Урок 3. свойства и график функции y=cosx — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №3. Свойства и график функции y=cos x
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Глоссарий по теме
Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Точку х0 называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают ymax.
Точку х0 называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.
Основная литература:
Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).
Рис. 1 – графики функций и .
Функции и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).
Рис. 2 – графики функций и .
В общем случае если и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен , если , то период этой функции равен .
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).
Рис. 3 – изображение амплитуды графиков и .
Однако, если , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — .
Рис. 4 – график функции .
Свойства функции :
Область определения — множество R всех действительных чисел.
Множество значений — отрезок [−1;1].
Функция периодическая, Т=2π.
Функция — чётная
Функция принимает:
Функция
возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .
Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.
Актуализация знаний
Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.
Так как функция периодическая с периодом , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на , график будет таким же.
Функция является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)
Рис. 5 – график функции .
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .
Построим графики функций и (рис. 6)
Рис. 6 – графики функций и .
Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х1 и х2 симметричны относительно оси Оу, следовательно . А .
Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .
Из рисунка 6 видно, что график функции лежит ниже графика функции на промежутках и
Ответ: , .
cos модуль x график
Вы искали cos модуль x график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos модуль x модуль, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «cos модуль x график».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как cos модуль x график,cos модуль x модуль,y cos модуль x,y cosx модуль,y модуль cos x,y модуль cos модуль x,y модуль cosx график,график cos модуль x,график модуль cos x,график модуль y cosx,модуль cos x график,модуль y cos x. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos модуль x график. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, y cos модуль x).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos модуль x график Онлайн?
Решить задачу cos модуль x график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Cos x п 2 график. Графики тригонометрических функций кратных углов
Урок и презентация на тему: «Функция y=cos(x). Определение и график функции»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать: 1. Определение. 2. График функции. 3. Свойства функции Y=cos(X). 4. Примеры.
Определение функции косинуса у=cos(x)
Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).
Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).
Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.
График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).
График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.
Свойства функции cos(x)
Запишем свойства нашей функции:
Область определения – множество действительных чисел.
Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что -1 ≤ cos(X) ≤ 1
Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.
Примеры с функцией cos(x)
1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1
Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок).
y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.
2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0
Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x) при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном
графике.
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно. Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.
4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1
Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.
Задачи для самостоятельного решения
1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2. 2) Решить уравнение: cos(x)= — (x – π) 2 — 1. 3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) — 2. 4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1. 5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y=cos(x) на отрезке . 6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].
«Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.
«График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).
«Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…
«Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.
«Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.
«Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.
Всего в теме
25 презентаций
Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.
Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда
у 0 = sin x 0 .
Преобразуем это соотношение следующим образом:
Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у
= sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.
Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.
Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π
/ x / 2 = 4π .
Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :
Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.
График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.
На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.
И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:
Упражнения
1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.
а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3
б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3
в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3
2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).
3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.
4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .
5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.
6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.
Функция y = (x) — презентация онлайн
1. Функция
y | x | Подготовил Кожемяко Никита, 9 класс 2008г. Актуальность – собрать сведения по теме в связи с подготовкой к экзамену Проблема – в школьном курсе алгебры недостаточно задач с модулем Объект исследования – функция Предмет исследования – функция у=|x| Цель – рассмотреть решение распространённых задач с модулем Гипотеза – я предполагал, что задачи с модулем решаются только графически Задачи – 1.Вспомнить известную мне информацию о задачах с модулем 2.Придумать новые задачи 3.Проконсультироваться с учителем 4.Создать презентацию 5.Защитить работу
3. Определение модуля
В математике через |x| обозначается абсолютная величина, или модуль числа х. Абсолютная величина числа х равна этому числу, если х>0, равна противоположному числу –х, если x равна нулю, если х=0. Таким образом, функция |x| определена для всех х (-∞;+∞). Множество её значений совпадает с множеством неотрицательных чисел. |x|= х, если х≥0, -х, если х График функции у 0 Свойства функции y | x | х 1.D(f)=(-∞;+∞) 2.E(f)=[0;+∞) 3.Ограничена снизу 4.Возрастает на[0;+∞) убывает на(-∞;0] 5.Чётная функция 6. У наиб нет У наим. 0 7.Непрерывна Решение уравнений с модулем графическим методом |x-3|-1=x3 y=|x-3|-1 0 Ответ: x=1 у y=x3 1 4 x Решение неравенств с модулем графическим методом Решим неравенство |x|-2 ≥ y=|x|-2 0 Ответ: [4;+∞) y= y 1 x x 4 x Решение уравнения с параметром и модулем графическим способом Сколько решений имеет уравнение у |x+2|+1 =c y=|x+2|+1 y=c Рассмотрим 3 случая 1 Iсл. c>1, 2 решения IIсл. c IIIсл. c=1, 1 решение 0 x
8. Аналитический метод решения уравнения с модулем
Решим уравнение|x-3|=5 I способ Рассмотрим два случая 1 случай 2 случай x-3≥0 x-3=5 x-3 3-x=5 x=5+3 -x=5-3 x=8, 8-3≥0 (и) x=-2, -2-3 Ответ:-2, 8 II способ x-3=5 или x-3=-5 x=8 x=-2
9. Показательные уравнения с модулем
2|x+2| = 16 2|x+2| = 24 |x+2| = 4 I случай x+2=4 x=2 Ответ: 2;-6 II случай x+2=-4 x=-6
10. Логарифмическое уравнение с модулем
log2(|x-2| — 1) = 1 ОДЗ: (|x-2| — 1) > 0: |x-2| — 1 = 2 |x-2| = 3 I случай II случай x-2 = 3 x-2 = -3 x=5 x = -1 Ответ: 5;-1
11. Алгоритм решения уравнений с модулем
1. Найти нули модулей. 2. Отметить нули на координатной прямой. 3. Решить уравнение на каждом из промежутков с помощью системы. 4. Написать ответ.
12. Решение уравнений с двумя модулями
|x|=|x-3|+4-x |x|=0,|x-3|=0 Нули модулей: 0;3 0 3 1сл. 2сл. 3сл. x -x=3-x+4-x 0≤x≤3 x=-x+3+4-x x>3 x=x-3+4-x x=7, 7 x=7/3 ,0≤7/3≤3 (и) x=1 ,1>3 (л) Решений нет Ответ: 7/3. 7/3 — корень Решений нет х
13. Решение неравенств с модулем аналитическим методом
|x+2|≥1 Рассмотрим два случая I случай II случай x+2≥0 x+2≥1 x+2 -2-x x≥-2 x≥-1 x x>-3 -2 x -1 x [-1;+∞) -3 x Ответ: [-3;-2] (-3;-2)U[-1;+∞). -2 x Решение неравенств с модулем различными методами Третий способ. Имеем: |x-2.5|>2. Геометрически выражение |x-2.5| означает расстояние р(x-2.5) на координатной прямой между точками х и 2.5. Значит, нам нужно Найти все такие точки х, которые удалены от точки 2.5 более, чем на 2это точки из промежутков (-∞;0.5) и (4.5;+∞) Итак, получили следующее решения неравенства: х4.5. Четвёртый способ. Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведение их в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Получим |2x-5|2>42 Воспользовавшись тем что |x|2=x2, получим (2x-5-4)(2x-5+4)>0 Применив метод интервалов получим тот же ответ.
15. Алгоритм решения неравенств с модулем
1. Найти нули модулей. 2. Отметить нули на координатной прямой. 3. Решить неравенство на каждом из промежутков с помощью системы. 4. Написать ответ.
16. Решение неравенств с двумя модулями
|x+1|≥|x-2| -1 Нули модулей: -1;2 1сл. 2сл. 2 3сл. x -x-1≥-х+2 -1≤x≤2 х+1≥-x+2 x>2 х+1≥х-2 0x≥3, 0≥3 (л) 2х≥1 х≥0,5 0,5 0x≥-3,0≥3 (и) Решений нет -1 Ответ:(0,5;+∞) х х х 2 2 Тригонометрические уравнения с модулем |sin(x+ )|=1 I случай sin(x+ )=1 -sinx=1 sinx=-1 x=3 /2+2 n /2+ n Ответ: II случай sin(x+ )=-1 -sinx=-1 sinx=1 x= /2+2 n Тригонометрические уравнения с модулем ) |cosx|=cos(x+ I cлучай cosx -cosx=cos(x+ ) cos( +x)=cos(x+ ) x+ =x+ +2 или -x- =x+ x=x+ -2x=2 0x= x= решений нет 2 Ответ: +2 Тригонометрические уравнения с модулем ) |cosx|=cos(x+ II cлучай cosx≥0 cosx=cos(x+ ) cos(x)=cos(x+ ) x =x+ +2 или -x=x+ +2 x=x+ -2x= +2 0x= x= — решений нет Ответ: 2 График функции у=|x+1|-|x-2| Нули модулей: -1;2 1сл. 2сл. x у=-x-1+х-2 -1≤x≤2 x>2 у=х+1+x-2 у=х+1-х+2 x у=-3 -1≤x≤2 у=2х-1 у= -3, x 2х-1, -1≤x≤2 3, x>2 3сл. 2 -1 х у x>2 у=3 0 х Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом. Роджер Котс (Roger Cotes; 10 июля 1682 — 5 июня 1716) — английский математик и философ. В двадцать четыре года был назначен профессором астрономии и экспериментальной философии в Кембриджском университете. В 1713 он подготовил второе издание «Principia» Ньютона. Котс оставил серию подробных исследований по оптике. Карл Те́одор Ви́льгельм Ве́йерштрасс (нем. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß; 31 октября 1815 — 19 февраля 1897) — выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа».
22. Выводы
В ходе работы над проектом моя гипотеза не подтвердилась. Я не только вспомнил графический способ, но и научился решать уравнения и неравенства аналитическим методом и строить графики с несколькими модулями. В дальнейшем можно рассмотреть аналитический метод решения неравенств и уравнений с модулем и параметром.
23. Список литературы
Алгебра:Для 8 кл.:учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб.изуч математики/ Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвило и др., под ред. Н.Я.Виленкина – М.: Просвещение. Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух частях. Ч.2: Учебник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Мордкович А.Г. И др.Алгебра и начала анализа 10-11кл.: В двух частях. Ч.1: Задачник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Математика: Учеб. Для 6 кл. сред. шк./Н.Я. Виленкин и др. М.: Просвещение, 1993.
График функции y 2 cos x. Графики тригонометрических функций кратных углов. Задачи для самостоятельного решения
«Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой.
«График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).
«Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,…
«Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции.
«Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы.
«Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и.
Всего в теме
25 презентаций
Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.
Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда
у 0 = sin x 0 .
Преобразуем это соотношение следующим образом:
Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у
= sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.
Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.
Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π
/ x / 2 = 4π .
Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :
Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.
График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.
На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.
График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.
И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:
Упражнения
1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.
а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3
б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3
в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3
2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).
3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.
4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .
5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.
6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.
Урок и презентация на тему: «Функция y=cos(x). Определение и график функции»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать: 1. Определение. 2. График функции. 3. Свойства функции Y=cos(X). 4. Примеры.
Определение функции косинуса у=cos(x)
Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).
Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).
Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.
График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).
График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.
Свойства функции cos(x)
Запишем свойства нашей функции:
Область определения – множество действительных чисел.
Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что -1 ≤ cos(X) ≤ 1
Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.
Примеры с функцией cos(x)
1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1
Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок).
y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.
2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0
Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x) при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном
графике.
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно. Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.
4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1
Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.
Задачи для самостоятельного решения
1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2. 2) Решить уравнение: cos(x)= — (x – π) 2 — 1. 3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) — 2. 4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1. 5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y=cos(x) на отрезке . 6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].
Python. Модуль math. Тригонометрические функции
Содержание
Поиск на других ресурсах:
1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот
Чтобы использовать тригонометрические функции в программе, нужно подключить модуль math
import math
Все тригонометрические функции оперируют радианами. Зависимость между радианами и градусами определяется по формуле:
1 радиан = 180°/π = 57.2958°
Если известен угол в градусах, то для корректной работы тригонометрических функций, этот угол нужно преобразовать в радианы.
Например. Задан угол, имеющий n градусов. Найти арккосинус этого угла. В этом случае формула вычисления результата будет следующей:
...
n_rad = n*3.1415/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
...
Чтобы получить более точное значение результата, в программе можно использовать константу math.pi, которая определяет число π. В этом случае текст программы будет иметь следующий вид
n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
⇑
2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)
В языке Python существуют функции преобразования из градусов в радианы и, наоборот, из радиан в градусы.
Функция math.degrees(x) конвертирует значение параметра x из радиан в градусы. Функция math.radians(x) конвертирует значение параметра x из градусов в радианы.
Пример.
# Функция math.degrees(x)
import math
x = 1 # x - угол в радианах
y = math.degrees(x) # y = 57.29577951308232 - угол в градусах
x = math.pi # x = 3.1415...
y = math.degrees(x) # y = 180.0
# Функция math.radians(x)
x = 180.0/math.pi
y = math.radians(x) # y = 1.0
x = 45 # x - угол в градусах
y = math.radians(x) # y = 0.7853981633974483
⇑
3. Ограничения на использование тригонометрических функций
При использовании тригонометрических функций следует учитывать соответствующие ограничения, которые следуют из самой сущности этих функций. Например, не существует арксинуса из числа, которое больше 1. Если при вызове функции задать неправильный аргумент, то интерпретатор выдаст соответствующее сообщение об ошибке
ValueError: math domain error
⇑
4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла
Функция acos(x) возвращает арккосинус угла x. Аргумент x задается в радианах и может быть как целым числом, так и вещественным числом.
Пример.
# Функция math.acos(x)
import math
n = float(input('n = ')) # ввести n
n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
print('n_rad = ', n_rad)
print('ac = ', ac)
Результат работы программы
n = 35
n_rad = 0.6108652381980153
ac = 0.913643357298706
⇑
5. Функция math.asin(x). Арксинус
Функция math.asin(x) вычисляет арксинус угла от аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.
Пример.
# Функция math.asin(x)
import math
n = 10 # n - угол в градусах
# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 0.17453292519943295
# вычислить арксинус
asn = math.asin(n_rad) # asn = 0.17543139267904395
⇑
6. Функция math.atan(x). Арктангенс
Функция math.atan(x) возвращает арктангенс аргумента x, значение которого задается в радианах. При использовании функции важно помнить допустимые значения x, которые можно задавать при вычислении арктангенса.
Пример.
# Функция math.atan(x)
import math
n = 60 # n - угол в градусах
# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 1.0471975511965976
# вычислить арктангенс
atn = math.atan(n_rad) # atn = 0.808448792630022
⇑
7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y
Функция math.atan2(x, y) вычисляет арктангенс угла от деления x на y. Функция возвращает результат от —π до π. Аргументы x, y определяют координаты точки, через которую проходит отрезок от начала координат. В отличие от функции atan(x), данная функция правильно вычисляет квадрант, влияющий на знак результата.
Пример.
# Функция math.atan2(x,y)
import math
x = -2
y = -1
res = math.atan2(x, y) # res = -2.0344439357957027
⇑
8. Функция math.cos(x). Косинус угла
Функция math.cos(x) вычисляет косинус угла для аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.
Пример.
# Функция math.cos(x)
import math
x = 0
y = math.cos(x) # y = 1.0
x = math.pi
y = math.cos(x) # y = -1.0
x = 2 # 2 радианы
y = math.cos(x) # y = -0.4161468365471424
⇑
9. Функция math.sin(x)
Функция math.sin(x) возвращает синус угла от аргумента x, заданного в радианах.
Пример.
# Функция math.sin(x)
import math
x = math.pi
y = math.sin(x) # y = 1.2246467991473532e-16
x = 0
y = math.sin(x) # y = 0.0
x = 2 # 2 радиана
y = math.sin(x)
⇑
10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)
Функция возвращает Евклидовую норму, которая равна длине вектора от начала координат до точки x, y и определяется по формуле
Пример.
# Функция math.hypot(x, y)
import math
x = 1.0
y = 1.0
z = math.hypot(x, y) # z = 1.4142135623730951
x = 3.0
y = 4.0
z = math.hypot(x, y) # z = 5.0
⇑
11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x
Функция math.tan(x) возвращает тангенс от аргумента x. Аргумент x задается в радианах.
Пример.
# Функция math.tan(x, y)
import math
x = 1.0
y = math.tan(x) # y = 1.5574077246549023
x = 0.0
y = math.tan(x) # y = 0.0
⇑
Связанные темы
⇑
графиков функции синуса и косинуса
Результаты обучения
Определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг синусоидального или косинусоидального графика по его уравнению.
График изменения y = cos x и y = sin x.
Определите формулу функции, которая будет иметь заданный синусоидальный график.
Определение функций, моделирующих круговое и периодическое движение.
График изменения y = sin (x) и y = cos (x)
Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности.Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции синуса на единичной окружности.
x
0
[латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]
[латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]
[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]
[латекс] \ pi [/ латекс]
[латекс] \ sin (x) [/ латекс]
0
[латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]
1
[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]
0
Построение точек из таблицы по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.
Рисунок 2. Синусоидальная функция
Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.
Рисунок 3. График значений синусоидальной функции
Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.
x
0
[латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]
[латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]
[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]
[латекс] \ pi [/ латекс]
[латекс] \ cos (x) [/ латекс]
1
[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]
[латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]
0
[латекс] — \ frac {1} {2} [/ латекс]
[латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]
[латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]
-1
Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4. Косинусная функция
Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].
На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом [латекс] 2π [/ латекс].Периодическая функция — это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для все значения x в домене f . Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с [latex] P> 0 [/ latex] периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.
Рисунок 5
Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии.Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] \ sin (−x) = — \ sin x [/ latex]. Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.
Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции
На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией.Теперь из графика видно, что [latex] \ cos (−x) = \ cos x [/ latex].
Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса
Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса
Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:
Это периодические функции с периодом 2π.
Область каждой функции — [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], а диапазон — [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
График [latex] y = \ sin x [/ latex] симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
График [latex] y = \ cos x [/ latex] симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.
Исследование синусоидальных функций
Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса. Однако они не обязательно идентичны.Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс]
и
[латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]
Определение периода синусоидальной функции
Рассматривая формы синусоидальных функций, мы видим, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.
В общей формуле B связано с периодом соотношением [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если [латекс] | B | > 1 [/ latex], то период меньше [latex] 2π [/ latex] и функция подвергается горизонтальному сжатию, тогда как если [latex] | B | <1 [/ latex], то период больше, чем [latex] 2π [/ latex], и функция претерпевает горизонтальное растяжение. Например, [латекс] f (x) = \ sin (x), B = 1 [/ latex], поэтому период равен [latex] 2π [/ latex], который мы знали.Если [latex] f (x) = \ sin (2x) [/ latex], то [latex] B = 2 [/ latex], поэтому период равен [latex] π [/ latex] и график сжимается. Если [латекс] f (x) = \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период [латекс] 4π [/ латекс] и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с [latex] | B | [/ latex].
Рисунок 8
Общее примечание: период синусоидальных функций
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы
[латекс] y = A \ sin \ left (Bx \ right) [/ латекс]
[латекс] y = A \ cos \ left (Bx \ right) [/ латекс]
Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].
Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса
Определите период функции [latex] f (x) = \ sin \ left (\ frac {π} {6} x \ right) [/ latex].
Показать решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет
[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \\ & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \\ & = 12 \ end {align} [/ latex]
Попробуйте
Определите период функции [latex] g (x) = \ cos \ left (\ frac {x} {3} \ right) [/ latex].
Определение амплитуды
Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда [латекса] f (x) = 4 \ sin \ left (x \ right) [/ latex] в два раза больше амплитуды
[латекс] f (x) = 2 \ sin \ left (x \ right) [/ латекс]
Если [латекс] | A | <1 [/ latex], функция сжата. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.
Рисунок 9
Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы
[латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) [/ latex]
Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание, что в примере
[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | [/ latex]
Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса
Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Показать решение
Давайте начнем с сравнения функции с упрощенной формой [latex] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
В данной функции A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4.Функция растянута.
Анализ решения
Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.
Рисунок 10
Попробуйте
Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = 12 \ sin (x) [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Показать решение
[латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] сжатый
Анализ графиков вариаций
y = sin x и y = cos x
Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общий вид:
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]
или
[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C} { B})) + D [/ латекс]
Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом или горизонтальным смещением основной синусоидальной или косинусоидной функции . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f (x ) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} [/ latex].
Рисунок 11
В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].
Рисунок 12
Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. Рисунок 13 сравнивает [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex] с [latex] f (x) = \ sin (x) +2 [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике.
Рисунок 13
Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса
Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] — это сдвиг по фазе , и D, — это сдвиг по вертикали , .
Пример 3: Определение фазового сдвига функции
Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 [/ latex].
Показать решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex].
Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1 и [latex] C = — \ frac {π} {6} [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг
или [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] единиц слева.
Анализ решения
Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ frac { π} {6})) — 2 [/ латекс]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.
Попробуйте
Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) [/ latex].
Показать решение
[латекс] \ frac {π} {2} [/ латекс]; правый
Пример 4: Определение вертикального сдвига функции
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 [/ latex].
Показать решение
Давайте начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D [/ latex]. В данном уравнении [латекс] D = -3 [/ латекс], поэтому сдвиг составляет 3 единицы вниз.
Попробуйте
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 [/ latex].
Практическое руководство. Имея синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Определите амплитуду как | A |.
Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 [/ latex].
Показать решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.
Затем B = 2, поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π [/ latex].
В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 [/ latex].
Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.
Анализ решения
Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3. См. Рисунок 14.
Рисунок 14
Попробуйте
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) [ /латекс].
Показать решение
средняя линия: [латекс] y = 0 [/ латекс]; амплитуда: | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = 6 \ pi [/ латекс]; фазовый сдвиг: [латекс] \ frac {C} {B} = \ pi [/ latex]
Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.
Рисунок 15
Показать решение
Чтобы определить уравнение, нам нужно идентифицировать каждое значение в общем виде синусоидальной функции.
[латекс] y = A \ sin \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]
[латекс] y = A \ cos \ left (Bx-C \ right) + D [/ латекс]
График может представлять либо функцию синуса, либо косинуса, которая смещается и / или отражается. Когда [latex] x = 0 [/ latex], график имеет крайнюю точку, [latex] (0,0) [/ latex]. Поскольку функция косинуса имеет крайнюю точку для [latex] x = 0 [/ latex], давайте запишем наше уравнение в терминах функции косинуса.
Начнем со средней линии. Мы видим, что график поднимается и опускается на одинаковое расстояние выше и ниже [latex] y = 0,5 [/ latex]. Это значение, которое является средней линией, равно D в уравнении, поэтому D = 0,5.
Наибольшее расстояние выше и ниже средней линии — это амплитуда. Максимальные значения находятся на 0,5 единицы выше средней линии, а минимальные — на 0,5 единицы ниже средней линии. Итак | A | = 0,5. Другой способ определить амплитуду — это признать, что разница между высотой локальных максимумов и минимумов равна 1, поэтому | A | = [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс].Кроме того, график отображается относительно оси x , так что A = 0,5.
График не растягивается и не сжимается по горизонтали, поэтому B = 0 и график не смещается по горизонтали, поэтому C = 0.
Собираем все вместе,
[латекс] g (x) = 0,5 \ cos \ left (x \ right) +0,5 [/ латекс]
Попробуйте
Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.
Рисунок 16
Показать решение
[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 [/ латекс]
Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.
Рисунок 17
Показать решение
При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2. Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | A | = 3.
Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex].Используя положительное значение для B , находим, что
Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ пи} {3} х-С) -2 [/ латекс]. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:
косинус, смещенный вправо
отрицательный косинус, сдвинутый влево
синус, сдвинутый влево
отрицательный синус смещен вправо
Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения.Итак, наша функция становится
[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π } {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 [/ латекс]
Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.
Попробуйте
Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.
Рисунок 18
Показать решение
две возможности: [латекс] y = 4 \ sin (\ frac {π} {5} x− \ frac {π} {5}) + 4 [/ latex] или [latex] y = −4sin (\ frac {π} {5} x + 4 \ frac {π} {5}) + 4 [/ латекс]
Графические вариации
y = sin x и y = cos x
В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков.Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.
Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex],
мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.
Как сделать: для функции [latex] y = Asin (Bx) [/ latex] нарисуйте ее график.
Определите амплитуду, | A |.
Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} [/ latex].
Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A, положительна, или уменьшается, если A, отрицательна.
При [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, при y = A .
Кривая возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {| B |} [/ latex].
Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} [/ latex] при y = — A .
Кривая снова возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {2 | B |} [/ latex].
Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода
Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) [/ latex].
Показать решение
Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.
| A | = 2
Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} [/ latex], поэтому период равен
[латекс] \ begin {align} P & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ & = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ & = 4 \ end {align} [/ latex]
Шаг 3. Поскольку A отрицательно, график спускается по мере продвижения вправо от начала координат.
Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода находятся на уровне x = 4.
Четверть точки включают минимум при x = 1 и максимум при x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.
Рисунок 19
Попробуйте
Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Показать решение
средняя линия: y = 0; амплитуда: | A | = 0,8; период: P = [латекс] \ frac {2π} {| B |} = \ pi [/ latex]; фазовый сдвиг: [latex] \ frac {C} {B} = 0 [/ latex] или нет
Как сделать: для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.
Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ latex].
Нарисуйте график [latex] f (x) = A \ sin (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх или вниз на Д .
Пример 9: Построение преобразованной синусоиды
Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/ latex].
Показать решение
Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin \ left (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4} \ right) [/латекс].Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.
Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.
Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} [/ latex], мы определяем период следующим образом.
[латекс] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 [/ латекс]
Период 8.
Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} [/ latex], фазовый сдвиг равен
Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида
Попробуйте
Нарисуйте график [латекса] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Показать решение
[латекс] \ text {midline:} y = 0; \ text {ampitude:} | A | = 2; \ text {period:} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6; \ text {сдвиг фазы:} \ frac {C} {B} = — \ frac {1} {2} [/ latex]
Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции
Дано [латекс] y = −2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi \ right) +3 [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.
Показать решение
Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.
[латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]
Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.
Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.
Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {2π} {| B |} = \ frac { 2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 [/ latex].Период 4.
Шаг 4. [latex] C = — \ pi [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 [/ latex]. Сдвиг фазы равен -2.
Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается на 3.
Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражен относительно оси x.
На рисунке 21 показан один цикл графика функции.
Рисунок 21
Использование преобразований функций синуса и косинуса
Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием либо синусоидальной, либо косинусной функции .
Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.
Показать решение
Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.
Рисунок 22
Анализ решения
Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; когда мы путешествуем по кругу, мы возвращаемся к точке (3,0) для [latex] x = 2 \ pi, 4 \ pi, 6 \ pi, \ dots [/ latex], потому что выходы графика теперь будут колебаться между –3 и 3 амплитуда синусоидальной волны равна 3.
Попробуйте
Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.
Показать решение
7
Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Круг с радиусом 3 фута устанавливается так, чтобы его центр находился в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23. Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.
Рисунок 23
Показать решение
Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.
Рисунок 24
Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают одну функцию более простой в использовании, чем другую.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.
Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.
Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что
[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]
Попробуйте
Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение y груза относительно доски находится в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение x задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y через x.
Рисунок 25
Показать решение
[латекс] y = 3 \ cos (x) −4 [/ латекс]
Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения
Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.
Показать решение
При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.
Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.
Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.
Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусной кривой.
Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
Форма: −cos ( t )
Уравнение роста всадника:
[латекс] y = -67,5 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {15} t \ right) +69,5 [/ latex]
, где t в минутах, а y в метрах.
Ключевые уравнения
Синусоидальные функции
[латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс]
[латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]
Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
Значение D в общей формуле синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.
Глоссарий
амплитуда
вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
средняя линия
горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
периодическая функция
функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x
сдвиг фазы
горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
синусоидальная функция
любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]
Модуль 15 — Косинус y = cos (x)
Управляйте настройками файлов cookie
Вы можете управлять своими предпочтениями относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, пока вы находитесь на веб-сайтах TI, изменяя статус этих категорий.
Категория
Описание
Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie
Эти файлы cookie, включая файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie
Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей.Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie
Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, в том числе более персонализированный и релевантный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Файлы cookie социальных сетей
Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо
Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie).
Всегда на связи
Графическая функция косинуса
В
тригонометрические соотношения
может также рассматриваться как функция переменной, которая является мерой угла.Эту угловую меру можно указать в
градусы
или
радианы
. Здесь мы будем использовать радианы.
График
косинус
функция
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
выглядит так:
Свойства функции косинуса,
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
.
Максимальное значение
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
происходит, когда
Икс
знак равно
2
п
π
, куда
п
целое число.
Минимальное значение
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
происходит, когда
Икс
знак равно
π
+
2
п
π
, куда
п
целое число.
Амплитуда и период функции косинуса
Амплитуда графика
у
знак равно
а
потому что
(
б
Икс
)
это величина, на которую он изменяется выше и ниже
Икс
-ось.
Амплитуда = |
а
|
Период функции косинуса — это длина самого короткого интервала на
Икс
-ось, по которой график повторяется.
Период =
2
π
|
б
|
Пример:
Нарисуйте графики
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
и
у
знак равно
2
потому что
(
Икс
)
.Сравните графики.
Для функции
у
знак равно
2
потому что
(
Икс
)
, график имеет амплитуду
2
. С
б
знак равно
1
, график имеет период
2
π
. Таким образом, он проходит один цикл от
0
к
2
π
с одним максимумом
2
, и один минимум
—
2
.
Обратите внимание на графики
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
и
у
знак равно
2
потому что
(
Икс
)
. У каждого такое же
Икс
-перехватывает, но
у
знак равно
2
потому что
(
Икс
)
имеет амплитуду, в два раза превышающую амплитуду
у
знак равно
потому что
(
Икс
)
.
Также см
Тригонометрические функции
.
Как построить график 1-cos (x) — Видео и стенограмма урока
Другие преобразования функций
Как мы только что видели, преобразования функций очень удобны при попытке построить график вариаций хорошо известной функции. Мы просто видели в действии отражения и вертикальные сдвиги. Давайте посмотрим на два других типа преобразований функций. Это горизонтальные сдвиги и растяжение / сжатие.
Горизонтальный сдвиг — это преобразование, которое сдвигает график функции вправо или влево. Эти типы преобразований соответствуют добавлению или вычитанию числа от или до x в функции. Если мы добавим c к x в функции, то мы сдвинем график функции влево на c единиц, а если мы вычтем c из x в функции, то мы сдвинем график функция правая c шт.Это может показаться вам обратным, но именно так работают горизонтальные сдвиги. Просто помните, имея дело с горизонтальными сдвигами, думайте «противоположности» (вправо = вычитание, влево = сложение).
Это много слов! Всегда лучше применять на практике, поэтому, чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим функцию y = cos ( x + 5). Поскольку мы добавляем 5 к x в функции cos ( x ), мы сдвигаем график cos ( x ) на пять единиц влево, чтобы получить график cos ( x + 5).
Сдвиг на 5 единиц влево
Растяжение и сжатие — это преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают (сжимают) функцию. Алгебраически это преобразование соответствует умножению функции или переменной x функции на число. Если мы умножаем целую функцию на c или 1/ c , мы растягиваем или сжимаем функцию по вертикали, а если мы умножаем только x -переменную в функции на c или 1/ c , мы растягиваем или сжимаем функцию по горизонтали.
Когда дело доходит до вертикального растяжения и сжатия, если мы умножаем на c , то мы растягиваем функцию по вертикали с коэффициентом c . Если мы умножим на 1/ c , то мы уменьшим функцию по вертикали в c раз.
С другой стороны, когда дело доходит до горизонтального растяжения и сжатия, если мы умножаем x на c , то мы сжимаем функцию по горизонтали с коэффициентом c .Если мы умножим x на 1/ c , то мы растянем функцию по горизонтали на коэффициент c .
Ой, опять много слов! Давайте еще раз рассмотрим пример, чтобы лучше понять эту концепцию. Рассмотрим функцию 2cos ( x ). Поскольку мы умножаем всю функцию cos ( x ) на 2, мы растягиваем функцию cos ( x ) в 2 раза.
Растянуть в 2 раза
Как мы видели в нашей первоначальной задаче построения графика 1 — cos ( x ), у нас может происходить более одного преобразования одновременно.Рассмотрим функцию y = (1/3) cos (- x — 2) — 4. На первый взгляд это выглядит очень сложным для построения графика, но на самом деле это просто вопрос построения графика y = cos ( x ), смещая его на 2 единицы вправо, сжимая по вертикали в 3 раза, отражая по оси y и смещая вниз на 4 единицы.
Трансформации
Довольно аккуратно, да?
Резюме урока
Давайте рассмотрим то, что мы узнали.В этом уроке мы рассмотрели функцию 1- cos (x), которая является примером преобразования функции или алгебраических манипуляций функции, соответствующих преобразованиям графика функции. Мы рассмотрели четыре типа преобразований, включая отражение и , которые представляют собой преобразования, отражающие функцию по оси x или y ; вертикальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, которые сдвигают график функции вверх или вниз; горизонтальные сдвиги , которые представляют собой преобразования, которые сдвигают график функции вправо или влево; и растягивание, и сжатие, , которые представляют собой преобразования, которые либо растягивают, либо сжимают функцию.
Легко видеть, что преобразования функций чрезвычайно полезны при построении графиков сложных функций. Эти преобразования могут превратить кажущуюся сложной проблему в проблему, которая довольно проста!
Python | Функция math.cos () — GeeksforGeeks
В Python математический модуль содержит ряд математических операций, которые можно легко выполнить с помощью модуля. math.cos () функция возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента.Значение, передаваемое в эту функцию, должно быть в радианах.
Синтаксис: math.cos (x)
Параметр: x: значение, передаваемое в cos ()
Возвращает: Возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента
Код # 1:
импорт математика
a = математика.pi / 6
печать ( "Значение косинуса числа пи / 6:" , конец = "")
печать (math.cos (a))
Выход:
Значение косинуса числа пи / 6 составляет: 0,8660254037844387.
Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.
Для начала подготовка к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень
Обзор недели 6: MATH 101T Тригонометрия 21742
Панель приборов
MATH 101T 21742
Неделя 6 Обзор
Перейти к содержанию
Панель приборов
Авторизоваться
Панель приборов
Календарь
Входящие
История
Помощь
Закрывать
Мой Dashboard
MATH 101T 21742
Страницы
Обзор недели 6
Весна 2021 г.
Home
Программа
Модули
Zoom
Задания
Репетиторство по математике
Ресурсы библиотеки
Программа для построения функции косинуса?
Программа для построения функции косинуса?
Косинусная функция в математике: В математике тригонометрические функции также называются круговыми функциями, угловыми функциями или гониометрическими функциями.Эти функции являются фактическими функциями, которые связывают положение прямоугольного треугольника с соотношением двух сторон.
Эти функции используются во всех науках, связанных с геометрией, таких как навигация, механика твердого тела, небесная механика, геодезия и многих других областях. Они относятся к числу очень простых периодических функций и, как таковые, также широко используются для считывания периодических явлений с помощью анализа Фурье.
Наиболее широко используемые тригонометрические функции - это синус, косинус и тангенс.
Функция косинуса в Python:
cos (): - В Python математический модуль содержит различные математические операции, которые можно выполнять с помощью этого модуля. Функция math.cos () возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента. Функция math.cos () взята из стандартной математической библиотеки языка программирования Python.
Цель этой функции - вычислить положительный или отрицательный косинус любого заданного числа.Эта функция недоступна напрямую, поэтому нам нужно импортировать математический модуль, а затем нам нужно вызвать эту функцию, используя математический статический объект.
Синтаксис: - Синтаксис функции cos () в Python:
math.cos (x)
В Python функция cos () возвращает косинус x радиан. Значение, переданное в эту функцию, должно быть в радианах. Эта функция возвращает косинус значения, переданного в качестве аргумента.
Но в этой статье мы реализуем функцию Cosine с помощью matplotlib и numpy.вы также можете использовать математический модуль, когда он дает результаты в радианах. поэтому мы можем реализовать, используя numpy. мы обсуждаем здесь, как использовать numpy.cos () в Python вместе с кодом, а также обсуждаем программу для построения функции косинуса? в программировании на Python.
numpy.cos () в Python
numpy.cos (x [, out]) = ufunc ‘cos’): Это математическая функция, используемая для вычисления тригонометрического косинуса для всех x (являющихся элементами массива).
Косинусные волны - это периодические волны, генерируемые колебаниями.Косинусоидальная волна аналогична синусоиде, с другой стороны, косинусоидальная волна опережает синусоидальную волну на 90 градусов фазового угла.
Кривая косинуса не проходит через начало координат. Приливы в океане - пример косинусных волн. Кривая косинуса может быть построена с помощью функции cosine () в массиве numpy и функции plot () модуля pyplot библиотеки matplotlib.
Код Python:
import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt x = np.arange (0,3 * np.pi, 0,01) a = 5 b = 4 y = np.cos (a * x + b) plt.plot (x, y) plt.xlabel ( 'x values ') plt.ylabel (' y values ') plt.title (' cos function ') plt.grid ( True ) plt.show ()
Выход:
Программа для построения графика функции косинуса
Резюме: В этой статье мы подробно обсуждаем функцию косинуса.Прежде всего, мы обсуждаем функцию синуса в математике, определение функции косинуса и то, как на самом деле она используется в математике. затем мы обсуждаем синусоидальную функцию в Python вместе с синтаксисом косинусной функции в Python.
Есть два способа использования функции cosine () в Python. Первый - math.cosine (x), в этом случае нам нужно импортировать математический модуль. второй - numpy.cosine (), использующий numpy и matplotlib для построения графика функции косинуса.
В последнем мы обсудим код для построения графика функции косинуса с выходом.В этом коде сначала нам нужно импортировать numpy, и мы использовали numpy как np, затем нам нужно импортировать matplotlib, который необходим для построения графика. поэтому мы определили matplotlib как plt.
В этом matplotlib.pyplot - это набор функций, которые заставляют matplotlib работать как MATLAB. Для каждой функции pyplot вносит некоторые изменения в фигуру: например, создает фигуру, создает область построения на фигуре, строит некоторые линии в области построения, украшает график метками и т. Д. .
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
Коля, Дима и Саша собрали. ..
Катя, Петя, Маша и Игорь участвовали в олимпиаде по математике. Каждую
задачу решили ровно 3 ученика. Катя решила 8 задач – больше всех, а Петя
Катя маша Петя и игорь участвовали в олимпиаде по математике Катя решила больше всех 8 задач Петя решил меньше всех 5 задач,известно что каждую задачу решили ровно три ученика,сколько задач решила
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.
Через точку О,не лежащую между…
Пользуйтесь нашим приложением
Найти производные функций y 3x. Калькулятор онлайн
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной
как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и
точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных
потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться
таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит
следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие
простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице
производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах
дифференцирования. Таблица производных и
правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу.
Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило,
проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования.
К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции
Правила дифференцирования
1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде , то
следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.
Если же перед Вами задача вроде ,
то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».
Пошаговые примеры — как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение,
а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель.
Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.
Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную «икса». Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем
требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного:
производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и
числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, ,
то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень
из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По
правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем.
Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.
Производные простых функций
1. Производная от числа равна нулю с´ = 0 Пример: 5´ = 0
Пояснение : Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной равна единице x´ = 1
Пояснение : При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с Пример: (3x)´ = 3 (2x)´ = 2 Пояснение : В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .
Откуда следует, что (cx + b)» = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю |x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение : Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу (x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0 Пример: (x 2)» = 2x (x 3)» = 3x 2 Для запоминания формулы : Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.
6. Производная дроби 1/х (1/х)» = — 1 / x 2 Пример: Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень (1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных (x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2
7.Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе (1 / x c)» = — c / x c+1 Пример: (1 / x 2)» = — 2 / x 3
8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем) (√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2 Пример: (√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5 (х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени (n √x)» = 1 / (n n √x n-1)
Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.
Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.
Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.
Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g.
Таблица производных
Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
(sin x)»=cos x
(cos x)»= –sin x
(x n)»=n x n-1
(e x)»=e x
(ln x)»=1/x
(a x)»=a x ln a
(log a x)»=1/x ln a
(tg x)»=1/cos 2 x
(ctg x)»= – 1/sin 2 x
(arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
(arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
(arctg x)»= 1/(1+x 2)
(arcctg x)»= — 1/(1+x 2)
Пример 1.
Найдите производную функции y=500.
Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).
Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .
Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).
(x 100)»=100 x 99
Пример 3. Найдите производную функции y=5 x
Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.
Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x
Производную логарифма найдем по формуле 7.
(log 4 x)»=1/x ln 4
Правила дифференцирования
Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.
1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной
Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8
Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.
(6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7
2. Производная суммы равна сумме производных
(f + g)»=f» + g»
Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x
Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:
(x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x
3. Производная разности равна разности производных
(f – g)»=f» – g»
Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x
Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.
(x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x
Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .
В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:
(e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна:
(e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Производная произведения
(f * g)»=f» * g + f * g»
Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x
Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.
(cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x
5. Производная частного
(f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2
Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x
Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:
(x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Производная сложной функции
Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:
(u (v))»=u»(v)*v»
Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней.
Например:
y=sin (x 3) — сложная функция.
Тогда y=sin(t) — внешняя функция
t=x 3 — внутренняя.
Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.
(sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3)
(x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции
Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции.
Приложение
Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.
Дата: 10.05.2015
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Именно в таком порядке. Это намёк.)
Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных — доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.
Дифференцирование — это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения «найти производную функции» и «продифференцировать функцию» — это одно и то же.
Выражение «правила дифференцирования» относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 — это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).
Рассмотрим несколько примеров. Сначала — самые простые.
Найти производную функции y=sinx — x 2
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx — это функция U , а x 2 — функция V. Имеем полное право написать:
y» = (sinx — x 2)» = (sinx)»- (x 2)»
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y» = (sinx)» — (x 2)» = cosx — 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx — x 2 +cosx — x +3
Смело пишем:
y» = (sinx)» — (x 2)» + (cosx)» — (x)» + (3 )»
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)
Практические советы:
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.
Мэтуэй | Популярные задачи
1
Найти производную — d/dx
бревно натуральное х
2
Оценить интеграл
интеграл натурального логарифма x относительно x
3
Найти производную — d/dx
92)
21
Оценить интеграл
интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22
Найти производную — d/dx
грех(2x)
23
Найти производную — d/dx
9(3x) по отношению к x
41
Оценить интеграл
интеграл от cos(2x) относительно x
42
Найти производную — d/dx
1/(корень квадратный из х)
43
Оценка интеграла 9бесконечность
45
Найти производную — d/dx
х/2
46
Найти производную — d/dx
-cos(x)
47
Найти производную — d/dx
грех(3x)
92+1
68
Оценить интеграл
интеграл от sin(x) по x
69
Найти производную — d/dx
угловой синус(х)
70
Оценить предел
ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85
Найти производную — d/dx
лог х
86
Найти производную — d/dx
арктан(х)
87
Найти производную — d/dx
бревно натуральное 5х92
Максимальные и минимальные значения.
Подход к исчислению
Подход
к
C A L C U L U S
Содержание | Главная
10
МЫ ГОВОРИМ, ЧТО ФУНКЦИЯ f ( x ) имеет относительное максимальное значение при x = a , , если f ( a ) на больше , чем любое значение, непосредственно предшествующее или следующее за ним.
Мы называем это «относительным» максимумом, потому что другие значения функции на самом деле могут быть больше.
Мы говорим, что функция f ( x ) имеет относительное минимальное значение при x = b , , если f ( b ) на меньше, чем любое значение, непосредственно предшествующее или следующее за ним.
Опять же, другие значения функции на самом деле могут быть меньше. При таком понимании мы отбросим термин «относительный».
Значение функции, значение y , максимальное или минимальное, называется экстремальным значением.
Теперь, что характеризует график при экстремальном значении?
Касательная к кривой горизонтальна . Это мы видим в точках А и Б . Наклон каждой касательной линии — производной при оценке как a или b — равен 0,
.
f ‘ ( x ) = 0,
Более того, в точках непосредственно от осталось максимума — в точке C — наклон касательной положителен: f ‘ ( x ) > 0. справа — в точке D — наклон отрицательный: ф ‘ ( x )
Другими словами, максимум f ‘ ( x ) меняет знак с + на — .
Как минимум, f ‘ ( x ) меняет знак с − на + . Мы можем видеть, что в точках E и F .
Мы также можем наблюдать, что в максимуме при A график вогнут вниз. (Тема 14 Precalculus.) В то время как, как минимум, на B , он вогнут вверх.
Значение x , при котором функция имеет либо максимум, либо минимум, называется критическим значением. На рисунке —
— критические значения x = a и x = b .
Критические значения определяют точки поворота, в которых касательная параллельна оси x . Критические значения — если таковые имеются — будут решения от до f ‘ ( x ) = 0,
Пример 1. Пусть f ( x ) = x 2 — 6 x + 5.
Есть ли какие-то критические значения — поворотные точки? Если да, то определяют ли они максимум или минимум? И каковы координаты на графике этого максимума или минимума?
Раствор . f’ ( х ) = 2 x — 6 = 0 подразумевает x = 3. (Урок 9 алгебры.)
x = 3 — единственное критическое значение. Это x -координата точки поворота. Чтобы определить y -координату, оцените f при этом критическом значении — оцените f (3):
f ( x )
=
х 2 − 6 x + 5
f (3)
=
3 2 − 6 · 3 + 5
=
−4.
Крайнее значение равно −4. Чтобы увидеть, является ли это максимумом или минимумом, в этом случае мы можем просто посмотреть на график.
f ( x ) — это парабола, и мы видим, что точка поворота является минимумом.
Найдя значение x , где производная равна 0, мы обнаружили, что вершина параболы находится в точке (3, −4).
Но не всегда мы сможем посмотреть на график. Алгебраическое условие минимума состоит в том, что f ‘ ( x ) меняет знак с − на + . Мы видим это в точках E , B , F выше. Значение наклона увеличивается.
Теперь сказать, что наклон увеличивается, значит сказать, что при критическом значении вторая производная (урок 9) — скорость изменения наклона — равна положительной .
Опять же, вот f ( x ):
f ( x )
=
х 2 − 6 х + 5.
f ‘ ( x )
=
2 х − 6,
f » ( x )
=
2.
f » оценивается при критическом значении 3 — f» (3) = 2 — положительный. Это говорит нам алгебраически, что критическое значение 3 определяет минимум.
Достаточные условия
Теперь мы можем сформулировать эти достаточные условия для экстремальных значений функции при критическом значении a :
Функция имеет минимальное значение при x = a , если f ‘ ( a ) = 0 и f » ( a ) = положительное число.
Функция имеет максимальное значение при x = a if f ‘ ( a ) = 0 и f » ( a ) = отрицательное число.
В случае максимума, наклон касательной равен уменьшению — он идет от положительного к отрицательному. Мы можем видеть, что в точках C , A , D .
Пример 2. Пусть f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 х — 3,
Есть ли экстремальные значения? Во-первых, существуют ли критические значения — решения f ‘ ( x ) = 0 — и определяют ли они максимум или минимум? И каковы координаты на графике этого максимума или минимума? Где поворотные моменты?
Решение . f’ ( х ) = 6 х 2 — 18 х + 12
=
6( х 2 − 3 х + 2)
=
6( х — 1)( х — 2)
=
0
подразумевает:
х = 1 или x = 2.
(Урок 37 Алгебры.)
Это критические значения. Каждый из них определяет максимум или он определяет минимум? Чтобы ответить, мы должны оценить вторую производную при каждом значении.
f ( x )
=
6 x 2 − 18 x + 12.
f » ( x )
=
12 х − 18.
ф» (1)
=
12 — 18 = -6.
Вторая производная отрицательна. Таким образом, функция имеет максимум при разрешении x = 1,
.
Чтобы найти y -координата — крайняя величина — в этом максимуме мы оцениваем f (1):
f ( x )
=
2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 3
f (1)
=
2 − 9 + 12 − 3
=
2.
Максимум приходится на точку (1, 2).
Далее, x = 2 определяет максимум или минимум?
е » ( х )
=
12 х − 18.
ф» (2)
=
24 — 18 = 6.
Вторая производная положительна. Таким образом, функция имеет минимум при разрешении x = 2,
.
Чтобы найти y -координату — экстремальное значение — в этом минимуме, мы вычисляем f (2):
f ( x )
=
2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 3.
f (2)
=
16 − 36 + 24 − 3
=
1.
Минимум приходится на точку (2, 1).
Вот, собственно, график f ( x ):
Решения f » ( x ) = 0 указывают точку перегиба в этих решениях, а не максимум или минимум. Пример: y = x 3 . y» = 6 x = 0 подразумевает x = 0. Но x = 0 является точкой перегиба на графике y = x 0 3 0 .
Другой пример: y = sin x . Решения для y » = 0 являются произведениями π, которые являются точками перегиба.
Задача 1. Найти координаты вершины параболы
у = х 2 — 8 х + 1.
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область. Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»). Сначала решай задачу сам!
у’ = 2 х — 8 = 0,
Отсюда следует, что x = 4. Это координата вершины x . Чтобы найти координату y , оцените y как x = 4:
.
y = 4 2 − 8 · 4 + 1 = −15.
Вершина находится в точке (4, −15).
Задача 2. Исследуйте каждую функцию на наличие максимумов и минимумов.
а) y = x 3 − 3 x 2 + 2,
y’ = 3 x 2 — 6 x = 3 x ( x — 2) = 0 подразумевает
x = 0 или x = 2.
у» ( х ) = 6 х — 6,
г» (0) = -6.
Вторая производная отрицательна. Это означает, что максимальное значение составляет x = 0. Это максимальное значение равно
.
г (0) = 2.
Далее,
г» (2) = 12 — 6 = 6.
Вторая производная положительна. Это означает, что есть минимум в x = 2. Это минимальное значение равно
.
y (2) = 2 3 − 3 · 2 2 + 2 = 8 − 12 + 2 = −2.
b) y = −2 x 3 − 3 x 2 + 12 x + 10,
При x = 1 максимум y = 17.
При x = −2 минимум г = -10.
c) y = 2 x 3 + 3 x 2 + 12 x − 4,
Поскольку f’ ( x ) = 0 не имеет действительных решений, нет и экстремальных значений.
г) y = 3 х 4 − 4 х 3 − 12 х 2 + 2,
В x = 0 есть максимум y = 2.
При x = -1 есть минимум y = -3.
При x = 2 минимум y = −30.
Следующий урок: Применение максимальных и минимальных значений
Содержание | Главная
Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн. Даже 1 доллар поможет.
Сложение полиномов — это всего лишь вопрос комбинирования одинаковых терминов с добавлением некоторого порядка операций. Если вы будете осторожны со знаками «минус» и не перепутаете сложение и умножение, вы должны сделать хорошо.
Существует несколько форматов сложения и вычитания многочленов, и они восходят к двум методам сложения и вычитания простых чисел, которым вы научились еще в начальной школе. Во-первых, вы выучили сложение «по горизонтали», вот так:
6 + 3 = 9
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
То есть вам дали относительно небольшие значения, и вы научились делать сложение — в основном в голове и работая горизонтально. Таким же образом мы можем добавлять полиномы, группируя любые «похожие» члены и затем упрощая результаты.
Сначала я раскрою скобки. Это легко сделать при добавлении, потому что в скобках нет знаков «минус». Затем я сгруппирую одинаковые термины в соответствии с их переменными (сохраняя их в алфавитном порядке) и, наконец, упрощу:
(2 x + 5 y ) + (3 x — 2 y )
2 x + 5 y + 3 x − 2 y
2 x + 3 x 59 y − 2 y
5 x + 3 y
Эти два термина непохожи (потому что у них разные переменные), поэтому я не могу их объединить. Это означает, что я зашел так далеко, как только мог, поэтому мой ответ:
5 x + 3 y
Горизонтальное сложение отлично работает для простых многочленов. Но когда вы складывали старые простые числа, вы обычно не пытались применить горизонтальное сложение к таким числам, как 432 и 246; вместо этого вы должны складывать числа вертикально, одно поверх другого, а затем добавлять столбцы (выполняя «переносы» при необходимости):
То же самое можно сделать и с полиномами. Вот как выглядит приведенное выше упражнение по упрощению, когда оно выполняется «по вертикали»
Я помещу каждую переменную в отдельный столбец; в этом случае первый столбец будет x -column, а второй столбец будет y -column:
Я получаю то же решение по вертикали, что и по горизонтали.
5 x + 3 y
Формат, который вы используете, горизонтальный или вертикальный, зависит от вашего вкуса (если в инструкциях прямо не указано иное). Если у вас есть выбор, вы должны использовать тот формат, который вам более удобен и успешен. Обратите внимание, что для простых сложений горизонтальное сложение (чтобы вам не пришлось переписывать задачу), вероятно, является самым простым, но, как только полиномы усложняются, вертикальное сложение, вероятно, является самым безопасным выбором (так что вы не «упадете» или не потеряете , слагаемые и знак минус).
Одно из преимуществ вертикального полиномиального сложения по сравнению с вертикальным числовым сложением: никогда не нужно ничего «переносить» из одного столбца в другой.
I can add horizontally:
(3 x 3 + 3 x 2 − 4 x + 5) + ( x 3 − 2 x 2 + x − 4)
3 x 3 + 3 x 2 − 4 x + 5 + x 3 − 2 x 2 + x − 4
3 x 3 + x 3 + 3 x 2 − 2 x 2 − 4 x + x + 5 − 4
4 x 3 + 1 x 2 − 3 x + 1
…or vertically:
В любом случае, я получаю тот же ответ. Для моего окончательного ответа я удалю «понятные» 1 с.
4 x 3 + x 2 − 3 x + 1
Обратите внимание, что каждый столбец в приведенном выше вертикальном сложении содержит только одну степень x: , крайний левый столбец добавляется вниз) был столбцом x 3 , вторым столбцом был столбец x 2 , третьим столбцом был столбец x , а четвертым столбцом были константы столбец. Это аналогично столбцу тысяч, столбцу сотен, столбцу десятков и столбцу единиц при выполнении строго числового сложения.
И так же, как нам нужно использовать нули для заполнения пустых слотов в сотнях столбцов (или в любом столбце без цифр), нам нужно оставлять пробелы в вертикальном сложении для любых пробелов в степенях переменных.
Совершенно нормально складывать три или более многочленов одновременно. Я просто пойду медленно и тщательно проделаю каждый шаг, и все должно получиться правильно.
Сначала я добавлю по горизонтали:
(7 x 2 − x − 4) + ( x 2 − 2 x − 3) + (−2 x 2 + 3 x + 5)
7 x 2 − x − 4 + x 2 − 2 x − 3 + −2 x 2 + 3 x + 5
7 x 2 + 1 x 2 − 2 x 2 − 1 x − 2 x + 3 x − 4 − 3 + 5
8 x 2 − 2 x 2 − 3 x + 3 x − 7 + 5
6 x 2 − 27 Примечание в третьей строке. Каждый раз, когда у меня есть переменная без коэффициента, в качестве коэффициента используется «понятная» 1. Если мне будет полезно написать этот 1 in, я так и сделаю.
Теперь я добавлю по вертикали:
В любом случае я получаю тот же ответ. В моем ответе я не буду включать «+0 x » term.
6 x 2 − 2
Horizontally:
( x 3 + 5 x 2 − 2 x ) + ( x 3 + 3 x — 6) + (−2 x 2 + x — 2)
x 3 + 5 x 3 + 5 x . 3 + 3 x — 6 + -2 x 2 + x — 2
x 3 + x 3 + 5 x 2 — 2 x 2 2 — 2 x 2 — 2 x 9109 2 — 2 x 9109 2 — 2 x 9109 2 — 2 x 2 — 2
3 x 2 — 2 . − 6 − 2
2 x 3 + 3 x 2 + 2 x — 8
При сложении больших чисел иногда встречаются нули, например, в следующих числах:
Нули в «1002» означают «ноль сотен» и «ноль десятков». Это то, что называется «заполнителями», указывающими на то, что нет сотен или десятков. Если бы я не включал эти нули в числовое выражение, то у меня было бы (в верхней строке) «12», что я не имел в виду. Нули удерживают вещи в правильном порядке. Когда я вертикально добавляю многочлены, которые пропускают некоторые из степеней x , мне нужно оставить промежутки, чтобы члены в различных полиномах правильно выстраивались (то есть в соответствии со степенью).
Вот как это выглядит, когда у меня есть многочлены с промежутками в их степенях, и я добавляю по вертикали:
Работая по вертикали или по горизонтали, я получаю один и тот же ответ:
2 x 3 + 3 x 2 + 2 x − 8
Вычитание многочленов работает почти так же, как и сложение многочленов, как мы увидим на следующей странице.
Model 3 создана с нуля как электромобиль — из сверхпрочной стали и с низким и прочным центром тяжести.
1
2
3
1
Жесткая структура
Сочетание алюминия и стали обеспечивает наилучшую жесткость конструкции и повышенную безопасность пассажиров.
2
Защита от ударов
В сочетании с амортизирующими направляющими и усилением центральной стойки прочность и поддержка жесткого аккумуляторного блока обеспечивают защиту со всех сторон.
3
Очень низкий риск опрокидывания
Расположение и вес аккумуляторной батареи, установленной на полу, обеспечивают очень низкий центр тяжести, что снижает риск опрокидывания.
Заказать сейчас
20-дюймовые колеса Überturbine и высокоэффективные тормоза
Включает шины Pirelli P Zero и более мощные тормоза для улучшения управляемости и производительности
Спойлер из углеродного волокна
Улучшенная аэродинамика и повышенная устойчивость на скорости до 162 ч/ч
Педали Performance
Изготовлены из алюминиевого сплава для улучшения стиля интерьера
Заказать сейчас
Зарядка около 30 минут, пока вы пьете чашку кофе или перекусываете. А с более чем 35 000 Supercharger, разбросанными по маршрутам, проложенным по всему миру, Model 3 доставит вас куда угодно.
35 000+
Нагнетатели
3900+ станций
Учить больше
Заказать сейчас
Заказать сейчас
Минималистичная внутренняя эстетика — все элементы управления доступны на центральном 15-дюймовом сенсорном экране и на рулевом колесе.
Стеклянная крыша
Широкая стеклянная крыша в модели 3 предлагает пассажирам более яркое и просторное пространство, а также цельный вид на небо.
Интерьер премиум-класса
Удовольствие от вождения — с нашей полностью стеклянной крышей, индивидуальной аудиосистемой и сиденьями премиум-класса.
Всепогодный комфорт
Повысьте комфорт и удобство с подогревом передних и задних сидений и боковых зеркал с подогревом.
Pristine Sound
Наша аудиосистема премиум-класса оснащена 14 динамиками, включая сабвуфер и два усилителя, что обеспечивает динамику внутреннего звучания, сравнимую со студией звукозаписи.
Заказать сейчас
Модель 3
Спецификации
Battery
Long Range
*Acceleration
3.1 s 0-60 mph with rollout subtracted
Range
315 miles (EPA est.)
Drive
Dual Motor All-Wheel Drive
Seating
5 Adults
Wheels
20″
Weight
4,048 lbs
Cargo
23 cu ft
Displays
15″ Center Touchscreen
Supercharging Max/ Payment Type
250 kW max; Pay Per Use
Onboard Charger Max
11. 5 kW max ( 48A)
Гарантия
Базовый автомобиль — 4 года или 50 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше Аккумулятор и привод — 8 лет или 120 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше
Battery
Long Range
Acceleration
4.2 s 0-60 mph
Range
358 miles (EPA est.)
Drive
Dual Motor All-Wheel Drive
Seating
5 Adults
Wheels
18″ or 19″
Weight
4,034 lbs
Cargo
23 cu ft
Displays
15″ Center Touchscreen
Supercharging Max/ Payment Type
250 kW max; Pay Per Use
Onboard Charger Max
11. 5 kW max (48A)
Warranty
Базовый автомобиль — 4 года или 50 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше Аккумулятор и привод — 8 лет или 120 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше
Вес
3,862 lbs
Cargo
23 cu ft
Displays
15″ Center Touchscreen
Supercharging Max/ Payment Type
170 kW max; Pay Per Use
Onboard Charger Max
Макс. 7,6 кВт (32 А)
Гарантия
Базовый автомобиль — 4 года или 50 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше Аккумулятор и привод — 8 лет или 100 000 миль, в зависимости от того, что наступит раньше
Руководство пользователя
Опыт Модель 3
Заказать сейчас
Сравнивать
Для некоторых функций автомобиля с высоким уровнем использования данных требуется как минимум стандартное подключение, включая карты, навигацию и голосовые команды. Доступ к функциям, использующим сотовые данные и лицензии третьих сторон, может быть изменен. Узнайте больше о стандартном подключении и любых ограничениях.
Существующий инвентарь
Изготовленный на заказ заказ
Ejercicios de la funcion cuadratica
Antes de empezar con los ejercicios, важные записи базы.
¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y su regla de корреспонденция es , donde son Constantes Reales Y
El Gráfico de Una función Cuadrática es Una Cónica (Círculo, Elipse, Parábola O hipérbola), PercusemoreS.15.
El grafico de (la función cuadrática más simple), позвольте обсерварировать algunas características de las parabolas. Entre otras cosas, y para cualquier otro valor real de . Por lo tanto, la función tiene un minimo en el punto, que se llama la cumbre de la parabola .
Si la parábola se encuentra en la parte inferior (se abre hacia arriba)
Si , la parábola se encuentra en la parte superior (se abre hacia abajo)
Los /las mejores profesores/as de Matemáticas Que están disponibles
Vamos
¿Cómo решатель у представителя una función cuadrática?
Hay dos dos métodos para resover y представитель una función cuadrática. A continuación detallamos los pasos de cada uno de ellos:
Fórmula del vertice
1Encontrar los valores de .
2Encontrar el valor del vértice con la vórmula del vértice.
3Hallar el valor de sustituyendo el valor de
4Escribir las coordenadas .
Резольвер эль-куадрадо
1Escribir la ecuación.
2Dividir por el valor del término .
3Mover la Constante de la ecuación a la derecha.
4Completar el cuadrado al lado izquierdo de la ecuación.
5Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
6Hallar y escribir las coordenadas .
Ejercicios propuestos
Resuelve y representa las siguientes funciones cuadráticas
1
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus Soluciones
Obtenemos las Soluciones
Así, las intersecciones con el eje son y
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
2
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Obtenemos la solución
Así , las intersecciones con el eje es
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es
4 Con los datos anteriores, la representación gráfica es
3
1 Vértice
Aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
2 Puntos de corte con el eje
Igualamos la función a cero y calculamos sus soluciones
Como el discriminante es negativo, , no hay intersecciones con el eje es
3 Punto de corte con el eje
Así, las intersección con el eje es
4 Con los datos anteriores, la Представительство графических данных
Halla el Vertice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes
1;
2;
3;
4;
5;
6;
El vértice de la parabola viene dado por y el eje de simetría por . Para la parábola , el vértice viene dado por
1
2
3
4
5
6
Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parabolas
1;
2;
3;
4.
Aplicamos el determinante y a partir de su signo concluimos si las parabolas cortan 2 veces, 1 vez o ninguna vez al eje de las abscisas.1
Calculamos el determinante
Como el determinante es positivo, se tienen dos puntos de corte.
2
Определяющий расчет
Como el determinante es negativo, no se tienen puntos de corte.
3
Определяющий расчет
Como el determinante es
4
Определяющий расчет
Como decorpunenti.
Encuentra los elementos pedidos en cada una de las funciones siguientes
1Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y pasa por el punto . Расчетная доблесть.
1Sustituimos el punto en la función
2resolvemos para
2Se Sabe Que Que Que Que que que que que que que que que que que que que que que que que que que que que que qu Расчет у.
1Sustituimos el Valor de Cada Punto en 2se otiene el Siguiente Sistema de Ecuaciones
3Resolviendo El Sistema Se Attiene
00.3.s.sele. Hallar су ecuación. 1la ecuación se expresa de la forma
2sustituimos los Valores del Vértice
3SUUS0907
.
2;
3;
4;
5;
6.
Графика 10907
2
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
3
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se encuentre en
4
Trasladamos la gráfica de de manera que el vértice se incuentre en
. 2B Решения из учебника Inter 2nd Year Maths 2B Решения определенных интегралов Упражнение 7(d) поможет учащимся быстро развеять сомнения.
I.
Вопрос 1. Определить площадь области, ограниченной данными кривыми. i) y = cos x, y = 1 – \(\frac{2x}{\pi}\) Решение: Уравнения данных кривых y = cos x ………….. (1) y = 1 – \(\frac{2x}{\pi}\) …………. . (2) Исключение y из уравнений (1) и (2) потому что x = 1 – \(\frac{2x }{\pi}\) Когда x = \(\frac{\pi}{2}\), cos x = cos\(\frac{\pi}{2}\) = 0 1 — \(\ frac{2}{\pi}\), x = \(\frac{2}{\pi}\) . \(\frac{\pi}{2}\) = 1 – 1 = 0 Когда x = 0, cos x = cos 0 = 1 1 – \(\frac{2x}{\pi}\) = 1 – 0 = 1 ∴ Точки пересечения: A = (\(\frac{\pi}{2}\), 0) B = [π – 1]
Вопрос 2. y = cos x, y = sin 2x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\). Решение:
Вопрос 3. y = x³ + 3, y = 0, x = -1, x = 2. Решение: Требуемая площадь PABQ
= 91y 909 Вопрос 29 y 909 e x , y = x, x = 0, x = 1. Решение:
Вопрос 5. y = sin x, y = cos x; х = 0, х = \(\frac{\pi}{2}\). Решение:
Между 0 и \(\frac{\pi}{4}\). cos x > sin x Между \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{2}\) cos x < sin x Требуемая площадь
Вопрос 6. x = 4 – y² , x = 0. Решение: Заданная парабола x = 4 – y² пересекается, ось x – в точках A(4, 0) и ось Y – в точках P(0, 2) и Q(0, -2).
Парабола симметрична относительно оси X
Требуемая площадь = 2 Площадь OAP
Вопрос 7. Найдите площадь, заключенную в кривой |x| + |у| = 1 Решение:
II. 93\)√3. √x dx
Вопрос 4. y = x², y = 2x. Решение: Данное уравнение: y = x² ………….. (1) y = 2x …………. (2)
Исключая y, получаем x² = 2x x² – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 или x = 2 y = 0, или y = 4
Точка пересечения равны O(0, 0), A(2, 4)
Вопрос 5. y = sin 2x, y = √3 sin x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{6} \). Решение: Данное уравнение: y = sin 2x ………… (1) y = √3 sin x …………. (2) sin 2x = √3 sin x 2 sin x. cos x = √3 sin x sin x = 0 или 2 cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) x = 0, cos x = \(\frac{\sqrt{3 }}{2}\) ⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\)
Вопрос 6. y = x², y = x³. Решение: Даны уравнения: y = x² ………….. (1) y = x³ ………. (2)
Из уравнения (1) и (2) x² = x³ x³ – x² = 0 x²(x – 1) = 0 x = 0 или 1
Вопрос 7. y = 4x – x² , у = 5 – 2 х e\)x.\(\frac{1}{x}\) dx = (e. l n e – 1. l n 1) – (x) e 1 = e – (e – 1) = e – e + 1 = 1 кв.ед.
III.
Вопрос 1. y = x² + 1, y = 2x – 2, x = -1, x = 2. Решение: Уравнение кривой: y = x² + 1 …………. (1) y = 2x – 2 ………….. (2)
1) D(y)
– Область опрделения: множество всех
тех значений переменной х. при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл.
Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции:
четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются
функции,
графики которых обладают
симметрией
относительно
изменения знака аргумента.
Нечётная
функция —
функция, меняющая значение на
противоположное при изменении знака
независимой переменной
(симметричная относительно
центра координат).
Чётная
функция —
функция, не изменяющая своего значения
при изменении знака независимой
переменной (симметричная относительно
оси ординат).
Ни
чётная ни нечётная функция (функция
общего вида) —
функция, не обладающая симметрией. В
эту категорию относят функции, не
подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции,
не принадлежащие ни одной из категорий
выше, называются ни
чётными ни нечётными (или
функциями общего вида).
Нечётные
функции
Нечётная степень где —
произвольное целое
число.
Чётные
функции
Чётная
степень где —
произвольное целое
число.
Периоди́ческая
фу́нкция ― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (пери́ода функции)
на всей области определения.
3)
Нули
(корни) функции — точки, где она
обращается в ноль.
Нахождение
точки пересечения графика с осью Oy . Для
этого нужно вычислить значение f (0).
Найти также точки пересечения графика
с осью Ox ,
для чего найти корни уравнения f (x )
= 0 (или
убедиться в отсутствии корней).
Точки, в
которых график пересекает
ось ,
называют нулями
функции .
Чтобы найти нули функции нужно решить
уравнение ,
то есть найти те
значения «икс» ,
при которых функция обращается в ноль.
4)
Промежутки
постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки,
где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого функция
положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ
оси абсцисс.
НИЖЕ
оси .
5)
Непрерывность (точки разрыва, характер
разрыва, ассимптоты).
Непрерывная
функция —
функция без «скачков», то есть такая, у
которой малые изменения аргумента приводят
к малым изменениям значения функции.
Устранимые
точки разрыва
Если
предел функции существует ,
но функция не определена в этой точке,
либо предел не совпадает со значением
функции в данной точке:
,
то
точка называется точкой
устранимого разрыва функции (в комплексном
анализе -устранимая
особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить ,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной или доопределением
функции по непрерывности ,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого разрыва.
Точки
разрыва первого и второго рода
Если
функция имеет разрыв в данной точке (то
есть предел функции в данной точке
отсутствует или не совпадает со значением
функции в данной точке), то для числовых
функций возникает два возможных варианта,
связанных с существованием у числовых
функций односторонних
пределов :
если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода .
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода;
если
хотя бы один из односторонних пределов
не существует или не является конечной
величиной, то такую точку называют точкой
разрыва второго рода .
Аси́мпто́та — прямая ,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этой прямой стремится
к нулю при удалении точки вдоль ветви
вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота — прямая предела .
Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например:
Горизонтальная
Горизонтальная
асимптота — прямая вида при
условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная
асимптота — прямая вида при
условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен ),
то наклонной асимптоты при (или )
не существует.
если в
п. 2. ), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение
промежутков монотонности. Найти
интервалы монотонности функции f (x )(то
есть интервалы возрастания и убывания).
Это делается с помощью исследования
знака производной f (x ).
Для этого находят производную f (x ) и
решают неравенство f (x )0.
На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f (x )возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0,
функция f (x )убывает.
Нахождение
локального экстремума. Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
— локальные минимумы. Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках.
Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти
производную функции: f (x ).
2. Найти
точки, в которых производная равна
нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,…
3. Определить
принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку
[a ; b ]:
пусть x 1a ;b ,
а x 2a ;b .
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными. (-x))=- h(x). Следовательно, h(x) — нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
в результате сложения подобных функций получают четную;
в результате вычитания таких функций получают четную;
четной, также четная;
в результате умножения двух таких функций получают четную;
в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
производная такой функции — нечетная;
если возвести нечетную функцию в квадрат, получим четную.
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. 2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции — это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения. 2) Для любого значения x f(-x)=f(x) 3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0). 2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x) 3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . {2}-3
, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
x
−2
−1
0
1
2
3
y
−4
−3
−2
−1
0
1
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1
будет соответствовать значение функции −3
; а значению x=2
будет соответствовать y=0
и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x
. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x)
для любого x
из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy
. {2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число K > 0
, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K
для любого x \in X
.
Пример ограниченной функции: y=\sin x
ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1
.
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x
будет соответствовать большее значение функции y=f(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1}) > y(x_{2})
.
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x
будет соответствовать меньшее значение функции y(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
).
а)
Если при x > 0
четная функция возрастает, то убывает она при x
б)
Когда при x > 0
четная функция убывает, то возрастает она при x
в)
Когда при x > 0
нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г)
Когда нечетная функция будет убывать при x > 0
, то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0})
. y_{min}
— обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0}
будет точкой минимума;
x_{0}
— будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}
.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
Ищется производная f»(x)
;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку
;
Находятся значения функции f(x)
в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Преобразование графиков.
Словесное описание функции.
Графический способ.
Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.
Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.
Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?
Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.
Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.
Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.
Попытаемся ответить на вопрос: «А существуют ли другие способы задания функции?»
Такой способ есть.
Функцию можно вполне однозначно задать словами.
Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.
Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.
Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.
Способ словесного описания — достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.
Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является четной. Проверим это.
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.
Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является нечетной. Проверим это.
Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.
Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.
Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?
свойства функции ограниченная неограниченная монотонная возрастающая убывающая четная нечетная периодическая непериодическая график гиперболические функции
Справочник по математике
Элементы математического анализа
Функции
Содержание
Ограниченные и неограниченные функции
Монотонные и строго монотонные функции
Четные и нечетные функции
Периодические и непериодические функции. Период функции
График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций
Ограниченные и неограниченные функции
Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.
Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.
ПРИМЕР 1. Функция y = x2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве
Рис.1
ПРИМЕР 2. Функция y = – x2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве
Рис. 2
ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве
Рис.3
ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве
Рис.4
Монотонные и строго монотонные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство
f (x1) < f (x2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство
f (x1) > f (x2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.
ПРИМЕР 5. Функция y = x2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве
ПРИМЕР 6. Функция y = – x2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве
ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве
ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве
Четные и нечетные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство
f (– x) = f (x)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство
f (– x) = – f (x)
ПРИМЕР 9. Функции y = x2 и y = – x2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).
ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:
сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g1 (x) является четной функцией, а функция g2 (x) является нечетной функцией. Действительно,
что и завершает доказательство утверждения.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:
Функцию g1 (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :
Функцию g2 (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :
Таким образом, справедливо равенство
e x= sh x + ch x
Периодические и непериодические функции.
Период функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства
f ( x + T ) = f (x) , f ( x – T ) = f (x)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.
ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .
Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.
ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.
График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций
Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .
ЗАМЕЧАНИЕ 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).
ЗАМЕЧАНИЕ 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T, достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T, а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.
график, как определить четность, доказательство
Содержание:
Понятие четности и нечетности функции
Четная функция
Нечетная функция
Произведение четной и нечетной функции
Исследование функций в примерах
Содержание
Понятие четности и нечетности функции
Четная функция
Нечетная функция
Произведение четной и нечетной функции
Исследование функций в примерах
Понятие четности и нечетности функции
Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
Четная функция
Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)
Источник: myshared.ru
Свойство:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
График четной функции симметричен относительно оси Ох.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\), тогда точка \(M_1(-x,\;f(x))\) так же будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция
Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)
Источник: myshared.ru
Свойство:
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
Доказательство:
Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\), тогда точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно начала координат.
Произведение четной и нечетной функции
Теорема
Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.
Доказательство:
Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)
Значит, \((f\cdot g)(-x)=-(f\cdot g)(x)\), т. 2-1}\)
\(f_1(x)=f_1(-x)\), значит функция четная.
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Поиск по содержимому
Как понять четность нечетность функции. График четной и нечетной функций
Преобразование графиков.
Словесное описание функции.
Графический способ.
Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.
Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.
Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?
Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.
Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.
Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.
Попытаемся ответить на вопрос: «А существуют ли другие способы задания функции?»
Такой способ есть.
Функцию можно вполне однозначно задать словами.
Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.
Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.
Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.
Способ словесного описания — достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.
Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является четной. Проверим это.
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.
Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения
Пример. Рассмотрим функцию
Она является нечетной. Проверим это.
Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).
Для любого х выполнены равенства
Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.
Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.
Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?
Исследование
функции.
1) D(y)
– Область опрделения: множество всех
тех значений переменной х. при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл.
Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции:
четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются
функции,
графики которых обладают
симметрией
относительно
изменения знака аргумента.
Нечётная
функция —
функция, меняющая значение на
противоположное при изменении знака
независимой переменной
(симметричная относительно
центра координат).
Чётная
функция —
функция, не изменяющая своего значения
при изменении знака независимой
переменной (симметричная относительно
оси ординат).
Ни
чётная ни нечётная функция (функция
общего вида) —
функция, не обладающая симметрией. В
эту категорию относят функции, не
подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции,
не принадлежащие ни одной из категорий
выше, называются ни
чётными ни нечётными (или
функциями общего вида).
Нечётные
функции
Нечётная степень где —
произвольное целое
число.
Чётные
функции
Чётная
степень где —
произвольное целое
число.
