Разное — Страница 2741 — Таловская средняя школа

Сокращение дробей с буквами. Выполнение сокращения дробей

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q — знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение — часть целого.

Как правило, целое — это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

Нахождение НОД для обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы, называют сокращением дроби .

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14 .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3 . Сокращаем дробь на 3 . Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7 . Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14 .

Сокращение Алгебраических дробей

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Определите общий множитель.

Сократите коэффициенты.

Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x³ и x²

Всегда делим на наименьшее значение в степени

Вычитаем: 3 — 1

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Как решаем:

Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

Х и x² делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Как решаем:

Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

b³ и b делим на b.

Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.

Как решаем:

Выносим общий множитель 6

Делим 42/6

Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы	(a+b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат разности	(a-b)² = a² — 2ab — b²
Разность квадратов	a² – b² = (a – b)(a+b)
Куб суммы	(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности	(a-b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³
Сумма кубов	a³ + b³ = (a + b)(a²— ab+b²)
Разность кубов	a³ — b³ = (a — b)(a²+ ab+b²)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу квадрата разности (a-b)² = a² — 2ab — b² и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно — Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Онлайн сокращение дробей с буквами и степенями. Сокращение дробей, определение и формула

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби $\frac{m}{n} $, где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
$m:n = \frac{m}{n} $

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь $\frac{m}{n} $, надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь $\frac{m}{n} $, надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
$\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
$\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} $
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь $\frac{3}{4} $ означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, $\frac{5}{5} $ или $\frac{8}{5} $? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
$5:3 = 1\frac{2}{3} $ : 1 — целая часть, а $\frac{2}{3} $ — дробная часть.

Если числитель дроби $\frac{a}{b} $ делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
$\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} $

Если числитель дроби $\frac{a}{b} $ не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
$\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} $

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму $\frac{2}{7} $ и $\frac{3}{7} $. Легко понять, что $\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
$\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
$\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} $

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как $2\frac{2}{3} $, называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число $\frac{2}{3} $ — ее дробной частью . Запись $2\frac{2}{3} $ читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: $\frac{8}{3} $ и $2\frac{2}{3} $. Они выражают одно и то же дробное число, т.е $\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} $

Таким образом, неправильная дробь $\frac{8}{3} $ представлена в виде смешанной дроби $2\frac{2}{3} $. В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
$\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} $ так как $\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} $

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
$\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
$\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь $\frac{2}{3} $ и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь $\frac{3}{2} $. Эту дробь называют обратной дроби $\frac{2}{3} $.

Если мы теперь «перевернем» дробь $\frac{3}{2} $, то получим исходную дробь $\frac{2}{3} $. Поэтому такие дроби, как $\frac{2}{3} $ и $\frac{3}{2} $ называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби $\frac{6}{5} $ и $\frac{5}{6} $, $\frac{7}{18} $ и $\frac{18}{7} $.

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: $\frac{a}{b} $ и $\frac{b}{a} $

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 $

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
$\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.

В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.

II. Для справки:

Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

III. Примечание:

Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

$\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}$

Рассмотрим пример:
Сократите дробь $\frac{9}{15}$

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

$\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}$

Ответ: после сокращения получили дробь $\frac{3}{5}$. По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь $\frac{48}{136}$.

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

$\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}$

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:
Сократите дробь $\frac{152}{168}$.

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

$\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}$

Ответ: $\frac{19}{21}$ несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь $\frac{44}{32}$.

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

$\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}$

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь $2\frac{30}{45}$.

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

$2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}$

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

$2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Вычислите выражение $\frac{50+20-10}{20}$ .

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

$\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3$

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь $\frac{100}{150}$.

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

$\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}$

Получили несократимую дробь $\frac{2}{3}$.

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь $\frac{100}{150}$ на 2.

$\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}$

Получили сократимую дробь $\frac{50}{75}$.

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь $\frac{4}{8}$. У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{12}$.

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь $\frac{8}{12}$:

$\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}$

Отсюда получаем, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) $\frac{90}{65}$ б) $\frac{27}{63}$ в) $\frac{17}{100}$ г) $\frac{100}{250}$

Решение:
а) $\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}$
б) $\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}$
в) $\frac{17}{100}$ несократимая дробь
г) $\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}$

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

Умножение и деление алгебраических дробей

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

23·47=2·43·7=821

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

23:711=23·117=227=1121

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Определение 1

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как ab·cd=a·cb·d . Здесь a, b, c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

Определение 2

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как ab:cd=ab·dc=a·db·c . Буквы a, b, c и d здесь означают многочлены, из которых a, b, c и d не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a·b+1a3 дробь a3a·b+1 будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Пример 1

Условие: умножьте дробь 1x+y на 3·x·yx2+5 , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

1x+y·3·x·yx2+5=1·3·x·y(x+y)·(x2+5)

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

1·3·x·y(x+y)·(x2+5)=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x2+53·x·y :

1x+y:3·x·yx2+5=1x+y·x2+53·x·y

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

1x+y·x2+53·x·y=1·x2+5(x+y)·3·x·y=x2+53·x2·y+3·x·y2

Ответ: 1x+y·3·x·yx2+5=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y ; 1x+y:3·x·yx2+5=x2+53·x2·y+3·x·y2 .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 29·38=672=112 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 2

Условие: перемножьте дроби x2+2·x+118·x3 и 6·xx2-1 .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

x+12·6·x18·x3·x-1·x+1=x+13·x2·(x-1)

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

Вот запись всего решения без пояснений:

x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1==x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

Ответ: x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+13·x3-3·x2 .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Пример 3

Условие: разделите 217·x-1 на 12·x7-x .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 217·x-1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

217·x-1=7·27·17·x-1=14x-7

Видим, что знаменатель дроби 12·x7-x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12·x7-x , получим 12·x7-x=-12·xx-7 .

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

217·x-1:12·x7-x=14x-7:-12·xx-7=14x-7·x-7-12·x=14·x-7x-7·-12·x==14-12·x=2·7-2·2·3·x=7-6·x=-76·x

Ответ: 217·x-1:12·x7-x=-76·x .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x2+x−4 на x2+x−41 . Полученные выражения будут тождественно равны.

Пример 4

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x+45·x·y:x2-16 .

Решение

Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

x+45·x·y:x2-16=x+45·x·y:x2-161=x+45·x·y·1×2-16==x+45·x·y·1(x-4)·x+4=(x+4)·15·x·y·(x-4)·(x+4)=15·x·y·x-4==15·x2·y-20·x·y

Ответ: x+45·x·y:x2-16=15·x2·y-20·x·y.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

А как сокращать дроби вида

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

Как решать задания с буквами ОГЭ?

Чтобы научиться решать этот вид заданий, необходимо запомнить несколько нехитрых вещей.

Во-первых, если видно, что пример небольшой, и проще сразу подставить число вместо буквы, то так и надо делать.

Например:

Упростите выражение и найдите его значение при y = 0,4.

В этом задании можно сразу сделать замену, и вместо “игрека” подставить 0,4: .

И при помощи нехитрых действий это превращается в .

Таким образом, первая заповедь при решении таких заданий – “Не перемудри”. Видите, что проще подставить сразу – подставляйте и считайте.

Во-вторых, если не сработала первая заповедь, то запомните – фраза “Упростите выражение” означает, что там многое должно сократиться. Для этого могут применяться 3 способа:

1. Вынести общий множитель за скобку: 3x + 3 = 3 (x + 1).

2. Применить формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b², или квадрата разности: (a – b)² = a² – 2ab + b² .

3. Применить формулу разности квадратов: a² – b²= (a + b)(a – b).

После этого многое должно сократиться. Остается что-то простое, куда подставляются значения наших переменных (буквы меняются на цифры). И все!

Рассмотрим несколько примеров.

Упростите выражение и найдите его значение при a = 3, b = 0,2.

В этом примере работает первый способ, вынесение общего множителя и в числителе, и в знаменателе дроби: .

Теперь можно сократить на (2 – a).

Остается простая дробь: . Подставляем и считаем.

Найдите значение выражения: при x = -13

Можно увидеть, что числитель первой дроби можно свернуть по формуле квадрат разности. Таким образом выражение перепишется в виде: .

Затем, по правилу деления дробей переворачиваем вторую дробь: .

Эту дробь можно сократить на (x – 7), и получится: .

Далее подставляем вместо икса его численное значение (-13) и считаем.

Найдите значение выражения:

Первым делом, приведем к общему знаменателю разность дробей, которая записана в скобках. Общий знаменатель (как проводить математические операции с дробями смотрите здесь) 7xy, а в числителе получим x² – 49y².

Затем производим умножение, не забывая ставить скобки там, где это необходимо:

НЕВЕРНО

ВЕРНО

Теперь вспоминаем, что многое должно сократиться, и видим в числителе выражение в скобках, которое можно разложить по формуле разности квадратов на (x – 7y)(x + 7y).

Получаем:

Сначала сокращаем на 7xy, а затем на (x + 7y):

Остается от этого всего выражение, которое решается очень просто: x – 7y.

Это были основные типы заданий на выражения с буквами. Задания, как видите, основываются всего лишь на трех операциях, поэтому должны легко решаться. Главное внимательнее читать условие и стараться упростить выражение. И запомните, что в них всегда что-то должно сократиться!

Сокращение дробей онлайн калькулятор с буквами. Сокращение алгебраических дробей

Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.

Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

Подход первый.

Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

Сократим:

В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

— если число чётное то оно делится на 2.

— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

Второй подход.

Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):

Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

Формально принцип сокращения можно записать так:

Подход третий.

Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

Следующий пример. Сократим 88179/2717.

Делим, получим:

Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

Теперь записываем исходное число:

И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

Две четвёртых.

Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

Вывод:

Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

C уважением, Александр Крутицких.

Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:

Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.

Результат решения дробей будет тут…

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .

Знаки используемые для записи в калькуляторе

Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.

Возможности онлайн калькулятора дробей

Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.

Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.

Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.

Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.

Базовые знания

Правила сокращения обыкновенных дробей

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Последовательность действий с дробями со степенями

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Уравнения с дробями — Полный курс алгебры

Очистка фракций

2-й уровень

Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать. Методика называется очисткой от фракций.

Пример 1. Решите для x :

x
3

x -2
5

= 6.

Решение . Очистить следующие дроби:

Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей. Тогда каждый знаменатель разделит на его кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

15 ·

x
3

15 ·

x -2
5

= 15 · 6

Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:

5 x + 3 ( x -2)	=	90.

Легко решается следующим образом:

5 x + 3 x — 6	=	90

8 x	=	90 + 6

x	=	96 8

	=	12.

Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому сначала мы делим НОК на каждый знаменатель и таким образом очищаем от дробей.

Мы выбираем , кратное каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

x
2

–

5 x
6

1
9

Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.

9 x -15 x = 2.

Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто посмотреть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза по (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

Вот очищенное уравнение и его решение:

9 x -15 x	=	2

−6 x	=	2

x	=	2 −6

x	=	–	1 3

Пример 3.Решить для x :

½ (5 x — 2) = 2 x + 4.

Решение . Это уравнение с дробью. Удаление дробей путем умножения обеих сторон на 2:

5 x -2	=	4 x + 8

5 x — 4 x	=	8 + 2

x	=	10.

В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Задача 1.	x 2	–	x 5	=	3

LCM — это 10.Вот очищенное уравнение и его решение:

	5 x	—	2 x	=	30

	3 x			=	30

	x			=	10.

При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —

5 x — 2 x = 30

— должно иметь без дробей .

Задача 2.	x 6	=	1 12	+	x 8

LCM — это 24.Вот очищенное уравнение и его решение:

	4 x	=	2 + 3 x

	4 x — 3 x	=	2

	x	=	2

Проблема 3.	x -2 5	+	x 3	=	x 2

LCM — это 30. Вот очищенное уравнение и его решение:

	6 (x -2) + 10 x			=	15 x

	6 x — 12 + 10 x			=	15 x

	16 x -15 x			=	12

	x			=	12.

Задача 4. Дробь равна дроби.

x — 1 4	=	x 7

LCM — это 28. Вот очищенное уравнение и его решение:

7 ( x — 1)	=	4 x

7 x — 7	=	4 x

7 x -4 x	=	7

3 x	=	7

x	=	7 3

Мы видим, что когда одна дробь равна одной дроби, тогда уравнение может быть очищено «перекрестным умножением».«

Если
	а б	=	c d	,
, затем
	объявление	=	г. до н.э. .

Задача 5.	x — 3 3	=	x -5 2

Вот очищенное уравнение и его решение:

	2 ( x — 3)	=	3 ( x -5)

	2 x — 6	=	3 x — 15

	2 x — 3 x	=	— 15 + 6

	— x	=	−9

	x	=	9

Проблема 6.	x — 3 x — 1	=	x + 1 x + 2

Вот очищенное уравнение и его решение:

	( x -3) ( x + 2)	=	( x — 1) ( x + 1)

	x ² — x — 6	=	x ² — 1

	— x	=	−1 + 6

	— x	=	5

	x	=	−5.

Задача 7.	2 x — 3 9	+	x + 1 2	=	x — 4

LCM — это 18. Вот очищенное уравнение и его решение:

	4 x — 6 + 9 x + 9			=	18 x — 72

	13 x + 3			=	18 x — 72

	13 x -18 x			=	— 72 — 3

	−5 х			=	−75

	x			=	15.

Задача 8.	2 x	–	3 8 x	=	1 4

LCM — это 8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:

	16–3			=	2 x

	2 x			=	13

	x			=	13 2

2-й уровень

Следующий урок: Задачи со словами

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Как найти переменную как часть дроби

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

4.9: Решение уравнений с дробями

Отмена вычитания

Мы все еще можем добавить одинаковую сумму к обеим частям уравнения, не меняя решения.

Пример 1

Решите относительно x : \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} \).

Решение

Чтобы «отменить» вычитание 5/6, прибавьте 5/6 к обеим сторонам уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — \ frac { 5} {6} + \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add} \ frac {5} {6} \ text {в обе стороны.}} \\ x = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 2} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text { Эквивалентные дроби, LCD = 6.}} \\ x = \ frac {2} {6} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Вполне допустимо оставлять свой ответ в виде неправильной дроби. Если вы хотите или если вас попросят сделать это, вы можете изменить свой ответ на смешанную дробь (7, разделенное на 6, равно 1, а остаток — 1). То есть \ (x = 1 \ frac {1} {6} \).

Проверка решения

Замените 7/6 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 7/6} x.} \\ \ frac {2} {6 } = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \\ \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Уменьшить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Поскольку последнее утверждение верно, мы заключаем, что 7/6 является решением уравнения x — 5/6 = 1/3.

Отмена добавления

Вы по-прежнему можете вычесть одинаковую сумму из обеих частей уравнения, не меняя решение.

Пример 2

Решите относительно x : \ (x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} \).

Решение

Чтобы «отменить» сложение 2/3, вычтите 2/3 из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + \ frac {2} {3} — \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} — \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} { \ text {Subtract} \ frac {2} {3} \ text {с обеих сторон.}} \\ x = — \ frac {3 \ cdot 3} {5 \ cdot 3} — \ frac {2 \ cdot 5} {3 \ cdot 5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 15.}} \\ x = — \ frac {9} {15} — \ frac {10} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify.}} \\ x = — \ frac {19} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \ end {align} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решите относительно x : \ (x + \ frac {3} {4} = — \ frac {1} {2} \)

Ответ: −5/4

Отмена умножения

Мы «отменяем» умножение делением. Например, чтобы решить уравнение 2 x = 6, мы разделим обе части уравнения на 2. Аналогичным образом мы могли бы разделить обе части уравнения

\ [\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \ nonumber \]

на 3/5.Однако более эффективно использовать обратные. Для удобства мы напоминаем читателям о мультипликативном обратном свойстве .

Мультипликативное обратное свойство

Пусть a / b — любая дробь. Число b / a называется мультипликативным обратным или обратным числом a / b . Произведение обратных величин 1.

\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1. \ nonumber \]

Давайте применим наши знания о взаимных вычислениях.

Пример 3

Решите относительно x : \ (\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на 3/5, умножьте обе части на обратное 5/3 и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {5} { 3} \ left (\ frac {3} {5} x \ right) = \ frac {5} {3} \ left (\ frac {4} {10} \ right) & ~ \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 5/3.}} \\ \ left (\ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} \ right) x = \ frac {20} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array } {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа умножьте.} \ end {array}} \\ 1x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} \ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} = 1. \\ \ text {Вкл. вправо уменьшите:} \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3}. \ end {array}} \\ x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x.} \ end {align} \ nonumber \]

Проверка решения

Замените 2/3 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {3} { 5} \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Замените 2/3 на} x.} \\ \ frac { 6} {15} = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение числителей; умножьте знаменатели.}} \\ \ frac {2} {5} = \ frac {2} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сократите обе стороны до наименьшего числа.}} \ end {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку это последнее утверждение верно, мы заключаем, что 2/3 является решением уравнения (3/5) x = 4/10.

Упражнение

Решите относительно y : \ (\ frac {2} {3} y = \ frac {4} {5} \)

Ответ: 6/5

Пример 4

Решите относительно x : \ (- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на −8/9, умножьте обе части на обратное −9/8 и упростите.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ — \ frac {9} {8} \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = — \ frac {9} {8} \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -9/8.} \\ \ left [- \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) \ right] x = — \ frac {3 \ cdot 3} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot 3 \ cdot 3} ~ & \ textcolor { red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа, простой множитель.} \ end {array}} 1x = \ frac { \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} — \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = 1.\\ \ text {Справа отмените общие множители.} \ end {array}} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева,} 1x = х. \ text {Умножение справа.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решить относительно z: \ (- \ frac {2} {7} z = \ frac {4} {21} \)

Ответ: −2/3

Удаление дробей из уравнения

Хотя техника, продемонстрированная в предыдущих примерах, является надежной математической техникой, работа с дробями в уравнении не всегда является наиболее эффективным использованием вашего времени.

Удаление дробей из уравнения

Чтобы удалить все дроби из уравнения, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, которые встречаются в уравнении.

Давайте воплотим эту идею в жизнь.

Пример 5

В примере 1 нас попросили решить следующее уравнение для x :

\ [x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3}. \ Nonumber \]

Найдите минутку, чтобы ознакомиться с техникой решения в Примере 1.Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6 \ left (x — \ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 6.}} \\ 6x — 6 \ left (\ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Распределите 6.}} \\ 6x-5 = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с каждой стороны.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {6 \ left (\ frac {5} {6 } \ right) = 5 \ text {и} 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) = 2.} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью очищено от дробей, что значительно упрощает его решение.

\ [\ begin {align} 6x — 5 + 5 = 2 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 с обеих сторон.}} \\ 6x = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {6x} {6} = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 6.}} \\ x = \ frac {7} { 6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Упростить.}} \ End {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в Примере 1.

Упражнение

Решить относительно t : \ (t — \ frac {2} {7} = — \ frac {1} {4} \)

Ответ: 1/28

Пример 6

В примере 4 нас попросили решить следующее уравнение для x .

\ [- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \ nonumber \]

Найдите минутку, чтобы просмотреть решение в примере 4. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 18 \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 18.}} \\ -16x = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {С каждой стороны, отменить и умножить.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {18 \ left (- \ frac {8} { 9} \ right) = -16 \ text {и} 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) = 5.} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Продолжая,

\ [\ begin {align} \ frac {-16x} {- 16} = \ frac {5} {- 16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -16.} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое, что и решение, найденное в Примере 4.

Упражнение

Решить относительно и :

\ [- \ frac {7} {9} u = \ frac {14} {27} \ nonumber \]

Ответ: −2/3

Пример 7

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \).

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.} } \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor { red} {\ text {Умножьте обе стороны на 12.}} \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) + 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева распределите 12.}} \\ 8x + 9 = 6 ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Умножение:} 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) = 8x, ~ 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 9,} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x , на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 8x + 9 — 9 = 6 — 9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 9 с обеих сторон.}} \\ 8x = — 3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {8x} {8} = \ frac {-3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = — \ frac {3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решить относительно r : \ (\ frac {3} {4} r + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {2} \)

Ответ: −2/9

Пример 8

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8}. \)

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 24.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) — 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) — 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {С обеих сторон распределите 24.}} \\ 16 — 18x = 12x — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Left:} 24 \ left (\ frac {2} {3} \ справа) = 16, ~ 24 \ слева (\ frac {3x} {4} \ right) = 18x.} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {Right:} 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 12x, ~ 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right ) = 3.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x, на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 16 — 18x — 12x = 12x — 3 — 12x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ 16 — 30x = -3 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} -18x — 12x = -30x.\\ \ text {Right:} 12x — 12x = 0. \ end {align}} \\ 16 — 30x — 16 = -3 — 16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 16 с обеих сторон.} } \\ -30x = -19 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} 16-16 = 0. \\ \ text {Right:} -3 — 16 = -19. \ end {align}} \\ \ frac {-30x} {- 30} = \ frac {-19} {- 30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -30.} \ \ x = \ frac {19} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Найти с : \ (\ frac {3} {2} — \ frac {2s} {5} = \ frac {s} {3} — \ frac {1} {5} \).

Ответ: Добавьте сюда тексты. Не удаляйте сначала этот текст.

Приложения

Давайте рассмотрим некоторые приложения, в которых используются уравнения, содержащие дроби. Для удобства мы повторяем Требования к решению проблем Word .

Требования к решению проблем Word

Настройка словаря переменных .Вы должны сообщить своим читателям, что представляет собой каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
1. Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
2. Пометка неизвестных значений переменными в таблице.
3. Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
Задайте уравнение . Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
Решите уравнение . Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
Ответьте на вопрос . Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче. Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами. 5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить свое решение в своем уравнении.В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке проблемы».

Пример 9

В третьей четверти баскетбольного матча дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 12 250 человек. Если это две трети вместимости, найдите полную вместимость баскетбольной арены.

Решение

Мы следуем требованиям для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Пусть F представляет полную пассажировместимость. Примечание: гораздо лучше использовать переменную, которая «звучит как» величина, которую она представляет. В этом случае использование F для представления полной вместимости пассажиров более наглядно, чем использование x для представления полной вместимости.

2. Установите уравнение . Две трети от полной вместимости — 12 250 человек.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Две трети} & \ text {of} & \ colorbox {cyan} {Полная вместимость} & \ text {is} & 12,250 \\ \ frac {2} {3} & \ cdot & F & = & 12,250 \ end {align} \ nonumber \]

Следовательно, уравнение

\ [\ frac {2} {3} F = 12250. \ nonumber \]

3. Решите уравнение . Умножьте обе части на 3, чтобы очистить дроби, затем решите.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} F = 12250 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 \ left (\ frac {2} {3} F \ right) = 3 (12250) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 3.}} \\ 2F = 36750 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ \ \ frac {2F} {2} = \ frac {36750} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ F = 18375 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос .Полная вместимость — 18 375 человек.

5. Оглянитесь назад . В словах проблемы указано, что 2/3 пассажировместимости составляет 12 250 человек. Давайте возьмем две трети нашего ответа и посмотрим, что мы получим.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} \ cdot 18375 & = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {18375} {1} \\ & = \ frac {2} {3 } \ cdot \ frac {3 \ cdot 6125} {1} \\ & = \ frac {2} {\ cancel {3}} \ cdot \ frac {\ cancel {3} \ cdot 6125} {1} \\ & = 12250 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Это правильная посещаемость, поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Посещаемость игры «Селтикс» составила 9 510 человек. Если это 3/4 вместимости, какова вместимость арены «Селтикс»?

Ответ: 12 680

Пример 10

Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

Решение

Мы следуем требованиям для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Наш словарь переменных будет иметь форму хорошо размеченной диаграммы.

2. Задайте уравнение . Площадь A треугольника с основанием b и высотой h составляет

\ [A = \ frac {1} {2} bh. \ Nonumber \]

Заменить A = 20 и b = \ (2 \ frac {1} {2} \).

\ [20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h. \ Nonumber \]

3. Решите уравнение . Измените смешанную дробь на неправильную дробь, а затем упростите.

\ [\ begin {align} 20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 20 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Смешано с неправильным:} 2 \ frac {1} { 2} = \ frac {5} {2}.} \\ 20 = \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} { \ text {Ассоциативное свойство.}} \\ 20 = \ frac {5} {4} h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} = \ frac {5} {4}.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Теперь умножьте обе части на 4/5 и решите.

\ [\ begin {align} \ frac {4} {5} (20) = \ frac {4} {5} \ left (\ frac {5} {4} h \ right) ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Умножьте обе стороны на 4/5.}} \\ 16 = h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} \ frac {4} {5} (20) = 16} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {5} {4} = 1.} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос . Высота треугольника 16 дюймов.

5. Оглянитесь назад . Если высота составляет 16 дюймов, а основание — \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, то площадь равна

\ [\ begin {align} A & = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) (16) \\ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {16} {1} \\ & = \ frac {5 \ cdot 16} {2 \ cdot 2} \\ & = \ frac {(5) \ cdot ( 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2)} {(2) \ cdot (2)} \\ & = \ frac {5 \ cdot \ cancel {2} \ cdot \ cancel {2} \ cdot 2 \ cot 2 } {\ cancel {2} \ cdot \ cancel {2}} & = 20 \ end {align} \ nonumber \]

Это правильная площадь (20 квадратных дюймов), поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Площадь треугольника составляет 161 квадратный фут. Если основание треугольника имеет размер \ (40 \ frac {1} {4} \) футов, найдите высоту треугольника.

Ответ: 8 футов

Упражнения

1. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {5} {8} = \ frac {5} {8} \)?

2. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {1} {3} = \ frac {5} {12} \)?

3. Является ли −8/15 решением уравнения \ (\ frac {1} {4} x = — \ frac {1} {15} \)?

4.Является ли −18/7 решением уравнения \ (- \ frac {3} {8} x = \ frac {25} {28} \)?

5. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x + \ frac {4} {9} = \ frac {17} {18} \)?

6. Является ли 1/3 решением уравнения \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {13} {12} \)?

7. Является ли 3/8 решением уравнения \ (x — \ frac {5} {9} = — \ frac {13} {72} \)?

8. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x — \ frac {3} {5} = — \ frac {1} {10} \)?

9. Является ли 2/7 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {9} = — \ frac {8} {63} \)?

10.Является ли 1/9 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {7} = — \ frac {31} {63} \)?

11. Является ли 8/5 решением уравнения \ (\ frac {11} {14} x = \ frac {44} {35} \)?

12. Является ли 16/9 решением уравнения \ (\ frac {13} {18} x = \ frac {104} {81} \)?

В упражнениях 13-24 решите уравнение и упростите свой ответ.

13. \ (2x — 3 = 6x + 7 \)

14. \ (9x — 8 = −9x — 3 \)

15. \ (- 7x + 4 = 3x \)

16. \ (6x + 9 = −6x \)

17.\ (- 2x = 9x — 4 \)

18. \ (- 6x = −9x + 8 \)

19. \ (- 8x = 7x — 7 \)

20. \ (- 6x = 5x + 4 \)

21. \ (- 7x + 8 = 2x \)

22. \ (- x — 7 = 3x \)

23. \ (- 9x + 4 = 4x — 6 \)

24. \ (- 2x + 4 = x — 7 \)

В упражнениях 25–48 решите уравнение и упростите ответ.

25. \ (x + \ frac {3} {2 = \ frac {1} {2} \)

26. \ (x — \ frac {3} {4} = \ frac {1} {4} \)

27. \ (- \ frac {9} {5} x = \ frac {1} {2} \)

28.\ (\ frac {7} {3} x = — \ frac {7} {2} \)

29. \ (\ frac {3} {8} x = \ frac {8} {7} \)

30. \ (- \ frac {1} {9} x = — \ frac {3} {5} \)

31. \ (\ frac {2} {5} x = — \ frac {1} {6} \)

32. \ (\ frac {1} {6} x = \ frac {2} {9} \)

33. \ (- \ frac {3} {2} x = \ frac {8} {7} \)

34. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {7} {5} \)

35. \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {9} \)

36. \ (x — \ frac {1} {9} = — \ frac {3} {2} \)

37. \ (x — \ frac {4} {7} = \ frac {7} {8} \)

38.\ (x + \ frac {4} {9} = — \ frac {3} {4} \)

39. \ (x + \ frac {8} {9} = \ frac {2} {3} \)

40. \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {4} \)

41. \ (x + \ frac {5} {2} = — \ frac {9} {8} \)

42. \ (x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {3} \)

43. \ (- \ frac {8} {5} x = \ frac {7} {9} \)

44. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {5} {9} \)

45. \ (x — \ frac {1} {4} = — \ frac {1} {8} \)

46. \ (x — \ frac {9} {2} = — \ frac {7} {2} \)

47. \ (- \ frac {1} {4} x = \ frac {1} {2} \)

48.\ (- \ frac {8} {9} x = — \ frac {8} {3} \)

В упражнениях 49–72 решите уравнение и упростите свой ответ.

49. \ (- \ frac {7} {3} x — \ frac {2} {3} = \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {3} \)

50. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} x + \ frac {3} {4} \)

51. \ (- \ frac {7} {2} x — \ frac {5} {4} = \ frac {4} {5} \)

52. \ (- \ frac {7} {6} x + \ frac {5} {6} = — \ frac {8} {9} \)

53. \ (- \ frac {9} {7} x + \ frac {9} {2} = — \ frac {5} {2} \)

54.\ (\ frac {5} {9} x — \ frac {7} {2} = \ frac {1} {4} \)

55. \ (\ frac {1} {4} x — \ frac {4} {3} = — \ frac {2} {3} \)

56. \ (\ frac {8} {7} x + \ frac {3} {7} = \ frac {5} {3} \)

57. \ (\ frac {5} {3} x + \ frac {3} {2} = — \ frac {1} {4} \)

58. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {8} {3} = — \ frac {2} {5} \)

59. \ (- \ frac {1} {3} x + \ frac {4} {5} = — \ frac {9} {5} x — \ frac {5} {6} \)

60. \ (- \ frac {2} {9} x — \ frac {3} {5} = \ frac {4} {5} x — \ frac {3} {2} \)

61. \ (- \ frac {4} {9} x — \ frac {8} {9} = \ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} \)

62.\ (- \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {3} = \ frac {8} {7} x + \ frac {7} {3} \)

63. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {8} = — \ frac {1} {8} x + \ frac {5} {7} \)

64. \ (- \ frac {3} {2} x + \ frac {8} {3} = \ frac {7} {9} x — \ frac {1} {2} \)

65. \ (- \ frac {3} {7} x — \ frac {1} {3} = — \ frac {1} {9} \)

66. \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {2} {9} = — \ frac {9} {5} \)

67. \ (- \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {7} = \ frac {8} {7} x — \ frac {1} {3} \)

68. \ (\ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} = — \ frac {5} {2} x — \ frac {1} {4} \)

69.\ (- \ frac {3} {4} x — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} x — \ frac {1} {2} \)

70. \ (\ frac {1} {3} x — \ frac {5} {7} = \ frac {3} {2} x + \ frac {4} {3} \)

71. \ (- \ frac {5} {2} x + \ frac {9} {5} = \ frac {5} {8} \)

72. \ (\ frac {9} {4} x + \ frac {4} {3} = — \ frac {1} {6} \)

73. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 302 человека. Если это 2/9 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

74.На местном баскетбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 5 394 человека. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость баскетбольного стадиона.

75. Площадь треугольника составляет 51 квадратный дюйм. Если длина основания составляет \ (8 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

76. Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

77. Площадь треугольника составляет 18 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (4 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

78. Площадь треугольника составляет 44 квадратных дюйма. Если длина основания составляет \ (5 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

79. На местном хоккейном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 536 человек. Если это 2/11 вместимости, найдите полную вместимость хоккейного стадиона.

80. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 6 970 человек. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

81. Пираты . Около одной трети пиратских нападений в мире в 2008 году произошло у побережья Сомали. Если у побережья Сомали было 111 пиратских нападений, оцените количество пиратских нападений во всем мире в 2008 году.

82. Ядерный арсенал . U.С. и Россия договорились сократить ядерные арсеналы ядерного оружия большой дальности примерно на треть, до 1 550. Сколько сейчас ядерного оружия большой дальности? Associated Press-Times-Standard 04/04/10 Ядерный центр обеспокоен сокращением ракет.

83. Хранилище семян . В Глобальном хранилище семян на Свальбарде собрано полмиллиона образцов семян, и теперь в нем хранится не менее одной трети семян сельскохозяйственных культур в мире. Оцените общее количество семян сельскохозяйственных культур в мире. Associated Press-Times-Standard 15.03.10 Норвегия в хранилище семян судного дня достигла отметки в полмиллиона.

84. Товарный поезд . Поезд «Юнион Пасифик» длиной в три с половиной мили примерно в 2 1 2 раза длиннее обычного грузового поезда. Какова длина обычного грузового поезда? Associated Press-Times-Standard 13.01.10 Необычно длинный поезд вызывает опасения по поводу безопасности.

Операции с алгебраическими дробями

Многие техники упростят вашу работу при выполнении операций с алгебраическими дробями.Просматривая примеры, обратите внимание на этапы каждой операции и любые методы, которые сэкономят ваше время.

Приведение алгебраических дробей

— уменьшите алгебраическую дробь до наименьших членов, сначала разложив числитель и знаменатель на множители; затем уменьшить (или разделить) общие множители.

Пример 1

Уменьшить.

Предупреждение: Не уменьшайте с помощью знака сложения или вычитания, как показано здесь.

Умножение алгебраических дробей

Чтобы умножить алгебраические дроби, сначала разложите на множители числители и знаменатели, которые являются многочленами; затем уменьшите, где это возможно. Умножьте оставшиеся числители вместе и знаменатели. (Если вы уменьшили правильно, ваш ответ будет в сокращенной форме.)

Пример 2

Умножить.

Деление алгебраических дробей

Чтобы разделить алгебраические дроби, инвертирует вторую дробь и умножает.Помните, вы можете уменьшить только после инвертирования.

Пример 3

Разделить.

Сложение или вычитание алгебраических дробей

К прибавляем или вычитаем алгебраические дроби, имеющие общий знаменатель, просто сохраняем знаменатель и объединяем (складываем или вычитаем) числители. Если возможно, уменьшите количество.

Пример 4

Выполните указанную операцию.

К прибавляем или вычитаем алгебраические дроби, имеющие разные знаменатели, сначала находит наименьший общий знаменатель (LCD), заменяет каждую дробь на эквивалентную дробь с общим знаменателем, а затем объединяет каждый числитель. Если возможно, уменьшите количество.

Пример 5

Выполните указанную операцию.

Если есть общий переменный множитель с более чем одним показателем степени, используйте его наибольший показатель.

Пример 6

Выполните указанную операцию.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, часто необходимо разложить знаменатели на множители и действовать следующим образом.

Пример 7

Выполните указанную операцию.

Иногда проблема требует уменьшения того, что кажется окончательным результатом.Подобная проблема обнаружена в следующем примере.

Пример 8

Выполните указанную операцию.

Как вычитать дроби с помощью переменных — Видео и стенограмма урока

Решение задачи

Для вычитания дробей с переменными мы выполняем следующие шаги:

Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
Задайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
Когда у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числитель и, наконец, …
Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

Формула, которую мы используем для шагов 1-3, выглядит следующим образом:

Применение шагов

Хорошо, теперь, когда у нас есть общее представление о том, что нам нужно делать для вычитания дробей с переменными, давайте посмотрим, как применить эти шаги к реальной проблеме.Это действительно поможет укрепить наше понимание!

Предположим, вы работаете над проблемой с двумя неизвестными, и вы подошли к точке в задаче, где вам нужно вычесть (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3).

Это случай, когда мы вычитаем дроби с переменными. Большой! Мы можем практиковаться, используя наши шаги!

Первый шаг — найти общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе. Это дает 6 x 2 * 4 y 3 = 24 x 2 y 3.Это было достаточно просто!

Второй шаг — манипулировать дробями, чтобы получить общий знаменатель для них обоих. Для этого мы можем использовать нашу формулу.

Получаем, что (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3) = (12 x y 3/24 x 2 y 3) — (12 x 2 y /24 x 2 y 3). Хорошо, все еще не слишком сложно — просто вопрос умножения!

Третий шаг — вычесть числители теперь, когда у нас есть общий знаменатель.

Теперь у нас есть (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3) = (12 x y 3-12 x 2 y ) / 24 x 2 y 3.

Мы почти закончили! Четвертый и последний шаг — упростить, максимально разложив числитель и знаменатель на множители, а затем исключив любые одинаковые множители, присутствующие в обоих. Во-первых, давайте фактор.

В числителе мы множим 12, x и y из двух членов, чтобы получить (12 x y ( y 2 — x )) / 24 x 2 y 3.При этом мы понимаем, что мы отменяем 12, поскольку 12 * 2 = 24, мы можем отменить x , и мы можем отменить y . Это потому, что это факторы, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе.

Уф! Все сделано! Получаем, что (3 x /6 x 2) / (2 y /4 y 3) = ( y 2 — x ) / 2 x y 2.

Резюме урока

Хорошо, давайте уделим пару минут, чтобы просмотреть важную информацию, которую мы узнали в этом уроке.Мы специально узнали, что для того, чтобы найти общий знаменатель , мы просто умножаем два знаменателя вместе. Это часть процесса выяснения того, как вычитать дроби с переменными. Как мы увидели при рассмотрении исходной задачи, очевидно, что просто выполнить вычитание за один шаг — задача невозможная. Вот почему так замечательно иметь шаги для решения проблемы. Мы просто тщательно прорабатываем проблему, шаг за шагом, и доберемся до желаемого пункта назначения.

Это следующие шаги:

Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
Задайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
Как только у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числители и, наконец, …
Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

Мы можем взять сложную проблему и разбить ее на несколько более простых задач, чтобы прийти к решению, сделать вычитание дробей с переменными намного проще, чем мы думали!

как решить уравнения с дробью

Здравствуйте,

Чтобы решить это уравнение и многие ему подобные, нам сначала нужно знать и использовать PEMDAS (скобки, показатели, умножение / деление — слева направо, сложение / вычитание — слева направо).

Шаг первый:

Сначала распределите дробь -2/5 на все, что указано внутри скобок. Это означает, что вы умножите (-2/5) (10x), что будет равно -4x, а затем умножите (-2/5) (- 25), что будет равно 10. Итак, теперь слева от знака равенства вы увидите установить -4x + 10 равным исходной правой стороне.

У вас должно получиться -4x + 10 = 8x — 4

Теперь вы принимаете решение переместить все члены с переменной либо влево, либо вправо от знака равенства.Я левша, поэтому давайте просто переместим все крестики влево. Для этого мне нужно найти похожие термины: -4x и 8x. Поскольку я решаю переместить все переменные влево, это означает, что мне нужно переместить все обычные числа (без переменных рядом с ними вправо)

-4x + 10 = 8x — 4

Шаг второй: объедините одинаковые члены, выполнив противоположную операцию с обеих сторон от знака равенства

-4x + 10 = 8x — 4

-8x -8x Противоположность 8x, которая равна -8x по обе стороны от знака равенства.8x -8x = 0

_________________

-12x + 10 = 0-4 — — — — — -> -12x + 10 = 4

Шаг третий: найдите оставшуюся переменную. В этом случае переменная — x. Это многоступенчатое уравнение. * помните, как я сказал, что мы должны переместить все переменные влево, теперь пришло время переместить все константы (числа без переменных) вправо

-12x + 10 = 4

-10 -10 Противоположность 10, которая равна -10 по обе стороны от знака равенства.10-10 = 0

_______________

-12x + 0 = -6 — — — — — -> -12x = -6

Теперь последний шаг. Я все еще пытаюсь решить противоположности. -12x — это то же самое, что сказать -12 раз x. Противоположность времени (иначе говоря, умножение) — это деление. Итак, мой последний шаг — разделить на -12 с обеих сторон, чтобы наконец найти x.

-12x = -6

—— —— -12 / -12 равно 1.Итак, по сути, теперь у нас есть 1x слева от знака равенства

-12-12

x = -6 / -12 или 6/12 или 1/2

Есть и другие методы решения этой проблемы, но я считаю этот лучший.

Надеюсь, это поможет 🙂

Начальная алгебра
Урок 14: Решение линейных уравнений

Цели обучения

После изучения этого руководства вы сможете:

Решите линейные уравнения, используя сочетание упрощения и использования различные свойства равенства.

Введение

В Урок 12: Свойство сложения равенства мы рассмотрели, используя свойство сложения равенство чтобы помочь нам решить линейные уравнения. В учебнике 13: Свойство умножения равенства , которое мы рассмотрели, используя свойство умножения равенства, а также положить эти две идеи все вместе. В этом уроке мы будем решать линейные уравнения, используя комбинация упрощения и различных свойств равенства.

Умение решать линейные уравнения откроет дверь к возможности для решения множества других типов проблем, с которыми вы столкнетесь в ваш различные классы алгебры. Очень важно иметь это концепция вниз, прежде чем двигаться вперед. Убедитесь, что вы не смакуете тайна поиска вашей переменной, но проработайте некоторые из этих типов проблем, пока у вас не будет этой концепции.

Учебник

Стратегия решения линейной Уравнение

Обратите внимание, что ваш учитель или книга ты использование, возможно, сформулировало эти шаги немного иначе, чем я, но Это все сводится к одной и той же концепции — включите свою переменную один сторона и все остальное с другой, используя обратные операции.

Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону.

Шаг 2: Используйте Доп. / Под. Свойства для переместить переменную срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону.

Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для удалить любые значения которые находятся перед переменной.

Шаг 4. Проверьте свой ответ.

Я считаю, что это самый быстрый и Самый простой способ приблизиться к линейным уравнениям.

Пример 1 : Решите уравнение.

* Инверсия доп.10 является суб. 10

* Инверсная по отношению к мульт. на -3 — это div. по -3

Будьте осторожны, начиная со строки 4 к строке 5. Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x — это умножение, а не вычитание. Итак, если бы вы добавлять 3 в обе стороны, вы бы получили -3 x + 3 вместо желаемых x .

Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 1 это решение, которое мы ищем.

Пример 2 : Решите уравнение.

* Получить все условия x с одной стороны

* Инверсия доп.3 является суб. 3

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 — это div. по -1

Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 9 — это решение, которое мы ищем.

Пример 3 : Решите уравнение..

* Чтобы избавиться от дроби,
мульт. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4

* Получить все термины x на одной стороне

* Инверсия доп. 2 является суб. 2

* Инверсная по отношению к мульт.на -3 — это div. по -3

Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче вы увидите, что 4/3 это решение, которое мы ищем.

Пример 4 : Решите уравнение.

* Чтобы избавиться от десятичных знаков,
mult. обе стороны по 100

* Получить все термины и на одной стороне

* Обратное от sub. 20 добавлено 20

* Инверсная по отношению к мульт. на 20 дел.по 20

Если вы вернете 3/2 дюйма для y дюйма оригинал проблема вы увидите, что 3/2 — это решение, которое мы ищем.

Противоречие

Противоречие — это уравнение с одной переменной, которая не имеет решения.

Пример 5 : Решите уравнение.

* Получить все термины x на одной стороне

Куда делась наша переменная x, ??? Он исчез у нас.Также обратите внимание, как мы закончили с заявлением FALSE , -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1.

Когда ваша переменная падает из И вы закончите с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть НЕТ РЕШЕНИЕ.

Итак, ответ — нет решения.

Личность

Идентификатор — это уравнение с одной переменной
который имеет все числа как решение.

Пример 6 : Решите уравнение.

* Получить все термины x на одной стороне

На этот раз, когда наша переменная выпал, мы закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Итак, ответ — все действительные числа .

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .

Что такое функция в алгебре определение: Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

alexxlab / 17.09.197015.09.2022 / Разное

Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Читайте также: Чтение графика функции

§ Что такое функция в математике

Что такое функция в математике Как решать задачи на функцию Функция «y = kx» и её график Линейная функция
«y = kx + b» и её график Как построить график функции вида
«y = 7» или «x = 2»

Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.

Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч.

То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час.

Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа?».

Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа, нужно 60 умножить на 2. Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км.

Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч.

Сколько времени двигается автомобиль	Сколько км проедет автомобиль
1 час	60 км
2 часа	120 км
3 часа	180 км

Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.

Обозначим за «x» время автомобиля в пути.

Обозначим за «y» расстояние, пройденное автомобилем.

Запишем зависимость «y» (расстояния) от «x» (времени в пути автомобиля).

y = 60 · x

Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.

Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч. То есть подставим в формулу «y = 60 · x» значение x = 1.

y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час. Это совпадает с нашими расчетами ранее.

Теперь рассчитаем для x = 2.
y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа.

Теперь вместо «y» запишем обозначение «y(x)». Такая запись означает, что «y» зависит от «x».

Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:

y(x) = 60x

Запомните!

Функцией называют зависимость «y» от «x».

«x» называют переменной или аргументом функции.
«y» называют зависимой переменной или значением функции.

Запись функции в виде «y(x) = 60x» называют формульным способом задания функции.

Конечно, нужно понимать, что функция «y(x) = 60x» — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.

Примеры других функций:

y(x) = 2x
y(x) = −5x + 2
y(x) = 12x²−1

Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция («y») от её аргумента («x»).

Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .

Задание функции формулой

Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».

Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.

y(x) = 32x + 5

Найдем значение функции «y» при x = 0. Для этого подставим в формулу вместо «x»
число «0».

Запишем расчет следующим образом.

y(0) = 32 · 0 + 5 = 5

Таким же образом найдем значения «y» при x = 1 и при x = 2.

Найдем значение «y» при x = 1.

y(1) = 32 · 1 + 5 = 37

Теперь найдем значение «y» при x = 2.

y(2) = 32 · 2 + 5 = 64 + 5 = 69

Табличный способ задания функции

С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля «y(x) = 60x».

Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».

Рассмотрим функцию

y(x) = −x + 4

Найдем значения «y» при x = −1, x = 0 и x = 1.

Важно!

Будьте внимательны, когда подставляете значение «x» в функцию,
у которой перед «x» есть минус.

Нельзя терять знак минуса, который стоит перед «x».

При подстановки отрицательного числа в функцию вместо «x» обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.

Подставим в функцию «y(x) = −x + 4» вместо «x» отрицательное число «−1».

Неправильно

Правильно

Теперь для функции «y(x) = −x + 4» найдем значения «y» при x = 0 и x = 1.

y(0) = −0 + 4 = 4

y(1) = −1 + 4 = 3

Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции «y(x) = −x + 4».

x	y
−1	5
0	4
1	3

Графический способ задания функции

Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.

Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1».

Найдем несколько значений «y» для произвольных «x». Например, для x = −1,
x = 0 и x = 1.

Результаты запишем в таблицу.

x	Расчет
−1	y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3
0	y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Каждая пара значений «x» и «y» — это координаты точек по оси «Ox» (абсцисса точки) и «Oy» (ордината точки) соответственно.

Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.

Имя точки	x	y
(·) A	−1	3
(·) B	0	1
(·) C	1	−1

Отметим точки А(−1;3), B(0;1) и С(1;−1) на прямоугольной системе координат.

Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции «y(x) = −2x + 1».

Запомните!

График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо «x».

Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо «x».

Полученный график функции «y(x) = −2x + 1» это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.

При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.

Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.

Урок 48. функции. свойства функций и их графики. исследование функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

функция, аргумент функции, значение функции
график функции, преобразование графика функции
свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁<х_2, выполняется неравенство у₁<у₂.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких что, х₁<х_2, выполняется неравенство у₁>у₂.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

Четность / нечетность функции

D(y)= — симметрична относительно нуля

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

вводят независимую переменную х
выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
выражают у через х и другие известные величины
устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x² у. е.

Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)² (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x²+(24 — x)² = 5x²-48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x²-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции	Четность / нечетность
у=0	и четная, и нечетная
у=sin(x+5π/2)	четная
у=lg(x+10)	общего вида
	нечетная

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Что такое значение функции в алгебре – Значение функции это

Функции по алгебре это

Функции: понятие функция и аргумент, функциональная зависимость

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция – это зависимая переменная величина. Аргумент – это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется Функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

Где f (начальная буква слова function – функция) заменяет слово функция, y – это функция, а x – аргумент.

Иногда чтобы показать, что y зависит от x пишут просто:

Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.

Значение y, соответствующее заданному значению x называют Значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют Область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют Множество значений функции. Для функции f приняты следующие обозначения:

D(f) – область определения функции
(множество значений аргумента)

E(f) – множество значений функции

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

Где S – это расстояние, v – скорость, а t – время. Если взять скорость равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению

T (ч)S (км)

1	1,5	2	2,5	3
50	75	100	125	150

Следовательно, S является функцией от t – S(t) , область определения функции – D(S) &ges; 0, так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще если не двигаться, в этом случае t = 0. Значение этой функции в точке t0 можно обозначить в виде S(t0), то есть записать таблицу со значениями в таком виде:

Что такое алгебра?! Функция и аргумент в алгебре.

В данной статье разберемся, Что такое алгебра. Узнаем о таких понятиях, как Функция и аргумент в алгебре и дадим простые и понятные определения.

Один из разделов математики это алгебра, которая подразумевает выполнение различных операций с числами, так как сложение, умножение и т. д. Можно сказать, что алгебра это нечто вроде расширения арифметики до более высокого уровня. Понять, что такое алгебра и откуда она взялась, помогут исторические факты. Первые предпосылки алгебры появились в разных уголках мира, людям нужна была алгебра для того, чтобы решить определенные уравнения. Например, в Древней Греции впервые об уравнениях заговорил Диофант, это был 2-3 век нашей эры.

В Китае примерно 2 тысячи лет до нашей времени уже было умение решать квадратные уравнения и уравнения первой степени. Также некоторые предпосылки алгебры встречались у индийского народа и жителей арабских стран. Согласно историческому прошлому, также отличилось издание «Алгебра» аль-Хваризми, которое стало популярным в 12-ом веке благо переводу на латинском языке. Человечество нуждалось в проведение расчетов, так появилась алгебра. Что такое алгебра для вас и нужна или нет, каждый решает сам. Потребность в алгебре появилась, как необходимость решать однотипные задачи. В школе алгебра всегда была и остается обязательным предметом.

Когда начинают учить алгебру в школе?

Разделение математики на несколько областях определило для алгебры решение определенных уравнений, под названием Алгебраические уравнения. Что такое алгебра как предмет можно узнать только в 7-ом классе. Именно тогда вместе привычной математики появляется два отдельных предмета: алгебра и геометрия. Изучение начинается с простых понятий, также как и в случае других учебных процессов, все строится от простого материала к сложному.

7 класс оптимальное время для того, чтобы узнать, что такое алгебра. Вместо обычных операций с числами осуществляется переход на переменные. Так проще понять общие законы арифметики, научиться работать с неизвестными и функциями. Алгебру можно разделить на 5 отдельных категорий:

Школьная программа подразумевает изучение исключительно элементарной категории. Элементарная алгебра занимается изучением операций с вещественными числами. Перемененные и постоянные обозначены в алгебре символами в виде букв. С их помощью происходит преображение уравнений и математических выражений на основе четких правил.

Функция в алгебре

Понимание алгебры как предмет требует знание определенных элементов, так как функция, аргумент и определение. Что такое функция в алгебре и чем она определена? Функция является одним из основных понятий и определяет зависимость между переменными с неодинаковой величиной.

Что такое функция?:

Функция в алгебре представляет собой сопоставимость между двумя множествами. Согласно этому каждый элемент множества соответствует по одному единственному элементу другого множества.

Функция задается различным образом:

— согласно словесной формулировке (описание словами)

— аналитическим образом (используя формулу).

Школьная алгебра всецело сосредоточена над изучением числовых функций. Функция и аргумент указаны в виде чисел. Пример: Y=f(x), где

X перемена независимого типа, а Y функция наоборот зависимая. У функции есть еще такие параметры как: область определения (D) и область значения (E). Первый параметр представляет собой совокупность значений для переменной «х», в то время как второй обозначает множество значений для «у».

Аргумент в алгебре

Что такое аргумент в алгебре? Это не что иное, как перемена х, от которой зависит у, то есть функция. Аргумент функции в алгебре это независимая перемена с помощью которой определяется значение функции.

Значение аргумента можно определить по значению функции. Для определения аргумента по функции y=f(x), надо заменить y заданным значением. Остается только решить уравнение относительно x для того, чтобы значение стало известным. Существует возможность определения данного параметра и по графику функции.

Определение алгебры и ее практическая польза

Определение, что такое алгебра, позволяет понять какая от нее практическая польза. Только понимая область деятельности этой части математики, появляется стремление ее изучать. Благодаря алгебре, можно шагать на более высокий уровень познания математики. Алгебра это та простая ступень, которая позволяет делать прогресс в процессе изучения современной математики. Благодаря ней, появилась возможность взглянуть иначе на множества.

Постепенно элементарные значения алгебры перешли в более сложные понятия. Так появилась универсальная алгебра, которая стала основой для развития топологии. Алгебра это ступень, которая позволяет ступать дальше, и без нее не быть некоторым явлений прогресса. Знания некоторых людей, может завершиться на элементарных основ дисциплины, но в определенных областях глубокое изучение обязательно.

Если материал был полезен, вы можете Отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Значение функции

Область значений функции

Область значений (или Множество значений) Функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X задана функция f, которая отображает множество X в Y, то есть: f : X → Y. Тогда Областью (или Множеством) Значений функции f называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y и обозначается f ( X ) :

Множество значений функции f обозначается также символами E ( f ) , R ( f ) или r a n f \,f> (от англ.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия Области значений и Множества значений функции. При этом Областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y в обозначении функции f : X → Y [4], сохраняя термин Множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f.

Множество значений f ( X ) называется также образом множества X при отображении f.

Иногда Множество значений функции называют Множеством всех значений или Областью изменения функции[3].

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

Основные данные о работе

Версия шаблона	2. 1
ЦДОР
Вид работы	Творческое эссе
Название дисциплины	Математика (курс 13)
Тема	Понятие и свойства функции. Область определения и область значения.
Фамилия
Имя
Отчество
№ контракта

Содержание

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения……………3

Список использованных интернет-ресурсов……………………………………………9

Основная часть

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

1.Фукция и её свойства.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Так же можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, а также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем в 1692 год. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, которое дал Эйлер в 1751 год, затем — Лакруа в 1806 год — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским в 1834 году и Дирихле в 1837 году.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функция — это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х – это независимая переменная или аргумент.

Переменная у – это зависимая переменная.

Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.

Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)

Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1

Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1F(х2)

2. Способы задания функции.

Как найти значение функции 🚩 значение функции это 🚩 Математика

27 декабря 2018

Под понятием функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Знания в области алгебры и математического анализа.

Значения Функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Например область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Чтобы найти Значение функции в конкретной точке необходимо подставить вместо аргумента функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значением функции. Пусть дана функция f(x)=|x| — 10 + 4x. Найдем значение функции в точке x=-2. Подставим вместо x число -2: f(-2)=|-2| — 10 + 4*(-2) = 2 — 10 — 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Прежде чем искать значение функции в точке — убедитесь, что она входит в область определения функции.

Аналогичным способом можно найти значение функции нескольких аргументов. Отличие в том, что вместо одного числа необходимо будет подставить несколько — по числу аргументов функции.

Распечатать

Как найти значение функции

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

Значение функции. Поясните Значение функции это есть значения У (игрек) Так?

Значение зависимой переменной называют значениями функции

Линейная функция — y=kx+b

Наибольшее и наименьшее значение формулы

У — это значение функции, или можно назвать результат функции, или ответ функции

Где f (начальная буква слова function – функция) заменяет слово функция, y – это функция, а x – аргумент.

Иногда чтобы показать, что y зависит от x пишут просто:

Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.

D(f) – область определения функции
(множество значений аргумента)

E(f) – множество значений функции

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

T (ч)S (км)

1	1,5	2	2,5	3
50	75	100	125	150

Область определения и область значения.

Xn—-8sbanwvcjzh9e. xn--p1ai

11.09.2019 8:54:47

2019-09-11 08:54:47

Источники:

Https://xn—-8sbanwvcjzh9e. xn--p1ai/raznoe-2/chto-takoe-znachenie-funkcii-v-algebre-znachenie-funkcii-eto. html

Функции и их свойства | Материал по алгебре: | Образовательная социальная сеть » /> » /> .keyword { color: red; }

Функции по алгебре это

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x ). (Читают: у равно f от х. ) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 ) 2 ).

Убывающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x) называется убывающей на интервале (а; b) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 )>f(x 2 ).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 — четная функция.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 — нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной ( у = х 2 +х ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида, где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т. е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если. При k 0 имеем, что у > 0, если и у

2. Функция y = x 2

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

Свойства функции у = х 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т. е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т. е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т. е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х 2 — четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции — промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле, изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т. е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0, т. е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞) .

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x 3

Область определения этой функции — множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х 3 , изображаем график функции.

График функции у= х 3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x 3 .

1. Если х = 0, то у = 0, т. е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у

3. Множеством значений функции у = х 3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т. е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х 3 — нечетная).

4. Функция у = х 3 возрастающая в области определения.

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = — х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

1. Если х = 0, то у = 0, т. е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т. е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т. е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| — четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х

Если k у х > 0; у > 0 при х

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при.

4. Четность (нечетность) функции.

Уравнение вида ax 2 +bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠ 0, называется квадратным.

В квадратном уравнении ax 2 +bx+c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным членом.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.

Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax 2 +bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют двукратным корнем.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 +bx+c = 0. Так как а≠ 0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение. Полагая и, приходим к уравнению, в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

Аx 2 +bx = 0, ax 2 + с = 0, аx 2 = 0

Называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т. е.

Если сумма каких-нибудь двух чисел х 1 и х 2 равна, а их произведение равно, то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

Функция вида ах 2 +bх + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

Ах 2 +bх + с =а(х-х 1 )(х-х 2 )

Где х 1 и х 2 — корни трехчлена

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

Ах 2 +bх + с =а(х-х 1 ) 2

Где х 1 — корень трехчлена.

Например, 3х 2 — 12х + 12 = 3(х — 2) 2 .

Уравнение вида ах 4 + bх 2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х 2 = y оно приводится к квадратному уравнению аy 2 + by + с = 0.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠ 0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта.

Свойства квадратичной функции

— Область определения: R;

При b = 0 функция четная

При b≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной

При D > 0 два нуля: ,

При D = 0 один нуль:

Если, а > 0, D > 0, то

Если, а > 0, D = 0, то

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой, проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| 1 — это сжатие в 1/ |а| раз).

Если, а х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах 2 .

2. Параллельный перенос графика функции у = ах 2 вдоль оси х на |m| (вправо при

M > 0 и влево при т 0).

Результат: график функции у = а(х — т) 2 .

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п 0).

Результат: график функции у = а(х — т) 2 + п.

Неравенства вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с 0, где х — переменная, a, b и с — некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение. Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное — то нечетной).

3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:

• если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

• если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4. Записать ответ.

( х + 6) ( х + 1) ( х — 4)

Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = ( х + 6) ( х + 1) ( х — 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок-презентация. Тригонометрические функции и их свойства.

Данная презентация поможет закрепить свойства тригонометрических функций в решении сложных задач.

Открытый урок по алгебре «Графики функций и их свойства» с презентацией 10 класс

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Графики функций и их свойства» с применением ИКТ. Формирование конструктивных навыков, эстетичности и аккуратности при выполнении графических работ чере.

Урок в 9 классе на тему: «Квадратичная функция и ее свойства»

Урок обобщения свойств функции на примере квадратичной функции с использованием дифференцированного подхода в обучении математике и элементов тестирования, что способствует подготовки учащихся к ГИА п.

Квадратичная функция и ее свойства. С применением электронных образовательных ресурсов

Дать определение квадратичной функции и по графику определять ее основные свойства, научить использовать свойства квадратичной функции при решать задач; развитие познавательного интереса к обуче.

Презентация «Линейная функция, её график, свойства».

Презентация к уроку.

Конспект урока с презентацией «Функции. Графики функции и их свойства» 10 класс

Конспект урока по теме «Функции. Графики функции и их свойства» в 10 классе. Тип урока: Обобщение и систематизация знаний. К учебнику Алимова и др. Основная работа на уроке идет по презентации, т.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции.

Nsportal. ru

15.05.2017 5:46:41

2017-05-15 05:46:41

Источники:

Https://nsportal. ru/shkola/algebra/library/2019/05/31/funktsii-i-ih-svoystva

Что такое Функция в Алгебре? » /> » /> .keyword { color: red; }

Функции по алгебре это

Мы знаем, как соответствовать определенным чертам: быть вежливым, опрятным, инициативным. А как быть соответствиям между числовыми множествами — узнаем в этой статье про математические функции.

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение Y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина У зависит от величины Х по определенному закону, или правилу, которое обозначается F.

Вывод: меняя Х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение У.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину Х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину У.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция У = 2х каждому действительному числу X ставит в соответствие число Y, которое в два раза больше, чем Х.

Область определения — множество Х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

Область определения выглядит так:

х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество У, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению Х соответствует одно и только одно значение У. И наоборот — зная У, можно сразу найти Х.

О чем эта статья.

Skysmart. ru

02.10.2020 6:09:54

2020-10-02 06:09:54

Источники:

Https://skysmart. ru/articles/mathematic/chto-takoe-funkciya

Определение, понятие, свойства и значение функций в алгебре

Одним из основных понятий в математике, если не самым основным, является понятие функции. Для понимания этого термина, его значения, смысла и необходимости, обратимся к следующему примеру:

Вообразим себе обыкновенный автомобиль. Предположим, что он постоянно двигается со скоростью 80 км/ч и не меняет её на протяжении всего пути. А теперь попробуем выяснить: сколько километров проедет автомобиль, если в пути он будет находиться 5 часов? Итак, нам известна скорость и время. Попробуем составить зависимость:

…

Оглавление:
Смысл
Способы задания
Свойства

Сколько времени находится в пути автомобиль?	Сколько километров автомобиль проехал?
1 ч	80 км
2 ч	160 км
3 ч	240 км
4 часа	320 км
5 часов	400 км

Нам были известны всего две величины: скорость автомобиля и время, которое он находился в пути. Взглянув на таблицу, можно понять, что между временем, которое находился автомобиль в пути, и пройденным им расстоянием есть чёткая зависимость — каждый час автомобиль проезжает на 80 километров больше. Что ж, давайте немного приблизимся к алгебре и введём две переменные: y и x.

Y — это наше расстояние, а x — время пути. Составим уравнение: y = 80 * x. Теперь вместо x подставим время:

Y = 80 * 1. Получается 80 — значение расстояния, которое автомобиль пройдёт за 1 час.
Теперь вместо x подставим 2. Получается: y = 80 * 2 = 160. Это значение расстояния, которое пройдёт автомобиль при условии, что он будет ехать 2 часа.

Теперь введём следующую запись: y(x). Эта запись означает зависимость первой переменной от второй, а наше окончательное уравнение для движения автомобиля будет выглядеть следующим образом: y(x)=80x. Y в алгебре принято называть функцией, а x — аргументом.

Это интересно: какой вектор называется разностью двух векторов?

Смысл

Пользуясь приведённым примером, мы чётко и ясно можем понять, что определение функции — это зависимость одной переменной от другой.

Очень важно понимать, что y = 80 * x — не единственная зависимость. Стоит нам лишь изменить скорость автомобиля, то все ý при тех же значениях аргумента будут совсем другие. Кроме того, существует огромное множество зависимостей, которые могут иметь другой вид.

Способы задания

Всего в математике существует три способа задания функции:

«Формульный способ». С помощью формулы мы всегда можем определить ý. Допустим, что у нас есть зависимость y = 5x + 1. Чтобы найти все y, нам просто нужно подставить вместо x любое число, например: если x = 0, y = 1, если x = 5, y = 26. В этой функции мы можем принимать любые значения аргумента, но если нам встретится следующая зависимость: y = √x, то мы сможем взять за x все числа, кроме отрицательных, так как число под корнем не может быть с минусом.
Табличный способ задания также очень сильно распространён. Мы уже встречались с таблицей, когда приводили пример про автомобиль. Для того чтобы составить таблицу, необходимо всего лишь найти несколько значений y при нескольких значениях аргумента.
Графический способ задания. Когда только начинают знакомятся с функциями, обязательно вводят такое понятие, как график. Давайте рассмотрим, что же он из себя представляет.

Перед вами координатная плоскость — основа для графика. Она состоит из вертикальной оси Y — оси значений, и из горизонтальной оси X — аргумента. У координатной плоскости обязательно есть начало отсчёта, которая обозначается нулём, и единичный отрезок (в данном примере единичный отрезок равен одной клетке).

На координатной плоскости мы можем взять любой единичный отрезок. Например, если нам удобно, значение одной клетки будет ни 1, а 100. Следовательно, две клетки — 200 и так далее. Здесь мы можем построить любой график и, соответственно, увидеть любую зависимость.

На координатной плоскости мы видим график 2x — 1. Графиком является прямая. Как же определить зависимость? Давайте приметим любое значение аргумента, например, 0. Когда x = 0, значение равно 1, что чётко видно на графике. Когда аргумент = -1, значение также равно -1.

Свойства

В алгебре есть невообразимое количество свойств функции, но основными и действительно важными являются лишь некоторые.

«Область определения». Это понятие очень простое: оно подразумевает собой абсолютно все числа, которые может принимать переменная x. Например, в функции y = x — 2, переменная x может принимать все значения, то есть от минус бесконечности до плюс бесконечности. Другое дело, например, такая функция: y = √x. Так как под корнем не может стоять отрицательное число, допустимыми значениями аргумента могут быть все числа от нуля до плюс бесконечности.
Если область определения все значения аргумента, то следующее свойство функции, называемое «область значений» — это все значения, которые может принимать переменная y. Поскольку значения функции зависимы от аргумента, то тут ничего выдумывать не надо, а просто вычислять.
«Ограниченность» определить очень просто: если в рассматриваемой функции существует максимальное или минимальное значение y, то мы говорим, что функция будет называться ограниченной либо сверху, либо снизу.
«Непрерывность» —тоже очень простое свойство. Например, зависимость ý = 2x — 1, которую мы уже рассматривали, непрерывна, так как её график нигде не прерывается. Если же в какой-либо функции график будет прерываться, можно говорить, что она прерывается на определённом промежутке.
«Выпуклость» также присуща не всем графикам. У линейной зависимости её быть не может, поскольку это прямая и она не может быть выпуклой. А, например, парабола может быть выпуклой либо вверх, либо вниз.
Нули функции — это пересечение с осями. То есть, если нам необходимо описать данное свойство, нужно будет найти, в каком месте график пересекается с осью абсцисс и в каком месте с осью ординат.

Подводя итог, мы можем сказать, что функция — это важнейшее понятие в математике, ведь, по сути, ею можно описать любые процессы.

алгебра все о функциях

Вы искали алгебра все о функциях? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра все функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «алгебра все о функциях».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как алгебра все о функциях,алгебра все функции,алгебра график,алгебра графики,алгебра графики функций,алгебра функции,алгебра функции виды,алгебра функции все,алгебра функции их свойства и графики,алгебра функция,алгебра функция это,алгебра что такое функция,в алгебре функция,вид функции,виды графики функций,виды графиков все,виды графиков функции,виды графиков функций,виды графиков функций и их формулы,виды парабол и их графики,виды функции алгебра,виды функции графиков,виды функций,виды функций в математике,виды функций графики,виды функций и их графики,виды функция,все виды графиков,все виды графиков функции и их формулы,все виды функций и их графики,все графики и их функции,все графики функции,все графики функции и их формулы,все графики функций,все графики функций и их формулы,все графики функций и их формулы таблица,все о функциях алгебра,все о функциях и графиках,все функции,все функции алгебра,все функции в алгебре,все функции графики,все функции и их графики,все функции и их графики и свойства,все функции и их графики и свойства таблица,все функции и их графики и свойства таблица 9 класс,все функции и их свойства и графики,высшая математика графики функций,геометрические функции,график алгебра,график и их функции,график общего вида функции,график функции как находить,график функции как решать,график функции как читать,график функции общего вида,график функции определение,график функции примеры,график функции тема,график функции функция,график функции четверти,график функции что это,график функции это,график функции это определение,график функции это что,график функций как решать,графика простая,графика функция,графики алгебра,графики в математике,графики всех функций,графики и их названия,графики и их свойства,графики и их формулы,графики и их функции,графики и их функции и формулы,графики и их функция,графики и формулы,графики и формулы функции,графики и функции,графики и функции все,графики и функции формулы,графики как понять как,графики какие бывают,графики математика,графики математические,графики математических функций,графики основных и обратных функций,графики основных функций,графики по алгебре,графики по математике,графики пример,графики примеры,графики произвольных функций,графики простейших функций,графики простых функций,графики различных функций,графики формулы,графики функции все,графики функции и их графики таблица,графики функции и их свойства,графики функции и их формулы,графики функции и их формулы 9 класс шпаргалка,графики функции и их формулы все,графики функции и формулы,графики функции как строить,графики функции какие бывают,графики функции примеры,графики функций 9 класс и их формулы,графики функций алгебра,графики функций виды,графики функций виды функций,графики функций все,графики функций всех,графики функций высшая математика,графики функций и их,графики функций и их название,графики функций и их названия,графики функций и их свойства,графики функций и их уравнения,графики функций и их формулы,графики функций и их формулы 8 класс алгебра,графики функций и их формулы 9 класс,графики функций и их формулы все,графики функций и их формулы шпаргалка,графики функций и их формулы шпаргалка 9,графики функций и их формулы шпаргалка 9 класс,графики функций и формулы,графики функций как понять,графики функций как строить и решать,графики функций какие бывают,графики функций картинки,графики функций математика,графики функций примеры,графики функций различных,графики функций таблица,графики функций формулы,графиков примеры,графиков функций примеры,графические функции,графіки функції,графіки функцій,для функции y,как изобразить график функции,как называется функция,как найти график функции,как определить график функции по формуле,как определить по формуле график функции,как по формуле определить график функции,как понять графики функций,как решать функции,как решать функции по алгебре,как строить графики функций,как чертить графики функций,как читать график функции,как читать графики функций,как читать функцию,какая функция,какие бывают графики,какие бывают графики функции,какие бывают графики функций,какие бывают функции,какие бывают функции в алгебре,какие бывают функции в алгебре и их графики,какие графики бывают,какие графики функции бывают,какие графики функций бывают,какие есть функции,какие функции,какие функции бывают,какие функции бывают в алгебре,какие функции в,какие функции есть,какой график,какую функцию,картинки графики функций,математика высшая функции,математика графики,математика графики функций,математика функции,математика функции их свойства и графики,математика функция,математика функция это,математика что такое функция,математическая функция,математические графики,математические основные функции,математические функции,название графиков,название графиков функций,название функций,названия графиков,названия графиков функций,названия функций,названия функций графиков,названия функций и их графики,называется графиком функции,описание функций графиков,определение график функции,определение графика функции,определение по графику функции,определение функции,определение функции в алгебре,определение функции график,определение функции графика,определение функции по графику,определение что такое функция в алгебре,определения функция,основные графики и их функции,основные графики функций,основные функции и их графики,основные функции математические,парабола гипербола и другие графики,парабола гипербола и другие графики формулы,понятие графика функции,понятие функции графика функции,построить график функции что значит,приведите пример функции удовлетворяющей следующим условиям графиком является парабола,пример график,пример графика,пример функции,примеры график функции,примеры графики функции,примеры графики функций,примеры графиков,примеры графиков функций,примеры функции,примеры функций,примеры функций графиков,простая графика,простейшие графики и их функции,простейшие функции и их графики,простейшие функции их графики и свойства,простейшие функции их свойства и графики,таблица графики функций,таблица графиков функций и их формулы,таблица функций,тема график функции,типы графиков функций,укажите график функции,уравнения графиков функций,уравнения функций и их графики,формула графика прямой,формула графика функции,формула параболы на графике функции,формула прямой на графике функции,формула функции,формула функции y x,формула функции графика,формулы графики,формулы графики функций,формулы графиков функций,формулы графиков функций 9 класс,формулы и графики,формулы и графики функции,формулы и графики функций,формулы и их графики,формулы и их функции,формулы и функции графики,формулы функции,формулы функции и графики,формулы функций,формулы функций графиков,формулы функций графиков 9 класс,формулы функция,фукция,функ,функции,функции алгебра,функции алгебра все,функции в алгебре,функции в алгебре и их графики,функции в алгебре определение,функции в математике,функции в математике виды и их графики,функции виды,функции виды графиков,функции виды математика,функции все,функции все алгебра,функции геометрические,функции график формулы,функции графика,функции графики,функции графики и формулы,функции графики примеры,функции графиков и их формулы,функции графические,функции и графики,функции и графики формулы,функции и графики шпаргалка,функции и их график,функции и их графики,функции и их графики и свойства,функции и их графики и свойства таблица,функции и их свойства и графики,функции и их формулы,функции и их формулы и графики,функции и формулы,функции и формулы графики,функции их свойства и графики,функции какие есть,функции математика,функции математики,функции математические,функции название,функции определения,функции по алгебре,функции пример,функции примеры,функции таблица,функции формула,функции формулы,функции формулы и графики,функций виды в алгебре,функций их названия и графики,функция алгебра,функция алгебра это,функция в алгебре,функция в алгебре это,функция в математике,функция в математике это,функция виды,функция график функции,функция графика,функция и ее график,функция и их свойства и графики,функция и не функция картинки,функция математика,функция математика что такое,функция математика это,функция математическая,функция формулы,функция это алгебра,функция это в алгебре,функция это в математике,функция это математика,четверти график функции,четверти графика,четверти графика функции,что называется графиком функции,что называют графиком функции,что такое график функции,что такое график функции в алгебре,что такое график функций,что такое значение функции в алгебре,что такое функция в алгебре,что такое функция в алгебре определение,что такое функция в математике,что такое функция определение в алгебре,что является графиком функции. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и алгебра все о функциях. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра график).

Решить задачу алгебра все о функциях вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Алгебраическая функция — определение, примеры, типы

Алгебраическая функция, как следует из ее названия, представляет собой функцию, состоящую только из алгебраических операций. В математике мы изучаем различные типы функций. Наиболее распространенные функции:

Алгебраические функции
Тригонометрические функции
Логарифмические функции
Экспоненциальные функции

Давайте узнаем больше об алгебраических функциях, их типах и примерах.

1.	Что такое алгебраическая функция?
2.	Типы алгебраических функций
3.	Графики алгебраических функций
4.	Часто задаваемые вопросы по алгебраическим функциям

Что такое алгебраическая функция?

Алгебраическая функция является числом функция, которая включает только алгебраические операции. К таким операциям относятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Основываясь на этом определении, давайте посмотрим на некоторые примеры алгебраических функций и неалгебраических функций.

Примеры алгебраических функций

Вот несколько примеров алгебраических функций. Обратите внимание, что алгебраические функции должны включать только операции +, -, ×, ÷, целые и рациональные степени. Эти обозначения приводят к алгебраическим функциям, таким как полиномиальная функция, кубическая функция, квадратичная функция, линейная функция, и основаны на степени задействованных уравнений.

f(x) = x ² — 5x + 7
г(х) = √х
ч(х) = (3х + 1) / (2х — 1)
к(х) = х ³

Идентификация алгебраических функций

Если функция включает только вышеупомянутые операции (+, -, ×, ÷, показатели степени (также корни)), то мы можем сказать, что это алгебраическая функция. Давайте взглянем и на неалгебраические функции, чтобы избежать путаницы.

Примеры неалгебраических функций

К неалгебраическим функциям относятся тригонометрические функции, логарифмические функции, функции абсолютного значения, экспоненциальные функции и т. д. Вот несколько примеров.

f(x) = sin (3x + 2)
г(х) = журнал х
ч(х) = 3 ^х

Типы алгебраических функций

Основываясь на приведенных выше примерах, у вас, возможно, уже возникла идея разделить типы алгебраических функций. Вот основные виды.

Полиномиальные функции
Рациональные функции
Силовые функции

Давайте посмотрим больше примеров каждого из этих типов.

Полиномиальные функции

Полиномиальные функции (которые являются одним из типов алгебраических функций) — это функции, определением которых является полином. Полиномиальные функции включают линейную функцию, квадратичную функцию, кубическую функцию, биквадратичную функцию, функцию пятого числа и т. д. Вот несколько примеров.

f(x) = 3x + 7 (линейная функция)
f(x) = x ² — 2x + 5 (квадратичная функция)
f(x) = x ³ — 7x + 7 (кубическая функция)
f(x) = x ⁴ — 5x ² + 2x — 8 (биквадратная функция)
f(x) = x ⁵ — 7x + 3 (функция пятой степени)

Область определения всех полиномиальных функций — это набор всех действительных чисел, а диапазон зависит от значений y, которые охватывает график. Чтобы узнать больше о полиномиальных функциях, нажмите здесь.

Рациональные функции

Рациональные функции (которые являются одним из типов алгебраических функций) — это функции, определение которых включает дробь с переменной в знаменателе (они также могут иметь переменную в числителе). т. е. они имеют вид f(x) = p(x)/q(x), где p(x) и q(x) — многочлены от x. Вот несколько примеров:

f(x) = (x — 1) / (3x + 2)
f(x) = (5x — 7) / (x ² — 7x + 9)
f(x) = (4x ² + 1) / (х + 2)

Чтобы найти область рациональных функций, мы используем знаменатель правила ≠ 0, а чтобы найти диапазон, мы решаем функцию для x, а затем применяем тот же знаменатель правила ≠ 0. Чтобы узнать больше о рациональных функциях, нажмите здесь.

Степенные функции

Степенные функции имеют вид f(x) = k x ^a , где «k» и «a» — любые действительные числа. Поскольку «а» — действительное число, показатель степени может быть как целым, так и рациональным числом. Вот несколько примеров.

f(x) = x ²
f(x) = x ^-1 (обратная функция)
f(x) = √(x — 2) = (x — 2) ^1/2
f(x) = $\sqrt[3]{x-3}$ = (x-3) ^1/3

Область применения всех силовых функций может не совпадать. Это зависит от значений x, в которых определена функция. Диапазон степенных функций зависит от значений y, которые будет охватывать график.

Графики алгебраических функций

Графики всех алгебраических функций НЕ одинаковы. Это зависит от уравнения функции. Общая процедура для построения графика любого y = f(x):

Найдите точки пересечения x (установив y = 0)
Найдите точки пересечения с осью y (установив x = 0)
Найдите все асимптоты и начертите их.
Найдите критические точки и точки перегиба.
Найдите несколько дополнительных точек между каждыми двумя пересечениями по оси x и между каждыми двумя асимптотами.
Нанесите все эти точки на график и соедините их кривыми, соблюдая асимптоты.

Для получения дополнительной информации о графических функциях нажмите здесь.

Важные замечания по алгебраическим функциям

Алгебраические функции включают только алгебраические операции.
Алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, степени и корни.
Любая функция, которая имеет логарифм, ln, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции или переменную в показателе степени, НЕ является алгебраической функцией.
Область определения и область значений любой алгебраической функции можно найти, построив ее график на графическом калькуляторе и увидев значения x и значения y соответственно, которые покрывает график.

☛ Связанные темы:

Отношения и функции
Домен и область действия
Четная функция
Постоянная функция

Часто задаваемые вопросы по алгебраическим функциям

Что такое определение алгебраической функции?

Алгебраическая функция – это тип функций, который образуется только с помощью следующих операций:

Сложение
Вычитание
Умножение
Подразделение
Показатель степени (целочисленный или рациональный)

Что такое список алгебраических функций?

Алгебраические функции строятся только с использованием алгебраических операций. Здесь есть 3 типа:

Полиномиальные функции
Силовые функции
Рациональные функции

Что такое алгебраические типы функций?

Алгебраические функции используют только операции: +, -, ×, ÷ и показатель степени (любой рациональный показатель степени) и бывают 3 типов:

Рациональные функции
Полиномиальные функции
Силовые функции

Является ли log x алгебраической функцией?

Нет, log x НЕ является алгебраическим. Это логарифмическая функция.

Как определить алгебраические функции?

Алгебраическая функция должна включать только следующие операции:

+
—
×
÷
Степени типа x ² , (x — 1) ^1/2 и т. д.

Если у нас есть что-то кроме этих операций, то функция НЕ является алгебраической.

Является ли Sin x алгебраической функцией?

Нет, sin x НЕ является алгебраическим. Это тригонометрическая функция.

Какие функции НЕ являются алгебраическими?

Функции, включающие в себя все, кроме +, -, ×, ÷ и показателя степени, НЕ являются алгебраическими. Некоторые примеры неалгебраических функций:

f(x) = sin (x + 2)
f(x) = ln (x ³/3) и т. д.

Предварительное исчисление по алгебре — Что такое функция?

Резюме

Функция — это то, что принимает число, изменяет его в соответствии с некоторым правилом и выдает другое число. Вот и все. Это все. Остальное — обозначения.

Simpler Definition

Когда я учился в 4-м и 5-м классах, когда мы говорили о функциях, мы говорили о них в контексте функциональных «машин» — тех милых штучек, которые принимали число и выдавали другое, что-то вроде как эти таблицы:

Позже правила станут жестче. А правила были тем, что называлось «функциями». Вот что такое функция на самом фундаментальном уровне: что-то, что принимает число и выдает другое число в соответствии с заранее определенным правилом.

Средний Определение

Затем, в 6-м или 7-м классе, мы начали говорить о функциях как об уравнениях. Эти правила функциональных машин могут быть записаны в виде уравнений, которые принимают на вход $x$ и выдают результат $y$. Эти функции можно изобразить на декартовой плоскости следующим образом:

Мы узнали, что точки на этой линии представляют входы и выходы — координата x представляет вход, а координата y представляет выход. Уравнения, конечно, могли быть и более сложными, и их также можно было записать в виде $f(x) = x$ (вместо $y=x$), и нам сказали, что это обозначение функции , и это будет полезно позже.

Определение теории множеств

Совсем недавно, вне школы, я выучил более формальное определение функции, используя теорию множеств. Во-первых, несколько быстрых терминов/обозначений, и мы будем в пути.

«Наивное» определение множества состоит в том, что множество представляет собой совокупность любого количества объектов, обычно чисел, но иногда и других вещей. На самом деле это оказывается не совсем правильным, и если вы будете следовать этому достаточно далеко, это приведет к парадоксу, называемому парадоксом Рассела, но для наших целей мы можем придерживаться этого определения. Таким образом, у нас может быть набор $A = \{4,5\}$ и набор $B = \{4,5,6\}$.

Во-первых, мы можем определить элемент набора, т. е. число или объект, входящий в этот конкретный набор. Например, здесь мы можем сказать $4\in A$ или что $4$ находится в $A$. Мы также можем определить 90 337 подмножеств 90 338 набора. Чтобы быть подмножеством другого множества, все элементы предполагаемого подмножества должны находиться в другом множестве. Например, $A$ — это подмножество $B$ (обозначаемое как $A \subset B$), потому что $4$ и $5$ принадлежат $B$.

Далее мы можем определить умножение наборов. Для этого я хотел бы использовать в примере два разных множества, поэтому мы определим множества $A = \{a,b\}$ и $B = \{c,d\}$. Ответ здесь не совсем такой, как вы могли бы ожидать — это $A \times B = \{(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)\}$. Другими словами, это набор упорядоченных пар, которые могут быть созданы из двух наборов таким образом, что упорядоченная пара имеет вид $(x, y)$, где $x \in X$ и $y \in Y$. 9n$ — множество всех действительных координат в $n$-м измерении. Круто, да?

Продолжая, давайте определим отношение , еще один ключевой элемент головоломки. Отношение $R$ между двумя множествами $X$ и $Y$ называется подмножеством $R \subset Y \times X$. Чтобы сказать, что $x \in X$ связано с $y \in Y$, мы можем написать $yRx$. Итак, что именно это означает? Итак, рассмотрим отношение $=$ на $\mathbb{R}$. Это строка $y=x$! Имеет ли это смысл? Мы имеем дело с множеством всех действительных чисел и эффективно установили связь между некоторым значением $x$ в множестве всех действительных чисел и некоторым значением $y$ в множестве всех действительных чисел. Мы создали почти функцию!

Итак, теперь мы переходим к функциям. Функция $f$ между $X$ и $Y$ записывается как $f: X\rightarrow Y$. Это отношение на $Y \times X$ такое, что $yfx$ и $y’fx$ влекут $y=y’$ — другими словами, функция — это отношение, которое «отображает» или связывает каждый $x$ с уникальный $y$.

Использование

О, чувак. Есть так много применений для этих вещей, что я не знаю, с чего начать! Они используются для всего, что включает в себя ввод числа, изменение его в соответствии с правилом и, очевидно, выплевывание нового числа. Подобным образом занимаются многие дисциплины, такие как физика, экономика, инженерия, компьютерное программирование, финансы, и я мог бы продолжать. Функции можно рассматривать как один из наиболее широко используемых математических инструментов. 92$. Это функция! Он принимает число $r$ и выдает число $A$.

Пример

Здесь я собираюсь определить функцию расстояния, метрику . Представьте множество $X$ с функцией $d: X\times X \rightarrow \mathbb{R}$, такой что

$d(x,y) = d(y, x)$ для всех $x,y \in X$ — другими словами, расстояние между двумя числами одинаково, независимо от того, перечислены они так или иначе.
$d(x, y) \geq 0$, где $d(x,y)$ равно нулю, только если $x=y$ — в принципе, расстояние не может быть отрицательным, и расстояние может быть равно нулю, только если оно это одна и та же точка.
$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ для всех $x, y, z \in X$ — это известно как неравенство треугольника, сделать это довольно ясно.

Извините, довольно неравносторонний треугольник, ну да ладно. Расстояние между $x$ и $y$ не может быть больше, чем расстояние между $y$ и $z$ плюс расстояние между $y$ и $x$, что действительно имеет большой смысл. Вы можете только увеличить расстояние, добавив еще одну точку.

Итак, мы только что определили функцию расстояния! Не так уж и плохо, правда. 92$, если хотите. Это просто еще один способ написать основную концепцию.

Я буду обновлять ответ на этот вопрос.

Наконец-то…

Есть несколько вещей, которые можно сделать с помощью функций, таких как композиция, и все виды других вещей, которые требуют некоторого времени для рассмотрения здесь (хм… может быть, я добавлю кое-что из этого впоследствии). А пока я бы порекомендовал заглянуть на страницу википедии, посвященную функциям, и на такие сайты, как Khan Academy, и, конечно же, задавать вопросы, когда они у вас есть.

Надеюсь, это поможет!

Определение функции | Алгебра среднего уровня

Результаты обучения

Определение функции с помощью таблиц
Определите, создает ли набор упорядоченных пар функцию
Определить домен и диапазон функции, представленной в виде таблицы или набора упорядоченных пар

Есть много видов отношений. Отношения — это просто соответствие между наборами значений или информации. Подумайте о членах вашей семьи и их возрасте. Сопряжение каждого члена вашей семьи и их возраста является отношением. Каждому члену семьи можно сопоставить возраст в наборе возрастов членов вашей семьи. Другим примером отношения является соединение штата с его сенаторами США. Каждому штату могут быть сопоставлены два человека, каждый из которых был избран сенатором. В свою очередь, каждому сенатору можно сопоставить одно конкретное государство, которое он или она представляет. Оба они являются реальными примерами отношений.

Первое значение отношения является входным значением, а второе значение — выходным значением. Функция представляет собой особый тип отношения, в котором каждое входное значение имеет одно и только одно выходное значение. Вход — это независимое от значение , а выход — это зависимое от значение , поскольку оно зависит от значения на входе.

Обратите внимание, что в первой таблице ниже, где входными данными являются «имя», а выходными данными — «возраст», каждый вход соответствует ровно одному выходу. Это пример функции.

Имя члена семьи (ввод)	Возраст члена семьи (Вывод)
Нелли	[латекс]13[/латекс]
Маркос	[латекс]11[/латекс]
Эстер	[латекс]46[/латекс]
Сэмюэл	[латекс]47[/латекс]
Нина	[латекс]47[/латекс]
Пол	[латекс]47[/латекс]
Катрина	[латекс]21[/латекс]
Андрей	[латекс]16[/латекс]
Мария	[латекс]13[/латекс]
Ана	[латекс]81[/латекс]

Сравните это со следующей таблицей, где вводом является «возраст», а выводом — «имя». Некоторые из входов приводят к более чем одному выходу. Это пример соответствия, которое является , а не функцией.

Возраст члена семьи (ввод)	Имя члена семьи (выход)
[латекс]11[/латекс]	Маркос
[латекс]13[/латекс]	Нелли, Мария
[латекс]16[/латекс]	Андрей
[латекс]21[/латекс]	Катрина
[латекс]46[/латекс]	Эстер
[латекс]47[/латекс]	Самуэль, Нина, Пол
[латекс]81[/латекс]	Ана

Теперь давайте посмотрим на некоторые другие примеры, чтобы определить, являются ли отношения функциями или нет, и при каких обстоятельствах. Помните, что отношение является функцией, если для каждого входа имеется только один выход.

Пример

Заполните таблицу.

Вход	Выход	Функция?	Почему или почему бы и нет?
Имя сенатора	Название штата
Название штата	Имя сенатора
Прошедшее время	Высота подбрасываемого мяча
Высота подброшенного мяча	Время истекло
Количество вагонов	Количество шин
Количество шин	Количество вагонов

Показать решение

Отношения могут быть записаны как упорядоченные пары чисел или как числа в таблице значений. Изучив входные данные ( x -координаты) и выходные данные ( y -координаты), вы можете определить, является ли отношение функцией. Помните, что в функции каждый вход имеет только один выход.

Существует одно имя для набора входных значений и другое имя для набора выходных значений для функции. Набор входных значений называется домен функции . Набор выходных значений называется диапазоном функции .

Если у вас есть набор упорядоченных пар, вы можете найти домен, перечислив все входные значения, которые представляют собой координаты x . Чтобы найти диапазон, перечислите все выходные значения, которые являются координатами y .

Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар:

[латекс]\{(−2,0),(0,6),(2,12),(4,18)\}[/латекс]

Вы есть следующее:

[латекс]\begin{array}{l}\text{Домен:}\{−2,0,2,4\}\\\text{Диапазон:}\{0,6,12,18\} \end{array}[/latex]

Теперь попробуйте сами.

Пример

Перечислите домен и диапазон для следующей таблицы значений, где x — входные данные, а y — выходные.

х	у
[латекс]−3[/латекс]	[латекс]4[/латекс]
[латекс]−2[/латекс]	[латекс]4[/латекс]
[латекс]−1[/латекс]	[латекс]4[/латекс]
[латекс]2[/латекс]	[латекс]4[/латекс]
[латекс]3[/латекс]	[латекс]4[/латекс]

Показать решение

В следующем видео мы приводим еще один пример определения того, представляет ли таблица значений функцию, а также определения домена и диапазона каждого из них.

Пример

Определите домен и диапазон для следующего набора упорядоченных пар и определите, является ли заданное отношение функцией.

[латекс]\{(−3,−6),(−2,−1),(1,0),(1,5),(2,0)\}[/латекс]

Показать решение

В следующем видео мы покажем, как определить, является ли отношение функцией, и как найти домен и диапазон.

Пример

Найдите домен и диапазон отношения и определите, является ли оно функцией.

[латекс]\{(−3, 4),(−2, 4),(−1, 4),(2, 4),(3, 4)\}[/латекс]

Показать решение

Определите входные значения — это ваш домен.
Определите выходные значения — это ваш диапазон.
Если каждое значение в домене приводит только к одному значению в диапазоне, классифицируйте связь как функцию. Если какое-либо значение в домене приводит к двум или более значениям в диапазоне, не классифицируйте связь как функцию.

