобы ручей мог течь свободно, чтобы не мешать его любимому месту рыбалки. Она решает, что надоедливые бобровые дамбы будут хорошей отправной точкой для прокладки трубы через ручей. Объем запатентованного бетона с низкой ударопрочностью, необходимый для строительства трубы с внешним диаметром 3 фута и внутренним диаметром 2.5 футов и длина 10 футов можно рассчитать следующим образом:

    объем = π × × l0 = 21,6 футов 3

    Единицы измерения общего объема

    160000009

    ,7000

    ,70000009230 10 15000230 10 15000 Если вы хотите узнать, какой объем у Земли, футбольного мяча или гелиевого шара, наш калькулятор объема сферы здесь для вас.Это может помочь вычислить объем сферы, учитывая радиус или длину окружности. Также с помощью этого калькулятора вы можете определить объем сферической шапки или объем полусферы.

    Формула объема шара

    Сфера — это трехмерный геометрический объект идеально круглой формы. Формула его объема равна:

    объем = (4/3) * π * r³

    Обычно вы не знаете радиус, но вместо этого вы можете измерить окружность сферы, например, используя веревку или веревку.Окружность сферы — это одномерное расстояние вокруг сферы в самом широком месте.

    Окружность = 2 * π * r , поэтому r = окружность / (2 * π)

    Как найти объем сферы?

    Знаете ли вы, каков объем официального футбольного мяча чемпионата мира по футболу под названием , размер 5 ? Или баскетбол, размер 7 ? Давай проверим!

    1. Введите радиус сферы . Радиус футбольного мяча 5 размера должен быть равен 4.3-4,5 дюйма, возьмем 4,4 дюйма .
    2. Объем сферы предстал как окружность. Они равны 357 у.е. в и 27,6 у .
    3. Предположим, что радиус баскетбольного мяча неизвестен. Введите длину окружности вместо . Для баскетбольных мячей 7 типичный размер 29,5 из .
    4. Отображаются объем сферы и радиус: 433,5 куб. См в и 4,7 в соответственно.

    А теперь попробуйте что-нибудь посчитать, возьмите что-нибудь побольше… Может вы хотите узнать объем Земли? Средний радиус составляет приблизительно 6,37 x 10 6 м. Тогда объем:

    объем = (4/3) x π x (6370000 м) ³ = 1,082,696,932,430,002,306,149 м³

    Расчет объема сферической крышки

    Сферический колпачок, также называемый сферическим куполом, представляет собой часть сферы, отсеченную плоскостью. Формула его объема:

    объем = ((π * h²) / 3) * (3r - h) или
    объем = (1/6) * π * h * (3a² + h²) , где радиус сферы равен r , высота колпака (синего) h , а a — радиус основания колпака

    Одним из примеров сферического купола является аквариум, давайте посчитаем, сколько воды нам нужно, чтобы его заполнить:

    1. Найдите высоту крышки .Например 7 из .
    2. Определите радиус основания крышки . Скажем, это равно 3,1 из .
    3. Объем сферической крышки равен , так же как и радиус сферы. В нашем примере они равны 287 у.е. в и 4.2 в .
    4. Чтобы рассчитать объем полной сферы, используйте базовый калькулятор. Введите радиус 4,2 в .
    5. Теперь вы знаете, что у этого аквариума объем 287 у.е. из , по сравнению с 310.3 у.е. в для полного объема сферы с таким же радиусом.

    Расчет объема полусферы

    Как рассчитать? Просто воспользуйтесь формулой для объема сферической крышки с равными друг другу параметрами: радиус сферы = высота крышки = радиус основания крышки . Кроме того, вы можете разделить результат полной сферы на 2.

    Хотите больше?

    Калькулятор объема сферы — только один из наших потрясающих инструментов для измерения объема, обратите внимание на другие:

    Калькулятор объема сферы 📐

    Быстрая навигация:

    1. Формула объема сферы
    2. Как рассчитать объем сферы?
    3. Пример: найти объем сферы

    Формула объема шара

    Объем сферы равен 4/3 x π x (диаметр / 2) 3 , где (диаметр / 2) — радиус сферы (d = 2 xr), поэтому можно записать его по-другому: 4/3 x π x радиус 3 .Наглядно на рисунке ниже:

    Поскольку в большинстве практических ситуаций диаметр известен (путем измерения или из плана / схемы), первая формула обычно наиболее полезна, но это легко сделать в обоих направлениях. Единицей полученного числа является куб единицы длины, используемой для радиуса / диаметра. Таким образом, результат нашего калькулятора объема сферы выражается в кубических дюймах, кубических футах, кубических ярдах, кубических милях или в метрической системе: кубические см, кубические метры и т. Д.

    Как рассчитать объем шара?

    Обычно самая сложная часть — это измерение или оценка диаметра сферы.Существуют специальные инструменты для небольших деталей, таких как шарики в шарикоподшипниках, но с большими размерами все усложняется. Зная, что диаметр — это наибольшее внутреннее измерение, которое вы можете сделать, должно помочь.

    После измерения используйте приведенную выше формулу, в которой π — это хорошо известная математическая константа, равная примерно 3,14159. Чтобы сделать поправку на расчет полусферы, просто разделите результат на два.

    Сферы и полусферы полезны в инженерии и архитектуре из-за их способности воспринимать одинаковое количество давления или силы с каждого направления.


    Пример: найти объем сферы

    Необходимо знать только одно измерение, чтобы вычислить объем сферы, а именно ее диаметр. Например, если известно, что диаметр составляет 20 футов, вычислите объем, используя первую формулу выше, чтобы получить 4/3 x 3,14159 x (20/2) 3 = 4,1866 x 1000 = 4188,79 футов 3 ( кубический фут).

    В качестве альтернативы, если указан радиус, умножьте его на два, чтобы получить диаметр, или используйте вместо этого второе уравнение, приведенное выше.Например, если радиус сферы составляет 5 дюймов, использование второго уравнения объема сферы дает 4/3 x 3,14159 x 5 3 = 4,1866 x 125 = 523,6 дюйма 3 (кубических дюймов).

    Volume Calculator 📐 — вычислить объем куба, коробки, цилиндра, сферы, конуса …

    Быстрая навигация:

    1. Как рассчитать объем тела?
    2. Объем куба
    3. Объем ящика
    4. Объем цилиндра
    5. Объем шара
    6. Объем конуса
    7. Объем треугольной призмы
    8. Примеры применения формул объема

    Как рассчитать объем тела?

    В зависимости от конкретного тела существуют разные формулы и другая необходимая информация, необходимая для расчета его объема.Ниже приведены формулы объема для наиболее распространенных типов геометрических тел — все они поддерживаются нашим онлайн-калькулятором, указанным выше. Все меры должны быть в одном блоке. Результат всегда в кубических единицах: кубических сантиметрах, кубических дюймах, кубических метрах, кубических футах, кубических ярдах и т. Д.

    Расчет объема полезен во многих науках, при строительных работах и ​​планировании, при грузовых перевозках, в управлении климатом (например, расчет кондиционирования воздуха), управлении бассейнами и т. Д.

    Объем куба

    Формула объема для куба: сторона 3 , как показано на рисунке ниже:

    Единственная необходимая информация — это сторона, затем вы берете ее куб, и у вас есть объем куба. Это то же самое, что умножить площадь поверхности одной стороны на глубину куба. Для фигур такого типа едва ли нужен калькулятор, чтобы делать математику.


    Объем ящика

    Формула объема для прямоугольной коробки: высота x ширина x длина , как показано на рисунке ниже:

    Чтобы рассчитать объем ящика или прямоугольного резервуара, вам понадобятся три измерения: ширина, длина и высота.Их обычно легко измерить благодаря правильности формы. Обозначая одно измерение как глубину или высоту прямоугольной призмы, умножение двух других дает нам площадь поверхности, которую затем необходимо умножить на глубину / высоту, чтобы получить объем. Чтобы рассчитать объем резервуара другой формы, воспользуйтесь нашим калькулятором объема резервуара.

    Объем цилиндра

    Формула объема для цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) 2 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), поэтому можно записать его другим способом: высота x π x радиус 2 .Изображение на рисунке ниже:

    Вам нужно два измерения: высота цилиндра и диаметр его основания. Во многих школьных формулах вместо этого указывается радиус, но в реальных ситуациях гораздо проще измерить диаметр, чем пытаться точно определить среднюю точку круглого основания, чтобы вы могли измерить радиус. Наш калькулятор объема требует, чтобы вы указали диаметр основания. По диаметру можно рассчитать площадь поверхности основания, а затем, чтобы получить объем, просто умножьте его на высоту цилиндра.


    Объем шара

    Формула объема для сферы: 4/3 x π x (диаметр / 2) 3 , где (диаметр / 2) — радиус сферы (d = 2 xr), поэтому можно записать это иначе равно 4/3 x π x радиус 3 . Наглядно на рисунке ниже:

    Так же, как и с кругом, вам нужно только одно измерение сферы: ее диаметр или радиус.

    Объем конуса

    Формула объема для конуса: (высота x π x (диаметр / 2) 2 ) / 3 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), поэтому можно использовать другой способ напишите это (высота x π x радиус 2 ) / 3 , как показано на рисунке ниже:

    Несмотря на то, что это довольно сложная форма, вам нужно знать только три измерения, чтобы вычислить объем обычного конуса.Для конусов неправильной формы, которые еще не поддерживаются нашим инструментом, вам также необходимо знать угол конуса.


    Объем треугольной призмы

    Формула объема для треугольной призмы: (высота x основание x длина) / 2 , как показано на рисунке ниже:

    Подобно прямоугольным коробкам, вам нужно всего три измерения: высота, основание и длина.

    Примеры приложений формулы объема

    Расчеты объема и, следовательно, формулы имеют широкий спектр практических применений.Если вы столкнулись со строительным проектом, домашним украшением дома или определенными инженерными задачами, калькулятор поможет вам, если цифра, которую вы хотите рассчитать, попадает в любую из вышеперечисленных форм. Сложные фигуры обычно можно разложить, по крайней мере приблизительно, на сумму вышеперечисленных основных фигур.

    Если вы хотите выполнить более конкретную задачу, например, рассчитать необходимое количество бетона или количество асфальта, гравия, почвы, песка или мульчи, лучше всего обратиться к каждому из этих инструментов соответственно.

    Объем сферы — веб-формулы

    Сфера — это трехмерное твердое тело без основания, без ребра, без грани и без вершины. сфера — это круглое тело, все точки на поверхности которого равноудалены от центра. Объем шара измеряется в кубических единицах.



    Объем сферы определяется как: V = 4/3 × π × r 3 = π × d 3 /6

    Радиус сферы можно определить, выделив r из приведенной выше формулы :

    Пример 1: Вычислить радиус сферы, объем которой составляет 1000 см 3 .
    Решение :
    Формула для определения радиуса сферы:

    Пример 2: Найдите объем сферы радиусом 9,6 м, округлив ответ до двух десятичных знаков.
    Решение :
    Чтобы найти объем сферы, нам нужно вставить значение r в формулу:
    V = 4/3 × π × r 3
    В = 4/3 × π × 9.6 3
    V = 3704,09 м 3
    Таким образом, объем сферы равен 3704,09 м 3

    Пример 3: Прямоугольный металлический блок имеет размеры 21 см, 77 см и 24 см. см. Блок превратился в сферу. Найдите радиус сферы.
    Раствор :
    Объем твердого прямоугольного металлического блока составляет: 21 × 77 × 24 см 3 .
    Пусть r — радиус сферы
    Тогда объем сферы равен: V = 4/3 × π × r 3
    Поскольку объем неизменен, имеем:
    4/3 × π × r 3 = 21 × 77 × 24
    r 3 = (21 × 77 × 24) / (4/3 × π)
    r = 21 см


    Пример 4: Мрамор (в форме сферы) имеет диаметр 1см.Каков объем мрамора?
    Решение:
    V = π × d 3 /6
    V = π × 1 3 /6
    V = 0,5236
    V = 0,52 объема
    размер мрамора: 0,52 см 3


    Пример 5: Площадь поверхности твердой сферы составляет 1254 квадратных футов. Найдите объем твердой сферы.
    Решение :
    Площадь поверхности твердой сферы:
    SA = 4 × π × r 2
    1254 = 4 × π × r 2
    r 2 = 1254 / ( 4 × π )
    г = 9.99 футов

    Таким образом, объем сферы равен:
    V = 4/3 × π × r 3
    V = 4/3 × π × 9,99 3
    V = 4174,12 футов 3

    Онлайн-калькулятор объема, щелкните ссылку, чтобы открыть новое окно.

    Калькулятор объема и площади поверхности

    Онлайн-калькулятор объема и площади поверхности: определение объема и площади поверхности ствола, конуса, конуса усадки, куба, цилиндра, полого цилиндра, секционного цилиндра, параллелепипеда, гексагональной призмы, пирамиды, пирамиды конуса, сферы, сферической крышки, сферического сектора , Использование сферической зоны и тора.

    Рассчитайте общую площадь конуса

    Всякий раз, когда возникает вопрос об общей площади, это означает, что мы должны принять во внимание все грани твердого тела и добавить их соответствующие площади.

    Рассчитать объем конуса

    Объем круглого конуса основания равен одной трети произведения площади основания на высоту.

    V = (A b .h) / 3, где h = высота конуса. A b = площадь основания

    Расчет площади и поверхности куба

    Площадь куба выражается в единицах измерения длины стороны c в квадрате.Пример: если длина c выражена в сантиметрах (см), то площадь куба будет выражена в см².

    Принцип вычисления площади куба У куба 6 сторон (как у бросаемого кубика). Каждая из этих граней представляет собой квадрат, площадь которого равна c² (формула для вычисления площади квадрата).

    Следовательно, площадь A куба, у которого c является мерой сторон, равна:

    A = 6c²

    Рассчитать объем куба

    Чтобы определить его объем, мы должны полагаться на размеры его основания, а также на его высоту.В случае с кубом эти измерения такие же. Таким образом, мы можем вывести следующую формулу:

    объем куба = c 3 , где c = размер ребра.

    Объем куба выражается в единицах измерения длины стороны c в кубе. Пример: если длина c выражена в сантиметрах (см), тогда объем куба будет выражен в см³.

    Таким образом, мы можем вычислить пространство, занимаемое кубом, независимо от ситуации.

    Рассчитать объем цилиндра

    Объем цилиндра соответствует пространству, которое он занимает в окружающей среде.Даже если это твердое тело не принадлежит к семейству призм, его формула для расчета объема такая же, как эта.

    В = πr² × ч, где:

    h = высота цилиндра

    r = радиус основания

    Расчет объема ствола конуса

    Объем усадки конуса определяется по формуле:

    Объем ствола конуса = (π / 3) .h. (R 2 + r 2 + r.R)

    Наш калькулятор использует эту формулу и позволяет быстро получить объем усадки конуса в соответствии с его высотой и радиусом каждого из его оснований.

    R = радиус конуса

    r = радиус конуса Frustum

    h = высота конуса Frustum

    Рассчитать объем ствола пирамиды

    Объем ствола пирамиды — это произведение ее высоты на среднее арифметическое площадей ее оснований и их среднее геометрическое. Объем V Frustum выражается общей формулой:

    В = h / 3 (S + s + & Sqrt; S.s)

    , где h — высота Frustum между двумя параллельными плоскостями, а S и s — площади оснований Frustum (содержащихся в параллельных плоскостях сечения твердого тела.

    Расчет объема шестигранной призмы

    Вы должны использовать формулу объема неправильной призмы, чтобы найти объем шестиугольной призмы. Объем неровности призмы равен площади основания, умноженной на высоту призмы. После вычисления площади умножьте результат на высоту призмы.

    длина стороны:

    высота: h

    Отсюда формула:

    объем Гексагональной призмы V = (3 & Sqrt; 3) / 2.a² .h

    Примечание. Перед выполнением расчета все размеры должны быть выражены в одной и той же единице длины!

    Принцип расчета объема полого цилиндра

    Принцип расчета объема полого цилиндра Объем сплошного цилиндра диаметром D и высотой h рассчитывается по следующей формуле:

    А = (π / 4). D². h

    Чтобы рассчитать объем полого цилиндра, просто вычтите из объема внешнего цилиндра объем внутреннего цилиндра.Следовательно, его объем V равен:

    .

    A = (π / 4. D². H) — (π / 4. D². H) = π / 4. ч. (D² — d²)

    Рассчитать объем параллелепипеда

    Объем параллелепипеда соответствует пространству, которое он занимает в окружающей его среде.

    Проектируем:

    Длина:

    Ширина: c

    Глубина: b

    Отсюда формула:

    объем параллелепипеда V = a. b .c

    Примечание. Перед выполнением расчета все размеры должны быть выражены в одной и той же единице длины!

    Вычислить общую площадь пирамиды

    Общая площадь пирамиды получается сложением ее боковой площади и площади основания.

    боковая часть: A L

    Площадь основания: A B

    Отсюда формула для расчета общей площади пирамиды A T :

    A T = A L + A B

    Рассчитать объем пирамиды

    Поскольку этот многогранник образован только одним основанием, формула его объема будет отличаться от формулы объема призм.

    Объем пирамиды рассчитывается путем умножения площади ее основания на длину ее высоты и последующего деления результата на 3:

    .

    Объем пирамиды = (Площадь основания x высота) / 3

    Рассчитать объем секционного цилиндра

    Для расчета объема цилиндра, разделенного на секции, необходимо выполнить следующее уравнение:

    π пи (что равно 3.14), умноженный на квадрат радиуса, умноженный на (высота 1 + высота 2), деленный на 2

    Таким образом, формула:

    Объем секционного цилиндра = π. r². (h2 + h3) / 2

    Наименьшая высота представлена ​​h2, а самая высокая — h3.

    Рассчитать площадь цилиндра секционного

    Чтобы рассчитать площадь цилиндра, разделенного на секции, необходимо выполнить следующее уравнение:

    π пи (что составляет 3,14), умноженное на радиус, умноженное на (высота 1 + высота 2)

    Таким образом, формула:

    Площадь секционного цилиндра = π.р . (h2 + h3)

    Наименьшая высота представлена ​​h2, а самая высокая — h3.

    Как рассчитать объем в литрах?

    1 литр равен 0,001 м³. Мы также можем определить, что 1 м³ равен 1000 литрам. Итак, если мы воспользуемся формулой для расчета объема: длина x ширина x высота и преобразуем результат, мы получим объем в литрах. Например, рассмотрим бассейн длиной 10 м, шириной 3 м и глубиной 2 м (мы предполагаем, что глубина одинакова по всей длине бассейна).Таким образом, формула будет:

    10 x 3 x 2 = 60 м³. Если перевести этот результат в литры, получим: 60 м³ = 60 000 литров

    Поделиться

    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ

    Вычислить площадь сферы

    Хотя он полностью состоит из одной криволинейной поверхности, можно вычислить площадь сферы.

    А = 4. π. r², где r = мера радиуса

    По изогнутой поверхности видно определенное сходство между этой формулой и формулой, позволяющей рассчитать площадь диска.Таким образом, для использования этой формулы необходимо только одно измерение, а именно измерение радиуса.

    Вычислить объем Сферы

    Объем сферы соответствует пространству внутри сферы, которая ее ограничивает. Чтобы найти его объем, просто примените эту формулу:

    В = 4. π .r 3 с r = мера радиуса

    Еще раз, для завершения процесса необходимо только измерение радиуса.

    Рассчитать объем сферической крышки

    Объем, ограниченный сферической крышкой высотой h и сферой радиуса r, равен:

    В = π.r 2 (r — h / 3)

    Рассчитать объем сферического сектора

    Объем V сферического сектора, соответствующего сферической крышке высотой h в шаре радиуса r, определяется соотношением:

    V = (2. Π .r 2 .h) / 3

    Расчет площади сферической зоны

    Площадь сферической зоны или сферической крышки определяется по следующей формуле:

    A = 2π. R .h

    в котором:

    r — радиус сферы;

    ч — расстояние между двумя параллельными плоскостями.

    Расчет объема сферической зоны

    Объем V сферической зоны, соответствующей сферической шапке высотой h в шаре радиуса r, определяется соотношением:

    V = π h / 6 (3R 2 + 3r 2 + h 2 )

    в котором:

    h: высота зоны

    a: большой радиус

    b: малый радиус

    Формула объема бочки

    Йоханнес КЕПЛЕР (немецкий математик и астроном, 1571–1630) установил следующую формулу для расчета приблизительного значения V объема бочки:

    Объем бочки = (πh / 12) x (2D 2 + d 2 )

    h: высота

    D: средний радиус

    d: верхний и нижний радиус

    Вычислить площадь Тора

    Площадь A тора радиуса R, порожденного кругом радиуса r, определяется выражением:

    А = 4π 2 .Р . r

    в котором:

    R: большой радиус

    r: малый радиус

    Рассчитать объем Тора

    Объем V тора радиуса R, образованного кругом радиуса r, определяется выражением:

    В = 2π 2 . г 2 . R

    в котором:

    R: большой радиус

    r: малый радиус

    Твердые тела — объемы и поверхности

    Куб

    Объем

    V = a 3 (1)

    , где

    V = объем (м 3 , м 3 )

    a = сторона (м, футы)

    Площадь поверхности

    A 0 = 6 a 2 (1b)

    где

    A 0 = площадь поверхности (м 2 , фут 2 )

    Диагональ

    d = a 3 1/2 (1c)

    где

    d = внутренняя диагональ (м, фут)

    Диагональ кубической грани

    d s = a 2 1/2 (1d)

    Кубоид — квадратная призма

    90 003

    Объем

    V = abc (2)

    где

    V = объем твердого тела (м 3 , фут 3 )

    a = длина прямоугольной призмы (м , фут)

    b = ширина прямоугольной призмы (м, футы)

    c = высота прямоугольной призмы (м, фут)

    Диагональ

    d = ( 2 + b 2 + c 2 ) 1/2 (2b)

    Площадь поверхности

    A 0 = 2 (ab + ac + bc) (2c)

    где

    A 0 = площадь поверхности твердого тела (м 2 , футы 2 )

    Параллелепипед 9013 4

    Объем

    V = A 1 h (3a)

    где

    A 1 = боковая поверхность (м 2 , фут 2 )

    35 9 Компоненты эскиза из Engineering ToolBox

    • Геометрические фигуры — цилиндры, прямоугольники, конусы, плоскости, сферы, линии, кривые и многое другое..

    — бесплатный плагин Engineering ToolBox для использования с замечательным приложением для рисования / моделирования Sketchup 3D.

    Цилиндр

    Объем

    V = π r 2 h = ( π / 4) d 2 h (4a)

    35

    35

    35

    35

    35

    35

    35

    d = диаметр цилиндра (м, фут)

    r = радиус цилиндра (м, фут)

    h = высота цилиндра (м, фут)

    Поверхность

    A = 2 π rh + 2 π r 2 (4b)

    Полый цилиндр

    Объем

    V = π / 4 h (D 2 — d 2 ) (5) 900

    Пирамида

    Объем

    V = 1/3 ч A 1 (6)

    где

    A 1 90 395 = площадь основания (м 2 , фут 2 )

    h = перпендикулярная высота пирамиды (м, фут)

    Поверхность

    A = ∑ сумма площадей треугольников, образующих стороны + A b (6b)

    где

    площади поверхностей треугольных граней будут иметь разные формулы для оснований разной формы

    Frustum of Pyramid

    Объем

    h / 3 (A 1 + A 2 + (A 1 A 2 ) 1/2 ) (7)

    Конус

    Объем

    V = 1/3 π r 2 h (8a)

    где

    r = радиус основания конуса (м, футы)

    h = высота конуса (м, футов)

    Поверхность

    A = π rl + π r 2 (8b)

    где

    l = (r 2 + h 2 ) = длина стороны конуса (м, футы)

    Сторона

    м = (h 2 + r 2 ) 1/2 (8c)

    A 2 / A 1 = x 2 / h 2 (8d)

    Углубление конуса

    Объем

    V = π / 12 h (D 2 + D d + d 2 ) (9a)

    m = (((D — d) / 2) 2 + h 2 ) 1/2 (9c)

    Сфера

    Объем

    V = 4/3 π r 3

    = 1/6 π d 3 (10a)

    где

    r = радиус сферы (м, футов)

    Поверхность

    A = 4 π r 2

    = π d 2 (10b)

    35 м :

    Поверхность:

    Сферы с дробным диаметром — площадь поверхности и объем

    Зона сферы

    V = π / 6 h (3a 2 + 3b 2 + h) ( 11a)

    A m = 2 π rh (11b)

    A 0 = π (2 rh + a 2 + b 2 ) (11c)

    Сегмент сферы

    V = π / 6 h (3/4 с 2 + h 2 )

    = π h 2 (r — h / 3) (12a)

    A m = 2 π rh

    = π / 4 (s 2 + 4 h 2 ) (12b)

    Сектор сферы

    V = 2/3 π r 2 h (13a)

    A 0 = /2 r (4 ч + с) (13b)

    Сфера с цилиндрическим растачиванием

    V = π / 6 h 3 (14a)

    A 90 394 0 = 4 π ((R + r) 3 (R — r)) 1/2

    = 2 π h (R + r) (14b)

    h = 2 (R 2 — r 2 ) 1/2 (14c)

    Сфера с коническим растачиванием

    V = 2/3 π R 2 h (15a)

    A 0 = 2 π R (h + (R 2 — h 2 /4) 1/2 ) (15b)

    h = 2 (R 2 — r 2 ) 1/2 (15c)

    Тор

    V = π 2 /4 D d 2 (16a)

    А 0 = π 2 D d (16b)

    Нарезанный цилиндр

    V = π / 4 d 2 h

    = π r 2 ( h 2 ) / 2) (17a)

    A m = π dh

    = 2 π r ((h 1 90 + h5 9039) / 2) (17b)

    где

    A м = площадь боковых стен

    A 0 = π r (h 1

    Единица кубических метров миллилитров
    миллилитров (кубических сантиметров) 0,000001 1
    кубических дюймов 0,00001639000473 473
    кварта 0,000946 946
    литр 0,001 1,000
    галлон 0,0037855
    кубический ярд 0,764555 764,555
    кубический метр 1 1,000,000
    кубический километр 1,000,000,000 2 + h 1 + h + r + (r 2 + (h 1 — h 2 ) 2 /4) 1/2 ) (17c)

    где

    A 0 знак равно площадь поверхности

    Ungula

    V = 2/3 r 2 h (18a)

    A m = 2 rh (18b)

    = A м + π / 2 r 2 + π / 2 r (r 2 + h 2 ) 1/2 (18c)

    Ствол

    V ≈ π / 12 ч (2 D 2 + d 2 ) (19a)

    .

    825 5 столбиком: Разделить столбиком 825 на 5

    Mathway | Популярные задачи

    1Найти объемсфера (5)
    2Найти площадьокружность (5)
    3Найти площадь поверхностисфера (5)
    4Найти площадьокружность (7)
    5Найти площадьокружность (2)
    6Найти площадьокружность (4)
    7Найти площадьокружность (6)
    8Найти объемсфера (4)
    9Найти площадьокружность (3)
    10Вычислить(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
    11Разложить на простые множители741
    12Найти объемсфера (3)
    13Вычислить3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
    14Найти площадьокружность (10)
    15Найти площадьокружность (8)
    16Найти площадь поверхностисфера (6)
    17Разложить на простые множители1162
    18Найти площадьокружность (1)
    19Найти длину окружностиокружность (5)
    20Найти объемсфера (2)
    21Найти объемсфера (6)
    22Найти площадь поверхностисфера (4)
    23Найти объемсфера (7)
    24Вычислитьквадратный корень из -121
    25Разложить на простые множители513
    26Вычислитьквадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
    27Найти объемпрямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)
    28Найти длину окружностиокружность (6)
    29Найти длину окружностиокружность (3)
    30Найти площадь поверхностисфера (2)
    31Вычислить2 1/2÷22000000
    32Найти объемпрямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
    33Найти объемпрямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)
    34Найти длину окружностиокружность (4)
    35Перевести в процентное соотношение1. 2-4*-1+2
    45Разложить на простые множители228
    46Вычислить0+0
    47Найти площадьокружность (9)
    48Найти длину окружностиокружность (8)
    49Найти длину окружностиокружность (7)
    50Найти объемсфера (10)
    51Найти площадь поверхностисфера (10)
    52Найти площадь поверхностисфера (7)
    53Определить, простое число или составное5
    54Перевести в процентное соотношение3/9
    55Найти возможные множители8
    56Вычислить(-2)^3*(-2)^9
    57Вычислить35÷0. 2
    60Преобразовать в упрощенную дробь2 1/4
    61Найти площадь поверхностисфера (12)
    62Найти объемсфера (1)
    63Найти длину окружностиокружность (2)
    64Найти объемпрямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)
    65Сложение2+2=
    66Найти площадь поверхностипрямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)
    67Вычислитькорень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
    68Вычислить7/40+17/50
    69Разложить на простые множители1617
    70Вычислить27-( квадратный корень из 89)/32
    71Вычислить9÷4
    72Вычислить2+ квадратный корень из 21
    73Вычислить-2^2-9^2
    74Вычислить1-(1-15/16)
    75Преобразовать в упрощенную дробь8
    76Оценка656-521
    77Вычислить3 1/2
    78Вычислить-5^-2
    79Вычислить4-(6)/-5
    80Вычислить3-3*6+2
    81Найти площадь поверхностипрямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
    82Найти площадь поверхностисфера (8)
    83Найти площадьокружность (14)
    84Преобразовать в десятичную форму11/5
    85Вычислить3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
    86Вычислить(11/-7)^4
    87Вычислить(4/3)^-2
    88Вычислить1/2*3*9
    89Вычислить12/4-17/-4
    90Вычислить2/11+17/19
    91Вычислить3/5+3/10
    92Вычислить4/5*3/8
    93Вычислить6/(2(2+1))
    94Упроститьквадратный корень из 144
    95Преобразовать в упрощенную дробь725%
    96Преобразовать в упрощенную дробь6 1/4
    97Вычислить7/10-2/5
    98Вычислить6÷3
    99Вычислить5+4
    100Вычислитьквадратный корень из 12- квадратный корень из 192

    825:5 Помогите решить столбиком.

    (Только чтоб понятно было) — Знания.site

    Зачёт по теме «Лексика и культура речи» (тест) 6 класс

                           Вариант I.

    1. Какое утверждение является неверным?

               А. Лексикология – раздел науки о языке, изучающий лексическое значение слова, употребление и происхождение слов.

               Б. Многозначные слова имеют несколько лексических значений.

               В. Все слова, помимо прямого значения, имеют переносное значение.

               Г. Омонимы – это слова одной и той же части речи, одинаковые по звучанию и написанию, но разные по лексическому значению.

    2. Слова одной и той же части речи с противоположным лексическим значением называются:

               А. Антонимами.

               Б. Синонимами.

               В. Омонимами.

    3. Слова, употребляемые жителями той или иной области, называются:

               А. Профессиональными.

               Б. Диалектными.

               В. Устаревшими.

    4. Фразеологизмы – это:

               А. Слова, вошедшие в русский язык из других языков.

               Б. Устойчивые сочетания слов.

               В. Новые слова, возникшие в языке.

    5. Какую букву нужно вставить?                                                         

    А        Б        В        Г                                                       

               Пос..деть к старости                       е         е         и         и

               Пол..скать ребенка              а         а         о         о

               Прим. .рять друзей               е         и         и         е

    6. Какая из данных пар слов не является антонимами?

               А. Болезнь-хворь.                В. Трудолюбие-лень.

               Б. Чистовик-черновик.      Г. Открытое-сокровенное. 

    7. Какая из данных пар слов не является синонимами?

               А. Истина-правда.              В. Свобода-воля.

               Б. Добро-зло.                                   Г. Запущенность-заброшенность.             

    8. В каком предложении есть фразеологизм.

               А. По вечерам бабушка рассказывала внуку сказки.

               Б. Алешка набрал в рот воды и раздул щеки.

               В. Нашлись люди неробкого десятка, которые не теряли присутствие духа.

               Г. На арене цирка заяц ходил на задних лапках.

    9. Найдите сочетания слов, употребленные в переносном значении.

               А. Сухие листья трепетали на ветках.

               Б. Тишину нарушал треск сухой ветки под ногой.

               В. Спокойно дремлет лес над тихими полями.

               Г. Крики диких уток отдавались в дальнем озере.

    10. Значение какого слова определено неверно?

               А. Колорит – сочетание красок, цветов в картине.

               Б. Фразеология – раздел науки о языке, изучающий способы построения фраз.

               В. Жалюзи – шторы из пластинок, навешиваемые на окна.

               Г. Филолог – ученый, занимающийся изучением языка и литературы.

    Вариант II.

    1. Какое утверждение является неверным?

               А. Лексика изучает слово с точки зрения его смыслового значения.

               Б. Однозначные слова имеют только одно лексическое значение.

               В. Синонимами могут быть слова различных частей речи.

               Г. Метафора – средство выразительности языка, основанное на уподоблении одного предмета или явления другому по сходству или контрасту.

    2. Слова одной и той же части речи, обозначающие одно и то же, но отличающиеся оттенками лексического значения и употреблением в речи, называются:

               А. Омонимами.

               Б. Синонимами.

               В. Антонимами.

    3. Слова, вышедшие из активного повседневного употребления, называются:

               А. Заимствованными.

               Б. Устаревшими.

               В. Профессиональными

    4. Фразеологизмы – это:

               А. Устойчивые сочетания слов.

               Б. Слова, вошедшие в русский язык из других языков.

               В. Новые слова, возникшие в языке.

    5. Какую букву нужно вставить?

                                                  А        Б        В        Г

               пос..деть рядом        и         и         е         е         

               пол..скать белье       о         а         о         а

               прим..рять платье    е         е         и         и         

    6. Какая из данных пар слов не является антонимами?

               А. Доброта – жадность.                  В. Свет – тень.

               Б. Настоящее – истинное.             Г. Правдивый – лживый.              

    7. Какая из данных пар слов не является синонимами?

               А. Прозрачный – чистый.

               Б. Произведение – творение.

               В. Убирать – уборка

               Г. Размашистый – широкий.

    8. В каком предложении есть фразеологизм.

               А. В этом году уродилось много грибов, так что за ними далеко ходить не надо.

               Б. Машина дала задний ход и остановилась.

               В. Надо внимательнее слушать объяснение учителя, а не хлопать ушами.

               Г. Свинья села в лужу прямо посредине двора.

    9. Найдите сочетание слов, употребленное в переносном значении.

               А. Падая, лист крутится в воздухе.

               Б. В тени молодых березок разостлали ковер.

               В. Колокольчик хохочет до слез.

               Г. Сквозь зеленые ветки берез просвечивало солнце.

    10. Значение какого слова определено неверно?

               А. Гамма – последовательный ряд музыкальных звуков.

               Б. Эстамп – оттиск, отпечаток картины на бумаге ( на камне, металле, дереве) с печатной формы.

               В. Яхтсмен – человек, строящий яхты.

               Г. Сентиментальный (человек) – излишне чувствительный.

    Карточки по математике 4 класс | Учебно-методический материал по математике (4 класс):

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    (72507 + 56736) : (350 – 347) =

    560000 : 100 ∙ 8 =
    483042 : 6 ∙ 8 – 8044 =

    4 ∙ (932 + 17692) : 6 =

    500 + (600 – 3 ∙ 100) : 10 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    60997 + (6012 + 6228) : 3 =

    485 ∙ 2 + 485 ∙ 3 =
    9805 + 14651 : 7 =

    82213 ∙ 3 – 12240 : 3 =

    (40179 – 15395 : 5) ∙ 4 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    55440 : 9 – 10460 : 2 =

    3546 – 283 ∙ 4 + 819 =
    1482 ∙ 5 +  6700 ∙ 3 =

    5999 + 903 ∙ 100 : 2 =

    (56043 – 13032) : (900 : 100) =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    41090 : 7 + 11950 : 5 =

    240 : 3 ∙ 5 – 399 =

    372160 : 4 ∙ 7 – 721 95 =

    4 ∙ (728 – 301) : 7 =

    (286 + 14) : 3 ∙ 5 – 280 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    2250 : 9 + 8420 : 2 =

    9000 : ( 100 – 90) : 100 ∙ 2 =

    283040 : 10 ∙ 3 =

    100520 – 470 ∙ 5 + 13980 =

    7280 ∙ 6 + 1965 ∙ 3 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    11140 : (2076 – 2066) : 2 =

    900100 – (735 – 184) ∙ 8 =

    3010 – 5614 : 7 + 9042 =

    46370 : 5 + 546 ∙ 4 =

    1254 + 645 : 5 – 967 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    80115 : 3 ∙  10 =

    40471 ∙ 2 – 4503 ∙ 7 =
    400 – (64 + 36) : 10 ∙ 15 =
    7020 ∙ 6 + 2090 ∙ 5 =
    4600 – (7000 – 308 ∙ 6) : 2 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    69580 : 7 – 14280 : 6 =

    14110 + 801 : 9 – 7604 =

    235 + 4 ∙ (536 : 8) =

    12 ∙ (53 – 48) – 84 : 7 =

    400000 – 702 ∙ 5 : 10 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    7800 – (398 + 507 ∙ 6) =

    15 ∙ (54 3 – 84 : 7) =

    190 ∙ 2 + (32148 – 16) =

    73460 : 5 + 454 ∙ 4 =

    8 ∙ (900000 – 896507) : 4 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    13640 : 4 – 6400 : 10 =

    (90 – 42 : 3 ∙ 2) : 2 =

    (2700 – 30) ∙ (40 – 32) =

    (5600 – 12240 : 3) + 145 =

    400000 – 702 ∙ 5 : 10 = 

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    8130 : 3 – 2640 : 10 =

    (35400 + 83915) : 5 ∙ 3 =

    3152 : 8 ∙ 100 =

    40018 – 725 ∙ 10 : 5 =

    838008 : 9 – 410960 : 8 =

    Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

    480 : 6 + 360 : 12 =

    (10200 – 9356) ∙ (81 – 75) =

    2448 : 6 + 1854 : 6 =

    2758 – 345 ∙ 6 + 369 =

    8 ∙ (900000 – 896507) : 4 =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    43127 ∙ 6                     36039 ∙ 4

    7 ∙ 23844                     70 ∙ 94800

    Найди значение выражения:

    709 + 13200 ∙ 5 =

    9 ∙ (5000 – 786) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    95136 ∙ 3                     391005 ∙ 4

    9 ∙ 12543                     50 ∙ 157300

    Найди значение выражения:

    400800 — 3980 ∙ 7 =

    3 ∙ (90000 – 514 ∙ 4) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    56482 ∙ 3                     341008 ∙ 6

    4 ∙ 81429                     9 ∙ 930700

    Найди значение выражения:

    70005 —  5320 ∙ 2 =

    9 ∙ (26000 – 1705) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    719806 ∙ 4                     903040 ∙ 3

    9 ∙ 24845                     5 ∙ 120605

    Найди значение выражения:

    27356 — 1607 ∙ 3 =

    800 – 640 : 8 + 70 ∙ 4 =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    25482 ∙ 2                     374006 ∙ 7

    5 ∙ 93748                     90 ∙ 17850

    Найди значение выражения:

    41008 —  1240 ∙ 4 =

    7 ∙ (6954 – 1007) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    15213 ∙ 6                     65080 ∙ 4

    7 ∙ 31476                    70 ∙ 390400

    Найди значение выражения:

    50786 + 8091 ∙ 3 =

    6 ∙ (10000 – 5836) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    23452 ∙ 7                     36008 ∙ 9

    6 ∙ 32749                     40 ∙ 82190

    Найди значение выражения:

    29010 – ( 5000 — 800 ∙ 4) =

    17082 ∙ 8  + 1329  =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    36193 ∙ 5                     670032 ∙ 8

    9 ∙ 56492                     70 ∙ 420080

    Найди значение выражения:

    4689 ∙ 5 + 97308 =

    80000 – (4536 + 160 ∙ 3) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    68715  ∙ 4                     90048 ∙ 7

    7 ∙ 49873                    60 ∙ 72680

    Найди значение выражения:

    76090  ∙ 4 – 52673  =

    5 ∙ (128050  – 73607) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    95124 ∙ 2                   50804 ∙ 4

    9 ∙ 3652                     50 ∙ 21470

    Найди значение выражения:

    90000 —  6 ∙ 2509  =

    8  ∙ (7852 + 1308) =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    84308 ∙ 6                    536937 ∙ 4

    7 ∙ 4030900                50 ∙ 971680

    Найди значение выражения:

    500000 —  17806 ∙ 4 =

    (130 ∙ 5  + 72 : 24) ∙ 9 =

    Выполни умножение на однозначное число столбиком:

    3968719  ∙ 7              130704 ∙ 6

    6 ∙ 109765                  90 ∙ 700200

    Найди значение выражения:

    600 —  320 : 4 + 140  ∙ 3 =

    90620 ∙ 8 —  8349 =

    Найди значение выражения по действиям:

    229372 : 286 ∙ 506 =

    82276 : 268 + 228475 : 325 =

    76 ∙ (3569 + 2795) – 1247 ∙3 =

    162540 : (100236 – 99978) : 63 =

    Найди значение выражения по действиям:

    416 ∙ 509 + 536469 : 67 =

    230441 – (229682 – 228904 : 52) =

    (52 ∙ 390 – 12863) ∙ (12280 : 40 – 207) =

    (59531 – 58926) ∙ 6004 – 1221485 =

    Найди значение выражения по действиям:

    282370 : 302 : 85 ∙ 2004 =

    81308 – 308 ∙ (8856 – 8649) =

    (43512 – 43006) ∙ 805 –  23900 :  25 =

    700700 – 6954 ∙ (47923 – 47884) =

    Найди значение выражения по действиям:

    507 ∙ 432 + 234 : 26 =

    (126828 : 542) ∙ (47600 – 406 ∙ 117) =

    460 ∙ 308 + 447480 : 132 – 3987  =

    1000000 – 136068 : 68 + 4600 ∙ 900 =

    Найди значение выражения по действиям:

    728 ∙ 468 : 273 : 78 =

    (47868 + 112812) : 52 + 45948 : 84 =

    65254 :79 – 75369 : 97 + 6075 ∙ 42 =

    100000 – 12900 : 129 + 19140 : 132 =

    Найди значение выражения по действиям:

    805 ∙ 282 : (4000 – 3678) ∙ 32 =

    76428 – 771840 : 192 + 209160 : 249 =

    (701020 – 698456) ∙ (208128 : 542) =

    671112 : 956 + (600000 – 178688) : 464 =

    Найди значение выражения по действиям:

    246 ∙ 812 : (1001 – 673) ∙ 12 =

    73689 : 87 – 96064 : 158 + 310726 =

    (22287 – 308 ∙ 72) : 111 + 3090 =

    (10200 – 9891) ∙ (70204 – 69874) : 206 =

    Найди значение выражения по действиям:

    496 ∙ 960 : 372 : 160 =

    (199430 – 119 ∙ 805) : (148 + 8536 : 88) =

    500100 – 356 ∙ 101 + 78052 : 26 ∙ 48 =

    30000 – (2486 + 335104 : 476) ∙ 9 =

    Найди значение выражения по действиям:

    25146 : (428442 : 707 – 255000 : 625) =

    (64000 : 128 – 3280 : 164 ∙ 15) ∙ 700 =

    804 ∙ 705 : 335 : 47 =

    (162000 – 216 ∙ 750) ∙ (816 : 4) + 1000 =

    Найди значение выражения по действиям:

    802 ∙ 406 – 900072 : 18 + 63392 =

    (35730 + 91800 : 36) : 120 =

    180848 : 356 ∙ (19800 – 18900) : 254 =

    1285 – 282 ∙ 75 :47 + 14472 : 18 ∙ 12 =

    Найди значение выражения по действиям:

    532000 : 760 + 407 ∙ 360 – 82008 =

    (234690 – 306 ∙ 201) : 192 =

    71370 : 234 ∙ 243 + 695 ∙ 50 – 2884 : 28 =

    3060 ∙ 236 – 184708 + 125125 : 125 =

    Найди значение выражения по действиям:

    608 ∙ (1263 – 563) : 400 =

    127410 : 274 + 307200 : 480 – 1105 =

    (1015 – 332926 : 818) ∙ (240372 : 396) =

    609 ∙ 896 – 545664 + 748616 : 362 =

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    825 : 5                   215 ∙ 4

    5472 : 4                 4238 ∙ 7

    4371 : 3                 40632 ∙ 8

    Найдите неизвестное число, зная, что ½  его часть равна 8.