Периоди́ческая
фу́нкция ― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (пери́ода функции)
на всей области определения.
3)
Нули
(корни) функции — точки, где она
обращается в ноль.
Нахождение
точки пересечения графика с осью Oy . Для
этого нужно вычислить значение f (0).
Найти также точки пересечения графика
с осью Ox ,
для чего найти корни уравнения f (x )
= 0 (или
убедиться в отсутствии корней).
Точки, в
которых график пересекает
ось ,
называют нулями
функции .
Чтобы найти нули функции нужно решить
уравнение ,
то есть найти те
значения «икс» ,
при которых функция обращается в ноль.
4)
Промежутки
постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки,
где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого функция
положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ
оси абсцисс.
НИЖЕ
оси .
5)
Непрерывность (точки разрыва, характер
разрыва, ассимптоты).
Непрерывная
функция —
функция без «скачков», то есть такая, у
которой малые изменения аргумента приводят
к малым изменениям значения функции.
Устранимые
точки разрыва
Если
предел функции существует ,
но функция не определена в этой точке,
либо предел не совпадает со значением
функции в данной точке:
,
то
точка называется точкой
устранимого разрыва функции (в комплексном
анализе -устранимая
особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить ,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной или доопределением
функции по непрерывности ,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого разрыва.
Точки
разрыва первого и второго рода
Если
функция имеет разрыв в данной точке (то
есть предел функции в данной точке
отсутствует или не совпадает со значением
функции в данной точке), то для числовых
функций возникает два возможных варианта,
связанных с существованием у числовых
функций односторонних
пределов :
если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода .
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода;
если
хотя бы один из односторонних пределов
не существует или не является конечной
величиной, то такую точку называют точкой
разрыва второго рода .
Аси́мпто́та — прямая ,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этой прямой стремится
к нулю при удалении точки вдоль ветви
вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота — прямая предела .
Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например:
Горизонтальная
Горизонтальная
асимптота — прямая вида при
условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная
асимптота — прямая вида при
условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен ),
то наклонной асимптоты при (или )
не существует.
если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение
промежутков монотонности. Найти
интервалы монотонности функции f (x )(то
есть интервалы возрастания и убывания).
Это делается с помощью исследования
знака производной f (x ).
Для этого находят производную f (x ) и
решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f (x )возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0,
функция f (x )убывает.
Нахождение
локального экстремума. Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
— локальные минимумы. Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках.
Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти
производную функции: f (x ).
2. Найти
точки, в которых производная равна
нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,…
3.Определить
принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку
[a ; b ]:
пусть x 1a ;b ,
а x 2a ;b .
Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции — это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения. 2) Для любого значения x f(-x)=f(x) 3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0). 2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x) 3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . {2}-3
, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
x
−2
−1
0
1
2
3
y
−4
−3
−2
−1
0
1
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1
будет соответствовать значение функции −3
; а значению x=2
будет соответствовать y=0
и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x
. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x)
для любого x
из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy
. {2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число K > 0
, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K
для любого x \in X
.
Пример ограниченной функции: y=\sin x
ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1
.
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x
будет соответствовать большее значение функции y=f(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1}) > y(x_{2})
.
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x
будет соответствовать меньшее значение функции y(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
).
а)
Если при x > 0
четная функция возрастает, то убывает она при x
б)
Когда при x > 0
четная функция убывает, то возрастает она при x
в)
Когда при x > 0
нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г)
Когда нечетная функция будет убывать при x > 0
, то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0})
. y_{min}
— обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0}
будет точкой минимума;
x_{0}
— будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}
.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
Ищется производная f»(x)
;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку
;
Находятся значения функции f(x)
в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.
Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:
-x (противоположная точка) также лежит в данной области определения,
f (-x) = f (x).
Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О, являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка — b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.
Как на практике определить четность функции?
Пусть задается с помощью формулы h(x)=11^x+11^(-x). (-x))=- h(x). Следовательно, h(x) — нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
в результате сложения подобных функций получают четную;
в результате вычитания таких функций получают четную;
четной, также четная;
в результате умножения двух таких функций получают четную;
в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
производная такой функции — нечетная;
если возвести нечетную функцию в квадрат, получим четную.
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. 2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Четные и нечетные функции. Периодические функции
Определение 1. Функция называется четной (нечетной), если вместе с каждым значением переменной значение –х также принадлежит и выполняется равенство
(11.1)
Таким образом, функция может быть четной или нечетной только тогда, когда ее область определения симметрична относительно начала координат на числовой прямой (числа х и –х одновременно принадлежат ). Например, функция не является четной и нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
Функция четная, так как симметрична относительно начала координат и .
Функция нечетная, так как и .
Функция не является четной и нечетной, так как хотя и симметрична относительно начала координат, равенства (11.1) не выполняются. Например, .
График четной функции симметричен относительно оси Оу, так как если точка принадлежит графику, то и точка тоже принадлежит графику. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как если принадлежит графику, то и точка тоже принадлежит графику.
При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.
Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
г) Если f – четная функция на множестве Х, а функция g определена на множестве , то функция – четная.
д) Если f – нечетная функция на множестве Х, а функция g определена на множестве и четная (нечетная), то функция – четная (нечетная).
Доказательство. Докажем, например, б) и г).
б) Пусть и – четные функции. Тогда , поэтому . Аналогично рассматривается случай нечетных функций и .
г) Пусть f – четная функция. Тогда .
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема 2. Любую функцию , заданную на множестве Х, симметричном относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
Доказательство. Функцию можно записать в виде
.
Функция – четная, так как , а функция – нечетная, поскольку . Таким образом, , где – четная, а – нечетная функции. Теорема доказана.
Определение 2. Функция называется периодической, если существует число , такое, что при любом числа и также принадлежат области определения и выполняются равенства
.
Такое число T называется периодом функции .
Из определения 1 следует, что если Т – период функции , то и число –Т тожеявляется периодом функции (так как при замене Т на –Т равенство сохраняется). С помощью метода математической индукции можно показать, что если Т – период функции f, то и , тоже является периодом. Отсюда следует, что если функция имеет период, то она имеет бесконечно много периодов.
Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ее основным периодом.
Теорема 3. Если Т – основной период функции f, то остальные периоды кратны ему.
Доказательство. Предположим противное, то есть что существует период функции f ( >0), не кратный Т. Тогда, разделив на Т с остатком, получим , где . Поэтому
,
то есть – период функции f, причем , а это противоречит тому, что Т – основной период функции f. Из полученного противоречия следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Хорошо известно, что тригонометрические функции являются периодическими. Основной период и равен , и . Найдем период функции . Пусть — период этой функции. Тогда
(так как .
Отсюда
или или или .
Значение T, определяемое из первого равенства, не может быть периодом, так как зависит от х, т.е. является функцией от х, а не постоянным числом. Период определяется из второго равенства: . Периодов бесконечно много, при наименьший положительный период получается при : . Это – основной период функции .
Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле
Заметим, что если T – рациональное число, то и являются рациональными числами при рациональном х и иррациональными при иррациональном х. Поэтому
при любом рациональном числе T. Следовательно, любое рациональное число T является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное число можно сделать выбором n сколь угодно близким к нулю).
Теорема 4. Если функция f задана на множестве Х и имеет период Т, а функция g задана на множестве , то сложная функция тоже имеет период Т.
Доказательство. Имеем , поэтому
,
то есть утверждение теоремы доказано.
Например, так как cos x имеет период , то и функции имеют период .
Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называются непериодическими.
Обратная функция
Пусть – некоторая функция, и — ее область определения и область значений соответственно. Если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, то есть из , , то, как известно из § 8, отображение f, определяемое этой функцией, обратимо, и для него существует обратное отображение множества на множество . Это отображение называется обратной функцией к функции , то есть обратная функция такова, что . Функция и обратная для нее функция называются взаимно-обратными функциями. Заметим, что , а графики взаимно-обратных функций и симметричны относительно прямой – биссектрисы первого и третьего координатных углов. Обратная функция всегда существует для строго монотонной функции, которая каждое свое значение принимает только один раз.
Чтобы найти аналитическое выражение для функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно х, и если при этом получается несколько значений х, то выбрать те значения, которые принадлежат . Таким образом получают равенство , в котором обычно заменяют у на х и х на у.
Обратные функции для функций нужно рассмотреть на практических занятиях.
функцию. Найдем ее. Имеем т.е. Отметим, что каждое свое
Заметим, что условие строгой монотонности функции является достаточным, но не необходимым условием существования обратной функции. Пусть, например, Эта функция не монотонна на , однако имеет обратную
значение функция принимает только один раз (такие функции называются инъективными).
Дата добавления: 2016-06-09; просмотров: 8033; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Четные и нечетные функции
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи
из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Четные функции
2. Нечетные функции
3. Функция общего вида
4. Пример задачи
Четные функции
Определение 1
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
\[f\left(x\right)=f(-x)\]
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Рисунок 1.
Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.
Нечетные функции
Определение 2
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
\[f\left(-x\right)=-f(x)\]
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
Рисунок 2.
Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.
Функция общего вида
Определение 3
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.
Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $—x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.
Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.
Рисунок 3.
Пример задачи
Пример 1
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики. 2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ — нечетная функция.
Изобразим её на графике:
Рисунок 5.
в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$
$f\left(-x\right)={\sin \left(-x\right)\ }+{\cos \left(-x\right)\ }=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ — функция общего вида.
Изобразим её на графике:
Рисунок 6.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи
Дата последнего обновления статьи: 04.07.2022
Выполнение любых типов работ по
математике
Решение задач по комбинаторике на заказ
Решение задачи Коши онлайн
Математика для заочников
Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства
Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел
Контрольная работа на тему действия с рациональными числами
Дипломная работа на тему числа
Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения
Контрольная работа на тему приближенные вычисления
Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы
Курсовые работы
Выпускные квалификационные работы
Рефераты
Сочинения
Доклады
Эссе
Отчеты по практике
Решения задач
Контрольные работы
Четная функция — определение, свойства, график, примеры
LearnPracticeDownload
Функция является четной, если f от x равно f от −x для всех значений x. Это означает, что функция одинакова для положительной оси x и отрицательной оси x или графически симметрична относительно оси y. Примером четной функции являются тригонометрическая четная функция, секущая функция и т. д. Давайте подробно рассмотрим четную функцию, а также ее графическое представление и свойства.
1.
Что такое четная функция?
2.
Графическое представление четной функции
3.
Свойства четной функции
4.
Часто задаваемые вопросы о функции Even
Что такое четная функция?
Давайте сначала поймем значение четных функций алгебраически. Функция четная, если f(x) = f(-x) для всех значений x. Теперь давайте посмотрим, что это значит. Для четной функции f(x), если мы подставим -x вместо x, то значение f(-x) будет равно значению f(x). Точно так же такие функции, как \(x^4, x^6, x^8, x^{10}\) и т. д., являются четными функциями.
Интересно, что указанные выше функции имеют равные силы. Обратите внимание на график ниже y = x 2 , график четной функции.
Пример четной функции
Рассмотрим тригонометрическую функцию (f(x) = cos x. Определите значение f(-x) и определите, является ли она четной функцией или нет.
Решение: f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x)
cos (-x) = cos x для всех значений x
Следовательно, f(x) = cos x равно четная функция
Графическое представление четной функции
Теперь посмотрим, как графически ведет себя четная функция. Приведенный выше график четной функции симметричен относительно оси y. Другими словами, график четной функции остается прежним после отражения относительно оси у.
Вот несколько примеров четных функций, соблюдайте симметрию относительно оси Y.
Посмотрим график для f(x) = cos x
Свойства четной функции
Поняв значение четной функции, мы собираемся исследовать ее свойства. Несколько основных свойств четной функции перечислены ниже.
Сумма двух четных функций четна.
Разница между двумя четными функциями четна.
Произведение двух четных функций четно.
Частное от деления двух четных функций четно.
Состав двух четных функций четный.
Композиция четной и нечетной функций четна.
☛Статьи о четной функции
Ниже приведен список тем, тесно связанных с четной функцией. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.
Экспоненциальная функция
Полиномиальные функции
Квадратичные функции
Линейные функции
Постоянные функции
Примеры четных функций
Пример 1: Сэм хочет алгебраически определить, является ли функция f(x) = 4x 4 − 7x 2 четной функцией или нет.
Решение: Подставьте -x вместо x в f(x) = 4x 4 — 7x 2 .
f(−x) = 4(−x) 4 −7(−x) 2 = 4x 4 − 7x 2 = f(x)
Поскольку f(−x) = f(x), функция f(x) является четной функцией.
Пример 2. Рассмотрим функцию f(x) = x 2 . Определите значение f(−x). Определите, является ли это четной функцией или нет.
Решение: f(−x) = (−x) 2 = x 2 = f(x)
Следовательно, f(x) = x 2 — четная функция.
Мы можем проверить, взяв определенное значение x.
Для x = 2 значение f(x) определяется по формуле:
f(2) = 2 2 = 4
Значение f(−x) определяется по формуле:
f(− 2) = (−2) 2 = 4 = f(2)
Пример 3: Определите, является ли функция f(x) = 6x 4 − x 12 четной или нет.
Решение: Подставьте −x вместо x в f(x) = 6x 4 − x 12 .
f(−x) = 6(−x) 4 − (−x) 12 = 6x 4 − x 12 = f(x) Поскольку f(−x) = f(x), функция f(x) является четной функцией. f(x) = 6x 4 − x 12 — четная функция.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по четной функции
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о функции Even
Что такое четные функции в исчислении?
Четные функции — это те функции в исчислении, которые одинаковы для +ve оси x и -ve оси x или графически симметричны относительно оси y. Он представлен как f (x) = f (-x) для всех x. Несколько примеров четных функций: x 4 , cos x, y = x 2 и т. д.
Что такое уравнение четной функции?
Уравнение четной функции, математически выраженное как f(-x) = f(x) для всех x.
Как определить, является ли функция четной функцией или нет?
Если функция удовлетворяет условию f(−x) = f(x) для всех x, она называется четной функцией. Это означает, что он одинаков для +ve оси x и -ve оси x или графически симметричен относительно оси y.
Если значение f(−x) совпадает со значением f(x) для каждого значения x, функция четная.
Если значение f(−x) НЕ совпадает со значением f(x) для любого значения x, функция не является четной.
Если функция имеет четную степень, функция не обязательно должна быть четной.
Является ли Cos x четной функцией?
Уравнение четной функции, математически выраженное как f(−x) = f(x) для всех x. При подстановке значения имеем cos(−x) = cosx. Следовательно, cos x — четная функция.
Как определить, имеет ли построенный график четную функцию?
Существуют определенные правила, позволяющие определить, является ли построенный график четной функцией или нет. Правила перечислены ниже.
Если график симметричен относительно оси Y, функция четная.
Если график симметричен относительно начала координат, функция нечетная.
Если график несимметричен относительно оси Y или начала координат, функция не является ни четной, ни нечетной.
Константы даже функционируют?
Постоянная функция f(x) = k является четной функцией, поскольку f(−x) = k = f(x).
Запишите два основных свойства четной функции.
Существуют различные свойства, определяющие четную функцию. Вот два основных свойства:
Когда мы вычитаем две четные функции, получается четная разница.
Когда мы умножаем две четные функции, получается четное произведение.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочие листы по четной функции
Рабочие листы по математике и визуальный учебный план
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Я подготовил восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процедуру или шаги, как определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни той, ни другой. Математика, связанная с вычислением, проста, если вы внимательны на каждом этапе своего решения.
Чтобы проникнуть в «сердце» этой темы, изучите иллюстрацию ниже.
Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них
Давайте поговорим о каждом случае.
СЛУЧАЙ 1: Четная функция
Учитывая некоторую «начальную» функцию f\left( x \right):
Если мы вычислим или подставим \color{red}-x в f\left( x \right) и получим исходную или «начальную» снова функция, это означает, что f\left( x \right) является четной функцией .
СЛУЧАЙ 2: нечетная функция
Дана некоторая «начальная» функция f\left( x \right):
\right) и получить отрицательную или противоположную «начальной» функции, это означает, что f\left( x \right) является нечетная функция .
СЛУЧАЙ 3: ни четная, ни нечетная функция x \right) и мы не получаем ни случая 1, ни случая 2, из которого следует, что f\left( x \right) не является ни четным, ни нечетным . Другими словами, оно не подпадает под классификацию четных или нечетных.
Примеры алгебраического определения, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них 92} — 3, подставьте значение \color{red}-x и затем упростите. Что я могу получить? Давайте решим это алгебраически.
Поскольку f\left( { {\color{red}- x}} \right) = f\left( x \right), это означает, что f\left( x \right) является четной функцией !
График четной функции симметричен относительно оси y или относительно вертикальной линии x = 0. Обратите внимание, что график функции разрезается равномерно по оси y, и каждая половина является точным зеркалом еще один. Другой способ описать это состоит в том, что каждая половина функции является отражением по оси Y. 93} + 2x, а затем упростите.
Как определить нечетную функцию
Важные советы:
Если вы когда-нибудь придете к другой функции после вычисления \color{red}–x в заданном f\left( x \right), немедленно попробуйте вынесите из него -1 и посмотрите, появится ли исходная функция. Если это так, то у нас есть нечетная функция .
Эффект вынесения на множитель -1 приводит к переключению знаков членов внутри скобок. Это ключевой шаг для определения нечетной функции.
Теперь, поскольку f\left( { {\color{red}- x}} \right) = — f\left( x \right), это означает, что исходная функция f\left( x \right) равна нечетная функция !
График нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат или в точке \left( {0,0} \right). Это означает, что мы разрезаем его график по оси y, а затем отражаем его четную половину сначала по оси x, а затем по оси y.
См. анимированную иллюстрацию.
90}}, который имеет четную степень нуля.
Эта характеристика функции, содержащей только четные степени, может привести к четной функции. Однако мы должны показать это алгебраически. Итак, вот оно.
Вычисляя \color{red}-x в f\left( x \right), мы получаем следующий расчет. 3} + 6x
В отличие от примера 3, где у функции четные степени, у этого есть нечетные степени: 7, 5, 3 и 1. Надеюсь, вы уже видите закономерность. Скорее всего, это странная функция, но мы проверим.
Подставляя \color{red}-x в данное f\left( x \right) и упрощая, мы получаем:
После вынесения на множитель -1 многочлен в скобках равен начальной функции. Это показывает, что это нечетная функция !
Пример 5 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
На этот раз я покажу вам пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной. Вы готовы?
Сначала проверьте, четно ли оно. Имеем ли мы случай f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = f\left( x \right)?
Определенно не является четной функцией , поскольку f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right).
Во-вторых, проверьте, является ли оно нечетным, показав f\left( {\color{red}{ — x}} \right) = — f\left( x \right).
Даже после вычета −1 я все еще не получаю исходную функцию.
Это не нечетная функция , так как f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne — f\left( x \right).
Вывод: Поскольку мы достигли случая, когда f\left( {\color{red}{ — x}} \right) \ne f\left( x \right) и f\left( {\color{red} { — x}} \right) \ne — f\left( x \right), эта функция ни четная, ни нечетная !
Пример 6 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция g\left( x \right) является нечетной функцией !
Пример 7 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция h\left( x \right) не равна и не !
Пример 8 : Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или ни одной:
Решение:
Следовательно, функция k\left( x \right) равна даже функция !
Объяснение урока: Четные и нечетные функции
В этом объяснении мы узнаем, как определить, является ли функция четной, нечетной,
или ни по графику функции, ни по ее правилу.
Четность функции описывает, является ли функция четной или нечетной.
Определение: нечетные и четные функции
Функция 𝑓(𝑥) является
четной функцией, если 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥),
нечетной функцией, если 𝑓(−𝑥)=−𝑓( 𝑥),
для каждого 𝑥 в области определения функции.
Обратите внимание, что единственная функция, определенная на множестве действительных чисел,
и четное, и нечетное равно 𝑓(𝑥)=0; таким образом, как только мы определили четность функции, нам не нужно проверять ее снова.
Графики четных и нечетных функций также обладают некоторыми ключевыми свойствами, которые могут
чтобы их было легко идентифицировать. Рассмотрим графики
функции 𝑓(𝑥)=𝑥+4 и 𝑔(𝑥)=𝑥.
Мы можем проверить четность 𝑓(𝑥) вычислением 𝑓(−𝑥):
𝑓(−𝑥)=(−𝑥)+4=𝑥+4=𝑓(𝑥).
𝑓(𝑥) является четной функцией. Обратите внимание, как график
𝑓(𝑥)=𝑥+4 имеет отражательную симметрию относительно
к оси 𝑦 или прямой 𝑥=0. Это связано с тем, что вывод функции будет таким же, если мы введем 𝑥 или −𝑥. Например, точки (2,8) и (−2,8) лежат на кривой
𝑦=𝑓(𝑥).
Фактически, 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) подразумевает, что
график функции будет иметь отражательную симметрию относительно
𝑦-ось для каждого значения 𝑥 в области определения функции. Эти функции называются даже функций, так как функция 𝑓(𝑥)=𝑥 будет обладать этим свойством, если
𝑛 — любое четное целое число.
Теперь рассмотрим функцию 𝑔(𝑥)=𝑥. Чтобы проверить четность этой функции, мы оценим 𝑔(−𝑥):
𝑔(−𝑥)=(−𝑥)=−𝑥=−𝑔(𝑥).
𝑔(𝑥) — нечетная функция. На этот раз граф 𝑔(𝑥) имеет вращательную симметрию порядка 2 относительно начала координат, что означает, что его график остается неизменным после
поворот на 180∘ о (0,0). Это потому, что если точка с координатами
(𝑥,𝑦) лежит на кривой, то
поскольку 𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥), соответствующая точка с координатами (−𝑥,−𝑦) также должна лежать на кривой. Например, с момента
с координатами (2,8) лежит на кривой 𝑦=𝑔(𝑥),
тогда точка с координатами (−2,−8) также должна лежать на кривой.
𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥) означает, что график
функция будет иметь порядок вращательной симметрии 2 относительно начала координат для каждого значения
𝑥 в области определения функции. Эти функции называются нечетными функциями, поскольку
функция 𝑔(𝑥)=𝑥 будет обладать этим свойством, если 𝑛 — любое нечетное целое число.
Если нечетная функция определена в нуле, то ее график должен проходить через начало координат. Мы можем продемонстрировать это, положив 𝑥=0 в определении нечетной функции,
𝑔(𝑥)=−𝑔(𝑥). Заметим, что 𝑔(0)=−𝑔(0),
что соответствует вращению
интерпретация нечетной функции.
Поскольку для нечетной функции 𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥),
мы можем сделать вывод, что абсолютное значение
на самом деле эта функция должна быть четной; для любой нечетной функции
𝑔(𝑥), если
ℎ(𝑥)=|𝑔(𝑥)|, то ℎ четно.
Определение: графики четных и нечетных функций
График любой четной функции имеет отражательную симметрию относительно оси 𝑦.
График любой нечетной функции имеет вращательную симметрию порядка 2 относительно начала координат.
Мы можем использовать как определение функции, так и ее график, чтобы определить четность функции. В нашем первом примере мы покажем, как использовать определение функции, чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой.
Пример 1. Определение четности линейной функции
Является ли функция 𝑓(𝑥)=4𝑥−3 четной, нечетной или ни одной?
Ответ
Напомним, что функция 𝑓(𝑥) является
четной функцией, если 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥),
нечетной функцией, если 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥) ,
для каждого 𝑥 в области определения функции.
Поскольку 𝑓(𝑥) — линейная функция, ее область определения равна ℝ. Это симметрично относительно 0, поэтому мы знаем, что симметрично
применяются свойства четных и нечетных функций. Чтобы проверить четность 𝑓(𝑥), мы оценим 𝑓(−𝑥):
𝑓(−𝑥)=4(−𝑥)−3=−4𝑥−3.
Заметим, что 𝑓(−𝑥)≠𝑓(𝑥), и
равно как и 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥).
Функция не является ни четной, ни нечетной.
В наших следующих двух примерах мы рассмотрим, как определение четных и нечетных функций (относительно симметрии их графиков) может помочь нам определить четность функции.
Пример 2. Определение того, является ли построенная на графике функция четной, нечетной или ни одной из них
Определите, является ли функция, представленная на следующем рисунке, четной, нечетной или ни одной из них.
Ответ
Напомним, что график четной функции имеет отражательную симметрию с
относительно оси 𝑦, а график нечетной функции имеет вращательную симметрию порядка 2 о происхождении. Важно понимать, что это должно выполняться
истинно для 90 527 для каждого 90 528 значения 𝑥 в области определения функции, и поэтому мы должны
убедитесь, что область определения функции симметрична относительно 0.
Область определения функции — это множество возможных 𝑥-значений, которые можно заменить
в функцию; это можно вывести из графика функции, посмотрев на
разброс 𝑥-значений слева направо.
Областью определения этой функции являются значения 𝑥 в интервале
[−8,8],
не считая 𝑥=0. Используя обозначение набора, домен задается
[−8,8]−{0}.
Так как эта область симметрична относительно 0, мы можем теперь проверить, является ли функция
четное, нечетное или ни то, ни другое.
Мы наблюдаем, что график имеет отражательную симметрию относительно оси 𝑦,
или линия 𝑥=0. Это означает, что для любого значения 𝑥 в области определения
функция, 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥).
Функция четная.
В нашем предыдущем примере мы продемонстрировали, как определить четность функции, заданной в ограниченной области, по ее графику. В примере 3 мы увидим, как этот процесс можно применить к функциям, определенным в неограниченной области.
Пример 3. Определение четности построенной на графике рациональной функции
Является ли функция, представленная цифрой, четной, нечетной или ни одной?
Ответ
Напомним, что график нечетной функции имеет вращательная симметрия порядка
2 относительно начала координат, а график четной функции имеет 90 527 отражательную симметрию 90 528 относительно начала координат.
𝑦-ось. Важно понимать, что это должно быть верным для 90 527 каждого 90 528 значения 𝑥 в
домен функции, и поэтому мы должны убедиться, что домен функции
симметрична относительно 0.
График функции имеет вертикальную асимптоту, заданную при 𝑥=0. Это единственное значение 𝑥, где функция не определена;
следовательно, его область определения определяется выражением
ℝ−{0}.
Так как эта область симметрична относительно 0, мы можем теперь проверить, является ли функция
является четным, нечетным или ни тем, ни другим.
Мы видим, что граф не имеет отражательных
симметрия задается осью 𝑦, поэтому эта функция не может быть четной.
Однако график остается неизменным после поворота на 180° вокруг начала координат.
Следовательно, функция нечетная.
В наших предыдущих двух примерах мы начали с проверки того, что домен функции
был симметричен относительно 0. Поскольку четность функции зависит от ее
симметричные свойства относительно оси 𝑦 или начала координат,
следует, что функция, область определения которой не симметрична относительно 0, будет
ни четным, ни нечетным.
В следующем примере мы увидим, как подтверждение этого элемента
определение может сэкономить нам время при определении, является ли функция четной,
странно, или ни то, ни другое.
Пример 4. Определение того, является ли изображенная на графике функция четной, нечетной или ни той, ни другой
Является ли функция, представленная цифрой, четной, нечетной или ни той, ни другой?
Ответ
График четной функции имеет отражательную симметрию относительно
𝑦-ось, а график нечетной функции имеет вращательная симметрия г. порядок 2 о происхождении. Важно понимать, что это должно выполняться
истинно для 90 527 для каждого 90 528 значения 𝑥 в области определения функции, и поэтому мы должны
убедитесь, что область определения функции симметрична относительно 0.
Область определения функции — это набор возможных входных данных или 𝑥-значений,
что мы можем подставить в эту функцию.
Областью определения этой функции является интервал 2≤𝑥≤6. Этот домен не
симметричный около 0,
Поскольку область определения этой функции не симметрична относительно 0, мы можем вывести
что функция не четная и не нечетная.
В нашем следующем примере мы рассмотрим, как определить четность тригонометрической функции из ее уравнения, используя следующие определения.
Определение: четность тригонометрических функций
𝑓(𝑥)=𝑥cos и 𝑓(𝑥)=𝑥sec являются четными функциями.
𝑓(𝑥)=𝑥sin, 𝑓(𝑥)=𝑥csc,
𝑓(𝑥)=𝑥tan и 𝑓(𝑥)=𝑥cot — нечетные функции.
Пример 5. Определение четности функции
Является ли функция 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥tan четной,
странно или нет?
Ответ
Функция 𝑦=𝑓(𝑥) является
четной функцией, если 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥),
нечетной функцией, если 𝑓(−𝑥)=−𝑓),(𝑓
для каждого 𝑥 в области определения функции.
Начнем с определения области определения функции. Нам нужно убедиться, что это
симметричный относительно 0; в противном случае симметричные свойства четных и нечетных функций
не будет применяться.
𝑥6𝑥tan является произведением двух функций,
поэтому его домен будет пересечением доменов каждой функции.
Поскольку 𝑥 — многочлен, мы знаем, что его областью определения является множество действительных чисел.
Область определения функции тангенса представляет собой множество действительных чисел, кроме тех,
где cos(𝑥)=0. Это означает, что область определения функции tan6𝑥 равна
множество действительных чисел, за исключением тех, что делают cos6𝑥=0. Значения 𝑥, которые
make cos6𝑥=0
𝑥=𝜋12,3𝜋12,−𝜋12,−3𝜋12 и так далее. Эти значения симметричны относительно оси 𝑦, что означает, что домен tan6𝑥 должен быть симметричным.
около 0,
Таким образом, пересечение двух доменов также симметрично относительно 0,
поэтому теперь мы можем проверить четность, оценив 𝑓(−𝑥):
𝑓(−𝑥)=(−𝑥)(−6𝑥).tan
И мы перепишем (−𝑥) как
(−𝑥)=(−1×𝑥)=(−1)×𝑥=−𝑥.
Чтобы вычислить тангенс(−6𝑥), мы можем рассмотреть график
функции tan6𝑥; это горизонтальный участок
график 𝑦=(𝑥)tan с масштабным коэффициентом 16.
Мы видим, что tan6𝑥 нечетно, так как график нечетного
функция имеет вращательная симметрия порядка 2 относительно начала координат.
Следовательно, тантан(−6𝑥)=−(6𝑥) и мы можем написать
𝑓(−𝑥) как
𝑓(−𝑥)=(−𝑥)×(−6𝑥)=−𝑥×6𝑥=−𝑥6𝑥=−𝑓(𝑥).тантантан
Теперь мы можем видеть, для каждого 𝑥 в домене из 𝑓,
𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥).
Следовательно, функция 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥tan нечетна.
В примере 5 мы умножили нечетную функцию 𝑥 на четную функцию
tan(6𝑥), что привело к нечетной функции. Фактически,
произведение четной и нечетной функций всегда будет нечетным. Мы можем обобщить
этот результат наряду с некоторыми другими свойствами комбинирования функций.
Определение: Комбинация четных и нечетных функций
Пусть 𝑓 и 𝑓 — четные функции
а 𝑔 и 𝑔 — нечетные функции:
𝑓±𝑓 четно, а 𝑔±𝑔 нечетно,
𝑓±𝑔 не четно и не нечетно, 𝑔⋅𝑔 и 𝑔𝑔 четные,
𝑓⋅𝑔 и 𝑓𝑔 нечетные.
Теперь мы узнаем, как применять эту концепцию для определения четности кусочно определенной функции.
Пример 6. Определение четности кусочно-определенной функции
Определить, является ли функция 𝑓 четной, нечетной или ни одной, учитывая, что
𝑓(𝑥)=−9𝑥−8𝑥0,9𝑥−8𝑥≥0.ifif
Ответ
Функция 𝑓(𝑥) является
четной функцией, если нечетная функция, если 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥),
для каждого 𝑥 в области определения функции.
Нам нужно убедиться, что область определения функции симметрична относительно 0;
в противном случае симметричные свойства четных и нечетных функций не будут применяться.
Область определения кусочно определенной функции есть объединение подобластей различных
подфункции. В этом вопросе у нас есть подфункция,
−9𝑥–8, определенный на интервале
]−∞,0[ и другое,
9𝑥–8, определенные на интервале
[0,∞[. Обе подфункции линейны, поэтому они определены на всем своем протяжении.
поддомен. Следовательно, объединение этих интервалов есть множество действительных чисел. Домен 𝑓(𝑥) можно записать как ℝ.
Это симметрично относительно 0, поэтому теперь мы можем проверить четность функции, оценив
𝑓(−𝑥). Нам нужно будет сделать это для отрицательных и положительных входных данных отдельно, чтобы определить
отображает ли функция отражательную симметрию относительно оси 𝑦.
Для 𝑥0, −𝑥 будет положительным:
𝑓(−𝑥)=9×(−𝑥)−8=−9𝑥−8.
Это равно другой части кусочной функции, подфункции, используемой для отрицательных значений 𝑥.
Тогда для 𝑥>0 −𝑥 будет отрицательным:
𝑓(−𝑥)=−9×(−𝑥)−8=9𝑥−8.
Опять же, это равно другой части кусочной функции,
подфункция, используемая для положительных значений 𝑥.
Мы можем подтвердить наши выводы и проверить, что происходит при 𝑥=0,
рисуя эскиз графика.
График имеет отражательную симметрию относительно оси 𝑦.
Поскольку 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥) для всех 𝑥 в области
𝑓, функция четная.
Теперь мы исследуем, как на четность функции может влиять ее область определения.
Пример 7. Определение четности функций
Определите, является ли функция 𝑓(𝑥)=9𝑥
четный, нечетный или ни один из них
𝑓∶]−7,7]→ℝ.
Ответ
Функция 𝑓(𝑥) является
четной функцией, если 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥),
нечетной функцией, если 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥),
,
для каждого 𝑥 в области определения функции.
Нам нужно убедиться, что область определения функции симметрична относительно 0;
в противном случае симметричные свойства четных и нечетных функций не будут применяться.
Нам дано, что 𝑓∶]−7,7]→ℝ. Мы можем прочитать это как «функция 𝑓 отображает числа слева, справа и слева».
замкнутый интервал от −7 до 7 на множество действительных чисел». Областью определения является интервал ]−7,7], а областью определения является множество действительных чисел.
Может показаться, что этот домен симметричен относительно 0;
однако нам говорят, что 𝑥 может быть равно 7, но не может
быть равным −7. Это означает, что он не симметричен относительно 0,
Поскольку область определения 𝑓(𝑥) не симметрична относительно 0,
функция не четная и не нечетная.
В нашем последнем примере мы покажем, как знание четности функции может помочь нам получить информацию о ее переменных.
Пример 8. Нахождение неизвестного в рациональной функции по заданной четности
Найдите значение 𝑎, если 𝑓 является четным
функция, где 𝑓(𝑥)=68𝑥+𝑎𝑥−3
и 𝑥≠0.
Ответ
Мы знаем, что если 𝑓 и 𝑓 четные функции,
их частное 𝑓𝑓
тоже четный. Точно так же говорят, что функция 𝑓(𝑥)
быть четным, если 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) для каждого 𝑥 в области определения функции.
Поскольку функция числителя не зависит от 𝑥,
это даже. Это означает, что функция в знаменателе также должна быть четной. Пусть функция 𝑓(𝑥)=8𝑥+𝑎𝑥−3 так, что
𝑓(−𝑥)=8(−𝑥)+𝑎(−𝑥)−3=8𝑥−𝑎𝑥−3.
Чтобы функция была четной, 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) для каждого значения
𝑥 в домене 𝑓:
8𝑥−𝑎𝑥−3=8𝑥+𝑎𝑥−3.
Вычитая 8𝑥 и добавляя 3 к обеим частям, это уравнение упрощается до
−𝑎𝑥=𝑎𝑥.
Поскольку 𝑥≠0, мы можем разделить на 𝑥:
−𝑎=𝑎.
Это уравнение может быть истинным только в том случае, если 𝑎=0.
Чтобы 𝑓 была четной функцией, 𝑎=0.
Теперь мы повторим ключевые моменты этого объяснения. Функция
для каждого 𝑥 в области определения функции.
График любой четной функции имеет отражательную симметрию относительно
𝑦-ось. Точно так же функция, график которой имеет отражательную
симметрия относительно оси 𝑦 является четной функцией.
График любой нечетной функции имеет вращательную симметрию порядка 2 относительно начала координат. Точно так же функция, график которой имеет вращательную симметрию порядка 2 относительно
происхождение — нечетная функция.
Функция, область определения которой не симметрична относительно 0, не является ни четной, ни нечетной.
Как вы должны различать четные и нечетные функции?
Защита и оценка. at NumbersОценка выражений
Purplemath
Как алгебраически определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной?
Чтобы «алгебраически определить», является ли функция четной, нечетной или ни одной, вы берете функцию и подставляете − x вместо x , упрощаете и сравниваете результаты с тем, с чего вы начали.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.
com
Если вы получите точно такую же функцию, с которой начали (то есть, если f (− x ) = f ( x ), поэтому все знаки одинаковы), то функция четная; если вы получите полную противоположность тому, с чего начали (то есть, если f (− x ) = − f ( x ), поэтому все знаки меняются местами), то функция странно.
Если результат не является ни точно таким же, ни прямо противоположным (т. е. не имеет всех одинаковых членов, но с обратными знаками), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Что является примером определения того, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой?
Если я нарисую это, я увижу, что это «симметрично относительно оси и «; другими словами, все, что график делает на одной стороне оси y , отражается на другой стороне:
Это отражение относительно оси y является отличительной чертой четных функций.
Также отмечу, что показатели степени всех членов четные — показатель степени постоянного члена равен нулю: 4 x 0 = 4 × 1 = 4. Это полезные подсказки, которые убедительно говорят мне, что у меня здесь четная функция.
Но вопрос просит меня сделать определение алгебраически , а это значит, что мне нужно сделать алгебру.
Итак, я подставлю — x вместо x и упрощу:
f (- x ) = -3(- x )1 2 40094 ( x 2 ) + 4
= −3 x 2 + 4
Я вижу, сравнивая исходную функцию с моим окончательным результатом выше, что у меня есть совпадение, что означает, что:
Если я построю это на графике, то увижу, что он «симметричен относительно начала координат»; то есть, если я начну с точки на графике по одну сторону оси y и проведу линию из этой точки через начало координат и продолжаю ту же длину по другую сторону y -ось, я попаду в другую точку на графике.
Вы также можете думать об этом как о половине графика на одной стороне оси y , которая является перевернутой версией половины графика на другой стороне оси y . Эта симметрия является отличительной чертой нечетных функций.
Также обратите внимание, что все показатели степени в правиле функции нечетные, так как второй член может быть записан как 4 x = 4 x 1 . Это полезная подсказка. Я должен ожидать, что эта функция будет странной.
Вопрос требует от меня определить алгебраически, поэтому я подставлю − x вместо x и упрощу:
f (− x ) = 2 (− x
) 3 — 4 ( — x )
= 2 ( — x 3 ) + 4 x
= −2 x 3 + 4 x 3 + 4 x . чтобы быть нечетным, мне нужно, чтобы приведенный выше результат имел все противоположные знаки исходной функции. Так что напишу исходную функцию, а потом поменяю местами все знаки:
Оригинал: F ( x ) = 2 ( x ) 3 — 4 ( x )
: — F (
41). ). ). x 3 + 4 x
Сравнивая это с тем, что я получил, я вижу, что они совпадают. Когда я подключил — x вместо x , все знаки поменялись местами. Это означает, что, как я и ожидал,
f ( x ) нечетно.
Эта функция является суммой двух предыдущих функций. Но, хотя сумма нечетного и четного числа есть нечетное число, я не могу заключить то же самое о сумме нечетной и четной функции.
Обратите внимание, что график этой функции не имеет симметрии ни с одной из предыдущих:
…и все ее показатели не четные или нечетные.
Основываясь на показателях, а также на графике, я бы ожидал, что эта функция будет ни , ни четные и нечетные. Однако, чтобы быть уверенным (и чтобы получить полное признание за мой ответ), мне нужно заняться алгеброй.
Я подключаю — x в для x и упрощает:
F ( — x ) = 2 ( — x ) 3 — 3 ( x ) 3 — 3 ( x ) 3 — 3 ( x ) 3 — 3 ( x ) 3 — 3 ( x ) 3 — 3 ( x ) 2 — 4 ( — x ) + 4
= 2 ( — x 3 ) — 3 ( x 2 ) + 4 x + 4 9003
= 2 1 x + 4 9003
= 2 1 x + 4 9003
= 2 1 x + 4 9003
= 1 x + 4 9003
= ). 3 − 3 x 2 + 4 x + 4
При быстром сравнении я вижу, что это не соответствует тому, с чего я начал, поэтому эта функция неравномерна. А как насчет странного?
Для проверки я запишу прямо противоположное тому, с чего начал, т. е. исходную функцию, но со всеми измененными знаками: x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4
Это тоже не соответствует тому, что я придумал. Так что исходная функция тоже не является странной. Затем, как я и ожидал:
f ( x ) не является ни четным, ни нечетным.
Как видите, сумма или разность четной и нечетной функций , а не нечетная функция. На самом деле вы обнаружите, что сумма или разность двух четных функций — это еще одна четная функция, а сумма или разность двух нечетных функций — еще одна нечетная функция.
Есть ли функция, которая одновременно является четной *и* нечетной?
Существует (ровно) одна функция, которая одновременно является четной и нечетной; это нулевая функция, f ( x ) = 0.
Другими словами, «четные» и «нечетные» в контексте функций означают нечто отличное от того, как эти термины используются с целыми числами. . Не пытайтесь смешивать два набора определений; это только смутит вас.
Только потому, что все примеры до сих пор включали полиномиальные функции, не думайте, что концепция четных и нечетных функций ограничивается полиномами. Это не. Тригонометрия полна функций, которые являются четными или нечетными, и другие типы функций также могут рассматриваться.
Определите, является ли
г ( x ) = 3/( x 2 + 2) четным, нечетным или ни тем, ни другим.
Это рациональная функция. Процесс проверки четности, нечетности или отсутствия такой же, как всегда. Я начну с подстановки − x вместо x :
g (− x ) = 3/[(− x ) 2 + 2]
= 3/[( x 2 ) + 2]
= 3/( x 2 + 2)
I Conta что это то же самое, с чего я начал. Итак:
g ( x ) равно четному
При ответе на этот вопрос типа «четный или нечетный» вам может оказаться полезным записать − f ( x ) явно, и затем сравните это с тем, что вы получаете за f (− x ). Это может помочь вам уверенно определить правильный ответ.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в определении того, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.
(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)
Страница 1 Страница 2 случаи, когда функции описываются как четные или нечетные. Если вам интересно узнать о четных и нечетных функциях , вы только что нашли нужную статью. Начнем с их определения:
Четные и нечетные функции — это специальные функции, обладающие особой симметрией относительно оси Y и начала координат соответственно.
Зачем нам знать, является ли функция четной или нечетной? Знание этого важного свойства функции может помочь нам:
Знать поведение графика функции.
Сэкономьте время на построении графиков функций и вместо этого применяйте свойства нечетных и четных функций.
Предсказать природу произведения и суммы двух функций.
Видя, что это может помочь нам работать над следующими темами намного быстрее, мы должны убедиться, что охватываем все аспекты нечетных и четных функций. Начнем с последнего!
Что такое четная функция?
В этом разделе будет подробно изучена даже функция, включая ее определение, свойства и график. Ниже приведены некоторые функции, широко известные как четные функции:
Функции абсолютного значения
Функции косинуса
Большинство функций с четной степенью
Мы сможем понять, почему приведенные выше функции являются четными функциями после следующие два раздела. Итак, как мы узнаем, является ли данная функция четной?
Определение функции четности
Функции четности — это функции, которые возвращают одно и то же выражение как для x , так и для -x . Это означает, что если f(x) является четной функцией, когда f(-x) = f(x) . Таблица значений четной функции также будет иметь симметричные значения. Квадратичная функция f(x) = x 2 , является четной функцией. Обратите внимание, как это соответствует определению четных функций:
f(-x) = (-x) 2
= x 2
Мы можем видеть, что [x, f(x)] → [-x, f(x)], показывая, как f(x) удовлетворяет определению четной функции. Теперь взгляните на его таблицу значений.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
9
4
1
0
1
4
9
Как видно, x и его отрицательное значение будут иметь одинаковые значения, что делает каждую половину таблицы идентичной.
График четной функции и понимание ее симметрии
Поскольку у нас уже есть таблица значений для f(x) = x 2 , , почему бы нам не использовать их для построения графика функции?
На приведенном выше графике показано, что квадратичная функция также симметрична относительно оси Y. Что это значит для нашего движения вперед?
Вы можете построить график половины любых четных функций, а затем отразить его по оси Y. Это экономит нам много времени, поскольку нам нужны только упорядоченные пары для построения графика левой или правой части четной функции.
Почему бы нам не попробовать, построив половину функции абсолютного значения, f(x) = |x| , первый?
x
0
1
2
3
4
F (x)
0
1
4
9
16
После того, как мы построили правую часть f(x) = |x| , давайте отразим его относительно оси, чтобы показать завершенный график функции.
Этот метод построения графиков сэкономит ваше время, особенно при работе с более сложными выражениями. Не забудьте, однако, перепроверить и убедиться, что функция даже.
Что такое нечетная функция?
Теперь, когда мы узнали о четных функциях, пришло время освежить наши знания о нечетных функциях. Вот некоторые из хорошо известных нечетных функций, с которыми вы, возможно, уже сталкивались:
Обратные функции
Синусоидальные и тангенциальные функции
Большинство функций с нечетной степенью
После следующих двух разделов мы поймем, почему упомянутые выше функции являются нечетными. Итак, что делает нечетные функции особенными?
Определение нечетной функции
Нечетные функции — это функции, которые возвращают свою отрицательную инверсию при замене x на –x . Это означает, что f(x) — это число 9.0049 нечетная функция, когда f(-x) = -f(x) . Давайте попробуем наблюдать f(x) = x 3 , нечетную функцию и посмотрим, как это повлияет на ее таблицу значений.
f(-x) = (-x) 3
= – x 3
Это подтверждает, что [x, f(x)] → [-x, -f ]. Таблица значений для f(x) = x 3 показана ниже. Заметили некоторые закономерности?
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-27
-8
-1
0
1
8
27
Видите, как f(1) = -f(1)? Эта закономерность согласуется с остальными значениями. В левой части таблицы показаны отрицательные значения его аналога с правой стороны.
График нечетной функции и понимание его симметрии
Мы также можем наблюдать, как нечетные функции ведут себя на xy -координата по графику f(x) = x 3 . Используйте таблицу значений, показанную в предыдущем разделе, для построения точек, которые соединят кривую f(x) = x 3 .
Этот график ясно показывает нам, насколько нечетные функции симметричны относительно начала координат. Мы также можем использовать это свойство, чтобы сократить время, необходимое для построения графика нечетных функций. Хотите увидеть пример? Давайте попробуем изобразить f(x) = 1/x .
x
1/4
1/2
1
2
4
F (x)
4
2
1
1/2
9009 1/4
1
1/2
9009 1/4
После построения верхней части обратной функции мы можем отразить ее в начале координат, чтобы завершить график. Посмотрите на пунктирную линию как на руководство того, как мы отражаем графики о происхождении.
При большей практике и примерах вы определенно сможете легко строить графики четных и нечетных функций. Давайте всегда не забывать проверять, является ли график нечетным или четным, прежде чем применять соответствующую технику.
Какими свойствами обладают четные и нечетные функции?
Теперь, когда мы узнали о нечетных и четных функциях, какие еще свойства мы можем наблюдать у этих типов функций?
Сумма, разность, частное или произведение двух четных функций будут четными. То же самое касается нечетных функций.
Пример: f(x) = sin x и g(x) = tan x нечетны, поэтому h(x) = sin x + tan x также будет нечетным.
Состав двух четных функций будет четным. То же правило применимо и к нечетным функциям.
Пример: f(x) = x 2 и g(x) = cos x четны, поэтому f(g(x)) = (cos x)2 также будет нечетным.
Как определить четная функция или нечетная?
Что, если нам дана функция, и мы не знаем, четная она или нечетная? Это не будет проблемой! Давайте воспользуемся тем, что мы уже узнали, чтобы определить, является ли функция четной или нечетной.
При задании функции : посмотрите, что произойдет, если мы заменим х с – х .
Когда вы подставили –x в f(x), функция осталась прежней? Если да, то f(x) четно.
Когда вы подставили –x в f(x), изменился ли знак коэффициента функции? Если да, то f(x) нечетно.
При наличии графика : определить, является ли график симметричным относительно начала координат или оси Y.
Если график симметричен относительно оси y , функция равна даже . как нам это сделать?
Представьте, что сложите график по вертикали и посмотрите, будут ли два графика лежать рядом друг с другом.
Вы также можете указать несколько точек и посмотреть, имеют ли x и –x одну и ту же координату.
Если график симметричен относительно начала координат , функция нечетная . как нам это сделать?
Представьте, что сложите график по диагонали (проверьте оба направления) и посмотрите, будут ли два графика лежать рядом друг с другом.
Вы также можете найти несколько точек и посмотреть, разделяют ли x и –x y-
Существуют ли функции, которые не являются ни нечетными, ни четными?
Должны ли все функции быть четными или нечетными? Нет. Бывают случаи, когда функция не соответствует ни четным, ни нечетным функциям. Функция f(x) = (x + 1) 2 является примером функции, которая не является ни нечетной, ни четной.
Давайте продолжим и посмотрим на выражение для f(-x) :
f(x) = (x + 1) 2
f(-x) = (-x + 1) 2
= (1 – x) 2
= 1 – 2x + x 2
Сравните это выражение с расширенной формой f(x) и –f(x).
Проверка нечетной функции: f(-x) = -f(x)
Проверка четной функции: f(-x) = f(x)
-f(x) = — (х + 1) 2
=-(х 2 + 2х + 1)
=-x 2 – 2x – 1
f(-x) ≠ -f(x)
f(x) = (x + 1) 2
=x 2 + 2 + 1
f(-x) ≠ f(x)
Это показывает, что такая функция, как f(x) = (x + 1) 2 , не может быть ни нечетной, ни четной.
Если вы посмотрите на график f(x) , вы увидите, что он не симметричен относительно начала координат или оси Y. Это еще раз подтверждает, что функция не является ни нечетной, ни четной.
Вот так мы рассмотрели все основные темы по четным и нечетным функциям. Со всеми свойствами, правилами и определениями, которые мы только что изучили, мы теперь готовы работать над дополнительными примерами, чтобы понять еще больше и странные функции.
Пример 1
Заполните пропуск либо нечетным , либо четным , чтобы сделать следующие утверждения верными.
Функции f(x) и g(x) являются четными функциями, поэтому их сумма также будет _________ функцией.
Композиция f(x) и g(x) возвращает нечетную функцию, поэтому и f(x), и g(x) являются _________ функциями.
Абсолютное значение нечетной функции является _____________ функцией.
Решение
Сумма двух четных функций также будет четным .
Композиция двух нечетных функций также будет нечетной .
Предположим, что f(x) нечетно, поэтому f(-x) равно -f(x). Взятие абсолютного значения этой функции возвращает f(x) обратно. Это означает, что функция даже .
Пример 2
Определить, F (x) , G (x) и ч (x) — даже или нечетные функции, использующие таблицы. значения, показанные ниже.
а.
x
-4
-2
0
2
4
F (x)
17
5
1
17
5
1
0009 5
17
б.
x
-3
-1
0
1
3
f(x)
18
4
1
4
18
в.
x
-4
-2
-1/2
0
1/2
2
4
H (x)
H (x)
4
H (x)
0009 -64
-8
-1/8
0
1/8
8
64
Решение
ОБСЛУЖИВАЕТСЯ. Равны ли соответствующие значения? Являются ли значения слева отрицательными значениями справа?
Мы видим, что таблица значений для f(x) показывает одинаковые значения для f(-x) и f(x), функция четная.
То же самое можно сказать и о значениях, показанных для g(x), так что функция четная.
В левой части таблицы отрицательные значения той, что сбоку, поэтому функция нечетная.
Пример 3
Определите, являются ли следующие функции четными, нечетными или ни теми, ни другими.
f(x) = x 2 – 1
g(x) = |x -1|
h(x) = -3x 5
Решение
Замените x на -x и проверьте выражение функции. Если f(-x) возвращает ту же функцию, мы можем сделать вывод, что функция четная. Если он возвращает ту же функцию, но с коэффициентами, имеющими разные знаки, он нечетный.
Проверим первую функцию, f(x) = x 2 – 1.
f(-x) = (-x) 2 – 1
= 2
1
Так как f(-x) возвращает то же самое выражение для f(x), , функция четна .
Используя тот же процесс для b и c, мы получаем следующие результаты.
2.
g(-x) = |x – 1|
= |-х – 1|
= |-(х + 1)|
=|х + 1|
Поскольку g(-x) не равно ни g(x), ни -g(x), g(x) равно ни нечетному, ни четному .
3.
H (-x) = -3 (-x) 5
= -3 (-x 5 )
= 3x 5
=-(3x 5 )
Мы видим, что h(-x) = -h(x), поэтому h(x) является нечетной функцией .
Пример 4
Определите, являются ли следующие функции четными, нечетными или ни тем, ни другим, изучив графики следующих функций.
а.
б.
в.
Решение
Имея график, мы можем идентифицировать нечетные и четные функции на основе симметрии графика.
Первый график показывает, что он симметричен относительно оси Y , поэтому это четная функция .
Второй график показывает, что он симметричен относительно начала координат , поэтому это нечетная функция .
Поскольку третий граф равен не симметричен относительно начала координат или оси Y , это ни нечетное, ни четное .
Пример 5
Заполните приведенную ниже таблицу, используя свойства функций.
Функция f(x) нечетная.
x
-1
-1/2
-1/4
1/2
1/4
1
f(x)
-2
-4
-8
2. Функция f(x) четна.
x
-3
-1
0
1
3
f(x)
-6
-5
-3
Решение
Поскольку функция нечетная, мы заполняем незаполненные значения отрицательными обратными значениями -2, -4 и -8. Следовательно, у нас есть 2, 4 и 8.
Поскольку функция четная, мы заполняем незаполненные значения, которые будут такими же, как f(1) и f(3). Следовательно, у нас есть 3 и 1.
Пример 6
Используйте приведенную ниже таблицу значений и тот факт, что f(x) четно графику f(x).
x
-3
-2
-1
0
F (x)
0
9000 -2
-4
-6
-4
-6
9000
-4
-6
-4
-6
-4
-6
-4
-6
-4
-2
. 0032
Решение
Сначала нанесем точки. Соедините их, чтобы построить график части f(x).
Помните, что f(x) — четная функция. Его график будет симметричен относительно оси Y. Это означает, что для завершения графика f(x) мы отражаем график относительно оси y.
График выше показывает полный график f(x). Вы также можете убедиться в этом, визуализировав оставшуюся половину графика функции, «свернув» график по оси Y.
Это показывает, что понимание свойств нечетных и четных функций может сэкономить нам время при решении задач и построении графиков функций.
Симметрия графов. Темы предварительного исчисления
Темы в
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Содержание | Дом
16
Тест на симметрию: четные и нечетные функции
ПУСТЬ ЭТО БУДЕТ ПРАВАЯ СТОРОНА графика функции:
Теперь нарисуем левую сторону — так, чтобы график был симметричен относительно оси y :
В данном случае
f (− x ) = f ( x ).
Высота кривой при −90 527 x 90 528 равна 90 527, равной 90 528 высоте кривой при 90 527 x 90 528 — для каждых 90 527 x 90 528 в области ф .
Опять же, пусть это будет правая часть:
Теперь нарисуем левую сторону — так, чтобы график был симметричен относительно начала координат:
Каждая точка справа отражается через начало координат. В данном случае
f (− x ) = − f ( x ).
Значение f at − x — это минус значения at x .
(Отражение через начало координат эквивалентно отражению вокруг оси y , за которым следует отражение вокруг оси x .)
Тест на симметрию: четные и нечетные функции
Таким образом, симметрия
зависит от поведения f ( x ) по другую сторону оси y — на минус x : 90 527 f 90 528 (− 90 527 x 90 528).
Вот тест:
Если f (− x ) = f ( x ),
, то график f ( x ) симметричен относительно оси y .
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область. Чтобы перекрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Если f (- х ) = — f ( х ),
, то график f ( x ) симметричен относительно начала координат.
Функция, симметричная относительно оси y , называется четной функцией.
Функция, симметричная относительно начала координат, называется нечетной функцией.
Пример 1. Проверить эту функцию на симметрию:
f ( x ) = x 4 + x 2 + 3
Решение . Мы должны посмотреть на f (− x ):
f (− x )
=
(- x ) 4 + (- x ) 2 + 3
=
x 4 + x 2 + 3
=
f ( x ).
Так как f (− x ) = f ( x ), эта функция симметрична относительно оси y . Это четная функция.
Пример 2. Проверить эту функцию на симметрию:
f ( x ) = x 5 + x 3 + x
Решение . Опять же, мы должны посмотреть на 90 527 f 90 528 (− 90 527 x 90 528): 90 003
f (− x )
=
(- x ) 5 + (- x ) 3 + (- x )
=
− х 5 − х 3 − х
=
−( х 5 + х 3 + х )
=
− f ( x ).
Поскольку f (− x ) = − f ( x ), эта функция симметрична относительно начала координат. Это странная функция.
Проблема. Проверьте каждое из следующих на симметрию. Является ли f ( x ) четным, нечетным или ни тем, ни другим?
а) f ( x ) = x 3 + x 2 + х + 1
Ответ. Ни то, ни другое, потому что f (− x ) ≠ f ( x ) и f (− x ) ≠ − f ( x 9).
b) f ( x ) = 2 x 3 − 4 x
Ответ. f ( x ) нечетно — оно симметрично относительно начала координат — потому что ф (- х ) = — ф ( х ).
c) f ( x ) = 7 x 2 − 11
Ответ. f ( x ) является четным — оно симметрично относительно оси y — потому что f (− x ) = f ( x ).
Применение эквивалентных функций при решении пределов
Метод решения
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Определение эквивалентных функций Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при : при , если на некоторой проколотой окрестности точки , при , причем .
Если при , то ; если , то . При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного Если, при , и и существует предел , то существует и предел . Доказательство
Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные: , где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.
Таблица эквивалентных функций
Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .
Эквивалентность при
Равенство при
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
В качестве примера рассмотрим следующий предел: . При . Но если заменить в числителе на x, то получим ошибку: . Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, : . Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0. Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.
Можно решить этот пример разложением в ряд Маклорена:
.
Также можно применить правило Лопиталя:
.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций. ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Найти предел: .
Решение
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем: . Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные. .
Ответ
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел: .
Решение
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим: . Преобразуем квадрат логарифма: . Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные. .
Ответ
Пример 3
Все примеры ⇑ Вычислить предел. .
Решение
Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями. . Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0.
Вычисляем предел: . Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑. ; ;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем: .
Ответ
Пример 4
Все примеры ⇑ Вычислить предел. .
Решение
При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда . Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞.
Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0. Для этого приводим дроби к общему знаменателю. . Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид: .
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше: .
В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции: . Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя. . Если положить , то . Тогда . Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .
Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .
Теперь заменим множители эквивалентными функциями: .
Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Ответ
Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
Эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов
Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности выда ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения. Для удобства приведем небольшую таблицу эквивалентностей основных функций при движении переменной к нулю
есть еще несколько формул однако они встречаются редко.
Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» для закрепления практических знаний.
————————————
Пример 1. Найти пределы.
1) (5. 492. 1)
2) (5. 492. 7)
3) (5. 492. 8)
4) (5. 492. 9)
5) (5. 492. 11)
6) (5. 492. 13)
7) (5. 492. 15)
8) (5. 492. 17)
9) (5. 492. 19)
Решение.
1) Согласно правилам разложения в окрестности нуля поведение заданных функций будет следующим
На основе этого предел примет значение
2) Использую правила эквивалентностей преобразим функцию
граница примет значение
3) Преобразуем числитель и знаменатель по правилам
и найдем предел
4) Если Вам встречаются подобные примеры то нужно выполнить следующее: на основе формул разложения упростить числитель
Подстановкой в предел получим
неопределенность вида ноль на ноль . Для ее раскрытия нужно знаменатель разложить на простые множители.
Чтобы не решать квадратное или другие уравнения, которые могут быть, можете смело делить знаменатель на числитель
Подставляем в предел и вычисляем
Такого рода примеры задуманы таким образом что знаменатель или числитель имеют особенности, избавившись от которых без проблем вычисляем пределы.
5) Согласно правилам эквивалентности поведение числителя и знаменателя подменяем функциями
В результате находим предел
6) Производим замену функций эквивалентными
На основе этого получим
7) Для применения правил эквивалентности добавим и вычтем в числителе единицу.
Далее делаем замену
После подстановки в предел получим
8) Преобразуем числитель
Подставим и сведем к первому замечательному пределу
9) Согласно разложению в окрестности нуля получим
Граница примет вид
Применение эквивалентных функций позволяет быстро находить границы функций.2 = 0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[frac<0><0>]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.
$$ 1- cos (4 cdot 0) = 1-cos 0 = 1 – 1 = 0 $$
Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.
Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.
Ответ
$$ lim_limits frac<1-cos 4x> = 0 $$
Пример 3
Вычислить предел функции используя эквивалентно малые величины $lim_limits frac<sin (x-1)> $
Решение
Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ frac<0> <0>] $.2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.
Метод решения
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Определение эквивалентных функций Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при : при , если на некоторой проколотой окрестности точки , при , причем .
Если при , то ; если , то . При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного Если, при , и и существует предел , то существует и предел . Доказательство
Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные: , где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй. Разумеется, можно менять не все функции а только одну или некоторые из них.
Таблица эквивалентных функций
Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .
Эквивалентность при
Равенство при
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
В качестве примера рассмотрим следующий предел: . При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку: . Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, : . Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций. ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем: . Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные. .
Пример 2
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим: . Преобразуем квадрат логарифма: . Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные. .
Пример 3
Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями. . Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .
Вычисляем предел: . Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑. ; ;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем: .
Пример 4
При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда . Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .
Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю. . Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид: .
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше: .
В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции: . Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя. . Если положить , то . Тогда . Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .
Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .
Теперь заменим множители эквивалентными функциями: .
Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019
Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .
Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .
sin ( α ( x ) )
эквивалентна
α ( x )
t g ( α ( x ) )
эквивалентна
α ( x )
a r c sin ( α ( x ) )
эквивалентна
α ( x )
a r c t g ( α ( x ) )
эквивалентна
α ( x )
1 – cos ( α ( x ) )
эквивалентна
α ( x ) 2 2
ln ( 1 + α ( x ) )
эквивалентна
α ( x )
α α ( x ) – 1
эквивалентна
α ( x ) ln α
1 + α ( x ) p – 1
эквивалентна
p α ( x )
1 + α ( x ) 1 p – 1
эквивалентна
α ( x ) p
Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .
Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .
Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Вычислить предел функции lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 .
Производится подстановка значений
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = 1 – cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = » open=» 0 0
Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 – cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 – cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 1 – cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела.{2}-1}=\frac{1}{2}
\)
Вычисление пределов по таблице эквивалентных бесконечно малых [wiki.eduVdom.com]
Функция а(х) называется бесконечно малой при $ $, если $ $.
Аналогично определяется бесконечно малая а(х) при $ $.
Функция f(x) называется бесконечно большой при $ $, если $ $.
Аналогично определяется бесконечно большая f(х) при $ $.
Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами.
1) Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций при $ $ также являются бесконечно малыми при $ $.
2) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.
Сравнение бесконечно малых. Пусть функции $ $ и $ $ являются бесконечно малыми при $ $. Если
$$ $$
где с— некоторое конечное число, отличное от нуля, то функции $ $ и $ $ называются бесконечно малыми одного порядка. Если с=1, то функции $ $ и $ $ называются эквивалентными; запись: $ $.
Если с=0, то функция а(х) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с $ $, что записывается так: $ $, а $ $ — бесконечно малой низшего порядка по сравнению к а(х).
Если $ $, где $ $, то функция а(х) называется бесконечно малой п-го порядка по сравнению с функцией $ $. Аналогично вводится понятие бесконечно больших различных порядков.
Видео урок :Вычисление пределов. Задачи 1 — 5
Видео урок 1:Вычисление пределов.:
Просмотр видео уроков воозможен только в режиме обучения
Видео урок :Вычисление пределов. Задачи 6 — 8
Видео урок 2:Вычисление пределов.:
Просмотр видео уроков воозможен только в режиме обучения
Перестановка эквивалентных выводов, пар и секций_AD | Altium Designer 21 Руководство пользователя
Полное содержание
В тесной интеграции с возможностями интерактивной трассировки и создания трассировки, выходящей за пределы корпусов BGA, в Altium Designer работает система перестановки эквивалентных выводов, дифференциальных пар и секций. Эта система предоставляет все преимущества традиционных возможностей перестановки эквивалентных выводов, но также использует преимущества глубокого понимания Altium Designer назначения цепей в проекте. При перестановке эквивалентных выводов Altium Designer анализирует цепь, назначенную выбранному выводу, и динамически переназначает цепь выводу и подключенным проводящим объектам.
Этот уровень функциональности означает, что перестановка доступна для частично растрассированных цепей и предварительно растрассированных цепей на множестве слоев для сложных устройств в корпусах BGA. Также благодаря информации о дифференциальных выводах-парах в ПЛИС доступна перестановка эквивалентных дифференциальных пар.
На уровне плат, эти система включает в себя эффективный модуль автоматической оптимизации, который использует эту информацию для переназначения цепей и упрощения трассировки. Например, система может выполнить обновление соединений множества устройств, для которых была создана трассировка за пределы корпуса на множестве слоев, на основе соответствующих слоев, где эта трассировка расположена, кратчайшей манхэттенской длины трассировки и минимального количества пересечений на каждом слое.
Возможность перестановки частично растрассированных цепей вместе с модулем автоматической оптимизации позволяет использовать иерархическую и итеративную стратегию трассировки: сначала создать трассировку за пределы посадочного места, затем трассировку к краю заданной области для соединения этих двух областей. Автоматическую перестановку можно запустить в любой момент для повторной оптимизации на основе обновленной информации из частично растрассированных цепей.
Существуют три категории перестановки:
Перестановка эквивалентных выводов
Перестановка эквивалентных дифференциальных пар
Перестановка эквивалентных секций
Настройка групп перестановок
Для каждой из категорий перестановки, группы перестановок (swap groups) определяют, что может и что не может быть переставлено в компоненте. В случае с эквивалентными выводами, перестановка доступна для выводов с одним значением группы выводов (pin group). Аналогичным образом, для перестановки эквивалентных пар и секций, значения групп пар (pair group) и групп секций (part group) определяют, какие дифференциальные пары и секции соответственно могут быть переставлены. Эти группы перестановок компонента настраиваются в диалоговом окне Configure Pin Swapping, показанном на изображении ниже. Открыть это диалоговое окно можно следующими способами:
В документе платы щелкните ПКМ по компоненту и выберите команду Component Actions » Configure Pin/Part Swapping.
В документе схемы щелкните ПКМ по компоненту и выберите команду Part Actions » Configure Pin Swapping.
Нажмите кнопку Configure Component в нижней части диалогового окна Configure Swapping Information In Components (Tools » Configure Pin Swapping).
Дважды щелкните ЛКМ по какому-либо компоненту в диалоговом окне Configure Swapping Information In Components.
Группы выводов
Вывод компонента доступен для перестановки с другим выводом этого же компонента, если он принадлежит той же группе выводов (т.е. если у них одинаковы значения pin group). Pin group – это атрибут каждого вывода в компоненте, и его значением может быть любая буквенно-цифровая строка. Группы выводов всего компонента могут быть заданы в диалоговом окне Configure Pin Swapping.
Схема с компонентом, состоящим из двух логических элементов ИЛИ-НЕ с пятью входами. Все входные выводы любой из секций логически эквивалентны, что представляет собой идеальную ситуацию для перестановки эквивалентных выводов.
Обратите внимание на схему на изображении выше, которая содержит два логических элемента ИЛИ-НЕ с пятью входами компонента SNJ54S260. Все цепи логического элемента ИЛИ-НЕ, от INA0 до INA4, могут быть переставлены друг с другом. Аналогичным образом, могут быть переставлены цепи от INB0 до INB4, однако цепь INAx не может быть переставлена с цепью INBx.
Ограничения перестановки для элемента ИЛИ-НЕ определяются в диалоговом окне Configure Pin Swapping. Если задать цепям INAx группу перестановок 1, а цепям INBx группу перестановок 2, то перестановка будет выполняться системой только таким образом, что это будет совместимо с логикой компонента. Если для вывода оставить значение группы выводов пустым, то это будет означать, что вывод не доступен для перестановки.
Группы секций и идентификаторы последовательности
Зачастую компоненты состоят из множества эквивалентных секций. Перестановка эквивалентных секций позволяет выполнить перестановку цепей таких эквивалентных секций. Еще раз обратите внимание на компонент, показанный на изображении выше. Оба элемента ИЛИ-НЕ работают одинаково, и цепи (INA0, INA1, INA2, INA3, INA4, OUTA) могут быть переставлены с цепями (INB0, INB1, INB2, INB3, INB4, OUTB).
Настройка перестановки эквивалентных секций компонента осуществляется с помощью групп секций (part group) и идентификаторов последовательности (sequence ID). Это текстовые атрибуты, доступные на вкладке Part Swapping диалогового окна Configure Pin Swapping, как показано ниже. Поскольку две секции могут быть переставлены друг с другом, их группам секций присвоено значение 1, как показано на изображении ниже.
Атрибут sequence ID определяет эквивалентность выводов в секциях, доступных для перестановки. Например, в элементах ИЛИ-НЕ важно, чтобы входные выводы не были переставлены с выходными при перестановке эквивалентных секций. На изображении ниже показано, что значения sequence ID заданы так, чтобы OUTA менялся с OUTB, INA0 менялся с INB0, INA1 менялся с INB1 и т.д.
Настройка групп перестановок эквивалентных секций в диалоговом окне Configure Pin Swapping для компонента с двумя логическими элементами ИЛИ-НЕ с пятью входами.
Обратите внимание, что перестановка эквивалентных секций доступна только для компонентов, созданных в виде секций, поскольку осуществляется перестановка всех цепей между двумя секциями.
Группы пар
Перестановка эквивалентных дифференциальных пар управляется значениями групп пар (pair group), заданными дифференциальным парам. Атрибут pair group доступен на вкладке Differential Pair Swapping диалогового окна Configure Pin Swapping. На вкладке Differential Pair Swapping доступны три режима, которые могут быть заданы с помощью выпадающего списка в левом нижнем углу диалогового окна.
Show Pairs From Directives (Отображать пары из директив) – для отображения в таблице дифференциальных пар система будет использовать директивы дифференциальных пар, размещенные в схеме.
Show Pairs From FPGA (Отображать пары из ПЛИС) – система будет использовать данные о дифференциальных парах, взятую из информации о ПЛИС. Обратите внимание, что этот режим доступен, если компонент является ПЛИС.
Show All Pins (Отображать все выводы) – система будет отображать все выводы компонентов.
Настройка групп перестановок эквивалентных пар в диалоговом окне Configure Pin Swapping.
Управление перестановкой в схеме
В редакторе плат перестановка эквивалентных выводов, пар и секций выполняется путем перестановки цепей контактных площадок компонентов и подключенных проводящих объектов. При передаче этих изменений в схему, существуют два способа обработки перестановки выводов: перестановка выводов в соответствующем символе или перестановка меток цепей на проводах, присоединенных к выводам. У каждого из этих способов есть свои преимущества и недостатки.
Перестановка эквивалентных выводов всегда работает в схеме, но это может означать, что экземпляр символа компонента больше не соответствует символу, заданному в библиотеке. В этом случае, символ не может быть обновлен из библиотеки, и это также означает, что прочие экземпляры этого компонента в проекте имеют другое расположение выводов. Таким образом, этот способ идеально подходит для простых компонентов, таких как резисторные матрицы.
Выполнение перестановки на схеме путем перестановки меток цепей возможно только в том случае, когда связность задана с помощью меток цепей и если между выводами не заданы проводные связи. Преимуществом этого подхода является то, что символ компонента не изменяется, и его можно будет обновить из библиотеки на более позднем этапе. Этот подход отлично подходит для сложных компонентов, таких как ПЛИС, где физическое перемещение двух выводов символа может привести к некорректному представлению входов/выходов символа.
Вы можете определить, как будут выполняться перестановки, выбрав Adding / Removing Net-Labels или Changing Schematic Pins в разделе Allow Pin Swapping Using these Methods диалогового окна Project Options — Options, как показано ниже.
Эти опции проекта управляют тем, как перестановка эквивалентных выводов будет выполняться на схеме.
Включение перестановки эквивалентных выводов, пар и секций на плате
Атрибуты групп перестановок, необходимые для перестановки эквивалентных выводов, пар и секций в компоненте, хранятся в компонентах на схеме. Тем не менее, эта информация используется именно в редакторе плат. У каждого компонента на плате есть опция, допускающая перестановку эквивалентных выводов.
Опции перестановок компонента на плате доступны в панели Properties, где отображены свойства компонента, когда он выделен в рабочей области. Эти опции находятся в разделе Swapping Options вкладки General.
В диалоговом окне Configure Swapping Information in Components приведен список всех компонентов, используемых в проекте (включая библиотеки SCHlib/PCBlib) с их текущими настройками перестановок. При открытии диалогового окна Configure Swapping Information in Components из редактора плат оно будет включать в себя дополнительный столбец под названием Enable in PCB для включения/отключения перестановок каждого компонента на плате. Чтобы открыть диалоговое окно Configure Swapping Information in Components, используйте команду Tools » Configure Pin Swapping.
Диалоговое окно Configure Swapping Information In Components.
Диалоговое окно Configure Swapping Information in Components включает в себя мощные возможности контекстного меню, что упрощает быстрое копирование настроек из одного компонента в другой и включение/отключение множества компонентов в один клик.
Дважды щелкните ЛКМ по компоненту в диалоговом окне Configure Swapping Information in Components, чтобы открыть диалоговое окно Configure Pin Swapping для этого компонента, где вы можете задать группы перестановок эквивалентных выводов, дифференциальных пар и секций.
Выполнение перестановки эквивалентных выводов, пар и секций
Интерактивная перестановка эквивалентных выводов, пар и секций
Интерактивная перестановка позволяет выполнять в редакторе плат перестановки выводов, дифференциальных пар и секций по одной. Команды интерактивной перестановки находятся в меню Tools » Pin/Part Swapping. После выбора команды из этого меню выводы, доступные для перестановки, будут подсвечены. Шаги, необходимые для выполнения перестановки, отображаются в строке состояния:
Первый шаг – выберите один из подсвеченных выводов, который станет источником перестановки выводов. В случае перестановки пар или секций, будет переставлена соответственно дифференциальная пара или секция, к которой принадлежит вывод.
Второй шаг – выберите целевой вывод для эквивалентной перестановки. Для перестановки эквивалентных пар или секций, этот вывод будет представлять дифференциальную пару или секцию.
Шаги по интерактивной перестановке секций компонента с двумя логическими элементами ИЛИ-НЕ с пятью входами показаны на двух изображениях ниже. Здесь есть две секции, которые могут быть переставлены, что означает, что можно выбрать любой из их пяти выводов, как показано на изображении выше. Выбранный вывод 8 соответствует секции U2B. Затем система подсветит выводы секции U2A, перестановку с которыми можно выполнить.
На изображении слева показан шаг 1 – выбор вывода для перестановки; доступные выводы подсвечиваются. На изображении справа показан шаг 2 – выбор целевого вывода.
Автоматическая оптимизация выводов/цепей
Модуль автоматической оптимизации выводов/цепей работает в два этапа. Выберите команду Tools » Pin/Part Swapping » Automatic Pin/Net Optimizer из меню редактора плат, чтобы выполнить автоматическую оптимизацию.
Сначала модуль автоматической оптимизации выводов/цепей запускает быструю однократную оптимизацию, которая пытается минимизировать количество пересечений и длину соединений, но может и увеличить их. После этого у вас будет запрошено, хотите ли вы запустить итеративную оптимизацию, которая проводит множество циклов для уменьшения количества пересечений и длины соединений.