Что такое функция? — Математический обзор (видео)

TranscriptFAQsPractice

Здравствуйте, добро пожаловать в этот обзор функций! В этом видео мы рассмотрим природу математических отношений между переменными. Когда мы работаем с некоторыми примерами, наша цель — определить, соблюдаются ли критерии для определения особого отношения, известного как «функция».

Давайте рассмотрим основы математических правил или «отношений». Когда мы работаем с уравнением, значение переменной $x$ помогает определить значение переменной $y$.

$y=2x+3$

Значение $x$ можно рассматривать как ввод в математическое правило, определяемое уравнением, а $y $-значения, которые получаются в результате, являются выходными данными . Технические термины для всех $x$-значений и $y$-значений: домен и диапазон соответственно. Таким образом, в этом уравнении диапазон $y$ будет таким же, как $2x+3$.

Мы можем использовать таблицу, чтобы представить некоторые из различных результатов уравнения.

Домен	Диапазон $\hspace{20px}y=2x+3$
$20-20$ 9 $-20-20$ 9 = -1\)
$-1$	$2(-1)+3=1$
$0$	$2(0)+3= 3$
$1$	$2(1)+3=5$
$2$	$2(2)+3=7$

Итак, у нас есть наше уравнение и различные значения, которые $x$ могут быть перечислены здесь. Например, если мы обнаружим, что $x$ равно -2, наша задача будет выглядеть как $2(-2)$ (что равно -4) плюс 3, что равно -1.

Набор упорядоченных пар также можно использовать для отображения математической взаимосвязи. Здесь показаны пять элементов домена и диапазона из таблицы:

$(-2,-1), (-1,1), (0,3), (1,5), ( 2, 7)$

Словами каждое $x$-значение отображается как упорядоченная пара с соответствующим ему $y$-значением. Эти упорядоченные пары можно изобразить на координатной плоскости, чтобы визуально показать взаимосвязь.

Отношение $y=2x+3$ изображено здесь:

Значения домена находятся на оси $x$, а график принимает форму в соответствии со значениями диапазона на оси $y$.

Другое удобное визуальное представление отношения называется отображением , которое показывает прямое соответствие между элементами домена и диапазона. Вот два примера:

На карте A каждое входное значение соответствует одному выходному значению, а на карте B значение домена «2» соответствует двум выходным значениям, 20 и 40. На этом простом изображении четко показаны критерии. определить, является ли заданное отношение функцией.

По определению отношение определяется как функция, если каждый элемент домена отображается на один и только один элемент диапазона. Не все отношения являются функциями, но функции являются подмножеством отношений. В этом видео мы рассмотрели несколько репрезентаций отношений. На следующем изображении показаны четыре представления, которые показывают отношение, которое не квалифицируется как функция:

На этом этапе мы сосредоточимся на графике этого отношения, чтобы ввести тест вертикальной линии, который позволяет быстро определить функцию. статус любого графа, который вам дан.

Короче говоря, если вы проведете вертикальную линию через график и попадете только в ОДНУ точку, то этот график представляет собой функцию. В примере, который мы только что показали, если вы проведете вертикальную линию через значение домена -2, линия пройдет через значения диапазона 2 и -2.

Следовательно, отношение не проходит тест вертикальной линии. Вот еще примеры этого удобного инструмента для определения функции по графику.

Думаете, у вас получилось?

Что такое функция?

Давайте вместе решим несколько задач и посмотрим.

Это функция?

\(\{(−2 , 2), (−3 , 3), (−4 , 4)\}[/latex

В этом наборе упорядоченных пар значения домена равны [латекс ]{-2, -3, -4}\), а значения диапазона равны ${2, 3, 4}$. Поскольку каждое значение домена связано только с одним значением диапазона, это отношение является функцией. Что с этим набором?

$\{(3, 2), (3, 3), (2, 4)\}$

В этом наборе значения домена равны ${3, 2}$, а значения диапазона равны ${2, 3, 4}$. Поскольку значение домена 3 связано с 2 и 3 в диапазоне, это отношение НЕ является функцией.

Вот еще один набор, чтобы разобраться:

$\{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)\}$

Что вы думаете? Это функция или просто отношение?

Домен этого отношения — ${1, 2, 3, 4, 5}$, а диапазон — ${2}$. Поскольку каждый элемент домена связан с «2», он удовлетворяет определению функции. Допускается, чтобы каждый элемент домена сочетался с ТАКИМ ЖЕ элементом диапазона.

Помните тест на вертикальную линию? Какой из этих графиков пройдет этот тест, если мы проведем через него вертикальную линию?

Первый график здесь проходит тест, потому что вертикальная линия проходит только через одну точку. На втором графике вертикальная линия проходит через две точки, поэтому это не функция.

Теперь, когда мы рассмотрели несколько различных представлений функций, вы должны быть на пути к составлению более сложных уравнений.

Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Часто задаваемые вопросы

Q

Что такое функция в математике?

A

Функция – это отношение, в котором одна величина зависит от другой.

Q

Как найти домен функции?

A

Найдите область определения функции, рассмотрев, какие числа могут быть входными данными для функции.
Пример. Какова область определения $f(x)=\frac{x+7}{x-3}$? 92+х+4\)?
Диапазон равен [4,∞), поскольку наименьшее значение f(x) для любого заданного значения x равно 4, но f(x) может принимать любое значение больше 4.

Q

Что такое линейная функция?

A

Линейная функция — это любая функция, график которой представляет собой линию.

Практические вопросы

Вопрос № 1:

Какой набор упорядоченных пар показывает отношение, которое является функцией?

$(1,-3), (2,-4), (0,2), (-1,5), (-2,8)$

$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)$

$(0,-3), (1,4 ), (2,-5), (3,-6), (0,3)$

$(-5,-5), (-4,-4), (-5,-3) , (-4,-2), (-5,-1)$

Показать ответ

Ответ:

По определению отношение является функцией, если каждый элемент домена отображается только в один элемент в диапазон. Другими словами, отношение является функцией, если каждое $х$-значение имеет только одно $у$-значение. Глядя на отношения в каждом выборе, единственное отношение, в котором значение домена ($x$-значение) не повторяется, это $(1,-3), (2,-4), (0,2), (-1,5), (-2,8)$. 92+5\)

$(-3{,}2),(-2{,}1),(-1{,}0),(0{,}0),(-1{,} 1)$

900

$\mathbf{x}$	$\mathbf{y}$
$-2$	$6-$

$-1$	$-3$
$0$	$0$
$1$ 9001\)

Показать ответ

Ответ:

График уравнения в варианте А и график в варианте D представляют собой параболы с боковыми сторонами, которые не проходят тест на вертикальную линию. В варианте B $-1$ отображается как в $0$, так и в $1$, что означает, что это не функция. Вариант C — единственное отношение, в котором каждое значение домена соответствует одному уникальному значению в диапазоне.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

В какой таблице значений показано отношение, являющееся функцией?

33339119 \ (0 \)3333 \ (0 \)333

\ (\ mathbf {x} \)	\ (\ mathbf {y} \)
\ (0 \)	\ (2 \)
\ (0 \)	\ (2 \)
\ (2 \)
18
\ (2 \)
8
\ (0 \)	. \)	$3$
$2$	$4$
$2$	$5$

\ (\mathbf{х}\)	$\mathbf{y}$
$2$	$2$
$3$	$3$
\ (4\)	$4$
$5$	$5$

$\mathbf4\4\2) {у}$
$-1$	$4$
$-2$	$6$	9001 )	$-6$
$-1$	$-4$

$\mathbf{x4}2) 0 y}$
$7$	$3$
$5$	$1$
$3$	\ (-1\)
$7$	$-3$

Показать ответ

Ответ:

мы смотрим на значения домена (значения x), чтобы увидеть, соответствуют ли они одному уникальному значению диапазона. Единственным отношением, удовлетворяющим этому требованию, является вариант B, где каждое значение домена сопоставляется с уникальным значением диапазона.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

Что показывает график функции?

Показать ответ

Ответ:

Поскольку нам уже были даны графики отношений, мы можем применить тест вертикальной линии, чтобы определить, какое отношение является функцией. Единственным графом, прошедшим тест на вертикальную линию, является график Choice D.

Скрыть ответ

0642 784611822500

Функции в алгебре: это ваши правильные отношения

Домен и диапазон

Purplemath

Существуют разные взгляды на функции. Мы рассмотрим несколько. Но сначала нам нужно обсудить некоторую терминологию.

Что такое отношение в алгебре?

«Отношение» — это просто отношение между наборами информации. Подумайте обо всех людях в одном из ваших классов и подумайте об их росте. Сочетание имен и высот является отношением.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Функции и отношения

В отношениях и функциях пары имен и высот «упорядочены», что означает, что одно идет первым, а другое вторым. Иными словами, мы могли бы организовать эту пару таким образом, чтобы либо вы давали мне имя, а затем я давал вам рост этого человека, либо вы давали мне рост, а я давал вам имена всех людей, которые такой высокий.

Каковы домен и диапазон отношения?

Набор всех начальных значений отношения называется «домен», а набор всех конечных значений — «диапазон». Домен — это то, с чего вы начинаете; диапазон — это то, что вы получите в итоге; домен x , диапазон y . (Я объясню больше о доменах и диапазонах позже.)

Функция — это «хорошо работающее» отношение, под которым мы подразумеваем, что, имея начальную точку, мы знаем ровно одну конечную точку, к которой нужно перейти. ; учитывая x -значение, мы получаем только и ровно одно соответствующее y -значение. (Примечание: это означает, что, хотя все функции являются отношениями [поскольку функции передают информацию о парах], , а не , все отношения являются функциями. Члены семьи с хорошим поведением являются подмножеством всех ваших отношений; так же и функции [хорошее поведение] являются подмножеством всех математических отношений.)

Каков реальный пример отношения, которое не является функцией?

Вернемся к нашему соотношению ваших одноклассников и их роста, и предположим, что домен есть множество всех ростом. Предположим, что в коридоре вас ждет доставщик пиццы; все, что доставщик знает, это то, что пицца предназначена для ученика в вашем классе ростом пять футов пять дюймов.

Теперь впустите парня. К кому он идет? Что, если никто не ростом пять футов пять дюймов? Что, если в комнате шесть человек, которых пять-пять? Они все должны платить? Что делать, если вы пять футов пять дюймов? А что, если у вас закончились наличные? А аллергия на анчоусы? Вы все еще на крючке? ак! Какой беспорядок!

Отношение «высота указывает имя» некорректно. Это не функция. Учитывая отношение ( x , y ) = (пять футов пять дюймов, имя), может быть шесть различных вариантов для y = «имя». Чтобы отношение было функцией, должно быть только и ровно , одно и , соответствующее данному x .

Какие изображения функций и отношений?

Выше показана функция. Вы можете сказать, что это функция, проследив от каждого x до каждого y . На каждые x приходится только один х ; из каждого x выходит только одна стрелка.

Ха! Держу пари, я обманул некоторых из вас на этом! это — это функция! Из каждого x выходит только одна стрелка; есть только один y для каждого x . Так уж получилось, что это всегда одно и то же y для каждого x , но только одно y . Итак, это функция; это просто чрезвычайно скучная функция!

Это не функция: есть две стрелки, исходящие из числа 1; число 1 связано с двумя разными элементы диапазона. Итак, это отношение, но не функция.

Ладно, это вопрос с подвохом. Каждый элемент домена, у которого есть пара в диапазоне, хорошо себя ведет. А как же эти 16? Это — это в домене, но у него нет соответствующего элемента диапазона! Это не сработает! Тогда это не функция. Черт возьми, это даже не отношения!

Что такое тест вертикальной линии?

Тест вертикальной линии предоставляет графический способ проверки того, является ли отношение функцией. Если на графике нет места, где вертикальная (то есть восходящая и нисходящая) линия пересекалась бы дважды, то отношение проходит проверку и является функцией. Теперь, что все это значит?

Глядя на эту функцию графически, что, если бы у нас было отношение, состоящее из множества, состоящего всего из двух точек: {(2, 3), (2, −2)}? Мы уже знаем, что это не функция, поскольку x = 2 соответствует каждому из y = 3 и y = −2.

Если изобразить это отношение на графике, оно будет выглядеть так:

Обратите внимание, что через две точки можно провести вертикальную линию, вот так:

Эта характеристика не-функций была замечена Я-не-знаю-кто , и был кодифицирован в «Тесте вертикальной линии»: если на графике отношения вы можете нарисовать вертикальную линию, пересекающую график более чем в одном месте, то отношение не является функцией.

Какой пример применения теста вертикальной линии?

Рассмотрим график ниже:

На этом графике показана функция, потому что нет вертикальной линии, которая пересекала бы этот график дважды.

Теперь рассмотрим эллипс, изображенный ниже:

На этом графике не показана функция, потому что любое количество вертикальных линий будет дважды пересекать этот овал. Например, ось y пересекает (пересекает) прямую дважды.

Как быстро определить, функция это или нет?

Самый быстрый способ определить, представляет ли данная формула или уравнение функцию, — это взглянуть на свой калькулятор. Если формулу можно ввести в калькулятор (чтобы калькулятор мог изобразить ее на графике, оценить или сделать что-то еще), то это функция; иначе нет. Что это значит?

Принимая во внимание все построенные вами графики, самый простой способ для заданного уравнения — найти « y =», построить T-диаграмму, выбрать несколько значений для x , найти соответствующие значения y , отметьте точки и соедините точки, бла-бла-бла-бла.

Это полезно не только для построения графиков, но и дает еще один способ идентификации функций: если вы можете найти « y =», то это функция. Другими словами, если вы можете ввести его в свой графический калькулятор, то это функция. Калькулятор может обрабатывать только функции. Например, 2 y + 3 x = 6 — это функция, потому что вы можете найти y :

2 у + 3 х = 6
2 у = -3 х + 6
y = (−3/2) x + 3

С другой стороны, y ² + 3 x = 6 не является функцией, потому что вы не можете найти уникальных y :

Я имею в виду, да, это решено для » y =» , но это не уникальный . Вы берете положительный квадратный корень или отрицательный? Кроме того, где клавиша «±» на вашем графическом калькуляторе? Таким образом, в этом случае отношение не является функцией.

Кстати, вы также можете проверить это отношение, используя наше первое определение сверху. Подумайте о подключении « x = −1». Тогда мы получаем y ² − 3 = 6, поэтому y ² = 9, и тогда y может быть либо −3, либо +3. То есть, если бы мы сделали стрелочную диаграмму, было бы две стрелки, исходящие из 90 337 x 90 338 = −1. Это еще раз показывает, что отношение не является функцией.

URL: https://www.purplemath.com/modules/fcns.htm

Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в определении того, является ли отношение функцией. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Определить, является ли отношение функцией», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок).

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления. )

Page 2

Функциональная терминология | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Терминология
Дальнейшие подробности
Примеры проблем

Функция : Функция — это отношение между каждым элементом в домене и уникальным элементом в домене кода. Это обозначается как f ⁣:X→Y f \colon X \rightarrow Y f:X→Y.
Домен : Домен функции — это набор входов функции. Обозначается ХХХ.
Кодовый домен : Кодовый домен функции — это набор всех допустимых выходных данных. Это обозначается Y.Y.Y.
Диапазон : Диапазон функции задается всеми достигнутыми выходами. По определению диапазон является подмножеством кодового домена. Это обозначается f(X)f(X)f(X).
Образ ААА : Образ набора ААА – это набор всех достигнутых результатов, чьи входы являются элементами набора ААА. Это обозначается Im(A)={ y∈Y∣∃a∈A,f(a)=y }. \text{Im}(A) = \{\, y \in Y \mid \существует a \in A, f(a) = y \, \}.Im(A)={y∈Y∣∃a∈ А,f(а)=у}. 9{-1} (y) = \{\, x \in X \mid f(x) = y \, \} f−1(y)={x∈X∣f(x)=y}.
График : График функции представляет собой набор всех упорядоченных пар (x,f(x)) (x, f(x) ) (x,f(x)).
Инъективный : Инъективная функция — это функция, которая сопоставляет каждое значение в домене с уникальным значением в домене кода, так что для любого заданного значения в диапазоне есть только одно соответствующее значение в домене. Инъективные функции также называют функциями «один к одному».
Surjective : Сюръективная функция — это функция, которая покрывает каждый элемент в домене кода, так что в домене кодов нет элементов, которые не являются значением функции. В сюръективной функции диапазон и кодовый домен будут идентичными.
Биективная : Биективная функция одновременно инъективна и сюръективна.

Обратите внимание, что домен и кодовый домен не всегда должны быть набором действительных чисел. Другими часто используемыми наборами являются комплексные числа, положительные целые числа, люди, матрицы, графики и т. д. Например, рассмотрим функцию Citizen(⋅) \text{Citizen} (\cdot) Citizen(⋅), которая принимает в качестве входных данных имя блестящего ученика и выводит страну гражданства этого ученика. В данном случае домен — это набор имен блестящих учеников, а кодомен — это набор стран. Чтобы это было действительно функцией, мы должны сделать предположение, что студент является гражданином только 1 страны. Чтобы иметь дело с возможностью двойного гражданства, мы должны добавить пары стран в наш домен.

Конечно, мы можем добавить в кодовый домен ненужные элементы, такие как {alligator}, {purple} и {Calvin}. Таким образом, мы определяем диапазон функции (также называемой изображением ) как набор всех выходных данных. Обратите внимание, что по определению диапазон функции должен быть подмножеством домена кода.

Математическое сокращение (поскольку математики ленивы) для утверждения, что f ff является функцией от множества A AA до множества B BB, это f ⁣:A→B f\двоеточие A \to Bf:A→B. Например, поскольку C \mathbb{C}C обозначает комплексные числа, Z \mathbb{Z}Z обозначает целые числа, а N \mathbb{N}N обозначает положительные целые числа, f ⁣:C→N f \colon \ mathbb{C} \to \mathbb{N}f:C→N относится к функции из множества комплексных чисел в множество положительных целых чисел. Поскольку мы в основном имеем дело с функциями действительных чисел, если домен и кодовый домен не указаны явно (или сразу очевидны из установки), предполагается, что они являются набором действительных чисел,

Хотя обычно домен и кодовый домен являются одним и тем же набором, важно проводить четкое различие между ними. Функция тождества — это уникальная функция на множестве, которая отображает каждый элемент в себя. Обозначим эту функцию как IdA ⁣:A→A \text{Id}_A \colon A \to AIdA:A→A, где IdA(a)=a \text{Id}_A (a) = a IdA( а)=а для всех элементов ааа из ААА.

Если бы мы изменили домен функции, то мы получили бы другую функцию. Например, IdR ⁣:R→R \text{Id}_\mathbb{R} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} IdR:R→R — это функция, сильно отличающаяся от IdN ⁣:N. →N \text{Id}_\mathbb{N} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}IdN:N→N. Это потому, что у нас IdR(0,5)=0,5 \text{Id}_\mathbb{R} (0,5) = 0,5IdR(0,5)=0,5, а IdN(0,5) \text{Id}_\mathbb{N } (0.5)IdN(0.5) не имеет никакого смысла. Таким образом, мы говорим, что 2 функции f ⁣:A→B f\colon A \to Bf:A→B и g ⁣:C→D g\colon C \to Dg:C→D равны, если A=C A= CA=C и для всех значений a aa в A AA f(a)=g(a) f(a) = g(a)f(a)=g(a). Кодовый домен менее важен, так как по нашему предыдущему наблюдению мы можем добавлять в него произвольные элементы, не затрагивая сути функции.

Для функции f ⁣:A→B f\colon A \to Bf:A→B и любого подмножества C⊂A C \подмножества AC⊂A мы говорим, что образ C CC есть множество всех значений f( в) f(c)f(c), где c cc — элемент из C CC. Для подмножества D⊂B D \подмножества BD⊂B мы говорим, что прообразом D DD называется множество всех значений x xx, где f(x) f(x)f(x) — элемент D DD. Используя эту терминологию, мы говорим, что диапазон — это образ домена. По сути, диапазон — это та часть кодового домена, которая нас действительно волнует, поэтому мы хотели бы ограничить наше внимание только диапазоном.

Когда домен представляет собой набор действительных чисел, нам нравится думать о f(x) f(x)f(x) как о графике функции. И наоборот, для любого графика это функция, если каждое значение xxx соответствует не более чем одному значению yyy. Такой график должен пройти тест вертикальной линии: каждая вертикальная линия пересекает график не более чем на 1 точку.

Что, если мы хотим найти все возможные входы, дающие определенный результат? Например, если я хочу знать, кто все блестящие студенты, являющиеся гражданами Индии, я прошу список студентов, которые удовлетворяют требованиям Гражданин (⋅) = Индия. \text{Гражданин} (\cdot) = \text{Индия}.Гражданин(⋅)=Индия. Обратная функция не всегда должна быть функцией (как в этом примере). Чтобы обратная функция была реальной функцией, исходная функция должна пройти тест горизонтальной линии: каждая горизонтальная линия пересекает график не более чем на 1 точку. 9{-1} (\text{Кальвин}) Гражданин-1(Кальвин) недействителен. Таким образом, мы часто ограничиваем наше внимание просто диапазоном исходной функции (которая, как вы помните, является образом области определения). Каков домен обратного? Это будет прообраз диапазона. Обратите внимание, что прообраз диапазона не обязательно должен быть всей областью f ff.

В случае, если обратная функция не является функцией, мы можем ограничить наше внимание подмножеством домена. В частности, если f ⁣:A→B f\colon A \to Bf:A→B и C⊂A C \subset AC⊂A, мы определяем функцию f∣C ⁣:C→B f|_C \colon C \to Bf∣C:C→B как f∣C(c)=f(c) f|_C (c) = f(c)f∣C(c)=f(c) для всех значений c cc в C СС. Например, функция S ⁣:R→R S \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}S:R→R, заданная как S(x)=x2 S(x) = x^2S(x)= x2 не имеет обратной функции, потому что не удовлетворяет критерию горизонтальной линии. {-1} (x) = -\sqrt{x} S∣R≤0−1(x)=−x.

Функция является инъективной (или однозначной), если f(a1)≠f(a2) f(a_1) \neq f(a_2)f(a1)=f(a2) для любые 2 различных элемента a1,a2 a_1, a_2a1, a2 в домене. Функция сюръективна (или на), если для каждого элемента b bb в области кодов существует элемент a aa в области, такой что f(a)=b f(a) = bf(a)=b. Функция биективна, если она одновременно инъективна и сюръективна. С этой терминологией инъективная функция имеет обратную, которая является функцией. Биективная функция f ⁣:A→B f\colon A\to Bf:A→B имеет обратную (которая по предыдущему наблюдению является функцией), областью определения которой является B BB.

Теперь, когда мы создали этот словарь, мы можем поговорить о композиции функций. Вы не всегда можете составить 2 функции. Например, Гражданин∘Гражданин \text{Гражданин} \circ \text{Гражданин}Гражданин∘Гражданин не будет иметь никакого смысла, что бы мы ни пытались сделать. Давайте разберемся, как заставить работать композицию функций.

Предположим, что у нас есть 2 функции f ⁣:A→B f \двоеточие A \to Bf:A→B и g ⁣:C→D g\двоеточие C \to Dg:C→D, когда g∘f g \ circ fg∘f имеет смысл? Для любого значения a aa в области A мы должны иметь возможность применить g gg к значению f(a) f(a)f(a). Отсюда следует, что B BB должно быть подмножеством C CC. С этим условием мы можем определить g∘f ⁣:A→D g \circ f\colon A \to D g∘f:A→D равным (g∘f)(a)=g(f(a )) (g \circ f) (a) = g ( f(a) ) (g∘f)(a)=g(f(a)). Обратите внимание, что порядок композиции важен, так как мы не сможем определить f∘g f \circ gf∘g, если не будем дополнительно знать, что D DD является подмножеством A AA.

Пусть X={1,2,3,4,5,6,7,8}X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}X={1,2,3, 4,5,6,7,8} и Y={2,4,6,8,10}.Y = \{2, 4, 6, 8, 10\}.Y={2,4,6, 8,10}. Для данной пары (a,b)(a, b)(a,b) чисел пусть f(a)=b.f(a) = b.f(a)=b. Является ли fff функцией f ⁣:X→Y f\colon X \to Y f:X→Y для следующего набора пар:
{(1,2),(2,10),(3,4),(4,4),(5,3),(6,3),(7,4),(8,2)} ?\{(1, 2), (2, 10), (3, 4), (4, 4), (5, 3), (6, 3), (7, 4), (8, 2) \}?{(1,2),(2,10),(3,4),(4,4),(5,3),(6,3),(7,4),(8,2 )}?
Чтобы fff была функцией, должны быть выполнены следующие условия:
fff оценивается для каждого элемента домена;
⇒f\Стрелка вправо f⇒f от 1 до 8 имеют собственные оценки (удовлетворены).
fff имеет только одну оценку для каждого элемента в домене;
⇒f\Rightarrow f⇒f от 1 до 8 имеют только один выход (удовлетворено).
Выходные данные fff должны быть элементами кодового домена;
⇒f(5)=f(6)=3∉Y\стрелка вправо f(5)=f(6)=3\notin Y⇒f(5)=f(6)=3∈/Y (неудовлетворено) .
Условие 3 не выполняется, поэтому fff не является функцией f:X→Y. □ f: X \rightarrow Y. \ _\square f:X→Y. □

Пусть X={ x∣0≤x≤3,x∈Z }X =\{ \, x \mid 0 \le x \le 3, x \in \mathbb{Z} \, \}X={x∣ 0≤x≤3,x∈Z} и Y=Z,Y = \mathbb{Z},Y=Z, где Z\mathbb{Z}Z — множество целых чисел. Когда f(x)=2x+1,f(x) = 2x + 1,f(x)=2x+1, какова сумма всех элементов в образе f?f?f?
У нас есть
f(0)=1f(1)=3f(2)=5f(3)=7.\begin{выровнено} f(0)&=1\\ f(1)&=3\\ f(2)&=5\\ f(3)&=7. \end{align}f(0)f(1)f(2)f(3)=1=3=5=7. 9{+} \cup \{0\} R+∪{0} {0,1,2}\{0,1,2\}{0,1,2}
Если функция f(x)f(x)f(x) определена как f(x)=1−x , f(x)= \sqrt{1 — \sqrt{x}},f(x)=1−x, какой у него домен?
Рассмотрим функцию g(x,y)=x×y g(x, y) = x \times y g(x,y)=x×y в области −5≤x≤10 -5 \leq x \leq 10 −5≤x≤10 и −5≤y≤10 -5 \leq y \leq 10 −5≤y≤10.

Разложите число 60 на простые множители: Разложить число 60 на простые множители четырьмя различными способами (Несколько множителей

alexxlab / 16.09.197029.07.2021 / Разное

ГДЗ по математике для 6 класса А.С. Чесноков

Подробное решение контрольная работа / Виленкин / К-3 В3 по математике дидактические материалы для учащихся 6 класса, авторов А.С. Чесноков, К.И. Нешков 2015

показать содержание
Гдз по Математике за 6 класс можно найти тут
1. Найдите значение выражения: а) 3*5/8 + 1*2/3 б) 4*49 – 2*5/6 в) 6*7/12 + (5*3/40 – 4*8/15). 2. Масса одной детали 5*4/5 кг, что меньше массы другой детали на 1*1/2 кг. Какова масса двух деталей вместе? 3. Садовник рассчитывал за 5/6 ч приготовить раствор и за 2*3/5 ч опрыснуть этим раствором деревья. Однако на всю работу он потратил на 1*1/4 ч меньше, чем рассчитывал. Сколько времени ушло у садовника на всю эту работу? 4. Решите уравнение 5*5/33 + у = 8*3/44. 5. Разложите число 60 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).
учебник / контрольная работа / Виленкин / К-3 / В3
решебник №1 / контрольная работа / Виленкин / К-3 / В3
Подпишись на нашу группу
×
Свойства числа 60
Свойства числа 60
Множители 2 * 2 * 3 * 5
Делители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Количество делителей 12
Сумма делителей 168
Предыдущее целое 59
Следующее целое 61
Простое число? NO
Предыдущее простое 59
Следующее простое 61
60th простое число 281
Является числом Фибоначчи? NO
Число Белла? NO
Число Каталана? NO
Факториал? NO
Регулярное число? YES
Совершенное число? NO
Полигональное число (s < 11)? NO
Двоичное 111100
Восьмеричная 74
Двенадцатеричный 50
Шестнадцатиричная 3c
Квадрат 3600
Квадратный корень 7.7459666924148
Натуральный логарифм 4.0943445622221
Десятичный логарифм 1.7781512503836
Синус -0.30481062110222
Косинус -0.95241298041516
Тангенс 0.32004038937956
Математические настройки для вашего сайта
Выберите язык: Deutsch English Español Français Italiano Nederlands Polski Português Русский 中文日本語 한국어
Империя чисел — мощные математические инструменты для каждого | Связь с веб-мастером
Используя этот сайт, вы подтверждаете свое согласие с Условиями и соглашениями и Политикой приватности.
© 2021 numberempire.com Все права защищены

Разложение чисел на простые множители – калькулятор
Разложение числа на простые множители
Калькулятор выполняет разложение натуральных чисел на простые множители.
Калькулятор позволяет разложить одно, два, три или четыре числа на простые множители, а также найти их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Разложение (факторизация) натуральных чисел на простые множители
Разложение на множители числа 100:
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 5².
Разложение на множители числа 76:
76 = 2 * 2 * 19 = 2² * 19.
Разложение на множители числа 48:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2⁴ * 3.
Разложение на множители числа 36:
36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 2² * 3².
Разложение на множители числа 18:
18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 3².
Разложение на множители числа 20:
20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5.
Разложение на простые множители числа 24:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 2³ * 3.
Разложение на простые множители числа 28:
28 = 2 * 2 * 7 = 2² * 7.
Разложение на простые множители числа 30:
30 = 2 * 3 * 5
Разложение на простые множители числа 32:
32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁵.
Разложение на простые множители числа 36:
36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 2² * 3².
Разложение на простые множители числа 40:
40 = 2 * 2 * 2 * 5 = 2³ * 5.
Разложение на простые множители числа 42:
42 = 2 * 3 * 7
Разложение на простые множители числа 45:
45 = 3 * 3 * 5 = 3² * 5.
Разложение на простые множители числа 48:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2⁴ * 3.
Разложение на простые множители числа 50:
50 = 2 * 5 * 5 = 2 * 5².
Разложение на простые множители числа 52:
52 = 2 * 2 * 13 = 2² * 13.
Разложение на простые множители числа 54:
54 = 2 * 3 * 3 * 3 = 2 * 3³.
Разложение на простые множители числа 56:
56 = 2 * 2 * 2 * 7 = 2³ * 7.
Разложение на простые множители числа 60:
60 = 2 * 2 * 3 * 5 = 2² * 3 * 5.
Как разложить на простые множители число 63:
63 = 3 * 3 * 7 = 3² * 7.
Как разложить на простые множители число 64:
64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁶.
Как разложить на простые множители число 68:
68 = 2 * 2 * 17 = 2² * 17.
Как разложить на простые множители число 70:
70 = 2 * 5 * 7
Разложить на простые множители число 75:
75 = 3 * 5 * 5 75 = 3 * 5².
Разложить на простые множители число 78:
78 = 2 * 3 * 13
Разложить на простые множители число 80:
80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 2⁴ * 5.
Разложить на простые множители число 81:
81 = 3 * 3 * 3 * 3 81 = 3⁴.
Разложить на простые множители число 84:
84 = 2 * 2 * 3 * 7 = 2² * 3 * 7.
Разложить на простые множители число 85:
85 = 5 * 17
Разложить на простые множители число 90:
90 = 2 * 3 * 3 * 5 = 2 * 3² * 5.
Разложить на простые множители число 96:
96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2⁵ * 3.
Разложить на простые множители число 98:
98 = 2 * 7 * 7 = 2 * 7².
Разложить на простые множители число 99:
99 = 3 * 3 * 11 = 3² * 11.
Онлайн урок: Разложение на простые множители по предмету Математика 6 класс
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.

Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
23 = 11+5+7
51 = 1 + 13 + 37

Вторая проблема Ландау.
Бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
1. Среди чисел нашлись «близнецы»:
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и (5, 7).
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Число 60
Сумма цифр 6
Произведение цифр 0
Произведение цифр (без учета ноля) 6
Все делители числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Наибольший делитель из ряда степеней двойки 4
Количество делителей 12
Сумма делителей 168
Простое число? Нет
Полупростое число? Нет
Обратное число 0.016666666666666666
Римская запись LX
Индо-арабское написание ٦٠
Азбука морзе -…. ——
Факторизация 2 * 2 * 3 * 5
Двоичный вид 111100
Троичный вид 2020
Восьмеричный вид 74
Шестнадцатеричный вид (HEX) 3C
Перевод из байтов 60 байтов
Цвет RGB(0, 0, 60) или #00003C
Наибольшая цифра в числе
(возможное основание) 6 (7)
Число Фибоначчи? Нет
Нумерологическое значение 6
семья, любовь, доброта, забота, переживания, обида, гармония, равновесие, баланс
Синус числа -0.3048106211022167
Косинус числа -0.9524129804151563
Тангенс числа 0.320040389379563
Натуральный логарифм 4.0943445622221
Десятичный логарифм 1.7781512503836436
Квадратный корень 7.745966692414834
Кубический корень 3.9148676411688634
Квадрат числа 3600
Перевод из секунд 1 минута ноль секунд
Дата по UNIX-времени Thu, 01 Jan 1970 00:01:00 GMT
MD5 072b030ba126b2f4b2374f342be9ed44
SHA1 e6c3dd630428fd54834172b8fd2735fed9416da4
Base64 NjA=
QR-код числа 60
Урок 42. Контрольная работа № 3 | Поурочные планы по математике 6 класс
Урок 42. Контрольная работа № 3
10.07.2015 8244 0
Цель: контроль знаний, умений и навыков по теме «Сложение и вычитание смешанных чисел».
Ход урока
I. Организационный момент

II. Выполнение работы
Вариант I
1. Найдите значение выражения:
2. На автомашину положили сначала  груза, а потом на  больше. Сколько всего тонн груза положили на автомашину?
3. Ученик рассчитывал за  приготовить уроки и за закончить модель корабля. Однако на всю работу он потратил на 2/5 ч меньше, чем предполагал. Сколько времени потратил ученик на всю работу?
4. Решите уравнение:
5. Разложите число 90 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложение, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

Вариант II
1. Найдите значение выражения:
2. С одного опытного участка собрали  пшеницы, а с другого — на  меньше. Сколько тонн пшеницы собрали с этих двух участков?
3. Ученица рассчитывала за  приготовить уроки и  потратить на уборку квартиры. Однако на все это у нее ушло на 3/5 ч больше. Сколько времени потратила ученица на всю эту работу?
4. Решите уравнение:
5. Разложите число 84 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложение, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

Вариант III
1. Найдите значение выражения:
2. Масса одной детали  что меньше массы другой детали на  Какова масса двух деталей вместе?
3. Садовник рассчитывал за 5/6 ч приготовить раствор и за  опрыснуть этим раствором деревья. Однако на всю работу он потратил на  меньше, чем рассчитывал. Сколько времени ушло у садовника на всю эту работу?
4. Решите уравнение:
5. Разложите число 60 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

Вариант IV
1. Найдите значение выражения:
2. Масса одного станка  а другого на  меньше. Найдите общую массу обоих станков.
3. Хозяйка рассчитывала за  приготовить обед и  потратить на стирку белья. Однако на всю работу у нее ушло на 3/4 ч больше. Сколько времени хозяйка потратила на всю эту работу?
4. Решите уравнение:
5. Разложите число 126 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

Домашнее задание (по желанию)
В учебнике на стр. 68 прочитать историческую справку.
Урок математики на тему «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа». 6-й класс
Данная работа предназначена для сопровождения объяснения новой темы. Практические и домашние задания учитель подбирает на свое усмотрение.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
Ход объяснения
Слайд 1. Наибольший общий делитель.
Устная работа.
1. Вычислите:

а)
0,7
* 10
: 2
— 0,3
: 0,4
_________
?
б)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Ответы: а) 8; б) 3.
2. Опровергните утверждение: Число “2” является общим делителем всех чисел”.
— Очевидно, что нечетные числа не делятся на 2.
3. Как называются числа, кратные 2?
— Четные.
4. Назовите число, которое является делителем любого числа.
— 1.

Письменно.
1. Разложите число 2376 на простые множители.

Решение.

Слайд 2.
2. Найдите все общие делители чисел 18 и 60.

Решение.
Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.
Далее учащиеся называют общие делители: 1; 2; 3; 6.
— Назовите наибольший общий делитель чисел 18 и 60.
— Число 6.
— Попробуйте сформулировать, какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел

Правило. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа , называют наибольшим общим делителем.
Пишут: НОД (18; 60) = 6.
— Скажите, пожалуйста, удобен ли рассмотренный способ нахождения НОД?
— Нет.
— Почему?
— Числа могут быть слишком большие и для них трудно перечислить все делители.
Слайд 3.
Давайте попытаемся найти другой способ нахождения НОД.
Разложим числа 18 и 60 на простые множители:
18 =
— Приведите примеры делителей числа 18.
— Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
— Приведите примеры делителей числа 60.
— Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.
— Приведите примеры общих делителей чисел 18 и 60.
— Числа: 1; 2; 3; 6.
— Как можно найти наибольший общий делитель 18 и 60?

Алгоритм.
1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Сравнить множители чисел и вычеркнуть разные.
3. Вычислить произведение оставшихся множителей.
Слайд 4. Взаимно простые числа.

Задание. Найдите НОД чисел 24 и 35.

Решение.

Правило. Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Это интересно!
Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

НОД (18;60) = 6.

Делители числа 6: 1; 2; 3; 6.

Заметим, что числа 1; 2; 3; 6 являются общими делителями чисел 18 и 60.

Например, НОД (108;196) = 4. Значит, сразу можно сказать, что общие делители чисел 108 и 196 – это делители числа 4, то есть 1; 2; 4.

Каждый делитель числа НОД (a;b) является общим делителем чисел a и b и, наоборот, каждый их общий делитель является делителем числа НОД (a;b).
Подводя итоги60.
.

Здесь у нас есть сборник всей информации, которая может вам понадобиться о основных факторах 60. Мы дадим вам определение основных факторов 60, покажет вам, как найти основные факторы 60 (простая факторизация 60), создав дерево основных факторов 60, скажите вам, сколько существует основных факторов, равных 60, и мы покажем вам произведение основных факторов, равных 60.
Основные множители определения 60
Во-первых, обратите внимание, что простые числа — это целые положительные числа, которые могут быть равномерно разделены только на 1 и на себя.Подводя итоги60. все простые числа, которые при умножении равны 60.

Как найти простые множители 60
Процесс нахождения простых факторов 60 называется простым факторизацией 60. Чтобы получить простые множители 60, вы делите 60 на наименьшее. возможно простое число. Затем вы берете результат и делите его на наименьшее простое число. Повторяйте этот процесс, пока не получите 1.
Этот процесс первичной факторизации создает то, что мы называем деревом первичных факторов 60.См. Иллюстрацию ниже.
Все простые числа, которые используются для деления в дереве простых множителей, являются простыми числами. Множители 60. Вот математика для иллюстрации:
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Опять же, все простые числа, которые вы использовали для деления выше, — это простые множители 60. Таким образом, простые числа 60 равны:
2, 2, 3, 5.

Сколько основных факторов равняется 60?
Когда мы подсчитываем количество простых чисел выше, мы обнаруживаем, что 60 имеет в общей сложности 4 простых фактора.
Произведение основных факторов 60
Основные факторы 60 уникальны для 60. Если умножить все основные факторы 60 вместе, получится 60. Это называется произведением основных факторов 60. Произведение основных факторов 60 составляет:
2 × 2 × 3 × 5 = 60
Калькулятор основных факторов
Нужны ли вам основные факторы для определенного числа? Вы можете указать число ниже, чтобы узнать основные факторы это число с подробными объяснениями, как в случае с основными факторами 60 выше.

Подводя итоги 61
Мы надеемся, что это пошаговое руководство, которое расскажет вам о Prime Factors of 60, было полезно. Вы хотите пройти тест? Если да, попробуйте найти основные факторы. следующего номера в нашем списке, а затем проверьте свой ответ здесь.
Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт
Что такое деление числа 60 на простые множители?
Почему разложение 60 на простые множители записывается как 2
² x 3 ¹ x 5 ¹?
Что такое факторизация на простые множители?
Факторизация на простые множители или разложение на простые множители — это процесс определения, какие простые числа можно умножить вместе, чтобы получить исходное число.
Нахождение простых делителей числа 60
Чтобы найти простые множители, вы начинаете с деления числа на первое простое число, которое равно 2. Если есть — это не остаток, то есть вы можете разделить поровну, тогда 2 — коэффициент числа. Продолжайте делить на 2, пока вы больше не сможете делить поровну. Запишите, на сколько двоек вы смогли равномерно разделить. Теперь попробуйте разделить на следующий простой множитель, равный 3.Цель состоит в том, чтобы получить частное от 1.
Если еще не имеет смысла, попробуем …
Вот несколько первых простых множителей: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …
Начнем с деления 60 на 2
60 ÷ 2 = 30 — без остатка! 2 — это один из факторов!
30 ÷ 2 = 15 — без остатка! 2 — это один из факторов!
15 ÷ 2 = 7,5 — есть остаток.Мы больше не можем делить на 2 поровну. Давайте попробуем следующее простое число
15 ÷ 3 = 5 — без остатка! 3 — один из факторов!
5 ÷ 3 = 1,6667 — есть остаток. Мы больше не можем делить на 3 поровну. Давайте попробуем следующее простое число
5 ÷ 5 = 1 — без остатка! 5 — один из факторов!
Оранжевый делитель (и) выше — это простые множители числа 60. Если сложить все вместе, мы получим множители 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Это также можно записать в экспоненциальной форме как 2 ² x 3 ¹ x 5 ¹.
Дерево факторов
Другой способ выполнить разложение на простые множители — использовать факторное дерево. Ниже представлено факторное дерево для числа 60.
Другие примеры простой факторизации

Попробуйте калькулятор коэффициентов
множителей 60 — из нашего калькулятора множителей
Каковы множители 60?
Это целые числа, которые можно без остатка разделить на 60; они могут быть выражены как отдельные факторов или как пары факторов.В данном случае мы представляем их обоими способами. Это математическое разложение определенного числа. Хотя обычно это положительное целое число, обратите внимание на комментарии ниже об отрицательных числах.
Что такое разложение на простые множители 60?
Факторизация на простые множители — это результат разложения числа на набор компонентов, каждый член которого является простым числом. Обычно это записывается путем отображения 60 как произведения его основных множителей. Для 60, этот результат будет:
60 = 2 x 2 x 3 x 5
(это также известно как разложение на простые множители; наименьшее простое число в этой серии описывается как наименьшее простое множитель)
Это 60 составной номер?
Да! 60 — составное число.Это произведение двух положительных чисел, кроме 1 и самого себя.
60 — это квадратное число?
Нет! 60 — это не квадратное число. Квадратный корень из этого числа (7,75) не является целым числом.
Сколько факторов в 60?
Это число состоит из 12 факторов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Более конкретно, показано в виде пар …
(1 * 60) ( 2 * 30) (3 * 20) (4 * 15) (5 * 12) (6 * 10) (10 * 6) (12 * 5) (15 * 4) (20 * 3) (30 * 2) ( 60 * 1)
Какой наибольший общий делитель 60 и другого числа?
Наибольший общий делитель двух чисел может быть определен путем сравнения факторизации на простые множители (факторизации в некоторых текстах) двух чисел. и беря наивысший общий простой множитель.Если нет общего множителя, gcf равен 1. Это также называется наивысшим общим множителем и является частью общих простых множителей двух чисел. Это самый большой фактор (наибольшее число), которое два числа делят как основной фактор. Наименьший общий множитель (наименьшее общее число) любой пары целых чисел равен 1.
Как найти наименьшее общее кратное числа 60 и другого числа?
У нас есть калькулятор наименьшего общего кратного. Решение — наименьшее общее кратное. из двух номеров.
Что такое факторное дерево
Факторное дерево — это графическое представление возможных множителей чисел и их подфакторов. Он предназначен для упрощения факторизации. Он создан найти множители числа, а затем найти множители множителей числа. Процесс продолжается рекурсивно до тех пор, пока вы не получите набор простых множителей, который является факторизацией исходного числа на простые множители. При построении дерева обязательно запомните второй элемент в факторной паре.
Как найти множители отрицательных чисел? (например, -60)
Чтобы найти множители -60, найдите все положительные множители (см. выше) и затем продублируйте их с помощью добавляя знак минус перед каждым (фактически умножая их на -1). Это устраняет негативные факторы. (обработка отрицательных целых чисел)
60 — это целое число?
Да.
Каковы правила делимости?
Делимость означает, что данное целое число делится на данный делитель.Правило делимости — это сокращение система для определения того, что делится, а что нет. Сюда входят правила о нечетных и четных числовых множителях. Этот пример предназначен для того, чтобы учащийся мог оценить статус данного числа без вычислений.
Факторы, простые числа, композиты и деревья факторов
Факторы, простые числа, композиты и деревья факторов
Вам следует ознакомиться с определениями определенных типов чисел и с тем, как их можно найти.
Факторы
Числа, которые умножаются для получения продукта, называются коэффициентами .
Пример 1
Какие множители 18?
Коэффициент
× коэффициент = 18
1 × 18 = 18
2 × 9 = 18
3 × 6 = 18
Итак, множители 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Эти числа также называются делителями из 18. Множители числа также называются делителями того же числа.
Простые числа
Простое число — это натуральное число больше 1, которое можно разделить только на себя и 1. Другое определение: простое число — это положительное целое число, которое имеет ровно два разных множителя: само себя и 1.
Пример 2
Является ли 19 простым числом?
Да. Единственные делители 19 — это 1 и 19, поэтому 19 — простое число. То есть 19 делится только на 1 и 19, поэтому оно простое.
Пример 3
Является ли 27 простым числом?
№27 делится на другие числа (3 и 9), поэтому не является простым. Множители 27 равны 1, 3, 9 и 27, поэтому оно не является простым.
Единственное четное простое число — 2; после этого любое четное число можно разделить на 2. Числа 0 и 1 не являются простыми числами. Простые числа меньше 50 — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47.
Составные числа
Составное число — это натуральное число, которое делится не только на 1, но и на само себя. Другое определение: составное число — это положительное целое число, которое имеет более двух различных факторов.Числа 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,… являются составными числами, потому что они «составлены» из других чисел. Цифры 0 и 1 не являются составными числами. (Они не простые и не составные.)
Пример 4
25 — составное число?
Да. 25 делится на 5, поэтому оно составное. Множители 25 равны 1, 5 и 25.
Факторные деревья
Каждое составное число может быть выражено как произведение простых множителей. Вы можете найти простых множителей с помощью факторного дерева.Факторное дерево выглядит так.
Вы также можете сделать дерево, как показано на следующем дереве.
В любом случае, независимо от того, как 18 разлагается на множители, произведение простых чисел одинаково, даже если порядок может быть другим.
Пример 5
Используйте факторное дерево, чтобы выразить 60 как произведение простых множителей.
Таким образом, разложение на простые множители из 60 равно 2 × 2 × 3 × 5, что может быть записано как 2 ² × 3 × 5.Фактические простые множители из 60 равны 2, 3 и 5.
факторов 60
Какие факторы 60?
Множители 60 в математике обозначают комбинацию чисел или алгебраических выражений, которые при умножении дают число в обсуждении. Другими словами, число делится на 60 поровну без остатка. Число 60 — составное число, у которого есть много делителей, кроме 1 и самого себя. Это также положительное целое число, которое получается путем умножения двух меньших положительных целых чисел.Давайте рассмотрим множители 60 на примере, приведенном ниже в рамке. Решенный пример — 60/12 = 5, и остатка не осталось. Таким образом, мы можем сказать, что 12 и 5 являются множителями 60.
Объяснение с использованием примера, приведенного выше
В данном примере мы можем дополнительно упростить и разделить число 12 на его множители, которые равны 3, 2 и 2. Это подразумевает что когда мы умножаем 3, 2, 2 и 5, мы все равно можем получить результат 60. Таким образом, множители 60 равны 5, 3, 2 и 2. Кроме того, 5 x 3 = 15, что также является множителем 60.Так является ли 4 множителем 60? Ответ — да, потому что 2 x 2 = 4. Точно так же есть много других множителей 60.
Мы также можем вывести простые множители 60, поскольку это составное число. Помимо числа 60, есть несколько других чисел, таких как 12, 24, 18, 48 и т. Д., Которые являются составными числами и имеют более двух множителей. Кратное 60 представляет собой расширенную форму 60, такую как 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540 и другие.
Что такое множители 60 в парах?
Мы можем легко найти множители числа с помощью простого метода умножения.Итак, если вы думаете о множителях 60, ответ довольно прост. Он в основном включает в себя умножение пары чисел для получения конечного результата, предположим, 60. Эти пары чисел рассматриваются как множители. В этой статье мы фактически выясним, каковы парные множители 60.
Как рассчитать пары множителей 60?
Если вы хотите узнать, каковы множители 60, вам нужно продолжить умножение двух чисел в комбинации, которая дает результат как 60.Давайте начнем расчет, чтобы выяснить, какие пары из 60:
Факторные пары из 60
1 × 60 = 60
2 × 30 = 60
3 × 20 = 60
4 × 15 = 60
5 × 12 = 60
6 × 10 = 60
Следовательно, парные множители 60 равны (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 20), (5, 12) и (6, 10).
Концепция простых множителей
Факторы — это набор чисел, умножение которых дает исходное число.
Теперь, если вы хотите разложить число на множители, вам нужно разбить его на более мелкие части. Чтобы получить разложение числа на простые множители, вам нужно разбить его на простые числа. Число, которое состоит только из двух делителей — 1 и самого себя, и делится только на эти два, называется простым числом.
Основные множители числа 60
Число 60 относится к категории составных чисел. Давайте вычислим простые множители числа 60. Чтобы получить простые множители 60, первый шаг включает деление 60 на наименьшее из простых множителей.
60 ÷ 2 = 30
Теперь нам нужно выяснить, можно ли дополнительно разделить 30 на 2 или нет,
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 2 = 7,5
Однако дроби нельзя рассматривать как множители. . Итак, нам нужно перейти к следующему простому числу, равному 3.
После деления 15 на 3 мы получим
15/3 = 5
И снова, разделив 5 на 3, мы получим дробное число. Теперь нужно принять во внимание следующее простое число 5.
5/5 = 1
Поскольку в конце мы получили 1, мы не можем использовать метод деления, потому что кратное 1 равно 1.Итак, простой множитель 60 равен 2 x 2 x 3 x 5, что также можно записать как 22 x 3 x 5.
Что такое дерево множителей 60?
Составные числа можно разбить на простые числа. Для числа 60 простые множители образуют факторное дерево 60. Факторное дерево выглядит следующим образом:
Интересные факты о факторизации:
Факторы — это целые или целые числа, но они не могут быть десятичными или дробными.
Все четные числа будут иметь множитель как 2.
Все числа больше 0 и заканчивающиеся на 0 будут иметь множители, такие как 2, 5 и 10.
Многие алгебраические выражения часто упрощаются или решаются с помощью факторизации.
Обучающий продукт основных факторов
Теория чисел , или изучение целых чисел (счетные числа 1, 2, 3 …, их противоположности –1, –2, –3 …, и 0), уже много лет очаровывает математиков. Простые числа — понятие, представленное большинству учеников 4-х классов и выше, является фундаментальным в теории чисел.Они образуют основные строительные блоки для всех целых чисел.
Простое число — это счетное число, которое имеет только два делителя: само себя и один. Подсчет чисел, которые имеют более двух множителей (например, 6, множители которых равны 1, 2, 3 и 6), называется составными числами . Число 1 имеет только один фактор и обычно не считается ни простым, ни составным.
Ключевой стандарт: определите, является ли данное число простым или составным, и найдите все множители для целого числа.(Оценка 4)
Почему основные факторы имеют значение?
Это извечный вопрос, с которым учителям математики во всем мире приходится сталкиваться. Когда я буду использовать это? Одним из ярких примеров является криптография или исследование создания и дешифрования кодов. С помощью компьютера легко умножить два простых числа. Однако разложить число на множители может быть чрезвычайно . Из-за этого, когда веб-сайт безопасно отправляет и получает информацию — что особенно важно, например, для финансовых или медицинских веб-сайтов — вы можете держать пари, что за кулисами скрываются простые числа.Простые числа также появляются во множестве удивительных контекстов, включая физику, музыку и даже появление цикад!
Есть еще одно место, где часто встречаются простые числа, и его легко упустить из виду при обсуждении приложений: math! Изучение чистой математики — это тема, которую люди практикуют, изучают и делятся ею, не беспокоясь о том, где еще она могла бы применяться, подобно тому, как музыканту не нужно спрашивать, как музыка применима к реальному миру. Теория чисел — чрезвычайно обширная тема, занимающая центральное место в курсах колледжей, исследовательских работах и других областях математики.Математики всех мастей, несомненно, много раз сталкиваются с теорией чисел в своих академических и профессиональных путешествиях.
Наибольший общий множитель 45 и 60 (GCF 45, 60)
Вы на охоте за GCF 45 и 60? Поскольку вы находитесь на этой странице, я так и предполагаю! В этом кратком руководстве мы расскажем, как вычислить наибольший общий множитель для любых чисел, которые вам нужно проверить. Давайте прыгнем!
Хотите быстро узнать или показать студентам, как найти GCF двух или более чисел? Воспроизведите это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!
Во-первых, если вы спешите, вот ответ на вопрос «каков GCF 45 и 60?» :
GCF из 45 и 60 = 15
Каков наибольший общий фактор?
Проще говоря, GCF набора целых чисел — это наибольшее положительное целое число (т.e целое число, а не десятичное), которое делится на все числа в наборе. Это также широко известно как:
Наибольший общий знаменатель (НОД)
Наивысший общий коэффициент (HCF)
Наибольший общий делитель (НОД)
Существует несколько различных способов вычисления GCF набора чисел в зависимости от того, сколько чисел у вас есть и насколько они велики.
Для меньших чисел вы можете просто посмотреть множители или кратные для каждого числа и найти их наибольшее общее кратное.
Для 45 и 60 эти коэффициенты выглядят так:
Факторы для 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45
Факторы для 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 , 20, 30, и 60
Как вы можете видеть, когда перечисляете множители каждого числа, 15 — это наибольшее число, на которое делятся 45 и 60.
Подводя итоги
По мере того, как числа становятся больше или вы хотите сравнить несколько чисел одновременно, чтобы найти GCF, вы можете увидеть, как перечисление всех факторов станет слишком большим.Чтобы исправить это, вы можете использовать простые множители.
Перечислите все простые множители для каждого числа:
Основные факторы для 45: 3, 3 и 5
Основные факторы для 60: 2, 2, 3 и 5
Теперь, когда у нас есть список основных факторов, нам нужно найти любые, которые являются общими для каждый номер.
Глядя на случаи появления общих простых множителей в числах 45 и 60, мы видим, что обычно встречающиеся простые множители — это 3 и 5.
Чтобы вычислить простой множитель, умножим эти числа вместе:
GCF = 3 x 5 = 15
Найдите GCF с помощью алгоритма Евклида
Последний метод вычисления GCF 45 и 60 — использовать алгоритм Евклида.Это более сложный способ вычисления наибольшего общего множителя, который на самом деле используется только калькуляторами GCD.
Если вы хотите узнать больше об алгоритме и, возможно, попробовать его самостоятельно, загляните на страницу Википедии.
Надеюсь, сегодня вы немного научились математике и понимаете, как вычислять НОД чисел. Возьмите карандаш и бумагу и попробуйте сами. (или просто воспользуйтесь нашим калькулятором НОД — никому не скажем!)
Цитируйте, ссылайтесь или ссылайтесь на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали.Мы очень ценим вашу поддержку!
Наибольший общий множитель 45 и 60
«Наибольший общий множитель 45 и 60». VisualFractions.com . По состоянию на 28 июля 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-45-and-60/.
«Наибольший общий множитель 45 и 60». VisualFractions.com , https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-45-and-60/. Доступ 28 июля 2021 г.
Наибольший общий множитель 45 и 60.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва. {\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{e}$

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x₀) функции в точке x₀. См. «Определение непрерывности функции в точке».

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»

Все примеры ⇑ Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1. Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

График функции y = 4^1/(x+2).
Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, для предела слева имеем:
при ,
,
,
.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.
Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.
Ответ
В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.
Решение
График заданной функции.
Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1. Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .
Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .
Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.
Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Ответ
Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Все примеры ⇑ Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.
Решение
Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
; .
Тогда
.
Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.
Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .
Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Ответ
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Точки разрыва функции первого и второго рода
Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т. е.
Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа

и слева
.
Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий

то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.
Если пределы равны, однако функция не существует

то имеем устранимый разрыв первого рода.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.
Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ

если они разные и не равны бесконечности.
При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:
1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.
Рассмотрим несколько задач по данной теме.
Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а)
Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая
Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.
Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже
——————————————————-
б)
Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя

Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева

Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.
Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.
——————————————————-
в)
Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.
——————————————————-
Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.
а)
Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва

По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2
График функции на интервале который нас интересует приведен далее
——————————————————-
б)
Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.
Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.
Исследуем на непрерывность вторую точку

По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.
Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.
По условию задания построим график функции.
Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.
Глава 48. Точки разрыва функций и их классификация
Определение
Точками Разрыва функции называются точки, в которых функция Не определена или не является Непрерывной.
Точки разрыва классифицируются следующим образом.
Устранимый разрыв
Точка называется Точкой устранимого разрыва Функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке.
Пример
Функция в точке , как известно, имеет предел, равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней:
Доопределенная таким образом функция является непрерывной на всей числовой оси.
Разрыв 1–го рода
Точка называется Точкой разрыва первого рода Функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:.
Типичным Примером является функция Для нее точка является точкой разрыва первого рода.
Разрыв 2–го рода
Точка называется Точкой разрыва второго рода Функции , если в этой точке функция Не имеет По крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов Бесконечен.
1. Типичным примером является функция . Точка является точкой разрыва 2–го рода, так как , .
2. Для функции точка является точкой разрыва 2–го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.
Кусочно–непрерывные функции
Функция называется Кусочно–непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, Конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1–го рода и, кроме того, односторонние пределы в точках и .
48.1. Упражнения
Вычислить указанные пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56. Определить точки разрыва функций:
57. Найти точки разрыва функции у=1+2x и построить график этой функции.
58. Между следующими бесконечно малыми (при х ® 0) величинами x2, , sin 3x, 2x, cos x, хе2x выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой х, а также высшего и низшего порядка, чем x.
59. Среди указанных бесконечно малых (при х ® 0) величин найти бесконечно малые, равносильные бесконечно малой x: 2sinx, — tg 2x, х—3×2 , ln(1+x), х3+3х4.
60. Убедиться в том, что при х ® 1 бесконечно малые величины 1—х и 1— будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?
< Предыдущая Следующая >
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х= х₀ – точка разрыва функции y=f(x) , то в ней не выполняется хотя бы одно их 3-х условий первого определения непрерывности функции.
Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода
Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim f(x) =A и lim f(x) = B
При этом:
1. если А=В, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва
2. если А# В , то точка х₀ называется точкой конечного разрыва
Величину | A- B | называют скачком функции в точке разрыва первого рода
Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов.
Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, или равен бесконечности
Пример 9.
Найти точки разрыва функции, если они существуют, б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва функции f(x)=2 x/(3+x)
Решение:

Функция f(x)=2 x/(3+x) не определена в точке х=-3, значит это точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке. Сначала найдем односторонние пределы функции
lim 2x/(3+x) = — ¥ при х → -3-0
lim 2x/(3+x) = +¥ , при х → -3+0
Один (оба) из односторонних пределов равен бесконечности, значит точка х=-3 точка разрыва второго рода.
Пример 10. Найти точки разрыва функции и определить их тип f(x)= (x² – 25)/(x-5)
Решение:
Область определения функции (- ¥,5)È (5, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва
Рассмотрим lim f(x) при х → 5-0
Lim (x-5)(x+5)/(x -5)= lim (x+5) при х → 5
Lim (x+5) = 10 при x → 5-0
Lim (x+5) = 10 при x → 5+0
Т.е. односторонние пределы равны и х = 5 – точка устранимого разрыва 1 рода
Пример 11. Исследовать функцию на непрерывность и определить
вид точек разрыва У= 1/х
Решение:
Область определения функции (- ¥,0)È (0, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва
Точка х = 0 – точка разрыва
Рассмотрим односторонние пределы
Lim 1/x = — ¥ при х → 0-0
Lim 1/x = + ¥ при х → 0+0
Т. е. х=0 – точка разрыва 2 рода
Пример 12. Исследовать функцию на непрерывность и определить вид точек разрыва
f(x) = x / (1+x²)
Решение:
Область определения функции (- ¥,-1)È (-1, +¥). Точка х = -1 – точка разрыва
Рассмотрим односторонние пределы
Lim x/(1+x²) = — ¥ при х = -1-0
Lim x/(1+x²) = + ¥ при х = -1+0
Т.е. х=-1– точка разрыва 2 рода
Пример 13. Исследовать функцию на непрерывность

Решение.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 14. Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.
Решение:
Данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция

также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0. Так как
то в данной точке существует устранимый разрыв.
Мы можем сконструировать новую функцию

которая будет непрерывной при любом действительном x.
Пример 15. Найти точки разрыва функции , если они существуют.
Решение:
Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных
функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем «поведение» этой функции
вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.
Вычислим односторонние пределы при x = 0.
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0.
Скачок функции в этой точке равен
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие
функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.
Пример 16. Найти точки разрыва функции , если они существуют.
Решение:
Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет
разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода
Точки разрыва и их классификация
Точки разрыва и их классификация.

            Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

                                                                                 х₀

            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

                                                                     х₀

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)
не является непрерывной в любой точке х₀.
Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.

            Пример. f(x) =
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

            Пример. f(x) = =

                                                                      y

                                                                       1

                                                                       0                                 x

                                                                       -1

            Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

            Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Функция
контрольных точек — RDocumentation
Описание
Вычисление контрольных точек в отношениях регрессии. Дан номер разрывов функция вычисляет оптимальные точки останова.
Использование
# Метод S3 для формулы точки останова (формула, h = 0,15, точки останова = NULL, data = list(), hpc = c("none", "foreach"), …) # Метод S3 для точек останова точки останова (obj, breaks = NULL, …) # Метод S3 для точек останова резюме (объект, разрывы = NULL, сортировка = TRUE, format.times = NULL, …) # Метод S3 для точек останова строки (x, разрывы = NULL, lty = 2, …)
# Метод S3 для точек останова coef(объект, разрывы = NULL, имена = NULL, …) # Метод S3 для точек останова приспособлено (объект, разрывы = NULL, …) # Метод S3 для точек останова остатки (объект, разрывы = NULL, …) # Метод S3 для точек останова vcov (объект, разрывы = NULL, имена = NULL, het.reg = ИСТИНА, het.err = ИСТИНА, vcov. = NULL, sand = TRUE, …)

