Напомним, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец.
Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В .
Длиной , или модулем , вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторо в , обозначается соответственно | |, | |.
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и направление.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются , и их длина считается равной нулю.
Сложение векторов
Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и , вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора . Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , называется суммой векторов и , обозначается
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Свойства сложения векторов
Свойство 1. (переместительный закон).
Свойство 2. (сочетательный закон).
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Пример
Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма ABCD ?
Ответ: Восемь векторов .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Сколько различных векторов задают стороны трапеции ABCD ?
Ответ: Восемь векторов .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 2
В прямоугольнике АВСDАВ = 3 см, ВС = 4 см. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Ответ: а) 3 см;
б) 4 см;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
в) 3 см;
г) 5 см;
д) 5 см.
Упражнение 3
Основание AD трапеции АВСD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, D = 45°. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) .
Ответ: а) 13 см;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) см;
в) см.
7
Упражнение 4
В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?
Ответ: а) Да;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) нет ;
в) да;
г) нет.
Упражнение 5
Точки S и T являются серединами боковых сторон соответственно MN и LK равнобедренной трапеции MNLK . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?
Ответ: а) Да;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) нет ;
в) нет.
г) д а .
Упражнение 6
В треугольнике АВС укажите векторы:
а)
б)
в)
г)
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
10
Упражнение 7
На рисунке укажите векторы:
а)
б)
в)
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: а) ;
б) ;
в) .
11
Упражнение 8
А , В , С , D — произвольные точки плоскости. Выразите через векторы , , векторы: а) ; б) ; в) .
Ответ: а) ;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) ;
в) .
12
Упражнение 9
Сторона равностороннего треугольника АВС равна а . Найдите: а) ; б) ; в) .
Ответ: а) a ;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) ;
в) .
13
Упражнение 10
В треугольнике АВСАВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
Ответ: а) 14;
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
б) 10;
в) 14;
г) 10.
Упражнение 1 1*
Стороны треугольника ABC равны a , b , c . O – точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов
Решение: Продолжим медиану CC 1 и отложим отрезок C 1 C’ =OC 1 . AOBC’ – параллелограмм, OC’ = 2 OC 1 = OC . Следовательно,
и, значит,
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Трапеция
\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).\circ\).
2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\) как накрест лежащие. Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).
Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot
AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle
COD}\]
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство* С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN’\parallel AD\) (\(N’\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN’\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N’\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N’\) совпадут.
Тогда по теореме Фалеса \(M’\) и \(N’\) — середины отрезков \(BB’\) и \(CC’\) соответственно. Значит, \(MM’\) – средняя линия \(\triangle
ABB’\), \(NN’\) — средняя линия \(\triangle DCC’\). Поэтому: \[MM’=\dfrac12 AB’, \quad NN’=\dfrac12 DC’\]
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB’, CC’\perp AD\), то \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B’M’=M’B\). Значит, \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M’N’=B’C’=BC\).
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство* С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle
ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).
\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).
2)
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE
= ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =
\angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).
В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).
Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямойmи плоскостьюα тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Векторы
На данной онлайн странице электронного справочника по математике для школьников представлены следующие готовые домашние задания, решения тестовых заданий по геометрии 9 класса:
– представлены определения вектора, скалярных и векторных величин;
– в примерах с номерами 9 — 12 рассматривается, как решать геометрию по теме «Коллинеарные векторы»;
– решения векторов представлены в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам». Контрольные работы 13 — 15;
– тема «Координаты вектора» объясняется в работах 16 — 22 учебника. В данной рабочей тетради показываются ответы к вопросам, как решать задачи, если требуется найти координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число;
– задачи 1 — 8 показывают примеры решений и ответы по математике, изученных на материале курса геометрии 8 класса. Здесь рассматриваются тесты и задания по таким разделам, как средняя линия треугольника, параллелограмм, площадь треугольника, равнобедренная трапеция, вписанные и описанные окружности.
Понятие вектора
Автобус едет из города Анск в город Бинск. На карте город Анск обозначим латинской буквой A, город Бинск – буквой B латинского алфавита.
Соединив точки A и B, получаем отрезок AB. При этом точка A – начало отрезка или пункт отправления автобуса, т.е. откуда едет автобус, точка B – конец отрезка или пункт назначения автобуса, куда движется автобус.
Отрезок AB изображает схему маршрута автобуса.
Направление движения автобуса, или направление маршрута, или направление отрезка AB обозначим стрелкой –>.
Выражение «A –> B» обозначает схематичное движение автобуса из пункта A в пункт B.
Отрезок со стрелкой – направленный отрезок.
Определение: Вектор – направленный отрезок.
В математике принято обозначать вектор как
, две латинские буквы со одной стрелкой сверху (произносится: вектор а-б.). указывает на направление движения: A – начальная точка отрезка, B – конечная точка отрезка. Часто вектор могут обозначать маленькой буквой (произносится: вектор а).
Когда A – начальная точка отрезка и B – конечная точка отрезка совпадают, то есть когда отрезок отсутствует, тогда вектор считается нулевым и обозначается как
, ноль со одной стрелкой сверху. Любая точка на карте, в тетради, на плоскости чертежной доски – нулевой вектор.
Длина отрезка AB, расстояние между городом Анск и Бинск, – абсолютная величина вектора , или модуль вектора
, или длина вектора . Модуль вектора обозначается как . Например, дано = 1,7 км, = 6 км. В этом случае говорят, что длина вектора а равна 1,7 км (одна целая семь десятых километра), длина вектора AB равна шести километрам. Длина нулевого вектора обозначается как и равна нулю: = 0.
Скалярные и векторные величины
Величина может быть скалярной или векторной.
Величина является скалярной, если содержит численное значение, но не указывает на направление. Например, 5 книг, 10 метров ткани, где цифры «5», «10» – скалярные величины.
Векторная величина или вектор – величина, которая содержит количественное значение и указывает на направление.
Например, автобус едет или совершает перемещение из пункт A в пункт B со скоростью 30 км/ч.
Цифра «30» – скорость автобуса в км/ч – пример векторной величины, так как дано численное значение и указывается направление движения.
Перемещение точки, которая движется в данный момент времени, – вектор с начальной точкой в точке старта движения и с конечной точкой в точке, где данная точка находится в это время.
Например, AB = 5 км, BC = 5 км, CD = 3 км, DE = 2 км, AE = 4 км.
Длина маршрута движения автобуса из пункта A в пункт E составляет L = AB + BC + CD + DE = 15 км. Длина маршрута – скалярная величина, так как дано только количество километров – «15» без указания на направление движения.
Перемещение – вектор
, который соединяет A – точку начала движения автобуса, E – точку остановки движения. AE = 4 км. Перемещение – векторная величина, где число «4» – количество километров, АЕ – указывает на направление движения, из пункта Анск в пункт Eнск.
Допустим, автобус проехал 30 км: в одну сторону, из Анска в Енск – 15 км, а также обратно, из Енска в Анск – 15 км. В этом примере перемещение равно 0 км и является нулевым вектором.
Коллинеарные векторы
Лемма – теорема, вспомогательная для доказательства следующей теоремы.
Лемма о коллинеарных векторах:
Если векторы
и коллинеарны (где ), то можно найти такое число k, что верно равенство (вектор равен произведению числа k на вектор )
Дано: вектор a, вектор b
Векторы
и – коллинеарные, т.е. вектор b коллинеарен вектору a
Доказать: есть такое число k, что верно равенство
Доказательство:
1 случай. Пусть векторы a и b — сонаправленные векторы, т.е.
, где k>0,т.к. . Тогда и сонаправленные векторы.
Значит,
***
2 случай.
Пусть a, b — противоположные векторы, т.е.
Возьмем
, где k
Следовательно,
***
Задача 9.
Дано:
вектор m, вектор n
1)
– противоположно направленные векторы , = 0,5 см, = 2 см
2)
– сонаправленные векторы , = 12 см, = 240 см
Найти: k – ?
Решение: 1) Т.к.
, то k= – = – 4
Ответ: k = – 4.
Решение: 2) Т.к.
, то k>0. Тогда = = 20.
Ответ: k = 20.
***
Задача 10.
Дано:
ABCD – параллелограмм
BD
AC = O
M – середина отрезка AO
1)
2)
Найти: k – ?
Решение:
1) Т.к.
, то k>0.
По свойству параллелограмма
, тогда
Ответ: k=
2) Т.к.
, то k, – коллинеарные, т.к. лежат на одной прямой. Найдем середину OC и обозначим ее точкой N.
Получим треугольник Δ ABC, где MN – средняя линия треугольника Δ ABC и треугольник Δ ADC, где EK – средняя линия треугольника Δ ADC.
По свойству средней линии треугольника Δ следует, что
MN || AC – параллельны и MN=
AC,
EK || AC – параллельны и EK=
AC.
Тогда MN || EK – параллельны и MN=EK, поэтому
MNKE – параллелограмм (по первому признаку параллелограмма).
***
Задача 2.
Дано:
Треугольник Δ ABC
Сторона треугольника AB = 8,5 см
Сторона треугольника AC = 5 см
Высота AH = 4 см, т.е отрезок AH перпендикулярен стороне BC
H
BC, т.е. точка H лежит на стороне BC
Найти:
Площадь треугольника S ΔABC – ?
Решение:
S ΔABC =
BC • AH
По теореме Пифагора
BH =
= = = 7,5 см
По теореме Пифагора
CH =
= = 3 см
BC = BH + CH = 3 +7,5 = 10,5 см
S ΔABC =
• 10,5 • 4 = 21
Ответ: S ΔABC = 21
***
Задача 3.
Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.
Дано:
ABCD – равнобедренная трапеция
Доказать: NE
KM =
Доказательство:
Проведем перпендикуляры BH и CH1, то есть BH
AD перпендикулярны; также CH1AD перпендикулярны.
Но BH и CH1 проходят через NE
тогда перпендикулярны BRNE и CR1NE.
Стороны BH = CH1 равны
параллельны BH || CH1
Поэтому BH = KM = CH1 равны
параллельны BH KM CH1 как отрезок, заключенный между параллельными прямыми.
Следовательно углы равны
KON = NR1C = 90° как соответственные.
Тогда
KON = EOM = 90°, как вертикальные.
***
Задача 4.
Дано:
AB – отрезок
AC = CB
O – произвольная точка
Доказать:
Вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O
Доказательство: По правилу треугольника (1)
+
(2)
Сложив выражения (1) и (2), получаем
***
Задача 5.
Дано:
векторы a, b, c
Три вектора
и – неколлинеарные векторы.Построить:
Суммы и разности векторов.
Построение:
По правилу многоугольника
a)
б)
=
***
Задача 6.
Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.
Дано:
четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция
Доказать: EF
NM = , т.е. угол пересечения двух отрезков в равнобедренной трапеции равен 90°.
Доказательство:
Проведем параллельные прямые
MK || AB
MR || CD
Получим равнобедренный треугольник ΔMKR
AB=MK, так как трапеция равнобедренная,
CD=MR, т.к. трапеция равнобедренная.
Следовательно, EF – средняя линия треугольника ΔMKR, поэтому
MH=HR и OK=MO.
BM=MC=AK=RD, т.к. ABMK и MCDR – параллелограммы.
Поэтому HR=KO.
Тогда MN – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ΔMKR.
Т.к. MN – высота, то отрезки MN
AD – перпендикулярны.
По свойству средней линии треугольника Δ следует, что
EF || KR.
Тогда EF
NM =
***
Задача 7.
Доказать, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.
Дано:
вписанная окружность в равнобедренном треугольнике
ΔABC – равнобедренный треугольник
BH2 – медиана
Доказать: O
BH2, т.е. центр вписанной окружности лежит на медиане равнобедренного треугольника
Доказательство:
Проведем перпендикуляры OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.
Здесь из двух точек проведен один и тот же перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.
Следовательно, что O
BH2
***
Задача 8.
Доказать, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или на ее продолжение.
Дано:
Описанная окружность около равнобедренного треугольника
Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник
BH3 – медиана
Доказать: O
BH3
Доказательство:
Проведем из центра окружности перпендикуляры
OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.
Здесь проведен из двух точек перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.
Следовательно, что O
BH3
***
Наверх
Метод координат (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва
Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом!
Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.
Приступаем к решению задач:
1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники.
Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \( 1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?
Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \( \displaystyle BM\).
Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).
Мне нужно найти угол между \( \displaystyle DH\) и \( \displaystyle BM\). Что нам известно?
Нам известна только координата точки \( \displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \( \displaystyle D,H,M\).
Теперь думаем: точка \( \displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \( \displaystyle ABC\).
А точка \( \displaystyle D\) – это приподнятая точка \( \displaystyle H\).
Точка же \( \displaystyle M\) – это середина отрезка \( \displaystyle AD\).{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Окончательно имеем: \( A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).
Теперь найдем координаты точки \( \displaystyle H\).
Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \( \displaystyle A\), то есть \( 0,5\).
Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно тривиально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \( \displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \( AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \( \displaystyle KH\), равна: \( KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Т
аким образом, координаты точки \( \displaystyle H\) равны:
Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \( \displaystyle H\).{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)
Таким образом, \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)
Ответ: \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)
Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!
Зачет по теме «Векторы» | Картотека по геометрии (9 класс):
Билет 1.
Какие векторы называются коллинеарными? Дайте определение равных векторов.
Начертите ненулевой вектор АВ и отметьте точки М и N по разные стороны от прямой АВ и точку К на прямой АВ. Отложите от точек М. N и К соответственно векторы: ММ1, сонаправленный с АВ; NN1, равный АВ; КК1, противоположно направленный по отношению к АВ.
Дано: АВ = СD. Докажите, что AC = BD.
Билет 2.
Объясните, какой вектор называется суммой двух данных векторов. Какие правила сложения двух и нескольких векторов вы знаете?
Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b, c, d и постройте вектор p = a + b + c + d.
Найдите длину вектора m если m = MN + PR + KM + NP + RK.
Билет 3.
Какой вектор называется разностью двух данных векторов?
Начертите два неколлинеарных вектора а и b и постройте вектор а – b.
Найдите вектор х из условия PB – OD + x + MC = PA – BM – OA.
Билет 4.
Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = 1,5p – 2q.
Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, а точка М делит сторону AD в отношении AM : MD = 1 : 2. Выразите вектор ОМ через векторы а = АВ и b = AD.
Билет 5
Приведите примеры векторных величин.
Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = p – 2q.
Билет 6
Что называется длиной нулевого вектора. Чему равна длина нулевого вектора.
Какие векторы называются коллинеарными.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор равный а + 2в.
Билет 7
Дайте определение равных векторов.
Какие вектора называются сонаправленными и противоположно направленными. Как они обозначаются.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а; — а; 3в; — 0,5в
Билет 8
По каким правилам можно сложить два вектора, 5 векторов. Приведите примеры.
Какой отрезок называется средней линией трапеции. Чему равна средняя линия трапеции.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а; — а; 3в; — 0,5в
8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Понятие вектора. Задачи.
Комментарии преподавателя
Векторы
Урок: Понятие вектора. Задачи
Многие физические величины характеризуются не только числом, но и направлением. Например, скорость, сила и т.д. Такие величины называются векторными величинами, или векторами. Нам необходимо ввести понятие вектора, понятие равенства векторов, определить правила сложения векторов, умножения вектора на число и т.д.
Итак, начнем с определения. Пусть задан отрезок АВ, и он имеет конкретную длину. Если считать, что точка А – это начало отрезка, а точка В – его конец, получаем направленный отрезок, который и будет называться вектором АВ (см. Рис. 1).
Рис. 1
Имеем право назвать данный вектор одной буквой, в таком случае .
При работе с векторами обязательно нужно ставить стрелки или черточку над именем вектора.
Определение
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом, называется направленным вектором или отрезком.
Теперь если мы знаем, что вектор обозначает какую-то силу, то мы знаем, куда эта сила направлена и какова она по величине.
Мы ввели понятие вектора, теперь нужно определить равенство векторов.
Представим шоссе, по которому машины в соседних рядах едут с разными скоростями.
Пусть первая машина едет со скоростью , скорость второй в два раза больше, то есть , скорость третьей еще больше, и т.д. (см. Рис. 2).
Рис. 2
Таким образом, рассмотрим вектора, лежащие на параллельных прямых. Такие вектора носят название коллинеарные. Машины на встречной полосе едут в обратную сторону с произвольной скоростью, не важно, большой или малой, но все равно и эти векторы будут коллинеарными заданным, так как те и другие лежат на параллельных прямых.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор, то есть вектор нулевой длины, считается коллинеарным любому вектору.
Если мы имеем векторы и , лежащие на параллельных прямых, они могут быть сонаправленными или противонаправленными (см. Рис. 3, 4).
Векторы и коллинеарны противонаправлены:
Рис. 3
Векторы и коллинеарны сонаправлены:
Рис. 4
Теперь если заданы векторы и , они коллинеарны и сонаправлены и длины их равны, то мы имеем равные векторы.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и длины их равны.
Длина вектора называется модулем и обозначается так: .
Итак, из определения равенства векторов мы получаем:
.
Пример 1 – задача 738: отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с двумя из этих точек, выпишите эти векторы, укажите их начало и конец.
Соединим точки А и В, получаем вектор , А – начало, В – конец, аналогично получаем вектора и .
Поменяем для вектора начало и конец между собой, получим вектор , В – начало, В – конец, аналогично получаем вектора и (см. Рис. 5).
Рис. 5
Данная задача показывает нам, что любые две точки могут быть соединены отрезком, и если в нем выбрать начало и конец, мы получим вектор.
Пример 2 – задача 749: точки S и T являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции. Равны ли векторы и ? Векторы и ? Векторы и ? Векторы и ?
Напомним, что вектор – это направленный отрезок, а все ранее изученные нами фигуры – треугольники, четырехугольники, в частности, трапеции, состоят из отрезков, каждый из которых можно представить, как вектор.
Стороны NL и MK параллельны как основания трапеции (см. Рис. 6). Если векторы направлены по этим прямым, то они называются коллинеарными, они могут быть сонаправленными либо противонаправленными.
Рис. 6
Очевидно, что векторы и не равны, так как они даже не коллинеарны – не принадлежат параллельным прямым (см. Рис. 7).
Векторы и коллинеарны, т.к. принадлежат одной прямой – боковой стороне трапеции; данные векторы сонаправлены. Кроме того, в условии сказано, что S – середина MN, отсюда модули векторов равны. Таким образом, данные векторы равны между собой.
Рис. 7
Векторы и не равны, хотя их длины одинаковы – трапеция по условию равнобедренная (см. Рис. 8). Но данные два вектора не являются сонаправленными по определению трапеции (трапецией называется такой четырехугольник, у которого две стороны – основания – лежат на параллельных прямых, а две остальных стороны не параллельны).
Рис. 8
Векторы и равны, так как Т – середина KL, отсюда , таким образом, модули векторов равны. Также очевидно, что данные векторы коллинеарны – они принадлежат одной прямой, боковой стороне трапеции KL, и сонаправлены. Таким образом, заданные два вектора равны (см. Рис. 9).
Рис. 9
Пример 3 – задача 751: определить вид четырехугольника ABCD, если , .
Данный четырехугольник – ромб. Обоснуем. Мы знаем, что векторы и равны, отсюда следует, что равны их модули – то есть длины отрезков, векторы сонаправленны и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым, таким образом, заданный четырехугольник – параллелограмм (см. Рис. 10). Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник –
Рис. 10
параллелограмм. Согласно второму условию, , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.
Итак, мы начали изучение большой и важной темы – векторы, то есть такие величины, для которых важна не только величина, но и направление. Мы дали определение вектора, ввели понятие коллинеарных векторов, сонаправленных и противонаправленных векторов. Рассмотрели понятие равенства векторов.
Трапеция и ее свойства. (Координатная геометрия) — Открытый справочник по математике
Попробуй это
Перетащите любую вершину трапеции ниже. Он останется трапецией.
Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).
Как и в плоской геометрии, трапеция — это
четырехугольник
с одной парой параллельных сторон.
(См. Определение трапеции).
В координатной геометрии каждая из четырех вершин (углов) также известна
координаты.
Высота трапеции
На рисунке выше нажмите «Сброс», затем «Показать высоту».
Высота — это расстояние по перпендикуляру между двумя основаниями (параллельными сторонами).
Чтобы найти это расстояние, мы можем использовать методы, описанные в
Расстояние от точки до линии.
Для точки мы используем любую вершину, а для линии используем противоположное основание.
На рисунке выше мы использовали расстояние от точки B до противоположного основания AD.
Этот метод будет работать, даже если трапеция повернута на плоскости, но
если стороны трапеции параллельны осям x и y,
тогда расчеты могут быть немного проще.Высота — это разница в координатах y любой точки на каждой базе, например, A и B.
Медиана трапеции
На приведенном выше рисунке нажмите «показать медианное значение». Вызов из медианы трапеции
что медиана — это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон трапеции.
(Ноги — это две непараллельные стороны.)
Мы можем найти середину ноги, используя метод, описанный в
Середина отрезка прямой.
Применяя это дважды, по одному для каждого отрезка, можно провести между ними медиану.
Длину медианы можно определить двумя способами:
Средняя длина — это среднее значение двух оснований (параллельных сторон).
Найдите длину каждого основания, используя метод, описанный в
Расстояние между двумя точками.
Затем найдите среднее значение этих двух длин, сложив их и разделив на 2.
Найдите середины ног, используя метод, описанный в
Середина отрезка линии,
затем найдите расстояние между ними, как описано в
Расстояние между двумя точками.
Пример
В проработанных примерах ниже мы рассчитаем свойства трапеции на рисунке выше. Сначала нажмите «сбросить».
