Рубрика: Разное

Как правильно объяснить ребёнку деление в столбик. Деление в столбик 648 разделить на 6 в столбик объяснение

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление в столбик .

По традиции, разбираться как делить столбиком будем на примере.

Вычислить:

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра «8 ».

Начинаем делить «512 » на «8 » следующим образом:

1. Определяем неполное частное . Для этого слева направо сравниваем цифры делимого и делитель.

   Берём «5 ». Цифра «5 » меньше «8 », значит нужно взять еще одну цифру из делимого.

2. «51 » больше «8 ». Значит это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

   Запомните!

   Для того, чтобы избежать ошибок, не забывайте определять количество цифр в частном.

   Для этого посчитаем сколько цифр осталось в делимом, после неполного частного. У нас после «51 » стоит только одно цифра «2 ». Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Приступаем к делению. Вспоминая таблицу умножения на «8 », находим ближайшее к «51 » произведение.
   «6 · 8 = 48 »
   Записываем цифру «6 » в частное.

   Записываем «48 » под «51 ».

   Запомните!

   При записи под неполном частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения.

   Между «51 » и «48 » слева поставим «− » (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик «48 » и под чертой запишем результат.

4. В остатке получилось «3 ». Сравним остаток с делителем. «3 » меньше «8 ».

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Один из важных этапов в обучении ребёнка математическим действиям – обучение операции деления простых чисел. Как объяснить ребёнку деление, когда можно приступать к освоению этой темы?

Для того чтобы научить ребёнка делению, необходимо, чтобы он к моменту обучения уже освоил такие математические операции, как сложение, вычитание, а также имел чёткое представление о самой сущности действий умножения и деления. То есть, он должен понимать, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Также необходимо научить операции умножения и выучить таблицу умножения.

Я уже писала о том, Эта статья может стать для вас полезной.

Осваиваем операцию разделения (деления) на части в игровой форме

На этом этапе необходимо сформировать у ребёнка понимание того, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Самый просто способ научить ребёнка этому – предложить ему разделить некоторое количество предметов между ним его друзьями или членами семьи.

Допустим, возьмите 8 одинаковых кубиков и предложите ребёнку разделить на две равные части – для него и другого человека. Варьируйте и усложняйте задание, предложите ребёнку разделить 8 кубиков не на двоих, а на четырёх человек. Проанализируйте вместе с ним результат. Меняйте составляющие, пробуйте с другим количеством предметов и людей, на которые нужно разделить эти предметы.

Важно: Следите, чтобы вначале ребёнок оперировал с чётным количеством предметов, для того, чтобы результатом деления было одинаковое количество частей. Это окажется полезным на следующем этапе, когда ребёнку будет нужно понять, что деление – это операция обратная умножению.

Умножаем и делим, используя таблицу умножения

Объясните ребёнку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление». Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 4х2=8. Напомните ребёнку, что результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

Разделите получившееся произведение «8» из примера – на любой из множителей – «2» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель.

Также нужно научить юного ученика, тому, как называются категории, описывающие операцию деления – «делимое», «делитель» и «частное». На примере покажите, какие цифры являются делимым, делителем и частным. Закрепите эти знания, они необходимы для дальнейшего обучения!

По сути, вам нужно научить ребёнка таблице умножения «наоборот», и запомнить её необходимо так же хорошо, как и саму таблицу умножения, ведь это будет необходимым, когда вы начнёте обучение делению в столбик.

Делим столбиком – приведем пример

Перед началом занятия вспомните вместе с ребёнком, как называются цифры в процессе операции деления. Что является «делителем», «делимым», «частным»? Научите безошибочно и быстро определять эти категории. Это будет очень полезным во время обучения ребёнка делению простых чисел.

Объясняем наглядно

Давайте разделим 938 на 7. В данном примере 938 – это делимое, 7 – делитель. Результатом будет частное, его то и нужно вычислить.

Шаг 1 . Записываем числа, разделив их «уголком».

Шаг 2. Покажите ученику числа делимого и предложите ему, выбрать из них то наименьшее число, которое окажется больше делителя. Из трёх цифр 9, 3 и 8, этим числом будет 9. Предложите ребёнку проанализировать, сколько раз число 7 может содержаться в числе 9? Правильно, только один раз. Поэтому первым записанными нами результатом будет 1.

Шаг 3. Переходим к оформлению деления столбиком:

Умножаем делитель 7х1 и получаем 7. Полученный результат записываем под первым числом нашего делимого 938 и вычитаем, как обычно, в столбик. То есть из 9 мы вычитаем 7 и получаем 2.

Записываем результат.

Шаг 4. Число, которое мы видим, меньше делителя, поэтому необходимо его надо увеличить. Для этого объединим его со следующим неиспользованным числом нашего делимого – это будет 3. Приписываем 3 к полученному числу 2.

Шаг 5. Далее действуем по уже известному алгоритму. Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе 23? Правильно, три раза. Фиксируем число 3 в частном. А результат произведения – 21 (7*3) записываем внизу под числом 23 в столбик.

Шаг.6 Теперь осталось найти последнее число нашего частного. Используя уже знакомый алгоритм, продолжаем делать вычисления в столбике. Путём вычитания в столбике (23-21) получаем разницу. Она равняется 2.

Из делимого у нас осталась неиспользованным одно число – 8. Объединяем его с полученным в результате вычитания числом 2, получаем – 28.

Шаг.7 Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе? Правильно, 4 раза. Записываем полученную цифру в результат. Итак, мы полученное в результате деления столбиком частное= 134.

Как научить ребенка делению – закрепляем навык

Главное из-за чего у многих школьников возникает проблема с математикой — это неумение быстро делать простые арифметические расчеты. А на этой основе построена вся математика в начальной школе. Особенно часто проблема именно в умножении и делении.
Чтобы ребенок научился быстро и качественно проводить расчеты деления в уме — необходима правильная методика обучения и закрепление навыка. Для этого мы советуем воспользоваться популярными на сегодня пособиями в усвоение навыка деления. Одни предназначены для занятий детей с родителями, другие для самостоятельной работы.

1. «Деление. Уровень 3. Рабочая тетрадь» от крупнейшего международного центра дополнительного образования Kumon
2. «Деление. Уровень 4. Рабочая тетрадь» от Kumon
3. «Не Ментальная арифметика. Система обучения ребенка быстрому умножению и делению. За 21 день. Блокнот-тренажёр.» от Ш. Ахмадулина — автора обучающих книг-бестселлеров

Самым главным, когда вы учите ребёнка делению в столбик, является усвоение алгоритма, который, в общем-то, достаточно прост.

Если ребёнок хорошо оперирует таблицей умножения и «обратным» делением, у него не возникнет трудностей. Тем не менее очень важно постоянно тренировать полученный навык. Не останавливайтесь на достигнутом, как только вы поймёте, что ребёнок уловил суть метода.

Для того чтобы легко научить ребёнка операции деления нужно:

• Чтобы в возрасте двух–трех лет он освоил отношения «целое – часть». У него должно сложиться понимание целого, как неразделимой категории и восприятие отдельной части целого как самостоятельного объекта. Например – игрушечный грузовик – целое, а его кузов, колеса, дверцы – части этого целого.
• Чтобы в младшем школьном возрасте ребенок свободно оперировал действиями по сложению и вычитанию чисел, понимал суть процессов умножения и деления.

Для того чтобы занятия математикой доставляли ребёнку удовольствие, необходимо возбуждать его интерес к математике и математическим действиям, не только во время обучения, но и в бытовых ситуациях.

Поэтому поощряйте и развивайте наблюдательность у ребёнка, проводите аналогии с математическими действиями (операции на счёт и деление, анализ отношений «часть-целое» и т.д.) во время конструирования, игр и наблюдений за природой.

Преподаватель, специалист детского развивающего центра
Дружинина Елена
специально для проекта сайт

Видео сюжет для родителей, как правильно объяснить ребенку деление в столбик:

Математика. Деление уголком | Сайт Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

648 / 2.

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

648 =

 6  ∙ 100 +  4  ∙ 10 +  8  =

 3  ∙  2  ∙ 100 +  2  ∙  2  ∙ 10 +  4  ∙  2  =

( 3  ∙ 100 +  2  ∙ 10 +  4 )  ∙  2  =

 324  ∙  2 .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

648 / 2 = 324.

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

156 / 2 = ?

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

156 =

 15  ∙ 10 +  6 .

Поскольку число  15  не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

 15  =  7 ∙ 2  +  1  =  14  +  1 .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

156 =

 15  ∙ 10 +  6  =

( 14  +  1 ) ∙ 10 +  6  =

 14   ∙ 10 +  1  ∙ 10 +  6  =

 14  ∙ 10 +  16  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  =

 78  ∙  2 .

Отсюда моментально получаем ответ:

156 / 2 = 78.

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается  7  плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем  семерку  под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту  семерку  наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления  15-ти  на  2 . Он равен, очевидно,

 15  −  2  ∙  7  =  15  −  14 .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается  единица , к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число  16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем  8 . Эту  восьмерку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:
 

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

156 : 2 = 78 (ост. 0).

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

157 : 2 = 78 (ост. 1).

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

157 =

 14  ∙ 10 +  17  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  + 1 =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  + 1 =

 7 8  ∙  2  + 1

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

135674 : 259 = ?

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

 1356  :  259  = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

 1356  /  259  ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 =  5 .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

 1356  :  259  =  5  (остаток — пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение  259  ∙  5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа  1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть  пятерку  в строке ответа, на ее место поставить  четверку  — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

 1356  :  259  =  5  (ост.  61 ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

135674 : 259 = 523 (ост. 217).

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Деление нацело на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число с возможным «приписыванием» нулей

Деление нацело на двузначное число

Деление с остатком на двузначное число

Деление нацело на трехзначное число

Деление с остатком на трехзначное число

Деление в столбик 648 разделить на 6. Как правильно объяснить ребёнку деление в столбик

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

• До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
• Записать делимое. Справа от него — делитель.
• Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
• Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
• Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
• Записать результат от умножения этого числа на делитель.
• Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
• Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
• Снова подобрать число для ответа.
• Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

• Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
• После вычитания получается остаток 345.
• К нему нужно снести цифру 2.
• В числе 3452 четыре раза умещается 863.
• Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
• Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

• Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
• Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
• Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
• Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
• Снести к остатку 0.
• Снова взять по 8.
• Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
• Теперь брать нужно 7.
• Результат умножения — 224, остаток — 16.
• Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

• Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
• Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
• Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком :

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

• Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
• Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
• Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
• Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
• Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
• Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
• Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

• Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
• Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

• Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
• Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
• Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
• Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

• Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
• Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
• Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
• Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
• Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
• Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

• Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
• Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

• В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
• Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
• Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
• К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
• Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

• Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
• Найти первое неполное делимое
• Определить число цифр в частном
• Найти цифры в каждом разряде частного
• Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

• «Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Калькулятор в столбик для Андроид устройств станет замечательным помощником для современных школьников. Программа не только дает правильный ответ на математическое действие, но и наглядно демонстрирует его пошаговое решение. Если же вам нужны более сложные калькуляторы – можете посмотреть или же продвинутый инженерный калькулятор.

Особенности

Главной особенностью программы является уникальность расчета математических операций. Отображение процесса вычислений столбиком дает возможность школьникам более подробно с ним ознакомиться, понять алгоритм решения, а не просто получить готовый результат и переписать его в тетрадь. Эта особенность имеет огромное преимущество перед другими калькуляторами, т.к. достаточно часто в школе учителя требуют расписать промежуточные вычисления, чтобы удостовериться, что школьник производит их в уме и действительно понимает алгоритм решения задач. Кстати, у нас есть еще одна программа похожего рода – .

Чтобы начать пользоваться программой, необходимо скачать калькулятор в столбик на Андроид. Сделать это можно на нашем сайте абсолютно бесплатно без дополнительных регистраций и смс. После установки откроется главная страница в виде тетрадного листа в клетку, на котором, собственно, и будут отображаться результаты вычислений и их подробное решение. Внизу располагается панель с кнопками:

1. Цифры.
2. Знаки арифметических действий.
3. Удаление раннее введенных символов.

Ввод осуществляется по тому же принципу, что и на . Все отличие состоит только в интерфейсе приложения – все математические вычисления и их результат отображаются в виртуальной ученической тетради.

Приложение позволяет быстро и правильно выполнить стандартные для школьника математические вычисления столбиком:

• умножение;
• деление;
• сложение;
• вычитание.

Приятным дополнением в приложении является функция ежедневного напоминания о домашнем задании по математике. Хотите – делайте домашки. Для ее включения следует зайти в настройки (нажать кнопку в виде шестеренки) и установить галочку о напоминании.

Достоинства и недостатки

1. Помогает школьнику не просто быстро получить правильный результат математических вычислений, но и понять сам принцип расчета.
2. Очень простой, интуитивно понятный интерфейс для каждого пользователя.
3. Установить приложение можно даже на самое бюджетное Андроид устройство с операционной системой 2.2 и более поздней версией.
4. Калькулятор сохраняет историю проведенных математических вычислений, которую можно в любой момент очистить.

Калькулятор ограничен в математических операциях, поэтому применить его для сложных расчетов, с какими мог бы справиться инженерный калькулятор, не получится. Однако учитывая назначение самого приложения – наглядно продемонстрировать учащимся младшей школы принцип расчета в столбик, считать это недостатком не стоит.

Приложение также станет отличным помощником не только для школьников, но и для родителей, которые желают заинтересовать своего ребенка математикой и научить его правильно и последовательно производить вычисления. Если Вы уже пользовались приложением Калькулятор в столбик, оставьте свои впечатления ниже в комментариях.

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 12

Числа от 1 до 1000

Четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление

54. Объясни, как разделили 864 на 4, и проверь деление умножением.

_— 864|4           _Х 216
   8    |216             4
   _—6                  864
     4  
  _— 24
     24
       0

55. Выполни деление и проверку.

_— 748|2           _Х 374       _— 987|3           _Х 329
   6    |374             2          9    |329             3
 _—14                  748          _—8                  987
   14                                    6
   _— 8                                _—27
      8                                   27
      0                                     0

_— 648|4           _Х 162       _— 756|6           _Х 126
   4    |162            4           6    |126             6
 _—24                  648        _—15                  756
   24                                  12
   _— 8                                _—36
      8                                  36
      0                                    0

56. Масса ящика с яблоками 12 кг, а масса пустого ящика в 6 раз меньше. Сколько килограммов яблок в этом ящике? Сколько таких ящиков нужно для 100 кг яблок?

1) 12 : 6 = 2 (кг) — масса пустого ящика
2) 12 — 2 = 10 (кг) — яблок в одном ящике ящика
3) 100 : 10 = 10 (ящ.) — для 100 кг яблок
О т в е т:  10 кг яблок в одном ящике; для 100 кг яблок нужно 10 ящиков.

57. Бабушка посадила 20 луковиц тюльпанов, а внучка — в 4 раза меньше. После этого у них осталось 10 луковиц. Сколько луковиц тюльпанов у них было сначала?

1) 20 : 4 = 5 (л.) — посадила внучка
2) 20 + 5 = 25 (л.) — посадили бабушка и внучка
3) 25 + 10 = 35 (л.)
О т в е т: сначала было 35 луковиц тюльпанов.

58. Найди периметр каждого многоугольника в миллиметрах.

№ 1: P = 28 + 23 + 15 + 15 + 40 = 121 (мм)
№ 2: P = 25 + 37 + 46 = 108 (мм)
№ 3: P = 25 • 4 = 100 (мм)

59.

300 — (90 + 70) + (86 — 46) = 180    0 • 8 + 7 = 7
90 : (10 • 9) : (9 : 9) = 1                 0 • (8 + 7) = 0

91 : 13 • 7 = 49     84 : (14 • 3) = 2

Вычисли.

_— 771|3                 _— 678|6   
   6    |257                6    |113
 _—17                        _—7
   15                          6
   _— 21                     _—18
      21                        18
        0                          0

ГДЗ по математике. Учебник. 4 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 4 класс

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 12

Контрольные работы по математике 4 класс

Деление в столбик 648 разделить на 6. Как делить десятичные дроби

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

Решение:

Как работать с математическим калькулятором

Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

Сложение.

Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Вычитание.

Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }

Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }

Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }

Умножение.

Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

Деление.

Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

Извлечение корня из числа.

Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

Возведение числа в квадрат.

Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

Перевод в десятичные дроби.

Вычисление процентов от числа

Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

Один из важных этапов в обучении ребёнка математическим действиям – обучение операции деления простых чисел. Как объяснить ребёнку деление, когда можно приступать к освоению этой темы?

Для того чтобы научить ребёнка делению, необходимо, чтобы он к моменту обучения уже освоил такие математические операции, как сложение, вычитание, а также имел чёткое представление о самой сущности действий умножения и деления. То есть, он должен понимать, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Также необходимо научить операции умножения и выучить таблицу умножения.

Я уже писала о том, Эта статья может стать для вас полезной.

Осваиваем операцию разделения (деления) на части в игровой форме

На этом этапе необходимо сформировать у ребёнка понимание того, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Самый просто способ научить ребёнка этому – предложить ему разделить некоторое количество предметов между ним его друзьями или членами семьи.

Допустим, возьмите 8 одинаковых кубиков и предложите ребёнку разделить на две равные части – для него и другого человека. Варьируйте и усложняйте задание, предложите ребёнку разделить 8 кубиков не на двоих, а на четырёх человек. Проанализируйте вместе с ним результат. Меняйте составляющие, пробуйте с другим количеством предметов и людей, на которые нужно разделить эти предметы.

Важно: Следите, чтобы вначале ребёнок оперировал с чётным количеством предметов, для того, чтобы результатом деления было одинаковое количество частей. Это окажется полезным на следующем этапе, когда ребёнку будет нужно понять, что деление – это операция обратная умножению.

Умножаем и делим, используя таблицу умножения

Объясните ребёнку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление». Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 4х2=8. Напомните ребёнку, что результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

Разделите получившееся произведение «8» из примера – на любой из множителей – «2» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель.

Также нужно научить юного ученика, тому, как называются категории, описывающие операцию деления – «делимое», «делитель» и «частное». На примере покажите, какие цифры являются делимым, делителем и частным. Закрепите эти знания, они необходимы для дальнейшего обучения!

По сути, вам нужно научить ребёнка таблице умножения «наоборот», и запомнить её необходимо так же хорошо, как и саму таблицу умножения, ведь это будет необходимым, когда вы начнёте обучение делению в столбик.

Делим столбиком – приведем пример

Перед началом занятия вспомните вместе с ребёнком, как называются цифры в процессе операции деления. Что является «делителем», «делимым», «частным»? Научите безошибочно и быстро определять эти категории. Это будет очень полезным во время обучения ребёнка делению простых чисел.

Объясняем наглядно

Давайте разделим 938 на 7. В данном примере 938 – это делимое, 7 – делитель. Результатом будет частное, его то и нужно вычислить.

Шаг 1 . Записываем числа, разделив их «уголком».

Шаг 2. Покажите ученику числа делимого и предложите ему, выбрать из них то наименьшее число, которое окажется больше делителя. Из трёх цифр 9, 3 и 8, этим числом будет 9. Предложите ребёнку проанализировать, сколько раз число 7 может содержаться в числе 9? Правильно, только один раз. Поэтому первым записанными нами результатом будет 1.

Шаг 3. Переходим к оформлению деления столбиком:

Умножаем делитель 7х1 и получаем 7. Полученный результат записываем под первым числом нашего делимого 938 и вычитаем, как обычно, в столбик. То есть из 9 мы вычитаем 7 и получаем 2.

Записываем результат.

Шаг 4. Число, которое мы видим, меньше делителя, поэтому необходимо его надо увеличить. Для этого объединим его со следующим неиспользованным числом нашего делимого – это будет 3. Приписываем 3 к полученному числу 2.

Шаг 5. Далее действуем по уже известному алгоритму. Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе 23? Правильно, три раза. Фиксируем число 3 в частном. А результат произведения – 21 (7*3) записываем внизу под числом 23 в столбик.

Шаг.6 Теперь осталось найти последнее число нашего частного. Используя уже знакомый алгоритм, продолжаем делать вычисления в столбике. Путём вычитания в столбике (23-21) получаем разницу. Она равняется 2.

Из делимого у нас осталась неиспользованным одно число – 8. Объединяем его с полученным в результате вычитания числом 2, получаем – 28.

Шаг.7 Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе? Правильно, 4 раза. Записываем полученную цифру в результат. Итак, мы полученное в результате деления столбиком частное= 134.

Как научить ребенка делению – закрепляем навык

Главное из-за чего у многих школьников возникает проблема с математикой — это неумение быстро делать простые арифметические расчеты. А на этой основе построена вся математика в начальной школе. Особенно часто проблема именно в умножении и делении.
Чтобы ребенок научился быстро и качественно проводить расчеты деления в уме — необходима правильная методика обучения и закрепление навыка. Для этого мы советуем воспользоваться популярными на сегодня пособиями в усвоение навыка деления. Одни предназначены для занятий детей с родителями, другие для самостоятельной работы.

1. «Деление. Уровень 3. Рабочая тетрадь» от крупнейшего международного центра дополнительного образования Kumon
2. «Деление. Уровень 4. Рабочая тетрадь» от Kumon
3. «Не Ментальная арифметика. Система обучения ребенка быстрому умножению и делению. За 21 день. Блокнот-тренажёр.» от Ш. Ахмадулина — автора обучающих книг-бестселлеров

Самым главным, когда вы учите ребёнка делению в столбик, является усвоение алгоритма, который, в общем-то, достаточно прост.

Если ребёнок хорошо оперирует таблицей умножения и «обратным» делением, у него не возникнет трудностей. Тем не менее очень важно постоянно тренировать полученный навык. Не останавливайтесь на достигнутом, как только вы поймёте, что ребёнок уловил суть метода.

Для того чтобы легко научить ребёнка операции деления нужно:

• Чтобы в возрасте двух–трех лет он освоил отношения «целое – часть». У него должно сложиться понимание целого, как неразделимой категории и восприятие отдельной части целого как самостоятельного объекта. Например – игрушечный грузовик – целое, а его кузов, колеса, дверцы – части этого целого.
• Чтобы в младшем школьном возрасте ребенок свободно оперировал действиями по сложению и вычитанию чисел, понимал суть процессов умножения и деления.

Для того чтобы занятия математикой доставляли ребёнку удовольствие, необходимо возбуждать его интерес к математике и математическим действиям, не только во время обучения, но и в бытовых ситуациях.

Поэтому поощряйте и развивайте наблюдательность у ребёнка, проводите аналогии с математическими действиями (операции на счёт и деление, анализ отношений «часть-целое» и т.д.) во время конструирования, игр и наблюдений за природой.

Преподаватель, специалист детского развивающего центра
Дружинина Елена
специально для проекта сайт

Видео сюжет для родителей, как правильно объяснить ребенку деление в столбик:

Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .

В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.

Навигация по странице.

Правила записи при делении столбиком

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105 , а делителем – 5 5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808 на 51 234 (614 808 – шестизначное число, 51 234 – пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1 ) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058 и 4 (здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3 ). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:

Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком

Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.

Пример.

Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .

Решение.

Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .

Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.

Сначала записываем делимое 8 и делитель 2 так, как того требует метод:

Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Поехали: 2·0=0 ; 2·1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8 . Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4 . При этом запись примет следующий вид:

Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.

В нашем примере получаем

Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).

Ответ:

8:2=4 .

Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.

Пример.

Разделим столбиком 7 на 3 .

Решение.

На начальном этапе запись выглядит так:

Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3 на 0 , 1 , 2 , 3 и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7 . Получаем 3·0=07 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6 (оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2 (на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).

Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7 и 3 будет завершено.

Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .

Ответ:

7:3=2 (ост. 1) .

Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.

Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.

Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

Первой слева цифрой в записи делимого 140 288 является цифра 1 . Число 1 меньше, чем делитель 4 , поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14 , с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.

Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.

Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).

Умножаем делитель 4 на числа 0 , 1 , 2 , …, пока не получим число, которое равно 14 или больше 14 . Имеем 4·0=014 . Так как на последнем шаге мы получили число 16 , которое больше, чем 14 , то под выделенным числом записываем число 12 , которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3 , так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.


На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.

Нам нужно вычесть столбиком из числа 14 число 12 (для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2 . Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2 меньше делителя 4 , то можно спокойно переходить к следующему пункту.


Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.

Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2 записываем цифру 0 , так как именно цифра 0 находится в записи делимого 140 288 в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20 .


Это число 20 мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.

Умножаем делитель 4 на 0 , 1 , 2 , …, пока не получим число 20 или число, которое больше, чем 20 . Имеем 4·0=0

Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).


Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2 , так как именно она находится в записи делимого 140 288 в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2 .


Число 2 принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4 пунктов алгоритма.

Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2 . Имеем 4·0=02 . Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0 (оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0 (на 0 мы проводили умножение на предпоследнем шаге).


Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2 под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4 . Так как 2

Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8 (так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288 ). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28 .


Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4 пунктов.

Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.

Осталось последний раз провести действия из пунктов 2 , 3 , 4 (предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288 и 4 в столбик:

Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.

Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).

Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.

Пример.

Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .

Решение.

На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида

После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид

Повторив цикл, будем иметь

Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136 и 9

Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .

Ответ:

7 136:9=792 (ост. 8) .

А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.

Пример.

Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .

Решение.

Удобнее всего выполнить деление столбиком.

Ответ:

7 042 035:7=1 006 005 .

Деление столбиком многозначных натуральных чисел

Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.

На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.

Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.

Пример.

Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .

Решение.

Так как в записи делителя 206 участвуют 3 знака, то смотрим на первые 3 цифры слева в записи делимого 5 562 . Эти цифры соответствуют числу 556 . Так как 556 больше, чем делитель 206 , то число 556 принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.

Теперь умножаем делитель 206 на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556 , либо больше, чем 556 . Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0556 . Так как мы получили число, которое больше числа 556 , то под выделенным числом записываем число 412 (оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2 (так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:

Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144 , это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.

Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2 , так как она находится в записи делимого 5 562 в этом столбце:

Теперь мы работаем с числом 1 442 , выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.

Умножаем делитель 206 на 0 , 1 , 2 , 3 , … до получения числа 1 442 или числа, которое больше, чем 1 442 . Поехали: 206·0=0

Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:

Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Поручни для инвалидов | Готовые комплекты поручней для инвалидов в ванную и туалет

Обеспечить комфортное передвижение человеку с ограниченными возможностями помогут поручни для инвалидов и пожилых людей, изготовленные с учетом всех основных запросов клиентов. Воспользоваться удобными приспособлениями могут люди любого возраста, пола, которые испытывают проблемы, вызванные нарушениями опорно-двигательного аппарата. Компания «Натеко» предлагает для инвалидов готовые комплекты настенных поручней из нержавеющей стали и ударопрочного пластика.

Виды поручней

Наша компания производит следующие виды поручней:

• для санузла – помогают пользоваться ванной, туалетом, раковиной или душевой кабиной;
• для коридоров – монтируются на стену, помогают передвигаться между помещениями;
• для жилых комнат – прикроватные модели, с помощью которых удобно подниматься с кровати.

У нас можно купить для инвалидов поручни из нержавеющей стали откидные или стационарные.

Продукция выпускается из прочных, надежных материалов. Изделия отличаются конструктивными особенностями, функциональностью, сроком службы. Их можно разделить на три основные категории:

• пластиковые – прочные, легкие, отличаются удобным монтажом, имеют низкую цену. Не всегда способны выдержать высокую нагрузку;
• металлические – прочные, имеют длительный срок службы, выдерживают высокую статическую и динамическую нагрузку, устойчивы к коррозии. Могут устанавливаться на стену или борт ванны;
• вакуумные – срабатывают при нажатии на кнопку, могут устанавливаться в жилых комнатах, коридорах, санузлах. Отличаются высокой стоимостью.

Все виды конструкций обеспечивают возможность самостоятельно подняться, присесть на кровати. Комплект поручней для инвалидов из нержавейки обеспечит уверенность, безопасность, позволит самостоятельно обслуживать себя при решении бытовых нужд.

Особенности поручней

Компания «Натеко» — производитель поручней. Наша продукция соответствует следующим требованиям:

• прочность – конструкции выдерживают высокие нагрузки;
• надежность – перила рассчитаны на динамическое воздействие;
• влагостойкость – продукция предназначена для помещений с высокой влажностью;
• гигиеничность – на поверхности не скапливается грязь, за ней легко ухаживать без применения специальных средств;
• долговечность – срок эксплуатации более 10 лет;
• простой монтаж – удобные, практичные крепления позволяют надежно зафиксировать перила на стене или ванной.

При изготовлении мы учитываем, что конструкция не должна мешать передвижению или создавать опасность получения травмы.

Как выбрать поручни

Предлагаем купить в Москве продукцию для любой комнаты и коридора дома, квартиры. При выборе рекомендуется учитывать размер, форму, используемые материалы. Для крепежных кронштейнов должно быть достаточно свободного места на стене. Опорные приспособления должны фиксировать поручень на удобной высоте. Учитывается исполнение конструкции – выпускаются левосторонние и правосторонние модели.

Вы не знаете, где купить поручни для инвалидов для санузла или ванной? Испытываете затруднения при выборе удобной конструкции? Заполните форму обратной связи и консультанты компании «Натеко» помогут решить все ваши вопросы.