Передача изменений обратно в схему
После настройки групп перестановок в диалоговом окне Configure Pin Swapping, изменения сразу же применяются к схемному компоненту, независимо от того, какой редактор был активен при запуске команды. Однако изменения проекта, которые являются результатом выполнения перестановки эквивалентных выводов, дифференциальных пар и секций в редакторе плат, необходимо передать обратно в схему с помощью стандартного процесса Design Update.
Отправка изменений из платы в схему
Перестановки выводов, пар и секций передаются в схему таким же образом, как и другие проектные изменения – с помощью команды Design » Update из главного меню. В зависимости от того, как заданы опции перестановок выводов в диалоговом окне Project Options — Options, перестановки будут выполнены следующим образом:
Изменение имен выводов – это изменение переместит выводы в символе. На самом деле, выводы не будут перемещены в символе, но будет видно, что два контакта переместились или поменялись местами.
Перемещение выводов к другим цепям – это изменение поменяет местами метки цепей на присоединенных проводах.
Изменение идентификатора секции – это изменит индекс секции при выполнении перестановки эквивалентных секций.
На изображении слева показана перестановка эквивалентных выводов, выполненная на схеме путем перестановки выводов. На изображении справа показана перестановка эквивалентных выводов, выполненная перемещением меток цепей.
Если на схеме не отображается результат перестановки эквивалентных выводов или секций, нажмите клавишу End, чтобы обновить вид.
Использование преимуществ новой системы перестановки эквивалентных выводов/секций для проектов ПЛИС
Помимо очевидных преимуществ, предлагаемых перестановкой эквивалентных выводов, пар и секций, возможность перестановки частично растрассированных подцепей обеспечивает новое измерение перестановки, которая идеально подходит для работы с большими ПЛИС. Динамическое переназначение цепей позволяет применять итеративный процесс проектирования с постепенными улучшениями в назначениях выводов/цепей.
Начальное назначение входов/выходов
На этом этапе, выводы ПЛИС и других устройств имеют назначение цепей, наиболее простое для уровня схемы. Обычно это означает простое добавление меток цепей для выводов ПЛИС в числовом порядке шин. Для этого идеально подходит возможность Smart Paste (Умная вставка) редактора схем.
Начальная оптимизация соединений
Проект может быть передан в редактор плат, где будет большое количество пересечений соединений из-за назначения цепей на схеме случайным образом. Запустите команду Automatic Net/Pin Optimizer для быстрого уменьшения большого числа пересечений. На этом этапе результат не должен быть идеальным, поскольку это используется в основном для того, чтобы упростить визуальное управление соединениями на уровне платы.
Трассировка за пределы посадочного места
Теперь может быть выполнено создание фэнаутов и трассировка за пределы посадочного места для больших устройств на плате (щелкните ПКМ по компоненту для выборочного создания фэнаутов/трассировки за пределы посадочного места). Это может ухудшить ранее оптимизированные назначения цепей, но на данном этапе это не существенно.
Оптимизация трассировки за пределы посадочного места
Снова запустите автоматическую оптимизацию. На этот раз, она будет использовать преимущества предварительно растрассированных частей фэнаутов/трассировки за пределы посадочного места.
Трассировка вручную
Теперь вы можете рассматривать концы трассировки за пределы посадочного места в качестве «целей» дальнейшей трассировки. Игнорируйте текущие линии подключения, поскольку вы можете трассировать от других концов цепей в направлении ближайшей входной/выходной трассы за пределы посадочного места (в пространственном отношении и по слоям) на плате, а не в направлении трассы, принадлежащей той же цепи. Соединения не будут совпадать. Вместо этого вы получите ряд малых зазоров между трассировкой из входных/выходных выводов ПЛИС и трассировкой из других компонентов на плате. На изображении ниже слева показан простой пример этого.
Финальная оптимизация
Запустите автоматическую оптимизацию снова, чтобы растрассированные подцепи были назначены ближайшим входным/выходным выводам ПЛИС. Получится набор очень коротких соединений, которые нужно завершить. Модуль автоматической оптимизации использует специальные алгоритмы для получения хороших результатов. Теперь эти соединения можно растрассировать в интерактивном или автоматическом режиме.
Перестановка эквивалентных выводов вручную
Используйте инструменты интерактивной переставноки, чтобы выполнить перестановку определенных выводов, если необходимо.
Передача изменений обратно на схему
Когда вы готовы передать эти назначения цепей выводам обратно на схему, рекомендуется отключить изменения выводов схемных символов, поскольку ПЛИС зачастую представлены многосекционными компонентами, где каждый банк выводов является отдельной секцией на схеме. Перемещение выводов из одной секции в другую приведет к тому, что эти символы станут логически некорректными, поскольку символ банка будет включать в себя выводы, которые не принадлежат этому банку. В этом случае, правильным подходом будет выполнение перестановки выводов путем изменения меток цепей.
Повторяйте столько, сколько необходимо
Этот процесс можно повторить столько раз, сколько необходимо, и на любом этапе процесса проектирования.
Тестирование эквивалентности с использованием существующих справочных данных: Пример с генетически модифицированными и традиционными культурами в исследованиях кормления животных
Основные моменты
•
Предлагается метод тестирования эквивалентности для оценки безопасности регулируемых продуктов.
•
Мы объединяем данные текущего исследования с тестовыми и контрольными исследованиями, а также исторические исследования с предположительно безопасными эталонными продуктами.
•
Метод проиллюстрирован исследованиями кормления животных с использованием генетически модифицированных и эталонных сортов кукурузы.
•
Высокая статистическая мощность теста эквивалентности является основой для критерия эквивалентности.
•
Обобщенный исходный вывод используется для интеграции неопределенностей из исторических и текущих данных.
Реферат
Описан метод проверки эквивалентности для оценки безопасности подкарантинных продуктов с использованием соответствующих данных, полученных в исторических исследованиях с предположительно безопасными эталонными продуктами.Метод проиллюстрирован с использованием данных серии исследований кормления животных генетически модифицированными и эталонными сортами кукурузы. Обсуждаются несколько критериев для количественной оценки эквивалентности, и эквивалентность с поправкой на исследование в отношении распределения выбирается как подходящая для примера тематического исследования. Предлагается тест на эквивалентность, основанный на высокой вероятности объявления эквивалентности в упрощенной ситуации, когда нет межгрупповых вариаций, когда исторические и текущие исследования имеют одинаковую остаточную дисперсию и где предполагается, что текущее исследование имеет выборку. размер, установленный регулятором.В этом методе используются обобщенные методы фидуциального вывода для интеграции неопределенностей как исторических, так и текущих данных.
Расчет точной мощности и размера выборки для двух односторонних тестов на эквивалентность
Abstract
Эквивалентное тестирование настоятельно рекомендуется для демонстрации сопоставимости эффектов лечения в широком спектре областей исследований, включая медицинские исследования.Хотя основные свойства благоприятных двух односторонних тестов на эквивалентность рассматривались в литературе, соответствующие вычисления мощности и размера выборки были проиллюстрированы в основном для выбора наиболее подходящего приближенного метода. Более того, традиционный анализ мощности не учитывает ограничения на распределение и вопросы стоимости при выборе различных размеров выборки. Чтобы расширить практическую полезность процедуры двух односторонних тестов, в этой статье описываются точные подходы к определению размера выборки с учетом различных соображений распределения и затрат.Поскольку представленные функции обычно не доступны в общих пакетах программного обеспечения, представлены компьютерные коды R и SAS для реализации предлагаемых вычислений мощности и размера выборки для планирования исследований эквивалентности. Точная степенная функция процедуры TOST используется для вычисления оптимальных размеров выборки по четырем схемам проектирования, учитывающим различные проблемы распределения и стоимости. Предлагаемая методология мощности и размера выборки должна быть полезна для медицинских наук при планировании исследований эквивалентности.
Образец цитирования: Shieh G (2016) Расчет точной мощности и размера выборки для двух односторонних тестов эквивалентности. PLoS ONE 11 (9):
e0162093.
https://doi.org/10.1371/journal.pone.0162093
Редактор: Джейк Оливье, Университет Нового Южного Уэльса, АВСТРАЛИЯ
Поступила: 22 марта 2016 г .; Одобрена: 17 августа 2016 г .; Опубликовано: 6 сентября 2016 г.
Доступность данных: Данные взяты из Rogers JL, Howard KI, Vessey JT (1993) Использование критериев значимости для оценки эквивалентности между двумя экспериментальными группами. Психологический бюллетень 113: 553–565.
Финансирование: Автор не получал специального финансирования на эту работу.
Конкурирующие интересы: Автор заявил об отсутствии конкурирующих интересов.
Введение
Тесты на эквивалентность широко используются для демонстрации биоэквивалентности двух лекарственных форм в биофармацевтических исследованиях. Понятие эквивалентности лечебных эффектов в равной степени актуально и потенциально полезно в других областях исследований, таких как медицина. Хотя это не всегда самый мощный тест, и существуют более мощные тесты, процедура двух односторонних тестов (TOST), предложенная Schuirmann [1] и Westlake [2], является наиболее распространенным методом оценки эквивалентности при двухгрупповом параллельном тестировании. дизайн.Исчерпывающий обзор различных типов тестов на эквивалентность был представлен в Meyners [3]. Дальнейшие подробности о дизайне и анализе исследований эквивалентности можно найти у Чоу и Лю [4], Чоу, Шао и Ван [5], Хаушке, Стейнийанс и Пигеот [6] и Веллек [7].
Следует отметить, что логика традиционных тестов, основанных на различиях, и формальных тестов, основанных на эквивалентности, принципиально отличается. Rogers et al. [8] подчеркнули, что традиционный тест и тест эквивалентности не исключают друг друга.Если выполнены обе процедуры тестирования, возможно, что обе будут отклонены, ни одна из них не будет отклонена, или что одна будет отклонена, а другая не будет отклонена. Следовательно, отказ отвергнуть проверку гипотезы об отсутствии различий не обязательно подтверждает вывод об эквивалентности, как подчеркивалось в Blackwelder [9]. Кроме того, Крибби, Груман и Арпин-Крибби [10], Паркхерст [11] и Шуирманн [12] провели всесторонние сравнения внутренней уместности и теоретических свойств между процедурой TOST и тестом t для двух выборок для оценки эквивалентность двух лечебных средств.Что еще более важно, Аллан и Крибби [13] подчеркнули, что традиционные тесты часто неправильно применяются для установления эквивалентности в психологической литературе.
Чтобы улучшить ситуацию с недостаточным использованием, настоятельно рекомендуется процедура TOST вместо двухвыборочного теста t , когда цель исследования состоит в том, чтобы определить, достаточно ли близко друг к другу два лечебных средства, чтобы считаться эквивалентными. Теоретическое обоснование и простота вычислений — важные особенности процедуры TOST для статистических выводов.Однако эмпирическое исследование требует адекватной статистической мощности и достаточного размера выборки для выявления обозначенных гипотез и изучения вопросов исследования. Соответствующие расчеты мощности и определения размера выборки также должны быть рассмотрены в качестве жизнеспособной процедуры для расширения применимости при планировании исследовательских проектов. Соответственно, в литературе значительное внимание было уделено вопросам мощности и размера выборки процедуры TOST. Поскольку степенная функция TOST сложна по форме, различные выражения, приближения и вычислительные алгоритмы были предложены и обсуждались с разных точек зрения.Основные результаты документированы в Bristol [14], Chow, Shao, and Wang [15], Chow and Wang [16], Diletti, Hauschke, and Steinijans [17], Liu and Chow [18], Muller-Cohrs [19]. ], Филлипс [20], Шуирманн [12], Сикейра, Уайтхед, Тодд и Лучини [21], а также Ван и Чоу [22] и другие. Важно отметить, что процедура вывода и теоретические свойства TOST при двухгрупповом параллельном дизайне сразу же распространяются на двухпоследовательные и двухпериодные схемы кроссовера и реплицированные схемы кроссовера, как изложено у Чоу, Шао и Ванга [ 15], Чоу и Ван [16], Сикейра и др.[21], а также Ван и Чоу [22].
Хотя желательные свойства двух односторонних тестов эквивалентности, включая точную степенную функцию, были хорошо задокументированы в литературе, соответствующие вычисления мощности и размера выборки были проиллюстрированы в основном для выбора наиболее подходящего приближенного метода. На первый взгляд, приближенные степенные функции сравнительно просты в использовании и дают практически полезные результаты. Но он не сохраняет все критические характеристики конфигураций модели, и, следовательно, нет гарантии, что полученные методы размера выборки всегда будут давать надежную работу.Было отмечено в Siqueira et al. [21], что простые приближения являются удовлетворительными при определенных условиях, и трудность вычисления размера выборки не обязательно уменьшается за счет использования приближенных формул. С другой стороны, с развитием компьютерных технологий и повсеместной доступностью статистического программного обеспечения простота вычислений больше не является приоритетной задачей. Самое главное, что превосходство точных техник по точности незаменимо. Поэтому вместо этого следует учитывать точные вычисления мощности и размера выборки.Разумно отметить, что Бристоль [14] и Шуирманн [12] описали особенно привлекательное и удобное выражение для точной степенной функции TOST, которое может быть легко реализовано с помощью встроенных функций нормального распределения и распределения хи-квадрат в стандартных программных системах.
Среди прочих, Ян и Ши [23] отметили, что традиционный анализ мощности и определение размера выборки не решают вопросов ограничений распределения и вопросов стоимости. Однако исследователи изучают стратегии проектирования, которые учитывают различные ограничения структуры распределения и финансирования проекта, сохраняя при этом достаточную мощность.В частности, соотношение распределения размеров групп было зафиксировано при расчете размера выборки для изучения независимых пропорций в Флейсе, Титуне и Ури [24], в то время как Хейлбрун и МакГи [25] рассмотрели проблему размера выборки для сравнения нормальных средних, когда одна выборка размер оговаривается заранее. Более того, в реальном эксперименте доступные ресурсы обычно ограничены, а стоимость лечения субъекта часто варьируется в зависимости от группы лечения. Например, Нам [26] представил оптимальные размеры выборки, чтобы максимизировать возможности для сравнения лечения и контроля в условиях бюджетных ограничений.Напротив, Allison et al. [27] выступали за разработку статистически значимых исследований при минимизации затрат.
Ввиду недостаточного рассмотрения методологии точного размера выборки в литературе, настоящая статья направлена на то, чтобы внести свой вклад в разработку определения оптимального размера выборки для разработки исследований эквивалентности двумя способами. Во-первых, точная степенная функция процедуры TOST используется для вычисления оптимальных размеров выборки по четырем схемам проектирования, учитывающим различные проблемы распределения и стоимости.Схемы распределения включают в себя (а) указано соотношение размеров групп и (б) указан один размер выборки. Более того, финансовые последствия предполагают оптимальное назначение субъектов (а) для достижения максимальной мощности при фиксированных затратах и (б) для достижения заданного уровня мощности при наименьших затратах. Во-вторых, поскольку существующие программные пакеты не учитывают соображения мощности и размера выборки с той же степенью общности, как описано в этой статье, разработаны компьютерные алгоритмы для облегчения реализации предложенных процедур.Предлагаемая методология мощности и размера выборки должна быть полезна для медицинских наук при планировании исследований эквивалентности.
Методы
Процедура двух односторонних испытаний
Рассмотрите независимые случайные выборки из двух нормальных популяций со следующими формулировками:
(1)
где μ i , σ 2 — неизвестные параметры, j = 1,…, N i и i = 1 и 2. Для обнаружения группового эффекта μ d = μ 1 –μ 2 с точки зрения гипотезы H 0 : μ d = 0 по сравнению с H 1 : μ d ≠ 0, общие два- образец т статистика имеет вид
(2)
где, и ν = N 1 + N 2 −2.
Основное внимание в этой статье уделяется проверке эквивалентности, и без потери общности нулевая и альтернативная гипотезы выражаются как
(3)
где Δ (> 0) — априорная константа, представляющая минимальную разницу для объявления эквивалентных средств. Из процедуры TOST, предложенной Schuirmann [1] и Westlake [2], следует, что нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости α, если
(4)
где t ν, α — верхний 100 · α-й процентиль распределения t со степенями свободы ν.
Точная функция мощности Ψ E процедуры TOST представлена в уравнении A2 файла S1. Численное вычисление точной мощности требует оценки кумулятивной функции распределения стандартной нормальной переменной и одномерного интегрирования по отношению к функции распределения вероятностей хи-квадрат. Поскольку все связанные функции представлены в основных статистических пакетах, точные вычисления могут быть выполнены с использованием современных вычислительных систем.Для предварительного планирования исследований эквивалентности представленная степенная функция Ψ E может использоваться для расчета размеров выборки { N 1 E , N 2 E }, необходимых для достижения заданная мощность (1 –β) для выбранного уровня значимости α, конфигурации модели {μ d , σ 2 } и порог эквивалентности Δ. Чтобы повысить применимость процедуры TOST, в следующем разделе описаны алгоритмы оптимального размера выборки для четырех схем проектирования с учетом различных соображений распределения и затрат.Программы R [28] и SAS / IML [29], используемые для выполнения соответствующих вычислений размера выборки, доступны в файлах S3 и S4 соответственно. Хотя соображения оптимальной мощности и размера выборки в первую очередь проиллюстрированы для оценок эквивалентности двухгрупповых параллельных планов, они могут быть непосредственно распространены на проблемы эквивалентности двухпоследовательных и двухпериодных схем пересечения, как изложено в файле S2.
Для иллюстрации было проведено моделирование, демонстрирующее предлагаемый точный подход к расчетам мощности и размера выборки.Эмпирическая оценка исследует две модели средней разницы и шесть значений стандартного отклонения, представленные в таблице V Siqueira et al. [21]. В частности, два набора средних разностей и стандартных отклонений: μ d = {0,0, 0,1} и σ = {0,10, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,20} соответственно. Кроме того, выбранные размеры выборки были определены для достижения уровня мощности 0,80 с помощью метода золотого стандарта, описанного в Siqueira et al. [21]. Они рассматривали только сбалансированный дизайн с размерами выборки N 1 = N 2 = N , а метод золотого стандарта представляет собой аппроксимацию степенной функцией Ψ A , приведенной в уравнении A5 для S1. Файл.Соответственно, точная функция мощности Ψ E , представленная в уравнении A3, используется для вычисления достигнутой мощности для двенадцати модельных конфигураций с α = 0,05 и Δ = 0,2231.
Кроме того, оценки истинной мощности, связанной с данным размером выборки и конфигурацией параметров, были вычислены с помощью моделирования методом Монте-Карло 100 000 независимых наборов данных. Для каждой повторности ( N 1 , N 2 ) с помощью параллельного плана с двумя выборками генерируются нормальные результаты.Затем вычисляются статистические данные теста T 1 и T 2 , и моделируемая мощность представляет собой долю 100000 повторов со статистикой теста T 1 > t ν, 0,05 и T 2 <- t ν, 0,05 . Адекватность расчета мощности и размера выборки определяется разницей между моделируемой мощностью и расчетной мощностью. Расчетная мощность, смоделированная мощность и соответствующая разница приведены в Таблице 1 для параметров исследуемой модели.Анализ обобщенных результатов показывает, что предложенный точный метод, основанный на степенной функции Ψ E , дает почти идентичные результаты с моделированием для всех двенадцати случаев. В частности, все результирующие абсолютные различия меньше 0,003, а наибольшее расхождение 0,0025 возникает из-за ситуации с μ d = 0,1, σ = 0,12 и N = 13. Следовательно, представленный точный подход и компьютер Алгоритм имеет явное преимущество в точности вычислений.
Расчетные схемы
Используя точную степенную функцию процедуры TOST, в этом исследовании изучаются планы исследований с ограничениями по распределению и бюджетным ограничениям. Во-первых, соотношение r = N 2 / N 1 между двумя размерами групп может быть зафиксировано заранее, поэтому задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер выборки N 1 ( N 2 = rN 1 ), необходимое для достижения указанного уровня мощности.Во-вторых, один из двух размеров выборки, скажем, N 2 , может быть предварительно назначен, и поэтому должен быть найден наименьший размер N 1 , необходимый для удовлетворения указанной мощности. В-третьих, какова наименьшая стоимость исследования для поддержания желаемого уровня мощности? В-четвертых, как достичь максимальной мощности в научном исследовании с ограниченным бюджетом?
Рассмотрим сценарий, в котором соотношение размера выборки r = N 2 / N 1 задано заранее, и для простоты иллюстрации предполагается, что соотношение r ≥ 1.Общий сбалансированный дизайн с равными размерами выборки является частным случаем с r = 1. Можно провести пошаговый процесс для определения минимального размера выборки N 1 , необходимого для достижения указанной степени 1 –β для выбранной значимости. уровень α и значения параметров {μ d , σ 2 , Δ}. Для сравнительных целей и простоты вычислений приближенное нормальное распределение T ⩪ N (λ, 1) обеспечивает удобное решение, где 0λ = μ d / σ * и σ * 2 = σ 2 (1/ N 1 + 1/ N 2 ).Для упрощения вычислений начальный размер выборки N 1 Z , вычисленный с помощью нормального приближения, будет наименьшим целым числом, удовлетворяющим неравенству N 1 Z ≥ (1 + / r ) σ 2 ( z α + z β ) 2 / (Δ– | μ d |) 2 где z α и z и z β — это верхний 100 · α-й и 100 · β-й процентили стандартного нормального распределения, соответственно.
Дизайн II: фиксированный размер выборки.
Без ограничения общности размер выборки N 2 второй группы остается неизменным. Как и в предыдущем случае, минимальный размер выборки N 1 , необходимый для обеспечения указанной степени 1 –β, может быть найден путем итеративного поиска выбранного уровня значимости α и значений параметров {μ d , σ 2 , Δ}. Начальный размер выборки N 1 Z на основе нормального приближения, как описано в предыдущей ситуации, выбирается как наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству N 1 Z ≥ 1 / { (Δ– | μ d |) 2 / [σ 2 ( z α + z β ) 2 ] — / N 2 }.
Конструкция III: общая стоимость фиксирована, а фактическая мощность должна быть максимальной.
Предположим, что C F — накладные расходы на исследование, а C 1 и C 2 — затраты на одного предмета в первой и второй группах, соответственно; тогда общая стоимость исследования составит C = C F + C 1 N 1 + C 2 N 2 .Соответственно, традиционное рассмотрение общего количества субъектов можно рассматривать как частный случай функции стоимости C , где C F = 0 и C 1 = C 2 = 1. В контексте нормальности Пентико [30] показал, что оптимальное распределение с разными затратами на единицу выборки — это когда соотношение размеров выборки предполагает равенство N 1 / N 2 =.Для фиксированного значения общей стоимости C и указанной фиксированной стоимости C F максимальная мощность достигается с помощью комбинации размера выборки
Примечательно, что оптимальное свойство действительно только тогда, когда статистика T имеет нормальное распределение. Однако в данном случае это не так, и для нахождения точного оптимума проводится двухэтапная процедура. Сначала выполняется подробная оценка мощности для комбинаций размеров выборки { N 1 , N 2 } с N 1 от N 1 мин до N 1 макс. и N 2 = Этаж [( C — C F — C 1 N 1 ], где N 1 мин. = Этаж ( N 1 Z ) — 3, N 1 макс. = Этаж [{ C C F — C 2 ( этаж ( N 2 Z ) — 3)} / C 1 ], и функция Floor a ) возвращает наибольшее целое число, которое меньше или eq ual к и .Во-вторых, распределение оптимального размера выборки дает наибольшую мощность.
Конструкция IV: целевая мощность является фиксированной, а общую стоимость необходимо минимизировать.
В дополнение к предыдущему сценарию с ограниченным бюджетом, отдельный подход для учета вопросов мощности и стоимости заключается в поиске оптимальной комбинации размера выборки, которая минимизирует общие затраты и достигает заранее выбранной целевой мощности. Ввиду дискретности размера выборки точная процедура проводится в три этапа.
Во-первых, для достижения номинальной мощности 1 –β при минимизации общих затрат C = C F + C 1 N 1 Z + C 2 N 2 Z , почти оптимальная комбинация размера выборки при нормальном распределении для T где z β * = z β / 2 , если μ d = 0, и z β * = z β если μ d 0.Видно, что N 1 Z * / N 2 Z * = и σ 2 (1/ N 1 Z * + 1/ N 2 Z * ) = (σ– | μ d |) 2 / ( z α + z β * ) 2 . Затем вычисление мощности и оценка стоимости выполняются для комбинаций размеров выборки с N 1 от N 1 мин до N 1 max и надлежащим значением N 2 ≥ Этаж [1 / {(Δ– | μ d |) 2 / [σ 2 ( z α + z β * ) 2 ] — 1/ N 1 }], удовлетворяющая требуемой мощности, где N 1 мин. = макс. {5, Ceil ( N 1 Z * ) — 2}, N 1 max = Ceil ( N 1 Z * ) + 10, функция max выбирает наибольшее значение элементов, а функция Ceil ( a ) возвращает наименьшее целое число, которое больше или равно a 9. 0106.Во-вторых, оптимальный размер выборки — это то, что дает наименьшие затраты при сохранении указанного уровня мощности. В-третьих, может быть несколько комбинаций, дающих одинаковую сумму с наименьшими затратами. Дальнейший процесс отбора и отбора проводится, чтобы найти тот { N 1 E , N 2 E }, производящий наибольшую мощность.
Результаты
Чтобы проиллюстрировать вычислительные аспекты предлагаемых процедур для планирования проектирования, на примере Миннесотского многофазного опросника личности (MMPI) между субъектами, страдающими алкогольной и наркотической зависимостью, представленными в Rogers et al.[8] распространяется здесь на определение размера выборки для проверки эквивалентности при различных схемах проектирования. Подробные обсуждения и связанные результаты различий MMPI между алкоголиками и наркоманами можно найти у Кэннона, Белла и Фаулера [31].
В связи с перспективным характером предварительного планирования исследования, общие руководящие принципы предполагают, что типичные источники, такие как опубликованные результаты или мнение экспертов, могут предлагать правдоподобные и разумные плановые значения для жизненно важных характеристик средних эффектов, компонентов дисперсии и порога эквивалентности.В качестве иллюстрации определения размера выборки для планирования исследования эквивалентности представленные сводные статистические данные шкалы мужественности-женственности для наркозависимых и алкогольных групп модифицированы как средние по совокупности и дисперсия. В частности, μ d = 61,4–59,2 = 2,2, σ = 9,78. С этими спецификациями, уровнем значимости α = 0,05 и границей эквивалентности Δ = 5,92 (10% баллов MMPI испытуемых-алкоголиков) численные вычисления показали, что результирующая мощность для TOST составляет Ψ E = 0.7711 для заявленных размеров выборки { N 1 , N 2 } = {49, 207} исследования MMPI. Достигнутая мощность чуть меньше довольно распространенного и почему-то минимального уровня 0,80.
Чтобы гарантировать приличную возможность оценки свойства эквивалентности с заранее заданным соотношением размера выборки r = N 2 / N 1 = 4, оптимальные размеры выборки {54, 216 } требуются для достижения обозначенной степени 0.80. В качестве альтернативы, когда размер выборки N 2 = 210 фиксирован заранее, для достижения выбранной мощности 0,80 требуется размер группы N 1 = 55. Однако важно учитывать бюджетные вопросы. Для иллюстрации предположим, что затраты на единичную выборку для двух групп обработки равны C 1 = 4 и C 2 = 1. При учете затрат с накладными расходами C F = 0 и общий бюджет C = 400 единиц, оптимальное решение для размера выборки — {67, 132}, имеющее фактическую степень 0.8111. С другой стороны, оптимальные размеры выборки {65, 128} требуются для достижения указанной мощности 0,80 с наименьшими общими затратами. Детальный расчет показал, что достигнутая мощность и общая стоимость составляют 0,8005 и 388 соответственно. Предписанные конфигурации параметров включены в пользовательские спецификации дополнительных программ R и SAS / IML. Исследователи могут легко идентифицировать утверждения, содержащие примерные значения в компьютерном коде, а затем изменять программы, чтобы приспособить их собственные спецификации модели.Тем не менее, предлагаемые процедуры приведут к точным расчетам мощности и определению размера выборки при условии, что вся необходимая информация указана должным образом.
Выводы
Многие исследования специально разработаны для того, чтобы показать, что два лечения функционально эквивалентны или что новый метод столь же эффективен, как и хорошо зарекомендовавший себя метод при тех же условиях. В таких обстоятельствах традиционные тесты не подходят для установления эквивалентности, потому что отказ от отклонения проверки гипотезы об отсутствии различий не обязательно подтверждает вывод об эквивалентности.Примечательно, что процедура TOST для установления статистической эквивалентности эффективно использовалась в широком спектре исследовательских дисциплин. В качестве контрастного и конкретного примера процедура TOST была проиллюстрирована оценками эквивалентности MMPI между алкоголем и наркозависимыми субъектами в Rogers et al. [8], в то время как предыдущее исследование Кэннона, Белла и Фаулера [31] было сосредоточено на вопросах исследования различий MMPI между алкоголиками и наркоманами. Следовательно, желательно, чтобы исследователи определяли, когда тестирование эквивалентности полезно, и очерчивали значимые границы эквивалентности относительно существенных вопросов в их экспертных областях исследования.
Для повышения полезности методологии TOST целесообразно разработать полный отчет о компьютерных программах для выполнения необходимых расчетов в исследованиях эквивалентности. Очевидно, что отсутствие эффективного и удобного компьютерного программного обеспечения препятствует практическому использованию тестов эквивалентности и теоретическому развитию исследований эквивалентности. В этой статье исследуется проблема мощности и размера выборки при проверке эквивалентности средних значений из двух независимых и нормально распределенных популяций с неизвестной дисперсией.Точная степенная функция процедуры TOST описана и используется для вычисления оптимальных размеров выборки с учетом различных распределений и затрат. Ввиду важности вычислений мощности и размера выборки при планировании проектирования и ограниченных возможностей доступных пакетов программного обеспечения, компьютерные программы разрабатываются для облегчения использования предлагаемых методов. В целом, проиллюстрированные расчеты мощности и размера выборки, а также соответствующие алгоритмы подтверждают теоретические и практические последствия TOST в исследованиях эквивалентности.
Вклад авторов
Концептуализация: GS.
Формальный анализ: GS.
Расследование: GS.
Методология: GS.
Ресурсы: GS.
Программное обеспечение: GS.
Проверка: GS.
Написание — первоначальный эскиз: GS.
Написание — просмотр и редактирование: GS.
Ссылки
1.Schuirmann DL. При проверке гипотез, чтобы определить, содержится ли среднее нормального распределения в известном интервале. Биометрия. 1981; 37: 617.
2.
Westlake WJ. Ответ на T.B.L. Кирквуд: Тестирование биоэквивалентности — необходимость переосмыслить. Биометрия. 1981; 3: 589–594.
3.
Мейнерс М. Тесты эквивалентности — обзор. Качество еды и предпочтения. 2012; 26: 231–245.
4.
Чоу СК, Лю ДжП. Дизайн и анализ исследований биодоступности и биоэквивалентности (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chapman & Hall / CRC; 2008.
5.
Чоу С.К., Шао Дж., Ван Х. Расчет размера выборки в клинических исследованиях. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер; 2003.
6.
Hauschke D, Steinijans V, Pigeot I. Исследования биоэквивалентности при разработке лекарств: методы и приложения. Чичестер: Джон Уайли и сыновья; 2007.
7.
Веллек С. Проверка статистических гипотез эквивалентности и неполноценности (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: CRC Press; 2010 г.
8.
Роджерс Дж. Л., Ховард К. И., Весси Дж. Т.. Использование критериев значимости для оценки эквивалентности между двумя экспериментальными группами. Психологический бюллетень. 1993; 113: 553–565. pmid: 8316613
10.
Крибби Р.А., Груман Дж., Арпин-Крибби С. Рекомендации по применению тестов эквивалентности. Журнал клинической психологии.2004; 60: 1–10. pmid: 146
11.
Parkhurst DF. Тесты статистической значимости: тесты на эквивалентность и обратные тесты должны уменьшить вероятность неправильного толкования. Биология. 2001; 51: 1051–1057.
12.
Schuirmann DJ. Сравнение двух процедур односторонних тестов и энергетического подхода для оценки эквивалентности средней биодоступности. Журнал фармакокинетики и биофармацевтики. 1987; 15: 657–680. pmid: 3450848
13.
Аллан Т.А., Крибби Р.А.Оценка эквивалентности или различия психологических методов лечения: исследование недавних исследований вмешательства. Канадский журнал поведенческой науки. 2013; 45: 320–328.
14.
Бристоль DR. Вероятности и размеры выборки для процедуры двух односторонних тестов. Коммуникации в статистике, теории и методах. 1993; 22: 1953–1961.
15.
Чоу С.К., Шао Дж., Ван Х. Заметка о вычислении размера выборки для средних сравнений на основе нецентральной t-статистики.Журнал биофармацевтической статистики. 2002; 12: 441–456. pmid: 12477068
16.
Чоу С.К., Ван Х. О расчете размера выборки в исследованиях биоэквивалентности. Журнал фармакокинетики и фармакодинамики. 2001; 28: 155–169. pmid: 11381568
17.
Diletti E, Hauschke D, Steinijans VW. Определение объема выборки для оценки биоэквивалентности с помощью доверительных интервалов. Международный журнал клинической фармакологии, терапии и токсикологии. 1991; 29: 1–8.
18.
Лю Дж. П., Чоу СК. Определение объема выборки для двух односторонних тестов на биоэквивалентность. Журнал фармакокинетики и биофармацевтики. 1992; 20: 101–104. pmid: 1588502
19.
Мюллер-Корс Дж. Сила теста Андерсона-Хаука и двойного t-критерия. Биометрический журнал. 1990; 32: 259–266.
20.
Филлипс К.Ф. Мощность двух односторонних тестов на биоэквивалентность. Журнал фармакокинетики и биофармацевтики.1990; 18: 137–144. pmid: 2348380
21.
Сикейра А.Л., Уайтхед А., Тодд С., Лучини М.М. Сравнение формулы размера выборки для перекрестных планов 2 × 2, применяемых к исследованиям биоэквивалентности. Фармацевтическая статистика. 2005; 4: 233–243.
22.
Ван Х, Чоу СК. О статистической мощности для тестирования средней биоэквивалентности при воспроизведении перекрестных схем. Журнал биофармацевтической статистики. 2002; 12: 295–309. pmid: 12448572
23.
Ян С.Л., Шие Г.Оптимальные размеры выборки для теста Велча с учетом различных факторов распределения и стоимости. Методы исследования поведения. 2011; 43: 1014–1022. pmid: 21512873
24.
Fleiss JL, Tytun A, Ury HK. Простое приближение для расчета размеров выборки для сравнения независимых пропорций. Биометрия. 1980; 36: 343–346. pmid: 26625475
25.
Heilbrun LK, McGee DL. Определение размера выборки для сравнения нормальных средних значений, когда фиксирован один размер выборки. Вычислительная статистика и анализ данных.1985; 3: 99–102.
26.
Nam JM. Оптимальный размер выборки для сравнения контроля и лечения. Биометрия. 1973; 29: 101–108. pmid: 46
27.
Allison DB, Allison RL, Faith MS, Paultre F, Pi-Sunyer X. Власть и деньги: разработка статистически значимых исследований при минимизации финансовых затрат. Психологические методы. 1997; 2: 20–33.
28.
Основная команда разработчиков R. R: Язык и среда для статистических вычислений [Компьютерное программное обеспечение и руководство]; 2014 г.Получено с http://www.r-project.org.
29.
Институт САС. Руководство пользователя SAS / IML, версия 9.3. Кэри, Северная Каролина: SAS Institute Inc; 2014.
30.
Pentico DW. Об определении и использовании оптимальных размеров выборки для оценки разницы в средних. Американский статистик. 1981; 35: 41–42.
31.
Пушка DS, Bell WE, Fowler DR. Различия MMPI между алкоголиками и наркоманами: влияние возраста и расы. Психологическая оценка: журнал консультационной и клинической психологии.1990; 2: 51–55.
Статистическое испытание эквивалентности для оценки лабораторной очищаемости
(ADAM GAULT, GETTY IMAGES _PHOTO)
В этом исследовании мы применяем лабораторную модель для оценки относительной очищаемости различных белковых продуктов. Из-за вариабельности, наблюдаемой во времени очистки, точки данных были собраны в повторностях, и была оценена статистическая ошибка. После создания нескольких точек данных времени очистки для каждого продукта потребовался надежный статистический метод для адекватной оценки сопоставимости этих распределений времени очистки.Двусторонний тест t (TOST) — это обычно используемый статистический инструмент для целей сопоставимости, особенно для передачи методов между двумя лабораториями, когда целью является демонстрация эквивалентности между получающей и передающей лабораторией. Этот метод одобрен FDA и широко используется в промышленности. 8–10 В данном исследовании применяется TOST для сравнения очищающей способности белковых лекарственных препаратов.
Рисунок 1
СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД
При сравнении двух или более групп данных более распространенным подходом является определение того, означает ли разница в группе значение (среднее значение группы представляет собой среднее всех данных в группе). достаточно большой, чтобы быть объявленным статистически значимым.Утверждение теста или нулевая гипотеза состоит в том, что группы не отличаются. Эффект объявления различия статистически значимым указывает на то, что нулевая гипотеза отклоняется; группы представляют собой два или более различных распределения ценностей и фактически не равны. На практике, при достаточном размере выборки, даже различия, которые слишком малы, чтобы быть значимыми, могут быть объявлены статистически значимыми.
Однако обратное не может быть заявлено, если не наблюдается статистически значимой разницы.Можно только отвергнуть нулевую гипотезу или показать, что группы разные, используя общий тест t . Это неудобно, если цель — показать сопоставимость двух или более групп.
Подход, широко используемый в статистике клинических испытаний и набирающий популярность в фармацевтических и биотехнологических учреждениях, TOST — это метод объявления сопоставимости эквивалентности, основанный на сравнении двух или более групповых средних и их соответствующих средних доверительных интервалов разницы с заранее определенные пределы эквивалентности.Если разница между доверительными интервалами находится в пределах предварительно определенного предела эквивалентности, то истинное различие также будет в пределах этого предела, что позволяет заявлять об эквивалентности между двумя наборами данных. Ключевая цель оценки очищаемой способности — сравнить очищаемость двух продуктов с помощью теста на эквивалентность.
Экспериментальные данные, полученные в ходе исследования характеристик очистки с использованием лабораторной модели, показали, что существует некоторая внутренняя изменчивость из-за характера процесса очистки.Кроме того, ошибка аналитика и эксперимента вносит свой вклад в дальнейшую изменчивость. Чтобы адекватно установить предопределенный предел эквивалентности, следует рассмотреть каждый компонент, вносящий вклад в изменчивость. Если предел эквивалентности установлен слишком широким, разрешающая способность метода может снизиться, поскольку будет труднее различать два продукта. Если установить слишком узкий предел эквивалентности, результаты могут быть неточными при оценке того, действительно ли два продукта эквивалентны. Для модели очистки в уменьшенном масштабе оценка различных компонентов экспериментальной изменчивости показала, что два раза превышающий верхний 95% доверительный предел оценки стандартного отклонения контролируемого набора данных является достаточным, чтобы различать очищаемость двух продуктов.Вариабельность в контролируемом наборе данных — одно из многих возможных обоснований пределов эквивалентности. Часто, когда доступны спецификации или критерии приемлемости, максимальные различия, обеспечивающие возможность соответствия этим критериям, могут использоваться в качестве пределов эквивалентности.
УСТАНОВКА НУЛЕВОЙ ГИПОТЕЗЫ И ПРЕДЕЛОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Нулевая гипотеза (также называемая гипотезой эквивалентности ) утверждает, что средние значения времени очистки двух продуктов различаются на величину θ или больше:
, где θ — предел эквивалентности, а μa и μb — средние двух групп.Для проверки эквивалентности строятся 90% доверительные интервалы для разницы между двумя группами. Нулевая гипотеза о том, что группы различаются не менее чем на θ, отвергается, если пределы интервала выходят за пределы ± θ. И наоборот, сопоставимость демонстрируется, когда границы 90% доверительного интервала средней разности полностью попадают в пределы ± θ, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2
Обратите внимание, что ширина доверительного интервала увеличивается с меньшим размером выборки собранные данные и с меньшей изменчивостью внутри каждой группы данных.Особенности расчета размера выборки выходят за рамки данной статьи. Однако больший размер выборки, естественно, приведет к более узкому доверительному интервалу средней разницы и, следовательно, упростит декларацию сопоставимости. Аналогичным образом, хотя эквивалентность явно не сравнивает изменчивость отдельной группы, более широкая дисперсия приведет к более широким доверительным интервалам, что затруднит декларирование сопоставимости.
Этот предел эквивалентности был вычислен как удвоенный верхний 95% доверительный предел оценки стандартного отклонения контролируемого набора данных.В случае экспериментов по очистке предел эквивалентности был равен 2 x [1,6 x 1,4] = 4,48, где 1,6 было стандартным отклонением набора контролируемых данных (продукт A), а 1,4 — множителем для 95% доверительного предела оценка стандартного отклонения, основанная на размере выборки 18. 11 Использование верхнего доверительного предела оценки стандартного отклонения учитывает неопределенность таких оценок на основе заданного размера выборки.
Следовательно, критерием приемлемости эквивалентности было то, что верхний и нижний доверительный предел разницы между двумя средними значениями должен находиться в пределах ± 4.48. Следующие два тематических исследования демонстрируют применение этого статистического подхода к сравнению очищающей способности различных белковых лекарственных препаратов.
Рис. 3
Пример 1: Продукты A и B не эквивалентны
Два белковых продукта очищали лабораторным методом. Для каждого продукта было записано в общей сложности 18 точек данных (для времени очистки). Для проведения анализа TOST использовали коммерчески доступное статистическое программное обеспечение (JMP). 12 Использовалась функция одностороннего анализа «Подгонка Y по X» с установленным альфа-уровнем (вероятность ошибки 1-го типа), равным 0.1, который представляет 90% -ный доверительный интервал, обсуждавшийся ранее. На рисунке 3 показано распределение времени очистки для двух продуктов. График в виде прямоугольников и усов (красный) представляет диапазон и распределение точек данных. Поле содержит средние 50% данных, а линия в середине поля представляет собой медианное значение набора данных. Разница между квартилями — это межквартильный размах. У каждого блока есть усы, которые простираются от края блока до самой удаленной точки данных, которая попадает в границу, определяемую верхним квартилем + 1.5 * (межквартильный размах) и нижний квартиль –1,5 * (межквартильный размах).
Таблица 1. Верхний и нижний пределы достоверности разницы между двумя группами, определенные с помощью двустороннего t-критерия (TOST)
В таблице 1 показаны результаты анализа TOST, выполненного с использованием JMP. Разница между двумя средними значениями группы представляет собой точечную оценку истинной разницы между двумя средними. Это может быть рассчитано путем вычитания выборочного среднего для набора данных A из выборочного среднего для набора данных B.Стандартная ошибка (SE) разницы между средними значениями двух групп может быть рассчитана с помощью следующего уравнения:
, в котором s A — стандартное отклонение группы A, n A — размер выборки группы A, и s B и n B представляют соответствующие значения для продукта B. Это значение обеспечивает оценку изменчивости разницы между двумя наборами данных. Степени свободы регулируются на основе изменчивости каждого набора данных, которая определяется статистическим программным обеспечением (JMP) с использованием приближения Саттертуэйта. 11 90% -ный доверительный интервал для разницы между двумя средними значениями отражается разницей верхнего доверительного предела 70,36 и разностью нижнего доверительного предела 62,91 двух групповых средних. Поскольку предел эквивалентности составляет ± 4,48, а верхний и нижний доверительные границы разницы между двумя средними значениями выходят за пределы установленного предела эквивалентности, делается вывод, что продукт A и продукт B не эквивалентны. Исходя из среднего времени очистки и доверительного интервала, продукт B считается более трудным для очистки, чем продукт A.
В этом тематическом исследовании продукты не соответствовали эквивалентной очищающей способности, главным образом из-за большой разницы (66,64 мин) в средних временах очистки, как показано синей полосой на рисунке 2. Также возможно не пройти тест эквивалентности, когда средние значения двух групп схожи, но продукт B имеет высокую степень изменчивости, что приводит к широким доверительным интервалам, как показано красной полосой на рисунке 2. В таком сценарии вариабельность продукта B должна быть дополнительно оценена, и результат рейтинг очищаемости (B A) может быть сделан на основе соответствующей оценки риска и деловых соображений.
Пример 2: продукты A и Y эквивалентны
Анализ TOST, как описано в предыдущем примере, был повторен для двух других продуктов. На рисунке 4 показано распределение времени очистки для этих двух продуктов: A и Y.
Рисунок 4
В таблице 2 показаны результаты анализа TOST с использованием JMP. Доверительный интервал 90% для разницы между двумя средними значениями отражается разницей верхнего доверительного предела 1,5547 и разностью нижнего предела достоверности 0.0564 из двух групп означает. Поскольку предел эквивалентности составляет ± 4,48, верхний и нижний доверительные пределы разницы между двумя средними значениями находятся в пределах предела эквивалентности. Таким образом, можно сделать вывод, что продукт A и продукт Y эквивалентны друг другу с точки зрения очищаемости.
Таблица 2. Верхний и нижний пределы доверительной вероятности разницы между двумя группами, определенные с помощью двустороннего t-критерия
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
Для обеспечения согласованности и приверженности следует установить процедуру и обучить аналитиков. проводить такие эксперименты.Поскольку этот метод обеспечивает относительную очищаемость продукта, важно, чтобы каждый эксперимент проводился единообразно. При выполнении оценок очистки для сравнения новых продуктов с утвержденным наихудшим случаем может быть включена дополнительная проверка, чтобы гарантировать, что каждая оценка проводится согласованным образом. Это достигается путем сравнения данных для контрольной молекулы (например, продукта наихудшего случая) с установленным набором данных или «золотым стандартом», созданным для контроля во время исследования характеристик.Тот же статистический метод, TOST, может быть использован для выполнения этого требования. Например, аналитику может потребоваться провести эксперимент, чтобы определить очищаемость нового продукта N по сравнению с проверенным продуктом W. Очищаемость валидированного продукта W была предварительно установлена в ходе предшествующей работы по определению характеристик. Чтобы убедиться, что аналитик выполнил эксперимент адекватно, можно использовать тест на сопоставимость с использованием TOST для сравнения эквивалентности данных, полученных аналитиком для продукта W, с установленным набором данных.Эквивалентность двух наборов данных продемонстрирует, что эксперимент действительно был адекватным и надежным.
РЕЗЮМЕ
Двусторонний тест t (TOST) — это статистический метод, хорошо принятый FDA и промышленностью для оценки сопоставимости двух групп данных. В случае оценки очистки в уменьшенном масштабе этот статистический подход был применен для определения относительной очищаемости двух продуктов. TOST сравнивает средние значения двух групп и их доверительные интервалы, сравнивая их с заранее определенным пределом эквивалентности.Предварительно определенный предел эквивалентности должен быть установлен путем оценки изменчивости, связанной с такими экспериментальными оценками. Чтобы включить дополнительную проверку согласованности аналитиков, можно применить TOST, чтобы гарантировать, что данные, полученные от разных аналитиков для конкретного продукта (контрольной молекулы), эквивалентны.
ПОДТВЕРЖДЕНИЕ
Авторы благодарят Эда Уоллса и Эрвина Фройнда (разработка процессов, Amgen, Inc.) за обзор этой работы и их ценные предложения.
Цилия Чен — старший научный сотрудник, Нитин Ратхор — старший научный сотрудник, Вэньчан Цзи — главный научный сотрудник, занимающийся разработкой лекарственных препаратов и устройств, а Абэ Германсдерфер — главный инженер по качеству. корпоративное качество — все в Amgen, Inc., Thousand Oaks, CA, 805.313.6393, [email protected]
ССЫЛКИ
1. Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США. Руководство для промышленности. Текущая надлежащая производственная практика готовых фармацевтических препаратов.Роквилл, Мэриленд; 2004. Доступно по адресу: www.accessdata.fda.gov/scripts/cdrh/cfdocs/cfcfr/CFRSearch.cfm?CFRPart=211
2. Sanchez JAM. Валидация очистки оборудования на многопрофильном производственном предприятии. BioPharm Int. 2006. 19 (20): 38–49.
3. Молла А.Х., Белый Е.К. Валидация очистки на основе рисков при производстве биофармацевтических АФИ. BioPharm Int. 2005. 18 (11): 34–40.
4. Шарнез Р., Латиа Дж., Каленберг Д., Прабху С. Мониторинг динамики растворения почвы на месте: быстрый и простой метод определения наихудших почв для валидации очистки.КПК J Pharm Sci Technol. 2004. 58: 203–14.
5. Le Blanc DA. Проверенные технологии очистки для фармацевтического производства. CRC Press LLC; 2000.
6. Rathore N, Qi W, Ji W. Очистка характеристик белковых лекарственных препаратов с помощью УФ-видимой спектроскопии. Biotechnol Prog. 2008. 24 (3): 684–90.
7. Rathore N, et al. Лабораторная характеристика пространства проектирования процесса очистки для биофармацевтических препаратов. BioPharm Int. 2009. 22 (5): 32–45.
9. Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США. Руководство для промышленности. Статистические подходы к установлению биоэквивалентности. Роквилл, Мэриленд; 2001.
10. US FDA. Руководство для промышленности. Исследования биодоступности и биоэквивалентности лекарственных препаратов, вводимых перорально — общие соображения. Роквилл, Мэриленд; 2003.
10. Национальный институт стандартов и технологий. Электронный справочник статистических методов NIST / SEMATECH.Доступно по адресу: www.itl.nist.gov/div898/handbook.
11. Статистическое открытие SAS Institute Inc. JMP от SAS. Выпуск 6. 2006.
Выбор предела эквивалентности для исследований неполноценности или эквивалентности
Хотя границы для «больших» и «малых» различий необходимы для планирования исследований и интерпретации результатов, различные индексы описательного контраста для центральных индексов, A и B из двух групп не получили особого внимания. Для двух средних значений приращение \ A — B \ отражает наклон линии, показывающей «эффект», но изменяется в разных единицах измерения.Деление I A — B I на общее стандартное отклонение дает стандартизированное приращение (SI), которое иногда называют «размером эффекта». Несмотря на множество преимуществ, он не сравнивает относительные величины A и B. Для последнего контраста относительное изменение или пропорциональное приращение (\ A — B \ / B) особенно легко понять, а относительное перемещение (\ A — B \ / [A + B]) производит ограниченный диапазон от -1 до +1. Тем не менее, все индексы относительной величины отменяют шкалу измерения, тем самым усложняя интерпретацию.Хотя это редко применяется, пропорциональное снижение общей дисперсии системы может быть очень полезным. Его квадратный корень приводит к eta, аналогу коэффициента корреляции, который соответствует стандартизированному наклону для прямого приращения. Значения eta обычно приблизительно равны (SI) / 2. Хотя для «количественной значимости» SI были предложены произвольные уровни, пропорциональное уменьшение общей дисперсии системы часто считается неэффективным, если оно не превышает или равно 10%.При таком убеждении минимальные границы количественной значимости часто могут быть установлены на уровне eta, превышающем или равном 0,3, и SI, превышающем или равном 0,6. В индексах относительной величины для двух пропорций (или коэффициентов), p (A) и p (B), возникает путаница, если q (A) и q (B) альтернативно выбраны в качестве знаменателей. Отношение шансов (p (A) q (B) / p (B) q (A)) позволяет избежать этого выбора, но его часто трудно интерпретировать. Для облегчения понимания и коммуникации предпочтительным индексом является NNE, число, необходимое для получения одного избыточного эффекта, рассчитываемого как обратное прямому приращению, то есть 1 / \ p (A) — p (B) \.Стандартизированное приращение, \ p (A) — p (B) \ / root (PQ), (где P — среднее значение p (A) и p (B) и Q = 1 — P) может предложить единый применимый индекс. как для размерных, так и для двоичных данных, но когда P становится очень маленьким, то есть <0,01, root (PQ) требует специальных вычислений и также приближается к значению JP. Границы «количественной значимости» особенно трудно установить для сравнения двух показателей из-за дополнительных последствий популяционных экстраполяций и клинических последствий.Тем не менее, принципы количественной значимости могут помочь в специальном построении границ, которые должны быть установлены для медицинской важности при расчете размеров выборки и при интерпретации результатов для исследований эффективности или эквивалентности. Copyright (C) 1999 John Wiley & Sons, Ltd.
Тесты эквивалентности и не меньшей эффективности
Важными дополнениями к Statgraphics 18 являются 4 процедуры проверки эквивалентности и не меньшей эффективности: сравнение 2 независимых средних, сравнение двух парных средних, сравнение двух средних. с использованием перекрестного исследования 2×2 и сравнения среднего с целевым значением.В каждом случае тесты предназначены для демонстрации того, что исследуемый состав или лечение дает эквивалентные или лучшие результаты, чем эталонное лечение. Это резко контрастирует с большинством тестов гипотез, которые предназначены для демонстрации различий, а не сходства.
Поискав в Интернете, я нашел много интересных примеров этого типа тестирования: сравнение непатентованного препарата с фирменным препаратом, сравнение генетически модифицированных кормов для скота со стандартными кормами, оценка различий в уровне охвата вакцинацией среди различных групп. людей, сравнение неявных и явных показателей самооценки, сравнение систем измерения, оценка изменений в производственном оборудовании, сравнение различных инструментов в сенсорных исследованиях и исследованиях потребителей и многое другое.
Многие приложения связаны с демонстрацией «биоэквивалентности», которая определяется FDA как: «отсутствие существенной разницы в скорости и степени, в которой активный ингредиент или активная часть в фармацевтических эквивалентах или фармацевтических альтернативах становятся доступными в место действия препарата при введении в той же молярной дозе в аналогичных условиях в надлежащим образом разработанном исследовании ». Или, проще говоря, два препарата имеют эквивалентные эффекты. Конечно, эквивалент не означает то же самое.Часто это означает, что 95% доверительный интервал их относительной разницы полностью лежит в пределах от 80% до 125%.
Очень распространенный экспериментальный план для демонстрации эквивалентности или неполноценности — это перекрестное исследование 2×2. В таком исследовании группе субъектов назначают 2 курса лечения (А и В). Половина субъектов получает лечение А, затем лечение В, в то время как другая половина получает лечение В, за которым следует лечение А. Предполагается, что введение лечения разделено на достаточное время, чтобы эффект от первого лечения не переносился и не влиял на результат лечения. вторая обработка, предположение, которое необходимо проверить в рамках анализа.В Statgraphics 18 вы найдете специальную процедуру для анализа этих типов исследований.
В качестве примера рассмотрим следующие данные из исследования, опубликованного в Chow and Liu (2009):
24 пациентам давали как эталонный, так и исследуемый состав. 12 пациентов были отобраны случайным образом и распределены по последовательности RT, в которой контрольный состав вводился первым, в то время как другие 12 пациентов были распределены по последовательности TR и первыми получили тестируемый состав.Применяя оба метода лечения к одним и тем же субъектам, различия между субъектами могут быть исключены из анализа, что позволяет проводить более эффективные тесты.
На рисунке ниже показаны измерения для каждого из 24 пациентов.
Местоположение по оси X — это измерение, выполненное в периоде 1 (соответствует введенному первому составу), а местоположение по оси Y — это измерение, выполненное в периоде 2. Цвет точек указывает, в какой последовательности каждый пациент был назначен на.
Предположим на мгновение, что пациенты, которым вводили эталонное лечение, имели средний результат, равный μ R , и что пациенты, которым вводили тестируемое лечение, имели средний результат, равный μ T . Предположим также, что наша цель — продемонстрировать, что отношение среднего значения исследуемого лечения к среднему значению контрольного лечения составляет от 80% до 125%. В качестве нашей нулевой гипотезы мы предполагаем, что отношение средних либо меньше 80%, либо больше 125%:
H 0 : μ T / μ R <0.80 или μ T / μ R > 1,25
Наша альтернативная гипотеза (которую мы хотим продемонстрировать) заключается в том, что соотношение находится в указанном диапазоне:
H A : 0,8 ≤ μ T / μ R ≤ 1,25
Обратите внимание, что это в основном противоположность стандартной проверки гипотезы, в которой нулевая гипотеза, а не альтернативная гипотеза не будет указывать на разницу между двумя средними значениями.
Лучший способ понять статистическую модель этих данных — изучить ожидаемые значения для пациентов в каждой последовательности в течение каждого периода времени, как показано ниже:
Период 1
Период 2
Последовательность RT
мк R + S + P
мкм T + S — P + λ R
Последовательность TR
мкм T — S + P
мкм R — S — P + λ T
где S — эффект последовательности, P — эффект периода, а λ R и λ T — эффекты переноса контрольных и тестовых составов соответственно.Эффект переноса — это влияние лечения из предыдущего периода времени на ответ в текущий период времени. В приведенной выше таблице эффекты показаны как аддитивные. В качестве альтернативы, иногда предполагается, что эффекты являются мультипликативными, и в этом случае есть 2 варианта: (1) для анализа логарифмов может использоваться аддитивная модель, а не исходные измерения, или (2) теорема Филлера может применяться с использованием метода изложены Локком (1984).
Если средние значения двух препаратов оцениваются путем усреднения результатов всех пациентов, получавших этот препарат, разница между лечебными средствами не связана ни с последовательностью, ни с эффектами периода, если дизайн сбалансирован (одинаковое количество пациентов в каждом последовательность).Однако разница между средними значениями совпадает с перекрестными эффектами, если перекрестные эффекты тестовой и эталонной композиций не равны. Следовательно, при выполнении такого исследования должна быть сделана попытка разделить введение 2 составов на достаточный промежуток времени, чтобы эффект от введенного первым состава исчез (период вымывания).
Самый распространенный способ выполнения тестов на эквивалентность — это процедура под названием TOST (два односторонних теста).Выполняются 2 отдельных проверки гипотез с использованием таких гипотез, как:
Тест 1 H 0 : μ T / μ R <0,80 H A : μ T / μ R ≥ 0,80
Тест 2 H 0 : μ T / μ R > 1,25 H A : μ T / μ R ≤ 1,25
Если обе нулевые гипотезы отклоняются на уровне значимости α%, то эквивалентность между средними значениями будет продемонстрирована на этом уровне значимости.
Statgraphics 18 содержит новую процедуру анализа результатов перекрестных исследований 2×2. Доступ к нему можно получить, выбрав Сравнить в главном меню, а затем выбрав Тесты эквивалентности и не меньшей эффективности — 2×2 Crossover Study . Имена столбцов вводятся в диалоговом окне ввода данных, как показано ниже:
Диалоговое окно «Параметры анализа » используется для определения гипотез для проверки:
Настройки, показанные выше, указывают на то, что желателен двухсторонний тест эквивалентности, основанный на соотношении средних.Эквивалентность может быть утверждена, если соотношение составляет от 0,8 до 1,25 с использованием α-уровня 5%. Анализ будет основан на аддитивной модели логарифмов записанных данных.
Процедура создает несколько таблиц, первая из которых показывает результаты подгонки статистической модели:
t-тесты проводятся для определения наличия значительных эффектов переноса, лечения и периода. Значительный эффект переноса будет указывать на то, что эффекты переноса тестируемого и эталонного составов значительно различались, что означает, что сравнение средств лечения будет необъективным.Таким образом, небольшое значение P для эффекта переходящего остатка поставило бы под сомнение весь анализ эквивалентности. Значительный эффект периода указывает на то, что что-то произошло между первым и вторым периодами, что привело к смещению всех результатов. При условии, что конструкция сбалансирована, это не повлияет на сравнение тестовых и эталонных средств, но укажет на некоторые неожиданные изменения от одного периода к другому.
Также полезно построить график расчетных средних значений тестовой и эталонной композиций за 2 периода:
При первом нанесении среднее значение исследуемого состава было немного ниже, чем среднее значение контрольного состава.При втором применении тестовое среднее было немного выше. Результаты стандартного t-критерия разницы между средними, показанные в предыдущей таблице, не опровергли гипотезу об идентичности средних. Однако такой тест не демонстрирует эквивалентности.
Вторая часть Statgraphics 18 Analysis Summary показывает результаты процедуры TOST:
В верхнем разделе показано, что разница между средними значениями логарифмов для тестовой и эталонной формулировок составляет приблизительно -0.0287 с 95% доверительным интервалом от -0,1243 до 0,0670. Расчетное отношение средних составляет приблизительно 0,972 с 95% доверительным интервалом от 0,883 до 1,609. Для проверки гипотез, показанных ранее, были выполнены два t-теста. Тест № 1 показывает, что это соотношение значительно больше 0,8 (более низкое значение P значительно ниже 0,05). Тест № 2 показывает, что это соотношение значительно меньше 1,25 (верхнее значение P значительно ниже 0,05). Поскольку большее из двух P-значений меньше 0,05, эквивалентность между тестовым и эталонным средними была продемонстрирована на уровне значимости 5%.
Также полезно построить график результатов. График ниже показывает 95% доверительный интервал для отношения тестового среднего к контрольному среднему:
Обратите внимание, что весь доверительный интервал находится между нижним пределом эквивалентности (LEL) и верхним пределом эквивалентности (UEL). Это будет иметь место всякий раз, когда процедура TOST заключает, что средства эквивалентны.
Когда впервые была разработана проверка на эквивалентность, обычной практикой было отображение 90% -ного доверительного интервала для разницы между средними значениями с использованием формулы
.
где
,
s p — объединенное стандартное отклонение различий внутри субъектов в двух последовательностях, а ν — степени свободы, связанные с s p .В последние годы стандартной практикой стало вычисление 95% доверительного интервала вместо использования формулы
.
Любой из подходов имеет свойство, заключающееся в том, что всякий раз, когда процедура TOST указывает, что средние значения эквивалентны, вычисленный интервал будет полностью находиться в пределах. Statgraphics 18 применяет вторую формулу по умолчанию, хотя опция в диалоговом окне Analysis Options позволяет аналитику при желании использовать первую формулу.
В некоторых случаях цель анализа состоит не в том, чтобы показать, что тестовое и эталонное среднее значение «эквивалентны», а только в том, чтобы показать, что тестируемый состав по крайней мере так же хорош, как эталонный состав.В таких случаях необходимо выполнить только один из двух односторонних тестов, описанных выше в разделе TOST. Например, если мы хотим продемонстрировать, что тестовое среднее как минимум на 80% больше эталонного среднего, мы должны указать гипотезы, такие как
Тест 1 H 0 : μ T / μ R <0,80 H A : μ T / μ R ≥ 0,80
Отказ от нулевой гипотезы будет означать, что тестовое среднее «не хуже» эталонного среднего.Двусторонний доверительный интервал 95% заменяется односторонним доверительным интервалом 95%, как показано ниже:
Эти темы прекрасно обсуждаются в журнале Journal of General Internal Medicine , который вы можете прочитать в Интернете под названием Understanding Equivalence and Noninferiority Testing. Подробное обсуждение кроссоверных испытаний дано Ли (2014). Я также записал 4 видео по этой теме, которые вы найдете на нашей странице с обучающими видео.
Бергер, Р.Л. и Хсу, Дж. К. (1995). «Испытания биоэквивалентности, тесты на пересечение-объединение и наборы достоверности эквивалентности». Институт статистики серии Mimeo, номер 2279.
Чоу, С.С. и Дж. П. Лю. (2009). Дизайн и анализ исследований биодоступности и биоэквивалентности. 3-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Чоу, С.-Х. и Шао Дж. (2002). Статистика исследований лекарственных средств: методологии и последние разработки . Нью-Йорк: Марсель-Деккер.
Hsu, J.C., Hwang, J.Т.Г., Лю Х.-К., Руберг С.Дж. (1994). «Доверительные интервалы, связанные с тестами на биоэквивалентность». Биометрика 81: 103-114.
Джонс Б. и Панг Х. (2014) Дизайн и анализ кроссоверных испытаний . 3-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Ли, К.С. (2014) Дизайн и анализ кроссоверных испытаний . www.ucdmc.ucdavis.edu/mindinstitute/centers/iddrc/pdf/bbrd_oct_2014.pdf
Локк, C.S. (1984). «Точный доверительный интервал для нетрансформированных данных для соотношения двух средств состава.”J Pharmacokinet Biopharm 12: 649-655.
Ниази, С.К. (2014). Справочник по тестированию на биоэквивалентность. 2 -й изд. Лекарства и фармацевтические науки. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Patterson, S.D. и Джонс, Б. (2016). Биоэквивалентность и статистика в клинической фармакологии. 2-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Нг, Т. (2015) Тестирование не меньшей эффективности в клинических испытаниях: проблема и проблемы. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Пардо, С. (2013) Тесты на эквивалентность и не меньшей эффективности для инженеров по качеству, производству и тестированию.Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Ротманн, доктор медицины, Винс, Б.Л., и Чан, I.S.F. (2011) Дизайн и анализ исследований не меньшей эффективности . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Schuirmann, D.J. (1987). «Сравнение односторонней процедуры тестирования и энергетического подхода для оценки эквивалентности средней биодоступности». J Pharmacokinet Biopharm 15: 657-680.
Министерство здравоохранения и социальных служб США, Агентство медицинских исследований и качества (2013 г.) Оценка эквивалентности и не меньшей эффективности .
Веллек, С. (2010) Проверка статистических гипотез эквивалентности и не меньшей эффективности, 2 nd ed. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press.
Ю., Л. X. and Li, B.V. eds. (2014). Стандарт биоэквивалентности FDA (серия AAPS «Достижения в области фармацевтических наук»). Springer: AAPS Press.
Сравнение альтернативных подходов к проверке различий, не меньшей эффективности и эквивалентности нормальных процентилей | BMC Medical Research Methodology
Точные процедуры тестирования
Предположим, что X 1 ,…, X N являются выборкой из группы N (μ, σ 2 ) с неизвестным средним μ и дисперсия σ 2 для N > 1.100 p -й процентиль нормального распределения N (μ, σ 2 ) обозначается как θ, где
и z p — (100 · p ) -й процентиль стандартного нормального распределения N (0, 1). 2 / \ left (N-1 \ right) \) — выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно.Соответственно, несмещенная оценка минимальной дисперсии равна
$$ {\ hat {\ theta}} _ M = \ overline {X} + {z} _p cS. $
(3)
, где c = (ν / 2) 1/2 Γ (ν / 2) / Γ {(ν + 1) / 2} и ν = N — 1. Дополнительные сведения о свойствах оценки точек из \ ({\ hat {\ theta}} _ B \) и \ ({\ hat {\ theta}} _ {MU} \) доступны в Ройстоне и Мэтьюзе [1]. Кроме того, недавнее исследование Shieh [13] сравнило несколько процедур доверительного интервала θ.{1/2} \ right), $$
(4)
, где t (ν, — z p N 1/2 ) — нецентральное распределение t со степенями свободы ν и параметром нецентральности — z p N 1/2 . Фундаментальные свойства и связанные с ними расширения нецентрального распределения t можно найти у Джонсона, Коца и Балакришнана [9].{1/2}}, $$
(6)
, где θ 0 — постоянная. Тест отклоняет H 0 на уровне значимости α, если T E 0 <τ α / 2 или T E 0 > τ 1 — α / 2 где τ α / 2 и τ 1 — α / 2 — нижний и верхний (100 · α / 2) -й квантили распределения t (ν, — z p N 1/2 ) соответственно при 0 <α <0.5. Соответственно, можно показать, что степенная функция имеет вид
$$ {\ varPsi} _ {DI} \ left (\ varDelta \ right) = P \ left \ {t \ left (v, \ varDelta \ right) <{\ uptau} _ {\ upalpha / 2} \ right \} + P \ left \ {t \ left (v, \ varDelta \ right)> {\ uptau} _ {1- \ upalpha / 2} \ right \}, $$
(7)
, где Δ = (μ — θ 0 ) / (σ 2 / N ) 1/2 .
Тесты на неполноценность
В дополнение к обычному тесту на различие практическое значение имеет проверка гипотез на неполноценность.Проблему проверки не неполноценности процентилей можно представить следующими гипотезами:
, когда желательны большие значения θ, а θ 0 — назначенный порог неполноценности. Процедура проверки отклоняет нулевую гипотезу на уровне значимости α, если T E 0 > τ 1 — α и соответствующая степенная функция легко получается как
$$ {\ varPsi} _ {NI} \ left (\ varDelta \ right) = P \ left \ {t \ left (v, \ varDelta \ right)> {\ uptau} _ {1- \ upalpha} \ верно\}.$
(9)
С другой стороны, если предпочтительны меньшие значения θ, тогда для проверки неполноценности следует принять следующие гипотезы:
, где выбранное значение θ 0 представляет границу неполноценности. На уровне значимости α область отклонения для нижнего одностороннего теста составляет T E 0 <τ α , а степенная функция выражается как
$$ {\ varPsi} _ {NI} \ left (\ varDelta \ right) = P \ left \ {t \ left (v, \ varDelta \ right) <{\ uptau} _ {\ upalpha} \ right \ }.$
(11)
Тесты на эквивалентность
В отличие от традиционных процедур, основанных на различиях, тестирование эквивалентности обеспечивает надлежащий метод демонстрации сопоставимости целевого процентиля. В общем, нулевая и альтернативная гипотезы теста эквивалентности процентилей могут быть сформулированы как
где θ T и δ (> 0) — константы.{1/2}} <{\ uptau} _ {\ upalpha}. $
(13)
Важно отметить, что отклонение — это пересечение двух односторонних сегментов с точки зрения нижнего и верхнего (100 · α) квантилей τ α и τ 1 — α нецентрального t распределение t (ν, — z p N 1/2 ). Область отклонения \ (\ overline {X} \) и S 2 / N имеет равнобедренную треугольную форму, аналогичную таковой у Мейнерса [27] и Шюрмана [28] для процедуры эквивалентности двух лечебных средств. .{1/2} \ sim N \ left (0,1 \ right) \) и K = ν S 2 / σ 2 ~ χ 2 (ν), где χ 2 (ν) обозначает распределение хи-квадрат с ν = N — 1 степенями свободы, причем Z и K независимы. Пусть H E = 1, если K <κ E , и H E = 0, если K ≥ κ E , где E = (4 vN δ 2 ) / { σ 2 (τ 1 — α — τ α ) 2 }.Тогда точная степенная функция может быть выражена как
$$ {\ varPsi} _ {EQ} = {E} _K \ left [{H} _E \ left \ {\ varPhi \ left ({U} _E \ right) — \ varPhi \ left ({L} _E \ right) \ right \} \ right], $$
(15)
где U E = (θ T + δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + τ α ( K / v ) 1/2 , L E = (θ T — δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + τ 1 — α ( K / v ) 1/2 , Φ (⋅) — кумулятивная функция плотности стандартного нормального распределения, а математическое ожидание E K берется с относительно распределения К .Важно отметить, что вероятность P { K ≥ κ E } ≐ 0 в последующих численных оценках в широком диапазоне конфигураций модели. Это явление аналогично вычислению мощности для процедуры эквивалентности двух лечебных средств, как отмечено в Siqueira, et al. [29] и Ши [30]. Таким образом, точная оценка мощности может быть численно аппроксимирована следующим образом:
$$ {\ varPsi} _ {AEQ} = P \; \ left \ {t \ left (v, {\ varDelta} _U \ right) <{\ uptau} _ {\ upalpha} \ right \} - P \ left \ {t \ left (v, {\ varDelta} _L \ right) <{\ uptau} _ {1- \ upalpha} \ right \}, $$
(16)
где Δ U = (μ — θ T — δ) / (σ 2 / N ) 1/2 и Δ L = (μ — θ T + δ) / (σ 2 / N ) 1/2 .
Приближенные методы
Для сравнения методов ниже представлены два различных подхода для проверки нормальных процентилей. Для построения доверительных интервалов нормальных процентилей Блэнд и Альтман [11] и Чакраборти и Ли [12] рассмотрели простые t аппроксимации для стандартизованных форм \ ({\ hat {\ theta}} _ B \) и \ ({\ hat {\ theta}} _ M, \) соответственно. Их методы расширены и рассмотрены здесь для трех типов проверки различий, неполноценности и эквивалентности.2-1 \ right) \) и t (ν) — это распределение t со степенями свободы ν. Обратите внимание, что \ (Var \ left [{\ hat {\ theta}} _ M \ right] \) = ( m σ 2 ) / N и знаменатель T M получается прямой заменой σ 2 на S 2 в стандартном отклонении \ ({\ hat {\ theta}} _ M \).
Простая формулировка T M обеспечивает альтернативную статистику теста для оценки величины нормальных процентилей.Для проверки гипотезы о различии в терминах H 0 : θ = θ 0 по сравнению с H 1 : θ ≠ θ 0 , нулевая гипотеза может быть отклонена на уровне значимости α, если T M 0 < t α / 2 или T M 0 > t 1 — α / 2 или эквивалентно ∣ T M 0 1 ∣> t 1 — α / 2 , где
$$ {T} _ {M0} = \ frac {{\ hat {\ theta}} _ M — {\ uptheta} _0} {{\ left (m {S} ^ 2 / N \ right)} ^ { 1/2}}, $$
(18)
и t α / 2 и t 1 — α / 2 — нижний и верхний 100 (α / 2) квантили распределения t t (ν) со степенями свобода ν соответственно. {1/2} \ right \}.{1/2}} <{t} _ {\ upalpha}. $
(22)
Соответственно, степенная функция может быть представлена как
$$ {\ varOmega} _ {EQ} = {E} _K \ left [{H} _M \ left \ {\ varPhi \ left ({U} _M \ right) — \ varPhi \ left ({L} _M \ right) \ right \} \ right], $$
(23)
где U M = (θ T + δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + ( t α м 1/2 — z p cN 1/2 ) ( K / v ) 1/2 , L M = (θ T — δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + ( t 1 — α m 1/2 — z p cN 1/2 ) ( K / v ) 1/2 и H M = 1 если K <κ M , и H M = 0, если K ≥ κ M где \ ({\ kappa} _M = \ left (vN {\ updelta} ^ 2 \ right) / \ left \ {m \ upsigma {t} _ {1- \ upalpha} ^ 2 \ right \} \). {1/2} \ right \}.{1/2}} <{t} _ {\ upalpha}. $
(30)
В данном случае степенная функция имеет следующую формулировку:
$$ {\ varXi} _ {EQ} = {E} _K \ left [{H} _B \ left \ {\ varPhi \ left ({U} _B \ right) — \ varPhi \ left ({L} _B \ right) \ right \} \ right], $$
(31)
где U B = (θ T + δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + ( t α b 1/2 — z p N 1/2 ) ( K / v ) 1/2 , L B = (θ T — δ — μ) / (σ 2 / N ) 1/2 + ( t 1 — α b 1/2 — z p N 1/2 ) ( K / v ) 1/2 и H B = 1, если K <κ B , и H B = 0, если K ≥ κ B , где \ ({\ kappa} _B = \ left (vN {\ updelta} ^ 2 \ right) / \ left \ {b {\ upsigma} ^ 2 {t} _ {1- \ upalpha} ^ 2 \ righ т \} \).{1/2} \ right \}. $
(32)
Эквивалентность финансовой системы за пределами ЕС
Эквивалентность нормативной базы за пределами ЕС
В определенных случаях ЕС может определить, что режим регулирования или надзора страны, не входящей в ЕС, эквивалентен соответствующей структуре ЕС. Это может принести пользу обеим сторонам, например,
позволяет властям в ЕС полагаться на соблюдение поднадзорными организациями эквивалентных правил в стране, не входящей в ЕС
сокращает или даже устраняет дублирование требований соответствия как для ЕС, так и для иностранных участников рынка
делает определенные услуги, продукты или деятельность компаний, не входящих в ЕС, приемлемыми для нормативных целей в ЕС.
он позволяет банкам ЕС получать выгоду от более благоприятных требований к капиталу в отношении своих операций в странах, не входящих в ЕС.
в определенных областях эквивалентности, это может позволить фирмам из третьих стран предоставлять услуги без создания на едином рынке ЕС
Оценка эквивалентности
Большинство законов ЕС о финансовом регулировании, принятых в последние годы, содержат положения, позволяющие Комиссии принимать решения об эквивалентности.