Аргументы
формула
символическое описание модели, в которой есть точки останова будет оцениваться.
h
минимальный размер сегмента, указанный в дробях относительно размер выборки или целое число, дающее минимальное количество наблюдений в каждом сегменте.
разрывов
положительное целое число, указывающее максимальное количество рассчитываемых перерывов. По умолчанию используется максимальное количество, разрешенное h .
данные
необязательный фрейм данных, содержащий переменные модели. По по умолчанию переменные берутся из окружения, которое точек останова есть звонил из.
hpc
символ, указывающий на поддержку высокопроизводительных вычислений. По умолчанию "none" , можно установить "foreach" .
…
аргумента переданы в recresid .
obj, объект
объект класса "breakpointsfull" .
сортировка
логическая. Если установлено значение TRUE сводка пытается найти совпадение точки останова из разделов с разным количеством разрывов.
формат.×
логический. Если установлено значение TRUE , вектор печатаются строки с отформатированными датами прерывания. См. даты перерыва Чтобы получить больше информации.
x
объект класса "точки останова" .
lty
тип линии.
имена
вектор символов, дающий имена сегментов. Если длины 1 считается общим префиксом, например. "сегмент" .
гет.рег
логический. Должны ли допускаться гетерогенные регрессоры? Если установлено до FALSE предполагается, что распределение регрессоров однородны по сегментам.
гет.ошибка
логический. Следует ли допускать разнородные ошибки? Если установлено до FALSE предполагается, что распределение ошибок однородны по сегментам.
вков.
функция извлечения ковариационной матрицы для коэффициентов подобранной модели класса "лм" .
бутерброд
логический. Есть функция vcov. бутерброд эстиматор или только средняя часть?
значение
Объект класса "точки останова" представляет собой список со следующими элементы:
точки останова
точки останова оптимального раздела с указанное количество разрывов (устанавливается на NA , если оптимальная односегментная решение сообщается),
RSS
соответствующий RSS,
nobs
количество наблюдений,
nreg
количество регрессоров,
вызов
вызов функции,
datatsp
свойства временного ряда tsp данных, если есть, c(1/nobs, 1, nobs) иначе.
При применении к формуле в качестве первого аргумента, точек останова возвращает объект класса "breakpointsfull" (который наследуется от "breakpoints" ), что содержит некоторые дополнительные (или немного отличающиеся) элементы, такие как:
точки останова
точки останова минимального раздела BIC,
RSS
функция, которая принимает два аргумента i,j и вычисляет остаточная сумма квадратов для отрезка, начинающегося с наблюдения i 9\top \beta_j + u_i \qquad (i = i_{j-1} + 1, \dots, i_j, \quad j = 1, \dots, m+1)$$
, где $j$ обозначает индекс сегмента. На практике точки останова $i_j$ редко даются экзогенно, но должны быть оценены. контрольных точек оценивает эти контрольные точки путем минимизации остаточной суммы квадратов (RSS) приведенного выше уравнения.
Основа для оценки разрывов в моделях регрессии временных рядов был дан Бай (1994) и был расширен до нескольких перерывов Бай (1997аб) и Бай и Перрон (1998). точек останова реализует алгоритм описано в Bai & Perron (2003) для одновременной оценки несколько точек останова. Функция распределения, используемая для достоверности интервалы для точек останова приведены в Bai (1997b). Идеи, лежащие в основе эта реализация описана в Zeileis et al. (2003).
Алгоритм вычисления оптимальных точек останова по количеству перерывов основан на подходе динамического программирования. лежащий в основе Идея заключается в принципе Беллмана. Основные вычислительные усилия заключается в вычислении треугольной матрицы RSS, которая дает невязку сумма квадратов для отрезка, начинающегося с наблюдения $i$ и заканчивается на $i'$ с $i$ < $i'$.
Учитывая формулу в качестве первого аргумента, точек останова вычисляет объект класса "breakpointsfull" , который наследуется от "breakpoints" . Это содержит, в частности, треугольный RSS матрица и функции для извлечения оптимальной сегментации. Резюме этого объекта даст точки останова (и связанные с ними) даты останова для всех сегментов до максимального количества разрывов вместе с соответствующими RSS и BIC. Они будут построены, если участок применяется и, таким образом, визуализировать минимальную оценку BIC числа точек останова. Из объекта класса "breakpointsfull" произвольное количество разрывов (допустимых по минимальному отрезку размер h ) можно извлечь другим приложением точек останова , возвращая объект класса «точки останова» . Содержит только точки останова для указанного количества пауз. и некоторые свойства модели (количество наблюдений, регрессоры, время свойства ряда и связанный с ним RSS), но не треугольный RSS матричные и связанные с ними функции извлечения. Набор точек останова, которые по умолчанию ассоциируется с "breakpointsfull" объект минимальный раздел BIC.
Точки останова — это количество наблюдений, которые являются последними в одном сегменте, также возможно вычислить соответствующие контрольных дат которые являются точками останова на базовой шкале времени. Перерывы могут быть отформатированы, что повышает удобочитаемость, в частности, для ежеквартальных или ежемесячные временные ряды. Например, дата перерыва 2002,75 месячного временной ряд будет отформатирован до "2002(10)" . См. даты перерыва Больше подробностей.
Из объекта "breakpointsfull" доверительных интервалов для точек останова можно вычислить по методу confint . Даты останова, соответствующие точкам останова, могут быть снова вычислены. по перерывам . Точки останова и их достоверность интервалы можно визуализировать строк . Удобные функции есть предусмотрено извлечение коэффициентов и ковариационной матрицы, подобранных значения и остатки сегментированных моделей.
Логарифмическая вероятность, а также некоторые информационные критерии могут быть вычислены используя методы для logLik и AIC . В качестве для линейных моделей логарифмическое правдоподобие вычисляется по нормальной модели и степени свободы - это количество коэффициентов регрессии, умноженных по количеству сегментов плюс количество предполагаемых точек останова плюс 1 для дисперсии ошибки. Более подробную информацию можно найти на странице помощи метод logLik.breakpoints .
Поскольку максимум последовательности F-статистики эквивалентен минимуму OLS-оценка точки останова в 2-сегментном разделе может быть извлечено по точкам останова из объекта класса "Fstats" как вычислено Fstats . Однако это не может быть использовано для извлечения большее количество точек останова.
Для иллюстрации см. примеры с комментариями ниже и Zeileis et al. (2003).
Доступна дополнительная поддержка высокопроизводительных вычислений, в настоящее время используется foreach для алгоритма динамического программирования. Если используется hpc = "foreach" , необходимо зарегистрировать параллельный бэкенд. до. См. foreach для получения дополнительной информации.
Ссылки
Бай Дж. (1994), Оценка сдвига в линейных процессах методом наименьших квадратов, Журнал анализа временных рядов , 15 , 453-472.
Бай Дж. (1997a), Оценка нескольких разрывов по одному, Эконометрическая теория , 13 , 315-352.
Бай Дж. (1997b), Оценка точки изменения в моделях множественной регрессии, Обзор экономики и статистики , 79 , 551-563.
Бай Дж., Перрон П. (1998), Оценка и тестирование линейных моделей с несколькими структурными Изменения, Econometrica , 66 , 47-78.
Бай Дж., Перрон П. (2003), Расчет и анализ множественных структурных изменений Модели, Журнал прикладной эконометрики , 18 , 1-22.
Zeileis A., Kleiber C., Krmer W., Hornik K. (2003), Testing and Dating of the Структурные изменения на практике, Вычислительная статистика и анализ данных , 44 , 109-123. doi: 10.1016/S0167-9473(03)00030-6.
Zeileis A., Shah A., Patnaik I. (2010), Testing, Monitoring, and Dating Structural Изменения в режимах обменных курсов, Вычислительная статистика и анализ данных , 54 (6), 1696--1706. doi: 10.1016/j.csda.2009.12.005.
Примеры
Запустить этот код
# NOT RUN { ## Данные по Нилу с одной контрольной точкой: падение годового стока в 1898 г. ## потому что была построена первая плотина Ашван данные ("Нил") сюжет(Нил) ## F-статистика указывает на одну точку останова fs.nile <- Fstats(Нил ~ 1) сюжет (fs.nile) точки останова (fs.nile) строки (точки останова (fs.nile)) ## или же bp.nile <- точки останова (Нил ~ 1) резюме (bp.nile) ## BIC также выбирает одну точку останова сюжет (bp.nile) точки останова (bp.nile) ## подобрать модель с нулевой гипотезой и модель с 1 точкой останова fm0 <- lm(Нил ~ 1) fm1 <- lm(Нил ~ коэффициент разбивки(bp. nile, breaks = 1)) сюжет(Нил) линии (ts (установлены (fm0), start = 1871), col = 3) линии (ts (установлено (fm1), начало = 1871), столбец = 4) линии (bp.nile) ## доверительный интервал ci.nile <- confint(bp.nile) ci.nile линии (ci.nile) ## Данные о ремнях безопасности Великобритании: модель SARIMA(1,0,0)(1,0,0)_12 ## (соответствует OLS) используется и показывает (как минимум) два ## точки останова - одна из 1973 связанных с нефтяным кризисом и ## один в 1983 г. в связи с введением обязательного ## использование ремней безопасности в Великобритании. данные ("UKDriverDeaths") ремень безопасности <- log10 (UKDriverDeaths) ремень безопасности <- cbind(ремень безопасности, отставание(ремень безопасности, k = -1), отставание(ремень безопасности, k = -12)) colnames(ремень безопасности) <- c("y", "ylag1", "ylag12") ремень безопасности <- окно (ремень безопасности, начало = с (1970, 1), конец = с (1984, 12)) plot(ремень безопасности["y"], ylab = выражение(log[10](потери))) ## тестирование re. seat <- efp(y ~ ylag1 + ylag12, данные = ремень безопасности, тип = "RE") участок (повторное место) ## знакомства bp.seat <- контрольные точки (y ~ ylag1 + ylag12, данные = ремень безопасности, h = 0,1) резюме (bp.seat) линии (bp.seat, разрывы = 2) ## минимальный раздел BIC сюжет (bp.seat) точки останова (bp.seat) ## BIC выберет 0 контрольных точек, хотя тесты RE и supF ## однозначно отвергают гипотезу структурной устойчивости. Бай и ## Перрон (2003) сообщает, что у BIC есть проблемы с динамической регрессией. ## из-за формы процесса RE F-статистики выберите два ## точки останова и соответствующие модели bp.seat2 <- точки останова (bp.seat, breaks = 2) fm0 <- lm(y ~ ylag1 + ylag12, данные = ремень безопасности) fm1 <- lm(y ~ breakfactor(bp.seat2)/(ylag1 + ylag12) - 1, данные = ремень безопасности) ## участок plot(ремень безопасности["y"], ylab = выражение(log[10](потери))) time.seat <- as.vector (время (ремень безопасности)) линии (time.seat, приспособлено (fm0), col = 3) линии (time.seat, приспособлено (fm1), col = 4) линии (bp. seat2) ## доверительные интервалы ci.seat2 <- confint(bp.seat, breaks = 2) ci.seat2 линии (ci.seat2) # }
Запустите приведенный выше код в браузере с помощью DataCamp Workspace
Как использовать точки останова в VS Code
Программирование в VS Code — дело непростое. Даже самые незначительные ошибки могут вызвать серьезные проблемы и помешать вашим проектам. Чтобы преодолеть эти препятствия, вам нужна надежная техника отладки в вашем наборе инструментов. Здесь в игру вступают точки останова.
Точки останова используются всякий раз, когда вы хотите приостановить выполнение отладчика. Они позволяют вам проверять состояние ваших переменных кода и выполнять многие другие задачи, необходимые для возобновления вашего программирования. Вот почему понимание того, как использовать точки останова в VS Code, необходимо.
В этой статье мы дадим вам подробное руководство по использованию точек останова VS Code. Вы узнаете о самых популярных типах и узнаете, как они могут облегчить ваше развитие.
Как использовать точки останова в VS Code
Точки останова в VS Code можно размещать в любом исполняемом коде. Он работает для сигнатур методов, объявлений для класса или пространства имен и даже для объявлений переменных, если нет геттеров/сеттеров или присваиваний.
Чтобы установить точку останова в исходном коде, выполните следующие действия:
Щелкните левое поле или нажмите клавишу F9 рядом со строкой, которую вы хотите остановить.
Запустите код или нажмите F5 («Продолжить»).
Теперь ваш код будет приостановлен перед отмеченным выполнением. Точка останова появится в виде красной точки внутри левого поля.
По умолчанию текущие строки исполняемого кода и точки останова автоматически выделяются для большинства языков программирования, включая C#. Если вы работаете на C++, вы можете активировать подсветку следующим образом:
Перейдите к «Отладка» или «Инструменты».
Выберите «Параметры», а затем «Отладка».
Выберите следующую команду: « Выделите всю исходную строку для текущего оператора и точки останова ».
После того, как отладчик остановится в ваших точках останова, вы сможете проверить текущее состояние вашего приложения. Данные, которые вы можете просмотреть, включают стеки вызовов и значения переменных.
Что касается цвета, точки останова обычно окрашены в красный цвет, если вы работаете на полях редактора. Отключенные точки останова представлены закрашенным серым кружком, тогда как серый пустой кружок сигнализирует о точке останова, которую нельзя зарегистрировать. Последнее может также применяться, если вы редактируете исходный код во время сеансов отладки без поддержки редактирования в реальном времени.
Вот еще несколько примечательных команд для точек останова:
«Переключить точку останова» — помимо прочего, эта команда позволяет повторно вставить или удалить точку останова.
«Отключить точку останова» — отключите точку останова, не удаляя ее. Такие точки останова отображаются в виде пустых точек на левом поле или в окне «Точки останова».
«Включить точку останова — эта команда появляется, когда вы наводите курсор на отключенную точку останова и позволяет повторно активировать ее.
«Настройки» — раздел «Настройки» содержит множество команд, которые позволяют добавлять, редактировать и экспортировать точки останова. Меню появляется, когда вы наводите курсор на точку останова и нажимаете «Настройки».
«Повторно применить все точки останова» — верните все точки останова в исходное положение. Эта функция удобна, если среда отладки неправильно размещает точки останова в исходном коде, который еще не был выполнен.
Дополнительные часто задаваемые вопросы
Что такое точки журнала в VS Code?
Логпойнты — еще один полезный вариант точек останова. Вместо того, чтобы взламывать ваш отладчик, они выводят сообщения на вашу консоль и служат временными операторами трассировки на вашем языке программирования. Кроме того, они не прерывают выполнение кода.
Логпойнты могут быть отличным средством ввода при отладке производственного сервера, который нельзя остановить или приостановить. Они отображаются в виде ромбовидных значков и содержат обычный текст. Однако они также могут содержать выражения, оцениваемые с помощью фигурных скобок.
Как и стандартные точки останова, точки логирования можно активировать и деактивировать. Вы также можете контролировать их с помощью количества попаданий или условий.
Кроме того, хотя они поддерживаются встроенным отладчиком Node.js, их можно применять и на других платформах отладки. Список включает расширения Java и Python.
Как использовать условные точки останова в VS Code?
Одной из самых мощных функций VS Code является возможность вставлять условия в соответствии с количеством обращений, выражениями или их комбинациями:
• «Счетчик попаданий» — функция «Счетчик попаданий» определяет, сколько раз вам нужно попасть в точку останова, прежде чем она прервет выполнение кода. Синтаксис этого выражения и соблюдение счетчика попаданий зависят от вашего расширения отладчика.
• «Условие выражения» — код будет достигать этой точки останова всякий раз, когда выражение показывает оценку «Истина».
Вы можете добавить количество попаданий и условия при создании исходных точек останова с помощью параметра «Добавить условную точку останова». Кроме того, эти функции доступны при изменении существующих точек останова с помощью функции «Редактировать условие». Независимо от метода вы должны увидеть текстовое поле и меню, позволяющее вводить их выражения. Вы также можете редактировать условия, используя контекстное меню или окно «Редактировать условие».
Кроме того, VS Code поддерживает количество попаданий и условия для точек останова «Исключение» и «Функция». Если ваш отладчик не совместим с условными точками останова, параметры «Редактировать условие» и «Добавить условную точку останова» будут недоступны.
Что такое встроенные точки останова в VS Code?
Встроенные точки останова срабатывают только тогда, когда выполнение кода достигает столбца, подключенного к вашей встроенной точке останова. Они особенно полезны при отладке минимизированного кода, содержащего несколько операторов в одной строке.
Чтобы установить встроенные точки останова, вы можете использовать комбинацию клавиш «Shift + F9». Другой вариант — получить доступ к контекстному меню во время сеанса отладки. Они будут показаны в окне редактирования.
Меню «Контекст» также позволяет редактировать несколько точек останова в одной строке.
Что такое точки останова функций в VS Code?
Вместо того, чтобы размещать точку останова непосредственно в исходном коде, вы можете создать ее, указав имя функции. Эта функция отлично работает для недоступных источников со знакомым названием функции.
Вот как создать точку останова функции:
1. Нажмите символ «+» в заголовке «Точки останова».
2. Введите имя функции.
3. Это создаст точку останова функции, и она будет представлена красным треугольником.
Что такое точки останова данных в VS Code?
Некоторые отладчики также поддерживают точки останова данных. Их можно активировать через окно «Переменные» и срабатывают при изменении значения переменной. Точки останова отображаются в виде красных шестиугольников внутри меню «Точки останова».
Путь к многочисленным возможностям
Точки останова в VS Code можно использовать по-разному, открывая двери для практически безграничных возможностей при отладке кода. Имея в вашем распоряжении все типы точек останова, которые мы рассмотрели выше, вы легко сможете наблюдать за поведением своих строк и облегчите процесс отладки. Лучше всего то, что большинство из них можно быстро активировать, и каждый из них четко представлен, чтобы ускорить ваши усилия по кодированию.
Пробовали ли вы использовать точки останова в VS Code? Какой тип точки останова вы используете чаще всего? Вы когда-нибудь активировали идентификатор объекта? Дайте нам знать в комментариях ниже.
Точки останова | CLion
Точки останова — это специальные маркеры, которые приостанавливают выполнение программы в определенной точке. Это позволяет вам исследовать состояние и поведение программы. Точки останова могут быть простыми (например, приостановка программы при достижении какой-либо строки кода) или включать более сложную логику (проверка дополнительных условий, запись сообщений журнала и т. д.).
После установки точка останова остается в проекте до тех пор, пока вы не удалите ее явно (за исключением временных точек останова).
Если файл с точками останова был изменен извне, например, обновлен через систему контроля версий или изменен во внешнем редакторе, и номера строк изменились, точки останова будут перемещены соответствующим образом. Обратите внимание, что при внесении таких изменений CLion должен быть запущен, иначе они пройдут незамеченными.
Типы точек останова
В CLion доступны следующие типы точек останова:
Построчные точки останова: приостановка программы при достижении строки кода, где была установлена точка останова. Этот тип точек останова можно установить на любую исполняемую строку кода.
Точки останова при исключении: приостанавливать программу при возникновении указанного исключения. Они применяются глобально к условию исключения и не требуют конкретной ссылки на исходный код.
Символические точки останова: приостанавливают программу при выполнении определенной функции или метода.
Статусы точек останова строки
Когда сеанс отладки еще не начался, все точки останова строки помечаются одинаково:
Во время сеанса отладки CLion определяет статусы точек останова и соответствующим образом изменяет маркеры:
Точка останова строки успешно разрешена отладчиком GDB или LLDB с использованием предоставленных символов отладки. Такая точка останова может быть достигнута во время выполнения:
Точка останова строки недействительна, что означает, что она не может быть разрешена GDB или LLDB и никогда не будет достигнута. Это может произойти, когда точка останова находится вне исполняемого кода или отсутствуют некоторые символы отладки. CLion точно определяет такие ситуации и обновляет значок на лету (например, статус изменится, когда вы загрузите правильные символы отладки).
Установить точки останова
Установить точки останова строки
Щелкните на полосе в исполняемой строке кода, где вы хотите установить точку останова. Либо поместите курсор на строку и нажмите Ctrl+F8 .
В режиме дизассемблирования вы можете устанавливать точки останова так же, как и в исходном коде. См. Точки останова в дизассемблировании.
Установка точек останова исключений
Щелкните Просмотр точек останова в левой части окна средства отладки или нажмите Ctrl+Shift+F8 .
В диалоговом окне "Точки останова" нажмите Alt+Insert или нажмите и выберите Точки останова для исключений или Точки останова для исключений JavaScript.
Установка символических точек останова
Щелкните Просмотр точек останова в левой части окна инструмента отладки или нажмите Ctrl+Shift+F8 .
В диалоговом окне "Точки останова" нажмите Alt+Insert или нажмите и выберите "Символические точки останова".
Укажите имя символа и выберите, хотите ли вы, чтобы эта точка останова срабатывала во всех модулях или только в определенном модуле.
Управление точками останова
Удаление точек останова
Для точек останова без исключений: щелкните точку останова в поле.
Для всех точек останова: в главном меню выберите Run | Просмотр точек останова Ctrl+Shift+F8 , выберите точку останова и нажмите Удалить Удалить .
Чтобы избежать случайного удаления точки останова и потери ее параметров, вы можете удалить точки останова, перетащив их в редактор или нажав среднюю кнопку мыши. Для этого перейдите в Настройки/Настройки | Сборка, выполнение, развертывание | Отладчик и выберите Перетащите в редактор или щелкните средней кнопкой мыши. Щелчок по точке останова затем включает или отключает ее.
Отключить точки останова
Если вам не нужно останавливаться на точках останова в течение некоторого времени, вы можете отключить их. Это позволяет возобновить нормальную работу программы, не выходя из сеанса отладчика. После этого вы можете включить точки останова и продолжить отладку.
Включение/отключение точек останова
При удалении точки останова ее внутренняя конфигурация теряется. Чтобы временно отключить отдельную точку останова без потери ее параметров, вы можете отключить ее:
Для точек останова без исключений: щелкните ее правой кнопкой мыши и установите параметр Включено, как требуется. Вы также можете переключать их средней кнопкой мыши, если ей не назначено удаление точек останова.
Для всех точек останова: щелкните View Breakpoints Ctrl+Shift+F8 и установите/снимите отметку с точки останова в списке.
Перемещение/копирование точек останова
Чтобы переместить точку останова, перетащите ее на другую строку. " data-primary="Ctrl"> Ctrl и перетащите точку останова на другую строку. Это создает точку останова с теми же параметрами в месте назначения.
Настройка свойств точек останова
В зависимости от типа точки останова вы можете настроить дополнительные свойства, которые позволят настроить ее работу для конкретных нужд.
Основные свойства точки останова доступны через намерения. Поместите курсор на строку с точкой останова и нажмите Alt+Enter :
Дополнительные параметры точки останова доступны через контекстное меню правой кнопки мыши:
Щелкните Дополнительно или нажмите Ctrl+Shift+F8 для доступа к Диалоговое окно точек останова:
Свойства точек останова
Включено
Снимите флажок, чтобы временно отключить точку останова, не удаляя ее из проекта. Отключенные точки останова пропускаются во время пошагового выполнения.
Вы можете настроить CLion для включения/отключения точек останова при нажатии, а не для их полного удаления. Для этого перейдите в Настройки/Настройки | Сборка, выполнение, развертывание | Отладчик и установите для параметра Удалить точку останова значение Перетащите в редактор или щелкните средней кнопкой мыши.
Использовать только имя файла
Если этот флажок установлен, CLion использует базовое имя исходного файла вместо его абсолютного пути. Это ближе к тому, как вы указываете путь в интерфейсе командной строки отладчика.
Используйте эту опцию в случаях, когда отладчику не удается разрешить абсолютные пути: когда программа была скомпилирована с -fdebug-prefix-map или исходные файлы были перемещены в другое место после сборки двоичного файла и требуемого пути отображения отсутствуют.
Точка останова будет установлена с использованием только имени файла в GDB или LLDB. Это может привести к ситуации, когда точки останова соответствуют нескольким файлам с одинаковыми именами, поэтому отладчик остановится во всех этих местах.
Приостановка
Указывает, приостанавливать ли выполнение программы при достижении точки останова.
Точки останова без приостановки полезны, когда вам нужно зарегистрировать какое-то выражение, не приостанавливая программу (например, когда вам нужно знать, сколько раз был вызван метод) или если вам нужно создать главную точку останова, которая позволит использовать зависимые точки останова. при ударе.
Условие
Этот параметр используется для указания условия, которое проверяется при каждом достижении точки останова. Если условие оценивается как true , выполняются выбранные действия. В противном случае точка останова игнорируется.
Условие должно выполняться в строке, где установлена точка останова.
Результат выражения берется из оператора return. Когда оператор возврата отсутствует, результат берется из последней строки кода.
При оценке выражений убедитесь, что вы осведомлены об их возможных побочных эффектах, поскольку они потенциально могут повлиять на поведение и/или результат программы.
Параметры ведения журнала
При достижении точки останова в консоль может быть записано следующее:
Сообщение "Точка останова достигнута": сообщение в журнале вида Точка останова достигнута: JewishCalendar.cpp:62
5 Трассировка стека: трассировка стека для текущего кадра. Это полезно, если вы хотите проверить, какие пути вели к этой точке, не прерывая выполнение программы. Вычислить и зарегистрировать: результат произвольного выражения. Результат выражения берется из оператора return. Когда оператор возврата отсутствует, результат берется из последней строки кода, которая даже не обязательно должна быть выражением: литерал тоже работает. Это можно использовать для создания пользовательского сообщения или для отслеживания некоторых значений во время выполнения программы. При оценке выражений убедитесь, что вы осведомлены об их возможных побочных эффектах, поскольку они потенциально могут повлиять на поведение и/или результат программы.
Удалить после нажатия
Указывает, должна ли точка останова удаляться из проекта после однократного нажатия.
Отключить до достижения следующей точки останова
Когда точка останова выбрана в поле Отключить до следующей точки останова, она действует как триггер для текущей точки останова. Это отключает текущую точку останова до тех пор, пока не будет достигнута указанная точка останова.
Вы также можете выбрать, отключить ли его снова после того, как это произошло, или оставить его включенным.
Этот параметр полезен, когда вам нужно приостановить работу программы только при определенных условиях или после определенных действий. В этом случае триггерная точка останова обычно не требуется для остановки выполнения программы и не приостанавливается.
Выброшено/перехвачено
Для точек останова исключения вы можете выбрать приостановку программы, когда исключение выброшено, перехвачено или в обоих случаях. Используйте флажки Когда брошено и Когда поймано.
Советы по повышению производительности
Использовать точки останова для отладочной печати
Используйте не приостанавливающие точки останова ведения журнала (иногда называемые точками наблюдения в других отладчиках) вместо вставки операторов печати в код. Это обеспечивает более гибкий и централизованный способ обработки сообщений журнала отладки.
Более быстрая установка точек останова для ведения журнала
Чтобы установить точку останова для ведения журнала без приостановки, удерживайте Shift и щелкните поле. Это не приостановит выполнение программы, а вместо этого зарегистрирует сообщение типа 9.0025 Точка останова достигла . Если вы хотите записать какое-то выражение, которое находится перед вами в редакторе, выделите его, прежде чем зажать Shift и щелкнуть поле.
Добавить описания точек останова
Если в вашем проекте много точек останова, вы можете добавить описания к точкам останова для облегчения поиска. Для этого щелкните правой кнопкой мыши точку останова в диалоговом окне «Точки останова» Ctrl+Shift+F8 и выберите в меню «Редактировать описание». Теперь, когда вы начинаете вводить имя точки останова, она получает фокус.
Групповые точки останова
Вы можете организовать точки останова в группы, например, если вам нужно выделить точки останова для конкретной задачи. Для этого в диалоговом окне «Точки останова» Ctrl+Shift+F8 выберите точку останова, которую вы хотите поместить в группу, и выберите в меню «Переместить в группу».
Перейти к источнику
Чтобы перейти из диалогового окна Точки останова к строке кода, где установлена выбранная точка останова, нажмите F4 .
Последнее изменение: 05 августа 2022 г.
Установка точки выполнения Контрольные точки
Python breakpoint(): легкая отладка
Встроенная функция Python breakpoint() — это инструмент, который позволяет разработчикам устанавливать точки в коде, вызывается отладчик. По умолчанию эта функция приводит к созданию экземпляра собственного класса отладчика Python. Однако, начиная с версии 3.7, разработчики могут легко переопределить это поведение и использовать функцию точки останова Python() для выполнения пользовательских действий.
Отладка является важным аспектом написания хорошего кода. Это верно независимо от того, пытаетесь ли вы запустить начальную логику, тестируете пограничные случаи или работаете над пониманием унаследованного кода .
Функция Python breakpoint() может использоваться для всего вышеперечисленного. В этой статье вы узнаете базовый синтаксис использования breakpoint() , связанный с ним стек вызовов, интересную переменную среды и основные рекомендации по реализации. Я покажу, как можно определить пользовательскую функцию для обработки точек останова, но не буду вдаваться в технические подробности.
TL;DR — функция Python breakpoint() вызывает отладчик Python в заданной строке.
# Создать цикл над 5 целыми числами для я в диапазоне (5): # Поток i на стандартный вывод печать (я) # Создаем точку останова в # 3 если я == 3: точка останова() # Выход 0 1 2 3 > c:\users\user\path\to\your\project\example.py(24)() -> для я в диапазоне (5): (Пдб)
Краткая история
Встроенная функция Python breakpoint() появилась в версии 3.7 через PEP553. Причина добавления 9Функция 0776 breakpoint() затронула несколько моментов, чтобы лучше использовать собственный отладчик pdp и предоставить разработчикам более гибкие возможности. Основные аргументы были следующими:
Предыдущий синтаксис был громоздким и слишком многословным: import pdb; pdb.set_trace() ;
Ограничивает возможности отладки pdp ;
Линтеры ненавидят несколько операторов в одной строке.
PEP553 основывал свое предложение на новых 9Функция 0776 breakpoint() в js-отладчике JavaScript. Также следует отметить, что в этом PEP описаны новые привязки к модулю sys, чтобы обеспечить дополнительную гибкость для breakpoint() .
Наиболее подходящим является метод sys.breakpointhook() . Кроме того, в PEP553 указано добавление новой переменной среды с именем PYTHONBREAKPOINT для определения пользовательских отладчиков, отключения отладки или обращения к поведению по умолчанию ( pdp ). 0293 основное использование функции breakpoint() .
Отладка 101: использование инструкции печати
Точки останова используются, чтобы помочь разработчикам выявлять и устранять проблемы в их коде. Это могут быть синтаксические ошибки, логические ошибки, ошибки времени выполнения, ошибки времени компиляции или что-то среднее между ними. Точки останова являются неотъемлемой частью процесса отладки.
Функция Python breakpoint() обеспечивает динамический, легко настраиваемый и синтаксически простой подход к отладке, который по умолчанию использует интерактивный отладчик pdp. Рассмотрим следующую функцию:
определение find_min (числа: [целое число]) -> целое число: """Находит наименьшее целочисленное значение в списке""" наименьший = 0 для числа в цифрах: если число < наименьшее: наименьший = число вернуть наименьший
Эта функция предназначена для приема списка целых чисел в качестве аргумента и возврата наименьшего значения. Учитывая аргумент [9, 6, 3] , предполагал (может быть, не ожидал , если вы уже заметили ошибку) поведение должно возвращать 3. Посмотрим, что произойдет:
# Вызов функции для нахождения мин. # значение в списке целых чисел >>> найти_мин([9, 6, 3]) 0
Здорово. Моя функция вернула значение 0, которое не было предназначено (но ожидаемо). Давайте притворимся, что источник этой ошибки не ясен — это означает, что нам нужно отладить код! Отладка часто выполняется с помощью чуть большего, чем добавление операторов печати для передачи простого сообщения на стандартный вывод системы (stdout). В этом случае мы могли бы сделать следующее, чтобы попытаться сузить источник проблемы:
определение find_min (числа: [целое число]) -> целое число: """Находит наименьшее целочисленное значение в списке""" наименьший = 0 для числа в цифрах: print('число:', число, 'наименьший:', наименьший) если число < наименьшее: print('Число меньше; переназначение значения:', num) наименьший = число вернуть наименьший
Теперь мы добавили два оператора в наш код, которые будут печатать сообщение во время каждой итерации нашего цикла, который проверяет наименьшее значение против числа и при числе < наименьшего результата True. Посмотрим, что у нас получилось:
# Вызов функции с # те же аргументы, что и раньше >>> найти_мин([9, 6, 3]) число: 9 наименьшее: 0 число: 6 наименьшее: 0 число: 3 наименьшее: 0 0
Обратите внимание, теперь у нас есть три дополнительные строки вывода, которые детализируют значения наших переменных. Также обратите внимание, что оператор print в нашем условном выражении if num < small: никогда не отображается. Это наш первый намек на природу ошибки нашего кода. Из этого упущения мы можем сказать, что ни один номер в нашем списке не равен 9.0293 когда-либо считается самым низким.
Это потому, что нашему начальному значению для наименьшего присваивается значение 0, которое в данном случае меньше, чем любой аргумент, переданный нашей функции! Этот тестовый пример приводит к нежелательному поведению и отражает ошибку в нашем коде. Исправление состояло бы в том, чтобы инициализировать наименьшую переменную бесконечно большим значением, например наименьший = float('inf') . Давайте посмотрим на это исправление в действии:
# Обновить экземпляр наименьшего def find_min(nums[int]) -> int: ... наименьший = с плавающей запятой ('inf') ... # Перезапустить код >>> найти_мин([9, 6, 3]) # Выход число: 9 наименьшее: inf число меньше; переназначение значения: 9 число: 6 наименьшее: 9 число меньше; переназначение значения: 6 число: 3 наименьшее: 6 число меньше; переназначение значения: 3 3
Как вы можете видеть здесь, каждая итерация в результирующем цикле находит меньшее значение. Последовательность событий теперь такова:
9 меньше бесконечности; заменить наименьшее значение;
6 меньше 9; заменить наименьшее значение;
3 меньше 6; заменить наименьшее значение;
вернуть наименьший
Этот поток отражается выводом на консоль с помощью операторов print [все еще], встроенных в наш код. Нам удалось найти проблему, внедрить решение и подтвердить ожидаемый поведенческий результат.
Однако теперь у нас осталось несколько операторов print , которые следует удалить из нашего кода. В этом случае две строки не имеют большого значения, но представьте себе отладку кодовой базы с миллионами строк кода, разбросанных по множеству слабо связанных модулей, классов и функций. Отладка через 9Операторы 0776 print могут быстро вызвать проблемы. Войдите в интерактивный отладчик .
Интерактивные отладчики
Интерактивные отладчики позволяют разработчикам приостанавливать выполнение кода в режиме реального времени, «заходить» на определенные строки, просматривать переменные в динамике во время выполнения и предоставлять множество других функций, ни одна из которых не зависит от операторов печати или дополнительный код.
Отладчик Python предоставляет разработчикам эту готовую утилиту. Многие предпочитают использовать отладчик, предоставляемый современными интегрированными средами разработки (IDE), такими как PyCharm, Visual Studio или ** 9.0293 вздрагивает ** Затмение. Эта нестандартная функциональность является одной из причин, по которой Python стал таким популярным языком программирования среди такого широкого круга разработчиков.
Отладчик Python pdp уже некоторое время доступен разработчикам. Однако, начиная с версии 3.7, к нему проще получить доступ с помощью функции breakpoint() . Это позволяет простым вызовом функции запустить интерактивный сеанс отладки!
Давайте еще раз рассмотрим ошибку, которую мы нашли в нашем коде сверху. На этот раз давайте использовать breakpoint() функция, а не операторы печати, чтобы вывести проблему!
определение find_min (числа: [целое число]) -> целое число: """Находит наименьшее целочисленное значение в списке""" # Создать начальное наименьшее значение наименьший = 0 # учитывать каждое число в аргументах для числа в цифрах: # сравнить с текущим наименьшим значением breakpoint() # вход в режим отладки если число < наименьшее: # присвоить наименьшее значение, если значение меньше наименьший = число # вернуть окончательное значение для наименьшего вернуть наименьшее
Здесь я добавил вызов функции breakpoint() сразу после того, как мы вошли в наш цикл, который будет рассматривать каждую переменную из нашего аргумента. Это указывает Python запустить отладчик pdp по умолчанию (подробнее о том, как управлять этим решением позже). Повторный запуск нашего кода приводит к следующему выводу:
> c:\users\user\path\to\your\project\example .py(<номер_строки>)find_min() -> для числа в цифрах: (Pdb)
Это приводит к трем строкам кода: первая — это трассировка до последнего вызывающего стекового фрейма, вторая — последняя следующая строка в нашем коде после 9Была вызвана 0776 точка останова() , а третье — приглашение, указывающее, что мы сейчас находимся в интерактивном сеансе с отладчиком pdp.
Это рассматривается как контекст командной строки, в котором разработчики могут вводить действительные команды pdp, чтобы получить представление о своем коде. Я не буду здесь подробно останавливаться на командах pdp и воспользуюсь только командой n для «перехода» на следующую строку, а также командами num и small для отображения текущих значений этих переменных. Посмотрим на результаты запуска breakpoint() в действии:
Создано с использованием RePlit
Как вы можете [надеюсь] увидеть в этой серии действий, функция breakpoint() запускает экземпляр интерактивного отладчика pdp , который запрашивает команды. Использование команды n указывает pdp выполнить следующую строку кода.
Набрав num и наименьшее , я могу просмотреть текущие значения этих переменных. Через серию н , num и наименьших команд мы видим, что значение наименьшего не меняется и что инициализация его значением 0 была логической ошибкой.
Одним из очевидных преимуществ этого подхода является то, что он позволяет нам отлаживать функцию с гораздо меньшим количеством кода — один оператор breakpoint() вместо нескольких операторов print . С помощью настройки мы можем даже обработать поведение breakpoint() , чтобы избежать необходимости удалять этот код позже (хотя удаление все еще рекомендуется).0005
Расширенное использование
Функция Python breakpoint() может использоваться без аргументов как автономный вызов, который приводит к поведению, которое мы видели до сих пор. А именно, создание собственного интерактивного отладчика Python без суеты. Точка останова не требует аргументов, но передает любые аргументы функции Python sys.breakpointhook() для интерпретации.
Это отлично подходит для стандартного поведения, но не подходит для разработчиков, предпочитающих другие отладчики. Например, может потребоваться интеграция с удаленным отладчиком, таким как PyCharm или Web-PDP. См. этот пост StackOverflow для соображений. Я не буду вдаваться здесь в такую глубину.
Чтобы продемонстрировать более простую настройку с помощью breakpoint() , мы создадим пользовательскую функцию, которая заменит вызов отладчика pdp . В этой головоломке есть три движущиеся части, о которых нужно знать, прежде чем мы начнем:
sys.breakpointhook()
pdp.set_trace()
ПИТОН ТОЧКА РАЗЛОМА
Функция breakpoint() вызывает sys.breakpointhook() и является просто оболочкой для pdp.set_trace() , который затем обращается к переменной среды PYTHONBREAKPOINT . Эта переменная определяет тип действия, которое следует предпринять в отношении выбора отладчика (или вызываемой пользовательской функции). Если PYTHONBREAKPOINT не указан, по умолчанию запускается отладчик pdp . Давайте рассмотрим это взаимодействие визуально:
Функция точки останова() Python запускает многоэтапную цепочку действий, определяющую, как обрабатывается отладочное поведение.
Чтобы проиллюстрировать базовый пример индивидуального breakpoint() поведение, я собираюсь создать пользовательскую функцию, которая просто выводит некоторую информацию на консоль. Это будет шагом назад по функциональности по сравнению с тем, что предлагал отладчик pdp , но шагом вперед по функциональности по сравнению с нашим первоначальным подходом к использованию операторов печати. Это будет хороший маленький компромисс.
импорт ОС # Настроить значение переменной env os.environ['PYTHONBREAKPOINT'] = 'examples.breakpoint.bp_handler' def bp_handler (сообщение: str) -> Нет: """Пользовательский обработчик для точки останова()""" распечатать (сообщение) def find_min(nums: [int]) -> int: """Находит наименьшее целочисленное значение в списке""" наименьший = 0 для числа в цифрах: точка останова (f'Num: {num} Наименьший: {наименьший}') если число < наименьшее: наименьший = число вернуть наименьший если __name__ == '__main__': найти_мин([9, 6, 3])
В приведенном выше коде я сказал pdp.set_trace() использовать функцию bp_handler, установив значение переменной среды PYTHONBREAKPOINT . В функции find_min я передал строковое сообщение функции breakpoint() , которое передается вызову sys. breakpointhook() , который передается вызову pdp.set_trace() , который, в конечном счете, Передается функции bp_handler() и передается на стандартный вывод. Все это завернуто в , если __name__ == '__main__': синтаксис и результаты в следующем выводе:
Число: 9 Наименьшее: 0 Число: 6 Наименьшее: 0 Число: 3 Наименьшее: 0
Это выводит сообщение с подробным описанием текущего состояния нашей программы посредством описания числовых значений и наименьших значений. Обратите внимание, что фактически любая функциональность может быть реализована таким образом. В качестве дополнительного бонуса; все, что нужно сделать, чтобы информация об отладке не появлялась на консоли, это установить значение PYTHONBREAKPOINT на «0».
Это приводит к немедленному возврату функции sys.breakpointhook() (после вызова точки останова()). Это устраняет настоятельную необходимость удалять любые операторы breakpoint() из нашего кода! Контроль и удобство — мне это нравится.
Примечание . Значение PYTHONBREAKPOINT должно быть строкой. то есть «0» (символ) , а не 0 (литерал int.)
Заключительные мысли
Функция Python breakpoint() предоставила разработчикам гораздо более надежный стандартный конвейер отладки, чем в предыдущих выпусках. Хотя в отладчике Python нет ничего нового, 9Встроенная функция 0776 breakpoint() вместе с дополнениями PYTHONBREAKPOINT и sys.breakpointhook() обеспечивают лучший контроль и удобство.
Примеры в этой статье имеют самую простую форму. Расширенное использование и интеграция со сложными рабочими процессами и конвейерами, безусловно, возможны. Лично я не очень часто использую breakpoint() и предпочитаю использовать комбинацию интерактивного отладчика PyCharm и модуля ведения журнала Python. Я обнаружил, что между двумя из них я обычно могу выявлять любые ошибки.
Краткое руководство по Gdb
Краткое руководство по Gdb
Утилита динамического отладчика gdb имеет большое количество возможностей. В этом кратком руководстве перечислены небольшие, но полезное подмножество команд gdb .
Индекс
Подготовка
Установка точек останова
Запуск отлаживаемой программы
Изучение переменных
Источник списка Код и следующий оператор
Помощь и выход из Gdb
Сводка команд
Подготовка
Скомпилируйте с параметром -g.
Пример. Скомпилируйте программу printch.cpp:
ястреб% g++ -g printch.cpp -o printch
Запустите gdb и установите количество исходных строк для списка.
Пример. Запустите gdb в программе printch и установите количество исходные строки, чтобы перечислить за один раз до 28.
ястреб% gdb -xdb -tui printch GNU gdb 4.17.1 Copyright 1998 Free Software Foundation, Inc. GDB — это бесплатное программное обеспечение, на которое распространяется Стандартная общественная лицензия GNU. (ГДБ) установить размер списка 28
Установка точек останова
Точки останова — это точки в вашем коде, в которых gdb останавливается и разрешает выполнение других команд gdb.
Установите точку останова в начале функции.
Пример. Установите точку останова в начале main .
(gdb) б основной
Установить точку останова на строке текущего файла во время отладка.
Пример. Установите точку останова в строке 35 в файле printch.cpp.
(гдб) б 35
Установите точку останова в начале функции-члена класса.
Пример. Установите точку останова в начале функции-члена стирания списка класса .
(gdb) b список:: стереть
Список точек останова.
Пример. Перечислите все точки останова, которые были установлены до сих пор в сеанс отладки.
(gdb) инфо б Num Type Disp Enb Адрес Что 1 точка останова держит y 0x0040104f в main в printch.cpp:27 2 точка останова сохраняет y 0x004010a7 в main на printch.cpp:35
Удаление точки останова.
Пример. Удалить точку останова в строке 35.
(gdb) удалить 2
Запуск отлаживаемой программы
Запустить отлаживаемую программу.
Пример 1. Программа printch, которая может принимать необязательную команду линейный аргумент. Запустите его с без аргумента командной строки .
(ГДБ) р
Пример 2. Запустите printch с аргументом командной строки А .
(гдб) р А
Выполнение одного оператора. Если оператор является вызовом функции, всего один шаг в функцию.
(гдб) с
Выполнение одного оператора. Если оператор является вызовом функции, выполнить всю функцию и вернуться к оператору сразу после вызов; то есть шаг над функцией.
(гдб) н
Выполнить от текущей точки до следующей точки останова, если есть равно единице, в противном случае выполняйте до тех пор, пока программа не завершится.
(ГДБ) с
Выполнить оставшуюся часть текущей функции; то есть шаг вышел функция.
(gdb) отделка
Проверка переменных
Печать значения переменной или выражения.
Пример 1. Вывести значение переменной count
(gdb) число p
Пример 2. Вывести значение выражения fname[i+1]
(gdb) p имя[i+1]
Список исходного кода и следующий оператор
Список строк исходного кода.
Пример. Список следующих listsize количество строк код. Обратите внимание, что значение listsize' s можно изменить с помощью установить команду .
(гдб) л
Список строк исходного кода, центрированных вокруг определенной строки.
Пример. Перечислите строки, расположенные вокруг строки 41.
(ГДБ) л 41
Показать следующий оператор, который будет выполнен.
(гдб) , где # 0 mystrcpy (copyto=0x259fc6c "*", copyfrom=0x259fddc "ABC") в printch.cpp:27 #1 0x4010c8 в main (argc=3, argv=0x25b0cb8) в printch.cpp:40
Оператор в строке 27 функции mystrcpy является следующий оператор и функция mystrcpy была вызвана main .
Справка и выход из GDB
Есть команда справки, h и команда выйти gdb это q .
Сводка команд
Команда Gdb Описание
установить размер списка n Установите количество строк, перечисленных командой list, на n [set listsize]
b функция Установить точку останова в начале функции [перерыв]
б номер строки Установите точку останова на строке номер текущего файла. [перерыв]
информация б Список всех точек останова [информация]
удалить нет Удалить номер точки останова n [удалить]
г аргументы Запустить отлаживаемую программу, возможно, с аргументами командной строки args . [бег]
с количество За один шаг следует подсчета статов (по умолчанию 1). Шаг в функции . [шаг]
п количество За один шаг следует подсчета статов (по умолчанию 1). Шаг более функций. [следующий]
отделка Выполнить оставшуюся часть текущей функции. Шаг из текущая функция. [финиш]
с Продолжить выполнение до следующей точки останова или до завершения если точки останова не обнаружены. [продолжить]
p выражение напечатать значение выражения [напечатать]
л необязательная_строка Список следующих listsize строк. Если option_line дано, перечислите строки с центром вокруг необязательная_строка . [список]
где Показать текущую строку и функцию, а также стек вызовов, которые тебя там. [где]
h option_topic help или help on option_topic [help]
q выйти из gdb [выйти]
Отладчик — руководство пользователя Calva
Calva поставляется с мощным отладчиком на основе выражений, вдохновленным отладчиком Cider и использующим ту же базовую библиотеку cider-nrepl. Надеемся, вам понравится!
Примечание
В настоящее время отладчик не поддерживает ClojureScript. Отладчик Calva использует cider-nrepl для отладки. Смотрите этот выпуск Cider для получения дополнительной информации.
Характеристики
Текущий
Функции прибора для отладки с помощью ctrl+alt+c i
Инструментировать функцию вручную с помощью #dbg (в отличие от приведенной выше команды)
Установите отдельные точки останова с помощью #break
Перейти к следующей точке останова
Переступить форму
Шаг в форму
Выход из формы
Оценка кода в контексте отладки
См. значения переменных в боковой панели отладчика
Просмотр значений переменных при наведении в редакторе
Будущие цели
См. структурированные переменные в боковой панели отладчика (в настоящее время карты и коллекции отображаются только как строки)
Вставка значений в контекст отладки
Трассировка: продолжить, распечатать выражения и их значения
Зависимости
Сам отладчик довольно сильно зависит от cider-nrepl, как и другие части Calva. Эта библиотека загружается как зависимость при использовании Calva Jack-in. Если вы не используете Calva Jack-in, вы можете добавить эти зависимости в определение проекта или профиль пользователя. Дополнительную информацию см. в руководстве по подключению Calva.
Использование отладчика
Если вы не знакомы с Clojure или отладчиками на основе выражений, этот отладчик может работать не так, как вы привыкли. Вместо того, чтобы размещать точки останова на боковых полях и затем нажимать F5, чтобы начать отладку, вместо этого вы используете теги чтения Clojure, #break и #dbg для обозначения точек останова в любом месте формы Clojure. Когда вы оцениваете вызов функции, которая была оценена с помощью этого тега чтения, отладчик запустится, когда выполнение достигнет первой точки останова. Также есть удобная команда для функций прибора. Об обоих вариантах читайте ниже.
Примечание
Отладчик не настраивается через файл launch.json и не запускается таким же образом, как вы могли привыкнуть при работе с другими языками в VS Code. Отладчик используется посредством REPL. Если вы новичок в Clojure, посетите раздел документации «Начало работы» и ознакомьтесь с оценкой кода с помощью REPL перед использованием отладчика.
Инструментирование функции
Вы можете настроить функцию верхнего уровня для отладки с помощью ctrl+alt+c i . Это размещает невидимые точки останова по всей функции, где пауза имеет смысл. Когда вы оцениваете вызов этой функции, запускается отладчик, и выполнение приостанавливается в первой точке останова. Аннотации показывают значение формы под курсором.
Вокруг определения инструментированной функции и ее ссылок помещается рамка, чтобы показать, что она инструментирована. Вы можете удалить инструментирование, оценив функцию снова в обычном режиме, например, с помощью альт+энтер .
Установка точек останова с помощью
#break
Вы можете вручную вставить точку останова в любой код, поместив #break перед формой, где вы хотите приостановить выполнение, а затем оценив форму верхнего уровня с помощью alt+enter . Когда вы оцениваете вызов этого кода, запускается отладчик VS Code, курсор перемещается вправо после формы, которой предшествует #break , и строка будет выделена, чтобы показать, что выполнение приостановлено. 9{:break/когда (= i 7)} ;; Эта точка останова будет достигнута только тогда, когда я равен 7 (прн я)))
Инструментирование формы с помощью
#dbg
Добавление #dbg перед формой, а затем оценка формы с помощью alt+enter приведет к инструментированию формы. Это имеет тот же эффект, что и использование команды инструмента.
Оценка кода в контексте паузы
Когда выполнение приостановлено в точке останова, вы можете оценить код в этом контексте. Это можно сделать в редакторе или в окне REPL, как обычно.
Просмотр значений переменных
Во время отладки вы можете просматривать значения переменных в боковой панели отладчика VS Code. Вы также можете просмотреть значения, наведя указатель мыши на переменные в редакторе. В настоящее время значения для коллекций и карт отображаются в виде строк, но мы планируем сделать их структурированными в будущем. На данный момент, если вы хотите увидеть значение большой структурированной переменной, вы можете оценить переменную в редакторе или в окне REPL.
Просмотр стека вызовов
Во время отладки вы можете просматривать стек вызовов на боковой панели стека вызовов VS Code. Щелкнув кадры стека, вы увидите соответствующую строку кода в редакторе.
Примечание
Вы можете видеть только один фрейм стека в боковой панели стека вызовов, так как изменение для добавления дополнительных фреймов было отменено из-за проблемы. Вы можете следить за изменениями в #1150.
Пошаговые команды
Вы можете использовать пользовательский интерфейс отладчика VS Code для ускорения выполнения во время отладки.
Примечание
Нажатие кнопки перезагрузки ничего не дает, так как эта функция не имеет смысла для нашего отладчика.
Продолжить — Продолжается без остановки до текущей точки останова
Переход через — переход к следующей точке останова
Step in — Шаги к вызываемой функции. Если следующая точка останова не связана с вызовом функции, она делает то же самое, что и next. Обратите внимание, что не все функции могут быть пошаговыми — только обычные функции, хранящиеся в vars, для которых cider-nrepl может найти источник. В настоящее время вы не можете использовать мультиметоды, функции протокола или функции в clojure.core (хотя мультиметоды и протоколы можно настроить вручную).
Выход — Шаги к следующей точке останова, которая находится за пределами текущего sexp
Перезапуск - Ничего не делает. Чтобы перезапустить отладку, вы можете нажать «Отключиться» или продолжить выполнение до конечного результата, а затем переоценить выражение, которое запустило отладчик.
Отключить — Отключение отладчика
Предостережения
Точки останова в цикле/повторении
Одна конструкция, в которой отладчик ограничен, равна петля / повторяется . Поскольку recur всегда должен находиться в хвостовой позиции внутри цикла или fn , а отладчик использует макросы для чередования точек останова в формах, может случиться, что recur больше не появляется в хвостовой позиции . В этом случае мы должны избегать установки точки останова. Пример такого случая:
(цикл [я 0] #ломать (когда (< i 10) (печать я) (повторяющийся (в т.ч. i))))
Здесь точка останова находится точно перед формой, которая содержит в качестве последнего выражения recur , который зациклен. Эта точка останова не имеет никакого эффекта. Это не означает, что вы не можете использовать отладчик с циклом , это просто означает, что вам нужно более тщательно настраивать операторы отладки.
Загрузка файла и «Оценка при сохранении»
При загрузке файла все точки останова, ранее установленные в функциях, будут удалены. Если у вас включен параметр «Eval On Save», ваш файл также загружается при каждом сохранении, поэтому при сохранении файла будут удалены ранее установленные точки останова.
Поиск и устранение неисправностей
Отладчик зависает при переходе через бесконечные последовательности
Это связано с тем, что отладчик пытается оценить форму, когда она перешагнута, и если для clojure. core/*print-length* установлено значение nil , как по умолчанию, оценка никогда не будет завершена. Если вы хотите отладить форму с бесконечной последовательностью, обязательно заранее установите *print-length* . Например:
(набор! *длина печати* 3) ;; Или, если быть более точным (установить! clojure.core/*print-length* 3)
Calva не устанавливает это за вас в режиме отладки, вместо этого предоставляя вам право выбора значения.
Моя точка останова не срабатывает
Вероятно, ваша точка останова находится в месте, которое cider-nrepl не считает подходящим местом для прерывания выполнения. Например, если вы поместите точку останова перед литеральным числом, она не сработает, потому что нет необходимости показывать значение литерала.
(определение простое [x] (+ 1 #брейк 1)) ;; Эта точка останова не будет достигнута
Другая возможная проблема заключается в том, что вы снова загружаете файл после установки точек останова, что сбрасывает их. См. «Загрузка файла» и «Оценка при сохранении» в разделе «Предостережения».
Моя точка останова в тесте не достигается
Если вы используете тестовые команды, такие как «Выполнить текущий тест», для запуска тестов, точки останова не будут срабатывать. Это связано с тем, что Calva загружает файл перед запуском тестов, чтобы убедиться, что выполняется последняя версия тестового кода, а когда файл загружается, точки останова не устанавливаются.
Если вы хотите, чтобы точка останова работала в тесте, оцените форму теста с тегом точки останова в ней, а затем вызовите тест напрямую.
"Нет функции считывания тега" ошибка
Если вы получаете подобную ошибку, скорее всего, вы подключились к REPL, а не подключились, и в REPL не загружены нужные зависимости. Вы можете запустить команду «Копировать команду входа в буфер обмена», чтобы увидеть, какая команда будет запущена, если вы подключитесь.
Самое главное, убедитесь, что у вас есть cider/cider-nrepl в качестве зависимости и cider. nrepl/cider-middleware в качестве промежуточного программного обеспечения, загруженного в ваш REPL. Например, это команда подключения для проекта deps.edn:
.
clojure -Sdeps '{:deps {nrepl/nrepl {:mvn/version,"0.8.3"},cider/cider-nrepl {:mvn/version,"0.25.8"}}}' -m nrepl.cmdline --middleware "[cider.nrepl/cider-middleware]"
Передача параметров в REPL JVM
Бывают случаи, когда инструментов отладки Clojure недостаточно или они не подходят для работы. Обычно это верно, когда вы используете библиотеку Java (с открытым исходным кодом) и хотите установить некоторые точки останова в коде Java. В этих и других случаях вам необходимо запустить JVM в режиме отладки.
Типичные варианты использования:
Изменить конфигурацию регистратора Java для REPL через системные свойства Java: например, -Dorg.slf4j.simpleLogger.defaultLogLevel=TRACE
Включить отладчик JVM, изменить размер памяти виртуальной машины и т. д.
Calva поддерживает передачу переменных среды через jackInEnv . Вы можете установить этот параметр в файле VSCode settings.json .
Вы можете настроить глобальный файл settings.json или общепроектную версию внутри <корень-проект>/.vscode/settings.json .
Настройка глобальной опции повлияет на все проекты, над которыми вы работаете с помощью Calva, так что имейте в виду. См. документацию для settings.json для получения дополнительной информации.
В приведенном ниже фрагменте настраивается переменная среды JAVA_TOOL_OPTIONS . Мы настраиваем уровень ведения журнала slf4j-simple с помощью системного свойства Java ( -D ) и специальных параметров JVM ( -X ).
ПРИМЕЧАНИЕ. Конечно, здесь можно передать и другие переменные env.
.vscode/settings.json
{ "calva.jackInEnv": { "JAVA_TOOL_OPTIONS": "${env:JAVA_TOOL_OPTIONS} -Dorg.

Второй замечательный предел примеры решения: Второй замечательный предел — примеры решений
alexxlab / 15.09.197029.07.2021 / Разное

Второй замечательный предел — примеры решений

Применяемые формулы, свойства и теоремы

Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется второй замечательный предел и его следствия.
Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.

Здесь мы будем иметь дело со степенно-показательной функцией, у которой основание и показатель являются функциями от некоторой переменной: . Ее удобно представить как экспоненту: . В этой связи полезна следующая лемма.

Лемма о пределе степенно-показательной функции
Пусть – функции переменной x, имеющие конечные пределы:
. Здесь .
Тогда
.
Доказательство ⇓

В случае бесконечных пределов, или когда , мы проводим исследование произведения , применяя свойства пределов бесконечно больших и малых функций.

В случае и , мы имеем неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия используется второй замечательный предел.

Раскрытие неопределенности 1 в степени бесконечность

Пусть u и v есть функции от переменной x: . И пусть при . Тогда выражение является неопределенным при . Для раскрытия этой неопределенности, мы вводим переменную t из соотношения
.
Тогда . При .
;
.

Таким образом задача сводится к вычислению предела .

Доказательство леммы о пределе степенно-показательной функции

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения с объяснениями следующих пределов:
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

При , . Это неопределенность вида один в степени бесконечность.

Выполняем преобразования.
;
.

Сделаем замену переменной . При . Применим второй замечательный предел:
.

Находим предел дроби, разделив числитель и знаменатель на x:
.

Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑
.

Ответ

.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найдите предел:
.

Решение

При , . при . Это неопределенность вида один в степени бесконечность. Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела.

Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.

Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.

Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

.

Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.

Ответ

.

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.

Решение

При . Элементы последовательности равны единице. Поэтому . Рассмотрим случай .

При . Это неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия применим второй замечательный предел.

Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.

Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.

Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

.

Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Эта формула справедлива и при .

Ответ

.

Пример 4

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

Пусть . Рассмотрим функцию в проколотой окрестности точки , на которой . Для определения предела, функция должна быть определена на любой проколотой окрестности этой точки. Считаем, что . Тогда . При . Поэтому .
Теперь рассмотрим предел при .

При . У нас неопределенность вида 0/0.

Для ее раскрытия приведем степенно-показательную функцию к основанию e учитывая, что :
.
Согласно следствию второго замечательного предела:
.
В последнем множителе сделаем замену переменной:
.
При . Кроме этого, при . Тогда
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Это же значение является правильным и при .

Ответ

.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найдите предел функции:
.

Решение с помощью второго замечательного предела и его следствий

При . Это неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим следствия второго замечательного предела.

Преобразуем числитель дроби:

.
Преобразуем знаменатель:
.

Разделим числитель и знаменатель на x:
.
Чтобы не загромождать формулы, мы ввели обозначение .

Применяя первый замечательный предел и следствия второго, имеем:
; ; ; ; .
Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Решение с помощью эквивалентных функций

Мы можем упростить решение, если применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного. Считаем, что предел существует. Тогда мы можем заменить знаменатель эквивалентной функцией при . Из таблицы эквивалентных функций находим:
.

Получаем более простой предел:
.
Далее делаем преобразования аналогично предыдущему:
.
Поскольку при , то применяем следствие второго замечательного предела:
;
.
В дробях и заменим функции в числителе эквивалентными:
;
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 05-04-2019 Изменено: 05-09-2019
Второй замечательный предел, следствия, примеры
Второй замечательный (особый) предел часто вызывает трудности у студентов, хотя сам предел довольно прост и понятен на практике. Он позволяет раскрывать неопределенности вида единица в степени бесконечность . Замечательный предел имеет следующий вид

где «е»-экспонента.
Следствия второго замечательного предела
1)

2)
3)
4)
5)
6)
На практике следствия второго предела реже встречаются на практике чем он сам, однако без них некоторые задачи в простой способ не решить.
Примеры на замечательный предел
Рассмотрим некоторые примеры из сборника А.В. Тевяшев, А.Г. Литвин, Г.М. Кривошеева и др.»Высшая математика в примерах и задачах. Ч.5 Тесты» (Харьков, 2007, ст. 99).
Пример 6.1. Найти предел функции
а)
Решение.
Преобразуем функцию к виду при котором возможно применить формулу замечательного предела
В результате можем применить правило замечательного предела

б)
Решение.
Подобно предыдущему примеру превращаем функцию в скобках чтобы применить замечательный предел
Нужно отметить, что в этом примере и во многих подобных константы в степенях, как правило вклада не несут. Функцию можно расписать следующим образом
Предел умышленно расписан в виде произведения двух множителей чтобы Вы убедились что константы в степенях вклада не несут. Их цель запутать Вас, если плохо знаете теоретический материал или сомневаетесь в правильности решения. Во всех последующих примерах мы не будем расписывать примеры на произведение двух границ, однако помните, что они не меняют конечного результата (вклад — множитель единица).
————————————
в)
Решение.
Выполняем преобразование заданной функции
Запись в таком виде сделана специально, потому что степень нужно свести к подобному виду
В такой простой способ получили искомый предел функции. В дальнейшем необходимые замены или подсказки будут выделены цветом из общего решения.

г)
Решение.
Выполним замену переменных в пределе

и определенные преобразования для нахождения предела

Бывают случаи, когда прямо применить правило второго замечательного предела довольно сложно, в таких ситуациях используйте простые замены которые Вам понятны и позволяют в быстрый способ найти предел.

Пример 6. 2 Вычислить предел функции
а)
Решение.
Сводим функцию к правилу замечательного предела
Подставляем и вычисляем, выполняя нужные манипуляции с показателями

в)
Решение.
За известным уже алгоритмом преобразуем функцию
Применяя определение второго важного предела находим

Пример 6. 3 Определить предел функции
б)
Решение.
Сведем функцию для применения замечательного предела
Подставляем в границу и упрощаем

г)
Решение.
«Как найти предел ? — скажете Вы, ведь переменная равна минус бесконечности.
В этом примере видим что аргумент стремится к минус бесконечности, кроме того функция в скобках следует не до единицы, а до 2 при больших аргументах.
Учитывая что степень отрицательный получим следующее значение предела
Во всех примерах второго замечательного предела следует сначала проверять условие что выражение в скобках стремится к единице. Если нет, то предел функции в зависимости от степени будет равен или нулю или бесконечности. Те из Вас кто часто решает примеры такие проверки осуществляет автоматически. Остальные сводят границу в экспоненте в определенном степени, но все равно вылезает множителем или ноль или бесконечность. В конечном варианте правы все, однако в первом случае тратится гораздо меньше времени, которое так необходима на контрольных работах, тестах, ВНО. Поэтому выбирайте для себя простой путь и делайте в обучении правильные выводы.

Пример 6. 5 Найти предел функции
а)
Решение.
Заданный пример на вид отличается от предыдущих, однако решение получаем по такой же схеме. Выполняем преобразования функции в скобках под правило замечательного предела
Осталось в степени выделить обратный множитель

и подставить в границу
По такой схеме вычисляйте все подобные пределы, она проста и не требует дополнительных пояснений.
————————————
в)
Решение.
К рассматриваемому примеру великих преобразований делать не нужно. Он имеет достаточно простую запись и решение осуществляем в одну строку
Практикуйте с подобными пределами, используйте удобные для себя схемы сведения задач под необходимое правило. Не бойтесь делать ошибки — без них обучение не обходится!
5.07.5 Второй замечательный предел и его следствия

Предел последовательности обозначается буквой :

. (4)

Число является иррациональным и приблизительно равно . Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают .

Формула (4) выполняется и для функций

. (5)

Предел (5) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:

1) должна быть неопределенность вида ,

2) Бесконечно малая, или короче: ,

3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.

Так, среди пределов , , , только второй и третий равны .

Пример 1.

.

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6.

.

Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда

.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы:

, в частности .

, если , то .

.

С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.

Пример7.

. (Здесь ).

Пример 8. .

Пример 9.

.

Пример 10.

.

Пример 11. .

Пример 12.

.

Для самостоятельного решения.

Найти пределы:

1. ; Ответ: 2.

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: 0.

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: 2.

6. ; Ответ: .

7. ; Ответ: 3.

8. ; Ответ: .

< Предыдущая Следующая >
2 ой замечательный предел

Вы искали 2 ой замечательный предел? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x в степени x предел, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 ой замечательный предел».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 ой замечательный предел,x в степени x предел,второй замечательный предел и его следствия,второй замечательный предел калькулятор,второй замечательный предел калькулятор онлайн,второй замечательный предел онлайн,второй замечательный предел следствия,как решать пределы примеры со степенями,как решать пределы со степенями примеры,калькулятор второй замечательный предел,онлайн второй замечательный предел,онлайн решение второго замечательного предела,определение второй замечательный предел,пределы замечательные таблица,пределы примеры решения со степенями,пределы со степенью,пределы со степенями примеры решения,пределы степени,примеры решения пределов со степенями,решение онлайн второго замечательного предела,следствия второго замечательного предела,следствия второй замечательный предел,следствия из второго замечательного предела,степени пределы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 ой замечательный предел. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, второй замечательный предел и его следствия).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 ой замечательный предел Онлайн?

Решить задачу 2 ой замечательный предел вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Второй замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения
Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то

Исходный предел после замены примет вид:

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:

Тогда предел запишется в виде:

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то

Исходный предел после замены примет вид:

В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел:

Сейчас домножим показатель на и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени:

Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях (см. непосредственное вычисление пределов):

Если произвести замену , то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно,

Ответ:

39.
.
Пусть и – бесконечно малые функции при . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при а функция имеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с при x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} = e, получаем \ln L = \ln e = 1. Следовательно, L = e.

Замечательные пределы — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Замечательные ограничения — термин, используемый в отечественных математических учебниках для обозначения определенных пределов известным решением, используемым для упрощения решения более сложных ограничений.
Первый замечательный предел:
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 $
Последствия:
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin k x}{n x}=\frac{k}{n} $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1 $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}=1 $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1 $
Узнайте больше о первом замечательном лимите в отдельной теме.
Примеры решений с первым замечательным пределом.
ПРИМЕР
Задача
Найти предел
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x} $
Решение
Сначала выясните тип неопределенности (если таковой имеется). Для этого подставим предельное значение 0 в выражение под знаком предела:
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}\left[\frac{\sin (2 \cdot 0)}{5 \cdot 0}=\frac{0}{0}\right] $
Таким образом, мы имеем неопределенность формы $\ \left[\frac{0}{0}\right] $ . Выражение под знаком предела выглядит как первый замечательный предел, но аргумент синуса и знаменатель немного отличаются. Поэтому мы доводим долю до указанного замечательного предела. Для этого, поскольку аргумент sine равен 2x, тогда в знаменателе мы выбираем тот же самый коэффициент:
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 \cdot \frac{2 x}{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\frac{5}{2} \cdot 2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin 2 x}{5 \cdot 2 x} $
Свойства пределов константы можно вывести из знака предела, а затем
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}=\frac{2}{5 x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{2 x}=\frac{2}{5} \cdot 1=\frac{2}{5} $
Ответ
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}=\frac{2}{5} $
Второй прекрасный предел
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e $
здесь $\ e \approx 1,2718281828 $ есть постоянная Эйлера
Последствия:
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k} $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1 $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a $
$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x}=m $
Узнайте больше о втором замечательном лимите в отдельной теме.{4}} \)
2.10. Предел тригонометрических функций.

Первый замечательный предел

Первая из все, давайте рассмотрим принцип под названием squeeze принцип .

принцип сжатия:

Если и

тогда

Теорема 1: Пусть обозначают синус угла радианы.Затем

Иногда этот предел также называют «первым замечательным пределом».

Теорема 2: Пусть обозначают косинус угла радианы.

Тогда

Как или , значения sin x и cos x колеблются многократно от –1 до 1, не приближаясь к фиксированному действительному значению стоимость. Таким образом, пределы , , , не существует. Мы скажем, что они не существуют из-за колебание.

Пример: Найти

Решение: Пусть , как x  0, . Таким образом,

знак равно знак равно знак равно .

Итак, .

В в частности, если a = 2, потом .

Пример: Найти

Решение: знак равно знак равно .

Пример: Найти

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x

знак равно знак равно .

Пример: Найти

Решение: знак равно знак равно =

= = 11 = 1.

Пример: Найти

Решение: знак равно знак равно знак равно .

Пример: Найти

Решение: Как x 0 тогда числитель и знаменатель приближаются к нулю. Умножим числитель и знаменатель должны быть преобразованы в знаменатель:

знак равно =

= = 1 (3 + 3) = 6.

Пример: Найти

Решение: Обратите внимание, что как x 2, у нас будет .

Пусть . Получаем

знак равно знак равно =

= знак равно =

= знак равно .

Упражнения

В упражнения 1-18 находят пределы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19. Найдите ненулевое значение постоянной k и что

буду быть непрерывным при x = 0.

ответы

1. 3; 2. 0; 3. 7/3; 4. 1; 5. 2; 6. –25/49; 7. 3; 8. 1; 9. a / b ; 10. 1/8;

11. 1/3; 12. 4; 13. –1/2; 14. 3; 15. 1/36; 16. 3/2; 17. –1; 18.  /4;

19. 1/2.

2.11. Число e. Второй замечательный предел

Номер e это предел

(1) или

(2)

Лимиты (1) и (2) эквивалентны и называются вторыми замечательными пределами.

Оценить Возможны следующие случаи.

а) Если и тогда C = A ^B

б) Если и затем мы применяем

или

в) Если и тогда мы предполагаем , куда как x  а и

знак равно знак равно .

Пример: Найти

Решение: В виде , выражение и мы получаем неопределенную форму . Разрешите представить по .

Если потом . Таким образом,

знак равно =

Использование (2) получаем

знак равно =

(3) знак равно ;

В в частности, если k = 3, потом =

Пример: Найти

Решение: С

Использование (2) получаем

знак равно знак равно = 1.

Пример: Найти

Решение:

Пусть разделим числитель и знаменатель на x , а затем используйте (3)

знак равно знак равно .

Пример: Найти

Решение:

=

Пусть . Затем .

Как , потом .

Получаем

знак равно =

= знак равно .

Пример: Найти

Решение: =

Пусть .Тогда

знак равно =

= знак равно .

Упражнения

В упражнения 1-12 находят пределы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

ответы

1. ; 2. ; 3. 4; 4. 1; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. 2; 11. 4/5; 12. .

56

Фундаментальные теоремы о пределах

Теорема I. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:

.

Теорема II. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема III. Предел отношения двух функций равен частному от пределов числителя и знаменателя:

.

Вычисления пределов. Примеры.

I. Пределы x .

(1)

Пределы в числителе и знаменателе равны нулю.

Чтобы найти предел дробно-линейной функции, мы должны разделить числитель и знаменатель на до максимальной степени между степенями x в числителе и знаменателе.

(2)

, потому что ⁴ — максимальная степень x в числителе и знаменателе.

(3) (разделить на ²).

Простой метод определения пределов дробно-линейных функций как  состоит в том, чтобы оставить член, содержащий максимальную степень , в числителе и знаменателе:

4),

5),

6).

Найдем пределы (1), (2), (3) простым методом:

,

,

.

Удаление членов, содержащих меньшие степени x из числителя и знаменателя, возможно только потому, что после деления на до максимальной степени пределы всех таких членов исчезают.

II. Пределы как  .Ищем предел, сначала подставляем в функцию. Если мы получили число, то это число является пределом функции. Если мы получим одну из неопределенностей, 1 ^, и, то мы должны устранить ее, преобразовав функцию, а затем перейти к пределу.

(1),

(2),

(3),

Первый замечательный предел и его обобщение

Существует следующий предел, равный 1:
.

.

Пример:

(1),

2).

Первый обобщенный замечательный предел. Первый замечательный предел можно обобщить, а именно записать в более общем виде

(4)

В этой формуле  () бесконечно малая величина; очень важно, чтобы аргументы синуса и знаменателя были абсолютно идентичны.

Примеры.

(1),

(2).

Второй замечательный предел

Считайте предел

. (5)

Число удовлетворяет неравенствам 2 — это сокращение от экспонент, т.е. внешнее; иногда его обозначают как e = exp и приблизительно равно e2,71828 . y = e ^x ^{— экспоненциальная функция.}

Примеры. Найдите следующие пределы, используя второй замечательный предел:

.

Второй обобщенный замечательный предел

Второй замечательный предел (*) и его модификация (**) могут быть обобщены, т.е. записаны в более общем виде

и

.(6)

В этих формулах  () — бесконечно малая величина, а N (x) — бесконечность. Очень важно, что в этих формулах N (x) и  () абсолютно идентичны в знаменателях и показателях степени.

Например ,

Другие примечательные ограничения

Рассмотрим следующие ограничения функций, часто встречающихся в приложениях:

, (7)

для a = e ,.(8)

. (9)

Дата: 02.01.2015; вид: 2365

§ 3.6. Первый замечательный предел и его обобщение

В следующий предел существует и равен 1:

.

Доказательство. Take круг с центром в начале произвольного радиуса R . Очевидно,

у

М В

А х

.

Позволять находим области:

,

,

. Подставляя их в неравенства и сокращая на , получаем

.

Позволять мы разделяем это неравенство грехом x> 0 :

.

Замена соотношения в неравенствах на обратные и обратное знаков, получаем

, или ,

откуда

.

По Теорема IV, (3), требуемый предел существует:

.

Пример:

(1) ,

2) .

3.6.1 первый обобщенный замечательный предел. первый замечательный предел можно обобщить, а именно записать в более общая форма

(4)

В эта формула,  ( х ) бесконечно малая величина; очень важно, чтобы г. аргумент синуса и знаменатель должно быть абсолютно идентичный.

Примеры.

(1) ,

(2) .

§ 3.7. Второй замечательный предел

Рассматривать лимит

. (5)

Теорема. предел (5) существует и равно числу е от 2 до 3.

Схема доказательства. Рассмотрим ценность для конкретного n . Разложив его по биномиальной теореме, мы видим, что это значение увеличивается на n .

После анализируя каждый член разложения и используя геометрическую серии, мы показываем, что это количество никогда не превышает 3 , т. е. б) последовательность ограничена. Теорема V об ограниченном возрастании функции влечет существование предела (5). Смотрите популярные учебники Больше подробностей.

Рассматривать предел функции

, (*)

куда х это реальное число.

Найти большое число n для что n мы преобразовать выражение и прибавить 1:

, .

Мы возвести больший член в большую степень, средний член в средний мощность, а меньший член в меньшую мощность:

.

Позволять найдем пределы каждого члена в неравенствах on, используя (5):

,

.

Таким образом, неравенства принимают вид , что не может быть правдой. Отсюда следует, что выполняются неравенства, и (*).

Сейчас же, докажем, что

. (**)

Мы используйте замену

, , ,

Это дает предел (*), который был найден выше.

В также имеет место соотношение:

,

это доказывается заменой х = — (t + 1 ).

В число е удовлетворяет неравенства 2 это сокращение для экспонент, т.е. «Внешний»; иногда обозначается как е = ехр и примерно равно e  2,71828 .

y = e ^x является экспоненциальная функция .

В формула

,

для изменение основания логарифма означает формулу для натуральный логарифм:

.

Примеры. Найдите следующие пределы, используя второй замечательный предел:

(1) ,

(2)

(мы разделить 1 скобку)

.

§ 3.8. Второй обобщенный замечательный предел

В второй замечательный предел (*) и его модификация (**) могут быть обобщенный, т.е.е., записанные в более общих формах

и

. (6)

В эти формулы,  ( х ) это бесконечно малое и N (x) это бесконечность. Очень важно, что в этих формулах N (x) и  ( х ) соток абсолютно идентичный в знаменателях и экспоненты .

Для например ,

(1) ,

(2) .

(3)

Таблица решений | Выборка проекта

Умные термостаты Электричество / Постройки 6,99 7,40

Системы автоматизации зданий Электричество / Постройки 6.47 10,48

Светодиодное освещение Электричество 16.07 17,53

Изоляция Электричество / Постройки 16.97 19.01

Динамическое стекло Электричество / Постройки 0,29 0,47

Высококачественное стекло Электричество / Постройки 10.04 12,63

Зеленые и прохладные крыши Электричество / Постройки 0,60 1,10

Централизованное теплоснабжение Электричество / Постройки 6.28 9,85

Высокоэффективные тепловые насосы Электричество / Постройки 4,16 9,29

Солнечная горячая вода Электричество / Постройки 3.59 14,29

Светильники с низким расходом Электричество / Постройки 0,91 1,56

Эффективность распределения воды Электричество 0.66 0,94

Реконструкция здания Электричество / Постройки

Net-Zero Buildings Электричество / Постройки

Концентрированная солнечная энергия Электричество 18.60 23,96

Распределенная солнечная фотоэлектрическая энергия Электричество 27,98 68,64

Солнечная фотогальваника промышленного масштаба Электричество 42.32 119,13

Микро-ветряные турбины Электричество 0,09 0,13

Береговые ветряные турбины Электричество 47.21 147,72

Морские ветряные турбины Электричество 10,44 11,42

Геотермальная энергия Электричество 6.19 9,85

Малая гидроэнергетика Электричество 1,69 3,28

Ocean Power Электричество 1.38 1,38

Энергия биомассы Электричество 2,52 3,57

Атомная энергетика Электричество 2.65 3,23

Энергия из отходов Электричество / промышленность 2,04 3,00

Улавливатель метана на полигоне Электричество / промышленность 2.18 -1,60

Установки для метана Электричество / промышленность 9,83 6,18

Гибкость сети Электричество

Микросетки Электричество

Распределенное хранилище энергии Электричество

Накопитель энергии для коммунальных предприятий Электричество

Богатые растениями диеты Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 65.01 91,72

Уменьшение пищевых отходов Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 87,45 94,56

Защита леса Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 5.52 8,75

Право владения коренными народами в лесах Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 8,69 12,93

Защита пастбищ Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 3.35 4,25

Защита и заболачивание торфяников Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 26.03 41,93

Охрана прибрежных водно-болотных угодий Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / прибрежные и океанические раковины 0.99 1,45

Устойчивая интенсификация для мелких землевладельцев Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 1,36 0,68

Ресурсосберегающее земледелие Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 13.40 9,43

Регенеративное ежегодное земледелие Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 14,52 22,27

Управление питательными веществами Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование 2.34 12.06

Эффективность орошения фермы Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование 1,13 2,07

Улучшенное производство риса Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 9.44 13,82

Система интенсификации риса Продовольствие, сельское хозяйство и землепользование / земельные раковины 2,78 4,26

Альтернативный цемент Промышленность 7.98 16,10

Биопластик Промышленность 0,96 3,80

Компостирование Промышленность 2.14 3,13

Переработка Промышленность 5,50 6,02

Переработанная бумага Промышленность 1.10 1,95

Управление хладагентом Промышленность / Строительство 57,75 57,75

Альтернативные хладагенты Промышленность / Строительство 43.53 50,53

Прогулочные города Транспорт 1,44 5,45

Велосипедная инфраструктура Транспорт 2.56 6,65

Электровелосипеды Транспорт 1,31 4,07

Совместное использование автомобилей Транспорт 7.70 4,17

Общественный транспорт Транспорт 7,51 23,36

Скоростной рельс Транспорт 1.30 3,77

Дистанционное присутствие Транспорт 1,05 3,80

Гибридные автомобили Транспорт 7.89 4,63

Эффективные грузовики Транспорт 4,61 9,71

Электропоезда Транспорт 0.10 0,65

Электромобили Транспорт 11,87 15,68

Эффективное морское судоходство Транспорт 4.40 6,30

Эффективная авиация Транспорт 6,27 9,18

Биогаз для приготовления пищи Здания 4.65 9,70

Улучшенные чистые кухонные плиты Здания 31,34 72,65

Восстановление умеренного леса Наземные раковины 19.42 27,85

Восстановление тропических лесов Наземные раковины 54,45 85,14

Управляемый выпас Наземные раковины 16.42 26.01

Сильвопастбище Наземные раковины 26,58 42,31

Multistrata Agroforestry Наземные раковины 11.30 20,40

Обрезка деревьев Наземные раковины 15,03 24,40

Многолетние основные культуры Наземные раковины 15.45 31,26

Производство многолетней биомассы Наземные раковины 4,00 7,04

Восстановление заброшенных сельскохозяйственных угодий Наземные раковины 12.48 20,32

Деревянные плантации (на деградированных землях) Наземные раковины 22,24 35,94

Производство бамбука Наземные раковины 8.27 21,31

Восстановление прибрежных водно-болотных угодий Прибрежные и океанические раковины 0,77 1.01

Biochar Производство Раковины инженерные 2.22 4,39

Здравоохранение и образование Здравоохранение и образование 85,42 85,42

Смешанное целочисленное программирование (MIP) — Учебник по основам

Обратите внимание: вы также можете увидеть список примеров кода для разных языков программирования на нашей странице примеров кода.

Основы программирования смешанных целых чисел

Решатель параллельного смешанного целочисленного программирования Gurobi обычно решает следующие задачи:

Цель: свернуть c ^T x

Ограничения: A x = b (линейные ограничения)

l ≤ x ≤ u (связанные ограничения)

некоторые или все xj должны принимать целочисленные значения (ограничения целостности)

Ограничения интегральности позволяют моделям MIP отражать дискретный характер некоторых решений.Например, переменная, значения которой ограничены 0 или 1, называемая двоичной переменной, может использоваться для принятия решения о том, предпринимаются ли какие-либо действия, такие как строительство склада или покупка новой машины.

Решатель Gurobi MIP также может решать модели с квадратичной целью и / или квадратичными ограничениями:

Цель: минимизировать x ^T Q x + q ^T x

Ограничения: A x = b (линейные ограничения)

l ≤ x ≤ u (связанные ограничения)

x ^T Q _i x + q _i ^T x ≤ b _i (квадратичные ограничения)

некоторые или все x должны принимать целочисленные значения (ограничения целостности)

Модели
MIP с квадратичной целью, но без квадратичных ограничений, называются задачами смешанного целочисленного квадратичного программирования (MIQP).Модели MIP с квадратичными ограничениями называются задачами смешанного целочисленного программирования с квадратичными ограничениями (MIQCP). Модели без каких-либо квадратичных функций часто называют проблемами смешанного целочисленного линейного программирования (MILP).

Далее следует описание алгоритма, используемого Гуроби для решения моделей MILP. Расширение MIQP и MIQCP в основном простое, но мы не будем их здесь описывать.

Разветвленный

Задачи смешанного целочисленного линейного программирования обычно решаются с использованием алгоритма ветвей и границ, основанного на линейном программировании.

Обзор

Базовое ветвление и граница на основе LP можно описать следующим образом. Начнем с оригинального МИП. Не зная, как решить эту задачу напрямую, мы снимаем все ограничения целостности. Результирующий LP называется релаксацией линейного программирования исходного MIP. Затем мы можем решить эту LP. Если результат удовлетворяет всем ограничениям целостности, даже если они не были явно наложены, то нам очень повезло. Это решение является оптимальным решением исходной MIP, и мы можем остановиться.Если нет, как это обычно бывает, то обычная процедура состоит в том, чтобы выбрать некоторую переменную, которая ограничена целым числом, но значение которой в релаксации LP является дробным. Для аргументации предположим, что эта переменная равна x, а ее значение в релаксации LP равно 5,7. Затем мы можем исключить это значение, в свою очередь, наложив ограничения x ≤ 5.0 и x ≥ 6.0.

Если исходный MIP обозначен как P ₀, то мы могли бы обозначить эти два новых MIP как P ₁, где x ≤ 5,0, и P ₂, где x ≥ 6.0 накладывается. Переменная x затем называется переменной ветвления , и говорят, что разветвляется на по x, создавая два суб-MIP P ₁ и P ₂. Должно быть ясно, что если мы сможем вычислить оптимальные решения для каждого из P ₁ и P ₂, то мы сможем выбрать лучшее из этих двух решений, и оно будет оптимальным для исходной задачи, P ₀. Таким образом, мы заменили P ₀ двумя более простыми (или, по крайней мере, более ограниченными) MIP.Теперь применим ту же идею к этим двум MIP, решая соответствующие релаксации LP и, при необходимости, выбирая переменные ветвления. При этом мы генерируем так называемое дерево поиска . MIP, сгенерированные процедурой поиска, называются узлами дерева, при этом P ₀ обозначается как корневой узел . Листья дерева — это все узлы, от которых мы еще не ответили. В общем, если мы достигнем точки, в которой мы можем решить или иным образом избавиться от всех листовых узлов, то мы решим исходную MIP.

Fathomed и действующие узлы

Чтобы завершить наше описание (основанного на LP) ветвления и границы, нам необходимо описать дополнительную логику, которая применяется при обработке узлов дерева поиска. Предположим, что наша цель — минимизировать цель, и предположим, что мы только что решили LP-релаксацию некоторого узла в дереве поиска. Если случается, что все ограничения целостности в исходной MIP удовлетворяются в решении на этом узле, то мы знаем, что нашли допустимое решение для исходной MIP.Затем мы делаем два важных шага. Сначала мы обозначаем этот узел как , представленный . Нет необходимости в ветвлении на этом узле; это постоянный лист дерева поиска. Во-вторых, мы анализируем информацию, предоставленную только что найденным возможным решением, следующим образом. Обозначим лучшее целочисленное решение, найденное в любой момент поиска, как действующее . На момент начала поиска у нас нет действующего оператора. Если целочисленное допустимое решение, которое мы только что нашли, имеет лучшее значение целевой функции, чем текущий действующий оператор (или если у нас нет действующего оператора), мы записываем это решение как новое действующее лицо вместе со значением его целевой функции.В противном случае обновление не требуется, и мы просто продолжаем поиск.

Есть две другие возможности, которые могут привести к обнаружению узла. Во-первых, может случиться так, что ветвь, которая вела к текущему узлу, добавила ограничение, которое сделало релаксацию LP невозможной. Очевидно, что если этот узел не содержит допустимого решения релаксации ЛП, то он не содержит целочисленного допустимого решения. Вторая возможность состоит в том, что оптимальное решение для релаксации найдено, но его объективная ценность больше, чем у нынешнего лидера.Ясно, что этот узел не может дать лучшего интегрального решения и снова может быть найден.

Лучшая граница и разрыв

Есть два дополнительных важных значения, которые нам нужно ввести, чтобы завершить наше описание ветвления и границы. Сначала обратите внимание на то, что, когда у нас есть действующий оператор, целевое значение для него, если исходная MIP является проблемой минимизации, является допустимой верхней границей оптимального решения данной MIP. То есть мы знаем, что нам никогда не придется принимать целочисленное решение со значением выше, чем это значение.Несколько менее очевидно то, что в любое время во время поиска по ветвям и границам у нас также есть действительная нижняя граница, иногда называемая наилучшей границей . Эта граница получается путем взятия минимума из оптимальных целевых значений всех текущих конечных узлов. Наконец, разница между текущими верхней и нижней границами известна как разрыв . Когда разрыв равен нулю, мы продемонстрировали оптимальность.

Presolve, плоскости резки, эвристика, параллелизм

В области смешанного целочисленного программирования за последние годы возможности алгоритмов MIP значительно улучшились.Четыре из самых крупных участников — это preolve , разделение плоскостей , эвристика и параллелизм . Теперь мы дадим общий обзор этих четырех компонентов.

Presolve

Presolve относится к набору сокращений проблем, которые обычно применяются до начала процедуры перехода и границы. Эти сокращения призваны уменьшить размер проблемы и ужесточить ее формулировку.

Вот простой пример преобразования, уменьшающего размер.Предположим, что данная задача содержит следующие ограничения:

x ₁ + x ₂ + x ₃ ≥ 15
x ₁ ≤ 7
x ₂ ≤ 3
x ₃ ≤ 5

Очевидно, что единственный способ удовлетворить все эти ограничения — это если x ₁ = 7, x ₂ = 3 и x ₃ = 5. В этом случае мы можем заменить эти переменные, полностью исключив их из формулировки вместе с указанными выше четырьмя ограничениями.Список таких возможных сокращений, из которых это только одно, довольно обширен и может иметь огромное влияние на общий размер проблемы.

Вышеупомянутая редукция — это то, что мы назвали бы LP-предварительной редукцией, поскольку ее достоверность не зависит от ограничений целочисленности. Пример сокращения, специфичного для MIP, следующий. Предположим, что x1 и x2 — неотрицательные целочисленные переменные и что наша формулировка включает ограничение следующего вида:

2 x ₁ + 2 x ₂ ≤ 1.

Разделив обе стороны этого ограничения на 2, получим:

x ₁ + x ₂ ≤ ½.

Поскольку x ₁ и x ₂ должны быть целыми, из этого неравенства явно следует, что x ₁ + x ₂ ≤ 0, и поэтому в силу неотрицательности x ₁ = x ₂ = 0. Следовательно, обе эти переменные и это ограничение могут быть удалены из формулировки. Отметим также, что это сокращение отличается по характеру от первого в том смысле, что мы фактически сократили набор допустимых решений для LP-релаксации, хотя набор целочисленных допустимых решений остался прежним.Такой вид ужесточения может иметь решающее значение для решения целочисленной программы и является одной из причин того, что предварительное решение MIP является важным инструментом в решении для MIP, в гораздо большей степени, чем предварительное решение LP при решении линейных программ.

Рубанки

Давайте теперь рассмотрим идею рубящих самолетов. Прежде всего следует сказать, что теория режущих плоскостей глубока и обширна. Также общепринято считать, что это единственный наиболее важный вклад в вычислительные успехи, которые были сделаны в целочисленном программировании за последние несколько лет.Идея секущих плоскостей состоит в том, что они ужесточают формулировку, удаляя нежелательные фракционные решения, как в случае предварительного решения MIP, но делают это во время процесса решения и без нежелательного побочного эффекта в виде создания дополнительных подзадач (в отличие от разветвления). ).

Вот один простой пример режущей плоскости. Предположим, что наша формулировка включает следующее ограничение:

6 x ₁ + 5 x ₂ + 7 x ₃ + 4 x ₄ + 5 x ₅ ≤ 15,

, где x ₁ — x ₅ ограничены как двоичные.Кроме того, предположим, что мы только что решили релаксацию ЛП и что эти переменные принимают следующие значения в этой релаксации ЛП: x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = x ₄ = x ₅ = 3/4. Это нежелательное решение можно исключить следующим наблюдением: поскольку 7 + 4 + 5 = 16> 15, невозможно, чтобы x ₃ = x ₄ = x ₅ = 1, и, следовательно, следующее новое неравенство является допустимым дополнением к данному MIP: x ₃ + x ₄ + x ₅ ≤ 2.Поскольку 3/4 + 3/4 + 3/4 = 9/4> 2, новое неравенство отсекает текущее решение. Это неравенство является примером так называемого чехла ранца .

Здесь читатель может спросить, почему мы просто не добавили это новое ограничение или сокращение в самом начале. Причин несколько. Во-первых, обычно существует огромное количество таких дополнительных ограничений. Было бы слишком дорого найти их все, и, вероятно, невозможно было бы добавить их все в модель. Вторая причина заключается в том, что добавление ограничений все больше усложняет решение релаксации LP.Мы хотим добавить эти ограничения, только если знаем, что они помогут. Разумное добавление таких ограничений может иметь огромное положительное влияние на процесс решения.

Эвристика

Наша следующая тема в этом обсуждении — эвристика. Мы представили понятие действующего оператора во введении к ветвям и границам. Наличие хороших сотрудников и их максимально быстрый поиск может быть чрезвычайно ценным при поиске MIP по ряду причин. Во-первых, может оказаться невозможным решить проблему с доказуемой оптимальностью.Например, базовая MIP может быть слишком сложной, или может быть наложенное пользователем ограничение на количество времени, в течение которого мы можем позволить нашему алгоритму MIP работать. В любом случае мы хотим иметь наилучшее возможное решение при прекращении связи. Наличие хороших возможных решений также помогает процессу поиска до прекращения. Чем лучше объективное значение действующего оператора, тем более вероятно, что значение релаксации LP превысит его (в задаче минимизации) и, следовательно, приведет к обнаружению узла.

Как следует из приведенных выше замечаний, оказалось чрезвычайно полезным проделать небольшую дополнительную работу в некоторых узлах дерева поиска, чтобы увидеть, можно ли извлечь хорошее целочисленное допустимое решение, даже если целостность не пока не получилось из-за разветвления. Например, может случиться так, что многие из целочисленных переменных, хотя и не являются целочисленными, имеют значения, довольно близкие к целым. Затем мы могли бы рассмотреть возможность округления некоторых из этих переменных до близких к ним значений, фиксации их на этих значениях, решения результирующей релаксации LP и повторения этой процедуры несколько раз в надежде, что все целочисленные переменные попадут в строку.Если они это сделают, и если полученная в результате выполнимая задача имеет лучшую объективную ценность, чем нынешняя компания, мы можем заменить ее и продолжить. Gurobi включает в себя множество таких эвристик самых разных вкусов.

Параллельность

Как отмечалось в начале этого обсуждения, решатель Gurobi MIP работает параллельно. Основным источником параллелизма является тот факт, что разные узлы в поиске MIP-дерева могут обрабатываться независимо. Однако, вероятно, очевидно, что корневой узел предоставляет ограниченные возможности параллелизма.Таким образом, модели, которые исследуют большие деревья поиска, могут довольно эффективно использовать ядра, в то время как модели, которые проводят большую часть своего времени выполнения в корневом узле, более ограничены в своей способности использовать несколько ядер.

Прочие важные ингредиенты

В дополнение к методам, описанным выше, современный решатель MIP будет включать длинный список дополнительных методов. Несколько примеров включают сложные методы выбора переменных ветвления, предварительное вычисление узлов, обнаружение симметрии и обнаружение непересекающихся поддеревьев.В большинстве случаев цель состоит в том, чтобы ограничить размер дерева ветвей и границ, которое необходимо исследовать.

Поведение большинства описанных здесь стратегий и методов можно настроить с помощью параметров Гуроби. Хотя для некоторых моделей может быть полезна настройка параметров, наша цель при разработке и создании оптимизатора Gurobi заключалась в том, чтобы настройки по умолчанию работали как можно лучше в широком диапазоне моделей. Как правило, вам не нужно беспокоиться о деталях того, как работают различные методы, или о том, как следует отрегулировать связанные параметры.

3 Связи между математическими науками и другими областями | Математические науки в 2025 году

• Прогнозная аналитика,

• Анализ изображений и интеллектуальный анализ данных,

• Планирование и маршрутизация поставок,

• Математические финансы,

• Алгоритмическая торговля,

• Системная биология,

• Молекулярная динамика,

• Модели для всего пациента,

• Моделирование нефтяного бассейна,

• Виртуальное прототипирование,

• Молекулярная динамика для разработки продуктов,

• Многопрофильная оптимизация проектирования и автоматизированное проектирование,

• Робототехника,

• Управление цепочкой поставок,

• Логистика,

• Облачные вычисления,

• Моделирование сложных систем,

• Течение вязкой жидкости для дизайна экранов компьютеров и телевизоров,

• Управление инфраструктурой для умных городов и

• Компьютерные системы, программное обеспечение и информационные технологии.

Читателю предлагается ознакомиться с отчетом SIAM, чтобы ознакомиться с деталями этих тематических исследований, ¹⁴, которые предоставляют множество примеров значительного и рентабельного воздействия знаний и исследований в области математической науки на инновации, экономическую конкурентоспособность и национальную безопасность.

В другом недавнем отчете по математическим наукам в промышленности были сделаны следующие выводы:

Очевидно, что ввиду постоянно возрастающей сложности реальных приложений способность эффективно использовать математическое моделирование, имитацию, управление и оптимизацию станет основой технологического и экономического развития Европы и мира.¹⁵

Только [математические науки] могут помочь промышленности оптимизировать все более и более сложные системы со все большим количеством ограничений. ¹⁶

Однако в этом отчете также указывается на следующую истину:

[Инженерные] дизайнеры используют виртуальные среды проектирования, которые в значительной степени полагаются на математику, и создают новые продукты, которые хорошо известны

______________________

¹⁴ Там же, стр. 9-24.

¹⁵ Европейский научный фонд, 2010 г., Математика и промышленность . Страсбург, Франция, стр. 8.

¹⁶ Там же, стр. 12.

дешевых мыслей
дешевых мыслей

Мерфи Закон

Мерфи Законы о бизнесе и менеджменте

Мерфи Законы о чистоте и организации

Мерфи Законы о борьбе

Мерфи Законы о компьютерах, программном обеспечении и программировании

Мерфи Закон об образовании

Мерфи Законы об опыте

Мерфи Закон об экспертах

Законы Мерфи о медицине

Мерфи Законы о деньгах и финансах

Мерфи Законы о людях

Мерфи Законы о политике

Мерфи Законы о науке и исследованиях

Мерфи Законы о технологиях

Мерфи Законы о порядке вещей

Первый закон Мерфи: Все, что может пойти не так, пойдет не так.

Второй закон Мерфи: Нет ничего проще, чем кажется.

Третий закон Мерфи: Все занимает больше времени, чем вы думаете.

Четвертый закон Мерфи: Если есть вероятность, что несколько вещей пойдут не так, нанесет наибольший ущерб, тот пойдет не так.

Следствие: Если есть худшее время для того, чтобы что-то пойти не так, это случится тогда.

Пятый закон Мерфи: Если что-то просто не может пойти не так, то так и будет.

Шестой закон Мерфи: Если вы понимаете, что существует четыре возможных способа может пойти не так, и обойти их, тогда пятый путь, неподготовленный, будет оперативно развиваться.

Седьмой закон Мерфи: Предоставленные самим себе, дела идут все хуже и хуже.

Восьмой закон Мерфи: Если кажется, что все идет хорошо, вы, очевидно, упустили из виду. что-то.

Девятый закон Мерфи: Природа всегда на стороне скрытого недостатка.

Десятый закон Мерфи: Мать-природа — сука.

Одиннадцатый закон Мерфи: Невозможно сделать что-либо надежным, потому что глупцы такие гениальный.

Двенадцатый закон Мерфи: Каждый раз, когда вы собираетесь что-то сделать, сначала нужно сделать что-то еще.

Тринадцатый закон Мерфи: Каждое решение порождает новые проблемы.

Четырнадцатый закон Мерфи: Если что-то не может пойти не так само по себе, кто-то заставит это пойти не так.

Если закон Мерфи может пойти не так, то так и будет.

Знание закона Мерфи тоже не поможет.

Закон Мерфи рекурсивен. Мыть машину, чтобы избежать дождя, не получится.

Недостаток времени и действия Мерфи: Никогда не знаешь, как скоро станет слишком поздно.

Комментарий О’Тула к закону Мерфи: Мерфи был оптимистом.

Доказательство закона Мерфи: Закон Мерфи не может быть доказан, но верен, как когда вы попытаетесь доказать закон Мерфи, вы увидите, что доказательство неверно.Это очевидно, из-за закона Мерфи, поэтому закон Мерфи верен и доказан.

Следствие Стюарта из закона Мерфи: Закон Мерфи может быть отложен или приостановлен на неопределенный период времени, при условии, что такая отсрочка или приостановка позже приведет к еще большей катастрофе.

Седьмое исключение Зимургии из законов Мерфи: Когда идет дождь, он льется.

Законы Мерфи о бизнесе и менеджмент

Небрежно спланированный проект занимает в три раза больше времени, чем ожидалось; а тщательно спланированный проект займет в два раза больше времени.

Меморандум написан не для информирования читателя, а для защиты писателя.

Ходатайство о переносе дела всегда в порядке.

Вечный отпуск — хорошее рабочее определение ада.

Закон факультетов Андре Вейля: Высококлассные люди нанимают других первоклассных люди. Люди второго сорта нанимают людей третьего сорта. Нанять третьесортных людей люди пятого разряда.

Постулат Берковица: Чистый стол дает чувство облегчения и дает план на случай надвигающейся катастрофы.

Закон Бионди: Если ваш проект не работает, ищите ту часть, которую вы не сделали думаю было важно.

Теорема Бове: Оставшаяся работа, которую нужно закончить, чтобы достичь своей цели увеличивается по мере приближения крайнего срока.

Первый закон Брайена: В некоторых время в жизненном цикле практически каждой организации, ее способность добиться успеха вопреки себе заканчивается.

Выполнение любой задачи в отведенное время и бюджет не приносит кредит на производственный персонал — это просто доказывает, что задача была легче, чем ожидалось.

Закон Конвея: В любой организации есть один человек, который знает, что происходит. на. Этот человек должен быть уволен.

Сознание затрат и продуманный дизайн несовместимы.

Закон Кроппа: Объем проделанной работы обратно пропорционален количеству времени. провел в офисе.

Др.Отражение Самуэльсона: Настоящая цель комитета — не принять решение, а избежать его.

Первый закон ям: Первый шаг к выбранию из ямы, для которой вырыли самому себе перестать копать.

Второй закон дыр: Если босс закапывает себя в яму, все подчиненные становятся ожидал прыгнуть с ним.

Третий закон дыр: Если подчиненный роет яму, не ждите, что босс прыгнет. с ним.

Четвертый закон отверстий: Если вы ожидаете пропустить отверстия, оставленные другими в вашем путь к успеху, перестаньте оглядываться на те, из которых вы только что выбрались.

Закон Фитца-Гиббона: Творчество изменяется обратно пропорционально количеству поваров, участвующих в приготовлении бульона.

Следствие Глассера: Если из семи часов, которые вы проводите на работе, шесть часов и пятьдесят пять минут вы проводите за своим столом, а остальное время вы бросить быка со своим соседом по стойке, в то время, когда ваш начальник войдите и спросите, что вы делаете, можно определить с точностью до пяти минут.

Закон Хеллера: Первый миф об управлении состоит в том, что он существует.

Первый закон Хилла Продажа: Относитесь к покупателю как к грибу; держать его в темноте и через частые промежутки времени насыпайте на него навоз.

Ничто так не мотивирует человека, как то, что его босс честно трудится работай.

Правило дефактуализации: Информация ухудшается по мере увеличения бюрократия.

Правило бюрократического финансирования Санрио (также известное как The Serve Yourself Solution): Первое расходование новых доходов, доступных бюрократическому агентству. будет использоваться для расширения администрирования программы, а не для потребности самой программы.

Степень технической компетентности обратно пропорциональна уровню управление.

Принцип Дилберта: Некомпетентные сотрудники продвигаются на должность где они могут нанести наименьший ущерб — менеджмент.(Скотт Адамс)

Идеальное резюме появится через день после заполнения вакансии.

Закон предсказываемых результатов: Маркетинговые исследования могут быть проведены и интерпретированы для подтверждения любых желаемых результатов. вывод.

Правило Вестхаймера: Чтобы оценить время, необходимое для выполнения задачи, оцените время, которое, по вашему мнению, должно занять, умножьте на два и измените единицу измерения к следующей по высоте единице.Таким образом, на одночасовую задачу мы выделяем два дня.

Законы Мерфи о Чистота и организация

Крючок для ванной будет загружен под завязку сразу после того, как станет имеется в наличии. Это также относится к автострадам, туалетам, игровым площадкам, отелям в центре города, такси, парковки, кошельки, кошельки, карманы и так далее. Список бесконечен.

Птица в руке безопаснее, чем две над головой.

Чистый галстук притягивает суп дня.

Флетчерз вопиющий Рюминация: Эффективность — это высокоразвитая форма лени.

Девяносто девяноста правил расписания проекта: Первые девяносто процентов задачи занимает десять процентов времени; последние десять процентов занимают остальные девяносто процентов.

Закон О’Рейли о кухне: Чистота почти невозможна.

Второй закон Павла: Чем раньше вы отстанете, тем больше времени у вас будет на то, чтобы настигнуть.

Закон энтропии Шопенгауэра: Если вы положите ложку вина в полную бочку сточных вод, вы получите сточные воды. Если вы положите ложку сточных вод в бочку, полную вино — сточные воды.

При просмотре заметок для теста наиболее важными будут неразборчиво.

Законы Мерфи о борьбе

Граната с семисекундным запалом всегда сгорит за четыре секунды.

«Сосущая рана в груди» — это естественный способ сказать вам, чтобы вы замедлились. вниз.

Не бросайтесь в глаза, привлекает огонь.

Полевой опыт — это то, что вы не получите, пока он вам не понадобится.

Дружественного огня нет.

Если для полевой задачи можно найти только одно решение, то обычно это глупое решение.

Если враг находится в пределах досягаемости, вы тоже.

Если вы не можете вспомнить, то клеймор направлен на вас.

Если вам не хватает всего, кроме врага, вы в зоне боевых действий.

Входящий огонь имеет преимущественную силу.

Мерфи хмыкнул.

Никогда не вызывайте огонь, он раздражает всех вокруг.

Никогда не забывайте, что ваше оружие сделано по самой низкой цене.

Никогда не делитесь окопами с кем-либо более храбрым, чем вы.

Никогда не говори сержанту взвода, что тебе нечего делать.

Профессионалы предсказуемы, любители опасны.

Успех происходит, когда никто не смотрит, сбой происходит, когда генерал смотреть.

Командная работа важна, она дает им возможность стрелять.

Лучшая защита — держаться вне досягаемости.

Легкий путь всегда добывается.

Противник неизменно атакует дважды:
а. когда вы будете готовы к ним.
б. когда ты не готов к ним.

Враг никогда не наблюдает, пока вы не сделаете ошибку.

Чем дороже стоит оружие, тем дальше вам придется его отослать, чтобы отремонтирован.

Самая опасная вещь в мире — это младший лейтенант с картой и компас.

Единственный товар, который вам нужен, всегда в дефиците.

Чем хуже погода, тем больше вы должны в ней находиться.

Военной разведки не существует.

Постарайтесь выглядеть неважно, возможно, у них заканчиваются патроны.

Если у вас много патронов, вы никогда не промахнетесь. Всякий раз, когда у вас мало боеприпасы, вы не можете попасть в широкую стенку сарая.

Законы Мерфи о компьютерах, программном обеспечении и Программирование

Компьютер делает столько ошибок за две секунды, сколько работают двадцать человек. двадцать лет.

Все компоненты устарели.

Любая крутая программа всегда требует больше памяти, чем у вас есть.

Закон Брука: Добавление рабочей силы в поздний программный проект делает это позже.

Наблюдение Демиана: В экранном меню всегда есть один пункт, который неправильно маркирован и должен читать ОТКАЗАТЬСЯ НАДЕЖДА ВСЕХ, КТО ЗДЕСЬ ВОЙТИ.

Диски всегда полны. Бесполезно пытаться получить больше места на диске. Данные расширяется, чтобы заполнить любую пустоту.

Возвращение доктора Калигари: Ошибка сбойного сектора на диске возникает только после того, как вы проделал несколько часов работы без резервного копирования.

Отказ — это не вариант. Он идет в комплекте с программным обеспечением.

Сорок третий закон вычислений: Все, что может работать —

Правило Франклина: Благословен конечный пользователь, который ничего не ожидает, потому что он / она будет не разочаровывайся.

Законы ненадежности Гилба:
1. Источник каждой ошибки, связанной с компьютером, вы найдете по адресу по крайней мере, две человеческие ошибки, включая ошибку, в которой виноват компьютер.
2. Любая система, которая зависит от надежности человека, ненадежна.
3. Необнаруживаемые ошибки бесконечны по разнообразию, в отличие от обнаруживаемых ошибки, которые по определению ограничены.
4. Инвестиции в надежность будут увеличиваться до тех пор, пока не превысят вероятную стоимость ошибок, или пока кто-то не настаивает на выполнении полезной работы.

Закон Хиндса о компьютерном программировании
1. Любая запущенная программа устарела.
2. Если программа окажется полезной, ее придется изменить.
3. Если программа бесполезна, ее нужно задокументировать.
4. Любая данная программа расширится, чтобы заполнить всю доступную память.
5. Ценность программы пропорциональна весу ее вывода.
6. Сложность программы растет, пока не превышает возможности программиста. кто должен его поддерживать.
7. Дайте возможность программистам писать программы на английском языке, и вы обнаружил, что программисты не могут писать по-английски.

Если программа действительно умещается в памяти и на диске достаточно места, она гарантированно потерпит крах.

Следствие: Если такая программа еще не потерпела крах, она ожидая критического момента, прежде чем он выйдет из строя.

Если его нет в компьютере, значит, его не существует.

Закон кибернетической энтомологии: Всегда есть еще одна ошибка.

Независимо от того, насколько выгодно вы получите компоненты компьютера, цена будет всегда бросаю сразу после покупки.

Неважно, сколько ресурсов у вас есть, их всегда недостаточно.

Ошибки программного обеспечения невозможно обнаружить никому, кроме конечного пользователя.

Скорость устаревания компонентов прямо пропорциональна их цена.

Человеку свойственно ошибаться, но чтобы действительно все испортить, нужен компьютер.

Второй закон Вайнберга: Если бы строители строили здания так, как пишут программисты программы, то первый появившийся дятел уничтожит цивилизацию.

Когда вы, наконец, купите достаточно памяти, вам не хватит места на диске.

Аксиома Вуда: Как только компьютерная задача, которую еще предстоит завершить, становится ситуация не на жизнь, а на смерть, власть выходит из строя.

Законы Мерфи об образовании

Четвертый закон прикладного террора: Ночь перед английской историей в середине семестра, Ваш инструктор по биологии назначит 200 страниц о планариях.

Следствие: Каждый инструктор предполагает, что вам больше нечего делать, кроме как учиться этому инструкторский курс.

Пятый закон прикладного террора: Если вам дадут экзамен по открытой книге, вы забудь свою книгу. Следствие: если вам дадут контрольный тест, вы забудете где ты живешь.

Закон Рахилли об академическом управлении: Помните, что не на всех факультетах есть все способности.

Закон Термана: Нет прямого взаимосвязь качества образовательной программы и ее стоимости.

Наблюдение Утвича: Образование — это процесс перехода от самоуверенного незнания к задумчивой неуверенности.

Законы Мерфи об опыте

Утешение Карлсона: Ничто не бывает полным провалом; это всегда может служить плохим примером.

Опыт — хороший учитель, но у нее высокие гонорары.

Опыт — прекрасная вещь. Это позволяет распознать ошибку каждый раз ты это повторишь.

Опыт — это то, что вы не получите, пока оно вам не понадобится.

Fresco’s Discovery: Если бы вы знали, что вы делали, вам, вероятно, будет скучно.
Следствие: То, что вам скучно, не означает, что вы знаете, что делаете.

Ошибки редко бывают серьезными, если они не повторяются.

Проблема использования опыта в качестве ориентира в том, что выпускной экзамен часто сначала идет урок.

Законы Мерфи об экспертах

Мужчина начинает резать зубы мудрости, когда в первый раз откусывает более он может жевать.

Эксперт — это тот, кто знает все больше и больше о все меньшем и меньшем, пока он не знает абсолютно все ни о чем.

Отражение доктора Рейера: Профессионал — это тот, кто делает добро. работа, даже когда он этого не хочет.

Закон Гаммиджа: Количество опыта изменяется обратно пропорционально количество заявлений, понятных широкой публике.

Если вы не можете этого понять, это интуитивно очевидно.

Закон Райана: Сделайте три правильных предположения подряд, и вы установите себя как эксперта.

Некоторые люди управляют книгой, даже если они не знают, кто ее написал, или даже какую книгу.

Наименее опытный рыбак всегда ловит самую крупную рыбу.

Чтобы найти эксперта, выберите того, кто считает, что работа займет больше всего времени. и стоил больше всего.

Закон Ван Оча: Эксперт действительно не знает больше, чем вы делать.Просто он лучше организован и имеет слайды.

Закон Вейлера: Нет ничего невозможного для человека, которому это не нужно. сам.

Следствие Вайнберга: Эксперт — это человек, который избегает мелких ошибок, пока переходя к великому заблуждению.

Рычание Уиддена: Любитель — тот, у кого все ответы.

Законы Мерфи о медицине

Закон Фримена: Галитоз лучше, чем никакой дыхание вообще.

Закон Фриша: Одна женщина занимает девять месяцев завести ребенка, сколько бы мужчин вы ни наняли.
Отрицательная переформулировка закона Фриша Файерстоуном: Вы не можете иметь ребенка в один месяц, забеременев девятью женщинами.

Законы медицины Леба:
Если то, что вы делаете, работает, продолжайте делать это.
Если то, что вы делаете, не работает, прекратите это делать.
Если вы не знаете, что делать, ничего не делайте.
Прежде всего, никогда не позволяйте хирургу лечить вашего пациента.

Аптека Шалита Обследование: Эти таблетки не может вызывать привыкание; Я принимаю их годами.

Законы Мерфи о деньгах и финансах

После повышения зарплаты у вас будет меньше денег в конце месяца, чем раньше.

Счета проходят по почте в два раза быстрее, чем чеки.

Смена неизбежна, кроме как в торговом автомате.

Если для коммерческого предложения может быть получена только одна цена, цена будет необоснованно.

Если вы думаете, что никому нет дела до того, что вы живы, попробуйте пропустить пару платежей за машину.

Экономический закон Иоиля: Первый закон: Для каждого экономиста найдется равный и противоположный экономист. Второй закон: Они оба неправы.

Закон технологии Лермана: Любая техническая проблема может быть преодолена с учетом достаточно времени и денег.

Следствие Лермана: Вам никогда не дают достаточно времени или денег.

Никогда не спрашивайте парикмахера, нужна ли вам стрижка, или продавца, если у него хорошая стрижка. цена.

Книга, на которую вы сегодня потратили 20,95 доллара, выйдет завтра в мягкой обложке.

Единственный предмет, который вам нужен, никогда не бывает в продаже.

Когда на текущем счете достаточно средств, чеки принимают два недели, чтобы очистить.Когда средств недостаточно, чеки снимаются в одночасье.

Вам никогда не понадобится тот, который вы можете себе позволить.

Законы Мерфи о людях

(Люди — боль)
Компромисс — это искусство делить торт таким образом, чтобы каждый думает, что получает самый большой кусок.

Вывод — это просто то место, где вы устали думать.

Трус — герой с женой, детьми и ипотекой.

Хороший спорт должен проиграть, чтобы доказать это.

Лучше небольшая помощь в нужное время, чем много помощи в неправильное время.

Человек, который не может вести и не хочет следовать, превращается в щегольское препятствие.

Быстрый ответ стоит тысячи логических ответов.

Закон Альбрехта: Социальные инновации стремятся к минимально допустимому уровню. благополучие.

Закон Андерсона: Вы не можете полагаться на кто-нибудь все время ошибается.

«Фактически» — это выражение, которое предшествует многим выражение, которого нет.

Отличие Барта: Есть два типа людей: те, кто разделяет людей на два типа и тех, кто этого не делает.

Движущиеся тела обычно остаются в движении.Тела в состоянии покоя имеют тенденцию оставаться в кровать.

Закон Брука: Всякий раз, когда система становится полностью определенной, какой-нибудь проклятый дурак обнаруживает то, что либо отменяет систему, либо расширяет ее за пределы признание.

Истинные истины Булы:
Красота — это всего лишь кожа, но это поверхностный мир.
Красота в глазах смотрящего, но в пин-апах есть много места.

Закон Бэрра: Некоторые люди все время и все люди иногда, и это достаточный.

Закон Коэна: Люди делятся на две группы — праведников и праведников. неправедный — и праведники разделяют.

Закон Катлера Вебстера: У каждого аргумента есть две стороны, если только человек лично вовлечен, и в этом случае есть только один.

Декларация Даггита: Ключ к полной открытости — полное безразличие.

Закон Дэвидсона о расследовании: человек не зря задают глупые вопросы.

Закон Деннистона: Добродетель сама по себе наказание.

Закон ДеВайвера: При достаточном количество людей и достаточное количество времени, вы можете создать непреодолимое противостояние самой несущественной идее.

Аксиома Дюшара: Если вы посмотрите на проблему достаточно внимательно, вы узнаете себя как часть проблемы.

Вспениватель Ферриса: Какими бы ни были их ошибки, коммунисты никогда не создавали сдержанного смеха.

Правило Финагла: Работа в команде важна. Это позволяет обвинять кого-то другого.

Закон Финстера: Закрытый рот не сводит ступни.

Первый закон дебатов: Никогда не спорь с дураком — люди могут забыть, кто есть кто.

Закон Фрейвала: Только дурак может воспроизвести работу другого дурака.

Формула успеха Glyme: Секрет успеха — искренность. Как только ты сможешь подделка, вы сделали это.

Закон Могилы: Как только вы сделаете что-нибудь, защищающее от идиотов, появится другое идиот.

Закон дебатов Грина: Все возможно, если вы не знаете, что вы говоря о.

У половины населения интеллект ниже среднего. Более половины население выше среднего. Это связано с тем, что существует ограничение на человеческий интеллект, но человеческой глупости нет предела.

Постулат Харрисона: Для каждого действия есть равное и противоположное критика.

Проповедь Хобсона: Здравый смысл — это наименее общий из всех чувств.

Проповедь Ходжа: Приходит время в жизни человека, когда он должен подняться над принципами.

Закон Хоу: У каждого человека есть схема, которая не сработает.

Принцип памяти Гуревица: Вероятность забыть что-либо прямо пропорционально… по …

Если никто не сравнится, проверьте свою мерку.

Если что-то конфиденциальное, оно останется в копировальном аппарате.

Если есть два или более способов сделать что-либо, и один из них может приведет к катастрофе, то кто-то это сделает.

Если есть мнение, будут найдены факты, подтверждающие его.

Железный закон распределения: Тот, кто имеет, получает.

Закон Джона: Любой, кто вносит значительный вклад в любую сферу усилия и остается в этой области достаточно долго, становится препятствием для его прогресс — прямо пропорционально важности первоначального вклада.

Закон Джонса: Человек, который может улыбаться, когда что-то идет не так, думал о кого-то он может винить в этом.

Просто помните, что для того, чтобы нахмуриться, нужно сорок две мышцы и всего четыре. перевернуть птицу.

Правило Копча: Всегда есть больше сукин сын, чем вы рассчитывали.

Закон Лакопи: После еды и секса, величайшее стремление человека — указывать другому, как делать его работу.

Закон опьянения: Вы не можете упасть с пола.

Орнитологическая аксиома Лангсама: Взлететь трудно с орлами при работе с индейками.

Наблюдение Лаунегайера: Задавать глупые вопросы легче, чем исправлять глупые ошибки.

Закон личного опыта: Когда вы действительно хорошо в чем-то научитесь, они Вам больше не нужно этого делать.

Закон о добровольном труде: В прошлом люди всегда были доступны для работы напряженный.

Законы Леви:
Обладать чувством юмора — значит быть трагической фигурой.
Любое открытие с большей вероятностью будет использовано нечестивцами, чем применено добродетельный.
Никакой гений не может преодолеть озабоченность деталями.
Вечная скука — цена бдительности.

