Рубрика: Разное

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
   

   a = c и b = d.

2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
   

   a + c + i(b + d).

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
   

   ac – bd + i(ad + bc).

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Введение

Комплексная плоскость и мнимая единица

Модуль и фаза комплексного числа

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

Выводы

Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на SourceForge

Модулем комплексного числа называется

Главный аргумент arg z заключен в границах

Тригонометрическая форма комплексного числа

2) i-2-(6-5i)

3) (1+i)(1-i)

4) i³, i¹⁰¹

5) 3/i

6) (1 +i)⁴

1) 11i

2) -8+6i

3) 2

4) –i,  I

5) -3i

6) -4

7) (x-i)(x+i)

8) (a+2bi)(a-2bi)

9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)

Найдите z⁶, если

№2. Полуплоскость

Модуль равен 1. Простейший аргумент

 5.

Число

имеет аргумент равный

1. Нет

2. Нет

3. Да

4. Да

5. Нет

• Первые: a × c
• Внешний: a × d i
• Внутренние: b i × c
• Колодки: b i × d i

(A + B I ) (C + D I ) = AC + AD I + BC I + BD I ² 9006 I ²

Вот так:

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i

 = 3 + 21i + 2i + 14i ²

= 3 + 21i + 2i − 14 (поскольку i ² = −1)

 = −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i)

(1 + i)(1 + i)= 1×1 + 1×i + 1×i + i ²

 = 1 + 2i − 1  (потому что i ² = −1)

 = 0 + 2i

Но есть более быстрый способ!

Используйте это правило:

(a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a+b i )(c+d i ) =ac + ad i + bc i + bd i ²  метод FOIL i i

0 i − bd   (потому что i ² = −1)

 = (ac − bd) + (ad + bc) i   (собирая подобные термины)

И здесь у нас есть (ac − bd) + (ad + bc) i  шаблон.

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Попробуем i

Умножение верхней и нижней 4 − 5 i × 4 + 5 i 4 + 5 I = 8 + 10 I + 12 I + 15 I ² 16 + 20 I — 20 I — 25 I 666995595959559559559559559559559595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959н.

Теперь помните, что I ² = −1, так:

= 8 + 10 I + 12 I — 15 16 + 200009 I — 20 I + 25 9000

Добавьте условия «Нравится» (и обратите внимание, как внизу 20 i − 20 i Отменить!):

= −7 + 22 I 41

Наконец, мы должны поместить ответ в A + B I Форма:

= —7 41

+ — 7 41 + — 7 41 + —7 41 + —7 419 41952 + — 7 4110 41952 = —7 4110 4106. 22 41 i

ГОТОВО!

Да, нужно немного посчитать. Но это можно сделать.

Умножение на сопряженное

Однако есть более быстрый способ.

В предыдущем примере интересно было то, что произошло внизу:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 20 i — 20 i — 25 i ²

Средние члены (20 i − 20 i ) сокращаются:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 — 25 i ²

Также i ² = −1 :

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 25

А 16 и 25 — это (магически) квадраты 4 и 5:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 4 ² + 5 ²

Довольно простой результат. Общее правило:

(a + b i ) (a − b i ) = a ² + b ²

Это может сэкономить нам время при делении, например:

Пример: попробуем еще раз

2 + 3 i 4 − 5 i

Умножить верх и низ на сопряженное число 4 − 5 I :

2 + 3 I 4 — 5 I × 4 + 5 I 4 + 5 + = 8 + 10999999999999

11110 = 8 + 109. 199999999999

10 . I + 15 I ² 16 + 25

= −7 + 22 I 41

, а затем обратно в A + B I :

ГОТОВО!

Обозначение

Мы часто используем z для комплексного числа. И Re() для действительной части и Im() для мнимой части, например:

Что выглядит на комплексной плоскости так:

Набор Мандельброта

440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993

комплексных чисел | Brilliant Math & Science Wiki

Энди Хейс, Рам Мохит, Тадеуш Абий, а также

способствовал

Содержимое

• Сложный самолет
• Воображаемая единица III
• Арифметика комплексных чисел
• Комплексные конъюгаты
• Гауссовские целые числа
• Комплексный модуль и аргумент
• Сложные корни
• Формула Эйлера
• Корни единства
• Комплексные числа в геометрии
• Приложения в физике
• Множество Мандельброта

Основная статья: Сложный самолет

Комплексные числа часто представляются на комплексной плоскости , иногда известной как плоскость Аргана или диаграмма Аргана . В комплексной плоскости имеется действительных осей и перпендикуляр мнимой оси . Комплексное число a+bia+bia+bi изображается на этой плоскости точно так же, как упорядоченная пара (a,b)(a,b)(a,b) изображается на плоскости декартовых координат. Действительная ось соответствует оси xxx, а воображаемая ось соответствует оси yyy.

Комплексные числа, изображенные на комплексной плоскости

Основное преимущество комплексных чисел перед упорядоченными парами заключается в том, что операции сложения и умножения определены для комплексных чисел, тогда как эти операции не определены для упорядоченных пар.

В комплексном числе Z = a + ib, Z = a + ib, Z = a + ib,

Z = a⏟partreal+i⏟unitimaginaryb⏟partimaginary.Z = \underbrace{a} _{\overset{ \text{real}}{\text{part}}} + \underbrace{i}_{\overset{\text{воображаемый}}{\text{единица}}} \underbrace{b}_{\overset{\ text{воображаемый}}{\text{part}}}. Z=partreal​a​​+unitimaginaryi​​partimaginary​b​​.

Здесь iii называется мнимой единицей , и математически его значение равно i=−1.i = \sqrt{-1}.i=−1​.

В этом разделе мы обсудим некоторые важные свойства i:i:i: 9{200}\big).(11+12+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+⋯+(i193+i194+i195+i196)+(i197+i198+i199+i200).

Теперь, исходя из приведенного выше результата, значение в каждой скобке становится равным 000 как сумма 4 последовательных степеней iii, равная 000. Имеется 50 скобок, и каждая скобка равна 0.

Следовательно, 50(0)=0. □50(0)=0.\ _\квадрат50(0)=0. □​

Сложение комплексных чисел следует алгебраическому принципу объединения одинаковых терминов. Действительные части комплексных чисел считаются одинаковыми, а комплексные части считаются одинаковыми.

Добавление комплексных номеров:

Даны комплексные числа a+bi a + bi a+bi и c+di c+di c+di, их сумма равна

(а+с)+(б+г)я. (а+в) + (б+г)я. (а+в)+(б+г)я.

Что такое (4+3i)+(2+2i)?(4+3i)+(2+2i)?(4+3i)+(2+2i)?

---

Складывая по отдельности действительную и мнимую части, получаем

4+3i+2+2i=(4+2)+(3+2)i=6+5i. □ 4+3i+2+2i = (4+2) + (3+2)i = 6+5i.\ _\square4+3i+2+2i=(4+2)+(3+2)i= 6+5и. □​

Обратите внимание, что действительные числа добавлялись только к другим действительным числам, а мнимые числа добавлялись только к другим мнимым числам.

Несколько дополнительных примеров:

• (3−4i)+(3+2i)=6−2i(3-4i)+(3+2i) = 6-2i(3−4i)+(3+2i) )=6−2i
• (4−2i)−(−2−5i)=6+3i(4-2i)-(-2-5i) = 6+3i(4−2i)−(−2−5i)=6+3i
• (3i)+(3+5i)=3+8i(3i)+(3+5i) = 3+8i(3i)+(3+5i)=3+8i

Умножение комплексных чисел следует принципу умножения биномов. Одно заметное отличие состоит в том, что при умножении мнимых членов получается действительное число. 92\\ &= (ac) + (ad+bc)i + (bd)(-1) \\ &= (ac — bd) + (ad+bc)i . \end{выровнено} (a+bi)×(c+di)​=a(c+di)+bi(c+di)=(ac)+(ad)i+(bc)i+(bd)i2=( ac)+(ad+bc)i+(bd)(-1)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 4?i2+i6+i4? 92-2х+5\большой)\левый(х+4\правый) + 7х + 5\\ &= 0 \cdot (x+4) + 7x +5 \qquad \qquad \qquad \big(\text{by}(1)\big) \\ &= 7(1+2i) + 5 \\ &= 12 + 14i. \ _\площадь \end{выровнено} x3+2×2+4x+25​=(x2−2x+5)(x+4)+7x+5=0⋅(x+4)+7x+5(by (1))=7 (1+2i)+5=12+14i. □​​

Отдел комплексных номеров:

Если Z1=a+ibZ_1 = a + ibZ1​=a+ib и Z2=c+idZ_2 = c + idZ2​=c+id — любые два комплексных числа, то деление двух комплексных чисел выполняется простым рационализаторством комплекс номер или умножение и деление на сопряженное число знаменателя .

Это обсуждается в следующем разделе.

Основная статья: Комплексные конъюгаты

Комплексное сопряжение комплексного числа a+bia+bia+bi есть a-bia-bia-bi.

Назовите комплексно-сопряженные числа следующих чисел:

---

Их комплексные сопряжения следующие:

• −5+6i  ⟹  −5−6i-5+6i \ подразумевает -5-6i−5+6i⟹−5−6i

• 83−i  ⟹  83+i\frac{8}{3}-i \подразумевает \frac{8}{3}+i38​−i⟹38​+i

• −2i  ⟹  2i:-2i \ подразумевает 2i:−2i⟹2i: комплексное сопряжение мнимого числа есть отрицание этого числа.

• 17  ⟹  17:17 \подразумевает 17:17⟹17: комплексно-сопряженным вещественным числом является само число. □_\квадрат□​

Комплексное сопряжение также можно рассматривать как отражение комплексного числа относительно действительной оси на комплексной плоскости.

Комплексно-сопряженные пары на комплексной плоскости

Комплексно-сопряженные пары полезны для рационализации знаменателей, содержащих комплексные числа. Процесс рационализации сложного знаменателя очень похож на то, как этот процесс работает для радикалов.

Рационализируйте знаменатель и запишите в стандартной форме:

3+2i5−2i.\frac{3+2i}{5-2i}.5−2i3+2i​.

---

Сопряжение знаменателя равно 5+2i.5+2i.5+2i. Умножьте числитель и знаменатель на это число:

3+2i5−2i=(3+2i)(5+2i)(5−2i)(5+2i)=11+16i29=1129+1629i. □\begin{выровнено} \frac{3+2i}{5-2i} &= \frac{(3+2i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} \\ \\ &= \frac{11+16i}{29} \\ \\ &= \frac{11}{29}+\frac{16}{29}i. \ _\квадрат \end{align}5−2i3+2i​=(5−2i)(5+2i)(3+2i)(5+2i)​=2911+16i​=2911​+2916​i. □​​

Кроме того, теорема о комплексно-сопряженных корнях утверждает, что комплексные корни многочленов всегда входят в сопряженные пары.

Теорема о комплексно-сопряженном корне: 92-2х+2, \end{выровнено}x2+bx+c​=(x−1−i)(x−1+i)=x2−2x+2,​

, что подразумевает b=-2b=-2b=-2 и c=2,c=2,c=2, поэтому b+c=0.b+c=0.b+c=0. □_\квадрат□​

Если ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=…=∣zn∣=1,\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=\ldots=\left |z_n\right|=1,∣z1​∣=∣z2​∣=∣z3​∣=…=∣zn​∣=1, то докажите, что

∣1z1+1z2+1z3+⋯+1zn∣=∣z1+z2+z3+⋯+zn∣.\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{ z_3}+\cdots+\frac{1}{z_n}\right|=\left|z_1+z_2+z_3+\cdots+z_n\right|.∣∣∣∣​z1​1​+z2​1​+z3​ 1​+⋯+zn​1​∣∣∣∣​=∣z1​+z2​+z3​+⋯+zn​∣. 92&=1 \\\\ z_1\overline{z_1}=1, z_2\overline{z_2}=1, z_3\overline{z_3}=1, \ldots, z_n\overline{z_n}&=1\\\\ \frac{1}{z_1}=\overline{z_1}, \frac{1}{z_2}=\overline{z_2}, \frac{1}{z_3}=\overline{z_3}, \ldots, \frac {1}{z_n}&=\overline{z_n}\\\\ \влево| \frac{1}{z_1}+ \frac{1}{z_2}+ \frac{1}{z_3}+ \cdots+\frac{1}{z_n}\right|&=\left|\overline{z_1} + \overline{z_2}+ \overline{z_3}+ \cdots+\overline{z_n}\right|\\\\ &=\left|\overline{z_1+ z_2+z_3+ \cdots+z_n}\right|\\\\ &=\влево|z_1+ z_2+z_3+ \cdots+z_n\вправо| \qquad \big(\text{с} \left|\overline{z}\right|=\left|z\right|\big)\\\\ \Стрелка вправо\влево| \frac{1}{z_1}+ \frac{1}{z_2}+ \frac{1}{z_3}+ \cdots+\frac{1}{z_n}\right|&=\left|z_1+ z_2+z_3+ \ cdots+z_n\справа|. \ _\квадрат \end{выровнено}∣z1​∣=∣z2​∣=∣z3​∣=…=∣zn​∣∣z1​∣2=∣z2​∣2=∣z3​∣2=…=∣zn​∣ 2z1​z1​=1,z2​z2​=1,z3​z3​=1,…,zn​zn​​z1​1​=z1​​,z2​1​=z2​​,z3 ​1​=z3​​,…,zn​1​∣∣∣∣​z1​1​+z2​1​+z3​1​+⋯+zn​1​∣∣∣∣​⇒∣∣∣∣ ​z1​1​+z2​1​+z3​1​+⋯+zn​1​∣∣∣∣​=1=1=1=zn​​=∣z1​​+z2​​+z3​ ​+⋯+zn​​∣=∣z1​+z2​+z3​+⋯+zn​​∣=∣z1​+z2​+z3​+⋯+zn​∣(поскольку ∣z∣=∣z∣ )=∣z1​+z2​+z3​+⋯+zn​∣. □​​

Основная статья: Гауссовы целые числа

Гауссово целое число — это комплексное число a+bi,a+bi,a+bi, где aaa и bbb — целые числа. Следует отметить, что целое число Гаусса равно , а не , если мнимая часть не равна 0.

Целые числа Гаусса:

• 3+2i3+2i3+2i

• 7-8i7-8i7-8i

• 141414

• −92i-92i−92i

Негауссовские целые числа:

Гауссовы целые числа представляют интерес в теории чисел, потому что проблемы квадратичной, кубической и четвертой взаимности удобнее формулировать как задачи о гауссовских целых числах.

Основная статья: Комплексные числа — абсолютные значения

См. также: Преобразование декартовых координат в полярные

Следует отметить, что процесс нахождения модуля и аргумента комплексного числа почти идентичен процессу преобразования декартовых координат в полярные координаты.

Абсолютное значение действительного числа определяется как положительное расстояние от 0 до этого числа. Точно так же определяется абсолютное значение комплексного числа, за исключением того, что это расстояние измеряется на комплексной плоскости.

Поскольку отрезок, соединяющий 0 с комплексным числом, является гипотенузой прямоугольного треугольника, расстояние до этого отрезка вычисляется по теореме Пифагора. Это расстояние иногда называют .2}=5.\ _\квадрат∣−3+4i∣=(−3)2+42​=5. □​

Угол, который положительная вещественная ось образует с лучом, соединяющим 000 с комплексным числом, называется аргументом этого комплексного числа. \text{nd}2-м квадранте, поэтому к этому углу следует добавить π\piπ, чтобы получить правильный аргумент: 9{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)+\pi.\ _\squareθ=tan−1(−34​)+π. □​

Полный оборот комплексного числа 2π2\pi2π радиан создаст изображение, котерминальное комплексному числу. Поэтому каждое комплексное число имеет бесконечно много аргументов.

Если θ\thetaθ является аргументом комплексного числа, то θ+2kπ\theta+2k\piθ+2kπ также является аргументом этого комплексного числа, где kkk — целое число.

Основная статья: Основная теорема алгебры 92 — 4\times1\times10 = -4 .D=b2−4ac=62−4×1×10=−4.

Это меньше 000 и, таким образом, мы можем заключить, что квадратичный имеет пару комплексных корней с мнимыми компонентами. Чтобы их найти, воспользуемся квадратичной формулой следующим образом:

x=-b±D2a=-6±-42×1=-6±2-12=-3±i.\begin{выровнено} х &= \frac{ -b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ & = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{ 2 \times 1} \\ & = \frac{-6 \pm 2\sqrt{-1}}{2} \\ &=-3 \pm i . \end{выровнено}x=2a−b±D=2×1−6±−4=2−6±2−1=−3±i.​

92 — 4\х3\х7 = -109. D=b2-4ac=(5i)2-4×3×7=-109.

Это действительно меньше 000, и, таким образом, мы можем заключить, что квадратное число имеет пару комплексных корней. Чтобы их найти, воспользуемся квадратичной формулой следующим образом:

x=-b±D2a=-5i±-1092×3=-5i±109-16.\begin{выровнено} х &= \frac{ -b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ &= \frac{-5i \pm \sqrt{-109}}{ 2 \times 3} \\ &= \frac{-5i \pm \sqrt{109} \sqrt{-1}}{6}. \end{выровнено} x=2a−b±D=2×3−5i±−109=6−5i±109−1​​.​

Таким образом, корней

x=(−5−1096)iandx=(−5+1096)i. □\begin{array}{c}&x =\left (\frac{-5-\sqrt{109}}{6}\right)i &\text{and} &x = \left(\frac{-5+) \sqrt{109}}{6}\right)i .\end{массив} \ _\square​x=(6−5−109​​)i​and​x=(6−5+109​​) я.​ □​

Основная статья: Формула Эйлера

См. также: Теорема Муавра.

Форма a+bia+bia+bi известна как стандартная форма комплексного числа. Формула Эйлера позволяет представить комплексное число в экспоненциальной форме. 9n \right \}A={(21+3​i​)n} — набор комплексных чисел, где nnn — целое положительное число. Сколько различных элементов в множестве A?A?A?

Основная статья: Комплексные числа в геометрии

Из-за круговых отношений, связанных с комплексными числами, они полезны для многих задач геометрии. Например, вращение точки или твердой фигуры можно выполнить с помощью комплексных чисел гораздо проще, чем это можно сделать с помощью тригонометрии.

Чтобы повернуть точку θ\thetaθ радиан против часовой стрелки вокруг начала координат, 9{\pi i/6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}.eπi/6=23​​+2i​.

Умножьте эти комплексные числа, чтобы получить изображение вращения:

(2+5i32)(32+i2)=3−52+i(1+532).\влево(2+5i\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}}\вправо)\влево (\ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {i} {2} \ right) = \ sqrt {3} — \ frac {5} {2} + i \ left (1+ \ frac { 5\sqrt{3}}{2}\right).(2+5i23​​)(23​​+2i​)=3​−25​+i(1+253​​).

Соответствующая упорядоченная пара: (3−52, 1+532). \left(\sqrt{3}-\frac{5}{2},\ 1+\frac{5\sqrt{3}}{2} \справа).(3​−25​, 1+253​​). □_\квадрат□​

Есть несколько других применений комплексных чисел в геометрии на вики-странице по этой теме.

