Разное — Страница 2736 — Таловская средняя школа

Площадь через векторное произведение: Векторное произведение векторов.

alexxlab / 14.10.197016.09.2022 / Разное

Векторное произведение векторов.

Навигация по странице:

Определение векторного произведения векторов
Формулы вычисления векторного произведения векторов
Свойства векторного произведения векторов
Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов.

Упражнения на тему векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b = ijka_xa_ya_zb_xb_yb_z = i (a_yb_z — a_zb_y) — j (a_xb_z — a_zb_x) + k (a_xb_y — a_yb_x)

a × b = {a_yb_z — a_zb_y; a_zb_x — a_xb_z; a_xb_y — a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
S_парал = [a × b]
Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = 1 |a × b|
2
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b =	i	j	k	=
	1	2	3
	2	1	-2

= i(2 · (-2) — 3 · 1) — j(1 · (-2) — 2 · 3) + k(1 · 1 — 2 · 2) =

= i(-4 — 3) — j(-2 — 6) + k(1 — 4) = -7i + 8j — 3k = {-7; 8; -3}

Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =	i	j	k	=
	-1	2	-2
	2	1	-1

= i(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

= i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5j — 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =

|a × b| =

√0² + 5² + 5² =

√25 + 25 =

√50 =

5√22

= 2. 5√2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Нахождение площади треугольника по векторам. Векторное произведение векторов

Контрольная работа №1

Векторы. Элементы высшей алгебры

1-20. Известны длины векторов и и; – угол между этими векторами.

Вычислить: 1) и, 2) .3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах и.

Сделать чертеж.

Решение. Используя определение скалярного произведения векторов:

И свойства скалярного произведения: ,

1) находим скалярный квадрат вектора:

то есть, Тогда .

Рассуждая аналогично, получаем

то есть, Тогда .

По определению векторного произведения: ,

с учетом того, что

Площадь треугольника построенного на векторах и равна

21-40. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD . Средствами векторной алгебры требуется:

A (3;0;-7), B (2;4;6), D (-7;-5;1)

Решение.

Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E — пересечения диагоналей — найдем как координаты середины отрезка BD . Обозначая их через x E ,y E , z E получим, что

Получаем .

Зная координаты точки E — середины диагонали BD и координаты одного из его концов A (3;0;-7), по формулам определяем искомые координаты вершины С параллелограмма:

Итак, вершина .

2) Чтобы найти проекцию вектора на вектор , найдем координаты этих векторов: ,

аналогично . Проекцию вектора на вектор , находим по формуле:

3) Угол между диагоналями параллелограмма находим как угол между векторами

И по свойству скалярного произведения:

тогда

4) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения:

5) Объем пирамиды находим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов , где О(0;0;0), тогда

Тогда искомый объем (куб.ед.)

41-60. Даны матрицы:

В ·С -1 +3A T

Обозначения:

Сначала находим обратную матрицу к матрице С.

Для этого находим ее определитель:

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу С -1

Найдем алгебраические дополнения по формуле , где — минор элемента :

Тогда , .

61–80. Решите систему линейных уравнений:

Методом Крамера; 2. Матричным методом.

Решение.

а) метод Крамера

Найдем определитель системы

Так как , то система имеет единственное решение.

Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.

По формулам Крамера:

б) матричный метод (с помощью обратной матрицы).

Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.

Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x , y , z и Н – матрица-столбец из свободных членов:

Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н . Следовательно имеем матричное уравнение

Так как определитель матрицы А отличен от нуля (пункт «а»), то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу , получим

Так как , где Е – единичная матрица, а , то

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда обратную матрицу находим по формуле:

где A ij — алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе матрицы А , которое является произведением (-1) i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А:

Отсюда получаем обратную матрицу:

Столбец X: X=A -1 H

81–100. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Выполняем элементарные преобразования со строками.

Из 2-ой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2. Из строки 3 вычитаем первую строку, умноженную на 4. Из строки 4 вычитаем первую строку, получаем матрицу:

Далее получаем нуль в первом столбце последующих строк, для этого из второй строки вычитаем третью строку. Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 2. Из четвертой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3. В результате получаем матрицу вида:

Из четвертой строки вычитаем третью.

Поменяем местами предпоследнюю и последнюю строки:

Последняя матрица равносильна системе уравнений:

Из последнего уравнения системы находим .

Подставляя в предпоследнее уравнение, получаем .

Из второго уравнения системы следует, что

Из первого уравнения находим х:

Ответ:

Контрольная работа №2

Аналитическая геометрия

1-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны A В ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты CD и её длину;

5) уравнение медианы АЕ

высотой CD ;

К параллельно стороне АВ,

7) сделать чертёж.

А(3;6), В(15;-3), С(13;11)

Решение.

Применяя (1), находим длину стороны АВ :

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В , получим уравнение стороны АВ :

(АВ ).

(BC ).

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков.

Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС , угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим

; , или

4) уравнение высоты CD и её длина.

Расстояние от точки С до прямой АВ:

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с

высотой CD .

середина стороны ВС:

Тогда уравнение АЕ:

Решаем систему уравнений:

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ :

Так как искомая прямая параллельна стороне АВ , то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ . Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим

; (KF ).

Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точкиА(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей имеет координаты .

Тогда очевидно, что и

следовательно, координаты векторов .

Площадь параллелограмма находим по формуле

Тогда координаты двух других вершин .

В задачах 51-60 даны координаты точек А и В . Требуется:

Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точкиА и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс;

Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы;

Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;

Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.

А(6;-2), В(-8;12).

Решение. Уравнение искомой гиперболы в каноническом виде записывается

где a — действительная полуось гиперболы, b — мнимая полуось. Подставляя координаты точек А и В в это уравнение найдем эти полуоси:

– уравнение гиперболы: .

Полуоси а=4,

фокусное расстояние Фокусы (-8,0) и (8,0)

Эксцентриситет

Асиптоты:

Если окружность проходит через начало координат, ее уравнение

Подставляя один из фокусов, находим и уравнение окружности

Находим точки пересечения гиперболы и окружности:

Строим чертеж:

В задачах 61-80 построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая  значения через промежуток /8 (0   2). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).

Решение. Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и φ.

Номер	φ ,	φ, градусы	Номер	φ , рад	градусы







						3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 — 3 делаем вывод, что данное уравнение определяет эллипс: Даны точки А, В, С, D. Требуется найти: 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точкиА, В, С D в плоскости (Q) ; 2. Уравнение прямой (I), проходящей через точкиВ и D; 3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I) ; 4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точкуА перпендикулярно прямой (I) ; 5. Угол между плоскостями (Р) и (Q ) ; 6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус-вектора; 7. Угол между прямыми (I) и (т). А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D (6;4;0) 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости определяется по формуле Найти : 1) . 2) Площадь параллелограмма, построенного на и. 3) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и. Контрольная работа по теме «Элементы теории линейных пространств… Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлению Методические рекомендации Параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на векторах , и. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Раздел I. Линейная алгебра . 1 – 10. Дана…

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах

, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.

Навигация по странице.

Определение векторного произведения.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов в трехмерном пространстве.

Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой , в противном случае – левой .

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А векторы и . Построим некоторый вектор , перпендикулярный одновременно и и . Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

Векторное произведение векторов и обозначается как .

Координаты векторного произведения.

Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и.

Определение.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где — координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье ):

Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании легко обосновываются следующие свойства векторного произведения :

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются три типа задач.

В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .

Решение.

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, .

Ответ:

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим характерные примеры.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.

Решение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель

Ответ:

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , где — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Сначала найдем координаты векторного произведения в заданной прямоугольной системе координат.

Так как векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем

То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.

Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):

Ответ:

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный и одновременно.

Решение.

Векторы и имеют координаты и соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов и , то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к и к , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его

Ответ:

— один из перпендикулярных векторов.

В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.

Пример.

Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения .

Решение.

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать

В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:

Векторные произведения и равны нулю, так как и , тогда .

Так как векторное произведение антикоммутативно, то .

Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству .

По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины

Ответ:

Геометрический смысл векторного произведения.

По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Замечание 1

Векторным произведением для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является $\vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $\vec{c}= |[ab]|$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:

Cкаляр полученного вектора — произведение $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ на синус угла $\vec{c}= |[ab]|= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \sin α \left(1\right)$;
Все $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку;
Полученный вектор ортогонален к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}= \{x_2; y_2; z_2\}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$[a \times b] = \{y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$[ab] = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $\vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры. 2} = \sqrt{1878} ≈ 43, 34$.

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec{m}$ с координатами $\{2; 3\}$ и $\vec{d}$ с координатами $\{-5; 6\}$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = \begin{array} {||cc||} 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end{array} = \sqrt{12 + 15} =3 \sqrt3$.

Пример 3

Даны векторы $\vec{a} = 3i – j + k; \vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.

$[ \vec{a} \times \vec{b}] = (3i – j + k) \times 5i = 15 [i \times i] – 5 [j \times i] + [5k\times i]$

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1. 2} = 5\sqrt{2}$.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Пример 4

Вектор $\vec{d} = 2a + 3b$, $\vec{f}= a – 4b$, длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 45°.

Решение:

Вычислим векторное произведение $\vec{d} \times \vec{f}$:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= (2a + 3b) \times ( a – 4b) = 2 [a \times a] – 8 [a \times b] + 3 [b \times a] – 12 [b \times b]$.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a \times a]$ и $[b \times b]$ равны нулю, $[b \times a] = — [a \times b]$.

Используем это для упрощения:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= -8[a \times b] + 3 [b \times a] = -8[a \times b] — 3[a \times b] =-11[a \times b]$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[\vec{d} \times \vec{f} ] = |-11 [a \times b]| = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.05.2022

Векторное произведение векторов площадь треугольника. Свойства векторного произведения

Определение. Векторным произведением вектора а (множимое) на не коллинеарный ему вектор (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма на рис. 155), построенного на векторах т. е. он равен направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма;

3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы с составляли правую систему (§ 110).

Обозначение: или

Дополнение к определению. Если векторы коллинеарны, то фигуре считая ее (условно) параллелограммом, естественно приписать нулевую площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору.

Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление, это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.

Замечание 1. В термине «векторное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор (в противоположность скалярному произведению; ср. § 104, замечание 1).

Пример 1. Найти векторное произведение где основные векторы правой системы координат (рис. 156).

1. Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма (квадрата) численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.

2. Так как перпендикуляр к плоскости есть ось то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору к; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.

3. Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы к образуют правую систему (а векторы левую).

Пример 2. Найти векторное произведение

Решение. Как в примере 1, заключаем, что вектор равен либо k, либо -k. Но теперь надо выбрать -k, так как векторы образуют правую систему (а векторы левую). Итак,

Пример 3. Векторы имеют длины, соответственно равные 80 и 50 см, и образуют угол 30°. Приняв за единицу длины метр, найти длину векторного произведения а

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна Длина искомого векторного произведения равна

Пример 4. Найти длину векторного произведения тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.

Решение. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах равна то длина векторного произведения равна 2000 см, т. е.

Из сравнения примеров 3 и 4 видно, что длина вектора зависит не только от длин сомножителей но также и от выбора единицы длины.

Физический смысл векторного произведения. Из многочисленных физических величин, изображаемых векторным произведением, рассмотрим только момент силы.

Пусть А есть точка приложения силы Моментом силы относителько точки О называется векторное произведение Так как модуль этого векторного произведения численно равен площади параллелограмма (рис. 157), то модуль момента равняется произведению основания на высоту т. е. силе, умноженной на расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила.

В механике доказывается, что для равновесия твердого тела необходимо, чтобы равнялась нулю не только сумма векторов , представляющих силы, приложенные к телу, но также и сумма моментов сил. В том случае, когда все силы параллельны одной плоскости, сложение векторов, представляющих моменты, можно заменить сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное произведение определяется именно как вектор, а не как число.

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a , b и с , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с , который:

1. j ;

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а хb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a xb = -(b xa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l (а хb ) = (l а ) х b = а х (l b ).

Пусть l >0. Вектор l (а хb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l (а хb ) и ( l а )хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а ||b а хb =0 .

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =а х i +a y j +a z k и b =b x i +b y j +b z k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7. 1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а | * |b |sin g , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, D S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ , где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

Векторное произведение коллинеарных векторов

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

Ответ :

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Пример 5

Найти , если

Векторное произведение векторов в координатах

, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

Примечание : чертёж является схематическим.

Навигация по странице.

Определение векторного произведения.

В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.

Определение.

Векторное произведение векторов и обозначается как .

Координаты векторного произведения.

Определение.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Свойства векторного произведения.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются три типа задач.

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .

Решение.

Ответ:

Рассмотрим характерные примеры.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.

Решение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель

Ответ:

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , где — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Сначала найдем координаты векторного произведения в заданной прямоугольной системе координат.

То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.

Ответ:

Пример.

Решение.

Ответ:

— один из перпендикулярных векторов.

Пример.

Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения .

Решение.

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать

Векторные произведения и равны нулю, так как и , тогда .

Так как векторное произведение антикоммутативно, то .

Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству .

Ответ:

Геометрический смысл векторного произведения.

Единичный вектор — это вектор , абсолютная величина (модуль) которого равен единице. Для обозначения единичного вектора мы будем использовать нижний индекс е. Так, если задан вектор а , то его единичным вектором будет вектор а е. Этот единичный вектор направлен туда же, куда направлен и сам вектор а , и его модуль равен единице, то есть а е = 1.

Очевидно, а = а·а е (а — модуль вектора а) . Это следует из правила, по которому выполняется операция умножения скаляра на вектор .

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Направления этих векторов совпадают с направлениями соответствующих осей, а их начала часто совмещают с началом системы координат.

Напомню, что декартовой системой координат в пространстве традиционно называется тройка взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке, которая называется началом координат. Координатные оси обычно обозначают буквами X , Y , Z и называют соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Сам Декарт пользовался только одной осью, на которой откладывались абсциссы. Заслуга использования системы осей принадлежит его ученикам. Поэтому фраза декартова система координат исторически ошибочна. Лучше говорить прямоугольная система координат или ортогональная система координат . Тем не менее, изменять традиции мы не станем и в дальнейшем будем считать, что декартова и прямоугольная (ортогональная) системы координат — это одно и то же.

Единичный вектор , направленный вдоль оси Х, обозначается i , единичный вектор , направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор , направленный вдоль оси Z, обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами (рис. 12, слева), они имеют единичные модули, то есть
i = 1, j = 1, k = 1.

Оси и орты прямоугольной системы координат в некоторых случаях имеют другие названия и обозначения. Так, ось абсцисс X может называться касательной осью, а ее орт обозначается τ (греческая строчная буква тау), ось ординат — осью нормали, ее орт обозначается n , ось аппликат — осью бинормали, ее орт обозначается b . Зачем менять названия, если суть остается той же?

Дело в том, что, например, в механике при изучении движения тел прямоугольная система координат используется очень часто. Так вот, если сама система координат неподвижна, а изменение координат движущегося объекта отслеживается в этой неподвижной системе, то обычно оси обозначают X, Y, Z, а их орты соответственно i , j , k .

Но нередко, когда объект движется по какой-то криволинейной траектории (например, по окружности) бывает удобнее рассматривать механические процессы в системе координат, движущейся с этим объектом. Именно для такой движущейся системы координат и используются другие названия осей и их ортов. Просто так принято. В этом случае ось X направляют по касательной к траектории в той ее точке, в которой в данный момент этот объект находится. И тогда эту ось называют уже не осью X, а касательной осью, а ее орт обозначают уже не i , а τ . Ось Y направляют по радиусу кривизны траектории (в случае движения по окружности — к центру окружности). А поскольку радиус перпендикулярен касательной, то ось называют осью нормали (перпендикуляр и нормаль — это одно и то же). Орт этой оси обозначают уже не j , а n . Третья ось (бывшая Z) перпендикулярна двум предыдущим. Это — бинормаль с ортом b (рис. 12, справа). Кстати, в этом случае такую прямоугольную систему координат часто называют «естественной» или натуральной.

Векторное произведение векторов.

Навигация по странице:

Определение векторного произведения векторов
Формулы вычисления векторного произведения векторов
Свойства векторного произведения векторов
Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов.

Упражнения на тему векторное произведение векторов.

рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z — a_zb_y) — j(a_xb_z — a_zb_x) + k(a_xb_y — a_yb_x)
	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z — a_zb_y; a_zb_x — a_xb_z; a_xb_y — a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
S_парал = [a × b]
Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = 1 |a × b|
2
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b =	i	j	k	=
	1	2	3
	2	1	-2

= i(2 · (-2) — 3 · 1) — j(1 · (-2) — 2 · 3) + k(1 · 1 — 2 · 2) =

= i(-4 — 3) — j(-2 — 6) + k(1 — 4) = -7i + 8j — 3k = {-7; 8; -3}

Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =	i	j	k	=
	-1	2	-2
	2	1	-1

= i(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

= i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5j — 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =	1	\|a × b\| =	1	√0² + 5² + 5² =	1	√25 + 25 =	1	√50 =	5√2
	2		2		2		2		2

Ответ: SΔ = 2. 5√2.

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

Векторным произведениемвектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведениедвух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z — a_zb_y) — j(a_xb_z — a_zb_x) + k(a_xb_y — a_yb_x)
	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z— a_zb_y; a_zb_x— a_xb_z; a_xb_y— a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал= a × b]

Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	\|a × b\|
	2

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Смешанным произведением некомпланарныхвекторов,взятых в данном порядке, называетсяобъём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базисправый, и знаком «–», если базислевый.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер): .

2. Смешанное произведение не меняетсязнаков векторного и скалярного умножения:, поэтому смешанное произведение записывают.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей: ,.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,иравно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:,, – компланарны.

Доказательство. Предположим, что векторы ,и– не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем, т.е., но это противоречит условию, согласно которого,. Следовательно, векторы,и– компланарны.

Обратно, пусть ,и– компланарны. Тогда вектори перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы,и, значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, напримерЭто значит, что .

Смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

, и.

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Итак,

Приложения смешанного произведения:

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ,и– правая тройка, еслилевая.

2. Установление компланарности векторов:

(  (,, – компланарны).

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Пример. Компланарны ли векторы ,и, если .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов:

векторы ,ине компланарны.

Пример. Доказать, что векторы ,икомпланарны.

Решение. Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов ,и

, т. к. определитель матрицы равен нулю, то векторы линейно зависимы, следовательно они компланарны.

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершинына грань, если

Решение. Найдем координаты векторов:

, ,.

Вычислим объем:

Поскольку объем тетраэдра , то высота.

Вычислим площадь основания тетраэдра

Итак, высота .

Многомерное исчисление

. Почему величина перекрестного произведения a и b дает площадь параллелограмма, натянутого на a и b?

спросил 6 лет, 11 месяцев назад

Изменено 11 месяцев назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$

Я пытался найти это, но многие веб-сайты просто указывают это без доказательств и без интуиции. Я надеюсь изучить его немного лучше, чтобы не забыть, как вычислять якобиан при работе с поверхностными интегралами, где теорема о дивергенции неприменима.

Если у вас есть хороший онлайн-справочник, пожалуйста, предоставьте его 🙂

Спасибо,

многомерное исчисление
площадь
перекрестное произведение
поверхностные интегралы

$\endgroup$

$\begingroup$

Выберите координаты так, чтобы два вектора $\vec a, \vec b$ лежали в плоскости $xy$, а $\vec a$ вдоль оси $x$. (Обратите внимание, что пока вы выбрали единицу длины , точное направление, которое вы выберете для осей координат, ничего не меняет. Векторы и их векторное произведение живут в пространстве без координат, просто плавая. Мы просто вводим координаты, чтобы упростить конкретные вычисления. 2} = |a_1b_2|$, очевидно. Но у параллелограмма есть основание $|a_1|$ и высота $|b_2|$, а это значит, что площадь параллелограмма задается точно таким же выражением.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вероятно, потому что ответ прост с точки зрения классической 2D-геометрии.

$||\vec u\times \vec v||=||\vec u||.||\vec v||.\sin(\vec u,\vec v)$

Но площадь параллелограмм, определяемый $\vec u$ и $\vec v$, представляет собой произведение основания на высоту. Если взять $\vec u$ за основу, высота будет $h=||\vec v||.\sin(\vec u,\vec v)$, отсюда и результат…

$\endgroup$

$\begingroup$

$|А×В|=|А| ×|B|\sin \theta $, где $\theta$ — угол между A и B. Используя простую тригонометрию, пусть высотой параллелограмма будет буква X

Площадь параллелограмма определяется основанием × высота

$\sin\theta=X/|A|$ Это означает, что $X= |A| \sin\theta $

Следовательно, площадь задается основанием $|B| × |А| \sin\тета $ По сути, это величина перекрестного произведения A и B

$\endgroup$

$\begingroup$

Определим $A \times_1 B, A \times_2 B$ как векторы, перпендикулярные $A, B$, с ориентацией, выбранной по правилу правой руки, и величиной $|A||B|sin \theta$ соответственно. абсолютное значение $$ \begin{vmatrix} \bf{i} & \bf{j} & \bf{k} \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ б_1 и б_2 и б_3 \end{vmatrix} $$ Простое геометрическое доказательство показывает, что $A \times_1 B$ линейно зависит от $A, B$. А детерминантные свойства показывают, что $A \times_2 B$ линейно зависит также в $A, B$. Остается заметить, что $\times_1, \times_2$ совпадают на базисных векторах $\bf{i}, \bf{j}, \bf{k}$, а значит, как и ожидалось, $\times_1 = \times_2$ .

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

внешняя алгебра — Интуиция за перекрестным произведением и площадью параллелограмма

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 4 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Перекрестное произведение в 2D определяется следующим образом: $|(x_1, y_1) \times (x_2, y_2)| = x_1 y_2 — x_2 y_1.$

Я прекрасно понимаю первую часть определения: $x_1 y_2$, которая представляет собой просто площадь прямоугольника:

Я изо всех сил пытаюсь понять вторую часть: $- x_2 y_1.$
Я чувствую, что вторая часть, вероятно, связана с поворотами векторов $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, потому что при повороте исходного прямоугольника мы должны сохранить площадь и $- x_2 y_1$ каким-то образом компенсирует избыток площади , что мы получаем из первого слагаемого $x_1 y_2$.

Я чувствую, что моей интуиции не хватает многих деталей, и я был бы признателен за объяснение второго члена и его связи с вращениями.

Мой вопрос отличается от Рассуждения о перекрестных произведениях, используемых для нахождения площади, хотя названия почти идентичны. Ортогональность моего вопроса к этому можно увидеть, прочитав эти части вопроса:

У меня нет проблем с вычислением площади между двумя векторами.

Но у меня есть.

… но не почему вместо скалярного произведения используется перекрестное произведение.

Скалярный продукт выходит за рамки моего вопроса.

площадь
внешняя алгебра
перекрестное произведение

$\endgroup$

$\begingroup$

Если вы предпочитаете геометрическое видение, зафиксируйтесь на фигуре.

Площадь параллелограмма $OMPN$, очевидно, равна площади розового параллелограмма (то же основание $OM$ и та же высота, потому что противоположные стороны параллельны). Но площадь розового параллелограмма также определяется как: $ \quad Area=|a_1c|$, и мы можем найти $c$ как пересечение в начале координат прямой из $N,P$.

Изучив элементарную аналитическую геометрию, вы обнаружите, что $$ c=\frac{a_1b_2-a_2b_1}{a_1} $$

и это означает, что:

$$ Площадь = |a_1b_2-a_2b_1| $$

, то есть абсолютное значение дермината матрицы, столбцами которой являются два вектора $\overline {OM}$ и $\overline {ON}$, или абсолютное значение векторного произведения тех же двух векторов.

$\endgroup$

$\begingroup$

Формула отлично работает для стандартных единичных векторов.
Расширение одного из векторов на константу $c$ должно умножать (ориентированную) площадь на $c$ и действительно умножает векторное произведение на $c$
Сдвиг вдоль $(x_1,y_1)$, т. е. замена $(x_2,y_2)$ на $(x_2+cx_1,y_2+cy_1)$ не меняет ни площадь, ни векторное произведение (дополнительные члены отменить)

Поскольку любой параллелограмм может быть получен из стандартных единичных векторов с помощью нескольких шагов сдвига/растяжения, векторное произведение сообщает нам ориентированную площадь для всех параллелограммов.

$\endgroup$

$\begingroup$

Перекрестное произведение можно также определить как $a\times b=|a||b|\sin\theta$, где $\theta$ представляет собой угол между $a$ и $b$.

Его можно рассматривать как задающий вектор, перпендикулярный к $a$ и $b$, с длиной $|a||b|\sin\theta$ или как площадь косого прямоугольника (т. е. параллелограмма) с длинами сторон $a$ и $b$ и косой чертой $\theta$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вот представление определителя всех положительных величин, которое может обеспечить понимание связи с площадями на первом уровне.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Площадь параллелограмма

Часть 3:

Параллелограммы и треугольники

Даны два вектора u и v с общим начальная точка, множество конечных точек векторов s u + t v для 0 £ s , t £ 1 определяется как параллелограмм охватывает u и против .

Мы можем исследовать параллелограмм, натянутый на два вектора в двумерной системе координат. То есть, поскольку системы координат являются плодом нашего коллективного воображения, мы можем вообразить параллелограмм, натянутый на два вектора, находится в системе координат x’ y’ , где ось x’ параллельна у а ось y’ находится в той же плоскости, что и u и против .

(Нажмите и перетащите конечную точку стрелки. Углы указаны в градусах.)

Поскольку и = || и || i и v = || против || ( cos(q) i + sin(q) j ) в системе координат x’ y’ их векторное произведение равно

|| и || || против || ( cos( q ) i × i + sin( q ) i × j )

|| и || || в || sin(q) к

Это приводит к следующей теореме:

Теорема 3. 3: Если q угол, образованный u и v , то
|| u × v || = || и || || против || sin(q)

Рассмотрим два приложения теоремы 3.3. Во-первых, если и и v параллельны, тогда q = 0 и u × v = 0.

Во-вторых, параллелограмм, натянутый на и и на , можно разрезать на две части. части, образующие прямоугольник с высотой || против || sin( q) и основание || и || ,

Таким образом, площадь параллелограмма, образованного и и и , равна || и |||| против || грех(q) . Действительно, имеем следующее:

Последний результат следует из того факта, что и — и делит пополам параллелограмм, образованный и и и .

ПРИМЕР 5    Найдите площадь треугольника с вершинами P ₁ (2,2) , P ₂ (4,4) и P 9 (6,_{) 3 .}
Решение: Легко видеть, что u = б2,2 ñ и v = б 4,-1 с . В качестве векторов в R ³ , мы имеем u = б2,2,0 ñ и v = а 4,-1,0 с . Таким образом, их векторное произведение равно
а 0,0, 2·( -1) -4·2 –
0,0,-10 –
Так как треугольник имеет половину площади параллелограмма, образованного u и v , площадь треугольника
Область = || u × v || =
0 ² +0 ² +(-10) ²
= 5   единиц ²
ПРИМЕР 6    Найдите площадь треугольника с вершинами P ₁ ( 3,0,2) , P ₂ ( 4,6,1) , и P _{3 09046 3 5,4) .
Решение: Для этого сначала построим векторы u и против :
и =   П ₁ П ₂ =
б4-3,6-0,1-2
с =
а 1,6,-1
с
v = Р ₁ Р ₃ =
В0-3,5-0,4-2
с =
б-3,5,2
с
В качестве векторов в R ³ мы теперь имеем u =
б2,2,0
ñ и v =
а 4,-1,0
с . Таким образом, их векторное произведение равно.
6·2-5·(-1),(-1)·(-3)-2·1,1·5-(-3)·6
–
17,1,23
–
Поскольку треугольник имеет половину площади параллелограмма, образованного 90 233 u 90 234 и 90 233 v 90 234, площадь треугольника равна
Область = || u × v || =
17 ² +2 ² +23 ² = 14,335   единиц ²
Рисунок Maple/Javaview}

Проверьте правильность чтения: Какова площадь параллелограмма, натянутого на u и против в примере 6?

Перекрестное произведение двух векторов

Перекрестное произведение двух векторов — это метод умножения двух векторов. Перекрестное произведение обозначается знаком умножения (x) между двумя векторами. Это бинарная векторная операция, определенная в трехмерной системе. Перекрестное произведение двух векторов — это третий вектор, перпендикулярный двум исходным векторам. Его величина определяется площадью параллелограмма между ними, а его направление можно определить по правилу большого пальца правой руки. Перекрестное произведение двух векторов также известно как векторное произведение, поскольку результирующая перекрестного произведения векторов является векторной величиной. Здесь мы узнаем больше о векторном произведении двух векторов.

1.	Перекрестное произведение двух векторов
2.	Формула перекрестного произведения
3.	Правило правой руки перекрестного произведения
4.	Свойства перекрестного продукта
5.	Продукт тройного креста
6.	Пример перекрестного произведения
7.	Часто задаваемые вопросы о векторном произведении двух векторов

Перекрестное произведение двух векторов

Перекрестное произведение — это форма умножения векторов, выполняемая между двумя векторами разной природы или вида. Вектор имеет как величину, так и направление. Мы можем умножать два или более векторов на перекрестное произведение и скалярное произведение. Когда два вектора перемножаются друг с другом и произведение векторов также является векторной величиной, то результирующий вектор называется перекрестным произведением двух векторов или векторным произведением. Результирующий вектор перпендикулярен плоскости, содержащей два заданных вектора.

Определение векторного произведения

Если A и B — два независимых вектора, то результат векторного произведения этих двух векторов (Ax B) перпендикулярен обоим векторам и нормален к плоскости, содержащей оба вектора. Он представлен:
А х В = |А| |Б| sin θ

Мы можем понять это на примере, что если у нас есть два вектора, лежащих в плоскости X-Y, то их векторное произведение даст результирующий вектор в направлении оси Z, которая перпендикулярна плоскости XY . Символ × используется между исходными векторами. Векторное произведение или перекрестное произведение двух векторов показано как:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}$

Где

$\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ два вектора.
$\overrightarrow{c}$ — результирующий вектор.

Перекрестное произведение двух векторов Значение

Используйте изображение, показанное ниже, и обратите внимание на углы между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$ и углы между векторами $\ overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. 9\circ\).т. е. $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются ортогональными векторами.

Мы можем расположить $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ параллельно друг другу или под углом 0°, сделав результирующий вектор нулевым вектором.

Чтобы получить наибольшую величину, исходные векторы должны быть перпендикулярны (угол 90°), чтобы векторное произведение двух векторов было максимальным.

Формула перекрестного произведения

Формула перекрестного произведения между любыми двумя векторами дает площадь между этими векторами. Формула векторного произведения дает величину результирующего вектора, который представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на два вектора.

Формула перекрестного произведения

Рассмотрим два вектора $\overrightarrow{a}$= $a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k$ и $\overrightarrow{b}$ = $b_1 \шляпа i+b_2 \шляпа j+b_3 \шляпа k$. Пусть θ — угол, образованный между $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, а $\hat n$ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей обе $\overrightarrow{a }$ и $\overrightarrow{b}$. Перекрестное произведение двух векторов определяется формулой:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n$

Где

$\mid \overrightarrow a \mid\ ) — величина вектора a или длина \(\overrightarrow{a}$,
$\mid \overrightarrow b \mid$ — величина вектора b или длина $\overrightarrow{b}$.

Предположим, что $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора, такие что $\overrightarrow{a}$= $a_1\hat i+a_2 \ hat j+a_3 \hat k$ и $\overrightarrow{b}$ = $b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k$, то с помощью определителей мы могли бы найти векторное произведение и запишите результат в виде формулы перекрестного произведения, используя матричную запись.

Перекрестное произведение двух векторов также представляется с помощью формулы перекрестного произведения как:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3-a_3b_1)\\+ \hat k (a_1b_2-a_2b_1)$

Примечание: $ \hat i, \hat j, \text{ и } \hat k $ — единичные векторы в направлении оси x, оси y и оси z соответственно.

Правило правой руки — векторное произведение двух векторов

Мы можем узнать направление вектора, который получается при перекрестном произведении двух векторов по правилу правой руки. Мы следуем следующей процедуре, чтобы узнать направление результата перекрестного произведения двух векторов:

Направьте указательный палец в направлении первого вектора ($\overrightarrow{A}$).
Совместите средний палец в направлении второго вектора $\overrightarrow{B}$.
Теперь большой палец указывает в направлении векторного произведения двух векторов.

Посмотрите на изображение ниже, чтобы понять это лучше.

Свойства перекрестного произведения двух векторов

Свойства перекрестного произведения помогают ясно понять умножение векторов и помогают легко решать все проблемы векторных вычислений. Свойства перекрестного произведения двух векторов следующие:

Длина векторного произведения двух векторов $= \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta)$.
Антикоммутативное свойство: $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = — \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$
Распределительное свойство: $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} )+ (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{с})$
Перемножение нулевого вектора: $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$
Перемножение вектора с самим собой: $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$
Умножить на скалярную величину: $\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) = c\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times c\overrightarrow{b}$
Перекрестное произведение единичных векторов: $\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i} =\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k} = 0$
$\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i}\\\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{-k}\\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{-i}\\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{-j}$

Тройное перекрестное произведение

Перекрестное произведение вектора на перекрестное произведение двух других векторов представляет собой тройное перекрестное произведение векторов. Результатом тройного перекрестного произведения является вектор. Равнодействующий вектора тройного пересечения лежит в плоскости данных трех векторов. Если a, b и c — векторы, то векторное тройное произведение этих векторов будет иметь вид:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} -(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}) \overrightarrow{a}$

Перекрестное произведение двух векторов Пример

Перекрестное произведение играет решающую роль в нескольких областях науки и техники. Два очень простых примера показаны ниже.

Пример 1: Открытие крана: Мы прикладываем равные и противоположные силы к двум диаметрально противоположным концам крана. В этом случае применяется крутящий момент. В векторной форме крутящий момент представляет собой векторное произведение радиус-вектора (от оси вращения до точки приложения силы) и вектора силы.

т. е. $\overrightarrow{T} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$

Пример 2: Скручивание болта гаечным ключом: длина гаечного ключа равна одному вектору. Здесь направление, в котором мы прикладываем усилие к гаечному ключу (чтобы затянуть или ослабить болт), является другим вектором. Результирующее направление закручивания перпендикулярно обоим векторам.

Важные примечания

В результате перекрестного произведения двух векторов получается вектор, ортогональный двум заданным векторам.
Направление векторного произведения двух векторов определяется правилом большого пальца правой руки, а величина определяется площадью параллелограмма, образованного исходными двумя векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow {б}$.
Перекрестное произведение двух линейных векторов или параллельных векторов является нулевым вектором.

☛ Также проверьте:

Типы векторов
Векторные формулы
Компоненты вектора
Калькулятор перекрестного произведения
Сложение векторов

Примеры перекрестного произведения двух векторов

Пример 1: Два вектора имеют скалярную величину как ∣a∣=2√3 и ∣b∣ = 4, а угол между двумя векторами равен 60 ^∘ .
Рассчитать векторное произведение двух векторов.
Решение:
Мы знаем, что sin60° = √3/2
Перекрестное произведение двух векторов определяется выражением $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $ = |a ||b|sin(θ)$ \шляпа n $ = 2√3×4×√3/2 = 12$ \шляпа n $
Ответ: перекрестное произведение равно 12n.
Вопрос 2: Найдите векторное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}$ = (3,4,5) и $\overrightarrow{b}$ = (7,8,9)
Решение:
Перекрестное произведение задается как
$\begin{align}a \times b &=\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 3 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\end{align}$
= [(4×9)−(5×8)] $ \шляпа {i}$ −[(3×9)−(5×7)]$ \шляпа {j} $+[(3×8)−(4 ×7)] $ \hat {k}$
= (36−40)$ \hat i$ − (27−35)$ \hat j$ +(24−28) $ \ шляпа k$ = −4$ \hat i$ + 8$ \hat j$ −4$ \hat k$
Ответ: ∴ $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{ b} $ = −4$ \hat i$ + 8$ \hat j$ −4$ \hat k$
Пример 3: Если $\overrightarrow{a}$ = (2, -4, 4) и $\overrightarrow{b}$ = (4, 0,3), найдите угол между ними.
Решение
$\overrightarrow{a}$ = 2i — 4j + 4k
$\overrightarrow{b}$ = 4i + 0j +3k
Величина $\overrightarrow{a }$ равно
∣a∣=√(2 ² +4 ² +4 ² ) = √36 = 6
Величина $\overrightarrow{b}$ равна
∣900 b∣=√(4 ² +0 ² +3 ² ) = √25 = 5
Согласно формуле перекрестного произведения, мы имеем
$\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 2 & -4 & 4\\ 4 & 0 & 3 \end{matrix}\\\\&=[(-4\times3) — (4\times0)]\hat i \\ — &[(3\times 2) — (4\times 4)] \hat j \\\\ + &[(2\times 0) -(-4\times 4)]\hat k \\\\&= -12\hat i + 10 \hat j +16 \hat k \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= (-12, 10, 16) \end{align}$
Длина $\overrightarrow{c}$ равна
∣c∣=√(−(12) ² +10 ² +16 ² )
=√0(144+ +256)
=√500
=10√5
$\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \mid a \mid \mid b \mid \sin\ тета\\\sin\theta &= \dfrac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\mid a \mid \mid b \mid}\end{align}$
sinθ = 10√ 5/(5×6)
sinθ = √5/3
θ = sin ⁻¹ (√5/3)
θ = sin ⁻¹ (0,74)
θ = 48 ^∘
Ответ: Угол между векторами равен 904 904 904.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по перекрестному произведению двух векторов

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о перекрестном произведении двух векторов

Что такое векторное произведение двух векторов?

В результате перекрестного произведения двух векторов при умножении третий вектор перпендикулярен двум исходным векторам. Величина результирующего вектора определяется площадью параллелограмма между ними, а его направление можно определить по правилу правой руки. a × b = c, где c — векторное произведение двух векторов a и b.

Каков результат векторного перекрестного произведения?

Когда мы находим векторное произведение двух векторов, мы получаем другой вектор, выровненный перпендикулярно плоскости, содержащей два вектора. Величина результирующего вектора является произведением греха угла между векторами и величиной двух векторов. а × б = | а | |б| грех θ.

Что такое скалярное произведение и векторное произведение двух векторов?

Векторы можно умножать двумя разными способами, т. е. скалярным произведением и перекрестным произведением. Результаты обоих этих умножений векторов различны. В результате скалярное произведение дает скалярную величину, тогда как векторное произведение дает векторную величину. Скалярное произведение — это скалярное произведение двух векторов, а перекрестное произведение двух векторов — это векторное произведение двух векторов. Скалярное произведение также известно как скалярное произведение, а перекрестное произведение также известно как векторное произведение. Векторное произведение двух векторов задается как: $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n$ и формула скалярного произведения двух векторов задается как: $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |a| |b| \cos(\theta)$

Как найти векторное произведение двух векторов?

Перекрестное произведение двух векторов определяется по формуле: $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n$

Где

|$\overrightarrow a$| величина или длина $\overrightarrow{a}$,
|$\overrightarrow b$| является величиной или длиной $\overrightarrow{b}$

Почему перекрестное произведение является синусоидальным?

Поскольку θ — это угол между двумя исходными векторами, используется sin θ, поскольку площадь параллелограмма получается путем перекрестного произведения двух векторов.

Всегда ли положительное произведение двух векторов?

Когда угол между двумя исходными векторами изменяется от 180° до 360°, векторное произведение становится отрицательным. Это связано с тем, что sin θ отрицателен для 180°< θ <360°.

В чем разница между скалярным произведением и перекрестным произведением двух векторов?

При умножении векторов скалярное произведение исходных векторов дает скалярную величину, тогда как перекрестное произведение двух векторов дает векторную величину. Скалярное произведение — это произведение величины векторов и cos угла между ними. а . б = |а| |б| cosθ. Векторное произведение — это произведение величины векторов на синус угла между ними. а × б = | а | |б| грех θ.

Что такое формула векторного произведения для двух векторов?

Формула векторного произведения определяет векторное произведение для любых двух заданных векторов, задавая площадь между этими векторами. Формула перекрестного произведения имеет вид $\overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} =|A||B| sin⁡θ$, где |A| = величина вектора A, |B| = величина вектора B, а θ = угол между векторами A и B.

Как найти величину векторного произведения двух векторов?

Перекрестное произведение двух векторов — это еще один вектор, величина которого определяется выражением $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3-a_3b_1) \\+ \шляпа k (a_1b_2-a_2b_1)$

Что такое формула перекрестного произведения с использованием матричной записи?

Для двух заданных векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ мы можем найти векторное произведение, используя определители. Например, $\overrightarrow{a}$= $a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k$ и $\overrightarrow{b}$ = $b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k$, то мы можем записать результат как $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3- a_3b_1)\\+ \шляпа k (a_1b_2-a_2b_1)$

Как использовать формулу перекрестного произведения?

Рассмотрим заданные векторы.

Шаг 1: Проверьте компоненты векторов |A| = величина вектора A, |B| = модуль вектора B и θ = угол между векторами A и B.
Шаг 2: Подставьте значения в формулу векторного произведения: \ ((\vec {A × B})=|A||B|\text{Sin⁡}\vec{θ_n}\)

Например, если $\vec {A}=a\hat{i} + b\hat{j}+c\hat{k}$ и $ \vec{B}=d\hat{i } + e\hat{j}+f\hat{k}$, затем ${\vec{A × B}} = \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{ k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}$

${\vec{A × B}} = \шляпа{i}(bf-ce) — \шляпа{j}(af-cd) + \шляпа{k}(ae-bd)$

Что такое правило большого пальца правой руки для перекрестного произведения двух векторов?

Правило правой руки для векторного произведения двух векторов помогает определить направление результирующего вектора. Если мы направим правую руку в направлении первой стрелки, а пальцы согнем в направлении второй, то наш большой палец окажется в направлении векторного произведения двух векторов. Правило большого пальца правой руки дает формулу векторного произведения для нахождения направления результирующего вектора.

Понимание перекрестного произведения – BetterExplained

Взяв два вектора, мы можем записать каждую комбинацию компонентов в сетку:

Эта завершенная сетка представляет собой внешний продукт , который можно разделить на:

Скалярный продукт , взаимодействия между подобными измерениями ( x*x , y*y , z*z )
Перекрестное произведение , взаимодействия между различными измерениями ( x*y , y*z , z*x и т.д.)

Скалярное произведение ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) измеряет сходство, поскольку оно накапливает взаимодействия только в совпадающих измерениях. Это простой расчет с 3 компонентами.

Перекрестное произведение (обозначаемое как $\vec{a} \times \vec{b}$) должно измерять полдюжины «перекрестных взаимодействий». Вычисление выглядит сложным, но концепция проста: суммируйте 6 индивидуальных различий для получения общей разницы.

Вместо того, чтобы думать «Когда мне нужно перекрестное произведение?» подумайте: «Когда мне нужно взаимодействие между разными измерениями?».

Область, например, образована векторами, указывающими в разные стороны (чем ортогональнее, тем лучше). Действительно, перекрестное произведение измеряет площадь, охватываемую двумя трехмерными векторами (источник):

(«Перекрестное произведение» предполагает трехмерные векторы, но концепция распространяется на более высокие измерения.)

Ключевая интуиция щелкнула? Перейдем к деталям.

Определение перекрестного произведения

Скалярное произведение представляет сходство между векторами в виде одного числа:

Например, мы можем сказать, что север и восток сходны на 0%, поскольку $(0, 1) \cdot (1, 0) = 0$. Или что Север и Северо-Восток похожи на 70% ($\cos(45) = 0,707$, помните, что триггерные функции представляют собой проценты.) Сходство показывает количество одного вектора, которое «проявляется» в другом.

Должно ли перекрестное произведение, разность между векторами, тоже быть одним числом?

Попробуем. Синус — это разница в процентах, поэтому мы могли бы написать:

К сожалению, нам не хватает некоторых деталей. Допустим, мы смотрим вниз по оси x: и y, и z указывают на 100% от нас. Число вроде «100%» говорит нам о большой разнице, но мы не знаем, в чем она заключается! Нам нужна дополнительная информация, чтобы сказать нам, что «разница между $\vec{x}$ и $\vec{y}$ составляет на » и «разница между $\vec{x}$ и $\vec{z} $ — это , что ».

Итак, давайте представим перекрестное произведение в виде вектора:

Размер перекрестного произведения — это числовая «величина разницы» (с $\sin(\theta)$ в процентах). Само по себе это не отличает $\vec{x} \times \vec{y}$ от $\vec{x} \times \vec{z}$.
направление перекрестного произведения основано на обоих входных данных: это направление ортогонально обоим (т. е. не в пользу ни того, ни другого).

Теперь $\vec{x} \times \vec{y}$ и $\vec{x} \times \vec{z}$ имеют разные результаты, каждый с величиной, указывающей, что они на «100%» отличаются от $ \vec{х}$.

(Должно ли скалярное произведение также быть векторным результатом? Ну, мы отслеживаем сходство между $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Сходство измеряет перекрытие между направлениями исходного вектора, которое у нас уже есть.)

Геометрическая интерпретация

Два вектора определяют плоскость, и векторное произведение указывает в направлении, отличном от обоих (источник):

Вот проблема: есть два перпендикулярных направления. По соглашению мы предполагаем «правостороннюю систему» (источник):

Если вы держите первые два пальца, как показано на диаграмме, ваш большой палец будет указывать в направлении векторного произведения. Я проверяю правильность ориентации, проводя пальцем от $\vec{a}$ до $\vec{b}$. Когда направление выяснено, величина векторного произведения равна $|a| |б| \sin(\theta)$, который пропорционален величине каждого вектора и «проценту разницы» (синусу).

Перекрестное произведение для ортогональных векторов

Чтобы запомнить правило правой руки, напишите xyz закажите дважды: xyzxyz . Затем найдите нужный шаблон:

xy => z ( x крест y равно z )
yz => x ( y пересечь z равно x ; мы зациклились: y до z до x )
зх => у

Итак, xy и yx имеют противоположные знаки, потому что они идут вперед и назад в нашем 9Настройка 1241 xyzxyz .

Таким образом, без формулы вы сможете вычислить:

Опять же, это потому, что x пересечение y является положительным z в правосторонней системе координат. Я использовал единичные векторы, но мы могли масштабировать термины:

Вычисление перекрестного произведения

Отдельный вектор можно разложить на 3 ортогональные части:

компоненты (например, $a_x \times b_y$) голосуют за то, куда должен указывать ортогональный вектор. 6 компонентов, 6 голосов, и их сумма является векторным произведением. (Похоже на градиент, где каждая ось голосует за направление наибольшего увеличения.)

xy => z и yx => -z (предположим, что $\vec{a}$ стоит первым, поэтому xy означает $a_x b_y$)
yz => x и zy => -x
zx => y и xz => -y

xy и yx сражаются в направлении z . Если эти члены равны, например, в $(2, 1, 0) \times (2, 1, 1)$, компонент перекрестного произведения в z 9 отсутствует.1242 направления (2 – 2 = 0).

Окончательная комбинация:

, где $\vec{n}$ — единичный вектор, нормальный к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Пусть это вас не пугает:

Всего 6 терминов, 3 положительных и 3 отрицательных
Два измерения голосуют за третье (поэтому терм z должен иметь только компоненты y и x )
Положительный/отрицательный порядок основан на шаблоне xyzxyz

Если хотите, есть алгебраическое доказательство того, что формула одновременно ортогональна и имеет размер $|a| |б| \sin(\theta)$, но мне нравится интуитивное «пропорциональное голосование».

`Пример времени`

Опять же, мы должны произвести в уме простые перекрестные произведения:

Почему? Мы пересекли оси x и y , получив z (или $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, используя эти единичные векторы). Переход в другую сторону дает $-\vec{k}$.

Вот как я рассматриваю более сложные примеры:

Возьмем последний член, z-компоненту. Это (1)(5) минус (4)(2), или 5 – 8 = -3. Сначала я сделал z , потому что он использует x и y , первые два термина. Попробуйте увидеть (1)(5) как «вперед», когда вы сканируете от первого вектора ко второму, и (4)(2) как назад, когда вы двигаетесь от второго вектора к первому.
Теперь компонент и : (3)(4) – (6)(1) = 12 – 6 = 6
Теперь компонент x : (2)(6) – (5)(3) = 12 – 15 = -3

Итого $(-3, 6, -3)$, что мы можем проверить с помощью Wolfram Alpha.

Вкратце:

Перекрестное произведение отслеживает все «взаимодействия» между измерениями
Есть 6 взаимодействий (по 2 в каждом измерении) со знаками, основанными на xyzxyz порядке

`Приложение`

Связь с определителем

Вы можете вычислить векторное произведение, используя определитель этой матрицы:

Здесь есть четкая связь, поскольку определитель («площадь/объем со знаком») отслеживает вклад ортогональных компонентов.

Существуют теоретические причины, по которым векторное произведение (как ортогональный вектор) доступно только в 0, 1, 3 или 7 измерениях. Однако перекрестное произведение как отдельное число по существу является определителем (площадь со знаком, объем или гиперобъем как скаляр).

Соединение с завитком

Изгиб измеряет скручивающую силу, которую векторное поле прикладывает к точке, и измеряется вектором, перпендикулярным поверхности. Всякий раз, когда вы слышите «перпендикулярный вектор», начинайте думать о «перекрестном произведении».

Возьмем «детерминант» этой матрицы:

Вместо умножения взаимодействие берет частную производную. Как и прежде, $\vec{i}$-компонента curl основана на векторах и производных в направлениях $\vec{j}$ и $\vec{k}$.

Связь с теоремой Пифагора

Перекрестное произведение и скалярное произведение подобны ортогональным сторонам треугольника:

Для единичных векторов, где $|a| = |б| = 1$, имеем:

Я немного схитрила в диаграмме сетки, так как мы должны отслеживать квадраты величин (как это делается в теореме Пифагора).

Advanced Math

Перекрестное произведение и друзья расширяются в алгебре Клиффорда и геометрической алгебре. Я все еще изучаю это.

Перекрестное произведение перекрестных произведений

Иногда у вас будет такой сценарий:

Во-первых, перекрестное произведение не ассоциативно: порядок имеет значение.

Далее, вспомним, что делает векторное произведение: находит ортогональные векторы. Если любые две компоненты параллельны ($\vec{a}$ параллельны $\vec{b}$), то нет размерностей, сталкивающих друг друга, и векторное произведение равно нулю (что приводит к $0 \times \vec {с}$).

Но $\vec{a}$ и $\vec{c}$ могут быть параллельны, поскольку они никогда не участвуют напрямую в перекрестном произведении, например:

Ого! Как мы вернулись к $\vec{j}$? Мы запросили направление, перпендикулярное как $\vec{i}$, так и $\vec{j}$, и снова сделали это направление перпендикулярным к $\vec{i}$. Быть «двойным перпендикуляром» означает, что вы вернулись на исходную ось.

Скалярное произведение перекрестных произведений

Теперь, если мы возьмем

, что произойдет? Мы вынуждены сначала выполнить $\vec{a} \times \vec{b}$, потому что $\vec{b} \cdot \vec{c}$ возвращает скаляр (одно число), который нельзя использовать в перекрестном произведении.

Что произойдет, если $\vec{a}$ и $\vec{c}$ параллельны? Итак, $\vec{a} \times \vec{b}$ перпендикулярно $\vec{a}$, что означает, что оно перпендикулярно $\vec{c}$, поэтому скалярное произведение с $\vec{c }$ будет равно нулю.

Я никогда не запоминал эти правила, я должен продумывать взаимодействие.

Другие системы координат

Игровой движок Unity предназначен для левшей, OpenGL (и большинство математических и физических инструментов) — для правшей. Почему?

В компьютерной игре x идет по горизонтали, y по вертикали, а z уходит «в экран». В результате получается левосторонняя система. (Попробуйте: используя правую руку, вы можете увидеть x креста и должны указывать за пределы экрана).

Применение векторного произведения

Найдите направление, перпендикулярное двум заданным векторам.
Найдите область со знаком, натянутую на два вектора.
Определить, являются ли два вектора ортогональными (хотя проверка скалярного произведения 0, вероятно, выполняется быстрее).
«Умножение» двух векторов, когда вклад вносят только перпендикулярные перекрестные члены (например, определение крутящего момента).
С кватернионами (четыре комплексных числа) векторное произведение выполняет работу по вращению одного вектора вокруг другого (еще одна статья в разработке!).

Счастливая математика.

`Другие публикации из этой серии`

Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
Векторное исчисление: понимание векторного произведения
Векторное исчисление: понимание потока
Векторное исчисление: понимание дивергенции
Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
Векторное исчисление: понимание градиента
Понимание пифагорейского расстояния и градиента

`Как вычислить векторное произведение и площадь прямоугольника за 3 простых шага`

15 июня 2021 517 прочтений

Площадь прямоугольника — это количество плоских областей, ограниченных определенной формой. Площадь прямоугольника – это площадь формы и периметра прямоугольника. Вычисление площади в 3 простых шага — это простая процедура, как кусок пирога. Студенты обычно считают, что их очень сложно понять, но это несложно, поскольку с этим вы видите, что вычисление площади и векторного произведения двух векторов можно выполнить всего за три простых шага. Для вычисления площади, с точки зрения формы, прямоугольник считается самым простым.

@james-johnson

  Джеймс Джонсон  Я исследователь и автор технических материалов. Преподаватель математики с 2007 года. Люблю путешествовать, Любовь
 О @james-johnson
 Кросс-произведение
 Помимо скалярных произведений, существует другой подход к умножению двух векторов. Хотя скалярное произведение двух векторов дает скаляр, результирующий вектор, напротив, является вектором векторных произведений. Таким образом, его масштаб и направление совпадают. Таким образом, векторное произведение векторов выражается в величине и угле двух векторов и записывается как
 Оба вектора перпендикулярны направлению векторного произведения. Используется правило правой руки для получения соответствующей ориентации перекрестного произведения. Направьте указательный палец (правой руки) в направлении первого вектора. Затем выровняйте руку по второму вектору так, чтобы ваш средний палец указывал на него. Разверните большой палец. Направление вашего большого пальца указывает направление перекрестного произведения.
 Для двух векторов сначала нужно гарантировать, что оба вектора являются трехмерными, чтобы получить векторное произведение. Если два вектора даны в 3-х измерениях, то произведение задается как:
 Вычисление векторного произведения
 Чтобы вычислить векторное произведение двух векторов, используйте стандартные единичные векторы i, j и k для R3.
 Если u = (u1, u2, u3) = u1i + u2j + u3k,
и v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k,
тогда u × v задается как
u × v = (u2v3 − u3v2) i + (u3v1 − u1v3) j + (u1v2 − u2v1) k 
 Площадь прямоугольника
 Четырехсторонний многоугольник, в котором каждый угол каждой вершины равен 90° и имеет одинаковую длины противоположных сторон, называется прямоугольником. Таким образом, двухмерный многоугольник представляет собой прямоугольник с четырьмя гранями, четырьмя вершинами и четырьмя прямыми углами. В прямоугольнике две противоположные стороны параллельны. Прямоугольная область – это пространство в форме. Площадь прямоугольника также является периметром прямоугольника. Это отличает площадь прямоугольника от интегрирования, в котором мы вычисляем площадь под кривой.
 Для вычисления площади с точки зрения формы прямоугольник считается самым простым. Площадь — это пространство, занимаемое какой-либо формой или предметом. Однако описательно мы можем сказать, что площадь — это количество плоской области, ограниченной определенной формой. Часто используемые типичные единицы площади включают   см2 (квадратный сантиметр), м2 (метр в квадрате) и км2 (километр в квадрате)   .
 Как вычислить площадь прямоугольника за 3 простых шага
 Вычисление площади прямоугольника — простая процедура, как кусок пирога. Как известно, площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину. Таким образом, вы наверняка сможете вычислить площадь прямоугольника за три простых шага.
 Прямоугольник состоит из 4 сторон, не равных по длине. Однако противоположные стороны равны по длине друг другу. В прямоугольной форме его длинная сторона называется длиной, а более короткая сторона известна как ширина.
 Таким образом, чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы можем записать его формулу как
 A = l x w
 Хотя для вычисления в 3 простых шага все, что нам нужно сделать, это:
 Прежде всего, определите равные и противоположные стороны прямоугольника. Затем возьмите одно значение со стороны длины и одно со стороны ширины.
 Запишите их в области формулы прямоугольника. Например, если у нас есть  6 см  для длины и  4 см  для ширины прямоугольника, мы запишем их как  6x4  .
 Наконец, умножьте оба значения друг на друга, или вы также можете использовать арифметические таблицы для получения произведения обоих значений.

   Оставить комментарий on Площадь через векторное произведение: Векторное произведение векторов./

`В 6 степени: Возведение числа в 6 степень`

alexxlab / 13.10.197016.09.2022 / Разное

 2Стрептококк оралис 10 в 6 степени
Содержание
Причины возникновения
Виды инфекции
Проявляемые симптомы
Возможные осложнения
Способы диагностики
Методы лечения
Поиск по сайту
Что делать, если у меня похожий, но другой вопрос?
Стрептококковая инфекция горла провоцирует развитие многих заболеваний, каждое из которых характеризуется своей клинической картиной. Стрептококк в горле имеется у всех детей и взрослых. При нормальном функционировании организма рост и размножение бактерии постоянно контролируется антителами иммунной системы. Но при воздействии некоторых факторов, стрептококк выходит из-под контроля и начинает размножаться, провоцируя развитие заболеваний.
Причины возникновения
Рассматривая причины болезни, чаще в роли возбудителя выступает бактерия Streptococcus pyogenes, которая провоцирует возникновение ангины и фарингита.
У маленьких детей развитие стрептококковой инфекции чаще происходит на фоне ослабления защитных сил организма после перенесенных респираторных заболеваний. У взрослых причиной роста и размножения бактерии являются не только вирусы, но и вредные привычки, например курение или злоупотребление алкоголем.
Этиловый спирт и никотин разрушают слизистые оболочки глотки, снижают местный иммунитет и повышают восприимчивость к заболеванию. При этом у взрослых часто к развитию инфекции приводят:
заболевания пищеварительного тракта, сопровождающиеся изжогой;
иммунодефицит;
длительный прием глюкокортикостероидов;
химиотерапия.
Существует гемолитический стрептококк группы В, который является составляющим половых женских органов. Активизация его роста может легко происходить на фоне гормональных нарушений, например, во время беременности. Это значительно повышает риски инфицирования ребенка в момент прохождения через родовые пути и преждевременного разрыва околоплодных оболочек.
Стрептококковая инфекция легко передается воздушно-капельным путем через предметы общего обихода: полотенце и посуда.
Виды инфекции
Развитие заболеваний горла провоцирует гемолитический стрептококк, который имеет свои виды:
Альфа. Локализуется в полости рта, заселяя эпидермис. Сам по себе не несет никакой угрозы для здоровья. Но его активный рост на фоне развития других заболеваний носоглотки может стать причиной возникновения серьезных осложнений.
Бета. Локализуется в глотке. Стрептококк группы бета (фекальный и хаемолитикус) часто провоцирует развитие скарлатины, ангины и фарингита.
Гамма. Эти бактерии безобидны. Они не вызывают развитие инфекций и локализуются в основном в кишечнике и ротовой полости.
Наибольшую опасность для здоровья несет зеленящий стрептококк вириданс (в переводе с латинского означает зеленый). Находится в половых женских органах (оралис), полости рта и глотке. Когда он не выходит за пределы местонахождения, то не несет никакого вреда организму. Но стоит только зеленящему стрептококку проникнуть в кровь или головной мозг, тогда сразу же начинают развиваться серьезные заболевания, которые могут угрожать жизни: абсцесс, сепсис и пневмония .
Клинически важные разновидности стрептококка — Streptococcus salivarius (саливариус) и Streptococcus mitis (митис). Эти возбудители способны проникать в кровеносное русло, провоцируя воспаление в оболочке сердечной мышцы и влекут за собой эндокардит.
У маленьких детей возникновение стрептококковой инфекции чаще обуславливается размножением в ротоглотке патогенного агента Streptococcus pyogenes (пиогенный). Последствия заражения такой инфекцией носят тяжелый характер. Пиогенес поражает сердце и почки. Также на его фоне возможно возникновение сепсиса, сопровождающегося токсичным шоком.
Существует также негемолитический стрептококк, не провоцирующий развитие заболеваний. Безопасные стрептококки альфа и гамма группы C. А вот бета-гемолитические стрептококки группы B и A часто провоцируют полный гемолиз эритроцитов и представляют серьезную угрозу для жизни больного.
Проявляемые симптомы
Первые симптомы заболевания возникают только спустя 2-4 суток после заражения. Дети наиболее восприимчивы, а потому развитие инфекции у них происходит в ускоренном темпе. Сначала отмечается легкое недомогание и озноб, затем возникает сильная боль в горле, повышение температуры и тошнота.
Так как новорожденные дети еще не умеют разговаривать и объяснять, что у них болит, заподозрить развитие стрептококковой инфекции можно по следующим симптомам:
чрезмерная раздражительность и капризность;
отказ от груди и бутылочки;
температура повышена до 39°С;
заложенность носа, слизистые желтые и зеленые выделения;
рвотные позывы.
У детей старшего возраста стрептококковая инфекция сопровождается отсутствием аппетита, увеличением шейных лимфатических узлов, сонливостью и вялостью. Появляются жалобы, что печет и дерет горло, болит голова и сухость во рту. Клиническая картина дополняется повышением температуры тела, лихорадкой и ознобом.
При внешнем осмотре глотки видно, что миндалины и слизистая горла выглядят сильно воспаленными, а на их поверхности появляются гнойнички или образуется гнойный налет. Чем сильнее гнойные процессы, тем хуже состояние малыша, так как симптоматика дополняется признаками интоксикации организма.
Часто у детей стрептококковая инфекция проявляется сухим приступообразным кашлем, который через некоторое время становится влажным. Но если больной не получает должного лечения, болезнь легко переходит в трахеит. Если состояние сопровождается мелкой красной сыпью на коже, то это говорит о развитии скарлатины.
Взрослые также тяжело переносят развитие заболевания. На ее фоне возможно обострение хронических болезней горла, например тонзиллита или ларингита. Но чаще они жалуются на наличие следующих симптомов:
выраженная боль, охватывающая все горло;
тошнота;
головные боли;
высокая температура;
снижение аппетита;
увеличение шейных лимфатических узлов;
отечность горла и лица.
Параллельно с развитием заболеваний горла, стрептококковая инфекция провоцирует и другие патологические состояния: бронхит, ринит, аденоидит, отит и синусит. Однако такие осложнения возникают, когда больной пренебрегает рекомендациями врача и занимается самолечением.
Возможные осложнения
Чаще осложнения стрептококковая инфекция дает при развитии тонзиллита. Но у людей со слабым иммунитетом она также может повлечь негативные последствия. Они возникают уже на 4-7 день течения болезни и проявляться в виде:
Этот вид инфекции опасен. И если его не лечить, то спустя 2-4 недели после заражения могут развиваться такие патологии:
менингит;
эндокардит;
гломерулонефрит;
остеомиелит;
ревматизм.
Наибольшую опасность несет стрептококковая бронхопневмония, так как может повлечь за собой плеврит и некротическую болезнь легких. А для новорожденных детей такая инфекция чревата летальным исходом.
Способы диагностики
Прежде чем начинать лечение, врачу необходимо определить вид инфекции. Для этого одних только жалоб пациента и внешнего осмотра носоглотки недостаточно. Чтобы диагностировать болезнь и выявить точный вид возбудителя, берется анализ крови мочи, а также мазок из горла.
Норма стрептококка в горле — это относительный показатель. Для каждого он индивидуален и врачи чаще говорят не о норме, а о способности антител организма противостоять им.
Методы лечения
Стрептококковая инфекция может приводить к серьезным последствиям, а потому с ней необходимо бороться и чем раньше начнется лечение, тем лучше. Чтобы вылечить инфекцию, следует соблюдать все рекомендации врача.
Первым делом нужно изолировать больного, тем более, если его окружают маленькие дети. Потребуется постоянно полоскать горло асептическими растворами и принимать антибиотики, которые помогут в короткие сроки убрать неприятные симптомы и убить патологическую микрофлору в ротоглотке.
Однако не каждый антибиотик убивает стрептококк, т. к. у него повышена устойчивость к подобным препаратам. По этой причине, прежде чем начинать лечить, врач берет необходимые анализы для выявления порога устойчивости к тем или иным лекарствам.
 Читайте также:  Тосмилен глазные капли цена
Лечат стрептококковую инфекцию на протяжении 7-10 дней. Но чтобы избавиться от нее без последствий, антибактериальная терапия должна дополняться другими лекарственными средствами.
Медикаментозное
Если по результатам обнаружен стрептококк, то медикаментозное лечение включает в себя антибиотики. В зависимости от возбудителя болезни, могут назначаться препараты из разряда пенициллинов или макролидов. Если же прием этих средств не дает положительных результатов на протяжении 2-3 суток и состояние больного ухудшается, прибегают к помощи более сильных антибактериальных препаратов — цефалоспоринов, тетрациклинов и аминогликозидов.
При стрептококковой инфекции горла врачи чаше назначаются местные антибиотики в виде спреев. Используют спрей несколько раз в день спустя 15-20 минут после полоскания. Если лекарство не дает эффекта, применяются системные антибактериальные средства в виде таблеток или инъекций.
Для устранения симптоматики применяются жаропонижающие и болеутоляющие препараты. Полоскания горла проводят с использованием раствора Фурацилина, Мирамистина или Хлоргексидина. При заложенности носа применяются сосудосуживающие средства. А чтобы избежать возникновение аллергической реакции на применяемые препараты, назначаются антигистаминные средства.
Обязательным дополнением к медикаментозной терапии является прием препаратов, восстанавливающие микрофлору кишечника, поливитаминных комплексов и иммуностимуляторов.
Во время лечения больному нужно соблюдать постельный и питьевой режим. Питание должно быть витаминизированным и щадящим. Употребляемая пища не должна раздражать горло, а потому соленые, копченые, жирные, горячие и холодные блюда следует исключить из рациона.
Чтобы избежать развития негативных последствий на фоне поражения горла стрептококками, больному необходимо следовать рекомендациям врача.
Народные средства
Народные средства не подавляют рост стрептококков в горле, но помогают устранить неприятную симптоматику. Поэтому их применение возможно только в качестве дополнительной терапии.
Самыми эффективными средствами нетрадиционной медицины являются:
Прием настоя из ягод шиповника, клюквы и листьев малины. Возьмите ингредиенты в количестве 1 ч. л., измельчите и залейте стаканом крутого кипятка. Оставьте настаиваться на 30 минут, после чего выпийте. Принимайте такой напиток не менее 2 раз в день.
Полоскание горла настоем коры ивы и череды. Смешайте ингредиенты в равных пропорциях, а после заварите 1 ст. л. равяного сбора стаканом крутого кипятка. Оставьте средство настаиватся на 2 часа, а после процедите. Полоскайте горло настоем коры ивы и череды каждые 3-4 часа.
Полоскание настоем свеклы. Для приготовления возьмите сырую свеклу, натрите на терке и залейте крутым кипятком в пропорции 1:1. Приготовленный состав оставьте настаиваться на 6 часов, после чего процедите. Стакан полученного свекольного настоя смешайте с 1 ч. л. яблочного уксуса и полоскайте горло каждый час.
Рекомендации доктора Комаровского
Как утверждает доктор Комаровский, если при прохождении обследования у ребенка нашли стрептококковую инфекцию, лечение необходимо начинать незамедлительно. Стрептококки опасны тем, что легко проникают в кровь, достигая головного мозга, легких и сердца. А потому медлительность может стоить жизни маленького пациента.
Если у ребенка на фоне инфекции возникают осложнения, его необходимо в срочном порядке госпитализировать. Заниматься самолечением нельзя. Малышу нужна мощная антибактериальная терапия, проведение которой возможно только в условиях стационара.
Так как больной ребенок — это прямой носитель инфекции, его необходимо оградить от общения со сверстниками. Соответственно, ни о каких прогулках и походах в дошкольные и школьные учреждения и речи быть не может. Ребенку нужен постельный режим и полный покой.
Елена Владимировна, конечно отзыв оставлю, Вы очень отзывчивый врач!
Заранее очень благодарна!
С глубоким уважением к Вам.
Елена Викторовна, доброго Вам дня! Я очень рада Вас видеть но Вот я и вернулась: (спустя 3 месяца прекрасной, счастливой жизни. Вернулись отек, дискомфорт и появились выделения ярко желтого цвета. Сдала анализы (прикрепляю свои и мужа) сегодня их получила и очень расстроилась(, лечение было такое сильное антибиотиков в прошлый раз, Цефтриаксон внутривенно, и прочее. И все вернулось и в большей степени. Во время ожидания анализов мне назначили Полижинакс 6 дней (от него был ужасный зуд и отек, кларитин мне в помощь) перестала делать, все прошло. Помимо этого орошать Эпиген спреем, метилурациловая мазь чередовать с Орнионой. Доктор в отпуске, на сообщение с анализами пока ничего мне ответила: (я расстроена, не понимаю по какой причине возвращается это вновь? Надеюсь доктор мне ответит, и мы с вами обсудим назначения?
С благодарностью к Вашему вниманию!
Буду пить назначенный курс, по результатам отпишусь. Я за последние 1,5 года столько курсов лечения прошла, и проверили вдоль и поперек: (что отчаяние имело место быть, но я верю в то, что это последняя терапия перед счастливой беззаботной жизнь. Женщины.
Спасибо Вам за то, что Вы рядом. Я сообщу о результатах, в случае чего, может мысли какие у вас появятся.
Прекрасного Вам дня!
Заранее благодарна Вам за ответ.
Поиск по сайту
Что делать, если у меня похожий, но другой вопрос?
Если вы не нашли нужной информации среди ответов на этот вопрос , или же ваша проблема немного отличается от представленной, попробуйте задать дополнительный вопрос врачу на этой же странице, если он будет по теме основного вопроса. Вы также можете задать новый вопрос , и через некоторое время наши врачи на него ответят. Это бесплатно. Также можете поискать нужную информацию в похожих вопросах на этой странице или через страницу поиска по сайту . Мы будем очень благодарны, если Вы порекомендуете нас своим друзьям в социальных сетях .
Медпортал 03online.com осуществляет медконсультации в режиме переписки с врачами на сайте. Здесь вы получаете ответы от реальных практикующих специалистов в своей области. В настоящий момент на сайте можно получить консультацию по 48 направлениям: аллерголога , анестезиолога-реаниматолога , венеролога , гастроэнтеролога , гематолога , генетика , гинеколога , гомеопата , дерматолога , детского гинеколога , детского невролога , детского уролога , детского хирурга , детского эндокринолога , диетолога , иммунолога , инфекциониста , кардиолога , косметолога , логопеда , лора , маммолога , медицинского юриста , нарколога , невропатолога , нейрохирурга , нефролога , онколога , онкоуролога , ортопеда-травматолога , офтальмолога , педиатра , пластического хирурга , проктолога , психиатра , психолога , пульмонолога , ревматолога , рентгенолога , сексолога-андролога , стоматолога , уролога , фармацевта , фитотерапевта , флеболога , хирурга , эндокринолога .
Мы отвечаем на 96.36% вопросов.
«>
Глава VI. СТЕПЕНИ (ИЛИ СТУПЕНИ) ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПРОЯВЛЕННОСТИ. Человек и его осуществление согласно Веданте
Глава VI. СТЕПЕНИ (ИЛИ СТУПЕНИ) ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПРОЯВЛЕННОСТИ
Теперь мы должны перейти к перечислению различных степеней манифестации (проявленности) Атмана, рассматриваемого как личность, в той мере, в какой эта манифестация конституирует человеческую индивидуальность. И мы с полным правом можем сказать, что она действительно конституирует ее, ибо эта индивидуальность не имела бы никакого существования, если бы она была отделена от своего принципа, т. е. от личности. Во всяком случае, только что использованный нами способ выражения требует оговорки: под манифестацией Атмана следует понимать манифестацию, соотносимую с Атманом как с ее сущностным принципом. Но под этим не следует подразумевать, что сам Атман проявляется каким-либо образом, ибо он никогда не входит в область проявленности, как мы уже говорили ранее, и вот почему последняя никак не воздействует на него. Иными словами, Атман есть «То, посредством чего проявлено все, но который сам в себе не проявлен ни в чем»;[49] и вот этого никогда не следует терять из виду во всем последующем. Напомним еще, что Атман и Пуруша суть один и тот же принцип и что это от Пракрити, а не от Пуруши проистекает всякая манифестация; но если Санкхья рассматривает эту манифестацию преимущественно как развитие или «актуализацию» потенциальных возможностей Пракрити, ибо ее точка зрения, ее «оптика» является прежде всего «космологической», а не собственно метафизической, то Веданта должна видеть здесь иное, потому что она рассматривает Атмана, который пребывает вне изменения и «становления», как истинный принцип, с которым, в конечном счете, должно быть соотносимо все. Мы могли бы сказать, что в данном случае есть две точки зрения, «субстанции» и «эссенции», и что именно первая является «космологической», ибо она есть точка зрения Природы и «становления»; но, с другой стороны, метафизика не ограничивается «эссенцией», понимаемой как коррелят «субстанции»; ни даже Сущим, в котором соединяются эти два термина. Она идет гораздо дальше, потому что она простирается также до Параматмана, или Пурушоттамы, который есть Высший Брахман (Брахма) и потому что, таким образом, его точка зрения (в той мере, в какой это выражение еще применимо здесь), поистине безгранична.

С другой стороны, когда мы говорили о различных степенях индивидуальной манифестации, должно быть совершенно ясно, что эти степени соответствуют степеням универсальной манифестации в силу той конститутивной аналогии «макрокосма» и «микрокосма», на которую мы уже указывали выше. Это станет еще понятнее, если поразмыслить о том, что все существа подобным же образом подчинены общим условиям, определяющим состояния существования, в которые они помещены; если невозможно, рассматривая какое-либо существо, реально изолировать состояние этого существа от совокупности других состояний, среди которых оно иерархически располагается на определенном уровне, тем более невозможно, с другой точки зрения, изолировать это состояние от всего, что принадлежит уже не тому же самому существу, но той же степени универсального Существования. И, таким образом, все предстает как бы взаимосвязанным во многих смыслах — будь то в самой манифестации либо же в той мере, в какой последняя, образуя в своей бесконечной множественности единое целое, связуется со своим принципом, т. е. с Сущим и, через него, с Верховным (Высшим) Принципом. Множественность — поскольку она возможна — существует согласно своему собственному модусу, но этот модус иллюзорен — в том смысле, который мы уже уточняли (в смысле «ничтожно малой реальности», потому что само существование этой множественности основывается на единстве, из которого она возникла и в котором она заключена изначально. Рассматривая таким образом совокупность универсальной манифестации, можно сказать, что в самой множественности своих модусов. «Существование едино», согласно формуле, которую мы заимствуем в исламском эзотеризме. И здесь очень важно отметить тонкое различие между «единством» и «единичностью»: первое охватывает множественность как таковую, вторая же есть его принцип (не «корень», в том смысле, в каком это слово прилагается только к Пракрити, но как заключающее в себе возможности манифестации — «эссенциально» так же, как и «субстанциально»). Стало быть, можно сказать, что Сущее едино и что оно есть сама Единичность[50] — однако в метафизическом, а не в математическом смысле, ибо здесь мы обретаемся далеко за пределами количества. Между метафизической Единичностью и единичностью математической существует аналогия, но не тождество. Точно так же, когда говорят о множественности манифестации, речь отнюдь не идет о количественной множественности, ибо количество есть особая характеристика определенных проявленных состояний. Наконец, если Сущее едино, то, как мы увидим далее, «не двойственен» и сам Верховный Принцип; в самом деле, единичность есть первая из всех определенностей, но она уже есть определенность и, как таковая, не может быть приложима к Верховному Принципу.
После этих необходимых пояснений вернемся к рассмотрению степеней манифестацией; прежде всего уместно, как мы видели, проводить различие между неоформленной и оформленной манифестацией. Но когда мы ограничиваемся индивидуальностью, то речь всегда идет исключительно о второй. Собственно человеческое состояние так же, как и любое другое индивидуальное состояние, целиком принадлежит к порядку оформленной манифестации, потому что именно наличие формы, в ряду условий определенного модуса существования, характеризует этот модус как индивидуальный. Стало быть, если нам надлежит рассматривать не имеющий формы элемент, то это будет элемент над-индивидуальный, и, что касается его отношений с человеческой индивидуальностью, он никогда не должен рассматриваться как конститутивный для последней или как в каком-либо роде являющийся ее частью, но лишь как связующий индивидуальность с личностью. В самом деле, последняя не проявлена — даже и в той мере, в какой ее более специально рассматривают как принцип проявленных состояний, точно так же, как Самосущее, действительно будучи принципом универсальной манифестации, находится за пределами и выше этой манифестации (и здесь можно вспомнить о «неподвижном двигателе» Аристотеля). Но, с другой стороны, неоформленная манифестация также является изначальной, — конечно, в относительном смысле, по отношению к манифестации оформленной. И, таким образом, она устанавливает связь между последней и ее высшим непроявленным принципом, который, уместно сказать, есть общий принцип этих двух порядков манифестации. Точно так же, если вслед затем на уровне оформленной, или индивидуальной манифестации провести различие между тонким и грубым состоянием, то первое является, также относительно, изначальным по отношению ко второму и, следовательно, иерархически оно располагается между этим последним и неоформленной манифестацией. Следовательно, посредством ряда более или менее относительных и определенных принципов, мы получаем одновременно логическую и онтологическую цепочку (впрочем, две точки зрения согласуются таким образом, что разделить их можно только искусственно), простирающуюся от непроявленного к грубой проявленности, через опосредование манифестацией неоформленной, а затем через манифестацию тонкую. И идет ли речь о «макрокосме» или «микрокосме», таков общий порядок, которому должно следовать в разворачивании возможностей манифестации.
Элементы, о которых нам теперь надлежит говорить, суть таттвы, перечисленные Санкхьей, разумеется, за исключением первой и последней, т. е. Пракрити и Пуруши и мы уже видели, что среди этих таттв одни рассматриваются как «производящие производные», а другие как «непроизводящие производные». В этой связи возникает вопрос: равнозначно ли такое разделение тому, которое мы только что уточняли применительно к степеням манифестации, или, по меньшей мере, соответствует ли оно ему каким-либо образом? Например, если ограничиться точкой зрения индивидуальности, можно было бы поддаться искушению соотнести таттвы первой группы с тонким состоянием, а таттвы второй — с состоянием грубым, тем более, что в некотором смысле тонкая манифестация является производящей по отношению к манифестации грубой, тогда как последняя не производит никакого другого состояния. Но в действительности дело не так просто. В самом деле, в первой группе мы прежде всего имеем Буддхи, который есть не имеющий формы элемент, о чем мы только что говорили; что до других таттв, которые оказываются соединенными с ним, а это аханкара (ahankara) и танматры (tanmatras), то они, конечно, относятся к области тонкой манифестации.
С другой стороны, во второй группе бхуты (bhutas), несомненно, принадлежат к области плотной манифестации, ибо это телесные элементы; но манас (manas), вовсе не будучи телесным, должен быть соотнесен с тонкой манифестацией — по крайней мере, в себе самом — хотя его деятельность осуществляется также по отношению к грубой манифестации. А остальные индрии (indriyas) обладают в некотором роде двойственным аспектом, ибо могут рассматриваться одновременно как способности и как органы (чувств), стало быть, рассматриваться и с психической, и с телесной точки зрения, т. е., иначе, в тонком и грубом состоянии. Впрочем, следует ясно понимать, что рассматриваемое здесь как тонкая манифестация есть, собственно, лишь то, что касается индивидуального человеческого состояния, в его внетелесных модификациях; и хотя последние находятся выше телесной модальности, поскольку они заключают в себе ее непосредственный принцип (но в то же время их область простирается много дальше), они, однако, если поместить их в совокупность универсального Существования, все еще принадлежат к той же ступени этого Существования, на которой располагается все человеческое состояние. Это же примечание можно сделать, когда мы говорим, что тонкая манифестация является производящей по отношению к грубой манифестации. Чтобы быть вполне точными, нужно привнести сюда — в том, что касается первой — ограничение, на которое мы только что указали, так как обычное соотношение не может быть установлено для других, равным образом индивидуальных, но не-человеческих состояний, состояний абсолютно иных по их обусловленностям (за исключением наличия формы). Их, однако, также следует понимать в соотношении с манифестацией, коль скоро человеческая индивидуальность принимается за эталон сравнения, как это следует делать неизбежно, вполне отдавая себе отчет в том, что в действительности такое состояние не больше и не меньше любого другого состояния.