Закон Либермана: Все лгут; но это не имеет значения, поскольку никто не слушает.

Определение Линдона: Оптимист — это отец, который позволяет своему сыну-подростку взять машину на свидание. Пессимист — это отец, который не будет. Циник — это отец, который это сделал.

Сделайте это доказательством идиота, и из кого-то получится идиота получше.

Закон Малека: Любая простая идея будет сформулирована самым сложным образом.

Правило Марка Твена: Только короли, редакторы и люди с ленточными червями имеют право использовать редакционную статью «мы.’

Социальная аксиома Мерфи: Нет ничего опаснее добрых намерений в сочетании с глупостью.

Заявление Мерфи о силе негативного мышления: оптимист, чтобы быть приятно удивленным.

Никогда не выполняйте карточные фокусы в группе, с которой вы играете в покер.

Никогда не судите человека, пока не пройдете милю на его месте, потому что к тому времени он в миле отсюда, у тебя есть его туфли, и ты можешь говорить что угодно, черт возьми хочу.

Наблюдение Ньюберри: всеобщая склонность к бездарности делает любое человеческое достижение невероятным чудо.

Наблюдение Нолана: Разница между умными и глупыми людьми — это не то, что умные люди не делают ошибки. Они просто не повторяют одну и ту же ошибку снова и снова.

Nolan’s Placebo: Унция имиджа стоит фунта выступления.

Для достаточно талантливого дурака нет ничего надежного.

Нет ничего невозможного для невосприимчивых к разуму

Закон Паркера: Красота — это всего лишь кожа, а уродство — до мозга костей.

Правило Полсена: Введите предполагаемое соревноваться и быть в списке спонсоров на всю жизнь.

Паллиатив Петра для идеальных людей: Каждый из нас представляет собой смесь хороших качеств и некоторых (возможно) не очень хороших качества.Рассматривая наших собратьев, мы должны помнить об их хороших качества и понимают, что их недостатки только доказывают, что они, в конце концов, человек. Мы должны воздерживаться от суровых суждений о людях только потому, что они оказываются грязными, гнилыми, никудышными сукиными сыновьями.

Закон Поля: Нет ничего настолько хорошего, что кто-то где-то не возненавидел бы это.

Основное правило истории: История не повторяется — историки просто повторяют друг друга.

Закон Куэйд: В человеческих отношениях Легче всего добиться недоразумения.

Помните, что половина ваших знакомых ниже среднего.

Закон Рудина: В условиях кризиса, который заставляет делать выбор среди альтернатив действия, люди склонны выбирать наихудший из возможных вариантов.

Принцип Шоу: Создайте систему, которую сможет использовать даже дурак, и только дурак захочу его использовать.

Си Перкинс «Люди» Differ «Law: Некоторые возражают против танцора, другие — против поклонника.

Правило Сивяка: Единственный способ заработать что-то надежное — держать это подальше от дураков.

Закон непреодолимого использования Spark: Если у человека есть что-то, он чувствует себя обязанным использовать это, даже если его использование ненужный.Примеры: ребенок, у которого есть молоток, использует его. Человек, который получает власть будет перенапрягать его.

Закон Старра: Это только люди кого вы не знаете, кто знает, что они делают.

Закон обратного действия Стюарта: Проще получить прощение, чем разрешение.

Заключение Т. Х. Уайта: Самый трудная вещь в мире — это уметь что-то делать и смотреть на кого-то остальное делаю неправильно, без комментариев.

Такт — это способность сказать человеку, что он непредубежден, когда у него есть дыра в его голова.

Скажите человеку, что в Галактике 100 миллиардов звезд, и он вам поверит. Скажите ему, что на скамейке мокрая краска, и ему придется потрогать, чтобы убедиться.

Крем поднимается наверх. Подонки тоже.

Закон квартиросъемщика: Ваш наверху соседи танцуют, ваши соседи внизу бьют по крыше, а ваши ближайшие соседи играют в гандбол.
Следствие жителя квартиры: Соседи никогда не спят.

Аксиома славы и удачи: Компетентность не является предпосылкой успеха.

Закон мотивации: Творчество — это здорово, но плагиат быстрее.

Закон реальности: Никогда не драться с некрасивыми людьми, у них ничего нет терять.

Заблуждение Сагана: Сказать, что человек — это не что иное, как молекулы. сказать шекспировскую пьесу — не что иное, как слова.

Оценка психиатра: Нет указывает на то, что вы беспокоитесь об апатии, когда вам все равно.

Доверяйте всем … затем разрежьте карты.

Закон Ван Роя: Честность — лучшее политика — меньше конкуренции.

Размывание Ван Роя: Дураки врываются туда, где были дураки перед.

Закон коммуникации Вайла: Никто не слушает, пока вы не сделаете ошибку.

Работа выполняется теми сотрудниками, которые не достигли своего уровня некомпетентность.

Закон Зимургии о доступности волонтерской работы: человек всегда доступны для работы в прошедшем времени.

Законы Мерфи о политике

Первый Dictrum Диогена: Чем сильнее предполагается, что человек должен облагаться налогом, тем больше у него возможностей, чтобы избежать налогообложения.

Наблюдение Ходжеса: Проблема с правительство состоит в том, что царапает там, где нет зуда.

Ни жизнь, ни свобода, ни собственность человека не защищены, пока действует законодательный орган. сеанс.

Удержание Новлана: По пути наименьшее сопротивление делает людей и реки искривленными.

Закон об адвокатуре Полиса: Любой закон, принятый более пятидесяти слов содержат хотя бы одну лазейку.

Принцип колбасы: Людям, которые любят колбасу и уважают закон, никогда не следует наблюдайте, как создается любой из них.

Парадокс Абилина: Люди в группах склонны договариваются о действиях, которые, как люди, знают как глупые.

Правило политика: В политике можно часто ошибаюсь, но никогда не сомневаюсь.
Контраст Клинга: Государственные деятели говорят вам, что правда, даже если это может быть непопулярный. Политики говорят вам, что популярно, даже если это может быть неправдой.

Чтобы добиться успеха в политике, часто необходимо подняться над своими принципами.

Законы Мерфи о науке и исследованиях

Любая простая теория будет сформулирована самым сложным образом.

Принцип инерции Барра: Просить ученых пересмотреть свою теорию — все равно что просят копов пересмотреть закон.

Основной принцип Бассагордиана и Абсолютная Аксиома: По определению, когда вы исследуете неизвестное, вы не знаю, что вы найдете, и даже когда вы это нашли.

Теорема Боуи: Если эксперимент работает, вы должны использовать неправильный оборудование.

Закон Кэмпбелла: Природа ненавидит бессмысленного экспериментатора.

Закон Дарвина: Природа скажет вам прямую ложь, если сможет.

Discovery: Пара месяцев в лаборатории часто может спасти пару часов в библиотеке.

Теория Эддингтона: Число различных гипотез, выдвинутых для объяснения данное биологическое явление обратно пропорционально доступным знание.

Наблюдение Эйнштейна: Поскольку математические теоремы связаны с в действительности они не уверены; поскольку они уверены, они не имеют отношения к реальность.

Закон Фельсона: Воровать идеи у одного человека — это плагиат; украсть у много исследований.

Закон лаборатории Фетта: Никогда не повторяйте успешный эксперимент.

Finagle’s Creed: Наука — это правда. Не обманывайтесь фактами.

Законы Финагла:
1. Если эксперимент работает, что-то пошло не так.
2.1 Независимо от ожидаемого результата, всегда найдется кто-то, кто хочет притворяться.
2.2 Независимо от результата, всегда есть кто-то, кто хочет его неправильно истолковать.
2.3 Что бы ни случилось, всегда найдется кто-то, кто верит, что это произошло согласно его любимой теории.
3.0. В любом сборе данных цифра наиболее очевидна, вне всяких сомнений. необходимость проверки, это ошибка.
3.1 Никто, к кому вы обращаетесь за помощью, этого не увидит.
3.2 Каждый, кто зайдет с непрошенным советом, сразу увидит его.
4.Если работа испорчена, все, что делается для ее улучшения, только ухудшает ее.

Аксиома Винго: Все законы Финагла можно обойти, изучив простое искусство. делать не задумываясь.

Правила Finagle:
1. Чтобы лучше изучить приложение, внимательно его разберитесь перед тем, как начать.
2. Всегда ведите учет данных. Это означает, что вы работали.
3. Всегда рисуйте кривые, а затем наносите показания.
4. В случае сомнений сделайте так, чтобы это звучало убедительно.
5. Результаты программы всегда должны быть воспроизводимыми. Все они должны потерпеть неудачу в так же.
6. Не верьте в чудеса. Положитесь на них.

Закон математики Финмана: Никто не хочет читать чужие формулы.

Первый закон физики элементарных частиц: Чем короче жизнь частицы, тем больше это стоит производить.

Первый закон научного прогресса: Прогресс науки можно измерить скорость, с которой накапливаются исключения из ранее действовавших законов.

Следствия:
1. Исключений всегда больше, чем правил.
2. Из установленных исключений всегда есть исключения.
3. К тому времени, когда кто-то осваивает исключения, никто не вспоминает правила, которым они применяются.

Четвертый закон проверки: После кропотливого и тщательного анализа образца, вам всегда говорят, что это неправильный образец и не относится к проблема.

Дополнительные советы по записи:
1. В любом сборе данных цифры, наиболее точно подтверждающие теорию не правы.
2. Никто, кого вы попросите о помощи, тоже не увидит.
3. Любой назойливый злоумышленник, который зайдет с непрошенным советом, увидит их. немедленно.
4. Если эксперимент работает, вы, должно быть, используете неправильное оборудование.
5. Эксперимент можно считать успешным, если требуется не более половины данных. отказаться, чтобы согласиться с теорией.
6. Ни один эксперимент никогда не заканчивается полным провалом. Это может служить плохим примером.
7. Всегда оставляйте место при написании отчета, чтобы добавить объяснение, если это не так. работа (Правило выхода).

Фактор полезности: Ни один эксперимент никогда не заканчивается полным провалом — он всегда может служить отрицательным примером.

Заключение Галилея: Наука в большей степени исходит из того, что он научился игнорировать, чем из того, что он принимает во внимание.

Недостатки математического моделирования Голомба:

Не верьте последствиям тридцать третьего порядка модели первого порядка.
Поймать фразу: Cum grano salis.

Не экстраполируйте за пределы области соответствия.
Пойманная фраза: Не уходите с глубокого конца.

Не применяйте никакую модель, пока не поймете упрощающие предположения о на которых он основан, и может проверить их применимость.
Catch Phrase: Используйте только по назначению.

Не верьте, что модель — это реальность.
Ловящая фраза: Не ешьте меню.

Не искажайте реальность под модель.
Ловкая фраза: «Метод Прокруста».

Не ограничивайтесь одной моделью: для понимание разных аспектов одного и того же явления.
Ловкая фраза: Узаконить полигамию.

Не оставляйте дискредитированных моделей.
Поймать фразу: Не бей мертвую лошадь.

Не влюбляйтесь в свою модель.
Ловкая фраза: Пигмалион.

Не применяйте терминологию Субъекта А к проблемам Субъекта Б, если она ни к чему обогащению.
Catch Phrase: Новые имена вместо старых.

Не надейтесь, что, назвав демона, вы уничтожили его.
Ловушка: Румпельштильцхен.

Закон Гордона: Если исследовательский проект вообще не стоит того, стоит делать хорошо.

Закон ошибок Грельба: В любой серии вычислений, как правило, возникают ошибки. на противоположном конце, с которого вы начинаете проверку.

Постулат Гросса: Фактов нет. все равны. Есть хорошие факты и плохие факты. Наука состоит в использовании хороших факты.

Handy Guide to Modern Science:
1.Если он зеленый или извивается — это биология.
2. Если воняет, то это химия.
3. Если не работает, то это физика.
Расширения Серфа к Handy Guide to Modern Science:
4. Если непонятно, то математика.
5. Если это не имеет смысла, то либо экономика, либо психология.

Закон Хангги: Чем тривиальнее ваше исследование, тем больше людей его прочитают. и согласен.

Следствие: Чем важнее ваше исследование, тем меньше людей его поймут.

Закон о стипендии Хендерсона: Исследование — это чтение двух книг, которые никогда не был прочитан, чтобы написать третий, который никогда не будет прочитан.

Закон Херша: Биохимия расширяется, заполняя пространство и время, доступное для его доработка и публикация.

Если в какой-либо проблеме вы обнаружите, что выполняете огромный объем работы, ответ можно получить простым осмотром.

Если математически вы получите неправильный ответ, попробуйте умножить на номер страницы.

В приборе или устройстве, характеризующемся рядом плюс-минус ошибок, общая ошибка будет суммой всех ошибок, сложенных в одном направлении.

В любом данном расчете неисправность никогда не будет размещена, если более одного человек вовлечен.

Следствие: В любом конкретном открытии кредит никогда не будет правильно размещены, если задействовано более одного человека.

Заповедь Яффе: Есть некоторые вещи, которые невозможно знать — но невозможно знать эти вещи.

Закон непрерывности: Эксперименты должны быть воспроизводимыми.Все они должны потерпеть неудачу таким же образом.

Закон невидимых явлений: Отсутствие доказательств не является доказательством отсутствие.

Закон лабораторной работы: Горячее стекло выглядит точно так же, как холодное стекло.

Логика — это систематический метод достижения неверного заключения с помощью уверенность.

Трюизм Лонга: Законы природы имеют нет жалости.

Закон Майера: Если факты не соответствуют теории, они должны быть уничтожены. из.

Следствия:
1. Чем больше теория, тем лучше.
2. Эксперимент можно считать успешным не более чем в 50% случаев. наблюдаемые измерения должны быть отброшены, чтобы получить соответствие с теория.

Закон Манна (обобщенный): Если ученый обнаруживает факт, доступный для публикации, он станет центральным в его теории.

Следствие: Его теория, в свою очередь, займет центральное место во всей научной мысли.

Закон стратиграфии Мая: Качество корреляции обратно пропорционально пропорционально плотности контроля.

Закон Мортона: Если над крысами провести эксперименты, у них разовьется рак.

Закон Мюнха: Ничто так не улучшает инновации, как отсутствие контроля.

Закон исследования Мерфи: Достаточное исследование, скорее всего, подтвердит вашу теорию.

Метрическая рекомендация Мерфи: Мы должны использовать метрическую систему на каждом шагу.

(Мюррей) Закон Гелл-Манна: Требуется все, что не запрещено; таким образом, если нет причины, почему что-то не должно существовать, тогда оно должно существовать.

Теория орнитолога: Один товар крачка заслуживает другого.

Закон Осборна: Переменные не действуют, константы — нет.

Закон научного прогресса Паркинсона: Прогресс науки меняется обратно пропорционально количеству опубликованных журналов.

Аксиома Роберта: Существуют только ошибки.

Следствие Бермана к аксиоме Роберта: Ошибка одного человека — это данные другого человека.

Лемма Рокки об инновационном предотвращении: Если результаты не известны в заранее, финансирующие агентства отклонят предложение.

Правило точности: При работе над решением проблемы всегда помогает, если вы знаете ответ.

Правила лаборатории:
1. Когда вы не знаете, что делаете, делайте это аккуратно.
2. Эксперименты должны быть воспроизводимыми, они должны каждый раз терпеть неудачу.
3. Сначала нарисуйте кривые, а затем нанесите данные.
4. Опыт прямо пропорционален испорченному оборудованию.
5. Запись данных необходима, она показывает, что вы работали.
6. Чтобы лучше всего изучить предмет, тщательно разберитесь в нем перед тем, как начать.
7. Чтобы сделать лабораторную работу действительно хорошо, сделайте отчет заранее.
8. Если вы не можете получить ответ обычным способом, начните с ответа и выводят вопрос.
9. Если это не сработает, начните с обоих концов и попытайтесь найти общую середину.
10. В случае сомнений сделайте это убедительно.
11. Не верьте в чудеса — положитесь на них.
12. Работа в команде очень важна. Это позволяет обвинять кого-то другого.
13. Все мензурки без опознавательных знаков содержат быстродействующие, чрезвычайно токсичные яды.
14. Любая хрупкая и дорогая посуда сломается, прежде чем ее можно будет использовать. быть из этого. (Закон спонтанного деления)

Второй закон физики элементарных частиц: Основные строительные блоки материи не встречаются в природе.

Константа Скиннера (фактор финала Фланагана): То количество, которое, когда умножается на, делится на, добавляется или вычитается из полученного вами ответа, дает вам ответ, который вы должны были получить.

Закон воспроизводимости Тененбаума: Самые интересные результаты случаются только однажды.

Первый закон математики: ответ должен выглядеть правильно.

Закон порочности природы: Вы не можете успешно определить заранее какую сторону хлеба намазать маслом.

Закон слишком твердого лоха: В любом сборе данных цифры, которые очевидно, правильны, вне всякой необходимости проверки, содержат ошибки.

Следствие 1: Никто, кого вы попросите о помощи, тоже не увидит.
Следствие 2: Любой назойливый злоумышленник, который зайдет с непрошенным советом, заметит это немедленно.

Чем меньше управленческих требований инженеров и ученых, тем больше продуктивность.

Основная аксиома: В любой области науки, все, что может неправильно, будет.

The Referee’s Creed: То, чего я не понимаю, я презираю, то, что я презираю, я отклонять.

Принцип надежности: Разница между законами природы и Закон Мерфи гласит, что с законами природы вы можете рассчитывать на провал. каждый раз так же.

Уравнения Снафу:
1.В любой задаче, содержащей N уравнений, будет N + 1 неизвестных.
2. Самый необходимый объект или бит информации будет наименее доступным.
3. Устройство, требующее обслуживания или настройки, будет наименее доступным.
4. В любом человеческом начинании, если вы исчерпали все возможности и потерпели неудачу, будет одно решение, простое, очевидное и хорошо видимое для всех еще.
5. Плохое приходит волнами.
6. Сменных устройств не будет.

Первый постулат большого пальца: приближения и знать правду, плюс-минус 10 процентов, чем требовать точное решение и совсем не знать правды.

Второй постулат большого пальца: Легко понимаемая, работоспособная ложь — это больше полезнее, чем сложная, непонятная правда.

Закон экспериментов Веслинда:
1.Если воспроизводимость может быть проблемой, проведите тест только один раз.
2. Если требуется прямая аппроксимация, получите только две точки данных.

Закон библиотек Вайнера: Нет ответов, только перекрестные ссылки.

Принцип целостного изображения: Ученые-исследователи настолько поглощены своим собственным узкие усилия, что они не могут видеть полную картину чего-либо, в том числе их собственные исследования.

Следствие: Директор по исследованиям должен знать как можно меньше о конкретный предмет исследования, которым он или она руководит.

Закон Вильямса и Голландии: Если будет собрано достаточно данных, все может быть подтверждено статистическими методами.

Принцип исследования Wingo: Чем крупнее открытие, тем более вероятно, что оно было сделано при тестировании на что-то другое.

Закон Вудворда: Теория лучше, чем ее объяснение.

Законы Вышовского:
1. Ни один эксперимент не воспроизводится.
2. Все, что угодно, можно заставить работать, если вы достаточно долго возитесь с этим.

Комментарий Янга о научном методе: Отсюда вы не можете добраться.

Закон Юнга: Все великие открытия сделаны по ошибке.

Следствие: Чем больше финансирование, тем больше времени требуется, чтобы совершить ошибку.

Законы Мерфи о технологиях

Достаточно большой молоток все исправит.

Сложная работающая система неизменно эволюционировала из простой система, которая работает.

Отказ не появится, пока устройство не пройдет окончательную проверку.

Электронное оборудование размещено в красиво оформленном корпусе, а сбоку или сверху находится небольшая коробка, содержащая компоненты, которые дизайнер забыл уступить место.

В конце концов, сказано намного больше, чем сделано.

Все гарантийные обязательства и положения о гарантии становятся недействительными после оплаты последней выставленный счет.

Аксиома Аллена (Или Канна): Когда ничего не помогает, прочтите инструкции.

Любая схема должна содержать как минимум одну устаревшую часть, две части, которые недоступны, и три части, которые все еще находятся в стадии разработки.

Любой инструмент при падении скатывается в труднодоступный угол.

Законы документации Арнольда:
1. Если он и должен существовать, то его нет.
2. Если он существует, значит, он устарел.
3. Только бесполезная документация выходит за рамки первых двух законов.

Как только стюардесса подает кофе, авиакомпания встречает турбулентность.

Закон Блау: Установленные технологии имеют тенденцию сохраняться, несмотря на новые технологии.

Закон Хеопа: Ничего не строится по графику или в рамках бюджета.

Cook’s Cogitation: Когда кладете сыр в мышеловка, всегда оставляйте место для мыши.

Закон Корри: Бумага всегда самая прочная в местах перфорации.

Дилемма ДеВри: Если вы нажмете две клавиши пишущей машинки одновременно, не хочу попасть в бумагу.

Закон Эллиса: Прогресс — это замена одной неприятности на другую.

Если у вас есть только молоток, все будет похоже на гвоздь.

Если не подходит, используйте молоток побольше.

Если написано «один размер подходит всем», это никому не подходит.

Если что-то может пойти не так, то тот, который причинит наибольший ущерб, будет быть тем, кто ошибается.

Сменных деталей не будет.

Максим Лаунегайера: Весь мир аналоговая лента, а цифровые схемы играют только битовые партии.

Закон г-на Купера: Если вы не понимаете определенное слово в фрагменте техническое письмо, не обращайте на него внимания. Без этого произведение будет иметь смысл.

Следствие Боговича из закона Купера: Если пьеса не имеет смысла без слово, оно не будет иметь смысла со словом.

Закон Мерфи для электриков: Любой провод, отрезанный до необходимой длины, будет слишком коротким.

Никогда не делайте ничего простого и эффективного, если есть способ сделать это сложный и замечательный.

Гарантия качества — нет.

Наблюдение Ральфа: Это ошибка позвольте любому механическому объекту понять, что вы торопитесь.

Правило Рапопорта на роликовых коньках Ключ: Некоторые предметы, которые имеют решающее значение для данная активность будет проявляться с необычной регулярностью до того дня, когда это планируется деятельность.На этом этапе рассматриваемый элемент исчезнет из лицо земли.

Закон Саттингера: Будет лучше, если вы включите его.

Закон Сигала: Человек с одними часами знает, который час. Мужчина с двумя часы никогда не бывает уверенным.

В технологиях преобладают те, кто управляет тем, чего не понимает.

Закон ремонта: Ремонт стоит дороже, чем покупка нового.

Инженер по обслуживанию никогда не видел такую модель, как ваша перед.

Чем больше стоит вещь, тем дальше нужно ее отправлять в ремонт.

Принцип в отношении многофункциональных устройств: Чем больше функций у устройства требуется выполнять, тем менее эффективно он может выполнять любой индивидуальный функция.

Теория сборки: Инструкции — это те, которые будут считаться последними прибегнуть.

Законы Мерфи о порядке вещей

Нога — приспособление для поиска мебели в темноте.

Свободный агент — это совсем не то.

Явление, известное каждому, кто когда-либо зажигал костры: вы можете бросить сожженный сопоставьте окно вашего автомобиля и разожгите лесной пожар, пока вы можете использовать два коробки спичек и целый выпуск воскресной газеты, не имея возможности Разожгите огонь под сухими поленьями в камине.

Смит и Вессон бьют четырех тузов.

Унция приложения стоит тонны абстракции.

Все, что происходит достаточно раз, чтобы вас раздражать, произойдет хотя бы один раз. более.

Изречение Аристотеля: Всегда следует предпочесть вероятное невозможное вероятному. невероятно возможно.

Артур К.Закон Кларка: Это еще не чтобы доказать, что интеллект имеет какое-либо значение для выживания.

Не спрашивайте, для кого телефонный звонок звонки … если ты в ванне, это звонит тебе.

Комментарий Берры: Это снова диджей-вю.

Лучше немного понять, чем многое понять неправильно.

Закон Болвана: Вы всегда найдете что-то, куда ни глянь.

Закон неизбежности Чисолма: Любой когда кажется, что дела идут лучше, вы что-то упустили. (Ширли Чисхолм)

Правило садоводства Диксона: Когда прополка, лучший способ убедиться, что вы удаляете сорняк, а не ценный растение стоит на нем натянуть. Если он легко выходит из-под земли, это ценный завод.

Заповедь Дюшара: Возможность всегда стучит в самый неподходящий момент.

Закон радиологии Эда: Чем холоднее рентгеновский стол, тем больше у вас тела. требуется разместить на нем.

Закон Эклундса: Вероятность совпадения события уменьшается по мере того, как количество совпадений вокруг события увеличивается.
Вероятность того, что кто-нибудь поверит единственному событие является совпадением, увеличивается по мере того, как количество совпадений, окружающих событие увеличивается.

Аксиома Эпштейна: За очень редкими исключениями, ничто не стоит усилий.

Наблюдение Эторре: Другая линия движется быстрее. Это относится ко всем строкам — банк, супермаркет, пункт взимания платы, таможня и т. Д. И не пытайся изменить линий. Другая линия — та, в которой вы были изначально — будет двигаться быстрее. (Барбара Этторе)

Все пойдет не так, как надо.

Следствие: Это время всегда, когда вы меньше всего этого ожидать.

Исключений всегда больше, чем правил.

Четвертый закон Фарбера: Необходимость — мать странных соратников.

Следствие Финагла: С учетом сезонных колебаний их всего шесть. месяцев в году.

Закон прогнозирования Файерстоуна: Цыпленок должен быть прав только один раз.

Мысль Фостера: Если таковы опросы Точно, почему так много опросных компаний?

Заключение Джентри: Добродетель — это просто порок в покое.

Плач Георгия: Единственное исключение к правилу, что то, что поднимается, должно опускаться, — это шасси.

Закон Герхардта: Если вы найдете что-то, что вам понравится, купите запас на весь срок службы. Они собираются прекратить это делать.

Законы Ада Геррольда Динамика:
1. Движущийся объект всегда будет двигаться в неправильном направлении.
2. Покоящийся объект всегда будет не в том месте.
3. Энергия, необходимая для изменения любого из этих состояний, всегда будет больше. чем вы хотите израсходовать, но никогда не настолько, чтобы полностью выполнить задачу невозможно.

Учитывая самый неподходящий момент для того, чтобы что-то пошло не так, именно тогда произойдет.

Ментал бабушки Блэкберна Umbrella: Всегда будьте готовы к худшему. Если это произойдет, вы готовы к этому. Если этого не произойдет, вы будете приятно удивлены.

Закон Гамперсона: Вероятность наступления данного события обратно пропорциональна пропорционально его желательности.

Тот, кто умирает с наибольшим количеством игрушек, тем не менее мертв.

Тот, кто колеблется, не только заблудился, но и находится в милях от следующего выхода.

Вероятно, тот, кто колеблется, прав.

Закон Генри Люса: Ни одно доброе дело не остается безнаказанным.

Закон больших проблем Хоара: Внутри каждой большой проблемы есть маленькая проблема пытается выбраться.

Закон Хофштадтера: Это всегда занимает больше времени, чем вы ожидаете, даже если вы берете Учитывать закон Хофштадтера.

Сколько длится минута, зависит от того, на какой стороне двери ванной вы находитесь.

Закон Хаббарда: Не относитесь к жизни слишком серьезно; живым из него не выберешься.

Если сначала вы сделаете удачными, постарайтесь не удивляться.

Если с первого раза у вас ничего не получится, прыжки с парашютом точно не для вас.

Если удача — это когда подготовка встречается с возможностью, тогда неудача должна быть когда плохое планирование встречает грузовик Mack.

Если ничего не может пойти не так, что-нибудь пойдет.

Все выглядит одинаково, если вы не ведущая собака.

Это ранняя пташка получает червя, но вторая мышь получает червяк. сыр.

Закон Дженкинсона: Это не сработает.

Закон Джерри: То, что все по-другому, не означает, что что-то измененный.

Закон Джухани: Компромисс всегда будет дороже, чем любой из предложения это компромисс.

Исправления Киплинга: Если вы сохраните Когда все вокруг теряют их, ты не понимаешь проблемы.

Закон невероятного Лаокона Щедрость: Дареному коню в зубы не смотрите, но проверьте греческих солдатиков. в другом месте его анатомии.

Законы Лангсама
1. Все зависит от обстоятельств.
2. Ничего не бывает всегда.
3. Все бывает иногда.

Закон Ларкинсона: Все законы в основном ложны.

Закон Лауры: Ни одного ребенка не рвет в ванной.

Закон вероятного рассеяния: Что бы это ни случилось, вентилятор не будет равномерно распределены.

Жизнь — это серия очень грубых пробуждений.

Закон Липпки: Когда мир падает в полное моральное разложение, не будь настолько стар, что не сможешь наслаждаться этим.

Правило лорда Фолкленда: Когда нет необходимости принимать решение, оно необходимо не принимать решения.

Любовные письма, деловые контракты и причитающиеся вам деньги всегда приходят через три недели. поздно, тогда как нежелательная почта приходит в день отправки.

Универсальный закон Мартина: Нет ничего настолько хорошего или плохого, что не могло быть расширился, чтобы быть больше.

Правило Матиса: Суеверным быть не повезло.

Закон Мескимена: Никогда не бывает времени делать это правильно, но всегда время делать это над.

Понедельник — ужасный способ провести 1/7 своей жизни.

Разъяснение Мерфи закона Томаса Вульфа: Вы можете снова вернуться домой — ты просто не могу там оставаться.

Закон избирательного тяготения Мерфи: Объект упадет, чтобы выжать максимум повреждать.

Следствие Дженнинга из закона избирательной гравитации Мерфи: Вероятность хлеб, падающий смазанной маслом вниз, прямо пропорционален стоимость ковра.

Законы Мерфи о прогрессе:
Ход прогресса: Большинство вещей постоянно ухудшаются.
Путь прогресса: сокращение — это наибольшее расстояние между двумя точками.
Диалектика прогресса: прямое действие порождает прямое противодействие.
Темпы прогресса: Общество — это мул, а не машина. Если нажать слишком сильно, он пнуть и сбросить всадника.

Разъяснение Ницше «Мне это нужно»: Необходимость — это интерпретация, а не факт.

Куда бы вы ни пошли, вы всегда там.( Buckaroo Bonzai )

Независимо от того, куда вы идете, это в гору и против ветра.

Невзаимные законы ожиданий: Отрицательные ожидания приводят к отрицательным Результаты. Положительные ожидания дают отрицательные результаты.

Дом Нормана Подсказка: Дайте мне Дом, где бродят буйволы, а у вас есть комната, полная буйволиного картофеля.

Нет ничего более неизбежного, чем ошибка, время которой пришло

Нет ничего хуже, чем не могло быть хуже.

Теорема Олера: Всем нужна определенный уровень страданий в его жизни, чтобы когда-либо быть счастливым.
Следствие 1: Если его страдания опускаются ниже критического уровня, он становится несчастным. и побуждает искать новые страдания.
Следствие 2: Когда его полное страдание достигает критического уровня, он становится счастливым. опять таки.

Закон Оливера о местонахождении: Неважно, где вы находитесь, вот и вы.

Закон сверстников: Решение проблемы меняет проблему.

Закон Перруссела: Нет работы настолько простой, чтобы ее нельзя было выполнить неправильно.

Закон Преудомма об мытье окон: Это с другой стороны.

Закон Паддера: Все, что хорошо начинается, плохо кончается. (Примечание: обратное закона Паддера не соответствует действительности.)

Скорбное размышление Рэя: Мир полна сюрпризов, из которых очень мало приятных.

Рюминация Реда: Даже с колпак, волк совсем не похож на бабушку.

Правило неудачи: Если сначала у вас не получится, уничтожьте все доказательства того, что вы пытался.

Правило причины: Если никто не использует его, есть причина.

Закон Сея: Ничего не выходит, как планировалось.

Второе правило защиты окружающей среды: Самый эффективный способ утилизации токсичные отходы — это переклассификация отходов как нетоксичных.

Закон Севарейда: Основная причина проблем — решения.

Глубокий постулат Сименона: Все пословицы противоречат друг другу.

Три закона Вселенной Слика:
1. Ничто в известной вселенной не движется быстрее, чем плохой чек.
2. Четверть унции шоколада равняется четырем фунтам жира.
3. Есть два типа грязи: темная, которая притягивается к свету. объекты, и светлый вид, который привлекает темные объекты.

Иногда ты собака, иногда — гидрант.

Закон Судера: Повторение не устанавливает действительности.

Закон Штейгера: Это так же плохо, как ситуация может измениться, но не стоит на нее рассчитывать.

Руминация Штейнмеца: Есть никаких глупых вопросов, и ни один человек не станет дураком, пока не перестанет задавать вопросы.

Закон отрицательного бездействия Стовалла: Единственное, что плохого в том, чтобы ничего не делать, это то, что никогда не знаешь, когда ты законченный.

Успех всегда происходит наедине, а неудача — на виду.

Комментарий кассира: Кто бы ни учился контролировать погоду уничтожит последнюю безопасную тему разговора.

Закон инноваций Термана: Если вы хотите, чтобы команда по легкой атлетике выиграла прыжок в высоту, вы найдете человека, который может прыгнуть семь ноги, а не семь человек, которые могут прыгнуть одной ногой.

Правило 50-50-90: Каждый раз, когда у вас есть 50-50 шансов получить что-то верно, вероятность того, что вы ошибетесь, составляет 90%.

Разбивается мешок с яйцами.

Лучший способ выиграть спор — быть правым.

Правило плотника: Крой по размеру; прибить на место.

Твердость масла прямо пропорциональна мягкости хлеба.

Скрытый недостаток никогда не остается скрытым.

Законы праздничной Турции:
Размер индейки не имеет никакого отношения к количеству получаемого хэша.
На любом ужине, на котором нарезается одна индейка, трое гостей будут попросите крылья.
Независимо от того, в какое время жена подает праздничный ужин, это заставит ее муж пропустил последнюю половину телевизионного футбольного матча.
Работа по разделке индейки всегда поручается человеку, наименее способному выполняя это.
Пространство, доступное в электрическом холодильнике, сжимается или расширяется в обратном направлении. соотношение к количеству остатков.

Закон о недопущении перепродажи: Помещая сыр в мышеловку, всегда оставьте место для мыши.

Закон здравого смысла: Никогда не принимайте выпивку от уролога.

Закон самопожертвования: Когда вы голодаете с тигром, тигр умирает от голода последний.

Закон волонтерства: Если вы танцуете с медведем гризли, вам лучше позволить его вести.

Чем больше вы жалуетесь, тем дольше Бог позволяет вам жить.

Единственная совершенная наука — это взгляд в прошлое.

Правило линейки: Прямых линий не существует.

Степень зуда обратно пропорциональна досягаемости.

Принцип запасных частей: Доступность при извлечении мелких деталей, падающих с рабочего стола напрямую зависит от размера детали и обратно пропорционально ее важности для завершение работ.

Телефон зазвонит, когда вы выйдете за дверь, пытаясь найти ключи.

Два закона фризби:
1. Самая мощная сила в мире — это диск, стремящийся приземлиться. под автомобилем, вне досягаемости (эта сила технически называется «автомобильный отстой»).
2. Никогда не предшествуйте любому маневру комментарием более предсказуемым, чем «Смотри!»

Вселенная неравнодушна к разуму, она активно враждебна Это.

The Unspeakable Law: Как только вы что-то упомянули…
… если хорошо, то уходит.
… если плохо, бывает.

«Где они, когда ты» Нужны они? »Принцип: Если мужчина однажды украл у вас, он дурак; если мужчина дважды у тебя ворует, ты дурак; если он украдет у вас трижды, шансы от восьми до пяти вор и агентство, отвечающее за защиту от краж, один и тот же.

В чулане есть что-то, что заставляет скелет беспокоиться.

Закон Тимьяна: Все сразу идет не так.

Две ошибки — это только начало.

Безымянный закон: Если это произойдет, то это должно быть возможно.

Мы рождаемся голыми, мокрыми и голодными. Потом дела идут хуже.

Первый закон Вайнберга: Прогресс достигается по альтернативным пятницам.

Закон Ветерна: Предположение — мать всех провалов.

Когда все идет своим чередом, вы выбираете неправильную полосу движения и идете по Неправильный путь.

Когда вы бросаете сдачу в торговый автомат, монеты упадут рядом, в то время как все остальные монеты скатятся из поля зрения.

Закон Уайтхеда: Очевидный ответ всегда упускается из виду.

Закон Вольфа, или оптимистический взгляд пессимистического мира: Дело не в том, что что-то обязательно пойдет не так (Мерфи Law), а скорее они потребуют гораздо больше времени и усилий, чем вы думаете. если они не ошиблись.

Невозможно определить, в каком направлении ехал поезд, глядя на рельсы.

Первый закон Зимурджи эволюции системной динамики: Как только вы откроете банку червей, единственный способ повторно использовать банку — это использовать большую банку.(Старые черви никогда умереть; они просто залезают в большие банки.)

.
Оставить комментарий on Второй замечательный предел примеры решения: Второй замечательный предел — примеры решений/

Решение сложных пределов: Сложные пределы и методы их решения
alexxlab / 15.09.197015.09.2022 / Разное

Методы решения пределов в картинках

Приводятся методы, применяемые при вычислении пределов функций в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка содержит основные формулы и понятия страницы, к которой она относится. Картинки сопровождаются заголовками, описаниями страниц и ссылками на них.

Здесь приводится содержание раздела «Методы вычисления пределов» в картинках. На изображениях, в кратком виде представлено содержание страниц раздела. На многих из них излагаются методы, применяемые при вычислении пределов. Рядом с каждым изображением имеется заголовок, описание страницы и ссылка на нее. Просматривая их, можно освежить в памяти применяемые методы и некоторые формулы, а также перейти на страницу с подробным изложением материала.

Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей
Изложены приемы и методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Рассмотрены следующие вопросы: пределы с непрерывными и сложными функциями; известные пределы; сведение неопределенности одного вида к другому; раскрытие неопределенностей с дробями из многочленов и корней; сравнение функций и решение разложением в степенной ряд; правило Лопиталя.
Примеры пределов с решениями
Страница содержит ссылки на 45 примеров решений пределов функций и 24 задачи на смежные темы. К смежным темам относятся задачи на применение определений предела последовательности и предела функции, а также задачи на непрерывность функции.
Замена переменной при решении пределов
Изложены правила, которые необходимо соблюдать, применяя замену переменной при решении пределов. Формальное применение подстановок, в некоторых случаях, может приводить к неверному результату. Приводится пример, в котором существуют промежуточные пределы, но предела исходной сложной функции не существует.
Решение пределов с дробями из многочленов
Изложены приемы и методы решения пределов дробей с отношениями многочленов. Рассмотрены неопределенности вида ∞ / ∞, 0 / 0 и ∞ &pm; ∞. Разобраны случаи, когда переменная стремится к бесконечности и к конечному числу. Для каждого варианта приводятся примеры с подробными объяснениями и ссылками на применяемые теоремы и свойства.
Решение пределов с корнями
Изложены методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей от функций с корнями. Рассмотрены следующие приемы: применение подстановки; применение формул разности квадратов (и других степеней) для линеаризации бесконечно малой части; деление числителя и знаменателя дроби на степенную функцию. Приводятся примеры с подробными решениями.
Доказательство первого замечательного предела и его следствий
Приводится доказательство первого замечательного предела и его следствий. Дается определение длины дуги окружности как верхней грани множества длин ломаных, вписанных в дугу.
Примеры решений задач с помощью первого замечательного предела
Собраны формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью первого замечательного предела. Даны подробные решения примеров с использованием первого замечательного предела и его следствий.
Доказательство второго замечательного предела и его следствий
Приводится доказательство второго замечательного предела и его следствий.
Примеры решений задач с помощью второго замечательного предела
Подробные решения примеров с использованием второго замечательного предела и его следствий. Формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью второго замечательного предела.
О большое и о малое. Сравнение функций
Даны определения о малого, о большого, эквивалентных (асимптотически равных) функций, функций одного порядка, и их свойства. Приводятся доказательства свойств и теорем. Эти свойства и теоремы используются для сравнения функций и вычисления пределов при аргументе, стремящемся к конечной или бесконечно удаленной точке.
Решение пределов, используя ряд Тейлора
Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ – ∞, один в степени бесконечность и 0/0.
Решение пределов функций, используя правило Лопиталя
Изложен метод решения пределов, используя правило Лопиталя. Приводятся формулировки соответствующих теорем. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞/∞, 0/0, 0 в степени 0 и ∞ – ∞, с помощью правила Лопиталя.
Применение эквивалентных функций при решении пределов
Изложен метод, позволяющий упростить вычисление пределов, применяя эквивалентные функции. Этот метод применим при вычислении пределов дробей с множителями в числителе или знаменателе. Дана таблица эквивалентных функций при x→0. Приводятся подробно разобранные примеры применения этого метода.

Правило Лопиталя: теория и примеры решений
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):
.
Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю:
.
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности:
.
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
.
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).
Замечания.
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена (применяя для этого формулы 1, 2 и 3 из таблицы производных), а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 7. Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8. Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 9. Вычислить
.
Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.
Посмотреть правильное решение и ответ.
Пример 10. Вычислить
.
Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.
Посмотреть правильное решение и ответ.
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 11. Вычислить
.
Решение. Получаем
(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как
а затем применили правила Лопиталя).
Пример 12. Вычислить
.
Решение. Получаем
В этом примере использовано тригонометрическое тождество .
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Получаем
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
Итак,
.
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Получаем
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
Итак,
.
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Получаем
Вычисляем предел выражения в показателе степени
Итак,
.
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: .
Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:
В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.
Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Назад Листать Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Весь блок «Производная»
Что такое производная

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Производные произведения и частного функций

Производная суммы дробей со степенями и корнями

Производные простых тригонометрических функций

Производная сложной функции

Производная логарифмической функции

Дифференциал функции

Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Правило Лопиталя

Частные производные

Методы решения пределов.
Неопределённости.Порядок роста функции
Предел функции — число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :
Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .
Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:
Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.
Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.
Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:
x → 2, x → 0, x → ∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:
Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:
Необходимо вычислить предел функции
Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя — это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ
Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x — 3 :
D = 2 2 — 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4
x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.
Таким образом, числитель будет таким:
Ответ
Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.
Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a — ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае — расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a — предельная точка области определения этой функции D(f), т. е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε — δ «
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,
Теорема 3.
(6.11)
где e » 2.7 — основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел
(6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
и непрерывной слева в точке x o, если предел
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода — в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|
Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n — 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
Пример 3.3 . . Найти .
Решение.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3.4 . Найти ().
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:
Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.
Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.
Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… — последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Пример 4
Найти предел
Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).
Если «икс» стремится к «минус бесконечности»
Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.
Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:
1) Вычислим предел
Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:
2) Вычислим предел
Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:
3) Вычислим предел
Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:
4) Вычислим предел
Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.
Пример 5
Найти предел
Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:
Решение тривиально:
Пример 6
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:
Пример 7
Найти предел
Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:
Решаем:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 15
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:
Пример 16
Найти предел
При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?
Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.
Проведем замену:
Если , то
Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .
Завершаем решение:
(1) Проводим подстановку
(2) Раскрываем скобки под косинусом.
(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .
Задание для самостоятельного решения:
Пример 17
Найти предел
Полное решение и ответ в конце урока.
Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)
В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:
Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»
Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.
Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?
На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):
Неопределённость можно устранить по формуле:
Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы:
1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .
2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.
С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :
В данном случае , и по формуле :
Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. 2 стремится к нулю.
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1
В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность — ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f»(x)/l»(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. (n-1)
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
формула, теорема, как найти предел
Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
Правило Лопиталя: история и определение
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.
Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.
Пределы
Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.
Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.
Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:
Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:
Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.
Неопределенности
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:
Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:
Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:
Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:
Таблица производных
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1
Найти предел по правилу Лопиталя:
Пример 2
Вычислить с использованием правила Лопиталя:
Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:
Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.
Предел функции простым языком — Altarena.ru — технологии и ответы на вопросы
Содержание
Предел функции: основные понятия и определения
Понятие предела
Что такое предел функции
Пределы
Что такое пределы простыми словами
Пределы в математике
Еще один пример
Предел последовательности
Можно сказать и так:
Зачем нужны пределы
Примеры из жизни
Пределы функций. Примеры решений
Видео
Предел функции: основные понятия и определения
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Решение
Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Решение
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Решение
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Источник
Пределы
Пределы — одни из самых трудных сущностей в математике для понимания. Сложно объяснить просто, что такое предел, поэтому чаще всего этого никто и не делает.
И тем более, мало к то из преподавателей может привести пример из жизни, когда пределы все-таки могут пригодится. Но мы попытаемся объяснить так, чтобы было и понятно и несложно и по сути. Как обычно «на пальцах».
Что такое пределы простыми словами
Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняется в остроумии не заботясь о доказательствах.
Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!
В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.
Говоря простым языком предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.
То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.
Пределы в математике
Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.
Давайте разделим число 10 пополам:
10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…
Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…
Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019
А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016
Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.
Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5… и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.
Еще один пример
Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» — 1/2=0,5.
Каждый раз, значение реально вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.
То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.
Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.
Предел последовательности
Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения. А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.
ε — это произвольное положительное число.
Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».
Можно сказать и так:
Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно. Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.
Математическим языком можно записать так: s-ε Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).
В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….
Зачем нужны пределы
Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.
Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.
В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.
В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.
Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.
Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.
x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.
Примеры из жизни
Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?
Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.
Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.
Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.
Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.
Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.
Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.
Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись. Но выскочив на эту высоту через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».
Посмотрите на картинку ниже, это наглядный пример такого явления как резонанс.
Колебание моста из-за резонанса
Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w₀-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.
Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.
Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.
Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.
И все же в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки. Но если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.
Источник
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:

Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.

Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:

,
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник
Видео
Пределы функций для чайников. Свойства пределов. Примеры решения
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов
Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline Математика
Что такое ПРЕДЕЛЫ. Математика на QWERTY
Математика без Ху{a59d68d9e85770d26d7f03ef1e17421f46fa783a9a8ee536de468ee46886eb77}!ни. Пределы, часть1. Неопределенность, раскрытие неопределенностей.
10 класс, 39 урок, Предел функции
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ решение пределов математика
27. Вычисление предела функции №1. Примеры 1-4
✓ Предел функции. Определение предела функции «по Коши» и «по Гейне» | матан #014 | Борис Трушин
Предел функции в точке. 10 класс.
Правила вычисления пределов — Мегаобучалка

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:
.

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:
.

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:
.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

.
6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

.

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.
Пример 2.1.Вычислить предел .
Решение.
.
Выражения вида , , , , , называются неопределённостями.
Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.
Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х.

Пример 2.2.Вычислить предел .
Решение.
Подставляя , получим неопределенность:

.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
;

Сократим на общий множитель и получим

.
Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени.
Пример 2.3. Вычислить предел .
Решение.При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x³.
.
Здесь учитывается, что .
При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.
Пример 2.4.Вычислить предел
Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1)^∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:
и
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.
Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.
Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)³ »237 (ден. ед.).
Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10)¹⁰ » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100)¹⁰⁰ » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000)¹⁰⁰⁰ » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
Пример 2.5.Вычислить предел функции
Решение.
Пример 2.6.Вычислить предел функции .
Решение.Подставляя получим неопределенность:

.
Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем
Здесь учитывается второй замечательный предел .
Пример 2.7.Вычислить предел функции
Решение.
.
Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.
Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.
Пример 2.8. Найти
Решение.При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

Непрерывность функции

Важным свойством функции является непрерывность.
Определение.Функция считается непрерывной, если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.
Математически это записывается так: при
Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных
Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:
1) функция определена в точке и ее окрестности функция ;
2) функция имеет предел при или, что равносильно, существуют и равны односторонние пределы и ;
3) предел функции при равен значению функции в точке .
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то точку называют точкой разрыва функции. Выделяют следующие типы точек разрыва.
1) Если в точке разрыва существуют односторонние конечные пределы функции, то называют точкой разрыва первого рода.
При этом если односторонние пределы совпадают, то называют точкой устранимого разрыва первого рода, если односторонние пределы не совпадают, то называют точкой конечного разрыва первого рода (или точкой скачка)
2) Если в точке хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или бесконечен, то называют точкой разрыва второго рода.
Пример 2.9.Найти точки разрыва функции:
Решение.Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы
Следовательно, , значит — точка устранимого разрыва
Производная функции

методов оценки пределов | Что такое методы оценки пределов — примеры и решения

Теперь мы обсудим различные методы, используемые для получения пределов. Каждый метод будет сопровождаться несколькими примерами, иллюстрирующими этот метод.

(A)         ПРЯМАЯ ПОДСТАВКА

Это уже упоминалось в начале текущего раздела, где мы видели, что для непрерывной функции предел может быть получен прямой подстановкой.
95} — 4x + 3}}\end{align}\)

Мы видим, что при подстановке x = 1 и числитель, и знаменатель становятся равными 0.

Следовательно, ( x – 1 ) является множитель числителя и знаменателя (теорема о множителях)

Факторизация приводит к

(C) РАЦИОНАЛИЗАЦИЯ

В этом методе рационализация неопределенного выражения приводит к определенному. Следующие примеры развивают этот метод.
92}\,.\,\,\frac{1}{{\cos \,h}} \end{align}\]

Теперь это выражение содержит только пределы $\mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1$

Следовательно, окончательный результат: $\frac{1}{{16}}$

Теперь мы рассмотрим примеры, основанные на рассмотренных выше методах. Мы настоятельно рекомендуем вам сначала опробовать все эти примеры самостоятельно, прежде чем просматривать решения.

Алгебраическое нахождение пределов
Алгебраическое нахождение пределов
К концу этой лекции вы должны быть в состоянии распознать, какие неопределенные выражения являются определенными, а какие нет, и вы должны быть в состоянии использовать эти знания для решения предельных задач, переписывая их алгебраически, пока не получите определенную форму. В частности, вы должны уметь находить пределы на бесконечности и определять, когда пределов не существует (а когда их не существует, объяснять почему). Вы также должны уметь правильно использовать предельные обозначения.

Прежде чем мы начнем эту лекцию, мы хотим напомнить себе об определении алгебры, которое будет важно при алгебраическом расчете предельных задач:

Определение: undefined

Помните, что в алгебре мы иногда получаем выражения, которые undefined . Неопределенное выражение — это выражение, которое не имеет одного четкого значения. Например, если бы мы могли доказать, что выражение имеет два разных значения, то это выражение было бы неопределенным, потому что мы не допускаем, чтобы выражения были равны двум различным значениям. вещи сразу (потому что это привело бы к сумасшедшим противоречиям вроде 2=5!).

Другая причина, по которой выражение может быть неопределенным, заключается в том, что оно не определено по отношению к набору чисел, с которым мы сейчас работаем. Например, если мы работаем только с набором действительных чисел, любое выражение, которое дает нам мнимое или комплексное число в качестве нашего ответа, будет неопределенным в наборе действительных чисел. Мы не всегда очень четко говорим, с каким набором чисел мы работаем, но на протяжении этого занятия мы будем рассматривать только действительные числа (обратите внимание, что на наших графиках нет возможности отобразить воображаемое или сложное число). количество).

Например, вы должны были столкнуться с подобными задачами на предыдущем уроке алгебры

2/0 не определено, потому что у нас нет хорошего способа определить это математически, не приведя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать n . Тогда по определению мы бы имели:

Но это противоречие! Два НЕ равно нулю!
На самом деле, мы замечаем, что НЕТ значения, которое мы могли бы подставить для n в приведенном выше уравнении, которое сделало бы это уравнение верным, потому что независимо от того, какое значение мы пытаемся использовать для n , утверждение 2 = n ·0 НИКОГДА не будет истинным. Таким образом, мы никак не можем понять число, имеющее ноль в знаменателе, потому что нет никакого способа определить единственное значение, равное этому числу.

0/0 не определено, потому что, как и 2/0, у нас нет хорошего способа определить это математически, не приведя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать 9.0013 п . Тогда по определению у нас будет:

Сначала это кажется правильным, потому что любое значение, которое мы подставим для n , сделает уравнение верным. Однако проблема именно в этом: ЛЮБОЕ значение, которое мы подставим вместо n , сделает уравнение верным, поэтому 0/0 можно определить как множество различных НЕРАВНЫХ возможных значений. Другими словами, ему нельзя присвоить только одно значение, не присвоив ему также другие неравные значения. Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим простое уравнение:

Но это противоречие! Один НЕ равен двум!
Таким образом, мы никак не можем понять число, в знаменателе которого ноль, даже если оно также имеет ноль в числителе.

В этом случае не определено в наборе действительных чисел всякий раз, когда n отрицательно, потому что в этом случае будет получено мнимое число. Поскольку не может быть равно никакому РЕАЛЬНОМУ числу, когда n отрицательно, оно не определено в наборе действительных чисел (но не в наборе комплексных чисел, который включает мнимые числа).

Это пример неопределенного выражения, которое вы, возможно, раньше не видели. Однако мы можем быстро увидеть, что оно не определено, потому что его можно переписать как выражение 0/0, которое, как мы уже знаем, является неопределенным:

Поскольку 0/0 не определено, 0 ⁰ также должно быть неопределенным, поскольку мы имеем только что показал, что эти два выражения эквивалентны.
(Вообще-то иногда математики решают считать 0 ⁰ равным 1, хотя неясно, так ли это — это скорее условность. Чтобы прочитать интересное обсуждение того, как и почему это делается, посмотрите на этой странице!)

Когда мы алгебраически вычисляем предельные задачи, мы часто получаем в качестве исходного ответа что-то неопределенное. Это связано с тем, что «интересными» местами для поиска пределов являются места, где функция undefined . Поскольку функция f(x) не определена при x=c , f(c) даст неопределенное выражение. Однако нам важно помнить, что при расчете предела f(x) как x→c нас интересует не поведение f(x) AT c , а скорее поведение f(x) ВОКРУГ c . Итак, это приводит нас к мотивирующему вопросу этой лекции:
.

Когда мы получаем неопределенное значение в f(c) , может ли тип полученного неопределенного значения рассказать нам что-нибудь о поведении f(x) ВОКРУГ x=c ?
В оставшейся части лекции мы поиграем с примерами предельных задач, пытаясь ответить на этот вопрос!

Начнем с того, что вспомним Пример №2 из прошлой лекции:

График f(x) представлял собой линию с дыркой в точке x = -2:

В этом случае, когда мы заменили f(x) на x -2, мы на самом деле заменили f(x) , то есть линию с отверстием в точке x = -2, на y = x -2, то есть та же самая линия без отверстия. Эти две функции не полностью идентичны, но они идентичны везде, кроме точки 9.0013 x = -2, это все, что имеет значение при расчете лимита. Чтобы две функции имели один и тот же предел при x = -2, все, что нам нужно, это чтобы они были идентичны в некотором интервале вокруг x = -2 (но НЕ обязательно при x = -2).

Итак, подытожим шаги, с которыми мы столкнулись при решении этих задач:

Мы попытались вычислить f(c) напрямую, но обнаружили, что оно не определено (в данном случае потому, что оно равно 0/0).

Мы нашли способ заменить f(x) другой функцией, которая совпадает с f(x) везде, за исключением x=c (в этом случае путем факторизации верхней и нижней части дроби и сокращая общий множитель).

Мы вычислили предел этой новой функции, заменив x на на , и на этот раз мы получили значение, которое не было неопределенным. Поскольку новая функция такая же, как и f(x) везде, кроме x=c , пределы обеих функций одинаковы, поэтому мы можем заключить, что предел f(x) одинаков.

Мы увидим, что та же самая закономерность встречается во многих предельных задачах, которые мы будем решать. Единственным основным отличием будет то, что иногда тип неопределенного значения, которое мы получаем, скажет нам что-то о поведении f(x) в интервале около x=c , а иногда неопределенная форма не даст нам достаточно информации о том, что происходит с f(x) вокруг x=c , и в этом случае нам нужно будет выполнить дополнительные шаги алгебры, как мы сделали выше, чтобы переписать f(x) так, чтобы подставить c для x даст нам конкретную информацию о поведении f(x) вокруг x=c .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Но перед тем, как мы углубимся в примеры, давайте немного проясним некоторые обозначения:

Обозначение: Использование 0 и ∞ при расчете пределов.

В прошлой лекции мы видели, как мы можем вычислить f(c) в качестве одного шага к попытке определить предел f(x) , когда x приближается к c . В случаях, когда f(c) существует, это просто, потому что тогда предел будет равен f(c) . Однако в большинстве случаев мы вычисляем предел именно потому, что f(c) НЕ существует, и в этих случаях вычисление f(c) всегда будет давать неопределенное выражение. В этих случаях, когда мы вычисляем f(c) , на самом деле мы думаем о том, что такое f(c ⁺ ) и f(c ^— ) .

Другими словами, мы должны помнить, что , когда мы пытаемся оценить предел, подставляя c вместо x , мы НЕ подставляем значение c точно , а скорее мы подстановка значений, произвольно БЛИЗКИХ к c , но фактически НЕ РАВНЫХ c.

Ноль:
Например, если мы говорим, что как x→c , на самом деле мы имеем в виду, что f(x) является дробью, для которой верхнее и нижнее значения произвольно близки к ноль по мере того, как x становится все ближе и ближе к c . Однако ни верх, ни низ дроби никогда не достигают нуля. Другими словами, и верх, и низ f(x) уменьшаются по величине по мере того, как x становится все ближе и ближе к с . Таким образом, нули в выражении INSERT на самом деле НЕ являются нулями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень маленькую величину (т. е. очень близки к нулю) .

Бесконечность:

Точно так же, когда мы используем обозначение ∞ при вычислении пределов, мы на самом деле не имеем в виду бесконечность. Помните, что то, что мы подразумеваем под ±∞, на самом деле является просто паттерном неограниченного поведения, когда величина чисел неограниченно возрастает.

Итак, например, если я нахожу, что x → -∞, то на самом деле это означает, что f(x) является выражением, для которого первый и второй члены оба становятся произвольно большими по величине как x становится все более и более отрицательным . Однако ни первый, ни второй член выражения никогда не достигают бесконечности, потому что это невозможно. Бесконечность — это не то число, которого можно достичь. Другими словами, и первый, и второй член в f(x) неограниченно растут по величине, поскольку x становится все более и более отрицательным . Итак, знаки бесконечности в выражении INSERT NOTATIONEX2.GIF HERE на самом деле НЕ являются бесконечностями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень большие величины (т. е. очень и очень далеки от нуля) .

При вычислении предельных выражений и 0, и ∞ заменяют тип ПОВЕДЕНИЯ ВОКРУГ
x=c :

0 обозначает некоторое число, сколь угодно близкое к нулю;

+∞ обозначает произвольно большое число; и

-∞ обозначает некоторое число, которое является отрицательным, но имеет сколь угодно большую величину.

Теперь давайте перейдем к этим примерам!

Алгебраическое вычисление пределов: примеры

Пример 1: Когда
f(c) дает неопределенное выражение a/0, где a≠0
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида a/0, где a ≠0 (т. е. дробь, где верхнее число представляет собой некоторое фиксированное ненулевое значение, а нижнее число равно нулю):

В этом случае f(x) → -∞ как x → -2 справа, потому что f(x) приближается как x приближается к -2 справа. Другими словами, когда x приближается к -2 справа, числитель f(x) становится очень близким к -2, в то время как величина знаменателя становится все меньше. Если мы разделим числа, сколь угодно близкие к -2, на положительные числа со все меньшей величиной, в результате мы получим отрицательные числа со все большей величиной. И если поместить в знаменатель числа с достаточно малой величиной, мы можем получить числа с такой большой величиной, как мы хотим — так что это поведение неограниченно. В результате можно сказать, что f(x) будет неограниченно уменьшаться как x приближается к -2 справа, и мы можем написать, что f(x) → -∞ как x → -2 .

Пример 2: Когда
f(c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f(x) , поскольку x приближается к c , является определенным конечным ненулевым числом
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида 0/0, но после замены f(x) 9 с помощью алгебры0014 с аналогичным выражением, которое совпадает с (но НЕ AT) x=c , мы сможем рассчитать фактический предел. Этот предел окажется конкретным конечным числом, не равным нулю в данном случае.

В этом случае f(x) приближается к 0/0, когда x приближается к 0. Другими словами, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f(x) растут. все меньше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел со все более малой величиной на другие числа со все более меньшей величиной может привести к ряду различных результатов: зависит от того, насколько «маленькая» величина числителя по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, в этом случае нам нужно искать способ заменить f(x) аналогичной функцией, которая будет такой же, как f(x) все ВОКРУГ x=c , но не обязательно AT х=с . Для этого мы спросим себя, есть ли какая-либо алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f(x) без изменения его значения нигде, кроме x=c . В этом случае, поскольку f(x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был сокращен — это может затем позволить нам что-то отменить. верха и низа дроби. (Мы не сможем полностью избавиться от радикала и сохранить функцию примерно x=c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)

Прежде чем перейти к другим примерам, которые помогут нам лучше понять, что может произойти, когда мы получим неопределенную форму 0/0 для f(c) , давайте на минутку отметим, как мы подошли к решению этой проблемы, которая будет один и тот же базовый подход для ВСЕХ примеров в этой лекции (и вообще для алгебраического вычисления пределов):

Большая идея: алгебра — это всего лишь способ поиска структуры.

Нам часто нужно, чтобы выражения, уравнения или другие математические объекты имели КОНКРЕТНУЮ СТРУКТУРУ, чтобы мы могли применить к ним определенное правило или использовать определенную технику.

Например, вы можете вспомнить, что на предыдущем уроке алгебры, когда вы хотели решить квадратное уравнение, вам нужно было, чтобы оно было в форме a x ² + bx + c = 0, поэтому что вы могли бы разложить выражение в левой части уравнения, а затем установить каждый множитель равным нулю (потому что, если несколько вещей умножаются вместе, чтобы получить ноль, вы можете сделать вывод, что по крайней мере один из этих множителей должен быть равен нулю). Если вы столкнулись с квадратным уравнением, которое не было в этой форме (например, 4 — x ² = -4x, например), вам нужно будет выполнить алгебраические операции над уравнением, чтобы вы могли заменить исходное уравнение эквивалентным уравнением, которое имеет форму, которую вы хотите . В этом случае два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений (те же значения x , которые делают уравнение верным). Так, например, если бы я хотел поставить 4 — x ² = -4x в виде a x ² + bx + c = 0, я могу переставить члены уравнения так, чтобы оно выглядело так: 1 x ² + -4x + -4 = 0. те же решения, что и исходное уравнение 4 — x ² = -4x, но оно записано в нужной нам форме (потому что в этой новой форме легко разложить на множители, а затем решить).

Прямо сейчас мы заинтересованы в поиске пределов, и единственный способ, которым мы знаем, как найти пределы, — это просто подставить c для x и вычислить f(c) . Но иногда это не работает — иногда простое подключение c для x дает нам что-то, что не определено, например . Поэтому в этих случаях мы хотим спросить себя: «Какая основная структура в этом выражении приводит к тому, что оно становится неопределенным, когда я подставляю c вместо x , и есть ли способ заменить его другим? выражение, одинаковое везде вокруг x=c , но который не даст неопределенного результата, когда мы подключим c для x ?».

Таким образом, в будущем всякий раз, когда мы получим неопределённую форму для f(c) , первое, что мы спросим себя, это: «Как мы можем переписать f(x) , чтобы получить что-то эквивалентное (по крайней мере, вокруг x=c ), но который имеет другую структуру , которая поможет нам избежать именно этой неопределенной формы?
Пример 3: Когда
f(c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f(x) при приближении x к c равен нулю
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида 0/0, но после замены f(x) с помощью алгебры на аналогичное выражение, которое совпадает с ( но НЕ В) x=c , мы сможем рассчитать фактический предел. В этом случае этот предел окажется равным нулю.

Как и в последнем примере, f(x) приближается к 0/0, когда x приближается к 0. Опять же, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f(x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно для того, чтобы сделать вывод о пределе, потому что зависит от того, насколько «маленькой» является величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .

Так же, как и в последнем примере, в этом случае нам нужно искать способ заменить f(x) аналогичной функцией, которая будет такой же, как f(x) все ВОКРУГ x=c , но не обязательно AT x=c . Снова мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебраическая формула, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f(x) , не изменяя его значение нигде, кроме x=c . В этом случае, поскольку f(x) содержит радикал в знаменателе, один из возможных подходов для нас состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в знаменателе был сокращен — это может позволить нам что-то отменить. верха и низа дроби. (Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и при этом сохранить ту же функцию около x=c , но мы можем переместить его, например, из знаменателя в числитель.)

Пример 4: Когда
f(c) дает неопределенное выражение 0/0, но f(x) → ± ∞, поскольку x приближается к c
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида 0/0, но после замены f(x) с помощью алгебры на аналогичное выражение, которое совпадает с ( но НЕ В) x=c , мы сможем рассчитать фактический лимит. В этом случае предела не будет, потому что f(x) будет неограниченно уменьшаться, когда x приближается к 0 слева, и неограниченно увеличиваться, когда x приближается к 0 справа.

Как и в последних двух примерах, f(x) приближается к 0/0, когда x приближается к 0. Опять же, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f(x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно для того, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что зависит от того, насколько «маленькой» является величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от отношения между числителем и знаменателем .

Так же, как и в последних двух примерах, в этом случае нам нужно искать способ заменить f(x) аналогичной функцией, которая будет такой же, как f(x) все ВОКРУГ x=c , но не обязательно AT x=c . Снова мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебраическая формула, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f(x) , не изменяя его значение нигде, кроме x=c . В этом случае, поскольку f(x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был сокращен — это может затем позволить нам что-то отменить. верха и низа дроби. (Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и при этом сохранить ту же функцию около x=c , но мы можем переместить его, например, из числителя в знаменатель.)

Эта проблема аналогична примеру 1 выше. В этом случае f(x) → -∞, поскольку x → 0 слева, потому что f(x) приближается, когда x приближается к 0 слева. Другими словами, когда x приближается к 0 слева, числитель f(x) становится очень близким к 1, в то время как величина знаменателя становится все меньше, и деление относительно фиксированного положительного числа (например, 1) на отрицательные числа со все меньшей величиной в результате мы получаем отрицательные числа со все большей величиной. И, как и в примере 1, это поведение не ограничено (поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой захотим). Таким образом, мы можем сказать, что f(x) будет неограниченно уменьшаться по мере приближения x к 0 слева, и мы можем написать, что f(x) → -∞ как x → 0 ^— . Аналогично, f(x) →∞, поскольку x → 0 справа, потому что f(x) приближается к x , приближаясь к 0 справа.

Чем отличаются примеры 1, 2, 3 и 4?

Давайте вспомним эти четыре примера и суммируем различия между этими четырьмя похожими задачами. В каждом из этих примеров f(x) была дробью, которая имела ноль в знаменателе , когда мы заменили c на x , но в каждом случае числитель и знаменатель f(x) имели разные соотношения как x все ближе и ближе к c :

В примере 1 по мере того, как x приближались к c , числитель f(x) приближался к фиксированному числу, а величина знаменателя уменьшалась на неопределенный срок. Это привело к числам с величиной, которая неограниченно увеличивалась (поскольку деление относительно фиксированного значения на числа, которые когда-либо приближаются к нулю, приводит к числам со все более высокой величиной, и поскольку, делая величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с такой большой величиной, как мы хотим).

В примерах 2, 3 и 4 по мере того, как x приближались к c , значения как числителя, так и знаменателя f(x) уменьшались на неопределенный срок. Однако:

В примере 2 величины числителя и знаменателя уменьшались примерно с «одной и той же» скоростью, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем фиксированное значение, очень близкое к 1/2. (В этом случае мы не можем увидеть, что они будут «сжиматься примерно с одинаковой скоростью» напрямую; мы можем определить это, только сначала переписав функцию с помощью алгебры.)

В примере 3 величина числителя уменьшалась гораздо быстрее, чем величина знаменателя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, все более близкие к нулю. (В этом случае может быть трудно увидеть, что величина числителя будет уменьшаться «намного быстрее», но опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры. )

В примере 4 величина знаменателя уменьшалась гораздо быстрее, чем величина числителя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, имеющие все большую неограниченную величину. (В этом случае может быть трудно увидеть, что величина знаменателя будет уменьшаться «намного быстрее», но опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)

Итак, какой здесь более крупный паттерн?

Четыре примера, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

Когда f(c) = a/0 для некоторого a ≠0, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f(x) → ± ∞ as x → c , потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе к нулю, приводит к числам со все большей величиной, и потому, что, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с такой большой величиной, как мы хотим.

Когда f(c) = 0/0, то этой информации НЕ достаточно, чтобы сказать нам что-либо о том, что происходит с f(x) , поскольку x → c , потому что это не говорит нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем . Мы знаем, что величины как числителя, так и знаменателя бесконечно уменьшаются, но мы не знаем, уменьшаются ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно постоянным) или если величина одного из них уменьшается «намного быстрее», чем другого (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю либо уменьшается до нуля, либо неограниченно увеличивается/уменьшается).

В этом случае мы должны использовать алгебру, чтобы заменить f(x) аналогичной функцией (то же самое, что f(x) ВОКРУГ, но не обязательно В x=c ) которая НЕ дайте нам 0/0, когда мы подключим c для x .

Заметим, что ОБА a/0 (когда a ≠0) и 0/0 не определены , но a/0 говорит нам кое-что о поведении предела (даже если оно не определено) , а 0/0 не дает нам никакой полезной информации о поведении лимита .

Итак, всякий раз, когда мы получаем неопределенное значение для f(c) , нам нужно будет остановиться и спросить себя, говорит ли полученная нами неопределенная форма что-нибудь о предельном поведении f(x) ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО x= c или не . Это приводит нас к нескольким определениям, которые мы будем использовать для описания этого различия:

Определение: Неопределенные и определенные формы

Когда мы ищем lim _x _→c f(x) и подставляем c вместо x , получается неопределенное выражение для f(c) равно определить , если это дает нам достаточно информации, чтобы определить, каково предельное поведение f(x) ВОКРУГ x=c , без необходимости выполнять дальнейшие вычисления. (например, a/0 для a ≠0)

Это неопределенное выражение будет неопределенным , если существует более одного возможного типа предельного поведения f(x) ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО x=c , которое может привести к этому конкретному неопределенному выражению. Другими словами, неопределенная форма не дает нам достаточно информации, чтобы определить, как ведет себя f(x) ВОКРУГ x=c , поэтому нам придется выполнить дальнейшие вычисления, чтобы понять это. (например, 0/0)

Осторожно! Обратите внимание, что эти определения имеют значение только при расчете лимита. Если я просто решаю задачу по алгебре и получаю в качестве ответа a/0 или 0/0, мой окончательный ответ на эту задачу будет просто таким: undefined . Мне было бы неправильно в этом контексте говорить что-либо об определенных или неопределенных формах, потому что я не исчисляю предела!

Теперь давайте вернемся к еще нескольким примерам, которые дают нам другие неопределенные выражения, когда мы вычисляем f(c) , и давайте посмотрим, сможем ли мы определить, какие неопределенные значения для f(c) являются неопределенными, а какие определенными формами!

Пример 5: Когда
f(c) дает неопределенное выражение b /±∞
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида b/±∞ (т. е. дробь, где верхнее число — некоторое фиксированное значение, а нижнее — бесконечность):

В данном случае f(x) → 0 как x → -∞, потому что f(x) приближается по мере неограниченного роста величины x . Другими словами, поскольку x безгранично уменьшается (то есть становится все более и более отрицательным), числитель f(x) становится очень близким к 3, а величина знаменателя становится все больше. Если мы разделим числа, сколь угодно близкие к 3, на отрицательные числа со все большей величиной, в результате мы получим отрицательные числа со все более меньшей величиной. Так мы получаем числа, которые все ближе и ближе к нулю. В результате можем написать, что f(x) → 0 как x → -∞ .

Пример 6: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ±∞/ b
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида ±∞/b (т. е. дробь, где нижнее число — некоторое фиксированное значение, а верхнее — бесконечность):

В этом случае f(x) → +∞, поскольку x → +∞, потому что f(x) приближается к величине x растет без ограничений. Другими словами, по мере неограниченного увеличения x знаменатель f(x) становится очень близким к 0, а величина числителя становится все больше. Если мы разделим положительные числа, имеющие все большую величину, на положительные числа со все меньшей величиной (т. е. близкие к нулю), в результате мы получим положительные числа со все большей величиной. В результате мы можем написать, что f(x) → +∞ при х → +∞ .

Пример 7: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ±∞/±∞, но фактический предел f(x) , поскольку x приближается к c , равен нулю
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , мы сначала получим выражение вида ±∞/±∞, но после замены f(x) с помощью алгебры на аналогичное выражение, которое является тем же как x → -∞, мы сможем рассчитать фактический предел. В этом случае этот предел окажется равным нулю.

В этом случае f(x) приближается к ∞/-∞, как x приближается к -∞. Другими словами, по мере неограниченного роста величины x величины как числителя, так и знаменателя f(x) становятся все больше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел со все большей величиной на другие числа со все большей величиной может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «велика» величина числителя по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, в этом случае нам нужно искать способ заменить f(x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f(x) как x → -∞ (но не обязательно везде в других местах). ) . Для этого мы спросим себя, есть ли какая-либо алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f(x) без изменения его значения на отрицательные x -значения с особенно большой величиной. В этом случае проблема, по сути, состоит в том, что в есть x , как в числителе, так и в знаменателе: это означает, что всякий раз, когда мы подставляем -∞ вместо x , мы неизбежно получим знак бесконечности. и числитель и знаменатель. Итак, нам нужно придумать что-то, что мы можем сделать, чтобы «переписать» f(x) так, чтобы мы могли избавиться от x либо в числителе, либо в знаменателе. Это изменило бы форму, которую мы получаем, когда мы вычисляем f(c) из неопределенной формы ±∞/±∞ в определенную форму, которая равна либо b/±∞, либо ±∞/b, и мы знаем, что и что .

Итак, чтобы сделать это, мы начнем с того, что заметим, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «сократить» степени x в числителе, чтобы числитель не стремился к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Существует несколько способов решения этой проблемы. Метод, использованный выше, является лишь одним из примеров, но предел также можно найти другим способом, используя аналогичный алгебраический метод, но на этот раз путем деления на наибольшую степень x в целом, а не просто на наибольшую степень 9.0013 х в числителе. Обратите внимание, что оба метода работают одинаково хорошо, помогая нам найти предел, давая одинаковые ответы в обоих случаях:
.

Пример 8: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ±∞/±∞, но фактический предел f(x) при приближении x к c является фиксированным ненулевым числом
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , так же, как и в предыдущем примере, мы сначала получим выражение вида ±∞/±∞, но на этот раз после замены алгеброй f(x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы сможем вычислить фактический предел. Этот предел окажется равным 2.

Аналогично последнему примеру, f(x) приближается к ∞/∞, как x приближается к -∞. Как и прежде, по мере неограниченного роста величины x , величины как числителя, так и знаменателя f(x) растут все больше, и опять-таки этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о ограничение, потому что мы ничего не знаем о соотношение между числителем и знаменателем еще.

Итак, как и в предыдущей задаче, нам нужно искать способ заменить f(x) аналогичной функцией, которая будет такой же, как f(x) при x → -∞, и снова мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, как и в последнем примере, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «обнулить» степени x в числителе, чтобы числитель не стремился к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Пример 9: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ±∞/±∞, но f(x) → ± ∞, поскольку x приближается к c
В этом примере, когда мы вычисляем f(c) , так же, как и в последних двух примерах, мы сначала получим выражение вида ±∞/±∞, но на этот раз после замены алгеброй f(x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы найдем, что f(x) →-∞ как x → -∞.

Аналогично последнему примеру, f(x) приближается к -∞/∞, как x приближается к -∞. Как и прежде, по мере неограниченного роста величины x , величины как числителя, так и знаменателя f(x) растут все больше, и опять-таки этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о ограничение, потому что мы ничего не знаем о соотношение между числителем и знаменателем еще.

Так же, как и в последних двух задачах, нам нужно искать способ заменить f(x) аналогичной функцией, которая будет такой же, как f(x) при x → -∞, и снова используя тот же подход, что и в этих задачах, мы замечаем, что наибольшая степень х в числителе равна в числителе и знаменателе на x ³ , мы могли бы «обнулить» степени x в числителе, чтобы числитель не стремился к (отрицательной) бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Какой рисунок больше в данном случае?

Пять примеров, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

Когда f(c) = b/±∞, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f(x) → 0 как x → c , потому что деление относительно фиксированного значения на числа с возрастающей величиной приводит к числам, которые все ближе к нулю.

Когда f(c) = ±∞/b, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f(x) → ±∞ как x → c , поскольку деление значения на — увеличение величины со значением, которое остается относительно фиксированным, приводит к числам со все большей и большей величиной, и мы можем получить в результате число любой величины, сделав величину числителя достаточно большой.

Когда f(c) = ±∞/±∞, то этой информации НЕ достаточно, чтобы сказать нам что-нибудь о том, что происходит с f(x) как x → c , потому что это не Расскажите нам что-нибудь об отношении между числителем и знаменателем . Мы знаем, что величины как числителя, так и знаменателя неограниченно растут, но мы не знаем, растут ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно постоянным) или если величина одного из них растет «гораздо быстрее», чем другого (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю либо уменьшается до нуля, либо неограниченно увеличивается/убывает).

В этом случае мы должны использовать алгебру, чтобы заменить f(x) аналогичной функцией (то же самое, что f(x) ВОКРУГ, но не обязательно В x=c ) которая НЕ дайте нам ±∞/±∞, когда мы подставим c вместо x .

До сих пор мы рассматривали две категории детерминантных и недетерминантных форм:

a/0, где a ≠0, — это определенная форма, стремящаяся к ±∞, а 0/0 — неопределенная форма.

b/±∞ — детерминированная форма, стремящаяся к 0; ±∞/b — детерминантная форма, стремящаяся к ±∞; и ±∞/±∞ — неопределенная форма.

Но это не единственные два примера форматов, производящих детерминантные и недетерминантные формы. Есть ряд других детерминантных и недетерминированных форм, с которыми мы столкнемся, пытаясь решить предельные задачи алгебраически. Вот таблица, которая показывает все детерминантные и недетерминантные формы:

Справочная таблица: неопределенные и детерминированные формы

Определяющие и неопределенные формы
Здесь ∞ = +∞, a, b, и c — произвольные фиксированные действительные числа, a ≠0, c ≠1, c >0.
Неопределенные формы Определяющие формы

Осторожно! Заметим, что когда выражение содержит символ ± более чем в одном месте, ± не обязательно означает одно и то же в обоих местах! Например, если у нас есть a ·±∞ → ±∞, знак ± слева от стрелки и знак ± справа от стрелки могут не иметь одного и того же знака: если a отрицательно, они будут иметь противоположные знаки, например .

Таким образом, каждый раз, когда мы вычисляем f(c) , подставляя c вместо x , когда наша цель действительно состоит в том, чтобы найти предел f(x), поскольку x приближается к c, мы знаем, что если результат находится в списке неопределенных форм выше, нам нужно будет проделать дополнительную работу, прежде чем мы сможем вычислить предел (обычно путем перестановки f(x) с помощью некоторой алгебры). Однако, если выражение, которое мы получаем для f(c) , находится в списке форм определителя, мы уже знаем, каким будет предел f(x) , когда x приближается к c .

Но мы не хотим просто слепо использовать этот список! Если мы просто будем искать значения в этом списке, не понимая, почему выражения слева неопределимы, а выражения справа являются определяющими, мы, вероятно, в какой-то момент совершим ошибку и применим эти идеи неправильно. Кроме того, нам гораздо легче понять, почему каждая из этих форм является определяющей или неопределенной, чем просто запомнить список, не понимая его. Легко забыть список выражений, которые мы запомнили, но гораздо труднее забыть идею, которую мы на самом деле понимаем. Итак, Настоятельно рекомендую убедиться, что вы понимаете, как объяснить своими словами, почему каждая из этих форм является либо неопределенной, либо определяющей (и если она является определяющей, то каково будет значение предела).

Мы уже рассмотрели примеры и обсудили, как мы классифицировали первые две строки таблицы как определяющие или неопределенные, поэтому теперь давайте рассмотрим некоторые другие выражения:

В чем разница между ∞ — ∞ и ∞+∞?

В третьей строке нашей таблицы мы замечаем, что ∞ — ∞ (или -∞+∞) является неопределенным, а ∞+∞ (или -∞ — ∞) является определяющим — почему это так? Давайте подумаем об этом, а затем разработаем несколько предельных примеров. Мы видим, что ∞+∞ должно стремиться к ∞, потому что сложение двух значений вместе, оба из которых неограниченно возрастают, просто даст нам третье значение, которое также неограниченно возрастает. (Аналогично -∞ — ∞ даст нам что-то, что неограниченно убывает.)

Однако, если мы подумаем об ∞ — ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым значением:

Возможно, величина первого значения увеличивается «гораздо быстрее», чем второе значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к +∞.

Возможно, величина второго значения увеличивается «должно быстрее», чем первое значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к -∞.

Или может случиться так, что величины как первого, так и второго значения увеличиваются «примерно с одинаковой» скоростью, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к 0 или какому-то другому фиксированному значению.

Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении ∞ — ∞, мы не знаем, что делать с предельным поведением f(x) около x=c.

Это также легко представить графически: мы можем думать о выражении ∞ — ∞ как описывающем два графика (один график для первого члена и один для второго члена), каждый из которых неограниченно возрастает, а затем ∞ — ∞ означает расстояние между двумя графиками по мере приближения x c. Если первый и второй график представляют собой две параллельные линии с положительным наклоном, каждая линия будет неограниченно расти как x →∞, но расстояние между двумя линиями останется фиксированным как x →∞. Однако, если одна из этих линий круче другой, расстояние между двумя линиями будет увеличиваться как x →∞.

Давайте посмотрим на некоторые проработанные примеры для этих различных случаев детерминантной формы ∞+∞ (или -∞ — ∞) и неопределенной формы ∞ — ∞:

Пример 10: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ∞+∞, поэтому f(x) → ∞, поскольку x приближается к c

Пример 11: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f(x) → ∞, поскольку x приближается к c

Заметим, что в этом случае величина первого члена растет «быстрее», чем величина второго члена.

Пример 12: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f(x) → -∞, поскольку x приближается к c

Заметим, что в этом случае величина второго члена растет «быстрее», чем величина первого члена.

Пример 13: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f(x) приближается к нулю, когда x приближается к c

Заметим, что в этом случае величины как первого, так и второго членов растут примерно с «одной и той же» скоростью.

Пример 14: Когда
f(c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f(x) приближается к фиксированному конечному ненулевому значению, когда x приближается к c

Заметим, что в этом случае величины как первого, так и второго членов растут примерно с «одной и той же» скоростью.

Теперь, когда мы изучили детерминантную форму ∞+∞ (или -∞ — ∞) и недетерминированную форму ∞ — ∞, давайте посмотрим на различные случаи детерминантных форм a ·±∞ и ±∞·±∞, а неопределенная форма 0·±∞:

В чем разница между 0·±∞ и двумя случаями
и ·±∞ и ±∞·±∞?
В четвертой строке нашей таблицы мы замечаем, что 0·±∞ неопределенно, а a ·±∞ и ±∞·±∞ являются определяющими – почему это так? Мы можем видеть, что a ·±∞ и ±∞·±∞ должны стремиться к ±∞, потому что умножение двух значений вместе, оба из которых имеют неограниченно возрастающие величины, просто даст нам третье значение, величина которого также возрастает. без ограничений (хотя его знак будет зависеть от знаков перемножения двух множителей).

Однако, если мы подумаем о 0·±∞, то увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, состоящей в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым факторами:

Возможно, величина первого фактора уменьшается «гораздо быстрее», чем величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0·±∞ будет стремиться к 0. Например, подумайте о следующих последовательностях значений, и подумайте, что произойдет, если мы умножим каждый из их членов вместе:

Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает нам:

Возможно, величина второго фактора увеличивается «должно быстрее», чем уменьшается величина первого фактора, и в этом случае 0·±∞ будет стремиться к ±∞. Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что произойдет, если мы умножим каждый из их членов вместе:

Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает нам:

Или может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «примерно с той же» скоростью, что и величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0·±∞ будет стремиться к какому-то другому фиксированному значению. Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждый из их членов вместе:

Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает нам:

Таким образом, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении 0·±∞, мы не знаем, что можно сказать о предельном поведении f(x) при x → в.

Мы еще не обсуждали последние три строки таблицы, в которой перечислены неопределенные и определенные формы. Мы потратим несколько минут, чтобы обрисовать в общих чертах идеи, лежащие в основе каждой из этих форм, но мы оставим вам в качестве дополнительной награды для этого класса, чтобы вы привели конкретные примеры каждой из этих различных форм. Позднее в этом семестре мы столкнемся с некоторыми задачами на предельные значения, которые придадут этим определяющим и недетерминированным формам, но обычно нам потребуются более сложные инструменты для решения этих задач на предельные значения, а мы еще не знакомы с этими инструментами. (Однако, используя графики или метод проб и ошибок, вы можете найти примеры предельных задач, которые включают одну из этих трех последних неопределенных форм.)

The Indeterminate Forms 0
⁰ , 1 ^±∞ , and ∞ ⁰ versus the Determinant Forms 0 ^±∞ , a ^±∞ , ∞ ^a , and ∞ ^±∞
Давайте начнем с рассмотрения того, почему 0 ⁰ является неопределенным, а 0 ^±∞ является определяющим — почему это так? Мы можем видеть, что 0 ^±∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого значения, величина которого постоянно уменьшается сама по себе во все большее и большее число раз, просто даст нам третье значение, величина которого также бесконечно уменьшается (т. е. стремится к 0).

Однако, если мы подумаем о 0 ⁰ , мы увидим, что сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и показателем степени:

Возможно, величина основания уменьшается «намного быстрее», чем величина показателя степени, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к 0. (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на нуле, а показатель стремится к нулю).

Возможно, величина показателя степени убывает «гораздо быстрее», чем величина основания, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к 1. (Подсказка: подумайте о функции, у которой основание стремится к нулю, но показатель остается фиксированным на нуле).

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше об отношении между показателем степени и основанием в выражении 0 ⁰ , мы не знаем, что можно сделать в отношении предельного поведения числа 9.0013 f(x) как x → c.

Небольшое примечание к этому примеру для тех из вас, кто интересуется: 0 ⁰ на самом деле не является неопределенным, потому что, если вы осмотритесь, вы можете найти некоторые доказательства того, что 0 ⁰ = 0. Однако это не так. Это действительно имеет отношение к нашему изучению исчисления, потому что даже если 0 ⁰ не является неопределенным, когда мы что-то точно вычисляем, когда мы находим предел f(x) , мы не получаем 0 ⁰ точно; вместо этого мы пытаемся определить, как ведет себя f(x) по мере того, как оно стремится к 0 ⁰ , что является еще одним способом задать вопрос, к какому значению приближается степень, когда и ее основание, и ее показатель степени стремятся к нулю (и мы мы не можем ответить на этот вопрос, если не знаем отношения между скоростью, с которой основание стремится к нулю, и скоростью, с которой показатель степени стремится к нулю).

Неопределенные формы 1
^±∞ по сравнению с определяющей формой а ^±∞
Теперь рассмотрим, почему 1 ^±∞ неопределенно, а c ^±∞ (для c ≠1 и c >0) является определяющим – почему это так?

Мы можем видеть, что когда c >1, c ^∞ должно стремиться к ∞, потому что умножение некоторого положительного значения больше единицы само на себя все большее и большее число раз будет давать нам все большие и большие значения (и мы можно получить значение, которое мы хотим, просто сделав экспоненту настолько большой, насколько нам нужно для этого). Мы видим, что когда 0 < c <1, c ^∞ должны стремиться к 0, потому что умножение некоторого положительного значения меньше единицы само на себя все большее и большее число раз будет давать нам значения со все меньшими и меньшими величинами (или значения, которые ближе и ближе ближе к нулю).

В связи с этим мы можем видеть, что когда c >1, c ^-∞ должно стремиться к 0, потому что c ^-∞ на самом деле просто 1/ c ^{2 ∞ 3 9, и мы уже знаю, что c ^∞ →∞ (когда c >1) и 1/∞→0. Точно так же, когда 0 < c < 1, c ^-∞ должно стремиться к ∞, потому что c ^-∞ на самом деле просто 1/ c ^{∞ 3 c} , и мы уже знаем, что} ^∞ → 0 (когда 0 < c < 1) и 1/0 → ∞ (когда знаменатель положителен, как здесь, потому что он приближается к 0 с положительной стороны).

Однако, если мы подумаем о 1 ^±∞ , мы можем видеть, что мы сталкиваемся с проблемой, что мы не знаем отношения между основанием и показателем степени:

Возможно, величина основания стремится «гораздо быстрее» к 1, чем величина показателя степени стремится к бесконечности, и в этом случае 1 ^±∞ будет стремиться к 1. (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на единице, а показатель степени стремится к плюс или минус бесконечности).

Возможно, показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основании больше 1: в этом случае 1 ^∞ будет стремиться к ∞.

Возможно, показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основании меньше 1: в этом случае 1 ^∞ будет стремиться к 0,

Возможно, показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «гораздо быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основании больше 1: в этом случае 1 ^-∞ будет стремиться к 0 (потому что 1 ^-∞ на самом деле просто 1/1 ^∞ , а когда основание меньше 1, 1/1 ^∞ → 1/∞ → 0).

Возможно, показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основании меньше 1: в этом случае 1 ^-∞ будет стремиться к ∞ (потому что 1 ^-∞ на самом деле просто 1/1 ^∞ , а когда основание меньше единицы, 1/1 ^∞ → 1/0 → ∞). (Мы знаем, что в этом случае 1/0 → ∞ вместо -∞, потому что 1 ^∞ приближается к нулю с положительной стороны.)

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 1 ^±∞ , мы не знаем, что можно сделать в отношении предельного поведения f(x) как x → c.

Мы можем использовать аналогичные рассуждения, чтобы лучше понять неопределенные формы ∞
⁰ по сравнению с определяющими формами ∞ ^a и ∞ ^±∞ , которые являются последним набором форм в нашей таблице.
Чтобы закончить эту лекцию, давайте рассмотрим еще несколько примеров, некоторые из которых используют приемы, которые мы не использовали в более ранних примерах задач.

Еще несколько примеров предельных задач, которые можно решить алгебраически:

Пример 15: Использование факторинга для устранения неопределенной формы 0/0

Для этого уравнения прямая подстановка c в f(x) снова даст нам 0/0, что не определено. Однако, в то время как а/0 не определено для всех значений а, доля, где верх остается фиксированным на ненулевом значении и где низ приближается (но не достигает) к нулю, фактически приближается к положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знаков числителя и знаменателя). определить где f(x) может безгранично увеличиваться или уменьшаться (т. е. должна ли бесконечность иметь перед собой положительный или отрицательный знак), мы должны рассматривать каждый односторонний предел отдельно:

Найдите предел f(x) , когда x приближается к 0:

Пример 16: Использование факторинга для устранения неопределенной формы 0/0 с различиями в пределе, когда мы оцениваем его слева и справа

Эта функция аналогична последней функции; однако мы замечаем, что на этот раз правый и левый пределы различаются по знаку/направлению:

Пример 17: Использование деления на степень
x , даже если дробь включает знак корня, для устранения неопределенной формы ±∞/±∞
Эта функция аналогична примерам 7, 8 и 9, за исключением того, что здесь требуется модифицированный метод, чтобы переписать уравнение, чтобы его можно было вычислить путем подстановки. На этот раз из-за наличия радикала в числителе мы должны делить на квадратный корень из 9.0013 x ² , а так как это значение всегда будет положительным, мы должны быть особенно осторожны, чтобы отслеживать знаки:

Нет никаких причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т. » (т.е. как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:

Пример 18: использование подстановки для оценки предела, который нельзя оценить с помощью одного из предыдущих методов

И, наконец, у нас есть функция, которая имеет колебательное поведение около x=c , и поэтому, чтобы вычислить предел здесь алгебраически, мы разбиваем задачу на два отдельных предельных вопроса:

зум

К этому моменту мы должны уметь находить все виды пределов, либо глядя на график функции, либо алгебраически манипулируя уравнением функции!