Что попробовать
На рисунке вверху страницы нажмите «скрыть детали».
Затем перетащите углы, чтобы создать произвольную трапецию.
Вычислите высоту, а также местоположение и длину медианы.
Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.
Повторите то же самое с повернутой трапецией, нажав на «повернутый».
Ограничения
Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака.
Это может привести к небольшому отклонению расчетов.
Подробнее см.
Учебные заметки
Другие разделы о координатной геометрии
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г. Все права защищены.
Определение площади (и смещения)
Как было сказано в предыдущей части этого урока, график зависимости скорости от времени можно использовать для определения ускорения объекта (наклона).В этой части урока мы узнаем, как можно использовать график зависимости скорости от времени для определения смещения объекта. Для графиков зависимости скорости от времени область, ограниченная линией и осями, представляет смещение. На диаграмме ниже показаны три различных графика скорость-время; заштрихованные области между линией и осью времени представляют смещение в течение указанного временного интервала.
Заштрихованная область представляет смещение в течение от 0 до 6 секунд.Эта площадь, имеющая форму прямоугольника, может быть рассчитана с помощью соответствующего уравнения.
Заштрихованная область представляет смещение в течение от 0 до 4 секунд. Эту площадь, имеющую форму треугольника, можно рассчитать с помощью соответствующего уравнения.
Заштрихованная область представляет смещение в течение от 2 до 5 секунд.Эта площадь, имеющая форму трапеции, может быть рассчитана с помощью соответствующего уравнения.
Метод, используемый для нахождения площади под линией на графике скорость-время, зависит от того, является ли участок, ограниченный линией и осями, прямоугольником, треугольником или трапецией. Формулы площади для каждой формы приведены ниже.
Прямоугольник
Треугольник
Трапеция
Площадь = b • h
Площадь = ½ • b • h
Площадь = ½ • b • (h 1 + h 2 )
Расчет площади прямоугольника
Теперь мы рассмотрим несколько примеров вычисления площади для каждой из вышеперечисленных геометрических фигур.Сначала рассмотрим расчет площади для нескольких прямоугольников. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованный прямоугольник на графике скорость-время имеет основание 6 с и высоту 30 м / с. Поскольку площадь прямоугольника определяется по формуле A = b x h, площадь равна 180 м (6 s x 30 м / с). То есть за первые 6 секунд движения объект сместился на 180 метров.
Площадь = b * h Площадь = (6 с) * (30 м / с)
Площадь = 180 м
Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание.Определите смещение (т.е. площадь) объекта в течение первых 4 секунд (Практика A) и от 3 до 6 секунд (Практика B).
Расчет площади треугольника
Теперь мы рассмотрим несколько примеров вычисления площади для нескольких треугольников. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованный треугольник на графике скорость-время имеет основание 4 секунды и высоту 40 м / с.Так как площадь треугольника определяется по формуле A = ½ * b * h, площадь равна ½ * (4 с) * (40 м / с) = 80 м. То есть за четыре секунды движения объект сместился на 80 метров.
Площадь = ½ * b * h Площадь = ½ * (4 с) * (40 м / с)
Площадь = 80 м
Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание. Определите смещение объекта в течение первой секунды (практика A) и в течение первых 3 секунд (практика B).
Расчет площади трапеции
Наконец, мы рассмотрим несколько примеров расчета площади для нескольких трапеций. Решение для поиска области показано для первого примера ниже. Заштрихованная трапеция на графике скорость-время имеет основание 2 секунды и высоту 10 м / с (слева) и 30 м / с (справа). Поскольку площадь трапеции определяется по формуле A = ½ * (b) * (h 1 + h 2 ), площадь составляет 40 м [½ * (2 с) * (10 м / с + 30 м / с)].То есть объект сместился на 40 метров за промежуток времени от 1 секунды до 3 секунд.
Площадь = ½ * b * (h 1 + h 2 ) Площадь = ½ * (2 с) * (10 м / с + 30 м / с)
Площадь = 40 м
Теперь попробуйте следующие две практические задачи, чтобы проверить свое понимание. Определите смещение объекта в интервале времени от 2 до 3 секунд (Практика A) и в течение первых 2 секунд (Практика B).
Альтернативный метод для трапеций
Альтернативный способ определения площади трапеции включает разбиение трапеции на треугольник и прямоугольник. Площади треугольника и прямоугольника можно вычислить индивидуально; площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника. Этот метод проиллюстрирован на рисунке ниже.
Треугольник: Площадь = ½ * (2 с) * (20 м / с) = 20 м
Прямоугольник: Площадь = (2 с) * (10 м / с) = 20 м
Общая площадь = 20 м + 20 м = 40 м
На этом уроке было усвоено, что область, ограниченная линией и осями графика скорость-время, равна перемещению объекта за этот конкретный период времени.Область может быть обозначена как прямоугольник, треугольник или трапеция. В дальнейшем площадь можно определить по соответствующей формуле. После расчета эта область представляет смещение объекта.
Расследовать! Виджет ниже вычисляет площадь между линией на графике скорость-время и осями графика. Эта область — смещение объекта. Используйте виджет, чтобы изучить или просто попрактиковаться в решении нескольких самостоятельно созданных задач.
Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей интерактивной двухступенчатой ракеты. Этот интерактив находится в разделе Physics Interactives нашего веб-сайта и позволяет учащемуся применить навык вычисления площадей и соотнесения их со значениями смещения для двухступенчатой ракеты.
Теорема о срединном сегменте трапеции | Справка по геометрии
На сегодняшнем уроке геометрии мы докажем теорему о среднем сегменте трапеции, опираясь на ранее доказанную теорему о среднем сегменте треугольника.
Теорема о середине треугольника утверждает, что линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, называемая средним сегментом, параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины третьей стороны.
Аналогичная теорема существует и для трапеций: линия, соединяющая середины двух сторон трапеции, параллельна основаниям, а ее длина равна половине суммы длин оснований.
Задача
ABCD — трапеция, AB || CD . EF — это линия, соединяющая середины отрезков AD и BC , AE = ED и BF = FC . Докажите, что EF || DC и что EF = ½ ( AB + DC )
Стратегия
Поскольку мы имеем дело с серединами сегментов, мы будем использовать то, что мы уже доказали для средних сегментов треугольника.Давайте создадим такие треугольники, проведя линию от вершины A через среднюю точку F, пока она не пересечет продолжение базового DC в точке G:
Мы можем легко показать, что ΔABF и ΔGCF совпадают, используя Angle-Side -Угловой постулат. Отсюда мы можем показать, что EF — это средний сегмент треугольника ΔADG. Таким образом, согласно теореме треугольника о среднем сегменте, он параллелен DG и равен половине DG .
Но DG равно DC + CG , а поскольку ΔABF и ΔGCF совпадают, CG = AB , поэтому EF равно половине DC + AB .Другими словами, длина EF — это среднее арифметическое (среднее) длин оснований.
Доказательство
Вот как доказать теорему о среднем сегменте трапеции:
(1) AB || DG // Учитывая, что ABCD — это трапеция (2) ∠BAF ≅ ∠CGF // Теорема об альтернативных внутренних углах (3) ∠AED ≅ ∠CEF // Вертикальные углы (4) BF = FC // Дано (5) ΔABF ≅ ΔGCF // (2), (3), (4), Угол-боковой-угол (6) AF = FG // (5), соответствующие стороны совпадающих треугольников (7) EF — мидсегмент // (6), определение мидсегмента (8) EF || DG // (7), теорема о мидсегменте треугольника (9) EF = ½DG // (7), Теорема о промежуточном сегменте треугольника (10) DG = DC + CG (11) CG = AB // (5), соответствующие стороны совпадающих треугольников (12) EF = ½ (DC + CG ) // (9), (10), переходное свойство равенства (13) EF = ½ (DC + AB ) // (11) , (12), Транзитивное свойство равенства
Верно и обратное утверждение этой теоремы — прямая, параллельная одной из траекторий Основание апезоида и пересекает одну из середин ноги, также пересекает середину другой ноги, и ее длина равна половине суммы длин оснований.
Платья для кукольного домика,
Площадь параллелограмма со сторонами,
Скалистая горная лошадь,
Пример панели управления Javascript,
Хирон Тит Андроник,
Счетная карточка национального гольф-клуба Hazeltine,
Телеканал «Фулхэм против Брентфорда»,
Настройки лунной фотографии,
Восставший из ада Nightbreed: Джихад,
трапеций: площадь и периметр
А трапеция , также называемый трапеция в некоторых странах это
четырехугольник
ровно с одной парой
параллельный
стороны.
Параллельные стороны называются базы а непараллельные стороны — это ноги трапеции.
An равнобедренная трапеция представляет собой трапецию, у которой две непараллельные стороны
конгруэнтный
.
В
площадь
А
трапеции определяется выражением
А
знак равно
б
1
+
б
2
2
час
куда
б
1
и
б
2
— длины двух параллельных сторон, и
час
это высота, как показано на рисунке ниже.
В
периметр
трапеции — это сумма длин ее четырех сторон. Если одна или несколько длин неизвестны, иногда можно использовать
Теорема Пифагора
найти это.
Пример:
Найдите площадь и периметр показанной трапеции.
Чтобы найти площадь, примените формулу.
А
знак равно
б
1
+
б
2
2
час
знак равно
3
+
11
2
(
7
)
знак равно
7
(
7
)
знак равно
49
квадрат
единицы измерения
Чтобы найти периметр, сложите длины всех четырех сторон.
п
знак равно
3
+
10
+
11
+
8
знак равно
32
единицы измерения
3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14
Найти площадь
окружность (10)
15
Найти площадь
окружность (8)
16
Найти площадь поверхности
сфера (6)
17
Разложить на простые множители
1162
18
Найти площадь
окружность (1)
19
Найти длину окружности
окружность (5)
20
Найти объем
сфера (2)
21
Найти объем
сфера (6)
22
Найти площадь поверхности
сфера (4)
23
Найти объем
сфера (7)
24
Вычислить
квадратный корень из -121
25
Разложить на простые множители
513
26
Вычислить
квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27
Найти объем
прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)
28
Найти длину окружности
окружность (6)
29
Найти длину окружности
окружность (3)
30
Найти площадь поверхности
сфера (2)
31
Вычислить
2 1/2÷22000000
32
Найти объем
прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
33
Найти объем
прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)
34
Найти длину окружности
окружность (4)
35
Перевести в процентное соотношение
1. 2-4*-1+2
45
Разложить на простые множители
228
46
Вычислить
0+0
47
Найти площадь
окружность (9)
48
Найти длину окружности
окружность (8)
49
Найти длину окружности
окружность (7)
50
Найти объем
сфера (10)
51
Найти площадь поверхности
сфера (10)
52
Найти площадь поверхности
сфера (7)
53
Определить, простое число или составное
5
54
Перевести в процентное соотношение
3/9
55
Найти возможные множители
8
56
Вычислить
(-2)^3*(-2)^9
57
Вычислить
35÷0. 2
60
Преобразовать в упрощенную дробь
2 1/4
61
Найти площадь поверхности
сфера (12)
62
Найти объем
сфера (1)
63
Найти длину окружности
окружность (2)
64
Найти объем
прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)
65
Сложение
2+2=
66
Найти площадь поверхности
прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)
67
Вычислить
корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68
Вычислить
7/40+17/50
69
Разложить на простые множители
1617
70
Вычислить
27-( квадратный корень из 89)/32
71
Вычислить
9÷4
72
Вычислить
2+ квадратный корень из 21
73
Вычислить
-2^2-9^2
74
Вычислить
1-(1-15/16)
75
Преобразовать в упрощенную дробь
8
76
Оценка
656-521
77
Вычислить
3 1/2
78
Вычислить
-5^-2
79
Вычислить
4-(6)/-5
80
Вычислить
3-3*6+2
81
Найти площадь поверхности
прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
82
Найти площадь поверхности
сфера (8)
83
Найти площадь
окружность (14)
84
Преобразовать в десятичную форму
11/5
85
Вычислить
3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86
Вычислить
(11/-7)^4
87
Вычислить
(4/3)^-2
88
Вычислить
1/2*3*9
89
Вычислить
12/4-17/-4
90
Вычислить
2/11+17/19
91
Вычислить
3/5+3/10
92
Вычислить
4/5*3/8
93
Вычислить
6/(2(2+1))
94
Упростить
квадратный корень из 144
95
Преобразовать в упрощенную дробь
725%
96
Преобразовать в упрощенную дробь
6 1/4
97
Вычислить
7/10-2/5
98
Вычислить
6÷3
99
Вычислить
5+4
100
Вычислить
квадратный корень из 12- квадратный корень из 192
Статья 17.
Составление списков избирателей, участников референдума \ КонсультантПлюс
Главная
Документы
Статья 17. Составление списков избирателей, участников референдума
Подготовлена редакция документа с изменениями, не вступившими в силу
Федеральный закон от 12.06.2002 N 67-ФЗ
(ред. от 28.06.2022)
«Об основных гарантиях избирательных прав и права на участие в референдуме граждан Российской Федерации»
КонсультантПлюс: примечание.
Ст. 17 (в ред. ФЗ от 23.05.2020 N 153-ФЗ) применяется к правоотношениям, возникшим в связи с проведением выборов, назначенных после 23.05.2020.
Статья 17. Составление списков избирателей, участников референдума
1. В целях реализации прав избирателей, участников референдума соответствующими комиссиями составляются списки избирателей, участников референдума на основании сведений, полученных с использованием государственной системы регистрации (учета) избирателей, участников референдума и представляемых в соответствии с пунктом 6 настоящей статьи.
2. В списки избирателей, участников референдума на избирательных участках, участках референдума включаются граждане Российской Федерации, обладающие на день голосования активным избирательным правом, правом на участие в референдуме.
3. Если на основании международного договора Российской Федерации иностранные граждане имеют право на участие в выборах в органы местного самоуправления и местном референдуме, то в списки избирателей, участников референдума при проведении выборов в органы местного самоуправления, местного референдума в соответствии с законом включаются иностранные граждане, достигшие на день голосования возраста 18 лет и не подпадающие под действие пункта 3 статьи 4 настоящего Федерального закона, постоянно проживающие на территории муниципального образования, в котором проводятся указанные выборы, референдум.
4. Основанием для включения гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума на конкретном избирательном участке, участке референдума является факт нахождения места его жительства на территории этого участка, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, иным законом, — факт пребывания (временного пребывания, нахождения) гражданина на территории этого участка (при наличии у гражданина активного избирательного права, права на участие в референдуме). Факт нахождения места жительства либо пребывания (временного пребывания) гражданина на территории определенного избирательного участка, участка референдума устанавливается органами регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту жительства и по месту пребывания в пределах Российской Федерации в соответствии с законодательством Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, иным законом, — другими уполномоченными на то органами, организациями и должностными лицами. Включение гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума по месту его нахождения на территории определенного избирательного участка, участка референдума осуществляется в соответствии с пунктом 16 статьи 64 настоящего Федерального закона.
(п. 4 в ред. Федерального закона от 01.06.2017 N 104-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
5. Военнослужащие, проходящие военную службу по призыву в воинских частях, военных организациях и учреждениях, которые расположены на территории соответствующего муниципального образования, если место жительства этих военнослужащих до призыва на военную службу не было расположено на территории муниципального образования, не включаются в списки избирателей, участников референдума и не учитываются при определении числа избирателей, участников референдума при выборах в органы местного самоуправления, на местном референдуме.
(в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 в п. 6 ст. 17 вносятся изменения (ФЗ от 14.03.2022 N 60-ФЗ). См. будущую редакцию.
6. Сведения об избирателях, участниках референдума формирует и уточняет глава местной администрации муниципального района, муниципального округа, городского округа, внутригородской территории города федерального значения, а в случаях, предусмотренных законом субъекта Российской Федерации — города федерального значения, — руководитель территориального органа исполнительной власти города федерального значения. Сведения об избирателях, участниках референдума — военнослужащих, находящихся в воинской части, членах их семей и о других избирателях, участниках референдума, если они проживают на территории расположения воинской части либо зарегистрированы в установленном порядке при воинской части по месту их службы, формирует и уточняет командир воинской части. Сведения об избирателях, участниках референдума, находящихся в местах временного пребывания, представляет в избирательную комиссию руководитель организации, в которой избиратель, участник референдума временно пребывает. Указанные сведения направляются уполномоченным на то органом или уполномоченным должностным лицом в территориальные комиссии (избирательные комиссии муниципальных образований), при отсутствии таковых — в окружные избирательные комиссии, а в случаях, предусмотренных законом, — в участковые комиссии сразу после назначения дня голосования или после образования этих комиссий.
(в ред. Федеральных законов от 21.07.2005 N 93-ФЗ, от 09.03.2016 N 66-ФЗ, от 23.05.2020 N 153-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
7. Список избирателей, участников референдума составляется соответствующей комиссией, в том числе с использованием ГАС «Выборы», отдельно по каждому избирательному участку, участку референдума на основании сведений, представляемых по установленной форме уполномоченным на то органом или уполномоченным должностным лицом.
(в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
7.1. Лица, представляющие сведения об избирателях, участниках референдума, несут ответственность за достоверность и полноту этих сведений, а также за своевременность их представления.
(п. 7.1 введен Федеральным законом от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
8. При проведении выборов в федеральные органы государственной власти, референдума Российской Федерации участковые комиссии, сформированные на избирательных участках, участках референдума, образованных за пределами территории Российской Федерации, вправе составлять список избирателей, участников референдума до дня голосования — по письменным обращениям, а в день голосования — по устным обращениям явившихся в участковую комиссию граждан Российской Федерации, постоянно проживающих за пределами территории Российской Федерации либо находящихся в длительных заграничных командировках.
9. Гражданин Российской Федерации, обладающий активным избирательным правом, правом на участие в референдуме, находящийся в день голосования на выборах в федеральные органы государственной власти, референдуме Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации и не имевший возможности получить открепительное удостоверение или проголосовать досрочно, включается соответствующей участковой комиссией в список избирателей, участников референдума при его явке в день голосования в помещение участковой комиссии для голосования.
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 в п. 10 ст. 17 вносятся изменения (ФЗ от 14.03.2022 N 60-ФЗ). См. будущую редакцию.
10. Гражданин Российской Федерации включается в список избирателей, участников референдума только на одном избирательном участке, участке референдума. При выявлении территориальной комиссией (окружной избирательной комиссией, избирательной комиссией муниципального образования) факта включения гражданина Российской Федерации в списки избирателей, участников референдума на разных избирательных участках, участках референдума на одних и тех же выборах, одном и том же референдуме соответствующая комиссия до передачи списков избирателей, участников референдума в участковые комиссии проводит работу по устранению ошибки или неточности в указанных списках.
(в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
11. Список избирателей, участников референдума составляется в двух экземплярах. Сведения об избирателях, участниках референдума, включаемые в список избирателей, участников референдума, располагаются в алфавитном или ином порядке (по населенным пунктам, улицам, домам, квартирам). В списке указываются фамилия, имя, отчество, год рождения (в возрасте 18 лет — дополнительно день и месяц рождения), адрес места жительства избирателя, участника референдума. В списке избирателей, участников референдума должны быть предусмотрены места для проставления избирателем, участником референдума подписи за каждый полученный им бюллетень, серии и номера своего паспорта или документа, заменяющего паспорт гражданина, а также для внесения суммарных данных по каждому виду выборов, референдума и для проставления подписи члена участковой комиссии, выдавшего бюллетень (бюллетени) избирателю, участнику референдума.
(в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 в п. 12. ст. 17 вносятся изменения (ФЗ от 14.03.2022 N 60-ФЗ). См. будущую редакцию.
12. Первый экземпляр списка избирателей, участников референдума подписывают председатель и секретарь комиссии, составившей список. На избирательных участках, участках референдума, образованных на территории воинской части, в отдаленной или труднодоступной местности, список избирателей, участников референдума подписывают председатель и секретарь участковой комиссии. Список избирателей, участников референдума заверяется печатями соответственно территориальной комиссии (окружной избирательной комиссии, избирательной комиссии муниципального образования) и (или) участковой комиссии. Порядок и сроки изготовления, использования второго экземпляра списка избирателей, участников референдума, его передачи соответствующей участковой комиссии, заверения и уточнения определяются комиссией, организующей выборы, референдум.
(в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 в п. 13 ст. 17 вносятся изменения (ФЗ от 14.03.2022 N 60-ФЗ). См. будущую редакцию.
13. Соответствующая территориальная комиссия (окружная избирательная комиссия, избирательная комиссия муниципального образования) передает по акту участковым комиссиям первый экземпляр списка избирателей, участников референдума конкретного избирательного участка, участка референдума не позднее чем за 10 дней до дня голосования. Участковая комиссия вправе разделить первый экземпляр списка избирателей, участников референдума на отдельные книги. Каждая такая книга не позднее дня, предшествующего дню голосования, должна быть сброшюрована (прошита), что подтверждается печатью соответствующей участковой комиссии и подписью ее председателя.
(в ред. Федеральных законов от 21.07.2005 N 93-ФЗ, от 05.04.2013 N 40-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
14. Участковая комиссия уточняет список избирателей, участников референдума в соответствии с установленным порядком организации взаимодействия комиссий с органами местного самоуправления, учреждениями и организациями, осуществляющими регистрацию (учет) избирателей, участников референдума. Выверенный и уточненный список избирателей, участников референдума не позднее дня, предшествующего дню голосования, подписывается председателем и секретарем участковой комиссии и заверяется печатью участковой комиссии.
15. Участковая комиссия за 10 дней до дня голосования представляет список избирателей, участников референдума для ознакомления избирателей, участников референдума и его дополнительного уточнения.