Цитировать как: Комплексные числа. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/complex-numbers/

Комплексное число — определение, формула, свойства, примеры

Комплексные числа помогают найти квадратный корень из отрицательных чисел. Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.

Комплексные числа находят применение во многих научных исследованиях, обработке сигналов, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике и анализе вибрации. Здесь мы можем понять определение, терминологию, визуализацию комплексных чисел, свойства и операции с комплексными числами.

Что такое комплексные числа?

Комплексное число – это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Здесь и a, и b – действительные числа. Величина «а» называется действительной частью, которая обозначается Re(z), а «b» называется мнимой частью Im(z). Также ib называют мнимым числом.

Примерами комплексных чисел являются \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) и т. д.

Степень of i

Алфавит i называется йотой и полезен для представления мнимой части комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. У нас есть значение i ²  = -1, и оно используется для нахождения значения √-4 = √i ² 4 = 9. 1613 + 2i Значение i ²  = -1 является основным аспектом комплексного числа. Давайте попробуем понять больше о возрастающих силах i.

• я = √-1
• i ²  = -1
• i ³   = i.i ²  = i(-1) = -i
• i ⁴  = (i ² ) ²  = (-1) ²  = 1
• i ⁴ⁿ  = 1
• i ^{4n + 1}  = i
• i ^{4n + 2}  = -1
• i ^{4n + 3}  = -i

График комплексных чисел

Комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, которые можно рассматривать как упорядоченную пару (Re(z), Im(z)) и представлять в виде точек координат на евклидовой плоскости. Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. {-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).

Свойства комплексного номера

Следующие свойства комплексных чисел помогают лучше понять комплексные числа, а также выполнять различные арифметические операции над комплексными числами.

Сопряжение комплексного числа

Сопряжение комплексного числа образуется путем взятия той же действительной части комплексного числа и замены мнимой части комплексного числа на ее аддитивную обратную. Если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то они называются сопряженными комплексными числами. Для комплексного числа z = a + ib его сопряженным является \(\bar z\) = a — ib.

Сумма комплексного числа и его сопряженного равна \(z + \bar z\)  = (a + ib) + (a — ib) = 2a, а произведение этих комплексных чисел \(z.\bar z \) = (a + ib) × (a — ib) = a ²  + b ² .

Обратная величина комплексного числа

Обратная величина комплексных чисел полезна в процессе деления одного комплексного числа на другое комплексное число. {-1}\).

Равенство комплексных чисел

Равенство комплексных чисел аналогично равенству действительных чисел. Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) и \(z_2 = a_2 + ib_2 \) называются равными, если относительная часть обоих комплексных чисел равна \(a_1 = a_2\),  и мнимая части обоих комплексных чисел равны \(b_1 = b_2 \). Кроме того, два комплексных числа в полярной форме равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину, а их аргумент (угол) отличается на целое кратное 2π.

Упорядочивание комплексных чисел

Упорядочивание комплексных чисел невозможно. Действительные числа и другие связанные системы счисления можно упорядочить, но нельзя упорядочить комплексные числа. Комплексные числа не имеют структуры упорядоченного поля, и нет упорядоченности комплексных чисел, совместимой со сложением и умножением. Также нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле есть число \(\neq 0\), а в комплексном числе нетривиальная сумма квадратов равна i ²  + 1 ²  = 0. Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.

Формула Эйлера: В соответствии с формулой Эйлера для любого действительного значения θ мы имеем e ^iθ  = Cosθ + iSinθ, и оно представляет комплексное число в координатной плоскости, где Cosθ – действительная часть, представленная относительно ось x, Sinθ – мнимая часть, представленная относительно оси y, θ – угол, образованный по отношению к оси x и воображаемой линии, соединяющей начало координат и комплексное число. Согласно формуле Эйлера и функциональному представлению x и y имеем e ^{x + iy}  = e ^x (уютно + isiny) = e ^x уютно + т.е. ^x сине. Это разлагает экспоненциальную функцию на ее действительную и мнимую части.

Операции над комплексными числами

Различные операции сложения, вычитания, умножения, деления натуральных чисел можно выполнять и для комплексных чисел. Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.

Сложение комплексных чисел

Сложение комплексных чисел аналогично сложению натуральных чисел. Здесь в комплексных числах действительная часть добавляется к действительной части, а мнимая часть добавляется к мнимой части. Для двух комплексных чисел вида \(z_1 = a + id\) и \(z_2 = c + id\) сумма комплексных чисел \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). Комплексные числа следуют всем следующим свойствам сложения.

• Закон замыкания: Сумма двух комплексных чисел также является комплексным числом. Для двух комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) сумма \(z_1 + z_2\) также является комплексным числом.
• Коммутативный закон: Для двух комплексных чисел \(z_1\), \(z_2\) имеем \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).
• Ассоциативный закон: Для данных трех комплексных чисел \(z_1, z_2, z_3\) имеем \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2)+z_3 \). 2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).

  Умножение комплексных чисел в полярной форме немного отличается от упомянутой выше формы умножения. Здесь абсолютные значения двух комплексных чисел перемножаются, а их аргументы складываются для получения произведения комплексных чисел. Для комплексных чисел \(z_1 = r_1(Cos\theta_1 + iSin\theta_1)\) и  z ₂  = \(z_2 = r_1(Cos\theta_2 + iSin\theta_2)\) произведение комплексные числа \(z_1.z_2 = r_1.r_2(Cos(\theta_1 + \theta_2) + iSin(\theta_1 + \theta_2))\). 92 + 2z_1z_2 +2z_2z_3 +2z_3z_1\)

Связанные темы:

• Комплексное сопряжение
• Калькулятор комплексных чисел
• Тригонометрия
• Координатная плоскость
• Координатная геометрия

Комплексные числа Советы и подсказки:

• Все действительные числа являются комплексными числами, но не все комплексные числа должны быть действительными числами.
• Все мнимые числа являются комплексными числами, но все комплексные числа не обязательно должны быть мнимыми числами. 9{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\[0,2 см]
  &=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\[0,2 см]
  \text{Здесь } &\sqrt{-3} = \sqrt{-1} \times \sqrt{3} = i \sqrt{3}\\[0,2 см]
  x&= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\[0,2 см]
  \end{align} \]

  Таким образом, корнями данного квадратного уравнения являются: \(\frac{-1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,\ , \ frac{-1}{2}- i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Пример 2: Выразите сумму, разность, произведение и частное следующих комплексных чисел в виде комплексного числа.

  \[\begin{align} z_1&=-2+i\\[0.2cm]z_2&= 1-2i \end{align} \]

  Решение:

  Сумма:

  \[ \begin{ выровнять} z_1+z_2&= (-2+i)+(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2+1)+ (i-2i)\\[0,2 см] &= -1-i \end{align}\]

  Разница:

  \[ \begin{align} z_1-z_2&= (-2+i)-(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2-1) + (i+2i)\\[0,2 см] &= -3+3i \end{align}\]

  Продукт:

  \[ \begin{align} z_1\cdot z_2&= (-2+i)( 1-2i)\\[0,2см] &=-2+4i+i-2i^2\\[0,2см] &=-2+4i+i+2 \,\,\, [\потому что i^2 =-1]\\[0,2 см] &=5i \end{выравнивание}\] 92=-1]\\[0,2 см] &= \dfrac{-4-3i}{5}\\[0,2 см] &=- \dfrac{4}{5}- i \dfrac{3}{5 }\end{align}\]

  Следовательно, имеем:

  Сумма = -1 — i
  Разница = -3 + 3i
  Продукт = 5i
  Деление = -4/5 — 3i/5

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о комплексных числах

Что такое комплексные числа в математике?

Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых значений. Обозначается z = a + ib, где a, b — действительные числа, а i — мнимое число. i = \(\sqrt{-1}\) и никакое действительное значение не удовлетворяет уравнению i ²  = -1, поэтому I называется мнимым числом.

Для чего используются комплексные числа?

Комплексное число используется для простого нахождения квадратного корня из отрицательного числа. Здесь мы используем значение i ²  = -1 для представления отрицательного знака числа, что помогает легко найти квадратный корень. Здесь мы имеем √-4 = √i ² 4 = + 2i. {-1}\frac{b}{a} \)).

Что такое действительные и комплексные числа?

Комплексные числа являются частью действительных чисел. Некоторые действительные числа с отрицательным знаком трудно вычислить, и мы представляем отрицательный знак с помощью йоты «i», и такое представление чисел вместе с «i» называется комплексным числом. Дополнительные комплексные числа полезны для нахождения квадратного корня из отрицательного числа, а также для нахождения отрицательных корней квадратного или полиномиального выражения.

Как делить комплексные числа? 92)}\).

Как строить графики комплексных чисел?

Комплексное число вида z = a + ib может быть представлено в плоскости арганда. Комплексное число z = a + ib может быть представлено в виде координат точки как (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Здесь действительная часть представлена ​​относительно оси x, а мнимая часть представлена ​​относительно оси y.

Как преобразовать комплексные числа в полярную форму?

Комплексный номер можно легко преобразовать в полярную форму. {-1}\). 9p$, когда $a$ отрицательно… Но это скрывает некоторые замечательные математические основы, в том числе и особенно странность и удивительность мнимых и комплексных чисел! Давайте познакомимся с этими математическими объектами в этой статье! Наш подход будет в высшей степени геометрическим и, я думаю, гораздо более проницательным, чем тот, которому вы научились (или будете учиться) в школе.

Геометрия $n$-го корня

Чтобы понять, что только что произошло, давайте сосредоточимся на первом равенстве, а именно на $-2 = \sqrt[3]{-8}$. Он гласит: «$-2$ — это кубический корень из $-8$». Но что это значит? 93 = x \times (-2) \times (-2) \times (-2) = x \times (-8)$. Таким образом, теперь мы можем видеть операцию «$\times (-2)$» как операцию над числами, которая при трехкратном применении эквивалентна операции «$\times (-8)$»!

Я до сих пор не знаю, куда ты клонишь…

Вот это самое интересное. Эти операции соответствуют геометрическим преобразованиям числовой прямой (это симметрии)! Например, умножение на $(-2)$ соответствует инвертированию и увеличению в 2 раза. Это то, что делается ниже три раза! 9{1/3}$ на геометрическую фразу: Трижды инвертировать числовую прямую эквивалентно ее однократному инвертированию . Сладко, не так ли?

Да! Но я все равно не вижу в этом смысла…

Хе-хе! Ключевая идея комплексных чисел заключается в следующем вопросе… Является ли $(-1)$ единственным кубическим корнем из $(-1)$?

Думаю, да… Если вы возьмете положительное число, его куб будет положительным… Таким образом, работает только число $-1$…

Не думайте числами! Весь смысл моей конструкции состоял в том, чтобы рассмотреть задачу геометрически!

Гм…

Другими словами, существует ли геометрическая операция над числовой прямой, которая при трехкратном применении соответствует ее инвертированию?

Гм…

Давай! Вы можете найти это!

Я знаю! Как насчет поворота числовой линии на 6 оборота?

Бинго!

На самом деле, есть две такие операции шестого хода, в зависимости от того, по часовой стрелке или против часовой стрелки. Ниже описаны эти две операции, каждая из которых применяется к числовой прямой трижды.

В дополнение к операции «$\times (-1)$» это дает нам всего три кубических корня из $(-1)$!

Есть ли у $(-8)$ несколько кубических корней? А как насчет 6-го корня из $64$?

Отличные вопросы! На самом деле, вы должны попытаться ответить самостоятельно!

Хм… Я думаю, кубический корень из $(-8)$ можно получить за 6-ю часть хода (например, $(-1)$) в сочетании с растяжением числовой прямой, не так ли?

Точно! Точно так же корни 6-й степени из $ 64 $ включают расширение в 2 раза в сочетании с поворотом на одну или две 6-х оборота по часовой стрелке или против часовой стрелки. Плюс еще есть операции «$\times (-2)$» и «$\times 2$». Это дает нам шесть шестых корней из $64$. И, как вы можете догадаться (или доказать!), вообще, любое число имеет $n$ $n$-го корня!

Слышал про квадратный корень из $(-1)$… Получается так же, как мы делали??

Еще раз, ты должен дать мне ответ!

Гм. ..

Другими словами, существует ли геометрическое преобразование, которое при двойном применении к числовой прямой эквивалентно простому ее обращению?

Я знаю! Вращения четверть оборота!

Ну вот! По соглашению мы называем вращение на четверть оборота против часовой стрелки как $i$. Этот $i$ настолько важен, что мы дали ему разные имена… что мне всем не нравится! Он известен как мнимое число (воображаемое? число?), квадратный корень из $(-1)$ или, что хуже всего, $\sqrt{-1}$.

Что не так с $\sqrt{-1}$?

Что очень неправильно, так это то, что $i$ не единственный квадратный корень из $(-1)$. Вращение на четверть оборота по часовой стрелке тоже является квадратным корнем из $(-1)$! Кроме того, если вы не можете написать $\sqrt[3]{-8}$, то вы точно не сможете написать $\sqrt{-1}$!

ОК… Это круто, но я не понимаю, как это решает парадокс введения!

Хе-хе… Теперь мы можем элегантно ответить на этот вопрос!

Решение парадокса

Главный недостаток заключается в неединственности $n$-го корня. Это то, что французский математик XIX века Эварист Галуа назвал неоднозначностью корней $n$-го порядка. Точнее, ни кубического корня из $(-8)$, ни уникальности корня шестой степени из $64$ не существует. В частности, $(-2)$ — это корень шестой степени из $64$, но это не тот корень, на который мы ссылаемся через $\sqrt[6]{64}$. 9{1/6}$. Буквально там говорится, что кубический корень из $(-8)$ является корнем в шестой степени из квадрата $(-8)$.

Хм… не уверен, что понял…

И снова наше спасение придет от геометрии! Геометрически это означает, что операция, эквивалентная $\times (-8)$ при трехкратном применении, равна операции, которая при шестикратном применении эквивалентна двукратному применению $\times (-8)$. Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий это утверждение.

Как видно из рисунка выше, любой кубический корень из $(-8)$ также является корнем 6-й степени из $64$. Действительно, шестикратное применение зеленой операции будет эквивалентно двукратному применению «$\times (-8)$». Но некоторые из корней шестой степени из $64$ не являются кубическими корнями из $(-8)$! Несложно доказать, что это кубический корень из 8$, а другой квадратный корень из 64$. Предлагаю сделать это в качестве упражнения!

Теперь, обозначив $\sqrt[3]{-8}$ множество всех кубических корней из $-8$ и $\sqrt[6]{64}$ множество всех шестых корней из $64$, мы можно элегантно исправить парадокс! Эти обозначения очень нетрадиционны, и меня обвиняют в их использовании. Но я считаю, что это обеспечивает проницательное и красивое решение парадокса. Кроме того, если вы сможете отличить $n$-ые корни от классической записи $\sqrt[n]{x}$ при $x \geq 0$, то вы совершите огромный прорыв в понимании $n$-ые корни. 9Тогда q$ будет корректно определен для любого $q \in \mathbb Q$.

Гомотетии и вращения

Несмотря на проницательность, описания комплексных чисел, которые мы дали до сих пор, не очень строги.

Итак, каково точное определение комплексных чисел?

С геометрической точки зрения комплексные числа следует фактически рассматривать как определенный набор преобразований плоскости, а не линии. Эта плоскость называется сложной плоскостью . Он бесконечен во всех направлениях и имеет единственный центр, называемый 9-м.0549 происхождение . Кроме того, одна из его осей, проходящая через начало координат, известна как прямая с действительными числами . Ось, перпендикулярная линии действительного числа, известна как линия мнимого числа .

Так о каких трансформациях самолета идет речь?

Преобразования, соответствующие комплексным числам, — это те, которые мы использовали до сих пор: гомотетии и повороты с центром в начале координат. Эти две операции и есть симметрии, описанные ниже:

Ключевым аспектом этих операций является то, что можно комбинировать любое количество вращений и гомотетий, а порядок, в котором они комбинируются, не имеет значения. Говоря технически, мы говорим, что все эти геометрические преобразования являются 90 549 ассоциативными 90 552 и 90 549 коммутативными 90 552. Еще одним важным фактом является то, что все обычные числа можно однозначно сопоставить с помощью одной такой геометрической операции. Например, какая операция соответствует числу $2$?

И я предполагаю, что это соответствует гомотетии с коэффициентом 2…

Да, что также известно как «$\times 2$»! А как насчет числа $(-1)$?

Операция «$\times (-1)$» инвертировала числовую прямую… Так что, думаю, это симметрия вдоль воображаемой оси!

Нет… Имейте в виду, что мы можем использовать только гомотетии и повороты!

Арг… Гм… Я знаю! Это пол-оборота!

Отлично! Позвольте мне привести вам последний пример: $(-2)$ является гомотетией множителя 2 в сочетании с поворотом на пол-оборота. Теперь, в более общем смысле, любая комбинация гомотетии и поворота образует комплексные номера .

Подождите… Комплексное число?

Да! Теперь гомотетия определяется положительным фактором, называемым по модулю , и обычно обозначается $\rho$. По соглашению вращение определяется углом 90 545 против часовой стрелки на 90 548 оборотов, называемым 90 549 аргументом 90 552 и часто обозначаемым $\theta$. Поскольку эти два параметра однозначно определяют комбинацию гомотетии и поворота, каждое комплексное число может быть представлено парой $(\rho, \theta)$. 9* \times SO(3)) \cup \{0\}$ (технически «повороты» $\mathbb H$ образуют двойное покрытие $SO(3)$). Однако кватернионы немного сложнее, поскольку они не коммутативны. Действительно, как вы можете видеть, играя в кубик Рубика, два вращения в пространстве вообще не коммутируют. Если можно, напишите о кватернионах!

А любое число является комплексным?

Ну, как мы уже говорили, любое положительное число — это просто гомотетия. Это включает поворот на угол $0$. Таким образом, любое положительное число $x$ является комплексным числом $(x, 0)$. Теперь, если $x$ — положительное число, то $(-x)$ соответствует гомотетии множителя $x$ и половины оборота. Поскольку полуоборот соответствует углу $\pi$, число $(-x)$, таким образом, является комплексным числом $(x, \pi)$.

Что? Половина оборота равна $\pi$? Не лучше ли дать полному обороту имя вроде $\tau$, а половинному обороту назвать $\tau/2$?

Я знаю! Некоторые математики даже считают, что $\pi$ следует убрать из всех уравнений и заменить на $\pi = \tau/2$. Есть даже манифест, подтверждающий это… как вы можете видеть в следующем замечательном видео от ViHart:

Лично я предпочитаю $\tau$ $\pi$… Поскольку вы, вероятно, выучили $\pi$, я постараюсь вставить его в эту статью, но большую часть я буду делать с $\tau$. В частности, обратите внимание, что если $x > 0$, то $(-x)$ — это комплексное число $(x, \tau/2)$.

Как насчет числа ноль?

Хм… Хорошее замечание. Нам нужно новое преобразование, соответствующее нулю! Это преобразование состоит в свертывании всей комплексной плоскости в ее начало.