    Вся дыня весит 6 кг. Сколько кг весит 1/3 часть дыни?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    576 : 4                        3875 ∙ 6

    5418 : 3                      14398 ∙ 7

    6255 : 5                      46504 ∙ 4

    • Сколько километров проходит пароход за ¼  часть часа, если за час он проходит 20 км?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    496 : 4                        5603 ∙ 6

    25632 : 2                     3303 ∙ 7

    7284 : 6                      73504 ∙ 9

    Найдите неизвестное число, зная, что ¼ его часть равна 16.

    Какую долю от метра  составляет 1 дм?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    1225 : 5                   728 ∙ 6

    726 : 3                     1438 ∙ 8

    2536 : 4                   62008 ∙ 4

    Длина всей ленты 10 см. Какова длина ¼ части ленты?

    Найдите 1/3 часть от суммы 36 и 63.

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    828 : 2                         487 ∙ 5

    4552 : 8                       6702 ∙ 9

    36204 : 6                    31454 ∙ 6

    • Блокнот стоит 8 руб, что составляет 1/8 часть стоимости книги. Сколько стоят книга и блокнот вместе?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    456 : 4                     1315 ∙ 3

    2536 : 2                   38524 ∙ 8

    82244 : 4                 27180 ∙  6

    • В школе 600 учеников. 1/5 часть – отличники. Сколько в школе отличников и сколько хорошистов?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    507 ∙ 4                   952 : 7

    2014 ∙ 6                1458 : 6

    26613 ∙ 8              25656 : 8

    • Найдите число, зная, что 1/3 его часть равна 30.  
    • Найди 1/5 часть от разности 85 и 40.

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    214 ∙ 6                      858 : 6

    1708 ∙ 9                    5020 : 4

    34328 ∙ 5                  25256 : 7

    • Найдите  длину отрезка, зная, что   восьмая часть его равна 3 см. 
    • Человек спит 1/3 часть суток. Сколько часов человек  спит?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    392 ∙ 5                   970 : 5

    1438 ∙ 8                 1227 : 3

    62008 ∙ 7               18504 : 9

    • Мама купила сыну футболку за 240 руб, израсходовав 1/7 часть своих денег. Сколько денег было у мамы?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    237 ∙ 9                      984 : 6

    4914 ∙ 6                    5836 : 4

    34807 ∙ 8                 13572 : 9

    Почтовый голубь в час пролетает 92 км. Сколько километров он пролетит за четверть часа?

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    478 ∙ 7                     915 : 5

    1687 ∙ 9                   4872 : 8

    43703 ∙ 6                 22435 : 7

    ¼ стакана сахарного песка весит 60 г. Сколько весит стакан сахарного песка? 

    Выполни умножение и деление на однозначное число столбиком:

    418 ∙ 6                    7660 : 4

    2718 ∙ 9                  5346 : 9

    47086 ∙ 7                30402 : 6

    Длина куска материи 75 м. продали 1/5 часть этого куска. Сколько метров ткани осталось в куске?

    Выполни деление столбиком:
    18396 : 28                     34040 : 46

    39285 : 45                     114021 : 27

    48372 : 58                     380700 : 45

    Зверёк землеройка за сутки съедает 12 г пищи. Сколько весит зверёк, если его масса составляет ¼ массы съеденной пищи?

    Выполни деление столбиком:

    19980 : 37                       525728 :56

    6293 : 31                         16884 : 42

    8844 : 22                         20468 : 34

    Продолжительность жизни хвои ели 9 лет, а продолжительность жизни хвои сосны 1/3 жизни хвои ели. Сколько лет живёт хвоя сосны?

    Выполни деление столбиком:

    5472 : 18                     26553 : 53

    4575 : 15                     17575 : 25

    65520 : 28                   23640 : 24

    Сколько километров проходит за ¼ часа поезд, если в час он проходит 64 км?

    Выполни деление столбиком:

    173232 : 48                   975255 : 79

    216 161 : 43                  455948 : 62

    12896 : 32                     72144 : 24

    Берёза прожила 50 лет, что составляет 1/5  продолжительности её жизни. Сколько лет живёт берёза?

    Выполни деление столбиком:

    5508 : 36                       428910 : 85

    33350 : 46                     24512 : 16

    97312 : 32                     144096 : 79

    Какую сдачу получит мальчик с 400 руб, если четвёртую часть этих денег он потратил на 2 ручки и 3 ластика?

    Выполни деление столбиком:

    182056 : 28                 128928 : 32

    191520 : 95                 394680 : 78

    13356 : 18                   249922 : 62

    Продолжительность жизни ежа равна 10 годам, а заяц живёт на 1/5 меньше. Сколько лет живёт заяц?

    Конспект урока по математике на тему ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ СТОЛБИКОМ

    28.10.15 г.

    Урок 40
     Тема: ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ  СТОЛБИКОМ

    Цели: закреплять знание нумерации многозначных чисел; совершенствовать вычислительные навыки; формировать умение решать уравнения; учить записывать решение задач по данным схемам; развивать умение анализировать и логически рассуждать.

    Ход урока

    I. Организационный момент.

    II. Устный счет.

    1. Решите задачи в стихах.

                    а) На птичьем дворе гусей кормили,

                    Целыми семьями их выводили.

                    Всего было 5 гусиных семей.

                    В каждой семье по 12 гусей.

                    Сколько гусей собралось за обедом?

                    Ты нам ответь, торопись с ответом!

                                       (12 · 5 = 60. )

                    б) Мы только с парохода,

                     Мы только из похода,

                     Четырнадцать недель

                     Гостили на воде.

                     А сколько это дней?

                     Скажи-ка поверней!

                                       (7 · 14 = 98.)

    2. Соедините каждый пример с верным ответом:

    36 + 4=                   90                      37 + 20 =

    82 + 8 =                  57                      63 – 40 =

    30 – 7 =                   40                      100 – 10 =

    60 – 3 =                  23                      75 – 35 =

    3. Нарисуйте пути, по которым катера должны прийти к своим причалам, но так, чтобы эти пути не пересекались.

    III. Работа по теме урока.

    – Сегодня на уроке будем совершенствовать вычислительные навыки сложения и вычитания многозначных чисел в столбик.

    1. Задание 230.

    Учащиеся выполняют сложение столбиком.

    2. Задание 231.

    Учащиеся выполняют вычитание столбиком.

    3. Задание 232.

    – Не вычисляя отдельно значение суммы двух слагаемых, вычислите с помощью разрядной таблицы значение суммы трёх чисел.

    4. Задание 234.

    – Как можно вычислить значение данного выражения, выполняя сначала только сложение, а уже потом – один раз вычитание?

    – Все вычисления выполните столбиком.

    35 897 – 12 435 + 25 461 + 13 548 – 22 413 = 40 058

    IV. Поупражняемся в вычислениях.

    1. Задание 235.

    – Восстановите пропущенные цифры, обозначенные знаком ?.

    2. Задание 236.

    – Вычислите корни следующих уравнений.

    – Вычисления выполните столбиком.

    а) 23 841 + х = 514 376

    х = 514 376 – 23 841

    х = 490 535

    23 841 + 490 535 = 514 376

    514 376 = 514 376

    б) х + 514 318 = 921 413

    х = 921 413 – 514 318

    х = 407 095

    407 095 + 514 318 = 921 413

    921 413 = 921 413

    в) 825 736 – х = 43 857

    х = 825 736 – 43 857

    х = 781 879

    825 736 – 781 879 = 43 857

    43 857 = 43 857

    г) х  – 41 269= 185 642

    х = 185 642 + 41 269

    х = 226 911

    226 911 – 41 269 = 185 642

    185 642 = 185 642

    – Какие знания помогли вам выполнить это задание?

    – Как найти неизвестное уменьшаемое?

    – Как найти неизвестное вычитаемое?

    3. Задание 237.

    – По каждой из данных схем, не составляя задач, запишите их решения.

    – Вычислите ответ каждой задачи, используя алгоритмы сложения и вычитания столбиком.

    Схема а. Решение:

    Схема б. Решение:

    Схема в. Решение:

    V. Итог урока.

    – Что нового узнали на уроке?

    – Как выполнить сложение в столбик?

    – Как выполнить вычитание в столбик?

    Домашнее задание

    Просмотр содержимого документа
    «конспект урока по математике на тему ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ СТОЛБИКОМ»

    28.10.15 г.

    Урок 40
    Тема: ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ СТОЛБИКОМ

    Цели: закреплять знание нумерации многозначных чисел; совершенствовать вычислительные навыки; формировать умение решать уравнения; учить записывать решение задач по данным схемам; развивать умение анализировать и логически рассуждать.

    Ход урока

    I. Организационный момент.

    II. Устный счет.

    1. Решите задачи в стихах.

    а) На птичьем дворе гусей кормили,

    Целыми семьями их выводили.

    Всего было 5 гусиных семей.

    В каждой семье по 12 гусей.

    Сколько гусей собралось за обедом?

    Ты нам ответь, торопись с ответом!

    (12 · 5 = 60.)

    б) Мы только с парохода,

    Мы только из похода,

    Четырнадцать недель

    Гостили на воде.

    А сколько это дней?

    Скажи-ка поверней!

    (7 · 14 = 98.)

    2. Соедините каждый пример с верным ответом:

    36 + 4= 90 37 + 20 =

    82 + 8 = 57 63 – 40 =

    30 – 7 = 40 100 – 10 =

    60 – 3 = 23 75 – 35 =

    3. Нарисуйте пути, по которым катера должны прийти к своим причалам, но так, чтобы эти пути не пересекались.

    III. Работа по теме урока.

    – Сегодня на уроке будем совершенствовать вычислительные навыки сложения и вычитания многозначных чисел в столбик.

    1. Задание 230.

    Учащиеся выполняют сложение столбиком.

    2. Задание 231.

    Учащиеся выполняют вычитание столбиком.

    3. Задание 232.

    – Не вычисляя отдельно значение суммы двух слагаемых, вычислите с помощью разрядной таблицы значение суммы трёх чисел.

    4. Задание 234.

    – Как можно вычислить значение данного выражения, выполняя сначала только сложение, а уже потом – один раз вычитание?

    – Все вычисления выполните столбиком.

    35 897 – 12 435 + 25 461 + 13 548 – 22 413 = 40 058

    IV. Поупражняемся в вычислениях.

    1. Задание 235.

    – Восстановите пропущенные цифры, обозначенные знаком .

    2. Задание 236.

    – Вычислите корни следующих уравнений.

    – Вычисления выполните столбиком.

    а) 23 841 + х = 514 376

    х = 514 376 – 23 841

    х = 490 535

    23 841 + 490 535 = 514 376

    514 376 = 514 376

    б) х + 514 318 = 921 413

    х = 921 413 – 514 318

    х = 407 095

    407 095 + 514 318 = 921 413

    921 413 = 921 413

    в) 825 736 – х = 43 857

    х = 825 736 – 43 857

    х = 781 879

    825 736 – 781 879 = 43 857

    43 857 = 43 857

    г) х – 41 269= 185 642

    х = 185 642 + 41 269

    х = 226 911

    226 911 – 41 269 = 185 642

    185 642 = 185 642

    – Какие знания помогли вам выполнить это задание?

    – Как найти неизвестное уменьшаемое?

    – Как найти неизвестное вычитаемое?

    3. Задание 237.

    – По каждой из данных схем, не составляя задач, запишите их решения.

    – Вычислите ответ каждой задачи, используя алгоритмы сложения и вычитания столбиком.

    Схема а. Решение:

    Схема б. Решение:

    Схема в. Решение:

    V. Итог урока.

    – Что нового узнали на уроке?

    – Как выполнить сложение в столбик?

    – Как выполнить вычитание в столбик?

    Домашнее задание. № 233.

    Математика, 6 класс: 19-22. Деление десятичных дробей

    Устный счет


    Это надо знать

    Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее

    При делении десятичной дроби на 10,  100, 1000 и так далее запятую надо перенести влево на столько знаков, сколько нулей имеется в разрядной единице.

    Примеры:

    56,1 : 10 = 5,61;

    56,1 : 100 = 0,561;

    56,1 : 1000 = 0,0561.


    Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее

    При делении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее запятую надо перенести вправо на столько знаков, сколько цифр имеется после запятой в 0,1; 0,01; 0,001 и т.д..

    Примеры:

    5,61 : 0,1 = 56,1;

    5,61 : 0,01 = 561;

    5,61 : 0,001 = 5610.


    Деление на натуральное число

    При делении на натуральное число надо:

    1. Выполнить деление, не обращая внимания на запятую;

    2. В полученном частном поставить запятую сразу, как только закончено деление целой части.

    Пример:

    31,2 : 5 = 6,24




    Деление на десятичную дробь

    При делении на десятичную дробь надо:

    1. Перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

    2. Выполнить деление на натуральное число.

    Пример:

    8, 255 : 0,04 = 825,5 : 4 = 


    Видеоурок



    Домашнее задание

    К уроку 19 (на 28.09)

     П.  4.1

    1 уровень (учебник)

    № 4.3

    № 4.8


    2 уровень (сборник)

    № 1.67 стр. 16
    Вычислите:

    1) 48 : 10;    2) 75 : 100;   3) 12 : 100;   4) 305 : 10;    5) 7803 : 100;   6) 57057 : 1000.

    №  1.70 стр. 16
    Найдите частное от деления числа 261 на число:

    1) 0,001;    2) 0,01;    3) 0,000001.

    №  1.72 стр. 16
    Найдите частное от деления на 0,0001 числа:

    1) 52;    2) 462;    3) 15;   4) 3,87;    5) 1,008;    6) 4,9;   7) 0,004;   8) 0,023.


      

    К уроку 20 (на 29.09)

     П.  4.2

    1 уровень (учебник)

    № 4.25

    № 4.28


    2 уровень (сборник)

    №  1.73 стр. 17
    Выполните деление:

    1) 32 : 800;    2) 56 : 70;   3) 26 : 1300;   4) 96 : 32000;   5) 1500 : 6000;  6) 25 : 1250.

    № 1.75 стр. 17
    Найдите частное чисел:

    1) 16,75 : 50;   2) 6,942 : 25;    3) 72,18 : 360;    4) 22,5 : 45;   5) 1,75 : 17500;  6) 6,6645 : 36.

      

    К уроку 21 (на 30.09)

     П.  4.3

    1 уровень (учебник)

    № 4.63

    № 4.65 (1, 2)


    2 уровень (сборник)

    № 1.78 стр. 17
    Пользуясь верным равенством 794 ∙ 325 = 258 050, найдите значение выражения:

    1) 25,805 : 3,25;     2) 2580,5 : 32,5;     3) 258,05 : 0,0325;    4) 258,05 : 0,794;

    5) 0,025805 : 0,00794;    6) 0,25805 : 0,000794.

    № 1.76 стр. 17
    Выполните деление:

    1) 37,563 : 6,59;              2) 219,975 : 4,19;              3) 22,411 : 0,73; 

    4) 229,04 : 5,6;                5) 19,152 : 6,3;                  6) 199,43 : 0,49.


      

    К уроку 22 (на 03.10)

     П.  4.3

    1 уровень (учебник)

    № 4. 68

    № 4.76 (1-4)


    2 уровень (сборник)

    № 1.100 стр. 20
    Уменьшите значение величины 329,4 км в:

    1) 3 раза; 2) 4 раза; 3) 5 раз; 4) 12 раз.

    № 1.102 ( 5-8) стр. 21
    Обратите каждую обыкновенную дробь в десятичную и выполните действие:



    № 3.14  (4-7) стр. 78

    Решите уравнение:

    4) 6,78 : y = 6780; 5) 2,95 : y = 0,0295; 6) 0,01 : x = 100; 7) y : 0,01 = 168.

       


    Деление с остатком на 10, 100, 1000

    Автор: edu1

    Методическая копилка — Начальная школа

    Тема: Деление с остатком на 10, 100, 1000.

    Цели: ознакомление с делением на 10, 100 и 1000 с остатком.

    Развивать творческое мышление, познавательную активность учащихся, стремление к достижению успеха в учебной деятельности ,совершенствовать вычислительные навыки, умение решать задачи;

    Задачи:

    Воспитывающая: воспитывать любовь к уроку математики, доброту.

    Образовательная: учить выполнять деление с остатком на 10, 100, 1000;, умение решать задачи.

    Развивающая: совершенствовать вычислительные навыки, развивать творческое мышление.

    Планируемые результаты:

    Личностные УУД: способствовать развитию интереса к математике, вычислительных навыков, формирование уважительного отношения к иному мнению, иной точки зрения.

    Метапредметные результаты обучения:

    Познавательные УУД: формирование умения самостоятельно формулировать проблему, ставить познавательные цели, самостоятельно создавать алгоритм для решения проблем творческого и поискового характера.

    Регулятивные: формировать у обучающихся способность организовать свою учебную деятельность: целеполагание, планирование, контроль, коррекция и оценка своей деятельности, саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию и преодолению препятствий.

    Коммуникативные: работать в парах, выполнять задания творческого и поискового характера, вступать в диалог с учителем, уметь высказываться.

    Предметные результаты обучения:

    Познавательные: научатся выполнять деление с остатком на 10, 100, 1000 и делать проверку; решать задачи изученных видов; выполнять преобразование единиц измерения, используя соотношения между ними; ориентироваться в материале учебника и находить по заданию учителя нужную информацию.

    Оборудование: учебник 4 класс часть 2 М. И. Моро, мультимедийный проектор, презентация к уроку, карточки с заданиями, подарки-солнышки, рисунок яблони со съёмными яблоками, цветами и листьями, мяч.

    Ход урока

    I.Мотивация к уроку.

    — Доброе утро, ребята! Меня зовут Людмила Михайловна. Сегодня я буду вести у вас урок.

    Ребята моего класса из Пузачинской школы передали вам в подарок вот такое солнышко добра, чтобы вам на уроке было тепло и уютно. Положите его на ладошку. Оно согревает вас: ваши руки, тело и душу. Придаёт бодрость, заряжает энергией, будит воображение.

    — Какое у вас настроение? Покажите жестами!!!

    Вот с таким настроением мы и начнём урок.

    II. Актуализация знаний

    Устный счёт

    1)Работаем в парах: в учебнике на с. 27 решим примеры, которые записаны на полях:

    630: 70 *30- 89 + 29 : 3 + 30 = 100

         2) №91

    -Сколько раз по 100м содержится в 2 км? (20)

    -Сколько раз по 15 с содержится в 1 мин? (4)

         3) В бидоне было 36 л молока. Доярка наполнила 10 трёхлитровых банок.               Сколько л молока осталось в бидоне? (36-3*10=6 (л))

         4) В спортивную школу привезли 126 мячей. Их запаковали в 12 коробок по 10 мячей в каждой. Сколько мячей осталось? (126-10*12=6(м.))

       5)Презентация:

    -Решите примеры:

    800 : 2= 400       

             4 • 20=80

    6 • 7=42

             60 : 3= 20                            

    30 • 2=60

    -Вставьте числа в окошки: 3*8=(?)+27=(?)-39=(?):2=(?)*8=(?)-40=(?)*8

    -Вычисли:

    50:10             500:10           5000:10

    600:100         6000:100       60000:100

    7000:1000     70000:1000   700000:1000

    III. Создание проблемной ситуации. Постановка проблемы.

    -Посмотрите на примеры, записанные на доске:

    68:10     400:100     3456:1000

    340:10   827:100   7000:1000

    На какие две группы их можно разделить? (Примеры на деление без остатка и примеры на деление с остатком)

    -Запишите примеры в два столбика:

               400:100                    68:10

                 340:10                     827:100      

       7000:1000               3456:1000

    Примеры какого столбика мы умеем решать?

    Найдите значения выражения первого столбика: (4, 34, 7)

    Посмотрите на второй столбик.

    Как вы думаете, какую проблему нам нужно решить на уроке, чему научиться? (Деление с остатком на 10,100,1000).

    — Прочитайте тему урока в учебнике на стр. 27)

    -Поставьте задачи, чему мы будем учиться с вами на уроке?

    V. Построение проекта выхода из затруднения. Реализация построенного проекта.

    1) Вспомните, как мы делим на 10, 100 и 1000.

    (Чтобы число разделить на 10, достаточно убрать один нуль. Чтобы число разделить на 100, надо убрать два нуля и на 1000 надо убрать три нуля).

    — Откройте тетради, запишите сегодняшнее число.

    — Найдем значение выражений второго столбика. Никто не спешит, следите за мной.

    — А сейчас рассмотрим второй столбик.

    -Кто может предложить способ деления 68:10?

    -Можем ли 68:10 без остатка?

    — Какое число можем разделить на 10 без остатка? (60:10=6)

    Правильно, возьмем наибольшее число до 68, которое делится на 10, — это 60. Разделим 60 на 10, что получим? (получим 6). .

    — Сколько останется в остатке?(68 – 60 = 8). Записываем это так 6 (ост. 8).

    — Составим алгоритм деления с остатком на 10,100,1000:

       1.Найдём наибольшее число, которое делится на 10,100,1000.

       2.Разделим это число.

       3. Найдём остаток (от делимого отнимем наибольшее число).

    Мы вывели алгоритм деления с остатком на 10,100,1000. Давайте сверимся с научным источником – учебником с. 27

    VI.Первичное закрепление с проговариванием.

    -Решите второй пример с объяснением.(827:100=8) остаток 27.

    — Выйдите к доске и решите 3 пример с объяснением. (3456 : 1000 = 3) ост 456

    — Далее мы выполним задание 96. Начинаем с первой парты 1 ряда, по очереди выходим к доске, решаем пример и объясняем его решение. (Далее учащиеся решают с объяснением примеры, данные в задании 96)

    69 : 10 = 6 (ост 9)           238 : 10 = 23 (ост 8)           691 : 100 = 6 (ост 91)

    78 : 10 = 7 (ост 8)           238 : 100 = 2 (ост 38)         691 : 10 = 69 (ост 1)

    7825 : 100 = 78 (ост 25)             7825 : 1000 = 7 (ост 825)

        

    — Какой вывод по этому заданию вы можете сделать? ( При делении на 10, в остатке будет одна цифра, а в частном будет число, записанное остальными цифрами делимого; при делении на 100 в остатке будет число, записанное двумя последними цифрами делимого, а в частном число, записанное остальными цифрами делимого. )

    Для того чтобы этот вывод был усвоен сознательно, важно объяснить, почему это так: на 10 можно разделить все содержащиеся в числе десятки, а единицы остаются; аналогично для 100 и 1000.

    — Есть еще 1 способ деления: нужно закрыть в числе столько цифр, сколько нулей в делителе. Получим целое число, а то, что закрыли – остаток

    VII. Физкультминутка (под музыку повторяем движения животных)

    VIII. Самостоятельная работа в группах с самопроверкой по эталону.

    -Работа по карточкам:

    327:10     1684:100

    358:10     1605:1000

    615:100   1730:100

             IX. Повторение материала.

             Решение задачи изученного вида:

    №89 стр.27

    -Прочитайте задачу.

    -Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? (Нет, нам неизвестна скорость машины.)

    -Как можно найти скорость? (Расстояние разделим на время.)

    -Что вы заметили? (6 нельзя разделить на 5. )

    — А кто догадался, что нужно сделать? (6км перевести в метры: 6км=6000м.)

    -Как изменятся теперь единицы скорости? (Скорость будет измеряться в метрах в минуту.)

    -Как мы узнаем расстояние, пройденное за 40 мин?

    -Что нужно сделать, прежде чем узнать, сколько пройдёт машина с такой же скоростью за 1 ч? (Надо 1ч перевести в минуты.)

    -Запишите решение задачи выражениями.

    6000:5=1200(м/мин)

    1200*40=48000(м)

    1200*60=72000(м)

                         Ответ: 48000м,72000м

    №92 стр.27

    -Прочитайте задание.

    -Составьте первое уравнение.(х-20=40*6)

    -Как его можно упростить? (Можно найти произведение чисел: 40*6=240)

    -Что неизвестно в уравнении? (Уменьшаемое)

    -Вспомните, как найти уменьшаемое. (К разности прибавить вычитаемое.)

    -Запишите решение.

    х-20=240

    х=240+20

    х=260

    260-20=240

    -Второе уравнение решается самостоятельно в парах.

    15+х=800:20

    15+х=40

    х=40-15

    х=25

    15+25=40

    XII. Рефлексия

    Игра в мяч:

    Бросаю мяч и называю выражение, дети ловят и называют ответ:

    152:10, 375:100, 54:10,786:100, 2546:1000, 3452:100, 79:10, 897:100, 2457:1000,385:10, 893:10, 715:100, 2413:1000, 81:10, 95:10

    — Урок у нас заканчивается. За это время выросло удивительное дерево, благодаря которому каждый из вас оценить себя.

    -Если урок для вас прошел плодотворно, и вы справлялись с заданиями без ошибок — сорвите с дерева плоды – яблоки.

    -Если вы допускаете ещё незначительные ошибки – сорвите цветы.

    -Если на уроке вы не усвоили новый материал, вам ещё многое непонятно – зеленые листочки.

    XIII. Подведение итогов урока

    -Как разделить число на 10, 100, 1000?

    -Как выполнить деление с остатком?

    -Как можно проверить вычисления?

    -Что является продуктом нашей работы?

    — Повторение алгоритма деления с остатком на 10, 100, 1000.

    Домашнее задание: переверните другой стороной ваши яблоки, листочки, цветы. Для вас индивидуальные домашние задания:

    На яблоках-№94 с.27;

    На цветах – 15928:100   15862:10   34518:100   135628:10 36704:10 52080:100;

    На листочках — №93 с.27

    -Объяснение заданий.

    -Оценки за урок.

    Технологическая карта

    Этапы урока

    Обучающие и развивающие компоненты задания

    Деятельность учителя

    Деятельность учащихся

    Формы организации взаимодействия на уроке

    Формируемые умения (универсальные учебные действия)

    Мотивация к уроку.

    Актуализация знаний.

    Создание проблемной ситуации. Постановка проблемы.

    Построение проекта выхода из затруднения. Реализация построенного проекта.

    Первичное закрепление с проговариванием.

    Физкультминутка

    Самостоятельная работа в группах с самопроверкой по эталону.

    Повторение материала.

    Рефлексия

    Подведение итогов урока

    Домашнее задание

    Эмоциональная, психологическая и мотивационная подготовка учащихся к усвоению изучаемого материала.

    Устный счёт

    1)Работаем в парах: в учебнике на с. 27 решим примеры на полях:

    630: 70 *30- 89 + 29 : 3 + 30 = 100

         2) №91

    -Сколько раз по 100м содержится в 2 км? (20)

    -Сколько раз по 15 с содержится в 1 мин? (4)

         3) В бидоне было 36 л молока. Доярка наполнила 10 трёхлитровых банок.                 Сколько л молока осталось в бидоне?   (36-3*10=6 (л))

         4) В спортивную школу привезли 126 мячей. Их запаковали в 12 коробок по 10 мячей в каждой. Сколько мячей осталось? (126-10*12=6(м.))

       5)Презентация:

    -Решите примеры:

    800 : 2= 400       

             4 • 20=80

    6 • 7=42

             60 : 3= 20                             

    30 • 2=60

    -Вставьте числа в окошки: 3*8=(?)+27=(?)-39=(?):2=(?)*8=(?)-40=(?)*8

    -Вычисли:

    50:10             500:10          5000:10

    600:100         6000:100       60000:100

    7000:1000     70000:1000   700000:1000

    68:10     400:100     3456:1000

    340:10   827:100     7000:1000

    Вспомните, как мы делим на 10, 100 и 1000.

    (Чтобы число разделить на 10, достаточно убрать один нуль. Чтобы число разделить на 100, надо убрать два нуля и на 1000 надо убрать три нуля).

    — Откройте тетради, запишите сегодняшнее число.

    — Найдем значение выражений второго столбика. Никто не спешит, следите за мной.

    — А сейчас рассмотрим второй столбик.

    -Кто может предложить способ деления 68:10?

    -Можем ли 68:10 без остатка?

    — Какое число можем разделить на 10 без остатка? (60:10=6)

    Правильно, возьмем наибольшее число до 68, которое делится на 10, — это 60. Разделим 60 на 10, что получим? (получим 6). .

    — Сколько останется в остатке?(68 – 60 = 8). Записываем это так 6 (ост. 8).

    — Составим алгоритм деления с остатком на 10,100,1000:

       1.Найдём наибольшее число, которое делится на 10,100,1000.

       2.Разделим это число.

       3. Найдём остаток (от делимого отнимем наибольшее число).

    Мы вывели алгоритм деления с остатком на 10,100,1000. Давайте сверимся с научным источником – учебником с.27

    Решите второй пример с объяснением.(827:100=8) остаток 27.

    — Выйдите к доске и решите 3 пример с объяснением. (3456 : 1000 = 3) ост 456

    — Далее мы выполним задание 96. Начинаем с первой парты 1 ряда, по очереди выходим к доске, решаем пример и объясняем его решение. (Далее учащиеся решают с объяснением примеры, данные в задании 96)

    69 : 10 = 6 (ост 9)           238 : 10 = 23 (ост 8)           691 : 100 = 6 (ост 91)

    78 : 10 = 7 (ост 8)           238 : 100 = 2 (ост 38)         691 : 10 = 69 (ост 1)

    7825 : 100 = 78 (ост 25)             7825 : 1000 = 7 (ост 825)

    под музыку повторяем движения животных

    Работа по карточкам:

    327:10     1684:100

    358:10     1605:1000

    615:100   1730:100

    Решение задачи изученного вида:

    №89 стр.27

    №92 стр.27-составление и решение уравнения.

    Игра в мяч.

    Яблоня успеха.

    Как разделить число на 10, 100, 1000?

    -Как выполнить деление с остатком?

    -Как можно проверить вычисления?

    Индивидуальное домашнее задание для каждого ученика на сорванных яблоках: -№94 с. 27;

    На цветах – 15928:100   15862:10   34518:100     135628:10 36704:10 52080:100;

    На листочках — №93 с.27

    — Доброе утро, ребята!

    — Какое у вас настроение? Покажите жестами!!!

    Ребята моего класса из Пузачинской школы передали вам в подарок вот такое солнышко добра, чтобы вам на уроке было тепло и уютно. Положите его на ладошку. Оно согревает вас: ваши руки, тело и душу. Придаёт бодрость, заряжает

    энергией, будит воображение. Вот с таким настроением мы и начнём урок

    Совершенствует вычислительные навыки обучающихся, умение решать задачи

    Демонстрирует разные виды заданий.

    На какие две группы их можно разделить? (Примеры на деление без остатка и примеры на деление с остатком)

    -Запишите примеры в два столбика:

               400:100                     68:10

                 340:10                     827:100      

       7000:1000               3456:1000

    Примеры какого столбика мы умеем решать?

    Найдите значения выражения первого столбика: (4, 34, 7)

    Как вы думаете, какую проблему нам нужно решить на уроке, чему научиться? (Деление с остатком на 10,100,1000).

    — Прочитайте тему урока в учебнике на стр. 27)

    Повторяют правило деления на 10, 100, 1000.

    Решают с проговариванием

    Выполняют упражнения

    Работают в парах

    Читают задачу, анализируют под руководством учителя, решают, самостоятельно записывают решение.

    Анализируют содержание и составляют задачу.

    Бросает мяч и называет выражение, которое надо решить.

    Проверяет уровень усвоения материала.

    Оценивает уровень обученности

    Подводит итог урока.

    Объясняет выполнение домашнего задания

    Слушают учителя, повторяют за ним движения. Демонстрируют готовность к уроку.

    Работают в парах

    Повторяют единицы длины, времени.

    Решают устно задачи.

    Повторяют умножение и деление на 10,100,1000

    Замечают проблему.

    Такие выражения ещё решать не умеют.

    Определяют тему и цели урока.

    Контролирует правильность ответов.

    Направляет на исследование выражения.

    Контролирует правильность решения и объяснения.

    Вместе с детьми выполняет упражнения.

    Контролирует деятельность обучающихся в парах.

    Проверка по эталону в призентации.

    Задаёт вопросы для анализа: Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? (Нет, нам неизвестна скорость машины.)

    -Как можно найти скорость? (Расстояние разделим на время.)

    -Что вы заметили? (6 нельзя разделить на 5.)

    — А кто догадался, что нужно сделать? (6км перевести в метры: 6км=6000м.)

    -Как изменятся теперь единицы скорости? (Скорость будет измеряться в метрах в минуту.)

    -Как мы узнаем расстояние, пройденное за 40 мин?

    -Что нужно сделать, прежде чем узнать, сколько пройдёт машина с такой же скоростью за 1 ч? (Надо 1ч перевести в минуты.)

    -Запишите решение задачи выражениями.

    6000:5=1200(м/мин)

    1200*40=48000(м)

    1200*60=72000(м)

    Ответ: 48000м,72000м

    Прочитайте задание.

    -Составьте первое уравнение. (х-20=40*6)

    -Как его можно упростить? (Можно найти произведение чисел: 40*6=240)

    -Что неизвестно в уравнении? (Уменьшаемое)

    -Вспомните, как найти уменьшаемое. (К разности прибавить вычитаемое.)

    -Запишите решение.

    х-20=240

    х=240+20

    х=260

    260-20=240

    -Второе уравнение решается самостоятельно в парах.

    15+х=800:20

    15+х=40

    х=40-15

    х=25

    15+25=40

    Ловят мяч и называют ответ выражения

    Выбирают яблоко, если усвоили новый материал на отлично, не возникало затруднений на уроке;

    Цветы, если возникают

    затруднения при решении;

    листья, если материал плохо усвоен.

    Обобщают новые знания.

    Слушают пояснения и задают вопросы.

    Фронтальная, индивидуальная.

    Фронтальная, индивидуальная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная.

    Фронтальная.

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    . Фронтальная.

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    Фронтальная, индивидуаль-ная

    К.-планирует учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

    Л.— имеют желание учиться, проявляют интерес к изучаемому предмету, понимают его важность.

    П. – осмысленно читают тексты математического содержания в соответствии с поставленными целями и задачами; проводят несложные обобщения и используют математические знания в расширенной области применения; используют математические термины, символы и знаки.

    Р.— понимают, принимают и сохраняют различные учебные задачи; осуществляют поиск средств для достижения учебной задачи.

    К. – умеют слушать друг друга, строить понятные для партнёра по коммуникации речевые высказывания; могут работать в коллективе, уважают мнения других участников образовательного процесса.

    Л. – способны адекватно рассуждать о причинах своего успеха или неуспеха, связывая успехи с усилиями, трудолюбием; проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

    Р. – принимают и сохраняют учебную задачу.

    К. – проявляют готовность слушать.

    П. — учатся выполнять деление с остатком на 10, 100, 1000 ;

    Р. — контроль, коррекция и оценка своей деятельности.

    Л. — способствовать развитию интереса к математике.

    Л. – имеют установку на здоровый образ жизни.

    К. – умение работать в парах, сотрудничать, выслушивать мнение собеседника, уметь высказываться.

    П. – проводят анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогию;осознанно и произвольно строят речевые высказывания; осуществляют построение логической цепи рассуждений, доказательство.

    Р. – осуществляют волевую саморегуляцию в ситуации затруднения.

    К. – понимают различные позиции в подходе к решению задачи, задают вопросы для уточнения. Чётко и аргументированно высказывают свои оценки и предложения.

    Л. – осуществление смыслообразова-ния; проявляют познавательный интерес к предмету.

    Р.- контроль и оценка собственной деятельности.

    П. – ориентируются в своей системе знаний – отличают новое от уже известного.

    Л. – проявляют интерес к предмету.

    П. –ориентируются в своей системе знаний – отличают новое от уже известного.

    Р. – оценивают собственную деятельность на уроке.

    Л. – проявляют интерес к предмету.

    Р.-   принимают и сохраняют учебную задачу, осуществляют поиск средств для её выполнения.

    Влияние ДМФП (3,4-диметилпиразолфосфата) на трансформацию и выщелачивание азота в многослойных почвенных столбцах

    . 2007 г., октябрь; 69 (5): 825-31.

    doi: 10.1016/j.chemosphere.2007.05.047. Epub 2007 10 июля.

    Цяо-Ганг Ю 1 , Ин-Сюй Чен, Сюэ-Чжу Е, Гуан-Мин Тянь, Чжи-Цзянь Чжан

    принадлежность

    • 1 Факультет экологической инженерии, Чжэцзянский университет, Ханчжоу 310029, Китай.
    • PMID: 17624400
    • DOI: 10. 1016/j.chemosphere.2007.05.047

    Qiao-Gang Yu et al. Хемосфера. 2007 9 октября0003

    . 2007 г., октябрь; 69 (5): 825-31.

    doi: 10.1016/j.chemosphere.2007.05.047. Epub 2007 10 июля.

    Авторы

    Цяо-Ганг Ю 1 , Ин-Сю Чен, Сюэ-Чжу Е, Гуан-Мин Тянь, Чжи-Цзянь Чжан

    принадлежность

    • 1 Факультет экологической инженерии, Чжэцзянский университет, Ханчжоу 310029, Китай.
    • PMID: 17624400
    • DOI: 10. 1016/j.chemosphere.2007.05.047

    Абстрактный

    Применение азотных удобрений приводит к различным экологическим проблемам, таким как вымывание нитратов. Использование ингибиторов нитрификации в качестве ингибиторов выщелачивания нитратов является предложением, которое было предложено для включения в нормативные акты во многих странах. В этом исследовании с использованием устройства многослойной почвенной колонки изучалось влияние нового ингибитора нитрификации DMPP (3,4-диметилпиразолфосфат) для понимания вертикальной трансформации азота и снижения вымывания нитратов на различной глубине почвенного профиля. Результаты показали, что в течение 60 дней эксперимента обычная мочевина с добавлением 1,0% DMPP может эффективно ингибировать окисление аммония в почве и повышать концентрацию аммония в почвенном растворе на глубине 20 см в профиле почвы, одновременно снижая концентрацию нитратов. и нитрит. Не было обнаружено очевидной разницы в концентрациях аммония в почвенном растворе, собранном из глубокого профиля на глубине до 20 см, между обычной мочевиной и мочевиной с добавлением 1,0% DMPP. Также не было существенной разницы в концентрациях нитратов, аммония и нитритов в почвенном растворе на глубине профиля почвы 40 см при увеличении уровня внесения азота, среди обработок мочевиной с добавлением 1,0% ДМФП в течение 60 дней. Предполагается, что ДМФП можно использовать в качестве эффективного ингибитора нитрификации в некоторых регионах для контроля окисления аммония и уменьшения выщелачивания ионно-азотного газа, сводя к минимуму риск загрязнения неглубоких грунтовых вод и оказывая благотворное влияние на экологическую среду.