648 разделить на 4 | 648 разделить на 4 с остатком

Ответ на математические задачи Этапы решения

Математические ответы на деление дроби 648/4

6484 = 162

162 = 1620 с точностью до десятых

162 = 162 с точностью до сотых

162 = 162 с точностью до тысячных

= 0 с точностью до десятых

= 0 с точностью до сотых

= 0 с точностью до тысячных

Другие разделы Домашнее задание по математике —

648 делим пополам плюс 20

Домашнее задание ответов: (648/2) + 20 = 344

648 делим пополам плюс 40

Домашнее задание ответов: (648/2) + 40 = 364

648/4 разделить на 2

Ответ: (648/4) ÷ 2 = 81

Division Math можно легко решить с помощью этого бесплатного инструмента.Чтобы решить домашнее задание или задание, все, что вам нужно сделать, это ввести значение в соответствующее поле и нажать «вычислить», чтобы получить математические ответы.

Что такое числитель / знаменатель

Числитель: мы называем верхнее число числителем, это число в верхней части имеющейся у вас дроби.

Знаменатель: мы называем нижнее число знаменателем, это целое число внизу, это число, на которое делится.

Шаги преобразования дробей в десятичные

Шаг 1: Найдите число, которое можно умножить на нижнюю часть дроби, чтобы получилось 10, 100, 1000 или любая единица с последующими нулями.

Шаг 2: Умножьте верхнюю и нижнюю части на выбранное вами число.

Шаг 3. Затем запишите только верхнее число, поместив десятичную запятую в правильное место, то есть на один пробел с правой стороны для каждого нуля в нижнем числе.

a / b = c В приведенных выше выражениях a называется делимым, b называется делителем, а c называется частным; в выражении a / b, a также называется числителем, а b также называется знаменателем.

Этот калькулятор дробей также можно использовать для вычисления доли в процентах, скидок на покупки, купонов, жировых отложений, валовой прибыли, потери веса, любви, налогов, увеличения и уменьшения населения, прибыли от продаж.Как только вы знаете значения, определить% легко.

Если вы обнаружите ошибку на этом сайте, мы будем благодарны, если вы сообщите нам об этом, используя предоставленный контактный адрес электронной почты. отправьте электронное письмо в контакт на нашем сайте.

Вперед Назад

% PDF-1.6 % 14765 0 объектов> эндобдж xref 14765 379 0000000016 00000 н. 0000010363 00000 п. 0000010500 00000 п. 0000010705 00000 п. 0000010745 00000 п. 0000010801 00000 п. 0000010847 00000 п. 0000010980 00000 п. 0000011042 00000 п. 0000011183 00000 п. 0000011315 00000 п. 0000011452 00000 п. 0000012206 00000 п. 0000012719 00000 п. 0000013347 00000 п. 0000013679 00000 п. 0000013861 00000 п. 0000014045 00000 п. 0000014149 00000 п. 0000014338 00000 п. 0000017060 00000 п. 0000021702 00000 п. 0000021935 00000 п. 0000022159 00000 п. 0000022222 00000 п. 0000022329 00000 п. 0000022419 00000 п. 0000022465 00000 п. 0000022590 00000 н. 0000022701 00000 п. 0000022813 00000 п. 0000022946 00000 п. 0000023065 00000 п. 0000023208 00000 п. 0000023335 00000 п. 0000023462 00000 п. 0000023638 00000 п. 0000023729 00000 п. 0000023830 00000 п. 0000023992 00000 п. 0000024090 00000 п. 0000024276 00000 п. 0000024416 00000 п. 0000024555 00000 п. 0000024722 00000 п. 0000024885 00000 п. 0000025046 00000 п. 0000025209 00000 п. 0000025344 00000 п. 0000025479 00000 п. 0000025643 00000 п. 0000025798 00000 п. 0000025908 00000 н. 0000026077 00000 п. 0000026223 00000 п. 0000026369 00000 п. 0000026529 00000 п. 0000026673 00000 п. 0000026841 00000 п. 0000027055 00000 п. 0000027210 00000 п. 0000027364 00000 н. 0000027529 00000 п. 0000027686 00000 н. 0000027837 00000 н. 0000027996 00000 н. 0000028149 00000 п. 0000028315 00000 п. 0000028486 00000 п. 0000028603 00000 п. 0000028735 00000 п. 0000028887 00000 п. 0000029004 00000 п. 0000029139 00000 п. 0000029291 00000 п. 0000029434 00000 п. 0000029574 00000 п. 0000029727 00000 н. 0000029828 00000 п. 0000029968 00000 н. 0000030116 00000 п. 0000030265 00000 п. 0000030420 00000 п. 0000030579 00000 п. 0000030731 00000 п. 0000030899 00000 п. 0000031060 00000 п. 0000031169 00000 п. 0000031320 00000 н. 0000031498 00000 п. 0000031596 00000 п. 0000031738 00000 п. 0000031897 00000 п. 0000032025 00000 п. 0000032148 00000 п. 0000032249 00000 п. 0000032367 00000 п. 0000032474 00000 п. 0000032590 00000 н. 0000032705 00000 п. 0000032834 00000 п. 0000032950 00000 п. 0000033091 00000 п. 0000033191 00000 п. 0000033325 00000 п. 0000033472 00000 п. 0000033592 00000 п. 0000033717 00000 п. 0000033871 00000 п. 0000034001 00000 п. 0000034092 00000 п. 0000034256 00000 п. 0000034384 00000 п. 0000034538 00000 п. 0000034660 00000 п. 0000034798 00000 п. 0000034968 00000 н. 0000035108 00000 п. 0000035235 00000 п. 0000035370 00000 п. 0000035533 00000 п. 0000035703 00000 п. 0000035880 00000 п. 0000036039 00000 п. 0000036206 00000 п. 0000036352 00000 п. 0000036499 00000 н. 0000036646 00000 п. 0000036760 00000 п. 0000036866 00000 н. 0000036977 00000 п. 0000037137 00000 п. 0000037302 00000 п. 0000037424 00000 п. 0000037558 00000 п. 0000037679 00000 п. 0000037825 00000 п. 0000037974 00000 п. 0000038106 00000 п. 0000038244 00000 п. 0000038383 00000 п. 0000038521 00000 п. 0000038659 00000 п. 0000038764 00000 п. 0000038895 00000 п. 0000039030 00000 н. 0000039152 00000 п. 0000039297 00000 п. 0000039440 00000 п. 0000039586 00000 п. 0000039729 00000 п. 0000039874 00000 п. 0000040016 00000 н. 0000040143 00000 п. 0000040299 00000 п. 0000040470 00000 п. 0000040573 00000 п. 0000040683 00000 п. 0000040810 00000 п. 0000040955 00000 п. 0000041097 00000 п. 0000041253 00000 п. 0000041374 00000 п. 0000041559 00000 п. 0000041701 00000 п. 0000041843 00000 п. 0000042027 00000 н. 0000042195 00000 п. 0000042325 00000 п. 0000042422 00000 п. 0000042536 00000 п. 0000042680 00000 п. 0000042835 00000 п. 0000042955 00000 п. 0000043105 00000 п. 0000043256 00000 п. 0000043385 00000 п. 0000043533 00000 п. 0000043684 00000 п. 0000043831 00000 п. 0000043931 00000 н. 0000044088 00000 п. 0000044208 00000 п. 0000044333 00000 п. 0000044447 00000 п. 0000044580 00000 п. 0000044705 00000 п. 0000044828 00000 п. 0000044950 00000 п. 0000045091 00000 п. 0000045225 00000 п. 0000045341 00000 п. 0000045453 00000 п. 0000045570 00000 п. 0000045681 00000 п. 0000045817 00000 п. 0000045937 00000 п. 0000046071 00000 п. 0000046194 00000 п. 0000046355 00000 п. 0000046476 00000 п. 0000046602 00000 п. 0000046763 00000 н. 0000046875 00000 п. 0000046990 00000 н. 0000047112 00000 п. 0000047278 00000 п. 0000047388 00000 п. 0000047516 00000 п. 0000047651 00000 п. 0000047788 00000 п. 0000047908 00000 н. 0000048032 00000 п. 0000048167 00000 п. 0000048320 00000 н. 0000048445 00000 п. 0000048565 00000 п. 0000048727 00000 н. 0000048897 00000 н. 0000049064 00000 н. 0000049226 00000 п. 0000049396 00000 п. 0000049550 00000 п. 0000049716 00000 п. 0000049874 00000 п. 0000050030 00000 н. 0000050202 00000 п. 0000050312 00000 п. 0000050448 00000 п. 0000050617 00000 п. 0000050768 00000 п. 0000050907 00000 п. 0000051061 00000 п. 0000051183 00000 п. 0000051326 00000 п. 0000051510 00000 п. 0000051666 00000 п. 0000051818 00000 п. 0000051940 00000 п. 0000052085 00000 п. 0000052234 00000 п. 0000052369 00000 п. 0000052496 00000 п. 0000052648 00000 п. 0000052786 00000 п. 0000052937 00000 п. 0000053070 00000 п. 0000053204 00000 п. 0000053357 00000 п. 0000053504 00000 п. 0000053624 00000 п. 0000053748 00000 п. 0000053883 00000 п. 0000053996 00000 п. 0000054130 00000 п. 0000054263 00000 п. 0000054432 00000 п. 0000054563 00000 п. 0000054670 00000 п. 0000054827 00000 н. 0000054925 00000 п. 0000055050 00000 п. 0000055230 00000 п. 0000055361 00000 п. 0000055481 00000 п. 0000055598 00000 п. 0000055762 00000 п. 0000055893 00000 п. 0000056055 00000 п. 0000056154 00000 п. 0000056312 00000 п. 0000056447 00000 п. 0000056599 00000 п. 0000056709 00000 п. 0000056858 00000 н. 0000057098 00000 п. 0000057207 00000 п. 0000057376 00000 п. 0000057522 00000 п. 0000057652 00000 п. 0000057818 00000 п. 0000057922 00000 п. 0000058056 00000 п. 0000058166 00000 п. 0000058323 00000 п. 0000058420 00000 п. 0000058580 00000 п. 0000058726 00000 п. 0000058865 00000 п. 0000059045 00000 п. 0000059193 00000 п. 0000059341 00000 п. 0000059523 00000 п. 0000059693 00000 п. 0000059828 00000 п. 0000059981 00000 п. 0000060105 00000 п. 0000060239 00000 п. 0000060360 00000 п. 0000060525 00000 п. 0000060643 00000 п. 0000060778 00000 п. 0000060903 00000 п. 0000061052 00000 п. 0000061219 00000 п. 0000061379 00000 п. 0000061548 00000 п. 0000061718 00000 п. 0000061864 00000 п. 0000062019 00000 п. 0000062181 00000 п. 0000062329 00000 п. 0000062449 00000 п. 0000062572 00000 п. 0000062690 00000 н. 0000062807 00000 п. 0000062927 00000 н. 0000063050 00000 п. 0000063179 00000 п. 0000063296 00000 н. 0000063414 00000 п. 0000063534 00000 п. 0000063664 00000 п. 0000063804 00000 п. 0000063938 00000 п. 0000064077 00000 п. 0000064207 00000 п. 0000064339 00000 н. 0000064481 00000 п. 0000064633 00000 н. 0000064762 00000 п. 0000064907 00000 н. 0000065054 00000 п. 0000065192 00000 п. 0000065310 00000 п. 0000065428 00000 п. 0000065553 00000 п. 0000065723 00000 п. 0000065817 00000 п. 0000066055 00000 п. 0000066237 00000 п. 0000066362 00000 п. 0000066514 00000 п. 0000066706 00000 п. 0000066907 00000 п. 0000067081 00000 п. 0000067215 00000 п. 0000067351 00000 п. 0000067505 00000 п. 0000067656 00000 п. 0000067844 00000 п. 0000067976 00000 п. 0000068160 00000 п. 0000068302 00000 п. 5Qf; oqXRks? S

Повышенное соотношение возбуждения и ингибирования стабилизирует синапс и возбудимость цепи в четырех моделях мышей для аутизма

Основные особенности

•

Четыре модели мыши аутизма имеют общее увеличение соотношения ЭИ в сенсорной коре

•

Изменения соотношения ЭИ действовали для стабилизации синаптической деполяризации и всплеска

•

Сенсорно-вызванная частота возбуждения in vivo была удивительно нормальной, а иногда и

•

Эти данные свидетельствуют о том, что изменения соотношения EI являются компенсаторными при аутизме

Резюме

Предполагается, что различные генетические формы аутизма имеют общее увеличение соотношения возбуждения и торможения (EI) в коре головного мозга, вызывая повышенная возбудимость и чрезмерные спайки.Мы проводим систематическую проверку этой гипотезы на 4 моделях мышей ( Fmr1 ^{— / y} , Cntnap2 ^{— / —} , 16p11.2 ^{del / +} , Tsc2 ^+/− ), уделяя особое внимание соматосенсорной коре. Все мутанты с аутизмом показали пониженное ингибирование с прямой связью в слое 2/3 в сочетании с более умеренным, переменным снижением прямого возбуждения, что привело к общему увеличению отношения проводимости E-I.Несмотря на это, спайк с прямой связью, синаптическая деполяризация и спонтанный спайк были в основном нормальными. Моделирование показало, что изменения проводимости E и I у каждого мутанта были количественно согласованы, чтобы дать стабильную, а не повышенную синаптическую деполяризацию для клеток, близких к порогу спайков. Соответственно, пик, вызванный усами, не увеличивался in vivo , несмотря на обнаруживаемое снижение ингибирования. Таким образом, повышенное отношение E-I является фенотипом общей цепи, но, по-видимому, отражает гомеостатическую стабилизацию синаптического возбуждения, а не стимулирует гипервозбудимость сети при аутизме.

Ключевые слова

EI ratio

кора головного мозга

соматосенсорная кора

возбудимость контура

Fragile X

гомеостаз

аутизм

возбуждение

статьи

торможение

Рекомендуемые статьи

Цитирующие статьи

powerbi — Как разделить каждую строку вычисляемого столбца на сумму другого вычисляемого столбца?

Я не могу правильно определить деление по этим образцам данных:

  Расчетный столбец Другой расчет.столбец
   48 207
  257 370
  518 138
  489 354
  837 478
1 005 648
1 021 2 060
1,463 2,164
2 630 1818
2 993 2358
3 354 3 633
4,332 5,234
4,885 6,108
4,514 6,008
4 356 6 888
4 824 7 382
7 082 5 988
7 498 6 059
                     4865
                     4192
                     3 816
                     2 851
                     2 768
                     2,093
                     2 207
                       770
                       397
                       149
                       178
                       336
                       167
                       124
                        18
  

Я пытаюсь создать новый вычисляемый столбец.

Для каждой строки я хочу получить значение Расчетный столбец и разделить его на Итого Другой расчет. столбец .

Всего Еще вычисл. столбец = 82826

Это желаемый результат в новом вычисляемом столбце, назовем его % Столбец :

 % Столбец

0,000579528167484
0,0031028
735
0,006254074807428
.
.
.
  

ПРИМЕЧАНИЕ — эти 3 столбца: Расчетный столбец , Другой расчетный столбец.столбцы и % Столбцы находятся в одной таблице и представляют собой вычисляемых столбцов .

Я перепробовал множество формул, но ни одна из них не дала желаемого результата. : | Я предполагаю, что это из-за природы вычисляемых столбцов или я не понимаю сути.

Возможно ли это вообще, или я должен пойти другим путем, используя Меру?

Можете пролить свет?

####### РЕДАКТИРОВАТЬ #######

Я собрал образец файла, чтобы помочь отладить это.Вот: https://drive.google.com/open?id=1r7kiIkwgHnI5GUssJ6KlXBAoeDRISEuC

Как видите:

• Earned Daily% HARDCODED работает нормально, потому что 82826 жестко запрограммирован в качестве знаменателя.
• Earned Daily% by StelioK и Earned Daily% by Alexis Olson выводят одно и то же неверное значение для деления при использовании формулы СУММ .

Я использую последнюю версию Power BI Desktop, если это важно: Версия: 2.70.5494.701, 64-разрядная версия (июнь 2019 г.)

% PDF-1.5 % 185 0 объект > эндобдж xref 185 30 0000000015 00000 н. 0000001777 00000 н. 0000001869 00000 н. 0000001891 00000 н. 0000002158 00000 п. 0000002448 00000 н. 0000002747 00000 н. 0000003043 00000 н. 0000003334 00000 н. 0000003620 00000 н. 0000003894 00000 н. 0000004170 00000 н. 0000004827 00000 н. 0000005488 00000 н. 0000005621 00000 п. 0000005945 00000 н. 0000006078 00000 н. 0000006555 00000 н. 0000006737 00000 н. 0000006915 00000 н. 0000007088 00000 н. 0000007261 00000 н. 0000008857 00000 н. 0000060773 00000 п. 0000065137 00000 п. 0000071315 00000 п. 0000075586 00000 п. 0000086280 00000 п. 0000086736 00000 п. 0000087355 00000 п. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 186 0 объект > эндобдж 187 0 объект > эндобдж 188 0 объект > / XObject> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] >> / Аннотации [195 0 R 194 0 R 193 0 R 192 0 R 191 0 R 190 0 R 189 0 R] >> эндобдж 189 0 объект >>> эндобдж 190 0 объект >>> эндобдж 191 0 объект >>> эндобдж 192 0 объект >>> эндобдж 193 0 объект >>> эндобдж 194 0 объект >>> эндобдж 195 0 объект >>> эндобдж 196 0 объект > эндобдж 197 0 объект > эндобдж 198 0 объект > эндобдж 199 0 объект > / Вт [1 [160 250 142 219 333 513 680 498 277 275 813 697 716 566 443 852 368 447 371 455 378 395 453 202 407 195 704 458 455 447 283 310 255 446 377 585 384 949]] / FontDescriptor 204 0 R >> эндобдж 200 0 объект > эндобдж 201 0 объект > / W [1 [190 711 169 405 405 204 286 204 455 476 476 476 476 476 476 476 476 476 269 269 840 613 573 673 709 558532 704 748 322 320 643 550 853 734 546 612 483 705 623 876 406 489 405 497 420 262 438 495 238 239 448 231 753 500 492490 490 324 345 294 487 421 639 399 431 500 208 356 356 546 509 741 1015 485 561]] / FontDescriptor 205 0 R >> эндобдж 202 0 объект > эндобдж 203 0 объект > эндобдж 204 0 объект > эндобдж 205 0 объект > эндобдж 206 0 объект > ручей xXn7} ߯ G (: Hԩ ߗ (yF٦ ~ z ~ 4J; a_hLy2JGe? v „> OvViX.* m * & U͏ovM #

Колонна | Игровой клуб, очные виды спорта, чтобы оставаться активными

От восхода до заката перед студентами-спортсменами Дивизиона I стоит задача сбалансировать полную академическую нагрузку с утренними тренировками, тренировками и другими программными мероприятиями. Хотя некоторым студентам, возможно, нравилось быть спортсменом в старшей школе, у них может не быть времени или возможностей, чтобы перенести это на уровень колледжа.

К счастью, у Питта есть множество вариантов, которые позволяют учащимся оставаться активными, не принимая на себя такую ​​же степень приверженности занятиям спортом первого дивизиона.Если вы хотите поиграть на соревнованиях или просто провести время с друзьями, в Pitt нет недостатка в возможностях.

Клубный спорт — это способ, которым учащиеся могут играть организованно и соревновательно, без обязательств на уровне университетской команды. Клубные команды, как правило, имеют атрибуты, похожие на школьные, такие как пробы, тренировки и поездки на игры, но не имеют жестких соревнований и временных затрат, как в университетских видах спорта. Хотя время, затрачиваемое на каждый клубный вид спорта, варьируется, обычно оно включает несколько тренировок в неделю в дополнение к играм, разбросанным в течение семестра.

Клубные команды соревнуются с другими клубными командами из других университетов региона. Питт часто играет в других известных школах региона, например, в университетах штата Пенсильвания, штата Огайо и Роберта Морриса.

Для тех, кто ищет более непринужденную обстановку, очные виды спорта являются еще одним популярным вариантом на территории кампуса. Pitt Campus Recreation предлагает очные виды спорта, такие как корнхол, вышибалы, кикбол, пиклбол и волейбол. Внутренние виды спорта обычно проводятся в одном из многочисленных мест на территории кампуса Питта, а именно в залах Trees и Bellefield.

Лично я, играя в бейсбол более десяти лет, прежде чем поступить в Питт, я знал, что мне будет не хватать участия в легкой атлетике и общего чувства соревнования. К счастью, я быстро обнаружил, что у меня все еще будет возможность участвовать в занятиях, которые мне нравились в старшей школе.

Начало моего опыта с Питтом во время объявленного «Года COVID» было, мягко говоря, интересным. Мои друзья и я изо всех сил пытались найти, чем заняться после уроков или в выходные дни, поэтому мы решили присоединиться к очной лиге вышибалы.

Мы ходили в Trees Hall каждый понедельник и час или около того играли в вышибалу. Это был долгожданный перерыв от обычных занятий и работы, особенно в год, полный ограничений на то, что вы можете делать, и неуверенности в пандемии. Это, безусловно, было одним из ярких моментов моего первого года обучения.

Но клубные и очные виды спорта подходят не всем — у учащихся все еще есть возможности оставаться активными и конкурентоспособными, продолжая посещать уроки и выполнять работу вне учебы.Многочисленные зеленые насаждения и фитнес-центры Питта позволяют студентам работать в своем собственном темпе. Когда погода начинает нагреваться, студенты часто будут сталкиваться со своими сверстниками, которые занимаются спортом, например, игрой в Spikeball, бросая фрисби или бросая футбольный мяч на лужайке у Собора, за пределами Мемориального зала солдат и моряков или в верхней части кампуса.

Доступность Питта к зеленым насаждениям — это то, что мне очень понравилось в первый год. Учитывая ограниченность того, что мы могли делать с социальной точки зрения, выходить на улицу в хороший день никто не считал само собой разумеющимся.Некоторые из моих лучших воспоминаний из прошлого года остались на лужайке у Собора, когда мои друзья играли во что угодно, от Spikeball до Cornhole.

Независимо от того, хотят ли поступающие первокурсники продолжать заниматься любимым спортом или просто оставаться в хорошей физической форме, безусловно, существует широкий спектр вариантов, из которых можно выбирать и строить с учетом желаний и потребностей каждого.

Государственный университет Дакоты по легкой атлетике — Троянский женский баскетбол, похоже, вернется в норму в победной колонке, на этой неделе сыграны две игры

Женский баскетбол — вторник, дек.10, 2019

11 декабря 2019

ПРИМЕЧАНИЯ К ИГРЕ (PDF)

Трансляция в среду: ВИДЕО — ЖИВОЕ АУДИО — СТАТИСТИКА В РЕЖИМЕ

Покрытие в прямом эфире по воскресеньям: ВИДЕО В РЕЖИМЕ — 9 СОСТОЯНИЕ В РЕЖИМЕ 9 Превью на этой неделе
MADISON, SD (10 декабря 2019 г.) — Женская баскетбольная команда Trojan из Университета Дакоты (общий рекорд 2–6) отходит в сторону от своего расписания конференции North Star, продолжая свой непростой график вне конференции.Вечером среды троянцы остаются дома, пока они принимают давнюю соперницу Дакоту Уэслиан (Южная Дакота) (общий рекорд 8: 3). Подсказка назначена на 17:30. в DSU Fieldhouse. Тигры выиграли первую встречу в этом сезоне в Sanford Pentagon в Су-Фолс, Южная Дакота. 2 ноября со счетом 94-74.

DSU отправились в путь в воскресенье вечером, столкнувшись с другим соперником из Атлетической конференции Great Plains. Троянцы отправляются в Центр Ньюмана Фланагана (3303 Rebecca Street) в Су-Сити, штат Айова, чтобы сразиться с Брайар-Клифф (штат Айова) (общий рекорд 2-8) на 6 очках.м. Зарядные устройства выиграли первую встречу ранее в этом сезоне 85-73 на DSU Fieldhouse 28 октября.

Троянцы проиграли пару игр на прошлой неделе, опустившись на 5-ю позицию Дордта (Айова) 90-76 в рейтинге. Road 2 декабря. DSU открыла конференцию North Star с 80-70 неудач на своем поле в Белвью (Небраска) 7 декабря. Дакота Уэслиан сходит с дистанции 100-72 на конференции, заняв первое место в Дивизионе II NAIA. Конкордия (Небраска) 7 декабря. Тигры победили Маунт Марти (SD) 73-42 дома 7 декабря.4. Брайар Клифф проиграл четвертый и пятый игры подряд после проигрыша № 11 Северо-Западного (Айова) 75-56 4 декабря и № 8 Морнингсайд (Айова) 95-56 7 декабря.

Далее: Штат Дакота возвращается в Су-Сити, штат Айова, 18 декабря, когда они сталкиваются с Морнингсайдом № 8 (Айова) в спортзале RVSC-Allee. 20 декабря DSU принимает Стерлинг (Канада) в последней домашней игре 2019 календарного года.

Быстрые хиты этой недели
+ Дакота Стэйт (Южная Дакота) стремится к своей первой победе над соперником Great Plains Athletic Conference в этом сезоне.
+ Дакота Уэслиан (SD) выиграла первую встречу в этом сезоне в 4-м ежегодном NAIA-South Dakota Pentagon Classic 94-74 2 ноября. Тигры выиграли 16 встреч с троянцами, последняя победа DSU ожидается в ноябре. 2, 2010 (78-73 победы на DSU Fieldhouse).
+ DSU — это 2-3 рекорда дома в этом сезоне, а DWU — 2-3 рекорда на выезде. Браяр Клифф (Айова) дома — 1-4 рекорда.
+ Троянцы продолжают занимать 5-е место в NAIA Division II по проценту попаданий с игры до 3-х очков.Дакота Стэйт реализовала 72 из 188 трехочковых бросков с игры, что составляет 38,3 процента.
+ Линдси Фогл лидирует по проценту попаданий с игры 3-х очков перед играми на этой неделе. Она истощила 19 трехочковых в 33 попытках (57,6%). Джесси Джайлз также занимает седьмое место в дивизионе NAIA II с 51,6% попаданий с трехочковой дуги (16 из 31).
+ Штат Дакота стремится к своей первой победе над Брайар Клифф (Айова) с 29 ноября 2008 года.
+ У троянцев осталось семь неконференционных игр в расписании на 2019 год, включая пару игр во Флориде во время зимних каникул.
+ DSU совершат прямые рейсы в Су-Сити, штат Айова, 15 декабря в Брайар-Клифф (штат Айова) и 18 декабря в Морнингсайд (штат Айова).

Примечательно …
ТРОЯНЫ ИЩУТ ПЕРВЫХ ПОБЕД над GPAC: Штат Дакота (Южная Дакота) стремится одержать первые победы над противником Great Plains Athletic Conference в этом сезоне. В последний раз троянцы победили оппонента с конференции GPAC 27 октября 2017 года в матче с колледжем Святой Марии (Небраска) в DSU Fieldhouse.

DSU С ПОЛЯ: Согласно статистическому сайту DakStats-NAIA на вторник, троянские программы занимают 10-е место в стране по проценту попаданий с игры (46,5%). Морган Кёпселл лидирует в команде с 60,3 процентами попаданий с игры (41 из 68), что является седьмым лучшим результатом во втором дивизионе NAIA.

ОСТАВШИЕСЯ ДОМАШНИЕ ИГРЫ В ДЕКАБРЕ: У DSU есть две оставшиеся домашние игры в течение декабря, включая соревнование с соперницей Дакотой Уэслиан (С.D.) в среду. 20 декабря троянцы проводят свою последнюю домашнюю игру в 2019 календарном году Стерлинг (Канада), а 4 января они вернутся домой против Оглала Лакота (Южная Дакота) после поездки во Флориду 30-31 декабря.

ГОРЯЧИЙ СЧЕТ: Дакота Стэйт набрала не менее 70 очков во всех восьми играх этого сезона. Троянцы набирают в среднем 81,0 очка за игру (648 очков), что является 20-м показателем в рейтинге NAIA Division II. Четыре игрока (Джесси Джайлс, Морган Кёпселл, Саванна Уолсдорф, Линдси Фогл) имеют в среднем двузначные числа для DSU.

DSU JUNIOR VARSITY ВЫИГРЫВАЕТ ДОМА: Женская юношеская баскетбольная команда штата Дакота завершает свою часть расписания 2019 года домашней победой 76-71 над Riverland CC (Миннесота) 10 декабря. Троянцы берут зимние каникулы. и продолжат свое домашнее противостояние с пятью играми 13 января против Northwestern (Айова).

Троянцы упорно сражаются, падают в (5) Дордт (Айова)
Сиу-Центр, Айова (2 декабря 2019 г.) — Штат Дакота (SD) вернулся в строй впервые в 20-2020 гг. продолжительность дня в гимназии ДеВитта.«Троянцы» сыграли свой первый выездной поединок в сезоне, столкнувшись с 5-м номером в национальном рейтинге Дордтом (штат Айова). Защитники оторвались от троянцев 90-76.

Дордт удерживал небольшое преимущество 22-20 после первой четверти и увеличил свое преимущество до 42-32 к перерыву. В третьей четверти троянцы разогнали счет 13: 2, что было подчеркнуто трехочковым Сидни Фиком, который вывел DSU вперед 45-44 с 7:05 на часах в третьей. Лидерство DSU было недолгим, поскольку DC ответил счетом 9: 0 и никогда не оглядывался назад, чтобы обеспечить победу.