(в ред. Федеральных законов от 21.07.2005 N 93-ФЗ, от 05.04.2013 N 40-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
15.1. В случае проведения досрочного голосования в соответствии с пунктом 1 статьи 65 настоящего Федерального закона составление списка избирателей, участников референдума, передача в участковую комиссию первого экземпляра списка избирателей, участников референдума и ознакомление со списком избирателей, участников референдума по соответствующему избирательному участку, участку референдума осуществляются в сроки, установленные законом, в целях обеспечения проведения досрочного голосования избирателей, участников референдума.
(п. 15.1 введен Федеральным законом от 05.05.2014 N 95-ФЗ)
15.2. Список избирателей, участников референдума может составляться, уточняться и использоваться в электронном виде в порядке и сроки, определенные при проведении выборов в федеральные органы государственной власти и референдума Российской Федерации Центральной избирательной комиссией Российской Федерации, а при проведении иных выборов и референдумов — избирательной комиссией субъекта Российской Федерации с учетом требований, установленных Центральной избирательной комиссией Российской Федерации.
В случае составления, уточнения и использования списка избирателей, участников референдума в электронном виде его копия изготавливается путем распечатки списка избирателей, участников референдума на бумажном носителе непосредственно после окончания времени голосования (в последний день голосования) и заверяется подписями председателя, секретаря участковой комиссии и печатью участковой комиссии. Указанная копия равнозначна по своей юридической силе списку избирателей, участников референдума в электронном виде. Хранение указанной копии осуществляется в порядке, определяемом в соответствии с настоящим Федеральным законом в отношении хранения избирательной документации, документации референдума.
(п. 15.2 введен Федеральным законом от 14.03.2022 N 60-ФЗ)
16. Гражданин Российской Федерации, обладающий активным избирательным правом, правом на участие в референдуме, вправе обратиться в участковую комиссию с заявлением о включении его в список избирателей, участников референдума, о любой ошибке или неточности в сведениях о нем, внесенных в список избирателей, участников референдума. В течение 24 часов, а в день голосования в течение двух часов с момента обращения, но не позднее момента окончания голосования участковая комиссия обязана проверить сообщенные заявителем сведения и представленные документы и либо устранить ошибку или неточность, либо принять решение об отклонении заявления с указанием причин такого отклонения, вручив заверенную копию этого решения заявителю. Решение участковой комиссии об отклонении заявления о включении гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума может быть обжаловано в вышестоящую комиссию или в суд (по месту нахождения участковой комиссии), которые обязаны рассмотреть жалобу (заявление) в трехдневный срок, а за три и менее дня до дня голосования и в день голосования — немедленно. В случае, если принято решение об удовлетворении жалобы (заявления), исправление в списке избирателей, участников референдума производится участковой комиссией немедленно. Исключение гражданина Российской Федерации из списка избирателей, участников референдума после его подписания председателями и секретарями соответствующих комиссий и заверения его печатями этих комиссий в порядке, предусмотренном пунктом 12 настоящей статьи, производится только на основании официальных документов, в том числе сообщения вышестоящей комиссии о включении избирателя, участника референдума в список избирателей, участников референдума на другом избирательном участке, участке референдума, а также в случае выдачи избирателю, участнику референдума открепительного удостоверения. При этом в списке избирателей, участников референдума, а также в базе данных ГАС «Выборы» указывается дата исключения гражданина Российской Федерации из списка, а также причина такого исключения. Запись в списке избирателей, участников референдума заверяется подписью председателя участковой комиссии, а при выдаче открепительного удостоверения — подписью члена комиссии, выдавшего открепительное удостоверение, с указанием даты внесения этой подписи. Каждый гражданин Российской Федерации вправе сообщить в участковую комиссию об изменении указанных в пункте 5 статьи 16 настоящего Федерального закона сведений об избирателях, участниках референдума, включенных в список избирателей, участников референдума на соответствующем участке.
(п. 16 в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
Положения ст. 17 (в ред. ФЗ от 31.07.2020 N 267-ФЗ) применяются к правоотношениям, возникшим в связи с проведением выборов, референдумов, назначенных после 31. 07.2020.
17. Если в соответствии с пунктом 16 статьи 64 настоящего Федерального закона не предусмотрено включение гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума по месту его нахождения, избиратели, участники референдума, находящиеся в местах временного пребывания, работающие на предприятиях с непрерывным циклом работы и занятые на отдельных видах работ, где невозможно уменьшение продолжительности работы (смены), а также избиратели, участники референдума из числа военнослужащих, находящихся вне места расположения воинской части, и избиратели, участники референдума, работающие вахтовым методом, решением участковой комиссии могут быть включены в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума по месту их временного пребывания по личному письменному заявлению, поданному в участковую комиссию не позднее чем за три дня до дня (первого дня) голосования. Если в соответствии с пунктом 16 статьи 64 настоящего Федерального закона предусмотрено включение гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума по месту его нахождения, избиратели, участники референдума, которые будут находиться в день голосования в больницах или местах содержания под стражей подозреваемых и обвиняемых, а также избиратели, участники референдума из числа военнослужащих, находящихся вне места расположения воинской части, и избиратели, участники референдума, работающие вахтовым методом, не имевшие возможности подать заявление о включении в список избирателей, участников референдума по месту нахождения, решением участковой комиссии могут быть включены в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума по месту их временного пребывания по личному письменному заявлению, поданному в участковую комиссию не позднее 14 часов по местному времени дня, предшествующего дню голосования (такие избиратели, участники референдума включаются в список избирателей, участников референдума в указанном порядке также в случае совмещения дня голосования на соответствующих выборах, референдуме с днем голосования на выборах в органы местного самоуправления, местном референдуме). Информация о включении избирателя, участника референдума в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума по месту их временного пребывания передается, в том числе с использованием ГАС «Выборы», в участковую комиссию избирательного участка, участка референдума, где данный избиратель, участник референдума включен в список избирателей, участников референдума по месту его жительства. Участковая комиссия в соответствующей строке списка избирателей, участников референдума делает отметку: «Включен в список избирателей (участников референдума) на избирательном участке (участке референдума) N» с указанием номера избирательного участка, участка референдума и при необходимости наименования субъекта Российской Федерации. Законом может быть предусмотрено, что избиратели, участники референдума, не имеющие регистрации по месту своего жительства в пределах Российской Федерации, решением участковой комиссии могут быть включены в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума, образованных или определенных решением вышестоящей комиссии для проведения голосования этих избирателей, участников референдума, по личному письменному заявлению, поданному в участковую комиссию не позднее чем в день голосования.
(в ред. Федеральных законов от 01.06.2017 N 104-ФЗ, от 29.05.2019 N 104-ФЗ, от 31.07.2020 N 267-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
17.1. На избирательных участках, участках референдума, образованных в соответствии с пунктом 5 статьи 19 настоящего Федерального закона на вокзалах и в аэропортах, списки избирателей, участников референдума составляются в день голосования. При этом избиратели, участники референдума, находящиеся в день голосования в указанных местах, включаются в списки избирателей, участников референдума по предъявлении открепительного удостоверения, за исключением случая, предусмотренного абзацем вторым настоящего пункта.
(в ред. Федерального закона от 23.05.2020 N 153-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Если в соответствии с пунктом 16 статьи 64 настоящего Федерального закона предусмотрено включение гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума по месту его нахождения на избирательных участках, участках референдума, образованных в указанных местах, списки избирателей, участников референдума составляются не позднее дня, предшествующего дню голосования, на основании заявлений избирателей, участников референдума, поданных в порядке, установленном Центральной избирательной комиссией Российской Федерации.
(абзац введен Федеральным законом от 23.05.2020 N 153-ФЗ)
(п. 17.1 введен Федеральным законом от 04.10.2010 N 263-ФЗ)
18. Вносить какие-либо изменения в списки избирателей, участников референдума после окончания голосования и начала подсчета голосов избирателей, участников референдума запрещается.
19. После официального опубликования результатов выборов, референдума информация об избирателях, участниках референдума, содержащаяся в списках избирателей, участников референдума, может использоваться для уточнения сведений об избирателях, участниках референдума в регистре избирателей, участников референдума.
(п. 19 введен Федеральным законом от 21.07.2005 N 93-ФЗ)
Статья 16. Регистрация (учет) избирателей, участников референдума
Статья 18. Образование (определение) избирательных округов, округа референдума
Вопросы-ответы
Что делать, если при заполнении заявления допущена ошибка?
Если вы допустили ошибку при заполнении заявления, то фонд, без вынесения отказа, вернет вам его на доработку, на которую отводится 5 рабочих дней.
Какой порядок предоставления такого пособия? Какие документы и куда должен направить родитель, чтобы получать выплату? Работодатель в этом процессе не участвует?
Для получения пособия необходимо подать только электронное заявление через портал Госуслуг либо обратиться в клиентскую службу Пенсионного фонда России по месту жительства, также заявление можно подать через МФЦ.
Представить дополнительные сведения о доходах понадобится только в том случае, если в семье есть военные, спасатели, полицейские или служащие другого силового ведомства, а также, если кто-то получает стипендии, гранты и другие выплаты научного или учебного заведения.
Я могу получить пособие только на карту “Мир”?
Да, новая выплата будет зачисляться семьям только на банковские карты «Мир». Важно помнить, что при заполнении заявлений на выплату указываются именно реквизиты счета заявителя, а не номер карты.
Сколько времени ждать выплату после подачи заявления?
Рассмотрение заявления занимает 10 рабочих дней. В отдельных случаях максимальный срок составит 30 рабочих дней. Если по выплате вынесен отказ, уведомление об этом направляется в течение 1 рабочего дня. Средства выплачиваются в течение 5 рабочих дней после принятия решения о назначении выплаты. В дальнейшем перечисление средств осуществляется с 1-го по 25-ое число месяца, следующего за месяцем, за который выплачивается пособие.
Как получить пособие?
В большинстве случаев при обращении за назначением выплаты необходимо лишь подать заявление через личный кабинет на портале Госуслуг, в клиентской службе ПФР по месту жительства или в МФЦ. Фонд самостоятельно собирает сведения о доходах заявителя и членов его семьи в рамках программы межведомственного взаимодействия.
Представить документы понадобится только в том случае, если один родитель (опекун, попечитель) является военным, спасателем, полицейским или служащим другого силового ведомства, а также, если кто-то в семье получает стипендии, гранты и другие выплаты научного или учебного заведения.
При личном обращении потребуется предъявить документ, удостоверяющий личность.
Прием в клиентских службах ПФР проводится по предварительной записи. Записаться на прием можно на сайте Фонда. Сервис доступен для всех граждан, в том числе не зарегистрированных на Едином портале госуслуг. Для этого на главной странице сайта Пенсионного Фонда России, выберите пункт «Личный кабинет гражданина». Внизу страницы, на голубом поле нажмите на «Запись на прием».
Кому положена ежемесячная выплата?
Выплата назначается малообеспеченным семьям, которые воспитывают детей от 8 до 17 лет при соблюдении следующих условий:
ежемесячный доход на человека в семье не превышает регионального прожиточного минимума на душу населения;
собственность семьи не превышает требования к движимому и недвижимому имуществу;
заявитель и дети граждане РФ, постоянно проживающие в РФ.
Обратиться за выплатой может один из родителей, усыновитель или опекун ребёнка.
С какого числа можно подавать заявление, чтобы получить выплату?
Подать заявление можно с 1 мая 2022 года и далее в любое время.
Устанавливается выплата на 12 месяцев, но не более чем до достижения ребенком возраста 17 лет.
Я могу получать выплату через Почту России?
Да, можете. Для получения денег через почтовое отделение Вам нужно отметить соответствующий пункт в заявлении на выплату, а также указать адрес получателя и номер почтового отделения.
Можно ли оформить выплату, если я уже получаю пособие на детей от 8 до 17 лет для одиноких родителей?
Да, вы можете подать заявление на выплату, если после расчета среднедушевого дохода семьи новая выплата окажется более выгодной по сумме, Вам назначат новую выплату в повышенном размере, то есть 75 или 100% от регионального прожиточного минимума, с учетом выплаченных сумм прежнего пособия. При этом выплата предыдущего пособия автоматически прекратится.
Еще до 1 мая подали заявление, почему выплаты до сих пор нет?
Согласно правилам, заявления на новое пособие рассматриваются в течение 10 рабочих дней. В отдельных случаях этот срок может быть больше, до 30 рабочих дней. Продление срока обычно необходимо, если организации вовремя не представили в Пенсионный фонд сведения, подтверждающие право семьи на выплату. Если по прошествии этого срока ответа по заявлению нет, следует обратиться в Пенсионный фонд. Сделать это можно лично в клиентской службе ПФР, куда подано заявление, либо по телефону горячих линий ПФР: www.pfr.gov.ru/contacts/counseling_center/reg_lines
Что делать, если пришел отказ в выплате из-за собственности, которой по факту нет?
В таком случае нужно обратиться в клиентскую службу ПФР или в организацию, которая может документально подтвердить отсутствие имущества в собственности семьи. Например, в Росреестр или МВД. Поскольку именно такие организации сообщают Пенсионному фонду о наличии у семьи того или иного имущества. Выданный организацией документ нужно представить в клиентскую службу Пенсионного фонда по месту жительства. Предварительная запись для этого не требуется. После подтверждения, что в собственности нет имущества, из-за которого вынесен отказ, решение будет пересмотрено.
Что делать, если пришел отказ в выплате из-за отсутствия документов, которые подавались в Пенсионный фонд?
В таком случае нужно связаться с отделением Пенсионного фонда, в котором было подано заявление, чтобы специалисты еще раз проверили информацию. Для этого можно обратиться в Пенсионный фонд лично либо по справочным телефонам отделений фонда: www.pfr.gov.ru/contacts/counseling_center/reg_lines.
Когда можно подать новое заявление, если пришел отказ?
Новое заявление можно подать в любое время после устранения причины отказа. Раньше подавать новое заявление не имеет смысла.
Нужно ли подавать заявление на новую выплату, если я уже получаю пособие на детей от 8 до 17 лет как одинокий родитель, но мои доходы при этом все равно меньше прожиточного минимума?
Да. Если доходы семей, которые уже получают пособие на детей от 8 до 17 лет как одинокие родители, по-прежнему не достигают прожиточного минимума, им нужно подать новое заявление и начать получать выплату в повышенном размере, то есть 75 или 100% от регионального прожиточного минимума, а не 50% как раньше. При этом выплата предыдущего пособия автоматически прекратится.
Моему сыну исполнилось 8 лет в феврале 2022 года мне выплатят пособия за этот период?
Нет, пособие назначается с 8-летия ребенка, но не раньше 1 апреля 2022.
В Указе Президента сказано, что пособие устанавливается с 1 апреля, если заявления можно подавать только с 1 мая, то как получить деньги за апрель?
По заявлениям, поданным до 1 октября 2022 года, деньги будут выплачены за период с 1 апреля 2022 года, но не ранее месяца достижения ребенком возраста 8 лет.
Это значит, что, если семья обратится за новой выплатой в первых числах мая, то первая выплата в мае будет сразу за два месяца – за апрель и за май. Если семья обратится в конце мая, то пособие будет получено в июне сразу за 3 месяца – апрель, май и июнь.
Можно ли получить пособие без гражданства РФ?
Нет
Какие платежные реквизиты необходимо указывать при подаче заявления?
В заявлении необходимо указать данные банковского счета заявителя: наименование кредитной организации или БИК кредитной организации, корреспондентский счет, номер счета заявителя. Выплата не может перечисляться на счет другого лица. Если заявление было подано с банковскими реквизитами другого лица, можно подать новое заявление со своими банковскими реквизитами.
Выплата будет зачисляться только на банковские карты «Мир».
Распространяется ли выплата на детей, которым уже исполнилось 17 лет?
Выплата положена только на детей, не достигших 17 лет.
Ежемесячная выплата положена на каждого ребенка?
Да, пособие выплачивается на каждого ребенка от 8 до 17 лет в семье.
В семье двое детей в возрасте от 8 до 17 лет. Нужно ли писать заявление на каждого ребенка?
Нет, если в семье двое и больше детей от 8 до 17 лет, для получения ежемесячной выплаты на каждого из них заполняется одно общее заявление. Двух и более заявлений в таком случае подавать не требуется.
Моё заявление вернули на доработку, сколько времени теперь уйдет на его рассмотрение?
Срок рассмотрения заявления – 10 рабочих дней. В Вашем случае он был приостановлен. Если доработанное заявление поступит в Фонд в течение 5 рабочих дней, его рассмотрение восстановится со дня представления.
Что будет, если не подать доработанное заявление или документы в течение 5 рабочих дней?
В этом случае в назначении выплаты будет отказано и Вам нужно будет подать заявление заново.
Как можно узнать, назначена выплата или нет?
При подаче заявления через Портал госуслуг уведомление о статусе его рассмотрения появится там же.
Если же заявление было подано лично в клиентской службе Пенсионного фонда России или в МФЦ, в случае положительного решения средства будут перечислены в установленный законом срок без дополнительного уведомления заявителя.
В случае отказа заявителю в течение 1 рабочего дня отправят уведомление, в котором будет указана причина отказа.
На какой срок устанавливается выплата?
Пособие назначается на один год и продлевается по заявлению. Его рассмотрение занимает 10 рабочих дней. В отдельных случаях максимальный срок составит 30 рабочих дней.
В 2022 году к заявителям, которые потеряли работу после 1 марта 2022 года и встали на учет в центрах занятости, применяется особый расчет среднедушевого дохода. Таким заявителям пособие назначается на 6 месяцев. По истечении этого периода можно будет обратиться за пособием вновь.
В течение какого периода можно получать выплату?
Пособие выплачивается с восьмилетия ребенка до достижения им возраста 17 лет.
Зависит ли выплата от доходов семьи?
Да, выплата полагается семьям, чей ежемесячный доход на человека не превышает прожиточного минимума на душу населения в регионе проживания. Чтобы рассчитать ежемесячный доход, нужно разделить годовой доход семьи на 12 месяцев и на количество членов семьи. Также при оценке нуждаемости учитывается имущество семьи и используется «правило нулевого дохода».
Что такое правило нулевого дохода?
«Правило нулевого дохода» предполагает, что пособие назначается при наличии у взрослых членов семьи заработка (стипендии, доходов от трудовой или предпринимательской деятельности или пенсии) или отсутствие доходов обосновано объективными жизненными обстоятельствами.
Удержат ли деньги, если у меня есть задолженность по исполнительному документу?
Нет
Я получаю пособие по безработице. Его будут учитывать при расчете среднедушевого дохода?
Да, будут.
Машину, купленную в кредит, посчитают при оценке имущества?
Да.
Распространяется ли выплата на детей, оставшихся без обоих родителей?
Да. Выплата распространяется на детей-сирот. В этом случае право на ежемесячное пособие имеет их опекун (попечитель), но только если ребенок не находится на полном государственном обеспечении.
Для назначения пособия опекунам нужно лично подать заявление в клиентскую службу Пенсионного фонда России по месту жительства или в МФЦ.
Я опекун. Могу ли я получать пособие, если родителей ребенка лишили родительских прав?
Да, можете.
В месте моего проживания действует свой районный прожиточный минимум. При расчете пособия будут учитывать его?
Да.
Как я могу подтвердить фактическое место проживания, если у меня нет регистрации по месту жительства?
Место фактического пребывания определяется по месту подачи заявления для назначения пособия.
По какому прожиточному минимуму будут рассчитывать мои доходы, если у меня две регистрации – по месту жительства и по месту временного пребывания?
В этой ситуации будет учитываться прожиточный минимум по месту временного пребывания.
У нас в регионе установлен норматив площади на одного человека 18 кв. метров, а в правилах назначения пособия говорится, что учитывается не более 24 кв.метров. Сколько квадратных метров на человека должно быть в моем случае?
В Вашем случае учитывается норматив 24 кв. метра.
Наша семья живет в доме, который был предоставлен в качестве социальной поддержки многодетной семье. Я должна предоставлять документы, в которых об этом говорится?
Нет, эти документы ПФР запросит самостоятельно в рамках системы межведомственного взаимодействия.
При расчете доходов учтут полученные алименты?
У моей семьи в собственности есть квартира и жилой дом, в сумме их площадь превышает норматив 24 кв. м. на человека, мне откажут в назначении пособия?
Нет. Ограничения по квадратным метрам действуют, если у семьи в собственности находится несколько квартир или несколько жилых домов. При владении одним видом жилого имущества его площадь не учитывается.
Я оформила в ПФР уход за 86-летней бабушкой мужа и получаю пособие по уходу за гражданами старше 80 лет. Это пособие учтут при расчете моих доходов?
Да.
В каком порядке применяются районные коэффициенты при определении размера пособия?
Районный коэффициент при назначении пособия не применяется, так как размер пособия устанавливается в зависимости от прожиточного минимума на душу населения, в котором уже учтен районный коэффициент.
Обязана ли я сообщать в Пенсионный фонд информацию об изменении состава семьи и доходах, если они произошли после подачи заявления?
Нет. Получатели пособия не обязаны сообщать в Пенсионный фонд об изменениях в уровне доходов в период, на который назначено пособие.
Пособия можно получать только на детей от 8 до 17 лет?
Нет, не только. Также предусмотрены выплаты для малообеспеченных семей для беременных женщин, вставших на учет в ранние сроки, пособия на детей от 0 до 3 лет, а также пособия на детей от 3 до 8 лет.
Будет ли производиться индексация выплаты?
Да. Ежемесячная выплата будет ежегодно индексироваться с 1 января.
Куда можно обратиться, если остались вопросы по назначению выплаты?