    Похожие статьи

    • Оценка действия ингибитора нитрификации 3,4-диметилпиразолфосфата на выщелачивание азота в столбах ненарушенной почвы.

      Юй Ц., Чен Ю., Е С., Чжан Ц., Чжан З., Тянь П. Ю Кью и др. Хемосфера. 2007 март; 67 (5): 872-8. doi: 10.1016/j.chemosphere.2006.11.016. Epub 2007, 4 января. Хемосфера. 2007. PMID: 17207514

    • [Влияние DMPP на трансформацию и вымывание неорганического азота в вертикальном потоке моделируемой толщи почвы].

      Юй К.Г., Чен Ю.С., Чжан К.Л., Лян С.К., Ли Х., Чжан З.Дж. Ю К.Г. и соавт. Хуан Цзин Кэ Сюэ. 2007 апр; 28 (4): 813-8. Хуан Цзин Кэ Сюэ. 2007. PMID: 17639943 Китайский язык.

    • Влияние ингибитора нитрификации 3,4-диметилпиразолфосфата на выщелачивание азота и почвенных ионов солей.

      Юй Цюй, Йе С, Чен Ю, Чжан Зи, Тянь Г. Ю Кью и др. J Environ Sci (Китай). 2008;20(3):304-8. doi: 10.1016/s1001-0742(08)60048-0. J Environ Sci (Китай). 2008. PMID: 18595397

    • [Эффект применения, воздействующие факторы и оценка ингибитора нитрификации: обзор].

      Сунь ZM, Ву ZJ, Чен LJ, Ма XZ. Сан З.М. и др. Ин Юн Шэн Тай Сюэ Бао. 2008 июл; 19(7): 1611-8. Ин Юн Шэн Тай Сюэ Бао. 2008. PMID: 18839927 Обзор. Китайский язык.

    • [Регулирование нитрификации почвы ингибиторами нитрификации и родственными механизмами].

      Сунь З.М., Ву З.Дж., Чен Л.Дж., Цзя Л.Б. Сан З.М. и др. Ин Юн Шэн Тай Сюэ Бао. 2008 июнь; 19 (6): 1389-95. Ин Юн Шэн Тай Сюэ Бао. 2008. PMID: 18808037 Обзор. Китайский язык.

    Посмотреть все похожие статьи

    Цитируется

    • Реакция запасных белков пшеницы и качества хлебопекарного производства на ингибиторы нитрификации на основе диметилпиразола при различных стратегиях разделения азотных удобрений.

      Huérfano X, Estavillo JM, Duñabeitia MK, Gonzalez-Moro MB, Gonzalez-Murua C, Fuertes-Mendizábal T. Уэрфано Х и др. Растения (Базель). 2021 6 апреля; 10 (4): 703. дои: 10.3390/растения10040703. Растения (Базель). 2021. PMID: 33

    • 2 Бесплатная статья ЧВК.

    • Совместное применение высокотемпературного биоугля с обработанным 3,4-диметилпиразолфосфатом сульфатом аммония повышает эффективность использования азота в кукурузе.

      Hailegnaw NS, Mercl F, Kulhánek M, Száková J, Tlustoš P. Hailegnaw NS, et al. Научный представитель 2021 11 марта; 11 (1): 5711. doi: 10.1038/s41598-021-85308-0. Научный представитель 2021. PMID: 33707651 Бесплатная статья ЧВК.

    • Ингибитор нитрификации 3,4-Диметилпиразолфосфат Применение на поздней стадии развития плодов яблони регулирует минеральный азот почвы и углеродно-азотное питание деревьев, улучшает качество плодов.

      Ван Ф., Сюй С., Цзя З., Хоу С., Чен Ц., Ша Дж., Лю З., Чжу З., Цзян И., Гэ С. Ван Ф и др. Фронт завод науч. 2020 3 июня; 11:764. doi: 10.3389/fpls.2020.00764. Электронная коллекция 2020. Фронт завод науч. 2020. PMID: 32582269Бесплатная статья ЧВК.

    • Ингибирующее действие 3,4-диметилпиразолфосфата на выбросы Ch5 и N2O на рисовых полях субтропического Китая.

      Инь С., Чжан С., Цзян З., Чжу П., Ли С., Лю С. Инь С. и др. Общественное здравоохранение Int J Environ Res. 2017 5 октября; 14 (10): 1177. дои: 10.3390/ijerph24101177. Общественное здравоохранение Int J Environ Res. 2017. PMID: 28981456 Бесплатная статья ЧВК.

    • Влияние природного цеолита и ингибитора нитрификации на деградацию органики и трансформацию азота при компостировании осадка.

      Чжан Дж., Суй К., Ли К., Чен М., Тонг Дж., Ци Л., Вэй Ю. Чжан Дж. и др. Environ Sci Pollut Res Int. 2016 Январь; 23 (2): 1324-34. doi: 10.1007/s11356-015-5326-5. Epub 2015 11 сентября. Environ Sci Pollut Res Int. 2016. PMID: 26358216

    Просмотреть все статьи «Цитируется по»

    Типы публикаций

    термины MeSH

    вещества

    Никелевый сплав 825 патронов на Continental Steel & Tube Co.

    Наши никелевые сплавы 825 и Incoloy® 825 обеспечивают повышенную коррозионную стойкость для отраслей промышленности и приложений, работающих в чрезвычайно суровых условиях. Этот сплав с содержанием никеля, железа и хрома также включает небольшое количество молибдена, меди и титана. Подобно большинству сплавов семейства Incoloy®, сплав Nickel Alloy 825 имеет уникальный химический состав: 38–46 % Ni, минимум 22 % Fe, 19-23,5% Cr, 2,5-3,5% Mo, 1,5-3% Cu, максимум 1% Mn и 0,6-1,2% Ti. Никелевый сплав 825 используется во множестве отраслей промышленности и приложений, где превосходная коррозионная стойкость жизненно важна для работы предприятия.

    Информация о запросе Сравнить товары Поиск по спецификации

    А825Р-1031 Н/Д Диаметр 1 1/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 1/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1062 Н/Д Диаметр 1 1/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 1/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1093 Н/Д Диаметр 1 3/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 3/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1125 Н/Д Диаметр 1 1/8 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 1/8 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1156 Н/Д Диаметр 1 5/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 5/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1187 Н/Д Диаметр 1 3/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 3/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1218 Н/Д Диаметр 1 7/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 7/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-125 N/A Диаметр 1 1/4 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 1/4 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1281 N/A Диаметр 1 9/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 9/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1312 Н/Д Диаметр 1 5/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 5/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1343 N/A 1 11/32 дюйма, диаметр, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 11/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1375 N/A Диаметр 1 3/8 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 3/8 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1406 N/A 1 Диаметр 13/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 13/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1437 Н/Д Диаметр 1 7/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 7/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1468 N/A 1 Диаметр 15/32 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 15/32 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-150 N/A Диаметр 1 1/2 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 1/2 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1562 Н/Д Диаметр 1 9/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 9/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1625 Н/Д Диаметр 1 5/8 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 5/8 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1687 Н/Д Диаметр 1 11/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 11/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-175 N/A Диаметр 1 3/4 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 3/4 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1812 N/A 1 13/16 дюймов в диаметре, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 13/16 дюймов Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1875 N/A Диаметр 1 7/8 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 7/8 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-1937 N/A 1 15/16 дюймов в диаметре, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 1 15/16 дюймов Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-200 N / A Диаметр 2 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 2 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³
    А825Р-2062 Н/Д Диаметр 2 1/16 дюйма, никелевый сплав 825, круглый Н/Д 2 1/16 дюйма Н/Д Сплав 825 Н/Д 8,14 фунта/дюйм³0,295 г/см³

    столбец ci_builds.

    commands не существует после обновления до 13.10.0 (#325872) · Проблемы · GitLab.org / GitLab · GitLab

    Закрыто

    Открытым

    Выпуск создан от Greg Myers@greg🦊 Разработчик

    Сводка

    Обновление док-контейнера GitLab с версии 13.9.3 до 13.10.0 приводит к тому, что следующая ошибка регистрируется каждые 15 секунд в postgresql/current :

     ОШИБКА: столбец ci_builds.commands не существует в символе 825
    ЗАЯВЛЕНИЕ: ВЫБЕРИТЕ
    подзапрос.namespace_id,
    подзапрос.shared_runners_enabled,
    подзапрос.project_id,
    подзапрос.статус,
    MAX(subquery.count) как количество
    ИЗ (
    ВЫБРАТЬ
    проекты.namespace_id,
    проекты.shared_runners_enabled,
    ci_builds. project_id,
    ci_builds.commit_id,
    ci_builds.status,
    COUNT(*) КАК считать
    ИЗ ci_builds
    ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ к проектам
    ON проекты.id = ci_builds.project_id
    ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ к пространствам имен
    НА namespaces.id = проекты.namespace_id
    ГДЕ ci_builds.type = 'Ci::Build'
    И ci_builds.status IN («выполняется», «ожидает рассмотрения»)
    -- Фильтр created_at введен только из соображений производительности.
    И ci_builds.created_at > СЕЙЧАС() - ИНТЕРВАЛ '7 дней'
    ГРУППА ПО
    проекты.namespace_id,
    проекты.shared_runners_enabled,
    ci_builds.project_id,
    ci_builds.commit_id,
    ci_builds.status,
    ci_builds.commands
    СЧЕТ(*) > 2
    ) AS подзапрос
    ГРУППА ПО
    подзапрос.namespace_id,
    подзапрос.shared_runners_enabled,
    подзапрос.project_id,
    подзапрос.commit_id,
    подзапрос.статус 

    Первоначально сообщалось в: https://forum.gitlab.com/t/upgrade-13-1-11-13-10-0-error-column-ci-builds-commands-does-not-exist/50688/ 3

    Действия по воспроизведению

    1. Установите и настройте GitLab с помощью контейнера докеров gitlab/gitlab-ee:13. 9.3-ee.0
    2. Убедитесь, что в файле контейнера /var/log/gitlab/postgresql/current нет ошибок
    3. Обновите док-контейнер GitLab до gitlab/gitlab-ee:13.10.0-ee.0
    4. Убедитесь, что ошибка теперь регистрируется каждые 15 секунд по адресу /var/log/gitlab/postgresql/current .

    Каково текущее поведение ошибки

    ?

    Обновление GitLab с 13.9.3 до 13.10.0 приводит к ошибке в журналах GitLab, которую нельзя устранить.

    Каково ожидаемое

    правильное поведение ?

    Обновление не приводит к ошибкам в журнале postgresql об отсутствующих столбцах базы данных.

    Соответствующие журналы и/или скриншоты

    postgresql/текущий

    Вывод чеков

    Результаты информации о среде GitLab
    Разверните вывод, связанный с информацией о среде GitLab.
    $ docker exec -it gitlab gitlab-rake gitlab:env:info
     

    Системная информация Система: Прокси: нет Текущий пользователь: гит Использование RVM: нет Рубиновая версия: 2.7.2p137 Версия драгоценного камня: 3.1.4 Версия бандлера: 2.1.4 Версия рейка: 13.0.3 Версия Redis: 6.0.10 Git-версия: 2.29.0 Sidekiq Версия: 5.2.9 Версия Go: неизвестно

    Информация GitLab Версия: 13.10.0-ee Ревизия: 0d2d9558 дБА Каталог: /opt/gitlab/embedded/service/gitlab-rails Адаптер БД: PostgreSQL Версия БД: 12.5 URL-адрес: http://docker.sr.gitlab.support URL-адрес HTTP-клона: http://docker.sr.gitlab.support/some-group/some-project.git URL-адрес клона SSH: [email protected]:some-group/some-project.git Эластичный поиск: нет Гео: нет Использование LDAP: нет Использование Omniauth: да Поставщики Omniauth:

    Оболочка GitLab Версия: 13.17.0 Пути хранения репозитория: по умолчанию: /var/opt/gitlab/git-data/repositories Путь оболочки GitLab: /opt/gitlab/embedded/service/gitlab-shell Git: /opt/gitlab/embedded/bin/git

    Результаты проверки приложения GitLab
    Разверните вывод, связанный с проверкой приложения GitLab.
    $ docker exec -it gitlab gitlab-rake gitlab: проверить
    Проверка подзадач GitLab...
     

    Проверка оболочки GitLab...

    Оболочка GitLab: ... Версия оболочки GitLab >= 13.17.0 ? ... ОК (13.17.0) Запуск /opt/gitlab/embedded/service/gitlab-shell/bin/check Доступен внутренний API: ОК Redis доступен через внутренний API: ОК самопроверка gitlab-shell прошла успешно

    Проверка GitLab Shell... Готово

    Проверка Гиталии...

    Гиталия: ... по умолчанию ... ОК

    Проверка Гиталии... Готово

    Проверка Sidekiq...

    Сайдекик: ...Бежать? ... да Количество процессов Sidekiq (кластер/рабочий) ... 1/1

    Проверка Sidekiq... Завершено

    Проверка входящей электронной почты. ..

    Входящая электронная почта: ... Ответ по электронной почте отключен в config/gitlab.yml

    Проверка входящей электронной почты... Завершено

    Проверка LDAP...

    LDAP: ... LDAP отключен в config/gitlab.yml

    Проверка LDAP... Завершено

    Проверка приложения GitLab...

    Git настроен правильно? ... да Конфигурация базы данных существует? ... да Все миграции завершены? ... да База данных содержит осиротевших членов группы? ... нет Конфиг GitLab существует? ... да Конфигурация GitLab актуальна? ... да Каталог журналов доступен для записи? ... да Каталог tmp доступен для записи? ... да Каталог загрузок существует? ... да Каталог загрузок имеет правильные разрешения? ... да Загружаемый каталог tmp имеет правильные разрешения? .. . пропущено (пока нет папки для загрузки tmp) Скрипт инициализации существует? ... пропущено (у omnibus-gitlab нет сценария инициализации) Сценарий инициализации актуален? ... пропущено (у omnibus-gitlab нет сценария инициализации) Проекты имеют пространство имен: ... Экземпляр GitLab/мониторинг... да Версия Redis >= 4.0.0? ... да Рубиновая версия >= 2.7.2? ... да (2.7.2) Версия Git >= 2.29.0 ? ... да (2.29.0) Пользователь Git имеет конфигурацию SSH по умолчанию? ... да Активные пользователи: ... 1 Доступен ли файл авторизованных ключей? ... да GitLab настроен на хранение новых проектов в хешированном хранилище? ... да Все проекты находятся в хешированном хранилище? ... да Elasticsearch версии 7.x (6.4 - 6.x устарели, чтобы быть удаленными в 13.8)? ... пропущено (эластичный поиск отключен)

    Проверка приложения GitLab... завершена

    Проверка подзадач GitLab... Завершено

    Возможные исправления

    Эта миграция базы данных актуальна: https://gitlab. com/gitlab-org/gitlab/blob/master/db/post_migrate/20210218105431_remove_deprecated_ci_builds_columns.rb

    Обходной путь

    Выполните следующую команду, чтобы отменить миграцию базы данных, вызвавшую эту ошибку:

     sudo gitlab-rake db:migrate:down VERSION=20210218105431 RAILS_ENV=production 

    Отредактировано

    Часто задаваемые вопросы: Радиофармпрепараты | USP

    ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ: 

    1. Что такое радиофармпрепарат?

    Радиофармацевтический препарат (радиофармацевтический препарат/радиоактивный препарат) определяется как готовая лекарственная форма, содержащая радиоактивное вещество в сочетании с одним или несколькими ингредиентами и предназначенная для диагностики, установления стадии заболевания, наблюдения за лечением или проведения терапии. Радиофармацевтический препарат включает любой набор нерадиоактивных реагентов или генератор радионуклидов, предназначенный для использования при приготовлении любого такого вещества. Термины «радиофармацевтический» и «радиоактивный препарат» используются взаимозаменяемо.

    Поскольку радиофармацевтические препараты содержат радиоактивные материалы, они подпадают под контроль Комиссии по ядерному регулированию США (NRC) или государственного агентства по соглашению с NRC. Кроме того, поскольку радиофармацевтические препараты отпускаются по рецепту, они подпадают под контроль Управления по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США (FDA).

    2. Классифицируются ли радиофармпрепараты как опасные препараты NIOSH из-за радиационной опасности?

    № Определение опасных лекарств Национального института безопасности и гигиены труда (NIOSH) исключает радиофармпрепараты, которые регулируются Комиссией по ядерному регулированию.

    3. Какова цель?

    Целью <825> является обеспечение единых минимальных стандартов для приготовления, смешивания, дозирования и переупаковки стерильных и нестерильных радиофармпрепаратов для людей и животных, которые используются в рамках лицензированной государством деятельности (например, практики аптека и медицина). <825> описывает оборудование и средства технического контроля, обучение и квалификацию персонала, а также процедурные стандарты для обработки радиофармпрепаратов в ядерных аптеках, отделениях ядерной медицины в больницах и клиниках и других медицинских учреждениях, в которых используются радиофармпрепараты. Для стерильных радиофармпрепаратов эти стандарты уравновешивают методы асептического обращения с методами защиты от радиации, чтобы описать соответствующие стратегии, обеспечивающие безопасность пациентов, а также безопасность лиц, выполняющих эти действия.

    4. Почему и как было разработано?

    <825> был разработан в ответ на комментарии общественности, связанные с предложенным в 2015 г. пересмотром <797>, информационным документом 2016 г. Общества ядерной медицины и молекулярной визуализации и семинаром заинтересованных сторон 2017 г., проведенным USP, все из которых подчеркивали уникальные характеристики радиофармпрепаратов, которые делают соблюдение <797> трудным или невозможным.

    <825> был разработан группой экспертов, состоящей из членов Экспертного комитета USP по химическим лекарствам 4 (который курирует радиоактивные препараты), Экспертного комитета USP по компаундированию, FDA, Министерства здравоохранения Канады, фармацевтов-ядерщиков и технолога ядерной медицины.

    Черновик <825> был доступен для общественного обсуждения в июле 2018 г.    Комментарии общественности поступали до ноября 2018 г.  Окончательная версия с учетом всех комментариев общественности была выпущена 1 июня 2019 г., а официальная дата – 1 декабря 2020 г.

    5. К кому и в каких параметрах относится?

    <825> применяется ко всем лицам, которые готовят, компаундируют, дозируют или переупаковывают радиофармпрепараты. Применимые лица включают уполномоченных ядерных фармацевтов (ANP) и уполномоченных врачей-пользователей (AU), а также лиц, работающих под их наблюдением. Сюда входят, помимо прочего, студенты-фармацевты, специалисты по ядерной фармации, технологи ядерной медицины, а также студенты, врачи-резиденты и стажеры.

    6. Как узнать, что такое требования и рекомендации в ?

    Как правило, требования в Общей главе передаются с использованием термина «должен». Рекомендации передаются с использованием терминов «следует» и «может».

    7. Что означает «официальная дата»?

    «Официальная дата» Фармакопеи США указывает дату, к которой ожидается, что затронутые пользователи будут соответствовать требованиям определенного стандарта. Обеспечение соответствия требованиям этих стандартов является обязанностью регулирующих органов, таких как FDA, штатов, других государственных органов и организаций по аккредитации/сертификации. USP не играет никакой роли в правоприменении.

    8. Когда Генеральный Капитул станет официальным?

    См. Уведомление о намерении внести изменения; 1 декабря 2020 г.

    9. Температура выражается в градусах Фаренгейта или Цельсия?

    Если не указано иное, все температуры в USP-NF выражены в градусах Цельсия (см. также Общие примечания 8.180 Температуры).

    10. Были ли изменения между предложением в PF44(5) с сентября по октябрь 2018 г. и официальной версией в результате комментариев общественности?

    Да. На основании комментариев общественности были внесены изменения в <825>. Например, все требования к препаратам для немедленного применения представлены в виде нового раздела 3. Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов. Другим примером изменения является увеличение интервала времени для переквалификации компетенции по заполнению сред с 6 до 12 месяцев. Подробную информацию об изменениях в связи с общественными комментариями см. в комментарии.

    11. Является ли Администрация пациентов частью ?

    № <825> прямо указано, что он не распространяется на «введение радиофармпрепаратов пациентам».

    12. Зачем нужен? Были ли опубликованы сообщения о вреде для пациентов в результате неправильного обращения с радиофармпрепаратами?

    В этой главе описываются соответствующие стандарты, обеспечивающие разумную уверенность в поддержании безопасности пациента, а также разумную гарантию безопасности лиц, выполняющих эти действия.

    Были опубликованы сообщения о вреде для пациентов в результате неправильного обращения с радиофармпрепаратами. Патель и др. сообщили о 16 пациентах, у которых развилась инфекция, вызванная вирусом гепатита С, от зараженного радиофармпрепарата, используемого в исследованиях перфузии миокарда (Patel PR, et al. Инфекции, вызванные вирусом гепатита С, от загрязненного радиофармацевтического препарата, используемого в исследованиях перфузии миокарда. JAMA. 2006; 29).6(16):2005-2011.)   Moore, et al. сообщили о нескольких пациентах, у которых развилась инфекция, вызванная вирусом гепатита С, в результате неправильного обращения в клинике ядерной кардиологии (Moore ZS, et al. Передача вируса гепатита С во время визуализации перфузии миокарда в амбулаторной клинике. Am J Cardiol. 2011:108;126-132 .)

     

    13. Как требования соотносятся с правилами NRC и условиями лицензии на RAM?

    Как указано во введении, в дополнение к стандартам в <825> необходимо соблюдать другие правила (например, NRC). Другими словами, ничто в <825> не заменяет правила NRC и требования лицензии на RAM. Например, в Разделе 2 говорится: «Согласно требованиям лицензии RAM, физические лица должны носить нательные и, при необходимости, дозиметры для конечностей (например, кольцо на пальце) для долгосрочного мониторинга радиационного облучения персонала. Любой дозиметр для конечностей должен носиться под перчатками и не должен мешать правильной посадке перчаток». В качестве другого примера, в Разделе 5. 7 говорится, что «все пользователи RAM должны соблюдать условия, указанные в их утвержденном приложении и правилах лицензии на RAM, а условия лицензии на RAM могут заменять собой требования к контролю окружающей среды, описанные в этом разделе». Для стерильных радиофармпрепаратов <825> уравновешивает практику асептического обращения с практикой радиационной защиты, чтобы описать соответствующие стратегии, обеспечивающие обеспечение безопасности пациентов, а также безопасность лиц, выполняющих эти действия.

    14. Неясно, должны ли отделения ядерной медицины в больницах следовать стандартам USP, поскольку они не являются ядерными аптеками.

    В разделе «Введение» раздела <825> говорится: «Эта глава применима ко всем условиям практики, где готовятся, смешиваются, распределяются или переупаковываются радиофармпрепараты. Учреждения практики состоят из ядерных аптек, имеющих государственную лицензию, федеральных ядерных аптек и других медицинских учреждений, включая, помимо прочего, отделения ядерной медицины в больницах и клиниках, клиники ядерной кардиологии (стационарные или мобильные) и другие специализированные клиники». <825> далее говорится, что «Эта глава применяется ко всем лицам, которые готовят, компаундируют, отпускают или переупаковывают радиофармпрепараты. Применимые лица включают уполномоченных ядерных фармацевтов (ANP) и уполномоченных врачей-пользователей (AU), а также лиц, работающих под их наблюдением. Это включает, помимо прочего, студентов-фармацевтов, техников ядерной фармации, технологов и студентов ядерной медицины, а также врачей-резидентов и стажеров».

    15. Я работаю на предприятии по производству ПЭТ-препаратов, которое производит различные продукты, одобренные ANDA, IND и RDRC. Кроме того, период полувыведения ПЭТ-препаратов колеблется от 10 до более чем 110 минут. Для продуктов с коротким сроком действия одна партия используется для одной дозы пациента. Для продуктов с более длительным сроком действия одна партия используется для нескольких доз пациентов. Не могли бы вы объяснить для этих сценариев разницу между проколами перегородки, которые происходят в процессе производства, и имеют ли они значение для целей , особенно в отношении положений о немедленном использовании ? В главе указано, что «эта глава не применяется к производству одобренных радиофармпрепаратов (например, NDA, ANDA, BLA) на производственных предприятиях, зарегистрированных FDA, или к производству радиофармпрепаратов в качестве исследовательских агентов (например, IND, RDRC) . В каждом из этих сценариев… дальнейшая обработка и манипулирование лекарственным средством после выпуска подпадают под действие этой главы».

    Проколы, сделанные для контроля качества, считаются предварительным выпуском и не применяются к <825>.

    16. Должен ли объект, производящий радиофармпрепараты, не предназначенные для использования людьми или животными, соблюдать положения ?

    Нет. Во введении <825> говорится: «Настоящая глава предназначена для обеспечения единых минимальных стандартов для приготовления, смешивания, дозирования и переупаковки стерильных и нестерильных радиофармпрепаратов для людей и животных, которые используются в рамках лицензированной государством деятельности. ».

    17. Что такое экспертная группа по сравнению с экспертным комитетом?

    Экспертная комиссия — это консультативный орган, созданный для предоставления дополнительных экспертных знаний по конкретным темам компендиума и информирования о разработке стандартов Экспертным комитетом. Группа экспертов разрабатывает рекомендации для Комитета экспертов; Группа экспертов не голосует по стандартам.

    18. Что такое незначительное отклонение и кто его определяет?

    <825> определяет подготовку с незначительным отклонением как: Действие по приготовлению изготовленного традиционным способом набора с радионуклидом традиционного производства с указанием объема и/или радиоактивности, и/или пошаговых отклонений от рекомендованных изготовителем на этикетке, при обеспечении того, чтобы окончательный препарат сохраняет соответствующую радиохимическую и радионуклидную чистоту для всего БАД. Примеры незначительных отклонений включают, помимо прочего, изменение количества активности или объема, добавляемого во флакон, изменения в пошаговых операциях (например, разбавление Tc-9).9m раствора после, а не до добавления во флакон, использования вентиляционной иглы или фильтра), с использованием альтернативных устройств или оборудования (например, нагревательного блока, а не бани с горячей водой) и с использованием альтернативных методов проверки радиохимической чистоты.

    Это определение взято из опубликованного руководства FDA.

     

    НАЗНАЧЕННОЕ ЛИЦО

    19. Кто несет ответственность за радиофармпрепараты в амбулаторной клинике без ассоциированной аптеки и, следовательно, без директора аптеки?

    Авторизованный врач-пользователь отвечает за радиофармпрепараты. Раздел 1. Введение гласит: Подходящие лица включают уполномоченных ядерных фармацевтов (ANP) и уполномоченных пользователей (AU) врачей, а также лиц, работающих под их наблюдением.

    20. Должен ли «назначенный человек» быть кем-то из аптечного отдела?

    Нет. В Глоссарии Назначенное лицо определяется как «Одно или несколько лиц, на которых возложена ответственность и подотчетность за производительность и эксплуатацию предприятия по переработке радиофармацевтических препаратов, а также за персонал, который готовит, компаундирует, дозирует и переупаковывает радиофармацевтические препараты». Учреждение несет ответственность за выбор квалифицированного лица в качестве Назначенного лица. Глава не требует определенного количества назначенных лиц на объект или дисциплины назначенного лица (лиц).

    НЕМЕДЛЕННОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

    21. Если «нерасфасованный» флакон пертехнетата Tc-99m, полученный для использования в непредвиденных обстоятельствах, используется для приготовления радиофармпрепарата для немедленного применения, можно ли сохранить его для дополнительных исследований пациентов?

    Нет, см. раздел 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов», в котором говорится: «Все задействованные компоненты (например, шприц или флакон с пертехнетатом натрия Tc-99m, окончательно подготовленный флакон с радиофармацевтическим набором, флакон с растворителем) должны быть утилизированы в течение одного часа после прокола. или после использования для однократного введения пациенту, в зависимости от того, что наступит раньше». Таким образом, любое остаточное содержимое всех использованных флаконов должно быть утилизировано через 1 час, чтобы его нельзя было сохранить для дополнительных исследований пациентов.

    22. Можно ли использовать область, используемую для радиоактивной маркировки пищевых продуктов, для немедленного использования для мечения эритроцитов или других стерильных радиофармпрепаратов, если их предварительно очистить?

    Да, если площадь используется только для одного вида деятельности в течение всего времени обработки, а затем очищается перед использованием для другого вида деятельности.

    Раздел 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» гласит: «Зона для стерильного приготовления и/или дозирования должна быть функционально отделена от нестерильной зоны приготовления (например, продуктов, меченных радиоактивным изотопом) во время использования».

    В разделе 11.1 Компаундирование нестерильных радиофармпрепаратов указано: «Области, предназначенные для нестерильного компаундирования
    , должны быть очищены, не загромождены и отделены от зон, предназначенных для стерильных радиофармпрепаратов».

    В разделе 10.4 «Подготовка эритроцитов с радиоактивной меткой к немедленному использованию» говорится: «На протяжении всего процесса мечения крови должно быть выделено специальное место для работы с кровью. Эта зона не должна быть загромождена и не должна использоваться для каких-либо других радиофармацевтических препаратов или манипуляций до завершения очистки и дезинфекции».

    23. Требуется ли тестирование контроля качества для радиофармпрепаратов, приготовленных в соответствии с положением о немедленном использовании?

    <825> Раздел 3 не является полностью предписывающим по всем факторам. В Разделе 8. Назначение BUD обсуждаются факторы, которые необходимо учитывать при определении BUD, в том числе поддержание радиохимической чистоты (для чего могут потребоваться исследования контроля качества с течением времени), но это редко применимо для немедленного использования. В Разделе 9. Документация требуется вести записи для «Радиохимических и других испытаний конечного продукта, если применимо, результатов препаратов, препаратов с незначительными отклонениями и компаундированных препаратов». Для некоторых радиофармацевтических наборов в инструкциях по подготовке вкладыша требуется проведение контроля качества, но для других радиофармацевтических наборов этого не требуется. Раздел 10.2 «Подготовка с незначительными отклонениями» включает требование «соответствующего внутреннего контроля качества, предназначенного для проверки радиохимической чистоты продукта для всего BUD или подтвержденного соответствующими рецензируемыми публикациями для используемого незначительного отклонения». Помимо <825>, контроль качества должен выполняться как профессиональный стандарт практики (например, см. документ SNMMI http://snmmi.files.cms-plus.com/docs/JNMT354p272.pdf; Американского колледжа радиологии). https://www.acr.org/-/media/ACR/Files/Practice-Parameters/Radiopharmace… и Американская ассоциация фармацевтов, https://pharmacist.com/sites/default/files/files/Nuclear-Pharmacy -Компо…).

    24. Можно ли приготовить специфические дозы для пациента для немедленного использования с пертехнетатом натрия Tc-99m в случае непредвиденных обстоятельств?

    Да, <825> допускает приготовление (в том числе приготовление с незначительными отклонениями) и/или дозирование, которое ограничено использованием для одного пациента. Пожалуйста, обратитесь к Разделу 3. Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов для получения более подробной информации.

    25. Следует ли проводить тестирование радиохимической чистоты (RCP) радиофармацевтических наборов, приготовленных в условиях немедленного использования?

    Тестирование RCP может проводиться в месте оказания медицинской помощи перед введением или посредством систематической проверки процедур подготовки, обеспечивающих RCP. Термин «Подготовка» включает в себя не только процесс следования рекомендациям производителя, но также включает в себя подготовку с отклонениями от рекомендаций производителя. В разделе 10 Фармакопеи США <825> о приготовлении указано: «Лицо, ответственное за приготовление радиофармацевтического(ых) препарата(ов), должно гарантировать, что окончательный препарат соответствует спецификациям качества и чистоты во всем назначенном BUD. Это включает, в зависимости от препарата, радионуклидную чистоту, радиохимическую чистоту (RCP), химическую чистоту и физические и химические свойства» (курсив добавлен для выделения). Процесс одобрения FDA основан на инструкциях по маркировке, направленных на поддержание стабильности в течение всего срока годности. Некоторые радиофармпрепараты, одобренные до 1990 не имеют упоминаний о тестировании RCP в маркировке их продуктов. Врач или фармацевт несет ответственность за обеспечение того, чтобы радиофармацевтический препарат соответствовал качеству и чистоте, предусмотренным производителем, и несет ответственность за документацию, как указано в <825> Разделе 9. Документация, применимая к категории препарата. В этих ситуациях монография USP или другой эквивалентный метод тестирования, используемый для обеспечения стабильности в BUD, должен быть достаточно строгим, чтобы обеспечить статистическую достоверность результатов.

    26. Ограничен ли BUD одним (1) часом или меньше для немедленного использования?

    Да, <825> указывает, что BUD для немедленного использования составляет один час. См. раздел <825> 3. Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов и информацию в таблице 7.

    27. Для категории немедленного использования: нужно ли ежедневно чистить лабораторный халат или нужно использовать одноразовый лабораторный халат?

    В разделе 4.4 «Гигиена рук и подготовка одежды к немедленному использованию» говорится: «…надевайте чистый халат или халат, который не подвергался воздействию пациента в зоне ухода за пациентом…» и «для ухода за пациентом, чем пальто/халат, используемые для радиофармацевтического препарата». Каждое учреждение должно разработать политику и процедуры по использованию и ношению лабораторных халатов или халатов в соответствии с положениями настоящей главы.

    28. Можно ли разделить пероральную стандартную дозу коллоидной серы Tc-99m на несколько шприцев для нескольких пациентов для нестерильного приготовления (например, радиоактивной маркировки пищевых продуктов) без ISO 5 PEC?

    Нестерильный состав не требует ISO 5 PEC. Раздел 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» относится только к стерильным радиофармпрепаратам.

     

     

    29. Должны ли манипуляции с единичной дозой путем увеличения или уменьшения объема и замены иглы соответствовать стандартам немедленного использования?

    Раздел 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» гласит: «Разрешены манипуляции с любыми стандартными дозами (например, уменьшение дозировки, замена иглы) или выдача для одного пациента (например, изъятие дозы)».

    30. Какие соображения необходимо учитывать при заказе пертехнетата натрия Tc-99m для использования в атмосферном воздухе в соответствии со стандартами немедленного использования?

    При принятии решения о количестве пертехнетата натрия Tc-99m и о том, должен ли он находиться в шприце или во флаконе для экстренного использования, в разделе 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» необходимо учитывать следующее:

    • Подходит для приготовления (включая незначительные отклонения) и/или дозирования, предназначенного только для одного пациента.
    • Все задействованные компоненты (например, шприц или флакон с пертехнетатом натрия Tc-99m, окончательно подготовленный флакон с радиофармацевтическим набором, флакон с разбавителем) должны быть утилизированы в течение 1 часа после пункции или после использования для однократного введения пациенту, в зависимости от того, что наступит раньше.
    • Объединение доз (объединение доз из двух или более шприцев для удовлетворения потребностей одного пациента) может быть выполнено для немедленного использования. Любая остаточная активность должна быть немедленно утилизирована и не использована ни для какого другого пациента».
    • Количество шагов или проколов не ограничено.

     

    31. Если врач добавляет лидокаин непосредственно перед введением, какие стандарты необходимо соблюдать?

    В соответствии с Разделом 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов», «[хотя] добавление нерадиоактивного, стерильного и промышленно производимого фармацевтического препарата (например, лидокаина) к стандартной дозе в противном случае считается составлением рецептуры, оно разрешено для немедленного применения. целей» при условии соблюдения всех требований Раздела 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов».

    32. Если поставщик добавляет лидокаин в 4 шприца с радиофармпрепаратом для одного пациента в соответствии со стандартами немедленного использования, можно ли это сделать с помощью 1 флакона лидокаина?

    Эта глава не относится к приготовлению нерадиоактивных лекарственных средств, включая те, которые используются в качестве фармакологических добавок для определенных процедур ядерной медицины. Информацию о надлежащем обращении см. в разделе <797> Фармацевтические рецептуры — Стерильные препараты.

    33. Какие стандарты необходимо соблюдать для радиоактивной маркировки пищевых продуктов?

    Необходимо соблюдать стандарты приготовления нестерильных радиофармпрепаратов, изложенные в Разделе 11.1 «Приготовление нестерильных радиофармпрепаратов». Эти стандарты не следует путать со стерильными рецептурами в Разделе 11.2 «Стерильные рецептуры», которые отличаются.

    34. Является ли добавление коллоидной серы Tc-99m в яичные продукты, пищевые добавки, воду или детское питание нестерильным составом?

    Раздел 11.1 «Создание нестерильных радиофармпрепаратов» гласит: «Создание нестерильных радиофармпрепаратов — это комбинирование, смешивание, разбавление, объединение, восстановление или иное изменение лекарственного средства или нерасфасованной лекарственной субстанции, кроме случаев, предусмотренных вкладышем производителя для создания нестерильного радиофармпрепарата». «Требования к нестерильным компонентам пищи для перорального приема ограничены общим описанием пищевых продуктов и не требуют установления идентичности утвержденными способами».

    35. Требуется ли для разделения стандартной дозы на несколько доз ISO 5 PEC?

    Да. См. раздел 3, в котором говорится: «Разделение дозы (разделение стандартной дозы для введения более чем одному пациенту) не может осуществляться как немедленное применение; в случае проведения разделение дозы должно выполняться в ПЭК класса 5 по стандарту ISO либо в SRPA, либо в буферной зоне класса 8 по стандарту ISO или выше».

    36. Может ли однократная доза меченного технецием радиофармацевтического препарата (например, Tc-99m sestamibi, Tc-99m тетрофосмин, стерильный отфильтрованный коллоид серы Tc-99m) разделить на несколько шприцев без ISO 5 PEC, если их следует использовать для одного пациента и вводить в течение часа после разделения дозы?

    Раздел 3 разрешает:

    • Разрешены манипуляции с любыми стандартными дозами (например, уменьшение дозы, замена иглы) или дозирование для одного пациента (например, отмена дозы).
    • Должен быть введен в течение 1 часа после первого прокола контейнера или контакта любого критического места (например, наконечника шприца, втулки иглы или иглы) с окружающим воздухом, в зависимости от того, что произойдет раньше.
    • Все задействованные компоненты (например,… флакон с растворителем) должны быть утилизированы в течение 1 часа после прокола или после использования для однократного введения пациенту, в зависимости от того, что наступит раньше».

    КВАЛИФИКАЦИЯ ПО АСЕПТИКИ

    37. Должны ли студенты и стажеры проводить тесты кончиками пальцев в перчатках и тесты заполнения средами перед приготовлением стерильных радиофармпрепаратов, предназначенных для немедленного использования?

    Да, в разделе 4.1 указано: «Персонал должен подтвердить свою компетентность, применимую к его должностным обязанностям, перед выполнением радиофармацевтических асептических задач, которые не могут быть немедленно использованы». В частности, в разделе, посвященном заполнению среды, говорится: «Тестирование заполнения средой необходимо для всего персонала, который готовит, компаундирует, дозирует и переупаковывает стерильные радиофармпрепараты». В разделе 4.3 описываются ситуации, когда учащимся или посетителям не нужно доказывать свою компетентность. «Другой персонал или посетители (например, аудиторы, инспекторы, студенческие наблюдатели) должны соблюдать СОП по ношению одежды, но им не нужно доказывать свою компетентность». Если студент или стажер будет готовить, компаундировать, дозировать или переупаковывать стерильный радиофармацевтический препарат, выходящий за рамки немедленного использования (в PEC класса 5 по ISO), то он должен соответствовать квалификационным требованиям по асептике, изложенным в разделе 4, включая обучение асептической технике, тестирование кончиками пальцев в перчатках и среды. заполнить тестирование.

    38. Можно ли подготовить радиофармпрепараты для немедленного использования, если работник не проходит испытание на заполнение среды?

    Да, в разделе 3 указано: «Не требуется, чтобы персонал проходил квалификацию по асептике, как указано в разделе 4.1 (например, обучение асептической технике с документально подтвержденной оценкой, контроль заполнения среды, тестирование кончиками пальцев в перчатках)». таким образом, работник может приготовить радиофармацевтические препараты для немедленного использования независимо от результатов их испытания на заполнение средой. Тем не менее, некоторые регулирующие органы и аккредитующие органы ожидают наличия документально подтвержденной компетенции для выполнения критических видов деятельности, поэтому рекомендуется документировать обучение и оценку эффективности подготовки радиофармацевтических препаратов для немедленного использования.

    39. Должен ли инспектор по заполнению СМИ проходить специальную или дополнительную подготовку?