Четыре троянца записали двузначные числа в игре, Фик и Джесси Джайлз набрали по 14 очков каждый. Линдси Фогл и Морган Кёпселл добавили по 13 очков каждая. Кёпселл сделал шесть подборов и зафиксировал четыре блок-шота на игровом уровне. Эшлин Макдональд и Саванна Уолсдорф сделали по пять подборов.

Дордт бросил 42,5 процента с игры (31 из 73) по сравнению со штатом Дакота — 39,1 процента (25 из 64). Защитники превзошли троянцев 49-38.

Брюинз использует всплеск третьей четверти для победы над троянами
Мэдисон, С.Д. (7 декабря 2019 г.) — Стейт Дакота (Южная Дакота) возглавляла Белвью (Небраска) 33–30 в перерыве в первой встрече женской баскетбольной конференции North Star Athletic Association в DSU Fieldhouse. В третьей четверти «Брюинз» использовали ход 26–14 и отбили троянов со счетом 80–70.

Обе команды изо всех сил пытались стрелять в первые двадцать минут игры: DSU стрелял 30,6% (11 из 36), а BU — 27% с игры (10 из 37). Белвью набрала 61,1% в третьем квартале, обогнав Дакота Стэйт.В заключительной четверти троянцы не смогли набрать больше четырех очков в двух разных случаях.

Морган Кёпселл спровоцировала наступательную атаку «Троянцев», забив рекорд сезона 26 очков с игры 10 из 14 и выполнив все шесть штрафных бросков. Она сделала пять подборов и зафиксировала два блока. Джесси Джайлз прибавила 14 очков и отдал 5 передач. Эшлин Макдональд набрала 12 очков и сделала девять подборов.

Белвью бросил 40 процентов с игры (26 из 65 попаданий с игры) по сравнению с Дакота Стэйт 39.4 процента (26 из 66 попаданий с игры). BU получил 21 из 27 штрафных бросков (77,8 процента), а DSU — 13 из 21 штрафных бросков (61,9 процента). Трояны превзошли Bruins 46-38.

Взгляд вперед на троянский женский баскетбол
Madison, S.D. (10 декабря 2019 г.) — В штате Дакота (Южная Дакота) осталось шесть игр в декабре. В среду троянцы будут дома против Дакоты Уэслиан, занимающей 13-е место в рейтинге.

Планируется, что троянцы совершат поездку в Су-Сити, штат Айова, на две игры подряд, посетив Брайар-Клифф (штат Айова) в воскресенье и No.8-е место в Морнингсайде (Айова) 18 декабря перед возвращением домой 20 декабря против Стерлинга (Канзас).

После игры Стерлинга у штата Дакота будет рождественский перерыв, прежде чем он вернется в бой. Троянцы отправятся во Флориду для пары игр, посетив Webber International (Флорида) 30 декабря и Warner (Флорида) 31 декабря, чтобы завершить свою часть своего расписания на 2019 год.

Штат Дакота будет дома шесть раз в течение Нового года, начиная с 4 января против Оглала Лакота (С.Д.). Планируется, что троянцы проведут свой сезонный домашний бой из пяти игр в DSU Fieldhouse, начав с пары соревнований на конференциях North Star Athletic Association 17-18 января, за которыми последует финал вне конференции против Mount Marty (SD). ) 22 января.

Лидеры женских баскетбольных команд DSU 2019-20

• Очки / Очки за игру: Джесси Джайлз — 15,1 очка за игру (121 общий балл)
• Процент бросков с игры: Морган Кёпселл — 60.3 процента попаданий с игры (41 из 68 попаданий с игры)
• Процент попаданий с игры с 3-мя попаданиями: Линдси Фогл — 57,6% 3-х очковых попаданий с игры (19 из 33 3-х очковых попаданий с игры)
• Бесплатно -Процент бросков: Эшлин Макдональд — 90,0% штрафных бросков (9 из 10 штрафных бросков)
• Подборов / подборов за игру: Морган Кёпселл — 6,5 подбора за игру (52 подбора)
• передач / передач за игру: Джесси Джайлс — 2,4 передачи за игру (19 передач)
• Перехватов / перехватов за игру: Саванна Уолсдорф — 1.

Все формулы объемов геометрических тел

1. Расчет объема куба

a — сторона куба

Формула объема куба, (V):

2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда

a, b, c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

3. Формула для вычисления объема шара, сферы

R — радиус шара

π ≈ 3.14

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

4.

h — высота цилиндра

r — радиус основания

π ≈ 3.14

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):

5. Как найти объем конуса ?

R — радиус основания

H — высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

7. Формула объема усеченного конуса

r —  радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса  (V ):

8.

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

9. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

10. Объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):

11. Найти объем правильной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

12. Расчет объема пирамиды

h — высота пирамиды

S — площадь основания ABCDE

Формула для вычисления объема пирамиды, если даны — высота и площадь основания (V):

13.

h — высота пирамиды

S_ниж — площадь нижнего основания, ABCDE

S_верх — площадь верхнего основания, abcde

Формула объема усеченной пирамиды, (V):

14. Объем шарового сегмента, формула

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

R — радиус шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):

15. Объем шарового сектора

R — радиус шара

h — высота сегмента

π ≈ 3. 14

Формула объема шарового сектора, (V):

16. Объем шарового слоя

h — высота шарового слоя

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

π ≈ 3.14

Формула объема шарового слоя, (V):

Как найти объем чисел. Объем

Для того чтобы определить плотность вещества, надо массу тела разделить на его объем:

Массу тела можно определить с помощью весов. А как найти объем тела?

Если тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 24), то его объем находится по формуле

V = аbс .

Если же у него какая-то другая форма, то его объем можно найти методом, который был открыт древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э.

Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия. Его отец, астроном Фидий, был родственником Гиерона, ставшего в 270 г. до н. э. царем города, в котором они жили.

До нас дошли не все сочинения Архимеда. О многих его открытиях стало известно благодаря более поздним авторам, в сохранившихся трудах которых описываются его изобретения. Так, например, римский архитектор Витрувий (I в. до н. э.) в одном из своих сочинений рассказал следующую историю:
«Что касается Архимеда, то изо всех его многочисленных и разнообразных открытий то открытие, о котором я расскажу, представляется мне сделанным с безграничным остроумием. Во время своего царствования в Сиракузах Гиерон после благополучного окончания всех своих мероприятий дал обет пожертвовать в какой-то храм золотую корону бессмертным богам. Он условился с мастером о большой цене за работу и дал ему нужное по весу количество золота. В назначенный день мастер принес свою работу царю, который нашел ее отлично исполненной; после взвешивания вес короны оказался соответствующим выданному весу золота.

После этого был сделан донос, что из короны была взята часть золота и вместо него примешано такое же количество серебра. Гиерон разгневался на то, что его провели, и, не находя способа уличить это воровство, попросил Архимеда хорошенько подумать об этом. Тот, погруженный в думы по этому вопросу, как-то случайно пришел в баню и там, опустившись в ванну, заметил, что из нее вытекает такое количество воды, каков объем его тела, погруженного в ванну. Выяснив себе ценность этого факта, он, не долго думая, выскочил с радостью из ванны, пошел домой голым и громким голосом сообщал всем, что он нашел то, что искал. Он бежал и кричал одно и то же по-гречески: «Эврика, эврика! (Нашел, нашел!)».

Затем, пишет Витрувий, Архимед взял сосуд, доверху наполненный водой, и опустил в него золотой слиток, равный по весу короне. Измерив объем вытесненной воды, он снова наполнил сосуд водой и опустил в него корону. Объем воды, вытесненной короной, оказался больше объема воды, вытесненной золотым слитком. Больший объем короны означал, что в ней присутствует менее плотное, чем золото, вещество. Поэтому опыт, проделанный Архимедом, показал, что часть золота была похищена.

Итак, для определения объема тела, имеющего неправильную форму, достаточно измерить объем воды, вытесняемой данным телом. Располагая измерительным цилиндром (мензуркой), это сделать несложно.

В тех случаях, когда известны масса и плотность тела, его объем можно найти по формуле, вытекающей из формулы (10.1):

Отсюда видно, что для определения объема тела надо массу этого тела разделить на его плотность .

Если, наоборот, объем тела известен, то, зная, из какого вещества оно состоит, можно найти его массу:

m = ρV . (10.3)

Чтобы определить массу тела, надо плотность тела умножить на его объем.

1. Какие способы определения объема вы знаете? 2. Что вам известно об Архимеде? 3. Как можно найти массу тела по его плотности и объему?
Экспериментальное задание. Возьмите кусок мыла, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на котором обозначена его масса. Проделав необходимые измерения, определите плотность мыла.

Содержимое:

Объем – это количество занимаемого телом пространства, а плотность равна массе тела, поделенной на его объем. Прежде чем вычислить плотность тела, необходимо найти его объем. Если тело имеет правильную геометрическую форму, его объем можно рассчитать при помощи простой формулы. Объем измеряется обычно в кубических сантиметрах (см 3) или кубических метрах (м 3). Используя найденный объем тела, легко рассчитать его плотность. Для измерения плотности служат граммы на кубический сантиметр (г/см 3) или граммы на миллилитр (г/мл).

Шаги

Часть 1 Вычисление объема тела правильной формы

1. 1 Определите форму тела. Знание формы позволит вам выбрать правильную формулу и провести измерения, необходимые для расчета объема.
   • Сфера представляет собой идеально круглый трехмерный объект, все точки поверхности которого отстоят на равном расстоянии от центра. Иными словами, сферическое тело похоже на круглый мяч.
   • Конус – это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг, а вершину составляет единственная точка, называемая вершиной конуса. Конус можно представить также в виде пирамиды с круглым основанием.
   • Куб представляет собой трехмерную фигуру, составленную из шести одинаковых квадратных граней.
   • Прямоугольный параллелепипед , называемый также прямоугольной призмой, похож на куб: он также имеет шесть граней, однако в этом случае они представляют собой прямоугольники, а не квадраты.
   • Цилиндр – это трехмерная фигура, состоящая из одинаковых круглых концов, края которых соединены округлой поверхностью.
   • Пирамида является трехмерной фигурой, в основании которой лежит многоугольник, который соединен с вершиной боковыми гранями. Правильной пирамидой называется такая пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны и углы которого равны между собой.
   • Если тело имеет неправильную форму, его объем можно найти, полностью погрузив его в воду.
2. 2 Выберите для вычисления объема правильное уравнение. Для тела каждого типа существует своя формула, позволяющая рассчитать занимаемый им объем. Ниже приведены формулы для нахождения объема перечисленных выше фигур. Более подробные сведения и иллюстрации можно найти в статье.
   • Сфера : V = (4/3) π r 3 , где r – радиус сферы, а π – константа, равная примерно 3,14.
   • Конус : V = (1/3) π r 2 h , где r – радиус круглого основания, h – высота конуса, π – константа, равная приблизительно 3,14.
   • Куб : V = s 3 , где s – длина ребра куба (стороны любой из его квадратных граней).
   • Прямоугольный параллелепипед : V = l x w x h , где l – длина прямоугольной грани, w – ее ширина, h – высота параллелепипеда (призмы).
   • Цилиндр : V= π r 2 h , где r – радиус круглого основания, h – высота цилиндра, π – константа, составляющая примерно 3,14.
   • Пирамида : V= (1/3) b x h , где b – площадь основания пирамиды (l x w), h – высота пирамиды.
3. 3 Произведите необходимые измерения. Они будут зависеть от того, с телом какого вида вы имеете дело. Для большинства тел простой формы понадобится измерить высоту; если у фигуры круглое основание, необходимо также определить его радиус, если же в основании лежит прямоугольник – его длину и ширину.
   • Радиус круга равен половине его диаметра. Измерьте диаметр, приложив к середине круга линейку, после чего поделите полученный результат на 2.
   • Радиус сферы измерить немного сложнее, однако и это не составит труда, если вы воспользуетесь методами, подробно изложенными в статье.
   • Длину, ширину и высоту тела можно определить, приложив к нему линейку в соответствующих местах и записав результаты измерений.
4. 4 Вычислите объем. Выяснив форму тела, выберите подходящую формулу и измерьте входящие в нее величины. Подставьте в формулу измеренные значения и выполните необходимые математические действия. В результате вы получите объем тела.
   • Помните о том, что ответ должен выражаться в кубических единицах независимо от того, какой системой единиц вы пользуетесь (метрической либо другой). После полученной величины обязательно напишите единицы, в которых она измеряется.

Часть 2 Вычисление объема тела неправильной формы

1. 1 Определите объем тела по количеству вытесняемой им воды. Тело может иметь неправильную форму, что затрудняет измерение его размеров и ведет к неточному определению объема. В этом случае прекрасно работает метод, заключающийся в определении объема воды, вытесняемой телом при полном погружении.
   • Данный метод можно применить и для нахождения объема тел правильной формы, чтобы избежать вычислений.
2. 2 Наполните водой мерный цилиндр (мензурку). Это лабораторная емкость с метками на боковой поверхности, позволяющая измерять объем жидкостей. Выберите достаточно большой цилиндр, чтобы в него полностью поместился измеряемый объект. Необходимо наполнить цилиндр водой так, чтобы в нее можно было полностью погрузить объект, но при этом она не выливалась. Запишите начальный объем воды без измеряемого тела.
   • Наблюдая первоначальный объем воды, наклонитесь так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с поверхностью жидкости, после чего запишите высоту, на которой расположено дно мениска. Мениск – это внешняя поверхность воды, которая искривляется при контакте с другими поверхностями (в нашем случае это стенки сосуда).
3. 3 Аккуратно поместите в емкость измеряемое тело. Делайте это плавно, чтобы не уронить объект, поскольку в этом случае часть воды может выплеснуться из мерного цилиндра. Убедитесь в том, что тело полностью погрузилось в воду. Запишите новые показания уровня воды в емкости, вновь расположившись так, чтобы ваши глаза находились на одном уровне с мениском.
   • Если при погружении тела часть воды выплеснулась, попробуйте повторить с самого начала, налив меньше воды или взяв больший мерный цилиндр.
4. 4 Вычтите из окончательного уровня воды его первоначальное значение. Количество вытесненной предметом воды будет равняться его объему в кубических сантиметрах. Обычно объем жидкостей измеряют в миллилитрах, но один миллилитр как раз и равен одному кубическому сантиметру.
   • Например, если сначала уровень воды был 35 мл, а после опускания в нее предмета поднялся до 65 мл, объем этого предмета составляет 65 – 35 = 30 мл, или 30 см 3 .

Часть 3 Вычисление плотности

1. 1 Определите массу предмета. Масса объекта соответствует количеству материи, из которой он состоит. Массу находят путем прямого взвешивания на весах, она измеряется в граммах или килограммах.
   • Возьмите точные измерительные весы и поместите на них предмет. Запишите показания весов в свой блокнот.
   • Массу тела можно определить и при помощи чашечных весов. Положив объект на одну чашу, на вторую поместите гирьки с известными массами так, чтобы обе чаши уравновесили друг друга, расположившись на одинаковой высоте. В этом случае искомая масса предмета будет равна сумме масс использованных гирек.
   • Перед взвешиванием проследите, чтобы предмет не был влажным, иначе погрешность измерений возрастет.
2. 2 Определите объем тела. Если предмет имеет правильную форму, для определения его объема используйте одну из формул, приведенных выше. Если форма тела неправильна, измерьте объем, погрузив его в воду, как описано выше.
3. 3 Вычислите плотность. Согласно определению, плотность равна массе, деленной на объем. Таким образом, поделите измеренную массу на вычисленный объем. В результате вы получите плотность тела, измеренную в г/см 3 .
   • Например, вычислим плотность предмета объемом 8 см 3 и массой 24 г.
   • плотность = масса / объем
   • d = 24 г / 8 см 3
   • d = 3 г/см 3

• Нередко предметы состоят из нескольких частей, имеющих правильные геометрические формы. В этом случае разделите составляющие элементы на группы, относящиеся к той или иной правильной форме, найдите объем каждого элемента, а затем сложите их вместе, определив тем самым общий объем всего предмета.
• Можно определить объем какого-либо предмета как путем вычислений, так и погружением в воду, после чего сравнить полученные результаты.

Предупреждения

• Будьте внимательны: прежде чем приступать к вычислениям, обязательно переведите все измеренные величины в метрическую систему (систему единиц СИ).

Количество коробок

Результат:

Объем одной коробки(м 3):

Общий объем(м 3):

Используйте полученный
результат для
оформления заявки

Количество труб

Результат:

Объем одной трубы(м 3):

Общий объем(м 3):

Используйте полученный
результат для
оформления заявки

У вас возник вопрос о доставке , а так же возникла необходимость знать, как вычислить объем груза, нужна наша помощь? Как вычислить объем груза мы знаем, на этой странице вы видите калькулятор, который точно выполнит расчеты.

А вообще, для какой цели рассчитывается объем?

Объем рассчитать необходимо для того, чтобы избежать недоразумений при погрузке груженых коробок в транспортное средство. Объем рассчитать при помощи современных технологий сегодня несложно, достаточно вашего нахождения тут.

Во-первых , все знают — в процессе доставки важна каждая деталь, и немаловажно без ошибок посчитать объем груза в целом. Посчитать объем груза как уже говорилось поможет наш калькулятор объемов, он сделает это быстро и надежно!

Второе — калькулятор объемов, о его начини на нашем сайте, уже сказано выше, как видите, мы заботимся о наших клиентах. Калькулятор объемов, вот что может максимально облегчить работу с расчетами, и напрочь убить ваши сомнения.

Что мы вам даём?

Что же еще необходимо?

Например…

Вы предприниматель, который занимается перевозками из Китая, и Вам постоянно необходим калькулятор расчета объема. Калькулятор расчета объемов вы быстро найдёте на страницах нашего сайта, и выполните свои расчеты сейчас же.

В наше время предпринимательство держится на Китайском производстве товаров, а от куда возникла потребность рассчитать объем? Рассчитать объем необходимо для того что бы узнать общий объём груза, и далее выбрать вид транспорта.

Чем же является расчет объемов в доставке? И какую роль он играет?

Расчёт объема — это насколько, вы уже поняли очень важный этап в доставке, и доверять его надо в надёжные руки профессионалов. Расчёт объема груза надо делать тщательно, учитывая все размеры, и переведя их в метры кубические.

Но к сожалению, не все справляются с этими расчетами.

Еще в школьные времена мы изучали то как посчитать объем груза в м3, но к сожалению, всего этого не запомнишь. Как посчитать объем груза в м3 — бывают случаи когда этот вопрос встаёт на первое место, например во время доставки.

Для этого данная страница и существует!

Ведь эта страница для того и предназначена, чтобы помогать Вам в расчёте доставки.

Что бы выполнить расчет объема коробки, не надо стараться это делать самостоятельно, просто надо заполнить пустые поля. Расчет объема коробки автоматически выполнится нашим калькулятором, если вы сомневаетесь, проверьте сами.

Для этого мы и напомнили Вам формулу объемов.

Расчет объема груза в кубометрах необходим Вам для того, чтобы подать правильную заявку для его перевозки. Расчет объема груза в кубометрах, т. е. знание самого объема поможет определиться с тем какой вид доставки Вам подойдет.

А теперь перейдем к основному , поговорим о том, как совершать расчеты и для чего они необходимы.

Для начала разберемся…

Рассчитать объем груза не всегда просто, как кажется, всё это из-за того что, коробки могут быть разнообразной формы. Рассчитать объем груза прямоугольной коробки, пустяк, а вот остальных тяжеловато, необходимо знать формулы.

Для начала определим форму, для этого сначала узнаем, какие они существуют.

Какую форму может иметь коробка:

• Прямоугольника;
• Цилиндра;
• Усеченной пирамиды (очень редко).

Затем следуют измерения

Перед тем, как вычислить объем коробки измерим её, но запомните, чем точнее сделаны измерения, тем легче Вам. «Как вычислить объем коробки?» — что делать дальше: определить, какой она формы (куба или прямоугольника), размеры.

Что нам дает знание объёма?

Знание объёма коробки не позволит допустить недоразумений при погрузке товаров в любой вид транспорта, который может быть. От объёма коробки практически не чего не зависит, скорее наоборот все зависит от размеров самого товара.

А почему? Тут всё очевидно, прежде чем приобрести коробку, надо узнать размер груза, который Вы собираетесь перевозить через границу.

Ну вот Вы знаете размеры груза, теперь остаётся посчитать его объем (что бы приобрести коробу).

Итак , для того чтобы узнать, как рассчитать объем груза в м3 формула потребуется в первую же очередь. Как рассчитать объём груза в м3 формула поможет без сомнений в этом вопросе, вот так она выглядит V=a*b*h, всё очень просто.

Тем более она уже вам известна.

Хотим напомнить о том что…

Что бы Вам стало легче определить, какой вид транспорта выбрать для доставки, надо рассчитать объем груза в м3. Рассчитать объем груза в м3 очень просто, тут необходимо знать точные размеры, которые затем необходимо перемножить.

Единицы необходимо пе6реводить именно в м3, иначе не получится посчитать доставку.

А что делать, если форма коробки не прямоугольная, а округлая? Ведь это большая редкость, но все же бывает.

Можно объем посчитать коробки или ёмкости в основании которых лежит круг, и для этого так же существует формула. Объем посчитать коробки формой круга позволяет выражение V *r2*h, размеры прежде всего надо безошибочно измерить.

Калькулятор объемов

Предоставляем к вашему вниманию калькулятор: объем грузов в м3, с помощью него вы можете самостоятельно делать расчёты. Калькулятор объем грузов расположен на наем сайте специально для вашего удобства, и для быстроты расчетов.

Для чего нужен калькулятор расчета объема груза?

Мы с вами деловые люди и потерянное время порой несёт в себе большие минусы. Хотите получать грузы быстро и надёжно? И при этом в максимально короткие сроки узнавать цены на их перевозку и доставку?

Вот именно здесь, поможет калькулятор объёма груза!

Наш калькулятор объёмов позволяет вам рассчитать объём груза в м3, поэтому вопрос о объёме коробки больше не возникнет. Калькулятор объёмов простой и удобный в применении, он выдаст результаты как объёма коробки так и груза.

Итак, с помощью калькулятора объёма Вы решаете несколько вопросов:

Как вычислить объем груза (или коробки)? Не забывайте о количественной единице, которую вы берёте в расчёт.

Столкнулись с одним из них или возник подобный? Наша компания рада предложить для Вашего удобства объем в метрах кубических коробки посчитать, с помощью удобного калькулятора.

А напоследок, давайте вспомним математику!

Какая проблема самая распространённая?

Многие путают то как вычислять объём плоских фигур и объемных, т. к., ошибаются в понятиях, точнее затрудняются с ответом. Как вычислять объём не надо знать, хватит того, что вы укажете размеры, главное не забывайте, что их 3.

Закончив все расчеты, остается еще одна задача.

А какой Вам нужен транспорт?

Напомним, в доставке кроме того, как рассчитать кубатуру есть еще не менее важные вещи, например размещение товаров. Как рассчитать кубатуру вы знаете, поэтому всё остальное в ваших руках, теперь выбор транспорта зависит от вас.

Химия и физика всегда подразумевают вычисление различных величин, в том числе и объём вещества. Объем вещества можно рассчитать при помощи некоторых формул. Главное знать, в каком состоянии находится данное вещество. Агрегатных состояний, в которых могут пребывать частицы, существует четыре:

• газообразное;
• жидкое;
• твёрдое;
• плазменное.

Для вычисления объёма каждого из них есть своя конкретная формула. Для того чтобы найти объем, нужно иметь определённые данные. К ним относятся масса, молярная масса, а также для газов (идеальных) — газовая постоянная.

Процесс нахождения объема вещества

Давайте рассмотрим, как найти объём вещества, если оно находится, к примеру, в газообразном состоянии. Для подсчёта нужно выяснить условия задачи: что известно, какие параметры даются. Формула, по которой можно определить, каков объём данного газа, такова:

Необходимо молярное количество имеющегося вещества (именуемого n) умножить на молярный его объём (Vm). Так можно узнать объём (V). Когда газ находится в нормальных условиях — н. у., то его Vm — объём в молях составляет 22,4 л./моль. Если в условии сказано, сколько вещества в молях имеется (n), то нужно подставить данные в формулу и выяснить конечный результат.

Если условия не предусматривают указания данных о молярном количестве (n), его нужно выяснить. Есть формула, которая поможет сделать вычисление:

Нужно массу вещества (в граммах) разделить на его молярную массу. Теперь можно сделать вычисление и определить молярное количество. М — это константа, которую можно посмотреть в таблице Менделеева. Под каждым элементом есть число, которое обозначает его массу в молях.

Определение объема вещества в миллилитрах

Как определить объём вещества в миллилитрах? Что может быть указано в условиях задачи: масса (в граммах), консистенция в молях, количество данного вам вещества, а также его плотность. Существует такая формула, по которой можно подсчитать объём:

Масса в граммах должна быть разделена на плотность указанного вещества.

Если вам не известна масса, то её можно рассчитать так:

Молярное количество вещества нужно умножить на его молярную массу. Для того чтобы правильно подсчитать молярную массу (М), нужно знать формулу того вещества, которое даётся в условии задачи. Нужно сложить атомную массу каждого из элементов вещества. Также если нужно узнать плотность вещества, можно пользоваться такой обратной формулой:

Если вам известно молярное количество (n) и концентрация (с) вещества, можно также подсчитать объём. Формула будет выглядеть следующим образом:

Вам необходимо молярное количество данного в задаче вещества разделить на его молярную концентрацию. Отсюда можно вывести формулу для нахождения концентрации.

Чтобы правильно решать задачи по физике и химии, вам нужно знать некоторые формулы и иметь под рукой таблицу Менделеева, тогда успех вам гарантирован.

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Как правильно с помощью формул найти объем прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед, с точки зрения математики, является объемной фигурой с шестью гранями. Увидеть его можно, если посмотреть на прямоугольный бассейн, кирпич или спичечный коробок.

Эта фигура очень часто встречается в повседневной жизни, однако, нередко возникает необходимость узнать ее объем, что для многих представляет некоторые трудности. Например, какого объема необходим бак для воды на дачном участке, или каким размером делать бассейн.

Во многих других ситуациях возникает проблема, как найти объем параллелепипеда правильно.

Между тем вычислить это значение очень просто. Достаточно лишь знать ширину, длину и высоту предмета или объекта. И также необходимо знать формулу, с помощью которой и находят объем данной геометрической фигуры.

Содержание:

• Основные особенности и формула для расчета
• Формула расчета в двух вариантах
• О чем еще следует знать для правильности расчета?
• Видео

Основные особенности и формула для расчета

Для того чтобы найти объем параллелепипеда необходимо:

• определить длину, высоту и ширину объекта;
• и после этого перемножить данные значения друг на друга;
• получившиеся данные и будут объемом.

Это все предельно просто и не таит никаких подводных камней. Главное — это знать требуемые значения, без которых выполнить расчет будет невозможно.

При этом важно знать, что определить параметр можно в сантиметрах, кубометрах, дециметрах и некоторых других размерностях в зависимости от требований. Если говорить о Международной системе единиц (СИ), параметр рассчитывают в сантиметрах. Это оптимальный вариант. Но при желании всегда можно перевести значение в требуемые размерности.

Формула расчета в двух вариантах

Итак, для расчета по формуле нужно знать длину, ширину и высоту измеряемого предмета. Эти данные следует обозначить соответственно как А, B и C, а объем обычно представляют буквой V. Формула для определения объема прямоугольного параллелепипеда при этом будет выглядеть следующим образом: V = A x B x C.

Если определятся объем бассейна, то необходимо его длину, ширину и глубину перемножить. Для более простого восприятия давайте разберем правила расчета объема параллелепипеда на примере. Допустим, что его длина составляет 10 метров, ширина достигает 3 метров, а глубина — 1,5. В этом случае объем этого объекта определяется следующим образом: 10x3x1,5=45 кубометров, или 45 кубических метров.

Можно выделить и другую формулу, которая имеет некоторое отличие. Она представляет собой произведение площади основания на высоту. Формула выглядит следующим образом: V = S x h. Здесь h — высота параллелепипеда. S — площадь основания, которая представлена произведением двух сторон основания. Обычно их обозначают, как a и b: S = a x b.

При расчете можно пользоваться любой из двух приведенных формул. Обе являются верными и позволяют получить точные данные. Последний вариант удобен, когда уже известна площадь основания. Если же она неизвестна, проще перемножать сразу три линейных размера, исключая необходимость в лишней процедуре.

О чем еще следует знать для правильности расчета?

Для вычисления объема параллелепипеда необходимо понять, что это за фигура. Она представляет собой призму, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет 6 граней, каждый из которых является параллелограммом. При этом выделяют несколько видов фигур. Принцип расчета не имеет конкретных отличий, но сами фигуры внешне отличаются. Итак, можно выделить такие виды:

1. Прямоугольный параллелепипед. Эта фигура представляет собой параллелепипед, который имеет все грани в виде прямоугольников.
2. Прямым параллелепипедом является фигура, у которой 4 боковые грани — прямоугольники.
3. Куб — это еще один вид параллелепипеда. Он представляет собой прямоугольный параллелепипед, все стороны которого равны между собой. Другими словами, все шесть граней такой фигуры, как куб — это равные квадраты.

И также важно помнить о том, что в процессе выполнения расчета у каждой составляющей формулы должна быть одна и та же размерность. Если опустить это простое правило, получить верный результат не удастся. Если вы выполняете расчеты просто на уроках математики, проблемой могут стать только неудовлетворительные оценки. А при проектировании и наличии ошибок в расчетах проблемы могут быть более серьезными.

Не стоит думать, что основные математические формулы по определению объемов геометрических фигур встречаются исключительно на уроках математики. В большинстве случаев они пригодятся и в последующей жизни. В частности, во время ремонтных или строительных работ, при проектировании и декорированию интерьера, а также в ряде других случаев. Именно тогда без правильной формулы обойтись не удастся.

Можно подвести итог: объем параллелепипеда равен произведению трех линейных размеров — длины, ширины, высоты. Параметр напрямую зависит от трех единиц измерения при любом вращении и повороте. Результат будет неизменным.

Видео

Видео поможет вам научиться находить объем прямоугольного параллелепипеда.

Как найти объём сосуда

Понятие объёма

Можно провести аналогию понятия объема сосуда с понятием площади. Напомним, что понятие площади применимо к плоскости. 3$ — эта запись означает, что объём некоторого сосуда равен 3-м, если в качестве единицы измерения взят кубический миллиметр.

Основные свойства объёмов:

1. У равных сосудов равные объёмы.
2. В случае, когда сосуд состоит из нескольких сосудов, то его объём равен сумме всех этих сосудов.

Эти свойства аналогичны свойствам длин отрезков и площадей многоугольников.

Часто требуется найти объём параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Параллельно с формулами объёма дадим ключевые определения. Чтобы рассмотреть такую фигуру как параллелепипед, необходимо дать два важных определения:

1. Многогранник — это тело, ограниченное несколькими многоугольниками (гранями). Стороны граней называют рёбрами, а концы рёбер — вершинами.
2. Призма — это многогранник, который составлен из двух параллельных многоугольников (оснований призмы), вершины которых соединены параллельными и равными друг другу отрезками (боковыми ребрами призмы), образующими параллелограммы (боковые грани призмы).

Нахождение объёма параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник, составленный из 6-ти прямоугольников. Или это четырёхугольная призма, в которой основания — параллелограммы. Форму параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы из нашей повседневной жизни.

В случае, когда у параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, а боковые грани и основания — прямоугольники, то этот параллелепипед называют прямоугольным (прямым).

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимы его измерения. Измерения параллелепипеда — это длины трёх рёбер с общей вершиной. В речи мы называем измерениями «длину», «ширину» и «высоту» (например, при измерении комнаты).

Определение 1

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V=abc$.

Если площадь основания $S=ac$, а высота $h=b$, то формула объёма может быть следующей: $V=Sh$.

Нахождение объёма пирамиды

Пирамида — это многогранник, образованный из $n$-угольника (в качестве основания) и треугольников (в качестве боковых граней), построенных путем соединения одной точки (вершины пирамиды) отрезками (боковыми рёбрами) с вершинами многоугольника.

Рисунок 1. Пирамида. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 2

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. В данном случае высота представляет собой перпендикулярный к плоскости основания отрезок, который соединяет вершину пирамиды с плоскостью её основания.

$V=\frac{Sh}{3}$.

Нахождение объёма цилиндра

Цилиндр — некоторое тело (или сосуд), полученное в результате вращения некоторого прямоугольника вокруг своей оси (одной из сторон прямоугольника).

Рисунок 2. Цилиндр. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 3

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $V=Sh$.

Нахождение объёма конуса

Конус — это некоторое тело (сосуд), полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Рисунок 3. Конус. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 4

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $V=\frac{Sh}{3}$. 3$, где $R$ — радиус шара.

Таким образом, мы перечислили все основные формулы объёма основных фигур в стереометрии.

Как найти объем и площадь прямоугольного параллелепипеда?

Как найти объем и площадь прямоугольного параллелепипеда?

Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см. V = 9 * 6 * 3 = 162 см3. Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Как найти сторону у параллелепипеда?

Боковое ребро параллелепипеда

1. a = V / bc. Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).
2. a = Sб.п. / 2 (a+c) …
3. a = (Sп.п. — 2bc) / 2 (b+c) …
4. a = √D2 + d2 = √D2 + b2 + c2

Как найти объем формула?

Формула объема.

Фигура

Формула

Куб. 3 перемножить три стороны, а для цилиндра V = S*H площадь основания помножить на высоту Что нужно сделать чтобы узнать объем? Для вычисления объема прямоугольных фигур (прямоугольный параллелепипед, куб) используйте формулу: объем = L × W × H (длину умножить на ширину умножить на высоту). Эту формулу можно рассматривать как произведение площади поверхности одной из граней фигуры на ребро, перпендикулярное этой грани. Как находить объем фигур? 4. Объем фигур Объем куба равен кубу длины его граней. … Объем призмы равен произведению основания призмы на ее высоту. … Объем параллелепипеда равен произведению площади снования на высоту. … Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту. … Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Как найти объем через площадь и высоту? Умножаешь площадь на высоту и получится объем! В Вашем случае это 50 метров кубических. Площадь умножить на высоту. 2,5 х 20 =50 куб. Как найти объем куба формула 5 класс? Формула вычисления объема куба Через длину ребра Объем (V) куба равняется произведению его длины на ширину на высоту. Т. к. … Через длину диагонали грани Как мы знаем, грани куба равны между собой и являются квадратом, сторона которого может быть найдена через длину диагонали по формуле: a=d/√2. Как посчитать объем коробки по размерам? Объем вычисляем по известной формуле: v = l х w х h, где v – объем коробки. Наглядно это выглядит так: допустим, длина коробки составила 70 см, ширина – 40 см, высота 50 см. Полученный объем будет составлять 140000 кубических сантиметров. Как рассчитать литраж в аквариуме? Пошаговая инструкция по вычислению литража Вашего аквариума: То есть получается: — 100 см* 50 см* 60 см = 300000 кубических сантиметров; Теперь, чтобы получить количество литров, умножаем это значение на 0,001: — 300000 куб. Как узнать сколько надо грунта в аквариум? Например, аквариум объемом 100 литров будет содержать 100 дм3 воды, или 1000000 см3 воды. Массу грунта вычисляем по формуле: m = р·V, где: Масса, кг. Плотность, кг/см3….Следовательно, масса 1 см грунта на всей площади дна аквариума: m = р·V = р·А·В·1 см, где: Масса — в килограммах. А, В и С — в сантиметрах. р — кг/см3. Как рассчитать вес аквариума с водой? Метрическая система мер: умножьте длину аквариума на его ширину и высоту, выраженные в сантиметрах, чтобы получить его объем в кубических сантиметрах (см3). Разделите эту величину на 1000, чтобы перевести ее в литры. 1 литр воды весит 1 килограмм. Сколько можно рыбок в аквариум на 50 литров? Для аквариумистов сколько можно рыбок сажать в емкость, есть формула: на 2 см длины тела животного необходимо обеспечить 2 литра воды. Так на 50 литровый аквариум можно приобретать: Гуппи не больше 20 рыбок. Меченосцев можно подсаживать до 10 животных. Кого можно поселить в аквариум на 50 литров? Кого заселить Гуппи – не более 20 штук. Меченосцы – до 10 рыбок. Моллинезии и пецилии – отличаются немалым размером, поэтому эти виды заселяют в количестве 6-8 штук. Неонов голубых можно приобрести около 20. Данио леопардовых и других представителей рода – 10 рыб. Сколько Неонов на 50 литров? Сколько можно Неонов красных в 50 литровый аквариум — 20 шт. Сколько можно Неонов обыкновенных в 50 литровый аквариум — 20 шт. Кого можно поселить в аквариум 60 литров? в общем можно. неоны расбора кардиналы пецилия моллинезия гуппи меченосцы, гурами из цихлид можно прикупить пару размирези , чернополосики , хромисы. Сколько неонов можно в 60 литров? Сколько можно Неонов обыкновенных в 60 литровый аквариум — 24 шт. Сколько рыб можно держать в аквариуме 60 литров? Количество рыб в аквариуме 60 литров зависит от вида, и может быть следующим: Гуппи – 24 шт. Меченосцы – 6 шт. Моллинезии – 6 шт. Что нужно для аквариума на 60 литров? Рыбки для аквариума 60 литров: стайка небольших по размеру и ярких по окраске неприхотливых мирных рыбок (гуппи, данио), а также неоны, афиосемионы, пецилии, расборы, кардиналы; меченосец – 2 пары; пара моллинезий; акулий бала – 2 пары; барбусы практически всех видов – 4- 6 особей; пара лабео; Что нужно для аквариума на 50 литров? Оборудование и материалы: Сложность: Простая Размеры: 60 х 30 х 30 см, аквариум объемом 50 литров Грунт: Морской песок (размер песчинок около 2 мм) Декорации: Дерево и лавовый камень Освещение: Лампа Т8 дневного света 15Вт CО2: Нет Температура воды: 25°С Фильтр: производительностью 300 л/ч Расчет объёма цилиндра — онлайн калькулятор. Как посчитать объем цилиндра Содержание Объем цилиндра Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту) Зная радиус r и высоту h Формула Пример Зная диаметр d и высоту h Формула Пример Формула вычисления объема цилиндра Введите радиус основания и высоту цилиндра Примеры задач Поэтапный расчет объема картонной коробки Подсчет объема коробки в литрах Объем цилиндрической полости Объем прямого цилиндра Объем цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра Поверхности цилиндра Сечения цилиндра Как рассчитать объем цилиндра с помощью калькулятора Формула расчета объема цилиндра Найти объем цилиндра Объем цилиндра Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. 2} — это формула площади круга, а в нашем случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту: Зная радиус r и высоту h Чему равен объем цилиндра если его радиус r = , а высота h = ? Ответ: V = Чему равен объем цилиндра V если известны его радиус r и высота h? Формула V = π⋅r2⋅h Пример Если цилиндр имеет высоту h = 8 см, а его радиус r = 2 см, то: V = 3.14156 ⋅ 22 ⋅ 8 = 3.14156 ⋅ 32 = 100.53 см3 Зная диаметр d и высоту h Чему равен объем цилиндра если его диаметр d = , а высота h = ? Ответ: V = Чему равен объем цилиндра V если известны его диаметр d и высота h? Формула V = π⋅(d/2)2⋅h Пример Если цилиндр имеет высоту h = 5 см, а его диаметр d = 1 см, то: V = 3. 14156 ⋅ (1/2)2 ⋅ 5 = 3.14156 ⋅ 1.25 ≈ 3.927 см3 Формула вычисления объема цилиндра 1. Через площадь основания и высоту Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания. V = S ⋅ H 2. Через радиус основания и высоту Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R2. Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде: V = π ⋅ R2 ⋅ H Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14. 3. Через диаметр основания и высоту Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом: V = π ⋅ (d/2)2 ⋅ H Введите радиус основания и высоту цилиндра Примеры задач Задание 1 Найдите объем цилиндра, если дана площадь его основания – 78,5 см2, а также, высота – 10 см. Решение: Применим первую формулу, подставив в нее известные значения: V = 78,5 см2 ⋅ 10 см = 785 см3. Задание 2 Высота цилиндра равна 6 см, а его диаметр – 8 см. Найдите объем фигуры. Решение: Воспользовавшись третьей формулой, в которой участвует диаметр, получаем: V = 3,14 ⋅ (8/2 см)2 ⋅ 6 см = 301,44 см3. Поэтапный расчет объема картонной коробки Для расчета нужно: Измерить длину а и ширину b, если дно коробки квадратное, то а=b; Измерить высоту h как расстояние от нижнего до верхнего клапана коробки. Сначала нужно рассчитать внутренний объем коробки, необходимый для размещения груза. Габаритные размеры груза должны быть на 5–10 мм меньше, чем внутренние размеры гофроупаковки. Формула для вычисления объема V в м3 коробки с прямоугольным или квадратным основанием: V=a*b*h где a – длина основания (м), b – ширина основания (м), h – высота коробки (м). Если в основании коробки не прямоугольник, а треугольник, пяти- или шестиугольник, то формула вычисления объема будет: V=S*h где S — площадь основания коробки, а h — ее высота. Объем, занимаемый заготовкой (коробкой) (с учетом толщины стенок) рассчитывается для правильного размещения внутри транспортного средства или хранения на складе. Формула для расчета занимаемого объема: V=Площадь (S) * толщину листа *как рассчитать площадь (S) картонной коробки — в этой статье Радиус: Высота: Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности. Формула объема цилиндра: , где R – радиус оснований, h – высота цилиндра Тип: Профиль: Толщина (мм): Трехслойный гофрокартон B 3 Трехслойный гофрокартон C 3,7 Трехслойный гофрокартон E 1,6 Пятислойный гофрокартон BC 7 Пятислойный гофрокартон BE 4 Перемножив полученные значения, получим объем коробки в кубических метрах. Чтобы получить результат в литрах необходимо полученное значение в м3 умножить на 1000. Подсчет объема коробки в литрах При транспортировке мелких или сыпучих товаров их также пакуют в ящики. Учитывая, что такие предметы и материалы занимают весь объем тары, нужно знать их количество в литрах. Если Вы интересуетесь, как посчитать объем короба в литрах, определяйте литраж следующим образом: находим кубатуру V=a*b*h =0,3*0,25*0,15=0,0112 м3 зная равенство: 1 м3 = 1000 л, переводим полученное значение в литры: V=0,0112 *1000=1,2 л. Объем цилиндрической полости Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных. На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны. Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра. Теория Цилиндр может быть правильным или наклонным Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов. Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов. Рассмотрим правильный цилиндр. Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра. Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра. Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра. Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому. Объем прямого цилиндра Цилиндр – это геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одним из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого слова «kylindros». Объем цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра Объем цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту. [ LARGE V = S cdot H ] где: V – объем цилиндра H – высота цилиндра S – площадь цилиндра Поверхности цилиндра Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая. Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой. Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке). Сечения цилиндра При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник, но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями. Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса Как рассчитать объем цилиндра с помощью калькулятора Калькулятор позволяет определить объем цилиндра по одному из 3 вариантов: площадь основания и высота цилиндра; радиус основания и высота цилиндра; диаметр основания и высота цилиндра. Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля. Также важно указать единицы измерения по условиям задачи. Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины объема. Формула расчета объема цилиндра Объем цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, площадь основания можно рассчитать через радиус или диаметр. Найти объем цилиндра Выберите известные величины: Введите данные: R = h = Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …).   Источники https://ru.onlinemschool.com/math/formula/volume/ https://mnogoformul.ru/obem-cilindra https://poschitat.online/obem-cilindra https://MicroExcel.ru/obyom-tsilindra/ https://www. calc.ru/obyem-tsilindra.html https://gofro-karton.com/blog/rasschitat_obem_korobki/ https://tara-tovara.ru/docs/poleznaya_inform/kak_rasschitat_obem_korobki_v_m3_i_litrakh/ https://doza.pro/art/math/geometry/cylinder https://calcsbox.com/post/formula-obema-cilindra.html https://kalkulyator-nds.com/obem-cilindra-kalkulyator https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cylinder/

Расчет объема | SkillsYouNeed

На этой странице объясняется, как рассчитать объем твердых предметов, т.е. сколько вы могли бы вместить в предмет, если, например, вы наполнили его жидкостью.

Площадь — это мера того, сколько места находится внутри двухмерного объекта (дополнительную информацию см. на нашей странице: Расчет площади).

Объем — это мера пространства внутри трехмерного объекта. Наша страница о трехмерных фигурах объясняет основы таких фигур.

В реальном мире вычисление объема, вероятно, не будет использоваться так часто, как вычисление площади.

Тем не менее, это может быть важно. Возможность рассчитать объем позволит вам, например, определить, сколько места у вас есть для упаковки при переезде, сколько офисного пространства вам нужно или сколько варенья вы можете поместить в банку.

Это также может быть полезно для понимания того, что имеют в виду СМИ, когда говорят о мощности плотины или расходе реки.

Примечание по единицам измерения

Площадь выражается в квадратных единицах ( ² ), поскольку она измеряется в двух измерениях (например, длина × ширина).

Объем выражается в кубических единицах ( ³ ), поскольку он измеряется в трех измерениях (например, длина × ширина × глубина). Кубические единицы включают см3, м3 и кубические футы. Кубические единицы включают ³ см, ³ м и кубические футы.

ВНИМАНИЕ!

Объем также может быть выражен как емкость по жидкости.

Метрическая система

В метрической системе вместимость жидкости измеряется в литрах, что напрямую сравнимо с кубическим измерением, поскольку 1 мл = 1 см ³ . 1 литр = 1000 мл = 1000 см ³ .

Имперская/английская система

В имперской/английской системе эквивалентными единицами измерения являются жидкие унции, пинты, кварты и галлоны, которые нелегко перевести в кубические футы. Поэтому лучше всего придерживаться либо жидких, либо твердых единиц объема.

Для получения дополнительной информации см. нашу страницу о системах измерения.

Основные формулы для вычисления объема

Объем тел, основанных на прямоугольниках

В то время как основная формула площади прямоугольной формы равна длине × ширине, основная формула для объема равна длине × ширине

6 ×

Коробка с размерами 15 см в ширину, 25 см в длину и 5 см в высоту имеет объем:
15 × 25 × 5 = 1875 см для покрытия объема цилиндров и призм тоже. Вместо прямоугольного конца у вас просто другая форма: круг для цилиндров, треугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник для призмы.

Фактически, для цилиндров и призм объем равен площади одной стороны, умноженной на глубину или высоту формы.

Таким образом, основная формула для объема призм и цилиндров:

Площадь торца × высота/глубина призмы/цилиндра.

Остерегайтесь несовместимых единиц!

---

Прямой отрезок круглой трубы имеет внутренний диаметр 2 см и длину 1,7 м. Рассчитайте объем воды в трубе.

В этом примере вам нужно рассчитать объем очень длинного тонкого цилиндра, образующего внутреннюю часть трубы. Площадь одного конца можно рассчитать по формуле площади круга πr ² . Диаметр 2см, значит радиус 1см. Таким образом, площадь равна π × 1 ² , что составляет 3,14 см ² .

Длина трубы 1,7 м, поэтому вам нужно умножить площадь конца на длину, чтобы найти объем.

Остерегайтесь несовместимых юнитов! Площадь в сантиметрах, а длина в метрах. Сначала преобразуйте длину в см 1,7 × 1000 = 1700 см.

Таким образом, объем равен 3,14 × 1700 = 5338 см ³ . Это эквивалентно 5,338 литра или 0,0053 м ³ .

---

Объем конусов и пирамид

Тот же принцип, что и выше (ширина × длина × высота), применяется для расчета объема конуса или пирамиды, за исключением того, что, поскольку они сходятся в точке, объем составляет лишь долю сумма, которая была бы, если бы они продолжали иметь ту же форму (поперечное сечение) насквозь.

Объем конуса или пирамиды составляет ровно одну треть объема коробки или цилиндра с таким же основанием.

Таким образом, формула выглядит следующим образом:

Площадь основания или торца × высота конуса/пирамиды × ¹ / ₃

Если не можете, вернитесь на нашу страницу

0 0 Расчет площади помните, как вычислить площадь круга или треугольника.

Например, чтобы вычислить объем конуса с радиусом 5 см и высотой 10 см:

Площадь внутри круга = πr ² (где π (пи) приблизительно равно 3,14, а r — радиус круг).

В этом примере площадь основания (круга) = πr ² = 3,14 × 5 × 5 = 78,5 см ² .

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 см ³

---

Объем сферы

Как и в случае с кругом, для вычисления объема сферы требуется π (пи).

Формула 4/3 × π × радиус ³ .

Вам может быть интересно, как можно вычислить радиус мяча. Если не считать протыкания вязальной спицы (эффективно, но смертельно для мяча!), есть более простой способ.

Расстояние вокруг самой широкой точки сферы можно измерить напрямую, например, рулеткой. Этот круг является окружностью и имеет тот же радиус, что и сама сфера.

Длина окружности рассчитывается как 2 x π x радиус.

Чтобы вычислить радиус по длине окружности:

Разделите длину окружности на (2 x π) .

---

Примеры работы: Расчет объема

---

Расчет объема неправильных тел

Точно так же, как вы можете рассчитать площадь неправильных двумерных фигур, разбив их на правильные, вы можете сделать то же самое для расчета объема неправильных тел. Просто разделите тело на более мелкие части, пока не получите только многогранники, с которыми вам будет легко работать.

---

Дальнейшее чтение из книги «Навыки, которые вам нужны»

---

Понимание геометрии
Часть руководства «Навыки, которые вам необходимы для счета»

В этой электронной книге рассматриваются основы геометрии и рассматриваются свойства фигур, линий и твердых тел. Эти концепции построены в книге, с примерами работы и возможностями для вас, чтобы попрактиковаться в ваших новых навыках.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.

---

В заключение…

Используя эти принципы, если необходимо, теперь вы сможете рассчитать объем почти всего в вашей жизни, будь то упаковочный ящик, комната или цилиндр с водой.

Калькулятор объема

Форма квадратной пирамиды

ч = высота
s = наклонная высота
а = длина стороны
e = длина боковой кромки
г = а/2
В = объем
L = площадь боковой поверхности
B = площадь базовой поверхности
S = общая площадь поверхности

Рассчитайте больше с помощью
Калькулятор пирамиды

Калькулятор Используйте

Онлайн-калькулятор для расчета объема геометрических тел, включая капсулу, конус, усеченный конус, куб, цилиндр, полусферу, пирамиду, прямоугольную призму, сферу и сферическую крышку.

Единицы: Обратите внимание, что единицы измерения показаны для удобства, но не влияют на расчеты. Единицы используются для обозначения порядка результатов, таких как футы, футы ² или футы ³ . Например, если вы начинаете с мм и знаете, что a и h в мм, ваши расчеты приведут к тому, что V будет в мм 9.0021 3 .

Ниже приведены стандартные формулы объема.

Объемные формулы:

Объем капсулы

• Объем = πr ² ((4/3)r + a)
• Площадь поверхности = 2πr(2r + а)

Объем и площадь круглого конуса

• Объем = (1/3)πr ² ч
• Площадь боковой поверхности = πrs = πr√(r ² + h ² )
• Площадь базовой поверхности = πr ²
• Общая площадь поверхности
  = L + B = πrs + πr ² = πr(s + r) = πr(r + √(r ² + h ² ))

Объем кругового цилиндра

• Объем = πr ² ч
• Площадь верхней поверхности = πr ²
• Площадь нижней поверхности = πr ²
• Общая площадь поверхности
  = L + T + B = 2πrh + 2(πr ² ) = 2πr(h+r)

Конический усеченный объем

• Объем = (1/3)πh (r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ))
• Площадь боковой поверхности
  = π(r ₁ + r ₂ )s = π(r ₁ + r ₂ )√((r ₁ — р ₂ ) ² + ч ² )
• Площадь верхней поверхности = πr ₁ ²
• Площадь основания = πr ₂ ²
• Общая площадь поверхности
  = π(r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ) * s)
  = π [R ₁ ² + R ₂ ² + (R ₁ * R ₂ ) * √ (R ₁ — R ₂ ) 2

  1121121121121121121121 2

  1 2

  1121121 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  1 2

  8 — R ₂ ) * √ (R ₁ — R ₂ ) ) ]

Объем куба

• Объем = a ³
• Площадь поверхности = 6a ²

Объем полушария

• Объем = (2/3)πr ³
• Площадь криволинейной поверхности = 2πr ²
• Площадь базовой поверхности = πr ²
• Общая площадь поверхности = (2πr ² ) + (πr ² ) = 3πr ²

Объем пирамиды

• Объем = (1/3)а ² ч
• Площадь боковой поверхности = a√(a ² + 4h ² )
• Площадь базовой поверхности = a ²
• Общая площадь поверхности
  = L + B = а ² + а √ (а ² + 4h ² ))
  = а(а + √(а ² + 4h ² ))

Объем прямоугольной призмы

• Объем = лвч
• Площадь поверхности = 2(дв + лв + бб)

Объем сферы

• Объем = (4/3)πr ³
• Площадь поверхности = 4πr ²

Объем сферической крышки

• Объем = (1/3)πh ² (3R — h)
• Площадь поверхности = 2πRh

Объем треугольной призмы

\[V = \dfrac{1}{4}h \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

Объем куба | Формула и как найти (Видео)

Объем куба

Объем куба — это то, сколько места куб занимает в трех измерениях. Вы можете найти объем любого куба с одним заданным измерением, используя формулу объема куба :

V = s3

Объем куба всегда измеряется в кубических единицах, полученных из линейной единицы, заданной или используемой для измерения длины стороны.

Содержание

1. Объем куба
2. Что такое куб?
   • Каковы размеры куба?
3. Объем куба Формула
4. Как найти объем куба
   • Как найти длину, ширину и высоту по объему
   • Как рассчитать объем, используя область
   • Как рассчитать площадь поверхности куба, используя объем
5. Объем куба Примеры

Что такое куб?

Куб представляет собой трехмерное тело с шестью конгруэнтными квадратными гранями, встречающимися под прямым углом, восемью вершинами и двенадцатью сторонами одинаковой длины. Куб является одним из пяти Платоновых тел и также называется шестигранником.

Каковы размеры куба?

Куб — это трехмерный объект, поэтому куб имеет три измерения:

• Длина – Обычно понимается как большее из «плоских» размеров.
• Ширина – обычно понимается как более короткий из «плоских» размеров.
• Высота или глубина — Измерение, которое привносит форму в наш трехмерный мир

Обратите внимание, у нас есть два способа описать третье измерение:

1. Высота — Используйте этот термин, когда объект возвышается перед вами, как высокое здание.
2. Глубина — используйте этот термин, если объект падает под вами, как дыра в земле.

Нам нужна информация хотя бы об одном из этих трех измерений, чтобы измерить объем куба.

Объем формулы куба

Объем формулы куба равен объему, равному произведению длины на ширину и на высоту.

V = l × w × h

Это уравнение объема не работает для каждого твердого тела, но оно работает для кубов, прямоугольных призм и параллелепипедов.

Поскольку все три значения – l, w и h – одинаковы в кубе, простейший объем формулы куба:

V = s3

любой край.

Объем всегда измеряется в кубических единицах на основе предоставленных вам линейных единиц. Если вам говорят, что сторона куба имеет длину 3 м, объем измеряется в кубических метрах или м3 (метры в кубе).

Как найти объем куба

Чтобы найти объем куба, нужно знать только длину любого ребра.

Если вам дана длина одной стороны, вы можете найти объем куба, подставив его в одну из формул объема куба:

• V = l × w × h
• В = с3

Чтобы измерить пространство, занимаемое кубом, нужно знать длину любого ребра, потому что длины всех сторон куба равны.

Как найти длину, ширину и высоту из тома

Что, если вам дан объем куба и вас попросят найти его размеры?

Если вам дан объем куба и вас попросят найти длину ребра, все, что вам нужно сделать, это извлечь кубический корень из объема:

s = V3

Ваш ответ больше не будет в кубических единицы; это будет в линейных единицах.

Что, если у нас есть куб, и нам говорят, что его объем составляет 729 кубических метров. Чтобы найти длину ребра куба:

с = 729 м33

с = 9 метров

Как рассчитать объем, используя площадь

Вот еще одна задача. Что если вам скажут площадь одной грани куба? Можете ли вы использовать эту информацию, чтобы найти объем?

Да, площадь одного лица равна произведению длины лица на ширину. Как только вы найдете ширину или длину, вы можете применить формулу объема:

1. Найдите квадратный корень из заданного измерения площади; это даст вам длину любой стороны, s.
2. Используйте формулу объема, V = s3, чтобы найти площадь

Как вычислить площадь поверхности куба, используя объем

Если вам известен объем куба, вы можете преобразовать его в длину одной стороны. Затем вы можете использовать длину стороны для расчета общей площади поверхности.

Используйте длину ребра, чтобы вычислить площадь поверхности одной стороны, затем умножьте эту площадь на 6. Это даст вам общую площадь поверхности куба с использованием объема.

Что, если вам скажут общая площадь поверхности всего куба? Сможете ли вы найти объем?

Да, общая площадь поверхности включает площади всех шести конгруэнтных граней. Найдите площадь одной грани, а затем выполните шаги, описанные выше, чтобы найти объем:

1. Разделите заданную общую площадь поверхности на шесть, чтобы получить площадь одной грани
2. Найдите квадратный корень из площади одной грани, чтобы получить длину любой стороны, с
3. Используйте формулу объема, V = s3

Объем куба Примеры

Если у вас есть трехмерное тело с шестью гранями, а стороны помечены как 4′, 6′ и 8′. Это куб?

Нет, это прямоугольная призма, потому что метки, которые опережают рисунок, имеют разную длину!

Что, если стороны нашего твердого тела равны 4 футам, 4 футам и 4 футам; это куб?

Это куб, потому что на этикетках указано, что ширина, длина и высота одинаковы.

Каков объем куба выше?

Вы записали V = 43?

Вы вычислили V = 64 кубических фута или фут3?

Давайте рассмотрим еще один пример куба со стороной 12 ярдов. Каков его объем?

V = s3

V = 123

V = 1728 кубических ярдов (ярд3)

Как насчет куба с одной гранью площадью 25 см? Каков объем куба?

Во-первых, какова длина любого ребра или стороны куба?

Подумайте: чему равен квадратный корень из 25? Ответ 5, значит:

s = 25 см

s = 5 см

Теперь, когда у вас есть длина стороны, вы можете вычислить объем:

Общая площадь поверхности куба составляет 7 776 квадратных дюймов (in2). Каков объем куба?

Помните, что общая площадь поверхности равна площади всех шести квадратных граней. Разделите общую площадь поверхности на 6, извлеките из нее квадратный корень, затем используйте формулу объема:

7 776 IN26 = 1 296 In2

1 296 IN2 = 36 в

Теперь мы можем рассчитать объем куба:

V = 363

V = 46,656 Кубические дюймы или в 3

Следующий урок:

. Площадь

Как найти объем 3D-объектов (видео)

СтенограммаЧасто задаваемые вопросыПрактика

Привет, ребята! Добро пожаловать в это видео об объемных трехмерных объектах.

Начнем с определения объема. Том — это измерение того, сколько места занимает жидкость или газ, или сколько места жидкость или газ занимают внутри данного объекта.

Возможно, вы этого не знаете, но люди используют объем каждый день. Объем используется для расчета количества выпитого. Количество воды, которое вы можете удержать в чашке, зависит от объема чашки. Есть несколько других способов использования объема.

Теперь давайте посмотрим, как вычислить объем треугольной призмы, прямоугольной призмы, сферы и конуса.

Объем треугольной призмы

Площадь треугольника равна \(A=\frac{1}{2}bh\). {3}\). Важно знать, что при работе с объемом у нас всегда будут кубические единицы, потому что мы умножаем единицы сами на себя в 3 раза.

Объем куба или прямоугольной призмы

Чтобы найти тот же объем куба или прямоугольной призмы, вы будете использовать ту же формулу. Как и в случае с треугольной призмой, вам нужно найти площадь одной стороны, а затем умножить ее на длину. Однако важно знать, что формула, которую вы используете для нахождения площади треугольника, отличается от той же формулы, которую вы используете для нахождения площади квадрата или прямоугольника. Формула площади квадрата и прямоугольника: \(A=b h\). Итак, чтобы найти объем куба или прямоугольной призмы, вы должны найти площадь квадрата или прямоугольника, а затем умножить ее на длину. Что составляет формулу \(V=bhl\).
Вот пример:

Здесь у нас есть куб, который является прямоугольной призмой, но все стороны идеальных квадратов . Поскольку это куб, мы знаем, что все его стороны имеют одинаковое расстояние. Итак, все, что нам нужно сделать, это умножить 10 раз на 3 раза. Это дает нам 1000 кубических метров. Давайте попробуем еще:

Здесь у нас есть прямоугольная призма со сторонами, которые различаются расстоянием. У нас есть основание 12 см, высота 8 см и длина 6 см. Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить эти числа в нашу формулу, и как только мы решим, мы получим 576 см в кубе. 9{3}\). Когда вы сделаете то, что называется доказательством, чтобы доказать, что это и есть формула, а пока мы просто подставим числа в данную формулу.

Сфера имеет диаметр 20 метров. Это вся информация, которая нам нужна для подключения и решения нашего уравнения. Ищем радиус, и мы знаем, что радиус равен половине диаметра, значит, наш радиус равен 10 метрам. Подставив 10 в нашу формулу и решив, мы получим 4188,9 метра в кубе.

9{3}\).

Отличная работа, ребята. Изучение новых формул может быть трудным. Важно продолжать практиковаться, чтобы вы могли распознать, какую формулу вам нужно использовать, и запомнить формулы. Я надеюсь, что это было полезно. Увидимся в следующий раз!

Часто задаваемые вопросы

Q

Как найти объем треугольной призмы?

A

Найдите объем треугольной призмы, умножив площадь основания (треугольной части) на высоту призмы. 93\)

Q

Как найти объем куба?

A

Найдите объем куба, возведя в куб длину его стороны.
В=с ³
Пример. Чему равен объем куба со стороной 7 см?
V = s ³ = 7 ³ = 343 см ³

Q

Как найти объем прямоугольной призмы?

A

Найдите объем прямоугольной призмы, умножив ее длину на ширину и на высоту. 92\)

Практические вопросы

Вопрос №1:

 
Каков объем этой прямоугольной призмы?

112 см ³

153 см ³

198 см ³

220 CM ³

Показать ответ

^{. . Формула объема прямоугольной призмы:
\(V=lwh\)
Длина ( l 93\)
Объем этой прямоугольной призмы равен 220 см 3}

Скрыть Ответ

Вопрос №2:

 
Каков объем сферы радиусом 9 дюймов?

972,29 в ³

2 513,06 в ³

3 052,08 в ³

4,179.14 в ³

Показать

2492.

.

.

9000. 100003

12.

.

98892.

.

. Формула для нахождения объема шара: 93\)
Объем этого конуса равен 113,04 кубических фута.

Скрыть ответ

Вопрос №5:

 
Каков объем этой треугольной призмы?

987 см ³

1,791,5 см ³

1,102,5 см ³

5 355 СМ ³

. . Формула объема треугольной призмы:
\(V=Bh\)
B обозначает площадь основания, которое в данном случае является треугольником. Формула площади треугольника: \(A=\frac{1}{2}bh\). Это можно заменить на B , поэтому формула теперь выглядит так:
\(V=\frac{1}{2}bh_Th\)
Высота треугольника имеет нижний индекс T , чтобы ее можно было отличить от высота призмы. Длина основания ( b ) 15 см. Длина высоты треугольника ( h _T 93\)
Объем этой треугольной призмы равен 1102,5 см ³ .

Скрыть ответ

 

Вернуться к видео по геометрии

163343

Объем куба — формула, определение, решенные примеры

Занятый объем куба определяется как общее количество кубических единиц . Куб — объемная объемная фигура, имеющая 6 квадратных граней. Объем — это не что иное, как общее пространство, занимаемое объектом. Объект большего объема занял бы больше места. Давайте подробно разберемся с объемом куба вместе с формулой и решенными примерами в следующих разделах.

1.	Что такое объем куба?
2.	Объем формулы куба
3.	Как найти объем куба?
4.	Часто задаваемые вопросы о Volume of Cube

Что такое объем куба?

Объем куба — это общее трехмерное пространство, занимаемое кубом. Куб — это трехмерный твердый объект с шестью квадратными гранями, имеющими все стороны одинаковой длины. Куб также известен как правильный шестигранник и является одной из пяти платоновых тел. Единицей объема куба является (единица) ³ или кубических единиц. Единицей объема в СИ является кубический метр (м ³ ), который представляет собой объем, занимаемый кубом, каждая сторона которого равна 1 м. Единицы объема USCS: дюймы ³ , ярды ³ и т. д.

Объем формулы куба

Объем любого куба можно рассчитать по разным формулам на основе заданных параметров. Его можно рассчитать, используя длину стороны или размер диагонали куба.

Объем куба по формуле стороны

Объем куба можно найти, трижды умножив длину ребра. Например, если длина ребра куба равна 4, объем будет равен 4 ³ . Формула для расчета объема куба дается как,
Объем куба = s ³ , где s — длина стороны куба.

Концепцию получения объема формулы куба можно понять, используя следующие шаги:

• Рассмотрим любой квадратный лист бумаги.
• Теперь площадь, покрытая этим квадратным листом, будет равна площади его поверхности, т. е. его длине, умноженной на его ширину. Что касается квадрата, так как длина и ширина равны, площадь поверхности будет «s ² ».
• Куб получается путем складывания нескольких квадратных листов друг на друга так, чтобы высота стала равной длине и ширине, т. е. единицам «s».
• Это дает нам высоту или толщину куба как «s».
• Таким образом, можно сделать вывод, что общее пространство, занимаемое кубом, то есть объем, равно площади основания, умноженной на высоту.

Объем куба с использованием формулы диагонали

Объем куба также можно определить напрямую по другой формуле, если известна диагональ.

Диагональ куба определяется как √3s, где s — длина стороны куба. Из этой формулы мы можем записать «s» как s = диагональ/√3.

Таким образом, объем уравнения куба с использованием диагонали можно окончательно определить как:
Объем куба = (√3×d ³ )/9
где d — длина диагонали куба.

Примечание: Следует избегать распространенной ошибки, не путая диагональ куба с диагональю его грани. Диагональ куба проходит через его центр, как показано на рисунке выше. В то время как диагональ грани — это диагональ на каждой грани куба.

Как найти объем куба?

Объем куба можно легко узнать, зная только длину его ребра или длину его диагонали. В этом разделе будут рассмотрены различные шаги, которые необходимо выполнить для вычисления площади куба в зависимости от заданных параметров.

Объем куба с использованием длины ребра

Меры всех сторон куба одинаковы, поэтому нам нужно знать только одну сторону, чтобы вычислить объем куба. Шаги для вычисления объема куба с использованием длины стороны:

• Шаг 1: Запишите длину стороны куба.
• Шаг 2: Примените формулу для расчета объема с использованием длины стороны: Объем куба = (сторона) ³ .
• Шаг 3: Выразите окончательный ответ вместе с единицей (кубическими единицами), чтобы представить полученный объем.

Пример: Вычислите объем куба со стороной 2 дюйма.

Решение: Объем куба со стороной 2 дюйма будет иметь объем (2 × 2 × 2) = 8 кубических дюймов.

Таким образом, он может вместить в общей сложности 8 кубов по 1 дюйму каждый. То же самое можно понять с помощью данной схемы.

Объем куба с использованием диагонали

Зная диагональ, мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы найти объем данного куба.

• Шаг 1: Обратите внимание на размер диагонали данного куба.
• Шаг 2: Примените формулу для определения объема по диагонали: [√3×(диагональ) ³ ]/9
• Шаг 3: Выразите полученный результат в кубических единицах.

Пример: Вычислите объем куба с диагональю 3 дюйма.

Решение:

Дано: Диагональ = 9 в

Мы знаем, объем куба = [√3×(диагональ) ³ ]/9
⇒ Объем = [√3×(3) ³ ]/9 = 3 × √3 = 3 × 1,732 = 5,196 в ³ .

Важные примечания:

Формулы для нахождения объема куба:

• V = s ³ , где s — длина ребра куба.
• V = √3×d ³ /9, где d — длина диагонали куба.

Задающие вопросы:

• Если стороны двух кубиков 8 дюймов и 12 дюймов, сколько маленьких кубиков может поместиться в больший?
• Почему отношение объемов двух кубов с отношением длин сторон 1:2 будет 1:8?

 

Объем куба Примеры

1. Пример 1: Используя формулу объема куба, рассчитайте длину стороны кубика Рубика, объем которого равен 64 в ³ .

   Решение: Найти: Длина куба (s) = 4 дюйма
   Дано: Объем кубика Рубика = 64 в ³
   Используя формулу объема куба,
   Объем куба = s ³ , где s — длина стороны.

   Ставим значения, получаем,
   ⇒ 64 = (с ³ )
   ⇒ s = (64) ^1/3 = 4 дюйма

   Ответ: Длина стороны кубика Рубика = 4 дюйма

2. Пример 2: Найдите объем куба, если длина его диагонали равна 12 дюймам?

   Решение: Найти: Объем куба
   Дано: диагональ куба = 12 дюймов
   Используя формулу объема куба,
   Объем куба по диагонали:
   Объем куба = (√3×d ³ )/9
   ⇒ Объем данного куба = (√3×12 ³ )/9 = 332,544 в ³

   Ответ: Объем куба = 332,544 в ³

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по объему куба

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о Volume of Cube

Что вы подразумеваете под объемом куба?

Объем куба определяется как общее пространство, ограниченное кубом в трехмерном пространстве. Он представляет собой общее количество кубических единиц, полностью занятых кубом. Объем куба помогает определить вместимость объекта кубической формы.

Как рассчитать объем куба?

Чтобы вычислить объем куба, нам нужно либо измерить длину его стороны, либо длину его диагонали.

• Чтобы найти объем, используя длину стороны куба, мы умножаем сторону трижды.
• Чтобы вычислить объем куба по диагонали, мы можем применить формулу: (√3×d ³ )/9, где d — длина диагонали тела куба.

Какова единица объема куба?

Единицей объема куба является кубическая единица или (единица измерения) ³ . Кроме того, единицей объема в СИ является кубический метр (м ³ ), который представляет собой объем, занимаемый кубом, каждая сторона которого равна 1 м. Некоторые другие важные единицы измерения: кубические футы (футы ³ ), кубические сантиметры (см ³ ), кубические миллиметры (мм ³ ), кубические дюймы (в ³ ), кубические ярды (ярды ³ ), и т.д.

Какая формула объема куба?

Объем куба получается путем трехкратного умножения его стороны. Таким образом, формула объема куба может быть представлена ​​как Объем куба = s ³ , где s — длина стороны куба.

Как найти сторону куба, зная объем?

Объем куба с использованием его стороны рассчитывается как сторона × сторона × сторона или (сторона) ³ . Эту формулу можно изменить, чтобы вычислить длину стороны как сторону = ∛Объем.

Каков объем куба со стороной 1 метр?

Чтобы найти объем куба, мы находим длину стороны куба. Объем куба со стороной 1 метр = (1) ³ м ³ = 1 м ³ . Это значение представляет собой общее пространство, ограниченное данным кубом.

Как найти объем куба с помощью калькулятора?

Объем куба можно легко и быстро определить с помощью калькулятора объема куба. Это онлайн-инструмент, который помогает детям выполнять вычисления с точностью и получать ответы за считанные секунды. Чтобы найти объем куба с помощью калькулятора, нам требовалось достаточно данных или значение определенных параметров, таких как измерение ребра куба. Попробуйте объем калькулятора куба Cuemath и получите ответы одним щелчком мыши.

Проверьте рабочие листы объема кубов, чтобы попрактиковаться.

Как найти объем куба, если известна диагональ?

Чтобы найти объем куба по диагонали, мы можем применить формулу: (√3×d ³ )/9, где d — длина диагонали тела куба. Помните, что эта формула применима, когда дана длина диагонали тела, а не диагонали лица.

Как найти объем куба — Mashup Math

Понимание того, как найти объем куба и как использовать формулу объема куба, является важной и полезной математикой и, чаще геометрией, навыком, который относительно прост и легок в использовании, если вы можете следовать 3 простым шаги, которые будут описаны в этом уроке.

 Это бесплатное пошаговое руководство Как найти объем куба научит вас простому методу нахождения объема куба с помощью формулы объема куба. Изучив этот навык, вы сможете решать любые задачи, требующие нахождения объема куба (или прямоугольного куба) с использованием единиц любого типа.

В этом уроке также используется бесплатный объем калькулятора куба, который можно использовать для быстрого ввода значений и определения объема куба одним щелчком мыши.

Но прежде чем вы изучите 3 шага для нахождения объема куба, мы сделаем быстрый обзор ключевой лексики и определений, связанных с этой темой.

Что такое куб в математике?

Определение: Куб – это трехмерная фигура в форме коробки, которая имеет шесть равных и одинаковых квадратных граней.

Ключевое слово в этом определении равно . В отличие от прямоугольной призмы, все грани куба представляют собой квадраты, длины сторон которых, также известные как ребер , имеют одинаковую длину.

Обратите внимание, что нет никакой разницы между термином куб и прямоугольным кубом . Они оба означают одно и то же!

Каков объем куба?

Определение: Объем куба — это количество единичных кубов, которое потребуется, чтобы полностью заполнить внутри рисунка.

Ключевое слово в определении — внутри , поскольку объем относится к тому, сколько места находится внутри фигуры.

Объем всегда выражается в кубических единицах.

Формула объема куба

Перед тем, как мы решим несколько практических задач, вам необходимо ознакомиться с формулой объема куба, которая гласит, что объем куба равен значению длин сторон, s, приподнятых в третьей степени (также известной как куб).

 Итак, если вы знаете длину одной из сторон (также называемых ребрами), все, что вам нужно сделать, это возвести это значение в третью степень, чтобы найти объем.

 Еще раз помните, что объем измеряется в кубических единицах и что ваш окончательный ответ всегда должен включать эти единицы.

Ссылка на формулу:

Шаг 1: Определите значение s, длину ребра куба

Шаг 2: Подставьте это значение вместо s в формулу объема куба. Найдите объем куба со стороной 4 см.

Чтобы решить эту проблему, мы будем использовать ранее упомянутый трехэтапный процесс:

Шаг 1: 93, или 4x4x4, равно 64, поэтому. ..

Итоговый ответ: Объем куба 64 кубических сантиметра.

Помните, что объем всегда выражается в кубических единицах (в данном примере кубических сантиметрах).

Пример 2. Найдите объем куба

Найдите объем куба высотой 9 дюймов.

В этом примере мы имеем дело с коробкой в ​​форме куба, которая по-прежнему является просто кубом, поэтому мы можем использовать те же три шага, что и в примере № 1, чтобы найти объем:

Шаг 1: Определить объем значение s, длина ребра куба

В этом примере кубическая коробка имеет длину стороны 9 дюймов, поэтому S=9

Шаг 2: Подставьте это значение для s в объем формула куба

Затем замените 9 на s в объеме формулы куба следующим образом 93, или 9x9x9, равно 729, поэтому…

Окончательный ответ: Объем куба 729 кубических дюймов

Как найти объем куба

Вам нужна дополнительная помощь по нахождению объема и площади поверхности куба? Посмотрите наш бесплатный пошаговый видеоурок ниже:

Калькулятор объема куба

Вы ищете бесплатный калькулятор объема куба для быстрого решения задач? Хотя мы рекомендуем научиться решать задачи, не полагаясь на калькулятор, бывают случаи, когда этот инструмент может быть очень полезен (например, когда вам нужно проверить точность своих ответов).

Тест для главного бухгалтера при приеме на работу 2021 (с ответами)

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Mathway | Популярные задачи

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Содержание:

Рассматривая произвольное действительное число

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию 

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу  соответствует значение  называется функцией 

Рассмотрим свойства функции  и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции  является множество всех действительных чисел, так как для любого  существует 

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции 

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции  является промежуток  так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции  расположен в полосе между прямыми  (рис. 74).

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Точки единичной окружности  совпадают для любого  (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. 

Говорят, что число  является периодом функции 

Определение:

Функция  называется периодической функцией с периодом  если для любого значения  из области определения функции числа  также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом  необходимо проверить:

1. принадлежат ли области определения функции числа  если  принадлежит области определения функции;
2. выполняется ли равенство 

Определим, верно ли, что число  является периодом функции 

1. Числа  принадлежат области определения функции, так как 
2. Проверим, выполняется ли равенство  для всех 

Пусть 

Значит, число  не является периодом функции 

Периодом функции  являются числа вида  Число  является наименьшим положительным периодом функции 

Функция  является периодической с наименьшим положительным периодом  (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной  (например,  а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной 

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x  — симметрична относительно нуля. Так как точки  единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого  то ординаты этих точек противоположны, т. е.  (рис. 77). Значит, функция нечетная.

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек  и  равны нулю. Значит,  в точка  (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами 

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках  функция  принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках функция  принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от  (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от  (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции  и промежутки убывания функции 

Функции  возрастает на промежутках  и убывает на промежутках 
Наибольшее значение функции  равно 1 и достигается в точках 

Наименьшее значение функции  равно  и достигается в точках 

На основании проведенного исследования построим график функции  на отрезке от  длина которого равна  т. е. длине периода функции 

На этом периоде функция 

•     равна нулю в точках 
•     достигает значений, равных 1 и -1, соответственно в точках 
•     принимает положительные значения при значениях аргумента от 0 до  а отрицательные — при значениях аргумента от  до 0;
• возрастает от  и убывает от 

На рисунке 81 изображена часть графика функции  на промежутке от 

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции (рис. 82). График функции  называется синусоидой.

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Определите, принадлежит ли графику функции  точка: 

Решение:

а) Подставим в формулу  значение аргумента  найдем соответствующее значение функции 

Полученное значение функции равно ординате точки  значит, точка  принадлежит графику функции 

б)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

в)    При  получим  Точка  принадлежит графику функции 

г)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Решение:

а) Так как область определения функции  все действительные числа, т.е значит,    Таким образом, 

Множеством значений функции  является отрезок  значит,  Тогда по свойству неравенств  Таким образом, 

б)  Поскольку  то по свойству неравенств

 т. е. 

Пример №3

Найдите наибольшее значение функции 

Решение:

Так как  значит,  тогда  Таким образом, имеем:  Наибольшее значение функции  равно 7.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции 

Решение:

Так как число  является наименьшим положительным периодом функции  Тогда:

Пример №5

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции 

Решение:

Так как функция  нечетная, то

 Тогда:

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Решение:

a)  — область определения симметрична относительно нуля;

 значит, функция является нечетной.

 область определения симметрична относительно нуля; 

значит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Решение:

а) Пусть  Нулями функции  являются числа Тогда  значит,  Таким тобразом, числа  являются нулями функции 

б) Пусть    Нулями функции  являются числа  Тогда  значит, 

Таким образом, числа  являются нулями функции 

Пример №8

Определите знак произведения 

Решение:

Так как  то  т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку  на котором функция  принимает отрицательные значения, значит, 

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку  на котором функция  принимает положительные значения, т. е.  Значит, 

Пример №9

Что больше:  или 

Решение. Так как функция  возрастает на промежутке то из того, что следует, что 

Пример №10

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси абсцисс на  влево (рис. 84).

б)    График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).

Свойства и график функции у = sin x презентация, доклад

Слайд 1Текст слайда:

Тема урока:

Свойства и график функции y = sin x.

Учитель математики МБОУ СОШ № 25 г. Крымска Е.В. Малая

10.11.2013

---

Слайд 2Текст слайда:

Определение:

Исследуем свойства функций по плану:

Область значения функции

Периодичность

Четность, нечетность

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

Наибольшее (наименьшее) значение функции

Нули функции

Область определения функции

Функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x называются тригонометрическими функциями.

---

Слайд 3Текст слайда:

х

у

0

0

2π

1

-1

D(у) = (- ∞ ; + ∞ )

Е(у)= [-1; 1]

Область определения. Область значений функции.

Область определения
функции синус ̶ любое
действительное число, т. е.

2) Область значений функции синус ̶ отрезок
от -1 до 1, т. е.

---

Слайд 4Текст слайда:

IV. sin (− х) = − sin х, т. е.

f (− х)= − f (х) функция нечетная

f (х +Т) = f (х –Т) = f (х) Функция периодическая,
T = 2π – наименьший положительный период

Периодичность

III. sin (x +2πn) = sin х, n ϵ Z

Чётность, нечётность

x

y

0

0

M

y

2π

π

-y

x

-x

---

Слайд 5Текст слайда:

Наибольшее и наименьшее значение функции

y > 0 при 0

y > 0 при х ϵ (2πn; π+2πn), n ϵ Z

y

y

у

— π/2

3π/2

2π

х

0

-π

0

π

π/2

при х =

при х = —

1

-1

унаиб. = 1

+ 2πn, n ϵ Z

унаим.= -1

+ 2πn, n ϵ Z

у = 0

πn, n ϵ Z

0

+

Промежутки знакопостоянства

Нули функции

---

Слайд 6Текст слайда:

Промежутки монотонности

у

2

π

х

0

0

π

-π

—

2

π

π

2

3

у 1

у 2

М 1

М 2

Функция возрастает на [ — π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ] , n

Функция убывает на [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ] , n Z

Z

х1

х2

I. х 1

IV х 1

sin х 1

II. х 1

sin х1 > sin х 2

III. х 1 sin х 1 > sin х 2

sin х 1

---

Слайд 7Текст слайда:

Свойства функции у = sin х и ее график

y

x

0

2

π

2

π

—

—

-π

π

2π

-2π

1

-1

D (у) = ( — ; + )
Е (у) = [ -1; 1]
Нули функции: х = πn, n Z
у > 0 при х ( 2πn; π + 2πn), n Z
у унаиб. = 1 при х = π/2 + 2πn , n Z
унаим. = -1 при х = — π/2 + 2πn , n Z

y = sin x

Функция непрерывная

Периодическая

Функция нечетная

Функция возрастает на [ — π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ] , n Z
Функция убывает на [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ] , n Z

---

Слайд 8Текст слайда:

Построение графика функции y = sin x.

---

Слайд 9Текст слайда:

Построение графика функции y = sin x.

---

Слайд 10Текст слайда:

Построение графика функции y = sin x.

---

Слайд 11Текст слайда:

I I I I I I

O

x

y

-1

1

1/2

Найти все корни уравнения sin x = 1/2
принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2.

y = sin x.

Ответ: х = π/6; х = 5π/6

Пример №1

---

Слайд 12Текст слайда:

I I I I I I

O

x

y

-1

1

1/2

Найти все решения неравенства sin x ≥ 1/2
принадлежащих промежутку –3π/2 ≤ х ≤ π .

y = sin x.

Ответ:

Пример №2

---

Скачать презентацию

Функция y = sin x, её свойства и график. 10-й класс

Тип урока: урок введения нового знания.

Педагогическая технология: проблемное обучение.

Формируемые результаты:

• Предметные: формировать умение строить график функции у = sin x, читать график и применять свойства при решении задач.
• Личностные: умение применять решение, применять независимость суждений.
• Метапредметные: формировать умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.

Планируемые результаты: обучающиеся научатся применять свойства функции у = sin x и читать график.

Основные понятия: синусоида, свойства функции у = sin x.

Оборудование: ПК, проектор, Microsoft PowerPoint, презентация «Функция y = sin x, её свойства и график», таблица «Тригонометр».

Ход урока

1. Организационный момент

2. Целеполагание

— «Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.», писал Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862, российский математик, механик). Как вы понимаете эти слова? (Слайд 1)

— Перед вами 4 графика. (Слайд 2)

— Как можно одним словом объединить эти графики? (функции)

— Опишите свойства графиков, представленных на слайде?

— Какие из предложенных графиков функций вам известны?

— Сформулируйте тему урока.

Тема урока: «Функция y = sin x, её свойства и график» (Слайд 3)

— Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже знаем, и чему должны или можем научиться? (учитель вместе с обучающимися формирует цели, записывает их на доске).

— Познакомимся с историей возникновения слова синус (Слайд 4)

Синус (история имени)

Синус (sin) — название тригонометрической функции, появившееся благодаря удивительной цепочке искажений во время переводов математических трактатов. Древние индийские математики называли функцию «полу-тетивой», а затем просто «тетивой» — «джива», так как при геометрическом построении изображение напоминало лук. Арабские математики при знакомстве с трудами индийских коллег не стали переводить слово «джива» на арабский, а просто записали его по буквам. В процессе адаптации, устного использования и пр. оно превратилось в арабское выражение «джайб», которое можно перевести как пазуха, складка, карман, впадина. Когда, в свою очередь, арабские математические трактаты попали к европейским математикам, те перевели джайб на латинский, благо под рукой как раз было изящное слово, обозначающее складку или пазуху на римской тоге — слово sinus. Родственную функцию назвали complementi sinus, дополнительный синус. Позже утвердилось современное сокращение: sin и cos.

3. Планирование работы

— Составим план работы (перечень свойств, которые будут исследоваться).

Обучающиеся записывают план исследования синуса в тетрадях.

План

1. Область определения
2. Область значения
3. Нули функции
4. Промежутки возрастания, убывания функции
5. Промежутки знакопостоянства
6. Четность функции
7. Монотонность функции
8. Наименьшее и наибольшее значение функции

— Какую функцию называют периодической?

— Что такое период?

— Какое число является главным периодом функции  у = sin x?

4. Восприятие, осмысление, первичное закрепление

— Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция у = sin t возрастает на отрезке  и убывает на отрезке ).

— Запишем функцию у = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.

х	0
у	0			1			0

Изучение нового материала (презентация, слайды 5-6).

Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. (Слайды 7–10)

1) D(y) = 

2) E (y) = 

3) функция ограничена и сверху, и снизу

4) унаиб = 1, унаим = -1

5) непрерывная функция

6) нечетная функция
7) возрастает на ; убывает на 

— Стихотворение (отрывок)

И линия эта волною качается,
И синусом график ее называется,
И через период она повторяется,
В периоде трижды она обнуляется,
Она полпериода вверх поднимается,
Придет в единицу и вниз опускается,
И так вдоль абсциссы все время болтается.
В системе, которую создал Декарт.

5. Применение знаний и способов при решении задач

— Постройте график функции (самостоятельно с проверкой, слайды 11-14):

а) у = sin x + 2

б) у = sin x — 1

в) у = sin 

г) у = sin 

—  Решите графически уравнение sin x =  (проверка слайд 15).

6. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях

№  21.5 (1), 21.9 (1)

7. Рефлексия

— Предлагаю оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы?

— Оцените свою работу на уроке. Закончите предложение. (Слайд 17)

Урок –

• заставил задуматься…
• навёл меня на размышления…
• Что нового вы узнали на уроке?
• Что вы считаете нужным запомнить?
• Над чем ещё надо поработать?

Домашняя работа

1. п. 21 (учить свойства функции у = sin x)
2. учебник № 21.6 (1)
3. Построить график функции у = sin (x — )

— Спасибо за урок

Использованные материалы и ресурсы

1. Мерзляк А.Г., и др. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) 10 кл. – М.: «Вентана-Граф», 2017.
2. Мерзляк А.Г., и др. Дидактические материалы к учебнику Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) – М.: «Вентана-Граф», 2017.
3. http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php

Построить график функции у=sin2x и у=sin. График функции y=sin x Задачи на синус для самостоятельного решения

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

• Свойства функции Y=sin(X).
• График функции.
• Как строить график и его масштаб.
• Примеры.

Свойства синуса. Y=sin(X)

Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?

Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)

Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.

4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .

Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).

Построение графика функции синус х, y=sin(x)

Посчитаем значения функции на нашем отрезке:

Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.

Таблица преобразований для формул привидения

Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:

Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.

График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.

Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.

Примеры задач с синусом

1. Решить уравнение sin(x)= x-π

Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π

2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1

Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.

Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.

Задачи на синус для самостоятельного решения

• Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
• Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
• Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . 2/16=1)

Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете

Управление масштабом, цветом линий

Возможность построения графиков по точкам, использование констант

Построение одновременно нескольких графиков функций

Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

«Построение графика функции с модулем» — Y = lnx. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Построение графиков функций. Вопрос классу. Y = x2 – 2x – 3. Проектная деятельность. Урок обобщения и систематизации знаний. График функции. Актуализация знаний о графиках функций. Обобщение. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = f(x).

««Графики функций» 9 класс» — Цели урока. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Нули функции. Определение. Заполните пропуски. Установите соответствие между функцией и вершиной. Тренажер. Выберите уравнение, с помощью которого задана линейная функция. Установите соответствие. Выберите уравнение. Обратная пропорциональность.

«Графики функций с модулями» — Найдём вершину функции. Кубическая функция. Отрицательная сторона. Графики функций. Квадратичная функция. Сложная функция. Функция с модулем. Графики функций надо обязательно уметь строить. Подготовка к ЕГЭ. Графики функций с модулями. Парабола. График функции.

«Уравнение касательной к графику функции» — Производная в точке. Правила дифференцирования. График функции. Алгоритм нахождения уравнения. Ответьте на вопросы. Геометрический смысл производной. Номера из учебника. Уравнение касательной к графику функции. Определение. Касательная к графику функции. Основные формулы дифференцирования. Провести касательную.

«Построение графиков функций» — Построение графика функции y = sinx. Линия тангенсов. Алгебра. Тема: Построение графиков функций. График функции y = sinx. Выполнила: Филиппова Наталья Васильевна учитель математики Белоярская средняя общеобразовательная школа №1. Построить график функции y=sin(x) +cos(x).

«График обратной пропорциональности» — Применение гиперболы. Гипербола. Монотонность функции. Чётность, нечётность. Функция «Обратная пропорциональность». График. Построение графика обратной пропорциональности. Гипербола и космические спутники. Однополостной гиперболоид. Асимптота. Применение гиперболоидов. Определение обратной пропорциональности.

Всего в теме 25 презентаций

Мэтуэй | Популярные задачи

92

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

6.

1 Графики функций синуса и косинуса — предварительный расчет 2e

Цели обучения

В этом разделе вы:

• График вариантов   y=sin(x)y=sin(x)  и y=cos(x)y=cos(x)  .
• Использовать фазовые сдвиги синусоидальных и косинусоидальных кривых.

Рисунок 1 Свет можно разделить на цвета из-за его волнообразных свойств. (кредит: «wonderferret»/Flickr)

Белый свет, такой как свет солнца, на самом деле вовсе не белый. Вместо этого это композиция всех цветов радуги в виде волн. Отдельные цвета можно увидеть, только когда белый свет проходит через оптическую призму, которая разделяет волны в соответствии с их длинами волн, образуя радугу.

Световые волны графически могут быть представлены синусоидальной функцией. В главе о тригонометрических функциях мы рассмотрели тригонометрические функции, такие как функция синуса. В этом разделе мы будем интерпретировать и создавать графики функций синуса и косинуса.

График функций синуса и косинуса

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают действительные числовые значения с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике в координатной плоскости? Начнем с функции синуса. Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице 1 перечислены некоторые значения функции синуса на единичном круге.

хх	00	π6π6	π4π4	π3π3	π2π2	2π32π3	3π43π4	5π65π6	ππ
грех (х) грех (х)	00	1212	2222	3232	11	3232	2222	1212	00

Стол 1

Нанесение точек из таблицы и продолжение вдоль оси x дает форму функции синуса. См. рис. 2.

Рис. 2 Функция синуса

Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, π, которые соответствуют значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между ππ и 2π, 2π , которые соответствуют значениям функции синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. рис. 3.

Рисунок 3 График значений функции синуса

Теперь давайте аналогично посмотрим на функцию косинуса. Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице 2 перечислены некоторые значения функции косинуса на единичном круге.

хх	00	π6π6	π4π4	π3π3	π2π2	2π32π3	3π43π4	5π65π6	№
cos(x)cos(x)	11	3232	2222	1212	00	−12−12	−22−22	−32−32	−1−1

Стол 2

Как и в случае функции синуса, мы можем нанести точки на график функции косинуса, как показано на рис. 4.

Рисунок 4 Функция косинуса

Поскольку мы можем вычислить синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Думая о значениях синуса и косинуса как о координатах точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [−1,1].[−1,1].

На обоих графиках форма графика повторяется через 2π,2π, что означает периодичность функций с периодом 2π,2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенное горизонтальное смещение, P , приводит к функции, равной исходной функции: f(x+P)=f(x)f(x+P)=f(x) для все значения xx в области определения ф.ф. Когда это происходит, мы называем наименьшее такое горизонтальное смещение с P>0P>0 периодом функции. На рис. 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Рисунок 5

Повторный взгляд на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y помогает обнаружить симметрию. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомним из «Других тригонометрических функций», что мы определили по единичному кругу, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что sin(-x)=-sinx.sin(-x)=-sinx. Теперь мы можем ясно увидеть это свойство на графике.

Рисунок 6 Нечетная симметрия синуса

На рис. 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь из графика видно, что cos(−x)=cosx.cos(−x)=cosx.

Рисунок 7 Четная симметрия функции косинуса

Характеристики функций синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют несколько различных характеристик:

• Это периодические функции с периодом 2π,2π.
• Область определения каждой функции — (−∞,∞)(−∞,∞), а диапазон — [−1,1]. [−1,1].
• График y=sinxy=sinx симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
• График y=cosxy=cosx симметричен относительно оси yy, потому что это четная функция.

Исследование синусоидальных функций

Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют правильный период и диапазон. Если мы понаблюдаем за океанскими волнами или рябью на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса. Однако они не обязательно идентичны. Некоторые выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса, известна как синусоидальная функция. Общие формы синусоидальных функций

y=Asin(Bx-C)+Dandy=Acos(Bx-C)+Dy=Asin(Bx-C)+Dandy=Acos(Bx-C)+D

Определение периода синусоидальных функций

Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса. Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

В общей формуле BB связано с периодом соотношением P=2π|B|.P=2π|B|. Если |B|>1,|B|>1, то период меньше 2π2π и функция испытывает горизонтальное сжатие, а если |B|<1,|B|<1, то период больше 2π2π и функция подвергается горизонтальному растяжению. Например, f(x)=sin(x),f(x)=sin(x),B=1,B=1, поэтому период равен 2π,2π, что мы знали. Если f(x)=sin(2x),f(x)=sin(2x), то B=2,B=2, поэтому период равен ππ и график сжимается. Если f(x)=sin(x2),f(x)=sin(x2), то B=12,B=12, поэтому период равен 4π4π и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с |B|.|B|.

Рисунок 8

Период синусоидальных функций

Если положить C=0C=0 и D=0D=0 в общий вид уравнений функций синуса и косинуса, то получим формы

y=Asin(Bx)y=Asin(Bx)

y= Acos(Bx)y=Acos(Bx)

Период равен 2π|B|.2π|B|.

Пример 1

Определение периода функции синуса или косинуса

Определение периода функции f(x)=sin(π6x). f(x)=sin(π6x).

Решение

Начнем со сравнения уравнения с общей формой y=Asin(Bx).y=Asin(Bx).

В данном уравнении B=π6,B=π6, поэтому период будет

P=2π|B|=2ππ6=2π⋅6π=12P=2π|B|=2ππ6=2π⋅6π=12

Попытайся #1

Определить период функции g(x)=cos(x3).g(x)=cos(x3).

Определение амплитуды

Возвращаясь к общей формуле для синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная BB связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной AA, чтобы мы могли проанализировать, как она связана с 9.0934 амплитуда или наибольшее расстояние от покоя. AA представляет собой коэффициент вертикального растяжения, а его абсолютное значение |A||A| это амплитуда. Локальные максимумы будут на расстоянии |A||A| над горизонтальной средней линией графика, которая представляет собой линию y=D;y=D; поскольку в этом случае D=0D=0, средней линией является ось x . Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если |A|>1,|A|>1, функция растягивается. Например, амплитуда f(x)=4sinxf(x)=4sinx вдвое больше амплитуды f(x)=2sinx.f(x)=2sinx. Если |A|<1,|A|<1, функция сжимается. Рисунок 9сравнивает несколько синусоидальных функций с разными амплитудами.

Рисунок 9

Амплитуда синусоидальных функций

Если мы допустим C=0C=0 и D=0D=0 в общей форме уравнений синуса и косинуса, мы получим формы

y=Asin(Bx) и y=Acos(Bx)y=Asin (Bx) и y=Acos(Bx)

Амплитуда равна |A|,|A|, то есть высоте по вертикали от средней линии. Кроме того, обратите внимание, что в примере

|A| = амплитуда = 12|максимум – минимум||A| = амплитуда = 12|максимум – минимум|

Пример 2

Определение амплитуды функции синуса или косинуса

Какова амплитуда синусоидальной функции f(x)=−4sin(x)?f(x)=−4sin(x)? Растянута или сжата функция по вертикали?

Решение

Начнем со сравнения функции с упрощенной формой y=Asin(Bx). y=Asin(Bx).

В заданной функции A=−4,A=−4, поэтому амплитуда равна |A|=|−4|=4.|A|=|−4|=4. Функция растянута.

Анализ

Отрицательное значение AA приводит к отражению по оси x синусоидальной функции, как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Попытайся #2

Какова амплитуда синусоидальной функции f(x)=12sin(x)?f(x)=12sin(x)? Растянута или сжата функция по вертикали?

Анализ графиков вариаций

y = sin x и y = cos x

переменные CC и D.D. Напомним общий вид:

y=Asin(Bx−C)+D и y=Acos(Bx−C)+Dory=Asin(B(x−CB))+D и y=Acos(B(x−CB))+Dy=Asin (Bx−C)+D и y=Acos(Bx−C)+Dory=Asin(B(x−CB))+D и y=Acos(B(x−CB))+D

Значение CBCB для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом или горизонтальным смещением основной функции синуса или косинуса. Если C>0,C>0, график сдвигается вправо. Если C<0,C<0, то график сдвигается влево. Чем больше значение |C|,|C|, тем сильнее сдвигается график. На рис. 11 видно, что график f(x)=sin(x−π)f(x)=sin(x−π) смещается вправо на ππ единиц, что больше, чем мы видим на графике f(x )=sin(x−π4),f(x)=sin(x−π4), что сдвигается вправо на π4π4 единиц.

Рисунок 11

В то время как CC относится к сдвигу по горизонтали, DD указывает сдвиг по вертикали от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции. См. рисунок 12. Функция y=cos(x)+Dy=cos(x)+D имеет среднюю линию в точке y=D.y=D.

Рисунок 12

Любое значение DD, отличное от нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рис. 13 сравнивается f(x)=sin(x)f(x)=sin(x) с f(x)=sin(x)+2,f(x)=sin(x)+2, сдвинутым на 2 единицы вверх на графике.

Рисунок 13

Вариации функций синуса и косинуса

Для заданного уравнения в форме f(x)=Asin(Bx−C)+Df(x)=Asin(Bx−C)+D или f(x)=Acos(Bx−C)+D,f( x)=Acos(Bx-C)+D,CBCB — фазовый сдвиг, DD — вертикальный сдвиг.

Пример 3

Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для f(x)=sin(x+π6)−2.f(x)=sin(x+π6)−2.

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой y=Asin(Bx−C)+D.y=Asin(Bx−C)+D.

Обратите внимание, что в данном уравнении B=1B=1 и C=−π6.C=−π6. Таким образом, фазовый сдвиг составляет

CB=−π61=−π6CB=−π61=−π6

или π6π6 единиц влево.

Анализ

Мы должны обратить внимание на знак в уравнении для общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C.C. Следовательно, f(x)=sin(x+π6)−2f(x)=sin(x+π6)−2 можно переписать как f(x)=sin(x−(−π6))−2.f(x )=sin(x−(−π6))−2. Если значение CC отрицательно, сдвиг происходит влево.

Попытайся #3

Определите направление и величину фазового сдвига для f(x)=3cos(x−π2). f(x)=3cos(x−π2).

Пример 4

Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для f(x)=cos(x)−3.f(x)=cos(x)−3.

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой y=Acos(Bx−C)+D.y=Acos(Bx−C)+D.

В приведенном уравнении D=−3D=−3, поэтому сдвиг равен 3 единицам вниз.

Попытайся #4

Определите направление и величину вертикального смещения для f(x)=3sin(x)+2.f(x)=3sin(x)+2.

Как

Дана синусоидальная функция в виде f(x)=Asin(Bx−C)+D,f(x)=Asin(Bx−C)+D, определить срединную линию, амплитуду, период и фазу сдвиг.

1. Определите амплитуду как |A|.|A|.
2. Определите период как P=2π|B|.P=2π|B|.
3. Определить фазовый сдвиг как CB. CB.
4. Определите среднюю линию как y=D.y=D.

Пример 5

Идентификация вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции y=3sin(2x)+1.y=3sin(2x)+1.

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой y=Asin(Bx−C)+D.y=Asin(Bx−C)+D.

A=3,A=3, поэтому амплитуда |A|=3.|A|=3.

Далее, B=2,B=2, поэтому период равен P=2π|B|=2π2=π.P=2π|B|=2π2=π.

В скобках нет добавленной константы, поэтому C=0C=0, а фазовый сдвиг равен CB=02=0.CB=02=0.

Наконец, D=1,D=1, поэтому средняя линия y=1.y=1.

Анализ

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, π, средняя линия равна y=1, y=1, а амплитуда равна 3. См. рисунок 14.

Рисунок 14

Попытайся #5

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции y=12cos(x3−π3). y=12cos(x3−π3).

Пример 6

Определение уравнения для синусоидальной функции на графике

Определите формулу для функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Решение

Чтобы определить уравнение, нам нужно идентифицировать каждое значение в общем виде синусоидальной функции.

y=Asin(Bx-C)+Dy=Acos(Bx-C)+Dy=Asin(Bx-C)+Dy=Acos(Bx-C)+D

График может представлять синус или функция косинуса, которая сдвигается и/или отражается. Когда x=0,x=0, график имеет крайнюю точку (0,0).(0,0). Поскольку функция косинуса имеет крайнюю точку при x=0,x=0, запишем наше уравнение в терминах функции косинуса.

Начнем со средней линии. Мы видим, что график поднимается и опускается на одинаковое расстояние выше и ниже y=0,5.y=0,5. Это значение, которое является средней линией, является DD в уравнении, поэтому D=0,5.D=0,5.

Наибольшее расстояние выше и ниже средней линии — это амплитуда. Максимумы на 0,5 единицы выше средней линии, а минимумы на 0,5 единицы ниже средней линии. Таким образом, |A|=0,5.|A|=0,5. Другой способ определить амплитуду — это признать, что разница между высотой локальных максимумов и минимумов равна 1, поэтому |A|=12=0,5.|A|=12=0,5. Также на графике отражено около x -ось, так что A=-0,5.A=-0,5.

График не растягивается и не сжимается по горизонтали, поэтому B=1;B=1; и график не смещен по горизонтали, поэтому C=0.C=0.

Собираем все это вместе,

g(x)=-0,5cos(x)+0,5g(x)=-0,5cos(x)+0,5

Попытайся #6

Определите формулу синуса на рисунке 16.

Рисунок 16

Пример 7

Определение уравнения синусоидальной функции по графику

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Решение

При наибольшем значении 1 и наименьшем значении −5,−5 средняя линия будет находиться посередине между значениями −2,−2. Итак, D=−2.D=−2.

Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду |A|=3.|A|=3.

Период графика равен 6, который можно измерить от пика при x=1x=1 до следующего пика при x=7,x=7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, P=2π|B|=6.P=2π|B|=6. Используя положительное значение для B, B, мы находим, что

B=2πP=2π6=π3B=2πP=2π6=π3

На данный момент наше уравнение имеет вид либо y=3sin(π3x−C)−2y=3sin(π3x−C)−2, либо y=3cos(π3x− С)−2.y=3cos(π3x−C)−2. Для формы и сдвига у нас есть более одного варианта. Мы могли бы записать это как любое из следующего:

• косинус сдвинулся вправо
• отрицательный косинус сдвинут влево
• синус смещен влево
• отрицательный синус смещен вправо

Хотя любое из этих значений было бы правильным, в данном случае с косинусными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными, поскольку они включают целые числа. Итак, наша функция становится

y=3cos(π3x−π3)−2 или y=−3cos(π3x+2π3)−2y=3cos(π3x−π3)−2 или y=−3cos(π3x+2π3)−2

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попытайся #7

Напишите формулу функции, изображенной на рисунке 18.

Рисунок 18

Графические вариации

y = sin x и y = cos x

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общей формы

y=Asin(Bx−C)+D и y=Acos(Bx−C)+D,y=Asin(Bx−C)+D и y=Acos(Bx−C)+D,

мы примем C=0C=0 и D=0D=0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Как

Для заданной функции y=Asin(Bx),y=Asin(Bx) нарисуйте ее график.

1. Определите амплитуду |A|. |A|.
2. Определите период, P=2π|B|.P=2π|B|.
3. Начните с исходной точки, при этом функция увеличивается вправо, если значение AA положительное, или уменьшается, если значение AA отрицательное.
4. При x=π2|B|x=π2|B| существует локальный максимум для A>0A>0 или минимум для A<0,A<0, при y=A.y=A.
5. Кривая возвращается к оси x в точке x=π|B|.x=π|B|.
6. Существует локальный минимум для A>0A>0 (максимум для A<0A<0 ) при x=3π2|B|x=3π2|B| с y=–A.y=–A.
7. Кривая снова возвращается к оси x в точке x=2π|B|.x=2π|B|.

Пример 8

График функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график функции f(x)=−2sin(πx2).f(x)=−2sin(πx2).

Решение

Начнем со сравнения уравнения с формой y=Asin(Bx).y=Asin(Bx).

Четверть очков включает минимум при x=1x=1 и максимум при x=3. x=3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x=1,x=1, а локальный максимум будет на 2 единицы выше средней линии при x=3.x=3. На рис. 19 показан график функции .

Рисунок 19

Попытайся #8

Нарисуйте график зависимости g(x)=−0,8cos(2x).g(x)=−0,8cos(2x). Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Как

Дана синусоидальная функция со сдвигом по фазе и по вертикали, нарисуйте ее график.

1. Выразите функцию в общем виде y=Asin(Bx−C)+D или y=Acos(Bx−C)+D.y=Asin(Bx−C)+D или y=Acos(Bx−C) + Д.
2. Определите амплитуду |A|.|A|.
3. Определите период, P=2π|B|.P=2π|B|.
4. Определите фазовый сдвиг, CB.CB.
5. Нарисуйте график функции f(x)=Asin(Bx)f(x)=Asin(Bx), сдвинутой вправо или влево на CBCB и вверх или вниз на D.D.

Пример 9

Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте график функции f(x)=3sin(π4x−π4). f(x)=3sin(π4x−π4).

Решение

• Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: f(x)=3sin(π4x−π4).f(x)=3sin(π4x−π4). Этот график будет иметь форму синусоидальной функции, начиная со средней линии и увеличиваясь вправо.
• Шаг 2. |А|=|3|=3.|А|=|3|=3. Амплитуда 3.
• Шаг 3. Поскольку |B|=|π4|=π4,|B|=|π4|=π4, период определяется следующим образом.

  P=2π|B|=2ππ4=2π⋅4π=8P=2π|B|=2ππ4=2π⋅4π=8

  Период равен 8.

• Шаг 4. Поскольку C=π4,C=π4, фазовый сдвиг равен

  CB=π4π4=1.CB=π4π4=1.

  Фазовый сдвиг составляет 1 единицу.

• Шаг 5. На рис. 20 показан график функции.

  Рисунок 20 Горизонтально сжатая, вертикально растянутая и сдвинутая по горизонтали синусоида

Попытайся #9

Нарисуйте график зависимости g(x)=−2cos(π3x+π6).g(x)=−2cos(π3x+π6). Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Пример 10

Определение свойств синусоидальной функции

Учитывая y=−2cos(π2x+π)+3,y=−2cos(π2x+π)+3, определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг. Затем постройте график функции.

Решение

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в примере 9. уже написано в общем виде.

Шаг 2. Поскольку A=−2,A=−2, амплитуда равна |A|=2.|A|=2.

Шаг 3. |B|=π2,|B|=π2, поэтому период равен P=2π|B|=2ππ2=2π⋅2π=4. P=2π|B|=2ππ2=2π⋅2π= 4. Период 4.

Шаг 4. C=−π,C=−π, поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как CB=−π,π2=−π⋅2π=−2.CB=−π,π2=−π⋅2π= −2. Фазовый сдвиг составляет -2.-2.

Шаг 5. D=3,D=3, поэтому средняя линия y=3, y=3, , а вертикальное смещение равно 3.

Поскольку AA отрицательное значение, график функции косинуса отражается относительно оси x .

На рис. 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21

Использование преобразования функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение можно моделировать с помощью функции синуса или косинуса.

Пример 11

Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается вокруг окружности радиусом 3 с центром в начале координат. Нарисуйте график y -координата точки как функция угла поворота.

Решение

Напомним, что для точки на окружности радиусом r y -координата точки равна y=rsin(x),y=rsin(x), поэтому в этом случае мы получаем уравнение y(x)=3sin(x).y(x)=3sin(x). Константа 3 вызывает вертикальное растяжение y -значений функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π;2π; по мере движения по окружности мы возвращаемся в точку (3,0)(3,0) для x=2π,4π,6π,…x=2π,4π,6π,… Поскольку выходы график теперь будет колебаться между –3–3 и 3,3, амплитуда синусоиды равна 3,3.

Попытайся #10

Какова амплитуда функции f(x)=7cos(x)?f(x)=7cos(x)? Нарисуйте график этой функции.

Пример 12

Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг радиусом 3 фута установлен так, что его центр находится на расстоянии 4 фута от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рис. 23. Нарисуйте график высоты над землей точки PP при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Решение

Зарисовывая высоту, мы отмечаем, что она начинается с 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые облегчили бы использование одной функции по сравнению с другой. Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут вверх на 4 по вертикали. Объединив эти преобразования, мы находим, что

y=−3cos(x)+4y=−3cos (х)+4

Попытайся #11

Груз прикреплен к пружине, которую затем подвешивают к доске, как показано на рис. 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение yy груза относительно доски колеблется в пределах –1–1 дюйм ( в момент времени x=0)x=0) до –7–7 дюймов (в момент времени x=π)x=π) ниже доски. Предположим, что положение yy задано как синусоидальная функция x.x. Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает позицию yy через x. x.

Рисунок 25

Пример 13

Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся с платформы на высоте 2 метра над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

Решение

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Посадка пассажиров на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен располагаться на высоте 67,5+2=69,567,5+2=69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебаний будет на высоте 69,5 м.

Колесу требуется 30 минут, чтобы совершить 1 оборот, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, поскольку райдер садится в самую нижнюю точку, высота начинается с наименьшего значения и увеличивается в соответствии с формой вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

• Амплитуда: 67,5,67,5, поэтому A=67,5A=67,5
• Средняя линия: 69,5,69,5, поэтому D=69,5D=69,5
• Период: 30,30, поэтому B=2π30=π15B=2π30=π15
• Форма: −cos(t)−cos(t)

Уравнение для роста всадника будет следующим:

y=-67,5cos(π15t)+69,5y=-67,5cos(π15t)+69,5

, где tt выражается в минутах, а yy измеряется в метрах.

6.1 Секционные упражнения

Устный

1.

Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

2.

Как выглядит график y=sinxy=sinx сравните с графиком y=cosx?y=cosx? Объясните, как можно горизонтально перевести график y=sinxy=sinx. чтобы получить y=cosx.y=cosx.

3.

Для уравнения Acos(Bx+C)+D,Acos(Bx+C)+D, какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон?

4.

Как диапазон переведенной синусоидальной функции соотносится с уравнением y=Asin(Bx+C)+D?y=Asin(Bx+C)+D?

5.

Как можно использовать единичный круг для построения графика функции f(t)=sint?f(t)=sint?

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте два полных периода каждой функции и укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x за один период для x>0.x>0. При необходимости округлить ответы до двух знаков после запятой.

6.

f(x)=2sinxf(x)=2sinx

7.

f(x)=23cosxf(x)=23cosx

8.

f(x)=−3sinxf(x)=−3sinx

9.

f(x)=4sinxf(x)=4sinx

10.

f(x)=2cosxf(x)=2cosx

11.

f(x)=cos(2x)f(x)=cos(2x)

12.

f(x)=2sin(12x)f(x)=2sin(12x)

13.

f(x)=4cos(πx)f(x)=4cos(πx)

14.

f(x)=3cos(65x)f(x)=3cos(65x)

15.

у=3sin(8(x+4))+5y=3sin(8(x+4))+5

16.

у=2sin(3x−21)+4y=2sin(3x−21)+4

17.

у=5sin(5x+20)−2y=5sin(5x+20)−2

Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с x=0.x=0. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x за один период для x>0.x>0. Укажите фазовый сдвиг и вертикальное смещение, если применимо. При необходимости округлить ответы до двух знаков после запятой.

18.

f(t)=2sin(t−5π6)f(t)=2sin(t−5π6)

19.

f(t)=−cos(t+π3)+1f(t)=−cos(t+π3)+1

20.

f(t)=4cos(2(t+π4))−3f(t)=4cos(2(t+π4))−3

21.

f(t)=−sin(12t+5π3)f(t)=−sin(12t+5π3)

22.

f(x)=4sin(π2(x−3))+7f(x)=4sin(π2(x−3))+7

23.

Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее функцию синуса, для графика, показанного на рис. 26.

Рисунок 26

24.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

Рисунок 27

25.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.

Рисунок 28

26.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рис. 29..

Рисунок 29

27.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

Рисунок 30

28.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.

Рисунок 31

29.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рис. 32.

Рисунок 32

30.

Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусоидой для графика, показанного на рисунке 33.

Рисунок 33

Алгебраический

Для следующих упражнений пусть f(x)=sinx. f(x)=sinx.

31.

На [0,2π),[0,2π) решить f(x)=0.f(x)=0.

32.

На [0,2π),[0,2π) решить f(x)=12.f(x)=12.

33.

Вычислить f(π2).f(π2).

34.

О [0,2π),f(x)=22.[0,2π),f(x)=22. Найдите все значения x.x.

35.

На [0,2π),[0,2π) максимальное значение(я) функции возникает(я) при каком x -значении?

36.

На [0,2π),[0,2π) минимальное значение(я) функции встречается(ются) при каком x -значении?

37.

Покажите, что f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x). Это означает, что f(x)=sinxf(x)=sinx является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________.

Для следующих упражнений пусть f(x)=cosx. f(x)=cosx.

38.

На [0,2π),[0,2π) решить уравнение f(x)=cosx=0.f(x)=cosx=0.

39.

На [0,2π),[0,2π) решить f(x)=12.f(x)=12.

40.

На [0,2π),[0,2π) найти x -пересечений f(x)=cosx.f(x)=cosx.

41.

На [0,2π),[0,2π) найти x значений, при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

42.

На [0,2π),[0,2π) решить уравнение f(x)=32.f(x)=32.

Технология

43.

График h(x)=x+sinxh(x)=x+sinx на [0,2π].[0,2π]. Объясните, почему график выглядит именно так.

44.

График h(x)=x+sinxh(x)=x+sinx на [−100,100].[−100,100]. Получился ли график таким, как предсказано в предыдущем упражнении?

45.

Постройте график f(x)=xsinxf(x)=xsinx на [0,2π][0,2π] и объясните, как график отличается от графика f(x)=sinx.f(x)=sinx.

46.

Постройте график f(x)=xsinxf(x)=xsinx в окне [−10,10][−10,10] и объясните, что показывает график.

47.

Постройте график f(x)=sinxxf(x)=sinxx в окне [−5π,5π][−5π,5π] и объясните, что показывает график.

Реальные приложения

48.

Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и садится на платформу, которая находится на высоте 1 метр над землей. Шесть часов на колесе обозрения находятся на одном уровне с грузовой платформой. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h(t)h(t) дает рост человека в метрах над землей t минут после начала вращения колеса.

1. ⓐ Найдите амплитуду, среднюю линию и период h(t).h(t).
2. ⓑ Найдите формулу для функции высоты h(t). h(t).
3. ⓒ На какой высоте находится человек над землей через 5 минут?

Обратный синус — формула, область и диапазон, график, свойства

Обратный синус — одна из обратных тригонометрических функций, записывается как sin ^-1 x и читается как « sin inverse x «. Он также записывается как arcsin(x) (читается как ‘арксинус x’). Обратите внимание, что sin ^-1 x (sin, обратный x) – это не то же самое, что (sin x) ^-1 ( обратная величина sin x, которая равна csc x. У нас есть 6 обратных тригонометрических функций, таких как:

• arcsin x = sin ^-1 x = обратная функция sin x
• arccos x = cos ^-1 x = инверсия cos x
• arctan x = тангенс ^-1 x = обратный тангенсу x
• arccsc х = csc ^-1 x = инверсия csc x
• угловых секунд x = ^-1 x = обратное значение секунды x
• arccot ​​x = кроватка ^-1 x = инверсия кроватки x

Здесь мы подробно изучим функцию обратного синуса (sin inverse), а также ее график, область определения, диапазон и свойства. Кроме того, мы изучим формулы, производные и интеграл от греха, обратного х, а также несколько решенных примеров для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое обратный синус?
2.	Инверсия греха x Формула
3.	Домен и диапазон обратного синуса
4.	Грех, обратный график
5.	шага, чтобы найти инверсию греха x
6.	Свойства обратного синуса
7.	Производная обратного синуса
8.	Интеграл обратного синуса
9.	Часто задаваемые вопросы об обратном синусе

Что такое арксинус?

Функция обратного синуса является обратной функцией синуса и, таким образом, является одной из обратных тригонометрических функций. Она также известна как функция арксинуса, которая произносится как «арксинус». Математически это записывается как «asin x» (или) «sin ^-1 x» или «arcsin x». Мы читаем «sin ^-1 x» как «sin, обратный x». Мы знаем, что если две функции f и f ^-1 являются обратными друг другу, то f(x) = y ⇒ x = f ^-1 (y).Таким образом, sin x = y ⇒ x = sin ^-1 (y) , т. е. когда «sin» перемещается с одной стороны на другую На стороне уравнения получается sin ^-1 . Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как работает функция обратного синуса:

Примеры обратного синуса

• sin 0 = 0 ⇒ 0 = sin ^-1 (0)
• грех π/2 = 1 ⇒ π/2 = грех ^-1 (1)
• sin π/6 = 0,5 ⇒ π/6 = sin ^-1 (0,5)

Инверсия греха x Формула

В прямоугольном треугольнике синус угла (θ) равен отношению его противолежащего катета к гипотенузе. т. е. sin θ = (противоположная сторона) / (гипотенуза). Тогда по определению арксинуса θ = sin ^-1 [(противоположная сторона)/(гипотенуза)] . Как показано на изображении ниже, чтобы найти меру угла θ, мы используем формулу sin, обратную x, которая определяется как θ = arcsin[(противоположная сторона)/(гипотенуза)]. Обратный синус дает меру угла для соответствующего значения функции синуса, так что угол лежит в диапазоне обратного синуса (мы обсудим область и диапазон обратного синуса в следующем разделе).

Таким образом, функция обратного синуса используется для нахождения угла в прямоугольном треугольнике, когда известны противолежащая сторона и гипотенуза. Кроме того, его можно использовать для нахождения неизвестных углов в любом треугольнике с помощью закона синусов. В треугольнике ABC, если AB = c, BC = a и CA = b, то по закону синусов

(sin A) / a = (sin B) / b

Отсюда

sin A = (a sin B) / b

A = sin ^-1 [ (a sin B) / b ]

Точно так же мы можем найти другие углы треугольника.

Домен и диапазон обратного синуса

В этом разделе давайте посмотрим, как мы можем найти область определения и диапазон функции обратного синуса. Мы знаем, что функция синуса является функцией из R → [-1, 1]. Но функция синуса НЕ является взаимно однозначной в области R, и, следовательно, ее обратная функция не существует. Чтобы синусоидальная функция была взаимно однозначной, ее область определения можно ограничить одним из интервалов [-3π/2, -π/2], [-π/2, π/2], [π/2, 3π/ 2] и т. д. Каждому из этих интервалов соответствует ветвь обратного синуса. Но область определения синусоидальной функции обычно ограничивается [-π/2, π/2], чтобы сделать ее однозначной. Ветвь обратной функции синуса, когда область определения функции синуса равна [-π/2, π/2], называется ветвью главного значения.

Мы знаем, что обратная функция существует тогда и только тогда, когда она биективна, а область определения и область значений функции меняются местами, чтобы быть областью значений и областью определения ее обратной функции соответственно. Следовательно,

• область sin, обратная x, равна [-1, 1]
• диапазон sin, обратный x, равен [-π/2, π/2] .

т. е. arcsin x (или) sin ^-1 x : [-1, 1] → [-π/2, π/2]

Грех, обратный график

г.

График функции обратного синуса с диапазоном значений главной ветви [-π/2, π/2] можно построить с помощью следующей таблицы. Здесь мы выбрали случайные значения для x в области sin, обратного x, что равно [-1, 1]. Мы знаем значения функции синуса, используя тригонометрическую таблицу и используя функционирование обратной функции синуса, мы имеем следующую таблицу.

х	у = sin -1 х
-1	sin -1 (-1) = -sin -1 (1) = -π/2
-0,5	sin -1 (-0,5) = -sin -1 (0,5) = -π/6
0	грех -1 (0) = 0
0,5	sin -1 (0,5) = π/6
1	грех -1 (1) = π/2

Нанеся эти точки на график, мы получим график обратного синуса.

шагов, чтобы найти инверсию греха x

Вот шаги, чтобы найти sin, обратный x.

• Поскольку диапазон sin, обратный x, равен [-π/2, π/2], ответ должен лежать в этом интервале.
• Предположим, что y = sin ^-1 x. Тогда по определению обратного синуса sin y = x.
• Подумайте, какое значение y в интервале [-π/2, π/2] удовлетворяет уравнению sin y = x, и это ответ.

Вот несколько примеров для понимания этих шагов.

Примеры нахождения sin, обратного x

Обратите внимание, что sin ^-1 x всегда должен давать некоторый угол, лежащий в интервале [-π/2, π/2].

• sin ^-1 (1) = π/2, поскольку sin π/2 = 1
• sin ^-1 (-1) = -π/2 как sin (-π/2) = -1
• sin ^-1 (-0,5) = -π/6 как sin (-π/6) = -0,5

Свойства функции обратного синуса

г.

Вот некоторые свойства/формулы обратного синуса. Они очень полезны при решении задач, связанных с обратным грехом в тригонометрии.

• sin(sin ^-1 x) = x только тогда, когда x ∈ [-1, 1]
  ([Когда x ∉ [-1, 1], sin(sin ^-1 x) НЕ определен)
• sin ^-1 (sin x) = x, только когда x ∈ [-π/2, π/2]. Чтобы узнать, как вычислить sin ^-1 (sin x), когда x ∉ [-π/2, π/2], нажмите здесь.
• грех ^-1 (-x) = -sin ^-1 x, когда x ∈ [-1, 1]
• sin ^-1 (1/x) = csc ^-1 x, когда |x| ≥ 1
• sin ^-1 x + cos ^-1 x = π/2, когда x ∈ [-1, 1]
• sin ^-1 (2x √1 — x²) = 2 sin ^-1 x, когда -1/√2 ≤ x ≤ 1/√2 и
  sin ^-1 (2x √1 — x²) = 2 cos ^-1 x, когда 1/√2 ≤ x ≤ 1

Производная обратного синуса

Найдем производную от y = sin ^-1 x. По определению обратного синуса y = sin ^-1 x можно записать как sin y = x. Дифференцируя это с обеих сторон по x с помощью цепного правила,

cos y (dy/dx) = 1

dy/dx = 1/cos y … (1)

Теперь у нас есть sin ² y + cos ² y = 1 ⇒ cos ² y = 1 — sin ² y ⇒ cos y = √1 — sin²y = √1 — x²

Подставляя это в (1), 90 dy дх = 1/√1 — х²

Таким образом, производная обратного синуса (или) производная от синуса, обратная х, равна 1/√1 — x².

Интеграл обратного синуса

Найдем ∫ sin ^-1 x dx с помощью интегрирования по частям. Для этого запишем приведенный выше интеграл в виде

∫ sin ^-1 x · 1 dx

. Используя LIATE, f(x) = sin ^-1 x и g(x) = 1.

Интегрируя по части,

∫f(x) . g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx − ∫(f′(x) ∫g(x) dx) dx + C

∫ sin ^-1 x · 1 dx = sin ^-1 x ∫1 dx — ∫ [d/dx(sin ^-1 x) ∫x dx] + C

∫ sin ^{-1 x dx = sin -1 x (x) — ∫ [1/√1 — x²] x dx + C}

Вычислим интеграл в правой части методом u-подстановки. Для этого предположим, что 1 — х ² = и. Отсюда -2x dx = du (или) x dx = -1/2 du.

∫ sin ^-1 x dx = x sin ^-1 x — ∫(1/√u) (-1/2) du + C

= x sin ^-1 x + 1/2 ∫u ^-1/2 du + C

= x sin ^-1 x + (1/2) (u ^1/2 /(1/2)) + C

= x sin ^-1 x + √u + C

= x sin ^-1 x + √(1 — x²) + C

Следовательно, ∫ sin ^-1 x dx = x sin ^{— 1} x + √1 — x² + C.

Важные примечания по Sin Inverse:

• Обратный синус можно записать как sin ^-1 (или) arcsin (или) asin, и это функция с доменом [-1, 1] и диапазон [-π/2, π/2].
• Обратный sin НЕ совпадает с (sin x) ^-1 как (sin x) ^-1 = 1/(sin x) = csc x.
• sin(sin ^-1 x) НЕ всегда x. sin(sin ^-1 x) = x только тогда, когда x ∈ [-1, 1].
• sin ^-1 (sin x) НЕ всегда x. sin ^-1 (sin x) = x только тогда, когда x ∈ [-π/2, π/2].

☛ Похожие темы:

• Закон синусов
• грех кост загар
• Тригонометрическая таблица
• Калькулятор обратного синуса
• Тригонометрические функции

Часто задаваемые вопросы об обратном синусе

Что такое Sin, обратный x в тригонометрии?

Синус, обратный x, является обратной функцией синуса. т. е. если y = sin x, то x = sin ^-1 (y). Здесь sin ^-1 является обратной функцией синуса.

Как найти арксинус x?

Чтобы найти арксинус любого числа, просто посмотрите, какой угол синуса дает это число. Например, грех ^-1 (1/√2) = π/4, поскольку sin π/4 = 1/√2. Но убедитесь, что угол лежит в интервале [-π/2, π/2], так как диапазон обратного греха равен [-π/2, π/2].

Какой Sin обратный 1?

Мы знаем, что sin π/2 = 1. Тогда по определению обратного синуса sin ^-1 (1) = π/2. т. е. значение обратного синуса 1 равно π/2.

Что такое обратное значение домена и диапазона греха?

Мы знаем, что функция имеет обратную, если она биективна, но функция синуса не является однозначно-единичной, если ее область определения равна R. Итак, мы ограничиваем ее область определения до [–π/2, π/2], чтобы сделать ее однозначной. один, а его диапазон равен [–1, 1]. Область определения и область значений функции меняются местами, чтобы быть областью значений и областью определения ее обратной функции соответственно. Следовательно,

• область определения sin, обратная x, равна [-1, 1]
• диапазон sin, обратный x, равен [-π/2, π/2].

Инверсия синуса Csc?

Нет, инверсия синуса не косесек. На самом деле, функция, обратная синусу, это sin ^-1 (или) функция arcsin. Но обратите внимание, что (sin x) ^-1 = 1/(sin x) = csc x является обратной величиной синуса, но не обратной синусоидальной функцией.

Как написать обратный синус?

Обратный синус x записывается одним из следующих способов:

• арксинус (х)
• асин (х)
• грех ^-1 х

Что такое арксинус числа 1/2?

Мы знаем, что sin (π/6) = 1/2, и, используя определение sin, обратное x, мы имеем sin ^-1 (1/2) = π/6, которое лежит в интервале [-π/2, π/2].

Почему мы используем функцию обратного синуса?

Функция обратного синуса используется для нахождения углов в прямоугольном треугольнике, когда известны его противоположная сторона и гипотенуза. т. е. угол = sin ^-1 (сторона, противоположная углу/гипотенузе).

Что такое производная от Sin, обратная x?

Производная sin ^-1 x равна 1/√1 — x². Математически это записывается как d/dx(sin ^-1 x) = 1/√1 — x² (или) (sin ^-1 x)’ = 1/√1 — x².

Что такое интеграл обратного синуса?

Интеграл sin ^-1 x is x sin ^-1 x + √1 — x² + C. Математически он записывается как ∫ sin ^-1 x dx = x sin ^{-1 9{−1}}\) и определить их графики.}

Напомним, что функция — это правило, которое назначает один объект y из одного набора (диапазон ) каждому объекту x из другого набора (домен ). Мы можем записать это правило как y = f ( x ), где f — функция (см. рис. 1). Существует простое вертикальное правило для определения того, является ли правило y = f ( x ) является функцией: f является функцией тогда и только тогда, когда каждая вертикальная линия пересекает график y = f ( x ) в координатной плоскости xy в чаще всего один раз (см. рис. 2).

Напомним, что функция f равна взаимно однозначному (часто записывается как 1−1), если она присваивает различные значения y различным значениям x . Другими словами, если x ₁ \(\ne\) x ₂ , затем f ( x ₁ ) \(\ne\) f ( x ₂ ). Эквивалентно, F -это один-один, если F ( x ₁ ) = F ( x ₂ ). Существует простое горизонтальное правило для определения того, является ли функция y = f ( x ) однозначной: f взаимно однозначно тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график y = f ( x ) в координатной плоскости xy не более одного раза (см. рис. 3).

Если функция f взаимно однозначна в своей области определения, то f имеет обратную функцию , обозначаемую f ⁻¹ , такую, что ) тогда и только тогда, когда f ⁻¹ ( y ) = х . Домен f ⁻¹ представляет собой диапазон f .

Основная идея состоит в том, что f ⁻¹ «отменяет» то, что делает f, и наоборот. Другими словами, f ⁻¹ ( f ( x )) = x для всех x в области f , и f ( f ⁻¹ ( y )) = y для всех y в диапазоне f .

Из их графиков мы знаем, что ни одна из тригонометрических функций не является взаимно однозначной во всей своей области определения. Однако мы можем ограничить эти функции 92 473 подмножествами 90 926 их доменов, где они 92 473 являются 90 926 взаимно однозначными. Например, y = sin x взаимно однозначно на интервале \(\left[−\frac{π}{2}, \frac{π}{2} \right]\), как на графике ниже:

{-1} x) = x \text{ for } −1 ≤ x ≤ 1 \; \; \; \; (2)$$

Пример 1

Найти sin ⁻¹ \(\left(sin \frac{π}{4}\right)\).

Решение : Поскольку \(−\frac{π}{2} ≤ \frac{π}{4} ≤ \frac{π}{2}\), мы знаем, что sin ⁻¹ \(\ left(sin \frac{π}{4}\right)\) = \(\boxed{\frac{π}{4}}\), по формуле (1).

Пример 2

Найти sin ⁻¹ \(\left(sin \frac{5π}{4}\right)\).

Решение 909:35 : Поскольку \(\frac{5π}{4} > \frac{π}{2}\), мы не можем использовать формулу (1). Но мы знаем, что sin \(\frac{5π}{4} = −\frac{1}{\sqrt{2}}\). Таким образом, sin ⁻¹ sin \(\left(sin \frac{5π}{4}\right)\) = sin ⁻¹ \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) по определению представляет собой угол y такой, что \(−\frac{π}{2} ≤ y ≤ \frac{π}{2}\) и sin y = −\( \frac{1}{\sqrt{2}}\). Этот угол равен y = \(−\frac{π}{4}\), поскольку

$$sin \left(−\frac{π}{2}\right) = −sin \left(\frac {π}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 9{−1}}\) на калькуляторе. Вместо угла от 0º до 360º (т.е. от 0 до 2π радиан) мы получили угол от −90º до 90º (т.е. от \(−\frac{π}{2}\) до \(\frac{π}{2} \) радианы).

В общем случае график обратной функции f ⁻¹ является отражением графика f вокруг линии y = x . График y = sin ⁻¹ x показан на рисунке 5. Обратите внимание на симметрию относительно линии y = x с графиком y = sin x .

Функция арккосинуса y = cos ⁻¹ x (иногда называемая арккосинусом и обозначаемая как y = arccos x ) может быть определена аналогичным образом. Функция y = cos x взаимно однозначна на интервале [0, π ], как мы видим на графике ниже:

Таким образом, y = cos ^{−1 9{-1} x) = x \text{ for } −1 ≤ x ≤ 1 \; \; \; \; (4)$$}

График y = cos ⁻¹ x показан ниже на рисунке 9. Обратите внимание на симметрию относительно линии y = x с графиком y = потому что х .

Пример 3

Найдите cos ⁻¹ \(\left(cos \frac{π}{3}\right)\).

Решение : Поскольку 0 ≤ \(\frac{π}{3}\) ≤ π , мы знаем, что cos ⁻¹ \(\left(cos \frac{π}{3}\right)\) = \(\boxed{\frac{π}{3}}\), по формуле (3).

Пример 4

Найдите cos ⁻¹ \(\left(cos \frac{4π}{3}\right)\).

Решение : Поскольку \(\frac{4π}{3}\) > π , мы не можем использовать формулу (3). Но мы знаем, что cos \(\frac{4π}{3}\) = −\(\frac{1}{2}\). Таким образом, cos ⁻¹ \(\left(cos \frac{4π}{3}\right)\) = cos ⁻¹ \(\left(−cos \frac{1}{2}\right) \) есть, по определению, угол y такое, что 0 ≤ y ≤ π и cos y = −\(\frac{1}{2}\). Этот угол равен y = \(\frac{2π}{3}\) (т.е. 120º). Таким образом, \(\left(cos \frac{4π}{3}\right)\) = \(\frac{2π}{3}\)

общее правило для обратных функций: f ⁻¹ ( f ( x )) = x для всех x в области f . Но это правило применяется только тогда, когда функция f один к одному по всему домену . Нам пришлось ограничить функции синуса и косинуса очень маленькими подмножествами всех их областей, чтобы эти функции были тождественными. Таким образом, это общее правило справедливо только для x в этих небольших подмножествах в случае арксинуса и арккосинуса.

Функция арктангенса y = tan ⁻¹ x (иногда называется арктангенсом и обозначается цифрой y = arctg x ) можно определить аналогично. Функция y = tan x взаимно однозначна на интервале \(\left(−\frac{π}{2}, \frac{π}{2} \right)\), так как мы см. на рис. 8:

График y = tan ⁻¹ x показан ниже на рис. = тангенс ⁻¹ x . Обратите также внимание на симметрию относительно линии 9{-1} x) = x \text{ for } \text{all real }x \; \; \; \; (6)$$

Пример 5

Найдите тангенс ⁻¹ \(\left(tan \frac{π}{4}\right)\).

Решение : Поскольку \(−\frac{π}{2} ≤ \frac{π}{4} ≤ \frac{π}{2}\), мы знаем, что tan ⁻¹ \(\ left(tan \frac{π}{4}\right)\) = \(\frac{π}{4}\), по формуле (5). 2}\). Таким образом, загар 92}}\) для −1 < x < 1,

Обратные функции для котангенса, косеканса и секанса можно определить, посмотрев на их графики. Например, функция y = cot x является взаимно однозначной в интервале (0, π ), где ее диапазон равен множеству всех действительных чисел. Таким образом, арккотангенс y = cot ⁻¹ x является функцией, областью определения которой является множество всех действительных чисел, а областью значений является интервал (0, 9{-1} x) = x \text{ for } \text{all real }x \; \; \; \; (8)$$

График y = cot ⁻¹ x показан ниже на рисунке 11. 1 x — это функция, область определения которой | х | ≥ 1 и чей диапазон равен \(−\frac{π}{2} ≤ y ≤ \frac{π}{2}\), y \(\ne\) 0. Аналогично, арсеканс y = sec ^{− 1} x — это функция, область определения которой | 9{-1} x) = x \text{ for } |x| ≥ 1 \; \; \; \; (12) $$

также часто называют COT ⁻¹ x , CSC ^-1 x и SEC ⁻¹ x и 3 4. , и арксеканс , соответственно, x . Графики y = csc ^-1 x и y = sec ^-1 x показаны на рисунке 12:

Пример 9{-1}x) = x $$

по формуле (8). Так как tan (tan ⁻¹ x ) = x для всех x , это означает, что tan (tan ⁻¹ x ) = tan \(\left(\frac{π}{ 2}−θ\справа)\). Таким образом, tan (tan ⁻¹ x ) = tan (\(\frac{π}{2}\) −cot ⁻¹ x ). Теперь мы знаем, что 0 < кроватка ⁻¹ x < π , поэтому −\(\frac{π}{2}\) < \(\frac{π}{2}\) − кроватка ⁻¹ x < \(\frac{π}{2}\), то есть \(\frac{π}{2}\) −cot ⁻¹ x находится в ограниченном подмножестве, на котором функция тангенса взаимно однозначна. Следовательно, tan (tan ⁻¹ x ) = tan (\(\frac{π}{2}\) −cot ⁻¹ x ) подразумевает, что tan ⁻¹ x = \ (\frac{π}{2}\) −cot ⁻¹ x , что доказывает тождество.

Пример 10 Является ли tan ⁻¹ a + tan ⁻¹ b = tan ⁻¹ \(\left(\frac{a + b}{1−ab}\right)\) тождеством? 909{-1}\left(\frac{a + b}{1 — ab} \right)$$

по определению арктангенса. Однако напомним, что −\(\frac{π}{2}\) < tan ⁻¹ x < \(\frac{π}{2}\) для всех действительных чисел x . Так, в частности, мы должны иметь −\(\frac{π}{2}\) < tan ⁻¹ \(\left(\frac{a + b}{1−ab}\right)\) < \ (\ гидроразрыва {π} {2} \). Но возможно, что tan ⁻¹ a + tan ⁻¹ b равен , а не в интервале ¡ \(\left(−\frac{π}{2}, \frac{π} {2}\справа)\). Например, 9{-1}2 = 1,8 > \frac{π}{2} ≈ 1,570796 .$$

И мы видим, что \(\left(\frac{1 + 2}{1−(1)(2)}\ справа)\) = tan ⁻¹ (−3) = −1,249045 \(\ne\) tan ⁻¹ 1 + tan ⁻¹ 2. Таким образом, формула верна только тогда, когда −\(\frac{ π}{2}\) < tan ⁻¹ a + tan ⁻¹ b < \(\ frac{π}{2}\).

6.6 Тригонометрические функции | Функции

6.6 Тригонометрические функции (EMA52)

В этом разделе описываются графики тригонометрических функций.

Синусоидальная функция (EMA53)

Функции вида \(y=\sin\theta\) (EMA54)

Рабочий пример 16: Построение графика синусоиды

\(y=f(\theta) = \sin\theta \quad \left[0° \le \theta \le 360°\right]\)

С помощью калькулятора заполните следующую таблицу.

Выберите подходящий масштаб и нанесите значения \(\theta\) на ось \(x\) и \(\sin\theta\) на \(y\)-ось. Округлите ответы до \(\text{2}\) знаков после запятой.

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(\sin\тета\)

Замените значения для \(\theta\)

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(\sin\тета\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{0,5}\)

\(\текст{0,87}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{0,87}\)

\(\текст{0,5}\)

\(\текст{0}\)

\(-\текст{0,5}\)

\(-\текст{0,87}\)

\(-\текст{1}\)

\(-\текст{0,87}\)

\(-\текст{0,5}\)

\(\текст{0}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

Обратите внимание на волнообразную форму графика. Для завершения каждой полной волны требуется \(360°\). Это называется период. Высота волны выше и ниже оси \(x\) называется амплитудой графика. Максимум значение \(y=\sin\theta\) равно \(\text{1}\), а минимальное значение равно \(-\text{1}\).

Домен: \(\left[0°;360°\right]\)

Диапазон: \(\left[-1;1\right]\)

\(x\)-отрезки: \(( 0°;0)\), \((180°;0)\), \((360°;0)\)

\(y\)-отрезок: \((0°;0)\)

Максимальная точка поворота: \((90°;1)\)

Минимальная точка поворота: \((270°;-1)\)

Функции вида \(y=a\sin\theta +q\) (EMA55)

Влияние \(a\) и \(q\) на синусоидальный график

В уравнении \(y=a\sin\theta +q\), \(a\) и \(q\) являются константами и по-разному влияют на график. На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0°\le \theta \le 360°\):

1. \({у}_{1} = \sin\тета -2\)

2. \({у}_{2} = \sin\тета -1\)

3. \({у}_{3} = \sin\тета\)

4. \({у}_{4} = \sin\тета +1\)

5. \({у}_{5} = \sin\тета +2\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(q\).

На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0° \le \theta \le 360°\):

1. \({у}_{6}=-2\sin\тета\)

2. \({y}_{7}=-\sin\theta\)

3. \({у}_{8}=\грех\тета\)

4. \({у}_{9}=2\sin\тета\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(a\).

Эффект \(q\)

Эффект \(q\) называется вертикальным сдвигом, потому что весь график синусоиды смещается вверх или вниз на \(q\) единиц.

• При \(q>0\) график смещается вертикально вверх на \(q\) единиц.

• Для \(q<0\) график смещается вертикально вниз на \(q\) единиц.

Эффект \(а\)

Значение \(a\) влияет на амплитуду графика; высота пиков и глубина впадин.

• Для \(a>1\) имеет место вертикальное растяжение и увеличение амплитуды.

  Для \(0

• Для \(a<0\) имеется отражение относительно оси \(x\).

  Для \(-1

  При \(a<-1\) происходит отражение относительно оси \(x\) и амплитуда увеличивается.

Обратите внимание, что амплитуда всегда положительна.

Влияние \(а\)
\(a>1\): вертикальное растяжение, амплитуда увеличивается
\(a=1\): основной график синуса
\(0
\(-1
\(a<-1\): отражение относительно \(x\) оси \(a>1\)

Влияние \(а\) на синусоидальный график.

Влияние \(q\)
\(q>0\): вертикальное смещение вверх на \(q\) единиц
\(q=0\): основной график синуса
\(q<0\): вертикальное смещение вниз на \(q\) единиц

Влияние \(q\) на синусоидальный график.

Изучение характеристик (EMA56)

Домен и диапазон

Для \(f(\theta) = a\sin\theta +q\) домен равен \(\left[0°;360°\right]\)

Диапазон \(f(\theta) = a\sin\theta +q\) зависит от значений \(a\) и \(q\).

Для \(а>0\):

\начать{выравнивать*} -1& \le \sin \theta \le 1 \\ -a& \le a\sin\theta \le a \\ -a+q& \le a\sin\theta +q \le a+q \\ -a+q& \le f(\theta) \le a+q \конец{выравнивание*}

Для всех значений \(\theta\), \(f(\theta)\) всегда находится между \(-a+q\) и \(a+q\).

Следовательно, для \(a>0\) диапазон \(f(\theta) = a\sin\theta +q\) равен \(\left\{f(\theta):f(\theta)\ в \влево[-a+q, a+q\вправо]\вправо\}\)

Аналогично, для \(a<0\) диапазон \(f(\theta)=a \sin\theta +q\) равен \(\left\{f(\theta):f(\theta) \в \влево[a+q, -a+q\вправо]\вправо\}\)

Период

Период \(y=a\sin\theta +q\) равен \(360°\). Это означает, что одна синусоида завершается за \(360°\).

Перехваты

\(y\)-отрезок \(f(\theta)=a\sin\theta +q\) является просто значением \(f(\theta)\) в \(\theta = 0°\)

\начать{выравнивать*} у& = f(0°) \\ & = а\sin 0° + q \\ & = а (0) + q \\ & = д \конец{выравнивание*}

Это дает точку \((0;q)\)

Важно: при построении тригонометрических графиков всегда начинайте с основного графика, а затем рассмотрим эффекты \(a\) и \(q\).

Рабочий пример 17: Эскиз графика синусоиды

Нарисуйте график \(f(\theta)=2\sin\theta +3\) для \(\theta \in \left[0°;360°\right]\).

Изучите стандартную форму уравнения

Из уравнения видно, что \(a>1\), поэтому график вытянут по вертикали. Мы также видим, что \(q>0\), поэтому график смещается вертикально вверх на \(\text{3}\) единиц.

Заменить значения для \(\theta\)

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(f(\тета)\)

\(\текст{3}\)

\(\текст{4}\)

\(\текст{4,73}\)

\(\текст{5}\)

\(\текст{4,73}\)

\(\текст{4}\)

\(\текст{3}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{1,27}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{1,27}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{3}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

Домен: \(\left[0°;360°\right]\)

Диапазон: \(\left[1;5\right]\)

\( x\)-точки пересечения: нет

\(y\)-точки: \((0°;3)\)

Максимальная точка поворота: \((90°;5)\)

Минимальная точка поворота: \ ((270°;1)\)

временный текст

Функция косинуса (EMA57)

Функции вида \(y=\cos\theta\) (EMA58)

Рабочий пример 18: Построение графика косинуса

\(y=f(\theta)=\cos\theta \quad \left[0°\le \theta \le 360°\right]\)

С помощью калькулятора заполните следующую таблицу.

Выберите подходящий масштаб и отобразите значения \(\theta\) по оси \(x\) и \(\cos\theta\) по оси \(y\)-ось. Округлите свои ответы до \(\text{2}\) знаков после запятой.

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(\cos\тета\)

Замените значения для \(\theta\)

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(\cos\тета\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{0,87}\)

\(\текст{0,5}\)

\(\текст{0}\)

\(-\текст{0,5}\)

\(-\текст{0,87}\)

\(-\текст{1}\)

\(-\текст{0,87}\)

\(-\текст{0,5}\)

\(\текст{0}\)

\(\текст{0,5}\)

\(\текст{0,87}\)

\(\текст{1}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой.

Обратите внимание на схожую волновую форму графика. Период также \(360°\) и амплитуда \(\текст 1}\). Максимальное значение \(y=\cos\theta\) равно \(\text{1}\), а минимальное значение равно \(-\text{1}\).

Домен: \(\left[0°;360°\right]\)

Диапазон: \(\left[-1;1\right]\)

\(x\)-отрезки: \(( 90°;0)\), \((270°;0)\)

\(y\): \((0°;1)\)

Максимальное количество точек поворота: \((0°;1) \), \((360°;1)\)

Минимальная точка поворота: \((180°;-1)\)

Функции вида \(y=a\cos\theta +q\) (EMA59)

Влияние \(a\) и \(q\) на косинусоидальный график

В уравнении \(y=a\cos\theta +q\), \(a\) и \(q\) являются константами и по-разному влияют на график.

На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0° \le \theta \le 360°\):

1. \({y}_{1}=\cos\theta -2\)

2. \({y}_{2}=\cos\theta -1\)

3. \({y}_{3}=\cos\theta\)

4. \({y}_{4}=\cos\тета +1\)

5. \({y}_{5}=\cos\theta +2\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(q\).

На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0° \le \theta \le 360°\):

1. \({y}_{6}=-2\cos\theta\)

2. \({y}_{7}=-\cos\theta\)

3. \({y}_{8}=\cos\theta\)

4. \({y}_{9}=2\cos\theta\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(a\).

Эффект \(q\)

Эффект \(q\) называется вертикальным сдвигом, потому что весь график косинуса сдвигается вверх или вниз на \(q\) единиц.

• При \(q>0\) график смещается вертикально вверх на \(q\) единиц.

• Для \(q<0\) график смещается вертикально вниз на \(q\) единиц.

Эффект \(а\)

Значение \(a\) влияет на амплитуду графика; высота пиков и глубина впадин.

• Для \(a>0\) имеет место вертикальное растяжение и увеличение амплитуды.

  Для \(0

• Для \(a<0\) имеется отражение относительно оси \(x\).

  Для \(-1

  При \(a<-1\) происходит отражение относительно оси \(x\) и амплитуда увеличивается.

Обратите внимание, что амплитуда всегда положительна.

Влияние \(а\)
\(a>1\): вертикальное растяжение, амплитуда увеличивается
\(a=1\): базовый график косинуса
\(0
\(-1
\(a<-1\): отражение относительно оси \(x\), амплитуда увеличивается

Влияние \(a\) на косинусоидальный график.

Влияние \(q\)
\(q>0\): вертикальное смещение вверх на \(q\) единиц
\(q=0\): базовый график косинуса
\(q<0\): вертикальное смещение вниз на \(q\) единиц

Влияние \(q\) на косинусоидальный график.

Изучение характеристик (EMA5B)

Домен и диапазон

Для \(f(\theta)=a\cos\theta +q\) областью является \(\left[0°;360°\right]\)

Легко видеть, что диапазон \(f(\theta)\) будет таким же, как диапазон \(a\sin\theta +q\). Этот потому что максимальное и минимальное значения \(a\cos \theta + q\) будут такими же, как максимальное и минимальное значения \(a\sin\theta +q\).

Для \(a>0\) диапазон \(f(\theta)=a\cos\theta +q\) равен \(\left\{f(\theta):f(\theta)\in \влево[-a+q;a+q\вправо]\вправо\}\)

Для \(a<0\) диапазон \(f(\theta)=a \cos\theta +q\) равен \(\left\{f(\theta):f(\theta)\in \влево[а+д;-а+д\вправо]\вправо\}\)

Период

Период \(y=a\cos\theta +q\) равен \(360°\). Это означает, что одна волна косинуса завершается за \(360°\).

Перехваты

\(y\)-отрезок \(f(\theta)=a\cos\theta +q\) вычисляется так же, как и для синуса.

\начать{выравнивать*} у& = f(0°) \\ & = а\cos 0°+q \\ & = а(1)+q \\ & = а + д \конец{выравнивание*}

Это дает точку \((0°;a+q)\).

Рабочий пример 19: Эскиз графика косинуса

Нарисуйте график \(f(\theta)=2\cos\theta +3\) для \(\theta \in \left[0°;360°\right]\).

Изучите стандартную форму уравнения

Из уравнения видно, что \(a>1\), поэтому график вытянут по вертикали. Мы также видим, что \(q>0\), поэтому график смещается вертикально вверх на \(\text{3}\) единиц.

Замените значения для \(\theta\)

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(f(\тета)\)

\(\текст{5}\)

\(\текст{4,73}\)

\(\текст{4}\)

\(\текст{3}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{1,27}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{1,27}\)

\(\текст{2}\)

\(\текст{3}\)

\(\текст{4}\)

\(\текст{4,73}\)

\(\текст{5}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

Домен: \(\left[0°;360°\right]\)

Диапазон: \(\left[1;5\right]\)

\( x\)-точки пересечения: нет

\(y\)-точка: \((0°;5)\)

Максимальные точки поворота: \((0°;5)\), \((360°; 5)\)

Минимальная точка поворота: \((180°;1)\)

temp text

Сравнение графиков \(y=\sin\theta\) и \(y=\cos\theta\) (EMA5C)

Обратите внимание, что два графика очень похожи. Обе волны движутся вверх и вниз вдоль оси \(x\). Расстояния между пиками для каждого графика одинакова. Высота пиков и глубины впадин также являются такой же.

Если вы сдвинете всю косинусную диаграмму вправо на \(90°\), она полностью перекроется с синусоидальной диаграммой. Если вы сдвинете синусоидальный график \(90°\) влево, он будет полностью перекрываться с косинусным графиком. Этот означает, что:

\[\begin{массив}{ccl} \sin \theta & = \cos \left(\theta -90°\right) & \left(\text{сдвиг графика косинуса к верно-верно) \\ \cos \theta & =\sin \left(\theta +90°\right) & \left(\text{сдвиг графика синуса влево}\right) \конец{массив}\]

Касательная функция (EMA5D)

Функции вида \(y=\tan\theta\) (EMA5F)

Рабочий пример 20: Построение касательной

\(y=f(\theta)=\tan\theta \quad \left[0°\le \theta \le 360°\right]\)

С помощью калькулятора заполните следующую таблицу.

Выберите подходящий масштаб и нанесите значения с \(\theta\) на оси \(x\) и \(\tan\theta\) на оси \(y\)-ось. Округлите свои ответы до \(\text{2}\) знаков после запятой.

\(\тета\)	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)	\(120°\)	\(135°\)	\(150°\)	\(180°\)
\(\загар\тета\)
\(\тета\)	\(210°\)	\(235°\)	\(240°\)	\(270°\)	\(300°\)	\(315°\)	\(330°\)	\(360°\)
\(\загар\тета\)

Замените значения для \(\theta\)

\(\тета\)	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)	\(120°\)	\(135°\)	\(150°\)	\(180°\)
\(\загар\тета\)	\(\текст{0}\)	\(\текст{0,58}\)	\(\текст{1}\)	\(\текст{1,73}\)	неопределенный	\(-\текст{1,73}\)	\(-\текст{1}\)	\(-\текст{0,58}\)	\(\текст{0}\)
\(\тета\)	\(210°\)	\(235°\)	\(240°\)	\(270°\)	\(300°\)	\(315°\)	\(330°\)	\(360°\)
\(\загар\тета\)	\(\текст{0,58}\)	\(\текст{1}\)	\(\текст{1,73}\)	неопределенный	\(-\текст{1,73}\)	\(-\текст{1}\)	\(-\текст{0,58}\)	\(\текст{0}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

Существует простой способ визуализировать касательную диаграмму. Рассмотрим наши определения \(\sin\theta\) и \(\cos\theta\) для прямоугольных треугольников:

\начать{выравнивать*} \ гидроразрыва {\ греха \ тета} {\ соз \ тета} & = \frac{\left(\frac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}}\right)}{\left(\frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}}\right)} \\ & = \frac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}} \times \frac{\text{гипотенуза}}{\text{смежно}} \\ & = \ frac{\ text {напротив}} {\ text {смежно}} \\ & = \загар\тета \конец{выравнивание*}

Итак, для любого значения \(\theta\):

\ (\ загар {\ тета} = \ dfrac {\ грех \ тета} {\ соз \ тета} \)

Итак, мы знаем, что для значений \(\theta\), для которых \(\sin\theta = 0\), мы также должны иметь \(\tan\theta =0\). Также, если \(\cos\theta =0\), значение \(\tan\theta\) не определено, так как мы не можем разделить на \(\text{0}\). пунктирные вертикальные линии соответствуют значениям \(\theta\), где \(\tan\theta\) не определено и называется асимптоты.

Асимптоты: линии \(\theta =90°\) и \(\theta =270°\)

Период: \(180°\)

Домен: \(\left\{\theta :0° \le \theta \le 360°, \theta \ne 90°; 270°\right\}\)

Диапазон: \(\left\{f\left(\theta \right):f\left(\theta \right)\in \mathbb{R}\ вправо\}\)

\(x\)-отрезки: \(\влево(0°;0\вправо)\), \(\влево(180°;0\вправо)\), \(\влево( 360°;0\вправо)\)

\(y\)-перехват: \(\left(0°;0\right)\)

Функции вида \(y=a\tan\theta + q\) (EMA5G)

Эффекты \(a\) и \(q\) на касательном графе

На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0° \le \theta \le 360°\):

1. \({у}_{1}=\загар\тета -2\)

2. \({у}_{2}=\загар\тета -1\)

3. \({у}_{3}=\загар\тета\)

4. \({у}_{4}=\загар\тета +1\)

5. \({у}_{5}=\загар\тета +2\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(q\).

На том же наборе осей постройте следующие графики для \(0° \le \theta \le 360°\):

1. \({y}_{6}=-2\tan\theta\)

2. \({у}_{7}=-\загар\тета\)

3. \({у}_{8}=\загар\тета\)

4. \({у}_{9}=2\тангенс\тета\)

Используйте полученные результаты, чтобы вывести эффект \(a\).

Эффект \(q\)

Эффект \(q\) называется вертикальным сдвигом, потому что весь график касательной смещается вверх или вниз на \(q\) единицы.

• При \(q>0\) график смещается вертикально вверх на \(q\) единиц.

• Для \(q<0\) график смещается вертикально вниз на \(q\) единиц.

Эффект \(а\)

Значение \(a\) влияет на крутизну каждой из ветвей графика. Чем больше значение \(a\), тем быстрее ветви графика приближаются к асимптотам.

	\(а<0\)	\(а>0\)
\(д>0\)
\(д=0\)
\(д<0\)

Таблица 6.4: Влияние \(a\) и \(q\) на касательной граф.

Изучение характеристик (EMA5H)

Домен и диапазон

Из графика видно, что \(\tan\theta\) не определено в точках \(\theta =90°\) и \(\theta =270°\).

Следовательно, домен равен \(\left\{\theta :0°\le \theta \le 360°, \theta \ne 90°; 270°\вправо\}\).

Диапазон равен \(\left\{f(\theta):f(\theta)\in \mathbb{R}\right\}\).

Период

Период \(y=a\tan\theta +q\) равен \(180°\). Это означает, что один касательный цикл завершается за \(180°\).

Перехваты

\(y\)-отрезок \(f(\theta)=a\tan\theta +q\) является просто значением \(f(\theta)\) в \(\theta =0°\).

\начать{выравнивать*} у& = f(0°) \\ & = а\тангенс 0°+q \\ & = а(0)+q \\ & = д \конец{выравнивание*}

Это дает точку \((0°;q)\).

Асимптоты

График имеет асимптоты в точках \(\theta = 90°\) и \(\theta =270°\).

Рабочий пример 21: набросок касательной

Нарисуйте график \(y=2\tan\theta +1\) для \(\theta \in \left[0°;360°\right]\).

Изучите стандартную форму уравнения

Мы видим, что \(a>1\), поэтому ветви кривой будут более крутыми. Мы также видим, что \(q>0\), поэтому график сдвинут вертикально вверх на \(\text{1}\) единицу.

Замените значения для \(\theta\)

\(\тета\)

\(0°\)

\(30°\)

\(60°\)

\(90°\)

\(120°\)

\(150°\)

\(180°\)

\(210°\)

\(240°\)

\(270°\)

\(300°\)

\(330°\)

\(360°\)

\(у\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{2,15}\)

\(\текст{4,46}\)

–

\(-\текст{2,46}\)

\(-\текст{0,15}\)

\(\текст{1}\)

\(\текст{2,15}\)

\(\текст{4,46}\)

–

\(-\текст{2,46}\)

\(-\текст{0,15}\)

\(\текст{1}\)

Нанесите точки и соедините их плавной кривой

Домен: \(\left\{\theta :0°\le \theta \le 360°,\theta \ne 90°;270°\right\}\)

Диапазон: \(\left\{f(\theta):f(\theta)\in \mathbb{R}\right\}\)

temp text

Учебник Упражнение 6. 6 9{\circ};0)\). Для этого графика мы видим, что эта точка была сдвигается вверх на \(\text{1,5}\) или \(\frac{3}{2}\) пробелов. Поэтому \(q = \frac{3}{2}\).

Чтобы найти \(a\), заметим, что значение \(y\) в середине (точка \(A\)) равно \(\text{1,5}\), а \(y\)-значение наверху (точка \(B\)) равно 3. Мы можем найти амплитуду, вычислив расстояние от вершины графика к середине графика: \(3 — \text{1,5} = \text{1,5}\). Поэтому \(а = \фракция{3}{2}\). 9{\circ};\text{2})\), определите значения \(a\) и \(q\).

Чтобы найти \(a\), заметим, что значение \(y\) внизу (точка \(A\)) равно \(-\text{6}\), а \(y\)-значение наверху (точка \(B\)) равно 2. Мы можем найти амплитуду, вычислив расстояние от верхней части графика к нижней части графика, а затем разделить это на 2, так как это расстояние равно удвоенная амплитуда: \(\frac{2 — (-6)}{2} = 4\). Поэтому \(а = 4\). {\circ};-\text{1,5})\), и 9{\circ};-\text{0,5})\). Вычислите значения \(a\) (амплитуда график) и \(q\) (вертикальный сдвиг графика).

Чтобы найти \(a\), заметим, что значение \(y\) внизу (точка \(A\)) равно \(-\text{1,5}\), а \(y\)-значение вверху (точка \(B\)) равно \(-\text{0,5}\). Мы можем найти амплитуду, вычислив расстояние от верхней части графика до нижней части графика, а затем разделить его на 2, так как это расстояние в два раза больше амплитуды: \(\frac{-\text{0,5} — (-\text{1,5})}{2} = \frac{1}{2}\). Следовательно \(а = \фракция{1}{2}\). 9{\circ};\text{0,5})\). Для этого графика мы видим, что эта точка сместилась вниз на \(\text{1}\) пробел. Поэтому \(q = 1\).

Полное уравнение для графика, показанного в этом вопросе, имеет вид \(y = \frac{1}{2}\cos \theta — 1\).

Следовательно, \(a = \frac{1}{2}, \text{ и } q= -1\).

На приведенном ниже графике показано тригонометрическое уравнение следующего вида: \(y = a \cos{\theta} + q\). Два точки показаны на графике: Точка А 909{\circ};-\text{0,5})\). Вычислите значения \(a\) (амплитуда графика) и \(q\) (вертикальный сдвиг графика).

Чтобы найти \(a\), заметим, что значение \(y\) внизу (точка \(B\)) равно \(-\text{0,5}\), а \(y\)-значение в середине (точка \(A\)) равно \(\text{0}\). Мы можем найти амплитуду, вычислив расстояние от вершины графика до середины графика: \(\text{0} — (-\text{0,5}) = \фракция{1}{2}\). Поэтому \(a = \frac{1}{2}\). 9{\circ}} + \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} & = a(1) + \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} — \frac{1}{3} & = a \\ 3 & = а \конец{выравнивание*}

Полное уравнение: \(y = 3 \tan{\theta} + \frac{1}{3}\).

Следовательно, \(a = 3 \text{ и } q = \frac{1}{3}\).

На приведенном ниже графике показана касательная кривая с уравнением вида \(y = a \tan{\theta} + q\). Два точки отмечены на кривой: 9{\circ}} \\ 1 & = а(1) \\ 1 & = а \конец{выравнивание*}

Полное уравнение: \(y = \tan{\theta}\).

Следовательно \(a = 1 \text{ и } q = 0\).

\(y = \sin{\theta}\)

\(h(x)\)

\(y = \frac{1}{2}\sin{\theta}\)

\( k(x)\)

\(y = 3\sin{\theta}\)

\(f(x)\)

\(y = 2\sin{\theta}\)

\( g(x)\)

На приведенном ниже графике показаны функции \(f(x)\) и \(g(x)\) 9{\ круг} \\ \hline \tan{\theta} & 0 & 1 & \text{undefined} & -1 & 0 & 1 & \text{undefined} &-1 & 0 \\ \hline 3\tan{\theta} & 0 & 3 & \text{undefined} & -3 & 0 & 3 & \text{undefined} &-3&0\ \hline \frac{1}{2}\tan{\theta} & 0 & \frac{1}{2} & \text{undefined} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \text{undefined} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \hline \конец{массив}\] 9{\ круг} \\ \hline \cos{\theta} — 2 & -1 & -2 & -3 & -2 & -1 \\ \hline \cos{\тета} + 4 и 5 и 4 и 2 и 4 и 5 \\ \hline \cos{\тета} + 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \конец{массив}\]

Нам дана таблица со значениями, поэтому мы наносим каждую из этих точек и соединяем их плавной линией. изгиб. 9{\circ};1) \text{ , диапазон } y \in \mathbb{R} \text{и домен} 0 \le \theta \le 360, x \neq 90, x\neq 270\)

\(y=2\sin\theta\)

В этом случае \(q = 0\) и, следовательно, основной график синуса не сдвигается вверх или вниз. Мы также отмечаем что \(a = 2\) и поэтому график растянут на 2 единицы. Максимальное значение будет 2, а минимальное значение будет \(-\text{2}\).

\(y=-4\cos\theta\)

В этом случае \(q = 0\) основной косинусоидальный график не сдвигается вверх или вниз. Мы также отмечаем что \(a = -4\) и поэтому график растягивается на \(-\text{4}\) единиц. Максимальное значение будет 4 а минимальное значение будет \(-\text{4}\).

\(y=-2\cos\theta + 1\)

В этом случае \(q = 1\) и, следовательно, основной график косинуса сдвинут вверх на 1 единицу. Мы также отмечаем что \(a = -2\) и поэтому график растягивается на \(-\text{2}\) единиц. Максимальное значение будет 3 а минимальное значение будет \(-\text{1}\).

\(y=\sin\theta — 3\)

В этом случае \(q = -3\) и, следовательно, график основного синуса сдвинут вниз на 3 единицы. Мы также отмечаем что \(a = 1\) и поэтому граф не растянут. Максимальное значение будет \(-\text{2}\), а минимальное значение будет \(-\text{4}\). 9\circ\), \(y = -2\).

\(y=2\cos\theta — 1\)

В этом случае \(q = -1\) и поэтому основной график косинуса сдвинут вниз на 1 единицу. Мы также отмечаем что \(a = 2\) и поэтому график растянут на 2 единицы. Максимальное значение будет \(\text{1}\) и минимальное значение будет \(-\text{3}\).

Общая форма косинусного графика: \(y = a \cos \theta + q\). Отметим, что в этом случае график не сдвинут. Также отметим, что график растянут на \(-\text{2}\) единиц. 9{\circ}) &= -3 — (-2)\\ &=-1 \конец{выравнивание*}

Математическая сцена — Тригонометрические функции

Математическая сцена — Тригонометрические функции — Графики тригонометрических функций урок 3

2008 Расмус Эф и Джанн Сак

Печать

Урок 3      Графики триггерных функций

---

Теперь посмотрим на графики триггерных функций начиная с функции f(v) = sin v. Угол v равен измеряется от оси x, и мы смотрим, что происходит, когда угол v становится больше.

Составляем таблицу значений:

Мы уже вычислили sin 30 и sin 60, используя тот факт, что в треугольниках с углами 30, 60 и 90, сбоку против угла 30 градусов половина длины гипотенузы. Это означает, что мы можем легко найти значения sin v на 30 интервалах. Мы также можем использовать sin x функцию в калькуляторе или электронной таблице.

v	f(v) = sin v
0	0	0
30	1 / 2	0,5
60	/ 2	0,866
90	1	1
120	/ 2	0,866
150	1 / 2	0,5
180	0	0
210	— 1 / 2	-0,5
240	—/ 2	-0,866
270	-1	-1
300	—/ 2	-0,866
330	— 1 / 2	-0,5
360	0	0

Теперь рисуем график по этим значениям, отмечая углы v по оси x и sin v по оси y.

Результатом является синусоида, хорошо известная явления в физике и естественных науках. Проблема в том, что синусоидальные волны в природа — это функции времени и длины, а не степени, как мы здесь использовали.

Для решения этой проблемы новый способ измерения используются углы. Эта единица измерения угла называется радианом и находится путем измерения длины дуги единичного круга между радиусом, который образует одну сторону угла и ось x.

Один радиан равен углу, который заметает дугу длиной в одну единицу на единичной окружности (см. схему).

Представьте себе провод такой же длины, как радиуса, в точке на оси x, где x = 1. Теперь согните проволоку вокруг окружность круга. Угол в центре окружности, которая охватывает эта дуга составляет один радиан. Единицу иногда называют рад. Вы видите из диаграмме, что 1 рад чуть меньше 60?.

Но как найти точную связь между градусы и радианы? Как мы можем измениться между градусами и радианами?

Мы делаем это, отмечая, что длина окружности окружность равна 2∙r∙ или 2 в данном случае, где r = 1.

Другими словами, единичный круг, охватывающий угол 360, длина окружности 2.

Это приводит к следующему результату:

2 эквивалентно 360, то есть эквивалентно 180

Чтобы перейти от радианов к градусам, мы умножаем на 180 /.

Чтобы перейти от градусов к радианам, мы умножаем на  /180 .

Пример 1

Теперь посмотрим на синусоиду в нашей обычной системе координат x y.

Кому для этого нам нужно изменить углы с градусов на радианы, умножив на _/180 и отменив как можно больше.

Теперь вставляем углы радианы как значения по оси x. Хорошо оставьте степени для сравнение.

Пример 2

Подсчитать количество градусов в одном радиане.

Для этого мы должны умножить на ¹⁸⁰ /, используя значение на калькуляторе ≈ 3,14

   ^1∙180 / ≈ 57,3

Пример 3

Изменить 5/ ₄ радиан на градусы.

Мы снова можем умножить на 180/ или использовать тот факт, что p радиан такое же, как 180. Таким образом, мы можем просто заменить на 180.

   5/4 = 5∙180/4 = 225.

Его очень легко рисовать графики триггерных функций, если используется графический калькулятор.

Ниже описано, как сделать это с помощью калькулятора CASIO. Первое, что нужно сделать, это решить, в чем единиц измеряемый угол. Калькулятор предлагает три возможности. Градусы, радианы и грады.

Грады аналогичны градусам но с 400 градами по кругу, а не с 360.

Единицы изменены выбрав график в меню, а затем нажав

                                         Смена и настройка.

Окно, которое открывает предложения различные возможности, но на данный момент нас интересует только угол измерение. Используйте стрелки на калькуляторе и перейдите на

                                              Угол.

Следующие три варианта можно сделать:

                               Градус, Рад, Гра

                               Нажав  F1,  F2 или F3.

Мы выбираем либо  градусы (градусы) или Rad (радианы) и нажмите exe.

Далее выбираем шкалу на оси x, нажав

                               Shift og View Окно (F3) и выбор триггера (F2)

Теперь мы готовы нарисовать график.

Например, график y = sin x

Теперь мы можем нарисовать график, нажав F6.

Пример 4

Теперь мы увидим, как Excel можно использовать для рисования триггерных графиков. Сначала мы нарисуем график f(x) = cos х, для х на интервале от –90 до 450 и найти значения cos x через 30 интервалов. Начнем с ввода −90 в столбец для углов (B3), затем −60  и скоро. (Лучше всего сделать это, скопировав)

Excel использует радианы, поэтому мы используем столбец C для значений углов в радианах. Это делается путем умножения на /180. Формула в C3 будет выглядеть так:  =B3*Pi()/180. Затем формула копируется вниз по столбцу C.

Подставляем формулу для функция косинуса в столбце D. Формула в D3 будет =cos(C3) . Опять же может быть скопировано вниз по столбцу.

График построен по блокируя столбцы B и D, выбирая инструмент построения графика, а затем XY (разброс). внешний вид графика можно изменить, щелкнув правой кнопкой мыши. Электронная таблица Excel будет выглядеть следующим образом:

График y = cos x выглядит так:

Мы видим, что график косинуса точно такой же, как и график синусоидальный график, если он перемещается на /2 (90) вправо.

Посмотрите, что произойдет, если мы вычтите /2 из значений в столбце C и найдите косинус новых значений. (см. столбцы F G), затем нарисуйте график y = cos(x − /2).

Таким образом мы перевели график косинуса на/2 (90) вправо и в Результатом является график функции синуса.
Это показывает, что выполняется следующее правило:

                                                     sin x = cos(x − /2)

Верно следующее общее правило:

Графики триггерных функций можно перевести вправо, вычитая постоянное значение из переменной x.

Графики y = sin(x − a) и y = cos(x − а) такие же, как графики y = sin x и y = cos x, переведенный в единицу измерения. Перевод вправо, если a > 0, и влево, если a < 0.

Если a отрицательное, мы получаем два отрицательных значения и поэтому добавление к значению x. Это эквивалентно переводу на оставил. Можно также сказать, что граф y = cos(x + b) совпадает с графиком y = cos x, переведенным b единиц в оставил.

Пример 5

Теперь мы будем использовать Excel, чтобы увидеть эффект, который умножение синусоидальной функции на постоянное число оказывает на график.

Ну посмотрите на графики из  y = sin x, y = 2∙sin x и 92 182 у = ∙sin х

Графики следующие:

Как и следовало ожидать амплитуда волны удваивается, когда мы умножаем 2. Амплитуда — это максимальная высота волны над линией симметрии (в этом случае x ось). Если мы умножим на число меньше единицы, амплитуда будет меньше этой исходной синусоиды.

Если умножить на минус число волна отражается по оси x (переворачивается вверх ногами).

Пример 6

Теперь давайте посмотрим, какой эффект умножение x на постоянное число имеет на графиках. Ну сравните графики из y = sin x, y = sin 2x и y = sin ^x / ₂ .

Мы видим, что умножение x на константа влияет на то, как часто волна повторяется. Другими словами, это влияет на период или длину волны графика.

Основная функция синуса имеет период или длина волны 2, или 360. Это означает, что он повторяется через  2 интервала. Это длина по оси x от начала одной волны к началу следующего.

Период функции f(x) = sin 2x — половина периода исходной функции, т. е. . Или мы можем сказать количество волн на заданном интервале по оси x удвоился.

Период функции f(x) = sin x/2 в два раза больше периода исходной функции, то есть равен 4. На этот раз количество волн на заданном интервале уменьшилось вдвое.

В общем случае мы можем показать, что если x умножить на константу b, то период волны будет 2/b.

Вот краткое изложение результаты, найденные в приведенных выше примерах.

Учитывая функцию f(x) = c∙sin b∙(x − a) + e а — перенос волны вправо, если а положительно, влево если а отрицательно. Период или длина волны 2/b. c – амплитуда волна. e — вертикальный перенос волны. Вверх, если e > 0, вниз, если e < 0.

Пример 7

Посмотрите на функцию f(x) = 3∙sin 2(x − /4) + 3 и сравните с базовой функцией f(x) = sin x.

a = p/4, что означает, что волна сместилась на /4 (45) вправо.

e = 3, поэтому волна была переведены на 3 единицы вертикально вверх.

b = 2, поэтому период равен 2/ ₂ = .

c = 3, поэтому амплитуда волна равна 3.

Теперь используйте эту информацию для построения графика.

 

Пример 8

Нарисуйте график f(x) = tan Икс.

Мы знаем, что tan x = sin x/cos x, поэтому он не существует, когда cos x = 0.