Как правило, эти положения требуют, чтобы Комиссия оценила, эквивалентны ли правила, применяемые в определенной стране, не входящей в ЕС, тем, которые применяются в ЕС, и убедитесь, что они
имеют юридически обязательные требования
обеспечить эффективный надзор со стороны компетентных органов
достигают тех же результатов, что и соответствующие правила ЕС
Комиссия обычно проводит эти оценки на основе технических рекомендаций европейских надзорных органов (EBA, ESMA или EIOPA).В некоторых случаях вся техническая работа выполняется Комиссией с помощью внешних консультантов.
После завершения технической оценки и соответствия всем техническим критериям Комиссия может официально принять решение об эквивалентности.
Решения об эквивалентности
Решение об эквивалентности может принимать форму имплементирующего или делегированного акта в соответствии с тем, что предусмотрено в соответствующем положении об эквивалентности в основном акте. В решении об эквивалентности может быть указано
независимо от того, предоставляется ли эквивалентность полностью или частично
, предоставляется ли оно на неопределенный срок или с ограниченным сроком
, применяется ли это ко всей системе надзора страны, не входящей в ЕС, или только к определенной сфере
, подчиняется ли он особым условиям
Список решений об эквивалентности, принятых Комиссией в области банковского дела и финансов
Применение положений российской системы налогообложения на практике имеет множество нюансов, в которых начинающему и даже практикующему бухгалтеру порой не разобраться. Научиться правильно начислять налоги в соответствии с выбранным режимом налогообложения вам поможет новый курс центра «Практикум по налогообложению. Решение задач».
Этот практикум является продолжением курса «Налогообложение 2021. Ведение налогового учета, проблемы и решения». Он поможет вам закрепить на практике навыки по начислению налогов и заполнить имеющиеся «пробелы» в знаниях.
Программа курса включает решение 30 задач, разделенных по пяти модулям: НДС, налог на прибыль, НДФЛ, страховые взносы и имущественные налоги. Все задания приближены к реальным примерам, которые могут встретиться при составлении налоговой отчетности. Опытный преподаватель центра расскажет, как справиться с возникающими трудностями, и даст совет из собственной практики.
Выполнение практических заданий позволит освоить приемы определения каждого элемента налогов и закрепить навыки исчисления налоговых платежей в соответствии с действующими формами налоговых деклараций. Пройдя курс, вы сможете самостоятельно исчислять основные налоги и вести налоговый учет, заполнять налоговые декларации по всем правилам 2021 года.
Для кого этот курс?
Начинающие бухгалтеры.
Практикующие бухгалтеры, которые хотят расширить свои знания и отработать навыки, необходимые для работы.
Специалисты по финансам и кредитам.
Руководители финансово-экономических административных подразделений.
Индивидуальные предприниматели.
Руководители предприятий малого и среднего бизнеса.
Студенты вузов.
Обучение на курсе длится 24 ак. часа. После окончания выдается свидетельство центра или удостоверение о повышении квалификации.
Не хватает практики в вопросах начисления налогов? Записывайтесь на курс!
Налоги в CRM
При работе с товарами и счетами всегда рано или поздно встаёт вопрос правильного налогообложения. Грамотное формирование ставок налогов напрямую влияет на развитие и успех компании.
Битрикс24 поддерживает два типа налогов: на весь документ и НДС на отдельный товар. Для выбора вида налога перейдите в раздел CRM — Настройки — С чего начать — Налоги и нажмите кнопку Настроить:
Как указать налог для товара?
С 1 января 2019 года в России действует ставка НДС 20%. Вы можете отредактировать одну из текущих ставок или добавить новую.
Сперва на странице CRM-Настройки-Налоги выберите тип налога — НДС.
Далее при необходимости добавьте нужную ставку НДС. По умолчанию в системе созданы ставки Без НДС и 18%:
Обратите внимание, что для ставки НДС должна быть установлена опция Активность
Теперь при заполнении счёта или предложения вы можете выбрать ставку НДС для каждого товара:
Как создать налог на документ?
Обратите внимание, что для работы этого налога необходимо создать/импортировать местоположения. Про местоположения в Битрикс24 можете почитать в этой статье.
Этот вариант позволяет задать величину налога в зависимости от местоположения клиента. Например, вы можете задать специальную ставку налога для поставщиков из Уругвая или для покупателей из Архангельской области.
Сперва на странице CRM-Настройки-Налоги выберите тип налога — Налог на документ.
Нажмите кнопку Добавить налог, задайте название и описание.
Вы создали налог, теперь нужно определить его ставки. Откройте созданный налог, в настройках появится вкладка Ставки. Нажмите кнопку Добавить ставку:
Задайте величину налога и местоположение, для которого эта ставка налога будет активна. В нашем примере это Краснодарский край:
Также вы можете указать, будет ли входить налог в цену или нет.
Готово! Теперь при создании счёта или предложения вместе с данными о клиенте надо будет указать его местоположение:
Если для этого местоположения действует налог, система автоматически добавит его к товарам:
Гибкая настройка системы налогов избавит вас от лишних усилий и позволит соблюдать закон:)
Также рекомендую почитать:
ЧОУ ВО «ИСГЗ» — Факультет управления, экономики и права
Телефон: +7(843) 292-09-19
Декан факультета: Валиева Арина Рафаилевна, кандидат юридических наук
E-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Адрес: 420111, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Профсоюзная, д. 13/16
Положение о факультете
Главной целью функционирования факультета является подготовка компетентных бакалавров по экономическим и гуманитарным направлениям подготовки, специалистов среднего звена обладающих специальными знаниями и навыками, позволяющими работать в условиях современного мира социально активных и способных к реализации своих возможностей.
Факультет управления экономики и права создан в сентябре 2017 года и является структурным подразделением института.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ФАКУЛЬТЕТА:
Управление деятельностью входящих в состав факультета кафедр и предметно-цикловых комиссий (ПЦК) по реализации основных образовательных программ высшего образования и программ подготовки специалистов среднего звена;
Организация, координация и контроль учебной, методической, научной и воспитательной работы входящих в состав факультета кафедр и ПЦК;
Обеспечение качества образования, соответствующего современным потребностям гражданина и российского общества;
Воспитание высоконравственных, физически и духовно развитых членов общества с активной гражданской позицией.
В настоящее время в структуре факультета работают следующие кафедры и ПЦК:
Юридическое отделение
Кафедра конституционного и административного права;
Кафедра теории и истории государства и права;
Кафедра гражданского права и процесса;
Кафедра уголовного права и процесса;
Кафедра предпринимательского права;
Кафедра международного и европейского права
Отделение управления и экономики
Кафедра философии и гуманитарных дисциплин;
Кафедра менеджмента;
Кафедра бухгалтерского учета и финансов;
Кафедра экономики и предпринимательства;
Кафедра государственного и муниципального управления;
Кафедра прикладной информатики и математики;
Кафедра перевода и теоретической лингвистики
Отделение среднего профессионального образования
ПЦК общеобразовательных и гуманитарных дисциплин;
ПЦК учётно-экономических дисциплин и дисциплин банковского дела;
ПЦК юридических дисциплин;
ПЦК гостиничного сектора
Определение и задачи НДС | Статьи
Одним из самых важных налогов большинства государств в Европе является налог на добавленную стоимость (НДС). Что же именно представляет собой этот налог? Хотя в его названии отражен тот факт, что налогом должна облагаться добавленная стоимость товара, базой исчисления данного налога является размер оборота по реализации какого-либо товара. Это разновидность косвенного налога, являющаяся собственно надбавкой к цене товара, либо к цене работы или услуги, представленной реализатором. Налог на добавленную стоимость, как и любой другой косвенный налог, полностью включается в цену и изымается скрыто, что в принципе заставляет потребителей не задумываясь оплачивать его.
Главными функциями, возложенными на НДС, были: пополнение бюджета государства и возврат данного налога при экспорте товаров, услуг и работ. Важность данного налога для государства состоит в том, что он обеспечивает весьма стабильную и весомую прибавку к бюджету. Кроме того, благодаря этому налогу государство получает возможность использовать широкую базу в налогообложении. Что же касается возврата налога, этот момент должен, по задумке создателя, привести к стимуляции экспорта той продукции, у которого увеличена добавленная стоимость, а, следовательно, приведёт к технологическому прогрессу и развитию конкурентной способности обрабатывающей промышленности.
Если же покупатель тоже является плательщиком данного налога, то есть покупает товары или услуги, к цене которых уже эта самая добавленная стоимость прибавлена, то происходит самое интересное. У такого предпринимателя имеется две стороны взаимодействия: с покупателем и с поставщиком. При расчёте суммы своих затрат на уплату налогов государству такой предприниматель имеет полное право взять сумму, уплаченную своему поставщику как НДС, и вычесть её из суммы, уплаченной покупателем его товаров или услуг в качестве одноимённого налога.
Такой принцип налогового обложения решает ряд возложенных на него задач. Главная из них – это исключение возможности изымать данный налог многократно с одной и той же стоимости. Уплата налога распределяется между всеми стадиями производственного и коммерческого пути товара или услуги к конечному потребителю. Кроме того, если на этом пути кто-либо уклонится от уплаты данного налога, это не приведёт к потере всей суммы НДС для бюджета государства, как в случае с «налогом с продаж», действующим, например, в США. Налог придётся заплатить следующему в звене на пути и т.д. А это значит, что риск уклонения от уплаты минимизирован.
Процентная ставка НДС определяет размер процента от первоначальной цены товара или услуги, которая будет добавлена к ней для формирования уже конечной, учитывающей НДС, цены товара или услуги. Калькулятор НДС позволяет вычислить конечную цену по начальной цене и по процентной ставке НДС. В наше время в России существуют различные налоговые ставки, из которых наиболее распространена и широко применяемая ставка в размере 18%, поэтому именно она установлена в качестве значения по умолчанию в поле нашего калькулятора НДС.
внедрение и сопровождение модуля ООО ИТИК
SAP FI: учет НДС
При ведении учета операций, облагаемых налогом на добавленную стоимость (НДС) и создании форм налоговой отчетности важно соблюдать требования законодательства РФ. Организовать и оптимизировать эти процессы поможет функционал модуля FI «Финансы» от компании SAP.
Внедрение модуля SAP поможет руководителям финансовой и налоговой служб решить следующие производственные задачи:
Учет НДС, начисляемого к уплате в бюджет В бухгалтерских проводках сумма НДС выделяется на отдельных счетах Главной книги с указанием исходящего кода НДС, что позволяет вести учет по ставке НДС и по видам реализации.
Учет НДС, возмещаемого или невозмещаемого из бюджета Если на этапе регистрации входящего счета-фактуры невозможно определить для какого вида деятельности предназначены закупаемые МПЗ или услуги, сумма НДС разделяется согласно методике ведения раздельного учета НДС. При этом часть НДС относится на расходы или включается в стоимость МПЗ или услуг, а часть возмещается из бюджета.
Учет НДС с полученного аванса При получении аванса в системе выставляется счет-фактура и отражается начисленный к уплате НДС. Сумма налога с аванса определяется автоматически на основании указанного исходящего кода НДС и отражается на соответствующих счетах бухгалтерского учета.
Формирование налоговой отчетности
Книга продаж.
Книга покупок.
Журнал учета полученных и выставленных счетов-фактур.
Налоговая декларация по НДС.
Модуль FI «Финансы» интегрирован с другими решениями системы SAP ERP: FI-AA «Основные средства», CO «Контроллинг», SD «Сбыт», MM «Управление материальными потоками» и HR «Управление персоналом».
Нулевая ставка НДС и вычеты при экспорте товаров в 2020 — 2021 годах
Каковы особенности применения нулевой ставки НДС при экспорте товаров?
При реализации товаров, вывезенных в таможенной процедуре экспорта, налогообложение НДС производится по ставке 0% (п. 1 ст. 164 НК РФ). Нулевая ставка НДС при экспорте применяется при условии представления в налоговые органы документов, предусмотренных ст. 165 НК РФ. На сбор пакета документов дается 180 календарных дней, начиная с даты помещения товаров под таможенную процедуру экспорта (абз. 1 п. 9 ст. 165 НК РФ). Порядок действий экспортера такой:
При отгрузке товаров на экспорт продавец должен выписать счет-фактуру с 0 ставкой НДС при экспорте в обычном порядке, но регистрировать этот счет-фактуру в книге продаж пока не нужно. Налоговая база по НДС возникает на последний день квартала, в котором собраны документы, подтверждающие право на нулевую ставку (п.9 ст.167 НК РФ). Поэтому «нулевой» счет-фактура будет зарегистрирован в книге продаж того квартала, в котором продавец соберет документы для подтверждения нулевой ставки НДС.
Если документы удалось собрать до истечения 180 дней, то, как уже говорилось, счет-фактуру с нулевой ставкой НДС нужно зарегистрировать в книге продаж и соответственно отразить в Разделе 9 декларации по НДС того квартала, в котором собраны документы. Исчисление НДС по таким операциям отражается в Разделе 4 декларации по НДС. Одновременно с представлением декларации в налоговый орган должен быть представлен и пакет документов (п.9 и п.10 ст.165 НК РФ).
Если по истечении 180 календарных дней собрать пакет документов не удалось, реализация товаров облагается НДС по ставкам 10% или 20% (п. п. 2, 3 ст. 164, абз. 2 п. 9 ст. 165 НК РФ). Причем налог необходимо рассчитать за тот квартал, в котором состоялась отгрузка товаров на экспорт (п.9 ст.167 НК РФ).
Для этого налогоплательщику необходимо составить новый счет-фактуру в одном экземпляре, исчислив по отгруженным товарам НДС по ставке 10% или 20% и зарегистрировать его в дополнительном листе книги продаж того квартала, в котором произошла отгрузка экспортных товаров (п. 22(1) Правил ведения книги продаж, применяемой при расчетах по налогу на добавленную стоимость (утв. Постановлением Правительства РФ от 26.12.2011 N 1137).
Кроме того, необходимо представить уточненную декларацию по НДС, отразив операции с неподтвержденной нулевой ставкой в Разделе 6 декларации, предварительно уплатив недоимку и соответствующие пени (ст. 81, абз. 2 п. 9 ст. 167 НК РФ).
НДС, исчисленный к уплате при не подтверждении экспорта можно будет принять к вычету, если впоследствии налогоплательщику все-таки удастся собрать пакет документов, подтверждающих нулевую ставку НДС (п. 9 ст. 165, п. 3 ст. 172 НК РФ).
Если налогоплательщик не собирается подтверждать ставку 0% в будущем, то на основании п.п.1 п.1 ст.264 НК РФ НДС, исчисленный по ставке 20% или 10% можно учесть в составе прочих расходов, уменьшающих налогооблагаемую прибыль. Датой признания таких расходов является 181-й день с даты помещения товаров под таможенную процедуру экспорта (Письмо Минфина России от 27.07.2015 N 03-03-06/1/42961, Постановление Президиума ВАС РФ от 09.04.2013 N 15047/12, Письмо ФНС РФ от 24.12.2013 N СА-4-7/23263).
Обратите внимание, при расчетах в иностранной валюте налоговая база по НДС при экспорте товаров в любом случае определяется по курсу ЦБ РФ, действующему на дату отгрузки товаров (п.3 ст.153 НК РФ), даже если от покупателя была получена предоплата. Поэтому при получении аванса в счет экспортной поставки, налоговые базы по НДС и налогу на прибыль будут различны.
Также отметим, что при применении нулевой ставки НДС в некоторых случаях вычет НДС, относящегося к таким операциям, производится в особом порядке.
Чем отличается НДС при экспорте товаров в Белоруссию и другие страны ЕАЭС от НДС при экспорте товаров в «страны дальнего зарубежья»?
При экспорте (вывозе) товаров в страны ЕАЭС (Белоруссию, Казахстан, Киргизию и Армению) также применяется нулевая ставка НДС. Но порядок подтверждения нулевой ставки установлен Приложением N 18 к Договору о Евразийском экономическом союзе (подписан в г. Астане 29.05.2014) (далее Протокол). Перечень документов, подтверждающих нулевую ставку НДС, приведен в п.4 Протокола (это договор, транспортные и товаросопроводительные документы и др.), а особенности их представления регулируются п.1.3 ст.165 НК РФ.
В отличие от «обычного» экспорта для подтверждения нулевой ставки НДС вместо таможенной декларации необходимо представить заявление о ввозе товаров и уплате косвенных налогов, составленное по форме, предусмотренной отдельным международным межведомственным договором. Такое заявление с отметкой своего налогового органа российскому продавцу должен передать иностранный покупатель.
Но вместо заявления можно представить перечень заявлений (на бумажном носителе или в электронном виде с электронной (электронно-цифровой) подписью налогоплательщика) (утв. Приказом ФНС России от 06.04.2015 N ММВ-7-15/139@). При представлении перечня заявлений в электронной форме транспортные документы вместе с декларацией по НДС можно не представлять (п.1.3 ст.165 НК РФ).
Также отметим, что при экспорте в страны ЕАЭС 180-дневный срок для подтверждения нулевой ставки отсчитывается от даты отгрузки товаров, т.е. с даты первого по времени составления первичного документа, оформленного на покупателя товаров (первого перевозчика) или иного обязательного документа, предусмотренного законодательством государства-члена для налогоплательщика НДС (п. 5 Протокола).
Обязательно ли применять нулевую ставку НДС?
До 2018 года применение нулевой ставки НДС было обязательно. Ведь ставка налога — это не льгота, и нормы НК РФ не предусматривают выбор ставки налогообложения (Определении ВС РФ от 20.02.2015 г. N 302-КГ14-8990 (См. Письмо ФНС России от 17.07.2015 N СА-4-7/12693@).
Но с 1 января 2018 г. налогоплательщики получили возможность отказаться от применения нулевой ставки НДС, правда лишь в некоторых случаях и при определенных условиях. Отказаться от ставки 0% можно только при экспорте товаров, а также по работам и услугам, связанным с экспортом и указанным в пп. 2.1 — 2.5, 2.7 и 2.8 п.1 ст. 164 НК РФ, например, по международным перевозкам экспортируемых товаров (п.7 ст.164 НК РФ). Но все не так просто.
Отказаться применять нулевую ставку можно только в отношении всех операций, по которым такой отказ предусмотрен п.7 ст.164 НК РФ и только по ним.
Например, если налогоплательщик отказался от применения нулевой ставки НДС в соответствии с п.7 ст.164 НК РФ, он автоматически отказался от нулевой ставки и при экспорте товаров и при международной перевозке экспортируемых товаров, но он обязан применять нулевую ставку НДС, если будет оказывать услуги перевозки импортируемых товаров, поскольку отказ от ставки 0% по таким услугам не предусмотрен.
Также обратите внимание, что нельзя отказаться от применения нулевой ставки НДС при экспорте товаров в Белоруссию, Казахстан, Армению и Киргизию, т.к. при экспорте товаров в страны ЕАЭС действует международное соглашение (ст.7 НК РФ), устанавливающее обязательное применение нулевой ставки НДС при экспорте товаров в страны ЕАЭС (п.1 ст.72 Договора о Евразийском экономическом союзе и п. 3 Протокола).
Поэтому, если налогоплательщик отказался от применения нулевой ставки НДС при экспорте товаров, экспорт товаров в страны ЕАЭС все равно должен облагаться по нулевой ставке.
Как отказаться от применения ставки 0%?
Чтобы не применять нулевую ставку НДС необходимо представить соответствующее заявление в налоговую инспекцию, причем сделать это нужно заранее — не позднее 1-го числа квартала с которого налогоплательщик хочет отказаться (п.7 ст.164 НК РФ). Т.е. если у налогоплательщика «случайно» возникла разовая экспортная операция, а он заранее не отказался от применения нулевой ставки НДС, ему придется применять ставку 0 %.
Отказаться от применения нулевой ставки можно не менее чем на 12 месяцев.
Какие последствия ждут продавца и покупателя, если вместо нулевой ставки НДС продавец сразу предъявит налог по ставке 20%?
Самые существенные налоговые риски возникают у российских покупателей услуг и работ, облагаемых по нулевой ставке НДС. Т.е. если, например, по услугам международной перевозки товаров (в т.ч. по транспортно-экспедиционным услугам) заказчик получит счет-фактуру со ставкой НДС 20%, и примет к вычету эту сумму налога, налоговый орган откажет в вычете НДС. Причем судебная практика в таких ситуациях не на стороне налогоплательщиков (Определение ВС РФ от 03.09.2014 N 307-ЭС14-314, Постановление Арбитражного суда Московского округа от 04.03.2019 N Ф05-1400/2019, Постановление Арбитражного суда Поволжского округа от 10.03.2020 N Ф06-57939/2020, Постановление Арбитражного суда Восточно-Сибирского округа от 14.11.2014 по делу N А33-3050/2013; Определение Верховного Суда РФ от 20.02.2015 N 302-КГ14-8990). Кроме того, неправомерно предъявленный НДС покупатель не может учесть в расходах, уменьшающих налогооблагаемую прибыль (п.2 ст.170, п.19 ст.270 НК РФ).
У экспортеров-продавцов есть риск, что покупатель взыщет с него незаконно предъявленные 20% НДС как неосновательное обогащение (См. Постановление Президиума ВАС РФ от 17.04.2012 N 16627/11 по делу N А40-127287/10-89-913, Постановления ФАС ВСО от 22.03.2012 по делу N А19-10351/2011, от 20.12.2010 по делу N А33-437/2010, ФАС МО от 08.02.2012 по делу N А40-8404/07-37-86, от 25.01.2012 по делу N А40-7806/11-22-60).
Кроме того, если на экспорт отгружались сырьевые товары или налогоплательщик неправомерно предъявил 20% НДС по работам или услугам, облагаемым по ставке 0%, есть риск «доначисления входного НДС». Т.е. налоговые органы уберут вычеты, произведенные до определения налоговой базы и (или) на дату отгрузки товаров (работ, услуг) восстановят суммы НДС, ранее принятые к вычету по таким операциям. Это связано с тем, что при применении нулевой ставки НДС по вышеперечисленным операциям действует особый порядок вычетов (п.3 ст.172 и п.10 ст.165 НК РФ).
Как принимать к вычету НДС при экспорте товаров?
Ответ на данный вопрос зависит от того какой товар отгружается на экспорт, а также когда товары (работы, услуги), задействованные в экспортных операциях были приняты к учету.
С 1 июля 2016 года налоговый вычет по НДС при экспорте товаров, не относящихся к сырьевым, производится в обычном порядке после отражения приобретений в учете (п.3 ст.172 и п.10 ст.165 НК РФ).
Если же на экспорт отгружаются товары, относящиеся к сырьевым или в экспортных операциях задействованы «старые» приобретения (т.е. товары, работы, услуги, принятые к учету до 01.07.2016), то входной НДС по ним подлежит вычету в особом порядке. Такие вычеты производятся на момент определения налоговой базы по НДС, т.е. в квартале, в котором подтверждена нулевая ставка НДС. А если в течение 180 дней собрать пакет документов, подтверждающих нулевую ставку НДС не удастся, то вычеты НДС будут произведены на дату отгрузки товаров (в уточненной декларации).
Соответственно вычеты НДС, относящиеся к экспорту сырьевых товаров или по «старым» приобретениям отражаются в книге покупок только при определении налоговой базы по экспорту, а в декларации по НДС суммы таких вычетов отражаются в «экспортных» разделах: в Разделе 4 (если ставка 0% подтверждена) или в Разделе 6 (если в течение 180 дней собрать пакет документов не удалось).
Нужно ли восстанавливать НДС при экспортной отгрузке товаров?
Если на экспорт отгружаются несырьевые товары, принятые к учету с 01.07.2016 г. и позднее, то восстанавливать НДС или каким-либо образом вести раздельный учет входного НДС не нужно. Минфин РФ также разъясняет, что суммы входного НДС по «новым» товарам (работам, услугам), принятым к вычету на момент их приобретения, восстановлению в налоговом периоде, на который приходится момент определения налоговой базы по экспортируемым несырьевым товарам, не подлежат (Письма Минфина России от 12.12.2016 N 03-07-08/73930, от 12.10.2017 N 03-07-08/66748).
При экспорте сырьевых товаров или по «старым» приобретениям, относящимся к экспорту несырьевых товаров, как уже говорилось, налогоплательщик обязан вести раздельный учет входного НДС, т.е. такие вычеты производятся только на момент определения налоговой базы по НДС. Поэтому в случае, когда налогоплательщик не предполагал использовать такие товары в экспортных операциях и принял к вычету НДС, НДС, ранее принятый к вычету, придется восстановить при отгрузке товаров на экспорт, в том числе после истечения трехлетнего срока, исчисляемого с момента принятия к учету приобретенных товаров (работ, услуг) (Письма Минфина России от 28.05.2020 г. N 03-07-08/44851, от 15.03.2018 N 03-07-08/16129).Принять его к вычету можно будет только при определении налоговой базы (п.3 ст.172 НК РФ).
Пример:
В 4-м квартале 2020 года налогоплательщик отгрузил на экспорт несырьевые товары. Причем часть отгруженных товаров была приобретена им еще в мае 2016 года, а часть в 2019 году. НДС по ним был принят к вычету. В этом случае при отгрузке товаров на экспорт в 4-м квартале 2020 налогоплательщик должен восстановить НДС по части экспортированных товаров, которые были приняты им к учету в мае 2016 года. А по экспортированным товарам, которые были приобретены в 2019 году восстанавливать НДС не нужно. Если, например, продавец соберет пакет документов в 1-м квартале 2021 года, налог, восстановленный в 4-м квартале, продавец заявит к вычету, отразив его сумму в Разделе 4 декларации по НДС.
Нужно ли восстановление НДС по экспортной отгрузке товаров в Белоруссию или Казахстан?
При экспорте товаров в страны ЕАЭС вычеты производятся в порядке, установленном нормами НК РФ (п. 5 Протокола). Поэтому обязанность по ведению раздельного учета входного НДС и соответственно по восстановлению НДС возникает в тех же случаях, что и при экспорте товаров в страны «дальнего зарубежья», т.е. при экспорте сырьевых товаров или по товарам (работам, услугам), относящимся к экспортным операциям, если эти приобретения были отражены в учете до 01.07.2016 г.
Какие товары относятся к сырьевым?
В целях главы 21 «НДС» НК РФ к сырьевым товарам относятся минеральные продукты, продукция химической промышленности и связанных с ней других отраслей промышленности, древесина и изделия из нее, древесный уголь, жемчуг, драгоценные и полудрагоценные камни, драгоценные металлы, недрагоценные металлы и изделия из них (п.10 ст.165 НК РФ). Коды видов таких сырьевых товаров, в соответствии с единой Товарной номенклатурой внешнеэкономической деятельности Евразийского экономического союза (далее — ТН ВЭД ЕАЭС) определены постановлением Правительства Российской Федерации от 18.04.2018 № 466.
Если код ТН ВЭД ЕАЭС экспортируемого товара отсутствует в данном перечне, то в целях раздельного учета НДС товар к сырьевым не относится, поэтому входной НДС может быть принят к вычету в обычном порядке (Письмо Минфина России в письме от 10.07.2018 № 03-07-08/47794).
Что такое НДС? И почему продавцы электронной коммерции должны это делать сейчас
Когда вы делаете первые шаги в качестве владельца электронной коммерции, открывая магазин в Европе, регистрация НДС, вероятно, последнее, о чем вы думаете.
От маркетинга до роста продаж и обслуживания клиентов, есть масса других (и давайте посмотрим правде в глаза, сексуальнее ) задач, о которых стоит подумать, но нравится вам это или нет, вы не можете позволить себе игнорировать свои обязательства по уплате НДС.
Потому что НДС — это большая сделка в деловом мире, особенно для компаний, которые продают товары.На трейдеров приходилось 72% налогооблагаемого дохода в 2019/20 налоговом году в Великобритании, и вам лучше поверить, что правительства придут собирать. Чтобы избежать юридических проблем и штрафов (которые могут легко достигать пяти или даже шестизначного числа), вам нужно подготовиться.
Положительным моментом является то, что, даже если поначалу это может показаться немного головной болью, вы также собираетесь унаследовать некоторые отличные преимущества с регистрацией НДС.
Нам предстоит многое изучить, но мы вас поддержим. Итак, давайте углубимся в ключевые факты, цифры и действия, которые помогут вам разработать план игры с уплатой НДС.
Нужна мультивалютная учетная запись для поддержки вашего глобального расширения? Узнайте больше о нашем цифровом кошельке .
Что такое НДС? Что мы будем покрывать:
НДС 101: полное руководство
Что такое НДС?
Что такое регистрация НДС?
Что произойдет, если я не буду платить НДС?: Тревожная реальность
Максимумы и минимумы регистрации НДС
Как подготовить свой бизнес электронной коммерции к НДС
План игры, чтобы сделать ваше путешествие с НДС без стресса
НДС 101: полное руководство
НДС важен для прибыли вашего бизнеса в сфере электронной коммерции, и при правильном подходе он может вернуть в вашу компанию наличные, которые в противном случае пошли бы в карман правительства.
Но неправильные расчеты или полное отсутствие НДС приведет к сокращению вашей прибыли и даже может превратить прибыльный продукт в убыток. Этого не избежать, если вы хотите держать НДС под контролем, вам нужно будет учесть его при ценообразовании.
Когда дело доходит до НДС, важно (буквально) понимать, на что вы подписываетесь. , прежде чем вы устанавливаете свои цены и финансовый план игры.
Для начала приведу несколько важных фактов об НДС:
НДС не одинаков во всем мире.В зависимости от того, где вы зарегистрированы, существуют разные ставки, пороговые значения и требования к оплате. Например, в таких странах, как Великобритания, Франция, Австрия, Эстония, Украина и Словакия, стандартная ставка НДС составляет 20%, а в Европе — 21%.
Венгрия и Люксембург имеют самую высокую стандартную ставку НДС в Европе — 27%.
В Швейцарии самая низкая стандартная ставка НДС в Европе — 7,7%.
Некоторые компании могут требовать возмещения НДС в определенных странах на командировочные расходы.
В США нет НДС. Вместо этого у него есть налог с продаж, который различается в зависимости от штата.
Что такое НДС?
НДС (налог на добавленную стоимость) — это процент, добавляемый к большинству продуктов и услуг. Большинство предприятий должны платить НДС, когда их оборот достигает определенного уровня (подробнее об этом через минуту).
Затем средства передаются правительству через специальный орган. Например, в Великобритании соответствующая служба — Налоговая и таможенная служба Ее Величества (HMRC).
Существует 3 типа НДС с различными суммами:
Стандартный — 20%
Сниженный — 5%
Ноль — 0%
Для получения дополнительной информации о том, какой вид НДС в Великобритании применяется к конкретному товару, см. Подробное руководство GOV.UK.
Существует также категория освобожденных от НДС , а не , которая совпадает с нулевой категорией НДС. Хотя в обоих случаях вы не платите НДС, их обязанности различаются. Если вы продаете только товары, не облагаемые НДС, вам не нужно регистрироваться в качестве плательщика НДС, даже когда вы достигли порога регистрации, но для товаров с нулевым НДС вы должны зарегистрироваться, когда вы достигнете предела.
Нужна виртуальная учетная запись для управления денежными средствами по налогам и расходам? Узнайте больше о нашем цифровом кошельке .
Что такое регистрация НДС?
Регистрация НДС — это процесс регистрации вашего бизнеса в правительстве для продажи товаров и услуг, за которые вы будете платить НДС. Как правило, вы должны зарегистрироваться в качестве плательщика НДС, если ведете налогооблагаемую деятельность на этой территории.
Предприятия электронной коммерции имеют немного больше гибкости, когда дело касается НДС.В некоторых странах (за исключением Великобритании) они могут взимать НДС на территории конечного назначения или на территории компании. Подробнее читайте в этом информативном посте Маросавата.
С момента регистрации НДС ваши обязанности будут заключаться в следующем:
Взимать НДС со всех соответствующих критериям товаров и услуг, которые вы продаете.
Убедитесь, что вы выставили счет на правильную сумму долга (т.е. без учета товаров, не облагаемых НДС).
Также будут применяться обязанности, специфичные для страны, в которой вы регистрируетесь.Например, в течение первых двух лет регистрации в Германии вы должны:
Подавать ежемесячную авансовую декларацию по НДС
Отправлять годовую декларацию по НДС
В то время как в Великобритании вам необходимо:
Независимо от страны вы подписываетесь на НДС, вы должны серьезно относиться к этим обязанностям, поскольку они являются постоянными и могут напрямую повлиять на вашу прибыльность.
Что такое номер плательщика НДС?
После того, как вы зарегистрируетесь в качестве плательщика НДС, правительство вышлет вам номер плательщика НДС, уникальный для вашей компании.Это идентификационный номер налогоплательщика для налоговой системы этой страны. Но обратите внимание, этот номер предназначен только для отслеживания НДС и ничего больше.
По вашему номеру плательщика НДС правительство может увидеть ваш:
Входящий НДС: НДС, взимаемый с покупок, совершенных вами для вашего бизнеса. Вы собираете это у своих клиентов и затем передаете правительству.
Выходной НДС: НДС, взимаемый с ваших товаров и услуг. Вы можете вычесть входящий счет по НДС из выходного счета по НДС, чтобы уменьшить свои обязательства по НДС (подробнее об этом позже).
Правительство оценит информацию, которую вы предоставляете по налоговому номеру, и рассчитает, верна ли она. В противном случае они примут меры против вашего бизнеса, и последствия могут быть суровыми, поэтому убедитесь, что ваша информация верна, прежде чем нажимать «отправить».
Теперь вы преодолели трудности регистрации, пришло время еще одного администратора.
Вам нужно выбрать схему НДС, которая представляет собой систему, которая сообщает правительству, сколько:
НДС, который вы выставили счет
НДС, который вы заплатили
Существует несколько схем НДС.Давайте подробнее рассмотрим некоторые из них:
Схема фиксированной ставки: Вы платите процент от своего дохода в виде НДС. Ваш счет зависит от вашего вида деятельности.
Схема годового учета НДС: Вы отправляете свои декларации по НДС один раз в год вместо стандартного четырехэтапного графика платежей, на который подписываются другие схемы.
Схема учета НДС по кассовому счету: Вы платите НДС со своих продаж после того, как покупатели заплатили вам. Затем вы возмещаете НДС на закупку инвентаря после того, как заплатили поставщику.
Схемы розничной торговли с НДС: Существуют схемы розничной торговли трех типов: точки продаж, пропорциональное распределение и прямой расчет. Однако это не вариант для продавцов электронной коммерции, поскольку они применяются к розничным продажам (продажа в обычном магазине) без нерозничных продаж, таких как онлайн-продажи.
Схема надбавки по НДС: Если вы продаете такие товары, как антиквариат, предметы коллекционирования или искусство, и используете эту схему, правительство будет облагать налогом разницу между тем, что вы заплатили за товары, и тем, сколько они были проданы, а не всю продажная цена.
Что произойдет, если я не буду платить НДС ?: тревожная реальность
Хотя вы не получите штраф сразу, если вы не заплатите, с вас будут взиматься штрафы. Правительство установит дефолт для вашей учетной записи, и вы можете перейти на период доплаты.
Эта процедура применяется, если вы вообще не платите или не платите полностью. Штрафы подчеркивают серьезность ваших обязанностей как компании, зарегистрированной в качестве плательщика НДС.
Например, не взимается дополнительный штраф за первый дефолт в Великобритании (и второй по умолчанию, если ваш годовой доход составляет менее 150 000 фунтов стерлингов).Однако за все последующие неплатежи взимается комиссия, которая представляет собой процент от суммы подлежащего уплате НДС за первые 6 невыплат. По истечении этого периода правительство начнет применять штрафы, которые могут составлять от 15% до 100% от суммы неоплаченного НДС. Правительство Великобритании также может наложить штраф на ваш бизнес, если вы занижаете или завышаете налог, который может достигать 100%. 😲
Во Франции наказание еще жестче. Французское правительство не только взимает 5% от суммы причитающегося НДС и штрафа, но и применяет 40% из вашей выписки по НДС в качестве наказания, если обнаруживает ошибку.
Даже честная ошибка может привести к тому, что вы окажетесь вне своего кармана, поэтому хорошо подумайте, прежде чем добровольно платить НДС, и убедитесь, что у вас есть время и энергия для выполнения этих обязанностей.
Максимумы и недостатки регистрации НДС
Теперь вы знаете, какие непростые обязанности вам нужно выполнять, когда вы становитесь зарегистрированным в качестве плательщика НДС, вы можете спросить, зачем кому-то это делать.
Регистрация НДС — это смесь плюсов и минусов.Плюсы регистрации плательщиками НДС втягивают вас и заставляют узнать больше, но минусы заставят вас отступить и глубоко оценить, стоит ли риск для вашего бизнеса.
Давайте подробнее рассмотрим:
Максимум НДС регистрации 😁
Сохранить, сохранить, сохранить: После того, как вы внесете свой бизнес в список НДС, вы можете взимать его с ваших продуктов и передавать счет своему клиентов, вместо того, чтобы вы расплачивались по счету. Вы также можете вернуть НДС на товары, приобретенные для вашего бизнеса, такие как инвентарь и расходные материалы.Это делает регистрацию НДС обязательной, если вы хотите сэкономить свои монеты.
Заработайте влияние на свой бизнес: Когда вы достигнете порога регистрации НДС, это станет четким сигналом о том, что вы устоявшийся бизнес и готовы к расширению. Это не только повысит вашу уверенность в себе, но и вы будете выглядеть со всех сторон как профессиональный продавец, что может принести вам несколько коричневых баллов, когда вам нужно произвести впечатление на важного поставщика или подать заявку на внешнее финансирование.
Минимум НДС при регистрации
Ваши товары станут дороже: Если ваша компания не может или не хочет включать НДС в свою первоначальную цену, вам придется добавить это к вашим ценам.Это изменение сделает ваши продукты более дорогими и, возможно, неконкурентоспособными на вашем рынке, что повлияет на продажи.
Дополнительный админ, без которого можно обойтись: Бухгалтерские и административные обязанности, связанные с регистрацией НДС, не шутки. Вы должны отправлять файлы вовремя, и они лучше будут правы, иначе вы рискуете получить дорогостоящую пощечину. Если вы решите оставить задачу внутри компании, это время вы отвлечете от других важных задач в своем бизнесе.
Как подготовить свой бизнес электронной коммерции к НДС Приготовьтесь платить НДС на международном уровне с помощью бизнес-счета без границ
Чтобы вас не застали долгие административные дела или заоблачные сборы, которые могут задержать оплаты, зарегистрируйте мультивалютную учетную запись, которая позволяет хранить и переводить средства.
Убедитесь, что это:
Банковский счет для предприятий, использующий реальный среднерыночный курс.
Сделано для предприятий электронной коммерции.
От надежного и прозрачного поставщика.
(Psst! Наш цифровой кошелек отвечает всем этим и другим параметрам 😉).
Не забывайте собирать НДС с покупок в отдельных банках, чтобы было легко отличить деньги, которые вы должны заплатить государству, и деньги, которые вы можете использовать для ведения своего бизнеса.
Автоматизируйте ведение документации
Если вы возьмете все обременительные обязательства по уплате НДС на свой и без того напряженный график управления электронной коммерцией, вскоре вы пожалеете об этом.
Здесь мало места для ошибки (как мы видели, правительства не прощают промахов), поэтому вам нужно оставаться на вершине формы, автоматизируя учет НДС в цифровом виде. Есть множество поставщиков, которые соответствуют всем требованиям, например Xero, QuickBooks и FreeAgent. Не забудьте профессионально проверить свои записи, прежде чем отправлять их.
Используйте предоплаченную карту для отслеживания расходов
Не тратьте время на то, чтобы выяснить, сколько вы потратили на расходные материалы и инвентарь для своего бизнеса, используйте предоплаченную визитную карточку для каждой покупки.Это поможет вам предотвратить утечку операционных расходов и составить список отчетов для перекрестных ссылок на расходы в вашем бухгалтерском инструменте.
Когда вы объединяете выделенную визитную карточку с мультивалютным счетом, который позволяет вам создавать различные банки, ваш учет НДС будет работать как часы, а ваши данные останутся контролируемыми и точными. 👌
План игры, чтобы избавиться от стресса в поездке с НДС
В жизни есть только две вещи, которые можно сказать наверняка: смерть и налоги.
Несмотря на то, что вы не можете избежать уплаты НДС при достижении порогового значения, вы можете сделать некоторые вещи, чтобы сделать этот процесс менее болезненным.
Во-первых, будьте готовы и подготовьте всю необходимую информацию, чтобы вы могли отправить файлы до крайнего срока, независимо от того, что происходит в вашем бизнесе.
Соблюдайте строгость при отделении денежных средств, которые необходимо потратить, от операционных денежных средств, чтобы избежать неприятностей, из-за которых вы не сможете оплатить счет по НДС. (С нашим кошельком и визитной карточкой вы можете упростить этот процесс.😉)
Изучите требования до того, как вы достигнете лимита регистрации НДС, чтобы вы были готовы к работе, когда сделаете это официально, и будьте в курсе изменений и разработок, чтобы вы могли своевременно и с минимальными затратами -эффективная манера.
Все компании разные. Если вы хотите сесть в автобус с НДС пораньше или когда вам это абсолютно необходимо, обратитесь за профессиональной помощью к налоговому консультанту, чтобы убедиться, что это оптимальное время для вашего бизнеса. Удачи!
Хотите узнать, как упростить себе поездку по НДС? Ознакомьтесь с нашим цифровым кошельком и визитной карточкой .
Бухгалтер по НДС | ACCA Global
Что такое косвенный налог (или НДС в Великобритании) и чем занимается бухгалтер по НДС?
Косвенный налог — это вид налога, взимаемого посредником (т. Е. Магазином) с лица, которое несет основное экономическое бремя налога (т. Е. С потребителя). Обычно это называется налогом с продаж, налогом на товары и услуги (GST) или налогом на добавленную стоимость (НДС). В Великобритании, за некоторыми исключениями, НДС добавляется к стоимости почти всего, что покупает потребитель.
Бухгалтер по НДС консультирует бизнес по общим обязательствам по НДС, в частности, по последствиям НДС для любых операций, которые они проводят. Они также могут заниматься управлением циклом соблюдения требований по НДС, обрабатывать специальные технические запросы по НДС и управлять отношениями по НДС с HMRC и другими внешними консультантами по НДС.
Ключевые обязанности:
Обязанности могут быть разными, но примеры включают:
Составление отчетности по НДС, обеспечение соблюдения НДС и выявление рисков.
Минимизация обязательств по НДС и вопросы соблюдения.
Обеспечение правильного учета всех аспектов транзакций НДС (например, в системе ERP).
Обеспечение своевременного выполнения всех процессов на конец месяца.
Взаимодействие и управление рабочими отношениями с HM Revenue & Customs во время регулярных проверок и специальных запросов.
Прогнозирование платежей по НДС с учетом роста бизнеса и обеспечение точных и своевременных платежей в налоговые органы.
Использование стратегий по снижению обязательств по НДС / пошлинам там, где это возможно, в рамках законодательной базы.
Управление процессами возмещения НДС по претензиям сотрудников на внутреннем рынке.
Вклад в налоговую стратегию группы.
Выступает в качестве профильного эксперта в группе, оказывает поддержку налоговым бухгалтерам и руководителю налоговой службы по НДС.
Почему они важны?
Бухгалтеры по НДС жизненно важны для многих предприятий, поскольку они действительно могут повлиять на общую прибыль.Кроме того, хотя НДС является сложным и трудным налоговым вопросом, незначительные ошибки могут рассматриваться как мошенничество, поэтому важно осторожно относиться к НДС.
Навыки, необходимые для этой роли
Бухгалтеры по НДС должны уделять особое внимание деталям. Они также должны обладать отличными коммуникативными навыками, так как они должны будут уметь давать советы и информацию по сложным вопросам нетехническим специалистам.
Экзамены по стратегическому профессиональному выбору, связанные с этой ролью
Расширенное налогообложение
Карьерные возможности, предоставляемые этой должностью
Бухгалтеры по НДС могут работать в различных секторах и могут работать как в рамках бизнеса, так и на практике в бухгалтерской фирме, предоставляющей консультации портфелю клиентов.
Компетенции
Требуемые компетенции высокого уровня включают:
Сбор международных пошлин и налогов на импорт · Справочный центр Shopify
Эта страница была напечатана 27 июля 2021 г. Чтобы просмотреть текущую версию, посетите https://help.shopify.com/en/manual/taxes/charging-international-duties.
Если вы отправляете товар за границу, с ваших клиентов могут взиматься дополнительные пошлины и налоги на импорт при получении своих отправлений.
Ваш выбор способа управления пошлинами и налогами на импорт называется условиями международной торговли или инкотермс. Ниже приведены два наиболее часто используемых термина инкотермс:
Поставка с оплатой пошлины (DDP). Этот термин указывает на то, что продавец принимает на себя ответственность за любые импортные расходы, которые могут быть оплачены при пересечении границы товарами, такие как НДС и пошлины. Вы можете получить оплату за эти сборы во время оформления заказа. Когда доступен инкотермс DDP, его использование позволяет клиентам узнать общую цену продукта и помогает избежать задержек с доставкой.
Доставлен на место (DAP). Также называется с доставкой без уплаты пошлины (DDU). Этот термин означает, что продавец несет ответственность только за доставку товара, а покупатель несет ответственность за оплату любых импортных расходов перевозчику, таких как НДС, пошлины и клиринговые сборы, при доставке. Некоторые перевозчики взимают дополнительную плату за сбор пошлин при доставке, если пошлины не были оплачены заранее. Следовательно, использование DAP (или DDU) incoterm может привести к дополнительным расходам для клиента.
Чтобы помочь своим клиентам избежать дополнительных сборов, вы можете взимать любые применимые пошлины и налоги на импорт при оформлении заказа. Позднее ваш оператор связи выставит вам счет на уплату пошлин и налогов на импорт, которые вы затем сможете оплатить вместе со сборами, взимаемыми с клиента.
Сбор пошлин и налогов на ввоз на кассе
Бета
Эта функция находится в стадии бета-тестирования и доступна только в определенных магазинах с планами Shopify, Advanced Shopify или Shopify Plus.
Вы можете собирать пошлины и налоги на импорт на кассе вашего магазина, если ваш магазин соответствует следующим требованиям:
Обратитесь в службу поддержки Shopify, чтобы узнать больше о бета-программе.Если ваш магазин не соответствует требованиям для включения в бета-версию, вы можете использовать стороннее приложение для расчета пошлин и налогов на импорт.
После включения сбора пошлин и налогов на импорт в кассе вы можете распечатать отгрузочные этикетки DDP, чтобы указать, что пошлины и налоги на импорт уже были уплачены клиентом. Не забудьте указать DDP в коммерческих счетах в качестве инкотермс доставки. Если вы отправляете заказ с взимаемыми пошлинами в размере 0 долларов США, вам все равно следует использовать этикетку доставки DDP и указать DDP в коммерческом счете, чтобы ваши клиенты не несли ответственности за какие-либо дополнительные расходы.
Примечание
Вы обязаны проконсультироваться с местными налоговыми органами или налоговым специалистом, чтобы убедиться, что вы взимаете с клиентов правильные пошлины и налоги на импорт, а также убедиться, что средства, собранные при оформлении заказа, переводятся перевозчику или соответствующему налоговому органу.
Соображения по сбору пошлин и налогов на импорт при оформлении заказа
Прежде чем собирать пошлины и налоги на импорт в кассе, ознакомьтесь со следующими соображениями.
Совместимость с другими функциями Shopify
Некоторые настройки оформления заказа могут конфликтовать со сбором пошлин и налогов на импорт. Если вы настроили оформление заказа, проверьте свои настройки, прежде чем включать функцию пошлин и налогов на импорт.
Налоговые настройки
Функция пошлин и налогов на импорт несовместима с переопределением налогов или ручными ставками налогов. Если у вас есть какие-либо налоговые переопределения или ручные ставки, то они применяются только к продажам в вашем регионе.Изменения и ручные ставки для международных продаж отменяются функцией пошлин и налогов на импорт.
Если вы включите функцию пошлин и налогов на импорт, а затем отключите ее, ваши предыдущие настройки налогов будут восстановлены.
Сбор пошлин и налогов на импорт может повлиять на вашу налоговую настройку.
Если ваш магазин использует налоги на основе регистрации, то налоги, такие как НДС или налог с продаж, взимаются с международных заказов, только если вы разрешаете сбор пошлин и налога на импорт для этой страны или региона.Если вам необходимо взимать налоги с международных заказов в этой стране или регионе, вы также должны разрешить сбор пошлин и налогов на импорт. Налоговая регистрация не используется, если вы отправляете товар с использованием условий DDU / DAP incoterm для таких стран или регионов.
Если в вашем магазине используются налоги на основе местоположения, то такие налоги, как НДС или налог с продаж, не взимаются с международных заказов. Сбор пошлин и налогов на импорт несовместим с вводимыми вручную налоговыми ставками.
Требования к транспортировке
Когда вы собираете пошлины и налоги на импорт при оформлении заказа, вы можете указать только страну или регион для использования либо DDP, либо DAP / DDU.Вы не можете предлагать оба условия инкотермс покупателям из одной страны или региона.
Shopify Доставка не поддерживает DDP.
Не все перевозчики поддерживают транспортные этикетки DDP, а некоторые поддерживают их только для определенных пунктов назначения. Свяжитесь со своими перевозчиками, чтобы узнать, поддерживают ли они транспортные этикетки DDP и где они это делают.
Вы не можете взимать пошлины и налоги на импорт в зоне доставки Остальной мир . Чтобы взимать пошлины и налоги на импорт для страны или региона, добавьте их в существующую зону доставки или создайте новую.
Сеть обслуживания Shopify не поддерживает сбор пошлин и налогов на импорт при оформлении заказа.
Оценка пошлин и налогов на импорт
Взимаемые пошлины и налоги на импорт являются приблизительными, основанными на последней информации на момент размещения заказа покупателем. Дополнительные пошлины могут взиматься по разным причинам, таким как неправильная оплата пошлины или неправильный код HS.
Комиссионные за брокерские услуги и выплаты не включены в расчеты пошлин и налогов на импорт.Если ваш контракт с перевозчиком не предусматривает отмену комиссий за выплату, подумайте о добавлении стоимости комиссионных к ценам на ваши продукты или к вашим тарифам на доставку.
Страны и регионы, в которых не поддерживается взимание пошлин и налогов на импорт
Следующие страны и регионы не поддерживают взимание пошлин и налогов на импорт. В этих регионах нельзя собирать пошлины и налоги на импорт.
Африка
Республика Кабо-Верде (CV)
Республика Судан (SD)
Республика Южный Судан (SS)
Федеративная Республика Сомали (SO)
Антарктида
Южная Георгия и Южные Сандвичевы острова (GS)
Азия
Республика Ирак (IQ)
Сирийская Арабская Республика (SY)
Демократическая Республика Тимор-Лешти (Восточный Тимор) (TL)
Туркменистан (TM)
Европа
Северная Ирландия (XI)
Российская Федерация (RUS)
Океания
Федеративные Штаты Микронезии (FM)
Республика Маршалловы Острова (MH)
Республика Палау (PW)
Северная Америка
Территориальное объединение Сен-Пьер и Микелон (ПМ)
Содружество Пуэрто-Рико (PR)
Южная Америка
Федеративная Республика Бразилия (BR)
Фолклендские острова (FK)
Сбор пошлин и налогов на импорт на кассе
Пошлины и налоги на импорт будут взиматься с международных заказов после того, как вы включите сбор пошлин и налогов на импорт.Заказы, размещенные из регионов, где у вас есть место выполнения, не будут затронуты.
Шагов:
Добавьте регион происхождения и коды HS для ваших продуктов.
От администратора Shopify перейдите к Настройки > Налоги и пошлины .
В разделе Пошлины и налоги на импорт щелкните Настроить .
Отметьте страны и регионы, для которых вы хотите взимать пошлины и налоги на импорт.
Щелкните Настроить .
Расчет пошлин
Для каждого заказа пошлины и налоги на импорт рассчитываются на основе пункта назначения доставки, страны происхождения каждого продукта и кода ТН ВЭД каждого продукта.
Если у продукта нет кода HS, обязательно укажите тип продукта. Если продукт в заказе не имеет кода HS или типа продукта, то пошлины и налоги на импорт не будут рассчитываться по этому заказу, даже если вы установили заказы из страны или региона для сбора пошлин и налогов на импорт.
Расчет пошлины на бесплатные товары
Когда вы предлагаете бесплатные продукты или образцы клиентам или проводите распродажу Купи X и получи Y (BOGO), тогда некоторые товары в поставке не имеют связанных с ними затрат. Для расчета пошлин и налогов на импорт товары не могут иметь заявленную стоимость 0 долларов США. Для расчета пошлин и налогов на импорт для скидок «Купи X» и «Получи Y », когда второй или третий товар предоставляется бесплатно, стоимость всех товаров равномерно распределяется по всем товарам. Например, если одна рубашка стоит 100 долларов, а вторая — бесплатна, то для расчета пошлин и налогов на импорт каждая рубашка будет представлена как стоимость 50 долларов.Если в поставке есть бесплатные продукты или образцы, то стоимость бесплатного товара составляет 1 доллар, а цена в 1 доллар равномерно вычитается из всех остальных товаров в доставке. Например, если в отгрузке пять товаров, и одна из них бесплатна, то бесплатная позиция представляется как стоимость 1 доллар, а 0,25 доллара вычитается из цены четырех других товаров в заказе.
Заказы, облагаемые пошлинами и налогами на импорт
Не все заказы облагаются пошлинами и налогами на импорт.Во многих странах действует минимальная сумма заказа de minimis до уплаты пошлин и налогов на импорт.
Например, товары, которые отправляются из Мексики или США в Канаду, облагаются пошлинами, если товары оцениваются в 150 канадских долларов или более, и облагаются налогами на импорт, если товары оцениваются в 40 долларов или более. Если вы не уверены, какое значение de minimis соответствует стране или региону, в который вы осуществляете доставку, посетите веб-сайт налогового органа этой страны или региона или проконсультируйтесь с местным налоговым экспертом.
Задачи, которые необходимо рассмотреть после включения сбора пошлин и налога на импорт на кассе
После включения сбора пошлин и налога на импорт при оформлении заказа рассмотрите возможность выполнения следующих задач:
Покупка и использование транспортных этикеток DDP
После того, как вы начнете взимать пошлины и налоги на импорт при оформлении заказа, вы должны приобрести и использовать транспортные этикетки DDP вместо стандартных для ваших международных заказов. Если вы взимаете пошлины при оформлении заказа, но используете стандартную транспортную этикетку, то с вашего клиента по-прежнему взимаются пошлины и налоги на импорт при доставке, что означает, что ваш клиент оплачивает пошлины и налоги на импорт дважды.
При взыскании пошлин по международному заказу в детали этого заказа включается строка Пошлины . Перед покупкой этикетки DDP убедитесь, что пошлины и налоги на импорт взимаются с каждого международного заказа. Если вы отправляете заказ с пошлиной 0 долларов США, вы можете использовать транспортные этикетки DDP, чтобы гарантировать, что ваши клиенты не несут ответственности за какие-либо дополнительные расходы. Если при оформлении заказа произошла ошибка, то пошлины и налоги на импорт могли не взиматься, и для этого заказа следует использовать стандартную транспортную этикетку.
Создание коммерческих счетов-фактур
Для каждого международного заказа требуется коммерческий счет. Вы можете заполнить цифровые коммерческие счета, предоставленные оператором связи, на его веб-сайте. В зависимости от заказа вам необходимо обработать коммерческий счет одним из следующих способов:
Если по заказу уплачены пошлины и налоги на импорт, отметьте условия поставки в коммерческом счете как DDP, чтобы указать, что пошлины и налоги на импорт были уплачены.
Если в заказ не были уплачены пошлины и налоги на импорт, отметьте условия доставки в коммерческом счете как DDU или DAP, чтобы указать, что пошлины и налоги на импорт еще не уплачены.
Обновление политики доставки и уведомления
После того, как вы включите пошлины и налоги на импорт при оформлении заказа, обновите свою политику доставки и шаблоны уведомлений, чтобы ваши клиенты знали о ваших правилах и сборах за международные продажи.
Обновите свою политику доставки в админке Shopify, перейдя в настройки > Legal .
Если вы используете шаблоны электронной почты Подтверждение заказа и Возврат заказа по умолчанию, то ваши электронные письма автоматически обновляются и включают строку Обязанности , и вам не нужно вносить какие-либо изменения.Если вы настроили шаблоны электронных писем с подтверждением заказа, и , то вы можете добавить код в свои шаблоны уведомлений, чтобы добавить строку Обязанности .
Подготовка к продажам flash
Если вы запускаете флэш-продажи, рассмотрите возможность отключения сбора пошлин и налогов на импорт до завершения продажи. Если вы решите собирать пошлины и налоги на импорт во время продажи, проверьте свои продукты, чтобы убедиться, что в них указаны коды ТН ВЭД, страна или регион происхождения и тип продукта.Если вы заполнили эти поля на продаваемых товарах, это поможет оценить пошлины и расходы на налог на импорт.
Управление возвратами
Решение о возврате пошлин и налогов на импорт зависит от вас.
Если вы решите предложить возмещение пошлин и налогов на импорт, имейте в виду следующее:
Если вы вернете заказ, который еще не был выполнен, вы все равно можете вернуть пошлины.
Если вы вернете заказ, который уже был выполнен, вы можете вернуть покупателю пошлины и налоги на импорт.Любые средства, которые были использованы для покупки этикеток DDP, не будут возвращены вам оператором связи.
Имейте в виду, что возмещение стоимости заказа в полном объеме — единственный способ предотвратить возникновение спора по заказу.
Используйте стороннее приложение для расчета пошлин и налогов на импорт на кассе
Если ваш магазин не соответствует требованиям по взиманию пошлин и налогов на импорт при оформлении заказа, вы можете использовать стороннее приложение из Shopify App Store, чтобы отобразить при оформлении оценку пошлин и налогов на импорт для заказа.Эти приложения используют сведения о вашем продукте, такие как страна или регион происхождения и код HS для продукта, для расчета пошлин и налогов на импорт. Сторонние приложения могут взимать с вас дополнительную комиссию за периодические операции или транзакции.
Шагов:
Добавьте страну или регион происхождения и коды HS для ваших продуктов.
Установите приложение из Shopify App Store, которое рассчитывает пошлины и налоги на импорт.
Для некоторых приложений могут потребоваться дополнительные действия по настройке. Если вам нужна помощь в начале работы, перейдите на страницу приложений в Shopify App Store или обратитесь за помощью к разработчику приложения.
Общие сведения о пошлинах и налогах для электронной торговли
Вступление:
Почему таможенные пошлины имеют значение при международной доставке
Когда вы отправляете что-то в другую страну, вас или вашего клиента могут попросить оплатить дополнительные пошлины и налоги до доставки груза.
Правительства облагают налогом поставки из других стран, потому что они хотят:
1. Защищать отечественные компании от иностранных конкурентов
2. Контролировать поток определенных продуктов
3.Повышайте доход за счет налогов
Пошлины и налоги на доставку — это юридические требования, которые необходимо урегулировать до того, как ваша посылка будет доставлена.
Вот почему мы создали это руководство — чтобы помочь вам получить четкое представление о обязанностях по доставке. Мы поделимся определениями, объясним процессы и поделимся передовым опытом управления этим аспектом ваших перевозок, чтобы вы могли подготовить свой бизнес к соблюдению торговых правил.
Подпишитесь на нашу рассылку новостей
Каждую неделю мы публикуем новые идеи и советы по доставке и выполнению заказов.Узнай первым.
Методы оценки
Методы оценки
Чтобы рассчитать налог на импорт и сумму импортной пошлины для вашего груза, умножьте налогооблагаемую стоимость вашего груза на процент налога и пошлины в стране назначения.
Помните, что процентная ставка импортной пошлины различается для каждой категории товаров — узнайте, какой процент для вашего груза, на нашей странице «Страны».
Налогооблагаемая стоимость обычно основывается на стоимости товаров, но в зависимости от метода оценки страны она может также включать другие суммы.
Существует два основных метода оценки, которые страны используют для определения налогооблагаемой стоимости: FOB и CIF.
FOB
означает «Free On Board». В этом случае налогооблагаемой стоимостью является стоимость продукта. Хотя определение также включает транспортную загрузку, это применимо только к товарам, которые отправляются морским транспортом. Если ваш груз прибывает авиатранспортом (как это делает большинство перевозок в электронной коммерции B2C), он не будет включать стоимость перевозки.
CIF
означает «Стоимость, страхование и фрахт».В этом случае налогооблагаемая стоимость включает стоимость предмета, стоимость страховки (если таковая имеется) и транспортировку до конечного получателя.
Как рассчитать FOB по сравнению с CIF
Налогооблагаемая стоимость
FOB
CIF
Налог на предмет налога 907
Облагаемый налогом
Транспорт
Облагаемый налогом
Пример: Расчет таможенного налога
Сумма
907 907 907 907 907 907 9027 907 907
Стоимость предмета
100 $
✔
✔
Страхование
$ 10
✔
Транспорт
$ 5
Сумма
9072 6
НДС / НДС в процентах
7%
$ 7
$ 8.05
Процент пошлины
10%
$ 10
$ 11,50
Общий таможенный налог
$ 17
19,55 $
Наш калькулятор пошлин и налогов Попробуй!
Необходимо оценить ваши пошлины и налоги на доставку? Наш калькулятор может дать вам представление о том, чего ожидать.
Попробовать сейчас
Ввозные пошлины и налоги — решено
Наша платформа автоматически рассчитывает пошлины и налоги для всех международных перевозок.
Зарегистрироваться
Глоссарий по налогам и сборам
Все, что вам нужно знать, чтобы отправить товар через границу!
Что такое CIF?
CIF означает «Страхование затрат и фрахт» и является Инкотермс, применимым только к морским перевозкам. Продавец несет ответственность за оплату расходов и фрахта, необходимых для доставки товара в порт назначения, в дополнение к покупке страховки от риска потери или повреждения товара.
Чем занимается таможенный брокер?
Работа таможенного брокера состоит в том, чтобы полностью понимать таможенные пошлины, правила и положения, а также знать процессы и документы, необходимые для того, чтобы ваши грузы прошли таможенную очистку как в стране происхождения, так и в стране назначения.
Что такое коммерческий счет-фактура?
Коммерческий счет-фактура — это обязательный документ при международной доставке, в котором описываются товары в отгрузке и их стоимость. Коммерческие курьеры и таможенные брокеры обращаются к этому документу для обработки и таможенной очистки вашей посылки.
Что такое DDP:
DDP означает «Доставка с оплатой пошлины». Отправитель несет ответственность за уплату пошлины. В электронной коммерции многие продавцы включают эти обязанности при оформлении заказа и напрямую взимают оплату с покупателя.
Что такое DDU:
DDU означает «Доставить без оплаты пошлины». Получатель груза несет ответственность за уплату пошлин. Таможня свяжется с ними напрямую, и посылка не будет доставлена до тех пор, пока оплата не будет оплачена.
Что такое De minimis value:
Налоговый порог или сумма, с которой человек начинает платить налоги за предмет.
Что такое FOB:
FOB означает Free On Board. Применительно к морским перевозкам продавец несет ответственность за доставку товара на судно и его очистку для экспорта.Затем покупатель несет ответственность за страхование груза и обработку импорта, включая оплату импортных пошлин.
Что такое GST:
GST означает налог на товары и услуги. Этот налог взимается поэтапно, а затем возвращается всем, кроме конечного покупателя. Он отличается от НДС тем, что представляет собой фиксированную процентную ставку от общей суммы транзакции, а не процент от добавленной стоимости.
Что такое импортная пошлина:
Ввозная пошлина — это налог, взимаемый государством с товаров из других стран.Эта повышенная цена на импортные товары предназначена для того, чтобы сделать эти товары менее «желательными», поэтому покупатели будут поощряться к поддержке внутреннего рынка.
Что такое Инкотермс:
Инкотермс означает «Международные коммерческие условия». Эти условия четко определяют, за что несут ответственность покупатель и продавец при обработке, транспортировке и доставке товаров.
Что такое НДС:
НДС означает налог на добавленную стоимость, который взимается с потребителей, когда они покупают какой-либо товар или услугу.
Узнать больше
Примечание автора: это сообщение в блоге не предназначено для статической работы, а скорее как часть, которая будет регулярно обновляться по мере того, как время от времени меняется исполнение! С любыми комментариями или предложениями, пожалуйста, напишите нам по адресу [адрес электронной почты защищен].
Не платить импортные пошлины и НДС на прочие документы и связанные с ними предметы
Что вы можете требовать возмещения по номеру
Учебно-научные и культурологические материалы
Вы можете требовать освобождения от уплаты импортной пошлины и НДС для различных документов и связанных с ними предметов, которые составляют:
воспитательного характера
научный характер
культурный характер
Примеры товаров перечислены ниже с их товарными кодами.
Описание
товарный код
Микрофильмы книг, детские книжки с картинками и книжки для рисования или раскраски, школьные тетради (рабочие тетради), кроссворды, газеты и периодические издания, печатные документы или отчеты некоммерческого характера, а также отдельные иллюстрации, печатные страницы и репродукции для изготовления книг
3705 20 00
Репродукции фильмов для производства книг, кроме журналов, периодических изданий
3705 10 00 3705 90 00
Детские картинки, рисунки или раскраски
4903 00 00
Карты, диаграммы и диаграммы, представляющие интерес в таких научных областях, как геология, зоология, ботаника, минералогия, палеонтология, археология, этнология, метеорология, климатология и геофизика
4905 99 00
Архитектурные, производственные или инженерные планы и проекты и их репродукции
4906 00 00
Каталоги книг и публикаций, предлагаемых для продажи издателями или книготорговцами, зарегистрированными за пределами Великобритании Каталоги фильмов, звукозаписей или других визуальных и звуковых материалов образовательного, научного или культурного характера Плакаты для рекламы туризма и туристических публикаций, брошюры, путеводители, расписания, брошюры и аналогичные публикации, в том числе опубликованные частными компаниями, предназначенные для поощрения общественности к поездкам за пределы Великобритании и ЕС, включая микрокопии Библиографические материалы для бесплатного распространения
4911 10 90
Отдельные иллюстрации, печатные страницы и репродукции, которые будут использоваться для производства книг, включая микрокопии Микрокопии книг, детских книжек с картинками и книжек для рисования или раскраски, школьных тетрадей (рабочих тетрадей), кроссвордов, газет периодические издания и документы или отчеты некоммерческого характера Публикации, предназначенные для поощрения общественности к обучению за пределами Великобритании и ЕС, включая микрокопии Метеорологические и геофизические диаграммы
4911 99 00
Карты и диаграммы в таких научных областях, как геология, зоология, ботаника, минералогия, палеонтология, археология, этнология, метеорология, климатология и геофизика
9023 00 80
Прочая печатная продукция, в том числе печатные изображения и фотографии, в помощь слепым и слабовидящим
49 11 (разные)
Исключение не распространяется на изделия, у которых рекламная площадь покрывает более 25% поверхности.Для публикаций и плакатов, пропагандирующих туризм, этот процент применяется только к коммерческой рекламе, не имеющей отношения к делу.
Разные товары общего назначения
Вы также можете потребовать освобождения от импортной пошлины и НДС для различных документов и связанных с ними предметов, которые носят более общий характер.
Этот товар должен:
быть товаром, описанным в коде товара, показанном ниже
использоваться для целей, описанных в этом уведомлении, и соответствовать условиям, изложенным в
соблюдать определенные ограничения на импорт, включая ограничения по весу или объему
Описание
Код товара
(1) Документы, бесплатно отправляемые в государственные службы Великобритании (2) Публикации иностранных правительств и официальных международных органов, предназначенные для бесплатного распространения (3) Бюллетени для выборов, организованные органами, созданными в зарубежные страны (4) Образцы подписей и печатные проспекты относительно подписей, отправляемых в рамках обычного обмена информацией между государственными службами или банковскими учреждениями (5) Официальная печатная продукция, отправляемая в центральные банки Великобритании (6) Отчеты, заявления, ноты, проспекты, формы заявок и другие документы (включая действующие выпущенные сертификаты акций и облигаций), составленные компаниями, зарегистрированными за пределами Великобритании, и отправленные держателям или подписчикам ценных бумаг, выпущенных такими компаниями
Примечание: сертификаты акций и облигаций, которые требуют регистрации налоговый агент до того, как он станет действительным, не имеет права на освобождение
Главы 48 и 49 и любые другие соответствующие товарные позиции
(7) Файлы, архивы, печатные формы и другие документы для использования на международных встречах, конференциях или конгрессах, а также отчеты о таких собраниях (8) Планы, технические чертежи, эскизы, описания и другие подобные документы, импортированные с с целью получения или выполнения заказов за пределами Великобритании или для участия в конкурсе, проводимом на таможенной территории Великобритании (9) Документы, которые будут использоваться в экзаменах, проводимых на таможенной территории Великобритании учреждениями, учрежденными за пределами Великобритании
Главы 48 и 49 и любые другие соответствующие товарные позиции
(10) Печатные формы для использования в качестве официальных документов при международном перемещении транспортных средств или товаров в рамках международных конвенций
(11) Печатные формы, этикетки, билеты и аналогичные документы, отправляемые транспортными предприятиями или предприятиями гостиничного бизнеса в зарубежной стране туристическим агентствам, созданным на таможенной территории Великобритании (туристические агентства включают авиалинии, железнодорожные предприятия , паромные операторы и аналогичные организации)
(12) Печатные формы и билеты, коносаменты, накладные и другие использованные коммерческие или служебные документы
(13) Официальные печатные формы из третьих стран или международных органов и печатная продукция, соответствующая международным стандартам, отправляемая для распространения ассоциациями третьих стран соответствующим ассоциациям, расположенным на таможенной территории Сообщества
(14) Налоги и аналогичные марки, подтверждающие оплату сборов за пределами Великобритании
49.07 и любые другие соответствующие товарные позиции
(15) Фотографии, слайды и подставки для стереотипов для фотографий, с субтитрами или без подписей, отправленные в агентства печати или издатели газет или журналов
37,05, 49,11 или 84,42 50 и любые другие соответствующие товарные позиции
(16) Записанные носители (например, микрофильмы, перфокарты, перфоленты и звукозаписи), используемые для передачи информации, бесплатно отправляемой адресату, поскольку беспошлинный доступ не вызывает злоупотребление или серьезное искажение конкуренции
Все соответствующие товарные позиции
(17) Объекты, подлежащие представлению в качестве доказательств или для аналогичных целей в суды или другие официальные органы Великобритании
Все заголовки
(18) Печатные рекламные материалы, включая каталоги, прайс-листы, инструкции по использованию или брошюры, касающиеся товаров для продажи или аренды, транспорта, коммерческого страхования или банковских услуг, предлагаемых лицом, ведущим бизнес за пределами Великобритании, на имя четко отображаемый на нем, при условии, что каждый документ или, в случае отправки, состоящей из нескольких копий одного и того же документа, общий вес брутто не превышает 1 килограмма.Массовые отправления от одного отправителя одному получателю не подлежат компенсации
49,11
(19) Товары для рекламных целей (кроме указанных в пункте (18) выше), не имеющие внутренней коммерческой ценности, бесплатно отправляемые поставщиками своим клиентам, которые, помимо их рекламной функции, не могут быть использованы в противном случае
Все соответствующие товарные позиции
(20) Товарный знак, образцы или образцы и подтверждающие их документы, а также заявки на выдачу патентов на изобретения и т.п., которые должны быть представлены в компетентные органы для рассмотрения вопросов защиты авторских прав или защиты промышленных или коммерческих патентных прав.
Все соответствующие товарные позиции
(21) Документы, отправленные для бесплатного распространения с целью поощрения людей к посещению зарубежных стран, в частности, для посещения культурных, туристических, спортивных, религиозных, торговых или профессиональных встреч или мероприятий, включая списки иностранных отелей и ежегодники, издаваемые официальными туристическими агентствами или от их имени, и расписания зарубежных транспортных услуг при условии, что документы не содержат более 25% частной рекламы (за исключением рекламы общественных фирм)
49.10 и 49.11 и любые другие соответствующие товарные позиции
Перед тем, как потребовать
Вам следует проверить, строго ли контролируются ваши товары и нужна ли вам импортная лицензия. Когда вы получите товарный код для своих товаров по тарифу, он сообщит вам, нужна ли вам лицензия.
Как получить
Вы должны потребовать возмещения во время импорта. Если вы этого не сделаете, мы можем принять просроченную претензию и возместить соответствующие расходы на определенных условиях.
Товары, ввезенные в багаже
При ввозе товаров в багаже необходимо:
заявите их нам на таможне Red Channel или Red Point
предоставить доказательства, подтверждающие выполнение вами условий оказания помощи.
удовлетворение претензий путем заполнения импортной декларации
Если вы не можете предоставить необходимую подтверждающую документацию или доказательства, подтверждающие, что вы имеете право на это возмещение, вы должны предоставить нам финансовое обеспечение (обычно денежный депозит или банковскую гарантию) для покрытия пошлины и / или НДС, прежде чем мы выпустим товары.Мы снимем залог позже, если убедимся, что вы имеете право на получение помощи.
Товары ввезены в качестве груза
Если ваши товары ввозятся в качестве груза или в багаже, вы должны требовать возмещения, заполнив импортную декларацию.
Введите один из следующих кодов таможенных процедур в графе 37:
CPC 40 00 C11 — для товаров образовательного, научного или культурного характера, импортируемых из-за пределов Великобритании для освобождения от импортной пошлины
CPC 40 00 C31 — для товаров общего характера, импортируемых из-за пределов Великобритании, для освобождения от импортной пошлины и НДС
40 00 C34 — для импорта товарных знаков, образцов или дизайнов и подтверждающих документов, а также заявок на патенты на изобретения, поданных в официальные органы, компетентные заниматься защитой авторских прав или промышленных или коммерческих патентных прав
40 00 C35 — для ввоза туристической информационной литературы для бесплатного распространения с целью поощрения людей к посещению зарубежных стран, при условии, что документ не содержит более 25% частной рекламы (за исключением рекламы британских фирм)
40 00 C36 — для импорта различных документов и статей, как описано в томе 1, часть 10.3.5 Тарифа, не покрывается никакими другими CPC
49 00 C31 — для ввоза печатных рекламных материалов (каталогов, прайс-листов, брошюр) с Нормандских островов
49 00 C34 — для импорта товарных знаков, образцов или образцов и подтверждающих документов, а также заявок на патенты на изобретения с Нормандских островов, поданных в официальные органы, компетентные заниматься защитой авторских прав или прав на промышленные или коммерческие патенты
49 00 C35 — для ввоза туристической информационной литературы для бесплатного распространения с целью поощрения людей к посещению зарубежных стран с Нормандских островов, при условии, что документ не содержит более 25% частной рекламы (за исключением рекламы для Великобритании. фирмы)
49 00 C36 — для импорта различных документов и статей с Нормандских островов, как описано в части 10 тома 1.3.5 Тарифа, не покрывается никакими другими CPC
Товары ввезены почтой
Попросите отправителя четко указать посылку и прилагаемую к ней таможенную декларацию (CN22 или CN23).
Для товаров образовательного, научного или культурного характера, подпадающих под освобождение от уплаты импортной пошлины, напишите:
«Разные документы / предметы — истребуемое освобождение от уплаты пошлины»
Для товаров общего назначения, имеющих право на освобождение от уплаты НДС и импортной пошлины, напишите:
«Прочие документы / предметы — заявлено о возмещении пошлины и НДС»
Мы можем отправить вам упрощенную форму для заполнения и возврата.
Если посылка не имеет четкой маркировки, она не может быть доставлена до тех пор, пока вы не оплатите пошлину и НДС. Вы должны оплатить сборы, а затем написать на таможне на почтовом депо, где взимались сборы. Расскажите, что произошло, и приложите документ с обвинениями. Если мы убедимся, что товары соответствуют требованиям, мы возместим пошлину и, если необходимо, НДС.
Вы можете использовать кого-то другого для заполнения записей от вашего имени, но вы должны убедиться, что даете четкие письменные инструкции для товаров, на которые вы претендуете.
После того, как вы заявите
Если вы утилизируете свой товар
Вы должны сообщить в Национальное подразделение по оказанию импортной помощи ( NIRU ), если вы избавляетесь от своих товаров или передаете их другому лицу.