Если у вас остались вопросы по данной выплате, то вы можете позвонить в Единый контакт-центр по номеру 8-800-600-00-00, кроме этого Вы можете задать свой вопрос в официальных социальных сетях Пенсионного фонда России либо обратиться в любую клиентскую службу фонда.
Как объяснить ребенку деление столбиком во 2-3 классе
Как объяснить ребенку деление столбиком? Как дома самостоятельно отработать навык деления в столбик, если в школе ребенок что-то не усвоил? Делить столбиком учат во 2-3 классе, для родителей, конечно, это пройденный этап, но при желании можно вспомнить правильную запись и объяснить доступно своему школьнику то, что понадобится ему в жизни.
xvatit.com
Что должен знать ребенок 2-3 класса, чтобы научиться делить в столбик?
Как правильно объяснить ребенку 2-3 класса деление столбиком, чтобы в дальнейшем у него не было проблем? Для начала, проверим, нет ли пробелов в знаниях. Убедитесь, что:
ребенок свободно выполняет операции сложения и вычитания;
знает разряды чисел;
знает назубок таблицу умножения.
Как объяснить ребенку смысл действия «деление»?
Ребенку нужно объяснить все на наглядном примере.
Попросите разделить что-либо между членами семьи или друзьями. Например, конфеты, кусочки торта и т.п. Важно, чтобы ребенок понял суть — разделить нужно поровну, т.е. без остатка. Потренируйтесь на разных примерах.
Допустим, 2 группы спортсменов должны занять места в автобусе. Известно сколько спортсменов в каждой группе и сколько всего мест в автобусе. Нужно узнать, сколько билетов нужно купить одной и второй группе. Или 24 тетради нужно раздать 12 ученикам, сколько достанется каждому.
Когда ребенок усвоит суть принципа деления, покажите математическую запись этой операции, назовите компоненты.
Объясните, что деление – это операция противоположная умножению, умножение наизнанку.
Удобнопоказать взаимосвязь деления и умножения на примере таблицы.
Например, 3 умножить на 4 равно 12. 3 — это первый множитель; 4 — второй множитель; 12 — произведение (результат умножения).
Если 12 (произведение) разделить на 3 (первый множитель), получим 4 (второй множитель).
Как объяснить ребенку деление двузначного числа на однозначное не в столбик?
Нам, взрослым, проще «по старинке» записать «уголком» — и дело с концом. НО! Дети еще не проходили деление в столбик, что делать? Как научить ребенка делить двузначное число на однозначное не используя запись столбиком?
Возьмем для примера 72:3.
Все просто! Раскладываем 72 на такие числа, которые легко устно разделить на 3: 72=30+30+12.
Все сразу стало наглядно: 30 мы можем разделить на 3, и 12 ребенок легко разделит на 3. Останется только сложить результаты, т.е. 72:3=10 (получили, когда 30 разделили на 3) + 10 (30 разделили на 3) + 4 (12 разделили на 3).
72:3=24 Мы не использовали деление в столбик, но ребенку был понятен ход рассуждений, и он выполнил вычисления без труда.
После простых примеров можно переходить к изучению деления в столбик, учить ребенка правильно записывать примеры «уголком». Для начала используйте только примеры на деление без остатка.
Как объяснить ребенку деление в столбик: алгоритм решения
Большие числа сложно делить в уме, проще использовать запись деления столбиком. Чтобы научить ребенка правильно выполнять вычисления, действуйте по алгоритму:
Определить, где в примере делимое и делитель. Попросите ребенка назвать числа (что на что мы будем делить).
213:3 213 — делимое 3 — делитель
Записать делимое — «уголок» — делитель.
Определить, какую часть делимого мы можем использоваться, чтобы разделить на заданное число.
Рассуждаем так: 2 не делится на 3, значит — берем 21.
Определить, сколько раз делитель «помещается» в выбранной части.
21 разделить на 3 — берем по 7.
Умножить делитель на выбранное число, результат записать под «уголком».
7 умножить на 3 — получаем 21. Записываем.
Найти разницу (остаток).
На этом этапе рассуждений научите ребенка проверять себя. Важно, чтобы он понял, что результат вычитания ВСЕГДА должен быть меньше делителя. Если вышло не так, нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.
Повторить действия, пока в остатке не окажется 0.
Дальше можно взять пример посложнее, чтобы убедиться, что ребенок усвоил правильную запись и алгоритм рассуждений.
Как правильно рассуждать, чтобы научить ребенка 2-3 класса делить столбиком
2. 2 не делится на 12, значит, берем 20. 3. Чтобы разделить 20 на 12 берем по 1. Записываем 1 под «уголком». 4. 1 умножить на 12 получим 12. Записываем под 20. 5. 20 минус 12 получим 8. Проверяем себя. 8 меньше 12 (делителя)? Ок, все верно, идем дальше.
6. Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84? Сразу сложно сказать, попробуем действовать методом подбора. Возьмем, например, по 8, но пока не записываем. Считаем устно: 8 умножить на 12 получится 96. А у нас 84! Не подходит. Пробуем поменьше… Например, возьмем по 6. Проверяем себя устно: 6 умножить на 12 равно 72. 84-72=12. Мы получили такое же число, как наш делитель, а должно быть или ноль, или меньше 12. Значит, оптимальная цифра 7!
7. Записываем 7 под «уголок» и выполняем вычисления. 7 умножить на 12 получим 84. 8. Записываем результат в столбик: 84 минус 84 равно ноль. Ура! Мы решили правильно!
Итак, вы научили ребенка делить столбиком, осталось теперь отработать этот навык, довести его до автоматизма.
Почему детям сложно научиться делить в столбик?
Помните, что проблемы с математикой возникают от неумения быстро делать простые арифметические действия. В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.
Будьте терпеливы, не ленитесь лишний раз объяснить ребенку то, что он не усвоил на уроке, нудно, но дотошно разобраться в алгоритме рассуждений и проговорить каждую промежуточную операцию прежде, чем озвучить готовый ответ. Дайте дополнительные примеры на отработку навыков, поиграйте в математические игры — это даст свои плоды и вы увидите результаты и порадуетесь успехам чада очень скоро. Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.
Уважаемые читатели! Расскажите, как вы учите ваших детей делить в столбик, с какими сложностями приходилось сталкиваться и какими способами вы их преодолели.
Деление
Деление чисел довольно непростая операция как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения, чтобы осилить этот урок до конца.
Что такое деление?
Деление это действие, позволяющее что-либо разделить.
Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного.
Делимое это то что делят; Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Частное это собственно результат.
Пусть у нас имеются 4 яблока:
Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:
Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описáть следующим выражением:
В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающих на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.
Говоря о делении, можно рассуждать и по-другому. Вернёмся к предыдущему выражению 4 : 2 = 2. Можно посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четвёрке?» и ответить: «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4
В ситуации с четырьмя яблоками можно задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырёх яблоках» и ответить: «два раза».
Чтобы научиться делить, нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему же умножения? Ведь мы говорим о делении. Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если у нас имеются два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то запишем 10 : 5 = 2
Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак двоеточия и тире ÷
На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.
Деление с остатком
Остаток — это то что осталось от действия деления неразделённым.
Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Можно проверить это умножением:
(2 × 2) + 1 = 5
Допустим, имеются пять яблок:
Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не полýчится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:
Деление уголком
Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому методу как деление уголком.
Прежде чем делить уголком, человек должен знать:
обычное деление маленьких чисел;
деление с остатком;
умножение в столбик;
вычитание в столбик.
Рассмотрим деление уголком на простом примере. Пусть требуется найти значение выражения 9 : 3. Уголком это выражение записывается следующим образом:
Это простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:
Чтобы проверить есть ли остаток от деления, нужно частное умножить на делитель и полученный ответ записать под делимым. Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:
Теперь от делимого вычитаем девятку, которую мы под ним написали: 9 − 9 = 0. Остаток равен нулю. Проще говоря, остатка нет. На этом деление успешно завершено:
Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3
Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. В данном случае будет присутствовать остаток от деления.
Сначала запишем данное выражение уголком:
Теперь надо задать вопрос: «сколько троек в восьмёрке?» В восьмёрке содержится две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку как восемь палочек:
В школе частное подбирается методом подбора. Все мы слышали такие фразы как «берём по одному» , «берём по два» или «берём по три». У нас сейчас как раз такой случай. Мы взяли по два, ответив что в восьмёрке две тройки. Записываем двойку в правом уголке:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:
Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:
8 : 3 = 2 (2 в остатке)
Проверка:
(2 × 3) + 2 = 6 + 2 = 8
Деление многозначного числа на однозначное
Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.
В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.
Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножение.
Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить больше ли она делителя. Если больше, то её надо разделить на делитель, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то надо разделить их на делитель, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.
Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.
Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3
25 это многозначное число, а 3 — однозначное. Применяем правило. Смóтрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два больше, чем три? Нет. Поэтому смóтрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше чем три? Да. Поэтому выполняем деление числа 25 на 3. Записываем уголком данное выражение и начинаем делить:
Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:
Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.
Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:
Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:
25 : 3 = 8 (1 в остатке)
Проверка:
(8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25
Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя это означает, что деление не завершено.
В приведённом примере последним остатком было число 1, а делителем число 3. Единица меньше чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток мéньший делителя говорит о том, что он не содержит чисел равных делителю.
В нашем примере, если задать вопрос «сколько троек в единице?», то ответом будет «нисколько», потому что единица не содержит троек.
Пример 2. Разделить 326 на 4.
Смóтрим на первую цифру числа 326. Первая цифра это 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да. Значит можно выполнять деление.
Записываем уголком данное выражение:
Теперь задаём вопрос: «сколько четвёрок в числе 32?». В числе 32 восемь четвёрок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:
Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:
Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:
Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:
Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:
Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:
Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:
Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)
Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326
Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.
Вернёмся к предыдущему примеру 326 : 4. Первое неполное делимое в данном выражении было число 32, поскольку его мы разделили в первую очередь.
А в примере 25 : 3 первое неполное делимое было 25.
Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5
Записываем данное выражение в уголком:
Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем в первую очередь делить на делитель:
Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:
Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.
Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:
Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:
Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:
Эта тройка является остатком, которая осталась неразделённой в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе с тройкой:
Видно, что после того, как мы снесли четвёрку, она вместе с тройкой образовала число 34. Это число 34 мы будем делить на 5. Для этого опять задаем вопрос: «сколько пятёрок в числе 34?». Можно снова глянуть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:
Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:
Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5
384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)
Проверка:
(76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384
Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4
Этот пример немного посложнее. Записываем уголком данное выражение:
Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2
Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под первым неполным делимым:
Вытаскиваем остаток: 8 − 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 это ноль. Ноль не записываем, поскольку решение примера не завершено.
Далее сносим цифру 6 и делим её на делитель, получаем 1
Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:
Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.
Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6
Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24
Вытаскиваем остаток: 24 − 24 = 0. Ноль это остаток от деления 24 на 4. Ноль, как мы уже договорились, не записываем. Далее сносим последнюю цифру 2
Здесь начинается самое интересное. Двойка это последняя цифра, которую мы снесли и которую надо разделить на делитель 4. Но дело в том, что двойка меньше четвёрки, а ведь делимое должно быть больше делителя. Если мы зададим вопрос «сколько четвёрок в двойке?«, то ответом будет ноль, поскольку двойка меньше четвёрки и не может содержать в себе число, бóльшее себя самогó.
Поэтому два разделить на четыре это ноль:
Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:
Теперь находим остаток: 2 − 0 = 2. Двойка это остаток от деления 8642 на 4. Таким образом, пример завершён:
8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)
Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642
Деление чисел, у которых на конце 0
Чтобы разделить число, у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.
Например, разделим 120 : 3
Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:
Теперь умножаем частное на делитель (40 на 3), получаем 120. Далее находим остаток: 120 − 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершён.
120 : 3 = 40
Проверка 40 × 3 = 120.
Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:
12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)
120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)
1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)
12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)
В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.
Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5
Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:
Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.
Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.
Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:
1000 + 400 = 1400
Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:
1000 : 5 = 200
400 : 5 = 80
и сложить полученные результаты:
200 + 80 = 280
Итого: 1400 : 5 = 280
Решим этот же пример уголком:
Деление многозначного числа на многозначное
Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так-то просто.
Принцип деления остаётся тем же что и раньше. Здесь так же надо находить первое неполное делимое. Здесь так же могут присутствовать остатки от деления.
Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым будем называть число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:
10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000
Любое число можно превратить в круглое. Для этого первую цифру, образующую самый старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями.
Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10
Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.
Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.
Превратим число 13735 в круглое число. Первая цифра 1 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры заменяем нулями. В итоге получаем 10000.
Внимание! В дальнейшем понятия круглого числа и перевод любого числа в круглое будут рассмотрены более подробно.
Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное надо находить методом подбора. Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.
Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12
Записываем данное выражение уголком:
Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.
Со школы мы помним, что частное подбиралось методом угадывания, говоря «берем по два» или «берем по три».
Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.
Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12
Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка как частное не подходит.
Пробуем следующее число. Допустим частное равно 5
Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка как частное тоже не подходит.
Попробуем сразу взять по 8
На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равным ему. Значит восьмёрка как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять по 7
Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.
88 : 12 = 7 (4 в остатке)
Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88
Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.
Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.
Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.
Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.
В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.
Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:
800 : 10 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)
800 : 80 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)
900 : 10 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)
400 : 50 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)
320 : 80 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)
Заметно, что всё в конечном итоге свóдится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.
Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания.
Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.
Круглым числом для 88 будет число 80.
А круглым числом для 12 будет число 10.
Теперь делим полученные круглые числа:
80 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:
Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.
Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.
Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Как видно, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.
Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144
Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:
Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.
Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.
Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144
Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.
Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.
Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:
Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296
1296 : 144 = 9
Проверка: 144 × 9 = 1296
Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331
Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.
Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300
Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:
Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:
Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.
Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:
288 это остаток от деления 2274 на 331. Далее, чтобы продолжить деление, нужно снести девятку:
Теперь надо разделить 2889 на 331. Превращаем их в круглые числа и делим их. Сразу же проверяем полученное таким способом частное:
Умножив 6 на 331, мы снова получили 1986. Это число должно быть меньше делимого 2889, но близким к нему или равным ему. Но 1986 очень далеко от него. Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придётся проводить методом угадывания частного:
Проверили семёрку. Снова получили число, которое далеко от делимого 2889. Значит семёрка тоже не подходит. Проверим восьмёрку:
Восьмёрка подошла. Она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2889. Если бы мы взяли по девять, то при умножении на делитель, получили бы число 2979, а это уже больше делимого 2889.
Теперь вынимаем остаток от деления 2889 на 331. Для этого от 2889 вычитаем 2648 и получаем 241
241 это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, нужно снести 2 из главного делимого:
Теперь делим 2412 на 331. Возьмём по 7
Теперь находим последний остаток. Для этого из 2412 вычитаем 2317, получаем 95. На этом пример завершается:
На этом данный урок можно завершить. Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.
Отметим, что в данном уроке рассмотрено только деление с остатком. Деление без остатка мы рассмотрим в следующих уроках. Сделано это с целью не усложнять обучение. Как говорится, всему своё время.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 2. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 3. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 4. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 5. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 6. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 7. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 8. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 9. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 10. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 11. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 12. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 13. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 14. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 15. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 16. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 17. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 18. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 19. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 20. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 21. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 22. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 23. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Задание 24. Выполните деление:
Решение:
Показать решение
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
США мечтают разделить Россию на части — РИА Новости, 30.05.2022
США мечтают разделить Россию на части
«Деколонизировать Россию!» — заголовок свежей статьи в интеллектуальном американском журнале The Atlantic способен ввести в заблуждение. Неужели автор призывает РИА Новости, 30.05.2022
«Деколонизировать Россию!» — заголовок свежей статьи в интеллектуальном американском журнале The Atlantic способен ввести в заблуждение. Неужели автор призывает нас с вами скинуть остатки разнообразных цепей (финансовых и ментальных), которыми на протяжении десятилетий коллективный Запад опутывал Россию?Но нет, ход мысли автора — писателя Кейси Мишеля — оказался куда извилистей. Колонизатором в его воображении предстает именно Россия. Как там у Булгакова? «Казань брал, Астрахань брал, Ревель брал, Шпака не брал…» — говорит царь Иван Васильевич. Значит, Казань, Астрахань и Ревель, по мысли американских теоретиков, у нас что? Правильно, жертвы оккупации. Таллину (бывшему Ревелю) американцы уже помогли освободиться, теперь на очереди другие города России. Давайте навалимся всем миром и начнем срочно их спасать от «московских оккупантов».»Даже если Путину не удастся вернуть Украину, <…> Кремль продолжит свое колониальное правление в таких землях, как Татарстан, Чечня, Сибирь и Арктика,» — печалится Кейси Мишель. Ну это же нельзя так оставить. Безобразие какое. Седьмая часть суши, выходы к трем океанам… С этим срочно надо что-то делать.»После того как Украина покончит с попытками России ее реколонизировать, Запад должен выступить за полную свободу для субъектов Российской империи», — формулирует The Atlantic. Спасибо, конечно, за откровенность, но, на самом деле, мы это когда-то уже слышали. Тему сепаратизма американцы качали у нас и в начале 90-х, и во время чеченских войн. До этого они десятилетиями спонсировали и подогревали соответствующую движуху на национальных окраинах. Советская пропаганда избегала говорить на эти темы, а жаль. Возможно, тогда граждане СССР лучше понимали бы, что стоит на кону и чего на самом деле хотят от них американские «друзья и партнеры».Это замалчивание приводило к тому, что сепаратистские настроения в СССР казались чем-то естественным. Типа они так росли-росли и выросли. Но как миллионы людей в 1990-м могли внезапно взять и выступить против собственного благополучия, единства, безопасности? Само оно так не складывалось. У всех сепаратистских процессов всегда был внешний выгодополучатель. Он организовывал и направлял процесс. И только потом к этому процессу пристегивали подходящую медиаповестку, цепляясь за любую подвернувшуюся проблему.Кейси Мишель описывает совещание Совета по национальной безопасности США, которое президент Буш созвал в сентябре 1991 года. Советский Союз распадался, американцы пребывали в растерянности. Некоторые советники Джорджа Буша выступали за то, чтобы попробовать добиться сохранения СССР. С ними спорил министр обороны Дик Чейни. «Он хотел расчленить не только Советский Союз, <…> но и саму Россию, чтобы она никогда не смогла стать угрозой миру», — описал позднее его позицию директор ЦРУ Роберт Гейтс.С тех пор, как видим, мало что изменилось в целеполагании наших партнеров. Американцы в свое время, по окончании Второй мировой войны, хотели полностью уничтожить государственность Германии, раздробив ее на земли, и только Сталин не дал им этого сделать. Сейчас план примерно такой же: демонизировать Россию (New York Times устами знатного историка Тимоти Снайдера уже объявила нас намедни «фашистской страной» — неплохо, да?), добиться победы на Украине, а потом попытаться нашинковать Россию на мелкие части.Получившиеся страны легко будет натравливать друг на друга, параллельно выкачивая из них на дармовщину углеводороды, зерновые, алмазы, древесину — в общем, что угодно для души. Только что, кстати, выяснилось, что Россия еще и крупнейший экспортер питьевой воды. Вот тоже ценный ресурс. А вскоре таким ресурсом станет и воздух — нет, это не шутка.»Да кому мы нужны?! — восклицает обычно на это хором наша светлоликая общественность. — Да все это конспирология!» Но нет, разделить Россию на части — это вполне официальный план наших американских контрагентов. И именно с ним и идет сегодня борьба, в том числе и на Украине.Надо отдать должное американским интеллектуалам. The Atlantic попытался сочинить новый соус, под которым Вашингтон будет бороться за расчленение России. Ну надо же как-то подать свою оголтелую агрессию для мировой общественности. Новый соус называется (вы не поверите) — «борьба с колониализмом».Абсурд? Ну почему же? Именно американский олигархат разрушает сегодня экономику всех стран, до которых может дотянуться. Именно Уолл-стрит пылесосит и обесценивает сбережения людей по всему миру. В ближайшем времени мы увидим, как люди погибают от голода потому, что Соединенные Штаты доломали мировую логистику. Это жесточайшая глобальная версия неоколониализма.Естественно, что в ход идет не только экономическое, политическое, но и информационное оружие. Вашингтон пытается навязать ограбляемым странам и свою картину мира. В его повестке империей зла назначена Россия, а Штаты, словно доблестные джедаи, будут бороться с ее «колониализмом».Тут нет нужды перед кем-то оправдываться и объяснять, что Россия в процессе своего многовекового расширения несла всем народам лишь мир, процветание и высокую цивилизацию. Что окраины нашей страны всегда жили не хуже, а то и лучше центра. Что выходец из бедной семьи с национальной окраины мог стать во главе государства — в классических империях это было категорически невозможно. Но все и так все прекрасно понимают.В каком-то смысле даже неплохо, что партнеры выложили карты на стол. Понятно, по крайней мере, чего от них ожидать в ближайшем будущем. Вскоре они качнут все острые темы, до которых сумеют добраться: и национальные противоречия, и мигрантов, и неравномерное развитие регионов. Вбросят — и уже вбрасывают — в соцсети разнообразные карты России, распиленной по границам субъектов. Организуют их неполживое обсуждение. К этому стоит быть готовыми.В гуманитарном плане отдельные представители отечественной интеллигенции — кто на западные гранты, кто по зову души — заведут волынку про наше «колониальное прошлое». За него надо будет — да, вы угадали! — за него надо будет платить и каяться.Дело в том, что в последние годы русские как-то отвлеклись и каяться перестали. Незаметно выдохлась и тихо скончалась тема Гулага. Она стала просто одной из трагических страниц нашей истории. Но мы ее перевернули. Американские интеллектуалы в погонах пытались ее раскочегарить и в последние годы. Но она не взлетела. Люди устали от разжигания бессмысленной розни столетней давности.Поэтому в ближайшее время нас попытаются завиноватить перед разными народами и нациями по типу движения BLM — где оно, кстати? В последнее время слышно только, что его организаторы скупают роскошную недвигу. Целование ботинок, нападение на полицейских, агрессивные жалобы на ущемление по национальному признаку, требования льгот и привилегий — вот эти вот цветочки зла попытаются присадить на нашу многонациональную почву. Ну а чего? «Белая вина» вошла в оборот, почему бы не запустить «русскую вину»?Другое дело, что вряд ли заготовки наших американских партнеров сработают. Проблема в том, что сегодня сама идея маленькой уютной страны протухла безнадежно. Если у кого и были в этом плане какие-то иллюзии, они жесточайшим образом убиты в 90-х. Нет ни одной экс-советской республики, которая сразу после выхода из Союза не рухнула в пропасть нищеты и беззакония.А ведь в 90-е американский режим еще мог реально что-то предложить «маленьким уютным странам». Сегодня же он просто грабит их в пользу своих банков, ВПК, Big Tech и Big Pharma. Сам же Кейси Мишель прославился после того, как написал книжку с говорящим названием «Американская клептократия: как США превратились в крупнейшую в истории прачечную по отмыву денег».Что тут скажешь, справедливо. Действительно превратилась. Ну и зачем нам сдавать свою независимость, ресурсы, ядерное оружие, землю крупнейшей в мире клептократии? Чтобы отдать все американским дядям, а самим делать визу для поездки из Москвы в Петербург? Как-то нелогично, воля ваша. Не справившись с Россией, американцы вполне могут приняться за своих вассалов. Тем стоит приготовиться. Ведь претензии-то на тему колониализма можно предъявить кому угодно. В том числе и тем государствам, которые возникли, когда никаких Соединенных Штатов и в заводе не было.С какой это стати, например, Лондон протянул свои колониальные щупальца к гордой Шотландии, древнему исконно-посконному Корнуэллу и воинственной Северной Ирландии? Какое право имел Париж отжимать у Англии Аквитанию, захватывать богатейшую Бургундию, аннексировать Эльзас и Лотарингию, оккупировать гордую Корсику, славную своей партизанщиной?И это уж не говоря про граждан из их бывших заморских колоний. Думается, Вашингтон поддержит их стремление к счастью и богатству за счет коренных жителей метрополий. Особенно этой осенью, когда они массово поедут за хорошей жизнью в Париж и Лондон. Тут такое BLM можно будет раскочегарить!Если уж американцы хотят бороться с колониализмом, им стоило бы начать перестройку с себя. На территории Соединенных Штатов нет ни одного метра земли, которая не была бы когда-то украдена у индейцев, мексиканцев, эскимосов, несть им числа. Оккупанты могут не сомневаться: ограбленные народы будут рады вернуть себе свои территории. Собственно, если посмотреть, каким темпом граждане Южной и Латинской Америки расселяются по югу США, то видно, что процесс пошел. Интересно, что останется от американской империи в 2024-м? Может, тогда мы спросим за Аляску?