И мы также должны быть в состоянии объяснить, почему некоторые неопределенные значения, которые мы получаем, когда мы вычисляем f(c) , являются определяющими, а другие неопределенными

Стратегия поиска пределов — GeeksforGeeks

Пределы оказались действительно полезными в области исчисления, они стали прочной основой для определения многих понятий, таких как непрерывность, дифференцируемость, интегралы и производные. Эти концепции также помогают нам анализировать множество функций и их поведение в исчислении. Пределы были основой почти для всех концепций исчисления. Таким образом, становится необходимым научиться вычислять пределы для различных типов функций и как обращаться с неопределенными формами пределов. Давайте посмотрим на различные методы, которые помогают нам вычислять пределы для сложных функций и выражений.

Пределы

Рассмотрим функцию f(x) и точку x = c, предел в этой точке определяется как значение, которое функция, по-видимому, принимает при приближении к этому значению x = c либо слева- ручная или правая сторона. Предел функции в конкретной точке определяется как

Большинство пределов можно вычислить простой подстановкой точки x = a в функцию. Это называется методом прямой замены. Иногда при вычислении пределов мы можем столкнуться с некоторыми выражениями, которые не определены. Это неопределенные формы предела.

Например, рассмотрим функцию f(x) =. Цель состоит в том, чтобы найти предел этой функции при x = 2.

Обратите внимание, что при прямой подстановке этот предел принимает вид 0/0. Это неопределенная форма, и она называется неопределенной формой. Точно так же ∞/∞, 1 ^∞ также называются неопределенными формами. Для решения таких форм используется ряд стратегий.

Стратегии решения пределов

Существует несколько стратегий и методов, используемых для нахождения пределов функции. Какой метод будет использоваться для какой функции, зависит от нескольких факторов. Например, тип функции (тригонометрическая, экспоненциальная, полиномиальная и т. д.), встречающаяся неопределенная форма (∞/∞, 1 ^∞ , 0/0 и т. д.). Для этих вещей нет установленных правил, нужно практиковаться, и это приходит с опытом, когда человек находит ограничения для различных видов функций. Давайте рассмотрим некоторые стратегии для преодоления ограничений.

Прямая замена

Многие пределы можно оценить, просто подставив значение точки в функцию. Необходимым условием использования этого подхода является то, что функция должна быть непрерывной, а предел не должен давать на выходе какой-либо неопределенной формы.

Пример: рассмотрим функцию f (x) = x ² + 4x + 13. Найти

Решение:

⇒

⇒

⇒1 +4 + 13

⇒
⇒

⇒1 +4 + 13

⇒
⇒

⇒1 +4 + 13

⇒
⇒

⇒1 +4 + 13

⇒
⇒

⇒ 18

Факторинг и отмена

Иногда в некоторых функциях при использовании метода подстановки предел принимает вид 0/0. Часто в этих случаях в числителе и знаменателе есть некоторые общие множители, которые можно разложить на множители и сократить.

Пример. Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите

Решение:

⇒

Методом подстановки,

⇒

⇒ Методом факторинга.

⇒

⇒

⇒

Особый случай с функцией синуса

Иногда при оценке формы 0/0, если функция синуса присутствует. Это удостоверение пригодится.

Пример: Рассмотрим функцию f(x) = . Найти

Решение:

Этот предел имеет вид 0/0.

⇒

⇒

⇒

с использованием идентификации, упомянутой выше,

⇒

Умножение на образу . Этот метод может быть использован для решения предела. В этом случае и числитель, и знаменатель делятся на наибольшую степень числа x, входящего в функцию.

Пример: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите

Решение:

Этот предел имеет форму ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

L’ -Possist. Правило

Это правило полезно для неопределенных форм, таких как 0/0 или ∞/∞. Нет ограничений на класс функций, к которым он может применяться. Его можно применять для любого типа функций, которые оцениваются в неопределенных формах с помощью метода подстановки. В этом правиле числитель и знаменатель дифференцируются до тех пор, пока предел не придет в детерминированную форму.

Пример: упомянутая выше функция f(x) = . Найдите    , используя правило Лопиталя.

Решение:

Дифференцирование числителя и знаменателя.

Теперь этот предел не в неопределенной форме,

⇒

Давайте рассмотрим еще несколько примеров этих методов.

Примеры задач

Вопрос 1. Рассмотрим функцию f(x) = x ³ + 4x ² + 1. Найти

Решение:

⇒

⇒

⇒ ВОПРОСОВАЯ 2: ВОПРОСОВАЕТ 2: ВОПРОСОВАЕТ 2: ВОПРОСОВАЯ 2: ВОПРОСИЕ 2: ВОПРОСИЕ 2: ВОПРОСИЕ 2: ВОПРОСИЕ 2: 10003
. f(x) = . Найдите

Решение:

⇒

Методом подстановки,

⇒

⇒ Методом факторинга.

⇒

⇒

⇒ -1

Вопрос 3: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите

Решение:

Этот предел имеет форму ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒ 4

Найдите    , используя правило Лопиталя.

Решение:

Дифференцирование числителя и знаменателя.

Теперь этот предел не в неопределенной форме,

⇒

Вопрос 5: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите

Решение:

Этот предел имеет форму ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Вопрос 6: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите

Решение:

Этот предел имеет форму ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Вопрос 7: Рассмотрим функцию F (x) = . Найдите

Решение:

Этот предел имеет форму ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒ 2

Свойства ограничений · Precalculus
Нахождение пределов: свойства пределов · Предварительное исчисление
В этом разделе вы:

Найдите предел суммы, разности и произведения.

Найдите предел многочлена.

Найдите предел силы или корня.

Найдите предел частного.

Рассмотрим рациональную функцию

f(x)=x2−6x−7x−7

Функция может быть представлена следующим образом:

f(x)=(x−7)(x+1)x−7, что дает нам f(x)=x+1,x≠7.

Означает ли это, что функция f

совпадает с функцией g(x)=x+1?

Нет. Функция f

не имеет x=7

в своем домене, но g

делает. Графически мы видим, что в графике f(x) 9 есть дыра.0003
при х=7,

, как показано на [ссылке], и нет такой дыры в графике g(x),

, как показано в [ссылка].

Итак, эти две разные функции также имеют разные пределы как x

приближается к 7?

Не обязательно. Помните, что при определении предела функции как x

подхода а,

имеет значение то, приближается ли результат к действительному числу, когда мы приближаемся к x=a.

Существование предела не зависит от того, что происходит, когда x

равно a.

Посмотрите еще раз на [ссылка] и [ссылка]. Обратите внимание, что на обоих графиках as x

приближается к 7, выходные значения приближаются к 8. Это означает

limx→7f(x)=limx→7g(x).

Помните, что при определении предела важно, что происходит вблизи x=a,

не в x=a.

В этом разделе мы будем использовать различные методы, такие как переписывание функций путем факторизации, для оценки предела. Эти методы дадут нам формальное подтверждение того, что мы раньше совершали с помощью интуиции.

Нахождение предела суммы, разности и произведения

Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть громоздким и занимать много времени. Когда это возможно, более эффективно использовать свойства пределов , которые представляют собой набор теорем для нахождения пределов.

Знание свойств пределов позволяет нам напрямую вычислять пределы. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, возведя предел в эту степень. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых составляющих функций.

свойства ограничений

Let A, K, A,

и B

представляют реальные числа, а F

и G

— это функции, такие, что LIMX → AF (x) =

и Limx → AG (х)=В.

Для пределов, которые существуют и являются конечными, свойства пределов приведены в [ссылка]
limx→ak=k

Постоянное время функции limx→a[k⋅f(x)]=klimx→af(x)=kA

Сумма функций limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x)=A+B

Различие функций limx→a[f(x)−g(x)]=limx→af(x)−limx→ag(x)=A−B

Произведение функций limx→a[f(x)⋅g(x)]=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=A⋅B

Частное функций limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB,B≠0

Функция возведена в степень limx→a[f(x)]n=[limx→∞f(x)]n=An, где n – натуральное число

n -й корень функции, где n — натуральное число limx→af(x)n=limx→a[f(x)]n=An

Полиномиальная функция limx→ap(x)=p(a)

Алгебраическое вычисление предела функции

Вычислить limx→3(2x+5).

limx→3(2x+5)=limx→3(2x)+limx→3(5)Свойство суммы функций                     = 2limx→3(x)+limx→3(5) Постоянные умножения на свойство функции                     =2( 3)+5 Оценить                     =11

Оцените следующий предел: limx→−12(−2x+2).

26

Нахождение предела многочлена

Не все функции или их пределы связаны с простым сложением, вычитанием или умножением. Некоторые могут включать полиномы. Напомним, что многочлен — это выражение, состоящее из суммы двух или более слагаемых, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе. Кроме того, предел полиномиальной функции as x

подхода a

эквивалентно простому вычислению функции для a

.

Для заданной функции, содержащей многочлен, найти ее предел.

Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.

Найдите пределы отдельных терминов.

Сложите ограничения вместе.

В качестве альтернативы оцените функцию для
.

Алгебраическое вычисление предела функции

Вычислить limx→3(5×2).

limx→3(5×2)=5limx→3(x2)Константа, умноженная на свойство функции                 =5(32)Функция, возведенная в степень свойства                =45

Вычислить limx→4(x3−5).

59

Алгебраическое вычисление предела многочлена

Вычислить limx→5(2×3−3x+1).

limx→5(2×3−3x+1)=limx→5(2×3)−limx→5(3x)+limx→5(1)Сумма функций                              =2limx→5(x3)−3limx→5(x) +limx→5(1)Константа, умноженная на функцию                               =2(53)−3(5)+1 Функция, возведенная в степень                                =236Вычислить

Оцените следующий предел: limx→−1(x4−4×3+5).

10

Нахождение предела степени или корня

Когда предел включает степень или корень, нам нужно другое свойство, чтобы помочь нам оценить его. Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое относится и к высшим силам. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу квадратного корня функции; то же верно и для высших корней.

Оценка предела мощности

Вычислить limx→2(3x+1)5.

Мы возьмем предел функции, когда x

приближается к 2, и возведем результат в степень 5 .

limx→2(3x+1)5=(limx→2(3x+1))5                    = (3(2)+1)5                       =75                      =16 807 900 900
Оцените следующий предел: limx→−4(10x+36)3.

−64

**Если мы не можем напрямую применить свойства предела, например, в limx→2(x2+6x+8x−2)

, можем ли мы определить предел функции, когда x

приближается к

?**

Да. Некоторые функции можно алгебраически переставить, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.

Нахождение предела частного

Нахождение предела функции, выраженной в виде частного, может оказаться более сложной задачей. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела. Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить.

Учитывая предел функции в форме частного, используйте факторинг для его оценки.

Полностью разложите числитель и знаменатель на множители.

Упростите, разделив любые множители, общие для числителя и знаменателя.

Оцените полученное ограничение, не забывая использовать правильный домен.

Оценка предела частного путем разложения на множители

Вычислить limx→2(x2−6x+8x−2).

Умножьте, где это возможно, и упростите.

limx→2(x2−6x+8x−2)=limx→2((x−2)(x−4)x−2) Разложите числитель на множители. =limx→2((x−2)(x−4)x−2) Отменить общие множители. =limx→2(x−4)Вычислить. =2−4=−2

Анализ

Когда предел рациональной функции не может быть оценен напрямую, факторизованные формы числителя и знаменателя могут упроститься до результата, который можно вычислить.

Обратите внимание, функция

f(x)=x2−6x+8x−2

эквивалентно функции

f(x)=x−4,x≠2.

Обратите внимание, что ограничение существует, даже если функция не определена при x = 2.

Оцените следующий предел: limx→7(x2−11x+287−x).

−3

Оценка предела частного с помощью ЖК-дисплея

Вычислить limx→5(1x−15x−5).

Найдите ЛП для знаменателей двух слагаемых в числителе и преобразуйте обе дроби так, чтобы ДП было их знаменателем.

Анализ

При определении предела рациональной функции, в которой члены добавлены или вычтены либо в числителе, либо в знаменателе, первым шагом является нахождение общего знаменателя добавляемых или вычитаемых членов; затем преобразуйте оба члена так, чтобы они имели этот знаменатель, или упростите рациональную функцию, умножив числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель. Затем проверьте, имеют ли результирующие числитель и знаменатель какие-либо общие делители.

Вычислить limx→−5(15+1×10+2x).

−150

Учитывая предел функции, содержащей корень, использовать сопряжение для оценки.

Если приведенное частное не является неопределенным (00) форма
, оценить напрямую.

В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одно частное, используя наименьший общий знаменатель (LCD) .

Если в числителе есть корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на сопряжено с числителя. Напомним, что a±b
— конъюгаты.

Упростить.

Оцените полученный предел.

Вычисление предела, содержащего корень, с помощью сопряжения

Вычислить limx→0(25−x−5x).

limx→0(25−x−5x)=limx→0((25−x−5)x⋅(25−x+5)(25−x+5)) Умножить числитель и знаменатель на сопряженное. =limx→0((25−x)−25x(25−x+5)) Умножить: (25−x−5)⋅(25−x+5)=(25−x)−25. =limx→0(−xx(25−x+5)) Объедините похожие термины. =limx→0(−xx(25−x+5))Упростить −xx=−1. =−125−0+5Оценить. =−15+5=−110

Анализ

При определении предела функции с корнем в качестве одного из двух членов, где мы не можем вычислить напрямую, подумайте об умножении числителя и знаменателя на сопряжение членов.

Оцените следующий предел: limh→0(16−h−4h).

−18

Оценка предела частного функции с помощью факторизации

Вычислить limx→4(4−xx−2).

limx→4(4−xx−2) = limx→4((2+x)(2−x)x−2)Коэффициент. =limx→4((2+x)(2−x)−(2−x)) Вынесите −1 из знаменателя. Упрощать. =limx→4−(2+x)Вычислить. =−(2+4)                      =−4

Анализ

Умножение на сопряженное расширит числитель; вместо этого ищите факторы в числителе. Четыре — это полный квадрат, поэтому числитель имеет вид

a2−b2

и может быть разложен на множители как

(a+b)(a−b).

Оцените следующий предел: limx→3(x−3x−3).

23

Учитывая частное с абсолютными значениями, оцените его предел.

Попробуйте разложить или найти ЖК-дисплей.

Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена.

Используйте числовые данные для оценки пределов с обеих сторон.

Оценка предела частного с абсолютными значениями

Вычислить limx→7\|x−7\|x−7.

Функция не определена при x=7,

, поэтому мы попробуем значения, близкие к 7 слева и справа.

Левый предел: \|6.9−7\|6,9−7=\|6,99−7\|6,99−7=\|6,999−7\|6,999−7=−1

Правый предел: \|7,1−7\|7,1−7= \|7.01−7\|7.01−7=\|7.001−7\|7.001−7=1

Поскольку левый и правый пределы не равны, предела нет.

Вычислить limx→6+6−x\|x−6\|.

−1

Получите доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики со свойствами пределов.

Определение предела аналитически

Ключевые понятия

Свойства пределов можно использовать для выполнения операций над пределами функций, а не над самими функциями. См. [ссылка].

Предел полиномиальной функции можно найти, найдя сумму пределов отдельных членов. См. [ссылка] и [ссылка].

Предел функции, возведенной в степень, равен той же степени предела функции. Другой метод — прямая замена. См. [ссылка].

Предел корня функции равен соответствующему корню предела функции.

Один из способов найти предел функции, выраженной в виде частного, состоит в том, чтобы записать частное в факторизованной форме и упростить. См. [ссылка].

Другой способ нахождения предела сложной дроби — найти ЖК. См. [ссылка].

Предел, содержащий функцию, содержащую корень, может быть оценен с использованием сопряжения. См. [ссылка].

Пределы некоторых функций, выраженных в виде частных, можно найти с помощью факторизации. См. [ссылка].

Одним из способов оценки предела частного, содержащего абсолютные значения, является использование числовых свидетельств. Настройка его по частям также может быть полезной. См. [ссылка].

Упражнения по секциям

Устный

Приведите пример функции f

, предел которой при приближении x

к a,

равен f(a).

Если f

является полиномиальной функцией, предел полиномиальной функции при приближении x

к a

всегда будет f(a).

Когда используется прямая подстановка для оценки предела рациональной функции, когда x

приближается к a

, и результат равен f(a)=00,

означает ли это, что предел f

не существует?

Что значит сказать, что предел f(x),

при приближении x

к c,

не определен?

Это может означать либо (1) значения функции неограниченно увеличиваются или уменьшаются по мере того, как x

приближается к c,

, либо (2) левый и правый пределы не равны.

Алгебраический

Для следующих упражнений оцените пределы алгебраически.

предел→0(3)

limx→2(−5xx2−1)

−103

limx→2(x2−5x+6x+2)

limx→3(x2−9x−3)

6

limx→−1(x2−2x−3x+1)

limx→32(6×2−17x+122x−3)

12

limx→−72(8×2+18x−352x+7)

limx→3(x2−9x−5x+6)

6

limx→−3(−7×4−21×3−12×4+108×2)

limx→3(x2+2x−3x−3)

не существует

limh→0((3+h)3−27h)

limh→0((2−h)3−8h)

−12

limh→0((h+3)2−9h)

limh→0(5−h−5h)

−510

limx→0(3−x−3x)

limx→9(x2−813−x)

−108

limx→1(x−x21−x)

limx→0(x1+2x−1)

1

limx→12(x2−142x−1)

limx→4(x3−64×2−16)

6

limx→2−(\|x−2\|x−2)

limx→2+(\|x−2\|x−2)

1

limx→2(\|x−2\|x−2)

limx→4−(\|x−4\|4−x)

1

limx→4+(\|x−4\|4−x)

limx→4(\|x−4\|4−x)

не существует

limx→2(−8+6x−x2x−2)

В следующем упражнении используйте данную информацию для оценки пределов: limx→cf(x)=3,
limx→cg(x)=5
limx→c [ 2f(x)+g(x) ]

6+5

limx→c [ 3f(x)+g(x) ]

limx→cf(x)g(x)

35

Для следующих упражнений оцените следующие пределы.

limx→2cos(πx)

limx→2sin(πx)

0

limx→2sin(πx)

f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0+f(x)

−3

f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0−f(x)

f(x)={2×2+2x+1,x≤0x−3, x>0; limx→0f(x)

не существует; правый предел не совпадает с левым пределом.

лимкс→4х+5-3х-4

limx→2+(2x−〚x〛)

2

limx→2x+7−3×2−x−2

limx→3+x2x2−9

Предел не существует; предел приближается к бесконечности.

Для следующих упражнений найдите среднюю скорость изменения f(x+h)−f(x)h.

ф(х)=х+1

f(x)=2×2−1

4x+2h

f(x)=x2+3x+4

f(x)=x2+4x−100

2x+h+4

f(x)=3×2+1

f(x)=cos(x)

cos(x+h)−cos(x)h

f(x)=2×3−4x

f(x)=1x

−1x(x+h)

f(x)=1×2

f(x)=x

−1x+h+x

Графический

Найдите уравнение, которое можно представить с помощью [ссылка].

Найдите уравнение, которое можно представить с помощью [ссылка].

f(x)=x2+5x+6x+3

Для следующих упражнений см. [ссылка].

Каков правый предел функции, когда x

приближается к 0?

Каков левый предел функции, когда x

приближается к 0?

не существует

Реальные приложения

Функция положения s(t)=−16t2+144t

дает положение снаряда как функцию времени. Найти среднюю скорость (среднюю скорость изменения) на интервале [1,2]

.

Высота снаряда равна s(t)=−64t2+192t

Найдите среднюю скорость изменения высоты от t=1

секунд до t=1,5

секунд.

52

Сумма денег на счете после t

лет, непрерывно начисляемая по ставке 4,25%, определяется по формуле A=A0e0,0425t,

, где A0

— первоначальная сумма инвестиций. Найти среднюю скорость изменения баланса счета от t=1

года до t=2

года, если первоначальная сумма инвестиций составляет 1000,00 долларов США.

Глоссарий

свойства пределов

сборник теорем для нахождения пределов функций путем выполнения математических операций над пределами

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Вы также можете бесплатно загрузить его с http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].

Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, Precalculus. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].

Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx.org/contents/fd53eae1-fa23-47c7-bb1b-972349835c3c@8. 1.»

Если вы повторно распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».

Помощь с ограничениями — Уроки Wyzant

Все расчеты основаны на том принципе, что мы всегда можем использовать приближения с возрастающей точностью до
.0151 найти точный ответ, например аппроксимировать кривую рядом прямых линий
в дифференциальном исчислении (чем короче линии и чем расстояние между точками
приближается к 0, тем они ближе к подобию кривой) или аппроксимировать
сферическое тело серией кубов в интегральном исчислении (по мере того, как размер кубов
становится меньше, а количество кубов внутри сферы приближается к бесконечности,
конечный результат становится ближе к фактической площади сферы).

С помощью современных технологий графики функций часто легко построить.
Основное внимание сосредоточено между геометрической и аналитической информацией и использованием
исчисления как для предсказания, так и для объяснения наблюдаемого локального и долгосрочного поведения
функции. На занятиях по исчислению ограничения обычно являются первой темой, которую вводят.

Чтобы понять работу дифференциального и интегрального исчисления, нам нужно
, чтобы понять концепцию предела. Пределы используются при дифференцировании при нахождении
приближение для
наклона прямой в конкретной точке, а также интегрирование при нахождении
площади под кривой. В исчислении пределы вводят компонент бесконечности .
Мы можем спросить себя, что происходит со значением функции, когда независимая переменная
становится бесконечно близкой к определенному значению?

График иллюстрирует нахождение предела зависимой переменной f(x) как
x приближается к c . Способ найти это — подставить значения, которые приближают 90 151 к c слева и значения, близкие к c справа.

Чтобы еще больше проиллюстрировать концепцию предела, рассмотрим последовательность чисел
x:

.

Эти значения все ближе и ближе к 2 (т.е. они приближаются к 2 как
своему пределу). Мы можем сказать, что независимо от того, какое значение мы рассматриваем, 2 является наименьшим 9.0151, которое больше, чем каждый вывод f(x) в последовательности. Когда мы возьмем
разностей этих чисел, они будут становиться все меньше и меньше. В исчислении разницу между членами последовательности и их пределом можно сделать бесконечно малой.

Иногда для нахождения предельного значения выражения достаточно просто подставить
число.

(1) Найдите предел, когда t приближается к 10 выражения

Мы запишем это, используя предельное обозначение как

В этом примере мы просто подставляем и пишем

Сложности нет, потому что M = 3t + 7 — непрерывная функция, но
бывают случаи, когда мы не можем просто так подставить.

(2) Найдите предел при приближении x к 0

Обратите внимание, что мы не можем просто заменить 0, потому что ^sin(0) ⁄ ₀
не определено и, следовательно, не является непрерывным. Не существует алгебраического процесса
для нахождения этого предела. Если мы подставим 0 вместо x , мы получим ⁰ ⁄ ₀,
, что не определено. Однако существует метод, использующий дифференцирование (см. Правило Лопиталя). мы можем
найдите предел без использования дифференцирования, глядя на поведение функции
слева и справа от x = 0. Мы можем подставить значения, которые все ближе и ближе
к 0 слева и справа, чтобы сделать вывод, что

Способ проверить это — построить график и увидеть, что предел по мере приближения x к
равен 1.

Давайте посмотрим на увеличенное изображение этого изображения и посмотрим на его поведение как x
получается бесконечно большим и бесконечно маленьким.

Этот образ кажется знакомым? Если это так, то это потому, что это похоже на функцию
звуковой волны, где ось x — это время, а ось y — количество
децибел (громкость). Обратите внимание, что волна спадает в любом направлении, она
приближается к 0, но на самом деле никогда не устанавливается. Интересно подумать, что каждый звук 9Когда-либо созданная волна 0151 все еще существует и колеблется на бесконечно малом уровне!

(3) Рассмотрим предел, поскольку x приближается к бесконечности функции

Мы можем обнаружить, что если мы берем все большие и большие значения x , значение дробей
становится все меньше и меньше, пока не приблизится к 0. Мы говорим, что
предел ⁵ ⁄ _x при приближении x к бесконечности
равен 0:

(4) Найдите предел этой функции, когда x приближается к бесконечности.

Для этой функции не очень очевидно, каков предел. Мы могли бы подставлять
большее и большее значение x , пока не увидим, что происходит (попробуйте 100, затем
1000, затем 10000 и так далее). Мы также можем изменить выражение и использовать тот факт
, что предел, когда x приближается к бесконечности ¹ ⁄ _x
, равен 0, чтобы найти предельное значение.

Мы делим все на x , чтобы получить выражение в форме, в которой мы можем вычислить его
.

Заметьте, что мы не можем подставить бесконечность в дробь, потому что это не
имеют математический смысл (бесконечность — это не число). ⁵ ⁄ _x
и ¹ ⁄ _x Перейти до 0 x . 2 .

(5) Пределы также могут существовать в точках графика, где выход f(x)
является другим значением.

Мы можем видеть, что даже если график прерывистый, поскольку x = 2, мы знаем, что
существует предел, потому что график приближается к 2 слева и справа.

(6) Рассмотрим функцию f(x)= ¹ ⁄ _x :

Как ведет себя эта функция при увеличении значения x ? Мы можем
увидеть, что график приближается к x ось, высота которой равна 0. Если вспомнить
в предварительном исчислении и алгебре, эта функция будет иметь асимптоту при y
= 0 . Мы можем сказать, что когда x приближается к бесконечности, f(x) приближается к
0.

Точно так же мы можем сказать, что когда x приближается к отрицательной бесконечности, оно также приближается к
0.

Мы можем заключить, что один над бесконечностью и один над отрицательной бесконечностью равны
0.

На самом деле, любое число, превышающее положительную или отрицательную бесконечность, будет сходиться к 0 — если
и числитель, и знаменатель не равны положительной или отрицательной бесконечности, тогда они
будут сходиться к 1.

Имейте в виду, что положительная и отрицательная бесконечность — это просто идеи . Это
почему в математических обозначениях мы используем ограничения, чтобы доказать, что число становится бесконечно большим
или малым, оно сходится к числу или не сходится вообще!

А как насчет того, когда x приближается к 0? Мы можем видеть, что по мере приближения к оси y
(x=0) справа он становится очень большим, а по мере приближения к оси y
слева он становится очень маленьким. Мы можем сделать вывод, что

Поэтому

Это невозможно! Так как предел различен слева и справа,
не существует. Вот почему деление на 0 не определено — оно равно как положительному
, так и отрицательной бесконечности!

(7) Вот геометрический пример предела. Давайте посмотрим на многоугольник, вписанный
в окружность. Если мы увеличим количество сторон многоугольника, что мы можем сказать
о многоугольнике по отношению к окружности?

По мере увеличения количества сторон многоугольник становится все ближе и ближе
до становления кругом. Если мы обобщим многоугольник как n-угольника, , где
n — количество сторон, мы можем сделать некоторые математические утверждения о
многоугольнике:

По мере того, как n становится больше, n-угольник становится ближе к кругу.

Когда n приближается к бесконечности, n-угольник приближается к окружности.

Предел n-угольника , когда n уходит в бесконечность, является окружностью.

Мы также можем использовать дифференцирование для решения более сложных пределов, таких как неопределенных
пределов . Это пределы, при которых и числитель, и знаменатель приближаются к
0 или положительной или отрицательной бесконечности, например

В пределе слева, когда x приближается к 3, частное приближается к
0/0. Непонятно что делает лимит в районе х =3. В лимите на
вправо, так как x приближается к бесконечности, частное станет ^∞ ⁄ _∞ .
Опять же, не совсем ясно, каким будет предел при стремлении x к бесконечности. Поэтому
эти два предела считаются неопределенными.

Для решения неопределенных пределов см.
Правило Лопиталя.

Напомним, ограничения связаны с тем, что функция делает вокруг заданной точки.
Мы заметили, что пределы могут существовать, даже если функция в этой точке не существует.
Можно найти пределы, подставив предельное значение в функцию (пример 1),
используя таблицы значений (пример 2), и используя знание других пределов, чтобы найти
предел функции в заданной точке (пример 4) .

важно развить интуитивное понимание процесса ограничения функции

уметь вычислять предел с помощью алгебры

оценить предел по графикам или таблицам

Интуитивное введение в пределы — BetterExplained

Пределы, основы исчисления, кажутся такими искусственными и хитрыми: «Пусть x приблизится к 0, но не доберется туда, но мы будем действовать так, как будто оно там…» Тьфу.

Вот как я научился ими пользоваться:

Что такое лимит? Наш лучший прогноз точки, которую мы не наблюдали.

Как мы делаем прогноз? Приблизьтесь к соседним точкам. Если наш прогноз всегда находится между соседними точками, как бы мы ни увеличивали масштаб, это и есть наша оценка.

Зачем нужны ограничения? Математика имеет сценарии «черной дыры» (деление на ноль, переход к бесконечности), и ограничения дают нам оценку, когда мы не можем вычислить результат напрямую.

Откуда мы знаем, что мы правы? Нет. Наше предсказание, предел, не обязательно должно соответствовать действительности. Но для большинства природных явлений так оно и есть.

Ограничения позволяют задать вопрос «А что, если?». Если мы можем непосредственно наблюдать функцию при некотором значении (например, x=0 или x бесконечно растет), нам не нужен прогноз. Предел удивляется: «Если вы можете видеть все кроме единственное значение, как вы думаете, что там?».

Когда наш прогноз непротиворечив и улучшается по мере того, как мы присматриваемся , мы чувствуем в нем уверенность. И если функция ведет себя плавно, как и большинство реальных функций, предел находится там, где должна быть недостающая точка.

Ключевая аналогия: предсказание футбольного мяча

Представьте, что вы смотрите футбольный матч. К сожалению, связь прерывается:

Подтвердить! Мы пропустили то, что произошло в 4:00. Тем не менее, каков ваш прогноз относительно положения мяча?

Легко. Просто возьмите соседние моменты (3:59 и 4:01) и предскажите, что мяч окажется где-то посередине.

И… работает! Объекты реального мира не телепортируются; они перемещаются через промежуточные положения на своем пути из A в B. Наш прогноз: «В 4:00 мяч находился между своей позицией в 3:59 и 4:01». Неплохо.

С помощью замедленной камеры мы могли бы даже сказать: «В 4:00 мяч находился между своими позициями в 3:59,999 и 4:00,001».

Наш прогноз кажется верным. Можем ли мы сформулировать, почему?

Прогнозы совпадают при увеличении уровня масштабирования . Представьте, что диапазон 3:59–4:01 составлял 9,9–10,1 метра, но после увеличения до 3:59,999–4:00,001 диапазон расширился до 9–12 метров. О, о! Масштабирование должно сузить нашу оценку, а не сделать ее хуже! Не каждый уровень масштабирования должен быть точным (представьте, что вы смотрите игру каждые 5 минут), но чтобы чувствовать себя уверенно, должен быть некоторый порог, при котором последующие масштабирования только усиливают нашу оценку диапазона.

Согласие до и после. Представьте, что в 3:59 мяч находился на высоте 10 метров, катясь вправо, а в 4:01 он был на высоте 50 метров, катясь влево. Что случилось? У нас был внезапный прыжок (смена камеры?), и теперь мы не можем определить положение мяча. У кого был мяч в 4:00? Эта двусмысленность разрушает нашу способность делать уверенные прогнозы.

С учетом этих требований мы могли бы сказать: «В 4:00 мяч находился на расстоянии 10 метров. Эта оценка подтверждается нашим первоначальным зумом (3:59-4:01, что составляет от 9,9 до 10,1 метра) и следующее (3:59,999-4:00,001, что составляет от 9,999 до 10,001 метра)».

Ограничения — это стратегия уверенных прогнозов.

Изучение интуиции

Давайте пока не будем приводить математические определения. Для каких вещей в реальном мире мы хотим получить точный прогноз, но не можем легко измерить?

Какова длина окружности?

Найти число пи «экспериментально» сложно: взять нить и линейку?

Мы не можем измерить фигуру с, казалось бы, бесконечными сторонами, но мы можем задаться вопросом: «Существует ли предсказанное значение числа пи, которое всегда будет точным, если мы продолжаем увеличивать стороны?»

Архимед вычислил, что число пи имеет диапазон

, используя следующий процесс:

Это было предшественником исчисления: он определил, что число пи было числом, которое оставалось в его постоянно сужающихся границах. В настоящее время у нас есть современные предельные определения числа пи.

Как выглядит совершенно непрерывный рост?

e, одно из моих любимых чисел, можно определить следующим образом:

Мы не можем легко измерить результат бесконечно сложного роста. Но если бы мы могли сделать прогноз , существует ли единственная скорость, которая всегда точна? Кажется, это около 2,71828…

Можем ли мы использовать простые формы для измерения сложных?

Круги и кривые измерить сложно, а прямоугольники легко. если мы может ли использовать бесконечное количество прямоугольников для имитации криволинейной области, можем ли мы получить результат, выдерживающий бесконечные проверки? (Может быть, мы сможем найти площадь круга.)

Можем ли мы найти скорость в данный момент?

Скорость забавная: нужно измерение до и после (пройденное расстояние/затраченное время), но разве мы не можем иметь скорость в отдельные моменты времени? Хрм.

Ограничения помогают ответить на эту загадку: предсказать свою скорость при путешествии в соседнее мгновение. Затем задайте «невозможный вопрос»: какова ваша прогнозируемая скорость, когда расстояние до соседнего мгновения равно нулю?

Примечание: лимит не панацея от всех бед. Мы не можем предположить, что он существует, и не может быть ответа на каждый вопрос. Например: число целых чисел четное или нечетное? Количество бесконечно, и ни «четное», ни «нечетное» предсказание не остаются точными, если мы считаем выше. Не существует хорошо поддерживаемого прогноза.

Для числа пи, е и основ исчисления умные умы сделали доказательства, чтобы определить, что «да, наши предсказанные значения становятся более точными, чем ближе мы смотрим». Теперь я вижу почему пределы так важны: они подтверждают наши прогнозы.

Математика: формальное определение предела

Пределы — это хорошо обоснованные предсказания. Вот официальное определение:

. означает, что для всех действительных ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x с 0
Давайте сделаем это читаемым:

Математический английский Человеческий английский

Когда мы «сильно предсказываем», что f(c) = L, мы имеем в виду

для всех реальных значений ε > 0 для любого желаемого предела погрешности (+/- . 1 метра)

существует реальное значение δ > 0 секунды)

таким образом, что для всех x с 0 , где прогноз остается точным в пределах погрешности

Здесь есть несколько тонкостей:

Уровень масштабирования (дельта, δ) является входом функции, т.е. время в видео

Погрешность (эпсилон, ε) — это максимальное значение, которое выход функции (положение шарика) может отличаться от нашего прогноза на всем уровне масштабирования

Условие абсолютного значения (0 < |x − c| < δ) означает, что должны работать положительные и отрицательные смещения, и мы пропускаем саму черную дыру (когда |x – c| = 0).

Мы не можем оценить ввод черной дыры, но мы можем сказать: «За исключением отсутствующей точки, весь уровень масштабирования подтверждает предсказание $f(c) = L$». А поскольку $f(c) = L$ верно для любая погрешность , которую мы можем найти, мы чувствуем себя уверенно.

Можем ли мы иметь несколько прогнозов? Представьте, что мы предсказали L1 и L2 для f(c). Между ними есть некоторая разница (назовем ее 0,1), поэтому есть некоторая погрешность (0,01), которая выявляет более точную. Выход каждой функции в диапазоне не может быть в пределах 0,01 от обоих прогнозов. Либо у нас есть единственное бесконечно точное предсказание, либо его нет.

Да, мы можем быть милыми и попросить «ограничение левой руки» (прогноз до события) и «ограничение правой руки» (прогноз после события), но у нас есть реальный предел только тогда, когда они согласны.

Функция является непрерывной, если она всегда соответствует прогнозируемому значению (и прерывистой, если нет):

Исчисление обычно изучает непрерывные функции, играя в игру «Мы делаем прогнозы, но только потому, что знаем, что они будут правильными».

Математика: демонстрация существования предела

У нас есть требования для надежного прогноза. Вопросы, в которых вас просят «доказать, что предел существует», просят вас обосновать свою оценку.

Например: Докажите, что предел при x=2 существует для

Первая проверка: нужен ли вообще лимит? К сожалению, мы это делаем: просто подставив «x = 2», мы получим деление на ноль. Дратс.

Но интуитивно мы видим, что один и тот же «ноль» (x – 2) может быть отменен сверху и снизу. Вот как танцевать это опасное танго:

Предположим, что x находится в любом месте , кроме 2 (Должно быть! Мы делаем прогноз извне.)

Затем мы можем отменить (x – 2) сверху и снизу, так как это не ноль.

Осталось f(x) = 2x + 1. Эту функцию можно использовать вне черной дыры.

Что предсказывает эта более простая функция? Что f(2) = 2*2 + 1 = 5,

Итак, f(2) = 5 — это наш прогноз. Но вы видели подлость? Мы притворились, что x не равно 2 [чтобы разделить (x-2)], а затем подставили 2 после того, как этот неприятный элемент исчез! Подумайте об этом так: мы использовали простое поведение вне события , чтобы предсказать грубое поведение при событии .

Мы можем доказать, что эти махинации дают надежное предсказание, и что f(2) = 5 бесконечно точен.

Для любого порога точности (ε) нам нужно найти «диапазон масштабирования» (δ), в котором мы остаемся в пределах заданной точности. Например, можем ли мы оставить оценку в пределах +/- 1,0?

Конечно. Нам нужно выяснить, где

так

Другими словами, x должен оставаться в пределах 0,5 от 2, чтобы поддерживать исходное требование точности 1,0. Действительно, когда x находится между 1,5 и 2,5, f(x) изменяется от f(1,5) = 4 до f(2,5) = 6, оставаясь +/- 1,0 от нашего предсказанного значения 5,9.0003
Мы можем обобщить любой допуск на ошибку (ε), подставив его вместо 1.0 выше. Получаем:

Если наш уровень масштабирования «δ = 0,5 * ε», мы останемся в пределах исходной ошибки. Если наша ошибка равна 1,0, нам нужно увеличить масштаб до 0,5; если это 0,1, нам нужно увеличить масштаб до 0,05.

Эта простая функция была удобным примером. Идея состоит в том, чтобы начать с начального ограничения (|f(x) – L| < ε), подставить f(x) и L и найти расстояние от точки черной дыры (|x – c| < ?). Часто это упражнение по алгебре.

Иногда вас просят просто найти предел (подставьте 2 и получите f(2) = 5), в других случаях вас просят доказать, что предел существует, т. е. провернуть эпсилон-дельта-алгебру.

Переворачивание нуля и бесконечности

Бесконечность при использовании в пределе означает «растет без остановки». Символ ∞ является числом не больше, чем предложение «растет без остановки» или «мои запасы трусов истощаются». Это понятия, а не числа (для нашего уровня математики, Алеф только меня).

При использовании ∞ в пределе мы спрашиваем: «Поскольку x растет без остановки, можем ли мы сделать прогноз, который останется точным?». Если есть предел, это означает, что прогнозируемое значение всегда подтверждается, как бы далеко мы ни смотрели.

Но бесконечность мне все равно не нравится, потому что я ее не вижу. Но я вижу ноль. С лимитами можно переписать

как

Вы можете пойти на хитрость и определить y = 1/x, заменить элементы в формуле, а затем использовать

, так что это снова похоже на обычную проблему! (Примечание от Тима в комментариях: предел идет справа, так как x стремится к положительной бесконечности). Я предпочитаю такое расположение, потому что я могу видеть место, где мы сужаемся (у нас всегда заканчивается бумага, когда мы рисуем бесконечную версию).

Почему ограничения не используются чаще?

Представьте себе ребенка, который понял, что «нуль в конце» увеличивает число в 10 раз. Есть 5? Запишите «5», затем «0» или 50. Есть 100? Сделать 1000. И так далее. 92$» без строгого обоснования. Тем не менее, судя по его неофициальным результатам, крутятся двигатели и летают самолеты.

Педагогическая ошибка в исчислении заключается в создании препятствия вроде «Вы должны знать Пределы™, прежде чем ценить исчисление», когда ясно, что изобретатели исчисления этого не знали. Я бы предпочел эту прогрессию:

Исчисление задает, казалось бы, невозможные вопросы: когда прямоугольники могут измерять кривую? Можем ли мы обнаружить мгновенное изменение?

Ограничения дают стратегию ответов на «невозможные» вопросы («Если вы можете сделать прогноз, который выдерживает бесконечную проверку, мы скажем, что все в порядке»). 2$), точно так же, как мы запоминаем сокращения для правил, которые мы проверили с помощью умножения (добавление нуля означает умножение на 10). Но все же приятно знать, почему ярлыки оправданы.

Ограничения — не единственный инструмент для проверки ответов на невозможные вопросы; бесконечно малые тоже работают. Ключ в том, чтобы понять , что мы пытаемся предсказать, , а затем изучить правила предсказания.

Счастливая математика.

Другие сообщения из этой серии

Нежное введение в изучение исчисления

Понимание исчисления с помощью метафоры банковского счета

Доисторическое исчисление: открытие Пи

Аналогия с исчислением: интегралы как умножение

Исчисление: построение интуиции для производной

Как понимать деривативы: произведение, мощность и правила цепочки

Как понимать производные: правило частных, показатели степени и логарифмы

Интуитивное введение в ограничения

Интуиция для ряда Тейлора (аналогия ДНК)

Зачем нужны пределы и бесконечно малые числа?

Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности

Дружеский разговор о том, 0,999.

Оставить комментарий on Решение сложных пределов: Сложные пределы и методы их решения/

Решить по алгебре пример: Mathway | Графический калькулятор
alexxlab / 14.09.197028.07.2021 / Разное

Как научиться решать примеры по алгебре намного быстрее?

В седьмом классе уже нет обычной математики: она делится на более сложные предметы — алгебру и геометрию. И именно на этом этапе у многих учеников начинаются серьезные сложности с обучением. Это связано с тем, что появляется много новых, непростых тем. В 7 классе ученики изучают математическую модель, линейную функцию, степень с натуральным показателем, одночлены, многочлены и многое другое. Домашние задания, как и упражнения в классе, становятся больше, объемнее. Если допустить одну маленькую ошибку, то ее исправление нередко занимает полчаса и больше.

Вот почему гдз по алгебре 7 класс мордкович — пособие, которое всегда нужно иметь под руками. Это решебник, благодаря которому ученик в любой момент проверит то, что он написал, и сможет обнаружить ошибку, не тратя на это много времени. ГДЗ подходят для самых разных задач — подготовки домашнего задания, работы в классе, повторения всего материала перед контрольными работами.

Чем дальше идет обучение в седьмом классе, тем полезнее решебник, потому что запомнить большой объем информации очень трудно — и надежная «шпаргалка» никогда не помешает.

Чем удобны пособия по алгебре

Если посоветоваться с учителем можно только в классе, то решебник всегда под рукой — и там уже есть правильные ответы на все вопросы. А еще многие примеры предполагают получение ответа разными способами. Обычно ученику приходит в голову только один способ, а до остальных догадаться трудно. Как раз решебник и подскажет, как еще можно добиться того же результата, но другим путем — это очень полезно для развития мозга и для последующего обучения.

Онлайн-формат обучения еще больше плюсов

На сайте Випгдз все пособия представлены в онлайн-формате, и у этого решения сразу несколько плюсов:

Максимальная экономия места в рюкзаке и на книжных полках. Решебники по всем предметам остаются в телефоне или компьютере — для доступа к ним достаточно интернета и подходящего устройства.

Удобство поиска упражнений. Задачи и примеры пронумерованы с учетом того, как они располагаются в учебнике. Все находится за считаные минуты, а то и секунды.

Возможность использовать пособия в школе. Есть учителя, которые не очень жалуют ГДЗ, а потому запрещают брать такие книги в школу. Но если решебник находится в телефоне, он никогда не попадется учителю на глаза.

«Випгдз» — это хорошая помощь для тех, кто хочет отлично справляться с домашними заданиями, повышать уровень знаний и решать контрольные на высокие оценки. Если тщательно изучать тему, тренироваться и параллельно проверять свои ответы в ГДЗ, каждый урок принесет еще больше пользы.

как сдать ОГЭ по математике — Учёба.ру

Чем раньше начнешь готовиться к ЕГЭ,
тем выше будет балл Поможем подготовиться, чтобы сдать экзамены на максимум и поступить в топовые вузы на бюджет. Первый урок бесплатно

Ольга Евсеева,

преподаватель математики физико-математической школы Института довузовской подготовки

Московского технологического университета (МИРЭА, МИТХТ, МГУПИ)

По вашему мнению, насколько хорошо девятиклассники сейчас знают математику? Насколько сложен для них этот ОГЭ?

Не сказала бы, что школьники не знают математику. Как правило, к нам на занятия приходят ребята с неплохим начальным уровнем, с хорошими навыками выполнения арифметических действий и преобразования выражений, знакомые с методами решения линейных, квадратных уравнений и неравенств — то есть со всем тем, что они должны знать к началу 9 класса. Конечно, глубина знаний и умение ими пользоваться напрямую зависят от количества часов математики в школе: при изучении предмета на базовом уровне это три-четыре часа алгебры и два часа геометрии в неделю, на углубленном уровне — пять-семь часов алгебры и три часа геометрии. Поскольку ОГЭ состоит из двух частей, первая из которых проверяет базовый уровень подготовки, а вторая включает более сложные задания, ребятам, изучающим в школе базовую математику, необходимо выделить дополнительное время для подготовки.

Иногда школьных уроков и самостоятельной работы достаточно, чтобы сдать ОГЭ на хорошо и отлично. В качестве подспорья можно использовать различные сайты и учебную литературу в открытом доступе. Возникающие вопросы можно обсудить на форумах или со школьным учителем. Но занятия на курсах помогают последовательно разобрать темы, систематизировать материал, проверить глубину его усвоения. Ведь после ОГЭ ребят через два года ждет более трудное испытание — ЕГЭ, в котором часть базовых заданий аналогичны заданиям повышенной и высокой сложности из ОГЭ. Девятиклассники впервые сдают экзамен, содержащий так много заданий, и его длительность составляет 3 часа 55 минут. Безусловно, для ребят это непросто.

Расскажите про структуру экзамена и систему начисления баллов. За какие задания на ОГЭ по математике ставится наибольшее количество баллов?

Всего школьникам предлагается 26 заданий. До недавнего времени экзамен состоял из трех частей — «Математика», «Реальная математика» и «Геометрия». С 2018 года раздела «Реальная математика» в ОГЭ больше нет, а его задания распределены между модулями «Алгебра» и «Геометрия».

Ребятам предстоит решить 17 задач по алгебре (14 задач в части 1 и три в части 2) и девять задач по геометрии (шесть задач в части 1 и три в части 2). Задания части 1 требуют краткого ответа в виде числа или последовательности цифр, которые вносятся в бланк ответов № 1. Развернутые решения заданий части 2 и ответы к ним записываются на бланке ответов № 2. За правильный ответ на каждое из заданий № 1-20 ставится 1 балл. Эти задания проверяются автоматически при сканировании бланков. Задания № 21-26 проверяют двое независимых экспертов, хотя при значительном расхождении оценок назначается проверка третьим экспертом. Эти задания могут быть оценены от 0 до 2 баллов. Таким образом, максимально за работу можно получить 32 первичных балла. Пятерка ставится за результат от 22 баллов, четверка — от 15 баллов, тройка — от 8 баллов (из них не менее 4 баллов по алгебре и 2 баллов по геометрии).

Как видите, для положительной оценки достаточно решить лишь восемь задач из части 1, а для пятерки — безошибочно выполнить базовую часть экзамена и только одно из заданий повышенной сложности. Вроде бы задача «сдать ОГЭ на отлично» не кажется такой уж сложной. Однако с заданиями повышенной сложности из части 2 ребятам придется снова столкнуться на ЕГЭ, уже в его базовой части. Например, задание № 22 повышенного уровня сложности — «текстовая задача» — аналогично заданию № 11 из части 1 ЕГЭ. Поэтому, как мне кажется, ребятам уже в 9 классе надо освоить методы и приемы решения заданий из части 2.

По вашему опыту преподавания, какие разделы математики самые сложные для школьников и вызывают наибольшее затруднение? Какие темы самые простые?

В модуле «Алгебра» это, прежде всего, исследование функций и построение их графиков. Задания на эту тему входят и в часть 1, и в часть 2 ОГЭ. В задании № 10 нужно установить соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают. Здесь школьники часто ошибаются, пытаясь угадать ответ вместо того, чтобы рассуждать логически. В части 1 можно еще отметить задания на преобразование и вычисление выражений, если там содержатся радикалы: задание № 4, где надо найти значение выражения, и задание № 12, где сначала выражение надо упростить, а потом вычислить. Работать с корнями правильно получается далеко не у всех. Также не всегда ребятам удается справиться с заданием № 13 — «задачей прикладного содержания», где из несложной формулы нужно выразить одну из величин, найти ее значение, а ответ записать в указанных единицах измерения. Сложность здесь как раз заключается в переходе от одной размерности к другой.

В модуле «Геометрия» в части 1 включены задачи, относящиеся к ключевым разделам курса геометрии. И все же, если в задании встречаются такие темы, как «вписанная и описанная окружности», «вписанные углы», «соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «подобие треугольников», показатель его решаемости падает.

Меньше всего ошибок девятиклассники допускают в заданиях на чтение таблиц и диаграмм, нахождение вероятности случайного события.

Какие есть «подводные камни» в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

Задание № 21 В этом задании необходимо решить уравнение или неравенство, преобразовать алгебраическое выражение. При решении рациональных и дробно-рациональных уравнений, а также уравнений высших степеней необходимо обращать внимание на возможность потери решения (при сокращении на выражение, которое может быть равным нулю) или получение посторонних решений (которые обнуляют знаменатель или обращают исходное уравнение в выражение, не имеющее смысла). При решении неравенств надо помнить, что при умножении неравенства на отрицательное выражение оно меняет знак. Зачастую школьники либо просто не обращают внимание на знак величины, на которую умножают неравенство, либо умножают неравенство на выражение, содержащее переменную.
Задание № 22 Это текстовая задача, как правило, на «движение», «работу», «концентрации растворов» или «смеси и сплавы». Для ее решения необходимо составить уравнение или систему уравнений. Я бы посоветовала ребятам для наглядности обязательно заполнять таблицу, в которую вносятся известные по условию величины, выбранная переменная или переменные, после чего в пустые клетки вписываются соответствующие им величины, выраженные через введенные переменные, и только потом приступать к составлению уравнения (или системы).
Задание № 23 Построение графика функции. Для правильного выполнения этого задания необходимо знать свойства следующих функций: линейная, квадратичная, либо функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость. Также необходимо уметь строить графики этих функций, знать правила преобразования графиков. Очень часто встречаются задания, в которых формулу, задающую исходную функцию, можно преобразовать, после чего она значительно упрощается. Здесь необходимо помнить, что область определения исходной и получившейся функции могут не совпадать.
Задание № 24 Геометрическая задача вычислительного характера. Школьник должен решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания из курса геометрии.
Задание № 25 Геометрическая задача на доказательство с использованием стандартных приемов. Здесь надо обратить внимание на умение математически грамотно и ясно записать решения, приведя все необходимые обоснования и пояснения.
Задание № 26 Для решения этой задачи школьникам нужно владеть широким спектром приемов и способов рассуждений. Здесь возможно потребуются и дополнительные построения, и знание утверждений, не так часто используемых в школьном курсе. Например, теорема об угле между касательной и хордой; теорема о секущих и касательной; свойства высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла; свойства биссектрис, медиан, высот треугольника; теорема Чевы; теорема Менелая.

Что нужно делать школьнику, чтобы подготовиться к экзамену наилучшим образом? Как вы посоветуете им распределить свое время?

На занятиях со школьниками я обычно придерживаюсь следующей стратегии. Во-первых, мы полностью проходим программу 9 класса, начиная с отработки основных навыков и умений по следующим темам: преобразование алгебраических выражений, решение уравнений и неравенств, числовые последовательности, функции, их свойства и графики, элементы статистики и теории вероятностей. Постепенно повышая уровень заданий, мы переходим к решению задач повышенной и высокой сложности и стараемся уделить этим заданиям как можно больше внимания. Не менее трети времени следует посвятить геометрии, и здесь также нужно двигаться «от простого к сложному».

Во-вторых, необходимо готовиться к самому формату ОГЭ, к его структуре. Если ученик хорошо умеет решать задачи, но ни разу не пробовал написать работу в этом формате, ему сложно будет оценить количество затрачиваемого времени на часть 1 и 2. Обязательно нужно научиться правильно распределять свои силы.

Многие девятиклассники не используют предлагаемое на экзамене время полностью, у них просто не хватает усидчивости. Ребята сдают работу раньше, хотя еще остались нерешенными задания повышенной сложности. Зачастую и в заданиях части 1 бывают ошибки по невнимательности, которые сам школьник не смог найти и исправить. На ЕГЭ же складывается обратная ситуация. Выпускники прилежно готовятся к экзамену, считают, что времени мало. Им хочется еще раз проверить свои решения и подумать над заданиями высокой сложности.

Какие источники вы рекомендуете использовать для самостоятельной подготовки к экзамену?

«Сайт ФИПИ». На нем вы найдете открытый банк заданий ОГЭ.

Сборник «ОГЭ. Математика 2018. Типовые и тестовые задания». Таких сборников очень много, нужно обращать внимание на гриф «рекомендовано ФИПИ».

Учебные пособия Центра непрерывного математического образования. Например, сборник «Подготовка к ОГЭ по математике. Методические указания. Разбор задач». На 500 страницах здесь можно найти подробный разбор каждой из 26 задач экзамена и множество вариантов каждой из них для самостоятельного решения.

«Сайт Alexlarin.net». Здесь каждую неделю выкладывается новый вариант ОГЭ и новый вариант ЕГЭ. Ребятам дается семь дней на размышление. Они могут обсуждать свои решения на специальном форуме. Потом вывешиваются правильные ответы.

«РешуЕГЭ». На сайте доступен большой банк заданий. Тесты можно составлять самостоятельно, выбирая лишь те темы, над которыми необходимо поработать. Небольшой минус — тесты часто получаются похожими друг на друга.

3. Решение задач с помощью уравнений

§ 3. Решение задач с помощью уравнений.
Вам неоднократно приходилось решать задачи с помощью составления уравнений. Разнообразие решённых задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чём же заключается секрет его силы?
Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удаётся записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.
Часто условие задачи представляет собой описание какой–то реальной ситуации. Составленное по условию уравнение называют математической моделью ситуации.
Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приёмы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам ещё предстоит изучить.
Найденный корень уравнения — это ещё не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии задачи.
Рассмотрим, например, такие задачи.
1) За 4 ч собрали 6 кг ягод, причём каждый час собирали одинаковое по массе количество ягод. Сколько ягод собирали за один час?
2) Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды?
По условию этих задач можно составить одно и то же уравнение 4х = б, корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче ответ «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй ответ «ягоды собирали полтора мальчика» — нет. Поэтому вторая задача не имеет решений.
При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий.
⊕ ⇒ 1. По условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи).
2. Решить полученное уравнение.
3. Выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ.
Эту последовательность действий, состоящую из трёх шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.
ПРИМЕР 1. Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за б дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?
Решение. Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно (х– 12) деталей, а всего их должно было быть изготовлено 8(х– 12). На самом деле он изготовил 6х деталей.
Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше значения выражения 8(х – 12), то получаем уравнение:
6х – 22 = 8(х – 12).
Тогда 6х – 22 = 8х – 96;
6х – 8х = –96 + 22;
—2х = –74;
х = 37.
Ответ: 37 деталей. ■
ПРИМЕР 2. Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?
Решение. Пусть велосипедист ехал х ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал (5 – х) ч. Первая часть пути составляет 10х км, а вторая — 15(5 – х) км. Всего велосипедист проехал 10х + 15(5 – х) км. Поскольку весь путь составил 65 км, то получаем уравнение:
10х + 15(5 – х) = 65.
Отсюда 10х + 75 – 15х = 65;
–5х = –10; х = 2.
Следовательно, со скоростью 10 км/ч он ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.
Ответ: 2 ч, 3 ч. ■

Ознакомительная версия для принятия решения о покупке книги: Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф, 2019 (Российский учебник). 3. Решение задач с помощью уравнений.
Как решать вирусные математические задачи

Помните задачу, которую недавно пытались решить всем интернетом: 8 ÷ 2(2 + 2)? У одних получался ответ 1, у других — 16. Математик и журналистка Ивлин Лэмб в своей статье для Scientific American объясняет, в чем там настоящая сложность. Рассказываем с учебником в руках!

Сначала напомним суть проблемы. В задаче 8 ÷ 2(2 + 2) у одних получается ответ 16, у других — 1.

Ответ зависит от того, в какой последовательности производить вычисления. Правило последовательности действий можно найти в учебнике математики для третьего класса: «Действия в числовых выражениях выполняют в следующем порядке: 1) действия, записанные в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание».

Значит, сначала необходимо вычислить 2 + 2 (получается 4), а затем 8 ÷ 2 ⋅ 4 (получается 16).

Однако в методическом пособии для преподавателей алгебры говорится: «В алгебре тот же порядок действий, что и в арифметике, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a ÷ b ⋅ c = a ÷ (b ⋅ c)». Более того, автор методички упоминает, что математики Павел Александров и Андрей Колмогоров предлагали распространить этот алгебраический принцип и на арифметику, однако «это предложение не нашло поддержки».

Если вам в свое время вдолбили это в голову, вы, увидев, что знак умножения перед скобкой опущен, могли воспринять умножение как действие с более высоким приоритетом и действовать иначе: сначала вычислить 2 + 2 (получается 4), затем умножить результат на 2 (получается 8), затем вычислить 8 ÷ 8 и получить ответ 1.

Если так, то вы не одиноки — так же задачу решают и некоторые калькуляторы.

Но, считает математик и журналистка Ивлин Лэмб, проблема несколько шире, чем холивар, о котором скоро все забудут (предыдущий был всего полгода назад — тогда в задаче были другие числа, но те же знаки). Настоящая проблема в том, что люди берутся решать задачу, несмотря на возможное разночтение.

Если порядок вычислений предполагает разные варианты, значит, задача сформулирована неточно. Убедиться в этом должен прежде всего тот, кто задачу формулирует. Но и тот, кто пытается ее решить, должен иметь смелость сказать, что запись некорректна или в ней не хватает данных.

Однако

травмированные школой люди только рады получить лишнее подтверждение тому, что математика — это минное поле,

считает Лэмб. Вместо того чтобы решать очередную задачу из интернета, стоит разобраться, в чем подвох: корректные задачи вирусными не становятся.

О подвохе, кстати, предупреждают все в той же методичке: «Для устранения недоразумений […] предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой или ставить скобки». В таком случае выражение могло бы выглядеть иначе:

(8 ÷ 2)(2 + 2)

8 ÷ (2(2 + 2))

Литература

Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С.В. Учебник: Математика 3-й класс. М.: Просвещение, 2014.

Шустеф М.Ф. Методика преподавания алгебры. Курс лекций. Минск, 1967.

Где можно учиться по теме #математика

Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.

Дар или навык? Что такое математические способности и как их развить

Успехи других людей – это всегда немного загадка. Почему у одних получается решать сложные математические задачи, а другие, как бы ни старались, не могут выйти на новый уровень? Неужели математика и правда подвластна не всем? На эти вопросы ответил Назар Агаханов, председатель Центральной предметно-методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. С 1995 года руководил национальной командой России на международных математических олимпиадах.

В 2010 году Назар Хангельдыевич стал лауреатом премии Правительства РФ в области образования за научно-практическую разработку «Система развития всероссийских предметных олимпиад школьников, отбора и подготовки национальных сборных команд России на международные олимпиады по физике и математике». Когда проявляются математические способности, как их развивать и кому не стоит идти в олимпиадное движение – рассказал эксперт.

Фото: https://mipt.ru/

Математические способности – это умение построить новые модели, не повторяющие стандартные алгоритмы, которым научили в школе. На базе таких маленьких открытий и строятся наука и технологии. Именно поэтому математика позволяет находить способных детей.

Некоторые ученые считают, что порядка 10% людей обладают высокими математическими способностями. И это нормально. Если нет математических способностей, значит, есть что-то другое. Важно помогать детям открывать интересные сферы, но не навязывать.

«Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок вырос успешным человеком, и сейчас очень популярна позиция, что развивать нужно с пеленок. Может быть, так и есть, но в любом случае лучше отталкиваться от искреннего интереса ребенка. Талант погибнет, если заставлять его делать несвойственное. Часто родители хотят использовать любые возможности, в частности, например, отправляют заниматься ментальной арифметикой, ложно полагая, что это шаг в математику, но это бессмысленная трата времени, ведь математика – это творчество. Не зря же задачи и решения называют красивыми», – говорит Назар Агаханов.

Чаще всего склонность к математике начинает проявляться в начальной школе, но это не значит, что сразу нужно вести ребенка на несколько кружков и интенсивно развивать эти способности. Достаточно одного урока занимательной математики в неделю.

Более серьезные кружки начинают работу с учениками 5-6 классов. На этом этапе изучения математики обогнать сверстников очень легко. Круг задач еще достаточно узок и владение приемами их решения позволяет обойти даже, возможно, потенциально более сильных сверстников именно за счет знаний, а вот дальше, в 7-8 классах, для высоких результатов нужно чувствовать математику, здесь и проявляются математические способности. В это время преподаватели работают со школьником на развитие математического аппарата, укрепляется который уже в старших классах.

Поэтому нередко бывает, что ярко проявляющие себя в 5-7 классах школьники начинают терять свои позиции в старших классах и выгорают от непонимания, почему теперь не получается быть сильнее других. Хотя выгорание возможно и по другой причине – слишком долгие занятия олимпиадными задачами. Интерес все-таки нужно поддерживать, переключаясь на другую деятельность.



Характер и воля: что помогает добиваться успехов в олимпиадах

Трудолюбие и готовность много работать – наверное, самые очевидные качества, которые нужны в любой сфере для достижения высоких результатов.

«Способности – это фундамент. Чтобы подняться на несколько ступенек вверх, нужно работать. При наличии этих двух пунктов и еще хорошего педагога, все остальное уходит на второй план. Даже атмосфера в семье и материальное благополучие. В сборную часто попадают дети, у которых не очень устроено семейное положение. Можно даже сделать частный вывод, что чем больше благоустроен быт, тем меньше ребенок настроен трудиться», – рассказывает Назар Агаханов.

Еще один важный пункт, над которым нужно работать каждому олимпиаднику, – психологическая устойчивость. На олимпиаде ребенок от волнения может показать результат хуже, чем его потенциал. Более ярко это проявляется в спорте, когда ребенок, приезжая на международные соревнования, проваливается. Нужно уметь воспринимать состязания не как конкурс, где тебе придется преодолевать невероятные сложности, а как удовольствие от того, что ты встретишься с интересными задачами и попробуешь их решить. Самостоятельно психологическую устойчивость развивать сложно. Для этого важна среда.

«Задумайтесь, почему в хороших математических школах так много детей, показывающих высокие результаты? Во-первых, конечно, в лучших школах собираются лучшие учителя. Во-вторых, в конкурентной борьбе с равными тебе сверстниками ты привыкаешь – нужно доказывать, что ты лучший. Несколько раз сначала ты можешь сорваться из-за волнения, а дальше уже будешь спокоен», – говорит Назар Агаханов.

Интересуйтесь всем: советы по эффективному олимпиадному тренингу

Если юный математик идет в олимпиадное движение только ради поступления в университет, лучше оставить эту затею. По словам эксперта, количество бюджетных мест по России определенно превосходит количество способных ребят, заканчивающих школы. Проблемы с тем, чтобы ребенок был талантлив в математике, а его не хотели брать на учебу в вуз, нет. Такие ребята с легкостью сдают экзамены. Повторимся, этот фактор абсолютно для математики не работает.

Пожалуй, нужно искренне любить соревноваться, чтобы спокойнее переживать возможный стресс. А педагог поможет раскрыть способности и стать лучше. Заниматься с преподавателями можно и онлайн, и оффлайн. Но эксперт уверен, что онлайн-формы не заменят личного общения.

«Важен не объем пройденного материала, а то, как преподаватель послушал решение и рассуждения ребенка. Именно поэтому подготовка к международным олимпиадам во всех странах проходит примерно одинаково – учитель помогает разобрать ошибки, а не начитывает лекции. Школьник может увидеть решения тысяч задач и от этого не продвинуться, но, если он сам углубился в вопрос, попробовал решить, увидел трудные места, ему приоткроется новое знание. Дистанционные формы, к сожалению, в этом не столь эффективны, потому что важен живой диалог и прямая беседа. При этом место проживания – не крест для успехов. Хорошие преподаватели есть в регионах и это факт», – утверждает Назар Агаханов.

Еще одна возможность прокачаться – различные турниры и летние школы, которые есть практически в каждом регионе. Можно подобрать для себя наиболее подходящие. Такие площадки собирают большое количество ребят из разных городов в одном месте, дают возможность и пообщаться, и вместе решать задачи, и познакомиться с педагогами, которые входят в жюри.

Еще один важный пункт на пути к эффективным занятиям – вовремя отдыхать. Спорт, прогулки, активный отдых – хороший инструмент для качественной перезагрузки между занятиями. Но не единственный.

«Большое количество открытий в математике происходит на стыке дисциплин, когда ты можешь переключиться, перенести свои способности на другое направление, в котором не являешься специалистом самого высокого уровня. Поэтому при стремлении добиться чего-то серьезного в математике, стоит интересоваться всеми предметами в школе и вообще разносторонне развиваться», – говорит Назар Агаханов.

Отсюда возникает вопрос, если тратить время на другие интересы, то сколько тогда нужно заниматься именно математикой? Конкретного ответа здесь нет, все очень индивидуально. Формулу поможет выработать внутреннее ощущение – заниматься нужно ровно столько, чтобы чувствовать, что ты находишься в форме. А вот перед олимпиадными турами важно не перегружать мозг слишком интенсивными занятиями, чтобы не устать.



Обрати внимание: самые распространенные ошибки начинающих олимпиадников

Многие начинающие олимпиадники делают ошибки из-за того, что не продумывают решение глубоко. Чаще всего это происходит из-за невнимательности и игнорирования части условий. Поэтому Назар Агаханов рекомендует, как банально бы это ни было, детально читать условия задач и использовать в решении все обозначенные параметры.

В решении геометрических задач чаще всего встречаются логические ошибки, когда то, что надо доказать, каким-то образом встраивается в логику решения. Пример: нужно доказать равенство углов. Школьник отталкивается от фразы «так как эти углы равны», решает задачу и попадает в логическую ловушку, делая некорректные выводы.

Распространенная ошибка в алгебре и комбинаторике – длинное решение с перебором вместо короткого. Решение методом перебора – нормальный подход, но, если пропускается какой-то случай, решение может не засчитаться, потому что именно в этом случае и было верное решение.

ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев
Решебник по алгебре для 7 класс Макарычев от Путина – это сборник готовых решений и ответов на задачи и примеры учебника, составленного коллективом авторитетных российских ученых: Ю.Н. Макарычевым, Н.Г. Миндюком, К.И. Нешковым, С.Б. Суворовым.
ГДЗ по алгебре 7 класс: Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова
В 7 классе школьники приступают к углубленному изучению отдельной сферы математики – алгебры. Порой многие из них начинают испытывать трудности с решением задач и выполнением примеров. Родители в этой ситуации видят всего одно решение – нанимать ребенку репетитора.
Однако проблему можно решить и без приглашения специалистов извне: достаточно воспользоваться ГДЗ по алгебре для 7 класса Макарычев. В книге приведены не только готовые ответы, но и пошаговый алгоритм выполнения домашнего задания. Это позволит школьникам разобраться дома с непонятыми в классе примерами, а их родителям – взять под контроль успеваемость своего чада.
Для того чтобы оптимизировать расход времени и сил на выполнение алгебраических задач и примеров, стоит воспользоваться интерфейсом нашего сайта, который позволяет:
выбрать в таблице нужный номер и перейти на решеное задание;
получить доступ к базе ответов с любого электронного гаджета;
открыть для себя несколько вариантов решения одного и того же примера.
Поскольку база сборников ГДЗ обновляется регулярно, то школьники могут быть уверенными в правильности выполнения домашней работы, как с позиции правил языка, так и с точки зрения ее оформления.
Решебник по алгебре 7 класс Макарычев — учебник 2013-2017г.
В большинстве общеобразовательных школ России ныне используется учебник 2013 года, который составлен группой российских ученых во главе с Макарычевым Ю.Н.
Алгебра Макарычева – это 46 тем, распределенных между 6-ю крупными разделами. Книга знакомит школьников с базовыми алгебраическими понятиями:
преобразование выражений и решение уравнений с одной переменной;
основные типы функций и построение их графиков в декартовой системе координат;
формулы сокращенного умножения: структура и применение;
математические действия с одночленами и многочленами;
системы линейных уравнений и два метода их решения.
Каждая тема пособия подкреплена примерами и задачами, как стандартного типа, так и повышенного уровня сложности.
Неполные квадратные уравнения. Примеры и решение

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax² + bx = 0, если c = 0;
ax² + c = 0, если b = 0;
ax² = 0,    если   b = 0   и   c = 0.
Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax² + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0 или ax + b = 0.

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

x₁ = 0 и x₂ = — b .
a
Неполные квадратные уравнения вида ax² + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0.

Решение:

a² — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a₁ = 0 a — 12 = 0
a₂ = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x.

Решение:

7x² = x
7x² — x = 0
x(7x — 1) = 0
x₁ = 0 7x — 1 = 0
7x = 1

Чтобы решить уравнение вида ax² + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

ax² = —c, следовательно, x² = — c .
a
В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x² — c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c , x₂ = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y².

Решение:

24 = 2y²
24 — 2y² = 0
-2y² = -24
y² = 12
y₁ = +√12 y₂ = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0.

Решение:

b² — 16 = 0
b² = 16
b₁ = 4 b₂ = -4

Уравнение вида ax² = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax² = 0 следует, что x² = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Алгебраические методы решения систем

Цели обучения

Используйте метод замены

Решите систему уравнений, используя метод подстановки.

Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений

Используйте метод исключения без умножения

Решите систему уравнений, когда умножение не требуется для исключения переменной

Используйте метод исключения с умножением

Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений

Распознавать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает, что существует бесконечное число решений

Решите систему уравнений методом подстановки

В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система двух линейных уравнений.Что, если нам не дана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы еще найти решение этой системы? Конечно, можно, используя алгебру!

В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы для вычисления площади треугольника и простого процента. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которых мы не знали.Идея аналогична применительно к системам решения, в этом процессе всего несколько этапов. Сначала вы решите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Чтобы понять, что это означает, давайте начнем с примера.

Пример

Найдите значение x для этой системы.

Уравнение A: [латекс] 4x + 3y = −14 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] y = 2 [/ латекс]
Показать решение Задачу просит решить для x .Уравнение B дает вам значение y , [latex] y = 2 [/ latex], поэтому вы можете подставить 2 в уравнение A для y.
[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y = −14 \\ y = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 2 [/ латекс] в уравнение A.

[латекс] 4x + 3 \ влево (2 \ вправо) = — 14 [/ латекс]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 6 = −14 \\ 4x = −20 \ x = −5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = −5 [/ латекс]

Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение.Вот пример.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] y + x = 3 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] x = y + 5 [/ латекс]
Показать решение Цель метода подстановки — переписать одно из уравнений в терминах одной переменной. Уравнение B говорит нам, что [латекс] x = y + 5 [/ latex], поэтому имеет смысл заменить [latex] y + 5 [/ latex] в уравнение A для x .
[латекс] \ begin {array} {l} y + x = 3 \\ x = y + 5 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y + 5 [/ латекс] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ y + \ left (y + 5 \ right) = 3 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 2y + 5 = \, \, \, \, 3 \\\ подчеркивание {−5 \, \, \, \, \, — 5} \\ 2y = — 2 \\ y = −1 \ end {array} [/ latex]

Теперь найдите x , подставив это значение для y в любое уравнение, и решите для x . Здесь мы будем использовать уравнение A.

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ — 1 + x = 3 \\\ подчеркивание {+1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, +1} \\ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Наконец, проверьте решение [latex] x = 4 [/ latex], [latex] y = −1 [/ latex], подставив эти значения в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} y + x = 3 \\ — 1 + 4 = 3 \\ 3 = 3 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} x = y + 5 \\ 4 = −1 + 5 \\ 4 = 4 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] y = -1 [/ латекс]

Решение — [латекс] (4, -1) [/ латекс].

Помните, решение системы уравнений должно быть решением каждого из уравнений внутри системы. Упорядоченная пара [latex] (4, −1) [/ latex] действительно работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что это также решение системы.

Давайте посмотрим на другой пример, замена которого включает свойство распределения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Выберите уравнение для замены.
Первое уравнение говорит вам, как выразить y через x , поэтому имеет смысл подставить 3 x + 6 во второе уравнение для y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] 3x + 6 [/ latex] вместо y во второе уравнение.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2x + 4 \ left (3x + 6 \ right) = 4 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 12x + 24 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x + 24 = 4 \, \, \, \, \ , \, \, \\\ подчеркивание {−24 \, \, — 24 \, \, \, \,} \\ 10x = −20 \\ x = −2 \, \, \, \ end {array} [/ латекс]

Чтобы найти y , подставьте это значение вместо x обратно в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ y = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ y = −6 + 6 \\ y = 0 \ end {array} [/ латекс]

Проверьте решение [латекс] x = −2 [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex], подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ 0 = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ 0 = −6 + 6 \\ 0 = 0 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2 \ left (-2 \ right) +4 \ left (0 \ right) = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = -2 [/ латекс] и [латекс] y = 0 [/ латекс]

Решение: (−2, 0).

В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной x или y . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.

Иногда вам, возможно, придется сначала переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете заменить ее в другое уравнение.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Выберите уравнение для замены. Второе уравнение,
[латекс] 3x + y = 19 [/ latex], может быть легко переписан в терминах y , поэтому имеет смысл начать с этого.

[латекс] \ begin {массив} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Перепишите [латекс] 3x + y = 19 [/ latex] в виде y .

[латекс] \ begin {array} 3x + y = 19 \\ y = 19–3x \ end {array} [/ latex]

Замените [латекс] 19–3x [/ латекс] на y в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2x + 3 (19–3x) = 22 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 57–9x = 22 \, \, \, \, \\ — 7x + 57 = 22 \, \, \, \, \\ — 7x = −35 \\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 5 [/ latex] обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти y.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 3 \ left (5 \ right ) + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15 + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y = 19−15 \\ y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте оба решения, подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2 (5) +3 \ left (4 \ right) = 22 \\ 10 + 12 = 22 \\ 22 = 22 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 3x + y = 19 \\ 3 \ left (5 \ right) + 4 = 19 \\ 19 = 19 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 5 [/ латекс] и [латекс] y = 4 [/ латекс]

Решение (5, 4).

В следующем видео вам будет показан пример решения системы двух уравнений с использованием метода подстановки.

Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти то же решение. Это действительно вопрос предпочтений, потому что иногда решение для переменной приводит к необходимости работать с дробями. По мере того, как вы приобретете больший опыт в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.

Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений

Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, мы обнаружили, что некоторые уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное количество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.

Вспомните этот пример из модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:

Решите для x .[латекс] 12 + 2x – 8 = 7x + 5–5x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 12 + 2x-8 = 7x + 5-5x \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \\\, \, \ , \, \, \, \, \, \ underline {-2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 2x \, \, \, \, \, \, \, \,} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 4 = \, 5 \ end {array} [/ latex]

Это ложное утверждение означает, что не существует решений этого уравнения. Таким же образом вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки, чтобы найти решение системы линейных уравнений с двумя переменными.В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Поскольку первое уравнение [латекс] y = 5x + 4 [/ latex], вы можете заменить [latex] 5x + 4 [/ latex] на y во втором уравнении.
[латекс] \ begin {array} {r} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x – 2 \ left (5x + 4 \ right) = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Разверните выражение слева.

[латекс] 10x – 10x – 8 = 4 [/ латекс]

Объедините похожие члены в левой части уравнения.

[латекс] 10x – 10x = 0 [/ latex], поэтому у вас остается [latex] −8 = 4 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 0–8 = 4 \\ — 8 = 4 \ end {array} [/ latex]

Ответ

Утверждение [latex] −8 = 4 [/ latex] неверно, поэтому решения нет.

Вы получаете ложное утверждение [латекс] −8 = 4 [/ латекс]. Что это значит? График этой системы проливает свет на то, что происходит.

Линии параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [latex] −8 = 4 [/ latex] — это , а не как решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что не существует решения .

Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное количество решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.

Пример

Решите относительно x и y.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, y = −0,5x \\ 9y = −4,5x \ end {array} [/ latex]
Показать решение
Подставляя -0,5 x вместо y во втором уравнении, вы получаете следующее:

[латекс] \ begin {array} {r} 9y = −4.5x \\ 9 (−0.5x) = — 4.5 \, \, \, \\ — 4.5x = −4.5x \ end {array} [/ латекс]

На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс] −4,5x = −4,5x [/ латекс]. Но что означает такой ответ? Опять же, построение графиков может помочь вам разобраться в этой системе.

Эта система состоит из двух уравнений, которые представляют одну и ту же линию; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, и поэтому метод подстановки дает верное утверждение. В этом случае существует бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы, имеющей бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует добавочное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может потребоваться, а может и не потребоваться сначала умножить члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения.В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.

С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу же рассмотрим несколько примеров.

Если сложить два уравнения,

[латекс] x – y = −6 [/ latex] и [latex] x + y = 8 [/ latex] вместе, посмотрите, что произойдет.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, xy = \, — 6 \\\ подчеркивание {+ \, x + y = \, \, \, 8} \\\, 2x + 0 \, = \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Вы исключили член y , и это уравнение можно решить, используя методы решения уравнений с одной переменной.

Давайте посмотрим, как эта система решается методом исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ x + y = \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Добавьте уравнения.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} xy = \, \, — 6 \\ + \ underline {\, \, x + y = \, \, \, \, \, 8} \\ \, \, \, \, \, \, 2x \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x = 2 \\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 1 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {l} x + y = 8 \\ 1 + y = 8 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 8– 1 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 7 \ end {array} [/ latex]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ 1–7 = −6 \\ — 6 = −6 \\\ text {TRUE} \\\\ x + y = 8 \ \ 1 + 7 = 8 \\ 8 = 8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (1, 7).

К сожалению, не все системы справляются с этим легко. Как насчет такой системы, как [латекс] 2x + y = 12 [/ latex] и [latex] −3x + y = 2 [/ latex].Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут исключены.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + y = 12 \\\ подчеркивание {-3x + y = \, \, \, 2} \\ — x + 2y = 14 \ end {array} [/ latex]

Но вы хотите исключить переменную. Итак, давайте добавим противоположность одного из уравнений к другому уравнению. Это означает умножение каждого члена в одном из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + \, \, y \, = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \\ — 3x + \, \, y \, = 2 \ rightarrow− \ left (−3x + y \ right) = — (2) \ rightarrow3x – y = −2 \\\, \, \, \, 5x + 0y = 10 \ end {array} [/ латекс]

Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.

В следующем видео описывается аналогичная проблема, при которой можно устранить одну переменную, сложив два уравнения вместе.

Осторожность! Когда вы добавляете противоположность одного целого уравнения к другому, не забудьте изменить знак КАЖДОГО члена с обеих сторон уравнения. Это очень распространенная ошибка.
Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Показать решение Вы можете исключить переменную y , добавив противоположность одного из уравнений к другому уравнению.
[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Перепишите второе уравнение как противоположное.

Доп. Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \, \\ 3x – y = −2 \\ 5x = 10 \, \\ x = 2 \, \, \, \, \ end { array} [/ latex]

Подставьте [latex] y = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2 \ left (2 \ right) + y = 12 \\ 4 + y = 12 \\ y = 8 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ 2 \ left (2 \ right) + 8 = 12 \\ 4 + 8 = 12 \\ 12 = 12 \\\ text {TRUE} \\\\ — 3x + y = 2 \\ — 3 \ left (2 \ right) + 8 = 2 \\ — 6 + 8 = 2 \\ 2 = 2 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ латекс]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (2, 8).

Ниже приведены еще два примера, показывающих, как решать линейные системы уравнений с использованием исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {массив} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Если вы сложите эти два уравнения, член x будет удален, поскольку [latex] −2x + 2x = 0 [/ latex].
[латекс] \ begin {массив} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Сложите и решите для и .

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = 25 \, \\ 8y = 24 \, \\ y = 3 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 3 [/ latex] в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 5y = 25 \\ 2x + 5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 2x + 15 = 25 \\ 2x = 10 \\ x = 5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверить решения.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ — 2 \ left (5 \ right) +3 \ left (3 \ right) = — 1 \\ — 10 + 9 = — 1 \\ — 1 = −1 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 2x + 5y = 25 \\ 2 \ left (5 \ right) +5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 10 + 15 = 25 \\ 25 = 25 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение: (5, 3).

Пример

Используйте исключения, чтобы найти x и y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Вам нужно будет добавить противоположное одному из уравнений, чтобы исключить переменную y , так как [latex] 2y + 2y = 4y [/ latex], но [latex] 2y + \ left (−2y \ right) = 0 [ /латекс].
[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Замените одно из уравнений на противоположное, сложите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \, \, \, \, \\ — 5x – 2y = −16 \\ — x = −2 \, \, \, \\ x = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 4 \ left (2 \ right) + 2y = 14 \\ 8 + 2y = 14 \\ 2y = 6 \, \, \, \ \ y = 3 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Решение: (2, 3).

Проверьте последний пример — подставьте (2, 3) в оба уравнения. Получается два верных утверждения: 14 = 14 и 16 = 16!

Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению, а не второе уравнение, и получить тот же результат.

Распознавать системы, у которых нет решения или бесконечное количество решений

Как и в случае с методом подстановки, метод исключения иногда удаляет как v ariables, и вы получаете либо истинное, либо ложное утверждение. Напомним, ложное утверждение означает, что решения нет.

Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите для x и y.

[латекс] \ begin {массив} {r} -x – y = -4 \\ x + y = 2 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .
[латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\\ underline {x + y = 2 \, \, \,} \\ 0 = −2 \ end {array} [/ latex ]

Ответ

Нет решения.

Построение этих линий показывает, что они являются параллельными линиями и, как таковые, не имеют общих точек, подтверждая отсутствие решения.

Если обе переменные исключены, и вы остаетесь с истинным утверждением, это означает, что существует бесконечное количество упорядоченных пар, которые удовлетворяют обоим уравнениям. По сути, уравнения — это одна и та же линия.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\ — x − y = -2 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .
[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\\ underline {-x − y = -2} \\ 0 = 0 \, \, \, \ , \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Существует бесконечное количество решений.

Построение графика этих двух уравнений поможет проиллюстрировать, что происходит.

На следующем видео система уравнений, не имеющая решений, решается методом исключения.

Решите систему уравнений, когда необходимо умножение, чтобы исключить переменную

Многократное добавление уравнений или добавление противоположности одного из уравнений не приведет к удалению переменной. Посмотрите на систему ниже.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Если вы сложите приведенные выше уравнения или сложите противоположное одному из уравнений, вы получите уравнение, в котором по-прежнему есть две переменные.Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного уравнения на число, которое позволит вам исключить ту же переменную из другого уравнения.

Мы делаем это с умножением. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на −4, когда вы сложите оба уравнения, переменные y в сумме дадут 0.

В следующем примере показаны все шаги по поиску решения этой системы.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] 3x + 4y = 52 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] 5x + y = 30 [/ латекс]
Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.
[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Умножьте второе уравнение на [латекс] −4 [/ латекс], чтобы получить одинаковый коэффициент.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3x + 4y = 52 \\ — 4 \ left (5x + y \ right) = — 4 \ влево (30 \ вправо) \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \, \, \, \, \, \, \, \\ — 20x – 4y = −120 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} −17x = -68 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 4 \ end {array} [/ latex ]

Подставьте [latex] x = 4 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) + 4y = 52 \\ 12 + 4y = 52 \\ 4y = 40 \\ y = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте свой ответ.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 12 + 40 = 52 \\ 52 = 52 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 5x + y = 30 \\ 5 \ влево (4 \ вправо) + 10 = 30 \\ 20 + 10 = 30 \\ 30 = 30 \\\ текст {ИСТИНА} \ конец {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (4, 10).
Осторожность! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножить КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число.Забыть умножить каждый член — распространенная ошибка.
Есть другие способы решить эту систему. Вместо умножения одного уравнения, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить обоих уравнений на разные числа.

На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс] -3 [/ латекс].

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]
Показать решение Ищите термины, которые можно исключить.В уравнениях нет членов размером x или y с одним и тем же коэффициентом.
[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Чтобы использовать метод исключения, вы должны создать переменные с одинаковым коэффициентом — тогда вы можете их исключить. Умножьте верхнее уравнение на 5.

[латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (3x + 4y \ right) = 5 \ left (52 \ right) \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Теперь умножьте нижнее уравнение на −3.

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 3 (5x + y) = — 3 (30) \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 15x – 3y = −90 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [ / латекс]

Затем сложите уравнения и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \\ — 15x – 3y = \, — 90 \\ 17y = 170 \\ y = \, \, \, 10 \ end {array} [ / латекс]

Подставьте [latex] y = 10 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3x + 4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 3x + 40 = 52 \\ 3x = 12 \\ x = 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Вы пришли к тому же решению, что и раньше.

Ответ

Решение (4, 10).

Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс] −3 [/ латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме дают 0. Не забудьте умножить все члены уравнения.

В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.

Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, который не указывает никаких решений или бесконечно много решений, точно так же, как с другими методами, которые мы изучили для поиска решений систем.В следующем примере вы увидите систему, которая имеет бесконечно много решений.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] x-3y = -2 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] -2x + 6y = 4 [/ латекс]
Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.
[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Умножьте первое уравнение на [latex] 2 [/ latex] так, чтобы члены x исключались.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \ left (x-3y \ right) = 2 \ left (-2 \ right) \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-6y = -4 \\ — 2x + 6y = 4 \\ 0x + 0y = 0 \\\, \, \, \, \, \, \, \ , 0 = 0 \ end {array} [/ latex]

Вам знакомо такое решение? Это представляет собой решение всех действительных чисел для линейных уравнений, и это представляет то же самое, когда вы получаете такой результат с системами. Если мы решим оба этих уравнения относительно y, вы увидите, что это одно и то же уравнение.

Решите уравнение A относительно y:

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 3y = -x-2 \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

Решите уравнение B относительно y:

[латекс] \ begin {array} -2x + 6y = 4 \\ 6y = 2x + 4 \\ y = \ frac {2} {6} x + \ frac {4} {6} \ end {array} [/ латекс]

Уменьшите дроби, разделив числитель и знаменатель обеих дробей на 2:

[латекс] y = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} [/ latex]

Оба уравнения одинаковы, если записаны в форме пересечения наклона, и поэтому набором решений для системы являются все действительные числа.

Ответ

Решение: x и y могут быть действительными числами.

В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Вдобавок у этой системы есть бесконечное количество решений.

Сводка

Метод подстановки — это один из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных в терминах другой переменной.Затем замените это выражение этой переменной во втором уравнении. Затем вы можете решить это уравнение, поскольку теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (с указанием одного решения), неверное утверждение (с указанием отсутствия решений) или истинное утверждение (с указанием бесконечного числа решений).

Объединение уравнений — мощный инструмент для решения системы уравнений.Сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения (или добавления). Как только одна переменная исключена, становится намного проще найти другую.

Умножение можно использовать для настройки соответствующих членов в уравнениях перед их объединением, чтобы помочь в поиске решения системы. При использовании метода умножения важно умножить все члены с обеих сторон уравнения, а не только один член, который вы пытаетесь исключить.

Решение уравнений — алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Задач со словами — Полный курс алгебры

10

Примеры

Проблемы

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ требует практики в переводе словесного языка на алгебраический язык.См. Урок 1, Задача 8. Тем не менее, проблемы со словами делятся на разные типы. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1. ax ± b = c . Все проблемы, подобные следующей, в конечном итоге приводят к уравнению в такой простой форме.

Джейн потратила 42 доллара на обувь. Это было на 14 долларов меньше, чем вдвое, чем она потратила на блузку. Сколько была кофточка?

Решение. У каждой проблемы со словом неизвестный номер.В этой проблеме цена кофточки. Всегда позволяйте x представлять неизвестное число. То есть пусть на вопрос ответит x .

Тогда пусть x будет тем, сколько она потратила на блузку. В задаче говорится, что «Это», то есть 42 доллара, было на 14 долларов меньше, чем двукратное значение x .

Вот уравнение:

2 x -14 = 42.

2 x = 42 + 14 (Урок 9)

= 56.

x = 56
2

= 28.

Блузка стоила 28 долларов.

Пример 2. Всего в классе б мальчиков. Это в три раза больше, чем в четыре раза девушек. Сколько девочек в классе?

Решение. Опять же, пусть x представляет неизвестное число, которое вас просят найти: Пусть x будет количеством девушек.

(Хотя b неизвестно — это произвольная константа — это не то, что вас просят найти.)

В задаче указано, что «Это» — b — на три больше, чем в четыре раза x :

4 x + 3 = б .

Следовательно,

4 x = б — 3

x = б -3
4 .

Решение здесь не число, потому что оно будет зависеть от значения b . Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.

Пример 3. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа?

Решение. В этой задаче нам предлагается найти два числа.Следовательно, мы должны позволить x быть одним из них. Тогда пусть x будет первым числом.

Нам говорят, что другое число — еще 12, x + 12.

В задаче указано, что их сумма равна 84:

= 84

Линия размером x + 12 является символом группировки, называемым vinculum . Это избавляет нас от написания скобок.

У нас:

2 x = 84–12

= 72.

x = 72
2

= 36.

Это первое число. Следовательно, другой номер —
.
x + 12 = 36 + 12 = 48.

Сумма 36 + 48 равна 84.

Пример 4.Сумма двух последовательных чисел составляет 37. Какие они?

Решение . Два последовательных числа равны 8 и 9 или 51 и 52.

Пусть тогда x будет первым числом. Тогда число после него будет x + 1.

В задаче указано, что их сумма равна 37:

= 37

2 x = 37 — 1

= 36.

x = 36
2

= 18.

Два числа — 18 и 19.

Пример 5. Одно число на 10 больше другого. Сумма, состоящая из удвоенного меньшего и трехкратного большего, равна 55.Какие два числа?

Решение. Пусть x будет меньшим числом.

Тогда большее число на 10 больше: x + 10.

Состояние проблемы:
.

2 x + 3 ( x + 10) = 55.

Это означает

2 x + 3 x + 30 = 55.Урок 14.

5 x = 55 — 30 = 25.

x = 5.