Меня беспокоит одно… Вы говорили, что комплексные числа — это геометрические преобразования? В каком возможном смысле они являются числами?

Точно не в явном! Но, во-первых, мы можем умножать комплексные числа. Это соответствует последовательному выполнению геометрических операций, связанных с комплексными числами. И что прекрасно, так это то, что у этого есть алгебраический перевод! Под этим я подразумеваю, что умножение $(\rho_1, \theta_1)$ на $(\rho_2, \theta_2)$ соответствует двум гомотетиям на множители $\rho_1$ и $\rho_2$ и двум поворотам углов $\theta_1 $ и $\тета_2$. Теперь две гомотетии множителей $\rho_1$ и $\rho_2$ объединяются в гомотетию множителя $\rho_1 \times \rho_2$, а два поворота углов $\theta_1$ и $\theta_2$ приводят к повороту угла $\тета_1+\тета_2$. Таким образом, мы имеем произведение $(\rho_1, \theta_1) \times (\rho_2, \theta_2) = (\rho_1 \times \rho_2, \theta_1 + \theta_2)$. Насколько это сладко? 9{it}$ дает элегантное описание этих движений, что значительно облегчает вычисления! Но это все еще только верхушка айсберга. Чтобы раскрыть истинную магию комплексных чисел, нам нужно копнуть глубже!

Точки комплексной плоскости

В 19 веке немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, король математики, представил мощную визуализацию комплексных чисел. Чтобы добраться туда, обратите внимание на невероятный факт, что $1 \times x=x$, когда $x$ — число. Таким образом, если я покажу вам геометрическое преобразование «$\times x$», то вы легко сможете найти, какое $x$ я выбрал, посмотрев, в какую точку отправлено число $1$. Точно так же, если я дам вам геометрическое преобразование $(\rho, \theta)$, то вы сможете узнать значения $\rho$ и $\theta$, так как они будут полярными координатами точки $1$ отправляется! Эта точка называется 9.0549 изображение из 1.

Полярные координаты? Можете ли вы привести пример?

Конечно! Ниже приведена комбинация гомотетии в 2 раза и поворота на угол $2\tau/3$ (2/3 оборота).

Коэффициент гомотетии $\rho$ – это расстояние между образом 1 и началом координат, а угол поворота $\theta$ – это угол (против часовой стрелки) от $1$ до его образа.

Похоже на полярные координаты!

Точно! Это показывает, что любое геометрическое преобразование можно перевести в точку на комплексной плоскости, полярные координаты которой задаются коэффициентом гомотетии и углом поворота! И это взаимно однозначное соответствие между геометрическими преобразованиями и точками! Таким образом, мы можем отождествить геометрическое преобразование с точками на комплексных плоскостях. 92$. Таким образом, мы можем отождествить оба множества, и мы называем их оба $\mathbb C$.

Можно ли перевести эти координаты обратно в классические декартовы?

Да! Но перед этим давайте сначала посмотрим, с какой точкой комплексной плоскости связано геометрическое преобразование $i$:

Итак, $i$ — это точка прямо над началом координат? Забавно…

Я знаю! Что также особенно интересно, так это то, что теперь мы можем описывать евклидову планарную геометрию с помощью комплексных чисел!

Векторы комплексной плоскости

Чтобы завершить построение комплексных чисел, нам нужно связать любую точку комплексной плоскости с вектором.

Вектор? Что это за фигня?

Вектор — это движение в комплексной плоскости. Это движение часто изображается стрелкой от начальной точки к конечной. Но важно помнить, что вектор соответствует движению, а не стрелке. Две стрелки могут соответствовать одному и тому же движению, даже если они не начинаются в одних и тех же начальных точках, как показано стрелками одного цвета на рисунке справа.

Так как же связать любую точку комплексной плоскости с вектором?

Учитывая точку на комплексной плоскости, мы можем провести стрелку из начала координат в эту точку. Этот вектор, связанный с этой стрелкой, будет вектором, связанным с точкой комплексной плоскости. Например, $i$ связано со стрелкой от $0$ до $i$, что соответствует зеленым стрелкам на рисунке справа.

Кажется, я понял… Но какой смысл в сопоставлении точек с векторами?

Теперь мы можем определять сложение комплексных чисел!

Как нам это сделать?

Комбинируя движения, связанные с векторами! Например, сочетание фиолетового и зеленого движений — это движение на одну единицу вправо и на две единицы вверх. Это эквивалентно только синему движению! Это означает, что $фиолетовый + зеленый = синий$. И это можно визуализировать геометрически, если фиолетовая и синяя стрелки начинаются в одной точке, а зеленая стрелка помещается в конец фиолетовой стрелки. Фиолетовые, зеленые и синие стрелки должны образовать треугольник, как показано ниже:

А поскольку все векторы соответствуют комплексным числам, теперь мы можем складывать комплексные числа, складывая соответствующие им векторы!

Круто!

Теперь самое главное. Все векторы можно однозначно разложить на сумму $1$ и $i$ . Например, фиолетовый вектор можно получить комбинацией вектора, связанного с $1$, и вектора, связанного с $i$. Таким образом, $purple = 1+i$. Точно так же синий вектор представляет собой комбинацию $1$ и двух умноженных на $i$. Следовательно, $blue = 1+2i$.

Значит, все векторы есть определенное количество раз $1$ плюс определенное количество раз $i$?

Точно! А так как все векторы соответствуют комплексным числам, то все комплексные числа можно записать как $a+bi$, где $a$ и $b$ — обычные числа. Это разложение позволяет выполнять простые вычисления сложения комплексных чисел! В самом деле, если рассмотреть любые два комплексных числа $z_1$ и $z_2$, то мы уже знаем, что каждое из них можно разложить как $z_1 = a_1+b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$. Тогда сумма $z_1$ и $z_2$ определяется как $z_1 + z_2 = (a_1+b_1i) + (a_2+b_2i) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$.

Следует также отметить, что каждому комплексному числу $z$ также соответствует операция «$+z$» над точками комплексной плоскости. Геометрически эта операция состоит в переносе вектора, которому соответствует $z$. Фактически это отображение $z$ в $+z$ является изоморфизмом евклидова векторного пространства между пространством комплексных чисел и множеством сдвигов комплексной плоскости.

Это декартово описание комплексных чисел было бы весьма полезным, если бы не более общий подход линейной алгебры к определению векторов. 92$. В частности, это дает пространству $(\mathbb C, +)$ структуру коммутативной группы. Этот изоморфизм тривиален для классического построения комплексных чисел, но в построении этой статьи он весьма впечатляет! Напомним, что мы ввели $\mathbb C$ как комбинацию гомотетий и поворотов!

Поле комплексных чисел

Подведем итог тому, что мы уже обсуждали. Прелесть комплексных чисел в том, что их можно отождествить с несколькими различными математическими объектами. Их можно рассматривать как комбинации гомотетий и поворотов комплексной плоскости, как точки на комплексной плоскости и как векторы на комплексных плоскостях. Первое понимание комплексных чисел описывает умножение, а третье — сложение. Размышление о каждом из значений комплексных чисел по отдельности уже довольно завораживает, но поистине умопомрачительное свойство комплексных чисел проявляется, когда мы их смешиваем!

Что ты имеешь в виду?

Посмотрим, что получится, если у нас есть и умножение, и сложение! В частности, давайте сосредоточимся на простейшем возможном случае, а именно на $(x+y) \times z$, где $x$, $y$ и $z$ — комплексные числа.

Гм… не знаю, с чего начать!

Ну, выражение начинается со сложения $x$ и $y$…

ОК… Итак, чтобы выполнить сложение, нам нужно думать об этих комплексных числах как о векторах, верно?

Точно! Нарисуем $x$, $y$ и их сумму $x+y$. Но тогда нам нужно умножить эти члены на $z$. Как мы это делаем?

Я знаю! Нам нужно думать о $z$ как о $\times z$, что является комбинацией поворота и гомотетии!

Очень хорошо! Это означает, что $xz$, $yz$ и $(x+y)z$ будут образом геометрического преобразования $\times z$ $x$, $y$ и $z$. Вот что нарисовано ниже:

Теперь происходит волшебство, когда мы замечаем, что любое геометрическое преобразование $\times z$ сохраняет формы треугольников. В результате треугольник $x$, $y$, $x+y$ трансформируется в треугольник $xz$, $yz$, $(x+y)z$. А это значит, что сумма сторон $xz$ и $yz$ равна последней стороне $(x+y)z$! Другими словами, $xz+yz=(x+y)z$. это главное 92$ по-прежнему действительны для комплексных чисел! Именно это сильное сходство с манипуляциями привело математиков к тому, чтобы называть комплексные числа… числами. В терминах чистой алгебры мы говорим, что комплексные числа образуют поле .

Заключение

Подытожим: комплексное число — очень сложный математический объект, который можно рассматривать под разными углами. В основном его можно рассматривать как комбинацию гомотетии и вращения, как точку на комплексной плоскости или как вектор размерности 2. Эти три интерпретации показаны ниже.

Но что делает комплексные числа такими особенными, так это не разные углы, под которыми их можно увидеть, а их комбинация, вроде того, как квантовые объекты не являются просто классическими волнами или классическими частицами. А именно, раскрывается полная природа комплексных чисел, поскольку они рассматриваются как поле. В частности, именно к этой области применяется основная теорема алгебры .

Что это за теорема?

Эта теорема, впервые доказанная Карлом Фридрихом Гауссом, утверждает, что все полиномиальные комплексные уравнения имеют решения. Это так просто. Это свойство также известно как тот факт, что комплексные числа образуют 92+1)\mathbb R[X]$ и, таким образом, является полем. Это так красиво, что я чуть не заплакал, когда впервые увидел это!

В чем смысл этой теоремы?

Теперь можно решить гораздо больше уравнений! И я говорю не только о полиномиальных уравнениях. Что еще более важно, естественные и простые решения появляются в дифференциальных уравнениях, электромагнетизме, поиске собственных значений, преобразовании Фурье и теории чисел среди многих других областей. В частности, комплексные числа оказались подходящей структурой для описания физики элементарных частиц! Прочтите мою статью о динамике волновой функции в квантовой механике, чтобы увидеть комплексные числа в действии!

Объяснение комплексных чисел.

Когда мы думаем о комплексных числах, мы… | Бретт Берри | Math Hacks

Когда мы думаем о комплексных числах, мы часто думаем о выполнении алгебры с этим странным термином i , и все это кажется немного произвольным и легко забываемым. На самом деле то, что мы делаем, осязаемо и может быть визуализировано.

Так что будьте готовы.

После этого поста вы, вероятно, никогда больше не будете думать о комплексных числах как раньше… и да, это хорошо.

Примечание: Если вы не знаете, что такое мнимые числа и как они работают на сложной плоскости, проверьте этот пост .

Комплексные числа представляют собой сумму действительного и мнимого чисел, представленную как a + b i. Используя комплексную плоскость, мы можем отображать комплексные числа подобно тому, как мы наносим координаты на декартовой плоскости.

Вот несколько примеров:

3 + 2 i

1 – 4 i

-3 + 3,5 i

Просто поставьте точку на пересечении реальной части, расположенной на горизонтальной оси, и мнимой части, расположенной на вертикальной оси .

Это самая простая и интуитивно понятная операция. Добавление/вычитание действительных чисел переводит точку вправо/влево на действительной оси, а добавление/вычитание мнимых чисел переводит точку вверх/вниз по мнимой оси.

Арифметически это работает так же, как объединение одинаковых терминов в алгебре.

Например, если мы вычтем 1 – 4 i из 3 + 2 i, , мы просто вычислим реальную разницу:

3 – 1 = 2,

и мнимую разницу:

2 i – (-4 i ) = 2 i + 4 i = 6 i.

Это то же самое, что нарисовать точку 3+2 i и перевести ее влево 1 единица и до 4 шт. . Полученная точка и есть ответ: 2+6 i.

Мы также можем думать об этих точках как о векторах .

Сначала распределите знак минус, чтобы получилось сложение: (3+2 i ) + (-1+4 i ).

Затем нанесите две точки с отрезками, исходящими из начала координат.

Чтобы добавить эти точки, просто сложите одну поверх другой. Поскольку сложение коммутативно, не имеет значения, как мы их складываем.

Это может показаться излишеством, но вот в чем дело: понимание векторного представления значительно облегчит умножение и деление комплексных чисел.

Эта операция менее очевидна и оставляет нас в недоумении:

Что означает умножение двух комплексных чисел?

В общем, мы знаем, что умножение на действительное число масштабирует значение, и мы узнали в последнем посте, что умножение на i поворачивает значение на 90˚ против часовой стрелки, а как насчет этого?

Чтобы лучше понять, давайте распределим первый двучлен через второй.

Хорошо, теперь мы можем выполнить сложение, сложив векторы после выполнения преобразований. Давайте попробуем.

Сначала имеем (3+2 i )(1), что равно (3+2 i ) в масштабе 1. ). Здесь происходят две вещи: масштабирование и вращение.

Сначала увеличим его в 4 раза, умножив (4)(3+2 и ), чтобы получить (12 + 8 и ).

Еще надо умножить на — т.е. Вспомните умножив на — i это 90˚ поворот по часовой стрелке .

Примечание: Это соответствует алгебре, если бы мы подставили в i = √-1:

Последний шаг — выполнить сложение путем суммирования векторов.

Наш окончательный ответ: 11 – 10 i .

Теперь вы можете подумать,

«Бретт, почему мы не можем просто решить это с помощью алгебры??»

И это правда, мы можем решить это с помощью алгебры. На самом деле, это самый эффективный способ решения проблемы (хотя ему не хватает понимания, которое вы получаете, рисуя графики).

Я был бы паршивым математиком, если бы не показал вам оба пути. Итак, для всех моих любящих алгебру друзей, вот как расширить и упростить приведенную выше задачу:

Давайте разделим (3+2 i )/(1–4 i ).

В этот момент вы можете подумать, что можете просто разделить действительные и мнимые части… но не так быстро.

Нет! Даже не думай!!

Как и в алгебре, мы должны разделить знаменатель на оба члена числителя, что оставляет нас с той же проблемой:

Что на самом деле означает деление на комплексное число?

По правде говоря, это сбивает с толку, и этому нет хорошего объяснения. Было бы неплохо, если бы мы могли избавиться от мнимого числа в знаменателе??

Хорошие новости → Именно этим мы и займемся!

Комплексное сопряжение

Ключом к решению этой проблемы является выяснение того, как преобразовать знаменатель в обычное действительное число.

Проще всего это сделать с помощью комплексного сопряжения .

Чтобы найти комплексное сопряжение, просто переверните знак мнимой части. Например, комплексное сопряжение (1–4 90 545 i 90 548 ) равно (1 + 4 90 545 i 90 548 ).

Когда я умножаю их вместе, я получаю 17:

Конечно, я не могу просто умножить знаменатель на (1+4 i ). Как и любая дробь, если я хочу умножить знаменатель на значение, я должен также умножить числитель на это значение.

Теперь это имеет смысл. У нас есть два комплексных числа, которые умножаются в числителе, с которым мы знаем, как обращаться из предыдущего раздела, и мы масштабируем все это на 1/17.

Вы можете решить это с помощью графика или использовать ярлык алгебры:

Это было не так уж и плохо, не так ли?

Что мне нравится в том, что проблемы решаются несколькими способами, так это то, что вы получаете возможность по-настоящему познакомиться с концепцией и полностью понять ее так, как вы бы не смогли, если бы не видели оба метода. Мало того, что у вас больше шансов наткнуться на заветную ага! На данный момент в вашем арсенале теперь гораздо больше инструментов для решения более сложных задач.

Спасибо за внимание!

Реальность мнимых чисел

Несколько лет назад я обучал студента-психолога кое-какой предварительной математике, необходимой для занятий по статистике.

Мы говорили о…

medium.com

Как визуально «заполнить квадрат»

и проблемы с запоминанием

medium.com

Ходьба пьяницы и объяснение процессов Маркова

9000 Случайные блуждания

medium.com

10 главных тайн треугольника Паскаля 9x$ и $\log(x)$), векторы и матрицы, степенные ряды. Сложные моменты отмечены. (Для студентов в Великобритании начальные разделы должны быть доступны для всех, кто сдает экзамен GCSE или выше, но некоторые из более поздних разделов соответствуют стандарту A-level.) Повсюду есть упражнения для вы, чтобы проверить свое понимание, с ответами на спине.

Я пытался сделать упражнения менее похожими на стандартные вычислительные, которые вы получаете в школе, но это означает, что некоторые из них довольно сложны.

В этой статье я использовал радианы и градусы для измерения углов. Вы, возможно, не видели, чтобы раньше использовались радианы, это просто еще один способ измерения углов. 2)$ через $\textrm{Re}(z)$ и $\textrm{Im} (г)$. 9п$? Для тех из вас, кто встречался с математической индукцией, можете ли вы это доказать?

Плоскость Аргана

Мы еще не добрались до самого удивительного в комплексных числах — геометрической интерпретации. Как вы знаете, комплексное число $z$ можно записать как $a+i b$, где $a$ и $b$ — вещественные числа. Если вы когда-либо работали с векторами, это будет выглядеть очень знакомо, 2D-вектор можно записать как $a\mathbf{i} +b\mathbf{j}$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j} $ — единичные векторы. Итак, комплексное число $z = a+i b$ соответствует точке на двумерной плоскости, заданной как $a\mathbf{i} +b\mathbf{j}$. Если вы не создали векторы, используя приведенные выше обозначения, $a+ib$ просто соответствует точке в 2D с координатами $x$ $a$ и $y$-координатой $b$.

Как насчет суммы двух комплексных чисел, $z+w$. Оказывается, сложить два комплексных числа — это то же самое, что сложить два вектора. Если вы не знаете, как сложить два вектора, посмотрите на следующую картинку:

Итак, сложение векторов соответствует сложению комплексных чисел. Двумерная плоскость комплексных чисел называется плоскостью Аргана или диаграммой Аргана. Что ж, это мило, но не так здорово. Удивительно, что происходит, когда вы умножаете два вектора. Прежде чем мы перейдем к этому, нам нужна пара новых идей. 9{-1} (\textrm{Im}(z) /\textrm{Re}(z))$ (если только $\textrm{Re}(z) = 0$). Надеюсь, следующий рисунок объясняет модуль и аргумент комплексного числа:

Упражнение 12 Пусть $w = (1+i)/\sqrt{2}.$ Что такое $|w|$ и $\arg(w )$?

Упражнение 13 Что такое $|z|-|\textrm{Conj}(z)|$? Объясните геометрически, что такое $\textrm{Conj}(z)$ в терминах $z$. Используя это, что такое $\arg(\textrm{Conj}(z))+\arg(z)$?

Теперь мы можем обсудить удивительную вещь, связанную с геометрией комплексных чисел. Если $z$ и $w$ — два комплексных числа, то $|z w| = | г | |w|$ и $\arg(z w) = \arg(z)+\arg(w)$. Другими словами, если вы умножаете два комплексных числа, вы умножаете их длины и складываете их углы. Мы не сможем доказать второе уравнение до следующего раздела, но мы можем доказать первое. Если $z = a+i b$ и $w = x+i y$, то $z w = (a x- b y)+i(a y+b x)$. Так 9{\ circ} / п) $. Найдите все $n$ решений относительно этого решения.