    В разделе 4.1 указано, что за вызовом на заполнение носителя будет наблюдать «назначенное лицо». Назначенное лицо определяется как: «Одно или несколько лиц, назначенных нести ответственность и нести ответственность за производительность и работу предприятия по переработке радиофармацевтических препаратов, а также за персонал, который готовит, компаундирует, распределяет и переупаковывает радиофармацевтические препараты». Назначенное лицо должно пройти соответствующую подготовку в своей области надзора.

    40. Если испытание на заполнение среды выполняется в одном учреждении, нужно ли повторять его в каждом учреждении, в котором работает работник?

    В разделе 4. 1 говорится: «Персонал должен подтвердить свою компетентность, применимую к его должностным обязанностям, перед выполнением радиофармацевтических асептических задач, которые не могут быть использованы немедленно. Эти квалификации могут проводиться на другом объекте, если все СОП идентичны для соответствующей должностной функции». Тестирование заполнения среды является одним из компонентов квалификации, пункт <825> не касается необходимости его повторения на каждом объекте, на котором работает работник. зная и выполняя любые такие требования.

    41. Некоторые протоколы визуализации требуют повторного анализа радиофармпрепаратов в SRPA или буферной комнате. Как применяется?

    Зависит от расположения калибратора дозы. Раздел 7.6 Очистка и дезинфекция предметов в местах ухода за пациентами гласит: «Шприцы, которые использовались в помещении для ухода за пациентами, не должны возвращаться в классифицированную зону (например, буферную или приемную) или SRPA для повторного анализа или утилизации, если только шприц не в запечатанном внутри непроницаемом контейнере (например, в запечатанном пластиковом пакете), который дезинфицируется перед входом в классифицированную зону или SRPA». Пользователи должны проконсультироваться со своими экспертами по эпидемиологии/инфекционному контролю для правильного применения стандартов.

    42. Может ли лицо, не прошедшее асептическое квалификационное тестирование (например, заполнение средой, тестирование кончиками пальцев в перчатках), элюировать из активного (т. е. не просроченного, находящегося в использовании) генератора?

    В разделе 4.1 «Асептическая квалификация» говорится: «Персонал должен подтвердить свою компетентность, применимую к его должностным обязанностям, перед выполнением радиофармацевтических асептических задач, которые выходят за рамки непосредственного использования». Это означает, что стажер не может элюировать генератор, который нельзя использовать немедленно, без прохождения асептической квалификации, описанной в Разделе 4.1.

    43. Должны ли перчатки быть стерильными?

    Использование стерильных перчаток зависит от выполняемой работы. Раздел 4.5 требует, чтобы при работе в ЗЗРО или буферной комнате надевались стерильные перчатки, поскольку ношение стерильных перчаток снижает бионагрузку, попадающую в ЗРОЗ или буферную комнату. При подготовке препарата для немедленного применения в Разделе 4.4 говорится: «Наденьте либо стерильные перчатки, либо нестерильные одноразовые перчатки, а затем продезинфицируйте перчатки стерильным 70% IPA». Стерильные перчатки не требуются для немедленного использования.

    44. Должны ли перчатки быть над или под рукавом халата?

    Перчатки должны быть надеты поверх рукава халата в соответствии с Разделом 4.5, в котором говорится: «Перчатки должны полностью и плотно закрывать концы манжет халата, чтобы кожа на запястьях и верхней части рук была полностью покрыта». Пользователям следует напомнить, что человек, выполняющий задачу, считается самым большим источником потенциального выброса частиц, который может привести к микробному заражению.

    45. Что считается косметикой?

    Косметика определяется в Федеральном законе о пищевых продуктах, лекарствах и косметических средствах как «предметы, предназначенные для растирания, обливания, разбрызгивания или распыления, введения или иного нанесения на тело человека. .. для очищения, украшения, стимулирования привлекательность или изменение внешности». [Закон FD&C, § 201(i)] Было бы невозможно перечислить все виды косметики. В Разделе 4.5 «Гигиена рук и сбор одежды для буферных зон и изолированных зон обработки радиофармпрепаратов» конкретно упоминаются косметические средства.

    46. ​​Какая гигиена рук и одежда требуется в горячей лаборатории без SRPA и PEC для приготовления, дозирования или переупаковки радиофармпрепаратов? Каков порядок одевания? Нужны ли стерильные перчатки?

    В Разделе 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» говорится: «Соблюдайте гигиену рук и одежду в разделе 4.4 Гигиена рук и одежда для приготовления к немедленному использованию». В Разделе 4.4 «Гигиена рук и сбор одежды для немедленного использования» указано, что радиофармацевтические препараты могут быть приготовлены и выданы для немедленного использования, а также о мерах предосторожности, связанных с личной гигиеной, которые необходимо соблюдать, включая требование:0003

    • Гигиена рук: Мойте руки и руки до запястий с мылом и водой или используйте подходящее средство для обработки рук на спиртовой основе в течение времени, которое зависит от политики учреждения, чтобы уменьшить бионагрузку на руках. Сразу после гигиены рук наденьте чистый халат/ халат, который не подвергался воздействию пациента или зоны ухода за пациентом, и либо наденьте стерильные перчатки, либо наденьте нестерильные одноразовые перчатки, а затем продезинфицируйте перчатки стерильным 70% изопропиловым спиртом. [ПРИМЕЧАНИЕ — Для ухода за пациентом необходимо носить другой лабораторный халат, чем халат/халат, используемый для приготовления радиофармацевтических препаратов.]

    ОБЪЕКТ

    47. Является ли вытяжной шкаф или вытяжной шкаф тем же, что и ISO 5 PEC?

    Как указано в глоссарии, PEC — это: «Устройство или зона, которые обеспечивают среду с качеством воздуха класса 5 ISO для стерильной обработки». В Таблице 1 указано, что содержание частиц в воздухе класса 5 ISO составляет менее 3520 частиц/м3 для количества частиц ≥0,5 мкм, измеренного в динамических рабочих условиях с использованием высокоэффективного фильтра частиц (HEPA). Напротив, вытяжной шкаф не содержит HEPA-фильтра и выбрасывает летучие химические вещества или радиоактивность за пределы помещения для защиты оператора, но не защищает стерильный радиофармацевтический препарат от бактериального или грибкового загрязнения. Иногда по лицензии RAM требуется вытяжной шкаф, но поскольку он не имеет HEPA-фильтра, его нельзя считать ПЭК для стерильного приготовления лекарств.

    48. Можно ли дооснастить вытяжной шкаф ISO 5 PEC?

    Нет, поскольку стандартное оборудование, соответствующее стандарту ISO 5 PEC, является специализированным и не может быть добавлено к установленной установке вытяжного шкафа.

    49. Требуется ли шкаф биобезопасности для ксенона?

    Шкаф биологической безопасности (БББ) НЕ подходит для ксенона. Вместо этого радиоактивные газы следует хранить и обращаться с ними в вытяжном шкафу или в других случаях, описанных в лицензии на радиоактивные материалы (РАМ) для конкретного объекта.

    50. Должна ли изолированная зона сдерживания смешивания соответствовать требованиям и включать бокс биобезопасности?

    Зона изолированного сдерживания смешивания (C-SCA) — это учреждение, определенное в USP <800> Опасные наркотики — передача в медицинских учреждениях, и не является устройством, разрешенным в <825>.

    51. Должна ли «горячая лаборатория» оказывать отрицательное давление на отдельную зону обработки радиофармацевтических препаратов и коридор?

    <825> не определяет перепады давления для «горячей лаборатории», отдельной зоны радиофармацевтической обработки (SRPA) или других неклассифицированных зон; перепады давления должны соответствовать условиям, описанным в лицензии на радиоактивные материалы объекта.

    52. Разрешено ли готовить комплекты с использованием генераторов Ge-68/Ga-68 за пределами среды класса 5 ISO?

    Как указано в Таблице 7, для элюирования генераторов Ge-68/Ga-68 подходит вторичная среда технического контроля с общим количеством частиц в воздухе ISO 8. Любой контейнер элюента генератора Ge-68/Ga-68 или сборка/соединения трубок должны находиться в пределах PEC класса 5 ISO. Дополнительные манипуляции с продуктом, включая, помимо прочего, отбор образца для контроля качества, буферизацию препарата и т. д., должны выполняться в среде ISO 5.

    53. Можно ли из одного промышленного флакона приготовить два флакона микросфер Y-90 для лечения отдельных участков печени у одного пациента по стандартам немедленного применения?

    Раздел 3 «Немедленное использование стерильных радиофармпрепаратов» гласит: «Приготовление и выдача стерильных радиофармпрепаратов в условиях ухода за пациентами может рассматриваться как практика немедленного применения. В приведенной ниже информации описаны соответствующие требования к обращению со стерильными радиофармпрепаратами для немедленного использования в окружающей среде, в которой отсутствуют первичный и вторичный технический контроль (SEC), если они предназначены для одного пациента. Необходимо соблюдать строгую асептическую технику и ограниченный срок годности (BUD), учитывая отсутствие технического контроля.

    • • Подходит для приготовления (включая незначительные отклонения) и/или дозирования, предназначенного для использования только одним пациентом (выделение добавлено).
    • • Должен быть введен в течение 1 часа (выделено мной) после первого прокола контейнера или воздействия окружающего воздуха на любое критическое место (например, наконечник шприца, наконечник иглы или иглу) в зависимости от того, что произойдет раньше.
    • • Все задействованные компоненты (например, шприц или флакон с пертехнетатом натрия Tc-99m, окончательно подготовленный флакон с радиофармацевтическим набором, флакон с разбавителем) должны быть утилизированы в течение 1 часа после прокола или после использования для введения одному пациенту (выделение добавлено) в зависимости от того, что первый.

    54. Может ли SRPA находиться внутри горячей лаборатории?

    Да, если СРПА соответствует требованиям, указанным в Разделе 5 «Помещения и средства технического контроля» для СРПА, он может быть подразделом горячей лаборатории. В соответствии с определением, приведенным в глоссарии, «горячая лаборатория» — это «неклассифицированная зона обработки радиофармпрепаратов, расположенная в больнице или клиническом центре, которая подходит для немедленного использования радиофармпрепаратов только в том случае, если в зоне SRPA нет PEC ISO 5».

    55. Должна ли Отдельная зона обработки радиофармацевтических препаратов иметь положительное давление в соответствии с USP 825 и включать в себя бокс биологической безопасности или бардачок?

    В отдельной зоне обработки радиофармацевтических препаратов (SRPA) не указаны перепады давления; они должны соответствовать условиям, описанным в лицензии на радиоактивные материалы объекта. SRPA должен включать PEC ISO 5 (например, рабочий стол с вертикальным ламинарным потоком воздуха или бокс биологической безопасности класса II) для радиофармацевтической обработки. Перчаточный бокс, радиологический контейнер с отрицательным давлением, не содержит HEPA-фильтра и, следовательно, не является приемлемой средой для производства радиофармпрепаратов.

    56. Требуется ли вестибюль или преддверие для отдельной зоны обработки радиофармацевтических препаратов?

    Нет, для отдельной зоны обработки радиофармацевтических препаратов (SRPA) вестибюль не требуется. Прихожая требуется только для входа в буферную зону (иногда называемую чистой комнатой).

    57. Каковы минимальные требования для элюирования генераторов Tc-99m/Mo-99?

    В разделе 5.1 «Конструкция объекта и экологический контроль» говорится: «Если SRPA соответствует требованиям ISO класса 8 к общему количеству взвешенных частиц в воздухе, его также можно использовать для хранения и элюирования непрямых инфузионных генераторов радионуклидов (например, Tc-9).9м)».

    В разделе 5.3 «Источники воды» сказано: «На объекте с проектом СРПА слив должен быть доступным, но расположен на расстоянии не менее 1 м от ПЭК и генераторов, если они есть». В Таблице 7 указано, что время BUD для генераторов, элюированных в SRPA с общим количеством частиц в воздухе класса 8 ISO, не может превышать 12 часов.

    ОЧИСТКА

    58. Какие СИЗ следует носить при уборке спорицидным средством?

    Спецификация конкретного средства индивидуальной защиты выходит за рамки <825>. На отдельных объектах должны быть разработаны внутренние СОП для обучения и инструктажа персонала по очистке, дезинфекции и применению спороцидных средств, как описано в разделе 7. Очистка и дезинфекция. Для получения дополнительной информации обратитесь к маркировке продукции, к специалисту по промышленной гигиене, специалисту по охране окружающей среды, OSHA.gov или CDC.gov.

    59. Каковы требования к очистке и ALARA для скребков с единичными дозами и экранов для флаконов с продуктом, которые получены из внешнего источника (например, ядерной аптеки, производителя) перед их дальнейшим перемещением в определенные зоны (например, L-блок) внутри горячей? лаборатория для дальнейших манипуляций?

    Обязательства по лицензированию радиоактивных материалов подразумевают поддержание облучения рабочих в пределах ожиданий принципов ALARA. Поэтому при работе с радиоактивными материалами всегда следует учитывать методы ALARA.
    Если в горячей лаборатории нет SRPA или PEC, не будет никаких ограничений или дополнительных требований (например, очистка) перед перемещением скребков и экранов флаконов с продуктом в зоны внутри горячей лаборатории, где могут происходить дальнейшие манипуляции с радиофармацевтическими препаратами.

    60. Каковы требования к очистке и ALARA для собственных поршней единичных доз, экранов для шприцев и флаконов, которые хранятся в инвентаре горячей лаборатории (например, никогда не возвращаются в коммерческий источник) до того, как они будут перемещены в определенные зоны (например, L-блок) в горячей лаборатории для дальнейших манипуляций?

    Обязательства по лицензированию радиоактивных материалов включают в себя удержание облучения рабочих в пределах ожиданий принципов ALARA. Поэтому при работе с радиоактивными материалами всегда следует учитывать методы ALARA.

    Если в горячей лаборатории нет SRPA или PEC, не будет никаких ограничений или дополнительных требований (например, очистка) перед перемещением скребков или экранов в какие-либо определенные зоны в горячей лаборатории. Тем не менее, в разделах 7.6 и 10.4 главы указывается, что существуют ожидания по очистке оборудования, подвергающегося воздействию зон ухода за пациентами и/или патогенов, передающихся через кровь. В учреждениях должны быть свои собственные процедуры учета таких перемещений.

    61. В широкой категории очистки и дезинфекции в разделе 7.1 указано, что ТОЛЬКО 70% IPA, используемый в ISO 5 PEC, должен быть стерильным; однако в разделе 7.4 говорится об использовании стерильного 70% IPA.

    Можно использовать стерильное или нестерильное чистящее и дезинфицирующее средство, но если дезинфицирующее средство нестерильное, процесс должен сопровождаться стерильным 70% IPA.

    62. Какие процедуры очистки требуются для горячих лабораторий?

    В разделе 10.4 «Радиомечение эритроцитов для немедленного использования» говорится: «Процедура очистки и дезинфекции с использованием соответствующего(их) агента(ов) должна использоваться для обеззараживания зоны и оборудования до и после завершения радиоактивной маркировки и удаления всех одноразовых компонентов. отброшено». Очистка для других действий, выполняемых в горячей лаборатории, выходит за рамки <825>. Этот вопрос относится к общей области инфекционного контроля. Каждое учреждение должно разработать и соблюдать соответствующие политики и процедуры инфекционного контроля в соответствии с руководящими принципами профессиональной практики и стандартами аккредитации.

    63. Какую очистку следует выполнять для оборудования, используемого или выставленного в зоне ухода за пациентами?

    Каждое учреждение должно разработать и соблюдать соответствующие политики и процедуры инфекционного контроля в соответствии с руководящими принципами профессиональной практики и стандартами аккредитации с учетом Раздела 7.6 «Очистка и дезинфекция предметов из зоны ухода за пациентами», в котором содержится информация об очистке и дезинфекции предметов, возвращаемых в классифицированные учреждения. зона (например, буферная или тамбурная) или SRPA.

    64. Фармакопея США утверждает, что «уборка должна выполняться в направлении от наиболее чистых к наименее чистым областям». Означает ли это, что вы должны очистить PEC перед буферной зоной или SRPA, содержащими PEC?

    Эта ссылка специфична для отдельной задействованной зоны (т. е. PEC, буферной зоны, тамбура, SRPA). Уборку следует проводить для предотвращения случайного загрязнения другого недавно очищенного участка. Тем не менее, назначенное лицо (лица) несет ответственность за принятие любого решения на основе объекта.

    65. Когда следует проводить очистку и дезинфекцию вокруг генератора молибден-99/технеций-99м?

    Все действия по очистке должны выполняться в соответствии с Таблицей 5. Генераторы молибдена-99/технеция-99m можно разместить на «Рабочих поверхностях за пределами PEC» или «Складских стеллажах и контейнерах для хранения». Большинство генераторов молибдена-99/технеция-99m имеют горизонтальные поверхности, которые часто используются в процессе асептического элюирования. Использование более критично, чем пространство для хранения. Поэтому очистку следует выполнять ежедневно с использованием методов ALARA, таких как удлинители, соответствующие условиям генератора и используемым чистящим и дезинфицирующим материалам. СОП должны отражать текущую практику учреждения.

    66. Почему 70% IPA должен быть стерильным в соответствии с USP, когда чистящие средства не должны быть стерильными?

    В разделе 7.1 «Чистящие, дезинфицирующие и спороцидные средства» сказано: «Только 70% IPA, используемый в PEC класса 5 по ISO, должен быть стерильным». Стерильный 70% изопропиловый спирт является последним средством, наносимым на поверхности для уменьшения бионагрузки в соответствии с указаниями, перечисленными в разделе <825>.

    67. Если разовая доза выдается или переупаковывается из стерильного многодозового радиофармацевтического препарата с консервантом (например, хлорид талла Tl-201, цитрат галлия Ga-67) в пределах ИСО 5 PEC в SRPA или буферной комнате с прихожей, BUD на многодозовом флаконе нужно корректировать после прокола флакона?

    Эта выданная или переупакованная стандартная доза должна соответствовать положениям BUD в Таблице 7. После прокола многодозового контейнера срок годности, указанный производителем, больше не применяется; должна быть применена дата неиспользования. Многодозовый контейнер с консервантом необходимо использовать в течение 28 дней, если иное не указано производителем (см. Многодозовые контейнеры, <659> Требования к упаковке и хранению).

    ЗАПИСИ

    68. Объясните, пожалуйста, в чем разница между MFR и записью о приготовлении/составлении?

    Глоссарий определяет «Основную запись рецептуры (MFR)» как «документ или набор документов, определяющих исходные материалы с указанием их количества и упаковочных материалов, а также описание процедур и мер предосторожности, необходимых для производства определенного количества готовые препараты, а также инструкции по обработке, включая контроль в процессе».

    Записи по каждому препарату с незначительным отклонением или составному продукту можно найти в Разделе 9..2 «Записи о подготовке с незначительными отклонениями/компаундированием» и указать записи, необходимые для надлежащего проведения подготовки документов (например, записи, документирующие дату и время подготовки).

    ПТР=рецепт; CR = документация о соответствии рецепту

    МАРКИРОВКА КЛЕТОК КРОВИ

    69. Какие чистящие средства подходят для участков, потенциально загрязненных биологическими жидкостями, например, кровью?

    Спецификация конкретных чистящих средств выходит за рамки <825>. На отдельных объектах должны быть разработаны внутренние СОП для обучения и инструктирования персонала по очистке, дезинфекции и применению спороцидных средств. Обратитесь к маркировке продукции, к специалисту по промышленной гигиене, специалисту по охране окружающей среды, OSHA.gov или https://www.cdc.gov. /infectioncontrol/pdf/guidelines/environmental-guide… для получения дополнительной информации.

    70. Могут ли термообработанные эритроциты, которые впоследствии повреждаются, считаться незначительным отклонением, и могут ли эти эритроциты Tc-99m использоваться в соответствии с параметрами немедленного использования, изложенными в разделе 3?

    Да, термообработка эритроцитов считается незначительным отклонением и может быть либо назначена БАД, либо дана в качестве немедленного использования, если все процессы будут выполнены в течение одного часа.

    71. Можно ли подготовить шприц для сбора крови, содержащий шприц с антикоагулянтом/осаждающим агентом (например, гепарин/гетакрахмал), в горячей лаборатории с атмосферным воздухом для мечения лейкоцитов радиоактивным изотопом?

    Нет; из-за требований BUD. Маркировка лейкоцитов не может быть выполнена при параметрах немедленного использования, и соответствующие условия для манипуляций со всеми компонентами указаны в таблице 7.

    СОСТАВ

    72. Считаются ли радиофармацевтические препараты, изготовленные на предприятиях 503B или изготовленные традиционным способом в зарегистрированных FDA фармацевтических учреждениях, активными фармацевтическими ингредиентами (АФИ)?

    № Термин «АФИ» относится к нерасфасованному лекарственному веществу (чистому химическому веществу), обычно в виде порошка или жидкости, которое предназначено для использования в рецептуре. АФИ отличается от готовых лекарственных форм.

    73. Разрешено ли разделение набора (фракционирование) на ?

    <825> определяет стандарты, которые должны соблюдаться при разделении набора. В <825> разделение набора определяется как действие по разделению содержимого флакона с набором и переносу аликвот в другие контейнеры для хранения и последующего мечения радиоактивным изотопом. В разделе 11.2 указано, что разделение набора может использоваться для удовлетворения потребностей пациента. Например, содержимое флакона с набором может быть восстановлено с помощью инъекции 0,9% хлорида натрия и аликвотировано в другие контейнеры для хранения и последующего мечения радиоактивным изотопом. Человек должен учитывать все возможные взаимодействия компонентов набора с этими другими контейнерами (например, стенки контейнера, крышки), а также возможные изменения стабильности (например, физической и химической стабильности), которые могут повлиять на выход радиоактивного мечения рабочих параметров при определении соответствующего БУТОН. См. Таблицу 7. Условия приготовления стерильных радиофармпрепаратов.

    74. Если лекарство, биологическое распределение которого указано в его фармакопее США, фракционируется в соответствии со стандартом 96-часового приготовления (таблица 7), какие параметры необходимо проверить перед использованием фракционированного продукта?

    <825> не указывает, какие параметры проверки качества должны выполняться для составных радиофармпрепаратов. Например, если пользователь фракционирует контейнер с лиофилизированным лекарственным средством, изготовленным традиционным способом, в Разделе 8. Назначение BUD говорится, что «лицо, ответственное за манипуляцию, назначает BUD на основании установленных данных испытаний, проведенных либо внутри компании, либо получены из рецензируемой литературы. В разделе 8 также говорится, что BUD также зависит от поддержания надлежащего качества и чистоты, включая радиохимическую чистоту, радионуклидную чистоту и другие применимые параметры, как указано в отдельных монографиях или в соответствии с клинической практикой. Кроме того, в разделе 11.2 говорится: «Ответственное лицо должно учитывать все возможные взаимодействия компонентов набора с этими другими контейнерами (например, стенки контейнера, крышки), а также возможные изменения стабильности (например, физической стабильности, химической стабильности), которые могут повлиять на радиоактивное мечение. урожайность или параметры производительности при определении соответствующего BUD. Для подтверждения пригодности конкретного BUD требуется систематическое тестирование контроля качества. Если лекарственный препарат смешивается с нестерильными компонентами, применяется раздел 11.3 «Стерильное смешивание с использованием нестерильной лекарственной субстанции или компонентов».

    75. Если отделение в больнице обозначено как «Радиофармация», требуется ли в таком случае лицензия на фармацевтическую стерильную рецептуру и квалифицированный фармацевт для участия в приготовлении этих продуктов?

    В зависимости от штата термин «радиофармация» может использоваться как синоним термина «ядерная фармация» при лицензировании фармацевтическим советом штата. В отделении ядерной медицины или клинике общий термин «горячая лаборатория» используется для обозначения помещения для радиофармацевтических препаратов, но не является аптекой как таковой, для которой требуется отдельная лицензия от государственного совета по фармации. В любом случае составление рецептуры выполняется под наблюдением уполномоченного врача-пользователя или уполномоченного ядерного фармацевта.

    76. Включает ли составление рецептур радиоактивную метку наборов в соответствии с листком-вкладышем?

    Нет, пожалуйста, обратитесь к Глоссарию в <825> для определений USP составления, приготовления и приготовления радиофармацевтических препаратов с небольшими отклонениями.

    77. Требуется ли запись основного лекарственного препарата для использования радиофармацевтического препарата, одобренного FDA, для неутвержденного применения?

    В разделе 9.1 указано, что «MFR требуется только для препарата с незначительными отклонениями или смесями». Утвержденные и неутвержденные показания к радиофармпрепаратам относятся к процедуре и применению лекарственного средства, которые выходят за рамки подготовки или приготовления лекарственного средства. MFR требуется, если радиофармацевтический препарат приготовлен с незначительным отклонением или составлен независимо от того, одобрено ли указание в информации о назначении FDA или нет.

    78. Когда требуется сертификат соответствия для стерильного приготовления радиофармацевтических препаратов?

    Когда деятельность по приготовлению стерильных радиофармацевтических препаратов включает использование нерасфасованного лекарственного вещества (которое включает радионуклид, лиганд или другое вещество, такое как прекурсор, который становится активным ингредиентом конечного радиофармацевтического соответствовать стандартам применимой монографии USP или NF, если таковая существует, или быть компонентом одобренного лекарственного препарата. Каждая нерасфасованная лекарственная субстанция должна производиться фармацевтическими предприятиями, зарегистрированными в FDA, и сопровождаться действующим сертификатом соответствия или эквивалентными процедурами тестирования».

    79. Требует ли Фармакопея США сертификат анализа для одобренного FDA продукта, если вы готовите с незначительными отклонениями или компаундом?

    В разделе 9.1 Основная запись рецептуры указано, что MFR требуется для препарата с незначительными отклонениями или компаундированием; примерами данных, которые должны быть включены, являются название, идентичность, концентрация, чистота, качество и количество ингредиентов с утвержденной документацией (например, CoA). В то время как CoA является примером одного типа утвержденной документации, информация о назначении одобренного FDA продукта также является действительным примером.

    МИКРОСФЕРЫ Y-90

    80. Нужно ли готовить флакон с микросферами Y-90 в PEC ISO 5, если подготовка используется более 1 часа?

    Да, внутрисосудистые радиоактивные устройства (например, радиоактивные микросферы для внутрисосудистой брахитерапии) поставляются в виде стерильных устройств, и перед введением их следует обрабатывать с соблюдением соответствующих асептических правил для поддержания стерильности. В разделе 3 говорится: «Все задействованные компоненты (например, шприц или флакон с пертехнетатом натрия Tc-99m, окончательно подготовленный флакон с радиофармацевтическим набором, флакон с разбавителем) должны быть утилизированы в течение одного часа после прокола или после использования для однократного введения пациенту, в зависимости от того, что наступит раньше. ” так что если Y-90 микросферы не используются в течение 1 часа после первого прокола флакона, их необходимо выбросить. Если в учреждении хотят приготовить и использовать микросферы Y-90 (или любой радиофармацевтический препарат) в течение более 1 часа, они должны быть подготовлены в PEC класса 5 по стандарту ISO либо в SRPA, либо в буферной зоне класса 8 по стандарту ISO или выше. См. Таблицу 7.

    81. Почему стерильные радиоактивные внутрисосудистые устройства, такие как микросферы Y-90, включены в USP?

    Фармакопея США <825> была написана для предоставления стандартов на приготовление, смешивание, дозирование и переупаковку радиофармпрепаратов, включая все стерильные радиоактивные материалы, которые должны сохранять стерильность в результате манипуляций перед введением. Стерильный радиоактивный продукт может представлять собой лекарство или устройство и может быть классифицирован несколькими способами (например, радиофармацевтические препараты, радиоактивные биологические препараты, радиоактивные открытые источники и радиоактивные устройства для внутрисосудистой брахитерапии). Поскольку маркировка, одобренная FDA, часто не касается среды приготовления и дозирования или соответствующей даты истечения срока использования (BUD), которая должна быть назначена после прокола флакона производителя, USP <825> был написан для установления минимальных стандартов для этих последующих деятельность по обработке. С точки зрения манипулирования, возможно, нет никакой разницы между манипулированием SIR-Spheres Y-90 микросфер в суспензии (срок годности 24 часа после калибровки) и дозирование йофлупана I-123 (срок годности 7 часов после калибровки), In-111 DTPA (срок годности 8 дней после калибровки) или любого другого радиоактивного стерильная инъекция или суспензия (например, Tc-99m MAA). Каждый из упомянутых продуктов требует надлежащего асептического обращения и радиационной безопасности для обработки дозы пациента из флакона производителя, при необходимости разбавляя, чтобы создать конечную лекарственную форму, подходящую для парентерального введения.

    82. Что такое BUD для стерильных внутрисосудистых устройств?

    Срок годности продукта производителя после калибровки отличается от срока годности BUD. BUD — это назначенная дата и время, после которых приготовленный, готовый к использованию пациентом радиофармацевтический или радиоактивный продукт не должен вводиться, как определено назначенным лицом (например, уполномоченным ядерным фармацевтом, уполномоченным пользователем). Назначенная BUD для конечной лекарственной формы для пациента (т. е. доза для пациента, разбавленная при необходимости, в шприце или флаконе, готовом к введению) определяется физической средой, используемой при работе со стерильным радиоактивным материалом (см. Фармакопею США <825> , табл. 7). Если стерильный v-флакон готовится или дозируется в окружающем воздухе, такое обращение должно соответствовать разделу 3 <825>, относящемуся к немедленному использованию стерильных радиофармпрепаратов, и будет иметь BUD 1 час с момента прокола флакона производителя. . Если стерильное внутрисосудистое устройство изготавливается или распределяется в ИСО 5 PEC, расположенном в SRPA или буферной комнате с предбанником, может быть назначен более длительный BUD, как описано в таблице 7 главы (например, 12 часов, 24 часа или 96 часов, в зависимости от конкретных требований таблицы).

    КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ИСПЫТАНИЯ

    83. Раздел 5.7 Фармакопеи США гласит: «Все устройства контроля давления должны проверяться на точность и требуемую производительность не реже одного раза в 6 месяцев». Подразумевает ли «проверка на точность и требуемую производительность» повторную сертификацию или повторную калибровку самого устройства контроля давления? Что такое протокол, если устройство может быть повторно сертифицировано только в том случае, если оно будет возвращено поставщику (имеется в виду какое-то время не в эксплуатации)? Можно ли выполнить это требование, проверив устройство на портативном измерителе давления?

    <825> не описывает, как должно выполняться такое тестирование. Сравнение с калиброванным/сертифицированным портативным измерительным устройством может быть приемлемым вариантом. Конечный пользователь должен обсудить это с органом по сертификации чистых помещений.

    84. В отношении немедленного использования стерильных радиофармпрепаратов говорится: «Все задействованные компоненты (например, шприц или флакон с пертехнетатом натрия Tc-99m, окончательно подготовленный флакон с радиофармацевтическим набором, флакон с разбавителем) должны быть утилизированы в течение 1 часа после прокола или после использования в течение однократное введение пациенту, в зависимости от того, что наступит раньше». Можно ли вместо «выбрасывать» радиоактивный компонент использовать для контроля качества приборов?

    Да. Выброшенный радиоактивный материал нельзя использовать для лечения пациентов, но его можно использовать для других целей, например, для тестирования приборов или в качестве внешнего источника изображений.

    85. Какие испытания КК необходимы для приготовления RP, приготовления с незначительными отклонениями и компаундирования?

    Раздел 10 «Приготовление» гласит: «Лицо, ответственное за приготовление радиофармацевтического(ых) препарата(ов), должно гарантировать, что окончательный препарат соответствует спецификациям качества и чистоты во всем назначенном BUD». 9В Разделе 10.2 0697 «Подготовка с незначительными отклонениями» далее говорится: «Для этого требуется соответствующее внутреннее тестирование контроля качества, предназначенное для проверки радиохимической чистоты продукта для всего BUD или подтвержденное соответствующей рецензируемой публикацией для используемого незначительного отклонения. ”

    Раздел 11.2 «Стерильное компаундирование» гласит: «В некоторых случаях может потребоваться систематическое тестирование контроля качества с течением времени для подтверждения пригодности конкретного BUD». Что касается разделения набора или фракционирования флакона традиционного производства, в главе говорится: «Систематическое тестирование контроля качества требуется для подтверждения пригодности конкретного BUD».

    Раздел 11.3 Стерильное приготовление с использованием нестерильной лекарственной субстанции или компонентов гласит: «Необходимо выполнить процедуру стерилизации и тестирование, описанные в <85>. Назначенное лицо для составления смеси несет ответственность за обеспечение того, чтобы окончательный препарат соответствовал заранее установленным стандартам или критериям приемлемости в отношении идентичности, качества и чистоты, и должен учитывать все возможные взаимодействия между компонентами, такие как измененная химическая стабильность, радиохимическая стабильность, растворимость, или другие параметры… при определении BUD. Для этого может потребоваться тестирование для подтверждения пригодности конкретного BUD».

     

    86. Если внешний элюент должен быть проколот до элюирования, в какой среде это должно происходить (например, внешний раствор HCl, удаление объема из флакона с нормальным физиологическим раствором)?

    Прокалывание и регулировка объема элюента (например, флакона с физиологическим раствором, внешней HCl) должны выполняться в РЕС класса 5 по ISO перед использованием для элюирования генератора.

    87. Должно ли Назначенное лицо подписывать что-либо, аналогичное Специалисту по обеспечению качества на производственном предприятии?

    Раздел 14 ОБЕСПЕЧЕНИЕ КАЧЕСТВА И КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА гласит: «Назначенное лицо должно обеспечить наличие на учреждении официальных письменных программ ОК и КК, устанавливающих систему:

    1. Соблюдение процедур,
    2. Предотвращение и обнаружение ошибок и другие проблемы с качеством,
    3. Оценка жалоб и нежелательных явлений, и
    4. Соответствующие расследования и корректирующие действия.

    В СОП должны быть описаны роли, обязанности и подготовка персонала, ответственного за каждый аспект программы обеспечения качества. Общая программа ОК и КК должна пересматриваться назначенным лицом не реже одного раза в 12 месяцев. Результаты проверки должны быть задокументированы, и при необходимости должны быть предприняты соответствующие корректирующие действия». Как описано, назначенное лицо должно документировать ежегодную проверку программы обеспечения и контроля качества. Это единственный раздел главы, требующий документации от Назначенного лица.

     

    Ишемия спинного мозга: практические советы по визуализации, жемчужины и подводные камни

    Обзор статей Обзор статей

    постройте график функции y 2 x 2

    Вы искали постройте график функции y 2 x 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и постройте график функции y 2x 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «постройте график функции y 2 x 2».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как постройте график функции y 2 x 2,постройте график функции y 2x 2,постройте график функции y 2×2,постройте график функции y x2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и постройте график функции y 2 x 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, постройте график функции y 2×2).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же постройте график функции y 2 x 2 Онлайн?

    Решить задачу постройте график функции y 2 x 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике. Готовимся правильно

    Задание 12 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

    Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

    Нахождение точек максимума и минимума функций

    Исследование сложных функций

    Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

    Нахождение точек максимума и минимума функций

    1. Найдите точку максимума функции

    Найдем производную функции.

    Приравняем производную к нулю. Получим:

    Исследуем знаки производной.

    В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

    Ответ: 17.

    2. Найдите точку минимума функции

    Найдем производную функции.

    Приравняем производную к нулю.

    Определим знаки производной.

    В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

    Ответ: 1.

    Исследование сложных функций

    3. Найдите точку максимума функции

    Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

    Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

    при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

    Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

    Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

    Ответ: — 4.

    4. Найдите абсциссу точки максимума функции

    Напомним, что абсцисса — это координата по

    Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

    Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

    Это вершина квадратичной параболы

    Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

    5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

    Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

    Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

    Найдем знаки производной.

    В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

    Ответ: 12

    6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

    Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

    при

    Найдем знаки производной.

    Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

     и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

    Ответ: -11.

    7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

    Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

    Мы применили формулу для логарифма произведения. при

    Если  то  Если , то 

    Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

    Ответ: 4

    8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

    Найдем производную функции

    Приравняем производную к нулю:

    . Поскольку если

    Найдем знаки производной на отрезке

    При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

    Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

    Мы нашли, что

    Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

    Ответ: 4

    9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

    Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

    Найдем производную функции

    если Тогда

     При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

    10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

    Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

    По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

    В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

    Ответ: 12.

    11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

    Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

    Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

    Поскольку , получим, что  для всех , и функция монотонно возрастает при

    Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

    Ответ: 6

    Функция 2 x: Постройте график функции у=2/х.Найдите точки пересечения этого графика с прямой у=2х. — ЭкоДом: Дом своими руками

    2 x функция

    Вы искали 2 x функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
    решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 y x 3 и y x, не
    исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
    в вуз.
    И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
    Например, «2 x функция».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
    жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
    использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
    месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
    может решить задачи, такие, как 2 x функция,2 y x 3 и y x,2 х в квадрате график,2x функция,2х2 график,3 x функция,3 в степени x график,4 x функция,e x график функции,f x 1 x график,x 2 2x функция,x 2 функция,x в квадрате график функции,x у 2,y 2 x какой график,y 2 х,y 2x,y 2×2 функция,y x 2,y x 2 2x,y x 2 и y 2x 2,y x 2 парабола,y x 2 при x 2,y x 5 функция,y x 7 функция,y x в 2 степени график,y x в 5 степени график,y x в квадрате график,y x2,y x2 1 функция y,y x2 график функций,y x2 парабола,y x3 x,y х 2,y х в квадрате,y2 x,график 2х2,график f x 1 x,график x в 3 степени,график x в квадрате,график y 6 x,график y a x,график y x 2 2x,график y x в квадрате,график параболы y x2,график функции 2 х,график функции f x 1 x,график функции f x y построить,график функции x в квадрате,график функции x квадрат y квадрат,график функции y,график функции y 2 x в квадрате,график функции y 2 х,график функции y 2x x 2,график функции y 3 2x x 2,график функции y x 2,график функции y x 2 2x,график функции y x a,график функции y x в квадрате,график функции y x2 2x,график функции y х 2,график функции найти,график функции х 2,график функции х в квадрате,график функции х2,график функций y x2,график х квадрат у квадрат,икс в квадрате функция,исследование и построение графика функции онлайн калькулятор,калькулятор для функций онлайн,калькулятор онлайн функции,онлайн решение функции,парабола y 2 x,парабола y 2x 2,парабола y x 2,парабола y x2,парабола график функции y x2,построить график y x в квадрате,построить график функции f x,построить график функции y 2 x,построить график функции y 2x,построить график функции y 2x в квадрате,построить график функции y x в квадрате,построить график функции у х 2,построить графики функций f x и g x,постройте график функции y 2 х,постройте график функции y x 2 2x,постройте график функции y x 2 2x 2,постройте график функции y x в квадрате,у 2 x,у 2х 2 график,у x 2,у х 2 2х,у х2 2 х,у х2 2х,формула y x в квадрате,функции x 2 x 3,функция 1 x 3,функция 2x x 2,функция x 2,функция x 2 y 4,функция x y 2,функция y 2 x,функция y 2 x 2,функция y 2 x2,функция y 2x 2,функция y 2×2,функция y 2×2 и ее график,функция y 3 2x,функция y 3x 2,функция y x 1 x 2,функция y x 2,функция график,функция калькулятор,функция х 1 х 2 1,функция х в квадрате,х 2 y,х y 2,х в квадрате 2 график,х в квадрате график,х в квадрате функция,х у в квадрате график,что за функция y 2 x 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
    который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 x функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите
    «решить» здесь (например, 2 х в квадрате график).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 x функция Онлайн?

    Решить задачу 2 x функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
    онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
    сделать — это просто
    ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
    вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
    калькулятора.

    Логарифмическая функция

    Основные сведения

    Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где a > 0 и a ≠ 1.

    График функции имеет следующий вид:

    Рассмотрим свойства функции:

    1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
    2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
    3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
    4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
    5. Функция непереодическая.
    6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
    7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

    Примеры решения задач

    Задание 1.

    В одной координатной плоскости построить графики функций:

    1. y = log2x
    2. y = log3x
    3. y = log5x
    4. y = log10x
    Решение.

    Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

    x1248
    y(x)-3-2-10123

    Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

    Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

    Подобным образом построим графики остальных функций.

    Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

    Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

    Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

    Задание 2.

    В одной координатной плоскости построить графики функций:

    Решение.

    Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

    x1248
    y(x)3210-1-2-3

    Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

    Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

    Подобным образом построим графики остальных функций.

    Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

    Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

    Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

    Задание 3.

    Найти обасть определеления функции:

    1. y = logπ(2x-4)
    2. y = log2((x-1)(x+5))
    Решение

    1. y = logπ(2x-4).

    Область определения данной функции задается следующим неравенством:

    2x-4 > 0

    Решим это линейное неравенство:

    2x > 4 → x > 2

    Ответ: D(y): (2; +∞).


     2. y = log2((x-1)(x+5)).

    Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

    Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

    x-1 = 0 → x = 1

    x+5 = 0 → x = -5

    Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

    Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

    Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

    Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках…






    ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

    ПЕРИОДИЧНОСТЬ


    Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
    значения x + T и x — T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x — T).
    При этом любое
    число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.


    График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
    на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)



    НУЛИ ФУНКЦИИ


    Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
    f(x0) = 0.


    В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.

    x1,x2,x3 — нули функции y = f(x)

    МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)

    Функция y = f(x) называется возрастающей
    на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) f(x2).


    Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).


    ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)


    Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) f(xmax) называется максимумом этой функции.

    xmax — точка максимума
    ymax — максимум


    Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции.

    xmax — точка минимума
    ymax — минимума

    АСИМПТОТЫ


    Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты.

    Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

    Вертикальная асимптота x = a Горизонтальная асимптота y = bНаклонная асимптота y = kx + b


    Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
    (предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

    Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы .

    Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой,
    если существуют конечные пределы
    либо при x -> , либо при x -> — .




    ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ


    Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x — отрезок [- /2;/2]).


    Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).


    Функции f и g являются взаимно обратными.

    • Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений
      функции f является областью определения функции g.
    • Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x
      (построение графика обратной функции)

    НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ


    • Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
      заменить x на y, а y на x.


    Пример:
    Найти формулу для функции, обратной функции: .

    Выразить x через y: x = 2y — 2.

    Заменить x на y: y = 2x — 2.

    Результат: функция y = 2x — 2 является обратной для функции .


    Внеклассный урок — Функции y = ax2 + n, y = a(x – m)2, y = a(x – m)2 + n. Функция y = ax2 + n. Функция y = a(x – m)2. График функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2. Ф

    Функции  y = ax2 + n,  y = a(xm)2,  y = a(xm)2 + n

     

    График функции  y = ax2 + n.

    Графиком функции y = ax2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

     Пояснение.

    Например, надо построить график функции y = 2x2 + 4.
    Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на четыре единицы вверх по оси y. Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

    Вот таблица значений функции y = 2x2:

    x

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    y

    32

    18

    8

    2

    0

    2

    8

    18

    32

     А вот таблица значений y = 2x2 + 4:

    x

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    y

    36

    22

    12

    6

    4

    6

    12

    22

    36

     Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины  параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

     

    График функции  y = a(xm)2.

    Графиком функции y = a(xm)2 является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, или на –m, если m<0.

     Пояснение.

    Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2.
    Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси (на графике – красная парабола).

     
     

    График функции y = a(xm)2 + n.

    Две функции приводят нас к третьей функции: y = a(xm)2 + n.

    Графиком функции y = a(xm)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо или влево и сдвига вдоль оси y на n единиц вверх или вниз.

     Пояснение:

    Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2 + 2.
    Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

     
     
     

    Свойства функции y 2x. Основные свойства функций

    Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

    Разбираем свойства функции на примере

    Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

    Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

    1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

    Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

    //т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

    2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

    Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

    В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства
    функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

    3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

    С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

    Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке
    , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

    Функцию f называют убывающей на некотором промежутке
    , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

    Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей
    .

    Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей
    .

    Пример 1.
    график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

    Пример 2.

    Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

    Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1

    Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций — графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

    Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

    Классификация элементарных функций

    Алгебраическая функция
    — это функция, которая удовлетворяет уравнению:
    ,

    где — многочлен от зависимой переменной y
    и независимой переменной x
    .
    Его можно записать в виде:
    ,

    где — многочлены.

    Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

    Целая рациональная функция
    , которая также называется многочленом
    или полиномом
    , получается из переменной x
    и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
    .

    Дробно-рациональная функция
    , или просто рациональная функция
    , получается из переменной x
    и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
    ,

    где и — многочлены.

    Иррациональная функция
    — это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
    определяется как решение уравнения
    .

    Он обозначается так:
    .

    Трансцендентными функциями
    называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

    Обзор основных элементарных функций

    Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
    z t
    .

    Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

    Степенная функция :
    y(x) = x p
    ,

    где p
    — показатель степени. Она зависит от основания степени x
    .

    Обратной к степенной функции является также степенная функция:
    .

    При целом неотрицательном значении показателя p
    она является многочленом. При целом значении p
    — рациональной функцией. При рациональном значении — иррациональной функцией.

    Трансцендентные функции

    Показательная функция :
    y(x) = a x
    ,

    где a
    — основание степени. Она зависит от показателя степени x
    .

    Обратная функция — логарифм по основанию a
    :

    x = log
    a y
    .

    Экспонента, е в степени х :
    y(x) = e x
    ,

    Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
    .

    Основанием степени экспоненты является число e
    :

    ≈ 2,718281828459045…

    .

    Обратная функция — натуральный логарифм — логарифм по основанию числа e
    :

    x = ln
    y ≡ log
    e y
    .

    Тригонометрические функции :
    Синус : ;

    Косинус : ;

    Тангенс : ;

    Котангенс : ;

    Здесь i
    — мнимая единица, i 2 = -1
    .

    Обратные тригонометрические функции :
    Арксинус: x = arcsin
    y
    ,
    ;

    Арккосинус: x = arccos
    y
    ,
    ;

    Арктангенс: x = arctg
    y
    ,
    ;

    Арккотангенс: x = arcctg
    y
    ,
    .

    Русская гимназия

    КОНСПЕКТ

    Выполнил

    ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей

    Руководитель

    учитель Математики

    Юлина О.А.

    Нижний Новгород

    Функция и её свойства

    Функция-

    зависимость переменной у

    от переменной x

    ,

    если каждому значению х

    соответствует единственное значение у

    .

    Переменная х-

    независимая переменная или аргумент.

    Переменная у-

    зависимая переменная

    Значение функции-

    значение у

    , соответствующее заданному значению х

    .

    Область определения функции-

    все значения, которые принимает независимая переменная.

    Область значений функции (множество значений)-

    все значения, которые принимает функция.

    Функция является четной-

    если для любого х
    f(x)=f(-x)

    Функция является нечетной-

    если для любого х

    из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

    Возрастающая функция-

    если для любых х 1

    и х 2
    ,

    таких, что х 1


    х 2

    , выполняется неравенство f(
    х 1

    )х 2

    )

    Убывающая функция-

    если для любых х 1

    и х 2
    ,

    таких, что х 1


    х 2

    , выполняется неравенство f(
    х 1

    )>f(
    х 2

    )

    Способы задания функции

    ¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у

    =f(x)

    , где f(x)-

    íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х

    . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

    ¨ На практике часто используется табличный

    способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

    Виды функций и их свойства

    1) Постоянная функция-

    функция, заданная формулой у=

    b

    ,

    где b-

    некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

    2) Прямая пропорциональность-

    функция, заданная формулой у=

    kx

    ,

    где к¹0. Число k

    называется коэффициентом пропорциональности

    .

    Cвойства функции y=kx

    :

    1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

    2. y=kx

    — нечетная функция

    3. При k>0 функция возрастает, а при k

    3)Линейная функция-

    функция, которая задана формулой y=kx+b

    , где k

    иb



    действительные числа. Если в частности, k=0

    , то получаем постоянную функцию y=b

    ; если b=0

    , то получаем прямую пропорциональность y=kx

    .

    Свойства функции y=kx+b

    :

    1. Область определения- множество всех действительных чисел

    2. Функция y=kx+b

    общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

    3. При k>0функция возрастает, а при k

    Графиком функции является прямая

    .

    4)Обратная пропорциональность-

    функция, заданная формулой y=k

    /х,

    где k¹0 Число k

    называют коэффициентом обратной пропорциональности.

    Свойства функции y=k

    /

    x:

    1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

    2. y=k

    /

    x



    нечетная функция

    3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k

    Графиком функции является гипербола

    .

    5)Функция

    y=x 2

    Свойства функции y=x 2:

    2. y=x 2



    четная функция

    3. На промежутке функция убывает

    Графиком функции является парабола

    .

    6)Функция

    y=x 3

    Свойства функции y=x 3:

    1. Область определения- вся числовая прямая

    2. y=x 3



    нечетная функция

    3. Функция возрастает на всей числовой прямой

    Графиком функции является кубическая парабола

    7)Степенная функция с натуральным показателем-

    функция, заданная формулой y=x n

    , где n

    — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2
    ; y=x 3
    . Их свойства рассмотрены выше.

    Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=x n

    обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2
    . График функции напоминает параболу y=x 2
    , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

    Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=x n

    обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3
    . График функции напоминает кубическую параболу.

    8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-

    функция, заданная формулой y=x -n

    ,

    где n

    — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

    Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x -n

    обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

    Пусть n- четное число, например n=2.

    Свойства функции y=x -2

    :

    1. Функция определена при всех x¹0

    2. y=x -2


    четная функция

    3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

    Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

    9)Функция

    y=

    Ö

    х

    Свойства функции y=

    Ö

    х

    :

    1. Область определения — луч }

    Квадратичная функция


     


    Квадратичная функция
    — функция вида:


    f(x)=ax2+bx+c


    или


    y(x)=ax2+bx+c


    Где  a≠0.


    В уравнении квадратичной функции:


    a –старший коэффициент


    b – второй коэффициент


    с  свободный член.


    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции


    y(x)=x2


    или


    f(x)=x2


    .


    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


    a>0


    x


    -3


    -2


    -1


    0


    1


    2


    3


    y


    9


    4


    1


    0


    1


    4


    9


    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.


    y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


    Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.


    Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2
    при любых значениях остальных коэффициентов
    .


    График функции


    y(x)=-x2 


    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


    x


    -3


    -2


    -1


    0


    1


    2


    3


    y


    -9


    -4


    -1


    0


    -1


    -4


    -9


     


    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.


    y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


    Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.


     


    Свойства функции y(x)=x2:


     


    1)    Область определения функции:


    D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 


    2)Область значения функции:


    Если a<0


    E(f)=(-∞;0].


    Если a>0


    E(f)=[0;+∞).


    3)Наибольшее и наименьшее значение функции:


    Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.


    Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.


    4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).


    График симметричен относительно оси oY  .


    5) Ограниченность функции:


    Если a>0, функция ограничена снизу.


    Если a<0, функция ограничена сверху.


    6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)


    Перемещение параболы y(x)=x2


    Если добавить константу (где любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).


    В таком случае уравнением функции станет:


    y(x)=(x±d)2


    Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX  влево.


    Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2


    Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX  вправо.


    Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2


    Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)


     


    В таком случае уравнением функции станет:


     y(x)=(x)2±c


     Если  c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.


    Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2


    Если  c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.


    Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3


     


     


    Дискриминант и нахождение корней


    y=ax2+bx+c


    ax2+bx+c=0


    D=(b)2-4ac


    1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


    2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


    3) Если  D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


     


    Координаты вершины параболы


    Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:


    Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.


       Точка пересечения с осью oY


    Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 


    Алгоритм построения квадратичной параболы


    1) Направление ветвей.


    2) Координаты вершины параболы.


    3) Корни дискриминанта.


    4) Дополнительные точки.


    5) Построение графика.


    Разложениеквадратного трехчлена


    Пример №1


    Построим функцию y=x2-6x+15


    В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


    Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,


    Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,


    У нас получилась функция y=(x-3)2+6,


    Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.


    Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:


     


    Пример №2


    Построим функцию y=x2+8x+17


    В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


    Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,


    Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,


    У нас получилась функция y=(x+4)2+1,


    Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.


    Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:


    Итог:


    Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:


    1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;


    2) Соберем, получившуюся формулу;


    3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;


    4) Построим график.


    Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович


    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    Первообразная.2\)  равна \( у=2х.\)

    Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

    Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)

    Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

    \(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)

    \(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)

    \(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)

    Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

    Функция может иметь несколько первообразных. 

    \(F(x)+C;\)

    Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

    \((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)

    \((F(x)+C) ′ =f(x).\)

     

    Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


    Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

    {x} [/ latex], b — постоянное соотношение функции. {x} [/ latex] построить график функции

    1. Создайте таблицу точек.{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

      Показать решение

      Перед построением графика определите поведение и создайте таблицу точек для графика.

      • Поскольку b = 0,25 находится между нулем и единицей, мы знаем, что функция убывает. Левый хвост графика будет неограниченно увеличиваться, а правый хвост приблизится к асимптоте y = 0.
      • Создайте таблицу баллов.
        x –3 –2 –1 0 1 2 3
        [латекс] f \ left (x \ right) = {0.{x} [/ латекс] 64 16 4 1 0,25 0,0625 0,015625
      • Постройте точку пересечения и [латекс] \ влево (0,1 \ вправо) [/ латекс] вместе с двумя другими точками. Мы можем использовать [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (1,0.25 \ right) [/ latex].

      Нарисуйте плавную кривую, соединяющую точки.

      Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

      Показать решение

      Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].

      Внесите свой вклад!

      У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

      Улучшить эту страницуПодробнее

      Обратная экспоненциальная функция — ChiliMath

      Я рассмотрю трех примеров в этом руководстве, показывающих, как алгебраически определить обратную экспоненциальную функцию.Но прежде чем вы взглянете на отработанные примеры, я предлагаю вам сначала просмотреть предложенные ниже шаги, чтобы иметь хорошее представление об общей процедуре.


      Шаги, чтобы найти инверсию экспоненциальной функции

      ШАГ 1: Измените f \ left (x \ right) на y.

      \ large {f \ left (x \ right) \ to y}

      ШАГ 2: Поменяйте местами \ color {blue} x и \ color {red} y в уравнении.

      \ large {x \ to y}

      \ large {y \ to x}

      ШАГ 3: Выделите экспоненциальное выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.

      Показанное ниже экспоненциальное выражение является общей формой, где b — основание, а N — показатель степени.

      ШАГ 4: Удалите основание b экспоненциального выражения, взяв логарифмы с обеих сторон уравнения.

      • Чтобы упростить упрощение, возьмите обе части логарифма, используя основание самого экспоненциального выражения.
      • Используя правило журнала,

      ШАГ 5: Решите экспоненциальное уравнение для \ color {red} y, чтобы получить обратное.{- 1}} \ left (x \ right)

      Давайте применим предложенные выше шаги для решения некоторых проблем.


      Примеры того, как найти инверсию экспоненциальной функции

      Пример 1: Найдите значение, обратное показанной ниже экспоненциальной функции.

      Это должно быть простой задачей, потому что экспоненциальное выражение в правой части уравнения уже изолировано для нас.

      Начните с замены обозначения функции f \ left (x \ right) на y.

      Следующим шагом является переключение переменных \ color {red} x и \ color {red} y в уравнении.{- 1}} \ left (x \ right). Это означает, что мы нашли обратную функцию.

      Если мы построим график исходной экспоненциальной функции и ее обратной на одной плоскости XY, они должны быть симметричными вдоль линии \ large {\ color {blue} y = x}. Какие они есть!


      Пример 2: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

      Единственное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что экспоненциальное выражение имеет знаменатель 2. В остальном шаги будут такими же.

      Мы меняем обозначение функции f \ left (x \ right) на y, а затем меняем ролями переменных \ color {red} x и \ color {red} y.

      На данный момент мы еще не можем выполнить шаг логарифмирования обеих сторон. Причина в том, что экспоненциальное выражение справа не полностью само по себе. Сначала нам нужно избавиться от знаменателя 2.

      Мы можем добиться этого, умножив обе части уравнения на 2. Левая часть станет 2x, а знаменатель в правой части исчезнет!

      Выделив экспоненциальное выражение с одной стороны, теперь можно получать журналы с обеих сторон.{- 1}} \ left (x \ right), чтобы обозначить, что мы получили обратную функцию.

      Как видите, графики экспоненциальной функции и ее обратной симметричны относительно линии \ large {\ color {green} y = x}.


      Пример 3: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

      Я вижу, что одно экспоненциальное выражение делится на другое. Хорошо то, что экспоненциальные выражения имеют одинаковое основание 3. Мы должны иметь возможность упростить это, используя правило деления экспоненты.Чтобы разделить экспоненциальные выражения с равным основанием, скопируйте общее основание, а затем вычтите их показатели. Ниже приведено правило. Предполагается, что b \ ne 0.

      Обратите внимание, как исходная задача была значительно упрощена после применения правила деления экспоненты.

      На этом этапе мы можем продолжить, как обычно, решение обратной задачи. Перепишите f \ left (x \ right) как y, а затем поменяйте местами переменные \ color {red} x и \ color {red} y.

      Прежде чем мы сможем получить логарифмы обеих сторон, выделите экспоненциальную часть уравнения, сложив обе части на 4.

      Поскольку в экспоненциальном выражении используется основание 3, мы также берем логарифмы обеих частей уравнения с основанием 3! При этом показатель \ color {blue} 2y-1 с правой стороны упадет, так что мы можем продолжить решение для y, которое является необходимой обратной функцией.

      Это подтверждает, что наш ответ правильный, потому что график данной экспоненциальной функции и ее обратная (логарифмическая функция) симметричны вдоль линии \ large {y = x}.


      Возможно, вас заинтересует:

      Инверсия матрицы 2 × 2

      Функция, обратная абсолютному значению

      Функция, обратная постоянной

      Функция, обратная линейной функции

      Обратная логарифмическая функция

      Обратная квадратичная функция

      Обращение рациональной функции

      Функция, обратная квадратному корню

      Экспоненциальных функций — Бесплатная справка по математике

      Показательная функция — это математическое выражение, в котором переменная представляет показатель степени выражения.4 $$
      $$ B (4) = 100 * 1,12 * 1,12 * 1,12 * 1,12 $$
      $$ B (4) = 157,35 … $$

      На самом деле число состоит из большого количества цифр после десятичной точки. В реальной проблеме обычно указывается, где следует округлить ответ, но в этом случае имеет смысл округление до ближайшего ВСЕГО числа. Почему? Потому что здесь мы имеем дело с бактериями. Бактерий может быть только целое количество, поэтому ответ лучше всего выразить как 157 после 4 часов роста.

      Найти функцию, обратную экспоненциальной

      Пример 1

      Найдите обратную функцию, ее область определения и диапазон функции, заданной формулой

      f (x) = e x-3
      Решение для примера 1

      • Обратите внимание, что данная функция является экспоненциальной функцией с областью определения (-∞, + ∞) и диапазоном (0, + ∞).Сначала запишем функцию в виде уравнения следующим образом

        y = e x-3

      • Пройдите по обеим сторонам, чтобы получить

        x-3 = ln y или x = ln y + 3

      • Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию.

        f -1 (x) = y = ln x + 3

        Область определения и диапазон обратной функции являются соответственно диапазоном и областью заданной функции f. Следовательно

        и диапазон f -1 задаются как: домен: (0, + ∞) диапазон: (-∞, + ∞)

      Пример 2

      Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой

      е (х) = 2 е (2 х + 3) + 4

      Решение для примера 2

      Пример 3

      Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой

      f (x) = 2 e (x 2 -1) + 2, для x ≥ 0

      Решение для примера 3

      • Легко показать, что функция f, заданная приведенной выше формулой, является четной функцией и, следовательно, не взаимно однозначной, если область определения равна R.Однако область в нашем случае задается x ≥ 0, что делает данную функцию взаимно однозначной функцией и, следовательно, имеет обратную.

        Область f: [0, + ∞), учитывая

        Диапазон: для x в области [0, + ∞) диапазон x 2 задается как [0, + ∞), который можно записать как

        х 2 ≥ 0

        вычтите -1 в обе стороны, чтобы получить: x 2 — 1≥ — 1

        возьмите экспоненту с обеих сторон, чтобы получить: e x 2 — 1 ≥ e -1 (экспоненциальная функция является возрастающей функцией)

        умножьте на +2 обе части неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 ≥ 2 e -1
        прибавьте +2 к обеим сторонам неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 + 2≥ 2 e -1 + 2

        левая часть приведенного выше неравенства является заданной функцией, следовательно, диапазон данной функции определяется как: [2 e -1 + 2, + ∞)

      • Найдите обратное к f, запишите f в виде уравнения и решите относительно x.

        y = 2 e (x 2 — 1) + 2

        2 e (x 2 -1) = y — 2

        e (x 2 — 1) = (y — 2) / 2

        Возьмите перемычки с обеих сторон, чтобы получить

        x 2 — 1 = ln ((1/2) (y — 2))

        и, наконец, x = + или — sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1]

        Так как x ≥ 0 (заданная область), имеем x = sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1]

      • Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию.

        f -1 (x) = y = sqrt [ln ((1/2) (x — 2)) + 1]

        Домен и диапазон f -1 соответственно задаются диапазоном и доменом f, указанными выше.

        домен f -1 задается как: [2 e -1 + 2, + ∞), а его диапазон определяется как: [0, + ∞)

      Упражнения

      Найдите обратное, его область определения и диапазон функций, приведенных ниже.

      1.f (x) = -e x + 4
      2. g (x) = 2 — e (4x — 2) / 3
      3. h (x) = — e (2 x 2 — 5) + 3, для x ≤ 0


      Ответы на вышеуказанные упражнения

      1. f -1 (x) = ln (-x) — 4; домен: (-∞, 0) Диапазон: (-∞, + ∞)

      2. g -1 (x) = (3/4) ln (2 — y) +1/2; домен: (-∞, 2) Диапазон: (-∞, + ∞)

      3. h -1 (x) = — sqrt [(1/2) ln (3 — y) + 5/2]; домен: (-∞, — e (-5) + 3) Диапазон: (-∞, + ∞)

      Дополнительные ссылки и справочные материалы, относящиеся к обратным функциям.

      Дополнительные ссылки и ссылки на обратные функции

      Найти обратную рациональную функцию — пошаговый рабочий лист Найти обратные функции — калькулятор
      Приложения и использование обратных функций
      Найти обратную функцию — вопросы
      Найти обратную функцию (1) — Руководство.

      Определение обратной функции — Интерактивное учебное пособие
      Поиск функций, обратных корню куба.

      Найдите функции, обратные функциям квадратного корня.

      Найдите обратные логарифмические функции.
      Найдите функции, обратные экспоненциальным функциям.

      Что такое экспоненциальная функция? — Видео и стенограмма урока

      Пример функции

      Всякий раз, когда появляется новая технология, люди не спешат получить ее сразу. Он начинается с нескольких человек, затем постепенно набирает популярность все больше и больше, а затем все его используют.

      Эй, это похоже на экспоненциальную функцию!

      Для примера возьмем сотовые телефоны.Во времена пещерного человека, также известные как 1980-е, сотовые телефоны были довольно редкостью. Не вдаваясь в точные цифры, предположим, что в 1980 году у пяти человек в вашем городе были мобильные телефоны.

      В течение того года каждый из этих людей уговорил одного друга купить телефон, так что через год у вас было десять человек с телефонами. Затем каждый из этих людей уговорил друга купить телефон, так что через два года их стало 20 человек.

      Если бы вы удваивали число каждый год, вы бы очень быстро получили действительно огромное число — в этом весь смысл экспоненциальной функции.С каждым годом количество увеличивается на все большую величину.

      Теперь вернемся к нашему уравнению для экспоненциальной функции: y = ab x .

      Y — количество людей с телефонами, потому что это наша зависимая переменная. X — это количество лет, прошедших с 1980 года, потому что это наша независимая переменная.

      Мы начали с пяти человек с мобильными телефонами, поэтому 5 — это наше начальное значение , начальное значение функции, представленное константой a .В первый год мы умножили это число на 2.

      Во второй год мы взяли наше число из первого года и умножили , что на 2. Это дает нам 5 x 2 x 2, что равно 5 умноженным на 2 в квадрате. Получилось 20 человек. На третий год каждый из этих 20 человек убедил друга купить телефон, поэтому нам просто пришлось снова умножить на 2. Это дало нам 5 x 2 x 2 x 2, или 5 умножить на 2 в третьей степени, которая равна 40. Здесь вы можете увидеть схему: мы добавляем 1 к показателю степени каждый год, что означает, что мы умножаем 2 на себя. один раз в год.В этом примере 2 представляет , число, многократно умножаемое на каждом шаге , значение, возведенное в степень x , представленное константой b .

      Вот почему нам нужны две константы в уравнении: одна для исходного значения и одна для значения, возведенного в степень x . Это может немного сбивать с толку, потому что многие экспоненциальные функции начинаются с одного, поэтому a = 1. 1 умноженное на любое число — это то же самое число, поэтому похоже, что функция просто y = b x .Но не путайте: все еще там! Оно просто равно 1.

      Другой пример

      Обычный способ, которым вы увидите экспоненциальные функции, описанные словами, — это фраза типа «увеличивается или уменьшается на _____% в год». Например, стоимость инвестиции увеличивается на один процент в год. Если вы рассчитываете проценты по ссуде, вы должны использовать такое уравнение.

      Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы увидеть, как она работает.

      Инвестор покупает недвижимость в перспективном районе города.По мере того, как территория становится лучше, стоимость недвижимости увеличивается. Стоимость недвижимости увеличивается на два процента в год. Если инвестор изначально купил его за 500 000 долларов, то сколько он будет стоить через пять лет?

      Давайте подставим это в нашу формулу экспоненциальной функции, y = ab x .

      X — количество лет после первоначальной покупки. Y — стоимость собственности. Это наши входные и выходные переменные.

      представляет начальное значение функции. Начальное значение этого свойства — 500 000, поэтому мы подставим его для и . Теперь самая сложная часть — вычислить b .

      В первой задаче b было 2, потому что у нас в два раза больше пользователей сотовых телефонов каждый год. В этом случае недвижимость стоит всего два процента, или на 0,02 доллара больше, поэтому ее стоимость растет медленнее. У вас может возникнуть соблазн вставить 0,02 для b , но просто посмотрите и посмотрите, что произойдет, когда вы построите график.

      Сразу видно, что это не рост стоимости! Это дает нам функцию, показывающую, сколько будет стоить недвижимость, если бы каждый год ее оценивали в два процента от ее стоимости годом ранее. Но мы не хотим двух процентов от его стоимости годом ранее; мы хотим, чтобы на процента больше, чем на год назад. Чтобы получить это, нам нужно умножить на 1,02.

      y = 500,000 * 1,02 x

      Если мы определим некоторые из значений этой функции, мы получим:

      Вот как это выглядит на графике.

      А, вот и лучше! Вы не можете увидеть, что наклон становится все круче, потому что числа такие большие, но обратите внимание, как y увеличивается каждый раз немного больше — сначала он увеличивается на 10 000, затем на 10 200, затем на 10 404 и т. Д. .

      Вы можете видеть, что если вы выполняете математические вычисления вручную, это приводит к тем же значениям, которые вы получаете от функции; умножив значение каждого года на 1,02, чтобы найти увеличение на два процента, вы получите одинаковые значения для каждого года.Итак, для пятого года, о котором изначально был задан вопрос, стоимость будет 552 020,40 долларов. Наш сообразительный инвестор заработал 52 000 долларов!

      Резюме урока

      На этом уроке вы узнали об экспоненциальных функциях. Показательная функция записывается в виде y = ab x .

      • y представляет выход
      • a представляет начальное значение функции
      • b представляет собой темп роста
      • x представляет вход

      В экспоненциальной функции a умножается на b x раз, чтобы получить y .График экспоненциальной функции выглядит как кривая, которая начинается с очень пологого наклона, но со временем становится все круче и круче.

      Вы можете использовать эти функции для решения любых проблем, от роста бактерий до процентов, которые вы зарабатываете на своем банковском счете — попробуйте ответить на некоторые вопросы викторины и посмотрите, как вы это сделаете!

      Результаты обучения

      Этот урок по экспоненциальным функциям может подготовить вас к достижению следующих целей:

      • Проиллюстрируйте экспоненциальную функцию
      • Определить график экспоненциальной функции
      • Разделите экспоненциальную функцию на реальном примере

      Производные от экспоненциальных функций

      На этой странице мы рассмотрим, как различать экспоненциальные функции.2}}} \ ln 4.} \]

      Исчисление I — Обратные функции

      Показать мобильное уведомление

      Показать все заметки Скрыть все заметки

      Кажется, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

      Раздел 1-2: Обратные функции

      В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x — 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

      \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

      и, как отмечено в этом разделе, это означает, что между этими двумя функциями существует хорошая взаимосвязь.Посмотрим, что это за отношения. Рассмотрим следующие оценки.

      \ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {PineGreen} — 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) — 2 = {\ color {Красный } — 5} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & g \ left ({\ color {Red} — 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {PineGreen} — 1} \\ & & & \\ g \ left ({\ color {PineGreen} 2} \ right ) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ справа) — 2 = 4 — 2 = {\ color {PineGreen} 2} \ end {align *} \]

      В первом случае мы подключили \ (x = — 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение \ (- 5 \). Затем мы развернулись и подключили \ (x = — 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

      Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

      Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый корпус действительно,

      \ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = — 1 \]

      а второй корпус действительно

      \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

      Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

      Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = — 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = — 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

      Пары функций

      , которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

      Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Математически это то же самое, что сказать

      \ [f \ left ({{x_1}} \ right) \ ne f \ left ({{x_2}} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {when}} \ hspace { 0.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x

      Показать, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительно и / или сложно. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом курсе, либо взаимно однозначны, либо мы ограничили область определения функции, чтобы сделать ее взаимно однозначной. одна функция.

      Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.Даны две взаимно однозначные функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

      \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = x \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {AND}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

      , то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратные друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

      \ [g \ left (x \ right) = {f ^ {- 1}} \ left (x \ right) \]

      Аналогичным образом, мы могли бы также сказать, что \ (f \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (g \ left (x \ right) \), и обозначить его как

      \ [е \ влево (х \ вправо) = {д ^ {- 1}} \ влево (х \ вправо) \]

      Обозначения, которые мы используем, действительно зависят от проблемы. {- 1}} \ left (x \ right) \).Показать решение

      Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

      Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

      \ [y = 3x — 2 \]

      Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все \ (y \) на \ (x \).{- 1}} \ left (x \ right) \).

      Показать решение

      Тот факт, что мы используем \ (g \ left (x \ right) \) вместо \ (f \ left (x \ right) \), не меняет принцип работы процесса. Вот несколько первых шагов.

      \ [y = \ sqrt {x — 3} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, x = \ sqrt {y — 3} \]

      Теперь, чтобы найти \ (y \), нам нужно сначала возвести в квадрат обе стороны, а затем действовать как обычно. {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} \]

      Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x — 1}} {{2x — 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x — 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x — 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) — 5 \ left ({2x — 1} \ right)}} \\ & = \ гидроразрыв {{4 + 5x + 8x — 4}} {{8 + 10x — 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} = x \ end {align *} \]

      Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

      Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы закончим этот раздел.

    Матричный HDMI-коммутатор 2×2 True 4K с функцией извлечения звука — VM0202HB, ATEN Матричные коммутаторы видеосигналов

    Видеовход
    Интерфейсы2 x гнезда HDMI тип А (черного цвета)
    Импеданс100 Ω
    Макс. расстояние5.0 м
    Видеовыход
    Интерфейсы2 x гнезда HDMI тип А (черного цвета)
    Импеданс100 Ω
    Макс. расстояние5.0 м
    Видео
    Макс. скорость передачи данных18.0 Гбит/с (6 Гбит/с на каждую полосу)
    Макс. частота пикселизации600 МГц
    СоответствиеHDMI (3D, 4K, Deep Color)
    Совместимость с HDCP 2.2
    Consumer Electronics Control (CEC)
    Макс. разрешениедо 4096 x 2160 / 3840 x 2160 при 60Гц (4:4:4)
    Макс. расстояниедо 5.0 м
    Аудио
    Выход1x миниатюрное гнездо стерео; 1x 3-полюсной разъем с невыпадающими винтами
    Управление
    USB1 x порт micro USB (для обновления микропрограммы)
    RS-232Разъем: 1 x гнездо DB-9 (черного цвета)
    Скорость (бит/с) и протокол:
    Скорость (бит/с): 19200, Биты данных: 8, Стоповые биты: 1, Четность: Нет, Управление потоками: Нет
    ИК1 x миниатюрное гнездо стерео (черного цвета)
    Параметры EDIDРежимы EDID: Default / Port1 / Remix
    Разъемы
    Питание1 x разъем для подключения питания постоянного тока (черного цвета)
    ЭнергопотреблениеDC5V:2.47W:11BTU
    Температура и влажность
    Рабочая температура0-40°C
    Температура хранения-20 — 60°C
    Влажность0 — 80% рт. ст. без образования конденсата
    Физические свойства
    КорпусМеталлический
    Масса0.60 kg ( 1.32 lb )
    Размеры (Д х Ш х В)20.00 x 7.60 x 4.20 cm
    (7.87 x 2.99 x 1.65 in.)
    Картонная упаковка5 шт.
    ПримечаниеОбратите внимание, что для некоторых изделий монтируемых стойку, физические размеры (ШxГxВ) выражаются в формате (ДxШxВ).

    Логарифмическая функция

    Основные сведения

    Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где a > 0 и a ≠ 1.

    График функции имеет следующий вид:

    Рассмотрим свойства функции:

    1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
    2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
    3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
    4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
    5. Функция непереодическая.
    6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
    7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

    Примеры решения задач

    Задание 1.

    В одной координатной плоскости построить графики функций:

    1. y = log2x
    2. y = log3x
    3. y = log5x
    4. y = log10x

    Решение.

    Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

    x 1 2 4 8
    y(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

    Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

    Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

    Подобным образом построим графики остальных функций.

    Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

    Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

    Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

    Задание 2.

    В одной координатной плоскости построить графики функций:

    Решение.

    Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

    x 1 2 4 8
    y(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

    Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

    Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

    Подобным образом построим графики остальных функций.

    Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

    Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

    Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

    Задание 3.

    Найти обасть определеления функции:

    1. y = logπ(2x-4)
    2. y = log2((x-1)(x+5))

    Решение

    1. y = logπ(2x-4).

    Область определения данной функции задается следующим неравенством:

    2x-4 > 0

    Решим это линейное неравенство:

    2x > 4 → x > 2

    Ответ: D(y): (2; +∞).


     2. y = log2((x-1)(x+5)).

    Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

    Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

    x-1 = 0 → x = 1

    x+5 = 0 → x = -5

    Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

    Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

    Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

    Смещение графика квадратичной функции y = (x

    Цели урока:

    Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c.

    Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

    Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

    Структура урока

    1. Организационный момент – 3 минуты.
    2. Исследовательская работа – 20 минут.
    3. Закрепление изученного материала – 15 минут.
    4. Рефлексия – 2 минут.
    5. Итог урока – 3 минуты.
    6. Домашнее задание – 2 минуты.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, cна график функций вида y=x2+с, y=(x-b)2, y=(x-b)2+c.

    Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

    Каждая группа получает план исследования <Приложение>, лист формата А3 для оформления результатов.

    2. Исследовательская работа

    .

    Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x2+с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b)2, одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b)2+c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

      Функция Результат  
    1 группа у=x2+3; <Рисунок 10>
    2 группа у=x2-5; <Рисунок 11>
    3 группа у=(х-4)2; <Рисунок 12>
    4 группа у=(х-2)2+3. <Рисунок 13>

    План работы

    1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
    2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х0, y0), задайте таблицей 4 точки).
    3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x2.
    4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
    5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

    “Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

    Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

    Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c, можно записать в виде y=a(x-x0)2+y0, где x0 и y0 выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x0, c=y0 являются координатами вершины параболы.

    3. Закрепление изученного материала.

    Фронтальная работа с классом.

    1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

    y=(х+6)2

    у=х2-2

    Коэффициент b

    Нет ошибки

    Рисунок 1

    Рисунок 2

    у=(х+5)2-1 у=(х-2)2+2
    Коэффициент b и с Коэффициент b
    Рисунок 3 Рисунок 4

    Результаты

    <Рисунок 7>

    <Рисунок 2>

    <Рисунок 8>

    <Рисунок 9>

    Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

    2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

    Рисунок 5

    y=(х-4)2-2 синий
    y=-x2+5 красный
    y=(x+1)2+3 зеленый
    y=(x-3)2 фиолетовый

    4. Рефлексия.

    Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

    – Какие ошибки допустили группы?

    – Достигнута ли цель занятия?

    – Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

    5. Итог урока (слайд №11)

    :

    На положение графика функции y=(x-b)2+c влияют коэффициенты b и c,

    “+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

    “–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

    “+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

    “-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

    6. Домашнее задание

    1. Построить график квадратичной функции, имеющую вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
    2. Подумайте, в какой области можно использовать знания по данной теме (практическое применение).

    Приложение

    Как определить, является ли отношение функцией

    Обновлено 24 ноября 2020 г.

    Крис Дезиел

    В математике функция — это правило, которое связывает каждый элемент в одном наборе, называемом доменом, ровно с одним элементом другого. набор, называемый диапазоном. На оси x y домен представлен на оси x (горизонтальная ось), а домен — на оси y (вертикальная ось). Правило, которое связывает один элемент в домене с более чем одним элементом в диапазоне, не является функцией.Это требование означает, что при построении графика функции нельзя найти вертикальную линию, пересекающую график более чем в одном месте.

    TL; DR (слишком долго; не читал)

    Отношение является функцией, только если оно связывает каждый элемент в своем домене только с одним элементом в диапазоне. При построении графика функции вертикальная линия будет пересекать ее только в одной точке.

    Математическое представление

    Математики обычно обозначают функции буквами « f ( x )», хотя любые другие буквы работают точно так же.2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m — 3}}

    Определение домена

    Набор чисел, для которых функция «работает» это домен. Это могут быть все числа или определенный набор чисел. Доменом также могут быть все числа, кроме одного или двух, для которых функция не работает. Например, домен для функции

    f (x) = \ frac {1} {2-x}

    — это все числа, кроме 2, потому что, когда вы вводите два, знаменатель равен 0, а результат не определен.2}

    , с другой стороны, — это все числа, кроме +2 и −2, потому что квадрат обоих этих чисел равен 4.

    Вы также можете определить область определения функции, посмотрев на ее график. Начиная с крайнего левого угла и двигаясь вправо, проведите вертикальные линии через ось x . Домен — это все значения x , для которых линия пересекает график.

    Когда отношение не является функцией?

    По определению функция связывает каждый элемент в домене только с одним элементом в диапазоне.Это означает, что каждая вертикальная линия, проведенная через ось x , может пересекать функцию только в одной точке. Это работает для всех линейных уравнений и уравнений более высокой степени, в которых только член x возведен в степень. Это не всегда работает для уравнений, в которых члены x и y возведены в степень. Например, x 2 + y 2 = a 2 определяет круг. Вертикальная линия может пересекать круг более чем в одной точке, поэтому это уравнение не является функцией.

    Как правило, соотношение f ( x ) = y является функцией, только если для каждого значения x , которое вы подключаете к нему, вы получаете только одно значение для и . Иногда единственный способ узнать, является ли данное отношение функцией или нет, — это попробовать различные значения для x, чтобы увидеть, дают ли они уникальные значения для y .

    Примеры: Определяют ли функции следующие уравнения?

    y = 2x +1

    Это уравнение прямой линии с наклоном 2 и y -пересечение 1, поэтому IS является функцией.2

    Поскольку y = ± √ x 2 , этот НЕ ЯВЛЯЕТСЯ функцией .

    Линейные уравнения

    Линейное уравнение — это уравнение для прямой линии

    Это все линейные уравнения:

    у = 2х + 1
    5x = 6 + 3 года
    у / 2 = 3 — х

    Рассмотрим более подробно один пример:

    Пример:

    y = 2x + 1 — линейное уравнение:

    График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

    • Когда x увеличивается, y увеличивается в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
    • Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
    • Итак: y = 2x + 1

    Вот несколько примеров значений:

    x y = 2x + 1
    -1 у = 2 × (-1) + 1 = -1
    0 y = 2 × 0 + 1 = 1
    1 y = 2 × 1 + 1 = 3
    2 у = 2 × 2 + 1 = 5

    Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!

    Различные формы

    Существует много способов написания линейных уравнений, но обычно они содержат констант (например, «2» или «c») и должны иметь простые переменных (например, «x» или «y»).

    Примеры: Это линейные уравнения:

    Но переменные (например, «x» или «y») в линейных уравнениях не имеют НЕ :

    Примеры: Это

    НЕ линейных уравнений:
    y 2 — 2 = 0
    3√x — y = 6
    x 3 /2 = 16

    Форма пересечения склонов

    Самая распространенная форма — уравнение угла наклона прямой:

    Пример: y = 2x + 1

    • Уклон: м = 2
    • Перехват: b = 1

    Форма остроконечного откоса

    Еще одна распространенная форма — это форма угла наклона уравнения прямой линии:

    y — y 1 = m (x — x 1 )

    Пример: y — 3 = (¼) (x — 2)

    Он имеет вид y — y 1 = m (x — x 1 ) где:

    Общая форма

    А есть еще Общая форма уравнения прямой:

    Ax + By + C = 0

    (A и B не могут быть одновременно 0)

    Пример: 3x + 2y — 4 = 0

    Он имеет вид Ax + By + C = 0 где:

    Есть и другие, менее распространенные формы.

    Как функция

    Иногда линейное уравнение записывается как функция с f (x) вместо y:

    y = 2x — 3
    f (x) = 2x — 3
    Это такие же!

    И функции не всегда записываются с использованием f (x):

    y = 2x — 3
    w (u) = 2u — 3
    h (z) = 2z — 3
    Это тоже такие же!

    Функция идентификации

    Существует специальная линейная функция, называемая «Функция идентичности»:

    f (х) = х

    А вот его график:


    Получается под углом 45 ° (уклон 1)

    Это называется «Идентификацией», потому что получается идентичных тому, что входит:

    В Из
    0 0
    5 5
    −2 −2
    …etc … и т. Д.

    Постоянные функции

    Другой особый тип линейной функции — это постоянная функция … это горизонтальная линия:

    f (х) = С

    Независимо от того, какое значение «x», f (x) всегда равно некоторому постоянному значению.

    Использование линейных уравнений

    Вы можете прочитать о том, что можно делать с помощью строк:

    Область и диапазон экспоненциальных и логарифмических функций

    Напомним, что домен функции — это набор входных или Икс -значения, для которых определена функция, а диапазон это набор всего вывода или у -значения, которые принимает функция.