Записи, которые необходимо вести
По нашему запросу вам потребуется предоставить следующую информацию:
подробные сведения об импортной декларации, вводящей ваши товары для этой таможенной процедуры, особенно стоимость этих товаров
свидетельство о праве собственности
когда, где и как используются товары
как идентифицируются товары — например, марки производителя, серийные номера, технические описания или иллюстрации
свидетельство выбытия
Вам необходимо вести дополнительный учет, если:
вы передаете товары другому утвержденному субъекту — сохраните всю официальную документацию, детализирующую передачу между вами и другим субъектом.
вы реэкспортируете товар — сохраните детали декларации NES или экспортную документацию, содержащую информацию о дате экспорта
ваши товары украдены, утеряны или уничтожены — храните отчеты полиции или страховых случаев или официальную документацию с указанием даты происшествия или потери
Вы должны хранить все записи как минимум 4 года.
При нарушении условий рельефа
Если вы больше не соответствуете условиям льготы, вы должны немедленно уведомить NIRU .
Предоставьте полную информацию о ввозе и о том, почему, по вашему мнению, были нарушены условия льготы.
Если вы хотите подать апелляцию
Подайте апелляцию, если вы не согласны с решением HMRC.
Налог на добавленную стоимость (НДС) на гонорары фрилансеров — Служба поддержки клиентов Upwork
НДС в размере
применяется к плате за услуги Upwork, премиальному членству в Upwork и покупкам Connects.Налог собирается Upwork и перечисляется соответствующему правительству ЕС. Мы перечисляем собранный нами НДС вашему правительству через механизм «единого окна» (MOSS), учрежденный ЕС.
НДС
указан в ваших счетах, которые можно найти в разделе Отчеты ›История транзакций.
Расчет НДС
Ставка налога зависит от страны, что означает, что ваш процент налога будет зависеть от ставки НДС в вашей стране. Здесь вы можете найти текущую ставку НДС для вашей страны.
Upwork не требует, чтобы у кого-либо был номер НДС, но мы будем взимать НДС с вышеперечисленных услуг с фрилансеров и агентств в ЕС, если они не предоставят действительный номер НДС. Если у вас нет номера плательщика НДС, вот пример того, как он будет выглядеть:
(Пример выше предполагает 20% плату за обслуживание и ставку НДС 20%, но ставки НДС различаются в зависимости от страны.)
Ввод номера плательщика НДС
Мы не будем взимать НДС , если у фрилансера или агентства есть действующий номер плательщика НДС.
Фрилансеры и агентства с номерами плательщиков НДС могут добавить их, перейдя в Настройки ›Налоговая информация. Идентификатор налогоплательщика, который вы отправляете, должен иметь формат, предоставленный VIES, иначе Upwork не сможет его подтвердить.
Если вы подаете налоговый идентификатор для бизнеса, вы должны предоставить документ, подтверждающий, что вы владеете бизнесом для утверждения НДС. Вы можете проверить, будет ли подтвержден ваш номер плательщика НДС, на веб-сайте VIES здесь. После того, как вы отправите свой номер плательщика НДС в Upwork, мы проверим его, а затем отправим вам электронное письмо, чтобы подтвердить, был ли он подтвержден или отклонен.Обычно Upwork проверяет ваш номер плательщика НДС до 3 рабочих дней.
После проверки мы напечатаем в ваших счетах «НДС, списанный обратно». Обратите внимание, что вам может потребоваться самостоятельно рассчитать НДС в своей декларации по НДС в соответствии с механизмом обратного начисления, применимым к услугам, предоставляемым в электронном виде (ESS).
Если ваш номер плательщика НДС был отклонен, вероятная причина:
Страна, в которой указан номер плательщика НДС, не соответствует стране в вашем профиле Upwork
Имя в идентификаторе плательщика НДС не совпадает с именем в вашем профиле Upwork
Срок действия вашего идентификатора плательщика НДС истек
Ваша информация об НДС была введена в неверном формате (проверьте правильный формат для вашей страны)
Примечание: Upwork будет взимать НДС со всех счетов, созданных до и во время процесса проверки.Мы не можем вернуть вам эту сумму. Вы можете потребовать возмещения таких сумм в своей декларации по НДС; обратитесь к своему налоговому консультанту.
Изменение номера плательщика НДС или местонахождения
Если в будущем вам потребуется изменить свой номер плательщика НДС, обратитесь в службу поддержки Upwork.
Если вы измените местоположение, указанное в вашей учетной записи, зайдя в Настройки ›Моя информация› Контактная информация, мы автоматически скорректируем ваш НДС в соответствии со ставками в вашей новой стране проживания или перестанем взимать НДС, если вы покинули ЕС.
Часто задаваемые вопросы
Взимает ли Upwork с клиентов НДС?
Upwork в настоящее время не взимает НДС с клиентских платежей фрилансерам или с комиссий за обработку платежей.
Клиенты из ЕС могут ввести номер плательщика НДС в разделе «Настройки» ›Моя информация, чтобы в счетах-фактурах от фрилансера можно было пометить« НДС, списанный обратно », когда это необходимо. Это будет отображаться в ваших счетах, если фрилансер или агентство находится в другой стране.
Почему взимается НДС?
Upwork — это онлайн-платформа, объединяющая фрилансеров и клиентов.Поскольку наше членство и активность в ЕС продолжают расти, начисление НДС является важным элементом для продолжения предоставления услуг там.
На основании Директивы 2006/112 / EC («Директива ЕС по НДС») услуги Upwork квалифицируются как услуги, предоставляемые в электронном виде (ESS), которые облагаются НДС по месту нахождения клиента (т.е. фрилансера).
Таким образом, услуги, предоставляемые Upwork фрилансерам, которые проживают, имеют постоянный адрес или зарегистрированы в Европейском Союзе, облагаются НДС там.Upwork несет ответственность за взимание, сбор и перевод этого НДС при предоставлении этих услуг нашим клиентам из ЕС.
Примечание: Когда фрилансер отправляет действительный номер НДС в формате ЕС в Upwork, мы не взимаем НДС. В этих случаях НДС может все еще подлежать уплате, но он будет «списан» фрилансеру. Другими словами, эти фрилансеры должны будут лично сообщать о любом НДС, подлежащем уплате за услуги Upwork.
Я освобожден от уплаты НДС в моей стране.Ты все еще собираешься обвинять меня?
Пример: Я зарегистрированный автомобильный предприниматель во Франции. У меня есть номер, но я не плачу НДС.
Нет, Upwork не будет взимать НДС с лиц, предоставивших действительный номер плательщика НДС. Когда Upwork проходит аудит вашего правительства, мы должны подтвердить, что мы взимали НДС со всех лиц, не облагаемых НДС, и что мы взимали НДС со всех налогооблагаемых лиц.
Единственный способ подтвердить и доказать вашему правительству, что вы являетесь налогоплательщиком, — это собрать и подтвердить ваш номер плательщика НДС.В противном случае ваше правительство будет считать, что Upwork предоставляет услуги лицу, не облагаемому налогом, и потребует от нас начисления НДС, независимо от вашего личного статуса автопредпринимателя.
Что делать, если я временно проживаю в ЕС?
Upwork требуется для начисления НДС на услуги, предоставляемые нашей компанией всем, кто проживает в ЕС. Это применимо, даже если вы цифровой кочевник и только временно проживаете в стране ЕС.
Каждый раз, когда вы официально регистрируетесь в стране ЕС, вы должны обновлять свою адресную информацию на Upwork.Например, если вы переезжаете в Южную Африку и проводите в ней 6 месяцев, вы можете полностью подпадать под действие законов Южной Африки. Если вы затем переедете в Германию и официально зарегистрированы там, вам следует обновить свой адрес Upwork, и НДС будет начислен соответствующим образом или обратно, если вы предоставите действительный номер плательщика НДС.
Налог с продаж и НДС — Руководство пользователя CiviCRM
Если ваша организация взимает налог с продаж или НДС, вы должны включить
эта особенность.
Чтобы включить налог с продаж / НДС, перейдите на Администрирование> CiviContribute> Настройки компонента CiviContribute и проверьте
поле «Включить налоги и выставление счетов».
На этом экране вы также можете установить определенные настройки для налога с продаж / НДС:
Tax Term — это текстовое поле, по которому ваша организация хочет позвонить.
соответствующий налог с продаж или НДС
Настройки отображения налогов — как ваша организация хочет отображать
налог / НДС
Без поломки, всего
Указана цена включительно — 120 долларов США (включая налог 20 долларов США)
Показана по эксклюзивной цене — 100 долларов США + налог 20 долларов США
Добавление финансового счета для налога с продаж / НДС
После включения налога с продаж / НДС вам необходимо создать один или несколько финансовых
Счета для налогов / НДС в Администрирование> CiviContribute> Финансы
Счет .Прокрутите страницу вниз и нажмите Добавить.
Финансовый счет .
Чтобы создать налоговый счет, убедитесь, что Тип финансового счета равен
установлен на Ответственность . Выберите Включено и Is Tax и укажите Ставка налога . Обратите внимание, если вы используете Quick Books , код типа учетной записи должен быть установлен на SALESTAX . Бухгалтерский код должен основываться на
специальные коды бухгалтерского учета организации.
После создания финансового счета вы можете назначить его
конкретный финансовый тип, перейдя в Adminster> CiviContribute>
Финансовые типы . Найдите финансовый тип, к которому применяется этот налог с продаж,
и нажмите Аккаунты . Щелкните Присвоить счет .
Для отношения финансового счета выберите Налоговый счет и в поле Финансовый счет выберите свой налоговый счет.Щелкните Сохранить.
После добавления финансового счета налога с продаж вы увидите его.
перечислен с другими Финансовыми счетами для этой конкретной Финансовой
Тип.
Для более сложной конфигурации с пакетами программного обеспечения для бухгалтерского учета, такими как
QuickBooks вам следует привлечь бухгалтера вашей организации или
бухгалтер по настройке ваших финансовых типов и финансовых счетов.
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.
Запомните!
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют
«x» и «y»),
которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
x + 5y = 7
3x − 2y = 4
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или «железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
x + 5y = 7
3x − 2y = 4
Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».
Важно!
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так,
чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.
При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.
x = 7 − 5y
3x − 2y = 4
Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение «x = 7 − 5y» из первого уравнения.
x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4
Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).
Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.
x = 7 − 5y
y = 1
x = 7 − 5 · 1
y = 1
x = 2
y = 1
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
x + 5y = 7
3x − 2y = 4
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
Запомните!
При сложения уравнений системы
левая часть первого уравнения полностью складывается
с левой частью второго уравнения,
а правая часть полностью складывается с
правой частью.
x + 5y = 7
(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>
x
+ 5y + 3x
− 2y = 11
3x − 2y = 4
4x + 3y = 11
При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
x + 5y = 7
3x − 2y = 4
Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».
Для этого умножим первое уравнение на «−3».
Важно!
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
x + 5y = 7 | ·(−3)
3x − 2y = 4
x ·(−3)
+ 5y · (−3) = 7 · (−3)
3x − 2y = 4
−3x −15y = −21
3x − 2y = 4
Теперь сложим уравнения.
−3x −15y = −21
(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>
−3x −15y +
3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4
−17y = −17 |:(−17)
y = 1
Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».
x = 7 − 5y
y = 1
x = 7 − 5 · 1
y = 1
x = 2
y = 1
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
x − 3y = 17
x − 2y = −13
Выразим из первого уравнения «x».
x = 17 + 3y
x − 2y = −13
Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.
x = 17 + 3y
(17 + 3y) − 2y = −13 (*)
(*) (17 + 3y) − 2y = −13 17 + 3y − 2y = −13 17 + y = −13 y = −13 − 17 y = −30
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».
x = 17 + 3y
y = −30
x = 17 + 3 · (−30)
y = −30
x = 17 −90
y = −30
x = −73
y = −30
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
4x − 2(x + y) = 4 − 3y
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
3x − 3y + 5x = 6x − 4
4x − 2x − 2y = 4 − 3y
8x − 3y = 6x − 4
2x −2y = 4 − 3y
8x − 3y − 6x = −4
2x −2y + 3y = 4
2x − 3y = −4
2x + y = 4
Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».
2x − 3y = −4 |·(−1)
2x + y = 4
2x · (−1) −
3y · (−1) = −4 · (−1)
2x + y = 4
−2x + 3y = 4
2x + y = 4
Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.
−2x + 3y = 4
(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>
−2x + 3y +
2x + y = 4 + 4
2x + y = 4
4y = 8 | :4
y = 2
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».
−2x + 3y = 4
y = 2
−2x + 3 · 2 = 4
y = 2
−2x + 6 = 4
y = 2
−2x = −2 | :(−2)
y = 2
x = 1
y = 2
Ответ: x = 1; y = 2
Решение системы линейных уравнений методом подстановки: алгоритм, правило, примеры
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x = 21 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 3 \\ y = 1 \end{array} \right.} $$
Ответ: (3;1)
Решение систем уравнений с примерами решения
Содержание:
Графический метод решения систем уравнений
Начнём с графического метода
Решение систем уравнений методом подстановки
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Графический метод решения систем уравнений
Вспоминаем то, что знаем
Что такое график уравнения с двумя неизвестными?
Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Решите графическим методом систему линейных уравнений:
Открываем новые знания
Решите графическим методом систему уравнений:
Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту
В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.
Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением
Начнём с графического метода
Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.
Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.
Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Общее решение уравнения
Найти фундаментальную систему решений
Исследовать ряд на абсолютную сходимость
Исследовать ряд на условную сходимость
Примеры с решением
Пример 1:
Решим систему уравнений:
Построим графики уравнений
Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).
Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.
Ответ: (2; 5) и (-1; 2).
Пример 2:
Выясним количество решений системы уравнений:
Построим графики уравнений
Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.
Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.
Ответ: Два решения.
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспоминаем то, что знаем
Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Решите систему линейных уравнений методом подстановки:
Открываем новые знания
Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?
Решите систему уравнений методом подстановки:
Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?
Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?
Ранее вы решали системы уравнений первой степени.
Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.
Пример 3:
Решим систему:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим х из уравнения
Подставим найденное выражение в первое уравнение:
Решим полученное уравнение:
Найдём х:
Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.
Ответ: (5; 1), (-2;-2,5).
Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.
Пример 4:
Решим систему уравнений:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим у из линейного уравнения:
Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:
После преобразований получим:
Найдём у:
Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).
Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».
Пример 5:
Решим систему:
Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:
Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:
Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:
Корни этого уравнения:
Найдём х:
.
Ответ: (2; 1), (-1;-2).
Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.
Пример 6:
Решим систему:
Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:
.
Корни этого уравнения:
Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:
1)
2) , получим уравнение корней нет.
Ответ: (0; 1), (1; 1).
Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.
Пример 7:
Решим систему уравнений:
Обозначим
Второе уравнение системы примет вид:
Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:
Таким образом:
Осталось решить методом подстановки линейные системы:
Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:
1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;
2) решают полученную систему;
3) отвечают на вопрос задачи.
Пример 8:
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
Получим систему:
Решим систему. Выразим из первого уравнения у:
Подставим во второе уравнение:
Корни уравнения:
Найдём
С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.
Пример 9:
Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.
Введём обозначения.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.
Получим систему:
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
Дальше будем решать методом подстановки:
Подставим в первое уравнение выражение для у:
Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).
Найдём у из уравнения:
Получим ответ: 16 и 7.
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.
Например, если в системе уравнений
переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:
Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.
Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:
Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:
Решение СЛАУ методами подстановки и сложения
Понятие системы линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений методом подстановки
Решение систем линейных уравнений методом сложения
Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
Например, уравнение
—
линейное, а уравнения
и
не являются линейными.
В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:
. (1)
Числа
называются коэффициентами при переменных, а — свободными членами.
Совокупность чисел
называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.
Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).
Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.
Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.
Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:
Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:
Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему
Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:
Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда
Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.
Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:
Из третьего уравнения системы выразим :
.
Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:
.
Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :
Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим
.
Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:
откуда
.
Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:
Итак, решение данной системы линейных уравнений:
.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:
Из первого уравнения системы выразим :
.
Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:
Из третьего уравнения выразим :
Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:
.
Произведём преобразования и найдём :
Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:
Итак, решение данной системы линейных уравнений:
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:
Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:
, или , .
Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему
Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:
Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения
Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:
Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили
Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:
Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:
, .
Приходим к системе линейных уравнений:
или
Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .
Следовательно, имеем систему уравнений
или
Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим
.
Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)
Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек
Начало темы «Линейная алгебра»
Определители
Матрицы
Поделиться с друзьями
Решения систем линейных уравнений. Метод подстановки и метод сложения. 7 класс
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Решения систем линейных уравнений. Метод подстановки и метод сложения 7 класс. Основными методами решения систем уравнений считают: Метод подстановки Метод алгебраического сложения Графический метод решения систем уравнений Повторим решение систем уравнений методом подстановки. Этапы решения Пример 1. С помощью какого-либо из уравнений выразить одно неизвестное через другое. 2. Подставить найденное выражение в другое уравнение системы: решить получившееся уравнение с одним неизвестным. 2 x y 4, x 3 y 9; Из первого уравнения y = 2x − 4 x + 3(2x − 4) = 9; x + 6x −12 = 9; 7x = 21; x = 3. Далее : Этапы решения 3. Подставить найденное значение одного неизвестного в выражение для другого неизвестного. 4. Записать ответ. Пример x = 3, тогда y = 2x − 4 = 2∙3−4 = 2. Ответ: (3; 2) Решить систему уравнений способом подстановки 3x 2 y 27, x 5 y 35. Решение. 1) Из второго уравнения x = 35 − 5y подставим в первое уравнение; 2) Решим его ,при этом второе уравнение пока переписываем. 3) Теперь у подставим во второе уравнение . Ответ: (5; 6) Решить систему способом подстановки Если же нужно решить систему у которой Коэффициенты, например при х одинаковые. 2 x 3 y 10, 2 x 5 y 6; 1) Из первого уравнения 2) 2x = 10 + 3y подставим во второе уравнение: 10 + 3y + 5y = −6; 8y = −16; y = −2. 3) y = −2, 2x = 10 + 3∙(−2) = = 4; x = 2. Ответ: (2; −2) Такие системы можно решить другим способом –способом сложения. Метод алгебраического сложения Пример №1 Решить систему уравнений 7 x 2 y 27, 5 x 2 y 33. Предположим, что x и y − это такие числа, при которых оба равенства этой системы верны, т. е. (x ; y) − решение данной системы. Сложим эти равенства. Тогда снова получим верное равенство, так как к равным числам прибавляются равные числа: 7 x 2 y 27, 5 x 2 y 33. 12х = 60, откуда х = 5. Подставим х = 5 в одно из уравнений данной системы, например в первое: 7∙5− 2y = 27, 35 − 2y = 27, − 2y = − 8, y= 4. Итак, если данная система имеет решение, то этим решением может быть только пара чисел: x = 5, y = 4. Ответ: (5; 4) 5 x 3 y 29, Решить систему уравнений 5 x 4 y 8. Пример №2 Видим что коэффициенты при х одинаковые . Можно умножить одно из них на (-1) , а можно вычесть из первого уравнения второе: 5 x 3 y 29, 5 x 4 y 8. 7 y 21, откуда y = 3. Подставим y = 3 в первое уравнение системы: 5x + 3∙3 = 29, 5х +9 = 29, Ответ: (4; 3) 5х = 20, х = 4. Рассмотренный способ решения систем уравнений называется способом алгебраического сложения. Для исключения одного из неизвестных нужно выполнить сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы. Способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае, когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком. Метод алгебраического сложения Этапы решения 1. Сложить почленно уравнения системы, предварительно умножив каждое из них на подходящее число так, чтобы после этого получилось одно уравнение с одним неизвестным. Пример 4 x 5 y 19 4 5 7 x 4 y 5 16 x 20 y 76 35x 20 y 25 51x = 51 2. Найти корень этого уравнения, то есть найти значение одного из неизвестных системы. x=1 Метод алгебраического сложения Этапы решения 3. Подставить найденное значение одного из неизвестных в любое из уравнений системы: в результате снова получится уравнение с одним неизвестным. 4. Решить это уравнение, то есть найти значение второго неизвестного. 5. Записать ответ Пример 4 x 5 y 19 7 x 4 y 5 Подстановка в первое уравнение даёт: 4∙1 + 5y = 19 5y = 15, y = 3 Ответ: ( 1; 3)
13. Пример №3. Если коэффициенты разные ,то можно их уравнять умножением всего уравнения на число .Первое умножаем на 3 ,второе на
(-2) ,чтобы получить противоположные коэффициенты .
14. Задание на дом.
English
Русский
Правила
Решить систему линейных уравнений методом подстановки — онлайн калькулятор
Справочник
Онлайн-калькуляторы
Тесты с ответами
Метод подстановки в системе уравнений заключается в выражении одной переменной через другую. Результат подставляется в уравнение, которое теперь содержит одну переменную. После ее вычисления переходим к поиску второй неизвестной.
Решить систему уравнений методом подстановки онлайн – выбор студентов и учащихся школ. Заложенные в сервисе алгоритмы вычислений позволяют избежать ошибок, опечаток, неточностей, которые часто происходят при выполнении заданий самостоятельно.
Настройте количество неизвестных в уравнении, кликая «-», «+».
Введите данные в предназначенные для этого окна, после этого кликните кнопку «Рассчитать».
Вам станет доступно пошаговое решение и ответ.
Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
Уравнение и его корни: определения, примеры
Теорема Виета, формулы Виета
Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
Квадратные неравенства, примеры, решения
Решение квадратных неравенств методом интервалов
Ответ:
Решение
Ответ:
list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>
Похожие калькуляторы:
Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решение систем линейных уравнений матричным методом
Решение биквадратных уравнений
Решите систему уравнений методом подстановки
С помощью формулы, заложенной в калькулятор, вы решите систему методом подстановки быстро, бесплатно и без погрешностей. Результат выдается в виде поэтапных действий, а не только ответа. Поэтому вы легко сможете проверить себя и найти, где допустили ошибку. Наш сервис используют:
Школьники. Не всегда новая тема, пройденная на уроке, хорошо усваивается. Каждый ученик может свериться с собственным решением.
Родители. Чтобы удостовериться в достаточном уровне подготовки ребенка к занятиям и самому не углубляться в математические темы, достаточно сверить действия с полученными в сервисе.
Студенты. В сложных заданиях попадаются промежуточные вычисления, на которых можно сэкономить время, получив готовый ответ.
Преподаватели. При подготовке к урокам, семинарам, лекциям необходимо большое количество примеров. Также часто требуется быстрая проверка самостоятельных работ учащихся. В этом случае удобно не пересчитывать каждое задание, а упростить процесс и сделать его автоматизированным.
Не знаете, как решать систему уравнений методом подстановки? Узнайте ответ на задание с помощью кнопки «Рассчитать».
Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!
Разделы калькуляторов
Решение матриц
Точка, прямая, плоскость
Конвертеры
Объем фигур
Калькуляторы площади фигур
Решение уравнений
Операции над векторами
Периметр фигур
Поможем с любой работой
Дипломные работы
Курсовые работы
Рефераты
Контрольные работы
Решение задач
Отчеты по практике
Все наши услуги
Узнай бесплатно стоимость работы
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Метод замены | Решение системы уравнений подстановкой
Одним из методов алгебраического решения системы линейных уравнений с двумя переменными является метод подстановки. В этом методе мы находим значение любой из переменных, изолируя ее с одной стороны и беря все остальные члены с другой стороны уравнения. Затем подставляем это значение во второе уравнение. Он включает в себя простые шаги, чтобы найти значения переменных системы линейных уравнений методом подстановки. Давайте узнаем об этом подробно в этой статье.
1.
Что такое метод замещения?
2.
Решение систем уравнений методом подстановки
3.
Разница между методом исключения и замены
4.
Часто задаваемые вопросы о методе замены
Что такое метод замены?
Метод подстановки — это простой способ алгебраического решения системы линейных уравнений и поиска решений переменных. Как следует из названия, он включает в себя нахождение значения переменной x через переменную y из первого уравнения, а затем подстановку или замену значения переменной x во втором уравнении. Таким образом, мы можем решить и найти значение переменной y. И, наконец, мы можем подставить значение y в любое из данных уравнений, чтобы найти x. Этот процесс также можно поменять местами, когда мы сначала находим x, а затем находим y.
Определение метода подстановки
Метод подстановки — это один из алгебраических методов решения одновременных линейных уравнений. Он включает в себя подстановку значения любой из переменных из одного уравнения в другое уравнение. Двумя другими алгебраическими методами решения линейных уравнений являются метод исключения и метод перекрестного умножения. Помимо алгебраического метода, мы также можем решить систему линейных уравнений графически.
Рассмотрим пример решения двух уравнений x-2y=8 и x+y=5 методом подстановки.
Решение систем уравнений методом подстановки
Шаги по применению или использованию метода подстановки для решения системы уравнений приведены ниже:
Шаг 1: Упростите данное уравнение, при необходимости расширив скобки.
Шаг 2: Решите любое уравнение для любой из переменных. Вы можете использовать любую переменную, исходя из простоты расчета.
Шаг 3: Подставьте полученное значение x или y в другое уравнение.
Шаг 4: Теперь упростим новое уравнение, полученное с помощью арифметических операций, и решим уравнение для одной переменной.
Шаг 5: Теперь подставьте значение переменной из Шаг 4 в любое из приведенных уравнений, чтобы найти другую переменную.
Вот пример решения системы уравнений методом подстановки: 2x+3(y+5)=0 и x+4y+2=0.
Решение:
Шаг 1: Итак, здесь мы можем упростить первое уравнение, чтобы получить 2x + 3y + 15 = 0. Теперь у нас есть два уравнения:
2x + 3y + 15 = 0 _____ ( 1)
x + 4y + 2 = 0 ______ (2)
Шаг 2: Решаем уравнение (2) относительно x. Итак, получаем x = -4y — 2.
Шаг 3: Подставляем полученное значение x в уравнение (1). т. е. подставляя x = -4y-2 в уравнение 2x + 3y + 15 = 0, получаем 2(-4y-2) + 3y + 15 = 0,
Шаг 4: Теперь упростим новое уравнение. Получаем -8y-4+3y+15=0
-5y + 11 = 0
-5y = -11
y = 11/5
Шаг 5: Теперь подставим значение y в любое из приведенных уравнений. Подставим значение y в уравнение (2).
x + 4y + 2 = 0
x + 4 × (11/5) + 2 = 0
x + 44/5 + 2 = 0
x + 54/5 = 0
x = -54 /5
Следовательно, решив данную систему уравнений методом подстановки, получим x = -54/5 и y= 11/5.
Разница между методом исключения и замены
И метод исключения, и метод подстановки являются способами алгебраического решения линейных уравнений. Когда метод подстановки становится немного трудным для применения в уравнениях, содержащих большие числа или дроби, мы можем использовать метод исключения, чтобы облегчить наши вычисления. Давайте поймем разницу между этими двумя методами с помощью приведенной ниже таблицы:
Метод замены
Метод устранения
Здесь мы находим значение любой из переменных и подставляем его значение в другое уравнение.
В этом методе мы умножаем или делим одно или оба уравнения на число, чтобы сделать коэффициенты переменной x или переменной y одинаковыми в обоих уравнениях. Затем мы добавляем или вычитаем уравнения, чтобы исключить переменную с тем же коэффициентом. Таким образом, мы находим значение одной переменной, которое можно подставить в любое из уравнений, чтобы найти и другую переменную.
Метод подстановки лучше использовать, когда уравнения либо заданы в виде, либо могут быть приведены в виде x = ay + b и y = mx + n.
Лучше использовать метод исключения, когда коэффициент любого из слагаемых одинаков. Например, Ax+By+C=0 и Px+By+R=0.
Важные примечания к методу подстановки:
Чтобы начать с метода подстановки, сначала выберите уравнение с коэффициентом 1 хотя бы для одной из переменных и решите для той же переменной (с коэффициентом 1). Это упрощает процесс.
Перед тем, как начать использовать метод подстановки, объедините все одинаковые термины (если они есть).
После решения для одной переменной мы можем выбрать любое из заданных уравнений или любое уравнение во всем процессе, чтобы найти другую переменную.
Если при решении методом подстановки мы получаем какое-либо верное утверждение, например, 3 = 3, 0 = 0 и т. д., то это означает, что система имеет бесконечно много решений.
Если мы получим какое-либо ложное утверждение типа 3 = 2, 0 = 1 и т. д. при решении методом подстановки, то это означает, что система не имеет решения.
☛ Похожие темы:
Ознакомьтесь с этими статьями, посвященными методу замены.
Калькулятор метода замены
Калькулятор метода замены
Решатель системы уравнений
Примеры методов замены
Пример 1: Шон получил два уравнения 5m−2n=17 и 3m+n=8. Можете ли вы помочь ему найти решение этих уравнений методом подстановки?
Решение: Даны два уравнения:
5m−2n=17 ____ (1)
3m+n=8 _____ (2)
Решение данных двух уравнений можно найти, выполнив следующие действия. :
Из уравнения 2 мы можем найти значение n через m, где n = 8 — 3m
Подставляем значение n в уравнение 1. Получаем, 5m — 2(8-3m)=17
5м — 2(8-3м)=17
5м — 16 + 6м =17
11м = 17 + 16
11m=33
m = 3
Подставляем значение m в уравнение 2, получаем 3×3+n=8
9+n=8
n=8-9
n=-1
Ответ: Следовательно, методом подстановки мы выяснили, что m=3 и n=-1.
Пример 2: У Джеки есть два числа, сумма которых равна 20, а разница между ними равна 10. Найдите числа, используя метод подстановки решения линейных уравнений.
Решение: Пусть два числа будут x и y такими, что x>y. Дано, что x+y=20 ___ (1) и x−y=10 ___ (2). Из уравнения 1 получаем x = 20-y. Подставьте это значение в уравнение 2, чтобы найти значение y.
x−y=10
20-y-y=10
20-2y=10
20-10=2y
10=2y
y=10/2 = 5 9000 y в уравнении 1, мы получаем, x+5=20, что дает нам x=15.
Ответ: Следовательно, эти два числа — 15 и 5.
Пример 3: Решить данную систему линейных уравнений методом подстановки:
— 2x — 5 + 3x + y = 0 ___ (1)
3x + y = 11 ___ (2)
Решение: Как мы видим, первое уравнение можно еще больше упростить, комбинируя подобные члены. После упрощения получаем x+y-5=0. Из этого уравнения найдем значение x через y, то есть x = 5-y. Теперь подставляем это значение в уравнение 2, получаем 3(5-y)+y=11.
15-3y+y=11
15-2y=11
15-11=2y
4=2y
y=4/2=2
Теперь подставим значение y в уравнение 1. Получаем x+2-5=0, что можно упростить до x = 3.
Ответ: Следовательно, методом подстановки имеем x=3 и y=2.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по методу замены
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о методе замены
Что такое метод подстановки в алгебре?
В алгебре метод подстановки является одним из способов решения линейных уравнений с двумя переменными. В этом методе мы подставляем значение переменной, найденное одним уравнением, во второе уравнение. Его очень легко использовать, когда у нас есть меньшие числа, но в случае больших чисел или дробных коэффициентов применять метод подстановки становится утомительно.
Когда следует использовать метод подстановки?
Метод подстановки можно применить к любой паре линейных уравнений с двумя переменными. Целесообразно использовать метод подстановки, когда мы имеем меньшие коэффициенты в терминах или когда уравнения заданы в виде x = ay+c и y=bx+p.
Что мы заменяем в методе замещения?
В методе подстановки мы подставляем значение одной переменной, найденное путем упрощения уравнения, в другое уравнение. Например, если в уравнениях m и n две переменные, то мы можем сначала найти значение m через n из любого из уравнений, а затем подставить это значение во второе уравнение, чтобы получить ответ n . Затем снова подставляем значение n в любое из данных уравнений.
Что общего между методом замены и методом исключения?
Оба метода включают процесс замены. В обоих методах мы сначала находим значение одной переменной, а затем подставляем его в любое из заданных уравнений. Таким образом, это характерно как для метода исключения, так и для метода замены.
Что такое первый шаг в методе замещения?
Первым шагом в методе подстановки является нахождение значения любой из переменных в одном уравнении через другую переменную. Например, если есть два уравнения x+y=7 и x-y=8, то из первого уравнения можно найти, что x=7-y. Это первый шаг применения метода замещения.
Каковы шаги метода замены?
Ниже приведены три простых шага метода подстановки :
Найдите значение любой переменной из любого уравнения через другую переменную.
Подставьте его в другое уравнение и решите.
Снова подставьте значение второй переменной в любое из уравнений.
Как использовать метод подстановки с двумя переменными?
Имея две переменные, скажем, x и y, мы сначала находим значение x через y из любого из приведенных уравнений. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы найти значение y. Наконец, мы снова подставляем значение y в любое данное уравнение, чтобы найти x.
Является ли метод замены только для линейных уравнений?
Нет, метод подстановки можно применять для любого типа уравнений. Например, уравнения y = x 2 и y = 3x + 4 можно решить методом подстановки.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
ЛИСТКИ
Решение одновременных уравнений: метод подстановки и метод сложения | Справочник по алгебре
Что такое одновременные уравнения и системы уравнений?
Термины одновременные уравнения и системы уравнений относятся к условиям, когда две или более неизвестные переменные связаны друг с другом через равное количество уравнений.
Пример:
Для этого набора уравнений существует только одна комбинация значений x и y, которая удовлетворяет обоим.
Любое уравнение, рассматриваемое по отдельности, имеет бесконечное число правильных (x,y) решений, но вместе существует только одно. На графике это условие становится очевидным:
Каждая линия на самом деле является континуумом точек, представляющих возможные пары решений x и y для каждого уравнения.
Каждое уравнение в отдельности имеет бесконечное число упорядоченных пар (x,y) решений. Существует только одна точка, в которой две линейные функции x + y = 24 и 2x — y = -6 пересекаются (где одно из их многочисленных независимых решений работает для обоих уравнений), и именно в этой точке x равно значению 6, а y равно 18.
Однако обычно построение графика не является очень эффективным способом определения набора одновременных решений для двух или более уравнений. Это особенно нецелесообразно для систем с тремя и более переменными.
В системе с тремя переменными, например, решение будет найдено путем пересечения точек трех плоскостей в трехмерном координатном пространстве — сценарий, который нелегко визуализировать.
Решение одновременных уравнений методом подстановки
Для решения одновременных уравнений существует несколько алгебраических методов.
Пожалуй, проще всего понять метод подстановки .
Возьмем, к примеру, нашу задачу с двумя переменными:
В методе подстановки мы манипулируем одним из уравнений таким образом, что одна переменная определяется через другую:
переменной и замените ее на той же переменной в другом уравнении.
В этом случае мы берем определение y, которое равно 24 — x, и заменяем его на член y, найденный в другом уравнении:
Теперь, когда у нас есть уравнение только с одной переменной (x), мы можем решить его, используя «обычные» алгебраические методы:
подставьте это значение в любое из исходных уравнений и получите значение для y.
Или, чтобы избавить нас от работы, мы можем подставить это значение (6) в уравнение, которое мы только что создали, чтобы определить y через x, поскольку оно уже находится в форме для решения для y:
Применение метода подстановки к системам с тремя или более переменными включает аналогичную схему, только требует больше усилий.
В целом это верно для любого метода решения: количество шагов, необходимых для получения решения, быстро увеличивается с каждой дополнительной переменной в системе.
Чтобы решить для трех неизвестных переменных, нам нужно как минимум три уравнения. Рассмотрим этот пример:
Поскольку первое уравнение имеет простейшие коэффициенты (1, -1 и 1 для x, y и z соответственно), кажется логичным использовать его для разработки определения одной переменной в терминах два других.
Решайте для x с точки зрения Y и z:
Теперь мы можем заменить это определение x, где x появляется в двух других уравнениях:
. до их простейших форм:
До сих пор наши усилия сократили систему с трех переменных в трех уравнениях до двух переменных в двух уравнениях.
Теперь мы можем снова применить технику подстановки к двум уравнениям 4y — z = 4 и -3y + 4z = 36, чтобы найти либо y, либо z. Сначала я поработаю с первым уравнением, чтобы определить z через y:
Затем мы заменим это определение z через y там, где мы видим z в другом уравнении:
Теперь, когда значение y известно, мы можем подставить его в уравнение, определяющее z через y, и получить число для z: и z известны, мы можем подставить их в уравнение, в котором мы определили x через y и z, чтобы получить значение для x: и z из 2, 4 и 12 соответственно, которые удовлетворяют всем трем уравнениям.
Решение одновременных уравнений с использованием метода сложения
Хотя метод подстановки может быть самым простым для понимания на концептуальном уровне, нам доступны и другие методы решения.
Одним из таких методов является так называемый метод сложения , при котором уравнения добавляются друг к другу с целью сокращения переменных членов.
Возьмем нашу систему с двумя переменными, используемую для демонстрации метода подстановки:
Одно из наиболее часто используемых правил алгебры состоит в том, что вы можете выполнять любую арифметическую операцию над уравнением, если вы делаете это одинаково с обеими частями .
Что касается сложения, это означает, что мы можем добавлять любую величину, которую пожелаем, к обеим частям уравнения — при условии, что это одна и та же величина — без изменения истинности уравнения.
Таким образом, у нас есть возможность сложить соответствующие части уравнений вместе, чтобы сформировать новое уравнение.
Поскольку каждое уравнение является выражением равенства (одна и та же величина по обе стороны от знака =), добавление левой части одного уравнения к левой части другого уравнения справедливо до тех пор, пока мы добавляем правые части двух уравнений вместе.
В нашем примере набора уравнений, например, мы можем добавить x + y к 2x — y, а также добавить 24 и -6 вместе, чтобы сформировать новое уравнение.
Какая нам от этого польза? Изучите, что происходит, когда мы делаем это с нашим примером набора уравнений:
Поскольку верхнее уравнение содержало положительный член по оси y, а нижнее уравнение содержало отрицательный член по оси y, эти два члена сокращались в процессе сложения, не оставляя члена по оси y в сумме .
У нас осталось новое уравнение, но только с одной неизвестной переменной x! Это позволяет нам легко найти значение x:
Как только мы получим известное значение x, конечно, определение значения y будет простым вопросом замены (замена x числом 6 ) в одно из исходных уравнений.
В этом примере метод сложения уравнений хорошо сработал, чтобы получить уравнение с одной неизвестной переменной.
Как насчет примера, где все не так просто? Рассмотрим следующий набор уравнений:
Мы могли бы сложить эти два уравнения вместе — это вполне допустимая алгебраическая операция — но это не принесет нам пользы для получения значений x и y:
Полученное уравнение по-прежнему содержит две неизвестные переменные, как и исходные уравнения, поэтому мы не продвинулись дальше в получении решения.
Однако что, если бы мы могли манипулировать одним из уравнений так, чтобы иметь отрицательный член, который отменял бы соответствующий член в другом уравнении при добавлении?
Тогда система сведется к одному уравнению с одной неизвестной переменной, как и в последнем (случайном) примере.
Если бы мы могли только превратить член y в нижнем уравнении в член a — 2y, так что, когда два уравнения складываются вместе, оба члена y в уравнениях сокращаются, оставляя нам только член x, это принесло бы нам ближе к решению.
К счастью, сделать это несложно. Если мы умножим каждый член нижнего уравнения на -2, то получим искомый результат:
Теперь мы можем добавить это новое уравнение к исходному верхнему уравнению:0003
Решая для x, мы получаем значение 3:
Подставляя это вновь найденное значение для x в одно из исходных уравнений, значение
легко определяется:
3
Использование этого метода решения в системе с тремя переменными немного сложнее.
Как и в случае с подстановкой, вы должны использовать эту технику, чтобы сократить систему из трех уравнений с тремя переменными до двух уравнений с двумя переменными, а затем применить ее снова, чтобы получить одно уравнение с одной неизвестной переменной.
Чтобы продемонстрировать, я буду использовать систему уравнений с тремя переменными из раздела подстановки:
Поскольку коэффициенты верхнего уравнения равны 1 для каждой переменной, им будет легко манипулировать уравнением. и использовать в качестве инструмента отмены.
Например, если мы хотим исключить 3-кратный член из среднего уравнения, все, что нам нужно сделать, это взять верхнее уравнение, умножить каждый из его членов на -3, а затем добавить его к среднему уравнению следующим образом:
Мы можем избавить нижнее уравнение от пятикратного члена тем же способом: взять исходное верхнее уравнение, умножить каждый из его членов на 5, затем добавить это модифицированное уравнение к нижнему уравнению, оставив новое уравнение только с членами y и z:
На данный момент у нас есть два уравнения с теми же двумя неизвестными переменными, y и z:
3
очевидно, что член -z верхнего уравнения можно использовать для сокращения члена 4z в нижнем уравнении, если только мы умножим каждый член верхнего уравнения на 4 и сложим два уравнения вместе:
Взяв новое уравнение 13y = 52 и решив для y (путем деления обеих частей на 13), мы получим значение 4 для y.
Подстановка этого значения 4 вместо y в любое из уравнений с двумя переменными позволяет нам найти z.
Подстановка обоих значений y и z в любое из исходных уравнений с тремя переменными позволяет нам найти x.
Окончательный результат (я избавлю вас от алгебраических шагов, так как вы уже должны быть с ними знакомы!) состоит в том, что x = 2, y = 4 и z = 12,
СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:
Одновременные уравнения для анализа цепей Рабочий лист
Метод подстановки (системы линейных уравнений)
Когда два уравнения прямой пересекаются в одной точке, мы говорим, что они имеют единственное решение, которое можно описать как точку \color{red}\left( {x ,y} \right), в плоскости XY .
Метод подстановки используется для решения систем линейных уравнений путем нахождения точных значений x и y, соответствующих точке пересечения.
На диаграмме ниже показаны две произвольные линии, показывающие, где они пересекаются, как описано упорядоченной парой \left( {x,y} \right). В этом уроке мы заинтересованы в ручном решении этой общей точки.
Примеры решения системы уравнений методом подстановки
Пример 1: Используйте метод подстановки для решения приведенной ниже системы линейных уравнений.
Идея состоит в том, чтобы выбрать одно из двух заданных уравнений и решить любую из переменных, x или y. Результат нашего первого шага будет подставлен в другое уравнение. Результатом будет одно уравнение с одной переменной, которое можно решить как обычно.
Это полностью зависит от того, с каким уравнением, по вашему мнению, будет проще справиться. Выбор за вами.
Обратите внимание, что верхнее уравнение содержит переменную x, которая является «одной» — это означает, что ее коэффициент равен +1. Не забывайте всегда искать эту характеристику («единственную» переменную), потому что она сделает вашу жизнь намного проще.
Теперь я начну с решения верхнего уравнения для x.
Поскольку я знаю, чему равен x через y, я могу подставить это выражение в другое уравнение. Таким образом, я решу уравнение с одной переменной.
Надеюсь, вы получите такое же значение y = — \,5. Теперь, когда я знаю точное значение y, я найду другую переменную (в данном случае x), вычислив ее значение в любом из двух исходных уравнений. Неважно, какое исходное уравнение вы выберете, поскольку в конечном итоге оно даст один и тот же ответ.
Тем не менее, я должен сказать, что «лучший» способ найти x — это использовать исправленное уравнение, которое я решил ранее, поскольку у меня есть «x = некоторое y». Верно?
Здесь я получаю x = 1. В точечной форме окончательный ответ можно записать как \left( {1, — \,5} \right). Помните, что это точка пересечения двух линий.
Всегда полезно проверять эти значения в исходных уравнениях, чтобы убедиться, что они действительно являются правильными ответами. Я предлагаю вам всегда проверять их.
Графически решение выглядит так.
Пример 2: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.
Очевидным выбором здесь является выбор нижнего уравнения, потому что переменная y имеет положительный коэффициент, равный единице \left( { + 1} \right). Теперь я могу легко найти y через x. Для начала я вычту обе стороны в 3 раза.
Найдя y из нижнего уравнения, я теперь перехожу к верхнему уравнению и заменяю выражение для y через x. Результатом будет многоступенчатое уравнение с одной переменной.
Решите это уравнение, сначала упростив скобки. После этого объедините одинаковые термины с обеих сторон и изолируйте переменную слева. Ваше решение должно быть похоже на приведенное ниже.
Если вы правильно решили для x, вы также должны прийти к значению x = 3.
Поскольку исправленное уравнение дна уже записано в форме, которая мне нравится, я буду использовать его для решения для точного значения y.
С полученным значением y = 1 теперь я могу записать окончательный ответ в виде упорядоченной пары \left( {3,1} \right).
Как я упоминал ранее, всегда проверяйте окончательные ответы самостоятельно, чтобы увидеть, соответствуют ли они исходным уравнениям.
На графике решением является точка пересечения двух заданных линий.
Пример 3: Решить систему уравнений методом подстановки.
Это отличный пример, потому что у меня есть два подхода к решению проблемы. Переменные x и y имеют положительную единицу \left( { + 1} \right) в качестве коэффициентов. Это означает, что я могу пойти в любую сторону.
Для этого примера я найду у. Я могу легко сделать это, вычитая обе стороны на x, а затем переставляя.
Затем я запишу другое уравнение и заменю его y на y = — x + 3.
После решения приведенного выше многошагового уравнения я получаю x = 5. Теперь я перехожу к преобразованной версии уравнения первое уравнение, которое нужно решить для y.
Здесь я получаю y = — \,2. Тогда окончательный ответ: \left( {x,y} \right) = \left( {5, — \,2} \right).
Действительно, две прямые пересекаются в точке, которую мы вычислили!
Пример 4: Решить систему уравнений методом подстановки.
Я нахожу эту проблему интересной, потому что не могу найти ситуацию, когда переменная «одна». Опять же, наше определение «одиночества» — это коэффициент +1. Запомнить?
И верхнее, и нижнее уравнения здесь содержат переменную с отрицательным символом. Я предлагаю, чтобы всякий раз, когда вы видите что-то подобное, заменяли этот отрицательный символ на \textbf{- 1}. Я помещаю синюю стрелку прямо рядом с ним для акцента (см. ниже).
Отсюда я могу перейти к решению для y, используя верхнее уравнение, или для x, используя нижнее. В этом упражнении я буду работать над уравнением дна.
Обратите внимание, что для решения x я разделил все уравнение на — 1. Здесь вы можете видеть, что вид уравнения сильно изменился.
Надеюсь, у вас тоже есть y = — \,4. В противном случае проверьте и перепроверьте свои действия при решении многошагового уравнения.
Затем используйте это значение y и подставьте его в преобразованную версию нижнего уравнения, чтобы найти x.
Итак, я получаю x = — \,2. Окончательный ответ в упорядоченной паре: \left( {x,y} \right) = \left( { — \,2, — \,4} \right).
График соглашается с нами в том, где пересекаются две линии. Большой!
Пример 5: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.
Первое, что я заметил здесь, это то, что не бывает случаев, когда коэффициент переменной равен +1 или -1. Некоторым это может показаться запутанным.
В этой задаче можно выделить y в верхнем уравнении и сделать то же самое для x в нижнем уравнении. Поработайте немного, и это должно иметь больше смысла.
Вы поймете, что либо x, либо y могут быть легко решены, потому что в процессе не генерируются дроби. В этом упражнении я решил решить первое уравнение для y.
Как и предполагалось, вычисление y прошло успешно. Теперь я буду использовать это значение для y и подставлю его в y нижнего уравнения. Затем я продолжу решать полученное уравнение, как обычно.
Если вы сделали это правильно, ваш ответ должен получиться как x = 2. Подставьте это значение x в исправленную версию верхнего уравнения, чтобы найти точное значение y.
Здесь я получил y = — \,5. Это делает наш окончательный ответ упорядоченной парой \left( {2, — \,5} \right).
График подтверждает наши расчетные значения x и y.
Вас также могут заинтересовать:
Метод подстановки Практические задачи с ответами
Метод исключения (системы уравнений)
Решение систем нелинейных уравнений
Метод подстановки | Магазин развивающей математики
Результаты обучения
Использовать метод подстановки для решения систем уравнений
Выразите решение несовместной системы уравнений, содержащей две переменные
Выразите решение зависимой системы уравнений, содержащей две переменные
Решение системы уравнений методом подстановки
В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики для классификации количества решений системы двух линейных уравнений. Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные числа или дроби, это не самый точный метод. Что, если нам не задана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы все же найти решение системы? Конечно можно, используя алгебру!
В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали замену по-разному. Например, когда мы использовали формулы для площади треугольника и простых процентов, мы подставляли значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которые мы не знали. Идея аналогична применительно к решению систем, в этом процессе всего несколько разных шагов. В методе подстановки мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат в другое уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен. Давайте начнем с примера, чтобы понять, что это значит.
Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение. Вот пример.
Помните, что решение системы уравнений должно быть решением каждого уравнения в системе. Упорядоченная пара [латекс](4,−1)[/латекс] работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что она также является решением системы.
В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной [latex]x[/latex] или [latex]y[/latex]. Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.
Иногда вам может потребоваться переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете подставить ее в другое уравнение.
Вот краткое изложение шагов, которые мы используем для решения систем уравнений с использованием метода подстановки.
Как: Данную систему двух уравнений с двумя переменными решить методом подстановки
Решить одно из двух уравнений для одной из переменных через другую.
Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, а затем найдите оставшуюся переменную.
Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение другой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
Проверьте решение обоих уравнений.
Давайте рассмотрим несколько примеров, замена которых включает свойство распределения.
В следующем видео вам будет представлен пример решения системы двух уравнений методом подстановки.
Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущих примерах, вы все равно смогли бы найти такое же решение. На самом деле это вопрос предпочтений, потому что иногда нахождение переменной приводит к необходимости работать с дробями. Когда вы станете более опытными в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.
Попробуйте
Определите системы уравнений, которые не имеют решений или имеют бесконечное число решений
Вспомните, что несовместная система состоит из параллельных прямых, которые имеют одинаковый наклон, но разные y -пересечения. Они никогда не пересекутся. При поиске решения для несогласованной системы мы придем к ложному утверждению, такому как [латекс]12=0[/латекс].
Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, то обнаружили, что одни уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное множество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.
Вспомните этот пример из Модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:
Решите для [латекс]х[/латекс]. [латекс]12+2x–8=7x+5–5x[/латекс]
Это ложное утверждение означает, что нет решений этого уравнения. Точно так же вы можете увидеть подобный результат, когда используете метод подстановки для поиска решения системы линейных уравнений с двумя переменными. В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.
Вы получаете ложное утверждение [латекс]−8=4[/латекс]. Что это значит? График этой системы проливает некоторый свет на происходящее.
Прямые параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [латекс]−8=4[/латекс] — это , а не решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что решения не существует.
Давайте рассмотрим еще один пример, в котором нет решения.
В следующем видео мы покажем еще один пример использования подстановки для решения системы, которая не имеет решения.
Попробуйте
Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное число решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.
На этот раз вы получите истинное утверждение: [латекс]−4,5x=−4,5x[/латекс]. Но что означает этот тип ответа? Опять же, графики могут помочь вам разобраться в этой системе.
Эта система состоит из двух уравнений, представляющих одну и ту же прямую; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, поэтому метод подстановки дает истинное утверждение. В этом случае существует бесконечное множество решений.
Попробуйте
В следующем видео вы увидите пример решения системы, которая имеет бесконечное количество решений.
В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.
Резюме
Метод подстановки является одним из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных через другую переменную. Затем подставьте это выражение вместо этой переменной во второе уравнение. Затем вы можете решить это уравнение, так как теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (указывающее одно решение), неверное утверждение (указывающее отсутствие решений) или истинное утверждение (указывающее бесконечное количество решений).
Пожертвовать!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Решение систем уравнений тремя способами: замена, исключение и построение графика — Krista King Math
Всегда есть три способа решения системы уравнений
Есть три способа решения системы линейных уравнений: подстановка, исключение и построение графика. Давайте рассмотрим шаги для каждого метода.
Подстановка
Получить переменную саму по себе в одном из уравнений.
Возьмите выражение, которое вы получили для переменной на шаге 1, и подставьте его (замените скобками) в другое уравнение.
Решите уравнение шага 2 для оставшейся переменной.
Используйте результат шага 3 и подставьте его в уравнение из шага 1.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Исключение
При необходимости переставьте оба уравнения так, чтобы сначала были члены ???x???, за которыми следовали члены ???y???, знак равенства и постоянный член (в этой последовательности). Если уравнение не имеет постоянного члена, это означает, что постоянный член равен ???0???.
Умножить одно (или оба) уравнения на константу, которая позволит сократить либо ???x???-члены, либо ???y???-члены при сложении или вычитании уравнений (когда их левая и правая части складываются отдельно или когда их левая и правая части вычитаются отдельно).
Сложите или вычтите уравнения.
Найдите оставшуюся переменную.
Подставьте результат шага 4 в одно из исходных уравнений и найдите другую переменную.
График
Решить для ???y??? в каждом уравнении.
Постройте оба уравнения в одной декартовой системе координат.
Найти точку пересечения линий (точка пересечения линий).
Решение той же системы с подстановкой, затем с исключением, затем с построением графика
Пройти курс
Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого.
🙂
Учить больше
Определение метода, который лучше всего подходит для решения системы: замена, исключение или построение графика
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, в которых нам нужно решить, какой из этих трех методов использовать.
Пример
Какой метод вы бы использовали для решения следующей задачи? Объясните, почему вы выбрали именно этот метод.
???х=у+2???
???3y-2x=15???
Самый простой способ решить эту систему — использовать подстановку, поскольку ???x??? уже изолирован в первом уравнении. Всякий раз, когда одно уравнение уже решено для переменной, подстановка будет самым быстрым и простым методом.
Несмотря на то, что вас не просят решить, вот шаги для решения системы:
Замените ???y+2??? за ???х??? во втором уравнении.
???3y-2(y+2)=15???
Раздать ???-2??? а затем объединить подобные термины.
???3y-2y-4=15???
???y-4=15???
Добавить ???4??? в обе стороны.
???y-4+4=15+4???
???y=19???
Вилка ???19??? для тебя??? в первое уравнение.
???х=у+2???
???х=19+2???
???х=21???
Единственное решение ???(21,19)???.
Существует три способа решения систем линейных уравнений: замена, исключение и построение графика.
Как решить систему с помощью метода исключения
Пример
Чтобы решить систему методом исключения, что было бы полезным первым шагом?
???x+3y=12???
???2x-y=5???
Когда мы используем исключение для решения системы, это означает, что мы собираемся избавиться (устранить) от одной из переменных. Таким образом, мы должны иметь возможность складывать уравнения или вычитать одно из другого, и при этом отменять либо ???x???-члены, либо ???y???-члены.
Любая из следующих опций была бы полезной в качестве первого шага:
Умножить первое уравнение на ???-2??? или???2???. Это даст нам ???2x??? или ???-2x??? в обоих уравнениях, что приведет к тому, что ???x???-члены будут сокращаться, когда мы складываем или вычитаем.
Умножить второе уравнение на ???3??? или ???-3???. Это даст нам ???3г??? или ???-3г??? в обоих уравнениях, что приведет к сокращению членов ???y???, когда мы складываем или вычитаем.
Разделите второе уравнение на ???2???. Это даст нам ???x??? или ???-х??? в обоих уравнениях, что приведет к тому, что ???x???-члены будут сокращаться, когда мы складываем или вычитаем.
Разделить первое уравнение на ???3???. Это даст нам ???y??? или ???-у??? в обоих уравнениях, что приведет к сокращению членов ???y???, когда мы складываем или вычитаем.
Повторим последний пример, но вместо метода исключения воспользуемся графом для поиска решения.
Решение системы путем построения графика обоих уравнений и поиска точек пересечения
Пример
Начертите оба уравнения, чтобы найти решение системы.
???х+3у=12???
???2x-y=5???
Чтобы изобразить эти уравнения в виде графика, давайте представим их обоим в форме пересечения наклона. Получаем
???x+3y=12???
???3y=-x+12???
???y=-\frac13x+4???
и
???2x-y=5???
???-y=-2x+5???
???y=2x-5???
Строка ???y=-(1/3)x+4??? пересекает ось ???y??? в точке ???4???, а затем имеет наклон ???-1/3???, поэтому ее график равен
Строка ???y=2x-5??? пересекает ось ???y??? в точке ???-5???, а затем имеет наклон ???2???, поэтому, если добавить его график к графику ???y= -(1/3)x+4???, получится
Глядя на точку пересечения, кажется, что решение приблизительно равно ???(3.75,2.75)???. На самом деле решение ???(27/7,19/7)\приблизительно(3,86,2,71)???, поэтому наша визуальная оценка ???(3,75,2,75)??? был не так далек.
Получить доступ к полному курсу Алгебра 1
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 1, алгебра i, алгебра 2, алгебра ii, решение систем, решение линейных систем, системы уравнений, системы линейных уравнений , подстановка, решение с подстановкой, исключение, решение с исключением, построение графика, решение с помощью графика, решение систем с подстановкой, решение систем с исключением, решение систем с помощью графика, метод подстановки, метод исключения
0 лайков
Решение системы уравнений подстановкой
Решение системы уравнений методом подстановки полезно для решения системы уравнений. Это наиболее легко применимо к системам линейных уравнений. В этой статье мы рассмотрим метод замены. Мы обсудим, что такое метод подстановки и как решить систему уравнений подстановкой. Кроме того, мы решим несколько примеров. Это поможет лучшему пониманию. Итак, приступим к обсуждению.
Метод решения систем линейных уравнений подстановкой. Подстановка подразумевает подстановку одного уравнения в другое в качестве замены переменной. Подставляем одну переменную найденным значением для решения задачи.
Метод подстановки очень полезен в таких темах, как линейная алгебра, компьютерное программирование и т. д. Примечательно, что решение систем уравнений методом подстановки очень несложно.
Прежде чем обсуждать, как решить систему уравнений подстановкой, давайте кратко рассмотрим систему уравнений.
Система линейных уравнений
Это набор из двух или более линейных уравнений.
Для двух переменных (x и y) график системы двух линейных уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.
Здесь у нас есть три возможности:
Прямые параллельны. Они будут пересекаться в нулевых точках.
Линии пересекаются в одной точке.
Линии пересекаются в бесконечных точках. Это означает, что два уравнения представляют аналогичную прямую.
Системы уравнений представляют собой математические задачи, включающие два или более уравнений.
Решения системы уравнений
В общем случае решение системы уравнений с двумя переменными представляет собой упорядоченную пару. Такое решение делает оба уравнения верными.
Система, имеющая хотя бы одно решение, является согласованным решением
Система, не имеющая решения, является несогласованным решением.
Когда все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, уравнения являются зависимыми. (Это означает, что они оба представляют одну и ту же линию.)
Иногда уравнения в системе не имеют общих решений. Такие уравнения системы независимы.
Решение системы уравнений методом подстановки даст один из следующих результатов:
(i) Только одно значение для каждой переменной в системе, т. е. одно решение
(ii) Неверное утверждение, т. нет решений
(iii) Верное утверждение, т. е. бесконечные решения
Как решить систему уравнений подстановкой
Рассмотрим следующие уравнения:
y = 2x
x + y = 12
Здесь 1-е уравнение показывает, что y равно 2x. Это означает, что мы можем поставить это значение вместо y. Итак, давайте подставим значение y во 2-е уравнение.
При таком значении y все уравнение будет включать одну переменную. Когда уравнение имеет одну переменную, мы можем легко найти его решение.
Подставляя значение y во второе уравнение,
x + 2x = 12
3x = 12
x = 12 / 3
x = 4
Итак, теперь у нас есть конкретное значение для x. Но не забывайте, вам нужно значение y. Нам нужно найти конкретное значение y. Для этого подставим значение x в 1-е уравнение.
y = 2x
y = 2(4) (подставив 4 вместо x)
y = 8
Итак, решив систему уравнений подстановкой, мы получили наше решение.
Решением данной системы уравнений является (4,8).
Лучше, если мы проверим эти решения. Для этого мы должны подставить решения обратно в систему уравнений.
1-е уравнение: y = 2x
Подстановка значений
8 = 2(4)
8 = 8
2-е уравнение: x + y = 12
Подстановка значений 1 + 2
3 9
12 = 12
Приведенная выше система уравнений является основным примером. Таким образом, вы можете легко понять концепцию.
Пойдем дальше.
Прежде чем использовать метод подстановки, сначала найдите переменную.
Обычно учащимся средней школы не удается получить уже приравненные значения x или y. Готового значения для замены не будет. Скорее, вы получите задачу в виде пары линейных уравнений для решения.
Рассмотрим систему уравнений:
3x + 4y = -5
2x – 3y = 8
Здесь мы можем заметить, что ни одно из приведенных выше уравнений еще не решено. Нет значения ни для x, ни для y, доступного для замены. Итак, мы должны сначала решить для x или y. Потом будем делать замену.
Как это сделать? Давайте обсудим.
Для решения систем линейных уравнений путем подстановки необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Выберите одно уравнение из пары линейных уравнений.
Шаг 2: Теперь мы должны решить его для любой из его переменных (скажем, x или y).
Шаг 3: Подставьте значение переменной (решенное на шаге 2) в другое уравнение.
Шаг 4: Решите второе уравнение, чтобы найти значение другой переменной.
Шаг 5: Проверьте решения. Мы можем сделать это, подставив их в любое из исходных уравнений. Такое уравнение должно включать обе переменные.
Когда мы решаем системы линейных уравнений путем замены, как правило, одно уравнение и одна из переменных прокладывают путь к решению быстрее, чем другое. Чтобы хорошо это понять, давайте решим несколько примеров.
Решенные примеры
Теперь попробуем решить систему уравнений подстановкой.
Здесь мы решим, выбрав переменную x и второе уравнение.
3x + 4y = -5
2x – 3y = 8
Сначала решим x для второго уравнения.
2x — 3y = 8
2x = 3y + 8
x = 3y / 2 + 4 (3 -е уравнение)
Далее мы заменим значение x, то есть 3Y / 2 + 4, в 1-е уравнение.
3x + 4y = -5
3(3y / 2 + 4) + 4y = -5
Теперь решим это уравнение.
9y / 2 + 12 + 4y = -5
17y / 2 = -5 – 12
17y / 2 = -17
y = -2
Здесь мы подставим значение y в любое уравнение у которого есть обе переменные x и y.
Подстановка значения y, т. е. y = -2, в 3-е уравнение.
x = 3y / 2 + 4
x = 3(-2) / 2 + 4
x = -6 / 2 + 4
x = -3 + 4
x = 1
Также студенты можно проверить их решения, подставив найденные значения в оба исходных уравнения.
Подстановка значений обеих переменных x и y в первое уравнение.
3x + 4y = -5
3(1) + 4(-2) = -5
3-8 = -5
-5 = -5
2x – 3y = 8
2(1 ) – 3(-2) = 8
2 + 6 = 8
8 = 8
Левая и правая стороны равны.
Следовательно, решения x = 1 и y = –2 верны.
Факт для рассмотрения: При решении систем линейных уравнений методом подстановки, если полученное решение правильное, то при проверке оно будет 0 = 0 (или LHS = RHS). Это показывает, что система зависима. Любое из исходных уравнений является решением. Однако, если метод подстановки приводит к неправильному решению, это не приведет к тому, что LHS = RHS (например, 0 = 4). Это показывает, что система несовместима. Для этой системы нет решения.
Пример 2
-7x – 2y = -13
x – 2y = 11
Как и прежде, мы будем решать, выбирая переменную x и второе уравнение.
x = 11 + 2y
Теперь мы подставим это значение x в 1-е уравнение.
-7x – 2y = -13
-7(11 + 2y) – 2y = -13
-77 – 14y – 2y = -13
-77 – 16y = -13
-16y = -13 + 77
-16y = 64
y = -4 (при делении 64 на 12)
Теперь нам нужно найти x. Для этого подставьте значение y в 1-е уравнение.
x = 11 + 2y
x = 11+ 2(-4)
x = 11 – 8
x = 3
Следовательно, решением этой системы уравнений является (3, -4).
Проверка решений:
-7x – 2y = -13
-7(3) – 2(-4) = -13
-21 + 8 = -13
-13 = -13
х = 11 + 2y
3 = 11 + 2(-4)
3 = 11 – 8
3 = 3
Это доказывает, что значения или решения верны .
Прикладная задача
Периметр прямоугольника равен 60 м. Длина этого прямоугольника на 10 м больше его ширины. Вычислите размеры прямоугольника методом подстановки.
Пусть l — длина, а b — ширина.
Преобразование приведенной выше информации в систему уравнений:
Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
наибольший общий делитель пары чисел;
признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.
Глоссарий по теме
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
…
ИЛИ (остаток rk)
…
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число n
Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
2
последняя цифра числа a делится на 2
3
сумма всех цифр числа a делится на 3
4
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
5
число a оканчивается цифрой 0 или 5
7
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7
8
число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8
9
сумма всех цифр числа a делится на 9
10
число a оканчивается цифрой 0
11
знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
13
знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13
25
число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25
Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.
Метод математической индукции для доказательства делимости.
Схема метода:
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
4. Вывод.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача №1
Условие:
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Решение:
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(65; 14)
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
(35; 26)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
984 = 2 · 489 + 6
489 = 81 · 6 + 3
6 = 3 · 2
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Задача №3.
Условие:
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Решение:
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Задача №4.
Условие:
Докажите делимость + 6n – 10 на 18при любом натуральном n.
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.
4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.
Признаки делимости чисел | umath.ru
Содержание
Таблица признаков делимости чисел
Доказательство признаков делимости чисел
Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]
Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.
Таблица признаков делимости чисел
*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.
Признаки делимости чисел и их доказательство
Пусть натуральное число имеет десятичную запись
где — цифры этого числа,
Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.
Признаки делимости по последним цифрам
Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25. Распишем число так:
Число 100 делится на 25, поэтому если число делится на 25, то и делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.
Признаки делимости по сумме цифр
Если
то делится на
Сумма цифр числа делится на 3 или 9
3 или 9 соответственно
Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11
11
Докажем признаки делимости на 3 и 9.
Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.
Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:
Число распишем следующим образом:
Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа .
Признаки делимости по сумме граней
Введём следующее определение.
Определение.
Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Перейдём к признакам делимости.
Если
то делится на
Сумма двузначных граней делится на 11
11
Сумма трёхзначных граней делится на 37
37
Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13
7, 11, 13 соответственно
Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней
В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.
Остальные признаки доказываются аналогично.
Признаки Делимости Чисел на 2, 3, 5, 9, 10
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Например:
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Например:
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Число «0» считается четным числом.
0, 8, 24, 66, 88, 100, 120 — чётные.
1, 7, 31, 75, 91, 111, 311 — нечётные.
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Например:
Число 51352 можно разделить на 2, так как последняя цифра (2) делится на 2 без остатка.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Например:
20715 можно поделить на 3, так как 2 + 0 + 7 + 1 + 5 = 15 делится на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Например:
84100 делится на 4, так как в конце стоят два нуля.
Число 5324 и 1108 тоже делятся на 4, так как последние цифры образуют числа (24 и 08), которые делятся на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Например:
540 и 545 делятся на 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Например:
Число 612 делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Например:
43000 делится на 8, так как 43(000) оканчивается нулями
8128 — тоже делится на 8: последние три цифры образуют число 128, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Например:
1737 — сумма цифр 1 + 7 + 3 + 7 = 18. 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Например:
890 делится на 10.
1200 делится на 100.
У нас есть очень крутая статья — деление в столбик, возможно тебе будет интересно!
Признаки делимости на 11,12,13,14,15. Примеры решения задач.
Признак делимости на \(11\)
Число делится на \(11\), если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на \(11\).
Задача 1. Проверить делимость чисел на \(11\): \(2547039\), \(13165648\) .
Решение. Найдем сумму цифр в четных и нечетных местах у числа \(2547039\).
\((9+0+4+2)-(3+7+5)=15-15=0-\) делится на 11.
\((8+6+6+3)-(4+5+1+1)=23-11=12-\) не делится на 11
Признак делимости на \(12\)
Число делится на 12, если оно кратно \(3\) и \(4.\)
Задача 2. Проверить делимость чисел на \(12\): \(9012\) и \(23988\).
Сумма цифр \(9012\) делится на \(3:\) \(9+0+1+2=\frac{12}{3}=4\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{12}{4}=3\).
\(23988\) сумма цифр делится на \(3:2+3+9+8+8=\frac{30}{3}=10\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{88}{4}=22.\). Вывод: числа \(9012\) и \(23988\)делятся на 12.
Признак делимости на \(13\)
Число делится на \(13\), если число его десятков умножить на \(4\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(13\).
Задача 3. Проверить делимость чисел на \(13\): \(845\) и \(676\).
\(84+(4*5)=104 -\)делится на \(13\).
\(67+(4*6)=67+24=91-\) делится на 13.
Ответ: числа \(845,676\) делятся на 13.
Признак делимости на \(14\)
Число делится на \(14\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2\) и на \(7\).
Рассмотрим число \(994:\) запись числа заканчивается чётной цифрой, следовательно признак делимости на \(2\) выполнен.
Проверяем делимость на \(7:\) \(99-2*4=99-8=91.\)
Повторяем действия: \(9-2*1=7-\) делится на \(7\). \(994\) делится \(14\).
Признак делимости на \(15\)
Число делится на \(15\), если оно делится на \(3\) и на \(5\).
Рассмотрим число \(6375.\) Число \(6375\) делится на \(3\) так как сумма его цифр кратна \(3\). Также данное число делится на \(5\), потому что на последнем месте стоит пятерка. Число \(6375\) делится на \(15\).
Признак делимости на \(17\)
Число делится на \(17\), если число его десятков умножить на \(12\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(17\).
Задача 4. Определить кратно ли семнадцати число \(29053\) .
Число делится на \(19\), если удвоенное число его десятков сложить с оставшимися цифрами, кратно \(19.\)
Пример: \(646\) делится на \(19\), так как \(64+(6*2)=76\) делится на \(19\).
Признак делимости на \(23\)
Число делится на \(23\), если утроенное число его сотен сложить с оставшимися цифрами, кратно \(23\).
Пример: \(28842-288+(3*42)=414\).Повторяем действия: \(4+(3*14)=46\), \(46\) делится на \(23\), значит и \(28842\) кратно \(23\).
Признак делимости на \(25\)
Число делится на \(25\), если две его последние цифры делятся на \(25\),то есть если его последние цифры оканчиваются на \(00,25,50\) или \(75\) или число кратно \(5\).
Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявку
Репетитор по математике
БГПУ им. Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов.
Математика -это волшебный мир. в котором можно творить чудеса. В нем хочется просто быть и узнавать пока еще непознанное.
Оставить заявку
Репетитор по математике
Белорусский государственный экономический университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Правильно задаю вопросы, умею слушать и слышать учеников. Смотрю на все сквозь призму юмора и стремлюсь влюбить всех в свой предмет. Требовательная, но понимающая. Я люблю математику за то, что она развивает мышление и приводит в порядок ум.
Оставить заявку
Репетитор по математике
Харьковский педагогический колледж, Харьковский национальный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Математика — интереснейший предмет! Она развивает мышление, память, воображение детей. Даже, если вашему ребенку эта наука пока даётся непросто, я обязательно помогу ему в этом нелёгком и очень увлекательном путешествии в страну Математики! Вместе мы преодолеем все сложности! Жду вас на своих уроках!
Курсы ОГЭ
— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие
Функция
— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Примеры решения задач.
Что такое делимость?
«Делимость» означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.
Пример:
\(6:3 =2; \) \(6\) делится на \(3\), так как результат \(2\) — целое число, а остаток равен \(0\).
\(7:3=2,333…\) \(7\) не делится на \(3\) так как результат \(2,333…\) не является целым числом.
Признаки делимости чисел от \(1\) до \(10\).
Признак делимости на \(1\)
Каждое целое число делится на \(1\)
Признак делимости на \(2\)
Последняя цифра должна быть четной — \(0,2,4,6,8\).
Пример : \(3456\) делится на \(2\) так как последняя цифра \(6\) — четное число.
\(343423\) не делится на \(2\), так как последняя цифра \(3\) нечетная.
Все четные числа делятся на \(2\).
Признак делимости на \(3\)
Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(3\). Это простой способ найти числа кратные \(3\).
\(3789\) делится на \(3\), так как сумма \(3+7+8+9=27\) делится на \(3\).
\(43266737\) не делится на \(3\) – сумма цифр \(4+3+2+6+6+7+3+7=38\) не делится на \(3\).
Признак делимости на \(4\)
Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(4\).
Пример: \(23746228\) делится на \(4\) если \(28\) делится на \(4\).
\(674235642\) не делится на \(4\), так как \(4\) не кратно \(42\).
Признаки делимости на \(5\)
Последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).
Пример: \(42340\) делится на \(5\) так как \(0\) — последняя цифра.
\(672234\) не делится на \(5\) так как \(4\) последняя цифра.
Признак делимости на \(6\)
Число должно быть кратным \(2\) и \(3\).
\(7563894\) делится на \(6\) — последняя цифра \(4\) делится на \(2\) и сумма цифр \(7+5+6+3+8+9+4=42\) делится на \(3\).
\(567423\) не делится на \(6\) — последняя цифра \(3\), поэтому не делится на \(2\). Даже не нужно проверять на \(3\).
Признаки делимости на \(7\)
Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным \(7\).
\(343\) делится на 7 так как \(34-(2*3)=28\), \(28\) делится на \(7\).
2. \(345343\) \(3\) — последняя цифра. Вычитаем \(2*3\) из \(34534\).
\(34534-(2*3)=34528\) число слишком большое.
\(3452-(2*8)-3436\) число слишком большое.
\(343-(2*6)=331\) повторяем снова
\(33-(2*1)=31,31\)не делится на \(7\).
\(345343\) не делится на \(7\).
Признак делимости на \(8\)
Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(8\).
Пример:\(234568:8-568\) делится на \(8\).
\(4568742\)не делится на \(8\) , так как \(8\) не кратно \(742\)
Признак делимости на \(9\)
Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(9\).
\(456786:9 -\) если сумма \( 4+5+6+7+8+6=36\) делится на \(9\).
\(87956:9-\) сумма \(8+7+9+5+6=25\)не делится на 9.
Признак делимости на \(10\)
Последняя цифра должна быть \(0\).
Пример: \(456780\) делится на \(10\) — если последняя цифра равна \(0\).
\(78521\) не делится на \(10\) – последняя цифра \(1\).
Если число \(S\) делится на два числа \(a\) и \(b\), где \(a,b\) — простые числа , то \(S\) делится на \(a*b\), где \(a\) и \(b\) простые числа.
\(24\) делится на \(2\) и \(3\) и следовательно и на \(6\).
\(36\) делится на \(2 \) и \(4\), но не делится на \(8\), так как \(4\) не простое число.
Если число \(N\) делится на другое число \(M\), то \(N\) также делится на множители \(M\).
Например:
\(72:12=6\)
\(72\) также делится на \(2,3,4,6\) так как \(12\) кратно \(2,3,4,6\).
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявку
Репетитор по математике
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Докажу, что математика — это просто. Использую классическую методику преподавания. Мои ученики получают высокие балы по ОГЭ. За несколько уроков изменю ваше мнение о математике!
Оставить заявку
Репетитор по математике
БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 класса. Активно использую в своей работе не только знания математики., но и навыки консультанта-психолога, объединяя их для достижения желаемого результата. Искренне считаю, что без позитивного контакта с учеником, на возможен полноценный процесс обучения! Математику люблю, как предмет! Уважаю, как науку! И с удовольствием этим делюсь на своих занятиях.
Оставить заявку
Репетитор по математике
Могилевский государственный педагогический институт им. А. Кулешова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. На занятиях использую личностно-ориентированные методики, проблемное обучение, модульные методики. Люблю комбинировать несколько методических приемов для достижения результата. Используя нестандартные методические приемы подачи материала — развиваю логическое мышление, образную память, объемное восприятие материала. Думаю, что математика доступна всем ученикам. Помогу каждому найти ключик к ее пониманию.
Векторы
— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие
Геометрия с нуля
— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ
Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.Признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.Признак делимости на 4 Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7 Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11 Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.
Признак делимости на 12 Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13 Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15 Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17 Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 18
Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.
Признак делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 20
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5
Признак делимости на 21
Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3
Признак делимости на 22
Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11
Признак делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 24
Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8
Признак делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).
Признак делимости на 26
Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13
Признак делимости на 28
Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7
Признак делимости на 30
Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3
Признак делимости на 34
Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17
Признак делимости на 35
Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7
Признак делимости на 36
Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9
Признак делимости на 38
Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19
Признак делимости на 39
Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13
Признак делимости на 40
Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8
Признак делимости на 42
Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7
Признак делимости на 44
Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11
Признак делимости на 45
Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9
Признак делимости на 99 Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Призннак делимости на 101 Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5n Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1 Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.