в мире, сша, россия, центральное разведывательное управление (цру), джордж буш (младший), ссср, колумнисты — авторы, авторы
В мире, США, Россия, Центральное разведывательное управление (ЦРУ), Джордж Буш (младший), СССР, Колумнисты — Авторы, Авторы
«Деколонизировать Россию!» — заголовок свежей статьи в интеллектуальном американском журнале The Atlantic способен ввести в заблуждение. Неужели автор призывает нас с вами скинуть остатки разнообразных цепей (финансовых и ментальных), которыми на протяжении десятилетий коллективный Запад опутывал Россию?
Но нет, ход мысли автора — писателя Кейси Мишеля — оказался куда извилистей. Колонизатором в его воображении предстает именно Россия. Как там у Булгакова? «Казань брал, Астрахань брал, Ревель брал, Шпака не брал…» — говорит царь Иван Васильевич. Значит, Казань, Астрахань и Ревель, по мысли американских теоретиков, у нас что? Правильно, жертвы оккупации. Таллину (бывшему Ревелю) американцы уже помогли освободиться, теперь на очереди другие города России. Давайте навалимся всем миром и начнем срочно их спасать от «московских оккупантов».
29 мая, 08:00
Запад взял на вооружение большевистские методы столетней давности
«Даже если Путину не удастся вернуть Украину, <…> Кремль продолжит свое колониальное правление в таких землях, как Татарстан, Чечня, Сибирь и Арктика,» — печалится Кейси Мишель. Ну это же нельзя так оставить. Безобразие какое. Седьмая часть суши, выходы к трем океанам… С этим срочно надо что-то делать.
«После того как Украина покончит с попытками России ее реколонизировать, Запад должен выступить за полную свободу для субъектов Российской империи», — формулирует The Atlantic. Спасибо, конечно, за откровенность, но, на самом деле, мы это когда-то уже слышали.
Тему сепаратизма американцы качали у нас и в начале 90-х, и во время чеченских войн. До этого они десятилетиями спонсировали и подогревали соответствующую движуху на национальных окраинах. Советская пропаганда избегала говорить на эти темы, а жаль. Возможно, тогда граждане СССР лучше понимали бы, что стоит на кону и чего на самом деле хотят от них американские «друзья и партнеры».
27 мая, 08:00Специальная военная операция на Украине
Запад готовится предать Киев
Это замалчивание приводило к тому, что сепаратистские настроения в СССР казались чем-то естественным. Типа они так росли-росли и выросли. Но как миллионы людей в 1990-м могли внезапно взять и выступить против собственного благополучия, единства, безопасности? Само оно так не складывалось. У всех сепаратистских процессов всегда был внешний выгодополучатель. Он организовывал и направлял процесс. И только потом к этому процессу пристегивали подходящую медиаповестку, цепляясь за любую подвернувшуюся проблему.
Кейси Мишель описывает совещание Совета по национальной безопасности США, которое президент Буш созвал в сентябре 1991 года. Советский Союз распадался, американцы пребывали в растерянности. Некоторые советники Джорджа Буша выступали за то, чтобы попробовать добиться сохранения СССР. С ними спорил министр обороны Дик Чейни. «Он хотел расчленить не только Советский Союз, <…> но и саму Россию, чтобы она никогда не смогла стать угрозой миру», — описал позднее его позицию директор ЦРУ Роберт Гейтс.
17 мая, 03:13
В Китае предрекли конец господства США и Запада из-за России
С тех пор, как видим, мало что изменилось в целеполагании наших партнеров. Американцы в свое время, по окончании Второй мировой войны, хотели полностью уничтожить государственность Германии, раздробив ее на земли, и только Сталин не дал им этого сделать. Сейчас план примерно такой же: демонизировать Россию (New York Times устами знатного историка Тимоти Снайдера уже объявила нас намедни «фашистской страной» — неплохо, да?), добиться победы на Украине, а потом попытаться нашинковать Россию на мелкие части.
Получившиеся страны легко будет натравливать друг на друга, параллельно выкачивая из них на дармовщину углеводороды, зерновые, алмазы, древесину — в общем, что угодно для души. Только что, кстати, выяснилось, что Россия еще и крупнейший экспортер питьевой воды. Вот тоже ценный ресурс. А вскоре таким ресурсом станет и воздух — нет, это не шутка.
«Да кому мы нужны?! — восклицает обычно на это хором наша светлоликая общественность. — Да все это конспирология!»
Но нет, разделить Россию на части — это вполне официальный план наших американских контрагентов. И именно с ним и идет сегодня борьба, в том числе и на Украине.
26 мая, 14:58
Запад просчитался с санкциями против России, пишет The Spectator
Надо отдать должное американским интеллектуалам. The Atlantic попытался сочинить новый соус, под которым Вашингтон будет бороться за расчленение России. Ну надо же как-то подать свою оголтелую агрессию для мировой общественности. Новый соус называется (вы не поверите) — «борьба с колониализмом».
Абсурд? Ну почему же? Именно американский олигархат разрушает сегодня экономику всех стран, до которых может дотянуться. Именно Уолл-стрит пылесосит и обесценивает сбережения людей по всему миру. В ближайшем времени мы увидим, как люди погибают от голода потому, что Соединенные Штаты доломали мировую логистику. Это жесточайшая глобальная версия неоколониализма.
Естественно, что в ход идет не только экономическое, политическое, но и информационное оружие. Вашингтон пытается навязать ограбляемым странам и свою картину мира. В его повестке империей зла назначена Россия, а Штаты, словно доблестные джедаи, будут бороться с ее «колониализмом».
16 апреля, 06:31
Экс-дипломат заявил об угрозе возрождения колониализма
Тут нет нужды перед кем-то оправдываться и объяснять, что Россия в процессе своего многовекового расширения несла всем народам лишь мир, процветание и высокую цивилизацию. Что окраины нашей страны всегда жили не хуже, а то и лучше центра. Что выходец из бедной семьи с национальной окраины мог стать во главе государства — в классических империях это было категорически невозможно. Но все и так все прекрасно понимают.
В каком-то смысле даже неплохо, что партнеры выложили карты на стол. Понятно, по крайней мере, чего от них ожидать в ближайшем будущем. Вскоре они качнут все острые темы, до которых сумеют добраться: и национальные противоречия, и мигрантов, и неравномерное развитие регионов. Вбросят — и уже вбрасывают — в соцсети разнообразные карты России, распиленной по границам субъектов. Организуют их неполживое обсуждение. К этому стоит быть готовыми.
В гуманитарном плане отдельные представители отечественной интеллигенции — кто на западные гранты, кто по зову души — заведут волынку про наше «колониальное прошлое». За него надо будет — да, вы угадали! — за него надо будет платить и каяться.
14 мая, 16:52
В США объяснили, почему помогать Украине против России бесполезно
Дело в том, что в последние годы русские как-то отвлеклись и каяться перестали. Незаметно выдохлась и тихо скончалась тема Гулага. Она стала просто одной из трагических страниц нашей истории. Но мы ее перевернули. Американские интеллектуалы в погонах пытались ее раскочегарить и в последние годы. Но она не взлетела. Люди устали от разжигания бессмысленной розни столетней давности.
Поэтому в ближайшее время нас попытаются завиноватить перед разными народами и нациями по типу движения BLM — где оно, кстати? В последнее время слышно только, что его организаторы скупают роскошную недвигу. Целование ботинок, нападение на полицейских, агрессивные жалобы на ущемление по национальному признаку, требования льгот и привилегий — вот эти вот цветочки зла попытаются присадить на нашу многонациональную почву. Ну а чего? «Белая вина» вошла в оборот, почему бы не запустить «русскую вину»?
Другое дело, что вряд ли заготовки наших американских партнеров сработают. Проблема в том, что сегодня сама идея маленькой уютной страны протухла безнадежно. Если у кого и были в этом плане какие-то иллюзии, они жесточайшим образом убиты в 90-х. Нет ни одной экс-советской республики, которая сразу после выхода из Союза не рухнула в пропасть нищеты и беззакония.
28 мая, 09:14Специальная военная операция на Украине
В Херсонской области рассказали, что США строили военные базы на Украине
А ведь в 90-е американский режим еще мог реально что-то предложить «маленьким уютным странам». Сегодня же он просто грабит их в пользу своих банков, ВПК, Big Tech и Big Pharma. Сам же Кейси Мишель прославился после того, как написал книжку с говорящим названием «Американская клептократия: как США превратились в крупнейшую в истории прачечную по отмыву денег».
Что тут скажешь, справедливо. Действительно превратилась. Ну и зачем нам сдавать свою независимость, ресурсы, ядерное оружие, землю крупнейшей в мире клептократии? Чтобы отдать все американским дядям, а самим делать визу для поездки из Москвы в Петербург? Как-то нелогично, воля ваша.
Не справившись с Россией, американцы вполне могут приняться за своих вассалов. Тем стоит приготовиться. Ведь претензии-то на тему колониализма можно предъявить кому угодно. В том числе и тем государствам, которые возникли, когда никаких Соединенных Штатов и в заводе не было.
26 мая, 08:00
Киссинджер против Сороса: реалисты против глобалистов
С какой это стати, например, Лондон протянул свои колониальные щупальца к гордой Шотландии, древнему исконно-посконному Корнуэллу и воинственной Северной Ирландии? Какое право имел Париж отжимать у Англии Аквитанию, захватывать богатейшую Бургундию, аннексировать Эльзас и Лотарингию, оккупировать гордую Корсику, славную своей партизанщиной?
И это уж не говоря про граждан из их бывших заморских колоний. Думается, Вашингтон поддержит их стремление к счастью и богатству за счет коренных жителей метрополий. Особенно этой осенью, когда они массово поедут за хорошей жизнью в Париж и Лондон. Тут такое BLM можно будет раскочегарить!
Если уж американцы хотят бороться с колониализмом, им стоило бы начать перестройку с себя. На территории Соединенных Штатов нет ни одного метра земли, которая не была бы когда-то украдена у индейцев, мексиканцев, эскимосов, несть им числа. Оккупанты могут не сомневаться: ограбленные народы будут рады вернуть себе свои территории. Собственно, если посмотреть, каким темпом граждане Южной и Латинской Америки расселяются по югу США, то видно, что процесс пошел. Интересно, что останется от американской империи в 2024-м? Может, тогда мы спросим за Аляску?
Сколько 17 разделить на 3 с помощью длинного деления?
Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете разделить 17 на 3, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем.
Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление 17 на 3 с помощью деления в большую сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!
Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления:
Первое число, 17, называется делимым.
Второе число 3 называется делителем.
Здесь мы разберем каждый шаг процесса длинного деления на 17, разделенного на 3, и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.
17 разделить на 3 пошаговое руководство
Шаг 1
Первый шаг — поставить нашу задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:
Шаг 2
Мы можем выяснить, что делитель (3) входит в первую цифру делимого (1), 0 раз. Теперь, когда мы это знаем, мы можем поставить 0 вверху:
Шаг 3
Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (3 x 0 = 0), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:
Шаг 4
Далее из второй цифры делимого (1 — 0 = 1) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже:
0
3
1
7
—
0
1
Step 5
Переместите вторую цифру дивиденда (7) вниз, как так:
9
0
3
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
0035
—
0
1
7
Шаг
. Divisor (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное (3). Дозушное время (3). Дозушное (3). Доза (3). Дозушное время (3). Доза (3). Дозушное время). we can put 5 on top:
0
5
3
1
7
—
0
1
7
Шаг 7
Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (3 x 5 = 15), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:
5
3
1
7
—
0
1
7
1
5
Шаг 8
Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (17 — 15 = 2) и запишем этот ответ ниже:
2 Итак, чему равно число 1, делящееся на 1?
Если вы дочитали до этого урока, молодец! Больше не осталось цифр, чтобы двигаться вниз от делимого, а это значит, что мы решили задачу деления в длинную сторону.
Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Итак, для 17, разделенного на 3, окончательное решение:
5
Остаток 2
Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы ни использовали Это. Мы очень ценим вашу поддержку!
«Сколько 17 разделить на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 15 сентября 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-17-divided-by-3-using-long-division/.
«Сколько 17 разделить на 3 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-17-divided-by-3-using-long-division/. По состоянию на 15 сентября 2022 г.
Сколько 17 разделить на 3 с использованием длинного деления?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-17-divided-by-3-using-long-division/.
Дополнительные расчеты для вас
Теперь вы изучили метод деления 17 на 3, вот несколько других способов, которыми вы можете выполнить расчет:
С помощью калькулятора, если вы набрали 17 разделить на 3 , вы получите 5,6667.
Вы также можете представить 17/3 в виде смешанной дроби: 5 2/3
Если вы посмотрите на смешанную дробь 5 2/3, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (2), знаменатель — это наш первоначальный делитель (3), а целое число — это наш окончательный ответ (5 ).
Калькулятор деления на длинное деление
Введите еще одну задачу на деление на длинное для решения
Следующая задача на деление на длинное
Жаждете более длинного деления, но не можете набрать два числа в калькулятор выше? Без проблем. Вот следующая задача, которую вам нужно решить:
Сколько будет 17, разделенное на 4 с помощью деления в длинное число?
Случайные задачи на длинное деление
Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи на длинное деление, а? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого деления удовольствия:
Чему равно 201, разделенное на 934 в длинное деление?
Чему равно 361, разделенное на 506 с использованием длинного деления?
Чему равно 667, разделенное на 728 в длинное деление?
Чему равно 785, разделенное на 786 с использованием длинного деления?
Чему равно 321, разделенное на 536 с использованием длинного деления?
Чему равно 657, разделенное на 931 с использованием длинного деления?
Чему равно 540, разделенное на 983 с использованием длинного деления?
Чему равно 610, разделенное на 702 с использованием длинного деления?
Сколько будет 173 разделить на 792 с использованием длинного деления?
Чему равно 922, разделенное на 982 в длинное деление?
Чему равно 999, разделенное на 1000 с использованием длинного деления?
Чему равно 713, разделенное на 965 с использованием длинного деления?
Чему равно 742, разделенное на 963 в длинное деление?
Чему равно 636, разделенное на 887 в длинное деление?
Чему равно 18, разделенное на 787 в длинное деление?
Чему равно 400, разделенное на 779 с использованием длинного деления?
Чему равно 856, разделенное на 889 с использованием длинного деления?
Чему равно 305, разделенное на 785 с использованием длинного деления?
Чему равно 503, разделенное на 568 с использованием длинного деления?
Чему равно 431, разделенное на 530 с использованием длинного деления?
Чему равно 85, разделенное на 766 в длинное деление?
Сколько 121 разделить на 400 в длинное деление?
Чему равно 633, разделенное на 833 в длинное деление?
Сколько будет 240, разделенное на 611 с помощью деления в большую сторону?
Чему равно 853, разделенное на 860 с использованием длинного деления?
Что такое 996 разделить на 998 с использованием длинного деления?
Чему равно 957, разделенное на 979 с использованием длинного деления?
Чему равно 900, разделенное на 901 с использованием длинного деления?
Сколько 143 разделить на 496 в длинное деление?
Чему равно 871, разделенное на 975 в длинное деление?
Чему равно 226, разделенное на 488 в длинном делении?
Чему равно 146, разделенное на 573 в длинном делении?
Чему равно 759, разделенное на 881 с использованием длинного деления?
Сколько будет 572 разделить на 954 с использованием длинного деления?
Чему равно 253, разделенное на 529 с использованием длинного деления?
Чему равно 25, разделенное на 510 с использованием длинного деления?
Чему равно 863, разделенное на 964 в длинное деление?
Чему равно 89, разделенное на 366 в длинное деление?
Чему равно 474, разделенное на 700 в длинном делении?
Чему равно 398, разделенное на 744 в длинное деление?
Чему равно 214, разделенное на 429 в длинное деление?
Чему равно 563, разделенное на 932 в длинное деление?
Чему равно 303, разделенное на 707 с использованием длинного деления?
Сколько 111 разделить на 954 в длинное деление?
Чему равно 672, разделенное на 844 в длинное деление?
Чему равно 199, разделенное на 416 в длинное деление?
Чему равно 848, разделенное на 941 в длинное деление?
Чему равно 367, разделенное на 664 в длинное деление?
Чему равно 551, разделенное на 690 в длинное деление?
Чему равно 294, разделенное на 985 в длинное деление?
Чему равно 718, разделенное на 751 с использованием длинного деления?
Чему равно 30, разделенное на 358 с использованием длинного деления?
Чему равно 540, разделенное на 565 с использованием длинного деления?
Чему равно 809, разделенное на 920 в длинное деление?
Чему равно 290, разделенное на 642 с использованием длинного деления?
Чему равно 485, разделенное на 603 с использованием длинного деления?
Чему равно 623, разделенное на 671 с использованием длинного деления?
Чему равно 261, разделенное на 448 в длинное деление?
Сколько 191 разделить на 422 в длинное деление?
Чему равно 475, разделенное на 518 в длинном делении?
Чему равно 926, разделенное на 968 с использованием длинного деления?
Сколько 14 разделить на 542 с помощью деления в длинное число?
Чему равно 807, разделенное на 944 с использованием длинного деления?
Сколько 910 разделить на 973 в длинное деление?
Чему равно 61, разделенное на 736 в длинное деление?
Чему равно 694, разделенное на 960 с использованием длинного деления?
Чему равно 581, разделенное на 746 с использованием длинного деления?
Чему равно 159, разделенное на 557 в длинное деление?
Что такое 329разделить на 865 с использованием длинного деления?
Сколько 197 разделить на 975 в длинное деление?
Чему равно 713, разделенное на 875 с использованием длинного деления?
Чему равно 76, разделенное на 979 в длинное деление?
Чему равно 897, разделенное на 908 в длинное деление?
Чему равно 305, разделенное на 683 с использованием длинного деления?
Чему равно 542, разделенное на 971 с использованием длинного деления?
Чему равно 561, разделенное на 723 с использованием длинного деления?
Чему равно 981, разделенное на 986 с использованием длинного деления?
Чему равно 838, разделенное на 892 в длинное деление?
Чему равно 859, разделенное на 958 в длинное деление?
Чему равно 46, разделенное на 161 с помощью деления в длинное число?
Чему равно 505, разделенное на 925 с использованием длинного деления?
Сколько 211 разделить на 804 с помощью деления в большую сторону?
Чему равно 129, разделенное на 776 в длинное деление?
Сколько 15 разделить на 799 в длинное деление?
Чему равно 303, разделенное на 881 с использованием длинного деления?
Что такое 971 разделить на 973 с использованием длинного деления?
Чему равно 557, разделенное на 825 с использованием длинного деления?
Чему равно 965, разделенное на 987 в длинное деление?
Чему равно 128, разделенное на 701 с использованием длинного деления?