Необходимо высказать еще одно, последнее соображение: когда говорят о порядке разворачивания возможностей манифестации или о порядке, в котором должны перечисляться элементы, соответствующие различным фазам этого разворачивания, необходимо тщательно уточнить, что такой порядок подразумевает всего лишь чисто логическую последовательность — впрочем, передающую реальную онтологическую цепочку — и что речь ни в коем случае не может идти здесь о последовательности временной. В самом деле, разворачивание во времени соответствует лишь одному особому условию существования, одному из тех, что определяют область, в которую помещено человеческое состояние; и существует бесконечное множество других модусов разворачивания, равным образом возможных и равным образом включенных в универсальную манифестацию. Стало быть, человеческая индивидуальность не может быть размещена в каком-то временном порядке по отношению к другим состояниям существа, потому что последние, в общем, являются вневременными. И это так даже и тогда, когда речь идет только о состояниях, сходным образом соотносящихся с той же самой оформленной проявленностью. Мы могли бы еще добавить, что некоторые способы расширения человеческой индивидуальности за пределы ее телесной модальности уже вырываются из-под власти времени, не будучи вследствие этого освобождены от других общих условий состояния, к которому принадлежит эта индивидуальность, так что они в действительности располагаются в простых продолжениях этого же самого состояния. И, несомненно, у нас будет случай объяснить (в других исследованиях), как именно такие продолжения могут быть достигнуты посредством уничтожения одного или другого из условий, вся совокупность которых определяет телесный мир. Если это так, то, разумеется, тем более не могло бы быть и речи о привнесении условий временного в то, что более не принадлежит к тому же состоянию, ни, следовательно, в отношения интегрального человеческого состояния с другими состояниями. И уж тем более невозможно сделать это тогда, когда речь идет о принципе, общем для всех состояний проявленности, или об элементе, который, будучи уже проявленным, является высшим по отношению ко всякой оформленной манифестации, каковой является та, которую мы намереваемся рассмотреть прежде всего.
I. Повышение степени эксплуатации труда
 I. Повышение степени эксплуатации труда
Степень эксплуатации труда, присвоение прибавочного труда и прибавочной стоимости, повышается в частности посредством удлинения рабочего дня и интенсификации труда. Оба эти пункта подробно исследованы в «Капитале», кн. I, когда
Глава LXXVII. (Что) следует верить в Отца и Сына и Духа их в равной степени, и по отдельности, и в троих вместе
 Глава LXXVII. (Что) следует верить в Отца и Сына и Духа их в равной степени, и по отдельности, и в троих вместе
Итак, следует верить равно в Отца, и в Сына, и в Духа их — и в (каждого) по отдельности, и в троих вместе, потому что и отдельно Отец, и Сын отдельно, и отдельно Дух их —
Глава XXIII. (Что) этим благом в одинаковой степени являются Отец, и Сын и Дух Святой; и они суть «одно нужное», т. е. всякое целокупное и единственное благо
 Глава XXIII. (Что) этим благом в одинаковой степени являются Отец, и Сын и Дух Святой; и они суть «одно нужное», т. е. всякое целокупное и единственное благо
Это благо есть Ты, Бог Отец; оно есть Слово Твое, т.  е. Сын Твой. Действительно, не может в Слове Твоем, которым Ты речешь
ГЛАВА XIV Через какие ступени божественные исступления возвышают душу
 ГЛАВА XIV
Через какие ступени божественные исступления возвышают душу
По каковой причине подобно как через четыре ступени нисходит душа, необходимо, чтобы она через четыре восходила. Божественное же исступление есть то, что несет к наивысшим областям, как утверждается в
Глава II. О ДОСТОИНСТВЕ, ПРИДАВАЕМОМ ХАРАКТЕРУ И ПОСТУПКАМ ЧЕЛОВЕКА ИХ ПОЛЕЗНОСТЬЮ; ДО КАКОЙ СТЕПЕНИ ДОСТОИНСТВО ЭТО МОЖЕТ СЧИТАТЬСЯ ОДНОЙ ИЗ ГЛАВНЫХ ПРИЧИН ОДОБРЕНИЯ
 Глава II. О ДОСТОИНСТВЕ, ПРИДАВАЕМОМ ХАРАКТЕРУ И ПОСТУПКАМ ЧЕЛОВЕКА ИХ ПОЛЕЗНОСТЬЮ; ДО КАКОЙ СТЕПЕНИ ДОСТОИНСТВО ЭТО МОЖЕТ СЧИТАТЬСЯ ОДНОЙ ИЗ ГЛАВНЫХ ПРИЧИН ОДОБРЕНИЯ
Характеры людей, подобно изобретениям и новшествам в институтах гражданского управления, могут или
XII.
 СТЕПЕНИ РЕАЛЬНОСТИ XII. СТЕПЕНИ РЕАЛЬНОСТИ
Что касается абсолюта, то в отношении его не существует степеней. Понятие степеней имеет значение только для конечного интеллекта, который различает вещи. Оно не имеет основополагающего значения. Когда многообразие мира принимается за единое,
Глава III Откровение, вера, ступени сознания
 Глава III
Откровение, вера, ступени сознания
Традиционное деление религий на «откровенные» и «естественные» не идет вглубь, оно остается экзотерическим. Все религии, в которых есть отблеск божественного, – откровенные. Откровенно все, в чем открывается божественное.
Глава третья. Ступени всеобщности проблем теории разума
 Глава третья. Ступени всеобщности проблем теории разума
Наши касавшиеся проблематики феноменологии разума медитации держались до сей поры на такой высоте всеобщности, какая не позволяла выступить существенным разветвлениям проблем и связям таковых с формальными и
Глава третья ВОСХОЖДЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА НА ВЫСШИЕ СТУПЕНИ БЫТИЯ
 Глава третья ВОСХОЖДЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА НА ВЫСШИЕ СТУПЕНИ БЫТИЯ
Размышляя о пути, который нужно пройти земному человеку, чтобы освободиться от своих недостатков, душевных и телесных, и достигнуть высших ступеней совершенства, поставим перед своим умом и воображением конечную
От индивидуальной к социальной памяти
 От индивидуальной к социальной памяти
К социальной памяти неизбежно приобщаешься самим фактом рождения и взросления в человеческом сообществе. Обучаясь языку, мы одновременно овладеваем формами интерактивности, в том числе речевыми актами «memory talk» или «conversational
От индивидуальной к коллективной памяти
 От индивидуальной к коллективной памяти
Как происходит переход от индивидуальной к коллективной памяти? Национальная идентичность приобретается посредством паспорта333, но как усваивается национальная память? В общем виде ответ таков: за счет участия в ритуалах.
От индивидуальной к культурной памяти
 От индивидуальной к культурной памяти
Наша индивидуальная память вмещает в себя гораздо больше того, что мы пережили на собственном опыте. Мозг человека и его память обладают такой способностью, которая используется как при коммуникации индивидуума с другими людьми,
0. Заморочка 2-тильда-наба-штрих-интеграл-сигма-зет-в-степени-кубический-корень-из-е-в-степени-икс-котангенс-три-четверти-пи-омикрон-на-дельта-икс-по-замкнутому-контуру-разделить-на-цэ-квадрат.
 6-169 разложите на множители 
Чёрной точкой отмечено случайно 
Можеь правильно хз…

 Математика

 

 Литература

 

 Алгебра

 

 Русский язык

 

 Геометрия

 

 Английский язык

 

 Химия

 

 Физика

 

 Биология

 

 Другие предметы

 

 История

 

 Обществознание

 

 Окружающий мир

 

 География

 

 Українська мова

 

 Українська література

 

 Қазақ тiлi

 

 Беларуская мова

 

 Информатика

 

 Экономика

 

 Музыка

 

 Право

 

 Французский язык

 

 Немецкий язык

 

 МХК

 

 ОБЖ

 

 Психология

§ Что такое степень числа.
 Степень с натуральным показателемЧто такое степень числа
Свойства степени
Возведение в степень дроби
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
 понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями 
 (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз 
 применяют сокращённое обозначение.
Вместо
 произведения шести одинаковых множителей
 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут
 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».
 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4  = 4⁶
Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:
4 — основание степени;
⁶ — показатель степени.
В общем виде степень с основанием «a» и
 показателем «n» записывается с помощью выражения:
 Запомните!
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n»,
 бóльшим 1, называется произведение «n»
 одинаковых множителей, каждый из которых равен числу
 «a».
Запись «aⁿ»  читается так:
 «а в степени
 n» или «n-ая степень числа
 a».
Исключение составляют записи:
a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
a³ — её можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
a² — «а во второй степени»;
a³ — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
 Запомните!
Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a¹ = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a⁰ = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0ⁿ = 0
Единица в любой степени равна 1.
1ⁿ = 1
Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
(−32)⁰ = 1
0²⁵³ = 0
1⁴ = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
 степень.
Пример. Возвести в степень.
5³ = 5 · 5 · 5 = 125
2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
()⁴ =
 ·
 ·
 · 
 =3 · 3 · 3 ·  3
4 · 4 · 4 ·  4
 =81
256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
 числом — положительным, отрицательным или нулём.
 Запомните!
При возведении в степень положительного числа
 получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
 как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или 
 нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
 то получается отрицательное число. Так как произведение
 нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. 
 Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
 Запомните!
Отрицательное число, возведённое в 
 чётную степень, есть число 
 положительное.
Отрицательное число, возведённое в 
 нечётную степень, — число
 отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a² ≥ 0 при любом  a.
2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2)³ =  −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи 
 (−5)⁴ и
 −5⁴ это разные выражения. Результаты возведения
 в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:
Возвести в четвёртую степень положительное число  5. 
5⁴ =  5 ·  5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить 
 действие вычитание). 
−5⁴ =  −625
Пример. Вычислить:   −6² − (−1)⁴
 −6² − (−1)⁴ = −37
6² = 6 · 6 = 36
−6² = −36
(−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1)⁴ = −1
 −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
 Запомните!
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в 
 конце сложение и вычитание.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, 
 а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться 
 таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
 «Возведение в степень онлайн».

Что такое степень числа
Свойства степени
Возведение в степень дроби
ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЯ СРОКОВ ДОСТАВКИ ГРУЗОВ, ПОРОЖНИХ ГРУЗОВЫХ ВАГОНОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМ ТРАНСПОРТОМ \ КонсультантПлюс
Главная
Документы
ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЯ СРОКОВ ДОСТАВКИ ГРУЗОВ, ПОРОЖНИХ ГРУЗОВЫХ ВАГОНОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМ ТРАНСПОРТОМ
Приказ Минтранса России от 07. 08.2015 N 245
(ред. от 28.12.2017)
«Об утверждении Правил исчисления сроков доставки грузов, порожних грузовых вагонов железнодорожным транспортом»
(Зарегистрировано в Минюсте России 14.03.2016 N 41393)
Утверждены
приказом Минтранса России
от 7 августа 2015 г. N 245
Список изменяющих документов
(в ред. Приказа Минтранса России от 28.12.2017 N 543)
1. Настоящие Правила разработаны в соответствии со статьей 33 Федерального закона от 10 января 2003 г. N 18-ФЗ «Устав железнодорожного транспорта Российской Федерации» (Собрание законодательства Российской Федерации, 2003, N 2, ст. 170; N 28, ст. 2891; 2006, N 50, ст. 5279; 2007, N 27, ст. 3213, N 46, ст. 5554; 2008, N 30 (ч. 2), ст. 3616; 2011, N 30 (ч. 1), ст. 4596; 2012, N 25, ст. 3268; 2014, N 6, ст. 566, N 23, ст. 2930, N 49 (ч. 6), ст. 6929; 2015, N 1 (ч. 1), ст. 56, N 14, ст. 2021) (далее — Устав) и определяют порядок исчисления сроков доставки грузов, в том числе порожних контейнеров, порожних грузовых вагонов, не принадлежащих перевозчику (далее — порожние вагоны), железнодорожным транспортом.
Абзац утратил силу. — Приказ Минтранса России от 28.12.2017 N 543.
(см. текст в предыдущей редакции)
При перевозках грузов и порожних вагонов в прямом железнодорожном сообщении с железнодорожных станций, расположенных в Калининградской области, Республике Крым (за исключением грузов и порожних вагонов, перевозимых в железнодорожно-паромном сообщении), на железнодорожные станции в других субъектах Российской Федерации и в обратном направлении применяется порядок исчисления сроков доставки, установленный международными договорами (соглашениями).
Сроки доставки для грузов шестой степени негабаритности и для сверхнегабаритных, требующих специального ограничения скорости на весь путь следования, не устанавливаются.
2. В соответствии с Уставом перевозчики обязаны доставлять грузы и порожние вагоны по назначению и в установленные сроки.
Исчисление срока доставки груза и порожних вагонов начинается с 00 часов 00 минут дня, следующего за днем документального оформления приема груза и порожних вагонов для перевозки, указанного в оригинале транспортной железнодорожной накладной и в дорожной ведомости в графе «Календарные штемпеля», в корешке дорожной ведомости и в квитанции о приеме груза и порожних вагонов в графе «Календарный штемпель перевозчика на станции отправления».
Дата истечения срока доставки груза и порожних вагонов, определенная исходя из положений настоящих Правил, указывается перевозчиком во всех листах транспортной железнодорожной накладной (далее — накладная).
2.1. Нормативный срок доставки грузов, порожних контейнеров и порожних вагонов исчисляется на железнодорожной станции отправления исходя из расстояния перевозки, за которое в соответствии с Уставом рассчитывается плата за перевозку, в зависимости от вида отправки и скорости перевозки.
Нормативный срок доставки изменяется в случаях, перечисленных в настоящих Правилах.
2.2. Нормативный срок доставки определяется исходя из следующих норм суточного пробега вагона в километрах на весь путь следования железнодорожным транспортом.
2.2.1. При перевозке грузовой скоростью повагонных, контейнерных и мелких отправок в зависимости от расстояния перевозки:
Повагонные и контейнерные (без сортировки в пути следования) отправки Контейнерные (с сортировкой в пути следования) и мелкие отправки
Расстояние перевозки, км (включительно) Норма суточного пробега (км) Расстояние перевозки, км (включительно) Норма суточного пробега (км)
до 199 110 
от 200 до 599 160 до 599 75
от 600 до 999 240 от 600 до 999 100
от 1000 до 1999 310 от 1000 до 1999 140
от 2000 до 2999 330 от 2000 до 2999 180
от 3000 до 4999 380 от 3000 до 4999 230
от 5000 до 6999 400 от 5000 до 6999 270
от 7000 и выше 420 от 7000 и выше 300
2. 2.2. При перевозке грузов большой скоростью:
Расстояние перевозки, км (включительно) Норма суточного пробега по видам отправок, км
Повагонные отправки и крупнотоннажные груженые термические контейнеры, перевозимые на сцепах из платформ без расформирования сцепа в пути следования Крупнотоннажные термические и универсальные груженые контейнеры (без сортировки в пути следования), кроме перевозимых на сцепах из платформ без расформирования сцепа в пути следования Контейнерные (с сортировкой в пути следования) и мелкие отправки
до 199 140 110 90
от 200 до 599 210 160 120
от 600 до 999 310 250 180
от 1000 до 1999 400 320 250
от 2000 до 2999 430 340 270
от 3000 до 4999 480 380 300
от 5000 до 6999 500 420 340
от 7000 и выше 520 450 360
Грузоотправитель выбирает и указывает в накладной скорость перевозки грузов и порожних вагонов. Если соответствующими правилами перевозок грузов железнодорожным транспортом предусмотрена перевозка грузов только большой скоростью, грузоотправитель должен указать большую скорость.
2.3. При перевозке маршрутными отправками:
2.3.1. Нормативный срок доставки грузов и порожних вагонов, за исключением перевозки животных, исчисляется из расчета нормативного срока 550 км в сутки независимо от расстояния перевозки.
2.3.2. Нормативный срок доставки животных маршрутными отправками исчисляется из расчета нормативного срока 450 км в сутки независимо от расстояния перевозки.
2.3.3. Если грузоотправителем и перевозчиком не согласовано иное, нормативный срок доставки следующих в прямом международном сообщении в Китайскую Народную Республику со станций, расположенных на территории Российской Федерации, до приграничных железнодорожных станций следующих грузов: зерновые и зернобобовые культуры (код Единой тарифно-статистической номенклатуры грузов (далее — ЕТСНГ) 010002), пшеница (код ЕТСНГ 011005), рожь (код ЕТСНГ 012008), овес (код ЕТСНГ 013000), ячмень (код ЕТСНГ 014003), зерно кукурузы (код ЕТСНГ 015006), початки кукурузы (код ЕТСНГ 016009), рис (код ЕТСНГ 017001), прочие зерновые (код ЕТСНГ 018004), продукция мукомольно-крупяной промышленности (код ЕТСНГ 500005), мука пшеничная (код ЕТСНГ 501008), мука ржаная (код ЕТСНГ 502000), крупа (код ЕТСНГ 503003), прочие продукты перемола (код ЕТСНГ 504006), отруби и отходы мукомольного производства (код ЕТСНГ 505009), продукция пищевой промышленности (код ЕТСНГ 510007), хлеб и изделия хлебобулочные (код ЕТСНГ 511002), изделия макаронные (код ЕТСНГ 512002), изделия кондитерские мучные (код ЕТСНГ 513005), изделия кондитерские сахаристые, кроме мучных, мед (код ЕТСНГ 514008), продукция крахмало-паточной промышленности (код ЕТСНГ 515000), концентраты пищевые, пряности, напитки сухие (код ЕТСНГ 516003), изделия табачно-махорочные (код ЕТСНГ 517006), продукция сахарной промышленности (код ЕТСНГ 5200009), сахар (код ЕТСНГ 521001), соль (код ЕТСНГ 530000), соль поваренная (код ЕТСНГ 531003), продукция комбикормовой промышленности (код ЕТСНГ 540002), комбикорма (код ЕТСНГ 541005), жмыхи и шроты, мука кормовая, отходы пищевой промышленности (код ЕТСНГ 542008), продукция молочной и маслосыродельной промышленности, яйца (код ЕТСНГ 550004), молоко (код ЕТСНГ 551007), молочные продукты (код ЕТСНГ 552001), масло животное, сыр (код ЕТСНГ 553002), продукция маргариновая и саломас (код ЕТСНГ 554005), яйца (код ЕТСНГ 555008), масло растительное и его фракции (код ЕТСНГ 556000), продукция мясной промышленности (код ЕТСНГ 560006), мясо и субпродукты (код ЕТСНГ 561009), изделия колбасные, копчености и полуфабрикаты мясные (код ЕТСНГ 562001), жиры и сало животных и птиц (код ЕТСНГ 563004), отходы мясной промышленности (код ЕТСНГ 564007), рыба и рыбопродукты (код ЕТСНГ 570008), рыба живая, мальки, рыбки для аквариумов (код ЕТСНГ 571000), рыба свежая, охлажденная и свежемороженая, отходы рыбные, ракообразные и моллюски (код ЕТСНГ 572003), рыбопродукты соленые, копченые, сушеные (код ЕТСНГ 573006), жир рыбий, китовый и морского зверя (код ЕТСНГ 574009), продукция плодовоовощной промышленности (код ЕТСНГ 580003), консервы всякие, фрукты ягоды, овощи и грибы моченые, соленые, квашеные, маринованные и сульфитированные (код ЕТСНГ 581002), фрукты и ягоды сушеные (код ЕТСНГ 582005), овощи, картофель и грибы сушеные (код ЕТСНГ 583008), соки (код ЕТСНГ 584000) до пограничных железнодорожных станций Забайкальск, Гродеково, Наушки исчисляется из расчета нормативного срока от 550 км в сутки независимо от расстояния перевозки.
(пп. 2.3.3 введен Приказом Минтранса России от 28.12.2017 N 543)
2.4. При перевозке грузов и порожних вагонов в составе поездного формирования, не принадлежащего перевозчику, срок доставки исчисляется в соответствии с пунктом 2.2.1 настоящих Правил. В случае предъявления груза и порожних вагонов к перевозке в составе поездного формирования, не принадлежащего перевозчику, по одной накладной, количество которого соответствует нормам, установленным для маршрутов по массе или длине, срок доставки исчисляется в соответствии с подпунктом 2.3 настоящих Правил.
2.5. При перевозке грузов, порожних вагонов, следующих с ограничением скорости движения в соответствии с Правилами технической эксплуатации железных дорог Российской Федерации, утвержденными приказом Министерства транспорта Российской Федерации от 21 декабря 2011 г. N 286 (зарегистрирован Минюстом России 28 января 2011 г., регистрационный N 19627), с учетом изменений, внесенных приказами Министерства транспорта Российской Федерации от 12 августа 2011 г. N 210 (зарегистрирован Минюстом России 8 сентября 2011 г., регистрационный N 21758), от 4 июня 2012 г., регистрационный N 162 (зарегистрирован Минюстом России 28 июня 2012 г., регистрационный N 24735), от 13 июня 2012 г. N 164 (зарегистрирован Минюстом России 18 июня 2012 г., регистрационный N 24613), от 30 марта 2015 г. N 57 (зарегистрирован Минюстом России 23 апреля 2015 г., регистрационный N 37020), норма суточного пробега рассчитывается с учетом установленной скорости.
2.6. Неполные сутки при исчислении сроков доставки считаются за полные. Расчетный срок приема груза и порожних вагонов к перевозке и прибытия на железнодорожную станцию назначения определяется по московскому времени.
3. Сроки доставки грузов (за исключением животных) и порожних вагонов групповыми отправками исчисляются исходя из норм суточного пробега, установленных для повагонных отправок.
Срок доставки животных, перевозимых повагонными и групповыми отправками, исчисляется по нормам суточного пробега для контейнерных (с сортировкой в пути следования) и мелких отправок.
4. При перевозке грузов и порожних вагонов отправительскими маршрутами, а также грузов в контейнерах, перевозимых контейнерными поездами, сроки доставки исчисляются исходя из установленной нормы суточного пробега. Эти сроки исчисляются:
4.1. Для прямых отправительских маршрутов или контейнерных поездов — исходя из расстояния перевозки от железнодорожной станции отправления до железнодорожной станции назначения по суточной норме пробега для маршрутных отправок.
4.2. Для отправительских маршрутов, направляемых на железнодорожные станции распыления, расформирования — как сумма сроков доставки отдельно за расстояние от железнодорожной станции отправления до железнодорожной станции распыления, расформирования, — исходя из нормы суточного пробега, установленной для маршрутных отправок, и за расстояние от железнодорожной станции распыления, расформирования до железнодорожной станции назначения — исходя из норм суточного пробега, установленных для повагонных отправок.
4. 3. При наличии в составе маршрута ядра (основной части отправительского маршрута установленного веса, которая следует без переформирования до железнодорожной станции назначения в случае изменения веса поезда в пути следования) — для вагонов, включенных в указанное ядро исходя из нормы суточного пробега маршрутных отправок за весь путь следования; для отцепленных вагонов — как сумма сроков доставки отдельно за расстояние от железнодорожной станции отправления до железнодорожной станции изменения веса поезда по норме суточного пробега маршрутных отправок и отдельно за расстояние от железнодорожной станции изменения веса поезда до железнодорожной станции назначения исходя из нормы суточного пробега повагонных отправок.
5. Сроки доставки, исчисленные исходя из норм суточного пробега, предусмотренных настоящими Правилами, увеличиваются на:
5.1. Двое суток — на операции, связанные с отправлением и прибытием груза, порожних вагонов.
5.2. Двое суток — на каждую погрузку (выгрузку) вагонов рефрижераторной секции, в случаях ее погрузки (выгрузки) на промежуточных железнодорожных станциях.
5.3. Одни сутки — на операции, связанные с передачей и приемом грузов, порожних вагонов, при перевозке грузов, порожних вагонов с переправой через водные пути сообщения на паромах.
5.4. Одни сутки — при передаче на другой вид транспорта, приеме с другого вида транспорта грузов, перевозимых в прямом смешанном сообщении.
5.5. Двое суток — при перегрузке грузов в вагоны с колесными парами другой ширины колеи.
5.6. Одни сутки — при перестановке вагонов на колесные пары другой ширины колеи.
5.7. Одни сутки — на операции, связанные с переадресовкой груза и порожних вагонов.
5.8. Двое суток — при перевозке на расстояние до 1000 км, трое суток — при перевозке на расстояние свыше 1000 км грузов (в отношении грузов, перевозимых мелкими отправками и в контейнерах с сортировкой в пути следования).
5.9. Одни сутки — при отправлении грузов, порожних вагонов с железнодорожных станций Московского и Санкт-Петербургского железнодорожных узлов, прибытии грузов, порожних вагонов на железнодорожные станции этих узлов, при следовании грузов, порожних вагонов транзитом через эти узлы, а также при перевозке порожних вагонов назначением на железнодорожные станции Кузбасского региона (железнодорожного узла).
5.10. Одни сутки — в случае осуществления на пограничных пунктах пропуска Российской Федерации пограничного, таможенного, санитарно-эпидемиологического, ветеринарного, фитосанитарного и других видов государственного контроля.
5.11. Одни сутки — на передачу грузов, порожних вагонов, двое суток — на передачу грузов, перевозимых на транспортерах, имеющих 12 и более осей, а также грузов, имеющих 1 — 5 степени негабаритности (включительно), с одной инфраструктуры на другую инфраструктуру.
5.12. Одни сутки — при перевозке опасных грузов и порожних вагонов из-под перевозки опасных грузов, если перевозка порожних вагонов осуществляется на условиях перевозки опасных грузов в соответствии с Правилами перевозок опасных грузов по железным дорогам, утвержденными Советом по железнодорожному транспорту государств — участников Содружества (протокол от 5 апреля 1996 г. N 15) (далее — Правила перевозок опасных грузов по железным дорогам).
5.13. Одни сутки на каждую инфраструктуру железнодорожного транспорта общего пользования (далее — инфраструктура) — при перевозке грузов, порожних вагонов с участием нескольких инфраструктур.
6. Сроки доставки грузов, порожних вагонов увеличиваются на все время задержки в случаях:
6.1. Задержки грузов, порожних вагонов таможенными и другими органами государственного контроля в пути следования более чем на одни сутки.
6.2. Задержки грузов в пути следования для исправления погрузки, устранения перегруза грузов или устранения коммерческих неисправностей вагонов, контейнеров, допущенных грузоотправителем.
6.3. Задержки вагонов, контейнеров в пути следования, связанной с оформлением и исправлением обнаруженной технической неисправности, возникшей по не зависящим от перевозчика причинам.
6.4. Задержки вагонов, контейнеров в пути следования вследствие обстоятельств, установленных частью первой статьи 29 Устава.
6.5. Задержки фактического приема вагонов, контейнеров к перевозке по причине коммерческих неисправностей вагонов, контейнеров, установленных перевозчиком в соответствии с Правилами приема грузов к перевозке железнодорожным транспортом, утвержденными приказом Министерства путей сообщения Российской Федерации от 18 июня 2003 г. N 28 (зарегистрирован Минюстом России 19 июня 2003 г., регистрационный N 4775), с учетом изменений, внесенных приказами Министерства транспорта Российской Федерации от 25 декабря 2007 г. N 196 (зарегистрирован Минюстом России 23 января 2008 г., регистрационный N 10971), от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г., регистрационный N 22019), до устранения неисправностей грузоотправителем.
6.6. Задержки рефрижераторной секции грузоотправителем, грузополучателем сверх нормы, установленной пунктом 5.2 настоящих Правил, при погрузке-выгрузке вагонов рефрижераторной секции на одной или нескольких железнодорожных станциях в попутном направлении одним или несколькими грузоотправителями в адрес одного или нескольких грузополучателей.
6.7. Задержки вагонов на промежуточных железнодорожных станциях в случае невозможности их приема железнодорожной станцией назначения по причинам, зависящим от грузополучателей, получателей, владельцев железнодорожных путей необщего пользования или пользователей, обслуживающих грузополучателей своими локомотивами.
6.8. Задержки вагонов, контейнеров в ожидании оформления переадресовки по причинам, не зависящим от перевозчика <1>.
———————————
<1> Пункт 21 Правил переадресовки грузов на железнодорожном транспорте, утвержденных приказом МПС России от 18 июня 2003 г. N 44 (зарегистрирован Минюстом России 25 июня 2003 г., регистрационный N 4826), с изменениями, внесенными приказом Минтранса России от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г., регистрационный N 22019).
6.9. Нахождения порожних вагонов, контейнеров на железнодорожной станции и на железнодорожных путях необщего пользования для промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки, если вагоны, в том числе с контейнерами, направлены для промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки и следуют через эту железнодорожную станцию на железнодорожную станцию назначения по одной накладной:
на все время нахождения, если промывка, пропарка или ветеринарно-санитарная обработка производятся на пунктах промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки, не принадлежащих перевозчику;
на все предусмотренное договорами перевозчика с отправителем или владельцем порожнего вагона время, в случае выполнения промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки перевозчиком.
6.10. Задержки грузов, перевозимых в прямом смешанном сообщении в порту перевалки, связанной с ожиданием отправления грузов морским или речным транспортом, если такая задержка произошла по причинам, не зависящим от перевозчика.
6.11. Задержки принятых к перевозке вагонов и контейнеров на железнодорожных путях необщего пользования, если задержка произошла по причинам, не зависящим от перевозчика.
7. О причинах задержки груза, порожних вагонов, предусмотренных пунктом 6 настоящих Правил, и о продолжительности этой задержки перевозчик составляет акты общей формы в порядке, установленном Правилами составления актов при перевозках грузов железнодорожным транспортом, утвержденными приказом Министерства путей сообщения Российской Федерации от 18 июня 2003 г. N 45 (зарегистрирован Минюстом России 30 июня 2003 г., регистрационный N 4856), с учетом изменений, внесенных приказом Министерства транспорта Российской Федерации от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г. , регистрационный N 22019), и делаются отметки, предусмотренные Правилами заполнения перевозочных документов при перевозках грузов железнодорожным транспортом, утвержденными приказом Министерства путей сообщения Российской Федерации от 18 июня 2003 г. N 39 (зарегистрирован Минюстом России 23 июня 2003 г., регистрационный N 4819), с изменениями, внесенными приказами Минтранса России от 25 декабря 2007 г. N 196 (зарегистрирован Минюстом России 23 января 2008 г., регистрационный N 10971), от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г., регистрационный N 22019).
8. Сроки доставки негабаритных грузов, кроме грузов шестой степени негабаритности и сверхнегабаритных, определяются по фактически пройденному расстоянию исходя из следующих норм суточного пробега вагона в километрах на весь путь следования железнодорожным транспортом:
одни сутки на каждые 100 км следования — для грузов 1 — 4 степени негабаритности включительно;
одни сутки на каждые 80 км следования — для грузов 5 степени негабаритности.
Сроки доставки всех грузов, перевозимых на транспортерах, имеющих 12 и более осей, а также грузов, имеющих 1 — 5 степени негабаритности (включительно), увеличиваются на время до дня получения железнодорожной станцией приема груза к перевозке разрешения от владельца инфраструктуры на отправление груза с железнодорожной станции.
Сроки доставки грузов, перевозимых на транспортерах, имеющих 12 и более осей, а также грузов 1 — 5 степени негабаритности (включительно) увеличиваются в случаях, предусмотренных в пунктах 5 и 6 настоящих Правил.
9. Сроки доставки опасных грузов определяются исходя из фактически пройденного расстояния в случаях, когда в соответствии с Правилами перевозок опасных грузов по железным дорогам, поезда, в составе которых следуют грузовые вагоны с опасными грузами, пропускаются в обход железнодорожных транспортных узлов.
10. При перевозке порожних вагонов, контейнеров через железнодорожную станцию промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки с оформлением одного перевозочного документа на железнодорожной станции выгрузки до железнодорожной станции назначения вагона срок доставки рассчитывается как сумма сроков доставки за расстояния перевозки порожнего вагона, вагона с контейнером от железнодорожной станции отправления до железнодорожной станции промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки и от железнодорожной станции промывки, пропарки или ветеринарно-санитарной обработки до железнодорожной станции назначения.
11. Сроки доставки грузов, порожных вагонов на железнодорожные станции строящейся железнодорожной линии или отправляемых с железнодорожных станций такой линии на железнодорожный транспорт общего пользования, перевозимых по единому перевозочному документу, определяются как сумма сроков доставки отдельно за расстояние по железнодорожному транспорту общего пользования и отдельно за расстояние по строящейся железнодорожной линии.
Сроки доставки грузов, порожних вагонов за расстояние перевозки по строящейся железнодорожной линии исчисляются исходя из уменьшенных в два раза норм суточного пробега, указанных в пунктах 2.2.1 или 2.2.2 настоящих Правил, и увеличиваются на двое суток на осуществление операций по передаче грузов, порожних вагонов с железнодорожного транспорта общего пользования на строящуюся железнодорожную линию (или обратно).
12. Срок доставки грузов и порожних вагонов определяется из фактически пройденного расстояния при увеличении расстояния перевозки в связи с обходом участков инфраструктуры, закрытых для движения поездов из-за ремонта, если данное расстояние перевозки согласовано с грузоотправителем или отправителем порожнего вагона.
О причинах перевозки вагонов в обход участка инфраструктуры в связи с его ремонтом перевозчик составляет акт общей формы в двух экземплярах в порядке, установленном Правилами составления актов при перевозках грузов железнодорожным транспортом, утвержденными приказом Министерства путей сообщения Российской Федерации от 18 июня 2003 г. N 45 (зарегистрирован Минюстом России 30 июня 2003 г., регистрационный N 4856), с учетом изменений, внесенных приказом Министерства транспорта Российской Федерации от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г., регистрационный N 22019). Первый экземпляр акта прикладывается к перевозочному документу.
В графе накладной «Отметки перевозчика» и в дорожной ведомости под наименованием груза делается отметка в порядке, предусмотренном Правилами заполнения перевозочных документов при перевозках грузов железнодорожным транспортом, утвержденными приказом Министерства путей сообщения Российской Федерации от 18 июня 2003 г. N 39 (зарегистрирован Минюстом России 23 июня 2003 г., регистрационный N 4819), с изменениями, внесенными приказами Минтранса России от 25 декабря 2007 г. N 196 (зарегистрирован Минюстом России 23 января 2008 г., регистрационный N 10971), от 3 октября 2011 г. N 258 (зарегистрирован Минюстом России 11 октября 2011 г., регистрационный N 22019).
13. При перевозке грузов, порожних вагонов по одному перевозочному документу с участием нескольких инфраструктур срок доставки определяется как сумма сроков доставки за расстояние перевозки железнодорожным транспортом отдельно по каждой инфраструктуре.
14. Грузы считаются доставленными в срок:
если до истечения указанного в накладной срока перевозчик обеспечил выгрузку грузов на железнодорожной станции назначения (при наличии договора) или вагоны, контейнеры с грузами поданы для выгрузки грузополучателям или владельцам железнодорожных путей необщего пользования для грузополучателей;
в случае прибытия на железнодорожную станцию назначения до истечения указанного в накладной срока их доставки и в случае, если последовавшая задержка подачи вагонов с такими грузами для выгрузки произошла вследствие того, что фронт выгрузки (железнодорожный выставочный путь) занят по зависящим от грузополучателя причинам, не внесены плата за перевозку грузов и иные причитающиеся перевозчику платежи или вследствие иных зависящих от грузополучателя причин, о чем перевозчиком составляется акт общей формы.
Дата уведомления грузополучателя и таможенных органов о прибытии груза, находящегося под таможенным контролем, на железнодорожную станцию назначения является датой фактического срока доставки груза по назначению, и перевозчик не несет ответственности за задержку груза на железнодорожной станции назначения, связанную с таможенным оформлением груза.
В случае прибытия груза вне времени работы таможенного органа срок доставки груза увеличивается на срок от момента прибытия груза на железнодорожную станцию назначения до наступления времени работы таможенного органа.
Порожние вагоны считаются доставленными в срок, если до истечения указанного в транспортной железнодорожной накладной срока доставки (с учетом корректировки в соответствии с настоящими Правилами) порожний вагон прибыл на железнодорожную станцию назначения и может быть подан получателю или на железнодорожный выставочный путь, о чем перевозчик уведомляет получателя.
15. Перевозчик и грузоотправители, отправители порожних вагонов могут заключать договоры, предусматривающие иные, чем определены настоящими Правилами, сроки доставки грузов, порожних вагонов, о чем делается в графе «Особые заявления и отметки отправителя» накладной отметка «Договорной срок доставки. Договор от __________ дата _______».
Договорный срок доставки в пути следования увеличивается перевозчиком в соответствии с настоящими Правилами.
16. За просрочку доставки груза, а также порожних вагонов, контейнеров перевозчик несет ответственность в соответствии со статьей 97 Устава.
Приказ
 2 + fx + g = 0, \text{ ?}$$ со всеми положительными коэффициентами, кроме константы.
 полиномы
 корни
 $\endgroup$
 7
 $\begingroup$
 Если бы я знал значения коэффициентов, я бы попытался решить ее методами, основанными на численных вычислениях, вполне вероятно, методом Ньютона. Реальных решений может и не быть, но известная теорема уверяет нас, что комплексные решения будут. Другая известная теорема гласит, что решения не являются функциями коэффициентов, которые можно построить с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней, кубических корней, корней четвертой степени и т. д. Это  можно  выполнить для полиномов $4$-й степени и более низких степеней, как при решении квадратного уравнения по обычной формуле. В некоторых особых случаях это можно сделать для полиномов более высоких степеней, но нам нужно было бы кое-что знать о коэффициентах, чтобы знать, что у нас есть такой частный случай.
 Как вы изучаете корни как функции коэффициентов? Я бы начал с поиска в Google «алгебраических функций» и «комплексных переменных» или «комплексного анализа». Есть некоторые теоремы о них, и я подозреваю, что известно гораздо больше, чем основные теоремы о них, которые я видел.
 Может быть, есть какие-нибудь хитрые геометрические методы.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Корень многочлена может быть иррациональным, и на практике вы обычно можете получить их приближение только с помощью численных методов.
 Приведенное выше уравнение является полностью общим, и в нем нет дополнительных сведений о том, что можно использовать. Ваш лучший шанс — выбрать случайную начальную точку, а затем использовать метод Бэрстоу. (Это, в конце концов, даст вам все корни, включая сложные)
 https://en.wikipedia.org/wiki/Bairstow%27s_method
 Обратите внимание, что, поскольку метод Бэрстоу зависит от начальной начальной точки, может случиться так, что алгоритм сходится, к сожалению, в этом случае просто попробуйте другую начальную точку .
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Секстик обычно не имеет решения, которое может быть выражено с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня).
Это результат, доказанный Абелем (и Галуа), который на самом деле верен для любого многочлена степени $5$ или выше. 96 + \dotsb + g$ точно.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Mathworld утверждает, что общий секстик может быть решен с помощью функций Кампе де Ферье. Имейте в виду, это не то, что можно сделать на практике…
 $\endgroup$
 Твой ответ
 Зарегистрируйтесь или войдите в систему
 Зарегистрируйтесь с помощью Google
 Зарегистрироваться через Facebook
 Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но никогда не отображается
 Опубликовать как гость
 Электронная почта
 Требуется, но не отображается
 Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
. Что такое воровство 6-й степени в Коннектикуте?
 Что такое воровство?
 Обвинения в краже, чаще называемые кражей, варьируются от 1-й степени (самая серьезная) до 6-й степени (наименее серьезная). В Коннектикуте лицо совершает кражу, когда оно неправомерно берет, получает или удерживает такое имущество от владельца с намерением лишить другое имущество или присвоить его себе или третьему лицу.
 Примеры воровства включают в себя растрату, получение собственности отговоркой, приобретение собственности по ошибке, вымогательство и, что чаще всего, кражу в магазине. Однако не все обвинения в краже одинаковы. Вас наказывают в зависимости от того, сколько вы украли и как вы это сделали, что соответствует степени обвинения.
   Ниже мы обсудим наименее серьезное правонарушение — кражу 6-й степени — и что это такое.  
 Какие наказания предусмотрены за воровство 6-й степени?
 Кража 6-й степени также известна как «мелкая кража». Воровство 6-й степени в Коннектикуте означает, что стоимость украденного имущества или услуг составляет 500 долларов или меньше, и это проступок класса C. Максимальное наказание — три месяца тюремного заключения и/или штраф в размере 500 долларов.
 Правонарушитель, впервые совершивший преступление
 В случае первого правонарушения в краже или магазинной краже часто можно снять обвинение в обмен на реституцию, возмещение стоимости изъятых товаров или общественные работы. Эти варианты помешают вам иметь судимость.
 Несовершеннолетний правонарушитель
 Несовершеннолетним правонарушителем является лицо моложе 18 лет, нарушившее или пытавшееся нарушить любой закон штата или федеральный закон. Многие магазинные кражи и мелкие кражи совершаются несовершеннолетними. Несовершеннолетний, особенно впервые совершивший правонарушение, может рассчитывать на иное наказание, чем взрослый. В юридической фирме Sills мы стремимся предоставить вам испытательный срок, который может длиться до шести месяцев, реституцию или выплату долга владельцам магазинов или освобождение от родительского контроля.
 В случае повторных правонарушений несовершеннолетний, обвиненный в мелкой краже, может быть приговорен к наказанию в виде дивергенции. Для дивергенции требуется, чтобы правонарушитель записался на образовательную программу, имел определенный средний балл и выполнял общественные работы. Эта программа может заменить официальное судебное заседание.
 Множественные правонарушения
 Правонарушитель с двумя предыдущими судимостями за кражу в Коннектикуте или любом другом штате может столкнуться с усиленным наказанием. Если вы ранее были судимы за воровство, обвинение может быть повышено до тяжкого преступления класса D как постоянное воровство, что может привести к тюремному заключению на срок до 5 лет.
 Однако часто бывает возможно снять обвинения в обмен на реституцию и общественные работы по первому обвинению в краже. Снятие обвинений помешает вам попасть в тюрьму и получить судимость, что может помешать вам устроиться на работу или поступить в университет. Как правонарушитель, вы можете претендовать на ускоренную реабилитацию, которая позволяет вам получить испытательный срок и снятие обвинений с вашего досье через 13 месяцев. Ускоренная реабилитация — отличный путь, если вы не совершаете дополнительных правонарушений.
 Магазинные кражи и воровство 6-й степени
 Владельцы или сотрудники магазинов имеют право задерживать подозреваемых в магазинных кражах в ожидании полиции. Пожалуйста, знайте, что единственные вопросы, на которые вы должны ответить, это ваше имя и адрес. Нередко подозреваемых принуждают подписывать заявления или признаваться владельцам магазинов. Крайне важно не отвечать на дополнительные вопросы.
 В юридической фирме Sills мы попытаемся договориться о снятии или смягчении ваших обвинений, если вы впервые совершили воровство в отношении преступника 6-й степени. Мы внимательно изучаем конкретные факты вашего дела и вырабатываем стратегию, как лучше поступить.
 Обвинение в мелкой краже в Коннектикуте?
 Если вас обвинили в краже, вам нужен опытный адвокат по уголовным делам. Наши адвокаты по уголовным делам из Коннектикута в юридической фирме Sills готовы защитить вас, независимо от того, предъявлено ли вам обвинение в мелкой краже, мелком краже в магазине или обвинении в грабеже. Наша опытная команда успешно представляла людей в таких ситуациях, и у нас есть навыки и ресурсы, чтобы бороться за вас.
 Какие факторы доказывают воровство?
 Вы будете признаны виновным в краже 6-й степени, если будет доказано, что вы действовали с намерением завладеть чужой собственностью или совершили одно из следующих действий:
 Умышленно вынесли товары из помещений любого магазин без оплаты за товар или товары.
 Что вы умышленно скрыли товары, за которые не заплатили, пока находились в магазине.
 Что вы намеренно изменили, стерли, переставили, подменили или изменили ценник на предмете, чтобы изменить цену на более низкую.
 Что вы намеренно не просканировали товары в кассе самообслуживания или пытались уйти, не заплатив.
 Приравнивается ли получение повестки о правонарушении к аресту?
 В юридической фирме Sills иногда наши клиенты вместо ареста получают повестку о проступке с указанием даты судебного заседания. Повестка о проступке часто имеет тот же результат, что и арест, который является назначенной датой суда. Очень редко арестовывают после судебного заседания по вызову.
 Воровство по обвинению 6-й степени является правонарушением, к которому вы должны отнестись серьезно, и оно может значительно повлиять на вашу репутацию и работу. Наем опытного адвоката по уголовным делам Коннектикута для энергичной защиты этих обвинений имеет решающее значение.
  Позвоните по телефону (860) 524-8118 или свяжитесь с нами онлайн, чтобы поговорить с адвокатом по уголовным делам Коннектикута. 
 Как найти степень многочлена
 Как найти степень многочлена — Алгебра 1 —>
 Войти
 Биографии репетитора
 Подготовка к тесту   СРЕДНЯЯ ШКОЛА
 ACT Репетиторство
 SAT Репетиторство
 Репетиторство PSAT
 ASPIRE Репетиторство
 ШСАТ Репетиторство
 Репетиторство STAAR
 ВЫСШАЯ ШКОЛА
 Репетиторство MCAT
 Репетиторство GRE
 Репетиторство по LSAT
 Репетиторство по GMAT
 К-8
 Репетиторство AIMS
 Репетиторство по HSPT
 Репетиторство ISEE
 Репетиторство ISAT
 Репетиторство по SSAT
 Репетиторство STAAR
 Поиск 50+ тестов
  
 Академическое обучение   репетиторство по математике
 Алгебра
 Исчисление
 Элементарная математика
 Геометрия
 Предварительный расчет
 Статистика
 Тригонометрия
 репетиторство по естественным наукам
 Анатомия
 Биология
 Химия
 Физика
 Физиология
 иностранные языки
 Французский
 немецкий
 Латинский
 Китайский мандарин
 Испанский
 начальное обучение
 Чтение
 Акустика
 Элементарная математика
 прочее
 Бухгалтерия
 Информатика
 Экономика
 Английский
 Финансы
 История
 Письмо
 Лето
 Поиск по 350+ темам
  
 О   Обзор видео
 Процесс выбора наставника
 Онлайн-репетиторство
 Мобильное обучение
 Мгновенное обучение
 Как мы работаем
 Наша гарантия
 Влияние репетиторства
 Обзоры и отзывы
 Освещение в СМИ
 О преподавателях университета
 Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
 (888) 888-0446
 Все ресурсы по алгебре 1
 10 диагностических тестов
 557 практических тестов
 Вопрос дня
 Карточки
 Learn by Concept
 ← Предыдущая  1  2 3 4 5 6 7 8 Следующая →
 Алгебра 1 Помощь »
 Переменные »
 Полиномы »
 Полиномиальные операции »
 Как найти степень многочлена
 Укажите степень многочлена.
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Степень отдельного члена многочлена является показателем степени его переменной; показатели членов этого полинома равны 5, 4, 2 и 7 по порядку.
 Степень полинома — это наивысшая степень любого из членов; в данном случае это 7.
 Сообщить об ошибке
 Какова степень полинома?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Чтобы найти степень многочлена, вам сначала нужно идентифицировать каждый член [например, термин], поэтому, чтобы найти степень каждого члена, вы добавляете показатели степени.
 EX:   — Степень 3
 Высшая степень  
 Сообщить об ошибке
 Какова степень многочлена?
  
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Чтобы найти степень полинома, сложите показатели каждого члена и выберите наибольшую сумму.
 12x ² Y ³: 2 + 3 = 5
 6xy ⁴ z: 1 + 4 + 1 = 6
 2xz: 1 + 1 = 2
. Следовательно, 6.
0002 Сообщить об ошибке
  
 Какова степень полинома?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Степень — это наивысшее значение показателя степени переменных в полиноме.
 Здесь наибольший показатель степени равен x ⁵ , поэтому степень равна 5.
 Сообщить об ошибке
 Упростить:
  Возможные ответы: 
 5
 1
 -1
 2x
 Ничего из перечисленного
  Правильный ответ: 
 -1
5
5
 Объяснение:
 Данное выражение может быть переписано как:
 Отмена (2x — 5):
 Отчет о ошибке
 Найдите степень полинома:
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Члены полинома могут иметь переменные, возведенные только в положительные целые степени. Не допускаются квадратные корни, дробные степени и переменные в знаменателе.
 Правильный ответ:  
 Сообщить об ошибке
 Какова степень следующего многочлена?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Степень полинома — это наивысшая степень полинома.
 Наивысшая степень данного терма:  
 Следовательно, степень многочлена равна .
 Сообщить об ошибке
 Какова степень следования многочлена?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Степень многочлена с одной переменной (в нашем случае ), просто найдите наибольший показатель степени этой переменной в выражении. Термин  показывает возведение в седьмую степень, и ни один другой  в этом выражении не возводится во что-либо большее, чем семь. Следовательно, степень этого выражения равна .
 Сообщить об ошибке
 Какова степень следующего многочлена?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Многочлен имеет более одной переменной. Степень полинома — это наибольшая сумма показателей ВСЕХ переменных в термине.
 Первый член .
 Степень этого члена 
 Второй член .
 Степень этого термина .
 Степень полинома – наибольшее из этих двух значений или .
 Сообщить об ошибке
 Какова степень следующего многочлена?
  Возможные ответы: 
  Правильный ответ: 
 Объяснение:
 Чтобы найти степень многочлена, просто найдите самый высокий показатель степени в выражении. Поскольку семь является наивысшим показателем выше, это также степень многочлена.
 Сообщить об ошибке
 ← Предыдущая  1  2 3 4 5 6 7 8 Следующая →
 Уведомление об авторских правах
 Просмотреть репетиторов по алгебре
 Гвенда 
 Сертифицированный репетитор Университета бизнеса Стивена, Оор Бастин
 и Управление. Техасский университет в Тай…
 Посмотреть Репетиторы по алгебре
 Люк 
 Сертифицированный преподаватель
 Техасский университет в Эль-Пасо, бакалавр гуманитарных наук, мульти-/междисциплинарные исследования, общие.
 Посмотреть репетиторов по алгебре
 Майкл 
 Сертифицированный репетитор
 Университет Олд Доминион, бакалавр технических наук, электротехника. Главный кампус Университета Вирджинии, магистр наук…
 Все ресурсы по алгебре 1
 10 диагностических тестов
 557 практических тестов
 Вопрос дня
 Карточки
 Учитесь по концепции
 Значение 6-й степени в астрологии + примеры
 Время чтения: 4 минуты
 Значение 6   ^й   степени в астрологии + Примеры  знака  Девы  .
  основных домена Знака Зодиака Дева : работа, обслуживание, распорядок дня, домашние животные, болезнь, здоровье, болезнь, диета, сотрудники, коллеги, рабочая среда, здравоохранение, врачебная деятельность, кишечник, помощь кому-либо, быть жертва, бесправие, оскорбление, стремление к совершенству, критика, поиск недостатков, собирание вязания, наличие аналитического ума, организация, уборка, чистоплотность, чистоплотность.
 Здесь вы можете больше узнать о Деве.
 {Похожая статья: Значение градусов в астрологии} 
  Для чтения натальной карты я использую     Систему полного знака домов    – самую древнюю, а не Плацида. Однако графики, которые я загрузил, находятся в системе расчета домов Плацидуса. Это может сбивать с толку, заметьте. 
  Я использую значение степеней как     дополнительная информация     для чтения натальной карты. 
 Итак, давайте посмотрим на некоторые реальные примеры  значения 6-й степени  в астрологии.
  Обратите внимание, что эти примеры являются очень краткими интерпретациями. Чтобы полностью понять конкретное положение планеты, нужно проверить больше деталей. 
 Солнце в 6-м градусе натальной карты   Солнце  является первичным  индикатором карьеры  в натальной карте. Солнце показывает  центральное положение сцены  для туземца, поскольку Солнце занимает центральное положение сцены в нашей Солнечной системе, где оно ярко светит.
 Когда он находится на  6-й степени,  карьера натива связана с  службой  .
  Солнце Арнольда Шварценеггера находится в 6  градусе во 2  доме во Льве. 
 Это очень сильное положение для Солнца, так как это его собственный знак.
 Шварценеггер преуспел в разных областях карьеры, например, в  профессиональный бодибилдер  r -стояние на сцене также связано со Львом- и как  голливудская кинозвезда  . Тем не менее,  карьерный успех , которым он наиболее известен, — это должность  губернатора Калифорнии. 
 Солнце в 6 ^-м-м градусе указывает на карьеру в  государственной службе  своего рода. Знак Зодиака Лев показывает, что уроженец является высшим лидером.
 Кроме того, его первая карьера профессионального бодибилдера   также связана с  Домены Девы- 6 ^th  степень как  это все о строгой диете, распорядке дня, тренировках, здоровье и т. д. 
 Что свидетельствует об успехе  в киноиндустрии  ? Ну, у многих актеров и актрис  Солнце во 2-м доме,  как ,  2 ^и дома управляют лицом, и их работа в основном связана с их лицом.
 Астрологическая карта Арнольда Шварценеггера
 Асцендент в 6-м градусе  Асцендент в 9-м градусе0103 точка воплощения  . Там же говорится про  кузов родной , внешний вид   и как выглядят родные. И самое главное, путь, который натив проходит в этой жизни.
  Асцендент Николь Кидман в Скорпионе в 6-м градусе. 
 Несмотря на то, что она восходящий Скорпион, у нее всегда был этот загадочный, сексуальный вид, а также  невинный взгляд юной девушки. Типичный образ Девы.   
 Она выглядит как серьезная женщина, которая стремится к совершенству, но при этом имеет уязвимый вид Девы.
 Что ж, ее Асцендент в 6 ^-м-м градусе касается не только внешнего вида.
 Она не только кинозвезда; она поддерживает многочисленные благотворительные организации, является послом Unicef в течение трех десятилетий. Но в наши дни, вероятно, она больше известна своей гуманитарной службой  или достижениями , которые также связаны с Девой.
 Астрологическая карта Николь Кидман
 Луна в 6  градусе  Луна показывает  качества матери или главного опекуна. 
 Она может быть Девой или обладать качествами Девы, или работать в сфере карьеры, управляемой Девой, например, врачом, инженером, на государственной службе, в здравоохранении, уборщиком или работать с животными.
 Также может указывать на критическую мать.
 Другой возможный сценарий заключается в том, что когда Мун показывает наш внутренний диалог, абориген может быть слишком критичен по отношению к себе.
 Меркурий в 6 ^{-м градусе}  Меркурий пишет, общается, ведет машину и т. д. 
   Джонни Кэш был певцом и автором песен  . У него был свой Меркурий – писать – в Рыбах – Знак Зодиака, связанный с музыкой. Его 90 103 Меркурий находился в 6 90 424 градусе 90 425 для работы, 90 106 для создания работы из этой планетарной позиции.
 Песни писал в основном о владениях Девы- опять же 6 ^й градус- печаль, трудности в жизни.
 И его Солнце — основной показатель карьеры — было в соединении с Меркурием в Рыбах в 6-м ^{-м 9-м.0425 градус. Поэтому его карьера -Солнце- была связана с  общением с массами и писательством. Через свои песни  он мог общаться с миром.}
 Кроме того, его Венера в 2 ^-м-м доме дала ему такой красивый голос.
 Астрологическая карта Джонни Кэша
 Венера в 6  градусе  Планета любви, красоты, отношений, финансов. А 6 90 424 90 425 градус несет качества Девы, такие как критика, составление бюджета, анализ и измерение. Другими словами,  поверхностность встречает критику. 
 Здесь вы можете узнать больше о Венере.
  Белла Хадид, , одна из самых известных супермоделей современности, имеет Венеру в Деве в 6-м градусе. Итак, это двойной удар по Деве.
  Кстати, многие супермодели имеют Деву-Венеру, например, Кара Делевинь, Барбара Палвин, Ким Кардашьян и Кайли Дженнер. Вероятно, их критикуют за внешний вид, хотя у них идеальная внешность, и они зарабатывают на этом состояние. 
  Согласно Системе Домов Всего Знака, у Беллы Хадид   Венера в Деве  т  6-й градус  в первом доме.
 Для Беллы Хадид Венера является управителем 2-го дома в 1-м доме. Другими словами, 2-й дом показывает, на что вы тратите деньги, а 1^-й-й дом — это тело. Вероятно,  она тратит деньги на свою внешность, украшая себя,  но, эй, она  супермодель из списка лучших , так что она зарабатывает на этом целое состояние.
 О 6 ^й степени.  Она работает- 6 ^й  степень  – в  индустрии, управляемой Венерой  , в индустрии моды. Поскольку это связано с Девой, скорее всего, ее критикуют за внешний вид или она делает это сама с собой.
 К сожалению,  Дева Венера или Венера в 6-м градусе уроженцы всегда склонны думать, что красота измеряется определенными дюймами, фунтами, цветами и т. д.  
  Каков ваш опыт с 6 ^-й-й градус в натальной карте? Что бы вы еще добавили к значению 6-й степени? 
 Поделиться в Твиттере Поделиться в Твиттере
 Поделиться на Facebook Поделиться на Facebook
 Поделиться на Pinterest Поделиться на Pinterest
 Поделиться в LinkedIn Поделиться в LinkedIn
 Поделиться на Reddit Поделиться на Reddit
 Поделиться по электронной почте Поделиться по электронной почте
 Mathway | Популярные проблемы
 92-9=02+2x-8=0 92) 1  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 50 
 2  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 45 
 3  Оценить  5+5 
 4  Оценить  7*7 
 5  Найти простую факторизацию  24 
 6  Преобразование в смешанный номер  52/6 
 7  Преобразование в смешанный номер  93/8 
 8  Преобразование в смешанный номер  34/5 
 9  График  у=х+1 
 10  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 128 
 11  Найдите площадь поверхности  сфера (3)  
 12  Оценить  54-6÷2+6 
 13  График  г=-2x 
 14  Оценить  8*8 
 15  Преобразование в десятичное число  5/9 
 16  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 180 
 17  График  у=2 
 18  Преобразование в смешанный номер  7/8 
 19  Оценить  9*9 
 20  Решите для C  С=5/9*(Ф-32) 
 21  Упростить  1/3+1 1/12 
 22  График  у=х+4 
 23  График  г=-3 
 24  График  х+у=3 
 25  График  х=5 
 26  Оценить  6*6 
 27  Оценить  2*2 
 28  Оценить  4*4 
 29  Оценить  1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6) 
 30  Оценить  1/3+13/12 
 31  Оценить  5*5 
 32  Решите для d  2д=5в(о)-вр 
 33  Преобразование в смешанный номер  3/7 
 34  График  г=-2 
 35  Найти склон  у=6 
 36  Преобразовать в проценты  9 
 37  График  у=2х+2  92+5х+6=0 
 41  Преобразование в смешанный номер  1/6 
 42  Преобразование в десятичное число  9% 
 43  Найти n  12н-24=14н+28 
 44  Оценить  16*4 
 45  Упростить  кубический корень из 125 
 46  Преобразование в упрощенную дробь  43% 
 47  График  х=1 
 48  График  у=6 
 49  График  г=-7 
 50  График  у=4х+2 
 51  Найти склон  г=7 
 52  График  у=3х+4 
 53  График  у=х+5 
 54  График 
 58  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 192 
 59  Оценка с использованием заданного значения  квадратный корень из 25/36 
 60  Найти простую факторизацию  14 
 61  Преобразование в смешанный номер  7/10 
 62  Решите для  (-5а)/2=75 
 63  Упростить  х 
 64  Оценить  6*4 
 65  Оценить  6+6 
 66  Оценить  -3-5 
 67  Оценить  -2-2 
 68  Упростить  квадратный корень из 1 
 69  Упростить  квадратный корень из 4 
 70  Найти обратное  1/3 
 71  Преобразование в смешанный номер  20. 11 
 72  Преобразование в смешанный номер  7/9 
 73  Найти LCM  11, 13, 5, 15, 14  , , , ,
 76  График  3x+4y=12 
 77  График  3x-2y=6 
 78  График  у=-х-2 
 79  График  у=3х+7 
 80  Определить, является ли многочлен  2x+2 
 81  График  у=2х-6 
 82  График  у=2х-7 
 83  График  у=2х-2 
 84  График  у=-2х+1 
 85  График  у=-3х+4 
 86  График  у=-3х+2 
 87  График  у=х-4 
 88  Оценить  (4/3)÷(7/2) 
 89  График  2х-3у=6 
 90  График  х+2у=4 
 91  График  х=7 
 92  График  х-у=5 
 93  Решение с использованием свойства квадратного корня 92-2x-3=0 
 95  Найдите площадь поверхности  конус (12)(9)  
 96  Преобразование в смешанный номер  3/10 
 97  Преобразование в смешанный номер  7/20 
 Раздел § 53a-125b Общего устава штата Коннектикут – Кража 6-й степени
 Воровство 6-й степени обычно считается в Коннектикуте магазинной кражей. Этот закон применяется к любой краже, когда денежная стоимость предмета, имущества или услуг, связанных с кражей, составляет 500 долларов или меньше. В соответствии с законодательством Коннектикута существует шесть степеней воровства, от воровства 6-й степени до воровства 1-й степени. Основное различие между степенями воровства, как правило, заключается в стоимости имущества или услуг, связанных с кражей. Следовательно, можно было бы обвинить в краже в магазине как воровстве 1-й степени, если сумма предположительно украденного имущества превышает 20 000 долларов США. Следовательно, степень обвинения в краже в магазине зависит от стоимости товара, вовлеченного в кражу.
  Элементы преступления, которые должны быть доказаны штатом 
 Чтобы быть признанным виновным в краже 6-й степени в соответствии с Общими законами § 53a-125b, штат Коннектикут несет бремя доказывания вне разумных сомнений , что, действуя с намерением завладеть чужим имуществом, ответчик совершил одно из следующих действий и сделал это при сохранении необходимого уровня умственного намерения. Действия включают:
 Преднамеренное удаление товаров или товаров из помещений любого продавца или магазина без оплаты товаров или товаров.
 Преднамеренное сокрытие товаров или товаров, за которые вы не заплатили, пока вы находитесь внутри или за пределами помещений магазина или продавца, считается по закону prima facia доказательством того, что вы скрыли товары или товары с намерением украсть их в магазине. См. Общие положения штата Коннектикут, §53a-119(9).
 Преднамеренное изменение, порча, замена, подмена или изменение ценника на товарах, товарах или предметах с целью снижения цены. Вас могут арестовать за магазинную кражу, если вас поймают с товарами с измененными ценниками в магазине или если вы купите их по более низкой цене.
 Преднамеренное невыполнение сканирования товаров на кассе самообслуживания и попытка пройти через все торговые точки, не заплатив за товары в корзине или пакетах.
 Общий устав штата Коннектикут §53a-119a уполномочивает владельцев магазинов или их агентов или сотрудников (обычно агентов по предотвращению убытков) задерживать подозреваемых магазинных воров на короткий период времени, пока не прибудет полиция. Закон только разрешает этим агентам или сотрудникам допрашивать предполагаемого магазинного вора относительно их имени и адреса.
 Однако, как правило, подозреваемых принуждают к подписанию показаний и даче признательных показаний до вызова полиции. Важно понимать, что вам не нужно разговаривать с этими агентами или сотрудниками по предотвращению убытков, и вы не должны отвечать на какие-либо вопросы, которые полиция может задать вам. Вы имеете право хранить молчание и всегда должны настаивать на присутствии адвоката, прежде чем отвечать на какие-либо вопросы.
 Розничная стоимость товара или товаров используется для определения степени воровства. В соответствии с § 53a-125b Общего статута Коннектикута 6-й степени сумма украденных предметов должна быть менее 500 долларов США.
  Связанные правонарушения 
 Общие законы Коннектикута § 53a-48-Заговор
 Общие законы Коннектикута § 53a -192a-Личности
 Общие законы
9 Генеральные законы. 
 В случае совершения первой кражи у правонарушителей 6-й степени (кража в магазине) опытный адвокат по уголовным делам Коннектикута часто может договориться о разрешении вашего дела, чтобы снять или снять обвинения в обмен на благотворительный взнос или часы общественных работ. Еще один распространенный подход к лицам, впервые совершившим правонарушение, заключается в использовании программы отвлечения внимания, что приведет к снятию обвинений.
 При защите по делу о краже в магазине лучше всего сначала внимательно изучить конкретные факты вашего дела. Поскольку кража в магазине является преступлением, требующим от прокурора доказательства конкретного намерения украсть предмет (предметы) без оплаты за них, это часто является самой сложной частью дела штата. Хотя намерение может быть выведено из обстоятельств конкретного дела, квалифицированный адвокат по уголовным делам может выдвинуть аргументы защиты, чтобы опровергнуть этот существенный элемент преступления. Добросовестная ошибка, ошибка, рассеянность, рассеянность или замешательство — все это средства защиты от обвинения в краже в магазине, поскольку они сводят на нет элемент умысла.
 Например, если вы по ошибке забыли заплатить за товар, оставленный в корзине для покупок, потому что ваши руки были заняты младенцем, это было бы отличной защитой от любых обвинений в краже в магазине. В других ситуациях заявления, сделанные агентам по предотвращению убытков, могут быть скрыты, поскольку закон разрешает этим агентам запрашивать у вас только ваше имя и адрес. Часто заявления, сделанные этим агентам, делаются под сильным давлением, и обвиняемые считают, что они «арестованы» и должны сотрудничать, иначе они будут задержаны. К сожалению, наши потенциальные клиенты не понимают, что агенты по предотвращению убытков намерены позвонить в полицию, чтобы выдать обвинение в краже, как только вы закончите свое письменное заявление или признание.
  Получение повестки о правонарушении является арестом 
 Полиция может либо доставить вас в полицейский участок для регистрации, либо выдать вам повестку о правонарушении и назначить дату судебного слушания. Многие клиенты считают, что, поскольку полиция не «записала их» и не посадила в полицейскую машину и даже не надела на них наручники, это означает, что «ареста» не было. Это не точно. Если вы получили повестку о мелком правонарушении за кражу 6-й степени, это считается арестом и будет внесено в ваш протокол задержания в ФБР. Так что только потому, что полиция просто выдала вам «билет» в магазине и отпустила, это не значит, что вас не арестовывали и что к этому правонарушению не стоит относиться серьезно. Магазинная кража или воровство в 6-й степени является преступлением нравственной распущенности. Это может оказать существенное влияние на вашу репутацию и занятость, поэтому важно нанять опытного адвоката по уголовным делам в Коннектикуте, чтобы он усердно защищал эти обвинения.
  Штрафы 
 Для первых правонарушителей магазинная кража или воровство 6-й степени является проступком класса C, за который после признания вины или вынесения обвинительного приговора после суда может грозить до 90 дней тюремного заключения и штраф в размере 500 долларов. Любой правонарушитель, который ранее дважды был судим за кражу в Коннектикуте или любом другом штате, может столкнуться с усилением приговора в соответствии с Общими законами Коннектикута § 53a-40 (e). Если вы ранее были судимы за кражу, это преступление может быть обвинено в уголовном преступлении класса D как постоянное воровство, которое подвергает вас тюремному заключению на срок до 5 лет.
  Магазинная кража Адвокат защиты Аллан Ф. Фридман 
 В то время как кража в магазине считается незначительным уголовным преступлением и может показаться тривиальным, «признание вины» в краже 6-й степени будет иметь серьезные последствия в будущем. Всем, кому были предъявлены обвинения в соответствии с § 53a-125b Общего статута Коннектикута, рекомендуется проконсультироваться с опытным адвокатом по уголовным делам. Адвокат может оценить ваше дело, обвинения против вас и посоветовать вам наилучшую стратегию защиты и порядок действий для получения наиболее благоприятного результата.

Оставить комментарий on В 6 степени: Возведение числа в 6 степень/

`Разложение на множители калькулятор онлайн: Разложение на множители онлайн`

alexxlab / 12.10.197030.07.2021 / Разное

`калькулятор разложить на множители онлайн со степенями`

Вы искали калькулятор разложить на множители онлайн со степенями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и онлайн калькулятор разложение на множители со степенями, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор разложить на множители онлайн со степенями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор разложить на множители онлайн со степенями,онлайн калькулятор разложение на множители со степенями,онлайн разложение многочленов,разложение многочлена онлайн,разложение многочленов онлайн,разложение на множители онлайн калькулятор,разложение на множители онлайн с решением,разложите на множители калькулятор онлайн со степенями,разложите на множители со степенями калькулятор,разложить выражение на множители онлайн,разложить на множители многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн калькулятор с буквами и степенями онлайн,разложить онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор разложить на множители онлайн со степенями. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, онлайн разложение многочленов).

`Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор разложить на множители онлайн со степенями Онлайн?`

Решить задачу калькулятор разложить на множители онлайн со степенями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

`Разложение многочлена на множители по модулю`

Этот калькулятор находит все неразлагаемые множители многочлена одной переменной по модулю p, используя алгоритм Элвина Берлекампа. Описание алгоритма следует за калькулятором.

`Разложение многочлена на множители методом Берлекампа`

Входной многочлен

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

`Разложение многочлена на множители методом Берлекампа`

Алгоритм представленный тут — это краткая компиляция алгоритма, описанного в Искусстве программирования Дональда Кнута ^.

`Входные данные`

u(x) — многочлен степени n, n>=2
p — модуль, простое число

`Подготовка`

Убедиться, что входной полином монический, если нет — разделить все коэффициенты на старший коэффициент u_n
Проверить, что полином свободен от квадратов используя Разложение многочлена в конечном поле свободное от квадратов
Для каждого свободного от квадратов множителя степени 2 и выше — прогнать следующий алгоритм

`Алгоритм`

Найти матрицу Q (n * n ), где n — степень многочлена по следующему алгоритму:Инициализировать вектор A (a₀, a₁ … a_n-1) = 1,0…0 Инициализировать первую строку матрицы Q (q_0,0, q_0,1 … q_0,n-1) = 0,0…0 Цикл по i = 1..n-1 выполнить:Цикл по k = 1..n-1 выполнить:Установить t = a_n-1 Цикл по j = n-1 .. 0 выполнить:a_j=a_j-1-t*u_j, подразумевается, что a_-1 = 0 Установить значения строки i матрицы Q из вектора A Вычесть 1 из элемента q_i,i матрицы Q
Найти v^[1] … v^[r] линейно независимые векторы, такие что v^[1] Q = v^[2] Q = … v^[r] Q = (0,0…0)Установить все элементы n-размерного вектора C в -1 : c₀ = c₁ = .. = c_{n-1_{= -1}} Установить r = 0 Цикл по k = 0 … n-1 выполнить:Цикл по j = 0 … n-1 выполнить:Если q_k,j ≠ 0 и c_j<0Установить a = q_k,j Умножить столбец j матрицы Q на -1/a Добавить к оставшимся столбцам (i ≠ j) столбец j умноженный на q_k,i иначе (Если q_k,j=0 или c_j >= 0)Установить r = r + 1 Установить каждый элемент i нового n-размерного вектора v^[r] в одно из следующих значений:a_k,s, если найден такой s-элемент вектора C, такой, что c_s = i 1, если i = k 0 — в противном случае
Найти r множителей полинома u(x), используя векторы v^[2] … v^[r]Найти все w_i = gcd(u(x),v^[2]-s) ≠ 1 для каждого s = 0 … p Если количество w < r выполнить: Цикл по j=3 … r до тех пор пока w < rЗаменить w_i множителями, найденными алгоритмом Евклида: gcd(v^[j]-s,w_i) ≠ 1 для каждого s = 0 … p

`Разложение на множители – онлайн-калькулятор`

`Онлайн-разложение на множители`

Введите число:

Все натуральные числа делятся на простые и составные. Первые отличаются тем, что их можно разделить только на самих себя и на единицу. Простых чисел достаточно много. Представляем вам только первые из них: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 и т.д.

А вот составное число может быть записано в виде нескольких простых чисел, перемноженных между собой.

Теорема гласит, что если обозначить некое составное число как n, а его потенциальный простой делитель как р, то последний (хотя бы один из множества) может обладать следующей характеристикой: р²≤ n.

При этом 1 считается не простым и не составным числом. Она словно сама по себе.

Процесс разложения составного числа на множители называется факторизацией.

Какими путями можно разложить на множители составное число? Есть несколько способов:

Для разложения небольших чисел можете прибегнуть к помощи таблицы умножения.
Для разложения на множители больших чисел используйте таблицу простых чисел.Работает это так: предположим, у вас есть некое четырехзначное число. Найдите в таблице его наименьший делитель. Разделите свое число на этот делитель – получилось некое трехзначное число. Теперь переберите числа в таблице и найдите делитель для этого трехзначного числа. И так далее о тех пор, пока в конце у вас не останется простое число, которое, по определению, нельзя разложить на простые множители. Произведение всех найденных вами чисел и есть простые множители исходного числа. Записать это можно так: Делимое Делитель четырехзначное число х Х1 трехзначное число у У1 простое число р Р1
Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором для разложения числа на простые множители онлайн

Задайте программе составное число любой сложности – она легко и быстро разложит его на простые множители и представит вам результат. Вы можете пользоваться программой, чтобы проверить себя. Или чтобы ускорить выполнение домашней работы.

Это гораздо быстрее, чем перебирать числа в таблице простых чисел. И удобнее, чем вычислять в уме.

Не забудьте порекомендовать этот онлайн калькулятор своим одноклассникам!

`Разложение квадратного трехчлена на множители`

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то его можно разложить на множители. Для этого следует воспользоваться формулой

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Иногда эту формулу формулируют в более понятном виде в виде утверждения:

если m и n – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то ax² + bx + c = a(x – m)(x – n)

Из данного утверждения следует алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители:

найти корни квадратного трехчлена m и n, т.е. решить уравнение ax² + bx + c = 0;



записать выражение a(x – m)(x – n)

Решать уравнение можно любым способом (для этого чаще всего используют формулу корней).

Например, нужно разложить на множители квадратный трехчлен x² + 5x – 6. Решая уравнение x² + 5x – 6 = 0, получим корни m = 1 и n = – 6. Следовательно,

x² + 5x – 6 = (х – 1)(х + 6).

Онлайн калькулятор для разложения квадратного трехчлена на множители

Для получения объяснения того, как тот или иной квадратный трехчлен раскладывается на множители, вы можете воспользоваться формой вверху страницы. Просто введите квадратный трехчлен и нажмите кнопку «Разложить на множители».

`Разложение числа на простые множители`

Главная



 
Математические калькуляторы
Разложение числа на простые множители

 

Любое натуральное число n > 1 можно представить в виде произведения простых чисел.
 Это представление называется разложением числа n на простые множители.

Калькулятор разложения числа на простые множители разложит число на множители и выдаст подробное решение задачи.