Признак делимости на 10n Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.
Признак делимости на 10n+1 Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости
Содержание
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство
a = bc .
В противном случае говорят, что число a не делится на число b.
Число b называют делителем числа a.
Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа a на число b с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа c и r , что выполняются соотношения
a = bc + r, r < b .
Число b называют делителем, число c – частным, а число r – остатком от деления a на b .
Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .
Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком, получаем:
Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными, а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными.
Признаки делимости
Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.
Признак делимости на 2
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться четной цифрой: 0 , 2 , 4 , 6 , 8
Пример:
1258
Признак делимости на 3
Формулировка признака:
Сумма цифр числа должна делиться на 3
Пример:
745 , (7 + 4 + 5 = 15)
Признак делимости на 4
Формулировка признака:
Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4
Пример:
7924
Признак делимости на 5
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5
Пример:
835
Признак делимости на 6
Формулировка признака:
Число должно делиться на 2 и на 3
Пример:
234 , (2 + 3 + 4 = 9)
Признак делимости на 7
Формулировка признака:
На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой
Пример:
3626 , (362 – 12 = 350)
Признак делимости на 8
Формулировка признака:
Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8
Пример:
63024
Признак делимости на 9
Формулировка признака:
Сумма цифр должна делиться на 9
Пример:
2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18)
Признак делимости на 10
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться 0
Пример:
1690
Признак делимости на 11
Формулировка признака:
Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11
Пример:
1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 – 1 = 11)
Признак делимости на 13
Формулировка признака:
На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой
Пример:
299 , (29 + 36 = 65)
Признак делимости на 25
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75
Пример:
7975
Признак делимости на 50
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться на 00 или 50
Пример:
2957450
Признак делимости на 100
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться на 00
Пример:
102300
Признак делимости на 1000
Формулировка признака:
Число должно оканчиваться на 000
Пример:
3217000
Правила делимости (тесты)
Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое
делится на
«Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»
Примеры:
14 делится на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 ровно
15 — это , а не , делимое на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат , а не целое число)
0 — это , делимое на 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (0 — целое число)
«Может быть разделено на» и «может быть разделено на» означает одно и то же.
Правила делимости
Эти правила позволяют проверить, делится ли одно число на другое, без необходимости выполнять слишком много вычислений!
Пример: делится ли 723 на 3?
Можно попробовать разделить 723 на 3
Или используйте правило «3»: 7 + 2 + 3 = 12 и 12 ÷ 3 = 4 точно Да
Примечание. Ноль делится на любого числа (кроме самого себя), поэтому мы получаем «да» на все эти тесты.
1
Любое целое число (не дробное) делится на 1
2
Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)
12 8 Есть
12 9 Нет
3
Сумма цифр делится на 3
381 (3 + 8 + 1 = 12 и 12 ÷ 3 = 4) Да
217 (2 + 1 + 7 = 10 и 10 ÷ 3 = 3 1 / 3 ) №
Это правило можно повторить при необходимости:
99996 (9 + 9 + 9 + 9 + 6 = 42, затем 4 + 2 = 6) Да
4
Последние 2 цифры делятся на 4
13 12 равно (12 ÷ 4 = 3) Да
70 19 не является (19 ÷ 4 = 4 3 / 4 ) Нет
Быстрая проверка (полезная для небольших чисел) состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число вдвое, и результатом будет целое число.
12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 — целое число. Есть
30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом. №
5
Последняя цифра 0 или 5
17 5 Есть
80 9 Нет
6
Четно и делится на 3 (соответствует как правилу 2, так и правилу 3 выше)
114 (четно, и 1 + 1 + 4 = 6 и 6 ÷ 3 = 2) Да
308 (четно, но 3 + 0 + 8 = 11 и 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 ) Нет
7
Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами.Результат должен делиться на 7.
(Мы можем снова применить это правило к этому ответу)
672 (Двойное 2 равно 4, 67−4 = 63 и 63 ÷ 7 = 9) Да
105 (Двойная 5 равна 10, 10−10 = 0, а 0 делится на 7) Да
905 (Двойное 5 равно 10, 90-10 = 80 и 80 ÷ 7 = 11 3 / 7 ) №
8
Последние три цифры делятся на 8
109 816 (816 ÷ 8 = 102) Есть
216 302 (302 ÷ 8 = 37 3 / 4 ) №
Быстрая проверка — это трижды уменьшить вдвое, и результат все равно будет целым числом:
816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да
302/2 = 151, 151/2 = 75.5 №
9
Сумма цифр делится на 9
(Примечание: это правило может быть повторено при необходимости)
1629 (1 + 6 + 2 + 9 = 18, и снова 1 + 8 = 9) Да
2013 (2 + 0 + 1 + 3 = 6) №
10
Число заканчивается на 0
22 0 Есть
22 1 Нет
11
Сложить и вычесть цифры поочередно (добавить цифру, вычесть следующую цифру, добавить следующую цифру и т. Д.).Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.
1 3 6 4 (+ 1-3 + 6-4 = 0 ) Есть
9 1 3 (+ 9−1 + 3 = 11 ) Есть
3 7 2 9 (+ 3−7 + 2−9 = −11 ) Да
9 8 7 (+ 9-8 + 7 = 8 ) №
12
Число делится как на 3 , так и на 4
(он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)
648 ( По 3? 6 + 4 + 8 = 18 и 18 ÷ 3 = 6 Да) (По 4? 48 ÷ 4 = 12 Да) Оба пройдены, поэтому Да
524 ( По 3? 5 + 2 + 4 = 11, 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 Нет) (Нет необходимости проверять по 4) Нет
Есть еще много всего! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для чисел, которые мы показали.
Факторы, которые могут быть полезны
Факторы
— это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число:
Это может быть полезно, потому что:
Когда одно число делится на другое число …
… тогда это , также делимое на каждый из множителей этого числа.
Пример: если число делится на 6, оно также делится на 2 и 3
Пример: если число делится на 12, оно также делится на 2, 3, 4 и 6.
Еще одно правило для 11
Вычтите последнюю цифру из числа, образованного другими цифрами.
Если это число делится на 11, то и исходное число тоже.
При необходимости можно повторить
Пример: 286
28-6 равно 22, из которых делится на на 11, поэтому 286 делится на 11
Пример: 14641
1464-1 это 1463
146-3 это 143
14-3 равно 11, из которых делится на на 11, поэтому 14641 делится на 11
Правила делимости | Helping with Math
Примечание. На этой странице содержатся устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются.Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего предложения членства.
Правила делимости помогают нам определить, делится ли число в точности на другие числа (т. Е. Нет остатка).
Правила — это ярлыки для определения, делятся ли числа в точности, без выполнения вычислений деления. Некоторые из этих правил вместе с примерами проиллюстрированы ниже:
Делится на 2? Правило
: если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8
Номер
Делимый?
Почему?
456
Есть
Последняя цифра 6
68
Есть
Последняя цифра 8
25
№
Последняя цифра 5 ( не a 2,4,6 или 8)
207
№
Последняя цифра 7 (, а не a 2,4,6 или 8)
Вернуться ко всем правилам делимости
Делится на 3?
Правило: Если сумма цифр кратна 3
Номер
Делимый?
Почему?
405
Есть
4 + 0 + 5 = 9 (9 делится на 3)
381
Есть
3 + 8 + 1 = 12 (12 делится на 3)
928
№
9 + 2 + 8 = 19 (19 равно , а не , кратно 3)
4,616
№
4 + 6 + 1 + 6 = 17 (17 равно , а не , кратному 3)
Помощник: число, кратное 3, включает…
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
Вернуться ко всем правилам делимости
Делится на 4? Правило: если последние две цифры кратны 4 (или если последние две цифры 00)
Последняя цифра — 2 (кратно 2) , но … 5 + 9 + 1 + 2 = 17 (17 — это , а не , кратное 3)
508
№
Последняя цифра — 8 (кратно 2) , но … 5 + 0 + 8 = 13 (13 — это , а не , кратное 3)
Вернуться ко всем правилам делимости
Делится на 9?
Правило: Если сумма цифр кратна 9
Номер
Делимый?
Почему?
7 686
Есть
7 + 6 + 8 + 6 = 27 (27 делится на 9)
252
Есть
2 + 5 + 2 = 9 (9 делится на 9)
883
№
8 + 8 + 3 = 19 (19 равно , а не , кратному 9)
5,105
№
5 + 1 + 0 + 5 = 11 (11 равно , а не , кратному 9)
Помощник: число, кратное 9, включает…
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 917126135
Вернуться ко всем правилам делимости
Делится на 10?
Правило: если последняя цифра 0
Номер
Делимый?
Почему?
880
Есть
Последняя цифра: 0
9 560
Есть
Последняя цифра: 0
312
№
Последняя цифра — 2 (, а не a 0)
7,897
№
Последняя цифра 7 (, а не a 0)
Вернуться ко всем правилам делимости
Правила делимости — Схема, Правила делимости от 1 до 13, Примеры
Правила делимости в математике — это набор определенных правил, которые применяются к числу, чтобы проверить, делится ли данное число на определенное число или нет.Некоторые известные тесты на делимость предназначены для чисел от 2 до 20. Это помогает нам находить множители и кратные числа без выполнения деления в столбик. Человек может мысленно проверить, делится ли число на другое число или нет, применяя правила делимости. Давайте узнаем больше о тестах на делимость в этой статье.
Что такое правила делимости?
Правило делимости — это своего рода ярлык, который помогает нам определить, делится ли данное целое число на делитель, исследуя его цифры, не выполняя весь процесс деления.К одному и тому же числу можно применить несколько правил делимости, которые могут быстро определить его разложение на простые множители. Делитель числа — это целое число, которое полностью делит число, не оставляя остатка.
В статье Scientific American 1962 года популярный математик и естествоиспытатель Мартин Гарднер обсудил правила делимости для 2–12, где он объясняет, что правила были широко известны в эпоху Возрождения и использовались для сокращения дробей с большими числами до наименьших условия.Поскольку каждое число не полностью делится на любое другое число, они могут оставить остаток, отличный от нуля. Есть определенные правила, которые помогают нам определить действительный делитель числа, просто рассматривая цифры этого числа. Это так называемые правила делимости.
Правила делимости от 2 до 12
В этом разделе мы узнаем об основных тестах делимости от 2 до 12. Правило делимости 1 не требуется, поскольку каждое число делится на 1.Вот несколько основных правил делимости:
Делимость на число
Правило делимости
Можно делить на 2
Четное число или число, последняя цифра которого является четным числом, т. Е. 0, 2, 4, 6 и 8.
Делится на 3
Сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
Делится на 4
Число, образованное двумя последними цифрами числа, должно делиться на 4 или быть 00.
Делится на 5
Числа, у которых 0 или 5 являются единственной цифрой.
Делится на 6
Число, которое делится как на 2, так и на 3.
Делится на 7
Двойное вычитание последней цифры числа из оставшихся цифр дает число, кратное 7
Делится на 8
Число, образованное последними тремя цифрами числа, должно делиться на 8 или быть 000.
Делится на 9
Сумма всех цифр числа должна делиться на 9.
Делится на 10
Любое число, одноразрядная цифра которого равна 0.
Делится на 11
Разница сумм альтернативных цифр числа делится на 11.
Делится на 12
Число, которое делится как на 3, так и на 4.
Примеры правил делимости
Попробуем разобраться в приведенных выше тестах на делимость на примерах.
Делится ли 280 на 2? Да, 280 делится на 2, так как цифра разряда единиц равна 0.
Делится ли 345 на 3? Да, 345 делится на 3, так как сумма всех цифр равна 3 + 4 + 5, что составляет 12, а 12 делится на 3. Итак, 345 делится на 3.
Делится ли 450 на 4? Нет, 450 не делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами, начинающимися справа, т.е.e 50 не делится на 4.
Делится ли 3900 на 5? Да, 3900 делится на 5, так как цифра в разряде единиц равна 0, что удовлетворяет правилу делимости 5.
Делится ли 350 на 6? Сумма всех цифр 350 равна 8, поэтому оно не делится на 3. Следовательно, оно не может делиться на 6, поскольку число должно быть кратным как 2, так и 3, чтобы быть кратным 6.
357 делится на 7, так как, когда мы вычитаем двойную цифру разряда единиц, 7 × 2 = 14, и вычитаем ее из оставшихся цифр 35, мы получаем 35-14 = 21, что делится на 7.Итак, 357 делится на 7.
79238 не делится на 8, так как число, образованное последними тремя цифрами 238, не делится полностью на 8.
875 не делится на 9, так как сумма всех цифр 8 + 7 + 5 = 20 не делится на 9.
Теперь давайте возьмем число 1000 и посмотрим, как оно делится на 2: 10. На изображении ясно видно, что 1000 делится на 2, 4, 5, 8 и 10 и не делится на 3, 6, 7 и 9. Мы находим это, применяя правила делимости от 2 до 10, а не выполняя деление, которое может занять больше времени.
Правила делимости простых чисел
Правила промежуточной делимости применяются к простым числам, которые меньше 20 и больше 10. Тесты делимости для простых чисел 2, 3, 5, 7 и 11 уже обсуждались выше. Здесь давайте узнаем о правилах делимости чисел 13, 17 и 19.
Правило делимости 13 — Число делится на 13, когда оно оставляет 0 в качестве остатка, когда мы делим его на 13.Тест на делимость числа 13 помогает нам быстро определить, делится ли число на 13 или нет, без выполнения деления в столбик. Согласно правилу делимости числа 13, во-первых, мы должны умножить цифру разряда единиц на 4. Затем мы добавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма приводит к числу, делящемуся на 13, то исходное число также делится на 13. Помимо этого метода, есть еще три других правила делимости 13, которые объясняются в этой статье — Правило делимости 13.Взгляни!
Правило делимости 17 — Число делится на 17, когда 17 делит его полностью, не оставляя ненулевого остатка. В соответствии с правилом делимости 17, сначала мы должны умножить цифру разряда единиц на 5. Затем мы вычитаем произведение из оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта разница приводит к числу, кратному 17, то исходное число также делится на 17.
Правило делимости 19 — Если мы получаем 0 в качестве остатка при делении числа на 19, то это число считается делимым на 19.В соответствии с правилом делимости числа 19, сначала мы должны умножить цифру разряда единиц на 2. Затем мы прибавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма дает число, кратное 19, то исходное число также делится на 19.
Правила делимости 13, 17 и 19 примеров
Давайте возьмем пример числа 1326 и проверим его делимость на 13, 17 и 19. Посмотрите на изображение, приведенное ниже.
Аналитический центр
Число делится на 4 и 12.Правда ли, что он будет делиться на 48?
Проверьте, соблюдает ли 2359334 правила делимости 4 и 8.
Важные примечания
Правила делимости имеют большое значение при проверке простых чисел.
Они удобны для решения текстовых задач.
Они полезны для быстрых вычислений.
Правила делимости Темы
Также проверьте эти статьи, связанные с правилами делимости.
Часто задаваемые вопросы о правилах делимости
Что означают правила делимости?
Правила делимости помогают нам определить, делится ли число полностью на другое число. Если число «a» делится на другое число «b», то оно обозначается как «a | b». Тесты на делимость — это очень короткие вычисления, основанные на цифрах чисел, чтобы выяснить, делит ли конкретное число полностью другое число или нет.
Что такое правило делимости 7 и 11?
Правило делимости числа 7 гласит, что если мы умножим цифру числа единиц на 2, а затем, если разница между этим числом и остальной частью числа слева делится на 7, то число также делится на 7.Например, давайте проверим, делится ли число 3437 на 7 или нет. Во-первых, найдите удвоение разряда единиц, то есть 7. Теперь вычтите 7 × 2 = 14 из оставшейся части числа слева, которое составляет 343. 343 — 14 = 329. Все еще трудно выяснить, действительно ли 329 делится на 7 или нет, поэтому повторите тот же процесс еще раз. Вычтем 9 × 2 = 18 из 32, получим 32-18 = 14, что делится на 7. Итак, 3437 делится на 7. Правило делимости числа 11 гласит, что если разница между суммами цифр в альтернативных местах числа делится на 11, то число также делится на 11.Чтобы проверить, делится ли 1334 на 11 или нет, сначала найдите сумму цифр в альтернативных местах. Сумма цифр в нечетных местах равна 4 + 3 = 7, а сумма цифр в четных местах составляет 3 + 1 = 4. Теперь найдите разницу между ними, которая составляет 7-4 = 3. 3 не делится на 11, поэтому 1334 также не делится на 11.
Каковы правила делимости для чисел 2, 5 и 10?
Правила делимости чисел 2, 5 и 10 приведены ниже:
Правило делимости 2 — разрядная цифра числа должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
Правило делимости 5 — разрядная цифра числа должна быть либо 0, либо 5.
Правило делимости 10 — разрядная цифра числа должна быть 0.
Каковы правила делимости для 3, 6 и 9?
Правила делимости 3, 6 и 9 приведены ниже:
Правило делимости числа 3 — сумма всех цифр числа должна делиться на 3
Правило делимости 6 — Число должно делиться как на 2, так и на 3
Правило делимости 9 — сумма всех цифр числа должна делиться на 9
Каковы правила делимости для 8?
Чтобы проверить, делится ли число на 8 или нет, мы можем использовать тест делимости 8, который утверждает, что для того, чтобы число делилось на 8, должно выполняться одно из следующих условий:
Последние три знака числа справа должны быть 000.
Последние три разряда числа должны быть числом, кратным 8.
Что такое тест делимости числа 7?
Посмотрите на приведенные ниже шаги, чтобы применить тест делимости 7:
.
Шаг 1. Определите однозначную цифру числа и умножьте ее на 2.
Шаг 2: Найдите разницу между числом, полученным на шаге 1, и остальной частью числа.
Шаг 3: Если разница делится на 7, то число делится на 7.
Шаг 4: Если все еще сложно определить, кратна ли разница 7 или нет, повторите тот же процесс с числом, полученным на шаге 2.
Что такое тест делимости 2?
Тест на делимость числа 2 утверждает, что если разряды разряда единиц числа даже включают 0, то число будет делиться на 2. Все четные числа делятся на 2, или мы можем сказать, что они кратны 2.
Правила делимости — методы и примеры
Деление — это одна из четырех основных операций, при которой число распределяется на равные части.Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количеств на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.
Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.
Что такое правило делимости?
Правила делимости были разработаны, чтобы упростить и ускорить процесс деления .Понимание правил делимости от 1 до 20 — важный навык в математике, поскольку он позволяет лучше решать задачи.
Например, правило делимости числа 9 определенно скажет нам, делится ли число на 9, независимо от того, насколько большим может показаться число.
Вы можете легко запомнить правила делимости для чисел, таких как 2, 3, 4 и 5. Но правила делимости для 7, 11 и 13 немного сложны, и по этой причине необходимо тщательно их понимать. .
Правила делимости
Как следует из названия, правила или тесты делимости — это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного выполнения фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное — целое число, а остаток равен нулю.
Поскольку не все числа полностью делятся на другие числа, правила делимости на самом деле являются сокращениями для определения действительного делителя числа просто путем изучения цифр, составляющих число.
Давайте теперь рассмотрим эти правила делимости для разных чисел.
В проверке делимости 1 нет условий для чисел. Все числа делятся на 1, независимо от их размера. Когда любое число делится на 1, результатом является само число. Например, 5/1 = 5 и 100000/1 = 100000.
Число делится на 2, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0.
Тест делимости для 3 утверждает, что число полностью делится на 3, если цифры числа делятся на 3 или кратно 3.
Например, рассмотрим два числа, 308 и 207:
Чтобы проверить, делится ли 308 на 3 или нет, найдите сумму цифр.
3 + 0 + 8 = 11. Так как сумма равна 11, что не делится на 3, то 308 также не делится на 3.
Проверьте 207, суммируя его цифры: 2 + 0 + 7 = 9, так как 9 делится на 3, то 207 также делится на 3.
Тест делимости для 4 утверждает, что число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4,
Например: Рассмотрим два числа , 2508 и 2506.
Последние цифры числа 2508 — 08. Так как 08 делится на 4, то число 2508 также делится на 4.
2506 не делится на 4, поскольку две последние цифры 06 не делятся на 4. .
Все числа с последней цифрой 0 или 5 делятся на 5. Например, 100/5 = 20, 205/5 = 41.
Число делится на 6, если его последняя цифра является четным числом или ноль, а сумма цифр кратна 3.
Например, 270 делится на 2, потому что последняя цифра равна 0.
Сумма цифр равна: 2 + 7 + 0 = 9, которое также делится на 3.
Следовательно, 270 делится на 6.
Проверка делимости 7 объясняется в следующем алгоритме
Рассмотрим число 1073. Проверить, делится ли число на 7 или нет?
Удалите число 3 и умножьте его на 2, получится 6. Вычтите 6 из оставшегося числа 107, поэтому 107 — 6 = 101.
Повторите процесс. У нас 1 x 2 = 2, а оставшееся число 10-2 = 8.Так как 8 не делится на 7, то число 1073 также не делится на 7.
Тест делимости для 8 утверждает, что число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.
Тест делимости для 9 аналогичен тесту на делимость числа 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то число также делится на 9.
Пример: в таком числе, как 78532, сумма цифр равна : 7 + 8 + 5 + 3 + 2 = 25. Поскольку 25 не делится на 9, 78532 также не делится на 9.Рассмотрим другой случай числа: 686997, сумма цифр будет: 6 + 8 + 6 + 9 + 9 + 7 = 45. Поскольку сумма делится на 9, то число 686997 делится на 9.
Правило делимости для 10 означает, что любое число, последняя цифра которого равна нулю, тогда число I делится на 10.
Например, числа: 30, 50, 8000, 20 33000 делятся на 10.
Правила делимости для 11
Это правило гласит, что число делится на 11, если разница суммы альтернативных цифр делится на 11.
Например, чтобы проверить, делится ли число 2143 на 11 или нет, процедура следующая:
Сумма альтернативных цифр каждой группы: 2 + 4 = 6 и 1+ 3 = 4
Следовательно, 6- 4 = 2, поэтому число не делится на 11. Следовательно, 2143 не делится на 11.
Правила делимости для 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, повторите сложение последней цифры выполняется 4 раза к оставшемуся числу, пока не будет получено двузначное число.Если двузначное число делится на 13, то целое число также делится на 13.
В этом случае двузначное число оказывается 65, которое делится на 13, следовательно, число 2795 также делится на 13.
Практические вопросы
1. Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 и 10?
а. 149
г.19400
г. 720345
г. 125370
эл. 3000000
2. Проверьте, делятся ли числа на 4:
3. 23408
4. 100246
5. 34972
6. 150126
7. 58724
8. 19000
9. 43938
10. 846336
11. Определите, делится ли первое число на второе:
a. 3409122; 6
б. 17218; 6
с. 11309634; 8
г.515712; 8
e. 3501804; 4
12. Определите, является ли число 9 множителем следующих чисел?
а. 394683
б. 1872546
г. 5172354
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Искусство решения проблем
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применяются только для base-10 — другие базы имеют свои собственные, разные версии этих правил.
Видео о делимости
https://youtu.be/bIipw2XSMgU
Основы
Правило делимости на 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на. Таким образом, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его цифра единиц делится на 2, то есть если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно.Обратите внимание, что это не , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 сам не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разделите числа на трехзначные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7.
Доказательство
Правило 2: усеките последнюю цифру, удвойте эту цифру и вычтите ее из остальной части числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это только говорит вам, делится ли он, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и прибавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы оно стало равным нулю. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба приемлемы; я использую первый).Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. В целом работает с числами, которые взаимно просты с основанием (и отлично работает в двоичном формате). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!
Правило делимости 10 и степени 10
Если число является степенью 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которые должны стоять в конце числа, чтобы оно делилось на эту степень 10.
Пример:
Чтобы число делилось на 1 000 000, в конце должно быть 6 нулей, потому что.
Правило делимости для 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда чередующаяся сумма цифр делится на 11.
Доказательство
Общие правила для композитов
Число делится на, где разложение на простые множители равно, если число делится на каждое из.
Пример
Для примера мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Разложение 36 на простые множители. Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы увидеть, делится ли оно на 36.
Поскольку две последние цифры, 44, числа делятся на 4, то же самое и все число.
Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится как на 4, так и на 9 и должен делиться на 36.
Продвинутый
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, кроме 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 для делимости на 7.Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, ее умножение на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, делящийся на. Правило делимости 2 на 7 говорит, что для,. Правило делимости 11 эквивалентно выбору. Правило делимости 3 эквивалентно выбору. Эти правила также могут быть найдены при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется на, то вычитание может быть заменено сложением.Мы видим один пример этого в правиле делимости числа 13: мы могли бы умножить на 9 и вычесть, а не умножать на 4 и складывать.
Правило делимости для 13
Правило 1. Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разделите числа на трехзначные числа справа ().Альтернативная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 5 и вычесть из оставшегося первого числа. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Процесс можно повторить для любого числа.
Доказательство
Правило делимости для 19
Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 2 и прибавить к оставшемуся начальному числу.Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 3 и прибавить к оставшемуся начальному числу. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для вынимания надоедливости из корня.
Полезно до 23:00.Округлите число до ближайшего 50, позвоните по нему и вычтите исходное число, позвоните по этому номеру. Если, он делится на 49.
Примеры:
49. Округлить:. Разница: . ? Да!
1501. Округлить:. Разница: . ? Нет!
1470. Округлить:. Разница: . ? Да!
Доказательство
Проблемы
Ресурсы
Книги
Классы
См. Также
Правила делимости
GMAT: полное руководство
Время чтения: 6 минут
Последнее обновление 19 марта 2021 г.
Как мы узнали в предыдущем блоге, GMAT не позволяет использовать калькулятор в разделе Quant.Таким образом, важно запомнить и уметь использовать правила делимости при ответах на определенные вопросы.
Бывают случаи, когда эти правила делимости могут быть полезны для упрощения чисел и разложения на простые множители, и времена, когда эти правила могут быть полезны при определении того, является ли число кратным другому числу.
Прежде чем переходить к конкретным примерам, давайте рассмотрим правила делимости для чисел 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.
Правила делимости GMAT: обзор
Число Делится на 0
Ни одно число не делится на 0.
Число делится на 2
Число делится на 2, если цифра единиц равна 0, 2, 4, 6 или 8, то есть если цифра единиц четная.
Например, 30, 42, 54, 66 и 78 делятся на 2.
Число делится на 3
Число делится на 3, если сумма всех цифр делится на 3.
Например , 472071 делится на 3, потому что сумма его цифр (4 + 7 + 2 + 0 + 7 + 1 = 21) делится на 3.
Число делится на 4
Если две последние цифры числа делятся на 4, то число делится на 4.
Например, последние две цифры числа 244 равны 44, что делится на 4. Студенты иногда не видят, что число, оканчивающееся на 00, делится на 4. Просто помните, что все числа, кратные 100, делятся на 4, поскольку 100 = 25 x 4.
Число делится на 5
Число делится на 5, если последняя (единица) цифра 0 или 5.
Например, числа 55 и 70 делятся на 5.
Число Делится на 6
Число делится на 6, если рассматриваемое число является четным числом, сумма цифр которого кратна 3 (и, следовательно, число делится как на 2, так и на 3, то есть делится на 6).
Например, 18 — четное число, а его цифры, 1 и 8, составляют 9, кратное 3.
Число, делимое на 7
Для этого есть хитрые формулы, но их логика сложна. Итак, если вас спросят, делится ли число на 7, просто сделайте деление.
Число делится на 8
Если число четное, разделите последние три цифры на 8. Если нет остатка, то исходное число делится на 8.
Например, число 1160 делится на 8, потому что 160/8 = 20, что является целым числом.Студенты часто не понимают, что если число заканчивается на 000, число делится на 8. Просто помните, что все числа, кратные 1000, делятся на 8, потому что 1000 = 125 x 8.
Число делится на 9
Число делится на 9, если сумма всех цифр делится на 9.
Например, 479 655 делится на 9, потому что сумма цифр (4 + 7 + 9 + 6 + 5 + 5 = 36) делится на 9.
Число делится на 10
Если цифра единиц равна 0, то число делится на 10.
Например, 10, 80, 90, 100, 1120 и 10000 делятся на 10.
Число делится на 11
Число делится на 11, если сумма разрядов с нечетным номером минус сумма Количество разрядов с четным номером делится на 11. Цифры с нечетным номером — это 1 -й , 3 -й , 5 -й и т. д. слева от десятичной точки. Следовательно, это единицы, сотни, десятки тысяч и так далее. Точно так же четные разряды — это 2 -й , 4 -й , 6 -й и т. Д. Слева от десятичной точки.Следовательно, это десятки, тысячи, сотни тысяч и так далее.
Например, 253 делится на 11, потому что (2 + 3) — 5 = 0, который делится на 11 (помните, 0 делится на любое число, кроме самого себя). Аналогично, 2915 делится на 11, потому что (9 + 5) — (2 + 1) = 11, что делится на 11.
Число делится на 12
Если число делится как на 3, так и на 4, число равно также делится на 12.
Например, поскольку 24 делится как на 3, так и на 4, 24 также делится на 12.
Теперь, когда мы рассмотрели правила делимости, давайте обсудим два сценария, в которых правила делимости могут быть полезны.
Использование правил делимости для вопросов простой факторизации
Предположим, например, что нам дано число 288 и нам нужно разбить 288 на простые множители. Хотя мы быстро видим, что 288 — четное число и, следовательно, делится на 2, чтобы наиболее эффективно разбить 288 на простые множители, полезно найти число больше 2 (если применимо), которое делит 288.5
Хотя то, что мы сделали, может показаться несущественным, начало факторизации простых чисел с деления на большое число позволяет сделать меньше шагов при разбиении чисел на простые множители, что позволяет сэкономить время. Если вы можете сэкономить хотя бы 10 секунд на каждом вопросе, вы сэкономите 31 * 10 = 310 секунд, или почти 5 минут, в разделе Quant.
Теперь давайте обсудим использование правил делимости при ответах на вопросы GMAT, которые напрямую связаны с делимостью.
Использование правил делимости для определения того, какие числа делят другие числа
Мы только что обсудили, как мы можем использовать правила делимости в вопросах, которые напрямую не касаются делимости, но, конечно, эти правила также могут быть полезны при ответах на вопросы делимости.Рассмотрим следующий пример:
Если T = 213 425 212, то на какое из следующего должно делиться T + 2?
3
6
12
Только I
I и II
I и III
II и III
I, II и III
Решение: T + + 9000 2 = 213 425 214. Было бы непозволительно по времени разделить каждый из вариантов ответа на T + 2. Вместо этого мы воспользуемся правилами делимости.Поскольку T + 2 заканчивается на 4, которое является четным числом, оно делится на 2. Кроме того, сумма цифр T + 2 выглядит следующим образом: 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 5+ 2 + 1 + 4 = 24, кратное 3; таким образом, T + 2 делится на 3. Итак, мы знаем, что T + 2 делится на 2 и на 3. Это также означает, что T + 2 делится на 6, потому что разложение 6 на простые множители равно 3 × 2. Таким образом, T + 2 делится на 3 и на 6. Наконец, мы узнали, что если число делится на 3 и 4, оно также делится на 12. Поскольку мы знаем, что T + 2 делится на 3, нам нужно только чтобы определить, делится ли оно также на 4.Мы делим 14, последние две цифры T + 2, на 4. Поскольку 14 не делится на 4, T + 2 не делится на 4 и, следовательно, не делится на 12.
Ответ: B
Если мы не знаем наших правил делимости, единственный способ решить этот вопрос — разделить 213 425 212 + 2 = 213 425 214 на 3, 6 или 12. Это, вероятно, будет долгим и подверженным ошибкам процессом. С другой стороны, используя правила делимости для 3, 6 и 12, мы можем очень легко прийти к ответу.
Последнее замечание о правилах делимости по важности в GMAT
Как видите, знание правил делимости, таких как свои пять пальцев, является относительно простым способом значительно повысить эффективность и снизить вероятность ошибки при ответе «нет». только квантовые вопросы, которые имеют дело непосредственно с делимостью, но также и вопросы, связанные с простой факторизацией.
Помните, что в GMAT вы должны стараться по возможности упрощать комплексные числа; Правила делимости — важный инструмент для этого. Чтобы узнать больше о том, как эффективно отвечать на вопросы GMAT Quant, ознакомьтесь с нашей статьей с 10 стратегиями, позволяющими получить высокий балл GMAT Quant без калькулятора.
Что такое правило делимости
Правило делимости — это способ определить, делится ли данное число на фиксированное число, без выполнения деления.
Мы можем использовать тесты делимости для определения простых множителей.
Тесты на делимость
Тесты на делимость на 2
Если число имеет любую из цифр 0, 2, 4, 6, 8 на своем месте, то это число делится на 2.
Простой пример
, скажем, номер 3456 У числа 3456 6 вместо единицы.Таким образом, число 3456 делится на 2.
Средний Пример:
В этом месяце Марк сэкономил 1200 рупий. Он хотел купить два подарка брату и
сестра. Он думал купить эти подарки по той же цене. Как бы он потратил свои сбережения
на эти два подарка?
Он мог потратить рупий.600 в подарок.
Пояснение:
Mark стоил 1200 рупий. На эти сбережения он хотел купить два подарка. Он разделил 1200 рупий на две равные части. У числа 1200 0 вместо единицы.Таким образом, 1200 делится на 2. Теперь 1200/2 = 600.
Признаки делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
Простой пример
, скажем, номер 3456. Сумма цифр в числе 3456 равна 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 18 делится на 3. Следовательно, 3456 делится на 3.
Предварительный пример:
Дженнифер решила выполнить задание по математике в классе.В классе было всего
78 студентов. Она хотела сделать из класса 3 группы с равным количеством учеников.
Что бы она сделала?
В каждой группе могло быть 26 студентов.
Пояснение:
В классе было всего 78 студентов. Проверьте число 78 с помощью теста на делимость на 3. Сумма цифр в числе 78 равна 7 + 8 = 15. 15 делится на 3. Следовательно, 78 делится на 3. Теперь 78/3 = 26
Признаки делимости на 4
Если число, образованное цифрами в разрядах десятков и единиц, делится на 4, то
это число также делится на 4.
Простой пример
, скажем, номер 3112 В числе 3112 число образовано цифрами в разрядах десятков и единиц.
это 12. Число 12 делится на 4, так что число 3112 делится на 4.
Предварительный пример
У Роба пачка страниц 5110.Сможет ли он раздать их 4 клиентам на равных?
Он не смог бы распределить 5110 страниц с 4 клиентами поровну.
Пояснение:
В числе 5110 число образовано цифрами в разрядах десятков и единиц.
10. Число 10 не делится на 4, поэтому число 5110 не делится на
4.
Признаки делимости на 5
Если число содержит 0 или 5 вместо единиц, то это число делится.
на 5.
Простой пример
, допустим, 3035. Число 3035 имеет 5 вместо единицы. Таким образом, 3035 делится на 5.
Признаки делимости на 6
Если число можно разделить на числа 2 и 3, то это число делится.
на 6.
Простой пример
1. Допустим, номер 55128 Число 55128 имеет 8 вместо единицы. Там он делится на 2. Сумма
цифры в числе 55128 равны 5 + 5 + 1 + 2 + 8 = 21. 21 делится на 3. Следовательно,
55128 делится на 6.
2.допустим, число 45120. Число 45120 имеет 0 вместо единицы. Там он делится на 2. Сумма
цифры в числе 45120 равны 4 + 5 + 1 + 2 + 0 = 12. 12 делится на 3. Следовательно,
45120 делится на 6.
Признаки делимости на 9
Если сумма цифр в числе делится на 9, то это число делится.
на 9.
Простой пример
, скажем, номер 55008. Сумма цифр в числе 55008 равна 5 + 5 + 0 + 0 + 8 = 18. 18 делится на
9. Следовательно, 55008 делится на 9.
Средний Пример:
, допустим, номер 2247. Сумма цифр числа 2247 равна 2 + 2 + 4 + 7 = 15.15 не делится на
9. Следовательно, 2247 не делится на 9.
Признаки делимости на 10
Если число имеет 0 вместо единиц, то это число делится на 10.
Простой пример
, допустим, 3050. У числа 3050 0 вместо единицы.Таким образом, 3050 делится на 10.
Признаки делимости на 11
Если разница между суммами, полученными добавлением очередных цифр числа
равно 0 или делится на 11, то это число также делится на 11.
Простой пример
, допустим, 1463. Суммы альтернативных цифр числа 1463 равны 1 + 6 = 7 и 4 + 3 = 7.
разница между ними 7-7 = 0. Следовательно, 1463 также делится на 11.
Средний Пример:
, скажем, номер 8243 Суммы альтернативных цифр числа 8243 равны 8 + 4 = 12 и 2 + 3 = 5.
разница между ними 12-5 = 7.7 не делится на 11. Следовательно, 8243 — это
не делится на 11.
Делители числа.
Частные, полученные при делении числа, являются делителями числа. Чтобы найти делитель 15, разделите 15 на 3. Мы получим 5 как частное. Итак, 3 и 5 являются делителем 15.
Примечание:
Каждое число делится на цифру 1 и само себя.
Простой пример
Делители 225: 1, 3, 5, 9, 25, 45, 75, 225
Пояснение:
225 делится на 5.225/5 = 45, 225 делится на 3. 225/3 = 75 225 делится на 9. 225/9 = 25 Теперь каждое число делится на число 1 и само себя.
Здесь мы будем использовать тесты на делимость. 420 делится на 2. 420/2 = 210. 420 делится на 10. 420/10 = 42. 420 делится на 5. 420 /5 = 84 420 делится на 3. 420 /3 = 140 420 делится на 2 и 3. Таким образом, 420 делится на 6. 420 /6 = 70. Теперь каждое число делится на число 1 и само
Перпендикулярность прямых. Расстояние от точки до прямой. Серединный перпендикуляр
Треугольник.
Площадь треугольника
Прямоугольный параллелепипед
Развёртка прямоугольного параллелепипеда
Объём прямоугольного параллелепипеда
Угол.
Измерение углов
Биссектриса угла. Свойство биссектрисы угла
Параллельные и перпендикулярные прямые
Площадь прямоугольного треугольника и некоторых видов многоугольников.
Переход от одной единицы измерения площади к другой.
Прямоугольный параллелепипед
Объём прямоугольного параллелепипеда
Понятие десятичной дроби. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и наоборот
Сравнение десятичных дробей
Рациональные числа.
Периодические дроби
Сложение и вычитание десятичных дробей
Умножение десятичных дробей
Среднее арифметическое и деление десятичных дробей на натуральное число
Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Положительные и отрицательные числа.
Координатная прямая
Противоположные числа. Модуль числа
Сравнение чисел
Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой
Алгебраическая сумма и её свойства
Сумма рациональных чисел с одинаковыми знаками
Сумма рациональных чисел с разными знаками
Умножение и деление рациональных чисел
Координаты.
Координатная плоскость. Координаты точки
Начальные понятия и факты курса геометрии
Окружность и круг. Число Пи. Длина окружности. Площадь круга
Осевая и центральная симметрия
Проценты.
Задачи на проценты: нахождение процента от величины и величины по её проценту
Отношения
Пропорция. Основное свойство пропорции
Решение задач с помощью пропорций
Прямая и обратная пропорциональность
Разные задачи на пропорции
Конспект урока по Математике «Решение задачи на умножение и деление» 3 класс
Тема: «Решение задачи на умножение и деление» ,программа ( Школа 2100 ) учебник Математика ( Демидова, Козлова)
Закрепить знания детей об умножении и делении, научить решать задачи на деление и умножение, отрабатывать устные вычислительные навыки;
Воспитывать взаимное уважение друг к другу, способствовать воспитанию интереса к математике, умения работать сообща.
Развивать внимание, мышление, коммуникативность, вычислительные умения, умение анализировать, составлять задачи по таблице, делать выводы.
I.Орг.момент.
Прозвенел звонок и смолк ,
Начинается урок!
Мы за парты тихо сели ,
И соседа не задели!
Ножки на пол мы поставим,
Спинки ровно разогнем
Локотки на стол поставим
Домик к носу поднесём
Руку левую на стол
Сверху правую кладём!
Добрый день , ребята, меня зовут Оксана Сергеевна, сегодня я проведу у вас урок математики.
Проверьте , у каждого должен быть на парте учебник, тетрадь, пенал, дневник,смайлик.
II. Устный счет
III.Актуализация знаний
IV.Изучение нового материала
РАЗМИНКА
V. Итог урока
РЕФЛЕКСИЯ
Сегодня у нас начинается грандиозная стройка. Мы будем строить новый дом «Дом-Знаний». И от того каким он будет зависит только от вас. Каждое выполненное задание на сегодняшнем уроке – это этаж нашего дома. Готовы? Начинаем! А что нужно заложить прежде, чем строить дом?
. Закладка фундамента. Устный счет. – Начнем наш урок с веселого счета. перед вами цифро- гусеница.
Как быстрее посчитать сумму всех чисел, из которых она состоит? (ищем способ решения данного выражения)
9 * 8 + 6 * 3 + 1 + 8 = 72 + 18 + 9 = 99
1. В одном ряду сидели 23 ученика, в другом – на 5 учеников меньше. Сколько учеников сидело во втором ряду? (18 учеников)
2. 8 пар танцуют польку, А всех танцоров сколько? (16)
3. После того как 19 человек ушли в поход, в отряде осталось 7 человек. Сколько всего человек в отряде? (12 человек)
1. Ребята, давайте вспомним, что такое умножение? ( одно из основных арифметических действий, при котором одно число умножается на другое). Другими словами умножение- это математическая операция, которая заключается в сложении одинаковых слагаемых, определённое количество раз. 2. Как называются компоненты действия умножения? (вывешиваю таблицы) Дети: Умножаемое- множитель-произведение 3. Какое математическое действие можно назвать обратным действию умножению? (деление) 4. Как называются компоненты действия деления? Дети: Делимое-делитель-частное
Строительство 1 этажа. Информационный центр.
Ребята, как вы думаете какая тема сегодняшнего урока??
Какие цели поставим себе на урок?? Работа над задачей Да, ребята, верно, мы будем учиться решать задачи на умножение и деление.
Открываем тетради, записываем число и классная работа.
Мальчик и девочка принесли 27 морковок для кроликов и разложили поровну по 9 штук в каждую клетку. Во сколько клеток дети разложили морковку? . Объяснение на наглядной основе. –О ком говорится в условии? (О мальчике и девочке) – Что они делали? (Принесли морковку для кроликов) – Что они сделали с морковкой? (Разложили кроликам в клетки) – А что значит разложили? – Как разложили морковь? (Поровну в каждую клетку, по 9 штук) – Что обозначает число 27? 9 -Сможем ответить на вопрос задачи? — При помощи какого действия решим задачу? Составляем краткую запись и у доски решает ребенок.
Итак, информационный центр построен, пора переходить к строительству следующего этажа.
Открываем учебник на стр.109. №1 V.Строительство 2 этажа.
Решение задач 1) А сейчас мы попробуем решить следующую задачу.
Прочитайте её и обсудите в парах.
Обратите внимание у вас есть схема к данной задаче, на нее вы можете опираться при решении задачи.
Проверка(фронатально) Что нам известно в задаче? Что значит сорвали с 4 клумб по 6 цветков? Что надо узнать? Что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Что будем узнавать сначала? Каким действием? ( обратитесь к схеме задачи) Что узнаем потом? Каким действием?
Записываем решение задачи в тетрадь.
2) Решаем задачу под № 2 С.110 (самостоятельно)
Проверка(фронтально) Прочитайте задачу. Посмотрите на схему к задаче и на запись, которая находится под задачей в зеленой рамке. Что нам известно в задаче? Что надо узнать? Как мы узнаем сколько кг винограда в 1 ящике? Что нужно сделать? А как узнать сколько кг винограда в 3 таких ящиках? Ученик записывает решение
на доске .
Итак, строительство идет полным ходом, но нам с вами нужно передохнуть. Все встали смотрим внимательно и выполняем вместе со мной. Быстро встали, улыбнулись, Выше-выше подтянулись. Ну-ка плечи распрямите, Поднимите, опустите. Вправо, влево повернитесь, Рук коленями коснитесь. Сели, встали, сели, встали, И на месте побежали.
Закончили, все тихо- тихо сели. Продолжаем…
VI. Строительство 3 этажа.
Составление задач по таблице. Построили 2 этажа нашего дома. А чтобы построить следующий этаж дома нужно научиться составлять задачи по таблице и решать их. С.110 № 3 (а,б)
По вариантам выполняем проверка (фронтально) Дети составляют задачу. Итак посмотрите на первую линию задачи . -Что нам известно, что дано? ( известно, что цена апельсина 60 тг за 1 шт., и количество апельсинов 4 штуки) -А что необходимо узнать? ( стоимость 4 апельсинов) — Как мы узнаем стоимость апельсинов? ( цену умножим на количество) Верно. Обратите внимание на вторую строку задачи -Что нам здесь известно? ( количество бананов 3 шт) — Посмотрите внимательно, а еще нам что-нибудь известно? ( да, стоимость, ведь она одинаковая и для апельсинов и для бананов) — Как мы узнаем сколько стоит 1 банан? ( стоимость поделим на количество) Записываем таблицу в тетрадь, решает ученик у доски Подводим детей к обобщению что По цене и количеству предметов можно узнать их стоимость, по стоимости и цене узнать количество, по стоимости и количеству — цену. Б) Разбор задачи аналогичен разбору предыдущей задачи . Подводим детей к обобщению что По общей массе и количеству можно узнать массу 1 предмета, по массе 1 предмета и общей массе можно узнать количество предметов, по массе 1 предмета и по количеству можно узнать общую массу. VII. Строительство 4 этажа. Чтобы построить 4 этаж нашего дома нужно выполнить… Задание на С.110 № 4 (3-4 ст)
2 ученика работают у доски, остальные в тетрадях Пока выполняем задание В это время С/р на листочках (выбранные ученики 5 детей).
VIII. Возводим крышу. Домашнее задание: откройте дневники, запишите домашнее задание на следующий урок математики стр.110 № 3 (в)
ИЛИ
№ 8 на стр.111
Глядя на построенный дом, давайте вспомним что мы сегодня делали на уроке?
-Что повторили? -Чему научились? — Какие задания на сегодняшнем уроке показались вам наиболее сложными, интересными?
На партах у каждого лежат смайлики, поднимите тот смайл, который характеризует ваше отношение к сегодняшнему уроку. Вы считаете, что урок прошёл для вас плодотворно, с пользой.
Вы научились и можете помочь другим. Вы считаете, что научились решать задачи на умножение и деление, но вам ещё нужна помощь. Вы считаете, что было трудно на уроке.
Спасибо за работу!
Урок окончен!
даааа
Фундамент
Ответы детей
Ответы детей
На слайде выражения
На слайде задачи
Наглядности к задаче вывешиваю на доске
Фронтальная работа
Работа в парах
Индивидуальная работа
На доске вывешивается задача
Вывешиваю таблицу к задаче.
Раздаю карточки с заданием «дополни предложения» задание взято из учебника ( с.111 № 10).
Тесты онлайн по математике для 3 класса
Главная
Математика
Здесь вы можете пройти онлайн тесты по математике за 3 класс на сложение и вычитание, а также тесты, представленные в виде математических задач. Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 3 классе. Сюда входит:
Числа от 1 до 100.Сложение и вычитание. Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через десяток. Выражения с переменной. Решение уравнений. Решение уравнений. Новый способ решения. Закрепление. Решение уравнений. Обозначение геометрических фигур буквами. Закрепление пройденного материала. Решение задач.
Числа от 1 до 1000.Нумерация. Устная и письменная нумерация. Разряды счетных единиц. Натуральная последовательность трехзначных чисел. Увеличение и уменьшение числа в 10, 100 раз. Замена трехзначного числа суммой разрядных слагаемых. Сравнение трехзначных чисел. Единицы массы: килограмм, грамм.
Числа от 1 до 1000.Сложение и вычитание. Приемы устного сложения и вычитания в пределах 1000. Алгоритмы письменного сложения и вычитания в пределах 1000. Виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, равносторонний.
Математические задачи. Простые задачи на умножение. Задачи на нахождение суммы двух произведений. Составные задачи на деление суммы на число. Задачи на нахождение периметра и сторон геометрических фигур. Задачи на нахождение доли числа. Составные задачи на цену, количество, стоимость. Задачи на кратное сравнение в несколько раз. Задачи на деление по содержанию и на равные части. Задачи на приведение к единице. Составные задачи на разностное и кратное сравнение. И другие…
Дальше вы можете пройти по порядку (или вразброс) тесты по математике за 3 класс. Будьте внимательны!
Тесты
Тест №1. Сложение и вычитание десятков, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на прибавление и отнимание десятков для 3 класса. В тесте 20 примеров.
Тест №2. Сложение и вычитание в пределах 100, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание в пределах 100, для 3 класса. В тесте — 80 примеров.
Тест №3. Сложение и вычитание сотен, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание сотен, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
Тест №4. Сложение и вычитание в пределах 1000, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание в пределах 1000, для 3 класса. В тесте — 80 примеров.
Тест №5. Сложение разрядных слагаемых в пределах 1000, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение разрядных слагаемых в пределах 1000, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
Тест №6. Сложение разрядных слагаемых в пределах 1 000 000, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение разрядных слагаемых в пределах 1 000 000, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
Тест №7. Простые задачи на умножение, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 простых математических задач на умножение для 3 класса.
Тест №8. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз для 3 класса.
Тест №9. Задачи на деление по содержанию и на равные части, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на деление по содержанию и на равные части для 3 класса.
Тест №10. Задачи на кратное сравнение в несколько раз, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на кратное сравнение в несколько раз для 3 класса.
Тест №11. Задачи на уменьшение и увеличение числа в несколько раз косвенная форма), 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма) для 3 класса.
Тест №12. Составные задачи на нахождение суммы, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на нахождение суммы для 3 класса.
Тест №13. Задачи на приведение к единице, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на приведение к единице для 3 класса.
Тест №14. Задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого, для 3 класса.
Тест №15. Составные задачи на разностное и кратное сравнение, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на разностное и кратное сравнение, для 3 класса.
Тест №16. Задачи на нахождение суммы двух произведений, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на нахождение суммы двух произведений, для 3 класса.
Тест №17. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение неизвестного слагаемого, для 3 класса.
Тест №18. Составные задачи на деление суммы на число, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 10 составных математических задач на деление суммы на число, для 3 класса.
Тест №19. Составные задачи на цену, количество, стоимость. 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на цену, количество и стоимость, для 3 класса.
Тест №20. Задачи на нахождение периметра и сторон геометрических фигур, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 задач на нахождение периметра и сторон геометрических фигур для 3 класса.
Тест №21. Задачи на нахождение доли числа, 3 класс .
[]
В этом тесте тебе нужно решить 20 задач на нахождение доли числа для 3 класса.
Урок 5. конкретный смысл умножения и деления. связь умножения и деления — Математика — 3 класс
Математика, 3 класс
Урок №5. Конкретный смысл умножения и деления. Связь умножения и деления
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Что такое умножение?
Сложение, каких слагаемых можно заменить умножением?
Что показывает первый множитель в записи умножения, что показывает второй множитель?
Какое действие обратное умножению?
Глоссарий по теме:
Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. Знак умножения — *, х.
Компоненты умножения: первый множитель, второй множитель.
Результат умножения – произведение.
Деление – действие обратное умножению.
Обязательная литературы и дополнительная литература:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.18
2. М. И. Моро, С. И. Волкова. Для тех, кто любит математику 3 класс.
Учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.; Просвещение,2018. – с. 12.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим выражения:
21 + 21 + 21 + 21
6 + 6 + 6 + 6
16 см + 16 см +16 см + 16 см
32 + 32 + 32 + 32
Во всех выражениях записана сумма чисел. Это общий признак.
Какое выражение может быть лишним:
Лишним может быть второе выражение – складывают однозначные числа; может быть лишним третье – складывают единицы длины, может быть лишним четвёртое – складывают неодинаковые слагаемые.
Составим выражение к рисунку и узнаем, сколько всего вишенок:
2 + 2 + 2 + 2 + 2. Так как на каждой веточке по 2 вишни, таких пар 5.
Выполнили сложение одинаковых чисел. Слагаемое равно 2, прибавляли его 5 раз.
Составим выражение к следующему рисунку. На рисунке три букета, в каждом букете 3 цветка. Получается следующее выражение: 3 + 3 + 3. Слагаемое 3 прибавляли 3 раза.
Составим выражение к этому рисунку. В каждой связке по 7 шаров, таких связок 6.
Получается следующее выражение: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7. Число 7 слагаемое, прибавляем его 6 раз.
Решим задачу. В каждом из 7 террариумах живут 6 черепах. Сколько всего черепах в этих террариумах? Для решения выбираем действие сложение, так как неизвестно общее число черепах.
Решение задачи:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 (ч.)
Ответ: 42 черепахи.
Выполнить сложение несложно, так складываем однозначное число. Но выполнить быстро непросто будет.
Решим задачу.
В первых классах обучается 90 учеников. На праздник каждому подарили по 2 книги. Сколько всего книг подарили? В задаче неизвестно: сколько всего книг, потому выбираем действие сложение. Нужно число 2 прибавить 90 раз, так каждый ученик получил 2 книги, а учеников 90.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +…..
Выражение получится очень длинным. Это очень неудобно.
Поэтому в математике есть другой способ записи сложения одинаковых чисел, который называется умножение.
Необходимо запомнить: только сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
Выражения, которые составляли к рисункам, можно записать короче:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 ∙ 6
3 + 3 + 3 = 3 ∙ 3
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 ∙ 6
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 ∙ 7
Компоненты умножения называются множители. Первый множитель показывает, какое число прибавляют, второй множитель показывает – сколько раз прибавляют это число.
Результат умножения называется произведение.
Например:
2 ∙ 3 = 6
2 – первый множитель. Это слагаемое.
3 – второй множитель, показывает, что число 2 прибавили 3 раза
2 – первый множитель; 4 – второй множитель, 8– произведение.
Если произведение 8 разделим на второй множитель 4, то получим первый множитель – 2.
Если произведение 8 разделим на первый множитель 2, то получим второй множитель – 4.
Деление – действие обратное умножению.
Компоненты деления: делимое, делитель, частное.
Вывод:
Ответим на вопросы, поставленные в начале урока.
Умножение – сложение одинаковых чисел. Только сложение одинаковых слагаемых можно заменить сложением.
Компоненты действия умножения: первый множитель, второй множитель. Результат умножения – произведение. Если произведение разделить на множитель, то можно получить другой множитель. Действие обратное умножению – деление.
Выполним несколько тренировочных заданий.
1. Какое выражение лишнее:
28 + 26 + 22 + 4;
35 + 17 + 13 + 5;
42 + 22 + 14 + 7;
8 + 8 + 8 + 8 + 8.
Лишним будет последнее выражение: выполняют сложение одинаковых чисел. Это выражение можно заменить умножением:
404 Страница не найдена | Образование голышмановского района
ГЛАВНАЯ
Структура
НОВОСТИ
Учредительные документы
Объявления
Региональный центр «Новое поколение»
История
Родителям
Советы родителям школьника
Как выбрать школьную форму
Горячая линия» по вопросам профилактики инфекций, передающихся клещами
Об актированных днях
Меры социальной поддержки, предоставляемые семьям с детьми органами социальной защиты населения
ПАМЯТКА для получения ежемесячной выплаты в связи с рождением (усыновлением) первого ребёнка
Меры социальной поддержки, предоставляемые семьям с детьми органами социальной защиты населения 2018
Отцы, защитите своих детей! (безопасность 0+)
Открытое окно — опасность для ребенка
«Скоро в школу»
Дошкольное образование
«Горячая Линия» по вопросам организации дошкольного образования
Дошкольное образование в нацпроектах
Родителям
Об утверждении Порядка учета детей на территории Голышмановского городского округа
Приказ Минобрнауки России от 13. 01.2014 N 8 «Об утверждении примерной формы договора об образовании по образовательным программам дошкольного образования» (Зарегистрировано в Минюсте России 27.03.2014 N 31757)
ПРИКАЗ от 27 июня 2017 г. N 602 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОРЯДКА РАССЛЕДОВАНИЯ И УЧЕТА НЕСЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ С ОБУЧАЮЩИМИСЯ ВО ВРЕМЯ ПРЕБЫВАНИЯ В ОРГАНИЗАЦИИ, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
Об установлении родительской платы за содержание детей в дошкольных образовательных учреждениях
Постановление №955 от 31.12. 2019 «Об утверждении Порядка распределения средств, предоставляемых в целях частичного возмещения расходов учреждений, реализующих образовательную программу дошкольного образования, на осуществление присмотра и ухода за детьми
Об организации зачисления детей в образовательные учреждения, реализующие основную образовательную программу дошкольного образования
О внесении изменений и дополнений в постановление Администрации Голышмановского муниципального района от 30. 06.2015 № 874 (в редакции от 18.05.2016 № 606)
Приказ О закреплении образовательных учреждений за конкретными территориями Голыгимановского городского округа №21 от 20.01.20
Aдминистративный регламент предоставления муниципальной услуги «Прием заявлений, постановка на учет и зачисление детей в образовательные учреждения, реализующие основную образовательную программу дошкольного образования (детские сады)»
Постановление от 12.10.2021 № 996 Об утверждении муниципальной программы «Основные направления развития системы образования Голышмановского городского округа» на 2022-2024 годы
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ
Общее образование
О проведении мониторинга качества подготовки обучающихся в 2021-2022 учебном году
Публичный отчет Голышмановский городской округ 2020
Об утверждении муниципальной программы «Основные направления развития системы образования в Голышмановском городском округе» на 2021-2023 годы
Постановление ГГО Губернаторская елка 2021
Положение о проведении Губернаторской елки
Положение о проведении Губернаторской елки
ПМПК
О ПМПК
Положение о ПМПК
Основные направления деятельности ТПМПК
Выбор маршрута
Порядок осуществления обследования
Консультации
Запись на обследование
Документы на ПМПК
Вопрос — ответ
ПМПС
Состав ПМПС
Положение о ПМПС 2019
Направления работы ПМПС
Консультации
Защита прав детей
Конвенция о правах ребенка
Федеральный закон «Об основах профилактики безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних» № 120-ФЗ от 24. 06.1999г.
Организация питания
НОРМАТИВНО-ПРАВОВАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ
ГОРЯЧАЯ ЛИНИЯ ПО ПИТАНИЮ
ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ
Организация летнего отдыха
Распоряжение № 1124-рп от 10.12.2021 г Об организации детской оздоровительной кампании в Тюменской области в 2022 году
Реестр организации отдыха детей и их оздоровления Голышмановского городского округа на 2022г
Постановление № 989 от 11.10.2021г Об утверждении муниципальной программы «Организация отдыха, оздоровления и занятости несовершеннолетних в Голышмановском городском округе» на 2022-2024 годы
Постановление № 1372 30.12.2021 Об организации отдыха, оздоровления населения и занятости несовершеннолетних в Голышмановском городском округе в 2022 году
Приказ №35 от 08.04.2022 Об организации отдыха,оздоровления и занятости детей и подростков в 2022 году
Постановление №517 от 17.05.2022 Об утверждении Положения о порядке и условиях внесения родительской платы на организацию отдыха и оздоровления детей в лагерях с дневным пребыванием на территории Голышмановско
Постановление №476 от 04. 05.2022
Постановление № 523 от 17.05.2022
Постановление №524 от 17.05.2022
Постановление №594 от 01.06.2022
ПРОФСОЮЗ
Горячая линия
ФГОС НОО ОВЗ
НОРМАТИВНО-ПРАВОВАЯ БАЗА
Всероссийская олимпиада школьников
Ссылки на сайты ВсОШ
Всероссийская олимпиада школьников 2021-2022
Всероссийская олимпиада школьников 2020-2021
Всероссийская олимпиада школьников 2019-2020
«Точка опоры»
Консультационные пункты
Куда обратиться
Кураторы проекта
Навигатор для родителей
Наши консультанты
О проекте
Реализация проекта в ОО ГГО
Родительская школа
Обратная связь
Здоровье
НОРМАТИВНО-ПРАВОВАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ
Рекомендации по организации работы ОУ
ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ
Банк успешных практик
ВНЕУРОЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
ДОШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
КЛАССНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ
МАТЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЫ ТЬЮТОРСКИХ СЕМИНАРОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ, ОГЭ
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ СТАЖИРОВОЧНОЙ ПЛОЩАДКИ ПО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЧАЛЬНЫЕ КЛАССЫ
ОДАРЕННЫЕ И ТАЛАНТЛИВЫЕ ДЕТИ
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТЕРАТУРА
Оценка механизмов управления качеством образования
1. Образовательные результаты
2. Образовательная деятельность
МКУ «Центр развития образования»
Структура
Учредительные документы
Антикоррупционная деятельность
Консультационно-методическое обеспечение введения ФГОС НОО и ФГОС ООО
ФГОС НОО
ФГОС ООО
Министерство просвещения Российской Федерации
Департамент образования и науки Тюменской области
ТОГИРРО
РОССИЙСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ПОРТАЛ
Федеральные государственные образовательные стандарты
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИНФОРМАЦИОННО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ
ОФИЦИАЛЬНЫЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОРТАЛ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
ЕГЭ.RU
Портал государственных и муниципальных услуг в сфере образования Тюменской области
Детские сады Тюменской области
Единое окно доступа к образовательным ресурсам
Электронная школа Тюменской области
Официальный интернет-портал правовой информации
Рабочие листы по математике для 3-го класса
Рабочие листы для сложения
Это главная страница для рабочих листов для сложения. Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы по сложению космического корабля, рабочие листы по сложению нескольких цифр, рабочие листы по сложению без переноса и другие темы по сложению. Эти дополнительные рабочие листы бесплатны для личного или классного использования.
Рабочие листы на сложение
Рабочие листы на вычитание
Это главная страница рабочих листов на вычитание. Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы по математическому вычитанию космического корабля, тесты на вычитание по времени, рабочие листы по вычитанию нескольких цифр, простые рабочие листы по заимствованию и перегруппировке, а также математические рабочие листы со смешанными задачами на сложение и вычитание
Рабочие листы по вычитанию
Рабочие листы по умножению
Это главная страница для рабочих листов по умножению. Уберите пальцы, потому что это первая математическая операция, требующая запоминания фактов. Вы найдете рабочие листы умножения для восьми простых правил папы для освоения таблицы умножения, умножения RocketMath, многозначного умножения, квадратов и других тем рабочего листа умножения. Все эти рабочие листы по умножению содержат ключи для ответов, их можно мгновенно распечатать и использовать в классе или дома.
Рабочие листы на умножение
Рабочие листы на деление
Это главная страница рабочих листов на деление. Сюда входят рабочие листы математического отдела космического корабля, рабочие листы для деления на несколько цифр, рабочие листы для квадратных корней, кубических корней, смешанные рабочие листы для умножения и деления. Эти рабочие листы разделения бесплатны для личного или классного использования.
Рабочие листы на деление
Таблица умножения
Пытаетесь запомнить факты умножения? Эта страница содержит печатные таблицы умножения, которые идеально подходят для справки. Существуют различные варианты каждой таблицы умножения с фактами от 1 до 9.(продукты 1-81), 1-10 (продукты 1-100), 1-12 (продукты 1-144) и 1-15 (продукты 1-255). Каждая из этих диаграмм умножения представляет собой SVG с высоким разрешением, поэтому факты умножения печатаются красиво!
Таблица умножения
Таблица умножения
Вы ищете распечатанную таблицу умножения, в которой есть не только факты? Один с некоторыми дополнительными математическими фактами о множителях? Или уникальный дизайн? В цвете? Все таблицы умножения на этой странице представляют собой файлы SVG с высоким разрешением, которые прекрасно распечатываются на вашем принтере и являются отличным ресурсом для изучения таблицы умножения в классе начальной школы или дома!
Таблица умножения
Рабочие листы семейства фактов
Рабочие листы семейства фактов сосредоточены на наборах связанных математических фактов, а не на конкретных операциях. Научите своих детей сложению и вычитанию одновременно и укрепите отношения в семье фактов! На каждом уровне представлены два семейства фактов, которые позволяют прогрессивно практиковаться, или просто используйте рабочие листы в конце для всестороннего обзора семейства фактов.
Рабочие листы семейства фактов
Графические дроби
Отличное введение в дроби с использованием круговой графики. Учащихся просят идентифицировать числовые формы дробей на графике или создать свои собственные представления.
Графические дроби
Словесные задачи
На этой странице представлены текстовые задачи, охватывающие ряд сложностей для всех основных операций, включая задачи с большими значениями, а также с неиспользованной информацией. Словесные задачи — отличный способ применить эти математические факты на практике и развить реальное понимание того, что означают операции в реальном мире!
Словесные задачи
Денежные задачи
Реальные задачи на сложение, вычитание, умножение и деление на деньги. Отличное первое введение в прикладную математику для студентов, знакомых с десятичной арифметикой!
Задачи Money Word
Округление чисел
В этом разделе представлены рабочие листы округления для округления целых чисел и округления десятичных чисел, начиная с относительно простых задач, которые вводят алгоритм округления, а затем переходят к более сложным задачам, где учащиеся должны определить правильное разрядное значение цифра для проверки, а также правильная цифра для округления в большую или меньшую сторону..
Округление чисел
Упорядочивание чисел
Практика упорядочивания рабочих листов с несколькими числами в порядке возрастания (от наибольшего к наименьшему) и убывания (от наименьшего к наибольшему). Включает в себя целые числа, десятичные числа и отрицательные числа. Аналогичные наборы рабочих листов с порядковыми номерами представлены как в горизонтальном, так и в вертикальном форматах.
Номера для заказа
Стандартная, расширенная и словесная формы
Практические рабочие листы для преобразования чисел между стандартной формой (цифры), расширенной формой (разрядное значение) и формой слова (прописью или устным представлением).
Стандартная, расширенная и Word Form
Флэш-карты для печати
Эта страница содержит бесплатные печатные флеш-карты для каждой математической операции. Распечатайте «рабочий лист» на лицевой стороне, затем переверните страницу и распечатайте «ключ ответа» на обратной стороне. Некоторые наборы содержат повторяющиеся факты для более сложных задач ближе к концу, так что наборы оказываются на нескольких страницах. Эти карточки четко помечены как дубликаты… используйте их для дополнительной практики над более сложными задачами или отложите их в сторону, если вам нужен набор только с одной флэш-картой для каждого факта математики.
Флэш-карты для печати
Отсутствующие операции
Рабочие листы, в которых даны ответы, но отсутствует операция. Это отличный способ выучить группы фактов «в обратном порядке» или обеспечить подкрепление, если запоминание с помощью других упражнений кажется застопорившимся.
Отсутствующие операции
Таблица сотен
Каждая таблица сотен, которую вы можете себе представить! Если вы обучаете основам счета, понятию чисел, округлению или основам арифметики, вы можете использовать числовую таблицу, подобную одной из этих, чтобы ускорить развитие математических навыков.
Таблица сотен
Таблица стоимостей
На этой странице можно распечатать таблицы стоимостей. В десятичной системе счисления положение (или «место») отдельной цифры в числе определяет ее значение относительно других цифр. Когда число записывается в стандартной форме с группами из трех разрядов, разделенных запятыми, каждая из этих групп называется точкой. Формирование чувства числа путем понимания разрядных значений является важным математическим навыком на раннем этапе, и эти диаграммы разрядных значений позволяют разбивать числа на части, чтобы лучше понять значение каждой цифры. Существуют варианты диаграмм разрядности только для целых чисел, десятичных чисел и очень больших чисел. Существуют различные макеты диаграмм стоимости мест, которые усиливают как стоимость места, так и стоимость периода.
Таблица разрядов
Римские цифры
Рабочие листы по римским цифрам, включая преобразование римских цифр, упорядочивание римских цифр и заполнение шаблонов римских цифр. Римские цифры — идеальная тема для учащихся 3-х, 4-х и 5-х классов, и эти рабочие листы обеспечивают практику чтения и письма римскими цифрами, а также базовые навыки восприятия чисел.
Римские цифры
Таблица римских цифр
Если вы пытаетесь научиться читать и писать римскими цифрами, пытаетесь найти причудливый способ написать свой год рождения, или вам просто нужна «шпаргалка» для быстрого Для справки, каждая таблица с римскими цифрами на этой странице позволит вам работать с этой древней системой счисления в кратчайшие сроки. Все диаграммы печатаются на одной странице в версиях для 1-10, 1-100 и 1-1000 с правилами для римских цифр и без них. Пытаетесь понять, что означает эта странная римская цифра после Суперкубка? Взгляните на новую таблицу римских цифр Super Bowl!
Таблица с римскими цифрами
Судоку
Головоломки судоку для детей и взрослых, в том числе легкие и сложные, злые судоку, самурайские судоку и многое другое!
Судоку
Магический квадрат
Головоломки с магическим квадратом — отличное введение в логику и решение задач… Попробуйте эти 3×3, 4×4 и 5×5, чтобы улучшить свои математические навыки!
Волшебный квадрат
Головоломки с числовой сеткой
В этом разделе представлены листы математических логических головоломок в виде сетки, включающие сложение, вычитание, умножение и деление для разных классов и уровней навыков. Существуют версии этих логических головоломок с пропущенными числами, а также с пропущенными операциями.
Головоломки с цифрами
Базовая геометрия
Простая маркировка линий, углов и треугольников. Идентификация фигур
Базовая геометрия
Определение аналогового времени
Практические рабочие листы для определения времени аналоговых часов, включая чтение времени и рисование циферблатов.
Определение аналогового времени
Прошедшее аналоговое время
Рабочие листы для сравнения двух аналоговых часов и определения времени, прошедшего между ними.
Прошедшее аналоговое время
Больше и меньше
Практические рабочие листы для сравнения чисел. Эти рабочие листы содержат больше и меньше операций, сравнений и тестов на равенство для многозначных чисел, времени и многого другого!
Больше и меньше
Бумага для рукописного ввода
Печатные шаблоны бумаги для рукописного ввода с разной высотой строки, включая 3-строчную тренировочную бумагу в обычном и широком макетах, чистую бумагу для рассказов и обычную разлинованную бумагу для старшего класса ученики. Ознакомьтесь с пронумерованными пустыми шаблонами проверки орфографии!
Бумага для рукописного ввода
Миллиметровая бумага
Бесплатная печатная миллиметровая бумага, бумага с сеткой и точечная бумага для математических задач, ремесел, зентанглинга, ландшафтного дизайна, архитектуры или просто рисования. Все стили графической бумаги включают дюймовые и сантиметровые варианты. Все эти PDF-файлы предназначены для печати на бумаге размером 8,5 x 11 дюймов.
Миллиметровая бумага
Измерение в дюймах
Эти рабочие листы для измерения дюймов (обычных единиц) помогут развить навыки выполнения линейных измерений либо в одной точке, либо в измерении длины объекта. Существуют различные измерительные рабочие листы с задачами, подходящие для учащихся детского сада, первого, второго или третьего класса по математике.
Измерение в дюймах
Метрическое измерение
Рабочие листы для определения измеренных положений и измерения объектов в сантиметрах и миллиметрах на линейке. Эти рабочие листы являются отличной практикой для учащихся первого, второго, третьего и четвертого классов, а также могут обеспечить практическую практику вычитания при измерении длины объектов на линейке.
Метрические измерения
Математическое умножение изображений
Эти рабочие листы для печати используют изображения и группировку, чтобы построить концептуальное понимание умножения. Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением умножения, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций умножения. Это идеальное первое введение в умножение для учащихся второго, третьего или четвертого класса.
Picture Math Multiplication
Picture Math Division
Эти рабочие листы для печати используют изображения и группировку для построения концептуального понимания деления, и они являются идеальным первым введением в эту часто запутанную операцию. Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением деления, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций деления, включая остатки. Это идеальное первое введение в деление для учащихся третьего или четвертого класса.
Picture Math Division
Деньги
Эти рабочие листы для распечатки денег содержат реалистичные монеты и купюры в задачах на идентификацию монет, внесение сдачи, подсчет монет и сравнение сумм денег. Они формируют базовые навыки распознавания и счета в детском саду и в первом классе, чтобы подготовиться к полной практике с деньгами, необходимой для прохождения второго класса.
Деньги
Математика космического корабля
Страницы галочки космического корабля (в комплекте с космическим кораблем!) для отслеживания прогресса в рабочих листах математики космического корабля или ракетной математики для каждой из четырех основных операций.
Проверка математики космического корабля
Дополнение «Раскрась по номеру»
Эти рабочие листы с добавлением раскраски требуют, чтобы учащиеся решили простые математические факты, чтобы найти правильный цвет для раскрашивания, чтобы показать изображение их собственного творения. Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тематических страниц, которые я буду добавлять со временем… Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Добавление цвета по номеру
Раскраска по номерам с вычитанием
В этих рабочих листах для раскрашивания с вычитанием учащиеся должны решить простые математические факты, чтобы найти правильный цвет для раскрашивания, чтобы показать изображение собственного творения. Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тематических страниц, которые я буду добавлять со временем. .. Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Вычитание цвета по номеру
Умножение цвета по номеру
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина более увлекательным? На этой странице собраны листы для умножения в цвете на число, подходящие для учащихся третьего, четвертого или пятого классов.
Умножение раскраски по номерам
Разделение раскраски по номерам
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина немного веселее? На этой странице собраны листы с цветовым делением по номерам, подходящие для учащихся третьего, четвертого или пятого классов.
Раскраска по номерам
День святого Валентина
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина немного веселее? На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня святого Валентина.
День святого Валентина
День Земли
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День Земли более увлекательным? На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня Земли.
День Земли
День Святого Патрика
Когда дело доходит до математики, нельзя полагаться только на удачу ирландцев, но этот День Святого Патрика делает его немного веселее! На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами трилистника Дня Святого Патрика.
День Святого Патрика
Весна
Какое лучшее время года для развития новых математических навыков, чем весна! На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Существует также коллекция простых весенних математических листов с забавными весенними цветочными темами, а также таблица умножения, таблица сотен, миллиметровая бумага и координатная плоскость!
Весна
Головоломки с поиском слов
Используйте эти математические головоломки для поиска слов, чтобы познакомить учащихся начальной школы со словарным запасом и терминами, когда они знакомятся с новыми математическими понятиями! Эти головоломки для поиска слов включают в себя наборы для различных уровней обучения, согласованных с Common Core, а также конкретные темы для геометрии, алгебры и многого другого!
Головоломки с поиском слов
Числовой ряд
Числовой ряд может быть мощным инструментом для изучения отрицательных чисел, отношений или просто вводных операций сложения и вычитания. PDF-файлы с числовыми строками на этой странице включают различные диапазоны (10, 12, 15, 20, 15 и 100) как с нуля, так и с отрицательными диапазонами. Полный набор строк чисел дроби, отмеченных общими знаменателями, включен в диапазоны от -5 до 5. Существуют также специальные числовые строки для прошедшего времени, температуры и денег, а также пустые числовые строки для обычных диапазонов и дробей.
Число Строка
Рабочие листы по математике для 3-го класса
Эти рабочие листы по математике для 3-го класса начинаются с рабочих листов на сложение, вычитание, умножение и деление, включая рабочие листы с делением в длинные числа и упражнения на умножение нескольких цифр. В математике 3-го класса также представлены рабочие листы дробей и базовая геометрия, обе темы, где овладение арифметическими операциями дает много возможностей для практики. Рабочие листы в этом разделе также обеспечивают практику для упорядочивания чисел, сравнений (больше и меньше, чем рабочие листы), метрических измерений, обычных измерений и других математических рабочих листов, подходящих для математики 3-го класса. Есть также другие ресурсы для печати, включая таблицу умножения, таблицу стоимостных значений и бумагу для практики письма. Все бесплатные рабочие листы по математике в этом разделе содержат распечатываемые ответы, и они обязательно помогут вашим ученикам хорошо подготовиться к математическим темам 4-го класса!
Занятия по умножению для класса | Ресурсы по умножению для печати
Ваши ученики изо всех сил стараются закрепить свои знания об умножении? Если да, то пришло время попробовать одно из этих волшебных упражнений на умножение в вашем классе.
Как учить умножению: закладываем основы, прежде чем строить их
Переход от обучения вычитанию и сложению к обучению умножению может оказаться довольно сложной задачей для некоторых учащихся. Поэтому очень важно, чтобы мы заложили основу для успеха ваших учеников.