Полярные координаты и формула де Муавра

Помимо $a+i b$ существует и другой способ записи комплексных чисел. Поскольку комплексное число похоже на точку на комплексной плоскости, мы можем вычислить расстояние от этой точки до начала координат, $r$, и угол, который линия от начала до точки образует с осью $x$. , $\тета$. После того, как мы разобрались с ними, мы можем записать комплексное число как $(r,\theta)$, это называется записью в полярных координатах. Эти числа $r$ и $\theta$ — это просто модуль и аргумент $x+i y$, с которыми мы познакомились выше.

Итак, комплексное число $z = a+i b$ можно записать как $z = (|z|,\arg(z))$. Кроме того, для заданного комплексного числа $(r,\theta)$ мы можем преобразовать его в обозначение $x+i y$ (это то, о чем Q1) как $(r, \theta) = r(\cos\theta +i \sin\тета)$.

Итак, мы можем переключаться между двумя разными способами записи комплексных чисел, но какой в ​​этом смысл? Ну, это очень полезно по причине, которая станет очевидной, если вы прочитаете следующий раздел (что немного сложнее), но также полезно по нескольким другим причинам. 7} {7!} + \dots$$ 9{-z}] /2$. Найдите разложение в степенной ряд для $\cosh(z)$ и докажите, что $\cosh(i z) = \cos(z)$.

Прикольная штука

Теперь мы знаем основы работы сложных чисел, что мы можем с ними делать?

Предположим, у нас есть комплексное число $z = (r, \theta)$ в полярных координатах и ​​другое комплексное число $w = (1, \phi)$ с модулем 1. Произведение этих двух комплексных чисел равно $z w = (г, \тета + \фи)$. Другими словами, $z w$ — это $z$, повернутый на угол $\phi$. Мы можем использовать их для расчета матрицы, которая поворачивает вектор на угол $\phi$. Предположим, что $z = x+i y$ и $w = (1, \phi) = \cos\phi + i\sin\phi$, тогда $z w = (x+i y)(\cos\phi + i\sin\phi) = (x\cos\phi — y\sin\phi) + i(x\sin\phi + y\cos\phi)$. Другими словами, $x$-координата (эквивалентная действительной части комплексного числа) вектора, повернутого на угол $\phi$, равна $x’ = xcos\phi — y\sin\phi$ и координата $y$ (мнимая часть) равна $y’ = xsin\phi — y\cos\phi$. Мы можем представить это как произведение матрицы:

\[\left( \begin{array}{c} x’\\ y’\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos\phi & -\sin\ phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{массив}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{массив}\right)\]

Другими словами , матрица вращения $M$, которая поворачивает вектор $\textbf{v}$ в вектор $M\mathbf{v}$ на угол $\phi$, равна:

\[\mathbf{M} = \left (\begin{array}{cc} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{array}\right)\]

В начале я упоминал, что вы можете решить любое полиномиальное уравнение, используя комплексные числа, это известно как основная теорема алгебры, и известный математик, известный как Гаусс, дал около 98 = 1$. Это называется восьмым корнем из единицы.

Ответ 8 $ \quad X = \pm i$.

Ответ 9 $ \quad X = \pm w = \pm 1+i /\sqrt{2}$. Другими решениями являются $- w$ , $i w$ и $- i w$.

Ответ 10 Решение с использованием квадратичной формулы $$ x = \frac { -2\pm i \sqrt{4-8}} {2}\ = 1\pm \sqrt{-1}\ = — 1 \pm i $$

Ответ 11 Раскрывая каждое из уравнений и упрощая, мы получаем 1 в каждом случае (включая общий случай). Доказательство см. в разделе о формуле де Муавра. 9n) = n\arg(z)$.

Ответ 15 Используя подсказку, что $z = (z /w )w$ и тот факт, что $|u v| = |и| |v|$ получаем, что $|z| = |(z/w)| |w|$ , поэтому $|(z /w )| = | г | /|ш|$ . Точно так же, взяв аргумент обеих сторон, мы получаем $\arg(z) = \arg(z/w)+\arg(w)$ и, таким образом, $\arg(z/w) = \arg(z)- \ аргумент(ш)$.

Ответ 16 $\quad |z| = r$ и $\arg(z) = \theta$. Итак, $z = |z| (\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))$. Теперь мы можем доказать, что $|z w| = | г | |w|$ и $\arg(z w) = \arg(z)+\arg(w)$, раскрывая скобки, используя это разложение $z$ и $w$ и тригонометрическую формулу для $\cos(A +B) = \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$ и $\sin(A+B) = \cos(A)\sin(B)+\sin(A)\sin(B)$.
Итак, если $|z| = г_1, |ш| = r_2$, $\arg(z) = \theta_1$ и $\arg(w) = \theta_2$, то $z = r_1 (\cos\theta_1 +i\sin\theta_1)$ и $w = = r_2 ( \cos\theta_2 +i\sin\theta_2)$. Расширение

\begin{eqnarray} z w &=& r_{1} r_{2}\cos\theta_{1} +i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2} +i\sin \theta_{2})\\ &=& r_{1} r_{2} ((\cos\theta_{1} \cos\theta_{2} — \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} )+i(\cos\theta_{1} \sin\theta_{2} + \cos\theta_{2} \sin\theta_{1} )) \\ &=& r_1 r_2 (\cos(\theta_{1 } + \theta_{2} )+i\sin(\theta_{1} + \theta_{2} )) \end{eqnarray} 9{-z}] /2$ тогда $\sinh(i z) = i\sin(z)$. Кроме того, $\cos(i z) = \cosh(z)$ и $\sin(i z) = i\sinh(z)$.

Cool Stuff

Ответ 25 Мы пытаемся доказать это по индукции, поэтому нам нужно сначала доказать, что это верно для $n = 1$. Если $n = 1$, то $p(z) = z + a_0$ для некоторого комплексного числа $a_0$. В этом случае $p(z)$ можно записать как $p(z) = (x- (- a_0 ))$, и теорема верна. Далее нам нужно доказать, что если это верно для $n$, то верно и для $n+1$.

Построение графиков функций заданных параметрически: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

alexxlab / 07.10.197030.07.2021 / Разное

«Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически»

Полякова О.Л.

Доклад

ОСОБЕННОСТИ Построения графиков функций

заданных неявно и параметрически

Из курса математического анализа известен стандартный алгоритм исследования явно заданных функций (область определения; множество значений; четность – нечетность; асимптоты; периодичность; нули; экстремумы; интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости; точки перегиба). При параметрическом или неявном задании функции существует ряд специфических особенностей, отличающих построение графиков этих функций. Рассмотрим эти особенности на примерах.

Пример 1. Построить график функции [2, с. 126].

Сначала строим графики функций и соответственно в системах координат и .

1 а)

Рис. 1 б)

Учитывая графическое изображение функций и , исследуем функцию по схеме [3].

1. Область определения функции: .

2. Множество значений функции: .

3. Таккак — функция общего вида, а — нечетная функция, то симметрииграфик не имеет.

4. При исследовании функции заданной параметрически, необходимо найти

особые точки (точка особая точка кривой, если ) и определить их вид.

Пусть, — первая отличная от нуля производная и — первая из производных, не коллинеарных вектору . Тогда если:

Рис. 2 а)

Рис. 2 б)

Точка является особой точкой кривой, так как производные первого порядка: равны нулю при . Определяем тип особой точки, для этого вычисляем вторую и третью производные:

Таким образом, точка – точка возврата первого рода.

5. Точки самопересечения находим из условия , решая систему:

.

Так как , значит, кривая не имеет точек самопересечения.

7. Угловой коэффициент касательной:

.

При и при , т.е. в точках с координатами , и касательные параллельны оси абсцисс; при , т.е. в точке с координатами касательная параллельна оси ординат.

7. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

Точка – точка минимума; точки , – точки максимума; при и при функция убывает; при , и при функция возрастает.

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Так как вторая производная

отлична от нуля, следовательно кривая не имеет точек перегиба; при и при кривая выпукла вверх; при и при кривая выпукла вниз.

7. Асимптоты.

Прямая является наклонной асимптотой, т.к.

; .

Прямая наклонная асимптота, так как при , , и .

Прямая  вертикальная асимптота, т.к. при .

Горизонтальных асимптот кривая не имеет.

7. График функции (рис. 3):

Рисунок 3 — График функции

При исследовании и построении графика функции заданной неявно также определяют особые точки кривой.

Точка кривой называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:

Если в особой точке производные второго порядка не равны одновременно нулю, тогда точка является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки зависит от знака определителя

.

Возможные случаи изображены на рисунке [1, с. 271]:

а) узловая точка

Рис. 4 б) изолированная точка

Рис. 4 в) точка возврата первого рода

4 г) точка возврата второго рода

Рис. 4 д) точка самокасания

Пример 2. Построить график функции [1, с.182].

1. Область определения находим, решая уравнение:

Откуда, область определения первой ветви , второй ветви —

2. Кривая симметрична относительно координатных осей.

3. Точки пересечения кривой с осями координат:

4. Асимптоты. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет, так как коэффициенты при высших степенях и постоянные величины. Наклонные асимптоты находим из условия:

,

приравнивая к нулю коэффициенты при , . Получаем и — наклонные асимптоты искомой кривой.

5. Особые точки:

Точка является особой двойной точкой, так как и производные второго порядка в этой точке одновременно не равны нулю. Т.к. точка с координатами узловая точка.

Найдем касательные к кривой в особой точке, для этого приравняем к нулю коэффициенты при низших степенях:

,

Таким образом, прямые и – две касательные к кривой в особой точке.

6. Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс, найдем, решив систему:

.

В точках , касательные параллельны оси абсцисс. Исследуем их на экстремум. Так как в точке , то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точках с координатами произведение , следовательно это точки минимума.

Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат, найдем, решив систему:

.

В точках с координатами , касательные параллельны оси ординат. Исследуем их на экстремум. Так как в точке , то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами , принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точке с координатами – минимум, так как произведение .

7. Точкиперегиба находим, приравняв к нулю вторую производную:

,

очевидно, точка перегиба.

8. График функции (рис. 5):

Рис. 5 — График функции

Исследовать кривую – значит выявить совокупность важнейших свойств, дающих исчерпывающую информацию для изображения графика этой кривой. В целом, алгоритм исследования параметрических и неявно заданных функций совпадает с алгоритмом исследования функций заданных явно. Однако, существуют следующая специфическая особенность отличающая исследование этих функций от функций заданных явно, заключающаяся в нахождении особых точек и точек самопересечения.

При исследовании параметрических функций часто возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, так как это исследование требует нахождения второй производной функции, которая представляет собой громоздкое выражение и решить уравнение точными методами не удается, необходимо прибегать к численным методам. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций: из-за сложных выражений второй производной определять точки перегиба приходится методом подбора (интуитивно) или же не определять вовсе.

Библиографический список:

1. Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: Наук. думка, 1979. – 320 с.

2. Райхмист Р. Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1991. – 160 с.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук › Построение графиков функций, заданных параметрически (функция ParametricPlot) [страница — 203] | Самоучители по математическим пакетам

Построение графиков функций, заданных параметрически (функция ParametricPlot)

Функция ParametricPlot позволяет рисовать кривые и семейства кривых, заданных параметрически. Эта функция имеет те же опции, что и функция Plot. В некотором смысле эта функция универсальна. Если не учитывать неявно заданных функций, то именно функция ParametricPlot позволяет построить графики всех мыслимых функций, включая и многозначные.

Без проблем строятся и графики, заданные в полярной системе координат. Фигуры Лиссажу, кривые Уатта, овалы Кассини, Декарта, Мюнгера, улитки Паскаля, однолистники, листы Декарта, всевозможные розы и розетки, рулеты, годографы, эволюты и эвольвенты всех мыслимых и немыслимых кривых, циклоиды, всевозможные спирали, циссоиды, конхоиды, строфоиды, астроиды, кардиоиды, неоиды, лемнискаты, узлы, квадратрисы, клотоиды, кохлеоиды, трохоиды, элипсиды, катакаустики, всевозможные параболы, локсодромы и лоциклики, трезубцы, трисектрисы, трилистники, верзиеры, брахистохроны, подэры, кривые с именами древнегреческих и средневековых ученых – вот далеко не полный перечень всевозможного зверья, которое может быть нарисовано функцией ParametricPlot.

Пример 9.3. Фигуры Лиссажу.

Это классический пример применения функции ParametricPlot. Рисуются эти фигуры совсем просто, и потому мы нарисуем сразу несколько.

Пример 9.4. Розы и розетки.

Эти цветы весьма многочисленны, выглядят, как правило, очень мило и легко рисуются. Процесс вычерчивания совсем прост, если предварительно определить следующую функцию.

PolarR[a1,a2_,omega_,phi_] := Module[{r=a1+a2*Cos[omega*phi]},<r*Coi[phi],r*Sin[phi]}]

Вот как, например, с помощью этой функции рисуется многолепестковая роза.

А вот еще один милый цветок.

Цветы эти столь разнообразны, что согласия относительно количества их видов нет. Одни насчитывают более полтора десятка видов, другие – не менее сотни.

Построение графика функции, заданной в параметрической форме. — Студопедия

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

РАДИОВУЗ МАИ

О.М.Данченко

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МОСКВА

 

О.М. ДАНЧЕНКО

Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по математическому анализу – М.; РАДИОВТУЗ, 2012г., — 36 с.

 

 

Данное пособие содержит типовые задачи для индивидуальных заданий студентов-заочников по курсу «Математический анализ» часть 1. Ко всем задачам приводятся подробные решения и указания. Приведенные задания в равной степени могут использоваться студентами очного отделения при подготовке к экзамену. В приложении приведена подробная программа курса по «Математическому анализу» часть 1.

 

 

РАДИОВТУЗ 2012

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или в параметрической форме……………………………………………………………




Вычисление пределов последовательностей и функций…………………………

Исследование функций на непрерывность………………………………………..

Вычисление производных………………………………………………………….

Исследование функций с помощью производных, построение графиков функций……………………………………………………………………………..

Задания на вычисление интегралов……………………………………………….

Приложения…………………………………………………………………………

Введение

В процессе изучения курса «Математический анализ» предусмотрено выполнение студентами индивидуальных домашних заданий в каждом семестре. Индивидуальное домашнее задание 1-ого семестра содержит следующие задачи:

1. Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или заданных в параметрической форме.

2. Вычисление пределов последовательностей и функций.

3. Исследование функций на непрерывность.

4. Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно или в параметрической форме.

5. Исследование функций с помощью производных, построение графика функции.

6. Вычисление неопределенного и определенного интегралов.

Рассмотрим далее типовые примеры на каждое из заданий и укажем методы их решения.

Построение графиков функций, заданных в простой полярной системе координат.

Простая полярная система координат характеризуется следующим:

ρ=ρ(φ); 0≤ρ<+∞; 0≤φ≤2π(1)

Положительные углы φотсчитываются от полярной оси (совпадающей с положительным направлением оси ОХ) против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. При построении графика функции в соответствии с уравнениями (1) следует придерживаться следующего порядка действий:




а) указать область допустимых значений (О.Д.З.), т.е. определить при каких углах φфункция ρ(φ) – неотрицательна, т.е. ρ(φ)≥ 0;

б) найти область изменения функции;

в) указать является ли функция четной или нечетной, т.е. если ρ(-φ) = ρ(φ),то график функции симметричен относительно полярной оси и, следовательно, достаточно сделать исследования для φ≥0.После данных исследований следует построить кривую по точкам.

Пример: построить график функции в простой полярной системе координатρ=2cos2φ

Так как в простой полярной системе координат ρ≥0, то О.Д.З. будут являться только те углы φ,для которых cos2φ≥0,т.е. 0≤φ≤π/4; 3π/4≤φ≤5π/4; 7π/4≤φ≤2π. Функция будет ограничена, т.к. |cos2φ|≤1,т.е. |2cos2φ|≤2. Так как функция четная и периодическая то достаточно построить кривую только для 0≤φ≤π/4, а затем отразить кривую симметрично относительно полярной оси и в силу периодичности построить аналогичную петлю для 3π/4 ≤φ≤5π/4.Для 0≤φ≤π/4функция монотонно убывает от двух до нуля, для 3π/4≤φ≤πфункция монотонно возрастает от нуля до двух (рис. 1).




Построение графика функции, заданной в параметрической форме.

Пусть x=X(t)и y=Y(t), где параметр tизменяется в определенных заданных пределах. График функции, заданной в параметрической форме, строится по характерным точкам.

Пример: x=t², y= t∙(t²-3)/3

а) Заметим, что для любых значений аргумента t функция x(t)=t²≥0, следовательно, график функции расположен в правой полуплоскости.

б) В силу нечетности функции y(t), так как y(-t)=-y(t), график функции симметричен относительно оси ОХ.

в) Определим точки, в которых y(t) = 0: при t=0, y(0)=0 и x(0)=0

при t= + и t= — y=0, а x(+ ) = 3 – т.е. это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Для более точного построения графика функции достаточно добавить еще 2-3 точки, например при t=1 y(1)=-2/3, x(1)=1; при t=2 y(2)=2/3, x(2)=4; при t =3 y(3)=6, x(3)=9 (рис.2.).

рис. 1 рис. 2

Построение графиков функций, заданных параметрически — Мегаобучалка

Задание: Построить график функции

1. Решение этой задачи сведём к предыдущей задаче.

2. Запишем заголовки: в А1: t, в ячейку В1: х, в ячейку С1: у.

3. В столбце А с помощью маркера автозаполнения создать ряд значений для t от 0 до с шагом (либо при помощи набора команд: Правка Þ Заполнить Þ Црогрессия (шаг 0,314, предельное значение 6,28)).

4. В ячейку В2 вводим формулу =COS(2*A2)*SIN(A2)и копируем её в диапазоне В3:В22.

5. В ячейку С2 вводим формулу =COS(A2)*SIN(3*A2)и копируем её в диапазоне С3:С22.

6. Выделяем диапазон данных В2:С22 со значениями х и у, строим точечную диаграмму.

7. Результат работы представлен на рис. 7.


Построение графиков кусочно-непрерывной функции

Задание: Построить график функции , заданной тремя ветками на отрезке .

.

Для построения этого графика шаг изменения желательно выбирать поменьше, например, , и т. д. Далее в мастере диаграмм выбирать точечную диаграмму (первую в первой строке).

1. В ячейке A1 записываем заголовок X.

2. В ячейке В1 записываем заголовок f1.

3. В ячейке С1 записываем заголовок f2.

4. В ячейке D1 записываем заголовок f3.

5. В ячейке E1 записываем заголовок F(x).

6. В столбце А создаём ряд значений для х от -0,2 до 2,41 с шагом 0,03. Такой диапазон изменения взят с учётом промежутков, на которых задан каждый «кусок» функции. Так, по условию, у нас , поэтому можно взять в качестве крайнего левого значения аргумента. Кроме того, из третьего участка функции видно, что . Поэтому в качестве крайнего правого участка взято .2+4*A2+11)и копируем её в столбце D.