В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком (в две колонки).
 Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем
Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом.
Если не делится, то берём следующее простое число — 3.
Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом.
 Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.
Чтобы лучше понять алгоритм, на примере разложим на множители число 84.
Записываем число 84 в левую колонку:
Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2.
 Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости.
 Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:
Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.
Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3.
 Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили
Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:
Всё, число разложено!
В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.
 Поделиться страницей в социальных сетях: Как разложить на множители квадратный трехчлен: примеры применения формулы
Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.
Понятие и определение
Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.
Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.
Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом из-за 3-х составных слагаемых.
Некоторые другие виды многочленов:
линейный двучлен (6x+8),
кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).
Разложение квадратного трехчлена на множители
Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.
Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.
Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.
Формулы для разных значений дискриминанта различаются.
Если D положительный:
Если D равен нулю:
a(x-x1)2
Если выражение отрицательное, считать ничего не нужно.
Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности
Онлайн калькуляторы
В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.
Если тема понятна, рекомендуется использовать онлайн калькулятор для проверки решения.
Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители
Примеры
Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.
Пример 1
Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.
Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.
Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое
Пример 2
Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.
Подставляем получившееся значение:
9(x-1/3)2.
Пример 3
Дано: 5x²+3x+7
Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.
5x²+3x+7=0
D=b²-4ac
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.
После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.
Альтернативный способ решения
Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.
Дано: x²+3x-10
Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.
Это интересно! Уроки математики: умножение на ноль главное правило
К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:
-1, 10,
-10, 1,
-5, 2,
-2, 5.
Далее выполняем подбор и смотрим, чтобы получилось выражение, которое было сначала:
(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.
Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).
Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.
Разложение сложного трехчлена
Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.
Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.
Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:
3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)
Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:
(-1)(x2+6x+9)
Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.
Число 3 дают числа:
-1, -3,
-3, -1,
3, 1,
1, 3.
Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).
Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа
Другие случаи
Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.
Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.
Полезное видео: разложение трехчлена на множители
Вывод
Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.
Разложение многочлена на множители
В алгебре при вычислении неравенств, уравнений , бывает нужно раскладывать многочлен  на множители.  Разложить многочлен на множители значит превратить сумму неизвестных в произведение.  С помощью этого способа решаются уравнения степени n. типа Рn(y) = 0 , а так же неравенства типа Рn(y) больше ноля и  Рn(y) меньше ноля.  Где Рn(y) -многочлен n степени, т.е.
Рn(y) = z1 уn +  zn-1 уn-1 + ….+  z1 у + z0
Приведем несколько способов разложения
1) Вывод за скобку единого для всех множителя
 Если все многочлены имеют единый для всех множитель, мы, при вынесении его за скобку получим  то что хотим.
у³ —  5 у²+  2у 
 в данном примере у нас общий множитель y , при выносе его за скобку мы получим:
у³ —  5 у² +  2у = уn (y — 5у +  2)

2) С использованием формул сокращенного умножения у² —  z² =  (y — z) (y +z)
у³+  z³ =  (y + z) (у³ — yz +  z²)
у³ —  z³ =  (y — z) (у²+ yz +  z²)
у⁴—  z⁴ =  (у² —  z²) (у²+ z²)
у⁵ —  z⁵ =  (y — z) (у⁴ + у³z + у²z²+ y z³ + z⁴)
……………………………….
уⁿ —  zⁿ =  (y — z) (у^n-1 + у^n-2z + у^n-3z²+ … + у²z^n-3 + y z^n-2 + z^n-1)Применяем формулу у³ —  z³=  (y — z) (у²+ yz +  z²)
 на примере (4y-3) 3- (2y-1) 3
 Получаем: (4y-3) ³— (2y-1) ³=((4y-3) — (2y-1))(( 4y-3) ² +(4y-3)(2y-1) + (2y-1) ²= (2y-2)(16у²-24у+9+8у²-6у-4у+3+4у²-4у+1)= (2у-2)(28у2-38у+13)
3) Разложение квадратного трехчлена на множители
Бывают случаи когда трехчлен можно разложить на множители с помощью метода извлечения квадрата, после чего используем формулу разности квадратов.
Разберем:  у⁴ + 6у² — 10
Получаем:
у⁴ + 6у² — 10 = (у²) ² + 2 * 3  * у² + 3 ² — 3 ² — 10 = (у² + 3) ² — (корень19)² = ( у² + 3 —  корень19)( у² + 3 +  корень19)
Вот таким образом раскладывается на множители квадратный трехчлен.
4) Группировка . 
данный способ часто сотрудничает с первым способом, т.е выводом за скобку единого для всех множителя. Она дает нам перестановку  слагаемых в многочлен и соединение  в группы так, что бы после вынесения получилось выражение,  которое будет общим множителем для каждой из них.
Разберем:  у⁴-5у²+у³-5у
Далее: у⁴-5у²+у³-5у=(у⁴-5у²)+(у³-5у) из 1 скобки убираем у²,  у — выносим из второй: (у⁴-5у²)+(у³-5у)=у²(у²-5)+у(2-5)
Выносим за скобки у²-5 у нас получается:  у²(у²-5)+у(у²-5)=(у²-5)(у²+у),
в конце выносим у: (у²-5)(у²+у)= у(у²-5)(у+1)
5) Способ неопределенных коэффициентов.
Данный способ говорит о том, что в начале подразумевается ряд множителей, на которые разделяется многочлен, разгадывается, а  их же  коэффициенты  находим путем умножения и если степени их переменной одинаковы, то приравниваем их. Опорой для этого способа ниже следующее:
—  когда коэффициенты двух многочленов одинаковы, только тогда они равны.
—  любой многочлен в третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного сомножителей;
—  в произведение нескольких многочленов второй степени разлагается любой многочлен четвертой степени.
6) Комбинирование разных способов.
В разных случаях приходится воспользоваться сразу несколькими видами разложения многочлена. это дает нам быстроту решения
 7) разложение в ряд фурье
Что бы разобрать этот способ, существует отдельная тема. Этот метод требует большой концентрации внимания, если существуют отвлекающие факторы, лучше не трогать этот метод.
Здесь Вы сможете посмотреть Подлинную Таблицу Менделеева (http://www.glubinnaya.info/science/rodionov-podlinnaya-tablica-mendeleeva-1906-5367.html). Оригинал статьи находится на сайте glubinnaya.info.
 Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Калькулятор факторинга с шагом
 Этот калькулятор факторинга поможет вам проверить, все ли вы сделали правильно и ваш результат верен. Это также большая помощь для тех, кто не знает, как учитывать факторы или не нуждается в обновлении памяти. Нет ничего сложного в факторизации уравнения, если вы знаете алгоритм. Обязательно прочтите главу о формуле квадратного уравнения, чтобы быстрее справиться с этим заданием. В случае, если все, что вам нужно, чтобы получить быстрый ответ на свой вопрос, алгоритм прост.Вы вводите выражение, с которым вам нужна помощь, и нажимаете кнопку «Ввод» на калькуляторе. Это удобный и быстрый способ убедиться, что все результаты верны и получить хорошую оценку.
 Вы можете подумать, что математику сложно изучать, но на самом деле все математические задачи пытаются упростить, а не усложняют их. Когда вы получаете задание, цель состоит в том, чтобы сложные и запутанные вещи выглядели простыми и логичными. Те же цели преследует и процесс факторинга. Он используется для упрощения многих алгебраических выражений.Ваша цель — изменить выражение таким образом, чтобы больше не было добавляемых или вычитаемых терминов. Ваша цель — получить множители множителей. Это может показаться простым, но для успешного достижения целей вам необходимо знать несколько правил.
 Вы должны узнать, что означает удаление общих множителей для упрощения выражения. Когда вы смотрите на условия своей математической задачи, вам нужно найти эти общие факторы. Например, 18x, 36x и 48x имеют общий множитель 6x.Поначалу их может быть сложно обнаружить, но чем больше математических задач вы решите, тем быстрее вы научитесь.
 Важно подчеркнуть, что общий множитель может состоять из нескольких членов. Примеры:  (x + 3), (a + b)  и т. Д. Часто вам придется сгруппировать члены, чтобы упростить уравнение. Изучите методы факторизации трехчленов, чтобы решить проблему быстрее. Одни из наиболее важных формул, которые вам необходимо запомнить:
 Используйте калькулятор факторинга
 Если возникнет проблема, которую вы не знаете, как решить, наш калькулятор поможет вам.Есть много заданий, которые кажутся запутанными и странными. Ваш учитель мог упустить важную информацию, которая поможет вам решить эту проблему. Если да, то наш калькулятор — именно то, что вам нужно. Вы просто вводите задачу по срокам и получаете пошаговое решение. Логично, что получение мгновенного результата бесполезно, поскольку вы не знаете, какие шаги привели к такому решению. Этот калькулятор показывает вам, как было получено решение. Как только вы поймете алгоритм, вы сможете решить все аналогичные задания, которые у вас есть в домашнем задании.А вот несколько примеров решения задач по факторингу:
  Чтобы сделать домашнее задание быстрее, я использую этот калькулятор факторинга. Чтобы ввести выражение и получить мгновенный ответ, требуется несколько секунд. 
 Факторинговый калькулятор отзывы покупателей
 Ребят как этим калькулятором пользоваться? Кто-нибудь понимает?
 Этот калькулятор меня спас в тесте 🙂
 Хороший хороший калькулятор
 Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при x = 1, то 1 является корнем обоих многочленов, что означает, что каждый из них разлагается на множители, один из которых будет (x-1).Найдите корни первого многочлена: x2 + 2x-3 = 0
 Я ЛЮБЛЮ этот калькулятор !!!
 Ahora multiplicaré al maestro por 0, quien preguntó estas ecuaciones de 3 niveles
 
 Последнее обновление: среда, 31 марта 2021 г. — 20:26 
 Введите число, и этот калькулятор вычислит его разложение на простые множители, а также определит, является ли число простым или нет.
 Больше интересных математических фактов здесь
 Введите любое число, которое хотите, и затем выберите операцию, которую должен выполнять калькулятор разложения на простые множители.
 Калькулятор разложения на простые множители может:
 Вычислите разложение на простые множители набранного вами числа (у чисел больше 10 миллионов может истечь, а может и не хватить времени. Вычислить разложение на простые множители больших чисел непросто, но калькулятор может обрабатывать чертовски большие числа!
 Определить, является ли число простым
 Создать решето из камней Эраста для
 номер
 Создайте список всех положительных простых чисел, меньших, чем выбранное вами число
 Например, если вы хотите, чтобы калькулятор определил, сколько простых чисел перед числом 11, просто введите число 11, затем выберите «Список простых чисел перед» «», и он сразу же выведет ‘5’ (5 положительных простые числа меньше числа 11 — 2, 3, 5,7 и 11).
 Подсчитайте, сколько простых чисел меньше выбранного вами числа
 Например, если вы хотите, чтобы калькулятор разложения простых чисел определял, сколько простых чисел перед числом 11, просто введите число 11, затем выберите, и калькулятор быстро создаст список чисел 2, 3, 5 и 7.
 Факторизация полиномиального калькулятора
 Поиск инструмента
 Полиномиальная факторизация
 Инструмент факторизации многочлена. Факторизация заключается в выражении многочлена как продукта, так что это может быть его каноническая форма.
 Результаты
 Полиномиальная факторизация — dCode
 Тег (и): символическое вычисление, функции
 Поделиться
 dCode и другие
 dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! 
 Предложение? обратная связь? Жук ? идея ?  Запись в dCode !
 Рекламные объявления 
 Факторизация многочленов
 Ответы на вопросы (FAQ)
 Как разложить на множители многочленное выражение?
 Факторизация математического полиномиального выражения степени $ n $ означает выражение его как произведение полиномиальных множителей.2-4x-5 $ имеет 2 корня: $ x = 5 $ и $ x = -1 $, его можно разложить на множители как $ p = (x-5) (x + 1) $
 Как разложить многочлен 3-й степени на множители?
 Метод 1: зная корень $ a $ многочлена $ p $ (возможно, очевидный корень), многочлен можно факторизовать на $ (x − a) $, то есть $ p = (x − a) \ cdot q (x) $ avec $ q (x) $ — многочлен степени 2 (метод факторизации выше).
 Метод 2: зная его 3 корня $ a, b, c $, тогда $ p = (x-a) (x-b) (x-c) $
 Как разложить многочлен N-й степени на множители?
 Метод 1: найдя / зная корень $ a $ многочлена $ p $, можно факторизовать многочлен на $ (x − a) $, то есть $ p = (x − a) \ cdot q (x ) $, где $ q (x) $ — многочлен степени $ n — 1 $.Повторно примените этот метод к многочлену $ q $ итеративно.
 Метод 2: зная все корни $ a_1, a_2, a_3 \ cdots \ a_n $, тогда $ p = (x-a_1) (x-a_2) \ cdots (x-a_n) $ (некоторые корни могут быть идентичными)
 Метод 3: используйте решатель dCode в верхней части этой страницы.
 Как разложить полином 4-й, 5-й или 6-й степени на множители?
 Примените этот метод, чтобы разложить на множители многочлен степени $ n $ (см. Выше), или воспользуйтесь решателем dCode в верхней части этой страницы.
 Что такое замечательная личность?
 Замечательная идентичность — это равенство, продемонстрированное между двумя математическими терминами, которое является достаточно общим, чтобы его можно было обнаружить и использовать без дальнейшей демонстрации.2 $$
 Что такое неприводимый многочлен?
 Неприводимые многочлены — это многочлены, которые не могут быть разложены в произведение двух непостоянных многочленов.
 Многочлены 1-й степени всегда неприводимы.
 Задайте новый вопрос Исходный код
 dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Полиномиальная факторизация». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма, апплета или фрагмента «полиномиальной факторизации» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «полиномиальной факторизации» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копирование-вставка или доступ к API для «Полиномиальной факторизации» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
 Нужна помощь?
 Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи! 
 NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
 Вопросы / комментарии
 Сводка
 Похожие страницы
 Поддержка
 Форум / Справка
 Ключевые слова
 факторизация, множитель, факторизация, полином, замечательный, тождество, математика, произведение, var
 Ссылки
 
 Источник: https: // www.dcode.fr/polynomial-factorization
 © 2021  dCode  — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. КАЛЬКУЛЯТОР ДЕРЕВА ФАКТОРОВ
 ИНФОРМАЦИЯ 
 ДЕРЕВО ФАКТОРОВ  В дополнение к методу перевернутого деления, чтобы произвести факторизацию составного числа на простые множители, мы можем использовать факторные деревья.
 На каждом этапе мы находим два множителя составного числа на одном из концов дерева.Повторяем процесс, пока все концы не станут простыми.
 ЧТО ТАКОЕ КАЛЬКУЛЯТОР ДЕРЕВА ФАКТОРОВ?  Калькулятор факторного дерева,
 Производит факторное дерево заданного числа,
 Графически иллюстрирует дерево факторов,
 Находит разложение введенного числа на простые множители и
 Вычисляет простые множители.
 КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ КАЛЬКУЛЯТОРОМ ДЕРЕВА ФАКТОРОВ?  Калькулятор факторного дерева можно использовать двумя способами.
 ВХОДЫ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ  Вы можете ввести целое число в поле ввода и нажать кнопку « РАССЧИТАТЬ ». Результат и объяснения
приложение под калькулятором
 СЛУЧАЙНЫЕ ВХОДЫ  Щелкните значок  DIE ICON  рядом с полем ввода. Если вы используете это свойство, случайное число генерируется и автоматически вводится в калькулятор.
Вы можете увидеть результат и пояснения под калькулятором.Вы можете создавать свои собственные примеры и практиковаться, используя это свойство.
 ОЧИСТКА ВХОДНОЙ КОРОБКИ  Чтобы проверить факторное дерево другого числа, вы можете очистить поле ввода, нажав кнопку  ОЧИСТИТЬ  под полем ввода.
 КОПИРОВАНИЕ И ЗАГРУЗКА РЕШЕНИЯ  Вы можете скопировать сгенерированное решение, щелкнув ссылку «Копировать текст», расположенную под панелью решения.
 Даже вы можете загрузить решение в виде файла изображения с расширением .jpg, если щелкнете ссылку «Загрузить решение» в нижней части панели решения. Вы можете поделиться
загруженный файл изображения.
 КАЛЬКУЛЯТОР GCF ИСПОЛЬЗУЕТ PRIME FACTORIZATION
 ИНФОРМАЦИЯ 
 ПОИСК GCF ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ PRIME FACTORIZATION  В дополнение к методу пирога, мы можем вычислить ОКФ двух чисел, используя факторизации этих чисел на простые множители.
 Как только мы найдем факторизацию данных чисел на простые множители с помощью
дерево факторизации или
методом перевернутого деления можно выделить общие простые множители. Продукт
простые множители равны GCF для заданных чисел.
 ЧТО ТАКОЕ КАЛЬКУЛЯТОР GCF PRIME FACTORIZATION?  Калькулятор разложения на простые множители GCF,
 Вычисляет GCF с использованием алгоритмов разложения на простые множители,
 Находит разложение заданных чисел на простые множители,
 Обозначает общие простые множители, а
 Графически иллюстрирует деревья факторизации заданных чисел.
 КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ КАЛЬКУЛЯТОР ФАКТОРИЗАЦИИ GCF PRIME?  Калькулятор разложения на простые множители GCF можно использовать двумя способами.
 ВХОДЫ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ  Вы можете ввести целые числа в поля ввода и нажать кнопку « РАССЧИТАТЬ ». Результат и объяснения
приложение под калькулятором
 СЛУЧАЙНЫЕ ВХОДЫ  Щелкните значок  DIE ICON  рядом с полями ввода.Если вы используете это свойство, автоматически генерируются и вводятся в калькулятор два случайных числа.
Вы можете увидеть результат и пояснения под калькулятором. Вы можете создавать свои собственные примеры и практиковаться, используя это свойство.
 ОЧИСТКА ВХОДНЫХ КОРОБКОВ  Чтобы проверить GCF других чисел, вы можете очистить поля ввода, нажав кнопку  CLEAR  под полями ввода.
 КОПИРОВАНИЕ И ЗАГРУЗКА РЕШЕНИЯ  Вы можете скопировать сгенерированное решение, щелкнув ссылку «Копировать текст», расположенную под панелью решения.
 Даже вы можете загрузить решение в виде файла изображения с расширением .jpg, если щелкнете ссылку «Загрузить решение» в нижней части панели решения. Вы можете поделиться
загруженный файл изображения.
 прайм-факторизация. Калькулятор | Определение
 Обратите внимание на приведенный ниже список факторизаций на простые множители, которые можно проверить с помощью нашего калькулятора разложения на простые множители.
 Разложение на простые множители 2: это простое число!
 Разложение на простые множители 3: это простое число!
 Разложение на простые множители 4: 2 * 2
 Разложение на простые множители 5: это простое число!
 Разложение на простые множители 6: 2 * 3
 Разложение на простые множители 7: это простое число!
 Разложение на простые множители 8: 2 * 2 * 2
 Разложение на простые множители 9: 3 * 3
 Разложение на простые множители 10: 2 * 5
 Разложение на простые множители 11: это простое число!
 Разложение на простые множители 12: 2 * 2 * 3
 Разложение на простые множители 13: это простое число!
 Разложение на простые множители 14: 2 * 7
 Разложение на простые множители 15: 3 * 5
 Разложение на простые множители 16: 2 * 2 * 2 * 2
 Разложение на простые множители 17: это простое число!
 Разложение на простые множители 18: 2 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 19: это простое число!
 Разложение на простые множители 20: 2 * 2 * 5
 Разложение на простые множители 21: 3 * 7
 Разложение на простые множители 22: 2 * 11
 Разложение на простые множители 23: это простое число!
 Разложение на простые множители 24: 2 * 2 * 2 * 3
 Разложение на простые множители 25: 5 * 5
 Разложение на простые множители 26: 2 * 13
 Разложение на простые множители 27: 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 28: 2 * 2 * 7
 Разложение на простые множители 29: это простое число!
 Разложение на простые множители 30: 2 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 31: это простое число!
 Разложение на простые множители 32: 2 * 2 * 2 * 2 * 2
 Разложение на простые множители 33: 3 * 11
 Разложение на простые множители 34: 2 * 17
 Разложение на простые множители 35: 5 * 7
 Разложение на простые множители 36: 2 * 2 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 37: это простое число!
 Разложение на простые множители 38: 2 * 19
 Разложение на простые множители 39: 3 * 13
 Разложение на простые множители 40: 2 * 2 * 2 * 5
 Разложение на простые множители 41: это простое число!
 Разложение на простые множители 42: 2 * 3 * 7
 Разложение на простые множители 43: это простое число!
 Разложение на простые множители 44: 2 * 2 * 11
 Разложение на простые множители 45: 3 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 46: 2 * 23
 Разложение на простые множители 47: это простое число!
 Разложение на простые множители 48: 2 * 2 * 2 * 2 * 3
 Разложение на простые множители 49: 7 * 7
 Разложение на простые множители 50: 2 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 51: 3 * 17
 Разложение на простые множители 52: 2 * 2 * 13
 Разложение на простые множители 53: это простое число!
 Разложение на простые множители 54: 2 * 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 55: 5 * 11
 Разложение на простые множители 56: 2 * 2 * 2 * 7
 Разложение на простые множители 57: 3 * 19
 Разложение на простые множители 58: 2 * 29
 Разложение на простые множители 59: это простое число!
 Разложение на простые множители 60: 2 * 2 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 61: это простое число!
 Разложение на простые множители 62: 2 * 31
 Разложение на простые множители 63: 3 * 3 * 7
 Разложение на простые множители 64: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
 Разложение на простые множители 65: 5 * 13
 Разложение на простые множители 66: 2 * 3 * 11
 Разложение на простые множители 67: это простое число!
 Разложение на простые множители 68: 2 * 2 * 17
 Разложение на простые множители 69: 3 * 23
 Разложение на простые множители 70: 2 * 5 * 7
 Разложение на простые множители 71: это простое число!
 Разложение на простые множители 72: 2 * 2 * 2 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 73: это простое число!
 Разложение на простые множители 74: 2 * 37
 Разложение на простые множители 75: 3 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 76: 2 * 2 * 19
 Разложение на простые множители 77: 7 * 11
 Разложение на простые множители 78: 2 * 3 * 13
 Разложение на простые множители 79: это простое число!
 Разложение на простые множители 80: 2 * 2 * 2 * 2 * 5
 Разложение на простые множители 81: 3 * 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 82: 2 * 41
 Разложение на простые множители 83: это простое число!
 Разложение на простые множители 84: 2 * 2 * 3 * 7
 Разложение на простые множители 85: 5 * 17
 Разложение на простые множители 86: 2 * 43
 Разложение на простые множители 87: 3 * 29
 Разложение на простые множители 88: 2 * 2 * 2 * 11
 Разложение на простые множители 89: это простое число!
 Разложение на простые множители 90: 2 * 3 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 91: 7 * 13
 Разложение на простые множители 92: 2 * 2 * 23
 Разложение на простые множители 93: 3 * 31
 Разложение на простые множители 94: 2 * 47
 Разложение на простые множители 95: 5 * 19
 Разложение на простые множители 96: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
 Разложение на простые множители 97: это простое число!
 Разложение на простые множители 98: 2 * 7 * 7
 Разложение на простые множители 99: 3 * 3 * 11
 Разложение на простые множители 100: 2 * 2 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 104: 2 * 2 * 2 * 13
 Разложение на простые множители 105: 3 * 5 * 7
 Разложение на простые множители 108: 2 * 2 * 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 117: 3 * 3 * 13
 Разложение на простые множители 120: 2 * 2 * 2 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 121: 11 * 11
 Разложение на простые множители 125: 5 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 126: 2 * 3 * 3 * 7
 Разложение на простые множители 130: 2 * 5 * 13
 Разложение на простые множители 132: 2 * 2 * 3 * 11
 Разложение на простые множители 135: 3 * 3 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 140: 2 * 2 * 5 * 7
 Разложение на простые множители 144: 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 147: 3 * 7 * 7
 Разложение на простые множители 150: 2 * 3 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 162: 2 * 3 * 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 175: 5 * 5 * 7
 Разложение на простые множители 180: 2 * 2 * 3 * 3 * 5
 Разложение на простые множители 196: 2 * 2 * 7 * 7
 Разложение на простые множители 200: 2 * 2 * 2 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 210: 2 * 3 * 5 * 7
 Разложение на простые множители 216: 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3
 Разложение на простые множители 225: 3 * 3 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 245: 5 * 7 * 7
 Разложение на простые множители 250: 2 * 5 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 256: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
 Разложение на простые множители 300: 2 * 2 * 3 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 375: 3 * 5 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 400: 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 500: 2 * 2 * 5 * 5 * 5
 Разложение на простые множители 625: 5 * 5 * 5 * 5
 Вначале 1 считалось простым числом.Только в начале 20 века большинство математиков исключили 1 из числа простых чисел. Обратите внимание, что калькулятор факторизации простых чисел не включает 1 в результаты простых чисел.
% PDF-1.4
%
204 0 объект
>
эндобдж 
xref
204 69
0000000016 00000 н.
0000002212 00000 н.
0000002467 00000 н.
0000002950 00000 н.
0000003025 00000 н.
0000003178 00000 н.
0000003330 00000 н.
0000003483 00000 н.
0000003638 00000 н.
0000003793 00000 н.
0000003947 00000 н.
0000004100 00000 н.
0000004148 00000 п.
0000004196 00000 п.
0000008014 00000 н.
0000011805 00000 п.
0000015758 00000 п.
0000019592 00000 п.
0000020068 00000 н.
0000020561 00000 п.
0000020712 00000 п.
0000020850 00000 п.
0000020983 00000 п.
0000024803 00000 п.
0000027750 00000 п.
0000028198 00000 п.
0000028338 00000 п.
0000028472 00000 п.
0000028509 00000 п.
0000030465 00000 п.
0000033271 00000 п.
0000033363 00000 п.
0000033515 00000 п.
0000033667 00000 п.
0000033760 00000 п.

   Оставить комментарий on Разложение на множители калькулятор онлайн: Разложение на множители онлайн/

`Является ли функция четной или нечетной: Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс.`

alexxlab / 12.10.197016.09.2022 / Разное

 2Четные и нечетные функции
Цели: 

сформировать понятие чётности и нечётности
 функции, учить умению определять и использовать
 эти свойства при исследовании функций,
 построении графиков;
развивать творческую активность учащихся,
 логическое мышление, умение сравнивать,
 обобщать;
воспитывать трудолюбие, математическую
 культуру; развивать коммуникативные качества.
Оборудование: мультимедийная  установка, интерактивная доска, раздаточный материал.
Формы  работы: фронтальная  и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.
Информационные  источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.

 2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.

 3.Алгебра 9 класс.  Задания для обучения и развития учащихся.  Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А
 ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Постановка целей и задач урока.
2. Проверка домашнего задания
№10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).
а) у = f(х), f(х) =
б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
в)  1. D(f) = [– 2; + ∞)

2. Е(f) = [– 3; + ∞)

3. f(х) = 0 при х ~ 0,4

4. f(х) >0 при х > 0,4 ;    f(х)
< 0 при – 2 < х < 0,4.

5. Функция возрастает при х €  [– 2; + ∞)

6. Функция ограничена снизу.

7. у_наим = – 3, у_наиб не
существует

8. Функция непрерывна.
(Вы использовали алгоритм исследования
функции?)  Слайд. 
2. Таблицу, которую вам  задавалась, проверим
по слайду.


Заполните таблицу
Функция
Область определения
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Координаты точек пересечения графика с
 Оу
у > 0
у < 0

х ≠ –3
х = –5,

 х = 2
х € (–5;3) U

 U (2; ∞ )
х € (–∞;–5) U

 U (–3;2 )
( 0;)

х ∞ –5,

 х ≠ 2
х = –3
х € (–5;3) U

 U (2; ∞)
х € (–∞;–5) U

 U (–3;2 )
( 0;)

х ≠ –5,

 х ≠ 2
нет
х € (–∞; –5) U

 U (2; ∞)
х € (–5; 2)
( 0;)
3.  Актуализация знаний
– Даны функции. 

– Указать область определения для каждой
функции. 

– Сравнить значение каждой функции для каждой
пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2. 

– Для каких из данных функций в области
определения выполняются равенства f(– х)
= f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные
данные занести в таблицу) Слайд


 
D (f)
f(1) и f(– 1)
f(2) и f(– 2)
графики
f(– х) = –f(х)
f(– х) = f(х)
1. f(х) =
R

2 и 2
Г
 
 
+
2. f(х) = х³
R
1 и 1
8 и – 8
А
+
 
3. f(х) = | х |
R
1 и – 1
2 и 2
Б
 
+
4. f(х) = 2х – 3
R
– 1 и – 5
1 и – 7
Е
 
 
5. f(х) =
х ≠ 0
6 и – 6
3 и – 3
В
+
 
6. f(х)=
х > –1
 и
 0
и не
 опред.
З
 
 
4. Новый материал
– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё
одно свойство функции, незнакомое вам, но не
менее важное, чем остальные – это чётность и
нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные
и нечётные функции», наша задача – научиться
определять чётность и нечётность функции,
выяснить значимость этого свойства в
исследовании функций и построении графиков. 

Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем
(стр. 110). Слайд
Опр. 1 Функция у = f (х),
заданная на множестве Х называется чётной,
если для любого значения х Є Х выполняется равенство
f(–х)= f(х). Приведите примеры.
Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на
множестве Х называется нечётной, если для
любого значения х Є Х выполняется
равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры. 
Где мы встречались с терминами «четные» и
«нечётные»?

Какие из данных функций будут чётными, как вы
думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?

Для любой функции вида у = хⁿ, где n
– целое число можно утверждать, что функция
нечётна при n – нечётном и функция чётна при n
– чётном.  

– Функции вида у =  и у = 2х – 3 не являются ни
чётным , ни нечётными, т. к. не выполняются
равенства f(– х) = – f(х), f(–
 х) = f(х)
Изучение вопроса о том, является ли функция
чётной или нечётной называют исследованием
функции на чётность. Слайд
В определениях  1 и 2 шла речь о значениях
функции при х и – х, тем самым предполагается, что
функция определена и при значении х, и при – х.
Опр 3. Если числовое множество вместе с
каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент –х, то множество Х называют
симметричным множеством.
Примеры:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞),
(2;–2], [–5;4] – несимметричные.
– У чётных функций область определения –
симметричное множество? У нечётных?

– Если же D(f) – несимметричное множество, то
функция какая?

– Таким образом, если функция у = f(х)
– чётная или нечётная, то её область определения
D(f) – симметричное множество. А верно ли
обратное утверждение, если область определения
функции симметричное множество, то она чётна,
либо нечётна?

– Значит наличие симметричного множества
области определения – это необходимое условие,
но недостаточное.

– Так как же исследовать функцию на четность?
Давайте попробуем составить алгоритм.
Слайд 
Алгоритм исследования функции на
чётность
1. Установить, симметрична ли область
определения функции. Если нет, то функция не
является ни чётной, ни нечётной. Если да, то
перейти к шагу 2 алгоритма.
2. Составить выражение для f(– х).
3. Сравнить f(– х).и  f(х): 

если  f(– х).= f(х), то
 функция чётная;
если  f(– х).= – f(х), то
 функция нечётная;
если   f(– х) ≠ f(х) и  f(–
 х) ≠ –f(х), то функция не является ни
 чётной, ни нечётной.
Примеры: 
Исследовать на чётность функцию а) у = х⁵
+; б) у = ; в) у= .
Решение.
а) h(х) = х⁵ +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.
2) h (– х) = (–х)⁵ + –
х5 –= – (х⁵ +),
3) h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х⁵ +  нечётная.
б) у = ,
у = f(х),     D(f) = (–∞; –9)?
(–9; +∞),  несимметричное множество, значит
функция ни чётная, ни нечётная.
в) f(х) = ,   у = f (х), 
1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.
2)f (– х) == ;
3)  f (– х) = f (х)  => 
функция f(х) =     чётная.
Итак, по аналитической записи можно определить
четность функции? Но кроме аналитического
способа задания функции есть другие. Какие? Можно
ли по графику функции выявить её четность?
Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли
в начале урока, найдём соответствие между
аналитически заданными функциями и их
графиками  (изображёнными на доске), что вы
находите примечательного в расположении
графиков чётных функций? Нечётных?
Слайд.
Вывод: 

График чётной функции симметричен относительно
 оси у.
График нечётной функции симметричен
 относительно начала координат.
– Верны ли обратные утверждения? 

Если график функции у = f(х)
 симметричен относительно оси ординат, то у = f(х)
 – чётная функция.
Если график функции у = f(х) симметричен
 относительно начала координат, то у = f(х)
 – нечётная функция.
Доказательство данных утверждений разобрать
дома самостоятельно по учебнику и записать в
тетрадь.
– Какова же значимость свойства четности или
нечётности функции? Зачем нужно изучать

свойство чётности функций .В план свойств
функций свойство чётности вы поставили бы на
какое порядковое место
5. Первичное закрепление
Самостоятельная работа


Вариант 1
1. Является ли симметричным заданное множество:
 а) [–7;7]; б) (∞; –2),  (–4; 4]?
Вариант 2
1. Является ли симметричным заданное множество:
 а) [–2;2]; б) (∞; 0],  (0; 7) ?
2. Исследуйте на чётность функцию:

 а);      б) у = х·  (5 –
 х²).
2. Исследуйте на чётность функцию:а) у =
 х² · (2х – х³),     б)  у =
3. На рис. построен график у = f(х),
 для всех х, удовлетворяющих условию х?
 0. 

 Постройте график функции у = f(х),
 если у = f(х) – чётная функция. 
3. На рис. построен график у = f(х),
 для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0.

 Постройте график функции у = f(х),
 если у = f(х) – нечётная функция. 
Взаимопроверка по слайду.
6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;
Доказательство геометрического смысла
свойства чётности.
***(Задание варианта ЕГЭ ).
1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей
числовой прямой. Для всякого неотрицательного
значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции   g(х)
= х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите
значение функции h(х) =  при х = 3.
7. Подведение итогов
Приложения
Докажите что функция является нечетной
Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию. 
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат. a
Докажем, что данная функция является четной F (x) = 10.
Функция является четной, если F (-x) = F (x).
Функция является нечетной, если F (-x) = -F (x).
Проверим функцию F (x) = 10 на четность.
Значит, функция F (x) = 10 является четной.
Четные и нечетные функции
В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т. е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь  Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как [0, +оо), (-2, 3), [-5, 5) — несимметричные множества. Если функция у = f (х) — четная или нечетная, то ее область определения D (f) — симметричное множество. Если же D (f) — несимметричное множество, то функция у = f(х) не является ни четной, ни нечетной.
Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.
Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность
1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.
2. Найти f(-х).
3. Сравнить f (x)= f (-x)
а) если f(-х) = f(х), то функция — четная,
б) если f(-х) = -f(х), то функция — нечетная;
в) если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Исследовать на четность функцию:
а) у = f(x), где 
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно,D (f) — симметричное множество.
2) 
3) Замечаем, что для любого ж из области определения функции выполняется равенство f(x) = f(x). 
Таким образом,  четная функция.
б) 
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно, D(f) — симметричное множество.
2) 
3) Замечаем, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = -f(х).
Таким образом, 
в) 
1) Функция определена во всех точках х, кроме тех, которые обращают знаменатель дроби в нуль. Из условия х 2 – 9 = 0 находим х = ± 3. Значит, область определения функции — числовая прямая, из которой удалены две точки: 3 и -3. Это — симметричное множество.
2) 
3) Сравнив f(-х) и f(х), замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество f(-х) = f(х), ни тождество f(-х) = -f(х). Чтобы в этом убедиться, возьмем конкретное значение х, например х = 4. Имеем: f(4) = О, а  Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Функция  определена при условии  т.е. на луче [3, +оо). Этот луч — несимметричное множество, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
Исследовать на четность функцию:
а) D(f) = [-2,2) — симметричное множество, и для всех х выполняется равенство | -х | = | х |. Значит, заданная функция — четная.
б) D(f) = [-3, 3) — несимметричное множество. В самом деле, точка -3 принадлежит полуинтервалу [-3, 3), а противоположная точка 3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
в) D (f) = (-5, 5) — симметричное множество и (-x) 3 = -ж 3 для всех х из интервала (-5, 5). Значит, заданная функция — нечетная.
г) Функция задана на полуинтервале, который не является симметричным множеством. Значит, функция — ни четная, ни нечетная.
Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.
Пусть у = f(x) — четная функция, т.е. f(x) = f(х) для любого х е . Рассмотрим две точки графика функции: D(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы. Эти точки симметричны относительно оси у (рис. 73). Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно оси у точка В того же графика. Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси у.
Пусть у = f(х) — нечетная функция, т.е. f(-х) = D(х) для любого х е D(f). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = -f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами и ординаты являются противоположными числами. Эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 74).
Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Верны и обратные утверждения:
1) Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) — четная функция.
В самом деле, симметрия графика функции у = f(х) относительно оси у означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = f(х), т. е. у = f(х) — четная функция.
2) Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) — нечетная функция.
Симметрия графика функции у = f(х) относительно начала координат означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = -f(х), т.е. у — f(х) — нечетная функция.
Исследовать на четность функцию 
Решение.
Первый способ. Имеем  Значит, для любого х из D(f) справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Второй способ. Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис.52 из § 9), она симметрична относительно оси у. Это означает, что  — четная функция.
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.
Как выяснить четность и нечетность функции
Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию. 
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат. 
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.
Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией. a
Общие сведения
Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».
Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:
Область определения — D (f).
Виды.
Правила.
Свойства для четных и нечетных.
Классификация.
Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.
Область определения
Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.
D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.
Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.
 Основные виды
Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:
Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
Составные или сложные.
Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.
Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.
Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.
Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.
 Правила для выявления
Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.
Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:
Разложить при необходимости на простые элементы.
Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
Сделать соответствующий вывод.
Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.
Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).
 Следствия из утверждений
Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:
Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.
Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.
Классификация по четности
Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):
Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
Радикал положительной нечетной степени.
Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
Интегральный синус: Si (x).
Матье: se (x).
Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:
Возведение в четную и целую степень.
Модуль аргумента.
Константа.
Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
Гиперболические: косинус и секанс.
Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)^2) / 2c 2 ].
Кардинальный синус: sinc (x).
Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.
Пример решения
Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:
Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность). 2 — 1 = y 2 — 1.
В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.
Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.
 Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.
Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.
 Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.
Если , то функция четная.
Если , то функция нечетная.
При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.
Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с
Если то функция — четная. 
Если , то функция нечетная.
Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична. 2>>=0>>><>”/>2>
Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось. 
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.
Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.
3. Определить, является ли четной функция: .
Область определения может быть найдена из системы неравенств:
0><<1-x><>0>>><>” title=”delim<1><<</<1-x>>>0><<1-x><>0>>><>”/>2>
Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).
Подставляем (-х) вместо х:
 – исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.
4. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
 – функция нечетна.
5. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
 – функция четная.
6. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
 – функция четная.
7. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
 – функция нечетная.
Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.
Сумма двух нечётных функций – нечётна.
Сумма двух чётных функций – чётна.
А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.
Определим четность этих функций по отдельности.
 – функция нечетная.
 – функция нечетная.
8. Исследуем теперь такую функцию:
Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?
Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.
9. Наконец, последняя:
 – имеем произведение двух функций.
Произведение или частное двух нечётных функций чётно.
Произведение или частное двух чётных функций чётно.
Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.
Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.
Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:
 – функция четная.
Исследование функций на четность 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Напоминание
 
Функция  называется четной, если для любого   
 
График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.
 
Функция  называется нечетной, если для любого  
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.
 
Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.
 
1.(рис).
 
Рис. 1
2.         (рис. 2).
Рис. 2
Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.
 
Алгоритм исследования функции на четность
 
 
Из приведенных определений и свойств вытекает
 
Алгоритм исследования функции  на четность.
Исследовать  на симметричность относительно нуля Если  не симметрична относительно нуля, это функция общего вида.
Найти
Сравнить
если  то функция четная;
если  то функция нечетная;
если хотя бы для одного
то это функция общего вида.
 
Решение примеров
 
 
Рассмотрим конкретные примеры.
 
Исследовать функцию на четность:
1) 
Решение:
(рис. 3).
Рис. 3
Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.
 
Ответ: Функция четная.
2) .
Решение:
(рис. 4).
Рис. 4
 несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.
Ответ: Функция общего вида.
3) 
Решение:
 область определения симметрична относительно нуля.
 
Ответ: Функция нечетная.
4) 
Решение:  (рис. 5).
Рис. 5
Область определения симметрична относительно нуля.
 
Ответ: Функция нечетная.
5) 
Решение:
Область определения симметрична относительно нуля (рис. 5).
 
Ответ: Функция четная.
6) 
Решение:  Область определения симметрична относительно нуля.
 
 
Мы видим, что для :
 
 
Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида
Ответ: Функция общего вида.
7) .
Решение:  (рис. 6).
Рис. 6
Область определения несимметрична относительно нуля.
Ответ: Функция общего вида.
8)
Решение:
Построим график функции (рис. 7).
Рис. 7
График симметричен относительно оси y, функция четная.
Эту же функцию можно задать как
Ответ: Функция четная.
9) Постройте график функции  и прочитайте его, если
 
Решение: Построим график функции (рис. 8).
Рис. 8
График симметричен относительно оси y, функция четная.
Функция возрастает при
Функция убывает при
 
Заключение
 
 
Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.
 
 
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд. , испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
 
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).
 
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.
 
Sin функция четная или нечетная
Обновлено: 15.09.2022
Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .
Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.
Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).
Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.
1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.
а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;
б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;
в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;
г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.

Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.
допустим возьмем угол пи\4=45 градусов.
у него синус и косинус положителен-ну координаты точки на единичной окружности обе больше нуля.
а теперь возьмем -пи\4=-45 градусов.
т. е отложим угол 45 град вниз относительно х. косинус (абсцисса) остается такой же. а ордината (синус, ось у) становится отрицательной.
нарисуй-и поймешь!

Для этого опять же надо вернуться к ОПРЕДЕЛЕНИЮ синуса и косинуса как функций угла поворта радиус-вектора для единичной окружности (а не как катет к гипотенузе) . Просто ещё раз выпишите себе на бумажку ОПРЕДЕЛЕНИЕ синуса (косинуса) , а потом посмотрите, как именно меняются координаты точки на единичной окружности при повороте радиус-вектора.
sin(-0) = -sin(0)
sin(-30) = -sin(30)
sin(-100) = -sin(100)
sin(-180) = -sin(180)
sin(-13) = -sin(13)
sin(-848,0235) = -sin(848,0235)
И вообще для любого числа а выполнится
sin(-a) = — sin(a)
Есть функция. То, что у неё в скобках — это аргумент. То, чему она равна — её значение. 
Так вот — нечётность значит, что если значение функции в точке (при аргументе) а будет А, то значение функции в точке (-а) будет (-А) .
С чётностью ещё проще — знак не меняется. f(x) = f(-x) для любого числа х.
правило я знаю но здесь применить не могу можете на примере связанные с синусоми косинусом 
я знаю, что
Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.
Чётная функция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.
но для синуса, косинуча не могу понять 
Почему синус нечетная функция? Потому, что для каждого значения х, принадлежащего области определения этой функции, значение -х также принадлежит области определения и причем выполняется равенство 
sin(-x) = sinx
Пример. sin 30 = 0,5; sin(-30) = -0,5
sin90 = 1; sin(-90) = -1
Почему косинус четная функция? Потому, что для каждого значения х, принадлежащего области определения этой функции, значение -х также принадлежит области определения и причем выполняется равенство 
cos(-x) = cosx
Пример. cos60 = -0,5; cos60 = 0,5
cos45 = V2/2; cos(-45) = -V2/2
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, а график четной фукции — относительно оси ординат, тоесть Оу

нарисуй график согни лист по оси у и посмотри на просвет, у косинуса рисунок совпадет, значит функция четная
Если доказательство не нужно — можно считать их чётными/нечётными по определению.
Точки A и C получены поворотом точки \((1;0)\) на углы α и − α соответственно.

Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты различаются только знаками, т. е. sin ( − α ) = − sin α и cos ( − α ) = cos α .
Следовательно, функция y = sinx — нечётная, а y = cosx — чётная. Так как функция y = tgx = sinx cosx , то tg ( − x ) = − tgx , т. е. функция y = tgx — нечётная.
Функция y = f x называется периодической с периодом T ≠ 0 , если её значения не меняются при изменении аргумента на число \(T\), то есть для любого x из области определения функции f x − T = f x = f x + T .
Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f x , то числа x − T ; x &plus; T ; x &plus; Tn , n ∈ &integers; также принадлежат области определения этой периодической функции, и f x + Tn = f x , n ∈ &integers; .
Вращая точку A вокруг центра единичной окружности в положительном или отрицательном направлении, замечаем, что она вернётся к исходному положению, только угол поворота будет на 2 π больше или меньше, но координаты точки A останутся теми же, т. е.
Значит, число 2 π является наименьшим положительным периодом для функций y = sinx и y = cosx .
Число π является наименьшим положительным периодом для функции y = tgx , так как значение тангенса угла поворота будет повторяться через π радиан.
Читайте также:


  Streets of rage 4 ps4 трофеи

  Resident evil какая часть лучше на пк

  Оракул dc comics космическое существо

  The evil within лагает на ps4

  Скрытые достижения hunt showdown

 Четные и нечетные функции
 Home > Математика > Исчисление > Четные и нечетные функции
 Некоторые графики демонстрируют симметрию. Графики, обладающие симметрией относительно оси Y, называются   четными функциями   . Графики, обладающие симметрией относительно начала координат, называются   нечетными функциями   .
 Посмотрите на графики двух функций f(x) = x ² — 18 и g(x) = x ³ — 3x. Функция f(x) = x ² — 18 симметрична относительно оси Y и, таким образом, является четной функцией. Функция g(x) = x ³ — 3x симметрична относительно начала координат и, таким образом, является нечетной функцией.
 Другими словами, функции четны, если изменение x на -x не меняет значение функции.
 ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ:
      f(x) = x ² — 18f(-x) = (-x) ² — 18 = x ² — 18
 2 9003x9003x (х) функция четная. 
 
 Функции нечетны, если изменение x на -x отрицает значение функции.
 НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ:
      f(x) = x ³ — 3xf(-x) = (-x) ³ — 3(-x) = -x ³ + 3x = -(x ³ — 3x)
  Поскольку f(-x) = -f(x), функция нечетная. 
 
 Функция может быть четной, нечетной или ни четной, ни нечетной. Чтобы определить, имеет ли функция четную или нечетную симметрию, используйте следующие рекомендации.
 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧЕТНОЙ ИЛИ НЕЧЕТНОЙ СИММЕТРИИ
 
  1. Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию. 
 2. Сравните результаты шага 1 с f(x) и -f(x).
 3. Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.
 
  а. Если f(-x) дает то же значение, что и f(x), функция четная. 
 б. Если f(-x) дает то же значение, что и -f(x), функция нечетная.
 в. Если f(-x) не привело к шагу a или b, функция не является ни четной, ни нечетной.
 
 Давайте посмотрим на пару примеров.
  Пример 1: Определите, является ли функция f(x) = x ⁶ + 4x ² — 1 четной, нечетной или ни одной из них, затем постройте график функции и опишите симметрию. 
  Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.  Оригинальная функция:
 f(x) = x ⁶ + 4x ² — 1
 Замените х на -х:
 f(-x) = (-x) ⁶ + 4(-x) ² — 1
 Упрощать:
 е(-х) = х ⁶ + 4x ² — 1
  Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).  f(-x) = x ⁶ + 4x ² — 1
 е (х) = х ⁶ + 4x ² — 1
 Сравните f(-x) с f(x):
 х6+4х2-1=х6+4х2-1
 Поскольку f(-x) с f(x), нет необходимости сравнивать f(-x) с -f(x), потому что функция не может быть обеими.
  Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.  Поскольку f(-x) = f(x), функция четная и имеет симметрию относительно оси y.
  Шаг 4: Постройте график функции 
  Пример 2: Определите, является ли функция f(x) = x ³ + 2x ² — x четной, нечетной или ни одной, затем начертите график функции и опишите симметрию. 
  Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.  Оригинальная функция:
 f(x) = x ³ + 2x ² — x
 Замените х на -х:
 f(-x) = (-x) ³ + 2(-x) ² — (-x)
 Упрощать:
 f(-x) = -x ³ + 2х ² + х
  Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).  f(-x) = -(x ³ — 2x ² — x)
 е (х) = х ³ + 2х ² — х
 -f(x) = -(x ³ + 2x ² — x)
 Сравните f(-x) с f(x):
 −(x3−2×2−x)≠x3+2×2−x
 Сравните f(-x) с -f(x):
 −(x3−2×2−x)≠−(x3+2×2−x)
  Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.  Поскольку f(-x) не равно f(x) или -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.
  Шаг 4: Постройте график функции 
 Калькулятор четной или нечетной функции
 Онлайн-калькулятор четной или нечетной функции поможет вам определить, является ли определенная функция четной, нечетной или ни одной. Обычно знак значений в функции не имеет значения при вычислении значений функции, и будут использоваться только половинные значения в области. В этой статье мы рассмотрим определения, свойства и то, как определить, является ли функция четной или нечетной. 92 
 
  Свойства четной функции:  Сумма четных функций четна. 3 + 1 не является ни одной из функций. 92 – 3 $$ 
 Следовательно, f (- x) = f (x), что означает, что если мы подставим одни и те же значения в четный или нечетный онлайн-калькулятор, он отобразит те же результаты, что и четная функция.
 Однако онлайн-калькулятор составных функций может помочь вам оценить состав функций по введенным значениям функций f(x) и g(x) в определенных точках. 
  Для нечетной функции:  
 Если мы подставим (- x) в функцию f (x) и получим противоположное или отрицательное значение функции, то это означает, что функция f (x) является нечетной функцией. 93 + 6x) $$ 
 Следовательно, 
 $$ f (- x) = – f (x) $$ 
 После вынесения на множитель -1 функция равна начальной функции, что показывает, что это нечетная функция. 
  Ни для одной функции:  
 Если подставить (- x) в функцию f (x) и не получить ни четного, ни нечетного, то это означает, что данная функция f (x) не является ни нечетной, ни четной функцией. Проще говоря, он не подпадает под классификацию четных или нечетных. 
 $$ f (-x) ≠ – f (x) И f (- x) ≠ f (x) $$ 92 + 1) $$ 
 Что не является нечетной функцией. 
 Следовательно, функция f(x) не является ни нечетной, ни четной.
 Множественное представление нечетных и четных чисел:  Множества нечетных и четных чисел могут быть представлены как:
 $$ Нечетное = {2x + 1 : x ϵ Z} $$
 $$ Четное = { 2x : x ϵ Z} $$
 Формальное определение нечетного числа — это целое число вида n = 2x + 1, где x — целое число. Четное число определяется как целое число в форме n = 2x. Этот тип классификации применяется только к целым числам. Нецелые числа, такие как 3,462, 7/9, или бесконечность не являются ни нечетными, ни четными.
 Как работает калькулятор четных и нечетных функций?  Онлайн-калькулятор четности или нечетности определяет, является ли функция нечетной, четной или ни одной из следующих шагов:
 Ввод:  Сначала введите заданную функцию и выберите переменную из раскрывающегося списка. список.
 Нажмите кнопку «Рассчитать».
 Вывод:  Калькулятор нечетной или четной функции отображает характер функции как четный, нечетный или ни один из них.
 Часто задаваемые вопросы: 
 Является ли cos X нечетной функцией?  Косинус — четная функция, а синус — нечетная. Вы можете не встретить эти прилагательные четный и нечетный применительно к функциям, но знать их важно.
 Является ли тан четной или нечетной функцией?  Sin, cos и tan являются тригонометрическими функциями, они также могут быть выражены как нечетные или четные функции. Тангенс и синус — нечетные функции, а cos — четная функция. Математически мы можем определить это как 
 Tan (-x) = – tan x 
 Cos (-x) = cos x 
 Sin (-x) = -sin x
 Почему ноль четное число?  Ноль — это целое число, умноженное на 2, например 0 x 2, по этой причине мы можем задать, что ноль — это четное число.
 Заключение:  Вы можете попросить определить алгебраически, является ли функция четной или нечетной. Для этого воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором четных и нечетных функций, который быстро и без колебаний упрощает введенную функцию. Глядя на функцию, которую необходимо изобразить в виде графика для задания, студент или преподаватель может определить с помощью нашего калькулятора, что будет работать быстро, потому что значения со знаком не имеют значения при расчетах значений функции.
 Ссылка:  Из источника Википедии: Четные функции, Нечетные функции, Уникальность, Сложение и вычитание, Умножение и деление, Композиция, Четно-нечетное разложение.
 Из источника Lumen Learning: определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из ее графика, установите представление четных и нечетных чисел, свойства четных и нечетных чисел, четных и нечетных десятичных знаков.
 Из источника Libre Text: нечетные и четные функции, типы функций: четные, нечетные или ни то, ни другое, заданное представление четных и нечетных чисел, ни нечетных, ни четных.
 Определение четных и нечетных функций (видео)
 Когда мы думаем о «четных и нечетных», обычно на ум приходят четные и нечетные числа. Но что такое четные и нечетные функции? В сегодняшнем видео мы определим четные и нечетные функции и обсудим, как их идентифицировать.
 Начнем с четных функций. Если функция \(f(x)\), вычисленная в \(-x\), дает нам то же самое \(f(x)\), с которого мы начали, эта функция четна. Формально записывается, когда
 \(f(x)=f(-x)\)
 9{2}+1\). Обратите внимание, что он по-прежнему имеет ту же форму и по-прежнему является четной функцией. Он только что был перемещен на одну единицу вверх по координатной плоскости.
 Теперь давайте поговорим о том, на что похожи нечетные функции. Рассмотрим другую функцию \(f(x)\), которую мы снова будем вычислять в \(-x\). Но на этот раз вместо поиска того же \(f(x)\), с которого мы начали, мы хотим посмотреть, меняет ли \(f(-x)\) знак всех членов функции. Другими словами, если \(f(-x)=-f(x)\), то функция 9{3}\)
  
 Итак, если вы заметили, \(f(x)\) противоположно \(f(-x)\). {2}+1\) по-прежнему четная. Как видите,  четная функция будет иметь четные показатели степени  .
 Неудивительно, что  нечетных функций также будут иметь нечетные показатели степени  ! Помните, что для того, чтобы функция была нечетной, все члены должны менять знак, когда мы вычисляем \(-x\).
 Ясно, что любой член с \(x\) в первой степени изменит знак, когда мы подставим отрицательное значение \(x\). Таким же образом \(x\) в третьей степени, в пятой степени и т. д. все меняют знак, когда мы подставляем отрицательное значение для \(x\). Как мы упоминали ранее, когда член имеет четную степень \(x\), он не меняет знак. Это означает, что нечетная функция не может содержать членов с четными степенями \(x\) и не может иметь констант.
 Вы сможете распознавать четные и нечетные функции позже в исчислении, когда дело дойдет до разложения Тейлора.
 Время для некоторых практических задач!
 Основываясь на этом графике, определите, является ли эта функция четной, нечетной или ни одной?
 Ни то, ни другое. Эта функция не симметрична относительно оси \(y\), поэтому она не является четной. И хотя он проходит через начало координат, он не является странным, потому что он не выглядел бы таким же, если бы мы повернули изображение на 180°.
 9{3}\) имеет нечетную степень \(x\), что означает, что знак изменится при оценке в \(-x\). Точно так же второй член, \(-2x\), имеет нечетную степень \(x\) и также изменит знак. Это означает, что эта функция нечетная!
 Давайте закончим более концептуальным вопросом.
 Мы знаем, что некоторые функции могут быть ни четными, ни нечетными, но может ли функция быть и четной, и нечетной?
 Удивительно, но ответ положительный, но только для одной функции. Вы представляете, что это за функция? Помните, что для четных функций \(f(-x)=f(x)\), а для нечетных функций \(f(-x)=-f(x)\). Единственный способ удовлетворить оба этих требования — это когда \(f(x)=0\).
 \(f(-x)=f(x)\)  
  \(и\)  
  \(f(-x)=-f(x)\)
  
 В качестве краткого обзора, мы можем определить четные и нечетные функции следующим образом:
 Графически четные функции симметричны относительно оси \(y\). И они не должны проходить через источник. Однако нечетные функции должны проходить через начало координат, и они будут выглядеть одинаково при повороте на 180°.
 Алгебраически четные функции одинаковы, когда мы оцениваем в точках \(+x\) и \(-x\). Нечетные функции будут менять знаки во всех терминах при оценке в \(-x\).
 Короче говоря, если функция содержит только четные показатели степени \(x\) (и может иметь или не иметь константы), то она четная. Если функция не имеет констант и имеет только нечетные показатели \(х\), то она нечетная.
 Теперь, когда мы рассмотрели все и пробежались по некоторым примерам, вам должно быть достаточно удобно определять четные и нечетные функции.
 Спасибо за просмотр и удачной учебы!
  Вопрос №1: 
   
 График функции \(y=f(x)\) показан на координатной плоскости ниже. 
 Основываясь на графике, какое из следующих утверждений верно?
 Функция четная.
 Нечетная функция.
 Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.
 Функция одновременно четная и нечетная.
 Показать Ответ
  Ответ: 
 График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Другими словами, отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую на левой стороне оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график функции и ее отражение относительно оси \(y\), показанное красным цветом.
 Обратите внимание, что отраженный график \(y=f(x)\) относительно оси \(y\) дает совершенно другой график. Таким образом, график \(y=f(x)\) не имеет симметрии относительно оси \(y\), поэтому он не является четной функцией.
 График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график функции и ее отражение относительно начала координат, показанное красным цветом.
 Обратите внимание, что отраженный график \(y=f(x)\) относительно начала координат дает совершенно другой график. Таким образом, график \(y=f(x)\) не имеет симметрии относительно начала координат, поэтому не является нечетной функцией. Кроме того, еще одно условие, которое следует учитывать при определении того, является ли график функции нечетным, заключается в том, что он должен проходить через начало координат.
 Следовательно, график \(y=f(x)\) не является ни четной, ни нечетной функцией.
 Скрыть ответ
  Вопрос №2: 93\)?
 Функция четная.
 Нечетная функция.
 Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.
 Функция одновременно четная и нечетная.
 Показать ответ
  Ответ: 
 Функция \(y=f(x)\) является четной функцией при замене значения \(x\) в функции на \(-x\) не меняет значения функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=f(x)\). Заменяя \(x\) на \(-x\) для нашей функции и упрощая, мы получаем: 93\right)=-f(x)\)
 Так как \(f\left(-x\right)=-f(x)\), значение функции меняет знак при замене на \(-x \), поэтому функция не является четной.
 Функция \(y=f(x)\) является нечетной функцией, когда замена значения \(x\) в функции на \(-x\) изменяет значение функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=-f(x)\). Как мы видели выше, замена \(x\) на \(-x\) для нашей функции дает \(f\left(-x\right)=-f(x)\), поэтому наша функция является нечетной функцией . 92+1\)?
 Функция четная.
 Нечетная функция.
 Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.
 Функция одновременно четная и нечетная.
 Показать ответ
  Ответ: 
 Функция \(y=f(x)\) является четной функцией при замене значения \(x\) в функции на \(-x\) не меняет значения функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=f(x)\). Заменяя \(x\) на \(-x\) для нашей функции и упрощая, мы получаем: 92+1=f(x)\)
 Так как \(f\left(-x\right)=f(x)\), значение функции не меняет знак при замене на \(-x\ ), поэтому функция является четной функцией.
 Функция \(y=f(x)\) является нечетной функцией, когда замена значения \(x\) в функции на \(-x\) изменяет значение функции. То есть \(y=f\left(-x\right)=-f(x)\). Как мы видели выше, замена \(x\) на \(-x\) для нашей функции дает \(f\left(-x\right)=f(x)\), поэтому наша функция не является нечетной функцией .
 Таким образом, функция является только четной функцией.
 Скрыть ответ
  Вопрос № 4: 
   
 Фотография поперечного сечения чашеобразной рампы для скейтборда, сделанная в скейтпарке, показана на координатной плоскости ниже. Пусть поперечное сечение криволинейной формы пандуса есть функция \(y=f(x)\).
 Если мы смотрим на дно чашеобразного пандуса, какое из следующих утверждений о графике функции, представляющей поперечное сечение пандуса, кажется верным?
 Функция четная.
 Нечетная функция.
 Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.
 Функция одновременно четная и нечетная.
 Показать Ответ
  Ответ: 
 График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую слева от оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график рампы и ее отражения относительно оси \(y\).
 Обратите внимание, что отражение стороны графика справа от оси \(y\) относительно оси \(y\) дает часть наклона, которая находится слева от \(y\) )-ось. Одна такая точка на графике рампы подтверждает это, и это верно для всех точек на графике рампы. Таким образом, график функции \(y=f(x)\), представляющий рампу конька, имеет симметрию относительно оси \(y\), поэтому это четная функция.
 График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график рампы и ее отражения относительно начала координат.
 Обратите внимание, что отраженный график рампы вокруг начала координат дает совершенно другой график. Таким образом, график рампы не имеет симметрии относительно начала координат, поэтому не является нечетной функцией.
 Таким образом, график \(y=f(x)\), представляющий рампу для коньков, является только четной функцией.
 Скрыть ответ
  Вопрос № 5: 
   
 Радиоволны — это электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света или близкой к ней. Существует много типов радиоволн, встречающихся в природе, таких как световые волны, и те, которые искусственно генерируются машинами. Одна такая искусственная волна, называемая радиоволной FM (частотная модуляция), передает несущий сигнал от радиостанции, которая передает информацию на антенну вашего радиоприемника, в которой амплитуда несущего сигнала постоянна, но частота модулируется или изменяется. Ниже приведен пример 2 циклов или периодов модулированной несущей FM.
 Согласно графику сигнала, FM-радиоволна:
 Четная функция
 Нечетная функция
 Ни четная, ни нечетная функция
 И четная, и нечетная функция
 Показать ответ
  Ответ: 
 График функции является четным, если он имеет симметрию относительно оси \(y\). График будет отражаться относительно оси \(y\). Отражение части графика функции, лежащей справа от оси \(у\), дает часть графика, лежащую слева от оси \(у\). Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график радиоволны и ее отражения относительно оси \(y\), показанной красным цветом.
 Обратите внимание, что график отражения радиоволны относительно оси \(y\) дает совершенно другой график. Таким образом, график радиоволны не имеет симметрии относительно оси \(у\), поэтому не является четной функцией.
 График функции является нечетным, если он имеет симметрию относительно начала координат. График будет таким же, если его повернуть на 180° вокруг начала координат. Это означает, что любая точка \((x,y)\) на графике функции отражает точку \((-x,-y)\), которая также находится на графике функции. Ниже приведен график радиоволны и ее отраженный график о происхождении.
 Обратите внимание, что отражение стороны графика справа от оси \(y\) относительно начала координат дает часть наклона, которая находится слева от оси \(y\). Две такие точки на графике радиоволны подтверждают это, и это верно для всех точек на графике радиоволны. Таким образом, график функции, представляющей радиоволну, имеет симметрию относительно начала координат, поэтому это нечетная функция.
 Скрыть Ответ
 4.6: Ряды Фурье для четных и нечетных функций
 Последнее обновление
 Сохранить как PDF
 Идентификатор страницы
 8352
 Нильс Валет
 Манчестерский университет
 Обратите внимание, что в ряду Фурье прямоугольной волны (4.5.3) все коэффициенты \(a_n\) равны нулю, ряд содержит только синусы. Это очень общее явление для так называемых четных и нечетных функций.
 EVEn и нечетный
 Функция вызывается даже, если \(f(-x)=f(x)\), например \ (\ соз (х) \). 
 Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\), например \(\грех(х)\).
 У них несколько иные свойства, чем у четных и нечетных чисел: Сумма двух четных функций четна, а двух нечетных — нечетна.
 Произведение двух четных или двух нечетных функций четно. Произведение четной и нечетной функций нечетно.
 9\infty b_n \sin\frac{n\pi}{L}x \nonumber \] нечетная функция. Эти ряды интересны сами по себе, но особенно важную роль они играют для функций, определенных на половине интервала Фурье, т. е. на \([0,L]\) вместо \([—L,L]\). Есть три возможных способа определения ряда Фурье таким образом, см. рис.  \(\PageIndex{1}\) 
 Продолжайте \(f\) как четную функцию, так что \(f'(0)=0\).
 Продолжите \(f\) как нечетную функцию, так что \(f(0)=0\).
 Рисунок \(\PageIndex{1}\): Схема возможных способов продолжения \(f\) за пределами области определения для \(0 \infty n a_n \sin\frac{n\pi}{L}x =0\quad\text {at $x=0$.} \nonumber \] 92} \cos(2m+1)\pi x. \номер\]
 Эта страница под названием 4.6: ряды Фурье для четных и нечетных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 2.0 и была создана, изменена и/или курирована Нильсом Валетом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
 Наверх
 Была ли эта статья полезной?
 Тип изделия
 Раздел или страница
 Автор
 Нильс Валет
 Лицензия
 CC BY-NC-SA
 Версия лицензии
 2,0
 Показать страницу TOC
 нет
 Теги
 source@https://oer. physics.manchester.ac.uk/PDEs/Notes/Notes
 Что такое четные и нечетные функции: Примеры
 Содержание
 В этой статье вы узнаете, что такое четные и нечетные функции? В этой статье мы описали примеры, чтобы определить, является ли данная функция четной или нечетной. Любая функция, график которой симметричен относительно оси у, называется  четная функция.  Математически, если мы имеем y=f(x)=f(-x) для любого значения x, то мы говорим, что это четная функция. График y=|x| показано ниже, которое показывает, что поведение функции одинаково для всех значений x.
 График четной функции Что такое четные функции?
 Все функции, имеющие четную и положительную степень x, являются  четными функциями  . Например
 X ² , X ⁴ , X ⁶ ,…….. X ⁿ 93 — примеры нечетных функций.
 график нечетной функции график нечетной функции Точно так же график синусоиды также является примером нечетной функции, поскольку он не дает симметрии относительно оси Y.
 Sin(x) Ни четные, ни нечетные функции
 Существуют некоторые функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Четное и нечетное — это просто термин, и все функции не должны быть отнесены к этим двум категориям. Например,  . Многочлены оказываются ни четными, ни нечетными функциями.
 Как определить, четная функция или нечетная?
 Если мы хотим проверить, является ли заданное выражение функции четным или нечетным, мы заменим x на -x, а затем посмотрим, станет ли y(x)=y(-x) или y(-x)= -y (Икс).
 Пример:
 Проверка четной функции
 Проверка нечетной функции
 Ни четной, ни нечетной четных/нечетных функций
 Вот графическое изображение четных и нечетных функций.
  
 графическое изображение четных нечетных функций Свойства четных/нечетных функций
 Произведение двух четных функций является четной функцией.
 Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
 Произведение четной и нечетной функций является нечетной функцией .
 Сумма двух четных функций является четной функцией.
 Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией.
  
 Применение четной и нечетной функции
 Если волновая функция частицы является четной функцией (симметричной, с центром в начале координат), то ожидаемое местоположение частицы (при условии, что она существует) совпадает с началом координат, потому что | ψ(x)|2|Если волновая функция частицы является четной функцией (симметричной, с центром в начале координат).
 Краткое изложение Как определить, является ли емкость четной или нечетной?
 Представьте себе сценарий, в котором нам дана емкость, и мы не знаем, четная она или нечетная. Это не будет проблемой! Как насчет того, чтобы использовать то, что мы поняли до сих пор, чтобы решить, является ли емкость нечетной или четной.
 В момент, когда задана емкость: посмотрите, что произойдет, если мы заменим x на – x.
 Когда вы подставили – x к f(x), осталась ли емкость прежней? Если предположить, что это так, то f(x) четно.
 При подстановке – x в f(x) изменилось ли показание коэффициента мощности? При условии, что это верно, f(x) нечетно.
 В момент получения диаграммы: решите, является ли диаграмма симметричной относительно начала или оси Y.
 Если диаграмма симметрична относительно Y-образной ступицы, емкость будет равной. Как бы мы это сделали?
 Представьте, что вы сворачиваете диаграмму по вертикали и проверяете, будут ли две диаграммы лежать рядом друг с другом.
 Вы также можете найти множество фокусов и проверить, предлагают ли x и — x аналогичную функцию.
 В случае, если диаграмма симметрична относительно начала, мощность нечетна. Как бы мы это сделали?
 Представьте, что диаграмму сворачивают наискосок (проверьте два заголовка) и проверьте, будут ли две диаграммы лежать рядом друг с другом.
 Вы также можете определить различные фокусы и проверить, предлагают ли x и – x y-
 Существуют ли функции, которые не являются ни нечетными, ни четными?
 Должны ли все функции быть четными или нечетными? Нет. Есть примеры, когда емкость не соответствует смыслу четных и нечетных функций. Емкость f(x) = (x + 1)2 является иллюстрацией емкости, которая не является ни нечетной, ни четной.
 Также читайте здесь:
 Как определить обратную функцию приведите пример?
 Смотрите также здесь
   Также читайте здесь
 https://eevibes.com/mathematics/elementary-math/inverse-of-a-function-with-examples/
 Как определить обратную функцию функция привести пример?
 9. Четные и нечетные функции
 М. Борн
 Четные функции
 Говорят, что функция `y = f(t)` равна , даже , если
  f  (−  t  ) =  f  (  т  )
 для всех значений  t  .
 График функции  и даже  всегда симметричен относительно вертикальной оси   (то есть мы имеем зеркальное отображение относительно оси  y ).
 Осциллограммы, показанные ниже, представляют  даже  функции:
 Кривая косинуса
  f  (  t  ) = 2 cos  πt 
 123-1-2-3123-1-2-3tf(t)Открыть изображение на новой странице График  f  (  t  ) = 2 cos(π  t  ), четная функция.
 Обратите внимание, что у нас есть зеркальное отражение через ось `f(t)`.
 Четная прямоугольная волна
 12345-1-2-3-4-5123-1-2-3tf(t)Открыть изображение на новой странице График функции четного шага.
 Треугольная волна
 π2π−π-2π0.5ππtf(t)Открыть изображение на новой странице График четной треугольной функции.
 В каждом случае у нас есть зеркальное отражение через ось `f(t)`. Другими словами, у нас есть  симметрия  относительно вертикальной оси.
 Странные функции
 Функция `y=f(t)` называется  нечетной , если
 `f(-t) = — f(t)`
 для всех значений  t  .
 График  нечетной  функции всегда симметричен относительно начала координат   .
 Исходная симметрия Граф имеет  симметрию начала координат , если мы можем сложить его по  вертикальной  оси, а затем по 0005 горизонтальная  ось, и накладывает график на себя.
 Другой способ думать об этом состоит в том, что график точно соответствует  противоположным  элементам по обе стороны от начала координат.
Если график идет вверх вправо с одной стороны от начала координат, то он будет опускаться влево на ту же величину с другой стороны от начала координат.
 Примеры нечетных функций
 Осциллограммы, показанные ниже, представляют  нечетных  функций.
 Синусоидальная кривая
  y  ( х ) = грех  х 
 0,5ππ1,5π2π-0,5π−π-1,5π-2π1-1xyОткрыть изображение на новой странице График  y  ( x ) = sin( x ), нечетная функция. -t,text(if ) 0 le t lt pi):}`
 Ответить
 π−π1tf(t)Открыть изображение на новой странице График функции разделения.
 Из графика видно, что это  даже  .
  ИЛИ:  Функция  даже  поскольку `f(−t) = f(t)` для всех
 значения  т  .
 (b) `f(t)={(-1,text(if ) 0 le t lt pi/2),(1,text(if ) pi/2 le t lt (3pi)/2),( -1,текст(если) (3pi)/2 lt lt 2pi) :}`
 и  f  (  t  ) =  f  (  т  + 2π)
 (Последняя строка означает: периодический с периодом = 2π)
 Ответить
 π2π3π−π1-1tf(t)Открыть изображение на новой странице График ступенчатой функции.
 Из графика видно, что это  даже  .
  ИЛИ:  Функция  даже  поскольку `f(−t) = f(t)` для всех
 значения  т  .
 (c) `f(t)={(-t+pi,text(if ) -pi le t lt 0),(-t-pi,text(if ) 0 le t lt pi):}`
 Ответить
 π−ππ2π−π-2πtf(t)Открыть изображение на новой странице График функции разделения.

   Оставить комментарий on Является ли функция четной или нечетной: Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс./

`Уравнения 4 степени решение онлайн: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени`

alexxlab / 11.10.197030.07.2021 / Разное

 2-4\cdot2\cdot1=-4\]
\[x_3= \frac{-2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} +i\]
\[x_4= \frac{-2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} -i\]
В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:
\[x=\frac{1}{2}\pm i\]
\[x=-\frac{1}{2}\pm i\]
Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
 позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
 просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
 и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
 групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
 рады помочь вам.
онлайн решение уравнения 4 степени
Вы искали онлайн решение уравнения 4 степени? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
 решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решение онлайн уравнений 4 степени онлайн, не
 исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
 в вуз.
 И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
 Например, «онлайн решение уравнения 4 степени».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
 жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
 использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
 месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
 может решить задачи, такие, как онлайн решение уравнения 4 степени,решение онлайн уравнений 4 степени онлайн,решить уравнение 4 степени онлайн,уравнение 4 степени онлайн,уравнение четвертой степени онлайн,уравнения 4 степени решение онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор,
 который поможет решить любой вопрос, в том числе и онлайн решение уравнения 4 степени. Просто введите задачу в окошко и нажмите
 «решить» здесь  (например, решить уравнение 4 степени онлайн).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же онлайн решение уравнения 4 степени Онлайн?
Решить задачу онлайн решение уравнения 4 степени вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
 онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
 сделать — это просто
 ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
 вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
 калькулятора.
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
 Определение 1Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
 Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
 Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
 Пример 2Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
 Пример 3Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
 Описать задание  Пример 4Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
 Пример 5Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
 Автор:
 Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Двучленные уравнения четвертой степени решение примеров онлайн
Двучленными уравнениями четвертой степени называются уравнения вида:  
 или 
где — любые действительные числа, но , x – неизвестная искомая переменная.
Корнем двучленного уравнения четвертой степени называется такое значение переменной , при подстановке которого двучлен  или  обращается в ноль.
Решить  уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.
 
При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:
1)      Вынести за скобки общий множитель , преобразовав тем самым заданное уравнение к виду 
2)      Решить полученное уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:
 
Пример 1: Решить уравнение 
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Вынесем за скобки общий множитель :
Поэтому либо , либо 
Ответ: 
 
Пример 2: Решить уравнение 
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Вынесем за скобки общий множитель :
Поэтому либо , либо  а данное уравнение решений не имеет (См. «Решение квадратных уравнений»)
Таким образом, заданное уравнение имеет одно решение 
Ответ: 
 
 
При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:
1)      Привести уравнение к виду 
2)      Решить полученное уравнение:
Пример 3: Решить уравнение 
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Решим данное уравнение по вышеприведенной формуле:
Таким образом, заданное уравнение имеет одно решение 
Ответ: 
 
Пример 4: Решить уравнение 
Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.
Решим данное уравнение по вышеприведенной формуле:
Таким образом, заданное уравнение не имеет решений, так как  значение переменной в четной степени не может быть отрицательным.
Ответ: Решений нет.
 
Примечание: Уравнения примеров 2 и 4 не имеют решений только для курса школьной математики. (См. «Решение двучленных уравнений четвертой степени. Курс высшей школы»).
Решение высшей математики онлайн
 
‹— Назад В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения . Дело в том, что решить это уравнение «точно», то есть выразить его корни                   через известные постоянные (целые числа, числа ,  и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются «в радикалах», а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неё мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений. Например, для решения уравнений третьей степени имеется формула Кардано, позволяющая найти корни в зависимости от коэффициентов уравнения. Для уравнения
 формула Кардано²⁵ даёт значение корня
 Велика ли польза непосредственно от этого результата? Пока выражение не вычислено, мы не можем сказать даже, лежит ли корень на отрезке, скажем, . Вычислить же это выражение²⁶ — работа, вполне сравнимая по трудоёмкости с той, что требуется для приближённого решения уравнения одним из тех методов, которые мы опишем ниже. Результат же всё равно в обоих случаях получится приближённый, поскольку вычислять дроби и корни в решении, данном формулой Кардано, также придётся приближённо.
 Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
X2 0 решение. Уравнения онлайн. Тождественные преобразования уравнений
Цели: 
Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не
 знакома или по своему типу, или способу решения.
Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики,
 воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.
Тип урока : комбинированный.
Оборудование:  графопроектор.
Наглядность:  таблица «Теорема Виета».
Ход урока 
1. Устный счет 
а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?
б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?
г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2
2. Самостоятельная работа (в группах) 
Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»
1 группа 
Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Составить уравнение:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0  (это уравнение решает потом 2 группа на доске)
Решение  . Целые корни ищем среди делителей числа 36. 
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18=0
х 3 =-3, х 4 =6
Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)
2 группа 
Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5
Составить уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0 
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5
Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)
3 группа 
Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3
Составить уравнение:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 — х 3  — 7х 2 + х + 6 = 0  (это уравнение решает потом на доске 4 группа)
Решение.   Целые корни ищем среди делителей числа 6. 
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1)=1-1-7+1+6=0
р 3 (x) = х 3 — 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3
Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)
4 группа 
Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3
Составить уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0  (это уравнение решает потом 5 группа на доске)
Решение.   Целые корни ищем среди делителей числа -36 
р = ±1;±2;±3…
р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)
5 группа 
Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4
Составить уравнение
х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0  (это уравнение решает потом 6группа на доске)
Решение  . Целые корни ищем среди делителей числа 24. 
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)
6 группа 
Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Составить уравнение
B=1+1-3+8=7;b=-7
с=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x  — 24 = 0  (это уравнение решает потом 1 группа на доске)
Решение  . Целые корни ищем среди делителей числа -24. 
р 4 (1)=1-7-13+43-24=0
р 3 (1)=1-6-19+24=0
р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0
х 3 =-3, х 4 =8
Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)
3. Решение уравнений с параметром 
1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)
Ответ записать в порядке возрастания
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 =-1-4 = -5;
х 3 =-1 + 4 = 3;
Ответ:- 1;-5; 3
В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)
2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.
Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3)(х 2 -6) = 0
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.n} \)
7) a n > 1, если a > 1, n > 0
8) a n 1, n 
9) a n > a m , если 0
В практике часто используются функции вида y = a x , где a — заданное положительное число, x — переменная.
Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Определение.  Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)
Показательная функция обладает следующими свойствами 
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней,
если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и
убывающей, если 0
Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.
Если х 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = a x при 0
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.
Если х 
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\),
х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.{x-2} = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3| 
Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
 2 + bx
 + c
 = 0, где коэффициенты a
, b
 и c
 — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax
 2 + bx
 + c
 = 0. Тогда дискриминант — это просто число D
 = b
 2 − 4ac
.
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
Если D
Если D
 = 0, есть ровно один корень;
Если D
 > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
x
 2 − 8x
 + 12 = 0;
5x
 2 + 3x
 + 7 = 0;
x
 2 − 6x
 + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
 = 1, b
 = −8, c
 = 12;
D
 = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
 = 5; b
 = 3; c
 = 7;
D
 = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
 = 1; b
 = −6; c
 = 9;
D
 = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
 > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D
 = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D
x
 2 − 2x
 − 3 = 0;
15 − 2x
 − x
 2 = 0;
x
 2 + 12x
 + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
 2 − 2x
 − 3 = 0 ⇒ a
 = 1; b
 = −2; c
 = −3;
D
 = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D
 > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
 − x
 2 = 0 ⇒ a
 = −1; b
 = −2; c
 = 15;
D
 = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D
 > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
 2 + 12x
 + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
x
 2 + 9x
 = 0;
x
 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax
 2 + bx
 + c
 = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
 = 0 или c
 = 0, т.е. коэффициент при переменной x
 или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
 = c
 = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
 = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
 = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
 2 + c
 = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
/a
) ≥ 0. Вывод:
Если в неполном квадратном уравнении вида ax
 2 + c
 = 0 выполнено неравенство (−c
/a
) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c
/a
)
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
/a
) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax
 2 + bx
 = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
 Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
x
 2 − 7x
 = 0;
5x
 2 + 30 = 0;
4x
 2 − 9 = 0.
x
 2 − 7x
 = 0 ⇒ x
 · (x
 − 7) = 0 ⇒ x
 1 = 0; x
 2 = −(−7)/1 = 7.
5x
 2 + 30 = 0 ⇒ 5x
 2 = −30 ⇒ x
 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x
 2 − 9 = 0 ⇒ 4x
 2 = 9 ⇒ x
 2 = 9/4 ⇒ x
 1 = 3/2 = 1,5; x
 2 = −1,5.
I. Линейные уравнения
II. Квадратные уравнения
ax  2 + bx  + c = 0,  a  ≠
 0, иначе уравнение становится линейным
Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:
Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких
степеней можно привести к квадратным.
III.
 Уравнения, приводимые к квадратным.
замена переменной: а) биквадратное уравнение ax  2n
 + bx  n + c  = 0, a  ≠ 0, n  ≥ 2
2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение
вида
3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение
вида
ax  4 + bx  3 + cx  2
+ bx  + a  = 0, a  ≠  0, коэффициенты a b c b a   или
ax  4 + bx  3 + cx  2
– bx  + a  = 0, a  ≠  0, коэффициенты a b c (–b) a 
Т.к. x  = 0 не
является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x  2 , тогда получаем:
.
Произведя замену
решаем квадратное уравнение a (t  2 –
2) + bt  + c  = 0
Например, решим уравнение x  4 –
 2x  3 – x  2 – 2x  + 1 = 0, делим обе части на x  2 ,
,
после замены
получаем уравнение t  2 – 2t  – 3 = 0
 – уравнение не имеет корней.
4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x
– d ) = Ax  2 , коэффициенты ab =
cd 
Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x +
12 ) = 4x  2 . Перемножив 1–4
и 2–3 скобки, получим (x  2 + 14x + 24)(x  2
+11x  + 24) = 4x  2 , разделим обе части уравнения
на x  2 , получим:
Имеем (t + 14)(t  + 11) = 4.
5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида
Р(х,у) = 0, где Р(х,у) –
многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.
Ответ: -2; -0,5; 0
IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны,
а как быть с уравнениями произвольного вида?
Пусть дан многочлен P  n (x ) = a  n x  n
+ a  n-1 x  n-1 + …+a  1 x +  a  0 , где a  n
≠
 0
Рассмотрим метод понижения степени уравнения.
Известно, что, если коэффициенты a являются
целыми числами и a  n = 1 , то целые
корни уравнения P  n (x ) = 0
находятся среди делителей свободного члена a  0 .
Например, x  4 + 2x  3 – 2x  2
– 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5;
–5; 1; –1. Тогда P  4 (1) = 0, т.е.  x = 1 является корнем уравнения. Понизим
степень уравнения P  4 (x ) = 0 с
помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1,
получаем
P  4 (x ) = (x  – 1)(x  3
+ 3x  2 + x  – 5).
Аналогично, P  3 (1) = 0, тогда P  4 (x ) = (x  – 1)(x  –
1)(x  2 + 4x  +5), т.е. уравнение P  4 (x) = 0 имеет корни  x  1 = x  2 = 1.
Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).
1 2 –2 –6 5
1 1 3 1 –5 0
1 1 4 5 0 
значит, x  1 = 1 значит, x  2 = 1.
Итак, (x – 1) 2 (x  2 + 4x  + 5) = 0
Что мы делали? Понижали степень уравнения.
V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5
степени.
а) ax  3 + bx  2 + bx  + a  = 0, очевидно, x  = –1
корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
б) ax  5 + bx  4 + cx  3
+ cx  2 + bx  + a  = 0, очевидно, x  = –1 корень уравнения, далее понижаем степень
уравнения до двух.
Например, покажем решение уравнения 2x  5
+ 3x  4 – 5x  3 – 5x  2 + 3x  + = 0
2 3 –5 –5 3 2
–1 2 1 –6 1 2 0
1 2 3 –3 –2 0 
1 2 5 2 0 
x  = –1
Получаем (x  – 1) 2 (x  + 1)(2x  2
+ 5x  + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1;
–2; –0,5.
VI. Приведем список различных уравнений для решения
в классе и дома.
Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения  в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение  почти любого заданного алгебраического , тригонометрического  или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн  займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн  — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения  с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения  служат мощным математическим аппаратом решения  практических задач. C помощью математических уравнений  можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений  можно найти, сформулировав задачу на математическом  языке в виде уравнений  и решить  полученную задачу в режиме онлайн  на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение  или уравнения  содержащие трансцендентные  функции Вы легко решите  онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн  мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн  или уравнений  с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений  ресурса www.. Решая уравнения онлайн  самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений  на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн  и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении  и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн  будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное  или уравнение  с неизвестными параметрами.
Методы решения уравнений: замены, подстановки, примеры, тесты
Тестирование онлайн
Потерянные и посторонние корни
К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.
Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.
При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.
Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.
Метод замены переменной
В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).
Например, уравнение вида
где a, b, c — числа, называется биквадратным. Решается введением замены x²=t
Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.
Сложные замены переменной
Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.
Очень сложные замены переменной
Графический способ решения уравнений
Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.
Преобразуем выражение a⁴+b⁴=(a+b)⁴:
При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке  монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.
Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.
Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) — некоторая функция:
1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;

2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и  f(f(x))=x равносильны на этом множестве.
Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.
Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное — конечное.
Неравенство Коши.
Неравенство Бернулли.
Равенство достигается при x=0 или n=1.
Неравенство Коши-Буняковского.
Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x₁=ay₁, x₂=ay₂,…,x_n=ay_n.
 Калькулятор уравнений четвертой степени | Калькулятор уравнений четвертой степени
 Калькулятор уравнений четвертой степени, также известный как калькулятор уравнений четвертой степени, позволяет вычислять корни уравнения четвертой степени. Эта страница включает в себя онлайн-калькулятор уравнений 4-й степени, который вы можете использовать со своего мобильного телефона, устройства, настольного компьютера или планшета, а также включает вспомогательное руководство и инструкции по использованию калькулятора.
 Результаты калькулятора по уравнениям Quartic x ₁:  +  i
 x ₂:  +  i
 x  +  i
 x ₄:  +  i
 Если вы нашли Калькулятор Quartic Equation Calculator полезным, было бы здорово, если бы вы любезно предоставили оценку для калькулятор и, если у вас есть время, поделитесь в своей любимой социальной сети netowrk.Это помогает нам сосредоточить наши ресурсы и поддерживать текущие калькуляторы, а также разрабатывать дополнительные математические калькуляторы для поддержки нашего глобального сообщества.
  ★   ★   ★   ★   ★  [3 Голоса]
 Чем мне полезен этот калькулятор?
 Калькулятор уравнения четвертой степени Это математический онлайн-калькулятор, разработанный калькулятором для поддержки развития ваших математических знаний. Вы можете использовать его, чтобы проверять домашние задания и помогать при расчетах уравнений четвертой степени.Это особенно полезно, если вы плохо знакомы с уравнениями четвертой степени или вам нужно освежить свои математические знания, поскольку калькулятор уравнений четвертой степени точно вычислит вычисления, так что вы можете проверить свои собственные математические вычисления вручную.
 Как рассчитать корень четвертой степени?
 Вы можете вычислить корень четвертой степени вручную, используя уравнение четвертой степени, приведенное ниже, или вы можете использовать калькулятор уравнений четвертой степени и сэкономить время и нервы, связанные с вычислением математики вручную.Вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить свои собственные математические вычисления, сделанные вручную, чтобы убедиться, что ваши вычисления верны, и чтобы вы могли проверить любые ошибки в вычислениях уравнений четвертой степени.
 Формула уравнения четвертой степени:
 ax ₄ + bx ₃ + cx ₂ + dx + e = 0 
 p = sqrt (y1) 
 q = sqrt (y3) 7 
 r = — g / ( 8pq) 
 s = b / (4a) 
 x1 = p + q + r — s 
 x2 = p — q — r — s 
 x3 = -p + q — r — s 
 x4 = -p — q + r — s
 Как вычислить корень четвертой степени с помощью калькулятора уравнений четвертой степени?
 Для тех, кто уже знает, как рассчитать уравнение четвертой степени и хочет сэкономить время или проверить свои результаты, вы можете использовать калькулятор уравнения четвертой степени, выполнив следующие шаги:
 Введите значение для ax ⁴
 Введите a значение для xb ³
 Введите значение для cx ²
 Введите значение для dx
 Введите значение для e
 Калькулятор уравнения 4-й степени вычислит корни введенного вами уравнения 4-й степени
 История уравнения 4-й степени
 Формула уравнения четвертой степени была впервые открыта Лодовико Феррари в 1540 году, хотя утверждалось, что в 1486 году испанский математик якобы сказал Томас де Торквемада, главный инквизитор испанской инквизиции, что «это было волей бога, чтобы такое решение было недоступно человеческому разумению», в результате чего математик был сожжен на костре.
 Несмотря на то, что Лодовико обнаружил решение квартики в 1540 году, оно не было опубликовано до 1545 года, поскольку решение также требовало решения кубики, которая была обнаружена и опубликована вместе с решением четвертой степени наставником Лодовико Джероламо Кардано в книге Ars Magna.
 Как эта формула применима в жизни?
 Уравнения четвертой степени на самом деле довольно распространены в вычислительной геометрии, они используются в таких областях, как компьютерная графика, оптика, дизайн и производство.Они также могут быть полезны для расчета соотношений.
 Например, при автоматизированном производстве концевых фрез, если они часто связаны с формой тора, требуется решение четвертой степени для расчета его положения относительно триангулированной поверхности.
 Математические калькуляторы
 Вам также могут пригодиться следующие математические калькуляторы.
 Калькулятор полиномиального дискриминанта — онлайн-вычислитель дельты Δ
 Поиск инструмента
 Дискриминант многочлена
 Инструмент для вычисления дискриминанта полинома. 2-4ac $$
 Знание значения дискриминанта   позволяет легче решить уравнение с помощью формул (используя этот дискриминант  ).2 = \ Delta $$
 $$ x_1 = \ frac {-b + \ delta} {2a} \\ x_2 = \ frac {-b — \ delta} {2a} $$
 Для уравнений более высоких степеней вычисления намного сложнее, но важно знать детерминанты.
 Задайте новый вопрос Исходный код
 dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Дискриминант полинома». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Дискриминант полинома» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой другой Дискриминант полиномиальной функции (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Дискриминанта полинома» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
 Нужна помощь?
 Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи! 
 NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
 Вопросы / комментарии
 Сводка
 Похожие страницы
 Поддержка
 Форум / Справка
 Ключевые слова
 дискриминант, многочлен, дельта, корень, квадратичный, уравнение, калькулятор
 Ссылки
 
 Источник: https: // www.dcode.fr/polynomial-discriminant
 © 2021  dCode  — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
 Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
 При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список  Выберите действие  под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения.Вот некоторые из типов задач, которые поддерживаются в зависимости от уравнения, которое вы пытаетесь решить.
  Массивы  Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже. 
  Выражения  Для любого выражения доступны следующие действия:
 Оценить
 Проверить
 Развернуть (если применимо)
 Коэффициент (если применимо)
 График в 2D (доступен только при наличии переменной)
 Дифференцировать (доступно только при наличии переменной)
 Интегрировать (доступно только при наличии переменной)
  Уравнения и неравенства  Для уравнений и неравенств доступны следующие действия:
 Решите для {вашей переменной}
 Обе стороны графика в 2D — Каждая из сторон равенства или неравенства изображена на графике как отдельная функция.
 График в 2D — график решений уравнения или неравенства
 Graph Inequality — отмечает область решения на графике
  Системы  Важно иметь равное количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций.Системы можно записать двумя способами:
 Один под другим, с большой скобкой перед ними или без нее
 В одну строку разделить запятой
 
  Производные и интегралы  Производные могут быть записаны либо с d / dx перед функцией, либо со штрихом.
 Действия, доступные для производных и интегралов:
  Матрицы  Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия:
 Оценить
 Вычислить определитель
 Инвертировать матрицу
 Вычислить трассировку
 Матрица транспонирования
 Размер матрицы
 Уменьшить матрицу
 
 Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.
  Построение графиков в полярных координатах  Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.
  Комплексный режим   Примечание:  Выберите  Настройки , чтобы переключаться между действительными и комплексными числами.
 Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу  i, , доступны следующие действия.
 Узнать больше
 Создайте математический тест в Microsoft Forms
 Создайте практическую викторину по математике с помощью Math Assistant в OneNote
 Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
 4.Корни полиномиального уравнения
 Вот три важные теоремы, касающиеся корней полиномиального уравнения:
 (a) Многочлен  n  -й степени можно разложить на линейные множители  n .
 (b) Полиномиальное уравнение степени  n  имеет ровно  n  корней.
 (c) Если `(x — r)` представляет собой коэффициент  полинома , то `x = r` представляет собой корень   соответствующего полиномиального уравнения.
 Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что это означает.
 Пример 1
 Кубический многочлен  f  ( x ) =   4  x  ³-3  x  ²-25  x -6 имеет степень `3` (так как максимальная степень  x  — это «3»).
 Мы обсуждали этот пример в разделе 3. Как разложить многочлены на множители и нашли, что множители будут следующими:
 4  x  ³ — 3  x  ²-25  x  — 6 = ( x    — 3) (4  x  + 1) ( x    + 2)
 Напомним, что многочлен 3-й степени имеет 3 корня.
 Соответствующее полиномиальное уравнение   формируется путем установки полинома равным нулю:
  f  ( x ) =   4  x  ³ — 3  x  ²-25  x  — 6 = 0
 В факторизованной форме это:
 `(x — 3) (4x + 1) (x + 2) = 0`
 Из выражений в скобках и использования третьей теоремы сверху видно, что существует 3 корня: `x = 3`,` x = -1 / 4` и `x = −2`.
 В этом примере все 3 корня нашего полиномиального уравнения степени 3 действительны.
 Поскольку `(x — 3)` является множителем, то `x = 3` является корнем.
 Поскольку `(4x + 1)` является множителем, то `x = -1 / 4` является корнем.
 Поскольку `(x + 2)` является множителем, то `x = −2` является корнем.
 Вот график нашего полинома, показывающий  x   -перехватывания , которые являются корнями:
 График  f  ( x ) = 4  x  ³ — 3  x  ² — 25  x  — 6
 Пример 2
 Уравнение  x  ⁵ — 4  x  ⁴  —  7  x  ³ + 14  x  ² — 44  x  + 120 = 0 можно разложить на множители (с использованием Wolfram | Alpha) и записывается как
 ( x    — 2) ( x    — 5) ( x  + 3) ( x  ² + 4) = 0
 Мы видим, что имеется 3  действительных корней  `x = 2, 5, -3,` и 2  комплексных  корней `x = ± 2j`, (где` j = sqrt (-1) `).
 Итак, у нашего уравнения 5-й степени всего 5 корней, как и ожидалось.
 На графике мы видим только три настоящих корня:
 График  y  =  x  ⁵ — 4  x  ⁴  —  7  x  ³ + 14  x  ² — 44  x  + 120
 [Вам нужна доработка комплексных чисел? Перейти к комплексным числам.]
 Пример 3
 В предыдущем разделе 2.2− 5x — 6 = 0`.
 Чтобы проверить это, подставьте в полином `x = -1`. Если это корень, то при подстановке вы должны получить значение «0».
 Другой способ увидеть, что происходит, — это построить график полинома.
 График  y  =  x  ³ + 2  x  ² — 5  x  — 6
 График показывает нам два других корня, −3 и 2.
 Пример 4
 Следующее полиномиальное уравнение было бы довольно сложно решить с помощью теорем об остатке и множителях.Решим с помощью Wolfram | Alpha:
  x  ⁴ + 0,4  x  ³ — 6,49  x  ² + 7,244  x  — 2,112 = 0
 Ответ
 Wolfram | Результат Alpha:
 Решить:  x  ⁴ + 0,4  x  ³ — 6,49  x  ² + 7,244  x  — 2,112 = 0,
 Решение: {`x = -3.2`}, {` x = 1.2`}, {`x = 0.5`}, {`x = 1.1`}
 Вот график:
 График  y  =  x  ⁴ + 0,4  x  ³ — 6,49  x  ² + 7,244  x  — 2,112
 Трудно увидеть три положительных корня. Вот эта часть снова, увеличенная для более четкого обзора:
 График  y  =  x  ⁴ + 0,4  x  ³ — 6,49  x  ² + 7.244  х  — 2,112
  Примечание:  Полиномиальные уравнения не всегда имеют «хорошие» решения! (Под «хорошими решениями» я подразумеваю решения, которые являются целыми числами или простыми дробями.) Вот почему я считаю, что теоремы об остатках и факторах следует рассматривать как исторический подход, потому что вы можете использовать их только в том случае, если хотя бы некоторые из решений являются целыми числами. или простые дроби.
 Если вы используете систему компьютерной алгебры (например, Wolfram | Alpha для решения этих проблем, вы можете сделать это за секунды и перейти к чему-то более значимому, например к приложениям.
 Пример 5
 Решите следующее полиномиальное уравнение с помощью системы компьютерной алгебры:
 3  x  ³ —  x  ² —  x  + 4 = 0.
 Ответ
 3  x  ³ —  x  ² —  x  + 4, Решение: {`x = -1,0914`,` x≈0,71237 — 0,84509 i`, `x≈0,71237 + 0,84509 i` }
 Мы видим, что есть одно реальное решение и 2 комплексных решения.
 Проверив это графически, имеем:
 График  y  = 3  x  ³ —  x  ² —  x  + 4
 Мы видим, что существует только один (реальный) корень, близкий к `x = -1`, как и ожидалось.
 Использование системы компьютерной алгебры для поиска корней
 Мы использовали технологии, чтобы найти большинство вышеперечисленных корней. Это лучше, чем пытаться угадывать решения и затем делить многочлены. Используя компьютер, мы можем быстро найти корни либо графически, либо с помощью встроенного средства поиска корней, если оно доступно.
 Используя график, мы можем легко найти корни полиномиальных уравнений, у которых нет «хороших» корней, например, следующее:
  x  ⁵ + 8,5  x  ⁴ + 10  x  ³ — 37,5  x  ² — 36  x  + 54 = 0.
 Корни уравнения — это просто перехваты  x  (т.е. где функция имеет значение «0»). Вот график функции:
 График  y  =  x  ⁵ + 8.5  x  ⁴ + 10  x  ³ — 37,5  x  ² — 36  x  + 54.
 Мы можем видеть решения: `x = -6`,` x = -3`, `x = -2`,` x = 1` и `x = 1.5`. (Увеличение масштаба близко к этим корням на графике подтверждает эти значения.)
 Сложные корни
 Относительно комплексных корней применима следующая теорема:
 Если коэффициенты уравнения `f (x) = 0` действительны и` a + bj` является комплексным корнем, то сопряженное ему `a — bj` также является корнем.
 Подробнее о комплексных числах см .: Комплексные числа
 Пример 6
 В примере (2) выше у нас было 3 действительных корня и 2 комплексных корня. Эти сложные корни образуют комплексно-сопряженную пару,
  x  = 0-2  j  и  x  = 0 + 2  j 
 Пример 7
 Коэффициенты полинома  x  ³ + 7  x  ² + 17  x  + 15 находятся с использованием системы компьютерной алгебры следующим образом:
  x  ³ + 7  x  ² + 17  x  + 15 = ( x  + 3) ( x  + 2- j ) ( x  + 2 +  j )
 Итак, корни
 `x = −3`
 `x = −2 + j` и `x = −2 — j`
 Имеется один действительный корень, а оставшиеся 2 корня образуют комплексно сопряженную пару.
 Калькуляторы алгебры
  Уровень образования  Средняя школа, Высшая школа и колледж
  Цель программы  Предлагайте пошаговые решения ваших проблем с помощью онлайн-калькуляторов (онлайн-решателей)
  Источник проблемы  Ваш учебник и т. Д.
 
  1.2) -8 (x + 1 / x) + 14 = 0`
  9.   Решите линейное уравнение с двумя переменными с помощью  (например, решите `7y + 2x-11 = 0` и` 3x-y-5 = 0`, используя метод подстановки) 
  1.  Метод замещения 
  2.  Метод исключения 
  3.  Метод перекрестного умножения 
  4.  Метод сложения-вычитания 
  5.  Метод обратной матрицы 
  6.  Метод правила Крамера 
  7.  Графический метод
  10.  Решите линейное уравнение с любым количеством переменных (одновременные уравнения) с помощью  
 1. Метод обратной матрицы 
 2. Метод правила Крамера 
 3. Метод исключения Гаусса-Жордана. 
 4. Метод обратной замены методом исключения Гаусса 
 5. Метод Гаусса Зейделя. 
 6. Метод Гаусса Якоби. 
 7. Метод исключения 
 8. Метод разложения LU / метод Краута. 
 9. Метод разложения Холецкого. 
 10. Метод SOR (последовательная избыточная релаксация). 
 11.2 = 29` и `xy + yz + zx = -14`, затем найдите` x + y + z`
 
  13.  Обозначение интервалов и обозначение построителя наборов
например. (1) `3  14.   Теория множеств  например. `A = {x  1.  Union
например. `A uu (B uu C) = (A uu B) uu C` 
  2.  Перекресток
например. `A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C)` 
  3.  Дополнение
например. `(A uu B) ‘= A’ nn B » 
  4.  Силовой набор (правильный набор)
например. `P (A)` 
  5.  Разница
например. (1) `A-B`, (2)` A- (B uu C) = (A-B) nn (A-C) ` 
  6. Симметричная разность
например. (1) `A Delta B`, (2)` B Delta C`, (3) `A Delta C` 
  7.  Перекрестное произведение
например. `A xx B` 
  8.  Докажите, что любые два выражения равны или нет
например. `A- (B uu C) = (A-B) nn (A-C)` 
  9.  Мощность набора
например. `п (А)` 
  10.  Принадлежит к набору
например. `2inB`? 
  11.  — подмножество набора
например. `AsubB`? 
  12.  — это два набора Равно или нет
например. `A = B`?
  15.   Функции  
  1.х`. Найдите `f (2) -f (0)` 
  4.  Проверка, инвертируют ли две функции друг друга
например. 1. `f (x) = x + 3, g (x) = x-3`, 2.` f (x) = 4x-3, g (x) = (x + 3) / 4`, 3. `f (x) = x / (x-1), g (x) = (2x) / (2x-1)`
  16.   Функции  
  1.  Область функции 
  2.  Диапазон функции 
  3.  Обратная функция 
  4.  Свойства функции 
  5.  Вершина функции 
  6.  Симметрия функции 
  7.2) / (ab + bc + ca) ` 
  2.  Если `a: b = 2: 3, b: c = 4: 5`, то найдите` a: b: c` 
  3.  Если `a / b = c / d = e / f`, то докажите, что` (2a + 3c-4e) / (2b + 3d-4f) = (5a-4c + 3e) / (5b- 4d + 3f) ` 
  4.  Если `x / (y + z) = y / (z + x) = z / (x + y)`, тогда докажите, что значение каждого отношения равно «1/2» или «-1». 
  5.  Среднее геометрическое 
  6.  Соотношения (двойные, тройные) и пропорциональные (среднее, третье, четвертое) 
  6,1  Коэффициент дублирования 
  6,2  Соотношение в трех экземплярах 
  6.2-х-2) `
  20.  Логарифмические уравнения
например. `журнал (20) + журнал (30) -1 / 2log (36)`
  21.  Простой процент 
  22.  Сложные проценты 
  23.  Процент
  24.  Арифметическая прогрессия 
  25.  Геометрическая прогрессия
  26.   Многочлен  
  1.  Многочлен в порядке возрастания 
  2.  Полином в порядке убывания 
  3.  Степень полинома 
  4. Главный член многочлена 
  5.  Старший коэффициент многочлена 
  6.  Определить, является ли выражение полиномом или нет 
  7.  Нули полинома
 
 Решатель: Калькулятор квадратного уравнения
 
 Чтобы найти корни (нули) функции второй степени, начните с преобразования этой функции в каноническую форму (максимально упрощая) и приравняв ее к нулю. После этого шага у вас будет уравнение второй степени, в котором второй член равен нулю.2 + bx + c = 0`. В то время как в неполном `b` или` c` отсутствует или оба. Затем введите коэффициенты членов уравнения в соответствующие поля калькулятора. Таким образом, вы можете не только узнать нули, но и шаг за шагом просмотреть разрешение. Если это полное уравнение, используется общая формула полных уравнений второй степени. Если он неполный, первым шагом в решении этого типа уравнений является построение общего множителя, поскольку в обоих членах повторяется «x».Наконец, у нас есть два фактора, результат которых равен нулю, поэтому один из двух должен быть 0.
 ×  ПРИМЕЧАНИЕ 
 Если вы хотите выполнить вычисления, в которых коэффициент является дробью, вы должны ввести число в десятичной форме. Например, вместо «1/4» вы должны ввести «0,25».
 
 Решите (полное) квадратное уравнение
 Пошаговое разрешение (полного) квадратного уравнения
 Решите неполное уравнение второй степени (независимый член отсутствует)
 Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения
 Решите неполное уравнение второй степени (член первой степени отсутствует)
 Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения
 Любое квадратное уравнение может иметь:  2 решения , если дискриминант (число внутри корня) больше нуля;  одно решение , если дискриминант равен нулю;  нет решения , если дискриминант отрицательный.Если мы работаем во вселенной комплексных чисел, то уравнение второй степени всегда имеет хотя бы одно решение.
 4.9: Метод Ньютона — Математика LibreTexts
 Во многих областях чистой и прикладной математики мы заинтересованы в поиске решений уравнения вида \ (f (x) = 0. \) Однако для большинства функций это трудно — если не невозможно — вычислить их нули в явном виде. В этом разделе мы рассмотрим метод, который обеспечивает очень эффективный способ аппроксимации нулей  функций .3−2x − 7. \ Nonumber \]
 Не существует формулы, позволяющей найти решения \ (f (x) = 0. \) Аналогичные трудности существуют для неполиномиальных функций. Например, рассмотрим задачу поиска решений \ (tan (x) −x = 0. \) Для решений этого уравнения не существует простой формулы. В таких случаях мы можем использовать метод Ньютона для аппроксимации корней.
  Метод Ньютона  использует следующую идею для аппроксимации решений \ (f (x) = 0. \) Нарисовав график \ (f \), мы можем оценить корень \ (f (x) = 0 \).Назовем эту оценку \ (x_0 \). Затем мы проводим касательную к \ (f \) в точке \ (x_0 \). Если \ (f ′ (x_0) ≠ 0 \), эта касательная линия пересекает \ (x \) — ось в некоторой точке \ ((x_1,0) \). Теперь пусть \ (x_1 \) будет следующим приближением к действительному корню. Обычно \ (x_1 \) ближе, чем \ (x_0 \) к фактическому корню. Затем мы проводим касательную к \ (f \) в точке \ (x_1 \). Если \ (f ′ (x_1) ≠ 0 \), эта касательная линия также пересекает ось \ (x \), производя другое приближение, \ (x_2 \). Продолжаем таким же образом, выводя список приближений: \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,….* \). Приближения получаются путем рассмотрения касательных линий к графику \ (f \).
 Теперь давайте посмотрим, как вычислить приближения \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,…. \) Если \ (x_0 \) — наше первое приближение, приближение \ (x_1 \) определяется, позволяя \ ((x_1,0) \) будет \ (x \) — точкой пересечения касательной к \ (f \) в точке \ (x_0 \). Уравнение этой касательной задается формулой
. \ [y = f (x_0) + f ′ (x_0) (x − x_0). 3−3x + 1.2−3 \). Используя уравнение \ ref {Newton} с \ (n = 1 \) (и калькулятор, отображающий \ (10 \) цифры), мы получаем
 \ [x_1 = x_0− \ frac {f (x_0)} {f ‘(x_0)} = 2− \ frac {f (2)} {f’ (2)} = 2− \ frac {3} {9 } ≈1.666666667. \ Nonumber \]
 Чтобы найти следующее приближение, \ (x_2 \), мы используем уравнение с \ (n = 2 \) и значением \ (x_1 \), хранящимся в калькуляторе. Находим, что
 \ [x_2 = x_1- \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} ≈1,548611111. \ Nonumber \]
 Продолжая таким образом, получаем следующие результаты:
 \ (x_1≈1.3−3x + 1 \) на интервале \ ([0,1] \) путем вычисления \ (x_1 \) и \ (x_2 \).
 Подсказка
 Используйте уравнение \ ref {Newton}.
  Ответ 
 \ (x_1≈0,33333333 \) 
 \ (x_2≈0,347222222 \)
 Метод Ньютона также можно использовать для аппроксимации квадратных корней. Здесь мы покажем, как аппроксимировать \ (\ sqrt {2} \). Этот метод можно изменить, чтобы вычислить квадратный корень из любого положительного числа.2_ {n − 1} −2} {2x_ {n − 1}} \\ [4pt] 
 & = \ frac {1} {2} x_ {n − 1} + \ frac {1} {x_ {n− 1}} \\ [4pt] 
 & = \ frac {1} {2} \ left (x_ {n − 1} + \ frac {2} {x_ {n − 1}} \ right). \ End {align *} \]
 Следовательно,
 \ (x_1 = \ frac {1} {2} \ left (x_0 + \ frac {2} {x_0} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (2+ \ frac {2} {2} \ справа) = 1,5 \)
 \ (x_2 = \ frac {1} {2} \ left (x_1 + \ frac {2} {x_1} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1.5+ \ frac {2} {1.5} \ справа) ≈1.416666667. \)
 Продолжая таким образом, находим, что
 \ (x_1 = 1,5 \)
 \ (x_2≈1.2−3 \), уравнение \ ref {Newton} сводится к \ (x_n = \ frac {x_ {n − 1}} {2} + \ frac {3} {2x_ {n − 1}}} \).
  Ответ 
 \ (x_1 = 2 \) 
 \ (x_2 = 1,75 \)
 При использовании метода Ньютона каждое приближение после первоначального предположения определяется в терминах предыдущего приближения с использованием той же формулы. В частности, определяя функцию \ (F (x) = x− \ left [\ frac {f (x)} {f ′ (x)} \ right] \), мы можем переписать уравнение \ ref {Newton} как \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \).Этот тип процесса, где каждый \ (x_n \) определяется в терминах \ (x_ {n − 1} \) путем повторения одной и той же функции, является примером итеративного процесса. Вскоре мы рассмотрим другие итерационные процессы. Во-первых, давайте рассмотрим причины, по которым метод Ньютона не смог найти корень.
 Неудачи метода Ньютона
 Обычно метод Ньютона используется для довольно быстрого поиска корней. Однако что-то может пойти не так. Вот некоторые причины, по которым метод Ньютона может потерпеть неудачу:
 В одном из приближений \ (x_n \) производная \ (f ′ \) равна нулю в \ (x_n \), но \ (f (x_n) ≠ 0 \).В результате касательная к \ (f \) в точке \ (x_n \) не пересекает ось \ (x \). Следовательно, мы не можем продолжать итерационный процесс.
 Аппроксимации \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) могут приближаться к другому корню. 3−2x + 2 \).2−2 \). Следовательно,
 \ [x_1 = x_0− \ frac {f (x_0)} {f ′ (x_0)} = 0− \ frac {f (0)} {f ′ (0)} = — \ frac {2} {- 2 } = 1. \ nonumber \]
 На следующем этапе
 \ [x_2 = x_1− \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} = 1− \ frac {f (1)} {f ′ (1)} = 1− \ frac {1} {1 } = 0. \ nonumber \]
 Следовательно, числа \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) продолжают метаться взад и вперед между \ (0 \) и \ (1 \) и никогда не приближаются к корню \ ( f \), который находится на интервале \ ([- 2, −1] \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). К счастью, если мы выберем начальное приближение \ (x_0 \) ближе к фактическому корню, мы сможем избежать этой ситуации.3−2x + 2, \) пусть \ (x_0 = −1,5 \) и найдем \ (x_1 \) и \ (x_2 \).
  Подсказка 
 Используйте уравнение \ ref {Newton}.
  Ответ 
 \ (x_1≈ − 1,842105263 \) 
 \ (x_2≈ − 1,772826920 \)
 Из примера \ (\ PageIndex {3} \) мы видим, что метод Ньютона не всегда работает. Однако, когда это действительно работает, последовательность приближений очень быстро приближается к корню.Обсуждения того, как быстро последовательность приближений приближается к корню, найденному с помощью метода Ньютона, включены в тексты по численному анализу.
 Другие итерационные процессы
 Как упоминалось ранее, метод Ньютона — это разновидность итеративного процесса. Теперь рассмотрим пример итеративного процесса другого типа.
 Рассмотрим функцию \ (F \) и начальное число \ (x_0 \). Определим последующие числа \ (x_n \) по формуле \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \). Этот процесс представляет собой итеративный процесс, который создает список чисел \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,…, \, x_n, \,….* \) по мере увеличения \ (n \), а может и нет. В примере \ (\ PageIndex {4} \) мы видим пример функции \ (F \) и начального предположения \ (x_0 \), так что результирующий список чисел приближается к конечному значению.
 Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск предела для итеративного процесса
 Пусть \ (F (x) = \ frac {1} {2} x + 4 \) и пусть \ (x_0 = 0 \). Для всех \ (n≥1 \) пусть \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \). Найдите значения \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \, x_4, \, x_5 \). Сделайте предположение о том, что происходит с этим списком чисел \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \,…, \, x_n, \,… \) при \ (n → ∞ \).* \) называется неподвижной точкой \ (F \).
  Раствор 
 Если \ (x_0 = 0 \), то
 \ (x_1 = \ frac {1} {2} (0) + 4 = 4 \)
 \ (x_2 = \ frac {1} {2} (4) + 4 = 6 \)
 \ (x_3 = \ frac {1} {2} (6) + 4 = 7 \)
 \ (x_4 = \ frac {1} {2} (7) + 4 = 7,5 \)
 \ (x_5 = \ frac {1} {2} (7,5) + 4 = 7,75 \)
 \ (x_6 = \ frac {1} {2} (7,75) + 4 = 7,875 \)
 \ (x_7 = \ frac {1} {2} (7,875) + 4 = 7,9375 \)
 \ (x_8 = \ frac {1} {2} (7,9375) + 4 = 7,96875 \)
 \ (x _9 = \ frac {1} {2} (7.96875) + 4 = 7,984375. \)
 Из этого списка мы предполагаем, что значения \ (x_n \) приближаются к \ (8 \).
 Рисунок \ (\ PageIndex {6} \) предоставляет графический аргумент, что значения приближаются к \ (8 \) при \ (n → ∞ \). Начиная с точки \ ((x_0, x_0) \), проводим вертикальную линию до точки \ ((x_0, F (x_0)) \). Следующее число в нашем списке — \ (x_1 = F (x_0) \). Мы используем \ (x_1 \) для вычисления \ (x_2 \). Поэтому мы проводим горизонтальную линию, соединяющую \ ((x_0, x_1) \) с точкой \ ((x_1, x_1) \) на прямой \ (y = x \), а затем проводим вертикальную линию, соединяющую \ (( x_1, x_1) \) в точку \ ((x_1, F (x_1)) \).Выход \ (F (x_1) \) становится \ (x_2 \). Продолжая таким образом, мы могли бы создать бесконечное количество отрезков линии. Эти отрезки находятся между линиями \ (F (x) = \ frac {x} {2} +4 \) и \ (y = x \). Сегменты линии приближаются к точке пересечения этих двух линий, что происходит, когда \ (x = F (x) \). Решая уравнение \ (x = \ frac {x} {2} +4, \), мы заключаем, что они пересекаются в точке \ (x = 8 \). Следовательно, наше графическое свидетельство согласуется с нашим числовым свидетельством того, что список чисел \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) приближается к \ (x * = 8 \) при \ (n → ∞ \).
 Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Этот итерационный процесс приближается к значению \ (x * = 8. \) Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
 Рассмотрим функцию \ (F (x) = \ frac {1} {3} x + 6 \). Пусть \ (x_0 = 0 \) и \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \) для \ (n≥2 \). Найдите \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \, x_4, \, x_5 \). Сделайте предположение о том, что происходит со списком чисел \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \,… \, x_n, \,… \) при \ (n → ∞. \)
  Подсказка 
 Рассмотрим точку пересечения прямых \ (y = x \) и \ (y = F (x) \).* = 9 \)
 Итерационные процессы и хаос
 Итерационные процессы могут давать очень интересное поведение. В этом разделе мы видели несколько примеров итерационных процессов, которые сходятся к фиксированной точке. Мы также видели в примере \ (\ PageIndex {4} \), что итерационный процесс колеблется между двумя значениями. Мы называем такое поведение двухцикловым. Итерационные процессы могут сходиться в циклы с различной периодичностью, например, 2 цикла, 4 цикла (где итерационный процесс повторяет последовательность из четырех значений), 8 циклов и так далее.
 Некоторые итерационные процессы приводят к тому, что математики называют хаосом. В этом случае итерационный процесс перескакивает от значения к значению, казалось бы, случайным образом и никогда не сходится или не превращается в цикл. Хотя полное исследование  chaos  выходит за рамки этого текста, в этом проекте мы рассмотрим одно из ключевых свойств хаотического итеративного процесса: чувствительную зависимость от начальных условий. Это свойство относится к концепции, согласно которой небольшие изменения начальных условий могут привести к совершенно иному поведению в итеративном процессе.
 Вероятно, самым известным примером хаоса является множество Мандельброта   (см. Рисунок), названное в честь Бенуа Мандельброта (1924–2010), который исследовал его свойства и помог популяризировать область теории хаоса. Набор Мандельброта обычно создается с помощью компьютера и демонстрирует увлекательные детали увеличения, включая самовоспроизведение набора. Несколько цветных версий набора были показаны в музеях, их можно найти в Интернете и в популярных книгах по этой теме.
 Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Набор Мандельброта — хорошо известный пример набора точек, порожденных итеративным хаотическим поведением относительно простой функции. В этом проекте мы используем логистическую карту
 \ [f (x) = rx (1 − x) \]
, где \ (x∈ [0,1] \) и \ (r> 0 \)
 как функция в нашем итеративном процессе. Логистическая карта — это обманчиво простая функция; но, в зависимости от значения \ (r \), результирующий итерационный процесс демонстрирует очень интересное поведение. Это может привести к фиксированным точкам, циклам и даже хаосу.
 Для визуализации долгосрочного поведения итеративного процесса, связанного с логистической картой, мы будем использовать инструмент, называемый диаграммой паутины.Как мы делали с итерационным процессом, который мы рассмотрели ранее в этом разделе, мы сначала рисуем вертикальную линию от точки \ ((x_0,0) \) до точки \ ((x_0, f (x_0)) = (x_0, x_1 ) \). Затем мы проводим горизонтальную линию от этой точки до точки \ ((x_1, x_1), \), затем проводим вертикальную линию до \ ((x_1, f (x_1)) = (x_1, x_2) \) и продолжаем процесс до тех пор, пока не станет очевидным долгосрочное поведение системы. На рисунке показано долгосрочное поведение логистической карты при \ (r = 3,55 \) и \ (x_0 = 0,2 \). (Первые \ (100 \) итераций не отображаются.) Долгосрочное поведение этого итерационного процесса представляет собой \ (8 \) — цикл.
 Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): здесь представлена паутинная диаграмма для \ (f (x) = 3.55x (1 − x) \). Последовательность значений дает 8-цикл. Пусть \ (r = 0,5 \) и выберите \ (x_0 = 0,2 \). Либо вручную, либо с помощью компьютера вычислите первые значения \ (10 \) в последовательности. Кажется, что последовательность сходится? Если да, то в какую ценность? Это приводит к циклу? Если да, то какой цикл (например, \ (2 \) — цикл, \ (4 \) — цикл.)?
 Что происходит, когда \ (r = 2 \)?
 Для \ (r = 3,2 \) и \ (r = 3,5 \) вычислить первые значения последовательности \ (100 \).

   Оставить комментарий on Уравнения 4 степени решение онлайн: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени/

`Формулы геометрия вектора: Формулы векторов`

alexxlab / 11.10.197016.09.2022 / Разное

`Векторы в пространстве и метод координат`

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространствеВыберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора  в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы  и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами  и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами  и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов  и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов  и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор  — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.
Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор  перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости  и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA₁ = √3
Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:
Координаты вектора  — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть  — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей),  — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D
  
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Как найти координаты вектора: формулы, примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru  Математика  Геометрия  Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
 Нахождение координат вектора
 Примеры задач
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
Для плоских задач AB = {B_x — A_x; B_y — A_y}
Для трехмерных задач AB = {B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z}
Для n-мерных векторов  .. B<sub>n</sub> — A<sub>n</sub>}</em></span>» data-order=»<span class="math"><em><span style="text-decoration: overline;">AB</span> = {B<sub>1</sub> — A<sub>1</sub>; B<sub>2</sub> — A<sub>2</sub>; … B<sub>n</sub> — A<sub>n</sub>}</em></span>»>AB = {B₁ — A₁; B₂ — A₂; … B_n — A_n}
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).
Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.
Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8. 
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.
Таким образом, B = (8; 19).
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
основные понятия.
 Координаты вектора. Длина вектораПонятие вектора
Координаты вектора в прямоугольной декартовой системой координат в пространстве
Условие коллинеарности векторов в координатах
Длина вектора и направляющие косинусы
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно 
посмотреть ответы.
Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись 
на различиях между скалярными и векторными величинами.
В приведенной ниже таблице «Не векторы» — это скалярные величины или просто скаляры, 
а «Векторы» — векторные величины.
Не векторы Векторы
Масса Сила тяжести
Длина Путь
Время Ускорение
Плотность Давление
Температура Скорость
Объем 
Площадь 
Модуль вектора 
Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.
Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Числовое значение вектора — длина, а физическое и геометрическое — направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор — 
это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так:
.
А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться 
с ещё одним определением вектора.
 Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной 
точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается  в  виде    (х, y, z). Говоря совсем 
просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, 
чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает
вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, 
проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, 
указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, 
окажетесь в конечной точке.
Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для 
различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим 
более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, 
скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен
в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало
и конец.
Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается
символом  или одной строчной буквой . На рисунке 
конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора 
называется длина порождающего его отрезка
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) 
путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.
В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. 
Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку 
пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики 
векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор — 
это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления 
и длины считаются равными.
Перейти к операциям над векторами
Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось 
в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.
В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс,  ось 0y – осью  ординат, и ось 0z – осью аппликат.
С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор
,
называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на  каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:
Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде  упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).
Вектор единичной  длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через


Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz
Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:
        (2)
Равенство (2) называется разложением вектора по координатным  осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные  оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям  являются координаты вектора.
После выбора в пространстве определённой системы координат  вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме
              (3)
Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.
Векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением
.
Пусть даны векторы . 
Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением
,
то есть, координаты векторов пропорциональны.
Пример 1. Даны векторы . 
Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
.
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.
Перейти к операциям над векторами
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей  длина вектора
равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда,  построенного на векторах
и выражается равенством
                        (4)
Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и  конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.
Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке
а конец – в точке
(рис.8).
Тогда
Из равенства

следует, что
Отсюда
или в координатной форме
          (5)
Следовательно, координаты  вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора.  Формула (4) в этом случае примет вид
          (6)
Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые 
вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам
,
,
.
Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким 
образом, орт вектора
или
.
Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть
,
получаем следующее равенство для направляющих косинусов:
.
Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Пример 2. Найти  длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна
Пример 3. Даны точки:
Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:
Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник
является равнобедренным.
Перейти к операциям над векторами
Пример 4. Найти длину вектора 
и его направляющие косинусы, если .
Решение. Координаты вектора даны:
.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:
.
Находим направляющие косинусы:
Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Найти длину, направляющие косинусы и орт 
вектора , если 
, 
.
Правильное решение и ответ.
Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Перейти к операциям над векторами
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Назад Листать Вперёд>>>
Поделиться с друзьями
Весь блок «Аналитическая геометрия»
Векторы
Понятие вектора, операции над векторами
Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
Скалярное произведение векторов, угол между двумя векторами
Линейная зависимость векторов
Базис системы векторов. Аффинные координаты
Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов
Плоскость
Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей
Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1 / Хабр
Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.
Немного истории

Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.
В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).
Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».
Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.
Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics. mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.

Вступление

«Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».
Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.
Немного теории о векторах

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.
Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.
Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(a, b) = |a||b|cos∠(a, b)


Если векторы заданы своими координатами a(x₁, y₁), b(x₂, y₂) то скалярное произведение (a, b) = x₁x₂ + y₁y₂.
Косое произведение векторов

Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число

[a, b] = |a||b|sinθ

где  — угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.

Если векторы заданы своими координатами a(x₁, y₁), b(x₂, y₂) то косое произведение [a, b] = x₁y₂ — x₂y₁.

Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.
Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.
А теперь займемся практикой

Начнем с треугольников
Задача №1

Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.
Решение

Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.
Задача №2

Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.
Решение

С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) вычисляется по формуле √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой. 
Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.
Задача №3

Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.
Решение

Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.
Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника:
Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
Угол равен 90°– треугольник прямоугольный
Воспользуемся теоремой косинусов:
Очевидно, что если косинус угла больше нуля то угол меньше 90°, если он равен нулю, то угол равен 90°, если он меньше нуля, то угол больше 90°. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак:
Если cosα > 0, то a² < b² + c² – треугольник остроугольный
Если cosα = 0, то a² = b² + c² – треугольник прямоугольный
Если cosα < 0, то a² > b² + c² – треугольник тупоугольный
где a – большая сторона.
Задача №4

Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.
Решение

Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.
Задача №5

По данным сторонам треугольника найти его площадь.
Решение

Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона.


Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы? 
Доказательство

Вот и все!

Задача №6

Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.
Решение

Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.

Для векторов a(x₁, y₁), b(x₂, y₂)


S = (x₁y₂ — x₂y₁) / 2 — ориентированная площадь треугольника
Задача №7

Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.
Решение

У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.
Метод площадей

Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.

Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.
Проверка полуплоскостей
Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника.


 В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.
Задача №8

Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.
Решение

Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.
Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.
Метод трапеций


Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника. 

S = S_A₁_A₂_B₂_B₁ + S_A₂_A₃_B₃_B₂ + S_A₃_A₄_B₅_B₃ + S_A₄_A₅_B₆_B₅ + S_A₅_A₆_B₄_B₆ + S_A₆_A₁_B₁_B₄

Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту

 S_A₁_A₂_B₂_B₁ = 0. 5 * (A₁B₁ + A₂B₂) *(B₂ — B₁)
Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.
Метод треугольников

Аналогично предыдущему методу можно разбивать многоугольник не на трапеции, а на треугольники, как показано на рисунке. В результате, сложив ориентированные площади этих треугольников, мы получим опять-таки ориентированную площадь многоугольника.

S = S_O_A₁_A₂ + S_O_A₂_A₃ + S_O_A₃_A₄ + S_O_A₄_A₅ + S_O_A₅_A₆ + S_O_A₆_A₁
Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть!!!
Задача №9

Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.
Решение

Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [A_i A_i+1, A_i+1 A_i+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.
Задача №10

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).
Решение

Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица.
Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.

Рассмотрим пример:


S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5

m = 15

n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника

Вот так вот решается эта задачка!
Вот и все! Надеюсь, Вам понравилась статья, и я напишу ее вторую часть.
Тест по теме «Векторы их определения, формулы»
Векторы
Вариант: 1
1.     Геометрия
– это наука о свойствах геометрических фигур.
2.     Основные
геометрические фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
3.     Длина
нулевого вектора равна нулю.
4.     Сонаправленные
векторы  — если они коллинеарны и сонаправлены
5.     Равные
вектора — если они сонаправленны и их длины равны.
6.     Сумма
нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они
складываются.
7.     Любые два ветора компланарные.
8.     Если
через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые,
на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то
говорят, что задана прямоугольная система координат.
9.     В
прямоугольной системе координат каждой точке сопоставляется три числа,
которые называются её координатами.
10. Каждая
координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов 
11. Напишите
формулу длины вектора
12. Скалярным
произведением двух векторов называется произведение их длины на косинус угла
между ними.
13. Запишите
формулу нахождения угла между векторами, зная координаты этих векторов /
14. Параллельный
перенос на вектор  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.

 
Векторы
Вариант: 2
1.     Планиметрия
– это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на
плоскости.
2.     Основные
геометрические тела в пространстве: куб, тетраэдр, параллелепипед.
3.   Дина
ненулевого вектора  называется длиной
отрезка АВ.
4.     Противоположно
направленные векторы – если они коллинеарны и противоположно направленны
5.     От
любой точки можно отложить вектор, равный данному и при том только один.
6.   Произведением
ненулевого вектора  на число к, называют
такой вектор , длина которого =, причем вектор  и  сонаправленны при к>0
и противоположно направленны при к<0.
7.     Три
вектора, среди два которых два коллинеарны, также коллинеарны.
8.     Прямые
с выбранными на них направлениями называется осями координат, а их общая
точка – началом координат.
9.   Перечислите
единичные вектора –  – единичный вектор по
оси ОХ;
 — единичный вектор по
оси ОУ;
 — единичный вектор по
оси ОZ.
10. Каждая
координата разности двух равна разности соответствующих координат этих
векторов 
11. Напишите
формулу расстояния между двумя точками
12. Запишите
формулу скалярного произведения двух векторов
13. Центральная симметрия-это отображение пространства на себя, при котором любая точка
М переходит в симметричную ей точку М, относительно данного центра.
14. Параллельный
перенос на вектор  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.

 
Векторы
Вариант: 3
1.     Основными
геометрическими фигурами планиметрии являются точка и прямая.
2.     Аксиома-утверждение
принимаемое без доказательств.
3.   Длина
ненулевого вектора обозначается .
4.   Обозначаются
сонаправленные векторы
5.     Два
ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они
противоположно направлены.
6.     Произведение
нулевого вектора на любое число считается нулевым вектором.
7.   Если
векторы  можно разложить по
векторам  и , т.е. представить в виде с=х+у,где х и у-некоторые
числа, а и b
векторы – комплананрны.
8.     Перечислите
оси координат в прямоугольной системе координат: х-абсцисса; у-ордината; z-аппликата.
9.     Координаты
нулевого вектора равны нулю.
10. Каждая
координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей
координаты на это число 
11. Если
 и  сонаправленные =>угол
между ними равен 0
12. Скалярное
произведение ненулевых векторов равна нулю тогда и только тогда, когда
эти векторы перпендикулярны.
13. Осевая
симметрия – с осью а называется такое отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей
точку М, относительно оси а.
14. Параллельный
перенос на вектор  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.

 
Векторы
Вариант:4
1.     Стереометрия
– это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических
фигур в пространстве.
2.     Отрезок,
для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом,
называется вектором.
3.     Коллинеарные
векторы лежат на одной прямой или параллельных прямых.
4.   Обозначаются
противоположно направленные векторы
5.   Разностью
векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с векторам .
6.     Векторы
называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки
они будут лежать в одной плоскости. 
7.     Любой
вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем
коэффицентф разложения определены единым образом.
8.     Плоскости
проходящие через оси координат ОХ и ОУ; ОУ и OZ,
OX
и OZ
называются координатными плоскостями.
9.     Координаты
равных векторов соответственно равны.
10. Каждая
координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его
концов.
11. Если
 и  перпендикулярные
=>угол между ними равен 90⁰
12. Скалярный
квадрат равен квадрату его длины.
13. Зеркальная симметрия (симметрий относительно плоскости альфа) называется такое
отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в
симметричную ей относительно плоскости альфа точки М₁.
14. Параллельный
перенос на вектор  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.

 
Векторы
Вариант: 1
1.      Геометрия
– это наука о ______________________________________________
2.      Основные
геометрические фигуры в пространстве: ________________________
3.      Длина
нулевого вектора ______________________________________________
4.      Сонаправленные
векторы  — если они ____________________________________
5.      Равные
вектора — если они _____________________________________________
6.      Сумма
нескольких векторов ___________ от того, __________________________
7.      Любые _____________________ компланарные.
8.      Если
через точку пространства проведены ____________________________________ на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то
говорят, что ______________________________________________________
9.      В
прямоугольной системе координат каждой точке сопоставляется ________________,
которые называются ______________________.
10.  Каждая
координата суммы двух или более векторов равна сумме _________________________________________________________________
11.  Напишите
формулу длины вектора __________________
12.  Скалярным
произведением двух векторов называется ____________________________
13.  Запишите
формулу нахождения угла между векторами, зная координаты этих векторов
______________________________________________________
14. ______________________________ называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.
 
Векторы
Вариант: 2
1.      Планиметрия
– это __________________, в котором изучаются _____________________________
2.      Основные
геометрические тела в пространстве: __________________________.
3.   Дина
ненулевого вектора  называется _________________________________.
4.      Противоположно
направленные векторы – если они ___________________________________________________________________
5.      От
любой точки можно отложить вектор, ________________________________
6.   Произведением
ненулевого вектора  на число к, называют
такой вектор , ________________,
причем _________________ при к>0 и _________________ при к<0.
7.      Три
вектора, _______________________________, также коллинеарны.
8.      Прямые
с выбранными на них направлениями называется _________________, а их
общая точка – ___________________.
9.      Перечислите
единичные вектора – ______________________________________
10.  Каждая
координата разности двух равна _________________________________
11.  Напишите
формулу расстояния между двумя точками ______________________
12.  Запишите
формулу скалярного произведения двух векторов _________________
13.   _________________-это
отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в
симметричную ей точку М, относительно данного центра.
14. ______________________________  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.

 
Векторы
Вариант: 3
1.      Основными
геометрическими фигурами планиметрии являются ______________
2.      Аксиома-________________________.
3.      Длина
ненулевого вектора обозначается _____________
4.      Обозначаются
сонаправленные векторы _____________
5.      Два
ненулевых вектора называются противоположными, если ___________________________________________________
6.      Произведение
нулевого вектора на любое число __________________________
7.   Если
векторы  можно разложить по
векторам  и , т.е. представить в виде с=х+у, ____________________,
а и b
векторы – __________________.
8.      Перечислите
оси координат в прямоугольной системе координат: __________________________
9.      Координаты
нулевого вектора ___________.
10.  Каждая
координата произведения вектора на число равна ___________________________________________________
11. Если
 и  сонаправленные =>угол
между __________
12.  Скалярное
произведение ненулевых векторов __________ тогда и только тогда, когда
эти векторы ______________.
13.  _______________ – с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая
точка М переходит в симметричную ей точку М, относительно оси а.
14. ____________________________  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.
 
Векторы
Вариант:4
1.      Стереометрия
– это ____________, в котором изучаются _______________________
2.       Отрезок,
для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом,
называется ______________
3.      Коллинеарные
векторы ________________________________________________
4.      Обозначаются
противоположно направленные векторы ___________
5.   Разностью
векторов  и  называется такой вектор, _________________________
6.      Векторы
называются компланарными, если _______________________________
___________________________________________________________________.
7.      Любой
вектор можно разложить _________________________, причем коэффицентф
разложения определены единым образом.
8.      Плоскости
проходящие через оси координат ОХ и ОУ; ОУ и OZ,
OX
и OZ
называются _____________________.
9.      Координаты
равных векторов ___________________.
10.  Каждая
координата середины отрезка равна _______________________________
11. Если
 и  перпендикулярные
=>угол между __________________
12.   Скалярный
квадрат равен __________________________________
13.  ____________________ (симметрий относительно плоскости альфа) называется такое отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей
относительно плоскости альфа точки М₁.
14. __________________________  называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку М₁,
что ММ₁=.
Векторы основные формулы: Формулы векторов — ЭкоДом: Дом своими руками
Содержание
Формулы векторов
1. Координаты вектора
Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:
    
2. Длина или модуль вектора
Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:
    
3. Сумма векторов
Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:
    
4.
 Умножение вектора на числоЧтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:
    
5. Скалярное произведение векторов
Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
    
6. Векторное произведение векторов
Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:
    
7.
 Смешанное произведение векторов
Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:
    
Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.
8. Угол между векторами
Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:
    
9.
 Проекция вектора на векторПроекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :
    


Понравился сайт? Расскажи друзьям!







11 класс.
 Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.
Комментарии  преподавателя
Отложим от какой-нибудь точки O векторы  и  (см. рис. 1). Если векторы  и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ — угол между векторами, обозначим его . Если же векторы  и  — сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. На письме угол между векторами обозначают так: .
Скалярное произведение векторов находится по формуле: . 
Рис. 1. Угол между векторами
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1) 
2) 
3) 
4) 
Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.
Задача 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).
Рис. 2.
Найти скалярные произведения векторов:
а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны a. Получаем: 
б) . Эти вектора параллельны и противоположно направлены, значит, угол между ними 180°. Модуль вектора  — это диагональ квадрата, , . Получаем: .
в) . Так как эти вектора перпендикулярны (по рисунку), то косинус угла между ними равен 0. Значит, .
г) . Модули этих векторов равны  — это диагонали квадратов. Чтобы найти угол между нужными векторами, рассмотрим треугольник A1C1B. Этот треугольник равносторонний, значит, угол равен 60°.
·= — 2a2
д) . Эти вектора перпендикулярны, значит, .
е) . Длины этих векторов равны , так как они являются половинами диагоналей. Эти векторы противоположно направлены, угол между ними 180°.
Получаем:.
Задача 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). Доказать: ABCD – квадрат.
Решение:
1) Найдем координаты векторов, длины которых совпадают с длинами сторон четырехугольника. Координаты вектора – это разность координат конца и начала отрезка.
, , , . По координатам видно, что , . Доказано, что ABCD – параллелограмм.
2) Найдем модули эти векторов по формуле: .
Получаем: . Доказано, что ABCD – ромб.
3) Найдем один угол между векторами. .
Стороны попарно параллельны, стороны равны, и один угол равен 90°, значит остальные углы тоже равны 90°. Следовательно, ABCD – квадрат, что и требовалось доказать.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2
http://www. youtube.com/watch?v=CJOt3vy20vs
http://www.youtube.com/watch?v=FhYroW_Ff6U
 
http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg
http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg
http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671
http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar
http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png
http://dok. opredelim.com/docs/index-42169.html
http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm
http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5. ppt
Формулы и уравнения векторной алгебры
Формулы и уравнения векторной алгебры
Основные определения.Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
На чертеже вектор обозначается стрелкойнад буквенным обозначением вектора также ставится стрелка . 
Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора.
Закрепленный вектор — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается .
Если же точка приложения вектора (точка A для вектора ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов.
Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают:
Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или
Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например,
Алгебраические операции над векторами.Операция сложения.
Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).Свойства операции сложения векторов:
1) Переместительное свойство: (коммутативность). 
2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
3) Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора).
Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и
Вычитание векторов определяется через сложение: .
Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора .
Операция умножения вектора на число.Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в |λ| раз и последующим отражением: ;
3) если λ = 0 или , то . 
Свойства операции умножения:
1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: для любых действительных и всех (дистрибутивность).
2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: (дистрибутивность).
3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: (ассоциативность).
4) Существование единицы: .
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.Обозначения:
Базисные орты — это векторы .
Зафиксированная точка О – это начало координат.
Отложим от точки O векторы .
Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:Пример 11.
Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
– порождает Ox;
– порождает Oy;
– порождает Oz.
Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.
Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . Пример 12.
Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач
Скалярное произведение векторов. Формулы и определение
 
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
 
Приходите тренироваться в детскую школу Skysmart. Ученики решают захватывающие задачки вместе с красочными героями на интерактивной платформе, чертят вместе с учителем на онлайн-доске и не боятся школьных контрольных.
Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься в удовольствие уже завтра!
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.
Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).
Пусть даны два вектора →a, →b.
Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).
Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:
 
1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.
 
Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.
 
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
 
Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
 
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.
 
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Важно!
Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Геометрическая интерпретация.Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Алгебраическая интерпретация.
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенствадля векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:Так как:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем
откуда
Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz
Формула скалярного произведения n-мерных векторов
В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:
a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn
Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.→а * →а > 0
→0 * →0 = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:→a * →a = →∣∣a∣∣2
Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:→a * →b = →b * →a
Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:(→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c
Сочетательный закон для скалярного произведения:(k * →a) * →b = k * (→a * →b)
Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)
По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.
Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,
и,
откуда следует:
 
Примеры вычислений скалярного произведения
Пример 1.
Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Как решаем:
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.
Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.
Как решаем:
Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.
В данном случае:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3
Ответ: →a * →b = 5√3.
Пример 3.
Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
Как решаем:
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем
Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем
Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Ответ: (→a,→b) = 411.
Пример 4.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Как решаем:
Введем систему координат.Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.
Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).
Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:
Ответ: 1/4.
Пример 5.
а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).
Как решаем:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно
б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)
Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.
Обратите внимание на два существенных момента:
В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.
Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.
Пример 6.
Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.
Как решаем:
По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:
Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.
Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).
Найдем векторы:
Вычислим скалярное произведение:
Вычислим длины векторов:
Найдем косинус угла:
Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:
Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Найдём сам угол:
Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.
Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°
Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.
А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Чтобы знания превратились в практический навык — запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики в Skysmart. На занятии покажем, как все устроено, решим пару задачек и дадим рекомендации по программе обучения для вашего ребенка.
Скалярное произведение векторов
Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a_x · b_x + a_y · b_y
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; . .. ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =
= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45. 
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.
Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:
a = i + 2j
b = 4i — 8j
Тогда используя свойства ортов (i² = 1, j² = 1, i·j = 0)
(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i² — 30i·j + 12j·i — 20j² = 12 — 0 + 0 — 20 = -8
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.
Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение
 Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник  / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение
 Поделиться:   



Понятие вектора.
 Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и

вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение


(произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным


векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости.


Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
  Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA. ru
Начинка: KJR Publisiers
Консультации и техническая 
поддержка сайта: Zavarka Team  Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator
Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
 Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.
 Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».
 В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.
 Векторов — Математика A-Level Revision
 Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет только величину (поэтому направление не имеет значения). Примеры включают скорость, время и расстояние.
   Единичные векторы  
 Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1. Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z. Единичный вектор в направлении оси x равен  i , единичный вектор в направлении оси y равен  j , а единичный вектор в направлении оси z равен  k .
 Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.
   Величина вектора  
 Величину вектора можно найти с помощью  теоремы Пифагора .
 Обозначим величину вектора  a  через |  a  |
   Векторы положения  
 Векторы положения — это векторы, определяющие положение точки относительно фиксированной точки (начала координат).
 Например, точки A, B и C являются вершинами треугольника с векторами положения  a ,  b  и  c  соответственно:
 Вы можете рисовать в исходной точке, где хотите.
 Обратите внимание, что = —  a  +  b  =  b  —  a , потому что вы можете добраться от A до B, перейдя от A к O, а затем перейдя от O к B.
   Векторное уравнение прямой  
 Векторное уравнение прямой, проходящей через точку  a  и в направлении  d :
 Это означает, что для любого значения t точка  r  является точкой на прямой.
 Если нам даны векторные уравнения двух разных линий, мы сможем определить, где пересекаются линии, из их уравнений.
   Пример  
 Найдите, где пересекаются прямые с уравнениями  r  =  i  +  j  + t (3  i  —  j ) и  r  = —  i  + s ( j ).
 Когда они пересекаются, мы можем приравнять уравнения друг другу:
  i  +  j  + t (3  i  —  j ) = —  i  + s ( j )
 Коэффициенты приравнивания: 
1 + 3t = -1 и 1 — t = s 
Итак, t = -2/3 и s = 5/3
 Таким образом, вектор положения точки пересечения задается путем подстановки t = -2/3 или s = 5/3 в одно из приведенных выше уравнений.Это дает —  i  +5  j /3.
   Скалярное произведение  
 Предположим, у нас есть два вектора:
 a  i  + b  j  + c  k  и d  i  + e  j  + f  k , то их скалярное (или точечное) произведение: ad + be + fc. Итак, умножьте коэффициенты  i  вместе, коэффициенты  j  вместе и коэффициенты  k  вместе и сложите их все.
 Обратите внимание, что это скалярное число (не вектор).
 Запишем скалярное произведение двух векторов  a  и  b  как  a · b .
   Пример  
 Если  a  =  i  + 4  j  — 2  k  и  b  = 2  i  + 4  j  + 6  k , то  a · b  = 2 + 16 — 12 = 6
   Угол между двумя векторами  
 Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами, благодаря следующей формуле:
 Важным фактом является то, что два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Это потому, что если q = 90 градусов выше, то  a · b  = 0.
  В этом видео рассматриваются векторы и скаляры. 
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/galina.10academy.ru/wp-content/uploads/2018/01/hello_html_m6f04d9e-1.png' /></noscript> youtube.com/embed/Ea4SLWR0Z3E&#187;>  Величина и направление векторов
 Величина вектора

 Величина вектора
 п
 Q
 →
 это расстояние между начальной точкой
 п
 и конечная точка
 Q
 . В символах величина
 п
 Q
 →
 записывается как
 |
 п
 Q
 →
 |
 .
 Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора,
 Формула расстояния
 можно использовать для определения его величины.
 |
 п
 Q
 →
 |
 знак равно
 (
 Икс
 2
 —
 Икс
 1
 )
 2
 +
 (
 y
 2
 —
 y
 1
 )
 2
 
Пример 1:
 Найдите величину вектора
 п
 Q
 →
 чья начальная точка
 п
 Я сидел
 (
 1
 ,
 1
 )
 и конечная точка находится в
 Q
 Я сидел
 (
 5
 ,
 3
 )
 .
 Решение:
 Используйте формулу расстояния.
 Подставьте значения
 Икс
 1
 ,
 y
 1
 ,
 Икс
 2
 , а также
 y
 2
 .
 |
 п
 Q
 →
 |
 знак равно
 (
 5
 —
 1
 )
 2
 +
 (
 3
 —
 1
 )
 2
 знак равно
 4
 2
 +
 2
 2
 знак равно
 16
 +
 4
 знак равно
 20
 ≈
 4.5
 Величина
 п
 Q
 →
 около
 4.5
 .
 Направление вектора

 Направление вектора — это мера угла, который он образует с
 горизонтальная линия
 .
 Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:
 загар
 θ
 знак равно
 y
 Икс
 , где
 Икс
 горизонтальное изменение и
 y
 это вертикальное изменение
 или же
 загар
 θ
 знак равно
 y
 2
 —
 y
 1
 Икс
 2
 —
 Икс
 1
 , где
 (
 Икс
 1
 ,
 y
 1
 )
 начальная точка и
 (
 Икс
 2
 ,
 y
 2
 )
 конечная точка.
 
Пример 2:
 Найдите направление вектора
 п
 Q
 →
 чья начальная точка
 п
 Я сидел
 (
 2
 ,
 3
 )
 и конечная точка находится в
 Q
 Я сидел
 (
 5
 ,
 8
 )
 .
 Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу
 загар
 θ
 знак равно
 y
 2
 —
 y
 1
 Икс
 2
 —
 Икс
 1
 .
 загар
 θ
 знак равно
 8
 —
 3
 5
 —
 2
 знак равно
 5
 3
 Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.
 θ
 знак равно
 загар
 —
 1
 (
 5
 3
 )
 ≈
 59
 °
 Вектор
 п
 Q
 →
 имеет направление около
 59
 °
 .
 Векторные уравнения
 Угол между двумя плоскостями
 Найден угол между двумя плоскостями 
используя скалярное произведение. 
Он равен острому углу, определяемому по 
векторы нормали к плоскостям.
 Пример
 Рассчитать угол между плоскостями 
π ₁: х + 2y -2z = 5 
и π ₂: 6x -3y + 2z = 8
 Расстояние между параллельными плоскостями
 Пусть P будет точкой на плоскости π ₁: ax + by + cz = n 
 а.х  = п
 а Q — точка на плоскости π ₂: ax + by + cz = m 
 п. X  =
 м
 Поскольку плоскости параллельны, они имеют общую нормаль:  a  
 a   =  (a  i  + b  j  + c  k )
 Расстояние между самолетами
 Пример
 Рассчитать расстояние между плоскостями 
π ₁: x + 2y — 2z = 5 
и π ₂: 6x + 12y — 12z = 8
 Копланарные векторы
 Если существует связь между векторами  a ,  b  и  c  
так что  c =  λ  a +  μ  b  , где  λ и μ — константы , 
, тогда векторы a, b и c копланарны. 
  Если три вектора копланарны,  
 c =  λ  a +  μ  b 
 Векторное уравнение плоскости
  Из копланарного сечения выше  
 c =  λ  a +  μ  b 
 Когда используются векторы положения,
  r =  (1-λ-u)  a  + λ  b +  μ  c    — векторное уравнение плоскости .
 Так как λ и b переменные, будет много возможных уравнений для плоскости.
 Эффекты изменения λ и μ
 Пример
 Найдите векторное уравнение плоскости через точки 
A (-1, -2, -3), B (-2,0,1) и C (-4, -1, -1)
 Если λ = 2 и μ = 3
 Когда A — известная точка на плоскости, 
R — любая старая точка на плоскости, а  b  и  c  — векторы 
.
параллельно плоскости,
 векторное уравнение  плоскости : 
 r = a +  λ  b +  μ  c 
 Уравнения линии
 Линия может быть описана, когда на ней есть точка и 
его вектор направления — вектор, параллельный прямой — известны.
 На схеме ниже линия L проходит
через точки 
A (x ₁, y ₁, z ₁) и P (x, y, z).
  u  — вектор направления a  i  + b  j  + c  k  
Находясь на линии, он имеет то же направление, что и 
любая параллельная линия.
 O — происхождение. 
 a  и  p  представляют собой векторы положения A и P.
 Пример
 Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через 
(3,2,1), которая параллельна вектору 2  i  +3  j  +4  k 
 Пример 
Найти векторную форму уравнения 
прямая, которая имеет параметрические уравнения
 Пример
 Найдите декартову форму прямой, у которой 
вектор положения 3  i  +2  j  +  k  и параллелен 
вектор  i  —  j  +  k 
 Пример
 Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через 
через A (1,2,3) и B (4,5,6)
 Пример
 Пример
 Угол между прямой и плоскостью
 Угол θ между прямой и плоскостью равен 
дополнение угла между линией и 
нормаль к плоскости.
 Если линия имеет вектор направления  u  и 
перпендикулярно плоскости  a,  затем
 Пример
 1)
 2)
 Пересечение двух прямых
 Пример
 Пересечение двух плоскостей
 Найти уравнения линии пересечения 
двух плоскостей, вектора направления и точки 
на линии не требуется.
 Поскольку линия пересечения лежит в обеих плоскостях, 
вектор направления параллелен векторным произведениям 
нормали каждой плоскости.
 Пример
 Найдите уравнение для линии пересечения 
самолетов
 -3x + 2y + z = -5 
7x + 3y — 2z = -2
 Расстояние от точки до плоскости
 Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости
 Найдите уравнение проекции PP ’, используя 
нормаль к плоскости и точка P.
 Найдите координаты P ’, перекресток 
с самолетом.
 Примените формулу расстояния к PP ’
 Альтернативно
 Пример
 Найти расстояние между точкой (3,1, -2) 
а плоскость x + 2y + 2z = — 4
 Альтернативно
 Расстояние от точки до линии
 Чтобы найти расстояние от точки P до линии L
 Пусть линия имеет вектор направления  u  и параметр λ
 Найдите координаты PP ’, используя скалярное произведение с  u  
и точка P.
 Примените формулу расстояния к PP ’
 Пересечение трех плоскостей
 Чтобы решить пересечение, 
использовать уравнения плоскости ax + by + cz + d = 0 
для формирования расширенной матрицы, которая решается 
для x, y и z.
 Пересечение трех плоскостей может быть:
 Одна точка
 Найдено уникальное решение
 Пример
 Линия пересечения
 Существует бесконечное количество решений
 Пример
 Параметрические уравнения
 Две линии пересечения
 Бесконечное количество решений
 Пример
 Использование второй строки
 Заменить в первую строку
 Подставить в третье уравнение
 Три линии пересечения 
Аналогично описанному выше.
Осмотрите каждую пару самолетов по очереди.
 Пример
 Плоскость пересечения
 Два повторяющихся уравнения
 Пример
 Нет согласованности
 Перекресток запрещен
 Пример
 Нет согласованности
 Все плоскости параллельны
© Александр Форрест
 Что такое вектор в математике? Список основных векторных формул и частей вектора
 Что такое вектор?
 Векторы могут быть определены несколькими способами в зависимости от контекста, в котором они используются. Вектор имеет как величину, так и направление, которое показано над направленным отрезком линии, где длина обозначает величину вектора, а стрелка указывает направление от хвоста к голове.
 Два вектора похожи, если они имеют одинаковую величину и направление. Величина или направление вектора относительно положения не меняется. Но если вы растянете или переместите вектор от головы или хвоста, то изменится и величина, и направление.
 Другими словами, вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.Есть скалярные величины, которые имеют только величину и измеряются вектором. Вектор важен не только в математике, но и в физике, такой как воздухоплавание, космос, путеводитель и т. Д. Пилоты используют векторные величины, сидя в самолете и безопасно перемещая его в другом направлении.
 Если вы уверены в определении вектора и его использовании, следующим важным шагом будет изучение представления векторов. Они представлены в виде луча и пишутся строчными или прописными буквами. Как правило, один вектор представлен в обеих формах — алфавитах в верхнем и нижнем регистре. Если вектор записан в виде AB, то A — это хвост, а B — голова.
 Список основных векторных формул
 Векторы делятся на две основные категории: одна — это скалярное произведение, а другая — кросс-произведение. Список основных формул доступен для обеих категорий для решения геометрического преобразования в 2-х и 3-х измерениях. Эти формулы часто используются в физике и математике.{-1} \ frac {y} {x} \]
 Части векторов
 Части в векторах принимаются за углы, направленные к осям координат. Например, если какой-то вектор направлен на северо-запад, то его части будут вектором на запад и вектором на север. Итак, векторы делятся на две части, в основном, где имена могут быть разными, но концепция одинакова.
 Зачем студентам нужны векторные формулы?
 Изучив старые книги по геометрии, вы узнаете об эволюции векторов в алгебре и о том, как это полезно для студентов. Векторы изначально были названы алгеброй отрезков и ориентированы на перемещения. Давайте посмотрим на некоторые преимущества, по которым студенты должны изучать векторы в школе, а также во время учебы в высших учебных заведениях.
 Векторы важны как для физики, так и для математики, и было обнаружено, что они упрощают преобразование геометрии. Это означает, что можно быстро получить представление о геометрии и освоить важную часть линейной алгебры. Популярное применение векторов включает в себя механику частиц, механику жидкости, планарное описание, расчет траекторий, трехмерное движение и т. Д.
 Другая область, где используются векторы, — это электромагнетизм, аналитическая геометрия, координатная геометрия и т. Д. С четким пониманием векторов студенты не только продвигаются в своей карьере, но и сдают различные конкурсные экзамены.
 Введение, формула, свойства, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы
 Математическое представление физических величин, для которых можно определить как величину, так и направление, называется вектором. Вектор любой физической величины представлен в виде прямой линии со стрелкой. В векторном определении длина прямой линии обозначает величину вектора, а острие стрелки указывает его направление. Любые два вектора можно рассматривать как идентичные векторы, если они имеют одинаковую величину и направление. Лучшим примером вектора является сила, приложенная к объекту, потому что и сила, и направление приложенной силы влияют на ее действие на объект. Вращение или перемещение вектора вокруг себя никогда не изменит его величину.Изображение будет скоро загружено.
 Vector Math
 Vector Math находит широкий спектр приложений в различных областях алгебры, геометрии и физики. Как обсуждалось выше, вектор представлен в виде прямой линии со стрелкой. Конечные точки вектора обычно обозначаются заглавными буквами английского алфавита. Векторы символически представлены в виде конечных точек со стрелкой или строчной буквы со стрелкой. Изображение будет скоро загружено.
 В приведенном выше векторе область, заключенная в скобку-цветок, указывает величину вектора, а острие стрелки указывает направление вектора. Этот вектор символически представлен как \ [\ overline {AB} \] или \ [\ overrightarrow {a} \]. Величина этого вектора задается как | AB | или | a |. Он представляет собой длину вектора и обычно вычисляется с помощью теоремы Пифагора. Основные математические операции, такие как сложение, вычитание и умножение, могут выполняться над векторами.Однако разделение двух векторов невозможно.
 Словарь векторов:
 Наиболее важные термины, связанные с векторами:
 Нулевой вектор: вектор с нулевой величиной.
 Единичный вектор: вектор с величиной, равной одной единице.
 Вектор положения: вектор, обозначающий положение точки относительно ее начала координат.
 Co Начальный вектор: два или более вектора с одной и той же начальной точкой.
 Подобные и отличные векторы: Векторы с одинаковым направлением называются одинаковыми векторами, а векторы с разными направлениями называются разными векторами.
 Копланарные векторы: векторы в одной плоскости.
 Коллинеарный вектор: векторы, лежащие на одной прямой.
 Равные векторы: два или более вектора с одинаковой величиной и направлением.
 Вектор смещения: Вектор, указывающий смещение объекта из одной точки в другую.
 Отрицательный вектор: Отрицательным для любого вектора является другой вектор с той же величиной, но в противоположном направлении.
 Математические операции с вектором
 1. Сложение вектора
 Сложение вектора выполняется с любыми двумя векторами с использованием треугольного закона сложения векторов. Согласно этому закону, два добавляемых вектора представлены двумя сторонами треугольника с одинаковой величиной и направлением. Третья сторона дает величину и направление результирующего вектора сложения.Изображение будет скоро загружено.
 2. Вычитание вектора
 Рассмотрим два вектора a и b. Если вектор «a» должен быть вычтен из вектора «b», необходимо найти отрицательное значение вектора «a», и его следует добавить к вектору «b», используя закон треугольника.
 3. Умножение векторов
 Умножение любых двух векторов выполняется путем нахождения их «перекрестного произведения» или «скалярного произведения».
 a b = | a || b | sin θ n̂
 где, | a | величина вектора ‘a’
 | b | — величина вектора ‘b’
 θ — угол разделения двух векторов ‘a’ и ‘b’
 n̂ — единичный вектор, представляющий направление умножения векторов
 a. b = | a || b | cos θ
 где, | a | величина вектора ‘a’
 | b | — величина вектора «b»
 θ — угол разделения двух векторов «a» и «b»
 Произведение двух векторов является векторной величиной. Он имеет как величину, так и направление, тогда как скалярное произведение двух векторов имеет только величину и не имеет направления. Итак, это скалярная величина.
 Примеры векторной математики:
 1.Найдите результирующий вектор сложения вектора a = (8,13) и вектора b = (12, 15).
 Решение: вектор сложения ‘a’ и ‘b’, полученный как
 c = a + b
 c = (8, 13) + (12, 15)
 c = (8 + 12) + ( 13 + 15)
 c = (20, 27)
 2. В одном из векторных вопросов k = (3, 4) и m = (7, 9). Вычтите вектор «k» из вектора «m».
 Решение: Чтобы вычесть вектор «k» из вектора «m», необходимо найти отрицательный вектор «k».
 Отрицательный вектор k = — k
 = — (3, 4)
 = (-3, -4)
 Вычитание вектора k из вектора m дается как:
 m — k = m + (-k)
 = (7, 9) + (-3, -4)
 = (7-3), (9-4)
 = (4, 5)
 3.{o} \]
 \ [a \ cdot b = 63 \ times 0 \]
 \ [a \ cdot b = 0 \ text {units} \]
 Интересные факты:
 Любой геометрический объект, который имеет как величину, так и направление, называется евклидовым вектором.
 Матрицы также можно использовать с помощью определения вектора. Любая матрица с одной строкой или одним столбцом называется вектором-строкой или вектором-столбцом соответственно.
 Векторный анализ | математика | Британника
  Векторный анализ , раздел математики, который имеет дело с величинами, которые имеют как величину, так и направление. Некоторые физические и геометрические величины, называемые скалярами, можно полностью определить, указав их величину в подходящих единицах измерения. Таким образом, масса может быть выражена в граммах, температура — в градусах по некоторой шкале, а время — в секундах. Скаляры могут быть представлены графически точками на некоторой числовой шкале, такой как часы или термометр. Также существуют величины, называемые векторами, которые требуют указания направления, а также величины. Скорость, сила и смещение являются примерами векторов.Векторная величина может быть представлена графически направленным линейным сегментом, обозначенным стрелкой, указывающей в направлении векторной величины, при этом длина сегмента представляет величину вектора.
 Подробнее по этой теме
 аналитическая геометрия: векторный анализ
 В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами.Набор из n элементов (a1, …
 Векторная алгебра.
 Прототипом вектора является направленный отрезок линии  A   B  (, см.  Рисунок 1), который, как можно представить, представляет смещение частицы из ее начального положения  A,  в новое положение  B . Чтобы отличать векторы от скаляров, принято обозначать векторы жирными буквами. Таким образом, вектор  A   B  на рисунке 1 может быть обозначен как  a , а его длина (или величина) — как |  а  |.Во многих задачах положение начальной точки вектора несущественно, поэтому два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
 Рисунок 1. Закон параллелограмма для сложения векторов
  Encyclopædia Britannica, Inc. 
 Равенство двух векторов  a  и  b  обозначается обычным символическим обозначением  a  =  b , а полезные определения элементарных алгебраических операций над векторами подсказывает геометрия.Таким образом, если  A   B  = , а  на рисунке 1 представляет смещение частицы от  A  до  B , а затем частица перемещается в положение  C , так что  B   C  =  b , ясно, что смещение от  A  до  C  может быть выполнено за одно смещение  A   C  =  c . Таким образом, логично записать  a  +  b  =  c .Это построение суммы  c ,  a  и  b  дает тот же результат, что и закон параллелограмма, в котором результирующее  c  задается диагональю  A   C  параллелограмма, построенного на векторах.  A   B  и  A   D  как стороны. Поскольку положение начальной точки  B  вектора  B   C  =  b  несущественно, отсюда следует, что  B   C  =  A   D .На рисунке 1 показано, что  A   D  +  D   C  =  A   C , так что коммутативный закон
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас
 используется для сложения векторов. Кроме того, легко показать, что ассоциативный закон
 действительно, поэтому скобки в (2) можно опустить без каких-либо двусмысленностей.
 Если  s  является скаляром,  s   a  или  a   s  определяется как вектор, длина которого |  с  ||  a  | и направление которого совпадает с направлением  a , когда  s,  положительно, и противоположно направлению  a , если  s,  отрицательно.Таким образом,  a  и —  a  являются векторами, равными по величине, но противоположными по направлению. Приведенные выше определения и хорошо известные свойства скалярных чисел (представленных  s  и  t ) показывают, что
 Поскольку законы (1), (2) и (3) идентичны законам, встречающимся в обычной алгебре, вполне уместно использовать знакомые алгебраические правила для решения систем линейных уравнений, содержащих векторы. Этот факт позволяет вывести чисто алгебраическими средствами многие теоремы синтетической евклидовой геометрии, требующие сложных геометрических построений.
 Произведения векторов.
 Умножение векторов приводит к двум типам произведений: скалярному произведению и перекрестному произведению.
 Точечное или скалярное произведение двух векторов  a  и  b , записанное  a  ·  b , является действительным числом |  a  ||  b  | cos ( a ,  b ), где ( a ,  b ) обозначает угол между направлениями  a  и  b . Геометрически,
 Если  a  и  b  расположены под прямым углом, тогда  a  ·  b  = 0, и если ни  a , ни  b  не является нулевым вектором, то исчезновение скалярного произведения показывает, что векторы перпендикуляр.Если  a  =  b , то cos ( a ,  b ) = 1 и  a  ·  a  = |  a  | ² дает квадрат длины  a .
 Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы элементарной алгебры действительны для умножения векторов на точки.
 Перекрестное или векторное произведение двух векторов  a  и  b , записанное  a  ×  b , является вектором
, где  n  — вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости  a  и  b  и направленный таким образом, что правый винт, повернутый от  a  к  b , будет продвигаться в направлении  n  ( см.  Рисунок 2).Если  a  и  b  параллельны,  a  ×  b  = 0. Величина  a  ×  b  может быть представлена площадью параллелограмма, имеющей соседние  a  и  b . стороны. Кроме того, поскольку вращение от  b  к  a  противоположно вращению от  a  к  b ,
 Рисунок 2: Перекрестное произведение, образованное умножением двух векторов
  Encyclopædia Britannica, Inc.
 Это показывает, что перекрестное произведение не коммутативно, а ассоциативный закон ( s   a ) ×  b  =  s  ( a  ×  b ) и закон распределения
 действительны для перекрестных произведений.
 Системы координат.
 Поскольку эмпирические законы физики не зависят от специального или случайного выбора систем отсчета, выбранных для представления физических отношений и геометрических конфигураций, векторный анализ является идеальным инструментом для изучения физической вселенной. Введение специальной системы отсчета или системы координат устанавливает соответствие между векторами и наборами чисел, представляющими компоненты векторов в этой системе координат, и вводит определенные правила работы с этими наборами чисел, которые следуют из правил операций на линии сегменты.
 Если выбран какой-то конкретный набор из трех неколлинеарных векторов (называемых базовыми векторами), то любой вектор  A  может быть однозначно выражен как диагональ параллелепипеда, ребра которого являются компонентами  A  в направлениях базовых векторов.Обычно используется набор из трех взаимно ортогональных единичных векторов (, т. Е.  векторов длины 1)  i ,  j ,  k , направленных вдоль осей знакомой декартовой системы отсчета ( см.  Рисунок 3). . В этой системе выражение принимает вид
 Рисунок 3: Разрешение вектора на три взаимно перпендикулярных компонента
  Encyclopædia Britannica, Inc. 
, где  x ,  y  и  z  — это проекции  A  на оси координат. Когда два вектора  A  ₁ и  A  ₂ представлены как
, то использование законов (3) дает для их суммы
 Таким образом, в декартовой системе отсчета сумма  A  ₁ и  A  ₂ является вектором, определяемым ( x  ₁ +  y  ₁,  x  ₂ +  y  ₂,  x  ₃ +  y  ₃).Также скалярное произведение можно записать
 с
 Использование закона (6) дает
, так что векторное произведение представляет собой вектор, определяемый тройкой чисел, появляющихся как коэффициенты  i ,  j  и  k  в (9).
 Если векторы представлены матрицами 1 × 3 (или 3 × 1), состоящими из компонентов ( x  ₁,  x  ₂,  x  ₃) векторов, можно перефразировать формулы (7) — (9) на языке матриц.Такая перефразировка предполагает обобщение концепции вектора на пространства размерности выше трех. Например, состояние газа обычно зависит от давления  p , объема  v , температуры  T  и времени  t . Четверка чисел ( p ,  v ,  T ,  t ) не может быть представлена точкой в трехмерной системе отсчета. Но поскольку геометрическая визуализация не играет роли в алгебраических вычислениях, образный язык геометрии все еще можно использовать, введя четырехмерную систему отсчета, определяемую набором базовых векторов  a  ₁,  a  ₂,  a  ₃,  a  ₄ с компонентами, определяемыми строками матрицы
 Затем вектор  x  представляется в виде
.
, так что в четырехмерном пространстве каждый вектор определяется четверкой компонентов ( x  ₁,  x  ₂,  x  ₃,  x  ₄).
 Исчисление векторов.
 Частица, движущаяся в трехмерном пространстве, может быть расположена в каждый момент времени  t  с помощью вектора положения  r , проведенного из некоторой фиксированной опорной точки  O . Поскольку положение конечной точки  r  зависит от времени,  r  является векторной функцией  t . Его компоненты в направлениях декартовых осей, представленные в  O , являются коэффициентами  i ,  j  и  k  в представлении
.
 Если эти компоненты являются дифференцируемыми функциями, производная  r  относительно  t  определяется по формуле
, который представляет скорость частицы  v .Декартовы компоненты  v  появляются как коэффициенты  i ,  j  и  k  в (10). Если эти компоненты также дифференцируются, ускорение  a  =  d   v / d   t  получается путем дифференцирования (10):
 Правила дифференцирования произведений скалярных функций остаются в силе для производных точечных и перекрестных произведений векторных функций, а подходящие определения интегралов векторных функций позволяют построить исчисление векторов, которое стало основным аналитическим инструментом в физических науках. и технологии.
 Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
  аналитическая геометрия: векторный анализ 
 В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами. Кортеж из n элементов (₁,…, _n) представляет вектор в n-мерном пространстве, который проецируется на действительные числа a ₁,…, _n на осях координат.…
  математика: линейная алгебра 
 Уиллард Гиббс занялся векторным анализом и смог распространить векторные методы на вычисления. Таким образом, они ввели меры бесконечно малых изменений векторного поля, которые под названиями div, grad и curl стали стандартными инструментами в изучении электромагнетизма и потенциала …
  механика: Векторы 
… и Британия соответственно) каждый из них применял векторный анализ, чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом. …
 Умножение векторов
 Векторы — что это такое? дает введение в
предмет.
 Есть два полезных определения умножения векторов в
в одном произведение — скаляр, а в другом — произведение
вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых
школьные программы вы встретите скалярные произведения, но не векторные
продуктов, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в
в этой статье, чтобы дать более полное представление об основах
субъект
 Скалярное умножение
 Скалярное произведение
векторы $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ и $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $
— скаляр, определенный как $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ и если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль
оси тогда $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm
и} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ Это
оставлено читателю, чтобы проверить из определения, что $$ {\ bf u.v} =
{\ bf v.u}, \ {\ rm и} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf
v.w}. $$ Это показывает, что мы можем расширять или умножать $$ {\ bf u.v} =
(u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf
k}) $$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны
ноль, а остальные три дают выражение $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $
в соответствии с определением в уравнении (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf
u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ В трех измерениях мы можем использовать
более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в
более высокие размеры необходимо иметь определение угла
такие как формула (7). Если мы воспользуемся этой формулой для определения угла, тогда
Правило косинуса следует прямо, поскольку они эквивалентны.
 Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно
определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с
матричное умножение.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc}
v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 +
u_3v_3. $$
 Векторное умножение
 Векторное произведение двух
векторы $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $, записываемые как $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $
(и иногда называют крестом
product), это вектор $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left (
\ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1
\ end {array} \ right) \ quad (8). $$ Существует альтернативное определение
векторного произведения, а именно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ является
вектор величины $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ перпендикулярно
$ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ и подчиняясь «правилу правой руки», и
докажем, что этот результат следует из данного определения
и что эти два определения эквивалентны.Приведено доказательство
позже для полноты, но сначала мы рассмотрим $ {\ bf b} \ times {\ bf
c} $ выражается через компоненты в направлениях $ {\ bf i,
j, k} $.
 Из этого определения видно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf
c} \ times {\ bf b} $, поэтому эта операция не коммутативна. Если $ {\ bf i,
j, k} $ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения:
$$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf
k}, $$ и $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad
{\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & =
{\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times
{\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$
Из определения следует, что $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) =
(k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad
({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf
b} \ times {\ bf c}). $$ Расширение выражения $$ {\ bf b} \ times {\ bf
c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} +
c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} +
(b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ который
— формула для векторного произведения, заданная в уравнении (8).
 Теперь мы докажем, что два определения умножения векторов
эквивалент. На схеме показаны направления векторов $ {\ bf
b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, которые образуют правую
вручил набор ».
 Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше
важно понимать, что есть два определения вектора
продукт, который может быть доказан как эквивалентный, чем он
механически проработать детали доказательства.
 Теорема Вектор
произведение двух векторов $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ является вектором $ {\ bf
b} \ times {\ bf c} $ со следующими свойствами:
 (i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ имеет
величина $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, где $ \ theta $ —
угол между направлениями $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $;
 (ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — это
перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ с направлением, таким, что
векторы $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ образуют
правый набор, как на схеме, так что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $
и $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ направлены в противоположные стороны.
 Векторная геометрия — линейная алгебра с приложениями
 Перейти к содержимому
 В этой главе мы изучаем геометрию трехмерного пространства. Мы рассматриваем точку в трехмерном пространстве как стрелку из начала координат в эту точку. Это дает «картину» сути дела, которая действительно стоит тысячи слов.
 векторов в
 Ввести систему координат в трехмерном пространстве обычным способом. Сначала выберите точку, называемую , затем выберите три взаимно перпендикулярные линии, проходящие через , называемые , и , и установите числовую шкалу на каждой оси с нулем в начале координат. Данной точке в -пространстве мы связываем три числа , и с , как показано на рисунке 4.1.1.
 Эти числа называются числом , и мы обозначаем точку как , или, чтобы подчеркнуть метку . Результат называется системой координат для трехмерного пространства, а результирующее описание трехмерного пространства называется .
 Как и на плоскости, мы вводим векторы, отождествляя каждую точку с вектором 
 в , представленным от начала до, как на рисунке 4. 1.1. Неформально мы говорим, что точка имеет вектор , а этот вектор имеет точку . Таким образом, 3-пространство отождествляется с , и это отождествление будет проводиться на протяжении всей главы, часто без комментариев. В частности, термины «вектор» и «точка» взаимозаменяемы. Полученное описание трехмерного пространства называется . Обратите внимание, что происхождение .
  
 Длина и направление
 Мы собираемся обсудить два фундаментальных геометрических свойства векторов в : длину и направление. Во-первых, если это вектор с точкой , вектор определяется как расстояние от начала координат до , то есть длина стрелки, представляющей . Следующие свойства длины будут часто использоваться.
 Позвольте быть вектором.
 .
 тогда и только тогда, когда
 для всех скаляров.
 Доказательство:
 Пусть есть точка .
 На рис. 4.1.2 — гипотенуза прямоугольного треугольника , а значит, по теореме Пифагора. Но есть гипотенуза прямоугольного треугольника, значит. Теперь (1) следует путем исключения и извлечения положительных квадратных корней.
 Если = 0, то по (1). Поскольку квадраты действительных чисел неотрицательны, отсюда следует, что и, следовательно, что . Обратное потому что.
 У нас так (1) дает    
 Следовательно, и мы закончили, потому что для любого действительного числа.
 Если 
, то . Точно так же, если 
 в 2-х пробелах, то .
 Когда мы рассматриваем два ненулевых вектора как стрелки, исходящие из начала координат, геометрически ясно, что мы имеем в виду, говоря, что они имеют одинаковые или противоположные . Это приводит к принципиально новому описанию векторов.
  
  
  
 Позвольте и быть векторами в . Тогда как матрицы тогда и только тогда, когда и имеют одинаковое направление и одинаковую длину.
 Доказательство:
 Если , они явно имеют одинаковое направление и длину. Обратно, пусть и — векторы с точками и соответственно. Если и имеют одинаковую длину и направление, то геометрически и должны быть одной и той же точкой.
 Отсюда , и , то есть .
 Обратите внимание, что длина и направление вектора зависят от выбора системы координат в . Такие описания важны в приложениях, потому что физические законы часто формулируются в терминах векторов, и эти законы не могут зависеть от конкретной системы координат, используемой для описания ситуации.
 Геометрические векторы
 Если и являются различными точками в пространстве, стрелка от до имеет длину и направление.
 Следовательно,
 Предположим, что и любые две точки в . На рис. 4.1.4 отрезок от до обозначен и называется от до . Точка называется из , называется и обозначается .
 Обратите внимание, что если любой вектор находится в точке с точкой, то он сам является геометрическим вектором, где находится начало координат. Обращение к «вектору» представляется оправданным в силу теоремы 4. 1.2, поскольку он имеет направление (от к ) и длину . Однако возникает проблема, поскольку два геометрических вектора могут иметь одинаковую длину и направление, даже если кончики и хвосты различны.
 Например, и на рис. 4.1.5 имеют одинаковую длину и одинаковое направление (1 единица влево и 2 единицы вверх), поэтому по теореме 4.1.2 это один и тот же вектор! Наилучший способ понять этот кажущийся парадокс — это увидеть различия в одном и том же основном векторе. Когда это явление прояснено, это становится большим преимуществом, потому что, благодаря теореме 4.1.2, это означает, что один и тот же геометрический вектор может быть расположен в любом месте в пространстве; важна длина и направление, а не расположение кончика и хвоста. Эта возможность перемещать геометрические векторы очень полезна.
 Закон параллелограмма
 Теперь дадим внутреннее описание суммы двух векторов и в , то есть описание, зависящее только от длин и направлений, а не от выбора системы координат. Используя теорему 4.1.2, мы можем думать, что эти векторы имеют общий хвост. Если их кончики и соответственно, то они оба лежат в плоскости, содержащей , и , как показано на рисунке 4.1.6. Векторы и создают параллелограмм в , заштрихованный на рис. 4.1.6, называемый параллелограммом через и .
  
 Если мы теперь выберем систему координат на плоскости с началом, то закон параллелограмма на плоскости показывает, что их сумма является диагональю параллелограмма, который они определяют с хвостом . Это внутреннее описание суммы, поскольку оно не ссылается на координаты. Это обсуждение доказывает:
 В параллелограмме, определяемом двумя векторами и , вектор является диагональю с тем же хвостом, что и .
 Поскольку вектор можно расположить хвостом в любой точке, закон параллелограмма приводит к другому способу рассмотрения сложения векторов. На рис. 4.1.7 (а) сумма двух векторов и показана как заданная законом параллелограмма. Если его переместить так, чтобы его хвост совпал с кончиком (показан на (b)), то сумма видится как «сначала, а затем . Точно так же перемещение хвоста к кончику показывает в (с), что это «сначала, а затем». Это будет называться , и это дает наглядную иллюстрацию того, почему .
 Так как обозначает вектор из точки в точку , правило от кончика к хвосту принимает легко запоминающуюся форму
    
 для любых точек , и .
  
  
  
 Одна из причин важности правила «кончик к хвосту» заключается в том, что оно означает, что два или более вектора могут быть добавлены путем последовательного размещения их кончиком к хвосту. Это дает полезную «картину» суммы нескольких векторов и проиллюстрировано для трех векторов на рис. 4.1.8, где сначала рассматривается как , затем , затем .
  
  
  
 Существует простой геометрический способ визуализации (матрицы) двух векторов. Если и расположены так, что у них есть общий хвост , и если и являются их соответствующими концами, то правило от кончика к хвосту дает . Следовательно, это вектор от кончика к кончику . Таким образом, оба и появляются как диагонали в параллелограмме, определяемом и (см. рис. 4.1.9.
).  
 Если и имеют общий хвост, то это вектор от вершины к вершине .
 Одним из наиболее полезных применений вычитания векторов является то, что оно дает простую формулу для вектора из одной точки в другую и для расстояния между точками.
 Пусть и две точки. Затем:
.
 Расстояние между и равно
 Можете ли вы доказать эти результаты?
  
  
 Расстояние между и равно , а вектор от до равен 
 .
 Следующая теорема говорит нам, что происходит с длиной и направлением скаляра, кратного данному вектору.
 Если a — действительное число и вектор, то:
 Длина .
 Если , то направление такое же, как если бы ; напротив if
 Доказательство:
 Первое утверждение верно в силу теоремы 4.1.1.
 Чтобы доказать второе утверждение, позвольте обозначить начало координат в Позвольте иметь точку и выбрать любую плоскость, содержащую и . Если мы установим систему координат на этой плоскости с началом, то такой результат следует из скалярного кратного закона на плоскости.
 Вектор называется if . Тогда 
 ,   и 
 являются единичными векторами, называемыми векторами.
 Если показать, что это уникальный единичный вектор в том же направлении, что и
 Решение: 
 Векторы в том же направлении, что и скалярные кратные, где . Но когда , то единичный вектор тогда и только тогда, когда .
  
  
  
 Два ненулевых вектора вызываются, если они имеют одинаковое или противоположное направление.
 Два ненулевых вектора и параллельны тогда и только тогда, когда один из них кратен другому.
  
  
 Учитывая точки , , , и , определить, являются ли и параллельными.
 Решение:
 По теореме 4.1.3 и . Если 
 то , значит и , что невозможно. Следовательно, кратно , поэтому эти векторы не параллельны по теореме 4.1.5.
  
 Линии в космосе
 С помощью этих векторных методов можно очень просто описать прямые линии в пространстве. Для того, чтобы сделать это, нам сначала нужен путь к 
 укажите ориентацию такой линии.
 Мы называем ненулевой вектор  вектором направления  для прямой, если он параллелен для некоторой пары различных точек и на прямой.
 Обратите внимание, что любой ненулевой скаляр, кратный , также будет служить вектором направления линии.
 Мы используем тот факт, что существует ровно одна прямая, проходящая через конкретную точку и имеющая заданный вектор направления 
 . Мы хотим описать эту линию, задав условие на , и то, что точка лежит на этой линии. Пусть 
 
 и  обозначают векторы и соответственно.
 Рисунок 4.1.10 Затем
    
 Следовательно, лежит на прямой тогда и только тогда, когда она параллельна — т. е. тогда и только тогда, когда для некоторого скаляра по теореме 4.1.5. Таким образом, вектор точки на линии тогда и только тогда, когда для некоторого скаляра .
  
  
  
 Прямая, параллельная точке с вектором, задается как
    
 Другими словами, точка с вектором находится на этой прямой тогда и только тогда, когда существует действительное число t такое, что .
  
 В компонентной форме векторное уравнение становится
    
 Приравнивание компонентов дает другое описание линии.
 Прямая с вектором направления 
 задается как
    
 Другими словами, точка находится на этой прямой тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что , , и .
  
  
 Найдите уравнения прямой через точки и .
 Решение:
 Пусть 
 
 обозначает вектор от до . Тогда параллелен линии (и  на  линии), поэтому служит вектором направления для линии. Использование в качестве точки на линии приводит к параметрическим уравнениям
    
 Обратите внимание, что если используется (а не ), уравнения равны
    
 Они отличаются от предыдущих уравнений, но это просто результат изменения параметра. Фактически, .
 Определить, пересекаются ли следующие прямые, и если да, то найти точку пересечения.
    
 Решение: 
 Предположим, что вектор лежит на обеих линиях. Затем
    
 где первое (второе) уравнение потому что лежит на первой (второй) строке. Следовательно, прямые пересекаются тогда и только тогда, когда три уравнения
    
 есть решение. В этом случае и удовлетворяются все три уравнения, поэтому прямые  пересекаются с , а точка пересечения равна
.    
 с использованием . Конечно, эту точку можно найти и от 
 с использованием .
  
  
  
 Предположим, что даны точка и плоскость и требуется найти точку, лежащую на плоскости и ближайшую к , как показано на рис. 4.2.1.
 Рисунок 4.2.1  
 Понятно, что требуется найти прямую, проходящую через нее, перпендикулярную плоскости, а затем получить как точку пересечения этой прямой с плоскостью. Для нахождения линии 90 247, перпендикулярной 90 248 плоскости, требуется способ определить, когда два вектора перпендикулярны. Это можно сделать, используя идею скалярного произведения двух векторов.
  
 Скалярное произведение и углы
 Для векторов 
 и 
 их скалярное произведение   является числом, определенным
    
 Поскольку это число, его иногда называют  скалярным произведением  и
. Если 
 и , то .
 Пусть , и обозначают векторы в (или ).
 — действительное число.
 .
 .
 .
 для всех скаляров.
 Читателям предлагается доказать эти свойства, используя определение скалярных произведений.
 Убедитесь, что при , и .
 Решение:
 Применим теорему 4.2.1 несколько раз:
    
 Существует внутреннее описание скалярного произведения двух ненулевых векторов в . Чтобы понять это, нам потребуется следующий результат из тригонометрии.
 Если треугольник имеет стороны , , и , и если внутренний угол напротив, то
    
 Рисунок 4.2.2 Доказательство:
 Мы доказываем это, когда остро, то есть ; тупой случай аналогичен. На рис. 4.2.2 у нас есть и .
 Следовательно, теорема Пифагора дает
    
 Закон косинусов следует, потому что для любого угла .
  
 Обратите внимание, что закон косинусов сводится к теореме Пифагора, если угол прямой (потому что ).
 Теперь пусть и ненулевые векторы, расположенные с общим хвостом. Затем они определяют уникальный угол в диапазоне
    
 Этот угол будет называться углом  между  и . Ясно и параллельны, если есть или или . Обратите внимание, что мы не определяем угол между и, если один из этих векторов равен .
 Следующий результат дает простой способ вычислить угол между двумя ненулевыми векторами с помощью скалярного произведения.
 Пусть и ненулевые векторы. Если угол между и , то
    
 Рисунок 4.2.4 Доказательство:
 Мы рассчитываем двумя способами. Сначала примените закон косинусов к треугольнику на рис. 4.2.4, чтобы получить:
    
  
 С другой стороны, мы используем теорему 4. 2.1:
    
 Сравнивая их, мы видим, что и результат следует.
 Если и ненулевые векторы, теорема 4.2.2 дает внутреннее описание, поскольку , и угол между и не зависят от выбора системы координат. Более того, поскольку и ненулевые ( и ненулевые векторы), это дает формулу для косинуса угла:
    
 Так как это можно использовать для поиска .
  
 Вычислите угол между 
   и 
 .
 Решение:
 Вычислить . Теперь вспомним, что и определены так, что (, ) — точка на единичной окружности, определяемая углом (нарисованным против часовой стрелки, начиная с положительной оси). В данном случае мы знаем то и это. Потому что из этого следует.
 Если и отличны от нуля, в предыдущем примере показано, что имеет тот же знак, что и , поэтому
    
 В этом последнем случае (ненулевые) векторы перпендикулярны. В линейной алгебре используется следующая терминология:
  
  
  
 Два вектора и называются \textbf{ортогональными}\index{ортогональными векторами}\index{векторами!ортогональными векторами}, если или или угол между ними равен .
 Так как если либо или , то мы имеем следующую теорему:
 Два вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда .
  
  
 Докажите, что точки , , и являются вершинами прямоугольного треугольника.
 Решение:
 Векторы вдоль сторон треугольника равны
    
 Очевидно, что и являются ортогональными векторами. Это означает, что стороны и перпендикулярны, то есть угол в является прямым углом.
  
  
 Проекции
 В приложениях к векторам часто полезно записывать вектор как сумму двух ортогональных векторов.
 Рисунок 4.2.5 Если указан ненулевой вектор, основная идея состоит в том, чтобы иметь возможность записать произвольный вектор в виде суммы двух векторов,
    
 где параллелен и ортогонален . Предположим, что и исходят из общего хвоста (см. рис. 4.2.5). Позвольте быть наконечником, и позвольте обозначать основание перпендикуляра от к линии через параллель к.
 Тогда имеет необходимые свойства:
 1.  параллельно  .
 2.  ортогонален  .
 3. .
 Вектор на рис. 4.2.6 называется  проекцией на . 
 Обозначается
    
 На рис. 4.2.5 (а) вектор имеет то же направление, что и ; однако и иметь противоположные направления, если угол между и больше (см. рис. 4.2.5 (b)). Обратите внимание, что проекция равна нулю тогда и только тогда, когда и ортогональны.
 Вычислить проекцию on очень легко.
 Позвольте и быть векторами.
 Проекция на задается .
 Вектор ортогонален .
 Доказательство:
 Вектор параллелен и поэтому имеет форму для некоторого скаляра . Требование ортогональности и определяет . Фактически это означает, что по теореме 4.2.3. Если здесь подставляется, то условие равно
    
 Отсюда следует, что , где допущение, гарантирующее, что .
 Найти проекцию 
 
 на 
 и выразить, где параллельно и ортогонально .
 Решение:
 Проекция на
    
 Следовательно, и это ортогонально по теореме 4.2.4 (в качестве альтернативы заметим, что ). Так как мы закончили.
  
 Обратите внимание, что идею проекций можно использовать для нахождения кратчайшего расстояния от точки до прямой линии, в которой длина вектора ортогональна вектору направления линии.
  
  
 Самолеты
 Ненулевой вектор называется  нормалью  к плоскости, если он ортогонален каждому вектору на плоскости.
 Например, единичный вектор является вектором нормали к плоскости.
 Рис. 4.2.6 Для данной точки и ненулевого вектора существует единственная плоскость, проходящая через нормаль , заштрихованная на рис. 4.2.6. Точка лежит на этой плоскости тогда и только тогда, когда вектор ортогонален ей, т. е. тогда и только тогда, когда . Потому что это дает следующий результат:
  
 Плоскость, проходящая через нормаль 
 в качестве вектора нормали, определяется как
    
 Другими словами, точка находится на этой плоскости тогда и только тогда, когда , , и удовлетворяют этому уравнению.
 Найдите уравнение плоскости через 
 как обычно.
 Решение:
 Здесь общее скалярное уравнение принимает вид
    
 Это упрощается до .
 Если мы напишем , скалярное уравнение показывает, что каждая плоскость с нормальным 
 имеет линейное уравнение вида
 (4.2)  
 для некоторой константы . И наоборот, график этого уравнения представляет собой плоскость с нормальным вектором (при условии, что , и не все равны нулю).
  
 Найдите уравнение плоскости, через которую проходит параллельная плоскости с уравнением .
 Решение:
 Плоскость с уравнением имеет нормаль. Поскольку две плоскости параллельны, она служит нормалью к плоскости, которую мы ищем, поэтому уравнение для некоторых соответствует (4.2). Настаивая на том, что лежит на плоскости определяет ; то есть, . Следовательно, уравнение .
 Рассмотрим точки и с векторами 
 и 
 . 
 Для вектора, отличного от нуля, скалярное уравнение плоскости с нормалью принимает векторную форму:
 Плоскость с нормалью, проходящей через точку с вектором, определяется как
    
 Другими словами, точка с вектором находится на плоскости тогда и только тогда, когда удовлетворяет этому условию.
 Кроме того, уравнение (4.2) переводится следующим образом:
 Каждая плоскость с нормалью имеет векторное уравнение для некоторого числа.
 Найдите кратчайшее расстояние от точки до плоскости с помощью уравнения . Также найдите точку на этой плоскости, ближайшую к .
 Решение:
 У рассматриваемого самолета нормальный . Выберите любую точку на плоскости, скажем, и пусть это будет ближайшая к ней точка на плоскости (см. схему). Вектор от к равен . Теперь прямо с хвостом в . Тогда и проекция на :
    
 Следовательно, расстояние равно . Для вычисления точки пусть 
 и 
 
 — векторы и . Затем
    
 Это дает координаты .
  
  
 Перекрестное произведение
 Если , , и являются тремя различными точками, которые не все находятся на некоторой прямой, геометрически ясно, что существует единственная плоскость, содержащая все три. Векторы и оба лежат в этой плоскости, поэтому поиск нормали сводится к нахождению ненулевого вектора, ортогонального обоим и . Перекрестное произведение обеспечивает систематический способ сделать это.
 Для заданных векторов и определите перекрестное произведение   на
    
  
 Поскольку это вектор, его часто называют векторным произведением .  Существует простой способ запомнить это определение, используя  вектора координат: 
    
 Это векторы длины, направленные вдоль положительных осей , и . Причина названия в том, что любой вектор можно записать как
.    
 Таким образом, векторное произведение можно описать следующим образом:
 Если и два вектора, то
    
 где определитель раскладывается по первому столбцу.
 Если и , то
    
 Обратите внимание, что это ортогонально обоим и в примере 4.2.11. В общем случае это верно, как можно проверить непосредственно вычислением и , и записано как первая часть следующей теоремы. Оно будет следовать из более общего результата, который вместе со второй частью будет доказан позже.
 Позвольте и быть векторами в :
   является вектором, ортогональным обоим и .
 Если и отличны от нуля, то тогда и только тогда, когда и параллельны.
 Напомним, что
    
 Найдите уравнение плоскости через , , и .
 Решение:
 Векторы 
 и 
 
 лежат в плоскости, поэтому
    
 — нормаль к плоскости (ортогональная к обоим и ). Следовательно, плоскость имеет уравнение
    
 Так как лежит в плоскости у нас есть . Отсюда и уравнение. Можете ли вы проверить, что то же самое уравнение может быть получено, если и , или и , используются в качестве векторов на плоскости?
  
  
  
  
  
 Перекрестное произведение двух -векторов и 
 было определено в разделе 4.2, где мы заметили, что его лучше всего запоминать с помощью определителя:
 (4.3)  
 Здесь ,  и 
 — векторы координат, а определитель разложен по первому столбцу. Мы заметили (но не доказали) в теореме 4.2.5, что она ортогональна обоим и . Это легко следует из следующего результата.
 Если , и  , то  .
 Доказательство:
 Напомним, что вычисляется путем умножения соответствующих компонентов и последующего сложения. Используя уравнение (4.3), получаем результат:
    
, где последний определитель расширен по столбцу 1.
 Результат теоремы 4.3.1 можно кратко сформулировать следующим образом: если , , и три вектора из , то
    
 где обозначает матрицу с , и в качестве ее столбцов. Теперь ясно, что ортогонален обоим и потому, что определитель матрицы равен нулю, если два столбца идентичны.
  
  
  
 В силу (4.3) и теоремы 4.3.1 некоторые из следующих свойств перекрестного произведения следуют из 
 свойств определителей (их можно проверить и непосредственно).
 Пусть , и обозначают произвольные векторы в .
   — это вектор.
   ортогонален обоим и .
 .
 .
 .
 для любого скаляра.
 .
 .
  
 Мы видели некоторые из этих результатов в прошлом; Вы можете доказать 6,7 и 8?
  
  
 Теперь мы подошли к фундаментальному соотношению между точечным и перекрестным произведениями.
 Если и любые два вектора в , то
    
 Доказательство:
 Даны и , ввести систему координат и записать 
 и 
 в компонентной форме. Тогда все члены тождества могут быть вычислены с точки зрения компонентов.
 Выражение для модуля вектора легко получить из тождества Лагранжа. Если угол между и , подстановка в тождество Лагранжа дает
    
, используя тот факт, что . Но неотрицательна в диапазоне , поэтому извлечение положительного квадратного корня из обеих сторон дает
    
 Рисунок 4.3.1 Это выражение для не имеет отношения к системе координат и, более того, имеет хорошую геометрическую интерпретацию. Параллелограмм определяется векторами и имеет длину основания и высоту. Следовательно, площадь параллелограмма, образованного и равна
    
  
 Если и два ненулевых вектора и угол между и , то:
   площадь параллелограмма определяется и .
 и параллельны тогда и только тогда, когда .
 Доказательство 2:
 По (1) тогда и только тогда, когда площадь параллелограмма равна нулю. Площадь исчезает тогда и только тогда, когда и имеют одинаковое или противоположное направление, то есть тогда и только тогда, когда они параллельны.
  
  
 Найдите площадь треугольника с вершинами , и .
 Решение:
 У нас есть 
 и . Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, образованного этими векторами, и поэтому равна . У нас есть
    
 значит площадь треугольника
 Рисунок 4.3.2 Если даны три вектора , , и , они определяют «сжатое» прямоугольное тело, называемое параллелепипедом   (рис. 4.3.2), и часто полезно иметь возможность найти объем такого тела . Основанием твердого тела является параллелограмм, определяемый и , поэтому он имеет площадь . Высота тела — это длина проекции на . Отсюда
    
  
  
 Таким образом, объем параллелепипеда равен . Это доказывает
 Объем параллелепипеда определяется тремя векторами , и определяется как .
  
  
 Найдите объем параллелепипеда, заданного векторами
    
 Решение:
 По теореме 4.3.1, . 
 Следовательно, объем равен по теореме 4.3.5.
 Теперь мы можем дать внутреннее описание перекрестного произведения.
  
  
 Если вектор взять в правую руку и пальцы сгибаются от угла к углу , большой палец указывает в направлении
 Чтобы показать, почему это так, введите координаты в следующим образом: Пусть и имеют общий хвост , выберите начало координат в точке , выберите ось так, чтобы она указывала в положительном направлении, а затем выберите ось так, чтобы она находилась в плоскости – и положительная ось находится на той же стороне оси, что и . Тогда в этой системе и имеем составную форму 
 и 
 где и . Можете ли вы нарисовать график на основе описания здесь?
 Правило правой руки утверждает, что оно должно указывать в положительном направлении. Но наше определение дает
    
 и имеет положительное направление, потому что .
  
  
  
  
 License
 Linear Algebra with Applications by Xinli Wang находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License, если не указано иное.
 Поделиться этой книгой
 Поделиться в Твиттере
 Векторная геометрия – объяснение и примеры
 Моделирование важно во всех разделах математики, включая векторную геометрию   . Это: 
  «Изучение геометрических представлений векторов, а именно представления в виде отрезков 
 направленных линий или стрелок». 
 В этой теме мы обсудим следующие аспекты векторной геометрии: 
 Что такое вектор в геометрии?
 Определение вектора в геометрии
  
 Что такое вектор в геометрии?
 Величины, имеющие как величину, так и направление, известны как векторы. Мы можем использовать график для визуального представления векторов. Например, вектор, соединяющий две точки A и B, называется:
  AB 
 Вектор в стандартном положении будет иметь начало координат в качестве начальной точки.
 В компонентной или столбцовой форме векторы записываются упорядоченной парой (x, y). Вектор, записанный в таком виде, начинается в начале координат и заканчивается в точке упорядоченной пары.
  отрицательное  заданного  вектора  находится путем изменения направления вектора на противоположное. В этом случае его величина (или длина) такая же, как у исходного вектора.
 Например, вектор:
  BA  = –  AB 
 является отрицательным вектором  AB,  и:
 ||  ВА  || = ||-  AB  || = ||  АВ  ||
 Определение вектора в геометрии
 Если заданы две точки P и Q, стрелка от P до Q будет иметь длину и направление.
 Предположим, что P и Q — две произвольные точки в пространстве  R  ³ . Отрезок линии от P до Q обозначается как  PQ.  В геометрии это называется вектором   от P до Q.
 Этот вектор будет иметь величину и направление. Точка P называется  хвостом  (или начальной точкой) вектора  PQ, , а точка Q называется  кончиком  (или головой или конечной точкой) вектора  PQ  . Его длина обозначается как ||  PQ  ||.
 Предположим, точка P имеет координаты (x ₁ , y ₁ ), а точка Q имеет координаты (x ₂ , y ₂ ) в плоскости  R  ^{2 _{8 . Затем длина вектора  PQ  определяется шагами, указанными ниже.}}
  Шаг 1:  Сначала вычтите первую составляющую точки P из первой составляющей точки Q. Затем найдите квадрат полученной разности.
  Шаг 2:  Аналогичным образом вычтите второй компонент точки P из второго компонента точки Q и возведите это число в квадрат.
  Шаг 3:  Затем сложите два квадрата вместе.
  Шаг 4:  Наконец, извлеките квадратный корень из числа, полученного на третьем шаге. Это скалярное число будет длиной вектора.
 Обратите внимание, что длина или величина вектора является скалярной величиной.
 Примеры  Теперь давайте попробуем несколько примеров, чтобы попрактиковаться в работе с векторной геометрией.
  Пример 1 
 Имея две точки, O в начале координат (0,0) и A с координатами (3,2), определите длину ||OA||.
  Решение: 
 Сравнивая компоненты, получаем
 (x ₁ , y ₁ ) = (0,0) и (x ₂ , y ) 2 = 3, y _{) 2 .}
 Используя вышеупомянутую формулу для нахождения длины двух векторов a, мы имеем: 92 )
 Дополнительное упрощение дает нам:
 ‖  OA  ‖  = √(9+4)
 ‖  OA  ‖  = √13. 2 ) 92 )
 ‖  AB  ‖  =  √1+ 0
 ‖  AB  ‖  = 1
 Таким образом, ||  АВ  || = 1 — длина вектора, соединяющего две точки.
  Пример 3 
 На рисунке ниже даны два вектора  AB  = 2  a  и  BC  = 3  b, . Точка D — это середина BE, а E — середина BC.
 Используя приведенную выше информацию, определите следующие векторы через  a  and  b: 
  (a)   BC 
  (b)   BD 
  (c)   AD 
  Solution: 
 ( а) Используя треугольный закон сложения векторов, мы имеем
  ВС  =  ВА  +  АС 
. Отметим связь между  ВА  и вектором известной длины,  АВ
3 :
3 :0004 = ( —  AB ) +  AC 
 Замена известных значений  AB  и  AC  дают нам : 
 
 = -2  A  + 3 
.
 Таким образом,  BC  = -2  a  + 3  b  длина вектора.
 (b) Так как Е дано как середина ВС, а D — середина ВЕ, то D — одна четвертая часть расстояния до н.э.0194
 Подстановка значения  BC , найденного в части (a), дает нам:
 = ¼ (-2  a  + 3  b  )
 = -1/2  a
0 б
 .
 Таким образом,  BD  = -1/2  a  + 3/4  b  длина вектора.
 (c) Используя треугольный закон сложения векторов, мы имеем:
  AD  =  AB  +  BD 
 Подставляя известные значения  AB  и  AC  дает нам:
 = 2  a  + (-1/2  a  + 3/4  b  )
 Это можно упростить: -1/2  a  ) + 3/4  b 
 = 3/2  a  + 3/4  b  .
 Таким образом,  AD  = 3/2  a  + 3/4  b  — это длина вектора.
  Пример 4 
 Пусть A = (2, 0, -4) и B = (2, 1, -2) две точки в пространстве  Р  ³ . Если 2  a  – ||  б  ||  b  = 3/2 (  a  – 2  x  ), where  a  =  OA  ,  b  =  OB  and  x  =  OX  and X = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), найдите значения x ₁ , x ₂ и x ₃ .
  Решение  :
 Получаем соотношение:
 2  a  – ||  б  ||  b  = 3/2 ( a  – 2  x ),
 Где  a  = (2, 0, -4),  b  = (2, 1, -2) и  x  = (х ₁, х ₂, х ₃).
 Сначала оценим норму (величину) ||  б  || используя предыдущие определения и процедуру нахождения величины вектора, начальная точка которого находится в начале координат. Это дает нам:
     ||  б  || = √(2 ² + 1 ² + (-2) ² )
 = √(4 + 1 + 4)
 = √9
 =3
 Следовательно, ||  б  || = 3. Теперь имеем:
  ||  б  ||  b  = 3 (2, 1, -2)
 = (3∙2, 3∙1, 3∙(-2))
 = (6, 3, -6)
 Аналогично имеем:
 2  a  = 2 (2, 0, -4) = (4, 0, -8).
 Следовательно, левая часть станет
      2  a  – ||  б  ||  б  = (4, 0, -8) – (6, 3, -6)
 = (4-6, 0-3 , -8-(-6))
 = (-2, -3) , -8+6)
 = (-2, -3, -2).
 Правая часть примет вид:
   3/2 ( a  – 2  x ) = 3/2 ((4, 0, -8)– 2(x ₁, x ₂ , x ₃ ))
 = 3/2 ((4, 0, -8) – (2x ₁ , 2x ₂ , 2x ₃ ))
 = 3/2 (4-2x ₁ , 2x ₂ , -8-2x ₃ ).
 Теперь, подставляя эти значения в левую и правую части уравнения, получаем:
 2  а  – ||  б  ||  b  = 3/2 ( a  – 2  x )
 (-2, -3, -2) = 3/2 (4-2x ₁, 2x ₂, -8-2x ₃)
 2 (-2, -3, -2) = 3 (4-2x ₁, 2x ₂, -8-2x ₃)
 (-4, -6, — 4) = (3(4-2x ₁), 3(2x ₂), 3(-8-2x ₃)).
 Сравнение компонентов x, y и z дает нам:
 -4 = 3(4-2x ₁ )
 -4 = 12 -6x ₁
 6x ₁ = 12 -4
 6x ₁ = 8
 x ₁ = 8/6
. 3.
 -6 = 3 (2x ₂)
 -6 = 6x ₂
 x ₂ = -6/6/6
 Следовательно, x ₂ = -1
 -4 = 3 (x ₂ = -1
 -4 = 3 (x ₂ = -1
. -8-2x ₃ )
 -4= -24 -6x ₃  
 6x ₃ = -24 + 4
 6x ₃ = -20
 х ₃ = -20/6
 Следовательно, х ₃ = -10/3.
 Таким образом:
 х ₁ = 4/3, х ₂ = -1 и х ₃ = -10/3.
 Практические вопросы  По двум точкам, V = (2, 5, 1) и C = (3, -2, 1), определите длину вектора  VC  .
 По двум точкам, G = (5, 5) и H = (4, -10), определить ||  ОГ  || и ||  ОХ  || ² , где O = (0, 0) — начало координат.
 В треугольнике ABC CB = 4CX, XA = 5XY, а Z — середина треугольника AB. Пусть  СХ  =  м  и  БЗ  =  n  .
    
  
  (a)  Determine the length of  XB  and  XA  in terms of  m  and  n 
  (b)  Show that  CZ  = (4  м  +  n )
  (C)  Оценка ‖  CY  ‖/‖  CZ  ‖ и (ACY ACY)/(область ACZ)
 Let Abcdef BE BA BAR BAR HEXAGON, и Let 
 LET ABCDEF BE BA BA BAR HEXAGON и LET  .  .
  (а)  Объясните, почему вектор  ED  =  n  .
  (б)  Если  ВС  =  м  и  СД  =  р,  найти  АС  и  н.э. 
 9 найти 4 ( 4 9 найти)0193 ФД  .
 Дана прямая ABC, пусть  BC  = 3  AB  . Если  OA  =  a  и  AB  =  b, то  выразить  OC  через  a  и  b .
      Ответы 
 ||  ВК  || = 5√2
 ||  ОГ  || = 5√2, ||  OH  ||² = 116
 В данном треугольнике
  (a)   XB  = 3  M  и  XA  = 3  M +2  N 
  (B) CZ = CB+BZ = 4m+N   (B) CZ = CB+BZ = 4m+N 
  (B) CZ = CB+BZ = 4M+N 
  (B) CZ = CB+BZ = 4m+N 
  (B) CZ = CB+BZ = 4m+N 
  (B) CZ = CB+BZ = 4m+N
  (B). Значения: ‖  CY  ‖/‖  CZ  ‖ = 2/5 и (ACY ACY)/(ACZ ACZ) = 2/5
 9004 4. правильный шестиугольник и  AB  =  n  .
  (a)  Напротив  AB  .
  (б)  Если  БК  =  м  и  КД  =  р  . Then  AC  =  n  +  m  and  AD  =  n  +  m  +  p 
  (c)   FD  = -(  m  +  n  ) ( т. е. отрицательный вектор  AC  ).
  OC  =  a  +4  b 
 Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок  Векторные формулы — важные определения, примеры и часто задаваемые вопросы
 Каждый объект, имеющий как величину, так и направление, называется вектором.
 Вектор можно изобразить геометрически как участок направляющей линии со стрелкой, обозначающей направление, и длиной, равной величине вектора. От хвоста к голове показана ориентация вектора. Мы рассмотрим определение вектора и некоторые векторные формулы с примерами по этой теме. Давайте посмотрим на идею!
 Векторная формула
 Понятие векторной формулы
 В математике вектор — это представление объекта, которое включает в себя как величину, так и направление.
 Если два вектора имеют одинаковое направление и величину, они одинаковы. Это означает, что если мы возьмем вектор и перенесем его в другое место, то получим новый вектор. Вектор, который мы получаем в конце этой фазы, выглядит так, и это тот же вектор, который был у нас в начале.
 В физике векторы, представляющие силу и скорость, являются двумя распространенными примерами векторов. Мощность и скорость действуют одинаково. Величина вектора будет означать интенсивность силы или относительную скорость скорости. Поскольку смещение напрямую связано с расстоянием, расстояние и смещение не совпадают.
 Стрелка обычно используется для обозначения вектора.
 Также, чья длина пропорциональна величине и чье направление совпадает с количеством. Масштабированные векторные диаграммы со значениями часто используются для описания векторных величин. Вектор смещения будет описан на векторной диаграмме.
 [Изображение будет загружено в ближайшее время]
 Некоторые важные определения и вектор Все формулы
 Векторные формулы Математика
 Величина
 9{2}}\]
 Направление
 Направление вектора часто выражается как угол поворота против часовой стрелки вокруг его «хвоста» строго на восток.
 Вектор с направлением 30 градусов — это вектор, повернутый на 30 градусов против часовой стрелки относительно строго на восток с использованием этого соглашения.
 Векторная формула Физика
 Сила 
 Векторная сумма двух или более сил представлена равнодействующей силой, которая является единственной силой.
 Подобно тому, как две силы с величинами F1 и F2 действуют на частицу, эффект следующий:
 [Изображение скоро будет загружено]
 Скорость
 Скорость изменения направления объекта представлена вектором скорости.
 Величина вектора скорости указывает скорость объекта, а направление вектора указывает направление объекта.
 [Изображение будет загружено в ближайшее время]
 Треугольный закон сложения
 Треугольный закон сложения векторов гласит, что когда два вектора представлены как две стороны треугольника одного порядка величины и направления, величина и направление результирующий вектор представлен третьей стороной треугольника.
 Поскольку две силы, Вектор А и Вектор В, действуют в одном направлении, результирующее значение R является суммой двух векторов.
 [Изображение скоро будет загружено]
 Формула треугольного закона сложения: \[\bar{R}\] = \[\bar{A}\] + \[\bar{B}\] 
 Параллелограммный закон сложения
 Когда две степени, формула вектора A вектора B, выражены противоположными сторонами параллелограмма, результирующая представлена диагональю параллелограмма, взятой из того же положения.
 [Изображение скоро будет загружено]
 Формула треугольного закона сложения: \[\bar{R}\] = \[\bar{A}\] + \[\bar{B}\] 
 Вычитание векторов
 Если две степени, вектор А и вектор В, действуют в противоположных направлениях, то разница между двумя векторами используется для описания результирующего R.
 В результате формула вычитания векторов имеет вид  \[\ bar{R}\] = \[\bar{A}\] — \[\bar{B}\] 
 -мерная геометрия.
 Таблица векторных формул трехмерной геометрии также доступна на каждом веб-сайте.
 Примеры векторной формулы
 Q.1) Найдите сложение и вычитание заданных векторов.
 (2,3,4) и (5,7,8)
 (6,3,2) и (7,5,3)
 Ответ:
 Используя треугольник по закону сложения заданы векторы
 а) (2,3,4) и (5,7,8)
 ⇒ {2+5,3+7,4+8}
 ⇒ {7,10 ,12}
 б) (6,3,2) и (7,5,3)
 ⇒ {6+7,3+5,2+3}
 ⇒ {13,8,5}
 Используя закон вычитания векторов, данный вектор равен
 а) (2,3,4) и (5,7,8)
 ⇒ {2-5,3-7,4-8}
 ⇒ {-3,-4,-4}
 б) (6,3,2) и ( 7,5,3)
 ⇒ {6-7,3-5,2-3}
 ⇒ {-1,-2,-1}
 Величина и направление векторов
 Горячая математика Величина вектора
 Величина вектора 
 п 
 Вопрос 
 → 
 это расстояние между начальной точкой 
 п 
 и конечная точка 
 Вопрос 
 . В символах величина 
 п 
 Вопрос 
 → 
 записывается как 
 | 
 п 
 Вопрос 
 → 
 | 
 .
 Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то 
 Формула расстояния 
 можно использовать для нахождения его величины.
 | 
 п 
 Вопрос 
 → 
 | 
 знак равно 
 ( 
 Икс 
 2 
 − 
 Икс 
 1 
 ) 
 2 
 + 
 ( 
 у 
 2 
 − 
 у 
 1 
 ) 
 2
  Пример 1: 
 Найдите величину вектора 
 п 
 Вопрос 
 → 
 чья начальная точка 
 п 
 я сидела 
 ( 
 1 
 , 
 1 
 ) 
 и конечная точка находится в 
 Вопрос 
 я сидела 
 ( 
 5 
 , 
 3 
 ) 
 .
 Решение:
 Используйте формулу расстояния.
 Подставьте значения 
 Икс 
 1 
 , 
 у 
 1 
 , 
 Икс 
 2 
 , а также 
 у 
 2 
 .
 | 
 п 
 Вопрос 
 → 
 | 
 знак равно 
 ( 
 5 
 − 
 1 
 ) 
 2 
 + 
 ( 
 3 
 − 
 1 
 ) 
 2 
 знак равно 
 4 
 2 
 + 
 2 
 2 
 знак равно 
 16 
 + 
 4 
 знак равно 
 20 
 ≈ 
 4,5
 Величина 
 п 
 Вопрос 
 → 
 около 
 4,5 
 .
 Направление вектора
 Направление вектора — это мера угла, который он образует с 
 горизонтальная линия 
 .
 Для нахождения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:
 загар 
 θ 
 знак равно 
 у 
 Икс 
 , куда 
 Икс 
 горизонтальное изменение и 
 у 
 вертикальное изменение
 или же
 загар 
 θ 
 знак равно 
 у 
 2 
 − 
 у 
 1 
 Икс 
 2 
 − 
 Икс 
 1 
 , куда 
 ( 
 Икс 
 1 
 , 
 у 
 1 
 ) 
 является начальной точкой и 
 ( 
 Икс 
 2 
 , 
 у 
 2 
 ) 
 является конечной точкой.
  Пример 2: 
 Найдите направление вектора 
 п 
 Вопрос 
 → 
 чья начальная точка 
 п 
 я сидела 
 ( 
 2 
 , 
 3 
 ) 
 и конечная точка находится в 
 Вопрос 
 я сидела 
 ( 
 5 
 , 
 8 
 ) 
 .
 Заданы координаты начальной и конечной точки. Подставляем их в формулу 
 загар 
 θ 
 знак равно 
 у 
 2 
 − 
 у 
 1 
 Икс 
 2 
 − 
 Икс 
 1 
 .
 загар 
 θ 
 знак равно 
 8 
 − 
 3 
 5 
 − 
 2 
 знак равно 
 5 
 3
 Найдите обратный загар, затем воспользуйтесь калькулятором.
 θ 
 знак равно 
 загар 
 − 
 1 
 ( 
 5 
 3 
 ) 
 ≈ 
 59 
 °
 Вектор 
 п 
 Вопрос 
 → 
 имеет направление около 
 59° 
 .
 Векторные уравнения и интервалы
 Цели
 Понять эквивалентность между системой линейных уравнений и векторным уравнением.
 Изучите определение Span{x1,x2,…,xk} и как рисовать изображения пролетов.
  Рецепт:  решить векторное уравнение с использованием расширенных матриц / определить, находится ли вектор в интервале.
  Картинки:  противоречивая система уравнений, непротиворечивая система уравнений, охватывает R2 и R3.
  Словарное слово:   векторное уравнение  .
  Основное словарное слово:   диапазон  .
 Уравнение, включающее векторы с n координатами, аналогично n уравнениям, включающим только числа. Например, уравнение
 хC126D+yC-1-2-1D=C8163D
 упрощается до
 Cx2x6xD+C-y-2y-yD=C8163DorCx-y2x-2y6x-yD=C8163D.
 Чтобы два вектора были равны, все их координаты должны быть равны, так что это просто система линейных уравнений
 Ex-y=82x-2y=166x-y=3.
 Определение
 Векторное уравнение   — это уравнение, включающее линейную комбинацию векторов с возможными неизвестными коэффициентами.
 Спрашивать, имеет ли векторное уравнение решение, это то же самое, что спрашивать, является ли данный вектор линейной комбинацией некоторых других заданных векторов.
 Например, приведенное выше векторное уравнение спрашивает, является ли вектор (8,16,3) линейной комбинацией векторов (1,2,6) и (−1,2,−1).
 На самом деле нас волнует решение систем линейных уравнений, а не решение векторных уравнений. Весь смысл векторных уравнений в том, что они дают нам другой, более геометрический способ рассмотрения систем линейных уравнений.
 Figure4A изображение приведенного выше векторного уравнения. Попробуйте решить уравнение геометрически, перемещая ползунки. Чтобы действительно решить векторное уравнение
 хC126D+yC-1-2-1D=C8163D,
 нужно решить систему линейных уравнений
 Ex-y=82x-2y=166x-y=3.
 Это означает формирование расширенной матрицы
 C1-182-2166-13D и уменьшение ряда. Обратите внимание, что  столбцы расширенной матрицы являются векторами из исходного векторного уравнения  , поэтому на самом деле нет необходимости записывать систему уравнений: можно напрямую перейти от векторного уравнения к расширенной матрице, «сложив векторы вместе». ». В следующем примере мы выполняем сокращение строки и находим решение.
 Пример
 Рецепт: Решение векторного уравнения
 В общем, векторное уравнение
 x1v1+x2v2+···+xkvk=b
, где v1,v2,. ..,vk,b — векторы в Rn, а x1,x2,…,xk — неизвестные скаляры, имеет тот же набор решений, что и линейная система с расширенной матрицей
 C||||v1v2···vkb||||D, столбцами которого являются vi и b.
 Теперь у нас есть  три  эквивалентных способа представить себе линейную систему:
 В виде системы уравнений: ч3х1+3х2-2х3=7х1-х2-3х3=5
 В качестве расширенной матрицы:
Ф23-271-1-35Г
 В виде векторного уравнения (x1v1+x2v2+···+xnvn=b): x1F21G+x2F3-1G+x3F-2-3G=F75G
 Третий по своей природе геометрический: он поддается рисованию картинок.
 Будет важно знать, что такое  всех  линейных комбинаций набора векторов v1,v2,…,vk в Rn. Другими словами, мы хотели бы понимать множество всех векторов b в Rn таких, что векторное уравнение (относительно неизвестных x1,x2,…,xk)
 x1v1+x2v2+···+xkvk=b
 имеет решение (т.е. непротиворечиво).
 Определение
 Пусть v1,v2,. ..,vk — векторы в Rn. Диапазон   элементов v1,v2,…,vk представляет собой набор всех линейных комбинаций элементов v1,v2,…,vk и обозначается Span{v1,v2,…,vk}. В символах:
 Span{v1,v2,…,vk}=Ax1v1+x2v2+···+xkvk|x1,x2,…,xkinRB
 Мы также говорим, что Span{v1,v2,…,vk} — это подмножество , натянутое на  или , порожденное  векторами v1,v2,…,vk.
 Приведенное выше определение является первым из нескольких  основных определений , которые мы встретим в этом учебнике. Они важны в том смысле, что составляют сущность предмета линейной алгебры: изучение линейной алгебры означает (частично) изучение этих определений. Все определения важны, но очень важно, чтобы вы выучили и поняли определения, помеченные как таковые.
  Эквивалент  означает, что для любого заданного списка векторов v1,v2,…,vk,b либо все три утверждения верны, либо все три утверждения ложны.
 Рисунок 10. Это изображение несовместимой  линейной системы : вектор w в правой части уравнения x1v1+x2v2=w не лежит в промежутке v1,v2. Убедитесь в этом сами, попробовав решить уравнение x1v1+x2v2=w, перемещая ползунки и уменьшая ряды. Сравните эту цифру. Фотографии пролетов
 Рисование изображения Span{v1,v2,…,vk} аналогично рисованию всех линейных комбинаций v1,v2,…,vk.
 Span{v}vSpan{v,w}vwSpan{v,w}vwFigure11Изображения пролетов в R2.Span{v}vSpan{v,w}vwvwuSpan{u,v,w}Span{u,v,w}vwuFigure12Изображения пролеты в R3. Размах двух неколлинеарных векторов — это плоскость, содержащая начало координат и головы векторов. Обратите внимание, что три компланарных (но не коллинеарных) вектора охватывают плоскость, а не трехмерное пространство, точно так же, как два коллинеарных вектора охватывают прямую, а не плоскость. Интерактив: диапазон двух векторов в R2
 Interactive: диапазон двух векторов в R3
 Interactive: диапазон трех векторов в R3
 Комментарии, исправления или предложения? (требуется бесплатная учетная запись GitHub)
 геометрия — формула, связывающая три копланарных вектора
 Задавать вопрос
 спросил  1 год, 8 месяцев назад  93$ такие, что:
 Все векторы $\mathbf{\vec{u}}$, $\mathbf{\vec{v}}$ и $\mathbf{\vec{w}}$ не являются ноль (т. е. $\mathbf{\vec{0}}\notin\{\mathbf{\vec{u}},\mathbf{\vec{v}},\mathbf{\vec{w}}\}$ ).
 Векторы $\mathbf{\vec{u}}$ и $\mathbf{\vec{v}}$ неколлинеарны (т. е. $\mathbf{\vec{u}}\wedge\mathbf{\vec {v}}\neq\mathbf{\vec{0}}$).
 Векторы $\mathbf{\vec{u}}$, $\mathbf{\vec{v}}$ и $\mathbf{\vec{w}}$ компланарны (т. е. [$\mathbf{\vec {u}}$,$\mathbf{\vec{v}}$,$\mathbf{\vec{w}}]=0$). 93$, что я заявляю следующим образом:
$$[\mathbf{\vec{u}},\mathbf{\vec{v}},\mathbf{\vec{w}}]\neq 0 \ подразумевает \mathbf{\vec{x}}=\displaystyle \ frac {[\ mathbf {\ vec {x}}, \ mathbf {\ vec {v}}, \ mathbf {\ vec {w}}]} {[\ mathbf {\ vec {u}}, \ mathbf { \vec{v}},\mathbf{\vec{w}}]}\mathbf{\vec{u}}+\frac{[\mathbf{\vec{u}},\mathbf{\vec{x} },\mathbf{\vec{w}}]}{[\mathbf{\vec{u}},\mathbf{\vec{v}},\mathbf{\vec{w}}]}\mathbf{\ vec{v}}+\frac{[\mathbf{\vec{u}},\mathbf{\vec{v}},\mathbf{\vec{x}}]}{[\mathbf{\vec{u} }},\mathbf{\vec{v}},\mathbf{\vec{w}}]}\mathbf{\vec{w}}$$
Я задаю свой вопрос выше в поисках аналогичной формулы, связывающей три компланарных евклидовых вектора, если она вообще существует.

   Оставить комментарий on Формулы геометрия вектора: Формулы векторов/

`Перевести ворд в изображение: Word в JPEG – Конвертировать файлы Word в JPEG изображения онлайн`

alexxlab / 10.10.197030.07.2021 / Разное

`Как конвертировать документы Word в файлы изображений, в том числе в пакетном режиме`

Как конвертировать документы Word в файлы изображений? Это может потребоваться в разных ситуациях – например, когда нужно отправить кому-то документ для ознакомления без возможности его копирования. Имеется в виду защита от копирования обычным способом, от использования технологий оптического распознавания документ-изображение не защитить никак. Либо же это может ситуация, когда документ по тем или иным причинам принципиально должен иметь формат картинки.

Как конвертировать документы DOC или DOCX в картинки PNG, JPEG, BMP и прочие форматы изображений? Как это сделать, в частности, в пакетном режиме при больших объёмах документации?

`1. Снимки документа в окне Microsoft Word`

Отрывки Word-документа или даже его целиком превратить в картинки можно внутри редактора Microsoft Word с использованием скриншотера – функции создания снимка экрана. В составе Windows 7 и 8.1 есть штатный скриншотер – утилита «Ножницы». А в Windows 10 их целых два: утилита «Ножницы» и современное UWP-приложение «Фрагмент и набросок». Последнее можно запустить клавишами Win+Shift+S или в системном центре уведомлений.

Открываем в окне Microsoft Word нужный фрагмент документа, запускаем скриншотер «Фрагмент и набросок», выбираем область создания снимка – прямоугольник. И обводим прямоугольником фрагмент документа.

Далее при необходимости можем подрезать фрагмент или наложить на него графические пометки. В итоге сохраняем в файл PNG, JPEG или GIF.

По этому же принципу работаем с «Ножницами» в системах Windows 7 и 8.1.

У «Ножниц» также есть возможность накладывать графические пометки на снимок экрана, и эта утилита также сохраняет картинки в файлы PNG, JPEG или GIF.

Если весь Word-документ необходимо превратить в картинку, его можно открыть в режиме чтения Microsoft Word, настроить этот режим для удобочтения и отснять скриншотером каждую страницу.

Однако этот способ не подойдёт для случаев, когда документ должен обозреваться в формате листов бумаги А5, А4, А3, в частности, для дальнейшей распечатки на принтере. В этом случае Word-документ лучше преобразовать в рисунок путём конвертирования.

`2. Веб-сервисы для конвертирования документов`

При конвертировании Word-файлов в файлы изображений последние обычно наследуют размер бумаги и форматирование документа, что, во-первых, делает их читабельными в плане масштаба рисунка, во-вторых, подготавливает к распечатке, если в таковой станет необходимость.

Конвертировать файлы DOC и DOCX в различные форматы изображений можно с помощью веб-сервисов в Интернете. В большей части это условно-бесплатные веб-проекты, предлагающие универсальные или профильные направления конвертирования форматов файлов. Они идеально подойдут для конвертирования единичных документов. Единичные, не пакетные операции такими веб-сервисами обычно предлагаются бесплатно. Введя в поисковик запрос с включением нужного направления форматов конвертирования по типу «docx в jpg», обнаружим массу таких веб-сервисов.

Один из них, например, Convertio предусматривает конвертирование Word-файлов в форматы изображений PNG, JPEG, BMP, GIF и пр. Выбираем конечный формат, загружаем исходный документ.

Жмём кнопку «Конвертировать», затем скачиваем обработанный файл.

Обработанный файл – это архив с файлами изображений на каждую страницу документа.

`3. Программа Total Doc Converter`

Если нужно конвертировать в изображения большой объём документов, веб-сервисы, которые и предусматривают такую возможность, вероятнее всего, будут либо предлагать её изначально в рамках использования платного аккаунта, либо ограничивать объёмы конвертирования при бесплатном использовании.

Как бесплатно преобразовать горы документов в картинки?

Для этого можно использовать программу Total Doc Converter. Она не бесплатная, но её триал-версия ограничена лишь тем, что при реально больших объёмах преобразования программа будет намеренно приостанавливать проведение операции, чтобы мы вручную запускали её продолжение. И, возможно, у нас когда-то сдадут нервы, и мы возьмём, да и купим лицензию платной версии. Total Doc Converter работает с несколькими форматами документов изображений, для части из них предусматриваются двусторонние направления, часть же может быть преобразована только в одном направлении. Спецификой и преимуществом программы является возможность внесения корректировок преобразования для файлов на выходе – форматирование документов, параметры страницы, качество изображения и т.п. Эти корректировки могут быть применены в пакетном режиме обработки данных.

Для конвертирования Word-документов в изображения в окне Total Doc Converter на панели обзора слева открываем папку, где хранятся эти документы. Отмечаем галочками нужные файлы, либо же выделяем все их кнопкой «Отметить все». Далее на панели инструментов вверху кликаем кнопку нужного формата на выходе — PNG, JPEG, TIFF.

Рассмотрим далее на примере PNG. Указываем папку для сохранения конвертированных файлов.

Затем можем указать размер и ориентацию листа бумаги.

И запускаем конвертирование кнопкой «Start».

Всё – ищем обработанные файлы в указанной папке.

Формат изображений PNG предусматривает только такие вот простейшие настройки конвертирования. Если мы выберем конечный формат JPEG, сможем более детально корректировать рисунки, в которые будут преобразованы Word-документы. И даже сможем преобразовать многостраничный документ не в несколько отдельных картинок, а в единое цельное изображение.

Но если стоит задача преобразовать многостраничный документ в аккуратный компактный рисунок, а не в кучу отдельных разбросанных файлов, лучше выбрать формат на выходе TIFF.

TIFF – это формат хранения многостраничных изображений, его поддерживают многие сторонние просмотрщики картинок и штатное средство просмотра фотографий Windows. Только вот закавыка: в Windows 10 это средство упразднено, а его эволюционное продолжение UWP-приложение «Фотографии» ещё не научилось открывать формат TIFF.

`Лучшие программы для преобразования Word Document в изображение`

Эта опция широко не применяется в сообществе или ее использование не является большинством, мы знаем, что она может быть интересной для многих пользователей, которые не могут добавлять текст в какой-либо документ, или не могут добавлять слишком много, или даже просто, что в a Там, где они хотят показать указанный документ, у них нет совместимой программы для открытия формата doc или docx.

В любом случае, его использование простое, и ниже приведены лучшие инструменты для остановки любого документа Word в JPEG.

`Бесплатный конвертер документов AVS`

Во всех имеющихся у нас конвертерах это дает нам очень дружественный интерфейс с различными функциями, среди которых преобразование различных форматов документов в форматы изображений и наоборот.

Это также позволяет нам сжимать файлы, если вы хотите их отправить или загрузить на какой-либо сайт или даже отправить их через e-mail. Его функции просты, но полны по своему основному назначению.

Бесплатный конвертер документов AVS: Скачать здесь

`Бесплатный Конвертер Docx в JPG`

Другие инструменты для конвертации файлов Docx в JPG — это бесплатный конвертер Docx в JPG. Программа с несколько устаревшим интерфейсом, но очень интуитивный , в котором всего несколькими щелчками мыши мы конвертируем нужный документ в JPEG формат.

Мы также можем назвать функцию, которая позволяет нам открывать полный папки и конвертировать их.

Что может быть негативным для многих, так это то, что эта программа показывает нам реклама на его интерфейсе, но это совсем не раздражает.

Бесплатный Конвертер Docx в JPG: Скачать здесь

`Пакетное преобразование Word в JPG`

Конвертер в очень полный графические форматы, в которые нам разрешено конвертировать не только графические форматы, но и другие в PDF. С помощью этой программы мы можем избежать использования подобных для PDF преобразование, которое также широко используется, и используйте этот инструмент как 2 в 1.

Еще один интересный раздел заключается в том, что он позволяет нам изменять размер изображения (DPI) и тем самым уменьшить его вес. Как и прежде, эта программа также предлагает нам функцию перетаскивания изображений.

Пакетное преобразование Word в JPG: Загрузить

`reaConverter — конвертировать Word в JPEG`

Очень простая программа, но с интересными функциями, такими как изображение редактирование и преобразование различных форматов изображений, среди которых формат .GIF. Редкий вариант в программах, упомянутых выше.

Его интерфейс прост, но ничто не мешает и с довольно полным использованием функции, на которой он сосредоточен. Одна функция, которая может быть оценена, заключается в том, что мы можем перетаскивать файлы в программу и создавать файловую очередь для одновременного преобразования.

Среди всех программ, упомянутых выше, это та, которая позволяет нам преобразовывать большинство вариантов формата Docx в JPG разница большая. Но то, что мы должны подчеркнуть, и что многим пользователям, наконец, не понравится, это то, что это оплата программу.

У нас есть бесплатная пробная версия, которую мы можем использовать, чтобы окончательно решить, покупать ее или нет.

reaConverter — от DOCX до JPG: Скачать здесь

`Преобразование изображения в файл Word/Excel/PowerPoint`

При использовании ABBYY FineReader for ScanSnap вы сможете преобразовывать сканированное изображение в редактируемый файл, например Word, Excel или PowerPoint.

Преобразовать можно только изображения с типом документа [Документы] и с форматом файла PDF, сканированные с помощью ScanSnap.

Если вам важно содержимое изображения при выборе формата для файла, в который будет преобразовано изображение, то воспроизводимость изображения после преобразования становится более важным приоритетом.

Для получения подробной информации смотрите Функция OCR ABBYY FineReader for ScanSnap.

`Windows`

СОВЕТ

Изображение документа, сканированного с помощью ScanSnap, не может быть преобразовано в файл Word/Excel/PowerPoint, если для изображения задана настройка безопасности, отличная от пароля разрешений, например пароль открытия документа.



Файл, в который преобразуется изображение, сохраняется в следующих форматах:

Scan to Word: формат DOCX (.docx)


Scan to Excel: формат XLSX (.xlsx)


Scan to PowerPoint(R): формат PPTX (.pptx)




Для просмотра и проверки преобразованного в Word/Excel/PowerPoint файла требуется регистрация пользователя и аутентификация лицензии для Word, Excel и PowerPoint, чтобы можно было использовать Word, Excel и PowerPoint.

Для получения подробной информации о версии приложений, которые поддерживаются ABBYY FineReader for ScanSnap, смотрите Руководство пользователя ABBYY FineReader for ScanSnap.


Не используйте данную функцию при работе в Word, Excel или PowerPoint. Кроме того, не используйте Word, Excel или PowerPoint во время выполнения этой функции. В противном случае может быть выведено сообщение, такое как «Вызов был отклонен», и результат преобразования может не отобразиться.


Настройки преобразования изображения в файл Word/Excel/PowerPoint можно изменить с помощью ABBYY FineReader for ScanSnap.

Для запуска ABBYY FineReader for ScanSnap выберите [Scan to Word], [Scan to Excel] или [Scan to PowerPoint(R)] в [Список приложений] на вкладке [Приложение] в окне предпочтений и нажмите кнопку [Задать].

Для получения подробной информации о настройках смотрите Руководство пользователя ABBYY FineReader for ScanSnap.


При задании [Scan to Word], [Scan to Excel] или [Scan to PowerPoint(R)] для приложения, которое требуется запустить в настройках профиля, простое сканирование документа позволяет преобразовать изображение сканированного документа в файл Word/Excel/PowerPoint.

Отобразите Основное окно ScanSnap Home.


В Список записей данных содержимого выберите запись данных содержимого с изображением для преобразования в файл Word/Excel/PowerPoint.
При преобразовании нескольких изображений в записях данных содержимого в файлы PDF выберите записи данных содержимого, удерживая клавишу [Ctrl] или [Shift]. 

Выберите формат файлов, в который будут преобразованы изображения.
В отобразившемся при нажатии правой кнопкой мыши записи данных содержимого меню нажмите [Отправить в] и выберите одно из следующего:
Scan to Word


Scan to Excel


Scan to PowerPoint(R)

Когда преобразование завершено, Word, Excel или PowerPoint запустится и отобразятся результаты преобразования.

`Mac OS`

СОВЕТ

Изображение документа, сканированного с помощью ScanSnap, не может быть преобразовано в файл Word/Excel/PowerPoint, если для изображения задана настройка безопасности, отличная от пароля разрешений, например пароль открытия документа.



Файл, в который преобразуется изображение, сохраняется в следующих форматах:

Scan to Word: формат DOCX (.docx)


Scan to Excel: формат XLSX (.xlsx)


Scan to PowerPoint(R): формат PPTX (.pptx)




Для просмотра и проверки преобразованного в Word/Excel/PowerPoint файла требуется регистрация пользователя и аутентификация лицензии для Word, Excel и PowerPoint, чтобы можно было использовать Word, Excel и PowerPoint.

Для получения подробной информации о версии приложений, которые поддерживаются ABBYY FineReader for ScanSnap, смотрите Руководство пользователя ABBYY FineReader for ScanSnap.


Не используйте данную функцию при работе в Word, Excel или PowerPoint. Кроме того, не используйте Word, Excel или PowerPoint во время выполнения этой функции. В противном случае может быть выведено сообщение, такое как «Вызов был отклонен», и результат преобразования может не отобразиться.


Настройки преобразования изображения в файл Word/Excel/PowerPoint можно изменить с помощью ABBYY FineReader for ScanSnap.

Для запуска ABBYY FineReader for ScanSnap выберите [Scan to Word], [Scan to Excel] или [Scan to PowerPoint(R)] в [Список приложений] на вкладке [Приложение] в окне предпочтений и нажмите кнопку [Задать].

Для получения подробной информации о настройках смотрите Руководство пользователя ABBYY FineReader for ScanSnap.


При задании [Scan to Word], [Scan to Excel] или [Scan to PowerPoint(R)] для приложения, которое требуется запустить в настройках профиля, простое сканирование документа позволяет преобразовать изображение сканированного документа в файл Word/Excel/PowerPoint.

Отобразите Основное окно ScanSnap Home. Нажмите значок [ScanSnap Home] в списке приложений, отображающемся при нажатии панели запуска на док-станции.


В Список записей данных содержимого выберите запись данных содержимого с изображением для преобразования в файл Word/Excel/PowerPoint.
При преобразовании нескольких изображений в записях данных содержимого в файлы PDF выберите записи данных содержимого, удерживая клавишу [command ] или [Shift]. 

Выберите формат файлов, в который будут преобразованы изображения.
В меню, отображающемся при нажатии записи данных содержимого с удержанием клавиши [control] на клавиатуре, нажмите кнопку [Отправить в] и выберите одно из следующего:
Scan to Word


Scan to Excel


Scan to PowerPoint(R)

Когда преобразование завершено, Word, Excel или PowerPoint запустится и отобразятся результаты преобразования.

`Быстрое преобразование изображений в уравнения в Word`

Когда вам нужно отредактировать уравнения, которые были преобразованы в изображения с помощью Kutools for WordАвтора Преобразование уравнений в изображения утилиту, вы должны сначала преобразовать эти изображения обратно в уравнения. Kutools for WordАвтора Преобразование изображений в уравнения утилита может быстро конвертировать изображения, которые были преобразованы в изображения с помощью Преобразование уравнений в изображения утилита для уравнений снова в Word.

Преобразуйте все изображения в уравнения во всех документах

Преобразование всех изображений в уравнения в части документа

 Нажмите Kutools > Конвертировать > Преобразование изображений в уравнения. Смотрите скриншот:
Примечание: эта функция недоступна для Word 2013.
  Преобразуйте все изображения в уравнения во всех документахЕсли вы хотите преобразовать все изображения в уравнения в документе, как показано на скриншоте ниже, вы можете сделать это следующим образом:
1. Выведите курсор из любых уравнений и затем примените утилиту, щелкнув Kutools> Конвертировать > Скрытые изображения в уравнения.
2. Вы увидите результаты, как показано на скриншотах ниже:
  Преобразование всех изображений в уравнения в части документаЕсли вы хотите преобразовать все изображения в уравнения только в части документа, вы можете сделать это следующим образом:
1. Выделите и выберите часть документа, в которой вы хотите преобразовать все изображения в уравнения. А затем примените утилиту, нажав Kutools> Конвертировать > Скрытые изображения в уравнения.
2. Вы увидите результаты, как показано на скриншотах:
 Связанные функции 
 Это только один инструмент Kutools for Word.Kutools for Word освобождает от выполнения трудоемких операций в Word;
С пакетами удобных инструментов для Word 2019, 2016, 2013, 2010, 2007, 2003 и Office 365;
Простота использования и установки в Windows XP, Windows 7, Windows 8/10 и Windows Vista;
Дополнительные функции  |  Скачать бесплатно  |  КупитьРисунок jpeg jpg перевести в word
Содержание статьи
Как jpg перевести в word для редактирования онлайн
Как изменить текст после сканирования
Как редактировать картинку в Word
Технология оптического распознования текста (сокр. OCR — Optical Character Recognition) позволяет распознавать текст, в том числе, на изображениях (файлах) с расширением jpg. Более того, изобилие программ распознования текста очень велико и, подчас, выбрать и установить одну из них тоже представляет определенную техническую сложность, особенно, если вы не самый опытный пользователь компьютера и интернета. Кроме того, подобные задачи редактирования текста возникают довольно спонтанно и время на их решение зачастую не хватает. В таком случае, самым оптимальным вариантом являются онлайн-сервисы, которые помогут извлечь текст с изображения (картинки) и сохранить его в документе Microsoft word.
Онлайн-сервисы распознования текста
Сегодня в интернете существует множество онлайн сервисов, которые могут переводить текст с изображений JPG в word-документы для редактирования. Существует как платные, так и бесплатные варианты. Вот примеры таких сервисов:
ZAMZAR
Convertio
Как перевести JPG в Word для редактирования онлайн
Шаг 1 (ПОДГОТОВКА). Подготовьте jpeg-файл на компьютере. Также вы должны знать, где он находится, чтобы выбрать его во время загрузки.
Шаг 2 (ЗАГРУЗКА). В случае использования сервиса Convertio, вам необходимо:
Перейти на указанный выше веб-сайт.
Выбрать открыть диспетчер файлов на компьютере, найти файл и перетащить его в окно веб-браузера. В результате вы увидите следующее и вам необходимо будет нажать кнопку Конвертировать.
После завершения операции конвертации, вам будет предложено сохранить (с помощью кнопки Скачать) полеченный word-файл у себя на компьютере для дальнейшего редактирования.
Стоит ли покупать услуги онлайн-сервисов OCR?
У каждого из таких сервисов есть и платные тарифы, которые существенно расширяют ваши возможности по распознаванию текста. К числу таких возможностей относятся:
увеличенная скорость распознавания;
онлайн-хранилище файлов;
возможность одновременного распознования файлов;
загрузка больших изображения (более 100 МБайт) для распознавания;
отсутствие рекламы;
извещения на почту и т.д.
В конечном итоге, вам предстоит принять такое решение самостоятельно, исходя из своих потребностей. Как показывает практика, конечно многие пользователи интернета обходятся бесплатными тарифами, по скольку их объемы и частоты задач по распознованию текста весьма малы. Платные тарифи подходят, скорее, для профессиональной деятельности, когда потребность перевести файл jpeg в word возникает постоянно.
Сконвертируйте ваши jpg-файлы в doc онлайн и бесплатно
Image
Document
Ebook
Audio
Archive
V >
abc
abw
csv
dbk
djvu
dng
doc
docm
docx
erf
ebm
ewm
emw
gzip
kwd
odt
oxps
ppt
pptx
pdf
rtf
rar
txt
wps
xls
xlsx
zip
Image
Document
Ebook
Audio
Archive
V >
abc
abw
csv
dbk
djvu
dng
doc
docm
docx
erf
ebm
ewm
emw
gzip
kwd
odt
oxps
ppt
pptx
pdf
rtf
rar
txt
wps
xls
xlsx
zip
Объединенная группа экспертов в области фотографии
Расширение JPG присвоено файлам изображений. Множество фотографии и веб-графика сохраняется в JPG. В целях сжатия растровые изображения сохраняются в .jpg, что облегчает передачу и загрузку этих файлов через Интернет. JPG-формат основан на 24-битной цветовой палитре. Чем больше уровень сжатия, применяемый при создании JPG-файла, тем хуже становится качество изображения при его распаковке.
Документ Microsoft Word
DOC ― это расширение файлов для документов текстового редактора. Оно связано преимущественно с приложением Microsoft Word. Файлы DOC также могут содержать графики, таблицы, видео, изображения, звуки и диаграммы. Этот формат поддерживается почти всеми операционными системами.
1. Нажмите кнопку «FILE» или «URL», чтобы переключаться между локальными файлами или онлайн-файлами. Нажмите кнопку «Выбор файлов», чтобы выбрать локальный файл или ввести URL-адрес онлайн-файла. Формат документа может быть преобразован только в определённый целевой формат. Например, вы можете конвертировать DOC в DOCX, но вы не можете конвертировать DOC в XLSX.
2. Выберите целевой формат. Целевым форматом может быть PDF, DOC, DOCX, XLS, XLSX, PPT, PPTX, HTML, TXT, CSV, RTF, ODT, ODS, ODP, XPS или OXPS и т.Д.
3. Нажмите кнопку «Начало конверсии», чтобы начать конверсии. Выходной файл будет произведен ниже «Результаты конверсий». Нажмите иконку « », чтобы отобразить QR-код файла или сохранить файл на Google Drive или Dropbox.
Как перевести вордовский документ в формат фотографии JPG и сохранить?. Как текстовый документ формата Ворд
Статья расскажет, как документ «Word» конвертировать в JPEG.
Пользователи спрашивают, как перевести документ «Word» в формат JPG изображения и сохранить? Делается это довольно просто. В принципе, мы в данной ситуации можем использовать несколько методов, но сначала скажем пару слов о том, для чего оно вообще вам нужно.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Конвертировать документ «Word» в JPG понадобится в разных случаях. Например, вам нужно вставить фотографию с изображением текста в какой-либо другой документ. Некоторым пользователям часто нужно выкладывать фото с текстом на сайт, так как они не желают, чтобы кто-либо смог такой текст скопировать.
Иногда людям необходимо изображение с текстом размещать на Рабочем столе компьютера. Во всех приведенных случаях текст должен быть отображен на фотографии, и сделать это можно с помощью перевода «Word» документа в JPG файл, о чем речь пойдет ниже.
Как документ «Word» перевести в формат JPG и сохранить?
Итак, приведем несколько способов для осуществления такой операции.
Используем утилиту «Ножницы»
Тот, кто использует операционную систему “Windows 7” и выше, наверняка знает, что в нее встроена такая программа по умолчанию, как «Ножницы».
При помощи нее вы можете осуществлять скриншот экрана и сохранять изображение на компьютере в формате JPEG и не только. Вы также имеете возможность фотографировать лишь необходимую часть экрана, что будет полезно нам для своего рода транспортировки изображения из документа «Word» в файл JPG. Для этого сделаем следующее:
Откройте «Word» документ, который вам нужно перевести в изображение JPG, и масштабируйте в нем текст так, чтобы он полностью уместился на экране.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Далее в меню «Пуск» в поисковой строке наберите «ножницы», после чего поиск выдаст соответствующую программу.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
После этого запустите программу «Ножницы». В ее окне возле кнопки «Создать» нажмите на черную стрелочку, и в раскрывшемся меню нажмите на пункт «Прямоугольник».
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Теперь вы сможете выделить область с текстом в документе «Word», которую вам нужно сфотографировать.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
После выделения скриншот документа отобразится в окне программы
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
В левом верхнем углу нажмите на «Файл», затем кликните на «Сохранить как», выберите формат «JPG» и назначьте место, куда будете сохранять изображение. Придумайте имя файлу и нажмите на «Сохранить».
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Вот и все. Таким хитрым способом мы смогли перенести информацию из документа «Word» в файл JPG.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Используем утилиту «Paint»
Если у вас более старая версия операционной системы, нежели “Windows 7”, тогда предыдущая инструкция вам не подойдет. В вашем случае можно будет использовать программу «Paint». Сделайте следующее:
Запустите «Word» документ, текст из которого вы хотите перенести на изображение JPG. Масштабируйте текст, чтобы он полностью умещался на экране.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Далее нажмите на клавишу «PrintScreen» (делаем скриншот экрана – он сохранится в буфере обмена) и запустите программу «Paint» — в меню «Пуск» в поисковой строке введите «paint», и значок программы отобразится вверху.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
После открытия программы нам в нее нужно скопировать скриншот, который мы только что сделали. Перенести изображение в программу можно одновременным нажатием клавиш «Ctrl» и «V».
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Изображение можно отредактировать, обрезав лишние края
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Далее в левом верхнем углу нажмите на «Файл», затем на «Сохранить как» и выберите формат файла – JPG. Теперь можно сохранить изображение в указанное место.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Используем «Microsoft Office»
Если у вас установлен полный пакет «Microsoft Office» со всеми его функциями, тогда вы сможете перенести содержимое документа «Word» в изображение формата JPG. Для этого мы будем использовать соответствующую программу и сделаем следующее:
Откройте документ, который вы хотите преобразовать в JPG и нажмите на панели инструментов на «Файл».
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Далее нажмите на пункты, которые указаны на скриншоте в красных рамках
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Теперь содержимое нашего документа будет перенесено в программу «OneNote»
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Затем слева наверху нажмите на «Файл», далее пройдите в «Экспорт», выделите «Документ Word», внизу нажмите на «Экспорт» и выберите место сохранение файла.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Откройте сохраненный файл в текстовом редакторе «Word» — вы увидите в нем изображение текста (а не напечатанный символами текст).
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
В итоге, кликните по данному изображению правой кнопкой мышки и нажмите на «Сохранить рисунок как», после чего вам будет предложено выбрать формат изображения и путь его сохранения.
Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG
Видео: Конвертация документа Word в изображение (.doc в .jpg)
Конвертация DOC в JPG с помощью Фотоконвертера

DOC— это формат Майкрософт, используемый для создания файлов документов с помощью Microsoft Word, одного из самых популярных текстовых процессоров для пользователей ПК и Mac. DOC был основным расширением Microsoft Word до версии 2007, сейчас он все еще может быть открыт и отредактирован с помощью более поздних версий этой программы. Самыми известными преимуществами файлов DOC являются возможность проверки орфографии, наличие словарей и тезауруса для большого числа языков, а также ряд функций для обработки текста, такие как WordArt, нумерация и т.д.
JPG
— один из самых популярных форматов изображений, которые используются в настоящее время. Главным его преимуществом является возможность хранить изображения хорошего качества в файлах небольшого размера. Это возможно за счет используемого типа сжатия. Механизм этого вида сжатия устанавливает приоритетность одних частей изображения перед другими, сохраняя высококачественные участки изображения наиболее заметные для человеческого глаза.
Выберите JPG в качестве формата для сохранения
Для выбора JPG в качестве формата сохранения, нажмите на иконку JPG в нижней части экрана, либо кнопку + чтобы добавить возможность записи в этот формат.
Теперь просто нажмите кнопку Старт и конвертация начнется мгновенно, а JPG файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.
Попробуйте бесплатную демо-версию
Как извлечь изображения из Ворда в JPG онлайн на online-convert.com
Сервис online-convert.com бесплатно выполняет перевод Ворд в JPG онлайн. Здесь можно конвертировать Word в JPEG для извлечения всех, или только отдельных страниц из исходного файла.
Пройдите следующие шаги:
На сервисе online-convert.com откройте страницу «Конвертировать DOC в JPG» (несмотря на название, поддерживаются оба формата: «.doc» и «.docx»).
Нажмите на кнопку «Выберите файлы» или перетащите файлы с компьютера в специальную область на странице. Можно добавить файл из интернета, введя URL адрес, или загрузить документ Word из облачных хранилищ Dropbox или Google Drive.
Нажмите на кнопку «Начать конвертирование».
После завершения обработки файла, выберите все или некоторые изображения в формате JPG.
Нажмите на кнопку «Загрузить выбранные файлы в одном ZIP-архиве» или «Загрузить все файлы в виде ZIP».
Распакуйте ZIP архив на компьютере для доступа к изображениям.
Операционная система Windows открывает ZIP архив без помощи сторонних программ.
Как сохранить картинки из документа Word несколькими способами
Здравствуйте, уважаемые читатели блога Start-luck. Сегодня мы поговорим о том, как вытащить картинку из Word. Не важно какая версия у вас установлена, один из способов, описанных в этой статье обязательно помогут. Вы научитесь извлекать одно понравившееся изображение или доставать все рисунки сразу из огромного документа всего в два клика. Результат не заставит себя долго ждать.
Должен сразу предупредить тех, кто ищет для реализации этой задачи какой-нибудь онлайн сервис. Последнее время хакеры активизировались, так что советую вам ограничиться в использовании непроверенных онлайн ресурсов везде, где это возможно.
Благо, сегодняшняя поэтапная инструкция с использованием множества программ, уже имеющихся у вас на компьютере позволит запросто решить все проблемы. Обращаться за помощью не придется, как и рисковать собственной безопасностью.
Ну что ж, пожалуй, начнем?
Возможности Word
Я использую Word 2020, но все функции, о которых я сейчас расскажу есть и в 2003, 2010, 2007 и так далее. Пусть вас не смущают отличающиеся скриншоты, функции везде одинаковые. Ну, по крайней мере те, о которых сейчас пойдет речь. Их надо будет отыскать. Но и для решения этой проблемы я дам кое-какие подсказки.
Открою документ со статьей «Как в фотошопе вставить лицо в другое фото», которую я писал для своего блога совсем недавно. Здесь много изображений, которые можно скопировать, так что работать мне будет удобно.
Нажимаю правой кнопкой мыши на понравившемся рисунке и выбираю «Сохранить как…».
Появится знакомое всем окно проводника, в котором надо выбрать наиболее привлекательное для загрузки место. Не забывайте, что здесь же вы можете поменять формат картинки – сохранить ее в jpg или tiff.
 Кстати, если эта тема для вас нова, могу предложить пару полезных статей из своего блога, одна про расширение PNG, а другая повествует о создании анимации Gif. Оба эти формата присутствуют в данном списке.
Если вы хотите скопировать рисунок без потери качества и не напрягать систему огромного размера файлами, то лучше, конечно же, выбирать Jpeg.
Создание скриншота с использованием Paint
Второй способ также не потребует скачивание какого-либо дополнительного софта. Достаточно открыть ваш документ Ворд, найти на клавиатуре кнопку PrtSc и нажать ее. Не нужно щелкать по сто раз. Действительно, никакого ответа не последует. Вы поймете, что «все сработало» чуть позже.
Откройте Paint. Как правило, он находится в папке «Стандартные» меню «Пуск». Теперь используйте сочетание клавиш Ctrl+V. В программу интегрируется изображение всего экрана, это и свидетельствует о том, что кнопка сработала. Как же извлечь одну картинку? Придется обрезать все ненужное. В принципе, если вам необходима всего одна фотография, то ничего трудного. Устать не успеете.
 Нажмите кнопку «Обрезка», затем выделите фрагмент с картинкой, а затем снова «Обрезка», чтобы применить изменения.
Осталось только «Сохранить как». И тут снова вашему вниманию представляется целая россыпь форматов. Пользуйтесь в свое удовольствие.
Альтернативный способ
В одной из своих предыдущих статей я рассказывал о программах для создания скриншотов. На самом деле, мне кажется, что этот тип утилит можно смело назвать одними из самых необходимых для установки на ПК. Пожалуй, пора создавать новый список нужных для любого пользователя программ.
Как просто и быстро сохранить картинку из Word 2007: пошаговая инструкция
Я тут давеча заканчивал работу над очередной статьей (всего-то нужно было вставить пару картинок) и столкнулся с проблемой. Нужно было сделать скрин (захват) экрана монитора и сохранить его как картинку в формате JPG.
Ну, я по старинке, нажал PrintScreen, запустил Word, с помощью комбинации Сtrl V, вставил изображение в текстовый редактор. Осталось только нажать на правую кнопку мыши. И выбрать опцию – «Сохранить, как рисунок».
А нифига!
Я с удивлением обнаружил, что такой опции в версии Word 2007 года просто нет. Она есть в Word 2010 и даже в Word 2013, но не в Ворд 2007.
Что же делать?! Всё пропало или есть выход?!
Конечно же, выход есть!
 Далее я расскажу, как можно совершенно легко и просто сохранить картинку из текстового редактора Ворд 2007.
Как просто и быстро сохранить картинку из Word 2007: пошаговая инструкция
Прежде всего, если вы хотите произвести захват изображения с экрана монитора, то его необходимо “закринить”. Для этого есть специальная кнопка Printscreen. Нажимаете её и в буфер обмена автоматически копируются ваше текущее изображение на мониторе.
А дальше начинается самое интересное.
Способ 1 Сохранение рисунка через Microsoft PowerPoint
Лично для меня самым быстрым и простым способом сохранения картинки из Word-a является следующий.
Переходите в Microsoft PowerPoint и, нажав на комбинацию Сtrl-V, вставляете изображение.
 Затем, нажимаете правую кнопку мыши, “Сохранить как рисунок”, выбираете JPEG формат, и вуаля! Изображение сохранено.
Способ 2 Сохранение рисунка в формате Web-страницы
Способ более трудоёмкий, но не менее эффектный.
Открываете Word. Вставляете из буфера обмена картинку.
Затем, идёте в левый верхний угол редактора, нажимаете на круглую кнопку, затем выбираете – “Сохранить как”, выбираете путь сохранения (озаглавливаете его), и сохраняете документ, как “Веб-страница”.
Затем отыскиваете соответствующую папку в том месте, куда вы её запихнули. Открываете, и вуаля!
Пред вашими очами предстанут аж две картинки. Одна в формате PNG (она то вам и нужна) и одна – маленькая в формате JPEG.
 Да, неудобно конечно, что картинка сохраняется в PNG-формате. Но это невелика беда, т.к. вы её всегда сможете перевести в JPEG.
Способ 3 Сохранение картинок из Ворда при помощи Paint
Этот способ напоминает Способ 1, однако иногда у меня не получается применить его на практике.
Когда вы захватили изображение с экрана монитора – смело идёте в Paint. И, используя заветную комбинацию клавишь Ctrl-V, просто вставляете этот рисунок в графический редактор.
Но тут есть маленький нюанс. Иногда Пэйнт, почему-то, уменьшает размер изображения. В итоге, картинки сохраняются очень маленькими. Рассмотреть на них текст потом просто невозможно.
Поэтому я предпочитаю пользоваться Способом 1.
 Остальные способы сохранения картинок из Word даже не рассматриваю, потому что они нафиг никому не нужны.
Сохранение картинки с помощью скриншота
Сохранить изображение из документа Ворд можно также при помощи снимка экрана (скриншота). Это можно сделать при помощи стандартных сочетаний клавиш клавиатуры, или с помощью штатной программы «Ножницы».
В отличие от предыдущих способов, размер изображения может быть отличным от оригинала, потому что размер выделенной области будет зависеть от сноровки пользователя при ручном выделении объекта.
В самом начале вам необходимо будет выбрать тип фрагмента в меню программы «Ножницы», а затем нужно будет нажать на кнопку «Создать» для выделения картинки в документе Word.
После выделения изображения, вы можете вставить его в программу Paint для последующего сохранения на своем компьютере.
С уважением, Василий Прохоров
Документы MS Word представляют собой чрезвычайно удобный «контейнер», в который можно поместить не только текст, но и массу других данных — диаграммы, таблицы, рисунки. Все это прекрасно до тех пор, пока не возникает необходимости «разобрать» DOC-файл по частям. Предположим, достать одну-две фотографии из документа в сотню страниц — это не проблема. А вот как достать из него сразу ВСЕ изображения?
К счастью, такой способ есть, точнее есть даже два способа, но каждый из них применим в своей нише.
Конвертирование DOC (DOCX) в JPG на wordtojpeg.com
На сайте wordtojpeg.com можно преобразовать файл Word в JPG онлайн. На онлайн сервисе можно преобразовать за один раз до 20 файлов формата Word в отдельные изображения в формате JPG (JPEG).
Выполните шаги:
Зайдите на страницу «Word to JPEG» сервиса wordtojpeg.com.
Нажмите на кнопку «Загрузить».
После завершения конвертации, нажмите на кнопку «Скачать».
Файлы загрузятся на ПК в ZIP архиве.
Способ №2 — Через архивацию
С помощью этого способа можно извлечь изображения только из Word-документа нового поколения – сохраненного в расширении .docx.
Для начала нужно сделать, так чтобы имя файла показывало свое расширение. Для этого откройте любую папку. Вверху в командной строке выберите команду Упорядочить и в открывшемся меню Параметры папок и поиска.
Появится окно с настройками. Откройте вкладку Вид.
Найдите в Дополнительных параметрах строчку Скрывать расширения для зарегистрированных типов файлов и снимите галочку. Потом ОК.
Теперь приступим к извлечению картинок.
Нужно изменить расширение .docx на .zip. Для этого выберите Word-документ и нажмите кнопку F2 – активируется функция изменения имени. Сотрите все после точки и напишите zip.
Появится окно с предупреждением, что может оказаться недоступным. Жмите ДА.
Файл автоматически изменит свой внешний вид на иконку архива. В моем примере это иконка архиватора Hamster.
Следующим шагом нужно извлечь содержимое этого архива. Для этого нажмите по нему правой кнопкой и выберите команду Извлечь в текущую папку или Извлечь здесь (в зависимости от вашего архиватора).
Примечание
Если у вас нет таких команд, значит нужно установить программу архиватор.
Появились три новые папки и еще один файл. Нам нужна папка Word. Откройте ее.
Внутри нее откройте следующую папку media.
Эта папка содержит все изображения, которые были в текстовом документе.
Плюсы этого способа:
Не смотря на то, что нужно было провести ряд подготовительных действий, это очень быстрый способ извлечь все изображения из текстового документа. Особенно актуально, когда файл содержит много картинок.
Каждому изображению присваивается свое уникальное имя файла.
Все изображения уже собраны в одной папке, с которой будет проще потом работать.
Минусы этого способа:
Неопытному владельцу ПК будет сложно выполнить ряд подготовительных действий.
Требуется наличии дополнительной программы – архиватора.
Конвертировать в PDF, а затем в JPEG в Windows
Как мы упоминали ранее, вы не можете конвертировать файл документа непосредственно в JPEG. Однако вы также можете преобразовать документ Word в PDF, а затем в JPEG.
Чтобы преобразовать документ Word в PDF, откройте документ и выберите вкладку «Файл».
Затем выберите «Сохранить как» на левой панели, а после нажмите «Обзор».
В проводнике выберите папку, в которой вы хотите сохранить файл, и дайте ему имя. Нажмите стрелку в строке, где указан тип сохраняемого файла, и выберите «PDF» из выпадающего списка.
Теперь ваш файл сохранен в формате PDF.
Чтобы конвертировать PDF в JPEG, вам нужно скачать бесплатное программное обеспечение Microsoft для конвертации. Откройте приложение Microsoft Store и введите «PDF to JPEG» (ОБЯЗАТЕЛЬНО на АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ) в строке поиска. Выберите первый вариант из раскрывшегося списка приложений.
На следующей странице отображается некоторая информация о программном обеспечении. Прочитайте его и выберите «Получить».
Программное обеспечение будет установлено автоматически. Откройте его и нажмите «Выбрать файл» в верхней части окна.
Теперь вы сможете легко преобразовать сохраненный ранее документ PDF в JPEG.
Для этого перейдите к местоположению вашего файла PDF и выберите его. Затем файл откроется в программе конвертации PDF в JPEG. Открыв его, нажмите «Выбрать папку».
Проводник Windows появится снова. Перейдите в место, где вы хотите сохранить новый файл, а затем нажмите кнопку «Выбрать папку».
Наконец, выберите «Конвертировать».
Ваш PDF теперь будет конвертирован в JPEG.
Как из документа “ворд” сохранить картинку или фото | World-X
Самым распространённым видом представления информации по прежнему считается текстовый формат документов. Сегодня это целый набор различных параметров оформления, множественные настройки и свойства, а также это содержание медиа контента. Например, мы запросто можем дополнить статью картинкой, фотографией и стандартным клипартом Microsoft.
А вот Вам передали документ Word по электронной почте. В полученном файле, помимо текста содержится несколько графических элементов, возникает потребность распечатать пару фото из содержания документа. Но ведь их отдельно не выведешь на печать! И тут возникает естественный вопрос: «Как вытащить фото из word?»
По принципу создания скриншота
Более простой способ вытащить фото из документа воспользоваться принципом создания скриншота. Нам не понадобиться делать сам снимок экрана с открытым текстовым файлом, достаточно:
Кликните левой кнопкой мышки по графическому объекту (фото) – он должен выделиться характерной рамкой;
Теперь следует скопировать фото. Для этого нажмите сочетание клавиш Ctrl + C Или правой кнопкой по выделенному изображению и выберите из контекста пункт «Копировать»;
Остаётся вставить изображение из буфера обмена в любой графический редактор, например, в стандартную программу Paint;
После сохраняем вставленное фото. Даём ему название и формат (по умолчанию программа Paint сохранит изображение в расширении PNG).
Вышеописанным способом поступаем из вторым и последующими изображениями. Как только закончите извлекать можно перейти к просмотру результатов в папку «Изображения» или «Мои рисунки».
По принципу извлечения архива
Второй способ вытащить фото из текста Word более удобный в плане оперирования содержащимися графическими файлами. Для того чтобы приступить нам понадобиться программа архиватор, лучше если это будет бесплатная программа 7-zip:
Перейдите в директорию с сохранённым файлом MicrosoftWord. Кликаем правой кнопкой по нему и находим пункт «7-zip». Из контекстного меню выбираем «Распаковать» или «распаковать в…»;
После обнаруживаем появившиеся файлы и папки (см. рис. ниже) или новую папку с именем аналогичным названию текстового документа. Откроем новоявленную папку, перейдём в следующий каталог «word» в котором отыщем «media». Папка «media», искомый каталог всех графических файлов содержащихся в текстовом документе.
Вы можете копировать, редактировать распакованные файлы изображений без страха повредить основной файл Word– источник.
Пересохраняем в формате HTML
За этот вариант благодарим нашего комментатора! Метод оказался, довольно практичный, так как срабатывает с форматами DOC и DOCX. И что немаловажно, действителен, как для программ Microsoft Office, так и для альтернативных пакетов, например — OpenOffice.
Итак, открываем целевой документ в текстовом редакторе, и сразу переходим к пункту «Файл» в меню сверху. Выбираем контекст «Сохранить как…», и указываем формат файла — HTML/HTM.
У нас остаётся незатронутый исходный файл DOC(X), и новый файл с несколькими связанными изображениями. Качество картинки не затрагивается, а файл «.html» можно удалить за ненадобностью.
Вместо послесловия
Если вышеописанные действия оказались непонятными или непрактичными, то оставьте соответствующий комментарий ниже. Мы обязательно поможем в решении ваших сложностей на пути к извлечению фото из Word.
обновлено: 3.06.2016 – 22:55
LiveInternetLiveInternet
—Рубрики
Холодный фарфор (69)
Скрапбукинг (35)
Подарки детям (9)
СЕРЕБРЯНАЯ СВАДЬБА (2)
Die Linke (8)
Oбувь (21)
Valentinstag. (21)
Аппликации (26)
Ах эта свадьба. (77)
БАРДЖЕЛЛО (13)
Вазы , декупаж (7)
Варежки (7)
Вечерние и свадебные наряды (46)
Во саду ли в огороде (349)
Беседки (3)
Борьба с вредителями (6)
Виноград (16)
Грядки и парники (16)
Дачная мебель (7)
Дачный дизайн (15)
Календарь садовода (9)
Лук и чеснок (4)
Огурцы (19)
Печки (3)
Полезные советы (6)
Полив (2)
Рассада (8)
Совместимость растений (11)
Томаты (17)
Удобряем (15)
Цветники и клумбы (78)
Ягоды и плодовые (47)
Вязание крючком (5891)
Alzira Vieira (20)
Delphi (1)
Giovana Dias (38)
KATIA PORTES (1)
SANTANA (7)
Tayrin (1)
Vanessa Montoro (170)
Безотрывное вязание (28)
Береты и кепки (140)
Вологодское кружево (1)
Воротнички (62)
Жакеты (78)
Кокетки (7)
Кофточка (59)
Лилия (38)
Марина Шеина (1)
Масютина Олеся (1)
Наталия Якименко (1)
Платье (402)
Пуловер (75)
Сарафан (58)
Соeдинение мотивов (1)
Топы (174)
Туника (145)
Узоры крючком (136)
Филеечка (332)
Шапки (281)
Юбка (108)
Юлия Козлова (1)
Вязание спицами (5310)
Миссони (155)
Платье (134)
Пуловер (111)
Узоры спицами (103)
Oscar de la Renta (10)
Tancha2007 (1)
Берет (190)
брюки/шорты (1)
Жакеты (56)
Жаннетта (22)
Кофточка (34)
Кофточка (7)
Пуловер (32)
Топы (44)
Туника (36)
Частичное вязание (36)
Шапки (803)
Юбки (9)
Вязаные штучки (208)
бабочки (8)
еда (7)
игрушки (39)
мебель (7)
митенки (1)
пледы (52)
подушки (11)
посуда (2)
салфетки (58)
фрукты (30)
часы (2)
Горловина (99)
Детям (1332)
Жилетки (51)
Журналы (26)
Комбинезоны и боди (44)
Костюмчики (92)
Кофточки (209)
Пальто , курточки (51)
Пинетки (103)
Платья, сарафаны (333)
Полезные советы (2)
Таблицы размеров для вязания (7)
Шапочки и шляпки (461)
Штанишки (19)
Юбочки (46)
Жаккард (123)
Здоровье (475)
Зоя Вулвич (35)
Инет для вязальщиц (1)
Книга — альбом«ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ВЯЗАНИЯ» (1)
Книга «Домоводство» включает в себя весь круг вопр (1)
Кокетки (33)
Красота (734)
Волосы (145)
Руки (8)
Лицо (265)
Ноги (6)
Фигура (224)
Кулинария (1812)
Вторые блюда (151)
Выпечка (278)
Заготовки (108)
Закуски (295)
Каши (3)
Мясо (170)
Мясо птицы (52)
Напитки (55)
Полезные советы (36)
Рыба (100)
Сладости (546)
Соусы (17)
Специи (5)
Супы (74)
СЫР (2)
Украшение стола (9)
Фрукты (10)
Мода и стиль (70)
Мохер (158)
Нукинг (6)
Обучение (56)
Органайзер (3)
Пасха (38)
Поехали (1)
Реглан (46)
Ретро (1)
Рынок вязаных изделий (16)
Свечи (3)
Схемы (1)
Ткань+вязание (33)
Хочу ! (379)
шитье (187)
Этикет (2)
Юмор (23)
Юридическая помощь. (27)
—Цитатник
Из ВК,сообществщ Лайфхак — полезные советы и идеи для жизни! Почта России (&.
Еще пару лет назад вечеринка в гангстерском стиле Америки 20-30 гг. воспринималась очень с.
Как приятно морозный Рождественский вечер провести в кругу любимых и любящих людей и отведать.
/ Шапка от https://www.instagram.com/katia_shar_/ . ОПИСАНИЕ. Я вам как то обещала рас.
—Новости
—Музыка
—Поиск по дневнику
—Подписка по e-mail
—Друзья
—Постоянные читатели
—Сообщества
—Статистика
Преобразование Word в JPG онлайн на сервисе Zamzar
Сейчас нам поможет перевести Word в JPEG онлайн конвертер Zamzar. На моем сайте есть обзор про сервис Zamzar.
Выполните следующие действия:
Войдите на страницу «DOC в JPG» на сервисе Zamzar.
Нажмите на кнопку «Добавить файлы…».
Выберите конечный формат.
Нажмите на кнопку «Конвертировать».
После завершения преобразования, нажмите на кнопку «Download».
Откроется страница, на которой можно скачать все изображения в ZIP архиве, или каждое изображение по отдельности.
Эти файлы будут доступны для загрузки на компьютер в течение 24 часов.
 Как сохранить документы Word как файлы JPEG | Малый бизнес
 Кимберли Леонард Обновлено 13 августа 2018 г.
 Компьютерные программы, такие как Microsoft Word, являются мощными инструментами для владельцев бизнеса для создания и редактирования документов. Документы Word имеют расширение файла .docx, представляющее программу обработки текста. Хотя программа может хранить в файле различные изображения, вы не можете напрямую сохранить файл Word как файл .jpeg, который является форматом файлов для изображений. В зависимости от того, что именно вам нужно записать в цифровом виде в формате JPEG, вам может потребоваться выполнить несколько шагов, чтобы преобразовать файл.doc в файл .jpg.
 Использование Microsoft Paint
 Многие компьютерные системы с установленным Microsoft Word также имеют Microsoft Paint. Paint — это удобная программа для редактирования графики и изображений. Чтобы преобразовать Word в JPEG, вам необходимо выполнить преобразование «текст как изображение» или «документ как изображение», в котором задействованы как Word, так и Paint.
 Начните с открытия файла Word. Измените размер документа так, чтобы весь документ был виден на экране с помощью функций масштабирования в Word.Вы можете преобразовать только то, что видно на экране, поэтому обязательно установите его соответствующий размер. Имейте в виду, что другие видимые части экрана также будут захвачены, но вы можете удалить лишнее в редакторе изображений. Нажмите кнопку «Печать экрана» на клавиатуре, чтобы скопировать видимую часть документа Word.
 Перейдите в меню «Пуск» и откройте Microsoft Paint. В меню «Правка» выберите «Вставить». Скопированная часть документа Word появится в файле Paint. Используйте инструмент «Обрезка», чтобы удалить ненужные части документа.Выберите «Сохранить как» в меню «Файл» и присвойте файлу имя. Убедитесь, что под именем файла расширение документа .jpeg или .jpg, чтобы убедиться, что у вас есть файл JPEG. Повторите этот процесс для дополнительных страниц в документе Word.
 Использование PowerPoint
 PowerPoint — это программа Microsoft Office, используемая для создания статических и динамических слайдов презентации. Стандартное расширение файла PowerPoint — .ppt, но вы можете сохранять файлы в формате .jpeg, если измените тип расширения файла в процессе сохранения.
 Откройте документ Word и новую пустую презентацию PowerPoint. Выберите пустой шаблон в PowerPoint, чтобы в окончательном документе не отображались дополнительные фоны. Скопируйте документ Word, используя «Выбрать все» и «Копировать» в меню редактирования Word. После копирования перейдите к слайду PowerPoint. Откройте текстовое поле и вставьте в него информацию из Word. Удалите все остальные текстовые и графические поля, если они есть в шаблоне слайда. Выберите «Сохранить как» в меню «Файл» и присвойте файлу имя.Выберите расширение файла .jpeg в раскрывающемся меню под именем, чтобы сохранить файл в формате JPEG.
 Стороннее преобразование файлов
 Существует множество сторонних программ для преобразования файлов из одного формата в другой. Zamzar или Neevia Technologies — две такие программы, которые вы можете использовать. Большинство этих инструментов требуют от вас поиска и открытия файла в сторонней программе. После того, как файл выбран, вы затем выбираете новое расширение файла, желаемое для документа. В этом случае вы должны использовать файл.jpeg расширение. Файл обычно конвертируется с возможностью либо загрузить по завершении, либо отправить файл себе по электронной почте.
 Предупреждение
 Использование сторонних программ подвергает пользователя риску распространения спама или компьютерных вирусов. Будьте осторожны при работе со сторонними решениями, найденными в Интернете, которые конвертируют файлы Word в файлы JPEG.
 3 способа преобразования файла Word в изображение
 Вам может быть интересно, зачем вам нужно конвертировать файл Word в формат изображения? Некоторые причины включают в себя то, что при работе с определенными типами конфиденциальных документов может потребоваться сохранить их как изображение в качестве доказательства, чтобы избежать возможности редактирования непосредственно в Word, или из-за характера вашей рабочей силы вы можете создавать резервные копии этих документов как картинки.
 Конечно, вы можете использовать другое устройство, чтобы сфотографировать их, но это много работы, не так ли? Итак, сегодня я покажу вам несколько инструментов для преобразования файла Word в изображение формата jpg самым простым способом.
 I. Преобразуйте файл Word в изображение, вставив специальное изображение в Word.
 Шаг 1: Откройте файл для обработки.  Ctrl + A , чтобы выбрать весь документ, затем щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Копировать». 
 
 Шаг 2. Откройте новый пустой файл Word. Найдите значок  Вставить  в верхнем левом углу на вкладке  Файл .Щелкните маленькую стрелку и выберите  Специальная вставка  (или, как вы можете видеть, комбинация клавиш  Alt + Ctrl + V ) 
 
 Шаг 3: Появится диалоговое окно  Специальная вставка . В разделе  Вставить  выберите Изображение (расширенный метафайл). После этого нажмите  OK , чтобы Word начал преобразование. 
 
 Шаг 4: После процесса скопированное содержимое отображалось в виде изображения на экране Word. Вы можете  щелкнуть правой кнопкой мыши  на изображении и выбрать  Сохранить как изображение , чтобы сохранить изображение, которое вы только что создали из предыдущего файла Word.
 
 Шаг 5: При сохранении изображения в разделе  Сохранить как тип  диалогового окна сохранения выберите формат изображения как  JPGE File  Interchange Format или Tag Image File Format, выберите имя для сохранения, как вам нравится, куда хотите сохранить и нажмите Сохранить. 
 
 А вот фото, которое я только что преобразовал и сохранил. 
 II. Использование инструментов для создания снимков экрана.
 Этот метод уже довольно прост, но используется только для небольших и коротких документов.
 Для этого вы можете использовать клавишу PrtScr на клавиатуре. Или для Word можно использовать функцию снимка экрана. Также вы можете использовать Snipping Tool, доступный в операционной системе вашего компьютера. 
 По поводу вышеперечисленных методов у меня уже есть очень подробное руководство, перейдите по ссылке ниже для справки. 
 https://mechanicalengblog.com/how-to-take-screenshot-in-word-document/ 
 Или вы также можете загрузить документ в Gmail, при открытии он будет отображаться в доступном формате изображения, и вы можете взять Скриншот.Обратите внимание, что этот метод следует использовать только для коротких текстов. 
 Вот как файл документа будет отображаться в Gmail. 
 III. Конвертируйте файл Word в изображение на онлайн-сайтах.
 Здесь у меня есть несколько веб-сайтов, которые конвертируют слово в изображение, чтобы помочь вам. Операции на этих веб-сайтах очень просты с помощью всего нескольких щелчков мыши. Вам просто нужно загрузить свой файл, дождаться процесса конвертации, а затем загрузить его на свой компьютер. 
 https://wordtojpeg.com/ 
 https: // www.zamzar.com/convert/doc-to-jpg/ 
 Существует также множество вариантов преобразования между форматами для справки.
  ЗАКЛЮЧЕНИЕ  
 Вот и все, описанные выше способы преобразования файла Word в формат изображения, просто следуйте инструкциям выше. 
 Предполагается, что два следующих способа дадут немного лучшее качество изображения, но вы можете выбрать любой способ, который хотите. 
 Надеюсь, эти маленькие знания помогут вам, спасибо и удачи!
 ——————– 
 Автор-ччи
 5 способов сохранить документы Word в виде файла изображения
 Если вам нужно отправить документ Word кому-то, у кого не установлено приложение или кто хочет сохранить его копию для ваших записей, можно сохранить его как изображение.Это позволяет вам поделиться им с кем угодно, не позволяя им редактировать его.
 Давайте рассмотрим некоторые способы превратить ваш документ Word в изображение.
 1. Сделайте снимок экрана документа
. Если вы хотите сохранить только одну страницу в виде изображения из документа Word, удобно использовать функцию создания снимков экрана Word.
 Вы также можете использовать эту функцию для многостраничных документов, но для этого вам потребуется сделать снимок экрана для каждой из ваших страниц.В этом случае будет удобнее использовать один из других методов, упомянутых ниже.
 Вот как вы превращаете одну из страниц документа Word в изображение со снимком экрана:
 Откройте документ в Microsoft Word.
 Щелкните вкладку  View  вверху и выберите  One Page  в разделе  Zoom .
 Прокрутите до страницы, которую вы хотите сохранить как изображение. Убедитесь, что страница полностью занимает вид документа в Word.
 Нажмите  Ctrl + N , чтобы создать новый документ Word.
 Во вновь созданном документе щелкните вкладку  Insert  и выберите  Screenshot , а затем  Screen Clipping .
 Теперь вы можете выбрать часть экрана, которую хотите сохранить как изображение. Выберите часть экрана, в которой находится документ Word.
 Word сделает снимок экрана и добавит его в ваш новый документ. Щелкните этот снимок экрана правой кнопкой мыши и выберите  Сохранить как изображение .
 Откроется стандартное окно сохранения, позволяющее сохранить документ Word как изображение. Введите имя изображения, выберите тип файла из раскрывающегося меню и нажмите  Сохранить .
 2. Используйте Snip & Sketch для сохранения документов Word в изображениях
 Snip & Sketch — это встроенное приложение для создания снимков экрана в Windows 10.Поскольку вы можете использовать его для задач создания снимков экрана, из этого следует, что приложение работает и для сохранения документов Word в виде файла изображения.
 Этот инструмент предлагает настраиваемый выбор области, позволяя точно выбрать область, в которой отображается документ Word, и сделать снимок экрана. Вот как это сделать:
 Запустите свой документ в Microsoft Word.
 Перейдите на страницу, которую хотите сохранить как изображение.
 В правом нижнем углу экрана вы найдете ползунок, позволяющий изменять уровень масштабирования документа. Используйте ползунок, чтобы сделать вашу страницу полностью видимой, так как вы можете сохранить только изображение того, что видите.
 Нажмите клавишу  Win , найдите  Snip & Sketch  и откройте приложение.Вы также можете нажать  Win + Shift + S  как ярлык.
 Щелкните опцию  New  в утилите, чтобы сделать новый снимок экрана.
 Перетащите курсор, чтобы выделить всю область на странице, которую вы хотите сохранить как изображение.
 Версия изображения вашей страницы откроется в Snip & Sketch.Используйте инструмент  Crop , чтобы обрезать что-либо, если необходимо, затем щелкните значок  Сохранить  на панели инструментов, чтобы сохранить файл изображения на свой компьютер.
 3. Используйте Специальную вставку для сохранения документов Word как изображения
 Специальная вставка — это параметр в Microsoft Word, который позволяет вам выбрать способ вставки скопированного содержимого. В этой функции есть опция, которая поможет вам вставить скопированный контент в виде изображения в текущий документ Word.
 Чтобы использовать это, просто скопируйте содержимое из документа Word, создайте новый документ и вставьте скопированное содержимое как изображение. Мы покажем вам, как это сделать, шаг за шагом:
 Откройте документ Word и выберите содержимое, которое вы хотите сохранить как изображение. Если вы хотите сохранить весь документ, нажмите  Ctrl + A , чтобы выделить все.
 Щелкните правой кнопкой мыши выбранное содержимое и выберите  Копировать  (или используйте  Ctrl + C ), чтобы скопировать содержимое.
 Создайте новый документ Word, нажав сочетание клавиш  Ctrl + N .
 В новом документе перейдите на вкладку  Home  и нажмите  Paste , а затем  Paste Special .
 На вашем экране откроется окно, позволяющее указать, как вы хотите вставить свой контент.Установите переключатель  Вставить , а затем выберите  Изображение (расширенный метафайл) .
 Нажмите  ОК , чтобы вставить содержимое как изображение.
 Вы увидите скопированное содержимое в виде изображения в документе. Если все в порядке, щелкните изображение правой кнопкой мыши и выберите  Сохранить как изображение .
 Введите имя изображения, выберите тип файла и нажмите  Сохранить , чтобы сохранить документ как фотографию.
 4. Сохранение документов Word в формате PDF и преобразование в изображения
 Word предлагает вам возможность сохранять файлы во многих форматах, помимо стандартного документа Word.Одним из этих форматов является PDF, который фактически позволяет преобразовать документ в изображение, поскольку PDF-файлы легко преобразовать в файл изображения.
 Эта процедура состоит из двух этапов: сначала преобразование документа в PDF, затем сохранение PDF в виде файла изображения. Вот как это работает.
 1. Сохраните документ Word в формате PDF
 Вы можете использовать встроенную опцию для сохранения документа в формате PDF в Word следующим образом:
 Пока ваш документ открыт в Word, щелкните меню  Файл  вверху и выберите  Сохранить как , а затем  Обзор .
 На вашем экране откроется знакомое окно сохранения. Выберите  PDF  из раскрывающегося меню  Сохранить как тип , введите имя в поле  Имя файла  и нажмите  Сохранить  внизу.
 Убедитесь, что вы можете найти только что созданный PDF-файл на своем компьютере.
 2. Преобразуйте PDF-файл в формат изображения
 Пришло время превратить ваш PDF-файл в изображение, что вы можете сделать с помощью бесплатного приложения. Мы подробно описываем, как это сделать с помощью приложения Windows 10 Store ниже, но вы также можете использовать веб-службу, например PDF to Image, если вы не хотите ничего устанавливать.
 Запустите Microsoft Store, найдите PDF в JPEG и щелкните приложение, когда оно появится в результатах поиска.
 Нажмите кнопку  Get , чтобы загрузить приложение на свой компьютер.
 Нажмите  Запустить  после загрузки и установки приложения.
 В главном интерфейсе приложения щелкните  Выберите файл  и выберите ранее преобразованный PDF-файл.
 Вы увидите предварительный просмотр страниц в вашем PDF-файле. Нажмите  Выберите папку  вверху и выберите папку для сохранения файлов изображений.
 Наконец, нажмите  Конвертировать , чтобы начать преобразование PDF-файла в файл изображения.
 Когда преобразование будет завершено, вы найдете по одному изображению для каждой страницы в документе PDF.
 Если вам неудобно делиться несколькими изображениями с получателем, вы можете объединить их вместе и отправить их как один файл.
 5. Сохранить документ Word как изображение в Интернете
 Есть несколько онлайн-сервисов, которые позволяют конвертировать документы Word в файлы изображений. Вы можете использовать эти службы, не загружая и не устанавливая ничего на свой компьютер.
 Давайте посмотрим на две из этих служб, которые вы можете использовать для сохранения документа Word в виде файла изображения.
 1. Замзар
 Zamzar — это популярный онлайн-сервис конвертации файлов, который можно использовать для преобразования одностраничных или многостраничных документов Word в файлы изображений.Он поддерживает несколько форматов изображений, в том числе популярные, такие как JPG и PNG.
 Вы можете использовать его следующим образом:
 Перейдите на сайт Zamzar и нажмите  Добавить файлы , чтобы добавить документ Word.
 Выберите формат изображения из раскрывающегося меню и нажмите  Преобразовать сейчас .
 После преобразования документа в формат изображения нажмите  Загрузить , чтобы загрузить изображения на свой компьютер.
 2. Word в JPEG
 Word to JPEG — еще один онлайн-сервис, который помогает конвертировать документы Word в изображения в формате JPEG. Вот как вы это используете:
 Откройте сайт Word в JPEG и щелкните  Загрузить файлы , чтобы загрузить документ Word.
 Он автоматически начнет преобразование вашего документа после его загрузки.
 Нажмите кнопку « Загрузить все », чтобы загрузить преобразованные файлы.
 Вам не нужен Word для просмотра документов Word
 Если получателю нужно только прочитать ваш документ, а не изменять его, вы можете сохранить документ Word как файл изображения и отправить его им.Они смогут просматривать его независимо от того, какое устройство они используют.
 Не знаете, как лучше его отправить? Когда дело доходит до обмена фотографиями с друзьями и семьей, у вас есть много вариантов.
  8 способов поделиться фотографиями и видео наедине с семьей  Хотите поделиться фотографиями со своими близкими? Вот несколько практических методов, включая Google Фото и USB-накопитель.
 Читать далее
  Об авторе   Махеш Маквана
 (Опубликовано 302 статьи)  Махеш — технический писатель в MakeUseOf.Он пишет технические практические руководства около 8 лет и охватывает множество тем. Он любит учить людей тому, как они могут максимально эффективно использовать свои устройства. Более
 От Махеша Макваны Подпишитесь на нашу рассылку новостей
 Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать технические советы, обзоры, бесплатные электронные книги и эксклюзивные предложения!
 Нажмите здесь, чтобы подписаться
 Лучшие программы для преобразования документа Word в изображение
 Эта опция широко не применяется в сообществе или ее не использует большинство, но мы точно знаем, что она может быть интересна многим пользователям, которые не могут добавлять текст в какой-либо документ, или не могут добавить слишком много, или даже просто, что в Где они хотят показать указанный документ, у них нет совместимой программы для открытия формата doc или docx.
 В любом случае его использование простое, и ниже приведены лучшие инструменты для преобразования любого документа Word в формат JPEG.
 Free AVS Document Converter
 Во всех конвертерах, которые у нас есть, это предлагает нам очень удобный интерфейс с различными функциями, среди которых преобразование различных форматов документов в форматы изображений и наоборот.
 Это также позволяет нам сжимать файлы, если вы хотите их отправить, загрузить на какой-либо сайт или даже отправить по электронной почте.Его функции просты, но полны по своему основному назначению.
  Бесплатный конвертер документов AVS:  Загрузите здесь
 Бесплатный конвертер Docx в JPG
 Другие инструменты, которые у нас есть для преобразования файлов Docx в JPG, — это бесплатный конвертер Docx в JPG. Программа с несколько устаревшим интерфейсом, но  очень интуитивно понятная , в которой всего несколькими щелчками мыши мы конвертируем желаемый документ в формат  JPEG .
 Мы также можем назвать функцию, которая позволяет нам открывать полные  папок  и конвертировать их.
 Что-то может быть отрицательным для многих, так это то, что эта программа показывает нам , рекламируя  на своем интерфейсе, но это совсем не раздражает.
  Бесплатный конвертер Docx в JPG:  Загрузите здесь
 Пакетный конвертер Word в JPG
 Конвертер в очень  полных форматов изображений , в которых мы не только можем конвертировать форматы изображений, но также и другие как PDF . С помощью этой программы мы можем избежать использования подобных инструментов для преобразования  PDF в , которое также широко используется, и использовать этот инструмент как 2 в 1.
 Другой интересный раздел заключается в том, что он позволяет нам изменять размер изображения  (DPI)  и, таким образом, уменьшать его вес. Как и прежде, эта программа также предлагает нам функцию перетаскивания изображений.
 Пакетный конвертер Word в JPG: Загрузите здесь
 reaConverter — Конвертируйте Word в JPEG
 Очень простая программа, но с интересными функциями, такими как , редактирование изображений,  и преобразование различных форматов изображений, среди которых есть.Формат GIF. Редкий вариант в упомянутых выше программах.
 Его интерфейс простой, но ничего не беспокоит, и с довольно полным использованием функции, на которой он сосредоточен. Одна из функций, которую можно оценить, заключается в том, что мы можем перетаскивать файлы в программу и создавать файловую очередь для одновременного преобразования.
 Среди всех программ, упомянутых выше, это та, которая позволяет нам конвертировать большинство  Docx в варианты формата JPG , разница очень большая. Но что мы должны выделить, и что в конечном итоге многим пользователям не понравится, так это то, что это программа оплаты  .
 У нас есть бесплатная пробная версия, которую мы можем использовать, чтобы окончательно решить, покупать ее или нет.
  reaConverter — DOCX to JPG:  Загрузите здесь
 Как конвертировать PDF-файлы в документы Word и файлы изображений
 PDF (Portable Document Format) — это открытый стандарт, созданный Adobe в 1990-х годах для представления документов поэтому они выглядят одинаково для всех платформ и программного обеспечения. DOC (или DOCX) — это формат / расширение файла, которое в основном используется Microsoft Office для своих текстовых документов.Эти два несовместимы.
 Проблема в том, что вы не можете открыть файл DOC с помощью Adobe Reader (или любого другого бесплатного средства чтения PDF, такого как FoxIt и Sumatra). Но для преобразования PDF-файлов в формат Word — что на самом деле означает просто редактирование PDF-файла в Word — связанный процесс прост.
 Начиная с Word 2013 (выпущенного в 2012 году), Microsoft предлагает функцию под названием PDF Reflow. Он делает то, что вы ожидаете. В Word вы переходите на вкладку «Файл», выбираете «Открыть», выбираете любой PDF-файл и открываете его для редактирования, как если бы это был файл Word DOCX.
 Однако есть ограничения. PDF-файл, который вы открываете в Word, будет содержать все содержимое, но, вероятно, он будет выглядеть не совсем правильно. Это потому, что PDF-файлы «фиксированы» — пока данные есть, файл не сохраняет взаимосвязь между данными (например, положение на странице). Все документы Word требуют такого размещения.
 Вот список от Microsoft того, что именно может не преобразовать правильно:
 Таблицы с шагом ячеек
 Цвета страницы и границы страницы
 Отслеживаемые изменения
 Рамки
 Сноски, охватывающие более одной страницы
 Сноски
 Активные элементы аудио, видео и PDF
 Закладки PDF
 PDF теги
 PDF Комментарии
 Эффекты шрифта, такие как свечение или тень (в файле Word эффекты представлены графикой)
 При открытии PDF-файла в Word появляется следующее предупреждение:
 «Word теперь преобразует ваш PDF-файл в редактируемый документ Word», — говорится в нем.«Это может занять некоторое время. Полученный документ Word будет оптимизирован, чтобы вы могли редактировать текст, поэтому он может выглядеть не так, как исходный PDF, особенно если исходный файл содержал много графики».
 Тем не менее, графика втягивается; они также легко редактируются.
 Сохранить файл из Word 2013 в PDF так же просто, как выполнить «Сохранить как» на вкладке «Файл». Вы должны установить флажки в диалоговом окне сохранения с надписью «Открыть файл после публикации», чтобы сразу просмотреть его.
 Преобразование также работает в Word Online, которое можно найти в Office Online. Вы открываете PDF-файл в Word Online, и его можно просмотреть, но щелкните ссылку «Редактировать в Word», и вы увидите следующее:
 За этим следует еще одно предупреждение об изменениях в макете и т. Д. Но контент будет там и доступен для редактирования, даже если внешний вид будет нестабильным. Попробуйте.
 Вот и все, у вас все готово для использования PDF-файлов в Word. Если у вас нет более старой версии Microsoft Word.
 PDF Использование со старыми версиями Word
 Вам не повезло, пытаясь открыть PDF-файл непосредственно в Word 2010 или более ранней версии.Сначала вам нужно преобразовать файл.
 Есть множество способов сделать это. Такие сайты, как Nitro’s Converter, легко выполнят однократное преобразование в любом направлении и отправят вам результат по электронной почте. Конечно, Nitro предпочтет продать вам какое-нибудь программное обеспечение, что удобно, если у вас есть сотни или тысячи PDF-файлов, требующих преобразования.
 Другие включают: Word.net, имеющий аналогичные функции; doc2pdf, возможно, самый красивый сайт, конвертирующий PDF-файлы в Word и обратно; Возможность PDFPro конвертировать до трех файлов PDF в Word в месяц; и PDF Converter, который также конвертирует PDF в Excel, PowerPoint или изображение, или наоборот.Фактически, вы можете отправить любое вложение по адресу [электронная почта защищена] и получить PDF-файл.
 Для программного обеспечения для настольных ПК — который является самым быстрым способом превратить PDF в документ Word — нет недостатка в параметрах. PDFMate или конвертер WPS Office — отличные варианты для пользователей Windows. Если вы используете Mac, есть Lighten или iPubsoft, но у каждого есть только бесплатная пробная версия, поэтому они не полностью бесплатны.
 Smallpdf продает инструмент Windows за 99 долларов под названием Solid PDF Converter, который делает гораздо больше, чем просто вывод в Word, а также обрабатывает пакетные преобразования и OCR для преобразования отсканированного текста в редактируемый текст; он также предлагает услугу за 6 долларов в месяц, позволяющую совершать неограниченное количество конверсий в Интернете.
 В конечном итоге, однако, Word делает довольно ужасный редактор для файлов PDF. Вам будет намного лучше найти полноценный редактор PDF, и вам не придется платить большие деньги за получение Adobe Acrobat Pro DC.
 FoxIt PhantomPDF, например, стоит 109 долларов; Стандартный PDF Studio от Qoopa стоит 89 долларов; а CutePDF — всего 49,95 доллара. У всех них есть бесплатные пробные версии, поэтому, если у вас есть серьезное редактирование PDF в будущем, попробуйте их, прежде чем соглашаться на преобразование Word.
 Экспорт PDF в JPEG или другой формат изображения
 Если вам нужно преобразовать PDF в файл изображения, это будет намного проще на Mac, чем на ПК.На Mac просто откройте PDF-файл в режиме предварительного просмотра. Используйте меню «Файл»> «Экспорт» и выберите нужный формат изображения и параметры, которые вы предпочитаете, и у вас есть файл изображения.
 В Windows лучший бесплатный метод — открыть бесплатную учетную запись Adobe и войти на https://cloud.acrobat.com/exportpdf. Перетащите PDF-файл в окно; в меню «Преобразовать в:» выберите «Изображение», затем «Формат изображения» (JPEG, PNG или TIFF) и используйте ползунок для выбора качества изображения. Многостраничные PDF-файлы преобразуются в отдельные файлы изображений.Затем вы можете загрузить ZIP-архив с файлами изображений.
 Если вас беспокоят вопросы конфиденциальности и вы не хотите делиться своими данными с Adobe, вы можете использовать множество редакторов изображений для экспорта PDF в файлы изображений. Наш фаворит — XnViewMP (www.xnview.com), бесплатный для личного и образовательного использования. Когда вы открываете PDF-файл в XnViewMP, вам, вероятно, потребуется следовать инструкциям, чтобы установить приложение GhostScript с открытым исходным кодом для работы с файлами PDF и PostScript, но затем вы можете использовать XnViewMP для экспорта PDF в любой стандартный формат изображения.Имейте в виду, что все шрифты будут преобразованы из масштабируемого формата TrueType в растровое изображение, а мелкий текст будет выглядеть «блочно».
 Если вам нужны точные параметры экспорта, любой коммерческий редактор PDF может экспортировать в файлы изображений. Мы использовали FineReader, Acrobat и PDF-Xchange Editor с отличными результатами, включая возможности для создания небольших файлов, подходящих для отображения в Интернете, вставки в документы или использования в любом другом месте, где PDF-файлы не поддерживаются или не удобны.
 Этот информационный бюллетень может содержать рекламу, предложения или партнерские ссылки.Подписка на информационный бюллетень означает ваше согласие с нашими Условиями использования и Политикой конфиденциальности. Вы можете отказаться от подписки на информационные бюллетени в любое время.
 Как преобразовать документ Word в изображение? — Mvorganizing.org
 Как преобразовать документ Word в изображение?
 Как конвертировать документы Word в изображения (jpg, png, gif, tiff)
 Выберите, что вы хотите сохранить как изображение.
 Скопируйте ваш выбор.
 Откройте новый документ.
 Паста специальная.
 Выберите «Изображение».
 Щелкните получившееся изображение правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить как рисунок».
 Выберите желаемый формат в раскрывающемся меню.
 Как преобразовать документ Word в файл PNG?
 Как конвертировать Microsoft Word DOC в PNG
 Перейдите на панель инструментов Универсального конвертера документов.
 Щелкните Преобразовать документ в…
 Выберите изображения PNG в качестве выходного файла и нажмите «Сохранить».
 Как преобразовать PDF в JPEG на моем телефоне?
 Конвертер PDF в JPG — Конвертер изображений бесплатен для вас, если вам нужно преобразовать файлы PDF в изображения JPG / PNG. Вам просто нужно установить это приложение на свое устройство Android и выбрать документ для преобразования. Просто нажмите кнопку +, выберите файл из файлового менеджера и нажмите «Конвертировать в изображение».
 Как бесплатно конвертировать PDF в JPG?
 Как конвертировать файл PDF в JPG онлайн
 Нажмите кнопку «Выбрать файл» выше или перетащите файл в зону перетаскивания.
 Выберите PDF-файл, который нужно преобразовать в изображение с помощью онлайн-конвертера.
 Выберите желаемый формат файла изображения.
 Щелкните «Преобразовать в JPG».
 Войдите, чтобы загрузить или поделиться файлом изображения.
 Как преобразовать PDF в JPG?
 8 Отличное программное обеспечение для преобразования PDF в файлы JPG / JPEG с автономной версией для бесплатной загрузки
 TalkHelper PDF Converter. Windows 7/8 / 8.1 / 10.
 Boxoft конвертер PDF в JPG.
 Конвертер Zamzar PDF в JPG.
 PDFMate Конвертер PDF в JPG.
 Docufreezer Конвертер PDF в JPG.
 Go2Convert Image Converter.
 PDF2JPG.NET.
 Reezaa Конвертер PDF в JPG.
 Какое программное обеспечение вы будете использовать для преобразования PDF в изображения?
 Самая популярная бесплатная программа для преобразования PDF в изображения для Windows. Автономный и простой в использовании UniPDF предлагает высококачественное преобразование файлов PDF в файлы изображений (JPG / PNG / BMP / TIF / GIF / PCX / TGA) в пакетном режиме, при этом все тексты, макеты, изображения и форматирование сохраняются в идеальном состоянии. .
 Как преобразовать изображение в формат JPG?
 Как конвертировать изображение в JPG онлайн
 Перейти к конвертеру изображений.
 Перетащите изображения в панель инструментов, чтобы начать работу. Мы принимаем файлы TIFF, GIF, BMP и PNG.
 Отрегулируйте форматирование, а затем нажмите «Преобразовать».
 Загрузите PDF, перейдите к инструменту PDF в JPG и повторите тот же процесс.
 Shazam! Загрузите ваш JPG-файл.
 Как сохранить изображение на телефоне в формате JPEG?
 Все просто.
 Зайдите в настройки iOS и проведите вниз до камеры. Он похоронен в 6-м блоке, в том, где Музыка вверху.
 Tap Formats.
 Нажмите «Наиболее совместимые», чтобы установить формат фотографий по умолчанию — JPG. Смотрите скриншот.
 Какой формат у изображений сотового телефона?
 Все сотовые телефоны поддерживают формат «JPEG», а также большинство из них поддерживают форматы «PNG» и «GIF». Нажмите «Сохранить», чтобы сохранить изображение. Подключите свой мобильный телефон к компьютеру, щелкните и перетащите преобразованный файл изображения в его папку, чтобы передать его.
 В чем разница между JPG и JPEG?
 Фактически нет различий между форматами JPG и JPEG. Единственное отличие — это количество используемых символов. JPG существует только потому, что в более ранних версиях Windows (файловые системы MS-DOS 8.3 и FAT-16) для имен файлов требовалось трехбуквенное расширение. jpeg был сокращен до.
 Как преобразовать изображение PNG в высокое разрешение?
 Как сконвертировать png в hdr?
 Загрузите png-файл.Выберите файл png, который вы хотите преобразовать, со своего компьютера, Google Диска, Dropbox или перетащите его на страницу.
 Конвертировать png в HDR. Выберите hdr или любой другой формат, который вы хотите преобразовать.
 Загрузите ваш hdr-файл.
 Что такое фотография PNG?
 PNG — популярный формат растровых изображений в Интернете. Это сокращение от «Portable Graphics Format». Этот формат был создан как альтернатива Graphics Interchange Format (GIF). Файлы PNG не имеют ограничений авторского права.
 Как сделать файл PNG без фона?
 Создайте свой фон с прозрачным PNG с помощью Adobe Photoshop
 Откройте файл с вашим логотипом.
 Добавьте прозрачный слой. Выберите «Слой»> «Новый слой» в меню (или просто щелкните квадратный значок в окне слоев).
 Сделайте фон прозрачным.
 Сохраните логотип как прозрачное изображение PNG.
 Повышение качества документа при преобразовании Word в PDF — Советы, руководства, видео по MS Word
 Возникли проблемы с экспортом документов MS Word с изображениями в PDF?  Это может произойти по нескольким причинам.Давайте посмотрим на различные настройки, которые вы можете использовать, чтобы исправить это и получить более качественный PDF-файл. Параметры преобразования в PDF в Word
 Во-первых, в Word есть три способа преобразовать документ в PDF: Щелкните  Файл ,  Сохранить как , затем
 Щелкните  Файл ,  Сохранить как   PDF .
 Щелкните  File ,  Export, Create PDF / XPS document .
 Каждый из них предлагает различные варианты (и потенциальные проблемы) при преобразовании документа в PDF. Изменить формат изображения
 Наиболее частая проблема — это формат файла изображения, который вы используете в документе Word. Возможно, вы используете разные форматы. Может быть, вы вырезали и вставляли из Snagit и не знаете, в каком они формате.  В этом случае вы можете воссоздать изображения с помощью такого инструмента, как Snagit (он может обрабатывать преобразование изображений в пакетном режиме, а не выполнять их одно за другим).  Тип изображения, которое вы импортируете в Word, может повлиять на вывод PDF. Другими словами, если вы попробуете разные форматы, вы можете получить лучшие результаты.Одна интересная особенность EPS заключается в том, что он выглядит ужасно в Word, но очень четким в PDF. Итак, если все, что вас интересует, — это PDF-файл, сначала попробуйте EPS. Иначе: Сохранить или преобразовать изображения в  PNG , а затем вставить в Word.
 Сохраните или конвертируйте изображения в  EPS , а затем вставьте в Word.
 Сохранить или преобразовать изображения в  JPEG , а затем вставить в Word.
 Сохраните документ Word как.  docx  файл, а затем
  Сохранить как  в формате PDF.
 Вариант жалобы ISO
 Далее попробуйте это: Откройте документ Word 2013 со вставленными изображениями.
 Щелкните  Файл ,  Сохранить как  и  PDF  в раскрывающемся меню.
 Кнопка  Options  отображается в нижней части окна. Щелкните  Параметры .
 В диалоговом окне «Параметры »  выберите «Жалоба  ISO 19005-1 (PDF / A) » в разделе «Параметры PDF».
 Сохраните изменения.
  Примечание : В некоторых случаях , снятие отметки  с опцией «Соответствие ISO19005-1», кажется, работает.  Решает ли это проблему? Если нет, попробуйте следующее. Изменить настройки сжатия изображения
 По умолчанию MS Word сжимает изображения. Это может снизить качество изображения при преобразовании в PDF.  Примечание : Отключение сжатия может привести к очень большим размерам файлов без верхнего предела размера файла.  Вы можете отключить этот параметр сжатия следующим образом: В Word щелкните  Файл ,  Параметры .
 Щелкните  Advanced , прокрутите вниз до  Размер и качество изображения .
 Отключить  Отменить данные редактирования .
 Выберите  Не сжимать изображения в файле .
 Выбрать  Установить целевой вывод по умолчанию на 220 ppi .
 Сохраните изменения.
 Изменить параметры оптимизации PDF
 Вы также можете изменить настройки оптимизации PDF.  Одна вещь, которая сработала для меня недавно, — это изменить настройки с минимальных на стандартные. Щелкните  Файл ,  Сохранить как , затем выберите PDF в раскрывающемся меню.
 Не нажимайте  Файл ,  Сохранить как   Adobe PDF . Внизу страницы нажмите кнопку  Standard  (публикация онлайн и печать) вместо  Minimum  size (публикация онлайн).
 Отключить аппаратное ускорение графики
 Это немного длинновато, но также попробуйте отключить этот параметр: В Word 2013 щелкните  Файл ,  Параметры ,  Дополнительно .
 В группе опций  Display  снимите флажок  Отключить аппаратное ускорение графики.

   Оставить комментарий on Перевести ворд в изображение: Word в JPEG – Конвертировать файлы Word в JPEG изображения онлайн/

`Рассчитать медиану онлайн: Медиана чисел | Онлайн калькулятор`

alexxlab / 10.10.197016.09.2022 / Разное

`Mathway | Популярные задачи`

1	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Вычислить	5+5
4	Вычислить	7*7
5	Разложить на простые множители	24
6	Преобразовать в смешанную дробь	52/6
7	Преобразовать в смешанную дробь	93/8
8	Преобразовать в смешанную дробь	34/5
9	График	y=x+1
10	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найти площадь поверхности	сфера (3)	
12	Вычислить	54-6÷2+6
13	График	y=-2x
14	Вычислить	8*8
15	Преобразовать в десятичную форму	5/9
16	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	y=2
18	Преобразовать в смешанную дробь	7/8
19	Вычислить	9*9
20	Risolvere per C	C=5/9*(F-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	y=x+4
23	График	y=-3
24	График	x+y=3
25	График	x=5
26	Вычислить	6*6
27	Вычислить	2*2
28	Вычислить	4*4
29	Вычислить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Вычислить	1/3+13/12
31	Вычислить	5*5
32	Risolvere per d	2d=5v(o)-vr
33	Преобразовать в смешанную дробь	3/7
34	График	y=-2
35	Определить наклон	y=6
36	Перевести в процентное соотношение	9
37	График	y=2x+2
38	График	y=2x-4
39	График	x=-3
40	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+5x+6=0
41	Преобразовать в смешанную дробь	1/6
42	Преобразовать в десятичную форму	9%
43	Risolvere per n	12n-24=14n+28
44	Вычислить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразовать в упрощенную дробь	43%
47	График	x=1
48	График	y=6
49	График	y=-7
50	График	y=4x+2
51	Определить наклон	y=7
52	График	y=3x+4
53	График	y=x+5
54	График	3x+2y=6
55	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-5x+6=0
56	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-6x+5=0
57	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-9=0
58	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Разложить на простые множители	14
61	Преобразовать в смешанную дробь	7/10
62	Risolvere per a	(-5a)/2=75
63	Упростить	x
64	Вычислить	6*4
65	Вычислить	6+6
66	Вычислить	-3-5
67	Вычислить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найти обратную величину	1/3
71	Преобразовать в смешанную дробь	11/20
72	Преобразовать в смешанную дробь	7/9
73	Найти НОК	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
74	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-3x-10=0
75	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+2x-8=0
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	y=-x-2
79	График	y=3x+7
80	Определить, является ли полиномом	2x+2
81	График	y=2x-6
82	График	y=2x-7
83	График	y=2x-2
84	График	y=-2x+1
85	График	y=-3x+4
86	График	y=-3x+2
87	График	y=x-4
88	Вычислить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	x+2y=4
91	График	x=7
92	График	x-y=5
93	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+3x-10=0
94	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-2x-3=0
95	Найти площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразовать в смешанную дробь	3/10
97	Преобразовать в смешанную дробь	7/20
98	Преобразовать в смешанную дробь	2/8
99	Risolvere per w	V=lwh
100	Упростить	6/(5m)+3/(7m^2)

`Как рассчитать медиану выборки?`


Как рассчитать медиану выборки?
mediāna «середина») набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию. Таким образом, медиана — это такое число, что половина из элементов набора больше него, а другая половина меньше (строго говоря, это верно только если все элементы набора различны).
Что такое медиана и мода?
Мода (Mo) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой, т. … мода – значение признака, встречающееся чаще всего. Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.
Как найти медианное значение?
Онлайн калькулятор для нахождения медианы ряда чисел. Медианой (серединой) набора чисел называется число стоящее посередине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Если количество чисел в ряду чётное, то медианой ряда является полусумма двух стоящих посередине чисел.
Что такое медиана и ее свойства?
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1). Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы. … Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).
Что такое медиана в массиве?
Медиана массива. … такое значение, которое после сортировки массива A[1…n] будет равно: элементу A[n / 2 + 1], при нечетном n и (A[n / 2] + A[n / 2 + 1]) / 2.
Как найти длину медианы?
Длина медианы треугольника е. медиана треугольника равняется половине корня квадратного из удвоенной суммы квадратов двух сторон минус квадрат третьей стороны.
Как медиана делит угол?
Так давайте разбираться. На самом деле, медиана — это такой отрезок, который проведён из вершины к противоположной стороне, деля её при этом на два одинаковых отрезка. Как Вы можете увидеть, то медиана делит не угол пополам, а сторону, к которой проведена. А угол пополам будет делить биссектриса.
В каком отношении медианы делятся точкой пересечения?
Основное свойство Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
В каком отношении делятся медианы равностороннего треугольника?
Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Как вывести формулу медианы треугольника?
Длина медианы, проведенной к стороне треугольника равна половине корня квадратного из удвоенного произведения суммы квадратов двух других сторон минус квадрат этой стороны.
Что такое медиана в прямоугольном треугольнике?
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.
Чему равен катет лежащий против угла в 30 градусов?
Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Как найти медиану равностороннего треугольника?
Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. …
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Как доказать что треугольник прямоугольный по сторонам?
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:
Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы
Медиана прямоугольного треугольника равна половины гипотенузы
сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
Как узнать Остроугольный ли треугольник по сторонам?
Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон: с² треугольник остроугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон: с² > a²+b² – треугольник тупоугольный.
Как определить вид треугольника по его сторонам?
Поскольку всего три стороны, то можно составить три варианта сложения двух сторон: a + b , b + c , a + c . Первую сумму сравниваем с оставшейся стороной , вторую — с a и третью — с b . Если хотя бы в одном случае сумма окажется не больше третьей стороны, то делается вывод, что треугольник не существует.
Как определить прямоугольный треугольник или нет?
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.
Как отличить остроугольный треугольник от Тупоугольного?
Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол. Тупоугольный треугольник — треугольник, все стороны которого есть тупой угол.
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике?
Примеры решения задач
Задание В прямоугольном треугольнике катеты равны см и см. Найти высоту , опущенную на гипотенузу .
Решение Пусть катет см, а см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза см Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. Высоту найдем по формуле
Ответ см
Как найти катет зная катет и угол?
Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к первому катету угла.
Как найти длины катетов?
Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами. Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы. К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Как найти гипотенузу зная катет и угол между ними?
Найти можно через тригонометрическую функцию Sin или Cos угла. Так как Sin = противолежащий катет/гипотенуза, а Cos = прилежащий катет/гипотенуза, то если известный угол прилежащий к катету гипотенуза = 3/Cos40 = 3.
Как найти длину гипотенузы зная угол и катет?
Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c. Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов.
Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?
Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Как найти гипотенузу в равнобедренном треугольнике?
Найти ее можно как квадратный корень из удвоенного произведения квадрата катета – это следствие из теоремы Пифагора и равенства катетов, как боковых сторон равнобедренного треугольника.
Как найти синус угла?
Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Среднее арифметическое чисел. Мода. Медиана. Размах ряда чисел – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД
Запомнить
Восстановить пароль
Регистрация
Конспект
Среднее арифметическое нескольких величин – это отношение суммы величин к их количеству.
Правило. Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.
Например: найдем среднее арифметическое чисел 2; 6; 9; 15.
У нас четыре числа, значит надо их сумму разделить на четыре. Это и будет среднее арифметическое данных чисел: (2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.
Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Например: найдем размах чисел 2; 5; 8; 12; 33.
Наибольшее число здесь – 33, наименьшее – 2. Значит, размах составляет 31, т. е.: 33 – 2 = 31.
Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Например: найдем моду ряда чисел 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 8.
Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Например: в ряде чисел 2; 5; 9; 15; 21 медианой является число 9, находящееся посередине.
Найдем медиану в ряде чисел 4; 5; 7; 11; 13; 19.
Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел: (7 + 11) : 2 = 9. Число 9 является медианой данного ряда чисел.
Вопросы
В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 4; 3; 2; 4; 5.

Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы?
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите медиану и размах ряда.
Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите моду ряда и среднее арифметическое ряда.
Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (тг): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000.

Найдите среднюю заработную плату.
Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
Найдите объем и медиану числового ряда.

9; 7; 1; 1; 11; 5; 1.
Товарные запасы хлопчатобумажных тканей в магазине за первое полугодие составили (тыс. тг) на начало каждого месяца:

 

I
II
III
IV
V
VI
VII
37
34
35
32
36
33
38
Определите средний товарный запас хлопчатобумажных тканей за первое полугодие.
Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8.

Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.
Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22.

Найдите медиану этого набора чисел.
Провели несколько измерений случайной величины:

800; 3200; 2000; 2600; 2900; 2000. Найдите моду этого набора чисел.
 

Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам: 60, 75, 80, 85, 90, 100, 110, 120 тенге.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.
 

Дан числовой ряд: 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 7,8.

Найдите среднее арифметическое, размах и моду.
Сообщить об ошибке
Инструмент для работы с графами онлайн
Визуализация графа, поиск кратчайшего пути и многое другое. В разделе Справка вы найдете обучающие видео.
Graph
Создание алгоритмы
 Вставьте ваш алгоритм ниже и нажмите «Выполнить»
Задайте матрицу смежности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя
Для мультиграфа матрица содержит значения минимальных дуг между вершинами.
Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя. Матрица должна иметь одинаковое количество столбцов и строк.
Задайте матрицу инцидентности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя
Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя.
Ваш алгоритм отправлен на модерацию и в случае успеха он будет добавлен на сайт.
Ошибка создания графа. Матрица смежности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы
Ошибка создания графа. Матрица инцидентности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы
Какие функции нам добавить в первую очередь?
Пожалуйста, напишите, какого алгоритма вам не хватает. Поддержвать проект.
Сервис уже поддерживает следущий функционал: Поиск пути алгоритмом Дейкстры, матрицу смежности, матрицу инцидентности.
Прозрачность
Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область.
Перемещайте курсор для перемещения объекта
Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область.
Перемещайте курсор для перемещения объекта
Кликните на рабочую область, чтобы добавить вершину. Нумерация вершин
Выделите первую вершину для создания дуги
Выделите вторую вершину, которую хотите соединить
Выделите вершину, из которой хотите найти кратчайших путь
Выделите конечную вершину кратчайшего пути
Расстояние между вершинами %d
Пути не существует
Кликните по объекту, который хотите удалить
Добавить ребро
Ориентированную
Неориентированную
Матрица смежности
Сохранить
Отмена
Мин. расстояние =
Матрица инцидентности
Сохранение графа
закрыть
Число компонентов связности графа равно
Число слабо связных компонентов равно
Что вы думаете о сайте?
Имя (email для ответа)
Написать
Отправить
Напишите нам
исправить матрицу
справка
Матрица имеет неправильный формат
Сохранение изображения графа
Полный отчёт
Краткий отчёт
Граф не содержит Эйлеров цикл
Граф содержит Эйлеров цикл
Обработка. ..
Добавить вершину
Переименовать вершину
Переименовать
ru
Изменить вес
ненагруженный
Групповое переименование
Опрос
Рекомендовать алгоритмы
Граф не содержит Эйлерову цепь
Граф содержит Эйлерову цепь
Граф минимальных расстояний.
Нажмите для сохранения
Показать матрицу расстояний
Матрица расстояний
Выделите исток максимального потока
Выделите сток максимального потока
Максимальный поток из %2 в %3 равен %1
Поток из %1 в %2 не существует
Исток
Сток
Граф не содержит Гамильтонов цикл
Граф содержит Гамильтонов цикл
Граф не содержит Гамильтонову цепь
Граф содержит Гамильтонову цепь
Выбирете начальную вершину обхода
Порядок обхода:
Изгиб дуги
Отменить
Сохранить граф
По умолчанию
Стиль отрисовки вершины
Стиль отрисовки дуги
Цвет фона
Мультиграф не поддерживает все алгоритмы
ненагруженный
Выделите несколько объектов используя Cmd⌘.
Выделите несколько объектов используя Ctrl.
Перемещайте группу.
Копировать
Удалить
Поиск в ширину
Раскраска графа
Найти компоненты связности
Поиск в глубину
Найти Эйлеров цикл
Найти Эйлерову цепь
Алгоритм Флойда — Уоршелла
Упорядочить граф
Найти Гамильтонов цикл
Найти Гамильтонову цепь
Поиск максимального потока
Поиск минимального остовного дерева
Визуализация на основе весов
Поиск радиуса и диаметра графа
Поиск кратчайший путь алгоритмом Дейкстры
Рассчитать степень вершин
Вес минимального остовного дерева равен
Мы игнорировали ориентацию дуг при рассчете.
Граф не является связным
Выделите первый граф для проверки на изоморфизм. Кликните по любой вершине графа
Выделите второй граф для проверки на изоморфизм. Кликните по любой вершине графа
Выделите граф, которому должны быть изоморфны подграфов. Кликните по любой вершине графа
Выделите граф в котором необходимо найти изоморфные подграфы. Кликните по любой вершине графа
Графы изоморфны
Графы не изоморфны
Количество изоморфных подграфов равно
Граф не содержит изоморфных подграфов
Поиск изоморфных подграфов
Изоморфных подграф №
Для использования алгоритма необходимо создать хотя бы 2 не связных графа
Проверка изоморфности графов
Граф не является связным
Граф содержит только одну вершину
Радиус графа
Диаметр графа
Центральная
Периферийная
Максимальная степень вершин графа равна
Найденное количество цветов
Готово
Действия
Стиль обычной дуги
Стиль выделенной дуги
Стиль обычной вершины
Стиль выделенной вершины
Поиск всех путей
Количество путей из
 в
 равно
Путь №
Выделите конечную вершину
Выделите начальную вершину
Найти все кратчайшие пути от вершины
Расстояние от
Путь до
Поиск самого длинного пути
Длина самого длинного пути ровна
Особые действия
Поменять направление всех дуг
Сделать все дуги неориентированными
Сделать все дуги ориентированными
Структурные средние — мода, медиана, квартиль, дециль.
 Решение задач и контрольных работ по статистике онлайн
Краткая теория
Наиболее широкое применение в статистике имеют структурные
средние, к числу которых относятся мода и медиана (непараметрические средние).
Мода  — величина признака (варианта), которая
встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). К моде (Мо)
прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение
(цена на рынке, по которой было совершено наибольшее число продаж данного
товара, номер обуви, который пользуется наибольшим спросом у покупателей и т.
д.). Мода используется только в совокупностях большой численности. В дискретном
ряду мода находится как варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальном
ряду сначала находится модальный интервал, то есть  интервал, обладающий наибольшей частотой, а
затем – приближенное значение модальной величины признака по формуле:

 

 
 – нижняя граница модального интервала

 
   — величина модального интервала

 
 – частота интервала, предшествующего
модальному

 
 – частота модального интервала
 
 
 – частота интервала, следующего за модальным
Квантили -
величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по
численности элементов частей. Самый известный квантиль – медиана,  делящая совокупность на две равные части.  Кроме медианы часто используются квартили,  делящие ранжированный ряд на 4 равные части,  децили -10 частей и перцентили — на 100
частей.
Медиана -
величина признака у единицы, находящейся в середине ранжированного
(упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными
значениями признака, то медиана (Me) находится как
серединное значение признака.
Если ряд распределения дискретный, то медиана находится как
серединное значение признака (например, если число значений нечетное – 45, то 
 
 соответствует 23 значению признака в ряду
значений, расположенных в порядке возрастания, если число значений четное – 44,
то медиана соответствует полусумме 22 и 23 значений
признака).
Если ряд распределения интервальный, то первоначально
находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине
ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частот 
 
 делят пополам и на основании  последовательного накопления (суммирования)
частот интервалов, начиная с первого, находят интервал, где расположена
медиана. Значение медианы в интервальном ряду вычисляют по формуле:

 

 
   — нижняя граница медианного интервала

 
    — величина медианного интервала

 
  — сумма
частот ряда

 
 – сумма накопленных частот в интервалах,
предшествующих медианному

 
 – частота медианного интервала
Квартили — это значения
признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц
совокупности будут меньше величины 
 
,  25% единиц будут заключены между  
 
 и 
 
 ; 25%  -
между  
 
  и 
 
,
остальные 25% превосходят 
 
.  Квартили определяются по формулам,
аналогичным формуле для расчета медианы. Для интервального ряда:

 

 

 
Децилем
называется структурная переменная, делящая распределение на 10 равных частей по
числу единиц в совокупности. Децилей 9, а децильных
групп 10. Децили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета
медианы и квартилей.
 
В целом общая формула для расчета квантилей в интервальном
ряду такова:

 

 
 – порядковый номер квантиля

 
 – размерность квантиля (на сколько частей эти
квартили делят совокупность)

 
 – нижняя граница квантильного
интервала

 
 – ширина квантильного
интервала

 
 — накопленная частота предквантильного
интервала
Для дискретного ряда номер квантиля можно
найти по формуле:

 
 
Примеры решения задач
Задача 1
(дискретный ранжированный ряд)
В
результате исследований установлен среднемесячный доход жильцов одного
подъезда:

1. 5


1.8


2


2.5


2.8


2.8


2.8


3.0


3.6


3.8


3.9


4


5.8


5.9


6


6


6


6.8


7


7

Определите:
Модальный
и медианный доход, квартили и децили дохода.
Решение

Имеем уже ранжированный ряд — значения дохода жильцов распределены по возрастанию.
Мода
— наиболее часто встречающееся значение. В данном случае имеем ряд с двумя
модами.

 
 и 
 
 
 
Медиана
— такое значение признака, которое делит упорядоченное множество данных
пополам.

 
Квартили
— значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25%
единиц совокупности будут меньше величины 
 
; 25% единиц будут
заключены между 
 
 и 
 
;  25% — между 
 
 и 
 
; остальные 25%
превосходят 
 
.

 
 
Дицили делят ряд на 10 равных частей:
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 2
 (интервальный ряд)
Для
определения среднего размера вклада в кредитном учреждении были получены
следующие данные:


 Размер вклада, тыс.р.


 до 10.0


 10.0-16.0


 16.0-22.0


 22.0-28.0


 28.0-34.0


 Свыше 34.0


 Удельный вес
 вкладов, %


 5.0


 8.0


 15.0


 22.0


 30.0


 20.0

Рассчитайте
 структурные средние (моду, медиану,
квартили).
Решение
Вычислим моду размера вклада:
Мода — варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Мода вычисляется по формуле:

 

 
   -
начало модального интервала

 
    -
величина интервала

 
   -
частота модального интервала

 
   -
частота интервала, предшествующего модальному

 
   -
частота интервала, следующего за модальным

 
 
 
Таким образом,  наибольшее
количество вкладов имеют размер 30,7 тыс.р.
 
Медиана — варианта, находящаяся в середине ряда распределения.
Расчет медианы производится по формуле:

 

 
   -начало
(нижняя граница) медианного интервала

 
   
-величина интервала

 
 
-сумма всех частот ряда

 
  
-частота медианного интервала

 
-сумма накопленных частот вариантов до
медианного

 
 
Таким образом, половина вкладов имеет размер до 28 тыс. р.,
другая половина — более 28 тыс.р.
 
Вычислим квартили:

 

 

 
 
Таким
образом 25% вкладов меньше 20,8 тыс.р., 25% вкладов
лежат в интервале от 20,8 тыс.р. до 28 тыс.р., 25% лежат в интервале от 28 тыс.р.
до 33 тыс.р., 25% больше величины в 33 тыс.р.
Задача 3
Постройте
графики для вариационного ряда. На графике покажите моду, медиану, среднюю, квартили.


 Возраст детей (лет)


 Число детей (доли)


 0-3


 0.15


 3-6


 0.2


 6-9


 0.4


 9-12


 0. 2


 12-15


 0.05

Решение
Вычислим
среднюю 
 
: Для этого просуммируем
произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму
разделим на сумму частот.

 
Вычисление моды интервального ряда на графике
Построим
гистограмму.
Мода определяется по

гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник,
который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального
прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А
левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего
прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось
абсцисс.
Абсцисса точки пересечения
этих прямых и будет модой распределения
 
Гистограмма

 
По
гистограмме получаем, что 
 
 
Вычисление медианы и квартилей интервального ряда на графике
Построим
кумулятивную кривую частот (график накопленных частот)

 
 


 0-3


 3-6


 6-9


 9-12


 12-15


 
 


 0. 15


 0.35


 0.75


 0.95


 1

Кумулятивная кривая частот

 
На получившимся графике
накопленных частот из последней получившейся точки (в нашем примере) проведем
линию перпендикулярную к оси 
 
 она так же
является максимальной высотой. Поделим ее на 4 части. Через полученные точки
строим параллельную оси 
 
 линии которая должна пересекать высоту к оси 
 
 и кумуляту. От
места пересечения кумуляты опускаем перпендикуляры. Получившиеся точки есть квартили
и медиана (квартиль при 
 
).

 
Вывод к задаче
Таким образом
средний возраст детей 6,9 лет. Наибольшее количество детей имеют возраст 7,5
лет. Четверть детей младше 4,5 лет, а самая старшая четверть детей старше 9,1
лет. Половина детей имеет возраст менее 7,3 лет, другая половина – более 7,3
лет.
Новые приключения медианы йодурии | Герасимов
С начала 1990-х почти до конца нулевых годов отечественная тиреоидология развивалась под знаком “медианы йодурии”. Появление доступных методик, таких как определение концентрации йода в моче (КЙМ) и оценка объема щитовидной железы (ЩЖ) с помощью ультразвукового сканирования (УЗИ), помноженное на бескрайние просторы России, открыло невозделанное поле для эпидемиологических исследований. Аналогичные процессы происходили и в других частях света, и, применяя марксистскую терминологию, происходящее в то время можно было бы назвать “первоначальным накоплением капитала”, если под капиталом понимать новые знания о природе и распространенности йодного дефицита.
Опять же в силу бескрайности просторов Россия остается одной из немногих стран в мире, в которых в течение последних 25 лет не было проведено общенационального исследования распространенности йодного дефицита. Вместо этого во многих регионах страны были выполнены (иногда неоднократно) автономные проекты, включающие исследование КЙМ у школьников (реже – у других групп населения) с расчетом медианной КЙМ (мКЙМ) или, просто говоря, “медианы йодурии”. Несмотря на недостатки такого подхода (отсутствие единых критериев выбора кластеров и целевых групп населения), уже к началу нулевых годов исследования были проведены во всех федеральных округах и большинстве крупных регионов и показали, что практически на всей территории Российской Федерации потребление йода было недостаточным [1]. Снижение мКЙМ выявили даже там, где его меньше всего ожидали, – на берегу Черного моря и у жителей острова Сахалин, за исключением небольшой популяции корейцев, традиционно использующих в питании много морепродуктов и морских водорослей.
Наиболее тяжелый йодный дефицит был выявлен в Туве, где среди воспитанников интернатов и домов ребенка были обнаружены недавние случаи йододефицитного кретинизма, а мКЙМ была ниже 20 мкг/л. В отличие от ряда других стран (например, Китая) только в одном населенном пункте России (г. Туринске Свердловской области) был выявлен природный избыток йода в питьевой воде, а мКЙМ у школьников составила 719 мкг/л, что было примерно в 6 раз выше, чем в соседнем городе [2].
Не обошлось и без “перегибов на местах”, что понудило тогдашнего научного редактора журнала “Проблемы эндокринологии” профессора В. Фадеева еще в 2003 г. открыть дискуссию на сайте “Тиронет”¹ под названием “Медиана йодурии от измученного редактора” и начать ее словами: “Люди, опомнитесь!!!” Возможно, что нервный срыв был вызван чтением подобного рода текста: “Продолжающееся воздействие антропоэкологического напряжения может закончиться переходом нейроэндокринных гомеостатических систем организма на новый биоэнергетический уровень, который выражается в изменении состояния здоровья, характеризующегося как преморбидное состояние или хронизация негативных процессов” [3].
Также возникли сложности с интерпретацией выявленных в процессе эпидемиологических исследований расхождений степени выраженности йодного дефицита по показателям мКЙМ по отношению к частоте зоба по данным УЗИ. Часто получалось, что мКЙМ у школьников на фоне проводимых профилактических мероприятий возрастала до оптимальных показателей, в то время как частота зоба если и снижалась, то ненамного и оставалась выше эндемического порога в 5%.
В статьях весьма авторитетных специалистов стали появляться утверждения, что “проведение йодной профилактики снижает напряженность зобной эндемии, но не ликвидирует ее полностью”. Что существуют некие таинственные “экопатогены”, которые “крайне неблагоприятно влияют на функцию щитовидной железы и тем самым способствуют формированию зоба”, “а в генезе зоба в большинстве регионов России в настоящее время помимо дефицита йода существенную роль играют и другие зобогенные факторы, в основном экопатогены”. При этом “в тех случаях, когда в генезе зоба ведущую роль играют экопатогены, а не дефицит йода, лечение йодсодержащими препаратами неэффективно”. В ответ я посвятил пару статей разбору этих явных и надуманных проблем [4, 5].
Нельзя не признать, что ранние руководства помониторингу йодного дефицита, выпущенные под эгидой ВОЗ, ЮНИСЕФ и Глобальной сети по йоду² (ГСЙ), перечисляли индикаторы оценки йодного дефицита, как говорится, “через запятую”, не оценивая приоритетность и информативность тех или иных методов. У некоторых исследователей даже возникало впечатление, что для исследования йодного статуса населения необходимо применять всю батарею индикаторов (частоту зоба, экскрецию йода с мочой, уровень тиреоглобулина в крови и частоту повышения более 3% уровней неонатального тиреотропного гормона (ТТГ) свыше 5 мИЕ/л). Только в самой последней редакции руководства ВОЗ, ЮНИСЕФ и ГСЙ [6], выпущенной в 2007 г., приоритетным и наиболее информативным методом оценки текущего статуса йодной обеспеченности населения было названо определение йода в моче.
Однако с момента выпуска руководства [6] прошло более 10 лет, и возникла необходимость дать обновленные рекомендации, основанные на опыте и ошибках последних 10–15 лет. У читателя не должно возникнуть впечатления, что проблемы с “медианой йодурии” возникали только в российских исследованиях; они, увы, носили массовый характер. Поэтому в ЮНИСЕФ было проведено техническое консультативное совещание по мониторингу программ йодирования соли, по результатам которого были подготовлены рекомендации [7], опубликованные в 2018 г. С любезного согласия д-ра Р. Купки, советника по микронутриентам штаб-квартиры ЮНИСЕФ в Нью-Йорке, наш журнал опубликовал в этом номере перевод данных рекомендаций с небольшой редакторской адаптацией [8].
Естественно, в этой колонке я не буду пересказывать содержание рекомендаций, но попытаюсь остановиться на некоторых моментах, наиболее, на мой взгляд, интересных для читателей тиреоидологического журнала.
Начну с того, чему в рекомендациях уделено всего несколько строчек, но что может быть важным для эндокринологов, которые в России являются наиболее преданными сторонниками программ йодной профилактики. А сказано там буквально следующее: оценка распространенности зоба (с использованием УЗИ, а тем более пальпации) в эпидемиологических исследованиях не является надежным индикатором статуса йодного потребления. При этом показатели объема ЩЖ и распространенности зоба оказались нечувствительными к быстрым изменениям уровня потребления йода³. Также имела место существенная субъективность при оценке зобов небольшого размера даже при использовании УЗИ. Все это не новости. Новость в том, что впервые четко сформулирована рекомендация прекратить исследование распространенности зоба при рутинных обследованиях статуса йодной обеспеченности населения, отдавая предпочтение анализу показателей мКЙМ, являющейся наилучшим индикатором потребления йода с питанием.
Ни в коем случае нельзя понимать эту рекомендацию как запрет ученым изучать состояние ЩЖ при различном йодном статусе населения. Речь идет именно о рутинных исследованиях, проводимых в странах и регионах с определенными интервалами для мониторинга программ йодной профилактики.
В новых рекомендациях [7] впервые четко указано, что обследования на базе школ для оценки статуса йодной обеспеченности населения имеют определенные ограничения по дизайну. Выбор школьников как целевой группы был обусловлен в первую очередь относительной простотой сбора материала (образцов соли и мочи для определения йода) в учебных заведениях по сравнению с домохозяйствами. Показатели мКЙМ у школьников достаточно точно отражают степень обеспеченности йодом общей популяции (general population), но не беременных и кормящих женщин, потребность в йоде у которых повышена.
Например, в принятой к публикации в следующем номере журнала статье из Беларуси показано, что мКЙМ у школьников (общенациональная когорта из 873 детей) составляла 191 мкг/л, ровно посередине диапазона от 100 до 300 мкг/л, что свидетельствует об оптимальном уровне йодной обеспеченности общей популяции. Вместе с тем мКЙМ у беременных женщин (121 мкг/л; общенациональная когорта из 700 женщин) указывает на неадекватный статус йодной обеспеченности: оптимальный диапазон составляет 150–250 мкг/л [9]. Это нередкая ситуация: две трети европейских стран, в которых были проведены обследования, сообщили о неадекватном йодном обеспечении беременных. При этом мКЙМ могла быть оптимальной в общей популяции [10].
Школьные обследования также могут неточно отражать йодный статус всего населения в странах или регионах, где действуют широкомасштабные программы школьного питания (с использованием йодированной соли или иных йодных добавок). Это имеет прямое отношение к России: при скудости профилактических мер для преодоления йодной недостаточности именно школьники чаще всего получают обогащенные йодом хлеб и другие продукты в рамках программ питания организованных коллективов. И если в уездном городе N мКЙМ у школьников оптимальная, это может не отражать статус йодной обеспеченности у остальных обывателей, не охваченных заботой государства российского.
Новые рекомендации [7] также расширяют диапазон мКЙМ, указывающий на адекватное потребление йода у школьников, с 100–199 до 100–299 мкг/л. При этом осталась неизменной интерпретация мКЙМ более 300 мкг/л как “избыточное” потребление йода у школьников. Согласно прежнему руководству [6], существовал отдельный диапазон мКЙМ от 200 до 299 мкг/л, именованный как “более чем адекватное” потребление йода. Это вызывало вопросы и недоумение: чем “более чем адекватное” потребление йода отличается от “избыточного”? Ответ дало большое многонациональное исследование функции щитовидной железы у детей в зависимости от величины потребления йода, поведенное в 2013 г. Оно показало отсутствие дисфункции щитовидной железы у школьников при мКЙМ в диапазоне 100–299 мкг/л [11].
Нужно иметь в виду, что, по мнению составителей новых рекомендаций [7], расширение адекватного диапазона мКЙМ у школьников не должно распространяться на женщин репродуктивного возраста и вообще взрослых лиц. По мнению ведущих специалистов⁴ , диапазоны мКЙМ у детей в целом должны с определенной осторожностью распространяться на взрослых лиц, нормативы для которых пока еще не разработаны.
Таким образом, мКЙМ является наилучшим индикатором статуса йодной обеспеченности населения, а мКЙМ у школьников в диапазоне от 100 до 299 мкг/л указывает на отсутствие дефицита йода в общей популяции. Типичной ошибкой, указанной в рекомендациях [7], является представление о том, что лица с КЙМ <100 мкг/л имеют дефицит йода. Потребление йода с питанием и, следовательно, КЙМ являются очень вариабельными изо дня в день (особенно при анализе уровня йода в разовой порции мочи). Даже у лиц, среднее потребление йода у которых достаточно для поддержания нормальной функции ЩЖ, могут случаться отдельные дни и часы, когда КЙМ снижается до <100 мкг/л. В результате в популяциях с адекватным потреблением йода всегда будут встречаться показатели КЙМ <100 мкг/л. Вместе с тем эти показатели не являются индикативными для оценки распространенности дефицита йода среди населения. Об этом писали уже не раз, но ошибки в интерпретации данных носили массовый характер.
Отчасти такая трактовка данных объясняется тем, что бюрократам в органах здравоохранения (не исключая ВОЗ!) не очень понятна суть “медианы йодурии”. Им нужны конкретные цифры “больных” и “здоровых”. Когда в качестве основного индикатора для оценки выраженности йодного дефицита использовалась заболеваемость или распространенность зоба, то все было в порядке. А как интерпретировать “медиану йодурии”? Вот и стали “больными” считать тех, у кого КЙМ при эпидемиологических исследованиях была <100 мкг/л.
Например, мКЙМ в 122 мкг/л, полученная при обследовании общенациональной репрезентативной когорты школьников в Швейцарии, указывает на отсутствие йодного дефицита в общей популяции этой замечательной страны. Неправильно интерпретировать долю образцов мочи с уровнем йода <100 мкг/л (в приведенном выше примере таковых было 40%) как процент населения с йодным дефицитом. В равной мере 10% школьников с мКЙМ ≥300 мкг/л нельзя интерпретировать как долю населения, якобы имеющего избыточное потребление йода.
Следует сказать, что в настоящее время ведется активный поиск новых методических подходов к тому, как использовать показатели КЙМ для определения доли лиц в популяции с дефицитом и избытком йода. В двух больших обследованиях, проведенных в Армении и Грузии в 2016–2017 гг., были впервые использованы оригинальные подходы для расчета не только мКЙМ, но и суточных показателей поступления йода с питанием, что позволяло вычислить долю лиц с низким и высоким потреблением йода [12]. Но эта тема выходит за рамки настоящей публикации и требует отдельного разговора.
В начале этой колонки я предположил, что эра “медианы йодурии” в отечественной тиреоидологии закончилась в конце нулевых годов. А после наступил естественный спад интереса к проблеме. Какой смысл повторных обследований йодной обеспеченности населения, если профилактические мероприятия в основном носят формальный характер? Определенным разочарованием была неспособность правительственных органов и Государственной Думы в течение уже более 15 лет принять закон, регулирующий (даже в ограниченном масштабе) обязательное йодирование соли.
В недавно опубликованной статье [13] сотрудники НМИЦ эндокринологии Минздрава России проанализировали показатели заболеваемости и распространенности отдельных форм йододефицитных заболеваний у детей (0–14 лет), подростков (15–17 лет) и взрослых лиц (старше 18 лет) за период с 2009 по 2015 г.
Результаты были вполне ожидаемыми: заболеваемость эндемическим и другими формами нетоксического зоба детей за изученный период возросла с 41,4 до 44,2 случаев, а взрослых – с 910,5 до 978,4 случаев на 100 тыс. населения. При этом заболеваемость зобом у подростков несколько снизилась (может быть, сказался эффект использования йодированной соли в школьном питании?). Также был отмечен существенный рост заболеваемости и распространенности субклинического гипотиреоза во всех возрастных группах. Даже признавая несовершенство приведенной выше статистики, рассчитанной по данным обращаемости населения в медицинские учреждения, можно сделать вывод о фактическом провале системы профилактики йодного дефицита в стране.
Скажу прямо: сегодня я не вижу необходимости возобновления широкомасштабных полевых эпидемиологических исследований статуса йодной обеспеченности населения России (как на национальном, так и региональном уровне). Вернуться к “медиане йодурии” можно только после того, как будут приняты законодательные акты, регламентирующие эффективные мероприятия по использованию йодированной соли в хлебопекарной промышленности, общественном питании и повышению ее доступности в розничной торговле.
Но и сидеть сложа руки тоже неправильно: нужно внедрять методы оценки, практически не требующие дополнительных затрат. Например, одним из перспективных индикаторов оценки статуса йодной обеспеченности является частота повышения уровня неонатального ТТГ свыше 5 мМЕ/л. Согласно руководству [6], при оптимальном статусе йодной обеспеченности частота случаев увеличения ТТГ свыше 5 мМЕ/л не должна превышать 3%.
За последние годы в России была создана эффективная система скрининга новорожденных на врожденный гипотиреоз (ВГ). В 2015 г. такой скрининг проводился в 85 субъектах Федерации, а доля охвата новорожденных скринингом составила 99,1% [14]. Учитывая то, что все лаборатории уже имеют базы данных по уровню ТТГ у новорожденных, на мой взгляд, не должно возникнуть существенных проблем с расчетом процентной доли уровней ТТГ в крови свыше 5 мМЕ/л. По крайней мере, такие наблюдения в течение уже более 20 лет проводят в Тюменской области. И за этот период времени частота неонатального ТТГ снизилась с 44% в 1993 г. до 5,0–5,4% в 2013–2015 гг. [15].
Однако использование данных скрининга ВГ для целей мониторинга йодной обеспеченности имеет свои ограничения. Хотя неонатальный ТТГ полезен для выявления умеренной и тяжелой степени дефицита йода, его следует с осторожностью рекомендовать для оценки в регионах с оптимальным йодным обеспечением и при легком йодном дефиците. В статье из Грузии, опубликованной в этом же номере [16] , было показано, что частота повышения уровня ТТГ >5 мМЕ/л у новорожденных уменьшилась с 4,46% в 2009 г. до 3,5% в 2015 г. Однако только в г. Тбилиси частота ТТГ >5 мМЕ/л была ниже 3% – уровня отсечения для адекватного обеспечения питания йодом. В других регионах страны (Западная и Восточная Грузия) частота ТТГ >5 мМЕ/л составляла 3,8 и 4,4% соответственно, что можно было бы ошибочно интерпретировать как легкий дефицит йода. На самом деле, по данным общенационального репрезентативного обследования, проведенного в 2017 г., мКЙМ у беременных женщин составляла 211 мкг/л, а у школьников – 298 мкг/л [12].
Возможной причиной повышения частоты ТТГ >5 мМЕ/л было то, что в национальную когорту новорожденных в Грузии входили недоношенные дети. Кроме того, у какой-то части детей кровь для анализа ТТГ собрали вне рекомендованного периода (2–5 дней после родов) из-за быстрой выписки родильниц из медицинского учреждения. Исключение из общей когорты упомянутых групп новорожденных, у которых чаще встречается транзиторная гипертиротропинемия, по данным пока не опубликованного исследования, проведенного в Армении, снижало частоту ТТГ >5 мМЕ/л до менее 3%⁵. Следует добавить, что в Армении уже пару десятилетий тому назад достигнуто устойчивое оптимальное потребление йода всем населением с мКЙМ 242 мкг/л у школьников, 226 мкг/л у беременных [17].
Завершая свою уже непомерно растянувшуюся колонку, скажу, что “медиана йодурии” стала теперь главным действующим лицом мониторинга программ йодной профилактики и приключения ее только начинаются.
 Примечания: 
https://forums.rusmedserv.com/showthread.php?t=4654
До переименования в 2012 г. – Международный совет по контролю за йододефицитными заболеваниями (ICCIDD).
Именно этот реальный феномен, по всей видимости, стал причиной мифа об “экопатогенах”.
М. Zimmermann – персональное сообщение (2017).
Hutchings – персональное сообщение (2018).
1. Герасимов Г.А., Фадеев В.В., Свириденко Н.Ю., и др. Йододефицитные заболевания в России. Простое решение сложной проблемы. – М.: Адамантъ, 2002. [Gerasimov GA, Fadeev VV, Sviridenko NY, et al. Yododefitsitnye zabolevaniya v Rossii. Prostoe reshenie slozhnoy problemy. Moscow: Adamant; 2002. (In Russ.)]
2. Кияев А.В., Платонова Н.М., Абдулхабирова Ф.Х., и др. Влияние избыточного потребления йода на функциональное состояние щитовидной железы и спектр ее патологии у жителей г. Туринска, Свердловской области. // Клиническая и экспериментальная тиреоидология. – 2015. – Т. 11. – №1. – С. 43-49. [Kiyaev AV, Platonova NM, Abdulhabirova FM, et al. Influence of excessive iodine intake on the thyroid function and spectrum of thyroid abnormalities in population of Turinsk, Sverdlovsk Region, of Russia. Clinical and experimental thyroidology. 2015;11(1):43-49. (In Russ.)] doi: 10.14341/ket2015143-49.
3. Андрюков Б.Г., Кику П.Ф., Семенова В.В. Гигиеническая оценка влияния факторов среды обитания Приморского края на заболеваемость щитовидной железы. // Гигиена и санитария. – 2005. – №4. – C. 6-9. [Andryukov BG, Kiku PF, Semenova VV. Hygienic assessment of the impact of environmental factors of the Primorye Territory on the incidence of thyroid diseases. Gig Sanit. 2005;(4):6-9. (In Russ.)]
4. Герасимов Г.А. Отзыв на дискуссионную статью Э.П. Касаткиной “Диффузный нетоксический зоб. Вопросы классификации и терминологии”. // Проблемы эндокринологии. – 2001. – Т. 47. – №6. – С. 12-15. [Gerasimov GA. Otzyv na diskussionnuyu stat’yu E.P. Kasatkinoy “Diffuznyy netoksicheskiy zob. Voprosy klassifikatsii i terminologii”. Problems of endocrinology. 2001;47(6):12-15. (In Russ.)]
5. Герасимов Г.А. Куда катится колесо, или вновь о простом решении сложной проблемы. // Клиническая и экспериментальная тиреоидология. – 2006. – Т. 2. – №4. – С. 4-7. [Gerasimov GA. Where does the wheel roll or again about simple solution of the difficult problem. Clinical and experimental thyroidology. 2006;2(4):4-7. (In Russ.)]
6. World Health Organization. Assessment of iodine deficiency disorders and monitoring their elimination: a guide for programme managers. Geneva: WHO; 2007.
7. UNICEF. Guidance of the monitoring of salt iodization programmes and determination of population iodine status [Internet]. UNICEF, 2018 [cited 2018 Jul 22]. Avaliable from: https://www.unicef.org/nutrition/files/Monitoring-of-Salt-Iodization.pdf
8. ЮНИСЕФ; Глобальная сеть по йоду. Рекомендации по мониторингу программ йодирования соли и оценке статуса йодной обеспеченности населения (русскоязычная версия) // Клиническая и экспериментальная тиреоидология. – 2018. – Т. 14. – №2. – C. 100-112 [UNICEF; IGN. Guidance on the monitoring of salt iodization programmes and determination of population iodine status: Russian language version. Clinical and experimental thyroidology. 2018;14(2):100-112 (In Russ.)] doi: 10.14341/ket9734.
9. Мохорт Т.В., Петренко С.В., Леушев Б.Ю., и др. Оценка йодного обеспечения детей школьного возраста и беременных женщин в Республике Беларусь в 2017–2018 годах. // Клиническая и экспериментальная тиреоидология. – 2018. – Т. 14. – №3. (в печати). [Mokhort TV, Petrenko SV, Leushev BY, et al. Assessment of iodine provision of school-age children and pregnant women in the Republic of Belarus in 2017–2018. Clinical and experimental thyroidology. 2018;14(3) (in press). (In Russ.)] doi: 10.14341/ket9732.
10. Zimmermann MB, Gizak M, Abbott K, et al. Iodine deficiency in pregnant women in Europe. Lancet Diabetes Endocrinol. 2015;3(9):672-674. doi: 10.1016/s2213-8587(15)00263-6.
11. Zimmermann MB, Aeberli I, Andersson M, et al. Thyroglobulin is a sensitive measure of both deficient and excess iodine intakes in children and indicates no adverse effects on thyroid function in the UIC range of 100-299 mug/L: a UNICEF/ICCIDD study group report. J Clin Endocrinol Metab. 2013;98(3):1271-1280. doi: 10.1210/jc.2012-3952.
12. Gerasimov G, Sturua L, Ugulava T, van der Haar F. Georgia celebrates optimal iodine nutrition. IDD Newsletter. 2018;46(1):2-4.
13. Трошина Е.А., Платонова Н.М., Панфилова Е.А., Панфилов К.О. Аналитический обзор по результатам мониторинга основных эпидемиологических характеристик йододефицитных заболеваний у населения Российской Федерации за период 2009–2015 гг. // Проблемы эндокринологии. – 2018. – Т. 64. – №1. – С. 21-37. [Troshina EA, Platonova NM, Panfilova EA, Panfilov KO. The analytical review of monitoring of the basic epidemiological characteristics of iodine deficiency disorders among the population of the Russian Federation for the period 2009–2015. Problems of endocrinology. 2018;64(1): 21-37. (In Russ.)] doi: 10.14341/probl9308.
14. Дедов И.И., Безлепкина О.Б., Вадина Т.А., и др. Скрининг на врожденный гипотиреоз в Российской Федерации. // Проблемы эндокринологии. – 2018. – Т. 64. – №1. – С. 14-20. [Dedov II, Bezlepkina OB, Vadina TA., et al. Screening for congenital hypothyroidism in the Russian Federation. Problems of endocrinology. 2018;64(1):14-20. (In Russ.)] doi: 10.14341/probl8752.
15. Суплотова Л.А., Макарова О.Б., Ковальжина Л.С., Шарухо Г.В. Профилактика йодного дефицита в Тюменской области: успех или неудача? // Клиническая и экспериментальная тиреоидология. – 2015. – Т. 11. – №3. – C. 39-46. [Suplotova LA, Makarova OB, Kovalzhina LS, Sharuho GV. Prevention of iodine deficiency in the Tyumen region: success or failure? Clinical and experimental thyroidology. 2015;11(3):39-46. (In Russ.)] doi: 10.14341/ket2015339-46.
16. Barnabishvilli N, Gerasimov G, Azikuri T. The results of neonatal TSH screening do not agree with indicators of the optimal iodine status of pregnant women in the Republic of Georgia. Clinical and experimental thyroidology. 2018;14(2):81-85. doi: 10.14341/ket9777.
17. Hutchings N, Gerasimov G. Salt iodization in Armenia: a model for sustained success. IDD Newsletter. 2017;45(4):2-4.

 Калькулятор среднего, медианы, моды, диапазона
 Для расчета укажите числа, разделенные запятой.
 10, 2, 38, 23, 38, 23, 21
 
 Калькулятор статистики | Калькулятор стандартного отклонения | Калькулятор размера выборки 
 Среднее
 Слово среднее, которое является омонимом для нескольких других слов в английском языке, также неоднозначно даже в области математики. В зависимости от контекста, будь то математический или статистический, значение «среднего» меняется. В простейшем математическом определении наборов данных в качестве среднего используется среднее арифметическое, также называемое математическим ожиданием или средним значением. В этой форме среднее относится к промежуточному значению между дискретным набором чисел, а именно к сумме всех значений в наборе данных, деленной на общее количество значений. Уравнение для расчета среднего арифметического практически идентично уравнению для расчета статистических концепций генеральной совокупности и выборочного среднего, с небольшими различиями в используемых переменных:
 Среднее значение часто обозначается как  x̄  , произносится как «x bar», и даже в других случаях, когда переменная не равна  x  , штриховое обозначение является обычным индикатором некоторой формы среднего значения. В конкретном случае среднего значения совокупности вместо использования переменной  x̄  используется греческий символ мю или  μ  . Точно так же или, скорее, сбивает с толку, выборочное среднее в статистике часто обозначается с большой буквы  X̄  . Учитывая набор данных 10, 2, 38, 23, 38, 23, 21, суммирование выше дает:
 10 + 2 + 38 + 23 + 38 + 23 + 21
 7
8   =    = 22,143
 Как упоминалось ранее, это одно из самых простых определений среднего, а некоторые другие включают взвешенное среднее арифметическое (которое отличается только тем, что одни значения в наборе данных вносят больший вклад, чем другие) и среднее геометрическое. Правильное понимание данных ситуаций и контекстов часто может предоставить человеку инструменты, необходимые для определения того, какой статистически значимый метод использовать. В общем, среднее значение, медиана, мода и диапазон в идеале должны быть рассчитаны и проанализированы для данной выборки или набора данных, поскольку они объясняют различные аспекты данных и, если их рассматривать отдельно, могут привести к искажению данных, как это будет продемонстрировано в следующих разделах.
 Медиана
 Статистическая концепция медианы — это значение, которое делит выборку данных, совокупность или распределение вероятностей на две половины. Поиск медианы по существу включает в себя поиск значения в выборке данных, которая имеет физическое расположение между остальными числами. Обратите внимание, что при вычислении медианы конечного списка чисел важен порядок выборок данных. Обычно значения перечислены в порядке возрастания, но нет реальной причины, по которой перечисление значений в порядке убывания приведет к другим результатам. В случае, когда общее количество значений в выборке данных нечетное, медиана — это просто число в середине списка всех значений. Если выборка данных содержит четное количество значений, медиана представляет собой среднее значение двух средних значений. Хотя это может сбивать с толку, просто помните, что хотя медиана иногда требует вычисления среднего значения, когда возникает этот случай, оно будет включать только два средних значения, тогда как среднее значение включает все значения в выборке данных. В нечетных случаях, когда есть только две выборки данных или есть четное количество выборок, где все значения одинаковы, среднее значение и медиана будут одинаковыми. При том же наборе данных, что и раньше, медиана будет получена следующим образом:
 2,10,21,  23  ,23,38,38
 После перечисления данных в порядке возрастания и определения нечетного числа значений становится ясно, что 23 является медианой для данного случая. Если бы к набору данных было добавлено другое значение:
 2,10,21,  23  ,  23  ,38,38,1027892
 Поскольку число значений четное, медиана будет средней два средних числа, в данном случае 23 и 23, среднее значение которых равно 23. Обратите внимание, что в этом конкретном наборе данных добавлен выброс (значение, выходящее далеко за пределы ожидаемого диапазона значений), значение 1,027,892, не оказывает реального влияния на набор данных. Однако если для этого набора данных вычислить среднее значение, результатом будет 128 505,875. Это значение явно не является хорошим представлением семи других значений в наборе данных, которые намного меньше и ближе по значению, чем среднее значение и выброс. Это главное преимущество использования медианы при описании статистических данных по сравнению со средним значением. Хотя оба, а также другие статистические значения должны рассчитываться при описании данных, если можно использовать только одно из них, медиана может обеспечить лучшую оценку типичного значения в заданном наборе данных, когда между значениями существуют чрезвычайно большие различия.
 Режим
 В статистике режим — это значение в наборе данных, имеющее наибольшее количество повторений. Набор данных может быть мультимодальным, то есть иметь более одного режима. Например:
 2,10,21,23,23,38,38
 И 23, и 38 появляются дважды каждое, что делает их оба модами для набора данных выше.
 Подобно среднему и медиане, мода используется как способ выражения информации о случайных величинах и популяциях. Однако, в отличие от среднего и медианы, мода — это понятие, которое можно применять к нечисловым значениям, таким как марка тортильи, которую чаще всего покупают в продуктовом магазине. Например, при сравнении брендов Tostitos, Mission и XOCHiTL, если обнаружится, что при продаже чипсов из тортильи XOCHITL является модой и продается в соотношении 3: 2: 1 по сравнению с чипсами из тортильи марок Tostitos и Mission соответственно, соотношение может быть использовано для определения того, сколько мешков каждой марки необходимо хранить. В случае, если за определенный период продается 24 пакета чипсов из тортильи, в магазине будет 12 пакетов чипсов XOCHITL, 8 пакетов Tostitos и 4 пакета Mission при использовании режима. Если, однако, магазин просто использовал среднее значение и продал по 8 пакетов каждого, он потенциально мог бы потерять 4 продажи, если бы покупатель хотел только чипсы XOCHiTL, а не какой-либо другой бренд. Как видно из этого примера, важно учитывать всевозможные статистические значения при попытке сделать выводы о любой выборке данных.
 Диапазон
 Диапазон набора данных в статистике — это разница между наибольшим и наименьшим значениями. Хотя диапазон имеет разные значения в разных областях статистики и математики, это его самое основное определение, которое используется в предоставленном калькуляторе. Используя тот же пример:
 2,10,21,23,23,38,38 
 38 — 2 = 36
 Диапазон в этом примере равен 36. Как и в среднем, на диапазон могут существенно влиять очень большие или маленькие значения. Используя тот же пример, что и ранее:
 2,10,21,  23  ,  23  ,38,38,1027892
 Диапазон в этом случае будет 1 027 890 по сравнению с 36 в предыдущем случае. Таким образом, важно тщательно анализировать наборы данных, чтобы гарантировать учет выбросов.
 Калькулятор средней медианной моды с простым пошаговым решением
 Калькулятор средней медианной моды
 Значения данных (разделенные запятыми, максимум 50 значений): * 
 298,107,237,115,114,192,130,102,150,250,298
 Решение:
 Среднее значение:
 Среднее значение набора данных обычно называют средним. Вы найдете среднее значение, взяв сумму всех значений данных и разделив эту сумму на общее количество значений данных. Формула среднего значения населения
 $$ \mu = \frac{{\sum}x}{N} $$
 Формула среднего значения выборки:
 $$ \bar{x} = \frac{{\sum}x}{n} $$
 Обе эти формулы используют один и тот же математический процесс: найдите сумму значений данных и разделите на общее количество. Для значений данных, введенных выше, решение:
 $$ \frac{2730}{14} = 195$$
 Медиана:
 Медиана набора данных находится путем упорядочивания набора данных по возрастанию и определения среднего числа. Если в наборе данных имеется нечетное количество значений данных, медиана представляет собой одно число. Если в наборе данных имеется четное количество значений данных, медиана представляет собой среднее значение двух средних чисел. Сортируя набор данных для введенных выше значений, мы имеем:
 $$
 102, 107, 114, 115, 130, 150, 192, 207, 219, 237, 263, 298, 298, 298 $$
 Так как в этом наборе данных четное число значений данных, есть два средних числа. При 14 значениях данных средние числа — это значения данных в позициях 7 и 8. Это 192 и 207. Медиана — это среднее этих чисел. У нас есть $$ {\frac{192 + 207}{2}} $$
 Следовательно, медиана
 $$ 199,5 $$
 Режим:
 Режим — это число, которое появляется чаще всего. Набор данных может иметь несколько режимов. Если он имеет две моды, набор данных называется бимодальным. Если все значения данных имеют одинаковую частоту, все значения данных являются модами. Здесь режим(ы) равен/являются
 Калькулятор среднего значения средней моды находит меры центральной тенденции. Сначала калькулятор даст вам ответ, а затем предложит пошаговое решение , чтобы вы могли легко научиться решать задачу самостоятельно. Среднее значение — это среднее значение набора чисел. Медиана — это среднее число/числа, расположенные в числовом порядке. Наконец, мода — это число, которое появляется чаще всего.
 После того, как вы закончите расчет показателей центральной тенденции, взгляните на Калькулятор диапазона, дисперсии и стандартного отклонения. Статистика никогда не была проще … Вы ПОЛУЧИЛИ это!
 Среднее значение, медиана и мода являются показателями центральной тенденции в статистике. Другими словами, это числа, которые мы используем для измерения и описания центра распределения. Когда студенты начинают изучать распределения на курсах статистики, преподаватели и учебники преподают среднее значение, медиану и моду в качестве одних из первых тем курса. Даже учителя начальной школы знакомят своих учеников с мерами центральной тенденции, поэтому учащиеся начальной школы также могут использовать калькулятор среднего медианного режима. Здесь мы рассмотрим, как найти среднюю медиану и моду вручную. Затем вы можете использовать калькулятор среднего медианного режима, чтобы проверить свою работу.
 Как найти среднее
 Среднее значение обычно известно как   среднее   набора чисел. Большинство учащихся хорошо знакомы со средними показателями и часто используют их для определения своей успеваемости в классе. Как найти среднее значение в математике? Мы находим среднее значение, складывая все числа набора данных, а затем разделяя их на общее количество значений.
 $$ \text{mean} = \frac{\sum{\text{значения данных}}}{\text{total}} $$
 В математике мы используем символ суммирования $\sum$, чтобы обратите внимание, что мы должны сложить все числа вместе.
 Если вы изучаете статистику AP, статистику на уровне колледжа или что-то еще, выходящее за рамки математики средней школы, вы будете использовать специальные символы для обозначения среднего значения. Символически, вы обозначите совокупность как «mu» $\mu$ и обозначите размер совокупности как N. Вы обозначите среднюю выборку как «x-bar» $\bar{x}$, и вы обозначите размер выборки на n. Формула среднего значения генеральной совокупности:
 $$ \mu = \frac{\sum{x}}{N} $$
 Формула выборочного среднего:
 $$ \bar{x} = \frac{\sum {x}}{n} $$
 В каждой из этих формул x представляет каждое из чисел в наборе данных. Итак, $\sum{x}$ — это сумма всех значений данных.
 Вот как найти среднее значение в наборе данных 3, 5, 9, 15, 17. Среднее значение генеральной совокупности равно
 $$ \mu = \frac{3 + 5 + 9 + 15+ 17}{5} $$
 $$ \mu = \frac{49}{5} = 9,8 $$
 Вы можете использовать приведенный выше калькулятор среднего среднего режима и ввести значения 3, 5, 9,15, 17, чтобы убедиться, что среднее 9.8.
 Как найти медиану?
 Что означает медиана в математике? Когда вы упорядочиваете все числа в наборе данных в порядке возрастания, медиана — это число, которое попадает точно посередине. Если есть два числа, которые находятся посередине, медиана является средним значением этих двух чисел.
 3, 5, 9, 15, 17
 Медиана приведенного выше набора данных равна 9. 9 – это число в середине.
 Теперь рассмотрим следующий набор данных:
 3, 5, 9, 15, 17, 20
 Как найти медиану в этом случае? Здесь нам нужно найти медиану четных чисел. Для этого мы берем среднее из двух средних чисел. Медиана этого набора данных представляет собой среднее значение 9и 15.  То есть
 $$ \frac{9 + 15}{2} = 12 $$
 Теперь используйте Калькулятор средней средней моды выше, чтобы проверить, что медиана теперь равна 12.
 Что такое мода?
 Что означает режим в математике? При описании набора данных частота значения данных — это количество раз, когда это значение встречается. Значение данных с наибольшей частотой или то, которое встречается чаще всего, является режимом. Набор данных может иметь две моды, если два числа имеют одинаковую максимальную частоту. Мы говорим, что распределение бимодальное, если оно имеет две моды. Иногда, если есть более двух чисел с наибольшей частотой, мы будем говорить, что набор данных не имеет моды. Однако с помощью приведенного выше калькулятора среднего среднего режима найденный режим будет включать все числа с наибольшей частотой.
 В наборе данных 3, 5, 9, 15, 17, 9 какой режим? Значение данных 9 имеет частоту 2, в то время как все остальные числа имеют частоту 1. 9 имеет наибольшую частоту и, следовательно, 9 является модой. Вы можете использовать Калькулятор средней средней моды выше, чтобы убедиться, что мода равна 9.
 Вот несколько примеров средней медианы и моды в статистике.
 Пример 1. Найдите среднее значение
 Найдите среднее значение генеральной совокупности для набора данных: 85, 78, 92, 65
 Решение:
 Так как задача требует найти среднее значение генеральной совокупности, правильным символом для среднего является $ \mu $. Формула средней генеральной совокупности:
 $$ \mu = \frac{85 + 78 + 92 + 65}{4} $$
 $$ \mu = \frac{ 320}{4} = 80$$
 Следовательно , среднее значение генеральной совокупности, $ \mu $, равно 80.
 Вы можете вырезать и вставить этот набор данных в приведенный выше калькулятор режима среднего среднего и убедиться, что среднее значение равно 80.
 Пример 2: найти медиану
 Найти медиана для следующего набора данных:
 72, 75, 77, 80, 81, 81, 84, 86, 87, 88, 89, 91, 93, 94, 94, 94, 97, 99, 100
 Медиана — это среднее число. Поскольку в этом наборе данных 19 значений данных, среднее число — это число на 10-й позиции. То есть 88. Медиана равна 88.
 Давайте добавим еще одно значение данных в начало набора данных, чтобы получить в общей сложности 20 значений данных. Мы включим 71.
 71, 72, 75, 77, 80, 81, 81, 84, 86, 87, 88, 89, 91, 93, 94, 94, 94, 97, 99, 100
 Поскольку существует четный набор значений данных, медиана является средним значением двух средних чисел. При 20 значениях данных два средних значения находятся на позициях 10 и 11.  Эти два числа равны 87 и 88.  Среднее значение 87 и 88 равно:
 $$ \text{median} = \frac{87 + 88}{ 2} $$
 $$ \text{медиана} = 87,5 $$
 Следовательно, медиана этого набора данных равна 87,5.
 Вы можете вырезать и вставить этот набор данных в Калькулятор среднего среднего режима выше и убедиться, что медиана равна 87,5.
 Пример 3. Определение режима
 71, 72, 75, 77, 80, 81, 81, 84, 86, 87, 88, 89, 91, 93, 94, 94, 94, 97, 99, 100
 Режим — это значение данных, которое появляется чаще всего. Это значение данных с наибольшей частотой. В этом наборе данных значение данных 94 имеет частоту 3, что больше, чем частота любого другого значения данных. Таким образом, режим равен 94.
 Вы можете вырезать и вставить этот набор данных в калькулятор среднего среднего режима выше и убедиться, что режим равен 9.4.
 Найдите среднее значение с дополнительной оценкой выброса
 Когда мы вычисляем среднее значение, мы обнаруживаем, что выброс сильно влияет на ответ. Выброс в наборе данных — это значение, которое намного меньше или намного больше, чем все остальные значения. Рассмотрим пример тестовых оценок. Предположим, что значения данных в Примере 1 выше представляют 4 оценки за тест.
 85, 78, 92, 65
 Мы обнаружили, что среднее значение этого набора данных равно 80. Теперь рассмотрим 5-ю оценку теста, равную 20.  Мы считаем 20 выбросом, потому что он намного меньше, чем остальная часть теста. оценки.
 85, 78, 92, 65, 20
 Итак, что теперь значит?
 $$ \mu = \frac{85 + 78 + 92 + 65 + 20}{5} $$
 $$ \mu = \frac{ 340}{5}  = 68 $$
 Следовательно, новый среднее значение равно 68. Среднее значение, которое изменяется с 80 до 68, представляет собой большую разницу.   Значение выброса 20 сильно влияет на среднее значение.   Считаете ли вы, что оценка 68 представляет собой типичное значение в этом наборе данных?
 Найдите медиану с дополнительной оценкой выброса
 Если бы мы упорядочили исходные 4 оценки за тест и нашли медиану, мы бы вычислили ее как среднее между 78 и 85.
 65, 78, 85, 92
 $$ \text{медиана} = \frac{78 + 85}{2} $$
 $$ \text{медиана} = \frac{163}{2} = 81,5 $$
 Таким образом, медиана исходных 4 тестовых оценок равна 81,5.
 Теперь давайте включим в набор данных пятую тестовую оценку 20 и найдем новую медиану. Итак, теперь наш набор данных равен
 20, 65, 78, 85, 92
 При нечетном числе значений данных медиана является средним числом. Здесь это значение равно 78. Итак, новая медиана с включенным выбросом – 78. 
 Что это значит? Среднее значение и медиана исходного набора данных были соответственно 80 и 81,5. Но когда мы включили выброс в набор данных, среднее значение и медиана стали равными 68 и 78. Хотя среднее значение уменьшилось на 12 пунктов с включенным выбросом, медиана уменьшилась на 3,5 пункта. Мы видим, что выброс сильно влияет на среднее значение, но лишь незначительно влияет на медиану. Поэтому мы говорим, что медиана более точно описывает типичную тестовую оценку, потому что она более устойчива (не так подвержена влиянию) к любым выбросам в наборе данных.
 Для нормального колоколообразного распределения
 Среднее значение, медиана и мода находятся примерно в центре нормального колоколообразного распределения. Следовательно, мы можем оценить, что все они имеют одинаковое значение.
 Средняя медиана и мода имеют одно и то же значение при нормальном распределении в форме колокола.  
 Вот пример набора данных с одинаковыми средним значением, медианой и модой. Вы можете убедиться, что меры центральной тенденции одинаковы, вставив этот набор данных в Калькулятор среднего среднего режима.
 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9
 Для распределений с асимметрией влево или с отрицательной асимметрией
 В распределениях с асимметрией влево или с отрицательной асимметрией в левой части распределения имеются низкие оценки, потенциально являющиеся выбросами, и они вытягивают левый хвост влево. Как мы видели в приведенном выше примере, выбросы сильно влияют на среднее значение, в то время как выбросы незначительно влияют на медиану. В режиме остается значение данных с наибольшей частотой. Следовательно, выбросы не влияют на моду.
 Если мы посмотрим на изображение асимметричного левого распределения, мы поместим среднее значение в крайнее левое положение. Затем мы помещаем медиану в положение где-то посередине среднего значения и моды. Наконец, мы помещаем режим в позицию, где мы видим самый высокий пик графика, потому что это значение наибольшей частоты. Это наглядный пример того, как на среднее значение больше всего влияют выбросы, на медиану выбросы влияют незначительно, а на моду выбросы не влияют. Следовательно, порядок трех значений по горизонтальной оси следующий: среднее, затем медиана, затем мода.
 Положение средней медианы и моды на смещенном влево распределении. Среднее вытягивается влево в сторону перекошенного хвоста.  
 Для распределений с перекосом вправо или с положительным перекосом
 Когда распределение скошено вправо или скошено положительно, в правой части распределения есть высокие баллы, потенциально выбросы, перетаскивающие правый конец вправо. Как и в случае с асимметричным левым распределением, выбросы сильно влияют на среднее значение, а на медиану — незначительно. На режим не влияют выбросы.
 Если мы посмотрим на изображение асимметричного распределения вправо, то среднее значение будет расположено дальше всего вправо. Это значение тянется в направлении перекошенного хвоста. Поскольку выбросы в правом хвосте лишь незначительно влияют на медиану, она будет располагаться где-то посередине среднего значения и моды. И снова мода будет располагаться на самом высоком пике графика, в положении наибольшей частоты. Следовательно, порядок трех значений по горизонтальной оси — мода, медиана и среднее значение.
 Положение средней медианы и моды на асимметричном правом распределении. Среднее вытягивается вправо в сторону перекошенного хвоста. Приведенный выше калькулятор средней медианной моды поможет вам рассчитать три показателя центральной тенденции. Следующим шагом является развитие понимания мер изменчивости. Существуют три меры изменчивости: диапазон, дисперсия и стандартное отклонение. Из них стандартное отклонение будет широко представлено в курсе статистики на уровне колледжа.
 Калькулятор размаха, дисперсии и стандартного отклонения — лучший онлайн-ресурс для обучения вычислению трех показателей изменчивости вручную. Он дает четкие шаги о том, как решить проблему самостоятельно. Чтобы лучше понять меры изменчивости, см. «Определение дисперсии и стандартного отклонения» и «Как найти стандартное отклонение и дисперсию».
 Поиск диапазона и расчет среднего числа в наборе
 Расчет среднего и диапазона
 Математическое определение
 Среднее значение
 Среднее значение всех данных в наборе.
 Медиана
 Значение в наборе, наиболее близкое к середине диапазона.
 Режим
 Значение, которое чаще всего встречается в наборе данных.
 Диапазон
 Разница между наибольшими и наименьшими данными в наборе данных.
 Пример расчета
 Расчет среднего значения, медианы, моды и диапазона для 3, 19, 9, 7, 27, 4, 8, 15, 3, 11.
 Как найти среднее значение (или среднее значение)
 Чтобы вычислить среднее значение, сложите числа: 3+3+4+7+8 +9+11+15+19+27=106, затем разделите его на количество точек данных 106/10=10,6.
 Как найти медиану
 В порядке возрастания числа 3, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 15, 19, 27. Всего имеется 10 чисел, поэтому 5-е и 6-е числа используются для вычислить медиану. (8+9)/2 = 8,5
 Если бы в ряду было 9 чисел, а не 10, вы бы взяли 5-е число и не нужно было бы усреднять 2 средних числа. Два средних числа нужно усреднять только в том случае, если набор данных содержит четное количество точек данных.
 Как найти режим
 Единственное число, которое появляется несколько раз, это 3, так что это режим.
 Как найти диапазон
 Чтобы вычислить диапазон, вычтите наименьшее число из наибольшего числа 27-3=24.
 Среднее значение, медиана и мода: тренды данных, обнаружение аномалий и использование в спорте знать, если мы
иметь хорошую оценку. Когда дело доходит до покупки дорогих товаров, мы часто спрашиваем
средняя цена для поиска лучших предложений.
 Это всего лишь несколько примеров того, как средние значения используются в
реальная жизнь.
 В этом разделе вы узнаете о различных типах средних показателей, о том, как они рассчитываются и применяются в различных областях, особенно в спорте.
 Что означает термин «средний»?
 Когда люди описывают «среднее» группы чисел, они часто ссылаются на среднее арифметическое. Это один из 3 различных типов среднего, включая медиану и моду.
 Говоря языком разговора, большинство людей просто говорят «средний», когда
они действительно имеют в виду среднее значение. Арифметика  означает  и среднее
слова-синонимы, которые используются взаимозаменяемо, согласно Dictionary.com.
 Рассчитывается путем сложения чисел в наборе и деления на общее число в наборе — так поступает большинство людей, когда находят среднее значение. См. пример ниже.
 Среднее
 Набор: 8, 12, 9, 7, 13, 10 
 Среднее = (8 + 12 + 9+ 7 + 13 + 10) / 6 
 = 59 / 6 
 = 9,83 
 Среднее или среднее арифметическое в этом примере равно  9,83  .
 Медиана
 Медиана   , с другой стороны, является другим типом
среднее, представляющее среднее число в упорядоченной последовательности чисел. Этот
работает, упорядочивая последовательность чисел (в порядке возрастания), а затем определяя
число, которое находится в середине набора. См. пример ниже.
 Средняя медиана
 Набор: 22, 26, 29, 33,  39  , 40, 42, 47, 53 
 В этом примере  39  является медианой или средним значением в наборе.
 Режим
 Режим   в основном является наиболее частым значением, которое
повторяется в наборе значений. Например, если в вашем наборе есть 21, 9, 14, 3,
11, 33, 5, 9, 16, 21, 5, 9, какой режим?
 Ответ 9, потому что это значение повторяется 3 раза.
 В статистике среднее, медиана и мода — все термины, используемые для
измерить центральную тенденцию в выборке данных. Это иллюстрируется обычным
график распределения ниже.
 График нормального распределения используется для визуализации стандартного отклонения при анализе данных. Распределение статистических данных показывает, как часто встречаются значения в наборе данных.
 На приведенном выше графике проценты представляют количество значений, попадающих в каждый раздел. Выделенные проценты в основном показывают, какая часть данных находится близко к середине графика.
 Какая связь между средним, медианой и модой?
 На первый взгляд может показаться, что связи нет
между средним, медианой и модой. Но есть эмпирический
отношения, которые существуют при измерении центра набора данных.
 Математики заметили, что обычно
разница между медианой и модой, а это разница в 3 раза
между средним и медианой.
 Эмпирическая взаимосвязь выражается следующей формулой: 
  Среднее – Мода = 3 (Среднее – Медиана) 
 Давайте рассмотрим пример данных о населении, основанных на 50 штатах.
Например, среднее значение населения составляет 7 миллионов, а медиана 4,8.
млн и режим 1,5 млн.
 Среднее = 7 миллионов
 Медиана = 4,8 миллиона
 Мода = 1,5 миллиона
 Среднее – Мода = 3 (Среднее – Медиана) 
 7 миллионов – 1,5 миллиона = 3(7 миллионов – 4,8 миллионов) 
 5,5 миллионов = 3(2,2) 
 5,5 миллион = 6,6 миллиона
  Обратите внимание:  Профессор математики Кортни Тейлор, доктор философии. заявил, что это не точное соотношение. Когда вы делаете расчеты, цифры не всегда точны. Но соответствующие цифры будут относительно близки.
 Асимметричные или искаженные данные
 Согласно Microeconomicsnotes.com, когда значения среднего, медианы и моды не
равны, то распределение асимметрично или асимметрично. Степень асимметрии
представляет степень, в которой набор данных отличается от нормального распределения.
 Когда среднее значение больше, чем
медиана, а медиана больше моды (Среднее > Медиана > Мода),
является  положительно асимметричным распределением  . Он описывается как «перекошенный к
вправо», потому что длинный конец кривой направлен вправо.
 На примере графика ниже медиана и мода расположены слева от среднего.
 С другой стороны, в отрицательном
асимметричное распределение, среднее меньше медианы, а медиана меньше
чем мода (среднее < медиана < мода). Длиннохвостовой конец направлен к
левая сторона графика.
 На приведенном ниже графике показаны медиана и мода, расположенные справа от среднего значения.
 Отличие среднего от медианы: устойчивые числовые сводки
 В наборе данных, когда среднее значение велико, читатель может предположить
медиана также будет высокой. Однако это не всегда следует.
 Разница между средним значением и медианой становится очевидной, когда
набор данных имеет выдающееся несоизмеримое значение. Эта ситуация привлекает внимание
концепция стойкости
числовые сводки. Устойчивая статистика представляет собой числовую сводку, в которой
крайние значения не оказывают существенного влияния на его стоимость.
 Давайте продемонстрируем это, показав, как присутствие Билла Гейтса влияет на среднее и медианное богатство, когда он входит в комнату.
   Например, 10 человек обедают в ресторане. Назовем его набором А. В таблице ниже показаны их доходы от самого низкого до самого высокого.
 Общий доход людей в ресторане составляет 506 000 долларов США,
со средним доходом 50 600 долларов.
 Поскольку в наборе 10 человек, для получения медианы мы
необходимо добавить значения 5 ^th и 6 ^th (Kat and Luigi’s
годовой доход) и разделите на 2.
 Медиана = (46 000 + 49 000) / 2 = 95000/2 
 = 47 500 
 Средний доход группы составляет 47 500 долларов.
 Диапазон представляет собой разницу между наименьшим доходом
(Раффи) и самый высокий доход (Джон), который составляет 46 000 долларов.
  Установить годовой доход 
 Теперь, если Джон выйдет из ресторана и войдет Билл Гейтс,
как это повлияет на статистику годового дохода группы? Давайте назовем эту следующую группу
набор B.
 По данным Forbes, Билл Гейтс
составил $90 млрд с 2017 по 2018 год.
  Set B Годовой доход 
 С Биллом Гейтсом общий доход теперь составляет 90 миллиардов долларов плюс
низкий доход людей в ресторане. Средний доход и диапазон
группы сейчас слишком высока.
  Однако медиана
остается прежним и составляет около 47 500 долларов.
 Медиана показывает, что она лучше отражает фактическое состояние людей.
финансовый статус. Точно так же мы можем сказать, что Билл Гейтс является исключением с годовым
доход, исчисляемый миллиардами.
 Этот пример показывает, что среднее значение и диапазон не являются устойчивыми
до крайних значений. В то время как медиана, как численное обобщение, обычно показывает
сопротивление.
  Что это нам говорит?  Наличие экстремальных значений или выбросов указывает на то, что распределение асимметрично. Экстремальные значения обычно смещают среднее значение в сторону хвоста.
 Значение выявления асимметрии
 Наблюдение асимметрии на графике дает аналитикам более четкое представление
тенденции набора данных. Например, если вы собрали данные о 500 студентах, которые
сдавали Scholastic Assessment Test, вы хотели бы знать тенденцию оценки.
 Если вы нанесете данные на график, вы поймете, что это положительно
перекошено, если имеется  несколько высоких результатов  и большинство значений сгруппированы
к нижней стороне шкалы. Если баллы стремятся в большую сторону
шкалы, с  несколькими низкими баллами  , распределение отрицательное
перекошенный.
 В финансах инвесторы обращают внимание на асимметрию при анализе
обратная раздача. Это важно, потому что позволяет им увидеть
крайние диапазоны данных вместо того, чтобы просто сосредоточиться на средних значениях.
 Распределение показывает асимметрию (степень асимметрии) или эксцесс
когда доходность падает на 90 140 за пределы 90 143 нормального распределения. Меры эксцесса
выбросы в любом хвосте асимметричного графа. Он вычисляет степень
график имеет пик по сравнению с нормальным распределением.
  Как это помогает инвесторам?  Наблюдение за асимметрией или эксцессом помогает аналитикам прогнозировать риски, возникающие при сравнении модели с нормальным распределением с набором данных с тенденцией к более высокому стандартному отклонению. Риск определяется путем расчета того, насколько числа далеки от нормального распределения.
 Как определить аномалии данных
 В статистике выбросы
или аномалии — это необычные наблюдения, не принадлежащие определенной популяции.
 При размещении на графике это точки, которые падают далеко
из значений набора данных. Исследователи обычно находят выбросы на основе больших, хорошо структурированных данных.
данные.
 Насколько отличным должно быть значение, чтобы оно считалось выбросом?
Чтобы определить это, можно использовать межквартильный
диапазон (IQR).
 IQR описывается как сводка из 5 чисел, которая содержит:
 Минимальное значение набора данных
 Первый квартиль (Q ₁ ) – Что такое четверть
пути через последовательность набора данных
 Медиана
 Третий квартиль (Q ₃ ) Который
три четверти последовательности всех данных
 Максимальное значение набора данных
 Межквартильный размах (IQR) также похож на размах, но
считается менее чувствительным к экстремальным значениям (устойчивая статистика). Найти
это, вы должны взять первый
квартиль и вычесть третий квартиль. Это показывает, как данные распространяются
вокруг медианы.
 IQR = Q ₃ – Q ₁
 Обнаружение выбросов с использованием IQR
 Практически все наборы данных могут быть описаны с помощью 5
сводка по номеру. Вот как вы можете использовать IQR для поиска выбросов:
 Вычислите межквартильный размах для набора данных
 Умножьте IQR на 1,5
 Добавьте IQR x 1,5 к третьему квартилю.  правило:  Любое значение больше этого является выбросом.
 Вычтите IQR x 1,5 из первого квартиля.  правило:  Любое значение меньше этого является выбросом.
 Вот пример. Предположим, вы нашли выброс для следующего набора данных: 
 1, 5, 6, 6, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 18 
 5 сводка чисел:
 Минимальное значение = 1
 Q ₁ = 6
 Медиана = 10
 Q ₃ = 12
 Максимальное значение = 18
 IQR = Q ₃ — Q _{10002 — Q ₃ — Q _{10002 — Q ₃ — Q _{19058. х 1,5 = ? 
 6 x 1,5 = 9 
 9 + Q ₃ = ? 
 9 + 12 = 21  (любое значение больше 21 является выбросом)}}}
 6 – Q ₁ = ? 
 6 – 9 = -3 ( любое значение меньше -3 является выбросом) 
 Пока в наборе нет значений меньше -3 или больше 21. Хотя максимальное значение 18 на 5 пунктов больше, чем 13, оно не считается выбросом для этого набора данных.
 Использование средних статистических данных в спортивной аналитике
 В спорте
аналитика, исследователи собирают статистику для измерения потенциала и
способностей профессиональных спортсменов.
 Согласно конкурентному преимуществу
Athletic Performance Center, показатели спортивных результатов имеют отношение к
общее спортивное развитие. Чтобы добиться успеха в любой спортивной сфере, люди
должны достичь определенного уровня атлетизма, чтобы соревноваться на продвинутом уровне.
 Фактически, многие профессиональные спортивные команды консультируются
статистики, чтобы помочь спортсменам отслеживать свои конкурентные преимущества. Это руководство
их в улучшении их силовых и кондиционных процедур.
 Отслеживание показателей эффективности помогает спортсменам выполнять 4 важных
вещи:
 Помогает им узнать свой текущий уровень или базовый уровень.
 Как только они улучшаются, это позволяет им конкурировать на
более высокий спортивный уровень.
 Позволяет спортсменам определять индивидуальные тренировки
потребности.
 Помогает снизить риск получения травм.
 Рейтинг популярных видов спорта
 Средний показатель
(BA) — это показатель производительности, используемый в бейсболе, крикете и софтболе. Это
измеряет количество средних пробежек, которые игрок может набрать, прежде чем выйти из игры.
 Это старейший измерительный прибор, которым измеряют тесто.
успех. Более высокий BA означает, что у отбивающего больше шансов набрать очки без
выход.
 БА рассчитывается путем деления количества попаданий игрока на его
общее количество летучих мышей для значения от 0,000 до 1,000.
 Согласно веб-сайту Высшей лиги бейсбола,
BA всей лиги в последние годы оставался около 0,260. Для лучших отбивающих в игре,
они могут превышать 0,300.
 Тем не менее, некоторые выдающиеся спортсмены бьют выше 0,400, что составляет 4 попадания на каждые 10 ударов летучими мышами. MLB заявляет, что нет
игрок делал это на протяжении всего сезона со времен Теда Уильямса.
(0,406) из Бостон Ред Сокс в 1941.
 В сезоне 1994 года, сокращенном забастовкой, Тони Гвинн был близок к тому, чтобы забить 400 мячей, забив 394 мяча при 164 попаданиях из 419 мячей в 110 играх.
 Вот таблица игроков Главной лиги бейсбольной лиги, в которой показаны средние показатели лидеров регулярного сезона с 1985 по 2019 год:
 В баскетболе процент бросков с игры (FG) используется для измерения того, насколько эффективно команда забивает мяч во время игры.
 FG учитывает все удары, сделанные игроком. Однако он не включает штрафные броски, которые измеряются независимо как процент штрафных бросков.
 Формула FG – это количество успешных выстрелов, разделенное на
по общему количеству попыток выстрела.
 FG 0,500 или 50% и выше обычно считается хорошим
процент. Согласно Баскетболу
Справка, активным игроком с самым высоким процентом в настоящее время является ДеАндре.
Иордания с 66,96%.
 Известные баскетболисты, такие как Майкл Джордан, имеют FG 49,69% с рейтингом 151, в то время как Леброн Джеймс занимает 111 место с 50,42%. Зал славы, такой как Карим Абдул-Джаббар, занимает 14-е место с 55,9.5%, а Мэджик Джонсон занимает 64-е место с 51,97%.
 Basketball Reference определил 4 фактора, которые помогают командам выигрывать игры:
 Удары (40%)
 Перехваты (25%)
 Подборы (20%)
 Штрафные броски (15%)
 4, стрельба является наиболее важным фактором, за которым следуют потери, подборы и штрафные броски. Однако другие утверждают, что помимо эффективного процента попаданий с игры, игра выигрывается при наличии надежной стратегии защиты.
 Ниже представлена таблица игроков НБА с самым высоким процентом попаданий с игры.
 Активные игроки выделены  полужирным шрифтом  . 
 * Указывает на члена Зала Славы
 Многие лидеры по проценту бросков с игры — большие мужчины, которые склонны к данкам и броскам с высокой процентной вероятностью ближних бросков. В последние годы более широкое распространение получил трехочковый бросок. Оценка отличной универсальной стрельбы — 50-40-90, где игрок имеет 50% FG, 40% с трехочковой дистанции и 90% с линии штрафного броска.
 Практический результат
 Существует три типа средних значений, и это среднее,
медиана и мода. Из трех наиболее часто используемым является арифметический
иметь в виду. Он определяется путем сложения всех значений в наборе и деления его на
общее количество факторов.
 Вычисление среднего, медианы и моды позволяет исследователям
нормальное распределение или асимметрия на графике. В финансах инвесторы используют это, чтобы
измерить риск распределения прибыли. Чтобы обнаружить статистические выбросы, аналитики
используйте межквартильный диапазон.
 Вычисление средних значений особенно важно в спорте
аналитика. Он используется для установления ориентиров и улучшения спортивных результатов. Метрики
помочь спортсменам упорядочить силовые и кондиционные программы, а также избежать
травмы.
 Об авторе
 Корин — страстный исследователь и автор финансовых тем, изучающих экономические тенденции, их влияние на население, а также способы помочь потребителям принимать более разумные финансовые решения. Другие ее тематические статьи можно прочитать на Inquirer.net и Manileno.com. Она имеет степень магистра творческого письма Филиппинского университета, одного из ведущих учебных заведений мира, и степень бакалавра коммуникативных искусств Колледжа Мириам.
 Когда сомневаетесь, автосумма 😉
 Калькулятор диапазона среднего среднего режима
 Калькулятор диапазона среднего среднего режима представляет собой интеллектуальный инструмент, который позволяет вам вычислять средний режим среднего значения и диапазон для заданного набора данных. Читайте дальше, чтобы выполнить определенные расчеты набора данных с помощью нашего калькулятора среднего среднего режима!
 Обзор!  В статистике центральная тенденция (или мера центральной тенденции) называется центральным или типичным значением для распределения вероятностей. Говорят, что наиболее распространенными мерами центральной тенденции являются среднее арифметическое, медиана и мода.
 Вы можете воспользоваться приведенным выше калькулятором среднего значения средней моды, чтобы найти меры центральной тенденции (среднее значение, медиана, мода). Этот калькулятор центральной тенденции не только помогает найти медиану средней моды, но также помогает рассчитать диапазон набора данных.
 Что ж, перейдем к делу, просто прочитайте эту статью, чтобы узнать, как вычислить диапазон средней средней моды, что такое средняя медиана и мода (центральная тенденция) и диапазон, как найти среднее значение набора данных, медиана, режим и диапазон заданного набора данных и многое другое, что вам нужно знать!
 Итак, начнем с термина «Среднее»
 Что такое среднее значение в математике?  Проще говоря, «среднее» — это среднее значение всех данных в наборе.
 Математически «среднее» — это своего рода среднее значение, которое находят путем деления суммы набора чисел на количество чисел в наборе данных. Помните, что «среднее» — это не единственный вид среднего, это то, о чем думает большинство людей, рассматривая среднее значение. Вы можете использовать средства для нескольких видов полезных целей в своей повседневной жизни, в том числе от расчета времени, необходимого вам, чтобы добраться домой с работы, до расчета суммы, которую вы тратите в среднем за неделю.
 Формула  для среднего  (арифметическая):
  μ = ∑X / N 
 или
 Среднее = сумма членов/число членов
 Где;
 μ представляет собой среднее значение генеральной совокупности (ну, вместо этого вы можете использовать букву M для обозначения среднего значения выборки, но помните, что расчет такой же)
 ∑X означает сумму всех чисел
 N упоминается как общее количество номеров
 Как рассчитать среднее значение (вручную):  Да, найти среднее значение для данного набора данных довольно просто, все, что вам нужно, чтобы выполнить указанные шаги, чтобы рассчитать среднее значение: давайте посмотрим на примере:
 Прежде всего необходимо определить набор значений, которые необходимо усреднить. Такие числа могут быть большими или маленькими, и даже их может быть сколько угодно. Помните, что вы должны использовать реальные числа, а не переменные
 Например: 2, 3, 4, 5, 6.
 Вы должны сложить свои значения вместе, чтобы найти сумму. Кроме того, для этого можно просто использовать калькулятор вручную или приложение для работы с электронными таблицами
.
 Например: 2 + 3 + 4+ 5+ 6 = 20
 Теперь вам нужно подсчитать количество значений в вашей группе. Вы должны посчитать все сложенные числа. Помните, что идентичные значения все равно должны учитываться, то есть, если в вашем наборе данных есть значения, которые повторяются, каждое из них по-прежнему учитывается при расчете вашей суммы. При подсчете количества значений не учитывайте сумму (ответ) всех сложенных чисел!
 Пример: 2, 3, 4, 5, а также 6 дают в общей сложности пять значений.
 Наконец, вам нужно разделить сумму набора на количество значений. Результат называется медовухой (тип среднего) вашего набора. Да, это означает, что если каждое число в вашем наборе имеет среднее значение, то в сумме они будут равны
.
 Пример: 20/5 = 4. Таким образом, 4 называется средним числом. Кроме того, вы можете проверить свои расчеты, просто умножив среднее значение на количество значений в наборе. В этом случае вы должны умножить 4 (среднее) на 5 (количество значений в наборе), и ваш результат будет 20 (4 × 5 = 20).
 Кроме того, вы можете использовать приведенный выше калькулятор среднего для расчета среднего значения для заданного набора данных. Читайте дальше, чтобы узнать об этом умном калькуляторе среднего (среднего)!
 О калькуляторе среднего:  Этот калькулятор среднего поможет вам вычислить среднее (среднее) для заданного набора данных. Неважно, получены ли данные из популяции или из выборки, так как это действительно не влияет на расчет среднего значения. Вы можете попробовать приведенный выше калькулятор среднего среднего диапазона мод, чтобы вычислить среднее (среднее), медиану, моду и диапазон вместе с различными параметрами для заданного набора данных n.
 Как найти среднее значение с помощью калькулятора среднего значения:  Калькулятор центральной тенденции очень прост в использовании. Все, что вам нужно сделать, это выполнить указанные шаги, чтобы вычислить среднее значение для заданного набора данных.
 Ввод:  Все, что вам нужно, чтобы ввести набор данных в специальное поле этого среднего калькулятора
 Вывод:  После того, как вы ввели набор данных, для которого вы хотите найти среднее значение (среднее), просто нажмите кнопку расчета калькулятора режима среднего значения, инструмент покажет вам:
 Среднее (среднее)
 Медиана (средняя)
 Режим (наиболее распространенный)
 Диапазон (самый большой – самый маленький)
 Среднее геометрическое
 По возрастанию
 По убыванию
 Четные числа
 Нечетные числа
 Сумма чисел
 Максимальное количество
 Количество (общее количество)
 Столбчатая диаграмма заданного набора данных
 Теперь давайте начнем с определения медианы в математике!
 Что такое медиана в математике?  Медиана называется средним значением в заданном наборе данных или представляет собой простую меру центральной тенденции. Когда вы ищете медиану в заданном наборе данных, который имеет нечетное количество общих чисел, процесс вычисления медианы слишком прост. Без сомнения, вычисление медианы в наборе данных с четным общим числом немного сложнее. Вы можете попробовать наш калькулятор медианы и использовать приведенную ниже формулу медианы для расчета медианы.
  Формула для медианы: 
 Для расчета медианы будет учитываться эта формула:
 Формула
 Или
 Медиана = среднее значение заданного набора данных
 Чтобы найти медиану легко и успешно, проведите пальцем по экрану вниз!
 Как вычислить медиану в нечетном наборе чисел:  Прежде всего, вы должны отсортировать числа в наборе данных от меньшего к большему. Если они зашифрованы, то вы должны выстроить их в ряд, начиная с наименьшего числа и заканчивая наибольшим числом. Если набор данных включает 5, 3, 1, 7, 2, то это будет как 1, 2, 3, 5, 7
 Теперь вам нужно найти число, которое находится ровно посередине заданного набора данных. Таким образом, ясно, что перед медианным числом стоит столько же чисел, сколько и за ним. Что ж, начните считать их, чтобы убедиться, что
 Давайте посмотрим на этот набор данных 1, 2, 3, 5, 7 — вы можете видеть, что перед 3 стоят два числа, а также два числа позади него. Он показывает, что 3 — это число, которое находится ровно посередине
 Итак, медиана 1, 2, 3, 5, 7 равна 3. Помните, что медиана набора данных с нечетными номерами — это всегда число в сам набор данных. Имейте в виду, что медиана никогда не является числом, которого нет в последовательности.
 Как вычислить медиану в четном наборе чисел:  Например; четный набор чисел: 2, 3, 1, 4
 Прежде всего, вы должны отсортировать свой набор чисел от меньшего к большему. Итак, снова используйте тот же первый шаг, что и упомянутый выше. Помните, что четный набор чисел будет иметь два числа точно посередине. Если набор данных включает 2, 3, 1, 4, то это будет 1, 2, 3, 4
 Теперь вам нужно найти среднее значение двух чисел в середине. Вы можете видеть, что 2 и 3 находятся посередине, поэтому здесь вам следует добавить 2 и 3, а затем просто разделить сумму на 2. Используйте приведенную выше формулу для нахождения среднего значения двух чисел (сумма двух средних числа) / 2
 Итак, медиана этого набора данных с четным количеством чисел равна 2 ½. Итак, ясно, что медиана в четном наборе чисел не обязательно должна быть числом в самом наборе данных
.
 О калькуляторе медианы:  Наш калькулятор медианы — это интеллектуальный инструмент, который эффективно работает как средство поиска медианы. Проще говоря, калькулятор медианы поможет вам найти медиану из заданного набора данных. Читайте дальше, чтобы узнать, что вам нужно сделать, чтобы найти медиану!
 Как найти медиану с помощью Калькулятора медианы:  Вышеупомянутый искатель медианы имеет простой и удобный интерфейс, все, что вам нужно выполнить, чтобы найти значения медианы из заданного набора данных:
 Ввод:  Все, что вам нужно, чтобы ввести набор данных в специальное поле вышеуказанного калькулятора медианы
 Вывод:  После того, как вы ввели набор данных, просто нажмите кнопку расчета — средство поиска медианы покажет вам медианное значение для заданного набора данных вместе со средним значением, режимом, диапазоном и другими статистическими данными
 Теперь давайте узнаем определение режима в математике, как рассчитать режим набора данных вручную, пример расчета режима, калькулятор режима и многое другое.
 Проведите вниз!
 Что такое режим в математике?  В режиме простого слова это значение, которое чаще всего встречается в наборе данных. Более конкретно, мода чисел — это число, которое чаще всего встречается в наборе данных. Помните, что набор данных не обязательно должен иметь только одну моду. Но когда два или более значения «связаны» как наиболее распространенные, можно сказать, что набор данных является бимодальным или мультимодальным соответственно. Другими словами, все наиболее распространенные числа являются модами множества. Просто попробуйте приведенный выше калькулятор среднего значения и моды, чтобы найти моду вместе с различными параметрами статистики.
 Что ж, если вы хотите рассчитать режим чисел или режим (ы) набора данных, выполните указанные шаги.
  Формула для режима: 
 Режим = наиболее повторяющийся элемент в наборе . Далее, вы должны подсчитать, сколько каждого числа. Число, которое появляется чаще всего, называется модусом чисел.
 Давайте посмотрим на пример:
 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29
 По порядку:
 3, 5, 7, 12, 13 , 14, 20, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56
 По порядку становится легко увидеть, какие числа появляются чаще всего.
 В этом примере режим чисел 23.
 Другой пример режима:
 {19, 8, 29, 35, 19, 28, 15}
 Сначала расположите их по порядку:
 {8 , 15, 19, 19, 28, 29, 35}
 Здесь, 19это режим, поскольку он появляется дважды, а все остальные появляются только один раз.
 Итак, как насчет более чем одного режима:  У нас может быть более одного режима.
 Да, иногда у нас может быть более одного режима.
 Например:
 {1, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 9}
 Пример: {1, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 6 , 9}
 Здесь вы можете видеть, что 3 встречается три раза, как и 6.
 Итак, это означает, что есть два режима, т.е. 3 и 6
 Помните, что:
 Если ваш набор данных имеет два режима, то говорят, что он «бимодальный»
 Если ваш набор данных имеет более двух режимов, то он называется «мультимодальным»
 Итак, подробнее о калькуляторе режимов!
 О калькуляторе режимов:  Калькулятор режимов — это интеллектуальный инструмент, который поможет вам вычислить значение режима набора чисел. Это означает, что этот калькулятор работает как средство поиска мод, которое помогает вам найти число, которое чаще всего встречается в наборе данных. Если набор данных имеет несколько режимов, лучше всего их найти с помощью калькулятора режимов.
 Как найти моду набора данных с помощью этого калькулятора мод:  Наш искатель мод довольно прост в использовании, все, что вам нужно, чтобы придерживаться заданных шагов, чтобы найти моду заданного набора данных в математике.
  Ввод: 
 Вы должны ввести набор данных, для которого вы хотите найти режим
 Вывод:  После того, как набор данных введен в указанное поле, нажмите кнопку расчета, этот калькулятор режимов покажет вам режим (наиболее распространенный), медиану, среднее значение, диапазон и определенные параметры для данного набора данных. .
 Итак, читайте дальше, чтобы узнать определение диапазона в математике, пример расчета диапазона, как найти диапазон с помощью простого калькулятора диапазона и многое другое!
 Что такое диапазон в математике?  Математически диапазоном набора данных называется разница между наибольшим и наименьшим значением в наборе. Если вы хотите найти диапазон набора данных, вам следует упорядочить набор чисел от наименьшего к наибольшему, а затем вы должны вычесть наименьшее значение из наибольшего значения. Итак, давайте взглянем на приведенные шаги, и если вы хотите мгновенно найти диапазон чисел, просто попробуйте наш калькулятор диапазона среднего среднего режима.
  Формула диапазона в математике: 
 Диапазон = наибольшее значение – наименьшее значение
 Как вычислить диапазон чисел или набор данных:  Например:
 Допустим, набор данных содержит следующие числа:
 {7, 8, 65, 8, 4, 7}.
 Прежде всего, вы должны расположить набор чисел в порядке от меньшего к большему. Ну вот как выглядит ваш набор данных: {4, 7, 7, 8, 8, 65}
 Теперь вы должны определить наименьшее и наибольшее число в наборе данных, в этом наборе данных наименьшее число равно 4, а наибольшее число равно 65
 Затем нужно вычесть наименьшее число из наибольшего. Наименьшее число 4, а наибольшее число 65, значит 65 — 4 = 61
 Итак, диапазон этого конкретного набора данных составляет 61
 О калькуляторе диапазона:  Калькулятор диапазона работает эффективно как дальномер, который помогает вам вычислить диапазон чисел из заданного набора данных. В частности, калькулятор диапазона, который поможет вам найти разницу между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных.
 Как найти диапазон с помощью калькулятора диапазона:  Да, расчет диапазона с помощью калькулятора становится довольно простым, вы просто выполняете указанные шаги, чтобы мгновенно найти диапазон заданного набора данных:
 Ввод:  Все, что вам нужно, чтобы ввести свой набор данных в специальное поле дальномера
 Вывод:  После этого просто нажмите кнопку расчета, калькулятор диапазона мгновенно покажет вам значение диапазона набора данных, среднее значение, моду, медиану вместе с различными параметрами, которые вам нужно знать!
 Часто задаваемые вопросы (среднее значение, медиана, мода и диапазон): 
 Как найти среднюю медианную моду и диапазон?  Чтобы найти это:
 Вы должны сложить все значения вашего набора данных и разделить на количество сложений, полученное значение называется средним значением набора данных
 Медиана называется средним числом набора данных в порядке от наименьшего к наибольшему
 Модой называется число, которое чаще всего встречается в вашем наборе данных
 Диапазон называется разницей между самым высоким и самым низким значениями в вашем наборе данных
 Если вы не хотите зацикливаться на этих ручных вычислениях, просто введите свой набор данных в калькулятор диапазона среднего среднего режима и рассчитайте все за один раз!
 Что делать, если в наборе данных нет моды?  Режим набора данных указывает на число, которое встречается чаще всего. Если в вашем наборе данных нет числа, которое встречается чаще, чем любое другое, то это называется отсутствием режима для набора данных. Также возможно, что набор данных имеет более одного режима.
 Может ли 0 быть режимом?  Предположим, что ваш набор данных:
 8, 0, -3, 4, 12, 0, 5, -1, 0
 Теперь, упорядочив набор данных от меньшего к большему, вы получите:
 8, -3, -1, 0, 0, 0, 4, 5, 12
 В этом наборе данных значение моды равно 0. во внимание, чтобы найти среднее (среднее) и диапазон вместе с медианой и модой для данного набора данных.
 Ссылки:  Из Википедии, свободной энциклопедии – Среднее (среднее) – Типы среднего – Среднее вероятностного распределения – Взвешенное арифметическое среднее – Среднее значение функции – также найдите моду, медиану, диапазон от источника из Википедии
 Из источника wikihow – как найти медиану набора чисел – Найти медиану в нечетном и четном наборе чисел – Соавтор: Штатный редактор wikiHow
 Из источника исследования – Как рассчитать среднее значение, медиану, моду и диапазон — меры центральной тенденции — и узнать больше обо всем!
 Из авторизованного источника пурпурной математики — примеры среднего, медианы, моды и диапазона — узнайте больше о показателях центральной тенденции, диапазоне и различных параметрах
  
 Калькулятор среднего, медианы, моды и диапазона
 Среднее значение, медиана, мода и диапазон являются одними из важных понятий статистики. Все мы знаем, что статистика — это предмет, который целиком занимается данными или числами, их упорядочиванием и изучением. Когда у нас есть много данных, которые нужно изучить или проанализировать, важно иметь определенные параметры, которые сделают наше исследование лучше.
   Что подразумевает Центральная Тенденция?
 Прежде чем перейти к знаниям о среднем значении, медиане и моде, нам нужно получить представление о термине, который очень важен для этих трех терминов — Центральная тенденция.
 Центральная тенденция — это статистический термин, представляющий центральную точку данного набора данных.
 Указывает, куда попадает большинство значений данного распределения данных.
 Центральную тенденцию можно представить как точку, вокруг которой группируются все значения заданного набора данных.
 Теперь среднее значение, медиана, мода и диапазон являются такими центральными тенденциями, которые дают общее представление о данных данного набора данных. Каждый из них имеет свою методику расчета, и каждый из них передает различную картину данного набора данных. Давайте поймем это лучше, когда мы будем двигаться дальше.
 Среднее
 Это всем нам более знакомо. Нас использовали для расчета среднего значения заданного набора значений, и это среднее значение в статистике называется средним.
 Среднее значение = Сумма всех значений или чисел в наборе данных, деленная на общее количество элементов в наборе данных.
 Медиана
 Данный набор данных может содержать значения из разных диапазонов. Их можно расположить таким образом, чтобы они располагались либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания.
 Когда вы упорядочиваете заданный набор данных либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания, самое среднее значение является медианой данного набора данных.
 Медиана = самый средний член данного набора данных, когда его значения расположены либо в возрастающем, либо в убывающем порядке.
 Примечание. Если общее количество терминов четное, то среднее двух средних чисел является медианой данного набора данных.
 Режим
 В заданном наборе данных может быть много значений, которые повторяются или встречаются много раз в наборе данных. Такое число или значение, которое повторяется наибольшее количество раз в заданном наборе данных, называется его модой.
 Режим = Значение или элемент, который повторяется наибольшее количество раз в заданном наборе данных.
 Диапазон
 Это разница между наибольшим и наименьшим значением заданного набора данных.
 Диапазон = наибольшее значение – наименьшее значение
 Пример
 Рассмотрим пример данных, как показано ниже: 2, 5, 3, 6, 2, 6, 7, 9, 1. 
 Для этого набора данных значения средней медианы и моды следующие: 
 Среднее = (2 + 5 + 3 + 6 + 2 + 6 + 7 + 9 + 1) / 9 = 45 / 10 = 4,5 
 Медиана = Среднее значение (1,2,2,3,5,6,6,7,9) = 5 
 Mode = Наиболее повторяющиеся значения (1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 9) = ( 2, 6 ) 
 Диапазон = (наибольшее значение) 9 – (наименьшее значение) 1 = 8
 Примечание. Те же расчеты остаются в силе, даже если значения в данном наборе данных представлены дробями или десятичными значениями. Нужна помощь по дробям или десятичным значениям? Проверьте наш онлайн-калькулятор дробей бесплатно.
 Математика — это не числа, уравнения, вычисления или алгоритмы; это о понимании. – Уильям Пол Терстон
 Практическое применение среднего, медианы, моды и диапазона
 Эти основные тенденции находят применение во многих статистических вычислениях. Например, в режиме реального времени рассмотрим центр обработки данных. Он содержит много оборудования, такого как серверы, охлаждающее оборудование, вентиляторы и т. д., которые потребляют электроэнергию. Датчики и интеллектуальные блоки питания используют эти основные тенденции для оценки различных статистических данных о мощности, потребляемой в данной стойке серверов и другого электрооборудования в центре обработки данных.
 Кстати, знаете ли вы различные аспекты, которые учитываются при расчете стоимости электроэнергии? Проверьте их на нашем бесплатном онлайн-калькуляторе стоимости электроэнергии.
 Как пользоваться калькулятором среднего, медианы, режима и диапазона CalculatorHut?
 Этот бесплатный онлайн-калькулятор среднего, медианы, моды и диапазона от CalculatorHut позволяет вычислять эти значения для заданного набора данных. Вы можете ввести значения имеющегося у вас набора данных и очень легко рассчитать эти центральные тенденции.
 Вы можете разместить это в виде виджета в своем блоге или на веб-сайте и сообщать читателям, сколько их устройство будет отображаться в ежемесячном счете за электроэнергию. Напишите нам по адресу calculatehut@gmail.com, чтобы получить бесплатный настраиваемый виджет.
CalculatorHut также имеет свое приложение с более чем 100 калькуляторами на различные темы — калькуляторы здоровья, финансовые калькуляторы, калькуляторы транспортных средств, математические калькуляторы, калькуляторы физики, калькуляторы химии и многие другие. Загрузите наше бесплатное приложение и носите мир вычислений в своем кармане.
 Дайте нам знать, если вы хотите, чтобы мы добавили любой другой калькулятор в наш ассортимент. Мы будем рады служить вам. Удачных расчетов!!
 В реальной жизни не будь подлым! Будь медианой или модой!!
 Калькулятор статистического среднего значения для среднего, медианы, моды и диапазона
 Пример набора данных
 Чтобы показать, как вычислять среднее значение, медиану, моду и диапазон, я буду использовать следующий набор данных:
  36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13, 23 
 Как вычислить среднее значение?
 Среднее   — это среднее всех чисел в наборе данных. Чтобы вычислить среднее значение набора чисел, вы складываете все числа вместе, а затем делите эту сумму на количество элементов в наборе.
 Набор данных: 36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13, 23 36 + 3 + 8 + 12 + 15 + 18 + 22 + 34 + 8 + 25 + 17 + 13 + 23) ÷ 13
 Среднее значение = 234 ÷ 13
 Среднее значение = 18
 Как вычислить медиану?
 Медиана   — это среднее число в наборе данных после сортировки набора данных от меньшего к большему. Чтобы вычислить медиану набора данных, вы подсчитываете количество элементов, а затем сортируете элементы от меньшего к большему. Далее, для  нечетного  числа элементов вы добавляете 1 к количеству элементов, а затем делите на 2, чтобы получить положение среднего числа. Из нашего примера набора данных медиана — это 7-е число в отсортированном списке, то есть число 17.
 Набор данных с нечетными номерами: 36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13, 23
 Количество элементов в наборе 171 8
1  Средняя позиция = ((count + 1) ÷ 2)
 Средняя позиция = ((13 + 1) ÷ 2)
 Средняя позиция = (14 ÷ 2)
 Средняя позиция = 7 0 7 7
 Количество  1  2  3  4  5  6   7  8  9  10  11  12  13
 Data Set  3  8  8  12  13  15   17  18  22  23  25  34  36
 Median = 17 (7th number in sorted data set)
 Note that for an  даже  числа элементов, вы найдете среднее из двух средних чисел. Первая средняя позиция будет равна количеству элементов, разделенному на 2 минус 1. Вторая средняя позиция будет первой средней позицией плюс 1. Затем вы сложите два средних числа вместе и разделите на 2, чтобы найти среднее значение. Из нашего исправленного примера набора данных это дает вам среднее значение 16, что является средним значением 6-го и 7-го элементов (15 и 17).
 9000 = 15 Четный набор данных: 36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13
 Количество элементов в наборе 12
 1-я средняя позиция = (число ÷ 2) — 1
 1-я средняя позиция = (12 ÷ 2) — 1 = 1-я средняя позиция
 2 -я средняя позиция = 1 -я средняя позиция + 1
 2 -я средняя позиция = 6 + 1 = 7
 2 -е среднее число = 17
 Среднее число средних чисел = (15 + 17 = 17
. ) ÷ 2 = 16
 Count  1  2  3  4  5   6   7  8  9  10  11  12
 Data Set  3  8  8  12  13   15   17  18  22  25  34  36
 Медиана = 16 (среднее значение 15 и 17)
 Как рассчитать моду?
 Режим   — это число в наборе данных, которое наиболее часто повторяется в наборе. Чтобы найти режим, вы просто подсчитываете, сколько раз каждое уникальное число появляется в наборе данных. Число, которое появляется чаще всего, является режимом. В нашем примере набора данных чаще всего встречается число 8. Следовательно, мода набора данных — 8.
 Набор данных: 36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13, 23,
 Сортированный набор данных  3   8  3   8   8  12  13  15  17  18  22  23  25  34  36
 Mode = 8 (8 appears the most often)
 Обратите внимание, что набор данных может иметь более 1 режима. Например, если бы приведенный выше набор данных включал еще 3, то набор имел бы две моды: 3 и 8. Набор данных, имеющий две моды, называется 9.0140 бимодальный набор , тогда как набор данных, имеющий более двух режимов, называется мультимодальным набором  .
 Как рассчитать диапазон?
 Диапазон   — это разница между наибольшим числом в наборе и наименьшим числом в наборе. Чтобы найти диапазон, вы сортируете диапазон от меньшего к большему, чтобы определить минимальное и максимальное значения. Затем вы вычитаете минимальное значение из максимального значения, чтобы найти диапазон. В нашем примере минимальное значение равно 3, а максимальное — 36, что дает диапазон 33 (36 — 3).
 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 Набор данных: 36, 3, 8, 12, 15, 18, 22, 34, 8, 25, 17, 13, 23
 Сортируемые данные   3  9003  8 80007   3  8.  8  12  13  15  17  18  22  23  25  34   36 
  36
  36 9000
 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 .

   Оставить комментарий on Рассчитать медиану онлайн: Медиана чисел | Онлайн калькулятор/

`Четвертой степени уравнение как решать: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени`

alexxlab / 09.10.197030.07.2021 / Разное

`“Методы решения уравнений четвертой степени”`

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи Ивановской области

Педагогический проект по теме:

“Методы решения уравнений четвертой степени”

Выполнила Чурина

Елена Вениаминовна,

учитель математики первой

квалификационной категории

Г. Южа

2021 год

Содержание

Актуальность

Цель и задачи работы:………………………………

1. Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени……стр.

2. Определение уравнения 4 степени………………………….стр.

3. Способы решения уравнений 4 степени……………………………стр.

3.1. Схема метода Феррари……………………….стр.

3.2. Разложение на множители. Кубическая резольвента……………стр.

3.3. Теорема Виета для уравнения 4 степени……………………..стр.

3.4. Решение уравнений 4 степени по схеме Горнера……………………стр.

4.Решение некоторых уравнений 4 степени……………………………стр.

4.1. Решение биквадратного уравнения………………………………стр.

4.2. Решение уравнения способом группировки………………….стр.

4.3. Решение уравнения по свободному члену……………………стр.

4.4. Графический метод………………………………………..стр.

4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата………………………………………………..стр.

5. Исследование………………………………………………стр.

6. Выводы

7. Заключение

8. Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений высших степеней……………………………………………стр.

Список литературы

Актуальность

Как все знают, в математике одна из важнейших вещей — это уравнения. Чаще всего решаются линейные либо квадратные уравнения, но не мало важны уравнения 4 степени, которые решить сможет не каждый учащийся 9 класса. Чтобы решать такие уравнения было проще, нужно выбрать тот способ, который тебе более понятен.

Задания с уравнениями высших степеней есть в контрольных измерительных материалах при проведении государственной итоговой аттестации. Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.

Цель работы: узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней.

Задачи:

Изучить литературу по истории приемов решения уравнений 4-й стпени

Обобщить накопленные знания об уравнениях4-й степени и способах их решения.

Сделать выводы.

Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению уравнений 4-й степени с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать уравнения 4-й степени?

Гипотеза: существует универсальный способ для решения всех видов уравнений 4-степеней.

Объект исследования: уравнения 4-й степени

Предмет изучения: методы и приемы решениях уравнений 4-й степени, в том числе

1.Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.

Однако уже при решении уравнений третей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие.

Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнения тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано (1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано открытие способов решения уравнений четвёртой степени.

В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.) доказали, что не существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу.

2. Определение уравнения 4 степени

Уравнение четвёртой степени —алгебраическое уравнение вида:

,

при этом a≠0 и где a,b,c,d,e- любые числа.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

3. Способы решения уравнений 4 степени.

3.1 Схема метода Феррари

a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0,

(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

3.2.Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Действительно,

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример. Решить уравнение

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = 0.

(12)

Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

Поскольку

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 = = y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 = = y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.

(14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8.

(15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.

(16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

Но эти способы очень сложны. Рассмотрю более простые способы, с помощью которых можно решить некоторые уравнения 4-й четверти.

3.3Теорема Виета для уравнения четвёртой степениКорни уравнения четвёртой степени {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}} связаны с коэффициентами {\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}следующим образом:
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}
3.4.Решение уравнений четвертой степени по схеме Горнера
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления.
Они считаются так:
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из
соответствующей ячейки первой строки.
2 ∙ 2 + 5 = 9
2 ∙ 9 — 11 = 7
2 ∙ 7 — 20 = -6
2 ∙ (-6) + 12 = 0
Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.
(х-2)(2х3+9х2+7х-6)=0
Многочлен, являющийся вторым множителем попробуем разложить на множители подобным образом.
Отыщем опять делители свободного члена. В данном случае делителями числа -6: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6.
Число -2 является корнем многочлена. Напишем найденный корень в схему Горнера и начнем заполнять ячейки:
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
-2 ∙ 2 + 9 = 5
-2 ∙ 5 + 7 = -3
-2 ∙ (-3) — 6 = 0
Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.{2}-4ac}}}{2a}}}.}
Пример.
Решить уравнение
Замена
из этого следует, что уравнение имеет два корня.
Обратная замена
 т.е. невозможно
Ответ:  .
4.2. Решение уравнения способом группировки
Способом группировки можно решить уравнение 4 степени.
Чтобы разложить уравнение на множители, надо сгруппировать слагаемые по парам. Мы должны сгруппировать слагаемые по парам таким образом, чтобы при вынесении общего множителя за скобки у слагаемых был одинаковый множитель.
Решим на примере.
2х4-5х3+2х2-5х=0
(2х4-5х3)+( 2х2-5х)=0
х3(2х-5)+х(2х-5)=0
(2х-5)(х3-х)=0
х(2х-5)(х2-1)=0
х(2х-5)(х-1)(х+1)=0
х=0 или 2х-5=0 или х-1=0 или х+1=0
х1=0 х2=2,5 х3=1 х4=-1
4.3. Решение уравнения по свободному члену
Любое уравнение вида   можно свести к приведенному уравнению той же степени, домножив обе его части на  и выполнив замену переменной вида :
Полученные коэффициенты   тоже будут целыми.
Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида  .
Алгоритм решения.
Находим целые корни уравнения.
Целые корни уравнения  , i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена . То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде  , где  — корень уравнения, а  — частное от деления  на .
Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение , начиная с  (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень  найден и уравнение предстает в виде , где  — частное от деления  на .
И так продолжаем перебор делителей, начиная с . В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде , где  — многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.
Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.
Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения  любым способом.
Решить уравнение .
Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.
Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.
Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.
При х=1 имеем . То есть х=1 является корнем уравнения.
Разделим многочлен  на (х-1) столбиком:
Следовательно, .
Продолжим перебор делителей, но уже для равенства :
При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.
Разделим  на (х+1) столбиком:
Таким образом,
Продолжаем перебор делителей для равенства , начиная с х = -1:
Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.
Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена .
, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных.
4.4.Графический метод.
Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:
1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;
2) наличие или отсутствие корней, их количество.
Пример: (материал взят из ОГЭ 2016г.)
x4=(3x-10)2
Решение №3: x4=(3x-10)2
1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.
2) Построим график функции у = х4 — график парабола ветви направлены вверх.
3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.
4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).
Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.
Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества.
4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.
Этот метод основан на использовании формул: 
а2-b2=(а-b)(а+b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2
а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3
(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3,
Пример: х4=(3х-10)2
Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0
(х2-3х+10)(х2+3х-10)=0
х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0
D=9-40=-31 D=9+40=49
корней нет х1=-5, х2=2.
Ответ: х1=-2, х2=5.
6. Выводы:
1. Уравнения высших степеней решали еще более 500 тыс. лет назад.
2. Есть много способов решения уравнений 4-й степеней. Некоторые из них довольно сложные, а некоторые помогут быстро решить задания на ОГЭ.
3. Уравнения 4-й степеней играют немалую роль в развитии математики. Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Эти методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они всё равно могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
7. Заключение
В данной работе рассмотрены способы решения уравнений 4-й степени.
А также рассмотрены приёмы решения уравнений 4-й степени, которые позволяют быстрее и проще решить такие уравнения.
Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку каждые из них интересны и уникальны. Овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром и упрощенном решении обусловлена применением этих навыком на экзаменах.
Таким образом, цель работы — узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней- достигнуты. Гипотеза доказана, существует универсальный способ решения уравнений 4-й степени. Это способ Феррари.
Источники:
Алгебра. 9 класс:учебник для общеобразовательных организаций / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 4-е издание – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046396-6.
. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.
 В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин,
А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» — Москва «Лист», 1998.
 Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие — Саратов «Лицей», 2003.
 М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.
А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» — М.:Наука, 1975.
Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» — М.: Просвящение, 1995.
 И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.
10.https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/
11. http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html
12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_четвёртой_степени
Приложение 1
Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений 4-й степени.
№1 Решите уравнения способом замены:  , б) X4-2×2-8=0,
в) x4-8×2-9=0, г) x4-7×2+12=0, д) 3×4-13×2+4=0, е) 2×4-19×2+9=0,
ж) 3×4-13×2+4=0, з) (x2+4x)(x2+4x-17)=60=0, и) (x2-5x)(x2-5x+10)+24=0,
к)(x2-3x)2-2(x2-3x)=8, л) (x2+x)2-11(x2+x)=12, 1
м) ()+10=0, н) ()=3; о)
№2 Решите уравнения, раскладывая левую часть на множители способом группировки:
а) 2×4-5×3+2×2-5x=0,
б) 6×4-3×3+12×2-6x=0,
в) 2×4+3×3-8×2-12x=0,
г) 2×4-5×3-18×2+45x=0.
№3 Решите уравнения по свободному члену
а) 2×4 – 3×3 – 7×2 –15x + 50 =0 б)х4-4х2 +3х+2=0
в) х4+2х3-7х2 -8х+12=0
№4 Решить уравнения, применения формулы сокращенного умножения
а)    б).
Уравнения четвертой степени, стр.6 — TopRef.ru
Уравнения
четвертой степени
 Метод решения уравнений четвертой
степени нашел в XVI
в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо
Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
 Как
и при решении кубического и квадратного
уравнений, в уравнении четвертой степени
можно
избавиться от члена  подстановкой 
.
Поэтому будем считать, что коэффициент
при кубе неизвестного равен нулю:
.
 Идея
Феррари состояла в том, чтобы представить
уравнение в виде 
,
где левая часть – квадрат выражения 
,
а правая часть – квадрат линейного
уравнения  от 
,
коэффициенты которого зависят от 
.
После этого останется решить два
квадратных уравнения:  и 
.
Конечно, такое представление возможно
только при специальном выборе параметра
.
Удобно взять  в виде 
,
тогда уравнение перепишется так:
 .	(15)
Правая
часть этого уравнения – квадратный
трехчлен от 
.
Полным квадратом он будет тогда, когда
его дискриминант равен нулю, т.е.
,
или
 .
Это
уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»).
Относительно  оно кубическое, и формула Кардано
позволяет найти какой-нибудь его корень
.
При  правая часть уравнения (15) принимает
вид
,
а
само уравнение сводится к двум квадратным:
.
Их
корни и дают все решения исходного
уравнения.
 Решим
для примера уравнение
.
 Здесь
удобнее будет воспользоваться не
готовыми формулами, а самой идеей
решения. Перепишем уравнение в виде
и
добавим к обеим частям выражение 
,
чтобы в левой части образовался полный
квадрат:
.
Теперь
приравняем к нулю дискриминант правой
части уравнения:
,
или,
после упрощения,
.
Один
из корней полученного уравнения можно
угадать, перебрав делители  свободного
члена: 
.
После подстановки этого значения получим
уравнение
,
откуда
.
Корни образовавшихся квадратных
уравнений —  и 
.
Разумеется, в общем случае могут
получиться и комплексные корни.
Решение
Декарта-Эйлера
подстановкой  приводится к «неполному» виду
 .	(16)
Корни
,
,
,  «неполного» уравнения четвертой
степени (16) равны одному из выражений
,
в
которых сочетания знаков выбираются
так, чтобы удовлетворялось условие
,
причем
,  и  — корни кубичного уравнения
.
Уравнения
высоких степеней
 Разрешимость в радикалах
 Формула корней квадратного
уравнения известна с незапамятных
времен, а в XVI
в. итальянские алгебраисты решили в
радикалах уравнения третьей и четвертой
степеней. Таким образом, было установлено,
что корни любого уравнения не выше
четвертой степени выражаются через
коэффициенты уравнения формулой, в
которой используются только четыре
арифметические операции (сложение,
вычитание, умножение, деление) и извлечение
корней степени, не превышающей степень
уравнения. Более того, все уравнения
данной степени  ()
можно «обслужить» одной общей
формулой. При подстановке в нее
коэффициентов уравнения получим все
корни – и действительные, и комплексные.
 После
этого естественно возник вопрос: а есть
ли похожие общие формулы для решения
уравнений пятой степени и выше
Ответ на него смог найти норвежский
математик Нильс Хенрик Абель в начале
XIX
в. Чуть раньше этот результат был указан,
но недостаточно обоснован итальянцем
Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини
звучит так:
 Общее уравнение степени  при  неразрешимо в радикалах.
 Таким образом, общей формулы,
применимой ко всем уравнениям данной
степени  ,
не существует. Однако это не значит, что
невозможно решить в радикалах те или
иные частные виды уравнений высоких
степеней. Сам Абель нашел такое решение
для широкого класса уравнений произвольно
высокой степени – так называемых
абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини
не исключает даже и того, что корни
каждого конкретного алгебраического
уравнения можно записать через его
коэффициенты с помощью знаков
арифметических операций и радикалов,
в частности, что любое алгебраическое
число, т.е. корень уравнения вида
,
,
с
целыми коэффициентами, можно выразить
в радикалах через рациональные числа.
На самом деле такое выражение существует
далеко не всегда. Это следует из теоремы
разрешимости алгебраических уравнений,
построенной выдающимся французским
математиком Эваристом Галуа в его
«Мемуаре об условиях разрешимости
уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован
в 1846 г.).
 Подчеркнем,
что в прикладных задачах нас интересует
только приближенные значения корней
уравнения. Поэтому его разрешимость в
радикалах здесь обычно роли не играет.
Имеются специальные вычислительные
методы, позволяющие найти корни любого
уравнения с любой наперед заданной
точностью, ничуть не меньшей, чем дают
вычисления по готовым формулам.
Решения уравнений четвёртой степени — Журнал Ольги Арефьевой — LiveJournal
У меня папа увлекается шахматами, шашками и математикой. У него инженерное образование. Его зовут Арефьев Виктор Андреевич, и ему сейчас 78 лет. Давно мне говорил, что написал математическую статью, но не знает, как набрать ее на компе (из-за формул). Зрение не очень, с компьютером несколько «на вы». Но со скайпом, вайбером, почтой, а также шахматными и шашечными играми онлайн — управляется. Статью он написал, только не знает, куда и кому ее послать, чтобы прочитали. Мой друг постарался и помог набрать текст с рукописного черновика. Это была эпопея, но теперь наконец все готово. Пожалуйста, если среди вас есть кто-то, кто разбирается, почитайте и отзовитесь, вдруг вам есть, что сказать в ответ.
И, если можно, затегайте тех, кто еще может статью почитать и подсказать, где ее можно опубликовать в сообществах или на сайтах для интересующихся математикой. Я в математических задачах ничего не понимаю. При всей широте моих увлечений точные науки в них не вошли. Папе нужна связь с теми, кому это интересно и понятно, и с кем можно иногда виртуально общаться и получать обратную связь.Пока выложили на моем сайте.
Вот, что папа пишет:
«Уравнение Феррари давно известно, разложение на два квадратных уравнения тоже, сопряжённые числа тоже, но здесь приведено новое их применение для вывода решения Феррари. Я про это ничего не нашёл, хоть искал».
Итак, в этой статье (идите по ссылке)
I. Новый вывод метода Феррари решения уравнения четвёртой степени.
II. Решение уравнения четвёртой степени методом сопряжённых чисел.
III. Метод Декарта-Эйлера решения уравнения четвёртой степени.
IV. Сравнение методов на примере.
И еще пишет:
«Я отдохнул от писанины и теперь решаю, с чего начать: 1. Законы Кеплера в теории двух тел с применением комплексного счисления. 2. Квадрат суммы двустороннего ряда равен сумме квадратов без удвоенных произведений. 3. Пирамиды для мертвых и для живых (заряды у молекулы воды расположены в вершинах тетраэдра и это даёт ей все важные для жизни свойства). 4. Свойства пространства с точки зрения физического вакуума — электрические, магнитные и гравитационные. 5. Разбор решения уравнения 5 степени Сергея Зайкова и опровержение альтернативного метода Валентина Подвысоцкого. 6. Решение интеграла от рациональной дроби любой степени в общем виде. 7. Решённые и нерешенные алгебраические ряды. Новые решения Базельской проблемы. 8. Суммирование рядов по методу Архимеда и определение погрешности при этом по треугольнику Паскаля. 9. Этюд Д.Кларка в шашках (1873г.) и его углубление. Углубление этюдов А.Врагова (1914г.) и И. Бленкаара (1894 г.). 10. Три дамки против дамки с тремя простыми — решение всех 36 вариантов».

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс
Основные цели: 
Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 
 3).
Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его 
 решения.
Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на 
уроке:
Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового 
 материала, семинары – решение задач).
Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная 
 работа с классом).
Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
Использование исследовательского метода в обучении, направленного на 
 развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого 
 конкретного ученика.
Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные 
 понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).
План урока:
Организационный момент.

 Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить 
 содержательные рамки урока.
Актуализация знаний учащихся.

 Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы 
 решения уравнений высших степеней (n > 3)
Подведение итогов.

 Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на 
 уроке.
Домашнее задание.

 Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.
Конспект урока
 
 1. Организационный момент.
Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.
 
 2. Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений 
из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки 
необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее 
знаний.
Понятие уравнения с одной переменной.
Понятие корня уравнения, решения уравнения.
Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного 
 уравнения с одной переменной.
Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие 
 посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный 
 вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения 
 исходного уравнения на множители.
Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. 
 Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) 
 целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно 
 приведенного и неприведенного).
Схема Горнера.

 3. Изучение новой темы.
Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени 
стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 
, где P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 
+ a₁x + a₀ – многочлен n-й степени от x,
 a_n≠ 0. Если a_n 
= 1  то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением
 n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n 
и перечислим основные методы их решения.
n = 1 – линейное уравнение. 
n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула 
для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.
n = 3 – кубическое уравнение. 
Метод группировки.
Пример: x³ – 4x² – x + 4 = 0
 
(x – 4)(x²– 1) = 0
 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.
 
 Возвратное кубическое уравнение вида ax³ + bx² 
+ bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми 
коэффициентами.
Пример: x³ – 5x² – 5x + 1 = 0
 
(x + 1)(x² – 6x + 1) = 0
 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2,
 x₃ = 3 – 2.
 
 Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. 
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что 
перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному 
алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого 
рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: x³ – 9x² + 23x – 15 = 0. 
Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3;
 +5; +15}. Применим схему Горнера: 

x³
x²
x¹
x⁰
вывод

1
-9
23
-15

1
1
1 х 1 – 9 = -8
1 х (-8) + 23 = 15
1 х 15 – 15 = 0
1 – корень

x²
x¹
x⁰


Получаем
 
(x – 1)(x² – 8x + 15) = 0
 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.
 
 Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. 
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что 
перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму 
в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального 
уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: 9x³ + 27x² – x – 3 = 0. 
Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}. 
Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+1; +3;
 +9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +;
 +;
 +3}. Применим схему Горнера: 

x³
x²
x¹
x⁰
вывод

9
27
-1
-3

1
9
1 x 9 + 27 = 36
1 x 36 – 1 = 35
1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0
1 – не корень
-1
9
-1 x 9 + 27 = 18
-1 x 18 – 1 = -19
-1 x (-19) – 3 = 16 ≠
 0
-1 – не корень


9

 
 x 9 + 27 = 30

 
 x 30 – 1 = 9

 
 x 9 – 3 = 0
 корень

x²
x¹
x⁰


Получаем
 
(x –
)(9x² 
+ 30x + 9) = 0
 x₁ =
,
 x₂ = — 
, x₃ = -3.
Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать 
замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.
 
Если свободный член равен 1.
 
Если можно воспользоваться заменой вида y = kx.
 
 Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических 
уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских 
математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона 
дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n = 4 – уравнение четвертой степени. 
Метод группировки.
Пример: x⁴ + 2x³ + 5x² 
+ 4x – 12 = 0
 
(x⁴ + 2x³) + (5x² + 10x) 
– (6x + 12 ) = 0
 
(x + 2)(x³ + 5x – 6) = 0
  
(x + 2)(x – 1)(x²+ x + 6) = 0
  
 x₁ = -2, x₂ = 1.
 
 Метод замены переменной.
Биквадратное уравнение вида ax⁴ + bx² 
 + с = 0.
Пример: x⁴ + 5x² 
– 36 = 0. Замена y = x². Отсюда y₁ = 
4, y₂ = -9. Поэтому x_1,2 = +2 .
 
Возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + 
 bx³ + cx² + bx + a = 0.Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

 
Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ 
 + bx³ + cx² – bx + a = 0.
Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ 
 + bx³ + cx² + kbx 
 + k²a = 0.

 
Замена общего вида. Некоторые стандартные замены. 
 Пример 1:

 
 Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного 
уравнения).

 
 Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. 
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
 
 Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании 
теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 
3.
 
 Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений 
четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). 
Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней. 
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. 
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
 
 Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании 
теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 
3.
 
 Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени 
имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что 
один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное 
уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного 
уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x 
= φ содержит и корень вида
. 
Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.
 
 Метод замены переменной. Использование однородности.

 
 Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой 
степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и 
норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это 
показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).
Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации 
 перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более 
 низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
 
 
За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые 
 на практике графические методы решения уравнений и методы 
 приближенного решения уравнений высших степеней.
 
Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.Тогда решение 
 сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для 
 доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках 
 монотонности. Пример: уравнение x⁸ – x³ 
 + 1 = 0  не имеет корней.
 
Использование свойства монотонности функций. Бывают ситуации, когда 
 использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную 
 задачу. 

 Пример 1: уравнение x⁵ + 3x – 4 = 0  имеет 
 один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций 
 других корней нет. 

 Пример 2: уравнение x⁴ +  (x – 1)⁴ 
 = 97  имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. 
 Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках 
 монотонности, заключаем, что других корней нет.

 4. Подведение итогов.
Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений 
высших степеней (для n > 3). 
Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В 
зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ 
решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно 
применять выбранный метод.
 
 5. Домашнее задание.
[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36,
39–44, 46,47.
[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 
9.14–9.16, 9.24–9.27.
Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:
Формула Кардано
Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
Методы приближенного решения уравнений.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:
Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность 
подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно 
простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются 
различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно 
упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. 
В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения 
уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; 
проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом 
соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти 
дополнительную информацию по данной тематике.
Список литературы:
Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с 
 углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами 
 учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 
 2008 – 192 с.
Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 
 с.
Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 
 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 
 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., 
 Дрофа, 1999 – 352 с.
Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. 
 “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – 
 М., Просвещение, 2007 – 112 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации 
 знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации 
 знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное 
 пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 
 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к 
 школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с 
 углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” 
 – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., 
 Педагогика, 1985 – 352 с.
Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре 
 для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 
 95 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. 
 Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. 
 Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.
Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени  
Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.
Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
 
Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15
Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10
Результат: уравнение имеет один корень – число 10.
Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.
Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.
 
Равносильность уравнений.
Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.
Пример1:
Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.
Пример 2:
Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
 
Целое уравнение с одной переменной
Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).
Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.
Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).
В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.
В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).
 
Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x:
           b
x = – —
          a
Это значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
 
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax² + bx + c = 0,
где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
— если D > 0, то уравнение имеет два корня;
— если D = 0, то уравнение имеет один корень;
— если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
 
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax³ + bx² + cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
 
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
 
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.
 
Пример 1: Решим уравнение
x³ – 8x² – x + 8 = 0.
Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:
x²(x – 8) – (x – 8) = 0.
Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:
x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.
Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8. 
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:
(x – 8)(x² – 1) = 0.
Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1². 
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1). 
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:
(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.
Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю. 
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:
x – 8 = 0
x – 1 = 0
x + 1 = 0
Осталось найти корни нашего уравнения:
x₁ = 0 + 8 = 8
x₂ = 0 + 1 = 1
x₃ = 0 – 1 = –1.
Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.
 
Пример 2: Решим уравнение
(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.
Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.
Тогда наше уравнение обретает более простой вид:
(y + 4)(y + 6) = 120.
Раскроем скобки:
y² + 4y + 6y + 24 = 120
y² + 10y + 24 = 120
Приравняем уравнение к нулю:
y² + 10y + 24 – 120 = 0
y² + 10y – 96 = 0
Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:
y₁ = -16
y₂ = 6
Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:
1) Сначала применяем значение y₁ = –16:
x² – 5x = –16
Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:
x² – 5x + 16 = 0
Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.
2) Теперь применяем значение y₂ = 6:
x² – 5x = 6
x² – 5x – 6 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:
x₁ = –1
x₂ = 6.
Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.
 
Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).
Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a^х. Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a^х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса  алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений  свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.
Важно знать
Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a^x при а ≤ 0 корней не имеет.
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
a^m x aⁿ a^m+n
a^m:aⁿ a^m-n
(a x b)ⁿ aⁿ x bⁿ
(a : b)ⁿ aⁿ : bⁿ
(aⁿ)^m a^{n x m}
a^-n 1/aⁿ
(a/b)^-n (b/a)ⁿ
ⁿ√a a^1/n
Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.
Методы решения показательных уравнений
Самые короткие и простые показательные уравнения решаются с помощью элементарной математики. Например:
4^х = 64.
Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.
4 × 4 × 4 = 64
4³ = 64
Х = 3
Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ³√128= 4^2х? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.
³√128= 4^2х
³√2⁷= (2²)^2x
2^7/3 = 2^4х
Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.
4х = 7/3
х = 7/12
В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.
Приведение к одинаковому основанию
Весомую часть уравнений вида а^х = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общий множитель.
Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.
Пример 1
Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.
(1/64²)^-х = √1/8
Мы знаем, что у 64 и 8 есть общий множитель — это 2. Попробуем использовать это, и тогда 64² = 2¹², а 8 = 2³.
(1/2¹²)^-х = √1/2³
1/2^-12х = 1/2^2/3
(1/2)^-12х = (1/2)^3/2
-12х = 3/2
х = -1/8
Пример 2
В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.
(0,5)^х2 × 4^х+1 = 64^-1
Найдем общее основание показательных функций:
0,5 = 1/2 = 2^-1
4 = 2²
64 = 2⁶
В результате у нас получается:
(2^-1)^х² × (2²)^х+1 = (2⁶)^-1
2^-х² × 2^2х+2 = 2^-6
2^-х²+2х+2 = 2^-6
-х² + 2х + 2 = -6
х²— 2х — 8 = 0
Здесь у нас будет два корня: -2 и 4.
Приведение к одинаковой степени
Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.
При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): a^xb^x = (ab)^x.
Пример
5^2х-4 = 49^2-х
Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:
5^2х-4 = 49^2-х
5^2х-4 = 7^4-2х
5^2х-4 = (1/7)^2х-4
35^2х-4 = 1
2х — 4 = 0
х = 2
Пример 2
2^х-2 = 5^2-х
Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.
2^х-2 = 1/5^х-2
Теперь умножим обе части на 5^2-х и придем к уравнению:
2^х-2 × 5^2-х = 1
10^х-2 = 1
10^х-2 = 10⁰
х — 2 = 0
х = 2
Замена переменной
Этот способ решения показательных уравнений понадобится тем, кто не боится по-настоящему трудных задач. Ведь с помощью ввода новой переменной можно упростить даже самое сложное выражение. Его суть проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.
Пример
4^x— 2^x+1— 8 = 0
Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4^х = 2^2х, а 2^х+1 = 2 × 2^х.
2^2х — 2 × 2^х — 8 = 0
Что-то напоминает. 🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2^х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2^х новой переменной — допустим, y.
Если 2^х = y, получается: у²— 2у — 8 = 0.
У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у₂ = -2.
Проведем обратную замену: 2^х = 4, 2^х = -2.
Но мы знаем, что показательная функция в любом случае не может быть отрицательным числом, а значит, 2^х = -2 корней не имеет. Следовательно, 2^х = 4.
х = 2.
Пример 2
25^х — 6 × 5^х + 5 = 0
Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5^х = у.
у² — 6у + 5 = 0
Корни такого уравнения: 1 и 5.
Выполним обратную замену:
5^х = 1, значит х = 0.
5^х = 5, значит х = 1.
Выделение устойчивого выражения
В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить. Так вот, когда мы выносим некий множитель за скобку или заменяем переменную, пытаясь упростить уравнение — это действие по сути и является выделением устойчивого выражения.
Устойчивое выражение — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки или обозначить новой переменной, чтобы упростить уравнение.
Хорошая новость: так или иначе устойчивое выражение можно найти почти в любом трудном уравнении. Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.
Пример 1
3^х+1 + 3^х — 3^х-2 = 35
В данном случае в качестве устойчивого выражения удобно взять 3^х-2 как степень с наименьшим показателем. В итоге мы получим:
3^х-2(3³ + 3² — 1) = 35
3^х-2 × 35 = 35
3^х-2 = 1
Поскольку 1 равняется любое число в нулевой степени, мы можем записать:
3^х-2 = 3⁰
х — 2 = 0
х = 2
Пример 2
5 × 3^-3х+1 + 3^-3х+2 = 24
Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3^-3х+2 = 3^-3х+1+1 = 3 × 3^-3х+1.
Теперь у нас есть устойчивое выражение 3^-3х+1, которое можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:
3^-3х+1(5+3) = 24
8 × 3^-3х+1 = 24
3^-3х+1 = 3¹
-3х + 1 = 1
х = 0
Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА
2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 ∙ 2 + 5 = 9
2 ∙ 9 — 11 = 7
2 ∙ 7 — 20 = -6
2 ∙ (-6) + 12 = 0
Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(2x³ + 9x² + 7x — 6)
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 9x² + 7x — 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
-2 ∙ 2 + 9 = 5
-2 ∙ 5 + 7 = -3
-2 ∙ (-3) — 6 = 0
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x² + 5x — 3)
Многочлен 2x² + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0 
-3 2 Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0 
-3 2 -1 -3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0 
-3 2 -1 0 -3 ∙ (-1) — 3 = 0
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)
А корнями уравнения являются:
x = ±2; 3; 0.5
 предварительное вычисление алгебры — Есть ли общая формула для решения уравнений 4-й степени (квартики)?
 Конечно, есть, но это некрасиво, сложно и не стоит запоминать. Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда бы не использовали это. Если вам нужно что-то действительно полезное для решений с ручкой и бумагой, вы можете понять фактическую теорию, лежащую в основе решения. Ниже я приведу один метод.
 Формула Quartic — это лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов.Из-за этого метод намного легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди цитируют только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте компьютер». Решение с ручкой и бумагой не сложно, это просто требует времени.
 Понимание того, как это делается, даже если вы никогда не используете его, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать его в программировании и позволяет воссоздавать его всякий раз, когда это может вам понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом. ты, что, на мой взгляд, плохой математик.
 Есть три метода решения квартиков, которые я знаю и знаю:
 Квадратичная факторизация Декарта
 Метод Эйлера
 Метод Феррари
 Если кто-нибудь знает больше, дайте мне знать.
 Метод Феррари — исторически первый метод, открытый. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для кубических фигур и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта.Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите увидеть, как работают другие, дайте мне знать.
 Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $ n-1 $, в данном случае кубического члена) и нормализация (доведение коэффициента опережения до 1, т. Е. Превращение полинома в однозначное число).
 Они все заканчивают примерно одним и тем же местом: решением кубического уравнения. Так что к этому нужно быть готовым. Я рекомендую вам освежить в памяти это; Я не буду объяснять здесь решение кубики, а буду ссылаться только на нее.2 + qz + r = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) $$
 Для некоторых $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что сделал коэффициент опережения, — увеличил ненулевые значения. Абсолютно без потери общности по нулям. Все эти константы, $ p, q, r $, могут быть вычислены из исходных коэффициентов, $ a, b, c, d, e $. Кубического члена по-прежнему нет, и теперь нет и коэффициента опережения.
 Интересно отметить, что случилось с многочленом.Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и убрав кубический член. Изначально у нас были произвольные значения $ a, b, c, d, e \ in \ mathbb {R} $, а теперь у нас есть произвольные значения $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Хотя последние три вычисляются из исходных пяти, они имеют произвольные значения и нет потери общности. Это значительное упрощение проблемы. Отсутствие кубического члена окажется жизненно важным.
 До сих пор все было просто настройкой: запись многочлена в сокращенной монической форме.Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Далее мы реализуем метод факторизации Декарта.
  Метод факторизации Декарта 
 Мы должны предполагать, что все коэффициенты действительны, $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. 2 } $$
 Таким образом, мы, по сути, сократились до $ m $ как последнее неизвестное.2 = 0 $$ И, по сути, мы закончили. У нас остается кубический многочлен  от $ w $ , который разрешим с помощью собственных методов. Приемы, о которых, как я полагаю, вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.
 Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (исходное решение) или тригонометрическое решение Виета (я предпочитаю).Также есть Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда его не использовал. Смело задавайте по кубику отдельный вопрос и я с радостью отвечу.
 Дело в том, что задача свелась с поиска корней квартики к задаче поиска корней кубики. Проблема попроще! Обычно так бывает. Все методы нахождения корня четвертой степени требуют сначала нахождения корней кубической, очевидной или нет. Так же, как поиск корней кубики требует решения квадратичной.2 — mz + \ frac {r} {n}) = 0 $.
 Еще не сделано. Теперь каждый из этих квадратичных множителей должен быть решен с помощью формулы квадратиков, и у вас есть решения в $ z $. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.
  Наконец 
 Не забывайте об исходной квартике, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг на $ x = z- \ frac {b} {4a} $. Выполнение этого последнего бита решит исходную квартику в терминах $ x $, что и является решением, которое вы хотите.
 Когда все будет готово, вы придете к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.
 Если вы выразите окончательный ответ $ x $ в терминах исходных $ a, b, c, d, e $, у вас будут точно такие же «формулы четвертой степени», которые вас цитируют другие люди. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете.
  Проблемы 
 Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $ p, q, r $ действительны, не стоит. Все это означает, что $ a, b, c, d, e $ реальны, что обычно является хорошим предположением. Фактически, мы можем обобщить. Значения $ p, q, r $ можно сделать сложными, подразумевая только то, что исходная квартика имеет комплекс $ a, b, c, d, e $. Это также означает, что вам придется решать кубику с комплексными коэффициентами. Это выполнимо, и математика по-прежнему работает нормально.
 (PDF) Классический новый метод решения уравнений четвертой степени
 Прикладная и вычислительная математика, 2013, 2 (2): 24-27 27
 ii
 N
 5622.06624.0,5622.06624.0
 67.1398688.0,32.408688.0
 3
 + −−  → ∠ − ∠ =
 Выбираются корни, удовлетворяющие уравнению (18):
 3247.1
 1
 = N
 iN 5619.06224.0
 2
 −− =
 5622.06624.0
 3
 + — = N
 iN 8749.03210.0,8749.03210.0
 41 9000−
 +
 iiN 8749.03210.0,8749.03210.0
 42
 −− + =
 15095.1,15095.1
 43
 — = N
 Выбраны ответы, удовлетворяющие уравнению (16):
 7929.1
 1
 — = x
 ix
 ix
 x
 75.11510.1
 75.11510.1
 5089.0
 4
 3
 2
 — = + =
 Используя второй метод, мы проверяем следующий пример
.
 5. Выводы
 Самым важным моментом во всех методах
 решения уравнения четвертой степени является сложность этих
 решений.
 Чтобы доказать эффективность и простоту предложенного метода
, в четвертом разделе статьи
 приведен пример квартики, который решается с помощью предложенного инициированного метода.
 Ссылки
 [1] «Простой метод решения уравнений четвертой степени» Амир Фати,
 Пуйя Мобадерсани, Рахим Фатхи, Австралийский журнал
 Основные и прикладные науки, 6 (6): 331-336, 2012, ISSN
 1991-8178.
 [2] Кардано, Джироламо, (перевод Т. Ричарда Витмера), Ars
 Magna или правила алгебры, Довер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1993.
 [3] Фосетт, ВМ «Геометрическая интерпретация Решение
 общего многочлена четвертой степени ». Амер. Математика. Ежемесячно
 103, 51-57, 1996.
 [4] Gellert, W .; Gottwald, S .; Hellwich, M .; Kästner, H .; и
 Künstner, H. (Eds.). ВНР Краткая энциклопедия
 Математика, 2-е изд.Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд,
 1989.
 [5] Хазевинкель М. (Управляющий ред.). Энциклопедия
 Математика: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии
». Дордрехт,
 Нидерланды: Рейдел, 1988.
 [6] MathPages. «Преобразование квартиков в кубики».
 http://www.mathpages.com/home/kmath396.htm.
 [7] Смит Д. Э. Справочник по математике. Нью-Йорк:
 Дувр, 1994.
 [8] ван дер Варден, Б. Л. §64 по алгебре, т. 1. Нью-Йорк:
 Springer-Verlag, 1993.
 [9] Бейер, У. Х. Стандартные математические таблицы CRC, 28-е изд.
 Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 12, 1987а.
 [10] Бейер, У. Х. Справочник по математическим наукам, 6-е изд.
 Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 1987b.
 [11] Биркгоф, Г., Мак Лейн, С. Обзор современной алгебры,
 5-е изд. Нью-Йорк: Macmillan, стр.107-108, 1996.
 [12] Borwein, P. and Erdélyi, T. «Quartic Equations». §1.1.E.1e
 в полиномах и полиномиальных неравенствах. Нью-Йорк:
 Springer-Verlag, p. 4, 1995.
 [13] Бойер, К. Б., Мерцбах, У. С. История математики,
 2-е изд. New York: Wiley, pp. 286-287, 1991.
 [14] И. Стюарт, «Теория Галуа», изд: Chapman & Hall / CRC
 Mathematics, 2004.
 [15] JJ O’Connor and Э.Ф. Робертсон, «Лодовико Феррари», в
 Архив истории математики MacTutor, изд. Школа
 математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс
 Шотландия.
 [16] ЛЕГКИЙ ВЗГЛЯД НА КУБИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ. Томас Дж.
 Ослер. Математический факультет, Университет Роуэн,
 Глассборо, штат Нью-Джерси, 08028.
 Решение уравнений Полиномиальные уравнения 4-й степени
 Калькулятор позволяет вычислять корни любого многочлена четвертой степени.
 Коэффициенты могут быть как действительными, так и комплексными числами.
 Использовалась некая методика, которая нигде не описана и не отсортирована.
 Формулы Феррари использовать не стал — не интересно.
 Несмотря на свой путь, вы все равно утыкаетесь в задаче решения вспомогательного уравнения третьей степени, так называемой кубической резольвенты. И скорее всего избежать этого никак не получится.
 Но дальше все идет по другому.
 По любому из значений корня резольвенты, вычисляем три вспомогательных параметра.
 Зная эти три параметра, мы легко можем найти все четыре корня исходного уравнения.
 Есть только один нюанс, с которым столкнулись предшественники, мне иногда приходится некоторым определять знак + или тоже — для одного вспомогательного параметра.
 Теперь в виде формул
 Замена подстановки получаем так называемый заданный многочлен
 Ищем решение этого уравнения в виде сумм двух функций
 Три вспомогательных параметра связаны с коэффициентами данного полинома следующими соотношениями
 Выражая любой из вспомогательных параметров получаем, в том или ином виде кубическая резольвента
 Например, если мы выразим F2
 Это кубическое уравнение, подстановка которого превращается в классическую кубическую резольвенту.
 Теперь о нюансе, о котором говорили ранее. Какой знак использовать при вычислении корней?
 Критерий получается очень простой. Берем любой корень резольвенты и сравниваем его
, если это условие истинно, ставится + (плюс), если условие некорректно — (минус)
 Далее все эти параметры подставляются в формулу
 также определены корни уравнения 4 степени.
 Еще хотелось бы поговорить о критерии.Вдумчивый читатель спросит: «А что, если какой-то корень резольвенты является комплексным числом? Каков в данном случае критерий?»
 Наилучшим образом, я рассчитывал на подстановку корня в исходное уравнение. Для этого существует легкий алогритический способ, описанный в статье Значение производной многочлена по методу Хорнера. Если адрес выражения равен нулю, то есть истина, то знак не меняется. Если иначе то знак ставим минус.
 Теперь можно легко и быстро решать сложные уравнения 4 степени.Вы не найдете его в онлайн-сервисах.
 Попробуйте решить уравнение
 Один из корней равен
 Кто считает, что действительной частью можно пренебречь и отвергнуть как «почти нулевую», глубоко заблуждается. Отказавшись от него, мы будем иметь значение функции, а не ноль.
 И только с учетом «такой маленькой» действительной части уравнение стать идентичным. Поэтому точность расчетов очень важна. Если вдруг заметили ошибку в расчетах (а вдруг?) Просьба сообщить.Но я надеюсь, что этого не произойдет.
 Несколько примеров:
 Решение уравнения четвертой степени одной переменной
 Решение уравнения четвертой степени одной переменной
 0 Предисловие
 В процессе обучения необходимо решить квадратное уравнение одной переменной. 
 Поскольку у него неизвестные параметры, я хотел использовать MATLAB для решения его аналитического решения и записать его на C ++ для расчета. Позже выяснилось, что решение было слишком долгим.
 Если вы поместите его непосредственно в C ++, на решение в реальном времени уйдет даже больше времени, чем на решение унарного уравнения четвертой степени. Итак, найдите другой способ узнать, как решить унарное уравнение четвертой степени.
 1. Метод 1
 Метод Феррари, который также является самым простым способом попасть в Google.
 Я перестал смотреть на принцип временных ограничений и пошел прямо выяснять. Так совпало, что код есть в энциклопедии. Ссылка.
 Феррари.cpp
  #include 
#include 
#include <комплекс>
#include 

std :: complex  sqrtn (const std :: complex  & x, double n)
{
    двойное r = гипотеза (x.real (), x.imag ());
    если (г> 0,0)
    {
        double a = atan2 (x.imag (), x.real ());
        n = 1,0 / n;
        r = pow (r, n);
        а * = п;
        return std :: complex  (r * cos (a), r * sin (a));
    }
    return std :: complex <двойной> ();
}

std :: complex  Ferrari (std :: complex  x [4]
, std :: complex <двойной> a
, std :: complex <двойной> b
, std :: complex <двойной> c
, std :: complex <двойной> d
, std :: complex <двойной> e)
{
    а = 1.0 / а;
    б * = а;
    с * = а;
    д * = а;
    е * = а;
    std :: complex  P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;
    std :: complex  Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;
    std :: complex  D = sqrtn (Q * Q - P * P * P, 2.0);
    std :: complex <двойной> u = Q + D;
    std :: complex <двойной> v = Q - D;
    if (v.real () * v.real () + v.imag () * v.imag ()> u.real () * u.real () + u.imag () * u.imag ())
    {
        u = sqrtn (v, 3.0);
    }
    еще
    {
        u = sqrtn (u, 3,0);
    }
    std :: complex <двойной> y;
    если (u.real () * u.real () + u.imag () * u.imag ()> 0,0)
    {
        v = P / u;
        std :: complex  o1 (-0,5, + 0,86602540378443864676372317075294);
        std :: complex  o2 (-0,5, -0,86602540378443864676372317075294);
        std :: complex <двойной> & yMax = x [0];
        двойной m2 = 0,0;
        двойной m2Max = 0,0;
        int iMax = -1;
        для (int i = 0; i <3; ++ i)
        {
            у = и + v + с / 3.0;
            u * = o1;
            v * = o2;
            а = b * b + 4,0 * (y - c);
            m2 = a.real () * a.real () + a.imag () * a.imag ();
            если (0 == я || m2Max  m = sqrtn (b * b + 4.0 * (y - c), 2.0);
    если (m.real () * m.real () + m.imag () * m.imag ()> = DBL_MIN)
    {
        std :: complex <двойной> n = (b * y - 2.0 * г) / м;
        а = sqrtn ((b + m) * (b + m) - 8,0 * (y + n), 2,0);
        х [0] = (- (b + m) + a) / 4,0;
        х [1] = (- (b + m) - a) / 4,0;
        a = sqrtn ((b - m) * (b - m) - 8,0 * (y - n), 2,0);
        х [2] = (- (b - m) + a) / 4,0;
        х [3] = (- (b - m) - a) / 4,0;
    }
    еще
    {
        a = sqrtn (b * b - 8,0 * y, 2,0);
        х [0] =
        х [1] = (-b + a) / 4,0;
        х [2] =
        х [3] = (-b - a) / 4,0;
    }
вернуть x [4];
}

int main ()
{
std :: complex <двойной> x [4];
х [4] = Феррари (х, 1,2,3,4,5);
std :: cout << "root1:" << x [0] << std :: endl << "root2:" << x [1] << std :: endl << "root3:" << x [ 2] << std :: endl << "root4:" << x [3] << std :: endl;
вернуть истину;
}
  
 Тестовый коэффициент: 1, 2, 3, 4, 5 
 Убедитесь, что результат верен, используйте Matlab для проверки:
  p = [1 2 3 4 5];
x = корни (p)
  
 
 Результаты согласуются, ОК.{n-2} + \ cdots + c_1x + c_0
P (x) = xn + cn − 1 xn − 1 + cn − 2 xn − 2 + ⋯ + c1 x + c0 
 Сопутствующая матрица:
 M  Икс  знак равно  [  0  0  .  .  .  0  -  c  0  1  0  .  .  .  0  -  c  1  0  1  .  .  .  0  -  c  2  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  0  0  .  .  .  1  -  c  п  -  1  ]  M_x = \ left [\ begin {array} {ccccc} 0 & {0} & {...} & {0} & {-c_0} \\ 1 & 0 & {...} & {0} & {- c_1} \\ {0} & {1} & {...} & {0} & {-c_2} \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {0} & {0} & {...} & {1} & {-c_ {n-1}} \ end {array} \ right]
Mx = ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 010 ... 0 001 ... 0 ............... 000 ... 1 −c0 −c1 −c2 ...− cn − 1 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤ 
 Характерное значение  п  (  Икс  )  Р (х)
P (x) Корни.
 Итак, используйте Eigen, чтобы решить многочлен:
  #include 
#include 

#include <Собственный / плотный>
используя пространство имен std;

int main (int argc, char ** argv)
{

    Eigen :: Matrix  matrix_44;
    
Eigen :: Matrix <комплексный , Eigen :: Dynamic, Eigen :: Dynamic> matrix_eigenvalues;

    matrix_44 << 0, 0, 0, -5,
1, 0, 0, -4,
0, 1, 0, -3,
0, 0, 1, -2;

std :: cout << "matrix_44:" << std :: endl << matrix_44 << std :: endl << std :: endl;

матрица_собственные значения = матрица_44.собственные значения ();

std :: cout << "matrix_eigenvalues:" << std :: endl << matrix_eigenvalues << std :: endl;
возврат 0;
}


  
 Результат такой же, как и выше:
 3. Заключение
 Чем глубже математика, тем меньше сложность кода! !
 почему мы не можем решать полиномиальные уравнения выше четвертой степени? : managelikeimfive
 Вот версия, которая безопасна (умная) 5-летней давности. Ведь они знают о многочленах.
 Учитывая многочлен, мы, конечно, хотели бы его решить. Для степени 1,2,3,4 у нас есть  формул в терминах радикалов , то есть они могут использовать +, -, x, /, как обычно, и брать корни n-й степени (радикалы), и все.
 Теперь у многих многочленов есть решения, которые не находятся внутри обычных чисел (те, которые могут быть записаны в виде дробей, рациональные числа  ). Попробуйте X ² + 1 = 0. Нет решения!
 Итак, мы можем представить, что делаем нашу систему счисления больше, чтобы  включить  этих чисел.Это возможно! И самая маленькая такая система счисления называется  полем разбиения  полинома. Он «разбивает» многочлен на множители. (потому что вы, умный пятилетний ребенок, знаете о соответствии факторов и решений.)
 Теперь эта система счисления (или просто  поле  для краткости) является наименьшей, которая имеет решения для нашего многочлена, но содержит ли она  другие системы счисления ? Насколько большим нам нужно было сделать поле? Француз Эварист Галуа сумел доказать, что существует структура, называемая группой  , в которой есть элементы, и эти элементы в ней соединяются одно в одно с полями, содержащимися в нашем поле расщепления.
 Не знаю, кто это заметил, но какой-то чувак, у которого, должно быть, был гигантский мозг, кое-что заметил. Эти группы обладали особым свойством, когда решения в поле расщепления можно было записать в терминах радикалов. Это особое свойство известно как растворимость  , но это  hella Technical , поэтому я больше не буду о нем говорить. Еще одна вещь, группа, которую люди называют A_5, - это , а не .
 Итак, вот где мы находимся прямо сейчас: нам может быть дан многочлен, и мы можем построить новую систему счисления (его поле расщепления), в которой он имеет решения.С этим полем связана группа, которая описывает, какие другие поля оно содержит, и если эта группа разрешима, то решения могут быть записаны в радикалах. Итак, вы должны знать, что нас ждет: если мы не можем записать решения некоторого полинома 5-й степени в радикалах, у него должно быть поле расщепления, группа которого равна , не разрешима .
 Именно это и происходит. Некоторые полиномы 5-й степени имеют группу A_5, которая неразрешима! Итак, некоторые многочлены 5-й степени не могут иметь хорошо записанные решения.
 Теперь, конечно, если некоторые не могут быть написаны таким образом, это мешает нам использовать уравнение. Какую бы формулу вы ни записали, есть некоторые квинтики, которые она не решит, потому что ее решения - это числа, которые просто невозможно записать таким образом !
  Edit  Итак, чтобы объяснить 5-летнему ребенку, мы скрываем, что в основном представляет собой все мясо, в котором разрешимые группы соответствуют полям разбиения, в которых решения могут быть записаны в радикалах. Что там происходит? Что ж, группа описывает для нас подполя в поле разделения, и это фактически кодирует в каком-то смысле, как числа в больших полях строятся в терминах чисел в меньших полях.Разрешаемые группы означают, что мы «красиво» строим числа, так что корни можно записать в терминах радикалов.
 Как найти пример полинома четвертой степени математического класса 11 CBSE
  Подсказка:  В приведенном выше вопросе нас просят найти многочлен четвертой степени, не имеющий действительных корней. Это означает, что корни мнимые. Чтобы найти многочлен, выберите любую сопряженную пару мнимых чисел. Тогда, просто перемножив их, мы получим требуемую четвертую степень полиномиального уравнения.  Полный пошаговый ответ:  
 Теперь мы должны найти биквадратные многочлены, предполагая два мнимых корня с их сопряженными, поскольку у него нет реальных корней, поэтому корни биквадратного многочлена будут мнимыми. 
 Мы случайным образом возьмем любые комплексные числа с их сопряженными, так как мнимые корни всегда встречаются парами. 
 Следовательно, чтобы найти пример полиномиального уравнения четвертой степени, не имеющего действительных нулей или имеющего только мнимые корни, мы будем считать корнями \ [1 \ pm i \] и \ [2 \ pm i \].{2}} - 18x + 10 \].
  Примечание:  Другой метод решения вопроса заключается в том, что мы можем начать с любого квадратного уравнения, которое имеет положительный ведущий коэффициент или дискриминантное значение этого квадратного уравнения меньше нуля, а затем постоянно увеличивать постоянный член до значения где он больше не пересекает ось абсцисс. Решая приведенное выше уравнение, не забывайте брать мнимые корни в сопряженных парах. 
 Как решать уравнения четвертой степени
 Освоив приемы решения в случае работы с квадратными уравнениями, студенты сталкиваются с необходимостью повышения квалификации.Однако этот переход не всегда кажется простым, и требование найти корни в уравнении четвертой степени иногда становится невыполнимой задачей.
 Инструкция по эксплуатации
 1
 Примените формулу Виета, которая устанавливает связь между корнями уравнения четвертой степени и его коэффициентами. Согласно его положениям, сумма корней дает значение, равное отношению первого коэффициента ко второму, взятому с противоположным знаком.Порядок нумерации совпадает с убывающими степенями: первая соответствует максимальной степени, четвертая - минимальной. Сумма попарных произведений корней - это отношение третьего коэффициента к первому. Соответственно, количество произведений x1x3x4, x1x3x4, x1x4x4, x2x4 является значением, равным противоположному результату деления четвертого коэффициента на первый. А умножив все четыре корня, вы получите число, равное отношению свободного члена уравнения к коэффициенту, обращенному к переменной в максимальной степени.Скомпилированные таким образом четыре уравнения дают вам систему с четырьмя неизвестными, для которой достаточно базовых навыков.
 2
 Проверьте, принадлежит ли ваше выражение к одному из типов уравнений четвертой степени, которые называются «легко решаемыми»: биквадратичным или возвратным. Превратите первое в квадратное уравнение, изменив параметры и обозначив квадрат неизвестной другой переменной.

   Оставить комментарий on Четвертой степени уравнение как решать: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени/

`Дифференциальные уравнения онлайн второго порядка: Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор`

alexxlab / 09.10.197016.09.2022 / Разное

`Дифференциальные уравнения определение, типы ДУ, теория, как решать ДУ первого и второго порядка, методы и примеры подробных решений, онлайн-калькулятор`

Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения».

Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр.

Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».

`Дифференциальные уравнения первого порядка`

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y’) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у’).Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) — y(x)2 = 0

функция вида F(x,y,p) = xp — y2

`Простейшие ДУ первого порядка`

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y’dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) + N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

`Задача №1`

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

`ДУ с разделяющимися переменными`

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

`Задача №2`

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x2 + ex)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

`Линейные неоднородные ДУ первого порядка`

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y’ + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.

Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.

На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.

`Задача №3`

Рассмотрим применение методики решения на примере.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x2 + 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

`Задача Коши для ДУ`

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.


 Задача №4
 Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:
 Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:
 Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:
 Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:
 Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.
 Дифференциальные уравнения Бернулли
 ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:
 y’ + b(x)y = c(x)yn
 Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными. 
<br/>
 Задача №5
 Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:
 Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:
 Находим производную:
 Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на 
 и выполним необходимые преобразования:
 Произведем замену параметра х на параметр у:
 Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:
 Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:
 Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:
 Дифференциальные уравнения второго порядка
 Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.  
 Общий вид таких уравнений таков:
 F(m,n,n’,n») = 0  
 Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
 Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:
 y» + ry’ + k = 0
 При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.
 Задача №6
 Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
 Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:
 Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:
 Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5. 
 Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:
 
 Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
 Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:
 y» + ry’ + ky = f(x)
 Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами. 
 Задача №7
 Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.
 На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0. 
 Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 + 1 = 0.
 Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i. 
 Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:
 Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:
 Теперь остается только подставить найденные выражения:
 Частное и общее решение для уравнения можно записать:
<br/> Дифференциальные уравнения высших порядков
 Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:
 Для неоднородных справедлив другой формат:
 Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.  
 Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.
<br/>Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, 
неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, 
связывающие независимые переменные , 
неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго 
порядка, уравнение (5) — первого порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все 
её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные 
некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; 
в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при 
подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . 
Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть 
первообразная для , т. е.
.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать 
различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное 
явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором 
произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 
и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
,
.
В результате мы получили общее решение —
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов 
их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , 
то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения  и 
 и находят значение произвольной постоянной C, 
а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 
при условии .
Решение. Подставим в общее решение 
значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
.
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
.
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования 
и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , 
тогда .
Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной 
функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень 
«одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x, получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных 
уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть 
независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со 
школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального 
исчисления, что производная может быть записана также в виде . 
В результате уравнение приобретает вид
,
то есть, в нём в некотором виде появился x.
Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции 
выткают следующие пропорции:
,
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду
,
после чего интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла — табличные, находим их:
и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:
.
Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и 
должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.
Назад Листать Вперёд>>>
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
Дифференциальные уравнения второго порядка — онлайн справочник для студентов
 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
 Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
\(\ 
F\left(x ; y ; y^{\prime} ; y^{\prime \prime}\right)=0
 \)
 ПРИМЕР
 Задание Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка  \(\ 
y^{\prime \prime}+x=0
 \)
 Решение Перепишем заданное уравнение в виде:
\(\ 
y^{\prime \prime}=-x
 \)
 Дважды проинтегрируем. {-3 x}
 \)
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Дифференциальные уравнения первого порядка Решение дифференциальных уравнений Производная сложной функции Производная показательной функции
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
 Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругоеПринимаю  Политику
 конфиденциальности
Подпишись на рассылку,
чтобы не пропустить информацию об акциях
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
 Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Определение
Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Методы решения других видов дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения — основные понятия
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения высших порядков
Системы дифференциальных уравнений


Определение
Уравнение

 
   (*)
где 
 
 и 
 
 – непрерывные
функция в интервале 
 
 называется
неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции 
 
 и 
 
 – его
коэффицинентами. Если 
 
 в
этом интервале, то уравнение принимает вид:

 
  
(**)
и называется однородным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка.  Если уравнение (**) имеет
те же коэффициенты 
 
 и 
 
, как уравнение (*), то оно называется
однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).
Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Пусть в линейном уравнении

 

 
 и
 
  — постоянные
действительные числа.
Частное решение уравнения
будем искать в виде функции  
 
, где 
 
 – действительное
или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по 
 
, получаем:

 
Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

 
Отсюда, учитывая, что 
 
, имеем:

 
Это уравнение называется
характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает
возможность найти 
 
. Это уравнение второй степени, поэтому
имеет два корня. Обозначим их через 
 
 и 
 
. Возможны три случая:
 Корни действительные и разные 
 
 В этом случае общее решение уравнения:

 
Пример 1

 
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:

 
Решение характеристического уравнения:

 
Общее решение исходного дифуравнения:

 
 
Корни действительные и равные 
 
 В этом случае общее решение уравнения:

 
Пример 2

 
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Характеристическое уравнение имеет вид:

 
Решение характеристического уравнения:

 
Общее решение исходного дифуравнения:

 
Корни комплексные 
 
 В этом случае общее решение уравнения:

 
Пример 3

 
Решение
Характеристическое уравнение имеет вид:

 
Решение характеристического уравнения:

 
Общее решение исходного дифуравнения:

 

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь решение некоторых
типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами

 
где 
 
 и 
 
 – постоянные
действительные числа, 
 
 – известная непрерывная
функция в интервале 
 
. Для нахождения общего решения такого
дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего
однородного дифференциального уравнения 
 
 и частное
решение 
 
.  Рассмотрим
некоторые случаи:
 Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:
 
Частное решение дифференциального
уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

 
Подставляя 
 
 и 
 
 в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Если нуль – однократный корень
характеристического уравнения, то

 
Если нуль – двухкратный корень
характеристического уравнения, то

 
Аналогично обстоит дело, если 
 
 – многочлен
произвольной степени
Пример 4

 
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение:

 
Общее решение однородного уравнения:

 
Найдем частное решение неоднородного
дифуравнения:

 
Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:

 

 
Искомое частное решение: 
 
Общее решение исходного дифуравнения:

 
 Правая часть дифференциального уравнения имеет вид: 
 
Частное решение ищем в виде 
 
, где 
 
 – неопределенный
коэффициент.
Подставляя 
 
 и 
 
 в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.
Если 
 
 – корень
характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального
уравнения ищем в виде  
 
, когда 
 
 – однократный
корень, и 
 
, когда 
 
 – двукратный
корень.
Пример 5

 
Решение
Характеристическое
уравнение:

 

 
Общее
решение соответствующего однородного дифференциального  уравнения:

 
Найдем
частное решение соответствующего неоднородного дифференциального  уравнения:

 

 

 
Подставляя
в исходное дифуравнение, получаем:

 

 

 

 
Общее
решение дифуравнения:

 
 
 Правая часть дифференциального уравнения имеет вид: 
 
В этом случае частное решение 
 
 ищем в форме тригонометрического двучлена:

 
где 
 
 и 
 
 – неопределенные коэффициенты

 

 
Подставляя 
 
 и 
 
 в исходное
дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.
Эти уравнения определяют коэффициенты 
 
 и 
 
 кроме случая, когда 
 
 (или когда 
 
 – корни характеристического уравнения). В
последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:

 
Пример 6

 
Решение
Характеристическое
уравнение:

 

 
Общее
решение соответствующего однородного дифуравнения:

 
Найдем
частное решение неоднородного дифуравнения

 

 

 
Подставляя
в исходное дифуравнение, получаем:

 

 

 
Общее
решение исходного дифуравнения:

 

Дифференциальные уравнения — Математика — Смотреть онлайн видео уроки для начинающих бесплатно!
В категории Дифференциальные уравнения собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое связывает значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке со значением производных этой функции различных порядков в той же точке. В состав ДУ входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – имеет неизвестную функцию с одной переменной. Уравнение частными производными (УРЧП) — неизвестная функция зависит от многих переменных. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — включающее случайные процессы. Изучение дифференциальных уравнений по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики Дифференциальные уравнения Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по дифференциальным уравнениям приложены дополнительные материалы, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!
Новые · Лучшие · Популярные
Смотреть урок онлайн
Геометрический смысл дифференциального уравнения
В этом видео рассказывается о геометрическом смысле дифференциального уравнения. Здесь приводится доказательство и формулировка геометрического смысла дифференциального уравнения как уравнения, которое определяет в некоторой области поле направлений, совпадающее с касательными к графикам решений этого уравнения — интегральными кривыми. Это позволяет, не решая дифференциального уравнения, строить графики его решений. На данном занятии также рассматривается пример, в котором требуется приближенно…
Смотреть урок онлайн
Интегрирующий множитель
В этом онлайн уроке рассказывается о том, что такое интегрирующий множитель и как с его помощью можно решать уравнения. Существует такая функция, при умножении на которую обеих частей исходного уравнения, это уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Здесь будет рассматриваться уравнение общий вида, которое не является уравнением в полных дифференциалах. При нахождении интегрирующего множителя часто используют частные случаи. ..
Смотреть урок онлайн
Решение дифференциального уравнения второго порядка. Часть 2
В этом видео рассказывается о том, как решать дифференциальные уравнения второго порядка, которые не содержат независимую переменную x. Здесь предложена схема, позволяющая понизить порядок и решить уравнение такого вида. Первым шагом, производную искомой функции y заменяют на некоторую функцию p, которая зависит от переменной y. Затем выполняется дифференцирование обеих частей по переменной x, чтобы получить выражение для второй производной функции y. Третьим шагом идет подстановка выражения, в…
Смотреть урок онлайн
Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1
Урок «Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1» посвящен вопросу о том, как выполняется понижение порядка дифференциального уравнения. Здесь будет рассмотрено уравнение второго порядка, в котором не содержится искомой функции y. Решить его можно с помощью соответствующей замены переменной, в результате которого происходит преобразование исходного уравнения к уравнению первого порядка. Такое преобразование называется понижение порядка. На этом занятии дана схема последовательная…
Смотреть урок онлайн
Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение
Видео «Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение» посвящено вопросу о том, что собой представляют линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и как они решаются. Здесь вы узнаете, какой общий вид имеет такое уравнение и его упрощенный вид. Очень важно уметь их решать, т.к. к ним сводится большое количество задач математики, механики, электротехники и некоторых других наук. С помощью линейных уравнений описываются всевозможные…
Смотреть урок онлайн
Уравнение в полных дифференциалах, примеры, решение
В этом видео уроке рассказывается о том, что собой представляют дифференциальные уравнение в полных дифференциалах и как они решаются. В первой части занятия будет сформулировано определение, какое дифференциальное уравнение первого порядка, выраженное через дифференциалы своих переменных, называется уравнением в полных дифференциалах. Здесь вы также научитесь определять, является ли заданное уравнение, уравнением в полных дифференциалах. В данном видео уроке кроме теоретического материала…
Смотреть урок онлайн
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение
Онлайн урок «Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение» посвящен вопросу о том, что такое линейные дифференциальные уравнения и как они решаются. Начинается занятие с формулировки общего определения и разбора структуры такого уравнения. Здесь вы также узнаете, в каком случае уравнение называется однородным. Одним из наиболее эффективных методов решения линейных уравнений является метод Бернулли, алгоритм применения которого будет подробно рассмотрен. В этом видео…
Смотреть урок онлайн
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, решение
Это видео посвящено вопросу о том, что собой представляют однородные дифференциальные уравнения первого порядка, а также как выполнять их решение на конкретном примере. Начинается урок с формулировки определения однородной функции. В качестве примера используется однородная функция второго порядка. После этого будет сформулировано определение однородного дифференциального уравнения и предоставлен набор формул, позволяющих свести такое уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. В…
Смотреть урок онлайн
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 2
В этом онлайн уроке рассказывается о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными. Такие уравнения могут быть представлены в форме, когда в них входит не производная, а дифференциалы. При такой записи говорят, что дифференциальное уравнение представлено в симметричной форме. При этом переменные x и y равноправны, и каждую из них можно рассматривать как функцию другой. На этом занятии рассказывается, как решать такие уравнения. Решение производится путем преобразования исходного…
Смотреть урок онлайн
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1
Видео урок «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1» посвящен вопросу о решении таких уравнений. Здесь дается определение дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Очень важно уметь решать такие уравнения, потому, что к ним сводится достаточно большое число уравнений других типов. Ход решения исходного уравнения идет через преобразования его к уравнению с разделенными переменными, решение которого можно получить с помощью интегрирования…
1 2

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.
Дифференциальные уравнения — онлайн калькулятор.
Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения, которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение. Рассмотрим, например, подробнее такую задачу. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить закон изменения скорости падения тела v(t), если на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k). По II закону Ньютона  где  – ускорение движущегося тела,  – сумма сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Таким образом, имеем уравнение, связывающее искомую функцию v(t) и ее производную
т. е. дифференциальное уравнение. В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века, такие как Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, А. Клеро и др. Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л. Эйлера. В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Отметим, что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века, и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев, ибо «точно» интегрируемые уравнения – это исключительная редкость во множестве возможных уравнений. Переходя к реальным объектам исследования, студенты, инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией. Даже в кругах исследователей – «чистых математиков» довольно долго интегрирование уравнений в квадратурах, теоретико-групповой подход к уравнениям считались тупиковой ветвью в науке. Тем не менее, теория обыкновенных дифференциальных уравнений является базой для уравнений математической физики и, кроме того, развитие современной физики показало, что именно те самые редкие и хорошо изученные случаи и представляют наибольший физический интерес. А успехи, достигнутые в ряде разделов математики – в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре, позволяют надеяться на то, что общая теория уравнений с частными производными будет построена.
В математике и физике часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить уравнение, содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент, но и производную неизвестной функции.
Уравнение вида
связывающее независимую переменную x, искомую функцию  и ее производные  ) , называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Например, уравнения
будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения
будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение
имеет третий порядок.
Функция   называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b) если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех  x из интервала (a, b) Например, функция  является решением дифференциального уравнения ; функция будет решением уравнения  в интервале (-1;1) . Чтобы это проверить, достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение.
Уравнение  задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Так же если вы затрудняетесь в решении дифференциального уравнения, всегда можно воспользоваться
онлайн калькуляторомПроцесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Это название не случайно, так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования. Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций, то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области (в явной или неявной форме). Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций. Таких уравнений сравнительно немного. В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.
В математике рассматриваются также уравнения, которые связывают искомую функцию нескольких переменных, ее аргументы и частные производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных.
 
 Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка + онлайн-решатель с бесплатными шагами
 Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка   используется для нахождения начального решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
 Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:  M(x)  и  N(x)  являются непрерывными функциями  x  . 9{ αx } \ [ \ c_{1} \ cos( βx) + c_{2} \ sin( βx) \ ] \]
 Условия начального значения  y(0)  и  y´(0)  указаны пользователем определить значения c1 и c2 в общем решении.
 Что такое калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка?
  Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка — это онлайн-инструмент, который используется для расчета начального решения однородного или неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. 
 Как пользоваться калькулятором дифференциальных уравнений второго порядка
 Чтобы использовать калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка, выполните следующие действия.
 Шаг 1 Сначала пользователь должен ввести уравнение  линейного дифференциала второго порядка  в окне ввода калькулятора. Уравнение имеет вид:
  L(x)y´´ + M(x)y´ + N(x) = H(x) 
 Здесь  L(x)  ,  M(x) ,  и  N(x)  может быть непрерывным  функциями  или  постоянными  в зависимости от пользователя.
 Функция ‘H(x)’ может быть равна нулю или быть непрерывной функцией.
 Шаг 2
 Теперь пользователь должен ввести  начальных значений  для дифференциального уравнения второго порядка. Их следует вводить в блоки с метками  «y(0)»  и  «y´(0)»  .
 Здесь  y(0)  — это значение  y  при  x=0  .
 Значение  y´(0)  получается из первой производной   от  y  и помещения  x=0  в функцию первой производной.
 Вывод
 Калькулятор отображает вывод в следующих окнах.
 Ввод
 Окно ввода калькулятора показывает ввод  дифференциального уравнения , введенного пользователем. Он также отображает условия начального значения  y(0)  и  y´(0)  .
 Результат
 Окно Результат показывает  решение с начальным значением , полученное из общего решения дифференциального уравнения. Решение представляет собой функцию  x  относительно  y .
 Автономное уравнение
 В этом окне калькулятор отображает  автономную форму  дифференциального уравнения второго порядка. Это выражается сохранением  y´´  в левой части уравнения.
 Классификация ОДУ
 ODE означает  Обыкновенное дифференциальное уравнение  . Калькулятор отображает классификацию дифференциальных уравнений, введенных пользователем в этом окне.
 Альтернативная форма
 Калькулятор показывает  альтернативную форму  входного дифференциального уравнения в этом окне.
 Графики решения
 Калькулятор также отображает в этом окне график  решения  решения дифференциального уравнения.
 Решенные примеры
 Следующий пример решается с помощью калькулятора дифференциальных уравнений второго порядка.
 Пример 1
 Найдите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения второго порядка: 0) = 4  
  y´(0) = 6  
 Решение
 Пользователь должен сначала ввести  коэффициентов  заданного дифференциального уравнения второго порядка в окне ввода калькулятора. Коэффициенты  y´´  ,  y´  и  y  равны  1  ,  4  и  0  соответственно.
 Уравнение   является однородным, так как правая часть уравнения равна  0  .
 После ввода уравнения пользователь должен теперь ввести  начальные условия , как показано в примере.
 Теперь пользователь должен « 9{- \ 4x} }{ 2 } \]
 Калькулятор отображает  Автономное уравнение  следующим образом:
  y´´(x) = – 4y´(x)  
 Классификация ОДУ входного уравнения является  линейным  обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.
 Альтернативная форма  , выдаваемая калькулятором: 
 Калькулятор также отображает  график решения , как показано на рисунке 1.
 Рисунок 1
  Все изображения созданы с помощью Geogebra. 
 Список математических калькуляторов
 Дифференциальные уравнения — DE второго порядка
 Показать мобильное уведомление  Показать все примечания Скрыть все примечания
 Уведомление для мобильных устройств
 Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е.  вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
 В предыдущей главе мы рассмотрели дифференциальные уравнения первого порядка. {2} + br + c = 0\) — вещественные различные корни. 9{2} + br + c = 0\), повторяются,  т. е.  двойных, корней. Мы будем использовать понижение порядка, чтобы получить второе решение, необходимое для получения общего решения в этом случае.
 Снижение порядка – В этом разделе мы кратко рассмотрим тему уменьшения порядка. Это будет один из немногих случаев в этой главе, когда будет рассмотрено дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами.
 Фундаментальные наборы решений. В этом разделе мы рассмотрим некоторые теории решения дифференциальных уравнений второго порядка. Мы определяем фундаментальные наборы решений и обсуждаем, как их можно использовать для получения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка. Мы также определим вронскиан и покажем, как его можно использовать, чтобы определить, является ли пара решений фундаментальным набором решений.
 Подробнее о вронскиане. В этом разделе мы рассмотрим, как можно использовать вронскиан, введенный в предыдущем разделе, для определения того, являются ли две функции линейно независимыми или линейно зависимыми. Мы также дадим и альтернативный метод нахождения вронскиана.
 Неоднородные дифференциальные уравнения. В этом разделе мы обсудим основы решения неоднородных дифференциальных уравнений. Определим дополнительное и частное решение и приведем форму общего решения неоднородного дифференциального уравнения.
 Неопределенные коэффициенты. В этом разделе мы вводим метод неопределенных коэффициентов для нахождения конкретных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы работаем с большим количеством примеров, иллюстрирующих множество рекомендаций по первоначальному предположению о форме конкретного решения, необходимого для метода.
 Изменение параметров. В этом разделе мы вводим метод изменения параметров для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы даем подробное рассмотрение метода, а также выводим формулу, по которой можно найти частные решения.
 Механические вибрации. В этом разделе мы рассмотрим механические вибрации. В частности, мы будем моделировать объект, соединенный с пружиной и движущийся вверх и вниз. Мы также допускаем введение в систему демпфера и действия общих внешних сил на объект. Также обратите внимание, что, хотя в этом разделе мы приводим примеры механических вибраций, простое изменение обозначений (и соответствующее изменение в том, что представляют величины) может перенести это практически в любую другую область техники.
 Дифференциальные уравнения второго порядка
 Здесь мы учимся решать уравнения такого типа:
  d ² y   dx ²  + p  dy   dx  + 900 = 0
 Дифференциальное уравнение
 Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:
 
 Пример: уравнение с функцией  y  и ее
 производная   dy   дх    
 Заказ
 Орден является  высшей производной  (это первая производная? вторая производная? и т.д.):
 Пример:
  dy   dx  + y ² = 5x
 Имеет только первую производную  dy   dx  , так что «9005 порядок»
 Пример:
  d ² y   dx ²  + xy = sin(x)
 Вторая производная  d ² y   dx ²  , то есть «Второй порядок» или «Порядок 2»
 Example:
  d ³ y   dx ³  + x  dy   dx  + y = e ^x
 This has a third derivative  d ³ y   dx ³  который превосходит  dy   dx  , то есть «Третий порядок» или «Порядок 3»
 Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.
 Дифференциальные уравнения второго порядка
 Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка типа:
 = f(x)
, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:
 Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.
 Изменение параметров, которое немного сложнее, но работает с более широким набором функций.
 Но здесь мы начнем с изучения случая, когда  f(x) = 0  (это делает его «однородным»):
  d ² y   dx ²  + P(x)  dy   dx  + Q(x)y
 = 0
, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами  p  и  q  :
  d ² y   dx ²  + p  dy   dx  + qy = 0
 Давайте научимся их решать!
  
  e   на помощь Мы собираемся использовать специальное свойство производной экспоненциальной функции:
 В любой точке наклон (производная)   e   ^x равен значению   e   ^x :
 И когда мы вводим значение «r» вот так:
 f(x) = e ^rx
 Находим:
 первая производная равна f'(x) = re ^rx
 вторая производная равна f»(x) = r ² e ^rx
 Другими словами, первая и вторая производные f(x)  кратны  f(x)
 Это нам очень поможет!
 Пример 1: Решение
  D ² Y   DX ²  +  DY   DX  — 6y = 0
 LET Y = E ^RX
 — 6y = 0
 LET Y = E ^RX
 — 6y = 0
 Let Y = E ^RX
 — 6Y = 0
 LET Y = E ^RX
 — 6Y = 0
итак получаем:
  dy   dx  = re ^rx
  d ² y   dx ²  = r ² e ^rx
 Замените их в уравнение выше:
 R ² E ^RX + RE ^RX — 6E ^RX = 0
 Упрощение:
 E ^RX
9
09
09 9099 9099 9099 9099 9099 9099  (
 E ^RX
909. ) = 0
 r ² + r − 6 = 0
 Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!
 Это квадратное уравнение получило специальное название  характеристическое уравнение  .
 Мы можем разложить это на:
 (r − 2)(r + 3) = 0
 Итак,  r = 2 или −3 
 Итак, у нас есть два решения:
 y = e ^2x
 y = e ^−3x
 Но это не окончательный ответ, потому что мы можем комбинировать различные  кратных  из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:
 y = Ae ^2x + Be ^−3x
 Проверить
 Давайте проверим этот ответ. First take derivatives:
 y = Ae ^2x + Be ^−3x
  dy   dx  = 2Ae ^2x − 3Be ^−3x
  d ² y   dx ²  = 4Ae ^2x + 9Be ^−3x
 Теперь подставим в исходное уравнение:
  d ² y   dx ²  +  dy   dx  − 6y = 0
 (4Ae ^2x + 9Be ^−3x ) + (2Ae ^2x − 3Be ^{− 3x} ) − 6(Ae ^2x + Be ^−3x ) = 0
 4Ae ^2x + 9Be ^−3x + 2Ae ^2x − 3Be ^−3x − 6Ae ^2x − 6Be ^−3x = 0
 4Ae ^2x + 2Ae ^2x − 6Ae ^2x + 9Be ^−3x − 3Be ^−3x − 6Be ^−3x = 0
 0 = 0
 Сработало!
 Так вообще этот метод работает?
 Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант  p  и  q  .
 С  y = e ^rx  как решение дифференциального уравнения:
  d ² y   dx ²  + p  dy   dx  + qy = 0
 получаем:
 r ² e ^rx + pre ^rx + qe ^rx = 0
 e ^rx (r ² + pr + q) = 0
 г ² + пр + кв = 0
 Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:
 два действительных корня
 один действительный корень (т.е. оба действительных корня одинаковы)
 два сложных корня
 Как мы решаем это зависит от типа!
 Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант  p ² − 4q  . Когда будет
 положительный получаем два действительных корня
 ноль получаем один реальный корень
 минус получаем два комплексных корня
 Два действительных корня
 Когда дискриминант  p ² − 4q  равен  положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению
  д ² y   dx ²  + p  dy   dx  + qy = 0
 через «характеристическое уравнение»:
 г ² + пр + кв = 0
 к общему решению с двумя действительными корнями  r ₁  и  r ₂  :
 y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}
 Пример 2:  Решить  d ² y   DX ²  — 9  DY   DX  + 20y = 0
 Характерное уравнение: 
 R ² —   + 20000 2
: 
 9000 2 
 9000 2  9000 2 9000 2  9000 2 9000 2  —  . 4)(r − 5) = 0
 r = 4 или 5
 Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:
 y = Ae ^4x + Be ^5x
 А вот некоторые примерные значения:
 Пример 3:  Решить 6  D ² Y   DX ²  + 5  DY   DX  — 6Y = 0
 Уравнение характерного.
 Фактор:
 (3R — 2) (2R + 3) = 0
 R =  2   3  или  — 3   2 
 Таким образом у = Ае ^{(  2   3  х)} + Be ^{(  −3   2  х)}
 Пример 4:  Решение  D ² Y   DX ²  — 6  DY   DX  — Y = 0 
. 6r   — 1 = 0
 Это не просто факторизовать, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:0005
 с a = 9, b = −6 и c = −1
 x =  −(−6) ± √((−6) ² − 4×9×(−1))   2× 9 
 x =  6 ± √(36+ 36)   18 
 x =  6 ± 6√2   18 
 x =  1 ± √2   3 
 So the общее решение дифференциального уравнения:
 y = Ae ^{(  1 + √2   3  )x} + Be ^{(  1 − √2   3  )x}
 Один реальный корень
 Когда дискриминант  p ² − 4q  равен  нулю , мы получаем один действительный корень (т. е. оба действительных корня равны).
 Вот несколько примеров:
 Пример 5:  Решение  D ² Y   DX ²  — 10  DY   DX  + 25Y = 0
.   + 25 = 0
 Фактор:
 (r — 5) (r — 5) = 0
 r = 5 
, поэтому мы имеем одно решение:  y = E ^5x 
  НО  когда  e ^5x  это решение, то  xe ^5x  это  тоже  решение!
 Почему? Я могу показать вам:
 y = xe ^5x 
  dy   dx  = e ^5x + 5xe ^5x
  d ² y   dx ²  = 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x
 So
  d ² y   dx ²  − 10  dy   dx  + 25y
 = 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x − 10(e ^5x + 5xe ^5x ) + 25xe ^5x
 = (5e ^5x + 5e ^5x − 10e ^5x ) + (25xe ^5x − 50xe ^5x + 25xe ^5x ) = 0
 So, in this case our   solution is:
 y = Ae ^5x + Bxe ^5x
  
 Как это работает в общем случае?
 При  y = xe ^rx  получаем производные:
  dy   dx  = e ^rx + rxe ^rx
  д ² у   дх ²  = re ^rx + re ^rx + r ² xe ^rx
 Так
  d ² y   dx ²  + p  dy   dx  + qy
 = (re ^rx + re ^rx + r ² xe ^rx ) + p( e ^rx + rxe ^rx ) + q( 0 9 0 0 9 0 9 0 )
 = e ^rx (r + r + r ² x + p + prx + qx)
 = e ^rx (2r + p + x(r ² + pr + q))
 = e ^rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r ² + pr + q = 0
  
 А когда  r ² + pr + q  имеет повторяющийся корень, то  r =  −p  2  и  2r + p = 0 
 Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно
. у = Ae ^rx + Bxe ^rx
 Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:
 Пример 6:  Решение 4  D ² Y   DX ²  + 4  DY   DX  + Y = 0,00005 . 4r   + 1 = 0
 Тогда:
 (2r + 1) ² = 0
 r = −  1   2 
 Итак, решение дифференциального уравнения0005
 y = Ae ^(−½)x + Bxe ^(−½)x
 Сложные корни
 Когда дискриминант  p ² − 4q  равен  отрицательному , мы получаем комплексные корни.
 Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:
 Пример 7:  Решение  D ² Y   DX ²  — 4  DY   DX  + 13y = 0
.0425
 r ² − 4r   + 13 = 0 Это не множит, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения: 
 с a = 1, b = −4 и c = 13
 x =  −(−4) ± √((−4) ² − 4×1×13)   2×1 
 x =  4 ± √(16− 52)   2 
 x =  4 ± √(−36)   2 
 x =  9 ± 6i0360  2 
 x = 2 ± 3i
 Если мы будем следовать методу, используемому для двух действительных корней, то мы можем попробовать решить:
 y = Ae ^(2+3i)x + Be ^{(2− 3i)x} 
 Мы можем упростить это, так как e ^2x является общим делителем:
 y = e ^2x ( Ae ^3ix + Be ^−3ix ) 9002 мы еще не закончили . .. !
 Формула Эйлера говорит нам, что:
 e ^ix = cos(x) + i sin(x)
 Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном счете) сделать вещи проще.
 Глядя только на часть «A плюс B»:
 Ae ^3ix + Be ^−3ix
 A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))
 Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))
 Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):
 Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x) (A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)
 Заменить A+B на C и A−B на D:
 Ccos(3x) + iDsin(3x)
 И мы получаем решение: 
 y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )
  
 Проверить
 У нас есть наш ответ, но, возможно, нам следует проверить, действительно ли он удовлетворяет исходному уравнение:
 y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )
  dy   dx  = e ^2x ( -3Csin(9x)+2xiDcos)0408 2x  ( Ccos(3x)+iDsin(3x) )
  d ² y   dx ²  = e ^{2x 9x} (-(6C+9i) 6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x) )
 Замена:
  d ² y  8dx2904     − 4  dy   dx  + 13y = e ^2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD) cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x)) − 4( e ^2x (-3Csin(3x)+3iDcos(3x)) + 2e ^2x (Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) + 13( e ^2x (Ccos(3x) + iDsin(3x)) ) 
 . .. эй, почему бы ВАМ не попробовать сложить все члены, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дайте мне знать, хорошо?
 Как это обобщить?
 Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения  r ₁ = v + wi  и  r ₂ = v − wi 
 Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно
. y = e ^vx (Ccos(wx) + iDsin(wx))
 Пример 8:  Решение  D ² Y   DX ²  — 6  DY   DX  + 25Y = 0
.   + 25 = 0
 Используйте формулу квадратного уравнения:
 x =  −b ± √(b ² − 4ac)   2a 
 с a = 1, b = −6 и c = 25
 x =  −(−6) ± √((−6) ² − 4×1× 25)   2 × 1 
 x =  6 ± √ (36- 100)   2 
 x =  6 ± √ (-64)   2 
 x =  6 ±    x =  6 ± 8603  x =  6 ± 8603 2 
 x =  6 ± 8603 2 
 x =  6.  2 
 x = 3 ± 4i
 И получаем решение: 
 y = e ^3x (Ccos(4x) + iDsin(4x))
 Пример 9:  Решение 9 D ² Y   DX ²  + 12  DY   DX  + 29Y = 0
 Активные характеристики.   + 29 = 0
 Используйте формулу квадратного уравнения:
 x =  −b ± √(b ² − 4ac)   2a 
 при a = 1 9 и c0 = 2 0 9, b0 = 2 9, b
 х =  -12 ± √(12 ² — 4×9×29)   2 × 
 x =  −12 ± √ (144– 1044)   18 
 x =  −12 ±  –1359 ±   18 
 x =  –1360  18 
 x =  –1360  18 
 x =  –13609   18 
 х = −  2   3  ±  5   3  i
 And we get the  solution: 
 y = e ^{(−  2   3  )x} (Ccos(  5   3  x) + iDsin(  5   3  х))
 Резюме
 Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
  d ² y   dx ²  + p  dy   dx  + qy = 0
 где  p  и  q  константы, надо найти корни характеристического уравнения
 г ² + пр + кв = 0
 Есть три случая, в зависимости от дискриминанта  p ² — 4q  . Когда будет
  положительный  получаем два действительных корня, и решение
 y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}
  ноль  получаем один действительный корень, а решение
 у = Ae ^rx + Bxe ^rx
  отрицательное  получаем два комплексных корня  r ₁ = v + wi  и  r ₂ = v − wi  , и решение
 у = е ^vx (Ccos(wx) + iDsin(wx))
  
 9479, 9480, 9481, 9482, 9483, 9484, 9485, 9486, 9487, 9488
  
 Решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка — Криста Кинг Математика
 Однородные дифференциальные уравнения равны 0
 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид 
 ???ay»+by’+cy=0???
 Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от ???y???. Оно однородно, потому что правая часть равна ???0???. Если правая часть уравнения отлична от нуля, дифференциальное уравнение называется неоднородным.
 Привет! Я Криста.
 Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
 Первое, что мы хотим узнать об однородных дифференциальных уравнениях второго порядка, это то, как находить их общие решения. Формула, которую мы будем использовать для общего решения, будет зависеть от типов корней, которые мы найдем для дифференциального уравнения.
 Чтобы найти корни, мы сначала сделаем замену для функции ???y??? через переменную ???r???. Мне нравится говорить, что количество «решеток» на ???y??? равен показателю степени, который вы ставите перед ???r???. Другими словами 92+бр+с=0???
 После подстановки у нас есть стандартная форма квадратного уравнения, и мы можем факторизовать левую часть, чтобы найти корни уравнения.
 Константы ???c_1??? и ???c_2??? остаются в общем решении. Позже мы узнаем, как решать начальные задачи для однородных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых нам будут предоставлены начальные условия, которые позволят нам найти константы и найти частное решение для дифференциального уравнения.
 Примеры нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, имеющего различные вещественные корни
 Пройти курс
 Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
 Нахождение общего решения дифференциального уравнения с различными вещественными корнями
 9{-3x}???
 Это общее решение дифференциального уравнения.
 Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от y. Он однороден, потому что правая часть равна 0,
. Общее решение дифференциального уравнения с одинаковыми действительными корнями
  Пример 
 Найдите общее решение.
 ???y»+6y’+9y=0???
 Если заменить ???y??? в пересчете на ???r??? получаем 92-4(1)(17)}}{2(1)}???
 ???r=\frac{-2\pm\sqrt{4-68}}{2}???
 ???r=\frac{-2\pm\sqrt{-64}}{2}???
 ???r=\frac{-2\pm\sqrt{(64)(-1)}}{2}???
 ???r=\frac{-2\pm8\sqrt{-1}}{2}???
 Так как мнимое число ???i??? определяется как ???i=\sqrt{-1}???, мы получаем
 ???r=\frac{-2\pm8i}{2}???
 ???r=-1\pm4i???
 Корни — это два комплексных числа, которые являются сопряженными друг с другом, поэтому это комплексно-сопряженные корни. Это означает, что мы будем использовать формулу общего решения для комплексно-сопряженных корней. Сопоставление этих корней с ???r=\alpha\pm{\beta}i??? говорит нам, что ???\alpha=-1??? и ???\бета=4???, так что мы получаем 9{-x}\left[c_1\cos{(4x)}+c_2\sin{(4x)}\right]???
 Это общее решение дифференциального уравнения.
 Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»
 Изучение математикиКриста Кинг  8 мая 2019 г.  математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, однородные уравнения, однородные дифференциальные уравнения, второй порядок, уравнения второго порядка, дифференциальные уравнения второго порядка, однородные уравнения второго порядка уравнения, различные действительные корни, действительные корни, равные действительные корни, комплексно-сопряженные корни, общее решение
 0 лайков Уникальность и существование дифференциальных уравнений второго порядка
  Уникальность и существование для второго порядка
Дифференциальные уравнения 
 Напомним, что для линейного дифференциального уравнения первого порядка
         y’ + p(t)y
=  g(t)        y(t ₀ )
=  у ₀
, если p(t) и g(t)
непрерывна на [a,b], то существует единственная
решение на отрезке [a,b].
 Мы можем задать те же вопросы о линейном дифференциале второго порядка
уравнения. Сначала нам нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, это
для дифференциального уравнения второго порядка недостаточно указать начальное
должность. Мы также должны иметь начальную скорость. Один из способов
убедить себя в том, что, поскольку нам нужно обратить две производные, две
будут введены константы интегрирования, следовательно, две части информации
необходимо найти для определения констант.
 Второй комментарий относится к обозначениям. Пусть
         y» + p(t)y’
+ q(t)y  = g(t)   
 — линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Затем мы вызываем
оператор
         Л(г)
= y» + p(t)y’ + q(t)y
  соответствующий   линейный
оператор  . Таким образом, мы хотим найти решения уравнения
         Л(г)
=  g(t)        y(t ₀ )
= у ₀      у'(t ₀ )  =  у’ ₀
 Мы сформулируем следующую теорему без доказательства. Доказательство хорошо
выше уровня этого курса.
  Теорема: Существование и
 Уникальность 
 Пусть p(t), q(t),
 и g(t) непрерывна на [a,b],
 тогда дифференциальное уравнение
 y» + p(t)y’ + q(t)y  = g(t)
 у(т ₀ )  =  y ₀      y'(t ₀ )
 =  у’ ₀
 имеет уникальное решение, определенное для всех
 т в [а, б].
  
  Пример 
 Найдите наибольший интервал, где
         (т ² — 1)y» + 3ty’ + стоимость t y  =  e ^t у(0) = 4, у'(0) = 5
 гарантированно имеет уникальное решение.
  Раствор 
 Мы сначала приводим его в стандартную форму
         y» + 3t/(t ² — 1)y’ + (cost t)/(t ² — 1) y  = e ^t /(t ² — 1)       у(0)  =  4, у'(0)
=  5
 p, q и g
все непрерывны, кроме момента t  = -1
и t  =  1. Теорема говорит нам
что существует единственное решение на [-1,1].
  
  Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 
 Далее мы будем исследовать решения однородных дифференциальных
уравнения. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение
         L(y)  =  0
 У нас есть следующая теорема
  Теорема  Пусть   L(y)  =
 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка и
 пусть у ₁ и у ₂ быть два решения. Тогда с ₁ г ₁ + c ₂ y ₂ также является решением для любой пары или
 константы c ₁ и c ₂ .
 Используя терминологию линейной алгебры, мы знаем, что L является линейным
преобразование векторного пространства дифференцируемых функций в
сам. Теорема напоминает нам, что ядро линейного преобразования
является векторным подпространством.
  Доказательство 
         L(c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ )  =  (c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ )»
+ p(t)(c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ )’ + q(t)(c ₁ y ₁ + с ₂ у ₂ )
         =  c ₁ y ₁ »
+ c ₂ y ₂ » + p(t)c ₁ y ₁ ‘ + p(t)c ₂ г ₂ ‘
+ q(t)c ₁ y ₁ + q(t)c ₂ y ₂
         =  c ₁ y ₁ »
+ p(t)c ₁ y ₁ ‘ + q(t)c ₁ y ₁ + q(t)c ₂ y ₂ »
+ p(t)c ₂ y ₂ ‘ + q(t)c ₂ y ₂  
         =  с ₁ (у ₁ »
+ p(t)y ₁ ‘ + q(t)y ₁ ) + c ₂ (у ₂ » +
p(t)y ₂ ‘ + q(t)y ₂ )
         =  c ₁ L(y ₁ )
+ c ₂ L(y ₂ ) = 0 + 0 = 0,
  
 Далее исследуем начальные условия. Если мы найдем генерала
решения однородной системы, можно ли выбрать такие константы, что
решение удовлетворяет начальным условиям? То есть можем ли мы найти c ₁ и c ₂ такие, что
         c ₁ y ₁ (t ₀ )
+ c ₂ y ₂ (t ₀ ) = y ₀
         c ₁ y ₁ ‘(t ₀ )
+ c ₂ y ₂ ‘(t ₀ )  =  y ₀ ‘
   Мы можем поместить это в матричное уравнение
 Это имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен
не ноль. Этот определитель называется числом 9.0581 Вронскиан  .
 Это доказывает следующую теорему
  Теорема  Пусть   
 л(г)  =
 0           y(t ₀ )
 =  y ₀      y'(t ₀ )
 =  у’ ₀
 быть однородным
 линейное дифференциальное уравнение второго порядка и пусть y ₁ и y ₂ — два общих решения
 (Нет начального значения. Тогда  если вронскиан 
 у ₁ у ₂‘ — у ₁‘ у ₂  
 отлично от нуля, существует решение начального значения
 задача формы
 y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂  
  
  Пример 
 Рассмотрим дифференциальное уравнение
         у» + 2у’ —
8 лет =  0
 Легко проверить, что общее решение дается числом
.         г
= c ₁ e ^2t + c ₂ e ^-4t  
 Вронскиан из
         г ₁ = e ^2t      y ₂   =  e ^-4t  
 задается
         e ^2t (-4e ^-4t )
— (2е ^2т)e ^-4t   =  -4e ^-2t — 2e ^-2t = -6e ^-2t
 Который никогда не равен нулю. Мы можем заключить, что любая задача с начальными значениями
будет иметь единственное решение вида
         г
= c ₁ e ^2t + c ₂ e ^-4t  
 Назад
на домашнюю страницу линейных дифференциальных уравнений второго порядка
 Назад
на главную страницу дифференциальных уравнений
 Назад к математике
Домашняя страница отдела
 электронная почта Вопросы и предложения
  
 Дифференциальные уравнения второго порядка
 Возраст от 16 до 18 лет
 Статья Майкла Грейлинга
 Опубликовано в 2014 г. Пересмотрено в 2019 г. по первой производной, но и по высшим. Естественно, дифференциальные уравнения более высокого порядка возникают в STEP и других экзаменах по высшей математике. Для чего-то большего, чем вторая производная, вопрос почти наверняка будет вести вас через какое-то конкретное
трюк, очень специфичный для рассматриваемой проблемы. Однако для дифференциальных уравнений второго порядка вам нужно знать, как их решать в целом. К счастью, применяемая техника проста, и эта статья проведет вас через все, что вам нужно знать, а также с полезным примером! 92} + b \frac{dy}{dt}+cy=0.\)
 Здесь \(a\), \(b\) и \(c\) — просто константы. В общем случае коэффициенты рядом с нашими производными могут быть непостоянными, но, к счастью, вам не нужно беспокоиться о том, как подходить к таким задачам, как эта, в целом для STEP.
 Теперь наш подход к решению уравнения вышеуказанного типа прост: мы угадываем решение. Конечно, это обоснованная догадка, за которой стоит много математических расчетов, но, по сути, она сводится к попытке найти решение в форме \(y=e^{\lambda t}\). Здесь \(\lambda\) просто неизвестная константа, и наша цель состоит в том, чтобы найти \(\lambda\), для которого решение этого типа
удовлетворяет дифференциальному уравнению. Теперь наше предположение подразумевает, что: 9{rt} (A \cos st+B \sin st ).\)
 Таким образом, эти три формулы, которые мы получили, — это все, что нам нужно запомнить! Для любого однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы просто переходим к вспомогательному уравнению, находим наше (\lambda\), записываем подразумеваемое решение для \(y\), а затем используем начальные условия, чтобы помочь нам найти константы, если требуется. 
  
 Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
 Одним из дополнений к вышеизложенному, которое мы должны решить, является случай, когда RHS в нашем DE не равен нулю, т.е. когда мы имеем: 92} + b \frac{dy_p}{dt}+cy_p=f(t).\)
 Может показаться, что мы бесконечно усложнили задачу, но на самом деле это не так. Теперь должно быть ясно, что \(y_c\) находится из однородного случая, который мы рассмотрели выше; так что все, что нам нужно, чтобы найти это наше вспомогательное уравнение. Для \(y_p\) мы снова используем угадывание решения, но наше точное предположение зависит от f. К счастью, есть лишь небольшой список стандартных предположений, которые вам нужно
запомнить:
 \(f(t)\) 9259{n-1}+…+Z\)
 \(\cos \alpha t\) или \(\sin \alpha t\)  \(P\cos\alpha t + Q\sin\alpha t\)
 Чтобы найти константы, присутствующие в \(y_p\) выше, нам просто нужно дважды продифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \(y_c\) и \(y_p\), мы получаем общее решение для \(y\) и можем использовать начальные условия для нахождения констант в \(y_c\), если нам это нужно.
 Пример
 Чтобы поместить все это в контекст, давайте сами проработаем особенно сложный случай.

   Оставить комментарий on Дифференциальные уравнения онлайн второго порядка: Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор/

« Предыдущая 1 … 2 734 2 735 2 736 2 737 2 738 … 2 804 Следующая »

Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.	Оригинальная функция: f(x) = x ⁶ + 4x ² — 1 Замените х на -х: f(-x) = (-x) ⁶ + 4(-x) ² — 1 Упрощать: е(-х) = х ⁶ + 4x ² — 1
Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).	f(-x) = x ⁶ + 4x ² — 1 е (х) = х ⁶ + 4x ² — 1 Сравните f(-x) с f(x): х6+4х2-1=х6+4х2-1 Поскольку f(-x) с f(x), нет необходимости сравнивать f(-x) с -f(x), потому что функция не может быть обеими.
Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.	Поскольку f(-x) = f(x), функция четная и имеет симметрию относительно оси y.
Шаг 4: Постройте график функции

Шаг 1: Замените f(x) на f(-x) и упростите функцию.	Оригинальная функция: f(x) = x ³ + 2x ² — x Замените х на -х: f(-x) = (-x) ³ + 2(-x) ² — (-x) Упрощать: f(-x) = -x ³ + 2х ² + х
Шаг 2: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).	f(-x) = -(x ³ — 2x ² — x) е (х) = х ³ + 2х ² — х -f(x) = -(x ³ + 2x ² — x) Сравните f(-x) с f(x): −(x3−2×2−x)≠x3+2×2−x Сравните f(-x) с -f(x): −(x3−2×2−x)≠−(x3+2×2−x)
Шаг 3: Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.	Поскольку f(-x) не равно f(x) или -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.
Шаг 4: Постройте график функции

Массивы	Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже.
Выражения	Для любого выражения доступны следующие действия: Оценить Проверить Развернуть (если применимо) Коэффициент (если применимо) График в 2D (доступен только при наличии переменной) Дифференцировать (доступно только при наличии переменной) Интегрировать (доступно только при наличии переменной)
Уравнения и неравенства	Для уравнений и неравенств доступны следующие действия: Решите для {вашей переменной} Обе стороны графика в 2D — Каждая из сторон равенства или неравенства изображена на графике как отдельная функция. График в 2D — график решений уравнения или неравенства Graph Inequality — отмечает область решения на графике
Системы	Важно иметь равное количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций.Системы можно записать двумя способами: Один под другим, с большой скобкой перед ними или без нее В одну строку разделить запятой
Производные и интегралы	Производные могут быть записаны либо с d / dx перед функцией, либо со штрихом. Действия, доступные для производных и интегралов:
Матрицы	Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия: Оценить Вычислить определитель Инвертировать матрицу Вычислить трассировку Матрица транспонирования Размер матрицы Уменьшить матрицу Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.
Построение графиков в полярных координатах	Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.
Комплексный режим	Примечание: Выберите Настройки , чтобы переключаться между действительными и комплексными числами. Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, , доступны следующие действия.

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
	2 ∙ 7 — 20 = -6
	2 ∙ (-6) + 12 = 0

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
	2 ∙ 7 — 20 = -6
	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Векторное произведение векторов.

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Свойства векторного произведения векторов

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Нахождение площади треугольника по векторам. Векторное произведение векторов

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлению

Определение векторного произведения.

Координаты векторного произведения.

Свойства векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

Геометрический смысл векторного произведения.

Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Векторное произведение векторов площадь треугольника. Свойства векторного произведения

Определение векторного произведения.

Координаты векторного произведения.

Свойства векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

Геометрический смысл векторного произведения.

Векторное произведение векторов.

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Свойства векторного произведения векторов

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

. Почему величина перекрестного произведения a и b дает площадь параллелограмма, натянутого на a и b?

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Опубликовать как гость

Опубликовать как гость

внешняя алгебра — Интуиция за перекрестным произведением и площадью параллелограмма

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Опубликовать как гость

Опубликовать как гость

Площадь параллелограмма

Часть 3:

Перекрестное произведение двух векторов

Перекрестное произведение двух векторов

Определение векторного произведения

Перекрестное произведение двух векторов Значение

Формула перекрестного произведения

Формула перекрестного произведения

Правило правой руки — векторное произведение двух векторов

Свойства перекрестного произведения двух векторов

Тройное перекрестное произведение

Перекрестное произведение двух векторов Пример

Примеры перекрестного произведения двух векторов

Практические вопросы по перекрестному произведению двух векторов

Часто задаваемые вопросы о перекрестном произведении двух векторов

Что такое векторное произведение двух векторов?

Каков результат векторного перекрестного произведения?

Что такое скалярное произведение и векторное произведение двух векторов?

Как найти векторное произведение двух векторов?

Почему перекрестное произведение является синусоидальным?

Всегда ли положительное произведение двух векторов?

В чем разница между скалярным произведением и перекрестным произведением двух векторов?

Что такое формула векторного произведения для двух векторов?

Как найти величину векторного произведения двух векторов?

Что такое формула перекрестного произведения с использованием матричной записи?

Как использовать формулу перекрестного произведения?

Что такое правило большого пальца правой руки для перекрестного произведения двух векторов?

Понимание перекрестного произведения – BetterExplained

Определение перекрестного произведения

Геометрическая интерпретация

Перекрестное произведение для ортогональных векторов

Вычисление перекрестного произведения

Пример времени

Приложение

Другие публикации из этой серии

Как вычислить векторное произведение и площадь прямоугольника за 3 простых шага

`Пример времени`

`Приложение`

`Другие публикации из этой серии`

`Как вычислить векторное произведение и площадь прямоугольника за 3 простых шага`