Мой совет номер один: не учите своих учеников запоминать факты умножения до того, как они установят связь между умножением и сложением.
Убедитесь, что ваши ученики усвоили первый столп умножения — многократное сложение.
Следуйте этим простым шагам для обучения умножению:
Всякий раз, когда есть возможность использовать практические занятия и манипуляции, хватайтесь за нее!
Объясните своим ученикам, что умножение — это многократное сложение (3 × 5 означает «три группы по пять», что равно 5 + 5 + 5).
Используйте сетку 100, чтобы показать, как пропуск подсчета дает тот же результат, что и многократное сложение.
Объясните своим ученикам, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю (0 × 5 = 0, 0 × 8 = 0).
Объясните своим ученикам, что любое число, умноженное на одно, равно одному и тому же числу (1 × 6 = 6, 1 × 8 = 8).
Определите и исследуйте простые кратные на 100 кв. . Кратность 10 — отличное место для начала.
Позже научите своих учеников, что умножение коммутативно , что означает, что порядок множителей не меняет произведение (a × b всегда совпадает с b × a). Другими словами, два числа можно умножать в любом порядке, и ответ будет одинаковым.
Ура, время массивов
Многократное сложение и умножение массивов — идеальный способ сделать абстрактную идею конкретной.
Я люблю массивы, потому что они соединяют разрыв между повторным сложением и умножением. Они раскрывают концепцию, их легко и быстро сделать, и они дают возможность проявить творческий подход!
При обучении созданию массивов умножения:
Объясните строки и столбцы .
Создавайте массивы из бетонных предметов , таких как блокирующие блоки, магниты для досок, строительные блоки или… плитку шоколада!
Напишите обе повторное сложение числовое предложение и числовое предложение умножения (3+3+3=9 и 3×3=9).
Исследуйте и исследуйте, как инвертирование расположения столбцов и строк влияет на итог.
Повторяй, пересматривай, повторяй, пересматривай!
Съешьте остатки шоколада.
Точечные массивы
Я создал простую таблицу массивов, которую вы можете использовать в своем классе.
Дайте волю своему творчеству и используйте наклейки со звездами, наклейки с точками, кнопки… возможности безграничны!
Я люблю использовать ватные палочки и краски, потому что я видел, как маленькие лица светятся, когда у них появляется возможность использовать краску, и если вы правильно настроите его, он имеет ограниченный и контролируемый фактор беспорядка.
Создать город массивов умножения
Я люблю, люблю, люблю эту хитрую идею города массивов.
Вы можете создать привлекательную интерактивную демонстрацию в классе с помощью нескольких простых и доступных материалов.
Вот как это сделать:
Покажите и обсудите изображение городского пейзажа.
Смоделируйте, как вырезать форму высотного здания (вы можете предоставить своим учащимся различные шаблоны) и окна.
Продемонстрируйте, как расположить и приклеить окна к зданию, чтобы создать массив для данного предложения с числом умножения.
Предоставьте своим учащимся цветную бумагу (варианты шаблонов), ножницы и клей.
Скажи: «Вперед!»
Игра «Сложи дюжину».
Срежьте крышку коробки для яиц.
Выберите факты умножения, которые вы хотите, чтобы ваши ученики закрепили.
Напишите предложение с числом умножения в каждом углублении коробки для яиц.
Напишите множители (от 1x до 12x) на игрушечном яйце.
Главный совет. Если вы хотите повторно использовать коробку для яиц и яйца для изучения различных фактов умножения, используйте съемные наклейки.
Яичница-болтунья
Для этой прекрасной игры на умножение не нужны взбивалки! Вы можете воплотить в жизнь эту идею быстрее, чем время, необходимое для варки яйца (ну, если вы организованы)!
Напишите числа 1–12 в отверстиях картонной коробки для яиц.
Поместите 2 маленькие пуговицы или 2 конструктора в коробку для яиц.
Закройте крышку и встряхните.
Посмотрите, куда приземлились шарики, и используйте числа, чтобы составить предложение с числовым умножением.
Запишите числовое выражение и решите задачу на умножение.
Головоломки на умножение
Если вы ищете головоломки и игры на умножение для учащихся третьего и четвертого классов, у нас это есть!
Наша головоломка на умножение чисел идеально подходит для математического вращения. Учащиеся используют свои знания об умножении и числах, чтобы правильно решать головоломки.
Битва умножения
Эта идея может быть старой любимой, но это классическая и отличная разминка по математике для двух игроков.
Это действительно так же просто, как выбрать две карты из колоды стандартных игральных карт, чтобы сгенерировать предложение с числом умножения. Тот, у кого самый высокий продукт, сохраняет карты.
Переверните несколько формочек для кексов
Чтобы быстро и легко добавить ярких красок на урок математики, переверните несколько формочек для кексов.
Напишите предложение умножения на дне коробки для кексов и продукт на внутренней стороне.
Поместите коробку для кексов дном вверх, чтобы показать вопросы на умножение.
Учащиеся по очереди выбирают коробку для кексов, читают вслух и отвечают на вопрос, прежде чем перевернуть его, чтобы проверить свой ответ.
Если они все сделают правильно, то оставят коробку с кексами. Если они ошибаются, они кладут его обратно. У кого в итоге больше кейсов, тот и победил!
Главный совет: легче писать на формочках для кексов, когда они стоят стопкой. Если ответ виден, удвойте толщину, сложив 2 формочки для кексов и закрепив их двусторонней липкой лентой.
Если вы хотите немного перепутать, чтобы заставить ваших маленьких гениев думать, сделайте обратное, написав произведение на дне коробки для кексов и попросив учеников произнести предложение на умножение.
Для еще одного варианта используйте крышки от бутылок!
Лягушки и кувшинки — активная игра
Вашему классу нужен свежий воздух? Пройдите проверку на повторение фактов умножения в классе и дайте своим ученикам возможность вместо этого выйти на улицу и заняться спортом.
Вам понадобятся бумажные тарелки, зеленая краска (по желанию) и черный маркер.
Как установить:
Покрасьте тарелки в зеленый цвет, чтобы изобразить лилии, и дайте им высохнуть (необязательно).
Выберите определенный набор фактов умножения , который вы хотите объединить в своем классе.
Напишите один вопрос на умножение внизу каждой тарелки и ответ на верхней стороне. Переверните тарелки вверх дном.
Расставьте тарелки на полу на расстоянии прыжков друг от друга.
Как играть:
Учащиеся по очереди становятся прыгающей лягушкой и лягушкой-монитором (контролером ответов).
Лягушка прыгает к первой кувшинке, читает вопрос на умножение и отвечает на вопрос.
Лягушка передает тарелку с кувшинками наблюдателю-лягушке, который проверяет ответ, сверяясь с другой стороной тарелки с кувшинками.
Если ответ правильный, лягушка прыгает на следующую кувшинку. Если ответ неверный, лягушка отпрыгивает назад и пытается снова.
Для дополнительного испытания попросите лягушку начать с другого конца.
Создайте привлекательную демонстрацию в классе
Освежите демонстрацию в классе с помощью наших новых плакатов Multiplication Gear. В нашем пакете ресурсов для механизма умножения вы найдете постер для каждого факта умножения 0-12 и прилагаемый рабочий лист.
Обучающие презентации в изобилии!
Мы создали тринадцать индивидуальных обучающих презентаций, чтобы вы могли использовать их при обучении фактам умножения для таблиц умножения от 1 до 13.
Каждая обучающая презентация охватывает каждый набор фактов до x 14 и включает в себя комбинацию числовых и словесных задач! Более того, для каждого вопроса предоставляется слайд с ответами, демонстрирующий массив и числовое предложение. Вы можете использовать презентацию в качестве разминки или в качестве дополнительного задания для тех, кто рано закончил.
Эти упражнения на умножение наверняка заставят ваших учеников просить еще!
Не забудьте пометить #teachstarterus на своих фотографиях в социальных сетях, когда будете использовать эти идеи…
Обзор онлайн-уроков по математике для 3 класса
Назад к обзору содержания
Урок
Название урока
Прядь
Результат
151
Подсчет 1000—5000
Число и алгебра
Порядок чисел в числовой строке, прямой и обратный счет тысячами, сотнями и десятками. Расположите числа от меньшего к большему.
152
Симметрия
Измерение и геометрия
Исследуйте вертикальные и горизонтальные линии симметрии. Определите изображения в окружающей среде, которые являются симметричными.
153
Образцы цифр 2
Числа и алгебра
Определение шаблонов сложения и вычитания чисел. Изучите последовательность Фибоначчи и следуйте правилу, чтобы создать числовой паттерн. Определите правило создания числового шаблона.
154
Литры и миллилитры
Измерение и геометрия
Ввести в качестве единиц измерения литр и миллилитр. Поймите, что 1 л = 1 л, 1 мл = 1 мл, а 1 л = 1000 мл. Определите, вмещает ли сосуд больше, меньше или равно 1 л. Считайте приращения на мерных кувшинах в литрах и миллилитрах, чтобы определить количество жидкости.
155
Умножение, версия
Числа и алгебра
Изучите стратегии умножения, включая многократное сложение, группировку элементов и использование знака умножения в числовом предложении. Решайте задачи на умножение слов, используя стратегию «создай картинку», чтобы визуализировать задачу.
156
Подсчет 5000—10000
Числа и алгебра
Смоделируйте число, используя оборудование с основанием 10, и сопоставьте число с его названием. Расположите числа на числовой прямой и сосчитайте в прямом и обратном порядке тысячами, сотнями и десятками. Добавьте +1, +10, +100 к числу.
157
Зона 3
Измерение и геометрия
Сосчитайте квадраты, чтобы измерить площадь. Умножьте количество квадратов (длину) на
количество квадратов (ширина). Умножьте длину на ширину, чтобы найти площадь в м².
158
Таблицы умножения: x2, x4
Числа и алгебра
Исследуйте таблицы ×2, ×4. Определите шаблоны на диаграмме сотен и поймите, что 2 × 2 означает две группы по два.
159
Деньги: Эквивалентные суммы 2
Числа и алгебра
Подсчитайте коллекции монет и банкнот, чтобы определить их стоимость. Поймите, что одна и та же сумма может быть представлена в разных комбинациях валюты. Сопоставьте различные комбинации валют с заданной суммой. Найдите правильные комбинации сдачи от заданной суммы до 50 долларов.
160
Сравнение и упорядочивание дробей
Числа и алгебра
Понимать роль верхних и нижних чисел в дроби и использовать термин «знаменатель». Сравните размеры дробей, в том числе смешанных чисел до 2. Упорядочите простые дроби и смешанные числа в числовом ряду. Используемые дроби: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8.
161
Номера разделов
Числа и алгебра
Используйте позиционное значение для разбиения и перестановки чисел до 9999. Распознавайте значение каждой цифры в 4-значных числах. Увеличивайте значение чисел путем сложения и сравнивайте значения, используя математические символы.
162
Время до минуты
Измерение и геометрия
распознает, что в часе 60 минут, и указывает время с точностью до минуты.
163
Эквивалентные числовые предложения
Числа и алгебра
Исследуйте связь между сложением и вычитанием, используя целые и части, связанные числовые факты и эквивалентные числовые предложения.
164
Карты
Измерение и геометрия
Определите объекты и места на простой карте, используя основные координаты и направления по компасу.
165
Подразделение
Числа и алгебра
Пересмотр группировки и совместного использования с использованием знака деления и соответствующих числовых фактов.
166
Нечетные и четные числа 2
Числа и алгебра
Определите нечетные и четные числа, используя счет с пропуском по два на числовых линиях и диаграммах. Изучите закономерности нечетных и четных чисел.
167
Шанс 3
Статистика и вероятность
Исследуйте различные случайные эксперименты. Определите результаты и возможности и запишите результаты.
168
Задачи на умножение слов 2
Числа и алгебра
Используйте факты умножения и связанные с ними числа для решения различных задач со словами. Изучите использование различных стратегий для решения проблем.
169
Призмы и пирамиды
Измерение и геометрия
Определите призмы и пирамиды и опишите их основные свойства.
170
Дополнение 3
Числа и алгебра
Использовать вертикальное сложение. Добавьте два трехзначных числа и введите перегруппировку.
171
Таблица умножения 2: x8
Числа и алгебра
Исследуйте таблицы 4x и 8x. Определите числовые закономерности и исследуйте
Ассоциативное свойство умножения.
172
Килограммы и граммы
Измерение и геометрия
Измеряйте и сравнивайте массу объектов в граммах и килограммах. Использовать
ряд операций для решения одношаговых текстовых задач с массой.
173
Ментальные + — Стратегии
Числа и алгебра
Используйте стратегию компенсации, чтобы складывать и вычитать числа в уме.
174
Данные 3
Статистика и вероятность
Соберите данные и нарисуйте график в масштабе. Решить одношаговые и двухшаговые
вопросы, интерпретируя информацию, представленную на графике.
175
Сравнение частей коллекции
Числа и алгебра
Исследуйте половину, четверть, треть, пятую и десятую доли. Понять
что знаменатель говорит вам, сколько групп нужно сделать. Сравните количество по
сравнение единичных дробей с разными знаменателями.
176
Таблица умножения 3: Ментальные факты
Числа и алгебра
Исследуйте таблицы умножения, включая таблицы 3x и 6x. Определять числовые закономерности и
исследовать дистрибутивное свойство умножения.
177
Углы
Измерение и геометрия
Поймите, что углы — это свойства 2D-форм и меры поворота. Идентифицировать
углы в окружающей среде и сравнить их размеры.
178
Вычитание с перегруппировкой
Числа и алгебра
Применение разрядного числа для вычитания двух трехзначных чисел. Используйте различные стратегии, чтобы
продемонстрировать перегруппировку при вычитании.
179
Сравнение времен
Измерение и геометрия
Сравните продолжительность события, учитывая, что время может быть записано в
минуты, секунды и часы. Поймите разницу между утренним и вечерним временем.
180
Эквивалентные дроби
Числа и алгебра
распознают эквивалентные дроби одинакового размера или в одной и той же точке на
числовая строка. Сравните эквивалентные дроби.
181
Номер Факта Семей 2
Числа и алгебра
Решайте задачи, используя свойство перестановочности умножения. Распознавать
различные комбинации чисел, которые образуют семейства числовых фактов при умножении
и разделяющий.
182
Метры, сантиметры и миллиметры
Измерение и геометрия
Измеряйте и сравнивайте объекты, используя метры, сантиметры и миллиметры. Распознавать
какая единица измерения является наиболее подходящей для данной ситуации.
183
Решение словесных задач
Числа и алгебра
Решайте различные задачи на сложение и вычитание, используя различные стратегии.
184
Свойства 2D-фигур
Измерение и геометрия
Пересмотреть различные категории 2D-фигур и сгруппировать фигуры в соответствии с их
атрибуты.
185
Добавление дробей
Числа и алгебра
Сложите простые дроби с одним и тем же знаменателем. Решайте простые словесные задачи.
186
Умножение
Числа и алгебра
Использовать вертикальное умножение. Умножьте 1 цифру на 1 цифру и 2 цифры на 1 цифру.
187
Создание графиков
Статистика и вероятность
Соберите данные и нарисуйте гистограмму в масштабе. Решайте одноэтапные и двухэтапные вопросы, интерпретируя информацию, представленную на графике.
188
Решение проблем
Числа и алгебра
Решите текстовые задачи, включающие четыре операции. Интерпретируйте вопрос и определите подходящую операцию для решения проблемы.
189
Проблемы со словами времени
Измерение и геометрия
Решите текстовые задачи на время. Используйте сложение и вычитание для вычисления
промежутки времени в минутах.
190
Отдел 2
Числа и алгебра
Вспомните факты деления и решите задачи, где есть неизвестное частное.
191
Задачи на дроби
Число и алгебра
Решите текстовые задачи, включающие нахождение части набора объектов,
равнозначные дроби и сложение дробей.
192
Периметр
Измерение и геометрия
Найдите периметр различных фигур. Вычислите периметры фигур, у которых все
стороны даны, или где есть неизвестная длина. Исследуйте фигуры, которые имеют разные площади, но одинаковые периметры.
193
Умножение 2
Числа и алгебра
Используйте различные стратегии для умножения однозначных чисел на числа, кратные 10.
194
Округление до ближайших 100
Числа и алгебра
Использовать числовую строку. Определите «среднюю точку» и округлите вверх или вниз до ближайшей сотни.
195
Свободные факты в пределах 1000
Числа и алгебра
Используйте ряд стратегий для быстрого сложения и вычитания чисел до и в пределах 1000.
196
Проблемы со словами на деление
Числа и алгебра
Решите текстовые задачи на деление. Интерпретируйте вопросы и определите неизвестные частные.
197
Доли целых чисел
Числа и алгебра
Знайте, что целые числа можно записать в виде дробей. Определите дроби целых чисел на числовой прямой и сравните их размеры.
198
Данные измерения
Статистика и вероятность
Измеряйте предметы с помощью сантиметров и записывайте данные с помощью графика. Запишите измерения в целых числах, половинах и четвертях. Интерпретируйте результаты.
199
Свободно x ÷ в пределах 100
Числа и алгебра
Используйте ряд стратегий для быстрого умножения и деления чисел в пределах 100.
200
Решение проблем области
Измерение и геометрия
Интерпретируйте и решайте задачи на площади. Найдите площади различных прямоугольников, используя аддитивный подход.
Учебная программа по математике для 3-го класса | Общие основные уроки и оценки
Краткое содержание курса
Что такое математика в 3-м классе?
3 класс фокусируется на четырех ключевых достижениях предыдущих лет: (1) развитие понимания и беглости с умножением и делением в пределах 100; (2) развитие понимания дробей, особенно единичных дробей; (3) развитие понимания прямоугольных массивов и площади; и (4) описание и анализ двумерных форм.
Как мы заказывали блоки?
В Раздел 1, Округление, сложение и вычитание учащиеся опираются на свою основную работу во 2 классе по разрядному значению, чтобы развить понимание округления. Затем они развивают беглость сложения и вычитания в пределах 1000. Наконец, они используют оба вышеупомянутых навыка для решения одно- и двухшаговых задач со словами на сложение и вычитание, используя округление для оценки обоснованности своих ответов. Хотя содержание, изучаемое в этом разделе, не является основной работой 3-го класса, как это определено в Общепринятых стандартах штата, оно служит основой для последующей работы, такой как оценка правильности всех типов двухэтапных текстовых задач и умножение одного. числа, кратные десяти, что делает его полезным введением в математику в 3-м классе.
В Единицы 2 и 3, Умножение и деление, части I и II , студенты знакомятся с двумя другими основными операциями, умножением и делением. Они начинают понимать умножение как нахождение общего числа объектов в определенном количестве групп одинакового размера, а деление как нахождение либо размера группы, либо числа групп. Учащиеся работают над беглостью всех фактов умножения и деления в пределах 100, полагаясь на свойства и закономерности, которые помогут, в частности, с трудными фактами 6, 7, 8, 9.. Учащиеся решают одношаговые задачи на умножение и деление, включающие равные группы и массивы, и решают двухшаговые задачи, включающие все четыре операции. Они также изучают бесчисленные связи с умножением и делением, в том числе изучают закономерности, в том числе закономерности в последовательности пропуска и подсчета, а также масштабированные изображения и гистограммы.
В Unit 4, Area учащиеся определяют площадь как количество квадратных единиц, необходимых для покрытия двумерного пространства. Сначала они находят площадь прямоугольников, считая единичные квадраты или пропуская подсчет по строкам и столбцам. Затем, увидев связь между пропуском счета и умножением, которая была построена в предыдущих двух модулях, учащиеся применяют свои недавно приобретенные навыки умножения и деления, чтобы вычислить площадь прямоугольника и решить реальные задачи, связанные с площадью. Наконец, они находят площади составных прямолинейных фигур, разлагая их на прямоугольники, находя площади этих прямоугольников и складывая эти площади вместе.
В Разделе 5, Формы и их периметр , учащиеся начинают с изучения атрибута периметра и начинают различать периметр и площадь как разные измерения. Затем они исследуют двухмерные фигуры в разных категориях, видя, что фигуры в этих категориях имеют общие атрибуты.
В Раздел 6, Дроби , учащиеся строят свою работу по разделению кругов и прямоугольников во 2-м классе для изучения дробей. Они строят более сложные дроби из единичных дробей и начинают понимать дроби как числа, а не части фигур. Для этого учащиеся выполняют обширную работу по размещению дробей на числовой прямой, полезному представлению для сравнения и нахождения эквивалентных дробей. Учащиеся также изучают линейные графики с дробными измерениями, что является ключевым шагом вперед по сравнению со 2-м классом работы с линейными графиками, который связан с их работой с дробями.
В Unit 7, Measurement студенты изучают время, а также объемы и массы жидкостей. Учащиеся учатся читать время с точностью до минуты и используют свою работу с числовыми строками в Единице 1 (с округлением) и Единице 5 (с дробями) для решения задач, связанных с прошедшим временем. Они также полагаются на свою работу с числовыми линиями, чтобы читать шкалы измерений, и используют эти измерения для решения одношаговых задач со словами во всех четырех операциях с объемами и массами жидкости.
Стандарты Карта
Направляющая для стимуляции
Обзор материалов курса
Откройте для себя возможности Fishtank Plus
Откройте для себя дополнительные ресурсы и функции, которые сделают вашу подготовку к уроку проще и эффективнее.
Единицы
Раздел 1
14 уроков
Округление, сложение и вычитание
Учащиеся оценивают величины с помощью округления и развивают беглость со стандартным алгоритмом сложения и вычитания. Студенты сосредотачиваются на точности своих расчетов и используют их для решения реальных задач.
Просмотр блока 1
Модуль 2
21 урок
Умножение и деление, часть 1
Учащиеся начинают изучать понятия умножения и деления, начиная с задач на равные группы и массивы, переходя к подсчету и повторному сложению и заканчивая более сложными и/ или абстрактные проблемы.
Блок просмотра 2
Блок 3
23 урока
Умножение и деление, часть 2
Учащиеся углубляют свое понимание умножения и деления, включая их свойства, и расширяют свое изучение множителей, включая все единицы от 0 до 10, а также числа, кратные 10 в пределах 100.
Просмотр единицы 3
Раздел 4
13 уроков
Площадь
Ученики развивают понимание площадей в зависимости от того, сколько двухмерного пространства занимает фигура, и соотносят это со своей работой с умножением из модулей 2 и 3.
Блок просмотра 4
Блок 5
15 уроков
Формы и их периметр
Учащиеся изучают концепции периметра и геометрии, в частности, измерение периметра. Они начинают с изучения специфического атрибута периметра, а затем приходят к различению периметра и площади как разных измерений.
Блок просмотра 5
Блок 6
28 уроков
Дроби
Учащиеся углубляют свое понимание половин, третей и четвертей, чтобы понимать дроби как равные части целого, и знакомятся с дополнительными дробными единицами, такими как пятые, шестые, восьмые, девятые и десятые.
Просмотр блока 6
Блок 7
12 уроков
Измерение
Учащиеся изучают измерения, используя килограммы, граммы, литры, миллилитры и интервалы времени в минутах.
View Unit 7
Рабочие листы по математике
Просмотрите и загрузите любой рабочий лист из 3-го класса по математике.
120 задачек по математике для учащихся 1-8 классов
Вы сидите за партой, готовясь вместе составить математический тест, тест или задание. Вопросы перетекают в документ, пока вы не нажмете раздел для текстовых задач.
Всплеск творчества не помешал бы. Но не приходит.
Независимо от того, являетесь ли вы учителем 3-го или 8-го класса, готовящим учеников к старшей школе, перевод математических понятий в примеры из реального мира, безусловно, может быть проблемой.
Этот ресурс — источник вашего творчества. Содержит примеры и шаблоны математических задач для 1-8 классов.
Всего 120 примеров.
Список примеров дополнен советами по созданию увлекательных и сложных математических задач.
120 Проблемы с математическим словом, классифицированные по навыку Дополнение Слова Проблемы
Лучше всего для: 1 -й класс, 2 -й класс
1. Добавление к 1003222222 AR. 1 из ее бросков попал в обруч. 2 ее броска не попали в кольцо. Сколько всего было выстрелов?
2. Добавление к 20: У Адрианны есть 10 жевательных резинок, которыми она может поделиться со своими друзьями. На всех ее друзей не хватило жвачки, поэтому она пошла в магазин, чтобы купить еще 3 штуки жвачки. Сколько жевательной резинки сейчас у Адрианны?
3. Добавление к 100: У Адрианны есть 10 жевательных резинок, которыми она может поделиться со своими друзьями. Жвачки не хватило на всех ее друзей, поэтому она пошла в магазин и купила 70 штук клубничной жвачки и 10 штук жевательной резинки. Сколько жевательной резинки сейчас у Адрианны?
4. Добавление чуть более 100: В ресторане 175 обычных стульев и 20 детских стульев. Сколько всего стульев в ресторане?
5. Прибавление к 1000: Сколько печенья вы продали, если продали 320 шоколадных и 270 ванильных печений?
6. Прибавление до 10 000 и более: В магазине товаров для хобби обычно продается 10 576 коллекционных карточек в месяц. В июне магазин товаров для хобби продал на 15 498 коллекционных карточек больше, чем обычно. В целом, сколько коллекционных карточек продал магазин товаров для хобби в июне?
7. Добавление 3 чисел: У Билли дома было 2 книги. Он пошел в библиотеку, чтобы взять еще 2 книги. Затем он купил 1 книгу. Сколько книг сейчас у Билли?
8. Добавление 3 чисел до 100 и выше: Эшли купила большой пакет конфет. В мешочке было 102 синих леденца, 100 красных леденцов и 94 зеленые конфеты. Сколько всего конфет было?
Задачи на вычитание
Подходит для: 1-й класс, второй класс
9. Вычитание до 10: Всего в пиццерии было 3 пиццы. Клиент купил 1 пиццу. Сколько пицц осталось?
10. Вычитая до 20: Ваша подруга сказала, что у нее 11 наклеек. Когда ты помог ей убрать стол, у нее было всего 10 наклеек. Сколько наклеек не хватает?
11. Вычитание из 100: У Адрианны есть 100 жевательных резинок, которыми она может поделиться со своими друзьями. Когда она пошла в парк, она поделилась 10 кусочками клубничной жвачки. Когда она вышла из парка, Адрианна поделилась еще 10 кусочками жевательной резинки. Сколько жевательной резинки сейчас у Адрианны?
Решайте математические задачи с помощью Prodigy Math
Присоединяйтесь к миллионам учителей, использующих Prodigy, чтобы сделать обучение увлекательным и разнообразным, отвечая на внутриигровые вопросы, включая математические задачи с 1 по 8 класс!
Посмотрите, как работает Prodigy Math!
12. Вычитание Чуть больше 100: Ваша команда набрала 123 очка. В первом тайме было набрано 67 очков. Сколько голов было забито во втором тайме?
13. Вычитание до 1000: У Натана большая муравьиная ферма. Он решил продать некоторых из своих муравьев. Он начал с 965 муравьев. Он продал 213 штук. Сколько у него сейчас муравьев?
14. Вычитание 10 000 и более: В магазине товаров для хобби обычно продается 10 576 коллекционных карточек в месяц. В июле магазин товаров для хобби продал в общей сложности 20 777 коллекционных карточек. На сколько коллекционных карточек магазин товаров для хобби продал в июле по сравнению с обычным месяцем?
15. Вычитание 3 чисел: У Шарлин была упаковка из 35 карандашей. Она отдала 6 своей подруге Терезе. Она дала 3 своей подруге Мэнди. Сколько карандашей осталось у Шарлин?
16. Вычитание 3 чисел до 100 и выше: Эшли купила большой пакет конфет, чтобы поделиться с друзьями. Всего было 296 конфет. Она дала Мариссе 105 конфет. Она также подарила Кайле 86 конфет. Сколько конфет осталось?
Задачи на умножение слов
Подходит для: 2-й класс, 3-й класс
17. Умножение однозначных целых чисел: Адрианне нужно разрезать сковороду с пирожными на кусочки. Она нарезает 6 ровных столбиков и 3 ровных ряда на сковороду. Сколько у нее брауни?
18. Умножение двузначных целых чисел: Кинотеатр имеет 25 рядов сидений по 20 мест в каждом ряду. Сколько мест всего?
19. Умножение целых чисел, оканчивающихся на 0: Компания по производству одежды производит 4 разных вида толстовок. Каждый год компания производит 60 000 толстовки каждого вида. Сколько толстовок производит компания каждый год?
20. Умножение 3 целых чисел: Каменщик укладывает кирпичи в 2 ряда по 10 кирпичей в каждом ряду. Сверху каждого ряда уложена стопка из 6 кирпичей. Сколько всего кирпичей?
21. Умножение 4 целых чисел: Кейли зарабатывает 5 долларов в час, доставляя газеты. Она доставляет газеты 3 раза в неделю по 4 часа. Сколько денег заработает Кейли после доставки газет в течение 8 недель?
Проблемы со словами на деление
Подходит для: 3-й класс, 4-й класс, 5-й класс
22. Деление однозначных целых чисел: Если у вас есть 4 конфеты, разделенные поровну на 2 пакета, сколько конфет в каждом пакете?
23. Деление двузначных целых чисел: Если у вас есть 80 билетов на ярмарку и каждая поездка стоит 5 билетов, сколько поездок вы можете совершить?
24. Деление чисел, оканчивающихся на 0: У школы есть 20 000 долларов на покупку нового компьютерного оборудования. Если каждая единица оборудования стоит 50 долларов, сколько всего единиц оборудования может купить школа?
25. Деление 3 целых чисел: Мелисса покупает 2 упаковки теннисных мячей за 12 долларов. Всего вместе 6 теннисных мячей. Сколько стоит 1 упаковка теннисных мячей? Сколько стоит 1 теннисный мяч?
26. Устный перевод Остатки: Итальянский ресторан получает партию из 86 котлет из телятины. Если для приготовления блюда требуется 3 котлеты, то сколько котлет останется в ресторане после приготовления максимально возможного количества блюд?
Словесные задачи со смешанными операциями
Подходит для: 3-й класс, 4-й класс, 5-й класс
27. Смешивание сложения и вычитания: В библиотеке 235 книг. В понедельник выносят 123 книги. Во вторник привезли 56 книг. Сколько книг сейчас?
28. Смешивание Умножение и Деление: Есть группа из 10 человек, которые заказывают пиццу. Если каждый человек получит по 2 ломтика, а в каждой пицце по 4 ломтика, сколько пицц он должен заказать?
29. Смешивание умножения, сложения и вычитания: У Ланы есть 2 мешка по 2 шарика в каждом. У Маркуса есть 2 мешка по 3 шарика в каждом. Сколько еще шариков у Маркуса?
30. Смешивание, сложение и вычитание: У Ланы есть 3 мешка с одинаковым количеством шариков, всего 12 шариков. У Маркуса есть 3 мешка с одинаковым количеством шариков, всего 18 шариков. Сколько еще шариков у Маркуса в каждом мешке?
Упорядочивание и задачи на определение смысла слов
Подходит для: 2-й класс, 3-й класс
31. Счет для предварительного просмотра Умножение: В вашем классе есть 2 классные доски. Если на каждую доску нужно 2 куска мела, сколько всего вам понадобится?
32. Подсчет до предварительного просмотра: В вашем классе есть 3 классные доски. На каждой доске по 2 мелка. Это означает, что всего имеется 6 кусочков мела. Если убрать с каждой доски по 1 кусочку мела, сколько всего их будет?
33. Составление чисел: Какое число 6 десятков и 10 единиц?
34. Угадывание чисел: У меня 7 в разряде десятков. У меня четное число в разряде единиц. У меня меньше 74. Какой у меня номер?
35. Нахождение Ордена: В хоккейном матче Митчелл набрал больше очков, чем Уильям, но меньше очков, чем Остон. Кто набрал больше всего очков? Кто набрал меньше всего очков?
Задачи на дроби
Подходит для: 3-й класс, 4-й класс, 5-й класс, 6-й класс
36. Нахождение дробей группы: Джулия посетила 10 домов на своей улице на Хэллоуин. 5 домов подарили ей плитку шоколада. Какая часть домов на улице Юли подарила ей плитку шоколада?
37. Нахождение дробей единиц измерения: Хизер рисует портрет своей лучшей подруги Лизы. Для удобства она делит портрет на 6 равных частей. Какая дробь представляет каждую часть портрета?
38. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: Ной каждый день проходит ⅓ километра до школы. Он также проходит ⅓ километра, чтобы вернуться домой после школы. Сколько всего километров он прошел?
39. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: На прошлой неделе Уитни подсчитала, сколько коробок сока она ела на школьные обеды. У нее было ⅗ случая. На этой неделе дело сократилось до ⅕. Сколько из ящика выпила Уитни?
40. Сложение целых чисел и дробей с одинаковыми знаменателями: В обеденное время в кафе-мороженом подают 6 ¼ шариков шоколадного мороженого, 5 ¾ шариков ванильного и 2 ¾ шарика клубничного. Сколько шариков мороженого подали в кафе?
41. Вычитание целых чисел и дробей с одинаковыми знаменателями: На вечеринку Хайме приготовила 5 ⅓ бутылок колы для своих друзей. Она выпила ⅓ бутылки сама. Ее друзья выпили 3 ⅓. Сколько бутылок колы осталось у Хайме?
42. Сложение дробей с разными знаменателями: 903:22 Кевин выполнил ½ школьного задания. В тот вечер, когда он был дома, он выполнил ⅚ другого задания. Сколько заданий выполнил Кевин?
43. Вычитание дробей с разными знаменателями: Упаковывая школьные обеды для своих детей, Пэтти использовала ⅞ упаковки ветчины. Она также использовала ½ упаковки индейки. Насколько больше ветчины, чем индейки, съела Пэтти?
44. Умножение дробей: Во время урока физкультуры в среду ученики пробежали ¼ километра. В четверг они пробежали на ½ меньше километров, чем в среду. Сколько километров пробежали студенты в четверг? Запишите ответ в виде дроби.
45. Разделение на дроби: Производитель одежды использует ⅕ бутылки цветного красителя для изготовления одной пары брюк. Вчера производитель использовал ⅘ бутылки. Сколько пар брюк сделал производитель?
46. Умножение дробей на целые числа: На этой неделе Марк выпил ⅚ пакета молока. Фрэнк выпил в 7 раз больше молока, чем Марк. Сколько пакетов молока выпил Фрэнк? Запишите ответ в виде дроби, целого или смешанного числа.
Десятичные задачи
Подходит для: 4-й класс, 5-й класс
47. Добавление десятичных знаков: У вас есть 2,6 грамма йогурта в вашей миске, и вы добавляете еще одну ложку 1,3 грамма. Сколько йогурта у вас всего?
48. Вычитание десятичных дробей: У Джеммы было 25,75 граммов глазури, чтобы сделать торт. Она решила использовать только 15,5 граммов глазури. Сколько глазури осталось у Джеммы?
49. Умножение десятичных дробей на целые числа: 903:22 Маршалл проходит в общей сложности 0,9 км в школу и обратно каждый день. Через 4 дня сколько километров он пройдет?
50. Деление десятичных дробей на целые числа: Чтобы сделать Пизанскую башню из спагетти, миссис Робинсон купила 2,5 кг спагетти. Всего ее ученики смогли построить 10 падающих башен. Сколько килограмм спагетти нужно, чтобы сделать 1 падающую башню?
51. Сложение и вычитание десятичных дробей: У Рокко в холодильнике 1,5 литра апельсиновой газировки и 2,25 литра виноградной газировки. У Антонио есть 1,15 литра апельсиновой газировки и 0,62 литра виноградной газировки. Насколько больше газировки у Рокко, чем у Анджело?
52. Смешивание умножения и деления десятичных дробей: 4 дня в неделю Лаура занимается боевыми искусствами по 1,5 часа. Учитывая, что неделя состоит из 7 дней, каково ее среднее время тренировок в день каждую неделю?
Сравнение и упорядочивание текстовых задач
Подходит для: Детский сад, 1-й класс, 2-й класс
53. Сравнение однозначных чисел У вас есть 5 яблок и яблок2: 9032 У кого больше?
54. Сравнение двузначных целых чисел: У вас 50 конфет, а у вашего друга 75 конфет. У кого больше?
55. Сравнение различных переменных: На детской площадке 5 баскетбольных мячей. На площадке 7 футбольных мячей. Есть еще баскетбольные или футбольные мячи?
56. Последовательность однозначных целых чисел: У Эрика 0 наклеек. Каждый день он получает еще 1 наклейку. Сколько дней до того, как он получит 3 стикера?
57. Счет с пропуском по нечетным числам: 903:22 Натали начала с 5. Она считала пятерками. Могла ли она назвать цифру 20?
58. Счет с пропуском по четным числам: Наташа начала с 0. Она считала с пропуском восьмерками. Могла ли она назвать число 36?
59. Последовательность двузначных чисел: Каждый месяц Джереми добавляет одинаковое количество карточек в свою коллекцию бейсбольных карточек. В январе у него было 36. 48 в феврале. 60 марта. Сколько бейсбольных карточек будет у Джереми в апреле?
Проблемы со словами на время
Подходит для: 1-й класс, 2-й класс
66. Преобразование часов в минуты: Джереми помогал своей маме в течение 1 часа. Сколько минут он помогал ей?
69. Добавление времени: Если вы просыпаетесь в 7:00 и вам требуется 1 час 30 минут, чтобы собраться и дойти до школы, в какое время вы доберетесь до школы?
70. Время вычитания: Если поезд отправляется в 14:00. и прибывает в 16:00, сколько времени пассажиры находились в поезде?
71. Определение времени начала и окончания: Ребекка вышла из магазина своего отца, чтобы пойти домой без двадцати семь вечера. Через сорок минут она была дома. Во сколько она пришла домой?
Задачи на деньги
Подходит для: 1-й класс, 2-й класс, 3-й класс, 4-й класс, 5-й класс
60. Добавление денег: Томас и Мэтью копят деньги, чтобы вместе купить видеоигру . Томас сэкономил 30 долларов. Мэтью сэкономил 35 долларов. Сколько денег они накопили вместе в общей сложности?
61. Вычитание денег: Томас накопил 80 долларов. Он использует свои деньги, чтобы купить видеоигру. Видеоигра стоит 67 долларов. Сколько денег у него осталось?
62. Умножение денег: Тим получает 5 долларов за доставку бумаги. Сколько денег останется у него после доставки бумаги 3 раза?
63. Делим деньги: Роберт потратил $184,59 на покупку 3 хоккейных клюшек. Если каждая хоккейная клюшка стоила одинаково, сколько стоила 1?
64. Сложение денег с десятичными знаками: Вы пошли в магазин и купили жвачку за 1,25 доллара и присоску за 0,50 доллара. Сколько у вас было всего?
65. Вычитание денег с десятичной дробью: Вы пришли в магазин с 5,50 долларами. Вы купили жевательную резинку за 1,25 доллара, плитку шоколада за 1,15 доллара и присоску за 0,50 доллара. Сколько денег у вас осталось?
67. Применение пропорциональных отношений к деньгам: Джейкоб хочет пригласить 20 друзей на свой день рождения, что будет стоить его родителям 250 долларов. Если вместо этого он решит пригласить 15 друзей, сколько денег это будет стоить его родителям? Предположим, что зависимость прямо пропорциональна.
68. Применение процентов к деньгам: Ретта положила 100 долларов на банковский счет, который приносит 20% годовых. Сколько процентов будет накоплено за 1 год? И если она не будет снимать деньги, сколько денег будет на счету через 1 год?
Словесные задачи по физическим измерениям
Подходит для: 1-й класс, 2-й класс, 3-й класс, 4-й класс
72. Сравнение измерений: сантиметры — линейка Cassandra2. Апрельская линейка имеет длину 30 сантиметров. На сколько сантиметров длиннее линейка апреля?
73. Контекстуальные измерения: Представьте себе школьный автобус. Какая единица измерения лучше всего описывает длину автобуса? Сантиметры, метры или километры?
74. Добавление измерений: Папа Миши хочет попытаться сэкономить деньги на бензине, поэтому он следит за тем, сколько он использует. В прошлом году папа Миши израсходовал 100 литров бензина. В этом году ее папа израсходовал 90 литров бензина. Сколько всего газа он израсходовал за два года?
75. Вычитание измерений: Папа Миши хочет сэкономить на бензине, поэтому он следит за тем, сколько он потребляет. За последние два года папа Миши израсходовал 200 литров бензина. В этом году он израсходовал 100 литров газа. Сколько газа он использовал в прошлом году?
76. Умножение объема и массы: Кира хочет, чтобы у нее были крепкие кости, поэтому она выпивает 2 литра молока каждую неделю. Через 3 недели сколько литров молока выпьет Кира?
77. Разделение объема и массы: Лилиан занимается садоводством, поэтому она купила 1 кг земли. Она хочет равномерно распределить почву между своими двумя растениями. Сколько получит каждое растение?
78. Преобразование массы: Ингер идет в продуктовый магазин и покупает 3 тыквы весом 500 грамм каждая. Сколько килограммов тыквы купила Ингер?
79. Преобразование Объем: Шад имеет прилавок с лимонадом и продает 20 чашек лимонада. В каждой чашке было 500 миллилитров. Сколько всего литров Шад продал?
80. Преобразование Длина: Стейси и Милда сравнивают свой рост. Стейси ростом 1,5 метра. Милда на 10 сантиметров выше Стейси. Какой рост у Мильды в сантиметрах?
81. Понимание расстояния и направления: Автобус отправляется из школы, чтобы отвезти учащихся на экскурсию. Автобус проезжает 10 км на юг, 10 км на запад, еще 5 км на юг и 15 км на север. Чтобы вернуться в школу, в каком направлении должен ехать автобус? Сколько километров он должен пройти в этом направлении?
Словесные задачи на соотношения и проценты
Подходит для: 4-й класс, 5-й класс, 6-й класс
82. В поисках пропавшего номера: Соотношение трофеев Дженни и трофеев Мередит составляет 7:4. У Дженни 28 трофеев. Сколько их у Мередит?
83. Поиск недостающих номеров: Соотношение трофеев Дженни и трофеев Мередит составляет 7:4. Разница между числами 12. Что это за числа?
84. Сравнительные коэффициенты: В младшем оркестре школы 10 саксофонистов и 20 трубачей. В старшем оркестре школы 18 саксофонистов и 29трубачи. В какой группе больше трубачей и саксофонистов?
85. Определение процентов: Мэри опросила учеников своей школы, чтобы узнать, какие у них любимые виды спорта. Из 1200 студентов 455 назвали хоккей своим любимым видом спорта. Какой процент студентов назвал хоккей своим любимым видом спорта?
86. Определение процента изменения: Десять лет назад население Оквилля составляло 67 624 человека. Теперь он на 190% больше. Какова численность населения Оквилля в настоящее время?
87. Определение процентов числа: На стойке проката коньков 60% из 120 коньков предназначены для мальчиков. Если остальные коньки для девочек, то сколько их?
88. Вычисление средних значений: В течение 4 недель Уильям работал волонтером в качестве помощника на уроках плавания. В первую неделю он работал волонтером 8 часов. Он добровольно работал 12 часов на второй неделе и еще 12 часов на третьей неделе. На четвертой неделе он вызвался на 9 часов. Сколько часов в среднем он работал волонтером в неделю?
Словесные задачи на вероятность и отношения данных
Подходит для: 4-й класс, 5-й класс, 6-й класс, 7-й класс
шоу, поэтому он осматривает всех мальчиков. Будет ли выборка репрезентативной или необъективной?
90. Понимание осязаемой вероятности: На гранях кубика с правильным числом указаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Вы бросаете кубик 12 раз. Сколько раз вы должны выбросить 1?
91. Изучение дополнительных событий: Числа от 1 до 50 в шляпе. Если вероятность выпадения четного числа равна 25/50, какова вероятность НЕ выпадения четного числа? Выразите эту вероятность дробью.
92. Изучение экспериментальной вероятности: В пиццерии недавно было продано 15 пицц. 5 из этих пицц были пепперони. Если ответить дробью, какова экспериментальная вероятность того, что следующей пиццей будет пепперони?
93. Знакомство с отношениями данных: Маурита и Феличе проходят по 4 теста. Вот результаты 4 тестов Мауриты: 4, 4, 4, 4. Вот результаты 3 из 4 тестов Феличе: 3, 3, 3. Если среднее значение Мауриты по 4 тестам на 1 балл выше, чем у Феличе, то оценка 4-го теста Феличе?
94. Введение пропорциональных отношений: Магазин А продает 7 фунтов бананов за 7 долларов. Магазин B продает 3 фунта бананов за 6 долларов. В каком магазине выгоднее?
95. Написание уравнений для пропорциональных отношений: Лайонел любит футбол, но не может заставить себя тренироваться. Таким образом, он стимулирует себя с помощью видеоигр. Существует пропорциональная зависимость между количеством упражнений, которые выполняет Лайонел в разрешении x , и тем, сколько часов он играет в видеоигры в разрешении и . Когда Лайонел выполняет 10 упражнений, он играет в видеоигры 30 минут. Напишите уравнение связи между x и и .
Геометрические текстовые задачи
Подходит для: 4-й, 5-й, 6-й, 7-й, 8-й класс
96. Знакомство с периметром: В театре стоят 4 стула. Есть 5 рядов. Используя строки в качестве единицы измерения, что такое периметр?
97. Знакомство с площадью: В театре 4 стула в ряд. Есть 5 рядов. Сколько всего стульев?
98. Вводный том: 903:22 Аарон хочет знать, сколько конфет может вместить его контейнер. Контейнер имеет высоту 20 см, длину 10 см и ширину 10 см. Каков объем контейнера?
99. Понимание двухмерных фигур: Кевин рисует фигуру с 4 равными сторонами. Какую фигуру он нарисовал?
100. Нахождение периметра двумерных фигур: Митчелл записал вопросы домашнего задания на квадратном листе бумаги. Каждая сторона бумаги равна 8 сантиметрам. Что такое периметр?
101. Определение площади двумерных фигур: Одна торговая карточка имеет длину 9 сантиметров и ширину 6 сантиметров. Какова его площадь?
102. Понимание трехмерных фигур: Марта рисует фигуру с 6 квадратными гранями. Какую фигуру она нарисовала?
103. Определение площади поверхности трехмерных фигур: Какова площадь поверхности куба, имеющего ширину 2 см, высоту 2 см и длину 2 см?
104. Определение объема 3D-фигур: Контейнер для конфет Аарона имеет высоту 20 сантиметров, длину 10 сантиметров и ширину 10 сантиметров. Контейнер Брюса имеет высоту 25 сантиметров, длину 9 сантиметров и ширину 9 сантиметров. Найдите объем каждой емкости. В зависимости от объема, чей контейнер может вместить больше конфет?
105. Определение прямоугольных треугольников: Треугольник имеет следующие длины сторон: 3 см, 4 см и 5 см. Является ли этот треугольник прямоугольным?
106. Определение равносторонних треугольников: Треугольник имеет следующие длины сторон: 4 см, 4 см и 4 см. Что это за треугольник?
107. Идентификация равнобедренных треугольников: Треугольник имеет следующие длины сторон: 4 см, 5 см и 5 см. Что это за треугольник?
108. Идентификация разносторонних треугольников: Треугольник имеет следующие длины сторон: 4 см, 5 см и 6 см. Что это за треугольник?
109. Нахождение периметра треугольников: Луиджи построил палатку в форме равностороннего треугольника. Периметр 21 метр. Какова длина каждой из сторон палатки?
110. Определение площади треугольников: Какова площадь треугольника с основанием в 2 единицы и высотой в 3 единицы?
111. Применение теоремы Пифагора: Прямоугольный треугольник имеет длину одной стороны, не являющейся гипотенузой, равной 3 дюймам, а размер гипотенузы — 5 дюймов. Какова длина другой стороны, не лежащей в гипотенузе?
112. Определение диаметра круга: Жасмин купила новый круглый рюкзак. Его площадь составляет 370 квадратных сантиметров. Какой диаметр круглого рюкзака?
113. Нахождение площади круга: Круглый щит Капитана Америки имеет диаметр 76,2 сантиметра. Какова площадь его щита?
114. Определение радиуса окружности: Скайлар живет на ферме, где его отец держит круглый кукурузный лабиринт. Кукурузный лабиринт имеет диаметр 2 километра. Каков радиус лабиринта?
Проблемы со словами с переменными
Подходит для: 6-й класс, 7-й класс, 8-й класс
115. Определение независимых и зависимых переменных: Виктория печет кексы для своего класса. Количество кексов, которые она делает, зависит от того, сколько у нее одноклассников. Для этого уравнения m — это количество кексов, а c — это количество одноклассников. Какая переменная независимая, а какая зависимая?
116. Написание переменных выражений для сложения: В прошлом футбольном сезоне Триш забила g голов. Алекса забила на 4 гола больше, чем Триш. Напишите выражение, показывающее, сколько голов забила Алекса.
117. Написание переменных выражений для вычитания: Элизабет ест здоровый сбалансированный завтрак b раз в неделю. Мэдисон иногда пропускает завтрак. Всего Мэдисон съедает на 3 завтрака в неделю меньше, чем Элизабет. Напишите выражение, показывающее, сколько раз в неделю Мэдисон завтракает.
118. Запись переменных выражений для умножения: В прошлом хоккейном сезоне Джек забил г голов. Патрик забил вдвое больше голов, чем Джек. Напишите выражение, показывающее, сколько голов забил Патрик.
119. Запись переменных выражений для деления: У Аманды c плиток шоколада. Она хочет распределить плитки шоколада поровну между тремя друзьями. Напишите выражение, показывающее, сколько плиток шоколада получит 1 из ее друзей.
120. Решение уравнений с двумя переменными: Это уравнение показывает, как сумма, которую Лукас зарабатывает на своей внешкольной работе, зависит от того, сколько часов он работает: e = 12 часов . Переменная ч показывает, сколько часов он работает. Переменная e показывает, сколько денег он зарабатывает. Сколько денег заработает Лукас, проработав 6 часов?
Как легко составить свои собственные математические задачи и листы с текстовыми задачами
Вооружившись 120 примерами, чтобы зародить идеи, создание собственных математических задач может привлечь ваших учеников и обеспечить согласованность с уроками. Делать:
Ссылка на интересы учащихся: Составляя текстовые задачи с интересами учащихся, вы, скорее всего, привлечете внимание. Например, если большая часть вашего класса любит американский футбол, задача измерения может включать дальность броска известного квотербека.
Сделайте вопросы актуальными: Написание текстовой задачи, отражающей текущие события или проблемы, может привлечь учащихся, давая им четкий и реальный способ применить свои знания.
Укажите имена учеников: Назвать персонажей вопроса именами учеников — это простой способ сделать тему более понятной, помогая им решить проблему.
Будьте откровенны: Повторение ключевых слов формулирует вопрос, помогая учащимся сосредоточиться на основной проблеме.
Нельзя:
Тест на понимание прочитанного: Красиво подобранные слова и длинные предложения могут скрыть ключевые элементы вопроса. Вместо этого используйте лаконичные фразы и словарный запас для своего класса.
Сосредоточьтесь на схожих интересах: Слишком много вопросов, связанных с родственными интересами, такими как футбол и баскетбол, могут оттолкнуть или отвлечь некоторых учащихся.
Функция Отвлекающий маневр: Включение ненужной информации вводит еще один элемент решения проблем, который подавляет многих учащихся начальных классов.
Ключ к дифференцированному обучению, текстовые задачи, которые учащиеся могут связать и контекстуализировать, вызовут больший интерес, чем общие и абстрактные задачи.
Заключительные мысли о математических задачах
Вы, вероятно, получите максимальную отдачу от этого ресурса к , используя задачи в качестве шаблонов, слегка изменив их, применив приведенные выше советы. При этом они будут более актуальными и интересными для ваших учащихся.
Несмотря на это, имея под рукой 120 задач по математике, соответствующих учебной программе, вы сможете выполнять задачи по развитию навыков и наводящие на размышления оценки.
Результат?
Лучшее понимание того, как ваши учащиеся обрабатывают контент и демонстрируют понимание, информируя ваш постоянный подход к обучению.
Попробуйте Prodigy сегодня!
Мистер Нуссбаум Математика Common Core Math
3. OA.C.7 — Использование числовой таблицы для поиска кратных чисел
Описание: В этом упражнении учащиеся должны выбрать, какое число, выделенное на числовой диаграмме, кратно указанному числу. Например, если 34, 46, 32, 38 и 40 выделены или выделены на числовой схеме, что кратно 5?
Тип: Common Core — Математика
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
3
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Используйте в качестве оценки в Google Classroom.
Drag ‘N’ Drop Математика — Онлайн
Описание: Drag ‘N’ Drop Math — это онлайн-семинар, на котором учащиеся могут легко решить многозначные задачи на сложение, вычитание (с перегруппировкой), умножение и деление, используя большие и маленькие перетаскиваемые числа. Семинар полностью настраиваемый и дает немедленную обратную связь. Это одна из десяти самых популярных программ на mrnussbaum.com.
Описание: Этот удивительный инструмент позволяет учащимся выполнять маленькое или большое умножение шаг за шагом в формате интервью. Студенты могут даже ввести свою собственную проблему! Это ОБЯЗАТЕЛЬНО попробовать.
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
3, 4, 5, 6
Стандарты СС: 4. НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6
Ланг. Стандарты искусства:
Семинар по числовым линиям
Описание: Этот удивительный семинар позволяет учащимся практиковать чувство чисел с помощью настраиваемой числовой строки, в которой есть варианты для целых чисел, дробей и десятичных дробей. Установите параметры, и учащиеся должны перетаскивать появляющиеся случайные числа, десятичные дроби или дроби. Он также может функционировать как создатель временной шкалы!
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
2, 3, 4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Divide Pal — онлайн-семинар
Описание: Это онлайн-семинар, который позволяет учащимся решать задачи на деление в длину шаг за шагом, с подсказками и инструкциями от компьютера на каждом этапе пути. Программа настраивается.
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
3, 4, 5, 6
Стандарты СС: 4. НБТ.Б.4, 4.НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6
Ланг. Стандарты искусства:
Подразделение Envision – онлайн
Описание: Эта программа поможет вам представить концепцию деления. Выберите число и составьте с ним как можно больше задач на деление. Используйте удобный инструмент рисования, чтобы создавать группы из звезд. Например, если бы вы выбрали 16, вы бы увидели на сцене 16 звезд. Просто нарисуйте круги вокруг четырех групп по четыре звезды, чтобы решить задачу 16 (разделить на символ) 4 = 4. Посмотрите, сколько времени вам понадобится, чтобы разделить 16 на максимально возможное количество чисел, которые делятся без остатка. Распечатайте сертификат, когда закончите. Посмотрите обучающее видео для получения дополнительной информации.
Описание: Math Machine — это ВИЗУАЛЬНЫЙ инструмент для обучения сложению, вычитанию, умножению, дробям, делению или разряду. Учащиеся наделены вращающимися колесами, которые определяют числа в задачах! Смотрите обучающее видео для получения дополнительной информации.
Описание: Зомби Бретонского кладбища уже много лет являются бичом деревни, наводя ужас на тех, кто хочет посетить могилы своих близких (анимация). Недавно приехали горожане.
вместе, чтобы призвать вас, лучшего в мире истребителя зомби, снова принести свет на их кладбище, победив зомби. Используйте свои уникальные и мощные навыки умножения, чтобы бросить свои разрушительные фонари из тыквы в незадачливых зомби. Если вы сможете очистить каждую из пяти точек кладбища от ужасных зомби, вы успешно справитесь со своей задачей по освобождению кладбища и получите ключ от деревни Бретань.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
3, 4, 5, 6
Стандарты СС: 3. ОА.С.7
Ланг. Стандарты искусства:
Скоростная математика — Онлайн-игра
Описание: Сначала выберите свой навык для практики (сложение, вычитание, умножение или деление). Затем выберите числа, которые вы хотите попрактиковать. Наконец, укажите, разрешены ли отрицательные числа. Например, если вы хотите потренироваться в сложении 1, 2 и 3, нажмите на пузырек 1, пузырек 2 и пузырек 3. Наконец, установите обратный отсчет на любое количество секунд, которое вы хотите, и посмотрите, на сколько задач вы сможете правильно ответить, или установите цель достижения и посмотрите, сколько времени вам потребуется, чтобы достичь своей цели! Если вы достигнете своей цели, вы можете распечатать свой собственный сертификат достижения.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5, 6
Стандарты СС: K. OA.A.5, 1.OA.C.6, 2.OA.B.2, 3.OA.C.7, 6.NS.C.6.A, 7.NS.A.1
Ланг. Стандарты искусства:
Вокруг света — онлайн-игра на умножение
Описание: «Вокруг света» — это забавная игра на умножение, основанная на вечной классической классной игре, в которой учащиеся отправляются «Вокруг света», если они смогут победить своих одноклассников в игре с карточками на умножение. В онлайн-версиях студенты сталкиваются с вымышленными студентами из других стран, тем самым хорошо интегрируя игру с географией. Студенты выигрывают, если они могут победить всех 20 студентов. Проблема в том, что «студенты» из разных стран отвечают на флешки с разной скоростью. Некоторым может потребоваться десять секунд, в то время как другим может потребоваться всего 4 или 5 секунд. Таким образом, игра имитирует настоящую игру, в которой одни дети оперируют фактами быстрее, чем другие.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
3, 4, 5
Стандарты СС: 3. ОА.С.7
Ланг. Стандарты искусства:
Factor Family Reunion — Онлайн игра
Описание: Факторы устраивают воссоединение семьи, и ВЫ принимаете его. Ваша задача — убедиться, что каждый член семьи факторов сидит за правильным столом, иначе вы услышите это от них! Просто перетащите каждый фактор в соответствующую таблицу. Если вы сможете собрать их всех, вы сможете распечатать их портрет во время их воссоединения.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
2, 3, 4, 5
Стандарты СС: 3. OA.C.7, 4.OA.A.1, 4.OA.B.4
Ланг. Стандарты искусства:
Абсолютная учительская гостиная — онлайн-игра
Описание: Зачем ждать Неделю благодарности учителям, чтобы почтить память своего учителя? Используйте свои удивительные навыки работы с флеш-картами, чтобы заработать как можно больше «нейронов». Используйте клавишу «Tab» для перехода от флэш-карты к флэш-карте. Затем потратьте свои «нейроны» в магазине «Учительская гостиная» и заработайте джакузи, танцпол, большой экран, автомат для попкорна и многое другое, чтобы сделать учительскую комнату лучшей в истории.
Описание: В течение сотен лет знаменитый, но неуловимый Золотой медальон Математического каньона оказался недоступным и смертельным для десятков отважных исследователей, пытавшихся пересечь невидимый мост, чтобы заполучить его. Теперь твоя очередь. Мост, который пересекает Математический каньон, будет формироваться дощечка за доской, когда вы наступите на правильные доски. Красный Ястреб, древний воин Пуэбло, проведет вас по пути. Сначала наступайте на доски, число которых кратно двум (используйте свой навык счета двумя). Затем все числа, кратные трем, четырем, пяти и так далее, пока не закончите числа, кратные девяти. Тогда и только тогда вы сможете найти давно потерянный золотой медальон Математического каньона. Будьте осторожны, однако, наступив не на ту доску, вы упадете в реку внизу.
Тип: Математическая игра
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
2, 3, 4
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Веселые игры на умножение — от ComputerMice
Описание: Нужно практиковать факты умножения? Веселые игры на умножение от компьютерных мышей — идеальное решение. Вы можете практиковать беглость умножения, играя в любую из 15 встроенных игр, включая игры для стрельбы по мишеням, игры для малышей-ниндзя, игры с прялкой и многие другие. Загляните в наш раздел игр, математики и словесности, чтобы вскоре увидеть новые игры от Computer Mice.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
2, 3, 4
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Fun Division Games — от ComputerMice
Описание: Нужно практиковать деление фактов? Fun Division Games от Computer Mice — идеальное решение. Вы можете тренировать беглость деления, играя в любую из 15 встроенных игр, включая игры для стрельбы по мишеням, игры для малышей-ниндзя, игры с прялкой и многие другие. Загляните в наш раздел игр, математики и словесности, чтобы вскоре увидеть новые игры от Computer Mice.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
3, 4
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Математический слалом — Онлайн-игра
Описание: Эта сверхбыстрая игра требует, чтобы учащиеся проезжали через ворота, завершающие уравнение, но избегали тех, которые делают уравнение неверным. Например, если учащийся выбирает x 8 для тренировки, он или она будет проезжать через ворота, которые показывают 2 и 16, но вокруг ворот, которые показывают 4 и 30. Игра настраиваема и позволяет игрокам выбирать операцию и конкретные числа.
Описание: Это забавная игра, в которой учащиеся используют свои навыки сложения, вычитания, умножения или деления, чтобы помешать ужасному математическому монстру майя и получить возможность исследовать комнату, наполненную золотом и сокровищами.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Победите математического монстра майя — математическая онлайн-игра — на испанском языке
Описание: Это забавная игра, в которой учащиеся используют свои навыки сложения, вычитания, умножения или деления, чтобы помешать ужасному математическому монстру майя и получить возможность исследовать комнату, наполненную золотом и сокровищами.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Становление Лордом Волдематом — Онлайн-игра
Описание: Эта игра позволяет учащимся индивидуально практиковаться с конкретными «таблицами» в сложении, вычитании, умножении и делении. Учащиеся сражаются с «волшебниками», чтобы быстрее всех решить задачи в каждой из пяти 90-секундные раунды. Если ученик набирает больше очков, чем волшебник, он или она переходит к следующему раунду и получает новую «силу». Студенты ЛЮБЯТ эту игру, которая служит отличным быстрым подкреплением математики.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5
Стандарты СС: К. ОА.А.5, 1.ОА.С.6, 2.ОА.Б.2, 3.ОА.С.7
Ланг. Стандарты искусства:
Математический мяч
Описание: это веселая математическая игра на футбольную тематику, в которой ученики бегают по полю, используя свои навыки сложения, вычитания и умножения. Студенты играют в нападении и защите!
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
2, 3, 4, 5
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Кубок мира по математике — онлайн-игра
Описание: В этой футбольной онлайн-перестрелке учащиеся должны выбрать команду и сразиться с другими в 1/8 финала, используя свои навыки сложения, вычитания, умножения или деления.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Matherpiece — Онлайн игра
Описание: Вы находитесь в математическом музее, заполненном одними из величайших математических произведений всех времен, нарисованными такими художниками, как Пабло Мультипликассо, Факторанжело и многими другими. Но нет! Злодей, Confounder, вломился и переключил все названия, чтобы развлечься. Кто-то должен помочь! Не могли бы вы? Посмотрите на все основные произведения и выясните, как называется каждое из них. К счастью, художники всегда выбирали простые названия, отражающие смысл каждой картины.
Тип: Математическая игра
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
2, 3, 4
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Округление полуплощадки — Онлайн игра
Описание: Полукортное округление — это игра, в которой учащиеся пытаются набрать как можно больше очков, округляя числа до ближайших десяти, сотен или десятых. Это идеальная игра для всех классов, потому что учащиеся могут выбирать: штрафные броски (1 очко — округление до ближайших десяти), броски в прыжке (2 очка — округление до ближайшей сотни) и трехочковые (округление до ближайшего десятый). Пользователи могут попробовать любой вид выстрела в игре и иметь 90 секунд, чтобы набрать как можно больше очков и победить своего противника. Если они отвечают неправильно, студент пропускает выстрел. Студенты также могут выбрать игру для двух игроков, в которой они могут играть с другом или одноклассником.
Описание: Заводной механизм отлично подходит для детей всех возрастных категорий, чтобы они могли попрактиковаться в определении времени. Он требует, чтобы учащиеся установили как можно больше часов за две минуты. Игра полностью настраивается. Простая настройка включает время, оканчивающееся на :00, :15, :30 или :45. Средняя настройка включает в себя вышеуказанные, а также пятиминутные интервалы. Расширенная настройка включает интервалы времени до одной минуты, а настройка задачи включает сложные проблемы с истекшим временем. В этой обстановке забить один или два впечатляет!
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5, 6
Стандарты СС: 1. MD.B.3, 2.MD.C.7, 3.MD.A.1
Ланг. Стандарты искусства:
Бандиты перед сном — Онлайн-игра (Рассказываю время)
Описание: Bedtime Bandits — очень веселая игра, которая укрепляет различные этапы навыков определения времени. Учащиеся играют роль мальчика или девочки, которые стремятся не ложиться спать как можно дольше, освещая волшебным фонариком правильные убывающие часы. Каждый раунд десять часов спускаются с потолка спальни, и ученики должны уничтожить их, прежде чем они коснутся земли, посветив фонариком на часы, соответствующие аналоговой подсказке. За каждые исключенные часы время сна увеличивается на одну минуту. Каждый раунд становится немного сложнее, чем предыдущий.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5
Стандарты СС: 1. MD.B.3, 2.MD.C.7, 3.MD.A.1
Ланг. Стандарты искусства:
Мастерская времени
Описание: Этот удивительный ресурс позволяет учащимся исследовать интерактивные часы. Студенты могут переходить от чисел к римским цифрам, могут менять часовые пояса, могут отслеживать прошедшее время. Фоны меняются, когда ученики манипулируют временем. Студенты также могут составлять расписания и играть в интерактивную игру с различными уровнями, в которой они настраивают стрелки часов на случайно сгенерированное время.
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
1, 2, 3, 4, 5
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Семинар по измерениям — онлайн
Описание: «Мастерская по измерениям» — отличная программа для учащихся всех классов. В режиме «строительства» пользователи строят города из метрических или имперских (стандартных) линеек, размер которых можно изменять, окрашивать и перетаскивать по сцене, чтобы сформировать город-линейку. В этом режиме пользователи могут сравнивать соотношение между дюймами и сантиметрами. В «режиме игры» город формируется программой случайным образом, и пользователи должны определить длину каждого здания в дюймах или сантиметрах. Пользователи могут выбирать из четырех различных уровней навыков измерения: целые числа (где «здания» измеряются в дюймах или сантиметрах до целых чисел), целые числа и половинки (где «здания» измеряются в дюймах или сантиметрах до целых чисел или целых чисел и половинок, десятичные дроби (где «здания» измеряются в дюймах или сантиметрах до десятичных знаков) и дроби (где «здания» измеряются в дюймах или сантиметрах до дробей).
Описание: Добро пожаловать в ZooDesigner. Вас наняли спроектировать пять вольеров для животных в местном зоопарке. Вы должны использовать свои знания о том, как рассчитать площадь и периметр, чтобы спроектировать правильные вольеры и заработать баллы ZooDesigner. Используйте область чертежа, чтобы наметить размеры (площадь, периметр или площадь и периметр) ограждения. Если вы неправильно спроектируете вольеры, животные убегут, а посетители зоопарка будут спасать свою жизнь. Вас, конечно, уволят!
Функция степенная без каких-либо ограничений, поэтому область определения будет вся числовая прямая. Значения функции — вся числовая прямая.
Четная или нечетная функция.
Подставим вместо переменной х значение —х и по результату сделаем вывод:
В результате получили, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция должна пересекаться с координатными осями. Вычислим точки пересечения функции с ними.
Для вычисления точек пересечения с осью Ох, подставим в функцию вместо переменной х число 0:
Функция пересекается с осью Ох в точке с координатами (0; 0). Вычислим точку пересечения с осью Оу. Для этого подставим вместо переменной у значение 0 и решим полученное уравнение:
или или Функция пересекается с осью Оу в двух точках, первая— это пересечение с осью Ох, так как это начало координат — (0; 0). У второй точки координаты (1; 0).
Поскольку функция степенная, то должна иметь экстремумы. Вычислим их, рассчитав производную:
Запишем производную, как равную нулю, и вычислим корни уравнения:
или или Проверим полученные точки на экстремум. Для этого возьмем какую-нибудь точку из каждого полученного промежутка между найденными точками и найдем знак производной на всех полученных промежутках. Первый промежуток от минус бесконечности до 0. Возьмем точку —1 и рассчитаем для нее производную: — функция возрастает. Второй промежуток от 0 до 2/3. Выберем точку 0,5 и вычислим от нее производную: — функция убывает. Третий промежуток от 2/3 до + бесконечности. Возьмем точку 1 и вычислим от нее производную: — функция возрастает на этом промежутке. Когда функция переходит через точку с абсциссой 0, она изменяет знак производной с + на —. Значит, это точка максимума, а при переходе через точку 2/3 знак производной меняется с — на +, значит, это точка минимума. Вычислим координаты максимума и минимума:
Максимум — точка (0; 0) Минимум — точка .
Открытая Математика. Функции и Графики. Параллельный перенос
Пусть имеется график функции y = f (x). Зададимся целью построить график функции y = f1 (x), где f1 (x) = f (x) + B. Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A (x0; y0) – точка на графике функции y = f (x). Соответствующая ей точка A′ (x0; y1) с той же абсциссой имеет координаты A′ (x0; y0 + B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y = f (x) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0.
Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой
{x′=x,y′=y+B,
где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.
Аналогичным образом можно построить график функции y = f (x – b). Точка A′ (x′; y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A (x; y), если x′ = x + b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.
Параллельный перенос графиков
График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b > 0, и на |b| влево, если b < 0.
Алгебраически это записывается системой:
{x′=x+by′=y
Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.
В общем случае график функции y = f (x – b) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом, при котором начало координат O (0, 0) переходит в точку O′ (b, B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y = f (x).
Как построить график функций? Постройте график функции у 0 5 х2
Сегодня мы внимательно изучим функции, графиком которых является прямая линия.
Запиши в тетрадь тему урока
«Линейная функция и прямая пропорциональность».
Внимательно выполняй все задания и старайся запомнить новые для тебя определения.
Запомни определение: Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа.
Например: если k = 0,5 и b = -2, то у = 0,5х — 2.
Задание: Построить график линейной функции у = 0,5х — 2.
Составь таблицу значений пар (х, у). Отметь их на координатной плоскости. Соедини точки линией.
Проверь решение: Построим график линейной функции у = 0,5х — 2.
Для построения графика у = -х + 3 вычислим координаты двух точек
Отметим их на координатной плоскости две точки и соединим их прямой.
А сможешь ли ты определить: принадлежит ли точка А(36; 5) графику линейной функции ?
Да
Нет
А теперь сравни эти два графика и увидим, что у линейной функции у = kx + b, еще до его построения можно «предугадать» расположение прямой линии на координатной плоскости!
Как? Просто надо внимательно посмотреть на числа k и b…
И они многое нам расскажут!
Попробуй догадаться…
Функция у = 0,5х — 2
Функция у = -х + 3
Итак, наблюдаем и делаем выводы: 1) Первый пересекает ось ОУ в точке (0; -2), а второй в (0; 3) !!! у первого b = -2, а у второго b = 3 Вывод: по числу b в формуле y = kx + b мы определим в какой точке прямая пересечет ось ординат.
2) Первый наклонен к положительному направлению оси ОХ под острым углом, а второй — под тупым углом. !!! у первого k > 0, а у второй функции k Вывод: если в формуле y = kx + b мы видим, что число k > 0 значит график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под острым углом; если же число k Число k (коэффициент при х) называют за это — угловым коэффициентом. Запомни это все! Нам такие знания еще не раз пригодятся
Если в формуле y = kx + b, мы возьмем b = 0, то получим формулу y = kx.
Запомни определение: Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k — некоторое число не равное 0, х — переменная, называется прямой пропорциональностью.
Выполни в своей тетради задание: Придумай несколько формул прямой пропорциональности с разными коэффициентами k и построй их графики в одной координатной плоскости.
Поскольку у прямой пропорциональности b = 0, то график пересечет ось ОУ в точке (0; 0).
На одной координатной плоскости мы можем нарисовать и несколько графиков!
У линейной функции график — прямая линия. А прямые могут быть параллельными или пересекаться в одной точке… Интересно, а до построения графиков, только посмотрев (внимательно!) на их формулы, мы может сделать вывод:
Графики этих функций — пересекутся, графики этих функций — расположены параллельно.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Урок алгебры в 9 классе по теме «Построение
графиков функции, аналитическое выражение
которых содержит знак абсолютной величины» был
построен на основе компьютерных технологии,
применяя исследовательскую деятельность
обучения.
Цели урока: Обучающая: Наглядно
продемонстрировать учащимся возможности
использования компьютера при построении
графиков функции с модулями; для самоконтроля,
экономии времени при построении графиков
функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.
Развивающая: Развитие интеллектуальных умений
и мыслительных операций — анализ и синтез
сравнение, обобщение. Формирование ИКТ
компетентности учащихся.
Воспитывающая: Воспитание познавательного
интереса к предмету путем введения новейших
технологий обучения. Воспитание
самостоятельности при решении учебных задач.
Оборудование: Оборудование: компьютерный
класс, интерактивная доска, презентация на тему
«Построение графиков функции, аналитическое
выражение которых содержит знак абсолютной
величины», раздаточный материал: карточки для
работы с графической моделью функций, листы для
фиксирования результатов исследования функций,
персональные компьютеры. Лист самоконтроля.
Программное обеспечение: презентация Microsoft
PowerPoint «Построение графиков функции,
аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины»
Ход урока
1. Организационный момент
2. Повторение, обобщение и систематизация. Это
этап урока сопровождается компьютерной
презентацией.
График функции у=f |(х)|
у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| =
f | х |
График этой функции симметричен относительно
оси координат.
Следовательно, достаточно построить график
функции у=f (х) для х>0,а затем достроить его
левую часть, симметрично правой относительно оси
координат.
Например, пусть графиком функции у=f (х)
является кривая, изображенная на рис.1, тогда
графиком функции у=f |(х)| будет кривая,
изображенная на рис.2.
1. Исследование графика функции у= |х|
Таким образом, искомый график есть ломанная,
составленная из двух полупрямых. (Рис.3)
Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся
сделают вывод, что второй получается из первого
зеркальным отображением относительно ОХ той
части первого графика, которая лежит под осью
абсцисс. Это положение вытекает из определения
абсолютной величины.
Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х,
сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из
графика у = f (x) при х 0симметричным отображением
относительно оси ОУ.
Можно ли применять этот метод построения
графиков для любой функции, содержащей
абсолютную величину?
Слайд 3 и 4.
1. Построите график функции у=0,5 х 2 — 2|х| — 2,5
1) Поскольку |х| = х при х 0, у=0,5 х 2 — 2х — 2,5 .
Если ху=0,5 х 2
+ 2х — 2,5
.
2) Если рассмотрим график у=0,5 х 2 -2х — 2,5
при х
Можно ли применять этот метод построения
графиков дл квадратичной функции, для графиков
обратной пропорциональности, содержащие
абсолютную величину?
1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график
совпадает с параболой у=0,25 х 2 — х — 3. Если
ху=0,25 х 2
+ х — 3.
2) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 — х — 3 при
х 0 и
отобразить его относительно оси ОУ мы получим
тот же самый график.
(0; — 3) координаты точки пересечения графика
функции с осью ОУ.
у =0, х 2 -х
-3 = 0
х 2 -4х -12 = 0
Имеем, х 1 = — 2; х 2 = 6.
(-2; 0) и (6; 0) — координаты точки пересечения
графика функции с осью ОХ.
Если х
Значит, часть требуемого графика,
соответствующая значениям х0.
б) Поэтому достраиваю для х
На тетрадях ученики доказывают, что график
функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f
(х) на множестве неотрицательных значений
аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ
на множестве отрицательных значений аргумента.
Доказательство: Если х 0, то f |(х)|= f (х),
т.е. на множестве неотрицательных значений
аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)|
совпадают. Так как у = f |(х)| — чётная функция, то её
график симметричен относительно ОУ.
Таким образом, график функции у = f |(х)| можно
получить из графика функции у = f (х) следующим
образом:
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х
Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х
отразить
построенную часть
относительно оси ОУ.
Слайд 5
4. Исследовательская работа по построению
графика функции у = | f (х)|
Построить график функции у = |х 2 — 2х|
Освободимся от знака модуля по определению
Если х 2 — 2х0,
т.е. если х 0 и х2, то |х 2 —
2х|= х 2 — 2х
Если х 2 — 2х
Видим, что на множестве х 0 и х2 графики функции
у = х 2 — 2х и у = |х 2 — 2х|совпадают, а на
множестве (0;2)
графики функции у = -х 2 + 2х и у = |х 2 — 2х|
совпадают. Построим их.