10. В Е2 запишем формулу:

=ЕСЛИ(А2<0,47;В2;ЕСЛИ(А2>=2;D2;С2))

Скопируем её в столбце Е до конца диапазона изменения аргумента функции.


11. Выделим диапазон, состоящий из данных в столбце А и данных в столбце Е (используя кла­вишу CTRL) и строим точечную диаграмму.





12. Результат работы представлен на рис. 8.

Задания для самостоятельной работы

1. Построить график функции в прямоугольной системе координат. Диапазон изменения и шаг выберите самостоятельно:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

2. Построить график функции, заданной в полярной системе координат:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

3. Построить график функции, заданной параметрическим способом:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14.

15.

4.Построить графики функций, используя функцию ЕСЛИ( )

а) Случай двух ветвей:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

б) Случай трёх ветвей:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Лабораторный практикум № 4

gnuplot / parametric (E)

В обычном двумерном построении в gnuplot координата Y выражается y=f(x), однако можно использовать параметрическое задание функции, использующее параметр t,

   x = f(t)
   y = g(t)

С помощью этого выражения gnuplot может рисовать более сложные функции. Отметим, что 3D построения параметрической поверхности, задаваемой параметрами u,v, дается в разделе построения сферических гармоник.

В первую очередь необходимо использовать команду set parametric, чтобы gnuplot определил параметрическую переменную для функции. Затем, команда plot, выполняющая построение функции f(t) координаты X и функцит g(t) для координаты Y, задается как plot f(t),g(t).

Чтобы провести простейшую вертикальную линию, не выражающуюся формой y=f(x), а заданную как x=const. Эта функция может быть определена как:

   x=const
   y=t

с параметром t, когда t различен. Диапазон t контролируется командой set trange.

gnuplot> set parametric

        dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> const=3
gnuplot> set trange [1:4]
gnuplot> set xrange [0:5]
gnuplot> set yrange [0:5]
gnuplot> plot const,t

В данном случае вертикальная линия нарисованна в x=3. Использование set trange [1:4] , определило диапазон от 1 до 4. Если trange не установлен, вертикальная линия будет отрисована от верхней до нижней границы.

Параметрическое задание окружности:

   x=sin(t)
   y=cos(t)

окружность может быть нарисована при изменении параметра t от 0 до 2pi. График принимает вид «квадрата» и диапазон t задается опцией команды plot.

gnuplot> set parametric

        dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> set size square
gnuplot> set xrange [-1:1]
gnuplot> set yrange [-1:1]
gnuplot> plot [0:2*pi] sin(t),cos(t)

Параметр t не изменяется непрерывно и фактически управляется значениями, установленными командой set samples. По умолчанию значение равно 100. В случае set samples 8, gnuplot вычисляет только 8 значений t от 0 до 2*pi, и график становиться семиугольником. Если необходим построить N-угольник, задается set samples N+1.




2D параметрическое представление удобно для рисования функции, которая находится в полярных координатах. 2D полярная координатаимеет 2 переменные: r и угловую theta. gnuplot выражает параметр t для theta, а радиус r выражается через функцию угла, а именно r(t). Координата (x,y) дается из:

   x=r(t)*cos(t)
   y=r(t)*sin(t)

Окружность — особый случай, когда r(t)=const. Когда радиус пропорционален t, получается спираль.

gnuplot> set xrange [-10*pi:10*pi]
gnuplot> set yrange [-10*pi:10*pi]
gnuplot> plot [0:10*pi] t*sin(t),t*cos(t)

Следующий пример показывает график кардиоды r(t)=const*(1+cos(t)).

gnuplot> set parametric

        dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> r(t) = 1+cos(t)
gnuplot> plot [0:2*pi] r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)

Обычная функция имеет вид y=f(x), но параметрическая позволяет делать график x=f(y). Значения Y такие же как и t и значения x вычисляются функцией f(t).

gnuplot> set parametric

        dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> c=2*pi
gnuplot> set size square
gnuplot> set trange [-c:c]
gnuplot> set xrange [-c:c]
gnuplot> set yrange [-c:c]
gnuplot> plot c*sin(t),t with lines, t,c*cos(t) with impulses

Показаны 2 функции, одна (зеленые линии) y=2pi*cos(x), другая (красная толстая линия) x=f(t)=2pi*sin(y).

Опция with impulse рисует вертикальную линию от оси Y=0. Если используется with impulses для красной кривой x=2pi*sin(y), то получается вертикальная линия, не горизонтальная.




Производная функции, заданной неявно

 

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде ; подставив это решение в уравнение, получим тождество .

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной .

 

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х:

 

 

Дифференцирование функций, заданных параметрически

 

Пусть функция задана параметрически уравнениями

(1) — параметр.

Требуется найти производную .

Имеет место формула

или .

 

Пример

Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение

Найдем производные функций х и у по переменной t:

,

.

Согласно формуле , получим

.

Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

 

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

6. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

7. Построить график функции.

 

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

1. Область определения функции находится из условия: , т.е. .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка ,

с осью Ох, , точка .

3. Четность, нечетность, периодичность функции.

Функция называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

Функция непериодическая.

4. Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

_ _ _

х

-6 6 у

 

 

5. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенство выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

_ + _ +

х

-6 0 6 у

Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .

 

6. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или

равен или . Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и , так как

, ,

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и .

2) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

.

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

3) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

.

Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

 

7. Построение графика функции.

 

Для уточнения построения графика функции можно найти ряд вспомогательных точек

х	-9	-4
у	-1,4	1,4	-1,4	1,4

после чего строим график функции.

 

 

 

 

Графики параметрических функций — Интеллектуальная Кобринщина

Plot Parametric Functions — Wolfram Mathematica

Графики параметрических функций

Mathematica может строить графики параметрических функций в двух и трех измерениях. Воспользуйтесь параметрическим графиком, если Вы можете выразить координаты x, y или x, y, z в каждой точке Вашей кривой как функцию одного или более параметров.

Построим график параметрической кривой (x,y)=(2 sin(t),cos(t)), с параметром t изменяющимся от 0 до 2 ?:

In[1]:=

Out[1]=

    

Вы можете построить график двух параметрических кривых, поместив их в список:

In[2]:=

Out[2]=

    

Чтобы отобразить еще больше графиков кривых, просто добавьте их в список:

In[3]:=

Out[3]=

    

Воспользуемся командой ParametricPlot3D для построения графика поверхности, заданной функцией :

In[4]:=

Out[4]=

    

Построим график параметрической кривой (x,y,z)=(5 cos(u),5 sin(u),u+sin(u)) в трех измерениях:

In[5]:=

Out[5]=

Графики — Алгебра и тригонометрия

Дальнейшие применения тригонометрии

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Графические плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями путем нанесения точек.
• Графические параметрические уравнения.

Это конец девятого иннинга с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Бэттер раскачивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью 140 футов в секунду и под углом примерно к горизонту.Как далеко полетит мяч? Сможет ли он очистить забор для выигрышного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрические уравнения. В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые общие приложения, такие как задачи о движении снаряда.

Рис. 1. Параметрические уравнения могут моделировать траекторию полета снаряда. (Источник: Пол Крехер, Flickr)

Совместное построение графиков параметрических уравнений и прямоугольной формы

Постройте график параметрических уравнений и сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы.Затем изобразите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.

Анализ

На (Рисунок) данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического в виде пунктирной линии красного цвета. Ясно, что обе формы дают один и тот же график.

Рисунок 5.

Попробуйте

Нарисуйте график параметрических уравнений вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

[show-answer q = ”fs-id1165137807092 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137807092 ″]

График параметрических уравнений выделен красным цветом, а график прямоугольного уравнения нарисован синими точками поверх параметрических уравнений.

[/ hidden-answer]

Приложения параметрических уравнений

Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при решении реальных задач. Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину пути объекта, они не показывают положение объекта в конкретное время.Однако параметрические уравнения иллюстрируют, как значения x и y изменяются в зависимости от t как местоположения движущегося объекта в конкретный момент времени.

Обычное применение параметрических уравнений — решение задач, связанных с движением снаряда. В этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол к горизонтали, с начальной скоростью и на высоте выше горизонтали.

Путь объекта, движущегося под наклоном к горизонтали с начальной скоростью и на высоте над горизонтом, определяется как

, где учитывается влияние силы тяжести, а — начальная высота объекта.В зависимости от единиц измерения, участвующих в задаче, useorThe уравнение допускает горизонтальное расстояние, а уравнение для дает вертикальное расстояние.

Нахождение параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча

Решите проблему, указанную в начале этого раздела. Попадает ли тесто в выигрышную игру? Предположим, что мяч ударяется с начальной скоростью 140 футов в секунду под углом к ​​горизонтали, при этом происходит контакт на высоте 3 футов над землей.

1. Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
2. Где мяч через 2 секунды?
3. Как долго мяч находится в воздухе?
4. Это хоумран?

[show-answer q = ”fs-id1165137453386 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137453386 ″]

1. Используйте формулы, чтобы составить уравнения. Горизонтальное положение определяется с помощью параметрического уравнения для Таким образом,

   Таким образом,

2. Подставьте 2 в уравнения, чтобы найти горизонтальное и вертикальное положение мяча.

   Через 2 секунды мяч оказывается на расстоянии 198 футов от бокса бьющего и на высоте 137 футов над землей.

3. Чтобы вычислить, как долго мяч находится в воздухе, мы должны выяснить, когда он ударится о землю или когда. Таким образом,

   Через секунду мяч коснулся земли. (Квадратное уравнение можно решить разными способами, но эта задача была решена с помощью компьютерной математической программы.)

4. Мы не можем подтвердить, что попадание было хоумраном, не принимая во внимание размер дальнего поля, который варьируется от поля к полю.Однако для простоты предположим, что внешняя стена находится в 400 футах от домашней плиты в самой глубокой части парка. Предположим также, что высота стены составляет 10 футов. Чтобы определить, касается ли мяч стены, нам нужно вычислить, насколько высок мяч, когда x = 400 футов. Итак, мы установим x = 400, найдем и введем в

   .

   Мяч находится на высоте 141,8 фута, когда вылетает за пределы поля. Это был действительно хоумран. См. (Рисунок).

   Рисунок 7.

   [/ hidden-answer]

Упражнения по разделам

Устный

Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?

[show-answer q = ”fs-id1165135194726 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135194726 ″]

точек с помощью стрелки ориентации и графического калькулятора

[/ hidden-answer]

В чем отличие параметрических уравнений точечного построения от декартовых уравнений?

Почему на некоторых графиках нарисованы стрелки?

[show-answer q = ”fs-id1165137758269 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137758269 ″]

Стрелки показывают ориентацию, направление движения согласно возрастающим значениям

[/ hidden-answer]

Назовите несколько распространенных типов графиков параметрических уравнений.

Почему параметрические графики важны для понимания движения снаряда?

[show-answer q = ”fs-id1165137715148 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137715148 ″]

Параметрические уравнения показывают различные вертикальные и горизонтальные движения во времени.

[/ hidden-answer]

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте каждый набор параметрических уравнений в виде таблицы значений. Включите ориентацию на графике.

[show-answer q = ”fs-id1165135188326 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135188326 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165134583390 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134583390 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165135237047 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135237047 ″] [/ скрытый-ответ]

Для следующих упражнений нарисуйте кривую и укажите ее ориентацию.

[show-answer q = ”fs-id1165134069188 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134069188 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165137417002 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137417002 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165137936702 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137936702 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165134081386 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134081386 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165137805783 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137805783 ″] [/ скрытый-ответ]

Для следующих упражнений нарисуйте уравнение и укажите ориентацию.Затем напишите декартово уравнение.

[show-answer q = ”fs-id1165135149887 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135149887 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165135512730 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135512730 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id11651323 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651323 ″] [/ скрытый-ответ]

Для следующих упражнений нарисуйте уравнение и укажите ориентацию.

[detect-answer q = ”211246 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”211246 ″] [/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135252162 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135252162 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165137680409 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137680409 ″] [/ скрытый-ответ]

Для следующих упражнений используйте параметрические уравнения для целых чисел a и b :

График по домену и включению ориентации.

График по домену где и, включая ориентацию.

[show-answer q = ”fs-id1165137409296 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137409296 ″] [/ скрытый-ответ]

График по домену где и, включая ориентацию.

График по домену где и, включая ориентацию.

[show-answer q = ”fs-id1165137551247 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137551247 ″] [/ скрытый-ответ]

Ifis 1 более чем описывает влияние значений andhave на график параметрических уравнений.

Опишите график ifand

[show-answer q = ”fs-id1165135189746 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135189746 ″]

Произойдет 100 возвратно-поступательных движений.

[/ hidden-answer]

Что произойдет, если на 1 больше, чем Опишите график.

Если параметрические уравнения и имеют график горизонтальной параболы, раскрывающейся вправо, что изменит направление кривой?

[show-answer q = ”fs-id1165135499919 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135499919 ″]

Возьмем противоположное уравнению.

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений опишите график системы параметрических уравнений.

и линейный

и линейный

[show-answer q = ”fs-id1165135609231 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135609231 ″]

Парабола открывается.

[/ hidden-answer]

и линейный

Напишите параметрические уравнения круга с центральным радиусом 5 и направлением против часовой стрелки.

[show-answer q = ”fs-id1165135352460 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135352460 ″]

[/ hidden-answer]

Напишите параметрические уравнения эллипса с большой центральной осью длиной 10, малой осью длиной 6 и ориентацией против часовой стрелки.

Для следующих упражнений используйте графическую утилиту, чтобы построить график в области окна для следующих значений и, а также включить ориентацию.

[show-answer q = ”fs-id1165132960728 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165132960728 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165134386554 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134386554 ″] [/ скрытый-ответ]

[show-answer q = ”fs-id1165133349420 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133349420 ″] [/ скрытый-ответ]

Расширения

Объект подбрасывается в воздух с вертикальной скоростью 20 футов / с и горизонтальной скоростью 15 футов / с.Высота объекта может быть описана уравнением, в то время как объект движется по горизонтали с постоянной скоростью 15 футов / с. Напишите параметрические уравнения для положения объекта, а затем избавьтесь от времени, чтобы записать высоту как функцию горизонтального положения.

[show-answer q = ”fs-id1165132079269 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165132079269 ″]

[/ hidden-answer]

Скейтбордист, едущий по ровной поверхности с постоянной скоростью 9 футов / с, подбрасывает в воздух мяч, высоту которого можно описать уравнением. Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем исключите время, чтобы записать высоту в виде функция горизонтального положения.

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик бросается вверх с начальной скоростью 65 футов / с под углом возвышения 52 °. Учитывайте положение дротика в любое время и не обращайте внимания на сопротивление воздуха.

Найдите параметрические уравнения, моделирующие проблемную ситуацию.

[show-answer q = ”fs-id1165134371099 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134371099 ″]

[/ hidden-answer]

Найдите все возможные значения, которые представляют ситуацию.

Когда дротик упадет на землю?

[show-answer q = ”fs-id1165135445722 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135445722 ″]

примерно 3,2 секунды

[/ hidden-answer]

Найдите максимальную высоту дротика.

В какое время дротик достигнет максимальной высоты?

[show-answer q = ”fs-id1165135444043 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135444043 ″]

1,6 секунды

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений посмотрите на графики каждого из четырех параметрических уравнений.Хотя они выглядят необычно и красиво, они настолько распространены, что имеют названия, указанные в каждом упражнении. Используйте графическую утилиту для построения графика каждого в указанном домене.

Эпициклоида: в домене.

Гипоциклоида: в домене.

[show-answer q = ”fs-id1165134569130 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134569130 ″] [/ скрытый-ответ]

Гипотрохоид: в домене.

Роза: на домене.

[show-answer q = ”fs-id1165134134026 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134134026 ″] [/ скрытый-ответ]

Нахождение параметрических уравнений для графика

Набор параметрических уравнений не уникален для данного графа.Например, следующие наборы параметрических уравнений приводят к одному и тому же прямоугольному уравнению и, таким образом, представляют один и тот же график.

Первое параметрическое уравнение	Второе параметрическое уравнение	Прямоугольное уравнение
х = 4t2−4	у = т	х = 4y2−4
х = t2−4	у = t2 2y = t	х = (2у) 2 — 4 х = 4y2−4

Однако с учетом прямоугольного уравнения и уравнения, описывающего параметр в терминах одной из двух переменных, можно определить набор параметрических уравнений.

Чтобы найти набор параметрических уравнений для графика, представленного как y = x ² + 2 при t = x + 2, пусть t = x. Переключение ролей t и x в этом уравнении дает одно из параметрических уравнений:

t = x + 2 → x = t + 2


Теперь подставьте выражение для x в прямоугольное уравнение y = x ² + 2, чтобы получить второе параметрическое уравнение.

y = x2 + 2

y = (t + 2) 2 + 2

y = t2 + 4t + 4 + 2

y = t2 + 4t + 6


Таким образом, набор параметрических уравнений для графика, представленного как y = x ² + 2, имеет вид

x = t + 2

y = t2 + 4t + 6


Теперь, когда определены оба параметрических уравнения, можно построить общий график с выбранными значениями параметра.

т	-2	-1	0	1	2
х = т + 2	0	1	2	3	4
у = т 2 + 4т + 6	2	3	6	11	18

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОИСКУ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ГРАФИКА:




1.Возьмите уравнение параметра и поменяйте роли параметра и другой переменной. В результате получится одно параметрическое уравнение.

2. Подставьте выражение для переменной на шаге 1 в прямоугольное уравнение. В результате получится второе параметрическое уравнение.

3. Нарисуйте кривую.




Попробуем пару примеров.

Пример 1. Найдите набор параметрических уравнений для прямоугольного уравнения y = x ² + 1, учитывая t = 2 — x.Затем нарисуйте график с точками на 0≤t≤3 и укажите ориентацию кривой.

Шаг 1: Возьмите уравнение параметра и поменяйте роли параметра и другой переменной. Пусть t = x и перепишем уравнение параметров, переключив t и x.	т = 2 — х Оригинал х = 2 — т Переключить t и x
Шаг 2: подставьте выражение для переменной на шаге 1 в прямоугольное уравнение	y = x2 + 1 Оригинал y = (2 − t) 2 + 1 Заменить y = (4−4t + t2) + 1 Квадрат y = 5−4t + t2 Добавить
Шаг 3: Нарисуйте кривую. Перечислите два параметрических уравнения и нарисуйте график с точками на 0≤t≤3 и укажите ориентацию кривой. Прямоугольное уравнение: у = х2 + 1 Параметрические уравнения: х = 2 — т, у = 5−4t + t2 т 0 1 2 3 Икс х = 2 — т 2 1 0 -1 у у = 5 — 4т + т 2 5 2 1 2

Пример 2: Найдите набор параметрических уравнений для прямоугольного уравнения y = 2×2 + 1 при t = x.Затем нарисуйте график с точками в точке t = {0,1,2,3,4} и укажите ориентацию кривой.

Шаг 1: Возьмите уравнение параметра и поменяйте роли параметра и другой переменной.	t = xОригинал x = t Переключить t и x
Шаг 2: подставьте выражение для переменной на шаге 1 в прямоугольное уравнение	y = 2×2 + 1 Оригинал y = 2t2 + 1 Заменить y = 2t + 1 квадрат
Шаг 3: Нарисуйте кривую. Перечислите два параметрических уравнения и нарисуйте график с точками в t = {0, 1, 2, 3, 4} и укажите ориентацию кривой. Прямоугольное уравнение: у = 2×2 + 1 Параметрические уравнения: х = т, у = 2т + 1 т 0 1 2 3 4 Икс х = т 0 1 2 3 2 у у = 2т + 1 2 1 23 12 25 Обратите внимание, что область графика — x≥0, потому что область параметрического уравнения t = x ограничивает x значениями от нуля или выше.

Параметрическая диаграмма — обзор

15.2 Деформация, вызванная ползучестью

При устойчивом растягивающем напряжении при температурах выше 0,4 T _м большинство металлов и сплавов демонстрируют нормальные кривые деформации ползучести / времени. Таким образом, после начальной деформации нагружения скорость деформации ползучести (ε˙ = dε / d t ) непрерывно уменьшается со временем в течение первичной стадии, достигая минимальной или вторичной скорости (ε˙m) перед ускорением во время третичной стадии, которая приводит к разрушению через некоторое время ( t _f ).Произведение ε˙mtf часто, но не всегда, является постоянным ( M ), что означает, что разрушение при ползучести контролируется деформацией, поскольку t _f увеличивается по мере того, как ε˙m падает с уменьшением напряжения и температуры.

Было предложено множество соотношений для количественной оценки изменений деформации ползучести во времени. Некоторые из этих уравнений стремятся описать только ранние стадии кривых ползучести, в то время как другие пытаются определить форму всех траекторий ε / t , но не было достигнуто согласия относительно соотношений, которые следует использовать.Несмотря на характерную форму нормальных кривых, поэтому стало обычной практикой игнорировать первичную и третичную стадии, предполагая, что вторичная скорость остается постоянной с увеличением времени и деформации. Уравнение [15.3] затем сводится к:

[15.4] ε˙m = f3σ, T

с дальнейшим упрощением, дающим:

[15.5] ε˙m = f4σf5T

, поэтому переменные рассматриваются как отдельные и независимые.

В уравнении [15.5] при фиксированной температуре зависимость ε˙m от напряжения может быть определена как:

[15.6] ε˙m∝f4σ∝σn

, где n — показатель степени напряжения. В качестве альтернативы:

[15,7] ε˙m∝f4σ∝expσ

, что дает экспоненциальную зависимость ε˙m от напряжения. И наоборот, при фиксированном напряжении температурная зависимость ε˙m в уравнении [15.5] обычно представляется уравнением Аррениуса вида:

[15.8] ε˙m∝f5T∝exp − Qc / RT

, где Q _c — энергия активации ползучести в единицах Дж моль ^-1 при газовой постоянной R = 8.314 Дж моль ⁻¹ K ⁻¹ . Комбинируя уравнения [15.5], [15.7] и [15.8], получаем:

[15.9] M / tf = ε˙m = Bexp − Qc − Vσ / RT

, где B и V рассматриваются как константы. . Однако в большинстве теоретических и практических исследований, проведенных за последние полвека, уравнения [15.5], [15.6] и [15.8] были объединены для получения стандартной степенной зависимости:

[15.10] M / tf = ε˙ m = Aσnexp − QcRT

, но значения параметра A , а также n и Q _c различаются в зависимости от режима нагрузки / температуры.

15.2.1 Параметрические подходы к анализу данных

Хотя лист данных NIMS по ползучести № 43 (1996) описывает только характеристики разрушения под напряжением, ¹ результаты доступны из других источников ^{3 , 4} допускают ползучесть срок службы, который следует учитывать в связи с характеристиками скорости ползучести образцов труб из Gr. 91 сталь. Таким образом, используя уравнение [15.10], графики logε˙m / logσ на рис. 15.1 могут быть представлены ³ набором прямых линий, показывающих уменьшение от n 16 при 848 K до n 9 при 923 К.Точно так же отношения напряжение / срок ползучести, определенные в расширенных диапазонах напряжений при 773–973 K для нескольких партий Gr. 91 трубка ¹ показывает градиентные изменения, соответствующие уменьшению от n 17 до n 4,5 с повышением температуры (рис. 15.2). При Q _c в диапазоне от 600 до 700 кДж моль ⁻¹ эти аномально большие значения n и Q _c типичны для моделей поведения, описанных для сталей для электростанций и других закаленных частицами сплавы.

15.1. Зависимость минимальных скоростей ползучести от напряжения, зарегистрированная для Gr. 91 труба стальная ³ при 848–923 К.

15.2. Зависимость продолжительности ползучести от напряжения, записанная для нескольких партий Gr. 91 трубная сталь ¹ при 773–973 К.

Из-за сложных напряжений и температурных зависимостей ε˙m и t _f (рис. 15.1 и 15.2) оценка долговременных свойств путем экстраполяции Кратковременные измерения предполагают постоянное использование различных параметрических методов, введенных в 1950-х годах. ^5–7 Эти эмпирические подходы определяют «параметры корреляции», включающие как продолжительность ползучести, так и температуру, которые могут быть нанесены на график как функции напряжения, чтобы наложить результаты нескольких партий на единую «эталонную кривую» для данной стали. К сожалению, ни один параметрический метод не смог подобрать экспериментальные данные, представленные для большинства сталей для электростанций, и даже при выборе наилучшей процедуры подгонки достигаемая точность не всегда бывает удовлетворительной. ⁸

Одно ограничение, присущее параметрическим методам, связано с «переменными константами», встречающимися в стандартных степенных отношениях (уравнение [15.10]). Например, уравнение [15.10] можно переписать, чтобы получить параметр ( P _OSD ), предложенный Orr, et al. , ⁷ как:

[15,11] POSD = logtf − P1 / T

, где P ₁ включает Q _c . Следовательно, вариации в Q _c гарантируют, что наложенные параметрические графики являются нелинейными. Кривизна графиков, основанных на уравнении [15.11], затем не удаляется заменой уравнения [15.10] с уравнением [15.9]. Фактически, уравнение [15.9] может быть преобразовано в параметр ( P _LM ), предложенный Ларсоном и Миллером ⁵ как

[15.12] PLM = Tlogtf + P2

, где P ₂ теперь содержит Q _c .

В сочетании с широкими полосами разброса, обычно связанными с наборами данных из нескольких пакетов, неизвестные кривизны традиционных параметрических графиков ограничивают экстраполяцию примерно до трех значений самых длинных доступных надежных тестовых измерений.По этой причине испытания продолжительностью до 30 000 часов и более обычно должны проводиться для оценки прочности на разрыв в 100 000 часов.

15.2.2 Альтернативные процедуры для рационализации данных

Для чистых металлов, переформулируя уравнение [15.10] и используя ожидаемые энергии активации для диффузии, отношения напряжение / скорость ползучести, записанные при различных температурах, накладываются друг на друга ⁹ просто путем построения зависимостей on (σ / E ) скорости ползучести с температурной компенсацией ε˙m exp ( Q _c / RT ).Аналогичным образом, соответствующие характеристики разрушения под напряжением рационализированы путем построения графика продолжительности ползучести с температурной компенсацией: t _f exp (- Q _c / RT ) против (σ / E ). Однако этот подход неприменим к сталям для электростанций, поскольку незначительные изменения в условиях термомеханической обработки, выбранных для изготовления компонентов, могут изменить получаемую микроструктуру.

Модули упругости зависят от температуры, но не сильно изменяются при изменении микроструктуры, тогда как свойства ползучести и разрушения закаленных частицами сплавов чувствительны как к температуре, так и к микроструктуре, как и σ _Y и σ _TS .Следовательно, ранние процедуры рационализации, основанные на нормализации σ до E ⁹ , обновляются путем нормализации σ до σ _Y или σ _TS . ^10–13 Таким образом, используя значения σ _TS , измеренные для каждой партии Gr. 91 исследуемая сталь, ¹ данные о многосерийном разрушении под напряжением на рис. 15.2 наложены на рис. 15.3 с использованием модифицированного выражения степенного закона: ^11–13

15.3. Зависимость срока ползучести с температурной компенсацией от (σ / σ T _S ) с использованием значений σ _{T S} для каждой партии Gr.91 исследована трубная сталь, ¹ с Q _c * = 300 кДж моль ⁻¹ .

[15,13] M / tf = ε˙m = A * σ / σTSnexp − Qc * / RT

, где A * ≠ A и Q _c * получается из температурной зависимости ε ˙m при постоянной (σ / σ _TS ), а не при постоянной σ, как при определении Q _c в уравнении [15.10]. Из рис. 15.3 видно, что Q _c * = 300 кДж моль ⁻¹ , значение, близкое к значению для решеточной диффузии в матрице легированной стали.С Гр. 91, как и в случае с другими металлами и сплавами, наборы свойств ползучести ^10–14 также эффективно рационализируются путем нормализации σ до σ _Y , так что (σ / σ _TS ) можно заменить на (σ / σ _Y ) в уравнении [15.13]. Независимо от того, выбрано ли σ _Y или σ _TS , результирующая «эталонная кривая» на рис. 15.3, по крайней мере, столь же впечатляющая, как и полученная с использованием параметрических методов. Кроме того, с помощью уравнения [15.13] эмпирические члены в параметрических отношениях (уравнения [15.11] и [15.12] заменены физически значимыми свойствами, а именно ощутимой энергией активации и измеренными значениями σ _Y и σ _TS .

15.2.3 Интерпретация поведения степенного закона

Уравнение [15.13] позволяет избежать больших и переменных значений Q _c , наблюдаемых при наборах данных для Gr. 91 описываются с помощью уравнения [15.10] (рис. 15.2), но не устраняют уменьшение с n 20 до n 4 (рис.15.3), обычно ожидается, что тенденция сохранится к n ± 1 или менее по мере увеличения продолжительности испытания и увеличения температуры.

Одна ранняя попытка объяснить аномально большие значения n предположила ¹⁵ , что ползучесть происходит не при полном приложенном напряжении (σ), а при пониженном напряжении (σ — σ _o ), так что

[15.14 ] ε˙m∝σ − σom

, где м = 4, при этом σ _o теперь называется «пороговым напряжением». Сравнение уравнений [15.10] и [15.14], n ≅ m ≅ 4, когда σ _o ≅ 0 или когда σ _o ∝ σ, тогда как n > m , когда σ _o большое. Этот подход широко применялся для ползучести сплавов с упрочненными частицами, ¹⁶ , но был достигнут незначительный прогресс, поскольку σ _o нельзя надежно измерить или спрогнозировать.

Чаще всего вариации значений n интерпретируются на основании того, что различные механизмы ползучести становятся доминирующими в различных режимах напряжения и температуры.Таким образом, хотя наложенные результаты на рис. 15.3 предполагают, что градиент непрерывно изменяется по мере уменьшения (σ / σ _TS ), такие кривые можно аппроксимировать серией отрезков прямых линий, соответствующих n >> 4, n 4 и в конечном итоге n ≅ 1, причем каждое изменение градиента связано с переходом механизма. Тем не менее, не было достигнуто согласия по детальным рассматриваемым процессам, и с практической точки зрения текущие теории не позволяют прогнозировать свойства ползучести и разрушения конструкционных сталей.Более того, принимая концепции нескольких механизмов, анализ результатов, записанных в одном режиме механизма, не позволил бы прогнозировать свойства в другом режиме, что потребовало бы завершения долгосрочных программ испытаний. В этом контексте, поэтому кажется разумным рассмотреть, предлагают ли стандартные отношения степенного закона действительную основу для представления и интерпретации свойств ползучести.

С помощью уравнения [15.10] тот факт, что n и Q _c сами являются функциями напряжения и температуры, означает, что при упрощении уравнения [15.4], чтобы получить уравнение [15.5], переменные не являются отдельными и независимыми. Кроме того, предположение о том, что изменения деформации ползучести со временем, напряжением и температурой (уравнение [15.3]) можно адекватно количественно оценить с помощью напряжений и температурных зависимостей вторичной или «установившейся» скорости ползучести (уравнение [15.4]): весьма сомнительно. По этим причинам, без привлечения переключений механизмов, альтернативный подход ¹⁷ утверждает, что модели поведения, проявляемые сталями для электростанций (рис.2 = 1 $.

Несколько вопросов, которые стоит задать себе:

• С чего начать? То есть, когда $ \ theta = 0 $, , где на единичной окружности — это вы?
• Что происходит с точкой $ (x, y) = (\ sin \ theta, \ cos \ theta) $ по мере увеличения $ \ theta $ от $ 0 $ до $ \ pi $?
• Где ты находишься, когда $ \ theta $ достигает $ \ pi $?

Теперь вы знаете , какие частей единичной окружности задаются параметрической кривой.

Добавлен. Как и многие студенты на начальном этапе, вам кажется, что вы хотите построить несколько точек, а затем выполнить интерполяцию; это не лучшая идея, потому что она полагается на то, что вы просто случайно попадете в нужные точки, чтобы получить точную картину того, что происходит.Чтобы дать вам пример, если вы пытались построить график для функции $ y = \ sin (\ pi x) $ и попробовали несколько точек, скажем, $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $, $ x = 3 $ и т. д., вы можете подумать, что ваша функция — это постоянная функция $ 0 $, потому что при выборе точек упускается все важное, что происходит с $ y $.

Вы, , не хотите, этого делать. Вместо этого вы хотите подумать о том, что делают эти функции.

Один из способов, которым я считаю наиболее плодотворным размышление о параметрических уравнениях, — это думать о параметре как о дающем время , а об уравнениях как о движении точки; Представьте себе анимацию со светящейся точкой, движущейся по плоскости и оставляющей за собой «след» света.Этот след — параметрическая кривая, точка — это положение в «текущем $ t $». Вы хотите подумать о том, что делает эта точка, когда ваш параметр варьируется от своего начального значения до конечного значения (то есть, когда анимация идет от начала до конца).

Итак, начнем с $ \ theta = 0 $, первого кадра вашей анимации. Ваша светящаяся точка будет в $ x (0) = \ sin (0) = 0 $ и $ y (0) = \ cos (0) = 1 $. Итак, вы начинаете с точки $ (0,1) $.

Теперь нажмите кнопку PLAY .Что происходит, когда $ \ theta $ начинает продвигаться от $ 0 $ к $ \ pi $? Координата $ x $ будет следовать графику $ y (\ theta) = \ sin (\ theta) $, поэтому сначала она повысится с $ 0 $ до $ 1 $ (при $ \ theta = \ frac {\ pi} {2 } $), а затем снова упасть с $ 1 $ на $ 0 $ (при $ \ theta = \ pi $). Он будет делать это без скачков и перерывов. Итак, если вы смотрели только на «тень» нашей светящейся точки на оси $ x $, она начинается с $ x = 0 $, затем плавно перемещается вправо (без рывков, без скачков, без пропусков). ), пока он не достигнет $ 1 $ в середине фильма, а затем вернется к $ 0 $, пока не вернется к $ 0 $ в конце фильма.

А что насчет $ y $? Он начинается с 1 доллара США; он будет вести себя как график $ \ cos \ theta $. Когда вы нажмете PLAY , он начнется с 1 доллара, а затем упадет до 0 долларов, снова плавно, без скачков, рывков и пропусков, пока не достигнет 0 долларов в середине фильма (при $ \ theta = \ frac {\ pi} {2} $). Затем продолжит движение в том же направлении, от $ 0 $ до $ -1 $, и достигнет $ -1 $ в конце «фильма» (когда $ \ theta = \ pi $). Итак, если вы посмотрите на «тень» светящейся точки на оси $ y $, она начнется с $ 1 $, затем опустится до $ 0 $ и продолжит снижаться до $ -1 $, и все это в целом гладко. манерой, без скачков, рывков, колебаний, откатов и т. д.

Теперь сложите эти два движения вместе: вы начнете с $ (0,1) $, вершины единичного круга. Затем, когда $ \ theta $ перемещается от $ 0 $ к $ \ pi / 2 $, светящаяся точка начинает двигаться вправо и вниз, всегда по единичной окружности, до тех пор, пока $ \ theta = \ pi / 2 $ не окажется в точке <заполните поле> . Нажмите ПАУЗА на видео и подведите итоги. Где мы? Какую часть единичного круга мы нарисовали? Сколько раз? Любой возврат? Сколько времени вы проводите без движения? Было ли движение в целом «плавным»?

Хорошо, готовы продолжить? Снова нажмите PLAY , и наш $ \ theta $ начнет увеличиваться с $ \ pi / 2 $ в сторону $ \ pi $.Эта светящаяся точка, представляющая $ (x (\ theta), y (\ theta)) $, перемещается, но теперь вниз и влево, всегда вдоль единичной окружности, пока, наконец, не $ \ theta = \ pi $, «конец фильм «, он достигает своего конечного пункта назначения в точке <заполните другой бланк> .

Все это время движение было без прыжков, колебаний или возвратов, потому что функции $ x = \ sin \ theta $ и $ y = \ cos \ theta $ имеют эти движения: без прыжков, без пропусков, без рывков, без колебаний , никаких возвратов, просто плавное движение (представьте, что ваша рука рисует их графики).Эта светящаяся точка теперь проследила часть единичной окружности ровно один раз, без возврата. Какая часть?

параметрический график / индекс | Система ресурсов Wolfram

Результаты поиска

144 экспоната

Ресурс функции: & emsp14; НаправлениеПараметрический участок

Создайте параметрический график кривой на плоскости с направлением, указанным стрелками и цветом

Ресурс функции: & emsp14; Раздел ParametricPlot3D

Постройте параметрическую определенную поверхность вместе с различными типами сечений поверхности.

Ресурс функции: & emsp14; Направление Параметрический участок3D

Создайте параметрический график кривой в пространстве с направлением, указанным стрелками и цветом

Ресурс функции: & emsp14; ConicSectionPlot

Классифицирует и строит любой полином степени два или меньше от двух или меньшего числа переменных.

Ресурс функции: & emsp14; ParametricSurfaceTangentPlane

Вычислить касательную плоскость параметрической поверхности

Ресурс функции: & emsp14; SuggestPlotRange

Получить диапазон переменных, против которого строить заданную функцию

Ресурс функции: & emsp14; EnhancedPlot

График с несколькими улучшениями, добавленными для сингулярностей, асимптот, значений surd и неинтервальных областей

Ресурс функции: & emsp14; ManipulatePlot

Создание графика, на котором диапазоны графика и параметры функции могут управляться динамически

Ресурс функции: & emsp14; УчастокВектор

Постройте список векторов на плоскости

Ресурс функции: & emsp14; KeywordPlot

Постройте плотность ключевых слов в фрагменте текста

Ресурс функции: & emsp14; Участок

Постройте две кривые и выделите их точки пересечения

Ресурс функции: & emsp14; HypergraphPlot

Постройте гиперграф, заданный списком гиперребер

Ресурс функции: & emsp14; InteractiveConicPlot

Отображение интерактивного графика со всей необходимой информацией для данного конического сечения

Ресурс функции: & emsp14; BenchmarkPlot

Постройте тайминги эталонного теста

Ресурс функции: & emsp14; Комбинированные участки

Комбинируйте графики, позволяя создавать графики с двумя наборами осей и объединять прологи и эпилоги.