    Простая экспоненциальная функция вроде ж ( Икс ) знак равно 2 Икс имеет в качестве своей области всю действительную линию. Но его диапазон — это только положительный вещественные числа, у > 0 : ж ( Икс ) никогда не принимает отрицательного значения. Кроме того, он никогда не достигает 0 , хотя асимптотически приближается к Икс идет в — ∞ .

    Если мы заменим Икс с — Икс получить уравнение г ( Икс ) знак равно 2 — Икс , График отражается вокруг у -axis, но домен и диапазон не меняются:

    Если поставить знак минус впереди, то получится уравнение час ( Икс ) знак равно — 2 Икс , График отражается вокруг Икс -ось.У нас по-прежнему есть целая реальная линия в качестве нашего домена, но теперь диапазон — это отрицательные числа, у < 0 .

    Теперь рассмотрим функцию ж ( Икс ) знак равно ( — 2 ) Икс . Когда Икс знак равно 1 2 , у должно быть комплексным числом, поэтому все становится непросто. Для этого урока нам потребуется, чтобы наши основы были положительными на данный момент, чтобы мы могли оставаться в мире реальных ценностей.

    В общем, график основной экспоненциальной функции у знак равно а Икс падает с ∞ к 0 когда 0 < а < 1 в виде Икс варьируется от - ∞ к ∞ и поднимается из 0 к ∞ когда а > 1 .

    Экспоненциальная функция у знак равно а Икс , можно сдвинуть k единиц по вертикали и час единиц по горизонтали с уравнением у знак равно а ( Икс + час ) + k .Тогда область определения функции остается неизменной, а диапазон становится { у ∈ ℝ | у > час } .

    Пример 1:

    Найдите домен и диапазон функции у знак равно 3 Икс + 2 .

    Изобразите функцию на координатной плоскости.

    График — это не что иное, как график у знак равно 3 Икс переведено 2 единиц слева.

    Функция определена для всех действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор действительных чисел.

    В виде Икс как правило ∞ , значение функции также стремится к ∞ и в качестве Икс как правило — ∞ функция приближается к Икс ось, но никогда не касается ее.

    Следовательно, диапазон функции задается действительными положительными числами или { Икс ∈ ℝ | Икс > 0 } .

    Пример 2:

    Найдите домен и диапазон функции у знак равно ( 1 4 ) 2 Икс .

    Изобразите функцию на координатной плоскости.

    График — это не что иное, как график у знак равно ( 1 4 ) Икс сжатый в раз 2 .

    Функция определена для всех действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор действительных чисел.

    В виде Икс как правило ∞ , значение функции стремится к нулю, а график приближается к Икс ось, но никогда не касается ее.

    В виде Икс как правило — ∞ , функция также стремится к ∞ .

    Следовательно, диапазон функции задается действительными положительными числами или { у ∈ ℝ | у > 0 } .

    Обратная экспоненциальная функция — это логарифмическая функция.

    Простой логарифмическая функция у знак равно бревно 2 Икс куда Икс > 0 эквивалентна функции Икс знак равно 2 у . Это, у знак равно бревно 2 Икс является обратной функцией у знак равно 2 Икс .

    Функция у знак равно бревно 2 Икс имеет область набора положительных действительных чисел и диапазон набора действительных чисел.

    Помните, что, поскольку логарифмическая функция является обратной по отношению к экспоненциальной функции, область логарифмической функции — это диапазон экспоненциальной функции, и наоборот.

    В общем, функция у знак равно бревно б Икс куда б , Икс > 0 и б ≠ 1 является непрерывной и взаимно однозначной функцией. Обратите внимание, что логарифмическая функция не определен для отрицательных чисел или для нуля.График функции приближается к у -ось как Икс как правило ∞ , но никогда не трогает его.

    Следовательно, область определения логарифмической функции у знак равно бревно б Икс — это набор положительных действительных чисел, а диапазон — это набор действительных чисел.

    Функция возникает из — ∞ к ∞ в виде Икс увеличивается, если б > 1 и падает с ∞ к — ∞ в виде Икс увеличивается, если 0 < б < 1 .

    Логарифмическая функция, у знак равно бревно б Икс , можно сдвинуть k единиц по вертикали и час единиц по горизонтали с уравнением у знак равно бревно б ( Икс + час ) + k . Тогда область определения функции принимает вид { Икс ∈ ℝ | Икс > — час } .Однако ассортимент остается прежним.

    Пример 3:

    Найдите домен и диапазон функции у знак равно бревно ( Икс ) — 3 .

    Изобразите функцию на координатной плоскости. Помните, что когда база не отображается, она считается 10 .

    График — это не что иное, как график у знак равно бревно ( Икс ) переведено 3 единиц вниз.

    Функция определена только для положительных действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор положительных действительных чисел или { Икс ∈ ℝ | Икс > 0 } .

    Функция принимает все реальные значения из — ∞ к ∞ .

    Следовательно, диапазон функции — это набор действительных чисел.

    Пример 4:

    Найдите домен и диапазон функции у знак равно бревно 3 ( Икс — 2 ) + 4 .

    Изобразите функцию на координатной плоскости.

    График — это не что иное, как график у знак равно бревно 3 ( Икс ) переведено 2 единицы справа и 4 единиц вверх.

    В виде Икс как правило 2 , функция приближается к линии Икс знак равно 2 но никогда не трогает его. В виде Икс как правило ∞ значение функции также стремится к ∞ . То есть функция определена для действительных чисел больше, чем 2 . Итак, область определения функции — это набор положительных действительных чисел или { Икс ∈ ℝ | Икс > 2 } .

    Функция принимает все реальные значения из — ∞ к ∞ .

    Следовательно, диапазон функции — это набор действительных чисел.

    1,4 Смены и расширения

    Многие функции в приложениях построены из простых функций с помощью вставка констант в разные места. Важно понимать влияние таких констант на внешний вид графика.

    Горизонтальные смещения.2 $. Это $ y = x-4 $, линия с наклоном 1, а не смещенная парабола.

    Вертикальные смещения. Если заменить $ y $ на $ y-D $, то график поднимается на $ D $ единиц. (Если значение $ D $ отрицательное, это означает, что график перемещается вниз на $ | D | $ единиц.) Если формула записана в виде $ y = f (x) $, и если $ y $ заменить на $ y-D $, чтобы получить $ y-D = f (x) $, мы можем эквивалентно переместите $ D $ на другую часть уравнения и напишите $ y = f (x) + D $. Таким образом, можно сформулировать такой принцип: , чтобы получить график $ y = f (x) + D $, возьмите график $ y = f (x) $ и переместите его на $ D $ единиц вверх.2 $ — круг перемещает его на $ C $ в вправо и $ D $ вверх, получая круг радиуса $ r $ с центром в точке $ (C, D) $. Это говорит нам, как писать уравнение любой окружности, не обязательно с центром в начале координат. $ \ квадрат $

    Позже мы захотим использовать еще два принципа, касающихся эффектов константы внешнего вида графика функции.

    Горизонтальное расширение. Если $ x $ заменяется на $ x / A $ в формуле и $ A> 1 $, то влияние на график будет следующим: расширить его в $ A $ раз в направлении $ x $ (от $ y $ -ось). Если $ A $ находится в диапазоне от 0 до 1, то влияние на график будет сокращаться в 1 доллар / австралийский доллар. (по направлению к оси $ y $). Мы используем слово «расширяться» для обозначения расширения или сжатия.

    Например, заменив $ x $ на $ x / 0.5 = x / (1/2) = 2x $ имеет эффект сужения к оси $ y $ в несколько раз. из 2. Если значение $ A $ отрицательное, мы расширяемся в $ | A | $ раз, а затем переверните ось $ y $. Таким образом, замена $ x $ на $ -x $ имеет эффект получение зеркального отображения графа относительно оси $ y $.Для Например, функция $ y = \ sqrt {-x} $, имеющая домен $ \ {x \ in \ R \ mid x \ le 0 \} $, получается взяв график $ \ sqrt {x} $ и перевернув его вокруг оси $ y $ в второй квадрант.

    Вертикальное расширение. Если $ y $ заменяется на $ y / B $ в формуле и $ B> 0 $, тогда граф расширится в $ B $ раз в вертикальное направление. 2 = 1 $ — и увеличивается в раз $ a $ по горизонтали и в $ b $ по вертикали.2} = 1. $$ $ \ квадрат $

    Наконец, если мы хотим проанализировать функцию, которая включает в себя оба сдвигов и дилатаций, обычно проще всего работать с сначала дилатации, а затем сдвиги. Например, если мы хотим расширить функцию в $ A $ раз в направлении $ x $, а затем сдвинем $ C $ вправо, мы сделаем это, заменив сначала $ x $ на $ x / A $ а затем на $ (x-C) $ в формуле. В качестве примера предположим, что после расширения нашей единичной окружности на $ a $ в направлении $ x $ и на $ b $ в направлении $ y $, чтобы получить эллипс в последнем абзаце, мы затем хотел сдвинуть его на расстояние $ h $ вправо и на расстояние $ k $ вверх так, чтобы его центр находился в точке $ (h, k) $.2} + 2 $

    График $ f (x) $ показан ниже. Нарисуйте графики следующих функций.

    Пример 1.4.13 $ \ ds y = f (x-1) $

    Пример 1.4.14 $ \ ds y = 1 + f (x + 2) $

    Пример 1.4.15 $ \ ds y = 1 + 2f (x) $

    Пример 1.4.16 $ \ ds y = 2f (3x) $

    Пример 1.4.17 $ \ ds y = 2f (3 (x-2)) + 1 $

    Пример 1.4.18 $ \ ds y = (1/2) f (3x-3) $

    Пример 1.4.19 $ \ ds y = f (1 + x / 3) + 2 $

    Как найти уравнения для экспоненциальных функций

    Что такое экспоненциальные функции?

    Прежде чем мы перейдем к экспоненциальным функциям и построению графиков экспоненциальных функций, давайте сначала взглянем на общую формулу и теорию, лежащую в основе экспоненциальных функций.{d (x-c)} + ky = abd (x − c) + k

    Приведенная выше формула немного сложнее, чем предыдущие функции, с которыми вы, вероятно, работали, поэтому давайте определим все переменные.

    y — значение по оси y

    a — коэффициент вертикального растяжения или сжатия

    б — базовое значение

    x — значение по оси x

    c — коэффициент горизонтального перевода

    d — коэффициент горизонтального растяжения или сжатия

    k — коэффициент вертикального перевода

    В этом уроке мы рассмотрим только самые простые экспоненциальные функции, поэтому вам не нужно беспокоиться о некоторых из перечисленных выше переменных. (x-2)

    Сделав это преобразование, мы сдвинули весь график вправо на две единицы.x + 2y = 2x + 2, k = 2, и поэтому горизонтальная асимптота равна 2. Нет значения для x, которое мы могли бы использовать, чтобы сделать y = 2.

    И это все переменные! Опять же, некоторые из них сложнее других, поэтому потребуется время, чтобы привыкнуть работать со всеми ними и научиться их находить. Чтобы лучше познакомиться с экспоненциальными функциями и ознакомиться с приведенным выше общим уравнением, посетите этот отличный веб-сайт графического калькулятора здесь. Не торопитесь, чтобы поиграть с переменными и лучше почувствовать, как изменение каждой из переменных влияет на характер функции.

    А теперь приступим к делу. Учитывая график экспоненциальной функции, как мы можем найти экспоненциальное уравнение?

    Как найти экспоненциальные функции

    Нахождение уравнения экспоненциальных функций часто является многоступенчатым процессом, и каждая задача отличается в зависимости от информации и типа графа, который нам дан. Учитывая график экспоненциальных функций, нам нужно иметь возможность брать некоторую информацию из самого графика, а затем решать то, что мы не можем извлечь непосредственно из графика.Ниже приведен список всех переменных, которые нам, возможно, придется искать, и того, как их обычно находить:

    a — решите его по алгебре, иначе дадут

    b — решите его по алгебре, иначе дадут

    c — пусть x = 0 и представьте, что «c» там нет, значение y будет равно пересечению с y; теперь посчитайте, на сколько единиц значение y для точки пересечения y от оси y, и это будет равно «c»

    d — решите это с помощью алгебры

    k — равно значению горизонтальной асимптоты

    Конечно, это лишь общие шаги, которые вам нужно предпринять, чтобы найти уравнение для экспоненциальной функции.xy = abx данного графа.

    Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

    Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a» и «b». Кроме того, нам придется решить оба этих вопроса алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

    Шаг 1. Решите относительно «a»

    Чтобы найти «a», мы должны выбрать точку на графике, где мы можем исключить bx, потому что мы еще не знаем «b», и поэтому мы должны выбрать y-точку пересечения (0,3).{dx} + ky = a2dx + k данного графа.

    Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

    Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a», «d» и «k». Помните, что мы можем найти «k» на графике, поскольку это горизонтальная асимптота. Однако для «a» и «d» нам придется решать их алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

    Шаг 1. Найдите «k» на графике

    Чтобы найти «k», все, что нам нужно сделать, это найти горизонтальную асимптоту, которая явно равна y = 6.(bx) + k

    Вот и все экспоненциальные функции! Опять же, эти функции немного сложнее, чем уравнения для линий или парабол, поэтому обязательно выполните много практических задач, чтобы освоить новые переменные и методы. По мере практики, скоро экспоненциальные уравнения и графики экспоненциальных функций не будут проблемой!

    MATH0043 §2: Вариационное исчисление

    MATH0043 §2: Вариационное исчисление

    Многие проблемы связаны с поиском функции, которая максимизирует или минимизирует интегральное выражение.
    Одним из примеров является поиск кривой, дающей кратчайшее расстояние между двумя точками — это, конечно, прямая линия в декартовой геометрии (но можете ли вы это доказать?), Но менее очевидная, если две точки лежат на искривленной поверхности (проблема поиска геодезические .)
    Математические методы, разработанные для решения этого типа задач, в совокупности известны как вариационное исчисление .

    Типичная задача : Рассмотрим определенный интеграл, который зависит от неизвестной функции \ (y (x) \), а также от ее производной \ (y ‘(x) = \ frac {{\ rm d} y} {{ \ rm d} x} \), \ [% \ refreshcommand {\ dx} {{\ rm d} x} I (y) = \ int_a ^ b ~ F (x, y, y ‘) ~ {\ rm d} x.\] Типичная задача вариационного исчисления заключается в нахождении конкретной функции \ (y (x) \) для максимизации или минимизации интеграла \ (I (y) \) с учетом граничных условий \ (y (a) = A \ ) и \ (y (b) = B \).

    Интеграл \ (I (y) \) является примером функционала , который (в более общем смысле) является отображением набора допустимых функций в вещественные числа.

    Мы говорим, что \ (I (y) \) имеет экстремум , когда \ (I (y) \) принимает максимальное или минимальное значение.

    Рассмотрим задачу поиска кривой \ (y (x) \) наименьшей длины, которая соединяет две точки \ ((0,0) \) и \ ((1,1) \) на плоскости.2 [a, b] \) такая, что \ (y (a) = A, y (b) = B \), то \ (Y (x) \) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка \ [\ label {ele } \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) — \ frac {\ partial F} {\ partial y} = 0. \]

    Уравнение ([ele]) — это уравнение Эйлера-Лагранжа , а иногда просто уравнение Эйлера .

    Вам может быть интересно, что означает \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \): как мы можем дифференцировать по производной? Подумайте об этом так: \ (F \) дается вам как функция трех переменных, скажем, \ (F (u, v, w) \), и когда мы оцениваем функционал \ (I \), мы подключаем \(Икс, y (x), y ‘(x) \) для \ (u, v, w \), а затем проинтегрируем.Производная \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \) — это просто частная производная от \ (F \) по его второй переменной \ (v \). Другими словами, чтобы найти \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \), просто представьте, что \ (y’ \) является переменной .

    В равной степени существует важное различие между \ (\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} \) и \ (\ frac {\ partial F} {\ partial x} \). Первый является производной от \ (F \) по \ (x \) с учетом того факта, что \ (y = y (x) \) и \ (y ‘= y’ (x) \) равны функции \ (x \) тоже.2 + хуу \ простое \ простое + 2у \ простое \ простое y \ prime + {y \ prime} \ end {align} \] и уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид \ [y + xy ‘+ 2 {y’} ‘= xy’ + 1 \ qedhere \]

    \ (Y \), удовлетворяющее уравнению Эйлера – Лагранжа, является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы \ (I (Y) \) было экстремумом. 2 [a, b] \) удовлетворяет \ (\ eta (a) = \ eta (b) = 0 \), так что \ (Y_ \ epsilon (a) = A \) и \ (Y_ \ epsilon (b ) = В \), т.b_a \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) ~ {\ rm d} x \] Теперь мы используем правило цепочки нескольких переменных, чтобы дифференцировать \ (F \) относительно \ (\ epsilon \). Для общей функции трех переменных \ (F (u (\ epsilon), v (\ epsilon), w (\ epsilon)) \), три аргумента которого зависят от \ (\ epsilon \), цепное правило говорит нам, что \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} = \ frac {\ partial F} {\ partial u} \ frac {{\ rm d} u} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial v} \ frac {{\ rm d} v} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial w} \ frac {{\ rm d} w} {{\ rm d} \ epsilon}.\] В нашем случае первый аргумент \ (x \) не зависит от \ (\ epsilon \), поэтому \ (\ frac {{\ rm d} x} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \) , а поскольку \ (Y_ \ epsilon = Y + \ epsilon \ eta \), мы имеем \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta \) и \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon ‘} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta’ \). Следовательно, \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) = \ frac {\ partial F} {\ partial y} \, \ eta (x) + \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \, \ eta’ (x). \] Напомним, что \ (\ frac {{\ rm d} I} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \), когда \ (\ epsilon = 0 \) .2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, ~~~~ \ left [\ mbox {Ответ:} ~~ y (x) = 2 \ frac {\ sinh {x}} {\ sinh {1}} \ right]. \ qedhere \]

    Учитывая \ (y + g \), где \ (y \) — решение из упражнения 1, а \ (g (x) \) — вариант в \ (y (x) \), удовлетворяющий \ (g (0) = g (1) = 0 \), а затем, учитывая \ (I (y + g) \), покажите явно, что \ (y (x) \) минимизирует \ (I (y) \) в упражнении 1. выше. (Подсказка: используйте интегрирование по частям и уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет \ (y (x) \), чтобы упростить выражение для \ (I (y + g) \)).b ~ y (x) \ eta (x) ~ {\ rm d} x = 0. \] Тогда \ (y (x) = 0 \) для всех \ (a \ le x \ le b \).

    Вот набросок доказательства. 4 & \ alpha_0

    Классическим примером вариационного исчисления является поиск брахистохрона , определяемого как гладкая кривая, соединяющая две точки A и B (не под друг другом), по которой частица будет скользить от A к B под действием силы тяжести с максимально возможной скоростью. время.{-1} {\ left (\ sqrt {\ frac {x} {\ alpha}} \ right)} — ​​\ sqrt {x} \ sqrt {\ alpha-x}. \]

    Эта кривая называется циклоидой .

    Константа \ (\ alpha \) неявно определяется оставшимся граничным условием \ (y (h) = a \). Уравнение циклоиды часто приводится в следующей параметрической форме (которая может быть получена подстановкой в ​​интеграл) \ [\ begin {align} х (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (1- \ cos {2 \ theta}) \\ y (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (2 \ theta- \ sin {2 \ theta}) \ end {align} \] и может быть построен, следуя геометрическому месту начальной точки контакт, когда круг радиуса \ (\ alpha / 2 \) катится (угол \ (2 \ theta \)) по прямой.2 [a, b] \) такая, что \ (y (a) = A, y (b) = B \), то \ (Y (x) \) удовлетворяет \ [\ label {belt} F — y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = C \] для некоторой константы \ (C \).

    ([пояс]) называется тождеством Бельтрами или уравнением Бельтрами.

    Рассмотрим \ [\ label {dif} \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (F- y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y’} \верно) = \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} — {y ‘}’ \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} -y’ \ frac {{\ rm d}} {{\ rm d} х} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right). {\ prime \ prime} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} — y’ \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = y ‘\ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y} — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) \] Поскольку \ (Y \) — экстремаль, это решение уравнения Эйлера – Лагранжа, и поэтому оно равно нулю для \ (y = Y \).2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, \] Ответ: \ [y = f (x) = 2 \ frac {\ sinh { x}} {\ sinh {1}} \] (снова).

    До сих пор мы имели дело с граничными условиями вида \ (y (a) = A, y (b) = B \) или \ (y (a) = A, y ‘(b) = B \). Для некоторых задач естественные граничные условия выражаются с помощью интеграла. Стандартный пример — Задача Дидоны : если у вас есть кусок веревки фиксированной длины, какую форму вы должны сделать из него, чтобы охватить как можно большую площадь? Здесь мы пытаемся выбрать функцию \ (y \), чтобы максимизировать интеграл \ (I (y) \), дающий площадь, заключенную в \ (y \), но ограничение фиксированной длины также выражается в терминах интеграла, включающего \ (у \).b ~ F (x, y, y ‘) + \ lambda G (x, y, y’) \; {\ rm d} x \] для некоторой константы \ (\ lambda \).

    Чтобы понять это доказательство, вам нужно знать о множителях Лагранжа: см. Раздаточный материал по Moodle (константа \ (\ lambda \) окажется множителем Лагранжа).

    Предположим, что \ (I (Y) \) является максимумом или минимумом при условии \ (J (y) = L \), и рассмотрим двухпараметрическое семейство функций, заданное как \ [Y (x) + \ epsilon \ eta (x) + \ delta \ zeta (x) \], где \ (\ epsilon \) и \ (\ delta \) — константы, а \ (\ eta (x) \) и \ (\ zeta (x) \) — дважды дифференцируемые функции такие, что \ (\ eta (a) = \ zeta (a) = \ eta (b) = \ zeta (b) = 0 \), с \ (\ zeta \), выбранным так, чтобы \ (Y + \ epsilon \ eta + \ delta \ zeta \) подчиняется интегральному ограничению.б G (х, Y + \ эпсилон \ eta + \ delta \ zeta, Y ‘+ \ epsilon \ eta’ + \ delta \ zeta ‘) \, {\ rm d} x. \] Поскольку \ (I \) имеет максимум или минимум в \ (Y (x) \ ) при условии \ (J = L \), в точке \ ((\ epsilon, \ delta) \) = \ ((0,0) \) наша функция \ (I [\ epsilon, \ delta] \) принимает экстремальное значение при условии \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \).

    Из теории множителей Лагранжа следует, что необходимое условие для функции \ (I [\ epsilon, \ delta] \) двух переменных с ограничением \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \) на принять экстремальное значение в \ ((0,0) \), если существует постоянная \ (\ lambda \) (называемая множителем Лагранжа) такая, что \ [\ begin {align} \ frac {\ partial I} {\ partial \ epsilon} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ epsilon} & = 0 \\ \ frac {\ partial I} {\ partial \ delta} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ delta} & = 0 \ end {align} \] в точке \ (\ epsilon = \ delta = 0 \).b \ eta \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y} \ left (F + \ lambda G \ right) — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y ‘} \ left (F + \ lambda G \ right) \ right) \ right) \, {\ rm d} x ~~~~ \ mbox {(интегрирование по частям)} \\ & & \\ & = & 0 ~~~~~ {\ mbox {когда $ \ epsilon = \ delta = 0 $, неважно, что такое $ \ eta $.}} \ End {align} \] Поскольку это верно для любого \ (\ eta \), по FLCV (лемма [flcv]) получаем \ [(F_y + \ lambda G_y) (x, Y, Y ‘) + \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (F_ {y ‘} + \ lambda G_ {y’}) (x, Y, Y ‘) = 0 \], что означает, что \ (Y \) является решением уравнения Эйлера – Лагранжа для \ (K \), как и требуется.2+ \ frac {5} {2}. \ right] \]

    (Конструкция загона для овец): Забор длиной \ (l \) должен быть прикреплен к прямой стене в точках A и B (на расстоянии \ (a \) друг от друга, где \ (a

    Существует множество вводных учебников по вариационному исчислению, но в большинстве из них содержится гораздо больше математических подробностей, необходимых для MATH0043.Если вы хотите узнать больше о теории, в библиотеке можно найти вариационное исчисление Гельфанда и Фомина. Менее технический источник — глава 9 Boas Mathematical Methods in the Physical Sciences . В Интернете есть много кратких вводных сведений о вариационном исчислении, например

    , хотя все они описываются гораздо более подробно, чем нам нужно в MATH0043. Наконец, помимо раздаточного материала Moodle, вы можете найти

    пригодится в качестве напоминания о множителях Лагранжа.

    квадратичных функций

    квадратичных функций

    Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

    Предлагаемые задачи из текста:

    с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

    Графики

    Стандартная форма

    Приложения


    Графики

    Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax 2 + bx + c , где a , b и c — числа, у которых a не равны нулю.

    График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

    Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

    Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных функции.

    Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.

    Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига. 2-5.Начнем с графика y = x 2 , сдвинем на 4 единицы вправо, затем 5 единиц вниз.

    Упражнение 1 :

    (a) Нарисуйте график y = (x + 2) 2 — 3. Ответ

    (b) Нарисуйте график y = — (x — 5) 2 + 3. Ответ

    Вернуться к содержанию

    Стандартная форма

    Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко нарисовать путем отражения, сдвига и растяжение / сжатие параболы y = x 2 .

    Квадратичная функция f (x) = a (x — h) 2 + k, не равная нулю, считается в стандартной форме . Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии — это вертикальная линия x = h, а вершина — это точка (h, k).

    Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартном виде, добавив до квадрата . (См. Раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не в решении уравнения.

    Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня. принцип.

    Пример 3 .

    Запишите функцию f (x) = x 2 — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули и вершина.

    f (x) = x 2 — 6x + 7.

    = (x 2 — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x 2 и x и затем заполните квадрат на этих условиях.

    = (x 2 — 6x + 9 — 9) + 7.

    Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) 2 = 9. Когда мы решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.

    = (x 2 — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x 2 — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) 2 .

    f (x) = (x — 3) 2 — 2.Это стандартная форма .

    Из этого результата легко найти, что вершина графа f равна (3, -2).

    Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

    (x — 3) 2 — 2 = 0.

    (x — 3) 2 = 2.

    (x — 3) = ± sqrt (2).

    х = 3 ± sqrt (2).

    Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x 2 на три единицы вправо и на две единицы вниз.

    Если коэффициент при x 2 не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x 2 и x, прежде чем продолжить.

    Пример 4 .

    Запишите f (x) = -2x 2 + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

    f (x) = -2x 2 + 2x + 3.

    = (-2x 2 + 2x) + 3.

    = -2 (x 2 — x) + 3.

    = -2 (x 2 — x + 1/4 — 1/4) + 3.

    Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) 2 = 1/4, а -1 — коэффициент при x.

    = -2 (x 2 — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

    Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы необходимо умножить на -2.

    = -2 (x — 1/2) 2 + 1/2 + 3.

    = -2 (x — 1/2) 2 + 7/2.

    Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

    Упражнение 2 :

    Запишите f (x) = 3x 2 + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

    Альтернативный метод поиска вершины

    В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку х-перехватчиков.

    Х-точки пересечения графика выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

    Пример 5 .

    Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).

    Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

    Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2 и первая координата вершины -2.

    Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

    Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

    Вернуться к содержанию

    Приложения

    Пример 6 .

    У владельца ранчо есть 600 метров забора, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.

    Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

    Задача владельца ранчо — использовать весь забор и оградить как можно большую площадь .

    Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

    Общая площадь: A = 2xy.

    Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Однако, Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

    3г + 4х = 1200.

    3y = 1200 — 4x.

    y = 400 — 4x / 3.

    Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем подставить это выражение для y в формулу для общего площадь А.

    A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

    Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.

    2x (400 -4x / 3) = 0.

    2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

    x = 0 или 400 = 4x / 3.

    x = 0 или 1200 = 4x.

    х = 0 или 300 = х.

    Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.

    Линейные неравенства решать: § Как решать линейные неравенства

    {2}-8\) — есть переменная во второй степени, это квадратное неравенство

    Решение линейных неравенств

    Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

    Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

    Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью равносильных преобразований приводят к одному из видов:

    \(x<c\),        \(x>c\),        \(x\leqс\),        \(x\geqс\),       где \(с\) — любое число

    После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде промежутка (также называемого интервалом).

    Вообще, если вы умеете решать линейные уравнения, то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение: 

    При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).

    Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
    Решение:

    \(2(x+1)-1<7+8x\)

    Раскроем скобки

    \(2x+2-1<7+8x\)

     

    Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

    \(2x-8x<7-2+1\)

     

    Приведем подобные слагаемые

    \(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

     

    Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак сравнения

    \(x>-1\)


    Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем



    Запишем ответ в виде интервала

    Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)



    Особый случай №1: решение неравенства – любое число

    В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

    Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
    Решение:

    \(3(2x-1)+5<6x+4\)

    Раскроем скобки

    \(6x-3+5<6x+4\)

     

    Приведем подобные слагаемые

    \(6x+2<6x+4\)

     

    Перенесем  члены с иксом влево, а числа вправо, не забывая при этом менять знаки

    \(6x-6x<4-2\)

     

    Приведем подобные слагаемые

    \(0<2\)


    Получили верное числовое неравенство. Причем оно будет верным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса будет решением

    Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)

    Особый случай №2: неравенство не имеет решений

    Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

    Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)
    Решение:

    \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)

    Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех дробей, то есть – на 6

    \(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)\()\)

     

    Раскроем скобки

    \(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\)\(-6\)

     

    Сократим то, что можно сократить 

    \(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

     

    Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

    \(3x-15>3x-4\)


    Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

    \(3x-3x>-4+15\)


    Вновь приводим подобные слагаемые

    \(0>11\)


    Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

    Ответ: \(x\in\varnothing\)

    Смотрите также:  
    Системы линейных неравенств
    Строгие и нестрогие неравенства


    Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

    Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

    • Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
    • Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
    • Нахождение площади получившейся фигуры.

    Глоссарий по теме

    Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные.  

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

    Дополнительная литература:

    Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

    Открытые электронные ресурсы:

    Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

    Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Историческая справка

    Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

    В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

    Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

    Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

    Актуализация знаний

    1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

    4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

    Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

    Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

    1. Линейные уравнения с двумя переменными.

    Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

    Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

    Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

    Пример

    Построить график уравнения 2х+у =1

    у = -2х + 1

    Если х=0, то у=1;

    Если х=2, то у=-3.

    На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

    1. Линейные неравенства с двумя переменными.

    Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

    Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

    Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

    Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

    Пример

    Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

    1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
    2. Пусть точка М11,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, аМ21,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

    Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

    Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

    Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

    Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М11; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.

    Пример

    Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

    Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

    Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

    Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

    1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

    Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

    Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

    Решить систему – значит найти множество ее решений.

    Пример

    Решите систему:

    Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

    Рисунок 3 – решение системы

    Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

    1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

    Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
    Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

    1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
    2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

    Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

    Рисунок 4 – решение системы

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    Пример 1

    Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

    1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
    2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

    Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

    Рисунок 5 – решение неравенства

    Пример 2

    Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

    Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

    Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

    Рисунок 6 – решение системы

    Если к системе добавить еще одно неравенство

    , то получится система трех неравенств с двумя переменными

    Этой системой задается треугольник (рис. 7)

    Рисунок 7 – решение системы

    Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .

    Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

    § 1 Линейные неравенства

    На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.

    Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b

    Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.

    Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.

    Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

    Возьмем неравенство 2х+5 > 0.

    Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.

    Подставив вместо х значение -2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= -2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.

    Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.

    Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.

    При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.

    § 2 Примеры решения линейных неравенств

    Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

    Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > -2,5.

    Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка

    Результатом является положительно-направленный открытый луч.

    Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число -2,5 не включается в числовой промежуток.

    Решим другое линейное неравенство 3х — 3 ≥ 7х — 15.

    Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые — вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.

    Получим 3х — 7х ≥ -15 + 3 или -4х ≥ -12.

    Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

    Разделим обе части неравенства на -4.

    Получим х ≤ 3.

    Покажем решение на оси х.

    Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.

    Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства

    Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.

    Умножим числители на дополнительные множители.

    Получим неравенство 5х + 6х — 3 > 30х.

    Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые — вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.

    Получим -19х > 3.

    Применим правило три, разделим обе части неравенства на -19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак.

    Покажем решение на оси х.

    Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.

    Решим следующее неравенство

    Обе части неравенства умножим на 4.

    Получим 5 — 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые — вправо

    2х — 8х ≤ -5 или -10х ≤-5.

    Разделим обе части неравенства на -10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

    Получим х≥0,5.

    Покажем решение на оси х.

    Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.

    При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х

    Решим неравенство 2(х + 8) -5х

    Раскроем скобки 2х + 16 — 5х

    Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа- вправо, получим 0∙х

    Ответ: нет решения или пустое множество.

    Решим другое неравенство х > х — 1.

    Перенесем х справа налево, получим 0∙х > -1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > -1. Это верное неравенство.

    § 3 Краткий итог урока

    Важно запомнить:

    Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b

    Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

    При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:

    1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

    2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

    3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

    Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х

    Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как

    положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.

    Список использованной литературы:

    1. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2013.
    2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина.
    3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
    4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

    Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби. {2}-8\) — есть переменная во второй степени, это

    Решение линейных неравенств

    Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

    Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

    Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью приводят к одному из видов:

    \(xc\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), где \(с\) — любое число

    После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде (также называемого интервалом).

    Вообще, если вы умеете решать , то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение:

    Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1Решение:

    Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

    Особый случай №1: решение неравенства – любое число

    В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

    Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5Решение:

    Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)

    Особый случай №2: неравенство не имеет решений

    Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

    Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)
    Решение:

    \(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)

    Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех , то есть – на 6

    \(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)\()\)

    Раскроем скобки

    \(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\) \(-6\)

    Сократим то, что можно сократить

    \(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

    Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

    \(3x-15>3x-4\)


    Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

    \(3x-3x>-4+15\)


    Вновь приводим подобные слагаемые


    Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

    Ответ: \(x\in\varnothing\)

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.



















    Назад Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

    Тип урока: урок изучения нового материала.

    Задачи урока:

    • Образовательные:
    1. вспомнить, что такое неравенство;
    2. вспомнить свойства числовых неравенств;
    3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
    4. ввести понятие линейного неравенства;
    5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.
  • Воспитательные:
    1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.
  • Развивающие:
    1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
    2. развитие познавательного интереса;
    3. развитие мышления учащихся;
    4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
    5. развитие правильной речи учащихся.

    Ход урока

    1 этап. Мотивационный

    Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

    В математике — соотношенье между числами и выраженьями,
    В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
    Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
    Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

    Итак, тема урока «Неравенства ».

    2 этап. Изучение нового материала

    Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

    (применяю прием маркировки текста «Инсерт» — учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

    Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .

    Текст

    Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

    • > (больше),
    • ≤ (меньше или равно),
    • ≥ (больше или равно),
    • ≠ (не равно).

    Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b , где а и b – любые числа, причем а 0 .

    Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

    Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

    Свойства числовых неравенств:

    1. Если а > b и b > c, то а > с.
    2. Если а > b, то а + с > b + с.
    3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
      Если а > b и m
    4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
    5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
    6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.
    Алгоритм решения линейных неравенстПример: решить неравенство
    5(х – 3) > 2х — 3
    1. Раскрыть скобки:5х – 15 > 2х — 3
    2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:5х – 2х > -3 + 15
    3. Привести подобные слагаемые:3х > 12
    4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):3х > 12: 3
    х > 4
    5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
    6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:Ответ: (4; +∞)

    Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

    Учитель составляет «Кластер» на доске.

    1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
    2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
    3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

    Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

    3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

    Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

    1. Попытка решить самому!!! 5 мин

    Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

    №1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

    №2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

    №3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

    №4. 2∙(0,1х – 1)

    №5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

    2. Разбор задания в группе. 5 мин

    Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

    Учитель выступает в роли консультанта.

    (Ученик сам – группа учеников – учитель)

    3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

    Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

    После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

    Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

    Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

    1) 2(х + 8) – 5х

    2)

    3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

    4 этап. Подведение итогов

    Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

    Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

    Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

    5 этап. Домашнее задание

    П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

    Хочу я вам дать совет:

    «Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

    А. И. Маркушевич

    Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

    Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше () называются строгими. Со значками больше или равно (), меньше или равно () называются нестрогими. Значок не равно () стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)

    Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы…

    Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 — верное неравенство. 5 2 — неверное.

    Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия. Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях — и есть основная ошибка в решении неравенств, да… Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:

    Тождественные преобразования неравенств.

    Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и… приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:

    1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.

    На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях. Поэтому я выделяю их красным цветом:

    2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное не изменится.

    3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.

    Вы помните (надеюсь…), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.

    Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:

    5 > 2

    Умножим обе части на +3, получим:

    15 > 6

    Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:

    15 > -6

    А это уже откровенная ложь. ) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:

    15 -6

    Про враньё и обман — это я не просто так ругаюсь.) «Забыл сменить знак неравенства…» — это главная ошибка в решении неравенств. Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли…) Вот и ругаюсь. Может, запомнится…)

    Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное… Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.

    Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для любых неравенств. А теперь можно переходить к конкретным видам.

    Линейные неравенства. Решение, примеры.

    Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:

    х+3 > 5х-5

    Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу. Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)

    Решаем это неравенство:

    х+3 > 5х-5

    Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:

    Внимательно следим за знаком неравенства!

    Первый шаг самый обычный. С иксами — влево, без иксов — вправо… Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.

    Знак неравенства сохраняется:

    х-5х > -5-3

    Приводим подобные.

    Знак неравенства сохраняется:

    > -8

    Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.

    Делим на отрицательное число.

    Знак неравенства изменится на противоположный:

    х 2

    Это ответ.

    Так решаются все линейные неравенства.

    Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал. Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.

    Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да… Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся правее двойки, а числа 1, 0, -1 и т.д. — левее.

    Неравенство х — строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: «Два меньше двух? Нет, конечно!» Именно так. Неравенство 2 неверное. Не годится двойка в ответ.

    А единичка годится? Конечно. Меньше же… И ноль годится, и -17, и 0,34… Да все числа, которые меньше двух — годятся! И даже 1,9999…. Хоть чуть чуть, да меньше!

    Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый — штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х . Вот и всё.

    Второй вариант рассмотрим на втором примере:

    х ≥ -0,5

    Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:

    Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить… Эта точка — чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:

    -0,5 ≥ -0,5

    Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется…

    Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.

    Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.

    Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет — рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Запутаться можно.

    Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.

    Запись ответа для неравенств.

    В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна — в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:

    х

    Это полноценный ответ.

    Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):

    х ∈ (-∞; 2)

    Под значком скрывается слово «принадлежит».

    Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово «не включая».

    А где это в ответе видно, что «не включая» ? Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.

    Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

    х ∈ [-0,5; +∞)

    Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

    Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

    Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

    Популярные задания с неравенствами.

    Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать — и всё просто!)

    1. Найдите любые два решения неравенства 3х — 3

    Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:

    Не знаешь, что нужно — делай, что можно!)

    х 1

    И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!

    Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.

    2. Решить неравенство:

    4х — 3 0

    Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, — встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака «=» (равно ) ставить знак «» (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

    х 0,75

    В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:

    4х — 3 = 0

    Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:

    х = 0,75

    Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно — неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:

    х 0,75

    При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему…) Ещё пример популярного задания:

    3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

    3(х — 1) 5х + 9

    Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные… Получаем:

    х > — 6

    Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства…

    Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие «наименьшее целое». Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)

    Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > — 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5… Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!

    Стало быть, правильный ответ: -5.

    Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:

    4. Решить неравенство:

    7 3х+1 13

    Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях… Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.

    Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но… Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.

    А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.

    Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!

    Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:

    7 -1 3х+1-1 13-1

    6 12

    Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:

    2 х 4

    Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они — самое обычное дело.

    В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

    Справочник по математикеАлгебраЛинейные функции,
    уравнения, неравенства
    Линейные уравнения
    Линейные неравенства
    Системы линейных неравенств

    Линейные уравнения

          Линейным уравнением относительно переменной   x   называется уравнение первой степени

    kx + b = 0 ,(1)

    где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

          В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении   b :

          В случае, когда  уравнение (1) решений не имеет.

          В случае, когда  k = 0,   b = 0, решением уравнения (1) является любое число

    Линейные неравенства

          Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

    где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

          Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что

    при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется,

    а

    при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

          В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов   k   и   b,   представлено в следующей Таблице 1.

          Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)

     kx + b > 0kx + b < 0
    k > 0Знак неравенства сохраняется
    k = 0,
    b < 0
    k = 0,
    b = 0
    k = 0,
    b > 0
    k < 0Знак неравенства меняется на противоположный
    kx + b > 0kx + b < 0
    k > 0   Знак неравенства сохраняется
    k = 0,   b < 0
    k = 0,   b = 0
    k = 0,   b > 0
    k < 0   Знак неравенства меняется на противоположный
    k > 0
    Знак неравенства сохраняется

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b < 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b = 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b > 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k < 0
    Знак неравенства меняется на противоположный

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    Системы линейных неравенств

          Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.

          Пример 1. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

    Рис.1

          Ответ:

          Пример 2. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 2) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

    Рис.2

          Ответ:

          Пример 3. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 3) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера

    Рис.3

          Ответ:

     

          На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Все целые решения неравенства. Линейные неравенства, примеры, решения

    Неравенство это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений . Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами .

    Линейные неравенства

    Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

    Принципы решения неравенств
    Для любых вещественных чисел a, b, и c :
    Принцип прибавления неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
    Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

    Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
    Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами .

    Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
    a) 3x — 5 b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
    Решение
    Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
    Множество решений есть {x|x
    Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x — 5 и y 2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x
    Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

    Двойные неравенства

    Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
    -3 и 2x + 5 ≤ 7
    называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

    Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

    Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

    Для проверки, нарисуем y 1 = 2x — 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

    Неравенства с абсолютным значением (модулем)

    Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
    Для а > 0 и алгебраического выражения x:
    |x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
    Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

    Например,
    |x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
    и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

    Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
    a) |3x + 2| b) |5 — 2x| ≥ 1

    Решение
    a) |3x + 2|

    Множеством решением есть {x|-7/3
    b) |5 — 2x| ≥ 1
    Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] . Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

    4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

    Например, неравенством является выражение \(x>5\).

    Виды неравенств:

    Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

    Например:
    \(-5

    \(17+3\geq 115\) — неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

    Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . {5x-2}\)

    … и так далее.

    Что такое решение неравенства?

    Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

    Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется

    решением неравенства . Если же нет — то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

    Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

    Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). .. И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

    \(x+6>10\) \(|-6\)
    \(x>4\)

    То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

    Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

    Когда в неравенстве меняется знак?

    В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

    При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

    Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

    \(3>1\) \(|\cdot2\)
    \(6>2\)

    Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

    \(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
    \(-9>-3\)

    Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9 С делением получится аналогично, можете проверить сами.

    Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

    Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1Решение:

    \(2x+2-1

    Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

    \(2x-8x

    \(-6x

    Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»

    Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем

    Запишем ответ в виде интервала

    Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

    Неравенства и ОДЗ

    Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

    Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}

    Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

    \(x+1 \(x

    Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

    \(\sqrt{-5+1} \(\sqrt{-4}

    Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

    \(x+1\geq0\)
    \(x\geq-1\)

    И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

    Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

    После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что такое линейное неравенство?

    В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

    Определение 1

    Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства

    Определение 2

    Неравенства a · x c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .

    Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x

    Их различия заключаются в:

    • форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
    • допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 — в первом, и a = 0 — во втором.

    Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

    Определение 3

    Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

    Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , — 2 3 · x — 2 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.

    Как решить линейное неравенство

    Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a , ≥) при а = 0 .

    Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

    Используя равносильные преобразования

    Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

    Определение 4

    Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b , ≥) при a ≠ 0

    • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x , ≥) ;
    • будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

    Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

    Пример 1

    Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .

    Решение

    Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

    Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .

    Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .

    Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

    3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

    Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

    Пример 2

    Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

    Решение

    Из условия видим, что коэффициент a при z равняется — 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

    Производим деление обеих частей уравнения на число — 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7)

    Весь алгоритм запишем в краткой форме:

    − 2 , 7 · z > 0 ; z

    Ответ: z

    Пример 3

    Решить неравенство — 5 · x — 15 22 ≤ 0 .

    Решение

    По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется — 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь — 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести — 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на — 5 , изменить знак неравенства:

    5 · x ≤ 15 22 ; — 5 · x: — 5 ≥ 15 22: — 5 x ≥ — 3 22

    При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: — 5 = — 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число — 15 22: 5 = — 15 22 · 1 5 = — 15 · 1 22 · 5 = — 3 22 .

    Ответ: x ≥ — 3 22 и [ — 3 22 + ∞) .

    Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b

    Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b

    Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b , ≥) :

    Определение 5

    Числовое неравенство вида b , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

    Пример 4

    Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

    Решение

    Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

    Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .

    Пример 5

    Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

    Решение

    При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

    Ответ: решений нет.

    Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.

    Пример 6

    Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

    Решение

    При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

    Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

    Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

    Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

    Определение 6

    Метод интервалов – это:

    • введение функции y = a · x + b ;
    • поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
    • определение знаков для понятия их на промежутках.

    Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

    • нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
    • построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
    • определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
    • решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком,

    Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

    Пример 6

    Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

    Решение

    Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3

    Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x

    Ответ : (− ∞ , 4) или x

    Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

    Видно, что

    Определение 7

    • решением неравенства 0 , 5 · x − 1
    • решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
    • решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
    • решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

    Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.

    Определение 8

    Построение графика функции y = a · x + b производится:

    • во время решения неравенства a · x + b
    • во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
    • во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
    • во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

    Пример 7

    Решить неравенство — 5 · x — 3 > 0 при помощи графика.

    Решение

    Необходимо построить график линейной функции — 5 · x — 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х — 5 · x — 3 > 0 получим значение — 3 5 . Изобразим графически.

    Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

    Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч — ∞ , — 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки — 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.

    Ответ : — ∞ , — 3 5 или x

    Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

    Пример 8

    Определить из неравенств 0 · x + 7

    Решение

    Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7

    График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

    Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .

    Неравенства, сводящиеся к линейным

    Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

    Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x — 3 5 — 2 · x + 1 > 2 7 · x .

    Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

    При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

    7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

    Это приводит решение к линейному неравенству.

    Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

    Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

    Определение 9

    • раскрыть скобки;
    • слева собрать переменные, а справа числа;
    • привести подобные слагаемые;
    • разделить обе части на коэффициент при x .

    Пример 9

    Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

    Решение

    Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

    Ответ : нет решений.

    Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Предварительные сведения

    Определение 1

    Неравенство вида $f(x) >(≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

    Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

    Определение 2

    Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.

    Пример решения таких неравенств:

    Пример 1

    Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.

    Решение.

    Упростим данное неравенство:

    Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

    Ответ: $(7,∞)$.

    В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

    Способ разложения на множители

    Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. 2+3=0$

    $x=-2$ и «корней нет»

    Изобразим кривую знаков:

    Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

    Ответ: $(-∞,-2]$.

    Способ введения новой переменной

    Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

    Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

    Подробности
    Категория: Алгебра 7-9 классы

     

     

     РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

     

    Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

     

    Рассмотрим, например, неравенство

    2х + 5 < 7.

    Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. — 1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 — 2,5 + 5 < 7, т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

     

    Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

    Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 — 5< 7 — 5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число — 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

    Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1).

    Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

     

    Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

    Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

     

    Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

     

    Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0),

    где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

    Пример 1.

    Решить неравенство Зх — 5 ≥ 7х — 15.

    Р е ш е н и е.

    Перенесем член в левую часть неравенства, а член — 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена , и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

    Зх — 7х ≥ — 15 + 5, т. е. — 4х ≥ — 10.

    Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число — 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.

    Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5].

    О т в е т: х < 2,5, или (-∞, 2,5].

     

    Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

    Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.

     

    Пример 2.

    Решить неравенство

    Р е ш е н и е.

    Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

    Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

     

    Наконец, применив правило 3, получим

    О т в е т: или

     

    В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).

     

    Алгебра — линейные неравенства

    Онлайн-заметки Пола
    Главная / Алгебра / Решение уравнений и неравенств / Линейные неравенства

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Мобильное уведомление

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-11: Линейные неравенства

    До сих пор в этой главе мы сосредоточились на решении уравнений. Настало время немного переключиться и начать думать о решении неравенства. Прежде чем мы приступим к решению неравенств, мы должны сначала пройтись по паре основ.

    На данном этапе вашей математической карьеры предполагается, что вы знаете, что

    \[а <б\]

    означает, что \(a\) — это некоторое число, которое строго меньше, чем \(b\). Также предполагается, что вы знаете, что

    \[а \ge б\]

    означает, что \(a\) — это некоторое число, которое либо строго больше, чем \(b\), либо точно равно \(b\). Точно так же предполагается, что вы знаете, как поступить с оставшимися двумя неравенствами. > (больше) и \( \le \) (меньше или равно).

    Мы хотим обсудить некоторые проблемы с обозначениями и некоторые тонкости, которые иногда достаются студентам, когда они действительно начинают работать с неравенствами.

    Во-первых, помните, что когда мы говорим, что \(a\) меньше, чем \(b\), мы имеем в виду, что \(a\) находится слева от \(b\) на числовой прямой. Итак,

    \[- 1000 < 0\]

    — истинное неравенство.

    Далее не забудьте правильно интерпретировать \( \le \) и \( \ge \). Оба следующих неравенства являются истинными.

    \[4 \le 4\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} — 6 \le 4\]

    В первом случае 4 равно 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Во втором случае -6 строго меньше 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Наиболее распространенная ошибка состоит в том, чтобы решить, что первое неравенство не является истинным неравенством. Также будьте осторожны, чтобы не использовать эту интерпретацию и не переводить ее в < и/или >. Например,

    \[4 < 4\]

    не является истинным неравенством, поскольку 4 равно 4 и строго не меньше 4.

    Наконец, в этом и последующих разделах мы будем встречать много двойных неравенств , так что мы не можем забыть о них. Далее следует двойное неравенство.

    \[ — 9 < 5 \le 6\]

    В двойном неравенстве мы говорим, что оба неравенства должны быть верны одновременно. В этом случае 5 определенно больше, чем -9и в то же время меньше или равно 6. Следовательно, это двойное неравенство является истинным неравенством.

    С другой стороны,

    \[10 \le 5 < 20\]

    не является истинным неравенством. Хотя верно, что 5 меньше 20 (поэтому верно второе неравенство), неверно, что 5 больше или равно 10 (поэтому первое неравенство неверно). Если хотя бы одно из неравенств двойного неравенства неверно, то неверно и все неравенство. Этот момент важнее, чем вы можете себе представить на данный момент. В следующем разделе мы столкнемся с ситуациями, когда многие студенты пытаются объединить два неравенства в двойное неравенство, которое просто невозможно объединить, поэтому будьте осторожны.

    Следующей темой, которую нам нужно обсудить, является идея записи интервалов . Интервальное обозначение — очень удобное сокращение для неравенств, и оно будет широко использоваться в следующих нескольких разделах этой главы.

    Лучший способ определить обозначение интервала — это следующая таблица. В таблице три столбца. Каждая строка содержит неравенство, график, представляющий неравенство, и, наконец, обозначение интервала для данного неравенства.

    Помните, что квадратная скобка «[» или «]» означает, что мы включаем конечную точку, а скобка «(» или «)» означает, что мы не включаем конечную точку.

    Теперь, с первыми четырьмя неравенствами в таблице, обозначение интервала на самом деле не что иное, как график без числовой линии на нем. С последними четырьмя неравенствами обозначение интервала является почти графом, за исключением того, что нам нужно добавить соответствующую бесконечность, чтобы убедиться, что мы получили правильную часть числовой прямой. Также обратите внимание, что бесконечность НИКОГДА не ставится в скобки. Они получают только скобки.

    Прежде чем перейти к решению неравенств, необходимо сделать одно последнее замечание по поводу записи интервалов. Всегда помните, что когда мы пишем интервальную нотацию для неравенства, число слева должно быть меньшим из двух.

    Пришло время подумать о решении линейных неравенств. При решении неравенств мы будем использовать следующий набор фактов. Обратите внимание, что факты приведены для <. Однако мы можем записать эквивалентный набор фактов для оставшихся трех неравенств.

    1. Если \(a < b\), то \(a + c < b + c\) и \(a - c < b - c\) для любого числа \(c\). Другими словами, мы можем прибавить или вычесть число к обеим частям неравенства, но само неравенство не изменится.
    2. Если \(a < b\) и \(c > 0\), то \(ac < bc\) и \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\). Таким образом, при условии, что \(c\) является положительным числом, мы можем умножить или разделить обе части неравенства на число без изменения неравенства.
    3. Если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\) и \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\). В этом случае, в отличие от предыдущего факта, если \(c\) отрицательно, нам нужно изменить направление неравенства, когда мы умножаем или делим обе части неравенства на \(c\).

    Это почти те же факты, которые мы использовали для решения линейных уравнений. Единственным реальным исключением является третий факт. Это важный факт, так как его чаще всего неправильно используют и/или забывают при решении неравенств.

    Если вы не уверены, что считаете, что знак \(c\) имеет значение для второго и третьего фактов, рассмотрите следующий пример числа.

    \[ — 3 < 5\]

    Надеюсь, мы все согласимся, что это истинное неравенство. Теперь умножьте обе части на 2 и на -2.

    \[\begin{align*}- 3 & < 5\hspace{0.5in} & - 3 & < 5\\ - 3\left( 2 \right) & < 5\left( 2 \right)\hspace{0.5 in} & - 3\left( { - 2} \right) & > 5\left( { — 2} \right)\\ — 6 & < 10 \hspace{0.5in} & 6 & > — 10\end{ выровнять*}\]

    Действительно, при умножении на положительное число направление неравенства остается прежним, однако при умножении на отрицательное число направление неравенства меняется.

    Хорошо, давайте решим некоторые неравенства. Мы начнем с неравенств, которые содержат только одно неравенство. Другими словами, мы отложим решение двойных неравенств до следующего набора примеров.

    Здесь нужно помнить, что мы просим определить все значения переменной, которые мы можем подставить в неравенство и получить истинное неравенство. Это означает, что наши решения в большинстве случаев будут сами неравенствами.

    Пример 1 Решение следующих неравенств. Приведите решение в форме неравенства и интервальной записи.

    1. \( — 2\влево( {m — 3} \вправо) < 5\влево( {m + 1} \вправо) - 12\)
    2. \(2\влево( {1 — x} \вправо) + 5 \le 3\влево( {2x — 1} \вправо)\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать обсуждение

    Решение одиночных линейных неравенств происходит почти так же, как и решение линейных уравнений. Мы упростим обе стороны, получим все члены с переменной с одной стороны и числами с другой, а затем умножим/разделим обе части на коэффициент переменной, чтобы получить решение. Единственное, что вы должны помнить, это то, что если вы умножаете/делите на отрицательное число, вы меняете направление неравенства.

    a \( — 2\влево( {m — 3} \вправо) < 5\влево( {m + 1} \вправо) - 12\) Показать решение

    Здесь действительно нечего делать, кроме как следовать описанному выше процессу.

    \[\begin{align*} — 2\left( {m — 3} \right) & < 5\left( {m + 1} \right) - 12\\ - 2m + 6 & < 5m + 5 - 12 \\ - 7 м & < - 13\\ м & > \frac{{13}}{7}\end{align*}\]

    Вы уловили тот факт, что здесь изменилось направление неравенства, не так ли? Мы разделили на «-7», поэтому нам пришлось изменить направление. Форма неравенства решения: \(m > \frac{{13}}{7}\). Обозначение интервала для этого решения: \(\left({\frac{{13}}{7},\infty} \right)\).

    b \(2\left( {1 — x} \right) + 5 \le 3\left( {2x — 1} \right)\) Показать решение

    Опять же, здесь особо нечего делать.

    \[\begin{align*}2\left( {1 — x} \right) + 5 & \le 3\left( {2x — 1} \right)\\ 2 — 2x + 5 & \le 6x — 3 \\ 10 & \le 8x\\ \frac{{10}}{8} & \le x\\ \frac{5}{4} & \le x\end{align*}\]

    Теперь, с этим неравенством, мы получили переменную с правой стороны, хотя более традиционно с левой стороны. Итак, давайте поменяем местами, чтобы переменная оказалась слева. Обратите внимание, однако, что нам нужно будет также изменить направление неравенства, чтобы убедиться, что мы не изменим ответ. Итак, вот запись неравенства для неравенства.

    \[x \ge \frac{5}{4}\]

    Обозначение интервала для решения: \(\left[ {\frac{5}{4},\infty} \right)\).

    Теперь решим двойные неравенства. Этот процесс в чем-то похож на решение одиночных неравенств, но в чем-то он сильно отличается. Поскольку есть два неравенства, нет никакого способа получить переменные «с одной стороны» неравенства, а числа — с другой. Легче увидеть, как они работают, если мы сделаем пример или два, поэтому давайте сделаем это.

    Пример 2. Решите каждое из следующих неравенств. Приведите решения в форме неравенства и интервала.

    1. \( — 6 \le 2\влево( {x — 5} \вправо) < 7\)
    2. \( — 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\)
    3. \( — 14 < - 7\влево( {3x + 2} \вправо) < 1\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    a \( — 6 \le 2\left( {x — 5} \right) < 7\) Показать решение

    Этот процесс очень похож на процесс для одиночных неравенств, но сначала нам нужно быть осторожным в нескольких местах. Нашим первым шагом в этом случае будет удаление скобок в среднем термине.

    \[ — 6 \le 2x — 10 < 7\]

    Теперь нам нужен \(x\) сам по себе в среднем члене и только числа в двух внешних терминах. Для этого мы будем складывать/вычитать/умножать/разделять по мере необходимости. Единственное, что нам нужно помнить, это то, что если мы делаем что-то со средним термином, нам нужно сделать то же самое с ОБОИМИ терминами. Одна из наиболее распространенных ошибок на этом этапе — добавить что-то, например, в середину и добавить это только к одной из двух сторон.

    Хорошо, мы добавим 10 ко всем трем частям, а затем разделим все три части на два.

    \[\begin{array}{c} 4 \le 2x < 17\\ 2 \le x < \displaystyle \frac{{17}}{2}\end{array}\]

    Это ответ в форме неравенства. Интервальная форма записи ответа: \(\left[ {2,\frac{{17}}{2}} \right)\).

    b \( — 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\) Показать решение

    В этом случае первое, что нам нужно сделать, это очистить дроби, умножив все три части на 2. Затем мы действуем так же, как и в первой части.

    \[\begin{array}{c} — 6 < 3\left( {2 - x} \right) \le 10\\ - 6 < 6 - 3x \le 10\\ - 12 < - 3x \le 4\ конец {массив}\]

    Здесь мы еще не совсем закончили, но нам нужно быть очень осторожными со следующим шагом. На этом шаге нам нужно разделить все три части на -3. Однако помните, что всякий раз, когда мы делим обе части неравенства на отрицательное число, нам нужно изменить направление неравенства. Для нас это означает, что оба неравенства должны изменить направление здесь.

    \[4 > х \ge — \frac{4}{3}\]

    Итак, решение имеет форму неравенства. Нам нужно быть осторожными с обозначением интервала для решения. Во-первых, запись интервала НЕ \(\left( {4, — \frac{4}{3}} \right]\). Помните, что в записи интервала меньшее число всегда должно идти слева! Следовательно, правильное обозначение интервала для решения: \(\left[ { — \frac{4}{3},4} \right)\).

    Обратите внимание, что это также совпадает с формой решения в виде неравенства. Неравенство говорит нам, что \(x\) — это любое число между 4 и \( — \frac{4}{3}\) или, возможно, \( — \frac{4}{3}\) само по себе, и это точно о чем говорит нам интервальное обозначение.

    Кроме того, неравенство можно перевернуть, чтобы получить меньшее число слева, если мы захотим. Вот эта форма,

    \[ — \frac{4}{3} \le x < 4\]

    При этом также убедитесь, что правильно обработаны неравенства.

    c \( — 14 < - 7\left( {3x + 2} \right) < 1\) Показать решение

    Не так уж и много. Мы поступим так же, как и с предыдущими двумя.

    \[\begin{array}{c} — 14 < - 21x - 14 < 1\\ 0 < - 21x < 15\end{массив}\]

    Не радуйтесь тому, что одна из сторон теперь равна нулю. Это не проблема. Опять же, как и в предыдущей части, мы будем делить на отрицательное число, поэтому не забудьте поменять направление неравенств.

    \[\begin{array}{c} \displaystyle 0 > x > — \frac{{15}}{{21}}\\ \displaystyle 0 > x > — \frac{5}{7}\hspace{0,25 in}{\mbox{OR}}\hspace{0,25in} — \frac{5}{7} < x < 0\end{массив}\]

    Для решения подойдет любое из неравенств во второй строке. Интервальное обозначение решения: \(\left( { — \frac{5}{7},0} \right)\).

    При решении двойных неравенств обязательно обращайте внимание на неравенства, которые есть в исходной задаче. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь состоит в том, чтобы начать с задачи, в которой одно из неравенств равно < или >, а другое — \( \le \) или \( \ge \), как мы делали это в первых двух частях книги. предыдущий пример, а затем по окончательному ответу они оба < или > или они оба \( \le \) или \( \ge \). Другими словами, легко внезапно сделать оба неравенства одинаковыми. Будьте осторожны с этим.

    Последний пример, который мы хотим здесь обработать.

    Пример 3. Если \( — 1 < x < 4\), то определить \(a\) и \(b\) в \(a < 2x + 3 < b\).

    Показать решение

    Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Все, что мы действительно собираемся сделать, это начать с заданного неравенства, а затем манипулировать средним членом, чтобы он выглядел как второе неравенство. Опять же, нам нужно помнить, что все, что мы делаем со средним термином, нам также нужно делать с двумя внешними терминами.

    Итак, сначала умножим все на 2.

    \[- 2 < 2x < 8\]

    Теперь прибавьте ко всему 3.

    \[1 < 2x + 3 < 11\]

    Теперь у нас есть средний член, идентичный второму неравенству в условии задачи, поэтому все, что нам нужно сделать, это выбрать \(a\) и \(b\). Из этого неравенства видно, что \(a = 1\) и \(b = 11\).

    Решение неравенств

    Иногда нам нужно решить такие неравенства:

    Символ

    Слова

    Пример

    >

    больше

    х + 3 > 2

    <

    меньше

    7x < 28

    больше или равно

    5 х — 1

    меньше или равно

    2 года + 1 7

    Решение

    Наша цель состоит в том, чтобы иметь x (или любую другую переменную) саму по себе слева от знака неравенства:

    Что-то вроде:   х < 5
    или:   г ≥ 11

    Мы называем это «решенным».

    Пример: x + 2 > 12

    Вычесть 2 с обеих сторон:

    x + 2 − 2 > 12 − 2

    Упростить:

    x > 10

    Решено!

    Как решать

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

    … но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


    Направление: Куда «указывает» стрелка

    Некоторые вещи могут изменить направление !

    < становится >

    > становится <

    ≤ становится ≥

    ≥ становится ≤

    Безопасные действия

    Эти вещи не влияют на направление неравенства номер с обеих сторон

  • Умножить (или разделить) обе части на положительное число
  • Упростить сторону
  • Пример: 3x

    < 7+3

    Мы можем упростить 7+3, не затрагивая неравенство:

    3x < 10

    Но эти вещи меняют направление неравенства («<" становится ">» например):

    • Умножить ( или разделить) обе стороны на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон

    Пример: 2y+7

    < 12

    Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

    12 > 2y+7

    Вот подробности:

    Добавление или вычитание значения

    Мы часто можем решать неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (так же, как во Введении в алгебру), например:

    Пример: x + 3

    < 7

    Если вычесть 3 из обеих частей, мы получим:

    x + 3 − 3 < 7 − 3    

    х < 4

    И это наше решение: x < 4

    Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

     

    Что мы сделали?

    Мы пошли от этого:

     

    Сюда:

       

    х+3 < 7

     

    х < 4

             

    И это хорошо работает для прибавляя и вычитая , потому что если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство

    Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли. Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекса все равно будет больше монет, чем у Билли.

    Что, если я решу задачу, но «x» окажется справа?

    Неважно, просто поменяйте местами стороны, но перевернет знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!

    Пример: 12

    < x + 5

    Если вычесть 5 из обеих частей, мы получим:

    12 − 5 < x + 5 − 5    

    7 < x

    900 решение!

    Но нормально ставить «х» слева…

    … так что перевернём стороны (и знак неравенства!):

    x > 7

    Видите, как знак неравенства по-прежнему «указывает» на меньшее значение (7) ?

    Вот наше решение: x > 7

    Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

    Умножение или деление на значение

    Еще одна вещь, которую мы делаем, это умножение или деление обеих частей на значение (так же, как в Алгебре — Умножение).

    Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).


    Положительные значения

    Все в порядке, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

    Пример: 3y

    < 15

    Если мы разделим обе части на 3, мы получим:

    3y 3

    / 1 < 15 /3

    y < 5

    И это наше решение: y < 5


    Отрицательные значения

    0

    0
    Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
    мы должны обратить неравенство.

    Почему?

    Ну, вы только посмотрите на числовой ряд!

    Например, от 3 до 7 это увеличение ,
    , а от -3 до -7 это уменьшение.

    −7 < −3 7 > 3

    Видите, как меняется знак неравенства (с < на >)?

    Рассмотрим пример:

    Пример: −2y

    < −8

    Разделим обе части на −2 . .. и обратим неравенство !

    −2y < −8

    −2y /−2 > −8 /−2

    y > 4

    Я перевернул неравенство в той же строке Я разделил на отрицательное число.)

    Итак, просто запомните:

    При умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство

    Умножение или деление на переменные

    Вот еще один (хитрый!) пример:

    Пример: bx

    < 3b

    Кажется, просто разделить обе части на b , что дает нам:

    x < 3

    … но подождите … если b равно отрицательному , нам нужно обратить неравенство следующим образом:

    x > 3

    Но мы не знаем, является ли b положительным или отрицательным, поэтому мы не можем ответить на этот !

    Чтобы помочь вам понять, представьте себе замену b на 1 или −1 в примере bx < 3b :

    • , если b равно 1 , тогда ответ будет 90 5 9 9 2 2 2 < 1 3
    • , но если b равно −1 , то мы решаем −x < −3 , и ответ равен x > 3
    • .

    Ответ может быть x < 3 или x > 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

    Так:

    Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если только вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

    Большой пример

    Пример:

    x−3 2 < −5

    Во-первых, давайте удалим «/2», умножив обе части на 2.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенство не изменится.

    x−3 2 ×2 < −5 ×2  

    x−3 < −10

    Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам: 1 − 0 2 1 − 2 +

    x + 3    

    x < −7

    Вот и наше решение: x < −7

    Сразу два неравенства!

    Как мы можем решить что-то с двумя неравенствами сразу?

    Пример:

    −2 < 6−2x 3 < 4

    Сначала удалим «/3», умножив каждую часть на 3.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не t change:

    −6 < 6−2x < 12

    Теперь вычтем 6 из каждой части:

    −12 < −2x < 6

    Теперь разделим каждую часть на 2 (положительное число, так что снова неравенства не меняются):

    −6 < −x < 3

    Теперь умножь каждую часть на −1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства меняют направление .

    6 > x > −3

    И это решение!

    Но для аккуратности лучше иметь меньший номер слева, больший справа. Итак, поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

    −3 < x < 6

     

    Резюме

    • Многие простые неравенства можно решить путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон до тех пор, пока у вас не останется переменная сама по себе.
    • Но эти вещи изменят направление неравенства:
      • Умножение или деление обеих частей на отрицательное число
      • Замена левой и правой сторон
    • Не умножать и не делить на переменная (если вы не знаете, что она всегда положительная или всегда отрицательная)

     

    2.

    7 Решение линейных неравенств — Элементарная алгебра 2e

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Наносить графические неравенства на числовую прямую
    • Решите неравенства, используя свойства вычитания и сложения неравенства
    • Решите неравенства, используя свойства деления и умножения неравенства
    • Решите неравенства, требующие упрощения
    • Переведите в неравенство и решите

    Приготовься 2.18

    Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

    Перевод с алгебраического на английский: 15>x15>x.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.12.

    Приготовься 2.19

    Решите: n−9=−42.n−9=−42.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.3.

    Приготовься 2.20

    Решите: −5p=−23,−5p=−23.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.13.

    Приготовься 2.

    21

    Решите: 3а-12=7а-20,3а-12=7а-20.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.34.

    Графические неравенства на числовой прямой

    Вы помните, что означает, что число является решением уравнения? Решением уравнения является значение переменной, которое дает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

    Как насчет решения неравенства? Какое число сделает неравенство x>3x>3 верным? Вы думаете, ‘ x может быть 4’? Это верно, но x может быть и 5, и 20, и даже 3,001. Любое число больше 3 является решением неравенства x>3x>3.

    Мы показываем решения неравенства x>3x>3 на числовой прямой, заштриховывая все числа справа от 3, чтобы показать, что все числа больше 3 являются решениями. Поскольку число 3 само по себе не является решением, мы поместили число 3 в открытую скобку. График x>3x>3 показан на рис. 2.7. Обратите внимание, что используется следующее соглашение: светло-синие стрелки указывают в положительном направлении, а темно-синие стрелки указывают в отрицательном направлении.

    Рисунок 2,7 На этой числовой прямой изображено неравенство x>3x>3.

    График неравенства x≥3x≥3 очень похож на график x>3x>3, но теперь нам нужно показать, что 3 тоже является решением. Мы делаем это, помещая скобку в точку x=3x=3, как показано на рис. 2.8.

    Рисунок 2,8 Неравенство x≥3x≥3 изображено на этой числовой прямой.

    Обратите внимание, что символ открытой скобки (, показывает, что конечная точка неравенства не включена. Символ открытой скобки [ показывает, что конечная точка включена.

    Пример 2,66

    График на числовой прямой:

    ⓐ x≤1x≤1 ⓑ x<5x<5 ⓒ x>−1x>−1

    Решение
    1. ⓐ x≤1x≤1
      Это означает, что все числа меньше или равны 1. Мы заштриховали все числа на числовой строке слева от 1 и поставили квадратную скобку на x=1x=1, чтобы показать, что это включены.
    2. ⓑ x<5x<5
      Это означает, что все числа меньше 5, но не включая 5. Мы заштриховываем все числа на числовой строке слева от 5 и помещаем скобки на x=5x=5, чтобы показать, что это не включено.
    3. ⓒ x>-1x>-1
      Это означает, что все числа больше -1-1, но не включая -1-1. Мы заштриховываем все числа на числовой прямой справа от -1-1, затем помещаем круглую скобку в точку x=-1x=-1, чтобы показать, что она не включена.

    Попытайся 2.131

    График на числовой прямой: ⓐ x≤−1x≤−1 ⓑ x>2x>2 ⓒ x<3x<3

    Попытайся 2.132

    График на числовой прямой: ⓐ x>−2x>−2 ⓑ x<−3x<−3 ⓒ x≥−1x≥−1

    Мы также можем представить неравенства, используя интервальную нотацию . Как мы видели выше, неравенство x>3x>3 означает, что все числа больше 3. У решения этого неравенства нет верхнего предела. В интервальных обозначениях мы выражаем x>3x>3 как (3,∞).(3,∞). Символ ∞∞ читается как «бесконечность». Это не настоящее число. На рис. 2.9 показаны как числовая линия, так и интервальная запись.

    Рисунок 2,9 Неравенство x>3x>3 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

    Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны 1. У этих чисел нет нижнего конца. Мы пишем x≤1x≤1 в записи интервала как (−∞,1](−∞,1]. Символ −∞−∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рис. 2.10 показаны как числовая прямая, так и запись интервала.

    Рисунок 2.10 Неравенство x≤1x≤1 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

    Неравенства, числовые линии и запись интервалов

    Вы заметили, что круглая или квадратная скобка в обозначении интервала соответствует символу в конце стрелки? Эти отношения показаны на рис. 2.11.

    Рисунок 2.11 В обозначениях неравенств на числовой прямой и в обозначениях интервалов используются аналогичные символы для обозначения конечных точек интервалов.

    Пример 2,67

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервала.

    ⓐ x≥−3x≥−3 ⓑ x<2,5x<2,5 ⓒ x≤−35x≤−35

    Решение

    1. Заштрихуйте справа от −3−3 и поместите квадратную скобку на −3−3.
      Запись в интервальной записи.


    2. Заштрихуйте слева от 2.52.5 и поставьте скобку на 2.52.5.
      Запись в интервальной записи.


    3. » data-label=»»>
      Заштрихуйте слева от −35−35 и поместите скобку на уровне −35−35.
      Запись в интервальной записи.

    Попытайся 2,133

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервалов:

    ⓐ x>2x>2 ⓑ x≤−1,5x≤−1,5 ⓒ x≥34x≥34

    Попытайся 2.134

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервалов:

    ⓐ x≤−4x≤−4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x<−23x<−23

    Решите неравенства, используя свойства вычитания и сложения неравенства

    Свойства равенства вычитания и сложения утверждают, что если две величины равны, когда мы добавляем или вычитаем одно и то же количество из обеих величин, результаты будут равны.

    Свойства равенства

    Свойство вычитания равенстваСложение свойства равенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifa=b,thena-c=b-c.ifa=b,thena+c=b+c.Свойство вычитания РавенстваДополнение Свойство Равенства Для любых чисел a, b и c, Для любых чисел a, b и c, ifa=b,thena-c=b-c.ifa=b,thena+c=b+c.

    Аналогичные свойства справедливы и для неравенств.

    Например, мы знаем, что −4 меньше 2.
    Если из обеих величин вычесть 5, останется ли левая часть
    меньше правой?
    Получаем -9 слева и -3 справа.
    А мы знаем, что −9 меньше −3.
    Знак неравенства остался прежним.

    Точно так же мы можем показать, что неравенство остается неизменным и для сложения.

    Это приводит нас к свойствам вычитания и сложения неравенства.

    Свойства неравенства

    Свойство вычитания неравенстваСложение неравенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifabthena-c>b-c. ifabthena+c>b+c.Свойство вычитания неравенстваСложение свойства неравенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifabthena- c>b−c.ifabthena+c>b+c.

    Мы используем эти свойства для решения неравенств, предпринимая те же действия, что и для решения уравнений. Решая неравенство x+5>9x+5>9, шаги будут выглядеть так:

    х+5>9х+5>9
    Вычтите 5 с обеих сторон, чтобы выделить xx. х+5-5>9-5х+5-5>9-5
    Упрощение. х>4х>4

    Стол 2.6

    Любое число больше 4 является решением этого неравенства.

    Пример 2,68

    Решите неравенство n−12≤58n−12≤58, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Добавьте 1212 к обеим частям неравенства.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. (-∞,98](-∞,98]

    Попытайся 2,135

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    р-34≥16р-34≥16

    Попытайся 2.136

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    r-13≤712r-13≤712

    Решение неравенств с использованием свойств деления и умножения неравенства

    Свойства равенства деления и умножения утверждают, что если две величины равны, то при делении или умножении обеих величин на одну и ту же величину результаты также будут равны (при условии, что мы не не делить на 0).

    Свойства равенства

    Свойство деления равенства Свойство умножения равенства Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, Для любых действительных чисел a, b, c, ifa=b,thenac=bc. ifa=b,thenac=bc.Свойство деления равенстваСвойство умножения Равенства Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, Для любых действительных чисел a, b, c, ifa=b, thenac=bc.ifa=b, thenac=bc.

    Существуют ли аналогичные свойства для неравенств? Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе его части на константу?

    Рассмотрим несколько числовых примеров.

    Разделите обе стороны на 5. Умножить обе стороны на 5.
    Упрощение.
    Вставьте знаки неравенства.

    Знаки неравенства остались прежними. Знаки неравенства остались прежними.

    Остается ли неравенство тем же, когда мы делим или умножаем на отрицательное число?

    Разделите обе части на −5. Умножьте обе стороны на −5.
    Упрощение.
    Вставьте знаки неравенства.

    Знаки неравенства поменялись местами. Знаки неравенства поменялись местами.

    Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним. Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

    Вот свойства деления и умножения неравенства для удобства.

    Свойства деления и умножения неравенства

    Для любых вещественных чиселa,b,cifa0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.ifabcandac>bc.ifa>bandc<0 ,thenac0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.ifabcandac>bc. еслиa>bandc<0, тоac

    Когда мы делим или умножаем неравенство на a:

    • положительное число, неравенство остается тем же .
    • отрицательное число, неравенство переворачивает .

    Пример 2,69

    Решите неравенство 7y<​427y<​42, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Разделите обе части неравенства на 7.
    Поскольку 7>07>0, неравенство остается прежним.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.137

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    с-8>0с-8>0

    Попытайся 2.138

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    12d≤​6012d≤​60

    Пример 2,70

    Решите неравенство −10a≥50−10a≥50, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Разделите обе части неравенства на −10.
    Поскольку −10<0−10<0, неравенство меняется на противоположное.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.139

    Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −8q<32−8q<32

    Попытайся 2.140

    Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −7r≤​−70−7r≤​−70

    Решение неравенств

    Иногда при решении неравенства переменная оказывается справа. Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы получить переменную слева.

    x>aимеет то же значение, что и aaaимеет то же значение, что и aa

    Думайте об этом так: «Если Ксавьер выше Алекса, то Алекс ниже Ксавьера».

    Пример 2,71

    Решите неравенство −20<45u−20<45u, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части неравенства на 5454.
    Поскольку 54>054>0, неравенство остается прежним.
    Упрощение.
    Перепишите переменную слева.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.141

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    24≤38м24≤38м

    Попытайся 2,142

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −24<43n−24<43n

    Пример 2,72

    Решите неравенство t−2≥8t−2≥8, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части неравенства на −2−2.
    Поскольку −2<0−2<0, неравенство меняется на противоположное.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2,143

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    k-12≤15k-12≤15

    Попытайся 2,144

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    и-4≥-16и-4≥-16

    Решение неравенств, требующих упрощения

    Для решения большинства неравенств требуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно уделяем пристальное внимание умножению или делению.

    Пример 2,73

    Решите неравенство 4m≤9m+174m≤9m+17, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Вычтите 9м9м с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева.
    Упрощение.
    Разделите обе части неравенства на −5 и переверните неравенство.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2,145

    Решите неравенство 3q ≥ 7q − 233q ≥ 7q − 23, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Попытайся 2.146

    Решите неравенство 6x<10x+196x<10x+19, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Пример 2,74

    Решите неравенство 8p+3(p−12)>7p−288p+3(p−12)>7p−28, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Максимально упростите каждую сторону. 8р+3(р-12)>7р-288р+3(р-12)>7р-28
    Распространение. 8п+3п-36>7п-288п+3п-36>7п-28
    Объедините похожие термины. 11p-36>7p-2811p-36>7p-28
    Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева. 11p-36-7p>7p-28-7p11p-36-7p>7p-28-7p
    Упрощение. 4п-36>-284п-36>-28
    Добавьте 36 к обеим сторонам, чтобы собрать константы справа. 4р-36+36>-28+364р-36+36>-28+36
    Упрощение. 4п>84п>8
    Разделите обе части неравенства на 4; неравенство остается прежним. 4п4>844п4>84
    Упрощение. р>2р>2
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение во внутренней записи. (2,∞)(2,∞)

    Попытайся 2,147

    Решите неравенство 9y+2(y+6)>5y−249y+2(y+6)>5y−24, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Попытайся 2,148

    Решите неравенство 6u+8(u−1)>10u+326u+8(u−1)>10u+32, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Точно так же, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые противоречиями, неравенства также могут быть тождествами или противоречиями. Мы распознаем эти формы, когда при решении неравенства у нас остаются только константы. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть тождество. Если результатом является ложное утверждение, мы имеем противоречие.

    Пример 2,75

    Решите неравенство 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x8x−2(5−x)<4(x+9)+6x, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

    Решение
    Максимально упростите каждую сторону. 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x8x−2(5−x)<4(x+9)+6x
    Распределить. 8x−10+2x<4x+36+6x8x−10+2x<4x+36+6x
    Объедините похожие термины. 10x−10<10x+3610x−10<10x+36
    Вычтите 10x10x с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева. 10x−10−10x<10x+36−10x10x−10−10x<10x+36−10x
    Упрощение. −10<36−10<36
    Xx исчезли, и мы получили верное утверждение. Неравенство есть тождество.
    Решение — все действительные числа.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. (-∞,∞)(-∞,∞)

    Попытайся 2,149

    Решите неравенство 4b−3(3−b)>5(b−6)+2b4b−3(3−b)>5(b−6)+2b, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.150

    Решите неравенство 9h−7(2−h)<8(h+11)+8h9h−7(2−h)<8(h+11)+8h, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

    Пример 2,76

    Решите неравенство 13a−18a>524a​+3413a−18a>524a​+34, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части на ЖК-дисплей, 24, чтобы очистить дроби.
    Упрощение.
    Объедините похожие термины.
    Вычтите 5a5a с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева.
    Упрощение.
    Утверждение неверно! Неравенство есть противоречие.
    Нет решения.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. Нет решения.

    Попытайся 2.151

    Решите неравенство 14x−112x>16x+7814x−112x>16x+78, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в виде интервалов.

    Попытайся 2,152

    Решите неравенство 25z−13z<115z−3525z−13z<115z−35, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в виде интервалов.

    Перевести в неравенство и решить

    Чтобы перевести английские предложения в неравенства, нам нужно распознать фразы, которые указывают на неравенство. Некоторые слова просты, например, «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны.

    Подумайте о фразе «по крайней мере» — что значит быть «не моложе 21 года»? Это означает 21 или больше. Фраза «по крайней мере» такая же, как «больше или равно».

    В таблице 2.7 приведены некоторые общие фразы, обозначающие неравенства.

    >> ≥≥ << ≤≤
    больше больше или равно меньше меньше или равно
    больше это как минимум меньше не больше
    больше, чем не меньше имеет меньше, чем не больше
    превышает это минимум ниже это максимум

    Стол 2,7

    Пример 2,77

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Двенадцать раз c не более 96.

    Решение
    Перевести.
    Решить — разделить обе части на 12.
    Упрощение.
    Запись в интервальной записи.
    График на числовой прямой.

    Попытайся 2,153

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Двадцать раз y не больше 100

    Попытайся 2.154

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Девять раз z не менее 135

    Пример 2,78

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Тридцать меньше, чем x , равно как минимум 45.

    Решение
    Перевести.
    Решить — добавить 30 к обеим сторонам.
    Упрощение.
    Запись в интервальной записи.
    График на числовой прямой.

    Попытайся 2,155

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Девятнадцать меньше р не меньше 47

    Попытайся 2,156

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Четыре больше, чем не более 15.

    Раздел 2.7 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Графические неравенства на числовой прямой

    В следующих упражнениях изобразите каждое неравенство на числовой прямой.

    430.


    ⓐ x≤−2x≤−2
    ⓑ x>−1x>−1ⓒ x<0x<0

    431.

    ⓐ x>1x>1ⓑ x<−2x<−2
    ⓒ x≥−3x≥−3

    432.


    ⓐ x≥−3x≥−3ⓑ x<4x<4ⓒ x≤−2x≤−2

    433.


    ⓐ x≤0x≤0ⓑ x>−4x>−4ⓒ x≥−1x≥−1

    В следующих упражнениях изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервалов.

    434.


    ⓐ x<−2x<−2ⓑ x≥−3,5x≥−3,5ⓒ x≤23x≤23

    435.


    ⓐ x>3x>3ⓑ x≤−0,5x≤−0,5ⓒ x≥13x≥13

    436.


    ⓐ x≥−4x≥−4ⓑ x<2,5x<2,5ⓒ x>−32x>−32

    437.


    ⓐ x≤5x≤5ⓑ x≥−1,5x≥−1,5ⓒ x<−73x<−73

    Решение неравенств с использованием свойств вычитания и сложения неравенства

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    438.

    n-11<33n-11<33

    439.

    м-45≤62м-45≤62

    440.

    u+25>21u+25>21

    441.

    v+12>3v+12>3

    442.

    а+34≥710а+34≥710

    443.

    б+78≥16б+78≥16

    444.

    f−1320<−512f−1320<−512

    445.

    г-1112<-518г-1112<-518

    Решение неравенств с использованием свойств деления и умножения неравенства

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    446.

    8x>728x>72

    447.

    6 лет<486 лет<48

    448.

    7r≤567r≤56

    449.

    9с≥819с≥81

    450.

    −5u≥65−5u≥65

    451.

    −8v≤96−8v≤96

    452.

    −9с<126−9с<126

    453.

    −7d>105−7d>105

    454.

    20>25ч30>25ч

    455.

    40<58k40<58k

    456.

    76j≥4276j≥42

    457.

    94г≤3694г≤36

    458.

    а-3≤9а-3≤9

    459.

    б-10≥30б-10≥30

    460.

    −25

    461.

    −18>q−6−18>q−6

    462.

    9t≥−279t≥−27

    463.

    7с<−287с<−28

    464.

    23г>-3623г>-36

    465.

    35x≤−4535x≤−45

    Решение неравенств, требующих упрощения

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    466.

    4v≥9v−404v≥9v−40

    467.

    5u≤8u−215u≤8u−21

    468.

    13q<7q−2913q<7q−29

    469.

    9p>14p−189p>14p−18

    470.

    12x+3(x+7)>10x−2412x+3(x+7)>10x−24

    471.

    9y+5(y+3)<4y-359y+5(y+3)<4y-35

    472.

    6ч-4(ч-1)≤7ч-116ч-4(ч-1)≤7ч-11

    473.

    4k-(k-2)≥7k-264k-(k-2)≥7k-26

    474.

    8м-2(14-м)≥7(м-4)+3м8м-2(14-м)≥7(м-4)+3м

    475.

    6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n

    476.

    34b-13b<512b-1234b-13b<512b-12

    477.

    9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u

    478.

    23г-12(г-14)≤16(г+42)23г-12(г-14)≤16(г+42)

    479.

    56а-14а>712а+2356а-14а>712а+23

    480.

    45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)

    481.

    12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v

    Смешанная практика

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    482.

    15k≤−4015k≤−40

    483.

    35k≥−7735k≥−77

    484.

    23p−2(6−5p)>3(11p−4)23p−2(6−5p)>3(11p−4)

    485.

    18q−4(10−3q)<5(6q−8)18q−4(10−3q)<5(6q−8)

    486.

    −94x≥−512−94x≥−512

    487.

    −218y≤−1528−218y≤−1528

    488.

    с+34<-99с+34<-99

    489.

    д+29>-61д+29>-61

    490.

    m18≥−4m18≥−4

    491.

    n13≤−6n13≤−6

    Преобразование в неравенство и решение

    В следующих упражнениях переведите и решите .Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    492.

    Четырнадцать раз d больше 56.

    493.

    Девяносто раз c меньше 450.

    494.

    Восемь раз z меньше −40−40.

    495.

    Десять раз y не больше −110−110.

    496.

    Три более ч не менее 25.

    497.

    Шесть больше к превышает 25.

    498.

    Десять меньше w не менее 39.

    499.

    Двенадцать меньше x не меньше 21.

    500.

    Минус пять раз r не более 95.

    501.

    Дважды отрицательно s меньше 56.

    502.

    Девятнадцать меньше b не больше −22−22.

    503.

    Пятнадцать меньше а составляет не менее −7−7.

    Математика на каждый день

    504.

    Безопасность Рост ребенка h должен быть не менее 57 дюймов, чтобы ребенок мог безопасно ездить на переднем сиденье автомобиля. Запишите это как неравенство.

    505.

    Летчики-истребители Максимальный рост летчика-истребителя h 77 дюймов. Запишите это как неравенство.

    506.

    Лифты Общий вес, w , пассажиров лифта может быть не более 1200 фунтов. Запишите это как неравенство.

    507.

    Покупки Количество товаров, n , которое покупатель может иметь в очереди экспресс-кассы, не превышает 8. Запишите это в виде неравенства.

    Письменные упражнения

    508.

    Приведите пример из своей жизни, используя фразу «по крайней мере».

    509.

    Приведите пример из своей жизни, используя фразу «максимум».

    510.

    Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x>10−5x>10.

    511.

    Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n−3<12n−3<12.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

    ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

    Линейные неравенства — определение, формулы, графики, примеры

    В математике неравенство возникает, когда проводится неравное сравнение между двумя математическими выражениями или двумя числами. В общем случае неравенства могут быть либо числовыми, либо алгебраическими, либо их комбинацией. Линейные неравенства  – это неравенства, которые включают хотя бы одно линейное алгебраическое выражение, то есть многочлен степени 1 сравнивается с другим алгебраическим выражением степени меньше или равной 1. Существует несколько способов представления различных видов линейных неравенств.

    В этой статье мы узнаем о линейных неравенствах, решении линейных неравенств, построении графиков линейных неравенств.

    1. Что такое линейные неравенства?
    2. Правила линейных неравенств
    3. Решение системы линейных неравенств
    4. Решение систем линейных неравенств с помощью графика
    5. Графики линейных неравенств
    6. Часто задаваемые вопросы о линейных неравенствах

    Что такое линейные неравенства?

    Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два линейных выражения сравниваются с использованием символов неравенства. Пять символов, которые используются для представления линейных неравенств, перечислены ниже:

    Нужно заметить, что если p < q, то p — некоторое число, строго меньшее q. Если p ≤ q, то это означает, что p — некоторое число, которое либо строго меньше q, либо в точности равно q. То же самое относится и к оставшимся двум неравенствам > (больше) и ≥ (больше или равно).

    Теперь предположим, что у нас есть линейное неравенство, 3x — 4 < 20. В этом случае LHS < RHS. Мы можем видеть, что выражение в левой части, т. е. 3x - 4, на самом деле меньше, чем число в правой части, равное 20. Мы можем графически представить это неравенство на весах как:

    Правила линейных неравенств

    Над линейными неравенствами выполняются 4 типа операций: сложение, вычитание, умножение и деление. Линейные неравенства с одним и тем же решением называются эквивалентными неравенствами. Существуют правила как равенства, так и неравенства. Все упомянутые ниже правила также верны для неравенств, включающих меньше или равно (≤) и больше или равно (≥). Прежде чем научиться решать линейные неравенства, давайте рассмотрим некоторые важные правила неравенства для всех этих операций.

    Правило сложения линейных неравенств:

    Согласно правилу сложения линейных неравенств, добавление одного и того же числа к каждой стороне неравенства дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y, то x + a > y + a, а если x < y, то x + a < y + a.

    Правило вычитания линейных неравенств:

    Согласно правилу вычитания линейных неравенств, вычитание одного и того же числа с каждой стороны неравенства дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y, то x − a > y − a, а если x < y, то x − a < y − a.

    Правило умножения линейных неравенств:

    Согласно правилу умножения линейных неравенств, умножение обеих частей неравенства с положительным числом всегда дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y и a > 0, то x × a > y × a, а если x < y и a > 0, то x × a < y × a. Здесь × используется как символ умножения.

    С другой стороны, умножение обеих частей неравенства на отрицательное число не дает эквивалентного неравенства, если мы также не изменим направление символа неравенства.

    Если x > y и a < 0, то x × a < y × a, а если x < y и a < 0, то x × a > y × a.

    Правило деления линейных неравенств:

    Согласно правилу деления линейных неравенств, деление обеих частей неравенства на положительное число дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y и a > 0, то (x/a) > (y/a), а если x < y и a > 0, то (x/a) < (y/a).

    С другой стороны, деление обеих частей неравенства на отрицательное число дает эквивалентное неравенство, если символ неравенства поменять местами.

    Если x > y и a < 0, то (x/a) < (y/a), а если x < y и a < 0, то (x/a) > (y/a)

    Решение системы линейных неравенств

    Решение линейных многошаговых неравенств с одной переменной аналогично решению многошаговых линейных уравнений; начните с выделения переменной из констант. По правилам неравенств, при решении многошаговых линейных неравенств нам важно не забывать менять знак неравенства при умножении или делении с отрицательными числами.

    • Шаг 1: Упростите неравенство с обеих сторон — как с левой, так и с правой стороны в соответствии с правилами неравенства.
    • Шаг 2: При получении значения, если неравенство является строгим, решение для x меньше или больше значения, полученного в соответствии с вопросом. И, если неравенство не является строгим неравенством, то решение для x меньше или равно или больше или равно значению, полученному в соответствии с вопросом.

    Теперь давайте попробуем решить линейные неравенства на примере, чтобы понять концепцию.

    2x + 3 > 7

    Чтобы решить это линейное неравенство, мы должны выполнить следующие шаги:

    2x > 7 — 3 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2

    Решением этого неравенства будет множество всех значений x, для которых выполняется это неравенство x > 2, то есть всех действительных чисел, строго больших 2.

    Решение линейных неравенств с переменной с обеих сторон

    Попробуем решить линейные неравенства с одной переменной, применяя изученную концепцию. Рассмотрим следующий пример.

    3x — 15 > 2x + 11

    Действуем следующим образом:

    -15 — 11 > 2x — 3x ⇒ — 26 > — x ⇒ x > 26

    Решение системы линейных неравенств с помощью графика

    Система линейных неравенств с двумя переменными имеет вид ax + by > c или ax + by ≤ c. Знаки неравенств могут меняться в соответствии с заданным набором неравенств. Чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, мы должны иметь по крайней мере два неравенства. Теперь, чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, рассмотрим пример.

    2y — x > 1 и y — 2x < -1

    Сначала нанесем данные неравенства на график. Для этого выполните указанные действия:

    • Замените знак неравенства на =, то есть имеем 2y — x = 1 и y — 2x = -1. Поскольку линейное неравенство строгое, на графике проводим пунктирные линии.
    • Проверить, удовлетворяет ли начало координат (0, 0) заданным линейным неравенствам. Если это так, то заштрихуйте область на одной стороне линии, которая включает в себя начало координат. Если начало координат не удовлетворяет линейному неравенству, заштрихуйте область по одну сторону от линии, которая не включает начало координат.
      Вместо 2y — x > 1 подставьте (0, 0) и мы получим: 2 × 0 — 0 > 1 ⇒ 0 > 1, что неверно. Следовательно, заштрихуйте сторону прямой 2y — x = 1, которая не включает начало координат. Аналогично, для y — 2x < -1, подставляя (0, 0), мы имеем: 0 - 2 × 0 < -1 ⇒ 0 < -1, что неверно. Следовательно, имел сторону прямой y - 2x = -1, которая не включает начало координат.
    • Общей заштрихованной будет допустимая область, образующая решение системы линейных неравенств. Если нет общей заштрихованной области, то решения не существует. Фиолетовая область на приведенном ниже графике показывает решение данной системы линейных неравенств.

    Графики линейных неравенств

    Линейные неравенства с одной переменной изображаются на числовой прямой, так как на выходе получается решение с одной переменной. Следовательно, графическое отображение линейных неравенств в одной переменной выполняется с использованием только числовой прямой. Напротив, линейные неравенства с двумя переменными изображаются на двумерном графике с осями x и y, поскольку на выходе получается решение двух переменных. Следовательно, построение графика линейных неравенств с двумя переменными выполняется с помощью графика.

    Графики линейных неравенств — одна переменная

    Рассмотрим приведенный ниже пример.

    4x > -3x + 21

    Решение в этом случае простое.

    4x + 3x > 21 ⇒ 7x > 21 ⇒ x > 3

    Это можно изобразить на числовой прямой следующим образом:

    Любая точка, лежащая на синей части числовой прямой, удовлетворяет этому неравенству. Обратите внимание, что в этом случае мы нарисовали пустую точку в точке 3. Это указывает на то, что 3 не является частью множества решений (это потому, что данное неравенство имеет строгое неравенство). Согласно полученному решению синяя часть числовой прямой удовлетворяет неравенству. Возьмем другой пример линейных неравенств:

    3x + 1 ≤ 7

    Действуем следующим образом:

    3x ≤ 7 — 1 ⇒ 3x ≤ 6 ⇒ x ≤ 2

    Мы хотим представить это множество решений на числовой прямой. Таким образом, мы выделяем ту часть числовой прямой, которая лежит левее 2

    . Мы видим, что любое число, лежащее в красной части числовой прямой, будет удовлетворять этому неравенству и, следовательно, является частью набора решений для этого неравенство. Обратите внимание, что мы нарисовали сплошную точку точно в точке 2. Это означает, что 2 также является частью набора решений.

    ☛ Похожие темы:

    Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными линейным неравенствам

    • Линейные неравенства с двумя переменными
    • Неравенства, включающие абсолютные значения
    • Умножение многочленов
    • Особые случаи в линейных уравнениях
    • Линейные уравнения и неравенства с одной переменной

    Важные замечания о линейных неравенствах

    Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении линейных неравенств:

    • В случае линейного неравенства между левой и правой сторонами существует некоторое другое отношение, например меньше или больше.
    • Линейное неравенство называется так из-за того, что наибольшая степень (показатели) переменной равна 1.
    • «Меньше» и «больше» являются строгими неравенствами, тогда как «меньше или равно» и «больше или равно» не являются строгими линейными неравенствами.
    • Для каждого линейного неравенства, в котором используется строгое линейное неравенство, значение, полученное для x, показано пустой точкой. Он показывает, что полученное значение исключено.
    • Для каждого линейного неравенства, которое не является строгим неравенством, значение, полученное для x, показано сплошной точкой. Это показывает, что полученное значение включено.

     

    Примеры решения линейных неравенств

    1. Пример 1.  Найдите решение линейного неравенства -2x — 39 ≥ -15 и нанесите его на числовую прямую.

      Решение: Задачу решим следующим образом:

      — 2x — 39≥ — 15 ⇒ — 2x ≥ 24

      ⇒ 2x ≤ — 24 ⇒ x ≤ — 12

      Линейное неравенство будет отображено на числовой прямой следующим образом:

      Набор решений изображен выше. Можно сказать, что любое число, лежащее в красной части числовой прямой, будет удовлетворять этому линейному неравенству и, следовательно, является частью множества решений этого неравенства. Следовательно, мы нарисовали сплошную точку точно в точке -12. Это указывает на то, что -12 также является частью набора решений.

      Ответ: Следовательно, решение x ≤ -12

    2. Пример 2. Решить линейные неравенства в этом линейном неравенстве 2x — 5 > 3 — 7x

      Решение: Решим данное линейное неравенство следующим образом:

      2x + 7x > 3 + 5 ⇒ 9x > 8 ⇒ x > 8/9

      Ответ: x > 8/9 является решением линейного неравенства 2x — 5 > 3 — 7x

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Хотите создать прочную основу в математике?

    Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    Вопросы о линейном неравенстве

     

    перейти на слайдперейти на слайд

    Часто задаваемые вопросы о линейных неравенствах

    Что такое линейные неравенства в алгебре?

    Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два линейных выражения сравниваются с использованием символов неравенства. Эти выражения могут быть числовыми, алгебраическими или их комбинацией.

    Что является примером линейного неравенства?

    Примером линейного неравенства является x — 5 > 3x — 10. Здесь левое значение строго больше, чем правое, поскольку в этом неравенстве используется символ больше. После решения неравенство выглядит так: 2x < 5 ⇒ x < (5/2).

    Каково реальное использование линейных неравенств?

    Неравенства чаще используются во многих реальных задачах, чем равенства, для определения наилучшего решения проблемы. Это решение может быть таким же простым, как определение количества продукта, которое должно быть произведено, чтобы максимизировать прибыль, или оно может быть таким же сложным, как поиск правильной комбинации лекарств, которые нужно дать пациенту.

    Каково использование линейных неравенств в бизнесе?

    Предприятия используют неравенство для создания моделей ценообразования, планирования своих производственных линий и контроля запасов. Они также используются для отгрузки или складирования материалов и товаров.

    Какие символы используются в линейных неравенствах?

    Символы, используемые в линейных неравенствах:

    • Не равно (≠)
    • Меньше чем (<)
    • Больше, чем (>)
    • Меньше или равно (≤)
    • Больше или равно (≥)

    Каковы два сходства между линейными неравенствами и уравнениями?

    Сходства между линейными неравенствами и уравнениями:

    • Оба математических утверждения связывают два выражения друг с другом.
    • Оба решаются одинаково.

    Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

    Чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, необходимо иметь хотя бы два неравенства. Мы нанесем данные неравенства на график и проверим наличие общей заштрихованной области, чтобы определить решение.

    Как решать системы линейных неравенств графически?

    Данные неравенства изобразим на графике аналогично линейным уравнениям, но пунктирными линиями из-за неравенства. Далее мы проверяем общую заштрихованную область, чтобы найти решение. Если нет общей заштрихованной области, то решения не существует. Заштрихованная область может быть ограниченной или неограниченной.

    Чем квадратные неравенства отличаются от линейных неравенств?

    Квадратные неравенства состоят из алгебраических выражений степени 2, тогда как линейные неравенства состоят из алгебраических выражений степени 1.

    Решение линейных неравенств с одной переменной

    Линейные неравенства

    Линейное неравенствоЛинейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и >. это математическое утверждение, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе:

    Решение линейного неравенстваВещественное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение заменяет переменную. это действительное число, которое даст истинное утверждение при замене переменной. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решений. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и/или выразите решение, используя интервальную запись.

    Пример 1

    Являются ли x=−4 и x=6 решениями уравнения 5x+7<22?

    Решение:

    Подставим значения вместо x , упростим и проверим, получим ли мы верное утверждение.

    Ответ: x=−4 является решением, а x=6 — нет.

    Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы и к решению линейных неравенств. Вы можете прибавлять или вычитать любое действительное число к обеим частям неравенства, а также умножать или делить обе части на любые 9.0010 положительное действительное число для создания эквивалентных неравенств. Например:

    10> −510–7> −5–7 Вычитание 7 с обеих сторон.3> −12 ✓ True

    10> −5105> −55 Разделите обе стороны на 5,2> −1 ✓ TRU

    7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 приводит к истинному неравенству.

    Пример 2

    Решите и нарисуйте набор решений: 5x+7<22.

    Решение:

    5x+7<225x+7−7<22−75x<155x5<155x<3

    Полезно потратить минуту и ​​выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты. Как указано, вы должны ожидать, что x=0 решит исходное неравенство, а x=5 — нет.

    Такая проверка показывает, что мы правильно решили неравенство.

    Мы можем выразить это решение двумя способами: используя запись набора и запись интервала.

    {x|x<3}   Set notation   (−∞,3)  Interval notation

    В этом тексте мы будем представлять ответы, используя интервальную запись.

    Ответ: (−∞,  3) 

    При работе с линейными неравенствами при умножении или делении на отрицательное число применяется другое правило. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10>−5 и разделим обе части на −5.

    .0004

    Деление на -5 приводит к ложному утверждению. Чтобы сохранить истинное утверждение, неравенство должно быть обращено.

    10>−510−5<−5−5            Обратное неравенство.−2<1             ✓При умножении отрицательного числа на

    возникает та же проблема. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство . Это легко забыть сделать, поэтому будьте особенно внимательны и следите за отрицательными коэффициентами. В общем случае, учитывая алгебраические выражения A и B , где c положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые в качестве средства для их решения.:

    Мы используем эти свойства для получения Эквивалентное неравенство Неравенства, которые имеют один и тот же набор решений. Один с одним и тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.

    Пример 3

    Решите и нарисуйте набор решений: −2(x+8)+6≥20.

    Решение:

    −2 (x+8)+6ц . 20 Распределение. — 2x — 16+6≥20 Комбинируйте, как термины. — 2x — 10,20 Решайте для x.2x ≥30 Разделите обе стороны на 2. –2x — 2≤30–2 Обратите внимание на неравенство. X≤15

    Ответ: Интервальная нотация (−∞, −15]

    Пример 4

    Решение и график набор решений: −2 (4x-5 )<9−2(x−2).

    Решение:

    −2(4x−5)<9−2(x−2)−8x+10<9−2x+4−8x+10<13− 2x−6x<3−6x−6>3−6                   Обратное неравенство.x>−12    

    Ответ: Интервальное обозначение (−12, ∞)

    Пример 5

    Решите и нарисуйте набор решений: 12x−2≥12(74x−9)+1.

    Решение:

    12x — 2≥12 (74x — 9) +1 12x — 2≥78x — 92+1 12x — 78x≥ — 72+2–38x–32 (−83) ( — 38x) ≤ ( −83)(−32)             Обратное неравенство. x≤4

    Ответ: Интервальное обозначение: (−∞,  4]

    Попробуйте! Решите и нарисуйте набор решений: 10−5(2x+3)≤25. ∞);

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Составные неравенства

    Ниже приведены некоторые примеры составных линейных неравенств:

    Эти составные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле два неравенства в одном утверждении, соединенные словом и или словом или . Например, −13<3x−7<17 является составным неравенством, поскольку его можно разложить следующим образом: −13<3x−7  и   3x−7<17

    Мы можем решить каждое неравенство по отдельности; пересечение двух наборов решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине утверждения, чтобы определить границы набора решений.

    Пример 6

    Решите и нарисуйте набор решений: −13<3x−7<17.

    Решение:

    −13<3x−7<17−13 +7<3x−7 +7<17 +7−6<3x<24−63<3x3<243−2

    Ответ: Обозначение интервала: (−2,8)

    Пример 7

    Решите и нарисуйте набор решений: 56≤13(12x+4)<2.

    Решение:

    56≤13(12x+4)<256≤16x+43<26⋅(56)≤6⋅(16x+43)<6⋅(2)5≤x+8<125−8≤ x+8−8<12−8−3≤x<4

    Ответ: Запись интервала [−3,4)

    Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число , вы должны обратить все неравенства в утверждении. Например: −10<−2x<20−10−2>−2x−2>20−25>  x  >−10 Ответ выше можно записать в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа лежат справа, как они появляются на числовой прямой. −10

    Попробуйте! Решите и начертите набор решений: −3≤−3(2x−3)<15.

    Ответ: (−1,2];

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Для составных неравенств со словом « или » вы работаете с обоими неравенствами по отдельности, а затем рассматриваете объединение наборов решений. union решает любое неравенство

    Пример 8

    Решите и начертите набор решений: 4x+5≤−15  или  6x−11>7

    Решение:

    Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений.

    Ответ: Интервальное обозначение (−∞,−5]∪(3,∞)

    Попробуйте! <1.

    Ответ: (−∞,−1)∪(32, ∞)

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Применение линейных неравенств

    Некоторые ключевые слова и фразы, обозначающие неравенства, приведены ниже. :

    Как и во всех приложениях, внимательно прочитайте задачу несколько раз и найдите ключевые слова и фразы. Определите неизвестные и назначьте переменные. Затем переведите формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте свойства, которые вы узнали, для решения задачи. неравенство и выразить решение графически или в интервальной записи.

    Пример 9

    Семь меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию.

    Решение:

    Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы.

    Пусть n представляют неизвестное, обозначенное как « число ».

    Найти n .

    3(n+5)−7≤113n+15−7≤113n+8≤113n≤3n≤1

    Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, будет удовлетворять утверждению.

    Пример 10

    Чтобы получить B по курсу математики, средний результат теста должен быть не менее 80% и менее 90%. Если учащийся набрал 92 %, 96 %, 79 % и 83 % на первых четырех тестах, сколько он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?

    Решение:

    Задайте составное неравенство, в котором среднее значение теста находится в диапазоне от 80% до 90%. В этом случае включите нижнюю границу, 80.

    Пусть x представляет результат пятого теста.

    80≤испытание среднее<9080≤92+96+79+83+x5<905⋅80≤5⋅350+x5<5⋅≤350+x<45050≤x<100

    Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%.

    В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что произойдет, если она заработает 100% на пятом тесте?

    среднее=92+96+79+83+1005=4505=90

    Как мы видим, ее среднее значение составит 90%, что принесет ей пятерку. решения. Решения представлены графически на числовой прямой или с использованием интервальной записи, или и того, и другого.

  • Все правила решения линейных неравенств, кроме одного, аналогичны правилам решения линейных уравнений. Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, переверните неравенство, чтобы получить эквивалентное неравенство.
  • Составные неравенства со словом «или» требуют, чтобы мы решили каждое неравенство и образовали объединение каждого набора решений. Это значения, которые решают хотя бы одно из заданных неравенств.
  • Составные неравенства со словом «и» требуют пересечения множеств решений для каждого неравенства. Это значения, которые решают оба или все заданные неравенства.
  • Общие рекомендации по решению текстовых задач применимы к приложениям, использующим неравенства. Помните о новом списке ключевых слов и фраз, которые указывают на математическую установку, включающую неравенства.
  • Тематические упражнения

      Часть A. Линейные неравенства

        Определить, является ли заданное значение решением.

      1. 5x-1<-2; х=−1

      2. −3x+1>−10; х=1

      3. 2x−3<−5; х=1

      4. 5x−7<0; х=2

      5. 9y−4≥5; у=1

      6. −6y+1≤3; у=-1

      7. 12а+3≤-2; а=-13

      8. 25а-2≤-22; а=-45

      9. −10<2x−5<−5; х=-12

      10. 3x+8<−2  или  4x−2>5; х=2

        Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

      1. 3x+5>−4

      2. 2x+1>−1

      3. 5–6 лет <–1

      4. 7−9 лет>43

      5. 6−a≤6

      6. −2а+5>5

      7. 5x+63≤7

      8. 4x+116≤12

      9. 12 лет+54≥14

      10. 112г+23≤56

      11. 2(3x+14)<−2

      12. 5(2г+9)>−15

      13. 5-2(4+3г)≤45

      14. −12+5(5−2x)<83

      15. 6(7−2а)+6а≤12

      16. 2а+10(4-а)≥8

      17. 9(2t−3)−3(3t+2)<30

      18. −3(t−3)−(4−t)>1

      19. 12(5x+4)+56x>−43

      20. 25+16(2x−3)≥115

      21. 5x−2(x−3)<3(2x−1)

      22. 3(2x−1)−10>4(3x−2)−5x

      23. −3y≥3(y+8)+6(y−1)

      24. 12≤4(у-1)+2(2у+1)

      25. −2(5t−3)−4>5(−2t+3)

      26. −7(3t−4)>2(3−10t)−t

      27. 12(х+5)−13(2х+3)>76х+32

      28. −13(2x−3)+14(x−6)≥112x−34

      29. 4(3x+4)≥3(6x+5)−6x

      30. 1−4(3x+7)<−3(x+9)−9x

      31. 6−3(2a−1)≤4(3−a)+1

      32. 12-5(2а+6)≥2(5-4а)-а

      Часть B: Составные неравенства

        Нанесите все решения на числовую прямую и укажите соответствующее обозначение интервала.

      1. −1<2x+1<9

      2. −4<5x+11<16

      3. −7≤6y−7≤17

      4. −7≤3г+5≤2

      5. −7<3x+12≤8

      6. −1≤2x+73<1

      7. −4≤11−5t<31

      8. 15<12−t≤16

      9. −13≤16a+13≤12

      10. −16<13a+56<32

      11. 5x+2<−3​   или   7x−6>15

      12. 4x+15≤−1​   или   3x−8≥−11

      13. 8x−3≤1​   или   6x−7≥8

      14. 6x+1<−3​   или   9x−20>−5

      15. 8x−7<1​   или   4x+11>3

      16. 10x−21<9​   или   7x+9≥30

      17. 7+2 года <5​   или   20−3 года>5

      18. 5−y<5   или   7−8y≤23

      19. 15+2x<−15   или   10−3x>40

      20. 10−13x≤5   или   5−12x≤15

      21. 9−2x≤15​   и   5x−3≤7

      22. 5−4x>1   и   15+2x≥5

      23. 7 лет−18<17   и  2 года−15<25

      24. 13 лет+20≥7   и   8+15 лет>8

      25. 5−4x≤9   и   3x+13≤1

      26. 17−5x≥7   и   4x−7>1

      27. 9 лет+20≤2   и   7 лет+15≥1

      28. 21−6y≤3   и   −7+2y≤−1

      29. −21<6(x−3)<−9

      30. 0≤2(2x+5)<8

      31. −15≤5+4(2y−3)<17

      32. 5<8−3(3−2 года)≤29

      33. 5<5−3(4+t)<17

      34. −3≤3−2(5+2t)≤21

      35. −40<2(x+5)−(5−x)≤−10

      36. −60≤5(x−4)−2(x+5)≤15

      37. −12<130(x−10)<13

      38. −15≤115(x−7)≤13

      39. −1≤a+2(a−2)5≤0

      40. 0<5+2(а-1)6<2

      Часть C: Приложения

        Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию.

      1. На три меньше, чем удвоенная сумма числа, а 6 не больше 13.

      2. Пять меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 4 не больше 10.

      3. Пятикратная сумма числа и 3 не меньше 5.

      4. Трехкратная разница между числом и 2 не менее 12.

      5. Сумма трех чисел, умноженных на 8, составляет от 2 до 20.

      6. На восемь меньше, чем удвоенное число, находится в диапазоне от -20 до -8.

      7. Четыре вычитается из трех, умноженных на некоторое число от -4 до 14.

      8. Девять вычитается из 5, умноженного на некоторое число от 1 до 11.

        Составьте алгебраическое неравенство и решите его.

      1. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он хочет сохранить свои расходы максимум на 270 долларов в месяц?

      2. Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы стоимость не превышала 120 долларов?

      3. Марк заработал 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах. Что он должен набрать в четвертом тесте, чтобы в среднем было не менее 8?

      4. Джо получил 78, 82, 88 и 70 баллов за свои первые четыре экзамена по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы средний балл был не менее 80?

      5. Гимнастка набрала 13,2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 балла в первых пяти упражнениях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы средний балл был не менее 14,0?

      6. Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какой должна быть ее оценка от третьего судьи, если она должна получить в среднем 8,4 или выше?

      7. Если два раза угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла?

      8. Периметр квадрата должен быть от 120 до 460 дюймов. Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию.

      9. Компьютер настроен на отключение, если температура превышает 45°C. Приведите эквивалентное утверждение, используя градусы Фаренгейта. Подсказка: C=59(F−32).

      10. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от −35°C до 120°C. Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта.

      Часть D: Дискуссионная доска

      1. Часто учащиеся обращают неравенство, решая 5x+2<−18? Как вы думаете, почему это распространенная ошибка? Объясните начинающему студенту алгебры, почему мы этого не делаем.

      2. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств». Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоурок, которые вы считаете полезными.

      3. Напишите свои собственные 5 ключевых выводов для всей этой главы. Что вы считаете обзором, а что новым? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений.

    Ответы

    1. Да

    2. Да

    3. Да

    4. (-3,∞);

    5. (1,∞);

    6. [0,∞);

    7. (-∞,3];

    8. [−2,∞);

    9. (-∞,-5);

    10. [−8,∞);

    11. [5,∞);

    12. (-∞,7);

    13. (-1,∞);

    14. (3,∞);

    15. (-∞,-32];

    16. (-∞,0);

    17. [−2,∞);

    1. (-1,4);

    2. [0,4];

    3. (−5,5];

    4. (−4,3];

    5. [−4,1];

    6. (-∞,-1)∪(3,∞);

    7. (-∞,12]∪[52,∞);

    8. (-∞,5);

    9. (-∞,-10);

    10. [−3,2];

    11. (-∞,5);

    12. (-12,32);

    13. [−1,3);

    14. (-8,-4);

    15. (-15,-5];

    16. (-5,20);

    17. [−13, 43];

    1. (-∞,2]

    2. [−2,∞)

    3. (−2,4)

    4. (0,6)

    5. Участник может сыграть 4 раунда или меньше.

    6. Марк должен заработать не менее 9 баллов в четвертом тесте.

    7. Он должен набрать 15,1 балла в шестом событии.

    8. Угол между 90 и 135 градусами.

    9. Компьютер выключится, когда температура превысит 113°F.

    1. Ответ может отличаться

    2. Ответ может отличаться

    Решение линейных неравенств — ChiliMath

    Поиск

    Большинство правил или методов, используемых для решения многоступенчатых уравнений, должны легко применяться для решения неравенств.

    Единственная большая разница заключается в том, как символ неравенства меняет направление , когда отрицательное число умножается или делится на обе части уравнения.

    В этом уроке я рассмотрю семь (7) рабочих примеров с различные уровни сложности, чтобы обеспечить достаточную практику.


    БОЛЬШЕ

    • Symbol:
    • Example:
    • Graph:

    GREATER THAN OR EQUAL TO

    • Symbol:
    • Example:
    • Graph:

    LESS Чем

    • Символ:
    • Пример:
    • График:

    Меньше, чем или равна

    • Symbol:

    • .0369
    • Пример:
    • График:

    Примеры решения и графического отображения линейных неравенств все значения

    x, которые могут его удовлетворить. Это означает, что существует почти бесконечное количество значений x, подстановка которых дает истинные утверждения.

    Проверить значения x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 5, x = 6 и x = 7.

    Какое из этих значений x соответствует истинному утверждению?

    Вы должны согласиться после некоторых обратных замен, что работают только 5, 6 и 7; а остальные терпят неудачу. Но вопрос в том, есть ли другие значения x, кроме упомянутых? Ответ — да! Теперь давайте решим неравенство, чтобы выяснить весь набор значений, которые могут сделать его верным.

    • Напишите исходную задачу.
    • Добавьте 17 с обеих сторон, чтобы оставить переменные слева, а константу справа.
    • Неравенство сводится к этому после упрощения.
    • Разделите обе части неравенства на коэффициент при x.
    • Окончательный ответ:
    • Используйте открытое отверстие, чтобы указать, что 3 не является частью решения. Решение неравенства x > 3 включает все значения справа от 3, кроме самого 3. Теперь вы понимаете, почему все числа больше 3 являются решениями?

    Пример 2: Решите и нарисуйте решение неравенства

    Этот пример иллюстрирует, что происходит с символом неравенства при делении на отрицательное число.

    • Напишите исходную задачу.
    • Чтобы изолировать переменную x слева от неравенства, я добавлю обе стороны по 2.
    • Вот как это выглядит после того, как я упростил предыдущий шаг.
    • Теперь, чтобы найти x, я разделю обе части на — \,3.

    ВСЕГДА меняйте направление неравенства всякий раз, когда вы делите или умножаете отрицательное число на обе стороны неравенства.

    Используйте закрытое или заштрихованное отверстие , чтобы указать, что 7 является частью решения. Решение неравенства x \le 7 включает 7 и все, что находится слева от него.


    Пример 3: Решите и нарисуйте решение неравенства

    В этой задаче у меня есть переменные с обеих сторон неравенства. Хотя не имеет значения, где мы храним переменную, слева или справа, имеет смысл все время быть последовательным , изолируя ее с левой стороны. Это просто «стандартный» способ, я думаю.

    Однако, если вы пытаетесь сохранить переменную справа, убедитесь, что вы знаете об их тонкостях. Например, ответ на эту задачу: x < - \,6, что совпадает с - \,6 > x. Они эквивалентны, потому что начало неравенства также указывает на -1,6. Следовательно, это означает, что если я поменяю переменную и константу в своем окончательном ответе, я также должен изменить направление символа , чтобы сохранить значение прежним.

    • Напишите исходную задачу.
    • Я хочу оставить x слева. Я сделаю это, добавив 6x к обеим сторонам на
    • . После шага выше мне нужно переместить константу вправо.
    • Вычесть обе стороны на 7.
    • Упростить
    • Чтобы окончательно изолировать x слева, разделите обе части на коэффициент x, равный 2. направление неравенства, потому что I разделил обе части на положительное число.

      • Используйте открытое отверстие , чтобы указать, что — \,6 является , а не частью решения. Решение неравенства x < - \,6 включает все значения слева от - \,6, но исключая само - \,6.

      Пример 4: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Я построил эту задачу, чтобы подчеркнуть шаг, необходимый для работы с символом скобки 9 0047 . Я знаю, что это не оттолкнет вас, потому что вы видели это раньше при решении линейных уравнений, верно? Шаг, необходимый для избавления от скобок, заключается в применении дистрибутивного свойства умножения вместо сложения. Однако я должен предостеречь вас от осторожности при работе со знаками в процессе умножения. Помните, что произведение двух членов с одинаковыми знаками положительно, а если знаки разные, то произведение отрицательно.

      • Напишите исходную задачу. Сначала я уберу скобки, распределив это — \,4 в бином \left( {x — 5} \right).
      • Упрощайте и будьте осторожны при распространении. Помните, вы получаете положительное произведение, если знаки совпадают, и отрицательное, если знаки разные.
      • При решении неравенств у меня есть привычка «всегда» держать переменную в левой части. Хотя держать его справа тоже правильно. Это всего лишь вопрос предпочтений. Чтобы сохранить x слева, вычтите обе стороны в 3 раза.
      • Поскольку я хочу, чтобы константа оставалась справа, становится ясно, что мой следующий шаг — исключить 20 слева.
      • Вычтем обе части на 20.
      • Очевидно, я разделю обе части на отрицательный коэффициент и переверну неравенство.
      • Чтобы найти x, разделите обе части на — \,7, что дает нам окончательный ответ.
      • Используйте закрытое или заштрихованное отверстие , чтобы указать, что 5 является частью решения. Решение неравенства x \ge 5  включает 5 и все, что находится справа от него.

      Пример 5: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Мой общий подход здесь состоит в том, чтобы немедленно убрать круглые скобки, используя свойство дистрибутивности, объединить одинаковые члены с обеих сторон и, наконец, оставить x слева, а константу — слева. Обратная сторона.

      • Напишите исходную задачу. Я дважды применю распределительное свойство слева для двух скобок.

      Для правой стороны это похожие термины, поэтому я просто их объединяю.

      • Упрощение. На этом этапе я буду дальше комбинировать подобные термины слева. Объедините x и константы вместе.
      • Вот что я получил после выполнения вышеуказанного шага.
      • Сдвиньте константы вправо, добавив обе части на 6.
      • Упрощение.
      • Теперь переместите все переменные влево, добавив обе стороны в 4 раза.
      • Разделите обе части на — \,3, чтобы изолировать x. Однако я должен изменить ориентацию символа неравенства, так как я разделил обе части на отрицательное число.
      • Используйте открытое отверстие , чтобы указать, что — \,2 является , а не частью решения. Решение неравенства x > — 2 подразумевает все значения справа от — \,2, но исключая — \,2.

      Пример 6: Решите и нарисуйте решение неравенства

      «Сложность» этой задачи не должна вас беспокоить. Ключом к успешному решению этой проблемы является применение всех методов, которые вы узнали из наших предыдущих примеров. Если вам нужен обзор, не стесняйтесь оглянуться назад.

      Попробуйте решить эту проблему, не глядя на подробное решение. Всякий раз, когда вы думаете, что закончили, сравните то, что у вас есть на бумаге , с ответом ниже.

      • Напишите исходную задачу. Избавьтесь от скобок в обеих частях неравенства, применив распределительное свойство.
      • Упрощение. Соедините похожие термины с обеих сторон.
      • Вот как это выглядит после объединения одинаковых терминов.
      • Вычтите обе стороны на 12, чтобы x остался слева.
      • Упрощение.
      • Вычтите обе части в 5 раз, чтобы константа осталась справа.
      • Решите x, разделив обе части на — 10, однако не забудьте также поменять направление неравенства.
      • Используйте открытое отверстие, чтобы указать, что 2 не является частью решения. Решение неравенства включает все значения выше 2, кроме 2.

      Пример 7: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Давайте закончим хорошо, выполнив последний пример мастерства! Опять же, сначала сделайте это сами на бумаге, а затем сравните свое решение с ответом ниже.

      • Напишите исходную задачу. Объедините члены x в левой части, а затем дважды примените свойство распределения к правой части неравенства.