Это меньшее число. Чем больше число, тем больше на 10: 15.

Пример 6. Разделите 80 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было вдвое больше, чем у первого, а у третьего было на 5 долларов меньше, чем у второго.

Решение . Опять же, нас просят найти более одного числа. Мы должны начать с того, что допустим, что x будет тем, сколько получает первый человек.

Затем второй получает вдвое больше, 2 x .

А третий получает на 5 долларов меньше, 2 x — 5.

Их сумма 80 $:

5 x = 80 + 5

x = 85
5

= 17.

Вот сколько получает первый человек. Следовательно, второй получает

2 x = 34.

А третий получает

2 x -5 = 29.

Сумма 17, 34 и 29 на самом деле равна 80.

Пример 7.Нечетные числа. Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 52. Какие два нечетных числа?

Решение . Во-первых, четное число кратно 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. В алгебре принято представлять четное число как 2 n , где при вызове переменной « n » подразумевается, что n будет принимать целые числовые значения: n = 0, 1, 2 , 3, 4 и т. Д.

Нечетное число на 1 больше (или на 1 меньше) четного.Итак, представим нечетное число как 2 n + 1.

Пусть 2 n + 1 будет первым нечетным числом. Далее будет еще 2 — это будет 2 n + 3. Задача утверждает, что их сумма 52:

2 n + 1 + 2 n + 3 = 52.

Теперь мы решим это уравнение для n , а затем заменим решение в 2 n + 1, чтобы найти первое нечетное число.У нас:

4 n + 4 = 52

4 n = 48

n = 12.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 12 + 1 = 25.Итак, следующее 27. Их сумма 52.

Проблемы

Задача 1. У Джули 50 долларов, что на восемь долларов больше, чем у Джона. Сколько у Джона? (Сравните Пример 1.)

Во-первых, что вы позволите представить в формате x ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Неизвестный номер — сколько у Джона.

Что такое уравнение?

2 x + 8 = 50.

Вот решение:

x = 21
доллар США
Проблема 2. Карлотта потратила на рынке 35 долларов. Это было на семь долларов меньше, чем в три раза больше, чем она потратила в книжном магазине; сколько она там потратила?

Вот уравнение.

3 x — 7 = 35

Вот решение:

x = 14
долларов США
Проблема 3.Есть b черных мраморов. Это на четыре больше, чем в два раза больше красных шариков. Сколько там красных шариков? (Сравните Пример 2.)

Вот уравнение.

2 x + 4 = b

Вот решение:

Проблема 4. Джанет потратила 100 долларов на книги. Это было на долларов меньше, чем в пять раз больше, чем она потратила на обед.Сколько она потратила на обед?

Вот уравнение.

5 x — к = 100

Вот решение:

Задача 5. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 99, и одно из них на 17 больше, чем другое. Какие два числа? (Сравните Пример 3.)

Вот уравнение.

Вот решение:

Задача 6. Класс из 50 учеников делится на две группы; в одной группе на восемь меньше, чем в другой; сколько в каждой группе?

Вот уравнение.

Вот решение:

Проблема 7.Сумма двух чисел равна 72, и одно из них в пять раз больше другого; какие два числа?

Вот уравнение.

x + 5 x = 72.

Вот решение:

x = 12. 5 x = 60.

Задача 8. Сумма трех последовательных чисел 87; кто они такие? (Сравните Пример 4.)

Вот уравнение.

Вот решение:

28, 29, 30.

Задача 9. Группа из 266 человек состоит из мужчин, женщин и детей. Мужчин в четыре раза больше, чем детей, а женщин в два раза больше, чем детей. Сколько их там?

(Чему вы положите равным x — количеству мужчин, женщин или детей?)

Пусть x = Количество детей.Тогда

4 x = Количество мужчин. И

2 x = Количество женщин.

Вот уравнение:

x + 4 x + 2 x = 266

Вот решение:

х = 38.4 x = 152. 2 x = 76.

Задача 10. Разделите 79 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было в три раза больше, чем у первого, а у третьего было на два доллара больше, чем у второго. (Сравните Пример 6.)

Вот уравнение.

Вот решение:

11, 33, 35 долларов.

Задача 11. Разделите 15,20 доллара между тремя людьми так, чтобы у второго было на доллар больше, чем у первого, а у третьего — на 2,70 доллара больше, чем у второго.

Вот уравнение.

Вот решение:

3,50 доллара США, 4,50 доллара США, 7,20 доллара США.

Задача 12. Два последовательных нечетных числа таковы, что три раза первое будет на 5 больше, чем в два раза больше второго.Что это за два нечетных числа?

(см. Пример 7, где мы представляем нечетное число как 2 n + 1.)

Решение . Пусть первое нечетное число будет 2 n + 1.

Тогда следующий 2 n + 3 — потому что будет еще 2.

Задача состоит в следующем:

3 (2 n + 1) = 2 (2 n + 3) + 5.

Это означает:

6 n + 3 = 4 n + 6 + 5.

2 нет = 8.

нет = 4.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 4 + 1 = 9. Следующее — 11.

И это верное решение, потому что в соответствии с проблемой:

3 · 9 = 2 · 11 + 5.

Следующий урок: Неравенство

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Многие люди думают, что уравнения и алгебра им недоступны — мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом. Однако не стоит бояться уравнений.

Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.

Эта страница предназначена для ознакомления вас с основами алгебры и, надеюсь, с тем, чтобы вы чувствовали себя более комфортно при решении простых уравнений.

Что такое уравнение?

Уравнение — это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.

Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>), или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤) или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Это известно как , равенство символов.

Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.

Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.

Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа.Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или если вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.

Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, которые обозначают буквы.

Мы можем превратить два простых уравнения выше в алгебраические, подставив \ (x \) вместо одного из чисел:

2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 2 + 2 = 4, что означает, что \ (x \) должно быть равно 4.Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .

5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 5 + 3 = 8. Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).

Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) было с одной стороны, а все числа — с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений: то, что вы делаете с одной стороной, вы также должны делать с другой .Подробнее об этом ниже.

Уберите по 3 с обеих сторон (8 — 3 = 5), тогда уравнение станет

5> \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).

Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.

Нет никакого волшебства в использовании фигурного символа «x» (\ ({x} \)).Вы можете использовать любую понравившуюся букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.

Переменные и константы

Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что она означает разные числа каждый раз, когда вы ее используете.

Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3.142. Такая буква называется константой .

В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.

Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.

Члены уравнения

Член — это часть уравнения, которая отделена от других частей, обычно символом сложения (+) или вычитания (-).

Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание.Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, полные цифр и букв, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное — рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы думали вначале.

Термины могут быть просто числами, или они могут быть просто буквами, или они могут быть комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) ².

В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква — это переменная . Коэффициент — это просто «множитель» — он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.

Термины, которые имеют точно такую же переменную, называются , как и термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:

Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$
Вы, , не можете складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножить их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.

Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .

Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.

Так, например:

\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)
x

$$ \ frac {6xy} {3x} $$ = $$ \ frac {2xy} {x} $$ = $$ \ frac {2y} {1} $$ = $$ 2г $$

Разделите верхнюю
и нижнюю
на 3 Разделите верхний
и нижний
на 1 можно игнорировать
, потому что
все, что делится на
на 1, само по себе является

Преобразование и решение уравнений

Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.

Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .

Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:

Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы, , должны сделать то же самое с другой. Так вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Это может помочь представить ваше уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.

На нашей странице Дополнение объясняет, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы объединить схожих терминов и упростить сложение.Это относится и к вычитанию , если вы помните из нашей страницы, посвященной положительным и отрицательным числам , что вычитание аналогично добавлению отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).

Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.

Всегда приводите уравнение к простейшей возможной форме: умножайте скобки, делите вниз, исключайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.

Рабочих примеров:

Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкните поля, чтобы увидеть работу и ответы.
$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$

Как и в любом другом вычислении, сначала произведите умножение. 5 × 4 = 20

Итак \ (x \) + 3 = 20

Следующий шаг — убрать по три с обеих сторон

\ (х \) + 3 — 3 = 20 — 3

20 — 3 = 17.

Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17
$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$

Сначала сделайте расчет с правой стороны, потому что он не включает никаких букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.

6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.

Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
и 5 + 21 = 26.

Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33

Теперь можно убрать 26 с обеих сторон

26 + \ (х \) — 26 = \ (х \) = 33 — 26

И 33 — 26 = 7.2 + 5 = 13 — 4} $$

Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.

Теперь у вас
\ (x \) ² = 13-4-5, поэтому

\ (х \) ² = 4

Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) ².

Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2

\ (х \) = 2

Уравнения и графики

Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).

Вы можете вычислить точки на вашем графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).

Примеры:

\ (\ large {y = 2x + 3} \)

\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6

выч. 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3

\ (у \) 3 5 7 9 11 13 15

Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)
Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
, когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
, когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
и так далее …

\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

\ (у \) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114

Экстраполировать

Еще одно преимущество построения вашего уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию) для получения больших значений \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, чтобы оценить значения \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.

В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако необходимо соблюдать осторожность при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере.

Заключение

На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.

Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.

Практических вопросов по бесплатной алгебре — Практика с ключом видеоответа

5. D
Цена увеличилась с 20 долларов до 25 долларов (5 долларов), поэтому вопрос 5 — какой процент от 20. Или 5/20 = x / 100; 500/20 = 25%

6. С

7. D
В первый раз Брайан ответил правильно на 150 вопросов, а во второй раз он ответил на 30% правильнее, поэтому
150 + (30/100 * 150); 30% от 150 = 45, или (30 * 150) / 100
, поэтому 150 + 45 = 195

8.В

Позвольте нам позвонить по этому номеру по x:

Это число увеличивается на 2: x + 2

Затем умножается на 3: 3 (x + 2)

Результат 24: 3 (x + 2) = 24… Решая это линейное уравнение, получаем значение числа:

х + 2 = 24/3

х + 2 = 8

х = 8 — 2

х = 6

9. B

Мой возраст: x

Мой брат старше меня на 3 года: x + 3

Моему отцу на 3 года меньше моего возраста, чем в 2 раза: в 2 раза — 3

Возраст моего отца, разделенный на 5, равен возрасту моего брата, разделенному на 3: (2x — 3) / 5 = (x + 3) / 3

Путем крестового умножения:

5 (x + 3) = 3 (2x — 3)

5x + 15 = 6x — 9

х = 24

Возраст моего отца: 2 ^лет. 24 — 3 = 48 — 3 = 45

10. С

Есть две дроби, содержащие x, и знаменатели разные. Во-первых, давайте найдем общий знаменатель, чтобы упростить выражение. Наименьший общий множитель 4 и 7 равен 28. Тогда

7 (x — 2) / 28 — 4 (3x + 5) / 28 = — 3 ^. 28/28… Так как теперь обе части записаны в знаменателе 28, мы можем их исключить:

7 (x — 2) — 4 (3x + 5) = — 84

7x — 14 — 12x — 20 = — 84

— 5x = — 84 + 14 + 20

— 5x = — 50

х = 50/5

х = 10

11.В

Мы можем следовать методу извне внутрь, чтобы решить этот тип проблем. x находится во внутренней части этой дроби; затем нам нужно сузить круг, чтобы достичь x:

1 / (1 + 1 / (1 — 1 / x)) = 4

Это означает, что (1 + 1 / (1 — 1 / x)) равно 1/4. Затем

1 + 1 / (1 — 1 / x) = 1/4

1 / (1 — 1 / x) = 1/4 — 1

1 / (1 — 1 / x) = — 3/4

Это означает, что 1 — 1 / x = — 4/3. Затем

1 — 1 / x = — 4/3

1 + 4/3 = 1 / x

1 / х = 7/3

Итак, x = 3/7.

Решение задач с помощью алгебры | Матназия

Дрю Лэннинг

Использование алгебры для решения словесных задач — очень мощное приложение математики. К сожалению, многие студенты не чувствуют себя комфортно, используя алгебру для решения реальных задач, даже если они чувствуют себя комфортно со своими навыками алгебры. Проблема в том, что учащиеся изучают все инструменты алгебры, но теряются, когда приходит время выбирать правильные инструменты и решать реальные проблемы.Цель этой статьи — описать шаги, необходимые для решения реальных проблем. Конечно, без буквы х мы бы ничего не сделали!

Давайте начнем с перечисления шагов для решения алгебраической задачи со словами:

Прочтите задачу и решите, что означает «x». Это самая легкая часть. Например, если в задаче задается возраст Марии в 2032 году, тогда пусть x равно возрасту Марии в 2032 году. Если в задаче задается вопрос о расстоянии между лодкой A и лодкой B, тогда пусть x представляет собой расстояние между лодкой A и лодкой B.Не зацикливайтесь на этом шаге. Это действительно так просто!

Определите все другие переменные, описанные в задаче, в терминах x. Предположим, мы знаем, что сестра Марии Джулия на 3 года старше Мэри. Это означает, что в 2032 году возраст Джулии будет x + 3 года.

Напишите уравнение, складывающее все числа вместе. Этот шаг зависит от формулировки вопроса. Например, если мы знаем, что сумма возрастов Марии и Джулии в 2032 году составляет 67 лет, то мы можем написать x + (x + 3) = 67.Если мы знаем, что возраст Мэри в 2032 году составляет девять десятых возраста Джулии в 2032 году, то мы бы написали x = (9/10) * (x + 3).

Решите уравнение. Это довольно простой шаг. Откройте набор инструментов алгебры и решите уравнение для x, которое вы создали на шаге 3. Если вы правильно определили x, все готово!

Вот наш первый полный пример: сумма трех последовательных чисел, кратных семи, равна 168. Каково значение среднего числа?

Пусть x будет значением среднего числа.

Нам нужно найти способ представить наименьшее и наибольшее числа в последовательности с помощью того, что мы знаем о x. Поскольку три числа являются последовательными кратными семи, первое число будет на семь меньше, чем x (мы можем записать это как «X – 7»), а последнее число будет на семь больше, чем x (или «x + 7»).

Мы знаем, что три числа должны добавить к 168, поэтому мы пишем: (x – 7) + x + (x + 7) = 168.

(x — 7) + x + (x + 7) = 168

3x = 168

х = 56

Вот и все! Среднее число — 56.

Давайте попробуем другую задачу: в настоящее время Эбигейл на три года старше половины возраста Сьюзен. Через двенадцать лет возраст Сьюзен будет на семь больше, чем на три четверти возраста Абигейл. Сколько лет Эбигейл сегодня?

Пусть сегодня x будет ровесником Эбигейл.

Нам нужно представить текущий возраст Сьюзан, а также будущие возрасты обеих девочек в единицах x. Начнем с нынешнего возраста Сьюзан. Мы знаем x = 3+.5 * (возраст Сьюзен), поэтому небольшая алгебра показывает, что сегодняшний возраст Сьюзен можно представить как 2 (x – 3). Определить их будущий возраст очень просто. Будущий возраст Абигейл — x + 12, а будущий возраст Сьюзан — 2 (x – 3) +12.

Уравнение, связывающее все вместе, требовало, чтобы мы использовали тот факт, что будущий возраст Сьюзен на семь больше, чем три четверти будущего возраста Абигейл. Три четверти — это всего 75%, поэтому мы можем составить одно огромное уравнение, написав 0,75 (x + 12) + 7 = 2 (x – 3) +12.Левая сторона — ровно на семь больше, чем три четверти будущего возраста Эбигейл, а правая сторона — только будущий возраст Сьюзан.

,75 (x + 12) + 7 = 2 (x — 3) + 12

0,75x + 9 + 7 = 2x -6 +12

0,75x + 16 = 2x + 6

10 = 1,25x

х = 10 / 1,25 = 8

Итак, после всей этой работы мы выяснили, что Эбигейл сейчас 8 лет!

Как видите, четыре описанных выше шага — отличный способ решить многие проблемы с помощью последовательного и методичного подхода.Мы надеемся, что эти советы помогут вам при решении задач со словами с помощью мощных инструментов алгебры!

Примеры алгебраических уравнений с вопросами и решениями

Q 1. Одного человека спросили о его сыновьях и дочерях. Он ответил: «У каждого из моих сыновей столько братьев, сколько сестер, а у каждой из моих дочерей братьев вдвое больше, чем сестер». Сколько сыновей и дочерей у этого мужчины?
БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом.Зарегистрируйтесь сейчас
Sol: Пусть сыновей будет x, а дочерей y. Итак, согласно вопросу, x — 1 = y …….. (1)
And 2 (y — 1) = x …….. (2). Решая эти простые уравнения, мы получаем x = 4 и y = 3.

Q 2. Решите уравнение: P ² — 8P — 33 = 0

Sol: P = 11 или P = — 3. ⇒ Мы можем разложить вышеприведенное уравнение на множители как (P — 11) (P + 3) = 0

Q 3. Если один корень квадратного уравнения P ² — 12P + Q = 0 является троекратным корнем другого корня, то найдите значение Q.

Сол. Пусть один корень будет ‘a’, тогда другой корень будет 3a. Также сумма корней = a + 3a = 4a = 12 ⇒ a = 3.
Произведение корней = Q ⇒ a × 3a = 3a2 ⇒ 3 × 9 = 27

Q 4. Человек нанял рабочего при условии, что он заплатит ему в общей сложности рупий. 10000, а также дать ему цикл после службы в два года. Он прослужил всего 1,5 года и получил цикл и рупии. 7000. Найдите стоимость цикла в рупиях.

Sol: Пусть стоимость цикла будет x рупий.Таким образом, мы можем составить простое линейное уравнение как 1,5 / 2 (10000 + x) = 7000 + x. Решая это линейное уравнение с одной переменной, получаем x = 2000.

Q 5. Если разница между квадратами двух последовательных чисел равна 17, то найдите числа.

Сол. Пусть числа — это P и P + 1. Дано, что (P + 1) ² — (P) ² = 17
⇒ (P + 1 — P) (P + 1+ P) = 17 ⇒ (2P + 1) = 17 ⇒ 2P = 16 ⇒ P = 8.
Итак, числа 8 и 9.

Обязательно ознакомьтесь со статьями по алгебраическим уравнениям

Q 6. Для получения 1 кг ладу необходимо смешать 4 кг сахара и 2 кг муки, а для получения 1 кг барфи необходимо смешать 6 кг сахара и 4 кг муки. Сколько килограммов каждого вида сладостей было произведено, если известно, что было использовано 260 кг сахара и 160 кг муки?

Sol: Возьмем x за килограмм ладу, а у — за килограмм барфи. Теперь уравнение становится 4x + 6y = 260 & 2x + 4y = 160.
Решите эти линейные уравнения и получите значение x как 20 и значение y как 30. Итак, требуемые ингредиенты составляют 20 кг и 30 кг.

Q7. Решить: 2P ² — P — 28 = 0

Sol: Факторизуя данное квадратное уравнение, получаем 2P ² — 8P + 7P — 28 = 0
⇒ 2P (P — 4) + 7 (P — 4) = 0
⇒ (P — 4) ( 2P + 7) = 0 ⇒ P = 4 или P = -7.

Q8. В классе несколько учеников и несколько скамеек. Если 3 ученика сидят на скамейке, то 3 ученика остаются стоять.Если на скамейке рассаживаются 4 ученика, то 3 скамейки остаются свободными. Найдите количество учеников и скамейки в классе.

Sol: Пусть количество учеников равно x, а количество скамеек равно y. Таким образом, мы можем составить два линейных уравнения как 3y + 3 = x ……. (1) и x / 4 = y — 3 ……. (2). Решая эти уравнения, получаем x = 48 и y = 15. Следовательно, в классе 48 учеников и 15 скамеек.
Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ мокам, 75+ видео и 100+ тестам по главам.Зарегистрироваться сейчас
Q9. Если корни P2 — 4P + Q = 0 равны, найти значение Q.

Сол. Дано, что корни равны. Таким образом, значение Дискриминанта (D) должно быть равно нулю. Мы знаем, что значение D равно b2 — 4ac, что равно 0. Следовательно (-4) ² — 4Q = 0 ⇒ 4Q = 16 ⇒ Q = 4

Q10. При каком значении k линейные уравнения 2x + 3y = k и 4x + 6y = 10 будут иметь бесконечно много решений?

Sol: Для бесконечного множества решений данные три отношения будут равны, т.е.е 2/4 = 3/6 = k / 10. Решая это уравнение, мы получаем значение k как 5.
.

Оставить комментарий on Решить по алгебре пример: Mathway | Графический калькулятор/

Корень из 3cosx sinx 1: sinx+корень из 3 cosx=1 — ответ на Uchi.ru
alexxlab / 14.09.197015.09.2022 / Разное

Mathway | Популярные задачи
1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. 4x + 3cos2x + 1 = 0. Найдите все корни, принадлежащие отрезку [пи;3пи].
Решение: 2*(1-cos2x)²/4+3cos2x+1=0
(1-cos2x)²+6cos2x+2=0
1-2cos2x+cos²2x+6cos2x+2=0
cos²2x+4cos2x+3=0
a=cosx
a²+4a+3=0,a1+a2=-4 U a1*a2=3
a1=-1,cosx=-1⇒x=π+2πn
a2=-3,cosx=-3∉[-1;1]
x=π;3π
2 sin⁴x +3cos2x +1=0
2 sin⁴x+3(cos²x-sin²x)+1=0
2 sin⁴x+3(1-sin²x-sin²x)+1=0
2sin⁴x+3(1-2sin²x)+1=0
2sin⁴x+3-6sin²x+1=0
2sin⁴x-6sin²x+4=0
sin⁴x-3sin²x+2=0
Пусть у=sin²x
y²-3y+2=0
D=9-8=1
y₁=3-1=1
2
y₂=3+1=2
2
При у=1
sin²x=1
sin²x-1=0
(sinx-1)(sinx+1)=0
sinx-1=0 sinx+1=0
sinx=1 sinx=-1
x=π + 2πn x=-π + 2πn
2 2
При у=2
sin²x=2
sin²x-2=0
(sinx-√2)(sinx+√2)=0
sinx-√2=0 sinx+√2=0
sinx=√2 sinx=-√2
√2∉[-1; 1] -√2∉[-1; 1]
нет решений нет решений
x∈[π; 3π]
х=π + 2πn
2
π≤ π+2πn ≤3π
2
π- π ≤ 2πn ≤ 3π — π
2 2
π ≤ 2πn ≤ 5π
2 2
π : 2π ≤ n ≤ 5π : 2π
2 2
π * 1 ≤ n ≤ 5π * 1
2 2π 2 2π
1/4 ≤ n ≤ 5/4
0. 25 ≤ n ≤ 1.25
n=1
x=π + 2π*1 = 5π
2 2
x=-π +2πn
2
π ≤ -π + 2πn ≤ 3π
2
π + π ≤ 2πn ≤ 3π  + π
2 2
3π ≤ 2πn ≤ 7π
2 2
3π * 1 ≤ n ≤ 7π * 1
2 2π 2 2π
3/4 ≤ n ≤ 7/4
0.75 ≤ n ≤ 1.75
n=1
x= -π + 2π *1 = 3π
2 2
Ответ: 3π ; 5π
2 2
Решите уравнение sinx=cosxи найдите его корни, принадлежащие отрезку [ -360;0]

Решение: sinx=cosx по формуле получаем
sinx-cosx=0
(корень из 2)sin(x-(п/4))=0
sin(x-(п/4))=0
х-(п/4))=Пn
x=(п/4)+Пn
-360<=(п/4)+Пn <=0
-360- 0.785<=Пn<=0-0.785
-360.785/3.14<=n<=-0.785/3,14
-144<=n<=-0.25, т.к n — целое то
n=-144, -143……….-1 получаеться надо будет подставлять все эти числа в n но это очень много. 2(\frac{\pi}{2} + x) = -cosx \). Найдите все корни, принадлежащие отрезку [$-\frac{5\pi}{2};-\pi $].
Решение: √2cos²x+cosx=0
cosx(√2cosx-+1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈z
-5π/2≤π/2+πn≤-π
-5≤1+2n≤-2
-6≤2n≤-3
-3≤n≤-1,5
n=-3⇒x=π/2-3π=-5π/2
n=-2⇒x=π/2-2π=-3π/2
cosx=-1/√2⇒x=-2π/3+2πk,k∈z U x=2π/3+2πm,m∈z
-5π/2≤-2π/3+2πk≤-π
-15≤-4+12k≤-6
-11≤12k≤-2
-11/12≤k≤-1/6
нет решения
-5π/2≤2π/3+2πm≤-π
-15≤4+12m≤-6
-19≤12m≤-10
-19/12≤m≤-5/6
m=-1⇒x=2π/3-2π=-4π/3
Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;2п]:

cos x — sin x*cos x = 0
Указать наименьший корень. Ответ в градусах.

Решение: Cosx(1-sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn
0≤π/2+πn≤2π
0≤1+4n≤4
-1≤4n≤3
-1/4≤n≤3/4
n=0 x=π/2
sinx=1⇒x=π/2+2πn
x=π/2=90
cosx-sinx*cosx=0
cosx(1-sinx)=0
cosx=0 1-snx=0
х=П/2 + Пk, k∈z -sinx=-1 I*(-1)
sinx=1
x=П/2 + 2Пn, n∈z
Отбор корней:
х=П/2 + Пk, k∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + П = 3П/2 ∈  [0;2П]
n=2, x=П/2 + 2П= 5П/2 ∉  [0;2П]
x=П/2 + 2Пn, n∈z
n=0, x=П/2 ∈ [0;2П]
n=1, x=П/2 + 2П =  5П/2 ∉  [0;2П]
П/2 — наименьший корень
П/2 = 90°
Ответ: 90° .
Решите уравнение IsinxI-5sinx+4cosx=0Найдите все корни принадлежащие отрезку [-3п;-3п/2]

Решение: Есть 2 варианта
1) sinx <0 тогда |sinx|=-sinx
-sinx-5sinx+4cosx=0
-6sinx+4cosx=0
6sinx=4cosx
3sinx=2cosx
так как sinx <0, то и cosx<0. Учитывая это возведем обе стороны в квадрат
9sin²x=4cos²x
9sin²x=4(1-sin²x)
9sin²x=4-4sin²x
13sin²x=4
sinx=-2/√13 (х находится в третьей четверти тригонометрического круга )
x=π+arcsin(2/√13)+2πn
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -3π+arcsin(2/√13)
2) sinx >=0 тогда |sinx|=sinx
sinx-5sinx+4cosx=0
-4sinx+4cosx=0
4sinx=4cosx
sinx=cosx
x=π/4+2πn (х находится в первой четверти тригонометрического круга )
в отрезок [-3п;-3п/2] попадает х= -2π+π/4=-7π/4
Ответ:х= -3π+arcsin(2/√13) и -7π/4
cos2x+3sinx-2=0Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]

Решение: А)cos2x + 3sinx — 2 = 0
cos²x — sin²x + 3sinx — 2 =0
1-sin²x — sin²x + 3sinx — 2 = 0
-2sin²x + 3sinx — 1 = 0 |*(-1)
2sin²x — 3sinx + 1 =0
Обозначим: sinx= t, тогда
2t² — 3t + 1 = 0
D= 9 — 8 = 1
t₁= 1, t₂ = 1/2
(1) sinx= 1
x₁= π/2+2πn, n ∈ z

(2) sinx= 1/2
x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]
При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка. 2+3V2у-3=0.
Далее решаем квадратное уравнение.
Выбираем подходящий корень этого уравнения у1 или у2, далее получаем sinx=у1 или у2 и находим все х, принадлежащие заданному промежутку.
123 4 5 > >>
ЕГЭ.Математика профильный уровень(Задания на тригонометрию)
а) Решите уравнение 2cos²x=√3sin(3π/2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π/2; Зπ]
а) Решите уравнение 4sin²x+√2tgx=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–Зπ; –2π].
а) Решите уравнение (5sin²x–3sinx)/(5cosx+4)=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–7π/2; –2π]
Решить уравнение 1/tg²x+3/sinx+3=0
а) Решите уравнение 2sin²x=√3cos(π/2–x)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [9π/2; 6π]
а) Решите уравнение (6cos2x–8cosx–1)√5tgx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–7π/2; –2π]
а) Решите уравнение 3^sin2x + 3^cos2x = 4
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]
а) Решите уравнение 3tg²x+(6–2√2)/cosx+ 3–4√2 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/4; 5π/2]
а) Решите уравнение (1/49)^cos2x=7^2–2cosx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (–5π/2; –π]
а) Решите уравнение (cos2x–1)²=10sin²x–4
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–3π/2; –π/6]
а) Решите уравнение (√2cosx–1)/√–5cosx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]
а) Решите уравнение (2cosx–√3)/√7sinx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]

а) Решите уравнение cos2x–2√2sin(π/2+x)–2=0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]
а) Решите уравнение log_–cosx(1–0. 5sinx)=2
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [14π; 16π]
а) Решите уравнение 4^sinx·tgx·2^1/cosx=8^tgx.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [2.5π; 4π].
a) Решите уравнение (2cos²x+sinx–2)√5tgx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π/2]
а) Решите уравнение (16^sinx)^cosx=(1/4)^√3sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]
а) Решите уравнение 2cos²x–cosx–1=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0;3π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решить уравнение log₄(4sin²2x)=2–log₂(–2tgx)
б) Найти корни на отрезке [–π; π/2]
(4cos²x–1)· корень из (5–x)=0
Промежуток от (–pi;3pi\2]
а) Решить уравнение cos2x+3√3sin(3π/2+x)–5=0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]
5/(sin²(11 pi/2+x)) +8/cos x–4=0
Найдите все корни уравнения принадлежащие промежутку [–5pi/2;–pi]
(64^cosx)^sinx=8^√3cosx
Найдите все корни уравнения принадлежащие промежутку [π;5π/2]
а) Решите уравнение cos2x– 14cos2x– 7sin2x= 0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [–3π/2; –π/2].
а)Решите уравнение 4sin²x+tgx=0
б)Найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [–2π;–π]
а)Решите уравнение 4sin²x=tgx
б)Найдите корни [–π;0]
а)Решите уравнение 2sin²x–3cosx–3=0
б)Найдите корни этого уравнения на промежутке [π;3π]
а) Решите уравнение 2sin²x= √3cos(π/2–x)
Б) Найдите корни на отрезке [9pi/2;6pi]
а) Решите уравнение 5/(cos²x)+7/sin(5π/2–x)+2=0
б) Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [–7π/2;–2π]

Решить уравнение (49^cosx)^sinx = 7^√2cosx и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2;4π]
а) Решите уравнение 2sin³x– 2sinx+ cos²x= 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–7π/2; –2π]
Решите уравнение (0,25^sinx)^cosx = 2^–√2sinx, найдите корни на промежутке [2π; 7π/2]
a) Решите уравнение 6sin²x–5sinx–4=0
б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [–7π/2 ;– 3π/2]
а) Решите уравнение (36^cosx)^sinx = (1/6)^√2sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–π; π/2].
а) Решите уравнение sinx₂x/cos(x+3π/2) = 1
б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [–4π; –5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 2sin²x= √3cos(3π/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–3π; –3π/2]
Решить уравнение 4sin²x–12sinx+5=0,в ответе укажите корни, принадлежащие отрезку [–π;2π].
а) Решите уравнение 5cos²x– 12cosx+ 4 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–5π/2; –π]
a) 2cos2x+4cos(3π/2–x)+1 = 0 решить уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π/2; 3π]
cos2x=2cosx– 1 решить уравнение
а) 4^x–2^x+3+12 = 0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [2;3]
1) 2sin(x/3+π/4)=1
2) 2cos²x+ cosx– 1 = 0
3) 8cos²x+ sinx+ 1 = 0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
sin⁴ x+ cos⁴ x+cos2x=0. 5 решить уравнение

Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решить уравнение cos2x+2√2sin(π/2 + x)–2=0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π/2; 2π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение sin2x–2√3cos²x–4sinx+4√3cosx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение sin(3πx/2–π/3)=cos(π/6–πx)
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение cos(2x+π/4) + cos(2x–π/4) + 4sinx= 2 + √2(1–sinx)
б) Найдите все корни на промежутке [–π/2; 4]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение √10–18cosx = 6cosx–2
б) Найдите все корни на промежутке [–3π/2; π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решить уравнение cos2x– √2cos(3π/2 + x) – 1 = 0
в) Указать корни на промежутке уравнения, принадлежащие промежутку [ 3π/2 ; 3π ]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
8sin²(x) · (3–2sin²(x))–9 = 0 на отрезке [–π/2;π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
(26cos²x−23cosx+5) / (13sinx−12)=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение sin3x=2cos(π/2–x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (–3π/2; 0]

Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение (1/16)^cosx+3·(1/4)^cosx–4=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4pi; 7pi].

Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
(cos2x+ √3sinx– 1) / (tgx–√3) = 0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
1. cos2x/(sin2x+1) =0
2. (1+sinx)·(1–tg x/2)=0
3. sin4x(sin(x+ pi/4)–1)=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) 4sin⁴2x+3cos4x–1=0 решите уравнение
б) Отберите корни на промежутке [π; 3π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) 2sin⁴x+3cos2x+1=0 решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
Решить уравнение sin 5x= sin 3x
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
4cos³x+ 3√2sin2x=8cosx
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 5)
4cos²x–8cos(π/2–x)+1=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 3)
Решите уравнение (sinx–√3/2)·√3x²–7x+4=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
Решите |cosx+sinx| = √2sin2x
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите sinx(2sinx–3ctgx)=3
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку [–3π/2;π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите 7tg²x– 1/cosx+ 1 = 0
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку [–5π/2, –π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 3)
а) Решите 4tg²x+ 3/cosx+ 3 = 0
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку [5π/2, 4π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите (2cos²x–5cosx+2) · log₁₁(–sinx)=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 36^sin2x = 6^2sinx
б) Найдите все корни, принадлежащие [–7π/2;–5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 1/sin²x– 3/sinx+2 = 0
б) Найдите все корни, принадлежащие [–5π/2;–π]

Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 2cos²(3π/2+x) = sin2x
б) Найдите все корни, принадлежащие [–9π/2;–3π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 2√3cos²·(3π/2+x)–sin2x=0
б) Найдите все корни, принадлежащие [3π/2;3π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 10^sinx = 2^sinx·5^–cosx
б) Найдите все корни, принадлежащие [–5π/2;–π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите (27^cosx)^sinx = 3^3cosx/2
б) Найдите все корни, принадлежащие [–π;π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите 15^cosx = 3^cosx·5^sinx
б) Найдите все корни, принадлежащие [5π;13π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение cos2x+sin(π/2+x)+1=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–5π/2;–π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение √3sin2x+3cos2x=0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π/2;3π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение cosx(2cosx+tgx)=1.
б) Найти корни этого уравнения на промежутке [–5π/2;–π/2].
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение 1/tg²x+3/sinx+3=0
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку [2π;7π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 2sin2x+cosx+4sinx+1=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [5π/2;7π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение (cox–1)(tgx+√3)·√cosx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 2tgx·cos²x–cosx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 7sin²x+8cosx–8=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–π/2;π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 3)
а) Решите уравнение 6sin²x–5sinx–4=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–7π/2;–3π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 3)
а) Решите уравнение tg²x+5tgx+6=0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–2π;–π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 1/tg²x–1/sinx=1
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–3π/2;π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 7sin²x+4sinxcosx–3cos²x=0
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [3π/2;5π/2]. –sinx=10/3
б) Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку [–7π/2;–2π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение log₂(3sinx–cosx)+log₂(cosx)=0
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку [0;3Пи/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
a) Решите уравнение: log₅(cosx– sin2x+ 25) = 2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2p ; 7p/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение: cos2x+ sin²x= 0,25
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3p ; 9p/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
a) Решите уравнение: 6sin²x+ 5sin(p/2 – x) – 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–5p ; –7p/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение (2cos²x+cosx–1)√–sinx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 6cos²x–7cosx–5=0 . Укажите его корни, принадлежащиеотрезку [–π;2π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение tgy–4sin2y–2sin²y=2cos²y–ctgy
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение sin4x–sinx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение 4cos⁴x–4cos²x+1=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2π;–π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение cos2x=1–cos(π/2–x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–5π/2;–π)
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 6sin²x+7cosx–7=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [–3π;–π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 3sin²x+5sinx+2=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [π/2;2π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
а) Решите уравнение cos2x+2cos²x–sin2x=0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [3π/2;5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение (6cos²x–5cosx–4)√–43sinx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 3/sin(π–x)–1/sin²x=2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–2π;–π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение 1/cos²x+3tgx–5 = 0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [–π;π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решите уравнение 2sin²x+(2–√2)cosx+√2–2=0
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [5π/2;7PI/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение cos3x+sin2x=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение sin3x+sin4x+sin5x=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение sin2x–cosx=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение 4cosx–3sinx=5
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение 2cos4x+cos2x=1
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
a) Решить уравнение √2cos²x=sin(x–π/2)
б) Найдите все корни на промежутке [–3π/2;–π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение sin2x=sin(π/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–7π/2; –5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение cos2x+3sin²x=1,25
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение cos2x+0,5=cos²x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2π/–π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение 4cos³x+3sin(x–π/2)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2π;–π].
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите уравнение sin2x=2sinx–cosx+1
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [–2π;–π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
а) Решите данное уравнение 2cos²x+2sin2x=3.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [–3π/2; –π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 6sin²x+sin2x=2
Укажите корни, принадлежащие промежутку [3π/2;5π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение Sin2x+Cos4x=0
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
а) Решите уравнение cos2x=1–cos(π/2–x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–5π/2;–π)
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
а) Решите уравнение cos(3π/2+2x)=cosx
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [5π/2; 4π]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение 3sin2x–4cosx+3sinx–2=0
Укажите корни, принадлежащие отрезку [π/2 ; 3π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить систему:
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 0)
Решить систему:
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Найдите корни уравнения 2cos²х + 5sinx= 4, принадлежащие промежутку [–5; l].

Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнение (2x+1)(x+1)(2x+3)/√sin(π·x)=0
Ответ: проверить
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решите уравнение sin2x=cos(pi/2–x)
Найти все корни на промежутка [–π;0]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 1)
Решить уравнения 2sin²x–5sinxcosx+2cos²x=0
Выбрать корни принадлежащие [π/2;3π/2]
Открыть страницу с решением к задаче (решений: 2)
Решите уравнение cos4x–cos2x=0
Укажите корни, принадлежащие отрезку [π/2;2π]
Методы решения тригонометрических уравнений — презентация онлайн
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
2. ЦЕЛЬ:
Систематизировать, обобщить,
расширить знания и умения, связанные
с применением методов решения
тригонометрических уравнений
№
№
метода
Методы
Sin x/3 — cos 6x = 2
4(б)
4
5 sinx – 2 cosx = 1
3, 2(б,в)
5
sin3x cos2x = 1
1. Разложение на множители.
2.Введение новой переменной:
а) сведение к квадратному;
б) универсальная подстановка;
в) введение вспомогательного
аргумента.
3. Сведение к однородному
уравнению.
4. Использование свойств функций,
входящих в уравнение:
а) обращение к условию равенства
тригонометрических функций;
б) использование свойства
ограниченности функции.
1
Уравнения
2
3
4(б)
(cos x – sin x )
1,2(б,в),
3
7
1 – sin2x = cos x – sin x
1,2(б,в)3
8
cos3x = sin x
4(а)
9
4 – cos2 x = 4 sin x
2(а)
10
sin3x – sin5x = 0
4(б)
11
tg 3x tg(5x + /3) = 1
4(а)
12
2 tg x/2 — cos x = 2
6
cos2x =
1,2(а,б,в)
,3,4(а)
1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
2. Определите и ответьте, какими методами нужно решать данные
тригонометрические уравнения?
а) sin 2x – cos x = 0
б) 2sin²x — 5sinx = -3
в) cos²x – sin²x = sinx – cosx
г) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0
3. Решите простейшие тригонометрические уравнения:
Некоторые типы тригонометрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным,
относительно
cos х = t, sin х = t.
A sin2 x + B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.
2.Однородные уравнения первой и второй степени.
I степени.
II степени.
A sinx + B cosx = 0
: cosx
A tg x + B = 0
A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0
A tg2 x + B tgx + C = 0
: cos2x
Решаются методом разложения на множители и методом
введения новой переменной.
3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C.
А, В, С 0
Применимы все методы.
4. Понижение степени.
2
А cos2x + В cos x = C.
A cos2x + B sin 2 x = C.
Решаются методом разложения на множители.
A sin2x + B sin 2 x = C.
2
A sin2x + B cos x = C.
2
2
sin
x
cos
x).
Сводятся к однородным уравнениям С = С(
Формулы.
Универсальная подстановка.
x
2tg
2 ;
sinx
x
1 tg 2
2
x
1 — tg
2;
cosx
x
1 tg 2
2
2
x
2 ;
tgx
x
1 tg 2
2
2tg
х + 2 n;
Проверка
обязательна!
Понижение степени.
cos 2 x = (1 + cos2x ) : 2
sin 2 x = (1 – cos 2x) : 2
Метод вспомогательного аргумента.
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где С a 2 b 2 ;
b
а
cos = ; — вспомогательный аргумент.
sin = ;
С
С
Сведение к однородному.
Уравнения вида
Пример. 5 sin2 x +
A sin2x + B sin2 x = C,
Asin2x + Bcos2 x = C.
3 sinx cosx + 6 cos2 x = 5.
Разложение на множители.
Пример.
cos 2 x
— 2 cosx = 4 sinx — sin2x
Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений
1.Потеря корней:
делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
Уравнение 2 sin x 3 cos x 0 .
Уравнение 2 sin x 3 cos x 0 .
Поделив уравнение на cos x , получим
2tgx 3 0 , tgx
3
3
x
arctg
n, n .
2 ,
2
При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x 3 cos x 0 были
поделены на cos x .
Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное,
могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни
уравнения cos x 0 корнями данного уравнения. Если cos x 0 , то из
уравнения 2 sin x 3 cos x 0 следует, что sin x 0 . Однако sin x и
cos x не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны
равенством sin 2 x cos 2 x 1 . Следовательно, при делении
a sin x b cos x 0, где a 0 , b 0 , на cos x (или sin x )
уравнения
получаем уравнение, равносильное данному.
Решить уравнение cos²x + sinx cosx = 0
1) Делить на cosx нельзя, так как в условии не указано , что cosx не
равен нулю. Но можно утверждать, что sinx не равен нулю, так как
в противном случае cosx равен 0, что невозможно , так как sin²xcos²x =1. Значит можно разделить на sin²x.
2) Решим уравнение разложением на множители:
cos²x + sinx cosx = 0,
сosx(cosx + sinx ) = 0,
сosx = 0
x
2
или
n, n ;
cosx + sinx = 0,
tg x=-1,
x
4
k , k ;
Уравнения, линейные относительно sin x и cos x
а sin x + в cos x = с.
Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;
Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается
в тождество.
Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0.
Примеры:
2 sin x cos x 2
3 sin 5x — 4 cos 5x = 2
2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.
Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7.
Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью
универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения
к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.
Решение этих уравнений существует при a 2 b 2 c 2
2 sin x cos x 2
Данное уравнение является уравнением
вида a sin x b cos x c ,
(1)
где a 0 , b 0 , c 0 , которое можно решить другим способом.
Разделим обе части этого уравнения на a 2 b 2 :
a
a2 b
sin x
2
a
a2 b
Введем вспомогательный аргумент
cos
a
a2 b
c
cos x
2
a 2 b 2.
, такой, что
(2)
b
, sin
2
.
a2 b2
Такое число существует, так как
2
2
a
b
2
1.
2
2
2
a b a b
Таким образом, уравнение можно записать в виде
sin x cos cos x sin
sin( x )
c
a b
c
2
a2 b2
2
,
.
Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.
Уравнение
2 sin
x
cos
x
2
.
x
x
x — sin2 x и
2
2
2
2
x
x
2
правую часть уравнения в виде 2 2 1 2(sin
cos 2 ,)
2
2
Используя формулы sin x = 2 sin
записывая
cos
, cos x = cos2
x
x
x
x
x
x
cos cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2 ,
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
3 sin2 4 sin cos cos2 0. Поделив это уравнение на cos 2 ,
2
2
2
2
2
x
2 x
4tg 1 0.
получим равносильное уравнение 3tg
2
2
x
1 .
Обозначая tg y , получаем 3 y 2 4 y 1 0 , откуда y1 1, y2
2
3
x 1 x
1
1
tg , arctg n, x 2arctg 2 n, n .
1)
2 3 2
3
3
x
x
2)
tg 1, n, x 2 n, n ;
2
2 4
2
получаем 4 sin
Ответ:
x
2
2 n, n ; x 2arctg 1 2 n, n .
3
16. Решить уравнение
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
4sin²x – 4sinx – 3 = 0
2cos²x – sinx – 1 = 0
17. Ответы.
ОТВЕТЫ.
4sin²x — 4 sinx – 3 = 0
( -1)n+1 П/6 +Пn, n Z.
2 сos²x – sin x – 1 = 0
±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n
Z.
18. Решить уравнение
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
4 sin x 3 cos x 5.
Решить уравнение 4 sin x 3 cos x 5.
Здесь a 4, b 3, c 5, a 2 b2 5
Поделим обе части уравнения на 5:
4
3
sin x cos x 1.
5
5
4
Введем вспомогательный аргумент , такой, что cos ,
Исходное уравнение можно записать в виде
5
3
sin .
5
sin x cos cos x sin , 1
sin( x ) , 1
4
4
откуда x 2 n, где arccos , x arccos 2 n, n Z
2
5
2
5
Ответ:
x
4
arccos 2 n, n .
2
5
6
=30°
sin x
1
2
cos x
3
2
3
3
tg x
ctg x
3
4
=45°
2
2
2
2
3
= 60°
3
2
1
2
1
3
1
3
3
А
0°
2
= 90°
=180°
3
2
=270°
2
=360°
sin x
0
1
0
-1
0
cos x
1
0
-1
0
1
tg x
0
—
0
—
0
ctg x
—
0
—
0
—
Мэтуэй | Популярные задачи
92

1 Найти точное значение грех(30)

2 Найти точное значение грех(45)

3 Найти точное значение грех(30 градусов)

4 Найти точное значение грех(60 градусов)

5 Найти точное значение загар (30 градусов)

6 Найти точное значение угловой синус(-1)

7 Найти точное значение грех(пи/6)

8 Найти точное значение cos(pi/4)

9 Найти точное значение грех(45 градусов)

10 Найти точное значение грех(пи/3)

11 Найти точное значение арктан(-1)

12 Найти точное значение cos(45 градусов)

13 Найти точное значение cos(30 градусов)

14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)

15 Найти точное значение csc(45 градусов)

16 Найти точное значение загар (60 градусов)

17 Найти точное значение сек(30 градусов)

18 Найти точное значение cos(60 градусов)

19 Найти точное значение cos(150)

20 Найти точное значение грех(60)

21 Найти точное значение cos(pi/2)

22 Найти точное значение загар (45 градусов)

23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)

24 Найти точное значение csc(60 градусов)

25 Найти точное значение сек(45 градусов)

26 Найти точное значение csc(30 градусов)

27 Найти точное значение грех(0)

28 Найти точное значение грех(120)

29 Найти точное значение соз(90)

30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3

31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)

32

35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6

36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)

37 Найти точное значение арккос(-1)

38 Найти точное значение арктан(0)

39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)

40 Преобразование градусов в радианы 30

41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3

42 Найти точное значение sin((5pi)/3)

43 Найти точное значение sin((3pi)/4)

44 Найти точное значение тан(пи/2)

45 Найти точное значение грех(300)

46 Найти точное значение соз(30)

47 Найти точное значение соз(60)

48 Найти точное значение соз(0)

49 Найти точное значение соз(135)

50 Найти точное значение cos((5pi)/3)

51 Найти точное значение cos(210)

52 Найти точное значение сек(60 градусов)

53 Найти точное значение грех(300 градусов)

54 Преобразование градусов в радианы 135

55 Преобразование градусов в радианы 150

56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6

57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3

58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов

59 Преобразование градусов в радианы 60

60 Найти точное значение грех(135 градусов)

61 Найти точное значение грех(150)

62 Найти точное значение грех(240 градусов)

63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)

64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4

65 Найти точное значение грех(225)

66 Найти точное значение грех(240)

67 Найти точное значение cos(150 градусов)

68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)

69 Оценить грех(30 градусов)

70 Найти точное значение сек(0)

71 Найти точное значение cos((5pi)/6)

72 Найти точное значение КСК(30)

73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)

74 Найти точное значение загар((5pi)/3)

75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)

76 Оценить грех(60 градусов)

77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)

78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4

79 Найти точное значение sin((7pi)/4)

80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)

81 Найти точное значение sin((4pi)/3)

82 Найти точное значение КСК(45)

83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)

84 Найти точное значение грех(135)

85 Найти точное значение грех(105)

86 Найти точное значение грех(150 градусов)

87 Найти точное значение sin((2pi)/3)

88 Найти точное значение загар((2pi)/3)

89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4

90 Найти точное значение грех(пи/2)

91 Найти точное значение сек(45)

92 Найти точное значение cos((5pi)/4)

93 Найти точное значение cos((7pi)/6)

94 Найти точное значение угловой синус(0)

95 Найти точное значение грех(120 градусов)

96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)

97 Найти точное значение соз(270)

98 Найти точное значение sin((7pi)/6)

99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)

100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

(cos x)/(1 + sinx) + (1 + sinx)/(cosx) = 2 в

4 885 результатов

тригонометрия

как упростить (secx — cosx) / sinx? я попытался разделить числитель так, чтобы у меня было (secx / sinx) — (cosx / sinx), а затем я изменил sec x на 1 / cosx, чтобы у меня было ((1 / cosx) / sinx) — (cos x / sinx ) после этого я застреваю

Математика 92x Я сделал: sinxcosπ+cosxsinπ / cosxcos(3π/2) — sinxsin(3π/2) sinx(-1) + cosx(0) / cosx(0)- sinx(-1) -sinx/sinx Что делать Я отсюда? Или что я сделал не так?

Расчет

определение абсолютных экстремумов функции f(x)=sinx-cosx+6 на интервале 0

92x — 3 cosx + 1 = 0 для 0 меньше или равно x

Математика

Найдите общее решение уравнения sinx + cosx = 2 (root2) (sinx)(cosx)

предварительное исчисление

Учитывая, что sinx = 3/5 и что x заканчивается в квадранте 2, определите значения cosx и tanx Найдите Cos x/2 92x)-2tanxcotx=-1, где x∈(0,2pi) общее значение x.

исчисление

Найдите общее решение этого de (1+cosx)y’=sinx(sinx+sinxcosx-y) Мне нужен полный шаг попробовал, но ничего хорошего не выходит

вычисл

Основание твердого тела, заключенного между графиками y = sinx и y= -sinx от x=0 до x = pi . Каждое поперечное сечение перпендикулярно оси x представляет собой полуокружность с диаметром, соединяющим два графика. Найдите объем твердого тела. Я знаю определенный

Предварительное исчисление

Найдите численное значение одной тригонометрической функции от x, если tanx/cotx — secx/cosx = 2/cscx a) cscx=1 b) sinx=-1/2 c)cscx=-1 d)sinx =1/2 92A) answer= -sinx*-tanx/cosx*(1) после этого как мне продолжить?

Precalculus

Переписать как единую триггерную функцию: sin(8x)cosx-cos(8x)sinx Я знаю, что могу упростить sin(8x) до 4sin2xcos2xcos4x, но после этого я застрял

исчисление 9–1(x) по отношению к x равно: a) -1/(cos(pi*cosx)), где x и y связаны уравнением (удовлетворяют уравнению) x=sin(pi*cosy) b)

Математика

Предположим, что f(x) = sin(pi*cosx) На любом интервале, где существует обратная функция y = f–1(x), производная f–1(x) по x равна: a) -1/(cos(pi*cosx)), где x и y связаны уравнением (удовлетворяют уравнению) x=sin(pi*cosy) 92xtanx)/sinx+cosx

Math

если sinx=cosx, то cosecx=????

исчисление

Интеграл от ln(sinx+cosx) по x от -pi/4 до pi/4

исчисление

каков предел (1-tanx)/(sinx-cosx) при приближении x к pi/4?

предварительное исчисление я не понимаю это hw

Как доказать sec x — tanx sinx= cosx

Math

Может кто-нибудь объяснить мне это: -sinx=cosx X=3pi/4 и 7pi/4

Исчисление

Найдите площадь под кривой y=5(cosx) и выше y=5(sinx) для 0

исчисление

Интегрировать sinx+cosx/rootsin2x по отношению к dx. ..пожалуйста, помогите мне

исчисление снова поможет

если f'(x)=cos x и g'(x)=1 для всех x, и если f(0)=g(0)=0, то предел x—>0 fo функция f(x)/g(x)= OK, поэтому f(x)=sinx g(x)=x и f(0)=g(0)=0 также выполняется и равно o. так что предел x—>o sinx/x= есть ответ несуществующий в соответствии с

math

lim x->0 sinx secx / x используйте тот факт, что предел, когда x приближается к 1 из (sinx / x) = 1

Математика

Найдите интервалы, на которых sinx-(root3)(cosx) увеличивается и уменьшается

Дополнительные математические операции

Если x — острый угол, tanx =3/4, вычислить coax _sinx÷cosx+sinx

Математика

Найдите интервалы возрастания и убывания sinx-root3(cosx) Очень срочно

9-1(5) х = ошибка

trig

Угол x находится во втором квадранте, а угол y находится в первом квадранте, так что sinx=5/13 и cosy=3/5. a) Определить точное значение cosx b) Определить точное значение siny

математика- тригонометрия 92степень)

Math

Угол x находится во втором квадранте, а угол y находится в первом квадранте, так что sinx=5/13 и cosy=3/5, определите и точное значение cos (x+y). Я понятия не имею, как даже начать этот вопрос. Может ли кто-нибудь помочь мне?

Математика, пожалуйста, помогите быстро

Что из следующего является тождеством? Проверить все, что относится. (Очки: 2) sin2x = 1 — cos2x sin2x — cos2x = 1 tan2x = 1 + sec2x cot2x = csc2x — 1 Вопрос 4. 4. Какие из следующих уравнений являются тождествами? Проверить все, что относится. (Баллы: 2) Вопрос 5.

Математика (Исчисление AB)

При x≠0 наклон касательной к y=xcosx равен нулю, если: (a) tanx=-x (b) tanx=1/x (c) sinx=x (d) cosx=x Пожалуйста, помогите. x и g(x)= синкс 93 Д. -cos х + 120 х Э. sin х

Тригонометрия

Может ли кто-нибудь объяснить, как график y=cos x может быть получен путем преобразования графика y=sinx? Благодарю вас!

math

Углы x и y расположены в первом квадранте так, что sinx= 4/5 и cosy= 7/25. определить точное значение для xin(x+Y) 92+С

Исчисление

Каково значение ddx[f−1(x)] при x=2π при условии, что f(x)=2x−sinx и f−1(2π)=π ? У меня 1/3 это правильно?

Исчисление

Сравните темпы роста f(x) = x + sinx и g(x) = x при стремлении x к бесконечности. f(x) растет быстрее, чем g(x), когда x стремится к бесконечности. g(x) растет быстрее, чем f(x), когда x стремится к бесконечности. f(x) и g(x) растут с той же скоростью, что и x стремится к бесконечности. Ставка

Предварительное исчисление

Учитывая sinx=-1/8 и tanx

Предварительное исчисление

Найдите sin 2x, если sinx=3/5 и x находится в квадранте II.

Trig

Решите 2cosxsinx + sinx = 0, используя единичный круг.

Предварительное исчисление

Докажите, что 2/квадратный корень 3cosx-sinx=sec(pi/6-x)

математика

использовать правило Лопиталя для оценки: ограничение по мере приближения x к 0 из (1/sinx -1/x)

Предварительное вычисление

Если sinx=-1/2 и x заканчивается в третьем квадранте, найдите точное значение tan2x. (n) означает n-ю производную от y по x. 92(1/2 года)

Тригонометрия

найти sin2x, cos2x и tan2x, если sinx= -2/sqrt 5 и x заканчивается в квадранте III

Trig

Угол 2x лежит в четвертом квадранте так, что cos2x=8/17. 1. В каком квадранте находится угол x? 2. Определите точное значение cosx 3. Какова мера x в радианах? —————- Я знаю, что в квадранте 4 есть 2x, поэтому в квадранте _____ должно быть

Исчисление

Если 0

Pre calc

Найдите все первичные решения (т.е. 0 ≤ θ < 2π ) уравнения cos(2θ ) = 4 − 3 cos(θ ). Найдите все первичные решения (т. е. 0 ≤ θ < 2π) уравнения cos(2θ)cos(θ) = sin(2θ)sin(θ). Пожалуйста, может кто-нибудь помочь и показать все работы Спасибо

Calc

Каков объем твердого тела, образованного вращением вокруг оси y области, ограниченной y=sinx и осью x, от x=0 до x=π? Спасибо за помощь!!

pre calc

Найдите точное значение sin(x-y), если sinx=-3/5 в квадранте III и cosy=5/13 в квадранте I. 92+5

Математическое исчисление

Это все вопросы, которые я пропустил в своих практических тестах, однако мне никогда не давали правильных ответов. Я надеялся, что кто-нибудь может дать мне ответы на них, чтобы я мог их изучить! (Я знаю, что некоторые из них были простыми/глупыми ошибками :’)) 1. Какой

Trig

Функция y=sinx была преобразована. Теперь он имеет амплитуду 5,0, период 26, сдвиг фазы на 2 единицы вправо, вертикальное смещение на 6,5 единиц вниз и отражается по оси X. Учитывая, что (π/6,1/2) является точкой родительского

триг

Найти все решения данного уравнения в интервале [0,2π). Укажите точное решение, включая «пи» для π. Для любых неиспользуемых полей для ответов введите DNE заглавными буквами. (a) 2cos x=2, поэтому cos x=1 = 0..(что теперь?) (b) 4cos x+2=0 cos x = -1/2 (120) cos 9sinx-2cos3x а. на каком интервале f возрастает? б. при каком значении (значениях) x f имеет локальные максимумы? в. сколько точек перегиба имеет f? *калькулятор разрешен для этого

Math

Если угол X является острым углом с sinX=3/5, каково значение secX? 45 52 53 54

Математика

1. На интервале [0, 2pi] каковы решения уравнения sin3xcos2x = -cos3xsin2x + 1? пи/10 и пи/2? 2. Каково значение tan75degrees? √(3) + 1)/(1 — √(3))? 3. Значение cos (130 градусов) cos (130 градусов) + sin (10 градусов) sin (10 градусов)? Не

Math

какие точки f(x)=arcsin(sinx) не дифференцируемы? И каков диапазон этой функции? Как я мог сделать это без графика? Я просто боюсь, что в моем тесте, который не позволяет использовать калькуляторы, будет какой-то вопрос с просьбой найти эту

Математика

q2) a) запишите уравнение cos2x + 8cosx+9=0 в терминах cosx и покажите, что для cosx оно имеет одинаковые корни q2b) покажите, что действительных корней для x нет. для q2 я пытался это сделать, но дошел до бита 2(cosx+2)(2cosx+2)=0 и не знаю, что делать дальше.

92x-cosx=1 в интервале [0,2pi) x1= ? х2=? х3=?

math

Нарисуйте график зависимости Y=Sinx для 0 градусов меньше или равно x меньше или равно 360 градусам Укажите ось симметрии периода амплитуды

Триггер
93 x = cos x Являются ли они 0 и pi?

Тригонометрия

Найдите точные решения уравнения в интервале [0, 2π). (cos 2x) — (cos x)=0

Исчисление

С помощью графического калькулятора вычислите с точностью до трех знаков после запятой значение от ∫ 0,5 до 3 ((sinx)/x)dx. У меня нет графического калькулятора, могу ли я помочь с этим вопросом? Заранее спасибо!

Исчисление

Какое из следующих уравнений является разделимым дифференциальным уравнением первого порядка? A) dy/dx= x+y/2x B) dy/dx=x+y/x-y C) dy/dx=sinx

МАТЕМАТИКА

какого преобразования нет в этой функции? f(x) = sinx to g(x) = −2 sin (3x−120) −8 Горизонтальное сжатие в 3 раза Сдвиг фазы в 120 вправо Отражение по оси x Вертикальный сдвиг на 8 единиц вниз

PreCal

Решите следующее уравнение для всех растворов: cos(5x)cos(3x)-sin(5x)sin(3x)=√3/2. Я знаю, что нужно использовать формулу cos(A+B), но я просто не уверен в своей способности решить ее правильно.

математика

Определите количество решений следующей системы уравнений 2x+5y=7 10y=-4x+14 1) Ровно одно решение 2) Нет решений 3) Бесчисленное количество решений 4) Ровно 2 решения Я решил уравнения и получил y=7 -2X/5 y=-4X+14/10 и я сказал бесконечные решения.

math

Используйте дискриминант, чтобы определить, имеют ли следующие уравнения решения, которые являются: двумя различными рациональными решениями; два разных иррациональных решения; ровно одно рациональное решение; или два разных мнимых решения.8×2 + 2x + 4 = 0

Исчисление

Предположим, что точка (pi/3, pi/4) находится на кривой sinx/x + siny/y = C, где C — константа. Используйте аппроксимацию касательной, чтобы найти координату y точки на кривой с координатой x pi/3 + pi/180.

Тригонометрия

Найдите все решения уравнения в интервале [0, 2π). (Введите ответы в виде списка, разделенного запятыми.) cos(x+3pi/4) — cos(x-3pi/4) = 1

Тригонометрия

Решите уравнение для точных решений в интервале 0 ≤ x < 2π. (Введите ваши ответы в виде списка, разделенного запятыми.) cos 2x cos x − sin 2x sin x = 0

Тригонометрия

Выразите каждое из следующих значений через косинус другого угла между 0 и 180 градусами: a) cos 20 градусов b) cos 85 градусов c) cos 32 градуса d) cos 95 градусов e) cos 147 градусов f ) cos 106 градусов Мой ответ: а) — cos 160 градусов б) — cos

Pre-Cal (Trig) Помощь?

Известно, что для двух углов A и B верно следующее соотношение: cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)=0,957269 Выразите A через угол B. Выразите A в градусах и запишите числовые значения с точностью до 2 знаков после запятой. Так что я совершенно не понимаю, как вообще начать
.

Триггер

Найдите все решения w от 0 до 360 включительно: (a) cosw = cos(−340) (b) cosw = sin 20 (c) sinw = cos(−10) (d) sin w < − 1/2 ( д) 1 < tanw

Матхххх!!!

1. Сколько решений имеет уравнение? 4x+3=2(2x+9) a.одно решение b.нет решения c. бесконечное количество решений d. определить невозможно 2. Сколько решений имеет уравнение? 4x+192x/2

calc bc (в сокращенном виде

— это предел, когда x приближается к 0 sin3x более чем 3x равно нулю? извините — в основном это моя проблема: lim [sin 3x / 4x) x-> 0 ~~~~ я умножил и в итоге получил до 0,75* lim (sin 3x / 3x) x-> 0 ~ так я понял, поскольку (lim (sinx/x) x-> 0 равно нулю, то

Подготовка к экзамену Pre Cal

Найдите корни четвертой степени − 1/2 + (квадратный корень)3/2 i Запишите корни в тригонометрической форме. A — w1=cos(35°)+isin(35°) w2=cos(125°)+isin(125°) w3=cos(215°)+isin(215°) w4=cos(305°)+ isin(305°) B — w1 =cos(40°)+isin(40°) w2

Страницы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Тригонометрические функции — вопросы с ответами

Представлен набор вопросов по тригонометрии, связанных с тригонометрическими функциями. Решения и ответы даны.

Вопрос 1
Найдите точное значение sin(x/2), если sin(x) = 1/4 и x таково, что Pi/2 Ответ на вопрос 1:

Чтобы найти sin (x/2), мы используем следующую формулу половины угла
sin (x/2) = + или — SQRT [ (1 — cos x) / 2 ]

Поскольку Pi < x < Pi / 2, тогда Pi / 2 < x / 2 < Pi / 4, так что x/2 находится в квадранте 1, а sin (x/2) положителен. Следовательно
sin (x/2) = SQRT [ (1 — cos x) / 2 ]

Учитывая, что sin(x) = 1/4, используем тригонометрическое тождество sin ² x + cos ² x = 1, чтобы найти cos x, учитывая, что x находится в квадранте 2, а cos x отрицательно.
cos x = — sqrt(1 — sin ² x)

= — sqrt(1 — 1/16) = — sqrt(15) / 4

Теперь заменим cos x на его значение в формуле для sin (x/2).
sin (x/2) = SQRT [ (1 — sqrt(15) / 4) / 2 ]

Который может быть упрощен до
= (1/4) SQRT [ 8 — 2 SQRT (15) ]

Вопрос 2
x находится в квадранте 3, аппроксимируйте sin (2 x), если cos (x) = — 0,2. Округлите ответ до двух знаков после запятой.
Ответ на вопрос 2:

sin (2x) может быть рассчитан с использованием тригонометрического тождества двойного угла
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)

cos x задан, нам нужно найти sin x, используя тождество sin ² x + cos ² x = 1 и отметив, что x находится в квадранте 3, где sin x отрицательно
sin x = — SQRT[ 1 — (- 0,2) ² ]

sin (2x) теперь определяется как
sin (2x) = 2 [ — SQRT [ 1 — (- 0,2) ² ] ] (-0,2)

= 0,39

Вопрос 3
tan(x) = 4 и x находится в квадранте III. Найдите точное значение cos (x).
Ответ на вопрос 3:

Сначала мы используем тождество Пифагора 1 + tan ² x = sec ² x, чтобы найти sec x через tan x
сек (x) = + или — SQRT[ 1 + загар ² x ]

Поскольку x находится в квадранте 3, sec (x) является отрицательным. Следовательно
сек (x) = — SQRT[ 1 + 4 ² ]

= — SQRT (17)

Теперь мы вычисляем cos (x) следующим образом
cos(x) = 1/сек(x)

= — 1 / КОРЕНЬ (17)

Вопрос 4
cos (2x) = 0,6 и 2x находится в квадранте I. Найдите точное значение csc (x).
Ответ на вопрос 4:

Вопрос 5
Найдите точное значение cos (15 ^o ).
Решение вопроса 5:

Используйте формулу половинного угла cos (x/2) = + или — SQRT [ (1 + cos x) / 2 ] для записи
cos (15 ^o) = SQRT [(1 + cos 30 ^o) / 2]

= КОРЕНЬ(3) / 2) / 2 ]

= (1/2) SQRT [ 2 + SQRT (3)]

Вопрос 6
Найдите точное значение тангенса (- 22,5 ^o ).
Ответ на вопрос 6:

Используйте личность для негатива, чтобы написать
загар (- 22,5 ^о ) = — загар (22,5 ^о )

Используйте тождество половинного угла для tan (x/2) = sin x / (1 + cos x), чтобы найти тангенс (22,5), отметив, что 45/2 = 22,5
тангенс (22,5) = sin 45 / (1 + cos 45)

= (КОРЕНЬ(2) / 2) / [1 + КОРЕНЬ(2)/2]

= КОРЕНЬ(2) — 1

Вопрос 7
x и y — углы в квадрантах 1 и 3 соответственно, а cos (x) = a и sin (y) = b. Найдите cos (x + y) через a и b.
Решение вопроса 7:

Используйте формулу суммы cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y. Сначала нам нужно найти sin (x) и cos (y). x находится в квадранте 1, где синус положительный, следовательно
sin (x) = SQRT (1 — a ² )

y находится в квадранте 3, где косинус отрицательный, следовательно
cos (y) = — SQRT(1 — b ² )

Окончательно
cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y

= — a SQRT(1 — b ² ) — SQRT (1 — a ² ) b

Вопрос 8
x — угол в квадранте 3, а sin (x) = 1/3. Найдите sin (3x) и cos (3x).
Ответ на вопрос 8:

Вопрос 9
Уменьшите мощность следующего тригонометрического выражения.
4 sin ³ (x) + 4 cos ³ (x)

Ответ на вопрос 9:

Используйте формулы снижения мощности sin ³ x = (3/4) sinx — (1/4) sin (3x) и cos ³ x = (3/4) cos x+ (1/4) cos(3x), чтобы записать, что
4 sin ³ (x) + 4 cos ³ (x)

= 4 [(3/4) sinx — (1/4) sin(3x)] +

4 [(3/4) cos x + (1/4) cos(3x)]

= 3 sinx — sin (3x) + 3 cos x + cos 3x

Вопрос 10
Разложите на множители следующее тригонометрическое выражение.
Оставить комментарий on Корень из 3cosx sinx 1: sinx+корень из 3 cosx=1 — ответ на Uchi.ru/

Равен 3: Интернет магазин для походов, покупайте верхнюю одежду и походное снаряжение
alexxlab / 13.09.197028.07.2021 / Разное

Reindeer Raven 3 в 1 (Set 3)
Для будущих родителей важны любые мелочи: легкое управление, плавный ход, удобство для малыша, натуральные ткани и функциональность коляски.

Коляска трансформер Рейндир Равен 3 в 1 – учитывает все пожелания.

Люлька

Люлька с натуральным деревянным дном, глубокая, длинная и широкая. Внутри натуральные хлопчатобумажные ткани, удобный матрасик и утепленные борта. Верхнюю часть люльки можно регулировать по наклону. В капюшон вшита москитная сетка, на нем же предусмотрена ручка для переноски люльки. Верхняя ткань – экокожа.

Преимущество искусственной кожи :

гипоаллергенная;

дышащая;

без запаха;

морозостойкая;

не греется на солнце;

водостойкая;

легко моется.

На раму люлька устанавливается лицом к родителям и от них. Накидка на ноги оснащена противоветровым бортиком.

Прогулочный блок

Прекрасное и удобное место для прогулок и сна. В накидке на ножки есть защитный экран от непогоды. В капюшон встроена москитная сетка, она опускается до ножек.

Спинка опускается в 4- положениях. Блок поворотный, легко переставляется лицом к родителям и против. укомплектован съемным матрасов. Две подножки, первая поднимается в положение лежа, вторая нужна подросшему ребенку для опоры. Бампер съемный.

Рама и колеса

Рама из алюминия, компактно и плоско складывается. На раме есть ручка для переноски, а родительская ручка регулируется в шести положениях, обтянута экокожей. Пружины амортизации в основании рамы – регулируются, и стойки пневмо-амортизации на люльке. На раме снизу прикреплена закрывающаяся корзина продуктов – снимается.

Колеса бескамерные, система амортизации повышает проходимость.

Купив универсальную коляску Reindeer Raven 3 в 1, можно не переживать по ее проходимости в проемы, ширина позволяет вместить даже в небольшой лифт.

Reindeer детская коляска 3 в 1 Raven 2019, RV2201

Легкая и маневренная коляска 3 в 1 Reindeer Raven (Рэйндир Рэйвен) создана с помощью новейших технологий. В ее дизайне гармонично сочетается матовая экокожа и яркая внутренняя обивка, которые создают неповторимый дизайн, сразу привлекающий внимание. Строение рамы максимально адаптировано к российским дорогам и климатическим условиям, так что новая коляска, по сути, является полноценным детским вездеходом. В то же время огромный набор дополнительных функций позволяет учесть большую часть основных потребностей молодых мам и их детей. Те же функции, которые не входят в базовую комплектацию, легко можно добавить с помощью большого выбора дополнительных аксессуаров.

Основные особенности шасси коляски для детей Reindeer Raven:

Каркас рамы изготовлен из облегченного алюминия, что позволило в несколько раз снизить вес конструкции.
В основание рамы встроены чуткие пружинные амортизаторы, жесткость которых можно регулировать самостоятельно, в зависимости от состояния дороги.
Дополнительно к пружинам, предусмотрена пневматическая система амортизации для спального блока.
Передние колеса свободно поворачиваются на 360°, что делает управление детским транспортом крайне удобным и легким. При необходимости их можно зафиксировать в положении «прямо».
Рукоять имеет мягкую и приятную обивку из экокожи, которая не нагревается на солнце и не дубеет на морозе. Высоту рукояти можно отрегулировать под рост родителя в шести разных положениях относительно пола.
Складной механизм-книжка компактно и быстро сворачивается. В свернутом виде ее легко можно положить в шкаф или багажник вашего автомобиля.
Для более удобной транспортировки в сложенном виде, рама оснащена специальную ручку, которая также позволит сохранить ваши руки и одежду в чистоте.
Широкие ненадувные колеса устойчивы к проколам и не требуют подкачки. Также они обеспечивают мягкий ход коляски и позволяют лучше преодолевать препятствия, не тревожа малыша.
Небольшая ширина рамы – 59 см, позволяет свободно вместиться даже в небольшой лифт.
Крупная багажная корзина закрытого типа не только является хорошим багажником для детских вещей, но и может быть снята с шасси.
Важнейшие особенности спального блока коляски Reindeer Raven:

Корпус люльки обит экокожей – мягким приятным на ощупь материалом, который не пропускает влагу, не вызывает аллергии у ребенка и в то же время способствует естественной вентиляции спального блока. За обивкой легко ухаживать, так как она не впитывает грязь и легко очищается с помощью обычной влажной тряпочки.
Спальный блок этой модели увеличен по сравнению с другими колясками для новорожденных и имеет габариты – 80х38х23 см. В ней даже крупный малыш будет чувствовать себя свободно, а в зимнее время объемные конверты и пуховички не будут вызывать дискомфорта.
Твердое днище из натурального дерева, которое не только способствует правильному формированию осанки новорожденного, но и поддерживает оптимальную температуру внутри спального блока.
Утепленные борта способствуют тому, что кроха не замерзнет даже в самые лютые морозы, а внутренняя обивка из натуральных тканей обеспечит, что ему будет спокойно и приятно находиться в люльке. Обивка съемная, так что за ее чистотой будет удобно следить. В комплекте идет мягкий матрасик для новорожденных и вкладыш из натурального хлопка.
Специальный подголовник позволяет приподнять кроху, позволив ей, наблюдать за окружающим миром. Наклон можно отрегулировать – имеется 4 положения.
Крупный бесшумный капюшон оснащен встроенной москитной сеткой. Благодаря настраиваемому козырьку, его можно опустить до самой люльки, практически полностью скрыв ребенка от посторонних глаз.
Съемная накидка от ветра имеет высокий ворот, который можно поднять еще выше для защиты малыша от ветра.
В капюшон интегрирована удобная ручка для переноски.
Сам спальный блок реверсивен и может быть установлен как лицом к родителю, так и лицом к миру.
Благодаря специальному креплению Easy Click установить его на шасси можно одним движением.
Основные характеристики прогулочного блока коляски 3 в 1 Reindeer Raven:

Сидение коляски подойдет для деток 6-7 месяцев, научившихся сидеть самостоятельно, и, примерно, до трехлетнего возраста.
Его можно установить как по ходу, так и против хода движения коляски.
Спинка прогулочного блока регулируется и может быть зафиксирована в 4-х положениях, что позволяет превратить его в удобную лежанку для сна.
Подножка может быть поднята до горизонтального положения.
Вторая, статичная подножка позволит более старшему малышу спокойно ставить на нее ботинки.
За безопасность отвечают пятиточечные ремни безопасности с мягкими наплечными накладками, которые легко застегнуть маме, но не самому маленькому пассажиру. Съемный бампер облегчает посадку крохи на сидение, а широкий паховый ремень не даст ему сползти вниз во время поездки.
Крупный капюшон оснащен встроенной москитной сеткой и козырьком от солнца. Уникальный крой позволяет опустить его практически до самых ног малыша. Специальное окошко при этом обеспечит приток свежего воздуха.
Индивидуальная накидка на ножки с высоким воротом защити кроху от непогоды и зимних холодов.
В комплекте также идет удобный матрасик-вкладыш из смесовой ткани.
Основные особенности детского автокресла Reindeer 0+:

На шасси детской коляски 3 в 1 Reindeer Raven можно легко установить автолюльку, превратив его в полноценную систему для путешествий.

Оно подойдет для малышей с рождения до 12 месяцев.
Для самых маленьких пассажиров в комплекте идет дополнительный двусторонний матрасик из смесовой ткани, который обеспечит малышу дополнительный комфорт.
Трехточечные ремни безопасности оснащены мягкими плечевыми накладками надежно, но мягко удерживают маленького пассажира на ложе, не доставляя при этом неприятных ощущений.
Удобная ручка фиксируется в трех положениях и позволяет легко переносить автокресло с места на место, не извлекая и не беспокоя ребенка.
Особая форма днища позволяет укачивать ваше дитя как в настоящей колыбели.
Небольшой капюшон защитит маленького пассажира от солнца. При необходимости, его можно отстегнуть и хранить отдельно, вместе с матрасиком.
Обивка полностью съемная, что позволяет легко поддерживать ее в чистоте. Достаточно просто снять обшивку и постирать в стиральной машинке.
Может быть установлено как на сидение автомобиля с помощью штатных ремней безопасности, так и на базу IsoFix(покупается отдельно).
Прочие характеристики:

Внутренние габариты люльки – 80х38х24 см;
Диаметр колес: задние – 30 см, передние – 24 см;
Вес шасси с люлькой – 11,6 кг;
Вес шасси с сидением – 10,9 кг;
Вес спального блока – 6,1 кг;
Вес шасси – 5, 4 кг;
Вес автолюльки – 4 кг.
Технические характеристики автолюльки Reindeer:

Фирма-производитель Reindeer
Оценка ADAC 4 звезды
Группа 0+ (до 13 кг)
Рост ребенка max 75 см
Соответствие стандарту i-Size Да
Соответствие стандарту ECE 44/04 (перевозка в самолетах) Да
Способ установки Против хода движения
Установка на переднем сидении Да, при отключенной подушке безопасности
Установка на базу IsoFix Да
Крепление штатными ремнями Да
Регулировка наклона кресла Нет
Внутренние ремни Широкие, 3-х точечные
Мягкие накладки на ремни Да
Съемный вкладыш для Новорожденного Да
Использование в качестве качалки Да
Ручка для переноски Да
Капюшон Есть
Накидка на ножки Нет
Съемный чехол (возможность стирки) Есть
Коляски на которые устанавливается автолюлька (через адаптеры)    Reindeer Raven
Вес 4 кг
Комплектация Reindeer Raven 3 в 1:

Спальный блок с твердым деревянным днищем;
Прогулочное сидение с крупным капором и накидкой на ножки;
Алюминиевое складное шасси с колесами;
Автолюлька 0+ Reindeer;
Съемная крытая корзина для покупок;
Теплый меховой конверт;
Сумка-рюкзак для матери;
Дождевик и москитная сетка.

Видео о коляске Reindeer Raven

Видео расскажет о функциональных возможностях коляски Reindeer Raven и простоте ее использования

Array.prototype.includes() — JavaScript | MDN

Метод includes() определяет, содержит ли массив определённый элемент, возвращая в зависимости от этого true или false.

arr.includes(searchElement[, fromIndex = 0])
Параметры
searchElement
Искомый элемент.
fromIndex Необязательный
Позиция в массиве, с которой начинать поиск элемента searchElement. При отрицательных значениях поиск производится начиная с индекса array.length + fromIndex по возрастанию. Значение по умолчанию равно 0.
Возвращаемое значение
[1, 2, 3].includes(2); [1, 2, 3].includes(4); [1, 2, 3].includes(3, 3); [1, 2, 3].includes(3, -1); [1, 2, NaN].includes(NaN);
fromIndex больше или равен длине массива
Если fromIndex больше или равен длине массива, то возвращается false. При этом поиск не производится.
var arr = ['a', 'b', 'c']; arr.includes('c', 3); arr.includes('c', 100);
Вычисленный индекс меньше нуля 0
Если fromIndex отрицательный, то вычисляется индекс, начиная с которого будет производиться поиск элемента searchElement. Если вычисленный индекс меньше нуля, то поиск будет производиться во всём массиве.
var arr = ['a', 'b', 'c']; arr.includes('a', -100); arr.includes('b', -100); arr.includes('c', -100);
Использование
includes() в качестве общих метода
includes() специально сделан общим. Он не требует, чтобы this являлся массивом, так что он может быть применён к другим типам объектов (например, к массивоподобным объектам). Пример ниже показывает использование метода includes() на объекте arguments.
(function() { console.log([].includes.call(arguments, 'a')); console.log([].includes.call(arguments, 'd')); })('a','b','c');
if (!Array.prototype.includes) { Object.defineProperty(Array.prototype, 'includes', { value: function(searchElement, fromIndex) { if (this == null) { throw new TypeError('"this" is null or not defined'); } var o = Object(this); var len = o.length >>> 0; if (len === 0) { return false; } var n = fromIndex | 0; var k = Math.max(n >= 0 ? n : len - Math.abs(n), 0); function sameValueZero(x, y) { return x === y || (typeof x === 'number' && typeof y === 'number' && isNaN(x) && isNaN(y)); } while (k < len) { if (sameValueZero(o[k], searchElement)) { return true; } k++; } return false; } }); }
Если требуется поддержка устаревших движков JavaScript, которые не поддерживают Object.defineProperty, наилучшим решением будет вообще не делать полифил для методов Array.prototype, так как не получится сделать их неперечисляемыми.
BCD tables only load in the browser
3,14 способа запомнить число π с большой точностью
Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Неважно, какого размера окружность, — как заметили по меньшей мере еще 4 тыс. лет назад, соотношение всегда остается одним и тем же. Вопрос только, чему оно равняется.
Чтобы высчитать его приблизительно, достаточно обыкновенной нитки. Грек Архимед в III веке до н.э. применял более хитрый способ. Он чертил внутри и снаружи окружности правильные многоугольники. Складывая длины сторон многоугольников, Архимед все точнее определял вилку, в которой находится число π, и понял, что оно приблизительно равно 3,14.
Методом многоугольников пользовались еще почти 2 тыс. лет после Архимеда, это позволило узнать значение числа π вплоть до 38-й цифры после запятой. Еще один-два знака — и можно с точностью до атома рассчитать длину окружности с диаметром как у Вселенной.
Пока одни ученые использовали геометрический метод, другие догадались, что число π можно рассчитывать, складывая, вычитая, деля или умножая другие числа. Благодаря этому «хвост» вырос до нескольких сотен цифр после запятой.
С появлением первых вычислительных машин и особенно современных компьютеров точность повысилась на порядки — в 2016 году швейцарец Петер Трюб определил значение числа π до 22,4 трлн знаков после запятой. Если напечатать этот результат в строчку 14-м кеглем нормальной ширины, то запись получится немногим короче, чем среднее расстояние от Земли до Венеры.
В принципе ничто не мешает добиться еще большей точности, но для научных расчетов в этом давно нет нужды — разве что для тестирования компьютеров, алгоритмов и для исследований в математике. А исследовать есть что. Даже про само число π известно не все. Доказано, что оно записывается в виде бесконечной непериодической дроби, то есть цифрам после запятой нет предела, и они не складываются в повторяющиеся блоки. Но вот с одинаковой ли частотой появляются цифры и их комбинации, неясно. Судя по всему, это так, но пока никто не привел строгого доказательства.
Дальнейшие вычисления проводятся в основном из спортивного интереса — и по той же причине люди пытаются запомнить как можно больше цифр после запятой. Рекорд принадлежит индийцу Раджвиру Мине, который в 2015 году назвал на память 70 тыс. знаков, сидя с завязанными глазами почти десять часов.
Наверное, чтобы превзойти его результат, нужен особый талант. Но просто удивить друзей хорошей памятью способен каждый. Главное — использовать одну из мнемонических техник, которая потом может пригодиться и для чего-нибудь еще.
Структурировать данные
Самый очевидный способ — разбить число на одинаковые блоки. Например, можно представить π как телефонную книгу с десятизначными номерами, а можно — как причудливый учебник истории (и будущего), где перечислены годы. Много так не запомнишь, но, чтобы произвести впечатление, хватит и пары десятков знаков после запятой.
Превратить число в историю
Считается, что самый удобный способ запомнить цифры — придумать историю, где им будет соответствовать количество букв в словах (ноль было бы логично заменить пробелом, но тогда большинство слов сольется; вместо этого лучше использовать слова из десяти букв). По этому принципу построена фраза «Можно мне большую упаковку кофейных зерен?» на английском языке:
May — 3,
I — 1
have — 4
a — 1
large — 5
container — 9
of — 2
coffee — 6
beans — 5
На эту тему
В дореволюционной России придумали похожее предложение: «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уже знает(ъ)». Точность — до десятого знака после запятой: 3,1415926536. Но проще запомнить более современный вариант: «Она и была, и будет уважаемая на работе». Есть и стихотворение: «Это я знаю и помню прекрасно — пи, многие знаки мне лишни, напрасны». А советский математик Яков Перельман сочинил целый мнемонический диалог:
— Что я знаю о кругах? (3,1415)
— Вот и знаю я число, именуемое пи — молодец! (3,1415927)
— Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)
Американский математик Майкл Кит и вовсе написал целую книгу Not A Wake, в тексте которой содержится информация о первых 10 тыс. цифр числа π.
Заменить цифры буквами
Кому-то легче запомнить бессвязные буквы, чем случайные цифры. В этом случае цифры заменяются первыми буквами алфавита. Первое слово в названии рассказа Cadaeic Cadenza Майкла Кита появилось именно таким образом. Всего в этом произведении закодировано 3835 знаков числа пи — правда, тем же способом, что в книге Not a Wake.
В русском языке для подобных целей можно использовать буквы от А до И (последняя будет соответствовать нолю). Насколько удобно будет запоминать составленные из них комбинации — вопрос открытый.
Придумать образы для комбинаций цифр
Чтобы добиться по-настоящему выдающихся результатов, предыдущие методы не годятся. Рекордсмены используют технику визуализации: изображения запомнить легче, чем цифры. Сначала нужно сопоставить каждую цифру с согласной буквой. Получится, что каждому двухзначному числу (от 00 до 99) соответствует двухбуквенное сочетание.
Допустим, один — это «н», четыре — «р», пять — «т». Тогда число 14 — это «нр», а 15 — «нт». Теперь эти пары следует дополнить другими буквами, чтобы получилось слова, например, «нора» и «нить». Всего понадобится сто слов — вроде бы много, но за ними стоят всего десять букв, поэтому запомнить не так уж сложно.
Число π предстанет в уме как последовательность образов: три целых, нора, нить и т.п. Чтобы лучше запомнить эту последовательность, изображения можно нарисовать или распечатать на принтере и поставить перед глазами. Некоторые люди просто раскладывают соответствующие предметы по комнате и вспоминают числа, разглядывая интерьер. Регулярные тренировки по этому методу позволят запомнить сотни и даже тысячи знаков после запятой — или любую другую информацию, ведь визуализировать можно не только числа.
Марат Кузаев, Кристина Недкова
Универсальная коляска Reindeer Raven (3 в 1)
Подробные характеристики
Цвет
Общие характеристики
Тип универсальная (3 в 1)
Рекомендуемый возраст с рождения до 3 лет
Блоки в комплекте автокресло, люлька, прогулочный блок
Возможность установки автокресло, люлька, прогулочный блок
Конструкция шасси
Материал рамы алюминий
Механизм складывания книжка
Количество колес 4, передние и задние одинарные
Ширина шасси 59 см
Различная ширина передней и задней осей да
Поворотные передние колеса/колесо да, с возможностью блокировки
Положение колес в сложенном виде вниз
Диаметр колес 30 — 24 см
Система амортизации пружины
Особенности шасси корзина для покупок, регулировка высоты ручки
Тип корзины для покупок тканевая, закрытого типа
Перестановка блока лицом/спиной есть
Вес шасси 6.5 кг
Люлька
Спинка с регулировкой, 4 положения
Размер люльки (ШxД) 38×80 см
Вес 6.5 кг
Прогулочный блок
Особенности конструкции бампер, регулировка наклона спинки, регулировка высоты подножки, ремни безопасности
Горизонтальное положение спинки есть
Число положений регулировки спинки 4
Тип ремней безопасности пятиточечные, с мягкими накладками
Съемный бампер да
Вес 4 кг
Прочее
Аксессуары в комплекте накидка на ноги, антимоскитная сетка, рюкзак, солнцезащитный козырек
Эквивалентные дроби
— объяснения и примеры
В математике эквивалентные дроби — это просто дроби с разными числителями и знаменателями, но представляющие одну и ту же пропорцию целого. Эквивалентные дроби на первый взгляд кажутся разными, но имеют одинаковое или равное значение.
Например, эквивалентные дроби для 1/4:
2/8, 3/12, 4/16 и т. Д.
Эквивалентные дроби имеют одинаковое количество или значение после упрощения их числителя и знаменатели.Дроби будут генерировать одно и то же значение, если сокращение по общему множителю производится как для числителя, так и для знаменателя.
Что такое эквивалентные дроби?
Эквивалентные дроби — это две или более дроби, которые после упрощения дают одно и то же значение. Предположим, что a / b и c / d — две дроби, тогда дроби эквивалентны, только если упрощение каждой дроби приводит к e / f.
Другими словами,
a / b = c / d = e / f.
Например, дробь 1/3 имеет эквивалент 5/15, поскольку упрощение 5/15 приводит к тому же значению, что и 1/3.
Теперь возникает вопрос, почему эти дроби равны, несмотря на разные числа. Ответ на этот вопрос заключается в том, что дроби содержат числители и знаменатели, которые не являются взаимно простыми числами. Следовательно, у них есть общее кратное, которое при делении дает одинаковое значение.
Давайте возьмем пример:
1/2 = 2/4 = 4/8
Вы можете заметить, что все же указанные выше две фракции имеют разные целые числа, но после деления числителя и знаменателя на общий множитель результат это:
(4 ÷ 4) / (8 ÷ 4)
= 1/2
В этом случае, если мы упростим 2/4, результат снова 1/2.
(2 ÷ 2) / (4 ÷ 2)
= 1/2
Было показано, что деление знаменателя или умножение числителя на один и тот же множитель не меняет значения дроби. И поэтому эквивалентные дроби при упрощении имеют одинаковое значение.
Как найти эквивалентные дроби?
Рассмотрим случай с дробью 1/5.
Умножение числителя и знаменателя на 2, 3 и 4 дает:
1/5 x 2/2 = 2/10
1/5 x 3/3 = 3/15
1/5 x 4 / 4 = 4/20
Следовательно, можно сделать вывод, что:
1/5 = 2/10 = 3/15 = 4/20
Эквивалентная дробь может быть получена только путем умножения или деления на общий множитель.При сложении или вычитании дроби изменяется только значение дроби.
Пример 1:
Учитывая, что дроби 5/16 и x / 12 эквивалентны, вычислите значение x.
Решение
Учитывая, что:
5/16 = x / 12
x = (5 x 12) / 16
x = 60/16
x = 15/4
Таким образом, значение x составляет 15/4.
Пример 2:
Найдите значение x, если дроби 3/5 и 4 / x эквивалентны.
Решение
Учитывая, что
3/5 = 4 / x
x = (4 x 5) / 3
x = 20/3
Практические вопросы
1. Запишите до 5 эквивалентные дроби для каждого из следующих:
(i) 3/4
(ii) 4/5
(iii) 6/7
(iv) 4/5
2. Найдите эквивалентные дроби имеющий знаменатель 12 для каждой из следующих дробей.