График функции у = | f (х)| состоит из части
графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично
отражённой части у = f(х) при у
Построить график функции у = |х 2 — х — 6|
1) Если х 2 — х -6 0, т.е. если х -2 и х3, то |х 2 — х -6|= х 2 — х -6.
Если х 2 — х -6
Построим их.
2) Построим у = х 2 — х -6 . Нижнюю часть
графика
симметрично отбражаем относительно ОХ.
Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.
Работа на тетрадях.
Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и
симметрично отражённой частью у = f(х) при у
Действительно, поопределению абсолютной
величины, можно данную функцию рассмотреть как
совокупность двух линий:
у = f(х), если f(х)
0; у = — f(х), если f(х)
Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то
| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции
у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции
Если же f(х) ) симметричнаточке(х; f (х)) относительно
оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика
отражаем симметрично относительно оси ОХ
«отрицательную» часть графика у = f(х).
Вывод: действительно для построения графика
функции у = |f(х) | достаточно:
1.Построить график функции у = f(х) ;
F(х)
Вывод: Для построения графика функции у=|f (х)
|
1.Построить график функции у=f (х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f (х)
Слайды 8-13.
5. Исследовательская работа по построению
графиков функции у=|f |(х)| |
Применяя определение абсолютной величины и
ранее рассмотренные примеры, построим графиков
функции:
у = |2|х| — 3|
у = |х 2 — 5|х||
у = | |х 2 | — 2| и сделал выводы.
Для того чтобы построить график функции у = | f
|(х)| надо:
1. Строить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строить вторую часть графика, т. е.
построенный график симметрично отражать
относительно ОУ, т.к. данная функция четная.
3. Участки получившегося графика, расположенные
в нижней полуплоскости, преобразовывать на
верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.
Построить график функции у = | 2|х | — 3| (1-й
способ по определению модуля)
1. Строим у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 > 0 , | х
|>1,5 т.е. х1,5
а) у = 2х — 3 , для х>0
б) для х
2. Строим у = —2 |х| + 3 , для 2|х | — 3
а) у = —2х + 3 , для х>0
б) для х
У = | 2|х | — 3|
1) Строим у = 2х-3, для х>0.
2) Строим прямую, симметричную построенной
относительно оси ОУ.
3) Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, отображаю симметрично
относительно оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим, что они
одинаковые.
у = | х 2 — 5|х| |
1. Строим у = х 2 — 5 |х|, для х 2 — 5 |х| > 0
т.е. х >5 и х
а) у = х 2 — 5 х, для х>0
б) для х
2. Строим у = — х 2 + 5 |х| , для х 2 — 5 |х|
а) у = — х 2 + 5 х, для х>0
б) для х
У = | х 2 — 5|х| |
а) Строим график функции у = х 2 — 5 х для
х>0.
Б) Строим часть графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ
в) Часть графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовываю на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим что они
одинаковые. (Рис.10)
3. Подведение итогов урока.
14,15 слайды.
у=f |(х)|
1.Построить график функции у=f (х) для х>0;
2.Построить для х
Алгоритм построения графика функции у=|f (х) |
1.Построить график функции у=f (х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f (х)
Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|
|
1. Построить график функции у=f (х) для х>0.
2. Построить кривую графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ, т.к. данная
функция четная.
3. Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовывать на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.
Здравствуйте, Давид.
График функции представляет собой её геометрический образ. Он показывает, где на координатной плоскости находится точка, координаты которой (Х и У) связаны определенным математическим выражением (функцией).
Перед тем, как приступить к построению графика функций, сначала необходимо начертить оси координат ОХ и ОУ. Лучше всего для этого использовать масштабно — координатную бумагу. Далее следует определить тип функции, потому что у различных функций графики очень сильно отличаются. К примеру, линейная функция, о которой пойдет речь ниже, имеет график в виде прямой линии. После этого нужно определить область определения функций, т.е. ограничения для значений Х и У. К примеру, если Х находиться в знаменателе дроби, то его значение не может быть равным 0. Далее надо найти нули функции, то есть места пересечения графика функции с осями координат.
Приступим к построению графика функции, указанной в пункте а) вашего вопроса.
Функция у= — 6х + 4 , график которой требуется построить в первой задаче вашего вопроса, является линейной функцией, т.к. линейные функции представлены выражением y = kx + m. Областью определения линейной функции считается вся прямая ОХ. Параметр m в линейной функции определяет точку, в которой график линейной функции пересекает ось OY.
Для того, чтобы построить график линейной функции достаточно определить хотя бы две её точки, потому что графиком функции является прямая. Если найти больше точек, то можно построить более точный график. Вообще, при построении графика линейной функции необходимо определить точки, в каких график пересечет оси координат Х, У.
Итак, в вашем случае точки пересечения графика функции с осями координат будут такими:
При Х=0, У= -6*0+4=4 Таким образом, мы получили значение параметра m в линейной функции.
У=0, то есть 0= -6*Х+4, то есть 6х=4, следовательно Х=4/6=0,667
При Х= -1, У=-6*-1+4=10
При Х=1, У= -6*1+4=-2
При Х=2, У= -6*2+4=-8
Получив все вышеуказанные точки, вам остается только отметить их на координатной плоскости, соединить прямой линией, как показано в примере на рисунке, который прикреплен к данной статье.
Теперь построим график функции, указанной в пункте б) вашего вопроса.
Сразу видно, что функция у= 0,5х , из второй задачи, также является линейной функцией. В отличие от первого примера, в данном выражении отсутствует значение m, а это говорит о том, что график функции у= 0,5х проходит через начало осей координат, то есть в их нулевой точке.
При Х=0, У= 0,5*0=0
При Х= 1, У=0,5*1=0,5
При Х=2, У= 0,5*2=1
При Х=3, У=0,5*3=1,5
При Х= -1, У=0,5*-1= -0,5
При Х= -2, У= 0,5*-2= -1
При Х= -3, У=0,5*3= -1,5
Теперь, имея все вышеуказанные значения Х и У вы без труда сможете поставить эти точки на координатной плоскости, соединить их прямой линией при помощи линейки, и у вас получится график линейной функции у=0,5х
Ниже я привела ссылку, перейдя по которой, вы можете найти уроки по математике, алгебре, геометрии и русскому языку. Я бы посоветовала вам прочитать несколько тем, которые касаются построения графиков функций. В данном учебном материале очень наглядно показано, как можно построить графики линейных функций, а в темах, которые расположены далее можно увидеть примеры построения графиков других функций. Все написано достаточно подробно, поэтому это будет понятно не только тем, кто давно закончил школу и имеет представление о том, как можно построить график функции, но и тем, кто только начинает постигать азы науки. Я считаю, что увидев наглядно на конкретных примерах, как строятся графики функций, вы потом без проблем сможете решить любую задачу по построению графика функций.
Постройте график функции y х2 3х 2. Квадратичная и кубическая функции
Разделы: Математика
Тема: “Построение графика квадратной
функции, содержащей модуль”. (На примере графика функции у = х 2 — 6x + 3.)
Цель.
Исследовать расположение графика функции на
координатной плоскости в зависимости от модуля.
Строим график функции у = х 2 — 6х + 3 при х = 7
у(7) = 10.
График на рис.10.
Вывод. При решении данной группы
уравнений необходимо рассматривать нули
модулей, содержащихся в каждом из уравнений.
Затем строить график функции на каждом из
полученных промежутков.
(При построении графиков данных функций каждая
группа исследовала влияние модуля на вид графика
функции и сделала соответствующие заключения.)
Получили сводную таблицу для графиков функций,
содержащих модуль.
а) у = х 2 — 5х + |х — 3|, переходим к
совокупности систем:
Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3, затем график функции у = х 2 — 4х — 3 при х > 3 по
точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.
График функции на рисунке 11.
б) у = |х 2 — 5х| + х — 3, переходим к
совокупности систем:
Строим каждый график на соответствующем
интервале.
График функции на рисунке 12.
Вывод.
Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на
вид графика.
Самостоятельная работа.
Построить график функции:
а) у = |х 2 — 5х + |x — 3||,
б) у= ||x 2 — 5x| + х — 3|.
Решение.
Предыдущие графики отображаем относительно
оси Ох.
Группа.5
Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.
Решение.
Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0.
Получим интервалы постоянного знака.
Имеем совокупность систем уравнений:
Строим график на каждом из интервалов.
График на рисунке 15.
Вывод. Два модуля в предложенных
уравнениях существенно усложнили построение
общего графика, состоящего из трех отдельных
графиков.
Учащиеся записывали выступления каждой из
групп, записывали выводы, участвовали в
самостоятельной работе.
3. Задание на дом.
Построить графики функций с различным
расположением модуля:
1. у = х 2 + 4х + 2;
2. у = — х 2 + 6х — 4.
4. Рефлексивно – оценочный этап.
1.Оценки за урок складываются из отметок:
а) за работу в группе;
б) за самостоятельную работу.
2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?
3. Трудное ли домашнее задание?
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
Управление масштабом, цветом линий
Возможность построения графиков по точкам, использование констант
Построение одновременно нескольких графиков функций
Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Квадратичная функция
Рис 1. Общий вид параболы
Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.
Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).
Основные свойства квадратичной функции
1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }
Построение графика функции y=f(x) — Построения графиков линейных функций, содержащих переменную под знаком модуля
Графиком линейной функции является прямая линия.
Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Пример:
В уравнении функции y=kx+bкоэффициентk отвечает за наклон графика функции:
если k>0, то график наклонен вправо
если k<0, то график наклонен влево
Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kxсдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
Во всех функциях b=3 — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
График функции y=2x-2 (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если
k>0
и
b>0
, то график функции
y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b
Если b=0, то график функции y=kx проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
Отдельно отмечу график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k_1{x}+b_1 параллелен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1=k_2
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y=k_1{x}+b_1 перпендикулярен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1*k_2=-1 или k_1=-1/{k_2}
Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет
Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|
Функция $f(x)=|x|$
$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.
Математически это можно записать следующим образом:
Пример 1
Исследуем и построим её график.
$D\left(f\right)=R$.
По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
$f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
\[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$
Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$
Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».
Пример: $[2,6]=2.$
Пример 2
Исследуем и построим её график.
$D\left(f\right)=R$.
Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
$f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
$(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.
Рисунок 2.
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.
$\{2,6\}=0,6$
Пример 3
Исследуем и построим график функции
$D\left(f\right)=R$.
Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$
$f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$
Рисунок 3.
Функция $f(x)=sign(x)$
Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.
Математически это можно записать следующим образом:
$f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
$f’\left(x\right)=0$
Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.
Рисунок 4.
График y х 2 3. Постройте график функции y=
Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.
1. Построение графика функции y = |f(x)|
Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.
Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.
1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).
2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.
3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.
Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|
1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).
y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.
Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).
Координаты вершины параболы:
x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.
Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.
Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)
2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.
3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).
2. Построение графика функции y = f(|x|)
Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.
Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.
1) Построить график функции y = f(x).
2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.
3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.
4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).
Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3
Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.
1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).
2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.
3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.
(рис. 3) .
Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|
Применяем схему, данную выше.
1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .
3. Построение графика функции y = |f(|x|)|
Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.
Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:
1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).
2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.
4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).
Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1
можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.
Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.
a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .
b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.
c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.
d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .
2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.
4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .
Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.
a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .
Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.
2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.
4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .
сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Составим таблицу значений функции
Мы видим, что при (куб положительного числа положителен), а при (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением тогда и функция примет противоположное значение; так как если , то
Значит, каждой точке графика соответствует точка того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.
Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.
График функции изображён на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.
В I четверти кубическая парабола (при ) «круто» поднимается
вверх (значения у «быстро» возрастают при возрастания х. см. таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значение у «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.
Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив найдём по графику
Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.
Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы».
Эта таблица содержит приближённые значения кубов чисел от 1 до 10, округлённые до 4-х значащих цифр.
Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов.3$. 2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.
Разберем как строить график с модулем.
Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется. Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3. x-3=0 и x+3=0 x=3 и x=-3
У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.
1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х. х=-4 x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1
У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).
y=— (x-3)-(— (x+3))=-х+3+х+3=6
На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6
2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0. х=0 x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3
У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.
y=— (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x
На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х
3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=5 x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8
У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).
y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6
На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6
4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|. На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6. На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х. Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек. x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6) x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0) x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6) На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.
5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.
Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.
Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.
Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.
Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.
Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.
Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.
Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U и возрастает на промежутке }
Wolfram | Примеры альфа: построение и графика
Функции
Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости.
Постройте функцию одной переменной:
Укажите явный диапазон для переменной:
Постройте функцию с действительным знаком:
Постройте функцию в логарифмическом масштабе:
График в логарифмическом масштабе:
Другие примеры
3D графики
Постройте функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве.
Постройте функцию от двух переменных:
Укажите явные диапазоны для переменных:
Другие примеры
Уравнения
Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными.
Постройте решение уравнения с двумя переменными:
Другие примеры
Неравенства
Постройте набор решений неравенства или системы неравенств.
Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных:
Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:
Другие примеры
Полярные графики
Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат.
Укажите диапазон для переменной theta:
Другие примеры
Параметрические графики
Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях.
Укажите диапазон для параметра:
Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях:
Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях:
Другие примеры
Другие примеры
Числовые строки
Нанесите набор чисел или значений на числовую линию.
Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке:
Показать несколько наборов в числовой строке:
Другие примеры
Wolfram | Примеры альфа: приложения исчисления
Другие примеры
Асимптоты
Вычислить горизонтальные, вертикальные или наклонные асимптоты.
Вычислить асимптоты функции:
Другие примеры
Другие примеры
Касательные и нормали
Вычислить касательную линию к кривой или вычислить касательную плоскость или нормальную линию к поверхности.
Найдите касательную к графику функции в точке:
Найдите нормаль к кривой, заданной уравнением:
Другие примеры
Другие примеры
Бугорки и углы
Вычислить и визуализировать куспиды и углы функции.
Найдите точки возврата на графике функции:
Найдите углы на графике функции:
Другие примеры
Другие примеры
Стационарные точки
Вычисляйте и визуализируйте стационарные точки функции.
Найдите стационарные точки функции:
Найдите стационарные точки функции нескольких переменных:
Другие примеры
Другие примеры
Точки перегиба
Вычислить и визуализировать точки перегиба функции.
Найдите точки перегиба функции:
Найдите точки перегиба в указанном домене:
Другие примеры
Другие примеры
Оптимизация
Найдите глобальные и локальные экстремумы и стационарные точки функций или наложите ограничение на функцию и вычислите ограниченные экстремумы.
Свернуть или развернуть функцию:
Минимизируйте или максимизируйте функцию нескольких переменных:
Свернуть или развернуть функцию с ограничением:
Другие примеры
Другие примеры
Площадь между кривыми
Вычисляет площади замкнутых областей, ограниченных областей между пересекающимися точками или областей между указанными границами.
Вычислите площадь, ограниченную двумя кривыми:
Укажите ограничения для переменной:
Другие примеры
Другие примеры
Длина дуги
Вычислить длину дуги в различных системах координат и размерах.
Вычислите длину дуги кривой:
Другие примеры
Другие примеры
Поверхности и твердые тела революции
Вычислите площадь поверхности вращения или объем тела вращения.
Вычислить свойства поверхности вращения:
Вычислить свойства твердого тела вращения:
Другие примеры
Другие примеры
Кривизна
Вычисляет кривизну функций и параметризованных кривых в различных системах координат и измерениях.
Вычислите кривизну плоской кривой:
Вычислить кривизну пространственной кривой в точке:
Другие примеры
Другие примеры
Седловые точки
Вычислить и визуализировать седловые точки функции.
Найдите седловые точки функции:
Найдите точку перевала, ближайшую к указанной точке:
Другие примеры
График уравнений
Описание :: Все функции
Введите уравнение, используя переменные x и / или y и знак =, нажмите Go:
Описание
Он может построить уравнение, в котором x и y как-то связаны (а не только y =.2
Если вы не укажете знак равенства, предполагается, что вы имеете в виду « = 0 »
Он не был хорошо протестирован, поэтому развлекается с ним , но ему не доверяет .
Если возникнут проблемы, дайте мне знать.
Примечание: для завершения может потребоваться несколько секунд, потому что для этого требуется много вычислений.
Если вы просто хотите построить график функции в стиле «y = …», вы можете предпочесть Function Grapher и Calculator
Чтобы сбросить масштаб до исходных границ, нажмите кнопку Сбросить .
Перетаскивание
Щелкните и перетащите, чтобы переместить график. Если вы просто щелкнете и отпустите (без перетаскивания), то место, на котором вы щелкнули, станет новым центром
.
Примечание: на графиках использовано компьютерных расчетов .
Оператор экспоненты (степени)
Функции
кв.
Квадратный корень значения или выражения.
грех
синус значения или выражения
cos
Косинус значения или выражения
желто-коричневый
тангенс значения или выражения
asin
обратный синус (арксинус) значения или выражения
acos
обратный косинус (arccos) значения или выражения
атан
арктангенс (арктангенс) значения или выражения
синх
Гиперболический синус (sinh) значения или выражения
куш
Гиперболический косинус (cosh) значения или выражения
танх
Гиперболический тангенс (tanh) значения или выражения
эксп
e (константа Эйлера) в степени значения или выражения
пер.
Натуральный логарифм значения или выражения
журнал
Логарифм по основанию 10 значения или выражения
этаж
Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и равно математическому целому числу.
потолок
Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и равно математическому целому числу.
Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
знак
Знак (+1 или -1) значения или выражения
Константы
пи
Константа π (3.141592654 …)
и
Число Эйлера (2,71828 …), основание натурального логарифма
Графические линейные функции | Колледж алгебры
Результаты обучения
Построение линейной функции путем нанесения точек
Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
Построение линейной функции с помощью преобразований
Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию.Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.
Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения и наклона y- . Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
Построение графика функции по точкам
Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.
Практическое руководство. По заданной линейной функции построить график с помощью точек.
Выберите минимум два входных значения.
Оцените функцию для каждого входного значения.
Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
Нанесите пары координат на сетку.
Проведите линию через точки.
Пример: построение графика по точкам
График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.
Показать решение
Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.
Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.
[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]
Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].
Анализ решения
График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.
Попробуй
График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.
Показать решение
Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона
Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек.Первой характеристикой является точка пересечения y- , которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.
Другой характеристикой линейной функции является ее наклон, м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ подумать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях.
Рассмотрим следующую функцию.
[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]
Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере мы имеем [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1, а затем на 2 или на 2 и затем на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.
Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции
В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]
b — пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
м — наклон линии, обозначающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:
Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ?
Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, имеют точки пересечения по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.)
Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения
y и наклон.
Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y- .
Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
Проведите линию, проходящую через точки.
Пример: построение графика с использованием точки пересечения
y- и наклона
График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .
Показать решение
Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y- . Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).
Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.
Анализ решения
График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.
Попробуй
Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .
Показать решение
Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].
Построение линейной функции с помощью преобразований
Другой вариант построения графиков — использовать преобразования в функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.
Вертикальное растяжение или сжатие
В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательно, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.
Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
Вертикальный сдвиг
В [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f в целом на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц, если значение b отрицательное.
Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].
Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.
Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].
График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
Растяните или сожмите график по вертикали с коэффициентом м .
Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.
Пример: построение графиков с использованием преобразований
График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.
Показать решение
Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали посредством [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.
Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.
Функция [latex] y = x [/ latex] сжимает коэффициент [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].
Затем покажите вертикальный сдвиг.
Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.
Попробуй
График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.
Показать решение
Вопросы и ответы
В примере: построение графиков с помощью преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?
Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.
[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Построение графиков на Python | Set 1
Эта серия статей познакомит вас с построением графиков на Python с помощью Matplotlib, который, возможно, является самой популярной библиотекой для построения графиков и визуализации данных для Python.
Установка
Самый простой способ установить matplotlib — использовать pip. Введите в терминале следующую команду:
pip install matplotlib
ИЛИ вы можете загрузить его отсюда и установить вручную.
Начало работы (Построение линии)
import matplotlib.pyplot as plt
x 9085 2 , 3 ]
y = [ 2 , 4 , 003 9857 9858plot (x, y)
plt.xlabel ( 'x - axis' )
plt.ylabel ( 'y - axis' ) 9858
plt.title ( 'My first graph!' )
plt.show ()
Выходные данные: Были выполнены следующие шаги:
Определите ось x и соответствующие значения оси y в виде списков.
Изобразите их на холсте с помощью функции .plot () .
Дайте имя оси x и оси y с помощью функций .xlabel () и .ylabel () .
Дайте название своему сюжету с помощью функции .title () .
Наконец, для просмотра вашего графика мы используем функцию .show () .
Мы различаем их, давая им имя ( метка ), которое передается в качестве аргумента.plot () функция.
Небольшое прямоугольное поле с информацией о типе линии и ее цвете называется легендой. Мы можем добавить легенду к нашему графику, используя функцию .legend () .
C Настройка участков
Здесь мы обсудим некоторые элементарные настройки, применимые практически к любому участку.
импорт matplotlib.pyplot as plt
x = , , 9085 9085 9085 4 , 5 , 6 ]
y = [ 2 , 4 1 9085 , 2 , 6 ]
пл.plot (x, y, color = 'зеленый' , стиль линий = 'пунктирный' , ширина линии = 3 ,
маркер 'o' , цвет лицевой панели маркера = «синий» , размер маркера = 12 )
8 )
плат.xlim ( 1 , 8 )
plt.xlabel ( 'x - ось' )
ось plt.yl ( plt.yl) ')
plt.title (' Некоторые классные настройки! ')
plt.show ()
8
Как видите, мы выполнили несколько настроек, например
, установив ширину линии, стиль линии и цвет линии.
установка маркера, цвет лица маркера, размер маркера.
переопределение диапазона осей x и y. Если переопределение не выполнено, модуль pyplot использует функцию автоматического масштабирования для установки диапазона и масштаба оси.
plt.hist (возрасты, ячейки, диапазон , цвет = 'зеленый' ,
histtype = 'bar' , rwidth )
plt.xlabel ( 'age' )
plt.ylabel ( 'Кол-во людей' )
«Моя гистограмма» )
plt.show ()
Вывод:
Здесь мы используем функцию plt.hist () для построения гистограммы.
частот передаются как список возрастов .
Диапазон может быть установлен путем определения кортежа, содержащего минимальное и максимальное значение.
Следующим шагом является определение диапазона значений « bin », то есть разделение всего диапазона значений на серию интервалов, а затем подсчет количества значений, попадающих в каждый интервал.Здесь мы определили интервал = 10. Итак, всего 100/10 = 10 интервалов.
Вывод вышеуказанной программы выглядит следующим образом:
Здесь мы строим круговую диаграмму, используя метод plt.pie () .
Прежде всего, мы определяем метки , используя список под названием activity .
Затем часть каждой метки может быть определена с помощью другого списка, называемого срезами .
Цвет для каждой метки определяется с помощью списка цветов .
shadow = True покажет тень под каждой меткой на круговой диаграмме.
startangle поворачивает начало круговой диаграммы на заданные градусы против часовой стрелки от оси x.
разнесение используется для установки доли радиуса, на которую мы смещаем каждый клин.
autopct используется для форматирования значения каждой метки. Здесь мы установили отображение процентного значения только с точностью до 1 знака после запятой.
Построение кривых данного уравнения
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
.arange ( 0 , 2 * (нп.pi), 0,1 )
y = np.sin (x)
plt.plot (x, y)
007
007
007 .show ()
Результат вышеупомянутой программы выглядит следующим образом:
Здесь мы используем NumPy , который представляет собой универсальный пакет обработки массивов на Python.
Чтобы установить значения оси x, мы используем np.Метод arange () , в котором первые два аргумента предназначены для диапазона, а третий - для пошагового приращения. Результатом является большой массив.
Чтобы получить соответствующие значения оси Y, мы просто используем предопределенный метод np.sin () в массиве numpy.
Наконец, мы строим точки, передавая массивы x и y функции plt.plot () .
Итак, в этой части мы обсудили различные типы графиков, которые мы можем создать в matplotlib. Есть и другие участки, которые не были охвачены, но самые важные из них обсуждаются здесь -
Эта статья предоставлена Nikhil Kumar .Если вам нравится GeeksforGeeks, и вы хотели бы внести свой вклад, вы также можете написать статью на сайте deposit.geeksforgeeks.org или отправить свою статью по электронной почте: [email protected]. Посмотрите, как ваша статья появляется на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам.
Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или если вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше.
Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.
Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . А чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень
Графические логарифмические функции
Функция
у
знак равно
бревно
б
Икс
является обратной функцией
экспоненциальная функция
у
знак равно
б
Икс
.
Рассмотрим функцию
у
знак равно
3
Икс
. Это можно изобразить как:
График обратной функции любой функции - это отражение графика функции относительно линии
у
знак равно
Икс
. Итак, график логарифмической функции
у
знак равно
бревно
3
(
Икс
)
которая является обратной функцией
у
знак равно
3
Икс
является отражением приведенного выше графика относительно линии
у
знак равно
Икс
.
Икс
1
9
1
3
1
3
9
27
81 год
у
знак равно
бревно
3
Икс
-
2
-
1
0
1
2
3
4
Область определения функции - это набор всех положительных действительных чисел.
Если база не записана, предположим, что журнал является базовым.
10
.
Икс
1
1000
1
100
1
10
1
10
100
1000
у
знак равно
бревно
Икс
-
3
-
2
-
1
0
1
2
3
Логарифмическая функция,
у
знак равно
бревно
б
(
Икс
)
, можно сдвинуть
k
единиц по вертикали и
час
единиц по горизонтали с уравнением
у
знак равно
бревно
б
(
Икс
+
час
)
+
k
.
Вертикальный сдвиг
Если
k
>
0
, график сдвинется вверх.
Если
k <
0
, график сместится вниз.
Горизонтальный сдвиг
Если
час
>
0
, график сдвинется влево.
Если
час <
0
, график сдвинется вправо.
Рассмотрим логарифмическую функцию
у
знак равно
[
бревно
2
(
Икс
+
1
)
-
3
]
. Это можно получить, переведя родительский граф
у
знак равно
бревно
2
(
Икс
)
Пару раз.
Рассмотрим график функции
у
знак равно
бревно
2
(
Икс
)
.
С
час
знак равно
1
,
у
знак равно
[
бревно
2
(
Икс
+
1
)
]
перевод
у
знак равно
бревно
2
(
Икс
)
на одну единицу влево.
Сейчас же,
k
знак равно
-
3
.График
у
знак равно
[
бревно
2
(
Икс
+
1
)
]
будет перемещен
3
единицы вниз, чтобы получить
у
знак равно
[
бревно
2
(
Икс
+
1
)
]
-
3
.
Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел.Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например,
3
Икс
знак равно
-
1
не имеет реального решения, поэтому
бревно
3
(
-
1
)
не определено.
Итак, как насчет такой функции, как
у
знак равно
бревно
4
(
-
Икс
)
?
Это определено только для отрицательных значений
Икс
.
Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений
Икс
. Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения,
4
у
знак равно
-
Икс
.
Икс
-
1
-
2
-
4
-
8
-
16
-
32
у
знак равно
бревно
4
(
-
Икс
)
или
4
у
знак равно
-
Икс
0
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
Постройте точки и соедините их плавной кривой.
Вы можете видеть, что график является отражением графика функции
у
знак равно
бревно
4
(
Икс
)
о
у
-ось.
Как построить линию с помощью y = mx + b - Задача 1
Вот задача, в которой меня просят изобразить уравнение линии. И если эта линия находится в форме y, равной mx плюс b, я могу построить 10-секундный график.Но это еще не совсем в форме y равно mx plus b. Что мне нужно сделать, так это получить все само по себе.
Итак, первое, что я собираюсь сделать, это отменить эту часть –x, добавив x к обеим сторонам знака равенства. Итак, теперь у меня 2y равно x плюс 7. Следующее, что я хочу сделать, это разделить все на 2, чтобы у меня было y само по себе. Y равно 1/2 умноженному на x плюс 7/2. Теперь я готов изобразить этого парня. Это будет немного сложно, потому что у меня есть эти дроби, но я все равно смогу поставить свою первую точку на 7/2 на оси Y, которая, кстати, 7/2 равна 3½, это смешанное число. .Оттуда я буду считать 1 квадрат больше 2, 1 больше 2, 1 больше 2, чтобы показать свой наклон.
Итак, приступим. Первая точка находится на 3½ по оси y. Вот моя ось Y, помните, что это вертикальные 1, 2, 3 и ½, вот моя точка пересечения по оси Y. Оттуда я хочу посчитать наклон, который на 1 квадрат больше 2, но будьте осторожны. Поскольку я начинаю с середины прямоугольника по вертикали, я хочу перейти к следующему центру, вверх на 1 на 2, вверх на 1 на 2. Это сложно, потому что мои точки не попадают в углы прямоугольников, но они все еще точные точки для этой линии.
Одна вещь, о которой следует помнить при наклоне, вы также можете двигаться в этом направлении вместо того, чтобы подниматься на 1 и 2 справа, теперь я собираюсь спуститься на 1, пройти 2 слева. Эти точки тоже на кону. Помните, что линия бесконечна в обоих направлениях, используя постоянный коэффициент наклона.
Обычно рекомендуется наносить на график более двух точек, чтобы убедиться, что он достаточно точный, особенно в таких ситуациях, когда у меня есть дроби, и я могу ошибиться.Пожалуйста, пожалуйста, убедитесь, что вы всегда используете линейку для соединения ваших точек, чтобы ваши графики были действительно точными.
И, наконец, не забудьте поставить стрелки на концах, чтобы показать, что эта линия тянется вечно в обоих направлениях. Если вы, ребята, можете научиться рисовать линии в форме y равно mx плюс b, тогда уравнения, подобные этим, где она почти в форме y равна mx плюс b, могут быть очень быстрыми для вас.
Когда вас просят построить линию, у вас всегда есть выбор, какой метод использовать.Мне больше всего нравится использовать стратегии y равно mx плюс b, и я собираюсь показать вам, как эта задача может занять у меня 10 секунд. Но повесьте один, прежде чем мы это сделаем, я хочу убедиться, что вы четко понимаете, в чем проблема.
Изобразите линию y равной 3 1 / 2x минус 4. Хорошо, ребята, вы готовы? Я собираюсь показать вам мой 10-секундный график. У меня под рукой есть линейка, позвольте мне перейти к графику, чтобы я был готов. Ладно, достаньте секундомеры, готово, ставьте, вперед. Подожди, подожди, подожди, прежде чем я это сделаю, я расскажу тебе, что сделал.Хорошо, мы идем, готово, начинаем, у меня здесь, возьмите 4, отсюда я заполняю 1, 2, 3, устанавливаю свою линейку Я почти на месте 5, 4, 3, 2, 1. Это довольно хорошо Хм?
Вы, ребята, рисование линий, когда они уже в форме y равно mx плюс b, - одно из моих любимых занятий. Вы действительно можете выявить своего внутреннего ботаника-математика в подобных задачах. Позвольте мне показать вам, что я сделал за эти удивительные 10 секунд.
Первым делом я поискал точку пересечения оси y. Перехват по оси Y в этой задаче равен -4, поэтому моя первая точка на графике оказалась равной -4.Отсюда я считал уклон. Позвольте мне показать вам на графике, что я имею в виду. Моя первая точка попала на точку пересечения оси Y, равную -4. Первое, что я сделал, это поставил эту точку прямо здесь, на 4 вниз по оси y. Оттуда я посчитал номер наклона, который был 3 на 2, так что из этой точки я собираюсь подняться на 3 на 2 и поставить еще одну точку, вот откуда этот парень. Мой уклон был 3/2. Оттуда я просто схватил линейку и соединил их, очень осторожно продлив линию и сделав стрелки на конце, чтобы показать, что она продолжается и идет к бесконечности.
Итак, вы, ребята, это как супер быстрые задачи, если вы умеете это делать. Позвольте мне еще раз прогнать это через вас. Первым делом поставьте точку на стреле пересечения оси Y, отсчитайте оттуда наклонную стрелу, в-третьих, проведите линию, четвертое, нанесите на нее стрелки. Это действительно большие проблемы, ребята, я думаю, вы, возможно, даже повеселитесь, выполняя домашнее задание по математике.
«Авангард» усилится качественным вратарем из Европы
Главная
/
Новости
/
КХЛ
11 сентября 2022, воскресенье
21:43
раздел
КХЛ
Телеграм-канал «Арена Бреда» заявил, что «Авангард» в ближайшее время усилится вратарем.
Вратарскую бригаду омичей сейчас составляют Василий Демченко и Станислав Галимов.
Омская команда проиграла все 4 матча в сезоне. «Авангард» не набрал ни одного очка при главном тренере Рябыкине.
К тому же у команды провальные показатели игры в атаке и обороне, а также в меньшинстве.
Источник AllHockey.Ru
Сообщить об ошибке или опечатке
Интересные материалы
1 сентября 2022
6 сентября 2022
2 сентября 2022
3 сентября 2022
1 сентября 2022
7 сентября 2022
Возможно вас заинтересует
Матч-центр
Матч-центр
12:00
Амур — Металлург Мг
5. 00 x 5.00 x 1.53
-:-
12:30
Адмирал — Салават Юлаев
3.60 x 3.75 x 1.95
-:-
17:00
Автомобилист — Спартак
Окончен
4:1
19:00
Северсталь — Динамо Мн
Окончен
5:2
19:30
Ак Барс — Торпедо
Окончен
2:1
19:30
ЦСКА — Витязь
Окончен
4:2
19:30
Динамо М — ХК Сочи
Окончен
2:0
19:30
Локомотив — СКА
Окончен
2:3
12:00
Амур — Металлург Мг
5. 00 x 5.00 x 1.53
-:-
12:30
Адмирал — Салават Юлаев
3.60 x 3.75 x 1.95
-:-
16:30
Барыс — Авангард
3.80 x 4.20 x 1.80
-:-
16:30
Барыс — Авангард
3.05 x 4.20 x 2.05
-:-
17:00
Трактор — Нефтехимик
1.63 x 4.50 x 4.60
-:-
17:00
Автомобилист — Сибирь
1.85 x 3.95 x 3.90
-:-
19:00
Куньлунь РС — ХК Сочи
2. 30 x 3.90 x 2.80
-:-
19:00
Динамо М — СКА
3.15 x 3.70 x 2.15
-:-
19:00
Динамо Мн — Ак Барс
-:-
19:30
Спартак — Торпедо
2.03 x 3.80 x 3.35
-:-
17:30
Ижсталь — Зауралье
Окончен
3:2
18:30
Нефтяник — Горняк-УГМК
Окончен
0:2
16:00
Омские Крылья — Барс
2. 45 x 3.90 x 2.40
-:-
16:30
Южный Урал — Рубин
3.80 x 3.90 x 1.78
-:-
17:00
Челмет — Югра
4.50 x 4.20 x 1.60
-:-
18:30
ХК Тамбов — Дизель
1.92 x 4.05 x 3.20
-:-
18:30
Химик — Молот
-:-
19:00
Рязань-ВДВ — Торос
-:-
12:00
Амурские Тигры — Крылья Советов
Окончен
4:3
От
15:00
Белые Медведи — Тюменский Легион
Окончен
3:2
Б
15:00
Красноярские Рыси — МХК Молот
Окончен
0:4
19:00
АКМ-Юниор — СКА-1946
Окончен
2:5
19:00
СКА-Варяги — МХК Спартак
Окончен
1:8
19:00
СКА-Карелия — Русские Витязи
Окончен
2:3
Б
06:00
Тайфун — СМО МХК Атлант
Окончен
4:3
От
13:00
Кузнецкие Медведи — Мамонты Югры
4. 10 x 4.80 x 1.60
-:-
15:00
Красноярские Рыси — МХК Молот
-:-
15:00
Стальные Лисы — Сарматы
1.20 x 7.20 x 9.50
-:-
15:00
Толпар — Ладья
1.63 x 4.60 x 4.00
-:-
17:00
Ирбис — Локо-76
2.00 x 4.40 x 2.85
-:-
11:00
Сахалинские Акулы — Крылья Советов
-:-
12:00
Тайфун — СМО МХК Атлант
2. 30 x 4.50 x 2.35
-:-
13:00
Ирбис — Локо-76
-:-
17:00
Спутник Ал — Чайка
-:-
17:00
Красная Армия — МХК Динамо М
-:-
17:00
СКА-Карелия — МХК Спартак
-:-
Не найдено ни одного матча по выбранным параметрам
Панюков: «Ак Барсу» с трудом даются победы, но надо перебороть это
Источник: «Авангард» усилится качественным вратарем из Европы
Никитин: психология должна быть — не «достойно играть», а «выигрывать»
Федоров: хоккеисты ЦСКА сыграли так, как хотели, как могли, как тренировались
Хохряков: пока игроки «Трактора» ковыряются
«Авангард» предпоследний в КХЛ по игре в меньшинстве, хуже только «Магнитка»
Чемпион КХЛ ЦСКА победил «Локомотив» и выиграл у ярославцев 5-й матч подряд
Капитан «Автомобилиста»: прекрасно понимаем, что дисциплина – это номер один
Антон Белов заявил, что «Авангард» понимает недовольство болельщиков
Щитов разобрал момент с получением травмы Хо-Сэнгом
Заварухин: «Авангард» — хороший раздражитель, игра напомнила плей-офф
Рябыкин после очередного поражения «Авангарда» заявил, что хочет усиления
Ипотека на 2100000 рублей на 10 лет, подтверждение дохода – 2-НДФЛ, 3-НДФЛ, 4-НДФЛ, справка в свободной форме, справка по форме банка, с первоначальным взносом 900000 рублей в Находке
Ипотека на 2 100 000 ₽ на 10 лет, подтверждение дохода – 2-НДФЛ, 3-НДФЛ, 4-НДФЛ, справка в свободной форме, справка по форме банка, с первоначальным взносом 900 000 ₽. Доступно 94 предложения. Изменить
Оформите кредит на покупку квартиры с привлекательной процентной ставкой кредитования и с использованием специальных программ: ипотека молодым; материнский капитал; кредит по одному документу; назначь свою ставку; назначь свою страховку.
Оформите кредит на покупку жилья с привлекательной процентной ставкой кредитования и с использованием специальных программ: ипотека молодым; материнский капитал; кредит по одному документу; назначь свою ставку; назначь свою страховку; половина платежа раз в 14 дней.
Информация о ставках и условиях ипотечных продуктов в Находке предоставлена банками или взята из открытых источников. Пожалуйста, уточняйте условия продуктов в отделениях банков или по телефонам справочных служб.
Здравствуйте я гражданин Киргизии, могу брать ипотеку у вас в Кошелев банке?
Расскажите про семейную ипотеку. Обязательно ли квартира должна быть в новостройке? Хотим купить вторичку в Московской области
Недавно ЦБ снизил ключевую ставку до 9,5 процента годовых. Прошу ответа экспертов — насколько в связи с этим мне выгодно брать ипотеку на квартиру?
Задайте вопрос экспертам или пользователям Выберу. ру
Отделения и филиалы банков, предоставляющих услугу в Находке
Время работы:
Пн.—Пт.: 09:00—18:00
Находкинский
Находка, улица Луначарского, 2А
8 800 100-07-01
Время работы:
с Пн по Пт 09:00-19:00 предпразд 09:00-18:00 Сб 10:00-15:00 предпразд 10:00-14:00 Вс выходной
Время работы:
Пн.-Пт.: 10:00—19:00
Время работы:
понедельник – пятница с 09-30 до 17-30 (без перерыва) суббота и воскресенье выходной
Время работы:
Пн.—Пт.: 10:00—19:00 Сб.: 10:00—17:00
Ипотека на 1800000 рублей на 10 лет, подтверждение дохода – 2-НДФЛ, 3-НДФЛ, 4-НДФЛ, с первоначальным взносом 1200000 рублей в Находке
Ипотека на 1 800 000 ₽ на 10 лет, подтверждение дохода – 2-НДФЛ, 3-НДФЛ, 4-НДФЛ, с первоначальным взносом 1 200 000 ₽. Доступно 96 предложений. Изменить
Оформите кредит на покупку квартиры с привлекательной процентной ставкой кредитования и с использованием специальных программ: ипотека молодым; материнский капитал; кредит по одному документу; назначь свою ставку; назначь свою страховку.
Оформите кредит на покупку жилья с привлекательной процентной ставкой кредитования и с использованием специальных программ: ипотека молодым; материнский капитал; кредит по одному документу; назначь свою ставку; назначь свою страховку; половина платежа раз в 14 дней.
Информация о ставках и условиях ипотечных продуктов в Находке предоставлена банками или взята из открытых источников. Пожалуйста, уточняйте условия продуктов в отделениях банков или по телефонам справочных служб.
Здравствуйте я гражданин Киргизии, могу брать ипотеку у вас в Кошелев банке?
Расскажите про семейную ипотеку. Обязательно ли квартира должна быть в новостройке? Хотим купить вторичку в Московской области
Недавно ЦБ снизил ключевую ставку до 9,5 процента годовых. Прошу ответа экспертов — насколько в связи с этим мне выгодно брать ипотеку на квартиру?
Задайте вопрос экспертам или пользователям Выберу. ру
Отделения и филиалы банков, предоставляющих услугу в Находке
Время работы:
Пн.—Пт.: 09:00—18:00
Находкинский
Находка, улица Луначарского, 2А
8 800 100-07-01
Время работы:
с Пн по Пт 09:00-19:00 предпразд 09:00-18:00 Сб 10:00-15:00 предпразд 10:00-14:00 Вс выходной
Время работы:
Пн.-Пт.: 10:00—19:00
Время работы:
понедельник – пятница с 09-30 до 17-30 (без перерыва) суббота и воскресенье выходной
Время работы:
Пн.—Пт.: 10:00—19:00 Сб.: 10:00—17:00
тактический фонарик с датчиком яркости / Фонари / iXBT Live
Прожечь карман, чехол или рюкзак сейчас по силам даже достаточно бюджетному фонарику. Да что там, я как-то из любопытства пожарил на фонарике яичнику. Olight решили обойти эту проблему, установив в ряд своих фонариков датчик яркости, который снизит её до безопасного уровня. Предлагаю посмотреть на EDC \ тактический фонарик с таким вот датчиком.
Cветодиод Luminus SFT-70-X-W 6500 K.
Максимальная яркость и дальнобойность — 2300 люмен \ 300м (23000кд)
Питание — 1 x Li-ion 21700 3,7 В. (Olight ORB 217C50 5000 мАч в комплекте).
Магнитная зарядка
Память режимов
Магнит в торце
Фонарь отлично стоит на торце, крепится к металлической поверхности с помощью магнита в торце фонаря.
Корпус из авиационного алюминия марки Т6061 T6 с жестким анодирование 3-й (максимальной) степени.
Ударозащита по стандарту FL1 Standart (падения с высоты до 1,5 метра).
Влагозащита — IPX-8 ( погружение под воду не более 2х метров на 30 мин)
Изготовлен в соответствии с военными стандартами армии США Mil-spec: MIL-STD-810F. Сертифицирован по европейским стандартам CE и RoHS Certification.
Габариты: 29,5 мм. x 139 мм.
Вес: 176 г. (с аккумулятором)
Я отношусь к Olight как к Apple среди фонариков, так что понятно что с дизайном у них всегда все в порядке.
Это касается и упаковки тоже. Аккуратная, скромная и стильная коробка, в которой всё аккуратно разложено.
В комплекте есть почти всё необходимое. Сам фонарик, 5000mah 21700 аккумулятор к нему, магнитный кабель зарядки, чехол, руководство
Чехол отличный.
Фонарик среднего, для 21700 питания, размера. Вполне поместится в карман, будет удобен и в руке. Слева замечательный бюджетный дальнобой Sofirn C8G, справа EDC Wurrkos TS21. Если вам нужен приличный по свету и управлению фонарик за небольшие деньги, то Sofirn\Wurrkos вам дадут всё, кроме изящной внешности. Рекомендую.
Как упоминал выше, с дизайном у Olight всегда всё в порядке. Для меня только Olight и Acebeam раз за разом демонстрируют радующий глаз дизайн. У других производителей такого постоянства я не наблюдаю. Хотя, разумеется, это вопрос вкуса.
Так и тут — у фонарика есть своё лицо. Хотя, чего скрывать, на фоне других моделей, он выглядит достаточно простенько, смотрите сами что еще есть у Olight
Marauder 2
Warrior X Pro
Обычно хвостокнопки не магнитные. Обычно, но не у Olight.
Магнит достаточно мощный чтобы горизонтально держать фонарик с аккумулятором внутри. При желании на неё крепится выносная кнопка.
Olight напоминают мне Apple не только хорошим дизайном, увы, но и привязкой пользователей с родным зарядкам и аккумуляторам. Если у вас только один фонарик — это проблема. А вот если у вас несколько фонариков Olight, то одна зарядка у вас дома, вторая на работе, третья в авто и тут уже сложностей с зарядкой не будет.
Зарядка весьма не впечатляет по скорости. 21700 вполне можно было бы зарядить и за пару часов.
Когда-то давно фонарик включался и с обычными аккумуляторами, не было только зарядки. Но уже несколько лет как всё, только родные. А уж дешёвыми их назвать вообще нельзя. Короче, тут сочетание всего того, что я категорически не приветствую в фонариках
Накатка очень, очень цепкая.
Благодаря ей и двусторонней клипсе фонарик замечательно сидит в руке
Голова никак не выделяется, это просто продолжение корпуса. Кнопка плоская, не самая удобная для быстрого поиска, тут вам придется полагаться на помощь расположенной с обратной стороны клипсы.
Olight расположили вокруг кнопки индикаторы яркости и уровня заряда. Ладно, последний полезен. Но смысл в том, чтобы показывать какая яркость, ты и так её видишь?
Безель «вроде как» зубастый, но это скорее молочные зубы.
Сравнительно глубоко под ним, за стеклом, расположена пластиковая ТИР-линза с SFT70 светодиодом. Оп, а вот и «челка» — в небольшом выступе прячется тот самый датчик яркости. Если перед фонариком будет какое-то препятствие, то отражённый свет превысит заданный порог яркости и фонарик перейдет в минимальный режим.
Под ним сравнит
В целом, то же самое что было
Боковая кнопка:
Вкл/выкл: по щелчку. Есть память режимов.
Переключение уровня яркости: удержание (как обычно, светляк и турбо исключены из общей линейки режимов)
Светляк: Для активации режима мунлайт зажмите и удерживайте кнопку более 1 секунды, когда фонарь выключен. Если последний выбранный режим был мунлайт, то при повторном включении фонарь включится именно на нем.
Turbo: 2 щелчка
Strobe: 3 щелчка
(Раз)блокировка: из ВЫКЛ нажмите и удерживайте кнопку (фонарь сначала войдёт в светляка, потом через 2 сек заблокирует фонарик. Для разблокировки нажмите и удерживайте кнопку более 1 секунды, не отпуская, после этого фонарь снова активирует режим мунлайт.
Разблокировка удержанием — сомнительная идея. Кнопку можно случайно прижать и фонарик разблокируется.
Хвостокнопка:
Она запускает стандартный или тактический режимы.
Легкое нажатие на кнопку запускает средний режим в 200 люм.
Долгое нажатие запускает Turbo или строб (см ниже)
Если нажать коротко, фонарик включится на постоянной яркости. Если держать долго зажатой, то фонарик выключится, когда отпустите кнопку. Непривычно, но логично и удобно, привыкните.
Выбор между Турбо и Стробом. Удерживая нажатой хвостокнопку, нажимайте на боковую. Фонарик будет переключаться между стробом и турбо. Отпустите хвостокнопку на нужном. Теперь при полном нажатии на хвостокнопку будет запускаться выбранный режим.
Свет стабилизирован, фонарик работает долго. Единственное что, охлаждение вообще никак не влияет на продолжительность турбо-режима.
А вот какое-то небольшое влияние на HIGH режим уже есть
Что касается света, то вы получаете самый обычный среднебойный свет, который в турбо может пробить этак сотни полторы метров. SFT70 своеобразный светодиод, который сочетает хорошую яркость и дальнобойность. К сожалению, о каком-либо качестве света тут говорить не приходится вообще. Тут и холоднючий свет, и низкий CRI, и серьёзный подмес зелёного света на низких яркостях.
В целом, странное решение установить SFT70. Фонарик вообще не раскрывает ту яркость, на которую способен это светодиод (хотя при таких размерах нагрев свёл бы её к турбопыху, так что и тут логика есть).
В целом, свет вполне пригоден для работы на средних дистанциях
Olight выкатили совершенно рядовой, в общем-то фонарик. И по современным меркам яркости, и вообще для того что делает Olight.
Не, так-то 2300люм — цифра на самом деле неплохая и её более чем хватит для работы на средней дистанции. 800люм с долгим временем работы тут выглядят намного интереснее, кстати. Тут-то жаловаться не приходится.
Да и управление тут неплохое. На самом деле удобная комбинация боковой кнопки и Warrior`ского управления хвостокнопкой, на которую еще и можно выбрать строб или турбо. Тут вот управление я на самом деле высоко оцениваю во всёс кроме разблокировки удержанием.
Сам фонарик выглядит неплохо, но не более того. Он удобно сидит в руках, есть мощный магнит в торце и возможность закрепить к нему выносную кнопку.
Зарядка…да, зарядка подкачала — можно было бы сделать её намного быстрее.
А, да, фишка модели — датчик яркости. Ну…у меня не было прецедентов с поджогами чехлов\карманов, но их результаты я тоже видел. Так что назвать такую функцию декоративной у меня тоже язык не поворачивается.
Короче, положительного есть много что сказать, а жаловаться-то особо не на что. Но…Но не цепляет меня как-то этот фонарик. Может потому что у него совершенно рядовые характеристики, а получил я его в комплекте с очень дальнобойным Acebeam L19.2 и чудовищно ярким Acebeam X50.2. А потом еще пришла аналогичная пара Nitecore Mh50S и Imalent RT90. И Olight Warrior 3s на их фоне выглядит совершенно блекло по свету, что есть — то есть.
В целом же, фонарик неплох, но не более. Olight сделали долгоиграющий EDC с потенциалом тактического управления. Традиционно, я считаю что фонарики Olight в первую очередь будут интересны именно поклонникам этого бренда, у которых уже есть фирменные зарядки и аккумуляторы. Ну и достаточно средств, чтобы покупать фонарики с ценой выше средней на рынке. Короче, во всём полная аналогия с продукцией Apple. И если такой пользователь купит Olight Warrior 3S, то фонарик его не разочарует. Не впечатлит, нет — современные стандарты подняли эту планку гораздо выше того что может этот фонарик. Но не разочарует.
Купить Olight Warrior 3S можно у официального дилера Olight | Яндекс-Маркет | СберМегаМаркет
Также сэкономить на покупке этого и другого товара можно с купонами и промокодами из моего скидочного канала в telegram, смотрите ссылку на него ниже в блоке «об авторе»
Microsoft запустила тестирование нового дашборда Xbox Series X|S — его продемонстрировали в видео
Платформы:
XSEX
ONE
Категории:
Интересное
Индустрия
Ситуации
Видео
Обновления
Теги:
тестирование
Microsoft
Xbox
test
Xbox TV
Xbox Insider
дашборд
xbox series
Дашборд Xbox
Интерфейс Xbox
Новый дашборд
Источник
Комментарии
Форум
На прошлой неделе компания Microsoft запустила серию пользовательских тестов обновленного домашнего экрана Xbox в преддверии полноценного запуска, запланированного на 2023 год.
Первый превью-апдейт интерфейса уже доступен участникам программы Xbox Insider с уровнем доступа Apha Skip-Ahead, в связи с чем в сети стали появляться ролики, демонстрирующие новый дашборд в действии. Хотя функционал UI еще будет меняться и дополняться по ходу тестирования, игроки уже сейчас могут оценить ряд нововведений в плане компоновки, дизайна и удобства доступа.
«Мы знаем, что домашняя страница Xbox — это место, где наши игроки проводят много времени, и это очень личное пространство. Мы всегда прислушиваемся и учитываем то, как сделать ее лучше, заботясь при этом о том, чтобы пользовательский опыт оставался быстрым и знакомым. В связи с этим мы начинаем многомесячную серию экспериментов, чтобы узнать, как создать более персонализированный домашний экран и учесть некоторые из основных тенденций и запросов фанатов», — поделился старший менеджер по продуктам Xbox Айви Крислов.
com/embed/bdYB5dgGur8″ title=»YouTube video player»>
Как уже было объявлено ранее, в обновленном домашнем экране больше не будет большой плитки для последнего запускавшегося приложения или игры, а сам интерфейс станет ближе к приложению Xbox TV для смарт-телевизоров.
Читайте также: Посмотрите на красоты Багдада IX века — Ubisoft выпустила набор артов и обоев Assassins Creed Мираж.
Подписывайтесь на наш Telegram канал, там мы публикуем то, что не попадает в новостную ленту, и следите за нами в сети:
Telegram канал
Google Новости
Яндекс
Новости
Яндекс Дзен
Свежие новости
14. 09.2022
Various Daylife от разработчиков Octopath Traveler и Bravely Default вышла на Nintendo Switch и PC
14.09.2022
СМИ: В разработку запущен сериал по франшизе «Трон»
14.09.2022
Легендарный файтинг The Rumble Fish 2 выйдет на современных платформах 8 декабря — трейлер и скриншоты
14.09.2022
Triangle Strategy выйдет на ПК через месяц — игра была эксклюзивом Nintnedo Switch с марта
14. 09.2022
Классический шутемап Radiant Silvergun вышел на Nintendo Switch
14.09.2022
Вышел тизер фильма MaXXXine — финала трилогии слэшеров «X» и «Перл»
3-8
9
Оценить
квадратный корень из 12
10
Оценить
квадратный корень из 20
11
Оценить
квадратный корень из 50
94
18
Оценить
квадратный корень из 45
19
Оценить
квадратный корень из 32
20
Оценить
квадратный корень из 18
93-8
9
Оценить
квадратный корень из 12
10
Оценить
квадратный корень из 20
11
Оценить
квадратный корень из 50
94
18
Оценить
квадратный корень из 45
19
Оценить
квадратный корень из 32
20
Оценить
квадратный корень из 18
92-3x+3=0 Tiger Algebra Solver
Пошаговое решение :
Шаг 1 :
Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена
1. 1 Разложение на множители x 2 -3×19 918 918 , x 2 его коэффициент равен 1 . Средний член равен -3 x , его коэффициент равен -3 . Последний член, «константа», равен +3
Шаг 1. Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 3 = 3 среднего члена, который равен -3 .
-3
+
-1
=
-4
-1
+
-3
=
-4
1
+
3
=
4
3
+
1
=
0005
4
Наблюдение: Невозможно найти два таких фактора!! Заключение: Трехчлен нельзя разложить на множители
Уравнение в конце шага 1 :
x 2 - 3x + 3 = 0
Шаг 2 :
Парабола, поиск вершины :
2. 1 Найдите вершину y = x 2 -3x+3
Параболы имеют наивысшую или низшую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x составляет 1,5000
Подключение к формуле 1,5000 параболы для x Мы можем рассчитать y -координату: y = 1,0 * 1,50 * 1,50 — 3,0 * 1,50 + 3,0 или Y = 0,750
Корневой график для: y = x 2 -3x+3 Ось симметрии (пунктирная) {x}={ 1,50} Вершина в {x,y} = {1,50, 0,75} Функция не имеет действительных корней
Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.2 Решение x 2 -3x+3 = 0, заполнив квадрат .
Вычтите 3 из обеих частей уравнения: x 2 -3x = -3
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент x , равный 3, разделите на два, получите 3/2, и, наконец, возведите в квадрат это дает 9/4
Добавьте 9/4 к обеим частям уравнения: В правой части мы имеем: -3 + 9/4 или (-3/1)+(9/4) Общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (-12/4)+(9/4) дает -3/4 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы окончательно получаем : x 2 -3x+(9/4) = -3/4
Добавление 9/4 завершает левую часть в полный квадрат: x 2 -3x+ (9/4) = (x-(3/2)) • (x-(3/2)) = (x-(3/2)) 2 Вещи, равные одной и той же вещи, также равны между собой. С x 2 -3x+(9/4) = -3/4 и x 2 -3x+(9/4) = (x-(3/2)) 2 тогда по закону транзитивности, (x-(3/2)) 2 = -3/4
Мы будем называть это уравнение уравнением #2.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из (x-(3/2)) 2 равен (x-(3/2)) 2/2 = (x-(3/2)) 1 = x-(3/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #2.2.1 получаем: x-(3/2) = √ -3/4
Добавьте 3/2 к обеим частям, чтобы получить: x = 3/2 + √ -3/4 В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i 2 =-1. И i , и -i являются квадратными корнями из -1
Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное x 2 — 3x + 3 = 0 имеет два решения: x = 3/2 + √ 3/4 • i или x = 3/2 — √ 3/4 • i
Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как √ 3 / √ 4 3, что равно √ / 2
Решение квадратного уравнения с помощью квадратной формулы
2. 3 Решение x 2 -3x+3 = 0 по квадратной формуле .
Согласно квадратичной формуле, x , решение для Ax 2 +Bx+C = 0 , где A, B и C – числа, часто называемые коэффициентами, определяется следующим образом: -B ± √ B 2 -4AC x = ———————— 2A
В нашем случае A = 1 B = -3 C = 3
ACRODBY, B = -3 C = 3
. 2 -4AC = 9 -12 = -3
Применение квадратичной формулы:
3 ± √ -3 x = ——— 2
В множестве действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней. Был изобретен новый набор чисел, называемый комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти цифры написаны (a+b*i)
И I, и -i являются квадратными корнями минус 1
Соответственно, √ -3 = √ 3 • (-1) = √ 3 • √ -1 = ± √ 3 • i
√ 3 , округленное до 4 десятичных цифр, равно 1,7321 9{2}-4ac}}{2a}.
11.16
..
Первыми на ниве нахождения производных
потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
е.
Это тоже важно запомнить надолго
Производная суммы или разности
Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.
Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную «икса». Получаем следующие значения производных:
Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе 
Найдите производную функции y=500.
Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.
Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.
Подставив в формулу производной частного получим:
Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач.
Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент.
Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить.
Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси.
В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат.
Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины.
Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения.
Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки.
Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно.
Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк.
Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.
Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
Подход к исчислению
), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, .
(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) — нечетная.
2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
{2}-3
, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .
Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство
2
Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство
Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.
Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство
Период функции
4).
Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
2-1}\)
при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл.
Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например:
На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f (x )возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0,
функция f (x )убывает.
Определить
принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку
[a ; b ]:
пусть x 1a ;b ,
а x 2a ;b .
Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
{2}-3
, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.
Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.
(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) — нечетная.
2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Из полученного противоречия следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следовательно, любое рациональное число T является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное число можно сделать выбором n сколь угодно близким к нулю).
Если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, то есть из , , то, как известно из § 8, отображение f, определяемое этой функцией, обратимо, и для него существует обратное отображение множества на множество . Это отображение называется обратной функцией к функции , то есть обратная функция такова, что . Функция и обратная для нее функция называются взаимно-обратными функциями. Заметим, что , а графики взаимно-обратных функций и симметричны относительно прямой – биссектрисы первого и третьего координатных углов. Обратная функция всегда существует для строго монотонной функции, которая каждое свое значение принимает только один раз.
Четные функции
2).
2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ — нечетная функция.
Это означает, что функция одинакова для положительной оси x и отрицательной оси x или графически симметрична относительно оси y. Примером четной функции являются тригонометрическая четная функция, секущая функция и т. д. Давайте подробно рассмотрим четную функцию, а также ее графическое представление и свойства.
д., являются четными функциями.
Несколько основных свойств четной функции перечислены ниже.
Несколько примеров четных функций: x 4 , cos x, y = x 2 и т. д.
Следовательно, cos x — четная функция.
Математика, связанная с вычислением, проста, если вы внимательны на каждом этапе своего решения.
Другими словами, оно не подпадает под классификацию четных или нечетных.
Если это так, то у нас есть нечетная функция .
3} + 6x
Это связано с тем, что вывод функции будет таким же, если мы введем 𝑥 или −𝑥. Например, точки (2,8) и (−2,8) лежат на кривой
𝑦=𝑓(𝑥).
Например, с момента
с координатами (2,8) лежит на кривой 𝑦=𝑔(𝑥),
тогда точка с координатами (−2,−8) также должна лежать на кривой.
Чтобы проверить четность 𝑓(𝑥), мы оценим 𝑓(−𝑥):
𝑓(−𝑥)=4(−𝑥)−3=−4𝑥−3.
порядок 2 о происхождении. Важно понимать, что это должно выполняться
истинно для 90 527 для каждого 90 528 значения 𝑥 в области определения функции, и поэтому мы должны
убедитесь, что область определения функции симметрична относительно 0.
Значения 𝑥, которые
make cos6𝑥=0
𝑥=𝜋12,3𝜋12,−𝜋12,−3𝜋12 и так далее. Эти значения симметричны относительно оси 𝑦, что означает, что домен tan6𝑥 должен быть симметричным.
около 0,
Точно так же функция, график которой имеет отражательную
симметрия относительно оси 𝑦 является четной функцией.
com
Так что напишу исходную функцию, а потом поменяю местами все знаки:
Однако, чтобы быть уверенным (и чтобы получить полное признание за мой ответ), мне нужно заняться алгеброй.
е. исходную функцию, но со всеми измененными знаками: x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4
. Не пытайтесь смешивать два набора определений; это только смутит вас.
Итак:
Если вам интересно узнать о четных и нечетных функциях , вы только что нашли нужную статью. Начнем с их определения:
Итак, как мы узнаем, является ли данная функция четной?
Давайте попробуем наблюдать f(x) = x 3 , нечетную функцию и посмотрим, как это повлияет на ее таблицу значений.
Используйте таблицу значений, показанную в предыдущем разделе, для построения точек, которые соединят кривую f(x) = x 3 . 
Давайте всегда не забывать проверять, является ли график нечетным или четным, прежде чем применять соответствующую технику.
как нам это сделать?
Если f(-x) возвращает ту же функцию, мы можем сделать вывод, что функция четная. Если он возвращает ту же функцию, но с коэффициентами, имеющими разные знаки, он нечетный.
Функция f(x) четна.
0032
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.
Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+(x+1) = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x = 5-1 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2\end{array} \right.} $$
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -1 \\ y = -2\end{array} \right.} $
} \Rightarrow $
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4y+28 = 4(y+7) \\ 6 \cdot 4(y+7)+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow $
} $
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$
} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(12b-2)+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 36b-6+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Найдите эти числа.
В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:
Узоры и орнаменты на посуде»
Результат подставляется в уравнение, которое теперь содержит одну переменную. После ее вычисления переходим к поиску второй неизвестной.
list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>
Результат выдается в виде поэтапных действий, а не только ответа. Поэтому вы легко сможете проверить себя и найти, где допустили ошибку. Наш сервис используют:
В этом методе мы находим значение любой из переменных, изолируя ее с одной стороны и беря все остальные члены с другой стороны уравнения. Затем подставляем это значение во второе уравнение. Он включает в себя простые шаги, чтобы найти значения переменных системы линейных уравнений методом подстановки. Давайте узнаем об этом подробно в этой статье.
Таким образом, мы можем решить и найти значение переменной y. И, наконец, мы можем подставить значение y в любое из данных уравнений, чтобы найти x. Этот процесс также можно поменять местами, когда мы сначала находим x, а затем находим y.
Итак, получаем x = -4y — 2.
Давайте поймем разницу между этими двумя методами с помощью приведенной ниже таблицы:
Из этого уравнения найдем значение x через y, то есть x = 5-y. Теперь подставляем это значение в уравнение 2, получаем 3(5-y)+y=11.
В этом методе мы подставляем значение переменной, найденное одним уравнением, во второе уравнение. Его очень легко использовать, когда у нас есть меньшие числа, но в случае больших чисел или дробных коэффициентов применять метод подстановки становится утомительно.
Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы найти значение y. Наконец, мы снова подставляем значение y в любое данное уравнение, чтобы найти x.
На графике это условие становится очевидным:
Сначала я поработаю с первым уравнением, чтобы определить z через y:
В этом уроке мы заинтересованы в ручном решении этой общей точки.
Таким образом, я решу уравнение с одной переменной.
Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные числа или дроби, это не самый точный метод. Что, если нам не задана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы все же найти решение системы? Конечно можно, используя алгебру!
Давайте начнем с примера, чтобы понять, что это значит.
На самом деле это вопрос предпочтений, потому что иногда нахождение переменной приводит к необходимости работать с дробями. Когда вы станете более опытными в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.
[латекс]12+2x–8=7x+5–5x[/латекс]
Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что решения не существует.
Но что означает этот тип ответа? Опять же, графики могут помочь вам разобраться в этой системе.
Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных через другую переменную. Затем подставьте это выражение вместо этой переменной во второе уравнение. Затем вы можете решить это уравнение, так как теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (указывающее одно решение), неверное утверждение (указывающее отсутствие решений) или истинное утверждение (указывающее бесконечное количество решений).
Давайте рассмотрим шаги для каждого метода.
🙂
Это даст нам ???2x??? или ???-2x??? в обоих уравнениях, что приведет к тому, что ???x???-члены будут сокращаться, когда мы складываем или вычитаем.
Подставляем одну переменную найденным значением для решения задачи.
Это означает, что мы можем поставить это значение вместо y. Итак, давайте подставим значение y во 2-е уравнение.
Таким образом, вы можете легко понять концепцию.
Это показывает, что система несовместима. Для этой системы нет решения.
Числа от 1 до 9
Нумерация. Числа и цифры
Сочетательный закон сложения
Деление числа на само себя
Минута. Сутки
Площадь прямоугольника
Вычисления с многозначными числами
Прикидка и оценка результатов вычислений
Разложение натурального числа на простые множители
Уравнения. Упрощение выражений
Задачи.
Размеры объектов окружающего мира (масштаб)
Площадь треугольника
Измерение углов
Периодические дроби
Координатная прямая
Координатная плоскость. Координаты точки
Задачи на проценты: нахождение процента от величины и величины по её проценту
Итог урока
Ребята, давайте вспомним, что такое умножение? ( одно из основных арифметических действий, при котором одно число умножается на другое). 
Во сколько клеток дети разложили морковку? . Объяснение на наглядной основе. 
Продолжаем…
Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 3 классе. Сюда входит:
– с.18
Получается следующее выражение: 3 + 3 + 3. Слагаемое 3 прибавляли 3 раза.
Это очень неудобно.
Уравнения
8[/su_dropcap]
14[/su_dropcap]
1[/su_dropcap]
1[/su_dropcap]
8[/su_dropcap]
3[/su_dropcap]
9[/su_dropcap]
4[/su_dropcap]
01.2014 N 8 «Об утверждении примерной формы договора об образовании по образовательным программам дошкольного образования» (Зарегистрировано в Минюсте России 27.03.2014 N 31757)
06.2015 № 874 (в редакции от 18.05.2016 № 606)
06.1999г.
05.2022
Образовательные результаты
Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы по сложению космического корабля, рабочие листы по сложению нескольких цифр, рабочие листы по сложению без переноса и другие темы по сложению. Эти дополнительные рабочие листы бесплатны для личного или классного использования.
Вы найдете рабочие листы умножения для восьми простых правил папы для освоения таблицы умножения, умножения RocketMath, многозначного умножения, квадратов и других тем рабочего листа умножения. Все эти рабочие листы по умножению содержат ключи для ответов, их можно мгновенно распечатать и использовать в классе или дома.
Существуют различные варианты каждой таблицы умножения с фактами от 1 до 9.(продукты 1-81), 1-10 (продукты 1-100), 1-12 (продукты 1-144) и 1-15 (продукты 1-255). Каждая из этих диаграмм умножения представляет собой SVG с высоким разрешением, поэтому факты умножения печатаются красиво!
Научите своих детей сложению и вычитанию одновременно и укрепите отношения в семье фактов! На каждом уровне представлены два семейства фактов, которые позволяют прогрессивно практиковаться, или просто используйте рабочие листы в конце для всестороннего обзора семейства фактов.
Отличное первое введение в прикладную математику для студентов, знакомых с десятичной арифметикой!
Формирование чувства числа путем понимания разрядных значений является важным математическим навыком на раннем этапе, и эти диаграммы разрядных значений позволяют разбивать числа на части, чтобы лучше понять значение каждой цифры. Существуют варианты диаграмм разрядности только для целых чисел, десятичных чисел и очень больших чисел. Существуют различные макеты диаграмм стоимости мест, которые усиливают как стоимость места, так и стоимость периода.
Все диаграммы печатаются на одной странице в версиях для 1-10, 1-100 и 1-1000 с правилами для римских цифр и без них. Пытаетесь понять, что означает эта странная римская цифра после Суперкубка? Взгляните на новую таблицу римских цифр Super Bowl!
Существуют версии этих логических головоломок с пропущенными числами, а также с пропущенными операциями.
Ознакомьтесь с пронумерованными пустыми шаблонами проверки орфографии!
Эти рабочие листы являются отличной практикой для учащихся первого, второго, третьего и четвертого классов, а также могут обеспечить практическую практику вычитания при измерении длины объектов на линейке.
Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением деления, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций деления, включая остатки. Это идеальное первое введение в деление для учащихся третьего или четвертого класса.
.. Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня святого Валентина.
PDF-файлы с числовыми строками на этой странице включают различные диапазоны (10, 12, 15, 20, 15 и 100) как с нуля, так и с отрицательными диапазонами. Полный набор строк чисел дроби, отмеченных общими знаменателями, включен в диапазоны от -5 до 5. Существуют также специальные числовые строки для прошедшего времени, температуры и денег, а также пустые числовые строки для обычных диапазонов и дробей.
Есть также другие ресурсы для печати, включая таблицу умножения, таблицу стоимостных значений и бумагу для практики письма. Все бесплатные рабочие листы по математике в этом разделе содержат распечатываемые ответы, и они обязательно помогут вашим ученикам хорошо подготовиться к математическим темам 4-го класса!
Решайте задачи на умножение слов, используя стратегию «создай картинку», чтобы визуализировать задачу.
Поймите, что одна и та же сумма может быть представлена в разных комбинациях валюты. Сопоставьте различные комбинации валют с заданной суммой. Найдите правильные комбинации сдачи от заданной суммы до 50 долларов.
Определите результаты и возможности и запишите результаты.
Использовать
ряд операций для решения одношаговых текстовых задач с массой.
Распознавать
различные комбинации чисел, которые образуют семейства числовых фактов при умножении
и разделяющий.
Умножьте 1 цифру на 1 цифру и 2 цифры на 1 цифру.
Интерпретируйте вопросы и определите неизвестные частные.
Они начинают понимать умножение как нахождение общего числа объектов в определенном количестве групп одинакового размера, а деление как нахождение либо размера группы, либо числа групп. Учащиеся работают над беглостью всех фактов умножения и деления в пределах 100, полагаясь на свойства и закономерности, которые помогут, в частности, с трудными фактами 6, 7, 8, 9.. Учащиеся решают одношаговые задачи на умножение и деление, включающие равные группы и массивы, и решают двухшаговые задачи, включающие все четыре операции. Они также изучают бесчисленные связи с умножением и делением, в том числе изучают закономерности, в том числе закономерности в последовательности пропуска и подсчета, а также масштабированные изображения и гистограммы.
Затем, увидев связь между пропуском счета и умножением, которая была построена в предыдущих двух модулях, учащиеся применяют свои недавно приобретенные навыки умножения и деления, чтобы вычислить площадь прямоугольника и решить реальные задачи, связанные с площадью. Наконец, они находят площади составных прямолинейных фигур, разлагая их на прямоугольники, находя площади этих прямоугольников и складывая эти площади вместе.
Учащиеся также изучают линейные графики с дробными измерениями, что является ключевым шагом вперед по сравнению со 2-м классом работы с линейными графиками, который связан с их работой с дробями.
Студенты сосредотачиваются на точности своих расчетов и используют их для решения реальных задач.
Вопросы перетекают в документ, пока вы не нажмете раздел для текстовых задач.
Добавление к 20: У Адрианны есть 10 жевательных резинок, которыми она может поделиться со своими друзьями. На всех ее друзей не хватило жвачки, поэтому она пошла в магазин, чтобы купить еще 3 штуки жвачки. Сколько жевательной резинки сейчас у Адрианны?
В июне магазин товаров для хобби продал на 15 498 коллекционных карточек больше, чем обычно. В целом, сколько коллекционных карточек продал магазин товаров для хобби в июне?
Когда она пошла в парк, она поделилась 10 кусочками клубничной жвачки. Когда она вышла из парка, Адрианна поделилась еще 10 кусочками жевательной резинки. Сколько жевательной резинки сейчас у Адрианны?
В июле магазин товаров для хобби продал в общей сложности 20 777 коллекционных карточек. На сколько коллекционных карточек магазин товаров для хобби продал в июле по сравнению с обычным месяцем?
Сколько мест всего?
Деление двузначных целых чисел: Если у вас есть 80 билетов на ярмарку и каждая поездка стоит 5 билетов, сколько поездок вы можете совершить?
Смешивание сложения и вычитания: В библиотеке 235 книг. В понедельник выносят 123 книги. Во вторник привезли 56 книг. Сколько книг сейчас?
Если на каждую доску нужно 2 куска мела, сколько всего вам понадобится?
5 домов подарили ей плитку шоколада. Какая часть домов на улице Юли подарила ей плитку шоколада?
Сколько шариков мороженого подали в кафе?
Разделение на дроби: Производитель одежды использует ⅕ бутылки цветного красителя для изготовления одной пары брюк. Вчера производитель использовал ⅘ бутылки. Сколько пар брюк сделал производитель?
Через 4 дня сколько километров он пройдет?
Сравнение однозначных чисел У вас есть 5 яблок и яблок2: 9032 У кого больше?
В январе у него было 36. 48 в феврале. 60 марта. Сколько бейсбольных карточек будет у Джереми в апреле?
Добавление денег: Томас и Мэтью копят деньги, чтобы вместе купить видеоигру . Томас сэкономил 30 долларов. Мэтью сэкономил 35 долларов. Сколько денег они накопили вместе в общей сложности?
00 x 5.00 x 1.53
30 x 3.90 x 2.80
45 x 3.90 x 2.40
10 x 4.80 x 1.60
30 x 4.50 x 2.35
Доступно 94 предложения. Изменить
4%
7%
95%
35%
0%
95%
3%
9%
3%
5%
9%
9%
9%
9%
39%
7%
7%
9%
9%
ру
Доступно 96 предложений. Изменить
4%
7%
95%
35%
0%
95%
3%
3%
9%
3%
5%
9%
9%
9%
9%
39%
7%
7%
9%
9%
ру
Olight решили обойти эту проблему, установив в ряд своих фонариков датчик яркости, который снизит её до безопасного уровня. Предлагаю посмотреть на EDC \ тактический фонарик с таким вот датчиком. 
Сертифицирован по европейским стандартам CE и RoHS Certification.
У других производителей такого постоянства я не наблюдаю. Хотя, разумеется, это вопрос вкуса. 
Но уже несколько лет как всё, только родные. А уж дешёвыми их назвать вообще нельзя. Короче, тут сочетание всего того, что я категорически не приветствую в фонариках
К сожалению, о каком-либо качестве света тут говорить не приходится вообще. Тут и холоднючий свет, и низкий CRI, и серьёзный подмес зелёного света на низких яркостях. 
Традиционно, я считаю что фонарики Olight в первую очередь будут интересны именно поклонникам этого бренда, у которых уже есть фирменные зарядки и аккумуляторы. Ну и достаточно средств, чтобы покупать фонарики с ценой выше средней на рынке. Короче, во всём полная аналогия с продукцией Apple. И если такой пользователь купит Olight Warrior 3S, то фонарик его не разочарует. Не впечатлит, нет — современные стандарты подняли эту планку гораздо выше того что может этот фонарик. Но не разочарует. 
com/embed/bdYB5dgGur8″ title=»YouTube video player»> 
09.2022
Various Daylife от разработчиков Octopath Traveler и Bravely Default вышла на Nintendo Switch и PC
09.2022
Классический шутемап Radiant Silvergun вышел на Nintendo Switch
1 Разложение на множители x 2 -3×19 918 918 , x 2 его коэффициент равен 1 . 
1 Найдите вершину y = x 2 -3x+3
В нашем случае координата x составляет 1,5000
С 
3 Решение x 2 -3x+3 = 0 по квадратной формуле .
\begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right. 9{2}+2 x-3}
. 
6к)