Чему равно 999, разделенное на 1000 с использованием длинного деления?
Сколько 877 разделить на 930 в длинное деление?
Чему равно 202, разделенное на 444 в длинное деление?
Чему равно 454, разделенное на 838 с использованием длинного деления?
Сколько будет 31 разделить на 190 используя длинное деление?
Сколько 214 разделить на 546 с помощью деления в большую сторону?
Чему равно 499, разделенное на 623 в длинное деление?
Чему равно 667, разделенное на 945 с использованием длинного деления?
Сколько 747 разделить на 757 в длинное деление?
Сколько будет 22, разделенное на 179 с использованием длинного деления?
Чему равно 690, разделенное на 703 с использованием длинного деления?
Чему равно 552, разделенное на 716 в длинное деление?
0
5
3
1
7
—
0
1
7
—
1
5
2
Мэтуэй | Популярные задачи
9(1/2) 92 92-4*-1+2 92
1
Найти том
сфера (5)
2
Найти площадь
круг (5)
3
Найдите площадь поверхности
сфера (5)
4
Найти площадь
круг (7)
5
Найти площадь
круг (2)
6
Найти площадь
круг (4)
7
Найти площадь
круг (6)
8
Найти том
сфера (4)
9
Найти площадь
круг (3)
10
Оценка
11
Найти простую факторизацию
741
12
Найти том
сфера (3)
13
Оценка
3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14
Найти площадь
круг (10)
15
Найти площадь
круг (8)
16
Найдите площадь поверхности
сфера (6)
17
Найти простую факторизацию
1162
18
Найти площадь
круг (1)
19
Найдите окружность
круг (5)
20
Найти том
сфера (2)
21
Найти том
сфера (6)
22
Найдите площадь поверхности
сфера (4)
23
Найти том
сфера (7)
24
Оценка
квадратный корень из -121
25
Найти простую факторизацию
513
26
Оценка
квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27
Найти том
коробка (2)(2)(2)
28
Найдите окружность
круг (6)
29
Найдите окружность
круг (3)
30
Найдите площадь поверхности
сфера (2)
31
Оценка
2 1/2÷22000000
32
Найти том
коробка (5)(5)(5)
33
Найти том
коробка (10)(10)(10)
34
Найдите окружность
круг (4)
35
Преобразовать в проценты
1,7
36
Оценка
(5/6)÷(4/1)
37
Оценка
3/5+3/5
38
Оценка
40
Найти площадь
круг (12)
41
Найти том
коробка (3)(3)(3)
42
Найти том
коробка (4)(4)(4)
45
Найти простую факторизацию
228
46
Оценка
0+0
47
Найти площадь
круг (9)
48
Найдите окружность
круг (8)
49
Найдите окружность
круг (7)
50
Найти том
сфера (10)
51
Найдите площадь поверхности
сфера (10)
52
Найдите площадь поверхности
сфера (7)
53
Определить, является простым или составным
5
60
Преобразование в упрощенную дробь
2 1/4
61
Найдите площадь поверхности
сфера (12)
62
Найти том
сфера (1)
63
Найдите окружность
круг (2)
64
Найти том
коробка (12)(12)(12)
65
Добавить
2+2=
66
Найдите площадь поверхности
коробка (3)(3)(3)
67
Оценка
корень пятой степени из 6* корень шестой из 7
68
Оценка
7/40+17/50
69
Найти простую факторизацию
1617
70
Оценка
27-(квадратный корень из 89)/32
71
Оценка
9÷4
72
Оценка 92
74
Оценка
1-(1-15/16)
75
Преобразование в упрощенную дробь
8
76
Оценка
656-521
9-2
79
Оценка
4-(6)/-5
80
Оценка
3-3*6+2
81
Найдите площадь поверхности
коробка (5)(5)(5)
82
Найдите площадь поверхности
сфера (8)
83
Найти площадь
круг (14)
84
Преобразование в десятичное число
5/11
85 9-2
88
Оценка
1/2*3*9
89
Оценка
4/4-17/-4
90
Оценка
11. 02+17.19
91
Оценка
3/5+3/10
92
Оценка
4/5*3/8
93
Оценка
6/(2(2+1))
94
Упростить
квадратный корень из 144
95
Преобразование в упрощенную дробь
725%
96
Преобразование в упрощенную дробь
6 1/4
97
Оценка
7/10-2/5
98
Оценка
6÷3
99
Оценка
5+4
100
Оценка
квадратный корень из 12- квадратный корень из 192
Калькулятор дробей
Этот калькулятор выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражения с дробями:
Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . Поскольку косая черта является одновременно знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 . Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 .
Math Symbols
Symbol
Symbol name
Symbol Meaning
Example
+
plus sign
addition
1/2 + 1/3
—
знак минус
вычитание
1 1/2 — 2/3
*
asterisk
multiplication
2/3 * 3/4
×
times sign
multiplication
2 /3 × 5/6
:
division sign
division
1/2 : 3
/
division slash
division
1/3 / 5 /2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3
Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS. Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.
Использование денег Из 550 000,00, переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована?
Дети 9 В комнате 11 детей. 6 детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки?
Одна суббота Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?
Дробями Муравей поднимается на 2/5 шеста за первый час и на 1/4 шеста за следующий час. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа?
У Макса 2 У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
Младенцы В автобусе двое взрослых, двое детей и четверо младенцев. Какую часть населения составляют младенцы?
Женитьба У Жени было 1 1/2 дюжины яиц в холодильнике. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
Вычислить выражение Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
Ферма 6 На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
Значение Z При x = -9, каково значение Z, где Z равно числителю дроби x минус 17 в знаменателе 6,5 конец дроби Дайте ответ с точностью до 2 знаков после запятой.
Мэтью У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце?
more math problems »
decimals
fractions
triangle ΔABC
percentage %
permille ‰
prime factors
complex numbers
LCM
GCD
LCD
combinatorics
equations
статистика
… все математические калькуляторы
Калькулятор частного и остатка — Найдите остаток при делении в большую сторону
Онлайн-калькулятор частного и остатка позволяет разделить два числа, делимое и делитель, чтобы найти частное с остатком. Этот калькулятор деления в длину с остатком решает задачи деления в длину за доли секунды.
Что ж, в этом посте мы собираемся показать вам, как выполнять деление в длину с помощью калькулятора или шаг за шагом, и многое другое, что вам нужно знать о делении в длину.
Кроме того, этот 100% бесплатный онлайн-калькулятор помогает округлять числа вверх или вниз до любого десятичного знака, попробуйте другой инструмент для подсчета значащих цифр в заданном числе.
О делимом, делителе, частном и остатке
В процедуре деления распознаются четыре важных значения:
Дивиденд: В любом уравнении число, которое мы делим, известно как делимое.
Делитель: Число, на которое происходит деление, является делителем.
Частное: Полученный результат называется частным.
Остаток: Сумма или остаток — это остаток.
Значит, вы узнали о частях деления:
Для предложения деления 30 ÷ 8 = 3(8 ÷ 6)
Делитель = 8
Дивиденд = 30
Остаток = 6
Частное = 3
Когда дело доходит до того, как делить шаг за шагом, все, что вам нужно запомнить, это трюк, чтобы освоить длинное деление — просто используйте аббревиатуру DMBS, которая означает:
Д = Разделить
М = Умножить
С = вычесть
B = Сбить
Иногда эту последовательность букв бывает трудно запомнить, поэтому просто подумайте об аббревиатуре в контексте семьи:
Папа, Мать, Сестра, Брат
Наш калькулятор деления в длину с остатками поможет вам мгновенно справиться с длинными шагами деления.
Формула:
Дивиденд/делитель = частное + остаток/делитель.
Дивиденд = Частное * Делитель + Остаток
При делении не забудьте использовать этот калькулятор с остатками вместо формулы, чтобы уменьшить риск ошибки.
О калькуляторе остатка и остатка:
Онлайн-калькулятор остатка и остатка поможет вам решить задачи деления в длину и рассчитать остаток от деления и частное онлайн. Это деление с калькулятором остатков лучше всего подходит для выполнения расчетов деления в большую сторону с остатками и частными. Итак, посмотрите на приведенные шаги, чтобы вычислить частное и остаток с помощью этого калькулятора деления.
Как найти частное и остаток с помощью онлайн-калькулятора остатка?
Этот онлайн-калькулятор деления на 100% бесплатен и поможет вам избежать возможности просчета. Все, что вам нужно, это ввести делимое и делитель в соответствующие поля, чтобы получить остатки и частное для деления в большую сторону. Чтобы рассчитать остаток и частное онлайн, придерживайтесь указанных шагов и обратите внимание, что заданные значения могут быть как отрицательными, так и положительными.
Ввод:
Прежде всего, вам просто нужно добавить недесятичное делимое в данное поле
Затем просто добавьте недесятичный делитель в указанное поле
Теперь просто нажмите кнопку расчета
Вывод:
Частное и определитель остатка найдет:
Частное для деления в большую сторону
Остаток для длинного деления
Чтобы найти остаток и частное для другого вычисления, просто нажмите кнопку пересчета и помните, что целое число — это целое число или недесятичное значение.
Как выполнить длинное деление с остатками и частными (шаг за шагом):
Частное и остаток не могут быть представлены без вычислений, так как они являются результатом любого деления. Вы можете найти остаток и частное онлайн для деления в большую сторону с помощью калькулятора деления в большую сторону, но если вы хотите сделать это самостоятельно, то данный материал для вас!
Например:
Предположим, что 577 делится на 30, давайте рассмотрим пошаговый процесс деления в большую сторону:
Длинное деление (проблема)
Пошаговое руководство (решение)
Начнем данную задачу на деление с длинного символа деления или скобки
Все, что вам нужно, чтобы поместить 577 (дивиденд) внутрь скобки. Говорят, что делимое равно числу, которое вы делите на
.
Далее нужно поставить 30 (делитель) снаружи кронштейна. Говорят, что делителем является число, на которое вы делите.
Вам просто нужно разделить первое число делимого, 5, на делитель, равный 30.
Итак, 5 разделить на 30 равно 0, а остаток равен 4. На данный момент вы просто должны игнорировать остаток
Просто поставьте 0 над скобкой деления
Помните, что это начало частного ответа
Сразу после этого нужно умножить 0 на 32 (делитель) и поставить результат 0 под первой цифрой делимого внутри скобки.
0 * 30 = 0
Теперь просто нарисуйте линию под 0 и вычтите 0 из 5.
5 – 0 = 5
Теперь просто сократите следующее число делимого и поставьте его после 5, чтобы получить 57
Теперь нужно разделить 57 на 30 (делитель). Вы получите ответ 1. А пока просто игнорируйте остальные.
57 ÷ 30 = 1
Помните, что вы можете пренебречь целыми предыдущими шагами с нулями и сразу перейти к этому шагу. Вы должны понимать, что количеством цифр в делимом нужно пренебречь, чтобы получить первое ненулевое значение в частном ответе. В данном случае вы можете сразу разделить 30 на 57.
Теперь вам просто нужно вставить 1 над разделительной чертой, справа от 0. Далее вы должны умножить 1 на 30 и записать ответ под 57.
1 * 30 = 30
Все, что вам нужно, это нарисовать линию и просто вычесть 30 из 57.
57 – 30 = 27
Вам просто нужно снять следующее число из делимого и вывести его после 27, чтобы у вас было 277
Вам просто нужно разделить 277 на 30
277÷ 30 равно 9 вместе с остатком 7
Теперь вам нужно поставить 9 над разделительной чертой, справа от 1. Затем просто умножьте 9 на 30 и запишите ответ под 277.
9 * 30 = 270
Просто нарисуйте линию и вычтите 270 из 277.
277 – 270 = 7
Поскольку 7 меньше 30, это означает, что ваша проблема с делением лин решена или вы получили ответ. Частное равно 19, а остаток равен 7.
Итак, 577 ÷ 30 = 19 с остатком 7
Помните, что для более длинных дивидендов вы можете продолжать повторять шаги деления и умножения до тех пор, пока не выведете каждую цифру из делимого и не решите задачу деления.
Часто задаваемые вопросы (частное, остаток и деление в длинное с остатками) Что осталось?
В математике это остаточное значение после вычисления деления. Это не дробное или не десятичное число, которое получается путем деления одного целого числа на другое с получением целочисленного частного. Принимая во внимание, что частное является ответом на любой расчет деления.
Какие ещё трюки?
Полезно подумать о некоторых оставшихся хаках, чтобы сэкономить время и усилия. Некоторые из них объясняются ниже:
Сначала любое число делится на 10: 150/10, затем остаток представляет собой последнюю цифру этого числа, так как в этом случае остаток будет равен 0.
Если любое число делится на 9, сложите каждую цифру друг к другу, пока не останется одно число. Это последнее по номеру будет остатком. Например, если у вас есть число 2354/9, то: 2+3 = 5 и 5+5 = 10 и 10+4 = 14, наконец, 1+4 = 5. Остаток = 5.
Когда N делится на 12 Какой остаток от 6?
Если n = 6 + 12*k
В этом случае k представляет собой положительное целое число. Теперь, разделив n на 12, ответ будет равен 6 и будет признан остатком. Причина этого явления в том, что расчетная часть 12*k делится на 12.
Как записать остаток в виде дроби?
Когда вы узнаете остаток, в качестве альтернативы R просто напишите дробь, в которой остаток делится на делитель.
Пример: 30/8 = 3(8/6)
В этом уравнении остаток равен 6
Какой синоним остатка?
Имеет разные синонимы:
Идентифицируется как число, которое остается после вычитания
Это число, которое дает уменьшаемое при добавлении к вычитаемому.
отклонение, остатки, вывод, остаток, лишнее, остаток, остаток — некоторые другие названия.
Может ли остаток быть отрицательным?
Значение остатка ни в коем случае не может быть отрицательным. Любой может написать уравнение и использовать отрицательное число в качестве остатка, но, согласно лемме об алгоритме деления Евклида, оно никогда не может быть отрицательным.
Какой остаток при делении 100 на 11?
Остаток будет 1 при делении 100 на 11.
Условие: 100/11
Девизор: 11
Дивиденд: 100
Формула: делимое = делитель*частное + остаток
Введите значения: 100 = 11 * 9 +R; 99 – 100 = 1
Какой остаток от деления 10 на 3?
Согласно заданному условию 10/3; 3 это делитель, а 10 это делимое. Остаток будет 1.
Это означает, что в процессе деления; наши частные и делители являются коэффициентом дивидендов. Например, если делимое равно 8, а делитель равен 4, то остаток будет равен нулю. Следовательно, мы можем заключить, что 2, являющееся частным, и делитель 4 являются множителями числа 8.
Чему равен остаток от 75 4?
Здесь 75 — делимое, 4 — делитель (по модулю), поэтому 18 — частное, а 3 — остаток.
Какой остаток при делении 26 на 6?
Напоминание равно 2, частное равно 2 при делении 26 на 6.
Какой остаток от деления 14 на 3?
Здесь;
3 делитель
14 это делимое
2 это остаток
4 есть частное
Каковы частное и остаток при делении 81 на 3?
Частное равно 27, остаток равен 0, когда 82 ÷ 3.
Какой наибольший остаток при делении на 3?
Наибольший остаток равен 2 с делителем 3, ибо делитель 8 равен 7, а делитель 5 равен 4. Помните, что когда остаток больше делителя, на делимое можно разделить другую группу.
Какой остаток от деления 17 на 5?
Остаток равен 2, а частное равно 3 при делении 17 на 5.
Как работает остаток?
В математике остатком называют то, что осталось в результате длительного процесса деления. В процессе деления число, которое нужно разделить, называется делимым, а число, на которое вы делите, указывается делителем, а результат называется частным. Вы можете легко найти оставшуюся часть задачи деления, просто используя деление в большую сторону.
Какой остаток от деления 26 на 3?
Остаток равен 2, а частное 8 для 26 ÷ 3.
Какие будут частное и остаток при делении 19 на 7?
Частное равно 2, а остаток равен 5, если 19 ÷ 7.
Какой остаток от деления 7 на 3?
Остаток равен 1, а частное 2 при делении 7 на 3.
Какое число при делении на 3 дает в остатке 1?
Это числа 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 и т. д., которые дают остаток 1 при делении на 3.
Какое число при делении на 5 дает в остатке 3?
При делении 13 на 5 в остатке может быть 3.
Какое число после деления на 6 дает в остатке 5?
Если 29 разделить на 6, получится остаток 5.
Может ли 0 быть остатком?
Если одно число полностью делится на другое число, то говорят, что остаток равен 0. Помните, что напоминание всегда меньше делителя. Если остаток больше делителя, то говорят, что деление неполное.
Какой остаток при делении 1 на 6?
При делении 1 на 6 остаток равен 1, а частное равно 0.
Как превратить остаток в целое число?
Все, что вам нужно, чтобы поместить остаток в качестве числителя или верхнего числа в вашей дроби. Далее просто поместите делитель в нижнюю часть дроби или знаменателя. Вы можете проверить свой ответ, просто умножив частное или ответ на делитель, и сразу после этого добавьте остаток.
Какой остаток от деления 14 на 3?
Здесь;
3 делитель
14 это делимое
2 это остаток
4 есть частное
Какой остаток при делении 36 на 2?
Остаток равен 0 при 36 ÷ 2.
Какой остаток при делении 2 на 3?
Когда 2 ÷ 3, остаток равен 2, а частное равно 0.
Какой остаток получается при делении 24 на 3?
Остаток равен 0, а частное равно 8, когда 24 ÷ 3.
Какой остаток получается при делении 8 на 3?
Когда 8 ÷ 3, остаток равен 2 и частное также равно 2.
Какой остаток при делении 25 на 2?
Когда 25 ÷ 2, остаток равен 1.
Какой остаток получается при делении 60 на 4?
Остаток равен 1, а частное 12, когда 60 ÷ 4.
Какой остаток получается при делении 20 на 3?
Когда 20 ÷ 3, остаток равен 2.
Чему равен остаток и частное при делении 32 на 2?
Остаток равен 0, а частное 16, когда 32 ÷ 2.
Какой остаток получается при делении 48 на 3?
Остаток равен 0, когда 48 ÷ 3.
Чему равно частное и остаток при делении 32 на 4?
Когда 32 ÷ 4, частное равно 8, а остаток равен 0.
Какой остаток получается при делении 3 на 4?
Когда 3 ÷ 4, остаток равен 3.
Какой остаток при делении 15 на 2?
Когда 15 ÷ 2, остаток равен 1, а частное равно 7.
Какой остаток и частное при делении 3 на 5?
Остаток 3 и частное равно 0 , если 3 ÷ 5.
Чему равно частное и остаток при делении 30 на 4?
Когда 30 ÷ 4, частное равно 7, а остаток равен 2.
Какой остаток получается при делении 24 на 4?
Остаток равен 0, а частное равно 6, когда 24 ÷ 4.
Какой остаток получается при делении 19 на 2?
Когда 19 ÷ 2, остаток равен 1, а 9 является частным.
Какой остаток при делении 27 на 3?
Когда 27 ÷ 3, остаток равен 0.
Какой остаток при делении 5 на 8?
Остаток равен 5, а частное равно 0, если 5 ÷ 8.
Какой остаток при делении 5 на 2?
Когда 5 ÷ 2, остаток равен 1, а 2 является частным.
Какой остаток при делении 4 на 6?
Остаток равен 4, а частное равно 0, когда 4 ÷ 6.
Какой остаток получается при делении 52 на 2?
Остаток равен 0, а частное равно 26, когда 52 ÷ 2.
Какой остаток при делении 14 на 4?
При 14 ÷ 4 остаток равен 2, а частное равно 3.
Что такое остаток при делении на две части?
Когда чисел много, то деление будет долгим. Выполняя вычисления, мы заметим, что ответ не всегда будет целым числом. В таких ситуациях числа будут оставлены и распознаны как остатки. В таких случаях первое число делимого будет делиться на делитель. Целочисленный результат будет помещен вверху.
Какой остаток при делении 121012 на 12?
В таком состоянии 121012/12; делитель равен 121012, а делимое равно 12. Остаток будет равен 4,
Дивиденд равен 121012 и делитель 12.
По формуле: 121012 = 12*10084 + R
R= 121008 – 121012 = 4
Какой остаток1 при делении 2 на 8?
Следуйте простой формуле для расчета остатка;
Дивиденд = частное*делитель + остаток
Условие 8/12; 8 — делитель, 12 — делимое.
Разделить 8 на 12 = 0,666
Округлить число = 1
Теперь умножьте его на делитель: 8*1 = 8 900 10.
Теперь вычтем из делимого число: 12-8 =
Остаток = 4
Какова формула делителя?
Это число, которое делится на другое число. В результате может быть остаток и частное. это может быть представлено как делимое / делитель = частное.
Вывод:
Наш калькулятор остатка работает онлайн как инструмент, который отображает значение остатка и частного в ответ на заданный ввод. Этот инструмент делает расчеты очень простыми и мотивирующими. Вы можете использовать его в случаях длинных делений с остатками, чтобы исключить риск ошибки до 100%. Кроме того, его можно использовать бесплатно, поэтому студенты и профессионалы могут улучшить свои навыки с помощью его поддержки и сэкономить свое время, избегая длинных ручных вычислений деления.
Из источника Mathisfun – Длинное деление с остатками – Все, что вам нужно знать о длинном делении
Из источника ханакадемии – Теорема о частных остатках – Примеры
Деление десятичных дробей — ментальная арифметика
Это полный урок для 5-го/6-го класса с инструкциями и упражнениями, обучающий учащихся тому, как делить десятичные дроби, используя ментальную арифметику (на основе чувства числа). Он начинается с некоторых разделов обмена, а затем объясняет основную стратегию для них. Студенты также делят десятичные дроби с «делением измерения», например, 0,45 ÷ 0,05, где мы думаем, сколько раз делитель входит в делимое. В уроке есть шаблонные упражнения, словесные задачи, головоломка с перекрестными числами и многое другое.