(i) 1/2
(ii) 1/3
(iii) 3/4
(iv) 5/6
3.Замените следующие дроби на эквивалентные дроби со значением 24 в качестве знаменателя:

(i) 6/12
(ii) 3/8
(iii) 2/6
(iv) 4/6
4. Определите пары дробей, которые эквивалентны и которые не являются:

(i) 2/3 и 8/12
(ii) 3/7 и 12/28
(iii) 5/8 и 15/27
(iv) 36/44 и 9/11
(v) 4/5 и 5/4
(vi) 5/8 и 27/18
5.Я думаю о дроби, эквивалентной 10/15 с числителем 2. О какой дроби с числителем 2 я думаю?
6. Эрик замечает, что 3/5 или 3/4 равно дроби 12/20. Какая дробь равна 12/20?
7. Джеймс отдает своему брату 2/5 ее коллекции орехов. Подсчитайте, сколько 1/5 своей коллекции орехов он отдает своему брату?
8. Питер дал 1/4 и 3/12 апельсина Дональду и Педро соответственно.Определите, выдал ли он эквивалентную долю апельсина.
9. Джон провел опрос в своем классе и обнаружил, что 56/96 учащихся, включенных в выборку, занимались спортом после школы. Выразить дробь в простейшей форме?
10. 7 — простое число в дроби 7 / x. Каким числом можно заменить x в этой дроби, чтобы она не была в простейшей форме?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Калькулятор эквивалентных дробей
Этот калькулятор эквивалентных дробей — отличный инструмент, который поможет вам найти эквивалентные дроби для любой требуемой дроби.Это подходящее место, чтобы узнать , что представляет собой эквивалентную дробь x , или , как найти эквивалентные дроби . Хотите знать, эквивалентны ли две дроби? Вы также можете получить ответ на этот вопрос!
Что такое эквивалентная дробь?
Дробь — это отношение двух чисел: числителя , A, и знаменателя , B . Отношение равно некоторому конкретному значению x , где x = ^A/_B .
Определение эквивалентной дроби говорит нам, что любые две дроби, ^A/_B и ^C/_D , эквивалентны, если они равны одному и тому же значению. Мы можем определить, эквивалентны ли две дроби, проверив одно из следующих условий:
A = C и B = D
A * D = B * C
C = k * A и D = k * B , для любого числа k
Преобразование двух эквивалентных дробей в проценты даст нам точно такое же число.
Как найти эквивалентные дроби?
Для любой дроби существует бесконечно много эквивалентных дробей. Такие значения удобно представлять как отношение двух целых чисел. Вот как мы разделяем вещи в повседневной жизни, например, разрезаем пиццу на кусочки (и берем несколько из них).
В качестве примера проверим, как найти эквивалентные дроби ⁴/₆ . Мы можем выполнить следующие шаги:
Убедитесь, что числитель и знаменатель являются целыми числами.Если нет, начните умножать оба числа на 10, пока десятичных цифр не останется. В нашем случае 4 и 6 уже целые числа.
Найдем дробь в простейшем виде. Для этого вычислите наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Здесь GCF 4 и 6 равняется 2, поэтому ⁴/₆ является эквивалентной долей ²/₃ , и последняя является самой простой формой этого отношения. Следовательно, наша база — ²/₃ .
Умножьте основание на последовательные натуральные числа:
^{2 · 2}/_{2 · 3} = ⁴/₆
^{3 · 2}/_{3 · 3} = ⁶/₉
^{4 · 2}/_{4 · 3} = ⁸/₁₂
и т.д …
Все значения являются эквивалентными дробями ²/₃ , а также эквивалентны ⁴/₆ , числу, с которого мы начали.
Процедура проста, но что, если вы хотите найти 20 или 30 эквивалентных дробей? Что ж, это отнимает довольно много времени. Однако, если вы воспользуетесь нашим калькулятором эквивалентных дробей, мы избавим вас от лишних хлопот.
Вы всегда можете преобразовать любую десятичную дробь в дробь, а затем вычислить ее эквивалентные дроби оттуда.
Как пользоваться калькулятором эквивалентных дробей?
Вы можете выбрать один из двух различных режимов. Первый поможет вам найти столько дробей, которые эквивалентны вашему числу, сколько захотите.Посмотрите, как работают эти расчеты в предыдущем разделе.
Второй вариант помогает определить, эквивалентны ли две дроби. Например, является ли ¹³/₁₆ дробью, эквивалентной ³/₄ ? Проверим одно из условий, например умножьте числитель и знаменатель противоположных дробей:
Результаты разные, поэтому дроби ¹³/₁₆ и ³/₄ НЕ эквивалентны.А как насчет ¹²/₁₆ и ³/₄ ?
На этот раз оба числа совпадают, поэтому ¹²/₁₆ эквивалентно ³/₄ . Используя этот калькулятор эквивалентных дробей, вы также можете увидеть, как получить одну дробь из другой!
Что такое эквивалентные доли…
Вот список нескольких дробей и их эквивалентных дробей:
Эквивалентные доли ¹/₁ : ²/₂ , ³/₃ , ⁴/
16 4 902 902 902 ^{/ ₅}
Эквивалентные доли ¹/₂ : ²/₄ , ³/₆ , ⁴/
16 8 902 902 902 902
16 8 902 / ₁₀
Эквивалентные доли ¹/₃ : ²/₆ , ³/₉ , ⁴/
16 12 902 902 902 902 902 902 / ₁₅
Эквивалентные доли ²/₃ : ⁴/₆ , ⁶/₉ , ⁸/
16 12 902 902 902 902 902 / ₁₅
Эквивалентные доли ¹/₄ : ²/₈ , ³/₁₂ , ⁴/
16, 5 902 902 /
16 16 902 902 / ₂₀
Эквивалентные фракции ³/₄ : ⁶/₈ , ⁹/₁₂ , ¹²/
16, 15 902 902 902 902 9017 16 902 / ₂₀
Доли, эквивалентные ¹/₅ : ²/₁₀ , ³/₁₅ , ⁴/
16 20 902 /
16 20 902 / ₂₅
Эквивалентные доли ²/₅ : ⁴/₁₀ , ⁶/₁₅ , ⁸/
16 20 902 / ₂₅
Эквивалентные доли ³/₅ : ⁶/₁₀ , ⁹/₁₅ , ¹²/
16 20 902 /
16 20 902 / ₂₅
Эквивалентные доли ⁴/₅ : ⁸/₁₀ , ¹²/₁₅ , ¹⁶/
16 20 902 /
16 20 902 / ₂₅
Эквивалентные доли ¹/₆ : ²/₁₂ , ³/₁₈ , ⁴/
16 24 902 902 902 902 902 / ₃₀
Эквивалентные доли ⁵/₆ : ¹⁰/₁₂ , ¹⁵/₁₈ , ²⁰/
16 24 902 902 / ₃₀
Какое число равно 3 ^ 3?
Ветеринар спросил каждого из ее 18 посетителей, есть ли у них собака.Она также спросила каждого посетителя, есть ли у них Кот. На диаграмме Венна ниже показаны данные … он собрал. Заполните следующую двустороннюю таблицу частот.
Постройте график решения неравенства 2x — (3 — x) & gt; x + 1 в числовой строке. извините, у меня нет графика, но быстрая помощь, пожалуйста, даст самый разумный результат !!!
Показанные прямоугольные диаграммы представляют количество снегопадов на горнолыжном курорте за два разных года. Используйте блочные диаграммы для сравнения наборов данных. Перетащите каждое значение. … чтобы показать, будет ли оно больше в 2014 году, больше в 2015 году или нет достаточной информации, чтобы сказать.
Координатная сетка с 4 линиями. Линия A проходит через (0, 5) и (4, 3.75). Линия B проходит через (3.75, 0) и (0, минус 5). Линия C проходит через … (0, минус 5) и (минус 3.75, 0). Линия D проходит через (отрицательные 3,75, 0) и (0, 5). Какая линия представляет линейное уравнение –3y = 15 — 4x? Уравнение –3y = 15 — 4x, переписанное в форме пересечения наклона, имеет вид
У меня есть комикс с рекламой о продвинутых подземельях и драконах, и я подумываю приобрести настольную игру, но не знаю, как это сделать. … Играйте в обычном режиме, и мне некому показать это для идей, что делать с настольной игрой ??
Помогите !!! Длина футбольного поля на 30 ярдов больше его ширины.a) Запишите математическое выражение для длины поля, используя w для … представляют ширину поля. b) Какова длина поля, если ширина составляет 53 ярда?
Решите решение неравенства: 3 (5 + х) & lt; 18 PLZ ОТВЕТЬТЕ ТОЧНО И БЫСТРО ОТМЕТИТЕ МОЗГОВОЕ
Решите решение неравенства: 3 (5 + х) & lt; 18 PLZ ОТВЕТЬТЕ ТОЧНО И БЫСТРО ОТМЕТИТЬ МОЗГ
Найдите наклон прямой, проходящей через точки A (–3, 1) и B (2, –5).5?
Ветеринар спросил каждого из ее 18 посетителей, есть ли у них собака. Она также спросила каждого посетителя, есть ли у них Кот. На диаграмме Венна ниже показаны данные … он собрал. Заполните следующую двустороннюю таблицу частот.
Постройте график решения неравенства 2x — (3 — x) & gt; x + 1 в числовой строке. извините, у меня нет графика, но быстрая помощь, пожалуйста, даст самый разумный результат !!!
Показанные прямоугольные диаграммы представляют количество снегопадов на горнолыжном курорте за два разных года.Используйте блочные диаграммы для сравнения наборов данных. Перетащите каждое значение. … чтобы показать, будет ли оно больше в 2014 году, больше в 2015 году или нет достаточной информации, чтобы сказать.
Координатная сетка с 4 линиями. Линия A проходит через (0, 5) и (4, 3.75). Линия B проходит через (3.75, 0) и (0, минус 5). Линия C проходит через … (0, минус 5) и (минус 3.75, 0). Линия D проходит через (отрицательные 3,75, 0) и (0, 5). Какая линия представляет линейное уравнение –3y = 15 — 4x? Уравнение –3y = 15 — 4x, переписанное в форме пересечения наклона, имеет вид
У меня есть комикс с рекламой о продвинутых подземельях и драконах, и я подумываю приобрести настольную игру, но не знаю, как это сделать. … Играйте в обычном режиме, и мне некому показать это для идей, что делать с настольной игрой ??
Помогите !!! Длина футбольного поля на 30 ярдов больше его ширины.a) Запишите математическое выражение для длины поля, используя w для … представляют ширину поля. b) Какова длина поля, если ширина составляет 53 ярда?
Решите решение неравенства: 3 (5 + х) & lt; 18 PLZ ОТВЕТЬТЕ ТОЧНО И БЫСТРО ОТМЕТИТЕ МОЗГОВОЕ
Решите решение неравенства: 3 (5 + х) & lt; 18 PLZ ОТВЕТЬТЕ ТОЧНО И БЫСТРО ОТМЕТИТЬ МОЗГ
Найдите наклон прямой, проходящей через точки A (–3, 1) и B (2, –5).PLZ ОТВЕТЬТЕ ТОЧНО И БЫСТРО ОТМЕТИТЕ МОЗГОВОЕ
Это функция? {(–2, 4), (0, 5), (2, 4), (3, 5), (–2, 1), (1, 4) PLZ СПЕШИТЕ ОТМЕТИТЕ МОЗГОВОЕ
Действительно ли 1 + 2 + 3 … равно -1/12?
Видео Numberphile, опубликованное ранее в этом месяце, утверждает, что сумма всех положительных целых чисел равна -1/12.

Обычно я фанат команды Numberphile, которая отлично делает математику увлекательной и доступной, но это видео меня разочаровало.Существует значимый способ связать число -1/12 с рядом 1 + 2 + 3 + 4…, но, на мой взгляд, неправильно называть его суммой ряда. Более того, то, как это представлено, способствует заблуждению, которое я часто встречаю как преподаватель математики, что математики произвольно меняют правила без видимой причины, и у студентов нет надежды узнать, что можно, а что нельзя в данной ситуации. В сообщении об этом видео физик доктор Скайскалл говорит, что «удручающе большая часть населения автоматически предполагает, что математика — это какое-то не интуитивное, причудливое волшебство, которое может постичь только сверхразум.Показ такого сумасшедшего результата без оговорок только усиливает эту точку зрения и, на мой взгляд, оказывает медвежью услугу математике ».
Сложение — это бинарная операция. Вы вводите два числа и получаете одно число. Но вы можете расширить его до большего количества цифр. Если у вас есть, например, три числа, которые вы хотите сложить, вы можете сначала сложить любые два из них, а затем добавить третье к полученной сумме. Мы можем продолжать делать это для любого конечного числа слагаемых (а законы арифметики гласят, что мы получим один и тот же ответ независимо от того, в каком порядке мы их добавляем), но когда мы пытаемся сложить бесконечное количество членов вместе, мы имеем сделать выбор, что означает добавление.Самый распространенный способ иметь дело с бесконечным сложением — использовать концепцию предела.
Грубо говоря, мы говорим, что сумма бесконечного ряда — это число L , если, добавляя все больше и больше членов, мы приближаемся к числу L . Если L конечно, мы называем ряд сходящимся. Один пример сходящегося ряда: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…. Этот ряд сходится к числу 1. Довольно легко понять, почему: после первого члена мы на полпути к 1.После второго члена мы получаем половину оставшегося расстояния до 1 и так далее.
Наглядное «доказательство» того, что 1/2 + 1/4 + 1/8 … = 1. Изображение: Гиацинт, через Wikimedia Commons.
Парадокс Зенона гласит, что на самом деле мы никогда не дойдем до 1, но с точки зрения предела мы можем подойти настолько близко, насколько захотим. Это определение «суммы», которое математики обычно имеют в виду, когда говорят о бесконечных рядах, и оно в основном согласуется с нашим интуитивным определением слов «сумма» и «равно».
Но не каждый ряд сходится в этом смысле (мы называем несходящийся ряд расходящимся).Некоторые, например 1-1 + 1-1…, могут перемещаться между разными значениями, поскольку мы продолжаем добавлять новые термины, а некоторые, например 1 + 2 + 3 + 4 … могут становиться сколь угодно большими. Таким образом, довольно ясно, что, используя предельное определение сходимости для ряда, сумма 1 + 2 + 3… не сходится. Если бы я сказал: «Я думаю, что предел этой серии — некоторое конечное число L », я мог бы легко вычислить, сколько членов нужно добавить, чтобы получить столько, сколько мне нужно, над числом L .
Есть разумные способы связать число -1/12 с рядом 1 + 2 + 3…, но я предпочитаю не называть -1/12 «суммой» положительных целых чисел.Один из способов решения проблемы — идея аналитического продолжения в комплексном анализе.
Допустим, у вас есть функция f (z) , которая определена где-то на комплексной плоскости. Назовем область, в которой определена функция, U . Вы можете найти способ построить другую функцию F (z) , которая определена в большей области, так что f (z) = F (z) всякий раз, когда z находится в U . Таким образом, новая функция F (z) согласуется с исходной функцией f (z) везде, где определено f (z) , и она определена в некоторых точках вне области f (z) .Функция F (z) называется аналитическим продолжением f (z) . («The» — подходящий артикль, поскольку аналитическое продолжение функции уникально.)
Аналитическое продолжение полезно, потому что сложные функции часто определяются как бесконечный ряд, включающий переменную z . Однако большинство бесконечных рядов сходятся только для некоторых значений z , и было бы неплохо, если бы мы могли определять функции в большем количестве мест. Аналитическое продолжение функции может определять значения функции за пределами области, где сходится определение ее бесконечного ряда.Мы можем сказать 1 + 2 + 3 … = — 1/12, модернизировав аналитическое продолжение функции до ее первоначального определения бесконечной серии, ход, который должен сопровождаться подмигиванием в стиле Люсиль Блат.
Аналитическое продолжение Люсиль говорит: «Я собираюсь поставить знак равенства между значением аналитического продолжения функции в точке и бесконечным рядом, определяющим функцию в другом месте». Видео от Fox, гифка с fanpop.com.
Речь идет о дзета-функции Римана, которая известна своей глубокой связью с вопросами о распределении простых чисел.Когда действительная часть s больше 1, дзета-функция Римана ζ (s) определяется как Σ∞n = 1n-s. (Обычно мы используем букву z для обозначения переменной в сложной функции. В этом случае мы используем s в знак уважения к Риману, который определил дзета-функцию в статье 1859 года [pdf].) Этот бесконечный ряд не сходится, когда s = -1, но вы можете видеть, что когда мы вводим s = -1, мы получаем 1 + 2 + 3…. Дзета-функция Римана является аналитическим продолжением этой функции на всю комплексную плоскость за вычетом точки s = 1. Когда s = -1, ζ (s) = — 1/12.Помещая знак равенства между ζ (-1) и формальным бесконечным рядом, определяющим функцию в некоторых других частях комплексной плоскости, мы получаем утверждение, что 1 + 2 + 3 … = — 1/12.
Расходящаяся серия Люсиль говорит: «1 + 2 + 3 … = — 1/12». Видео от Fox, гифка с fanpop.com.
Аналитическое продолжение — не единственный способ связать число -1/12 с серией 1 + 2 + 3 …. Для очень хорошего и глубокого объяснения способа, не требующего сложного анализа — в комплекте с домашние упражнения — ознакомьтесь с публикацией Терри Тао по этой теме.
Видео Numberphile обеспокоило меня, потому что у них была возможность поговорить о том, что значит присвоить значение бесконечной серии, и объяснить различные способы этого. Если вы уже немного знакомы с предметом, вы можете посмотреть видео и более длинное видео по теме и уловить пикантные моменты того, что происходит на самом деле. Но «вау» фактор видео проистекает из того факта, что нет смысла суммировать положительные числа в отрицательные, если аудитория предполагает, что «сумма» означает то, что они думают.
Если бы Numberphiles более открыто говорили об альтернативных способах связывания чисел с рядами, они могли бы сделать больше, чем просто заставить людей думать, что математики всегда меняют правила. В конце видео продюсер Брэди Харан спрашивает физика Тони Падилла, если бы вы постоянно добавляли целые числа на своем калькуляторе и нажимали кнопку «равно» в конце, получили бы вы -1/12. Падилла нахально говорит: «Ты должен уйти в бесконечность, Брейди!» Но ответ должен был быть «Нет!» Здесь, я думаю, они упустили возможность пояснить, что они используют альтернативный способ присвоения значения бесконечной серии, который сделал бы видео намного менее вводящим в заблуждение.
Другие люди написали хороший материал о математике в этом видео. После излишне доверчивого сообщения в блоге Slate об этом Фил Плейт написал гораздо более взвешенное объяснение различных способов присвоения значения ряду. Если вы хотите самостоятельно проработать детали «доказательства», Джон Баэз поможет вам. Блейк Стейси и доктор Скайскалл пишут о том, как замена суммы положительных целых чисел числом -1/12 может быть полезна в физике. Ричард Элвес публикует бесконечную серию «предупреждений о здоровье и безопасности», в которой участвует мой давний фаворит — гармоническая серия.Я думаю, что распространение дискуссий о том, что означает эта бесконечная серия, — это хорошо, хотя я бы хотел, чтобы больше этой дискуссии могло быть в видео, которое на данный момент набрало более миллиона просмотров на YouTube!
Математика: эквивалентные дроби
Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.
За электронным обучением будущее уже сегодня.
Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!
Эквивалентные дроби : Дроби с одинаковым значением называются эквивалентными дробями.

Есть два способа получения эквивалентных дробей.
1) Умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Пример:
Запишите 3 доли эквивалента 2/3.
Решение:
2 2 x 2 4
— = —— = —-
3 3 x 2 6
Таким образом, 4/6 является 1-й эквивалентной дробью 2/3.
2-я эквивалентная дробь (2 x 3) / (3 x 3) = 6/9
3-я эквивалентная дробь (2 x 4) / (3 x 4) = 8/12
Еще несколько примеров :
Пример: Запишите две эквивалентные дроби 7/5
Решение:
Чтобы получить первую эквивалентную дробь 7/5,
умножьте числитель и знаменатель на 2
(7 x 2 ) / (5 x 2) = 14/10
Чтобы получить 2-ю эквивалентную дробь 7/5,
умножьте числитель и знаменатель на 3
(7 x 3) / (5 x 3) = 21/15
Итак, две эквивалентные дроби 7/5 — 14/10 и 21/15.
Примечание: Чтобы найти эквивалентные дроби, сначала умножьте числитель и знаменатель на 2,3,4,… так далее
Чтобы проверить, эквивалентны ли две дроби, используйте следующий метод.
Произведение числителя 1-го и знаменателя 2-го равно произведению знаменателя 1-го и числителя 2-го.
В примере 1) вы можете видеть, что продукты равны, поэтому 2/5 и 6/15 являются эквивалентными дробями.
В примере 2) вы можете видеть, что продукты не равны, поэтому они не являются эквивалентными дробями.
______________________________________________________________

Практика
1) Запишите 4 эквивалентных дроби от 3/8
2) Запишите 3 эквивалентных дроби от 1 ½.
3) Запишите 2 эквильватентных дроби 3 ⅛.
4) Запишите 4 эквильватентных дроби -2 ⅓.
5) Запишите 2 эквивалентные дроби -7/6.
Дробь
• Типы дробей
• Преобразование неправильной дроби в смешанную
• Эквивалентные дроби
• Дроби в простейшей форме
• Подобные и непохожие дроби
• Сложение дробей
• Вычитание дробей
• Умножение дробей
На главную Page
Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.
Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.
Эквивалентные дроби — первичная математика
Что такое эквивалентные дроби?
В этом посте мы собираемся понять, что такое эквивалентные дроби и как вы можете узнать, какие дроби эквивалентны.
Эквивалентные дроби — это дроби, представляющие одно и то же количество. Например, что из следующего, по вашему мнению, будет самым большим?
Что вы придумали? Мы собираемся увидеть это на примере, разделив эту пиццу на столько кусочков, сколько указывает дробь.
Чтобы представить 1/2, мы разделим пиццу на 2 части и оставим 1 кусок себе:
Чтобы изобразить 3/6, мы разделим пиццу на 6 ломтиков и оставим себе 3 ломтика:
Чтобы изобразить 4/8, мы разделим пиццу на 8 ломтиков и оставим себе 4 ломтика:
Есть кусок пиццы побольше? Нет! Обратите внимание, три фракции представляют одно и то же количество пиццы, половину; следовательно, это эквивалентные дроби :
Как узнать, эквивалентны ли две дроби?
Две дроби эквивалентны, если они представляют одно и то же десятичное число.
Например, три предыдущие дроби представляют одно и то же десятичное число: 0,5.
1/2 — это 1 между 2, то есть 0,5.
3/6 — это 3 между 6, то есть 0,5.
4/8 — это 4 Entre 8, то есть 0,5.
Как мы можем найти дробь, эквивалентную другой?
Если мы хотим найти дробь, эквивалентную другой, мы можем:
Умножьте знаменатель и числитель на одно и то же число. У нас получится эквивалентная дробь с большими числами.Этот процесс называется увеличением.
Разделите знаменатель и числитель на одно и то же число (оба должны делиться на одно и то же число). Таким образом, мы получаем эквивалентную дробь с меньшими числами. Этот процесс называется упрощением.
Готовы ли вы выполнять упражнения с эквивалентными дробями? Воспользуйтесь следующими ссылками:
Помните, что вы можете зарегистрироваться на Smartick и узнать больше об эквивалентных дробях и все об элементарной математике.
Оставить комментарий on Равен 3: Интернет магазин для походов, покупайте верхнюю одежду и походное снаряжение/
Задачи теория вероятностей с решениями: Математическое Бюро. Страница 404
alexxlab / 13.09.197015.09.2022 / Разное
Теория вероятностей — задачи с решением. Решение контрольных работ на заказ. Онлайн-помощь
В разделе размещены подробно разобранные задачи по теории вероятностей и математической статистике, перед решением которых излагается теория в сжатом виде, где содержаться основные формулы разбираемой темы. Примеры упорядочены в соответствии с содержанием курса теории вероятностей в ВУЗах. Задачи будут полезны для студентов экономических и технических специальностей.
О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по теории вероятностей и математической статистике
Случайные события
Комбинаторика — основные формулы
В краткой форме раскрыты основные понятия — перестановки, размещения, сочетания, и приведены основные формулы комбинаторики. После каждой формулы приводится пример решения задачи.
Классическая вероятность
В краткой форме рассмотрено понятие вероятности случайного события и дано классическое определение вероятности. На подробном примере решения задач о бросании игральных костей и извлечении шаров из урны раскрыто одно из важнейших определений теории вероятностей.
Геометрическое определение вероятности
Изложено геометрическое определение вероятности и приведен пример решения широко известной задачи о встрече.
Статистическое определение вероятности
Приведено определение относительной частоты и изложено статистическое определение вероятности. Приведены примеры решения задач.

Сложение и умножение вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Сформулирована теорема сложения вероятностей и решены примеры на данную тему.
Теорема умножения вероятностей
Рассматривается понятие произведения событий и условной вероятности. Приведена теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий и решено множество примеров.
Формула полной вероятности и формула Байеса
На примере решения задачи рассмотрены формула полной вероятности и формула Байеса, дается сопутствующее понятие гипотез.

Повторение испытаний
Формула Бернулли
Страница содержит краткое изложение теории повторных независимых испытаний и приведен пример решения задачи на формулу Бернулли.
Локальная теорема Муавра — Лапласа
Изложены краткие теоретические сведения по локальной теореме Муавра — Лапласа, рассмотрены условия ее применимости, а также приведен пример решения задачи.
Интегральная теорема Лапласа
В краткой форме раскрыто содержание интегральной теоремы Муавра — Лапласа, рассматриваются условия ее применимости. Приводится образец задачи с подробным решением.
Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа
Рассматривается на подробном примере решения задачи отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Наивероятнейшее число
Рассматривается на подробном примере решения задачи понятие наивероятнейшего числа и как найти вероятность появления наивероятнейшего числа.
Формула Пуассона
Рассматривается формула Пуассона и условие ее применимости. Приведен пример решения задачи теории вероятностей на формулу Пуассона.

Случайные величины
Дискретная случайная величина
На странице рассмотрен закон распределения дискретной случайной величины, изложена схема вычислений математического ожидания и дисперсии одномерной дискретной случайной величины. Приведен пример решения задачи с построением функции распределения.
Непрерывная случайная величина
На странице рассматривается непрерывная случайная величина, ее функция распределения и плотность распределения. Перечислены свойства плотности вероятности, приведены формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии НСВ. Даны образцы решения задач на расчет характеристик и построение графиков функции распределения и плотности распределения непрерывной случайной величины.
Функции распределения случайных величин
Рассматриваются функции распределения дискретных и непрерывных случайных величин — определение, свойства, графики функции распределения.
Плотность распределения вероятностей
Рассматривается плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины — определение, свойства, графики плотности распределения вероятностей.
Математическое ожидание и его свойства
Рассматривается математическое ожидание случайной величины — одно из важнейших понятий теории вероятностей. Приведены примеры решения задач. Кратко излагается что такое математическое ожидание и каковы его свойства. Математическое ожидание суммы и произведения случайных величин.
Дисперсия и ее свойства
Излагается определение дисперсии случайной величины и среднего квадратического отклонения, которые являются важными понятиями в курсе теории вероятностей и математической статистики. Описываются свойства дисперсии — дисперсия суммы случайных величин, дисперсия постоянной величины.
Начальные и центральные моменты случайной величины
На странице рассмотрены определения начальных и центральных моментов случайной величины, приведены формулы их взаимосвязи. Даны понятия об асимметрии и эксцессе непрерывной и дискретной случайных величин.
Мода и медиана случайной величины. Квантиль уровня случайной величины
На странице рассматривается мода и медиана случайной величины в теории вероятностей, вычисление моды и медианы на примере непрерывных и дискретных случайных величин. Изложено понятие квантилей и процентных точек СВ. Приведены примеры.
Функции одного и двух случайных аргументов
Излагается понятие функции одного и двух случайных аргументов, а также понятие композиции случайных величин. Приведены примеры.

Закон больших чисел
Неравенство Маркова
На странице рассматривается неравенство Маркова (лемма Чебышева) и приведены примеры решения задач.
Неравенство Чебышева
Рассмотрен пример решения задачи на закон больших чисел (неравенство Чебышева).

Основные законы распределения
Биномиальное распределение
Страница содержит определение биномиального закона распределения, формулу для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Приведен пример решения задачи.
Геометрическое распределение
Излагается понятие геометрического закона распределения дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
Закон распределения Пуассона
Излагается понятие пуассоновского закона распределения дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы характеристик распределения.
Простейший поток событий
Простейший поток событий и его свойства — теория и примеры решения задач.
Гипергеометрическое распределение
Рассматривается гипергеометрическое распределение, моделирующее количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Страница содержит определение гипергеометрического закона распределения, формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, а также образец решения задачи.
Нормальный закон распределения
Рассматривается нормальное распределение случайной величины — его плотность и функция распределения, а также правило трех сигм. Приведены необходимые теоретические сведения и образцы решения задач на нормальный закон распределения.
Показательный закон распределения
Рассмотрен экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины, приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач. Излагаются понятия математического ожидания, дисперсии и параметра показательного закона распределения.
Равномерное распределение
Излагается понятие закона равномерного распределения случайной величины. Приведены необходимые теоретические сведения, рассмотрены математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно и приведен пример решения задачи на эту тему.

Двумерная случайная величина
Дискретная двумерная случайная величина
Рассматривается двумерная дискретная случайная величина и ее числовые характеристики — математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, а также условные законы распределения, коэффициенты ковариации и корреляции.
Непрерывная двумерная случайная величина
Рассматривается двумерная непрерывная случайная величина. Функция распределения двумерной СВ и ее свойства. Плотность распределения двумерной СВ и ее свойства, а также условные и безусловные законы распределения.

Выборочный метод
Полигон, гистограмма, кумулята, огива
Рассматривается подробно построение полигона и гистограммы частот и относительных частот — графиков статистического ряда распределения. Также затронута тема построения графиков накопленных частот — кумуляты и огивы с примерами задач.
Несмещенная оценка дисперсии — исправленная выборочная дисперсия
В задаче, приведенной на странице, вычисляется несмещенная оценка дисперсии (исправленная выборочная дисперсия)
Показатели асимметрии и эксцесса
Приведены необходимые теоретические сведения на тему показателей асимметрии и эксцесса, и образцы решения задач, где показан подробный расчет коэффициента асимметрии и эксцесса распределения.
Доверительные интервалы для среднего и дисперсии
Построение доверительного интервала для математического ожидания (среднего) и дисперсии — рассмотрена краткая теория, приведен подробный пример решения задачи.

Корреляционный и регрессионный анализ
Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)
На странице даны образцы решения задач на построение парной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Решение задач предваряют краткие теоретические сведения, где подробно рассматривается соответствующая система нормальных уравнений и следующие из нее формулы для нахождения параметров парной линейной регрессии.
Линейный коэффициент корреляции
Рассмотрены формула и смысл коэффициента линейной корреляции. Страница содержит типовой пример по расчету выборочного линейного коэффициента корреляции и проверке его значимости.
Нелинейные модели парной регрессии
Рассматриваются нелинейные уравнения парной регрессии — степенные, гиперболические, показательные и параболические. Приведены соответствующие системы нормальных уравнений и решены задачи, в которых, помимо параметров уравнения, рассчитаны для каждого вида модели коэффициенты детерминации и эластичности.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Содержится краткая теория и пример решения задачи на ранговую корреляцию. Дано понятие ранговой корреляции, показан расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла
На странице рассмотрено применение ранговой корреляции и коэффициента ранговой корреляции Кендалла в статистике. Приведена краткая теория, а также задача с примером расчета коэффициента Кендалла с проверкой гипотезы о его значимости.

Статистическая проверка статистических гипотез
Проверка гипотезы о равенстве средних
На примере решения задачи подробно рассматривается проверка гипотезы о равенстве средних значений, понятия нулевой и конкурирующей гипотезы.
Проверка гипотезы о нормальном распределении
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по нормальному закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты нормального распределения и осуществлена проверка гипотезы о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.
Проверка гипотезы о показательном распределении
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по экспоненциальному (показательному) закону. На примере решения задачи вычислены теоретические частоты показательного распределения и осуществлена проверка гипотезы об экспоненциальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона.
Проверка гипотезы о распределении по закону Пуассона
Рассматривается проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Показано вычисление теоретических частот и применение критерия Пирсона на примере решения задачи.

Дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ
Даны краткие теоретические сведения о дисперсионном анализе. Рассмотрен пример решения задачи на однофакторный дисперсионный анализ с вычислениями факторной и случайной дисперсии.

Статистические таблицы
Таблица значений функции Лапласа
Приведена таблица значений функции Лапласа и образцы решения задач.
Таблица критических точек Стьюдента
Приведена таблица критических точек t-критерия Стьюдента и образцы решения задач.
Таблица критических точек «Хи-квадрат»
Приведена таблица критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия Пирсона и образцы решения задач.
Таблица критических точек Фишера-Снедекора
Приведена таблица критических точек распределения F Фишера-Снедекора и образцы решения задач.

Большое количество типовых задач по теории вероятностей для самостоятельного решения.
Часть первая: 108 типовых задач по теории вероятностей

Часть вторая: 137 типовых задач по теории вероятностей

Часть третья: 114 типовых задач по теории вероятностей

Часть четвертая: 89 типовых задач по теории вероятностей

Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике базового уровня
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна .
Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ: 0,25.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
N исходов
Первое бросание
Второе бросание
1
Решка
Решка
2
Орёл
Орёл
3
Орёл
Решка
4
Решка
Орёл
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Ответ: 0,5.
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна
Ответ: 0,75.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна .
Ответ: 0,25.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность .
Ответ: 0,5.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел По классической формуле вычисляем вероятность .
Ответ: 0,04.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Ответ: 0,03.
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Ответ: 0,2.
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна .
Ответ: 0,35.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д. , входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Ответ: 0,75.
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: .
Ответ: 0,32.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: .
Ответ: 0,14.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
Ответ: 0,75.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. . Здесь — вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет. Событие — ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Ответ: 0,79.
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А — насос подтекает, событие – насос не подтекает.
Ответ: 0,95.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому .
Ответ: 0,92.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: .
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Задачи с решениями по теории вероятностей и математической статистике

#963 Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. №004.046, стр.047
#953 Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. №004.022, стр.044
#991 Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. №004.081, стр.051
#1379 Выск Н.Д., Селиванов Ю.В. Теория вероятностей: Варианты курсовых заданий. №4.8
Добро пожаловать на наш сайт!
Предлагаем Вашему вниманию задачи с решениями по Теории вероятностей и математической статистике. Материалы сайта упорядочены по разделам, источникам публикации, и учебным заведениям, что позволяет с минимальными усилиями найти нужную задачу.
Основное внимание уделено задачникам Кремера, Гмурмана, Кибзуна. Также на сайте представлены задачи из методических пособий ВУЗов России.
Большой опыт преподавания дисциплины гарантирует качество представленных решений задач, решения снабжены пояснениями по использованию формул и приемов вычислений.

Теория вероятностей [0 + 1608]
Определение вероятности [260]
Основные теоремы [383]
Повторные независимые испытания [220]
Основные законы распределения [187]
Дискретные случайные величины и их характеристики [213]
Непрерывные случайные величины и их характеристики [143]
Двумерные случайные величины и их характеристики. Функции. [145]
Закон больших чисел и предельные теоремы [40]
Случайные процессы и их характеристики [17]
Математическая статистика [0 + 212]
Вариационные ряды и их характеристики [41]
Основы математической теории выборочного метода [99]
Проверка статистических гипотез [71]
Корреляционный анализ [1]
Книжные издания [0 + 967]
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [505]
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [385]
Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. [77]
Методические пособия [0 + 632]
Е.Г. Репина, Е.И. Суханова. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания к выполнению контрольной работы студентам факультета ВВиДО Самарского государственного экономического университета./Самара 2011. 39с. [84]
Бестугин А.Р., Дийков А.Л., Стрепетов А.В., Фарафонов В.Г. Теория вероятностей: Варианты контрольных работ [200]
Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. Вероятность и случайные величины. Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероятностей. [240]
Волков С.И., Исаков Е.Б., Фёдоров А.В., Тимошенко Е.И. Варианты контрольных работ для студентов специальности 0708 заочной формы обучения. [40]
Комаров С. Н. Контрольные задания для студентов-заочников второго курса специальности 150200 – «Автомобили и автомобильное хозяйство» [10]
Кострикина Л.П. Методическое пособие по разделу: «Повторные независимые испытания» [53]
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие/Москва, 2008. [5]
Свободный источник [220]
«ВЗФЭИ» – Всероссийский заочный финансово-экономический институт [5]
Самарский государственный экономический университет [84]
«МАТИ» – Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского. [240]
Мичуринский государственный аграрный университет [53]
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет [40]
Санкт-Петербургский госуниверситет аэрокосмического приборостроения [200]
Орский политехнический институт (ОГТИ филиал ОГУ) [10]
Условная вероятность. Независимость событий
Введение в тригонометрию
Урок №4 Линейные уравнения первого порядка
Аксиоматическое и геометрическое определение теории вероятности
Классическая вероятностная схема
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Формулы приведения
Системы линейных уравнений
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема гипотез (Формула Байеса)
Теорема умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Схема Бернулли
Линейная функция и ее график
Урок №2 Элементы логики. Метод математической индукции
Урок №3 Арифметическая и геометрическая прогрессия
Синус и косинус
Тригонометрические функции числового аргумента
Обратная матрица
Операции над матрицами
Матрица и операции над ней
Выражения
Составление дифференциального уравнения семейства кривых
Уравнения с разделяющимися переменными
Множества. Комбинаторика
Пространство элементарных событий. Случайные события
Статистическое определение вероятности
Функции и их графики. Часть 1
Прямая пропорциональность и ее график
Преобразование выражений
Уравнения с одной переменной
Статистические характеристики
Однородные уравнения
Элементы кобинаторики
Определители 2-го и 3-го порядков
Определители n-го порядка
Основные методы вычисления определителей n-го порядка
Функции и их графики. Часть 2
Back to top
Загружаем…
Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
Фредерик Мостеллер
М., Наука, 1975. 112 с.
Тираж 250000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (1.67) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)
Книга в действительности содержит 57 занимательных задач (семь задач скорее обсуждаются, чем решаются). Большинство задач несложно. Лишь совсем немногие из них требуют знания курса анализа, но и в этих случаях неподготовленный читатель все равно сможет понять постановку задачи и ответ.
Книга обращена к широкому кругу читателей: ученикам старших классов, педагогам, студентам.
Содержание
Предисловие.
1. Ящик с носками. Условие и решение.
2. Последовательные выигрыши. Условие и решение.
3. Легкомысленный член жюри. Условие и решение.
4. Испытания до первого успеха. Условие и решение.
5. Монета в квадрате. Условие и решение.
6. «Попытай счастья». Условие и решение.
7. Переубеждение упрямого игрока. Условие и решение.
8. Масть при игре в бридж. Условие и решение.
9. «Крэпс». Условие и решение.
10. Эксперимент по психологии азартных игроков Условие и решение.
Задачи без структуры (11 и 12).
11. Молчаливый союз. Условие и решение.
12. Quo Vadis? Условие и решение.
13. Дилемма узника. Условие и решение.
14. Выбор купонов. Условие и решение.
15. В театре. Условие и решение.
16. Выйдет ли второй в финал? Условие и решение.
17. Рыцари-близнецы. Условие и решение.
18. Равновесие при бросании монет. Условие и решение.
19. Задача Сэмуэля Пепайса. Условие и решение.
20. Трехсторонняя дуэль. Условие и решение.
21. Выборка с возвращением или без возвращения? Условие и решение.
22. Выборы. Условие и решение.
23. Ничьи при бросании монеты. Условие и решение.
24. Странное метро. Условие и решение.
25. Длины случайных хорд. Условие и решение.
26. Нетерпеливые дуэлянты. Условие и решение.
27. Осторожный фальшивомонетчик. Условие и решение.
28. Жадный фальшивомонетчик. Условие и решение.
29. Заплесневевший желатин. Условие и решение.
30. Расчет булочника. Условие и решение.
Задачи о днях рождения (31, 32, 33, 34).
31. Парные дни рождения. Условие и решение.
32. В поисках парных дней рождения. Условие и решение.
33. Соотношение между разными задачами о парных днях рождения. Условие и решение.
34. Выходные дни и дни рождения. Условие и решение.
35. На краю утеса. Условие и решение.
36. Разорение игрока. Условие и решение.
37. Смелая игра и осторожная игра. Условие и решение.
38. Толстая монета. Условие и решение.
39. Неуклюжий химик. Условие и решение.
40. Первый туз. Условие и решение.
41. Задача о поездах. Условие и решение.
42. Короткий кусок стержня. Условие и решение.
43. Сломанный стержень. Условие и решение.
44. Выигрыш в небезобидной игре. Условие и решение.
Задачи о совпадениях (45 и 46).
45. Среднее число совпадений. Условие и решение.
46. Вероятности совпадений. Условие и решение.
47. Выбор наибольшего приданого. Условие и решение.
48. Выбор наибольшего случайного числа. Условие и решение.
49. Удвоение точности. Условие и решение.
50. Случайное квадратное уравнение. Условие и решение.
Случайные блуждания в дву- и трехмерном пространстве (51 и 52).
51. Двумерное случайное блуждание. Условие и решение.
52. Трехмерное случайное блуждание. Условие и решение.
53. Игла Бюффона. Условие и решение.
54. Игла Бюффона с вертикальными и горизонтальными прямыми. Условие и решение.
55. Длинная игла. Условие и решение.
56. Две урны. Условие и решение.
57. Распределение простых делителей. Условие и решение.

Загрузить (Mb)
djvu (1.67) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)
Постоянный адрес этой страницы: http://math. ru/lib/114

Теория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность
В высшей математике существует раздел, изучающий статистику. По сути, это теоретическая база. Направление изучает закономерности и случайные явления, систематизирует данные для обоснования принятых решений. Основой науки является теория вероятности, чьи формулы используются для предположения о свершении того или иного события. Существует и алгоритм, с помощью которого решаются все задачи.
Развитие науки
Изучение вероятности наступления того или иного события берёт своё начало со Средних веков. Первоначально наблюдаемые закономерности не имели математического описания и основывались на различных эмпирических фактах. Ранние работы были непосредственно связаны с азартными играми. Французские учёные Паскаль и Ферма пытались выявить и рассчитать закономерности при бросании костей.
Независимо от них этим вопросом занимался и голландский физик Гюйгенс. В своей работе он оперировал такими понятиями, как величина шанса, математическое ожидание, цена случайности. Он первый, кто попробовал применить теоремы сложения и умножения в описание вероятности.
Фундаментальное значение для развития науки имели труды Бернулли, Байеса, Лапласа и Пуассона. Их стараниями были сформулированы и доказаны предельные теоремы, предложены первые формулы и примеры. В теории вероятности начали использовать анализ ошибочного наблюдения. Но лишь Карл Гаусс детально смог разобраться в нормальном распределении случайной величины.
В XIX веке русские и европейские учёные смогли доказать сделанные ранее предложения. В первую очередь это касалось закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Формальная система для описания теории была принята в 1933 году. Предложил её академик СССР Андрей Колмогоров. Руководствуясь идеями теории множеств, меры и интегрирования, он смог систематизировать аксиомы и с их помощью описать классическую теорию вероятности. На основании его работ была создана новая теория — случайных процессов.
В его систему входит:
алгебра событий — состоит из множества подмножеств, называемых событиями и их пространства;
существование возможности появления событий — каждому случаю приписывается в соответствие вещественная вероятность наступления;
нормировка — состояние, при котором вещественное число имеет вероятность свершения равное единице;
аддитивность — если 2 события не пересекаются, их вероятность находится суммированием.
Объекты, удовлетворяющие системе, были названы полем вероятности (вероятностным пространством). Было принято, что аксиомы не могут противоречить друг другу. Аксиоматизация позволила привести все предположения к строгому математическому виду и стала восприниматься как один из разделов математического вычисления.
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/277208/slide_33.jpg' /></noscript> youtube.com/embed/oB_hyjVtNpw»/>
Сущность предмета
Предметом изучения науки являются закономерности, появляющиеся в случайных событиях, результат которых нельзя установить заранее. Но не все эксперименты можно изучать с помощью теории, а лишь те, что повторяются при одних и тех же условиях.
Существует понятие «статистической устойчивости». Если существует некоторое событие «А», которое может наступить в результате события или не произойти, то часть экспериментов должна стабилизироваться. При этом с увеличением числа экспериментов вероятность повторения стремится к определённому числу Р(А). Оно и является характеристикой, определяющей степень возможности наступления события «А».
Объяснить основы теории вероятности для чайников можно с помощью классических понятий:
Вероятность, что событие «А» сможет произойти описывается выражением: Р (А) = m/n, где: n — общее количество исходов эксперимента, имеющих равные возможности; m — число исходов, соответствующих событию «А».
Для геометрического определения вместо чисел используется мера. В числитель формулы подставляется показатель, выражающий количество благоприятных исходов наступления рассматриваемого события, а в знаменатель — геометрическая мера. Например, ширина, плотность, объём.
При расчётах принимается, что полная группа событий образует вероятность равную единице: P (A1) + P (A2) + + P (An) = 1, при этом сумма противоположных событий также будет равна одному.
Шанс, что одно из двух несовместимых событий обязательно случится, определяется сложением этих вероятностей. Это формулировка справедлива и к любому количеству ожидаемых исходов: P (C +B +A) = Р(С) + Р (B) +P (A).
Исход, что любое из двух событий сбудется, равен вероятности суммы без учёта возможного их совместного появления: P (А+В) = Р (А) + Р (B) — P (АВ).
Основополагающими формулами являются выражения Байеса и Бернулли.
Согласно первому, если существует гипотеза «Вн», а событие уже наступило, вероятность её правдивости определяется как Pа (Вн) = Р (Вн) * Рв (А) / Р (А). Это выражение ещё называют формулой полной вероятности. Равенство же Бернулли помогает оценить вероятность, что конкретное событие «А» случится n количество раз при m вариантах: P = C n * p n * qn — m.
Алгоритм решения
Теория вероятностей используется, когда необходимо сделать прогноз на выпадение того или иного шанса в эксперименте. Случайность является основным понятием предмета. Она обозначает явление, для которого невозможно точно вычислить периодичность наступления, поэтому в задачах находят именно число возможностей. По своей сути вероятность — функция, способная принимать 3 значения:
ноль — ожидание никогда не выполнится;
единица — событие произойдёт при любых условиях;
паритет — существует равная возможность выполнения или невыполнения ожидания.
Чтобы высчитать случайность, рекомендуется придерживаться разработанного алгоритма. Следует внимательно изучить задание и определить, вероятность чего необходимо вычислить, а также события, от которых случайность будет изменяться. Определив схему задачи, подобрать формулу и, подставив в неё все имеющиеся данные, рассчитать шанс. Чтобы правильно определиться с нужной схемой, необходимо знать о количестве экспериментов, существовании между ними зависимости, возможности применения нескольких гипотез.
Для понятия принципа нахождения случайности часто предлагается к решению следующая задача. В закрытом ящике лежит 6 разноцветных перемешанных между собой шаров. Из них 2 красного цвета, 3 зелёного и 1 белый. Нужно посчитать, насколько шансов достать белый шар меньше, чем цветной.
Случайность доставания цветного шара обозначают как событие «А». Согласно определению вероятность «А» определяется отношением благоприятствующих шансов к общему числу исходов. Существует 6 различных возможностей вытянуть шар, из них 5 относятся к благоприятным, поэтому эксперимент покажет, что вероятность достать из ящика цветной шар будет составлять P = 5 / 6 = 0,83(3). Это и есть показатель оценки степени случайности.
Таким способом можно узнать различную вероятность любого исхода, не прибегая к собиранию статистики и её анализу, то есть решить задачу математически, как, например, следующую. В таксопарке используется 2 синих, 9 красных и 4 чёрных машины. Нужно определить, какая существует возможность приезда по вызову красного автомобиля. Решение простое. Так как всего имеется 15 машин, вероятность приезда именно красной составит Р = 9/15 или 0,6.
Теорема Муавра — Лапласа
Это предельное определение, предложенное Лапласом в 1812 году. В основе теоремы используется формула Бернулли, но применяется она к довольно большому количеству экспериментов. Суть её в следующем: если при независимых экспериментах n существует вероятность свершения случайного события N равная нулю или единице, при этом число испытаний равняется m, искомое значение близко к интегральной функции Лапласа.
Стандартные значения, соответствующие нормальному распределению, сведены в статистические таблицы. Взять их можно в решебниках задач по теории. Под приведёнными значениями понимается площадь кривой от нуля до числа x. Например, если придумать какую-либо величину площади между числами 0 и 2,34, согласно таблице она составит 0,49036.
При рассмотрении свершения m событий в n экспериментах существует вероятность, заключённая в определённом отрезке между значениями a и b, поэтому выражение для нахождения можно найти из формулы: Р(m) = (n! * pm * qn-m) / m!(n-m)!. Уравнение требует сложных и громоздких расчётов, поэтому, чтобы найти вероятность, в математике из формулы используют асимптотическое распределение. Но возможно это только при условии, что Р(m) неизменное, а число экспериментов будет стремиться к бесконечности.
Реальная формула, описывающая теорему сложна, поэтому используется приближённая:
Р(m) = 1 / ((2p*n*p*q)1/2) exp (-X2m/2).
Использовать её рекомендуют только при значениях событий больше 20, а экспериментов 100. Например, брак выпускаемых изделий составляет 15%. Поступает товар в упаковках по 100 штук. Нужно найти вероятность, что случайно взятая коробка будет укомплектована 13 бракованными изделиями. При этом число товара низкого качества в упаковке не превысит 20.
За испытание необходимо принять изготовление. Вероятность появления события, которое необходимо искать составит p = 0,15. Далее, находится случайность: n * p = 15 и n * p * q = 12,75. Исходные данные подставляют в формулу Лапласа:
Таким образом, примерно 9,5% упаковок от общего количества содержат 13 товаров плохого качества, а в 92% случаях число изделий с браком не превышает 20.
Сочетание взаимных событий
При рассмотрении задач может возникнуть вопрос, как различные события могут зависеть друг от друга. Для характеристики их взаимосвязи вводится понятие условная вероятность. Например, имеются 2 случайных исхода одного эксперимента «А» и «В». Тогда условной вероятностью первого события «А» при условии, что второе произошло, называется отношение P (AB) / P (B).
Необходимо определить, с какой вероятностью в семье с ребёнком-девочкой родится мальчик. За вероятность появления в семье двух мальчиков нужно взять «А», а за ребёнка противоположного пола событие «В». Существует 4 возможных исхода, поэтому справедливо будет записать: P (AB) = 1/4, P(B) = 3/4. Подставив эти значения в формулу можно рассчитать вероятность: P (A/B) = (1/4) / (3/4) = 0,3. Первый исход считается независимым от второго, если наступление события «В» не оказывает влияние.
Если же события взаимны, они влияют друг на друга. В этом случае используется их перемножение: P(AB) = P(A) *PB (А). Например, в пачке 26 лотерей, из которых 3 призовых. Нужно определить шанс, что первый билет будет призовой и вероятность, что второй билет также будет с выигрышем, но при условии, что первый билет уже убрали.
Для решения задачи вначале нужно найти шанс, что первый билет будет с выигрышем: P (A) = 3/26 = 0,115. Затем рассчитать вероятность двух выигрышей подряд: P(AB) = P(A) * P(B) = (3/26) * (2/25) = 0,009.
Это довольно простые задачи, но существуют задания, для решения которых понадобится применять несколько формул. Такой расчёт вероятности наступления того или иного события может быть трудным, требующим повышенного внимания. Для облегчения вычислений существуют специальные интернет-порталы. Они предлагают рассчитать исход события даже тем, кто и вовсе не разбирается в теории. Например, allcalc.ru, kontrolnaya-rabota.ru, matburo.ru, math.semestr.ru.
На этих сайтах от пользователей требуется лишь заполнить предлагаемые формы исходными данными и нажать кнопку «Рассчитать». Все калькуляторы совмещают в себе быстроту нахождения ответа и ознакомление с подробным описанием решения.
Новые задачи по теории вероятностей
Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.
Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.

1. № 508755
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Решение. показать
2. № 508769
Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».
Решение. показать
3. № 508781
Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение. показать
4. № 508791
В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
5. № 508793
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
6. № 508798
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.
Решение. показать
7. № 508809
Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Решение. показать
8. № 508820
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
9. № 508831
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?
Решение. показать
10. № 508843
В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Решение. показать
11. №508851
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».
Решение. показать
12. № 508868
В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.
Решение. показать
13. № 508871
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?
Решение. показать
14. № 508887
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?
Решение. показать
15. № 509078
Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?
Решение. показать
15. № 508885
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятность на единицу больше предыдущего и с вероятность на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?
Решение. показать
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Примеры вероятности с вопросами и ответами
Пример 1: Монета подбрасывается 3 раза. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один орёл?
Sol: Пример пространства = [HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT]
Общее количество способов = 2 × 2 × 2 = 8. Избранное. Случаев = 7
P (A) = 7/8
ИЛИ
P (получения хотя бы одной головы) = 1 – P (без головы)⇒ 1 – (1/8) = 7/8
Пример 2: Найти вероятность выпадения карты с номером при извлечении карты из колоды в 52 карты.
Sol: Всего карт = 52. Пронумерованные карты = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 9 каждой масти 4 × 9 = 36
P (E) = 36/52 = 9/13
Пример 3: Есть 5 зеленых 7 красных шаров. Два шара выбираются один за другим без замены. Найти вероятность того, что первый зеленый, а второй красный.
Sol: P (G) × P (R) = (5/12) x (7/11) = 35/132
Пример 4: Какова вероятность того, что сумма 7 выпадет на двух игральных костях бросают?
Sol: Математика вероятности — Общее количество способов = 6 × 6 = 36 способов. Благоприятные случаи = (1, 6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (3, 4) (4, 3) — 6 способов. P (A) = 6/36 = 1/6
Пример 5: Из колоды в 52 карты случайным образом вытягивается 1 карта.
(i) Найдите вероятность того, что это карта чести.
(ii) Это лицевая карта.
Sol: (i) карты чести = (A, J, Q, K) 4 карты каждой масти = 4 × 4 = 16
P (карта чести) = 16/52 = 4/13
(ii) лицо карты = (J, Q, K) 3 карты каждой масти = 3 × 4 = 12 карт.
P (лицевая карта) = 12/52 = 3/13
Пример 6: Из колоды в 52 карты вытягиваются две карты. Найдите вероятность того, что оба бубны или оба короли.
Сол: Всего № Пути = ⁵² C ₂
Случай I: Оба являются бриллиантами = ¹³ C ₂
Случай II: Оба являются королями = ⁴ C ₂
P (Difb — или оба короля) = ( ¹³ C ₂ + 9Пример 7 Какова вероятность получить хотя бы одну «4»?
Sol: Общее количество способов = 6 × 6 × 6 = 216. Вероятность получить число «4» хотя бы один раз
= 1 – (Вероятность не получить число 4) = 1 – (5/6) x (5/6) x (5/6) = 91/216
Пример 8: Дана задача трем людям P, Q, R, шансы которых соответственно решить ее равны 2/7, 4/7, 4 /9соответственно. Какова вероятность того, что проблема решена?
Sol: Вероятность решения проблемы = 1 – (Вероятность того, что никто из них не решит проблему)
Вероятность решения проблемы = 1 – (5/7) x (3/7) x (5/ 9) = (122/147)
Пример 9: Найти вероятность выпадения двух решек при подбрасывании пяти монет.
Sol: Количество способов получить две головы = ⁵ C ₂ = 10. Всего способов = 2 ⁵ = 32
P (два орла) = 10/32 = 5/16
Пример 10: Какова вероятность выпадения суммы 22 или более при бросании четырех игральных костей?
Sol: Общее количество способов = 6 ⁴ = 1296. Количество способов получить сумму 22 равно 6,6,6,4 = 4! / 3! = 4
6,6,5,5 = 4! / 2!2! = 6. Количество способов получить сумму 23 равно 6,6,6,5 = 4! / 3! = 4.
Количество способов получения суммы 24 равно 6,6,6,6 = 1.
Изб. Количество случаев = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 способов. P (получение суммы 22 и более) = 15/1296 = 5/432
Пример 11: Два игральных кубика бросают вместе. Какова вероятность того, что число, выпавшее на одном из кубиков, кратно числу, выпавшему на другом кубике?
Sol: Общее количество случаев = 6 ² = 36
Поскольку число на кубике должно быть кратно другому, возможно
(1, 1) (2, 2) (3, 3) — —— (6, 6) — 6 каналов
(2, 1) (1, 2) (1, 4) (4, 1) (1, 3) (3, 1) (1, 5) ) (5, 1) (6, 1) (1, 6) — 10 способов
(2, 4) (4, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 6) (6, 3) — 6 способов
Благоприятные случаи = 6 + 10 + 6 = 22. Итак, P(A) = 22/36 = 11/18
Пример 12: Из колоды карт наугад вынимают три карты. Найти вероятность того, что все карты разной масти.
Sol: Общее количество ящиков = ⁵² C ₃
Каждая карта должна быть выбрана из другой масти. Три масти можно выбрать в ⁴ C ₃ было
Всего карт можно выбрать ( ⁴ C ₃) x (¹³ C ₁) x (¹³ C ₁) x (¹³ C ₁)
. ₁) ³ /⁵² C ₃
= 4 x (13) ³ /⁵² C ₃
Пример 13 : найдите вероятность того, что годовой годовой 52. .
Sol: В високосном году может быть 52 воскресенья или 53 воскресенья. В високосном году 366 дней, из них 52 полных недели и 2 оставшихся дня. Теперь эти два дня могут быть (Сб, Вс) (Вс, Пн) (Пн, Вт) (Вт, Ср) (Ср, Чт) (Чт, Пятница) (Пятница, Сб).
Итак, всего 7 случаев, из которых (Сб, Вс) (Вс, Пн) два благоприятных случая. Итак,  P (53 воскресенья) = 2/7
Теперь P(52 воскресенья) + P(53 воскресенья) = 1
Итак, P (52 воскресенья) = 1 — P(53 воскресенья) = 1 — (2/7 ) = (5/7)
Пример 14: Пятнадцать человек сидят за круглым столом. Каковы шансы против двух конкретных людей, сидящих вместе?
Сол: 15 человек могут разместиться в 14! Пути. Количество способов, которыми два конкретных человека сидят вместе, равно 13! × 2!
Вероятность того, что два человека сидят вместе 13!2! / 14! = 1/7
Шансы против события = 6 : 1
Рекомендуемое действие:
Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас
Пример 15: В трех сумках 3 красных, 7 черных; 8 красных, 2 черных и 4 красных и 6 черных шаров соответственно. Наугад выбирается 1 из мешков и из него вынимается шар. Если вынутый шар красный, найти вероятность того, что он вынут из третьего мешка.
Sol: Пусть события E1, E2, E3 и A определяются следующим образом.
E1 = Выбран первый мешок
E2 = Выбран второй мешок
E3 = Выбран третий мешок
A = Вытащенный шар красный
P(E2) = P(E3) = 1 / 3
Если E1 уже произошло, то выбран первый мешок, содержащий 3 красных и 7 черных шаров. Вероятность вытащить из него 1 красный шар равна 3/10. Итак, P (A/E ₁ ) = 3/10, аналогично P(A/E ₂ ) = 8/10 и P(A/E ₃ ) = 4/10. Требуется найти P(E ₃ /A) т.е. учитывая, что вынутый шар красный, какова вероятность того, что шар вынут из третьего мешка по правилу Байя
Решенные задачи Условная вероятность
← предыдущая
далее →
В задачах с кубиками и монетами, если не указано иное, предполагается, что монеты и кости правильные и повторные испытания независимы.
Задача 9{-\frac{2}{5}}=0,6703$. Я покупаю продукт и использую его в течение двух лет без какие-то проблемы. Какова вероятность того, что он сломается на третий год?
Задача
Вы подбрасываете правильную монету три раза:
Какова вероятность того, что три орла выпадут $HHH$?
Какова вероятность того, что вы увидите ровно один орёл?
Учитывая, что вы наблюдали не менее голов, какова вероятность что вы наблюдаете как минимум две головы?
Задача
Для трех событий $A$, $B$ и $C$ мы знаем, что
$A$ и $C$ независимы,
$B$ и $C$ независимы,
$A$ и $B$ не пересекаются,
$P(A \чашка C)=\frac{2}{3}, P(B \cup C)=\frac{3}{4}, P(A \cup B\cup C)=\frac{ 11}{12}$
Найдите $P(A), P(B)$ и $P(C)$.
Задача
Пусть $C_1, C_2,\cdots,C_M$ — разбиение выборочного пространства $S$, а $A$ и $B$ — два события. Предположим, мы знаем, что
$A$ и $B$ условно независимы при заданном $C_i$ для всех $i \in \{1,2,\cdots,M\}$;
$B$ не зависит от всех $C_i$.
Докажите, что $A$ и $B$ независимы.
Проблема
В моем городе треть дней идет дождь. Учитывая, что идет дождь, будет сильный трафика с вероятностью $\frac{1}{2}$, а учитывая, что не будет дождя, будут сильные трафик с вероятностью $\frac{1}{4}$. Если идет дождь и пробки, я приезжаю опоздание на работу с вероятностью $\frac{1}{2}$. С другой стороны, вероятность быть поздно уменьшается до $\frac{1}{8}$, если не идет дождь и нет интенсивного движения. В другие ситуации (дождь и отсутствие пробок, отсутствие дождей и пробок) вероятность опоздания составляет 0,25$. Вы выбираете случайный день.
Какова вероятность того, что не идет дождь, пробки и я не опоздаю?
Какова вероятность того, что я опоздаю?
Учитывая, что я опоздал на работу, какова вероятность того, что в тот день шел дождь?
Задача
В коробке три монеты: две обычные монеты и одна фальшивая двуглавая монета ($P(H)=1$),
Вы выбираете монету наугад и бросаете ее. Какова вероятность того, что он выпадет хедз-ап?
Вы выбираете монету наугад и подбрасываете ее, и выпадает решка. Какова вероятность того, что это двуглавая монета?
Задача
Вот еще вариант задачи о семье с двумя детьми. задача [1] [7]. В семье двое детей. Мы спрашиваем отца: «У тебя есть хоть одна дочь по имени Лилия?» Он отвечает: «Да!» Какова вероятность того, что оба ребенка девочки? Другими словами, мы хотим найти вероятность того, что оба ребенка девочки, при условии, что в семье есть хотя бы одна дочь по имени Лилия. Здесь можно предположить, что если ребенок — девочка, то ее имя будет Лилия с вероятностью $\alpha \ll 1$ независимо от имен других детей. Если ребенок будет мальчиком, его имя не будет Лилия. Сравните свои результат со второй частью примера 1.18. 92)\frac{1}{4}+ \alpha \frac{1}{4}+ \alpha \frac{1}{4}+0.\frac{1}{4}}$
$= \frac{2-\alpha}{4-\alpha}\приблизительно \frac{1}{2}$. 2$), таким образом, в этом случае условное вероятность $GG$ выше. Мы хотели бы упомянуть здесь, что эти проблемы сбивают с толку и противоречащим здравому смыслу для большинства людей. Так что не расстраивайтесь, если они покажутся вам запутанными. Мы преследуем несколько целей, включая такие проблемы.
Во-первых, мы хотели бы подчеркнуть, что мы не должны слишком полагаться на нашу интуицию при решении вероятностные проблемы. Интуиция полезна, но, в конце концов, мы должны использовать законы вероятности, чтобы решить проблемы. Во-вторых, после получения контринтуитивных результатов вам предлагается глубоко задуматься. о них, чтобы объяснить свое замешательство. Этот мыслительный процесс может быть очень полезен для улучшения нашего понимание вероятности. Наконец, лично я считаю, что эти парадоксально выглядящие проблемы делают вероятность интереснее.
Задача
Если вы еще не запутались, давайте рассмотрим еще одну задачу о семье с двумя детьми! Я знаю, что в семье двое детей. Я вижу одного из детей в торговом центре и замечаю, что это девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки? Снова сравните свой результат со вторым часть примера 1.18. Примечание: договоримся о том, что именно означает постановка задачи. Вот более точное изложение Задача: «В семье двое детей. Выбираем наугад одного из них и узнаем, что это девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки?»
Решение
Здесь снова четыре возможности, $GG=(\textrm{girl, girl}), GB, BG, BB$ и $P(GG)=P(GB)=P(BG)=P(BB)=\frac{1}{ 4}$. Теперь пусть $G_r$ — событие, состоящее в том, что случайно выбранный ребенок — девочка. Тогда у нас есть $$P(G_r|GG)=1,$$ $$P(G_r|GB)=P(G_r|BG)=\frac{1}{2},$$ $$P(G_r|BB)=0.$$ Мы можем использовать правило Байеса, чтобы найти $P(GG|G_r)$:
$P(GG|G_r)$ $=\frac{P(G_r|GG)P(GG)}{P(G_r)}$
$= \frac{P(G_r|GG)P(GG)}{P(G_r|GG)P(GG)+P(G_r|GB)P(GB)+P(G_r|BG)P(BG) +P(G_r|BB)P(BB)}$
$= \frac{1. \frac{1}{4}}{1. \frac{1}{4}+ \frac{1}{2} \frac{1}{4}+ \frac{1}{2} \frac{1}{4}+0.\frac{1} {4}}$
$= \frac{1}{2}$.
Таким образом, ответ снова отличается от ответа во второй части примера 1.18. Это удивительно для большинство людей. Две формулировки задачи выглядят очень похожими, но ответы совершенно разные. Это снова похоже на предыдущую проблему (пожалуйста, прочитайте там объяснение). условное выборочное пространство здесь по-прежнему равно $GG, GB, BG$, но дело в том, что они не равновероятны. как в примере 1.18. Вероятность того, что случайно выбранный ребенок из семьи с двумя девочками – девочка – одна, а для семьи, имеющей только одна девушка $\frac{1}{2}$. Таким образом, интуитивно условная вероятность исхода $GG$ в этом случае больше, чем $GB$ и $BG$, и поэтому эта условная вероятность должна быть крупнее одной трети.
Проблема
Итак, еще одна проблема семьи с двумя детьми. Просто шучу! Эта проблема не имеет ничего общего с две предыдущие проблемы. Я бросаю монету несколько раз. Монета нечестная и $P(H)=p$. В игре заканчивается первый раз, когда наблюдаются две последовательные решки ($HH$) или две последовательные решки ($TT$). я выиграю, если Наблюдается $HH$ и проигрывает, если наблюдается $TT$. Например, если результатом является $HTH\underline{TT}$, я терять. С другой стороны, если результат $THTHT\underline{HH}$, я выиграю. Найдите вероятность того, что я победить.
Решение
← предыдущая
следующая →
Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.
Вероятностные задачи
Что такое вероятность?
Интуитивная вероятность
Вероятностные задачи
Примеры пространств и случайных величин
Важность определения пространства выборки
Вероятности
Пример: покерная рука
Испытания Бернулли
Биномиальное распределение
Опережение на два очка
Пример проверки
Пространства непрерывной выборки
Геометрическая вероятность
Вероятность на дискретных бесконечных множествах
Вероятность совпадения двух целых чисел
Условная вероятность
Теорема Байеса
Байесовские коэффициенты
Коэффициент Байеса: драматический пример такси
Принцип пропорциональности
Условное повторение
Правило преемственности Лапласа
Зависимые и независимые события
Условная вероятность и независимые события
Взаимно (совместно) независимые события
Независимые события и независимые эксперименты
Алгебра случайных величин
Ожидание
Вход в теннисный клуб
Среднее количество запусков
Количество попыток до первого успеха
Вероятностные производящие функции
Кости Зихермана
Вероятность того, что два целых числа взаимно просты
Случайные блуждания
Вероятностный метод
Вероятностные парадоксы
Парадокс Бертрана
Дилемма Монти Холла
Паррондо Парадокс
Принцип симметрии в вероятности
Ошибка Даламбера
Случайные точки на сегменте
В ожидании туза
Нетранзитивные кубики
В таком сумасшедшем мире, как этот, должно быть легко найти то, что происходит исключительно случайно. Это не так.
Кевин Маккин
Упорядоченное преследование чистого беспорядка.
Откройте для себя, январь 1981 г.
Словарь американского наследия определяет теорию вероятностей как раздел математики, изучающий вероятность возникновения случайных событий с целью предсказания поведения определенных систем. (Конечно, What Is Random? — это вопрос, на который не так-то просто ответить.)
Исходя из этого определения, было бы (вероятно 🙂 правильно заключить, что теория вероятностей, будучи разделом математики, является точной дедуктивной наукой, изучающей неопределенные величины, связанные со случайными событиями. Это может показаться странным сочетанием математической определенности и неопределенности случайности. Однако, если подумать, большинство людей согласится с тем, что новозачатый ребенок имеет 50 на 50 шансов (точная, но, скорее всего, неточная оценка) быть, например, девочкой или мальчиком, если уж на то пошло.
Интересно, что недавняя книга Мэрилин вос Савант, посвященная восприятию людьми вероятности и статистики, называется Сила логического мышления . Мои первые задачи будут взяты из этой книги.
Как и в случае с другими математическими задачами, часто бывает полезно поэкспериментировать с задачей, чтобы понять, каким может быть правильный ответ. По необходимости вероятностные эксперименты требуют компьютерного моделирования случайных событий. Это должно звучать как оксюморон — компьютер (т. е. детерминированное устройство), производящий случайные события — в нашем случае, если быть точным, числа. Посмотрим, сможете ли вы убедить себя в том, что ваш компьютер может достоверно справиться и с этой задачей. Знающий читатель, вероятно, заметил бы, что это программа (пусть и детерминированная), а не компьютер, выполняющий моделирование случайных чисел. Вот так. Это я, а не ваш компьютер виноват, если симуляция ниже точно не производит случайные числа.
Когда вы нажмете кнопку «Старт» ниже, программа начнет случайный выбор. Каждую секунду он будет подбирать одно из трех чисел — 1, 2 или 3. Вы можете остановить процесс в любой момент, нажав кнопку «Стоп». Частоты выбора появляются в соответствующих полях ввода. Они выглядят случайными?
Замечание
На самом деле процесс выбора вообще не включает выбора. Как сказал математик Роберт Ковейу из Окриджской национальной лаборатории: Генерация случайных чисел слишком важна, чтобы оставлять ее на волю случая. Вместо этого у меня есть функция, которая вызывается каждую секунду. Каждый раз, когда он вызывается, он выдает одно из трех чисел 1, 2, 3. Вот как работает функция.
Я начинаю с целого числа seed = 0. Когда требуется новое случайное число, seed заменяется результатом следующей операции
семян = (7621 × семян + 1) по модулю 9999
Другими словами, чтобы получить новое значение seed, умножьте старое значение на 7621, прибавьте 1 и, наконец, возьмите результат по модулю 9. 999. Теперь предположим, как в примере выше, нам нужен случайный выбор из тройки 1, 2, 3. То есть мы ищем случайное целое число n, удовлетворяющее 1 ≤ n ≤ 3. Формула
n = [3 × семян /9999] + 1.
Пошаговое деление начального числа на 9999 дает неотрицательное действительное число от 0 до 1. Это умножение на 3 дает действительное число от 0 до 3. Скобки уменьшают последнее до ближайшего целого числа, которое не больше самого числа . Результатом является неотрицательное целое число, меньшее 3. Добавление 1 делает его одним из трех 1, 2 или 3.
См. Получисловые алгоритмы от Дональда Кнута для более подробной информации.
Проблемы
100 Заключенные и лампочка
Сюрприз с подбрасыванием монеты I
Честная азартная игра
Пара вероятностных игр для начинающих
Задача 25 из Mathcounts Spring 2018
Задача 8 из Mathcounts Spring 2018
Проблема трех лжецов
Проблема двух лжецов
Игровое доказательство суммы сходящегося ряда
Вопрос о медиане
Поиск голов и его последствия — После Миллера и Санхурджо
Разделение на три группы
Треугольник из трех сломанных палочек
Работа в команде I
Выживание амебы
Большинство треугольников тупые?
Получение остроугольного треугольника
Восемь вариантов в шести секторах [Java]
Искусственно неразумный
Кандидат в теннисный клуб
Среднее количество запусков
Среднее количество запусков в последовательности случайных чисел
Средняя видимость кинозрителей
Усреднение капель дождя — упражнение в геометрической вероятности
Усреднение членов в возрастающей последовательности
Шарики двух цветов
Шары двух цветов II
Барицентрические координаты и геометрическая вероятность
Палка, разбитая на три части (трехлинейные координаты) [Java]
Палка, разбитая на три части (декартовы координаты) [Java]
Проблема медвежат
Медведь, рожденный во вторник
Закон Бенфорда и закон Ципфа
Парадокс Бертрана [Java]
Птицы на проводе [Java]
Совпадение дня рождения
Черные ящики в цепочке
Диапазон указателей книг
Пузырьки своего рода
Проблема с иглой Бюффона
Лапша Буффона [Java]
Небрежный почтальон
Мат-головоломка
Шахматисты Труэль [Java]
Проблема Шевалье де Мере
Цыплята в коробках
Два цыпленка в коробках
Две курицы в больших коробках 9{\ circ} $
Переход через реку после шторма
Пересечение моста в толпе
Определители в $\mathbb{Z}_2$
Исчезающие надежды
Угасающие надежды II
Раздача мячей двух цветов по двум мешкам
Добавление чисел в квадрат 3×3
Ожидание длины интервала на круге
Ожидание пар
Ожидание наибольшего числа
Ожидаемое количество счастливых пассажиров
Честная дуэль
Размер семейства [JavaScript]
Семейная статистика [Java]
Плоские вероятности на сфере
Четыре буквы
Четыре случайные точки на сфере
Парадокс Гальтона
Азартные игры в компании
Опережение на два очка
Как добраться из точки А в точку В через С
Учитывая вероятность, найти выборочное пространство
Игра Гладиатор
Угадывание номеров шляп
Покрытие полусферы
Как долго это продлится?
Как задать неловкий вопрос
Восхваление шансов
Заболеваемость раком молочной железы
Целочисленный прямоугольник [Java]
Целочисленная последовательность с заданными статистическими параметрами
Количество попыток до первого успеха
Задача о подушке Льюиса Кэрролла [JavaScript]
Продолжение проблемы с подушкой Льюиса Кэрролла
Огни на рождественской елке
Загруженные игральные кости
Загруженные игральные кости II
Потеря носков в течение года
Потерянный посадочный талон
Счастливые победители конкурса
Счастливые времена на Московской олимпиаде по математике
Маркировка и ломание палочек [JavaScript]
Подходящие носки [JavaScript]
Математика и биология [Java]
Метаморфозы квадратичной функции
Подходящие носки в темной комнате
Неправильное использование и неправильное понимание статистики
Дилемма Монти Холла
Моделирование дилеммы Монти Холла [Java]
Проблема Монти Холла Redux
Кому нужен Монти? [Ява]
Количество кратно 3 из коробки
Количество проволочных петель
Пронумерованные шары из коробки
Цифры в квадрате
Коэффициенты и шансы в ставках на скачки
Перекрывающиеся случайные интервалы
Парадокс Паррондо [Java]
Шутка Полинга
Логотип карандаша
Посадка деревьев в ряд
Игра с шариками двух цветов
Игра с целыми числами и ограничениями
Точки в полуокружности
Точки на квадратной сетке
Практическая неизбежность кластеризации 9n$ Начиная с цифры $1$
Вероятность равенства площадей на шахматной доске
Вероятность появления первых цифр в последовательности степеней
Вероятность того, что четыре случайных целых числа имеют общий делитель
Вероятность того, что куб оканчивается на 11
Вероятность встречи в турнире на выбывание
Вероятность случайного неравенства
Вероятность среднего
Вероятность вырождения случайной матрицы в Z(2)
Вероятность делимости
Вероятность удвоения
Вероятность равностороннего треугольника
Вероятность первой цифры в продукте
Вероятность наличия 5 в числителе
Вероятность мажорирования II
Вероятность того, что два целых числа взаимно просты
Вероятность посещения бабушки и дедушки
Вероятность с факториалами
Вероятность увеличения последовательности
Вероятность отсутствия различных положительных корней
Вероятность отсутствия двусторонних прогонов
Вероятность пересечения случайных линий
Вероятность последовательных целых чисел
Вероятность второго шарика
Вероятность совпадения двух целых чисел [JavaScript]
Частные оценки
Частные оценки II
Случайные арифметические прогрессии
Случайные стрелки часов [Java]
Случайные интервалы с одной доминантой
Случайные числа и тупоугольный треугольник
Случайные точки на сегменте
Случайная сумма
Случайно расположенные письма в конвертах
Вспоминая забытую цифру
Прямоугольник на шахматной доске [Java]
Красные и зеленые шары в красных и зеленых коробках
Красные грани куба
Правильная стратегия для более слабого игрока
Бросание игральной кости
Прокатная дефектная матрица
Полукруглое покрытие
Короткие пробежки из урны
Больной ребенок и врач
Парадокс Симпсона
Перестановки змей и их количество
Примеры вероятностных задач от AMC
Полка для энциклопедии
Вероятность перетасовки
Моделирование вероятностей
Шесть чисел, одно неравенство
Шесть чисел, два неравенства
Шесть чисел, три неравенства
Рискуйте с вашим лекарством
По очереди бросают кубик
Конкурс ARML 2016, Задача 7
Игра «Кофейня»
Ожидаемое количество фиксированных точек
Брачная проблема
Наиболее вероятная позиция
Задача с тремя блинами [JavaScript]
Три случайные точки на окружности
Ставить или не делать ставку
Обучение велосипедистов на горной дороге
Две шестерки подряд
Два мяча одного цвета
Две монеты: одна честная, одна предвзятая
Два мяча из четырех
Повторение двух кубиков
Парадокс двух конвертов
Встреча двух друзей
Два в ряд
Два решения: одно правильное, одно просветляющее. Пример
Две университетские дивизии
Завязывание узлов в Бразилии
Ожидание большего числа
В ожидании поезда
Ожидание всех шести результатов
В ожидании туза
Ожидание нескольких головок
Ожидание превышения 1
Случайный ход — как далеко?
Задача с игральными костями [JavaScript]
Какого цвета оставшийся шар? [JavaScript]
|Контакты| |Главная страница| |Содержание| |Вероятность|
Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный
Классические задачи теории вероятностей
Опубликовано 25 декабря 2017 г. Дэн Ма
В этом посте освещаются некоторые основные вероятностные задачи, которые довольно легко решить, используя концепцию цепей Маркова. Некоторые из этих задач легко сформулировать, но они могут требовать значительных вычислений (если не использовать цепи Маркова). Но решения, использующие цепи Маркова, включают возведение матрицы в степень или нахождение обратной матрицы. Концепция цепей Маркова является хорошей основой для организации этих проблем. Интересно, что некоторые из этих задач являются классическими вероятностными задачами (подбрасывание монет, бросание игральных костей, задача о занятости, задача о сборщике купонов).
Проблемы, перечисленные здесь, предназначены для освещения обсуждения стохастических процессов в соответствующем блоге (ссылки даны ниже в соответствующих местах).
Задача 1
Честная монета подбрасывается несколько раз, пока не выпадет 4 последовательных орла. Определить среднее количество требуемых бросков.
Задача 2
Честная монета подбрасывается несколько раз, пока не выпадет 4 последовательных орла.
Найдите вероятность того, что потребуется не более 9переворачивается, чтобы получить серию из 4 последовательных орлов.
Найдите вероятность того, что ровно за 9 подбрасываний выпадет 4 последовательных орла.
Задача 3
Игральная кость бросается до тех пор, пока каждая грань не выпадет хотя бы один раз. Каково ожидаемое количество бросков для достижения этой цели?
Задача 4
Шары бросают в 6 ячеек (по одному за раз), пока все 6 ячеек не будут заняты. В среднем, сколько шаров нужно бросить, чтобы все 6 клеток были заняты?
Задача 5
В 6 клеток бросают шары (по одному). Какова вероятность того, что после броска 8 шаров в 6 клеток ровно одна из 6 клеток будет занята где ?
Задача 6
Лабиринт разделен на 9 областей, как показано ниже.
Область 1 = начальное положение мыши
Изначально мышь помещается в область 1. Предположим, что в областях 3, 7 и 9 есть еда, а в других областях лабиринта еды нет. Далее предположим, что мышь перемещается по областям лабиринта случайным образом. То есть всякий раз, когда мышь находится в области, из которой есть выходы, следующий ход будет в одну из этих областей с вероятностью .
Найдите вероятность того, что после 5 ходов мышь окажется на расстоянии одного участка от источника пищи.
Найдите вероятность того, что после 7-го хода мышь не нашла еды и после 7-го хода окажется в области 6 или 8.
Найдите вероятность того, что мышь найдет пищу не более чем за 8 ходов.
Найдите вероятность того, что мышь найдет еду ровно за 8 ходов.
Задача 7
Рассмотрим лабиринт, описанный в задаче 6. Предполагая, что мышь изначально находится в зоне 1, каково ожидаемое количество ходов, чтобы мышь нашла пищу?
Задача 8
Рассмотрим лабиринт, описанный в задаче 6. Если предположить, что мышь изначально находится в зоне 1, какова вероятность того, что первой областью еды, которую мышь достигнет, будет зона 9?
Обсуждение
Задача 1 и задача 2 имеют естественную интерпретацию как цепь Маркова. В этом случае цепочка состоит из 5 состояний – 0, H, HH, HHH, HHHH. При неоднократном подбрасывании монеты цепочка проходит через эти 5 состояний. Одной из характеристик цепи Маркова является то, что вероятность перехода из одного состояния в другое зависит от текущего состояния (последнего посещенного состояния), но не от состояний, предшествующих текущему состоянию, т. е. она запоминает только последнее состояние, а не состояния. перед последним состоянием.
Перед любым подбрасыванием состояние равно 0. Предположим, что первым подбрасывается голова. Второй бросок может быть «Голова» (тогда цепь Маркова переходит в состояние HH) или «Хвост» (затем цепь переходит в состояние 0). Предположим, что второй бросок оказался Решкой. Тогда следующим броском может быть «Голова» (цепочка переходит в состояние H) или «Решка» (цепочка продолжает оставаться в состоянии 0). Хорошей структурой является описание таких движений в матрице, называемой матрицей вероятности перехода.
Чтобы ответить на Задание 2, просто возведите эту матрицу в 9-ю степень (см. здесь). Проблема 1 более сложная (см. Пример 2 в этом посте).
Перечисленные проблемы основаны на обсуждении в трех разных постах. Вот ссылки.
Проблема Ссылка
1 См. Пример 2 по этой ссылке
2 См. пример 2 по этой ссылке
3 См. Пример 3 по этой ссылке
4 Задача 4 идентична задаче 3. Постановка задачи 4 — проблема занятости. Ее также можно решить как задачу о сборщике купонов.
5 Проблема 5 — это проблема занятости, обсуждаемая по этой ссылке
6 См. пример 3 по этой ссылке
7 Следуйте методу, описанному в этой ссылке
8 Следуйте методу, описанному в этой ссылке
Еще одно преимущество использования цепей Маркова для решения этих задач заключается в том, что метод довольно легко масштабируется. Например, для задачи занятости (задачи 3, 4 и 5), если количество ячеек больше 6, достаточно просто и естественно масштабировать матрицу переходных вероятностей, чтобы включить дополнительные состояния. Затем действуйте тем же методом.
Сначала нужно научиться. Но как только концепция цепей Маркова будет понята, описанные здесь проблемы вероятности или другие подобные проблемы могут быть решены довольно легко и рутинно. Основное обсуждение цепей Маркова см. в первых сообщениях этого сопутствующего блога.
Dan Ma вероятность
Daniel Ma вероятность
Dan Ma Математика
Daniel Ma математика
2017 – Дэн Ма
Рубрика: Классические задачи теории вероятностей, Вероятность | Tagged Задача о сборщике купонов, Цепи Маркова, Проблема занятости, Вероятность | Оставьте ответ
Опубликовано 4 июня 2017 г. Дэн Ма
Предыдущий пост посвящен задаче Монти Холла. Этот пост дополняет дискуссию, рассматривая три статьи из New York Times. Всем, кто не знаком с проблемой, следует прочитать предыдущий пост или другие интернет-ресурсы по проблеме.
Первая часть описывает визит Джона Тирни в дом Монти Холла, который был ведущим игрового шоу «Давайте заключим сделку», шоу, на котором была основана «Задача Монти Холла». Визит состоялся в Беверли-Хиллз еще в 1991, через год после бури, вызванной публикацией «Проблемы Монти Холла» Мэрилин вос Савант в журнале Parade Magazine. Цель визита — получить дополнительное подтверждение правильности контринтуитивного ответа (переключение двери) и получить больше информации об игре от самого Монти Холла.
Прежде чем обсуждать визит, вот постановка задачи Монти Холла. Предыдущий пост фактически использует пять картинок для описания проблемы.
«Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и вам предоставляется выбор из трех дверей: за одной дверью находится машина; позади других, козлов. Вы выбираете дверь, скажем № 1, и хозяин, который знает, что находится за другими дверями, открывает другую дверь, скажем, № 3, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Выгодно ли вам воспользоваться выключателем?»
Перед Тирни Монти Холл провел симуляцию в своей столовой. Монти Холл поставил на стол три миниатюрные картонные двери и изобразил машину с ключом зажигания. Козлов разыгрывали пакетом изюма и булочкой Life Savers. Монти Холл провел 10 раундов игры, пока участник (Джон Тирни) пробовал стратегию без переключения. В результате участник выиграл четыре машины и шесть коз.
Затем в следующих 10 раундах участник пытался поменять дверь. Результат был заметно другим – участник выиграл восемь автомобилей и двух козлов. Моделирование дает четкое представление о том, что выгоднее поменять дверь.
Стандартное решение: при стратегии переключения дверей участник выигрывает автомобиль в 2/3 случаев. С другой стороны, участник выигрывает машину только в 1/3 случаев, если он / она придерживается исходного выбора.
Получается, что оптимальное решение переключения дверей должно идти с оговоркой, которая приведена в предыдущем посте. Предостережение заключается в том, что стратегия переключения дверей работает только в том случае, если ходы в игре определяются случайным образом — участник выбирает дверь наугад, затем ведущий выбирает дверь наугад (если выбор участника оказывается выигрышной дверью). ). После того, как выбор будет сделан случайным образом, хост должен будет предложить возможность переключения. Когда все эти условия соблюдены, стратегия переключения дверей будет оптимальной.
Описание в предыдущем абзаце работает как компьютерная программа, в которой четко прописаны все правила. Здесь нет никакого психологического фактора. Но Монти Холл не управлял своим шоу как компьютерная программа. Иногда он делал вещи, которые должны были обмануть участников.
Месяц Холл не всегда следовал стандартным предположениям. Согласно материалу NY Times, иногда Монти Холл просто открывал оригинальный медиатор участника (если это козел). Таким образом, не нужно было ковырять дверь, демонстрирующую козлиный распорядок. Иногда он обманом заставлял участника поменять дверь (если исходная дверь участника — машина), и в этом случае стратегия переключения имела нулевой шанс на победу.
Итак, в реальной игре Монти Холла нужно учитывать психологический фактор. Ведущий может попытаться заставить вас сделать неверный ход.
На самом деле в приведенной выше постановке задачи (та же формулировка, что и в колонке Мэрилин вос Савант) есть своего рода лазейка. В нем прямо не указано, что хозяин всегда открывает дверь с помощью козла, а затем предлагает переключатель. Монти Холл сказал: «Если хозяин все время должен открывать дверь и предлагать вам переключатель, тогда вы должны воспользоваться этим переключателем». Кроме того, он сказал: «Но если у него есть выбор, разрешить переход или нет, будьте осторожны. Пусть покупатель будет бдителен. Все зависит от его настроения». Вот его совет: «Если вы можете уговорить меня предложить вам 5000 долларов за то, чтобы вы не открывали дверь, возьмите деньги и идите домой».
Таким образом, фактический способ игры может сделать «академическое» решение проблемы Монти Холла бесполезным или бессмысленным. В любом случае, всякий раз, когда дается стандартное решение проблемы Монти Холла, следует также сделать оговорку. В самом деле, если игра ведется по случайному принципу и если участник всегда меняет дверь, то компания, проводящая игру, потеряет слишком много машин! По финансовым причинам они не могут работать как часы.
Вторая статья из NY Times посвящена когнитивному диссонансу, с которым столкнулись некоторые люди из-за проблемы с Монти Холлом.
Третья часть представляет собой недавнее обсуждение и касается вариаций стандартной задачи Монти Холла. В этой части рассматриваются изменения базовой игры двумя способами. Вопрос: снижает ли каждый способ настройки вероятность потери машины хозяином? Или какова вероятность того, что хозяин потеряет машину? Вот две поправки.
Первая проблема: предположим, что игровое шоу Монти Холла теряет деньги, и они хотят настроить игру, чтобы не терять машину так часто. Они объявляют публике, что как только вы выберете дверь, ведущий подбросит честную монету, чтобы решить, какая из других дверей будет открыта. Если машина находится за дверью, которую они откроют, вы проиграете. Если они открывают не за дверью, вы можете выбрать, придерживаться ли своей двери или переключиться на другую закрытую дверь. Что вы будете делать, если это произойдет? А теперь, заходя в игру, предполагая, что участник ведет себя оптимально, какова вероятность того, что игровое шоу потеряет машину?
Второй вызов: теперь предположим, что игровое шоу становится еще более жадным и тайно подстраивает игру еще больше. Но новости об их настройке просочились, и участники узнают, что ведущий на самом деле использует взвешенную монету, когда они определяют, какая другая дверь будет открыта, и монета взвешена так, что дверь с автомобилем за ней будет открыта. хостом с вероятностью ¾. (Когда машина находится за дверью, которую вы изначально выбрали, ведущий использует честную монету, чтобы определить, какую из других дверей нужно открыть. ) Теперь, если за дверью, которую они открывают, нет автомобиля, следует ли придерживаться с вашим первоначальным выбором или вы должны переключиться? И, если предположить, что участник ведет себя оптимально, удалось ли гнусному игровому шоу снизить вероятность того, что он потеряет машину?
В каждой настройке задача предполагает оптимальное поведение участника в игре. Я полагаю, это означает, что участник всегда переключает дверь, если это возможно. Еще более интересным упражнением было бы вычисление вероятности для сценария переключения и сценария прилипания.
_____________________________________________________________________________
2017 – Дэн Ма
Опубликовано в Классические задачи теории вероятностей | Метки: Классические задачи вероятности, Задача Монти Холла, Вероятность, Вероятность и статистика | 1 Ответить
Опубликовано 11 мая 2017 г. Дэн Ма
В посте обсуждается задача Монти Холла, головоломка и классическая задача на вероятность. Следующие 5 рисунков описывают проблему. Представлено несколько простых решений.
____________________________________________________________________________
Проблема в картинках
Рисунок 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
___________________________________________________________________________
Should You Switch?
Если предположить, что вы, участник шоу, хотите выиграть машину, а не козу, какую дверь выбрать? Должны ли вы придерживаться своего первоначального выбора Двери 1 или вам следует переключиться на Двери 2? Понятно, что если бы ведущий игрового шоу не вмешался, открыв другую дверь, ваш шанс выиграть автомобиль был бы 1/3. Теперь, когда одна дверь была удалена, вы столкнулись с двумя дверями, одна из которых была выбрана вами, а другая — дверью. Будет ли выбор одной двери из двух означать, что ваши шансы выиграть машину теперь равны 1/2? Если бы это было так, это означало бы, что не имеет значения, поменяете ли вы свой выбор или нет. Таким же образом рассуждало достаточное количество людей, что эта проблема вызвала огромные споры еще в 19 веке.90, когда проблема была поставлена в журнале Parade. Подробнее об этом позже. А пока сосредоточимся на решении.
В ваших интересах изменить свой выбор. При переключении вероятность выиграть автомобиль составляет 2/3, а вероятность выигрыша составляет 1/3, если вы придерживаетесь первоначального выбора. Остальная часть поста пытается убедить сомневающихся в том, что это правильно.
____________________________________________________________________________
Проблема, которую необходимо решить
Задача, описанная на 5 картинках выше, основана на предположении, что участник выбирает Дверь 1, а ведущий выбирает Дверь 3. Задача на картинках заключается в определении условной вероятности выигрыша путем переключения при условии, что участник выбирает Дверь 1, а ведущий выбирает Дверь 3. Мы решаем немного другую задачу: какова вероятность выиграть автомобиль, если участник использует стратегию «переключателя», то есть стратегию выбора альтернативной двери, предложенную ведущим игрового шоу. В конце также обсуждается первая проблема.
Игра включает в себя выбор дверей участником и ведущим, а также персоналом, который ставит призы за тремя дверями. Важно отметить, что способ, которым двери выбраны, важен. В основном двери должны быть выбраны наугад. Например, персонал игрового шоу случайным образом выбирает дверь с автомобилем, участник случайным образом выбирает свою дверь, а ведущий игрового шоу выбирает случайным образом свою дверь (в случае, если дверь с автомобилем и двери участника такие же). Исходя из этих предположений, наилучшей стратегией является переключение. Если двери выбраны не случайным образом, стратегия «переключателя» не может быть решением.
____________________________________________________________________________
Моделирование
Эффективный способ продемонстрировать, что смена двери является оптимальным решением, — это повторять игру. Давайте воспользуемся кубиком, чтобы смоделировать 20 игр. Моделирование выполняется в 4 этапа. На шагах 1 и 2 бросьте правильный кубик, чтобы выбрать дверь случайным образом. Если выпадает 1 или 2, то это считается Дверь 1. Если выпадает 3 или 4, то Дверь 2. Если выпадает 5 или 6, то Дверь 3. На Шаге 3 ведущий также бросает кубик, чтобы выберите дверь, если дверь с автомобилем совпадает с выбором участника.
На шаге 1 броском кубика определяется приз (т. е. за какой дверью стоит машина). На шаге 2 броском кубика определяется выбор двери участником. На шаге 3 ведущий выбирает дверь на основе шагов 1 и 2. Если дверь с автомобилем и дверь, выбранная участником, разные, у ведущего есть только один выбор. Если дверь с машиной и дверь участника совпадают, то ведущий бросает кубик, чтобы выбрать дверь. Например, если Дверь 1 — это дверь с автомобилем и дверь, выбранная участником, то ведущий выбирает Дверь 2 и Дверь 3 с равной вероятностью (например, если на кубике выпало 1, 2 или 3, выберите Дверь). 2, иначе выберите Дверь 3).
Шаг 1. Моделирование дверей с помощью автомобиля
Игра Дверь с кабиной
#1 1
#2 3
#3 3
#4 2
#5 2
#6 1
#7 1
#8 2
#9 1
#10 1
#11 2
#12 3
#13 1
#14 2
#15 2
#16 2
#17 3
#18 3
#19 1
#20 1
Шаг 2. Моделирование дверей, выбранных участником
Игра Дверь с кабиной Выбор участника
#1 1 2
#2 3 1
#3 3 1
#4 2 3
#5 2 3
#6 1 2
#7 1 1
#8 2 3
#9 1 1
#10 1 2
#11 2 2
#12 3 2
#13 1 1
#14 2 2
#15 2 1
#16 2 2
#17 3 2
#18 3 3
#19 1 2
#20 1 3
Шаг 3. Моделирование дверей, выбранных хостом
Игра Дверь с кабиной Выбор участника Выбор хозяев
#1 1 2 3
#2 3 1 2
#3 3 1 2
#4 2 3 1
#5 2 3 1
#6 1 2 3
#7 1 1 2
#8 2 3 1
#9 1 1 3
#10 1 2 3
#11 2 2 1
#12 3 2 1
#13 1 1 3
#14 2 2 3
#15 2 1 3
#16 2 2 3
#17 3 2 1
#18 3 3 2
#19 1 2 3
#20 1 3 2
Этап 4. Участник делает переключение
Игра Дверь с кабиной Выбор участника Выбор хозяев Дверь с переключателем Автомобиль /Коза
#1 1 2 3 1 Автомобиль
#2 3 1 2 3 Автомобиль
#3 3 1 2 3 Автомобиль
#4 2 3 1 2 Автомобиль
#5 2 3 1 2 Автомобиль
#6 1 2 3 1 Автомобиль
#7 1 1 2 3 Коза
#8 2 3 1 2 Автомобиль
#9 1 1 3 2 Коза
#10 1 2 3 1 Автомобиль
#11 2 2 1 3 Коза
#12 3 2 1 3 Автомобиль
#13 1 1 3 2 Коза
#14 2 2 3 1 Коза
#15 2 1 3 2 Автомобиль
#16 2 2 3 1 Коза
#17 3 2 1 3 Автомобиль
#18 3 3 2 1 Коза
#19 1 2 3 1 Автомобиль
#20 1 3 2 1 Автомобиль
На этапе 4 участвуют 13 автомобилей. В 20 смоделированных играх участник выигрывает 13 раз, используя стратегию переключения, что значительно превышает 50% шансов на победу. Конечно, если провести другую симуляцию, результаты будут другими. Мы выполняем еще 10 симуляций в Excel с 10 000 игр в каждой симуляции. Количество выигрышей в этих симуляциях:
10 Еще Моделирование
Моделирование Количество игр Количество выигрышных игр
#1 10 000 6 644
#2 10 000 6 714
#3 10 000 6 549
#4 10 000 6 692
#5 10 000 6 665
#6 10 000 6 687
#7 10 000 6 733
#8 10 000 6 738
#9 10 000 6 625
#10 10 000 6 735
Всего 100 000 66 782
В каждой из 10 симуляций шанс выиграть автомобиль составляет от 66% до 67% (путем переключения). Во всех 100 000 смоделированных играх шанс выиграть машину, поменяв дверь, составляет 66,782%. Все больше и больше симуляций, показывающих по существу одни и те же результаты, должны вселить в нас уверенность в том, что стратегия «переключения» увеличивает шансы на победу и что вероятность победы составляет около 2/3.
Если кто-то все еще думает, что переключение не имеет значения, проведите собственное моделирование. Это можно сделать, бросив кубик, как здесь, или используя случайные числа, сгенерированные компьютером. На самом деле, компьютерное моделирование может произвести десятки тысяч или более проигрываний. Но любой, кто не доверяет компьютерному моделированию, может просто сгенерировать 100 игр, бросив кубик. Симуляции, когда они выполняются в соответствии с предположениями, лежащими в основе игры (предположения о том, что двери выбираются случайным образом), не лгут. На самом деле, многие скептики проблемы Монти Холла убедились в моделировании.
____________________________________________________________________________
Список всех случаев
Обратите внимание, что на шаге 4 симуляции понятен один шаблон переключения на дверь, предложенную хостом. Участник выиграет козу, если его первоначальный выбор двери окажется таким же, как и дверь с машиной. С другой стороны, участник выиграет автомобиль, если его первоначальный выбор отличается от двери-победителя. Наблюдение на самом деле является еще одним объяснением решения.
Допустим, участник изначально выбирает Дверь 1. Необходимо рассмотреть три случая, поскольку выигрышной дверью может быть любая из трех дверей. Давайте посмотрим, что произойдет, если участник поменяет дверь в каждом случае.
Три ящика для выигрышной двери
Дверь 1 — выбор участника
Участник выигрывает 2 из трех ящиков, меняя двери. Участник побеждает только в одном из случаев, если он / она придерживается первоначального выбора двери. Все три случая равновероятны, поскольку предполагается, что выигрышная дверь выбирается случайным образом. Так в стратегии «переключатель» вероятность выиграть машину равна 2/3.
____________________________________________________________________________
Рассмотрение двух диаграмм
Решение из предыдущего раздела является простым, но правильным решением. Для тех, кто считает решение слишком простым, следующие две диаграммы могут дополнить рассуждения в приведенном выше простом решении.
Рисунок 6
На рисунке 6 предположим, что участник выбирает Дверь 1, что соответствует 1/3 шанса выиграть автомобиль. Тогда две другие двери как группа имеют 2/3 шанса выиграть машину.
Рисунок 7
На рисунке 7 ведущий игрового шоу открывает дверь козой (дверь 3). Две двери Дверь 2 и Дверь 3 как группа по-прежнему имеют шанс 2/3 выиграть машину. Поскольку Дверь 3 устранена хостом, у Дверь 3 теперь нет шансов выиграть машину. Таким образом, у двери 2 есть вероятность 2/3 выиграть машину. Тогда участнику выгодно поменять дверь.
___________________________________________________________________________
Древовидная диаграмма
Другой способ просмотра проблемы — через древовидную диаграмму. Идея состоит в том, что такая древовидная диаграмма отражает идею о том, что игровое шоу происходит поэтапно, например. автомобиль случайным образом размещается за одной дверью, участник случайным образом выбирает одну дверь, ведущий выбирает дверь (случайно, если требуется). На следующей диаграмме показан весь случайный процесс. Рис. 8 любой заданный узел. Конечно, если есть только один выбор двери, то вероятность в этой точке равна 1. В дереве 12 путей, и вероятность каждого пути является произведением всех отдельных вероятностей этого пути. В правой части диаграммы мы сравниваем стратегию пребывания и стратегию переключения. Со стратегией пребывания участник побеждает в 6 путях. При использовании стратегии переключения участник побеждает в остальных 6 путях. Но вероятность 6 путей со стратегией переключения в два раза выше.
____________________________________________________________________________
Проблема, описанная на картинках
Несколько решений пока решают общую проблему: если участник выбирает дверь, предложенную ведущим игрового шоу, какова вероятность выиграть автомобиль? На рисунках проблема такова: если участник выбирает Дверь 1, а ведущий выбирает Дверь 3, какова вероятность победы участника при стратегии переключения? Это условная вероятность. На рис. 8 есть все ингредиенты для ответа на эту проблему. На Рисунке 8 есть два пути, в которых участник выбирает Дверь 1, а ведущий выбирает Дверь 3. На следующей диаграмме эти два пути отмечены флажком.
Рисунок 9
Для одного из этих двух путей автомобиль находится за дверью 1, а для другого пути — за дверью 2. Путь с автомобилем за дверью 2 в два раза более вероятен, чем один с машиной за дверью 1. При стратегии переключения путь с машиной за дверью 1 приведет к козе (проигрышный путь), а путь с машиной за дверью 2 приведет к машине (выигрышный путь). Выигрышный путь в два раза более вероятен. Таким образом, вероятность выигрыша для стратегии переключения составляет 2/3, если участник выбирает Дверь 1, а ведущий выбирает Дверь 3. Теперь этот ответ совпадает с ответом для общей проблемы, обсуждавшейся ранее. Однако условная задача — это другая задача.
____________________________________________________________________________
Примечания
Задача Монти Холла в общих чертах основана на реальном игровом шоу под названием «Давай заключим сделку». В какой-то момент это была не только головоломка, но и академическая проблема (обсуждаемая в статистических журналах). В 1990 году он появился в колонке Мэрилин вос Савант в журнале Parade. В этой колонке вос Савант использовал простое решение для трех случаев, приведенное выше, чтобы объяснить, что участнику следует переключиться. Проблема вызвала так много откликов разгневанных читателей, у некоторых из них были доктора наук по математике или статистике. Из-за возникших разногласий проблема Монти Холла стала известной во всем мире. Он рассматривается во многих стандартных книгах и курсах по вероятности и статистике. В конце концов некоторые из этих разгневанных читателей поняли, что правильный ответ — стратегия переключения. На самом деле Пол Эрдёш, известный и плодовитый математик 20-го века, не верил, что переключение — это правильный ответ. Он не был убежден, пока кто-то не показал ему компьютерную симуляцию (см. здесь).
Некоторые психологи утверждают, что проблема Монти Холла вызывает когнитивный диссонанс. В результате проблема сбивает с толку и даже беспокоит некоторых людей. См. эту статью для обсуждения.
Проблема Монти Холла в Интернете. Статья в Википедии о проблеме Монти Холла содержит более подробную информацию по математике и во многих других аспектах. Эта статья из Scientific American тоже интересна.
___________________________________________________________________________
2017 — Дэн Ма
Опубликовано в Классические задачи теории вероятностей | Tagged Задача Монти Холла, Вероятность, Вероятность и статистика | 7 Ответы
Опубликовано 8 апреля 2017 г. Дэн Ма
В этом посте обсуждается проблема разорения игрока. Начнем с простой иллюстрации.
Два игрока, A и B, делают ставки на подбрасывание честной монеты. В начале игры у игрока А 1 монета, а у игрока Б 3 монеты. Значит, между ними 4 монеты. В каждом розыгрыше игры подбрасывается честная монета. Если в результате подбрасывания монеты выпал орел, игрок А забирает 1 монету у игрока Б. Если в результате подбрасывания монеты выпала решка, игрок А платит игроку Б 1 монету. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не соберутся все монеты (или один из игроков не потеряет все свои монеты). Какова вероятность того, что игрок А окажется со всеми монетами?
Интуитивно можно предположить, что игрок Б с большей вероятностью выиграет все монеты, поскольку В начинает игру с большим количеством монет. Например, у игрока А в этом примере есть только 1 монета для начала. Таким образом, есть 50% шанс, что он/она потеряет все при первом броске. С другой стороны, у игрока Б есть резерв, поскольку он может позволить себе проиграть несколько бросков в начале.
_____________________________________________________________________________
Моделирование хода игры
Один из способов получить представление о вероятности выигрыша игрока состоит в том, чтобы играть в игру несколько раз. Вместо того, чтобы играть на реальные деньги, почему бы не смоделировать серию подбрасываний монеты, используя случайные числа, сгенерированные на компьютере? Например, функция =СЛУЧАЙ() в Excel генерирует случайные числа от 0 до 1. Если число меньше 0,5, мы принимаем его за хвост (T). В противном случае это голова (H). Когда мы моделируем подбрасывание монеты, мы соответственно прибавляем или вычитаем к счету каждого игрока. Если подбрасывается монета T, мы вычитаем 1 из A и прибавляем 1 к B. Если подбрасываем монету H, мы добавляем 1 к A и вычитаем 1 из B. Вот симуляция игры.
В первой симуляции игроку А повезло с 4 орлами при 5 бросках. Ниже показано следующее моделирование.
Игрок А, кажется, в ударе. Вот результаты следующих двух смоделированных игр.
Теперь игрок А проигрывает обе эти игры. На всякий случай покажем еще одну симуляцию.
Этот немного более вытянут. Несколько подбрасываний решки подряд означают плохие новости для игрока А. Когда монета подбрасывается достаточно долго, обязательно выпадет несколько серий решки. Так как это честная монета, также неизбежно будут выпадения орла, что принесет пользу игроку А. Разве серии H не компенсируют серии T, так что каждый игрок выигрывает примерно в половине случаев? Чтобы получить представление, мы продолжаем с 9Еще 5 симуляций (всего 100). Игрок А выиграл 23 симулированных игры, а игрок Б выиграл 77 игр. Таким образом, игрок А выигрывает примерно в 25% случаев. Обратите внимание, что в начале игры А владеет примерно 25% монет.
23 против 77 в 100 смоделированных играх могут быть результатом удачи игрока B. Мы моделируем еще 9 прогонов по 100 игр в каждом (всего 10 прогонов по 100 игр в каждом). Ниже показаны результаты.
Десять симуляций по 100 игр в каждой
Смоделированные пробеги немного колеблются. Игрок А выигрывает от 19% до 34% случаев. Результаты далеки от равных шансов на победу игрока А. В 1000 смоделированных играх игрок А выигрывает в 24,6% случаев, что примерно равно доле монет игрока А в начале. Если симуляция повторяется много раз (скажем, 10 000 раз или 100 000 раз), общая вероятность выигрыша для игрока А будет очень близка к 25%.
___________________________________________________________________________
Проблема разорения игрока
Вот несколько более общее описание проблемы разорения игрока.
Проблема разорения игрока
Два игрока, A и B, делают ставки на подбрасывание честной монеты. В начале игры у игрока А есть монеты, а у игрока Б есть монеты. Значит, между ними лежат монеты. В каждом розыгрыше игры подбрасывается честная монета. Если в результате подбрасывания монеты выпал орел, игрок А забирает 1 монету у В. Если в результате подбрасывания монеты выпала решка, игрок А платит В 1 монету. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не соберутся все монеты. Какова вероятность того, что игрок А окажется со всеми монетами? Какова вероятность того, что все монеты достанутся игроку Б?
Решение: проблема разорения игрока
В долгосрочной перспективе вероятность того, что игрок А выиграет все монеты, равна .
Долгосрочная вероятность того, что игрок B выиграет все монеты, равна .
Другими словами, вероятность выигрыша игрока равна отношению количества монет, с которыми игрок начинает игру, к общему количеству монет. Обратно, вероятность того, что игрок потеряет все свои монеты, равна отношению количества монет другого игрока к общему количеству монет. Таким образом, игрок с меньшим количеством монет в начале имеет больше шансов проиграть все. Подумайте о казино. Скажем, у него 10 000 000 монет. Вы, как игрок, имеете 100 монет. Тогда у вас будет 99,999% шанс потерять все свои монеты.
Вероятность проиграть все в 99,999% основана на предположении, что все ставки равны. В казино такого точно нет. Казино имеет преимущество дома. Таким образом, вероятность проигрыша будет хуже для игрока, играющего в казино.
____________________________________________________________________________
Вычисление вероятностей
Выведем вероятность выигрыша для более общего случая. Подбрасываемая монета не обязательно должна быть честной. Пусть — вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет орёл. Позволять . Предположим, что между игроком А и игроком В изначально есть монеты.0012
Пусть — вероятность того, что игрок А будет владеть всеми монетами, когда игрок А начинает игру с монетами, а игрок В начинает с монетами. С другой стороны, пусть — вероятность того, что игрок B будет владеть всеми монетами, когда игрок A начинает игру с монетами, а игрок B начинает с монетами.
Целью здесь является вывести выражения для обоих и для и показать, что . Последний пункт, хотя и кажется здравым смыслом, не совсем тривиален. По сути, это говорит о том, что игра закончится за конечное число ходов (она не может продолжаться бесконечно).
Еще один момент, о котором следует помнить, это то, что мы можем предположить и так же, как и и . В следующем выводе, является событием, что первый бросок является орлом, и является событием, что первым броском является решка.
Пусть наступит событие, когда игрок A владеет всеми монетами, когда игрок A начинает игру с монетами, а игрок B начинает с монетами, т. е. . Первое условие на результат первого броска монеты.
Рассмотрим условные вероятности и . Обратите внимание, что . Если первый бросок — решка, то у игрока А есть монеты, и у игрока Б будут монеты. В этот момент вероятность того, что игрок А владеет всеми монетами, будет такой же, как вероятность выигрыша, как если бы игра началась с того, что у игрока А есть монеты. Сходным образом, . Подставляем их в (1), имеем:
Дальнейший вывод можно сделать по уравнению (2).
Подстановка значений для дает следующие уравнения.
Добавление первых уравнений дает следующие уравнения.
Следует рассмотреть два случая. Либо или . Первый случай означает, а второй случай означает . Ниже приводится выражение для двух случаев.
Приведенное выше выражение с двумя регистрами применимо для . Подключение к with дает следующее выражение для:
Подстановка из (5) в (4) дает следующее:
Выражение для в (6) применимо для . Для случая вероятность того, что игрок А владеет всей монетой, равна отношению начального количества монет игрока А к общему количеству монет, идентичному тому, что указано в предыдущем разделе. Напомним, что это вероятность того, что игрок B в конечном итоге будет владеть всеми монетами, когда изначально у игрока A есть монеты, а у игрока B есть монеты. По симметрии следующее дает выражение для .
Для случая , эквивалентного , ясно, что . Для случая следующее показывает, что .
Этот факт показывает, что обсуждаемая здесь азартная игра должна закончиться после определенного количества игр и что она не будет продолжаться бесконечно.
_____________________________________________________________________________
Дальнейшее обсуждение
Выведенные здесь формулы достаточно глубоки, не говоря уже о том, что они эффективны и информативны для всех, кто играет в азартные игры. Дополнительные расчеты и обсуждение можно найти здесь, в сопутствующем блоге по статистике.
__________________________________________________________________________
2017 – Дэн Ма
Рубрика: Классические задачи по теории вероятностей, Азартные игры, Вероятность | Tagged Классические задачи на вероятность, Разорение игрока, Вероятность, Вероятность и статистика | 7 Ответы
Опубликовано 14 марта 2017 г. Дэн Ма
Что может быть лучше, чем отпраздновать День Пи, чем написать в блоге о цифрах !