Ресурс функции: & emsp14; Кривизна Участок

Постройте кривую, определяемую ее кривизной

Ресурс функции: & emsp14; PairwiseScatterPlot

Постройте матрицу точечной диаграммы

Ресурс функции: & emsp14; PlotGrid

Создавайте составные графики и другие расширенные сеточные макеты графиков

Ресурс функции: & emsp14; Древовидная картаПлощадь

Постройте вложенный список значений в виде древовидной карты

Ресурс функции: & emsp14; MilkyWayPlot3D

Постройте положение астрономических объектов в галактике Млечный Путь или рядом с ней.

Ресурс функции: & emsp14; Функция PeriodPlot

Постройте заданное количество периодов периодической функции

Ресурс функции: & emsp14; SimpleHypergraphPlot

Постройте гиперграф, заданный списком гиперребер и изолированных вершин

Ресурс функции: & emsp14; Приблизительная кривая

Получите приближение к параметрической кривой

Ресурс функции: & emsp14; VennGraphPlot

Визуализируйте пересечения перекрывающихся множеств

Ресурс функции: & emsp14; CobwebPlot

Визуализируйте одномерные повторяющиеся функции

Ресурс функции: & emsp14; PolygonMarker

Создавайте маркеры, тщательно разработанные для создания графиков публикационного качества.

Ресурс функции: & emsp14; LabelListPlot

Постройте вхождения меток в список

Ресурс функции: & emsp14; PolarDendrogramPlot

Постройте полярную дендрограмму кластеризации

Ресурс функции: & emsp14; Участок

Постройте состав циклов, имеющих разные радиусы, частоты и фазы.

Ресурс функции: & emsp14; DragZoomPlot

Версия графика, которая позволяет увеличивать график с помощью мыши.

Ресурс функции: & emsp14; Мясной участок

Деревья условий порядка построения графиков для метода Рунге – Кутта

Ресурс функции: & emsp14; Внутри

Сделайте график функции изнутри и снаружи

Ресурс функции: & emsp14; FittedModelPlot

Постройте построенные модели вместе с их необработанными данными

Ресурс функции: & emsp14; EigenvectorPlot

Визуализируйте собственные векторы матрицы 2 x 2 или 3 x 3

Ресурс функции: & emsp14; NFAPlot

Постройте недетерминированный конечный автомат

Ресурс функции: & emsp14; CombinatorPlot

Визуализируйте выражение статического комбинатора

Ресурс функции: & emsp14; Приблизительная поверхность

Аппроксимировать параметрическую поверхность с помощью различных графических примитивов

Ресурс функции: & emsp14; DiscreteIntegralPlot

Постройте и найдите площадь области, определяемую списком точек, осью x и типом границы.

Ресурс функции: & emsp14; ParallelCoordinatesPlot

Наносит на график наборы данных большой размерности по параллельным осям

Ресурс функции: & emsp14; BiPlot

Визуализируйте основные компоненты табличных данных

Ресурс функции: & emsp14; TessellationPlot

Создание мозаики плоскости с заданными формами ячеек

Ресурс функции: & emsp14; SaundersDigitPlot

Постройте график функции Сондерса

Ресурс функции: & emsp14; РазделКонтурПлощадь

Возвращает контурный график функции вместе с проекциями на плоскость x-y заданных участков графика.

Ресурс функции: & emsp14; ListGrowthPlot

Постройте график роста списков и временных данных

Ресурс функции: & emsp14; ComplexBubblePlot

Визуализируйте сложную функцию в виде множества пузырьков

Ресурс функции: & emsp14; LeeInterpolatingNodes

Создание узлов интерполяции из точек на кривой

Ресурс функции: & emsp14; LinearDescriptionPlotQuiz

Создайте интерактивную графическую викторину по построению линейных функций.

Ресурс функции: & emsp14; Кубический ОписаниеPlotQuiz

Создайте интерактивную графическую викторину по построению кубических функций

Ресурс функции: & emsp14; Квадратичный ОписаниеPlotQuiz

Создайте интерактивную графическую викторину по построению квадратичных функций.

Ресурс функции: & emsp14; GeneralRationalInterpolation

Найдите рациональную интерполяцию параметрически определенной функции

Ресурс функции: & emsp14; FrenetSerretPlot

Постройте систему отсчета Френе – Серре кривой

Ресурс функции: & emsp14; RuledSurfacePlot

Постройте линейчатую поверхность

Ресурс функции: & emsp14; CatacausticCurvePlot

Постройте катастрофу кривой

Ресурс функции: & emsp14; GraphFunctionPlot

Постройте значения функции в вершинах графика

Ресурс функции: & emsp14; CrossRecurrencePlot

Визуализируйте перекрытие двух дискретных временных рядов

Ресурс функции: & emsp14; MultiwayEvolutionPlot

Постройте график эволюции многоходовой системы

Ресурс функции: & emsp14; PursuitCurvePlot

Постройте кривую преследования хищник-жертва

Ресурс функции: & emsp14; MultipleAxesPlot

Отображение разных вертикальных осей для двух построенных выражений

Ресурс функции: & emsp14; LeastSquaresPlot

Постройте данные вместе с визуализацией квадратов ошибок по сравнению с подгонкой

Ресурс функции: & emsp14; IteratedAffinePlot

Постройте полигоны после итеративного применения перемещения, масштабирования и поворота

Ресурс функции: & emsp14; DottedArrayPlot

Постройте массив значений с точками в указанных позициях

Ресурс функции: & emsp14; SinusoidPlotQuiz

Создайте тест, чтобы оценить понимание графиков функций синуса и косинуса

Ресурс функции: & emsp14; Принцип Парето, участок

Постройте графики соблюдения принципа Парето

Ресурс функции: & emsp14; График интегрального приближения

Вычислить и построить аппроксимацию интеграла функции на интервале

Ресурс функции: & emsp14; ExtractPlotImageData

Извлечь данные из графического изображения

Ресурс функции: & emsp14; RaggedDigitsPlot

Постройте массив цифр так, чтобы они были неровными слева.

Ресурс функции: & emsp14; NewtonMethodPlot

Постройте функцию вместе с графическим отображением итераций Ньютона, приближающих ее корень

Ресурс функции: & emsp14; MoleculeValuePlot

Получите график молекулы с атомами или связями, окрашенными в соответствии со значениями свойств

Ресурс функции: & emsp14; Филогенетический участок

Постройте дендрограмму для набора нуклеотидных последовательностей генома

Ресурс функции: & emsp14; MillerIndicesPlot

Постройте кристаллографические плоскости кубической решетки с индексами Миллера h, k, l

Ресурс функции: & emsp14; QuadricSurfacePlot

Классифицируйте и постройте любой многочлен второй степени или менее от трех или менее переменных.

Ресурс функции: & emsp14; PolarTreemapPlot

Постройте полярную древовидную карту данного вложенного списка

Ресурс функции: & emsp14; РазделPlot3D

Постройте поверхность вместе с различными типами участков поверхности.

Ресурс функции: & emsp14; Кривизна TorsionPlot3D

Постройте кривую, определяемую ее кривизной и кручением

Ресурс функции: & emsp14; GalileanSatellitesPlot

Постройте относительное положение четырех крупнейших спутников Юпитера, если смотреть с Земли.

Ресурс функции: & emsp14; MoleculePrincipalMomentPlot

Визуализируйте распределение форм молекул на 2D-диаграмме рассеяния

Ресурс функции: & emsp14; ОбщиеМиниМаксПриближение

Найдите минимальное и максимальное приближение функции, определенной параметрически.

Ресурс функции: & emsp14; КомбинаторEvolutionPlot

Визуализируйте эволюцию комбинаторного выражения

Ресурс функции: & emsp14; SubstitutionSystemPlot

Визуализируйте эволюцию одномерной системы замещения, не зависящей от соседей.

Ресурс функции: & emsp14; WolframModelPlot

Создание визуального отображения гиперграфа

Ресурс функции: & emsp14; StemLeafPlot

Постройте диаграмму стволовых и листовых

Ресурс функции: & emsp14; КомбинаторБрекетыPlot

Визуализируйте согласованные скобки комбинатора

Ресурс функции: & emsp14; ДНКAlignmentPlot

Создание визуализации для выравнивания последовательностей ДНК

Ресурс функции: & emsp14; FindMinimumPlot

Визуализируйте оценки функций, выполненные FindMinimum

Ресурс функции: & emsp14; ByteArrayPlot

Визуализируйте содержимое двоичных данных

Ресурс функции: & emsp14; MobileAutomatonPlot

Визуализация эволюции мобильного автомата

Ресурс функции: & emsp14; ГенеалогияTreePlot

Создайте генеалогическое генеалогическое древо, показывающее отношения между вами и другим родственником

Ресурс функции: & emsp14; FindRootPlot

Визуализируйте оценки функций, выполненные FindRoot

Ресурс функции: & emsp14; RegressionListPlot

Отображение линии регрессии набора данных

Ресурс функции: & emsp14; LSystemPlot

Показать L-систему

Ресурс функции: & emsp14; MultispacePlot3D

Постройте мультипространство в 3D

Ресурс функции: & emsp14; OrderedGraphModelPlot

Графики упорядоченных трехвалентных графов

Ресурс функции: & emsp14; DateListPlotRanged

Постройте временной ряд, который включает штриховку, чтобы указать диапазоны нанесенного значения.

Ресурс функции: & emsp14; УчастокVector3D

Постройте список векторов в пространстве

Ресурс функции: & emsp14; Интерактивная графика

Создавайте интерактивную версию графического выражения с масштабированием, панорамированием и всплывающими подсказками.

Ресурс функции: & emsp14; TabViewListPlot

Создайте TabView для ListPlot, используя линейные и логарифмические оси

Ресурс функции: & emsp14; Подстановка Система Причинно-следственная связь

Постройте график, иллюстрирующий причинно-следственные особенности эволюции системы замещения.

Ресурс функции: & emsp14; QuadricPlot3D

Постройте квадратную поверхность, автоматически определяя интересующие области, направление взгляда и масштаб

Ресурс функции: & emsp14; MultipleAxesListPlot

Версия ListPlot, которая отображает два списка данных с разными осями y

Ресурс функции: & emsp14; RiemannSphereComplexPlot

Версия ComplexPlot с трехмерной вращающейся сферой Римана

Ресурс функции: & emsp14; Аллювиальный график

График изменения веса с течением времени

Ресурс функции: & emsp14; DirectionalDerivativePlot3D

Визуализируйте производную по направлению на трехмерном графике

Ресурс функции: & emsp14; CheckboxLegended

Добавьте к графику легенду с флажками, которая динамически включает и выключает отдельные наборы данных.

Ресурс функции: & emsp14; SubstitutionSystemRulePlot

Создание значка правила для одномерной системы подстановки, не зависящей от соседей

Ресурс функции: & emsp14; LayeredGraphPlot3D

Создание многослойного трехмерного графика графика

Ресурс функции: & emsp14; TagSystemRulePlot

Создайте значок правила для системы тегов

Ресурс функции: & emsp14; MobileAutomatonRulePlot

Создайте значок правила для мобильного автомата

Ресурс функции: & emsp14; SequenceGraph

Создать график из последовательности данных

Ресурс функции: & emsp14; Последовательный участок замещения системы

Визуализация эволюции системы последовательного замещения

Ресурс функции: & emsp14; LinearFunctionQuiz

Создайте тест, чтобы оценить понимание линейных функций

Ресурс функции: & emsp14; Повернутый Эллипс Матрица

Создайте двоичную матрицу с повернутой эллиптической областью единиц

Ресурс функции: & emsp14; SolarSystemPlot3D

Постройте положение объектов солнечной системы в 3D

Ресурс функции: & emsp14; MoleculeValuePlot3D

Получите трехмерный график молекулы с атомами или связями, окрашенными в соответствии со значениями свойств

Ресурс функции: & emsp14; RiemannSurfacePlot3D

Постройте римановы поверхности композиций элементарных функций

Ресурс функции: & emsp14; Луна, положение, участок, 3D,

Постройте относительное положение Луны и Земли в 3D, освещенное Солнцем.

Ресурс функции: & emsp14; Интегральное приближениеPlot3D

Вычислить и построить аппроксимацию интеграла функции двух переменных на прямоугольнике, используя различные методы и типы разбиения.

Ресурс функции: & emsp14; QuadraticResidueAcousticDiffuserPlot

Постройте трехмерный рельеф, представляющий диффузор с квадратичным остатком.

Ресурс функции: & emsp14; RadarChart

Отображение числовых данных на диаграмме в стиле радара

Ресурс функции: & emsp14; Спирограф

Постройте спирограф

Ресурс функции: & emsp14; MoleculeSymmetryPlot3D

Покажите молекулу в 3D вместе с ее элементами симметрии

Ресурс функции: & emsp14; SequentialSubstitutionSystemRulePlot

Создание значка правила для системы последовательной замены

Ресурс функции: & emsp14; Оценить Benchmark

Измерьте время оценки функции на заданном наборе входов.

Ресурс функции: & emsp14; ДойлСпираль

Постройте спирали Дойла

Ресурс функции: & emsp14; РешеткаUnitCellPlot3D

Отображение конкретных элементарных ячеек в трехмерной решетке

Ресурс функции: & emsp14; EnlargeBoundingBox

Увеличить ограничивающую рамку на дробную величину

Ресурс функции: & emsp14; РешеткаVoronoiCellPlot3D

Отображение ячеек Вороного для определенных точек решетки в трехмерной решетке

Ресурс функции: & emsp14; RandomMandala

Создавайте случайные графики мандалы

Ресурс функции: & emsp14; Пенроуз Плитка

Сделайте участки из плиток Пенроуза

Ресурс функции: & emsp14; LifetimeChart

Визуализируйте жизнь в неделях или месяцах

Ресурс функции: & emsp14; Среднее значение

Создайте тест, чтобы оценить понимание теоремы о среднем значении для производных

Ресурс функции: & emsp14; WolframPhysicsProjectStyleData

Найдите стили, используемые в проекте Wolfram Physics Project

Ресурс функции: & emsp14; ХофштадтерБабочка

Постройте последовательные шаги бабочки Hofstadter & CloseCurlyQuote

Ресурс функции: & emsp14; GraphMouseMagnify

Динамически увеличивайте графики с помощью мыши

Ресурс функции: & emsp14; ГрафикаOptionQ

Проверить, является ли выражение графическим параметром

Ресурс функции: & emsp14; Герцшпрунг-Рассел Схема

Постройте положение звезд на диаграмме Герцшпрунга – Рассела.

Ресурс функции: & emsp14; ChaosGame

Итерации сюжета для 2D-игры с хаосом

Ресурс функции: & emsp14; ГрафикаBounds

Получите диапазон сюжета, используемый в части графики

Ресурс функции: & emsp14; TreeGrid

Отобразить дерево с сеткой

Ресурс функции: & emsp14; ContinentalPlateMaps

Постройте положение континентальных плит в различные геологические периоды.

Ресурс функции: & emsp14; CurveAnalysis

Получите динамический график одномерной функции вместе с дополнительными алгебраическими и основанными на исчислении свойствами функции.

Ресурс функции: & emsp14; Выбрать Atoms3D

Интерактивный выбор индексов атомов на трехмерном графике молекулы

Ресурс функции: & emsp14; МолекулаМешRegion

Создайте сетку из молекулы

Ресурс функции: & emsp14; ScaledRankChart

Отображение диаграммы масштабированного количества элементов в списке

Ресурс функции: & emsp14; ГрафикаИнформация

Возвращает информацию о визуализированной форме объекта Graphics, такую ​​как размер отступа изображения и фактический используемый диапазон графика.

Графики · Алгебра и тригонометрия

Параметрические уравнения: графики · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы будете:

• Графические плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями путем нанесения точек.
• Графические параметрические уравнения.

Это конец девятого иннинга с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Бэттер раскачивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью 140 футов в секунду и под углом примерно 45 °

к горизонтали. Как далеко полетит мяч? Сможет ли он очистить забор для выигрышного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрических уравнений .В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые общие приложения, такие как задачи о движении снаряда.

Построение параметрических уравнений по точкам

Вместо графического калькулятора или компьютерной программы построения графиков, нанесение точек на график для представления графика уравнения является стандартным методом. Пока мы тщательно вычисляем значения, точечное построение очень надежно.

Для пары параметрических уравнений нарисуйте график с помощью точек.

1. Создайте таблицу из трех столбцов: t, x (t) и y (t).
2. Оценить х

   и

   y

   для значений

   t

   на интервале, для которого определены функции.

3. Постройте получившиеся пары (х, у).

Построение графика пары параметрических уравнений по точкам построения

Нарисуйте график параметрических уравнений x (t) = t2 + 1, y (t) = 2 + t.

Построить таблицу значений t, x (t),

и у (т),

, как в [ссылка], и нанесите точки на плоскости.

График представляет собой параболу с вершиной в точке (1,2),

открытие вправо. См. [Ссылка].

Анализ

Как значения для t

прогрессируют в положительном направлении от 0 до 5, нанесенные точки очерчивают верхнюю половину параболы.В качестве значений т

становятся отрицательными, они очерчивают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление в соответствии с возрастающими значениями t.

График не представляет функцию, так как он не пройдет проверку вертикальной линии. График состоит из двух частей: положительные значения t,

и отрицательные значения для t.

Нарисуйте график параметрических уравнений x = t, y = 2t + 3, 0≤t≤3.

! [График заданных параметрических уравнений с ограниченной областью — он выглядит как правая половина восходящей параболы.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_003.jpg)

Построение графа тригонометрических параметрических уравнений

Создайте таблицу значений для заданных параметрических уравнений и нарисуйте график:

x = 2cos ty = 4sin t

Создайте таблицу, подобную приведенной в [ссылка], используя угловую меру в радианах в качестве входных данных для t,

и оценивая x

и г.

Использование углов с известными значениями синуса и косинуса для t

упрощает расчеты.

[ссылка] показывает график.

По симметрии, показанной в значениях x

и у,

мы видим, что параметрические уравнения представляют собой эллипс . Эллипс отображается в направлении против часовой стрелки, как показано стрелками, указывающими на увеличение t

.

значений.

Анализ

Мы видели, что параметрические уравнения могут быть построены на графике по точкам. Однако графический калькулятор сэкономит время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаружить их, используя только ручные вычисления.

Обязательно измените режим на калькуляторе на параметрический (PAR). Чтобы подтвердить, Y =

Окно

должно показать

X1T = Y1T =

вместо Y1 =.

Изобразите параметрические уравнения: x = 5cos t, y = 3sin t.

! [График заданных уравнений — горизонтальный эллипс.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_005.jpg)

Совместное построение графиков параметрических уравнений и прямоугольной формы

Постройте параметрические уравнения x = 5cos t

и y = 2sin t.

Сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы . Затем изобразите прямоугольную форму уравнения.Сравните два графика.

Создайте таблицу значений, как в [ссылка].

Постройте (x, y)

значений из таблицы. См. [Ссылка].

Затем преобразуйте параметрические уравнения в прямоугольную форму. Для этого решаем для t

в любом x (t)

или y (t),

, а затем подставим выражение для t

в другом уравнении.Результатом будет функция y (x)

при решении для t

как функция от x,

или x (y)

при решении для t

как функция от y.

x = 5cos tx5 = cos t Решить для cos t. y = 2sin t Решить относительно sin t.y2 = sin t

Затем используйте теорему Пифагора .

cos2t + sin2t = 1 (x5) 2+ (y2) 2 = 1×225 + y24 = 1

Анализ

В [ссылка] данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения отображаются вместе.Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического в виде пунктирной линии красного цвета. Ясно, что обе формы дают один и тот же график.

Построение графиков параметрических и прямоугольных уравнений в системе координат

Постройте параметрические уравнения x = t + 1

и y = t, t≥0,

и прямоугольный эквивалент y = x − 1

в той же системе координат.

Создайте таблицу значений для параметрических уравнений, как мы делали в предыдущем примере, и график y = t, t≥0

в той же сетке, что и в [ссылка].

Анализ

С доменом на т.

ограничено, мы наносим только положительные значения t.

Параметрические данные отображаются синим цветом, а график прямоугольного уравнения — красным пунктиром.И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.

Изобразите график параметрических уравнений x = 2cos θ и y = 4sin θ,

вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

График параметрических уравнений выделен красным цветом, а график прямоугольного уравнения нарисован синими точками поверх параметрических уравнений.

Приложения параметрических уравнений

Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при решении реальных задач.Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину пути объекта, они не показывают положение объекта в конкретное время. Однако параметрические уравнения иллюстрируют, как значения x и y изменяются в зависимости от t как местоположения движущегося объекта в конкретный момент времени.

Обычное применение параметрических уравнений — решение задач, связанных с движением снаряда. При этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол θ

.

к горизонтали, с начальной скоростью v0,

и на высоте h

выше горизонтали.

Путь объекта, движущегося под углом θ

к горизонтали, с начальной скоростью v0,

и на высоте h

выше горизонтали, равно

х = (v0cosθ) t y = −12gt2 + (v0sinθ) t + h

где g

учитывает влияние силы тяжести и h

— начальная высота объекта. В зависимости от устройств, участвующих в проблеме, используйте g = 32 фут / с2

или g = 9,8 м / с2.

Уравнение для x

дает горизонтальное расстояние, а уравнение для y

дает вертикальное расстояние.

Для решения задачи о движении снаряда используйте параметрические уравнения.

1. Горизонтальное расстояние определяется выражением х = (v0cos θ) т.

   Заменить

   начальную скорость объекта. v0.
2. Выражение cos θ

   указывает угол, под которым объект перемещается.Замените этот угол в градусах на

   . cos θ.
3. Вертикальное расстояние определяется по формуле y = −12gt2 + (v0sin θ) t + h.

   Срок

   −12gt2

   представляет эффект силы тяжести. В зависимости от задействованных единиц используйте

   . g = 32 фут / с2

   или

   g = 9,8 м / с2.

   Снова замените начальную скорость на

   v0,

   и высота, на которой объект двигался, на

   час
4. Рассчитайте каждый член для решения т.

Нахождение параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча

Решите проблему, указанную в начале этого раздела. Попадает ли тесто в выигрышную игру? Предположим, что мяч ударяется с начальной скоростью 140 футов в секунду под углом 45 °

в горизонтальное положение, установив контакт на высоте 3 фута над землей.

1. Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
2. Где мяч через 2 секунды?
3. Как долго мяч находится в воздухе?
4. Это хоумран?

1. Используйте формулы, чтобы составить уравнения. Горизонтальное положение определяется с помощью параметрического уравнения для x.

   Таким образом,

   x = (v0cos θ) tx = (140cos (45 °)) t

   Вертикальное положение определяется с помощью параметрического уравнения для y.

   Таким образом,

   y = −16t2 + (v0sin θ) t + hy = −16t2 + (140sin (45 °)) t + 3

2. Подставьте 2 в уравнения, чтобы найти горизонтальное и вертикальное положение мяча.

   x = (140cos (45 °)) (2) x = 198 футов = −16 (2) 2+ (140sin (45 °)) (2) + 3y = 137 футов

   Через 2 секунды мяч оказывается на расстоянии 198 футов от бокса бьющего и на высоте 137 футов над землей.

3. Чтобы вычислить, как долго мяч находится в воздухе, мы должны выяснить, когда он ударится о землю или когда y = 0.

   Таким образом,

   y = −16t2 + (140sin (45∘)) t + 3y = 0 Установите y (t) = 0 и решите квадратное уравнение t = 6,2173

   При t = 6,2173

   секунды, мяч коснулся земли. (Квадратное уравнение можно решить разными способами, но эта задача была решена с помощью компьютерной математической программы.)

4. Мы не можем подтвердить, что попадание было хоумраном, не принимая во внимание размер дальнего поля, который варьируется от поля к полю.Однако для простоты предположим, что внешняя стена находится в 400 футах от домашней плиты в самой глубокой части парка. Предположим также, что высота стены составляет 10 футов. Чтобы определить, касается ли мяч стены, нам нужно вычислить, насколько высок мяч, когда x = 400 футов. Таким образом, мы установим x = 400, решим для t,

   и ввод т

   в г.

   x = (140cos (45 °)) t400 = (140cos (45 °)) t t = 4.04 y = −16 (4,04) 2+ (140sin (45 °)) (4,04) +3 y = 141,8

   Мяч находится на высоте 141,8 фута, когда вылетает за пределы поля. Это был действительно хоумран. См. [Ссылка].

Ключевые понятия

• Когда есть третья переменная, третий параметр, по которому х

  и

  y

  зависит, можно использовать параметрические уравнения.

• Чтобы построить график параметрических уравнений путем нанесения точек, составьте таблицу с тремя столбцами, обозначенными t, x (t),

  и

  у (т).

  Выберите значения для

  t

  в порядке возрастания. Постройте последние два столбца для

  . х

  и

  у.

  См. [Ссылка] и [ссылка].

• При построении параметрической кривой путем нанесения точек отметьте соответствующие значения t и покажите на графике стрелки, указывающие ориентацию кривой. См. [Ссылка] и [ссылка].
• Параметрические уравнения позволяют отображать направление или ориентацию кривой на графике. Уравнения, которые не являются функциями, можно изобразить в виде графиков и использовать во многих приложениях, связанных с движением.См. [Ссылка].
• Движение снаряда зависит от двух параметрических уравнений: x = (v0cos θ) t

  и

  y = −16t2 + (v0sin θ) t + h.

  Начальная скорость обозначена как

  v0. θ

  представляет начальный угол объекта при броске, а

  h

  представляет высоту, на которой объект перемещается.

Упражнения по разделам

Устный

Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?

точек с помощью стрелки ориентации и графического калькулятора

В чем отличие параметрических уравнений точечного построения от декартовых уравнений?

Почему на некоторых графиках нарисованы стрелки?

Стрелки показывают ориентацию, направление движения согласно возрастающим значениям t.

Назовите несколько распространенных типов графиков параметрических уравнений.

Почему параметрические графики важны для понимания движения снаряда?

Параметрические уравнения показывают различные вертикальные и горизонтальные движения во времени.

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте каждый набор параметрических уравнений в виде таблицы значений. Включите ориентацию на графике.

{x (t) = ty (t) = t2−1

t	x	y
−3
-2
-1
0
1
2
3

{x (t) = t − 1y (t) = t2

т	−3	-2	-1	0	1	2
x
y

! [График приведенных уравнений — имеет вид раскрывающейся вверх параболы.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_202.jpg)

! [График заданных уравнений — прямая, наклон отрицательный.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_204.jpg)

! [График данных уравнений — выглядит как боковая парабола, открывающаяся вправо.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_206.jpg)

Для следующих упражнений нарисуйте кривую и укажите ее ориентацию.

{x (t) = — ty (t) = t

! [График данных уравнений — выглядит как левая половина открывающейся вверх параболы.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_208.jpg)

{x (t) = — t + 2y (t) = 5− \ | t \ |

! [График данных уравнений — выглядит как открывающаяся вниз функция абсолютного значения.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_210.jpg)

{x (t) = 4sin ty (t) = 2cos t

{x (t) = 2sin ty (t) = 4cos t

! [График приведенных уравнений — вертикальный эллипс.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_212.jpg)

{x (t) = 3cos2ty (t) = — 3sin t

{x (t) = 3cos2ty (t) = — 3sin2t

! [График заданных уравнений — прямая от (0, -3) до (3,0). Он проходит в обоих направлениях, с положительным и отрицательным наклоном.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_214.jpg)

{x (t) = sec ty (t) = tan t

{x (t) = sec ty (t) = tan2t

! [График приведенных уравнений — имеет вид раскрывающейся вверх параболы.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_216.jpg)

Для следующих упражнений нарисуйте уравнение и укажите ориентацию. Затем напишите декартово уравнение.

{x (t) = t − 1y (t) = — t2

! [График данных уравнений — выглядит как открывающаяся вниз парабола.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_218.jpg)

{x (t) = 2cos ty (t) = — sin t

! [График заданных уравнений — горизонтальный эллипс.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_220.jpg)

{x (t) = 7cos ty (t) = 7sin t

{x (t) = e2ty (t) = — e t

! [График данных уравнений — выглядит как нижняя половина боковой параболы, открывающейся вправо] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_222.jpg)

Для следующих упражнений нарисуйте уравнение и укажите ориентацию.

х = t2, y = 3t, 0≤t≤5

х = 2t, у = t2, −5≤t≤5

! [График данных уравнений — выглядит как открывающаяся вверх парабола] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_224.jpg)

х = т, у = 25-т2, 0 <т≤5

х (t) = — t, y (t) = t, t≥0

! [График данных уравнений — выглядит как верхняя половина боковой параболы, открывающейся влево] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_226.jpg)

x = −2cos t, y = 6 sin t, 0≤t≤π

x = −sec t, y = tan t, — π2

! [График данных уравнений — левая половина гиперболы с диагональными асимптотами] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_228.jpg)

Для следующих упражнений используйте параметрические уравнения для целых чисел a и b :

х (t) = acos ((a + b) t) y (t) = acos ((a − b) t)

График в области [−π, 0],

, где a = 2

и b = 1,

и включить ориентацию.

График в области [−π, 0],

, где a = 3

и b = 2

, и включить ориентацию.

! [График заданных уравнений — периодическая вертикальная траектория] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_230.jpg)

График в области [−π, 0],

, где a = 4

и b = 3

, и включить ориентацию.

График в области [−π, 0],

, где a = 5

и b = 4

, и включить ориентацию.

! [График заданных уравнений — периодическая вертикальная траектория] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_232.jpg)

Если

на 1 больше, чем b,

описать влияние значений

и б

имеют на графике параметрические уравнения.

Опишите график, если a = 100

и b = 99.

Произойдет 100 возвратно-поступательных движений.

Что будет, если b

больше чем на 1?

Опишите график.

Если параметрические уравнения x (t) = t2

и y (t) = 6−3t

есть график горизонтальной параболы, раскрывающейся вправо, что бы изменило направление кривой?

Возьмем противоположность x (t)

уравнение.

Для следующих упражнений опишите график системы параметрических уравнений.

x (t) = — t2

и y (t)

линейный

y (t) = t2

и x (t)

линейный

y (t) = — t2

и x (t)

линейный

Напишите параметрические уравнения круга с центром (0,0),

радиус 5 и ориентация против часовой стрелки.

{x (t) = 5costy (t) = 5sint

Запишите параметрические уравнения эллипса с центром (0,0),

большая ось длиной 10, малая ось длиной 6 и ориентация против часовой стрелки.

Для следующих упражнений используйте графическую утилиту для построения графика в окне [−3,3]

по [−3,3]

в домене [0,2π)

для следующих значений

и б

, и включить ориентацию.

{x (t) = sin (at) y (t) = sin (bt)

а = 1, б = 2

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_233.jpg)

а = 3, б = 3

! [График приведенных уравнений — прямые, идущие в Q1 и Q3 (в обоих направлениях) от начала координат до 1 единицы.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_235.jpg)

а = 2, б = 5

! [График данных уравнений — линии, идущие в Q1 и Q3 (в обоих направлениях) от начала координат на 3 единицы.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_237.jpg)

Технологии

Для следующих упражнений посмотрите на графики, созданные с помощью параметрических уравнений вида {x (t) = acos (bt) y (t) = csin (dt).

Используйте параметрический режим графического калькулятора, чтобы найти значения a, b, c,

и d

для достижения каждого графика.

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_239.jpg)

а = 4, б = 3, с = 6, г = 1

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_240.jpg)

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_241.jpg)

а = 4, б = 2, с = 3, г = 3

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_242.jpg)

Для следующих упражнений используйте графическую утилиту для построения графиков заданных параметрических уравнений.

1. {x (t) = cost − 1y (t) = sint + t
2. {x (t) = стоимость + ty (t) = sint − 1
3. {x (t) = t − sinty (t) = cost − 1

Изобразите все три набора параметрических уравнений в области [0, 2π].

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_243.jpg)! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_244.jpg)! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_245.jpg)

Изобразите все три набора параметрических уравнений в области [0,4π].

Изобразите все три набора параметрических уравнений в области [−4π, 6π].

! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_249.jpg)! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_250.jpg)! [График заданных уравнений] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_251.jpg)

Кажется, что график каждой системы параметрических уравнений «ползет» по одной из осей. Что контролирует, по какой оси ползет график?

Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы переключили sin t

и cos t

.

Y

— перехват изменений.

Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы изменили домен.

Расширения

Объект подбрасывается в воздух с вертикальной скоростью 20 футов / с и горизонтальной скоростью 15 футов / с. Высота объекта описывается уравнением y (t) = — 16t2 + 20t

.

, а объект движется по горизонтали с постоянной скоростью 15 футов / с. Напишите параметрические уравнения для положения объекта, а затем избавьтесь от времени, чтобы записать высоту как функцию горизонтального положения.

у (х) = — 16 (х15) 2 + 20 (х15)

Скейтбордист, едущий по ровной поверхности с постоянной скоростью 9 футов / с, подбрасывает в воздух мяч, высоту которого можно описать уравнением y (t) = — 16t2 + 10t + 5.

Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем исключите время, чтобы записать высоту как функцию горизонтального положения.

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик бросается вверх с начальной скоростью 65 футов / с под углом возвышения 52 °. Рассмотрим положение дротика в любой момент времени t.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Найдите параметрические уравнения, моделирующие проблемную ситуацию.

{x (t) = 64tcos (52 °) y (t) = — 16t2 + 64tsin (52 °)

Найдите все возможные значения x

, которые представляют ситуацию.

Когда дротик упадет на землю?

примерно 3,2 секунды

Найдите максимальную высоту дротика.

В какое время дротик достигнет максимальной высоты?

Для следующих упражнений посмотрите на графики каждого из четырех параметрических уравнений. Хотя они выглядят необычно и красиво, они настолько распространены, что имеют названия, указанные в каждом упражнении. Используйте графическую утилиту для построения графика каждого в указанном домене.

Эпициклоида: {x (t) = 14cos t − cos (14t) y (t) = 14sin t + sin (14t)

в домене [0,2π]

.

Гипоциклоида: {x (t) = 6sin t + 2sin (6t) y (t) = 6cos t − 2cos (6t)

в домене [0,2π]

.

! [График заданных уравнений — гипоциклоида] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_253.jpg)

Гипотрохоид: {x (t) = 2sin t + 5cos (6t) y (t) = 5cos t − 2sin (6t)

в домене [0,2π]

.

Роза: {x (t) = 5sin (2t) sinty (t) = 5sin (2t) стоимость

в домене [0,2π]

.

! [График заданных уравнений — четырехлепестковая роза] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_08_07_255.jpg)

---


Эта работа находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

Двумерные графики — Введение в символьные вычисления 1.0.0 документация

Построение графиков — одна из основных сильных сторон систем компьютерной алгебры. Мы различаем построение формул и функций. Подобно функции и выражениям в одной переменной, кривые на плоскости лучше всего строить, когда они заданы в параметрической форме. Для кривых с особенностями в начале координат преобразование в полярная форма может привести к гораздо лучшим результатам, потому что тогда мы можем исключить особую точку в полярной формулировке.

Плоская кривая может быть задана четырьмя различными способами.3 — x), — 2,2, ymin = -5, ymax = 5, detect_poles = ‘show’, figsize = 4)

На рис. 35 мы видим вертикальные асимптоты на графике.

Рис. 35 График функции с несколькими полюсами.

Кривые на плоскости

Некоторые кривые даны явными представлениями для координат \ ((x (t), y (t)) \), как функции от некоторой переменной \ (t \). Мы строим такие представления с помощью Parametric_plot . Кривая Лиссажу определяется параметрическим способом, показано на рис.36.2 implicit_plot (f, (x, -2, 2), (y, -2, 2)). show (figsize = 4) implicit_plot (f, (x, -2, 2), (y, -2, 2), plot_points = 2000, \ color = ‘red’). показать (figsize = 4)

Хотя сюжет из 2000 точек выглядит очень хорошо, может создаться впечатление, что кривая дважды проходит через начало координат.

Переведем в полярные координаты. В полярных координатах каждая точка представлена ​​радиусом и углом. Радиус — это расстояние от точки до начала координат. Угол — это угол, который образует вектор, заканчивающийся в точке. с горизонтальной осью.

 г, т = var ('г, т')
g = f.subs ({x: r * cos (t), y: r * sin (t)})
печать g
 

Прежде чем решать это выражение для r, хорошо бы упростить.

 sg = g.trig_simplify ()
печать sg
 

Даже без факторизации мы видим, что r = 0 — двойной корень.

Мы выбираем первое решение и наносим две части разными цветами. Для кривых, заданных в полярных координатах, как \ (r = f (t) \), мы используем polar_plot , обеспечивая диапазон для \ (t \).

 s0 = s [0].rhs ()
first = polar_plot (s0, (t, 0, pi), axes = False, color = 'красный')
second = polar_plot (s0, (t, pi, 2 * pi), оси = False, color = 'green')
(первый + второй) .show (figsize = 4)
 

Полярный график показан на рис. 39.

Рис. 39 Две половины полярного графика для \ (t \ in [0, \ pi] \) и для \ (t \ in [\ pi, 2 \ pi] \).

Это все? Ну, не забыли ли мы о компоненте r = 0? Точка (0, 0) является изолированной особенностью вещественной кривой.

 p0 = точка ((0, 0), color = 'blue', size = 50)
(p0 + первый + второй).показать()
 

Полный полярный график показан на рис. 40.

Рис. 40 Полный полярный график с добавлением начала координат в виде точки.

.

Найдите область определения функции с корнем: § Область определения функции

alexxlab / 07.10.197015.09.2022 / Разное

2