Здесь вы можете создавать рабочие листы для десятичного деления.
1. Сначала заштрихуйте детали. затем
разделить и написать предложение деления.
а. Оттенок 0,3. Разделить
на 3 части.
___ ÷ 3 = ___
б. Оттенок 0,64. Разделить
на 2 части.
___ ÷ 2 = ___
г. Оттенок 1.8. Разделить
на 3 части.
___ ÷ ___ = ___
д. Оттенок 1.6. Разделить
на 4 части.
___ ÷ ___ = ___
эл. Оттенок 0,30. Разделить
на 10 частей.
___ ÷ ___ = ___
ф. Оттенок 0.1. Разделить
на 10 частей.
___ ÷ ___ = ___
Десятичное число, деленное на целое число
Вы можете думать об умножении
«назад». Чтобы решить 4,5 ÷ 5, подумайте: Какое число получится при умножении на 5?
дать мне 4,5? Или _____ × 5 = 4,5. Ответ 0,9.
Или, подумайте о « бананов », разделенных
среди группы людей.
только дело в том, что на этот раз «бананы» десятые, сотые или тысячные!
Например, 0,035 ÷ 5 равно « 35 тысячных разделить на 5 ”.
Замени тысячные на бананы на минутку: « 35 бананов
разделить на 5… равно 7 бананов. » Ответ на вопрос
исходная проблема составляет 7 тысячных, или 0,007.
Другой пример: 0,12 ÷ 4 — это « 12 сотых разделить на 4 ».
Это по сути задача деления «12 разделить на 4», правда, в сотых долях. Ответ: 3 сотых или 0,03.
2. Напишите задачи на деление
с числами и решить.
а. 9
десятых разделить на 3 равно…
_______ ÷ ____ = _______
б. 72
тысячные разделить на 9 равно…
_______ ÷ ____ = _______
с. 54
сотые доли разделить на 6 равно…
_______ ÷ ____ = _______
д. 240 тысячных разделить на 60 равно…
_______ ÷ ____ = _______
эл. 122
сотые доли разделить на 2 равно…
_______ ÷ ____ = _______
3. Разделить. Подумайте о делении «бананов»: как
много десятых, сотых или тысячных вы делите. Или представьте умножение в обратном порядке.
а. 0,024 ÷ 6 = ______
б. 0,24 ÷ 6 = _______
в. 2,4
÷ 6 = ________
д. 0,49 ÷ 7 = _______
эл. 1,2 ÷ 3 = ________
ф. 0,056 ÷ 7 = _______
г. 5,40 ÷ 9 = _______
ч. 0,20 ÷ 4 = ________
i. 0,050 ÷ 10 = _______
Обманывать! Помните, как 0,40 = 0,4? Мы можем опустить десятичный ноль, но мы также можем
Напиши это. Когда
деление десятичной дроби на целое число часто помогает «пометить»
а
нуль
на число до деления.
0,8 ÷ 100
(отметьте два нуля)
→ 0,800 ÷ 100 = 0,008
(800 тысячных делят
на 100 равно 8 тысячным.)
0,7 ÷ 10
(один ноль)
→ 0,70 ÷ 10 = 0,07
(70 сотых разделить на 10 равняется 7 сотым. )
4 ÷ 8
(один ноль)
→ 4,0 ÷ 8 = 0,5
(40 десятых разделить на 8 равняется 5 десятым.)
4. Разделить. Отметьте ноль или нули на делимом.
а. 0,3 ÷ 5 = ________
б. 0,3 ÷ 10 = ________
c. 3 ÷ 5 = ________
д. 0,06 ÷ 12 = _______
эл. 0,2
÷ 40 = _______
ф. 2 ÷ 5 = _______
г. 0,3
÷ 50 = ________
ч. 0,7
÷ 100 = ________
i. 0,02 ÷ 10 = ________
5. Джейн разделила 2 доллара поровну.
среди пяти друзей. Сколько получил каждый?
6. Если каждое сердцебиение занимает 0,8 секунды, сколько времени занимает пять сердечных сокращений?
Десять ударов сердца?
7. Напишите две задачи на деление.
и две задачи на умножение с одинаковыми числами — семейство фактов!
а. 8 × 0,04 =
0,32
_____ × _____ = ______
_____ ÷ _____ = ______
_____ ÷ _____ = ______
б. ____ ×
____ = _____
____ × ____ =
_____
2 ÷ 0,4 =
5
____ ÷ ____ = _____
г. ______ ×
______ = _______
______ × ______ =
_______
______ ÷ ______ = _______
0,025 ÷ 5
= 0,005
Иногда полезно подумать сколько раз делитель « идет на » или
«вписывается» в делимое .
Пример 1. 0,24 ÷ 0,03 = ? Подумай: « Как
много раз будет 3
сотые идут в 24 сотых? » Точно так же, как 3 входит в число 24 восемь раз, 3 сотые входят в число 24
сотые 8 раз .
Пример 2. Мама вырезала из
1,2-метровый кусок материала. Сколько штук она получила?
Подумайте: «Сколько раз 0,4 переходит в 1,2?»
ответ, конечно, прост: 3 раза. Мы также можем написать деление
из этой ситуации: 1,2 ÷ 0,4 = 3,
8. Разделить. Подумай: сколько раз
входит ли делитель в делимое?
а. 4,5 ÷ 0,5 = _______
г. до н.э. 0,45 ÷ 0,05 = _______
г. 0,450 ÷ 0,005 = _______
д. 0,12
÷ 0,06 = _______
эл. 0,006 ÷ 0,002 = ______
ф. 0,63 ÷ 0,07 = ________
г. 2,1 ÷ 0,7 = ________
ч. 1,5 ÷ 0,3 = ________
i. 0,09 ÷ 0,01 = _______
9. Напишите подразделение
предложение для каждой проблемы, и решить.
а. Сколько кусков по 0,3 м получится из 1,8 м ткани? _______ ÷ _____ = ________
б. Сколько кусков по 0,7 м получится из 4,2 м древесины? _______ ÷ _____ = ________
в. Сколько штук по 0,05 м
ты
получить из 0,25 м струны? _______ ÷ _____ = ________
Пример 3. 0,72 ÷ 0,008 = ?
Первый, тэг a
ноль на 0.72 так что это также имеет три десятичных знака, просто
например, 0,008 имеет три десятичных знака. Теперь получаем: 0,720 ÷ 0,008 = ?
А теперь подумайте: «Как
сколько раз 8 тысячных укладываются в 720 тысячных?» Это то же самое, что спросить: «Сколько раз 8 вписывается в 720?»
Ответ: 90 раз. Итак, 0,720 ÷
0,008 = 90 ( не 0,90 или 0,090; просто
простой 90).
10. Разделить. Возможно, вам придется пометить ноль
или нули на делимом так, чтобы оба числа имели одинаковые количество десятичных цифр. Затем подумайте: сколько раз делитель входит в делимое?
а. 0,20 ÷ 0,05 = _______
д. 0,3 ÷ 0,05 = _______
б. 1 ÷ 0,2 = _______
эл. 5 ÷ 0,2 = _______
г. 0,4 ÷ 0,02 = _______
ф. 0,05 ÷ 0,001 = _______
г. 0,6 ÷ 0,05 = _______
л. 1
÷ 0,02 = _______
ч. 0,9 ÷ 0,01 = _______
к. 1 ÷ 0,01 = _______
я. 0,1 ÷ 0,01 = _______
л. 0,03 ÷ 0,002 = _______
11.
Бригада асфальтоукладчиков каждый день прокладывает 1,2-мильный участок дороги.
а. За сколько дней они преодолеют расстояние в 6 миль?
б. За сколько дней они преодолеют расстояние в 60 миль?
12. У Джека в кармане 1,45 доллара пятицентовыми монетами.
а. Сколько пятицентовиков у Джека?
б. Если вы еще этого не сделали, напишите десятичную
деление, соответствующее задаче.
13. Сколько палочек длиной 0,04 м можно отрезать от доски длиной 0,20 м? Запишите десятичное деление, соответствующее задаче.
14.
Какие выражения соответствуют
проблема? Их два. (Ты не должен
рассчитать что угодно.)
Одна книга
толщиной 3 см лежит в коробке высотой 15 см. Сколько книг толщиной 1,5 см вы могли бы сложить в эту коробку?
8 × 1,5 см + 3 см = 15 см
15 × 3 см + 1,5 см = 46,5 см
(15 см − 3 см) ÷ 1,5
см = 8
(15 см − 1,5 см) ÷ 3
см = 4,5
15 см + 3 см + 1,5 см =
19,5 см
(15 см ÷ 3 см) + 1,5 см =
6,5
(15 см ÷ 1,5) + 3 см = 13
15. Написать сингл
выражение (числовое предложение
с несколькими операциями), чтобы соответствовать этой проблеме. Решать.
Сколько осталось от 5 метров материала после того, как вы отрезали четыре куска по 0,6 метра?
16. У Джо 0,85 кг мяса. Сколько порций по 0,3 кг он сможет из этого получить?
Также «переведите» эту задачу в граммы, помня, что в 1 кг 1000
грамм.
17. Раздели и разложи ответы
в головоломке с перекрестными числами.
Через:
а. 1 ÷ 0,04
б. 0,018 ÷ 9
c. 0,044 ÷ 0,004
г. 5 ÷ 10
эл. 0,9 ÷ 0,09
Вниз:
а. 0,9 ÷ 0,06
б. 0,09 ÷ 3
в. 8,4 ÷ 0,7
д. 1 ÷ 100
эл. 0,32 ÷ 8
18. Разберитесь с рисунком и
продолжить его по крайней мере еще две проблемы.
а. 0,025 ÷ 0,005 =
0,25 ÷ 0,05 =
2,5 ÷ 0,5 =
б. 1000 ÷ 20 =
100 ÷ 2 =
10 ÷ 0,2 =
в. 4 200 ÷ 40 =
420 ÷ 4 =
42 ÷ 0,4 =
На основании того, что вы наблюдали в
предыдущий
упражнение, изменение десятичное деление
0,987
÷ 0,021 в ЦЕЛОЕ ЧИСЛО задача деления с тем же ответом, и решить.
Учебник для самообучения для 5-6 классов, который охватывает четыре действия с десятичными знаками до трех десятичных цифр, уделяя особое внимание десятичному умножению и делению. Книга также охватывает разрядность, сравнение, округление, сложение и вычитание десятичных знаков. Есть много умственных математических задач.
Скачать ($6,25) . Также доступен в виде печатной копии.
=> Узнайте больше и посмотрите бесплатные образцы!
Меню уроков математики
Калькулятор деления многочленов в длину — eMathHelp
Калькулятор выполняет деление многочленов в длину с показанными шагами.
Связанные калькуляторы:
Калькулятор синтетического деления, калькулятор длинного деления
Разделить (дивиденды):
По (делитель): 9{2}+35 x\\\phantom{3 x-17}\end{array}\end{array}$$$
Шаг 3
Разделить старший член полученного остатка на старший член полученного остатка делитель: $$$\frac{3 x}{x}=3$$$.
Чему равен arctg 3 25 в градусах. Арксинус, арккосинус
Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать: 1. Что такое арксинус? 2. Обозначение арксинуса. 3. Немного истории. 4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk, а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6. Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk, где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG. Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1. Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk. Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.
Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и x= π — arcsin(a) + 2πk
Перепишем:
x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1. С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk,
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).
Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2). Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2. Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2). Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2. Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0). Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0. Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0. Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5. Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk. Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk
Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.
В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.
По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.
Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.
Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.
Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.
Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.
Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.
В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk
Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.
В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде
х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение
arctg 3 (арктангенс трех).
Как же понимать arctg 3?
Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.
Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.
Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.
Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.
Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения
tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.
Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).
Итак, arctg =.
ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).
Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:
arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений
Значит — arctg=- tgх= — .
ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.
1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.
2. Найдем значение арктангенса
так как tg = . Показать таблицу значений
Значит arctg1= .
3. Поставим найденное значение в формулу решений:
ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).
Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.
ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.
Решение. Будем решать графически.
Построим тангенсоиду
у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.
2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).
3. Используем периодичность функции.
Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.
Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:
(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:
Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).
Графики функций у= ctg х и у =а а также
у= ctg х и у=-а
имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:
х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и
х 1 = arcсtg а;
х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой
у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).
Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:
arcсtg (-а) = π — arcсtg а.
Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.
Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .
Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду
tg х = , за исключение, когда а = 0.
Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?
Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно «не очень…» И для тех, кто «очень даже…»)
К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!
Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.
Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.
Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…
Что означает выражение
arcsin 0,4 ?
Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.
И всё.
Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:
arc sin 0,4 угол, синус которого равен 0,4
Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.
Что такое arccos 0,8 ? Это угол, косинус которого равен 0,8.
Что такое arctg(-1,3) ? Это угол, тангенс которого равен -1,3.
Что такое arcctg 12 ? Это угол, котангенс которого равен 12.
Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!
Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)
Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)
Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.
А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)
Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)
Например: что такое arcsin 0,5?
Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:
arcsin 0,5 = 30°
Или, более солидно, через радианы:
Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.
Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)
Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!
Достаточно сообразить, что:
Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:
и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.
Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!
Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:
Нужно вам, скажем, определить значение выражения:
Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:
Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что
вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:
Вот и всё.
Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)
Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.
Если Вам нравится этот сайт…
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Арктангенс (y = arctg
x
) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y tg(arctg
x)
= x arctg(tg
x)
= x
Арктангенс обозначается так: .
График функции арктангенс
График функции y = arctg
x
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Арккотангенс (y = arcctg
x
) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений . ctg(arcctg
x)
= x arcctg(ctg
x)
= x
Арккотангенс обозначается так: .
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg
x
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной: arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной: arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x ≠ ± arcctg
x
.
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
.
(см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
y = arctg
x
y = arcctg
x
Область определения и непрерывность
— ∞
— ∞
Множество значений
Возрастание, убывание
монотонно возрастает
монотонно убывает
Максимумы, минимумы
нет
нет
Нули, y = 0
x = 0
нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
y = 0
y = π/2
—
π
0
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
x
arctg
x
arcctg
x
град.
рад.
град.
рад.
— ∞
— 90°
—
180°
π
—
— 60°
—
150°
— 1
— 45°
—
135°
—
— 30°
—
120°
0
0°
0
90°
30°
60°
1
45°
45°
60°
30°
+ ∞
90°
0°
0
≈ 0,5773502691896258 ≈ 1,7320508075688772
Формулы
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
, .
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков : Пусть .
Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов: ; . Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > > Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда ; .
Интегралы
Делаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям: ; ; ;
Выразим арккотангенс через арктангенс: .
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение: ; .
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения: tg(arctg
x)
= x ctg(arcctg
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса: arctg(tg
x)
= x
при arcctg(ctg
x)
= x
при .
Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
3 arctg 0
Вы искали 3 arctg 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 4 arctg 1, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «3 arctg 0».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 3 arctg 0,4 arctg 1,4 арктангенс 1,6 arctg,arccos онлайн,arctg 0,arctg 0 1,arctg 0 2,arctg 0 25,arctg 0 3,arctg 0 4,arctg 0 5,arctg 0 6,arctg 0 arctg 1,arctg 0 равен,arctg 1 0,arctg 1 2 в градусах,arctg 1 4,arctg 1 5,arctg 1 6,arctg 1 arctg 0,arctg 1 в градусах,arctg 10,arctg 2 0,arctg 2 3 в градусах,arctg 2 5,arctg 2 в градусах,arctg 3 0,arctg 3 5,arctg 3 в градусах,arctg 4,arctg 4 1,arctg 4 3 в градусах,arctg 4 5,arctg 4 в градусах,arctg 5,arctg 5 2,arctg 5 3,arctg 5 4,arctg 6,arctg 7,arctg 8,arctg в градусах,arctg как вычислить,arctg как найти,arctg калькулятор,arctg калькулятор онлайн,arctg калькулятор онлайн в градусах,arctg онлайн,arctg онлайн калькулятор,arctg онлайн калькулятор в градусах,arctg таблица,arctg таблица значений,arctg4,online arctg,арккотангенс онлайн,арктангенс 0,арктангенс 0 1,арктангенс 0 25,арктангенс 0 4,арктангенс 0 5,арктангенс 0 75,арктангенс 0 чему равен,арктангенс 1 2,арктангенс 1 2 в градусах,арктангенс 1 3,арктангенс 1 3 в градусах,арктангенс 1 4,арктангенс 1 5,арктангенс 1 в градусах,арктангенс 1 в радианах,арктангенс 2 3,арктангенс 2 в градусах,арктангенс 3,арктангенс 3 2,арктангенс 3 4 в градусах,арктангенс 3 в градусах,арктангенс 4 в градусах,арктангенс 45,арктангенс 5,арктангенс 8,арктангенс в градусах,арктангенс в градусах калькулятор,арктангенс вычислить,арктангенс вычислить онлайн,арктангенс как вычислить,арктангенс как посчитать,арктангенс калькулятор,арктангенс калькулятор в градусах,арктангенс калькулятор онлайн,арктангенс калькулятор онлайн в градусах,арктангенс калькулятор онлайн в градусах и минутах,арктангенс на калькуляторе,арктангенс найти,арктангенс нуля,арктангенс онлайн,арктангенс онлайн калькулятор,арктангенс онлайн калькулятор в градусах,арктангенс онлайн калькулятор в градусах и минутах,арктангенс посчитать,арктангенс посчитать онлайн,арктангенс равен 1,арктангенс угла,арктангенс числа онлайн,арктангенсы таблица,вычисление арккосинуса онлайн,вычисление арктангенса,вычисление арктангенса онлайн,вычислить arctg онлайн калькулятор,вычислить арккосинус онлайн,вычислить арктангенс,вычислить арктангенс онлайн,инженерный онлайн калькулятор с арктангенсом,как вычислить arctg,как вычислить арктангенс,как найти арктангенс,как найти арктангенс числа,как посчитать арктангенс,как считать арктангенс,калькулятор arctg,калькулятор arctg онлайн,калькулятор arctg онлайн в градусах,калькулятор арккосинус в градусах онлайн,калькулятор арктангенс,калькулятор арктангенс в градусах,калькулятор арктангенса,калькулятор арктангенса онлайн,калькулятор арктангенсов,калькулятор арктангенсов в градусах онлайн,калькулятор арктангенсов онлайн,калькулятор арктангенсов онлайн в градусах,калькулятор онлайн arctg,калькулятор онлайн арктангенс,калькулятор онлайн арктангенс в градусах,калькулятор онлайн с арктангенсом,калькулятор онлайн с арктангенсом онлайн,калькулятор с арктангенсом,калькулятор с арктангенсом онлайн,на калькуляторе арктангенс,найти арктангенс,найти арктангенс онлайн,онлайн арктангенс числа,онлайн вычисление арктангенса,онлайн калькулятор arccos в градусах,онлайн калькулятор arctg,онлайн калькулятор arctg в градусах,онлайн калькулятор арктангенс,онлайн калькулятор арктангенса,онлайн калькулятор арктангенсов,онлайн калькулятор арктангенсов в градусах,онлайн калькулятор с арктангенсом,онлайн калькулятор с арктангенсом онлайн,онлайн расчет арктангенса,онлайн считать арктангенс,перевод арктангенса в градусы,перевод арктангенса в градусы онлайн,посчитать арккосинус онлайн,посчитать арктангенс,посчитать арктангенс в градусах онлайн,посчитать арктангенс онлайн,посчитать арктангенс онлайн в градусах,расчет арктангенса онлайн,таблица arctg,таблица арков,таблица брадиса arctg,таблица значений арктангенс,чему равен arctg,чему равен арктангенс 1. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 arctg 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 4 арктангенс 1).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 arctg 0 Онлайн?
Решить задачу 3 arctg 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Значение arctg 1 3. Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация. График функции арккотангенс
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.
Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать: 1. Что такое арксинус? 2. Обозначение арксинуса. 3. Немного истории. 4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk, а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6. Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk, где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG. Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1. Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk. Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.
Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и x= π — arcsin(a) + 2πk
Перепишем:
x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1. С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk,
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).
Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2). Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2. Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2). Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2. Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0). Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0. Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0. Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5. Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде: x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk. Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk
Арктангенс (y = arctg
x
) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y tg(arctg
x)
= x arctg(tg
x)
= x
Арктангенс обозначается так: .
График функции арктангенс
График функции y = arctg
x
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Арккотангенс (y = arcctg
x
) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений . ctg(arcctg
x)
= x arcctg(ctg
x)
= x
Арккотангенс обозначается так: .
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg
x
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной: arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной: arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x ≠ ± arcctg
x
.
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
.
(см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
y = arctg
x
y = arcctg
x
Область определения и непрерывность
— ∞
— ∞
Множество значений
Возрастание, убывание
монотонно возрастает
монотонно убывает
Максимумы, минимумы
нет
нет
Нули, y = 0
x = 0
нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
y = 0
y = π/2
—
π
0
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
x
arctg
x
arcctg
x
град.
рад.
град.
рад.
— ∞
— 90°
—
180°
π
—
— 60°
—
150°
— 1
— 45°
—
135°
—
— 30°
—
120°
0
0°
0
90°
30°
60°
1
45°
45°
60°
30°
+ ∞
90°
0°
0
≈ 0,5773502691896258 ≈ 1,7320508075688772
Формулы
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
, .
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков : Пусть .
Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов: ; . Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > > Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда ; .
Интегралы
Делаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям: ; ; ;
Выразим арккотангенс через арктангенс: .
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение: ; .
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения: tg(arctg
x)
= x ctg(arcctg
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса: arctg(tg
x)
= x
при arcctg(ctg
x)
= x
при .
Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.
В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.
По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.
Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.
Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.
Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.
Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.
Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.
В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk
Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.
В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде
х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение
arctg 3 (арктангенс трех).
Как же понимать arctg 3?
Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.
Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.
Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.
Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.
Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения
tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.
Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).
Итак, arctg =.
ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).
Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:
arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений
Значит — arctg=- tgх= — .
ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.
1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.
2. Найдем значение арктангенса
так как tg = . Показать таблицу значений
Значит arctg1= .
3. Поставим найденное значение в формулу решений:
ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).
Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.
ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.
Решение. Будем решать графически.
Построим тангенсоиду
у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.
2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).
3. Используем периодичность функции.
Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.
Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:
(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:
Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).
Графики функций у= ctg х и у =а а также
у= ctg х и у=-а
имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:
х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и
х 1 = arcсtg а;
х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой
у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).
Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:
arcсtg (-а) = π — arcсtg а.
Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.
Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .
Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду
tg х = , за исключение, когда а = 0.
Арксинус (y = arcsin
x
) — это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2 . sin(arcsin
x)
= x arcsin(sin
x)
= x
Арксинус иногда обозначают так: .
График функции арксинус
График функции y = arcsin
x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Арккосинус (y = arccos
x
) — это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1 и множество значений 0 ≤
y ≤ π
. cos(arccos
x)
= x arccos(cos
x)
= x
Арккосинус иногда обозначают так: .
График функции арккосинус
График функции y = arccos
x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной: arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x
Функция арккосинус не является четной или нечетной: arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x ≠ ± arccos
x
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
y = arcsin
x
y = arccos
x
Область определения и непрерывность
— 1
≤ x ≤ 1
— 1
≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание
монотонно возрастает
монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0
x = 0
x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
y = 0
y = π/2
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
x
arcsin
x
arccos
x
град.
рад.
град.
рад.
— 1
— 90°
—
180°
π
—
— 60°
—
150°
—
— 45°
—
135°
—
— 30°
—
120°
0
0°
0
90°
30°
60°
45°
45°
60°
30°
1
90°
0°
0
≈ 0,7071067811865476 ≈ 0,8660254037844386
Формулы
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
Производные
; . См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков : , где — многочлен степени .
Он определяется по формулам: ; ; .
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Интегралы
Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2 ,
cos
t ≥ 0 : .
Выразим арккосинус через арксинус: .
Разложение в ряд
При |x| 1 имеет место следующее разложение: ; .
Обратные функции
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения: sin(arcsin
x)
= x cos(arccos
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса: arcsin(sin
x)
= x
при arccos(cos
x)
= x
при .
Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Опорная таблица по алгебре и началам математического анализа по теме» Арксинус ,арккосинус,арктангенс, арккотангенс «
I. у=sin х возрастает на отрезке от [-; ] и принимает значение [-1;1]
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка sin которого[-; ] равен а.
агсsin а = α,если sin α = а и αϵ [-; ]; а ϵ [ -1;1].
II. 1) у= агсsin х функция
обратная функции у=sin х, в
интервале [-; ]
2)D (arcsin)= [ -1;1].
3) Е (arcsin)= [-; ]
4) Функция возрастает на D(y)
5) Функция нечетная
arcsin(-a)= — arcsin a
III. Примеры: arcsin √2/2 = π/4, т. к.
П/4 ϵ [-; ]и sin π/4=√2/2
arcsin ( — )=- arcsin ( )=-π/6
у=arcsin а – нечетная функция.
I. у=cos х убывает на отрезке от [0;π] и принимает значение [-1;1]
Аркскосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;π] cos которого равен а.
arccos a = α , если cos α = a и α ϵ [0;π] ;׀ ׀ а ≤ 1
II. . 1) у= arсcos х функция
обратная функции у= cos х, в
интервале [0;π]
2)D (arccos)= [ -1;1].
3) Е (arccos)= [0;π]
4) Функция убывает на D(y)
5) Функция ни нечетная и ни четная
arccos(-a)=π- arccos a
III. Примеры: arccos√3/2 = π/6, т.к.
cos π/6=√3/2 и π/6 ϵ [0;π]
аrсcos (-√2/2) = π- аrсcos (√2/2)=
= π- π/4 = 3/4 π
I. у=tg х на интервале (-; )
возрастает и принимает значение из R.
Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-; )
которого равен а.
arctg a = α, если tg α= а, где
— π/2< α< π/2
II. 1) у= агсtg х функция
обратная функции у= tg х, в
интервале (-; )
2)D(агсtg)= R.
3) Е(агсtg )=(-; )
4) Функция возрастает на D(y)
5) Функция нечетная
arctg (-a)= — arctg a
III. Примеры: arctg 1 = π/4, т.к.
tg π/4 = 1; π/4 ϵ (-;)
аrctg(-√3) = — π/3, т.к.
tg (- π/3) = -√3; — π/3 ϵ (-;)
I. у= сtg х на интервале (0;π) убывает и принимает значение из R.
Арккотангенсом числа а называется такое число из отрезка (0;π) ctg которого равен а.
arсctg a = α, если ctg α= а, где α ϵ
(0;π)
II. 1) у = агссtg х функция
обратная функции у= сtg х, в
интервале (0;π)
2)D(агссtg)= R.
3) Е(агссtg )= (0;π)
4) Функция убывает на D(y)
5) Функция ни нечетная и ни четная
arcсtg (-a)= π- arcсtg a
III. Примеры: arcсtg 1/√3 = π/3, т.к.
сtg π/3 = 1/√3; π/3 ϵ (0;π)
аrcсtg (-√3) = 5 π/6, т.к.
сtg (5 π/6) = -√3; 5 π/6 ϵ (0;π)
Информио
×
Неверный логин или пароль
×
Все поля являются обязательными для заполнения
×
Сервис «Комментарии» — это возможность для всех наших читателей дополнить опубликованный на сайте материал фактами или выразить свое мнение по затрагиваемой материалом теме.
Редакция Информио.ру оставляет за собой право удалить комментарий пользователя без предупреждения и объяснения причин. Однако этого, скорее всего, не произойдет, если Вы будете придерживаться следующих правил:
Не стоит размещать бессодержательные сообщения, не несущие смысловой нагрузки.
Не разрешается публикация комментариев, написанных полностью или частично в режиме Caps Lock (Заглавными буквами). Запрещается использование нецензурных выражений и ругательств, способных оскорбить честь и достоинство, а также национальные и религиозные чувства людей (на любом языке, в любой кодировке, в любой части сообщения — заголовке, тексте, подписи и пр.)
Запрещается пропаганда употребления наркотиков и спиртных напитков. Например, обсуждать преимущества употребления того или иного вида наркотиков; утверждать, что они якобы безвредны для здоровья.
Запрещается обсуждать способы изготовления, а также места и способы распространения наркотиков, оружия и взрывчатых веществ.
Запрещается размещение сообщений, направленных на разжигание социальной, национальной, половой и религиозной ненависти и нетерпимости в любых формах.
Запрещается размещение сообщений, прямо либо косвенно призывающих к нарушению законодательства РФ. Например: не платить налоги, не служить в армии, саботировать работу городских служб и т.д.
Запрещается использование в качестве аватара фотографии эротического характера, изображения с зарегистрированным товарным знаком и фотоснимки с узнаваемым изображением известных людей. Редакция оставляет за собой право удалять аватары без предупреждения и объяснения причин.
Запрещается публикация комментариев, содержащих личные оскорбления собеседника по форуму, комментатора, чье мнение приводится в статье, а также журналиста.
Претензии к качеству материалов, заголовкам, работе журналистов и СМИ в целом присылайте на адрес
×
Информация доступна только для зарегистрированных пользователей.
×
Уважаемые коллеги. Убедительная просьба быть внимательнее при оформлении заявки. На основании заполненной формы оформляется электронное свидетельство. В случае неверно указанных данных организация ответственности не несёт.
Инженерный калькулятор. Профессиональный онлайн-калькулятор по расчету тригонометрических функций.
Клавиша
Обозначение
Пояснение
←
удаление одного символа
Удаляет последний символ
С
сброс
Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»
Радианы
радианы
Выражение угла в радианах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg,arcctg.
Градусы
градусы
Выражение угла в градусах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg.
sin
sin
Тригонометрическая функция синус. Обозначается как «sin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
cos
cos
Тригонометрическая функция косинус. Обозначается как «cos(x)». Угол (x) л может быть задан в радианах либо градусах.
tg
tg
Тригонометрическая функция тангенс. Обозначается как «tg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ctg
ctg
Тригонометрическая функция котангенс. Обозначается как «ctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcsin
arcsin
Обратная тригонометрическая функция арксинус. Обозначается как «arcsin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arccos
arccos
Обратная тригонометрическая функция арккосинус. Обозначается как «arccos(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arctg
arctg
Обратная тригонометрическая функция арктангенс. Обозначается как «arctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcctg
arcctg
Обратная тригонометрическая функция арккотангенс. Обозначается как «arcctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ln
ln
Натуральный логарифм. Обозначение ln(x).
log
log
Десятичный логарифм.
e
e
Число «e» — основание натурального логарифма. Число «e» называют числом Эйлера или числом Непера. Приблизительно равно 2,71828.
Pi
число Пи
Число «Пи» — математическая константа. Приблизительно равно 3,14.
√
корень
Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2
возведение в квадрат
Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/x
дробь
Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
Уравнение tgx = a — презентация онлайн
tgx = a
2. Арктангенс.
а у π/2 arctg а = t 0 х arctg(- а ) -π/2 Примеры: 1) arctg√3/3 = Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а . Причём, а Є R. arctg(- а) = – arctg а -а π/6 2) arctg(-1) = — π/4
3. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА
Например 3 arctg ; 6 3 arctg 0 0; arctg1 ; 4 т.к. т.к. т.к. 3 ; tg . 2 6 2 6 3 2 2 0 4 2 2 ; tg 0 0. ; tg 4 1.
4. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы
1 3 2arctg1 3arctg 2 3arctg 3 4 3 3 0 2 6 2 2 2 3 1 6 4 2. 6arctg 3 4 arcsin 3 4 2 1. 3. 3 3 3 2 2 arccos 3arctg 6 6 3 2 7 5 2 6 2 6 Уравнение tgx = a Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом значении. а ; Решить уравнение tgx = 1 у 1 1 4 0 4 0 х Построим на единичной окружности угол при котором tg x = 1. Для этого построим перпендикулярно оси Ох прямую, проходящую через точку (1;0). Отметим на этой прямой точку y = 1 и проведем через нее прямую проходящую через начало координат единичной окружности. Прямая пересекает единичную окружность дважды, как видно на рисунке. ЗНАЧИТ будет 2 угла х1 4 2 k , k Z х2 4 2 k , k Z Объединим эти два ответ в один заметив, что точки повторяются через π х Ответ х 4 4 n, n Z n, n Z Если а≥0, то корень уравнения заключен в промежутке 0; 2 ; Если а ;0 ; 2 Общее решение уравнения tg x = a tgx a, a R x arctga k , k Z . tgx a, a R x arctga k , k Z . Частные случаи tg x = 1 tg x = -1 у у x 4 k, k Z у х х tg x = 0 x 4 k, k Z х x πk, k Z
Пример 1. 3 tgx 3 3 x arctg k 3 x k , k Z . Пример 2. tg 2 x 4 2 x arctg 4 k 1 k x arctg 4 , k Z . 2 2 6 Ответ: 6 k , k Z . 1 k Ответ: 2 arctg 4 2 , k Z . Тренируемся решать: Решить уравнение: 3tgx- 3= 0 3tgx= 3 |:3. tgx= 1 x 4 k , k Z Ответ: 4 k , k Z Решить уравнение tgx = 2 х arctga n, n Z х arctg 2 n, n Z ответ arctg 2 n, n Z Решить уравнение tgx = -4 х arctg ( 4) n, n Z ответ х arctg 4 n, n Z
15. Уравнение tgx=a
Пример 3. tg 2 x 3; 4 2x 4 3 k ; 7 2 x k ; 12 Ответ: 3 ctg 2 x 4 3 2x 4 2x arctg 3 k ; 3 4 k ; 7 k x , k Z. 24 2 7 k , k Z. 24 2 самоконтроль Решить уравнение tgx 1 3 х arctga n, n Z 1 х arctg n, n Z 3 х n, n Z 6 ответ х n, n Z 6 Решить уравнение х 3 tg 0 6 х arctga n, n Z х arctg ( 3 ) n, n Z 6 arctg ( a) arctga ответ х 2 6 n, n Z х Проверить решение arctg 3 n, n Z 6 х n, n Z 6 3 6 х 6 n, n Z 3 Решить уравнение tg 2 x 3 2 х arctg ( 3 ) n, n Z 2 x arctg 3 n Проверить 2 x n решение 3 x ответ x 6 n 2 6 ,n Z n 2 ,n Z Решить уравнение: tg(π/3- х)= √3 — tg(х-π/3)= √3 3x- π/3=arctg(√3)+ πk, к є Z 3x- π/3= π/3+ πk, к є Z 3x=2π/3 + πk, к є Z x=2π/9 + πk/3 , к є Z Ответ: 2π/9 + πk/3, к є Z . Калькулятор
— arctan (4/3) — Solumaths
Описание:
Функция arctan позволяет вычислять арктангенс числа.
Функция арктангенса — это функция, обратная функции касательной.
арктан
Описание:
arctan функция является обратной функцией
касательная функция,
Он вычисляет арктангенс числа онлайн .
Расчет арктангенса
Чтобы вычислить арктангенс числа, просто введите число и примените arctan функция.
Например, чтобы вычислить арктангенс следующего числа 10, введите
arctan (`10`), или прямо 10, если
Кнопка arctan уже появляется, возвращается результат 1.4711276743.2) `.
Пределы арктангенса
Пределы арктангенса существуют в `-oo` (минус бесконечность) и` + oo` (плюс бесконечность):
Функция арктангенса имеет ограничение в `-oo`, которое равно` pi / 2`. 2)`
Первоначальный арктангенс:
Калькулятор первообразной функции арктангенса позволяет вычислить первообразную.2) `
Предельный арктангенс:
Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арктангенса.
Предел для arctan (x) равен limit_calculator (`» arctan (x) `)
Арктангенс обратной функции:
Функция, обратная арктангенсу , — это тангенциальная функция, отмеченная как tan.
Графический арктангенс:
Графический калькулятор может строить функцию арктангенса в интервале ее определения.
Свойство арктангенса функции:
Функция арктангенса — это нечетная функция. 2 +3} \ right) \ right) $ — Обмен стеками по математике
Сеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
0
+0
Авторизоваться
Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено
144 раза
$ \ begingroup $
На этот вопрос уже есть ответы здесь :
Закрыт 3 года назад.2} {3}
+1} \ right) \ right) $$
и пробовал использовать:
$$ \ arctan x- \ arctan y = \ arctan \ left (\ dfrac {x-y} {1 + xy} \ right) $$, но этот трюк здесь не помогает. Как же тогда решить эту проблему?
Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , называется суммой векторов и , обозначается
2-4*-1+2
2
Составление списков избирателей, участников референдума \ КонсультантПлюс
Факт нахождения места жительства либо пребывания (временного пребывания) гражданина на территории определенного избирательного участка, участка референдума устанавливается органами регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту жительства и по месту пребывания в пределах Российской Федерации в соответствии с законодательством Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, иным законом, — другими уполномоченными на то органами, организациями и должностными лицами. Включение гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума по месту его нахождения на территории определенного избирательного участка, участка референдума осуществляется в соответствии с пунктом 16 статьи 64 настоящего Федерального закона.
Сведения об избирателях, участниках референдума, находящихся в местах временного пребывания, представляет в избирательную комиссию руководитель организации, в которой избиратель, участник референдума временно пребывает. Указанные сведения направляются уполномоченным на то органом или уполномоченным должностным лицом в территориальные комиссии (избирательные комиссии муниципальных образований), при отсутствии таковых — в окружные избирательные комиссии, а в случаях, предусмотренных законом, — в участковые комиссии сразу после назначения дня голосования или после образования этих комиссий.
В списке указываются фамилия, имя, отчество, год рождения (в возрасте 18 лет — дополнительно день и месяц рождения), адрес места жительства избирателя, участника референдума. В списке избирателей, участников референдума должны быть предусмотрены места для проставления избирателем, участником референдума подписи за каждый полученный им бюллетень, серии и номера своего паспорта или документа, заменяющего паспорт гражданина, а также для внесения суммарных данных по каждому виду выборов, референдума и для проставления подписи члена участковой комиссии, выдавшего бюллетень (бюллетени) избирателю, участнику референдума.
Список избирателей, участников референдума заверяется печатями соответственно территориальной комиссии (окружной избирательной комиссии, избирательной комиссии муниципального образования) и (или) участковой комиссии. Порядок и сроки изготовления, использования второго экземпляра списка избирателей, участников референдума, его передачи соответствующей участковой комиссии, заверения и уточнения определяются комиссией, организующей выборы, референдум.
Участковая комиссия вправе разделить первый экземпляр списка избирателей, участников референдума на отдельные книги. Каждая такая книга не позднее дня, предшествующего дню голосования, должна быть сброшюрована (прошита), что подтверждается печатью соответствующей участковой комиссии и подписью ее председателя.
В течение 24 часов, а в день голосования в течение двух часов с момента обращения, но не позднее момента окончания голосования участковая комиссия обязана проверить сообщенные заявителем сведения и представленные документы и либо устранить ошибку или неточность, либо принять решение об отклонении заявления с указанием причин такого отклонения, вручив заверенную копию этого решения заявителю. Решение участковой комиссии об отклонении заявления о включении гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума может быть обжаловано в вышестоящую комиссию или в суд (по месту нахождения участковой комиссии), которые обязаны рассмотреть жалобу (заявление) в трехдневный срок, а за три и менее дня до дня голосования и в день голосования — немедленно. В случае, если принято решение об удовлетворении жалобы (заявления), исправление в списке избирателей, участников референдума производится участковой комиссией немедленно. Исключение гражданина Российской Федерации из списка избирателей, участников референдума после его подписания председателями и секретарями соответствующих комиссий и заверения его печатями этих комиссий в порядке, предусмотренном пунктом 12 настоящей статьи, производится только на основании официальных документов, в том числе сообщения вышестоящей комиссии о включении избирателя, участника референдума в список избирателей, участников референдума на другом избирательном участке, участке референдума, а также в случае выдачи избирателю, участнику референдума открепительного удостоверения.
При этом в списке избирателей, участников референдума, а также в базе данных ГАС «Выборы» указывается дата исключения гражданина Российской Федерации из списка, а также причина такого исключения. Запись в списке избирателей, участников референдума заверяется подписью председателя участковой комиссии, а при выдаче открепительного удостоверения — подписью члена комиссии, выдавшего открепительное удостоверение, с указанием даты внесения этой подписи. Каждый гражданин Российской Федерации вправе сообщить в участковую комиссию об изменении указанных в пункте 5 статьи 16 настоящего Федерального закона сведений об избирателях, участниках референдума, включенных в список избирателей, участников референдума на соответствующем участке.
07.2020.
Информация о включении избирателя, участника референдума в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума по месту их временного пребывания передается, в том числе с использованием ГАС «Выборы», в участковую комиссию избирательного участка, участка референдума, где данный избиратель, участник референдума включен в список избирателей, участников референдума по месту его жительства. Участковая комиссия в соответствующей строке списка избирателей, участников референдума делает отметку: «Включен в список избирателей (участников референдума) на избирательном участке (участке референдума) N» с указанием номера избирательного участка, участка референдума и при необходимости наименования субъекта Российской Федерации. Законом может быть предусмотрено, что избиратели, участники референдума, не имеющие регистрации по месту своего жительства в пределах Российской Федерации, решением участковой комиссии могут быть включены в список избирателей, участников референдума на избирательном участке, участке референдума, образованных или определенных решением вышестоящей комиссии для проведения голосования этих избирателей, участников референдума, по личному письменному заявлению, поданному в участковую комиссию не позднее чем в день голосования.
В отдельных случаях максимальный срок составит 30 рабочих дней. Если по выплате вынесен отказ, уведомление об этом направляется в течение 1 рабочего дня. 
В отдельных случаях этот срок может быть больше, до 30 рабочих дней. Продление срока обычно необходимо, если организации вовремя не представили в Пенсионный фонд сведения, подтверждающие право семьи на выплату. Если по прошествии этого срока ответа по заявлению нет, следует обратиться в Пенсионный фонд. Сделать это можно лично в клиентской службе ПФР, куда подано заявление, либо по телефону горячих линий ПФР: www.pfr.gov.ru/contacts/counseling_center/reg_lines
После подтверждения, что в собственности нет имущества, из-за которого вынесен отказ, решение будет пересмотрено.
При этом выплата предыдущего пособия автоматически прекратится.
Выплата не может перечисляться на счет другого лица. Если заявление было подано с банковскими реквизитами другого лица, можно подать новое заявление со своими банковскими реквизитами.
Если доработанное заявление поступит в Фонд в течение 5 рабочих дней, его рассмотрение восстановится со дня представления.
Ограничения по квадратным метрам действуют, если у семьи в собственности находится несколько квартир или несколько жилых домов. При владении одним видом жилого имущества его площадь не учитывается.
Также предусмотрены выплаты для малообеспеченных семей для беременных женщин, вставших на учет в ранние сроки, пособия на детей от 0 до 3 лет, а также пособия на детей от 3 до 8 лет.
Для начала используйте только примеры на деление без остатка.
Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84?
В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.
Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4
Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:
Записываем двойку в правом уголке:
Если больше, то её надо разделить на делитель, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то надо разделить их на делитель, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.
Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:
Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,