Предоставление пи в качестве чаевых
Число представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Это иррациональное число. Это означает, что десятичное расширение никогда не заканчивается и никогда не повторяется. Любое десятичное представление с конечным числом выписанных знаков после запятой является приближением.
В любом вычислении, включающем , чем больше знаков после запятой, тем точнее будет вычисление. Приближения, используемые в расчетах, могут варьироваться от 3,14 до 3,14159.(для ручного расчета) или от 3,1415
до 3,1415
58979 (с помощью калькулятора или программного обеспечения). На самом деле расчеты с участием, выполненные в НАСА, используют 15 или 16 значащих цифр (последнее приведенное приближение имеет 15 значащих цифр).
На момент написания этого поста было успешно вычислено более 22 триллионов знаков после запятой, или 22 459 157 718 361 знаков после запятой, если быть точным (см. здесь). Если 15 или 16 цифр достаточно для космических путешествий, то почему увлечение миллиардами и триллионами или более цифрами? Зачем стремиться к большему количеству цифр, чем нам когда-либо понадобится для практического применения на Земле или в космосе?
Прыгать в фургон пи-диапазона может быть связано с пи-манией. Люди были очарованы с древности. В нашем современном обществе есть день, посвященный празднованию числа пи. На самом деле выделено два дня — 14 марта (3.14) и 22 июля (приблизительно исходя из 22/7), хотя первый более известен, чем второй. Есть много других хорошо известных специальных номеров. Но я никогда не слышал о естественном логарифмическом постоянном дне или квадратном корне из двух дней.
Действительно, существуют некоторые особые потребности, для которых требуются миллиарды и более цифр. Один из них используется для проверки компьютерной точности. Во-вторых, цифры иногда используются в качестве генератора случайных цифр. Даже такое использование больше говорит о мании числа пи, чем о естественных и внутренних качествах числа пи, поскольку вместо этого для этих целей можно использовать другие специальные числа.
Конечно же, число не случайное. Цифры фиксированы и определяются заранее. Первый десятичный разряд всегда равен 1, второй десятичный разряд всегда равен 4 и так далее. Третий десятичный знак в числе не может быть никакой другой цифрой, кроме 1. Вместо этого мы должны задать другой вопрос.
Равномерно ли распределены десятичные цифры числа? Другими словами, каждая ли цифра (от 0 до 9) в десятичном представлении появляется в одной десятой части времени? Каждая ли пара цифр появляется в сотой части времени? Каждая тройка цифр в десятичном представлении появляется в одну тысячную и так далее? Если это так, то мы бы сказали, что это нормальное число в системе счисления 10.
Концепция нормального числа применима и к другим системам счисления. Таким образом, если каждая цифра в двоичном представлении числа встречается в половине случаев, а каждая пара двоичных цифр (00, 01, 10 и 11) встречается в четверти случаев и т. д., рассматриваемое число называется нормальное число по основанию 2. В общем, чтобы число было нормальным числом по данному основанию, любая последовательность возможных цифр в этом основании с равной вероятностью может появиться в расширении этого числа. Число, являющееся нормальным числом по любому основанию, называется абсолютно нормальным.
Нормально ли в базе 10? В базе 2? В базе 16 (шестнадцатеричной)? Существует множество эмпирических свидетельств того, что цифры ведут себя как обычные числа в базе 10. В следующей таблице представлены первые 10 миллионов цифр (источник).
Таблица 1 – Первые 10 миллионов цифр числа Пи
Обратите внимание, что частоты в основном составляют 1 000 000 плюс-минус несколько сотен. Таким образом, каждая цифра появляется в 10% случаев среди первых 10 миллионов цифр . Это также подтверждается критерием хи-квадрат (см. ниже). Вот еще один статистический анализ первых 10 миллионов цифр .
Следующая таблица представляет собой табуляцию первых 1 триллиона цифр (источник).
Таблица 2. Первый триллион цифр числа Пи
Первый триллион цифр числа Пи тоже кажется однородным (это также подтверждается приведенным ниже тестом хи-квадрат). Частота для каждой цифры составляет около 100 миллиардов (100 000 000 000) плюс или минус сумма, которая меньше 1 миллиона.
Расчет 22,4 трлн знаков числа был завершен в ноябре 2016 года. Впоследствии был проведен статистический анализ этих 22,4 трлн знаков после запятой (реферат и бумага). Анализ является еще одной эмпирической проверкой нормальности . В этом анализе исследуются частоты последовательностей длины один, два и три в представлениях с основанием 10 и 16. Вывод состоит в том, что оцененные частоты согласуются с гипотезой о том, что они являются нормальными числами по основанию 10 и 16.
Нормальный номер? Эмпирические данные, хотя и многообещающие, недостаточны, чтобы доказать, что это нормальное число в системе счисления 10 или в любой другой системе счисления. Хотя многие математики считают, что это нормальное число по основанию 10 и, возможно, по другим основаниям, им не удалось найти математическое доказательство. Также неизвестно, есть ли какие-либо другие специальные числа, такие как натуральная логарифмическая константа или другие иррациональные числа, такие как нормальные числа.
Таким образом, определение того, является ли число нормальным, является глубокой и нерешенной классической проблемой вероятности. Если это нормальное число, даже просто в базе 10, последствия будут весьма интересными. Если это нормальное число с основанием 10, последовательность десятичных цифр , при соответствующем преобразовании в буквы, будет содержать все произведение Шекспира или весь текст «Войны и мира» или любое другое классическое литературное произведение, которое может вас заинтересовать. , Чтобы найти работу Шекспира, вероятно, потребуется вычислить больше цифр, чем текущий мировой рекорд в 22,4 триллиона цифр.
Одним из практических соображений использования цифр в качестве случайных чисел является проблема скорости вычислений. Для крупномасштабного моделирования вычисление новых цифр займет значительное время. Потребовалось 105 дней, чтобы вычислить текущий мировой рекорд в 22,4 триллиона цифр . Проверка заняла 28 часов (см. здесь). Понятно, что по мере того, как цифр было получено все больше и больше, цифры доставать все труднее и труднее.
Число пи — увлекательный математический объект. В нем есть что-то для всех, от практичного до причудливого и загадочного. С практической стороны он имеет точное математическое значение, поскольку описывает отношение между длиной окружности и ее диаметром. Он помогает решать практические задачи здесь, на Земле, и в космосе. Он также демонстрирует случайное поведение, на которое намекает этот пост. Это загадочная вещь, которая захватывает воображение от молодых студентов до профессиональных математиков. Доказать, что пи — нормальное число, может быть даже непросто. Каждый хочет раскрыть больше секретов о числе пи.
С Днем Пи!
_____________________________________________________________________________
Критерий хи-квадрат
Приведенные выше две таблицы частот числа пи являются хорошими упражнениями для использования критерия хи-квадрат. Возникает вопрос: соответствуют ли частоты цифр в таблице 1 и таблице 2 равномерному распределению? Точнее, распределяются ли цифры в первых 10 миллионах (и в первом триллионе) цифр числа пи равномерно? Критерий согласия хи-квадрат является отличным способом определить, соответствуют ли наблюдаемые частоты предполагаемому равномерному распределению.
Нулевая гипотеза состоит в том, что наблюдаемые частоты подчиняются равномерному распределению. Предполагая нулевую гипотезу, ожидаемая частота для каждой цифры будет составлять один миллион для таблицы 1 и 100 миллиардов для таблицы 2. Затем вычислите статистику хи-квадрат для каждой таблицы. Статистика хи-квадрат вычисляется путем возведения в квадрат разности наблюдаемых и ожидаемых частот (и затем деления на ожидаемую частоту, чтобы нормализовать квадрат разности), а затем взятия всей суммы нормализованных квадратов разностей.
Статистика хи-квадрат является мерой того, насколько наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых частот. Когда наблюдаемые частоты и ожидаемые частоты сильно различаются, значение статистики хи-квадрат будет большим. Таким образом, большие значения статистики хи-квадрат свидетельствуют против нулевой гипотезы. Если нулевая гипотеза верна, статистика хи-квадрат будет иметь приблизительное распределение хи-квадрат с 9 степенями свободы (как для таблицы 1, так и для таблицы 2). Смотрите здесь для более подробного ознакомления с тестом на соответствие хи-квадрат.
Для таблицы 1 статистика хи-квадрат равна 2,783356 с 9 степенями свободы (df = 9). Значение p равно 0,9723. С таким большим p-значением мы не отвергаем нулевую гипотезу. Таким образом, частоты цифр в первых 10 миллионах цифр соответствуют равномерному распределению.
Для таблицы 2 статистика хи-квадрат равна 14,97246681 с 9 степенями свободы (df = 9). Значение p равно 0,0048. Значение p все еще велико, хотя и не так велико, как в таблице 1. На уровне значимости 0,01 мы не отвергаем нулевую гипотезу. Все еще есть основания полагать, что частоты цифр в первом триллионе цифр согласуются с однородным распределением. Большее значение хи-квадрат 14,97 частично способствует большей частоте цифры 8. Кажется, что цифра 8 появляется немного чаще, но немного большая частота цифры 8 не имеет значения.
_____________________________________________________________________________
2017 – Дэн Ма
Опубликовано в Классические задачи теории вероятностей | Метки: Распределение хи-квадрат, Тест хи-квадрат, Нормальное число, Пи-день, Вероятность, Вероятность и статистика, Число Пи | 2 Ответы
Опубликовано 3 февраля 2017 г. Дэн Ма
Рассмотрим этот случайный эксперимент. Вы спрашиваете людей (по одному) об их днях рождения (только месяц и день). Процесс продолжается до тех пор, пока в ряду дней рождения не будет повторения, другими словами, пока у двух опрошенных вами людей не совпадет день рождения. Сколько людей вы должны спросить, прежде чем найти повторение? Какова вероятность того, что вам придется расспрашивать людей, прежде чем вы найдете повтор? Какое среднее количество людей вы должны спросить? В этом посте мы обсудим эту случайную величину и то, как эта случайная величина связана с проблемой дня рождения.
В рассматриваемой задаче мы игнорируем високосный год и предполагаем, что каждый из 365 дней в году с равной вероятностью будет днем рождения для случайно выбранного человека. Проблема дня рождения обычно заключается в следующем вопросе. Сколько людей нам нужно выбрать, чтобы иметь 50% или больше шансов иметь общий день рождения среди выбранных людей?
Случайный эксперимент, описанный в начале, можно переформулировать следующим образом. Предположим, что шары случайным образом (по одному) брошены в ячейки (например, в ящики). Случайный процесс продолжается до тех пор, пока шарик не будет брошен в ячейку, в которой уже есть один шарик (т.е. пока не произойдет повтор). Пусть будет количество шаров, которые необходимы для получения повтора. Некоторые из проблем, которые мы обсуждаем, включают среднее значение (среднее количество мячей, которые нужно бросить, чтобы получить повторение) и функцию вероятности. Мы также покажем, как эта случайная величина связана с проблемой дня рождения, когда .
__________________________________________________________________________
Задача о днях рождения
Сначала мы начнем с задачи о днях рождения. Ключевым моментом является получение вероятности того, что в группе случайно выбранных людей есть по крайней мере двое с одинаковым днем рождения. Легче сделать дополнение — вероятность разных дней рождения в группе людей. Мы называем это вероятностью.
где . Причина для первой строки заключается в том, что в первом выборе нужно выбрать 365 вариантов. Каждый последующий случайный выбор должен избегать предыдущего дня рождения, таким образом, 364 выбора для второго человека и только выборы для th человека.
Чтобы решить задачу о днях рождения, просто подставляйте значения для вычисления и до тех пор, пока не будет достигнуто наименьшее значение, такое как и . Расчет должен производиться с помощью программного обеспечения (например, Excel). Самый маленький 23 с
В случайной группе из 23 человек существует менее 50% вероятности того, что у них разные дни рождения, и, следовательно, более 50% вероятности того, что хотя бы один день рождения совпадет. Это может быть удивительным результатом. Без преимущества формулы (1) некоторые люди могут подумать, что для получения повторения потребуется большая выборка.
Преимущество (1) выходит за рамки проблемы дня рождения. Рассмотрим случай для , т. е. случайным образом выбираем числа из набора с заменой до тех пор, пока число не будет выбрано дважды (пока не произойдет повтор). Точно так же пусть — вероятность того, что в розыгрышах все выбранные числа различны. Вероятность получается заменой 365 на .
Формула (2) будет полезна в следующем разделе.
__________________________________________________________________________
Случайная величина
Теперь рассмотрим случайную величину, обсуждавшуюся в начале, либо случайную выборку людей до повторного дня рождения, либо бросание мячей в клетки до тех пор, пока в одной клетке не окажется два мяча. Чтобы проиллюстрировать идею, давайте рассмотрим пример.
Пример 1
Бросьте правильный кубик, пока не получите повторяющееся значение номинала. Пусть будет количество бросков для получения повторяющегося значения. Найдите функцию вероятности, где .
Обратите внимание, что это вероятность того, что для получения повторяющегося значения кубика потребуются броски.
Чтобы получить повтор в 2 броска, есть 6 вариантов для первого броска, а для второго есть только один выбор – значение первого броска. Чтобы получить повтор в 3 бросках, есть 6 вариантов для первого броска, 5 вариантов для второго броска, а третий бросок должен быть из 2 предыдущих двух различных значений. Идея состоит в том, что первые броски различны, а последний бросок должен быть одним из предыдущих значений.
Процесс рассуждений прекрасно приводит к общему случаю. В общем случае рассмотрим интерпретацию занятости. При бросании шаров в клетки пусть определяется, как указано выше, т. е. количество шаров, которое требуется для получения повтора. Следующее дает вероятность .
где .
Рассуждения аналогичны примеру 1. Чтобы получить повтор в бросании шаров, первые шары должны попасть в разные клетки, а последний шар должен попасть в одну из занятых клеток. Чтобы первые шарики разошлись по разным ячейкам, есть способы. Есть ячейки для последнего мяча, чтобы приземлиться. Таким образом, произведение этих двух величин находится в числителе (3).
После того, как функция вероятности (3) получена, можно соответствующим образом вывести среднее значение. Для случая (рассчитано путем программирования функции вероятности в Excel). В среднем потребуется отобрать около 25 человек, чтобы получить повторный день рождения.
Еще одна интересная величина . Это вероятность того, что для повторения потребуется бросить больше, чем мячей. Математически это можно получить, сначала вычислив путем суммирования отдельных вероятностей с помощью (3). Это рабочий подход с использованием программного обеспечения. Есть и другой способ, более информативный. Чтобы событие произошло, первые броски должны быть в разных ячейках (без повтора). Событие идентично событию отсутствия повтора в первых бросках мячей. Вот как случайная величина связана с проблемой дня рождения, поскольку вероятность должна совпадать с вероятностью в (2).
__________________________________________________________________________
Назад к задаче о дне рождения
Рассмотрим случай для . Что такое медиана? Это будет среднее количество людей, опрошенных для получения пары с одинаковым днем рождения. Медиана будет наименьшей из таких, что не менее 0,5. Обратите внимание, что это идентично в (1). Приведенный выше расчет показывает, что и . Таким образом, медиана составляет 23. Таким образом, при проведении случайной выборки опроса дня рождения примерно в половине случаев вы можете ожидать опроса 23 или менее 23 человек.
Проблема дня рождения эквивалентна поиску медианы случайной величины. В более широком смысле проблема дня рождения связана с процентилями переменной . Напротив, среднее значение равно . Ниже перечислены несколько процентилей для случайной величины.
Понятно, что в группе из 366 человек обязательно будет хотя бы один повторяющийся день рождения (опять же без учета високосного года). Это связано с принципом голубиной дыры. Как показывают процентили в приведенной выше таблице, вам не нужно проводить опрос близко к 366, чтобы получить повторение. Медиана составляет 23, как обсуждалось. 75-й процентиль равен 32,9.0012
Предыдущий расчет показывает, что вам не нужна большая группа, чтобы иметь повторяющийся день рождения. Примерно в 50 % случаев вы будете опрашивать 23 или менее человек, примерно в 75 % случаев — 32 или менее человек. Примерно в 99 % случаев вы будете опрашивать 57 или менее человек, то есть гораздо меньше, чем 365 или 366 человек. около 50 человек в случайной группе почти наверняка найдут общий день рождения. В случайной группе из 100 человек должна быть почти абсолютная уверенность в том, что у них общий день рождения.
Для дальнейшей демонстрации мы смоделировали случайную величину 10 000 раз. Диапазон смоделированных значений составляет от 2 до 78. Таким образом, вероятность опроса 100 человек меньше, чем 1 из 10 000. Чтобы получить смоделированное значение 100, нам придется смоделировать более 10 000 значений . Медиана из 10 000 смоделированных результатов равна 23. В следующей таблице приведены результаты.
В таблице не показано, что 33 смоделированных результата имеют значение 2. Таким образом, можно задать вопрос двум людям, и у них обоих один и тот же день рождения. Но вероятность того, что это произойдет, составляет 33 из 10 000 согласно этому конкретному набору симуляций (вероятность 0,0033). Теоретическая вероятность 2 равна 1/365 = 0,002739.726. Среди 10 000 смоделированных значений есть 2 экземпляра 78. Таким образом, вероятность составляет 2 из 10 000 с вероятностью 0,0002. Теоретическая вероятность составляет 0,000037 при использовании (3).
__________________________________________________________________________
Рубрика: Классические задачи теории вероятностей, Комбинаторная вероятность, Вероятность | Tagged Задача дня рождения, Классические задачи вероятности, Комбинаторная вероятность, Задача занятости, Вероятность, Вероятность и статистика | 1 Ответить
Опубликовано 18 января 2017 г. Дэн Ма
В этом посте обсуждается классическая вероятностная задача о сборщике купонов.
_____________________________________________________________________________
Задача о сборщике купонов
Задача обычно формулируется как сборщик купонов, пытающийся собрать весь набор купонов. Например, каждый раз, когда сборщик купонов покупает продукт (например, коробку хлопьев для завтрака), он получает купон, который представляет собой приз, который может быть игрушкой, бейсбольной карточкой или другим интересным предметом. Предположим, что существуют разные типы купонов (призов) и сборщик купонов хочет собрать весь набор. Сколько единиц товара должен купить сборщик купонов, чтобы собрать весь набор?
Упрощенное обсуждение проблемы сборщика купонов можно найти в другом сообщении блога. В этом посте более подробное обсуждение.
Этот пост в другом блоге обсуждает проблему сборщика купонов с точки зрения моделирования.
Как показано ниже, при наличии 5 разных купонов в среднем требуется 12 покупок, чтобы получить все купоны. Если есть 10 различных типов купонов, в среднем потребуется 30 покупок. Если есть 50 различных типов купонов, в среднем потребуется 225 покупок, чтобы собрать весь набор. Первые несколько купонов получаются довольно быстро. По мере того, как накапливается все больше и больше купонов, становится все труднее получить оставшиеся купоны. Например, для случая с 50 купонами после 49купонов, для получения последнего купона требуется в среднем 50 покупок.
Предположим, что сборщик купонов не хочет собирать весь набор, а хочет собирать только отдельные купоны, где . Оказывается, этот особый случай требует лишь незначительной настройки случая сбора всего набора. Тогда наша стратегия состоит в том, чтобы сосредоточиться на главном случае. Частный случай будет рассмотрен в конце поста.
Сначала рассмотрим основной случай, когда сборщик купонов хочет собрать весь набор. Задача может быть представлена как случайная выборка из населения. Случайный выбор номера с заменой эквивалентен получению купона сборщиком купонов. Позвольте быть минимальным количеством выборов таким образом, что каждое число в выбрано хотя бы один раз. В этом посте мы обсудим функцию вероятности, а также ее среднее значение и дисперсию.
Другая интерпретация задачи заключается в том, что ее можно рассматривать как задачу о занятости, которая включает в себя бросание шаров в ячейки случайным образом. Интересующая случайная величина — это количество шаров, которые необходимо бросить так, чтобы в каждой ячейке был хотя бы один шар. Ясно, что эта формулировка идентична интерпретации купона и интерпретации случайной выборки. Проблема угла занятости полезна, поскольку мы можем использовать формулы, разработанные в этом предыдущем посте. Описание проблемы занятости дано здесь.
Независимо от интерпретации, цель состоит в том, чтобы получить информацию о случайной величине, минимальном количестве случайных выборок, чтобы иметь полный набор различных значений, представленных в выборке.
_____________________________________________________________________________
Среднее значение и дисперсия
Среднее значение и дисперсию легче получить. Вот с чего мы начнем. Ключ состоит в том, чтобы разбить на сумму следующим образом:
где дополнительные выборы для получения номера, отличного от различных выбранных номеров. Например, это количество случайных выборов для получения числа, отличного от двух различных чисел, полученных до этого момента.
Обратите внимание, что каждый из них включает повторную выборку до тех пор, пока не будет достигнут некоторый критерий, что напоминает геометрическую случайную величину. Действительно они есть. По мере продолжения выборки и получения более четких значений получить новое число не так просто. После того, как были получены различные числа, вероятность выпадения нового различного числа равна . Каждая из геометрических случайных величин имеет следующие среднее значение и дисперсию.
где . Обратите внимание, что случайные величины независимы. Значение не зависит от того, сколько попыток требуется, чтобы нарисовать предыдущие различные числа. Ниже приведены среднее значение и дисперсия .
Ожидание можно изменить следующим образом, чтобы получить больше информации.
Величина представляет собой частичную сумму гармонического ряда. Обратите внимание, что как . Таким образом, как . Количество можно интерпретировать как среднее количество единиц товара, которое необходимо приобрести на один купон. В следующей таблице перечислены ожидаемые значения для выбранных значений .
Таблица 1
В таблице 1 дается оценка того, как долго можно ожидать сбора всего набора купонов для выбранных размеров купонов. В третьем столбце указано ожидаемое общее количество покупок для получения всего набора купонов. Во втором столбце дается оценка того, сколько в среднем покупок необходимо для получения одного купона. В случае с 50 купонами для получения одного купона требуется в среднем около 4,5 покупок. Однако это не говорит всей истории. Чтобы получить 50-й купон, требуется в среднем 50 попыток. Обратите внимание, что в случае 50 купонов в формуле (1). При моделировании задачи о 50 купонах потребовалось 54 попытки, чтобы получить 50-й купон. чтобы получить 49го купона требуется в среднем 50/2 = 25 попыток.
_____________________________________________________________________________
Проблема занятости
Теперь мы рассматриваем проблему сборщика купонов как проблему занятости, чтобы использовать формулу из предыдущего поста. Предположим, что мы случайным образом бросаем шарики в клетки. Пусть — количество пустых ячеек в результате случайного распределения шаров по ячейкам. Ниже приведены вероятности, где .
где .
Обозначается биномиальным коэффициентом, который представляет собой количество способов выбрать объекты из объектов, порядок которых не имеет значения. Расчет определяется .
Формула (5) дает вероятность наличия пустых ячеек. Тогда при бросании шаров в клетки вероятность того, что они будут заняты, равна .
____________________________________________________________________________
Функция вероятности
Теперь мы обсудим функцию вероятности случайной величины, а именно для . Событие означает, что все клетки заняты после броска шаров, при этом первые шары приземлились в клетках. Иными словами, после подбрасывания шаров остается ноль пустых клеток, а после подбрасывания первых шаров остается 1 пустая клетка. Это можно сформулировать, используя обозначения из предыдущего раздела о задаче занятости следующим образом:
Рассмотрим следующий вывод.
где .
Вместо того, чтобы запоминать функцию вероятности в (7), лучше сосредоточиться на мыслительном процессе, присущем (6).
Один комментарий о вычислении (7). Сумма для имеет термины. Данная вероятность может включать несколько значений , например.
.
Если количество значений для очень мало, расчет следует выполнять с помощью программного обеспечения. Microsoft Excel — отличный способ выполнить расчет. Расчеты для приведенных ниже примеров запрограммированы в Excel. 9Пример 1 Найдите среднее число бросков и дисперсию числа бросков. Какова вероятность того, что потребуется не менее 12 бросков? Какова вероятность того, что потребуется более 15 бросков?
Используя обозначение, разработанное выше, интересующая нас случайная величина равна . Его среднее значение и дисперсия:
Ниже приведена функция вероятности для .
где
Для каждого количества требуется 6 расчетов. Выполняя расчеты в Excel, искомые вероятности:
Несмотря на то, что среднее количество испытаний составляет 15, все же существует значительная вероятность того, что потребуется более 15 испытаний. Это связано с тем, что дисперсия довольно велика.
Пример 2
Интернет-стартап быстро набирает новых сотрудников. Каково ожидаемое количество новых сотрудников, пока не будут представлены все месяцы рождения? Предположим, что 12 месяцев рождения равновероятны. Какова вероятность того, что компании придется нанять более 25 сотрудников? Если в настоящее время в компании работает более 25 сотрудников с числом месяцев рождения менее 12, какова вероятность того, что ей придется нанять более 35 сотрудников, чтобы в компании были представлены все 12 месяцев рождения?
Интересующая случайная величина . Ниже показано среднее значение и функция вероятности.
где
Выполнив расчет в Excel, получим следующие вероятности.
___________________________________________________________________________
Особый случай
Теперь рассмотрим особый случай, когда сборщик купонов хочет собирать только отдельные купоны, где . Конечно, это общее количество различных типов купонов. Пусть — минимальное количество покупок, при котором были получены различные купоны. В интерпретации случайной выборки это был бы минимальный размер выборки, при котором из пространства выборки были выбраны отдельные элементы. Среднее значение и дисперсия следуют из одной и той же идеи. Каждая из них представляет собой независимую сумму геометрических случайных величин, как в (0).
где .
Таким образом, и было бы похоже на (1) и (2), за исключением того, что суммирование производится через вместо .
Для функции вероятности нам нужно лишь немного изменить мыслительный процесс, выраженный в (6). Чтобы событие произошло, после броска шаров, при попадании первых шаров в клетки, заняты ровно клетки. Другими словами, есть ровно пустые клетки после броска шаров и ровно есть пустые клетки после броска шаров. Следующее выражает это условие в терминах задачи занятости, т.е. аналогично (6).
Вот важные компоненты, которые необходимо учитывать с первым из формулы занятости (5).
Умножение двух указанных выше вероятностей дает желаемую вероятность для .
Обратите внимание, что при (собирании всего набора купонов) формула (10) будет идентична (7). Следующий пример демонстрирует вычисление.
Пример 3
Рассмотрим случай с 6 купонами, описанный в примере 1. Предположим, что сборщик купонов заинтересован в сборе купонов. Каково ожидаемое количество покупок, чтобы получить 4 купона? Какова вероятность того, что для получения 4 купонов потребуется более 6 покупок? Какова вероятность того, что для получения 4 купонов потребуется более 8 покупок? Сравните эти результаты с примером 1.
Интересующая случайная величина . Среднее значение:
Обратите внимание, что гораздо быстрее получить 4 купона, чем весь набор из шести. Ниже приводится функция вероятности для .
где
Выполнение расчетов в Excel дает следующие вероятности.
Первая вероятность показывает, что по-прежнему велика вероятность того, что для получения 4 купонов потребуется большее количество попыток, чем среднее. Время ожидания намного меньше, чем в примере 1, так как вероятность того, что время ожидания больше 8, достаточно мала. 9Функция генерации момента случайная величина (частичный случай). Поскольку обе эти случайные величины представляют собой независимую сумму геометрических случайных величин, их MGF будут просто произведением индивидуальных геометрических MGF. Ниже приведены результаты.
_____________________________________________________________________________
Рубрика: Классические задачи теории вероятностей, Вероятность | Метки: Классические задачи вероятности, Задача о сборщике купонов, Проблема занятости, Вероятность, Вероятность и статистика | 6 Ответы
Опубликовано 6 ноября 2016 г. Дэн Ма
Есть две знаменитые задачи на вероятность, созданные французским профессиональным игроком Шевалье де Мере (1607-1684). Проблемы были решены совместно Блезом Паскалем (1623-1662) и Пьером де Ферма (1601-1665) в серии писем. Идеи, обсуждавшиеся в этих письмах, часто считались началом теории вероятностей. В предыдущем посте мы обсуждаем одну из задач, поставленных Шевалье де Мере перед Паскалем (проблема с костями). В этом посте мы обсуждаем вторую проблему — проблему очков.
____________________________________________________________________________
Описание задачи
Вот описание известной задачи на точки. Два игрока играют в азартную игру с соглашением, что каждый игрок делает равные ставки и что первый игрок, выигравший определенное количество раундов (или очков), получит все ставки. Предположим, что игра прервана до того, как кто-либо из игроков выиграл. Как игроки справедливо делят ставки?
Понятно, что игрок, который ближе к победе, должен получить большую долю ставок. Поскольку игрок, набравший больше очков, ближе к победе, игрок с большим количеством очков должен получить большую долю ставок. Как количественно определить дифференциал?
Чтобы описать проблему более подробно, предположим, что два игрока, A и B, разыгрывают серию очков в игре, так что игрок A выигрывает каждое очко с вероятностью, а игрок B выигрывает каждое очко с вероятностью . Первый игрок, набравший очки, выигрывает игру. Предположим, что игра остановлена по какой-то причине. На момент остановки игрок А выиграл очки, а игрок В выиграл очки с помощью и . Как они делят ставки? Обратите внимание, что в банке участвуют оба игрока поровну.
При решении проблемы идея Паскаля состоит в том, что доля ставок, получаемая игроком, должна быть пропорциональна его/ее вероятности выиграть, если игра продолжится в момент остановки. Давайте рассмотрим эту идею на примерах.
____________________________________________________________________________
Взгляд на проблему через примеры
Следующие примеры основаны на следующем правиле. Допустим, два игрока (А и В) разыгрывают серию очков с одинаковой вероятностью выиграть очко в каждом раунде. Каждый игрок ставит 32 очка. Первый игрок, набравший четыре очка, забирает все ставки.
Пример 1 (подход Ферма)
Предположим, что игрок А выиграл 2 очка, а игрок В выиграл одно очко непосредственно перед окончанием игры. Как справедливо разделить ставки?
При анализе мы предполагаем, что игра продолжается. Тогда игроку А нужно еще 2 очка, чтобы выиграть, а игроку Б нужно еще 3 очка, чтобы выиграть. Мы хотели бы рассчитать вероятность того, что игрок А выиграет 2 очка до того, как игрок Б наберет 3 очка. Рассмотрим следующие 2 + 3 – 1 = 4 раунда (при условии, что одно очко за раунд). Если игрок А набирает не менее 2 очков в следующих 4 раундах, игрок А выигрывает игру. Дополнением к этой вероятности будет вероятность того, что игрок B выиграет игру.
Пусть S (успех) — это событие, когда игрок A выигрывает очко, а F (неудача) — это событие, когда игрок A теряет очко (т. е. игрок B выигрывает очко). Выпишем все исходы игры в 4 очка (это был подход Ферма). Таких исходов 16.
Игрок А выигрывает В одиннадцати исходах (со звездочкой). Обратите внимание, что в результатах со звездочкой есть как минимум 2 S. Таким образом, вероятность выигрыша игрока А равна 11/16 = 0,6875. На момент остановки игры шанс игрока А на победу составляет 68,75% (если игра продолжится). Доля игрока А составляет 0,6875 х 64 = 44,9.0012
Пример демонстрирует подход Ферма. По сути, он преобразовал первоначальную проблему очков в эквивалентную задачу, т. Е. Нахождение вероятности того, что игрок А выиграет игру, если игра будет продолжаться. Затем он использовал комбинаторные методы, чтобы подсчитать количество случаев, в которых игрок А выигрывает. В этом примере дополнительные четыре очка, которые нужно сыграть, являются фиктивными ходами (ходы не обязательно делать), но они полезны для поиска решения. Единственным недостатком подхода Ферма является то, что он использовал счет. Что делать, если количество задействованных точек велико?
Пример 2 (подход Паскаля)
Специфика примера такая же, как и в примере 1. Перечисление всех возможных случаев в примере 1 упрощает поиск решения. Но если количество точек велико, то управление подсчетом может стать затруднительным. Нам нужен алгоритм, которым легко пользоваться и который легко реализовать на компьютере.
Паскаль, по сути, думал так же, как и Ферма, то есть основывал решение на вероятности выигрыша, если игра продолжалась. Паскаль также понял, что исходная проблема с очками эквивалентна проблеме разыгрывания дополнительной серии очков. В этом примере дополнительные 2 + 3 – 1 = 4 очка. Как и в примере 1, находим вероятность того, что игрок А выиграет 2 или более очков в этой серии из 4 очков. Способ Паскаля найти эту вероятность был основан на том, что сейчас известно как треугольник Паскаля и биномиальное распределение. Мы будем использовать следующие современные обозначения:
Обратите внимание, что вышеприведенная вероятность 0,6875 — это вероятность иметь по крайней мере 2 успеха в 4 испытаниях (с вероятностью успеха 0,5 в каждом испытании). Любой, кто хорошо разбирается в биномиальном распределении, может выполнить расчет (или использовать программное обеспечение). Конечно же, эта математическая конструкция пришла от Паскаля! Для современников Паскаля и Ферма это понятие определенно не было обыденным.
Пример 3
Предположим, что игрок A выиграл 1 очко, а игрок B не выиграл ни одного очка на момент окончания игры. Как справедливо разделить призовые деньги?
Исходя из обсуждения Примера 1 и Примера 2, игроку А необходимо набрать как минимум 3 очка, чтобы выиграть игру, а игроку В необходимо набрать 4 или более очков, чтобы выиграть игру. Расширенная серия очков будет иметь 3 + 4 – 1 = 6 очков. Затем игроку А необходимо набрать не менее 3 очков из 6 (не менее 3 успехов из 6 попыток). Ниже приведена вероятность того, что игрок А выиграет расширенную серию розыгрышей.
При общей сумме ставок 64 доля игрока А составит 64 x 42/64 = 42. Доля игрока Б составит 22.
____________________________________________________________________________
Общее обсуждение
Теперь мы обсудим идеи, поднятые в примерах. Как указано выше, два игрока, A и B, вносят равные взносы в ставки, а затем играют серию очков, пока один из них не выиграет очки. Вероятность того, что игрок А выиграет раунд (одно очко в каждом раунде), равна, а вероятность того, что игрок Б выиграет очко, равна . Предположим, что игра по какой-то причине остановлена до того, как кто-либо из игроков выиграл. На момент остановки игрок А выиграл очки, а игрок В выиграл очки с помощью и . Пусть и . Ключом к решению проблемы очков является рассмотрение расширенной игры очков.
Вот великое открытие Паскаля и Ферма. Они смотрели вперед, а не назад. Они не основывали решение на количестве уже набранных очков. Вместо этого они сосредоточились на расширенной серии очков, чтобы определить долю выигрыша. Эта дополнительная игра очков является «фиктивной», но она помогает прояснить процесс. По сути, они превратили первоначальную проблему очков в проблему этой дополнительной игры очков.
Исходная проблема такова: какова справедливая доля игрока А, если игра остановлена досрочно, когда игрок А выиграл очки, а игрок В выиграл очки? Эквивалентная проблема: какова вероятность того, что игрок А наберет по крайней мере очки из следующих очков, где и (при условии, что игра не остановилась). Назовем эту вероятность. Рассмотрим настройку этой вероятности. Каждое очко похоже на испытание Бернулли — либо успех (игрок А выигрывает), либо неудача (игрок Б выигрывает). Есть испытания. Вероятность успеха в каждом испытании. Мы хотим найти вероятность того, что будут как минимум успехи. То, что описывается, является биномиальным распределением. Искомая вероятность:
где , а это количество очков, выигранных игроком А, и количество очков, выигранных игроком Б на момент окончания игры.
Вероятность — это вероятность того, что игрок А выиграет игру, если игра продолжится в момент ее завершения. Эта вероятность представляет собой долю ставок, которая будет присуждена игроку А. Конечно, доля, которая должна быть присуждена игроку Б, будет равна . Количество можно получить из заданных параметров и с помощью любого программного обеспечения, имеющего функцию для биномиального распределения.
Проблема очков кажется легко решаемой, поскольку ответ так доступен. Любой, кто понимает биномиальное распределение, может понять. Также легко вычислить вероятности для биномиального распределения с помощью калькулятора или программного обеспечения. Следует иметь в виду, что решение выглядит доступным сейчас благодаря инструментам и концепциям, которые пришли из путей, проложенных Паскалем и Ферма (и благодаря имеющимся у нас вычислительным инструментам). Инструменты и концепции, такие как треугольник Паскаля и биномиальное распределение, были неизвестны людям во времена Паскаля и Ферма.
__________________________________________________________________________
Работа в обратном направлении
Для нас расчет в легко выполняется с помощью калькулятора или программного обеспечения. Паскаль не вычислял напрямую, а вместо этого выполнял вычисления в обратном направлении, используя следующую формулу.
Формулу можно вывести математически. Но делать это не обязательно. Количество — это вероятность того, что игрок А наберет очки раньше, чем игрок Б наберет очки. Мы можем вывести приведенную выше формулу, обусловив результат первой точки. Величина рассчитывается в Примере 1 и Примере 2. Это среднее значение двух подобных вероятностей с меньшими параметрами.
Основываясь на рекурсивной формуле в , Паскаль построил ответ в обратном порядке, подобно тому, как пишется компьютерная программа. По сути, этот рекурсивный подход позволяет решать не только один сценарий, но и все сценарии в игре по очкам.
Пример 4
Теперь вернемся к задачам из примеров 1 и 2. Напомним, что игра ведется на 4 очка, т. е. первый игрок, выигравший 4 очка, забирает все ставки из 64 (32 игрок). Каждый игрок получает очко с вероятностью 0,5. Теперь мы покажем, как разделить ставки, когда игра останавливается во всех возможных точках остановки.
На следующей диаграмме (Рисунок 1) показана таблица доли, присуждаемой игроку А. Таблица пуста, за исключением верхней строки и крайнего правого столбца (цифры выделены красным). Число 64, указанное в последнем столбце, будет суммой, присужденной игроку А, потому что игрок А набрал 4 очка. Цифра 0 вверху означает, что игрок Б выиграл 4 игры. Таким образом, игрок А ничего не получает. Обратите внимание, что нижняя строка, выделенная оранжевым цветом, показывает количество очков, которые были выиграны игроком А. Нижняя строка, выделенная синим цветом, показывает оставшиеся очки, которые игроку А необходимо набрать, чтобы выиграть все ставки (это фиктивные очки). . Точно так же столбцы, выделенные оранжевым и синим цветом слева, показывают ту же информацию для игрока B.
Рисунок 1 – Доля ставок, присужденная игроку А
Теперь мы можем использовать рекурсивную формулу для заполнения таблицы. В основном каждая ячейка представляет собой среднее число над ней и число справа. Параметр in — это число в синей строке. Параметр in — это число в синем столбце. Ниже показаны результаты.
Рисунок 2 – Доля ставок, присужденная игроку А
Например, когда игрок А набрал 2 очка, а игрок В — 1 очко, доля игрока А составляет 44 (среднее значение 32 и 56), то есть тот же ответ, что и в Примере 1 и Примере 2. Когда игрок А имеет выиграл 2 очка, а игрок B — 2 очка, оба игрока находятся в равных конкурентных позициях. Тогда каждый игрок получает по 32. Когда игрок А набрал 2 очка, а игрок Б — 3 очка, доля игрока А составляет 16 (среднее 0 и 32).
По сути, формула заключается в использовании меньших шагов, а не всей расширенной игры очков. Эту идею меньших шагов предпочитал Паскаль. В тот момент, когда игроку А нужно больше очков, чтобы выиграть, а игроку Б нужно больше очков, идея состоит в том, чтобы разыграть еще одно очко. Предположим, что игроки знают награды двух игроков после еще одного раунда. Затем они должны разделить разницу между будущими наградами. Подсчет должен начинаться с точки, где каждому игроку для победы нужно еще одно очко (ячейка с цифрой 32 на рис. 2). В этой ячейке мы знаем награды после одного дополнительного раунда. Взяв среднее значение 0 и 64, мы получим 32. Из этой ячейки мы двигаемся вниз и двигаемся влево по таблице. Продолжайте повторять процесс, пока вся таблица не будет заполнена.
Существует способ настроить подход таблицы для работы с неравной вероятностью выигрыша очка. Допустим, вероятность того, что игрок А выиграет очко, равна 0,6. Тогда вероятность того, что игрок Б выиграет очко, равна 0,4. Значением данной ячейки в таблице будет средневзвешенное значение ячейки справа (вес 0,6) и ячейки над ней (вес 0,4). Когда мы знаем результаты еще одного раунда, мы присваиваем 0,6 результату выигрыша игрока А и 0,4 результату выигрыша игрока Б. В следующей таблице показаны результаты.
Рисунок 3 – Доля ставок, присужденная игроку А (с весом 0,6)
Прямая формула или табличный подход с использованием рекурсивной формулы могут быть легко запрограммированы на компьютере. Для Паскаля табличный подход является очень привлекательным вариантом, поскольку расчет может быть построен на более низких значениях параметров. В приведенной выше конфигурации просто заполните правый столбец (все ставки идут игроку А) и верхнюю строку (игрок А ничего не получает). Затем остальные ячейки получаются средневзвешенным, как описано в формуле.
Приведем еще один пример.
Пример 5
Предположим, что игрок B — казино, а игрок A — посетитель казино, играющий на 12 очков. Преимущество дома составляет 2%, поэтому вероятность того, что игрок А выиграет раунд, равна 0,48. Если игрок А желает уйти после того, как игрок А наберет 9 очков, а казино наберет 6 очков, какова доля ставок, которая должна быть присуждена игроку А?
Играя на 12 очков, игроку А нужно еще 3 очка, чтобы выиграть, а заведению нужно еще 6 очков, чтобы выиграть. Итак, нам нужно проанализировать расширенную игру 3 + 6 — 1 = 8 очков. Чтобы игрок А выиграл расширенную игру, ему нужно набрать как минимум 3 очка.
Ответ можно получить, вычислив каждый член в сумме (от до ). Другой способ — использовать функцию БИНОМРАСП в Excel следующим образом:
. = 1-БИНОМРАСП(2, 8, 0,48, ИСТИНА) = 1-0,172368083 = 0,827631917
Согласно методу справедливого распределения, обсуждаемому в этом сообщении в блоге, игрок А заслуживает 82,76% ставок.
____________________________________________________________________________
Примечания
В переписке Паскаль и Ферма нашли убедительное и последовательное решение проблемы точек. Прежние решения проблемы точек не были удовлетворительными (для всех заинтересованных сторон) и иногда непоследовательны. Разделение ставок только на основе количества выигранных очков может привести к экстремальным результатам. Например, если игрок А выиграл 1 очко, а игрок Б не выиграл ни одного очка, то игрок А получит все ставки. Для игры, описанной на рис. 2, по тому же сценарию игрок А получает 42 из 64 (42/64 = 0,65625), что далеко не 100%.
Более подробную информацию об истории проблемы точек см. в «Истории математики» Виктора Дж. Каца.
__________________________________________________________________________
Рубрика: Классические задачи по теории вероятностей, Азартные игры, Вероятность | Метки: Биномиальное распределение, Вероятность, Вероятность и статистика | 9 Ответы
Опубликовано 1 ноября 2016 г. Дэн Ма
Когда игрок постоянно проигрывает крупную сумму денег, что он может сделать? Когда один игрок, Шевалье де Мере (1607-1684), проигрывал большое состояние, он позвонил по «математической линии помощи». Фактически, его переписка с Блезом Паскалем (1623-1662) принесла ему место в учебнике истории. Проблемы, которые были представлены де Мере, над которыми совместно работали Паскаль и Пьер де Ферма (1601-1665), считаются началом зарождающейся академической области вероятности. Шевалье де Мере нуждался в помощи для решения двух задач — задачи на очки и задачи на кости, которая теперь носит его имя. В этом посте мы обсуждаем проблему с костями. Проблема очков обсуждается в следующем посте.
____________________________________________________________________________
Задача с костями
Шевалье де Мере задал две задачи с костями. Первая игра включает в себя четыре броска честной кости. В этой игре де Мере сделал ставку с равными шансами на то, что выпадет хотя бы одна шестерка, когда честная кость выбрасывается четыре раза. Он рассуждал так: поскольку выпадение шестерки за один бросок кости (верно), вероятность выпадения шестерки за четыре броска кости будет (неверно). С благоприятными шансами на победу в 67% он рассудил, что ставки с равными шансами были бы выгодным предложением. Хотя его расчет был неверным, он заработал значительную сумму денег за много лет, играя в эту игру.
Вторая игра включает в себя двадцать четыре броска пары правильных костей. Успех в первой игре воодушевил де Мере сделать ставку на выпадение одной или нескольких двойных шестерок за двадцать четыре броска пары костей. Он рассуждал так: вероятность выпадения двойной шестерки при одном броске пары костей равна (правильно). Тогда шанс получить двойную шестерку за двадцать четыре броска пары игральных костей будет (неверно). Он снова рассудил, что ставки с равными шансами тоже будут прибыльными.
Но опыт показал обратное. Проиграв много денег, он понял, что со второй игрой что-то не так. В 1654 году он предложил своему известному другу Блезу Паскалю найти объяснение. Решение появилось в серии писем между Паскалем и Ферма. Благодаря этим совместным усилиям была заложена основа идеи вероятности как академического предмета. Одной из возникших идей был треугольник Паскаля. Еще одним было биномиальное распределение. На самом деле любой, кто понимает биномиальное распределение, может очень быстро увидеть ошибочность рассуждений де Мере.
__________________________________________________________________________
Моделирование
Прежде чем мы приступим к вычислениям, давайте смоделируем партии, в которые играл де Мере. Используя случайные числа, сгенерированные с помощью функции Rand() в Excel, мы смоделировали 100 000 итераций каждой из игр. В наших 100 000 симуляций первой игры — четырехкратном бросании игральной кости — 51 380 итераций хотя бы с одной шестеркой. Это говорит о том, что позиция де Мере будет выигрывать более чем в половине случаев, хотя и не с такими шансами, как он предполагал. Но тем не менее ему это было выгодно.
В наших 100 000 симуляциях второй игры — бросании пары игральных костей 24 раза — всего 49 211 итераций, по крайней мере, с одной двойной шестеркой. Это, кажется, подтверждает, что позиция де Мере является проигрышной, что он будет проигрывать свои ставки более чем в половине случаев.
Конечно, де Мере мог бы провести аналогичную симуляцию, хотя и в гораздо меньших масштабах, сам бросив кости (скажем, 100 раз). Он мог бы увидеть свет гораздо раньше.
___________________________________________________________________________
Расчет
Давайте посмотрим, почему первая игра была прибыльной для де Мере, а вторая — нет.
Первая игра
При броске кубика есть шесть возможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кубик правильный, вероятность выпадения шестерки равна . Точно так же вероятность того, что при одном броске правильного кубика не выпадет ни одной шестерки, равна .
Вероятность того, что за четыре броска не выпадет шестерка, равна:
.
Таким образом, при четырех бросках правильного игрального кубика вероятность выпадения хотя бы одной шестерки равна:
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросках правильного игрального кубика равна 0,517747. Из 100 игр де Мере в среднем выигрывал 52 игры. Из 1000 игр он в среднем выигрывал 518 игр. Предположим, что каждая ставка равна одному французскому франку. Тогда де Мере получал бы 36 франков за каждую 1000 франков ставок. Таким образом, у него было преимущество дома около 3,6%.
Вторая игра
При броске пары игральных костей всего 36 возможных исходов (т. е. шесть исходов первого кубика в сочетании с шестью исходами второго кубика). Из этих 36 исходов только один — двойная шестерка. Итак, вероятность выпадения двойной шестерки заключается в броске пары игральных костей. Точно так же вероятность не получить двойную шестерку равна .
Вероятность того, что за 24 броска пары игральных костей не выпадет ни одной двойной шестерки, равна:
Таким образом, вероятность того, что выпадет хотя бы одна двойная шестерка за 24 броска, равна:
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной двойной шестерки за 24 броска пары правильных игральных костей равна 0,4914. В среднем де Мере выигрывал только около 49 игр из 100, а его противоположная сторона выигрывала около 51 игры из 100 игр. Из 1000 игр он в среднем выигрывал 491 игру (противоположная сторона выигрывала в среднем 509 игр). При каждой ставке в один франк противоположная сторона де Мере выиграет 18 франков на каждые поставленные 1000 франков (таким образом, противоположная сторона будет иметь преимущество казино около 1,8%).
Шансы, показанные при моделировании, описанном выше, соответствуют рассчитанным результатам. Было бы интересно узнать, какие действия предпринял де Мере, узнав ответы. Может быть, он перестал играть во вторую игру и играл только в первую. Возможно, он модифицировал вторую игру так, чтобы шансы на победу были для него как минимум равными (или выше).
__________________________________________________________________________
Рубрика: Классические задачи по теории вероятностей, Азартные игры, Вероятность | Метки: Биномиальное распределение, Вероятность, Вероятность и статистика | 4 Ответы
Опубликовано 2 марта 2012 г. Дэн Ма
Недавно я сдавал экзамен по моему курсу статистики, который оказался отличным примером задачи на сопоставление, классической проблемы вероятности. Тестирование сдавали 66 студентов. Я записал имена студентов в порядке сдачи экзамена. В следующей таблице показаны позиции студентов в алфавитном порядке и в том порядке, в котором они сдали экзамен.
Например, первый студент в алфавитном порядке был 12-м студентом, сдавшим экзамен. Первым студентом, сдавшим экзамен, был 37-й студент в алфавитном порядке. Оказалось, что был студент, который занимал одинаковую должность в обоих орденах. Такой ученик называется совпадением (см. следующую таблицу).
В этом примере отражена суть классической задачи теории вероятностей, называемой задачей сопоставления. Есть много других красочных описаний задачи соответствия. Все они включают в себя сочетание двух порядков на множестве объектов. У нас есть набор объектов или предметов, которые упорядочены каким-то естественным образом. Затем мы перемешиваем элементы случайным образом (или в соответствии с каким-то заранее непредсказуемым порядком). Всякий раз, когда элемент имеет одинаковую позицию как в исходном, так и в перемешанном порядке, это называется совпадением.
В нашем примере с экзаменом одна из версий задачи на сопоставление спрашивает: какова вероятность того, что хотя бы один учащийся подходит?
На самом деле, при сопоставлении двух порядков, подобных описанному здесь, совпадение происходит чаще, чем нет. Вероятность наличия хотя бы одного совпадения составляет примерно 0,63. В частности, при количестве студентов, сдающих экзамен, вероятность найти хотя бы одно совпадение приближается к . Вывод этой вероятности основан на принципе включения-исключения и обсуждается в сообщении блога под названием «Проблема сопоставления».
Несмотря на то, что вероятность наличия хотя бы одного совпадения является функцией (количества элементов), вероятность довольно быстро сходится к. Таким образом, для всех практических целей мы можем сказать, что вероятность наличия хотя бы одного совпадения составляет 0,63 (примерно две трети), если количество элементов, задействованных в случайном скремблировании, достаточно велико (как в случае 66 студентов, сдающих экзамен). .
Вместо определения вероятности наличия хотя бы одного совпадения мы также можем запросить вероятность наличия точного совпадения, где любое целое число от до . Пусть будет количеством совпадений, когда мы сопоставляем порядок «сдачи экзамена» с алфавитным порядком для студентов. Функция вероятности получена в сообщении блога под названием «Подробнее о проблеме сопоставления».
Сообщение в блоге Подробнее о задаче сопоставления также указывает, что аппроксимируется распределением Пуассона с параметром . Таким образом, мы имеем:
Ниже приведены первые 4 вероятности .
В случайном эксперименте по сопоставлению двух порядков одного и того же набора объектов примерно в 37 % случаев совпадений нет, а примерно в 37 % случаев имеется ровно одно совпадение. Отсутствие совпадений и наличие ровно одного совпадения являются наиболее распространенными сценариями (происходит примерно в 74% случаев). Наличие 2 совпадений возможно, но происходит только примерно в 18% случаев. Редко бывает 3 или более совпадений.
Еще одно интересное наблюдение состоит в том, что если совпадение происходит, то, скорее всего, есть только одно совпадение (например, обсуждаемый здесь пример).
Есть много красочных описаний задачи сопоставления. Возможности безграничны. Одним из примеров является то, что супружеские пары ходят на урок бальных танцев. Инструктор случайным образом назначает дам мужчинам в качестве партнеров по танцу. Совпадение происходит, если жена назначается
партнершей своего мужа по танцам.
В предыдущем сообщении в блоге (Сезон обмена подарками) представлен пример обмена подарками. Каждый человек, посещающий вечеринку, приносит подарок для обмена подарками. Подарки складываются в стопку, и каждый случайным образом выбирает подарок из стопки. Совпадение происходит, если человек выбирает свой собственный подарок.
В другом сообщении в блоге (ленивый профессор, который позволяет студентам самостоятельно выставлять оценки) профессор случайным образом возвращает тесты студентам для выставления оценок. Совпадение происходит, если учащемуся назначается его или ее собственная викторина.
Рубрика: Классические задачи по теории вероятностей, Вероятность, Теория вероятностей | Метки: Классические задачи вероятности, Принцип исключения включения, Вероятность, Вероятность и статистика, Задача соответствия | Оставьте ответ
Проблема Монти Холла: Простое объяснение решения

Содержание (Нажмите, чтобы перейти к этому разделу):

Что такое проблема Монти Холла?
Более интуитивный способ взглянуть на задачу Монти Холла
Почему работает переключение?
Версия задачи Монти Холла 1975 года
Ярость СМИ
Использование теоремы Байеса для решения задачи Монти Холла
Что такое задача Монти Холла?
Посмотрите видео для обзора:
Задача Монти Холла
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Проблема Монти Холла — вероятностная головоломка, названная в честь Монти Холла, первого ведущего телешоу «Давай заключим сделку». Это знаменитый парадокс, решение которого настолько абсурдно, что большинство людей отказываются верить в его истинность.
Предположим, вы участвуете в игровом шоу и вам предоставляется выбор из трех дверей: за одной дверью стоит машина; позади других, козлов. Вы выбираете дверь, скажем, № 1, и хозяин, который знает, что находится за дверью, открывает другую дверь, скажем, № 3, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» В ваших интересах изменить свой выбор? ~ (Из рубрики «Спросите Мэрилин» в журнале Parade)
Стоит ли переключаться?
Хотите верьте, хотите нет, но на самом деле вам выгодно переключиться:
Если вы переключитесь, у вас будет примерно 2/3 шанса выиграть машину.
Если вы придерживаетесь своего первоначального выбора, у вас есть примерно 1/3 шанса выиграть машину.
Ответ звучит маловероятно. После того, как дверь 3 открыта, вы можете подумать, что у вас есть две двери на выбор… обе с одинаковыми шансами. Однако на самом деле у вас гораздо больше шансов выиграть, если вы переключитесь.
Те, кто поменял двери, выиграли примерно в 2/3 случаев
Те, кто не переключился, выигрывали примерно в 1/3 случаев
Этот факт неоднократно подтверждался множеством математических симуляций. Если вы в тупике и до сих пор не верите — не переживайте, над этим ломают голову даже математики. Один гениальный математик Пол Эрдёш не верил, что ответ правильный, пока ему не показали симуляции выигрышной стратегии «переключения».
Вернуться к началу
Более интуитивный способ взглянуть на задачу Монти Холла
человек имеют проблемы с лучшими шансами поменять дверь. В том числе и я, пока не осознал простой факт: шансы выше, если вы переключитесь, потому что Монти курирует оставшиеся варианты. Допустим, вы играли в игру, в которой Монти не знает, где находится машина. Не имеет значения, переключитесь вы или нет (ваши шансы будут равны 50%, несмотря ни на что). Но это не то, что происходит. В задаче Монти Холла есть очень специфический пункт: Монти знает, где находится машина. Он никогда не выбирает дверь с машиной. И, курируя оставшиеся двери для вас, он повышает шансы на то, что переход всегда будет хорошей ставкой.
Еще одна причина, по которой некоторые люди не могут понять задачу Монти Холла, — маленькие числа. Давайте рассмотрим точно такую же задачу со 100 дверями вместо 3. Вы выбираете случайную дверь.
Вместо одной двери Монти убирает 98 дверей. Это двери, за которыми, как он знает, нет приза! Остаются две двери. Тот, который вы выбрали, и тот, который остался после того, как Монти уничтожил остальных.
Вы теперь меняете двери? Вы должны. Когда вы впервые выбрали, у вас был только 1/100 шанс получить правильную дверь. Более того, это были просто догадки. Теперь вам предоставляется отфильтрованный выбор, составленный самим Монти Холлом. Должно быть ясно, что теперь ваши шансы намного выше, если вы переключитесь.
Все еще не верите? Попробуйте эту симуляцию. Вы увидите, что если вы переключитесь, вы выиграете примерно в 2/3 случаев.
Вернуться к началу
Почему работает переключение?
Вероятно, лучший способ убедиться в том, что решение верное, — это попробовать симуляцию самостоятельно.
Теперь, если вы хотите понять, почему это работает, есть несколько способов приблизиться к этому. Есть 3 двери, и ваш первоначальный выбор дает вам шанс 1/3. Осталось две двери, которые вместе имеют шанс выиграть машину 2/3. Особенно важен тот факт, что Монти, открывающий одну из этих дверей, не меняет шансов. Эти шансы по-прежнему будут 2/3.
Все еще не уверены? Представьте, что вместо 3 дверей 300 дверей. Вы угадываете дверь 1, что дает вам шанс на победу 1/300. Монти открывает 298 из оставшихся дверей, предоставляя вам выбор между дверью 1 и дверью 201. Хотя ваши первоначальные шансы (1/300) остаются прежними для этой случайно выбранной двери (дверь 1), Монти увеличил ваши шансы, предоставив ты лучшая дверь из 298 случайно выбранных дверей. лучшая дверь из набора случайных дверей всегда будет иметь лучшие шансы.
Решение журнала Parade
Это решение, приведенное в журнале Parade Magazine, показывает все возможные результаты пребывания или переключения.
ЖИЛЬЕ :
Вы выбираете дверь 1. Монти открывает «козлиную дверь». Вы остаетесь. Для сценария 1 вы выиграете. И для двух других сценариев вы бы проиграли. Дает вам 1/3 шанса на победу во всех сценариях.
ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕ
Вы выбираете дверь 1. Монти открывает «козлиную дверь». Вы переключаетесь. Для сценария 1 вы проиграете. И на этот раз в двух других сценариях вы выиграете. Это дает вам 2/3 шансов на победу.
Вернуться к началу
Версия задачи Монти Холла 1975 года
Хотя эта задача стала известной благодаря колонке «Спросите Мэрилин» в 1990 году, самое раннее упоминание о ней было в письме Стива Селвина, написанном журналу American Statistician. В своем письме в редакцию под названием «Проблема вероятности» Сельвин поставил проблему Монти Холла. Вместо трех дверей было 3 ящика с маркировкой A, B и C. В одном были ключи от нового Lincoln Continental. Два других ящика были пусты. Участник выбирает коробку, Монти открывает пустую коробку и спрашивает участника, хочет ли он поменяться местами. Вопрос примерно тот же, только вместо машины, дверей и козлов у вас машина, коробки и ничего. Задав вопрос (должен ли участник переключиться?), Селвин предлагает решение:
Решение задачи Монти Холла 1975 года от американского статистика.

Если вы подсчитаете количество побед/проигрышей в столбце «Результат», вы получите 6/9, то есть вероятность выигрыша 2/3.
Вернуться к началу
Фурор СМИ
Что касается , почему эта вероятностная проблема стала настолько известной, во многом связано с фурором в СМИ, который последовал за ответом Мэрилин в колонке «Спросите Мэрилин», который звучал так:
«Да; вы должны переключиться. Шанс выигрыша у первой двери составляет 1/3, а у второй двери — 2/3. Вот хороший способ визуализировать то, что произошло. Предположим, что есть миллион дверей, и вы выбираете дверь №1. Затем ведущий, который знает, что находится за дверями, и всегда будет избегать той, у которой есть приз, открывает их все, кроме двери № 777,777. Ты бы довольно быстро переключился на эту дверь, не так ли?
Несогласие с решением
Из тысяч писем, полученных Мэрилин после публикации колонки, большинство с ней не согласны.
Несколько комментариев
Вот несколько комментариев (со страницы задач Мэрилин на игровом шоу):
Роберт Сакс, доктор философии. ответил: «Как профессиональный математик, я очень обеспокоен отсутствием у широкой публики математических навыков. Пожалуйста, помогите, признав свою ошибку и впредь будьте более осторожны».
Скотт Смит, доктор философии. «Ты все испортил, и ты все испортил! Поскольку вам, похоже, трудно понять основной принцип работы, я объясню…»
Барри Пастернак, доктор философии. Ваш ответ на вопрос ошибочен. Но если вас это утешит, многие из моих академических коллег также были поставлены в тупик этой проблемой.
Мэрилин опубликовала ответ, повторно объяснив свой ответ, что вызвало еще больше писем с просьбой исправить ее ошибку. Среди них письма заместителя директора Центра оборонной информации и научного математического статистика из Национального института здравоохранения. Мэрилин обратилась к математическим классам по всей стране с призывом провести эксперименты для подтверждения теории, а классы округа проводили вероятностный эксперимент. Любой, кто был в начальной школе в 1990 наверное фурор помнит.
Проведите собственный эксперимент дома…
Все еще не совсем поняли задачу Монти Холла? Попробуйте провести собственный эксперимент дома. Поставьте игрушечную машинку под один из трех ящиков и сами сто раз сыграйте в игру, отмечая свои результаты. Но если все эти кандидаты наук ошибаются, не расстраивайтесь, если вы все еще в тупике.
С другой стороны, вас может утешить тот факт, что голуби могут быть умнее математиков: они лучше справляются с дилеммой Монти Холла. В исследовании, опубликованном в Journal of Comparative Psychology, в качестве приза использовалась версия игры для раздачи смешанных зерен. Птицы справились довольно хорошо, даже лучше, чем их человеческие собратья. Эксперимент был повторен с людьми (хотя, надеюсь, с чем-то другим, кроме зерна в качестве приза…). Даже после «обширных тренировок» люди все еще не справлялись так хорошо, как птицы. Пища для размышлений!
Подробнее…
Проблема Монти Холла вдохновила тысячи веб-сайтов, газет и других средств массовой информации на попытки найти собственные ответы на эту проблему. Погуглите «Задача Монти Холла», и вы получите несколько сотен тысяч страниц. Большинство формулируют проблему и предлагают решения, подобные тому, что вы прочитали выше. Но есть несколько довольно уникальных решений, если вы знаете, где искать:
Профессор юридической школы Эмори Саша Волох, пишущая для The Washington Post, решает проблему с точки зрения условной вероятности. Если вас устраивает довольно продвинутая вероятность, это будет интересным чтением. «Настоящее объяснение состоит в том, что Монти должен показать дверь 2, если машина стоит за дверью 3, но он может показать дверь 2, если машина стоит за дверью 1, так что его решение показать дверь 2 дает вам умеренное количество информации в пользу сценарий двери-3».
Профессор математики Джейсон Розенхаус написал целую книгу на тему Проблема Монти Холла: замечательная история самой спорной головоломки по математике (Oxford University Press, 2009). В этой книге он подходит к проблеме с разных точек зрения, от логических аргументов до математической строгости. Он (очевидно) более тщательный, чем мог бы быть даже самый уважаемый наш паж. Вы можете найти его на Amazon.
Наверх
Использование теоремы Байеса для решения задачи Монти Холла
Приведенные выше «решения» — это логических решений задачи. Более строгое решение можно найти с помощью теоремы Байеса. Это интересное решение принадлежит Кристоферу Лонгу. Я предполагаю, что вы знакомы с теоремой Байеса, которая позволяет вычислить условную вероятность (если произойдет событие А, какова вероятность того, что произойдет событие Б?).
Основание для решения такое же, как и в приведенном выше сценарии. Там три двери, за одной машина. Вы выбираете дверь, затем Монти открывает одну из других дверей, чтобы показать козу.
Предположим, вы выбираете дверь 1, а затем Монти показывает вам козла за дверью 2. Чтобы использовать теорему Байеса, нам нужно сначала присвоить событие A и B.
Пусть событие A будет состоять в том, что машина позади дверь №1.
Пусть событие B состоит в том, что Монти открывает дверь 2, чтобы показать козла.
Вот решение Байеса
:
Pr(A) довольно просто вычислить. Вероятность того, что машина находится за дверью 1, составляет 1/3. Осталось две двери, и каждая имеет шанс 1/2 быть выбранной, что дает нам Pr(B|A), или вероятность события B, дано А.
Pr(B) в знаменателе вычислить немного сложнее. Учтите, что:
Вы выбираете дверь 1. Монти показывает вам козу за дверью 2.
Если машина находится за дверью 1, Монти не выберет ее. Он откроет дверь 2 и покажет козу в половине случаев.
Если машина находится за дверью 2, Монти всегда открывает дверь 3, так как он никогда не показывает машину.
Если машина находится за дверью 3, Монти будет открывать дверь 2 в 100% случаев.
Поскольку Монти открыл дверь 2, вы знаете, что машина находится либо за дверью 1 (на ваш выбор), либо за дверью 3. Вероятность того, что машина окажется за дверью 1, равна 1/3. Это означает, что вероятность того, что машина окажется за дверью 3, равна 1 – (1/3) = 2/3. И именно поэтому вы переключаетесь.

Ссылки
Агрести А. (1990) Категориальный анализ данных. Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк.
Гоник, Л. (1993). Мультяшный путеводитель по статистике. HarperPerennial.
Коц, С.; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Уилан, К. (2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company
УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Проблема Монти Холла: простое объяснение решения» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/monty-hall-problem/
————————————————— ————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .
Вероятностные вопросы с решениями
Учебник по нахождению вероятности события. В дальнейшем S — выборочное пространство рассматриваемого эксперимента, а E — интересующее событие. n(S) — количество элементов в выборочном пространстве S, а n(E) — количество элементов в событии E.
Вопрос 1
Бросили игральную кость, найдите вероятность того, что выпадет четное число.
Решение вопроса 1
Сначала запишем выборочное пространство S эксперимента.
С = {1,2,3,4,5,6}
Пусть E будет событием «получено четное число» и запишите его.
Е = {2,4,6}
Воспользуемся теперь формулой классической вероятности.
P(E) = n(E) / n(S) = 3/6 = 1/2
Вопрос 2
Подбрасывают две монеты, найдите вероятность того, что выпадет два орла. Примечание: Каждая монета имеет два возможных исхода: H (орел) и T (решка).
Решение вопроса 2
Выборочное пространство S определяется выражением.
S = {(Н, Т), (Н, Н), (Т, Н), (Т, Т)}
Пусть E будет событием «получены две головы».
Е = {(Н, Н)}
Используем формулу классической вероятности.
P(E) = n(E) / n(S) = 1/4
Вопрос 3
Какое из этих чисел не может быть вероятностью?
а) -0,00001
б) 0,5
в) 1.001
г) 0
д) 1
е) 20%
Ответ на вопрос 3
Вероятность всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1, поэтому только а) и в) выше не могут представлять вероятности: -0,00010 меньше 0 и 1,001 больше 1.
Вопрос 4
Бросают два игральных кубика, найдите вероятность того, что выпадет
а) равно 1
б) равно 4
в) менее 13
Решение вопроса 4
а) Образец пространства S двух игральных костей показан ниже.
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Пусть E будет событием «сумма равна 1». Нет исходов, соответствующих сумме, равной 1, поэтому
P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0
б) Три возможных исхода дают сумму, равную 4: E = {(1,3),(2,2),(3,1)}, следовательно.
P(E) = n(E) / n(S) = 3/36 = 1/12
c) Все возможные исходы, E = S, дают сумму меньше 13, следовательно.
P(E) = n(E) / n(S) = 36/36 = 1
Вопрос 5
Подбрасывают игральную кость и бросают монету, найдите вероятность того, что на кубике выпадет нечетное число, а на монете выпадет решка.
Решение вопроса 5
Пусть H — решка, а T — решка монеты. Выборочное пространство S эксперимента, описанного в вопросе 5, выглядит следующим образом.
S = { (1,Н),(2,Н),(3,Н),(4,Н),(5,Н),(6,Н)
(1,Т),(2,Т),(3,Т),(4,Т),(5,Т),(6,Т)}
Пусть E будет событием «на кости выпало нечетное число, а на монете — решка». Событие E можно описать следующим образом.
Е={(1,Н),(3,Н),(5,Н)}
Вероятность P(E) определяется выражением
P(E) = n(E) / n(S) = 3/12 = 1/4
Вопрос 6
Из колоды карт случайным образом вытягивается карта. Найдите вероятность того, что выпадет 3 бубна.
Ответ на вопрос 6
Образец пространства S эксперимента в вопросе 6 показан ниже
Пусть E будет событием «получение 3 бубнов». Изучение выборочного пространства показывает, что существует одна «тройка алмазов», так что n (E) = 1 и n (S) = 52. Следовательно, вероятность возникновения события E определяется выражением
Р(Э) = 1/52
Вопрос 7
Из колоды карт случайным образом вытягивается карта. Найдите вероятность получения ферзя.
Решение вопроса 7
Пример пространства S эксперимента в вопросе 7 показан выше (см. вопрос 6)
Пусть E будет событием «получение ферзя». Изучение выборочного пространства показывает, что существует 4 «королевы», так что n (E) = 4 и n (S) = 52. Следовательно, вероятность события E определяется выражением
P(E) = 4/52 = 1/13
Вопрос 8
В банке 3 красных шарика, 7 зеленых шариков и 10 белых шариков. Если из сосуда наугад вынуть шарик, какова вероятность того, что этот шарик белый?
Решение вопроса 8
Сначала мы построим таблицу частот, которая дает следующие распределения цвета шариков.
цвет частота
красный 3
зеленый 7
белый 10
Воспользуемся теперь эмпирической формулой вероятности
P(E) = частота белого цвета / общая частота в приведенной выше таблице
= 10/20 = 1/2
Вопрос 9
Группы крови 200 человек распределяются следующим образом: 50 имеют группу крови A , 65 имеют группу крови B , 70 имеют группу крови O и 15 имеют группу крови AB . Если случайным образом выбрать человека из этой группы, какова вероятность того, что у этого человека первая группа крови?
Ответ на вопрос 9
Составим таблицу частот групп крови следующим образом
группа частота
и 50
Б 65
О 70
АВ 15

Используем эмпирическую формулу вероятности
P(E) = частота для O крови / общая частота
= 70/200 = 0,35
Упражнения
а) Бросили игральную кость, найдите вероятность того, что выпавшее число больше 4.
Оставить комментарий on Задачи теория вероятностей с решениями: Математическое Бюро. Страница 404/
« Предыдущая 1 … 2 739 2 740 2 741 2 742 2 743 … 2 804 Следующая »
Навигация по записям
Предыдущая 1 … 2 737 2 738 2 739 2 740 2 741 2 742 2 743 2 744 2 745 … 2 804 Следующая
Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта